Mục tiêu của đề tài nghiên cứu nhằm tìm mối liên hệ giữa khối lượng của các hạt và các chiều phụ trội. - Mở rộng lý thuyết gauge để các trường gauge có thể có khối lượng; tìm mối liên hệ giữa các thế hệ quark và lepton với các chiều phụ trội. Mời các bạn tham khảo nội dung đề tài!
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM
HỒ CHÍ MINH - 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
VIỆN NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ VIỆT NAM
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS. Nguyễn Mộng Giao và GS.TSKH. Đào Vọng Đức.
Những kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công
bố trong bất kỳ công trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác
giả cho phép sử dụng .
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy GS.TSKH. Đào Vọng Đức, PGS.TS. Nguyễn Mộng Giao đã tận tình giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy cô trong Trung tâm Đào tạo hạt nhân, Viện Năng lượng nguyên tử Việt Nam đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các lãnh đạo và đồng nghiệp tại Trường đại học Thủ Dầu Một, Bình Dương và gia đình của tôi đã quan tâm và ủng hộ tôi trong suốt quá trình học NCS.
Trần Thanh Dũng
DANH SÁCH HÌNH VẼ ......................................................................................... iii
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ KHÔNG – THỜI GIAN VỚI CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI TRONG LÝ THUYẾT DÂY .......................................................................... 5
1.1. Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây ......................................................... 5
1.1.1. Dây boson .................................................................................................. 6
1.1.1.1. Phương trình chuyển động của dây .............................................................................. 6
1.1.1.2. Đại số dây .................................................................................................................................... 8
1.1.2. Siêu dây ................................................................................................... 10
1.1.2.1. Siêu tọa độ ................................................................................................................................. 10
1.1.2.2. Đại số siêu dây ........................................................................................................................ 15
1.2. Các chiều phụ trội trong lý thuyết dây .......................................................... 18
1.2.1. Số chiều không – thời gian với dây boson .............................................. 18
1.2.2. Số chiều không – thời gian với siêu dây ................................................. 19
1.3. Phiếm hàm trường dây và trường tachyon .................................................... 20
1.3.1. Phiếm hàm trường dây boson ............................................................................................ 20
1.3.2. Phiếm hàm trường siêu dây ..................................................................... 23
1.4. Phổ các trạng thái kích thích ......................................................................... 34
1.4.1. Phổ khối lượng trong dây boson.............................................................. 34
1.4.2. Phổ khối lượng trong siêu dây ................................................................. 39
1.5. Kết luận chương 1 ......................................................................................... 42
CHƯƠNG II: CƠ CHẾ SINH KHỐI LƯỢNG ...................................................... 44
2.1. Sự co gọn của các chiều phụ trội .................................................................. 44
2.1.1. Co gọn theo vòng tròn ............................................................................. 44
2.1.2. Co gọn theo hình xuyến D – 4 chiều ....................................................... 48
2.1.3. Co gọn khái quát theo đường kín ............................................................ 48
2.2. Điều kiện tuần hoàn theo các chiều phụ trội ................................................. 49
2.3. Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát với không – thời gian đa chiều ..... 50
2.3.1. Phép biến đổi Lorentz .............................................................................. 50
2.3.2. Nguyên lý bất biến tương đối rộng .......................................................... 51
2.3.3. Đạo hàm hiệp biến ................................................................................... 52
2.4. Khối lượng các trường hiệu dụng ................................................................. 52
2.4.1. Phương trình trường hiệu dụng ............................................................... 52
2.4.2. Khối lượng của trường vô hướng hiệu dụng ........................................... 53
2.4.3. Khối lượng của trường vector hiệu dụng ................................................ 55
2.5. Hàm trường spinor trong không – thời gian đa chiều ................................... 57
2.6. Phổ khối lượng của các trường spinor hợp nhất ........................................... 62
2.7. Trường tachyon spinor .................................................................................. 64
2.8. Qui luật tổng khối lượng ............................................................................... 64
2.9. Biến dạng trường gauge với các vector boson có khối lượng ...................... 67
2.9.1. Lý thuyết gauge ....................................................................................... 67
2.9.2. Biến đổi gauge phi abel ........................................................................... 70
2.9.3. Biến dạng bất biến gauge U(1) ................................................................ 73
2.9.4. Biến dạng bất biến gauge phi abel ........................................................... 74
2.9.5. Các hằng số liên kết biến đổi ................................................................... 76
2.10. Kết luận chương 2 ....................................................................................... 76
CHƯƠNG III: ĐIỆN TÍCH TỪ CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI .................................... 78
3.1. Đạo hàm 4 chiều của các trường ................................................................... 78
3.2. Lagrangian tương tác điện từ cho các trường hiệu dụng .............................. 79
3.3. Khối lượng và điện tích của các trường spinor hợp nhất .............................. 82
3.4. Quy luật tổng khối lượng - điện tích ............................................................. 83
3.5. Quark tachyon và lepton tachyon.................................................................. 84
3.5.1. Đa tuyến quark......................................................................................... 84
3.5.2. Đa tuyến lepton ........................................................................................ 85
3.6. Khả năng điện tích thay đổi theo không - thời gian ...................................... 86
3.7. Kết luận chương 3 ......................................................................................... 86
NHỮNG KẾT QUẢ CHÍNH CỦA LUẬN ÁN ...................................................... 88
NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN ....................................................... 90
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ............................................... 91
CÁC THUẬT NGỮ ANH – VIỆT
STT Các thuật ngữ tiếng anh
Các thuật ngữ tiếng Việt (Chữ viết tắt)
1 Compactification Sự co gọn
2 Compactification length Chiều dài co gọn
3 Conventional field strength Cường độ trường thông thường
4 Corresponding imvariant Lagran- Lagrangian bất biến tương ứng
gian
5 Covariant quantization Lượng tử hóa hiệp biến
6 Deformed gauge invariance Bất biến gauge biến dạng
7 Deformed field strength Cường độ trường biến dạng
8 Deformed Lorentz gauge condi- Điều kiện gauge Lorentz biến dạng
tion
9 Distributive principle Nguyên lý phân bố
10 Dual Resonance Model Mô hình cộng hưởng kép
11 Effective field functions
Các hàm trường hiệu dụng (trong không - thời gian 4 chiều)
12 Extra-dimension Chiều phụ trội
13 Gauge vector boson Boson vector gauge
14 Gauge coupling constants Hằng số liên kết gauge
15 Grand Unified theory. Lý thuyết Đại thống nhất (GUT)
16 Large Hadron Collider LHC
17 Light-cone quantization Lượng tử nón ánh sáng
18 Modified gauge principle Nguyên lý gauge cải biến
19 M theory (Mother hoặc Magic) Lý thuyết M
20 Negative-norm state Trạng thái chuẩn âm
Trường vector vật lý
Trường vectơ trung tính
21 New physical vector field 22 Neutral vector field Aμ(x) 23 Normal ordered product Tích normal
24 Original field functions
i
Các hàm trường khởi đầu (trong không - thời gian n chiều, n>4)
25 Ordinary field functions
Các hàm trường thông thường (trong không - thời gian 4 chiều)
26 Periodicity condition Điều kiện tuần hoàn
27 Principle of minimal action Nguyên lý tác dụng tối thiểu
28 Quantum chromodynamics
Thuyết sắc động lực học lượng tử (QCD)
29 Ramond–Neveu–Schwarz string Dây Ramond–Neveu–Schwarz
(RNS)
30 Space - like Tựa chiều không gian
31 Space-time extra-dimensions Các chiều không - thời gian phụ trội
32 Standard model Mô hình chuẩn (SM)
33 Supersymmetric in spacetime siêu đối xứng trong không thời gian
34 Super Virasoro algebra đại số siêu Virasoro
35 Symmetry Algebra Đại số đối xứng
36 Time - like Tựa chiều thời gian
37 Theory of Everything Lý thuyết của mọi vật (TOE)
38 Unified multiplet Đa tuyến hợp nhất
39 Variable Coupling Constants Hằng số liên kết biến đổi
40 World-sheet supersymmetry siêu đối xứng trên lá thế
ii
41 World sheet metric Metric trên lá thế
DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1. Dây mở và dây đóng 7
Hình 1.2. Lá thế của dây đóng và dây mở 7
44 Hình 2.1: Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội bị co lại thành vòng tròn
44 Hình 2.2. Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội co lại thành một mặt cầu
iii
45 Hình 2.3. Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội bị co lại thành một mặt hình xuyến
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xây dựng lý thuyết Đại thống nhất (GUT) các tương tác cơ bản là hướng nghiên cứu có tính thời sự đặc biệt của Vật lý lý thuyết, trong đó lý thuyết siêu dây (Super- string theory) là lĩnh vực nghiên được đánh giá có nhiều triển vọng [1-5]. Sau cuộc cách mạng siêu dây lần thứ hai vào năm 1995, năm phương án khác nhau của lý thuyết siêu dây được thống nhất thành một lý thuyết gọi là lý thuyết – M (Mother hoặc Magic) với 11 chiều không – thời gian (11D) [3, 6,7].
Chúng ta thấy rằng lý thuyết M có 11 chiều không – thời gian và đã giải thích được rất nhiều bài toán trong vật lý. Tuy nhiên, không – thời gian mà chúng ta đang sống chỉ có bốn chiều. Do đó, bảy chiều còn lại được gọi là các chiều phụ trội. Một câu hỏi lớn được đặt ra: trong không - thời gian 4 chiều thông thường các chiều phụ trội biến mất đi đâu và chúng có ý nghĩa vật lý gì. Các nhà vật lý đã đưa ra rất nhiều mô hình toán học khác nhau để các chiều phụ trội co gọn lại (Compact) trong không - thời gian 4 chiều của chúng. Klein [8] đã đưa ra giả thuyết rằng chiều không gian thứ 5 co gọn lại thành vòng tròn có bán kính rất nhỏ vào cỡ hằng số Plank h. Mặc dù lý thuyết Kaluza – Klein đã thống nhất lực hấp dẫn và lực điện từ bằng cách thêm chiều phụ trội thứ 5 và cho rằng các chiều dư này bị co gọn nhưng ý nghĩa của sự co gọn của chiều thứ 5 chưa được làm rõ [9,10]. Sau đó, nhiều công trình đã nghiên cứu các lý thuyết với số chiều phụ trội nhiều hơn. Tiêu biểu như các công trình về siêu trọng lực (supergravity) 11D [11, 12] và siêu dây (superstring) 10D [13,14] cũng cho rằng các chiều phụ trội đã co gọn lại một cách tự phát đặc trưng bởi tôpô hình học [15-18]. Tuy nhiên, ý nghĩa vật lý của sự co gọn này chưa được làm sáng
tỏ. Đặc biệt là việc xuất hiện trong các phương án này các hạt tachyon có [19,20].
1
Vấn đề cội nguồn của các hạt cơ bản đã và đang được quan tâm nghiên cứu. Câu hỏi được đặt ra là khối lượng của các hạt cơ bản từ đâu mà có? Năm 1982, J.L. Alonso và các cộng sự [21] đã đưa ra ý tưởng cho rằng chiều thứ 5 trong lý thuyết Kaluza – Klein chính là quán tính của hạt trong không thời gian 4 chiều. Tuy nhiên, đây là mô hình trong không thời gian 5 chiều, theo lý thuyết M thì không - thời gian là 11 chiều, chúng ta vẫn còn 6 chiều phụ trội chưa được đề cập đến. Năm 2006, một hội thảo quốc tế về nguồn gốc khối lượng và các lý thuyết hằng số gauge liên kết
mạnh được tổ chức tại trường Đại học Nagoya, Nhật Bản [22]. Các công trình nghiên cứu đã đề cập đến nhiều vấn đề của lý thuyết dây và hạt Higgs. Tuy nhiên vấn đề về nguồn gốc khối lượng của các hạt vẫn chưa được làm rõ. Ngoài ra, mối liên hệ giữa nguồn gốc khối lượng của các hạt cơ bản và các hạt Higgs cũng được quan tâm nghiên cứu. Năm 2003, dựa trên mối liên hệ giữa khối lượng các hạt Higgs và thang co gọn các chiều phụ trội 1/R trong mô hình chuẩn (SM) với một hoặc hai chiều phụ trội, các tác giả trong công trình [23] đã tính được rằng thang co gọn 1/R vào khoảng 250GeV và khối lượng của các Higgs nằm trong vùng mở rộng cho kết quả phù hợp với dữ liệu thực nghiệm. Năm 2012, Frank Wilczek [24] cũng một lần nữa khẳng định rằng nguồn gốc khối lượng của các hạt bắt nguồn từ hạt Higgs (như được đề xuất bởi Higgs và cộng sự năm 1964). Thực nghiệm tại LHC (Large Hadron Col- [25,26]. lider) đã xác nhận có ghi nhận tồn tại hạt Higgs với khối lượng
Tuy nhiên nguồn gốc khối lượng của các hạt Higgs vẫn chưa được giải thích rõ bằng lý thuyết [27, 28].
