Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của một số trạng thái phi cổ điển ba mode

§„i h(cid:228)c Hu(cid:213)

tr›Œng ﬁ„i h(cid:228)c s› ph„m

Tr˙n Quang §„t

Nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt Vµ øng dông cña mét sè tr¹ng th¸i phi cæ ®iÓn ba mode

Lu¸n ‚n ti(cid:213)n s(cid:220) v¸t l(cid:253)

Hu(cid:213), 2021

§„i h(cid:228)c Hu(cid:213)

tr›Œng ﬁ„i h(cid:228)c s› ph„m

Tr˙n Quang §„t

Nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt Vµ øng dông cña mét sè tr¹ng th¸i phi cæ ®iÓn ba mode

Ngµnh: VËt lý lý thuyÕt vµ VËt lý to¸n

M· sè: 9 44 01 03

Lu¸n ‚n ti(cid:213)n s(cid:220) v¸t l(cid:253)

Ng›Œi h›(cid:237)ng d(cid:201)n khoa h(cid:228)c:

1. PGS.TS. Tr›‹ng Minh §łc

2. PGS.TS. Nguy(cid:212)n B‚ ¢n

Hu(cid:213), 2021

Lêi cam ®oan

T«i xin cam ﬁoan ﬁ'y l(cid:181) c«ng tr(cid:215)nh nghi“n cłu cæa ri“ng t«i. C‚c sŁ

li(cid:214)u, k(cid:213)t qu¶ nghi“n cłu v(cid:181) ﬁ(cid:229) th(cid:222) n“u trong lu¸n ‚n l(cid:181) trung thøc, ﬁ›(cid:238)c c‚c

ﬁ(cid:229)ng t‚c gi¶ cho ph—p s(cid:246) d(cid:244)ng v(cid:181) ch›a tıng ﬁ›(cid:238)c ai c«ng bŁ trong b˚t kœ

mØt c«ng tr(cid:215)nh n(cid:181)o kh‚c.

T‚c gi¶ lu¸n ‚n

Tr˙n Quang §„t

Lêi c¶m ¬n

T«i xin b(cid:181)y tÆ l(cid:223)ng bi(cid:213)t ‹n s'u s(cid:190)c v(cid:181) sø k(cid:221)nh tr(cid:228)ng l(cid:237)n lao ﬁŁi v(cid:237)i

th˙y gi‚o PGS.TS. Tr›‹ng Minh §łc, ng›Œi th˙y ﬁ• g(cid:190)n bª v(cid:237)i t«i tı nh(cid:247)ng

ng(cid:181)y ﬁ˙u m(cid:237)i g˘p tr“n gi¶ng ﬁ›Œng tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m Hu(cid:213). Th˙y ﬁ•

gªp ph˙n ﬁ(cid:222)nh h›(cid:237)ng sø nghi(cid:214)p cho t«i, gi(cid:243)p ﬁ(cid:236) t«i tı khi vıa m(cid:237)i tŁt nghi(cid:214)p

ﬁ„i h(cid:228)c. Th˙y kh«ng ch(cid:216) gi(cid:243)p ﬁ(cid:236) t«i trong chuy“n m«n, c«ng vi(cid:214)c nghi“n

cłu, c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁ(cid:211) ﬁ›(cid:238)c b¶o v(cid:214) lu¸n ‚n... m(cid:181) c¶ trong nhi(cid:210)u l(cid:220)nh vøc cæa

cuØc sŁng. T«i xin ﬁ›(cid:238)c tri 'n Th˙y gi‚o cæa m(cid:215)nh c(cid:242)ng nh› c¶m t„ gia ﬁ(cid:215)nh

Th˙y ﬁ• d(cid:181)nh tr(cid:228)n cho t«i ni(cid:210)m y“u qu(cid:253) ch'n th(cid:181)nh.

§(cid:211) cª nh(cid:247)ng th(cid:181)nh c«ng h«m nay, t«i c(cid:242)ng xin b(cid:181)y tÆ l(cid:223)ng bi(cid:213)t ‹n to

l(cid:237)n ﬁŁi v(cid:237)i th˙y gi‚o PGS.TS. Nguy(cid:212)n B‚ ¢n. Th˙y ﬁ• cª nh(cid:247)ng ch(cid:216) d„y,

nh(cid:247)ng gªp (cid:253) v« c(cid:239)ng s(cid:190)c s¶o ﬁ(cid:211) uŁn n(cid:190)n c‚ch l(cid:181)m vi(cid:214)c cho t«i tı khi t«i m(cid:237)i

ﬁ›(cid:238)c g˘p Th˙y. Th˙y ﬁ• truy(cid:210)n l(cid:246)a ﬁam m“, trøc ti(cid:213)p ch(cid:216)nh s(cid:246)a c'u v¤n, l(cid:231)i

ch(cid:221)nh t¶... trong c‚c c«ng tr(cid:215)nh nghi“n cłu cæa t«i ngay c¶ khi Th˙y ﬁang b(cid:222)

ﬁau. T«i xin ﬁ›(cid:238)c ghi l(cid:223)ng t„c d„ c«ng ‹n l(cid:237)n lao m(cid:181) Th˙y ﬁ• d(cid:181)nh cho t«i

trong suŁt thŒi gian h(cid:228)c t¸p.

T«i xin ch'n th(cid:181)nh c¶m ‹n ﬁ(cid:213)n qu(cid:253) th˙y gi‚o, c« gi‚o º khoa V¸t l(cid:253),

tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m, §„i h(cid:228)c Hu(cid:213) ﬁ• gi¶ng d„y, gi(cid:243)p ﬁ(cid:236) v(cid:181) t„o m(cid:228)i ﬁi(cid:210)u

ki(cid:214)n thu¸n l(cid:238)i trong suŁt thŒi gian t«i h(cid:228)c t¸p v(cid:181) nghi“n cłu t„i n‹i ﬁ'y.

T«i c(cid:242)ng xin tr'n tr(cid:228)ng c¶m ‹n ﬁ(cid:213)n qu(cid:253) th˙y c« º Ph(cid:223)ng §(cid:181)o t„o Sau

§„i h(cid:228)c v(cid:181) c‚c Ph(cid:223)ng, Ban kh‚c cæa tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m, §„i h(cid:228)c Hu(cid:213)

ﬁ• ﬁ›a ra nh(cid:247)ng h›(cid:237)ng d(cid:201)n t¸n t(cid:215)nh c(cid:242)ng nh› t„o m(cid:228)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n thu¸n l(cid:238)i

cho t«i trong vi(cid:214)c ho(cid:181)n th(cid:181)nh c‚c thæ t(cid:244)c h(cid:181)nh ch(cid:221)nh trong suŁt thŒi gian h(cid:228)c

t¸p cæa t«i.

iii

T«i xin g(cid:246)i lŒi c¶m ‹n ﬁ(cid:213)n Ban Gi‚m hi(cid:214)u tr›Œng §„i h(cid:228)c Giao th«ng

v¸n t¶i, Ban Gi‚m ﬁŁc Ph'n hi(cid:214)u tr›Œng §„i h(cid:228)c Giao th«ng v¸n t¶i t„i Th(cid:181)nh

phŁ H(cid:229) Ch(cid:221) Minh ﬁ• cho ph—p, t„o ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n thu¸n l(cid:238)i v(cid:181) gi(cid:243)p ﬁ(cid:236) t«i trong

thŒi gian t«i h(cid:228)c t¸p, nghi“n cłu v(cid:181) c«ng t‚c. Xin tr'n tr(cid:228)ng c¶m t„ t(cid:237)i qu(cid:253)

th˙y, c« v(cid:181) b„n b(cid:204) l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng nghi(cid:214)p cæa t«i t„i tr›Œng §„i h(cid:228)c Giao th«ng v¸n

t¶i v(cid:181) Ph'n hi(cid:214)u tr›Œng §„i h(cid:228)c Giao th«ng v¸n t¶i t„i Th(cid:181)nh phŁ H(cid:229) Ch(cid:221)

Minh ﬁ• cª nh(cid:247)ng ﬁØng vi“n, chia s˛ l(cid:243)c t«i khª kh¤n trong c«ng vi(cid:214)c, h(cid:228)c

t¸p v(cid:181) c«ng t‚c. T«i xin c¶m ‹n t(cid:237)i hai ﬁ(cid:229)ng m«n l(cid:181) ch(cid:222) L“ Th(cid:222) H(cid:229)ng Thanh

v(cid:181) b„n H(cid:229) S(cid:252) Ch›‹ng ﬁ• chia s˛ nh(cid:247)ng khª kh¤n v(cid:237)i t«i trong thŒi gian l(cid:181)m

vi(cid:214)c.

§˘c bi(cid:214)t, t«i xin d(cid:181)nh t˚t c¶ ni(cid:210)m y“u th›‹ng v(cid:181) sø c¶m t„ ch'n th(cid:181)nh

ﬁ(cid:213)n c‚c th(cid:181)nh vi“n gia ﬁ(cid:215)nh cæa m(cid:215)nh. Xin ﬁ›(cid:238)c c¶m ‹n c‚c bŁ, m(cid:209) hai b“n

nØi ngo„i, c‚c anh ch(cid:222) em ﬁ• lu«n gi(cid:243)p ﬁ(cid:236), lo l(cid:190)ng v(cid:181) ﬁØng vi“n con, em cæa

m(cid:215)nh trong m(cid:228)i ho(cid:181)n c¶nh. Xin c¶m t„ ﬁ(cid:213)n gia ﬁ(cid:215)nh nhÆ cæa t«i, v(cid:238) t«i v(cid:181)

hai con Quœnh Nh› v(cid:181) Di(cid:214)p Chi, b¶n th'n h(cid:228) ﬁ• ch(cid:222)u nhi(cid:210)u v˚t v¶, m˚t m‚t

ﬁ(cid:211) t«i ﬁ›(cid:238)c ho(cid:181)n th(cid:181)nh lu¸n ‚n n(cid:181)y.

Hu(cid:213), th‚ng 03 n¤m 2021

T‚c gi¶

Tr˙n Quang §„t

B¶ng ch(cid:247) vi(cid:213)t t(cid:190)t

Vi(cid:213)t t(cid:190)t Ti(cid:213)ng Anh Ti(cid:213)ng Vi(cid:214)t

BS Beam-splitter BØ t‚ch ch(cid:239)m

PD Photo-detector §˙u d(cid:223) quang

SPD Single-photon detector §˙u d(cid:223) ﬁ‹n photon

DC Downconverter BØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i

Danh m(cid:244)c c‚c h(cid:215)nh vˇ

2.1. Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:181)m Wigner W v(cid:181)o c‚c th(cid:181)nh ph˙n thøc v(cid:181)

¶o cæa αa v(cid:237)i p = q = 0, r = 1, h = k = l = 1, αb = αc = 0.5

v(cid:181) φ = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2. Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:181)m Wigner W v(cid:181)o r v(cid:237)i p = 2, q = 1,

|αa| = 0.26, |αb| = 0.4, |αc| = 0.5 v(cid:181) ϕa + ϕb + ϕc − φ = π

khi (h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (3, 1, 0) (ﬁ›Œng g„ch

- g„ch) v(cid:181) (2, 1, 1) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m). . . . . . . . . . . . 37

2.3. Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n S v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181)

φ−ϕ = 0 khi (a) (h, k, l) = (2, 2, 2) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (3, 3, 3)

(ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (5, 5, 5) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) (b)

(h, k, l) = (4, 4, 4) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (8, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch -

g„ch), (9, 2, 1) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m). . . . . . . . . . . . . . 39

2.4. Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n SX;j v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0,

h = k = l = 2 khi j = 2 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), j = 3 (ﬁ›Œng g„ch

- g„ch) v(cid:181) j = 4 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m). . . . . . . . . . . . . 41

2.5. Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ ﬁan rŁi Em v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181)

h = k = l = 2 khi m = 1 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), m = 2 (ﬁ›Œng

g„ch - g„ch) v(cid:181) m = 3 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m). . . . . . . . . . 42

2.6. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ ﬁan rŁi E v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 khi (a)

(h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch -

g„ch), (5, 5, 5) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) (b) (h, k, l) = (2, 2, 2)

(ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (5, 1, 0) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (6, 0, 0) (ﬁ›Œng

g„ch - ch˚m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7. Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:181)m Wigner W v(cid:181)o c‚c th(cid:181)nh ph˙n thøc v(cid:181)

¶o cæa αa v(cid:237)i ξ = 1, p = q = 0, (cid:15) = λ = σ = 1, αb = αc =

0.01 khi h = k = l = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.8. Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:181)m Wigner W v(cid:181)o r v(cid:237)i φ = 0, p =

q = 0, (cid:15) = λ = σ = 1, αa = 0.05 v(cid:181) αb = αc = 0.01 khi

(h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch -

g„ch) v(cid:181) (4, 4, 4) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m). . . . . . . . . . . . . 48

2.9. Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n S v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181)

φ−ϕ = 0 khi (a) (h, k, l) = (1, 1, 1) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (2, 2, 2)

(ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (4, 4, 4) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) (b)

(h, k, l) = (5, 3, 1) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (4, 4, 1) (ﬁ›Œng g„ch -

g„ch), (3, 3, 3) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m). . . . . . . . . . . . . . 49

2.10. Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n S v(cid:181)o λ v(cid:181) σ v(cid:237)i p = q = 1, r = 4,

(cid:15) = 1 v(cid:181) φ − ϕ = 0 khi h = k = l = 1 . . . . . . . . . . . . 50

2.11. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ ﬁan rŁi Ea v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181)

(cid:15) = λ = σ = 1 khi (a) (h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t),

(1, 1, 1) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m)

v(cid:181) (b) (h, k, l) = (5, 3, 1) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (4, 3, 2) (ﬁ›Œng

g„ch - g„ch), (3, 3, 3) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m). . . . . . . . . . . 52

2.12. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ ﬁan rŁi Ea v(cid:181)o λ v(cid:181) σ v(cid:237)i r = 0.5, p =

q = 0 v(cid:181) (cid:15) = 1 khi h = k = l = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1. S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba lan

vii

truy(cid:210)n tø do trong kh«ng gian mº. . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng P

t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181)o |ζ| v(cid:237)i p = q = 0, τ = 10−3

khi |α| = 103 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), 2 × 103 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch),

3 × 103 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) 5 × 103 (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m). 61

3.3. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F (η) v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng

P (η) t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181)o |ζ| v(cid:237)i p = q =

0, τ = 10−3 v(cid:181) |α| = 5 × 103 khi η = 0.2 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t),

η = 0.3 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), η = 0.5 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m)

v(cid:181) η = 0.7 (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m). . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F (η) v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng

P (η) t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181)o τ v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181)

|ζ| = 1 khi |α| = 103 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), 2 × 103 (ﬁ›Œng g„ch -

g„ch), 3 × 103 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) 5 × 103 (ﬁ›Œng ch˚m

- ch˚m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F (η) v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng

√ η|α|τ v(cid:237)i P (η) t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181)o Z =

p = q = 0 khi |ζ| = 0.5 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), |ζ| = 0.7 (ﬁ›Œng

g„ch - g„ch), |ζ| = 1.0 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) |ζ| = 3.0

(ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.6. S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon

lan truy(cid:210)n tø do trong kh«ng gian mº. . . . . . . . . . . . . 67

3.7. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng

P t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon v(cid:181)o T v(cid:237)i

p = q = 0 v(cid:181) r = 3 khi (h, k, l) = (1, 1, 1) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t),

viii

(2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch) v(cid:181) (3, 3, 3) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) 70

3.8. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng

P t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon v(cid:181)o T v(cid:237)i

p = q = 0 v(cid:181) (h, k, l) = (1, 1, 1) khi r = 1 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t),

r = 3 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch) v(cid:181) r = 6 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m). . . 70

3.9. S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m t„o ra ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon ba mode

l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o r v(cid:237)i (cid:15) = 1

khi (a) (h, k) = (1, 1) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (2, 2) (ﬁ›Œng g„ch

- g„ch), (3, 3) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) (b) (h, k) = (4, 0)

(ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (3, 1) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (2, 2) (ﬁ›Œng

g„ch - ch˚m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o χ = |χ| v(cid:237)i

Q = 0 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), Q = 1 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), Q = 3

(ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) Q = 6 (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m). . . . . 82

4.3. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o χ = |χ|

v(cid:237)i |α| = 0.5 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), |α| = 1 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch)

v(cid:181) |α| = 2 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m). . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i

p = q = Q = 0 khi |χ| = 1 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), |χ| = 2 (ﬁ›Œng

g„ch - g„ch), |χ| = 5 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) |χ| = 10 (ﬁ›Œng

ch˚m - ch˚m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i

p = q = Q = 0 v(cid:181) |χ| = 1 khi (h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng

li(cid:210)n n—t), (1, 1, 1) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch

- ch˚m) v(cid:181) (3, 3, 3) (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m). . . . . . . . . . . 90

4.6. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i

p = q = 0 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), p = q = 1 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch),

p = q = 2 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) p = q = 3 (ﬁ›Œng ch˚m -

ch˚m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.7. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i

(a) h = k = l v(cid:181) (b) h = k = l = 2 khi p = q = 0 (ﬁ›Œng

li(cid:210)n n—t), p = q = 1 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), p = q = 2 (ﬁ›Œng

g„ch - ch˚m) v(cid:181) p = q = 3 (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m). . . . . . . 95

4.8. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i

|α| = 0.5 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), |α| = 1.0 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch),

|α| = 1.5 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) |α| = 2.0 (ﬁ›Œng ch˚m -

ch˚m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.9. Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r

v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181) |α| = 0.5 khi (h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng

li(cid:210)n n—t), (h, k, l) = (1, 1, 1) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (h, k, l) =

(2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) (h, k, l) = (3, 3, 3) (ﬁ›Œng

ch˚m - ch˚m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

M(cid:244)c l(cid:244)c

Trang ph(cid:244) b(cid:215)a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

LŒi cam ﬁoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

LŒi c¶m ‹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

B¶ng ch(cid:247) vi(cid:213)t t(cid:190)t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Danh m(cid:244)c c‚c h(cid:215)nh vˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

M(cid:244)c l(cid:244)c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Ph˙n mº ﬁ˙u

Ph˙n nØi dung

Ch›‹ng 1 - C‹ sº l(cid:253) thuy(cid:213)t 8

1.1. Mº ﬁ˙u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. C‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n bi(cid:213)n li“n t(cid:244)c . . . . . . . . . . . . 9

1.3. MØt sŁ tr„ng th‚i c‹ b¶n cæa tr›Œng boson . . . . . . . . . . 11

1.3.1. Tr„ng th‚i sŁ h„t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.4. Tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode . . . . . . . . . 15

1.3.5. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4. C‚c tr„ng th‚i th“m photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p th“m photon . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2. MØt sŁ tr„ng th‚i hai mode th“m photon . . . . . . . 18

1.5. MØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n . . . . . . . . 20

1.5.1. H(cid:181)m Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.2. T(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng ba mode . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.3. T(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246) . . . . . . . . . . . 27

1.6.1. §i(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) . . . . . . . . . . . . . . 28

1.6.2. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi . . . . . 30

1.7. K(cid:213)t lu¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Ch›‹ng 2 - C‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa mØt sŁ tr„ng th‚i ba mode

m(cid:237)i 34

2.1. Mº ﬁ˙u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1. H(cid:181)m Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.2. T(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng ba mode . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.3. T(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon . . . . . . 44

2.3.1. H(cid:181)m Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.2. T(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng ba mode . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.3. T(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4. K(cid:213)t lu¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Ch›‹ng 3 - S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m t„o ra c‚c tr„ng th‚i ba mode 55

3.1. Mº ﬁ˙u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.2. T„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3. T„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon . . . . . . . . . 66

3.4. T„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon . . . 71

xii

3.5. K(cid:213)t lu¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Ch›‹ng 4 - łng d(cid:244)ng cæa c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong th«ng tin

l›(cid:238)ng t(cid:246) 76

4.1. Mº ﬁ˙u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode

ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1. Tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m

photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.2. Qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p . . . . . . . . . . 80

4.3.1. S(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao . . 80

4.3.2. S(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha . . . 82

4.4. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon . 85

4.5. §i(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m

photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5.1. S(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao . . 91

4.5.2. S(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha . . . 95

4.6. K(cid:213)t lu¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

K(cid:213)t lu¸n chung

101

Danh m(cid:244)c c‚c b(cid:181)i b‚o ﬁ• c«ng bŁ cª li“n quan ﬁ(cid:213)n lu¸n ‚n 103

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o 104

xiii

Ph(cid:244) l(cid:244)c P.1

PhÇn më ®Çu

1. L(cid:253) do ch(cid:228)n ﬁ(cid:210) t(cid:181)i

G˙n ﬁ'y, sø xu˚t hi(cid:214)n cæa c‚c giao thłc trong th«ng tin v(cid:181) t(cid:221)nh to‚n

l›(cid:238)ng t(cid:246) hła h(cid:209)n cª nh(cid:247)ng b›(cid:237)c ngo˘t m(cid:237)i v(cid:210) truy(cid:210)n, nh¸n th«ng tin c(cid:242)ng

nh› thay ﬁ(cid:230)i ph›‹ng ph‚p giao ti(cid:213)p hi(cid:214)n nay cæa ch(cid:243)ng ta. Trong ﬁª, c‚c

tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁªng vai tr(cid:223) h„t nh'n trong c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246).

Trong khu«n kh(cid:230) bi(cid:213)n li“n t(cid:244)c, tr„ng th‚i n—n phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ˙u ti“n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c

gi(cid:237)i thi(cid:214)u bºi Stoler [107] v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n ﬁ‹n

mode. C‚c t(cid:221)nh ch˚t cæa tr„ng th‚i n(cid:181)y nh› n—n v(cid:181) ph¶n k(cid:213)t ch(cid:239)m ﬁ• ﬁ›(cid:238)c

łng d(cid:244)ng v(cid:181)o nhi(cid:210)u nhi(cid:214)m v(cid:244) kh‚c nhau trong quang l›(cid:238)ng t(cid:246). V(cid:221) d(cid:244), t(cid:221)nh

ch˚t n—n ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) t¤ng c›Œng ﬁØ nh„y cho c‚c giao thoa k(cid:213), g˙n ﬁ'y

nª ﬁ• ﬁªng gªp v(cid:181)o sø d(cid:223) t(cid:215)m ra sªng h˚p d(cid:201)n [5], t(cid:221)nh ch˚t ph¶n k(cid:213)t ch(cid:239)m

ﬁ›(cid:238)c khai th‚c ﬁ(cid:211) t„o ra c‚c ngu(cid:229)n ﬁ‹n photon [97]. Nh(cid:247)ng t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230)

ﬁi(cid:211)n n(cid:181)y v(cid:201)n ﬁang h˚p d(cid:201)n c‚c nh(cid:181) nghi“n cłu v(cid:210) quang l›(cid:238)ng t(cid:246).

Nh› mØt b›(cid:237)c ph‚t tri(cid:211)n m(cid:237)i tı c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n mode, cª r˚t nhi(cid:210)u

tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n hai v(cid:181) ba mode ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra v(cid:181) nghi“n cłu, ti“u

bi(cid:211)u nh› tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode [27], tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p

[6], tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba [15] v(cid:181) c‚c tr„ng th‚i mº rØng kh‚c [3], [64],

[93], [94], [99]. C‚c tr„ng th‚i n(cid:181)y kh«ng ch(cid:216) mang c‚c ﬁ˘c tr›ng nh› nh(cid:247)ng

tr„ng th‚i ﬁ‹n mode m(cid:181) ch(cid:243)ng c(cid:223)n cª t(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi. §˘c t(cid:221)nh n(cid:181)y mang

l„i nh(cid:247)ng łng d(cid:244)ng r˚t h˚p d(cid:201)n trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246) nh› m• ﬁ¸m l›(cid:238)ng

t(cid:246) (quantum dense coding), m¸t m• l›(cid:238)ng t(cid:246) (quantum cryptography), s(cid:246)a

l(cid:231)i l›(cid:238)ng t(cid:246) (quantum error correction), ph'n bŁ khªa l›(cid:238)ng t(cid:246) (quantum

key distribution) [24], vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) (quantum teleportation) [21], hØi

tho„i l›(cid:238)ng t(cid:246) (quantum dialogue) [12], vi(cid:212)n t„o tr„ng th‚i (remote state

preparation) [22] v(cid:181) ﬁ(cid:229)ng vi(cid:212)n t„o tr„ng th‚i (joint remote state preparation)

[17] c(cid:239)ng nhi(cid:210)u łng d(cid:244)ng kh‚c. Chæ ﬁ(cid:210) v(cid:210) t(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi v(cid:181) c‚c ph›‹ng

ph‚p t¤ng c›Œng ﬁØ ﬁan rŁi º c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n c(cid:242)ng ﬁ• v(cid:181) ﬁang thu

h(cid:243)t sø quan t'm nghi“n cłu cæa nhi(cid:210)u nh(cid:181) khoa h(cid:228)c tr“n th(cid:213) gi(cid:237)i [65], [68],

[71], [82]. Tuy nhi“n, chæ ﬁ(cid:210) n'ng cao ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu chæ

y(cid:213)u ﬁŁi v(cid:237)i tr›Œng hai mode [70], [82], [99], [100], [112], [114]. B“n c„nh

ﬁª, ph›‹ng ph‚p t¤ng c›Œng ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong c‚c tr„ng th‚i ba mode phi

Gauss v(cid:181) ﬁan rŁi ki(cid:211)u pha-sŁ h„t c(cid:223)n ch›a ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu.

§(cid:211) s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cho mØt nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) n(cid:181)o

ﬁª, vi(cid:214)c quan tr(cid:228)ng ﬁ˙u ti“n l(cid:181) ph¶i t„o ra ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243)ng trong thøc t(cid:213), ﬁ˘c bi(cid:214)t

l(cid:181) c‚c tr„ng th‚i cª th(cid:211) lan truy(cid:210)n tø do trong kh«ng gian nh»m th(cid:221)ch łng

cho vi(cid:212)n th«ng l›(cid:238)ng t(cid:246). Hi(cid:214)n nay cª mØt sŁ tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c

t„o ra, v(cid:221) d(cid:244) nh› tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n ﬁ‹n mode [106], tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p th“m photon ﬁ‹n mode [120], tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode [52],

tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode b(cid:237)t photon [76], v.v.. B“n c„nh ﬁª, cª

nhi(cid:210)u tr„ng th‚i ﬁ• cª s‹ ﬁ(cid:229) t„o ra nh›ng l„i g˘p ph¶i mØt sŁ th‚ch thłc n(cid:181)o

ﬁª, ch…ng h„n nh› ch(cid:216) cª th(cid:211) t„o ra c‚c tr„ng th‚i trong kh«ng gian c(cid:244)c bØ

nh› b(cid:201)y ion [16], [93]. V(cid:215) v¸y, ﬁ(cid:210) xu˚t c‚c s‹ ﬁ(cid:229) t„o ra tr„ng th‚i phi c(cid:230)

ﬁi(cid:211)n ch(cid:216) b»ng c‚c thi(cid:213)t b(cid:222) quang cª s‰n nh› bØ t‚ch ch(cid:239)m, bØ d(cid:222)ch pha, ﬁ˙u

d(cid:223) quang, bØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i tham sŁ, tinh th(cid:211) phi tuy(cid:213)n Kerr v(cid:181) mØt sŁ d(cid:244)ng c(cid:244)

kh‚c cª (cid:253) ngh(cid:220)a r˚t l(cid:237)n ﬁŁi v(cid:237)i khoa h(cid:228)c thøc nghi(cid:214)m hi(cid:214)n nay.

C‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁa th(cid:181)nh ph˙n (c(cid:244)m tı th›Œng ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng cho

c¶ tr›Œng cª bi(cid:213)n li“n t(cid:244)c v(cid:181) rŒi r„c, g(cid:229)m ba h(cid:214) trº l“n) l(cid:181) h„t nh'n trong c‚c

nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁa b“n, v(cid:221) d(cid:244) nh› ﬁ(cid:229)ng vi(cid:212)n t„o tr„ng th‚i [17], ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n

vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) [75], chia s˛ b(cid:221) m¸t l›(cid:238)ng t(cid:246) [61], v.v.. Trong h(cid:214) bi(cid:213)n li“n

t(cid:244)c, cª mØt sŁ tr„ng th‚i ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu v(cid:210) m˘t łng d(cid:244)ng trong th«ng

tin l›(cid:238)ng t(cid:246), nh› tr„ng th‚i ﬁan rŁi ki(cid:211)u Einstein-Podolky-Rosen [102], tr„ng

th‚i ﬁan rŁi ki(cid:211)u Greenberger-Horne-Zeilinger [10], [113], tr„ng th‚i ﬁan rŁi

ki(cid:211)u W [13] v(cid:181) tr„ng th‚i ﬁan rŁi ki(cid:211)u khªm (cluster-type) [18]. B“n c„nh

ﬁª, giao thłc thøc hi(cid:214)n c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa nh(cid:247)ng tr„ng th‚i ﬁan rŁi

ki(cid:211)u pha-sŁ h„t nh› tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba [15], tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

phi tuy(cid:213)n [93] v(cid:181) mØt sŁ tr„ng th‚i kh‚c c(cid:223)n ch›a ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu. V(cid:215) v¸y,

ﬁ›a ra c‚c giao thłc nh»m s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi ki(cid:211)u pha-sŁ h„t ba

mode v(cid:181)o th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246) sˇ gªp ph˙n quan tr(cid:228)ng v(cid:181)o vi(cid:214)c x'y døng c«ng

ngh(cid:214) l›(cid:238)ng t(cid:246) to(cid:181)n c˙u trong t›‹ng lai [29].

Trong thøc nghi(cid:214)m, chæ ﬁ(cid:210) v(cid:210) łng d(cid:244)ng cæa c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

c(cid:242)ng ﬁ• v(cid:181) ﬁang trº n“n h(cid:213)t słc h˚p d(cid:201)n, v(cid:221) d(cid:244) nh› vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) [29], s(cid:246)

d(cid:244)ng t(cid:221)nh ch˚t n—n cæa ‚nh s‚ng ﬁ(cid:211) l(cid:181)m l„nh v¸t ch˚t xuŁng nhi(cid:214)t ﬁØ r˚t th˚p

[30]. B“n c„nh ﬁª, thi(cid:213)t l¸p th(cid:221) nghi(cid:214)m v(cid:210) t„o ra c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

c(cid:242)ng ﬁang ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243) (cid:253), v(cid:221) d(cid:244) t„o ra tr„ng th‚i ﬁan rŁi cøc ﬁ„i lai [58], t„o

ra c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi W ba photon [59], t„o ra tr„ng th‚i v(cid:181) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n

n—n ph(cid:244) thuØc t˙n sŁ th«ng qua ﬁan rŁi Einstein-Podolky-Rosen [115]. Thøc

nghi(cid:214)m v(cid:210) t(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi c(cid:242)ng ﬁ• ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n trong thŒi gian r˚t g˙n

ﬁ'y nh› quan s‚t ﬁan rŁi l›(cid:238)ng t(cid:246) nhŒ tr(cid:228)ng løc [77] v(cid:181) ch›ng c˚t ﬁan rŁi

th«ng qua ph—p ﬁo y(cid:213)u [84].

Tªm l„i, x'y døng c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n m(cid:237)i v(cid:237)i ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

ﬁ›(cid:238)c c¶i thi(cid:214)n, ﬁ(cid:210) xu˚t s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m t„o ra ch(cid:243)ng mØt c‚ch kh¶ thi v(cid:181)

łng d(cid:244)ng cæa ch(cid:243)ng v(cid:181)o th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁang l(cid:181) v˚n ﬁ(cid:210) c˚p thi(cid:213)t, cª (cid:253)

ngh(cid:220)a v(cid:181) mang t(cid:221)nh thŒi sø cao. B“n c„nh ﬁª, tuy cª nhi(cid:210)u khª kh¤n v(cid:181) phłc

t„p khi thøc hi(cid:214)n nghi“n cłu v(cid:210) h(cid:214) ba mode nh›ng ch(cid:243)ng t«i mong muŁn

l(cid:181)m r(cid:226) c‚c ph›‹ng ph‚p c¶i thi(cid:214)n ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong h(cid:214) n(cid:181)y. V(cid:215) nh(cid:247)ng l(cid:253)

do ﬁª ch(cid:243)ng t«i ch(cid:228)n \Nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vµ øng dông cña mét sè

tr¹ng th¸i phi cæ ®iÓn ba mode" l(cid:181)m ﬁ(cid:210) t(cid:181)i nghi“n cłu cæa lu¸n ‚n. Lu¸n ‚n

n(cid:181)y sˇ ﬁªng gªp mØt sŁ y(cid:213)u tŁ m(cid:237)i nh› x'y døng l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:210) hai tr„ng th‚i

phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ba mode m(cid:237)i (b»ng c‚ch th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł v(cid:181) kh«ng ﬁ(cid:222)nh xł

l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba) cª ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ›(cid:238)c t¤ng c›Œng so v(cid:237)i tr„ng

th‚i gŁc. Th“m v(cid:181)o ﬁª, lu¸n ‚n ﬁ(cid:210) xu˚t c‚c s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i t„o ra

c‚c tr„ng th‚i n(cid:181)y mØt c‚ch kh¶ thi v(cid:237)i c«ng ngh(cid:214) hi(cid:214)n nay, c‚c tr„ng th‚i

ﬁ›(cid:238)c t„o ra cª th(cid:211) lan truy(cid:210)n tø do trong kh«ng gian mº ﬁ(cid:211) thøc hi(cid:214)n c‚c

nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) m„ng l›(cid:237)i ho˘c ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n. Ngo(cid:181)i ra, lu¸n ‚n ﬁ›a ra c‚c

giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) m(cid:237)i v(cid:237)i ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c c¶i thi(cid:214)n

th«ng qua c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi hai v(cid:181) ba mode ki(cid:211)u pha-sŁ h„t. §i(cid:210)u ﬁª

gªp ph˙n x'y døng c«ng ngh(cid:214) giao ti(cid:213)p v(cid:181) t(cid:221)nh to‚n l›(cid:238)ng t(cid:246) trong t›‹ng lai.

2. M(cid:244)c ti“u nghi“n cłu

M(cid:244)c ti“u ch(cid:221)nh cæa lu¸n ‚n l(cid:181) tr“n c‹ sº tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, ch(cid:243)ng

t«i x'y døng l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:210) hai tr„ng th‚i ba mode m(cid:237)i v(cid:237)i ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ›(cid:238)c

c¶i thi(cid:214)n, l(cid:181)m r(cid:226) ﬁ›(cid:238)c c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa ch(cid:243)ng, ﬁ(cid:210) xu˚t ﬁ›(cid:238)c

s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m t„o ra nh(cid:247)ng tr„ng th‚i n(cid:181)y v(cid:181) c‚c łng d(cid:244)ng cæa mØt sŁ

tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong l(cid:220)nh vøc th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246). Tr“n c‹ sº ﬁª, lu¸n

‚n cª bŁn m(cid:244)c ti“u c(cid:244) th(cid:211) nh› sau:

• §›a ra ﬁ›(cid:238)c hai tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ba mode m(cid:237)i b»ng c‚ch s(cid:246)

d(cid:244)ng c‚c to‚n t(cid:246) sinh photon t‚c ﬁØng l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba.

• L(cid:181)m r(cid:226) ﬁ›(cid:238)c c‚c hi(cid:214)u łng phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n nh› t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner,

n—n t(cid:230)ng v(cid:181) ﬁan rŁi trong c‚c tr„ng th‚i ba mode.

• §(cid:210) xu˚t ﬁ›(cid:238)c s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i ﬁ(cid:211) t„o ra ba tr„ng th‚i ba mode

lan truy(cid:210)n tø do trong kh«ng gian mº.

• §(cid:210) xu˚t ﬁ›(cid:238)c c‚c giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:181) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i

l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n mode v(cid:181) hai mode th«ng qua mØt sŁ ngu(cid:229)n

ﬁan rŁi ki(cid:211)u pha-sŁ h„t hai v(cid:181) ba mode. Trong ﬁª, c‚c ﬁØ trung thøc trung

b(cid:215)nh trong nh(cid:247)ng qu‚ tr(cid:215)nh n(cid:181)y sˇ ﬁ›(cid:238)c c¶i thi(cid:214)n b»ng c‚c th«ng sŁ li“n quan.

3. NØi dung nghi“n cłu

Lu¸n ‚n ﬁ›(cid:238)c tri(cid:211)n khai theo ba nØi dung c(cid:244) th(cid:211) nh› sau:

• Lu¸n ‚n ﬁ›a ra hai tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ba mode m(cid:237)i b»ng c‚ch t‚c

ﬁØng th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł v(cid:181) kh«ng ﬁ(cid:222)nh xł l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba.

Sau ﬁª lu¸n ‚n nghi“n cłu c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n n(cid:230)i b¸t cæa ch(cid:243)ng nh›

t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner, n—n t(cid:230)ng ba mode v(cid:181) ﬁan rŁi ﬁ(cid:211) ch(cid:216) ra nh(cid:247)ng ﬁi(cid:211)m

v›(cid:238)t trØi cæa hai tr„ng th‚i m(cid:237)i so v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba.

• Lu¸n ‚n bŁ tr(cid:221) c‚c thi(cid:213)t b(cid:222) quang nh› bØ t‚ch ch(cid:239)m, bØ d(cid:222)ch pha, tinh

th(cid:211) phi tuy(cid:213)n Kerr, bØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i tham sŁ, ﬁ˙u d(cid:223) quang c(cid:239)ng c‚c tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ(cid:211) t„o ra hai tr„ng th‚i ba mode m(cid:237)i c(cid:242)ng nh› tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ

ba. Sau ﬁª lu¸n ‚n ﬁ‚nh gi‚ t(cid:221)nh hi(cid:214)u qu¶ v(cid:181) kh¶ thi cæa c‚c s‹ ﬁ(cid:229) n(cid:181)y døa

tr“n c‚c y(cid:213)u tŁ ﬁØ trung thøc v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng.

• Tr“n c‹ sº ho(cid:181)n thi(cid:214)n c‚c qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) th«ng qua tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p v(cid:181) tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m

photon, lu¸n ‚n ﬁ›a ra c‚c giao thłc m(cid:237)i v(cid:210) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa

c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n mode v(cid:181) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi hai

mode th«ng qua tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon. Sau ﬁª, lu¸n ‚n kh¶o

s‚t c‚c qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:181)

vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p. NØi dung n(cid:181)y t¸p trung chæ

y(cid:213)u v(cid:181)o vi(cid:214)c c¶i thi(cid:214)n c‚c ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh.

4. Ph›‹ng ph‚p nghi“n cłu

§(cid:211) x'y døng ﬁ›(cid:238)c c‚c bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch ﬁ˘c tr›ng cho c‚c t(cid:221)nh ch˚t

phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n, ﬁØ trung thøc v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng trong qu‚ tr(cid:215)nh t„o ra c‚c

tr„ng th‚i v(cid:181) ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh trong c‚c qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246),

ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng hai ph›‹ng ph‚p nghi“n cłu ph(cid:230) bi(cid:213)n trong quang l›(cid:238)ng

t(cid:246). §ª l(cid:181) ph›‹ng ph‚p l(cid:253) thuy(cid:213)t l›(cid:238)ng t(cid:246) hªa tr›Œng l˙n thł hai v(cid:181) ph›‹ng

ph‚p thŁng k“ l›(cid:238)ng t(cid:246). B“n c„nh ﬁª, ﬁ(cid:211) kh¶o s‚t c‚c k(cid:213)t qu¶ thu ﬁ›(cid:238)c,

ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng ph›‹ng ph‚p t(cid:221)nh sŁ b»ng ph˙n m(cid:210)m Mathematica.

5. Ph„m vi nghi“n cłu

§(cid:210) t(cid:181)i ch(cid:216) nghi“n cłu c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong ph„m vi ba mode

trº l„i cæa tr›Œng ﬁi(cid:214)n tı. C‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu bao

g(cid:229)m t(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi, t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner v(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng ba

mode. Trong qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n mode c(cid:242)ng nh›

c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi hai mode, ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng bao g(cid:229)m bŁn

tr„ng th‚i l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p, tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode

ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ

ba th“m photon theo ki(cid:211)u ﬁ(cid:222)nh xł.

6. (cid:253) ngh(cid:220)a khoa h(cid:228)c v(cid:181) thøc ti(cid:212)n cæa lu¸n ‚n

Th«ng qua hai tr„ng th‚i ba mode m(cid:237)i, lu¸n ‚n l(cid:181)m r(cid:226) ph›‹ng ph‚p

c¶i thi(cid:214)n c‚c hi(cid:214)u łng phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong ph„m vi ba mode b»ng c‚ch th“m

photon. B“n c„nh ﬁª, ba s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i trong lu¸n ‚n cª th(cid:211) gi(cid:243)p

cho c‚c nh(cid:181) khoa h(cid:228)c thøc nghi(cid:214)m t„o ra c‚c tr„ng th‚i ba mode trong thøc

t(cid:213), ﬁ(cid:211) tı ﬁª łng d(cid:244)ng ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243)ng v(cid:181)o c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) c(cid:244) th(cid:211). M˘t

kh‚c, nh(cid:247)ng giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) m(cid:237)i trong lu¸n ‚n n(cid:181)y sˇ gªp ph˙n

ho(cid:181)n thi(cid:214)n c‚c qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) m„ng l›(cid:237)i ho˘c cª ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n trong

h(cid:214) ba mode. Tı ﬁª lu¸n ‚n cho ﬁªng gªp (cid:253) ngh(cid:220)a v(cid:181)o vi(cid:214)c x'y døng c«ng

ngh(cid:214) l›(cid:238)ng t(cid:246) to(cid:181)n c˙u trong t›‹ng lai.

7. BŁ c(cid:244)c cæa lu¸n ‚n

Ngo(cid:181)i ph˙n mº ﬁ˙u, k(cid:213)t lu¸n chung, danh m(cid:244)c c‚c h(cid:215)nh vˇ, danh m(cid:244)c

c‚c b(cid:181)i b‚o ﬁ• c«ng bŁ cª li“n quan ﬁ(cid:213)n lu¸n ‚n, t(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o v(cid:181) ph(cid:244)

l(cid:244)c, nØi dung cæa lu¸n ‚n ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y trong bŁn ch›‹ng. NØi dung c(cid:244) th(cid:211)

cæa c‚c ch›‹ng nh› sau:

• Ch›‹ng I tr(cid:215)nh b(cid:181)y t(cid:230)ng quan v(cid:181) c‹ sº l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:210) mØt sŁ tr„ng th‚i

cæa tr›Œng boson, c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) mØt sŁ giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng

t(cid:246) trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246).

• Ch›‹ng II kh¶o s‚t c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa mØt sŁ tr„ng th‚i ba

mode m(cid:237)i nh› t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner, n—n t(cid:230)ng ba mode v(cid:181) ﬁan rŁi.

• Ch›‹ng III tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i t„o ra c‚c tr„ng th‚i

phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ba mode bao g(cid:229)m tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ

ba th“m photon v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon.

• Ch›‹ng IV ﬁ›a ra mØt sŁ giao thłc m(cid:237)i v(cid:210) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng

t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n mode c(cid:242)ng nh› vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i

ﬁan rŁi th«ng qua mØt sŁ ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ba mode.

C‚c k(cid:213)t qu¶ nghi“n cłu cæa lu¸n ‚n ﬁ›(cid:238)c c«ng bŁ trong 07 c«ng tr(cid:215)nh

d›(cid:237)i d„ng c‚c b(cid:181)i b‚o khoa h(cid:228)c, trong ﬁª cª 04 b(cid:181)i ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ¤ng tr“n

c‚c t„p ch(cid:221) chuy“n ng(cid:181)nh quŁc t(cid:213) n»m trong h(cid:214) thŁng ISI (01 b(cid:181)i trong

Physical Review A, 01 b(cid:181)i trong Optik, 01 b(cid:181)i trong International Journal of

Theoretical Physics v(cid:181) 01 b(cid:181)i trong International Journal of Modern Physics

B), 01 b(cid:181)i n»m trong h(cid:214) thŁng SCOPUS (Journal of Physics: Conference

Series), 01 b(cid:181)i ﬁ¤ng tr“n t„p ch(cid:221) chuy“n ng(cid:181)nh trong n›(cid:237)c (Hue University

Journal of Science: Natural Science) v(cid:181) 01 b(cid:181)i ﬁ• g(cid:246)i ﬁ¤ng tr“n t„p ch(cid:221)

chuy“n ng(cid:181)nh quŁc t(cid:213) n»m trong h(cid:214) thŁng ISI (Journal of Physics B: Atomic,

Molecular and Optical Physics).

PhÇn néi dung

Ch›‹ng 1

C‹ sº l(cid:253) thuy(cid:213)t

1.1. Mº ﬁ˙u

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, ﬁ˙u ti“n ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y v(cid:190)n t(cid:190)t v(cid:210) mØt sŁ tr„ng

th‚i c‹ b¶n cæa tr›Œng boson nh› tr„ng th‚i Fock, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p, tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p, tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

bØ ba. B“n c„nh ﬁª, ch(cid:243)ng t«i c(cid:242)ng gi(cid:237)i thi(cid:214)u mØt sŁ tr„ng th‚i th“m photon

bao g(cid:229)m tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p th“m photon, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p hai mode th“m

photon, tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode th“m photon v(cid:181) tr„ng th‚i nhi(cid:214)t

n—n hai mode th“m photon. Sau ﬁª, ch(cid:243)ng t«i gi(cid:237)i thi(cid:214)u mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t

phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ti“u bi(cid:211)u cæa tr›Œng ba mode bi(cid:213)n li“n t(cid:244)c nh› t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m

Wigner, t(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng v(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi.

Trong łng d(cid:244)ng cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi v(cid:181)o th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246), vi(cid:212)n

t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) l(cid:181) mØt chæ ﬁ(cid:210) nh¸n ﬁ›(cid:238)c nhi(cid:210)u sø quan t'm v(cid:181) ﬁang ﬁ›(cid:238)c nghi“n

cłu mØt c‚ch s'u rØng. Trong gi(cid:237)i h„n h(cid:214) thŁng cª ba th(cid:181)nh ph˙n, ch(cid:243)ng

t«i t(cid:230)ng h(cid:238)p l„i hai giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) n(cid:230)i b¸t trong th«ng tin l›(cid:238)ng

t(cid:246) bao g(cid:229)m ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n th(cid:181)nh ph˙n

v(cid:181) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi hai mode. C‚c giao thłc ﬁ›(cid:238)c

tr(cid:215)nh b(cid:181)y d›(cid:237)i c‚c d„ng bi(cid:213)n gi‚n ﬁo„n v(cid:181) bi(cid:213)n li“n t(cid:244)c. Nh(cid:247)ng giao thłc n(cid:181)y

gi(cid:243)p ch(cid:243)ng ta cª h(cid:215)nh dung ban ﬁ˙u v(cid:210) mØt sŁ bi(cid:213)n th(cid:211) cæa vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246)

trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246).

1.2. C‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n bi(cid:213)n li“n t(cid:244)c

.. odinger,

M˘c d(cid:239) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ• ﬁ›(cid:238)c t(cid:215)m ra v(cid:181)o n¤m 1926 bºi Schr

nh›ng nª v(cid:201)n thuØc l(cid:237)p c‚c tr„ng th‚i c(cid:230) ﬁi(cid:211)n [56]. Tr„ng th‚i n—n phi c(cid:230)

ﬁi(cid:211)n ﬁ‹n mode ﬁ˙u ti“n ﬁ›(cid:238)c Stoler ﬁ›a ra n¤m 1970 [107]. Tr„ng th‚i n(cid:181)y

ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng

(1.1) |zi = ˆUz|0i,

trong ﬁª to‚n t(cid:246) n—n ˆUz = e(zˆa2−z∗ˆa†2)/2, ˆa (ˆa†) l(cid:181) to‚n t(cid:246) hæy (sinh) h„t cæa

tr›Œng boson, |0i l(cid:181) tr„ng th‚i ch'n kh«ng v(cid:181) z l(cid:181) mØt sŁ phłc. Sau ﬁª, l(cid:237)p

c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ‹n mode ﬁ• ﬁ›(cid:238)c mº rØng v(cid:237)i sø xu˚t hi(cid:214)n cæa

nhi(cid:210)u tr„ng th‚i kh‚c, nh› tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ch‰n l˛ [37], tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

th“m photon [7], tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ph(cid:244) thuØc tham sŁ bi(cid:213)n d„ng [32]. Tuy

c‚c tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra ﬁ(cid:210)u cª c‚c hi(cid:214)u łng phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n m„nh, nh›ng

nh(cid:247)ng łng d(cid:244)ng cæa ch(cid:243)ng cª ph˙n h„n ch(cid:213). Do ﬁª, r˚t nhi(cid:210)u tr„ng th‚i hai

mode ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra v(cid:181) nghi“n cłu, ti“u bi(cid:211)u nh› tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ch(cid:229)ng

ch˚t hai mode [28]. Tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c cho bºi

α (cid:0)|α, αiab + | − α, −αiab(cid:1),

(1.2) |ψiab = N 1/2

trong ﬁª |α, αiab v(cid:181) | − α, −αiab l(cid:181) c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p hai mode a v(cid:181) b,

Nα l(cid:181) h(cid:214) sŁ chu¨n hªa thÆa m•n bahψ|ψiab = 1. Ngo(cid:181)i ra, ch(cid:243)ng ta c(cid:223)n cª

tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode [80], tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p [7], tr„ng

th‚i con m(cid:204)o k(cid:213)t c˘p ﬁi(cid:214)n t(cid:221)ch phi tuy(cid:213)n [2], [45], tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁi(cid:214)n

t(cid:221)ch ch‰n v(cid:181) l˛ [44] v(cid:181) mØt sŁ tr„ng th‚i kh‚c. Nh(cid:247)ng tr„ng th‚i n(cid:181)y l(cid:181) ch(cid:215)a

khªa ﬁ(cid:211) mº ra c‚c łng d(cid:244)ng trong th«ng tin v(cid:181) t(cid:221)nh to‚n l›(cid:238)ng t(cid:246) bºi mØt

t(cid:221)nh ch˚t r˚t ﬁ˘c bi(cid:214)t gi(cid:247)a hai mode, ﬁª l(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi [69].

§(cid:211) t¤ng ﬁØ ﬁan rŁi trong c‚c tr„ng th‚i hai mode nh»m thøc hi(cid:214)n hi(cid:214)u

qu¶ c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246), ng›Œi ta nghi“n cłu c‚c ph›‹ng

ph‚p ch›ng c˚t ﬁan rŁi nh› th“m v(cid:181)/ho˘c b(cid:237)t photon. Tı ﬁª, c‚c tr„ng th‚i

hai mode m(cid:237)i ﬁ›(cid:238)c ra ﬁŒi, v(cid:221) d(cid:244) nh› tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁan rŁi ch‰n hai

mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m v(cid:181) b(cid:237)t photon [114] ﬁ›(cid:238)c cho bºi

α,m,n(taˆa + raˆa†)m(tb

(1.3) |Φiab = N 1/2 ˆb + rb ˆb†)n(|α, αiab + | − α, −αiab),

α,m,n thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n bahΦ|Φiab = 1, ri, ti l(cid:181) c‚c sŁ phłc v(cid:181)

trong ﬁª N 1/2

|ri|2 +|ti|2 = 1, i = {a, b}, m v(cid:181) n l(cid:181) c‚c sŁ nguy“n kh«ng 'm. Th“m v(cid:181)o ﬁª,

mØt sŁ tr„ng th‚i kh‚c c(cid:242)ng ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra nh› tr„ng th‚i n—n d(cid:222)ch chuy(cid:211)n

th“m photon hai mode [4], [65], tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p th“m photon [68],

tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon b¸c cao [71],

tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m v(cid:181) b(cid:237)t photon [83] v(cid:181)

tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode th“m ho˘c b(cid:237)t photon [112]. Nh(cid:247)ng

tr„ng th‚i n(cid:181)y cª ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ›(cid:238)c c¶i thi(cid:214)n r˚t ﬁ‚ng k(cid:211) so v(cid:237)i tr„ng th‚i

gŁc ban ﬁ˙u. B“n c„nh ﬁª, c‚c ph›‹ng ph‚p ch›ng c˚t ﬁan rŁi nh› tr“n c(cid:242)ng

ﬁ• cª t‚c d(cid:244)ng n'ng cao hi(cid:214)u qu¶ mØt sŁ nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) [82].

Nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) m„ng l›(cid:237)i ﬁ(cid:223)i hÆi ph¶i s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ngu(cid:229)n ﬁan rŁi

ﬁa mode. V(cid:215) v¸y c‚c tr„ng th‚i tı ba mode trº l“n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra v(cid:181) nghi“n

cłu, ﬁi(cid:211)n h(cid:215)nh cª tr„ng th‚i ba mode ki(cid:211)u W [13] ﬁ›(cid:238)c cho d›(cid:237)i d„ng

|W, αiabc = x|α, −α, −αiabc + y| − α, α, −αiabc + z| − α, −α, αiabc, (1.4)

v(cid:237)i |α, −α, −αiabc, | − α, α, −αiabc, | − α, −α, αiabc l(cid:181) c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

ba mode a, b v(cid:181) c, c‚c h(cid:214) sŁ x, y, z l(cid:181) nh(cid:247)ng sŁ thøc v(cid:181) tu'n theo ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

chu¨n hªa x2 + y2 + z2 + 2e−4|α|2(xy + xz + yz) = 1. B“n c„nh ﬁª, mØt

sŁ tr„ng th‚i kh‚c c(cid:242)ng ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) xu˚t v(cid:181) nghi“n cłu nh› tr„ng th‚i ch'n

kh«ng n—n ba mode [50], tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181) bØ ba b¸c hai [3], [11],

[15], tr„ng th‚i ba mode ki(cid:211)u Greenberger-Horne-Zeilinger [10], tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba phi tuy(cid:213)n [93] v(cid:181) tr„ng th‚i ﬁa mode ki(cid:211)u khªm [18].

