Nội dung luận án gồm 3 chương: chương 1 - hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh; chương 2 - hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu; chương 3 - hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach. Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết đề tài!
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh 15
1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach . . . . . . . . 15
1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh 21
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương
trình với toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . 22
1.2.3. Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho
phương trình toán tử U − đơn điệu . . . . . . . 27
1.3. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương
pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1. Bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt
không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với
toán tử liên tục và đóng yếu . . . . . . . . . . . 35
Chương 2. Hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử liên
tục và đóng yếu 42
2.1. Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải . . . . . . . . 42
2.2. Phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải
1
và nhiễu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán
tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4. Một số kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.1. Quy tắc dừng lặp và kết quả tính toán cho hệ
phương trình toán tử tuyến tính . . . . . . . . . 65
2.4.2. Kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử
phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Chương 3. Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi
tuyến với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên
không gian Banach 81
3.1. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử
U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach 81
3.2. Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh . . . . . 89
3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . 97
3.4. Một số kết quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều.
Các kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa
từng được công bố trong các công trình của người khác.
Nghiên cứu sinh
3
Nguyễn Đình Dũng
LỜI CẢM ƠN
Luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ Thông tin thuộc
Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn của
GS.TS. Nguyễn Bường và TS. Nguyễn Công Điều. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn tới các thầy cô giáo thuộc Viện Công nghệ Thông tin đã
tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận án
tại Viện, đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. Nguyễn
Bường và TS. Nguyễn Công Điều, những người thầy đã tận tình hướng
dẫn và cung cấp nhiều tài liệu cần thiết để tác giả có thể hoàn thành
luận án đúng thời hạn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo thuộc Đại học Thái
Nguyên và Ban Đào tạo - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện tốt
nhất cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh.
Xin chân thành cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh và bạn bè đồng
nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học
tập, nghiên cứu và làm luận án tại Viện Công nghệ Thông tin.
Nghiên cứu sinh
4
Nguyễn Đình Dũng
MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Rn Không gian Ơcơlit n-chiều.
Không gian liên hợp của không gian Banach X. X ∗
A∗ : Y ∗ → X ∗ Toán tử đối ngẫu của toán tử A : X → Y .
Không gian Hilbert. H
Toán tử đơn vị. I
Miền xác định của toán tử A. D(A)
Miền ảnh của toán tử A. R(A)
Toán tử ngược của toán tử A. A−1
Đạo hàm Fréchet của toán tử A tại điểm x. A(cid:48)(x)
Tích vô hướng của x và y trong không gian Hilbert. (cid:104)x, y(cid:105)
Chuẩn của x trong không gian X. (cid:107)x(cid:107)X
Metric của x và y trong không gian X. ρX(x, y)
a tương đương với b. a ∼ b
Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. C[a, b]
∅ Tập rỗng.
xn (cid:42) x Dãy xn hội tụ yếu tới x.
xn → x Dãy xn hội mạnh tới x.
θ Phần tử không trong không gian Banach.
S(x∗, r) Hình cầu mở tâm x∗ bán kính r trong không gian Banach .
5
N (A) Không gian không điểm của toán tử A.
Trong những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài
toán mà nghiệm không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu
đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của
bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở lên vô nghiệm. Lớp các
bài toán trên được gọi là lớp bài toán không chính qui hay bài toán đặt
không chỉnh.
Khái niệm bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J. [45] đưa ra khi nghiên
cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
elliptic cũng như parabolic. Xét bài toán tìm nghiệm của phương trình
A(x) = f, (1)
ở đây, A là toán tử từ không gian metric X vào không gian metric Y .
Theo Hadamard bài toán (1) được gọi là đặt chỉnh (chính qui) nếu các
điều kiện sau được thỏa mãn:
1. Phương trình (1) có nghiệm x0 với mọi f ∈ Y ;
2. Nghiệm x0 được xác định một cách duy nhất;
3. Nghiệm x0 phụ thuộc liên tục vào f .
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa
6
mãn cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng ý niệm đó sai lầm.
Nhất là khi máy tính điện tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực
tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn
đó dẫn đến những sai lệch đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì
bài toán (1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Do lớp bài toán đặt
không chỉnh có tầm quan trọng trong ứng dụng thực tế, nên nó đã thu
hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới như
V. K. Ivanov, M. M. Lavrentiev, A. N. Tikhonov...Một số nhà toán học
Việt Nam cũng đi sâu nghiên cứu và có nhiều đóng góp cho lý thuyết
các bài toán đặt không chỉnh như: P. K. Anh, Ng. Bường, Đ. N. Hào,
Đ. Đ. Trọng...
Để giải số bài toán đặt không chỉnh, bước đầu tiên Tikhonov đưa về
bài toán đặt chỉnh bằng cách giả thiết là nghiệm cần tìm nằm vào trong
một tập compact lồi M và ảnh A(M ) = N , sao cho khi f xấp xỉ bởi
fδ ∈ N ta vẫn có nghiệm xδ thỏa mãn Axδ ∈ N . Do số liệu xấp xỉ là số
liệu không chính xác, nên có thể xấp xỉ fδ lại không nằm vào tập A(M ).
Khi đó, phương trình A(x) = fδ không có nghiệm theo nghĩa thông
thường. Để khắc phục tình trạng này, Ivanov,V.K. (xem [51], [52]) đã
đưa ra khái niệm tựa nghiệm cho phương trình (1). Theo Ivanov phần tử
ρY (A(x), f ) được gọi là tựa nghiệm ˜x ∈ M làm cực tiểu phiếm hàm inf x∈M
của (1) trên tập M , trong trường hợp M là tập compact của X, thì với
mọi f ∈ Y bao giờ cũng tồn tại tựa nghiệm. Nếu f ∈ A(M ) thì tựa
nghiệm chính là nghiệm thông thường. Tựa nghiệm cũng như nghiệm
thông thường có thể không duy nhất.
7
Trường hợp vế phải phương trình (1) thay đổi không nằm trong A(M )
cũng được Lavrentiev, M.M. [60] nghiên cứu. Tư tưởng phương pháp mà
Lavrentiev đề xuất là thay phương trình (1) bằng phương trình xấp xỉ
giải được với mọi vế phải và nghiệm của phương trình xấp xỉ phụ thuộc
liên tục vào vế phải.
Năm 1963, Tikhonov, A. N. (xem [75], [76], [77]) đưa ra một hướng
mới giải quyết bài toán (1), đó là việc cực tiểu hóa phiếm hàm phụ thuộc
tham số
(2) M α[x, fδ] = ρ2(A(x), fδ) + αψ(x),
ở đây ψ là phiếm hàm ổn định trên không gian metric X, α là tham số
hiệu chỉnh phụ thuộc δ, α = α(δ) được chọn sao cho khi δ → 0, ta có
α của phiếm hàm (2) hội tụ đến nghiệm của
α(δ) → 0 và điểm cực tiểu xδ
bài toán (1).
Đối với bài toán (1), khi A : H → H là một toán tử liên tục và đóng
yếu, Engl, H.W. [42] đã xét dạng cụ thể của (2) là
(3) M α[x, fδ] = (cid:107)Ax − fδ(cid:107)2 + α(cid:107)x(cid:107)2
và chứng minh được bài toán (3) có nghiệm phụ thuộc liên tục vào fδ
và hội tụ về nghiệm của (1) khi fδ → f .
Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu và hemi liên tục từ không
gian Bannach X vào X ∗, Alber,Ya.I.[5] đã xây dựng phương pháp hiệu
chỉnh Tikhonov dựa vào việc giải phương trình
(4) A(x) + αU s(x) = fδ,
ở đây, U s là toán tử đối ngẫu tổng quát của X, tức là U s : X → X ∗,
thỏa mãn điều kiện
8
(cid:104)U s(x), x(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)(cid:107)U s(x)(cid:107), (cid:107)U s(x)(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)s−1, s ≥ 2.
Trong vài năm gần đây, do nhu cầu thực tế người ta đã xét mở rộng
bài toán (1) cho một họ hữu hạn phương trình đặt không chỉnh (xem
[22], [39], [46]), tức là tìm nghiệm x0, sao cho
(5) Aj(x0) = fj, j = 1, 2, ..., N,
ở đây, Aj : X → Yj, X và Yj là các không gian Hilbert. Hệ phương trình
(5) có thể đưa về một phương trình
(6) A(x) = f,
ở đây, A : X → Y xác định bởi A(x) = (A1(x), A2(x), ..., AN (x)),
Y := Y1 × Y2 × ... × YN và f = (f1, f2, ..., fN ). Có thể coi (6) như là
trường hợp riêng của (5) khi N = 1. Tuy nhiên, (5) có lợi hơn (6) ở chỗ
(5) đề cập riêng rẽ từng tính chất của (Aj, fj), còn (6) cho ta tính chất
chung của (Aj, fj) và nghiệm của (6) phải thỏa mãn các tọa độ giống
nhau.
Năm 2007, Haltmeier,M. [46] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiến
j − fj(cid:107) ≤ δj, j = 1, 2, .., N , bao gồm phương
j , (cid:107)f δj
Landweber - Kaczmarz tìm nghiệm hiệu chỉnh lặp cho hệ (5) khi fj được xấp xỉ bởi f δj
pháp lặp xoay vòng Landweber - Kaczmarz (lLK) và phương pháp lặp
nhúng Landweber - Kaczmarz (eLK) đồng thời được ứng dụng để hiệu
chỉnh cho một số bài toán như bài toán ngược đối với thiết bị bán dẫn,
bài toán chụp cắt lớp bằng nhiệt...
Năm 2008, Hein,T. [48] đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho hệ
phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu dựa trên bài toán cực tiểu
phiếm hàm ổn định không âm và nửa liên tục dưới yếu
j (cid:107) ≤ δj, j = 1, .., N }.
9
(7) {J(x) : (cid:107)Aj(x) − f δj min x∈D
Dựa trên khoảng cách Bregman D(xδ, x0) := J(xδ)−J(x0)−(cid:104)J (cid:48)(x0), xδ −
x0(cid:105), Hein đã đưa ra các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
xδ về nghiệm x0 của hệ khi bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán
tử Aj, j = 1, 2, ..., N .
Năm 2011, Cezaro,A.D. [38] đã đưa ra phương pháp lặp cải tiến
Tikhonov với các toán tử Aj liên tục, khả vi Fréchet trên miền đóng yếu
Dj, bao gồm phương pháp lặp Tikhonov - Kaczmarz (iTK) và phương
pháp lặp xoay vòng Tikhonov - Kaczmarz (L - iTK). Phương pháp
này được xây dựng dựa trên cơ sở của phương pháp lặp Levenberg-
Marquardt-Kaczmarz [15] và phương pháp lặp cải tiến Landweber -
Kaczmarz [46].
Cách tiếp cận theo phương pháp lặp xoay vòng và phương pháp đưa
về không gian tích thực hiện rất phức tạp khi N lớn. Cụ thể, khi xét sự
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ cũng như đánh giá tốc
độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh theo các cách tiếp cận này đòi hỏi phải
thỏa mãn ba điều kiện đặt lên từng toán tử Aj, bao gồm điều kiện khả
vi Fréchet với các đạo hàm Fréchet giới nội đều trong lân cận nghiệm
của (5), điều kiện nón tiếp tuyến cục bộ và điều kiện nguồn trên nghiệm
của (5) (xem [38]). Vì vậy, việc nới lỏng các điều kiện lên các toán tử là
một trong các mục tiêu của luận án. Cụ thể, liệu có thể xây dựng được
phương pháp hiệu chỉnh khác mà sự hội tụ cũng như đánh giá tốc độ
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh chỉ cần dựa vào điều kiện của một toán tử
hay không?
Trong trường hợp Aj là các dưới vi phân của các phiếm hàm lồi trên
10
không gian Banach X, Buong,Ng. [22] đã xây dựng phương pháp hiệu
N (cid:88)
chỉnh dựa vào việc giải phương trình
j (x) + αU (x) = θ,
j=1
αµjAh (8)
µ1 = 0 < µj < µj+1 < 1, j = 2, .., N − 1,
ở đây, U (x) là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc từ X vào X ∗, tức là U (x) =
U 2(x).
Khi Aj : H → H là các toán tử đơn điệu và h-liên tục, Buong,Ng.,
Thuy,Ng.T.T. [34] đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không
tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán
(9) Aj(x) = θ, j = 1, 2, ..., N,
bằng sơ đồ lặp
k
j=1
(cid:33) (cid:32) N (cid:88) , (10) (x(k) − x∗) x(k+1) = x(k) − βk αj kAj(x(k)) + αN +1
ở đây, xấp xỉ đầu x(0) và x∗ là phần tử trong không gian H và αk, βk là
các dãy số dương.
Hệ (9) cũng được Anh,Ph.K., Chung,C.V. [7] xét đến khi Aj : H → H
có tính chất ngược đơn điệu mạnh bằng phương pháp hiệu chỉnh lặp song
song. Các kết quả đạt được của phương pháp cho nghiệm hiệu chỉnh hội
tụ về nghiệm có chuẩn nhỏ nhất.
Một câu hỏi đặt ra là, khi Aj là các toán tử U − đơn điệu liệu có thể
xây dựng được các phương pháp hiệu chỉnh giống như (8) hay không?
Trong luận án này, chúng tôi đề cập đến hai vấn đề nêu trên. Cụ thể,
N (cid:88)
đối với vấn đề thứ nhất, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh
2 (cid:107)Aj(x) − f δ j (cid:107)
j=1
11
(11) + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2 → min , X
mà tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá chỉ dựa trên điều
kiện của một toán tử A1. Trong trường hợp các toán tử Aj : X → X
là U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ
và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tôi đưa ra phương pháp
N (cid:88)
hiệu chỉnh hệ phương trình (5) dựa vào việc giải phương trình
j ) + α(x − x∗) = f δ 1
j=2
(12) A1(x) + α˜µ (Aj(x) − f δ
và đưa ra cách chọn tham số α = α(δ), ở đây, ˜µ ∈ (0, 1) là hằng số cố
định. Theo phương pháp này, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được
đánh giá mà chỉ cần dựa vào điều kiện đặt lên một toán tử A1.
Các kết quả đạt được trong luận án này là kết quả trong quá trình
học tập và nghiên cứu tại Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Ngoài phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu được trình bày thành ba
chương. Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian Hilbert
và không gian Banach, về bài toán đặt không chỉnh, từ đó giới thiệu
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử liên tục
và đóng yếu và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương
trình với toán tử U − đơn điệu. Trên cơ sở hiệu chỉnh cho phương trình,
chương này còn giới thiệu bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt
không chỉnh và các phương pháp hiệu chỉnh. Chương 2 giới thiệu các kết
quả đạt được khi xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình
với các toán tử có tính chất liên tục và đóng yếu, đồng thời các kết quả
số được thực hiện nhằm khẳng định tính đúng đắn của phương pháp.
Cuối cùng, chương 3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương
12
trình phi tuyến đối với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên
không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Các công trình đã công bố có liên quan đến luận án:
[1] Buong,Ng., Dung,N.D. (2009), Regularization for a Common Solu-
tion of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int. Journal of Math.
Analysis, 3(34), 1693 - 1699.
[2] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution
of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings, Ap-
plied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788.
[3] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solution
of a system of ill-posed equations involving linear bounded mappings with
perturbative data, Thainguyen University Journal of Science and Tech-
nology, 83(7), 73 - 79.
[4] Buong,Ng., Dung,N.D. (2012), Convergence Rates in Regularization
for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Math-
ematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310.
[5] Buong,Ng., Dung,N.D. (2013), Regularization for a common solution
of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving Lipschitz
continuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo
Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông
tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012.
[6] Buong,Ng., Dung,N.D. (2014), A regularized parameter choice in reg-
ularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations
involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Zh. Vychisl. Mat.
13
i Mat. Fiziki, 54(3), 397 - 406.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:
- Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ VIII, Ba vì, 20-
22/4/2010.
- Hội thảo Quốc gia lần thứ XIII về một số vấn đề chọn lọc của Công
nghệ Thông tin và Truyền thông, "Các công nghệ tính toán hiện đại",
Hưng Yên, 19-20/8/2010.
- Hội nghị khoa học kỷ niệm 35 năm ngày thành lập Viện Công nghệ
Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Hà Nội,
26/12/2011.
- Hội thảo Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công
nghệ Thông tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012.
- Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XI, Ba vì, 24-
27/4/2013.
- Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ VIII, Nha Trang, 10-14/08/2013.
- Các buổi Seminar khoa học của Phòng Thống kê - Tính toán và ứng
dụng, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công
14
nghệ Việt Nam.
Chương này gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản
trong không gian Hilbert và không gian Banach. Mục 1.2 giới thiệu khái
niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
cho phương trình với toán tử liên tục và đóng yếu cùng với phương
pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trình với toán tử U −
đơn điệu. Trong mục 1.3, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không
chỉnh, các bài toán dẫn về hệ phương trình đặt không chỉnh và một số
1.1. Không gian Hilbert và không gian Banach
phương pháp hiệu chỉnh cho hệ bài toán này.
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm được sử dụng
trong các chương sau (xem [3], [6], [18], [21], [44], [49], [53], [64]).
Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính X được gọi là không gian tiền
Hilbert hay còn gọi là không gian có tích vô hướng, nếu trên X xác định
một hàm thực hai biến, ký hiệu là (cid:104)x, y(cid:105) và được gọi là tích vô hướng
của x và y nếu thỏa mãn điều kiện sau:
• Với mọi x, y ∈ X, (cid:104)x, y(cid:105) = (cid:104)y, x(cid:105);
15
• Với mọi x, y, z ∈ X, (cid:104)x + y, z(cid:105) = (cid:104)x, z(cid:105) + (cid:104)y, z(cid:105);
• Với mọi x, y ∈ X và số thực β bất kỳ (cid:104)βx, y(cid:105) = β (cid:104)x, y(cid:105);
• Với mọi x ∈ X, (cid:104)x, x(cid:105) ≥ 0 và (cid:104)x, x(cid:105) = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Với hàm (cid:107)x(cid:107) = (cid:104)x, x(cid:105)1/2 thì X trở thành một không gian định chuẩn.
Không gian với tích vô hướng đầy đủ được gọi là không gian Hilbert.
Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu nó là
không gian đủ.
Cho x và y thuộc không gian tích vô hướng X, khi đó ta có các quy
tắc sau:
• Bất đẳng thức tam giác: (cid:107)x + y(cid:107) ≤ (cid:107)x(cid:107) + (cid:107)y(cid:107);
• Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: |(cid:104)x, y(cid:105)| ≤ (cid:107)x(cid:107)(cid:107)y(cid:107);
• Quy tắc hình bình hành: (cid:107)x + y(cid:107)2 + (cid:107)x − y(cid:107)2 = 2(cid:107)x(cid:107)2 + 2(cid:107)y(cid:107)2.
Định nghĩa 1.2 Trong không gian Banach X, toán tử đa trị U : X →
2X ∗ được gọi là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc nếu
U (x) = {u(x) ∈ X ∗ : (cid:104)x, u(x)(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)(cid:107)u(x)(cid:107), (cid:107)u(x)(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)}.
Định nghĩa 1.3 Toán tử A : X → X được gọi là
• U − đơn điệu trên X, nếu tồn tại u(x − y) ∈ U (x − y) sao cho
(cid:104)A(x) − A(y), u(x − y)(cid:105) ≥ 0 với ∀x, y ∈ X.
• U − đơn điệu mạnh trên X với hằng số α, nếu tồn tại một hằng số
α > 0 sao cho
16
(cid:104)A(x) − A(y), u(x − y)(cid:105) ≥ α(cid:107)x − y(cid:107)2, ∀x, y ∈ X.
• Ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ trên X, nếu tồn tại một
hằng số dương λ sao cho
(cid:104)A(x) − A(y), u(x − y)(cid:105) ≥ λ(cid:107)A(x) − A(y)(cid:107)2, ∀x, y ∈ X,
• m− U − đơn điệu trong X, nếu A là U − đơn điệu và R(A+λI) = X,
∀λ > 0.
• Liên tục Lipschitz trên X, nếu
(cid:107)A(x) − A(y)(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107), ∀x, y ∈ X,
ở đây, L là hằng số dương. Khi L = 1 thì A được gọi là toán tử không
giãn. Dễ thấy, nếu A là toán tử ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ
thì A là liên tục Lipschitz với hằng số 1/λ.
Định nghĩa 1.4 (xem [18]) Toán tử T được gọi là giả co chặt trên không
gian Banach X, nếu tồn tại λ ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
(cid:104)T x − T y, u(x − y)(cid:105) ≤ (cid:107)x − y(cid:107)2 − λ(cid:107)x − y − (T x − T y)(cid:107)2,
hay có thể viết dưới dạng
(cid:104)(I − T )x − (I − T )y, u(x − y)(cid:105) ≥ λ(cid:107)(I − T )x − (I − T )y(cid:107)2.
Do đó, I − T là ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số λ. Nếu λ = 0, thì
T được gọi là giả co. Nếu T là giả co, thì A := I − T là U − đơn điệu,
và ngược lại, nếu A là U − đơn điệu thì T = I − A là giả co.
Định nghĩa 1.5 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn và
17
S(0, 1) := {x ∈ X : (cid:107)x(cid:107) = 1} .
Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux, nếu giới hạn
lim t→0 (cid:107)x + ty(cid:107) − (cid:107)x(cid:107) t
tồn tại với mọi x, y ∈ S(0, 1). Không gian X có chuẩn khả vi Gâteaux
đều nếu giới hạn trên hội tụ đều với mọi x ∈ S(0, 1). Không gian X
được gọi là lồi chặt nếu ∀x, y ∈ S(0, 1) với x (cid:54)= y, ta có
(cid:107)(1 − λ)x + λy(cid:107) < 1, ∀λ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.6 Tập S trong không gian Banach X được gọi là một
tập lồi, nếu với mọi x, y ∈ S thì {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]} ⊆ S. Nếu
S là tập lồi đóng và S (cid:54)= ∅ thì ∀x ∈ X tồn tại duy nhất một phần tử
x∗ ∈ S sao cho
(cid:107)x − y(cid:107). (cid:107)x − x∗(cid:107) = inf y∈S
Định nghĩa 1.7 Phiếm hàm ϕ(x) với x ∈ X được gọi là lồi, nếu
ϕ(αx + (1 − α)y) ≤ αϕ(x) + (1 − α)ϕ(y), ∀α ∈ [0, 1], x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.8 (xem [3]) Cho không gian Banach (cid:96)∞ với (a1, a2, ...) ∈
(cid:96)∞ và chuẩn (cid:107)a(cid:107)∞ = supi∈N |ai| và µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên (cid:96)∞. Ký hiệu µk(ak) := µ((a1, a2, ...)), khi đó µ được gọi là giới hạn
Banach nếu µ thỏa mãn (cid:107)µ(cid:107) = µk(1) = 1 và µk(ak+1) = µk(ak) với
(a1, a2, ...) ∈ (cid:96)∞.
Với giới hạn Banach µ, ta có
ak lim inf k→∞ ak ≤ µk(ak) ≤ lim sup k→∞
với mọi (a1, a2, ...) ∈ (cid:96)∞. Nếu a = (a1, a2, ...) ∈ (cid:96)∞, b = (b1, b2, ...) ∈ (cid:96)∞
và ak → c (ak − bk → 0, khi k → ∞), ta có µk(ak) = µ(a) = c (µk(ak) =
18
µk(bk)).
Định nghĩa 1.9 Cho X là không gian Banach, toán tử A với miền xác
định D(A) ⊆ X và miền ảnh R(A) nằm trong X ∗.
• Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu (cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ 0, ∀x, y ∈
D(A). A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ đạt được khi
x = y.
• Toán tử A được gọi là d-đơn điệu, nếu tồn tại một hàm không
âm d(t), không giảm với t ≥ 0, d(0) = 0 và thỏa mãn tính chất
∀x, y ∈ D(A)
(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ (d ((cid:107)x(cid:107)) − d ((cid:107)y(cid:107))) ((cid:107)x(cid:107) − (cid:107)y(cid:107)) .
• Toán tử A được gọi là đơn điệu đều, nếu tồn tại một hàm không
âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và
(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ δ ((cid:107)x − y(cid:107)) , ∀x, y ∈ D(A).
Nếu δ(t) = cAt2, cA > 0 thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu
mạnh.
• Toán tử A được gọi là có tính chất bức, nếu
= +∞. lim (cid:107)x(cid:107)→+∞ (cid:104)A(x), x(cid:105) (cid:107)x(cid:107)
Định nghĩa 1.10 Cho X, Y là hai không gian Banach. Toán tử A :
X → Y được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại toán tử
tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho
= 0, lim (cid:107)h(cid:107)→0 (cid:107)A(x + h) − A(x) − T (h)(cid:107) (cid:107)h(cid:107)
19
T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại x và ký hiệu A(cid:48)(x).
Định nghĩa 1.11 Cho X là không gian Banach bất kỳ, ∂ϕ được gọi là
dưới vi phân của hàm ϕ và được xác định bởi
∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X ∗ : ϕ(y) − ϕ(x) ≥ (cid:104)x∗, y − x(cid:105) , ∀y ∈ X} .
Ta có mối liên hệ giữa tính lồi đều của một phiếm hàm và tính đơn
điệu đều của dưới vi phân của nó như sau:
Nếu ϕ là một phiếm hàm lồi đều xác định trên không gian Banach
phản xạ X thì ∂ϕ là một toán tử đơn điệu đều. Nếu D(ϕ) ≡ X thì ∂ϕ
còn là một toán tử h-liên tục tại mọi điểm x ∈ X , tức là:
∂ϕ(x + ty) = ∂ϕ(x), ∀x, y ∈ X. lim t→0
Đây cũng là khái niệm về tính h-liên tục cho một toán tử A bất kỳ.
Định nghĩa 1.12 Trong không gian Banach X, dãy {xn} được gọi là
f (x), một dãy cực tiểu hóa cho bài toán: Tìm x0 ∈ X sao cho f (x0) = inf x∈X
nếu limn→∞f (xn) = f (x0). Điều này tương đương với
∀ε > 0 ∃N (ε) : ∀n > N (ε), f (x0) − ε ≤ f (xn) ≤ f (x0) + ε.
Định nghĩa 1.13 Trong không gian Banach X, dãy {xn} ⊂ X được gọi
là hội tụ yếu tới x ∈ X, nếu với mọi x∗ ∈ X ∗ ta có
(cid:104)xn, x∗(cid:105) = (cid:104)x, x∗(cid:105) . lim n→∞
Dãy hội tụ yếu được ký hiệu: xn (cid:42) x khi n → ∞. {xn} ⊂ X được gọi là
hội tụ mạnh tới x ∈ X nếu nó hội tụ theo chuẩn, tức là (cid:107)xn − x(cid:107) → 0
khi n → ∞.