Cho đến nay, từ các kết quả nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm, nguyên lý bất
biến gauge được xem là nguồn gốc của các tương tác giữa các hạt cơ bản, bao gồm
tương tác mạnh, điện từ và yếu (và có thể cả hấp dẫn). Nó đang đóng vai trò quan
trọng trong nhiều lý thuyết vật lý, đặc biệt là trong việc xây dựng mô hình thống
nhất các tương tác khác nhau dựa trên nguyên lý bất biến gauge [29-32]. Trong lý
thuyết gauge, các trường gauge bắt buộc phải không có khối lượng [33,34]. Đây đã
từng là khó khăn rất lớn trong việc thống nhất các tương tác, bởi vì tương tác yếu là
tương tác tầm gần nên các hạt gauge truyền tương tác phải có khối lượng. Mặt khác
định lý Goldstone [35,36] cho rằng khi Lagrangian của hệ bất biến với các phép biến
đổi đối xứng thì chân không hoặc là vẫn bất biến, hoặc là không bất biến (gọi là phá
vỡ đối xứng tự phát) và tồn tại hạt không có khối lượng với spin bằng không (gọi là
hạt Goldstone). Nếu kết hợp giữa lý thuyết gauge và cơ chế Higgs thì hai khó khăn
trên được giải quyết. Khi đó các trường gauge sẽ có khối lượng và đồng thời các hạt
Goldstone cũng biến mất [27,28]. Có rất nhiều công trình nghiên cứu về mở rộng lý
thuyết gauge [37-40]. Trong nước, GS.TSKH Đào Vọng Đức [41] đã đề xuất một
cách tiếp cận khác cho khả năng các gauge vector boson có thể có khối lượng một
cách độc lập với cơ chế Higgs, dựa trên nguyên lý bất biến gauge biến dạng. Cơ chế
2
này cho phép các hằng số gauge liên kết thay đổi trong không – thời gian [42]. Điều
này rất có ý nghĩa cho nghiên cứu thế giới vi mô và vĩ mô [43-45].
Trong công trình [46-47], nhóm tác giả đã đưa ra điều kiện tuần hoàn của các
hàm trường theo các chiều phụ trội. Từ đó, nhóm tác giả này đã chứng minh được
rằng các chiều phụ trội liên quan mật thiết với khối lượng của trường vô hướng,
trường spinor và trường vector. Cũng với ý tưởng trên, nguồn gốc của các hạt Tach-
yon [48] và điện tích của các của trường vô hướng và trường spinor (với d=1) trong
trường hợp tương tác gauge U(1) [49] cũng được chứng minh là có liên quan tới các
chiều phụ trội.
Để mở rộng các ý tưởng trong các công trình [46-49], chúng tôi thực hiện luận án
“Khối lượng các trường hiệu dụng theo các chiều phụ trội”. Trong luận án này
chúng tôi tập trung giải thích mối liên liên giữa khối lượng của trường và các chiều
phụ trội, mở rộng lý thuyết gauge theo một cách tiếp cận độc lập với cơ chế Higgs,
từ đó suy ra khả năng thay đổi theo thời gian của các hằng số liên kết và tìm hiểu
mối liên hệ giữa khối lượng của các quark và các lepton với các chiều phụ trội. Kết
quả của luận án đã được công bố trong các công trình [1-6].
2. Mục đích, Đối tượng và Phạm vi nghiên cứu
+ Mục đích nghiên cứu
- Tìm mối liên hệ giữa khối lượng của các hạt và các chiều phụ trội.
- Mở rộng lý thuyết gauge để các trường gauge có thể có khối lượng.
- Tìm mối liên hệ giữa các thế hệ quark và lepton với các chiều phụ trội.
+ Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các chiều phụ trội.
- Lý thuyết siêu dây.
- Khối lượng của trường boson, fermion và vector.
- Khối lượng của các quark và lepton.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết, sử dụng các phương pháp trong lý thuyết trường lượng tử
và các phạm trù trong lý thuyết siêu dây.
3
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Nội dung chủ yếu của luận án là các kết quả nghiên cứu về một cơ chế tạo khối
lượng và điện tích từ các chiều phụ trội xuất hiên trong các mô hình lý thuyết Đại
thống nhất, đặc biệt trong lý thuyết siêu dây. Các kết quả nghiên cứu trên góp phần
giải thích nguồn gốc khối lượng của các hạt cơ bản, nghiên cứu về một cách tiếp cận
để mở rộng lý thuyết gauge với các boson gauge có khối lượng độc lập với cơ chế
Higgs và chứng minh được mối liên hệ giữa các quark và các leptop với các chiều
phụ trội. Đồng thời các kết quả nghiên cứu trên cũng tiên đoán sự tồn tại các hạt
fermion tachyon và quark tachyon.
Những kết quả của luận án góp phần làm sáng tỏ ý nghĩa vật lý và vai trò của các
chiều phụ trội, đặc biệt là tính chất tôpô hình học, liên qua đến nguồn gốc sinh khối
lượng. Các kết quả này có thể sử dụng khi nghiên cứu các mô hình GUT.
5. Cấu trúc của luận án
Luận án gồm phần mở đầu, 3 chương, kết luận, danh mục công trình công bố, tài
liệu tham khảo.
Chương 1. Không–thời gian với các chiều phụ trội trong lý thuyết dây
Trình bày tổng quan về các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây, các chiều
phụ trội trong lý thuyết dây, phổ các trạng thái kích thích và trường tachyon và các
phạm trù liên quan đến nội dung các chương sau.
Chương 2. Cơ chế tạo khối lượng
Trình bày về co gọn các chiều phụ trội, điều kiện tuần hoàn theo các chiều
phụ trội, nguyên lý bất biến tương đối tổng quát với không thời gian đa chiều, khối
lượng các trường hiệu dụng, trường spinor trong không thời gian đa chiều, phổ khối
lượng các trường spinor hợp nhất, trường tachyon spinor, quy luật tổng khối lượng
và bất biến gauge biến dạng.
Chương 3. Điện tích từ các chiều phụ trội
Trình bày về đạo hàm 4 chiều của các trường, Lagrangian tương tác điện từ
cho các trường hiệu dụng, điện tích của các trường spinor hợp nhất, quy luật tổng
khối lượng - điện tích, quark tachyon và lepton tachyon và khả năng điện tích thay
4
đổi theo không thời – gian.
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ KHÔNG – THỜI GIAN
VỚI CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI TRONG LÝ THUYẾT DÂY
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về các chiều phụ trội và phổ
khối lượng trong lý thuyết siêu dây. Chúng là hai đối tượng nghiên cứu chính của
luận án.
1.1. Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây
Lý thuyết dây dùng để miêu tả hạt có spin nguyên (hạt boson), do đó lý thuyết
này còn được gọi lý thuyết dây boson. Lý thuyết dây được đề xuất đầu tiên từ công
trình của Veneziano, được gọi là mô hình Veneziano, về biên độ cho tán xạ meson
được công bố năm 1968 [50]. Tuy mô hình này được cho là mô hình khá thành công
trong việc mô tả tán xạ meson ở thời điểm trước QCD và phù hợp rất tốt với dữ liệu
thực nghiệm nhưng mô hình này đã tồn tại trạng thái tachyon [51]. Sau đó, năm 1969
và 1970, Y. Nambu, H.B. Nielsen and L. Susskind [52-54] đã nhận thấy rằng mô
hình Veneziano có thể mô tả được tán xạ của đối tượng một chiều dao động, được
gọi là dây, dẫn đến sự ra đời của lý thuyết dây. Sau đó, J. Scherk and J. Schwarz [55]
đã tổng quát quá lý thuyết dây sao cho có thể mô tả được tất cả các tương tác cơ bản
bao gồm tương tác hấp dẫn, tuy nhiên cần phải sử dụng 26 chiều không thời gian
[56-58].
Mặc dù lý thuyết dây mô tả được các lực cơ bản nhưng vẫn chưa phải là lý thuyết
thống nhất bởi vì lý thuyết này chỉ mô tả được các hạt boson, các hạt truyền tương
tác và có spin nguyên, mà không mô tả được các hạt fermion, các hạt vật chất và có
spin bán nguyên. Ngoài ra, trong lý thuyết dây có chứa các hạt tachyon mà hoàn toàn
chưa được thực nghiệm ghi nhận. Năm 1971, Ramond [59] đã khái quát mô hình
cộng hưởng kép (The Dual Resonance Model) thành fermion không thời gian
(spacetime fermions). Cùng năm này, Neveu and Schwarz [60,61] đã mở rộng mô
hình cộng hưởng kép này cho các pion và quark. Hai mô hình này được xem là hai
mặt khác nhau của một mô hình được gọi là mô hình Ramond–Neveu–Schwarz
(RNS). Gervais and Sakita [63] đã nhận thấy rằng mô hình RNS có một đối xứng
liên quan giữa các boson và các fermion và được gọi là siêu đối xứng trên lá thế (the
5
world-sheet supersymmetry). Năm 1976, bằng cách thực hiện phép chiếu các trạng
thái trong mô hình RNS, Gliozzi, Scherk and Olive [64] đã xây dựng một lý thuyết
dây có chứa siêu đối xứng trong không thời gian (supersymmetric in spacetime) và
dẫn đến sự ra đời của lý thuyết siêu dây. Sau đó, Green và Schwarz [65] đã phát triển
lý thuyết siêu dây bằng cách vận dụng siêu đối xứng vào không - thời gian 10 chiều.
Trong phần này, chúng tôi sẽ tổng quan về không thời gian đa chiều với các chiều
phụ trội trong lý thuyết dây boson và lý thuyết siêu dây. Từ đó, chúng ta thấy rằng
các chiều phụ trội là bắt buộc phải có trong các lý thuyết thống nhất các tương tác.
1.1.1. Dây boson
1.1.1.1. Phương trình chuyển động của dây
Trong lý thuyết dây, hạt được xem là một dây (đối tượng một chiều) và được xác
định bởi vector tọa độ trong không – thời gian D chiều, trong đó mô
tả đặc tính thời gian của hạt, mô tả đặc tính không gian của hạt và
, với D là số chiều của không – thời gian Minkowski.
Theo [66], tác dụng Polyakov của dây:
(1.1)
trong đó: , với và là metric trên lá thế (the world
sheet metric)
.
Từ (1.1), Lagrangian của dây boson được chọn là:
(1.2)
Theo [66,67], ta có phương trình Euler-Lagrange:
6
. (1.3)
Thay (1.2) vào (1.3) và thực hiện lấy đạo hàm Lagrangian theo và ,
ta tìm được phương trình chuyển động của dây
. (1.4)
Phương trình (1.4) là phương trình sóng với nghiệm tổng quát gồm hai thành
phần “chuyển động trái ” và “ chuyển động phải ”:
. (1.5)
Dây được chia làm hai loại: dây mở và dây đóng (như hình 1.1). Khi chuyển
động trong không - thời gian dây sẽ quét ra một mặt phẳng hai chiều được gọi là lá
thế (hình 1.2).
Hình 1.1. Dây mở và dây đóng [68]
Hình 1.2. Lá thế của dây đóng và dây mở [68]
Xét trường hợp dây mở: Ta đặt điều kiện biên cho hai đầu dây tự do (được gọi
là điều kiện Neumann) như sau:
tại . (1.6)
Từ điều kiện (1.6), ta tìm được biểu thức nghiệm tổng quát của phương trình
(1.4) cho trường hợp dây mở [68,69]:
, (1.7)
trong đó, và lần lượt là tọa độ và xung lượng khối tâm của dây, là tham
7
là dao động tử quỹ đạo. Vì là nghiệm của phương số chiều dài của dây và
trình sóng (1.4) nên nó phải là hàm thực. Do đó và cũng phải thực và
.
Xét trường hợp dây đóng: Ta đặt điều kiện biên như sau:
. (1.8)
Từ điều kiện (1.8), ta tìm được biểu thức nghiệm tổng quát của phương trình
(1.4) cho trường hợp dây đóng [68,69]:
(1.9a)
(1.9b)
với , và tương tự trường hợp dây mở. Các và lần lượt là dao
động tử quỹ đạo ứng với “chuyển động phải” và “chuyển động trái”.
1.1.1.2. Đại số dây
Từ Tensor năng – xung lượng trên lá thế [66,67]:
, (1.10)
với là các chỉ số vector lá thế, , ta suy ra:
, (1.11)
với , , và .
Tương tự (1.11), ta có:
(1.12) .
8
Ta lập các toán tử [67]:
. (1.13)
Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13), ta được:
Đối với dây mở: (1.14) .
Đối với dây đóng:
và , (1.15)
với điều kiện: và .
Ta viết lại (1.14) và (1.15) dưới dạng tích thông thường (normal ordered prod-
uct):
, (1.16)
, (1.17)
trong đó: (n > 0) là các toán tử hủy và (n > 0) là các toán tử sinh.
Ở đây, “: :” được ký hiệu là tích thông thường, trong đó các toán tử sinh được sắp
xếp bên trái các toán tử hủy.
Thực hiện tính giao hoán giữa và , trong đó lưu ý đến các hệ thức [70]:
(đối với dây mở)
và (đối với dây đóng),
ta được:
với , (1.18)
9
trong đó .
Tuy nhiên, nếu thì biểu thức (1.18) xuất hiện số hạn dị thường
Do đó, một cách tổng quát, biểu thức (1.18) được viết lại [66,67,71]:
. (1.19)
Trong đó số hạn bằng:
khi , (1.20)
với D: số chiều không – thời gian.
Từ (1.19) và (1.20), ta có:
Đối với dây mở:
. (1.21)
Đối với dây đóng:
, (1.22)
. (1.23)
1.1.2. Siêu dây
1.1.2.1. Siêu tọa độ
Theo SM, các hạt cơ bản được chia làm hai loại: các hạt có spin nguyên (boson)
và các hạt có spin bán nguyên (fermion). Tuy nhiên, lý thuyết dây chỉ mô tả các hạt
boson mà không mô tả được các hạt fermion. Do đó, chúng ta cần có một lý thuyết
không những mô tả được hạt boson mà còn mô tả được hạt fermion. Để làm được
điều này, các nhà vật lý đã mở rộng lý thuyết dây boson bằng cách đưa vào các siêu
đối xứng [63-65]. Siêu đối xứng thể hiện mối liên hệ giữa các hạt boson và fermion
thông qua các tọa độ không – thời gian và các siêu tọa độ phản giao hoán
Trong đó là các trường spinor Majorana hai thành phần
và là những đại lượng thực, với là chỉ số không – thời gian và
là các chỉ số spinor. Như vậy, tọa độ của dây trong không - thời gian được
10
mô tả bằng và các siêu tọa độ được gọi là siêu dây.