1.3. MØt sŁ tr„ng th‚i c‹ b¶n cæa tr›Œng boson

1.3.1. Tr„ng th‚i sŁ h„t

Tr„ng th‚i c‹ b¶n ﬁ˙u ti“n cª vai tr(cid:223) r˚t l(cid:237)n trong c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) quang

l›(cid:238)ng t(cid:246) hi(cid:214)n nay m(cid:181) ch(cid:243)ng t«i kh‚i qu‚t l„i l(cid:181) tr„ng th‚i sŁ h„t |ni, hay c(cid:223)n

g(cid:228)i l(cid:181) tr„ng th‚i Fock. Nª ﬁ›(cid:238)c x'y døng tı k(cid:213)t qu¶ cæa vi(cid:214)c l›(cid:238)ng t(cid:246) hªa

tr›Œng boson l˙n thł hai. Tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a l(cid:181) tr„ng th‚i ri“ng cæa to‚n t(cid:246) sŁ h„t ˆN v(cid:237)i c‚c tr(cid:222) ri“ng l(cid:181) n

ˆN |ni = n|ni, (1.5)

v(cid:237)i n = {0, 1, 2, ...} v(cid:181) ˆN = ˆa†ˆa. C‚c tr„ng th‚i sŁ h„t l(cid:181) trøc chu¨n v(cid:181) ﬁ˙y

ﬁæ, tłc l(cid:181)

∞ X n=0

|nihn| = ˆI, v(cid:181) (1.6) hm|ni = δmn

v(cid:237)i ˆI l(cid:181) to‚n t(cid:246) ﬁ‹n v(cid:222) v(cid:181) δmn l(cid:181) h(cid:181)m delta Kronecker. Khi t‚c d(cid:244)ng nhi(cid:210)u

l˙n to‚n t(cid:246) sinh ho˘c hæy l“n tr„ng th‚i sŁ h„t, ta ﬁ›(cid:238)c

|n + ki, ˆa†k|ni = (1.7) p(n + k)! √ n!

v(cid:237)i k nguy“n d›‹ng, ho˘c √

|n − ki, ˆak|ni = (1.8) n! p(n − k)!

v(cid:237)i 0 ≤ k ≤ n. Do ﬁª

hn|ˆa†mˆak|ni = (1.9) δmk,

hn|ˆakˆa†m|ni = (1.10) δmk. n! p(n − m)!(n − k)! p(n + k)!(n + m)! n!

Do t(cid:221)nh ch˚t trøc chu¨n v(cid:181) ﬁ˙y ﬁæ cæa c‚c tr„ng th‚i sŁ h„t n“n nhi(cid:210)u

tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c khai tri(cid:211)n trong d„ng c‚c tr„ng th‚i n(cid:181)y. M˘t

kh‚c, vi(cid:214)c t„o ra c‚c tr„ng th‚i n(cid:181)y c(cid:242)ng nh› s(cid:246) d(cid:244)ng ch(cid:243)ng ﬁ(cid:211) t„o ra c‚c

tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n kh‚c trong th(cid:213) gi(cid:237)i v(cid:220) m« ﬁ• ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n [96]. Th¸m

ch(cid:221) c‚c tr„ng th‚i n(cid:181)y c(cid:242)ng ﬁ• s(cid:237)m ﬁ›(cid:238)c t„o ra trong m„ch l›(cid:238)ng t(cid:246) si“u d(cid:201)n

[66]. Tr„ng th‚i sŁ h„t c(cid:242)ng ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) thøc hi(cid:214)n thao

t‚c th“m photon l“n c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n [64]. Vi(cid:214)c thøc hi(cid:214)n c‚c bi(cid:213)n

ﬁ(cid:230)i l“n tr„ng th‚i sŁ h„t c(cid:242)ng ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu g˙n ﬁ'y [90].

1.3.2. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

Schr Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p cæa tr›Œng boson l˙n ﬁ˙u ti“n ﬁ›(cid:238)c gi(cid:237)i thi(cid:214)u bºi .. odinger [103], sau ﬁª ﬁ›(cid:238)c ho(cid:181)n thi(cid:214)n bºi Glauber v(cid:181) Sudarshan [56],

[108]. Nª ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a theo mØt trong ba c‚ch nh› sau:

• Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ›(cid:238)c t„o ra bºi t‚c d(cid:244)ng to‚n t(cid:246) d(cid:222)ch chuy(cid:211)n

ˆD(α) = e−αˆa†+α∗ˆa l“n tr„ng th‚i ch'n kh«ng |0i, tłc l(cid:181)

|αi = ˆD(α)|0i, (1.11)

v(cid:237)i α l(cid:181) mØt sŁ phłc.

• Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p l(cid:181) mØt tr„ng th‚i ri“ng cæa to‚n t(cid:246) hæy boson ˆa v(cid:237)i

tr(cid:222) ri“ng α, ngh(cid:220)a l(cid:181)

ˆa|αi = α|αi. (1.12)

• Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p l(cid:181) tr„ng th‚i cª quan h(cid:214) b˚t ﬁ(cid:222)nh cøc ti(cid:211)u

, (∆ˆq)2(∆ˆp)2 = (1.13) 1 4

trong ﬁª (∆ ˆf )2 = h ˆf 2i − h ˆf i2 l(cid:181) ph›‹ng sai cæa to‚n t(cid:246) ˆf , h· · · i k(cid:253) hi(cid:214)u cho

trung b(cid:215)nh l›(cid:238)ng t(cid:246), ˆq v(cid:181) ˆp l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) to‚n t(cid:246) t(cid:228)a ﬁØ v(cid:181) xung l›(cid:238)ng v(cid:237)i

ˆq = (1.14) (cid:1), (cid:0)ˆa + ˆa†

ˆp = (1.15) (cid:1). (cid:0)ˆa − ˆa† 1 √ 2 1 √ i 2

Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ›(cid:238)c khai tri(cid:211)n theo c‚c tr„ng th‚i sŁ h„t l(cid:181)

∞ X n=0

|ni. |αi = e−|α|2/2 (1.16) αn √ n!

H(cid:181)m ph'n bŁ x‚c su˚t cæa sø ki(cid:214)n t(cid:215)m th˚y n photon trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

. (1.17) P (n) = |hn|αi|2 = e−|α|2 |α|2n n!

H(cid:181)m ph'n bŁ x‚c su˚t n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ph'n bŁ Poisson v(cid:181) lu«n nh¸n gi‚ tr(cid:222)

trong ﬁo„n [0, 1]. H(cid:181)m n(cid:181)y ﬁ„t cøc ﬁ„i t„i n = |α|2.

Kh‚c v(cid:237)i tr„ng th‚i sŁ h„t, c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p kh«ng trøc giao nhau

(1.18) hβ|αi = e−(|α|2+|β|2−2β∗α)/2 6= δαβ,

do ﬁª

. |hβ|αi|2 = e−|α−β|2 (1.19)

Do t(cid:221)nh ch˚t ˆD(β) ˆD(α) = e(βα∗−β∗α)/2 ˆD(β + α) n“n khi t‚c d(cid:244)ng to‚n t(cid:246)

d(cid:222)ch chuy(cid:211)n l“n mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p, ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c

(1.20) ˆD(β)|αi = ˆD(β) ˆD(α)|0i = e(βα∗−β∗α)/2|β + αi.

§i(cid:210)u n(cid:181)y cho th˚y to‚n t(cid:246) ˆD(β) ﬁ• l(cid:181)m d(cid:222)ch chuy(cid:211)n tr„ng th‚i |αi th(cid:181)nh |β +αi khi nª t‚c d(cid:244)ng l“n. Ch(cid:243) (cid:253) ˆD†(α) = ˆD(−α), v(cid:215) v¸y ˆD†(α) ˆD(α) = ˆI.

Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p thÆa m•n t(cid:221)nh ch˚t qu‚ ﬁæ sau ﬁ'y

Z d2α|αihα| = ˆI. (1.21) 1 π

Sø t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p g(cid:190)n li(cid:210)n v(cid:237)i qu‚ tr(cid:215)nh s¶n xu˚t błc x„ laser.

Cho ﬁ(cid:213)n nay, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ• ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng ph(cid:230) bi(cid:213)n trong r˚t nhi(cid:210)u

l(cid:220)nh vøc cæa khoa h(cid:228)c v(cid:181) c«ng ngh(cid:214). B“n c„nh ﬁª, cª r˚t nhi(cid:210)u tr„ng th‚i phi

c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c t„o ra tı tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p, ti“u bi(cid:211)u nh› tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p c˘p [39] v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba [42].

1.3.3. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p

Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p cæa tr›Œng boson ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a l(cid:181) tr„ng th‚i ri“ng ﬁ(cid:229)ng thŒi cæa c˘p to‚n t(cid:246) hæy ˆaˆb v(cid:181) to‚n t(cid:246) hi(cid:214)u sŁ h„t ˆNb − ˆNa v(cid:237)i

tr(cid:222) ri“ng t›‹ng łng χ v(cid:181) Q [6], tłc l(cid:181)

(1.22) ˆaˆb|ΨQiab = χ|ΨQiab,

(1.23) ( ˆNb − ˆNa)|ΨQiab = Q|Ψpiab,

trong ﬁª χ = |χ|eiφ, φ l(cid:181) sŁ thøc v(cid:181) Q l(cid:181) sŁ nguy“n. Gi¶ s(cid:246) sŁ photon

trong mode b kh«ng nhÆ h‹n sŁ photon trong mode a, ﬁi(cid:210)u ﬁª t›‹ng łng v(cid:237)i

Q ≥ 0. Khi khai tri(cid:211)n theo c‚c tr„ng th‚i sŁ h„t, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p ﬁ›(cid:238)c

cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh

∞ X n=0

(1.24) |ΨQiab = NQ |n, n + Qiab, χn pn!(n + Q)!

v(cid:237)i |n, n + Qiab ≡ |nia|n + Qib l(cid:181) t(cid:221)ch th«ng th›Œng cæa hai tr„ng th‚i Fock

v(cid:181) h(cid:214) sŁ chu¨n hªa NQ ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

Q =

∞ X n=0

N −2 (1.25) = |χ|−QIQ(2|χ|), |χ|2n n!(n + Q)!

2s+Q

v(cid:237)i IQ(x) l(cid:181) h(cid:181)m Bessel bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i lo„i mØt cª d„ng

∞ X s=0

(cid:16) (cid:17) . (1.26) IQ(x) = 1 s!(s + Q)! x 2

Ta h•y x—t mØt h(cid:181)m ph'n bŁ chu¨n x‚c su˚t cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p,

ﬁª l(cid:181) h(cid:181)m Wigner. Bi(cid:211)u thłc cæa h(cid:181)m n(cid:181)y trong kh«ng gian pha khi χ = |χ|

ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra l(cid:181) [53]

∞ X m,n=0

W (α/2, β/2) = cos[(m − n)(ϕa + ϕb)] (|χ||α||β|)m+n (m!n!)2 4e−(|α|2+|β|2) π2I0(2|χ|)

(1.27) × 2F0(−m, −n; ; −1/|α|2)2F0(−m; −n; ; −1/|β|2),

trong ﬁª Q = 0, α = |α|eiϕa v(cid:181) β = |β|eiϕb, 2F0 ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u cho mØt tr›Œng

h(cid:238)p ri“ng cæa h(cid:181)m si“u bØi d„ng t(cid:230)ng qu‚t P FQ(a1, ..., aP ; b1, ..., bQ; x) l(cid:181)

P FQ(a1, ..., aP ; b1, ..., bQ; x) =

∞ X k=0

, (1.28) xk k! (a1)k...(aP )k (b1)k...(bQ)k

trong ﬁª (zi)k = z(z + 1)(z + 2)...(z + k − 1). Theo Agarwal [53], h(cid:181)m

Wigner cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p nh¸n gi‚ tr(cid:222) 'm trong mØt sŁ mi(cid:210)n cæa

kh«ng gian pha. §Łi v(cid:237)i c‚c tr„ng th‚i c(cid:230) ﬁi(cid:211)n, ch(cid:243)ng ta bi(cid:213)t r»ng mØt h(cid:181)m

ph'n bŁ x‚c su˚t n(cid:181)o ﬁª lu«n nh¸n gi‚ tr(cid:222) trong ﬁo„n [0, 1], nh›ng º ﬁ'y h(cid:181)m

Wigner cª th(cid:211) nh¸n gi‚ tr(cid:222) 'm. V(cid:215) v¸y tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p l(cid:181) mØt tr„ng

th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) th«ng qua tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu

[34], [53]. Tuy nhi“n, h„n ch(cid:213) cæa tr„ng th‚i n(cid:181)y l(cid:181) kh«ng th(cid:211) thøc hi(cid:214)n ﬁ›(cid:238)c

c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) nh› ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) hay vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa tr„ng

th‚i ﬁan rŁi. Bºi v(cid:215) nh(cid:247)ng nhi(cid:214)m v(cid:244) n(cid:181)y ﬁ(cid:223)i hÆi c‚c ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ph¶i tı

ba mode trº l“n [10], [13], [18], [102], [113].

1.3.4. Tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode

Mº rØng tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n ﬁ‹n mode ﬁ›(cid:238)c cho nh› trong [107],

ch(cid:243)ng ta x—t tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode cª d„ng [92]

(1.29) |riab = ˆsab|0, 0iab,

trong ﬁª ˆsab = e−rˆa†ˆb†+rˆaˆb l(cid:181) to‚n t(cid:246) n—n łng v(cid:237)i hai mode a v(cid:181) b v(cid:237)i tham

sŁ n—n r thøc. Tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ﬁ›(cid:238)c khai tri(cid:211)n theo c‚c

tr„ng th‚i Fock l(cid:181)

∞ X n=0

(1.30) |riab = p1 − λ2 λn|n, niab,

v(cid:237)i λ = tanh r. Tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode l(cid:181) mØt tr„ng th‚i Gauss.

Tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu v(cid:210) m˘t c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n [80], c‚c

ph›‹ng ph‚p t¤ng c›Œng ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n [65], [76] c(cid:242)ng nh› qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n

t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) [52].

1.3.5. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

Nh› mØt sø mº rØng tı tr„ng k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p ﬁ›(cid:238)c cho nh› trong [6], tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba cæa tr›Œng boson ba mode a, b v(cid:181) c ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a l(cid:181) tr„ng th‚i ri“ng ﬁ(cid:229)ng thŒi cæa t(cid:221)ch bØ ba to‚n t(cid:246) hæy ˆaˆbˆc v(cid:181) c‚c to‚n t(cid:246) hi(cid:214)u sŁ h„t ˆNb − ˆNa v(cid:181) ˆNc − ˆNb [15]

(1.31) ˆaˆbˆc|Ψp,qiabc = ξ|Ψp,qiabc,

(1.32) ( ˆNb − ˆNa)|Ψp,qiabc = p|Ψp,qiabc,

(1.33) ( ˆNc − ˆNb)|Ψp,qiabc = q|Ψp,qiabc,

trong ﬁª ξ = reiφ, r v(cid:181) φ l(cid:181) c‚c sŁ thøc, p v(cid:181) q l(cid:181) c‚c sŁ nguy“n. Gi¶ s(cid:246)

r»ng p, q ≥ 0, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ﬁ›(cid:238)c khai tri(cid:211)n theo c‚c tr„ng th‚i sŁ

h„t l(cid:181)

∞ X n=0

(1.34) |Ψp,qiabc = |n, n + p, n + p + qiabc, Np,q(r)ξn pn!(n + p)!(n + p + q)!

trong ﬁª |n, n + p, n + p + qiabc ≡ |nia|n + pib|n + p + qic v(cid:181) h(cid:214) sŁ chu¨n

hªa Np,q(r) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

p,q (r) =

∞ X n=0

N −2 . (1.35) r2n n!(n + p)!(n + p + q)!

Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t trong d„ng c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p l(cid:181) [15]

ei[qλ0+(p+q)λ] |Ψp,qiabc = dλ0 2π Np,q(r)e3r2/3/2 ξ(2p+q)/3

(1.36) Z dλ 2π × | 3pξeiλia| 3pξeiλ0ib| 3pξe−i(λ+λ0)ic.

Tuy nhi“n ﬁ(cid:211) cho g(cid:228)n trong vi(cid:214)c t(cid:221)nh to‚n v(cid:210) sau, ta ﬁ˘t

, (1.37) cn(ξ) = Np,q(r)ξn pn!(n + p)!(n + p + q)!

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.34) trº th(cid:181)nh

∞ X n=0

(1.38) |Ψp,qiabc = cn(ξ)|n, n + p, n + p + qiabc.

Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu v(cid:210) mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230)

ﬁi(cid:211)n [15], [47]. MØt sŁ s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m t„o ra tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210)

xu˚t [3], [16], [116]. V(cid:210) m˘t łng d(cid:244)ng trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246), tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ﬁ• ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) thøc hi(cid:214)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) mØt tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p døa tr“n giao thłc cæa Janszky v(cid:181) cØng sø [1], [73].

1.4. C‚c tr„ng th‚i th“m photon

1.4.1. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p th“m photon

Tı tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ• ﬁ›(cid:238)c cho nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.11), ng›Œi

ta nghi“n cłu c‚c ph›‹ng ph‚p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i l“n tr„ng th‚i n(cid:181)y. C(cid:244) th(cid:211), tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p th“m photon ﬁ‹n mode ﬁ• ﬁ›(cid:238)c gi(cid:237)i thi(cid:214)u ﬁ˙u ti“n bºi Agarwal v(cid:181)

Tara [7] b»ng vi(cid:214)c th“m c‚c photon l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p. Tr„ng th‚i n(cid:181)y

ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a l(cid:181)

ˆa†m|αi, |α, mi = (1.39) 1 pLm(−|α|2)m!

v(cid:237)i m l(cid:181) sŁ nguy“n d›‹ng v(cid:181) Lm(−|α|2) l(cid:181) ﬁa thłc Laguerre b¸c m ﬁ›(cid:238)c

cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh d›(cid:237)i ﬁ'y

m X n=0

. (1.40) Lm(x) = (−1)nxmm! (n!)2(m − n)!

M˘c d(cid:239) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p l(cid:181) tr„ng th‚i c(cid:230) ﬁi(cid:211)n nh›ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

th“m photon l„i l(cid:181) phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. Ngay sau khi ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra, r˚t nhi(cid:210)u c«ng

tr(cid:215)nh ﬁ• nghi“n cłu v(cid:210) c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong tr„ng th‚i n(cid:181)y [32],

[38], [46], [105]. Th(cid:221) nghi(cid:214)m t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p th“m ﬁ‹n photon b»ng

bØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i tham sŁ c(cid:242)ng ﬁ• ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n tı r˚t s(cid:237)m [120].

1.4.2. MØt sŁ tr„ng th‚i hai mode th“m photon

Tr“n c‹ sº l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p th“m photon ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh

(1.39), thøc hi(cid:214)n th“m photon kh«ng ﬁ(cid:222)nh xł l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p hai mode

|αia|βib c(cid:242)ng ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu [63]. Theo ﬁª, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p hai mode

th“m photon ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(1.41) |ψiab = = |α, 1ia|βib + |αia|β, 1ib. (cid:0)ˆa† + ˆb†)|αia|βib p|α + β|2 + 2

M˘c d(cid:239) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p hai mode |αia|βib kh«ng ﬁan rŁi nh›ng tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p hai mode th“m photon l„i ﬁan rŁi [63]. Bºi v(cid:215) tı ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.41),

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p hai mode th“m photon kh«ng th(cid:211) vi(cid:213)t ﬁ›(cid:238)c d›(cid:237)i d„ng t(cid:221)ch

tenx‹ ki(cid:211)u nh› (x|αia + y|α, 1ia)(z|βib + t|β, 1ib).

Ti(cid:213)p theo, ch(cid:243)ng ta xem x—t mØt sŁ tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n hai mode

ﬁ›(cid:238)c th“m c‚c photon. §˙u ti“n l(cid:181) tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode th“m

photon [112]. Nª ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a b»ng c‚ch th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł l“n tr„ng

th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode |riab l(cid:181)

k,l ˆa†kˆb†l|riab

|r; k, liab = N −1/2

∞ X n=0

= (1.42) tanhn r|n + k, n + liab, s (n + k)!(n + l)! (n!)2Nk,l cosh2 r

trong ﬁª h(cid:214) sŁ chu¨n hªa Nk,l = Trab(cid:0)ˆa†kˆb†l|riabhr|ˆakˆbl(cid:1), Trab ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u

cho l˚y v(cid:213)t tr“n hai mode a v(cid:181) b, k v(cid:181) l l(cid:181) nh(cid:247)ng sŁ nguy“n kh«ng 'm v(cid:181)

mang (cid:253) ngh(cid:220)a l(cid:181) sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o m(cid:231)i mode. K(cid:213)t qu¶ kh¶o s‚t c‚c

t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong tr„ng th‚i n(cid:181)y th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ ﬁan rŁi t¤ng khi

t¤ng sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o k v(cid:181) l.

Ch(cid:243)ng t«i c(cid:242)ng xem x—t mØt tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n hai mode m(cid:237)i kh‚c

ﬁ›(cid:238)c t„o ra bºi ph—p th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł l“n mØt tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n hai

mode. §ª l(cid:181) tr„ng th‚i nhi(cid:214)t n—n hai mode th“m photon [70]

m,nˆa†mb†nˆsab ˆρnh1 ˆρnh2ˆs†

abˆambn,

ˆρ = N −1 (1.43)

v(cid:237)i m v(cid:181) n l(cid:181) sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o m(cid:231)i mode (ch(cid:243)ng l(cid:181) c‚c sŁ nguy“n

kh«ng 'm), Nm,n l(cid:181) h(cid:214) sŁ chu¨n hªa thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n Trab(ˆρ) = 1, ˆsab l(cid:181)

to‚n t(cid:246) n—n hai mode, ˆρnh1,2 l(cid:181) to‚n t(cid:246) m¸t ﬁØ cæa tr„ng th‚i nhi(cid:214)t ﬁ‹n mode

∞ X n=0

|nihn|, (1.44) ˆρnh1 = ˆρnh2 = n n (n +1)n+1

v(cid:237)i n l(cid:181) sŁ photon trung b(cid:215)nh cæa tr„ng th‚i nhi(cid:214)t ˆρnhj, j = {1, 2}. K(cid:213)t qu¶

kh¶o s‚t th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng tr„ng th‚i n(cid:181)y c(cid:181)ng b(cid:222) ﬁan rŁi khi t¤ng sŁ c‚c photon

th“m v(cid:181)o. C‚c k(cid:213)t qu¶ t›‹ng tø c(cid:242)ng ﬁ›(cid:238)c th(cid:211) hi(cid:214)n trong mØt sŁ c«ng tr(cid:215)nh

nghi“n cłu kh‚c v(cid:210) t‚c ﬁØng th“m photon l“n c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n hai

mode [65], [68], [70], [71].

Nh› v¸y, ta th˚y ﬁi(cid:210)u th(cid:243) v(cid:222) l(cid:181) khi th“m photon v(cid:181)o mØt tr„ng th‚i c(cid:230)

ﬁi(cid:211)n, tr„ng th‚i m(cid:237)i sˇ trº th(cid:181)nh phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. M˘t kh‚c, khi th“m photon l“n

c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n, bi(cid:211)u hi(cid:214)n phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong c‚c tr„ng th‚i m(cid:237)i cª

th(cid:211) trº n“n r(cid:226) r(cid:181)ng h‹n. V(cid:215) v¸y t‚c ﬁØng th“m photon ﬁ›(cid:238)c xem l(cid:181) mØt k(cid:252)

thu¸t ch›ng c˚t ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n, ﬁ˘c bi(cid:214)t l(cid:181) t¤ng c›Œng ﬁØ ﬁan rŁi.

Cho t(cid:237)i nay vi(cid:214)c nghi“n cłu th“m photon chæ y(cid:213)u ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n º młc

ﬁØ hai mode. Trong lu¸n ‚n n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i nghi“n cłu vi(cid:214)c th“m photon l“n

tr„ng th‚i ba mode phi Gauss v(cid:181) ﬁan rŁi ki(cid:211)u pha-sŁ h„t. V˚n ﬁ(cid:210) n(cid:181)y, theo

nh› ch(cid:243)ng t«i ﬁ›(cid:238)c bi(cid:213)t, ch›a ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n tı tr›(cid:237)c t(cid:237)i nay.

1.5. MØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

C‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ• mº ra nh(cid:247)ng łng d(cid:244)ng ti(cid:210)m t(cid:181)ng trong

quang l›(cid:238)ng t(cid:246). V(cid:221) d(cid:244), t(cid:221)nh ch˚t n—n ﬁ›(cid:238)c łng d(cid:244)ng trong d(cid:223) t(cid:215)m sªng h˚p

d(cid:201)n [5], t(cid:221)nh ch˚t ph¶n k(cid:213)t ch(cid:239)m ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng ﬁ(cid:211) t„o ra tr„ng th‚i ﬁ‹n photon

[97]. B“n c„nh ﬁª, c‚c t(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi v(cid:181) l‚i l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng ﬁ(cid:211) vi(cid:212)n t¶i

l›(cid:238)ng t(cid:246) [21] v(cid:181) thøc hi(cid:214)n c‚c giao thłc trong ph'n bŁ khªa l›(cid:238)ng t(cid:246) [26].

