Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến hóa và động lực học thủy khí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VŨ THỊ MAI

TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VŨ THỊ MAI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

TÍNH GIỚI NỘI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM

CÁC PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

VÀ ĐỘNG LỰC HỌC THỦY KHÍ

Ngành: Toán học

,

Mã số: 9460101

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. TS. VŨ THỊ NGỌC HÀ

2. TS. TRẦN THỊ LOAN

Hà Nội - 2020

MỤC LỤC

MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . .

2

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

4

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9

1.1 Không gian nội suy, các định lý nội suy . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Không gian nội suy phức . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3 Không gian nội suy thực . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Nửa nhóm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.1 Không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2 Không gian Besov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.3 Hàm hầu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

TRONG KHÔNG GIAN NỘI SUY

Chương 2. NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

20

2.1 Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa tuyến tính . . 21

2.2 Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

và tính ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . 25

2.2.2 Phương trình tổng quát hóa đối với động lực học

thủy khí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

i

PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

Chương 3. NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ HẦU TUẦN HOÀN CỦA

36

3.1 Nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . . 37

3.1.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . 40

3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 47

4.1 Ứng dụng vào phương trình của động lực học thủy khí . . 47

4.1.1 Phương trình Navier-Stokes-Oseen . . . . . . . . . 47

4.1.2 Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng 52

4.1.3 Phương trình Navier-Stokes trong không gian Besov 55

4.2 Ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck và phương

trình truyền nhiệt với hệ số thô . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.1 Phương trình Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . 57

4.2.2 Phương trình truyền nhiệt với hệ số thô . . . . . . 62

4.3 Ứng dụng vào nửa nhóm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . 63

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Ứng dụng vào phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . 68

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . .

72

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

75

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tác

giả. Các kết quả nghiên cứu và các kết luận trong luận án này là trung

thực, và không sao chép từ bất kỳ một nguồn nào và dưới bất kỳ hình thức

nào. Việc tham khảo các nguồn tài liệu đã được thực hiện trích dẫn và ghi

nguồn tài liệu tham khảo đúng quy định.

Hà Nội, ngày 23 tháng 10 năm 2020

Tập thể hướng dẫn Tác giả

TS. Vũ Thị Ngọc Hà TS. Trần Thị Loan Vũ Thị Mai

1

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Vũ

Thị Ngọc Hà, TS. Trần Thị Loan, hai cô đã tận tình giúp đỡ tôi trên con

đường nghiên cứu khoa học. Các cô đã chỉ bảo tôi trong suốt quá trình

nghiên cứu, giúp tôi tiếp cận một lĩnh vực toán học đầy thú vị, luôn tạo

ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì

tôi may mắn được tiếp nhận từ những người cô đáng kính của mình. Tôi

xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các cô.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy, một

nhà khoa học, một người thầy vô cùng mẫu mực, đã tận tình giúp đỡ tôi,

cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn

chân thành và sâu sắc nhất đến thầy.

Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong nhóm seminar “Phương

trình vi phân và ứng dụng” tại trường ĐH Bách khoa Hà Nội do PGS.TSKH.

Nguyễn Thiệu Huy điều hành đã luôn bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi

trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tôi đã

nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ

môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tôi

xin được chân thành cảm ơn.

Nhân dịp này, tôi cũng bày tỏ sự cảm ơn chân thành đến Ban Giám

hiệu, Khoa Toán và KHTN Trường Đại học Hải Phòng đã tạo điều kiện

thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, đồng nghiệp và

toàn thể bạn bè đã luôn khuyến khích, động viên để tôi vững bước trên

con đường toán học mình đã chọn.

Tác giả

2

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N : tập các số tự nhiên.

R : tập các số thực.

: tập các số thực không âm.

: tập các số thực không dương.

R+ R− Z : tập các số nguyên.

C : tập các số phức.

R

(cid:26) (cid:19)1/p (cid:27) (cid:18)(cid:90) := u : R → R(cid:12) |u(x)|pdx < +∞ , 1 ≤ p < ∞. Lp(R) (cid:12)(cid:107)u(cid:107)p =

:= (cid:8)u : R → R(cid:12) |u(x)| < +∞(cid:9). L∞(R) (cid:12)(cid:107)u(cid:107)∞ = ess sup x∈R

X, Y : không gian Banach.

L(X, Y ) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y .

L(X) : không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào chính nó.

(cid:110) := (cid:107)v(t)(cid:107) < ∞ (cid:111) , Cb(R+, X) v : R+ → X | v liên tục và sup t∈R+

(cid:107)v(t)(cid:107). với chuẩn (cid:107)v(cid:107)Cb(R+,X) := sup t∈R+ (cid:110) (cid:111) := (cid:107)v(t)(cid:107) < ∞ Cb(R, X) v : R → X | v liên tục và sup t∈R

(cid:107)v(t)(cid:107). với chuẩn (cid:107)v(cid:107)Cb(R,X) := sup t∈R

: toán tử tuyến tính.

: nửa nhóm sinh bởi toán tử −A. A (e−tA)t≥0

3

MỞ ĐẦU

1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài

Bài toán về hệ phương trình Navier - Stokes được đưa ra từ năm

1882, mô tả các hình dạng của sóng, sự chuyển động của đại dương, sự

hình thành của bão, sự chuyển động của không khí,...Bên cạnh hệ phương

trình Navier - Stokes, nhiều lớp phương trình khác trong cơ học chất lỏng

thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu bởi ý nghĩa về mặt toán học

và tầm quan trọng của chúng cũng như những thách thức khó khăn khi

nghiên cứu.

Xét phương trình dưới dạng trừu tượng trong các không gian hàm tổng

quát cho phép sử dụng những phương pháp mới dựa trên những phát triển

gần đây của toán học như khái niệm nghiệm đủ tốt, không gian nội suy,

định lý nội suy,... để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm

phương trình đó.

Bài toán tìm nghiệm bị chặn của phương trình Navier-Stokes trong các

miền Ω không bị chặn về mọi hướng được Maremonti [1] phát biểu dưới

dạng sau:

Bài toán A:

“Ký hiệu f (t, x) là ngoại lực và u(t, x) là một nghiệm của phương trình Navier-Stokes ut − ∆u + (u · ∇)u + ∇p = f ; X và Y là hai không gian Banach với chuẩn (cid:107) · (cid:107)X và (cid:107) · (cid:107)Y tương ứng. Nếu f (t, ·) ∈ X với (cid:107)f (t, ·)(cid:107)X bị chặn đều theo thời gian, thì u(t, ·) ∈ Y với (cid:107)u(t, ·)(cid:107)Y cũng bị chặn đều theo thời gian.”

Trong trường hợp, nếu Ω là bị chặn (theo hướng nào đó), thì bằng cách

sử dụng bất đẳng thức Poincaré và một số định lý nhúng Sobolev compact,

người ta có thể dễ dàng giải quyết bài toán A. Khi miền là không bị chặn

theo mọi hướng thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều vì bất đẳng thức

Poincaré không còn đúng nữa và các định lý nhúng compact cũng không

4

khả dụng. Vì thế, có nhiều cách tiếp cận được đưa ra để vượt qua khó khăn

này. Như một số đường hướng của Maremonti [1, 2] và Maremonti-Padula

[3], của Galdi và Sohr [4], của Yamazaki [5], và của Thieu Huy Nguyen [6].

Bài toán tìm nghiệm bị chặn trong các miền không bị chặn và chứng

minh sự ổn định của nghiệm là bài toán thời sự và mang đến nhiều ứng

dụng trong các vấn đề về luồng thủy khí qua các vật cản đứng yên hay

quay tròn như là Tuabin hay cánh quạt.

Một số kết quả nền móng ban đầu đã đạt được bởi Thieu Huy Nguyen

và một số tác giả khác (xem [4, 5, 6, 7, 8, 9]). Chúng tôi sẽ phát triển và

hoàn thiện các kết quả về tính bị chặn, ổn định, hầu tuần hoàn của nghiệm

các phương trình tiến hóa trong các không gian nội suy để nhận được các

kết quả tổng quát và ứng dụng vào các phương trình cụ thể của động lực

học thủy khí.

Luận án “Tính giới nội và ổn định của nghiệm các phương trình tiến

hóa và động lực học thủy khí”. Luận án nhằm nghiên cứu và đánh giá sự

tồn tại của các nghiệm bị chặn và tính ổn định của nghiệm của các phương

trình tiến hóa tổng quát trong các không gian nội suy. Từ đó, áp dụng vào

các bài toán cụ thể của động lực học thủy khí. Chúng tôi tổng quát hóa

cách tiếp cận của Yamazaki và Thieu Huy Nguyen, đó là khai thác đặc trưng nội suy và các định lý nội suy của các không gian Ld-yếu để chỉ ra nghiệm bị chặn theo thời gian của các phương trình tiến hóa. Cùng với đó

là kết hợp những phương pháp toán học hiện đại được ưa chuộng trên thế

giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý thuyết nửa nhóm

liên tục mạnh, lý thuyết các không gian và hàm tử nội suy, vv...

Cụ thể như sau: Xây dựng hệ điều kiện cho các cặp không gian Banach Y1, Y2, và không gian nội suy (Y1, Y2)θ,∞ cùng với các toán tử sinh và nửa nhóm trên đó để có thể rút ra được nghiệm bị chặn của các phương trình

tiến hóa dạng:

+ Au(t) = B(G(u)), t ≥ 0 (1) du(t) dt

trên không gian (Y1, Y2)θ,∞, trong đó −A là toán tử sinh ra nửa nhóm; B là “toán tử liên kết”; G là toán tử phi tuyến liên tục Lipschitz địa phương.

5

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích nghiên cứu của Luận án:

Xây dựng hệ điều kiện cho các cặp không gian Banach Y1, Y2, và không gian nội suy (Y1, Y2)θ,∞ cùng với các toán tử sinh và nửa nhóm trên đó để có thể chứng minh được sự tồn tại của nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa (1) trên không gian (Y1, Y2)θ,∞. Sau đó chỉ ra nghiệm bị chặn đó là ổn định nhờ vào hệ bất đẳng thức dạng Lp − Lq và chứng minh tồn tại nghiệm tuần hoàn hay hầu tuần hoàn.

• Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án:

Nghiên cứu tổng quát hóa những tính chất của phương trình cụ

thể trong động học thủy khí để đề xuất những phương trình tiến hóa

tổng quát chứa các phương trình cụ thể đó như là trường hợp riêng.

Xây dựng hệ điều kiện cho các không gian Banach Y1,Y2 và lớp các không gian nội suy của chúng để có thể chứng minh sự tồn tại

nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa.

Dưới các điều kiện và hệ tiên đề sẽ xây dựng, chứng minh nghiệm

bị chặn là ổn định.

Xét một số lớp phương trình tiến hóa là mô hình của các quá

trình xảy ra trong bài toán cơ học thủy khí: phương trình Navier-

Stokes qua vật cản xoay, qua các miền có lỗ thủng, phương trình

Navier - Stokes trong không gian Besov. Đồng thời xét một số ví

dụ ứng dụng vào phương trình Ornstein-Uhlenbeck và phương trình

truyền nhiệt với hệ số thô...

3. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:

• Sử dụng phương pháp lý thuyết nửa nhóm các toán tử tuyến tính và các đánh giá Lp − Lq để đưa ra những đặc trưng nội suy của lớp các hàm đối ngẫu đặc biệt

6

• Sử dụng các không gian nội suy và hàm tử nội suy để chứng minh

tồn tại nghiệm bị chặn của các phương trình tiến hóa.

• Mở rộng các hàm tử nội suy để xét bài toán có nghiệm ổn định.

• Sử dụng các đặc trưng tô-pô và lý thuyết các không gian hàm chấp

nhận được cùng với các khái niệm nghiệm khác nhau (đủ tốt, đủ tốt

yếu, rất yếu,...) để xét bài toán nghiệm hầu tuần hoàn.

4. Ý nghĩa các kết quả của luận án

Như trên đã nói, bài toán tìm nghiệm bị chặn trong các miền không

bị chặn và chứng minh sự ổn định của nó là bài toán thời sự và mang

đến nhiều ứng dụng trong các vấn đề của luồng thủy khí qua các vật như

là Tuabin hay cánh quạt, hoặc là bài toán dao động của sóng đại dương.

Việc nghiên cứu và đánh giá sự tồn tại của các nghiệm bị chặn và tính ổn

định của nó của các phương trình tiến hóa tổng quát trong các không gian

nội suy không những có ý nghĩa rất lớn về việc mở rộng lý thuyết nghiệm

của các phương trình tiến hóa mà còn có thể áp dụng để nghiên cứu các

phương trình của động lực học thủy khí và một số vấn đề ứng dụng khác.

Việc khai thác đặc trưng nội suy và các định lý nội suy của các không gian Ld-yếu (theo cách tiếp cận của Yamazaki và Thieu Huy Nguyen) cho phép mở ra một hướng tiếp cận độc đáo để tìm hiểu sự tồn tại nghiệm bị

chặn theo thời gian của các phương trình tiến hóa và xét tính ổn định của

chúng và cho phép kết hợp những phương pháp toán học hiện đại được ưa

chuộng trên thế giới như là lý thuyết phổ của toán tử đạo hàm riêng, lý

thuyết nửa nhóm liên tục mạnh, lý thuyết các không gian và hàm tử nội

suy vào một đường hướng thống nhất và mang lại ứng dụng phong phú

vào các bài toán của động học thủy khí.

5. Cấu trúc và kết quả của luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia

làm bốn chương:

• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Trình bày một số kiến thức cơ sở

sử dụng trong các chương tiếp theo. Trước tiên là khái niệm về không

7

gian hàm Lorentz và tính chất của nó. Tiếp theo là khái niệm không

gian nội suy, định lý nội suy tổng quát. Cuối cùng là khái niệm về nửa nhóm giải tích và đánh giá Lp − Lq.

• Chương 2. Nghiệm bị chặn của phương trình tiến hóa trong

không gian nội suy: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm

bị chặn của phương trình tiến hóa trong không gian nội suy. Chứng

minh sự ổn định của các nghiệm bị chặn.

• Chương 3. Nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn của phương

trình tiến hóa: Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tuần

hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính dựa

trên sự ổn định có điều kiện của nửa nhóm. Nghiên cứu sự tồn tại

duy nhất và ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn dựa trên lý

thuyết nội suy kết hợp với các bất đẳng thức vi phân.

• Chương 4. Ứng dụng: Trong chương này, chúng tôi áp dụng các

kết quả của chương 2 và 3 để chứng minh sự tồn tại và duy nhất

nghiệm của các phương trình động lực học thủy khí, phương trình

Navier - Stokes và phương trình truyền sóng.

Nội dung chính của luận án dựa vào ba bài báo được liệt kê ở

“Danh mục công trình đã công bố của luận án”. Các kết quả

của luận án được báo cáo tại seminar “Phương trình vi phân và ứng

dụng” - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

8

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất

của các không gian hàm, không gian nội suy, định lý nội suy, nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm giải tích, đánh giá Lp − Lq.

1.1 Không gian nội suy, các định lý nội suy

1.1.1 Định nghĩa

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian nội

suy, (xem [10, 11, 12]). Lý thuyết nội suy đóng vai trò quan trọng trong

các nghiên cứu về tính bị chặn, ổn định nghiệm của phương trình tiến hóa.

Định nghĩa 1.1.1. Cho X0, X1 là các không gian tuyến tính tựa chuẩn. Cặp (X0, X1) được gọi là cặp nội suy nếu X0, X1 được nhúng vào trong không gian tôpô Hausdorff V . Cho cặp nội suy X0, X1, khi đó X0 ∩ X1 được trang bị tựa chuẩn

. (cid:107)x(cid:107)X0∩X1 := (cid:107)x(cid:107)X0 + (cid:107)x(cid:107)X1

Tổng X0 + X1 được trang bị tựa chuẩn

: x = x0 + x1, x0 ∈ X0, x1 ∈ X1}. (cid:107)x(cid:107)X0+X1 := inf{(cid:107)x0(cid:107)X0 + (cid:107)x1(cid:107)X1

Không gian véc tơ X được gọi là không gian nội suy của cặp nội suy (X0, X1) nếu X0 ∩ X1 ⊆ X ⊆ X0 + X1, và các phép nhúng là liên tục.

1.1.2 Không gian nội suy phức

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về không gian nội

suy phức, (xem [10], phần 2.1).

9

Cho (X0, X1) là cặp nội suy của không gian Banach phức, ta định nghĩa dải

S := {x + iy ∈ C : 0 ≤ x ≤ 1}.

Cho tập F(X0, X1) là không gian của các hàm f : S → X0 + X1 thỏa mãn các tính chất sau:

(i) f liên tục trên S và giải tích trong S,

(ii) t (cid:55)→ f (it) ∈ C(R, X0),t (cid:55)→ f (1 + it) ∈ C(R, X1) và (cid:26) (cid:27) < ∞. (cid:107)f (cid:107)F(X0,X1) := max (cid:107)f (it)(cid:107)X0 (cid:107)f (1 + it)(cid:107)X1 sup t∈R , sup t∈R

Định nghĩa 1.1.2. Cho θ ∈ [0, 1] và (X0, X1) là cặp nội suy của không gian Banach phức. Không gian nội suy phức [X0, X1]θ được xác định bởi

[X0, X1]θ := {f (θ) : f ∈ F(X0, X1)} ,

với chuẩn

(cid:107)x(cid:107)[X0,X1]θ := inf (cid:8)(cid:107)f (cid:107)F (X0,X1) : f (θ) = x(cid:9) .

Mệnh đề 1.1.3. Cho (X0, X1) và (Y0, Y1) là các cặp nội suy của không gian Banach phức, T ∈ L(X0, Y0) ∩ L(X1, Y1) và θ ∈ (0, 1). Khi đó

T ∈ L([X0, X1]θ, [Y0, Y1]θ),

và

L(X1,Y1).

L(X0,Y0)(cid:107)T (cid:107)θ

(cid:107)T (cid:107)L([X0,X1]θ,[Y0,Y1]θ) ≤ (cid:107)T (cid:107)1−θ

1.1.3 Không gian nội suy thực

Trong phần này, chúng tôi điểm lại một số khái niệm về không gian nội

suy thực và các tính chất của nó.

Trước hết ta định nghĩa phiếm hàm K:

Cho (X0, X1) là cặp nội suy của không gian tuyến tính tựa chuẩn và định nghĩa

K(t, x, X0, X1) := inf {(cid:107)x0(cid:107)X0 + t(cid:107)x1(cid:107)X1, x = x0 + x1, x0 ∈ X0, x1 ∈ X1} ,

10

với x ∈ X0 + X1, t ∈ [0, ∞). Để ngắn gọn, ký hiệu K(t, x) = K(t, x, X0, X1). Cho θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞], không gian nội suy thực được định nghĩa như

sau

(X0, X1)θ,q := (cid:8)x ∈ X0 + X1 : (cid:107)x(cid:107)(X0,X1)θ,q < ∞(cid:9) ,

q

ở đó, nếu q < ∞ thì

0

(cid:19) 1 (cid:18)(cid:90) ∞ , (cid:107)x(cid:107)(X0,X1)θ,q := [t−θK(t, x)]q dt t

nếu q = ∞ thì

t−θK(t, x). (cid:107)x(cid:107)(X0,X1)θ,∞ := sup t∈(0,∞)

Hơn nữa, đối với không gian Banach X0 và X1, không gian nội suy liên tục được đưa ra bởi

θ,∞ :=

(cid:110) (cid:111) t−θK(t, x) = 0 . (X0, X1)0 t−θK(t, x) = lim t→∞ x ∈ (X0, X1)θ,∞ : lim t→0

Sau đây là một số tính chất cơ bản của các không gian này.

Mệnh đề 1.1.4. Cho (X0, X1) là cặp nội suy của không gian tuyến tính tựa chuẩn, θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞]. Ta có:

(a) Không gian nội suy thực (X0, X1)θ,q là không gian tuyến tính tựa chuẩn. Nếu X0 và X1 là đủ thì không gian nội suy thực liên tục cũng đủ.

(b) Nếu X0 và X1 là các không gian tuyến tính định chuẩn thì không gian

(X0, X1)θ,q cũng là không gian tuyến tính định chuẩn.

(c) Nếu q < ∞ thì X0 ∩ X1 là trù mật trong (X0, X1)θ,q. Nếu thêm điều kiện X0 hoặc X1 tách được và q < ∞, thì (X0, X1)θ,q cũng tách được.

Mệnh đề 1.1.5. Cho (X0, X1) và (Y0, Y1) là các cặp nội suy của không gian tựa chuẩn. Cho T ∈ L(X0, Y0) ∩ L(X1, Y1) với θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞]. Khi đó T ∈ L((X0, X1)θ,q, (Y0, Y1)θ,q) với chuẩn được tính bởi

L(X1,Y1).

L(X0,Y0)(cid:107)T (cid:107)θ

) ≤ (cid:107)T (cid:107)1−θ (cid:107)T (cid:107)L((X0,X1)θ,q,(Y0,Y1)θ,q

11

θ,∞ cũng là không gian Banach.

Mệnh đề 1.1.6. (xem [10], Mệnh đề 1.17) Cho (X0, X1) là cặp nội suy của không gian Banach. Khi đó (X0, X1)0 θ,∞ trùng với bao đóng của X0 ∩X1 trong (X0, X1)θ,∞ và (X0, X1)0

Định nghĩa 1.1.7. Cho hai không gian véc tơ tựa chuẩn X và Y , một

toán tử T : X → Y được gọi là toán tử dưới tuyến tính nếu

(cid:107)T (λx)(cid:107)Y = |λ|(cid:107)T (x)(cid:107)Y , ∀x ∈ X, λ ∈ R

(cid:107)T (x0 + x1)(cid:107)Y ≤ M ((cid:107)T (x0)(cid:107)Y + (cid:107)T (x1)(cid:107)Y ) ∀x0, x1 ∈ X

ở đó M ≥ 0 độc lập với x0 và x1. Hằng số M được gọi là tựa chuẩn của T .

Định lý 1.1.8 (Định lý nội suy tổng quát). (xem [11],Định lý 3.11.2) Cho (X0, X1) và (Y0, Y1) là cặp nội suy của không gian tựa chuẩn. Cho T : X0 + X1 → Y0 + Y1 sao cho T : X0 → Y0 và T : X1 → Y1 là dưới tuyến tính với tựa chuẩn M0 và M1. Khi đó với bất kỳ θ ∈ (0, 1) và q ∈ [1, ∞] có T : (X0, X1)θ,q → (Y0, Y1)θ,q là dưới tuyến tính với tựa chuẩn M bị chặn bởi

0 M θ 1 .

M ≤ M 1−θ

Mệnh đề 1.1.9. (xem [10], Định lý 1.23) Cho (X0, X1) là cặp nội suy của không gian Banach, θ0, θ1, θ, ∈ (0, 1) và q0, q1, q ∈ [1, ∞]. Khi đó các tính chất sau là đúng

((X0, X1)θ0,q0, (X0, X1)θ1,q1)θ,q = (X0, X1)(1−θ)θ0+θθ1,q

θ1,∞)

θ,q

θ0,∞, (X0, X1)0 (X, (X0, X1)θ1,q1)θ,q = (X0, X1)θθ1,q.

