Luận án Tiến sĩ Toán học: Tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine thời gian rời rạc và ứng dụng

B¸ GI(cid:129)O D(cid:214)C V(cid:128) (cid:30)(cid:128)O T(cid:132)O TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C B(cid:129)CH KHOA H(cid:128) N¸I

NGUY(cid:153)N ANH (cid:30)(cid:128)I

T(cid:157)CH CH(cid:138)P SUY R¸NG FOURIER COSINE, FOURIER SINE TH˝I GIAN R˝I R(cid:132)C V(cid:128) (cid:217)NG D(cid:214)NG

LU(cid:138)N (cid:129)N TI(cid:152)N S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

H(cid:160) Nºi - 2020

B¸ GI(cid:129)O D(cid:214)C V(cid:128) (cid:30)(cid:128)O T(cid:132)O TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C B(cid:129)CH KHOA H(cid:128) N¸I

NGUY(cid:153)N ANH (cid:30)(cid:128)I

T(cid:157)CH CH(cid:138)P SUY R¸NG FOURIER COSINE, FOURIER SINE TH˝I GIAN R˝I R(cid:132)C V(cid:128) (cid:217)NG D(cid:214)NG

Ng(cid:160)nh: To¡n h(cid:229)c

M¢ ng(cid:160)nh: 9460101

LU(cid:138)N (cid:129)N TI(cid:152)N S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

NG(cid:215)˝I H(cid:215)˛NG D(cid:136)N KHOA H¯C: PGS.TS. NGUY(cid:153)N XU(cid:133)N TH(cid:131)O

H(cid:160) Nºi - 2020

M(cid:214)C L(cid:214)C

M(cid:214)C L(cid:214)C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L˝I CAM (cid:30)OAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L˝I C(cid:131)M (cid:204)N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DANH M(cid:214)C C(cid:129)C K(cid:222) HI(cid:155)U V(cid:128) CH(cid:218) VI(cid:152)T T(cid:141)T . . . . . . . . . . M— (cid:30)(cid:134)U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 4 6 9

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1. BI(cid:152)N (cid:30)˚I FOURIER TH˝I GIAN R˝I R(cid:132)C

1.1 T‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) h» thŁng . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 T‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 C¡c h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n . . . . . . . . . . . . 1.2 Bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 T‰nh ch§t cıa bi‚n (cid:31)Œi 1.2.3 (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Wiener - Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 18 18 19 22 22 23 26

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2. T(cid:157)CH CH(cid:138)P SUY R¸NG FOURIER COSINE, FOURIER

27 28 28 28 30 33 33

SINE TH˝I GIAN R˝I R(cid:132)C 2.1 Bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c . . . . 2.1.1 Chu'n cıa d¢y th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 T‰nh ch§t 2.2 T‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . . 2.2.1 T‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c . . . . 2.2.2 T‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i

41 46 47

h(cid:160)m tr(cid:229)ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . 2.3.1 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c . . 2.3.2 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i

h(cid:160)m tr(cid:229)ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 T‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . . . . . .

52 60

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3. PH(cid:146)P BI(cid:152)N (cid:30)˚I KI(cid:154)U T(cid:157)CH CH(cid:138)P SUY R¸NG TH˝I

1

GIAN R˝I R(cid:132)C V(cid:128) PH(cid:215)(cid:204)NG TR(cid:156)NH TOEPLIZT-HANKEL R˝I R(cid:132)C 67 3.1 Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine, Fourier

67 cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i

68

3.1.2 gian r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70 3.1.3 Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian

r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i nh¥n (cid:31)(cid:176)c bi»t 3.2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel v(cid:238)i v‚ ph£i (cid:31)(cid:176)c bi»t . . . 3.2.3 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c . . . . . . . . K(cid:152)T LU(cid:138)N V(cid:128) KI(cid:152)N NGH(cid:192) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DANH M(cid:214)C C˘NG TR(cid:156)NH (cid:30)(cid:130) C˘NG B¨ C(cid:213)A LU(cid:138)N (cid:129)N . . . . T(cid:128)I LI(cid:155)U THAM KH(cid:131)O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72 74 74 83 86 95 97 98

2

L˝I CAM (cid:30)OAN

Lu“n ¡n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc vi‚t d(cid:252)a tr¶n nhœng nghi¶n cøu cıa t¡c gi£ t⁄i Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c

B¡ch khoa H(cid:160) Nºi, d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n cıa thƒy PGS.TS. Nguy„n Xu¥n Th£o.

C¡c k‚t qu£ trong lu“n ¡n n(cid:160)y l(cid:160) m(cid:238)i v(cid:160) ch(cid:247)a tłng c(cid:230)ng bŁ trong b§t k(cid:253) c(cid:230)ng

tr…nh khoa h(cid:229)c n(cid:160)o cıa t¡c gi£ kh¡c.

H(cid:160) nºi, th¡ng 11 n«m 2020

Gi¡o vi¶n h(cid:247)(cid:238)ng d¤n

T¡c gi£

PGS.TS. Nguy„n Xu¥n Th£o

Nguy„n Anh (cid:30)(cid:160)i

3

L˝I C(cid:131)M (cid:204)N

Lu“n ¡n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh t⁄i Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c B¡ch khoa H(cid:160) Nºi, d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252)

h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa h(cid:229)c t“n t…nh cıa PGS.TS. Nguy„n Xu¥n Th£o. Thƒy (cid:31)¢ d(cid:160)nh nhi•u

c(cid:230)ng søc, d¤n d›t t(cid:230)i v(cid:160)o con (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng nghi¶n cøu khoa h(cid:229)c, (cid:31)ºng vi¶n kh‰ch l» t(cid:230)i v(cid:247)æt

l¶n nhœng kh(cid:226) kh«n trong h(cid:229)c t“p v(cid:160) cuºc sŁng. Tł t“n (cid:31)¡y lÆng, em xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng

bi‚t (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh v(cid:160) s¥u s›c nh§t t(cid:238)i Thƒy v(cid:160) s‡ cŁ g›ng ph§n (cid:31)§u h(cid:236)n nœa (cid:31)” xøng

(cid:31)¡ng v(cid:238)i c(cid:230)ng lao cıa Thƒy.

T¡c gi£ xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n Vi»n To¡n øng d(cid:246)ng v(cid:160) Tin h(cid:229)c c(cid:244)ng nh(cid:247) PhÆng

(cid:30)(cid:160)o t⁄o - Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c B¡ch khoa H(cid:160) Nºi, (cid:31)¢ t⁄o m(cid:229)i (cid:31)i•u ki»n thu“n læi cho t¡c

gi£ trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) nghi¶n cøu t⁄i tr(cid:247)(cid:237)ng.

T¡c gi£ xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n s¥u s›c (cid:31)‚n GS.TSKH. V(cid:244) Kim Tu§n, Tr(cid:247)(cid:237)ng

(cid:30)⁄i h(cid:229)c West Georgia, USA v(cid:160) TS. Nguy„n Thanh H(cid:231)ng, Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m

H(cid:160) Nºi. Ng(cid:247)(cid:237)i thƒy v(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i anh (cid:31)¢ lu(cid:230)n (cid:31)ºng vi¶n t¡c gi£ trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p

nghi¶n cøu, v(cid:160) c(cid:226) nhœng (cid:254) ki‚n (cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p s¥u s›c v• nºi dung khi t¡c gi£ ho(cid:160)n th(cid:160)nh

lu“n ¡n.

Xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n c¡c th(cid:160)nh vi¶n trong nh(cid:226)m Seminar Gi£i t‰ch - Tr(cid:247)(cid:237)ng

(cid:30)H B¡ch khoa H(cid:160) Nºi, Seminar Gi£i t‰ch - Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)H KHTN - (cid:30)H QG H(cid:160) Nºi v•

nhœng trao (cid:31)Œi hœu ‰ch gi(cid:243)p cho Lu“n ¡n (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n thi»n h(cid:236)n. Nhœng (cid:254) ki‚n cıa c¡c

gi¡o s(cid:247) v(cid:160) c¡c (cid:31)(cid:231)ng nghi»p tham d(cid:252) c¡c semina n(cid:160)y (cid:31)¢ gi(cid:243)p t(cid:230)i tr(cid:247)(cid:240)ng th(cid:160)nh h(cid:236)n

trong nghi¶n cøu khoa h(cid:229)c. (cid:30)(cid:176)c bi»t, nhœng (cid:31)ºng vi¶n, nh“n x†t qu(cid:254) b¡u v(cid:160) (cid:254) ki‚n

(cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p s¥u s›c cıa GS.TSKH. Nguy„n V«n M“u, PGS.TS. Nguy„n Thıy Thanh,

PGS.TS. H(cid:160) Ti‚n Ngo⁄n, PGS.TS. Nguy„n Minh Tu§n, TS. Nguy„n V«n Ng(cid:229)c, PGS.

TS. Tr(cid:224)nh Tu¥n, PGS.TS. Nguy„n Minh Khoa, TS. Ph⁄m V«n Ho‹ng, TS. Nguy„n

H£i S(cid:236)n, TS. Nguy„n Quang Chung, TS. Trƒn H(cid:231)ng Th¡i, ... l(cid:160) nhœng kinh nghi»m

qu(cid:254) b¡u (cid:31)” lu“n ¡n ho(cid:160)n thi»n mºt c¡ch thu“n læi. Mºt lƒn nœa, em xin (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)y

t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh (cid:31)‚n nhœng ng(cid:247)(cid:237)i thƒy m(cid:160) em lu(cid:230)n t(cid:230)n k‰nh, (cid:31)‚n nhœng

ng(cid:247)(cid:237)i anh, ng(cid:247)(cid:237)i ch(cid:224) v(cid:160) nhœng (cid:31)(cid:231)ng nghi»p.

Xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n Ban Gi¡m hi»u, c¡c thƒy c(cid:230) trong Bº m(cid:230)n To¡n, Khoa

khoa h(cid:229)c c(cid:236) b£n, Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m K(cid:255) thu“t H(cid:247)ng Y¶n, n(cid:236)i t¡c gi£ (cid:31)ang c(cid:230)ng

t¡c, (cid:31)¢ t⁄o (cid:31)i•u ki»n thu“n læi cho t¡c gi£ trong suŁt qu¡ tr…nh ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n ¡n.

CuŁi c(cid:242)ng, t¡c gi£ xin gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n tł t“n (cid:31)¡y lÆng (cid:31)‚n gia (cid:31)…nh b⁄n b– v(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng

4

nghi»p, n(cid:236)i lu(cid:230)n d(cid:160)nh cho t¡c gi£ t…nh y¶u th(cid:247)(cid:236)ng v(cid:230) h⁄n. Trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p

v(cid:160) ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n ¡n, t§t c£ c¡c Thƒy, b⁄n b–, (cid:31)(cid:231)ng nghi»p, (cid:31)(cid:176)c bi»t l(cid:160) c¡c th(cid:160)nh

vi¶n trong gia (cid:31)…nh, (cid:31)¢ lu(cid:230)n s¡t c¡nh, (cid:31)ºng vi¶n v(cid:160) ıng hº t¡c gi£. (cid:30)(cid:226) l(cid:160) ngu(cid:231)n (cid:31)ºng

l(cid:252)c to l(cid:238)n gi(cid:243)p t¡c gi£ ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n ¡n cıa m…nh.

T¡c gi£

5

DANH M(cid:214)C C(cid:129)C K(cid:222) HI(cid:155)U V(cid:128) CH(cid:218) VI(cid:152)T T(cid:141)T

(cid:136) R l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c sŁ th(cid:252)c.

(cid:136) C l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c sŁ phøc.

(cid:136) Z l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c sŁ nguy¶n.

(cid:136) R+ = {x ∈ R, x > 0}, l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c sŁ th(cid:252)c d(cid:247)(cid:236)ng.

(cid:136) |z| l(cid:160) modun cıa z.

(cid:136) C0(R+) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c tr¶n R+ v(cid:160) tri»t ti¶u t⁄i v(cid:230) c(cid:242)ng

v(cid:238)i chu'n sup.

(cid:136) F l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n Fourier (xem trang 9).

(cid:136) Fc l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n Fourier cosine (xem trang 9).

(cid:136) Fs l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n Fourier sine (xem trang 10).

(cid:136) Lp(R+), 1 ≤ p < ∞, l(cid:160) kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m sŁ f x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n R+, th(cid:228)a

m¢n

(cid:33) 1

(cid:32) ∞ (cid:90)

< ∞.

|f (x)|pdx

||f ||Lp(R+) =

(cid:136) Lp(R+, ρ), 1 ≤ p < ∞, l(cid:160) kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m sŁ f x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n R+,

th(cid:228)a m¢n

(cid:33) 1

(cid:32) ∞ (cid:90)

|f (x)|pρ(x)dx

< ∞,

||f ||Lp(R+,ρ) =

(cid:240) (cid:31)¥y ρ(x) l(cid:160) mºt h(cid:160)m tr(cid:229)ng d(cid:247)(cid:236)ng.

(cid:136) T l(cid:160) to¡n tß t‰ch ch“p th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (xem trang 19).

·) (xem trang 10) l(cid:160) t‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier.

(cid:136) (· ∗ F

·) (xem trang 11) l(cid:160) t‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine.

(cid:136) (· ∗ Fc

6 ·) (xem trang 12) l(cid:160) t‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine.

(cid:136) (· ∗ Fs

(cid:136) (·

·) (xem trang 12) l(cid:160) t‰ch ch“p v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng γ(y) = sin y (cid:31)Łi v(cid:238)i

γ ∗ F

ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier.

(cid:136) FDT (xem trang 14) l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) (cid:96)1(N0) (xem trang 28) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian c¡c d¢y sŁ phøc x := {x(n)}n≥0

(cid:31)(cid:247)æc trang b(cid:224) v(cid:238)i chu'n

(cid:33) 1

(cid:32)

|x(0)|p

∞ (cid:88)

|x(n)|p

< ∞,

1 ≤ p < ∞,

(cid:107)x(cid:107)p :=

2p + n=1 |xn| < ∞.

(cid:107)x(cid:107)∞ := sup n≥0

(cid:136) (cid:96)o

1(N0) (xem trang 28) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian con cıa (cid:96)1(N0) v(cid:238)i x(0) = 0.

(cid:136) FcDT (xem trang 28) l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) FsDT (xem trang 29) l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

·) (xem trang 33) l(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi

(cid:136) (· ∗ FsDT

Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) (·

·) (xem trang 41) l(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng γ(y) = sin ω

γ ∗ FsDT

(cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

·) (xem trang 47) l(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi

(cid:136) (· ∗ FcDT

Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) (·

·) (xem trang 52) l(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng γ(y) = sin ω

γ ∗ FcDT

(cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) (·

·) (xem trang 60) l(cid:160) t‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine

o ∗ FcDT

th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) TsDT (xem trang 68) l(cid:160) to¡n tß ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine

th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

7 (cid:136) T −1

sDT (xem trang 68) l(cid:160) to¡n tß ngh(cid:224)ch (cid:31)£o ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) T −1

cDT (xem trang 70) l(cid:160) to¡n tß ngh(cid:224)ch (cid:31)£o ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) TcDT (xem trang 70) l(cid:160) to¡n tß ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine

th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136)

o T cDT (xem trang 72) l(cid:160) to¡n tß ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136)

cDT (xem trang 73) l(cid:160) to¡n tß ngh(cid:224)ch (cid:31)£o ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine

o T −1 th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

8

M— (cid:30)(cid:134)U

1. L(cid:224)ch sß v§n (cid:31)• v(cid:160) l‰ do l(cid:252)a ch(cid:229)n (cid:31)• t(cid:160)i

A. Ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n (cid:31)Łi v(cid:238)i l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ t‰ch

L(cid:254) thuy‚t ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n v(cid:160) t‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch

ph¥n c(cid:226) vai trÆ quan tr(cid:229)ng kh(cid:230)ng th” thi‚u trong c¡c ng(cid:160)nh y sinh h(cid:229)c, (cid:31)(cid:224)a l(cid:254), h£i

d(cid:247)(cid:236)ng h(cid:229)c, ... C¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n ra (cid:31)(cid:237)i r§t s(cid:238)m v(cid:160) c(cid:226) vai trÆ (cid:31)(cid:176)c bi»t quan

tr(cid:229)ng trong l‰ thuy‚t c(cid:244)ng nh(cid:247) trong øng d(cid:246)ng, ph£i k” (cid:31)‚n tr(cid:247)(cid:238)c h‚t l(cid:160) ph†p bi‚n

(cid:31)Œi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, ph†p bi‚n (cid:31)Œi Laplace, ph†p bi‚n (cid:31)Œi Mellin,

sau (cid:31)(cid:226) l(cid:160) c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi Hankel, Kontorovich-Lebedev, ... B£n th¥n ph†p bi‚n (cid:31)Œi

Fourier ra (cid:31)(cid:237)i xu§t ph¡t tł b(cid:160)i to¡n th(cid:252)c t‚ khi J. Fourier nghi¶n cøu v• qu¡ tr…nh

truy•n nhi»t.

Ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier c(cid:226) d⁄ng (xem [1, 2, 3])

∞ (cid:90)

(0.1)

−∞

N (cid:90)

(0.2)

(F f )(x) = F [f ](x) = e−ixyf (y)dy, f ∈ L1(R), 1 √ 2π

−N N‚u g(x) = (F f )(x) ∈ L1(R) ta c(cid:226) ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier ng(cid:247)æc nh(cid:247) sau (xem [1, 2])

∞ (cid:90)

e−ixyf (y)dy, f ∈ Lp(R), 1 ≤ p ≤ 2. (F f )(x) = F [f ](x) = lim N →∞ 1 √ 2π

(0.3)

−∞

N‚u g(x) = (F f )(x) ∈ Lp(R), 1 ≤ p ≤ 2, ta c(cid:226) ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier ng(cid:247)æc nh(cid:247) sau (xem [1, 2])

N (cid:90)

eixyg(y)dy. f (x) = (F −1g)(x) = F −1[g](x) = 1 √ 2π

(0.4)

−N

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp f ∈ L1(R) l(cid:160) h(cid:160)m chﬁn ho(cid:176)c h(cid:160)m l·. Khi (cid:31)(cid:226), f ∈ L1(R+) v(cid:160) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine c(cid:226) d⁄ng nh(cid:247) sau (xem [4, 5])

(cid:114)

∞ (cid:90)

(0.5)

eixyg(y)dy. f (x) = (F −1g)(x) = F −1[g](x) = lim N →∞ 1 √ 2π

(Fcf )(y) = Fc[f ](y) = f (x) cos(xy)dx, f ∈ L1(R+), 2 π

9

(cid:114)

∞ (cid:90)

(0.6)

V(cid:238)i f ∈ Lp(R+), 1 ≤ p ≤ 2, ta c(cid:226)

(cid:114)

N (cid:90)

(Fsf )(y) = Fs[f ](y) = f (x) sin(xy)dx, f ∈ L1(R+). 2 π

(0.7)

(cid:114)

N (cid:90)

f (x) cos(xy)dx, (Fcf )(y) = Fc[f ](y) = lim N →∞ 2 π

(0.8)

f (x) sin(xy)dx, (Fsf )(y) = Fs[f ](y) = lim N →∞ 2 π

trong (cid:31)(cid:226), q l(cid:160) sŁ m(cid:244) li¶n hæp cıa p, tøc l(cid:160) = 1 v(cid:160) c¡c gi(cid:238)i h⁄n (cid:31)(cid:247)æc hi”u theo chu'n + trong kh(cid:230)ng gian Lq(R+). C¡c (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n tr(cid:242)ng nhau n‚u f ∈ L1(R+) ∩ Lp(R+).

T‰ch ch“p suy rºng v(cid:160) t‰ch ch“p

Mºt trong nhœng v§n (cid:31)• quan tr(cid:229)ng cıa ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n l(cid:160) nghi¶n cøu c¡c

t‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p v(cid:160) øng d(cid:246)ng li¶n quan. Chﬂng h⁄n nh(cid:247): t‰nh t‰ch ph¥n,

t‰nh tŒng cıa chuØi, gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n V“t l(cid:254)-To¡n, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n, ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh t‰ch ph¥n, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi-t‰ch ph¥n, l(cid:254) thuy‚t

x¡c su§t, xß l(cid:254) £nh, xß l(cid:254) t‰n hi»u, k(cid:255) thu“t (cid:31)i»n, ... (xem [4, 6, 7, 8, 10, 11]). Do (cid:31)(cid:226),

h(cid:247)(cid:238)ng nghi¶n cøu n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc nhi•u nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c tr¶n th‚ gi(cid:238)i quan t¥m v(cid:160) nghi¶n

cøu.

Theo l(cid:224)ch sß ph¡t tri”n th… c¡c kh¡i ni»m v• t‰ch ch“p lƒn l(cid:247)æt (cid:31)(cid:247)æc xu§t hi»n v(cid:238)i

nhœng t¶n g(cid:229)i kh¡c nhau nh(cid:247): t‰ch ch“p suy rºng (t‰ch ch“p suy rºng kh(cid:230)ng c(cid:226) h(cid:160)m

tr(cid:229)ng v(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng c(cid:226) h(cid:160)m tr(cid:229)ng), t‰ch ch“p (t‰ch ch“p kh(cid:230)ng c(cid:226) h(cid:160)m tr(cid:229)ng

v(cid:160) t‰ch ch“p c(cid:226) h(cid:160)m tr(cid:229)ng) v(cid:160) (cid:31)a ch“p.

(cid:30)Łi v(cid:238)i t‰ch ch“p m(cid:160) trong (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a cıa n(cid:226) c(cid:226) nhi•u h(cid:236)n mºt ph†p

bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng. Trong lu“n ¡n n(cid:160)y, t‰ch ch“p suy

rºng (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i theo t¶n cıa ph†p bi‚n (cid:31)Œi t¡c (cid:31)ºng v(cid:160)o t‰ch ch“p suy rºng trong (cid:31)ﬂng

thøc nh¥n tß h(cid:226)a.

T‰ch ch“p (cid:31)ƒu ti¶n (cid:31)(cid:247)æc x¥y d(cid:252)ng l(cid:160) t‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier, c(cid:246)

th” t‰ch ch“p cıa hai h(cid:160)m f v(cid:160) g (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier c(cid:226) d⁄ng nh(cid:247) sau (xem

[5, 9])

∞ (cid:90)

1 p 1 q

(0.9)

−∞

g)(x) = f (y)g(x − y)dy, x ∈ R. (f ∗ F 1 √ 2π

10

T‰ch ch“p (0.9) th(cid:228)a m¢n (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a sau (xem [9])

(0.10)

N«m 1912, Young (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra b§t (cid:31)ﬂng thøc c(cid:236) b£n (xem [12, 13])

g](y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R, f, g ∈ L1(R). F [f ∗ F

(0.11)

cho t‰ch ch“p Fourier tr¶n R

(cid:90)

+ = + 1, 1 ≤ p, q, r < ∞, ||f ∗ g||Lr(R) ≤ ||f ||Lp(R)||g||Lq(R), 1 p 1 q 1 r

B§t (cid:31)ﬂng thøc Young (cid:31)(cid:247)æc chøng minh c(cid:244)ng (cid:31)(cid:243)ng cho t‰ch ch“p Fourier tr¶n c¡c nh(cid:226)m compact (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng b§t k(cid:253) (k” c£ Z). Tuy nhi¶n, b§t (cid:31)ﬂng thøc Young (0.11) ch(cid:247)a ph£i b§t (cid:31)ﬂng thøc ch(cid:176)t. T(cid:238)i n«m 1975, W. Beckner (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra h‹ng sŁ tŁi (cid:247)u

cho b§t (cid:31)ﬂng thøc Young (xem [14]).

N«m 1951, I.N. Sneddon x¥y d(cid:252)ng t‰ch ch“p cıa hai h(cid:160)m chﬁn f v(cid:160) g (cid:31)Łi v(cid:238)i

ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine nh(cid:247) sau (xem [9])

∞ (cid:90)

(f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy.

(0.12)

T‰ch ch“p n(cid:160)y th(cid:228)a m¢n (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a (xem [15, 16])

(0.13)

g)(x) = f (y)[g(x + y) + g(x − y)]dy, x ∈ R+. (f ∗ Fc 1 √ 2π

(0.14)

g](u) = (Fcf )(y)(Fcg)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1(R+), Fc[f ∗ Fc

Sau (cid:31)(cid:226), c¡c t‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi Laplace, Mellin v(cid:160) Hartley (cid:31)(cid:247)æc

x¥y d(cid:252)ng v(cid:160) nghi¶n cøu (xem [17, 18, 19]).

N«m 1958, lƒn (cid:31)ƒu ti¶n Y.Ya Vilenkin thi‚t l“p (cid:31)(cid:247)æc c(cid:230)ng thøc t‰ch ch“p v(cid:238)i h(cid:160)m

tr(cid:229)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi Mehler-Fox (xem [20]).

Gƒn mºt th“p k(cid:27) sau, n«m 1967, V.A. Kakichev (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ki‚n

thi‚t (cid:31)” x¥y d(cid:252)ng t‰ch ch“p v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i mºt ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n b§t

k(cid:253) (xem [21]). Nh(cid:237) (cid:31)(cid:226), (cid:230)ng (cid:31)¢ x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc t‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch

ph¥n Hankel, Kontorovich-Lebedev, t‰ch ch“p v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi

t‰ch ph¥n Fourier sine (xem [21, 23]), ...

g)(x) = Fc[(Fcf )(y)(Fcg)(y)](x), ∀x > 0, f, g ∈ L2(R+). Fc(f ∗ Fc

11

V(cid:160)o n«m 1951, trong cuŁn s¡ch cıa m…nh [3], I.N. Sneddon (cid:31)(cid:247)a ra c(cid:230)ng thøc t‰ch

ch“p suy rºng Fourier sine, x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) sau (xem [3])

∞ (cid:90)

(0.15)

th(cid:228)a m¢n (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a v(cid:160) (cid:31)ﬂng thøc Parseval d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y (xem [3, 24])

(0.16)

f (u)[g(|x − u|) − g(x + u)]du, x > 0, g)(x) = (f ∗ Fs 1 √ 2π

(0.17)

g](y) = (Fsf )(y)(Fc)(g), f, g ∈ L1(R+), Fs[f ∗ Fs

Tr¶n c(cid:236) s(cid:240) (cid:31)(cid:226) v(cid:160) ti‚p theo (cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng cıa m…nh n«m 1998 (xem [21]), V.A. Kakichev

v(cid:160) N.X. Th£o (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ki‚n thi‚t v(cid:160) x¥y d(cid:252)ng t‰ch ch“p suy rºng v(cid:238)i

h(cid:160)m tr(cid:229)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i ba ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n b§t k… (xem [25]). K‚t qu£ tr¶n (cid:31)¢ m(cid:240)

ra mºt h(cid:247)(cid:238)ng nghi¶n cøu v(cid:160) x¥y d(cid:252)ng t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi

t‰ch ph¥n kh¡c nhau. Cho (cid:31)‚n nay, mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc x¥y d(cid:252)ng v(cid:160)

nghi¶n cøu, chﬂng h⁄n t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi Stieltjes, Hilbert,

Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, Laplace v(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi H, ... (xem

[5, 26, 27, 28]).

Kho£ng nhœng n«m 1990, mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch

ph¥n theo ch¿ sŁ (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu b(cid:240)i t¡c gi£ S.B. Yakubovich (xem [30, 31, 32]).

N«m 1998, V.A. Kakichev v(cid:160) N.X. Th£o (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ki‚n thi‚t, cho

(cid:31)i•u ki»n cƒn (cid:31)” x¡c (cid:31)(cid:224)nh t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i ba ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n b§t

k(cid:253) v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng l(cid:160) γ sao cho th(cid:228)a m¢n (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a (xem [25])

(0.18)

g)(x) = Fs[(Fsf )(y)(Fc)(g)](x), f, g ∈ L2(R+). (f ∗ Fs

γ ∗ Ki

Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n cho th§y, v‚ ph£i xu§t hi»n hai ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n kh¡c

nhau do (cid:31)(cid:226) øng d(cid:246)ng s‡ phong ph(cid:243) h(cid:236)n (trong khi (cid:31)Łi v(cid:238)i t‰ch ch“p th… (cid:31)ﬂng thøc

nh¥n tß h(cid:226)a ch¿ c(cid:226) mºt ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n), do v“y c¡c th(cid:230)ng tin nh“n (cid:31)(cid:247)æc c(cid:226)

th” tł nhi•u ngu(cid:231)n kh¡c nhau. M(cid:176)t kh¡c, khi ho¡n (cid:31)Œi c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n

theo mºt tr“t t(cid:252) nh§t (cid:31)(cid:224)nh s‡ nh“n (cid:31)(cid:247)æc c¡c t‰ch ch“p suy rºng kh¡c nhau, v… th‚

nhœng øng d(cid:246)ng nh“n (cid:31)(cid:247)æc kh¡ (cid:31)a d⁄ng.

Tr¶n c(cid:236) s(cid:240) (cid:31)(cid:226), trong Lu“n ¡n cıa m…nh n«m 2007 t¡c gi£ N.M. Khoa (cid:31)¢ x¥y d(cid:252)ng

v(cid:160) nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i ba ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch

ph¥n l(cid:160) c¡c bi‚n (cid:31)Œi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine v(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi

K3(f g)(y) = γ(y)(K1f )(y) · (K2g)(y), i = 1, 2, 3.

12

v(cid:238)i hai ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n thuºc c¡c bi‚n (cid:31)Œi (cid:31)(cid:226), c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc chu'n. Tł

(cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)a ra øng d(cid:246)ng gi£i mºt l(cid:238)p c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n, h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch

ph¥n ki”u t‰ch ch“p (xem [33]).

Ti‚p theo, n«m 2012 t¡c gi£ N.T. H(cid:231)ng khi x†t c¡c bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n li¶n quan

(cid:31)‚n c¡c t‰ch ch“p v(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng c(cid:226) h(cid:160)m tr(cid:229)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i nh(cid:226)m c¡c ph†p bi‚n

(cid:31)Œi t‰ch ph¥n Fourier, Fourier sine v(cid:160) Fourier cosine (cid:31)¢ x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc c¡c ph†p bi‚n

(cid:31)Œi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p Fourier sine, ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine-cosine,

ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine-sine v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng, b§t (cid:31)ﬂng thøc ki”u Young.

Lu“n ¡n x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160) unita trong kh(cid:230)ng gian L2(R+), thi‚t l“p c(cid:230)ng thøc ph†p bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc (xem [34]).

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel v(cid:238)i l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ t‰ch

L(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c(cid:226) nhi•u øng d(cid:246)ng th(cid:243) v(cid:224) trong c¡c l(cid:190)nh v(cid:252)c khoa h(cid:229)c kh¡c nhau

nh(cid:247) l(cid:254) thuy‚t t¡n x⁄, l(cid:254) thuy‚t (cid:31)ºng l(cid:252)c h(cid:229)c ch§t l(cid:228)ng, l(cid:254) thuy‚t l(cid:229)c tuy‚n t‰nh, trong

nghi¶n cøu v• va ch⁄m (cid:31)(cid:160)n h(cid:231)i, t¡n x⁄ kh‰ quy”n, (cid:31)ºng l(cid:252)c h(cid:229)c kh‰ lo¢ng, ... Ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh Toeplitz-Hankel tŒng qu¡t c(cid:226) d⁄ng (xem [35, 36, 37])

∞ (cid:90)

(0.19)

trong (cid:31)(cid:226) g, k1, k2 l(cid:160) nhœng h(cid:160)m (cid:31)¢ bi‚t, f l(cid:160) 'n h(cid:160)m.