Ta có phép biến đổi siêu đối xứng trên lá thế [67,72]:
, (1.24)
, (1.25)
, (1.26)
với là tham số biến đổi siêu đối xứng và .
Theo [66,67], ta có tác dụng siêu dây:
, (1.27)
trong đó:
(1.28)
là thành phần mô tả hạt boson.
(1.29)
là thành phần mô tả hạt fermion. Trong đó và là các ma trận Di-
rac 2 x 2 có dạng:
,
và ma trận có các tính chất sau:
.
Ta thấy rằng tác dụng của siêu dây (1.27) bao gồm tác dụng mô tả hạt boson
(1.28) và tác dụng mô tả hạt fermion (1.29). Từ tác dụng (1.28), tương tự như trong
lý thuyết dây boson, ta có thể tìm được phương trình chuyển động của trường boson
như biểu thức (1.4). Tiếp theo, dựa trên phương trình (1.29), ta sẽ tiến hành tìm
phương trình chuyển động của trường fermion.
11
Lagrangian của trường fermion:
. (1.30)
Từ tác dụng (1.29), dựa vào nguyên lý tác dụng tối thiểu, ta tìm được phương trình
Euler-Lagrange:
. (1.31)
Từ (1.31), ta tìm được phương trình chuyển động của trường fermion:
hay , (1.32)
với:
,
.
Phương trình (1.32) được viết cho từng thành phần như sau:
(1.33)
Tương tự như trong trường hợp dây boson, các điều kiện biên được đưa ra để
duy trì bất biến Lorentz cho hai trường hợp siêu dây đóng và siêu dây mở. Để tìm
là các siêu dao động tử trong
nghiệm của phương trình, chúng ta gọi và
là các siêu dao động tử trong miền điều
miền điều kiện tuần hoàn và và
kiện phản tuần hoàn. Trong đó, , và , lần lượt được dùng để miêu
tả “chuyển động trái” và “chuyển động phải” của siêu dây.
Đối với siêu dây mở:
Khi thì ta đặt điều kiện biên
. (1.34)
Khi thì ta xét hai miền điều kiện khác nhau như sau:
12
- Miền Neveu – Schwarz (NS):
+ Điều kiện biên:
(1.35) .
+ Nghiệm của các phương trình (1.32):
(1.36)
- Miền Ramond (R):
+ Điều kiện biên R:
. (1.37)
+ Nghiệm của các phương trình (1.32):
(1.38)
trong đó: và thỏa các tính chất sau:
. ,
Đối với siêu dây đóng:
Trong trường hợp siêu dây đóng, ta đặt điều kiện biên tuần hoàn và phản tuần
hoàn như sau:
- Miền NS-NS:
+ Điều kiện biên:
(1.39)
13
+ Nghiệm của phương trình (1.32):
(1.40)
- Miền NS-R:
+ Điều kiện biên:
(1.41)
+ Nghiệm của phương trình (1.32):
(1.42)
- Miền R-NS:
+ Điều kiện biên:
(1.43)
+ Nghiệm của phương trình (1.32):
. (1.44)
- Miền R – R:
+ Điều kiện biên:
(1.45)
14
+ Nghiệm của phương trình (1.32):
(1.46)
với các điều kiện:
, , , .
1.1.2.2. Đại số siêu dây
Để lượng tử hóa siêu dây, tương tự như dây boson, ta cần toán tử đại số siêu
Virasoro (super Virasoro algebra). Tuy nhiên, để lý thuyết siêu dây mô tả được các
hạt fermion, ta cần mở rộng toán tử như sau:
,
trong đó là toán tử liên quan đến các hạt boson như đã trình bày trong lý thuyết
dây boson (các biểu thức (1.14) và (1.15)) và là toán tử liên quan đến các hạt
fermion. Ta sẽ tìm hiểu chi tiết toán tử trong hai trường hợp: siêu dây mở và
siêu dây đóng.
Đối với siêu dây mở:
- Tương tự (1.13), ta có toán tử cho trường hợp fermion [66,67]:
, (1.47)
trong đó:
,
.
- Miền NS:
(1.48)
15
+ Miền R:
, (1.49)
với, (s, n > 0) là các toán tử sinh và (s, n > 0) là các toán tử hủy.
Trong lý thuyết siêu dây, ta cần định nghĩa thêm toán tử G [66,67], toán tử liên
quan đến siêu dòng (supercurrent), như sau:
- Miền NS:
, (1.50)
với trong miền NS và trong miền R.
- Miền R:
. (1.51)
Ta có các hệ thức giao hoán và phản giao hoán [66,67]:
(1.52a) ,
(1.52b) ,
(1.52c) .
Từ (1.48), (1.49) và (1.50) và chú ý đến (1.52), ta có các hệ thức giao hoán và
phản giao hoán như sau:
+ Miền NS:
, (1.53a)
(1.53b) ,
(1.53c) .
+ Miền R:
16
, (1.54a)
, (1.54b)
. (1.54c)
Đối với siêu dây đóng:
Thực hiện tính toán tương tự như trong trường hợp siêu dây mở, ta tìm được các
hệ thức giao hoán và phản giao hoán sau [67,69]:
- Miền NS – NS:
(1.55a)
(1.55b)
(1.55c)
(1.55d)
- Miền NS – R:
(1.56a) ,
(1.56b) ,
(1.56c) ,
(1.56d) .
- Miền R – NS:
, (1.57a)
17
, (1.57b)
, (1.57c)
. (1.57d)
- Miền R – R:
, (1.58a)
, (1.58b)
, (1.58c)
. (1.58d)
1.2. Các chiều phụ trội trong lý thuyết dây
1.2.1. Số chiều không – thời gian với dây boson
Để lượng tử hóa dây, cũng như xác định số chiều không thời gian, các nhà vật lý
đã đề xuất ba phương pháp được xem phổ biến nhất hiện nay. Phương pháp thứ nhất
là phương pháp lượng tử hóa hiệp biến (Covariant quantization) phù hợp với bất
biến Lorentz nhưng có sự tồn tại trạng thái chuẩn âm (Negative-norm state) hay
trạng thái vong (Ghost state). Phương pháp thứ hai là phương pháp lượng tử nón ánh
sáng (The light-cone quantization) trong đó số chiều không - thời gian giới hạn cho
dây dễ dàng quan sát hơn so với phương pháp lượng tử hóa hiệp biến nhưng bất biến
Lorentz chưa được làm rõ. Phương pháp cuối cùng là phương pháp lượng tử hóa
BRST (Becchi–Rouet–Stora–Tyutin) được xem là thuận lợi hơn và khắc phục được
những khó khăn trên [73].
Lý thuyết BRST đã xây dựng toán tử Q nilpotent có liên quan mật thiết với các
chiều – không thời gian: .
Theo [73], ta có:
18
(1.59)
Từ biểu thức (1.59), ta thấy rằng: D = 26 và vì . Nghĩa là lý thuyết
dây cần 26 chiều không – thời gian.
1.2.2. Số chiều không – thời gian với siêu dây
Xét trường hợp siêu dây NS:
Ta có hệ các thức giao hoán và phản giao hoán [66,67]:
, (1.60a)
, (1.60b)
, (1.60c)
với số hạng dị thường tổng quát là:
(1.61)
Từ (1.53) và (1.60), ta có:
, (1.62)
. (1.63)
Toán tử Q có dạng [66,74]:
. (1.64)
Để thì và .
Xét trường hợp siêu dây R:
Tương tự như trường hợp siêu dây NS, ta có:
.
Để thì và .
19
Như vậy, chúng ta thấy rằng siêu dây có số chiều không - thời gian là D = 10.
1.3. Phiếm hàm trường dây và trường tachyon
1.3.1. Phiếm hàm trường dây boson
Để mô tả sự chuyển hóa giữa các dây, cũng như các quá trình tương tác giữa các
dây, ta phải chuyển hàm sóng mô tả trạng thái của dây sang phiếm hàm trường dây,
được gọi là lý thuyết trường dây lượng tử, như sau:
được gọi là phiếm hàm trường dây.
Đối với dây boson mở:
Phiếm hàm trường dây của dây boson mở: có biểu thức tổng
quát như sau:
, (1.65)
với các hệ số khai triển được xem là các trường thành phần của trường
dây và
.
Theo [66,67], ta có các điều kiện:
(1.66) ,
(1.67) .
Ta lưu ý rằng phương trình (1.66) tương ứng với phương trình Maxwell trong lý
thuyết trường điện từ, phương trình (1.67) là điều kiện gauge của trường dây.
Do
nên dãy vô số các phương trình (1.67) quy về hai phương trình:
20
. (1.68)
Từ (1.66) và (1.68), các phương trình cho các trường thành phần trong (1.65)
được viết như sau:
,
trong đó L0 có biểu thức
(1.69)
với
.
Từ (1.69), ta được:
(1.70)
Từ (1.70), ta có các nhận xét sau:
là tachyon với .
không có khối lượng và thỏa mãn điều kiện như gauge Lorentz,
(trường gauge).
và có
Từ đó ta tìm được biểu thức khối lượng cho trường :
. (1.71)
Tương tự, ta xét phương trình (1.68).
- Với , ta được kết quả:
(1.72)
và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các bậc kích thích cao hơn.
- Với , ta được kết quả:
21
(1.73)
và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các bậc kích thích cao hơn.
Đối với dây boson đóng:
Biểu thức khai triển tổng quát của phiếm hàm trường dây boson đóng:
,
, (1.74)
với là các trường thành phần đối xứng theo các cặp chỉ số
và .
Phiếm hàm thỏa mãn các phương trình [66,67]:
, (1.75)
(1.76) .
Từ (1.75), ta có:
, (1.77)
suy ra:
. (1.78)
Từ (1.78), các chỉ số n, m trong biểu thức khai triển (1.74) phải thỏa mãn điều
kiện:
. (1.79)
Từ (1.74), các trường thành phần ứng với các bậc kích thích thấp nhất được viết
tường minh như sau:
(1.80)
với kí hiệu .
Khi đó, phương trình (1.75) trở thành:
22
, (1.81)
nghĩa là
(1.82)
Từ (1.82), ta có các nhận xét sau:
là tachyon với .
Trường không có khối lượng,….
Một cách tổng quát, khối lượng của trường thành phần thỏa
mãn biểu thức sau:
. (1.83)
Ta xét các phương trình ta có:
. (1.84)
Từ (1.84), ta suy ra:
(1.85)
và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các bậc kích thích cao hơn.
Tương tự, từ phương trình , ta có:
(1.86)
và các hệ thức các trường thành phần cao hơn.
1.3.2. Phiếm hàm trường siêu dây
Phiếm hàm trường siêu dây mở:
23
+ Miền NS:
Biểu thức khai triển tổng quát của phiếm hàm trường:
,
. (1.87)
Phiếm hàm thỏa mãn các phương trình [66,67]:
, (1.88)
, (1.89)
. (1.90)
Ta chú ý các điều kiện sau [67]:
, (1.91)
. (1.92)
Do đó, các dãy vô số các phương trình (1.89) và (1.90) quy về các phương trình:
. (1.93)
Ở các bậc kích thích thấp nhất, một số trường thành phần được viết như sau:
, (1.94)
với ký hiệu:
.
Phương trình (1.88) trở thành:
, (1.95)
24
với biểu thức tường minh của :
.
Từ (1.95), ta có các phương trình sau:
,
(1.96) ,
Ta có một số nhận xét sau:
là tachyon với .
không khối lượng.
có
Một cách tổng quát, các trường thành phần thỏa mãn phương
trình:
. (1.97)
Ta viết lại (1.87) với s lẻ như sau [66,67]:
.
Khi đó, phương trình (1.94) trở thành:
. (1.98)
25
Thay (1.98) vào (1.93), ta có:
Do đó: (1.99)
và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các bậc kích thích cao hơn.
Tương tự, phương tình dẫn đến các hệ thức giữa các trường thành phần
cao hơn.
Từ (1.99), ta thấy rằng: là trường gauge và các phương trình (1.89) và
(1.90) được gọi là điều kiện gauge của dây.
+ Miền R:
Biểu thức khai triển của phiếm hàm trường dây (tương tự như (1.87) nhưng b
được thay bằng d):
. (1.100)
Ở các bậc kích thích thấp nhất, các trường thành phần được viết như sau:
, (1.101)
với
và là trường spinor, là trường vector – spinor.
Phiếm hàm thỏa mãn các phương trình [66,67]:
26
, (1.102)
, (1.103)
. (1.104)
Ta lưu ý rằng n = k = 1 vì
,
và các phương trình (1.103) và (1.104) được gọi là điều kiện gauge.
Phương trình (1.102) trở thành:
, (1.105)
với biểu thức của :
.
Từ (1.105), ta suy ra:
, (1.106)
, (1.107)
. (1.108)
Từ các phương trình (1.106), (1.107) và (1.108), ta có một số nhận xét sau:
Trường không có khối lượng.
Các trường và có .
27
Phương trình trở thành:
, (1.109)
với biểu thức của :
.