((X0, X1)0 = (X0, X1)(1−θ)θ0+θθ1,q

Các không gian đối ngẫu của không gian nội suy thực có mối quan hệ

như sau

Mệnh đề 1.1.10. Cho (X0, X1) là cặp nội suy của không gian Banach sao cho X0 ∩ X1 là trù mật trong X0 và X1. Giả sử θ ∈ (0, 1), q ∈ [1, ∞]. Khi đó các tính chất sau là đúng

0, X (cid:48)

1)θ,q(cid:48); 1 =

+ ((X0, X1)θ,q)(cid:48) = (X (cid:48) 1 q 1 q(cid:48)

12

θ,∞)(cid:48) = (X (cid:48)

0, X (cid:48)

1)θ,1.

((X0, X1)0

2)θ,∞ ∩ (Z (cid:48)

1, Z (cid:48)

1, Z (cid:48)

2)˜θ,∞ thỏa mãn

Bổ đề 1.1.11. Cho Z1, Z2 là cặp nội suy của không gian Banach sao cho Z1 ∩ Z2 là trù mật trong Z1, Z2 và θ, ˜θ ∈ (0, 1). Giả sử (xn)n∈N ⊂ (Z (cid:48)

1, Z (cid:48)

2)θ,∞,

(1.1) xn → x trong tôpô chuẩn của (Z (cid:48)

1, Z (cid:48)

2)˜θ,∞,

trong tôpô yếu* của (Z (cid:48) (1.2) xn → y

Khi đó x = y.

1.2 Nửa nhóm

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm giải tích và đánh giá Lp − Lq. Tài liệu tham khảo được sử dụng ở đây là ([13, 14])

1.2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh

Trong phần này, cho X là không gian Banach.

Định nghĩa 1.2.1. Một họ toán tử (T (t))t≥0 ⊂ L(X) được gọi là nửa nhóm nếu

(1) T (0) = Id,

(2) T (t + s) = T (t)T (s) ∀t, s ∈ [0, ∞).

T (t)x = x với mỗi x ∈ X, ta gọi (T (t))t≥0 là nửa nhóm

Nếu thêm lim t(cid:38)0 liên tục mạnh hay C0-nửa nhóm. Cận tăng trưởng ω(T ) = inf (cid:8)ω ∈ R : ∃Mω ≥ 1, ∀t ≥ 0 : (cid:107)T (t)(cid:107)L(X) ≤ Mωeωt(cid:9) .

• Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là bị chặn, nếu supt≥0 (cid:107)T (t)(cid:107)L(X) ≤ C với

C > 0.

• Nửa nhóm (T (t))t≥0 gọi là co, nếu supt≥0 (cid:107)T (t)(cid:107)L(X) ≤ 1.

13

• Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là ổn định mũ, nếu ω(T ) < 0.

Đặt (cid:26) (cid:27) D(A) := (T (t) − Id)x tồn tại , x ∈ X : lim t→0 1 t

và

(T (t) − Id)x với mỗi x ∈ D(A). Ax := lim t→0 1 t

Toán tử A được gọi là toán tử sinh của (T (t))t≥0. Nó luôn được xác định duy nhất, đóng, trù mật và giao hoán với nửa nhóm trên D(A). Với toán

tử sinh A của nửa nhóm liên tục mạnh, nửa nhóm tương ứng sẽ thường được kí hiệu bởi (etA)t≥0. Cho C0-nửa nhóm (etA)t≥0 với toán tử sinh A, họ liên hợp (etA)(cid:48) t≥0 cũng là nửa nhóm, nhưng không nhất thiết là liên tục mạnh. Tuy nhiên, do mối

quan hệ liên hợp, dễ dàng thấy rằng nửa nhóm liên hợp là liên tục yếu*.

Điều này có nghĩa

(cid:10)x, (etA)∗x(cid:48)(cid:11) = (cid:10)x, (et0A)∗x(cid:48)(cid:11) , lim t→0

với mỗi x ∈ X, x(cid:48) ∈ X (cid:48) và t0 ≥ 0. Sử dụng tôpô yếu*, có thể định nghĩa một toán tử liên kết với nửa nhóm liên hợp. Đặt

(cid:27) (cid:26) ((etA)(cid:48)x(cid:48) − x(cid:48)) tồn tại trong tôpô yếu* , D(Aσ) := x(cid:48) ∈ X (cid:48) : lim t→0 1 t

và định nghĩa

((etA)(cid:48)x(cid:48) − x(cid:48)), 1 t

Aσx(cid:48) := yếu* − lim t→0 với mỗi x(cid:48) ∈ D(Aσ). Có thể thấy rằng Aσ trùng với A(cid:48)- là toán tử liên hợp của toán tử A. Với lý do này, ta cũng gọi A(cid:48) là toán tử sinh của ((etA)(cid:48))t≥0 và ta có etA(cid:48) := (etA)(cid:48),(xem [14]).

1.2.2 Nửa nhóm giải tích

Cho δ ∈ (0, π], ta định nghĩa quạt

Σδ := {λ ∈ C : |argλ| < δ|} \ {0} .

14

Định nghĩa 1.2.2. Cho X là không gian Banach và θ ∈ (0, π 2 ). Nửa nhóm (T (t))t≥0 ⊂ L(X) được gọi là nửa nhóm giải tích bị chặn với góc θ nếu có mở rộng giải tích bị chặn của T lên Σθ(cid:48) với mọi θ(cid:48) ∈ (0, θ).

z∈Σθ∪{0} với θ ∈ (0, π

Ta có tính chất sau của toán tử sinh A.

Mệnh đề 1.2.3. Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích bị chặn (cid:0)ezA(cid:1) 2 ). Khi đó etAx ⊂ D(A) với mỗi t ∈ (0, ∞) và x ∈ X,và tồn tại hằng số M sao cho

(cid:107)tAetA(cid:107)L(X) ≤ M. sup t∈(0,∞)

1.2.3 Nửa nhóm hyperbolic

Định nghĩa 1.2.4. Nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên không gian Banach Y được gọi là hyperbolic (hoặc có nhị phân mũ) nếu và chỉ nếu tồn

tại phép chiếu (tuyến tính, bị chặn)P trên Y và hằng số M, ν > 0 sao cho

với mỗi T (t) giao hoán với P , thỏa mãn T (t)kerP = kerP , và

(cid:107)T (t)x(cid:107) ≤ M e−νt(cid:107)x(cid:107) với mọi t ≥ 0 và x ∈ ImP := P Y,

(cid:107)x(cid:107) với mọi t ≥ 0 và x ∈ KerP := (I − P )Y. (1.3) (cid:107)T (t)x(cid:107) ≥ eνt M

Trong trường hợp này, phép chiếu P được gọi là phép chiếu nhị phân với nửa nhóm hyperbolic (T (t))t≥0, còn M, ν được gọi là hằng số nhị phân. Đặc biệt, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là ổn định mũ nếu nó là hyperbolic với phép chiếu nhị phân P = Id, toán tử đồng nhất trên Y. Rõ ràng, từ định nghĩa trên ta thấy nếu (T (t))t≥0 là hyperbolic thì hạn chế T (t) |KerP của T (t) lên KerP là đẳng cấu T (t) |KerP : KerP → KerP. Ta định nghĩa nghịch đảo của nó bởi T (−t) := (T (t) |KerP )−1 với t > 0. Điều đó có nghĩa là hạn chế của nửa nhóm T (t) lên KerP có thể mở rộng tới nhóm (T (t))t∈R trên không gian Banach KerP. Hơn nữa, dễ thấy P Y = {x ∈ Y : supt≥0 (cid:107)T (t)x(cid:107) < ∞.}

Với (T (t))t≥0 là hyperbolic với phép chiếu nhị phân P và hằng số N, ν >

15

0, thì hàm Green được xác định bởi:

(cid:40) P T (t) t ≥ 0, G(t) := (1.4) −T (t)(I − P ) t < 0.

Ở đây chú ý nếu t < 0 ta có T (t) := (T (−t) |KerP )−1 được xác định trên KerP = (IP )X. Ngoài ra, G(t) thỏa mãn đánh giá

(cid:107)G(t)(cid:107) ≤ (1 + (cid:107)P (cid:107))M e−ν|t| với t ∈ R. (1.5)

1.3 Một số không gian hàm

1.3.1 Không gian Lorentz

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại khái niệm và tính chất về không

0 (Ω) : divv = 0 trong Ω}, (cid:107)·(cid:107)Lp

gian Lorentz (xem [11, 12, 15, 16, 17]). Cho Ω là miền thuộc C 3-lớp trong Rd với d ≥ 3. Ở đây, ta sử dụng các không gian sau

. (1.6) C ∞ 0,σ(Ω) := {v ∈ C ∞ Lp σ(Ω) := C ∞ 0,σ(Ω)

Định nghĩa 1.3.1. Cho 1 < p < ∞ và 1 ≤ q ≤ ∞, không gian Lorentz

được định nghĩa như sau:

loc(Ω) : (cid:107)u(cid:107)p,q < ∞(cid:9) ,

Lp,q(Ω) = (cid:8)u ∈ L1

ở đó

0

(cid:19)1/q (cid:18)(cid:90) ∞ (cid:16) với 1 ≤ q < ∞; (cid:107)u(cid:107)p,q = sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p(cid:17)q ds s

và

sµ({x ∈ Ω : |u(x)| > s})1/p với q = ∞. (cid:107)u(cid:107)p,∞ = sup s>0

16

Định nghĩa 1.3.2.

w(Ω) được gọi là không gian Lp − yếu.

Lp,∞(Ω) := Lp

Sử dụng hàm tử nội suy thực (·, ·)θ,q ta có:

Lp,q(Ω) = (Lp0(Ω), Lp1(Ω))θ,q,

ở đó 1 < p0 < p < p1 < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ và 0 < θ < 1 thỏa mãn

= + 1 p 1 − θ p0 θ p1

p + 1

q = 1

r . Nếu

Bất đẳng thức H¨older yếu:

ω(Ω) và

ω(Ω) thì f g ∈ Lr

ω(Ω), g ∈ Lq

Bổ đề 1.3.3. (xem [16, Bổ đề 2.1]) Cho 1 < p ≤ ∞, 1 < q < ∞ và 1 < r < ∞ thỏa mãn 1 f ∈ Lp

(cid:107)f g(cid:107)r,ω ≤ C(cid:107)f (cid:107)p,ω(cid:107)g(cid:107)q,ω,

ω (Ω) = L∞(Ω).

với C là hằng số phụ thuộc vào p, q. Ở đây, ta hiểu L∞

Với mỗi 1 < r < ∞, cho P = Pr là phép chiếu Helmholtz trên Lr(Ω), σ(Ω) tương đương với phân rã Helmholtz của

nghĩa là phép chiếu trên Lr Lr-trường véc tơ ([16, 17]):

σ(Ω) ⊕ {∇p ∈ Lr(Ω) : p ∈ Lr

loc( ¯Ω)}

Lr(Ω) = Lr

σ (Ω) := (Lr0 Lr,q

σ (Ω), Lr1

σ (Ω))θ,q

r = 1−θ r0

Ta có định nghĩa sau đây về không gian Lorentz solenoidal

+ θ r1

σ (Ω) = ImPr,q Lr,q

ở đó 1 < r0 < r < r1 < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ thỏa mãn 1 . Bởi định lý nội suy, P = Pr,q xác định cho ta một phép chiếu bị chặn trên không gian Lorentz Lr,q(Ω) và

Hơn nữa, (xem [16, Định lý 5.2])

σ Ω ⊕ Gr,q,

Lr,q = Lr,q

17

loc( ¯Ω)}. σ,w(Ω) := Lr,∞

σ

σ,ω(Ω)), tức là

σ,ω(Ω)), (cid:107) · (cid:107)r,ω là chuẩn trong

(cid:107)v(t)(cid:107)r,ω với v ∈ Cb(R+, Ls

ở đó Gr,q = {∇p ∈ Lr,qΩ : p ∈ Lr,q Trong trường hợp q = ∞, thì Lr (Ω). Ta định nghĩa (cid:107) · (cid:107)∞,r,ω là chuẩn trong Cb(R+, Ls (cid:107)v(cid:107)∞,r,ω := sup t∈R+ ω(Ω).

không gian Lr Hơn nữa, nếu 1 ≤ q < ∞ thì

σ )(cid:48) = Lr(cid:48),q(cid:48)

σ

(Lr,q ở đây r(cid:48) = , q(cid:48) = và q(cid:48) = ∞ nếu q = 1. (1.7) r r − 1 q q − 1

1.3.2 Không gian Besov

Có nhiều tài liệu đưa ra định nghĩa về không gian Besov, ở đây chúng

tôi sử dụng tài liệu [18]. Cho χ ∈ C ∞(Rd, R) sao cho suppχ ⊆ B(0, 4/3), 0 ≤ χ ≤ 1 và χ ≡ 1 trong B(0, 4/3). Tập φ(ξ) := χ(ξ/2) − χ(ξ) và h := F −1φ, với F là biến đổi Furier. Phép phân hoạch Littlewood-Paley ( ˙∆j)j∈Z được xác định bởi

Rd

(cid:90) h(2jy)u(x − y)dy = (F −1φ(2−j·)Fu)(x). ˙∆ju(x) = 2jd

j(cid:48)≤j−1

˙∆j(cid:48)u.

p,q(Rd) = {u ∈ S (cid:48)

h : (cid:107)u(cid:107) ˙Bs

p,q

< ∞}, với S (cid:48) ˙Bs

1/q

Hơn nữa, chúng tôi xét toán tử ˙Sju = (cid:80) Lấy s ∈ R và p, q ∈ [1, ∞], không gian thuần nhất Besov được định nghĩa bởi h là tập tất cả các hàm suy rộng ôn hòa u sao cho limj→−∞ Sju = 0 trong tôpô của hàm suy rộng ôn hòa và  

p,q

j∈Z

(cid:88) , q < ∞ =   2sqj(cid:107) ˙∆ju(cid:107)q Lp (cid:107)u(cid:107) ˙Bs

p,q

q = ∞. 2sj(cid:107) ˙∆ju(cid:107)Lp, (cid:107)u(cid:107) ˙Bs = sup j∈Z

1.3.3 Hàm hầu tuần hoàn

Có thể xem chi tiết về hàm hầu tuần hoàn trong [19]

18

Định nghĩa 1.3.4. Cho X là không gian Banach hoặc tựa Banach. Hàm liên tục f : R → X được gọi là hầu tuần hoàn nếu với mọi ε > 0 tồn tại một số thực Lε > 0 sao cho ∀a ∈ R có thể tìm được T ∈ [a, a + Lε] sao cho (cid:107)f (t + T ) − f (t)(cid:107) < ε, ∀t ∈ R.

Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn ta cần

bổ đề sau:

f (t) = 0

Bổ đề 1.3.5. Nếu hàm f : R → X là hàm hầu tuần hoàn và lim t→+∞ thì f ≡ 0 trên R.

f (t) = 0 ta có với mọi ε > 0 tồn tại số thực M = Chứng minh. Từ lim t→+∞ M (ε) > 0 sao cho

(cid:107)f (t)(cid:107) < ε, ∀t ≥ M.

Cố định t1 ∈ R và chọn a = M + |t1|. Khi đó tồn tại T ∈ [a, a + Lε] sao cho (cid:107)f (t + T ) − f (t)(cid:107) < ε, ∀t ∈ R. Từ đó ta có

(cid:107)f (t1)−f (0)(cid:107) ≤ (cid:107)f (t1)−f (t1+T )(cid:107)+(cid:107)f (T )−f (0)(cid:107)+(cid:107)f (t1+T )(cid:107)+(cid:107)f (T )(cid:107) < 4ε

Do đó f (t1) = f (0), ∀t1 ∈ R. Vì thế f ≡ 0 trên R.

Kết luận Chương 1

Chương này, chúng tôi tổng hợp những kiến thức đã biết trong nhiều

tài liệu tham khảo khác nhau. Đó là những kiến thức được sử dụng làm cơ

sở nghiên cứu cho các chương sau của luận án.

19

Chương 2

NGHIỆM BỊ CHẶN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN

HÓA TRONG KHÔNG GIAN NỘI SUY

Năm 1991 khi nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn cho các phương trình

chất lỏng trong miền không bị chặn theo mọi hướng, Maremonti [1] đã

công bố bài toán quan trọng (Bài toán A ở trong phần mở đầu) liên quan

đến nghiệm bị chặn của phương trình Navier-Stokes trong miền không bị

chặn. Với trường hợp miền Ω bị chặn theo một hướng nào đó thì ta có thể

áp dụng bất đẳng thức Poincaré và một số phép nhúng compact vẫn đúng.

Tình huống thực sự phức tạp khi Ω không bị chặn theo mọi hướng thì

không thể áp dụng bất đẳng thức Poincaré và phép nhúng compact không

đúng. Do đó, ta cần các cách tiếp cận mới.

Trong chương này, chúng tôi đưa ra một phương pháp tổng quát để chứng

minh tính bị chặn theo thời gian và ổn định của phương trình tiến hóa

trong không gian nội suy với miền không bị chặn, cụ thể lấy ý tưởng từ

[7], chúng tôi nghiên cứu phương trình tiến hóa nửa tuyến tính dạng tổng

quát

u(cid:48) + Au = Bg(t, u), (2.1)

trong đó −A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm (e−tA)t≥0 trong không gian nội suy Y := (Y1, Y2)θ,∞ và B là “toán tử liên kết” giữa không gian chứa giá trị của g và Y . Trong trường hợp các phương trình nảy sinh từ dòng chất lỏng không nén được, toán tử A là toán tử Stokes (A := −P∆) và B sẽ là Pdiv với P là phép chiếu Helmholtz. Tuy nhiên, trong một số trường hợp khác có thể chọn B = Id.

20

2.1 Nghiệm bị chặn của phương trình tiến

hóa tuyến tính

Trong phần này, chúng tôi trình bày kết quả về sự tồn tại và ổn định của nghiệm đủ tốt 1 của phương trình tiến hóa tuyến tính trong không gian nội suy.

Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất với hàm chưa biết u(t)

dt + Au = Bf (t),

(cid:40) du

(2.2) u(0) = u0 ∈ (Y1, Y2)θ,∞,

trong đó −A sinh ra C0-nửa nhóm (e−tA)t≥0 trên (Y1, Y2)θ,∞, f (t) ∈ X, t ≥ 0, với X, Y1, Y2 là không gian Banach, và (Y1, Y2)θ,∞ là không gian nội suy thực với 0 < θ < 1. Toán tử B là “toán tử liên kết” giữa X và (Y1, Y2)θ,∞ sao cho e−tAB thoả mãn đánh giá (2.5) ở dưới. (Chú ý trong phương trình động lực học chất lỏng, B = Pdiv, là hợp thành của phép chiếu Helmholtz và toán tử phân kỳ 2. Trong một số trường hợp khác, người ta có thể lấy B = Id, toán tử đồng nhất).

Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.2) là một hàm u thỏa mãn công

thức nghiệm sau:

0

(cid:90) t u(t) = e−tAu(0) + e−(t−τ )ABf (τ )dτ. (2.3)

Để chỉ ra sự tồn tại và ổn định của nghiệm đủ tốt bị chặn theo thời

gian của phương trình (2.2), chúng tôi cần đến các không gian các hàm liên tục bị chặn với giá trị trong không gian Banach X (với chuẩn (cid:107) · (cid:107)X ) được định nghĩa như sau:

(2.4) (cid:107)v(t)(cid:107)X < ∞} Cb(R+, X) := {v : R+ → X | v là liên tục và sup t∈R+

với chuẩn

1Tiếng Anh: mild solution 2Tiếng Anh: divergent

(cid:107)v(t)(cid:107)X. (cid:107)v(cid:107)∞,X := sup t∈R+

21

Giả thiết 2.1.1. Cho (Y1, Y2) là cặp nội suy. Giả thiết Yi có tiền đối ngẫu Zi với i = 1, 2 sao cho Z1 ∩ Z2 trù mật trong Zi với i = 1, 2. Cho −A sinh ra C0-nửa nhóm bị chặn (e−tA)t≥0 trên Y1 và Y2. Hơn nữa, giả sử tồn tại hằng số α1, α2 ∈ R với 0 < α2 < 1 < α1 và K > 0 sao cho

t > 0, (2.5) t > 0, (cid:107)e−tABv(cid:107)Y1 ≤Kt−α1(cid:107)v(cid:107)X, (cid:107)e−tABv(cid:107)Y2 ≤Kt−α2(cid:107)v(cid:107)X,

trong đó B được đưa ra như trên.

Bổ đề sau đây đóng vai trò quan trọng trong phương pháp của chúng

tôi.

Bổ đề 2.1.2. Giả sử các Giả thiết 2.1.1 được thỏa mãn. Xét θ ∈ (0, 1) sao cho 1 = (1 − θ)α1 + θα2. Khi đó bất đẳng thức sau là đúng.

0

(cid:90) ∞ (cid:107)B(cid:48)e−ξA(cid:48) (2.6) ϕ(cid:107)X (cid:48)dξ ≤ ˜M (cid:107)ϕ(cid:107)(Z1,Z2)θ,1.

Chứng minh. Từ (2.5) ta có

1

2

, t > 0, (2.7) (cid:107)B(cid:48)e−tA(cid:48) (cid:107)B(cid:48)e−tA(cid:48) , t > 0. ϕ(cid:107)X (cid:48) ≤Kt−α1(cid:107)ϕ(cid:107)Y (cid:48) ϕ(cid:107)X (cid:48) ≤Kt−α2(cid:107)ϕ(cid:107)Y (cid:48)

Cho ϕ ∈ Zj, j = 1, 2 định nghĩa

j là phép đẳng

(2.8) vϕ(t) := (cid:107)B(cid:48)e−tA(cid:48) ϕ(cid:107)X (cid:48).

Khi đó, bởi (2.7) và thực tế là phép nhúng chính tắc Zj → Y (cid:48) cự, ta nhận được

j = 1, 2. vϕ(t) ≤ Ct−αj(cid:107)ϕ(cid:107)Zj với ϕ ∈ Zj,

,∞

1 αj

,∞

Vì thế,

1 αj

(0,∞)

vϕ ∈ L ≤ Cj(cid:107)ϕ(cid:107)Zj với ϕ ∈ Zj, j = 1, 2, (0, ∞), và (cid:107)vϕ(cid:107) L

(2.9)

1 α1

1 α2

,∞(0, ∞) + L

,∞(0, ∞)

Từ đây cho phép xác định toán tử dưới tuyến tính

T : Z1 + Z2 → L

22

ϕ (cid:55)→ vϕ,

1 α1

1 α2

,∞(0, ∞) và T : Z2 → Từ (2.9) ta suy ra các toán tử T : Z1 → L ,∞(0, ∞) là dưới tuyến tính. Bởi Định lý nội suy tổng quát 1.1.8 ta

ở đó vϕ được định nghĩa như trong (2.8).