Định nghĩa 1.14 Phiếm hàm ϕ(x) xác định trên không gian Banach
20
X được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại điểm x0, nếu ∀ {xn} : xn (cid:42) x0 ⇒
ϕ(x0) ≤ lim inf ϕ(xn). Phiếm hàm ϕ(x) được gọi là nửa liên tục dưới
yếu, nếu nó nửa liên tục dưới yếu tại mọi điểm trong miền xác định của
nó.
Trên đây là các khái niệm, định nghĩa được sử dụng trong các mục
và các chương sau. Mục tiếp theo, chúng tôi trình bày các phương pháp
hiệu chỉnh cho phương trình với toán tử có tính chất liên tục và đóng
1.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
yếu, toán tử có tính chất U − đơn điệu.
1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt chỉnh và không chỉnh
Khái niệm Bài toán đặt chỉnh được Hadamard,J. (xem [45], [65]) đưa
ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của
các phương trình eliptic cũng như parabolic.
Xét bài toán Cauchy đối với phương trình Laplace
∂2un ∂x2 + ∂2un ∂y2 = 0, −∞ < x < ∞, 0 < y,
(x, 0) = n−1 sin nx, −∞ < x < ∞. un(x, 0) = n−2 sin nx, −∞ < x < ∞, ∂un ∂y
Bài toán này có nghiệm duy nhất là un(x, y) = n−2eny sin nx, ở bài
∂y (x, 0) → 0 khi n → ∞, trong khi đó
toán này ta dễ thấy un(x, 0), ∂un
un(x, y) → ∞ khi n → ∞ với mọi y > 0.
Việc tìm nghiệm của phương trình toán tử
21
Ax = f, f ∈ Y (1.1)
cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f , có nghĩa là x = R(f ). Ta sẽ coi
nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian
X và Y với các độ đo tương ứng là ρX(x1, x2) và ρY (f1, f2), x1, x2 ∈
X, f1, f2 ∈ Y .
Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi
đó, bài toán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không
gian (X, Y ), nếu với mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ(ε) > 0, sao
cho từ ρY (f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε, ở đây
x1 = R(f1), x2 = R(f2); x1, x2 ∈ X; f1, f2 ∈ Y.
Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt
chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ), nếu có:
1. Với mọi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;
2. Nghiệm x được xác định một cách duy nhất;
3. Bài toán tìm nghiệm ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán
được gọi là bài toán đặt không chỉnh, đôi khi còn gọi là bài toán không
chính quy, hay bài toán thiết lập không đúng đắn.
1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình
với toán tử liên tục và đóng yếu
• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình với toán tử
22
tuyến tính liên tục (xem [1])
Xét bài toán tìm nghiệm x0 của phương trình (1.1), ở đây, A là toán
tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert
Y và được xấp xỉ bởi toán tử tuyến tính liên tục Ah
(1.2) (cid:107)A − Ah(cid:107) ≤ h, h > 0, h → 0,
vế phải f được xấp xỉ bởi fδ
(1.3) (cid:107)f − fδ(cid:107) ≤ δ.
Việc xấp xỉ nghiệm cho bài toán (1.1) được thay bởi bài toán cực tiểu
phiếm hàm
(1.4) M α[x] = (cid:107)Ahx − fδ(cid:107)2 + α(cid:107)x(cid:107)2,
ở đây, α > 0 là tham số hiệu chỉnh. Dễ thấy phiếm hàm M α[x] hai lần
khả vi theo Fréchet và
hAhx − A∗
hfδ + αx),
(M α[x])(cid:48) = 2(A∗
(cid:104)(M α[x])(cid:48)(cid:48)x, x(cid:105) ≥ 2α(cid:107)x(cid:107)2.
Vì vậy, phiếm hàm M α[x] lồi mạnh, cho nên nó đạt cực tiểu trên một
α
tập đóng D bất kỳ tại một điểm duy nhất xη(h,δ) (xem [80]).
α
Phần tử cực tiểu xη(h,δ) có thể tìm bằng phương pháp đường dốc nhất,
phương pháp Gradient liên hợp giải bài toán cực tiểu phiếm hàm có ràng
α
buộc nếu D (cid:54)= X hoặc không ràng buộc nếu D = X (xem [43], [55], [67], [80]). Vì M α[x] là phiếm hàm lồi, nên điều kiện cần và đủ để xη(h,δ) làm
điểm cực tiểu của phiếm hàm lồi là (xem [14], [41])
α
α
(cid:104)(M α[xη(h,δ) ])(cid:48), x − xη(h,δ) (cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ D.
là điểm trong của D thì điều kiện này là Nếu xη(h,δ) α
α
23
(M α[xη(h,δ) ])(cid:48) = 0,
hay có dạng
hAhxη(h,δ) α
hfδ.
A∗ = A∗ (1.5) + αxη(h,δ) α
Như vậy, thay cho việc cực tiểu phiếm hàm M α[x], ta chỉ cần giải
phương trình Euler (1.5).
Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh là dựa trên bài toán cực tiểu
α → x0. Định lý sau chỉ ra mối
(1.4) tìm mối quan hệ α = α(η) để xη(h,δ)
quan hệ tham số hiệu chỉnh và η(h, δ) để đảm bảo nghiệm hiệu chỉnh xη(h,δ) α hội tụ về nghiệm x0.
α → x0 khi h, δ → 0 nếu (h+δ)2
α(η) → 0.
Định lý 1.1 Cho A là một song ánh với nghiệm x0 của (1.1) nằm trong D, khi đó xη(h,δ)
Trong trường hợp A không phải là song ánh thì định lý vẫn còn đúng
nếu coi x0 là nghiệm chuẩn tắc (nghiệm có chuẩn nhỏ nhất).
• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình phi tuyến
Xét bài toán tìm nghiệm x0 của (1.1), trong đó, A là toán tử phi
tuyến từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y với các tính
chất:
(i) A liên tục;
(ii) A đóng yếu, tức là với mọi dãy bất kỳ
{xn} ∈ X : xn (cid:42) x , A(xn) (cid:42) y, x ∈ X, y ∈ Y ⇒ A(x) = y.
Khái niệm nghiệm cho bài toán (1.1) được hiểu theo nghĩa bình
phương tối thiểu và có x∗-chuẩn nhỏ nhất, ở đây, x∗ là phần tử bất
kỳ của X. Tức là x0 được gọi là nghiệm của (1.1) nếu,
24
(cid:107)A(x) − f (cid:107), (cid:107)A(x0) − f (cid:107) = min x∈D(A)
(cid:107)x − x∗(cid:107), (cid:107)x0 − x∗(cid:107) = min x∈S0
với
S0 = {x : A(x) − f = A(x0) − f }
Giả thiết bài toán (1.1) có nghiệm, phần tử x∗ cho phép ta chọn được
nghiệm theo ý muốn khi bài toán (1.1) có nhiều nghiệm. Nói chung bài
toán (1.1) là không chỉnh. Trong trường hợp đa nghiệm ta có thể xét
toán tử đa trị và toán tử hiệu chỉnh cũng có thể đa trị. Trong mục này
ta chỉ xét x0 là duy nhất.
Trong trường hợp bài toán (1.1) có nhiễu vế phải, thay vì biết được
f ta có vế phải fδ thỏa mãn (1.3), việc tìm nghiệm của bài toán (1.1)
dẫn về tìm nghiệm của bài toán cực tiểu phiếm hàm làm trơn:
Y + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2
X → min x∈D(A)
, (1.6) (cid:107)A(x) − fδ(cid:107)2
ở đây, α > 0 là tham số hiệu chỉnh.
Các định lý sau là các kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài
toán (1.6), sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào vế phải và sự hội tụ
của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm x0 của (1.1) (xem [1]).
Định lý 1.2 Cho α > 0 và {xk} là một dãy nghiệm của (1.6), với fδ
thay bằng fk sao cho fk → fδ, khi đó tồn tại một dãy con hội tụ của
{xk} và giới hạn của dãy con này chính là nghiệm của (1.6).
Trong trường hợp quá trình xấp xỉ cho bài toán (1.1) có sai số, khi
α ∈ D(A) thỏa mãn
đó ta cần tìm phần tử xδ,η
α ) − fδ(cid:107)2 + α(cid:107)xδ,η
α − x∗(cid:107)2 ≤ (cid:107)A(x) − fδ(cid:107)2 + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2 + η (1.7)
(cid:107)A(xδ,η
với mọi x ∈ D(A) và η ≥ 0 là tham số bé. Các định lý sau chỉ ra sự hội
25
tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm x0 của (1.1).
η
δ2
α(δ, η) → 0 và
Định lý 1.3 Cho tập nghiệm S0 (cid:54)= ∅ và fδ thỏa mãn (1.3), tham số
α(δ, η) → 0 khi (cid:9) (ở đây δk → 0, ηk → 0, αk =
αk
αk
α = α(δ, η) được chọn sao cho α(δ, η) → 0, δ → 0, η → 0. Khi đó, mỗi dãy (cid:8)xδk, ηk
αk
α(δk, ηk) và xδk, ηk giới hạn của mọi dãy con hội tụ của dãy (cid:8)xδk, ηk là nghiệm của (1.7)) đều chứa dãy con hội tụ. Điểm (cid:9) chính là một nghiệm
có x∗- chuẩn nhỏ nhất.
Định lý 1.4 Cho D(A) là một tập lồi, fδ thỏa mãn (1.3) và x0 là nghiệm
có x∗-chuẩn nhỏ nhất. Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn:
1. A khả vi Fréchet;
2. Tồn tại một hằng số dương L sao cho (cid:107)A(cid:48)(x0) − A(cid:48)(x)(cid:107) ≤ L(cid:107)x0 − x(cid:107)
với mọi x ∈ D(A);
3. Tồn tại một phần tử ω ∈ Y sao cho x0 − x∗ = A(cid:48)(x0)∗ω;
4. L(cid:107)ω(cid:107) < 1.
Khi đó, việc chọn α ∼ δ và η = O(δ2) ta được
α − x0(cid:107) = O(
√ δ). (cid:107)xδ, η
Trên đây là kết quả hiệu chỉnh cho phương trình khi toán tử có tính
chất liên tục và đóng yếu. Trong trường hợp các tính chất liên tục và
đóng yếu không được thỏa mãn, sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về
nghiệm của (1.1) cũng được xét đến trong các tài liệu [23], [24], [25],
[26], [33] và [35]. Phần kế tiếp chúng tôi trình bày phương pháp hiệu
26
chỉnh cho phương trình phi tuyến với toán tử U − đơn điệu.
1.2.3. Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương
trình toán tử U − đơn điệu
Trong mục này, các kết quả hiệu chỉnh cho phương trình (1.1) được
trình bày trong trường hợp toán tử A : X → X là U − đơn điệu trên
không gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều
(xem [33]). Giả thiết f được xấp xỉ bởi fδ và thỏa mãn (1.3). Để tìm
nghiệm của bài toán (1.1), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ
sở tìm nghiệm của bài toán
(1.8) A(x) + α(x − x∗) = fδ, x∗ ∈ X.
α của (1.8) và sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
Tính duy nhất nghiệm xδ
xδ α về nghiệm x0 của (1.1) cũng đã được xét đến khi bổ sung tính chất
liên tục yếu theo dãy và liên tục mạnh lên toán tử đối ngẫu chuẩn tắc
U (xem [5]). Trong trường hợp toán tử đối ngẫu chuẩn tắc U không có
tính chất liên tục yếu theo dãy, các kết quả trong [23], [24], [25], [26]
α hội tụ về nghiệm x0 của
và [35] cũng chỉ ra được nghiệm hiệu chỉnh xδ
(1.1) khi bổ sung thêm 2 điều kiện sau:
(1.9) (cid:107)A(y) − A(x0) − QA(cid:48)(x0)∗U (y − x0)(cid:107) ≤ ˜τ (cid:107)A(y) − A(x0)(cid:107),
ở đây, y ∈ X, ˜τ > 0, Q là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc của X ∗, và tồn tại
phần tử ω ∈ X sao cho
(1.10) x∗ − x0 = A(cid:48)(x0)ω.
Khi toán tử U không có tính chất liên tục yếu theo dãy và điều kiện
(1.9), (1.10) không thỏa mãn, các kết quả trong [33] cũng chỉ ra được sự
α về nghiệm x0 của (1.1), kết quả
hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh xδ
27
này được thể hiện qua định lý sau:
Định lý 1.5 Cho X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn
khả vi Gâteaux đều, A là toán tử đơn trị và m − U − đơn điệu trong X,
f và fδ thỏa mãn (1.3), thì
(i) với mỗi α > 0, (1.8) có duy nhất nghiệm xδ α;
(ii) nếu tập nghiệm của (1.1) S0 (cid:54)= ∅ và tham số α được chọn sao cho
α → x0 và thỏa mãn bất đẳng thức biến
α, δ/α → 0 khi δ → 0 thì xδ
phân
(cid:104)x0 − x∗, u(x0 − z)(cid:105) ≤ 0, ∀z ∈ S0;
(iii) với mỗi hằng số dương αi, δi, i = 1, 2, ta có
+ , (cid:107) ≤ M1 (cid:107)xδ1 α1 − xδ2 α2 |α1 − α2| α1 |δ1 + δ2| α1
ở đây, M1 > 0.
Mục tiếp theo, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh
1.3. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và
phương pháp hiệu chỉnh
và các phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình này.
1.3.1. Bài toán dẫn đến hệ phương trình toán tử đặt không
chỉnh
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số bài toán dẫn về việc tìm
nghiệm của hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh
(1.11) Aj(x) = fj, ∀j = 1, 2, ..., N.
28
• Bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ giả co
Bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ ánh xạ giả co là bài
toán được ứng dụng nhiều trong lĩnh vực giải tích. Do đó, bài toán này đã
thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Năm 1949, bài toán
được xét đến khi Neumann,J.V. [63] đề xuất phương pháp tìm phần tử
chung trên hai tập con đóng lồi C1 và C2 của H. Phương pháp Neumann
đề xuất được thực hiện như sau: Lấy một điểm bất kỳ x ∈ H, xây dựng
k=1 và {yk}∞
k=1 theo nguyên tắc
hai dãy {xk}∞
y0 = x, xk = PC1(yk−1), yk = PC2(xk), k = 1, 2, ...,
ở đây, PCi là phép chiếu mêtric từ H lên tập con đóng và lồi Ci của H.
Neumann chứng minh được cả hai dãy này hội tụ mạnh đến PC(x) khi
k → ∞, C = C1 ∩ C2, vì phép chiếu từ không gian H lên tập con lồi,
đóng C là một ánh xạ không giãn [56], tức là (cid:107)PC(x) − PC(y)(cid:107) ≤ (cid:107)x − y(cid:107)
với ∀x, y ∈ H và PC(x) = x khi và chỉ khi x ∈ C, phần tử x ∈ C được
gọi là điểm bất động của ánh xạ không giãn PC xác định trên không
gian H. Vậy, bài toán trên là một minh họa cho bài toán tìm điểm bất
động chung cho một họ các ánh xạ không giãn {Tj}j≥1, tức là ta đi
tìm nghiệm của hệ phương trình x = Tj(x) hay có thể viết Aj(x) = θ,
Aj := I − Tj, j ≥ 1, vì Tj là ánh xạ không giãn, nên Aj := I − Tj là toán
tử đơn điệu. Như vậy bài toán Neumann cần giải có thể quy về việc tìm
nghiệm của hệ phương trình với các toán tử đơn điệu trong không gian
Hilbert H.
Gần đây, người ta xét bài toán tổng quát hơn (xem [16], [37] và [71])
khi tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn các ánh xạ giả co
29
Tj, j = 1, 2, ..., N trong không gian Banach X. Nhắc lại, ánh xạ T trong
không gian Banach X được gọi là giả co, nếu T thỏa mãn
(cid:104)T x − T y, u(x − y)(cid:105) ≤ (cid:107)x − y(cid:107)2, ∀x, y ∈ X.
Dễ dàng nhận thấy, một ánh xạ T không giãn là một ánh xạ giả co và
nếu T là ánh xạ giả co thì A := I − T là một ánh xạ U − đơn điệu. Thật
vậy,
(cid:104)(I − T )x − (I − T )y, u(x − y)(cid:105) = (cid:104)x − y, u(x − y)(cid:105) − (cid:104)T x − T y, u(x − y)(cid:105)
≥ (cid:107)x − y(cid:107)2 − (cid:107)x − y(cid:107)2 = 0.
Vì vậy, việc tìm điểm bất động cho một họ các ánh xạ giả co Tj tương
đương với việc tìm nghiệm cho một hệ các phương trình với toán tử U −
đơn điệu Aj = I − Tj, j = 1, 2, ..., N .
• Bài toán thực tế
Xét bài toán chụp cắt lớp X-quang [2] từ việc nghiên cứu các cơ chế
hấp thụ tia X của vật chất, ta có thể xây dựng biểu thức định lượng biểu
diễn mối quan hệ giữa cường độ tia X là I(x) và độ suy giảm tuyến tính
µ(x) như sau:
Hình 1.1. Sơ đồ biểu diễn mối tương quan của I(x) theo µ(x)
Trong quá trình tương tác với vật chất, cường độ chùm tia Rơnghen
trên một đơn vị diện tích bề mặt vuông góc với phương truyền sẽ giảm
30
đi. Trong những điều kiện nhất định có thể coi sự suy giảm này tỷ lệ với
quãng đường đi. Để dẫn ra công thức về sự thay đổi cường độ I, ta xét
một chùm tia chiếu đến với cường độ không đổi I0 trên mặt phân giới
AA(cid:48) với giả thiết ban đầu như trên hình vẽ ta có
dI(x) = −µ(x)I(x)dx (1.12)
Hệ số tỷ lệ µ trong (1.12) được gọi là hệ số hấp thụ tuyến tính, trong
đó, dấu trừ lấy từ điều kiện µ dương. Hệ số này là hàm phụ thuộc vào
ba tọa độ không gian và là đại lượng đặc trưng cơ bản cho cấu trúc vật
chất, được xác định nhờ các phương pháp chụp cắt lớp máy tính và được
x (cid:82)
−
µ(y)dy
0
làm cơ sở trong việc tái tạo hình ảnh chụp cắt lớp. Từ (1.12) ta có
. (1.13) I(x) = I0e
Biểu thức (1.13) là định luật hấp thụ tổng quát Ber. Từ đây cho thấy,
khi x (độ dày lớp vật chất) hoặc µ càng lớn thì cường độ chùm tia ló
càng nhỏ, tức là tia Rơnghen bị hấp thụ càng nhiều.
Sơ đồ ghi chụp thông tin về đối tượng do Haunsfield và Mac-Cormac
đề xuất và thực hiện như sau:
Hình 1.2. Sơ đồ thu chụp thông tin
Nguồn tia Rơnghen tập trung dưới dạng chùm hẹp dọc theo đoạn định
hướng AA(cid:48), phần thu dọc theo BB(cid:48). Phần phát và phần thu chuyển dịch
31
một cách đồng bộ, việc lấy thông tin là cường độ tia ở đầu ra phần
phát và đầu vào phần thu được tiến hành với các bước thiết lập trước.
Logarit của tỷ số cường độ tia ở đầu vào phần thu đối với cường độ ban
đầu được gọi là hình chiếu. Các đoạn định hướng AA(cid:48) và BB(cid:48) được cố
định trên cùng một khung, khung này có thể xoay quanh trục cố định.
Đối với mỗi vị trí cố định của khung, người ta đo một bộ các hình chiếu
tương ứng với tổ hợp các tia song song, bộ các hình chiếu này đôi khi
còn gọi là bộ hình quét.
Để khôi phục lại cấu trúc bên trong của đối tượng được chiếu tia X
cần phải có tập hợp các bộ hình quét cho tất cả các vị trí có thể có của
khung. Trên thực tế, việc lấy thông tin được tiến hành tương ứng với
một tập hợp rời rạc các góc quay có bước nhất định (cid:52)θ.
Giả sử kích thước chiều ngang của tia Rơnghen vô cùng nhỏ và có
thể bỏ qua ảnh hưởng của tán xạ. Lúc này có thể đặc trưng tia bằng
cường độ I(x) tại điểm x đã cho trong tia. Sự thay đổi cường độ dọc
theo tia sẽ được xác định bằng hệ số hấp thụ tuyến tính µ(x) theo công
thức Ber. Gọi phân bố µ(x) theo thiết diện quét cho trước là cấu trúc
của đối tượng. Chọn trong mặt phẳng quét một hệ tọa độ đề các Oxy
với trục quay của hệ thống đi qua gốc O. Gắn với khung quay một hệ
tọa độ đề các di động Oζξ có trục Oζ hướng từ phần phát đến đầu thu
dọc theo tia trung tâm (đi qua trục quay). Vị trí của hệ tọa độ di động
so với hệ tọa độ cố định được xác định bởi góc θ sao cho:
ζ = xcosθ + y sin θ ξ = −x sin θ + ycosθ
32
x = ζcosθ − ξ sin θ y = ζ sin θ + ξcosθ.
R (cid:82)
µ(x,y)dζ
−
−R
Tương ứng với (1.13) ta có
, (1.14) I(ξ, θ) = I0e
ở đây, µ(x, y) là hệ số hấp thụ tuyến tính µ được lấy trên tia với vị
trí hiện thời được xác định bằng góc θ và khoảng cách ξ tính từ tia hiện
thời tới tia trung tâm, I0 là giá trị cường độ tia Rơnghen tại đầu ra phần
phát. 2R là quãng đường tia đi qua.
Hình 1.3. Vị trí tương quan của các hệ tọa độ
Giả thiết bên ngoài đối tượng nghiên cứu thì µ = 0 (chẳng hạn trong
không khí), do đó tích phân trong (1.14) chỉ lấy trong phần đối tượng
nghiên cứu, nếu coi miền lấy tích phân là miền vô hạn thì ta có khái
+∞ (cid:90)
niệm hình chiếu như sau:
−∞
= − p(ξ, θ) = − ln µ(x, y)dζ. (1.15) I(ξ, θ) I0
Vậy bài toán cơ bản của chụp cắt lớp Rơnghen máy tính là xác định
đại lượng µ(x, y) qua tập hợp các hình chiếu p(ξ, θ). Trong đó, hệ số
hấp thụ tuyến tính µ(x, y) đặc trưng cho cấu trúc bên trong đối tượng
nghiên cứu, còn tập hợp các hình chiếu là đại lượng được xác định thông
qua kết quả đo đạc bên ngoài đối tượng, nên bài toán chụp cắt lớp máy
33
tính còn gọi là bài toán khôi phục cấu trúc hay tái tạo hình.
Vì chụp cắt lớp sử dụng máy tính để điều khiển việc ghi nhận thông
tin từ các phần tử cảm biến, sau đó lưu trữ và chuẩn bị thông tin cho
việc chuẩn đoán, nên một trong số các vấn đề cơ bản là rời rạc hóa, tức
là chuyển các phân bố liên tục theo tọa độ và thời gian sang các hàm
rời rạc với các đối số rời rạc.
Hiện nay có nhiều phương pháp rời rạc hóa khôi phục cấu trúc đối
tượng, trong đó, phương pháp lặp là một phương pháp mang tính đặc
thù của bài toán chụp cắt lớp. Giả thiết miền đối tượng nghiên cứu được
xác định bởi miền D, rời rạc tích phân trong (1.15) ta có hệ phương
trình
i
(cid:88) p(ξ, θ) ≈ (1.16) A(i)(ξ, θ)µi.
Lúc này trong vế phải của (1.16) chỉ xuất hiện giá trị của hàm µ(x, y)
tại các phần tử mà tia đang xét đi qua. Tiến hành đo cho NS vị trí của
tia, ký hiệu hình chiếu p(ξi, θk) = pi,k và A(i) = Ai,j = θj tương ứng với
Ns(cid:88)
µ = µi ta nhận được hệ phương trình
j=1
(1.17) Ajkµj = pi,k.
Để giải (1.17) ta có thể sử dụng các phương pháp của đại số tuyến
tính, tuy nhiên để đạt độ phân giải chấp nhận được của thiết bị ta cần
sử dụng NS lớn, trong trường hợp đó ta cần sử dụng phương pháp lặp
để tìm nghiệm của hệ, trường hợp hệ (1.17) có nghiệm không duy nhất
ta cần sử dụng phương pháp hiệu chỉnh và hiệu chỉnh lặp để tìm nghiệm
34
của bài toán.
1.3.2. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán
tử liên tục và đóng yếu
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu hai cách tiếp cận hiệu chỉnh hệ
phương trình cho trường hợp các toán tử liên tục và đóng yếu, bao gồm
phương pháp lặp xoay vòng (phương pháp lặp xoay vòng dạng Newton
và phương pháp hiệu chỉnh dựa vào quá trình lặp điểm bất động) và
phương pháp đưa về không gian tích.
• Phương pháp lặp xoay vòng dạng Newton
Một trong các phương pháp được kế thừa để xây dựng phương pháp
lặp xoay vòng giải hệ phương trình phi tuyến là phương pháp hiệu chỉnh
lặp Newton tìm nghiệm của phương trình toán tử A(x) = f , xuất phát
từ ý tưởng cơ bản của phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến
là tuyến tính hóa cục bộ một bước (xem [64]), nghiệm của phương pháp
thu được từ phương trình
A(cid:48)(x(k))(x(k+1) − x(k)) = −(A(x(k)) − f ). (1.18)
Trong trường hợp A là toán tử không chỉnh, thì cách tiếp cận thông
thường để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh đối với bài toán đặt không
chỉnh phi tuyến là hiệu chỉnh (1.18). Nếu áp dụng phương pháp hiệu
∗ (A(cid:48)(x(k))
chỉnh Tikhonov thì ta có phương trình hiệu chỉnh lặp như sau
A(cid:48)(x(k)) + αkI)(x(k+1) − x(k))
= −A(cid:48)(x(k))∗(A(cid:48)(x(k)) − f ), (1.19)
(1.19) được gọi là phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton hay còn được gọi
35
là phương pháp hiệu chỉnh Levenberg-Marquardt (xem [47]). Trong đó,
I là toán tử đơn vị, αk được chọn sao cho khi k → ∞ thì αk → 0.