Từ (1.109), ta suy ra:
(1.110)
và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các bậc kích thích cấp cao
hơn.
Tương tự, phương trình trở thành:
. (1.111)
Từ (1.111), ta suy ra:
(1.112)
và các hệ thức các trường thành phần cấp cao hơn.
Phiếm hàm trường siêu dây đóng:
+ Miền NS – NS:
Biểu thức khai triển tổng quát của phiếm hàm trường dây:
, (1.113)
ở đây số dao động tử và đều là lẻ.
28
Phiếm hàm thỏa mãn các phương trình:
, (1.114)
và các điều kiện gauge:
, (1.115)
. (1.116)
Tương tự, như phiếm hàm trường siêu dây mở, các phương trình này quy về:
(1.117)
Từ (1.113) và (1.114), ta có:
. (1.118)
Từ (1.118), các chỉ số thõa mãn điều kiện:
. (1.119)
Ở bậc kích thích thấp nhất , biểu thức (1.113) trở
thành:
, (1.120)
với
.
29
Từ (1.114), ta có:
. (1.121)
Từ (1.121), ta có:
. (1.122)
Tương tự, trong (1.114) cũng cho kết quả như (1.122).
Từ phương trình (1.117), ta có:
. (1.123)
Từ (1.123), ta có:
. (1.124)
Tương tự, từ (1.117), phương trình cũng dẫn đến:
(1.125)
và các phương trình và cho các hệ thức giữa các trường thành
phần cấp cao hơn.
+ Miền NS – R:
Biểu thức khai triển tổng quát của phiếm hàm trường dây là:
(1.126) .
30
Phiếm hàm thỏa mãn các phương trình:
, (1.127)
và các điều kiện gauge:
, (1.128)
. (1.129)
Tương tự (1.117), các phương trình (1.128) và (1.129) quy về:
, (1.130)
. (1.131)
Từ (1.127), ta có:
. (1.132)
Từ (1.131), ta được:
, (1.132)
với các chỉ số thỏa mãn điều kiện:
. (1.133)
Ở các bậc kích thích thấp nhất, phiếm hàm trong biểu thức (1.126) trở
thành:
, (1.134)
với
.
31
Thay (1.134) vào (1.127), ta được:
. (1.135)
Từ (135), ta suy ra:
. (1.136)
Phương trình trong (1.128) cũng cho cùng kết quả như (1.136).
Từ (1.130), ta có:
. (1.137)
Từ (1.137), ta suy ra:
. (1.138)
Các phương trình khác ở (1.130) cũng cho các hệ thức giữa các trường thành
phần cấp cao hơn.
+ Miền R – NS:
Biểu thức khai triển tổng quát của phiếm hàm trường dây là:
. (1.139)
Phiếm hàm thỏa mãn các phương trình:
, (1.140)
32
và các điều kiện gauge:
(1.141)
Do các chỉ số trong (1.141) thỏa mãn điều kiện (1.133) nên phiếm hàm
trong (1.139) có các thành phần cấp thấp nhất:
. (1.142)
Từ (1.140) và (1.141), ta có:
. (1.143)
+ Miền R – R:
Biểu thức khai triển tổng quát của phiếm hàm trường dây là:
. (1.144)
Phiếm hàm thỏa mãn các phương trình:
, (1.145)
và các điều kiện gauge:
(1.146)
Các điều kiện (1.146) quy về:
(1.147)
Phương trình (1.145) trở thành:
. (1.148)
Từ (1.148), ta thấy rằng các chỉ số trong biểu thức khai triển (1.144) thỏa mãn
điều kiện:
33
(1.149)
và các trường thành phần cấp thấp nhất trong (1.144) (ứng với r = s = p = q = 0) là
các trường vô hướng :
. (1.150)
Từ (1.145), ta được:
. (1.151)
Các điều kiện gauge (1.147) cũng cho các hệ thức giữa các trường thành phần
cấp cao hơn.
1.4. Phổ các trạng thái kích thích
1.4.1. Phổ khối lượng trong dây boson
+ Đối với dây mở các phương trình chuyển động có dạng:
(1.152)
+ Đối với dây đóng các phương trình chuyển động có dạng:
(1.153)
với a0 là thông số Regge.
Phổ khối lượng trong dây boson mở:
Đối với dây boson mở, ta có:
. (1.154)
Từ (1.152) và (1.154), ta được:
, (1.155)
34
với hệ thức giao hoán
và các trạng thái kích thích
.
Từ (1.155), ta tính:
+ Trạng thái kích thích đầu tiên:
.
Do đó p2 = 2n1 - 2a0.
35
+ Trạng thái kích thích thứ 2:
.
Do đó p2 = 2(n1 + n2) - 2a0.
+ Các trạng thái kích thích cao hơn:
.
Một cách tổng quát, ta có:
.
Từ (1.155), ta có biểu thức toán tử bình phương khối lượng của dây:
. (1.156)
Phổ khối lượng trong dây boson đóng:
Đối với dây boson đóng, ta có:
(1.157).
Từ (1.153) và (1.157), ta có:
,
với các trạng thái kích thích
.
36
Ta thực hiện tính:
+ Trạng thái kích thích đầu tiên:
.
Do đó p2 = 8n1 – 8a0.
+ Trạng thái kích thích thứ 2:
.
37
. Do đó
+ Các trạng thái kích thích cao hơn:
(1.158)
.
Thực hiện tính toán:
+ Trạng thái kích thích đầu tiên:
.
Do đó .
38
+ Trạng thái kích thích thứ 2:
.
Do đó .
+ Các trạng thái kích thích tiếp theo:
. (1.159)
Từ (1.158) và (1.159), ta có:
, (1.160)
với điều kiện để trạng thái kích thích khả dĩ:
. (1.161)
Từ (1.156) và (1.160), ta thấy rằng: Các trạng thái nền không kích thích (p=0,
q=0) có bình phương khối lượng thấp nhất, (với dây mở) và
(với dây đóng).
Như vậy khi thì các trạng thái này có và các hạt tương ứng
được gọi là tachyon.
1.4.2. Phổ khối lượng trong siêu dây
Biểu thức Lagrangian tự do của siêu dây:
(1.162)
với a = 2 đối với siêu dây mở và a = 8 đối với siêu dây đóng.
39
Phổ khối lượng trong siêu dây mở:
+ Siêu dây mở NS:
Từ (1.162), ta có:
(1.163)
với các trạng thái kích thích dạng:
.
Ta xét số hạng thứ hai trong biểu thức (1.163):
(1.164) .
Ta xét số hạng thứ ba trong biểu thức (1.163):
. (1.165)
40
Vậy phổ khối lượng của các trạng thái kích thích siêu dây mở NS:
. (1.166)
+ Đối với siêu dây mở R:
Từ (1.162), ta có:
(1.167)
Ta xét số hạng thứ hai trong biểu thức (1.167):
(1.168)
Ta xét số hạng thứ ba trong biểu thức (1.167):
(1.169)
Thay (1.168) và (1.169) vào (1.167), ta được phổ khối lượng của các trạng thái
41
kích thích siêu dây mở R:
. (1.170)
Phổ khối lượng trong siêu dây đóng:
Thực hiện tính toán tương tự như trên, ta được phổ khối lượng của các dao động
ứng với chuyển động phải và chuyển động trái của quỹ đạo như sau:
• Đối với siêu dây đóng NS-NS:
(1.171)
• Trạng thái kích thích siêu dây đóng NS-R:
(1.172)
• Trạng thái kích thích siêu dây đóng R-NS:
(1.173)
• Trạng thái kích thích siêu dây đóng R-R:
(1.174)
Các kết quả (1.171), (1.172), (1.173) và (1.174) chứng tỏ rằng:
- Các siêu dây mở NS và siêu dây đóng NS-NS đều có chứa tachyon (ở trạng
thái không kích thích) với và .
- Các siêu dây có miền R không chứa tachyon.
1.5. Kết luận chương 1
Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về các chiều phụ trội trong lý
thuyết dây boson và siêu dây, phiếm hàm trường dây và phổ các trạng thái kích thích.
Từ đó ta thấy rằng lý thuyết dây boson cần không – thời gian 26 chiều (22 chiều phụ
trội) và các lý thuyết siêu dây cần không - thời gian 10 chiều (6 chiều phụ trội). Sau
cuộc cách mạng siêu dây lần thứ hai vào năm 1995, năm phương án khác nhau của
lý thuyết siêu dây được thống nhất thành lý thuyết M với 11 chiều. Như vậy, chúng
42
ta thấy rằng các chiều phụ trội đóng vai trò rất quan trọng trong các lý thuyết thống
nhất các tương tác cũng như các hạt cơ bản. Đặc biệt, sự xuất hiện của các hạt tach-
43
yon ( ) trong lý thuyết dây và siêu dây.
CHƯƠNG II: CƠ CHẾ SINH KHỐI LƯỢNG
Các chiều phụ trội được xem là không thể thiếu trong các lý thuyết thống nhất các
tương tác, đặc biệt là lý thuyết siêu dây (đã được trình bày trong chương trước).
Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về sự co gọn của các chiều phụ trội
để chứng tỏ rằng ý nghĩa vật lý của chúng chưa được làm rõ. Từ đó, chúng tôi đưa
ra điều kiện tuần hoàn và cơ chế sinh khối lượng cho các trường hiệu dụng. Để minh
họa, chúng tôi áp dụng cơ chế này cho trường vô hướng và trường vector (trường
spinor sẽ được trình bày trong chương sau).
Lý thuyết gauge đóng vai trò rất quan trọng trong SM, lý thuyết mô tả rất thành
công tương tác giữa tương tác mạnh và tương tác điện yếu của các hạt cơ bản, cũng
như trong các lý thuyết thống nhất các tương tác. Tuy nhiên, lý thuyết gauge đòi hỏi
các khối lượng gauge boson phải bằng không. Đây là vấn đề gây khó khăn trong
việc thống nhất các tương tác. Để giải quyết vấn đề này, lý thuyết gauge cần phải
kết hợp với cơ chế Higgs. Trong chương, chúng tôi đề xuất cơ chế sinh khối lượng
cho các gauge boson độc lập với cơ chế Higgs, được gọi là bất biến gauge biến dạng.
2.1. Sự co gọn của các chiều phụ trội
2.1.1. Co gọn theo vòng tròn
Trong việc thống nhất các loại lực tương tác trong tự nhiên, mô hình không thời
– gian với số chiều cao hơn 4 được xem là có nhiều triển vọng nhất. Trong lý thuyết
Kaluza – Klein, chiều thứ 5 được thêm vào không - thời gian 4 chiều thành không –
thời gian 5 chiều để thống nhất lực hấp dẫn và lực điện từ [8,9] và Klein đã đưa ra
giả thuyết rằng chiều không gian thứ 5 co gọn lại thành vòng tròn có bán kính rất
nhỏ vào cỡ hằng số Plank h, được gọi là điều kiện tuần hoàn (xem hình 2.1). Tuy
thuyết Kaluza – Klein đã thống nhất thành công lực hấp dẫn và lực điện từ bằng cách
thêm chiều phụ trội thứ 5 và các chiều này bị co gọn trong không thời gian 4 chiều
44
nhưng ý nghĩa của sự co gọn của chiều thứ 5 chưa được làm rõ.
Hình 2.1: Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội
bị co lại thành vòng tròn [75]
Từ thành công trong mô hình không thời gian 5 chiều, các nhà vật lý đã ra sức
nghiên cứu các lý thuyết có số chiều cao hơn, nghĩa là có nhiều chiều phụ trội bị
cuộn lại. Hai kịch bản cho các chiều phụ trội bị co lại đã được đề xuất (xem hình 2.2
và 2.3).
Hình 2.2. Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội co lại
45
thành một mặt cầu [75]
Hình 2.3. Tại mỗi điểm trong không thời gian, một chiều phụ trội bị co lại
thành một mặt hình xuyến [75]
Mọi hàm vật lý xác định trên vòng tròn co gọn phải thỏa mãn điều kiện tuần hoàn
[67]:
(2.1)
với và R5 là bán kính của vòng tròn co gọn.
Do đó mọi hàm vật lý f(xA) xác định trong không - thời gian có thể được khai triển
Fourier như sau:
(2.2)
Áp dụng cho metric Kaluza – Klein, ta có:
(2.3)
Bỏ qua các số hạng với n≠0 trong biểu thức khai triển Fourier (2.3), ta được biểu
thức [67]:
(2.4)
và đó được gọi là sự rút gọn chiều hoàn toàn.
Để chứng tỏ điều này, ta hãy xét trường vô hướng phức (không chứa
46
trong các thành phần metric GAB) với biểu thức khai triển Fourier như sau [67]:
(2.5)
Lagrangian tương ứng có dạng:
, (2.6)
với W được gọi là thừa số kích cỡ lại Weyl.
Ta có tác dụng dưới dạng 4 chiều thông thường:
, (2.7)
trong đó
. (2.8)
Thay (2.5) vào (2.6), ta được:
(2.9)
Trong phép gần đúng (2.4), ta có thể xem g, , ở (2.9) chỉ phụ thuộc vào
47
Lúc này, thay (2.9) vào (2.8) và chú ý , ta được:
, (2.10)
trong đó có ý nghĩa đạo hàm hiệp biến gauge [66,67]:
(2.11)
Như vậy, thành phần Fourier tương ứng với hạt mang điện và có
khối lượng .
2.1.2. Co gọn theo hình xuyến D – 4 chiều
Trong trường hợp số chiều không – thời gian là D (với D-4 chiều không gian phụ
trội), các chiều phụ trội co gọn thành hình xuyến D-4 chiều với bán kính RK,
K=5,6,…,D.