Nh(cid:237) c(cid:230)ng c(cid:246) t‰ch ch“p suy rºng m(cid:238)i x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc, trong Lu“n ¡n n«m 2012,

t¡c gi£ N.T. Hong (cid:31)¢ gi£i (cid:31)(cid:247)æc mºt sŁ l(cid:238)p c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n n(cid:160)y v(cid:238)i nh¥n

Toeplitz v(cid:160) nh¥n Hankel (cid:31)(cid:176)c bi»t, c(cid:244)ng nh(cid:247) nh¥n Toeplitz v(cid:160) nh¥n Hankel b§t k(cid:253)

nh(cid:247)ng v‚ ph£i (cid:31)(cid:176)c bi»t, v(cid:238)i nghi»m thu (cid:31)(cid:247)æc bi”u di„n d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng (cid:31)(cid:226)ng (xem [34, 38, 39]

v(cid:160) [40]) .

N«m 2013, nh(cid:226)m t¡c gi£ P.K. Anh, N.M. Tuan v(cid:160) P.D. Tuan c(cid:244)ng (cid:31)¢ x†t ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh Toeplitz-Hankel (0.19) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp nh¥n l(cid:160) h(cid:160)m tuƒn ho(cid:160)n (xem [41]),

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:240) d⁄ng

2π (cid:90)

f (x) + [k1(x + y) + k2(x − y)] f (y)dy = g(x), x > 0,

Cho (cid:31)‚n nay, ngo⁄i trł mºt sŁ tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t, b(cid:160)i to¡n t…m nghi»m (cid:31)(cid:226)ng

cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel v(cid:238)i l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ t‰ch trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t

v¤n (cid:31)ang l(cid:160) b(cid:160)i to¡n m(cid:240).

B. Bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ tŒng

λφ(x) + [k1(x + y) + k2(x − y)]φ(y)dy = g(x).

13

Trong c¡c b(cid:160)i to¡n th(cid:252)c t‚ nh(cid:247) xß l(cid:254) t‰n hi»u, xß l(cid:254) £nh hay xß l(cid:254) ¥m thanh ta

lu(cid:230)n nh›c (cid:31)‚n mºt trong nhœng bi‚n (cid:31)Œi quan tr(cid:229)ng, (cid:31)(cid:226) l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian

r(cid:237)i r⁄c.

Bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)Łi v(cid:238)i d¢y t‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c x(n) (cid:31)(cid:247)æc

x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (xem [42, 43, 44, 45, 47])

∞ (cid:88)

(0.20)

−∞

v(cid:160) c(cid:226) ph†p bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc nh(cid:247) sau (xem [42, 43, 46])

π (cid:90)

x(n)e−iωn, x(n) ∈ C, ∀n, X(ω) ≡ FDT {x(n)} =

(0.21)

DT {X(ω)} =

−π

trong (cid:31)(cid:226) ω l(cid:160) bi‚n th(cid:252)c, c¡c t‰n hi»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o x(n) kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o ω.

T‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ tŒng

T‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa hai d¢y x(n) v(cid:160) y(n) c(cid:226)

d⁄ng nh(cid:247) sau (xem [43, 46, 47, 48])

∞ (cid:88)

x(n) ≡ F −1 X(ω)eiωndω, ω ∈ [−π, π], 1 2π

(0.22)

m=−∞

th(cid:228)a m¢n (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a

(0.23)

{x(n) ∗ y(n)}(m) = x(m)y(n − m), −∞ < n < ∞,

v(cid:238)i x(n), y(n) ∈ C, −∞ < n < ∞, v(cid:160) (cid:31)ﬂng thøc Parseval

π (cid:90)

∞ (cid:88)

FDT {x(n) ∗ y(n)}(ω) = FDT {x(n)}(ω) · FDT {y(n)}(ω),

(0.24)

n=−∞

−π

v(cid:238)i y∗(n) l(cid:160) li¶n hæp phøc cıa y(n) v(cid:160) c(cid:226) Y ∗(ω) = FDT {y∗(n)}.

Mºt c¡ch h…nh thøc, bi”u thøc t‰ch ch“p d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng tŒng c(cid:226) mºt phƒn giŁng v(cid:238)i

bi”u thøc t‰ch ch“p d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng t‰ch ph¥n cıa l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ t‰ch, nh(cid:247)ng th(cid:252)c ch§t bi”u

thøc t‰ch ch“p d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng tŒng kh¡c v(cid:238)i bi”u thøc t‰ch ch“p d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng t‰ch ph¥n. T‰ch

ch“p d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng t‰ch ph¥n l(cid:160) mºt c(cid:230)ng c(cid:246) ph¥n t‰ch to¡n h(cid:229)c trong l(cid:254) thuy‚t h» thŁng

tuy‚n t‰nh th(cid:237)i gian li¶n t(cid:246)c, cÆn bi”u thøc t‰ch ch“p d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng tŒng (cid:240) (cid:31)¥y (t‰ch ch“p

th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c) (cid:31)(cid:226)ng vai trÆ quan tr(cid:229)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i h» thŁng tuy‚n t‰nh th(cid:237)i gian r(cid:237)i

x(n)y(n) = X(ω)Y ∗(ω)dω 1 2π

14

r⁄c, v(cid:238)i dœ li»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o l(cid:160) c¡c d¢y gi¡ tr(cid:224) (th(cid:252)c ho(cid:176)c phøc). V… v“y t‰ch ch“p d(cid:247)(cid:238)i

d⁄ng t‰ch ph¥n v(cid:160) t‰ch ch“p d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng tŒng l(cid:160) hai (cid:31)Łi t(cid:247)æng ho(cid:160)n to(cid:160)n kh¡c nhau,

d¤n t(cid:238)i c¡ch ti‚p c“n v(cid:160) nghi¶n cøu ch(cid:243)ng c(cid:244)ng kh¡c nhau.

T‰ch ch“p Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c r§t c(cid:226) (cid:254) ngh(cid:190)a trong l(cid:190)nh v(cid:252)c xß l(cid:254) t‰n hi»u

sŁ, (cid:31)(cid:176)c bi»t l(cid:160) h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n th(cid:237)i gian (cid:31)” xß l(cid:254) c¡c t‰n hi»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o

(xem [42, 44, 49]).

V(cid:238)i (cid:254) ngh(cid:190)a quan tr(cid:229)ng trong nhi•u l(cid:190)nh v(cid:252)c nh(cid:247) v“y, nh(cid:247)ng cho t(cid:238)i th(cid:237)i (cid:31)i”m

hi»n nay c(cid:226) r§t ‰t k‚t qu£ c(cid:230)ng bŁ li¶n quan t(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i

r⁄c, v¤n dłng l⁄i (cid:240) vi»c (cid:31)(cid:247)a ra t‰nh ch§t, c(cid:230)ng thøc t‰ch ch“p (xem [42, 43, 46, 50]).

Cho t(cid:238)i nay v¤n ch(cid:247)a c(cid:226) c(cid:230)ng tr…nh n(cid:160)o v• ph†p bi‚n (cid:31)Œi th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c n(cid:226)i chung

v(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c n(cid:226)i ri¶ng

c(cid:244)ng nh(cid:247) b§t (cid:31)ﬂng thøc t‰ch ch“p suy rºng th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u

t‰ch ch“p suy rºng th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c c(cid:244)ng ch(cid:247)a h• (cid:31)(cid:247)æc nh›c t(cid:238)i.

Do (cid:31)(cid:226) v§n (cid:31)• nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan (cid:31)‚n ph†p bi‚n (cid:31)Œi

Fourier cosine ho(cid:176)c Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, c¡c t‰nh ch§t to¡n tß, c¡c b§t (cid:31)ﬂng

thøc ki”u t‰ch ch“p suy rºng, c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng v(cid:160) øng d(cid:246)ng

v(cid:160)o gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz - Hankel r(cid:237)i r⁄c l(cid:160) mºt nºi dung c(cid:226) (cid:254) ngh(cid:190)a khoa h(cid:229)c

cƒn (cid:31)(cid:247)æc ti‚p t(cid:246)c nghi¶n cøu.

Tr¶n c(cid:236) s(cid:240) (cid:31)(cid:226) v(cid:160) (cid:31)” ph¡t tri”n h(cid:247)(cid:238)ng nghi¶n cøu n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i ch(cid:229)n (cid:31)• t(cid:160)i cho

Lu“n ¡n v(cid:238)i t¶n g(cid:229)i "T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine, Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i

r⁄c v(cid:160) øng d(cid:246)ng".

2. M(cid:246)c (cid:31)‰ch, (cid:31)Łi t(cid:247)æng v(cid:160) ph⁄m vi nghi¶n cøu

(cid:31)Łi xøng. Tł (cid:31)(cid:226) x¥y d(cid:252)ng c¡c t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi

Fourier cosine, Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) t‰ch ch“p v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi

Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c. (cid:30)¡nh gi¡ c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc t‰ch ch“p suy

rºng, t‰ch ch“p th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) øng d(cid:246)ng gi£i mºt sŁ l(cid:238)p ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) M(cid:246)c (cid:31)‰ch: Nghi¶n cøu bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i c¡c d¢y t‰n hi»u ban (cid:31)ƒu l(cid:160) c¡c d¢y chﬁn l·

Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz - Hankel r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) (cid:30)Łi t(cid:247)æng: T‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p, b§t (cid:31)ﬂng thøc t‰ch ch“p suy rºng, bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n Fourier cosine,

(cid:136) Ph⁄m vi nghi¶n cøu: L(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p, ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch

15

ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p

suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c; c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc t‰ch ch“p suy rºng

Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c; ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel

r(cid:237)i r⁄c.

3. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p nghi¶n cøu

Trong Lu“n ¡n sß d(cid:246)ng c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p gi£i t‰ch h(cid:160)m, ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p to¡n tß,

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n. B¶n c⁄nh (cid:31)(cid:226), ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p bi‚n (cid:31)Œi th(cid:237)i gian r(cid:237)i

r⁄c c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng.

4. C§u tr(cid:243)c v(cid:160) c¡c k‚t qu£ cıa Lu“n ¡n

Ngo(cid:160)i phƒn M(cid:240) (cid:31)ƒu, K‚t lu“n v(cid:160) T(cid:160)i li»u tham kh£o, Lu“n ¡n (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y

trong ba ch(cid:247)(cid:236)ng sau:

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1: Ki‚n thøc chu'n b(cid:224). Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i nh›c l⁄i nhœng ki‚n

thøc cƒn d(cid:242)ng trong Lu“n ¡n. C(cid:246) th” l(cid:160) c¡c d¢y t‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, h» thŁng

t‰n hi»u, h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚t th(cid:237)i gian, t‰ch ch“p cıa h» thŁng tuy‚n t‰nh

b§t bi‚n th(cid:237)i gian, bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) nhœng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254), m»nh (cid:31)• c(cid:226)

li¶n quan (cid:31)‚n Lu“n ¡n.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2: T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine, Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i x¥y d(cid:252)ng c¡c bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine, Fourier sine th(cid:237)i

gian r(cid:237)i r⁄c, t‰ch ch“p suy rºng v(cid:160) t‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n (cid:31)Œi (cid:31)¢ x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc. Nghi¶n

cøu t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c t‰ch ch“p suy rºng n(cid:160)y nh(cid:247) s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i, t‰nh b(cid:224) ch(cid:176)n,

(cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a, (cid:31)ﬂng thøc Parseval. Nghi¶n cøu c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)Łi v(cid:238)i

c¡c t‰ch ch“p suy rºng th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c li¶n quan t(cid:238)i c¡c bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160)

Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c tr¶n c¡c kh(cid:230)ng gian d¢y. Nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Young

r(cid:237)i r⁄c, b§t (cid:31)ﬂng thøc ki”u Young r(cid:237)i r⁄c, tł (cid:31)(cid:226) thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c (cid:31)¡nh gi¡ c¡c b§t (cid:31)ﬂng

thøc chu'n (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c t‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p (cid:31)(cid:226).

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3: Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c. Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i nghi¶n cøu mºt sŁ ph†p

bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p li¶n quan t(cid:238)i c¡c t‰ch ch“p suy

rºng Fourier cosine, Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc trong Ch(cid:247)(cid:236)ng 2,

nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng n(cid:226)i tr¶n 2(N0). (cid:217)ng d(cid:246)ng cıa c¡c t‰ch ch“p, t‰ch ch“p l(cid:160) unita trong c¡c kh(cid:230)ng gian l2(N0) v(cid:160) (cid:96)o suy rºng (cid:31)¢ x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc trong Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 v(cid:160)o vi»c gi£i v(cid:160) (cid:31)¡nh gi¡ nghi»m cıa mºt

v(cid:160)i l(cid:238)p cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh, h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c.

5. (cid:222) ngh(cid:190)a c¡c k‚t qu£ (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc trong Lu“n ¡n

16

X¥y d(cid:252)ng c¡c t‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p suy rºng v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng v(cid:160) t‰ch ch“p

m(cid:238)i (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i

gian r(cid:237)i r⁄c, tł (cid:31)(cid:226) nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p

th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

Nghi¶n cøu v(cid:160) thi‚t l“p (cid:31)(cid:247)æc nhœng b§t (cid:31)ﬂng thøc v• chu'n (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c t‰ch ch“p

suy rºng, t‰ch ch“p Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c m(cid:238)i

x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc, c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Young r(cid:237)i r⁄c, b§t (cid:31)ﬂng thøc ki”u Young r(cid:237)i r⁄c.

Tł (cid:31)(cid:226) nh“n (cid:31)(cid:247)æc øng d(cid:246)ng gi£i v(cid:160) (cid:31)¡nh gi¡ nghi»m cıa mºt sŁ l(cid:238)p ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c.

G(cid:226)p phƒn l(cid:160)m phong ph(cid:243) th¶m v• l(cid:254) thuy‚t c¡c bi‚n (cid:31)Œi th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, b§t

(cid:31)ﬂng thøc t‰ch ch“p suy rºng v(cid:160) b§t (cid:31)ﬂng thøc t‰ch ch“p. C¡c k‚t qu£ v(cid:160) (cid:254) t(cid:247)(cid:240)ng cıa

Lu“n ¡n c(cid:226) th” sß d(cid:246)ng trong nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c bi‚n (cid:31)Œi

th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c kh¡c.

Nºi dung ch‰nh cıa Lu“n ¡n d(cid:252)a tr¶n 4 c(cid:230)ng tr…nh (cid:31)¢ c(cid:230)ng bŁ, trong (cid:31)(cid:226) c(cid:226) 2 b(cid:160)i

(cid:31)«ng tr¶n t⁄p ch‰ khoa h(cid:229)c thuºc danh m(cid:246)c ISI, 1 b(cid:160)i (cid:31)«ng tr¶n t⁄p ch‰ quŁc t‚ v(cid:160) 1

b(cid:160)i thuºc t⁄p ch‰ quŁc gia. C¡c k‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc b¡o c¡o to(cid:160)n bº hay tłng phƒn

t⁄i c¡c Hºi ngh(cid:224) khoa h(cid:229)c v(cid:160) c¡c Seminar sau:

- Hºi ngh(cid:224) Khoa h(cid:229)c (cid:30)⁄i h(cid:229)c B¡ch khoa H(cid:160) Nºi, th¡ng 11 n«m 2016;

- Hºi ngh(cid:224) QuŁc t‚ "Xu h(cid:247)(cid:238)ng m(cid:238)i trong tŁi (cid:247)u h(cid:226)a v(cid:160) gi£i t‰ch bi‚n ph¥n cho

c¡c øng d(cid:246)ng" t⁄i Quy Nh(cid:236)n th¡ng 12 n«m 2016;

- Hºi ngh(cid:224) (cid:217)ng d(cid:246)ng to¡n h(cid:229)c Vi»t Nam lƒn thø 2 t⁄i H(cid:231) Ch‰ Minh th¡ng 12

n«m 2017;

- (cid:30)⁄i hºi to¡n h(cid:229)c to(cid:160)n quŁc lƒn thø 9 t⁄i Nha Trang th¡ng 8 n«m 2018;

- Hºi th£o Khoa h(cid:229)c li¶n k‚t quŁc t‚ v• "Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n v(cid:160) øng d(cid:246)ng"

t⁄i H(cid:247)ng Y¶n th¡ng 10 n«m 2018.

(cid:136) C¡c hºi ngh(cid:224) khoa h(cid:229)c:

- Seminar Gi£i t‰ch v(cid:160) (cid:30)⁄i sŁ, Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c T(cid:252) nhi¶n, (cid:30)⁄i h(cid:229)c

QuŁc gia H(cid:160) Nºi;

- Seminar Gi£i t‰ch, Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c B¡ch khoa H(cid:160) Nºi;

- Seminar Bº m(cid:230)n To¡n, Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m K(cid:255) thu“t H(cid:247)ng Y¶n.

(cid:136) C¡c seminar:

17

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

BI(cid:152)N (cid:30)˚I FOURIER TH˝I GIAN R˝I R(cid:132)C

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y nhœng kh¡i ni»m c(cid:236) b£n v• t‰n hi»u th(cid:237)i

gian r(cid:237)i r⁄c, h» thŁng t‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n th(cid:237)i

gian. Tr…nh b(cid:160)y v• bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, c¡c (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a, t‰nh ch§t c(cid:236) b£n

v(cid:160) t‰ch ch“p Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, l(cid:160) c¡c ki‚n thøc chu'n b(cid:224) cƒn sß d(cid:246)ng trong

c¡c ch(cid:247)(cid:236)ng ti‚p theo cıa lu“n ¡n. Nºi dung cıa ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc tham kh£o tł c¡c t(cid:160)i

li»u [37, 42, 43, 44, 46, 48].

1.1 T‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) h» thŁng

1.1.1 T‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

T‰n hi»u r(cid:237)i r⁄c (v• m(cid:176)t th(cid:237)i gian) l(cid:160) t‰n hi»u ch¿ x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n mºt t“p r(cid:237)i r⁄c

cıa th(cid:237)i gian (mºt t“p nhœng th(cid:237)i (cid:31)i”m r(cid:237)i r⁄c). D(cid:247)(cid:238)i d⁄ng to¡n h(cid:229)c, t‰n hi»u r(cid:237)i r⁄c

mang gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c (ho(cid:176)c phøc) c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc xem l(cid:160) mºt h(cid:160)m li¶n k‚t t(cid:247)(cid:236)ng øng tł t“p

sŁ t(cid:252) nhi¶n (cid:31)‚n t“p sŁ th(cid:252)c (ho(cid:176)c phøc) ([46], 8.3 Basic Discrete-Time Signals).

T‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)(cid:247)æc bi”u di„n d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng mºt d¢y c¡c gi¡ tr(cid:224) v(cid:238)i phƒn

tß thø n cıa d¢y (cid:31)(cid:247)æc k‰ hi»u l(cid:160) x(n), (cid:31)(cid:247)æc vi‚t (cid:240) d⁄ng nh(cid:247) sau ([46], 8.3 Basic

Discrete-Time Signals)

(1.1)

(cid:240) (cid:31)(cid:226) n l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n.

Mºt d⁄ng cıa d¢y sŁ c(cid:236) b£n (cid:31)ƒu ti¶n (cid:31)(cid:226) l(cid:160) d¢y (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) m¤u hay cÆn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

d¢y xung (cid:31)(cid:236)n v(cid:224), d¢y (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i ([48])

 

x = {x(n)}, −∞ < n < ∞,

(1.2)



(cid:30)” thu“n ti»n, ta th(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)• c“p (cid:31)‚n d¢y (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) m¤u l(cid:160) mºt xung th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

ho(cid:176)c (cid:31)(cid:236)n gi£n l(cid:160) mºt xung l(cid:252)c.

0, n‚u n (cid:54)= 0, δ(n) = 1, n‚u n = 0.

18

TŒng qu¡t h(cid:236)n, b§t k(cid:253) d¢y t‰n hi»u n(cid:160)o (cid:31)•u c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc th” hi»n d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng chuØi

∞ (cid:88)

(1.3)

k=−∞

D¢y sŁ m(cid:244) l(cid:160) mºt l(cid:238)p t‰n hi»u c(cid:236) b£n quan tr(cid:229)ng. D⁄ng tŒng qu¡t cıa d¢y sŁ m(cid:244)

l(cid:160)

x(k)δ(n − k). x(n) =

(1.4)

N‚u A v(cid:160) α l(cid:160) sŁ th(cid:252)c, th… d¢y (1.4) l(cid:160) sŁ th(cid:252)c. N‚u 0 < α < 1 v(cid:160) A l(cid:160) d(cid:247)(cid:236)ng, th… c¡c

gi¡ tr(cid:224) d¢y l(cid:160) d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) gi£m khi t«ng n. V(cid:238)i −1 < α < 0, c¡c gi¡ tr(cid:224) d¢y thay th‚ theo

d§u nh(cid:247)ng l⁄i gi£m (cid:31)º l(cid:238)n khi t«ng n. N‚u |α| > 1, khi (cid:31)(cid:226) d¢y t«ng dƒn theo (cid:31)º l(cid:238)n

khi n t«ng.

D¢y sŁ m(cid:244) A.αn v(cid:238)i α l(cid:160) sŁ phøc c(cid:226) c¡c phƒn th(cid:252)c v(cid:160) phƒn £o l(cid:160) c¡c d¢y l(cid:247)æng gi¡c c(cid:226) tr(cid:229)ng sŁ theo c§p sŁ nh¥n. C(cid:246) th”, n‚u α = |α|eiω0 v(cid:160) A = Aeiφ, d¢y Aαn c(cid:226) th” bi”u di„n theo b§t k(cid:253) c¡ch n(cid:160)o sau (cid:31)¥y.

x(n) = A.αn.

(1.5)

x(n) = Aαn =|A|eiφ|α|neiω0n

=|A||α|nei(ω0n+φ)

Khi α = 1, d¢y c(cid:226) d⁄ng

(1.6)

=|A||α|n cos(ω0n + φ) + i|A||α|n sin(ω0n + φ).

(cid:31)(cid:226) l(cid:160), phƒn th(cid:252)c v(cid:160) phƒn £o cıa eiω0n. (cid:30)⁄i l(cid:247)æng ω0 (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) tƒn sŁ dao (cid:31)ºng v(cid:160) φ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) pha.

x(n) = |A|ei(ω0n+φ) = |A| cos(ω0n + φ) + j|A| sin(ω0n + φ);

1.1.2 C¡c h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n

a) C¡c h» thŁng tuy‚n t‰nh ([42])

Mºt h» thŁng th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng b(cid:240)i mºt to¡n tß T l(cid:160) nhi»m v(cid:246)

bi‚n (cid:31)Œi d¢y v(cid:160)o {x(n)} th(cid:160)nh d¢y ra {y(n)}. Ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” sß d(cid:246)ng hai lo⁄i k(cid:254)

hi»u to¡n tß sau:

(1.7)

ho(cid:176)c

T {x(n)} = y(n),

Ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” bi”u di„n h» thŁng n(cid:160)y b‹ng s(cid:236) (cid:31)(cid:231).

x(n) −→ y(n).

19

(K‰ch th‰ch)

((cid:30)¡p øng)

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.7) (cid:31)⁄i di»n cho mºt quy t›c ho(cid:176)c c(cid:230)ng thøc (cid:31)” t‰nh to¡n c¡c gi¡

tr(cid:224) d¢y (cid:31)ƒu ra ((cid:31)¡p øng cıa h» thŁng) tł c¡c gi¡ tr(cid:224) d¢y (cid:31)ƒu v(cid:160)o (k‰ch th‰ch).

Cƒn nh§n m⁄nh r‹ng gi¡ tr(cid:224) cıa d¢y (cid:31)ƒu ra t⁄i mØi gi¡ tr(cid:224) cıa ch¿ sŁ n c(cid:226) th”

ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o c¡c m¤u (cid:31)ƒu v(cid:160)o x(n) cho t§t c£ c¡c gi¡ tr(cid:224) cıa n, tøc l(cid:160), y t⁄i th(cid:237)i

(cid:31)i”m n c(cid:226) th” ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o t§t c£ ho(cid:176)c mºt phƒn cıa to(cid:160)n bº d¢y {x(n)}.

H» thŁng tuy‚n t‰nh ([44])

To¡n tß T (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cho mºt h» thŁng tuy‚n t‰nh khi v(cid:160) ch¿ khi

(1.8)

T x(n) y(n) = T {x(n)}

— (cid:31)¥y, c¡c h‹ng sŁ t(cid:242)y (cid:254) a, b ∈ Z, y1(n) l(cid:160) (cid:31)¡p øng (cid:31)ƒu ra cıa k‰ch th‰ch (cid:31)ƒu v(cid:160)o x1(n) v(cid:160) y2(n) l(cid:160) (cid:31)¡p øng cıa x2(n).

(cid:30)¡p øng xung cıa h» thŁng tuy‚n t‰nh ([48])

Ta th§y r‹ng mºt d¢y b§t k(cid:253) {x(n)} c(cid:226) th” bi”u di„n b‹ng bi”u thøc tŒng theo

c(cid:230)ng thøc (1.3). Gi£ sß h» thŁng l(cid:160) tuy‚n t‰nh, ta c(cid:226) th” vi‚t:

(cid:111)

(cid:110) ∞ (cid:88)

T {ax1(n) + bx2(n)} = aT {x1(n)} + bT {x2(n)} = ay1(n) + by2(n).

k=−∞

V… x(k) (cid:31)ºc l“p v(cid:238)i n, n¶n ta c(cid:226):

∞ (cid:88)

y(n) = T {x(n)} = T x(k)δ(n − k) .

(1.9)

k=−∞

N‚u ta k(cid:254) hi»u hk(n) l(cid:160) (cid:31)¡p øng cıa h» thŁng v(cid:238)i k‰ch th‰ch δ(n − k), c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160): hk(n) = T {δ(n − k)}.

y(n) = T {x(n)} = x(k)T {δ(n − k)}.

V(cid:160)o δ(n − k)

V(cid:160) ta c(cid:226):

∞ (cid:88)

h(n) T {δ(n − k)} = hk(n)

(1.10)

k=−∞

(cid:30)¡p øng hk(n) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)¡p øng xung cıa h» thŁng tuy‚n t‰nh.

y(n) = x(k)hk(n).

20

Nh“n x†t 1.1.1. ([48])

(cid:136) C¡c h» thŁng tuy‚n t‰nh (cid:31)(cid:247)æc bi”u di„n b(cid:240)i (cid:31)¡p øng xung cıa n(cid:226).

bi‚n k l(cid:160) th(cid:237)i gian th… ta c(cid:226) h» thŁng tuy‚n t‰nh ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o th(cid:237)i gian.

b) C¡c h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.1. ([48], 1.3.2. C¡c h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n)

N‚u y(n) l(cid:160) (cid:31)¡p øng v(cid:238)i k‰ch th‰ch x(n), th… h» thŁng tuy‚n t‰nh g(cid:229)i l(cid:160) b§t bi‚n khi y(n − k) l(cid:160) (cid:31)¡p øng cıa k‰ch th‰ch x(n − k), (cid:240) (cid:31)¥y k ∈ Z.

N‚u bi‚n sŁ l(cid:160) th(cid:237)i gian, ta n(cid:226)i l(cid:160) h» thŁng b§t bi‚n theo th(cid:237)i gian.

T‰ch ch“p

Khi h» thŁng l(cid:160) h» thŁng tuy‚n t‰nh v(cid:160) b§t bi‚n, ta c(cid:226) quan h» sau:

(cid:136) hk(n) l(cid:160) h(cid:160)m cıa k v(cid:160) n, nh(cid:247) v“y (cid:240) c¡c gi¡ tr(cid:224) k kh¡c nhau s‡ cho ta c¡c (cid:31)¡p øng xung kh¡c nhau, h» thŁng tuy‚n t‰nh n(cid:160)y s‡ ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o bi‚n k, n‚u

T {δ(n)} = h(n),

∞ (cid:88)

T {δ(n − k)} = h(n − k) = hk(n),

(1.11)

k=−∞

Nh(cid:247) v“y hk(n) l(cid:160) (cid:31)¡p øng xung cıa h» thŁng tuy‚n t‰nh. CÆn h(n) l(cid:160) (cid:31)¡p øng xung cıa h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n, l(cid:243)c n(cid:160)y h(n) s‡ kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o k, tøc l(cid:160) n‚u

bi‚n l(cid:160) th(cid:237)i gian th… (cid:240) m(cid:229)i (cid:31)i”m kh¡c nhau (cid:31)¡p øng xung cıa h» thŁng tuy‚n t‰nh

b§t bi‚n lu(cid:230)n l(cid:160) h(n). (cid:30)‚n (cid:31)¥y ta c(cid:226) th” n(cid:226)i r‹ng (cid:31)¡p øng xung h(n) s‡ (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng

ho(cid:160)n to(cid:160)n cho mºt h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n

⇒ y(n) = x(k)h(n − k). x(k)hk(n) =

v(cid:160) ta c(cid:226) quan h» sau

∞ (cid:88)

h(n) y(n) x(n)

v(cid:238)i m(cid:229)i n ∈ Z,

(1.12)

k=−∞

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t‰ch ch“p cıa x(n) v(cid:160) h(n).

y(n) = x(k)h(n − k) = x(n) ∗ h(n),

21

Nh“n x†t 1.1.2. ([48], trang 24) T‰ch ch“p n(cid:160)y ch¿ (cid:31)(cid:243)ng cho h» thŁng tuy‚n t‰nh

b§t bi‚n, v… n(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cho h» thŁng n(cid:160)y.

c) H» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n Œn (cid:31)(cid:224)nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.2. ([48], trang 37) Mºt h» thŁng (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) Œn (cid:31)(cid:224)nh n‚u øng v(cid:238)i

d¢y (cid:31)ƒu v(cid:160)o b(cid:224) ch(cid:176)n, ta c(cid:226) d¢y (cid:31)ƒu ra b(cid:224) ch(cid:176)n.

Tøc l(cid:160) v(cid:238)i |x(n)| < ∞

v(cid:238)i n b§t k(cid:253),

ta s‡ c(cid:226)

v(cid:238)i n b§t k(cid:253).

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.1 ([48], trang 37). Mºt h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n l(cid:160) Œn (cid:31)(cid:224)nh n‚u

v(cid:160) ch¿ n‚u (cid:31)¡p øng xung cıa n(cid:226) th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n sau:

∞ (cid:88)

|y(n)| < ∞

(1.13)

n=−∞

|h(n)| < ∞. S =

1.2 Bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

Bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c l(cid:160) mºt d⁄ng cıa gi£i t‰ch Fourier c(cid:226) th” ¡p d(cid:246)ng

cho mºt chuØi c¡c gi¡ tr(cid:224). Thu“t ngœ th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)• c“p (cid:31)‚n th(cid:252)c ch§t l(cid:160)

(cid:31)” bi‚n (cid:31)Œi ho⁄t (cid:31)ºng tr¶n dœ li»u r(cid:237)i r⁄c, th(cid:247)(cid:237)ng l(cid:160) c¡c m¤u c(cid:226) kho£ng (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) th(cid:237)i

gian.