Vi(cid:214)c nghi“n cłu l(cid:253) thuy(cid:213)t c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n

rØng r•i tı nh(cid:247)ng n¤m 70 cæa th(cid:213) kß tr›(cid:237)c. MØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t ti“u bi(cid:211)u ﬁ›(cid:238)c

quan t'm nhi(cid:210)u nh› n—n, ph¶n k(cid:213)t ch(cid:239)m v(cid:181) t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner. §Łi v(cid:237)i t(cid:221)nh ch˚t n—n, x—t hai to‚n t(cid:246) ˆA v(cid:181) ˆB thÆa m•n h(cid:214) thłc giao ho‚n [ ˆA, ˆB] = i ˆC,

hai to‚n t(cid:246) n(cid:181)y tu'n theo h(cid:214) thłc b˚t ﬁ(cid:222)nh Heisenberg l(cid:181)

(∆ ˆA)2(∆ ˆB)2 ≥ |h ˆCi|2. (1.45) 1 4

MØt tr„ng th‚i n(cid:181)o ﬁª thÆa m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n

|h ˆCi| |h ˆCi| (∆ ˆB)2 < (∆ ˆA)2 < ho˘c (1.46) 1 2 1 2

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) tr„ng th‚i n—n. X—t to‚n t(cid:246) sŁ h„t ˆN = ˆa†ˆa v(cid:181) to‚n t(cid:246) pha ˆφ, h(cid:214) thłc giao ho‚n gi(cid:247)a hai to‚n t(cid:246) n(cid:181)y l(cid:181) [ ˆN , ˆφ] = i. H(cid:214) thłc b˚t ﬁ(cid:222)nh gi(cid:247)a ch(cid:243)ng trº th(cid:181)nh (∆ ˆN )2(∆ ˆφ)2 ≥ 1/4. §Łi v(cid:237)i c‚c tr„ng th‚i n—n trøc giao sŁ h„t ho˘c pha, khi n—n sŁ h„t th(cid:215) (∆ ˆN )2 < h ˆN i ho˘c khi n—n pha th(cid:215) (∆ ˆφ)2 < 1/(4h ˆN i).

Ph›‹ng sai cæa to‚n t(cid:246) sŁ h„t ˆN cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t trong bi(cid:211)u di(cid:212)n cæa

h(cid:181)m P (α) (c(cid:223)n g(cid:228)i l(cid:181) h(cid:181)m Glauber-Sudarshan) l(cid:181) [54]

, (1.47) (∆ ˆN )2 = h ˆN i + Z d2αP (α)(cid:2)|α|2 − hˆa†ˆai2(cid:3)

v(cid:237)i P (α) l(cid:181) h(cid:181)m cª t(cid:221)nh ch˚t giŁng nh› h(cid:181)m ph'n bŁ x‚c su˚t cæa tr„ng th‚i quan t'm trong bi(cid:211)u di(cid:212)n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p. R(cid:226) r(cid:181)ng ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (∆ ˆN )2 < h ˆN i

ﬁŁi v(cid:237)i n—n sŁ photon (c(cid:242)ng giŁng nh› n—n bi“n ﬁØ) ﬁ(cid:223)i hÆi P (α) ph¶i nh¸n

c‚c gi‚ tr(cid:222) 'm trong mØt sŁ mi(cid:210)n cæa kh«ng gian pha. §i(cid:210)u n(cid:181)y kh«ng x¶y

ra trong błc tranh c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. V(cid:215) v¸y n—n l(cid:181) mØt t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

Trong c‚c c«ng tr(cid:215)nh nghi“n cłu, hi(cid:214)u łng n—n th›Œng ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra v(cid:181)

kh¶o s‚t d›(cid:237)i c‚c ki(cid:211)u nh› n—n t(cid:230)ng, n—n hi(cid:214)u [60], n—n bi“n ﬁØ trøc giao

[111]. B“n c„nh ﬁª, n—n ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu theo c‚c kh(cid:221)a c„nh ﬁ‹n mode [111],

hai mode [85] v(cid:181) ﬁa mode [89]. Ngo(cid:181)i ra, c‚c d„ng n—n b¸c nh˚t [111] v(cid:181)

b¸c cao [9] c(cid:242)ng ﬁ• ﬁ›(cid:238)c xem x—t. C‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n kh‚c nh› t(cid:221)nh

ch˚t ph¶n k(cid:213)t ch(cid:239)m, t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner c(cid:242)ng th›Œng ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu.

T(cid:221)nh ch˚t ph¶n k(cid:213)t ch(cid:239)m chæ y(cid:213)u ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) c¸p theo c‚c h›(cid:237)ng bao g(cid:229)m ph¶n

k(cid:213)t ch(cid:239)m ﬁ‹n mode [15], hai mode [79], b¸c th˚p [79] v(cid:181) b¸c cao [45]. §Łi

v(cid:237)i t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner, nª ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu ﬁŁi v(cid:237)i c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n

mode [118], hai mode [100] v(cid:181) ba mode [41].

B“n c„nh nh(cid:247)ng t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ti“u bi(cid:211)u nh› tr“n, ﬁ˘c t(cid:221)nh ﬁan

rŁi m˘c d(cid:239) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nh(cid:190)c t(cid:237)i tı nh(cid:247)ng n¤m 30 cæa th(cid:213) kß tr›(cid:237)c nh›ng hi(cid:214)n

nay l„i ﬁang ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu mØt c‚ch rØng r•i tr“n th(cid:213) gi(cid:237)i. Th«ng th›Œng

ﬁan rŁi ﬁ›(cid:238)c ki(cid:211)m tra theo hai h›(cid:237)ng. H›(cid:237)ng thł nh˚t l(cid:181) s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ﬁi(cid:210)u

ki(cid:214)n ﬁ(cid:211) d(cid:223) ﬁan rŁi. Trong ﬁª, ng›Œi ta s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ti“u chu¨n ﬁi(cid:211)n h(cid:215)nh nh›

Hillery-Zubairy [62], Peres-Horodecki [6], Duan-Cirac [40], Shchukin-Vogel

[104]. H›(cid:237)ng thł hai l(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l›(cid:238)ng ﬁØ ﬁan rŁi. C‚c ti“u chu¨n th›Œng d(cid:239)ng

g(cid:229)m cª entropy tuy(cid:213)n t(cid:221)nh [6], entropy von Neumann [20] v(cid:181) ﬁØ ﬁ(cid:229)ng quy

[114]. G˙n ﬁ'y c‚c ti“u chu¨n n—n, ph¶n k(cid:213)t ch(cid:239)m v(cid:181) d(cid:223) ﬁan rŁi nh› tr“n ﬁ•

ﬁ›(cid:238)c ‚p d(cid:244)ng tr“n nhi(cid:210)u tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n, nh› tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁi(cid:214)n

t(cid:221)ch ch‰n v(cid:181) l˛ [44], tr„ng th‚i con m(cid:204)o k(cid:213)t c˘p ﬁi(cid:214)n t(cid:221)ch phi tuy(cid:213)n [2], [45]

v(cid:181) c‚c tr„ng th‚i ba mode m(cid:237)i [36], [41].

§Łi v(cid:237)i tr›Œng ba mode, c‚c ti“u chu¨n v(cid:210) n—n v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l›(cid:238)ng ﬁØ ﬁan

rŁi ﬁ• ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) kh¶o s‚t cho tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba phi tuy(cid:213)n [93],

tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n [50], tr„ng th‚i Gauss ba mode [55] v(cid:181) tr„ng th‚i

ﬁan rŁi Einstein-Podolky-Rosen ba mode [49]. §Łi v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ

ba, c‚c t(cid:221)nh ch˚t ph¶n k(cid:213)t ch(cid:239)m, n—n v(cid:181) d(cid:223) ﬁan rŁi ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu [9],

[15], [47]. MØt ﬁi(cid:210)u ﬁ‚ng l›u (cid:253) l(cid:181) tr„ng th‚i n(cid:181)y kh«ng t(cid:229)n t„i t(cid:221)nh ch˚t n—n

t(cid:230)ng ba mode [9].

1.5.1. H(cid:181)m Wigner

MØt h„t c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cª t(cid:228)a ﬁØ q v(cid:181) xung l›(cid:238)ng p x‚c ﬁ(cid:222)nh n“n nª ﬁ›(cid:238)c bi(cid:211)u

di(cid:212)n b»ng mØt ﬁi(cid:211)m trong kh«ng gian pha. Tuy nhi“n trong błc tranh l›(cid:238)ng

t(cid:246), do h(cid:214) thłc b˚t ﬁ(cid:222)nh Heisenberg, m« t¶ h„t l›(cid:238)ng t(cid:246) nh› tr“n kh«ng th(cid:211)

thøc hi(cid:214)n ﬁ›(cid:238)c. Tr„ng th‚i cæa h„t b'y giŒ ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘c tr›ng bºi h(cid:181)m sªng

.. odinger. H(cid:181)m sªng n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c li“n h(cid:214) v(cid:237)i ph'n

ψ(q) trong ph›‹ng tr(cid:215)nh Schr

∞

bŁ x‚c su˚t trong kh«ng gian pha d›(cid:237)i d„ng h(cid:181)m Wigner l(cid:181)

−∞

Z W (q, p) = dyψ∗(q + y)ψ(q − y)e2ipy/~, (1.48) 1 π~

trong ﬁª q v(cid:181) p l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) c˘p bi(cid:213)n t(cid:228)a ﬁØ v(cid:181) xung l›(cid:238)ng [72]. Trong błc

tranh c(cid:230) ﬁi(cid:211)n, mØt h(cid:181)m ph'n bŁ x‚c su˚t n(cid:181)o ﬁª lu«n nh¸n c‚c tr(cid:222) sŁ trong

ﬁo„n [0, 1]. Tuy nhi“n trong quang l›(cid:238)ng t(cid:246), h(cid:181)m Wigner l„i cª th(cid:211) nh¸n c‚c

gi‚ tr(cid:222) 'm. V(cid:215) v¸y, h(cid:181)m Wigner b(cid:222) 'm l(cid:181) mØt bi(cid:211)u hi(cid:214)n phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

Th«ng th›Œng vi(cid:214)c t(cid:221)nh t(cid:221)ch ph'n cæa h(cid:181)m Wigner theo ph›‹ng tr(cid:215)nh

(1.48) l(cid:181) cøc kœ phłc t„p. V(cid:215) v¸y ﬁ(cid:211) d(cid:212) t(cid:221)nh to‚n h‹n, ng›Œi ta th›Œng s(cid:246)

d(cid:244)ng bi(cid:211)u di(cid:212)n cæa h(cid:181)m n(cid:181)y trong d„ng c‚c trung b(cid:215)nh l›(cid:238)ng t(cid:246). V(cid:237)i tr›Œng

K mode, h(cid:181)m Wigner cæa tr„ng th‚i |ψi ﬁ›(cid:238)c cho trong d„ng [19]

(cid:17) (1.49) W (α1, α2, ..., αK ) = (cid:16) h ˆΛ(α1, α2, ..., αK )i, 2 π

√ trong ﬁª αj = (qj + ipj)/ 2 v(cid:237)i qj v(cid:181) pj l(cid:181) c‚c bi(cid:213)n t(cid:228)a ﬁØ v(cid:181) xung l›(cid:238)ng

cæa mode j, j = {1, 2, ..., K} v(cid:181)

j(αj),

(1.50) ˆDj(αj)(−1) ˆNj ˆD† ˆΛ(α1, α2, ..., αK ) = ⊗K j=1

trong ﬁª ˆDj(αj) l(cid:181) to‚n t(cid:246) d(cid:222)ch chuy(cid:211)n łng v(cid:237)i mode j, ˆNj l(cid:181) to‚n t(cid:246) sŁ h„t

cæa mode n(cid:181)y v(cid:181) ⊗ ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u cho t(cid:221)ch tenx‹.

Døa v(cid:181)o ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.50) v(cid:181) s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i nh› trong

[8], h(cid:181)m Wigner cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t trong d„ng c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p. V(cid:221) d(cid:244),

h(cid:181)m Wigner cæa mØt tr›Œng ﬁ‹n mode ﬁ›(cid:238)c cho bºi

W (α) = Z d2uh−u|ˆρ|uie2αu∗−2α∗u, (1.51) 2e2|α|2 π2

trong ﬁª |ui l(cid:181) mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:181) ˆρ l(cid:181) to‚n t(cid:246) m¸t ﬁØ cæa tr›Œng. V(cid:237)i

tr›Œng hai mode, h(cid:181)m Wigner ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

1+2α2u∗

2−2α∗

1u1−2α∗

2u2,

W (α1, α2) = Z d2u1d2u2h−u2, −u1|ˆρ12|u1, u2i

(1.52) 2e2(|α1|2+|α2|2) π4 × e2α1u∗

v(cid:237)i |u1, u2i = |u1i|u2i l(cid:181) t(cid:221)ch hai tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p cæa hai mode ﬁØc l¸p.

Z d2u1d2u2d2u3 W (α1, α2, α3) = Mº rØng h‹n, h(cid:181)m Wigner cæa tr›Œng ba mode ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng 8e2(|α1|2+|α2|2+|α3|2) π6

1+2α2u∗

2+2α3u∗

3−2α∗

1u1−2α∗

2u2−2α∗

3u3,

× h−u3, −u2, −u1|ˆρ123|u1, u2, u3i

(1.53) × e2α1u∗

trong ﬁª |u1, u2, u3i ≡ |u1i|u2i|u3i l(cid:181) mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ba mode.

1.5.2. T(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng ba mode

§(cid:211) ph‚t hi(cid:214)n n—n trong c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n, ng›Œi ta s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c

ti“u chu¨n n—n. Khi kh¶o s‚t n—n ﬁŁi v(cid:237)i c‚c h(cid:214) ba mode, ti“u chu¨n n—n

t(cid:230)ng th›Œng ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng. Ti“u chu¨n n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) kh¶o s‚t cho

c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba [9] v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba phi tuy(cid:213)n [93].

§(cid:211) th˚y ti“u chu¨n n—n n(cid:181)y, ta x—t mØt to‚n t(cid:246) cæa tr›Œng boson ba mode

a, b v(cid:181) c cª d„ng [9]

, ˆP (ϕ) = (1.54) ˆa†ˆb†ˆc†eiϕ + ˆaˆbˆce−iϕ 2

trong ﬁª ϕ l(cid:181) sŁ thøc. V(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) ϕ b˚t kœ, bi(cid:211)u thłc giao ho‚n gi(cid:247)a hai to‚n

t(cid:246) vu«ng pha ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

[ ˆP (ϕ), ˆP (ϕ + π/2)] = ˆL, (1.55) i 2

v(cid:237)i

ˆL = ˆaˆbˆcˆa†ˆb†ˆc† − ˆa†ˆb†ˆc†ˆaˆbˆc

(1.56) = ˆNa ˆNb + ˆNb ˆNc + ˆNa ˆNc + ˆNa + ˆNb + ˆNc + 1.

2 ≥

Quan h(cid:214) b˚t ﬁ(cid:222)nh cho hai to‚n t(cid:246) ˆP (ϕ) v(cid:181) ˆP (ϕ + π/2) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

h ˆLi. (1.57) (cid:0)∆ ˆP (ϕ + π/2)(cid:1) (cid:0)∆ ˆP (ϕ)(cid:1) 1 16

MØt tr„ng th‚i t(cid:229)n t„i n—n t(cid:230)ng ba mode theo gªc ϕ n(cid:213)u nª thÆa m•n b˚t

ﬁ…ng thłc sau ﬁ'y

2 <

h ˆLi. (1.58) (cid:0)∆ ˆP (ϕ)(cid:1) 1 4

2 − h ˆLi

§˘t

, S(ϕ) = (1.59) 4(cid:0)∆ ˆP (ϕ)(cid:1) h ˆLi

ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n n—n t(cid:230)ng ba mode theo gªc ϕ trº th(cid:181)nh

S(ϕ) = < 0. (1.60) 4h ˆP 2(ϕ)i − 4h ˆP (ϕ)i2 − h ˆLi h ˆLi

H(cid:214) sŁ n—n S(ϕ) c(cid:242)ng th(cid:211) hi(cid:214)n ﬁØ n—n. §Ø n—n c(cid:181)ng cao khi h(cid:214) sŁ n—n S(ϕ)

nh¸n gi‚ tr(cid:222) c(cid:181)ng 'm, n—n l(cid:253) t›ºng theo gªc ϕ khi S(ϕ) = −1.

Ngo(cid:181)i ti“u chu¨n n—n t(cid:230)ng ba mode b¸c th«ng th›Œng nh› tr“n, ch(cid:243)ng

ta h•y xem x—t ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n n—n b¸c cao t(cid:230)ng qu‚t. X—t hai to‚n t(cid:246) trøc giao

, ˆX = (1.61)

ˆY = , (1.62) ˆa†jaˆb†jb ˆc†jc + ˆajaˆbjbˆcjc 2 i(ˆa†jaˆb†jbˆc†jc − ˆajaˆbjbˆcjc) 2

v(cid:237)i ja, jb v(cid:181) jc l(cid:181) c‚c sŁ nguy“n kh«ng 'm thÆa m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n jx = jy 6= 0,

jz = 0 ho˘c jx = jy = 0, jz 6= 0 ho˘c jx = jy = jz 6= 0, x, y, z = {a, b, c}. Trong tr›Œng h(cid:238)p jx = jy = jz 6= 0, ˆX, ˆY sˇ trº th(cid:181)nh c‚c to‚n t(cid:246) trøc giao ba mode b¸c cao [9]. H(cid:214) thłc giao ho‚n gi(cid:247)a hai to‚n t(cid:246) ˆX v(cid:181) ˆY l(cid:181)

[ ˆX, ˆY ] = ˆZ, (1.63) i 2

v(cid:237)i

ˆZ = ˆajaˆbjbˆcjcˆa†jaˆb†jbˆc†jc − ˆa†jaˆb†jb ˆc†jcˆajaˆbjbˆcjc. (1.64)

MØt tr„ng th‚i t(cid:229)n t„i n—n b¸c cao trong ˆX ho˘c ˆY n(cid:213)u nª thÆa m•n

< 0, (1.65) SX = 4(∆ ˆX)2 − h ˆZi |h ˆZi|

ho˘c

< 0. (1.66) SY = 4(∆ ˆY )2 − h ˆZi |h ˆZi|

1.5.3. T(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi

§an rŁi l(cid:181) mØt t(cid:221)nh ch˚t ch(cid:216) cª th(cid:211) t(cid:229)n t„i trong błc tranh c‹ h(cid:228)c l›(cid:238)ng

t(cid:246). §an rŁi ﬁ›(cid:238)c ph‚t hi(cid:214)n sau b(cid:181)i th¶o lu¸n n(cid:230)i ti(cid:213)ng cæa Einstein, Podolsky

v(cid:181) Rosen v(cid:181)o n¤m 1935 [48]. Cª r˚t nhi(cid:210)u ti“u chu¨n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra ﬁ(cid:211) ki(cid:211)m

tra ﬁan rŁi trong c‚c tr„ng th‚i hai th(cid:181)nh ph˙n, nh› nhªm d(cid:239)ng ﬁ(cid:211) d(cid:223) ﬁan

rŁi bao g(cid:229)m c‚c ti“u chu¨n Hillery-Zubairy, Peres-Horodecki, Duan-Cirac,

Shchukin-Vogel. B“n c„nh ﬁª, g˙n ﬁ'y l(cid:253) thuy(cid:213)t d(cid:223) ﬁan rŁi c(cid:223)n xu˚t hi(cid:214)n c‚c

ti“u chu¨n Nha-Kim [95] v(cid:181) Mancini [91]. §Łi v(cid:237)i c‚c tr„ng th‚i ba mode,

vi(cid:214)c d(cid:223) ﬁan rŁi cª th(cid:211) s(cid:246) d(cid:244)ng ti“u chu¨n ﬁan rŁi Hillery-Zubairy [62]. Theo

ﬁª, mØt tr„ng th‚i t‚ch ﬁ›(cid:238)c lu«n thÆa m•n b˚t ﬁ…ng thłc

(1.67) |hˆaˆb†ˆc†i| ≤ h ˆNa ˆNb ˆNci1/2.

V(cid:215) v¸y, sø vi ph„m b˚t ﬁ…ng thłc tr“n sˇ cho bi(cid:213)t tr„ng th‚i ba th(cid:181)nh ph˙n

b(cid:222) ﬁan rŁi. B“n c„nh ﬁª, ch(cid:243)ng ta c(cid:242)ng cª th(cid:211) s(cid:246) d(cid:244)ng ti“u chu¨n Look-

Furusawa [86]. X—t c‚c to‚n t(cid:246) t(cid:228)a ﬁØ v(cid:181) xung l›(cid:238)ng t›‹ng łng l(cid:181) ˆq1, ˆq2, ˆq3

v(cid:181) ˆp1, ˆp2, ˆp3, mØt tr„ng th‚i n(cid:213)u vi ph„m mØt trong c‚c b˚t ﬁ…ng thłc sau ﬁ'y

th(cid:215) nª ﬁ›(cid:238)c xem l(cid:181) b(cid:222) ﬁan rŁi

2 ≥ 1,

2 + 2(cid:0)∆[ˆp1 + (ˆp2 + ˆp3)/

2 ≥ 1,

√ √ (1.68) 2](cid:1) 2(cid:0)∆[ˆq1 − (ˆq2 + ˆq3)/

2 ≥ 1,

(1.69) (cid:0)∆(ˆq1 − ˆq2)(cid:1)

2 ≥ 1,

(1.70) (cid:0)∆(ˆq2 − ˆq3)(cid:1)

(1.71) 2](cid:1) 2 + (cid:0)∆(ˆp1 + ˆp2 + g ˆp3)(cid:1) 2 + (cid:0)∆(g ˆp1 + ˆp2 + ˆp3)(cid:1) 2 + (cid:0)∆(ˆp1 + g ˆp2 + ˆp3)(cid:1) (cid:0)∆(ˆq1 − ˆq3)(cid:1)

trong ﬁª g l(cid:181) mØt sŁ thøc b˚t kœ. Ngo(cid:181)i ra, mØt ti“u chu¨n ﬁan rŁi b¸c cao

sau ﬁ'y cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng cho tr›Œng ba mode [47]. N(cid:213)u mØt tr„ng th‚i

vi ph„m t˚t c¶ c‚c b˚t ﬁ…ng thłc sau ﬁ'y

|hˆamˆbnˆcli| ≤ [hˆa†mˆamihˆb†nˆbnihˆc†lˆcli]1/2, (1.72)

|hˆamˆbnˆcli| ≤ [hˆa†mˆamihˆb†nˆbnˆc†lˆcli]1/2, (1.73)

|hˆamˆbnˆcli| ≤ [hˆb†nˆbnihˆa†mˆamˆc†lˆcli]1/2, (1.74)

|hˆamˆbnˆcli| ≤ [hˆc†lˆclihˆa†mˆamˆb†nˆbni]1/2, (1.75)

ta cª th(cid:211) k(cid:213)t lu¸n r»ng tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁan rŁi ho(cid:181)n to(cid:181)n.

Ch(cid:243)ng ta h•y x—t ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁan rŁi ﬁ˙u ti“n trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.72).

1/2 − |hˆamaˆbmb ˆcmci| < 0,

MØt tr„ng th‚i ba mode b(cid:222) ﬁan rŁi khi b˚t ﬁ…ng thłc d›(cid:237)i ﬁ'y ﬁ›(cid:238)c thÆa m•n

(1.76) (cid:0)h ˆN (ma) i(cid:1) ih ˆN (mc) c ih ˆN (mb) b

x = ˆx†mi ˆxmi, x, i = {a, b, c}. Ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a h(cid:214) sŁ ﬁan rŁi b¸c cao ba

v(cid:237)i ˆN (mi)

mode l(cid:181)

1/2

. (1.77) Ema,mb,mc = 1 − ih ˆN (mc) c i(cid:1) (cid:0)h ˆN (ma) |hˆamaˆbmbˆcmci| ih ˆN (mb) b

§i(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁan rŁi trº th(cid:181)nh Ema,mb,mc < 0. Nhªm thł hai d(cid:239)ng ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh l›(cid:238)ng

ﬁØ ﬁan rŁi bao g(cid:229)m entropy tuy(cid:213)n t(cid:221)nh, entropy von Neumann v(cid:181) ﬁØ ﬁ(cid:229)ng

quy. §Łi v(cid:237)i tr„ng th‚i ba mode, vi(cid:214)c t(cid:221)nh to‚n entropy tuy(cid:213)n t(cid:221)nh th›Œng l(cid:181)

ﬁ‹n gi¶n nh˚t. Theo nh› Agarwal v(cid:181) Biswas [6], entropy tuy(cid:213)n t(cid:221)nh cª d„ng

x),

(1.78) E = 1 − Trx(ˆρ2

trong ﬁª ˆρx l(cid:181) to‚n t(cid:246) m¸t ﬁØ thu g(cid:228)n cæa mode x. Theo ﬁª, tr„ng th‚i b(cid:222)

ﬁan rŁi khi 0 < E ≤ 1 v(cid:181) ﬁan rŁi cøc ﬁ„i n(cid:213)u E = 1. Entropy tuy(cid:213)n t(cid:221)nh ﬁ•

ﬁ›(cid:238)c d(cid:239)ng ﬁ(cid:211) kh¶o s‚t ﬁØ ﬁan rŁi trong c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p, tr„ng th‚i

ch'n kh«ng n—n hai mode [6] v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba phi tuy(cid:213)n [93].

1.6. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246)

Vai tr(cid:223) cæa ﬁan rŁi trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c th(cid:211) hi(cid:214)n n(cid:230)i b¸t

qua c‚c giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) [21], ph'n bŁ khªa l›(cid:238)ng t(cid:246) [101], vi(cid:212)n

t„o tr„ng th‚i [22]. Trong sŁ ﬁª, do ﬁªng vai tr(cid:223) l(cid:181) khŁi x'y døng c‹ b¶n cæa

giao ti(cid:213)p l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:181) t(cid:221)nh to‚n l›(cid:238)ng t(cid:246) [81] n“n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) nh¸n ﬁ›(cid:238)c

sø quan t'm r˚t l(cid:237)n. Giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁ˙u ti“n ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra bºi

Bennett v(cid:181) cØng sø [21]. Theo ﬁª, cª hai h(cid:214) thŁng º xa nhau (ﬁ›(cid:238)c sº h(cid:247)u

bºi Alice v(cid:181) Bob) v(cid:181) ﬁan rŁi v(cid:237)i nhau tı tr›(cid:237)c bºi mØt tr„ng th‚i hai th(cid:181)nh

ph˙n. Alice ph¶i chuy(cid:211)n cho Bob mØt tr„ng th‚i ﬁ‹n th(cid:181)nh ph˙n. Alice ﬁ›(cid:238)c

ph—p thøc hi(cid:214)n mØt ph—p ﬁo tr“n hai th(cid:181)nh ph˙n l(cid:181) tr„ng th‚i cæa c« v(cid:181) tr„ng

th‚i ﬁ›(cid:238)c chuy(cid:211)n. Sau ph—p ﬁo, k(cid:213)t qu¶ ﬁ›(cid:238)c Alice g(cid:246)i cho Bob b»ng k“nh

th«ng tin c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. Døa v(cid:181)o c‚c sŁ li(cid:214)u nh¸n ﬁ›(cid:238)c tı Alice, Bob thøc hi(cid:214)n

c‚c bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i ﬁ(cid:211) t„o ra tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c chuy(cid:211)n.