Ta có các công thức khai triển như sau [67]:
, (2.12)
. (2.13)
2.1.3. Co gọn khái quát theo đường kín
Sự co gọn theo vòng tròn chỉ là trường hợp đặc biệt của sự co gọn theo một chu
kỳ thể hiện bởi điều kiện:
48
(2.14)
trong đó , L gọn là chu kỳ tuần hoàn.
Ta lưu ý rằng [67]:
(2.15)
và điều kiện (2.4) về sự rút gọn chiều hoàn toàn vẫn không thay đổi.
2.2. Điều kiện tuần hoàn theo các chiều phụ trội
Trong không thời – gian 4+d chiều, với d là số chiều phụ trội, ta xét biểu thức hàm
trường theo tọa độ [46]:
, (2.16)
trong đó là vectơ toạ độ 4+d chiều, với . Chỉ số Hy Lạp sẽ
được sử dụng cho chỉ số Lorentz thông thường =0,1,2,3. Để thuận tiện, chúng tôi
sẽ ký hiệu , với a =1,2,...,d.
Chúng ta không quan tâm trực tiếp sự co gọn về mặt topo của các chiều phụ trội.
Thay vào đó, chúng ta đưa ra một điều kiện tuần hoàn được đặt vào các hàm trường
phụ thuộc vào các chiều phụ trội.
Điều kiện tuần hoàn:
(2.17)
ở đây hàm tham số phụ thuộc vào chiều dài co gọn của các chiều phụ
trội.
Lấy đạo hàm theo không – thời gian phụ trội, ta được phương trình [46,47]:
, (2.18)
trong đó:
, (2.19)
,
với là kích thước của chiều phụ trội thứ a.
49
Trong trường hợp tổng quát [48]:
(2.20)
ở đây và là các hàm của .
Cho trường trung tính, là thực và .
Như vậy, điều kiện tuần hoàn cho hàm trường trong không – thời gian phụ trội đã
được đưa ra như sau: Đạo hàm của hàm trường theo không – thời gian phụ trội sẽ
bằng hàm trường đó nhân với một hệ số (như biểu thức (2.18)) phụ thuộc vào
chiều dài co gọn L của các chiều phụ trội (như biểu thức (2.19) hoặc (2.20)).
2.3. Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát với không – thời gian đa chiều
2.3.1. Phép biến đổi Lorentz
Theo [72], phép biến đổi Lorentz là phép biến đổi tọa độ trong không – thời gian
Minkowski:
(2.21)
và công thức biến đổi ngược:
,
trong đó là các hệ số thực sao cho tích vô hướng của hai vector bảo toàn
và thỏa mãn biểu thức
.
Ta xét một số trường hợp đặc biệt của phép biến đổi Lorentz:
Phép biến đổi đồng đẳng: .
Phép biến đổi tọa độ không gian: , (k=1,2,3).
Phép biến đổi thời gian: (k=1,2,3). ,
Phép biến đổi cả tọa độ không – thời gian: .
Phương trình (2.21) được gọi là phép biến đổi Lorentz đồng nhất. Ngoài ra, ta còn
có phép biến đổi Lorentz không đồng nhất (còn được gọi là phép biến đổi Poincaré)
50
với biểu thức:
(2.22) ,
với là vector tịnh tiến.
Nếu thì (2.22) trở thành:
được gọi là phép biến đổi tịnh tiến.
2.3.2. Nguyên lý bất biến tương đối rộng
Phương trình (2.21) và (2.22) chỉ là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi tổng
quát:
. (2.23) .
Ta xét các loại tensor cấp n như sau [67]:
Tensor phản biến cấp n là đại lượng biến đổi theo quy luật:
. (2.24)
Tensor hiệp biến cấp n là đại lượng biến đổi theo quy luật:
. (2.25)
Tensor hỗn hợp phản biến cấp m và hiệp biến cấp n là đại lượng biến đổi theo
quy luật:
(2.26)
và công thức biến đổi ngược:
. (2.27)
Ta xét một vài trường hợp đặc biệt:
Đại lượng gọi là vô hướng nếu bất biến đối với phép biến đổi (2.21):
. (2.28)
51
được gọi là vector phản biến nếu biến đổi theo quy luật:
. (2.29)
2.3.3. Đạo hàm hiệp biến
Ta nhận thấy rằng: đạo hàm bình thường tensor không tuân theo
qui luật biến đổi (2.26), nghĩa là nó không phải là một tensor. Để khắc phục điều
này, ta đưa vào đạo hàm hiệp biến như sau [67]:
- Đối với tensor phản biến hạng m:
.
với: gọi là liên thông Affine hay ký hiệu Christoffel.
- Đối với tensor hiệp biến hạng n:
.
- Một cách tổng quát, đối với tensor hỗn hợp hạng (n,m):
Ta xét các trường hợp đặc biệt:
- Với vector phản biến :
. (2.30)
- Với vector hiệp biến :
. (2.31)
2.4. Khối lượng các trường hiệu dụng
2.4.1. Phương trình trường hiệu dụng
Ta xét một hàm trường F(x,y) trong không – thời gian đa chiều có Lagrangian
L(x,y) bất biến Lorentz cho chiều thứ (4+d) và tác dụng cho hàm trường F(x,y) được
định nghĩa như sau [46-48]:
52
, (2.32)
,
trong đó và tích phân được thực hiện trên toàn bộ không - thời
.
gian phụ trội
Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu S(y) cho phương trình Euler- Lagrange:
(2.33)
với
.
và ,
Dẫn đến phương trình Klein-Gordon:
( + ).
(2.34) với trường hiệu dụng là hàm trường trong không thời – gian bốn chiều thông thường
(2.35)
được xem như bình phương khối lượng của trường
và .
2.4.2. Khối lượng của trường vô hướng hiệu dụng
Trường vô hướng mô tả hạt có spin bằng 0. Trong đó:
+ Trường vô hướng thực mô tả hạt trung hòa không mang điện tích:
.
.
+ Trường vô hướng phức mô tả hạt mang điện tích:
Largrangian của trường vô hướng trung hòa là [48]:
(2.36)
53
với metric Minkowski của không-thời gian phụ trội:
.
(2.37)
.
Từ (2.18), ta có: (2.38)
Thay (2.38) vào (2.36), ta được:
. (2.39)
.
Áp dụng phương trình Euler – Lagrangian, ta có:
(2.40)
Số hạng thứ nhất của (2.40):
(2.41)
với
.
và
Số hạng thứ hai của (2.40):
(2.42)
.
với
Thay (2.41) và (2.42) vào (2.40), ta được:
54
. (2.43)
Từ (2.43), ta tìm được phương trình Klein-Gordon:
(2.44)
,
cho trường hiệu dụng
với bình phương khối lượng [48]:
(2.45)
trong đó là số chiều phụ trội giống chiều thời gian, là số chiều phụ trội
giống chiều không gian và .
Từ phương trình (2.45), nếu
(2.46)
thì , nghĩa là có tồn tại chiều phụ trội giống chiều thời gian.
2.4.3. Khối lượng của trường vector hiệu dụng
Chúng ta xét trường hợp d=1 và xem xét trường vector trung hòa thỏa
.
mãn điều kiện tuần hoàn
(2.47)
,
Từ (2.18), ta cũng có:
(2.48)
.
55
Trường vector tự do được mô tả bởi Lagrangian [46,47]:
(2.49)
với:
vì
và
,
.
Thay (2.48) vào (2.49) ta được:
. (2.50)
Bây giờ ta định nghĩa trường vector vật lý mới [48]:
. (2.51)
Trong hình thức của , Lagrangian (2.50) trở thành [48]:
, (2.52)
với .
Lagrangian (2.52) dẫn đến phương trình:
56
, (2.53)
với trường vector hiệu dụng:
(2.54)
và . (2.55)
Như vậy: Khối lượng của trường vector có thể dương hoặc âm phụ thuộc
vào chiều phụ trội tựa chiều không gian hay chiều thời gian.
2.5. Hàm trường spinor trong không – thời gian đa chiều
Năm 1928, P.A.M. Dirac đã phát hiện một phương trình sóng tương đối tính mô
tả các hạt có spin bằng , được gọi là phương trình Dirac. Hàm sóng trong phương
trình Dirac bao gồm 4 hàm phức ( ) ở dạng ma trận cột:
. (2.56)
Lagrangian mô tả của trường spinor là
, (2.57)
trong đó, , là các ma trận Dirac (hay ma trận gamma),
, , với .
và
, ,
là các ma trận Pauli. Ma trận phải thỏa mãn phương trình:
. (2.58)
Hàm trường trong phương trình Dirac được gọi là trường spinor, mô tả hạt
có spin .
57
Lagrangian (2.57) bất biến đối với phép biến đổi điện tích:
(2.59)
Ta xét hàm trường spinor trong không thời gian 4+d chiều:
,
với là 4 chiều không – thời gian thông thường và a = 1,2,...,d là các
chiều phụ trội.
Khi đó, trường spinor được mô tả bởi thành phần với Lagran-
gian [46-48]:
, (2.60)
với .
Ta sẽ phân tích (2.60) ra thành hai thành phần: một thành phần phụ thuộc vào
không – thời gian 4 chiều thông thường và một thành phần phụ thuộc vào không -
thời gian phụ trội. Khi đó, Lagrangian (2.60) trở thành:
, (2.61)
ở đây là ma trận Dirac trong (4+d) chiều
(2.62)
,
(với là ma trận Dirac 4x4 thông thường) và tuân theo hệ thức phản giao hoán:
,
,
(2.63)
58
.
Các ma trận được định nghĩa như sau:
,
,
với
,
là ma trận đơn vị hàng và cột
và là các ma trận hàng và cột và thỏa mãn các điều kiện:
,
.
Bây giờ, ta xây dựng các ma trận và với số chiều không - thời gian D
bằng 11 như sau [76]:
59
trong đó là các ma trận Dirac [55]
60
61
2.6. Phổ khối lượng của các trường spinor hợp nhất
Lagrangian (2.61) có thể được viết lại như sau:
, (2.64)
với
(2.65)
được suy ra từ điều kiện (2.18).
Ta định nghĩa một trường spinor mới bằng cách đặt [49,77]:
, (2.66)
với
(2.67)
hay
. (2.68)
Ta có các hệ thức sau [77]:
,
, (2.69)
62
.
Phương trình (2.64) trở thành:
, (2.70)
với điều kiện ràng buộc [77]:
. (2.71)
Từ Largangian (2.70), ta có tác dụng:
, (2.72)
,
ở đây và tích phân được thực hiện trên toàn bộ không - thời
gian phụ trội
.
Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu S(y) cho phương trình Euler- Lagrange:
(2.73) .
Áp dụng phương trình Euler-Lagrangian cho phương trình (2.70), ta được:
(2.74)
với .
Bây giờ ta tách phương trình (2.74) thành hệ phương trình Dirac:
, (2.75)
và
với k= 1,2,..., là trường spinor 4 thành phần thông thường.
63
Ta thấy rằng, hàm trường là một thành phần của hàm trường
:
. (2.76)
Từ (2.75), ta thấy rằng tất cả trường spinor có khối lượng bằng:
. (2.77)
Từ (2.67) và (2.77), ta nhận thấy rằng:
➢ Nếu chiều phụ trội A là tựa chiều thời gian thì là ảo. Vì thế, đa tuyến
spinor là tachyon, nghĩa là .
➢ Nếu tham số là thực thì đa tuyến spinor có khối lượng bằng
không.
2.7. Trường tachyon spinor
Từ phương trình (2.77), ta thấy rằng nếu chiều phụ trội a tựa chiều thời gian thì
là khối lượng ảo [77]
(2.78) hay .
Vì thế, tồn tại đa tuyến spinor là tachyon.
2.8. Quy luật tổng khối lượng
Từ (2.71) và (2.77), chúng tôi cũng nhận thấy rằng, một trường spinor trong toàn
bộ không thời-gian với các chiều phụ trội tương ứng với một bộ đa tuyến spinor hiệu
dụng trong không-thời gian 4 chiều thông thường với khối lượng tuân theo quy tắc
64
tổng [78]:
(2.79) .
Để hiểu rõ hơn quy tắc tổng này, chúng tôi sẽ xét hai trường hợp là d bằng 1 và 2.
Xét trường hợp đơn giản với d=1 [77]:
Khi đó: , (2.80) ,
,
với
.
Phương trình (2.75) trở thành:
, (2.81)
với
.
Từ (2.81), ta được:
hay . (2.82)
Xét trường hợp đơn giản với d=2 [77]:
Với d = 2, trường spinor có 8 thành phần và các ma trận Dirac có dạng
, , , (2.83)
với
,
65
.
Phương trình (2.75) được tách thành các phương trình:
, (2.84a)
, (2.84b)
, (2.84c)
, (2.84d)
với điều kiện .
Từ các phương trình (2.84), ta có:
- Khối lượng của lưỡng tuyến là
. (2.85)
- Khối lượng của lưỡng tuyến là
. (2.86)
Như vậy, ta thấy rằng một trường spinor đơn tuyến trong không thời gian với d
chiều phụ trội sẽ tương ứng với một bộ trường spinor đa tuyến trong không – thời
gian 4 chiều thông thường. Khối lượng của chúng tuân theo quy tắc tổng trong hình
thức metric của các chiều phụ trội và các hàm tham số từ điều kiện tuần hoàn. Mỗi
66
đa tuyến chứa trường spinor với khối lượng bằng nhau.