Cũng như phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton, trong trường hợp A(cid:48)(x)
là toán tử không chỉnh thì ta không thể sử dụng phương pháp Newton
để tìm nghiệm của hệ, vì vậy, phương pháp Newton cải tiến (xem [47])
sẽ thay thế toán tử nghịch đảo không giới nội của A(cid:48)(x) trong mỗi bước
lặp Newton bằng một xấp xỉ giới nội Gα(A(cid:48)(x)) ≈ A(cid:48)(x)†, ở đây, ta ký
hiệu K † là toán tử giả ngược của toán tử K, α là tham số hiệu chỉnh,
Gα thỏa mãn
(1.20) Gα(K)f → K †f khi α → 0 ∀f ∈ R(K)
và
(1.21) (cid:107)Gα(K)(cid:107) ≤ Φ(α),
trong đó, K là toán tử tuyến tính xác định trên tập giới nội đều, khi
toán tử ngược của K không giới nội thì Φ(α) → ∞ khi α → 0, ở đây ta
giả thiết Φ(α) là hàm đơn điệu giảm chặt.
Chọn dãy tham số hiệu chỉnh {αk} và thay thế A(cid:48)(x(k))−1 trong dãy lặp
Newton bằng Gα(A(cid:48)(x(k))) ta có dãy lặp
(1.22) x(k+1) = x(k) − Gαk(A(cid:48)(x(k)))(A(x(k)) − fδ),
trong đó, Gα được xác định bởi hiệu chỉnh Tikhonov
(1.23) Gα(K) = (K ∗K + αI)−1K ∗.
Ngoài ra, cũng như phương pháp Newton thông thường, lần đầu tiên
Bakushinskii đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh lặp Gauss-Newton (xem
[11]) với toán tử Gα được xác định như (1.23) và sau đó được mở rộng
36
trong trường hợp các toán tử tổng quát Gαk (xem [50], [54]) (cid:17) (cid:16) (cid:16) . A(cid:48)(x(k)) (cid:17) A(x(k)) − fδ − A(cid:48)(x(k))(x(k) − x(0)) x(k) = x(0) − Gαk
Khi xét cho một hệ phương trình toán tử (1.11), ở đây, Aj là các toán
tử phi tuyến từ không gian Hilbert X vào Yj. Giả thiết hệ tồn tại nghiệm
j với mức độ nhiễu δ, (cid:107)f δ f δ
j − fj(cid:107) ≤ δ. Khi đó ta có hệ
x0 không nhất thiết duy nhất. Thông thường vế phải fj được xấp xỉ bởi
j , j = 1, ..., N.
(1.24) Aj(x) = f δ
Để sử dụng phương pháp Newton đối với (1.24) và kết hợp với cách tiếp
cận lặp của Kaczmarz (xem [58]) ta có phương pháp lặp xoay vòng (xem
, j = 1, 2, ..., N ; [36]), phương pháp này được thực hiện tính toán theo các bước sau: (i) Chọn xấp xỉ đầu x(0) j
(ii) Tại mỗi bước lặp Newton thực hiện cho mỗi phương trình theo công
thức sau:
[k](x(k))
α
[k] − A(cid:48)
[k] −G[k]
(cid:16) (cid:17) (cid:16) x(k+1) = x(0) A(cid:48) A[k](x(k)) − f δ (cid:17) [k](x(k))(x(k) − x(0) [k] )
ở đây, [k] = k mod N + 1.
Để chứng minh sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh, ta cần bổ sung
thêm các điều kiện đối với toán tử và các điều kiện nguồn trên nghiệm
x0 của bài toán (xem [36]). Theo phương pháp này, Aj, j = 1, 2, ..., N là
các toán tử khả vi Fréchet với các đạo hàm Fréchet giới nội đều trong
lân cận nghiệm của hệ phương trình
j(x)(cid:107) ≤ C j
S, ∀x ∈ S(x0, ρ)
(cid:107)A(cid:48)
và
j(¯x) = A(cid:48)
j(x)Rj(¯x, x), (cid:107)Rj(¯x, x) − Rj(x, x)(cid:107) ≤ CR(cid:107)¯x − x(cid:107),
A(cid:48)
37
∀x, ¯x ∈ S(x0, ρ), CR > 0.
Điều kiện nguồn được bổ sung trên nghiệm x0 của bài toán
j(x0)∗A(cid:48)
j(x0))ωj, j = 1, ..., N,
j = ϕ(A(cid:48)
x0 − x(0)
ở đây, ωj ∈ Yj, ϕ là một hàm thực và ở đây được chọn là
ϕ(λ) := λµ, µ ∈ [0; 1].
Ngoài ra, năm 2007, Haltmeier,M. (xem [46]) đã đưa ra phương pháp
lặp cải tiến Landweber - Kaczmarz, bao gồm phương pháp lặp xoay vòng
Landweber - Kaczmarz (lLK) và phương pháp lặp nhúng Landweber -
Kaczmarz (eLK) đồng thời được ứng dụng để hiệu chỉnh cho một số bài
toán như bài toán ngược đối với thiết bị bán dẫn, bài toán chụp cắt lớp
bằng nhiệt...
• Phương pháp hiệu chỉnh dựa vào quá trình lặp điểm bất động (xem
[38])
j=1Dj thỏa mãn (1.11), ở đây,
Xét bài toán tìm phần tử x0 ∈ D = ∩N
Aj, j = 1, 2, ..., N là các toán tử phi tuyến từ tập lồi đóng Dj thuộc không
gian Hilbert X vào không gian Hilbert Yj và thỏa mãn hai tính chất liên
tục và đóng yếu. fj ∈ Yj, giả thiết Sj = {¯x ∈ D : Aj(¯x) = fj} , j =
j=1Sj, S (cid:54)= ∅. Dễ thấy, vì Aj là toán tử liên tục và đóng
1, 2, ..., N, S = ∩N
yếu, nên Sj là tập đóng, vậy S cũng là một tập đóng trong X.
Trong trường hợp vế phải của hệ phương trình có nhiễu với mức độ
j và
nhiễu δj, khi đó vế phải fj được thay bởi f δj
j (cid:107)Yj ≤ δj.
(1.25) (cid:107)fj − f δj
Vì Aj, j = 1, 2, ..., N là các toán tử không chỉnh, theo nghĩa tập nghiệm
38
Sj không phụ thuộc liên tục vào vế phải fj. Vì vậy, để tìm nghiệm của bài
j , năm 2011, Cezaro đã đưa ra phương
toán (1.11) với nhiễu vế phải f δj
pháp hiệu chỉnh lặp Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh lặp xoay vòng
Tikhonov-Kaczmarz. Các kết quả về sự hội tụ của phương pháp hiệu
chỉnh được thiết lập khi các toán tử thỏa mãn:
(i) Aj liên tục, đóng yếu và khả vi Fréchet trên miền xác định Dj; tồn
j(x)(cid:107) ≤ M , x ∈ S(x∗, ρ) ⊂ D;
tại x∗ ∈ X, M > 0, ρ > 0 sao cho (cid:107)A(cid:48)
(ii) Điều kiện nón tiếp tuyến cục bộ
j(¯x)(x − ¯x)(cid:107) ≤ η(cid:107)Aj(x) − Aj(¯x)(cid:107),
(cid:107)Aj(x) − Aj(¯x) − A(cid:48)
x, ¯x ∈ S(x∗, ρ), η < 1;
(iii) Điều kiện nguồn lên nghiệm của bài toán: Tồn tại nghiệm x0 ∈
j(x0)) ⊆ N (Aj(x)), ∀x ∈ S(x∗, ρ), j = 1, 2, ..., N,
S(x∗, ρ/4) và N (A(cid:48)
ở đây, N (A) là không gian không của toán tử A.
Đối với phương pháp lặp Tikhonov, Cezaro xây dựng dãy lặp hiệu
chỉnh
[k](x(k+1)
δ − α−1A(cid:48)
δ
δ
[k] ),
= x(k) ) − f δ[k] (1.26) )∗(A[k](x(k+1) x(k+1) δ
δ = x∗. Quá trình lặp kết thúc khi (cid:107)A[k](x(k+1)
δ
ở đây, α là tham số hiệu chỉnh, [k] = k mod N + 1 ∈ {1, 2, ..., N } và xấp xỉ đầu x(0) ) − f δ[k]
[k] (cid:107) ≤ τ δ[k], ∗, chỉ số này được xác định
vậy, quá trình lặp kết thúc tại lần lặp thứ kδ
như sau:
∗ = min{lN ∈ N : ∃j thỏa mãn (cid:107)Aj(x(lN +j+1) kδ
j (cid:107) ≤ τ δj},
δ
) − f δj
ở đây,
39
≥ 1, α > ( (1.27) τ > )2, δmax = maxj{δj}. 1 + η 1 − η 16 3 δmax ρ
Ngoài ra, Cezaro xây dựng phương pháp lặp xoay vòng Tikhonov-
Kaczmarz như sau:
[k](x(k+1)
δ − α−1ωkA(cid:48)
δ
δ
[k] ),
= x(k) ) − f δ[k] (1.28) )∗(A[k](x(k+1) x(k+1) δ
δ
δ
[k] (cid:107) ≥ τ δ[k] [k] (cid:107) < τ δ[k]
, ωk = ) − f δ[k] ) − f δ[k] 1 nếu (cid:107)A[k](x(k+1) 0 nếu (cid:107)A[k](x(k+1)
j (cid:107) < τ δj, j = 1, 2, ..., N . Như vậy, đối với phương pháp
) − f δj các tham số α, τ được xác định như trong (1.27). Quá trình dừng lặp khi (cid:107)Aj(x(k+1) δ
lặp xoay vòng Tikhonov-Kaczmarz, chỉ số lần lặp kết thúc tại
∗ = min{lN ∈ N : x(lN +1) kδ
δ
δ
= ... = x(lN +N ) }. = x(lN +2) δ
• Phương pháp đưa về không gian tích
Theo cách tiếp cận này, hệ phương trình (1.11) có thể đưa về một
phương trình
A(x) = f. (1.29)
ở đây, A : X → Y xác định bởi A(x) = (A1(x), A2(x), ..., AN (x)),
Y := Y1 × Y2 × ... × YN và f = (f1, f2, ..., fN ). Có thể coi (1.29) như
là trường hợp riêng của (1.11) khi N = 1. Tuy nhiên, (1.11) có lợi hơn
(1.29) ở chỗ (1.11) đề cập riêng rẽ từng tính chất của (Aj, fj), còn (1.29)
cho ta tính chất chung của (Aj, fj) và nghiệm của (1.29) phải thỏa mãn
các tọa độ giống nhau.
Ta dễ thấy, cả hai cách tiếp cận trên thực hiện rất phức tạp khi số
phương trình tăng lên đáng kể. Các điều kiện đặt lên mỗi toán tử trong
40
hệ tương tự như nhau như trong trường hợp hệ có một phương trình.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản về giải
tích hàm trong không gian Hilbert, không gian Bannach và giới thiệu
một số nét cơ bản về bài toán đặt không chỉnh, các phương pháp hiệu
chỉnh cho bài toán tuyến tính, bài toán phi tuyến, bài toán đặt không
chỉnh với toán tử U − đơn điệu. Ngoài ra, chúng tôi cũng giới thiệu một
số vấn đề cơ bản về hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh và các
phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình đặt không chỉnh. Các vấn
đề này sẽ được nhắc lại trong các chương sau. Cụ thể, trong chương 2,
chúng tôi mở rộng phương pháp (1.4) cho hệ phương trình với các toán
tử có tính chất liên tục và đóng yếu nhằm khắc phục các hạn chế của
các phương pháp lặp xoay vòng và phương pháp đưa về không gian tích.
Chương 3, chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương
trình phi tuyến đối với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên
không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Các kết quả số sẽ được thực hiện để minh họa cho lý thuyết được đưa
41
ra ở mỗi chương.
Chương này gồm 3 mục. Mục 2.1 giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh
cho hệ phương trình toán tử phi tuyến với nhiễu vế phải khi các toán tử
có tính chất liên tục và đóng yếu. Mục 2.2 là phương pháp hiệu chỉnh
trong trường hợp tổng quát khi cả toán tử và vế phải của hệ có nhiễu.
Tiếp theo, mục 2.3 đưa ra phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp các
toán tử là tuyến tính liên tục. Cuối cùng, trong mục 2.4 chúng tôi trình
bày các ví dụ tính toán minh họa cho lý thuyết được trình bày ở các
mục trước. Kết quả của chương này được lấy từ các bài báo [27], [28],
2.1. Phương pháp hiệu chỉnh với nhiễu vế phải
[29] và [30].
Xét bài toán tìm phần tử x0 ∈ D thỏa mãn (1.11), ở đây, Aj, j =
1, 2, ..., N là các toán tử phi tuyến từ tập lồi đóng D thuộc không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Yj và thỏa mãn hai tính chất liên
tục và đóng yếu. fj ∈ Yj, giả thiết Sj = {¯x ∈ D : Aj(¯x) = fj} , j =
j=1Sj, S (cid:54)= ∅. Dễ thấy, vì Aj là toán tử liên tục và đóng
1, 2, ..., N, S = ∩N
yếu, nên Sj là tập đóng, vậy S cũng là một tập đóng trong X.
42
Trong trường hợp vế phải của hệ phương trình có nhiễu, khi đó vế
j và
phải fj được thay bởi f δj
j (cid:107)Yj ≤ δj.
(2.1) (cid:107)fj − f δj
j , ta dẫn về tìm nghiệm của bài
Vì Aj, j = 1, 2, ..., N là các toán tử không chỉnh. Vì vậy, để tìm nghiệm của bài toán (1.11) với nhiễu vế phải f δj
N (cid:88)
toán tối ưu
j (cid:107)2 Yj
j=1
(2.2) (cid:107)Aj(x) − f δj + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2 , X → min D
ở đây α là tham số hiệu chỉnh, x∗ ∈ X\Sj. Với các giả thiết trên Aj thì
bài toán (2.2) luôn có nghiệm và nghiệm không duy nhất. Nhìn chung,
việc tìm nghiệm của (2.2) cần giải quyết hai vấn đề:
(i) Sự ổn định của nghiệm (nghiệm phụ thuộc liên tục vào vế phải của
hệ);
(ii) Nghiệm của (2.2) phải hội tụ về nghiệm của (1.11) khi α, δj → 0.
j → f δj
j với δj ≥ 0 và xk là cực tiểu của
Để giải quyết các vấn đề này, ta lần lượt xét các định lý sau:
j
thì tồn tại một dãy con hội tụ của {xk} Định lý 2.1 Cho α > 0, f δjk j được thay bởi f δjk (2.2) với f δj
và giới hạn ˜x của các dãy con hội tụ là điểm cực tiểu của (2.2).
Chứng minh. Với ∀x ∈ D ta có
X ≤
j (cid:107)2 Yj
(cid:107)Aj(xk) − f δjk + α(cid:107)xk − x∗(cid:107)2
(2.3)
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1 N (cid:80) j=1
(cid:107)Aj(x) − f δjk + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X.
Vì vậy (cid:107)xk(cid:107)X và (cid:107)Aj(xk)(cid:107)Yj giới nội, suy ra tồn tại một dãy con {xm}
43
của {xk} sao cho xm (cid:42) ˜x, Aj(xm) (cid:42) Aj(˜x), j = 1, 2, ..., N . Mặt khác, vì
Aj là toán tử nửa liên tục dưới yếu và đóng yếu nên
(cid:107)˜x − x∗(cid:107)X ≤ lim inf(cid:107)xm − x∗(cid:107)X
j (cid:107)Yj ≤ lim inf(cid:107)Aj(xm) − f δjm
j (cid:107)Yj,
(cid:107)Aj(˜x) − f δj
N (cid:88)
N (cid:88)
suy ra
j (cid:107)2
j (cid:107)2
Yj
Yj
j=1
j=1
≤ . (2.4) (cid:107)Aj(˜x) − f δj lim inf(cid:107)Aj(xm) − f δjm
Hơn nữa, từ (2.3) suy ra
X ≤
j (cid:107)2
Yj
(cid:107)Aj(˜x) − f δj + α(cid:107)˜x − x∗(cid:107)2
j (cid:107)2
Yj
N (cid:80) j=1 N (cid:80) j=1
lim inf(cid:107)Aj(xm) − f δjm + α lim inf(cid:107)xm − x∗(cid:107)2 X
j (cid:107)2
Yj
≤ lim sup(cid:107)Aj(xm) − f δjm + α lim sup (cid:107)xm − x∗(cid:107)2 X
j (cid:107)2
Yj
≤ lim (cid:107)Aj(xm) − f δjm + α lim (cid:107)xm − x∗(cid:107)2 X
j (cid:107)2
Yj
N (cid:80) j=1 N (cid:80) j=1 N (cid:80) j=1
= (cid:107)Aj(x) − f δj + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X.
Điều này chứng tỏ ˜x là phần tử cực tiểu của (2.2) và
(cid:33)
j (cid:107)2 Yj
(cid:107)Aj(xm) − f δjm + α(cid:107)xm − x∗(cid:107)2 X lim m→∞ (2.5)
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1
= (cid:32) N (cid:80) j=1 (cid:107)Aj(˜x) − f δj + α(cid:107)˜x − x∗(cid:107)2 X.
Giả sử xm (cid:57) ˜x khi đó tồn tại một hằng số c sao cho
c := lim sup (cid:107)xm − x∗(cid:107)X > (cid:107)˜x − x∗(cid:107)X,
đồng thời tồn tại một dãy con {xn} của {xm} sao cho
44
xn (cid:42) ˜x, Aj(xn) (cid:42) Aj(˜x), j = 1, 2, ..., N
N (cid:88)
N (cid:88)
và (cid:107)xn − x∗(cid:107)X → c. Từ (2.5) ta có
X − c2(cid:1) ,
j (cid:107)2 Yj
j (cid:107)2 Yj
j=1
j=1
= (cid:107)Aj(xn) − f δjn (cid:107)Aj(˜x) − f δj + α (cid:0)(cid:107)˜x − x∗(cid:107)2 lim n→∞
N (cid:88)
N (cid:88)
suy ra
j (cid:107)2 Yj
j (cid:107)2 Yj
j=1
j=1
< , (cid:107)Aj(xn) − f δjn (cid:107)Aj(˜x) − f δj lim n→∞
điều này mâu thuẫn với (2.4), vì vậy xm → ˜x. Điều phải chứng minh (cid:50)
Để khẳng định nghiệm của bài toán (2.2) hội tụ về nghiệm của (1.11),
không mất tính tổng quát, ta giả thiết δj = δ, khi đó ta có định lý sau:
δ2 α(δ) → 0 khi δ → 0 thì } của (2.2) có dãy con hội tụ (ở đây, δk → 0, αk =
Định lý 2.2 Nếu α(δ) thỏa mãn α(δ) → 0,
dãy nghiệm {xδk αk
α(δk)). Giới hạn của các dãy con hội tụ là nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ
nhất. Ngoài ra, nếu nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhất là nghiệm x0 duy nhất
xδ α(δ) = x0. thì lim δ→0
Chứng minh. Từ (2.2) ta có
α(δ) − x∗(cid:107)2 X
α(δ)) − f δ
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1
+ α(δ)(cid:107)xδ (cid:107)Aj(xδ
(2.6)
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1
≤ (cid:107)Aj(x) − f δ + α(δ)(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X
α(δ)) − f δ
α(δ) − x∗(cid:107)2 X
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1
⇔ + α(δ)(cid:107)xδ (cid:107)Aj(xδ
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1
≤ (cid:107)fj − f δ + α(δ)(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X
X ≤
α(δ)) − f δ
α(δ) − x∗(cid:107)2
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1
⇔ + α(δ)(cid:107)xδ (cid:107)Aj(xδ
X, x ∈ S.
N δ2 + α(δ)(cid:107)x − x∗(cid:107)2
Suy ra
X , x ∈ S.
X ≤ N
α(δ) − x∗(cid:107)2
45
(cid:107)xδ (2.7) + (cid:107)x − x∗(cid:107)2 δ2 α(δ)
α(δ)} giới nội, nên tồn tại một hằng số dương d1 sao cho
Vậy, {xδ
α(δ)(cid:107)X ≤ d1,
(cid:107)xδ
(cid:9), δk → 0, αk = α(δk) của (2.2) có dãy con hội
(cid:9) thỏa mãn suy ra dãy nghiệm (cid:8)xδk αk (cid:9) ⊂ (cid:8)xδk tụ yếu. Giả sử (cid:8)xδm αk αm
(cid:42) ¯x khi m → ∞, xδm αm
từ (2.6) suy ra
m + αm(cid:107)x − x∗(cid:107)2
X, 1 ≤ j ≤ N.
j (cid:107)2 Yj
) − f δm ≤ N δ2 (2.8) (cid:107)Aj(xδm αm
) (cid:42) Aj(¯x) khi m → ∞, nên từ (2.8) suy ra (cid:107)Aj(¯x) − fj(cid:107)Yj = 0, Vì Aj(xδm αm
¯x ∈ Sj, 1 ≤ j ≤ N , theo (2.7) ta thấy ¯x là nghiệm có x∗ - chuẩn nhỏ
→ ¯x khi m → ∞. nhất của (1.11) và (cid:107)xδm αm − x∗(cid:107)X → (cid:107)¯x − x∗(cid:107)X, vậy xδm αm
Các kết quả ở Định lý 2.1 và Định lý 2.2 hoàn toàn có thể suy ra
được từ các kết quả của Hein,T. (xem [48]) khi hiệu chỉnh cho hệ phương
trình với toán tử liên tục và đóng yếu trong trường hợp chỉ có nhiễu vế
α(δ) → x0 khi δ → 0, khi đó tốc độ hội tụ của {xδ
α(δ)} được Hein đưa ra nếu bổ sung điều kiện nguồn lên tất cả các toán tử
phải. Giả sử xδ
Aj, j = 1, 2, ..., N . Vậy với mục tiêu nới lỏng các điều kiện đặt lên toán
tử khi đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, định lý sau đây sẽ
chỉ ra tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm x0 mà chỉ cần bổ
sung điều kiện nguồn lên một toán tử bất kỳ trong hệ.
Định lý 2.3 Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) A1 khả vi Fréchet;
1(x0) − A(cid:48)
1(z)(cid:107)Y1 ≤ L(cid:107)x0 − z(cid:107)X ,
(ii) tồn tại một số L > 0 sao cho (cid:107)A(cid:48)
46
với z là lân cận của x0, ký hiệu tập các lân cận x0 của z là U ;
1(x0)∗ω;
(iii) tồn tại ω ∈ Y1 sao cho x0 − x∗ = A(cid:48)
(iv) L(cid:107)ω(cid:107)Y1 < 1,
2 ).
α(δ) − x0(cid:107)X = O(δ1− p
thì với mỗi α ∼ δp, 0 < p < 2, ta có (cid:107)xδ
N (cid:88)
Chứng minh. Từ (2.6) với x = x0 ta thu được
X ≤ N δ2
α(δ)) − f δ
α(δ) − x0(cid:107)2
j (cid:107)2 Yj
j=1
+ α(δ)(cid:107)xδ (cid:107)Aj(xδ
X − (cid:107)xδ
X + (cid:107)xδ
α(δ) − x∗(cid:107)2
α(δ) − x0(cid:107)2 X
(cid:17) (cid:16) +α(δ) . (cid:107)x0 − x∗(cid:107)2
Suy ra
1 (cid:107)2 Y1
α(δ)) − f δ ≤ N δ2 + 2α(δ)(cid:104)ω, A(cid:48)
1(x0)(x0 − xδ
α(δ) − x0(cid:107)2 X α(δ))(cid:105).
+ α(δ)(cid:107)xδ (cid:107)A1(xδ (2.9)
Theo điều kiện (ii) và (iii) suy ra
1(x0)(xδ
α(δ)) = A1(x0) + A(cid:48)
α(δ) − x0) + rδ α
(2.10) A1(xδ
với
α(cid:107) ≤
α(δ) − x0(cid:107)2 X.
(cid:107)rδ L(cid:107)xδ (2.11) 1 2
Kết hợp (2.9) - (2.11) ta có
X ≤ N δ2
α(δ)) − f δ
α(δ) − x0(cid:107)2
1 (cid:107)2 Y1
+ α(δ)(cid:107)xδ (cid:107)A1(xδ
1 ) + (f δ
1 − A1(xδ
α(δ))) + rδ α(cid:105)
+2α(δ)(cid:104)ω, (f1 − f δ
1 − A1(xδ
α(δ))(cid:107)Y1
≤ N δ2 + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(δ)δ + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(δ)(cid:107)f δ
α(δ) − x0(cid:107)2 X.
+α(δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1L(cid:107)xδ
Vậy, ta có
α(δ) − x0(cid:107)2 X
α(δ)) − f δ
1 (cid:107)2 Y1
(cid:107)A1(xδ + α(δ) (1 − L(cid:107)ω(cid:107)Y1) (cid:107)xδ (2.12)
1 − A1(xδ
α(δ))(cid:107)Y1.
47
≤ N δ2 + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(δ)δ + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(δ)(cid:107)f δ
Kết hợp (iv) và bất đẳng thức (a, b, c ≥ 0, a2 ≤ ab + c2) ⇒ a ≤ b + c,
từ (2.12) ta suy ra
α(δ)) − f δ
1 (cid:107)Y1
(cid:107)A1(xδ ≤ (cid:112)N δ2 + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(δ)δ + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(δ).
1 2
Cùng với (2.11) ta có
α(δ) − x0(cid:107)X ≤
1 2
2 ), điều phải
(2.13) . (cid:107)xδ
X = O(δ1− p
Với cách chọn α ∼ δp, 0 < p < 2 thì (cid:107)xδ (cid:0)N δ2 + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(δ)δ (cid:1) (α(δ) (1 − L(cid:107)ω(cid:107)Y1)) α(δ) − x0(cid:107)2
2.2. Phương pháp hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu
vế phải và nhiễu toán tử
chứng minh (cid:50)
Trong mục trước, chúng tôi đã nghiên cứu các vấn đề về sự hội tụ, tốc
độ hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho hệ phương trình
phi tuyến với nhiễu vế phải. Trong mục này, các vấn đề đó được xét cho
hệ phương trình với toán tử có nhiễu, tức là xét hệ phương trình (1.11),
j tương ứng, ở đây, f δj
j thỏa mãn
j thỏa mãn điều kiện (2.1), Ah
j , Ah
trong đó, đặc biệt quan tâm khi fj, Aj là những đại lượng được xấp xỉ bởi f δj
j (x) − Aj(x)(cid:107)Yj ≤ hg ((cid:107)x(cid:107)X) ,
(cid:107)Ah (2.14)
j và Aj
ở đây, g(t), t ≥ 0 là một hàm không âm và giới nội, giả thiết Ah
là các toán tử phi tuyến và có cùng tính chất. Để tìm nghiệm của bài
toán (1.11), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìm nghiệm
N (cid:88)
của bài toán tối ưu không ràng buộc
j x − f δj
j (cid:107)2 Yj
X → min D
j=1
48
(cid:107)Ah . (2.15) + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2
α(h,δj) của (2.15) có hội tụ tới nghiệm x0 của (1.11) hay không khi α, h, δj → 0? Để trả lời
Cũng tương tự như mục trước, trong mục này giải quyết hai vấn đề đặt ra là bài toán (2.15) có ổn định hay không? nghiệm xh,δj
hai câu hỏi này ta lần lượt xét các định lý sau:
xấp xỉ Ah
j với δj ≥ 0 và xk là cực tiểu của (2.15), trong đó, f δj và Ahk
j trong (2.14)), j và Ah j j , khi đó tồn tại dãy con hội tụ
j
Định lý 2.4 Cho α > 0, hk → h > 0 (Ahk j j → f δj f δjk được thay thế tương ứng bởi f δjk
của dãy {xk} và giới hạn ˜x của các dãy con hội tụ là cực tiểu của (2.15).