1.2.1 (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

Bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)(cid:247)æc gi(cid:238)i thi»u trong c¡c t(cid:160)i li»u [36 - 39], c(cid:226)

d⁄ng

∞ (cid:88)

(1.14)

n=−∞

v(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c c(cid:226) d⁄ng

π (cid:90)

x(n)e−iωn, X(ω) ≡ FDT {x(n)}(ω) =

(1.15)

DT {X(ω)} =

−π

(cid:240) (cid:31)¥y X(ω) l(cid:160) h(cid:160)m tuƒn ho(cid:160)n chu k(cid:253) 2π. N(cid:226) thay th‚ cho to(cid:160)n bº phŒ th(cid:230)ng tin trong

(cid:31)o⁄n c(cid:236) b£n cƒn cho s(cid:252) m(cid:230) t£ (cid:31)ƒy (cid:31)ı t‰n hi»u. D¢y t‰n hi»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o x(n) c(cid:226) th” l(cid:160)

th(cid:252)c ho(cid:176)c phøc (th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng ta x†t t(cid:238)i l(cid:160) c¡c t‰n hi»u phøc).

x(n) = F −1 X(ω)eiωndω. 1 2π

22

Nh“n x†t 1.2.1. ([44], Nh“n x†t 3.1)

1. N‚u d¢y {x(n)} (cid:31)⁄i di»n cho t‰n hi»u v“t l(cid:254), bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c X(ω) = FDT {x(n)}(ω) c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) phŒ t‰n hi»u, m(cid:230) t£ nºi dung tƒn sŁ cıa t‰n hi»u.

2. (cid:30)(cid:176)c bi»t, n‚u h(cid:160)m th(cid:237)i gian h(n) (cid:31)⁄i di»n cho (cid:31)¡p øng xung cıa h» thŁng

tuy‚n t‰nh b§t bi‚n th(cid:237)i gian th(cid:237)i gian, bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c H(ω) = FDT {h(n)}(ω) c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) (cid:31)¡p øng tƒn sŁ, m(cid:230) t£ c¡ch h» thŁng ph£n øng v(cid:238)i d¢y (cid:31)ƒu v(cid:160)o tuƒn ho(cid:160)n c(cid:226) tƒn sŁ g(cid:226)c ω.

Mºt (cid:31)i”m kh¡c bi»t nŒi b“t cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c so v(cid:238)i bi‚n (cid:31)Œi

Fourier th(cid:237)i gian li¶n t(cid:246)c l(cid:160) t‰nh tuƒn ho(cid:160)n cıa n(cid:226) (v(cid:238)i chu k(cid:253) 2π) trong (k(cid:255) thu“t sŁ) bi‚n tƒn sŁ ω, k‚t qu£ tł th(cid:252)c t‚ r‹ng (cid:31)(cid:226) l(cid:160) mºt h(cid:160)m cıa eiω tuƒn ho(cid:160)n v(cid:238)i chu k(cid:253) 2π trong mi•n ω, tøc l(cid:160) ei(ω+2nπ) = eiω.

Ta c(cid:226) th” g(cid:229)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.14) l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh ph¥n t‰ch (analysis equation)

v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.15) l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tŒng hæp (synthesis equation) ([44], trang

131).

C(cid:226) th” n(cid:226)i r‹ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c s‡ t(cid:231)n t⁄i n‚u d¢y x(n) c(cid:226) n«ng

l(cid:247)æng hœu h⁄n, tøc l(cid:160) ([42], trang 51),

∞ (cid:88)

(1.16)

n=−∞

ho(cid:176)c n‚u d¢y {x(n)} c(cid:226) tŒng tuy»t (cid:31)Łi hœu h⁄n, tøc l(cid:160)

∞ (cid:88)

|x(n)|2 < ∞,

(1.17)

n=−∞

Nh“n x†t 1.2.2. ([44], Nh“n x†t 3.2) L(cid:247)u (cid:254) r‹ng, (cid:31)Łi v(cid:238)i (cid:31)¡p øng xung h(n) cıa h»

thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, (cid:31)i•u ki»n tŒng tuy»t (cid:31)Łi (1.17) muŁn ch¿

ra r‹ng mºt h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n Œn (cid:31)(cid:224)nh c(cid:226) (cid:31)¡p øng tƒn sŁ (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh rª H(ω) = FDT {h(n)}(ω).

|x(n)| < ∞.

1.2.2 T‰nh ch§t cıa bi‚n (cid:31)Œi

a. T‰nh tuƒn ho(cid:160)n ([43], trang 17-1)

23

Tł bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c X(ω) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.14) l(cid:160)

mºt h(cid:160)m cıa eiω, n(cid:226) lu(cid:230)n tuƒn ho(cid:160)n v(cid:238)i chu k(cid:253) 2π:

v(cid:238)i m(cid:229)i m ∈ Z.

(1.18)

T‰nh tuƒn ho(cid:160)n cho ph†p ch(cid:243)ng ta ch(cid:243) (cid:254) (cid:31)‚n bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ch¿

trong mºt kho£ng th(cid:237)i gian, ta th(cid:247)(cid:237)ng d(cid:242)ng l(cid:160) kho£ng −π ≤ ω ≤ π.

b. T‰nh tuy‚n t‰nh ([42], trang 59) V(cid:238)i FDT {x(n)}(ω) = X(ω) v(cid:160) FDT {y(n)}(ω) = Y (ω), ta c(cid:226)

X(ω) = X(ω + 2mπ),

FDT←→ aX(ω) + bY (ω), ∀a.b ∈ R,

(1.19)

c(cid:230)ng thøc tr¶n c(cid:226) (cid:254) ngh(cid:190)a r‹ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa tŒ hæp tuy‚n

t‰nh cıa c¡c d¢y l(cid:160) mºt tŒ hæp tuy‚n t‰nh cıa c¡c bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

c. Ngh(cid:224)ch (cid:31)£o th(cid:237)i gian ([45], trang 138)

N(cid:226)i chung, bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c c(cid:226) thuºc t‰nh (cid:31)£o ng(cid:247)æc th(cid:237)i gian:

ax(n) + by(n)

FDT←→ X(−ω).

(1.20)

∞ (cid:88)

(1.14) =

x(−n)

m=−∞

n=−∞

d. D(cid:224)ch chuy”n th(cid:237)i gian ([45], trang139)

Bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c c(cid:226) c¡c thuºc t‰nh d(cid:224)ch chuy”n th(cid:237)i gian nh(cid:247) sau

∞ (cid:88)

FDT←→

= x(−n)e−iωn −n=m x(m)eiωm (1.14) = X(−ω). FDT {x(−n)}(ω)

n=−∞

m=−∞

(1.21)

∞ (cid:88)

x(m)e−iω(m+n0) x(n − n0) x(n − n0)e−ωn =

m=−∞ =e−iωn0X(ω).

e. T‰ch ch“p ([42], trang 51)

T‰ch ch“p Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa hai d¢y t‰n hi»u x(n) v(cid:160) y(n) thuºc (cid:96)1(Z)

c(cid:226) d⁄ng

∞ (cid:88)

=e−iωn0 x(m)e−iωm

(1.22)

m=−∞

v(cid:160) th(cid:228)a m¢n (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a

(1.23)

x(n) ∗ y(n) = x(m)y(n − m), ∀n ∈ Z,

G(ω) = FDT {x(n) ∗ y(n)}(ω) = X(ω)Y (ω).

24

Chøng minh. Th“t v“y, ¡p (cid:31)(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o t‰ch ch“p (1.22)

ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

G(ω) =FDT {x(n) ∗ y(n)}(ω)

m=−∞

∞ (cid:88)

n=−∞ ∞ (cid:88)

x(m)y(n − m)e−iωn =

n=−∞ ∞ (cid:88)

m=−∞ ∞ (cid:88)

y(n − m)e−iωn x(m) =

r=−∞

∞ (cid:88)

m=−∞ ∞ (cid:88)

y(r)e−iω(m+r) x(m) =

r=−∞

m=−∞

Tł (cid:31)(cid:226) v(cid:160) tł (1.14) ta c(cid:226)

(cid:50) y(r)e−iωr. x(m)e−iωm =

Ch(cid:243)ng ta nh(cid:238) l⁄i r‹ng, n‚u ta bi”u di„n t‰n hi»u trong mi•n tƒn sŁ li¶n t(cid:246)c th…

t‰ch ch“p (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i mºt t‰ch ph¥n.

f. Vi ph¥n trong mi•n tƒn sŁ tƒn sŁ ([43], trang 17-3.)

B‹ng c¡ch vi ph¥n hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.14) theo bi‚n ω ta c(cid:226)

(cid:104) ∞ (cid:88)

(1.14) =

G(ω) = FDT {x(n) ∗ y(n)}(ω) = X(ω)Y (ω).

n=−∞ ∞ (cid:88)

x(n)e−inω(cid:105) dX(ω) dω d dω

n=−∞

= − i nx(n)e−iωn

thu (cid:31)(cid:247)æc t‰nh ch§t vi ph¥n trong mi•n tƒn sŁ cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

nh(cid:247) sau

= − iFDT {nx(n)}(ω),

FDT←→ i

(1.24)

(cid:30)i•u n(cid:160)y c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) ph†p nh¥n v(cid:238)i n trong mi•n th(cid:237)i gian ta (cid:31)(cid:247)æc vi ph¥n theo bi‚n

. nx(n) dX(ω) dω

g. H» thøc Parseval’s ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Rayleigh) ([44], trang 144.)

ω nh¥n v(cid:238)i i trong mi•n tƒn sŁ.

25

N‚u x(n) c(cid:226) n«ng l(cid:247)æng hœu h⁄n v(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c X(ω) =

(cid:90)

∞ (cid:88)

FDT {x(n)}, th… ta c(cid:226)

(1.25)

n=−∞

2π

trong (cid:31)(cid:226) |X(ω)|2 (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) m“t (cid:31)º n«ng l(cid:247)æng cıa t‰n hi»u x(n).

|x(n)|2 = |X(ω)|2dω, 1 2π

1.2.3 (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Wiener - Levy

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) Wiener-Levy [12]).

i) Cho x(n) ∈ (cid:96)1(Z) v(cid:160) Φ(z) l(cid:160) h(cid:160)m gi£i t‰ch tr¶n mi•n tƒn sŁ cıa

ii) (cid:30)(cid:176)c bi»t, n‚u FDT {x(n)}(ω) (cid:54)= 0 v(cid:238)i mØi ω ∈ [0, π] th… t(cid:231)n t⁄i d¢y sŁ z(n) ∈ (cid:96)(Z)

sao cho FDT {z(n)}(ω) =

FDT {x(n)}(ω). Khi (cid:31)(cid:226), Φ(cid:0)FDT {x(n)}(ω)(cid:1) l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa d¢y y(n) ∈ (cid:96)1(N0) n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) v(cid:160) l“p th(cid:160)nh chuØi hºi t(cid:246) tuy»t (cid:31)Łi.

1 FDT {x(n)}(ω)

K‚t lu“n Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Nºi dung ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra nhœng kh¡i ni»m c(cid:236) b£n v• t‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i

r⁄c, h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t bi‚n th(cid:237)i gian v(cid:160) ki‚n thøc c(cid:236) b£n v• bi‚n (cid:31)Œi Fourier

th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

B…nh lu“n

Bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ tŒng c(cid:226) s(cid:252) kh¡c bi»t v(cid:238)i bi‚n

(cid:31)Œi Fourier cıa l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ t‰ch, (cid:31)i•u (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc th” hi»n rª trong c¡c c(cid:230)ng thøc (1.14),

(1.18) v(cid:160) (cid:240) trong (cid:254) ii) cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.1.

26

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

T(cid:157)CH CH(cid:138)P SUY R¸NG FOURIER COSINE, FOURIER SINE TH˝I GIAN R˝I R(cid:132)C

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ta x†t c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp d¢y t‰n hi»u ban (cid:31)ƒu l(cid:160) c¡c d¢y chﬁn,

l· tr¶n mi•n (cid:31)Łi xøng cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c. Thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c bi‚n (cid:31)Œi

bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

M(cid:246)c 2.1 nghi¶n cøu chu'n cıa d¢y th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian

r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp d¢y (cid:31)ƒu v(cid:160)o l(cid:160) c¡c d¢y chﬁn hay l· (cid:31)Łi xøng. C¡c k‚t qu£

cıa m(cid:246)c n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y d(cid:252)a v(cid:160)o c(cid:230)ng tr…nh [2] v(cid:160) [4] trong Danh m(cid:246)c c¡c c(cid:230)ng

tr…nh (cid:31)¢ c(cid:230)ng bŁ cıa lu“n ¡n.

M(cid:246)c 2.2 nghi¶n cøu t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) t‰ch ch“p

suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng. Tł (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)¡nh gi¡ b§t

(cid:31)ﬂng thøc chu'n, (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Young r(cid:237)i r⁄c, b§t (cid:31)ﬂng thøc ki”u Young r(cid:237)i r⁄c, (cid:31)(cid:224)nh

l(cid:254) ki”u Titchmarch. C¡c k‚t qu£ cıa m(cid:246)c n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y d(cid:252)a v(cid:160)o c(cid:230)ng tr…nh [1],

[3] v(cid:160) [4] trong Danh m(cid:246)c c¡c c(cid:230)ng tr…nh (cid:31)¢ c(cid:230)ng bŁ cıa lu“n ¡n.

M(cid:246)c 2.3 nghi¶n cøu t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) t‰ch

ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng. Thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c (cid:31)ﬂng thøc

nh¥n tß h(cid:226)a, (cid:31)(cid:247)a ra c¡c (cid:31)¡nh gi¡ b§t (cid:31)ﬂng thøc chu'n, (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Young, b§t (cid:31)ﬂng

thøc ki”u Young, (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Titchmarch. C¡c k‚t qu£ cıa m(cid:246)c n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y

d(cid:252)a v(cid:160)o c(cid:230)ng tr…nh [1], [3] v(cid:160) [4] trong Danh m(cid:246)c c¡c c(cid:230)ng tr…nh (cid:31)¢ c(cid:230)ng bŁ cıa lu“n

¡n.

M(cid:246)c 2.4 nghi¶n cøu t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c. Thu (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)ﬂng

thøc nh¥n tß h(cid:226)a, c(cid:230)ng thøc Parseval v(cid:160) c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc chu'n tr¶n c¡c kh(cid:230)ng

gian d¢y. C¡c k‚t qu£ cıa m(cid:246)c n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y d(cid:252)a v(cid:160)o c(cid:230)ng tr…nh [2] trong Danh

m(cid:246)c c¡c c(cid:230)ng tr…nh (cid:31)¢ c(cid:230)ng bŁ cıa lu“n ¡n.

27

2.1 Bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine

th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

M(cid:246)c n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)a ra c(cid:230)ng thøc chu'n cıa d¢y th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a c¡c bi‚n

(cid:31)Œi Fourier cosnie th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c c(cid:242)ng c¡c

t‰nh ch§t cıa c¡c bi‚n (cid:31)Œi.

2.1.1 Chu'n cıa d¢y th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

Cho (cid:96)p(N0), 1 ≤ p ≤ ∞, l(cid:160) kh(cid:230)ng gian d¢y c¡c sŁ phøc x := {x(n)}n≥0 (cid:31)(cid:247)æc trang

b(cid:224) v(cid:238)i chu'n

(cid:32)

(cid:33) 1

∞ (cid:88)

(2.1)

n=1

|x(0)|p |x(n)|p < ∞, 1 ≤ p < ∞, (cid:107)x(cid:107)p := 2p +

v(cid:160) (cid:96)o

p(N0) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian con cıa (cid:96)p(N0) khi x(0) = 0.

|xn| < ∞, (cid:107)x(cid:107)∞ := sup n≥0

2.1.2 (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.1. Bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)Łi v(cid:238)i d¢y t‰n hi»u x(n) ∈ (cid:96)p(N0) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i

(2.2)

∞ (cid:88)

Xc(ω) ≡FcDT {x(n)}(ω)

n=1

D(cid:252)a v(cid:160)o t‰nh tuƒn ho(cid:160)n cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, ¡p d(cid:246)ng cho

d¢y t‰n hi»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o l(cid:160) d¢y chﬁn ch(cid:243)ng ta sß d(cid:246)ng chuØi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ta

c(cid:226)

∞ (cid:88)

x(n) cos(nω), ω ∈ [0, π]. + = x(0) 2

n=1

x(n) cos(nω) + Xc(ω) = x(0) 2

28

∞ (cid:88)

(cid:2)x(0) +

n=1

∞ (cid:88)

= x(|n|) cos(nω)(cid:3) 1 2

n=−∞

tł (cid:31)(cid:226) v(cid:160) tł c(cid:230)ng thøc bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (1.15) ta

(cid:31)(cid:247)æc

π (cid:90)

x(|n|) cos(nω), = 1 2

(2.3)

cDT {Xc(ω)}(n) =

(cid:31)¥y l(cid:160) c(cid:230)ng thøc bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, (cid:31)(cid:247)æc

trang b(cid:224) v(cid:238)i chu'n trong (2.1). — (cid:31)(cid:226), Xc(ω) l(cid:160) h(cid:160)m tuƒn ho(cid:160)n chu k(cid:253) 2π. Tł c(cid:230)ng thøc (2.2) v(cid:160) (2.3) cho th§y, (cid:31)” m(cid:230) t£ ho(cid:160)n to(cid:160)n (cid:31)(cid:247)æc t‰n hi»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o x(n) ta cƒn

x¡c (cid:31)(cid:224)nh m(cid:229)i th(cid:230)ng tin (cid:31)ƒu ra cıa Xc(ω) tr¶n (cid:31)o⁄n c(cid:236) b£n.

N‚u x ∈ (cid:96)1(N0) th… Xc ∈ L∞(0, π) v(cid:160)

x(n) ≡ F −1 Xc(ω) cos(nω)dω, 1 π

N‚u x ∈ (cid:96)2(N0) th… Xc ∈ L2(0, π) v(cid:160) c(cid:230)ng thøc Parseval cho chuØi Fourier cosine

c(cid:226) d⁄ng

||Xc||∞ ≤ ||x||1.

(2.4)

2 =

— (cid:31)¥y ||.||p l(cid:160) chu'n p cıa Lp(0, π).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.2. Bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa d¢y x := {x(n)}n≥0 ∈ p(N0) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (cid:96)o

∞ (cid:88)

||x||2 ||Xc||2 2. 2 π

(2.5)

n=1

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ta thu (cid:31)(cid:247)æc bi‚n (cid:31)Œi

Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ng(cid:247)æc d⁄ng

π (cid:90)

x(n) sin(nω), ω ∈ [0, π], Xs(ω) ≡ FsDT {x(n)}(ω) :=

(2.6)

sDT {Xs(ω)}(n) =

p(N0). N‚u x ∈ (cid:96)o

2(N0), th…

(cid:30)(cid:247)æc trang b(cid:224) v(cid:238)i chu'n trong (2.1) (cid:31)Łi v(cid:238)i kh(cid:230)ng gian (cid:96)o (cid:31)ﬂng thøc Parseval’s cho bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c c(cid:226) d⁄ng

(cid:114)

x(n) ≡ F −1 Xs(ω) sin(nω)dω. 1 π

(cid:107)x(cid:107)2 = (cid:107)Xs(cid:107)L2(0,π). 2 π

29

2.1.3 T‰nh ch§t

V(cid:238)i c¡c d¢y t‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ban (cid:31)ƒu x(n), y(n) qua hai ph†p bi‚n (cid:31)Œi

Fourier cosine, Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ta (cid:31)(cid:247)æc t‰n hi»u (cid:31)ƒu ra t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) FcDT {x(n)}(ω), FcDT {y(n)}(ω) v(cid:160) FsDT {x(n)}(ω), FsDT {y(n)}(ω). Ta c(cid:226) c¡c t‰nh ch§t sau:

a. T‰nh tuy‚n t‰nh: Khi c¡c d¢y x(n), y(n) ∈ (cid:96)1(N0) ta c(cid:226) c¡c t‰nh ch§t:

Khi c¡c d¢y x(n), y(n) thuºc kh(cid:230)ng gian con (cid:96)o

1(N0), ta c(cid:226) :

FcDT {ax(n) + by(n)}(ω) = aXc(ω) + bYc(ω), ∀a, b ∈ R.

b. T‰nh bi‚n (cid:31)i»u: i) N‚u d¢y x(n) ∈ (cid:96)1(N0) th… ta c(cid:226)

FsDT {ax(n) + by(n)}(ω) = aXs(ω) + bYs(ω), ∀a, b ∈ R.

(2.7)

) FcDT {x(n)}( FcDT {x(n) cos(nω0)}(ω) = 1 2

v(cid:160)

+ ), ω + ω0 2 FcDT {x(n)}( |ω − ω0| 2 1 2

(2.8)

) FcDT {x(n) sin(nω0)}(ω) = FsDT {x(n)}( 1 2

Chøng minh. Sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o d¢y x(n) cos(nω0) ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

+ ). ω + ω0 2 FsDT {x(n)}( |ω − ω0| 2 1 2

n=1

, x(n) cos(nω0) cos(nω) + FcDT {x(n) cos(nω0)}(ω) = x(0) 2

m(cid:160) ta bi‚t r‹ng 2 cos(nω0) cos(nω) = cos(n ω+ω0

∞ (cid:88)

) + cos(n |ω−ω0| ), khi (cid:31)(cid:226)

n=1

∞ (cid:88)

x(n) cos(nω0) cos(nω) + x(0) 2

n=1

∞ (cid:88)

= x(n)[ cos(n ) + cos(n )] + 1 2 ω + ω0 2 |ω − ω0| 2 x(0) 2 1 2

n=1

= x(n) cos(n ) + x(n) cos(n ) + 1 2 ω + ω0 2 1 2 |ω − ω0| 2 x(0) 2 1 2

= ) + ). FcDT {x(n)}( FcDT {x(n)}( 1 2 ω + ω0 2 1 2 |ω − ω0| 2

30

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) v(cid:238)i d¢y x(n) sin(nω0) ta thu (cid:31)(cid:247)æc:

∞ (cid:88)

n=1

∞ (cid:88)

x(n) sin(nω0) cos(nω) FcDT {x(n) sin(nω0)}(ω) =

n=1

) + sin(n )] = x(n)[sin(n 1 2 ω + ω0 2 |ω − ω0| 2

= ) + ). FsDT {x(n)}( FsDT {x(n)}( 1 2 ω + ω0 2 1 2 |ω − ω0| 2

T‰nh ch§t (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

ii) N‚u d¢y t‰n hi»u x(n) ∈ (cid:96)o

1(N0) th… ta c(cid:226)

(cid:50)

(2.9)

) FsDT {x(n)}( FsDT {x(n) cos(nω0)}(ω) = 1 2

v(cid:160)

), + ω + ω0 2 FsDT {x(n)}( 1 2 |ω − ω0| 2

(2.10)

) FsDT {x(n) sin(nω0)}(ω) = FcDT {x(n)}( 1 2

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o d¢y

). − |ω − ω0| 2 |ω + ω0| FcDT {x(n)}( 2 1 2

∞ (cid:88)

x(n) cos(nω0) ta c(cid:226)

n=1

trong (cid:31)(cid:226)

x(n) cos(nω0) sin(nω), FsDT {x(n) cos(nω0)}(ω) =

Khi (cid:31)(cid:226)

[sin(n ) + sin(n )]. cos(nω0) sin(nω) = 1 2 ω + ω0 2 |ω − ω0| 2

∞ (cid:88)

FsDT {x(n) cos(nω0)}(ω)

n=1

= x(n)[sin(n ) + sin(n )] 1 2 ω + ω0 2 |ω − ω0| 2

= ) + ). FsDT {x(n)}( FsDT {x(n)}( 1 2 ω + ω0 2 1 2 |ω − ω0| 2

31

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) v(cid:238)i d¢y x(n) sin(nω0) v(cid:160) sß d(cid:246)ng ) − cos(n ω+ω0 sin(nω0) sin(nω) =

∞ (cid:88)

[cos(n |ω−ω0| )] ta c(cid:226): 1 2

n=1

∞ (cid:88)

x(n) sin(nω0) sin(nω) FsDT {x(n) sin(nω0)}(ω) =

n=1

) − cos(n )] = x(n)[cos(n 1 2 |ω − ω0| 2 ω + ω0 2

= ) − ). FcDT {x(n)}( FcDT {x(n)}( 1 2 ω + ω0 2 1 2 |ω − ω0| 2

T‰nh ch§t (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

c. Vi ph¥n trong mi•n tƒn sŁ i) N‚u d¢y t‰n hi»u x(n) ∈ (cid:96)1(N0), th… ta c(cid:226)

(2.11)

(cid:50)

Chøng minh. Th“t v“y, tł c(cid:230)ng thøc (2.2) ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

Xc(ω) = −FsDT {nx(n)}(ω). d dω

n=1

∞ (cid:88)

x(n) cos(nω)] [ + Xc(ω) = d dω d dω x0 2

n=1

∞ (cid:88)

= x(n) cos(nω) d dω

n=1

Theo bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (2.5) ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

nx(n) sin(nω). = −

n=1

Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

nx(n) sin(nω) = FsDT {nx(n)}(ω).

Xc(ω) = −FsDT {nx(n)}(ω). d dω

T‰nh ch§t (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

ii) N‚u d¢y t‰n hi»u x(n) ∈ (cid:96)o

1(N0) th… ta c(cid:226)

(2.12)

(cid:50)

Xs(ω) = FcDT {nx(n)}(ω). d dω

32

Chøng minh. Th“t v“y, v… x(n) ∈ (cid:96)o

1(N0) n¶n x(0) = 0. Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

n=1

∞ (cid:88)

x(n) sin(nω)] [ Xs(ω) = d dω d dω

n=1 ∞ (cid:88)

= x(n) sin(nω) d dω

n=1

Theo c(cid:230)ng thøc bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (2.2) ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

= nx(n) cos(nω).

n=1

nx(n) cos(nω). FcDT {nx(n)}(ω) =

Nh(cid:247) v“y ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:50) Xs(ω) = FcDT {nx(n)}(ω). d dω

2.2 T‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian

r(cid:237)i r⁄c

M(cid:246)c n(cid:160)y d(cid:160)nh cho vi»c nghi¶n cøu t‰ch ch“p ruy rºng v(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng c(cid:226)

h(cid:160)m tr(cid:229)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c tr¶n c¡c kh(cid:230)ng gian.

2.2.1 T‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.2.1. T‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa hai d¢y

FsDT

∞ (cid:88)

x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) d¢y (x ∗ y)(n), x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(2.13)

FsDT

m=0

n‚u chuØi hºi t(cid:246) v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

2(N0) v(cid:160) y(n) ∈ (cid:96)2(N0). Khi (cid:31)(cid:226) t‰ch ch“p suy rºng (2.13)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1. Cho x(n) ∈ (cid:96)o thuºc kh(cid:230)ng gian (cid:96)o

∞(N0), h(cid:236)n nœa

(x ∗ y)(n) = x(m)[y(|n − m|) − y(n + m)], n ≥ 0,

(2.14)

FsDT

(cid:107)x ∗ (x ∗ y)(n) = 0. y(cid:107)∞ ≤ 2(cid:107)x(cid:107)2 · (cid:107)y(cid:107)2, lim n→∞

33

Ngo(cid:160)i ra, ta c(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc Parseval sau (cid:31)¥y

π (cid:90)

(2.15)

FsDT

Chøng minh. Cho Xo(ω), Ye(ω) l(cid:160) c¡c th(cid:160)nh phƒn chﬁn, l· cıa X(ω), Y (ω) tł [0, π] t(cid:238)i [−π, π]. Sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c [42, 43, 46],

∞ (cid:88)

(x ∗ y)(n) = n ≥ 0. Xs(ω)Yc(ω) sin(nω)dω, 4 π

n=−∞

ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

x(n)e−iωn, ω ∈ [−π, π], X(ω) := FDT {x(n)}(ω) =

n=−∞

∞ (cid:88)

xo(n)e−iωn, Xo(ω) = FDT {xo(n)}(ω) :=

n=−∞

(cid:240) (cid:31)(cid:226)

Ye(ω) = FDT {ye(n)}(ω) := ye(n)e−inω,

x(|n|), y(|n|), n ∈ Z, xo(n) = ye(n) = (−1)sign(n) 2

(cid:30)ﬂng thøc Parseval’s cho bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa Xo, Ye cho ta

π (cid:90)

∞ (cid:88)

xo(0) = x(0) = 0, 1 2 ye(0) = y(0).

m=−∞

(2.16)

−π π (cid:90)

xo(m)ye(n − m) = Xo(ω)Ye(ω)eiωndω 1 2π

2(Z), ye(n) ∈ (cid:96)2(Z), chuØi b¶n tr¡i cıa (2.16) hºi t(cid:246) tuy»t (cid:31)Łi, (cid:31)(cid:247)æc bi”u

Tł xo(n) ∈ (cid:96)o di„n nh(cid:247) sau

∞ (cid:88)

−1 (cid:88)

n ∈ Z. = Xs(ω)Yc(ω) sin(nω)dω, 1 π

m=−∞

(2.17)

∞ (cid:88)

xo(m)ye(n − m) = xo(m)ye(n − m)

m=1

+ xo(0)ye(n) + xo(m)ye(n − m).

34

V… xo(0) = 0, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.17) c(cid:226) d⁄ng

∞ (cid:88)

m=−∞

m=1

∞ (cid:88)

xo(m)ye(n − m) = xo(−m)ye(n + m) + xo(m)ye(n − m)

(2.18)

m=1

(cid:105)

m=1 ∞ (cid:88)

= − x(m)y(n + m) + x(m)y(|n − m|) 1 4 1 4

(cid:104) x(m)

m=1

= y(|n − m|) − y(n + m) , n ≥ 0. 1 4

K‚t hæp (2.16) v(cid:160) (2.18) ta thu (cid:31)(cid:247)æc (2.15). C(cid:230)ng thøc (2.15) cho ta th§y r‹ng 2Xs(ω)Yc(ω) ∈ L1(0, π) l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa d¢y (x ∗

FsDT

do (cid:31)(cid:226), (x ∗

y)(n),

FsDT

π (cid:90)

y)(n) → 0 v(cid:238)i n → ∞. Tł (2.15) ta c(cid:226)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)

FsDT

0 π (cid:90)

|(x ∗ y)(n)| = Xs(ω)Yc(ω) sin(nω)dω 4 π

≤ |Xs(ω)Yc(ω)|dω ≤ (cid:107)Xs(cid:107)L2(0,π) · (cid:107)Yc(cid:107)L2(0,π) 4 π 4 π

= 2(cid:107)x(cid:107)2 · (cid:107)y(cid:107)2.

Rª r(cid:160)ng, (x ∗

∞(N0).