L

1 α1

1 α2

,∞(0, ∞), L

,∞(0, ∞))θ,1 là dưới tuyến tính.

nhận được

T : (Z1, Z2)θ,1 → (L

1 α1

1 α2

Hơn nữa, theo giả thiết θ ∈ (0, 1) thỏa mãn 1 = (1 − θ)α1 + θα2 ta có

,∞(0, ∞), L

,∞(0, ∞))θ,1 = L1(0, ∞)

(L

suy ra T : (Z1, Z2)θ,1 → L1(0, ∞) là dưới tuyến tính.

Theo đó

0

(cid:90) ∞ (cid:107)B(cid:48)e−τ A(cid:48) ϕ(cid:107)X (cid:48)dτ ≤ ˜M (cid:107)ϕ(cid:107)(Z1,Z2)θ,1 với mọi ϕ ∈ (Z1, Z2)θ,1,

ở đó ˜M > 0 là hằng số.

Từ Bổ đề trên ta có kết quả sau đây về sự tồn tại và duy nhất của

nghiệm đủ tốt bị chặn của phương trình (2.2).

Định lý 2.1.3. Giả sử các giả thiết của Bổ đề 2.1.2 được thỏa mãn. Khi đó, với f ∈ Cb(R+, X) và mỗi u0 ∈ (Y1, Y2)θ,∞ tồn tại nghiệm đủ tốt u ∈ Cb(R+, (Y1, Y2)θ,∞) của phương trình (2.2) thỏa mãn

(2.10) (cid:107)u(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞ ≤ M (cid:107)u0(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ + ˜M (cid:107)f (cid:107)∞,X,

θ,1 = (Y1, Y2)θ,∞. Do (e−tA)t≥0 là nửa

với hằng số M ≥ 1, ˜M > 0 nào đó.

Chứng minh. Bởi giả thiết (Z1, Z2)(cid:48) nhóm bị chặn trên (Y1, Y2)θ,∞, nên chỉ cần đánh giá tích phân

0

(cid:90) t e−(t−τ )ABf (τ )dτ.

23

Để làm điều này ta kí hiệu (cid:104)·, ·(cid:105) là cặp đối ngẫu giữa (Y1, Y2)θ,∞ và (Z1, Z2)θ,1 từ đó ta có được ϕ ∈ (Z1, Z2)θ,1

0

0 (cid:90) t

(cid:28)(cid:90) t (cid:90) t (cid:69) (cid:68) e−(t−τ )ABf (τ )dτ, ϕ e−(t−τ )ABf (τ ), ϕ |dτ | ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:29)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

0 (cid:90) t

(cid:69) (cid:68) | = f (τ ), B(cid:48)e−(t−τ )A(cid:48) ϕ |dτ

≤ (cid:107)f (τ )(cid:107)X(cid:107)B(cid:48)e−(t−τ )A(cid:48) ϕ(cid:107)X (cid:48)dτ

0 ≤ (cid:107)f (cid:107)∞,X

0

(cid:90) ∞ (cid:107)B(cid:48)e−τ A(cid:48) (2.11) ϕ(cid:107)X (cid:48)dτ.

Thay bất đẳng thức (2.6) vào (2.11), ta có

0

(cid:28)(cid:90) t e−(t−τ )ABf (τ )dτ, ϕ t > 0, ϕ ∈ (Z1, Z2)θ,1. ≤ ˜M (cid:107)f (cid:107)∞,X(cid:107)ϕ(cid:107)(Z1,Z2)θ,1, (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:29)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

θ,1, bất đẳng thức trên cho

Từ (Y1, Y2)θ,∞ = (Z1, Z2)(cid:48)

0

(cid:90) t e−(t−τ )ABf (τ )dτ t > 0. (2.12) ≤ ˜M (cid:107)f (cid:107)L∞(R+;X), (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)(Y1,Y2)θ,∞

d

Do đó có khẳng định của định lý.

Chú ý rằng, trong các ứng dụng, chẳng hạn vào phương trình động lực học thủy khí trên miền ngoại vi trong Rd, chúng ta thường gặp phải thực tế rằng X có tiền đối ngẫu Banach V ; tức là, X = V (cid:48) với không gian Banach V nào đó, chẳng hạn, X = L d d−2 ,1(Ω))(cid:48). Do đó, trong trường 2 ,∞(Ω) = (L hợp này, đánh giá (2.5) có thể được thay bằng đánh giá trên sự thu hẹp

của toán tử đối ngẫu trên V . Cụ thể, có hệ quả sau.

Hệ quả 2.1.4. Xét các không gian Banach X, (Y1, Y2)θ,∞ như trong Định lý 2.1.3. Giả sử tồn tại không gian Banach V và hằng số α1 > 1 > α2 > 0, sao cho X = V (cid:48), 1 = (1 − θ)α1 + θα2, và

(2.13) (cid:107)B(cid:48)e−tA(cid:48) (cid:107)B(cid:48)e−tA(cid:48) ϕ(cid:107)V ≤Kt−α1(cid:107)ϕ(cid:107)Z1, ϕ(cid:107)V ≤Kt−α2(cid:107)ϕ(cid:107)Z2.

Khi đó, tất cả các khẳng định của Định lý 2.1.3 vẫn đúng.

24

2.2 Nghiệm bị chặn của phương trình tiến

hóa nửa tuyến tính và tính ổn định của

nghiệm

2.2.1 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Cho các không gian Banach (Y1, Y2)θ,∞ và X. Bây giờ chúng tôi xét

phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

(cid:40) ut + Au = Bg(t, u), (2.14) u|t=0 = u0 ∈ (Y1, Y2)θ,∞,

trong đó toán tử −A và B thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.1.3, và

hàm g thỏa mãn Giả thiết 2.2.1.

Giả thiết 2.2.1. Cho g : R+ × (Y1, Y2)θ,∞ → X thỏa mãn

(1) g liên tục theo thời gian t và tồn tại γ > 0 sao cho (cid:107)g(t, 0)(cid:107)X ≤ γ

với mọi t ∈ R+,

(2) tồn tại L > 0 và ρ > 0 sao cho (cid:107)g(t, v1) − g(t, v2)(cid:107)X ≤ L(cid:107)v1 − v2(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ với mọi t ∈ R+, và v1, v2 ∈ Bρ := {v ∈ (Y1, Y2)θ,∞ : (cid:107)v(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ ≤ ρ}. (2.15)

Nghiệm đủ tốt của phương trình (2.14) là hàm u thỏa mãn phương

0

trình sau (cid:90) t e−(t−τ )ABg(τ, u)dτ. (2.16) u(t) = e−tAu0 +

Sau đây chúng tôi đưa ra kết quả về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm

đủ tốt bị chặn của phương trình (2.14).

Định lý 2.2.2. Xét phương trình (2.16) với giả thiết u0 ∈ (Y1, Y2)θ,∞. Cho A và B thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1.3, và cho g thỏa mãn điều kiện trong (2.15). Khi đó, nếu (cid:107)u0(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞, γ và L là đủ nhỏ, thì phương trình (2.16) có một và chỉ một nghiệm bị chặn ˆu (tức là, ˆu là nghiệm đủ tốt bị chặn duy nhất của (2.14) trên hình cầu nào đó của Cb(R+, (Y1, Y2)θ,∞).

25

Chứng minh. Cho hình cầu Bρ ⊂ Cb(R+, (Y1, Y2)θ,∞) xác định bởi

(2.17) Bρ := {v ∈ Cb(R+, (Y1, Y2)θ,∞) : (cid:107)v(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞ ≤ ρ}.

Xét phương trình

0

(cid:90) t e−(t−τ )ABg(τ, v)dτ. (2.18) u(t) = e−tAu0 +

Khi đó, cho v ∈ Bρ ta đặt

Φ(v) = u ở đó u ∈ Cb(R+, (Y1, Y2)θ,∞) thỏa mãn phương trình (2.18).

Ta sẽ chứng minh rằng nếu (cid:107)u0(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞, γ, và L là đủ nhỏ, thì phép biến đổi Φ từ Bρ và chính nó là ánh xạ co. Thật vậy, lấy bất kỳ v ∈ Bρ, theo tính chất của g được đưa ra trong (2.15) ta có

(cid:107)g(t, v)(cid:107)X ≤ (cid:107)g(t, v) − g(t, 0)(cid:107)X + (cid:107)g(t, 0)(cid:107)X

(2.19) ≤ L(cid:107)v(t)(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ + γ ≤ L(cid:107)v(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞ + γ ≤ Lρ + γ với mọi t ∈ R+.

Do đó, với mỗi v ∈ Bρ cố định, hàm g(·, v) ∈ Cb(R+, X) và

(cid:107)g(·, v)(cid:107)∞,X ≤ Lρ + γ.

Áp dụng Định lý 2.1.3 cho vế phải g(·, v) thay vì f ta có được điều đó cho mỗi v ∈ Bρ tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt bị chặn u của (2.18) thỏa mãn

(cid:107)Φ(v)(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞ = (cid:107)u(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞ ≤ M (cid:107)u0(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ + ˜M (cid:107)g(·, v)(cid:107)∞,X

≤ M (cid:107)u0(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ + ˜M (Lρ + γ).

(2.20)

Vì thế, nếu (cid:107)u0(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞, L và γ đủ nhỏ, ta có được ánh xạ Φ từ Bρ vào chính nó.

Tiếp theo, cho v1, v2 ∈ Bρ và sử dụng phép biểu diễn của Φ ta có

0

(cid:90) t (2.21) e−(t−τ )AB[g(τ, v1) − g(τ, v2)]dτ. [Φ(v1) − Φ(v2)](t) =

26

Từ Định lý 2.1.3 và tính chất (2) của g được xác định trong (2.15) ta được

(cid:107)Φ(v1) − Φ(v2)(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞

(2.22) ≤ M (cid:107)g(·, v1) − g(·, v2)(cid:107)∞,X ≤ M L(cid:107)v1 − v2(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞.

Do đó ta có, nếu (cid:107)u0(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞, L, và γ là đủ nhỏ, thì Φ : Bρ → Bρ là co. Vì thế, với những giá trị L và γ tồn tại duy nhất điểm bất động ˆu của Φ, và

bằng cách xác định của Φ, hàm này ˆu là nghiệm đủ tốt duy nhất bị chặn

của (2.14).

Sau khi có được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm bị chặn của phương

trình (2.14), để chứng minh sự ổn định của nghiệm, ta cần giả thiết sau.

Giả thiết 2.2.3. (a) Tồn tại hằng số β1 > 1 > β2 > 0, không gian Banach W và một cặp nội suy Banach (Θ1, Θ2) sao cho với ζ = β1−1 ta có β1−β2 (Θ1, Θ2)ζ,∞ có tiền đối ngẫu Banach và

(2.23)

(cid:107)e−tABψ(cid:107)Θ1 ≤M t−β1(cid:107)ψ(cid:107)W , (cid:107)e−tABψ(cid:107)Θ2 ≤M t−β2(cid:107)ψ(cid:107)W ,

với một số hằng số M > 0 độc lập với t và ψ. Hơn nữa, tồn tại hằng

số β > 1 sao cho

(cid:107)e−tAψ(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞ ≤ M t1−β(cid:107)ψ(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞, (2.24)

(cid:107)e−tABψ(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞ ≤ M t−β(cid:107)ψ(cid:107)X.

(b) Cho bán kính ρ như trong (2.15) tồn tại L1 > 0 sao cho toán tử g thỏa

mãn

(2.25) (cid:107)g(t, v1) − g(t, v2)(cid:107)W ≤ L1(cid:107)v1 − v2(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞,

với mọi v1, v2 ∈ Bρ ∩ (Θ1, Θ2)ζ,∞ = {v ∈ (Y1, Y2)θ,∞ ∩ (Θ1, Θ2)ζ,∞ : (cid:107)v(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ ≤ ρ} và với mọi t ∈ R+.

Định lý 2.2.4. Giả sử các điều kiện của Định lý 2.2.2 và các Giả thiết

2.1.1 được thỏa mãn. Khi đó, nghiệm bị chặn ˆu của (2.14) là ổn định, tức

27

là với nghiệm bất kỳ u ∈ Cb(R+, (Y1, Y2)θ,∞) của (2.14) sao cho (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞, L, L1, và (cid:107)ˆu(cid:107)∞,(Θ1,Θ2)ζ,∞ là đủ nhỏ thì ta có

(2.26) (cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞ ≤ C tβ−1 với mọi t > 0.

Chứng minh. Cho ˆu là nghiệm đủ tốt bị chặn của (2.14) trong một hình cầu nào đó Bρ := {v ∈ Cb(R+, (Y1, Y2)θ,∞) : (cid:107)v(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞ ≤ ρ} và cho u ∈ Cb(R+, (Y1, Y2)θ,∞) là nghiệm đủ tốt bị chặn khác của (2.14) sao cho (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ là đủ nhỏ. Đặt v = u − ˆu suy ra v thỏa mãn phương trình

0 ở đó ˜G(t, v) = g(t, v + ˆu) − g(t, ˆu). Cho β như trong điều kiện (a) của Giả thiết 2.2.3 ta đặt

(cid:90) t v(t) = e−tA(u(0) − ˆu(0)) + e−(t−τ )AB( ˜G(τ, v))dτ, (2.27)

(cid:26) (cid:27) M := tβ−1(cid:107)v(t)(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞ < ∞ v ∈ Cb(R+, (Y1, Y2)θ,∞) : sup t>0

với chuẩn (cid:107)v(cid:107)M := (cid:107)v(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞ + supt>0 tβ−1(cid:107)v(t)(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞.

Ta sẽ chứng minh rằng nếu L, L1, (cid:107)u(0)−ˆu(0)(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ và (cid:107)ˆu(cid:107)∞,(Θ1,Θ2)ζ,∞ là đủ nhỏ, thì phương trình (2.27) có duy nhất nghiệm trong hình cầu nhỏ của M. Thật vậy, cho v ∈ M ta xét ánh xạ Φ xác định bởi

0

(cid:90) t Φ(v)(t) := e−tA(u(0) − ˆu(0)) + e−(t−τ )AB( ˜G(τ, v))dτ.

Đặt Bρ := {v ∈ M : (cid:107)v(cid:107)M ≤ ρ}.

Sau đó ta chứng minh rằng (cid:107)ˆu(cid:107)∞,(Θ1,Θ2)θ,∞ ≤ ρ nếu L, L1, (cid:107)u(0)−ˆu(0)(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞, và ρ là đủ nhỏ, thì phép biến đổi Φ đi từ Bρ vào chính nó là ánh xạ co. Để làm điều này, cố định v ∈ M, áp dụng Định lý 2.1.3 cho f (t) = ˜G(t, v) ta có Φ(v) ∈ Cb(R+, (Y1, Y2)θ,∞) và

(cid:107)Φ(v)(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞ ≤ M (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞ + ˜M L(cid:107)v(cid:107)∞,(Y1,Y2)θ,∞. (2.28)

Hơn nữa,

0

(cid:90) t e−(t−τ )AB( ˜G(τ, v))dτ. tβ−1Φ(v)(t) = tβ−1e−tA(u(0) − ˆu(0)) + tβ−1

28

Nhờ đánh giá phân rã cho nửa nhóm (e−tA)t≥0 (xem (2.24)) ta nhận được

ζ,∞

(cid:107)tβ−1e−tA(u(0) − ˆu(0))(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞ ≤ M (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞.

ζ,∞ để

Bây giờ ta đánh giá 0 e−(t−τ )AB( ˜G(τ, v))dτ = (cid:82) t (cid:82) t 0 e−ξAB( ˜G(t − ξ, v(t − ξ))dξ với mỗi t > 0. Cuối cùng, định nghĩa (cid:104)·, ·(cid:105) là cặp đối ngẫu giữa (Θ1, Θ2)ζ,∞ và (Θ1, Θ2)(cid:48) ta nhận được hàm bất kỳ ϕ ∈ (Θ1, Θ2)(cid:48)

0 (cid:90) t

(cid:28)(cid:90) t e−ξAB( ˜G(t − ξ, v(t − ξ))dξ, ϕ (cid:29)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

0 (cid:90) t/2

(cid:69) (cid:68) ˜G(t − ξ, v(t − ξ)), B(cid:48)e−ξA(cid:48) ϕ dξ = (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 0 (cid:90) t (cid:69) ≤ (cid:68) ˜G(t − ξ, v(t − ξ)), B(cid:48)e−ξA(cid:48) | ϕ |dξ (2.29)

0 (cid:90) t

(cid:69) = (cid:68) ˜G(t − ξ, v(t − ξ)), B(cid:48)e−ξA(cid:48) | ϕ |dξ

t/2

(cid:69) + (cid:68) ˜G(t − ξ, v(t − ξ)), B(cid:48)e−ξA(cid:48) | ϕ |dξ.

Sau đó ta đánh giá hai tích phân cuối cùng của (2.29). Đầu tiên ta có

0

(cid:90) t/2 ϕ (cid:69)(cid:12) (cid:12) (cid:12) dξ

0 (cid:90) t/2

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:90) t/2 ϕ dξ ≤

0

0

≤ ϕ dξ (cid:13) (cid:13) (cid:13)W (cid:48) (cid:13) (cid:13) (cid:13)W (cid:48) L1(cid:107)v(t − ξ)(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞ (cid:19)1−β (cid:90) t/2 ϕ (cid:107)v(cid:107)M dξ. ≤ L1 (cid:13) (cid:13)B(cid:48)e−ξA(cid:48) (cid:13) (cid:68) ˜G(t − ξ, v(t − ξ)), B(cid:48)e−ξA(cid:48) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ˜G(t − ξ, v(t − ξ)) (cid:13)B(cid:48)e−ξA(cid:48) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)W (cid:13) (cid:13) (cid:13)B(cid:48)e−ξA(cid:48) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)W (cid:48) (cid:18) t 2

Chú ý ở đây bất đẳng thức

≤ L1(cid:107)v(t − ξ)(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞, (cid:13) (cid:13) ˜G(v(t − ξ)) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)W

đúng là do

= (cid:107)˜g(t − ξ), v(t − ξ) + ˆu(t − ξ)) − ˜g(t − ξ, ˆu(t − ξ))(cid:107)W (cid:13) (cid:13) ˜G(t − ξ, v(t − ξ)) (cid:13) (cid:13) (cid:13)W (cid:13)

29

≤ L1(cid:107)v(t − ξ)(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞,

và (cid:107)ˆu(t − ξ)(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞ ≤ ρ (theo Giả thiết 2.2.3 (b)). Vì thế, ta cần (cid:107)ˆu(cid:107)∞,(Θ1,Θ2)ζ,∞ là đủ nhỏ theo nghĩa (cid:107)ˆu(cid:107)∞,(Θ1,Θ2)ζ,∞ ≤ ρ như đã nêu ở đầu.

Sử dụng kỹ thuật nội suy như trong Bổ đề 2.1.2, ta được

ζ,∞

0

0

(cid:90) ∞ (cid:90) t/2 . ϕ dξ ≤ ϕ dξ ≤ M1(cid:107)ϕ(cid:107)(Θ1,Θ2)(cid:48) (cid:13) (cid:13)B(cid:48)e−ξA(cid:48) (cid:13) (cid:13) (cid:13)B(cid:48)e−ξA(cid:48) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)W (cid:48) (cid:13) (cid:13) (cid:13)W (cid:48)

Vì thế,

ζ,∞

0

(cid:19)1−β (cid:90) t/2 (cid:68) ˜G(t − ξ, v(t − ξ)), B(cid:48)e−ξA(cid:48) ϕ . (cid:107)v(cid:107)M(cid:107)ϕ(cid:107)(Θ1,Θ2)(cid:48) (cid:69)(cid:12) (cid:12) (cid:12) dξ ≤ L1M1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:18) t 2

(2.30)

Tiếp theo ta đánh giá tích phân cuối cùng trong (2.29). Ta có

(cid:90) t (cid:68) ˜G(t − ξ, v(t − ξ)), B(cid:48)e−ξA(cid:48) ϕ (cid:69)(cid:12) (cid:12) (cid:12) dξ

t/2 (cid:90) t

(cid:12) (cid:12) (cid:12) t/2 (cid:90) t ϕ dξ ≤ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)X (cid:48)

t/2

ζ,∞

t/2

≤ ϕ dξ L(cid:107)v(t − ξ)(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ (cid:13) ˜G(t − ξ, v(t − ξ)) (cid:13) (cid:13)X (cid:13) (cid:13)B(cid:48)e−ξA(cid:48) (cid:13) (cid:13) (cid:13)B(cid:48)e−ξA(cid:48) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)X (cid:48) (cid:90) ∞ ≤ KL(cid:107)v(cid:107)M dξ ξ−β (cid:107)ϕ(cid:107)(Θ1,Θ2)(cid:48)

ζ,∞

. (2.31) ≤ t1−β(cid:107)v(cid:107)M (cid:107)ϕ(cid:107)(Θ1,Θ2)(cid:48) KL β − 1

Kết hợp (2.30), (2.31), và (2.29) ta nhận được

ζ,∞

0

ζ,∞. Do (Θ1, Θ2)ζ,∞ có tiền đối ngẫu Banach, từ bất

(cid:90) t (cid:68) e−ξAB( ˜G(t − ξ, v(t − ξ))dξ, ϕ ≤ ˜K(L + L1)t1−β(cid:107)v(cid:107)M (cid:107)ϕ(cid:107)(Θ1,Θ2)(cid:48) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:69)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

vớ mọi ϕ ∈ (Θ1, Θ2)(cid:48) đẳng thức trên ta có:

0

(cid:90) t e−ξAB( ˜G(t − ξ, v(t − ξ))dξ ≤ ˜K(L + L1)t1−β(cid:107)v(cid:107)M, (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)(Θ1,Θ2)ζ,∞

với mọi t > 0 suy ra

(cid:107)Φ(v)(cid:107)M ≤ M (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞ + ˜K(L + L1)(cid:107)v(cid:107)M.

30

Tính toán tương tự

(cid:107)Φ(v1) − Φ(v2)(cid:107)M ≤ ˜K(L + L1)(cid:107)v1 − v2(cid:107)M

với mọi v1, v2 ∈ M. Vì thế, nếu (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107)(Y1,Y2)θ,∞, (cid:107)ˆu(cid:107)∞,(Θ1,Θ2)ζ,∞, L, và L1 là đủ nhỏ, thì phép biến đổi Φ từ Bρ vào chính nó là ánh xạ co. Điểm bất động của Φ là hàm v = u − ˆu thuộc vào M. Vì vậy, từ bất đẳng thức (2.26), ta nhận được tính ổn định của nghiệm bị chặn ˆu.