2.9. Biến dạng trường gauge với các vector boson có khối lượng
2.9.1. Lý thuyết gauge
Ta xét phép biến đổi gauge đơn giản nhất – tương ứng với nhóm gauge một thông
số U(1) [67,68], chẳng hạn phép biến đổi điện tích.
Dưới tác dụng của phép biến đổi điện tích trường ứng với hạt mang điện
tích q biến đổi theo quy luật
(2.87)
trong đó: là thông số của phép biến đổi.
Khi không phụ thuộc vào x thì Lagrangian của các trường tích điện bất biến
đối với phép biến đổi (2.87). Khi không phụ thuộc vào x thì ta có phép biến đổi
toàn cục.
, ta có phép biến đổi:
Khi phụ thuộc vào x,
(2.88)
được gọi là biến đổi định xứ.
Số hạng chứa khối lượng dạng của La-
grangian vẫn bất biến nhưng các số hạng động năng (chứa đạo hàm không – thời
gian không còn bất biến nữa). Để khôi phục lại tính bất biến của Lagrangian ta tiến
hành như sau:
Đưa vào trường : gọi là trường gauge.
Lập đạo hàm hiệp biến theo công thức:
và buộc trường gauge phải biến đổi theo quy luật:
(2.89)
để cho biến đổi giống như
. (2.90)
Thay thế đạo hàm trường trong Lagrangian bằng đạo hàm hiệp biến
67
.
Kết quả cho ta Lagrangian trường tự do cùng với Lagrangian mô tả tương
tác giữa trường và trường gauge .
Xét trường vô hướng tích điện. Dưới tác dụng của phép biến đổi gauge U(1)
trường này biến đổi theo quy luật:
(2.91)
Lagrangian tự do của trường :
. (2.92)
Nếu phụ thuộc vào tọa độ x thì Lagrangian này không bất biến nữa. Thật
vậy, ta có:
(2.93)
Như vậy Lagrangian không bất biến đối với phép biến đổi điện tích (2.91). Để
khôi phục lại tính bất biến của Lagrangian như trên đã nói ta thêm vào trường gauge
và lập thành đạo hàm hiệp biến theo công thức:
(2.94)
Trường gauge thêm vào phải biến đổi sao cho và biến đổi theo
quy luật như và , tức là:
(2.95)
Bây giờ ta tìm quy luật biến đổi của thỏa mãn (2.95):
68
Ta có:
(2.96)
Từ (2.96), ta thấy rằng:
Khi đó Lagrangian ở trên được thay bằng:
(2.97)
trong đó:
và . (2.98)
Lagrangian thu được này bất biến đối với phép biến đổi gauge, trong đó mô
tả tương tác giữa các trường vô hướng tích điện và trường gauge . Như trên ta đã
nói, để Lagrangian vẫn bất biến thì trường gauge này phải không khối lượng.
.
Xét trường spinor có Lagrangian tự do:
(2.99)
Thay bằng cho Lagrangian (2.99) , ta được:
(2.100)
với
(2.101)
69
. trong đó: Lint mô tả tương tác giữa trường spinor và trường gauge
Như vậy, nguyên lý bất biến gauge cho phép xác định một cách đơn trị Lagrangian
mô tả tương tác giữa trường vật chất mang điện và trường gauge (ở đây được
đồng nhất với trường điện từ).
Một cách tổng quát: Lagrangian đầy đủ mô tả hệ trường vật chất và trường
,
gauge có dạng:
(2.102)
trong đó:
: Lagrangian trường vật chất tự do. +
: Lagrangian trường gauge. +
(2.103)
và
: Lagrangian mô tả tương tác giữa trường vật chất +
trường gauge .
là tensor cường độ trường
Ta thấy rằng: Vì , với
gauge (cũng là trường điện từ), nên bất biến với các phép biến đổi, trong khi
đó tức không bất biến. Do đó lagrangian bất biến không thể có
chứa số hạng khối lượng, điều đó có nghĩa là trường gauge phải là không khối lượng.
2.9.2. Biến đổi gauge phi abel
Ta tổng quát hóa các kết quả ở mục trên cho nhóm bất kỳ G với đại số gồm n vi
tử , a = 1,2,3…n tuân theo hệ thức giao hoán [67,68]:
( là hằng số cấu trúc của nhóm G). (2.104)
Giả sử dưới tác dụng của các phép biến đổi thuộc G với các thông số một
đa tuyến r các trường , i= 1,2,3…r, biến đổi theo quy luật:
, (2.105)
70
trong đó: là các ma trận tuân theo hệ thức giao hoán như (2.104):
Đưa vào n trường gauge , a = 1,2,…n, lập thành đạo hàm hiệp biến
(2.106)
với đòi hỏi biến đổi theo quy tắc:
. (2.107)
Để thỏa mãn (2.107), các trường gauge phải biến đổi theo quy tắc sau [67,68]:
(2.108)
trong đó:
, (2.109)
. (2.110)
Tensor cường độ trường gauge được định nghĩa là:
. (2.111)
Trong trường hợp nhóm phi abel (G U(1)), không bất biến mà biến đổi
theo quy luật:
, (2.112)
trong đó:
.
Khai triển theo các phương trình (2.108) và (2.112), ta có:
71
(2.113)
là bất biến và Lagrangian mô tả hệ gồm
Từ (2.112), ta thấy rằng
và trường gauge
có dạng:
trường vật chất
(2.114)
Ta xét trường hợp G là SU(2) hoặc SU(3) và là spinor có dạng tương ứng
hoặc
[67]:
.
là các ma trận Pauli (a=1,2,3):
Từ (2.105), ta đặt hoặc với
.
và là các ma trận Gell – Mann (a=1,2,…,8):
.
nên
.
Do
(2.115)
72
Khi đó Lagrangian tương tác giữa trường vật chất và trường gauge bằng
(2.116)
2.9.3. Biến dạng bất biến gauge U(1)
Gọi là trường vật chất U(1) điện tích q và tuân theo phép biến đổi gauge
(2.117)
với tham số (x).
Đạo hàm hiệp biến được xây dựng bởi công thức [79]:
(2.118)
với trường gauge tuân theo phép biến đổi:
(2.119)
trong đó g(x) tham số của trường vô hướng.
Cường độ của trường bảo toàn được định nghĩa
(2.120)
không còn bất biến dưới phép biến đổi (2.119) nhưng hình thức biến dạng của nó thì
. (2.121)
bất biến dưới phép biến đổi (2.119):
Do đó Lagrangian bất biến được định nghĩa như sau:
(2.122)
Phương trình Euler – Lagrange:
. (2.123)
Từ (2.122) và (2.123), ta được:
(2.124)
73
Ta đặt vào điều kiện ràng buộc trên trường gauge :
. (2.125)
Điều kiện (2.125) phù hợp với điều kiện gauge Lorentz thông thường khi g là hằng
số.
.
Phương trình (2.124) trở thành:
(2.126)
Chúng ta xem xét một trường hợp đặc biệt của g(x) [79]:
(2.127)
là các tham số vectơ .
ở đây , a và c là các tham số vô hướng,
Thay phương trình (2.127) vào phương trình (2.126), ta được:
. (2.128)
Từ (2.128), chúng tôi tìm được biểu thức khối lượng của trường gauge boson A:
. (2.129)
Phương trình (2.129) cho thấy rằng mA có thể thay đổi giá trị trong không – thời
gian. Ta xét các trường hợp đặc biệt:
➢ Nếu a=0 thì .
thì
➢ Nếu . (2.130)
2.9.4. Biến dạng bất biến gauge phi abel
là các trường đa tuyến tuân theo
Ta xét trường hợp gauge phi abel. Gọi
,
phép biến đổi gauge [79]:
,
(2.131)
với Ma là matric biểu diễn của đại số đối xứng:
, (2.132)
trong đó – hằng số cấu trúc.
74
Đạo hàm hiệp biến được cho bởi công thức [79]:
, (2.133)
,
với trường gauge biến đổi theo nguyên tắc:
, (2.134)
trong đó G hằng số gauge liên kết.
Tương tự phương trình (2.121), cường độ trường biến dạng được xây dựng
như sau:
, (2.135)
với là cường độ trường ban đầu:
(2.136)
và .
tuân theo phép biến đổi [79]:
. (2.137)
Trong đó
Do đó, Lagrangian bất biến cho trường gauge là:
(2.138)
ở đây tỷ lệ với và .
Thực hiện tính toán tương tự như U(1)-gauge với điều kiện gauge Lorentz bị biến
dạng
75
(2.139)
ta sẽ thu được biểu thức khối lượng mA tương tự như biểu thức (2.129).
2.9.5. Các hằng số liên kết biến đổi
Để xem xét khả năng biến đổi của các hằng số liên kết, chúng tôi thay các hằng
số liên kết q và G trong các biểu thức (2.118) và (2.133) bằng
. (2.140)
Sau đó, chúng được thay vào trong các Lagrangian tương tác gauge tương ứng.
Xét trường hợp Lagrangian tương tác U(1)-gauge cho trường vô hướng tích điện
, (2.141)
(x) và trường spinor tương ứng là:
Do đó, theo hình thức trình bày ở đây hằng số cấu trúc α có thể thay đổi giá trị
trong không-thời gian. Vấn đề liên quan đến sự thay đổi của hằng số α là rất quan
trọng trong nghiên cứu thế giới vi mô và vĩ mô. Thật vậy, nhiều hiện tượng tự nhiên
liên quan đến sự tiến triển của thời gian của vũ trụ có thể giải thích bằng lý thuyết.
Ví dụ như sự dịch chuyển về phía đỏ trong vũ trụ được xem như hiệu ứng Doppler.
Trong cơ chế mà chúng tôi đã đề nghị, hiệu ứng này có thể được giải thích theo cách
phù hợp hơn với vũ trụ tĩnh trong thuyết tương đối tổng quát. Một ví dụ khác là vấn
đề Oklo [43-45] có thể giải thích bằng lý thuyết nếu giá trị của α ở vài triệu năm
trước đây khác so với thời điểm hiện tại.
2.10. Kết luận chương 2
Trong chương này chúng tôi đã trình bày tổng quan về sự co gọn các chiều
phụ trội và nguyên lý bất biến tương đối tổng quát với không thời gian đa chiều.
Chúng tôi đã đưa ra điều kiện tuần hoàn của các hàm trường theo các chiều phụ
trội, đặc biệt là hàm trường spinor. Từ đó chúng tôi thấy rằng khối lượng của
các hạt cơ bản có nguồn gốc từ sự co gọn của các chiều phụ trội, đặc biệt trong
cơ chế này có sự tồn tại các hạt tachyon liên quan đến chiều phụ trội tựa chiều
thời gian. Kết quả này được công bố trong công trình [4]. Chúng tôi cũng đã
nghiên cứu về việc mở rộng lý thuyết gauge. Bằng cách đưa vào tham số g(x)
76
trong phép biến đổi các trường gauge, các vector gauge boson đã có khối lượng
một cách độc lập với cơ chế Higgs. Điều này dẫn tới khả năng các hằng số liên
kết gauge có thể thay đổi trong không thời gian. Kết quả này cũng được công bố
77
trong công trình [2].
CHƯƠNG III: ĐIỆN TÍCH TỪ CÁC CHIỀU PHỤ TRỘI
Trường spinor mô tả các hạt có spin bán nguyên là các hạt vật chất như electron,
proton, quark, lepton… và nó đóng vai trò rất quan trọng trong các lý thuyết thống
nhất. Trong chương này chúng tôi sẽ vận dụng cơ chế sinh khối lượng từ các chiều
phụ trội đã được đề xuất trong chương trước cho trường spinor để tìm biểu thức khối
lượng của trường spinor. Từ đó, chúng tôi cũng tìm mối liên hệ giữa các khối lượng
của các đa tuyến của trường spinor trong không thời gian với các chiều phụ trội với
tham số trong điều kiện tuần hoàn (đã được trình bày trong chương 2). Sau đó,
chúng tôi sẽ tìm cách hợp nhất các quark hoặc các lepton vào một đa tuyến và mối
liên hệ giữa đa tuyến này với các chiều phụ trội.
3.1. Đạo hàm 4 chiều của các trường
Xét hàm trường trong không thời gian 4+d chiều. Trong đó,
là 4 chiều thông thường, là các chiều phụ trội.
Ta sẽ tìm hiểu đạo hàm của hàm trường F(x,y) theo 4 chiều thông thường. Theo
[77,78], đạo hàm theo 4 chiều thông thường được định nghĩa như sau:
(3.1)
, (3.2) và
trong đó là các hàm thực chỉ phụ thuộc vào các chiều phụ trội, là các
hàm vectơ và là hàm trường hiệu dụng trong không – thời gian 4 chiều thông
thường
. (3.3)
Bây giờ, ta xét trường spinor trong không thời gian 4+d chiều.
Theo (3.1), chúng tôi đặt [77,78]:
, (3.4)
ở đây là hàm thực chỉ phụ thuộc vào chiều phụ trội tuân theo nguyên lý phân
78
bố:
(3.5)
và
(3.6)
được xem là trường hiệu dụng trong không – thời gian 4 chiều thông thường với
và tích phân trên toàn bộ không thời – gian phụ trội.
3.2. Lagrangian tương tác điện từ cho các trường hiệu dụng
Từ hàm trường , chúng tôi định nghĩa trường vectơ trung tính
trong không – thời gian 4 chiều thông thường bằng cách đặt [77,78]:
(3.7)
trong đó, có ý nghĩa của điện tích và tương ứng với trường gauge.