FsDT

y)(n) ∈ (cid:96)o y)(0) = 0, nh(cid:247) v“y (x ∗

FsDT (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.2 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Young r(cid:237)i r⁄c). Cho p, q, r > 1, th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n x(n) ∈ (cid:96)o

p(N0), y(n) ∈ (cid:96)q(N0), h(n) ∈ (cid:96)r(N0) v(cid:160) 1

r = 2, th…

p + 1

q + 1

∞ (cid:88)

(cid:50)

(2.19)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) y)(n) · h(n) (cid:12) ≤ (cid:107)x(cid:107)p · (cid:107)y(cid:107)q · (cid:107)h(cid:107)r.

FsDT

n=0

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t p1, q1, r1 t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) c¡c sŁ m(cid:244) li¶n hæp cıa p, q, r, tøc l(cid:160)

(x ∗

+ = 1, + = 1, + = 1. 1 p 1 q 1 r 1 p1 1 q1 1 r1

Khi (cid:31)(cid:226),

+ + = 1. (cid:30)(cid:176)t 1 p1 1 q1 1 r1

U (n, m) =|y(|n − m|) − y(n + m)|q/p1 · |h(n)|r/p1,

V (n, m) =|x(m)|p/q1 · |h(n)|r/q1,

W (n, m) =|x(m)|p/r1 · |y(|n − m|) − y(n + m)|q/r1,

35

ta (cid:31)(cid:247)æc

(2.20)

(cid:30)Łi v(cid:238)i chuØi k†p {U (n, m)}n,m≥0 ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

U (n, m)V (n, m)W (n, m) = |x(m)| · |h(n)| · |y(|n − m|) − y(n + m)|.

m=1

n=0

m=1 ∞ (cid:88)

|U (n, m)|p1 = |h(n)|r|y(|n − m|) − y(n + m)|q

n=0

m=1

Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng tq v(cid:238)i q > 1 l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i, do (cid:31)(cid:226), theo b§t (cid:31)ﬂng thøc h(cid:160)m l(cid:231)i cho th§y

∞ (cid:88)

. = |h(n)|r(cid:16) ∞ (cid:88) |y(|n − m|) − y(n + m)|q(cid:17)

m=1

(cid:32)

m=1 (cid:33)

∞ (cid:88)

|y(|n − m|) − y(n + m)|q ≤2q−1(cid:16) ∞ (cid:88) |y(n + m)|q + |y(|n − m|)|q(cid:17)

m=1 |y0|q 2

m=1

V… v“y

(cid:32)

∞ (cid:88)

(cid:33) ∞ (cid:88)

≤2q |y(m)|q + .

(2.21)

q · (cid:107)h(cid:107)r r.

m=1

n=0

m=1

n=0

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252),

∞ (cid:88)

|U (n, m)|p1 ≤ 2q |y(m)|q |h(n)|r = 2q(cid:107)y(cid:107)q + |y0|q 2

(2.22)

p · (cid:107)y(cid:107)q q,

n=0

m=1

v(cid:160)

∞ (cid:88)

|W (n, m)|r1 ≤ 2p(cid:107)x(cid:107)p

p · (cid:107)h(cid:107)r r.

m=1

n=0

K‚t hæp v(cid:238)i (2.21) v(cid:160) (2.22) ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

1 q1

|V (n, m)|q1 = (cid:107)x(cid:107)p

1 p1 ·(

m=1

n=0

m=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

( |U (n, m)|p1) |V (n, m)|q1)

r1 ≤ 2(cid:107)x(cid:107)p · (cid:107)y(cid:107)q · (cid:107)h(cid:107)r.

m=1

n=0

·( |W (n, m)|r1)

36

Tł (2.20), (2.23) v(cid:160) x(0) = 0, sß d(cid:246)ng b§t (cid:31)ﬂng thøc H¨older cho ba d¢y ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ y)(n) · h(n)

FsDT

n=0

m=1

∞ (cid:88)

(x ∗ |x(m)| · |[y(|n − m|) − y(n + m)]| · |h(n)| 1 2

m=1

(cid:33) 1 p1

(cid:33) 1 q1

(cid:32) ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

n=0 (cid:32) ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

U (n, m) · V (n, m) · W (n, m) = 1 2

m=1

n=0

(cid:33) 1 r1

m=1 (cid:32) ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

· |V (n, m)|q1 |U (n, m)|p1 ≤ 1 2

m=1

n=0

|W (n, m)|r1 ·

≤ (cid:107)x(cid:107)p · (cid:107)y(cid:107)q · (cid:107)h(cid:107)r.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:50)

H» qu£ 2.2.1 (B§t (cid:31)ﬂng thøc ki”u Young r(cid:237)i r⁄c). Gi£ sß p, q, r > 1 th(cid:228)a m¢n r(N0), (cid:31)i•u ki»n 1

r . N‚u x(n) ∈ (cid:96)o

q = 1 + 1

p(N0), y(n) ∈ (cid:96)q(N0) th… (x ∗ FsDT

p + 1 h(cid:236)n nœa ta c(cid:226)

y)(n) ∈ (cid:96)o

(2.23)

FsDT

(cid:107)x ∗ y(cid:107)r ≤ (cid:107)x(cid:107)p · (cid:107)y(cid:107)q.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3. Gi£ sß r‹ng x(n) ∈ (cid:96)o

1(N0),

1(N0), y(n) ∈ (cid:96)1(N0). Khi (cid:31)(cid:226) x ∗ FsDT

v(cid:160) c(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a sau

(2.24)

y ∈ (cid:96)o

H(cid:236)n nœa,

y)(n)}(ω) = 2FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω), ω ∈ [0, π]. FsDT {(x ∗ FsDT

(2.25)

FsDT

(cid:30)ﬂng thøc x£y ra khi x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) c¡c d¢y kh(cid:230)ng ¥m (ho(cid:176)c kh(cid:230)ng d(cid:247)(cid:236)ng).

Chøng minh. Sß d(cid:246)ng (2.5) cho (2.13), ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

(cid:107)x ∗ y(cid:107)1 ≤ 2(cid:107)x(cid:107)1 · (cid:107)y(cid:107)1.

n=1 ∞ (cid:88)

k=1 ∞ (cid:88)

y}(ω) = x(k)[y(|n − k|) − y(n + k)] sin(nω) FsDT {x ∗ FsDT

(2.26)

n=1

k=1

∞ (cid:88)

= x(k)y(|n − k|) sin(nω)

n=1

k=1

− x(k)y(n + k) sin(nω).

37

B‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)Œi bi‚n sŁ, (cid:31)(cid:176)t r = n − k ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

n=1

k=1

(2.27)

k−1 (cid:88)

∞ (cid:88)

x(k)y(|n − k|) sin(nω) =

r=0

r=1

k=1

v(cid:160) v(cid:238)i tŒng

x(k) y(r) sin(k − r)ω, x(k) y(r) sin(r + k)ω + =

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:80) k=1

∞ (cid:88)

x(k)y(n + k) sin(nω), (cid:31)(cid:176)t t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) r = n + k ta (cid:31)(cid:247)æc

(2.28)

n=1

k=1

r=k+1

k=1

Tł (2.26), (2.27) v(cid:160) (2.28), ta c(cid:226)

x(k)y(n + k) sin(nω) = x(k) y(r) sin(r − k)ω.

∞ (cid:88)

k−1 (cid:88)

∞ (cid:88)

y}(ω) = FsDT {x ∗ FsDT

r=0

r=1

k=1

∞ (cid:88)

y(r) sin(k − r)ω y(r) sin(r + k)ω + x(k) = x(k)

k=1

r=k+1

∞ (cid:88)

− x(k) y(r) sin(r − k)ω

r=1

k=1

∞ (cid:88)

= x(k) y(r) sin(r + k)ω + x(k) y(r) sin(k − r)ω

k=1

∞ (cid:88)

+ y(0) x(k) sin(kω)

r=1

k=1 (cid:105)

k=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

(cid:104) x(k) sin(kω)

= 2 x(k) sin(kω) y(r) cos(rω) + y(0) x(k) sin(kω)

r=1

k=1

= y(0) + 2 y(r) cos(rω)

= 2Xs{ω}Yc{ω}.

38

M(cid:176)t kh¡c

∞ (cid:88)

FsDT

m=1

n=1

m=1

∞ (cid:88)

n=1 ∞ (cid:88)

(cid:107)x ∗ |x(m)y(n + m)| + |x(m)y(|n − m|)| y(cid:107)1 ≤

m=1

r=m+1 m−1 ∞ (cid:88) (cid:88)

m=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

≤ |x(m)y(m)| + |x(m)y(r)|

(2.29)

r=1

r=0

(cid:32)

(cid:33)

m=1 ∞ (cid:88)

+ |x(m)y(r)| + |x(m)y(r)|

(cid:32)

(cid:33)

r=1 ∞ (cid:88)

m=1 ∞ (cid:88)

= |x(m)| |y(r)| |y0| + 2

r=1

m=1

= 2 |x(m)| + |y(r)| |y0| 2

v(cid:160) ta th§y (cid:31)ﬂng thøc x£y ra khi x(n) c(cid:242)ng d§u v(cid:238)i m(cid:229)i n v(cid:160) y(n) c(cid:242)ng d§u v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:50)

= 2(cid:107)x(cid:107)1 · (cid:107)y(cid:107)1,

M»nh (cid:31)• 2.2.1. N‚u x(n), y(n) ∈ (cid:96)o

1(N0), ta c(cid:226)

π (cid:90)

(cid:110)

(cid:0)x(|ω − n|) − x(ω + n)(cid:1)(cid:111)

(2.30)

FsDT

1(N0) th… ta c(cid:226) x(n)y(n) ∈ (cid:96)o

1(N0).

Chøng minh. Nh(cid:247) ta (cid:31)¢ bi‚t r‹ng, n‚u x(n), y(n) ∈ (cid:96)o Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

y(n) ∗ (v)dv. FsDT {x(n)y(n)}(ω) = FsDT 1 2π

n=1

Sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc (cid:31)Łi v(cid:238)i d¢y y(n) ∈ (cid:96)o

1(N0) ta (cid:31)(cid:247)æc

π (cid:90)

(cid:105)

∞ (cid:88)

x(n)y(n) sin nω. FsDT {x(n)y(n)}(ω) =

(cid:104) 1 π

n=1

0 π (cid:90)

(cid:105)

∞ (cid:88)

sin nω x(n) Ys(v) sin(nv)dv FsDT {x(n)y(n)}(ω) =

(cid:104) x(n)

n=1

π (cid:90)

∞ (cid:88)

sin(nω) = Ys(v) sin(nv)dv 1 π

n=1

= x(n) sin(nv) sin(nω)dv. Ys(v) 1 π

39

Sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi s(cid:236) c§p ta (cid:31)(cid:247)æc

π (cid:90)

∞ (cid:88)

FsDT {x(n)y(n)}(ω)

n=1

0 π (cid:90)

∞ (cid:88)

= x(n)[cos n(ω − v) − cos n(ω + v)]dv Ys(v) 1 2π

n=1

Tł c(cid:230)ng thøc (2.3) ta (cid:31)(cid:247)æc

π (cid:90)

= [x(n) cos n(ω − v) − x(n) cos n(ω + v)]dv. Ys(v) 1 2π

Theo (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a (2.24), khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:247)æc vi‚t d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

π (cid:90)

(cid:110)

Ys(v)[Xc(|ω − v|) − Xc(ω + v)]dv. FsDT {x(n)y(n)}(ω) = 1 2π

(cid:0)x(|ω − n|) − x(ω + n)(cid:1)(cid:111)

FsDT

(v)dv. y(n) ∗ FsDT FsDT {x(n)y(n)}(ω) = 1 2π

M»nh (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh xong.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.2.2. Mºt d¢y x(n) gi£m theo c§p sŁ m(cid:244) n‚u t(cid:231)n t⁄i A, δ > 0 sao cho |x(n)| ≤ Ae−δn v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

— (cid:31)¥y, theo (1.4) ta th§y |α| = e−δ > 1. V(cid:160) th§y r‹ng n‚u x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) c¡c d¢y gi£m theo c§p sŁ m(cid:244) th… x(n), y(n) ∈ (cid:96)1(N0).

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.4. ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Titchmarch) Cho hai d¢y x(n) v(cid:160) y(n) gi£m theo c§p

sŁ m(cid:244). Khi (cid:31)(cid:226) (x ∗

(cid:50)

FsDT

1(N0) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian con cıa (cid:96)1(N0)

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng (2.24) v(cid:160) l(cid:247)u (cid:254) kh(cid:230)ng gian (cid:96)o khi x(0) = 0 ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)¡p øng tƒn sŁ

y)(n) ≡ 0 n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u x(n) ≡ 0 ho(cid:176)c y(n) ≡ 0.

(2.31)

ω ∈ [0, π]. y)(n)}(ω) = 2Xs(ω) · Yc(ω), FsDT {(x ∗ FsDT

N‚u (x ∗

FsDT tr¶n, ta c(cid:226)

y)(n)}(ω) = 0, v(cid:160) theo ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.31) y)(n) ≡ 0, th… FsDT {(x ∗ FsDT

(2.32)

Tł x(n), y(n) l(cid:160) c¡c d¢y gi£m theo c§p sŁ m(cid:244) v(cid:160) Xs(ω), Yc(ω) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m gi£i t‰ch [13]. Tł (2.32) ta d¤n t(cid:238)i Xs(ω) = 0 ho(cid:176)c Yc(ω) = 0, v(cid:160) do (cid:31)(cid:226), x(n) ≡ 0 ho(cid:176)c y(n) ≡ 0. (cid:50)

ω ∈ [0, π]. Xs(ω) · Yc(ω) = 0,

40

2.2.2 T‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.2.3. T‰ch ch“p suy rºng cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng γ(ω) = sin(ω) cıa c¡c d¢y x(n), y(n) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

∞ (cid:88)

γ ∗ FsDT

(2.33)

m=1

(x y)(n) = x(m)[y(|m + n − 1|)

n‚u chuØi hºi t(cid:246) v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

1(N0), khi (cid:31)(cid:226) t‰ch ch“p suy rºng v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng

+y(|n − m − 1|) − y(n + m + 1) − y(|n − m + 1|),

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.5. Cho x(n), y(n) ∈ (cid:96)o 1(N0) v(cid:160) (x

γ ∗ FsDT

y)(n) ∈ (cid:96)o

(2.34)

γ ∗ FsDT

D§u b‹ng x£y ra khi c¡c d¢y t‰n hi»u x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) c¡c d¢y kh(cid:230)ng ¥m (ho(cid:176)c kh(cid:230)ng

d(cid:247)(cid:236)ng). H(cid:236)n nœa, ta c(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a

(2.35)

||x y||1 ≤ 4||x||1 · ||y||1.

γ ∗ FsDT

FsDT (x y)(ω) = 4 sin ω · FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω), ω ∈ [0, π].

Chøng minh. (cid:30)ƒu ti¶n, ta chøng minh r‹ng (x

1(N0).

γ ∗ FsDT

D(cid:252)a v(cid:160)o gi£ thi‚t x(n), y(n) ∈ (cid:96)o

1(N0) ta c(cid:226)

y)(n) ∈ (cid:96)o

∞ (cid:88)

γ ∗ FsDT ∞ (cid:88)

||x y||1

n=1

m=1

n=1

m=1

∞ (cid:88)

|y(|n − m − 1|)| |x(m)| |y(|n + m − 1|)| + |x(m)| ≤

m=1

n=1

m=1

∞ (cid:88)

(cid:104) ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

+ |x(m)| |y(|n + m + 1|)| + |x(m)| |y(|n − m + 1|)|

m=1

n=1

∞ (cid:88)

≤ |x(m)| |y(|n + m − 1|)| + |y(|n − m − 1|)|

(cid:105) |y(|n − m + 1|)|

n=1

+ |y(|n + m + 1|)| + .

41

M(cid:176)t kh¡c, v… c¡c d¢y x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) c¡c d¢y l· v(cid:160) v…

∞ (cid:88)

n=1

n=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

|y(|n + m − 1|)|+ |y(|n − m − 1|)|

r=1−m

r=m−1

(2.36)

∞ (cid:88)

m−1 (cid:88)

∞ (cid:88)

= |y(|r|)| + |y(|r|)|

r=1

r=m−1

r=1 ∞ (cid:88)

= |y(|r|)| + |y(|r|)| + |y(|r|)|

r=1

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252)

∞ (cid:88)

=2 |y(|r|)|.

n=1

n=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

|y(|n − m + 1|)| |y(|n + m + 1|)|+

n=−m−1

(2.37)

m (cid:88)

∞ (cid:88)

r=m+1 ∞ (cid:88)

= |y(|r|)| + |y(|r|)|

r=1

r=m+1 ∞ (cid:88)

|y(|r|)| |y(|r|)| + |y(|r|)| + =

r=1

(cid:30)ﬂng thøc (2.36) v(cid:160) (2.37) cho ta (cid:31)¡nh gi¡ ||x

=2 |y(|r|)|.

γ ∗ FsDT

1(N0)

ra khi c¡c d¢y x(n) v(cid:160) y(n) c(cid:242)ng d§u v(cid:238)i c¡c ch¿ sŁ t(cid:247)(cid:236)ng øng cıa c¡c d¢y. B¥y gi(cid:237) ta chøng minh (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a (2.35). V(cid:238)i gi£ thi‚t x(n), y(n) ∈ (cid:96)o v(cid:160) tł

y||1 ≤ 4||x||1 · ||y||1. D§u b‹ng x£y

∞ (cid:88)

4 sin ω · FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω)

m=1

n=1

∞ (cid:88)

+ + y(n) cos(nω)(cid:3) =4 sin ω · (cid:2)x(0) 2 x(m) cos(mω)(cid:3) · (cid:2)y(0) 2

m=1

n=1

h(cid:236)n nœa

=4 x(m) y(n) sin ω · cos(mω) · cos(nω),

[ sin ω(n + m + 1) − sin ω(n + m − 1) sin ω · cos(mω) · cos(nω) = 1 4

+ sin ω(n − m + 1) − sin ω(n − m − 1)].

42

Ta (cid:31)(cid:247)æc 4 sin ω · FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) =

∞ (cid:88)

(2.38)

m=1

n=1

= x(m) y(n)[sin ω(n + m + 1) − sin ω(n + m − 1)

+ sin ω(n − m + 1) − sin ω(n − m − 1)].

∞ (cid:88)

• (cid:30)Œi bi‚n m + n + 1 = t, ta (cid:31)(cid:247)æc

m=1

n=1

∞ (cid:88)

x(m) y(n) sin ω(n + m + 1)

t=m+2

m=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

x(m) y(t − m − 1) sin(ωt) =

m=1

t=1

(2.39)

m+1 (cid:88)

∞ (cid:88)

x(m) y(|t − m − 1|) sin(ωt) =

t=1

m=1

∞ (cid:88)

y(|m + 1 − t|) sin(ωt) x(m) −

m=1

t=1

m (cid:88)

∞ (cid:88)

= x(m) y(|t − m − 1|) sin(ωt)

t=1

m=1

y(|m + 1 − t|) sin(ωt). x(m) −

∞ (cid:80) m=1

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:88)

x(m) • T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) v(cid:238)i y(n) sin ω(m − n + 1), (cid:31)Œi bi‚n m − n + 1 = −t ta (cid:31)(cid:247)æc

m=1

n=1

∞ (cid:88)

x(m) y(n) sin ω(m + 1 − n)

t=−m

m=1

∞ (cid:88)

y(t + m + 1) sin(ωt) x(m) = −

m=1

t=1

∞ (cid:88)

0 (cid:88)

= − x(m) y(t + m + 1) sin(ωt)

t=−m

m=1

(2.40)

∞ (cid:88)

− x(m) y(t + m + 1) sin(ωt)

m=1 ∞ (cid:88)

t=1 −1 (cid:88)

= − x(m) y(t + m + 1) sin(ωt)

t=−m

m=1

− x(m) y(t + m + 1) sin(ωt).

43

H(cid:236)n nœa,

∞ (cid:88)

m (cid:88)

∞ (cid:88)

−1 (cid:88)

(2.41)

t=−m

m=1

t=1

m=1

Tł (2.39), (2.40) v(cid:160) (2.41) ta c(cid:226):

∞ (cid:88)

y(t + m + 1) sin ωt = x(m) y(|m + 1 − t|) sin(ωt). − x(m)

m=1

n=1

(2.42)

∞ (cid:88)

x(m) y(n)[sin ω(n − m − 1) + sin ω(m + n + 1)]

m=1

t=1

= x(m) [y(|t − m − 1|) − y(t + m + 1)] sin(ωt).

∞ (cid:88)

• T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta (cid:31)Œi bi‚n m − 1 + n = t, ta (cid:31)(cid:247)æc

n=1

m=1

∞ (cid:88)

y(n) sin ω(m − 1 + n) = x(m)

m=1 ∞ (cid:88)

t=m ∞ (cid:88)

x(m) y(t − m + 1) sin(ωt) =

m=1

t=1

(2.43)

∞ (cid:88)

m−1 (cid:88)

x(m) y(|t − m + 1|) sin(ωt) =

m=1

t=1

∞ (cid:88)

− x(m) y(|m − 1 − t|) sin(ωt)

t=1

m=1

∞ (cid:88)

m−2 (cid:88)

y(|t − m + 1|) sin(ωt) x(m) =

m=1

t=1

− x(m) y(|m − 1 − t|) sin(ωt).

∞ (cid:80) m=1

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:88)

x(m) • T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) v(cid:238)i y(n) sin ω(m − n − 1), (cid:31)Œi bi‚n m − n − 1 = −t ta (cid:31)(cid:247)æc

n=1

m=1

∞ (cid:88)

x(m) y(n) sin ω(m − 1 − n)

m=1

t=2−m

= − x(m) y(t + m − 1) sin(ωt)

44

∞ (cid:88)

m=1 ∞ (cid:88)

t=1 2−m (cid:88)

= − x(m) y(|t + m − 1|) sin(ωt)

(2.44)

m=1 ∞ (cid:88)

t=0 ∞ (cid:88)

− x(m) y(|m + t − 1|) sin(ωt)

m=1 ∞ (cid:88)

t=1 −1 (cid:88)

= − x(m) y(|m + t − 1|) sin(ωt)

m=1

t=2−m

M(cid:176)t kh¡c

∞ (cid:88)

−1 (cid:88)

− x(m) y(|m + t − 1|) sin(ωt).

m=1

(2.45)

t=2−m m−2 (cid:88)

∞ (cid:88)

x(m) y(|m + t − 1|) sin ωt

t=1

m=1

Tł (2.43), (2.44) v(cid:160) (2.45) ta c(cid:226):

∞ (cid:88)

y(|m − t − 1|) sin(ωt). x(m) = −

m=1

n=1

(2.46)

∞ (cid:88)

− x(m) y(n)[sin ω(m − 1 + n) + sin ω(m − 1 − n)]

m=1

t=1

CuŁi c(cid:242)ng, tł (2.33), (2.42) v(cid:160) (2.46) ta c(cid:226):

∞ (cid:88)

= x(m) [y(|t + m − 1|) − y(|t − m + 1|)] sin(ωt).

m=1

t=1

x(m) [y(|t + m − 1|) 4 sin ω·FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) =

Tł (cid:31)(cid:226) v(cid:160) tł (2.33) cho ta

+ y(|t − m − 1|) − y(|t − m + 1|) − y(t + m + 1)] sin(ωt).

γ ∗ FsDT

y)(n)}(ω). 4 sin ω · FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) = FsDT {(x

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

1(N0) t‰ch ch“p suy rºng

H» qu£ 2.2.2. Trong kh(cid:230)ng gian c¡c d¢y t‰n hi»u thuºc (cid:96)o v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng γ(ω) = sin(ω) (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n Fourier sine l(cid:160) giao ho¡n

(cid:50)

(2.47)

γ ∗ FsDT

(x y)(n) = (y x)(n) ∀n ∈ N0.

45

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.2.4. Kh(cid:230)ng gian (cid:96)1(N0, en) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian c¡c d¢y sŁ x(n) v(cid:238)i n ∈ N0, th(cid:228)a m¢n

(cid:110)

∞ (cid:88)

(cid:111) .

(2.48)

n=0

Kh(cid:230)ng gian (cid:96)o

1(N0, en) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian con cıa (cid:96)1(N0, en) khi x(0) = 0.

x = {x(n)} : |x(n)en| < ∞ (cid:96)1(N0, en) =

1(N0, en). Khi (cid:31)(cid:226) (x

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.6. ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Titchmarch) Cho c¡c (cid:31)¡p øng xung x(n), y(n) l(cid:160) c¡c γ d¢y (cid:31)¢ bi‚t thuºc (cid:96)o ∗ FsDT

y)(n) ≡ 0 khi v(cid:160) ch¿ khi x(n) ≡ 0 ho(cid:176)c

Chøng minh. Tł gi£ thi‚t (x

y(n) ≡ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

γ ∗ FsDT

(2.49)

y)(n) ≡ 0, ∀n ≥ 0 v(cid:160) tł 2.35, ta c(cid:226)

V… c¡c d¢y ban (cid:31)ƒu l(cid:160) c¡c d¢y gi£m theo c§p sŁ m(cid:244) v(cid:160) theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.5 n¶n c¡c bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosin th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c FcDT {y(n)}(ω) v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c FsDT {x(n)}(ω) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m gi£i t‰ch tr¶n [0, π]. Tł t‰nh gi£i t‰ch cıa c¡c h(cid:160)m v(cid:160) tł (2.49), suy ra (cid:31)¡p øng tƒn sŁ

sin(ω) · FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) = 0 ∀ω ∈ [0, π].

Do t‰nh duy nh§t cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c trong L1(0, π), ta suy ra

FcDT {x(n)}(ω) ≡ 0 ho(cid:176)c FcDT {y(n)}(ω) ≡ 0, ∀ω ∈ [0, π].

x(n) ≡ 0 ho(cid:176)c y(n) ≡ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

V“y (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:50)

2.3 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i

gian r(cid:237)i r⁄c

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y, nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng v(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng v(cid:238)i h(cid:160)m

tr(cid:229)ng cho bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, nh“n (cid:31)(cid:247)æc c¡c (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a, b§t (cid:31)ﬂng thøc v(cid:238)i chu'n trong (cid:96)o

1(N0), (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Titchmarch.

46

2.3.1 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i

r⁄c

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.3.1. T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa hai d¢y

FcDT

∞ (cid:88)

x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) mºt d¢y (x ∗ y)(n), x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(2.50)

(cid:0)x ∗ FcDT

k=1

n‚u chuØi hºi t(cid:246) v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1. N‚u x(n), y(n) ∈ (cid:96)o

y(cid:1)(n) = x(k)[y(n + k) + y(|k − n|)sign(k − n)], n ≥ 0

1(N0) th… (x ∗ FcDT

nh¥n tß h(cid:226)a

(2.51)

y)(n) ∈ (cid:96)1(N0) v(cid:160) ta c(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc

(cid:8)(x ∗ FcDT

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.50) v(cid:160) (cid:31)” (cid:254) r‹ng x(n), y(n) ∈ (cid:96)o

1(N0), ta c(cid:226)

FcDT y)(n)(cid:9)(ω) = 2FsDT {x(n)}(ω) · FsDT {y(n)}(ω).

∞ (cid:88)

(x ∗ y)(0)

FcDT 2

FcDT

(cid:8)(x ∗ FcDT

n=1

∞ (cid:88)

y)(n) cos(nω) (x ∗ y)(n)(cid:9)(ω) = + FcDT

k=1

∞ (cid:88)

= x(k)y(k)

(cid:2)y(k + n) + y(|k − n|)sign(k − n)(cid:3) cos(nω)

n=1

k=1

∞ (cid:88)

+ x(k)

n=1

k=1

(2.52)

∞ (cid:88)

= x(k)y(k) + x(k) y(k + n) cos(nω)

n=1

k=1

trong (cid:31)(cid:226)

∞ (cid:88)

+ x(k) y(|k − n|)sign(k − n) cos(nω),

n=1

k=1

(2.53)

∞ (cid:88)

k−1 (cid:88)

∞ (cid:88)

x(k) y(|k − n|)sign(k − n) cos(nω)

n=1

k=1

n=k

k=1

x(k) y(n − k) cos(nω) + y(k − n) cos(nω). x(k) = −

47

Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.52) tr(cid:240) th(cid:160)nh

∞ (cid:88)

(cid:8)(x ∗ FcDT

n=1

k=1

(2.54)

∞ (cid:88)

k−1 (cid:88)

∞ (cid:88)

x(k) y(k + n) cos(nω) x(k)y(k) + y)(n)(cid:9)(ω) = FcDT

n=1

k=1

n=k

− x(k) y(n − k) cos(nω) + x(k) y(k − n) cos(nω).

∞ (cid:80) n=1

Th(cid:252)c hi»n (cid:31)Œi bi‚n sŁ: ∞ (cid:80) k=1

∞ (cid:88)

x(k) (cid:136) V(cid:238)i y(k + n) cos(nω), (cid:31)(cid:176)t r = k + n ta (cid:31)(cid:247)æc

(2.55)

n=1

r=k+1

k=1

y(r) cos(r − k)ω. x(k) x(k) y(k + n) cos(nω) =

∞ (cid:80) k=1

∞ (cid:80) n=k

∞ (cid:88)

x(k) (cid:136) V(cid:238)i y(n − k) cos(nω), (cid:31)(cid:176)t n − k = r ta (cid:31)(cid:247)æc

(2.56)

r=0

k=1

n=k

k=1

y(r) cos(k + r)ω. x(k) y(n − k) cos(nω) = x(k)

k−1 (cid:80) n=1

∞ (cid:80) k=1

∞ (cid:88)

k−1 (cid:88)

∞ (cid:88)

k−1 (cid:88)

x(k) (cid:136) CuŁi c(cid:242)ng v(cid:238)i y(k − n) cos(nω), (cid:31)(cid:176)t r = k − n ta c(cid:226)

(2.57)

n=1

r=0

k=1

Tł c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.55), (2.56) v(cid:160) (2.57), thay tr(cid:240) l⁄i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.54) ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

x(k) y(k − n) cos(nω) = x(k) y(r) cos(k − r)ω.

(cid:8)(x ∗ FcDT

r=1

k=1

∞ (cid:88)

y(r) cos(k − r)ω y)(n)(cid:9)(ω) = x(k) FcDT

r=1

k=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

− x(k) y(r) cos(k + r)ω

r=1

k=1

=2 x(k) sin(kω) y(r) sin(rω)

M(cid:176)t kh¡c

=2FsDT {x(n)}(ω) · FsDT {y(n)}(ω).

∞ (cid:88)

(x ∗ y)(0)

FcDT 2

FcDT

∞ (cid:88)

k=1 ∞ (cid:88)

(cid:107)x ∗ + |x(k)y(n + k)| + |x(n)y(k − n)| y(cid:107)1 ≤

k=1

= x(k)y(k) + |x(k)y(n + k)| + |x(n)y(k − n)|.