Chứng minh. Với mỗi x ∈ D, ta có
j (xk) − f δk
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1
(cid:107)Ahk + α(cid:107)xk − x∗(cid:107)2 X
(2.16)
j (x) − f δk
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1
≤ (cid:107)Ahk + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X.
j (xk)(cid:107)Yj giới nội, nên tồn tại dãy con {xm} của {xk} sao
Vì (cid:107)xk(cid:107)X, (cid:107)Ahk
cho
j (˜x), j = 1, 2, ..., N.
j (xm) (cid:42) Ah
xm (cid:42) ˜x, Ahm
j ta
Theo tính chất nửa liên tục dưới yếu của chuẩn và tính đóng của Ah
có
(cid:107)˜x − x∗(cid:107)X ≤ lim inf(cid:107)xm − x∗(cid:107)X
và
j (˜x) − f δj
j (cid:107)Yj ≤ lim inf(cid:107)Ahm
j (xm) − f δjm
j (cid:107)Yj.
(cid:107)Ah
N (cid:88)
N (cid:88)
Suy ra
j (˜x) − f δj
j (xm) − f δjm
j (cid:107)2 Yj
j (cid:107)2 Yj
j=1
j=1
49
(cid:107)Ah ≤ lim inf(cid:107)Ahm . (2.17)
N (cid:88)
Hơn nữa, từ (2.16) ta suy ra
j (˜x) − f δj
j (cid:107)2
Yj
j=1
N (cid:88)
(cid:107)Ah + α(cid:107)˜x − x∗(cid:107)2 X
j (xm) − f δjm
j (cid:107)2
Yj
j=1
N (cid:88)
lim inf(cid:107)Ahm ≤ + α lim inf(cid:107)xm − x∗(cid:107)2 X
j (xm) − f δjm
j (cid:107)2
Yj
j=1
N (cid:88)
lim sup(cid:107)Ahm ≤ + α lim sup (cid:107)xm − x∗(cid:107)2 X
j (xm) − f δjm
j (cid:107)2
Yj
j=1
N (cid:88)
lim (cid:107)Ahm ≤ + α lim (cid:107)xm − x∗(cid:107)2 X
j (x) − f δjm
j (cid:107)2
Yj
j=1
(cid:107)Ah = + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X.
Bất đẳng thức trên cho thấy ˜x là cực tiểu của (2.15) và (cid:33)
j (xm) − f δjm
j (cid:107)2
Yj
(cid:107)Ahm + α(cid:107)xm − x∗(cid:107)2 X lim m→∞ (2.18)
j (˜x) − f δj
j (cid:107)2
Yj
= (cid:107)Ah + α(cid:107)˜x − x∗(cid:107)2 X. (cid:32) N (cid:80) j=1 N (cid:80) j=1
Bây giờ, ta giả thiết xm (cid:57) ˜x, khi đó tồn tại một hằng số
c := lim sup (cid:107)xm − x∗(cid:107)X > (cid:107)˜x − x∗(cid:107)X
và tồn tại một dãy con {xn} của {xm} sao cho
j (˜x), j = 1, 2, ..., N, (cid:107)xn − x∗(cid:107)X → c.
j (xn) (cid:42) Ah
xn (cid:42) ˜x, Ahn
N (cid:88)
N (cid:88)
Mặt khác, từ (2.18) ta có
j (˜x) − f δj
j (xn) − f δjn
j (cid:107)2 Yj
j (cid:107)2 Yj
j=1
j=1
N (cid:88)
= (cid:107)Ah (cid:107)Ahn lim n→∞
j (˜x) − f δj
X − c2(cid:1) <
j (cid:107)2 Yj
j=1
. (cid:107)Ah +α (cid:0)(cid:107)˜x − x∗(cid:107)2
50
Điều này trái với (2.17). Vậy xm → ˜x, điều phải chứng minh (cid:50)
Để khẳng định nghiệm của bài toán (2.15) hội tụ về nghiệm của (1.11).
δ2 h2 α(h,δ) → 0 α(h,δ) → 0, (cid:9) của (2.15) có dãy con hội tụ
Không mất tính tổng quát ta giả thiết δj = δ, khi đó ta có định lý sau:
Định lý 2.5 Cho α(h, δ) thỏa mãn α(h, δ) → 0, khi h → 0, δ → 0, thì dãy nghiệm (cid:8)xhkδk αk
(ở đây hk → 0, δk → 0, αk = α(hk, δk)), giới hạn x0 là nghiệm có x∗−
chuẩn nhỏ nhất. Ngoài ra, nếu x0 là duy nhất thì xhδ α(h,δ) = x0. lim h,δ→0
N (cid:88)
Chứng minh. Từ (2.15) ta có
j (xhδ
α(h,δ)) − f δ
α(h,δ) − x∗(cid:107)2 X
j (cid:107)2 Yj
j=1
N (cid:88)
(cid:107)Ah + α(h, δ)(cid:107)xhδ
j (x) − f δ
j (cid:107)2 Yj
≤ (cid:107)Ah + α(h, δ)(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X,
j=1 j (x) − f δ
j (cid:107) = (cid:107)Ah
j (x) − Aj(x) + Aj(x) − f δ j (cid:107)
(cid:107)Ah
j (x) − Aj(x)(cid:107) + (cid:107)fj − f δ
j (cid:107) ≤ hg ((cid:107)x(cid:107)X) + δ.
≤ (cid:107)Ah
Suy ra
j (xhδ
α(h,δ) − x∗(cid:107)2 X
α(h,δ)) − f δ
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1
+ α(h, δ)(cid:107)xhδ (cid:107)Ah (2.19)
≤ N (hg ((cid:107)x(cid:107)X) + δ)2 + α(h, δ)(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X,
X, ∀x ∈ S.
X ≤
α(h,δ) − x∗(cid:107)2
(2.20) (cid:107)xhδ + (cid:107)x − x∗(cid:107)2 N (hg ((cid:107)x(cid:107)X) + δ)2 α(h, δ)
α(h,δ)} giới nội, nên tồn tại một hằng số dương d1 sao cho
Vì {xhδ
α(h,δ)(cid:107) ≤ d1
(cid:107)xhδ
51
(cid:9) của (2.15) có dãy con hội tụ yếu. và dãy nghiệm (cid:8)xhkδk αk
αm
αm
Cho (cid:8)xhmδm (cid:9) sao cho xhmδm (cid:42) ¯x khi m → ∞. Từ (2.19) (cid:9) ⊂ (cid:8)xhkδk αk
suy ra
j (xhmδm αm
(cid:107)Ahm ) − f δm ≤ N (hmg ((cid:107)x(cid:107)X) + δm)2 (2.21)
j (cid:107)2 Yj +αm(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X,
j = 1, .., N.
j (xhmδm αm
Để chứng minh ¯x ∈ Sj, 1 ≤ j ≤ N , ta nhận thấy, Ahm ) (cid:42) Aj(¯x)
khi m → ∞. Thật vậy, ta có
j (xm), y∗(cid:105)| ≤ Chm(cid:107)y∗(cid:107), ∀y∗ ∈ Y ∗ j ,
|(cid:104)Aj(xm) − Ahm
ở đây, C = sup {g(t) : 0 ≤ t ≤ d1, d1 ≥ (cid:107)xm(cid:107)} và Aj(xm) (cid:42) Aj(¯x). Theo
(2.21) khi m → ∞, ta thu được (cid:107)Aj(¯x) − fj(cid:107)Yj = 0, ¯x ∈ Sj, j = 1, .., N .
Từ (2.20) suy ra ¯x là một nghiệm của (1.11) có x∗− chuẩn nhỏ nhất và
αm
→ ¯x khi m → ∞, điều phải − x∗(cid:107)X → (cid:107)¯x − x∗(cid:107)X, vậy xhmδm (cid:107)xhmδm αm
chứng minh (cid:50)
α(h,δ) → x0 khi h, δ → 0, khi đó tốc độ hội tụ
Bây giờ,ta giả thiết xhδ
của nghiệm hiệu chỉnh được xác định theo định lý sau:
Định lý 2.6 Giả thiết các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) A1 khả vi Fréchet;
1(x0) − A(cid:48)
1(z)(cid:107)Y1 ≤ L(cid:107)x0 − z(cid:107)X ,
(ii) tồn tại một số L > 0 sao cho (cid:107)A(cid:48)
với z là lân cận của x0, ký hiệu tập các lân cận x0 của z là U ;
1(x0)∗ω;
(iii) tồn tại ω ∈ Y1 sao cho x0 − x∗ = A(cid:48)
(iv) L(cid:107)ω(cid:107)Y1 < 1.
2 ).
Khi đó, với cách chọn α ∼ (h + δ)p, 0 < p < 2, ta có
α(h,δ) − x0(cid:107)X = O((h + δ)1− p
52
(cid:107)xhδ
N (cid:88)
Chứng minh. Từ (2.19) với x = x0 ta thu được
j (xhδ
α(h,δ)) − f δ
α(h,δ) − x∗(cid:107)2 X
j (cid:107)2 Yj
j=1
(cid:107)Ah + α(h, δ)(cid:107)xhδ
X ≤ N (hg ((cid:107)x0(cid:107)X) + δ)2
≤ N (hg ((cid:107)x0(cid:107)X) + δ)2 + α(h, δ)(cid:107)x0 − x∗(cid:107)2
X − (cid:107)xhδ
X + (cid:107)xhδ
α(h,δ) − x∗(cid:107)2
α(h,δ) − x0(cid:107)2 X
(cid:17) (cid:16) + α(h, δ) . (cid:107)x0 − x∗(cid:107)2
Suy ra
1(xhδ
α(h,δ)) − f δ
α(h,δ) − x0(cid:107)2 X
1 (cid:107)2 Y1
(cid:107)Ah (2.22)
1(x0)(x0 − xhδ
α(h,δ))(cid:105).
+ α(h, δ)(cid:107)xhδ ≤ N (hg ((cid:107)x0(cid:107)X) + δ)2 + 2α(h, δ)(cid:104)ω, A(cid:48)
Từ điều kiện (i) và (ii) của định lý, suy ra
1(x0)(xhδ
α(h,δ)) = A1(x0) + A(cid:48)
α(h,δ) − x0) + rhδ α ,
(2.23) A1(xhδ
với
α(h,δ) − x0(cid:107)2 X
L(cid:107)xhδ (2.24) rhδ α ≤ 1 2
Kết hợp (2.22) - (2.24) dẫn đến
1(xhδ
X ≤ N (hg ((cid:107)x0(cid:107)X) + δ)2
α(h,δ)) − f δ
α(h,δ) − x0(cid:107)2
1 (cid:107)2 Y1
(cid:107)Ah + α(h, δ)(cid:107)xhδ
1 ) + (f δ
1 − A1(xhδ
α(h,δ))) + rhδ α (cid:105)
−2α(h, δ)(cid:104)ω, (f1 − f δ
≤ N (hg((cid:107)x0(cid:107)X) + δ)2 + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(h, δ)δ
1(xhδ
1 (cid:107)Y1 + C0h)
α(h,δ)) − f δ
+2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(h, δ)((cid:107)Ah
α(h,δ) − x0(cid:107)2 X.
+α(h, δ)L(cid:107)ω(cid:107)Y1(cid:107)xhδ
Suy ra
α(h,δ) − x0(cid:107)2 X
α(h,δ)) − f δ
1 (cid:107)2 Y1
(cid:107)Ah + α(h, δ) (1 − L(cid:107)ω(cid:107)Y1) (cid:107)xhδ
(2.25)
1 (cid:107)Y1,
1(xhδ ≤ N (hg ((cid:107)x0(cid:107)X) + δ)2 + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α (h, δ) (h + δ) 1(xhδ
α(h,δ)) − f δ
53
+2(cid:107)ω(cid:107)Y1α (h, δ) (cid:107)Ah
cùng với điều kiện (iv) và suy dẫn (a, b, c ≥ 0, a2 ≤ ab+c2) ⇒ a ≤ b+c,
2
khi đó từ (2.25) suy ra
1(xhδ
1 (cid:107)Y1 ≤
α(h,δ)) − f δ
(cid:16) (cid:17) 1 (cid:107)Ah N (hg ((cid:107)x0(cid:107)X) + δ)2 + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(h, δ) (h + δ)
+2α(h, δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1.
2
Kết hợp (2.24), suy ra
(cid:16) (cid:17) 1
α(h,δ) − x0(cid:107)X ≤
1 2
. (cid:107)xhδ
N (hg ((cid:107)x0(cid:107)X) + δ)2 + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(h, δ) (h + δ) (cid:112)α(h, δ) (1 − L(cid:107)ω(cid:107)Y1) (2.26)
từ (2.26) ta có kết luận, nếu chọn α ∼ (h + δ)p, 0 < p < 2 thì
2 ),
α(h,δ) − x0(cid:107)X = O((h + δ)1− p
(cid:107)xhδ
2.3. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình
với toán tử tuyến tính liên tục
điều phải chứng minh (cid:50)
Trong mục này, chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho hệ
phương trình trong trường hợp đặc biệt khi các toán tử là tuyến tính
liên tục.
Xét bài toán tìm phần tử x0 ∈ X thỏa mãn (1.11), ở đây, Aj, j =
1, ..., N, là các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert X vào
không gian Hilbert Yj, fj ∈ Yj. Giả sử
j=1Sj, S (cid:54)= ∅.
Sj = {¯x ∈ X : Aj ¯x = fj} , j = 1, ..., N, S = ∩N
Vì Aj là toán tử tuyến tính liên tục, nên Sj là tập lồi đóng trong X, từ
54
đó tập nghiệm S cũng là một tập lồi đóng. Dữ liệu vế phải là những đại
j với mức độ nhiễu δj và thỏa mãn (2.1). Như
lượng được xấp xỉ bởi f δj
trong mục trước, để tìm nghiệm của mỗi phương trình thứ j ta phải sử
dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cực tiểu phiếm hàm
j (cid:107)2 Yj
(2.27) (cid:107)Ajx − f δj + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X.
j
α , α → 0
, nếu δj
j } hội tụ tới nghiệm x0,j và thỏa mãn
Theo kết quả [73], bài toán (2.27) có nghiệm duy nhất xαδj thì {xαδj
(cid:107)x − x∗(cid:107)X, j = 1, ..., N. (cid:107)x0,j − x∗(cid:107)X = min x∈Sj
α sao cho xδj
α → x0 khi δj, α → 0, đồng
Bài toán đặt ra ở đây là tìm xδj
α(δj) → x0 khi δj → 0 và cuối cùng đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong không gian vô hạn chiều, hay ước lượng được (cid:107)xδj
α(δj) − x0(cid:107)X, ở đây,
thời chọn được tham số hiệu chỉnh α = α (δj) sao cho xδj
x0 là nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhất.
Để tìm nghiệm của bài toán (1.11), ta xét phương pháp hiệu chỉnh
N (cid:88)
dựa trên cơ sở tìm nghiệm của bài toán tối ưu không ràng buộc
j (cid:107)2 Yj
j=1
(2.28) (cid:107)Ajx − f δj + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2 X, min x∈X
với các giả thiết của Aj, j = 1, 2, .., N , dễ thấy bài toán (2.28) có nghiệm
duy nhất, vấn đề về sự ổn định của bài toán (2.28) và sự hội tụ của
j → f δj
j khi k → ∞ và xk là cực
nghiệm hiệu chỉnh lần lượt được xét đến qua các định lý sau:
j được thay bởi f δjk
j
Định lý 2.7 Cho α > 0, δj ≥ 0, f δjk tiểu của (2.28) với f δj thì dãy {xk} sẽ hội tụ tới cực
55
tiểu của (2.28).
α là nghiệm của (2.28) khi và chỉ khi nó là nghiệm của
Chứng minh. xδ
phương trình
(2.29) Bx + α(x − x∗) = ˜fδ,
N (cid:88)
N (cid:88)
ở đây,
jAj, ˜fδ =
jf δj A∗ j ,
j=1
j=1
j là toán tử đối ngẫu của Aj. Vì f δjk A∗
j → f δj
j nên suy ra
N (cid:88)
N (cid:88)
B = A∗
jf δjk A∗
jf δj A∗
j → ˜fδ =
j khi k → ∞.
j=1
j=1
˜f k δ =
α là nghiệm của phương trình
Gọi xδk
(2.30) Bx + α(x − x∗) = ˜f k δ .
Từ (2.29), (2.30) và tính chất đơn điệu của B suy ra
α − xδ
α(cid:107)X ≤
δ − ˜fδ(cid:107)X α
(cid:107) ˜f k (cid:107)xδk .
α → xδ
α khi k → ∞. Định lý được
δ → ˜fδ thì xδk
Vì α > 0, nên nếu ˜f k
chứng minh (cid:50)
δ α(δ) → 0 (cid:9) hội tụ tới nghiệm x0 có x∗ - chuẩn nhỏ nhất
α
Định lý 2.8 Cho α(δ) là tham số hiệu chỉnh sao cho α(δ) → 0, khi δ → 0, thì dãy (cid:8)xδ
α là nghiệm của (2.28).
của (1.11), ở đây, xδ
N (cid:88)
Chứng minh. Với mỗi y ∈ S ta có
jfj.
j=1
By = ˜f , ˜f = A∗ (2.31)
Bởi vậy, từ (2.29) và (2.31) ta thu được
α − By, xδ
α − y(cid:105) + α(cid:104)xδ
α − x∗, xδ
α − y(cid:105) = (cid:104) ˜fδ − ˜f , xδ
α − y(cid:105)
56
(cid:104)Bxδ
⇔
α − By, xδ
α − y(cid:105) + α(cid:104)xδ
α − y, xδ
α − y(cid:105)
(cid:104)Bxδ
α − y(cid:105) = (cid:104) ˜fδ − ˜f , xδ
α − y(cid:105)
−α(cid:104)x∗ − y, xδ
⇔
α − By, xδ
α − y(cid:105) + α(cid:104)xδ
α − y, xδ
α − y(cid:105)
(cid:104)Bxδ
α − y(cid:105) + (cid:104) ˜fδ − ˜f , xδ
α − y(cid:105)
= α(cid:104)x∗ − y, xδ
⇔
α − By, xδ
α − y, xδ
α − y(cid:105)
α − y(cid:105) + α(cid:104)xδ N (cid:88)
(cid:104)Bxδ
α − y(cid:105) + (cid:104)
j(f δj A∗
α − y(cid:105).
j − fj), xδ
j=1
= α(cid:104)x∗ − y, xδ
N (cid:88)
Kết hợp với tính chất đơn điệu của B ta suy ra
α − y(cid:107)X ≤ (cid:107)x∗ − y(cid:107)X +
Yj→X
j=1
α(δ) → 0, suy ra {xδ
(cid:107)xδ ∀y ∈ S. (2.32) (cid:107)A∗ j(cid:107) δ α
α(δ)} giới nội, nên tồn α(δ)} hội tụ yếu tới phần tử
α(δk)} của dãy {xδ
Vì Aj là tuyến tính liên tục và δ tại một dãy con {xk := xδk
x0 ∈ X khi k → ∞.
Từ (2.28) ta thu được bất đẳng thức
j (cid:107)2 Yj
Yj
N (cid:80) j=1
N (cid:80) j=1 ≤ N δ2
k + α (δk) (cid:107)y − x∗(cid:107)2 X,
≤ (cid:107)Ajxk − f δk + α (δk) (cid:107)y − x∗(cid:107)2 X (cid:107)Ajy − f δk j (cid:107)
ở đây, y ∈ S. Vì mỗi phiếm hàm (cid:107)Ajx − fj(cid:107)2 là nửa liên tục dưới yếu
(xem [78]), xk (cid:42) x0 và δk, α (δk) → 0 khi k → ∞, nên ta suy ra Ajx0 =
fj, j = 1, ..., N . Vậy x0 ∈ S, từ (2.32) và tính chất nửa liên tục dưới
α(δ) → x0 khi δ → 0. Định lý được
yếu của chuẩn, nên các tập con lồi đóng trong X chỉ có duy nhất một
57
nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhất. Vậy xδ chứng minh (cid:50)
1ω thì với
Định lý 2.9 Giả thiết tồn tại ω ∈ Y1 sao cho x0 − x∗ = A∗
cách chọn tham số hiệu chỉnh α ∼ δp, 0 < p < 1, ta có
α(δ) − x0(cid:107)X = O(δp/2).
(cid:107)xδ
Chứng minh. Sử dụng (2.28) với x = x0 và δj = δ, j = 1, ..., N , ta thu
N (cid:88)
được
α(δ) − f δ
α(δ) − x∗(cid:107)2 X
j (cid:107)2 Yj
j=1
N (cid:88)
+ α(δ)(cid:107)xδ (cid:107)Ajxδ
j (cid:107)2 Yj
j=1
≤ (cid:107)Ajx0 − f δ + α(δ)(cid:107)x0 − x∗(cid:107)2 X.
Vì vậy, ta có
X ≤ N δ2+
α(δ) − x0(cid:107)2
α(δ) − f δ
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1 α(δ)((cid:107)x0 − x∗(cid:107)2
X − (cid:107)xδ
X + (cid:107)xδ
X).
α(δ) − x∗(cid:107)2
α(δ) − x0(cid:107)2
+ α(δ)(cid:107)xδ (cid:107)Ajxδ
Mặt khác, từ
X − (cid:107)xδ
X + (cid:107)xδ
X = 2(cid:104)x0 − x∗, x0 − xδ
α(δ) − x∗(cid:107)2
α(δ) − x0(cid:107)2
α(δ)(cid:105)
(cid:107)x0 − x∗(cid:107)2
suy ra
α(δ) − f δ
1 (cid:107)2 Y1 ≤ N δ2 + 2α(δ)(cid:104)ω, A1(x0 − xδ
+ α(δ)(cid:107)xδ (cid:107)A1xδ
(2.33)
≤ N δ2 + 2α(δ)(cid:104)ω, f1 − f δ
1 + f δ ≤ N δ2 + 2α(δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + (cid:107)A1xδ
α(δ) − x0(cid:107)2 X α(δ))(cid:105) 1 − A1xδ α(δ)(cid:105) α(δ) − f δ 1 (cid:107)
Y1
)
hay
α(δ) − f δ
α(δ) − x0(cid:107)2
1 (cid:107)2 Y1 2α(δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1δ + 2α(δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1(cid:107)A1xδ
X ≤ N δ2+ 1 (cid:107)Y1,
α(δ) − f δ
+ α(δ)(cid:107)xδ (cid:107)A1xδ (2.34)
áp dụng bất đẳng thức
58
(a, b, c ≥ 0, a2 ≤ ab + c2) ⇒ a ≤ b + c
1
ta thu được
2 + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1α(δ).
α(δ) − f δ
1 (cid:107)Y1 ≤ (N δ2 + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1
α(δ)δ) (cid:107)A1xδ
Và cuối cùng ta có
α(δ) − x0(cid:107)X = O(δp/2) nếu α(δ) ∼ δp, 0 < p < 1.
(cid:107)xδ
Điều phải chứng minh (cid:50)
j và thỏa mãn
Khi Aj là những đại lượng được xấp xỉ bởi Ah
j x(cid:107)Yj ≤ hC(cid:107)x(cid:107)X,
(2.35) (cid:107)Ajx − Ah
j và Aj là các toán tử tuyến tính
ở đây, C là hằng số dương, giả thiết Ah
liên tục và có cùng tính chất. Để tìm nghiệm của bài toán (1.11), ta xét
phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìm nghiệm của bài toán tối ưu
N (cid:88)
không ràng buộc
j x − f δj
j (cid:107)2 Yj
X → min D
j=1
(cid:107)Ah . (2.36) + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2
Với các giả thiết đặt lên Aj, j = 1, .., N , dễ thấy bài toán (2.36) có
nghiệm duy nhất. Hai vấn đề về sự ổn định của bài toán (2.36) và sự hội
tụ của nghiệm hiệu chỉnh lần lượt được giải quyết qua các định lý sau:
j và thỏa mãn
j khi k → ∞, δj ≥ 0 và xk là cực tiểu của
j → Ah
là xấp xỉ Ah
j , Ahk j được thay thế tương ứng bởi f δj,k
j
j → f δj j , Ah hội tụ tới cực tiểu của (2.36).
Định lý 2.10 Cho α > 0, hk → h > 0 (Ahk j (2.35)), f δj,k (2.36) với f δj thì dãy {xk} sẽ , Ahk j
α(h,δ) là nghiệm của (2.36) khi và chỉ khi thỏa mãn
Chứng minh. xh,δ
phương trình sau
59
(2.37) Bhx + α(x − x∗) = ˜fδ,
∗
∗
N (cid:88)
N (cid:88)
ở đây
j , ˜fδ =
j=1
j=1
∗ là toán tử đối ngẫu của toán tử Ah
Bh = Ah Ah j Ah j f δj j ,
j . Nếu f δj,k
j → f δj
j
∗
∗
N (cid:88)
N (cid:88)
thì Ah j
j=1
j=1
˜f k δ = Ah j Ahk j f δj,k j → ˜fδ = f δj j khi k → ∞.
α(hk,δk) là nghiệm của phương trình
Ký hiệu xhk,δk
(2.38) Bhkx + α(x − x∗) = ˜f k δ ,
∗
∗
N (cid:88)
N (cid:88)
ở đây,
δ =
j , ˜f k Ahk
j=1
j=1
∗
Bhk = , Ahk j Ahk j f δj,k j
Ahk j là toán tử đối ngẫu của Ahk j .
Từ (2.37) và (2.38) ta được
α(h,δ) − Bhkxhk,δk
α(h,δ) − xhk,δk
α(hk,δk) + α(h, δ)(xh,δ
α(hk,δk)) = ˜fδ − ˜f k δ .