2.2.2 Phương trình tổng quát hóa đối với động lực

học thủy khí

Đối với phương trình nảy sinh trong động lực học thủy khí chúng tôi thường xét u là một trường véc tơ chưa biết trên Rd và F - là một trường ten-sơ bậc hai cho trước. Xét phương trình cụ thể sau:

(cid:40)

(2.32) ut + Au = Pdiv(G(u) + F (t)) u|t=0 = u0 ∈ (Y1, Y2)θ,∞,

trong đó −A là toán tử sinh của C0-nửa nhóm bị chặn (e−tA)t≥0 trên (Y1, Y2)θ,∞, F (t) ∈ X, t ≥ 0, B := Pdiv và P là phép chiếu Helmholtz, g(t, u) = G(u) + F (t) thỏa mãn các điều kiện trong (2.15).

Các ví dụ cụ thể của A và G được trình bày trong Chương 4.

Hơn nữa, thay B bởi Pdiv trong phương trình (2.16), ta có khái niệm

sau đây về nghiệm đủ tốt

0

(cid:90) t u(t) = e−tAu(0) + e−(t−τ )APdiv(G(u) + F (τ ))dτ. (2.33)

d−2:

2 − d

2 ( 1

p − d−2

Giả thiết 2.2.5. Giả sử toán tử −A sinh ra C0-nửa nhóm bị chặn (e−tA)t≥0 thỏa mãn đánh giá trơn sau đây với mọi 1 < p < d

d )(cid:107)x(cid:107)p,∞.

d−2 ,1 ≤ M t− 1

w (Ω)d2), và toán tử phi tuyến G :

x(cid:107) d (cid:107)∇e−tA(cid:48) (2.34)

Hơn nữa, giả sử F ∈ Cb(R+, Ld/2

31

w (Ω)d2 thỏa mãn

σ,w(Ω) → Ld/2 Ld

(1) G(0) = 0, và

(2) (cid:107)G(v1) − G(v2)(cid:107)d/2,w ≤ (κ + (cid:107)v1(cid:107)d,w + (cid:107)v2(cid:107)d,w)(cid:107)v1 − v2(cid:107)d,w

σ,w(Ω), κ ≥ 0 là hằng số.

với mọi v1, v2 ∈ Ld

(2.35)

Những giả thiết này trên G là tương đương với các giả thiết trên g trong (2.15) trong đó chúng ta có thể lấy L = κ + 2ρ với v1, v2 ∈ Bρ và γ := (cid:107)F (cid:107)∞,d/2,w.

Hơn nữa, Giả thiết 2.2.3 là tương đương với giả thiết sau

Giả thiết 2.2.6. Giả sử toán tử −A và toán tử đối ngẫu của nó −A(cid:48) sinh ra C0-nửa nhóm bị chặn (e−tA)t≥0 và (e−tA(cid:48))t≥0 thỏa mãn đánh giá Lp − Lq

2 ( 1

d − 1

(1) Với r > d:

r )(cid:107)x(cid:107)d,w.

(2.36) (cid:107)e−tAx(cid:107)r,w, (cid:107)e−tA(cid:48) x(cid:107)r,w ≤ M t− d

2 + d

(2) Với r > d:

2r (cid:107)x(cid:107) r

r−1 ,1

d−2 ,1 ≤ M t− 3

(cid:107)∇e−tA(cid:48) x(cid:107) d (2.37)

dr−r−d, giả sử rằng

2 − d

2 ( 1

p − dr−r−d

dr

và với 1 < p < dr

)(cid:107)x(cid:107)p,∞ với mọi x ∈ Ld

σ,w(Ω),

dr−r−d ,1 ≤ M t− 1

(cid:107)∇e−tA(cid:48) x(cid:107) dr

(2.38)

σ,w(Ω) ∩ Lr

σ,w(Ω), G thỏa mãn

(3) Với hằng số κ ≥ 0, v1, v2 ∈ Ld

d+r ,w ≤(κ + (cid:107)v1(cid:107)d,w + (cid:107)v2(cid:107)d,w)(cid:107)v1 − v2(cid:107)r,w.

(2.39) (cid:107)G(v1) − G(v2)(cid:107) dr

Định lý sau chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và ổn định của nghiệm bị chặn

w (Ω)d2). Giả sử G : Ld

của phương trình (2.32).

σ,w(Ω). Khi đó các khẳng định sau là đúng

Định lý 2.2.7. Cho F ∈ Cb(R+, Ld/2 σ,w(Ω) → Ld/2 w (Ω)d2 thỏa mãn các điều kiện trong (2.35), −A thỏa mãn Giả thiết 2.2.5, 2.2.6, và u0 ∈ Ld

32

2 ,w và ρ đủ nhỏ, thì phương trình (2.32) có duy

(1) Nếu κ, (cid:107)u0(cid:107)d,ω , (cid:107)F (cid:107)∞, d

nhất nghiệm đủ tốt ˆu trong hình cầu

σ,w(Ω)) : (cid:107)v(cid:107)∞,d,w ≤ ρ}.

Bρ := {v ∈ Cb(R+, Ld

(2) Nghiệm ˆu của (2.32) là ổn định theo nghĩa với bất kỳ nghiệm nào khác σ,w(Ω)) của (2.32) sao cho (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107)d,w là đủ nhỏ ta

u ∈ Cb(R+, Ld có

2r

với mọi t > 0, (2.40) (cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107)r,w ≤ C t 1 2 − d

với r > d như trong (2.37).

Chứng minh. Lấy số thực p1, p2 và θ ∈ (0, 1) sao cho

p2 p2−1 σ,w (Ω), do đó

σ,w(Ω),

σ,w(Ω))(cid:48)

p1 p1−1 σ,w (Ω), Y2 := L θ,1 = Ld

d

w (Ω)d2 = L

d−2 ,1(Ω)(cid:48), Zj := Lpj

σ,w(Ω) và αj := 1

2 + d

2( 1 pj

r−1 < q2 < dr

dr−r−d

+ . và = 1 < p1 < < p2 < d d − 1 d d − 2 d − 1 d 1 − θ p1 θ p2

r = 1−ζ q1

. + ζ q2

q1 q1−1 σ,w (Ω), Θ2 := L

Trước hết, ta chọn Y1 := L (Y1, Y2)θ,∞ = (Lp1 σ,w(Ω), Lp2 và bất đẳng thức (2.34) cho thấy A thỏa mãn giả thiết trong Hệ quả 2.1.4 với X := Ld/2 − d−2 d ) với j = 1, 2, α1 > 1 > α2 > 0 và 1 = (1 − θ)α1 + θα2. Hơn nữa, với số cố định bất kỳ r > d ta chọn 1 < q1 < r và ζ ∈ (0, 1) sao cho r−1 Khi đó, không gian Θ1, Θ2 có thể được chọn là q2 q2−1 σ,w (Ω) Θ1 := L

σ,w(Ω), Lq2

σ,w(Ω))(cid:48)

σ,w(Ω).

ζ,1 = Lr

dr

dr d+r

suy ra (Θ1, Θ2)ζ,∞ := (Lq1

σ,w(Ω))ζ,1.

Hơn nữa W := L

dr−d−r ,1(Ω)(cid:48). Chắc chắn, (Θ1, Θ2)ζ,∞ có tiền σ,w(Ω), Lq2 2r ; và β1, β2 được chọn là βj := 1

2 − d

2 + d

2( 1 qj

w (Ω)d2 = L r r−1 ,1 (Ω)=(Lq1 đối ngẫu Banach L σ Cuối cùng, β := 3 j = 1, 2, β1 > 1 > β2 > 0 và 1 = (1 − ζ)β1 + ζβ2.

) với − dr−d−r dr

d 2

Bây giờ, toán tử B := Pdiv có thể được hiểu theo nghĩa phân phối thông qua công thức tích phân từng phần

w(Ω)d2

0,σ(Ω),

và ϕ ∈ C ∞ [Pdivf, ϕ] = −[f, ∇ϕ] với mọi f ∈ L

33

Ω u · v dx.

với [u, v] = (cid:82)

Sử dụng lập luận hàm phân phối và sau đó chuyển sang cặp đối ngẫu

d d−1 ,1 σ,w(Ω) và L σ

(cid:104)·, ·(cid:105) giữa Ld (Ω) ta có

d 2

(cid:104)Bf, ϕ(cid:105) = [Pdivf, ϕ] = −[f, ∇ϕ] = (cid:104)f, B(cid:48)ϕ(cid:105) ,

d d−1 ,1 w(Ω)d2 và ϕ ∈ L σ

1, d d−1 0

d 2

(Ω). với mọi f ∈ L

(Ω))(cid:48) = Ld từ L (Ω) ∩ W Theo công thức trên, ta có thể hiểu B = Pdiv là toán tử tuyến tính d d−1 ,1 w(Ω)d2 vào (L σ,w(Ω). Khi đó, toán tử đối ngẫu B(cid:48) = −∇ σ

d d−1 ,1 theo nghĩa phân phối. Ở đây, chú ý (L σ

σ,w(Ω) xuất phát từ

(Ω))(cid:48) = Ld

d d−1 ,1 σ

p1 p1−1 σ,w (Ω), L

p2 σ,w (Ω))θ,∞ = Ld p2−1

σ,w(Ω), Lp2

σ,w(Ω))(cid:48)

θ,1 = (L

σ,w(Ω),

(L (Ω))(cid:48) = (Lp1

d = (p1−1)(1−θ)

d = 1−θ p1

p1

(và do 1 ) như phần đầu của chứng + θ p2 + (p2−1)θ p2

từ d−1 minh.

Vì thế, Giả thiết 2.2.5 suy ra từ Giả thiết 2.1.1 với Y1, Y2, α1 và α2 được chọn như trên. Giả thiết 2.2.6 suy ra từ Giả thiết 2.2.3 với hằng số L1 := κ + 2ρ với v1, v2 ∈ Bρ.

Các khẳng định (1) và (2) của định lý này suy ra từ Định lý 2.2.2 và

2.2.4.

Các ví dụ cụ thể cho luồng thủy khí được xét trong Chương 4.

Kết luận Chương 2

Trong chương này, chúng tôi đã đạt được kết quả sau:

• Sử dụng độ trơn của nửa nhóm, không gian nội suy và định lý nội

suy, chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm đủ tốt bị chặn của

của phương trình tiến hóa tuyến tính tổng quát;

• Sử dụng nguyên lý điểm bất động chúng tôi chứng minh được sự tồn

tại duy nghiệm đủ tốt bị chặn của phương trình tiến hóa nửa tuyến

tính trong không gian nội suy. Đồng thời, chúng tôi cũng chứng minh

34

được sự ổn định cấp đa thức của nghiệm bị chặn của phương trình

tiến hóa nửa tuyến tính tổng quát và hoàn toàn phù hợp với lớp

phương trình tổng quát hóa đối với động lực học thủy khí.

Mục tiêu của Chương 2 là tìm nghiệm bị chặn theo thời gian, sau đó

chứng minh tính ổn định nghiệm của phương trình tiến hóa. Để thực hiện

mục tiêu đó, trước hết chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm

đủ tốt bị chặn của phương trình tiến hóa tuyến tính. Tiếp theo, chúng tôi

sử dụng nguyên lý điểm bất động để mở rộng kết quả của phương trình

tuyến tính cho phương trình phi tuyến. Các kết quả chính của Chương

này là: Định lý 2.2.2 về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt bị chặn của

phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong không gian nội suy với phần

phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz; sau khi có được nghiệm bị chặn

cùng với các giả thiết về tính trơn của nửa nhóm ta nhận được tính ổn

định nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trong Định lý 2.2.4;

Định lý 2.2.7 là trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.2 và Định lý 2.2.4.

Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [2] trong Danh mục

công trình đã công bố của luận án.

35

Chương 3

NGHIỆM TUẦN HOÀN VÀ HẦU TUẦN HOÀN

CỦA PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

3.1 Nghiệm tuần hoàn

Nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm T − tuần hoàn của

phương trình tiến hóa nửa tuyến tính là rất quan trọng. Có một số cách

tiếp cận được sử dụng cho nghiên cứu trên phù hợp với các lớp phương

trình vi phân như phương pháp của Massera 1950 [20], nguyên lý điểm

bất động của Tikhonov [21] hay phương pháp hàm Lyapunov [22]. Phương

pháp nổi tiếng nhất để chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn là

tính bị chặn của nghiệm, bất đẳng thức Poincaré và tính nhúng compact

[21, 22, 23, 24, 25, 26]. Tuy nhiên, trong một số ứng dụng, như phương

trình đạo hàm riêng trong miền không bị chặn hay phương trình có nghiệm

không bị chặn, khi đó phép nhúng compact không còn đúng và sự tồn tại

của nghiệm bị chặn là khó nhận được vì ta phải chọn véc tơ ban đầu để

đảm bảo tính bị chặn của nghiệm xuất phát từ véc tơ đó. Cách để vượt

qua khó khăn như vậy là sử dụng định lý Massera với đại ý là phương trình

có nghiệm bị chặn thì có nghiệm tuần hoàn. Nhưng để áp dụng nguyên lý Massera người ta phải sử dụng tính compact ở mức độ của tôpô yếu∗. Vì vậy, chúng tôi có một cách tiếp cận khác để nghiên cứu sự tồn tại và duy

nhất của nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa. Cụ thể, sử dụng

tính bị chặn và điều kiện ϕ−ổn định của nửa nhóm tương ứng để xây dựng

dãy Cauchy hội tụ tới véc tơ ban đầu từ đó cho nghiệm tuần hoàn. Cách

tiếp cận này có vẻ trực tiếp và đơn giản hơn trong Thieu Huy Nguyen [6]

và M.Geissert, M.Hieber, T.H.Nguyen [7] vì không sử dụng không gian nội

36

suy. Ưu điểm khác của phương pháp này là không sử dụng tính compact.

Chúng ta có thể chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương

trình tiến hóa tuyến tính không thuần nhất một cách trực tiếp và cơ bản

hơn. Từ đó chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn

của phương trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính.

3.1.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính

Trong phần này chúng tôi xét tính ổn định có điều kiện và nghiệm tuần

hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính.

(cid:40)

(3.1) u(cid:48) − Au = f (t), u(0) = u0 ∈ Y,

ở đây, A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trên Y , f thuộc vào Cb(R+, Y ) := (cid:8)h : R+ → Y | h liên tục và supt≥0 (cid:107)h(t)(cid:107)Y < ∞(cid:9) với chuẩn (cid:107)h(cid:107)Cb(R+,Y ) := supt≥0 (cid:107)h(t)(cid:107)Y . Nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1) được cho bởi công thức:

0

(cid:90) t T (t − s)f (s)ds. (3.2) u(t) = T (t)u0 +

Định nghĩa 3.1.1. Cho ϕ : (0, ∞) → R là hàm liên tục thỏa mãn limt→∞ ϕ(t) = 0. Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là ϕ-ổn định có điều kiện nếu

(3.3) (cid:107)T (t)x(cid:107)Y < ∞. (cid:107)T (t)x(cid:107)Y ≤ ϕ(t)(cid:107)x(cid:107)Y với mọi x ∈ Y sao cho sup t≥0

Nhận xét 3.1.2. • Nếu ϕ(t) = M e−ωt thì nửa nhóm (T (t))t≥0 được

gọi là ổn định mũ có điều kiện.

• Nếu ϕ(t) = M t−α thì nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là ổn định đa

thức có điều kiện.

Định lý 3.1.3. Cho (T (t))t≥0 là nửa nhóm ϕ-ổn định có điều kiện, f ∈ Cb(R+, Y ). Giả sử tồn tại x0 ∈ Y sao cho nghiệm đủ tốt u(t) = T (t)x0 +

37

(cid:82) t 0 T (t − s)f (s)ds, t ≥ 0, thuộc vào Cb(R+, Y ) thỏa mãn (cid:107)u(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ M (cid:107)f (cid:107)Cb(R+,Y ). Khi đó, nếu f là T -tuần hoàn theo thời gian thì tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn ˆu của (3.1) với

0≤t≤T

(cid:107)T (t)(cid:107). (3.4) (cid:107)ˆu(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ ˜M (cid:107)f (cid:107)Cb(R+,Y ) với ˜M := (M + T ) sup

Chứng minh. Nhờ giả thiết ta có nghiệm đủ tốt u của phương trình (3.1) với u(0) = x0 (tức là, u(t) = T (t)x0 + (cid:82) t 0 T (t − s)f (s)ds, t ≥ 0) thuộc vào Cb(R+, Y ). Tiếp theo, ta chứng minh u(nT )n∈N là dãy Cauchy trong Y . Thật vậy, đặt w(t) = u(t + (m − n)T ) với các số tự nhiên cố định tùy ý m > n ∈ N, sử dụng tính tuần hoàn của f , ta chứng minh rằng w có thể được viết lại như

sau

0

(cid:90) t w(t) = T (t)u((m − n)T ) + T (t − s)f (s)ds với mọi t ≥ 0. (3.5)

Thật vậy,

0 (cid:90) (m−n)T

w(t) = u(t + (m − n)T ) (cid:90) t+(m−n)T = T (t + (m − n)T )u(0) + T (t + (m − n)T − s)f (s)ds

0

= T (t)T ((m − n)T )u(0) + T (t)T ((m − n)T − s)f (s)ds

(cid:90) t+(m−n)T T (t + (m − n)T − s)f (s)ds +

(m−n)t (cid:32)

0

(cid:33) (cid:90) (m−n)T = T (t) T ((m − n)T − s)f (s)ds T ((m − n)T )u(0) +

(m−n)t

(cid:90) t+(m−n)T + T (t + (m − n)T − s)f (s)ds

0

(cid:90) t = T (t)u((m − n)T ) + T (t − s)f (s)ds.

Do đó (3.5) đúng.

Từ tính bị chặn của u và w suy ra từ hàm u(t) − w(t) = T (t)(u(0) − w(0)), t ∈ R+, bị chặn, tức là supt≥0 (cid:107)T (t)(u(0) − w(0))(cid:107)Y < ∞. Vì thế, từ

38

(3.3) ta suy ra

(cid:107)(u(t) − w(t))(cid:107)Y

t > 0 = (cid:107)T (t)(u(0) − w(0))(cid:107)Y ≤ ϕ(t)(cid:107)(u(0) − w(0))(cid:107)Y ≤ Cϕ(t),

với C := 2(cid:107)u(cid:107)Cb(R+,Y ) không phụ thuộc m, n. Lấy t := nT , từ bất đẳng thức trên ta thu được

với mọi m > n ∈ N. (cid:107)u(nT ) − u(mT )(cid:107)Y ≤ Cϕ(nT ),

ϕ(t) = 0 ta có u(nT )n∈N là dãy Cauchy trong Y . Vì Y là không Do lim t→∞

gian Banach nên dãy u(nT )n∈N hội tụ trong Y , và ta đặt

0

u(nT ) ∈ Y. u∗ := lim n→∞

Bây giờ ta lấy u∗ là giá trị ban đầu, và ta chứng minh nghiệm đủ tốt ˆu = T (t)u∗ + (cid:82) t 0 T (t − s)f (s)ds là T -tuần hoàn. Thật vậy, ta đặt v(t) := T (t + nT )x0 + (cid:82) t+nT T (t + nT − s)f (s)ds với mọi số cố định n ∈ N và với mọi t ≥ 0, tức là v(t) = u(t + nT ) với

0

(cid:90) t+nT T (t − s)f (s)ds, (3.6) u(t) = T (t)x0 +

như bước trên.

Tương tự như trên, nhờ tính tuần hoàn của f ta nhận được v thỏa mãn

0

(cid:90) t+nT v(t) = T (t)u(nT ) + T (t − s)f (s)ds,

với u được xác định như trong (3.6). Khi đó ta có

(cid:107)ˆu(t) − v(t)(cid:107)Y = (cid:107)T (T )(ˆu(0) − v(0))(cid:107)Y ≤ (cid:107)T (T )(cid:107)(cid:107)ˆu(0) − v(0)(cid:107)Y .

Suy ra

(cid:107)ˆu(T ) − u(n + 1)T )(cid:107)Y ≤ (cid:107)T (T )(cid:107)(cid:107)u∗ − u(nT )(cid:107)Y .

u(nT ) = u∗ = ˆu(0) trong Y ta có Bây giờ cho n → ∞ và sử dụng lim n→∞

ˆu(T ) = ˆu(0).

39

Do đó, ˆu(t) là T -tuần hoàn. Bất đẳng thức (3.4) được suy ra từ (cid:107)u∗(cid:107)Y ≤ (cid:107)u(cid:107)Cb và (cid:107)ˆu(cid:107)Cb = sup0≤t≤T (cid:107) ˆu(t)(cid:107)Y nhờ vào tính tuần hoàn của ˆu. Tính duy nhất của nghiệm T -tuần hoàn là hệ quả của (3.3). Cụ thể, nếu

u và v là hai nghiệm T -tuần hoàn của phương trình (3.2) với giá trị ban đầu u0 và v0 thì u(t) − v(t) = T (t)(u0 − v0) lại có u(t) − v(t) bị chặn, nên từ (3.3) ta có (cid:107)u(t) − v(t)(cid:107)Y = (cid:107)T (t)(u0 − v0)(cid:107)Y ≤ ϕ(t)(cid:107)u0 − v0(cid:107)Y . Vì thế (cid:107)u(t) − v(t)(cid:107)Y = 0. Điều này cùng với tính tuần hoàn và liên tục của lim t→∞ u và v, suy ra u(t) = v(t) với mọi t ∈ R+.

3.1.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (cid:40)

(3.7) u(cid:48)(t) = Au(t) + g(u)(t), u(0) = u0 ∈ X,

trong đó A là toán tử thỏa mãn các giả thiết của phương trình tuyến tính, và toán tử Nemytskii’s g : Cb(R+, Y ) → Cb(R+, Y ) thỏa mãn

(1) (cid:107)g(0)(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ γ với γ là hằng số không âm,

(2) g là ánh xạ cho tương ứng hàm T -tuần hoàn thành hàm T -tuần hoàn,

(3) Tồn tại hằng số dương ρ và L sao cho

(3.8) (cid:107)g(v1) − g(v2)(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ L(cid:107)v1 − v2(cid:107)Cb(R+,Y )

với mọi v1, v2 ∈ Cb(R+, Y ) và (cid:107)v1(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ ρ, (cid:107)v2(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ ρ.

Hơn nữa, ta xét nghiệm đủ tốt của phương trình (3.7) thỏa mãn phương

trình tích phân sau:

0

(cid:90) t T (t − s)g(u)(τ )dτ với mọi t ≥ 0 (3.9) u(t) = T (t)u0 +

Định lý 3.1.4. Giả sử các giả thiết của Định lý 3.1.3 thỏa mãn, g được

thỏa mãn các điều kiện trong (3.8). Khi đó, nếu L và γ đủ nhỏ thì phương

trình (3.7) có một và chỉ một nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn ˆu trong hình cầu nhỏ của Cb(R+, Y ).