48

V(cid:238)i tŒng

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:80) k=1

∞ (cid:88)

|x(k)y(n + k)|, th(cid:252)c hi»n (cid:31)Œi bi‚n sŁ v(cid:238)i r = n + k ta (cid:31)(cid:247)æc

n=1

r=k+1

k=1

V(cid:238)i tŒng

|x(k)y(r)|. |x(k)y(n + k)| =

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:80) k=1

(cid:33)

∞ (cid:88)

(cid:32) ∞ (cid:88)

k−1 (cid:88)

|x(k)y(|k − n|)|, (cid:31)(cid:176)t r = |k − n| ta (cid:31)(cid:247)æc

n=1

r=1

r=0

k=1

Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

|x(k)y(|k − n|)| = + |x(k)y(r)|.

FcDT

k=1

r=k+1 (cid:33)

∞ (cid:88)

(cid:32) ∞ (cid:88)

k−1 (cid:88)

|x(k)y(r)| x(k)y(k) + (cid:107)x ∗ y(cid:107)1 ≤

r=1

r=0

k=1

∞ (cid:88)

+ + |x(k)y(r)|

n=1

k=1

(cid:33)

(2.58)

(cid:32) ∞ (cid:88)

(cid:33) (cid:32) ∞ (cid:88)

|x(k)y(n)| = |y(0)| |x(k)| + 2

n=1

k=1

|y(n)| = 2 |x(k)|

= 2(cid:107)x(cid:107)1 · (cid:107)y(cid:107)1.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.2 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Titchmarch). Cho hai d¢y gi£m theo c§p sŁ m(cid:244) y)(n) ≡ 0 ∀ n ∈ N0, n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u x(n) ≡ 0 x(n), y(n) ∈ (cid:96)o

1(N0). Khi (cid:31)(cid:226) (x ∗ FcDT

ho(cid:176)c y(n) ≡ 0.

Chøng minh. N‚u ta c(cid:226) (x ∗

(cid:50)

FcDT

th… ¡p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o c(cid:230)ng thøc (2.50) ta (cid:31)(cid:247)æc

(2.59)

y)(n) ≡ 0 ∀ n ∈ N0,

(cid:8)(x ∗ FcDT

Nh(cid:247) v“y, n‚u (x ∗

FcDT y)(n)(cid:9)(ω) = 2FsDT {x(n)}(ω) · FsDT {y(n)}(ω), ω ∈ [0, π].

(cid:8)(x ∗ FcDT

FcDT tß h(cid:226)a (2.59) ta c(cid:226)

y)(n)(cid:9)(ω) = 0 v(cid:160) theo (cid:31)ﬂng thøc nh¥n y)(n) ≡ 0 th… FcDT

FsDT {x(n)}(ω) · FsDT {y(n)}(ω) = 0 ω ∈ [0, π].

49

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra ho(cid:176)c FsDT {x(n)}(ω) = 0 ho(cid:176)c FsDT {y(n)}(ω) = 0. M(cid:160) (cid:31)¢ bi‚t c¡c d¢y t‰n hi»u x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) gi£m theo c§p sŁ m(cid:244), suy ra (cid:31)¡p øng tƒn sŁ FsDT {x(n)}(ω), FsDT {y(n)}(ω) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m gi£i t‰ch [13]. Tł (cid:31)(cid:226) d¤n t(cid:238)i ho(cid:176)c x(n) ≡ 0 ho(cid:176)c y(n) ≡ 0. (cid:50) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.3 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Young r(cid:237)i r⁄c). Gi£ sß p, q, r > 1, th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n x(n) ∈ (cid:96)o

q(N0), h(n) ∈ (cid:96)o

p(N0), y(n) ∈ (cid:96)o

r(N0) v(cid:160) 1

r = 2, th…

p + 1

q + 1

∞ (cid:88)

(2.60)

(cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) ≤ (cid:107)x(cid:107)p · (cid:107)y(cid:107)q · (cid:107)h(cid:107)r. y)(n) · h(n)

FcDT

n=0

Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t p1, q1, r1 t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) c¡c sŁ m(cid:244) li¶n hæp cıa p, q, r, tøc l(cid:160)

(x ∗

+ = 1, + = 1, + = 1. 1 p 1 q 1 r 1 p1 1 q1 1 r1

Khi (cid:31)(cid:226),

+ + = 1. (cid:30)(cid:176)t 1 p1 1 q1 1 r1

U (n, m) =|y(n + k) + y(|k − n|)sign(k − n)|q/p1 · |h(n)|r/p1, V (n, m) =|x(k)|p/q1 · |h(n)|r/q1,

ta (cid:31)(cid:247)æc

W (n, m) =|x(k)|p/r1 · |y(n + k) + y(|k − n|) sign(k − n)|q/r1,

(2.61)

(cid:30)Łi v(cid:238)i chuØi k†p {U (n, k)}n,k≥0 ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

U (n, k)V (n, k)W (n, k) = |x(k)| · |h(n)| · |y(n + k) + y(|k − n|) sign(k − n)|.

n=0

k=1

m=1 ∞ (cid:88)

|h(n)|r|y(n + k) + y(|k − n|) sign(k − n)|q |U (n, k)|p1 :=

n=0

k=1

Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng tq v(cid:238)i q > 1 l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i, do (cid:31)(cid:226), theo b§t (cid:31)ﬂng thøc h(cid:160)m l(cid:231)i cho ta

∞ (cid:88)

= |h(n)|r(cid:104) ∞ (cid:88) |y(n + k) + y(|k − n|) sign(k − n)|q(cid:105) .

k=1

∞ (cid:88)

|y(n + k) + y(|k − n|) sign(k − n)|q

k=1

∞ (cid:88)

|y(n + k)|q + |y(|n − k|)|q(cid:105) ≤2q−1(cid:104) ∞ (cid:88)

m=1

≤2q |y(k)|q.

50

V… v“y

∞ (cid:88)

(2.62)

q · (cid:107)h(cid:107)r r.

n=0

k=1

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252),

∞ (cid:88)

|U (n, k)|p1 ≤ 2q |y(k)|q · |h(n)|r = 2q(cid:107)y(cid:107)q

(2.63)

p · (cid:107)y(cid:107)q q,

n=0

k=1

v(cid:160)

∞ (cid:88)

|W (n, k)|r1 ≤ 2p(cid:107)x(cid:107)p

p · (cid:107)h(cid:107)r r.

n=0

k=1

K‚t hæp v(cid:238)i (2.62) v(cid:160) (2.63) ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

1 q1

1 p1 ·(

|V (n, k)|q1 = (cid:107)x(cid:107)p

∞ (cid:88) (

n=0

k=1

k=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

|V (n, k)|q1) |U (n, k)|p1)

r1 ≤ 2(cid:107)x(cid:107)p · (cid:107)y(cid:107)q · (cid:107)h(cid:107)r.

n=0

k=1

Tł (2.61), (2.64) v(cid:160) x(0) = y(0) = 0, sß d(cid:246)ng b§t (cid:31)ﬂng thøc H¨older cho ba d¢y ta

(cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

|W (n, k)|r1) ·(

(cid:12) (cid:12) (cid:12)

FcDT

n=0

∞ (cid:88)

(x ∗ y)(n) · h(n)

n=0 ∞ (cid:88)

k=1 ∞ (cid:88)

|x(k)||[y(n + k) + y(|k − n|) sign(k − n)]||h(n)| ≤ 1 2

k=1

(cid:33) 1

(cid:33) 1 q1

n=0 (cid:32) ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

p1 (cid:32) ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

= U (n, k) · V (n, k) · W (n, k) 1 2

n=0

k=1

(cid:33) 1 r1

k=1 (cid:32) ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

≤ |U (n, k)|p1 |V (n, k)|q1 1 2

n=0

k=1

|W (n, k)|r1

≤ (cid:107)x(cid:107)p · (cid:107)y(cid:107)q · (cid:107)h(cid:107)r.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

H» qu£ 2.3.1 (B§t (cid:31)ﬂng thøc ki”u Young r(cid:237)i r⁄c). (cid:30)(cid:176)t p, q, r > 1, th(cid:228)a m¢n y)(n) ∈ (cid:96)r(N0), (cid:31)i•u ki»n 1

p(N0), y(n) ∈ (cid:96)o

r . N‚u x(n) ∈ (cid:96)o

q = 1 + 1

q(N0), th… (x ∗ FcDT

p + 1 h(cid:236)n nœa ta c(cid:226)

(cid:50)

(2.64)

FcDT

(cid:107)x ∗ y(cid:107)r ≤ (cid:107)x(cid:107)p · (cid:107)y(cid:107)q.

51

2.3.2 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i

r⁄c v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.3.2. T‰ch ch“p suy rºng cho bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng

∞ (cid:88)

γ(ω) = sin ω cıa hai d¢y sŁ x(n) v(cid:160) y(n) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

γ ∗ FcDT

(2.65)

m=1

(x y)(n) = x(m)[y(n + m − 1) + y(|n − m + 1|)

n‚u chuØi hºi t(cid:246) v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.4. N‚u x(n) ∈ (cid:96)o

− y(|n + m + 1|) − y(|n − m − 1|)],

1(N0) v(cid:160) y(n) ∈ (cid:96)1(N0), th… (x

γ ∗ FcDT

y)(n) ∈ (cid:96)1(N0) v(cid:160)

(2.66)

γ ∗ FcDT

D§u b‹ng x£y ra khi d¢y t‰n hi»u x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) c¡c d¢y kh(cid:230)ng ¥m (ho(cid:176)c kh(cid:230)ng

d(cid:247)(cid:236)ng). H(cid:236)n nœa, ta c(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a

||x y||1 ≤ 4||x||1 · ||y||1.

γ ∗ FcDT

(2.67)

FcDT {(x y)(n)}(ω) = 4 sin ω · FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω),

Chøng minh. (cid:30)ƒu ti¶n, ta chøng minh r‹ng (x

ω ∈ [0, π].

γ ∗ FcDT

y)(n) ∈ (cid:96)1(N0):

γ ∗ FcDT

||x y||1

∞ (cid:88)

|(x y)(0)|

γ ∗ FcDT 2

γ ∗ FcDT

n=1

∞ (cid:88)

+ |(x y)(n)| ≤

(2.68)

m=1

∞ (cid:88)

≤ |x(m)||y(m + 1)| + |x(m)||y(|m − 1|)|

n=1

m=1

m=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

+ |x(m)| |y(n + m − 1)| + |x(m)||y(|n − m − 1|)|

m=1

Ta th(cid:252)c hi»n (cid:31)Œi bi‚n sŁ trong v‚ ph£i cıa (2.68) nh(cid:247) sau

+ |x(m)||y(|n + m + 1|)| + |x(m)||y(|n − m + 1|)|.

52

∞ (cid:80) m=1

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:88)

|x(m)| (cid:136) V(cid:238)i |y(n + m − 1)|, (cid:31)(cid:176)t t = n + m − 1 ta (cid:31)(cid:247)æc

(2.69)

t=m

n=1

m=1

|y(t)|. |x(m)| |y(n + m − 1)| = |x(m)|

∞ (cid:80) m=1

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:88)

|x(m)| (cid:136) V(cid:238)i |y(|n − m − 1|)|, (cid:31)(cid:176)t n − m − 1 = −t v(cid:160) l(cid:247)u (cid:254) r‹ng

m=1

n=1

m=1

n=1

ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

m (cid:88)

|x(m)| |y(|n − m − 1|)| = |x(m)| |y(|m + 1 − n|)|

m=1

n=1

m=1

∞ (cid:88)

t=−∞ m (cid:88)

∞ (cid:88)

|y(|t|)| |x(m)| |y(|n − m − 1|)| = |x(m)|

(2.70)

t=0 m (cid:88)

m=1 ∞ (cid:88)

t=1 ∞ (cid:88)

m=1 ∞ (cid:88)

= |x(m)| |y(t)| + |x(m)| |y(t)|

t=1

m=1

t=1 ∞ (cid:88)

|y(t)| |x(m)| |y(t)| + |x(m)| =

m=1

+ |y(0)| |x(m)|.

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:88)

(cid:136) V(cid:238)i y(|n + m + 1|)| (cid:31)(cid:176)t n + m + 1 = t ta (cid:31)(cid:247)æc

(2.71)

t=m+2

m=1

n=1

m=1

|y(|t|)|. |x(m)| |y(|n + m + 1|)| = |x(m)|

53

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:88)

(cid:136) CuŁi c(cid:242)ng v(cid:238)i y(|n − m + 1|) (cid:31)(cid:176)t n − m + 1 = t ta (cid:31)(cid:247)æc

m=1

t=2−m

m=1

n=1

∞ (cid:88)

0 (cid:88)

∞ (cid:88)

|x(m)| |y(|n − m + 1|)| = |x(m)| |y(|t|)|

m=1

t=2−m

m=1 ∞ (cid:88)

t=1 ∞ (cid:88)

|x(m)| |y(|t|)| + |x(m)| |y(|t|)| =

m=1

t=1

(2.72)

∞ (cid:88)

−1 (cid:88)

∞ (cid:88)

= |x(m)| |y(|t|)|

m=1

t=2−m

m=1

∞ (cid:88)

+ |x(m)| |y(|t|)| + |y(0)| |x(m)|

t=1

m=1

∞ (cid:88)

m−2 (cid:88)

∞ (cid:88)

= |x(m)| |y(|t|)|

m=1

t=1

m=1

Tł (cid:31)(cid:226) k‚t hæp c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.68), (2.69), (2.70), (2.71) v(cid:160) (2.72), ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

(cid:104) m (cid:88)

∞ (cid:88)

|x(m)|. |y(|t|)| + |y(0)| |x(m)| +

γ ∗ FcDT

m=1

t=1

∞ (cid:88)

t=m+2 m−2 (cid:88)

(cid:105) |y(t)| + |y(0)|

||x |x(m)| |y(t)| + |y(t)| y||1 ≤2

t=m

t=1

(cid:105)

∞ (cid:88)

(cid:104) ∞ (cid:88)

|y(t)| + +|y(|m − 1|)| + |y(m + 1)| +

m=1

t=1

Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) ||x

≤4 |x(m)| |y(t)| + . |y(0)| 2

γ ∗ FcDT

Rª r(cid:160)ng, n‚u x(n) c(cid:242)ng d§u v(cid:238)i m(cid:229)i n v(cid:160) y(n) c(cid:242)ng d§u v(cid:238)i m(cid:229)i n th… ta c(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc.

B¥y gi(cid:237) ta chøng minh (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a (2.67).

y||1 ≤ 4||x||1 · ||y||1. Nh(cid:247) v“y (x y)(n) thuºc (cid:96)1(N0).

54

(cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.65), ta c(cid:226)

y)(n)}(ω) FcDT {(x

∞ (cid:88)

(x y)(0)

γ ∗ FcDT γ ∗ FcDT 2

γ ∗ FcDT

n=1

(cid:105)

(cid:104)

∞ (cid:88)

(2.73)

+ (x y)(n) cos(nω) =

m=1

∞ (cid:88)

x(m) y(m − 1) − y(m + 1) =

(cid:104) x(m)

m=1

(cid:105) − y(|n + m + 1|) − y(|n − m − 1|)

+ y(n + m − 1) + y(|n − m + 1|)

V(cid:160) tł

cos(nω).

∞ (cid:88)

4 sin ω · FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω)

(cid:105) y(n) cos(nω)

(cid:104) y0 2

n=1

m=1 ∞ (cid:88)

+ =4 sin ω · x(m) sin(mω) ·

m=1

∞ (cid:88)

x(m) sin(mω) · =4 sin ω · y0 2

n=1

m=1

v(cid:238)i

+ 4 sin ω · x(m) sin(mω) · y(n) cos(nω),

v(cid:160)

[cos ω(m − 1) − cos ω(m + 1), sin ω · sin(mω) = 1 2

sin ω · sin(mω) · cos(nω)

= [cos ω(m − n − 1) + cos ω(m + n − 1)

ta c(cid:226)

1 4 − cos ω(n + m + 1) − cos ω(m − n + 1)],

∞ (cid:88)

n=1

(2.74)

m=1 − cos ω(m + n + 1) − cos ω(m − n + 1)(cid:3)

∞ (cid:88)

4 sin ω·FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) ∞ (cid:88) = x(m) y(n)(cid:2) cos ω(m + n − 1) + cos ω(m − n − 1)

m=1

+ y(0) x(m)(cid:2) cos((m − 1)ω) − cos((m + 1)ω)(cid:3).

55

∞ (cid:88)

• (cid:30)Œi bi‚n m + n + 1 = t, ta (cid:31)(cid:247)æc

m=1

n=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

x(m) y(n) cos ω(n + m + 1)

t=m+2

m=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

x(m) y(t − m − 1) cos(ωt) =

(2.75)

m=1

t=1

∞ (cid:88)

m (cid:88)

x(m) y(|t − m − 1|) cos(ωt) =

t=1

m=1 ∞ (cid:88)

x(m) y(|m + 1 − t|) cos(ωt) −

m=1

x(m)y(0) cos((m + 1)ω). −

∞ (cid:80) m=1

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:88)

x(m) • T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) v(cid:238)i y(n) cos ω(m − n + 1), (cid:31)(cid:176)t m − n + 1 = −t ta (cid:31)(cid:247)æc

m=1

n=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

y(n) cos ω(m + 1 − n) x(m)

(2.76)

m=1 ∞ (cid:88)

t=−m ∞ (cid:88)

x(m) y(t + m + 1) cos(ωt) =

m=1

t=1

∞ (cid:88)

0 (cid:88)

x(m) y(t + m + 1) cos(ωt) =

t=−m

m=1

H(cid:236)n nœa,

∞ (cid:88)

0 (cid:88)

+ x(m) y(t + m + 1) cos(ωt).

m=1

t=−m ∞ (cid:88)

m (cid:88)

x(m) y(t + m + 1) cos ωt

(2.77)

m=1

t=1

∞ (cid:88)

= x(m) y(|m + 1 − t|) cos(ωt)

m=1

+ x(m)y(m + 1).

56

Tł (2.75), (2.76) v(cid:160) (2.77) ta c(cid:226):

∞ (cid:88)

m=0

n=0

∞ (cid:88)

− x(m) y(n)[cos ω(m − n + 1) + cos ω(m + n + 1)]

(2.78)

t=0

m=0 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

= − x(m) [y(t + m + 1) + y(|t − m − 1|)] cos(ωt)

m=1

− x(m)y(m + 1) + x(m)y(0) cos((m + 1)ω).

∞ (cid:88)

• T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252),

m=1

n=1

∞ (cid:88)

x(m) y(n) cos ω(m + n − 1)

t=m

m=1

∞ (cid:88)

y(t − m + 1) cos(ωt) = x(m)

t=1

m=1

m−1 (cid:88)

∞ (cid:88)

y(|t − m + 1|) cos(ωt) x(m) =

t=1

m=1

∞ (cid:88)

y(|m − 1 − t|) cos(ωt) x(m) −

(2.79)

m=1

t=1

∞ (cid:88)

m−2 (cid:88)

= x(m) y(|t − m + 1|) cos(ωt)

m=1

t=1

∞ (cid:88)

− x(m) y(|m − 1 − t|) cos(ωt)

m=1

V(cid:160) v(cid:238)i ph†p (cid:31)Œi bi‚n −t = m − n − 1 ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

− y(0) cos((m − 1)ω).

m=1

n=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

x(m) y(n) cos ω(m − n − 1)

t=2−m

(2.80)

m=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

x(m) y(t + m − 1) cos(ωt) =

m=1

t=1

∞ (cid:88)

2−m (cid:88)

x(m) y(|t + m − 1|) cos(ωt) =

m=1

t=0

+ x(m) y(|m − t − 1|) cos(ωt).

57

m(cid:176)t kh¡c

∞ (cid:88)

2−m (cid:88)

m=1

t=0 ∞ (cid:88)

m−2 (cid:88)

(2.81)

x(m) y(|m − 1 − t|) cos(ωt)

m=1

t=1

∞ (cid:88)

= x(m) y(|m − t − 1|) cos(ωt)

m=1

Tł (2.79), (2.80) v(cid:160) (2.81) ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

+ x(m)y(m − 1).

m=0

n=0

∞ (cid:88)

x(m) y(n)(cid:2) cos(m + n − 1)ω + cos(m − n − 1)ω(cid:3)

t=0

m=0

∞ (cid:88)

= x(m) y(|t − m + 1|) cos(ωt)

(2.82)

t=0

m=0 ∞ (cid:88)

x(m) y(|t + m − 1|)] cos(ωt) +

m=1

∞ (cid:88)

+ x(m)y(m − 1)

m=1

− y(0) x(m) cos(m − 1)ω.

58

CuŁi c(cid:242)ng, tł (2.74), (2.78) v(cid:160) (2.82) ta c(cid:226):

∞ (cid:88)

(cid:2)y(t + m − 1)

t=0

m=0 + y(|t − m + 1|) − y(|t + m + 1|) − y(|t − m − 1|)(cid:3) cos(ωt) ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

4 sin ω·FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) ∞ (cid:88) x(m) =

m=1

m=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

+ x(m)y(m − 1) − y(0) x(m) cos(m − 1)ω

m=1

∞ (cid:88)

− x(m)y(m + 1) + x(m)y(0) cos((m + 1)ω)

m=1

∞ (cid:88)

(cid:2)y(t + m − 1)

+ y(0) x(m)(cid:2) cos((m − 1)ω) − cos((m + 1)ω)(cid:3)

t=0

m=0 + y(|t − m + 1|) − y(|t + m + 1|) − y(|t − m − 1|)(cid:3) cos(ωt)

∞ (cid:88)

x(m) =

m=1

Tł (cid:31)ﬂng thøc tr¶n v(cid:160) tł (2.73) d¤n t(cid:238)i

+ x(m)(cid:2)y(m − 1) − y(m + 1)(cid:3).

γ ∗ FcDT

y)(n)}(ω). 4 sin ω · FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) = FcDT {(x

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh xong.

H» qu£ 2.3.2. Trong kh(cid:230)ng gian c¡c d¢y t‰n hi»u (cid:96)1(N0), t‰ch ch“p suy rºng v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng γ(ω) = sin ω (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (2.65) kh(cid:230)ng giao

ho¡n.

(cid:50)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.5. ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Titchmarch) Cho x(n), y(n) l(cid:160) c¡c d¢y (cid:31)¢ bi‚t thuºc (cid:96)1(N0, en). Khi (cid:31)(cid:226) (x

γ ∗ FcDT

Chøng minh. Tł gi£ thi‚t (x

y)(n) ≡ 0 khi v(cid:160) ch¿ khi x(n) ≡ 0 ho(cid:176)c y(n) ≡ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

γ ∗ FcDT

(2.83)

y)(n) ≡ 0, ∀n ≥ 0 v(cid:160) tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.4, ta c(cid:226)

Tł t‰nh ch§t cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

sin(ω) · FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) = 0 ∀ω ∈ [0, π].

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) dm (cid:12) dωm Yc(ω) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) ) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

n=1

. = y(n)nm sin(nω + m π 2

59

Do (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:88)

(cid:105) )

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) dm (cid:12) dωm Yc(ω) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

n=1 ∞ (cid:88)

e−nnm sin(nω + m y(n)en (cid:104) = mπ 2

n=0

V… c¡c d¢y ban (cid:31)ƒu l(cid:160) c¡c d¢y gi£m theo c§p sŁ m(cid:244) n¶n FcDT {y(n)}(ω) gi£i t‰ch tr¶n [0, π].

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)Łi v(cid:238)i d¢y gi£m theo c§p sŁ m(cid:244) x(n) l(cid:160) FsDT {x(n)}(ω) c(cid:244)ng gi£i t‰ch tr¶n [0, π]. Tł t‰nh gi£i t‰ch cıa c¡c h(cid:160)m v(cid:160) tł (2.83), suy ra

≤A |y(n)en| < ∞.

Do t‰nh duy nh§t cıa b‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c trong

FcDT {x(n)}(ω) ≡ 0 ho(cid:176)c FcDT {y(n)}(ω) ≡ 0, ∀ω ∈ [0, π].

L1(0, π), ta suy ra

x(n) ≡ 0 ho(cid:176)c y(n) ≡ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

V“y (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:50)

2.4 T‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y nghi¶n cøu t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, thu (cid:31)(cid:247)æc

(cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a, (cid:31)ﬂng thøc Parseval, (cid:31)¡nh gi¡ b§t (cid:31)ﬂng thøc chu'n trong (cid:96)1(N0), (cid:96)2(N0), (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Young r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Titchmarch.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.4.1. T‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa hai d¢y x(n) v(cid:160)

o ∗ FcDT

∞ (cid:88)

y)(n), x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i y(n) l(cid:160) mºt d¢y (x

(2.84)

o ∗ FcDT

m=1

n‚u chuØi hºi t(cid:246) v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0.

x(m)(cid:2)y(n + m) + y(|n − m|)(cid:3) + x(0)y(n), n ≥ 0, (x y)(n) =

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.1. N‚u x(n), y(n) ∈ (cid:96)1(N0) th… (x

o ∗ FcDT

y)(n) ∈ (cid:96)1(N0) v(cid:160)

(2.85)

o ∗ FcDT

||x y||1 ≤ 2||x||1 · ||y||1.

60

D§u b‹ng x£y ra khi x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) c¡c d¢y kh(cid:230)ng ¥m (ho(cid:176)c kh(cid:230)ng d(cid:247)(cid:236)ng). H(cid:236)n nœa,

ta c(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a sau:

(2.86)

o ∗ FcDT

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(2.84) ta (cid:31)(cid:247)æc

FcDT {(x y)(n)}(ω) = 2FcDT {(x)(n)}(ω) · FcDT {(y)(n)}(ω).

∞ (cid:88)

(cid:0)x

(x y)(0)

o ∗ FcDT 2

o ∗ FcDT

n=1

theo t‰nh ch§t cıa t‰ch ch“p ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

y(cid:1)(n) cos(nω), + y)(n)}(ω) = FcDT {(x

o ∗ FcDT

n=1

m=1

∞ (cid:88)

y)(n)}(ω) = y(n) cos(nω) x(m)y(m) + x(0) + FcDT {(x x(0)y(0) 2

m=1

n=1

x(m)(cid:2)y(n + m) + y(|n − m|)(cid:3) cos(nω) +

61

(cid:18)

(cid:19)

∞ (cid:88)

m=1

∞ (cid:88)

= + x(m)y(m) + x(0) Yc(ω) − x(0)y(0) 2 y(0) 2

m=1 ∞ (cid:88)

n=1 ∞ (cid:88)

x(m) y(n + m) cos(nω) +

m=1

n=1

∞ (cid:88)

x(m) y(|n − m|) cos(nω) +

m=1

r=m+1 ∞ (cid:88)

m−1 (cid:88)

∞ (cid:88)

= x(m) y(r) cos((r − m)ω) x(m)y(m) + x(0)Yc(ω) +

m=1

r=0

m=1

r=1

∞ (cid:88)

+ x(m) y(r) cos((r + m)ω) + x(m) y(r) cos((m − r)ω)

m=1

(2.87)

∞ (cid:88)

= x(m) (y(0) cos(mω) − y(m)) x(m)y(m) + x(0)Yc(ω) +

r=1 ∞ (cid:88)

m=1 ∞ (cid:88)

y(r) cos((r − m)ω) x(m) +

r=1

m=1

y(r) cos((r + m)ω) x(m) +

m=1

r=1 x(0)y(0) 2

(cid:19)

(cid:19) (cid:18)

=x(0)Yc(ω) + y(0)Xc(ω) − ∞ (cid:88) x(0)y(0) 2 ∞ (cid:88) + 2 x(m) cos(mω) y(r) cos(rω)

=x(0)Yc(ω) + y(0)Xc(ω) − (cid:18) + 2 Yc(ω) − Xc(ω) − x(0) 2 y(0) 2

Vi»c ho¡n (cid:31)Œi thø t(cid:252) cıa tŒng trong c(cid:230)ng thøc (2.87) (cid:31)(cid:247)æc th(cid:252)c hi»n v… chuØi k†p

li¶n quan l(cid:160) hºi t(cid:246) tuy»t (cid:31)Łi.

M(cid:176)t kh¡c

=2Xc(ω)Yc(ω).

(cid:12) (cid:12)(x

∞ (cid:88)

(cid:12) (cid:12)(x

o ∗ FcDT 2

o ∗ FcDT

n=1

∞ (cid:88)

y)(0)(cid:12) (cid:12) (cid:107)x + y(cid:107)1 ≤ y)(n)(cid:12) (cid:12)

m=1

n=1

∞ (cid:88)

|x(m)y(m)| + |x(0)| |y(n)| ≤ + |x(0)y(0)| 2

(cid:12)x(m)y(n + m)(cid:12) (cid:12)

(cid:12) +

(cid:12)x(m)y(|n − m|)(cid:12) (cid:12) (cid:12).

n=1

m=1

n=1

m=1

62

V(cid:238)i tŒng

(cid:12)x(m)y(n + m)(cid:12) (cid:12)

(cid:12), ta th(cid:252)c hi»n (cid:31)Œi bi‚n sŁ v(cid:238)i r = n + m ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:80) m=1

∞ (cid:88)

(cid:12)x(m)y(n + m)(cid:12) (cid:12)

(cid:12) =

(cid:12)x(m)y(r)(cid:12) (cid:12) (cid:12).

n=1

m=1

n=1

r=m+1

V(cid:238)i tŒng

(cid:12)x(m)y(|n − m|)(cid:12) (cid:12)

(cid:12), (cid:31)(cid:176)t r = |n − m| ta (cid:31)(cid:247)æc

∞ (cid:80) n=1

∞ (cid:80) m=1

(cid:33)

∞ (cid:88)

(cid:32) ∞ (cid:88)

m−1 (cid:88)

(cid:12)x(m)y(|n − m|)(cid:12) (cid:12)

(cid:12) =

(cid:12)x(m)y(r)(cid:12) (cid:12) (cid:12).

n=1

m=1

r=1

r=0

Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

(cid:12)x(m)y(m)(cid:12) (cid:12)

(cid:12) + |x(0)|

o ∗ FcDT

m=1

(cid:33)

n=1 m−1 (cid:88)

(cid:32) ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

+ |y(n)| (cid:107)x y(cid:107)1 ≤ |x(0)y(0)| 2

(cid:12)x(m)y(r)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12)x(m)y(r)(cid:12) (cid:12)

(cid:12) +

r=0

r=1

m=1

+ +

m=1 r=m+1 |x(0)y(0)| 2

(2.88)

∞ (cid:88)

(cid:12)x(m)y(n)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

n=1

m=1

(cid:33) (cid:32)

n=1 (cid:33)

(cid:32)

∞ (cid:88)

+ |x(0)| |y(n)| + |y(0)| |x(m)| + 2

m=1

n=1

+ |x(m)| + |y(n)| = 2 |x(0)| 2 |y(0)| 2

Rª r(cid:160)ng, n‚u x(n) c(cid:242)ng d§u v(cid:238)i m(cid:229)i n v(cid:160) y(n) c(cid:242)ng d§u v(cid:238)i m(cid:229)i n th… ta c(cid:226) (cid:31)ﬂng (cid:50)

thøc.

Nh“n x†t 2.4.1. C(cid:230)ng thøc (2.86) ch¿ ra t‰ch ch“p (2.84) l(cid:160) giao ho¡n, c(cid:246) th”, (cid:0)x

= 2(cid:107)x(cid:107)1 · (cid:107)y(cid:107)1.

o ∗ FcDT

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.2. N‚u x(n), y(n) ∈ (cid:96)2(N0). Th…

y(cid:1)(n) = (cid:0)y x(cid:1)(n).