Bhxh,δ
Suy ra
α(h,δ) − xhk,δk
α(h,δ) − xhk,δk
α(hk,δk)(cid:105)
(cid:104)Bh(xh,δ
α(h,δ) − xhk,δk
α(hk,δk)), xh,δ α(hk,δk), xh,δ
+(cid:104)(Bh − Bhk)xhk,δk
α(h,δ) − xhk,δk
α(hk,δk)(cid:105) α(h,δ) − xhk,δk
α(hk,δk)(cid:105)
+ α(h, δ)(cid:104)xh,δ
δ , xh,δ
α(hk,δk), xh,δ α(h,δ) − xhk,δk
α(hk,δk)(cid:105).
= (cid:104) ˜fδ − ˜f k
Vì Bh đơn điệu, nên
α(h,δ) − xhk,δk
α(hk,δk)(cid:107)X ≤
α(hk,δk)(cid:107)X + (cid:107) ˜fδ − ˜f k δ (cid:107)
(cid:17) (cid:16) (cid:107)xh,δ (cid:107)Bhk − Bh(cid:107)(cid:107)xhk,δk , 1 α(h, δ)
δ (cid:107) → 0 khi k → ∞, vậy xhk,δk
α(h,δ).
α(hk,δk) → xh,δ
60
(cid:107)Bhk − Bh(cid:107) → 0, (cid:107) ˜fδ − ˜f k
Định lý 2.11 Cho δj = δ và chọn α(h, δ) sao cho
α(h, δ) → 0, → 0, → 0 δ α(h, δ) h α(h, δ)
α(h,δ)} của (2.36) hội tụ tới nghiệm x0 có
khi h, δ → 0, thì dãy nghiệm {xh,δ
x∗− chuẩn nhỏ nhất của (1.11).
N (cid:88)
Chứng minh. Với mỗi y ∈ S, ta có
jfj.
j=1
By = ˜f , ˜f = A∗ (2.39)
Từ (2.37) và (2.39) ta thu được
α(h,δ) − y(cid:105)
α(h,δ) − x∗, xh,δ
α(h,δ) − y(cid:105) + α(h, δ)(cid:104)xh,δ
α(h,δ) − By, xh,δ
(cid:104)Bhxh,δ
α(h,δ) − y(cid:105)
= (cid:104) ˜fδ − ˜f , xh,δ
⇔
α(h,δ) − Bhy, xh,δ
α(h,δ) − y(cid:105)
(cid:104)Bhxh,δ
α(h,δ) − x∗, xh,δ
α(h,δ) − y(cid:105) + (cid:104)(Bh − B)y, xh,δ α(h,δ) − y(cid:105) = (cid:104) ˜fδ − ˜f , xh,δ
α(h,δ) − y(cid:105).
+ α(h, δ)(cid:104)xh,δ
Vì Bh đơn điệu suy ra
α(h,δ) − y(cid:105) + α(h, δ)(cid:104)xh,δ
α(h,δ) − x∗, xh,δ
α(h,δ) − y(cid:105)
(cid:104)(Bh − B)y, xh,δ
α(h,δ) − y(cid:105),
≤ (cid:104) ˜fδ − ˜f , xh,δ
hay
α(h,δ) − y, xh,δ
α(h,δ) − y(cid:105) ≤ α(h, δ)(cid:104)x∗ − y, xh,δ
α(h,δ) − y(cid:105)
α(h, δ)(cid:104)xh,δ
α(h,δ) − y(cid:105) + (cid:104) ˜fδ − ˜f , xh,δ
α(h,δ) − y(cid:105).
(cid:104)(B − Bh)y, xh,δ
Mặt khác
∗
∗
N (cid:88)
j ) + (Aj
∗ − Ah j
j=1
61
(cid:16) (cid:17) B − Bh = , (Aj − Ah )Aj Ah j
∗
∗
N (cid:88)
∗)fj
j − fj) + (Ah j
j=1
(cid:16) (cid:17) (f δ , − Aj ˜fδ − ˜f = Ah j
∗
N (cid:88)
suy ra
j=1
∗
N (cid:88)
(cid:107)By − Bhy(cid:107) ≤ hC(cid:107)y(cid:107)X (cid:107) + (cid:107)Aj(cid:107)), ((cid:107)Ah j
j=1
(cid:107) ˜fδ − ˜f (cid:107) ≤ (cid:107)Yj + hC(cid:107)fj(cid:107)Yj). (δ(cid:107)Ah j
∗
N (cid:88)
Vậy
α(h,δ) − y(cid:107)X ≤ (cid:107)x∗ − y(cid:107)X +
j=1
∗
(cid:107)xh,δ (cid:107) + (cid:107)Aj(cid:107)) C(cid:107)y(cid:107)X ((cid:107)Ah j h α(h, δ)
N (cid:88)
j=1
h
α(h,δ)} tồn tại một dãy con
δ α(h,δ),
α(h,δ) → 0, nên dãy {xh,δ
(cid:18) δ + (cid:19) . C(cid:107)fj(cid:107)Yj (cid:107)Yj + (cid:107)Ah j α(h, δ) h α(h, δ)
α(hk,δk)} hội tụ yếu tới x0 ∈ X khi k → ∞.
Vì Aj liên tục và {xk := xhk,δk
Bây giờ ta cần chứng minh x0 ∈ S, thật vậy, từ (2.36) ta thu được
j xk − f δk
l (cid:107)2 Yl
j (cid:107)2 Yj
N (cid:80) j=1
N (cid:88)
(cid:107)Ahk ≤ (cid:107)Ahk bất đẳng thức sau l xk − f δk
j xk − f δk
j (cid:107)2 Yj
j=1
N (cid:88)
≤ (cid:107)Ahk + α(hk, δk)(cid:107)xk − x∗(cid:107)2 X
j y − f δk
j (cid:107)2 Yj
j=1
N (cid:88)
≤ (cid:107)Ahk + α(hk, δk)(cid:107)y − x∗(cid:107)2 X
j y − Ajy + fj − f δk
j (cid:107)2 Yj
j=1
(cid:107)Ahk ≤ + α(hk, δk)(cid:107)y − x∗(cid:107)2 X
N (cid:88)
j y − Ajy(cid:107) + (cid:107)fj − f δk j (cid:107)
j=1
62
(cid:17)2 (cid:16) (cid:107)Ahk ≤ + α(hk, δk)(cid:107)y − x∗(cid:107)2 X.
Kết hợp (2.1) và (2.35) suy ra
l xk − f δk
l (cid:107)2 Yl
(cid:107)Ahk (2.40) ≤ N (hkC(cid:107)y(cid:107)X + δk)2 + α(hk, δk)(cid:107)y − x∗(cid:107)2 X
l xk − f δk
l (cid:107)2 Yl
với mỗi y ∈ S, l = 1, ..., N . Vì với mỗi phiếm hàm (cid:107)Ahk có
tính chất nửa liên tục dưới yếu, xk (cid:42) x0 và hk, δk, α(hk, δk) → 0 khi
k → ∞, ta thu được Alx0 = fl, l = 1, ..., N , vậy x0 ∈ S. Từ (2.40) và
h
tính chất nửa liên tục dưới yếu của chuẩn trên tập lồi đóng của X, suy
α(h,δ) → x0 khi h, δ → 0,
δ α(h,δ),
α(h,δ) → 0 (cid:50)
ra xh,δ
1ω,
Định lý 2.12 Giả thiết tồn tại phần tử ω ∈ Y1 sao cho x0 − x∗ = A∗
thì với cách chọn α ∼ (h + δ)p ta có
α(h,δ) − x0(cid:107)X =
1 ≤ p < 2 (cid:107)xh,δ
0 < p ≤ 1. O (cid:0)(h + δ)1−p/2(cid:1) O (cid:0)(h + δ)p/2(cid:1)
Chứng minh. Sử dụng (2.36) với x = x0 và δj = δ, j = 1, ..., N , ta
N (cid:88)
thu được
X
j xh,δ
j (cid:107)2 Yj
α(h,δ) − f δ
α(h,δ) − x∗(cid:107)2
j=1
N (cid:88)
(cid:107)Ah + α(h, δ)(cid:107)xh,δ
j x0 − f δ
j (cid:107)2 Yj
j=1
(cid:107)Ah ≤ + α(h, δ)(cid:107)x0 − x∗(cid:107)2 X.
N (cid:88)
Vậy, ta có
j xh,δ
X
j (cid:107)2 Yj
α(h,δ) − f δ
α(h,δ) − x0(cid:107)2
j=1
N (cid:88)
(cid:107)Ah + α(h, δ)(cid:107)xh,δ
j x0 − Ajx0 + Ajx0 − f δ
j (cid:107)2 Yj
j=1
≤ (cid:107)Ah
X + (cid:107)x0 − x∗(cid:107)2
X − (cid:107)xh,δ
X
α(h,δ) − x0(cid:107)2
α(h,δ) − x∗(cid:107)2
63
(cid:17) (cid:16) . (cid:107)xh,δ +α(h, δ)
N (cid:88)
Suy ra
j xh,δ
X
j (cid:107)2 Yj
α(h,δ) − f δ
α(h,δ) − x0(cid:107)2
j=1
N (cid:88)
(cid:107)Ah + α(h, δ)(cid:107)xh,δ
j x0 − Ajx0(cid:107)Yj + (cid:107)fj − f δ
j (cid:107)Yj
j=1
(cid:1)2 (cid:0)(cid:107)Ah ≤
X + (cid:107)x0 − x∗(cid:107)2
X − (cid:107)xh,δ
X
α(h,δ) − x0(cid:107)2
α(h,δ) − x∗(cid:107)2
N (cid:88)
(cid:17) (cid:16) , +α(h, δ) (cid:107)xh,δ
X ≤ N (hC(cid:107)x0(cid:107)X + δ)2
j xh,δ
j (cid:107)2 Yj
α(h,δ) − x0(cid:107)2
α(h,δ) − f δ
j=1
+ α(h, δ)(cid:107)xh,δ (cid:107)Ah
X + (cid:107)x0 − x∗(cid:107)2
X − (cid:107)xh,δ
X
α(h,δ) − x0(cid:107)2
α(h,δ) − x∗(cid:107)2
(cid:16) (cid:17) +α(h, δ) (cid:107)xh,δ ,
vì
X + (cid:107)x0 − x∗(cid:107)2
X − (cid:107)xh,δ
X = 2(cid:104)x0 − x∗, xh,δ
α(h,δ) − x0(cid:107)2
α(h,δ) − x∗(cid:107)2
α(h,δ) − x0(cid:105),
(cid:107)xh,δ
kết hợp với điều kiện nguồn, ta có
1xh,δ
X
1 (cid:107)2 Y1
α(h,δ) − f δ
α(h,δ) − x0(cid:107)2
(cid:107)Ah + α(h, δ)(cid:107)xh,δ
α(h,δ) − x0)(cid:105),
≤ N (hC(cid:107)x0(cid:107)X + δ)2 + 2α(h, δ)(cid:104)ω, A1(xh,δ
1 + f δ
1 − f1(cid:105),
α(h,δ) − f δ
α(h,δ) − x0)(cid:105) = (cid:104)ω, A1xh,δ
(cid:104)ω, A1(xh,δ
nên
1 (cid:107)Y1)
α(h,δ) − x0)(cid:105) ≤ (cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + (cid:107)A1xh,δ
α(h,δ) − f δ
(cid:104)ω, A1(xh,δ
1 (cid:107)Y1)
1
1
α(h,δ) − Ah
≤ (cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + (cid:107)A1xh,δ xh,δ α(h,δ) + Ah xh,δ α(h,δ) − f δ
1 (cid:107)Y1)
1
1
α(h,δ) − Ah
≤ (cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + (cid:107)A1xh,δ xh,δ α(h,δ)(cid:107)Y1 + (cid:107)Ah xh,δ α(h,δ) − f δ
1 (cid:107)Y1).
1
α(h,δ)(cid:107)X + (cid:107)Ah
≤ (cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + hC(cid:107)xh,δ xh,δ α(h,δ) − f δ
Suy ra
1xh,δ
X ≤ N (hC(cid:107)x0(cid:107)X + δ)2
1 (cid:107)2 Y1
α(h,δ) − f δ
α(h,δ) − x0(cid:107)2
64
(cid:107)Ah + α(h, δ)(cid:107)xh,δ
1 (cid:107)Y1,
1
α(h,δ)(cid:107)X) + 2α(h, δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1(cid:107)Ah
+2α(h, δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + hC(cid:107)xh,δ xh,δ α(h,δ) − f δ
1xh,δ
1 (cid:107)Y1
1
1 (cid:107)2 Y1
α(h,δ) − f δ
(cid:107)Ah ≤ 2α(h, δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1(cid:107)Ah xh,δ α(h,δ) − f δ
α(h,δ)(cid:107)X).
+N (hC(cid:107)x0(cid:107)X + δ)2 + 2α(h, δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + hC(cid:107)xh,δ
Mặt khác, từ bất đẳng thức
(a, b, c ≥ 0, a2 ≤ ab + c2) ⇒ a ≤ b + c,
suy ra
1xh,δ
1 (cid:107)Y1 ≤ 2α(h, δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1+
α(h,δ) − f δ
(cid:107)Ah
α(h,δ)(cid:107)X)
(cid:17)1/2 (cid:16) , N (hC(cid:107)x0(cid:107)X + δ)2 + 2α(h, δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + hC(cid:107)xh,δ
hC(cid:107)x0(cid:107)X +δ
X ≤ N
α(h,δ)(cid:107)X)
α(h,δ) − x0(cid:107)2
α(h,δ)
(cid:18) (cid:19)2 √ (cid:107)xh,δ + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + hC(cid:107)xh,δ
hC(cid:107)x0(cid:107)X +δ
1 (cid:107)Y1 ≤ N
1
α(h,δ)
(cid:19)2 (cid:18) √ +2(cid:107)ω(cid:107)Y1(cid:107)Ah xh,δ α(h,δ) − f δ
α(h,δ)(cid:107)X) + 2(cid:107)ω(cid:107)Y1 [2α(h, δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1
+2(cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + hC(cid:107)xh,δ
α(h,δ)(cid:107)X))1/2(cid:105)
. +(N (hC(cid:107)x0(cid:107)X + δ)2 + 2α(h, δ)(cid:107)ω(cid:107)Y1(δ + hC(cid:107)xh,δ
Vậy, ta có kết luận
α(h,δ) − x0(cid:107)X =
1 ≤ p < 2 (cid:107)xh,δ
O (cid:0)(h + δ)1−p/2(cid:1) O (cid:0)(h + δ)p/2(cid:1) 0 < p ≤ 1
2.4. Một số kết quả tính toán
khi α ∼ (h + δ)p. Điều phải chứng minh (cid:50)
2.4.1. Quy tắc dừng lặp và kết quả tính toán cho hệ phương
65
trình toán tử tuyến tính
Trong các mục 2.1, 2.2 và 2.3 đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho
hệ phương trình toán tử và kết quả dẫn về việc giải một phương trình
toán tử, trong trường hợp toán tử liên tục Lipschitz và đơn điệu mạnh
thì nghiệm là duy nhất, khi đó, ta có thể sử dụng các phương pháp giải
đúng hoặc giải lặp thông thường. Trong trường hợp toán tử không có
tính chất đơn điệu mạnh thì phương trình có nghiệm không duy nhất,
trong trường hợp này ta cần sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (xem
[12]) và quy tắc dừng lặp khi có nhiễu vế phải (xem[9]). Cụ thể, ta xét
phương trình toán tử
Bx = f, (2.41)
ở đây, B : H → H và thỏa mãn 2 điều kiện
(i) B có tính chất đơn điệu:
(cid:104)Bx − By, x − y(cid:105) ≥ 0, ∀x, y ∈ H; (2.42)
(ii) B có tính chất liên tục Lipschitz:
∃L > 0 : (cid:107)Bx − By(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107), ∀x, y ∈ H. (2.43)
Phương trình toán tử (2.41) có thể giải bằng phương pháp hiệu chỉnh
lặp sau (xem[12]):
(2.44) x(k+1) = x(k) − βk(Bx(k) + αk(x(k) − x(0)) − f ), x(0) = x∗.
Trong trường hợp f được xấp xỉ bởi ˜fδ và thỏa mãn
(2.45) (cid:107)f − ˜fδ(cid:107) ≤ δ,
thì ta có dãy lặp
66
(2.46) x(k+1) = x(k) − βk(Bx(k) + αk(x(k) − x(0)) − ˜fδ) , x(0) = x∗.
Để quá trình lặp kết thúc sau một số hữu hạn bước lặp ta sử dụng
nguyên lý dừng lặp (xem[9])
(2.47) (cid:107)Bx(K) − ˜fδ(cid:107)2 ≤ τ δ < (cid:107)Bx(k) − ˜fδ(cid:107)2, 0 ≤ k < K, τ > 1.
Định lý sau đây chỉ ra rằng x(K(δ)) → x0 khi δ → 0, trong đó, x0 là
nghiệm có x∗− chuẩn nhỏ nhất của (2.41).
Định lý 2.13 (xem [9]) Cho B là toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz,
dãy {αk} và {βk} thỏa mãn các giả thiết sau:
(2.48) ≤ 1, βk := cαk, c > 0 αk > 0, αk (cid:38) 0, α3 αk − αk+1 kαk+1
và
0 ≤ 1, λ :=
0 + L2 α2 2
(1 − cλ)cα2 . (2.49)
0) + 2α0
Nghiệm x0 và τ > 1 thỏa mãn điều kiện đầu √ τ − 1)2α0 , (2.50) ω := (cid:107)x0 − x(0)(cid:107) ≤ (1 + α3 [1 − cλ − (2α0/c)] ( 0) (1 + α2
thì
1. với k = 0, 1, ..., K(δ), ta có
0) c
√ (cid:105) (cid:104) c(1 − cλ − 2ω/( √ ( τ − 1)2 , l := (1 + α3 τ − 1)2) − 2α0 0) (1 + α2
≤ l, (2.51) (cid:107)z(k) − x(k)(cid:107) αk
ở đây z(k) là nghiệm của bài toán
(2.52) Bz − f + αk(z − x(0)) = 0, αk > 0,
K = K(δ) được chọn sao cho
(2.53) (cid:107)B(x(K)) − ˜fδ(cid:107)2 ≤ τ δ < (cid:107)B(x(k)) − ˜fδ(cid:107)2, 0 ≤ k ≤ K, τ > 1,
67
2. limδ→0(cid:107)x(K(δ)) − x0(cid:107) = 0 khi limδ→0K(δ) = +∞.
Sau đây là một số kết quả tính toán.
Xét hệ phương trình
(2.54) Ajx = fj, j = 1, 2,
ở đây 2 1 2 −1
, , f1 = A1 = 3 2 0 1 5 3 2 0
1 −2 −1 −2
. A2 = , f2 = −1 −2 1 0 −1 −1 −1 −3
Dễ nhận thấy hệ (2.54) có nghiệm x0 = (1; 1; 1). Vì det(Aj) = 0, j = 1, 2,
nên mỗi phương trình trong (2.54) là không chỉnh. Trên những kết quả
đạt được ở mục 2.3, ta có thể tìm nghiệm của bài toán (2.54) nhờ việc
giải bài toán tối ưu
R3 + (cid:107)A2x − f2(cid:107)2
R3 + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2
(2.55) (cid:107) A1x − f1(cid:107)2 , R3 → min R3
ở đây,
1 + x2 x2
2 + x2
3 với x = (x1; x2; x3) ∈ R3.
(cid:113) (cid:107)x(cid:107)R3 =
Giải bài toán (2.55) dẫn về tìm nghiệm của phương trình hiệu chỉnh
(2.56) Bx + α(x − x∗) = ˜f ,
ở đây,
1A1 + A∗
2A2, ˜f = A∗
1f1 + A∗
2f2, x∗ ∈ R3,
68
B = A∗
trong ví dụ này ta chọn x∗ = (0; 0; 0)
1 −2 −1 1 2 3
2 =
1 =
. , A∗ A∗ −2 1 −1 2 0 2 −1 0 −1 −1 1 0
Dễ thấy, điều kiện nguồn chỉ thỏa mãn đối với toán tử A2, tức là tồn tại
2ω. Mặt khác, ta có det(B) = 996,
ω = (−1; −1; 0) thỏa mãn x0 − x∗ = A∗
nên (2.56) là bài toán đặt chỉnh và ta hoàn toàn có thể sử dụng phương
pháp lặp Jacobi hoặc phương pháp lặp Gauss-Seidel để tìm nghiệm xα
của (2.56). Bằng cách sử dụng phương pháp lặp Jacobi với xấp xỉ đầu
x(0) = (2; 2; 2) thì sau 20 lần lặp ta thu được kết quả sau
α (cid:107)xα − x0(cid:107)R3 xα 1 xα 2 xα 3
0.1000 0.9973 0.9955 0.9774 0.0232
0.0100 0.9997 0.9995 0.9977 0.0024
0.0010 1.0000 1.0000 0.9998 0.0002
0.0001 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000
Bảng 2.1. Kết quả tính toán sau 20 lần lặp cho bài toán tuyến tính
j = fj + ∆,
Ta xét trong trường hợp toán tử có nhiễu Ah
j = Aj + H, f δ
√ 3 0 h/3 h/2 δ/
√ . H = , ∆ = δ/ 3 h/2 h h/3 √ δ/ 3 h h/4 h/4
1
α(h,δ) = (xα,h,δ
Nghiệm xh,δ ) của (2.54) có thể tìm được nhờ ; xα,h,δ 2 ; xα,h,δ 3
việc giải bài toán tối ưu
R3 + (cid:107)Ah
R3 + α(h, δ)(cid:107)x − x∗(cid:107)2
1x − f δ
1 (cid:107)2
2x − f δ
2 (cid:107)2
R3 → min R3
69
(cid:107) Ah .
Việc giải bài toán tối ưu dẫn về giải phương trình hiệu chỉnh
Bhx + α(h, δ)(x − x∗) = ˜fδ,
ở đây,
1)∗Ah
1 + (Ah
2)∗Ah
2, ˜fδ = (Ah
1)∗f δ
1 + (Ah
2)∗f δ 2 .
x∗ ∈ R3, Bh = (Ah
Bằng cách sử dụng phương pháp lặp Jacobi với xấp xỉ đầu x(0) =
(0; 0; 0) thì sau 20 lần lặp ta thu được kết quả sau
h δ α (cid:107)xh,δ xα,h,δ 1 xα,h,δ 2 xα,h,δ 3
α(h,δ) − x0(cid:107)R3 0.047467
10−1 10−1 0.2000 0.985296 0.977224 0.961036
10−2 10−2 0.0200 0.998553 0.997783 0.996333 0.004523
10−3 10−3 0.0020 0.999856 0.999779 0.999636 0.000450
10−4 10−4 0.0002 0.999986 0.999978 0.999964 0.000045
Bảng 2.2. Kết quả tính toán sau 20 lần lặp cho bài toán tuyến tính với
toán tử có nhiễu, α = (h + δ), x∗ = (0; 0; 0)
Bây giờ, ta xét một ví dụ khác với det(B) = 0, rank(B) = 3. Trong
trường hợp này các toán tử Aj và vế phải fj, j = 1, 2 được xác định như
sau 0.1 −0.2 0.1 −0.1 −0.1
0.2 −0.1 0 0.2 0.3 , A1 = , f1 = 0.3 −0.3 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 −0.1 0.3 0.4
0.1 0.2 −0.1 0.1 0.3
70
0.2 −0.1 0 0.2 0.3 , A2 = , f2 = 0 0.3 −0.2 0.4 0.5 −0.1 0.5 −0.3 0.5 0.6
0.21 −0.17 0.05 0.09
1A1 + A∗
2A2 =
−0.17 0.54 −0.29 0.37 , B = A∗
0.05 −0.29 0.17 −0.27 0.09 0.37 −0.27 0.61
0.18
1f1 + A∗
2f2 =
0.45 . f = A∗
−0.34 0.80
Tập nghiệm của (2.54) là một đường thẳng đi qua hai điểm x =
(1; 1; 1; 1) và x(cid:48) = (1; 3; 6; 2), nghiệm của (2.54) có dạng x0 = x(cid:48) +
t (x − x(cid:48)) hay có thể viết
1 0 1
1 −2 1 − 2t + t = . x0 = 1 −5 1 − 5t 1 −1 1 − t
Trong trường hợp x0 là nghiệm có x∗ - chuẩn nhỏ nhất thì t được xác
định như sau:
Chọn t sao cho
(cid:107)x0 − x∗(cid:107)R4 → min,
1; x∗
2; x∗
3; x∗
4), hay có thể viết
ở đây, x∗ = (x∗
1)2 + (1 − 2t − x∗
2)2 + (1 − 5t − x∗
3)2 + (1 − t − x∗
4)2 → min,
(1 − x∗
suy ra
3 − x∗ 4
2 − 5x∗ 30
71
8 − 2x∗ t = .
Trong Bảng 2.3 và Bảng 2.4 đưa ra kết quả tính toán với fj được thay
j = fj + ∆, j = 1, 2, ∆ = (δ/2; δ/2; δ/2; δ/2) , ˜fδ = A∗ f δ
1f δ
1 + A∗
2f δ 2 .
bởi vế phải có nhiễu
Kết quả tính toán được thực hiện theo phương pháp hiệu chỉnh lặp
(2.46)
x(k+1) = x(k) − βk(Bx(k) + αk(x(k) − x(0)) − ˜fδ) , x(0) = x∗ ∈ R4,
, k = 0, 1, 2, ..., βk = cαk, αk+1 = αk 1 + α3 k
R4, τ > 1, k = 0, 1, ...., K − 1.
với quy tắc dừng lặp (2.47)
R4 ≤ τ δ < (cid:107)Bx(k) − ˜fδ(cid:107)2
(cid:107)Bx(K) − ˜fδ(cid:107)2
Để quá trình lặp hội tụ, ta cần chọn các tham số thỏa mãn các điều
kiện (2.48), (2.49) và (2.50)
k, αk > αk+1, (1 − cλ) cα2
0 ≤ 1, λ =
0 + L2 α2 2
≤ 1 + α3 , αk αk+1
√
, (cid:107)x0 − x(0)(cid:107)R4 ≤ (cid:0)1 − cλ − 2α0 (1 + α3 (cid:1) ( c 0) (1 + α2 τ − 1)2α0 0) + 2α0
vậy chọn
0 + L2 α2 2
= 0.7068, c = = 0.7075. L = (cid:107)B(cid:107)R4 = 1.1847, α0 = 0.1, λ = 1 2λ
Để τ thỏa mãn điều kiện (2.50) ta có thể chọn
0) + 2α0]
0) (1 + α2 (cid:1) α0
c
15 và
(cid:32)(cid:115) (cid:33)2 (cid:107)x − x(0)(cid:107)R4 [(1 + α3 τ = + 1 = 133.57463. (cid:0)1 − cλ − 2 α0
15; − 1
3; 11
15
72
x0 = (cid:0)1; 7 Nếu chọn xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (0; 0; 0; 0) thì dễ thấy t = 4 (cid:1) là nghiệm x∗− chuẩn nhỏ nhất.