40

ρ được định nghĩa bởi

Chứng minh. Xét hình cầu BT

ρ := {v ∈ Cb(R+, Y ) : v là T-tuần hoàn và (cid:107)v(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ ρ}. BT

(3.10)

Sau đó ta định nghĩa biến đổi Φ như sau: xét phương trình

ρ , ta đặt Φ(v) = u ở đó u ∈ Cb(R+, Y ) là nghiệm đủ tốt

u(cid:48)(t) = Au(t) + g(v)(t). (3.11)

Khi đó, với v ∈ BT T -tuần hoàn duy nhất của phương trình (3.11).

ρ vào ρ bất kỳ, nhờ tính

Ta sẽ chứng minh nếu L và γ đủ nhỏ thì hàm biến đổi Φ đi từ BT

chính nó và là ánh xạ co. Để làm điều này, lấy v ∈ BT chất của g được cho trong (3.8) nên ta có

(cid:107)g(v)(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ (cid:107)g(v) − g(0)(cid:107)Cb(R+,Y ) + (cid:107)g(0)(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ Kρ + γ. (3.12)

Áp dụng Định lý 3.1.3 cho vế phải của g(v)(t) thay vì f (t) và sử dụng bất đẳng thức (3.4) ta có: với v ∈ BT ρ tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn u của (3.11) thỏa mãn

(3.13) (cid:107)u(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ ˜M (cid:107)g(v)(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ ˜M (Lρ + γ).

Do đó, nếu L và γ đủ nhỏ, Φ là ánh xạ đi từ BT ρ vào chính nó. Khi đó, nhờ công thức (3.2) với g(v) thay thế cho f , thì ta có biểu thức biểu diễn hàm

Φ như sau

0

ρ nhờ (3.14) ta nhận được hàm u = Φ(v1) − Φ(v2)

(cid:90) t Φ(v)(t) = etAu(0) + g(v)(τ )dτ, với Φ(v) = u. (3.14)

Hơn nữa, với v1, v2 ∈ BT là nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn duy nhất của phương trình

u(cid:48)(t) = Au(t) + g(v1)(t) − g(v2)(t).

Như vậy, một lần nữa áp dụng Định lý 3.1.3 ta có

(cid:107)Φ(v1) − Φ(v2)(cid:107)Cb(R+,Y ) ≤ ˜M (cid:107)g(v1) − g(v2)(cid:107)Cb(R+,Y )

(3.15) ≤ ˜M L(cid:107)v1 − v2(cid:107)Cb(R+,Y )

41

ρ → BT

Do đó, nếu L và γ đủ nhỏ thì Φ : BT ρ là ánh xạ co. Vì thế, với các giá trị của L và γ tồn tại duy nhất điểm bất động ˆu của Φ, và do định

nghĩa của Φ, hàm ˆu này là nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn của phương trình

(3.7).

3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình dòng chất lỏng nhớt

không thể nén được được nhiều tác giả làm với những phương pháp khác

nhau. Cụ thể, Shibata [27, 28] với những phương pháp từ định lý nửa nhóm

và phương trình tiến hóa, Galdi và Silvestre [29, 30] với đánh giá năng lượng

và phương pháp Galerkin cùng nhiều tác giả khác [1, 4, 31]. Những khó

khăn mà những tác giả khác gặp phải khi nghiên cứu sự tồn tại và duy

nhất của nghiệm bị chặn theo thời gian của phương trình Navier-Stokes

trên miền ngoại vi nằm ở chỗ, do miền không bị chặn theo mọi hướng, bất

đẳng thức Poincaré không hợp lệ và phép nhúng compact không còn đúng.

Hơn nữa, nửa nhóm sinh ra bởi toán tử Stokes trong miền như vậy không

ổn định mũ. Do đó, một vài tác giả đã giới thiệu phương pháp tiếp cận mới

để vượt qua những khó khăn này. Maremonti [1] và Maremonti - Paudla

[3] với cách tiếp cận sử dụng tính chất hình học của miền, chẳng hạn như

tính đối xứng của Ω. Trong khi đó Galdi và Sohr giới thiệu trong [4] một

số không gian hàm có liên quan đến sự phân rã của nghiệm ở phía vô cực

của không gian để chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn và bị chặn

của phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi. Yamazaki [5] đã khai thác tính nội suy của không gian Ld− yếu và không gian Lorentz và sơ đồ lặp Kato [8] để chứng minh sự tồn tại của nghiệm đủ tốt tuần hoàn theo

thời gian của phương trình Navier-Stokes trên miền ngoại vi cố định cũng

như tính ổn định của nó. Cách tiếp cận này được mở rộng bởi Thieu Huy

Nguyen [6] kết hợp với phương pháp Ergodic nhận được sự tồn tại và ổn

định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn trong không gian nội suy của phương

trình Navier-Stokes xung quanh chướng ngại vật quay. Cách tiếp cận này

được mở rộng để chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn của phương

42

trình dòng chảy tổng quát trong [7]. Tiếp nối ý tưởng đó, chúng tôi nghiên

cứu sự tồn tại, duy nhất và ổn định của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn, bị

chặn của một số phương trình Navier-Stokes. Đưa ra một cách tiếp cận

tổng quát để nghiên cứu nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình tiến hóa

nửa tuyến tính với ngoại lực là hàm hầu tuần hoàn.

Trong phần này, chúng tôi giả sử rằng trường ten-xơ bậc hai F là hầu

tuần hoàn trên toàn bộ đường thẳng, ta chỉ ra được sự tồn tại và duy nhất

của nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn của phương trình nửa tuyến tính trên

toàn bộ đường thẳng.

Trước hết, xét phương trình tiến hóa tuyến tính trên toàn trục thời

gian

t ∈ R (3.16) ut + Au = PdivF (t),

Nghiệm đủ tốt của phương trình (3.16) được cho bởi công thức

s

(cid:90) t u(t) = e−(t−s)Au(s) + e−(t−τ )APdivF (τ )dτ, t ≥ s, t, s ∈ R (3.17)

Bổ đề 3.2.1. Cho toán tử A thỏa mãn Giả thiết 2.2.6 và giả sử trường ten-xơ bậc hai F ∈ Cb(R, Ld/2 σ,ω(Ω)d×d)) là hầu tuần hoàn. Khi đó phương trình (3.16) có duy nhất nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn trong Cb(R, Ld σ,ω(Ω)) và nghiệm này có dạng

0

−∞

(cid:90) ∞ (cid:90) t u(t) = e−τ APdivF (t − τ )dτ = e−(t−τ )APdivF (τ )dτ, ∀t ∈ R

0

(cid:90) ∞ Chứng minh. Đặt u(t) := e−τ APdivF (t − τ )dτ , ta có

2 ,ω.

(3.18) (cid:107)u(·)(cid:107)∞,d,ω ≤ ˜M (cid:107)F (cid:107)∞, d

s

Kiểm tra được u(t) liên tục trên R và cố định s ∈ R, u(t) thỏa mãn phương trình (cid:90) t u(t) = e−(t−s)Au(s) + e−(t−τ )APdivF (τ )dτ, t ≥ s

tức là u(t) là nghiệm đủ tốt của phương trình (3.16). Từ F là hầu tuần hoàn, ta có ∀ε > 0 tồn tại số thực Lε > 0 sao cho với

43

2 ,ω<ε với mọi

mọi a ∈ R tồn tại T ∈ [a, a + Lε] sao cho (cid:107)F (t + T ) − F (t)(cid:107) d t ∈ R. Khi đó ta có

0

(cid:90) ∞ e−τ APdiv[F (t + T − τ ) − F (t − τ )dτ (cid:107)u(t + T ) − u(t)(cid:107)d,ω = (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

= ˜M (cid:107)F (· + T ) − F (·)(cid:107)∞, d 2 ,ω ≤ ε ˜M , ∀t ∈ R.

Do đó, u(t) là nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn của phương trình (3.16).

σ,ω(Ω)), và cố định s ∈ R bất kỳ được

Tiếp theo chứng minh tính duy nhất của nghiệm hầu tuần hoàn. Trước hết, giả sử v(t) ∈ Cb(R, Ld σ,ω(Ω)) là nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn khác của phương trình (3.16). Thì z(t) = u(t) − v(t) là hàm hầu tuần hoàn trong Cb(R, Ld

z(t) = e−(t−s)Az(s), t ≥ s.

Bởi đánh giá (2.36), cho r > d ta có

2 ( 1

d − 1

(cid:107)z(t + T ) − z(t)(cid:107)r,ω = (cid:107)e−k|T |A(z(t + t − k|T |) − z(t − k|T |))(cid:107)r,ω

r )(cid:107)z(t + T − k|T |) − z(t − k|T |)(cid:107)d,ω.

≤ M (k|T |)− d

hầu tuần hoàn trong không gian Cb(R, Ld Với T (cid:54)= 0, tồn tại k ≥ 1 sao cho k|T | ≥ 1. Do đó z(t) cũng là nghiệm σ,ω(Ω)). Bởi đánh giá (2.36) ta có

(cid:107)z(t)(cid:107)r,ω = 0 lim t→+∞

Bởi Bổ đề 1.3.5 ta có z(t) = 0 trên R. Vì vây u ≡ v.

Sau đây chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt

hầu tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính trên toàn bộ

đường thẳng:

t ∈ R, (3.19) zt + Az = Pdiv(G(z) + F (t)),

d 2

ở đó toán tử phi tuyến G thỏa mãn điều kiện (2.35)

σ,ω(Ω)).

Định lý 3.2.2. Giả sử Giả thiết 2.2.6 và các điều kiện trong (2.35) được thỏa mãn và trường ten-xơ bậc hai F ∈ Cb(R, L σ,ω(Ω)d×d) là hầu tuần hoàn. Khi đó, nếu chuẩn (cid:107)F (cid:107)∞, d 2 ,ω đủ nhỏ thì phương trình (3.19) có duy nhất nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn trong hình cầu đóng của Cb(R, Ld

44

Chứng minh. Xét tập đóng

σ,ω(Ω)) : là hầu tuần hoàn và (cid:107)v(cid:107)∞,d,ω ≤ ρ}.

d 2

d 2

σ,ω(Ω)d×d) là hầu tuần hoàn suy ra với mỗi v ∈ Bρ, G(v) σ,ω(Ω)d×d) là hầu tuần hoàn. Trên Bρ định

Bρ = {v ∈ Cb(R, Ld

Từ F ∈ Cb(R, L thuộc vào không gian Cb(R, L nghĩa ánh xạ T cho bởi công thức

0

(cid:90) ∞ (T v)(t) = e−τ APdiv(G(v)(t − τ ) + F (t − τ ))dτ, v ∈ Bρ

σ,ω(Ω)) của phương trình

Từ Bổ đề 3.2.1 suy ra z := T v là nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn duy nhất trong Cb(R, Ld

(3.20) zt + Az = Pdiv(G(v) + F )

Tính hầu tuần hoàn của z := T (v) được đảm bảo bởi Bổ đề 3.2.1. Hơn nữa, bởi (3.18), bất đẳng thức và v ∈ Bρ ta có

2 ,ω + (cid:107)F (cid:107)∞, d

2 ,ω) ≤ ˜M (ρ2 + (cid:107)F (cid:107)∞, d

2 ,ω).

2 ,ω và ρ đủ nhỏ thì hàm T là hàm đi từ Bρ vào

(cid:107)z(cid:107)∞,d,ω ≤ ˜M ((cid:107)G(v)(cid:107)∞, d

Do đó, nếu chuẩn (cid:107)F (cid:107)∞, d chính nó. Cho v1, v2 ∈ Bρ, đặt T v1 = z1 và T v2 = z2, tương tự như ở (3.18), ta có

2 ,ω đủ nhỏ thì ánh xạ T đi từ Bρ vào chính nó là ánh xạ Do đó, nếu ρ, (cid:107)F (cid:107)∞, d co. Vì thế, T có duy nhất điểm bất động và điểm này là nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn của phương trình (3.19) trong hình cầu nhỏ của Cb(R, Ld σ,ω(Ω)).

(cid:107)z1 − z2(cid:107)∞,3,ω ≤ ˜M (cid:107)G(v1) − G(v2)(cid:107)∞, 3 2 ,ω ≤ ˜M ρ(cid:107)v1 − v2(cid:107)∞,d,ω.

Kết luận Chương 3

Trong chương này, chúng tôi đã đạt được kết quả sau:

45

• Chúng tôi sử dụng tính bị chặn và điều kiện ϕ-ổn định có điều kiện

của nửa nhóm tương ứng để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới véc tơ

ban đầu từ đó đưa ra nghiệm tuần hoàn;

• Sử dụng đánh giá đối ngẫu, tính chất trơn của nửa nhóm và sử dụng

định lý nội suy cho nửa nhóm liên tục mạnh sinh bởi toán tử Stokes,

và nguyên lý điểm bất động, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn

tại và ổn định của nghiệm hầu tuần hoàn bị chặn của phương trình

tiến hóa nửa tuyến tính.

Các kết quả mà chúng tôi thu được trong chương này là: Định lý 3.1.3,

Định lý 3.1.4 chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn của

phương trình tiến hóa trong không gian Banach một cách trực tiếp và đơn

giản hơn trong [6, 7] vì không sử dụng hàm tử nội suy và tính compact

agurment; Định lý 3.2.2 là kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ

tốt hầu tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.

Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [2], [3] trong Danh

mục công trình của tác giả liên quan đến luận án.

46

Chương 4

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

4.1 Ứng dụng vào phương trình của động

lực học thủy khí

Trong phần này, từ các kết quả trừu tượng nhận được Chương 2, 3 áp

dụng cho phương trình Navier-Stokes-Oseen mô tả dòng chảy của chất lỏng

nhớt qua một chướng ngại vật chuyển động và cho phương trình Navier-

Stokes trên miền có lỗ thủng hoặc trong không gian Besov.

4.1.1 Phương trình Navier-Stokes-Oseen

Xét vật rắn R chuyển động trong một môi trường luồng chất lỏng nhớt không nén được lấp đầy toàn bộ không gian 3 chiều R3. Giả sử vận tốc tịnh tiến là ξ và vận tốc góc ω của R đều là véc tơ hằng số. Không mất tính tổng quát, giả sử ω = ae3, e3 = (0, 0, 1)T . Chuyển động của chất lỏng có thể được mô tả bởi phương trình sau:

 vt + (v · ∇)v − ∆v + ∇π = divG,

divv = 0 trong Ω(t)(t > 0),

(4.1)

v(y, t) = 0, v(y, t) |∂Ω(t) = (ξ + ω × y) |∂Ω(t), lim |y|→∞

  v(y, 0) = v0(y).

47

miền ngoại vi phụ thuộc thời gian Ω(t) = O(at)Ω, ở đó Ω là miền ngoại vi cố định trong R3 với biên trơn, và O(t) là ma trận trực giao

  cost sint 0

O(t) = . −sint cost 0       0 0 1

Ở đây, v = v(y, t) là vận tốc của chất lỏng, π = π(y, t) là áp suất của chất

lỏng và G = G(y, t) là trường ten-xơ bậc hai. Để nghiên cứu phương trình

u(x, t) = O(at)T (v(y, t) − ξ), p(x, t) = π(y, t),

(4.1) trong miền ngoại vi độc lập với thời gian, thực hiện phép đổi biến x = O(at)T y, F (x, t) = O(at)T G(y, t)O(at). Khi đó ta được phương trình Navier-Stokes- Oseen trên miền cố định Ω:  ut + (u · ∇)u − ∆u + ((O(at)T ξ) · ∇)u

−((ω × x) · ∇)u + ω × u + ∇p = divF trong Ω × (0, ∞),

divu = 0 trong Ω × (0, ∞),

u(x, t) = ω × x − O(at)T ξ trên ∂Ω × (0, ∞), u(x, 0) = u0(x) := v0(x) − ξ trên Ω, u(x, t) = 0 ∀t ∈ (0, ∞).   lim |x|→∞

(4.2) Để đơn giản, chúng tôi xét trường hợp ξ = ke3. Khi đó phương trình (4.2) trở thành phương trình sau:

 ut + (u · ∇)u − ∆u + kD3u

−((ω × x) · ∇)u + ω × u + ∇p = divF trong Ω × (0, ∞),

divu = 0 trong Ω × (0, ∞),

trên ∂Ω × (0, ∞),

trong Ω,

u(x, t) = ω × x − ke3 u(x, 0) = u0(x) := v0(x) − ξ u(x, t) = 0, ∀t ∈ (0, ∞).   lim |x|→∞

(4.3)

Chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của nghiệm đủ tốt bị chặn của

phương trình Navier-Stokes-Oseen và tính ổn định cũng như sự tồn tại của

nghiệm hầu tuần hoàn. Trước hết, chúng tôi đưa phương trình (4.3) về

48

dạng phương trình tiến hóa nửa tuyến tính (2.32). Để làm được điều này,

ta đặt

La,ku = −∆u + kD3u − ((ω × x) · ∇)u + ω × u.

Khi đó, phương trình (4.3) được viết lại dưới dạng phương trình

 ut + (u · ∇)u − ∆u + La,ku + ∇p = divF trong Ω × (0, ∞),

divu = 0 trong Ω × (0, ∞),

trên ∂Ω × (0, ∞),

trong Ω,

u(x, t) = ω × x − ke3 u(x, 0) = u0(x) := v0(x) − ξ u(x, t) = 0, ∀t ∈ (0, ∞).   lim |x|→∞

(4.4)

Để biến đổi điều kiện biên thành trường hợp của trường véc tơ 0 trên ∂Ω, c (R3) sao cho ϕ ≥ 0, ϕ ≡ 1 trên lân cận của ta lấy hàm "cut-off" ϕ ∈ C ∞ R = Ωc và suppϕ ⊂ B(0, r) với r > 0 nào đó ta định nghĩa

c (R3). Đặt z(x, t) = Khi đó, divbω = 0, bω |∂Ω= ω × x − ke3 và bω ∈ C ∞ u(x, t) − bω(x). Khi đó, phương trình (4.4) tương đương với phương trình với điều kiện biên triệt tiêu:

(4.5) ∇ × (ϕ(x)|x|2 − 2kϕ(x)x2e1), e1 = (1, 0, 0)T . bω = − 1 2

 zt + (z · ∇)z + La,kz + La,kbω

+(bω · ∇)bω + (z · ∇)bω + (bω · ∇)z + ∇p = divF trong Ω × (0, ∞),

divz = 0 trong Ω × (0, ∞),

z(x, t) = 0 ω × x − ke3 trên ∂Ω × (0, ∞) z(x, 0) = z0(x) trong Ω, z(x, t) = 0, ∀t ∈ (0, ∞).   lim |x|→∞

(4.6)

Áp dụng phép chiếu Helmholtz vào (4.6) ta được phương trình sau

(cid:40)

σ,ω(Ω),

zt + La,kz = Pdiv(F − z ⊗ z − bω ⊗ z − z ⊗ bω − bω ⊗ bω) − La,kbω, z |t=0 = z0 ∈ L3

(4.7)

49

trong đó La,k được xác định bởi

La,ku := P[−∆u + kD3u − ((ω × x) · ∇)u + ω × u], u ∈ D(La,k),

σ(Ω)∩W 2,r(ω) : u |∂Ω= 0, ((ω×x)·∇)u ∈ Lr(Ω)}. (4.8)

D(La,k) := {u ∈ Lr

σ (Ω).

σ(Ω), 1 < r < ∞ (xem [27, 28]). Bởi định lý nội suy (e−tLa,k)t≥0 cũng là C0 nửa nhóm bị chặn trên không gian Lr,q Sử dụng định lý nội suy, có thể chuyển các đánh giá phân rã Lp − Lq có được bởi Shibata trong (xem [28] - Định lý 3) với (e−tLa,k)t≥0 trên Lr σ(Ω) sang đánh giá phân rã Lr,q − Lp,q cho nửa nhóm trên không gian Lr,q σ (Ω) như trong mệnh đề sau

Đã biết −La,k sinh ra C0 nửa nhóm bị chặn (e−tLa,k)t≥0 trên Lr

Mệnh đề 4.1.1. Cho 1 < r < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ và kí hiệu (cid:107)f (cid:107)r,q là chuẩn trong không gian Lr,q(Ω) . Khi đó có các bất đẳng thức sau

2 ( 1

p − 1

(i) Cho 1 < p ≤ r < ∞

a,kf (cid:107)r,q ≤ M t− 3

r )(cid:107)f (cid:107)p,q.

(4.9) (cid:107)e−tLa,kf (cid:107)r,q, (cid:107)e−tL(cid:48)

2 − 3

2 ( 1

p − 1

(ii) Đặc biệt, khi 1 < p ≤ r ≤ 3 và 1 ≤ q < ∞ ta có

a,kf (cid:107)r,q ≤ M t− 1

r )(cid:107)f (cid:107)p,q.

(4.10) (cid:107)∇e−tLa,kf (cid:107)r,q, (cid:107)∇e−tL(cid:48)

2 ( 1

p − 1

(iii) Cho 1 < p < r < ∞ thì

r )(cid:107)f (cid:107)p,∞.

a,kf (cid:107)r,1 ≤ M t− 3

(4.11) (cid:107)e−tLa,kf (cid:107)r,1, (cid:107)e−tL(cid:48)

2 ( 1

p − 1

(iv) Hơn nữa, khi 1 < p < r ≤ 3 ta có

r )(cid:107)f (cid:107)p,∞.

a,kf (cid:107)r,1 ≤ M t− 3

(4.12) (cid:107)∇e−tLa,kf (cid:107)r,1, (cid:107)∇e−tL(cid:48)

Chứng minh. Đánh giá (4.9), (4.11) nhận được bởi sử dụng định lý nội suy và đánh giá phân rã Lp − Lq trong Shibata (xem [28] - Định lý 3). Lập

50

luận tương tự như trong (xem [32] - Định lý 1.1), có được (4.11). Để chứng

minh (4.12) chúng tôi phải sử dụng quan hệ nội suy sau

σ (Ω), Lr,1

σ (Ω))θ,∞ = Lr,1(Ω),

(Lr,1

σ

(Ω), Lp1,1 (Ω))θ,∞ = Lp,∞(Ω), (Lp0,1 σ

p = 1−θ với 1 p0 toán tử ∇c, ∇e−tL(cid:48)

a,k ta nhận được (4.12).

và 1 < p0 < p < p1 < r ≤ 3. Áp dụng định lý nội suy cho + θ p1

Bằng việc tính trực tiếp, ta có

a2 2 ϕ(x)|x|2 0

 

akϕ(x)x2 0 bω × ω = divMω, Mω :=       0 0 a2 2 ϕ(x)|x|2 0 0

và

−La,kbω = Pdiv(∇bω + bω ⊗ (ω × x − ke3) + Fω).