(2.89)

o ∗ FcDT

(cid:30)ﬂng thøc (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc khi c¡c vect(cid:236) x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) ph(cid:246) thuºc tuy‚n t‰nh. H(cid:236)n nœa, ta

c(cid:226) (cid:31)ﬂng thøc Parseval

π (cid:90)

(cid:107)x y(cid:107)∞ ≤ 2(cid:107)x(cid:107)2 · (cid:107)y(cid:107)2.

(2.90)

o ∗ FcDT

n ≥ 0. y)(n) = (x Xc(ω)Yc(ω) cos(nω)dω, 4 π

63

Chøng minh. Cho Xe(ω) l(cid:160) th(cid:160)nh phƒn chﬁn cıa X(ω) tr¶n [−π, π]. Sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c [42, 43], ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

(2.91)

n=−∞

(cid:240) (cid:31)¥y

xe(n)e−iωn, Xe(ω) = FDT {xe(n)}(ω) :=

(2.92)

C(cid:230)ng thøc Parseval cho bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)Łi v(cid:238)i Xe v(cid:160) Ye c(cid:226) d⁄ng

π (cid:90)

∞ (cid:88)

x(|n|), n ∈ Z. xe(n) = 1 2

m=−∞

(2.93)

−π (cid:90) π

xe(m)ye(n − m) = Xe(ω)Ye(ω)eiωndω 1 2π

Tł xe, ye ∈ (cid:96)2(Z) n¶n chuØi b¶n tr¡i trong (2.93) hºi t(cid:246) tuy»t (cid:31)Łi, v(cid:160) c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc bi‚n (cid:31)Œi nh(cid:247) sau

∞ (cid:88)

= Xc(ω)Yc(ω) cos(nω)dω. 1 π

m=−∞

−1 (cid:88)

∞ (cid:88)

xe(m)ye(n − m)

m=−∞

m=1 ∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

= xe(m)ye(n − m) + xe(0)ye(n) + xe(m)ye(n − m)

m=1

∞ (cid:88)

xe(m)ye(n − m) xe(−m)ye(n + m) + = xe(0)ye(n) +

m=1

m=1 ∞ (cid:88)

(2.94)

= x(0)y(n) + x(m)y(n + m) + x(m)y(|n − m|) 1 4 1 4 1 4

x(m)(cid:2)y(n + m) + y(|n − m|)(cid:3) = x(0)y(n) + 1 4 1 4

m=1 y(cid:1)(n), n ≥ 0.

(cid:0)x

o ∗ FcDT

= 1 4

64

Do (cid:31)(cid:226), (2.90) lu(cid:230)n (cid:31)(cid:243)ng. M(cid:176)t kh¡c, v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0,

∞ (cid:88)

o ∗ FcDT

(cid:12) (cid:12) y)(n) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= 4 (x xe(m)ye(n − m)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= Xe(ω)Ye(ω)eiωndω 2 π

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) m=−∞ (cid:12) π (cid:12) (cid:90) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) −π (cid:12) (cid:90) π (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 (cid:90) π

= Xc(ω)Yc(ω) cos(nω)dω 4 π

≤ |Xc(ω)Yc(ω)| dω

v(cid:160) ch(cid:243)ng ta (cid:31)i (cid:31)‚n (2.89). (cid:30)ﬂng thøc (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc t⁄i n = 0 khi y = kx, (cid:240) (cid:31)(cid:226) k l(cid:160) v(cid:230) (cid:50)

h(cid:247)(cid:238)ng.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.3. ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Titchmarch) Cho hai d¢y x(n), y(n) gi£m theo c§p sŁ

m(cid:244). Khi (cid:31)(cid:226) (x

≤ (cid:107)Xc(cid:107)2(cid:107)Yc(cid:107)2 = 2(cid:107)x(cid:107)2 · (cid:107)y(cid:107)2, 4 π 4 π

o ∗ FcDT

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng (2.86) ta (cid:31)(cid:247)æc

y)(n) ≡ 0 n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u x(n) ≡ 0 ho(cid:176)c y(n) ≡ 0.

(2.95)

o ∗ FcDT

ω ∈ [0, π]. y)(n)}(ω) = 2Xc(ω)Yc(ω), FcDT {(x

N‚u (x

o ∗ FcDT

o ∗ FcDT (2.86) ta c(cid:226)

y)(n)}(ω) = 0, v(cid:160) theo (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a y)(n) ≡ 0, th… FcDT {(x

(2.96)

Tł c¡c t‰n hi»u ban (cid:31)ƒu x(n), y(n) l(cid:160) c¡c d¢y gi£m theo c§p sŁ m(cid:244), Xc(ω) v(cid:160) Yc(ω) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m gi£i t‰ch [13]. Tł (2.96) theo (cid:31)(cid:226) Xc(ω) = 0 ho(cid:176)c Yc(ω) = 0, v(cid:160) do (cid:31)(cid:226), x ≡ 0 (cid:50) ho(cid:176)c y ≡ 0.

ω ∈ [0, π]. Xc(ω)Yc(ω) = 0,

65

K‚t lu“n Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

C¡c k‚t qu£ ch‰nh (cid:31)¢ (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc:

v(cid:238)i bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c. Chøng minh s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) t‰nh b(cid:224)

ch(cid:176)n, (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a, (cid:31)ﬂng thøc Parseval cıa c¡c t‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p n(cid:160)y tr¶n c¡c kh(cid:230)ng gian (cid:96)p(N0) v(cid:160) (cid:96)o

p(N0) v(cid:238)i p = 1, 2.

(cid:136) X¥y d(cid:252)ng hai t‰ch ch“p suy rºng, hai t‰ch ch“p suy rºng v(cid:238)i h(cid:160)m tr(cid:229)ng v(cid:238)i hai bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) mºt t‰ch ch“p

r⁄c, b§t (cid:31)ﬂng thøc ki”u Young r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i

gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c .

(cid:136) Chøng minh c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc chu'n cıa c¡c t‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p p(N0), p = 1, 2; (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Titchmarch r(cid:237)i r⁄c tr¶n c¡c kh(cid:230)ng gian (cid:96)p(N0) v(cid:160) (cid:96)o cho c¡c t‰ch ch“p suy rºng; t‰ch ch“p th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c; (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Young r(cid:237)i

B…nh lu“n

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c bi»t, n‚u ch(cid:229)n c¡c d¢y t‰n hi»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) chﬁn

hay l· th… c¡c (cid:31)¡p øng tƒn sŁ hay bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i

r⁄c cıa c¡c d¢y (cid:31)(cid:226) tr(cid:240) th(cid:160)nh d⁄ng quen thuºc (cid:31)¢ bi‚t l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian

r(cid:237)i r⁄c.

Mºt sŁ t‰ch ch“p, t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier

sine tr¶n l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ t‰ch (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu trong [4, 6, 8, 22, 34]. Khi nghi¶n cøu

c¡c t‰ch ch“p trong l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ tŒng g(cid:176)p nhi•u kh(cid:226) kh«n h(cid:236)n v… c¡c bi‚n (cid:31)Œi Fourier

cosine v(cid:160) Fourier sine cıa l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ tŒng kh(cid:230)ng nh(cid:247) bi‚n (cid:31)Œi (cid:31)Łi v(cid:238)i l(cid:238)p h(cid:160)m kh£

t‰ch, c¡c sŁ h⁄ng kh(cid:230)ng t(cid:247)(cid:236)ng th‰ch n¶n g(cid:176)p r§t nhi•u kh(cid:226) kh«n trong vi»c (cid:31)(cid:247)a ra

bi”u thøc ph(cid:242) hæp. H(cid:236)n nœa, cho t(cid:238)i nay ch(cid:247)a c(cid:226) k‚t qu£ (cid:31)¢ bi‚t n(cid:160)o (cid:31)” tham kh£o.

66

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

PH(cid:146)P BI(cid:152)N (cid:30)˚I KI(cid:154)U T(cid:157)CH CH(cid:138)P SUY R¸NG TH˝I GIAN R˝I R(cid:132)C V(cid:128) PH(cid:215)(cid:204)NG TR(cid:156)NH TOEPLIZT-HANKEL R˝I R(cid:132)C

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y d(cid:160)nh (cid:31)” nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy

rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian

r(cid:237)i r⁄c, ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) gi£i c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh, h»

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c.

Trong m(cid:246)c 3.1, ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng

Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, ki”u t‰ch ch“p suy rºngFourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

v(cid:160) ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c. C¡c k‚t qu£ cıa m(cid:246)c

n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y d(cid:252)a v(cid:160)o c¡c c(cid:230)ng tr…nh [2] v(cid:160) [4] (cid:31)(cid:247)æc li»t k¶ trong Danh m(cid:246)c c¡c

c(cid:230)ng tr…nh (cid:31)¢ c(cid:230)ng bŁ cıa lu“n ¡n.

Trong m(cid:246)c 3.2, gi£i mºt sŁ l(cid:238)p c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) c¡c

h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c. C¡c k‚t qu£ cıa m(cid:246)c n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y

d(cid:252)a v(cid:160)o c¡c c(cid:230)ng tr…nh [1] - [4] li»t k¶ trong Danh m(cid:246)c c¡c c(cid:230)ng tr…nh (cid:31)¢ c(cid:230)ng bŁ cıa

lu“n ¡n.

3.1 Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine, Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

M(cid:246)c n(cid:160)y nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p, ki”u t‰ch ch“p suy rºng

(cid:31)Łi v(cid:238)i hai ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i

r⁄c. X¥y d(cid:252)ng (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi l(cid:160) unita trong c¡c kh(cid:230)ng gian 2(N0) v(cid:160) (cid:96)2(N0). (cid:96)o

67

3.1.1 Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier

sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c

d¢y t‰n hi»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o x(n) v(cid:160) t‰n hi»u (cid:31)ƒu ra y(n) c(cid:226) d⁄ng nh(cid:247) sau

FsDT

(3.1)

∞ (cid:88)

k TsDT : x (cid:55)→x ∗

m=1

(cid:240) (cid:31)(cid:226) k(n) l(cid:160) d¢y (cid:31)¢ bi‚t v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) nh¥n cıa bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng

Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.1. [(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Watson r(cid:237)i r⁄c] (cid:30)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng TsDT trong c(cid:230)ng thøc (3.1) l(cid:160) unita trong (cid:96)o

2(N0) l(cid:160)

x(m)(cid:2)k(|n − m|) − k(n + m)(cid:3), n ≥ 0. y(n) =TsDT {x(n)} =

(3.2)

(cid:12)FcDT {k(n)}(ω)(cid:12)

(cid:12) =

H(cid:236)n nœa, bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc c(cid:226) d⁄ng

ω ∈ [0, π]. |Kc(ω)| ≡ (cid:12) 1 2

(3.3)

sDT {y(n)} = (y ∗ FsDT ∞ (cid:88)

x(n) = T −1 k)(n)

m=1

(cid:240) (cid:31)¥y k l(cid:160) li¶n hæp phøc cıa k.

Chøng minh. • (cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı. N‚u c(cid:226) (3.2), th… FcDT {k(n)}(ω) ∈ L2(0, π), v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) k(n) ∈ (cid:96)o

2(N0). Tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.15) v(cid:160) (2.90) ta c(cid:226)

= y(m) (cid:2)k(|n − m|) − k(n + m)(cid:3) , n ≥ 0,

2 =(cid:107)x ∗

2 =

L2(0,π)

(cid:107)y(cid:107)2 k(cid:107)2 k)(n)}(ω)(cid:107)2 2 π (cid:107)FsDT {(x ∗ FsDT

FsDT (cid:107)2FcDT {k(n)}(ω) · FsDT {x(n)}(ω)(cid:107)2

L2(0,π)

(3.4)

L2(0,π)

= (cid:107)FsDT {x(n)}(ω)(cid:107)2

2(N0).

, ta c(cid:226)

V“y to¡n tß (3.1) l(cid:160) (cid:31)ﬂng c(cid:252) trong (cid:96)o M(cid:176)t kh¡c, tł FcDT {k(n)}(ω) · FcDT {k(n)}(ω) =

2 π 2 π =(cid:107)x(cid:107)2 2.

1 4

FsDT {x(n)}(ω) = = 2FcDT {k(n)}(ω) · FsDT {y(n)}(ω). FsDT {y(n)}(ω) 2FcDT {k(n)}(ω)

68

Tł (cid:31)(cid:226) v(cid:160) tł t‰ch gi£i t‰ch cıa c¡c h(cid:160)m FsDT {x(n)}(ω) v(cid:160) FcDT {k(n)}(ω) [13], ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

m=1

v(cid:160) x(0) = 0.

x(n) = y(m)(cid:2)k(|n − m|) − k(n + m)(cid:3), n ≥ 0,

trong (cid:96)o ta c(cid:226)

• (cid:30)i•u ki»n cƒn. Gi£ sß r‹ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (3.1) l(cid:160) unita 2(N0). (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:31)ﬂng thøc Parseval cho bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

(3.5)

L2(0,π) = (cid:107)x ∗ FsDT 2 = (cid:107)x(cid:107)2 2

(cid:107)2FcDT {k(n)}(ω) · FsDT {x(n)}(ω)(cid:107)2 k(cid:107)2 2 2 π

L2(0,π).

Do (cid:31)(cid:226), to¡n tß nh¥n FsDT {x(n)}(ω) → 2FcDT {k(n)}(ω) · FsDT {x(n)}(ω) l(cid:160) unita tr¶n L2(0, π). Tł (cid:31)(cid:226) d¤n t(cid:238)i |2FcDT {k(n)}(ω)| ≡ 1, v(cid:238)i m(cid:229)i ω ∈ [0, π]. V“y

= (cid:107)Xs(ω)(cid:107)2 = (cid:107)y(cid:107)2 2 π

(cid:12)FcDT {k(n)}(ω)(cid:12) (cid:12)

(cid:12) =

, ω ∈ [0, π]. 1 2

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

V‰ d(cid:246) 3.1.1. Khi k(n) =

(cid:50)

2 ω v(cid:160) |FcDT {k(n)}(ω)| = 1

1 (4n2 − 1)π

(cid:2)i(−1)n − 1(cid:3), v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0. Th… FcDT {k(n)}(ω) = 2. Do (cid:31)(cid:226), bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ch“p (3.11) l(cid:160) unita trong (cid:96)2(N0).

L(cid:237)i gi£i: Gi£ sß ta c(cid:226) h(cid:160)m z(ω) = − i 2 ω trong mi•n tƒn sŁ cıa 2e FcDT {x(n)}(ω), khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:244)ng c(cid:226) |z| = 1 2. Sß d(cid:246)ng khai tri”n chﬁn cıa h(cid:160)m z(ω) trong (cid:31)o⁄n [0, π] ta c(cid:226):

π (cid:90)

− i 2e

(cid:0) −

(cid:1)e

2 ω cos(nω)dω

π (cid:90)

a(n) = 1 π i 2

2 ω cos(nω)dω

= − e i 2π

69

(cid:105)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:104) i 2

e = − cos(nω) + n sin(nω) · i 2π

i 2 ω ( i 2)2 + n2 i 2 π (cid:110) e 4n2 − 1

(cid:0) i 2

= − cos(nπ) + n sin(nπ)(cid:1) 2i π

(cid:0) i 2

(cid:105)

(cid:104) e

cos 0 + n sin 0(cid:1)(cid:111) − e0 4n2 − 1

i 2 π 4n2 − 1

(cid:104)

= − 2i π ie0 2(4n2 − 1)

Tł (cid:31)(cid:226), sß d(cid:246)ng khai tri”n Euler ta thu (cid:31)(cid:247)æc

(cid:104)

(cid:105) i(−1)n − 1

. e i (−1)n − 2 2 π(−1)n − e0(cid:105) = 1 (4n2 − 1)π

, n ≥ 0. an = 1 (4n2 − 1)π

3.1.2 Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c

X†t bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)Łi v(cid:238)i d¢y

t‰n hi»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o x(n) v(cid:160) t‰n hi»u (cid:31)ƒu ra y(n) d⁄ng

FcDT

(3.6)

∞ (cid:88)

x, TcDT : x (cid:55)→ k ∗

m=1

(cid:240) (cid:31)¥y d¢y k(n) cho tr(cid:247)(cid:238)c, (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) nh¥n cıa bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng

Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.2 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Watson r(cid:237)i r⁄c). (cid:30)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” bi‚n (cid:31)Œi TcDT trong c(cid:230)ng thøc (3.6) l(cid:160) unita trong (cid:96)o

2(N0) l(cid:160)

x(m)(cid:2)k(m + n) + k(|m − n|)sign(m − n)(cid:3), ∀n ∈ N0, y(n) = TcDT {x(n)} =

(3.7)

H(cid:236)n nœa, bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc c(cid:226) d⁄ng

∀ω ∈ [0, π]. , |FsDT {k(n)}(ω)| = 1 2

(3.8)

cDT {y(n)} = (k ∗ FcDT ∞ (cid:88)

x(n) = T −1 y)(n)

(cid:2)y(|n − m|) − y(n + m)(cid:3)k(m), n ≥ 0,

m=1

trong (cid:31)(cid:226) k l(cid:160) li¶n hæp phøc cıa k.

70

Chøng minh.

N‚u ta c(cid:226) (3.7), th… k(n) ∈ (cid:96)o

2(N0), v(cid:160) tł (2.50) v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1 ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:136) (cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı:

2 =

(3.9)

k(cid:107)2 (cid:107)y(cid:107)2 k}(ω)(cid:107)2 2 2 π (cid:107)FcDT {x ∗ FcDT

2 = (cid:107)x ∗ FcDT (cid:107)2FsDT {k(n)}(ω) · FsDT {x(n)}(ω)(cid:107)2 2

2 = (cid:107)x(cid:107)2 2.

Do (cid:31)(cid:226), (3.6) l(cid:160) unita trong (cid:96)o

= (cid:107)FsDT {x(n)}(ω)(cid:107)2

4, ta c(cid:226)

2 π 2 π 2(N0). M(cid:176)t kh¡c, tł K(ω)K(ω) = 1

(cid:17)2

FcDT {y(n)}(ω) = 2FsDT {k(n)}(ω) · FsDT {x(n)}(ω)

(cid:16) FsDT {k(n)}(ω)

· = 2 FsDT {x(n)}(ω) FsDT {k(n)}(ω)

Suy ra FsDT {x(n)}(ω) = 2FsDT {k(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω), v(cid:160) nh(cid:247) v“y, theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3 v(cid:160) do t‰nh gi£i t‰ch cıa c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier

cosine v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ta c(cid:226)

∞ (cid:88)

= . FsDT {x(n)}(ω) 2FsDT {k(n)}(ω)

m=1

x(n) = k(m)(cid:2)y(|n − m|) − y(n + m)(cid:3), n ≥ 0.

2(N0). (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:31)ﬂng thøc Parseval cho bi‚n (cid:31)Œi

Gi£ sß bi‚n (cid:31)Œi (3.6) l(cid:160) unita trong (cid:96)o Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ta c(cid:226)

(cid:136) (cid:30)i•u ki»n cƒn:

2 = (cid:107)k ∗ FcDT

(3.10)

(cid:107)2FsDT {k(n)}(ω) · FsDT {x(n)}(ω)(cid:107)2 x(cid:107)2 2 2 π

2 = (cid:107)x(cid:107)2

2 =

Do (cid:31)(cid:226), to¡n tß nh¥n FcDT {x(n)}(ω) → 2FsDT {k(n)}(ω) · FsDT {x(n)}(ω) l(cid:160) unita trong L2(0, π). (cid:30)(cid:226) l(cid:160)

= (cid:107)y(cid:107)2 (cid:107)FsDT {x(n)}(ω)(cid:107)2 2. 2 π

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh xong.

(cid:104)

ω ∈ [0, π]. , |FsDT {k(n)}(ω)| = 1 2 (cid:50)

, v(cid:238)i n ≥ 0. Th…

V‰ d(cid:246) 3.1.2. V(cid:238)i kn =

i + (−1)n(cid:105) 2n (4n2 − 1)π

Do (cid:31)(cid:226), ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p (3.6) l(cid:160) unita trong (cid:96)o

2 ω v(cid:160) |FsDT {k(n)}(ω)| = 2(N0).

e . FsDT {k(n)}(ω) = i 2 1 2

71

2 ω trong mi•n tƒn sŁ cıa

L(cid:237)i gi£i: Gi£ sß ta c(cid:226) h(cid:160)m z(ω) = i 2 e FsDT {x(n)}(ω), khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:244)ng c(cid:226) |z| = 1 2. Sß d(cid:246)ng khai tri”n l· cıa h(cid:160)m z(ω) trong (cid:31)o⁄n [0, π] ta c(cid:226):

π (cid:90)

2 ω sin(nω)dω =

2 ω sin(nω)dω

ω=π

e a(n) = e i 2π 1 π i 2

(cid:105)(cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:104) i 2

ω=0

e · = sin(nω) − n cos(nω) i 2π

i 2 ω ( i 2)2 + n2 i 2 π (cid:110) e 4n2 − 1

(cid:0) i 2

= sin(nπ) − n cos(nπ)(cid:1) 2i π

(cid:0) i 2

(cid:104)

sin 0 − n cos 0(cid:1)(cid:111)

(cid:104)

= − e

Tł (cid:31)(cid:226), sß d(cid:246)ng khai tri”n Euler ta thu (cid:31)(cid:247)æc

(cid:104)

= e0 − 4n2 − 1 2 πn(−1)n + ne0(cid:105) 2 π(−1)n(cid:105) . 1 − e 2i π(4n2 − 1) 2in (4n2 − 1)π

i + (−1)n(cid:105) , n ≥ 0. an = 2n (4n2 − 1)π

3.1.3 Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i

gian r(cid:237)i r⁄c

Ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)Łi v(cid:238)i d¢y t‰n hi»u

(cid:31)ƒu v(cid:160)o x(n) d⁄ng nh(cid:247) sau

o T cDT :x(n) (cid:55)→ (k

o ∗ FcDT

(3.11)

∞ (cid:88)

x)(n),

o T cDT {x(n)} = x(0)k(n) +

m=1

(cid:240) (cid:31)¥y, d¢y k(n) cho tr(cid:247)(cid:238)c, (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) nh¥n cıa bi‚n (cid:31)Œi th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) y(n) l(cid:160)

d¢y t‰n hi»u (cid:31)ƒu ra cıa ph†p bi‚n (cid:31)Œi (ho(cid:176)c l(cid:160) (cid:31)¡p øng cıa h» thŁng tuy‚n t‰nh b§t

bi‚n v(cid:238)i k‰ch th‰ch x(n)).

o T cDT

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1.3. [(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Watson r(cid:237)i r⁄c] (cid:30)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” bi‚n (cid:31)Œi trong (3.11) l(cid:160) uinta trong l2(N0) l(cid:160)

y(n) = x(m)(cid:2)k(n + m) + k(|n − m|)(cid:3), n ≥ 0,

(3.12)

ω ∈ [0, π]. , |Kc(ω)| ≡ |FcDT {k(n)}(ω)| = 1 2

72

H(cid:236)n nœa, bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc c(cid:226) d⁄ng

o T −1

o ∗ FcDT

(3.13)

cDT {y(n)} = (k ∞ (cid:88)

x(n) = y)(n)

m=1

trong (cid:31)(cid:226) k l(cid:160) li¶n hæp phøc cıa k.

Chøng minh.

= y(m)(cid:2)k(n + m) + k(|n − m|)(cid:3) + y(0)k(n), n ≥ 0,

N‚u c(cid:226) (3.12), th… k(n) ∈ (cid:96)2(N0), v(cid:160) tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.4) v(cid:160) (2.90) ta thu (cid:31)(cid:247)æc

(cid:136) (cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı:

2 = (cid:107)x

2 =

(3.14)

(cid:107)y(cid:107)2 k(cid:107)2 (cid:107)FcDT {(x k)(n)}(ω)(cid:107)2 2 2 π

o ∗ FcDT (cid:107)2Kc(ω)Xc(ω)(cid:107)2

o ∗ FcDT (cid:107)Xc(ω)(cid:107)2

2 =

2 = (cid:107)x(cid:107)2 2.

Do (cid:31)(cid:226), (3.11) l(cid:160) unita trong (cid:96)2(N0). M(cid:176)t kh¡c, tł K(ω)K(ω) = 1

4, ta c(cid:226)

= 2 π 2 π

v(cid:160) nh(cid:247) v“y

∞ (cid:88)

Xc(ω) = = 2Kc(ω)Yc(ω), Yc(ω) 2Kc(ω)

m=1

y(m)(cid:2)k(n + m) + k(|n − m|)(cid:3) + y(0)k(n), n ≥ 0. x(n) =

Gi£ sß bi‚n (cid:31)Œi (3.11) l(cid:160) unita (cid:96)2(N0). (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:31)ﬂng thøc Parseval cho bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ta c(cid:226)

(cid:136) (cid:30)i•u ki»n cƒn:

(3.15)

2 = (cid:107)k

2 = (cid:107)y(cid:107)2

2 = (cid:107)x(cid:107)2

2 =

o ∗ FcDT

Nh(cid:247) v“y, to¡n tß nh¥n Xc(ω) → 2Kc(ω)Xc(ω) l(cid:160) unita tr¶n L2(0.π). Tøc l(cid:160)

x(cid:107)2 (cid:107)2Kc(ω)Xc(ω)(cid:107)2 (cid:107)Xc(ω)(cid:107)2 2. 2 π 2 π

Chøng t(cid:228) k(n) th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n (3.12).

ω ∈ [0, π]. , |Kc(ω)| = 1 2

Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

V‰ d(cid:246) 3.1.3. Ho(cid:160)n to(cid:160)n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) v‰ d(cid:246) 3.1.1, v(cid:238)i

(cid:0)i(−1)n − 1(cid:1), n ≥ 0.

(cid:50)

2 ω v(cid:160) |FcDT {k(n)}(ω)| = 1

2. (cid:30)” cho ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch

Th… FcDT {k(n)}(ω) = − i 2e ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (3.11) l(cid:160) unita trong (cid:96)2(N0).

kn = 2 (4n2 − 1)π

73

3.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c

Tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel (cid:31)Łi v(cid:238)i l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ t‰ch (0.19), sau khi r(cid:237)i r⁄c

h(cid:226)a ta (cid:31)(cid:247)æc ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c c(cid:226) d⁄ng :

∞ (cid:88)

(3.16)

(cid:2)k1(n + m) + k2(n − m)(cid:3)y(m) = h(n), n ∈ N0.

m=0

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i gi£i mºt sŁ l(cid:238)p ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n v(cid:238)i c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (cid:31)(cid:176)c

bi»t cıa nh¥n v(cid:160) v‚ ph£i.

x(n) +

3.2.1 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i nh¥n

(cid:31)(cid:176)c bi»t

X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c tŒng qu¡t (3.16), trong (cid:31)(cid:226) nh¥n k1(n)

v(cid:160) k2(n) l(cid:160) tr(cid:242)ng nhau k1(n) = k2(n) = k(n). Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c(cid:226) d⁄ng:

∞ (cid:88)

(3.17)

(cid:2)k(n + m) + k(n − m)(cid:3)y(m) = h(n), n ∈ N0.

m=0

— (cid:31)(cid:226) k(n), h(n) ∈ (cid:96)1(N0) l(cid:160) c¡c d¢y (cid:31)¢ bi‚t v(cid:160) x(n) ∈ (cid:96)1(N0) l(cid:160) d¢y cƒn t…m.

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y ta x†t bŁn tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c

v(cid:238)i nh¥n (cid:31)(cid:176)c bi»t, c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y n‹m trong c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.18), (3.19),

(3.30) v(cid:160) (3.34).

(cid:30)” thu“n ti»n cho vi»c gi£i c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh v(cid:160) h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sau n(cid:160)y, ta x†t

bŒ (cid:31)• sau

BŒ (cid:31)• 3.2.1. ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Wiener-Levy cho bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i

r⁄c) Cho x(n) ∈ (cid:96)1(N0), v(cid:160) Φ(z) l(cid:160) h(cid:160)m gi£i t‰ch tr¶n mi•n tƒn sŁ cıa FcDT {x(n)}(ω). Khi (cid:31)(cid:226), Φ(cid:0)FcDT {x(n)}(ω)(cid:1) l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa y(n) ∈ (cid:96)1(N0) n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) v(cid:160) l“p th(cid:160)nh mºt chuØi hºi t(cid:246) tuy»t (cid:31)Łi. (cid:30)(cid:176)c bi»t, n‚u FcDT {x(n)}(ω) (cid:54)= 0 v(cid:238)i mØi ω ∈ [0, π], th… t(cid:231)n t⁄i z(n) ∈ (cid:96)1(N0) sao cho

x(n) +

Chøng minh. Cho xe(n) l(cid:160) m(cid:240) rºng chﬁn (2.92) cıa d¢y x(n). Khi (cid:31)(cid:226) xe(n) ∈ (cid:96)1(Z). Tł (cid:31)(cid:226) (cid:31)¡p øng cıa d¢y t‰n hi»u xe(n) trong (2.91) FDT {xe(n)}(ω) tr(cid:242)ng v(cid:238)i (cid:31)¡p

. FcDT {z(n)}(ω) = 1 FcDT {x(n)}(ω)

74

øng FcDT {x(n)}(ω) cıa t‰n hi»u x(n), v… Φ(z) l(cid:160) gi£i t‰ch tr¶n d£i FDT {xe(n)}(ω), theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Paley-Wiener cho chuØi Fourier hºi t(cid:246) tuy»t (cid:31)Łi trong [12] ch¿ ra r‹ng Φ(cid:0)FcDT {xe(n)}(ω)(cid:1) c(cid:244)ng hºi t(cid:246) tuy»t (cid:31)Łi. B(cid:240)i v… Φ(cid:0)FDT {xe(n)}(ω)(cid:1) l(cid:160) chﬁn tr¶n [−π, π], ta c(cid:226) Φ(cid:0)FDT {xe(n)}(ω)(cid:1) = FDT {ye(n)}(ω). Tr¶n (cid:31)o⁄n [0, π] ta c(cid:226)

FcDT {x(n)}(ω) = FDT {xe(n)}(ω),

v(cid:160) nh(cid:247) v“y, t(cid:231)n t⁄i y(n) ∈ (cid:96)1(N0) (cid:31)” c(cid:226)

FcDT {y(n)}(ω) = FDT {ye(n)}(ω),

ω ∈ [0, π]. FcDT {y(n)}(ω) = Φ(cid:0)FcDT {x(n)}(ω)(cid:1),

BŒ (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh xong.

a) C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh d⁄ng

∞ (cid:88)

(cid:50)

(3.18)

m=1

∞ (cid:88)

x(m)[k(n + m) + k(|n − m|)] + x(0)k(n) = z(n), n ≥ 0,

(3.19)

m=1

(cid:240) (cid:31)(cid:226) y(n), z(n) l(cid:160) c¡c d¢y (cid:31)¢ bi‚t v(cid:160) x(n) l(cid:160) d¢y cƒn t…m.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1. Cho k(n), z(n) ∈ (cid:96)1(N0) v(cid:160) FcDT {k(n)}(ω) (cid:54)= 0 v(cid:238)i mØi ω ∈ [0, π]. Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel d⁄ng (3.18) c(cid:226) nghi»m duy nh§t x(n) ∈ (cid:96)1(N0)

x(m)(cid:2)k(n + m) + k(|n − m|)(cid:3) + x(0)k(n) = z(n), n ≥ 0, x(n) +

(3.20)

o ∗ FcDT

(cid:240) (cid:31)(cid:226) u(n) ∈ (cid:96)1(N0) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

π (cid:90)

x(n) = (u z)(n), 1 2

(3.21)

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c FcDT v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.18) v(cid:160) tł (2.86), ta c(cid:226)

dω. u(n) = 1 π cos(nω) 2FcDT {k(n)}(ω)

(3.22)

ω ∈ [0, π]. 2FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {k(n)}(ω) = FcDT {z(n)}(ω),

75

N‚u FcDT {k(n)}(ω) (cid:54)= 0 v(cid:238)i mØi ω ∈ [0, π] v(cid:160) tł BŒ (cid:31)• 3.2.1, t(cid:231)n t⁄i duy nh§t u(n) ∈ (cid:96)1(N0) sao cho

Sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc (2.3) ta c(cid:226)

π (cid:90)

, ω ∈ [0, π]. FcDT {u(n)}(ω) = 1 2FcDT {k(n)}(ω)

Tł (cid:31)(cid:226) ta (cid:31)(cid:247)æc,

u(n) = dω. 1 π cos(nω) 2FcDT {k(n)}(ω)

Sß d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.1 mºt lƒn nœa ta (cid:31)(cid:247)æc

FcDT {x(n)}(ω) = FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω).

o ∗ FcDT

∞ (cid:88)

x(n) = (u z)(n) 1 2

m=1

Tł u(n), z(n) ∈ (cid:96)1(N0) v(cid:160) tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.1 d¤n t(cid:238)i x(n) ∈ (cid:96)1(N0). Ti‚p t(cid:246)c sß d(cid:246)ng b§t (cid:31)ﬂng thøc (2.85) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.1 ta c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡

u(m)(cid:2)z(n + m) + z(|n − m|)(cid:3) + u(0)z(n), n ≥ 0. = 1 2 1 2

||x||1 ≤ ||u||1 · ||v||1.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh xong.