Cho ﬁ(cid:213)n nay, giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ph‚t tri(cid:211)n theo nhi(cid:210)u

kh(cid:221)a c„nh, nh› vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n mode [23], ﬁa mode

[87], m„ng l›(cid:237)i vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) [10]; theo c‚c c‚ch ﬁo kh‚c nhau cæa Alice

nh› ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao [67], ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u

pha [31], ﬁo hi(cid:214)u sŁ h„t photon v(cid:181) t(cid:230)ng pha [92], ﬁo sŁ photon [14]. §Łi v(cid:237)i

ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ba th(cid:181)nh ph˙n, giao thłc ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁ˙u ti“n

ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra bºi Karlsson v(cid:181) Bourennane cho tr„ng th‚i bi(cid:213)n gi‚n ﬁo„n [75].

B“n c„nh ﬁª, mØt sŁ giao thłc cho vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa tr„ng th‚i ﬁan rŁi

hai th(cid:181)nh ph˙n c(cid:242)ng ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra [25]. Trong h(cid:214) bi(cid:213)n li“n t(cid:244)c, giao thłc

vi(cid:212)n t¶i m„ng l›(cid:237)i ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra ﬁ˙u ti“n bºi Braunstein v(cid:181) Kimble [23].

1.6.1. §i(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246)

Trong vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) nªi chung, ngu(cid:229)n ﬁan rŁi cª th(cid:211) cª ba th(cid:181)nh

ph˙n ho˘c nhi(cid:210)u h‹n. L(cid:243)c ﬁª, qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c thøc

hi(cid:214)n theo c‚c giao thłc m„ng l›(cid:237)i [10] ho˘c ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n [75]. Tr›(cid:237)c ti“n,

ch(cid:243)ng ta h•y xem x—t qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng

th‚i ﬁ‹n th(cid:181)nh ph˙n theo giao thłc cæa Karlsson v(cid:181) Bourennane [75]. Gi¶ s(cid:246)

h(cid:214) thŁng bao g(cid:229)m ba ng›Œi Alice, Cliff v(cid:181) Bob chia s˛ nhau mØt tr„ng th‚i

ﬁan rŁi ba th(cid:181)nh ph˙n tı tr›(cid:237)c, ﬁ›(cid:238)c ﬁ‚nh sŁ theo thł tø 2, 3, 4. Trong ﬁª,

Alice gi(cid:247) th(cid:181)nh ph˙n 2, Bob gi(cid:247) th(cid:181)nh ph˙n 4 v(cid:181) th(cid:181)nh ph˙n c(cid:223)n l„i d(cid:181)nh

cho Cliff. Tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c cho d›(cid:237)i d„ng

(1.79) |Ψi234 = (cid:0)|li2|li3|li4 + |↔i2|↔i3|↔i4(cid:1), 1 √ 2

v(cid:237)i c‚c tr„ng th‚i |↔ii v(cid:181) |lii l(cid:181) trøc chu¨n, i = {2, 3, 4}.

B'y giŒ, nhi(cid:214)m v(cid:244) cæa h(cid:214) l(cid:181) Alice sˇ g(cid:246)i t(cid:237)i Bob mØt tr„ng th‚i ﬁ‹n

th(cid:181)nh ph˙n, c(cid:223)n Cliff ﬁªng vai tr(cid:223) l(cid:181) ng›Œi ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n. Tr„ng th‚i ﬁ‹n th(cid:181)nh

ph˙n ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(1.80) |Φi1 = a|li1 + b|↔i1,

trong ﬁª a, b l(cid:181) c‚c ¨n sŁ ﬁŁi v(cid:237)i Alice, Bob v(cid:181) Cliff. S(cid:246) d(cid:244)ng c‚c tr„ng th‚i

Bell cª d„ng

(1.81) |ψ±i12 = (cid:0)|li1|↔i2 ± |↔i1|li2(cid:1) 1 √ 2

v(cid:181)

(1.82) |φ±i12 = (cid:0)|li1|li2 ± |↔i1|↔i2(cid:1), 1 √ 2

tr„ng th‚i t(cid:230)ng th(cid:211) cæa h(cid:214) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng

|Φi1|Ψi234 = (cid:16)|φ+i12 ⊗ (cid:0)a|li3|li4 + b|↔i3|↔i4(cid:1) 1 2

+ |φ−i12 ⊗ (cid:0)a|li3|li4 − b|↔i3|↔i4(cid:1)

+ |ψ+i12 ⊗ (cid:0)a|li3|↔i4 + b|↔i3|li4(cid:1)

(1.83) + |ψ−i12 ⊗ (cid:0)a|li3|↔i4 − b|↔i3|li4(cid:1)(cid:17).

§(cid:211) b(cid:190)t ﬁ˙u qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246), Alice thøc hi(cid:214)n ph—p

ﬁo Bell tr“n hai th(cid:181)nh ph˙n 1 v(cid:181) 2. Gi¶ s(cid:246) Alice thu ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ |φ+i12,

tr„ng th‚i cæa Cliff v(cid:181) Bob sau ph—p ﬁo ﬁ›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p th(cid:181)nh

(1.84) |Ψi34 = a|li3|li4 + b|↔i3|↔i4.

Alice g(cid:246)i k(cid:213)t qu¶ ﬁo ﬁ›(cid:238)c cho Bob v(cid:181) Cliff th«ng qua k“nh th«ng tin c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

Qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁ›(cid:238)c ti(cid:213)p t(cid:244)c khi Cliff ti(cid:213)n h(cid:181)nh ph—p

ﬁo tr“n th(cid:181)nh ph˙n cæa m(cid:215)nh. Cliff cª th(cid:211) løa ch(cid:228)n mØt trong nhi(cid:210)u ph—p ﬁo

kh‚c nhau. Gi¶ s(cid:246) Cliff s(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo von Neumann v(cid:181) nh¸n ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t

qu¶ x1 ho˘c x2, trong ﬁª

(1.85) |li3 = sin θ|x1i3 + cos θ|x2i3,

(1.86) |↔i3 = cos θ|x1i3 − sin θ|x2i3.

Tr„ng th‚i trong (1.84) ﬁ›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p l„i d›(cid:237)i d„ng

|Ψi34 = |x1i3(cid:0)a sin θ|li4 + b cos θ|↔i4(cid:1)

(1.87) + |x2i3(cid:0)a cos θ|li4 − b sin θ|↔i4(cid:1).

Gi¶ s(cid:246) Cliff ﬁo ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ x2, tı ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.87), tr„ng th‚i cæa Bob

ﬁ›(cid:238)c thu g(cid:228)n l„i th(cid:181)nh

(1.88) |Ψi4 = a cos θ|li4 − b sin θ|↔i4.

Døa v(cid:181)o ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.88), ta cª th(cid:211) th˚y khi θ = −π/4, tr„ng th‚i

cæa Bob l(cid:243)c n(cid:181)y t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i tr„ng th‚i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.80). L›u

(cid:253) r»ng, ﬁ(cid:211) cª ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i łng v(cid:237)i θ = −π/4, Bob ph¶i cª t˚t c¶ c‚c th«ng

tin nh¸n ﬁ›(cid:238)c tı Alice v(cid:181) Cliff. Trong nh(cid:247)ng tr›Œng h(cid:238)p łng v(cid:237)i c‚c ph—p

ﬁo c(cid:223)n l„i cæa Alice v(cid:181) Cliff, c‚c b›(cid:237)c ﬁ(cid:211) Bob t„o ra tr„ng th‚i nh› trong

ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.80) t›‹ng tø v(cid:237)i tr›Œng h(cid:238)p ﬁ• ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y º tr“n.

1.6.2. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi

Trong ti(cid:211)u m(cid:244)c n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i ﬁ(cid:210) c¸p ﬁ(cid:213)n kh(cid:221)a c„nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246)

cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi. Trong khu«n kh(cid:230) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa tr„ng th‚i

ﬁan rŁi hai th(cid:181)nh ph˙n, cª mØt sŁ giao thłc ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra g˙n ﬁ'y [57],

[119]. Trong błc tranh bi(cid:213)n li“n t(cid:244)c, ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y v(cid:190)n t(cid:190)t giao thłc

cæa Gorbachev v(cid:181) c‚c cØng sø [57]. Theo ﬁª, gi¶ s(cid:246) Alice muŁn chuy(cid:211)n t(cid:237)i

Bob tr„ng th‚i ﬁan rŁi hai mode a v(cid:181) b ki(cid:211)u Einstein-Podolky-Rosen cª d„ng

(1.89) |Aiab = Z dxA(x)|xia|x − qib,

trong ﬁª q ch(cid:221)nh l(cid:181) tr(cid:222) ri“ng cæa to‚n t(cid:246) hi(cid:214)u t(cid:228)a ﬁØ cæa hai mode a v(cid:181) b l(cid:181)

ˆqa − ˆqb, |Aiab l(cid:181) tr„ng th‚i ri“ng cæa to‚n t(cid:246) hi(cid:214)u t(cid:228)a ﬁØ n(cid:181)y. §(cid:211) thøc hi(cid:214)n

qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246), Alice v(cid:181) Bob c˙n chia s˛ v(cid:237)i nhau mØt tr„ng th‚i

ﬁan rŁi Greenberger-Horne-Zeilinger ba mode c, d v(cid:181) e, trong ﬁª Alice ch(cid:216)

gi(cid:247) mode c, Bob sº h(cid:247)u hai mode c(cid:223)n l„i. Tr„ng th‚i n(cid:181)y cª d„ng

(1.90) |ψicde = Z dxe2ixw|xic|x − zid|x − rie, 1 √ π

v(cid:237)i w, z v(cid:181) r l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) tr(cid:222) ri“ng cæa c‚c to‚n t(cid:246) t(cid:230)ng xung l›(cid:238)ng ˆpc + ˆpd + ˆpe,

hi(cid:214)u t(cid:228)a ﬁØ ˆqc − ˆqd v(cid:181) ˆqc − ˆqe.

§(cid:211) thøc hi(cid:214)n qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246), Alice sˇ thøc hi(cid:214)n hai ph—p ﬁo

ﬁ(cid:229)ng thŒi g(cid:229)m ﬁo xung l›(cid:238)ng trong mode a (ﬁ›(cid:238)c tr(cid:222) ri“ng p t›‹ng łng v(cid:237)i

to‚n t(cid:246) xung l›(cid:238)ng ˆpa), ﬁo t(cid:230)ng xung l›(cid:238)ng v(cid:181) hi(cid:214)u t(cid:228)a ﬁØ tr“n hai mode b, c √ 2 v(cid:181) (ﬁ›(cid:238)c c‚c tr(cid:222) ri“ng P v(cid:181) Q t›‹ng łng v(cid:237)i c‚c to‚n t(cid:246) ˆpP = (ˆpb + ˆpc)/ √ 2). T(cid:221)ch to(cid:181)n bØ c‚c tr„ng th‚i ri“ng l˙n l›(cid:238)t cæa c‚c to‚n ˆqQ = (ˆqb − ˆqc)/

t(cid:246) tr“n ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

(1.91) |Πiabc = |pia|ψibc = Z dxe2iP x|pia|xib|x − Qic. 1 √ π

To(cid:181)n bØ tr„ng th‚i v(cid:181)o cæa h(cid:214) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181) |Φvµoiabcde = |Aiab|ψicde.

Tr„ng th‚i n(cid:181)y tr›(cid:237)c khi Alice thøc hi(cid:214)n c‚c ph—p ﬁo ﬁ›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p theo c‚c

tr„ng th‚i ri“ng nh› ph›‹ng tr(cid:215)nh d›(cid:237)i ﬁ'y

(1.92) Z dpdP dQ|Πiabc ˆUd(P, Q) ˆUe(p, Q)|Aide, |Φvµoiabcde = 1 π2

trong ﬁª

(1.93) ˆUd(P, Q) = Z dxe2iP x|xidhx − Q|,

√ (1.94) ˆUe(p, Q) = π Z dxhx + q|pi|xiehx − Q|.

Sau khi thøc hi(cid:214)n c‚c ph—p ﬁo tr“n ba mode a, b v(cid:181) c, Alice g(cid:246)i c‚c k(cid:213)t qu¶

e (p, Q) t‚c d(cid:244)ng l“n c‚c tr„ng th‚i cæa

d(P, Q) v(cid:181) ˆU †

cho Bob b»ng k“nh th«ng tin c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. Nh¸n ﬁ›(cid:238)c c‚c gi‚ tr(cid:222) p, P v(cid:181) Q, Bob s(cid:246) d(cid:244)ng hai to‚n t(cid:246) ˆU †

mode d v(cid:181) e ﬁ(cid:211) t„o ra tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c chuy(cid:211)n.

1.7. K(cid:213)t lu¸n

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:210) ba chæ ﬁ(cid:210) quan

tr(cid:228)ng, ch(cid:243)ng l(cid:181) c‹ sº cho c‚c t(cid:221)nh to‚n v(cid:181) kh¶o s‚t v(cid:210) sau trong lu¸n ‚n.

Nh(cid:247)ng chæ ﬁ(cid:210) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) c¸p bao g(cid:229)m mØt sŁ tr„ng th‚i cæa tr›Œng boson,

c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246). §Łi

v(cid:237)i c‚c tr„ng th‚i cæa tr›Œng boson, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y tr„ng th‚i Fock,

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p, tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai

mode, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181) mØt sŁ tr„ng th‚i th“m photon. §'y l(cid:181)

nh(cid:247)ng c‹ sº ﬁ(cid:211) ch(cid:243)ng t«i nghi“n cłu hai tr„ng th‚i ba mode m(cid:237)i ﬁ›(cid:238)c t„o

ra bºi thøc hi(cid:214)n th“m c‚c photon l“n mØt tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁan rŁi ki(cid:211)u

pha-sŁ h„t cæa h(cid:214) ba mode.

Trong c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa tr›Œng ba mode, ﬁ˙u ti“n, ch(cid:243)ng t«i

ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y bi(cid:211)u thłc cæa h(cid:181)m Wigner trong d„ng c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p.

§'y l(cid:181) d„ng t›‹ng ﬁŁi d(cid:212) t(cid:221)nh to‚n ﬁŁi v(cid:237)i c‚c tr„ng th‚i ba mode. Sau ﬁª,

c‚c ti“u chu¨n n—n t(cid:230)ng ba mode v(cid:181) d(cid:223) ﬁan rŁi ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243)ng t«i kh‚i qu‚t

l„i d›(cid:237)i d„ng c‚c b˚t ﬁ…ng thłc. Tı c‚c b˚t ﬁ…ng thłc n(cid:181)y, mØt sŁ h(cid:214) sŁ ﬁ˘c

tr›ng cho c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra. C‚c h(cid:214) sŁ n(cid:181)y ﬁªng vai

tr(cid:223) quan tr(cid:228)ng trong vi(cid:214)c kh¶o c‚c ﬁ˘c t(cid:221)nh phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa hai tr„ng th‚i ba

mode m(cid:237)i. Døa tr“n k(cid:213)t qu¶ t(cid:221)nh to‚n v(cid:181) kh¶o s‚t cho c‚c h(cid:214) sŁ n(cid:181)y, ch(cid:243)ng

t«i ch(cid:216) ra vai tr(cid:223) t¤ng c›Œng ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n b»ng c‚c t‚c ﬁØng th“m photon

trong h(cid:214) ba mode bi(cid:213)n li“n t(cid:244)c.

§Łi v(cid:237)i vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246), ch›‹ng n(cid:181)y ﬁ• tr(cid:215)nh

b(cid:181)y hai giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) n(cid:230)i b¸t v(cid:237)i ngu(cid:229)n ﬁan rŁi cª ba th(cid:181)nh

ph˙n. Ch(cid:243)ng bao g(cid:229)m giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n

th(cid:181)nh ph˙n, hay c(cid:223)n g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:181) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246)

cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi hai mode. Tr“n c‹ sº ﬁª, ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra c‚c

giao thłc m(cid:237)i v(cid:210) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:181) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c

tr„ng th‚i ﬁan rŁi hai mode v(cid:181) tr„ng th‚i ﬁ‹n mode. C‚c giao thłc n(cid:181)y s(cid:246)

d(cid:244)ng k“nh l›(cid:238)ng t(cid:246) l(cid:181) c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi ki(cid:211)u pha-sŁ h„t hai v(cid:181) ba mode.

C‚c qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra theo h›(cid:237)ng c¶i thi(cid:214)n

c‚c ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh.

Ch›‹ng 2

C‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

cæa mØt sŁ tr„ng th‚i ba mode

2.1. Mº ﬁ˙u

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra hai tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ba mode

m(cid:237)i b»ng vi(cid:214)c th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł v(cid:181) kh«ng ﬁ(cid:222)nh xł l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

bØ ba ﬁ• ﬁ›(cid:238)c cho trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.34). Ch(cid:243)ng ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m

photon. Sau ﬁª, ch(cid:243)ng t«i kh¶o s‚t mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ti“u bi(cid:211)u

trong hai tr„ng th‚i n(cid:181)y.

Tr“n c‹ sº c‚c k(cid:213)t qu¶ kh¶o s‚t v(cid:210) t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner, t(cid:221)nh ch˚t

n—n t(cid:230)ng ba mode v(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi, ch(cid:243)ng t«i sˇ ch(cid:216) ra r»ng c‚c tr„ng

th‚i m(cid:237)i cª bi(cid:211)u hi(cid:214)n phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v›(cid:238)t trØi h‹n so v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ

ba ban ﬁ˙u. §˘c bi(cid:214)t, hai tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁan rŁi ho(cid:181)n to(cid:181)n. B“n c„nh ﬁª,

mong muŁn cæa ch(cid:243)ng t«i v(cid:210) sø t¤ng c›Œng ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong c‚c tr„ng

th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ba mode b»ng c‚ch t¤ng sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o c‚c mode

cª th(cid:211) thøc hi(cid:214)n ﬁ›(cid:238)c. Nh(cid:247)ng ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y sˇ r˚t quan tr(cid:228)ng khi łng d(cid:244)ng hai

tr„ng th‚i m(cid:237)i tr“n v(cid:181)o thøc hi(cid:214)n c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246).

2.2. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon

Tı tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba |Ψp,qiabc ﬁ›(cid:238)c cho º trong ph›‹ng tr(cid:215)nh

(1.38), ch(cid:243)ng t«i thøc hi(cid:214)n nghi“n cłu th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł l“n tr„ng th‚i

n(cid:181)y. Tı ﬁª, ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra tr„ng th‚i ba mode m(cid:237)i g(cid:228)i l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba th“m photon. Tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181) [41]

(2.1) |Ψp,q; h, k, liabc = Np,q;h,k,l(r)ˆa†hˆb†kˆc†l|Ψp,qiabc,

trong ﬁª ˆa†, ˆb† v(cid:181) ˆc† l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) c‚c to‚n t(cid:246) sinh photon cæa c‚c mode a, b v(cid:181)

c, c‚c sŁ nguy“n kh«ng 'm h, k, l mang (cid:253) ngh(cid:220)a l(cid:181) sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o

m(cid:231)i mode cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, Np,q;h,k,l(r) l(cid:181) h(cid:214) sŁ chu¨n hªa v(cid:181)

ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181) (xem Ph(cid:244) l(cid:244)c 1)

p,q;h,k,l(r) =

∞ X n=0

N −2 , (2.2) c2 n(r)na!nb!nc! n!(n + p)!(n + p + q)!

trong ﬁª na = n + h, nb = n + p + k, nc = n + p + q + l v(cid:181) cn(r) ﬁ›(cid:238)c cho

bºi trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.37) nh›ng ξ ﬁ›(cid:238)c thay bºi r. Khi khai tri(cid:211)n theo

c‚c tr„ng th‚i Fock, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon ﬁ›(cid:238)c cho bºi

∞ X n=0

(2.3) |Ψp,q; h, k, liabc = Cn;h,k,l(ξ)|na, nb, nciabc,

trong ﬁª h(cid:214) sŁ khai tri(cid:211)n Cn;h,k,l(ξ) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181) √

. (2.4) Cn;h,k,l(ξ) = Np,q;h,k,l(r)cn(ξ) na!nb!nc! pn!(n + p)!(n + p + q)!

V(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon ﬁ›(cid:238)c cho trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.3), ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c gi‚ tr(cid:222) trung b(cid:215)nh Ii,j,m cæa c‚c to‚n t(cid:246) ˆa†iˆaiˆb†jˆbj ˆc†mˆcm l(cid:181)

n;h,k,l(r)na!nb!nc! (na − i)!(nb − j)!(nc − m)!

C2 , = (2.5)

Ii,j,m = hˆa†iˆaiˆb†jˆbj ˆc†mˆcmi ∞ X n=M

trong ﬁª i, j v(cid:181) m l(cid:181) c‚c sŁ nguy“n kh«ng 'm, M = max(0, i − h, j − k −

p, m − p − q − l). MØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c

ch(cid:243)ng t«i nghi“n cłu v(cid:181) c«ng bŁ trong [35] v(cid:181) [41].

2.2.1. H(cid:181)m Wigner

H(cid:181)m Wigner m« t¶ ph'n bŁ chu¨n x‚c su˚t cæa mØt tr„ng th‚i l›(cid:238)ng t(cid:246)

trong kh«ng gian pha. H(cid:181)m Wigner 'm l(cid:181) mØt b»ng chłng v(cid:210) t(cid:221)nh phi c(cid:230)

ﬁi(cid:211)n v(cid:181) phi Gauss cæa tr„ng th‚i ﬁª. §Łi v(cid:237)i tr›Œng boson ba mode, h(cid:181)m

Wigner trong d„ng c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.53).

§(cid:211) t(cid:221)nh to‚n h(cid:181)m Wigner cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon,

ch(cid:243)ng t«i vi(cid:213)t to‚n t(cid:246) m¸t ﬁØ cæa tr„ng th‚i n(cid:181)y trong d„ng

p,q(r)e3r2/3

N 2 ˆρabc = Z dλ 2π dλ1 2π dλ0 2π

p,q;h,k,l(r)N 2 dλ0 1 |ζ|4p+2q 2π , ζe−i(λ+λ0)iabc 1)+(p+q)(λ−λ1)]ˆa†hˆb†kˆc†l|ζeiλ, ζeiλ0

1), ζeiλ0

1, ζeiλ1|ˆclˆbkˆah,

×ei[q(λ0−λ0

(2.6) ⊗cbahζe−i(λ1+λ0

trong ﬁª ζ = ξ1/3. §˘t αx = |αx|eiϕx, sau qu‚ tr(cid:215)nh t(cid:221)nh to‚n, h(cid:181)m Wigner

p,q;h,k,l(r)N 2 8N 2 p,q(r) π3e2(|αa|2+|αb|2+|αc|2)

W = rm+n cos[(m − n)(ϕa + ϕb + ϕc − φ)] (n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)! cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon l(cid:181) (xem Ph(cid:244) l(cid:244)c 2) ∞ X m,n=0

2F0(−nx, −mx; −1/|2αx|2),

× (2.7) |2αx|nx+mx 1 n!m!

Y x v(cid:237)i x = {a, b, c}.

Døa tr“n h(cid:181)m Wigner trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.7), ch(cid:243)ng t«i kh¶o s‚t c‚c

ﬁ˘c t(cid:221)nh phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n c(cid:242)ng nh› phi Gauss cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m

photon. H(cid:215)nh 2.1 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:181)m Wigner ﬁŁi v(cid:237)i c‚c ph˙n

thøc v(cid:181) ¶o cæa αa v(cid:237)i p = q = 0, r = 1, αb = αc = 0.5 v(cid:181) φ = 0 cho tr›Œng

h(cid:238)p h = k = l = 1. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng h(cid:181)m Wigner trº n“n 'm trong

mØt sŁ mi(cid:210)n gi‚ tr(cid:222) cæa ph˙n thøc v(cid:181) ph˙n ¶o cæa αa. §i(cid:210)u ﬁª nªi l“n r»ng

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon l(cid:181) tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) phi Gauss.

§(cid:211) th˚y sø kh‚c nhau v(cid:210) t(cid:221)nh phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n gi(cid:247)a hai tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

bØ ba v(cid:181) k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon, h(cid:215)nh 2.2 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa

¬HΑaL 0

-2 -1

0.02

W -0.02

-1

-2

0 IHΑaL

H×nh 2.1: Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:181)m Wigner W v(cid:181)o c‚c th(cid:181)nh ph˙n thøc v(cid:181) ¶o cæa αa v(cid:237)i

p = q = 0, r = 1, h = k = l = 1, αb = αc = 0.5 v(cid:181) φ = 0.

0.000

-0.005

(0,0,0) (3,1,0)

-0.010

(2,1,1)

-0.015

2 r

H×nh 2.2: Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:181)m Wigner W v(cid:181)o r v(cid:237)i p = 2, q = 1, |αa| = 0.26, |αb| =

0.4, |αc| = 0.5 v(cid:181) ϕa + ϕb + ϕc − φ = π khi (h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (3, 1, 0)

(ﬁ›Œng g„ch - g„ch) v(cid:181) (2, 1, 1) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

h(cid:181)m Wigner trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.7) v(cid:181)o r v(cid:237)i ϕa + ϕb + ϕc − φ = π,

p = 2, q = 1, |αa| = 0.26, |αb| = 0.4 v(cid:181) |αc| = 0.5 łng v(cid:237)i mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa

h, k v(cid:181) l, trong ﬁª h = k = l = 0 t›‹ng łng v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181)

c‚c tr›Œng h(cid:238)p kh‚c l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon. Ta th˚y ﬁØ 'm

cæa h(cid:181)m Wigner trº n“n m„nh h‹n trong tr›Œng h(cid:238)p th“m c‚c photon ﬁ(cid:229)ng

thŒi v(cid:181)o hai mode h = 3, k = 1, l = 0 ho˘c c¶ ba mode h = 2, k = 1, l = 1.

H‹n n(cid:247)a, t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner bi(cid:211)u hi(cid:214)n r(cid:226) nh˚t trong tr›Œng h(cid:238)p c¶ ba

mode ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:229)ng thŒi th“m c‚c photon. §i(cid:210)u n(cid:181)y th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng c‚c ﬁ˘c

t(cid:221)nh phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) phi Gauss cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon cª

th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c t¤ng c›Œng so v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba.

2.2.2. T(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng ba mode

T(cid:221)nh ch˚t n—n ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng r˚t ph(cid:230) bi(cid:213)n trong c‚c th(cid:221) nghi(cid:214)m cª ﬁØ

ch(cid:221)nh x‚c cao, nh› d(cid:223) sªng h˚p d(cid:201)n trong th(cid:221) nghi(cid:214)m LIGO [5], l(cid:181)m l„nh v¸t

ch˚t xuŁng nhi(cid:214)t ﬁØ r˚t th˚p [30]. T(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng li“n quan ﬁ(cid:213)n sø t„o

ra ‚nh s‚ng cª t˙n sŁ t(cid:230)ng. L›u (cid:253) r»ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba kh«ng xu˚t

hi(cid:214)n n—n t(cid:230)ng ba mode. Ch(cid:243)ng t«i hy v(cid:228)ng v(cid:237)i c‚c t‚c ﬁØng th“m photon

l“n tr„ng th‚i n(cid:181)y, n—n t(cid:230)ng sˇ ﬁ›(cid:238)c bØc lØ trong nh(cid:247)ng tr„ng th‚i m(cid:237)i.