Khi đó, phương trình (4.7) có dạng

σ,ω(Ω),

(cid:40) zt + La,kz = Pdiv(G(z + F)) (4.13) z |t=0 = z0 ∈ L3

trong đó, G(z) = −z ⊗ z − bω ⊗ z − z ⊗ bω và F := F + (∇bω + bω ⊗ (ω × x − ke3) + Mω − bω ⊗ bω. Sau đây, chúng tôi xét nghiệm đủ tốt của phương trình (4.13)

0

2 ,ω ≤ ((cid:107)bω(cid:107)3,ω+(cid:107)u(cid:107)3,ω+(cid:107)v(cid:107)3,ω)(cid:107)u−v(cid:107)3,ω

σ,ω(Ω).

(cid:90) t e−(t−τ )La,kPdiv(G(z)(τ ) + F(τ ))dτ, z(t) = e−tLa,kz0 + t ∈ R+. (4.14)

Rõ ràng G(0) = 0 và (cid:107)G(u)−G(v)(cid:107) 3 với u, v ∈ L3 Hơn nữa, bởi bất đẳng thức H¨older, cho r > d ta có

3+r ,ω ≤ ((cid:107)bω(cid:107)3,ω + (cid:107)v1(cid:107)3,ω + (cid:107)2(cid:107)3,ω)(cid:107)v1 − v2(cid:107)r,ω,

(cid:107)G(v1) − G(v2)(cid:107) 3r

σ,ω(Ω) ∩ Lr

σ,ω(Ω).

v1, v2 ∈ L3

51

Hơn nữa, với ten-xơ F, ta có

2 ,ω = (cid:107)F (t) + (∇bω + bω ⊗ (ω × x − ke3) + Mω − bω ⊗ bω(cid:107) 3

2 ,ω

(cid:107)F(t)(cid:107) 3

2 ,ω + C(cid:107)bω(cid:107)3,ω ≤ (cid:107)F (t)(cid:107) 3

2 ,ω + C(|a| + |k|),

t ∈ R+. ≤ (cid:107)F (t)(cid:107) 3

Vì vậy, áp dụng Định lý 2.2.7 và 3.2.2 ta có được tính bị chặn, ổn định và

σ,ω(Ω)3×3). Khi đó các khẳng định

hầu tuần hoàn của nghiệm đủ tốt của phương trình (4.13).

Định lý 4.1.2. Giả sử F ∈ Cb(R+, L3/2 sau là đúng

2 ,ω, |a|, |k| và (cid:107)z0(cid:107)3,ω đủ nhỏ, phương trình (4.13) có duy

(a) Nếu (cid:107)F (cid:107)∞, 3

σ,ω(Ω)).

nhất nghiệm đủ tốt trong hình cầu đóng của Cb(R+, L3

(b) Nghiệm đủ tốt ˆz của phương trình (4.13) là ổn định, tức là với nghiệm σ,ω(Ω)) của phương trình (4.13) sao cho

2 + 3

2r ,

đủ tốt bất kỳ z ∈ Cb(R+, L3 (cid:107)z(0) − ˆz(0)(cid:107)3,ω là đủ nhỏ, ta có

∀t ≥ 0, (cid:107)z(t) − ˆz(t)(cid:107)r,ω ≤ Ct− 1

3 2

ở đó r là số cố định bất kỳ thỏa mãn r > 3.

σ,ω(Ω)3×3 2 ,ω, |a|, |k| đủ nhỏ, thì phương trình

(c) Giả sử phương trình (4.13) xét với mọi t ∈ R và F ∈ Cb(R, L

là hầu tuần hoàn. Khi đó nếu (cid:107)F (cid:107)∞, 3 (4.13) có duy nhất nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn.

4.1.2 Phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ

thủng

Trong phần này, chúng tôi chỉ ra sự tồn tại của nghiệm đủ tốt bị chặn

của phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng cũng như tính ổn

định và hầu tuần hoàn của nghiệm. Cho Ω ∈ R3 là miền có lỗ thủng với biên trơn ∂Ω, cụ thể, tồn tại số R > k sao cho

+ ∪ R3

−) \ BR(0)

Ω \ BR(0) = (R3

52

ở đó, BR(0) là hình cầu mở trong R3, với k > 0 cố định, kí hiệu R3 ±k := {x ∈ R3 : ±x3 > k} là các nửa không gian trên và dưới. Từ giả thiết Ω là không gian tôpô liên thông nên có thể lấy hai miền con rời nhau Ω± và đa tạp trơn 2 chiều M , nó được gọi là lỗ thủng của Ω, với tính chất sau

±k\BR(0), M ∪∂M = ∂Ω+∩∂Ω− ⊂ BR(0), Ω = Ω+∪Ω−∪M.

Ω±\BR(0) = R3

Sau đây, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm đủ tốt bị chặn của phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng Ω ∈ R3 với thông lượng bằng 0 thông qua lỗ thủng M . Như vậy xét phương trình sau

 ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = divF trong Ω × (0, ∞),

divu = 0 trong Ω × (0, ∞),

(4.15)

M u(x, t)ndσ = 0.

trong Ω, u(x, t) = 0 trên ∂Ω × (0, ∞), u(x, 0) = u0(x) (cid:82)  

σ(Ω), 1 < r < ∞

Chúng tôi đưa ra định nghĩa toán tử Stokes trên Lr

σ(Ω).

0 (Ω) ∩ Lr

A = −P∆, D(A) = W 2,r(Ω) ∩ W 1,r (4.16)

σ (Ω) cũng được suy từ định lý nội suy.

Khi đó −A sinh ra nửa nhóm Stokes giải tích bị chặn (e−tA)t≥0 trên Lr σ(Ω) cho miền có lỗ thủng Ω (Farwing và Sohr [33]). Hơn nữa, đánh giá Lp − Lq của nửa nhóm Stokes (e−tA)t≥0 cho miền có lỗ thủng Ω đã được chứng minh bởi Hishida (xem [34], Định lý 2.1) và sau đó được tổng quát bởi Kubo (xem [35], Định lý 2.2.].) Bởi định lý nội suy, nửa nhóm (e−tA)t≥0 mở rộng thành nửa nhóm giải tích trên không gian Lr,q σ (Ω), 1 ≤ q ≤ ∞, (xem [32]). Hơn nữa, đánh giá phân rã Lr,q − Lp,q cho nửa nhóm (e−tA)t≥0 trên không gian Lr,q

Mệnh đề 4.1.3. Cho 1 < r < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ và định nghĩa chuẩn (cid:107)f (cid:107)r,q trong không gian Lr,q(Ω). Khi đó tồn tại hằng số C = C(r, p, q) để có các bất đẳng thức sau

2 ( 1

p − 1

(i) Cho 1 < p ≤ r < ∞

r )(cid:107)f (cid:107)p,q.

(4.17) (cid:107)e−tAf (cid:107)r,q, (cid:107)e−tA(cid:48) f (cid:107)r,q ≤ Ct− 3

53

2 − 3

2 ( 1

p − 1

(ii) Cho 1 < p ≤ r ≤ 3 và 1 ≤ q < ∞ ta có

r )(cid:107)f (cid:107)p,q.

(4.18) (cid:107)∇e−tAf (cid:107)r,q, (cid:107)∇e−tA(cid:48) f (cid:107)r,q ≤ M t− 1

Áp dụng phép chiếu Helmholtz, phương trình (4.15) trên không gian

σ,ω(Ω) được viết lại như sau

L3

σ,ω(Ω),

(cid:40) t > 0, ut + Au = Pdiv(G(u) + F ), (4.19) u |t=0 = u0 ∈ L3

trong đó,

G(u) = −u ⊗ u.

Khi đó nghiệm đủ tốt của phương trình (4.19) được cho bởi

0

(cid:90) t e−(t−τ )APdiv(G(u)(τ ) + F (τ ))dτ, t ∈ R+. (4.20) u(t) = e−tAu0 +

2 ,ω ≤ ((cid:107)u(cid:107)3,ω + (cid:107)v(cid:107)3,ω)(cid:107)u − v(cid:107)3,ω,

u, v ∈

σ,ω(Ω). Cũng như vậy, cho r > 3 và áp dụng bất đẳng thức H¨older có

Có G(0) = 0 và (cid:107)G(u) − G(v)(cid:107) 3 L3

σ,ω(Ω)∩Lr

σ,ω(Ω).

2 ,ω ≤ ((cid:107)v1(cid:107)3,ω+(cid:107)v2(cid:107)3,ω)(cid:107)v1−v2(cid:107)r,ω,

u, v ∈ L3 (cid:107)G(v1)−G(v2)(cid:107) 3

Vì thế, Định lý 2.2.7 và 3.2.2 mang lại kết quả của phương trình Navier-

σ,ω(Ω)3×3). Khi đó các khẳng định

Stokes trên miền có lỗ thủng Ω.

Định lý 4.1.4. Giả sử F ∈ Cb(R+, L3/2 sau là đúng

(a) Nếu (cid:107)F (cid:107)∞, 3

2 ,ω và (cid:107)u0(cid:107)3,ω đủ nhỏ, phương trình (4.19) có duy nhất σ,ω(Ω)).

nghiệm đủ tốt bị chặn trong hình cầu đóng nhỏ của Cb(R+, L3

(b) Nghiệm đủ tốt bị chặn ˆu của phương trình (4.19) là ổn định theo nghĩa σ,ω(Ω)) của phương trình

2 + 3

2r ,

với nghiệm đủ tốt khác bất kỳ u ∈ Cb(R+, L3 (4.19) sao cho (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107)3,ω là đủ nhỏ, ta có

∀t > 0, (cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107)r,ω ≤ Ct− 1

ở đó r là số cố định bất kỳ thỏa mãn r > 3.

54

3 2

σ,ω(Ω)3×3 2 ,ω đủ nhỏ, phương trình (4.19) có

(c) Giả sử phương trình (4.15) xét với mọi t ∈ R và F ∈ Cb(R, L

là hầu tuần hoàn. Khi đó nếu (cid:107)F (cid:107)∞, 3 duy nhất nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn.

4.1.3 Phương trình Navier-Stokes trong không gian

Besov

Chúng tôi xét phương trình Navier-Stokes trên Rd trong không gian

Besov

ut + (u · ∇)u − ∆u + ∇p = divF trong Rd × R+,

(4.21) ∇u = 0 trong Rd × R+,

   u(t0, ·) = u0(·).

Kết quả về tính trơn của nửa nhóm nhiệt sau là rất quan trọng

Bổ đề 4.1.5. Cho 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ và σ, τ ∈ R với σ ≤ τ . Khi đó tồn tại C > 0 sao cho

Rd,

Rd ≤ Ct− τ −σ

2 (cid:107)f (cid:107) ˙Bσ

p,q

p,q

t > 0 (cid:107)et∆f (cid:107) ˙Bτ

Rd,

Rd ≤ Ct− 1+τ −σ

2 (cid:107)f (cid:107) ˙Bσ

p,q

p,q

t > 0. (4.22) (cid:107)∇et∆f (cid:107) ˙Bτ

Chứng minh. Cách chứng minh là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2.35 và 2.4 trong [18] với công thức của l(Z)-chuẩn.

Bổ đề 4.1.6. Cho p ∈ [2, d) và s = d/p − 1. Khi đó tồn tại C > 0 sao cho

p,∞

p,∞

p,∞

. (4.23) (cid:107)u ⊗ v(cid:107) ˙Bs−1 ≤ C(cid:107)u(cid:107) ˙Bs (cid:107)v(cid:107) ˙Bs

Chứng minh. Đánh giá (4.23) xuất phát từ phép phân tích

(4.24) u ⊗ v = ˙Tuv + ˙Tvu + ˙R(u, v),

ở đó

j(cid:48)≤j−1

|j−j(cid:48)|≤1

(cid:88) (cid:88) ˙R(u, v) = Sj−1u∆j(cid:48)v, ˙∆ju ˙∆j(cid:48)v. ˙Tuv =

Đánh giá cho ˙T và ˙R được đưa ra trong [3. Định lý 2.47 và 2.52].

55

Chú ý rằng phép chiếu Helmholtz P được định nghĩa rõ trên không gian p,q với bất kỳ s ∈ R, q ∈ [1, ∞] và 1 < p < ∞. Vì thế phương trình (4.21)

˙Bs có thể được viết lại dưới dạng

(cid:40) u(cid:48)(t) − ∆u(t) = Pdiv(G(u) + F (t)), t ∈ R+, (4.25) u(0) = u0,

trong đó G(u) = −u ⊗ u.

Hơn nữa, bởi nghiệm đủ tốt của phương trình (4.25) có nghĩa là nghiệm

của phương trình tích phân

0

p − 1 từ Bổ đề 4.1.6 và thực tế là toán tử div là ánh xạ

(cid:90) t e−(t−τ )APdiv(G(u)(τ ) + F (τ ))dτ, t > 0. (4.26) u(t) = e−tAu0 +

p,q với

p,q đến ˙Bs−1

Tiếp theo, cho s = d liên tục từ ˙Bs

σ,ω(Ω)3×3 bởi Y := ˙Bs

σ,ω(Ω) và L3/2

p,∞(Rd) và Khi đó, thay thế không gian L3 X := ˙Bs−2 p,∞(Rd)d×d, và lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2.7 và 3.2.2 ta nhận được kết quả cho tính bị chặn, ổn định và tuần hoàn

(cid:107)G(u) − G(v)(cid:107)(Cb(R,X) ≤ C(d, p)((cid:107)u(cid:107)(Cb(R,Y ) + (cid:107)v(cid:107)(Cb(R,Y ))(cid:107)u − v(cid:107)(Cb(R,Y )

của nghiệm đủ tốt của phương trình (4.25).

p − 1. Cho F ∈ Cb(R, X) Khi đó các khẳng định sau là đúng

Định lý 4.1.7. Giả sử 0 < s ∈ R, p ∈ [2, d) và 3 ≤ d ∈ R sao cho s = d

(a) Nếu (cid:107)F (cid:107)(Cb(R,X) và (cid:107)u0(cid:107)Y đủ nhỏ, thì phương trình (4.25) có duy nhất nghiệm đủ tốt bị chặn trong hình cầu đóng nhỏ của Cb(R+, Y ).

(b) Nghiệm đủ tốt bị chặn ˆu của phương trình (4.25) là ổn định theo nghĩa p,∞(Rd) của phương trình

p,∞(Rd) là đủ nhỏ, ta có

2 + s

2r ,

với nghiệm đủ tốt khác bất kỳ u ∈ Cb(R+, ˙Bs (4.25) sao cho (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107) ˙Bs

p,∞(Rd) ≤ Ct− 1

∀t > 0, (cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107) ˙Bs

ở đó r là số cố định bất kỳ thỏa mãn r > s.

56

3 2

σ,ω(Ω)3×3 2 ,ω đủ nhỏ, phương trình (4.25) có

(c) Giả sử phương trình (4.25) xét với mọi t ∈ R và F ∈ Cb(R+, L

là hầu tuần hoàn. Khi đó nếu (cid:107)F (cid:107)∞, 3 duy nhất nghiệm đủ tốt hầu tuần hoàn.

4.2 Ứng dụng vào phương trình Ornstein-

Uhlenbeck và phương trình truyền nhiệt

với hệ số thô

Với kết quả nhận được từ Chương 2, áp dụng cho phương trình nảy

sinh từ dòng chất lỏng nhớt không thể nén được. Cụ thể, trong phần này

ta áp dụng các kết quả của lý thuyết trừu tượng từ Chương 2 cho phương

trình nửa tuyến tính Ornstein-Uhlenbeck và phương trình truyền nhiệt với

hệ số thô.

4.2.1 Phương trình Ornstein-Uhlenbeck

t > 0, x ∈ Ω, ut − ∆u − M x · ∇u = g(t, u),

(4.27) t > 0, x ∈ ∂Ω,

x ∈ Ω, Chúng tôi xét phương trình Ornstein-Uhlenbeck trên miền ngoại vi Ω ⊂ Rd với C 1,1 biên:    u = 0, u(0) = u0,

trong đó g(t, u) = |u|m−1u + F (t) cho một số cố định m ∈ N nào đó, M ∈ Rd×d và F là hàm bị chặn (trên R+). Với L được cho như sau

Lu(x) := ∆u(x) + M x · ∇u(x), x ∈ Ω.

Khi đó, chúng tôi định nghĩa toán tử Ornstein-Uhlenbeck L trên Lp(Ω) bởi

0 (Ω) : M x · ∇u ∈ Lp(Ω)}.

Lu := Lu, D(L) := {u ∈ W 2,p(Ω) ∩ W 1,p

57

Phương trình (4.27) có thể được viết lại thành

u(cid:48)(t) − Lu(t) = g(t, u), t > 0,   (4.28) u(0)  = u0.

Trong trường hợp này, vế phải không có dạng phân kỳ và do đó ta chọn B = Id để có thể áp dụng các kết quả của mình. Chú ý rằng Lp − Lr là đánh giá trơn cho nửa nhóm etL được biết đến nhờ kết quả được đưa ra trong [17] (cũng xem [36, Mệnh đề 3.4]). Ở đây, ta không dùng đánh giá gradient. Ta có bổ đề sau về đánh giá trơn Lp − Lr cho nửa nhóm Ornstein-Uhlenbeck etL.

Bổ đề 4.2.1. Giả sử Tr M > 0. Cho 1 < r < ∞ và 1 ≤ q ≤ ∞ Khi đó,

2 ( 1

p − 1

với 1 < p ≤ r < ∞ có

r )(cid:107)x(cid:107)Lp,q(Ω).

(4.29) (cid:107)etLx(cid:107)Lr,q(Ω) ≤ Ct− d

2 ( 1

p − 1

r )(cid:107)x(cid:107)Lp(Ω).

Chứng minh. Nhờ [17, Định lý 3.1] và [17, Bổ đề 2.4]) ta có

(cid:107)etLx(cid:107)Lr(Ω) ≤ N t− d

1

Chú ý rằng, đánh giá Lp − Lr được chứng minh trong [17, Định lý 3.1] chứa thừa số ewt với hằng số thực w được chọn sao cho w > − Tr M (xem p [17, Bổ đề. 2.4]). Lại có Tr M > 0, nên có thể lấy w = 0. Lưu ý thêm rằng đánh giá Lp − Lr cho toán tử nghiệm tổng quát không ôtônôm dạng Ornstein-Uhlenbeck được chứng minh trong [36, Mệnh đề 3.4].

Bây giờ, cho 1 < p < r ta chọn các số 1 < p1 < p < p2 < r sao cho (với và chọn p < p2 = r1 < r < r2 sao cho 1 + θ p2

2r

r = 1−θ + θ r1 r2 2 = r1, r2 = r(r+p)

2p

p = 1−θ p1 0 < θ < 1), ví dụ, ta có thể chọn p1 = p(r+p) θ = 1

, và

, p2 = r+p 2. Khi đó, với 1 ≤ q ≤ ∞ sử dụng quan hệ nội suy

(Lp1(Ω), Lp2(Ω))θ,q = Lp,q(Ω),

và

(Lr1(Ω), Lr2(Ω))θ,q = Lr,q(Ω),

58

2

2 ( 1

p − 1 r )

L(Lp1(Ω)),Lr1 (Ω))(cid:107)etL(cid:107)θ − 1 r2

2 ( 1 p2

− 1 r1

( 1 p1

)t− dθ

L(Lp2(Ω)),Lr2 (Ω)) ) = N1N 2t− d

cho toán tử T = etL ta có

(cid:107)etL(cid:107)L(Lp,q(Ω)),Lr,q(Ω)) ≤ N1(cid:107)etL(cid:107)1−θ ≤ N1N 2t− d(1−θ)

suy ra bất đẳng thức (4.29).

d−2

Tiếp theo, việc lựa chọn các không gian hàm sẽ phụ thuộc vào số mũ m−1 > d ≥ 3 và 5 > m > d

d(m−1)

2d(m−1)

d(m−1)

2d(m−1) m+3

2m ,∞(Ω) = L

,∞(Ω)

m của số hạng phi tuyến. Chính xác hơn, với 4m ta định nghĩa các không gian sau

d(m−1)−2m ,1(Ω)(cid:48), Y1 := L

5−m ,∞(Ω), Y2 := L

X := L

(4.30)

d(m−1) 2

,∞(Ω)

và chọn θ = 1/2. Ta có

2 ,∞ = L

(4.31) Y = (Y1, Y2) 1

2d(m−1)

2d(m−1)

(2d−1)(m−1)−4 ,1(Ω).

và tiền đối ngẫu của Y1 và Y2 tương ứng là

(2d+1)(m−1)−4 ,1(Ω) và Z2 = L

d d−2 < m < 5 m−1 > d ≥ 3. Giả sử rằng M ∈ Rd×d thỏa mãn Tr M > 0 và giả sử

Z1 = L

Định lý 4.2.2. Cho Y được định nghĩa như trên, m ∈ N với và 4m F ∈ L∞(R+; Y ).

(a) Nếu (cid:107)u0(cid:107)Y , (cid:107)F (cid:107)∞,Y và ρ đủ nhỏ, thì phương trình (4.28) có duy nhất nghiệm đủ tốt ˆu trong hình cầu Bρ := {u ∈ Cb(R+; Y ) : (cid:107)u(cid:107)∞,Y ≤ ρ}.