Mºt v‰ d(cid:246) c(cid:246) th” minh h(cid:229)a cho (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.1 nh(cid:247) sau:

V‰ d(cid:246) 3.2.1. X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c d⁄ng (3.18), v(cid:238)i c¡c d¢y k(n), z(n) ∈ (cid:96)1(N0) c(cid:226) d⁄ng

(cid:50)

k(n) = , n ≥ 0, eπ(−1)n − 1 π(1 + n2)

Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c(cid:226) nghi»m duy nh§t x(n) ∈ (cid:96)1(N0) (cid:240) d⁄ng

z(n) = . , n ≥ 1 v(cid:160) z(0) = −1 + (−1)n πn2 π2 2

x(n) = , n ≥ 0. 1 + n2 − e−π(cid:2)1 + π + n2(π − 1)(cid:3)(−1)n 2π(1 + n2)2

76

L(cid:237)i gi£i: (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c FcDT v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.18) v(cid:160) tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.1 ta c(cid:226)

(3.23)

Bi‚t r‹ng v(cid:238)i c¡c h(cid:160)m z = eω v(cid:160) w = ω v(cid:238)i 0 ∈ [0, π] tuƒn ho(cid:160)n chu k(cid:253) 2π, ta c(cid:226) khai tri”n

∞ (cid:88)

2FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {k(n)}(ω) = FcDT {z(n)}(ω), ω ∈ [0, π].

n=1 ∞ (cid:88)

+ cos(nω) = eω, FcDT {k(n)}(ω) = eπ − 1 π eπ(−1)n − 1 π(1 + n2)

n=1 trong (cid:31)(cid:226), c¡c d¢y k(n), z(n) ∈ (cid:96)1(N0). Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.23) (cid:31)(cid:247)æc vi‚t l⁄i d⁄ng

+ cos(nω) = ω, FcDT {z(n)}(ω) = π2 2 −1 + (−1)n n2

2FcDT {x(n)}(ω) · eω = ω,

Sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ng(cid:247)æc (2.3) v(cid:160) sß d(cid:246)ng

phƒn m•m Mathematica ta thu (cid:31)(cid:247)æc

ωe−ω, =⇒ FcDT {x(n)}(ω) = 1 2

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.2. Cho k(n), z(n) ∈ (cid:96)1(N0), v(cid:160) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω) (cid:54)= 0 v(cid:238)i mØi ω ∈ [0, π]. Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c (3.19) c(cid:226) nghi»m duy nh§t trong thuºc (cid:96)1(N0) trong d⁄ng

x(n) = , n ≥ 0. 1 + n2 − e−π(cid:2)1 + π + n2(π − 1)(cid:3)(−1)n 2π(1 + n2)2

(3.24)

o ∗ FcDT

(cid:240) (cid:31)¥y v(n) ∈ (cid:96)1(N0) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

π (cid:90)

x(n) = z(n) − (cid:0)v z(cid:1)(n),

(3.25)

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c FcDT v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.19) ta c(cid:226)

v(n) = cos(nω)dω. 1 π FcDT {k(n)}(ω) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω)

Tł (cid:31)(cid:226) ta (cid:31)(cid:247)æc,

FcDT {x(n)}(ω) + 2FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {k(n)}(ω) = FcDT {z(n)}(ω).

(3.26)

. FcDT {x(n)}(ω) = FcDT {z(n)}(ω) − 2FcDT {z(n)}(ω) FcDT {k(n)}(ω) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω)

77

. (cid:30)i•u ki»n 1 + 2FcDT {k(n)}(ω) (cid:54)= 0 v(cid:238)i mØi ω ∈ [0, π] (cid:31)” h(cid:160)m Φ(z)

L§y Φ(z) = FcDT {k(n)}(ω) gi£i t‰ch tr¶n d£i FcDT {k(n)}(ω). Do (cid:31)(cid:226), tł BŒ (cid:31)• 3.2.1 ta (cid:31)(cid:247)æc h(cid:160)m 1+2FcDT {k(n)}(ω) l(cid:160) bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa mºt d¢y v(cid:160) l(cid:160) chuØi hºi t(cid:246) tuy»t (cid:31)Łi. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i d¢y gi¡ tr(cid:224) phøc v(n) ∈ (cid:96)1(N0) sao cho

(3.27)

z 1 + 2z

Sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cho (cid:31)¡p øng (cid:31)ƒu ra FcDT {v(n)}(ω) trong c(cid:230)ng thøc (3.27) ta c(cid:226)

π (cid:90)

= FcDT {v(n)}(ω). FcDT {k(n)}(ω) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω)

Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.26) c(cid:226) th” vi‚t l⁄i d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

cos(nω)dω. v(n) = 1 π FcDT {k(n)}(ω) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω)

Tł t‰nh gi£i t‰ch cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.1 ta

c(cid:226)

FcDT {x(n)}(ω) = FcDT {z(n)}(ω) − 2FcDT {z(n)}(ω) · FcDT {v(n)}(ω).

o ∗ FcDT

Tł z(n), v(n) ∈ (cid:96)1(N0) v(cid:160) tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.1 d¤n t(cid:238)i x(n) ∈ (cid:96)1(N0). Ti‚p t(cid:246)c sß d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.1, ta c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡

x(n) = z(n) − (cid:0)z v(cid:1)(n).

||x||1 ≤ ||z||1 + 2||z||1 · ||v||1.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh xong.

Mºt v(cid:160)i v‰ d(cid:246) c(cid:246) th” minh h(cid:229)a cho (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.2 nh(cid:247) sau:

V‰ d(cid:246) 3.2.2. X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c d⁄ng (3.19), v(cid:238)i c¡c d¢y k(n), z(n) ∈ (cid:96)1(N0) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(cid:50)

, n ≥ 0 k(n) = −1 + eπ(−1)n π(1 + n2)

Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c(cid:226) nghi»m duy nh§t thuºc (cid:96)1(N0) c(cid:226) d⁄ng

z(n) = . , n ≥ 1 v(cid:160) z(0) = −1 + (−1)n πn2 π2 2

x(n) = , n ≥ 0. 1 − n2 − (cid:2)1 + n2(−1 + π) + π(cid:3)e−π(−1)n π(1 + n2)2

78

L(cid:237)i gi£i: (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c FcDT v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.19) ta (cid:31)(cid:247)æc

(3.28)

Bi‚t r‹ng v(cid:238)i c¡c h(cid:160)m z = eω v(cid:160) w = ω, ω ∈ [0, π] tuƒn ho(cid:160)n chu k(cid:253) 2π, ta c(cid:226) khai tri”n

∞ (cid:88)

FcDT {x(n)}(ω) + 2FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {k(n)}(ω) = FcDT {z(n)}(ω).

n=1

∞ (cid:88)

+ cos(nω) = , FcDT {k(n)}(ω) = eπ − 1 2π −1 + eπ(−1)π π(1 + n2) eω − 1 2

n=1

trong (cid:31)(cid:226), c¡c d¢y k(n), z(n) ∈ (cid:96)1(N0). Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.28) (cid:31)(cid:247)a v• d⁄ng

+ cos(nω) = ω, FcDT {z(n)}(ω) = π2 2 −1 + (−1)n n2

= ω, FcDT {x(n)}(ω) + 2FcDT {x(n)}(ω) eω − 1 2

Sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ng(cid:247)æc (2.3) v(cid:160) sß d(cid:246)ng phƒn m•m

Mathematica ta (cid:31)(cid:247)æc

=⇒ FcDT {x(n)}(ω) = ω · e−ω.

V‰ d(cid:246) 3.2.3. X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c d⁄ng (3.19), v(cid:238)i c¡c d¢y k(n), z(n) ∈ (cid:96)1(N0) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

, n ≥ 0. x(n) = 1 − n2 − (cid:2)1 + n2(−1 + π) + π(cid:3)e−π(−1)n π(1 + n2)2

k(n) = , , n ≥ 1 v(cid:160) z(0) = 1 + (−1)n πn2 π 2

z(n) = . , n ≥ 1 v(cid:160) z(0) = −π + 4π3 3

8(−1)n n2 Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c(cid:226) nghi»m duy nh§t thuºc (cid:96)1(N0) c(cid:226) d⁄ng

x(n) = , n ≥ 1 v(cid:160) x0 = −π + π2. −2 + 2(−1)n πn2

FcDT {x(n)}(ω) + 2FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {k(n)}(ω) = FcDT {z(n)}(ω),

79

d¤n t(cid:238)i

(3.29)

Bi‚t r‹ng v(cid:238)i c¡c h(cid:160)m z = eω v(cid:160) w = ω v(cid:238)i ω ∈ [0, π] tuƒn ho(cid:160)n chu k(cid:253) 2π, ta c(cid:226) khai tri”n

∞ (cid:88)

FcDT {x(n)}(ω){1 + 2FcDT {k(n)}(ω)} = FcDT {z(n)}(ω).

n=1

∞ (cid:88)

+ cos(nω) = ω, FcDT {k(n)}(ω) = π2 2 −1 + (−1)n n2

n=1

trong (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i c¡c d¢y k(n), z(n) ∈ (cid:96)1(N0). Tł (cid:31)(cid:226) v(cid:160) tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.29) ta (cid:31)(cid:247)æc

+ cos(nω) = 4ω2 − 1, FcDT {k(n)}(ω) = −π + 4π3 3 8π(−1)n n2

Sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ng(cid:247)æc (2.3) v(cid:160) sß d(cid:246)ng phƒn m•m

Mathematica ta (cid:31)(cid:247)æc

FcDT {x(n)}(ω) = 2ω − 1.

b) Ta x†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz - Hankel r(cid:237)i r⁄c c(cid:226) d⁄ng nh(cid:247) sau:

∞ (cid:88)

x(n) = , n ≥ 1 v(cid:160) x(0) = −π + π2. −2 + 2(−1)n πn2

(3.30)

m=1

— (cid:31)(cid:226) k(n), h(n) l(cid:160) c¡c d¢y (cid:31)¢ bi‚t, x(n) l(cid:160) d¢y cƒn t…m.

1(N0), v(cid:160) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω) (cid:54)= 0 v(cid:238)i mØi

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.3. Cho k(n) ∈ (cid:96)1(N0), h(n) ∈ (cid:96)o ω ∈ [0, π]. Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.30) c(cid:226) nghi»m duy nh§t x(n) ∈ (cid:96)o

1(N0) d⁄ng

x(n) + x(m)(cid:2)k(|n − m|) − k(n + m)(cid:3) = h(n), n ≥ 0.

(3.31)

(cid:240) (cid:31)(cid:226) w(n) ∈ l1(N0) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(cid:90) π

w(cid:1)(n), x(n) = h(n) − (cid:0)h ∗ FsDT

(3.32)

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c FsDT v(cid:160)o hai v‚ cıa (3.30) v(cid:160) theo (2.24) ta (cid:31)(cid:247)æc

w(n) = cos(nω) dω. 1 π FcDT {k(n)}(ω) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω)

FsDT {x(n)}(ω) + 2FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {k(n)}(ω) = FsDT {h(n)}(ω).

80

Tł (cid:31)(cid:226) ta (cid:31)(cid:247)æc

(3.33)

N‚u 1 + 2FcDT {k(n)}(ω) (cid:54)= 0 v(cid:238)i mØi ω ∈ [0, π], khi (cid:31)(cid:226) theo BŒ (cid:31)• 3.2.1, t(cid:231)n t⁄i

duy nh§t w(n) ∈ (cid:96)1(N0) sao cho

. FsDT {x(n)}(ω) = FsDT {h(n)}(ω) − 2FsDT {h(n)}(ω) FcDT {k(n)}(ω) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω)

Sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ng(cid:247)æc (2.3) ta c(cid:226)

π (cid:90)

. FcDT {w(n)}(ω) = FcDT {k(n)}(ω) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω)

Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.33) c(cid:226) th” vi‚t l⁄i d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

w(n) = cos(nω)dω. 1 π FcDT {k(n)}(ω) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω)

Tł t‰nh gi£i t‰ch cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3 ta

c(cid:226)

FsDT {x(n)}(ω) = FsDT {h(n)}(ω) − 2FsDT {h(n)}(ω) · FcDT {w(n)}(ω).

1(N0),

1(N0) v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3, trong (cid:31)(cid:226) w(n) ∈ (cid:96)1(N0) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh

v… w(n) ∈ (cid:96)1(N0), h(n) ∈ (cid:96)o b(cid:240)i

π (cid:90)

w(cid:1)(n) ∈ (cid:96)o x(n) = h(n) − (cid:0)h ∗ FsDT

Sß d(cid:246)ng b§t (cid:31)ﬂng thøc (2.25) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3 ta c(cid:226):

w(n) = cos(nω) dω. 1 π FcDT {k(n)}(ω) 1 + 2FcDT {k(n)}(ω)

FsDT

w)(cid:107)1 ≤ (cid:107)h(cid:107)1 (1 + 2(cid:107)w(cid:107)1) . (cid:107)x(cid:107)1 = (cid:107)h − (h ∗

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh xong.

c) X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh d⁄ng

∞ (cid:88)

(cid:50)

(cid:0)y ∗ FsDT

(3.34)

m=0

x(n) + z(cid:1)(m)(cid:2)x(n + m − 1) + x(|n − m + 1|)−

(cid:240) (cid:31)(cid:226) (y ∗

− x(|n + m + 1|) − x(|n − m − 1|)(cid:3) = h(n)

FsDT

qua c(cid:230)ng thøc (2.13), y(n), z(n), h(n) l(cid:160) c¡c d¢y (cid:31)¢ bi‚t v(cid:160) x(n) l(cid:160) d¢y cƒn t…m.

z)(n) l(cid:160) t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh

81

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.4. Cho y(n) ∈ (cid:96)o

1(N0), z(n), h(n) ∈ (cid:96)1(N0) v(cid:160) th(cid:228)a m¢n

Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.34) c(cid:226) nghi»m duy nh§t x(n) ∈ (cid:96)1(N0),

1 + 8 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) (cid:54)= 0, ∀ω ∈ [0, π].

(3.35)

o ∗ FcDT

(cid:240) (cid:31)(cid:226), u(n) ∈ l1(N0) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

π (cid:90)

x(n) = h(n) − (cid:0)h u(cid:1)(n) ∈ (cid:96)1(N0),

(3.36)

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh (3.34) v(cid:160) sß d(cid:246)ng (cid:30)inh l(cid:254) 2.3.4 ta (cid:31)(cid:247)æc

cos(nω)dω. u(n) = 2 π 4 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) 1 + 8 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω)

(cid:8)(y ∗ FsDT

(3.37)

FcDT {x(n)}(ω) + 4 sin(ω) · FsDT z)(n)(cid:9)(ω) · FcDT {x(n)}(ω)

= FcDT {h(n)}(ω).

1(N0) ta c(cid:226)

Sß d(cid:246)ng (2.24) cho t‰ch ch“p suy rºng (cid:0)y ∗ FsDT

z(cid:1)(n) ∈ (cid:96)o

(cid:8)(y ∗ FsDT

Tł (cid:31)(cid:226), thay tr(cid:240) l⁄i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh 3.37 ta (cid:31)(cid:247)æc

FsDT z)(n)(cid:9)(ω) = 2FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω).

FcDT {x(n)}(ω)

Tł (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

+8 sin(ω) · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) · FcDT {x(n)}(ω) =FcDT {h(n)}(ω).

FcDT {x(n)}(ω)

(3.38)

(cid:35)

= FcDT {h(n)}(ω) 1 + 8 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω)

(cid:34) = FcDT {h(n)}(ω)

N‚u 1 + 8 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) (cid:54)= 0 v(cid:238)i mØi ω ∈ [0, π], khi (cid:31)(cid:226) theo BŒ (cid:31)• 3.2.1, t(cid:231)n t⁄i duy nh§t u(n) ∈ (cid:96)1(N0) sao cho

. 1 − 8 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) 1 + 8 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω)

(3.39)

. Uc(ω) ≡ FcDT {u(n)}(ω) = 4 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) 1 + 8 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω)

82

Tł t‰nh gi£i t‰ch cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier

cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ng(cid:247)æc (2.3) ta c(cid:226)

π (cid:90)

Tł (3.38) v(cid:160) (3.39) ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:8)(h

u(n) = cos(nω)dω. 1 π 4 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) 1 + 8 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω)

o ∗ FcDT

Do t‰nh gi£i t‰ch cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1, ta

(cid:31)(cid:247)æc

u)(n)(cid:9)(ω). FcDT {x(n)}(ω) =FcDT {h(n)}(ω) · (cid:2)1 − 2FcDT {u(n)}(ω)(cid:3) =FcDT {h(n)}(ω) − FcDT

o ∗ FcDT

V… h(n), u(n) ∈ (cid:96)1(N0) v(cid:160) theo t‰nh ch§t cıa t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c suy ra x(n) ∈ (cid:96)1(N0). Sß d(cid:246)ng b§t (cid:31)ﬂng thøc (2.85) ta c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡

x(n) = h(n) − (h u)(n).

||x||1 ≤ ||h||1 + 2||h||1 · ||u||1.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh xong.

(cid:50)

3.2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel v(cid:238)i v‚ ph£i (cid:31)(cid:176)c

bi»t

X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

∞ (cid:88)

(3.40)

(cid:2)k1(n + m) + k2(|n − m|)(cid:3)x(m) = g(m), n ∈ N0,

m=1

(cid:240) (cid:31)¥y c¡c d¢y nh¥n k1(n), k2(n) l(cid:160) t(cid:242)y (cid:254) v(cid:160) v‚ ph£i th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n cho tr(cid:247)(cid:238)c.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.5. Gi£ sß r‹ng g2(n), k1(n), k2(n) ∈ (cid:96)1(N0), g(n) = g1(n) + g2(n) v(cid:160) th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n

x(n) +

(3.41)

(cid:8)k1(n) + k2(n)(cid:9)(ω) (cid:54)= 0, ∀ω ∈ [0, π],

(cid:114) π 2

v(cid:160)

(cid:17)

1 + FcDT

(3.42)

(cid:2)(g2

(cid:114) π 8

(cid:16) 1 2

o ∗ FcDT

(cid:3) ∗ FsDT

(n), g1(n) = l) − g2 (k1 − k2)

83

(cid:240) (cid:31)(cid:226) l(n) ∈ (cid:96)1(N0), x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(cid:114)

π (cid:90)

(3.43)

Khi (cid:31)(cid:226), ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh r(cid:237)i r⁄c (3.40) c(cid:226) nghi»m duy nh§t trong (cid:96)1(N0) d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng:

FcDT {k1(n) + k2(n)}(ω) l(n) = cos(nω)dω. 1 2π FcDT {k1(n) + k2(n)}(ω) 1 + (cid:112) π 2

(cid:0)g2

o ∗ FcDT

Chøng minh. M(cid:240) rºng g1(n) tr¶n to(cid:160)n bº Z d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng mºt d¢y l·, x(n), g2(n) l(cid:160) c¡c d¢y chﬁn, v(cid:160) m(cid:240) rºng g(n) tr¶n to(cid:160)n bº Z theo quy t›c g(n) = g1(n) + g2(n). Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.40) tr¶n Z c(cid:226) d⁄ng

∞ (cid:88)

l(cid:1)(n). x(n) = g2(n) − 1 2

(3.44)

(cid:2)k1(|n + m|) + k2(|n − m|)(cid:3)x(m) = g(n),

m=1

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.44) c(cid:226) th” vi‚t l⁄i d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

∞ (cid:88)

n ∈ Z. x(|n|) +

(cid:110)(cid:2)(k1(|n + m|) + k2(|n + m|)) + (k1(|n − m|)

m=1

(3.45)

x(|n|) + 1 2

(cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.45) v(cid:160)

x(m) = g(n), n ∈ Z. + k2(|n − m|))(cid:3) + (cid:2)(k1(n + m) − k2(|n + m|)) − (k1(|n − m|) − k2(|n − m|))(cid:3)(cid:111)

FDT {h(n)}(ω) = FcDT {h(n)}(ω) n‚u h(n) l(cid:160) d¢y chﬁn, FDT {h(n)}(ω) = FsDT {h(n)}(ω), ω ∈ [−π, π] n‚u h(n) l(cid:160) d¢y l·, ta c(cid:226)

(3.46)

FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {k1(n) + k2(n)}(ω) FcDT {x(n)}(ω)+

(cid:114) π 2 (cid:114) π 2

+i FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {k1(n) − k2(n)}(ω)

Nh›c l⁄i g(n) = g1(n) + g2(n), (cid:240) (cid:31)(cid:226) g1(n), g2(n) t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) c¡c th(cid:160)nh phƒn chﬁn v(cid:160) l· cıa g(n), do (cid:31)(cid:226) x(n) l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.46) n‚u th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n

= F {g(n)}(ω), ω ∈ [−π, π].

(cid:114) π 2

(3.47)

FcDT {x(n)}(ω)+ FcDT {x(n)}(ω) · FcDT {k1(n) + k2(n)}(ω)

= FcDT {g2(n)}(ω),

84

v(cid:160)

(3.48)

(cid:114) π 2

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.47) c(cid:226) th” vi‚t l⁄i d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

FsDT {x(n)}(ω) · FcDT {k1(n) − k2(n)}(ω) = FsDT {g1(n)}(ω).

(cid:110)

(3.49)

FcDT {x(n)}(ω)

(cid:111) .

(cid:114) π 2

Theo BŒ (cid:31)• 3.2.1 v(cid:160) tł (cid:31)i•u ki»n (3.41), t(cid:231)n t⁄i duy nh§t d¢y l(n) ∈ (cid:96)1(N0) sao

cho

1 − = FcDT {g2(n)}(ω) · 1 + FcDT {k1(n) + k2(n)}(ω) FcDT {k1(n) + k2(n)}(ω) (cid:113) π 2

(cid:114) π 2

Tł t‰nh gi£i t‰ch cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier

cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ng(cid:247)æc (2.3) ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:114)

π (cid:90)

FcDT {k1(n) + k2(n)}(ω) . FcDT {l(n)}(ω) = FcDT {k1(n) + k2(n)}(ω) 1 + (cid:112) π 2

Do (cid:31)(cid:226), tł (3.49) ta c(cid:226)

FcDT {k1(n) + k2(n)}(ω) l(n) = cos(nω)dω ∈ (cid:96)1(N0). 1 2π FcDT {k1(n) + k2(n)}(ω) 1 + (cid:112) π 2

suy ra

FcDT {x(n)}(ω) = FcDT {g2(n)}(ω)[1 − FcDT {l(n)}(ω)],

(3.50)

o ∗ FcDT

Thay (3.50) v(cid:160)o (3.48) ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:104)

(cid:105)

l)(n), n ∈ Z. x(n) = g2(n) − (g2 1 2

(cid:114) π 2

o ∗ FcDT

l)(n)}(ω) FsDT {g2(n)}(ω) − FsDT {(g2 · FcDT {k1(n) − k2(n)}(ω)

Ho(cid:176)c

= −FsDT {g1}(ω).

(cid:114) π 2

(cid:111)

(ω) (k1 − k2)(cid:1)(cid:111) FsDT

(cid:0)(g2

(cid:110)1 (cid:0)g2 ∗ 2 FsDT (cid:114) π 2

FsDT

(cid:110)1 o ∗ 4 FcDT = −FsDT {g1(n)}(ω).

(ω) l) ∗ − (k1 − k2)(cid:1)(n) FsDT

85

Do (cid:31)(cid:226),

(cid:17)

(cid:114) π 8

(cid:16)(cid:0)1 2

o ∗ FcDT

(cid:1) ∗ FsDT

Tł (3.46), (3.47), (3.48) v(cid:160) (3.50) ta (cid:31)(cid:247)æc nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.40) trong (cid:96)1(N0) c(cid:226) d⁄ng

(n). g1(n) = (g2 l) − g2 (k1 − k2)

o ∗ FcDT

Sß d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.1 cho (cid:31)¡nh gi¡ nghi»m ta c(cid:226)

l)(n). x(n) = g2(n) − (g2 1 2

||x||1 ≤ ||g2||1 + ||g2||1 · ||l||1.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:50)

3.2.3 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y ta x†t ba h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c, c¡c h» n(cid:160)y

n‹m trong c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.51), (3.59) v(cid:160) (3.67).

a) X†t h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh d⁄ng

 

∞ (cid:80) m=1

(3.51)

x(n) + u(m)(cid:2)y(|n − m|) − y(n + m)(cid:3) = z(n)



∞ (cid:80) m=1

(cid:240) (cid:31)(cid:226) u(n), v(n), z(n), h(n) l(cid:160) c¡c d¢y (cid:31)¢ bi‚t, x(n), y(n) l(cid:160) c¡c d¢y cƒn t…m.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.6. N‚u u(n), v(n), h(n) v(cid:160) z(n) ∈ (cid:96)o

1(N0) th… (u ∗ FcDT

x(m)(cid:2)v(n + m) + v(|m − n|)sign(m − n)(cid:3) + y(n) = h(n),

1(N0) d⁄ng

(cid:16)

(cid:17)

v)(n) ∈ (cid:96)1(N0). V(cid:160) n‚u 1 − 4FsDT {u(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω) (cid:54)= 0 ∀ ω ∈ [0, π], khi (cid:31)(cid:226) h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.51) c(cid:226) nghi»m duy nh§t thuºc (cid:96)o

 

FsDT

(3.52)

x(n) = z(n) + (z ∗ k)(n) − (u ∗ h)(n) − h) ∗ k



FcDT

FsDT o ∗ FcDT

FsDT k(cid:1)(n) − (cid:0)v ∗ FcDT

FsDT o ∗ FcDT

(cid:240) (cid:31)(cid:226) k(n) ∈ (cid:96)1(N0), x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i:

π (cid:90)

(u ∗ (cid:16) (n) (cid:17) (v ∗ z) k (n), y(n) = h(n) + (cid:0)h z(cid:1)(n) −

(3.53)

cos(nω)dω. k(n) = 1 π 2FsDT {u(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω) 1 − 4FsDT {u(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω)

86

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh 1, bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh 2 cıa

h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.51) ta (cid:31)(cid:247)æc

 



FsDT {x(n)}(ω) + 2FsDT {u(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) = FsDT {z(n)}(ω)

Ta gi£i h» r(cid:237)i r⁄c tr¶n v(cid:238)i bi‚n sŁ l(cid:160) FsDT {x(n)}(ω) v(cid:160) FsDT {y(n)}(ω). Tł h» ta

c(cid:226):

2FsDT {x(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω) + FcDT {y(n)}(ω) = FcDT {h(n)}(ω).

(3.54)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) =1 − 4FsDT {u(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω),

∆ = 2FsDT {u(n)}(ω) 1 1 2FsDT {v(n)}(ω)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

∆1 = 1 FsDT {z(n)}(ω) 2FsDT {u(n)}(ω) FcDT {h(n)}(ω)

h)(n)}(ω), =FsDT z(n)(ω) − 2FsDT {u(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω) =FsDT z(n)(ω) − FsDT {(u ∗ FsDT

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

1 ∆2 = FsDT {z(n)}(n) 2FsDT {v(n)}(n) FcDT {h(n)}(n)

Gi£ sß r‹ng 1 − 4FsDT {u(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω) (cid:54)= 0, khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

z)(n)}(ω). =FcDT {h(n)}(ω) − 2FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {z(n)}(ω) =FcDT {h(n)}(ω) − FcDT {(v ∗ 2

= 1 ∆ 1 1 − 4FsDT {u(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω)

Theo BŒ (cid:31)• 3.2.1, t(cid:231)n t⁄i k(n) ∈ (cid:96)1(N0) sao cho

(3.55)

=1 + . 4FsDT {u(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω) 1 − 4FsDT {u(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω)

c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) k(n) ∈ (cid:96)1(N0) th(cid:228)a m¢n (3.55) v(cid:160) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

π (cid:90)

= 1 + 2FcDT {k(n)}(ω), 1 ∆

cos(nω)dω. k(n) = 1 π 2FsDT {u(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω) 1 − 4FsDT {u(n)}(ω) · FsDT {v(n)}(ω)

87

Gi£i h» theo ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p Cramer ta (cid:31)(cid:247)æc

 

(3.56)

FsDT {x(n)}(ω) =



Tł (cid:31)(cid:226) v(cid:160) tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.55) ta c(cid:226)

. FcDT {y(n)}(ω) = ∆1 ∆ ∆2 ∆

(cid:8)(u ∗ FsDT

(3.57)

(cid:17)

(cid:111)

(cid:8)(z ∗ FsDT

FsDT

v(cid:160)

=FsDT {z(n)}(ω) − FsDT ∆1 ∆ h)(n)(cid:9)(ω) (cid:110)(cid:16) (u ∗ h) ∗ k (n) (ω), + FsDT k)(n)(cid:9)(ω) − FsDT

(cid:8)(h ∗ FsDT

(3.58)

(cid:17)

(cid:111)

(cid:8)(v ∗ FcDT

FcDT

o ∗ FcDT

Tł (3.56), (3.57), (3.58) v(cid:160) tł c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3, 2.3.1, 2.4.1 ta c(cid:226)

(cid:17)

=FcDT {h(n)}(ω) + FcDT ∆2 ∆ k)(n)(cid:9)(ω) (cid:110)(cid:16) (v ∗ z) k (n) (ω). − FcDT z)(n)(cid:9)(ω) − FcDT

 



(cid:16)(cid:0)u ∗ FsDT (cid:16)(cid:0)v ∗ FcDT

1(N0) v(cid:160) theo c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) t‰ch ch“p, t‰ch ch“p suy rºng

(n) h(cid:1)(n) − h(cid:1) ∗ FsDT k (cid:17) y(n) = h(n) + (cid:0)h z(cid:1)(n) − k (n). x(n) = z(n) + (cid:0)z ∗ FsDT o ∗ FcDT k(cid:1)(n) − (cid:0)u ∗ FsDT k(cid:1)(n) − (cid:0)v ∗ FcDT z(cid:1) o ∗ FcDT

V… c¡c d¢y h(n), v(n), z(n) ∈ (cid:96)o 1(N0). suy ra x(n), y(n) ∈ (cid:96)o (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

b) X†t h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh d⁄ng



(cid:50)

∞ (cid:80) m=0

(3.59)

x(n) + y(m)(cid:2)u(n + m − 1) + u(|n − m + 1|)

−u(|m + n + 1|) − u(|n − m − 1|)(cid:3) = z(n)

 

∞ (cid:80) k=0

(cid:240) (cid:31)(cid:226) c¡c d¢y u(n), z(n), v(n) v(cid:160) w(n) l(cid:160) c¡c d¢y (cid:31)¢ bi‚t, x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) c¡c d¢y cƒn

t…m.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.7. N‚u u(n), v(n), z(n), w(n) ∈ (cid:96)o

1(N0) v(cid:160) th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n

(3.60)

v(k)(cid:2)x(|n − k|) − x(n + k)(cid:3) + y(n) = w(n),

1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) (cid:54)= 0, ∀ω ∈ [0, π].