Ví dụ, xét trường vô hướng phức mô tả bởi Lagrangian:
(3.8)
Ta có:
, (3.9)
. (3.10)
Thay (3.9) và (3.10) vào (3.8), ta được:
(3.11)
với
79
. (3.12)
Lagrangian (3.11) có dạng chính xác như trong lý thuyết gauge tương tác điện từ
với là điện tích của trường .
Với trường vô hướng trung tính, , ta xuất phát từ Lagrangian:
(3.13)
Từ (3.9) và (3.10), Lagrangian (3.13) trở thành:
(3.14)
với thỏa điều kiện:
. (3.15)
Ta có Lagrangian tự do của trường vô hướng trung tính :
. (3.16)
Từ (3.14), (3.15) và (3.16), chúng tôi cũng tìm được biểu thức khối lượng cho
trường vô hướng tương tự biểu thức (3.12).
Với trường spinor, ở đây ta xét trường hợp đơn giản nhất d = 1. Trường hợp tổng
quát d bất kỳ sẽ trình được trình bày ở phần tiếp theo.
Xuất phát từ Lagrangian:
(3.17)
với:
80
,
,
.
Thay vào (3.17), ta có:
. (3.18)
Ta định nghĩa trường spinor mới [77,78]:
. (3.19)
Từ (3.19), chúng tôi đã chứng minh được các biểu thức sau:
,
,
.
Từ đó phương trình (3.18) trở thành:
. (3.20)
Tiếp theo, chúng tôi đặt:
, (3.21)
(3.22)
và
. (3.23)
Thay (3.21), (3.22) và (3.23) vào (3.20), ta được:
(3.24)
81
Từ (3.24), chúng tôi tìm được biểu thức khối lượng của trường spinor:
(3.25)
có dạng chính xác như trong lý thuyết gauge với là điện tích của trường .
3.3. Khối lượng và điện tích của các trường spinor hợp nhất
Trong trường hợp tổng quát d tùy ý, cũng tiến hành các tính toán tương tự như
trên, ta được:
(3.26)
Bây giờ ta định nghĩa các trường spinor mới bằng cách đặt [77,78]:
, (3.27)
với
(3.28)
Từ (3.27), chúng tôi tìm được các biểu thức:
, (3.29)
, (3.30)
(3.31)
với a = 1,2,…,d.
Vì thế, trong hình thức của , phương trình (3.26) trở thành:
(3.32)
với
82
và điều kiện [77,78]:
và . (3.33)
Lagrangian có thể được viết như sau:
(3.34)
là trường spinor 4 thành phần thông thường xuất hiện như các thành
ở đây
phần của trường spinor :
. (3.35)
Từ phương trình (3.34), chúng tôi nhận thấy rằng: Với , tất cả trường
spinor , k = 1,2, .... , , có khối lượng bằng
(3.36)
và điện tích bằng
,
(3.37)
.
3.4. Quy luật tổng khối lượng - điện tích
Từ (3.35) và (3.36), chúng tôi có thể định nghĩa:
83
. (3.38)
Các phương trình (3.33), (3.36) và (3.37) cho các quy tắc tổng khối lượng và điện
tích [78]:
, (3.39)
ở đây:
,
.
Quy tắc tổng này biểu diễn mối lên hệ giữa khối lượng và điện tích của các trường
d thành phần trong đa tuyến đã được hợp nhất .
3.5. Quark tachyon và lepton tachyon
Với các kết quả đã thu được ở trên chúng tôi đã xem xét khả năng thống nhất 6
quark u, d, c, s, t, b cùng với một vài quark tachyon ẩn h thành một đa tuyến, cũng
như khả năng hợp nhất 6 lepton cùng với một vài lepton tachyon
ẩn ℓ thành một đa tuyến.
3.5.1. Đa tuyến quark
Từ (3.37), chúng tôi đặt [78]:
,
(3.40)
,
(3.41)
(3.42)
với e0 là đơn vị điện tích.
Ta hãy xem xét trường hợp d = 7 chiều phụ trội gồm 6 chiều phụ trội tựa chiều
không gian tương ứng với 6 quark:
và một chiều phụ trội tựa thời gian tương ứng với quark ẩn h, được gọi là quark
tachyon: .
84
Từ phương trình (3.39), ta có [78]:
,
(3.43)
ở đây m(h) là khối lượng của quark tachyon h và e(h) liên quan đến điện tích của
quark tachyon h như sau:
.
(3.44)
Từ phương trình (3.43), chúng tôi tính được khối lượng của quark tachyon h:
thì
Nếu . (3.45)
Nếu thì . (3.46)
Ở đây:
.
3.5.2. Đa tuyến lepton
Từ (3.37), chúng tôi đặt [78]:
, (3.47)
(3.48) ,
(3.49) .
Tương tự trường hợp đa tuyến quark, chúng tôi lấy d=7. Trong đó 6 chiều phụ trội
tựa chiều không gian tương ứng với 6 lepton:
và một chiều phụ trội tựa chiều thời gian tương ứng với lepton ẩn , được gọi là
lepton tachyon: .
Từ phương trình (3.39), ta được [78]:
85
, (3.50)
ở đây là khối lượng lepton tachyon và liên quan đến điện tích của
lepton tachyon qua biểu thức:
. (3.51)
Từ phương trình (3.50), chúng tôi tính được khối lượng của các lepton tachyon
:
Nếu thì . (3.52)
Nếu thì . (3.53)
Ở đây:
Do đó, trên cơ sở nguyên tắc tổng khối lượng - điện tích, chúng tôi đã tìm thấy sự
tồn tại của một vài quark tachyon ẩn có điện tích hoặc và khối lượng ảo,
cũng như là sự tồn tại của một vài lepton tachyon ẩn trung hòa hoặc điện tích âm và
khối lượng ảo.
3.6. Khả năng điện tích thay đổi theo không - thời gian
Hằng số cấu trúc tinh tế là một thông số cơ bản khi xét các quá trình
tương tác điện từ, từ vi mô đến vĩ mô. Một câu hỏi có thể nảy sinh: α (và nói chung
điện tích các hạt) có thể thay đổi theo không – thời gian hay không? Vấn đề này có
ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu thế giới vi mô cũng như vĩ mô, đang được
nhiều sự quan tâm.
Đặc biệt, chúng tôi đã nhận thức được rằng nếu quả thật α thay đổi theo không –
thời gian thì nhiều hiện tượng của tự nhiên liên quan đến sự biến đổi của vũ trụ có
thể giải thích được về mặt lý thuyết.
3.7. Kết luận chương 3
Trong chương này chúng tôi đã trình bày các nghiên cứu về đạo hàm 4 chiều của
các trường, Lagrangian tương tác điện từ cho các trường hiệu dụng, điện tích của
86
các trường spinor hợp nhất, quy luật tổng khối lượng - điện tích, quark tachyon và
lepton tachyon và khả năng điện tích thay đổi theo không thời – gian. Từ các kết quả
trên chúng tôi nhận thấy rằng trường spinor đơn tuyến trong không – thời gian với
các chiều phụ trội tương ứng với một bộ trường spinor đa tuyến hiệu dụng trong
không – thời gian 4 chiều thông thường với điện tích và khối lượng tuân theo quy
tắc tổng khối lượng – điện tích. Đồng thời, chúng tôi cũng xét một trường hợp đơn
giản để hợp nhất sáu quark và một vài quark tachyon ẩn liên hệ với các chiều phụ
trội và tương tự cho sáu lepton và một vài lepton tachyon ẩn cũng liên hệ với các
chiều phụ trội. Kết quả này đã giúp cho việc tìm thấy khả năng tồn tại của quark
tachyon, cũng như lepton tachyon. Các kết quả này được công bố trong công trình
87
[1].
NHỮNG KẾT QUẢ CHÍNH CỦA LUẬN ÁN
Luận án “Khối lượng các trường hiệu dụng theo các chiều phụ trội” đã nghiên
cứu tổng quan về không thời - gian đa chiều và xây dựng mô hình cho cơ chế sinh
khối lượng của các hạt cơ bản. Những kết quả chính của luận án như sau:
Đưa ra điều kiện tuần hoàn cho các hàm trường trong không – thời phụ trội.
Từ đó, chúng tôi đề xuất cơ chế sinh ra khối lượng và điện tích của các hạt cơ bản.
Ý tưởng chính là khối lượng của hạt có nguồn gốc từ sự co gọn các chiều phụ trội
tuân theo điều kiện tuần hoàn trong không thời gian bốn chiều thông thường, đặc
biệt là trong cơ chế này có sự tồn tại hạt tachyon có bình phương khối lượng âm liên
quan đến sự tồn tại chiều tựa chiều thời gian.
Nghiên cứu về mở rộng bất biến gauge. Ý tưởng chính là đưa vào hàm tham số
g(x) trong phép biến đổi các trường gauge. Cơ chế này có thể xem là sự khái quát
hoá bất biến gauge tương ứng với trường hợp đặc biệt g(x)=0. Hình thức này cho
phép vector boson gauge có khối lượng. Nó cũng cho thấy khả năng các hằng số liên
kết gauge thay đổi trong không - thời gian.
Dựa trên cơ chế sinh khối lượng đã được đề xuất, chúng tôi xem xét phổ điện
tích - khối lượng cho trường spinor. Kết quả đáng chú ý là trường spinor đơn tuyến
trong không – thời gian với các chiều phụ trội tương ứng với một bộ trường spinor
đa tuyến hiệu dụng trong không – thời gian 4 chiều thông thường với điện tích và
khối lượng tuân theo quy tắc tổng khối lượng – điện tích. Điều này cung cấp một
hiểu biết sâu sắc hơn về mối liên hệ giữa các chiều phụ trội và lý thuyết thống nhất.
Đồng thời, chúng tôi cũng xét một trường hợp đơn giản để hợp nhất sáu quark và
một vài quark tachyon ẩn liên hệ với các chiều phụ trội và tương tự cho sáu lepton
và một vài lepton tachyon ẩn cũng liên hệ với các chiều phụ trội. Kết quả này đã
88
giúp cho việc tìm thấy khả năng tồn tại các quark tachyon, cũng như lepton tachyon.
Các kết quả trên đây đã mở ra nhiều vấn đề cần nghiên cứu tiếp theo như sau:
- Như đã biết, các hạt Higgs được tiên đoán bằng lý thuyết và đã được thực nghiệm
xác nhận. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề về hạt Higgs chưa được hiểu rõ. Nếu hạt
các Higgs là hạt truyền khối lượng thì tiết diện sinh ra phải rất lớn để khi hạt sơ cấp
vừa sinh ra là có thể “ngậm” các hạt Higg để có khối lượng. Tuy nhiên, các hạt Higgs
có tiết diện sinh ra nhỏ hơn so với dự đoán rất nhiều. Ngoài ra, tại sao phổ khối lượng
của các hạt sơ cấp, sau khi ngậm hạt Higgs, rất nhỏ so với phổ khối lượng của hạt
Higgs… Có thể nghĩ rằng các vấn đề này có liên quan mật thiết đến các chiều phụ
trội. Đây là vấn đề về cội nguồn của hạt Higgs sẽ nghiên cứu tiếp theo.
- Việc mở rộng bất biến gauge dẫn đến khả năng các hằng số tương tác thay đổi
theo thời gian. Kết quả này có thể giải thích được rất nhiều hiện tượng trong tự nhiên
và vũ trụ học. Tuy nhiên, các hằng số này thay đổi như thế nào, cũng là vấn đề có
89
thể được nghiên cứu tiếp theo.
NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN
1. Đã nghiên cứu về mối liên hệ giữa khối lượng với các chiều phụ trội. Đã chứng
minh được rằng các chiều phụ trội biến thành khối lượng của các hạt cơ bản trong
không - thời gian bốn chiều thông thường và tương ứng với các chiều phụ trội tựa
chiều thời gian là các hạt tachyon.
2. Nghiên cứu một cách tiếp cận mới, bất biến gauge biến dạng, cho khả năng các
gauge vector boson có được khối lượng độc lập với cơ chế Higgs và đồng thời cho
khả năng các hằng số liên kết gauge thay đổi trong không - thời gian.
3. Chứng tỏ rằng trường spinor đơn tuyến trong không – thời gian với các chiều
phụ trội tương ứng với một bộ trường spinor đa tuyến hiệu dụng trong không – thời
gian 4 chiều thông thường với điện tích và khối lượng tuân theo quy tắc tổng khối
lượng – điện tích.
4. Xét mô hình hợp nhất sáu quark và các quark tachyon ẩn liên hệ với bảy chiều
phụ trội và tương tự cho sáu lepton và các lepton tachyon ẩn cũng liên hệ với bảy
chiều phụ trội. Kết quả này đã cho thấy khả năng tồn tại của quark tachyon, cũng
như lepton tachyon.
5. Những kết quả của luận án góp phần làm sáng tỏ ý nghĩa vật lý và vai trò của
các chiều phụ trội, đặc biệt là tính chất tôpô hình học, liên qua đến nguồn gốc sinh
khối lượng. Các kết quả này có thể sử dụng khi nghiên cứu các vấn đề thuộc lãnh
90
vực thống nhất các tương tác, đặc biệt là trong mô hình Đại thống nhất.
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
I. Tạp chí:
1. Dao Vong Duc, Nguyen Mong Giao, Tran Thanh Dung, Charge–mass sum
rules for unified spinor fields in extradimensions and the prediction for the ex-
istence of tachyon quarks and tachyon leptons, Modern Physics Letters A, 2019,
34.17, 1950130. (tạp chí thuộc danh mục ISI)
2. Dao Vong Duc, Nguyen Mong Giao, Tran Thanh Dung, Deformed Gauge
Invariance with Massive Gauge Vector Bosons, Journal of Modern Physics,
2017, 8, 82-86.