Với cách chọn tham số và xấp xỉ đầu như trên, ta có kết quả nghiệm
tìm được như sau:
n K x(K) 1 x(K) 2 x(K) 3 x(K) 4
1 0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
2 0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
3 16 0.177032 0.245830 −0.207462 0.545650
4 77 0.435608 0.225849 −0.259445 0.845527
5 10821 0.678054 0.280364 −0.286240 0.870472
6 439824 0.842983 0.367841 −0.310054 0.814587
7 15936490 0.940141 0.427954 −0.324409 0.766137
Bảng 2.3. Nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm x0 với nhiễu
δ = 10−n, n = 1, 2, ...
n τ δ K (cid:107)Bx(K) − ˜fδ(cid:107) (cid:107)x(K) − x0(cid:107)
1 1.089943 13.357463 1.366260 0
2 1.004651 1.335746 1.366260 0
3 0.361763 0.133575 0.881541 16
4 0.114956 0.013357 0.628154 77
5 10821 0.036548 0.001336 0.399228
6 439824 0.011567 0.000134 0.203875
7 15936490 0.003655 0.000013 0.078987
Bảng 2.4. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm x0 với nhiễu
δ = 10−n, n = 1, 2, ...
j và f δ j ,
Trong trường hợp nhiễu toán tử, Aj và fj được xấp xỉ bởi Ah
ở đây
j = Aj + H, f δ
j = fj + ∆, j = 1, 2,
73
Ah
δ/2 h/2 h/3 h/4 h/5
δ/2 h/3 h/4 h/5 h/6 , , ∆ = H =
δ/2 h/4 h/5 h/6 h/7 δ/2 h/5 h/6 h/7 h/8
1)∗Ah
1 + (Ah
2)∗Ah
2, ˜fδ = (Ah
1)∗f δ
1 + (Ah
2)∗f δ 2 .
Bh = (Ah
Để quá trình lặp x(k+1) = x(k) − βk(Bhx(k) + αk(x(k) − x(0)) − ˜fδ) hội
tụ, ta cần chọn các tham số thỏa mãn các điều kiện
k, αk > αk+1, (1 − cλ) cα2
0 + L2 α2 2
0 ≤ 1, λ = √
≤ 1 + α3 , αk αk+1
, (cid:107)x0 − x(0)(cid:107)R4 ≤ τ − 1)2α0 0) + 2α0
2λ. Để τ thỏa mãn điều
, c = 1 (cid:0)1 − cλ − 2α0 (1 + α3 vậy chọn L = (cid:107)Bh(cid:107)R4, α0 = 0.05, λ = α2 (cid:1) ( c 0) (1 + α2 0+L2 2
kiện (2.50) ta có thể chọn
0) + 2α0]
0) (1 + α2 (cid:1) α0
c
(cid:32)(cid:115) (cid:33)2 (cid:107)x − x(0)(cid:107)R4 [(1 + α3 τ = + 1 = 145.8741. (cid:0)1 − cλ − 2 α0
Vậy ta có kết quả tính toán như sau:
n K x(K) 1 x(K) 2 x(K) 3 x(K) 4
1 0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
2 0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
3 29 0.167796 0.240586 −0.200835 0.525637
4 96 0.393307 0.251553 −0.267696 0.835876
5 7009 0.670939 0.277273 −0.285218 0.871628
6 380309 0.837765 0.364742 −0.309287 0.816961
7 13912613 0.937705 0.426402 −0.324047 0.767432
Bảng 2.5. Nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm x0 với nhiễu
74
h = δ = 10−n, n = 1, 2, ...
n K τ δ (cid:107)Bhx(K) − ˜fδ(cid:107) (cid:107)x(K) − x0(cid:107)
1 0 1.155791 14.587413 1.366260
2 0 1.009850 1.458741 1.366260
3 29 0.381565 0.145874 0.896866
4 96 0.120050 0.014587 0.655113
5 7009 0.038193 0.001459 0.406930
6 380309 0.012078 0.000146 0.210430
7 13912613 0.003819 0.000015 0.082164
Bảng 2.6. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm x0 với nhiễu
h = δ = 10−n, n = 1, 2, ...
Nhận xét: Từ các kết quả tính toán trên cho thấy, mỗi phương trình toán
tử là một hệ phương trình đại số có định thức ma trận hệ số bằng không,
nên mỗi hệ đều có vô số nghiệm, vậy mỗi hệ đều là không chỉnh. Bằng
phương pháp hiệu chỉnh, hệ phương trình toán tử dẫn về một phương
trình toán tử, cụ thể ở đây là một hệ phương trình đại số tuyến tính
mà ma trận hệ số có cùng kích thước với ma trận hệ số bất kỳ một hệ
nào trong hệ bài toán. Ngoài ra, ma trận hệ số này có định thức khác
không, tức là bài toán xấp xỉ là bài toán đặt chỉnh và như vậy ta hoàn
toàn có thể tìm nghiệm bằng các phương pháp giải thông thường, các
kết quả tính toán được thể hiện ở Bảng 2.1 và Bảng 2.2 đã chỉ ra sự hội
tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ mà chỉ cần thỏa mãn điều
kiện nguồn lên một toán tử trong hệ. Trong trường hợp bài toán xấp xỉ
cho hệ phương trình có ma trận hệ số với điều kiện xấu, khi đó việc sử
dụng các phương pháp giải thông thường sẽ có sai số lớn, vậy để tìm
75
nghiệm ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp và quy tắc dừng lặp, các
kết quả số được thể hiện ở Bảng 2.3, Bảng 2.4, Bảng 2.5 và Bảng 2.6,
từ các kết quả tính toán cho thấy, nếu bỏ đi vai trò của tham số hiệu
chỉnh thì bài toán xấp xỉ lại là bài toán đặt không chỉnh và có vô số
nghiệm. Tuy nhiên, khi có mặt của tham số hiệu chỉnh thì việc giải bài
toán lại cho ta nghiệm duy nhất và nghiệm duy nhất có thể tìm được
theo ý muốn khi có phần tử x∗ đóng vai trò như là tiêu chuẩn để chọn
nghiệm.
2.4.2. Kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử phi
tuyến
Xét hệ phương trình:
(2.57) Aj(x) = fj, j = 1, 2,
2 = 2
ở đây,
2 = 0
1 + x4 x4 1 − x2 x2
A1(x) = f1 ⇔
x1x3 = 0
x1 − x2 + x3 = 0
A2(x) = f2 ⇔ 2x1 − 2x2 + x3 = 0
x1 − x2 − x3 = 0
Phương trình A1(x) = f1 có 4 nghiệm
s1 = (−1; −1; 0), s2 = (−1; 1; 0), s3 = (1; −1; 0), s4 = (1; 1; 0),
A2 là toán tử tuyến tính có rank(A2) = 2. Vậy, hệ (2.57) có 2 nghiệm
76
s1 = (−1; −1; 0), s4 = (1; 1; 0).
j = (f δ
j,1; f δ
j,2; f δ
j,3) với
Trong trường hợp vế phải fj được xấp xỉ bởi f δ
j − fj(cid:107)R3 ≤ δ, j = 1, 2,
(cid:107)f δ
√ √ √ 3; δ/ 3; δ/ 3), j = 1, 2. f δ j = fj + ∆, ∆ = (δ/
Để tìm nghiệm của (2.57), ta tìm nghiệm của bài toán tối ưu
R3 → min
R3 + (cid:107)A2x − f δ
R3 + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2
1 (cid:107)2
2 (cid:107)2
(2.58) F (x) = (cid:107)A1x − f δ
⇔
2 − f δ
1,2)2
F (x) = (x4
2 − f δ 2,1)2
1 − x2 1,1)2 + (x2 1 + x4 1,3)2 + (x1 − x2 + x3 − f δ
2,2)2 + (x1 − x2 − x3 − f δ
+(x1x3 − f δ (2.59)
2,3)2 3)2(cid:1) → min ,
2)2 + (x3 − x∗
1)2 + (x2 − x∗
+(2x1 − 2x2 + x3 − f δ +α (cid:0)(x1 − x∗
R3 3) ∈ R3, α là tham số hiệu chỉnh.
1; x∗
2; x∗
ở đây, x∗ = (x∗
Vậy, nghiệm của (2.58) là nghiệm của hệ
= 0, i = 1, 2, 3. (2.60) ∂F ∂xi
1; x∗
2; x∗
3),
Việc giải (2.60) được thực hiện bằng sơ đồ lặp Newton (xem [64])
x(k+1) = x(k) − J(x(k))−1G(x(k)), x(0) = x∗ = (x∗ g1
∂g1 ∂x1 ∂g2 ∂x1 ∂g3 ∂x1
∂g1 ∂x2 ∂g2 ∂x2 ∂g3 ∂x2
∂g1 ∂x3 ∂g2 ∂x3 ∂g3 ∂x3
ở đây, J = , G = , i = 1, 2, 3, với g2 , gi = ∂F ∂xi g3
77
việc chọn α = δ, thì sau 1000 lần lặp ta thu được kết quả sau
α(δ) − s4(cid:107)R3
α = δ (cid:107)xδ xα,δ 1 xα,δ 2 xα,δ 3
α(δ) − s1(cid:107)R3 (cid:107)xδ 3.2159
1.0000 1.1497 1.0959 1.1525 1.1662
0.1000 1.0205 1.0161 0.1467 2.8581 0.1490
0.0100 1.0022 1.0017 0.0151 2.8312 0.0154
0.0010 1.0002 1.0002 0.0015 2.8287 0.0015
0.0001 1.0000 1.0000 0.0002 2.8285 0.0002
Bảng 2.7. Kết quả tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi
tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (5; 5; 5)
α(δ) − s4(cid:107)R3
α = δ (cid:107)xδ xα,δ 1 xα,δ 2 xα,δ 3
α(δ) − s1(cid:107)R3 (cid:107)xδ 1.1101
1.0000 -0.9973 -1.2169 -1.0887 3.1764
0.1000 -0.9991 -1.0362 -0.1401 0.1447 2.8570
0.0100 -0.9999 -1.0040 -0.0145 0.0150 2.8312
0.0010 -1.0000 -1.0004 -0.0015 0.0015 2.8287
0.0001 -1.0000 -1.0000 -0.0001 0.0002 2.8285
Bảng 2.8. Kết quả tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi
tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (−5; −5; −5)
Bây giờ ta xét trường hợp hệ phương trình (2.57) có nhiễu lên các
toán tử, ta có
(1 + h)x4 (1 + h)x1 − x2 + x3
1(x) =
2(x) =
1 + x4 2 x2 1 − (1 − h)x2 2
Ah , Ah 2x1 − (2 + h)x2 + (1 + h)x3
(1 + h)x1x3 x1 − x2 − (1 + h)x3
Để tìm nghiệm của hệ phương trình
j (x) = f δ
j , j = 1, 2,
78
Ah
R3 + (cid:107)Ah
R3 → min .
ta tìm nghiệm của bài toán tối ưu
R3 + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2
1x − f δ
1 (cid:107)2
2x − f δ
2 (cid:107)2
Fh(x) = (cid:107)Ah
Bằng sơ đồ lặp Newton, ta có kết quả tính toán được cho trong Bảng
2.9 và Bảng 2.10.
α(h,δ) − s1(cid:107)R3 (cid:107)xhδ
α(h,δ) − s4(cid:107)R3
h = δ (cid:107)xhδ xα 1 xα 2 xα 3
1.0000 0.9574 1.1537 0.9288 3.0549 0.9424
0.1000 0.9993 1.0317 0.2491 2.8614 0.2511
0.0100 1.0002 1.0036 0.0291 2.8313 0.0293
0.0010 1.0000 1.0004 0.0030 2.8287 0.0030
0.0001 1.0000 1.0000 0.0003 2.8285 0.0003
Bảng 2.9. Kết quả tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi
tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (5; 5; 5) và tham số hiệu chỉnh
α = h + δ
α(h,δ) − s1(cid:107)R3 (cid:107)xhδ
α(h,δ) − s4(cid:107)R3
h = δ (cid:107)xhδ xα 1 xα 2 xα 3
1.0000 -0.7916 -1.2890 -1.0080 1.0692 3.0766
0.1000 -0.9780 -1.0519 -0.2465 0.2528 2.8607
0.0100 -0.9980 -1.0059 -0.0285 0.0291 2.8313
0.0010 -0.9998 -1.0006 -0.0029 0.0030 2.8287
0.0001 -1.0000 -1.0001 -0.0003 0.0003 2.8285
Bảng 2.10. Kết quả tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi
tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (−5; −5; −5) và tham số hiệu chỉnh
α = h + δ
Nhận xét: Kết quả trên cho thấy nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm
79
x∗- chuẩn nhỏ nhất. Trong Bảng 2.7 và Bảng 2.9, ta thấy với x(0) = x∗ =
(5; 5; 5), (cid:107)x(0) − s1(cid:107)R3 = 9.8489, (cid:107)x(0) − s4(cid:107)R3 = 7.5498, vậy nghiệm hiệu
chỉnh hội tụ về s4 là nghiệm có x∗- chuẩn nhỏ nhất. Trong Bảng 2.8 và
Bảng 2.10, x(0) = x∗ = (−5; −5; −5), (cid:107)x(0) − s1(cid:107)R3 = 7.5498, (cid:107)x(0) − s4(cid:107)R3
= 9.8489, nên nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về s1 là nghiệm có x∗− chuẩn
nhỏ nhất.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không
chỉnh với các toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert và hệ
phương trình toán tử phi tuyến với các toán tử liên tục và đóng yếu khi
giả thiết hệ phương trình có nghiệm nằm trong một tập lồi đóng, từ đó
đề xuất phương pháp hiệu chỉnh nghiệm của hệ phương trình.
Các kết quả đạt được là mở rộng phương pháp (1.4) cho hệ phương
trình đặt không chỉnh đối với trường hợp có nhiễu vế phải và nhiễu toán
tử. Chúng tôi chứng minh được sự ổn định của bài toán xấp xỉ và quy
tắc chọn tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào nhiễu vế phải, nhiễu toán
tử sao cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm của hệ (1.11), tốc độ hội
tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình (1.11) được
đánh giá khi bổ sung thêm các điều kiện lên một toán tử bất kỳ trong hệ
phương trình, bao gồm tính khả vi Fréchet, điều kiện Lipchitz lên đạo
hàm Fréchet của toán tử, điều kiện nguồn và điều kiện đối với hằng số
Lipchitz, trong khi ở các phương pháp khác đòi hỏi điều kiện lên tất cả
các toán tử và khá phức tạp.
Cuối cùng là các ví dụ tính toán số giải hệ phương trình toán tử tuyến
tính và hệ phương trình toán tử phi tuyến để minh họa cho lý thuyết
80
được trình bày trong chương này.
Chương này gồm bốn mục. Mục 3.1 giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh
cho hệ phương trình toán tử phi tuyến khi các toán tử là U − đơn điệu và
liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn
khả vi Gâteaux đều. Mục 3.2 trình bày nguyên lý tựa độ lệch chọn tham
số hiệu chỉnh. Mục 3.3 đưa ra tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh khi
chọn tham số theo nguyên lý tựa độ lệch được trình bày ở mục 3.2. Mục
3.4 là các ví dụ tính toán minh họa cho lý thuyết đưa ra ở các mục trước.
3.1. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình
với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz
trên không gian Banach
Kết quả của chương này được lấy từ các bài báo [31] và [32].
Trong mục này, các kết quả hiệu chỉnh cho hệ phương trình (1.11)
được đưa ra trong trường hợp toán tử Aj là U − đơn điệu và ngược U −
81
đơn điệu mạnh trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn
khả vi Gâteaux đều. Giả thiết toán tử Aj và vế phải fj là những đại
j , f δ
j và thỏa mãn (2.1), (2.14). Để tìm nghiệm
lượng được xấp xỉ bởi Ah
của bài toán (1.11), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìm
N (cid:88)
nghiệm của bài toán
1(x) + α˜µ
j (x) − f δ
j ) + α(x − x∗) = f δ 1 ,
j=2
Ah (Ah (3.1)
ở đây, ˜µ ∈ (0, 1) là hằng số dương cố định, α là tham số hiệu chỉnh.
Bổ đề 3.1 (xem [72]) Cho C là một tập con lồi trên không gian Banach
X có chuẩn khả vi Gâteaux đều, {xk} là tập con giới nội trong X, z ∈ C
và µ là giới hạn Banach, thì
µk(cid:107)xk − v(cid:107)2 µk(cid:107)xk − z(cid:107)2 = min v∈C
khi và chỉ khi µk (cid:104)v − z, U (xk − z)(cid:105) ≤ 0 với mọi v ∈ C.
Trong [19] chỉ ra được với toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz
trên X là m− U − đơn điệu. Cho A là toán tử m− U − đơn điệu trên X
và f ∈ X. Toán tử v = Tf (x) được xác định từ đẳng thức
A(v) + v = f + x. (3.2)
Khi đó Tf thỏa mãn các tính chất sau:
(i) D(Tf ) = X;
(ii) Tf là không giãn;
(iii) Fix(Tf ) = S, ở đây Fix(Tf ) = {x ∈ X : x = Tf (x)}.
Định lý sau chỉ ra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ
82
trong trường hợp chỉ có nhiễu vế phải.
Định lý 3.1 Cho X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn
khả vi Gâteaux đều, A1 là toán tử U − đơn điệu và liên tục Lipschitz, Aj
là toán tử ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số γj trên X, j = 2, ..., N .
Khi đó, ta có:
j ∈ X, phương trình
N (cid:88)
(i) với mỗi α > 0 và f δ
j ) + α(x − x∗) = f δ 1
j=2
(3.3) A1(x) + α˜µ (Aj(x) − f δ
có nghiệm duy nhất xδ α;
j thỏa mãn (2.1) với j = 1, ..., N , tham số α được chọn
(ii) nếu S (cid:54)= θ, f δ
α hội tụ mạnh tới x0 ∈ S và thỏa mãn
sao cho α, δ/α → 0, thì xδ
(3.4) (cid:104)x0 − x∗, U (x0 − z)(cid:105) ≤ 0, ∀z ∈ S.
Chứng minh
(i) Vì Aj là U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên X, j = 1, ..., N ,
N (cid:80) j=2
toán tử A := A1 + α˜µ Aj cũng là U − đơn điệu và liên tục Lipschitz
trên X, vậy, A cũng có tính chất m− U − đơn điệu, nên phương trình
α, với α > 0 và f δ
j ∈ X. Vì (A + α(I − x∗))(.) là U −
(3.3) có nghiệm xδ
α là duy nhất.
đơn điệu mạnh với hằng số α, nên nghiệm xδ
(ii) Không mất tính tổng quát, ta giả thiết (N − 1)α˜µ ≤ 1, từ (3.3),
N (cid:88)
ta có
α) − A1(z) + α˜µ
α) − Aj(z) − (f δ
j − fj))
j=2
(cid:104)A1(xδ (Aj(xδ
α − x∗), U (xδ
α − z)(cid:105) = (cid:104)f δ
1 − f1, U (xδ
α − z)(cid:105),
83
+α(xδ
với z ∈ S, suy ra
α − x∗, U (xδ
1 − f1, U (xδ
α − z)(cid:105) ≤
α − z)(cid:105)
N (cid:88)
(cid:104)xδ (cid:104)f δ 1 α
j − fj, U (xδ
α − z)(cid:105).
j=2
(cid:104)f δ + α˜µ α
Vì Aj là U − đơn điệu với j = 1, ..., N nên ta có
α − z(cid:107)2 ≤ (cid:104)x∗ − z, U (xδ
α − z)(cid:105) + 2
α − z(cid:107), z ∈ S.
(cid:107)xδ (cid:107)xδ δ α
α} là giới nội, nên tồn tại một hằng số dương M1 sao cho với mọi
Vậy, {xδ
α(cid:107) ≤ M1, suy ra
α, δ > 0 ta có (cid:107)xδ
α − z(cid:107)2 ≤ (cid:104)x∗ − z, U (xδ
α − z)(cid:105) + 2
(cid:107)xδ (3.5) (M1 + (cid:107)z(cid:107)), ∀z ∈ S. δ α
N (cid:88)
Từ (3.3) và Aj là liên tục Lipschitz với j = 2, ..., N , ta cũng thu được
α) − f1(cid:107) ≤ α(cid:107)xδ
α − x∗(cid:107) + α˜µ
α) − Aj(z)(cid:107) + 2δ
j=2
N (cid:88)
(cid:107)A1(xδ (cid:107)Aj(xδ
α − x∗(cid:107) + α˜µ
j=2
≤ α(cid:107)xδ (M1 + (cid:107)z(cid:107)) + 2δ. 1 γj
Suy ra
α) − f1(cid:107) = 0.
(3.6) (cid:107)A1(xδ lim α,δ/α→0
Từ (3.3) và A1 là U − đơn điệu, Aj là ngược U − đơn điệu mạnh với hằng
N (cid:88)
N (cid:88)
số γj, nên ta có
2 α) − fj(cid:107)
α) − fj, U (xδ
α − z)(cid:11)
j=2
j=2
≤ (cid:10)Aj(xδ γj(cid:107)Aj(xδ
α, U (xδ
α − z)(cid:11) + (δ/α˜µ + (N − 1)δ)(cid:107)U (xδ
α − z)(cid:107)
≤ α1−˜µ (cid:10)x∗ − xδ
84
≤ (α1−˜µ(cid:107)x∗ − z(cid:107) + (α1−˜µδ/α + (N − 1)δ))(M1 + (cid:107)z(cid:107)).
Suy ra
α) − fj(cid:107) = 0, j = 2, ..., N.
(3.7) (cid:107)Aj(xδ lim α,δ/α→0
Xét toán tử Tj = I − Aj và T fj = Tj + fj, dễ thấy z ∈ S khi và chỉ khi
j=1Fix(T fj). Vì Aj là U − đơn điệu, Tj là toán tử giả co trên X, nên
z ∈ ∩N
α(cid:107) → 0 khi α, δ/α → 0, j = 1, ..., N . Dễ thấy Λj := (2I −T fj)−1 là toán tử không
toán tử T fj cũng giả co trên X. Từ (3.6) và (3.7), ta có (cid:107)(I −T fj)xδ
giãn. Thực vậy, 2I − T fj = I + I − T fj=I + Aj − fj là U − đơn điệu mạnh
trên X. Vậy, R(2I − T fj) = X, từ (3.2), ta có
(2I − T fj)x = (I + I − T fj)x = (I + Aj)x − fj.
Toán tử Aj(.) = Aj(.) − fj là m− U − đơn điệu, (I + Aj)−1 và Λj là các
toán tử không giãn. Fix(Λj) = Fix(T fj) = Sj. Vậy,
α = (2I − T fj)xδ
α − xδ
α = Λ−1
α − xδ α
j xδ
xδ α − T fjxδ
và
α = xδ α.
j xδ
ΛjΛ−1
Suy ra
α − Λjxδ
α(cid:107) = (cid:107)ΛjΛ−1
α − Λjxδ
α(cid:107) ≤ (cid:107)Λ−1
α − xδ
α(cid:107) = (cid:107)(I − T fj)xδ
α(cid:107),
j xδ
j xδ
(cid:107)xδ
α − Λjxδ
α(cid:107) → 0 khi α, δ/α → 0.
vậy, (cid:107)xδ
α} với αk, δk/αk → 0 khi k → ∞. Ta xét hàm ϕ(x) = µk(cid:107)xk − x(cid:107)2 với mọi x ∈ X. Ta có ϕ(x) → ∞ khi (cid:107)x(cid:107) → ∞
Cho {xk} là dãy con của {xδ
và ϕ liên tục và lồi, vậy khi X là phản xạ thì tồn tại ˜z ∈ X sao cho
ϕ(˜z) = minx∈Xϕ(x). Suy ra tập
85
ϕ(x)} (cid:54)= ∅. C ∗ := {u ∈ X : ϕ(u) = min x∈X
Dễ thấy C ∗ là tập con giới nội và lồi đóng của X (xem [3]). Vì (cid:107)xk −
Λjxk(cid:107) → 0, ta có
ϕ(Λj ˜z) = µk(cid:107)xk − Λj ˜z(cid:107)2 = µk(cid:107)Λjxk − Λj ˜z(cid:107)2
≤ µk(cid:107)xk − ˜z(cid:107)2 = ϕ(˜z).
Suy ra ΛjC ∗ ⊂ C ∗, j = 1, 2, ..., N . Mặt khác, tồn tại điểm bất động của
j=1 thuộc C ∗. Thật vậy, vì X là không gian Banach phản xạ và lồi
{Λj}N
j=1Fix(Λj),
chặt, C ∗ là tập Chebyshev trong X (xem [57]), suy ra z ∈ ∩N
nên tồn tại duy nhất ˜z ∈ C ∗ sao cho
(cid:107)z − x(cid:107). (cid:107)z − ˜z(cid:107) = inf x∈C ∗
Vì z = Λjz, Λj ˜z ∈ C ∗, ta có
(cid:107)z − Λj ˜z(cid:107) = (cid:107)Λjz − Λj ˜z(cid:107) ≤ (cid:107)z − ˜z(cid:107).
i=1Fix(Λj) ∩ C ∗.
Suy ra Λj ˜z = ˜z. Vậy, tồn tại ˜z ∈ ∩N
Từ bổ đề 3.1, ta có
µk(cid:107)xk − x(cid:107)2 ⇔ µk (cid:104)x − ˜z, U (xk − ˜z)(cid:105) ≤ 0. µk(cid:107)xk − ˜z(cid:107)2 = min x∈X
Chọn x = x∗, ta có
µk (cid:104)x∗ − ˜z, U (xk − ˜z)(cid:105) ≤ 0.
Trong (3.5), chọn z = ˜z khi đó αk, δk/αk → 0 ta có
(cid:104)x∗ − ˜z, U (xk − ˜z)(cid:105) ≥ (cid:107)xk − ˜z(cid:107)2.
Suy ra µk(cid:107)xk − ˜z(cid:107)2 = 0. Mặt khác, với giới hạn Banach µ ta có
86
(cid:107)xk − ˜z(cid:107)2 ≤ µk(cid:107)xk − ˜z(cid:107)2 = 0. lim inf k→∞
Vì {xk} compact yếu trong không gian Banach phản xạ và lồi chặt, nên
tồn tại dãy con {xkj} của {xk} sao cho
(cid:107)xk − ˜z(cid:107)2 = 0. lim j→∞ (cid:107)xkj − ˜z(cid:107)2 = lim inf k→∞
Vậy {xkj} hội tụ mạnh tới ˜z khi j → ∞.