(b) Nghiệm ˆu của (4.28) là ổn định theo nghĩa nếu có nghiệm bất kỳ khác u ∈ Cb(R+, Y ) của (4.28) sao cho (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107)Y là đủ nhỏ thì ta có

4rm

với mọi t > 0, (4.32) (cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107)Lr,∞(Ω) ≤ C 2 − d(m−1) t 1

d(m−1)−2m > d(m−1) 2m .

với số bất kỳ r > d(m−1)

59

4 và α2 = 3

4. Ta có, α1 > 1 > α2 > 0 và 2 . Khi đó, nhờ đánh giá Lp−Lq cho nửa nhóm Ornstein-Uhlenbeck

2 + α2

Chứng minh. Ta chọn α1 = 5 1 = α1 trên miền ngoại vi (xem bổ đề 4.2.1 ) ta nhận được

4 (cid:107)u(cid:107)

2d(m−1) (2d+1)(m−1)−4 ,1

2d(m−1)

(cid:107)etLu(cid:107) d(m−1)

4 (cid:107)u(cid:107)

d(m−1)−2m ,1 ≤ Ct− 5 d(m−1)−2m ,1 ≤ Ct− 3

(2d−1)(m−1)−4 ,1.

d(m−1) 2j

d(m−1) 2

d(m−1) 2

,∞(Ω) ta có |v1−v2| ∈ L

,∞(Ω), |v1|j ∈ L

d(m−1)

d(m−1)

2m ,∞(Ω) (từ

(cid:107)etLu(cid:107) d(m−1)

2

d(m−1)

2m ,∞(Ω)

,∞

d(m−1) 2

d(m−1) 2j

d(m−1) 2(m−1−j)

,∞(Ω)

L

,∞(Ω)

Bây giờ ta đánh giá hàm g, trước hết có g(t, 0) = F (t). Hơn nữa, cho ,∞(Ω), 2(m−1−j) ,∞(Ω) với 0 < j < m − 1. Do đó, nhờ bất đẳng 2m d(m−1) =

(Ω)

d(m−1) 2

L

d(m−1) 2

d(m−1) 2

(cid:107)|v2|m−1−j(cid:107) L

,∞(Ω)

,∞(Ω)

(cid:107)v2(cid:107)m−1−j L

Y

v1, v2 ∈ Y = L và |v2|m−1−j ∈ L thức H¨older yếu ta có |v1 − v2||v1|j|v2|m−1−j ∈ L d(m−1) + 2(m−1−j) d(m−1) + 2j d(m−1) ) và (cid:13)|v1 − v2||v1|j|v2|m−1−j(cid:13) (cid:13) (cid:13) L (cid:107)|v1|j(cid:107) ≤ (cid:107)v1 − v2(cid:107) L (cid:107)v1(cid:107)j ,∞(Ω) L Y (cid:107)v2(cid:107)m−1−j

d(m−1)

d(m−1)

≤ (cid:107)v1 − v2(cid:107) = (cid:107)v1 − v2(cid:107)Y (cid:107)v1(cid:107)j ≤ ρm−1 (cid:107)v1 − v2(cid:107)Y với mọi v1, v2 ∈ Bρ := {v ∈ Y : (cid:107)v(cid:107)Y ≤ ρ} và 0 < j < m − 1.

2m ,∞ ≤ ρm−1(cid:107)v1 − v2(cid:107)Y 2m ,∞ ≤ ρm−1(cid:107)v1 − v2(cid:107)Y . Vì vậy,

d(m−1)

Tương tự, (cid:13) và (cid:13) (cid:13)|v1 − v2||v1|m−1(cid:13) (cid:13) L (cid:13)|v1 − v2||v2|m−1(cid:13) (cid:13) L

2m ,∞(Ω)

m−1 (cid:88)

(cid:107)g(t, v1) − g(t, v2)(cid:107)X = (cid:107)g(t, v1) − g(t, v2)(cid:107) L

d(m−1)

2m ,∞(Ω)

j=0

(4.33) ≤ (cid:13)|v1 − v2||v1|j|v2|m−1−j(cid:13) (cid:13) (cid:13) L

≤ mρm−1(cid:107)v1 − v2(cid:107)Y với mọi v1, v2 ∈ Bρ.

Phần (a) của định lý đã được chứng minh.

d(m−1)−2m > d(m−1) 2m ,

d(m−1)r

Tiếp theo, với số cố định bất kỳ r > d(m−1)

r−1 <

d(m−1)(r−1)−2mr . Do đó, ta có thể chọn số thực q1, q2 sao cho

thì 1 < r

1 < q1 < < q2 < r r − 1 d(m − 1)r d(m − 1)(r − 1) − 2mr

60

r = 1−ζ q1

. + ζ q2

q1

q2 q2−1 ,∞(Ω)

q1−1 ,∞(Ω), Θ2 := L

và chọn ζ ∈ (0, 1) sao cho r−1 Không gian Θ1, Θ2 được chọn là

ζ,1 = Lr,∞(Ω).

Θ1 := L

d(m−1)r

d(m−1)r

d(m−1)+2mr ,∞(Ω) = L

d(m−1)(r−1)−2mr ,1(Ω)(cid:48).

suy ra (Θ1, Θ2)ζ,∞ = (Lq1,∞(Ω), Lq2,∞(Ω))(cid:48) Hơn nữa

d(m−1)r

d(m−1)(r−1)−2mr > 1.

W := L

r

Chú ý điều kiện của d, m, và r đảm bảo rằng Hơn nữa, (Θ1, Θ2)ζ,∞ có tiền đối ngẫu Banach

r−1 ,1(Ω) = (Lq1,∞(Ω), Lq2,∞(Ω))ζ,1.

L

2 − d(m−1)

4mr

Cuối cùng, β := 3 ; và β1, β2 được chọn như sau

− + ( ) βj := 1 2 d(m − 1) 4mr d(m − 1)(r − 1) − 2mr d(m − 1)r 1 qj

với j = 1, 2, cho β1 > 1 > β2 > 0 và 1 = (1 − ζ)β1 + ζβ2. Khi đó, nhờ đánh giá Lp − Lq cho nửa nhóm Ornstein-Uhlenbeck như trên ta có

(cid:107)etLψ(cid:107)Θ1 = (cid:107)etLψ(cid:107) q1 (4.34)

d(m−1)+2mr ,∞ = Ct−β1(cid:107)ψ(cid:107)W d(m−1)+2mr ,∞ = Ct−β2(cid:107)ψ(cid:107)W

q1−1 ,∞ ≤Ct−β1(cid:107)ψ(cid:107) d(m−1)r q2−1 ,∞ ≤Ct−β2(cid:107)ψ(cid:107) d(m−1)r

2 − d(m−1)

4mr

(cid:107)etLψ(cid:107)Θ2 = (cid:107)etLψ(cid:107) q2

với hằng số C > 0 không phụ thuộc t và ψ. Hơn nữa, cho β := 3 ta có

(4.35)

(cid:107)etLψ(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞ = (cid:107)etLψ(cid:107)Lr,∞(Ω) ≤ Ct1−β(cid:107)ψ(cid:107)Y (cid:107)etLψ(cid:107)(Θ1,Θ2)ζ,∞ = (cid:107)etLψ(cid:107)Lr,∞(Ω) ≤ Ct−β(cid:107)ψ(cid:107)X.

Tiếp theo, bằng cách tương tự trong (4.33), ta có thể dễ dàng nhận được

tính Lipschitz của g trong (2.25).

Dó đó, áp dụng Định lý 2.2.4 được khẳng định (b).

61

4.2.2 Phương trình truyền nhiệt với hệ số thô

Xét hàm đo được b : Rd → C thỏa mãn

b ∈ L∞(Rd) và Re b ≥ δ > 0 với δ > 0. (4.36)

Trong phần này chúng tôi tìm nghiệm bị chặn của phương trình

t > 0, x ∈ Rd,   ut − b∆u = g(t, u), (4.37) u(0)  = u0,

−a|x−y|2 bt

trong đó, toán tử g có dạng g(t, u) = |u|m−1u + F (t) với số cố định m ∈ N và hàm bị chặn F (trên R+). Duong và Ouhabaz [37] đã chứng minh toán tử −L được định nghĩa trên Lp(Rd) bởi Lu := −b∆u sinh ra nửa nhóm giải tích bị chặn T (t) trên Lp(Rd) với mọi 1 < p < ∞ và (T (t)f )(x) = (cid:82) Rd K(t, x, y)f (y)dy với t > 0 và với mọi x, y ∈ Rd ở đó

e , t > 0, x, y ∈ Rd, |K(t, x, y)| ≤ M td/2

với hằng số M, a, b > 0. Phương trình (4.37) có thể được viết lại dưới dạng

u(cid:48)(t) + Lu(t) = g(t, u), t > 0,   (4.38) u(0)  = u0.

Đánh giá trên đối với K(t, x, y) cho phép chúng tôi xác minh Giả thiết

2.1.1 và chứng minh tương tự như trên để có được kết quả sau, trong đó

d

d−2 < m < 5 và 4m

không gian X và Y được định nghĩa như trong (4.30) và (4.31).

Định lý 4.2.3. Cho m ∈ N với m−1 > d ≥ 3. Giả sử b thỏa mãn (4.36) và F ∈ L∞(R+; Y ) với Y được định nghĩa như trong (4.31).

(a) Nếu (cid:107)u0(cid:107)Y , (cid:107)F (cid:107)∞,Y và ρ đủ nhỏ, thì phương trình (4.38) có duy nhất nghiệm đủ tốt ˆu trong hình cầu Bρ := {u ∈ Cb(R+; Y ) : (cid:107)u(cid:107)∞,Y ≤ ρ}.

62

(b) Nghiệm bị chặn ˆu là ổn định, tức là với nghiệm bất kỳ khác u ∈

Cb(R+, Y ) của (4.38) sao cho (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107)Y là đủ nhỏ ta có

4rm

với mọi t > 0, (cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107)Lr,∞(Rd) ≤ C 2 − d(m−1) t 1

d(m−1)−2m > d(m−1) 2m .

và với số bất kỳ r > d(m−1)

4.3 Ứng dụng vào nửa nhóm hyperbolic

Trong phần này chúng tôi áp dụng các kết quả trừu tượng của Phần 3.1 Chương 3 cho trường hợp nửa nhóm (T (t))t≥0 là hyperbolic. Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ chứng minh (T (t))t≥0 là ϕ-ổn định có điều kiện với φ(t) = M e−νt, t ≥ 0 là hàm giảm cấp mũ (ν > 0). Chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn của phương

trình tuyến tính (3.1) và phương trình nửa tuyến tính (3.7). Để làm như

vậy, trước hết ta chứng minh phương trình (3.1) có ít nhất một nghiệm đủ

tốt bị chặn để chúng ta có thể áp dụng Định lý 3.1.3 để có được sự tồn tại

của nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn.

Nhận xét 4.3.1. Nếu (T (t))t≥0 là hyperbolic thì (T (t))t≥0 là ϕ-ổn định có điều kiện với hàm ϕ(t) = M e−νt với mọi t ≥ 0.

Bổ đề 4.3.2. Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 là hyperbolic với phép chiếu nhị phân P và hằng số M, ν > 0. Cho f ∈ Cb(R+, Y ) và g : Cb(R+, Y ) → Cb(R+, Y ) thỏa mãn các điều kiện trong (3.8). Khi đó, các khẳng định sau là đúng

(a) Cho v ∈ Cb(R+, Y ) là nghiệm đủ tốt của phương trình (3.2) (tức là nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1)). Khi đó v có thể được viết lại

dưới dạng

0

(cid:90) ∞ G(t − τ )f (τ )dτ (4.39) v(t) = T (t)ξ0 + với ξ0 ∈ P Y,

(b) Cho u ∈ Cb(R+, Y ) là nghiệm của phương trình (3.9) sao cho

supt≥0 (cid:107)u(t)(cid:107)Y ≤ ρ với ρ > 0 cố định. Khi đó, với t ≥ 0 hàm u có thể

63

được viết dưới dạng

0

0 G(t − τ )f (τ )dτ với t ≥ 0.

(cid:90) ∞ G(t − τ )g(u)(τ )dτ (4.40) u(t) = T (t)v0 + với v0 ∈ P Y,

với G như trong phần (a). Chứng minh. (a). Đặt y(t) := (cid:82) ∞ Từ f ∈ Cb(R+, Y ), sử dụng đánh giá (2.36) ta có

0

(cid:90) ∞ ∀t ≥ 0. e−ν|t−τ |dτ ≤ (cid:107)y(t)(cid:107) ≤ (1 + (cid:107)P (cid:107))M (cid:107)f (cid:107)Cb 2(1 + (cid:107)P (cid:107))M (cid:107)f (cid:107)Cb v

Hơn nữa, y(t) thỏa mãn phương trình

0

(cid:90) t T (t − τ )f (τ )dτ với t ≥ 0. y(t) = T (t)y0 +

Từ v(t) là nghiệm của phương trình (3.2) ta có

v(t) − y(t) = T (t)(v(0) − y(0)) với t ≥ 0. Giờ ta đặt ξ0 = v(0) − y(0). Tính bị chặn của v(·) và y(·) trên [0, ∞) suy ra ξ0 ∈ P Y . Cuối cùng, từ v(t) = T (t)ξ0 + y(t) với t ≥ 0, phương trình (4.39) thỏa mãn.

(b). Tương tự như trong phần (a), ta đặt y(t) := (cid:82) ∞ 0 G(t − τ )G(u)(τ )dτ với t ≥ 0. Từ g thỏa mãn các điều kiện trong (3.8) và sử dụng đánh giá (2.36) ta có

0

(cid:90) ∞ (cid:107)y(t)(cid:107) ≤ (1 + (cid:107)P (cid:107))M e−ν|t−τ |((cid:107)g(u)(τ ) − g(0)(τ )(cid:107) + (cid:107)g(0)(τ )(cid:107))dτ

0

(cid:90) ∞ ≤ (1 + (cid:107)P (cid:107))M (Lρ + γ) e−ν|t−τ |dτ

≤ với t ≥ 0. 2(1 + (cid:107)P (cid:107))M (Lρ + γ) v

Ngoài ra, y(·) thỏa mãn phương trình

0

(cid:90) t T (t − τ )g(u)(τ )dτ. y(t) = T (t)y0 +

Do u(t) là nghiệm của phương trình (3.9) nên ta có v(t) − y(t) = T (t)(v(0) − y(0)) với t ≥ 0. Giờ ta đặt v0 = u(0) − y(0). Tính bị chặn của u(·) và y(·) trên R+ suy ra v0 ∈ P Y . Cuối cùng, từ u(t) = T (t)v0 + y(t) với t ≥ 0, phương trình (4.40) thỏa mãn.

64

Nhận xét 4.3.3. Từ các tính toán đơn giản cho thấy điều ngược lại của

khẳng định (a) và (b) cũng đúng, tức là, nghiệm của phương trình (4.39)

thỏa mãn phương trình (3.2) với t ≥ 0 và nghiệm của phương trình (4.40)

thỏa mãn phương trình (3.9) với t ≥ 0.

Định lý tiếp theo chỉ ra sự tồn tại của nghiệm bị chặn của phương trình

(3.2) và (3.9) (tức là nghiệm đủ tốt bị chặn của phương trình (3.1) và (3.7)

tương ứng) và do đó là các nghiệm tuần hoàn

Định lý 4.3.4. Xét phương trình (3.2) và (3.9). Cho nửa nhóm (T (t))t≥s≥0 là hyperbolic với phép chiếu nhị phân P và hằng số M, ν. Cho f ∈ Cb(R+, Y ) là T -tuần hoàn và g : Cb(R+, Y ) → Cb(R+, Y ) thỏa mãn các điều kiện trong (3.8) với các hằng số đã cho σ, L, γ. Khi đó, các khẳng định sau là đúng

(a) Phương trình (3.2) có duy nhất nghiệm T -tuần hoàn.

(b) Với L, γ đủ nhỏ phương trình (3.9) có duy nhất nghiệm T -tuần hoàn.

Chứng minh. (a). Với f ∈ Cb(R+, Y ) đã cho lấy ξ0 = 0 ∈ P Y trong (4.39) ta có phương trình (3.2) có nghiệm bị chặn

0

(cid:90) ∞ u(t) = G(t − τ )f (τ )dτ. (4.41)

và nghiệm này có thể được đánh giá bằng cách sử dụng bất đẳng thức (1.5)

bởi

(4.42) (cid:107)f (cid:107)Cb. (cid:107)u(cid:107)Cb ≤

2M ((cid:107)P (cid:107) + 1) v Từ Nhận xét 4.3.1 ta có (T (t))t≥0 là ϕ-ổn định có điều kiện với ϕ(t) = M e−νt, t ≥ 0. Sau đó áp dụng Định lý 3.1.3 ta có được với hàm T -tuần hoàn f ∈ Cb(R+, Y ) tồn tại nghiệm T -tuần hoàn ˆu của phương trình (3.2) (tức là nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn của phương trình (3.2)) thỏa mãn

(4.43) (cid:107)ˆu(cid:107)Cb ≤ ˜M (cid:107)f (cid:107)Cb.

(cid:17) với ˜M := + T (cid:107)T (t)(cid:107). Tính duy nhất của nghiệm T -tuần (cid:16) 2M ((cid:107)P (cid:107)+1) v sup 0≤t≤T

hoàn xuất phát từ thực tế là đối với hai nghiệm liên tục và T -tuần hoàn

65

(do đó bị chặn trên R) ˆu và ˆv ta nhận được bởi sử dụng dạng cho nghiệm bị chặn (4.39) mà (cid:107)ˆu(t) − ˆv(t)(cid:107) = (cid:107)T (t)(u0 − v0)(cid:107) ≤ M e−νt(cid:107)(u0 − v0)(cid:107) → 0 khi t → ∞ với u0, v0 ∈ P X. Từ điều này cùng với tính ổn định suy ra ˆu(t) = ˆv(t) với mọi t ≥ 0. (b). Từ (a), với mỗi hàm đầu vào T -tuần hoàn

f , phương trình (3.2) có duy nhất nghiệm T -tuần hoàn ˆu thỏa mãn bất

đẳng thức (4.43). Vì thế khẳng định (b) được suy ra từ Định lý 3.1.4.

Kí hiệu Br(x), (Br(v)) là hình cầu trong Y, (Cb(R+, Y )) tâm x,

(hoặc tâm v) với bán kính r.

Định lý sau chỉ ra điều kiện ổn định của nghiệm tuần hoàn của phương

trình (3.9).

2M

Định lý 4.3.5. Cho các giả thiết của Định lý 4.3.4 được thỏa mãn. Giả sử

ˆu là nghiệm tuần hoàn của phương trình (3.9) thu được trong khẳng định (b) của Định lý 4.3.4. Cho Bρ(0) là hình cầu chứa ˆu như trong khẳng định (b) của Định lý 4.3.4. Giả sử tồn tại hằng số dương L1 sao cho (cid:107)g(v1 − g(v2)(cid:107)Cb ≤ L1(cid:107)v1 − v2(cid:107)Cb với mọi v1, v2 ∈ B2ρ(0). Khi đó, nếu L1 là đủ nhỏ, tương ứng với mỗi v0 ∈ B ρ (P ˆu(0)) ∩ P X có một và chỉ một nghiệm u(t) của phương trình (3.9) trên R+ thỏa mãn điều kiện P u = v0 và u ∈ Bρ(ˆu). Hơn nữa, nghiệm ˆu là ổn định có điều kiện theo nghĩa sau: với mọi nghiệm

u(t) có đánh giá

(cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107) ≤ Ce−µt(cid:107)P u(0) − P ˆu(0)(cid:107), với t ≥ 0. (4.44)

với hằng số dương C và µ nào đó độc lập với u và ˆu.

2M

(P ˆu(0)) ∩ P Y , ta sẽ chứng minh hàm biến đổi

Chứng minh. Cho v0 ∈ B ρ F cho bởi

0

(cid:90) ∞ G(t − τ )g(w)(τ )dτ với t ≥ 0 (F w)(t) = T (t)v0 +

là ánh xạ đi từ Bρ(ˆu) vào Bρ(ˆu) và là ánh xạ co. Thật vậy, với w(·) ∈ Bρ(ˆu) ta có

(4.45) (cid:107)w(cid:107)Cb ≤ (cid:107)w − ˆu(cid:107)Cb + (cid:107)ˆu(cid:107)Cb ≤ 2ρ

66

và (cid:107)g(w) − g(ˆu)(cid:107)Cb ≤ L1(cid:107)w − ˆu(cid:107)Cb ≤ L1ρ. Do đó, ta đặt

0

(cid:90) ∞ G(t − τ )g(w)(τ )dτ với t ≥ 0 y(t) := (F w)(t) = T (t)v0 +

ta có

0

(cid:107)y(t) − ˆu(t)(cid:107) ≤ M e−νt(cid:107)v0 − P (0)ˆu(0)(cid:107) (cid:90) ∞ +(1 + (cid:107)P (cid:107))M

≤ M (cid:107)v0 − P (0)ˆu(0)(cid:107) + e−ν|t−τ |dτ (cid:107)g(w) − g(ˆu)(cid:107)Cb 2(1 + (cid:107)P (cid:107))M L1ρ ν

với mọi t ≥ 0. Vì thế,

2M nên ta có được nếu L1 đủ nhỏ, thì phép biến đổi

. (cid:107)F (w) − ˆu(cid:107)Cb ≤ M (cid:107)v0 − P (0)ˆu(0)(cid:107) + 2(1 + (cid:107)P (cid:107))M L1ρ ν

Vì (cid:107)v0 − P (0)ˆu(0)(cid:107) ≤ ρ F đi từ Bρ(ˆu) vào Bρ(ˆu). Cho x, z ∈ Bρ(ˆu) (tương tự như trong (4.45) có (cid:107)x(cid:107)Cb, (cid:107)z(cid:107)Cb ≤ 2ρ) ta đánh giá

0

(cid:90) ∞ (cid:107)(F x)(t) − (F z)(t)(cid:107) ≤ (cid:107)G(t − τ )(cid:107)(cid:107)g(x)(τ ) − g(z)(τ )(cid:107)dτ

0

(cid:90) ∞ ≤ (1 + (cid:107)P (cid:107))M với t ≥ 0 e−v|t−τ |dτ (cid:107)g(x) − g(z)(cid:107)Cb

Vì thế,

ν

(cid:107)x(·) − z(·)(cid:107)Cb (cid:107)F x − F z(cid:107)Cb ≤ 2(1 + (cid:107)P (cid:107))M L1 ν

Vì 2(1+(cid:107)P (cid:107))M L1 < 1 nên ta có F : Bρ(ˆu) → Bρ(ˆu) là ánh xạ co. Do đó tồn tại duy nhất u ∈ Bρ(ˆu) sao cho F u = u. Bởi định nghĩa của F ta có u là nghiệm duy nhất trong Bρ(ˆu) của phương trình (4.40) với t ≥ 0. Bởi Bổ đề 4.3.2 và Nhận xét 4.3.3 ta có u là nghiệm duy nhất trong Bρ(ˆu) của phương trình (3.9).

Cuối cùng ta chứng minh đánh giá (4.45). Giả sử cả u và ˆu đều bị chặn trên R+, ta sử dụng công thức (4.40) để viết

0

(cid:90) ∞ G(t − τ )(g(u)(τ ) − g(ˆu)(τ )dτ. u(t) − ˆu(t) = T (P u(0) − P ˆu(0)) +

67

Vì thế

0

(cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107) ≤ M e−νt(cid:107)P u(0) − P ˆu(0)(cid:107) (cid:90) ∞ +(1 + (cid:107)P (cid:107))M e−ν|t−τ |(cid:107)g(u)(τ ) − g(ˆu)(τ )(cid:107)dτ

0

≤ M e−νt(cid:107)P u(0) − P ˆu(0)(cid:107) (cid:90) ∞ e−ν|t−τ |(cid:107)u(τ ) − ˆu(τ )(cid:107)dτ. +(1 + (cid:107)P (cid:107))M L1

2 ta có

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall với β := (1 + (cid:107)P (cid:107))M L1 < ν

2M ν √

(cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107) ≤ Ce−µt(cid:107)P u(0) − P ˆu(0)(cid:107)

ν+

ν2−2νβ

. với µ := (cid:112)ν2 − 2νβ, C :=

2M

Nhận xét 4.3.6. Định lý trên chỉ ra điều kiện ổn định của nghiệm tuần

hoàn ˆu theo nghĩa nếu có nghiệm u nào khác sao cho P u(0) ∈ B ρ (P ˆu(0))∩ P Y và u trong hình cầu nhỏ Bρ(ˆu) ta có (cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107) → 0 theo cấp mũ khi t → ∞.