§(cid:211) t(cid:221)nh h(cid:214) sŁ n—n t(cid:230)ng ba mode trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m

photon, t(cid:246) sŁ cæa v(cid:213) tr‚i trong b˚t ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.60) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l„i d›(cid:237)i d„ng

4h( ˆP (ϕ))2i − 4h ˆP (ϕ)i2 − h ˆLi = 2h ˆNa ˆNb

(2.8) ˆNci + 2R(cid:0)h(ˆaˆbˆc)2ie−2iϕ(cid:1) −4R2(cid:0)hˆaˆbˆcie−iϕ(cid:1),

v(cid:237)i R(z) k(cid:253) hi(cid:214)u cho ph˙n thøc cæa z. Ta ﬁ˘t

∞ X n=0

Jw = |hˆawˆbwˆcwi| = Cn;h,k,l(r)Cn+w;h,k,l(r)

√ × , (2.9) p(na + w)!(nb + w)!(nc + w)! na!nb!nc!

trong ﬁª Cn;h,k,l(r) v(cid:181) Cn+w;h,k,l(r) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh

(2.4) v(cid:181) w l(cid:181) sŁ nguy“n kh«ng 'm. S(cid:246) d(cid:244)ng c‚c k(cid:213)t qu¶ trong c‚c ph›‹ng

tr(cid:215)nh (2.5) v(cid:181) (2.9), h(cid:214) sŁ n—n S l(cid:181)

1 cos2(φ − ϕ) + 2I1,1,1 2J2 cos 2(φ − ϕ) − 4J 2 1 + I1,1,0 + I0,1,1 + I1,0,1 + I1,0,0 + I0,1,0 + I0,0,1

. S = (2.10)

Ch(cid:243)ng t«i nghi“n cłu t(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng ba mode trong tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba th“m photon b»ng s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh

(2.10). H(cid:215)nh 2.3 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n S v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0

v(cid:181) φ − ϕ = 0 łng v(cid:237)i mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) h, k v(cid:181) l. N(cid:213)u r ﬁæ l(cid:237)n, n—n t(cid:230)ng ba

mode trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon xu˚t hi(cid:214)n v(cid:181) ﬁØ n—n trº n“n

c(cid:181)ng cao khi c¶ r v(cid:181) sŁ c‚c photon h, k v(cid:181) l th“m v(cid:181)o c(cid:181)ng t¤ng (xem h(cid:215)nh

2.3 (a)). Trong mi(cid:210)n gi‚ tr(cid:222) l(cid:237)n cæa r v(cid:181) p = q = 0, khi cŁ ﬁ(cid:222)nh t(cid:230)ng sŁ c‚c

photon ﬁ›(cid:238)c th“m v(cid:181)o ba mode, v(cid:221) d(cid:244) h + k + l = 12, h(cid:214) sŁ n—n S trº n“n

c(cid:181)ng 'm trong tr›Œng h(cid:238)p sŁ photon th“m v(cid:181)o m(cid:231)i mode b»ng nhau, trong

0.0

(2,2,2)

(4,4,4)

-0.1

(3,3,3)

(8,2,2)

(5,5,5)

(9,2,1)

-0.2

-0.3

(a)

(b)

-0.4

H×nh 2.3: Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n S v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181) φ − ϕ = 0 khi (a)

(h, k, l) = (2, 2, 2) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (3, 3, 3) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (5, 5, 5) (ﬁ›Œng g„ch -

ch˚m) v(cid:181) (b) (h, k, l) = (4, 4, 4) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (8, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (9, 2, 1)

(ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y h = k = l = 4 (xem h(cid:215)nh 2.3 (b)).

B'y giŒ, ta h•y nghi“n cłu n—n b¸c cao trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

th“m photon theo nh(cid:247)ng ti“u chu¨n ﬁ›(cid:238)c cho trong c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.65) v(cid:181) (1.66). Tr„ng th‚i n(cid:181)y cª h(ˆa†jaˆb†jbˆc†jc)2i = hˆajaˆbjbˆcjci = 0 khi ja 6= jb 6= jc v(cid:181) gi‚ tr(cid:222) trung b(cid:215)nh cæa c‚c to‚n t(cid:246) ˆa†jaˆb†jbˆc†jcˆajaˆbjbˆcjc l(cid:181) kh«ng 'm, v(cid:215) v¸y tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon kh«ng t(cid:229)n t„i n—n b¸c cao theo ˆX v(cid:181) ˆY . Tuy nhi“n, trong tr›Œng h(cid:238)p ja = jb = jc = j > 0, s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc

gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.5), c‚c h(cid:214) sŁ n—n t(cid:230)ng ba mode b¸c cao trong

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon ﬁ›(cid:238)c cho bºi

0,j + 2Ij,j,j

2D0,2j − 4D2 , (2.11) SX;j = |Dj,j − Ij,j,j|

ho˘c

, (2.12) SY ;j = −2D0,2j + 2Ij,j,j |Dj,j − Ij,j,j|

trong ﬁª

Di1,i2 = h(ˆaˆbˆc)i1(ˆa†ˆb†ˆc†)i2i

∞ X n=max(0,i1−i2)

= Cn;h,k,l(r)Cn+i2−i1;h,k,l(r)

× , (2.13) (na + i2)!(nb + i2)!(nc + i2)! pna!nb!nc!(na + i2 − i1)!(nb + i2 − i1)!(nc + i2 − i1)!

v(cid:237)i i1 v(cid:181) i2 l(cid:181) c‚c sŁ nguy“n kh«ng 'm.

Trong t(cid:221)nh to‚n cæa ch(cid:243)ng t«i, h(cid:214) sŁ n—n SY ;j lu«n lu«n kh«ng 'm. V(cid:221) d(cid:244)

cŁ ﬁ(cid:222)nh p = q = 0, r = 4, h = k = l = 1, ta cª SY ;j ≈ 0.356 (0.092, 0.011)

khi j = 1 (2, 3). V(cid:215) v¸y, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon kh«ng cª n—n t(cid:230)ng ba mode b¸c cao trong ˆY .

Ti(cid:213)p theo, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.11)

ﬁ(cid:211) l(cid:181)m r(cid:226) n—n t(cid:230)ng ba mode b¸c cao cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon.

H(cid:215)nh 2.4 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n SX;j theo r łng v(cid:237)i mØt sŁ

b¸c j. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng tr„ng th‚i n(cid:181)y t(cid:229)n t„i n—n t(cid:230)ng ba mode b¸c cao

khi bi“n ﬁØ tr›Œng l(cid:237)n. Th“m v(cid:181)o ﬁª, t(cid:221)nh 'm cæa SX;j trº n“n r(cid:226) r(cid:181)ng h‹n

khi b¸c j gi¶m ho˘c/v(cid:181) r ﬁ›(cid:238)c t¤ng l“n. Ta d(cid:212) d(cid:181)ng nh¸n th˚y r»ng n—n t(cid:230)ng

ba mode b¸c cao bi(cid:213)n m˚t trong mi(cid:210)n nhÆ cæa r. B“n c„nh ﬁª, khi t¤ng sŁ

c‚c photon th“m v(cid:181)o ba mode, h(cid:214) sŁ n—n t(cid:230)ng ba mode b¸c cao c(cid:181)ng 'm. V(cid:221)

d(cid:244), cŁ ﬁ(cid:222)nh p = q = 0, r = 8 v(cid:181) j = 2, h(cid:214) sŁ n—n t(cid:230)ng ba mode b¸c cao g˙n

ﬁ(cid:243)ng −0.07, −0.11, −0.12 v(cid:181) −0.13 t›‹ng łng v(cid:237)i h = k = l = 1, 2, 3 v(cid:181) 4.

j = 4

; X S

j = 3

j = 2

0.000 -0.005 -0.010 -0.015 -0.020 -0.025 -0.030

4 r

H×nh 2.4: Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n SX;j v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0, h = k = l = 2 khi j = 2

(ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), j = 3 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch) v(cid:181) j = 4 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

2.2.3. T(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi

§an rŁi ﬁªng vai tr(cid:223) h„t nh'n trong c‚c qu‚ tr(cid:215)nh th«ng tin v(cid:181) t(cid:221)nh to‚n

l›(cid:238)ng t(cid:246) [69]. Th«ng th›Œng ﬁØ ﬁan rŁi c(cid:181)ng cao th(cid:215) hi(cid:214)u qu¶ thøc hi(cid:214)n c‚c

nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) c(cid:181)ng ﬁ›(cid:238)c t¤ng c›Œng. §(cid:211) d(cid:223) ﬁan rŁi trong c‚c tr„ng th‚i

ba mode, ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ti“u chu¨n trong c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh tı

(1.67) ﬁ(cid:213)n (1.77). §(cid:211) ﬁ(cid:222)nh l›(cid:238)ng ﬁØ ﬁan rŁi trong c‚c tr„ng th‚i ba mode

v(cid:181) nhi(cid:210)u h‹n, ng›Œi ta s(cid:246) d(cid:244)ng nh(cid:247)ng ti“u chu¨n nh› c‚c entropy ﬁ• ﬁ›(cid:238)c

ch(cid:243)ng t«i nh(cid:190)c ﬁ(cid:213)n trong ch›‹ng mØt.

§(cid:211) d(cid:223) ﬁan rŁi b¸c cao trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon,

ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng ti“u chu¨n trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.77). Trong tr›Œng h(cid:238)p ma 6= mb 6= mc, trung b(cid:215)nh cæa c‚c to‚n t(cid:246) ˆamaˆbmb ˆcmc trong tr„ng th‚i n(cid:181)y

b»ng kh«ng. V(cid:215) v¸y tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon kh«ng b(cid:222) ﬁan rŁi

b¸c cao. Tuy nhi“n khi ma = mb = mc = m, s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch

trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.5) v(cid:181) (2.13), h(cid:214) sŁ ﬁan rŁi b¸c cao ﬁ›(cid:238)c cho bºi

1/2 .

Dm,0 (2.14) Em = 1 − (cid:0)Im,0,0I0,m,0I0,0,m(cid:1)

Ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.14) ﬁ(cid:211) ﬁ‚nh

gi‚ bi(cid:211)u hi(cid:214)n cæa ﬁan rŁi b¸c cao trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon.

H(cid:215)nh 2.5 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ ﬁan rŁi b¸c cao Em theo bi“n ﬁØ

r łng v(cid:237)i mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa b¸c m. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng khi gi‚ tr(cid:222) cæa r

ho˘c/v(cid:181) m c(cid:181)ng cao, bi(cid:211)u hi(cid:214)n ﬁan rŁi trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m

0.0

m = 1

-0.1

m = 2

-0.2

m E

-0.3

m = 3

-0.4

H×nh 2.5: Sø ph(cid:244) thuØc h(cid:214) sŁ ﬁan rŁi b¸c cao Em v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181) h = k = l = 2

khi m = 1 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), m = 2 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch) v(cid:181) m = 3 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

photon c(cid:181)ng r(cid:226).

C˙n l›u (cid:253) r»ng tuy gi‚ tr(cid:222) cæa Em gi¶m khi t¤ng sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o

nh›ng b˚t ﬁ…ng thłc trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.76) c(cid:181)ng ﬁ›(cid:238)c thÆa m•n. V(cid:221) d(cid:244) khi

ih ˆN (mc) c i(cid:1) ih ˆN (mb) b

cŁ ﬁ(cid:222)nh m = 2, p = q = 0, r = 5, gi‚ tr(cid:222) cæa Em ﬁ„t −0.79 (−0.46) t›‹ng łng 1/2 − |hˆamaˆbmb ˆcmci| v(cid:237)i h = k = l = 0 (1), nh›ng (cid:0)h ˆN (ma) g˙n ﬁ(cid:243)ng l(cid:181) −13.7 (−22.2). §i(cid:210)u ﬁª cª ngh(cid:220)a l(cid:181) ﬁan rŁi b¸c cao trong

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon trº n“n r(cid:226) r(cid:181)ng h‹n khi t¤ng sŁ c‚c

photon th“m v(cid:181)o. M˘t kh‚c, khi cŁ ﬁ(cid:222)nh h + k + l, h(cid:214) sŁ Em cª gi‚ tr(cid:222) l(cid:237)n

nh˚t khi h = k = l. V(cid:221) d(cid:244) cŁ ﬁ(cid:222)nh h + k + l = 6, p = q = 0, r = 5 v(cid:181)

m = 2, gi‚ tr(cid:222) cæa Em g˙n ﬁ(cid:243)ng l(cid:181) −0.43, −0.27 v(cid:181) −0.21 t›‹ng łng v(cid:237)i

(h, k, l) = (6, 0, 0), (4, 1, 1) v(cid:181) (2, 2, 2).

B'y giŒ ch(cid:243)ng t«i ﬁ(cid:222)nh l›(cid:238)ng ﬁØ ﬁan rŁi trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

th“m photon b»ng entropy tuy(cid:213)n t(cid:221)nh. To‚n t(cid:246) m¸t ﬁØ thu g(cid:228)n cæa c‚c mode

a, b v(cid:181) c ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l˙n l›(cid:238)t l(cid:181)

n;h,k,l(r)|naiahna|,

C2 (2.15) ˆρa =

n;h,k,l(r)|nbibhnb|,

C2 (2.16) ˆρb =

n;h,k,l(r)|ncichnc|,

∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X n=0

C2 (2.17) ˆρc =

trong ﬁª h(cid:214) sŁ Cn;h,k,l(r) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.4) (nh›ng thay

ξ bºi r) v(cid:181) na = n + h, nb = n + p + k, nc = n + p + q + l. S(cid:246) d(cid:244)ng ph›‹ng

tr(cid:215)nh (1.78), entropy tuy(cid:213)n t(cid:221)nh cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon

ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

n;h,k,l(r)

∞ X n=0

C4 E = 1 −

p,q;h,k,l(r)

∞ X n=0

= 1 − N 4 (2.18) |cn(ξ)|4(na!nb!nc!)2 [n!(n + p)!(n + p + q)!]2 ,

v(cid:237)i cn(ξ) v(cid:181) Np,q;h,k,l(r) l˙n l›(cid:238)t ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.37)

v(cid:181) (2.2).

C‚c k(cid:213)t qu¶ kh¶o s‚t cæa ﬁØ ﬁan rŁi E trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.18) ﬁ›(cid:238)c th(cid:211)

hi(cid:214)n trong h(cid:215)nh 2.6. H(cid:215)nh 2.6 (a) bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ ﬁan rŁi E v(cid:181)o

r v(cid:237)i cŁ ﬁ(cid:222)nh p = q = 0 v(cid:181) mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) h, k, l, trong ﬁª (h, k, l) = (0, 0, 0)

t›‹ng łng v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181) (h, k, l) = (2, 2, 2), (5, 5, 5) t›‹ng

łng v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon. Ta d(cid:212) d(cid:181)ng th˚y r»ng ﬁØ ﬁan

rŁi E lu«n lu«n d›‹ng v(cid:237)i b˚t kœ gi‚ tr(cid:222) r 6= 0 v(cid:181) sŁ c‚c photon ﬁ›(cid:238)c th“m

v(cid:181)o c¶ ba mode h, k, l. Gi‚ tr(cid:222) cæa E trº n“n c(cid:181)ng l(cid:237)n khi r t¤ng l“n v(cid:181) ti(cid:213)n

t(cid:237)i kho¶ng 0.9 t„i r = 120. V(cid:237)i mØt gi‚ tr(cid:222) r cho tr›(cid:237)c, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

bØ ba cª ﬁØ ﬁan rŁi E nhÆ h‹n so v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon.

M˘t kh‚c, khi sŁ photon ﬁ›(cid:238)c th“m v(cid:181)o c(cid:181)ng l(cid:237)n, ﬁØ ﬁan rŁi trong tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon c(cid:181)ng cao. Trong h(cid:215)nh 2.6 (b), trong mi(cid:210)n gi‚ tr(cid:222)

nhÆ cæa r, ta th˚y cª sø kh‚c nhau nhÆ cæa ﬁØ ﬁan rŁi E khi t(cid:230)ng sŁ c‚c

photon th“m v(cid:181)o ﬁ›(cid:238)c cŁ ﬁ(cid:222)nh nh›ng thay ﬁ(cid:230)i sŁ photon th“m v(cid:181)o m(cid:231)i mode.

0.8

0.6

0.4

(2,2,2)

0.2

(0,0,0) (2,2,2) (5,5,5)

(5,1,0) (6,0,0)

(b)

(a)

0.0

H×nh 2.6: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ ﬁan rŁi E v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 khi (a) (h, k, l) = (0, 0, 0)

(ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (5, 5, 5) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) (b) (h, k, l) =

(2, 2, 2) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (5, 1, 0) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (6, 0, 0) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

Tuy nhi“n khi r l(cid:237)n, ﬁØ ﬁan rŁi h˙u nh› kh«ng thay ﬁ(cid:230)i theo h, k v(cid:181) l.

2.3. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon

Kh‚c v(cid:237)i th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba nh› trong

ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.1), ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n m(cid:237)i thł hai g(cid:228)i l(cid:181)

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon. Tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c t„o ra b»ng vi(cid:214)c thøc hi(cid:214)n ch(cid:229)ng ch˚t c‚c to‚n t(cid:246) ˆa†h, ˆb†k v(cid:181) ˆc†l l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba |Ψp,qiabc l(cid:181) [36]

(2.19) |Φp,q;h,k,liabc = Np,q;h,k,l(r)((cid:15)ˆa†h + λˆb†k + σˆc†l)|Ψp,qiabc,

v(cid:237)i h, k, l l(cid:181) nh(cid:247)ng sŁ nguy“n kh«ng 'm, (cid:15), λ, σ l(cid:181) nh(cid:247)ng sŁ thøc v(cid:181) n»m

trong ﬁo„n tı −1 ﬁ(cid:213)n 1, Np,q;h,k,l(r) l(cid:181) h(cid:214) sŁ chu¨n ho‚ cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi (xem Ph(cid:244) l(cid:244)c 3)

0,0,0(r) + λ2A0,k+p,0

0,p,0

0,0,p+q

p,q(r)(cid:2)(cid:15)2Ah,0,0

p,q;h,k,l(r) = N 2

N−2 (r) + σ2A0,0,l+p+q (r)(cid:3), (2.20)

trong ﬁª

Ai,j,m

t,u,v (r) = P FQ(1 + i, 1 + j, 1 + m; 1 + p, 1 + p i!j!m! p!(p + q)!t!u!v!

, +q, 1 + t, 1 + u, 1 + v; r2) (2.21)

v(cid:237)i P FQ k(cid:253) hi(cid:214)u cho h(cid:181)m si“u bØi t(cid:230)ng qu‚t ﬁ›(cid:238)c cho trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.28). Trung b(cid:215)nh cæa c‚c to‚n t(cid:246) ˆaiˆa†iˆbjˆb†j ˆcmˆc†m v(cid:181) gi‚ tr(cid:222) tuy(cid:214)t ﬁŁi cæa trung b(cid:215)nh cæa c‚c to‚n t(cid:246) (ˆa†ˆb†ˆc†)w trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng

ch˚t th“m photon ﬁ›(cid:238)c cho bºi c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh d›(cid:237)i ﬁ'y

Bi,j,m(r) = hˆaiˆa†iˆbjˆb†j ˆcmˆc†mi

p,q(r)(cid:2)(cid:15)2Ai+h,j+p,m+p+q

0,p,p+q

(r) + λ2Ai,j+k+p,m+p+q (r) = N2

p,q;h,k,l(r)N 2 +σ2Ai,j+p,m+l+p+q 0,p,p+q

(2.22) (r)(cid:3)

v(cid:181)

Cw(r) = |h(ˆa†ˆb†ˆc†)wi|

p,q(r)rw(cid:2)(cid:15)2Aw+h,0,0

w,0,0

0,w+p,0

p,q;h,k,l(r)N 2 +σ2A0,0,w+l+p+q

(r) + λ2A0,w+k+p,0 (r) = N2

0,0,w+p+q

(2.23) (r)(cid:3),

t,u,v (r) ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.21), i, j, m v(cid:181) w l(cid:181) nh(cid:247)ng sŁ

v(cid:237)i Ai,j,m

nguy“n kh«ng 'm.

2.3.1. H(cid:181)m Wigner

§(cid:211) t(cid:221)nh h(cid:181)m Wigner cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m

photon ﬁ›(cid:238)c cho º ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.19), ch(cid:243)ng t«i vi(cid:213)t tr„ng th‚i n(cid:181)y trong

d„ng c‚c tr„ng th‚i Fock l(cid:181)

3 X i=1

|Ψp,q;h,k,liabc = Np,q;h,k,l(r) (cid:15)hi/hλki/kσli/lˆa†hiˆb†kiˆc†li|Ψp,qiabc

∞ X n=0

3 X i=1

= (2.24) cn,i;h,k,l(ξ)|na,i, nb,i, nc,iiabc,

v(cid:237)i

, (2.25) cn,i;h,k,l(ξ) = Np,q;h,k,l(r)cn(ξ)(cid:15)hi/hλki/kσli/lpna,i!nb,i!nc,i! pn!(n + p)!(n + p + q)!

v(cid:181) na,i = n + hi, nb,i = n + p + ki, nc,i = n + p + q + li, i = {1, 2, 3} v(cid:181)

h1 = h, h2 = h3 = 0, k1 = k3 = 0, k2 = k, l1 = l2 = 0, l3 = l. Tı ﬁª, to‚n t(cid:246)

m¸t ﬁØ cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon ﬁ›(cid:238)c cho trong

d„ng c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p l(cid:181)

p,q(r)e3r2/3

3 X i,j=1

1)+(p+q)(λ−λ1)]ˆa†hiˆb†kiˆc†li

N 2 (cid:15)(hi+hj)/hλ(ki+kj)/kσ(li+lj)/l ˆρabc =

p,q;h,k,l(r)N 2 |ζ|4p+2q dλ0 × Z dλ 2π 2π ⊗|ζeiλ, ζeiλ0

1), ζeiλ0

1, ζeiλ1|ˆcljˆbkj ˆahj, (2.26)

ei[q(λ0−λ0 dλ0 1 2π

dλ1 2π , ζe−i(λ+λ0)iabchζe−i(λ1+λ0

v(cid:237)i ζ = ξ1/3. Khai tri(cid:211)n c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p theo c‚c tr„ng th‚i Fock, sau

ﬁª t(cid:221)nh c‚c t(cid:221)ch ph'n trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.26), ch(cid:243)ng t«i nh¸n ﬁ›(cid:238)c h(cid:181)m

Wigner d›(cid:237)i d„ng

∞ X m,n

3 X i,j=1

aαa+2γ∗

c αc−2γaα∗

a−2γbα∗

b αb+2γ∗

b−2γcα∗

W = 8e2(|αa|2+|αb|2+|αc|2) π6 c∗ m,j;h,k,l(ξ)cn,i;h,k,l(ξ)(−1)na,i+nb,i+nc,i pna,i!nb,i!nc,i!ma,j!mb,j!mc,j!

a)na,iγma,j

b )nb,iγmb,j

c )nc,iγmc,j

(γ∗ (γ∗ (γ∗ . × Z d2γad2γbd2γce2γ∗ ×e−|γa|2−|γb|2−|γc|2 (2.27)

T(cid:221)nh to‚n c‚c t(cid:221)ch ph'n tıng ph˙n trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.27), h(cid:181)m Wigner cæa

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi ph›‹ng

tr(cid:215)nh d›(cid:237)i ﬁ'y

∞ X m,n=0

3 X j=1

3 X i=1 (2α∗ x)nx,i(2αx)mx,j 2F0(−nx,i, −mx,j; ; −1/|2αx|2)

W = c∗ m,j;h,k,l(ξ)cn,i;h,k,l(ξ) 8 π3

, (2.28) e2|αx|2pnx,i!mx,j! × Y x

v(cid:237)i x = {a, b, c}.

Ch(cid:243)ng t«i nghi“n cłu bi(cid:211)u hi(cid:214)n cæa c‚c ﬁ˘c t(cid:221)nh phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) phi

Gauss trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon b»ng s(cid:246) d(cid:244)ng

bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.28). H(cid:215)nh 2.7 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc

cæa h(cid:181)m Wigner v(cid:181)o c‚c th(cid:181)nh ph˙n thøc v(cid:181) ¶o cæa αa v(cid:237)i ξ = 1, p = q = 0,

(cid:15) = λ = σ = 1 v(cid:181) αb = αc = 0.01 khi h = k = l = 1. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng

h(cid:181)m Wigner nh¸n c‚c gi‚ tr(cid:222) 'm trong mØt sŁ mi(cid:210)n gi‚ tr(cid:222) cæa ph˙n thøc v(cid:181)

¶o cæa αa. §i(cid:210)u n(cid:181)y x‚c nh¸n r»ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m

IHΑaL 0

-1

-2

0.10 0.05 0.00 W -0.05 -0.10

-2

-1

0 ¬HΑaL

H×nh 2.7: Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:181)m Wigner W v(cid:181)o c‚c th(cid:181)nh ph˙n thøc v(cid:181) ¶o cæa αa v(cid:237)i

ξ = 1, p = q = 0, (cid:15) = λ = σ = 1, αb = αc = 0.01 khi h = k = l = 1.

photon c(cid:242)ng l(cid:181) mØt tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) phi Gauss.

§(cid:211) th˚y t‚c d(cid:244)ng n'ng cao ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) phi Gauss cæa ph—p th“m

photon trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon, h(cid:215)nh 2.8 bi(cid:211)u

di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:181)m Wigner v(cid:181)o r łng v(cid:237)i (cid:15) = λ = σ = 1, p = q = 0,

φ = 0, αa = 0.05 v(cid:181) αb = αc = 0.01 cho mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa h, k v(cid:181) l, trong

ﬁª h = k = l = 0 t›‹ng łng v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181) c‚c tr›Œng h(cid:238)p

kh‚c l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n

ﬁØ s'u cæa h(cid:181)m Wigner t¤ng l“n khi t¤ng sŁ photon th“m v(cid:181)o ba mode h, k

v(cid:181) l. §i(cid:210)u ﬁª cª (cid:253) ngh(cid:220)a l(cid:181) bi(cid:211)u hi(cid:214)n cæa c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) phi

Gauss trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon cª th(cid:211) r(cid:226) r(cid:181)ng

0.10

0.05

(0,0,0) (2,2,2) (4,4,4)

0.00

-0.05

-0.10

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 r

H×nh 2.8: Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:181)m Wigner W v(cid:181)o r v(cid:237)i φ = 0, p = q = 0, (cid:15) = λ = σ =

1, αa = 0.05 v(cid:181) αb = αc = 0.01 khi (h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (2, 2, 2) (ﬁ›Œng

g„ch - g„ch) v(cid:181) (4, 4, 4) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

h‹n so v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, ﬁ˘c bi(cid:214)t l(cid:181) khi t¤ng sŁ photon th“m v(cid:181)o.