3. Dao Vong Duc, Nguyen Mong Giao, Tran Thanh Dung, Mass spectrum of
Spinor fields in Extradimension, International journal of theoretical physics,
2015, 54, 1071-1076. (tạp chí thuộc danh mục ISI)
4. Dao Vong Duc, Nguyen Mong Giao, Tran Thanh Dung, Time-like Extradi-
mensions as the Origin of Tachyons, Journal of Physical Science and Applica-
tion, 2014, 4.1, 60-63.
II. Hội nghị:
5. Dao Vong Duc, Nguyen Mong Giao, Tran Thanh Dung, Massive gauge vector
bosons in g(x)-deformed gauge imariance theory, Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn
quốc lần thứ 42, 2017.
6. Dao Vong Duc, Nguyen Mong Giao, Tran Thanh Dung, Unified spinor fields
91
in space-time with Extradimensions, Hội nghị Vật lý lý thuyết lần thứ 40, 2015.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] S. Mukhi, String theory, a perspective over the last 25 years, Classical and
Quantum Gravity, 2011, 28 (15), 153001.
[2] E. Verlinde, Status of Super String Theory, From Quarks and Gluons to Quan-
tum Gravity: Proceedings of the International School of Subnuclear Physics,
World Scientific, 2003, 40, 237.
[3] C. Maroufi, The search for superstrings, symmetry, and the theory of every-
thing, Magill book reviews, 2000.
[4] K.R. Dienes, String theory and the path to unification: A Review of recent de-
velopments, Physics Reports, 1997, 287 (6), 447-525.
[5] M.B. Green, Unification of forces and particles in superstring theories, Nature,
1985, 314 (6010), 409-414.
[6] J.H. Schwarz, Status of superstring and M-theory, International Journal of
Modern Physics A, 2010, 25 (25), 4703-4725.
[7] M.J. Duff, M theory (The Theory formerly known as strings), International
Journal of Modern Physics A, 1996, 11 (32), 5623-5641.
[8] O. Klein, Quantum theory and 5-dimensional theory of relativity, Z. Phys.,
1926, 37, 895-906.
[9] J.M. Overduin, P.S. Wesson, Kaluza-klein gravity, Physics Reports, 1997, 283
(5-6), 303-378.
[10] D. Bailin, A. Love, Kaluza-Klein theories, Reports on Progress in Physics,
1987, 50 (9), 1087.
[11] M.J. Duff, B.E. Nilsson, C.N. Pope, Kaluza-klein supergravity, Physics Re-
ports, 1986, 130 (1-2), 1-142.
[12] E. Cremmer, B. Julia, J. Scherk, Supergravity theory in 11 dimensions. In Su-
pergravities in Diverse Dimensions: Commentary and Reprints (In 2 Volumes),
92
1989, 139-142.
[13] V.P. Nair, A. Shapere, A. Strominger, F. Wilczek, Compactification of the
twisted heterotic string, Nuclear Physics B, 1987, 287, 402-418.
[14] D.J. Gross, J.A. Harvey, E. Martinec, R. Rohm, Heterotic string, Physical Re-
view Letters, 1985, 54 (6), 502.
[15] C. Wetterich, Spontaneous compactification in higher dimensional grav-
ity, Physics Letters B, 1982, 113(5), 377-381.
[16] Z. Horvath, L. Palla, E. Cremmer, J. Scherk, Grand unified schemes and spon-
taneous compactification, Nuclear Physics B, 1977, 127 (1), 57-65.
[17] M.J. Duff, P.K. Townsend, P.V. Nieuwenhuizen, Spontaneous compactification
of supergravity on the three-sphere, Physics Letters B, 1983, 122 (3-4), 232-
236.
[18] T. Appelquist, A. Chodos, Quantum effects in Kaluza-Klein theories, Physical
Review Letters, 1983, 50 (3), 141.
[19] A. Sen, Tachyons in string theory, In From Fields to Strings: Circumnavigating
Theoretical Physics, Ian Kogan Memorial Collection (In 3 Volumes), 2005,
2035-2091.
[20] V. Gorini, A. Kamenshchik, U. Moschella, V. Pasquier, Tachyons, scalar fields,
and cosmology, Physical Review D, 2004, 69 (12), 123512.
[21] J.L. Alonso, V. Azcoiti, A. Cruz, Origin of inertia at rest and the number of
generations, Physical Review D, 1982, 26 (3), 691-697.
[22] M. Harada, M. Tanabashi, K.Yamawaki, The Origin of Mass and Strong Cou-
pling Gauge Theories, Proceedings of the 2006 International Workshop, Japan,
2006.
[23] T. Appelquist, H.U. Yee, Universal extra dimensions and the Higgs boson
mass, Physical Review D, 2003, 67 (5), 055002.
[24] F. Wilczek, Origins of mass, Central European Journal of Physics, 2012, 10
93
(5), 1021-1037.
[25] G. Aad, et al., Observation of a new particle in the search for the Standard
Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC, Physics Letters B,
2012, 716 (1), 1-29.
[26] CMS collaboration, A new boson with a mass of 125 GeV observed with the
CMS experiment at the Large Hadron Collider, Science, 2012, 338 (6114),
1569-1575.
[27] P.W. Higgs, Broken symmetries and the masses of gauge bosons, Physical Re-
view Letters, 1964, 13 (16), 508.
[28] P.W. Higgs, Spontaneous symmetry breakdown without massless bos-
ons. Physical Review, 1966, 145 (4), 1156.
[29] S. De Bianchi, C. Kiefer, One Hundred Years of Gauge Theory: Past, Present
and Future Perspectives, Springer Nature, 2020, 199.
[30] S. Weinberg, Effective gauge theories, Physics Letters B, 1980, 91 (1), 51-55.
[31] L. Hall, Grand unification of effective gauge theories, Nuclear Physics B,
1981, 178 (1), 75-124.
[32] M. Yoshimura, Unified gauge theories and the baryon number of the uni-
verse. Physical Review Letters, 1978, 41 (5), 281.
[33] T.W.B. Kibble, Spontaneous symmetry breaking in gauge theories Philosophi-
cal Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineer-
ing Sciences, 2015, 373 (2032), 20140033.
[34] G.S. Guralnik, C.R. Hagen, T.W. Kibble, Global conservation laws and mass-
less particles, Physical Review Letters, 1964, 13 (20), 585.
[35] J. Goldstone, A. Salam, S. Weinberg, Broken symmetries, Physical Re-
view, 1962, 127 (3), 965.
[36] G.S. Guralnik, C.R. Hagen, T.W. Kibble, Broken symmetries and the Goldstone
94
theorem, Advances in particle physics, 1968, 2, 567-708.
[37] S.M. Boucenna, et al., Non-abelian gauge extensions for B-decay anoma-
lies, Physics Letters B, 2016, 760, 214-219.
[38] H. Hatanaka, T. Inami, C.S. Lim, The Gauge Hierarchy Problem and Higher-
Dimensional Gauge Theories, Modern Physics Letters A, 1998, 13 (32), 2601-
2611.
[39] S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton, Topologically massive gauge theories, An-
nals of Physics, 2000, 281(1-2), 409-449.
[40] C.T. Hill, Topcolor: Top quark condensation in a gauge extension of the stand-
ard model, Physics Letters B, 1991, 266 (3-4), 419-424.
[41] D.V. Duc, A new gauge mechanism for massive gauge bosons, Communica-
tions in Physics, 2011, 21 (4), 289 -293.
[42] D. V. Duc, N.M. Giao, Space – Time Dependence of Fine Structure Constant
in Deformed Gauge Invariance, US Open Advanced Physics Journal, 2014, 1,
1.
[43] J. Uzan, The fundamental constants and their variation: observational and the-
oretical status, Reviews of modern physics, 2003, 75 (2), 403.
[44] Y. Fujii, Oklo Constraint on the Time-Variabilityof the Fine-Structure Con-
stant, Astrophysics, Clocks and Fundamental Constants, Springer, Berlin, Hei-
delberg, 2004, 167-185.
[45] S.K. Lamoreaux, J.R. Torgerson, Neutron moderation in the Oklo natural reac-
tor and the time variation of α, Physical review D, 2004, 69 (12), 121701.
[46] D.V. Duc, N.M. Giao, Vector Boson Mass Spectrum from Extradimensions,
Journal of Modern Physics, 2013, 4 (7), 991-993; D.V.Duc, N.M.Giao, Mass
Creation from Extra Dimensions, arXiv:1301.1405, 2013.
[47] D.V. Duc, N.M. Giao, Mass creation from extra dimensions, Journal of Modern
95
Physics, 2014, 5 (6).
[48] D.V. Duc, N.M. Giao, T.T. Dung, Time-like Extradimensions as the Origin of
Tachyons, Journal of Physical Science and Application, 2014, 60-63.
[49] D.V. Duc, N.M. Giao, A Mechanism for Charge Creation from Extra Dimen-
sions, International Journal of Theoretical Physics, 2015, 55 (2), 959-964.
[50] G. Veneziano, Construction of a crossing-simmetric, Regge-behaved amplitude
for linearly rising trajectories, Il Nuovo Cimento A, 1968, 57 (1), 190-197.
[51] R.C. Brower, Spectrum-generating algebra and no-ghost theorem for the dual
model, Physical Review D, 1972, 6 (6), 1655.
[52] L. Susskind, Structure of hadrons implied by duality, Physical Review D, 1970,
1 (4), 1182.
[53] Y. Nambu, Quark model and the factorization of the Veneziano amplitude, In
Proceedings of the International Conference on Symmetries and Quark Mod-
els, 1969.
[54] H. Nielsen, An almost physical interpretation of the integrand of the n-point
Veneziano integrand, In the 15th International Conference on High Energy
Physics (Kiev), 1970.
[55] J. Scherk, J.H. Schwarz, Dual models for non-hadrons, Nuclear Physics
B, 1974, 81 (1), 118-144.
[56] A. Bilal, J.L. Gervais, New critical dimensions for string theories, Nuclear
Physics B, 1987, 284, 397-422.
[57] C. Lovelace, Pomeron form factors and dual Regge cuts, Physics Letters
B, 1971, 34 (6), 500-506.
[58] L. Brink, H.B. Nielsen, A simple physical interpretation of the critical dimen-
sion of space-time in dual models, Physics Letters B, 1973, 45 (4), 332-336.
[59] P. Ramond, Dual theory for free fermions, Physical Review D, 1971, 3 (10),
96
2415.
[60] A. Neveu, J.H. Schwarz, Factorizable dual model of pions, Nuclear Physics
B, 1971, 31 (1), 86-112.
[61] A. Neveu, J.H. Schwarz, Quark model of dual pions, Physical Review D,
1971, 4 (4), 1109.
[62] C.B. Thorn, Embryonic dual model for pions and fermions, Physical Review D,
1971, 4 (4), 1112.
[63] J.L. Gervais, B. Sakita, Field theory interpretation of supergauges in dual mod-
els, Nuclear Physics B, 1971, 34 (2), 632-639.
[64] F. Gliozzi, J. Scherk, D. Olive, Supergravity and the spinor dual model, Physics
Letters B, 1976, 65(3), 282-286.
[65] M.B. Green, J.H. Schwarz, Supersymmetrical dual string theory, Nuclear Phys-
ics B, 1981, 181 (3), 502-530; M.B. Green, J.H. Schwarz, Supersymmetric dual
string theory: (II). Vertices and trees, Nuclear Physics B, 1982, 198(2), 252-
268; M.B. Green, J.H. Schwarz, Supersymmetrical string theories, Physics Let-
ters B, 1982, 109 (6), 444-448.
[66] M. Kaku, Introduction to superstrings and M-theory, Springer Science & Busi-
ness Media, 2012.
[67] Đào Vọng Đức, Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết siêu dây lượng tử, NXB
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, 2007.
[68] Bailin, David, L. Alexander, Supersymmetric gauge field theory and string the-
ory, CRC Press, 1994.
[69] K. Becker, M. Becker, J.H. Schwarz, P. Ramond, String theory and M-theory:
A modern introduction, Cambridge University Press, 2006.
[70] J. Polchinski, String theory: Volume 1 – An introduction to the bosonic string,
Cambridge University Press, 1998.
[71] L. Brink, M. Henneaux, Principles of string theory, Springer Science & Busi-
97
ness Media, 2013.
[72] D. McMahon, String theory demystified: A self-teaching guide, McGraw-Hill,
2009.
[73] K. Wray, An Introduction to String Theory, Berkeley University, 2011.
[74] J.H. Schwarz, Introduction to superstring theory, Techniques and Concepts of
High-Energy Physics, Springer, Dordrecht, 2001, 143-187
[75] B. Greene, The Elegant Universe: Superstrings, Hidden Dimensions and the
Quest for the Ultimate Theory, Vintage Books, 2000.
[76] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa, Lý thuyết tương đối rộng với không – thời gian
đa chiều, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2015.
[77] D.V. Duc, N.M. Giao, T.T. Dung, Mass spectrum of Spinor fields in Extradi-
mension, International journal of theoretical physics, 2015, 54, 1071-1076.
[78] D.V. Duc, N.M. Giao, T.T. Dung, Charge–mass sum rules for unified spinor
fields in extradimensions and the prediction for the existence of tachyon quarks
and tachyon leptons, Modern Physics Letters A, 2019, 34 (17), 1950130.
[79] D.V. Duc, N.M. Giao, T.T. Dung, Deformed Gauge Invariance with Massive
98
Gauge Vector Bosons, Journal of Modern Physics, 2017, 8, 82-86.