Hệ quả 4.3.7. Cho các giả thiết của Định lý 4.3.4 và cho ˆu là nghiệm

tuần hoàn của phương trình (3.9) thu được trong khẳng định (b) của Định lý 4.3.4. Giả sử nửa nhóm (T (t))t≥0 là ổn định mũ. Khi đó nghiệm tuần hoàn ˆu là ổn định mũ theo nghĩa nếu có nghiệm bất kỳ khác u ∈ Cb(R+, Y ) của (3.9) sao cho (cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107) là đủ nhỏ ta có

(cid:107)u(t) − ˆu(t)(cid:107) ≤ Ce−µt(cid:107)u(0) − ˆu(0)(cid:107) với mọi t ≥ 0, (4.46)

với hằng số dương C và µ độc lập với u và ˆu.

Chứng minh. Áp dụng Định lý 4.3.5 với P = Id, ta nhận được kết quả

trên.

4.4 Ứng dụng vào phương trình truyền sóng

Trong phần này chúng tôi xét các ứng dụng của kết quả nhận được

trong Phần 3.1 Chương 3 cho phương trình truyền sóng.

68

Giả sử A là toán tử tự liên hợp, xác định dương với giải compact trong không gian Hilbert H và r : D(A 1 2 ) → H thuộc lớp C 1 với r(0) = 0, r(cid:48)(0) = 0. Ta xét phương trình truyền sóng

¨u + α ˙u + Au + ωu = r(u) + f (t), t > 0,

(4.47) t > 0,

   u(0) = u0, ˙u(0) = u1; u0, u1 ∈ H,

ở đó α > 0, ω ∈ R là hằng số, f ∈ Cb(R+, H) là ngoại lực. Để chuyển đổi phương trình này sang dạng phương trình u(cid:48)(t) − Au(t) = (cid:32) (cid:33) u g(u)(t) ta đặt v = ˙u và sử dụng biến U = trong không gian X =

v 2 ) × H. Khi đó ta nhận được phương trình D(A 1

t > 0,   (cid:33) (4.48) ∈ X, U (0) =  ∂tU = AU + g(U ), (cid:32) u0 u1

2 ) × H, và g(U ) =

(cid:32) (cid:33) 0 1 trong đó ma trận A được xác định bởi A = với miền −A − ω −α (cid:32) (cid:33) 0 D(A 1 Đã chứng minh trong ([38], trang r(u) + f (t)

4724) rằng toán tử A sinh ra C0-nửa nhóm hyperbolic (etA)t≥0 nếu −ω /∈ σ(A). Hơn nữa, vì toán tử r là của C 1 và r(0) = r(cid:48)(0) = 0 nên r là Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz nhỏ trong lân cận nhỏ của 0. Do đó toán

tử g thỏa mãn các điều kiện trong (3.8) với Y = X, g(0) = f và với hằng

số Lipschitz là nhỏ nếu bán kính ρ nhỏ. Do đó áp dụng Định lý 4.3.4 và

4.3.5 ta nhận được kết quả cho phương trình truyền sóng (4.47).

Định lý 4.4.1. Cho A là toán tử tự liên hợp, xác định dương với giải thức compact trong không gian Hilbert H, α > 0 và ω ∈ R sao cho −ω /∈ σ(A). Giả sử r : D(A 1 2 ) → H thuộc lớp C 1 với r(0) = r(cid:48)(0) = 0. Cho f ∈ Cb(R+, H) là T -tuần hoàn. Khi đó nếu (cid:107)f (cid:107)Cb(R+,H) là đủ nhỏ thì phương trình (4.47) có duy nhất nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn ˆu trong lân cận nhỏ

69

của 0. Hơn nữa, nghiệm ˆu này là ổn định có điều kiện theo nghĩa của Định

lý 4.3.5.

Ví dụ 4.4.2. Xét phương trình truyền sóng với ngoại lực phi tuyến

(4.49) t ∈ R+, x ∈ Ω, ∂2 t u + α∂tu − ∆u = h(u) + f (t);

trong đó Ω là miền bị chặn với biên thuộc lớp C 2 trong Rn, n = 1, 2, 3, với các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann đồng nhất, và α > 0 là hằng số. Số hạng phi tuyến h được cho sao cho h là của lớp C 1 với h(0) = 0. Khi đó, đặt ω = −h(cid:48)(0) − 1, phương trình (4.49) tương đương với

t u + α∂tu + (I − ∆)u + ωu = h(u) − h(cid:48)(0)u + f (t); ∂2

t ∈ R+, x ∈ Ω.

Phương trình trên có thể viết lại dưới dạng

2 ) ⊂ H 1

t ∈ R+, ∂2 t u + α∂tu + Au + ωu = r(u) + f (t);

với A = I − ∆ và r(u) := h(u) − h(cid:48)(0)u. Sau đó với lựa chọn H := L2(Ω), 0 (Ω) ∩ H 2(Ω) là tự liên hợp, đã biết rằng A = I − ∆ với miền D(A) = H 1 xác định dương và có giải compact. Hơn nữa, bởi phép nhúng Sobolev, dễ dàng thấy rằng toán tử r là C 1 ánh xạ từ D(A 1 0 (Ω) vào H. Vì thế áp dụng Định lý 4.3.5 và 4.4.1, với điều kiện −ω /∈ σ(A), tức là −h(cid:48)(0) /∈ σ(∆), cho thấy với f là T -tuần hoàn và đủ nhỏ, phương trình sóng tắt dần (4.49) có duy nhất nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn ˆu trong hình cầu nhỏ của Cb(R+, H) và nghiệm tuần hoàn này ổn định có điều kiện.

Ví dụ 4.4.3. Xét hệ thống thanh dầm Timoshenko tắt dần với tải phi tuyến

t w + α∂tw − k∂x(ϕ + ∂xw)u = ∂wΨ(w, ϕ) + f (t); ∂2 t ϕ + α∂tϕ + k∂x(ϕ + ∂xw) − (cid:15)∂2 ∂2 xϕ = ∂ϕΨ(w, ϕ);

t ∈ R+, x ∈ [0, 1], t ∈ R+, x ∈ [0, 1],

(4.50)

với điều kiện biên

w(t, 0) = ϕ(t, 0) = 0, ∂xw(t, l) + ϕ(t, l) = ∂xϕ(t, l) = 0.

70

Để biết chi tiết về mô hình hóa và dẫn xuất vật lý của thanh dầm Tim- oshenko tắt dần, xem trong [25]. Ở đây, hằng số α, k, (cid:15) là dương, và Ψ : R2 → R là của lớp C 2 với ∇Ψ(0) = 0. Sau đó, chọn H = L2(0, l)2 và (cid:32) (cid:33)

A = − ∇2Ψ(0) − ω, −κ∂2 x −κ∂x κ∂x κI − (cid:15)∂2 x

được trang bị các điều kiện biên, và r(u) = ∇Ψ(u) − ∇2Ψ(0)u, trong đó u = (w, ϕ)T . Sau đó các giả thiết của Định lý 4.3.5 và 4.4.1 được đưa ra, với điều kiện là −ω ≥ 0 là đủ lớn và −ω /∈ σ(A). Do đó áp dụng Định lý 4.3.5 và 4.4.1 ta nhận được hàm T -tuần hoàn f ∈ Cb(R+, H) với (cid:107)f (cid:107)Cb là đủ nhỏ, hệ thống thanh dầm Timoshenko tắt dần với tải phi tuyến có duy nhất nghiệm đủ tốt T -tuần hoàn ˆu trong hình cầu nhỏ của Cb(R+, H) và nghiệm tuần hoàn này ổn định có điều kiện.

Kết luận Chương 4

Trong chương này, chúng tôi áp dụng các kết đạt được trong Chương 2

để ứng dụng vào các phương trình Ornstein - Uhlenbeck và phương trình

nhiệt với hệ số thô. Các kết đạt được trong Chương 2, 3 đã được ứng dụng

vào các phương trình: phương trình Navier-Stokes-Oseen (Định lý 4.1.2),

phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng (Định lý 4.1.4), phương

trình Navier-Stokes trong không gian Besov (Định lý 4.1.7). Trong phần 3.1 Chương 3, với nửa nhóm (T (t))t≥0 là ϕ-ổn định có điều kiện, chúng tôi áp dụng cho nửa nhóm hyperbolic và phương trình truyền sóng. Kết quả

đạt được là chỉ ra là sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định của nghiệm bị

chặn, chỉ ra điều kiện ổn định của nghiệm tuần hoàn của các phương trình

trên.

Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [1], [2], [3] trong Danh

mục công trình của tác giả liên quan đến luận án.

71

KẾT LUẬN

Luận án đã sử dụng tính chất trơn của nửa nhóm, tính Lipschitz của g

và sử dụng định lý nội suy cho nửa nhóm liên tục mạnh sinh bởi toán tử

Stokes kết hợp với đánh giá đối ngẫu và nguyên lý ánh xạ co, chứng minh

được sự tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm bị chặn của

phương trình tiến hóa.

Luận án sử dụng tính bị chặn và điều kiện ϕ-ổn định của nửa nhóm

tương ứng để xây dựng dãy Cauchy hội tụ tới véc tơ ban đầu từ đó đưa ra

nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa.

Đưa ra các ứng dụng vào các phương trình cụ thể minh họa cho phần

lý thuyết đã trình bày.

Những kết quả chính luận án đạt được là:

• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất, tính bị chặn và ổn định của

nghiệm các phương trình tiến hóa

(cid:40) ut + Au = Bg(t, u)

u|t=0 = u0 ∈ (Y1, Y2)θ,∞,

(cid:40)

ut + Au = Pdiv(G(u) + F (t)) u|t=0 = u0 ∈ (Y1, Y2)θ,∞.

Kết quả trên được áp dụng cho các phương trình cụ thể như phương

trình Ornstein-Uhlenbeck, phương trình truyền nhiệt với hệ số thô.

• Chỉ ra sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tuần hoàn của phương

trình tiến hóa với tính bị chặn và ϕ-ổn định có điều kiện của nửa nhóm (T (t))t≥0. (cid:40)

u(cid:48) − Au = f (t), u(0) = u0 ∈ Y,

(cid:40)

u(cid:48)(t) = Au(t) + g(u)(t), u(0) = u0 ∈ X.

72

Chúng tôi áp dụng những kết quả trừu tượng trên cho nửa nhóm

hyperbolic và phương trình truyền sóng.

• Chứng minh sự tồn tại duy nhất và ổn định của nghiệm hầu tuần

hoàn bị chặn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổng quát.

t ∈ R. zt + Az = Pdiv(G(z) + F (t)),

• Các kết quả trên được áp dụng cho các phương trình Navier-Stokes-

Oseen, phương trình Navier-Stokes trong miền có lỗ thủng, phương

trình Navier-Stokes trong không gian Besov.

Luận án có thể tiếp tục theo một số chủ đề sau:

• Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm tuần hoàn của phương trình

Navier - Stokes trên đa tạp không compact.

73

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA

LUẬN ÁN

1. Thieu Huy Nguyen, Viet Duoc Trinh, Thi Ngoc Ha Vu, Thi

Mai Vu, 2017, “Boundedness, Almost Periodicity and Stabil-

ity of Certain Navier-Stokes Flows in Unbounded Domains,”

Journal of Differential Equations, Vol.263, 8979-9002.

2. Thi Ngoc Ha Vu, Thieu Huy Nguyen, Thi Mai Vu, 2020,

“Parabolic Evolution Equations in Interpolation Spaces: Bound-

edness, Stability, and Applications,” Zeitschrift f¨uer Ange-

wandte Mathematik und Physik, 71:39, 1-17.

3. Thieu Huy Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu, Thi Mai Vu,“Conditional

Stability of Semigroup and Periodic Solutions to Evolution

Equations,” (submitted)

74

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] P. Maremonti, “Existence and stability of time-periodic solutions to

the Navier-Stokes Equations in the whole space,” Nonlinearity, 4, 503-

529, 1991.

[2] P. Maremonti, “Some theorems of existence for solutions of the Navier-

Stokes equations with slip boundary conditions in half-space,” Ric.

Mat., 40, 81-135, 1991.

[3] P. Maremonti and M. Padula, “Existence, uniqueness, and attainabil-

ity of periodic solutions of the Navier-Stokes equations in exterior

domains,” J. Math. Sci., 93, 719-746, 1999.

[4] G. P. Galdi, H. Sohr, “Existence and uniqueness of time-periodic phys-

ically reasonable Navier-Stokes flow past a body,” Arch. Ration. Mech.

Anal., 172, 363-406, 2004.

[5] M. Yamazaki, “The Navier-Stokes equations in the weak-Ln space with time-dependent external force,” Math. Ann., 317, 635-675, 2000.

[6] T.H.Nguyen, “Periodic motions of Stokes and Navier-Stokes flows

around a rotating obstacle,” Arch. Ration. Mech. Anal., 213, 689-703,

2014.

[7] M.Geissert, M.Hieber, T.H.Nguyen, “A general approach to time peri-

odic incompressible viscous fluid flow problems,” Arch. Ration. Mech.

Anal., 220, 1095-1118, 2016.

[8] Y.Giga, “Solutions for semilinear parabolic equations in Lp and regu- larity of weak solutions of the Navier-Stokes system,” J. Differential

Equations, 61, 186-212, 1986.

75

[9] T.H.Nguyen, “Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear

evolution equations,” J. Differential Equations, 246, 1820-1844, 2009.

[10] A.Lunardi, “Interpolation Theory,” Scuola Normale Superiore di Pisa

(Nuova Serie) Edizioni della Normale, Pisa, 2009.

[11] J.Bergh, J.L¨ofstr¨om, “Interpolation Spaces,” Springer, Berlin-

Heidelberg-NewYork, 1976.

[12] H.Triebel, “Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Oper-

ators,” Oxford, New York, 1978.

[13] W.Arendt, C.J.K.Batty, M.Hieber and F.Neubrander, "Vector-Valued

Laplace Transform and Cauchy Problems,” Monographs in Mathemat-

ics, 96, Birkh¨auser, Basel, 2001.

[14] K.J.Engel, R.Nagel, “One-parameter Semigroups for Linear Evolution

Equations,” Graduate Text Math., 194, Springer, Berlin, 2000.

[15] H.Komatsu, “A general interpolation theorem of Marcinkiewicz type,”

Tôhoku Math. J., 33 (2), 383-393, 1981.

[16] W.Borchers and T.Miyakawa, “On stability of exterior stationary

Navier-Stokes flows,” Acta Math., 174, 311-382, 1995.

[17] M.Geissert, H.Heck, M.Hieber, “I. Wood, The Ornstein-Uhlenbeck

semigroup in exterior domains,” Arch. Math, 85, 554-562, 2005.

[18] H.Bahouri, J.-Y. Chemin, R. Danchin, “Fourier Analysis and Nonlin-

ear Partial Differential Equations," Springer, Berlin, 2011.

[19] B.M.Levitan, V.V.Zhikov, “Almost Periodic Funtions and Differential

Equations,” Cambridge, 1982.

[20] J. Massera, “The existence of periodic solutions of systems of differ-

ential equations,” Duke Math. J., 17, 457-475, 1950.

76

[21] J.Pr¨uss, “Periodic solutions of semilinear evolution equations,” Non-

linear Anal., 3, 601-612, 1979.

[22] T.Yoshizawa, “Stability Theory and the Existence of Periodic So-

lutions and Almost Periodic Solutions,” Applied Mathematical Sci-

ences,14.Springer, NewYork, 1975.

[23] T.Burton, “Lp − Lq Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Functional Differential Equations,” Academic Press, Orlando, Florida,

1985.

[24] J.H.Liu, G.M.N’Guerekata, Nguyen Van Minh, “Topics on Stability

and Periodicity in Abstract Differential Equations,” World Scientific

Publishing, Singapore, 2008.

[25] J.Pr¨uss, “Periodic solutions of the thermostat problem,” Differential

Equations in Banach spaces, Spinger, Berlin, 1986.

[26] J. Serrin, “A note on the existence of periodic solutions of the Navier-

Stokes equations,” Arch. Rational Mech. Anal., 3, 120-122, 1959.

[27] Y. Shibita, “On a C 0 semigroup associated with a modified Oseen equation with roating effect,” Adv. Math. Fluid Mech., 513-551, 2010.

[28] Y. Shibita, “On the Oseen semigroup with roating effect,” Funt. Anal.

Evol. Equ., 595-611, 2008.

[29] G.P.Galdi, A.L.Silvestre, “The steady motion of a Navier-Stokes liquid

around a rigid body,” Arch. Ration. Mech. Anal., 371-400, 2007.

[30] G.P.Galdi, A.L.Silvestre, “Futher results on steady-state flow of a

Navier-Stokes liquid around a rigid body. Existence of the wake,” Ky-

oto conference on the Navier-Stokes equations and their applications,

RIMS Kokyuroku Bessatsu, 127-143, 2007.

77

[31] M.Kyed, “The existence and regularity of time-periodic solutions of

the three dimensional Navier-Stokes equations in the whole plane,”

Nonlinearity, 27, 2909-2935, 2014.

[32] T.Hishida, Y.Shibata, “Lp − Lq estimates of the operator Stokes Navier-Stokes flows in the exterior of a rotating obstacle,” Arch. Ra-

tion. Mech. Anal., 193, 339-421, 2009.

[33] R.Farwing, H.Sohr, “Helmholtz decomposition and Stokes resolvent system for aperture domains in Lq-spaces,” J. Analysis, 16, 1-26, 1996.

[34] T.Hishida, “The nonstationary Stokes and Navier-Stokes flows through

an aperture.” Contribution to current challenges in Mathematical fluid

mechanics, 79-123, 2004.

[35] T.Kubo, “The Stokes and the Navier-Stokes equations in an aperture

domain,” J. Math. Soc. Japan, 3, 837-859, 2007.

[36] T.Hansel, A.Rhandi, “Non-autonomous Ornstein-Uhlenbeck equations

in exterior domains,” Adv. Diff. Equations, 16, 201-220, 2011.

[37] X.Duong, E.Ouhabaz,“Complex multiplicative perturbations of ellip-

tic operators: heat kernel bounds and holomorphic functional calcu-

lus,” Diff. Integral Equations, 12, 395-418, 1999.

[38] M.L.Hein, J. Pr¨uss, “The Hartman-Grobman theorem for semilinear

hyperbolic evolution equations,” J. Differential Equations, 261, 4709-

4727, 2016.

[39] B.Wang,

Besov spaces ˙B1 “Ill-posedness for the Navier-Stokes equations incritical ∞,q,”Advances in Mathematics, 268, 350-372, 2015.

[40] F. Crispo, P.Maremonti, “Navier - Stokes equations in aperture do-

mains: Global existence with bounded flux and time-periodic solu-

tions,”Math. Methods Appl. Sci, 31, 249-277, 2008.

78

[41] G.Heywood, “On uniqueness questions in the theory of viscous

flow,”Acta Math., 31, 61-102, 1976.

[42] H.Abel, “Lq − Lr estimates for the non-stationary Stokes equations in an aperture domain,” Z. Anal. Anwendungen, 21, 159-178, 2002.

[43] H.Bae, A. Biswas, E.Tadmor, “Analyticity and decay estimates of the

Navier- Stokes equations in critial Besoc spaces,” Arch. Ration. Mech.

Amnal, 205, 963-991, 2012.

[44] H.Amann, “Operator valued Fourier multipliers, vector-valued Besov

spaces, and aplications,” Math. Nachr, 186, 5-56, 1997.

[45] H.Kozono and M.Yamazaki, “Exterior problem for the stationary

Navier-Stokes equations in the Lorentz space,” Math. Ann., 310, 279-

305, 1998.

[46] H.Kozono and M.Yamazaki, “Uniqueness criterion of weak solutions

to the stationary Navier-Stokes equations in exterior domains,” Non-

linear Anal., 38, Ser. A: Theory and Methods, 959-970, 1999.

[47] J.Bourgain, N.Pavlovic, “Ill-posedness of the Navier - Stokes equations

in a critical space in 3D,” J. Funt. Anal., 255, 2233-2247, 2008.

[48] K.Abe, Y.Giga, H. Hieber, “Stokes resolven testimates in spaces of

bounded functions,” Hokkaido University Preprint Series in Mathe-

matics,1022, 2012.

[49] K.Abe, Y.Giga, “Analyticity of the Stokes semigroup in spaces of

bounded functions,” Acta Math., 211,1-46, 2013.

[50] M.Cannone, “A generalization of a theorem by Kato on Navier-Stokes

equations,” Rev. Mat. Iberoamericana,515-541, 1997.

[51] M.Hieber, T.H.Nguyen, A.Seyfert, “On Periodic and Almost Peri-

odic Solutions to Incompressible Viscous Fluid Flow Problems on the

79

Whole Line,” Book Chapter in Mathematics for Nonlinear Phenomena

- Analysis and Computation, Springer, 51-81, 2018.

[52] Thieu Huy Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu, Truong Xuan Pham, “Bounded-

ness and stability of solutions to semi-linear equations and applications

to fluid dynamics,” Communications on Pure and Applied Analysis 15,

2103-2116, 2016.

[53] R.Farwing, T.Hishida, “Stationnary Navier-Stokes flows around a ro-

tating obstacle,” Funkc. Ekvac., 50, 371-403, 2007.

[54] R.Farwing, H.Sohr, “Generalized resolvent estimates for the Stokes

system in bounded and unbuonded domains,” J. Analysis, 46, 607-

643, 1994.

[55] T.Kato, “Strong Lp-solutions of Navier-Stokes equations in Rn with

applications to weak solutions,” Math. Z., 187, 471-480, 1984.

[56] T.Kobayashi, Y.Shibata, “On the Oseen equation in the three dimen-

sional exterior domains,” Math. Ann., 310, 1-45, 1998.

[57] T.Kubo, “Periodic solutions to the Navier-Stokes equations in a per-

turbed half-space and an aperture domain,” Math. Methods Appl. Sci.,

28, 1341-1357, 2005.

[58] T.Kubo, Y.Shibata, “On the Stokes and Navier-Stokes equations in a

perturbed half-space,” Adv. Differential Equations, 10, 695-720, 2005.

[59] T.Miyakawa, “The Helmholtz decomposition of vecto fields in some

unbounded domains,” Math. J. Toyana Univ., 17, 115-149, 1994.

[60] W.Borchers, H.Sohr, “On the semigroup of the Stokes operator for

exterior domains in Lp-spaces,” Math. Z.,196, 415-425, 1987.

80