2.3.2. T(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng ba mode

V(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon, t(cid:246) sŁ cæa v(cid:213) tr‚i

trong b˚t ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.60) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l„i theo d„ng

4h( ˆP (ϕ))2i − 4h ˆP (ϕ)i2 − h ˆLi = 2R(cid:2)h(ˆa†ˆb†ˆc†)2ie2iϕ(cid:3) − 4R2(cid:2)hˆa†ˆb†ˆc†ieiϕ(cid:3)

+ 2hˆaˆa†ˆbˆb†ˆcˆc†i − 2h ˆLi. (2.29)

S(cid:246) d(cid:244)ng c‚c bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.22), (2.23) v(cid:181) (2.29),

h(cid:214) sŁ n—n trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon ﬁ›(cid:238)c x‚c

ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

1 (r)

1 X i,j,m=0

−1

S = h2C2(r) cos 2(φ − ϕ) − 2 (−1)i+j+mBi,j,m(r) − 4C2

1 X i,j,m=0

. (2.30) × cos2(φ − ϕ)ihB1,1,1(r) + (−1)i+j+mBi,j,m(r)i

Ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.30) ﬁ(cid:211) kh¶o

s‚t t(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng ba mode trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t

th“m photon. H(cid:215)nh 2.9 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n S v(cid:181)o r v(cid:237)i

p = q = 0, λ = σ = (cid:15) = 1 v(cid:181) φ − ϕ = 0 łng v(cid:237)i mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa h, k v(cid:181) l.

C‚c k(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng n—n t(cid:230)ng lu«n lu«n xu˚t hi(cid:214)n trong tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon bºi v(cid:215) S < 0. §Ø n—n t¤ng khi t¤ng r v(cid:181)

sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o ba mode h, k v(cid:181) l (xem h(cid:215)nh 2.9 (a)). Th“m v(cid:181)o ﬁª,

khi t(cid:230)ng cæa h, k v(cid:181) l ﬁ›(cid:238)c cŁ ﬁ(cid:222)nh, nh› trong h(cid:215)nh 2.9 (b) h + k + l = 9,

gi‚ tr(cid:222) cæa S trº n“n (cid:221)t 'm h‹n trong tr›Œng h(cid:238)p sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o ba

0.00

-0.05

(1,1,1) (2,2,2) (4,4,4)

(5,3,1) (4,4,1) (3,3,3)

-0.10

-0.15

(a)

(b)

-0.20

H×nh 2.9: Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n S v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181) φ − ϕ = 0 khi (a)

(h, k, l) = (1, 1, 1) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (4, 4, 4) (ﬁ›Œng g„ch -

ch˚m) v(cid:181) (b) (h, k, l) = (5, 3, 1) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (4, 4, 1) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (3, 3, 3)

(ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

mode b»ng nhau h = k = l, khi ﬁª ﬁØ n—n trº n“n nhÆ nh˚t.

§(cid:211) th˚y sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ n—n v(cid:181)o c‚c tham sŁ λ, σ v(cid:181) (cid:15) trong tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon, h(cid:215)nh 2.10 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc

cæa h(cid:214) sŁ n—n S theo λ v(cid:181) σ v(cid:237)i cŁ ﬁ(cid:222)nh p = q = 1, r = 4, (cid:15) = 1 v(cid:181) φ−ϕ = 0

khi h = k = l = 1. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng h(cid:214) sŁ n—n S cª gi‚ tr(cid:222) nhÆ nh˚t

t„i λ = σ = 0. §i(cid:210)u n(cid:181)y cª ngh(cid:220)a l(cid:181) ﬁØ n—n ﬁ„t cøc ﬁ„i khi ch(cid:216) th“m photon

v(cid:181)o mØt mode cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba. Do ﬁª, ta cª th(cid:211) k(cid:213)t lu¸n r»ng

trong mi(cid:210)n gi‚ tr(cid:222) l(cid:237)n cæa r, ph—p th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł cho ﬁØ n—n cao h‹n

so v(cid:237)i th“m photon kh«ng ﬁ(cid:222)nh xł. Tuy nhi“n khi r nhÆ th(cid:215) th“m photon

1.0

-0.06

0.8

-0.07

0.6

-0.08

0.4

-0.09

0.2

-0.1

-0.11

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

H×nh 2.10: Sø ph(cid:244) thuØc cæa h(cid:214) sŁ n—n S v(cid:181)o λ v(cid:181) σ v(cid:237)i p = q = 1, r = 4, (cid:15) = 1 v(cid:181)

φ − ϕ = 0 khi h = k = l = 1.

kh«ng ﬁ(cid:222)nh xł l„i cª bi(cid:211)u hi(cid:214)n n—n t(cid:230)ng ba mode r(cid:226) r(cid:181)ng h‹n.

2.3.3. T(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi

V(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon, sau khi l˚y v(cid:213)t

tr“n hai mode, to‚n t(cid:246) m¸t ﬁØ thu g(cid:228)n cæa mode c(cid:223)n l„i a, b v(cid:181) c ﬁ›(cid:238)c x‚c

ﬁ(cid:222)nh l˙n l›(cid:238)t l(cid:181)

(2.31) ˆρa = |cn,i;h,k,l(ξ)|2|na,iiahna,i|,

(2.32) ˆρb = |cn,i;h,k,l(ξ)|2|nb,iibhnb,i|,

∞ X n=0 ∞ X n=0 ∞ X n=0

3 X i=1 3 X i=1 3 X i=1

(2.33) ˆρc = |cn,i;h,k,l(ξ)|2|nc,iichnc,i|,

trong ﬁª c‚c h(cid:214) sŁ khai tri(cid:211)n cn,i;h,k,l(ξ) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh

(2.25). Sau khi s(cid:246) d(cid:244)ng ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.78) v(cid:181) t(cid:221)nh v(cid:213)t tr“n mode c(cid:223)n l„i,

ch(cid:243)ng t«i nh¸n ﬁ›(cid:238)c entropy tuy(cid:213)n t(cid:221)nh cæa c‚c mode trong tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon, v(cid:237)i mode a

0,p,p+q,0,0(r) + λ4Dp+k,p+k

0,p,p+q,p,p(r)

Ea = 1 − N 4

p,q(r)h(cid:15)4Dh,h p,q;h,k,l(r)N 4 0,p,p+q,p+q,p+q(r) + 2r2h(cid:15)2σ2Dh,p+q+h+l

h,p+h,p+q+h,0,p+q+h(r)

+σ4Dp+q+l,p+q+l

0,p,p+q,p,p+q(r)i, (2.34)

h,p+h,p+q+h,0,p+h(r) + 2λ2σ2Dp+k,p+q+l

+2r2h(cid:15)2λ2Dh,p+h+k

trong ﬁª

m,t,u,v,w(r) =

i!j! Di,j

p!(p + q)!m!t!u!v!w! P FQ(1 + i, 1 + j; 1 + p, 1 + p +q, 1 + m, 1 + t, 1 + u, 1 + v, 1 + w; r4). (2.35)

T›‹ng tø, v(cid:237)i mode b, entropy tuy(cid:213)n t(cid:221)nh l(cid:181)

p,q(r)h(cid:15)4Dh,h

0,p,p+q,0,0(r) + λ4Dp+k,p+k

0,p,p+q,p,p(r)

Eb = 1 − N 4

+σ4Dp+q+l,p+q+l

k,p+k,p+q+k,p,p+q+k(r) 0,p,p+q,0,p+q(r)i.

p,q;h,k,l(r)N 4 0,p,p+q,p+q,p+q(r) + 2r2kλ2σ2Dp+k,p+q+k+l k,p+k,p+q+k,p,k(r) + 2(cid:15)2σ2Dh,p+q+l

+2r2k(cid:15)2λ2Dp+k,h+k (2.36)

Trong mode c, ta cª

p,q(r)h(cid:15)4Dh,h

0,p,p+q,0,0(r) + λ4Dp+k,p+k

0,p,p+q,p,p(r)

Ec = 1 − N 4

p,q;h,k,l(r)N 4 0,p,p+q,p+q,p+q(r) + 2r2lλ2σ2Dp+q+l,p+k+l

l,p+l,p+q+l,p+q,p+l(r)

+σ4Dp+q+l,p+q+l

0,p,p+q,0,p(r)i.

l,p+l,p+q+l,p+q,l(r) + 2(cid:15)2λ2Dh,p+k

+2r2l(cid:15)2σ2Dp+q+l,h+l (2.37)

Døa tr“n c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh tı (2.34) ﬁ(cid:213)n (2.37) ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) th˚y r»ng

c‚c ﬁØ ﬁan rŁi Ea, Eb v(cid:181) Ec ﬁ«i mØt kh‚c nhau khi p, q 6= 0 v(cid:181) (cid:15) 6= λ 6= σ.

§i(cid:210)u n(cid:181)y th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng t(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng

ch˚t th“m photon kh«ng ﬁŁi xłng. C‚c ﬁØ ﬁan rŁi Eb v(cid:181) Ec trº th(cid:181)nh Ea

(tłc l(cid:181) ba mode trong tr„ng th‚i n(cid:181)y b(cid:222) ﬁan rŁi v(cid:237)i nhau mØt c‚ch ﬁŁi xłng)

ch(cid:216) trong tr›Œng h(cid:238)p p = q = 0, h = k = l v(cid:181) (cid:15) = λ = σ.

§(cid:211) nghi“n cłu t(cid:221)nh ch˚t ﬁan rŁi trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng

ch˚t th“m photon, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong c‚c ph›‹ng

tr(cid:215)nh tı (2.34) ﬁ(cid:213)n (2.37). H(cid:215)nh 2.11 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ ﬁan rŁi

Ea v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181) (cid:15) = λ = σ = 1 cho mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa h, k

v(cid:181) l, trong ﬁª (h, k, l) = (0, 0, 0) t›‹ng łng v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181)

nh(cid:247)ng tr›Œng h(cid:238)p kh‚c t›‹ng łng v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t

th“m photon. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m

photon ﬁan rŁi ho(cid:181)n to(cid:181)n. §Ø ﬁan rŁi ﬁ›(cid:238)c n'ng l“n bºi gia t¤ng r c(cid:242)ng nh›

sŁ c‚c photon ﬁ›(cid:238)c th“m v(cid:181)o ba mode h, k v(cid:181) l (xem h(cid:215)nh 2.11 (a)). B“n

c„nh ﬁª, khi cŁ ﬁ(cid:222)nh t(cid:230)ng h +k +l, ﬁØ ﬁan rŁi trº n“n l(cid:237)n nh˚t n(cid:213)u h = k = l

(xem h(cid:215)nh 2.11 (b)). Nh(cid:247)ng k(cid:213)t qu¶ tr“n c(cid:242)ng ho(cid:181)n to(cid:181)n t›‹ng tø cho c‚c ﬁØ

ﬁan rŁi Eb v(cid:181) Ec. Trong c(cid:239)ng c‚c tham sŁ v(cid:181) t„i mi(cid:210)n r nhÆ, tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon cho ﬁØ ﬁan rŁi cao h‹n so v(cid:237)i tr„ng th‚i

0.8

0.6

a E

0.4

0.2

(0,0,0) (1,1,1) (2,2,2)

(5,3,1) (4,3,2) (3,3,3)

(a)

(b)

0.0

H×nh 2.11: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ ﬁan rŁi Ea v(cid:181)o r v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181) (cid:15) = λ = σ = 1 khi

(a) (h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (1, 1, 1) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch

- ch˚m) v(cid:181) (b) (h, k, l) = (5, 3, 1) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (4, 3, 2) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (3, 3, 3)

(ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon.

§(cid:211) th˚y vai tr(cid:223) n'ng cao ﬁØ ﬁan rŁi cæa c‚c tham sŁ (cid:15), λ v(cid:181) σ, h(cid:215)nh 2.12

bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa Ea v(cid:181)o λ v(cid:181) σ v(cid:237)i r = 0.5, p = q = 0 v(cid:181) (cid:15) = 1 cho

tr›Œng h(cid:238)p h = k = l = 1. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ ﬁan rŁi Ea ﬁ„t gi‚ tr(cid:222) l(cid:237)n

nh˚t t„i λ2 +σ2 = (cid:15)2. C(cid:242)ng trong ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n λ2 +σ2 = (cid:15)2 v(cid:181) p ≥ q ≥ 0, ch(cid:243)ng

t«i nh¸n th˚y r»ng c¶ hai h(cid:214) sŁ Eb v(cid:181) Ec h˙u nh› ﬁ(cid:210)u th˚p h‹n Ea khi r l(cid:237)n.

V(cid:221) d(cid:244) khi λ = 0.8, σ = 0.6, (cid:15) = 1, p = 2, q = 1, r = 10 v(cid:181) h = k = l = 1 (2),

ta cª Ea ≈ 0.79 (0.83), Eb ≈ 0.78 (0.82) v(cid:181) Ec ≈ 0.78 (0.81). B“n c„nh ﬁª, √ 3/2, σ = 1/2, (cid:15) = 1, p = 1, q = 0, r = 5 v(cid:181) h = k = l = 1 (2), ta v(cid:237)i λ =

1.0

0.62

0.8

0.62

0.6

0.58

0.6

0.4

0.54

0.56

0.5 0.52

0.2

0.48

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

H×nh 2.12: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ ﬁan rŁi Ea v(cid:181)o λ v(cid:181) σ v(cid:237)i r = 0.5, p = q = 0 v(cid:181) (cid:15) = 1 khi

h = k = l = 1.

c(cid:242)ng nh¸n ﬁ›(cid:238)c Ea ≈ 0.75 (0.81), Eb ≈ 0.74 (0.80) v(cid:181) Ec ≈ 0.73 (0.76).

2.4. K(cid:213)t lu¸n

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, b»ng vi(cid:214)c th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł v(cid:181) kh«ng ﬁ(cid:222)nh xł l“n

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• ﬁ›a ra hai tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ba

mode m(cid:237)i, ﬁª l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon. Ch(cid:243)ng t«i ﬁ• thøc hi(cid:214)n kh¶o s‚t ba t(cid:221)nh ch˚t

phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa ch(cid:243)ng bao g(cid:229)m t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner, n—n t(cid:230)ng ba mode

v(cid:181) ﬁan rŁi. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n sø n(cid:230)i b¸t cæa hai tr„ng th‚i m(cid:237)i nh› sau:

§Łi v(cid:237)i t(cid:221)nh 'm cæa h(cid:181)m Wigner, so v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, ﬁØ

'm cæa h(cid:181)m Wigner º hai tr„ng th‚i m(cid:237)i l(cid:181) cao h‹n. M˘t kh‚c c(cid:242)ng º trong

hai tr„ng th‚i m(cid:237)i n(cid:181)y, khi sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o c(cid:181)ng nhi(cid:210)u, h(cid:181)m Wigner

c(cid:181)ng 'm. V(cid:215) v¸y ch(cid:243)ng t«i k(cid:213)t lu¸n r»ng t(cid:221)nh phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) phi Gauss trong

hai tr„ng th‚i m(cid:237)i cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c bi(cid:211)u hi(cid:214)n mØt c‚ch n(cid:230)i trØi h‹n so v(cid:237)i tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba gŁc ban ﬁ˙u.

§Łi v(cid:237)i t(cid:221)nh ch˚t n—n t(cid:230)ng ba mode, c‚c ph—p th“m photon l“n tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ﬁ• l(cid:181)m xu˚t hi(cid:214)n n—n t(cid:230)ng trong hai tr„ng th‚i m(cid:237)i. Trong

khi tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba kh«ng t(cid:229)n t„i ﬁ˘c t(cid:221)nh n(cid:181)y. C‚c k(cid:213)t qu¶ kh¶o

s‚t ﬁ• th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon cho

bi(cid:211)u hi(cid:214)n n—n t(cid:230)ng r(cid:226) h‹n so v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon trong

mi(cid:210)n gi‚ tr(cid:222) nhÆ cæa r nh›ng ng›(cid:238)c l„i khi r l(cid:237)n. §i(cid:210)u ﬁ˘c bi(cid:214)t º c‚c tr„ng

th‚i m(cid:237)i n(cid:181)y l(cid:181) khi t¤ng sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o ba mode, ﬁØ n—n t(cid:230)ng ﬁ›(cid:238)c

t¤ng c›Œng.

§Łi v(cid:237)i ﬁ(cid:222)nh l›(cid:238)ng ﬁØ ﬁan rŁi theo ti“u chu¨n entropy tuy(cid:213)n t(cid:221)nh, k(cid:213)t

qu¶ kh¶o s‚t ﬁ• th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng c¶ hai tr„ng th‚i m(cid:237)i ﬁ(cid:210)u l(cid:181) nh(cid:247)ng tr„ng th‚i

ﬁan rŁi ho(cid:181)n to(cid:181)n. §Ø ﬁan rŁi cæa ch(cid:243)ng lu«n lu«n cao h‹n so v(cid:237)i tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba. Trong mi(cid:210)n gi‚ tr(cid:222) nhÆ cæa r, ﬁØ ﬁan rŁi trong tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon cao h‹n so v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

th“m photon. §i(cid:210)u giŁng nhau th(cid:243) v(cid:222) º c¶ hai tr„ng th‚i m(cid:237)i n(cid:181)y l(cid:181) khi t¤ng

sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o ba mode, ﬁØ ﬁan rŁi cæa ch(cid:243)ng ﬁ›(cid:238)c t¤ng c›Œng.

C‚c k(cid:213)t qu¶ quan tr(cid:228)ng n(cid:181)y l(cid:181) c‹ sº ﬁ(cid:211) ch(cid:243)ng t«i ﬁ(cid:210) xu˚t łng d(cid:244)ng c‚c tr„ng

th‚i ba mode v(cid:181)o th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246).

Ch›‹ng 3

S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m

T„o ra c‚c tr„ng th‚i ba mode

3.1. Mº ﬁ˙u

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, ﬁ˙u ti“n ch(cid:243)ng t«i ﬁ(cid:210) xu˚t s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i t„o

ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba. Trong s‹ ﬁ(cid:229) n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ngu(cid:229)n

v¸t l(cid:253) cª s‰n v(cid:237)i c«ng ngh(cid:214) hi(cid:214)n nay. §˘c bi(cid:214)t, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba cª

th(cid:211) lan truy(cid:210)n tø do trong kh«ng gian mº, ﬁi(cid:210)u m(cid:181) t˚t c¶ c‚c s‹ ﬁ(cid:229) tr›(cid:237)c ﬁ'y

ch›a thøc hi(cid:214)n ﬁ›(cid:238)c. Ch(cid:243)ng t«i c(cid:242)ng ch(cid:216) r(cid:226) t(cid:221)nh kh¶ thi cæa s‹ ﬁ(cid:229) m(cid:237)i ﬁ›(cid:238)c

ﬁ(cid:210) xu˚t th«ng qua kh¶o s‚t y(cid:213)u tŁ ﬁØ trung thøc v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng t„o

ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba.

S(cid:246) d(cid:244)ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba º ﬁ˙u v(cid:181)o, ch(cid:243)ng t«i ﬁ(cid:210) xu˚t s‹ ﬁ(cid:229) m(cid:237)i

t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon b»ng c‚c bØ t‚ch ch(cid:239)m. Ch(cid:243)ng

t«i chłng minh r»ng tr„ng th‚i n(cid:181)y cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c t„o ra v(cid:237)i ﬁØ trung thøc r˚t

cao. Th“m v(cid:181)o ﬁª, ch(cid:243)ng t«i c(cid:242)ng ﬁ(cid:210) xu˚t s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i nh»m t„o

ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon. C(cid:242)ng giŁng nh› tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, hai tr„ng th‚i m(cid:237)i ﬁ›(cid:238)c t„o ra ﬁ(cid:210)u cª th(cid:211) lan truy(cid:210)n tø

do trong kh«ng gian mº ﬁ(cid:211) thøc hi(cid:214)n c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246).

3.2. T„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

Cª mØt sŁ s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) xu˚t ﬁ(cid:211) t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba nh›ng ch(cid:243)ng ch(cid:216) t„o ra ﬁ›(cid:238)c tr„ng th‚i n(cid:181)y trong kh«ng gian c(cid:244)c

bØ nh› b(cid:201)y ion [16], [93]. Trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y, s(cid:246) d(cid:244)ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

bØ ba ﬁ(cid:211) th“m ho˘c b(cid:237)t photon c(cid:242)ng nh› łng d(cid:244)ng v(cid:181)o c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng

t(cid:246) l(cid:181) ch›a th(cid:211) thøc hi(cid:214)n ﬁ›(cid:238)c. Tı ﬁª, ch(cid:243)ng t«i ﬁ(cid:210) xu˚t s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m

m(cid:237)i t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ﬁ¶m b¶o t(cid:221)nh kh¶ thi trong thøc t(cid:213) v(cid:181) c‚c

mode cª th(cid:211) lan truy(cid:210)n tø do trong kh«ng gian mº ﬁ(cid:211) thøc hi(cid:214)n c‚c nhi(cid:214)m

v(cid:244) trong quang l›(cid:238)ng t(cid:246). Trong s‹ ﬁ(cid:229) t„o ra tr„ng th‚i n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246)

d(cid:244)ng c‚c thi(cid:213)t b(cid:222) quang cª s‰n ﬁŁi v(cid:237)i c«ng ngh(cid:214) hi(cid:214)n nay nh› bØ d(cid:222)ch pha,

bØ t‚ch ch(cid:239)m, tinh th(cid:211) phi tuy(cid:213)n Kerr, c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang c(cid:242)ng nh› c‚c tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p º ﬁ˙u v(cid:181)o [42].

§(cid:211) b(cid:190)t ﬁ˙u th¶o lu¸n v(cid:210) s‹ ﬁ(cid:229) m(cid:237)i t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, ch(cid:243)ng

t«i vi(cid:213)t l„i tr„ng th‚i n(cid:181)y º trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.34) d›(cid:237)i d„ng c‚c tr„ng

th‚i Fock b»ng c‚ch ﬁ˘t ξ = ζ 3 l(cid:181)

∞ X n=0

(3.1) |Ψp,q(ζ)i123 = |n, n + p, n + p + qi123, Np,q(|ζ|)ζ 3n+2p+q pn!(n + p)!(n + p + q)!

trong ﬁª c‚c mode 1 ≡ a, 2 ≡ b, 3 ≡ c v(cid:181) Np,q(|ζ|) ﬁ›(cid:238)c cho bºi

p,q (|ζ|) =

∞ X n=0

N −2 . (3.2) |ζ|2(3n+2p+q) n!(n + p)!(n + p + q)!

S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba trong ph›‹ng tr(cid:215)nh

(3.1) ﬁ›(cid:238)c ph‚c h(cid:228)a nh› trong h(cid:215)nh 3.1. Nh(cid:247)ng thi(cid:213)t b(cid:222) quang m(cid:181) ch(cid:243)ng t«i

s(cid:246) d(cid:244)ng g(cid:229)m cª bŁn bØ t‚ch ch(cid:239)m c'n b»ng, n¤m bØ d(cid:222)ch pha, bŁn tinh th(cid:211)

phi tuy(cid:213)n Kerr v(cid:181) hai ﬁ˙u d(cid:223) quang.

T‚c d(cid:244)ng cæa bØ t‚ch ch(cid:239)m c'n b»ng ˆBxy trong s‹ ﬁ(cid:229) ﬁ›(cid:238)c cho bºi

, (3.3) E x E y α + iβ √ 2 iα + β √ 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) ˆBxy|αix|βiy = (cid:12) (cid:12) (cid:12)

trong ﬁª |αix v(cid:181) |βiy l(cid:181) c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p cæa hai mode x v(cid:181) y. B“n

c„nh ﬁª, bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i cæa bØ d(cid:222)ch pha khi t‚c d(cid:244)ng l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p |αix

H×nh 3.1: S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba lan truy(cid:210)n tø do trong

kh«ng gian mº. Tı BS1 ﬁ(cid:213)n BS4 k(cid:253) hi(cid:214)u cho c‚c bØ t‚ch ch(cid:239)m c'n b»ng, c‚c h(cid:215)nh vu«ng l(cid:181)

c‚c bØ d(cid:222)ch pha, c‚c khung vu«ng v(cid:237)i ±$ th(cid:211) hi(cid:214)n cho c‚c tinh th(cid:211) phi tuy(cid:213)n Kerr, P D1

v(cid:181) P D2 l(cid:181) c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang kh«ng l(cid:253) t›ºng. S‹ ﬁ(cid:229) s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c tr„ng th‚i ﬁ˙u v(cid:181)o bao

g(cid:229)m ba tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c(cid:239)ng bi“n ﬁØ |ζ|, hai tr„ng th‚i ch'n kh«ng v(cid:181) mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t

√

h(cid:238)p cª bi“n ﬁØ |α

2| (cid:29) 1. C‚c ﬁ›Œng tr(cid:223)n th(cid:211) hi(cid:214)n cho c‚c ﬁ›Œng d(cid:201)n quang cª t‚c d(cid:244)ng

ﬁ›a c‚c mode v(cid:181)o nh(cid:247)ng thi(cid:213)t b(cid:222) mØt c‚ch ﬁ(cid:229)ng thŒi.

cæa mode x ﬁ›(cid:238)c cho l(cid:181)

xˆaxˆa†

yˆay v(cid:181)

(3.4) ˆPx(φ)|αix = |αeiφix.

§Łi v(cid:237)i c‚c tinh th(cid:211) phi tuy(cid:213)n Kerr cª c›Œng ﬁØ $, bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i cæa ch(cid:243)ng ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘c tr›ng bºi to‚n t(cid:246) ˆKxy = e−i$tˆa†

(3.5) ˆKxy|nix|βiy = |nix|βe−i$tniy,

v(cid:237)i |nix v(cid:181) |βiy l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) tr„ng th‚i Fock cæa mode x v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

cæa mode y, t l(cid:181) thŒi gian t›‹ng t‚c cæa hai ch(cid:239)m quang b“n trong tinh th(cid:211).