Từ (3.5) và tính liên tục yếu của chuẩn toán tử đối ngẫu U trên tập con
giới nội của X, khi α, δ/α → 0 ta có
j=1Fix(Λj).
(3.8) (cid:104)z − x∗, U (˜z − z)(cid:105) ≤ 0, ∀z ∈ S = ∩N
Vì z, ˜z ∈ S và S là tập đóng lồi, nên khi thay z trong (3.8) bởi sz+(1−s)˜z,
s ∈ (0, 1), s → 0 và sử dụng tính chất U (s(˜z − z)) = sU (˜z − z), ta có
(cid:104)˜z − x∗, U (˜z − z)(cid:105) ≤ 0, ∀z ∈ S.
α} hội tụ mạnh tới x0
Khi x0 trong (3.4) là duy nhất thì ˜z = x0. Vậy {xδ
khi α, δ/α → 0.
Trong trường hợp tổng quát, khi vế phải và toán tử có nhiễu ta có
định lý sau chỉ ra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ.
Định lý 3.2 Cho X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn
j là toán tử liên tục Lipschitz và U − đơn điệu trên
khả vi Gâteaux đều, Ah
X, thỏa mãn điều kiện (2.14), g(t) là hàm không âm và giới nội, h > 0.
Khi đó, ta có:
j ∈ X, phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất xhδ α ;
(i) α > 0, f δ
j thỏa mãn (2.1), j = 1, ..., N , tham số hiệu chỉnh α
(ii) Nếu S (cid:54)= θ, f δ
α hội tụ mạnh tới
được chọn sao cho α, (δ + h)/α → 0, khi đó xhδ
x0 ∈ S và thỏa mãn (3.4).
87
Chứng minh.
j liên tục Lipschitz và U − đơn điệu trên X, j = 1, ..., N , toán
(i) Vì Ah
N (cid:88)
tử
1(.) + α˜µ
j (.) − f δ
j ) + α(I − x∗)(.)
j=2
Ah (Ah
liên tục Lipschitz và U − đơn điệu mạnh với hằng số α. Suy ra phương
α, α > 0, h, δ > 0.
trình (3.1) có nghiệm duy nhất xδ
N (cid:88)
(ii) Từ (3.1) ta có
1(xhδ
α ) − Ah
1(z) + α˜µ
j (xhδ
α ) − Ah
j (z)) + α(xhδ
α − x∗), U (xhδ
α − z)(cid:105)
j=2
N (cid:88)
(cid:104)Ah (Ah
1 − f1 + α˜µ
j − fj), U (xhδ
α − z)(cid:105)
j=2
N (cid:88)
= (cid:104)f δ (f δ
j (z)), U (xhδ
α − z)(cid:105),
1(z) + α˜µ
j=2
(Aj(z) − Ah +(cid:104)A1(z) − Ah
ở đây z ∈ S, suy ra
1 − f1, U (xhδ
α − z)(cid:105)
α − x∗, U (xhδ
α − z)(cid:105) ≤
N (cid:88)
(cid:104)f δ (cid:104)xhδ 1 α
j − fj), U (xhδ
α − z)(cid:105)
j=2
N (cid:88)
+(cid:104)α˜µ−1 (f δ
j (z)(cid:107)(cid:107)xhδ
α − z(cid:107).
1(z)(cid:107)(cid:107)xhδ
α − z(cid:107) + α˜µ−1
j=2
+ (cid:107)Aj(z) − Ah (cid:107)A1(z) − Ah 1 α
j là U − đơn điệu, nên ta có
Vì Ah
α − z(cid:107)2 ≤ (cid:104)x∗ − z, U (xhδ
α − z)(cid:105) + 2
α − z(cid:107), ∀z ∈ S,
(cid:107)xhδ (cid:107)xhδ δ + hg((cid:107)z(cid:107)) α
α } giới nội, nên tồn tại hằng số M2 > 0 sao cho (cid:107)xhδ
α (cid:107) ≤ M2,
suy ra {xhδ
với mọi α, δ, h > 0 và thỏa mãn (h + δ)/α → 0, suy ra ∀z ∈ S, ta có
α − z(cid:107)2 ≤ (cid:104)x∗ − z, U (xhδ
α − z)(cid:105) + 2
88
(cid:107)xhδ (3.9) (M2 + (cid:107)z(cid:107)). δ + hg((cid:107)z(cid:107)) α
N (cid:88)
Từ (3.1) và (N − 1)α˜µ ≤ 1, ta có
1(xhδ
α ) − f1(cid:107) ≤ α(cid:107)xhδ
α − x∗(cid:107) + α˜µ
j (xhδ
α ) − Aj(z)(cid:107)
j=2
(cid:107)Ah (cid:107)Ah
N (cid:88)
+(1 + (N − 1)α˜µ)δ
α − x∗(cid:107) + α˜µ
j (xhδ
α ) − Aj(xhδ
α )(cid:107)
j=2
N (cid:88)
≤ α(cid:107)xhδ (cid:107)Ah
α ) − Aj(z)(cid:107) + 2δ
j=1
N (cid:88)
+α˜µ (cid:107)Aj(xhδ
α − x∗(cid:107) + hg((cid:107)xhδ
α (cid:107)) + α˜µ
α − z(cid:107) + 2δ
j=2
N (cid:88)
≤ α(cid:107)xhδ (cid:107)xhδ 1 γj
α − x∗(cid:107) + hgm + α˜µ
j=2
≤ α(cid:107)xhδ (M2 + (cid:107)z(cid:107)) + 2δ, 1 γj
ở đây, gm = sup{g(s) : s ∈ (0, M2)}, α, (h + δ)/α → 0. Suy ra
1(xhδ
α ) − f1(cid:107) = 0.
(cid:107)Ah lim α,(h+δ)/α→0
Vậy, từ (2.14), ta có
α ) − f1(cid:107) = 0.
(cid:107)A1(xhδ lim α,(h+δ)/α→0
Tương tự như trong chứng minh định lý 3.1, ta cũng thu được
α ) − fj(cid:107) → 0, j = 2, ..., N và xhδ
α → x0 khi α, (h + δ)/α → 0.
3.2. Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh
(cid:107)Aj(xhδ
Đối với việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của
bài toán ban đầu bao gồm hai bước cơ bản là tìm phương pháp hiệu
89
chỉnh và chọn tham số hiệu chỉnh dựa vào thông tin của bài toán, nếu
tham số hiệu chỉnh chỉ phụ thuộc vào sai số thì được gọi là tham số hiệu
chỉnh tiên nghiệm, trong trường hợp tham số không chỉ phụ thuộc vào
sai số của bài toán mà còn phụ thuộc vào dữ kiện của bài toán ban đầu
thì tham số hiệu chỉnh đó được gọi là tham số hậu nghiệm. Nhìn chung,
chọn tham số hậu nghiệm cho kết quả tốt hơn tham số tiên nghiệm khi
ta sử dụng thêm thông tin về nghiệm của bài toán, vấn đề chọn tham
số hậu nghiệm cho bài toán (1.11) khi N = 1 với nhiễu vế phải đã được
Alber,Ya.I. (xem [5]) xét đến bằng nguyên lý độ lệch cổ điển chọn tham
số hiệu chỉnh từ hệ thức
α) − fδ(cid:107) = Kδp, K > 1, 0 < p ≤ 1.
(cid:107)A(xδ
Mở rộng kết quả trên, chúng tôi đưa ra nguyên lý tựa độ lệch chọn
tham số hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử khi sử dụng phương
pháp hiệu chỉnh (3.1), nội dung chính của nguyên lý này là chọn tham
số hiệu chỉnh từ hệ thức
ρ(α) = K(h + δ)p, K > 2, 0 < p ≤ 1,
ở đây,
α − x∗(cid:107).
ρ(α) ≡ α(cid:107)xhδ
Sau đây là kết quả lý thuyết được dùng để chứng minh cho sự hội tụ
của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình khi chọn tham số
hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch.
α − x∗(cid:107) có các tính chất sau:
Bổ đề 3.2 ρ(α) ≡ α(cid:107)xhδ
90
(i) ρ(α) liên tục trên (α0, +∞) với α0 > 0;
N (cid:88)
(ii) Nếu
j (x∗) − f δ
j )(cid:107) > 0, h, δ ≥ 0,
j=2 thì limα→+∞ρ(α) = +∞. Trong đó A0
j ≡ Aj, f 0
j ≡ fj.
(cid:107) (Ah (3.10)
Chứng minh
N (cid:88)
N (cid:88)
Cho α, β ∈ (α0, +∞), từ (3.1) ta có
1(xhδ
α ) − Ah
1(xhδ
β ) + α˜µ
j (xhδ
α ) − f δ
j ) − β ˜µ
j (xhδ
β ) − f δ j )
j=2
j=2
Ah (Ah (Ah
α − x∗) − β(xhδ
β − x∗) = 0.
+α(xhδ
Suy ra
α − xhδ
β , U (xhδ
α − xhδ
β )(cid:11) − (β − α) (cid:10)xhδ
β , U (xhδ
α − xhδ
β )(cid:11)
N (cid:88)
α (cid:10)xhδ
j (xhδ
α ) − Ah
j (xhδ
β ), U (xhδ
α − xhδ
β )(cid:11)
j=2
N (cid:88)
(cid:10)Ah +α˜µ
j (xhδ
β ) − f δ
j , U (xhδ
α − xhδ
β )(cid:11) = 0.
j=2
(cid:10)Ah −(β ˜µ − α˜µ)
Vậy, ta có
α − x∗(cid:107) − (cid:107)xhδ
α − xhδ β (cid:107)
β − x∗(cid:107) |≤ (cid:107)xhδ N (cid:88)
| (cid:107)xhδ
j (xhδ
β ) − f δ
j (cid:107).
β (cid:107) +
j=2
(cid:107)Ah (cid:107)xhδ ≤ (cid:12)α˜µ − β ˜µ(cid:12) (cid:12) (cid:12) α0 |α − β| α0
Bất đẳng thức trên cho thấy ρ(α) liên tục tại β ∈ (α0, +∞).
N (cid:88)
Từ phương trình hiệu chỉnh (3.1) ta có
j (x∗))
α ) − Ah
j (xhδ
1(x∗) + α˜µ
α ) − Ah
1(xhδ
j=2
N (cid:88)
(Ah Ah
α − x∗) = f δ
1 − Ah
1(x∗) + α˜µ
j − Ah
j (x∗)).
j=2
91
+α(xhδ (f δ
N (cid:88)
Suy ra
1(xhδ
α ) − Ah
1(x∗), U (xhδ
α − x∗)(cid:11)+α˜µ
j (xhδ
α ) − Ah
j (x∗), U (xhδ
α − x∗)(cid:11)
j=2
(cid:10)Ah (cid:10)Ah
α − x∗, U (xhδ
α − x∗)(cid:11)
N (cid:88)
+α (cid:10)xhδ
1 − Ah
1(x∗), U (xhδ
α − x∗)(cid:11) + α˜µ
j − Ah
j (x∗), U (xhδ
α − x∗)(cid:11).
j=2
= (cid:10)f δ (cid:10)f δ
Sử dụng tính chất U − đơn điệu của toán tử, ta suy ra
1 − Ah
1(x∗), U (xhδ
α − x∗)(cid:11)
α − x∗, U (xhδ
α − x∗)(cid:11) ≤
N (cid:88)
(cid:10)xhδ (cid:10)f δ 1 α
j − Ah
j (x∗), U (xhδ
α − x∗)(cid:11).
j=2
(cid:10)f δ +α˜µ−1
Vậy ta có
N (cid:88)
1(x∗)(cid:107)
α − x∗(cid:107) ≤
j − Ah
j (x∗)(cid:107),
1 − Ah α
j=2
(cid:107)f δ (cid:107)xhδ (cid:107)f δ + 1 α1−˜µ
Suy ra
α − x∗(cid:107) = 0.
(cid:107)xhδ (3.11) lim α→+∞
N (cid:88)
Từ (3.1), ta có
1(xhδ
α ) − f δ
1 + α(xhδ
α − x∗)(cid:107) = α˜µ(cid:107)
j (xhδ
α ) − f δ
j )(cid:107).
j=2
(cid:107)Ah (Ah
N (cid:88)
Suy ra
α − x∗(cid:107) ≥ α˜µ(cid:107)
j (xhδ
α ) − f δ
j )(cid:107)−(cid:107)Ah
1(xhδ
α ) − f δ
1 (cid:107). (3.12)
j=2
ρ(α) ≡ α(cid:107)xhδ (Ah
Từ (3.11), (3.12) và tính liên tục của toán tử Aj suy ra
ρ(α) = +∞. lim α→+∞
Định lý sau đây chỉ ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý
92
tựa độ lệch.
Định lý 3.3 Cho x∗ ∈ X \ S thỏa mãn (3.10). Khi đó, ta có:
(i) tồn tại ¯α = α(h, δ) sao cho
¯α ≥ , z ∈ S (3.13) (K − 2)(δ + h)p 2(cid:107)x∗ − z(cid:107)
và
¯α (cid:107))](δ + h)p, K > 2, p ∈ (0, 1],
ρ(¯α) = [K + 2g((cid:107)xhδ (3.14)
¯α là nghiệm của (3.1) khi thay α = ¯α;
ở đây, xhδ
(ii) khi h, δ → 0 thì: 1) ¯α → 0; 2) nếu p ∈ (0, 1) thì (δ + h)/α → 0 và
α (cid:42) x0 và (δ + h)/α ≤ C, C > 0.
xhδ α → x0 ∈ S; 3) nếu p = 1, U liên tục yếu theo dãy và S = {x0} thì xhδ
Chứng minh
j , ta có
(i) Từ (3.1) và tính chất U − đơn điệu của toán tử Ah
α − x∗, U (xhδ
α − z)(cid:11) ≤
α (cid:107)))(1+(N −1)α˜µ)(cid:107)xhδ
α − z(cid:107), z ∈ S.
(cid:10)xhδ (δ+hg((cid:107)xhδ 1 α
Suy ra
α (cid:107)))(1 + (N − 1)α˜µ).
α − z(cid:107) ≤ (cid:107)x∗ − z(cid:107) +
(δ + hg((cid:107)xhδ (cid:107)xhδ 1 α
Vậy ta có
α − x∗(cid:107) ≤ 2α(cid:107)x∗ − z(cid:107) + (δ + hg((cid:107)xhδ
α (cid:107)))(1 + (N − 1)α˜µ).
α(cid:107)xhδ (3.15)
Dễ thấy, với mỗi h, δ > 0 và α đủ nhỏ, ta luôn có
2α(cid:107)x∗ − z(cid:107) < (K − 2)(δ + h)p.
Chọn α đủ nhỏ sao cho (N − 1)α˜µ ≤ 1, khi đó, từ (3.15) suy ra
α − x∗(cid:107) < (K − 2)(δ + h)p + (δ + hg((cid:107)xhδ < (K − 2)(δ + h)p + (1 + g((cid:107)xhδ
α (cid:107)))2 α (cid:107)))2(δ + h)p.
93
ρ(α) ≡ α(cid:107)xhδ
Vậy, ta có
α (cid:107)))(δ + h)p.
ρ(α) < (K + 2g((cid:107)xhδ (3.16)
Xét hàm
α (cid:107)))(δ + h)p, α ≥ α0 > 0,
d(α) = ρ(α) − (K + 2g((cid:107)xhδ
Theo kết quả của Bổ đề 3.2, ta có
(3.17) d(α) = +∞ − (K + 2g((cid:107)x∗(cid:107)))(δ + h)p = +∞. lim α→+∞
Từ (3.16), (3.17) và tính liên tục của d(α) ta suy ra tồn tại ¯α sao cho
d(¯α) = 0, kết luận (i) của định lý được chứng minh.
(ii) Để chứng minh ¯α → 0 khi h, δ → 0, bằng phương pháp phản
chứng, ta giả sử có hai khả năng xảy ra:
(1) Tồn tại ¯αk = α(hk, δk) → +∞, hk, δk → 0 khi k → +∞.
(2) Tồn tại ¯αk = α(δk, hk) → C0, C0 > 0, hk, δk → 0 khi k → +∞.
Xét trường hợp (1):
¯α − x∗(cid:107) và Bổ đề 3.2, ta có
Từ (3.11), (3.14), ρ(¯α) = ¯α(cid:107)xhδ
¯α − x∗(cid:107) = lim k→+∞
= 0. (3.18) (cid:107)xhkδk lim k→+∞ ρ(¯αk) ¯αk
N (cid:88)
Từ (3.1), ta có
j )(cid:107) − (cid:107)Ahk
j (xhkδk ¯αk
1 (xhkδk ¯αk
j=2
) − f δk (Ahk ) − f δk 1 (cid:107) ¯α˜µ k(cid:107)
(cid:107)))(hk + δk)p, ≤ ¯αk(cid:107)xhkδk ¯αk − x∗(cid:107) = ρ(¯αk) = (K + 2g((cid:107)xhkδk ¯αk
kết hợp (3.10), (3.18), dễ thấy khi ¯αk → +∞ và hk + δk → 0 ta thu được
kết quả +∞ ≤ 0.
94
Xét trường hợp (2):
− x∗(cid:107) ta có Từ (3.14), tính giới nội của hàm g(t) và ρ(¯αk) = ¯αk(cid:107)xhδ ¯αk
− x∗(cid:107) = 0. (cid:107)xhδ ¯αk lim k→∞ ρ(¯αk) = C0 lim k→∞
N (cid:88)
Từ (3.1)
1 + ¯α˜µ
k
j (xhkδk αk
j ) + ¯αk(xhkδk ¯αk
1 (xhkδk ¯αk
j=2
(Ahk ) − f δk Ahk ) − f δk − x∗) = 0.
N (cid:88)
˜µ
Khi k → +∞, ta có
j=2
N (cid:88)
˜µ
(3.19) A1(x∗) − A1(z) + C0 (Aj(x∗) − Aj(z)) = 0, z ∈ S,
j=2
(cid:104)A1(x∗) − A1(z), U (x∗ − z)(cid:105) + C0 (cid:104)Aj(x∗) − Aj(z), U (x∗ − z)(cid:105) = 0.
Vì Aj, j = 1, ..., N là các toán tử U − đơn điệu và Aj, j = 2, ..., N có tính
N (cid:88)
˜µ
chất ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số γj, j = 2, ..., N nên ta có
j=2
N (cid:88)
˜µ
0 = (cid:104)A1(x∗) − A1(z), U (x∗ − z)(cid:105) + C0 (cid:104)Aj(x∗) − Aj(z), U (x∗ − z)(cid:105)
j=2
≥ C0 γj(cid:107)Aj(x∗) − Aj(z)(cid:107), z ∈ S.
Suy ra
(cid:107)Aj(x∗) − Aj(z)(cid:107) = 0, j = 2, ..., N.
j=2Sj. Theo (3.19), ta có A1(x∗) − A1(z) = 0, z ∈ S, điều này
Vậy, x∗ ∈ ∩N
có nghĩa là x∗ ∈ S1, suy ra x∗ ∈ S, điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy ta có kết luận ¯α → 0 khi h, δ → 0.
Từ (3.13), ta có
95
(3.20) (h + δ)/¯α ≤ 2(δ + h)1−p(cid:107)x∗ − z(cid:107)/(K − 2), z ∈ S,
vì x∗ (cid:54)∈ S, suy ra trong trường hợp p ∈ (0, 1) thì (h + δ)/α → 0 khi
α → x0 ∈ S và thỏa mãn
h, δ → 0, theo kết quả của Định lý 3.2, ta có xhδ
(3.4).
Khi p = 1, thì từ (3.20) suy ra (δ + h)/¯α ≤ C := 2(cid:107)x∗ − z(cid:107)/(K −
2), z ∈ S. Theo (3.15), ta có
α − x∗(cid:107) ≤ 2(cid:107)x∗ − z(cid:107) +
α (cid:107))(1 + (N − 1)α˜µ)
(cid:107)xhδ (δ + hg((cid:107)xhδ 1 α
α (cid:107))}(1 + (N − 1)α˜µ)
. ≤ 2(cid:107)x∗ − z(cid:107) + max{1; g((cid:107)xhδ h + δ α
α } giới nội. Mặt khác, X có
Vì α(h, δ) → 0, (h + δ)/α ≤ C nên {xhδ
α } hội tụ yếu tới
αk
} của {xhδ tính phản xạ nên tồn tại dãy con {xk := xhkδk
N (cid:88)
x∞ ∈ X khi k → ∞. Theo (3.1) ta có
1 (xk) − A1(xk) + f1 − f δk
1 + α˜µ
j (xk) − f δk
j ) + αk(xk − x∗)(cid:107)
k
j=2
(cid:107)Ahk (Ahk
= (cid:107)f1 − A1(xk)(cid:107).
N (cid:88)
Suy ra
j (xk) − f δk
j (cid:107) + αk(cid:107)xk − x∗(cid:107) + hkg((cid:107)xk(cid:107)),
j=2
(cid:107)Ahk (cid:107)A1(xk) − f1(cid:107) ≤ δk + α˜µ k
Vậy, limk→∞(cid:107)A1(xk) − f1(cid:107) = 0, suy ra A1(x∞) = f1.
Vì Aj có tính chất ngược U − đơn điệu mạnh với hằng số γj và A1 là
toán tử U − đơn điệu, nên
j (xk) + f δk
j − fj)
N (cid:80) j=2
(Aj(xk) − Ahk γj(cid:107)Aj(xk) − fj(cid:107)2 ≤ (cid:42) N (cid:80) j=2 (cid:69) +α1−˜µ k
k (cid:107)xk − x∗(cid:107))(cid:107)xk − x∞(cid:107).
96
(xk − x∗), U (xk − x∞) ≤ ((N − 1)(δk + hkg((cid:107)xk(cid:107))) + α1−˜µ
Vậy, limk→∞(cid:107)Aj(xk) − fj(cid:107) = 0, j = 2, ..., N , suy ra
Aj(x∞) = fj, j = 2, ..., N, x∞ ∈ S.
Theo giả thiết (1.11) tồn tại nghiệm duy nhất x0, nên x∞ = x0 và
xhδ α (cid:42) x0 khi h, δ → 0.
Trong trường hợp hệ phương trình chỉ có nhiễu vế phải, chúng tôi
cũng đạt được các kết quả tương tự và đã được đăng trên tạp chí Zhurnal
Vychisl. Math. i Math. Fiz (Tạp chí Toán học tính toán và Vật lý Toán,
3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
xem [32]).
Để đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, ta giả thiết
1(x0)∗U (y − x0)(cid:107) ≤ γ(cid:107)A1(y) − A1(x0)(cid:107), (3.21)
(cid:107)A1(y) − A1(x0) − QA(cid:48)
ở đây, y là phần tử thuộc lân cận của tập nghiệm S, γ > 0, Q là toán tử
đối ngẫu chuẩn tắc của X ∗. Định lý sau chỉ ra tốc độ hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh về nghiệm của hệ.
Định lý 3.4 Giả thiết:
(i) A1 khả vi Fréchet và thỏa mãn (3.21);
1(x0)ω;
(ii) tồn tại phần tử ω ∈ X sao cho x∗ − x0 = A(cid:48)
(iii) tham số hiệu chỉnh α được chọn theo Định lý 3.3.
Khi đó, với mỗi 0 < p < 1 ta có
α − x0(cid:107) = O((h + δ)ν), ν = min{1 − p; ˜µp/2}.
(cid:107)xhδ
97
Chứng minh.
j và các điều kiện của
Từ (3.1), tính chất U − đơn điệu của toán tử Ah
định lý, ta có
α − x0(cid:107)2 = (cid:10)xhδ
α − x0, U (xhδ
α − x0)(cid:11)
N (cid:88)
(cid:107)xhδ
1 − Ah
1(xhδ
α ) + α˜µ
j − Ah
j (xhδ
α )), U (xhδ
α − x0)(cid:105)
j=2
(cid:104)f δ (f δ = 1 α
α − x0)(cid:11)
(3.22) + (cid:10)x∗ − x0, U (xhδ
α (cid:107)))(1 + (N − 1)α˜µ)(cid:107)xhδ
α − x0(cid:107) + (cid:10)x∗ − x0, U (xhδ
α − x0)(cid:11) .
≤ (δ + hg((cid:107)xhδ 1 α
α → x0 ∈ S, ta có
Từ (3.21) và xhδ
α − x0)(cid:11) = (cid:10)ω, A(cid:48) ≤ (cid:107)ω(cid:107)(cid:107)A(cid:48)
1(x0)∗U (xhδ 1(x0)∗U (xhδ
α − x0)(cid:11) α − x0)(cid:107)
(cid:10)x∗ − x0, U (xhδ
và
1(x0)∗U (xhδ
1(x0)∗U (xhδ
α − x0)(cid:107) = (cid:107)QA(cid:48)
α − x0)(cid:107),
(cid:107)A(cid:48)
1(x0)∗U (xhδ
α ) − A1(x0) − QA(cid:48)
α − x0)(cid:107) ≤ γ(cid:107)A1(xhδ
α ) − A1(x0)(cid:107).
(cid:107)A1(xhδ
Vì
1(x0)∗U (xhδ
α − x0)(cid:107) − (cid:107)A1(xhδ
α ) − A1(x0)(cid:107)
(cid:107)QA(cid:48)
1(x0)∗U (xhδ
α ) − A1(x0) − QA(cid:48)
α − x0)(cid:107),
≤ (cid:107)A1(xhδ
nên
1(x0)∗U (xhδ
α − x0)(cid:107) ≤ (γ + 1)(cid:107)A1(xhδ
α ) − f1(cid:107)
(cid:107)A(cid:48)
α (cid:107)) + (cid:107)Ah
1(xhδ
α ) − f δ
1 (cid:107))
≤ (γ + 1)(δ + hg((cid:107)xhδ
α (cid:107)) + α(cid:107)xhδ
α − x∗(cid:107) + α˜µ
α ) − f δ
j (xhδ
j (cid:107)).