88

Khi (cid:31)(cid:226), h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.59) c(cid:226) nghi»m duy nh§t thuºc (cid:96)o

1(N0) (cid:240) d⁄ng

 

(3.61)

x(n) = z(n) − (cid:0)w u(cid:1)(n) + (cid:0)h z(cid:1)(n) + (cid:0)h



γ ∗ FcDT y(n) = w(n) − (cid:0)v ∗ FsDT

o ∗ FcDT z(cid:1)(n) + (cid:0)w ∗ FsDT

o ∗ (w FcDT (cid:16)(cid:0)v ∗ FsDT

γ ∗ FcDT z(cid:1) o ∗ FcDT

v(cid:238)i h(n) ∈ (cid:96)1(N0), x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

π (cid:90)

u)(cid:1)(n) (cid:17) h(cid:1)(n) − h (n),

(3.62)

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh mºt, bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh hai trong

h» 3.59 ta (cid:31)(cid:247)æc



h(n) = cos(nω)dω. 1 π 4 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

FcDT {x(n)}(ω)

+ 4 sin ω · FsDT {y(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) = FcDT {z(n)}(ω)

 

2FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {x(n)}(ω)

Gi£i h» tr¶n theo ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p Cramer v(cid:238)i hai bi‚n l(cid:160) FcDT {x(n)}(ω) v(cid:160) FsDT {y(n)}(ω), ta c(cid:226)

(3.63)

+ FsDT {y(n)}(ω) = FsDT {w(n)}(ω).

(3.64)

∆ = 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω),

v(cid:160)

(3.65)

∆1 = FcDT {z(n)}(ω) − 4 sin ω · FsDT {w(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω),

N‚u 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) (cid:54)= 0, khi (cid:31)(cid:226) tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.63)

ta c(cid:226)

∆2 = FsDT {w(n)}(ω) − 2FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω).

(3.66)

= 1 ∆ 1 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

N‚u 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) (cid:54)= 0 h» (3.59) c(cid:226) nghi»m duy nh§t v(cid:160) theo BŒ (cid:31)• 3.2.1, t(cid:231)n t⁄i duy nh§t d¢y sŁ phøc h(n) ∈ (cid:96)1(N0) sao cho

=1 + 2 . 4 sin ω · FsDT {v(n)}(ω)FcDT {u(n)}(ω) 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

Hc(ω) :=FcDT {h(n)}(ω)

= . 4 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

89

Sß d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ng(cid:247)æc trong (2.3) ta (cid:31)(cid:247)æc

π (cid:90)

Theo h» Cramer v(cid:160) tł c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.59), (3.63), (3.64) v(cid:160) (3.65), ta (cid:31)(cid:247)æc:

h(n) = cos(nω)dω. 1 π 4 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

(cid:16)

(cid:17)

FcDT {x(n)}(ω) = ∆1 ∆

(cid:16)

= FcDT {z(n)}(ω) − 4 sin ω · FsDT {w(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

(cid:17) 1 + 2FcDT {h(n)}(ω)

= FcDT {z(n)}(ω) + 2FcDT {z(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω)

− 4 sin ω · FsDT {w(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) − 8 sin ω · FsDT {w(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω),

FsDT {y(n)}(ω) = ∆2 ∆

=FsDT {w(n)}(ω) − 2FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω)

Do t‰nh gi£i t‰ch cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine, bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) 1(N0) tł c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3, 2.2.5, 2.3.1, 2.3.4 v(cid:160) 2.4.1 ta thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c d¢y x(n), y(n) ∈ (cid:96)o c(cid:226) d⁄ng

+ 2FsDT {w(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω) − 4FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {z(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω).

 

x(n) = z(n) − (cid:0)w u(cid:1)(n) + (cid:0)h z(cid:1)(n) + (cid:0)h



γ ∗ FcDT y(n) = w(n) − (cid:0)v ∗ FsDT

o ∗ FcDT z(cid:1)(n) + (cid:0)w ∗ FsDT

o ∗ (w FcDT (cid:16)(cid:0)v ∗ FsDT

γ ∗ FcDT z(cid:1) o ∗ FcDT

u)(cid:1)(n), (cid:17) h(cid:1)(n) − h (n).

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

c) X†t h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sau



(cid:50)

∞ (cid:80) m=0

(3.67)

x(n) + u(m)(cid:2)y(|n + m − 1|) + y(|n − m − 1|)

 

∞ (cid:80) k=0

(cid:240) (cid:31)(cid:226) c¡c d¢y u(n), z(n), v(n) v(cid:160) w(n) l(cid:160) c¡c d¢y (cid:31)¢ bi‚t, x(n) v(cid:160) y(n) l(cid:160) c¡c d¢y cƒn

t…m.

−y(n + m + 1) − y(|n − m + 1|)(cid:3) = z(n) v(k)(cid:2)x(k + n) + x(|k − n|)sign(k − n)(cid:3) + y(n) = w(n),

90

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.2.8. N‚u u(n), z(n), v(n), w(n) ∈ (cid:96)1(N0), v(cid:160) th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n

Khi (cid:31)(cid:226) h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.67) c(cid:226) nghi»m duy nh§t x(n) v(cid:160) y(n) ∈ (cid:96)1(N0), x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) sau

(cid:17)

1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) (cid:54)= 0, ∀ω ∈ [0, π].

 

(3.68)

h(cid:1)(n) − (cid:0)u w(cid:1)(n) − (n)



γ ∗ FsDT h(cid:1)(n) − (cid:0)v ∗ FcDT

(cid:16)(cid:0)u γ ∗ FsDT (cid:16)(cid:0)v ∗ FcDT

V(cid:238)i h(n) ∈ (cid:96)1(N0) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

π (cid:90)

h (cid:17) y(n) = w(n) + (cid:0)w z(cid:1)(n) − h (n). x(n) = z(n) + (cid:0)z ∗ FsDT o ∗ FcDT w(cid:1) ∗ FsDT z(cid:1) o ∗ FcDT

(3.69)

Chøng minh. Ta c(cid:226) th” vi‚t l⁄i h» (3.67) d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

h(n) = cos(nω)dω. 1 π 4 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

 

γ ∗ FsDT

(3.70)

x(n) + (cid:0)u y(cid:1)(n) = z(n)



(cid:0)v ∗ FcDT

(cid:129)p d(cid:246)ng bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh 1

v(cid:160) sß d(cid:246)ng (cid:31)ﬂng thøc (2.35), bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160)o hai v‚ cıa

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh 2 v(cid:160) sß d(cid:246)ng (cid:31)ﬂng thøc (2.51) cıa h» (3.67) ta (cid:31)(cid:247)æc



x(cid:1)(n) + y(n) = w(n).

FsDT {x(n)}(ω)

(3.71)

+ 4 sin ω · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {y(n)}(ω) = FsDT {z(n)}(ω)

 

2FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {x(n)}(ω)

Tł h» ta c(cid:226)

(3.72)

+ FcDT {y(n)}(ω) = FcDT {w(n)}(ω).

(3.73)

∆ = 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω),

v(cid:160)

(3.74)

∆1 = FsDT {z(n)}(ω) − 4 sin ω · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {w(n)}(ω),

∆2 = FcDT {w(n)}(ω) − 2 · FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {z(n)}(ω).

91

N‚u 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) (cid:54)= 0, ta c(cid:226)

(3.75)

= 1 ∆ 1 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

Theo BŒ (cid:31)• 3.2.1, t(cid:231)n t⁄i duy nh§t d¢y h(n) ∈ (cid:96)1(N0) sao cho

=1 + . 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

(3.76)

Hc(ω) :=FcDT {h(n)}(ω)

Sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c ng(cid:247)æc (2.3) ta x¡c (cid:31)(cid:224)nh

(cid:31)(cid:247)æc

π (cid:90)

= . 4 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.75) vi‚t l⁄i d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

(3.77)

h(n) = cos(nω)dω. 1 π 4 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω) 1 − 8 sin ω · FsDT {v(n)}(ω) · FcDT {u(n)}(ω)

Theo ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p Cramer, nghi»m duy nh§t cıa h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.67) (cid:31)(cid:247)æc x¡c

(cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

= 1 + 2FcDT {h(n)}(ω). 1 ∆

 

(3.78)

FsDT {x(n)}(ω) =



K‚t hæp c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.72), (3.73), (3.74) v(cid:160) (3.77) r(cid:231)i thay tr(cid:240) l⁄i h» (3.78) ta

(cid:31)(cid:247)æc

. FcDT {y(n)}(ω) = ∆1 ∆ ∆2 ∆

(cid:111)

(cid:110)

(cid:111)

FsDT {x(n)}(ω) (cid:110) = FsDT {z(n)}(ω) − 4 sin ω · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {w(n)}(ω)

(3.79)

· 1 + 2FcDT {h(n)}(ω)

=FsDT {z(n)}(ω) + 2FsDT {z(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω)

− 4 sin ω · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {w(n)}(ω) − 8 sin ω · FcDT {u(n)}(ω) · FcDT {w(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω),

92

v(cid:160)

(cid:111)

(cid:110)

(cid:111)

FcDT {y(n)}(ω) (cid:110) = FcDT {w(n)}(ω) − 2 · FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {z(n)}(ω)

(3.80)

· 1 + 2FcDT {h(n)}(ω)

=FcDT {w(n)}(ω) + 2FcDT {w(n)}(ω)FcDT {h(n)}(ω)

Tł t‰nh gi£i t‰ch cıa bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) tł 1(N0) c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3, 2.2.5, 2.3.1 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.1 ta thu (cid:31)(cid:247)æc c¡c d¢y x(n), y(n) ∈ (cid:96)o l(cid:160) nghi»m cıa h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (3.67) (cid:240) d⁄ng

(cid:111)

− 2 · FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {z(n)}(ω) − 4 · FsDT {v(n)}(ω) · FsDT {z(n)}(ω) · FcDT {h(n)}(ω).

(cid:110)(cid:0)u

 

h(cid:1)(n) − (cid:0)u w(cid:1)(n) − h (n)



γ ∗ FsDT h(cid:1)(n) − (cid:0)v ∗ FcDT

γ ∗ FsDT z(cid:1)(n) − (cid:8)(v ∗ FcDT

y(n) = w(n) + (cid:0)w z) h(cid:9)(n). x(n) = z(n) + (cid:0)z ∗ FsDT o ∗ FcDT w(cid:1) ∗ FsDT o ∗ FcDT

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:50)

K‚t lu“n Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

C¡c k‚t qu£ ch‰nh (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc:

(cid:31)Œi (cid:31)¢ nghi¶n cøu, l(cid:160)m rª h(cid:236)n s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i cıa c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p

th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

(cid:136) X¥y d(cid:252)ng (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian 2(N0) v(cid:160) ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i r(cid:237)i r⁄c l(cid:160) unita trong (cid:96)o gian r(cid:237)i r⁄c l(cid:160) unita trong (cid:96)2(N0) v(cid:160) thi‚t l“p c(cid:230)ng thøc ph†p bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc. (cid:30)(cid:231)ng th(cid:237)i ch¿ ra c¡c v‰ d(cid:246) c(cid:246) th” minh h(cid:229)a cho s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i cıa c¡c ph†p bi‚n

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i nh¥n b§t k(cid:253) v(cid:160) v‚ ph£i (cid:31)(cid:176)c bi»t, (cid:31)(cid:247)a

ra mºt sŁ v‰ d(cid:246) c(cid:246) th” cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i nh¥n (cid:31)(cid:176)c

bi»t. Mºt sŁ h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c nh(cid:247) h»

(3.51), (3.59) v(cid:160) h» (3.67) c(cid:244)ng gi£i ra nghi»m th(cid:230)ng qua c¡c t‰ch ch“p suy

(cid:136) Gi£i ra nghi»m bi”u di„n qua c¡c t‰ch ch“p suy rºng v(cid:160) t‰ch ch“p m(cid:238)i x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc cıa l(cid:238)p c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c v(cid:238)i nh¥n (cid:31)(cid:176)c bi»t,

93

rºng, t‰ch ch“p th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c (cid:31)(cid:226). (cid:30)¡nh gi¡ nghi»m cıa c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

qua mºt sŁ b§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)Łi v(cid:238)i t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian

r(cid:237)i r⁄c, t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) t‰ch ch“p Fourier

cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c m(cid:238)i x¥y d(cid:252)ng (cid:31)(cid:247)æc.

B…nh lu“n

Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y t“p trung v(cid:160)o khai th¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi

v(cid:238)i c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier sine th(cid:237)i

gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p (cid:31)Łi v(cid:238)i bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian

r(cid:237)i r⁄c cıa d¢y t‰n hi»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o x(n) l(cid:160) c¡c d¢y chﬁn, l· kh¡c nhau. Chøng minh (cid:31)(cid:247)æc p(N0), p = 1, 2. Trong chøng c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi l(cid:160) unita trong c¡c kh(cid:230)ng gian (cid:96)p(N0), (cid:96)o minh c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng v(cid:160) t‰ch ch“p th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c n(cid:160)y l(cid:160)

unita g(cid:229)n h(cid:236)n chøng minh (cid:31)Łi v(cid:238)i chøng minh t‰nh unita cıa c¡c t‰ch ch“p suy rºng

v(cid:160) t‰ch ch“p cıa l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ t‰ch. Tuy nhi¶n, khi x¥y d(cid:252)ng c¡c bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc g(cid:176)p

nhi•u kh(cid:226) kh«n trong vi»c k‚t hæp c¡c t‰ch ch“p, t‰ch ch“p suy rºng kh¡c nhau.

Trong c¡c n«m gƒn (cid:31)¥y, kh(cid:230)ng c(cid:226) c(cid:230)ng tr…nh n(cid:160)o v• ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p

suy rºng th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c cıa l(cid:238)p

h(cid:160)m kh£ tŒng v(cid:238)i d¢y t‰n hi»u (cid:31)ƒu v(cid:160)o l(cid:160) c¡c d¢y chﬁn hay l·. Vi»c x¥y d(cid:252)ng ph†p

bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, ki”u t‰ch ch“p suy

rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c v(cid:160) t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c l(cid:160)m

(cid:31)a d⁄ng h(cid:236)n v• l(cid:254) thuy‚t c¡c h» thŁng xß l(cid:254) t‰n hi»u th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c. (cid:30)(cid:231)ng th(cid:237)i (cid:31)Łi

v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng, ph†p bi”n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p th(cid:237)i gian r(cid:237)i

r⁄c (cid:31)(cid:247)æc x¥y d(cid:252)ng (cid:240) (cid:31)¥y l(cid:160) c¡c k‚t qu£ ho(cid:160)n to(cid:160)n m(cid:238)i (cid:31)Łi v(cid:238)i l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ tŒng v(cid:160)

c¡c k‚t qu£ n(cid:160)y tŁt h(cid:236)n (cid:31)Łi v(cid:238)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p cıa

l(cid:238)p h(cid:160)m kh£ t‰ch.

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel cho (cid:31)‚n nay v¤n l(cid:160) v§n (cid:31)• m(cid:240) v(cid:160) (cid:31)(cid:176)c bi»t (cid:31)Łi v(cid:238)i

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c (cid:240) (cid:31)¥y l(cid:160) lƒn (cid:31)ƒu (cid:31)(cid:247)æc xem x†t. Nh(cid:237) c(cid:226) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254)

ki”u Wiener-Levy cho bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c tŁt h(cid:236)n v(cid:238)i l(cid:238)p h(cid:160)m

kh£ t‰ch n¶n gi£i (cid:31)(cid:247)æc nghi»m tŁt h(cid:236)n c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t(cid:247)(cid:236)ng øng (cid:31)Łi v(cid:238)i l(cid:238)p h(cid:160)m

kh£ t‰ch th(cid:230)ng qua khﬂng (cid:31)(cid:224)nh thø hai cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254).

94

K(cid:152)T LU(cid:138)N V(cid:128) KI(cid:152)N NGH(cid:192)

C¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n ¡n l(cid:160):

1. X¥y d(cid:252)ng mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng, t‰ch ch“p suy rºng c(cid:226) tr(cid:229)ng v(cid:160) t‰ch ch“p

(cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c. Tł (cid:31)(cid:226),

tr¶n mºt sŁ kh(cid:230)ng gian h(cid:160)m x¡c (cid:31)(cid:224)nh ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc mºt sŁ t‰nh ch§t to¡n tß,

b§t (cid:31)ﬂng thøc chu'n, (cid:31)ﬂng thøc nh¥n tß h(cid:226)a, (cid:31)ﬂng thøc Parseval, (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u

Titchmarch v(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ki”u Young, b§t (cid:31)ﬂng thøc ki”u Young (cid:31)Łi v(cid:238)i t‰ch ch“p

suy rºng Fourier sine, Fourier cosine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c.

2. Nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy rºng

(cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine v(cid:160) Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c l(cid:160) unita 2(N0), ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i gian trong kh(cid:230)ng gian (cid:96)o r(cid:237)i r⁄c l(cid:160) unita trong kh(cid:230)ng gian (cid:96)2(N0), thi‚t l“p c(cid:230)ng thøc bi‚n (cid:31)Œi ng(cid:247)æc. Tł (cid:31)(cid:226) cho v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a s(cid:252) t(cid:231)n t⁄i cıa l(cid:238)p ph†p bi‚n (cid:31)Œi ki”u t‰ch ch“p suy

rºng, ki”u t‰ch ch“p th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c n¶u tr¶n.

3. Thi‚t l“p mºt sŁ b§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosine,

t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, t‰ch ch“p suy rºng Fourier

cosine, Fourier sine th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c c(cid:226) tr(cid:229)ng v(cid:160) t‰ch ch“p Fourier cosine th(cid:237)i 2(N0). Gi£i v(cid:160) (cid:31)¡nh gi¡ nghi»m cıa gian r(cid:237)i r⁄c trong c¡c kh(cid:230)ng gian (cid:96)2(N0), (cid:96)o mºt sŁ l(cid:238)p ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh, h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Toeplitz-Hankel r(cid:237)i r⁄c.

95

Ti‚p theo c¡c k‚t qu£ cıa Lu“n ¡n, ta nh“n th§y mºt sŁ v§n (cid:31)• cƒn nghi¶n cøu

ti‚p theo nh(cid:247) sau:

sine tr¶n thang th(cid:237)i gian.

(cid:136) T‰ch ch“p, t‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi Fourier cosine, Fourier

tr¶n thang th(cid:237)i gian.

Ch(cid:243)ng t(cid:230)i hy v(cid:229)ng r‹ng nhœng v§n (cid:31)• n¶u tr¶n s‡ s(cid:238)m (cid:31)(cid:247)æc gi£i quy‚t.

(cid:136) B§t (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c t‰ch ch“p, t‰ch ch“p suy rºng th(cid:237)i gian r(cid:237)i r⁄c, c¡c b§t (cid:31)ﬂng thøc ng(cid:247)æc (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c t‰ch ch“p suy rºng n(cid:226)i tr¶n v(cid:160) c¡c øng d(cid:246)ng

96

DANH M(cid:214)C C˘NG TR(cid:156)NH (cid:30)(cid:130) C˘NG B¨ C(cid:213)A LU(cid:138)N (cid:129)N

1. N.A. Dai and N. X. Thao (2018), Generalized convolutions with weight-function

for discrete-time Fourier cosine and sine transforms, Annales Univ. Sci. Bu-

dapest Sect. Comp., Vol.47, pp.227-237.

2. N.X. Thao, V.K. Tuan, N.A. Dai (2018), Discrete-time Fourier cosine convo-

lution, Int. Trans. & Spec. Func. (SCIE), Vol.29(11), pp.866-874.

3. N.X. Thao, N.A. Dai (2018), Discrete-time Fourier sine integral transform,

Jour. of Math. Appl., Vol.16(2), pp.51-62.

4. N.X. Thao, V.K. Tuan, N.A. Dai (2020), A discrete convolution involving

Fourier sine and cosine series and its applications, Int. Trans. & Spec. Func.

(SCIE), Vol.31(3), pp.243-252.

97

T(cid:128)I LI(cid:155)U THAM KH(cid:131)O

[1] S. Bochner, K. Chandrasekharan (1949), Fourier Transforms, Princeton Univ.

Press.,New York.

[2] E.C. Titchmarsh (1986), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Third

Edition, Chelsea Publishing Co., New York.

[3] I.N. Sneddon (1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York.

[4] L.E. Britvina (2005), A class of integral transforms related to the Fourier cosine

convolution, Int. Tran. & Spec. Func., Vol.16(5-6), pp.379-389.

[5] Nguy„n Xu¥n Th£o (2015), Ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n t‰ch ch“p v(cid:160) øng d(cid:246)ng, Nh(cid:160)

xu§t b£n Khoa h(cid:229)c v(cid:160) k(cid:255) thu“t, H(cid:160) Nºi.

[6] N.X. Thao, V.K. Tuan, N.T. Hong (2008), Integral transforms related to the

Fourier sine convolution with a weight function, Vietnam J. Math., Vol.36(1),

pp.83-101.

[7] N.X. Thao, V.K. Tuan, N.T. Hong (2012), A Fourier generalized convolu-

tion transform and applications to integral equations, Fract. Calc. Appl. Anal.,

Vol.15(3), pp.493-508.

[8] V.K. Tuan (1999),

Integral transforms of Fourier cosine convolution type, J.

Math. Anal. Appl., Vol.229(2), pp.519-529.

[9] I.N. Sneddon (1972), The Use of Integral Transforms, McGray-Hill, New York.

[10] V.K. Tuan, M. Saigo (1995), Convolution of Hankel transform and its application

to an integral involving Bessel function of first kind, Internat. J. Math. & Math.

Sci., Vol.18(3), pp.545-550.

[11] Nguy„n V«n M“u (2006), L(cid:254) thuy‚t to¡n tß v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n k(cid:253) d(cid:224), Nh(cid:160)

xu§t b£n (cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia H(cid:160) Nºi.

[12] S. Zygmund (2003), Trigonometric Series, 3rd ed., Cambridge University Press,

London.

98

[13] Y. Katznelson ( 2002), An Introduction to Harmonic Analysis, 3rd ed., Cam-

bridge University Press, London.

[14] W. Beckner (1975), Inequalities in Fourier analysis, Ann. Math.. Vol 102(2),

pp.159(cid:21)182.

[15] R.A. Adams and J.J.F. Fournier (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed. Academic Press,

Amsterdam.

[16] F. Al-Musallam, V. K. Tuan (2000), Integral transform related to a generalized

convolution, Results Math., Vol.38(3-4), pp.197-208.

[17] J. Glaeske, A.P. Prudnikov, K.A. Skornik (2006), Operational Calculus and Re-

lated Topics. Chapman & Hall/CRC, NewYork.

[18] L. Debnat,D. Bhatta (2007), Integral Transforms and Applications, Chapman &

Hall/CRC, Boca Raton.

[19] B.T. Giang, N.V. Mau, N.M. Tuan (2009), Operational properties of two integral

transforms of Fourier type and their convolutions, Int. Equ. & Oper. Theory.,

Vol.65(3), pp.363-386.

[20] Y.Y. Vilenkin (1958), Matrix elements of medecomsale unitary representations

for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized Mehler-Fox trans-

forms, Dokl. Akad. Nauk. USR Vol.118(2), pp.219-222. (In Russian).

[21] V.A. Kakichev (1967), On the convolution for integral transforms, Vyssh.

Uchebn. Zaved. Mat. (2), pp.53-62. (In Russian).

[22] N.X. Thao (2010), On the Polyconvolution with the weight function for the

Fourier cosine, Fourier sine and the Kontorovich-Lebedev integral transforms,

Math. Prob. in Eng., Vol.2010, Article ID 709607, pp.1-16.

[23] V.A. Kakichev (1997), Polyconvolution, Taganrog, TPTU, 54p. (In Russian).

[24] F. Al-Musallam, V. K. Tuan (2000), A class of convolution transforms, Fract.

Calc. Appl. Anal., Vol.3(3), pp.303-314.

[25] V.A. Kakichev, N.X. Thao (1998), On the design method for the generalized

integral convolutions, Izv. Vys. Uche. Zav. Mat., Vol.1, pp.31-40. (In Russian).

99

[26] N.X. Thao (2001), On the generalized convolution for the Stieltjes, Hilbert,

Fourier cosine and sine transforms, Acta Math. Vietnamica, Vol.32(2), pp.107-

122.

[27] V. A. Kakichev and N.X. Thao (1994), On the generalized convolution for H

-transforms, Izv. Vuzov Mat. No. 8, pp.21-28. (In Russian).

[28] N.X. Thao, T. Tuan and L.X. Huy (2014), The generalized convolutions with a

weight function for Laplace transform, Nonli. Funct. Anal. Appl., Vol. 19(2), pp.

61-77.

[29] N.X. Thao, V.K. Tuan, N.T. Hong (2008), Generalized convolution transforms

and Toeplitz plus Hankel integral equations, Frac. Cal. & Appl. Anal., Vol.11(2),

pp.153-174.

[30] S.B. Yakubovich, A.I. Mosinski (1993), Integral-equation and convolutions for

transform of Kontorovich-Lebedev type, Diff. Uravnenia, Vol.29(7), pp.1272-1284.

(In Russian).

[31] S.B. Yakubovich (2003), Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convo-

lution type, Collect. Math., Vol.54(2), pp. 9-110.

[32] S.B. Yakubovich (2003), Boundedness and inversion properties of certain convo-

lution transforms, J. Korean Math. Soc., Vol.40(6), pp.999-1014.

[33] Nguy„n Minh Khoa (2008), T‰ch ch“p suy rºng (cid:31)Łi v(cid:238)i c¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch

ph¥n Fourier, Fourier cosine, Fourier sine v(cid:160) øng d(cid:246)ng, Lu“n ¡n Ti‚n s(cid:190) To¡n

h(cid:229)c, (cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia H(cid:160) Nºi.

[34] Nguy„n Thanh H(cid:231)ng (2012), C¡c ph†p bi‚n (cid:31)Œi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng

Fourier, Fourier cosine, Fourier sine v(cid:160) øng d(cid:246)ng, Lu“n ¡n Ti‚n s(cid:190) To¡n h(cid:229)c,

(cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia H(cid:160) Nºi.

[35] A. B(cid:4)ottcher, B. Silbermann (2009), Analysis of Toeplitz Operators: Second Edi-

tion, Springer-Verlag, New York.

[36] J.N. Tsitsiklis, B.C. Levy (1981), Integral equations and resolvents of Toeplitz plus

Hankel kernels, Laboratory for Information and Decision Systems, Massachusetts

Institute of Technology, Series/Report No.LIDS-P 1170.

100

[37] F.D. Gakhov, Y.I. Cherskii (1978), Equations of Convolution Type, Nauka,

Moscow (in Russian).

[38] T. Tuan, N.X. Thao (2011), A new polyconvolution and its application to solv-

ing a class of Toeplitz plus Hankel integral equations and systems of integral

equations, Vietnam J. Math., Vol.39(2), pp.217-235.

[39] N.X. Thao, V.K. Tuan, N.T. Hong (2011), Toeplitz plus Hankel integral equation,

Int. Tran. & Spec. Func., Vol.22(10), pp.723-737.

[40] N. X. Thao, V. K. Tuan, H. T. V. Anh (2014), On the Toeplitz plus Hankel

integral equation II, Int. Trans. & Spec. Func., Vol.25(1), pp.75-84.

[41] P.K. Anh, N.M. Tuan, P.D. Tuan (2013), The finite Hartley new convolutions

and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels, Jour

of Math Anal & Appl, Vol.397(2), pp.537(cid:21)549.

[42] A.V. Oppenheim, R.W. Schafer (1989), Discrete-Time Signal Processing, Pren-

tice Hall, Englewood Cliffs.

[43] A.D. Poularikas (2010), Transforms and Applications, 3rd ed., CRC Press, New

York.

[44] W.Y. Yang (2009), Signals and Systems with MATLAB, DOI 10.1007/978-3-540-

92954-3-3, Springer, Berlin.

[45] B. Champagne and F. Labeau (2004), Discrete Time Signal Processing, Class

Notes for the Course ECSE-412 ed. McGill University, 160p.

[46] R.K. Rao Yarlagadda (2010), Analog and Digital Signal and Systems, Springer

Science - Business Media, DOI: 10.1007/978-1-4419-0034-0.

[47] D. Sundararajan (2018), The Discrete-Time Fourier Transform, In: Fourier

Analysis - A Signal Processing Approach, Springer, Singapore.

[48] Nguy„n QuŁc Trung (1999), Xß l(cid:254) t‰n hi»u v(cid:160) l(cid:229)c sŁ, Nh(cid:160) xu§t b£n Khoa h(cid:229)c

v(cid:160) K(cid:255) thu“t.

[49] V.H.L. Cheng, C.A. Desoer (1982), Discrete time convolution control systems,

Inter. Jour. Contr., Vol 36(3), pp.367-407, DOI: 10.1080/00207178208932903.

101

[50] K. Deergha Rao (2018), Frequency Domain Analysis of Discrete-Time Signals

and Systems. In: Signals and Systems, Birkh(cid:4)auser, Cham, DOI.org/10.1007/978-

3-319-68675-2-7.