N (cid:80) j=2
≤ (γ + 1)(δ + hg((cid:107)xhδ (cid:107)Ah
Từ (3.22) ta có
α − x0(cid:107)2 ≤
α (cid:107))}(δ + h)(1 + (N − 1)α˜µ)(cid:107)xhδ
α − x0(cid:107)
98
(cid:107)xhδ max{1; g((cid:107)xhδ 1 α
α − x0)(cid:11) ,
+ (cid:10)x∗ − x0, U (xhδ
suy ra
α − x0(cid:107)2 ≤
α (cid:107))}(δ + h)(1 + (N − 1)α˜µ)(cid:107)xhδ
α − x0(cid:107)
(cid:107)xhδ max{1; g((cid:107)xhδ 1 α
α (cid:107)) + α(cid:107)xhδ
α − x∗(cid:107)
N (cid:88)
+(cid:107)ω(cid:107)(γ + 1)(δ + hg((cid:107)xhδ (3.23)
j (xhδ
α ) − f δ
j (cid:107)),
j=2
+α˜µ (cid:107)Ah
ở đây,
α (cid:107)) ≤ (1 + g((cid:107)xhδ
α (cid:107)))(h + δ)p ≤ (1 + g((cid:107)xhδ
α (cid:107)))(h + δ)˜µp,
δ + hg((cid:107)xhδ
α − x∗(cid:107) = (K + 2g((cid:107)xhδ
α (cid:107)))(δ + h)˜µp,
α(cid:107)xhδ
α (cid:107)))(δ + h)p ≤ (K + 2g((cid:107)xhδ α − x∗(cid:107)˜µ(δ + h)˜µp.
α (cid:107)))˜µ/(cid:107)xhδ
α˜µ = (K + 2g((cid:107)xhδ
Vậy từ (3.23) suy ra
α − x0(cid:107)2 ≤ C1(h + δ)1−p(cid:107)xhδ
α − x0(cid:107) + C2(h + δ)˜µp, C1 > 0, C2 > 0.
(cid:107)xhδ
Mặt khác
a, b, c ≥ 0, s > t, as ≤ bat + c ⇒ as = O(bs/(s−t) + c),
vậy, ta thu được
α − x0(cid:107) = O((h + δ)ν), ν = min{1 − p; ˜µp/2}.
3.4. Một số kết quả tính toán
(cid:107)xhδ
Để minh họa cho lý thuyết hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử U −
đơn điệu và liên tục Lipschitz trong các mục trước, ta xét bài toán tìm
nghiệm của hệ phương trình
99
(3.24) F ( (cid:104)Bjx, x(cid:105))Bj(x) = fj, j = 1, 2, 3, 1 2
ở đây, F : R → R được chọn như sau:
0, t ≤ a0
t−a0 ε
F (t) = , a0 < t ≤ a0 + ε
1, t > a0 + ε
trong đó, a0 là hằng số dương, ε đủ bé và Bj : L2[0, 1] → L2[0, 1] là các
1 (cid:90)
toán tử tích phân được xác định bởi
0
Bjx(t) = kj(t, s)x(s)ds, j = 1, 2, 3,
trong đó, kj(t, s), j = 1, 2, 3 là các hạch tích phân và được xác định như
sau:
t(1 − s), t ≤ s k1(t, s) = s(1 − t), s < t
(1−s)2st2 2
6
6
s2(1−s)(1−t)2 2
6
− (1−s)2t3(1+2s) + (t−s)3 t ≤ s k2(t, s) = , + (s−t)3 , s ≤ t + s2(1−t3)(2s−3) 6
k3(t, s) = ts.
j = fj + δ, δ > 0, bài
Trong trường hợp fj là đại lượng được xấp xỉ bởi f δ
toán (3.24) dẫn về việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán
j , j = 1, 2, 3.
F ( (3.25) (cid:104)Bjx, x(cid:105))Bj(x) = f δ 1 2
Giải bài toán (3.25) dẫn về tìm nghiệm của phương trình hiệu chỉnh
2 + A3(x) − f δ
3 ) + α(x − x∗) = f δ 1 ,
A1(x) + α˜µ(A2(x) − f δ
ở đây,
Aj(x) = F ( (cid:104)Bjx, x(cid:105))Bj(x), j = 1, 2, 3, 1 2
hay viết dưới dạng
100
(3.26) B(x) + α(x − x∗) = ˜fδ,
1 + α˜µ(f δ
2 + f δ
3 ).
B(x) = A1(x) + α˜µ(A2(x) + A3(x)), ˜fδ = f δ
Để giải số bài toán (3.26), ta thực hiện việc rời rạc hóa các tích phân
Bjx(t) như sau:
M −1 (cid:88)
(cid:34) (cid:35)
q=1
+ , Bjx(ti) ≈ ˜Bjxi = h kj(ti, tq)xq kj(ti, t0)x0 + kj(ti, tM )xM 2
i = 0, 1, ..., M,
x(t) ≈ ˜x = (x0; x1; ....; xM ), xi ≈ x(ti), i = 0, 1, ..., M,
ở đây, t0 = 0, tM = 1, ti = i/M, tq = q/M, h = 1/M. Vậy toán tử ˜Bj
được xác định như sau:
i,q=0; bi,q = hkj(ti, tq), i, q = 1, ..., M − 1;
˜Bj = (bi,q)M
bi,0 = hkj(ti, t0)/2; bi,M = hkj(ti, tM )/2.
Sau khi rời rạc, bài toán (3.26) đưa về dạng
(3.27) ˜B ˜x + α(˜x − ˜x∗) = ˜fδ,
(cid:104) ˜Bj ˜x, ˜x(cid:105)) ˜Bj ˜x, j = 1, 2, 3. ˜B = ˜A1 + α˜µ( ˜A2 + ˜A3), ˜Aj ˜x = F ( 1 2
Để kiểm tra nghiệm hiệu chỉnh có hội tụ về nghiệm của (3.24) hay không,
ta giả thiết (3.24) có nghiệm x(t) = 1, kết quả tính tính toán kiểm tra
sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm bài toán (3.27) được
thực hiện theo sơ đồ lặp hiệu chỉnh (xem [12])
x(k+1) = x(k) − βk( ˜Bx(k) + αk(x(k) − x(0)) − ˜fδ) , x(0) = ˜x∗ ∈ RM +1,
, k = 0, 1, 2, ..., βk = cαk, αk+1 = αk 1 + α3 k
RM +1, τ > 1, k = 0, 1, ...., K − 1.
với quy tắc dừng lặp (xem[9])
RM +1 ≤ τ δ < (cid:107) ˜Bx(k) − ˜fδ(cid:107)2
101
(cid:107) ˜Bx(K) − ˜fδ(cid:107)2
Để quá trình lặp hội tụ, ta cần chọn các tham số thỏa mãn các điều kiện
k, αk > αk+1, (1 − cλ) cα2
0 ≤ 1, λ =
0 + L2 α2 2
≤ 1 + α3 , αk αk+1
√
(cid:107)˜x − x(0)(cid:107)RM +1 ≤ , (cid:0)1 − cλ − 2α0 (1 + α3 (cid:1) ( c 0) (1 + α2 τ − 1)2α0 0) + 2α0
vậy chọn
0 + L2 α2 2
, c = , L = (cid:107) ˜B(cid:107)RM +1, α0 = 0.1, λ = 1 2λ
0) + 2α0]
(cid:32)(cid:115) (cid:33)2
0) (1 + α2 (cid:1) α0
c
. τ = + 1 (cid:107)x − x(0)(cid:107)RM +1 [(1 + α3 (cid:0)1 − cλ − 2 α0
Trong các kết quả tính toán, điểm xấp xỉ ban đầu được chọn là
, ε = 10−2, M = 50, ˜µ = . x(0) = (0.9; 0.9; ...; 0.9) ∈ RM +1, a0 = 10−3 3 1 2
Với cách chọn tham số và xấp xỉ đầu như trên, ta có kết quả nghiệm
tìm được như sau:
n K τ δ (cid:107) ˜Bx(K) − ˜fδ(cid:107) (cid:107)x(K) − x0(cid:107)
1 0 1.281316 2.702034 0.714143
2 0 0.235367 0.270203 0.714143
3 0 0.133629 0.027020 0.714143
4 3 0.048042 0.002702 0.356609
5 12461 0.016399 0.000269 0.242662
6 595071 0.005181 0.000027 0.185342
7 22343008 0.001638 0.000003 0.149496
Bảng 3.1. Kết quả tính toán về mối liên hệ giữa số lần lặp và tốc độ
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm đúng
0; x0
1; ...; x0
M ) = (1; 1; ...; 1), δ = 10−n
102
x0 = (x0
1 (cid:90)
Bây giờ ta xét trường hợp các toán tử tích phân có nhiễu
j x(t) =
0
Bh kh j (t, s)x(s)ds, j = 1, 2, 3,
j (t, s) = kj(t, s) + h(t, s), j = 1, 2, 3, 0 < h(t, s) ≤ h, ∀t, s và
ở đây, kh
h → +0. Nếu chọn nhiễu h(t, s) = h thì ta có kết quả tính toán sau:
n K τ δ (cid:107) ˜Bhx(K) − ˜fδ(cid:107) (cid:107)x(K) − x0(cid:107)
1 0 0.288198 2.771210 0.714143
2 0 0.153002 0.270602 0.714143
3 0 0.125654 0.027024 0.714143
4 3 0.047713 0.002702 0.359784
5 12420 0.016399 0.000269 0.243664
6 594816 0.005181 0.000027 0.185589
7 22341513 0.001638 0.000003 0.149560
Bảng 3.2. Kết quả tính toán về mối liên hệ giữa số lần lặp và tốc độ
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm đúng
1; ...; x0
0; x0
M ) = (1; 1; ...; 1) khi có nhiễu lên toán tử h = δ = 10−n
x0 = (x0
Nhận xét: Kết quả tính toán trên là kết quả kiểm tra sự hội tụ của
nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình đặt không chỉnh khi
cho trước nghiệm của hệ là x(t) = 1. Phương trình hiệu chỉnh (3.27) có ˜B là ma trận với điều kiện xấu, vì vậy để tìm nghiệm ta cần phải sử
dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp và quy tắc dừng lặp. Từ Bảng 3.1 và
Bảng 3.2 có thể thấy số lần lặp hiệu chỉnh phụ thuộc rất lớn vào nhiễu
δ và việc chọn xấp xỉ đầu x(0). Vì vậy, trong trường hợp đòi hỏi độ chính
xác cao cho nghiệm của bài toán thì yêu cầu thời gian tính toán tương
103
đối lớn.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không
chỉnh với các toán tử là U − đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không
gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
Các kết quả đạt được của chương này là xây dựng phương pháp hiệu
chỉnh cho hệ phương trình đặt không chỉnh phi tuyến khi có nhiễu vế
phải và nhiễu toán tử bằng cách xấp xỉ hệ phương trình bằng một phương
trình hiệu chỉnh. Chúng tôi chứng minh được phương trình hiệu chỉnh
tồn tại nghiệm duy nhất. Đề xuất nguyên lý chọn tham số hiệu chỉnh
α phụ thuộc vào nhiễu vế phải, nhiễu lên toán tử sao cho nghiệm hiệu
chỉnh hội tụ về nghiệm của hệ mà không cần tính liên tục yếu theo dãy
của các toán tử, nguyên lý này được gọi là nguyên lý tựa độ lệch. Tốc độ
hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình được đánh
giá khi bổ sung thêm các điều kiện đặt lên một toán tử bất kỳ trong hệ
phương trình mà không đòi hỏi điều kiện lên tất cả các toán tử. Cuối
cùng, chúng tôi đưa ra các ví dụ tính toán số để minh họa cho lý thuyết
104
được trình bày trong chương này.
Luận án này đề cập đến hai vấn đề sau:
1. Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho hệ phương trình phi
tuyến với các toán tử liên tục và đóng yếu. Các kết quả đạt được đã
chỉ ra phương pháp đưa hệ phương trình đặt không chỉnh về một bài
toán đặt chỉnh, việc giải bài toán xấp xỉ được thực hiện bằng phương
pháp Newton. Ngoài ra, sự ổn định và sự hội tụ của nghiệm bài toán đặt
chỉnh về nghiệm của hệ phương trình cũng được chứng minh nhờ tính
chất liên tục và đóng yếu của toán tử. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu
chỉnh về nghiệm của hệ phương trình được đưa ra khi bổ sung thêm các
điều kiện lên một toán tử bất kỳ trong hệ phương trình, bao gồm tính
khả vi Fréchet, điều kiện Lipchitz lên đạo hàm Fréchet của toán tử, điều
kiện nguồn và điều kiện đối với hằng số Lipchitz. Trong trường hợp đặc
biệt, khi các toán tử là tuyến tính liên tục cũng được xét đến và đã chỉ
ra được phương pháp đưa hệ phương trình đặt không chỉnh về một bài
toán đặt chỉnh. Ngoài ra, sự ổn định và sự hội tụ của nghiệm bài toán
đặt chỉnh về nghiệm của hệ phương trình cũng được chứng minh nhờ
tính chất liên tục của toán tử. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về
nghiệm của hệ phương trình được đưa ra khi bổ sung thêm điều kiện
nguồn trên một toán tử.
105
2. Trong trường hợp các toán tử có tính chất U − đơn điệu và liên tục
Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi
Gâteaux đều, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh và chỉ ra được
tính duy nhất của nghiệm hiệu chỉnh. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu
chỉnh về nghiệm của hệ phương trình được đưa ra khi tham số hiệu chỉnh
được chọn theo nguyên lý tựa độ lệch và bổ sung thêm các điều kiện lên
một toán tử bất kỳ trong hệ phương trình, bao gồm điều kiện nguồn và
tính khả vi Fréchet. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra các ví dụ tính toán số
để minh họa cho lý thuyết.
Các vấn đề cần nghiên cứu tiếp là:
1. Đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm của phương pháp hiệu chỉnh đưa
ra ở chương 2 và chương 3 cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh.
2. Nghiên cứu việc áp dụng các phương pháp lặp cho hệ phương trình
đặt không chỉnh.
3. Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh nhiều tham số cho hệ phương
106
trình toán tử đặt không chỉnh.
[1] Anh,Ph.K., Buong,Ng. (2005), Bài toán đặt không chỉnh, Nhà xuất
bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nghia,H.L. (2009), Về bài toán chụp cắt lớp của máy CT-
Scanner, [http://tailieu.vn/xem-tai-lieu/ve-bai-toan-chup-cat-lop-
cua-may-ct-scanner.41697.html, truy cập ngày 11/10/2010].
[3] Agarwal, R.P., O’Regan.D. and Sahu.D.R. (2009), Fixed point the-
ory for Lipschitz type mappings with applications, Springer.
[4] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P. (1979), On solutions of nonlinear prob-
lems involving monotone discontinuous operators, Uravnenia.
[5] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P. (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems
of Monotone Types, Springer verlag Publishers.
[6] Andrew,J.K., Michael,Z. (2004), Convex functional analysis, Ger-
many.
[7] Anh,Ph.K., Chung,C.V. (2009), Parallel iterative regularization
methods for solving systems of ill-posed equations, Appl. Math. Com-
put, 212(2), 542-550.
[8] Bakushinky,A.B., Goncharsky,A. (1994), Ill-posed problems: Theory
107
and Aplications, Kluwer Academic.
[9] Bakushinky,A.B., Smirnova,A. (2006), A posteriori stopping rule for
regularized fixed point iterations, Nonl. Anal, 64(6), 1255-1261.
[10] Bakushinky,A.B., Smirnova,A. (2005), On application of general-
ized discrepancy principle to iterative methods for nonlinear ill-posed
problems, Numer. Funct. Anal. Optim, 26(1), 35-48.
[11] Bakushinsky,A.B. (1992), The Problem of the convergence
of the iteratively regularized Gauss-Newton method, Com-
put.Math.Math.Phys, 32(9), 1353-1359.
[12] Bakushinsky,A.B., Poljak,B.T. (1974), The solution of variational
inequalities, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1038-1041 (in Russian).
[13] Barbu,V. (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in
Banach spaces, Noordhoff Internal. Publ. Leyden Netherlands. Ed.
Acad. Bucurest, Romania.
[14] Barbu,V. (1975), Convexity and optimization in Banach spaces, Ed-
itura Academiei R.S.R. Bucurest.
[15] Baumeister,J., Kaltenbacher,B., Leitão,A. (2010), On Levenberg-
Marquardt - Kaczmarz methods for regularizing systems of nonlinear
ill-posed equations, Inverse Problems and Imaging, 335-350.
[16] Boonchari,D., Saejung,S. (2009), Weak and strong convergence the-
orems of an implicit iteration for a countable family of continuous
pseudocontractive mappings, Journal of Computational and Applied
108
Mathematics, 233(4), 1108-1116.
[17] Browder,F.E. (1966), Existence and approximation of solutions of
nonlinear variational inequalities, Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A,
56(4), 1080-1086.
[18] Browder,F.E., Petryshyn,W.V. (1967), Construction of fixed points
of nonlinear mappings in Hilbert spaces, J. Math. Anal. Appl, 20(2),
197-228.
[19] Browder,F.E. (1967), Nonlinear mapping of nonexpansive and accre-
tive type in Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 73(6), 875-882.
[20] Browder,F.E. (1964), Continuity properties of monotone nonlinear
operators in Banach spaces, Bull. AMS, 70(4), 551-553.
[21] Bryan,P.R., Martin,A.Y. (2006), Linear functional analysis,
Springer, London.
[22] Buong,Ng. (2006), Regularization for unconstrained vector optimiza-
tion of convex functionals in Banach spaces, Zh. Vychisl. Mat. i Mat.
Fiziki, 46(3), 372-378.
[23] Buong,Ng. (1992), Projection - regularization method and ill-
posedness for equations involving accretive operators, Vietnamese
Math. J, 20(1), 33-39.
[24] Buong,Ng. (2004), Generalized discrepancy principle and ill-posed
equations involving accretive operators, J. Nonlinear Functional
109
Analys and Appl, Korea, 9, 73-78.
[25] Buong,Ng. (2004), Convergence rates in regularization for nonlin-
ear ill-posed equations under m-accretive perturbations, Zh. Vychisl.
Mat. i Mat. Fiziki, 44(3), 397-402.
[26] Buong,Ng. (2004), On nonlinear ill-posed accretive equations,
Southest Asian Bull. of Math, 28(1), 1-6.
[27] Buong,Ng., Dung,N.D. (2012), Convergence Rates in Regularization
for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied
Mathematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310.
[28] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solu-
tion of a system of ill-posed equations involving linear bounded map-
pings with perturbative data, Thainguyen University Journal of Sci-
ence and Technology, 83(7), 73 - 79.
[29] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solu-
tion of a system of ill-posed equations involving linear bounded map-
pings, Applied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788.
[30] Buong,Ng., Dung,N.D. (2009), Regularization for a Common Solu-
tion of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int. Journal of
Math. Analysis, 3(34), 1693 - 1699.
[31] Buong,Ng., Dung,N.D. (2013), Regularization for a common solu-
tion of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving lip-
schitz continuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu
Hội thảo Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công
110
nghệ Thông tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012.
[32] Buong,Ng., Dung,N.D. (2014), A regularized parameter choice in
regularization for a common solution of a finite system of ill-posed
equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings,
Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiziki, 54(3), 397 - 406.
[33] Buong,Ng., Phuong,Ng.T.H. (2013), Regularization methods for
nonlinear ill-posed equations involving m- accretive mappings in Ba-
nach spaces, Iz.VUZ. Mathematica, (2), 67-74.
[34] Buong,Ng., Thuy,Ng.T.T. (2007), Iterative regularization method of
zero order for unconstrained vector optimization of convex function-
als, Kỷ yếu hội nghị khoa học kỉ niệm 30 năm thành lập Viện Công
nghệ Thông tin 27-28/12/2006, Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên
và Công nghệ, Hà Nội, 168-173.
[35] Buong,Ng., Hung,V.Q. (2005), Newton-Kantorovich iterative regu-
larization for nonlinear ill-posed equations involving accretive oper-
ators, Ukrainian Math. Zh, 57(2), 323-330 .
[36] Burger,M., Kaltenbacher.B. (2006), Regularization Newton-
Kacmarz methods for nonlinear ill-posed problems, SIAM J.
Number. Analysis, 44(1), 153-182.
[37] Ceng,L.C., Petrusel,A., Yao,J.C. (2007), Implicit iteration scheme
with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of
lipschitz pseudocontractive mappings, J. Mathematical Inequalities,
111
1(2), 249-258.
[38] Cezaro,A.D., Baumeister,J, Leitão,A. (2011), Modified iterated
Tikhonov methods for solving system of nonlinear ill-posed equa-
tions, Inverse problems and imaging, 5(1), 1-17.
[39] Cezaro,A.D., Haltmeier,M., Leitão,A., Scherzer,O. (2008), On
steepest-descent-Kaczmarz method for regularizing systems of non-
linear ill-posed equations, Applied Mathematics and Computations,
202(2), 596-607.
[40] Cioranescu,I. (1990), Geometry of Banach spaces, Duality mappings
and nonlinear problems, Kluwer Acad. Publ, Dordrecht.
[41] Ekeland,I., Temam,R. (1976), Convex Analysis and Variational
Problems, North-Holland, Amsterdam, Holland.
[42] Engl,H.W., Kunish,K., Neubauer,A. (1989), Convergence rates for
Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems, Inverse
Problems, 5(4), 523-540.
[43] Fiacco,A.V., McCormick,G.P. (1968), Nonlinear programming: se-
quential unconstrained minimization techniques, New-York.
[44] Gerald,T. (2001), Nonlinear functional analysis, Wien, Austria.
[45] Hadamard,J. (1932), Le probléme de Caushy et les équations aux
dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, Paris.
[46] Haltmeier,M., Kowar,R., Leitao,A., Scherzer,O. (2007), Kacmarz
methods for nonlinear ill-posed equations I: Convergence analysis,
Inverse problem and Imaging, 1(2), 289-298, II: Application 1(3),
112
507-523.
[47] Hanke,M. (1997), A regularizing Levenberg - Marquardt scheme ,
with applications to inverse ground water filtration problems, Inverse
Problems, 13(1), 79-95.
[48] Hein,T. (2008), Convergence rates for multi - parameter regulariza-
tion in Banach spaces, International Journal of Pure and Applied
Mathematics, 43(4), 773-794.
[49] Heinz,H.B., Patrick,L.C. (2010), Convex analysis and monotone op-
erator theory in Hilbert spaces, Springer, New York.
[50] Hohage,T. (1999), Iterative Methods in Inverse Obstacle Scattering:
Regularization Theory of Linear and Nonlinear Exponentially Ill-
Posed Problems, PhD thesis, University of Linz.
[51] Ivanov,V.K. (1962), On linear ill-posed problems, Dokl. Acad. Nauk
SSSR Math (in Russian).
[52] Ivanov,V.K. (1963), On linear ill-posed problems, Math. Sbornik (in
Russian).
[53] John,K.H., Bruno,N. (2005), Applied analysis, Wordl Scientific Pub-
lishing, Singapore.
[54] Kaltenbacher,B. (1997), Some Newton type methods for the regu-
larization of nonlinear ill-posed problems, Inverse Problems, 13(3),
729-753.
[55] Kapmanov,V.G. (1986), Linear programming, Moscow, Nauka (in
113
Russian).
[56] Kinderlehrer,D., Stampacchia,G. (1980), An introduction to Vari-
ational Inequalities and Their Applications, Academic Press,
NewYork.
[57] Konyagin,C.V. (1980), On approximative properties of closed sets
in Banach spaces and the characteristics of strongly convex spaces,
Dokl. Acad. Nauk SSSR, 251(2), 276-280.
[58] Kowar.R., Scherzer.O. (2002), Convergence analysis of a Landweber-
Kaczmarz method for solving nonlinear ill-posed problems, in: S. Ro-
manov, S.I. Kabanikhin, Y.E. Anikonov, A.L. Bukhgein, Ill-Posed
and Inverse Problems, VSP Publishers, Zeist.
[59] Krein,S.G.E, Petunin.Y.I. (1966), Scales of Banach spaces, Russian
Math. Surveys, 21(2), 85-159.
[60] Lavrentiev,M.M. (1967), Some improperly posed problems in math-
ematical physics, Springer, New-York.
[61] Lerray,J., Shauder,I. (1946), Topology and functional equations, Us-
pekhiMath. Nauk, (in Russian).
[62] Morozov,V.A. (1966), Regularization of incorrectly posed problems
and the choice of regularization parameter, USSR Computational
Mathematics and Mathematical Physics, 6(1), 242-251.
[63] Neumann,J.V. (1949), On rings of operators. Reduction theory, An-
114
nals of Mathematics, 401- 485.
[64] Ortega,J.M., Rheinboldt,W.C. (1970), Interative solution of nonlin-
ear equations in serveral variable, Academic press, New York San-
Fransisco - London.
[65] Petrovsky.I.G. (1954), Lectures on partial differential equations, In-
terscience, New York.
[66] Phelps,R.R. (1989), Convex functions, monotone operators and dif-
ferentiability, Springer - Verlag, Berlin, Germany.
[67] Polak,E. (1974), Numerical methods of optimizations, Moscow, Mir,
(in Russian).
[68] Ryazantseva,I.P. (1989), On one algorithm for solving nonlinear
monotone equations with an unknown estimate input errors, Zh. Vy-
chisl. Math.i Math. Fiz. SSSR, 29(10), 1572- 1576 (in Russian).
[69] Ryazantseva,I.P. (2002), Regularization proximal point algorithm for
nonlinear equations of monotone type in Banach space, Zh. Vychisl.
Math.i Math. Fiz, 42(9), 1295-1303.
[70] Seidman,T.I., Vogel,C.R. (1989), Well-posednes and convergence of
some regularization methods for nonlinear ill-posed problems, In-
verse problems, 5(2), 227-238.
[71] Song,Y.S. (2009), An iterative process for a finite family of pseudo-
contractive mappings, Acta Mathematica Sinica, 25(2), 293-298.
[72] Takahashi,W., Ueda,Y. (1984), On Reich’s strong convergence the-
orem for resolvents of accretive operators, J.Math. Anal. Appl,
115
104(2), 546-553.
[73] Tikhonov,A.N., Arsenin,V.Y. (1977), Solution of ill-posed problems,
Wiley, N.Y.
[74] Tikhonov,A.N., Glasko,V.B. (1965), Application of regularization
methods in nonlinear problems, Zh. Vychisl. Math. i Math. Fiz.
SSSR, 5(3), 463-473 (in Russian).
[75] Tikhonov,A.N. (1963), On regularization for incorrectly posed prob-
lems, Dokl. Acad. Nauk SSSR Math, 153(1), 49 -52 (in Russian).
[76] Tikhonov,A.N. (1963), Regularization of incorrectly posed problems,
In Soviet Math. Dokl, 4(6), 1624 -1627.
[77] Tikhonov,A.N. (1963), Solution of incorrectly formulated problems
and the regularization method, Dokl. Acad. Nauk SSSR Math, 4,
1035 -1038 (in Russian).
[78] Vainberg,M.M. (1972), Variational method and method of monotone
mappings, Moscow, Nauka (in Russian).
[79] Vainberg,M.M. (1973), Variational method and methods of mono-
tone operators in the theory of nonlinear equations, Wiley, New-
York.
[80] Vasil’ev,P.P. (1980), Numerical methods for solving optimal prob-
116
lems, Moscow, Nauka (in Russian).