§(cid:211) t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba cª bi“n ﬁØ |ξ|, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng ba tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ch(cid:221)nh º ﬁ˙u v(cid:181)o l(cid:181) |ζi1, |ζi2 v(cid:181) |ζi3 t›‹ng łng v(cid:237)i ba mode 1, 2

v(cid:181) 3, trong ﬁª ξ = ζ 3. C‚c tr„ng th‚i ph(cid:244) º ﬁ˙u v(cid:181)o bao g(cid:229)m mØt tr„ng th‚i √ √ 2| (cid:29) 1 c(cid:239)ng v(cid:237)i hai tr„ng k(cid:213)t h(cid:238)p |α 2i4 cæa mode 4 cª bi“n ﬁØ l(cid:237)n |α

th‚i ch'n kh«ng |0i5 v(cid:181) |0i6 t›‹ng łng v(cid:237)i mode 5 v(cid:181) 6. B'y giŒ tr„ng th‚i

v(cid:181)o cæa to(cid:181)n bØ h(cid:214) ﬁ›(cid:238)c bi(cid:211)u di(cid:212)n l(cid:181)

√ (3.6) 2αi4|0i5|0i6. |Ψvµoi = |ζ, ζ, ζi123|

Khai tri(cid:211)n c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p |ζi1, |ζi2 v(cid:181) |ζi3 trong d„ng c‚c tr„ng th‚i

√ (3.7) anmk|n, m, ki123| 2αi4|0i5|0i6, |Ψvµoi = Fock, ch(cid:243)ng t«i vi(cid:213)t l„i ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.6) d›(cid:237)i d„ng ∞ X n,m,k=0 √ l! v(cid:181) l = {n, m, k}. v(cid:237)i anmk = anamak, trong ﬁª al = e−|ζ|2/2ζ l/

Sau khi truy(cid:210)n qua bØ t‚ch ch(cid:239)m BS1 v(cid:181) bØ d(cid:222)ch pha ˆP5(θ), tr„ng th‚i

|Ψvµoi trº th(cid:181)nh

∞ X n,m,k=0

(3.8) |Ψ1i = anmk|n, m, ki123|αi4|iαeiθi5|0i6.

Ti(cid:213)p t(cid:244)c xuy“n qua bØ t‚ch ch(cid:239)m thł hai BS2 v(cid:181) bØ d(cid:222)ch pha ˆP6(φ), tr„ng

th‚i cæa h(cid:214) b'y giŒ ﬁ›(cid:238)c cho bºi

∞ X n,m,k=0

− . (3.9) |Ψ2i = E 5 E 6 iαeiθ √ 2 αei(θ+φ) √ 2 anmk|n, m, ki123|αi4(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Tr„ng th‚i cæa h(cid:214) ti(cid:213)p t(cid:244)c ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a v(cid:181)o c‚c tinh th(cid:211) phi tuy(cid:213)n Kerr. Sau khi

c‚c mode 1 v(cid:181) 4, 2 v(cid:181) 5, 3 v(cid:181) 6 truy(cid:210)n ﬁ(cid:229)ng thŒi qua ba tinh th(cid:211) phi tuy(cid:213)n Kerr ˆK14($), ˆK25($) v(cid:181) ˆK36($), tr„ng th‚i cæa h(cid:214) ﬁ›(cid:238)c chuy(cid:211)n th(cid:181)nh

∞ X n,m,k=0

|Ψ3i = E 5 iαe−i($tm−θ) √ 2 anmk|n, m, ki123|αe−i$tni4(cid:12) (cid:12) (cid:12)

− . (3.10) E 6 αe−i($tk−θ−φ) √ 2 × (cid:12) (cid:12) (cid:12)

§˘t $t = τ (cid:28) 1, θ = τ p, φ = τ q, ta vi(cid:213)t l„i tr„ng th‚i (3.10) d›(cid:237)i d„ng

∞ X n,m,k=0

|Ψ3i = E 5 iαe−iτ (m−p) √ 2 anmk|n, m, ki123|αe−iτ ni4(cid:12) (cid:12) (cid:12)

− . (3.11) E 6 αe−iτ (k−p−q) √ 2 × (cid:12) (cid:12) (cid:12)

§(cid:211) thu¸n ti(cid:214)n trong vi(cid:214)c t(cid:221)nh to‚n, ﬁ˘t αl = αe−iτ l, khi ﬁª ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.11)

ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l„i l(cid:181)

∞ X n,m,k=0

− . (3.12) |Ψ3i = E 5 E 6 iαm−p√ 2 αk−p−q√ 2 anmk|n, m, ki123|αni4(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Ti(cid:213)p theo, mode 5 ﬁ›(cid:238)c trØn v(cid:237)i mode 6 qua bØ t‚ch ch(cid:239)m BS3 r(cid:229)i ch(cid:229)ng

ch˚t c(cid:239)ng mode 4 qua bØ t‚ch ch(cid:239)m BS4. C˙n ch(cid:243) (cid:253) r»ng mode 5 ph¶i thøc hi(cid:214)n d(cid:222)ch pha bºi c‚c bØ d(cid:222)ch pha ˆP5(π) → ˆP5(π) → ˆP5(π/2) nh› trong

h(cid:215)nh 3.1. Tr„ng th‚i |Ψ3i trº th(cid:181)nh

∞ X n,m,k=0

2αn − αm−p − αk−p−q √ |Ψ4i = E 4 2 2 anmk|n, m, ki123(cid:12) (cid:12) (cid:12)

2αn + αm−p + αk−p−q) √ − . (3.13) E 6 E 5 αm−p − αk−p−q 2 2 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) × (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Sau ﬁª mode 1 v(cid:181) mode 5 c(cid:239)ng ﬁ›(cid:238)c truy(cid:210)n qua tinh th(cid:211) phi tuy(cid:213)n Kerr thł

t› v(cid:237)i h(cid:214) sŁ phi tuy(cid:213)n −$, tr„ng th‚i ra b'y giŒ l(cid:181)

∞ X n,m,k=0

v(cid:237)i

(3.15) βnmk = (cid:0)2 − eiτ (n−m+p) − eiτ (n−k+p+q)(cid:1),

αe−iτ n √ 2 2 α √ (3.16) γnmk = − (cid:0)2 + eiτ (n−m+p) + eiτ (n−k+p+q)(cid:1),

(3.17) λnmk = (cid:0)eiτ (n−m+p) − eiτ (n−k+p+q)(cid:1). 2 2 αe−iτ n 2

T„i t˙ng cuŁi c(cid:239)ng, ch(cid:243)ng t«i s(cid:190)p x(cid:213)p hai ﬁ˙u d(cid:223) quang PD1 v(cid:181) PD2

ﬁ(cid:211) d(cid:223) sŁ photon l˙n l›(cid:238)t trong c‚c mode 4 v(cid:181) 6. Gi¶ s(cid:246) c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang

l(cid:181) l(cid:253) t›ºng (ngh(cid:220)a l(cid:181) ch(cid:243)ng ﬁ(cid:213)m ch(cid:221)nh x‚c sŁ photon ﬁ¸p v(cid:181)o), vi(cid:214)c d(cid:223) sŁ

j = |njijhnj|, nj = 0, 1, 2, ... Gi¶ s(cid:246) c‚c gi‚ tr(cid:222) ﬁo ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:229)ng thŒi l(cid:181)

photon trong mode j ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘c tr›ng bºi t¸p h(cid:238)p ﬁæ cæa c‚c to‚n t(cid:246) ﬁo l›Œng ˆM nj

{n4, n6}, tłc l(cid:181) cª n4 v(cid:181) n6 photon l˙n l›(cid:238)t trong c‚c mode 4 v(cid:181) 6, v(cid:237)i x‚c

su˚t Pn4n6, tr„ng th‚i |Ψrai trong (3.14) ﬁ›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p th(cid:181)nh

, (3.18) |Ψn4n6i = |Φn4n6i pPn4n6

v(cid:237)i

4 ⊗ ˆM n6

6 |Ψrai = |φn4n6i1235|n4i4|n6i6,

(3.19) |Φn4n6i = ˆM n4

x‚c su˚t l(cid:181)

∞ X n,m,k=0

Ch(cid:243)ng ta h•y t¸p trung v(cid:181)o c‚c mode 1, 2 v(cid:181) 3, tr„ng th‚i cæa ch(cid:243)ng

ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘c tr›ng bºi to‚n t(cid:246) m¸t ﬁØ thu g(cid:228)n cª d„ng

(3.22) Tr5(|φn4n6i1235hφn4n6|), ˆρn4n6 123 = 1 Pn4n6

v(cid:237)i Tr5 bi(cid:211)u th(cid:222) cho vi(cid:214)c l˚y v(cid:213)t tr“n mode 5. Tı ﬁª

∞ X n,m,k,n0,m0,k0=0

a∗ n0m0k0anmkhn4|βnmkihβn0m0k0|n4ihγn0m0k0|γnmki ˆρn4n6 123 = 1 Pn4n6

(3.23) × hn6|γnmkihλn0m0k0|n6i|n, m, ki123hn0, m0, k0|.

trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

123 |Ψp,q(ζ)i123 v(cid:181)

§Ø trung thøc cæa tr„ng th‚i łng v(cid:237)i ˆρn4n6 123 trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.1) l(cid:181) Fn4n6 = 123hΨp,q(ζ)|ˆρn4n6

p,q(|ζ|)

(3.24) |hn4|0ihn6|0i|2, Fn4n6 = e−3|ζ|2 Pn4n6N 2

trong ﬁª Np,q(|ζ|) ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.2). R(cid:226) r(cid:181)ng l(cid:181) ﬁØ trung thøc

sˇ kh‚c kh«ng trong tr›Œng h(cid:238)p n4 = n6 = 0. Khi n4 = n6 = 0, ﬁØ trung

thøc t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba trº th(cid:181)nh

p,q(|ζ|)

e−3|ζ|2 , (3.25) F = F00 = P00N 2

trong ﬁª

∞ X n,m,k=0

P = P00 = |anmk|2e−(|βnmk|2+|λnmk|2)

∞ X n,m,k=0

{5−2 cos[(m−n−p)τ ]−2 cos[(k−n−p−q)τ ]−cos[(k−m−q)τ ]}.

= e−3|ζ|2 |ζ|2(n+m+k) n!m!k!

1.0

0.8

|Α| = 10 3 |Α| = 2×10 3

0.6

|Α| = 10 3 |Α| = 2×10 3 |Α| = 3×103 |Α| = 5×10 3

0.4

|Α| = 3×103 |Α| = 5×10 3

0.2

0.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 »Ζ»

H×nh 3.2: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng P t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba v(cid:181)o |ζ| v(cid:237)i p = q = 0, τ = 10−3 khi |α| = 103 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), 2 × 103 (ﬁ›Œng

g„ch - g„ch), 3 × 103 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) 5 × 103 (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m).

× e− |α|2 (3.26)

Ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.25)

v(cid:181) (3.26) ﬁ(cid:211) kh¶o s‚t ﬁØ trung thøc v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng t„o ra tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba trong tr›Œng h(cid:238)p c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang ho„t ﬁØng l(cid:253) t›ºng. H(cid:215)nh

3.2 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng v(cid:181)o |ζ|

v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181) τ = 10−3 łng v(cid:237)i mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa |α|. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n √ 2| cæa mode r»ng ﬁØ trung thøc ﬁ›(cid:238)c c¶i thi(cid:214)n khi t¤ng bi“n ﬁØ k(cid:213)t h(cid:238)p |α

4. §˘c bi(cid:214)t nª ti(cid:213)n t(cid:237)i ﬁ‹n v(cid:222) khi |α| ≥ 5 × 103. Tuy nhi“n, cª sø gi¶m cæa

x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng khi t¤ng |α|. B“n c„nh ﬁª c¶ ﬁØ trung thøc v(cid:181) x‚c su˚t

th(cid:181)nh c«ng gi¶m khi t¤ng |ζ|.

B'y giŒ, ch(cid:243)ng t«i x—t cho tr›Œng h(cid:238)p c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang PD1 v(cid:181) PD2

ho„t ﬁØng kh«ng l(cid:253) t›ºng v(cid:237)i hi(cid:214)u su˚t η, 0 < η < 1. Trong s‹ ﬁ(cid:229) n(cid:181)y,

ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang ho„t ﬁØng theo ch(cid:213) ﬁØ b¸t/t(cid:190)t, trong ﬁª

ch(cid:213) ﬁØ b¸t (t(cid:190)t) t›‹ng łng v(cid:237)i cª (kh«ng cª) photon ﬁ¸p v(cid:181)o ﬁ˙u d(cid:223). Vi(cid:214)c

d(cid:223) b¸t/t(cid:190)t cæa c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘c tr›ng bºi to‚n t(cid:246) [42]

n (η)|nijhn|,

j =

ˆΠbËt qf bËt (3.27)

j =

n (η)|nijhn|,

∞ X n=0 ∞ X n=0

qf t¾t ˆΠt¾t (3.28)

n (η) = (1 − η)n v(cid:181) f bËt

n (η) = 1 − f t¾t

n (η). Gi¶ s(cid:246) r»ng k(cid:213)t qu¶ ﬁo

trong ﬁª f t¾t

trong mode 4 ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘c tr›ng bºi x = b¸t ho˘c t(cid:190)t v(cid:181) trong mode 6 l(cid:181) y = b¸t

ho˘c t(cid:190)t, cª bŁn kh¶ n¤ng x¶y ra v(cid:237)i c‚c sø ki(cid:214)n d(cid:223) b¸t/t(cid:190)t cæa PD1 v(cid:181) PD2

l(cid:181) {x, y} = {b¸t, b¸t}, {t(cid:190)t, b¸t}, {b¸t, t(cid:190)t} v(cid:181) {t(cid:190)t, t(cid:190)t}. Khi ﬁª |Ψrai trong

ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.14) ﬁ›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p th(cid:181)nh

, (3.29) |Ψx,y(η)i = |Φx,y(η)i pPx,y(η)

v(cid:237)i

4 ⊗ ˆΠy

6|Ψrai

|Φx,y(η)i = ˆΠx

n6(η)hn4|βnmki

∞ X n,m,k,n4,n6=0

(η)f y = anmkqf x n4

(3.30) × hn6|λnmki|n, m, ki123|n4i4|γnmki5|n6i6,

v(cid:181)

∞ X n,m,k,n4,n6=0

(3.31) Px,y(η) = (η)|anmkhn4|βnmkihn6|λnmki|2. f x n4 (η)f y n6

To‚n t(cid:246) m¸t ﬁØ thu g(cid:228)n cæa h(cid:214) l(cid:243)c n(cid:181)y cª d„ng

ˆρx,y 123(η) = Tr456(|Ψx,y(η)ihΨx,y(η)|)

n0m0k0anmk

∞ X n,m,k,n0,m0,k0,n4,n6=0

(η)a∗ = f x n4 (η)f y n6 1 Px,y(η)

× hn4|βnmkihβn0m0k0|n4ihγn0m0k0|γnmkihn6|γnmki

(3.32) × hλn0m0k0|n6i|n, m, ki123hn0, m0, k0|,

123(η) ﬁŁi v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba |Ψp,q(ζ)i123 l(cid:181)

v(cid:237)i Tr456 k(cid:253) hi(cid:214)u cho l˚y v(cid:213)t tr“n c‚c mode 4, 5 v(cid:181) 6. §Ø trung thøc cæa tr„ng th‚i cª ˆρx,y

p,q(|ζ|)

∞ X n4,n6=0

Fx,y(η) = (η)|hn4|0ihn6|0i|2 f x n4 (η)f y n6 e−3|ζ|2 Px,y(η)N 2

0 (η)f y f x

0 (η).

p,q(|ζ|)

0 (η)f y

0 (η) ch(cid:216) kh‚c kh«ng trong tr›Œng h(cid:238)p x = y = t(cid:190)t, khi ﬁª

= (3.33) e−3|ζ|2 Px,y(η)N 2

0 (η) = 1. V(cid:215) v¸y, qu‚ tr(cid:215)nh t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba sˇ th(cid:181)nh

R(cid:226) r(cid:181)ng l(cid:181) f x 0 (η)f y f x

c«ng n(cid:213)u c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang kh«ng l(cid:253) t›ºng im l˘ng. §Ø trung thøc cæa qu‚

tr(cid:215)nh t„o ra tr„ng th‚i n(cid:181)y trº th(cid:181)nh

p,q(|ζ|)

, (3.34) F (η) = Ft¾t,t¾t(η) = e−3|ζ|2 Pt¾t,t¾t(η)N 2

trong ﬁª

n4(η)f t¾t f t¾t

n6(η)|anmk|2

∞ X n,m,k,n4,n6=0

P (η) = Pt¾t,t¾t(η) =

{5−2 cos[(m−n−p)τ ]}

× e−(|βnmk|2+|λnmk|2) |βnmk|2n4|λnmk|2n6

∞ X n,m,k=0

η|α|2 4

{2 cos[(k−n−p−q)τ ]+cos[(k−m−q)τ ]}.

n4!n6! e− η|α|2 = e−3|ζ|2 |ζ|2(n+m+k) n!m!k!

× e (3.35)

Ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c bi(cid:211)u thłc trong c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.34) v(cid:181) (3.35)

ﬁ(cid:211) kh¶o s‚t ﬁØ trung thøc v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

bØ ba v(cid:237)i sø ho„t ﬁØng kh«ng l(cid:253) t›ºng cæa c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang. H(cid:215)nh 3.3 bi(cid:211)u

di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa cæa F (η) v(cid:181) P (η) v(cid:181)o |ζ| khi p = q = 0, τ = 10−3

v(cid:181) |α| = 103 łng v(cid:237)i mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa η. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng khi hi(cid:214)u

su˚t t¤ng l“n, gi‚ tr(cid:222) cæa ﬁØ trung thøc ﬁ›(cid:238)c n'ng cao h‹n trong khi x‚c su˚t

thay ﬁ(cid:230)i kh«ng nhi(cid:210)u. Khi τ c(cid:236) 10−3 v(cid:181) |α| ﬁ„t gi‚ tr(cid:222) 5 × 103, ﬁØ trung thøc

F (η) ﬁ„t t(cid:237)i 99.9% khi η ≥ 0.7. Ch(cid:243) (cid:253) r»ng hi(cid:214)n nay hi(cid:214)u su˚t l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa

1.0

0.8

Η = 0.2 Η = 0.3

Η = 0.5

0.6

Η = 0.7

Η = 0.2 Η = 0.3

0.4

Η = 0.5

0.2

Η = 0.7

0.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 »Ζ»

H×nh 3.3: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F (η) v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng P (η) t„o ra tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181)o |ζ| v(cid:237)i p = q = 0, τ = 10−3 v(cid:181) |α| = 5 × 103 khi η = 0.2 (ﬁ›Œng li(cid:210)n

n—t), η = 0.3 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), η = 0.5 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) η = 0.7 (ﬁ›Œng ch˚m -

ch˚m).

c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang ﬁ• cª th(cid:211) ﬁ„t tr“n 0.995 [109].

Ch(cid:243)ng ta h•y xem x—t ¶nh h›ºng cæa c›Œng ﬁØ phi tuy(cid:213)n cæa c‚c tinh

th(cid:211) Kerr l“n c‚c y(cid:213)u tŁ ﬁØ trung thøc v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng t„o ra tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba. H(cid:215)nh 3.4 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa F (η) v(cid:181) P (η) trong c‚c

ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.34) v(cid:181) (3.35) v(cid:181)o τ khi cŁ ﬁ(cid:222)nh p = q = 0 v(cid:181) |ζ| = 1 łng

v(cid:237)i mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa |α|. Nh› ﬁ›(cid:238)c kœ v(cid:228)ng, łng v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) cho tr›(cid:237)c cæa

|ζ| v(cid:181) |α|, ﬁØ trung thøc (x‚c su˚t) t¤ng l“n (gi¶m xuŁng) theo τ .

CuŁi c(cid:239)ng, ch(cid:243)ng t«i x—t cho tr›Œng h(cid:238)p c›Œng ﬁØ phi tuy(cid:213)n cæa c‚c

tinh th(cid:211) Kerr r˚t y(cid:213)u, do ﬁª τ (cid:28) 1. Trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y x‚c su˚t P (η)

[(m−k+q)2+2(n−m+p)2+2(n−k+p+q)2]

trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.35) ﬁ›(cid:238)c l˚y g˙n ﬁ(cid:243)ng l(cid:181)

∞ X n,m,k=0

1.0

|Α| = 103 |Α| = 2×103

0.8

0.6

|Α| = 103 |Α| = 2×103 |Α| = 3×103 |Α| = 5×103

0.4

0.2

0.0

0.0004

0.0008

0.0012

0.0008

0.0012

|Α| = 3×103 |Α| = 5×103 0.0004

H×nh 3.4: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F (η) v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng P (η) t„o ra tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181)o τ v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181) |ζ| = 1 khi |α| = 103 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), 2 × 103

(ﬁ›Œng g„ch - g„ch), 3 × 103 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) 5 × 103 (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m).

1.0

0.8

0.6

|Ζ| = 0.5 |Ζ| = 0.7 |Ζ| = 1.0 |Ζ| = 3.0

|Ζ| = 0.5 |Ζ| = 0.7

0.4

|Ζ| = 1.0

0.2

|Ζ| = 3.0

0.0

H×nh 3.5: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F (η) v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng P (η) t„o ra tr„ng

√

η|α|τ v(cid:237)i p = q = 0 khi |ζ| = 0.5 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), |ζ| = 0.7

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181)o Z =

(ﬁ›Œng g„ch - g„ch), |ζ| = 1.0 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) |ζ| = 3.0 (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m).

|ζ|2(n+m+k)e− η|α|2τ 2 P (η) ' e−3|ζ|2 . (3.36) n!m!k!

Døa v(cid:181)o c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.34) v(cid:181) (3.36), ta d(cid:212) d(cid:181)ng nh¸n th˚y r»ng ﬁØ

trung thøc v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ph(cid:244) thuØc

v(cid:181)o t(cid:221)ch η|α|2τ 2. V(cid:215) v¸y, h(cid:215)nh 3.5 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc

√ v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng v(cid:181)o tham sŁ Z = η|α|τ łng v(cid:237)i mØt sŁ tr›Œng h(cid:238)p

cæa |ζ|. Ta d(cid:212) d(cid:181)ng nh¸n th˚y r»ng ﬁØ trung thøc cª th(cid:211) ﬁ„t gi‚ tr(cid:222) 100% khi

√ η|α|τ Z ≥ 5. Thi(cid:213)t l¸p s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m cho ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n v(cid:210) gi‚ tr(cid:222) cæa t(cid:221)ch

ﬁ„t t(cid:237)i 5 l(cid:181) kh¶ thi v(cid:237)i c«ng ngh(cid:214) hi(cid:214)n nay [59].

3.3. T„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon

Vi(cid:214)c th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł l“n c‚c mode cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

ﬁ• l(cid:181)m xu˚t hi(cid:214)n n—n t(cid:230)ng ba mode, t¤ng ﬁØ ﬁan rŁi trong tr„ng th‚i m(cid:237)i.

§(cid:211) th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) khai

th‚c c‚c thi(cid:213)t b(cid:222) chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i tham sŁ ho˘c bØ t‚ch ch(cid:239)m v(cid:237)i h(cid:214) sŁ truy(cid:210)n

qua l(cid:237)n [33], [64]. Tuy nhi“n trong ph˙n n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i ﬁ(cid:210) xu˚t s‹ ﬁ(cid:229) t„o

ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c bØ t‚ch ch(cid:239)m nh› l(cid:181)

nh(cid:247)ng thi(cid:213)t b(cid:222) c‹ b¶n. Trong ﬁª, ch(cid:243)ng t«i gi¶ s(cid:246) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ﬁ•

ﬁ›(cid:238)c chu¨n b(cid:222) tı tr›(cid:237)c. S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

th“m photon lan truy(cid:210)n tø do trong kh«ng gian mº ﬁ(cid:211) cª th(cid:211) thøc hi(cid:214)n c‚c

nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁ›(cid:238)c th(cid:211) hi(cid:214)n trong h(cid:215)nh 3.6.

Trong s‹ ﬁ(cid:229) t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon nh› trong h(cid:215)nh

3.6, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ﬁ˙u v(cid:181)o l(cid:181) mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba łng v(cid:237)i

ba mode a, b v(cid:181) c c(cid:239)ng v(cid:237)i ba tr„ng th‚i Fock |hi1, |ki2 v(cid:181) |li3 cæa ba mode

ﬁØc l¸p 1, 2 v(cid:181) 3 ﬁ• ﬁ›(cid:238)c chu¨n b(cid:222) tı tr›(cid:237)c, º ﬁ'y |mii k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) tr„ng th‚i

sŁ h„t cæa mode i chła m photon, i = {1, 2, 3}. Gi¶ s(cid:246) c¶ ba bØ t‚ch ch(cid:239)m

ﬁ(cid:210)u giŁng nhau v(cid:181) t‚c ﬁØng cæa ch(cid:243)ng ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘c tr›ng bºi to‚n t(cid:246) [74]

(3.37) ˆBxy(θ, ϑ) = eθ(eiϑˆx† ˆy−e−iϑ ˆxˆy†),

v(cid:237)i ϑ v(cid:181) θ l(cid:181) nh(cid:247)ng gªc pha, ˆx v(cid:181) ˆy l(cid:181) c‚c to‚n t(cid:246) hæy cæa hai mode x v(cid:181)

H×nh 3.6: S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon lan truy(cid:210)n tø do

trong kh«ng gian mº. K(cid:253) hi(cid:214)u c‚c ﬁ˙u v(cid:181)o a, b v(cid:181) c t›‹ng łng v(cid:237)i ba mode cæa mØt tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba |Ψp,qiabc, |hi1, |ki2 v(cid:181) |hi3 t›‹ng łng v(cid:237)i ba tr„ng th‚i Fock ﬁØc l¸p.

§˙u ra tı mode 1 ﬁ(cid:213)n mode 3 ﬁ›(cid:238)c d(cid:223) bºi c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang tı PD1 ﬁ(cid:213)n PD3, tı BS1 ﬁ(cid:213)n

BS3 l(cid:181) c‚c bØ t‚ch ch(cid:239)m. §›Œng tr(cid:223)n th(cid:211) hi(cid:214)n cho ﬁ›Œng d(cid:201)n quang nh»m ﬁ¶m b¶o c‚c

mode ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a v(cid:181)o c‚c thi(cid:213)t b(cid:222) mØt c‚ch ﬁ(cid:229)ng thŒi.

y l˙n l›(cid:238)t ﬁi v(cid:181)o bØ t‚ch ch(cid:239)m. B»ng c‚ch ﬁ˘t gªc pha ϑ = 0, T = cos θ

l(cid:181) h(cid:214) sŁ truy(cid:210)n qua v(cid:181) ρ = sin θ l(cid:181) h(cid:214) sŁ ph¶n x„ cæa c‚c bØ t‚ch ch(cid:239)m, v(cid:215) v¸y to‚n t(cid:246) ˆBxy(θ, ϑ) ≡ ˆBxy(T ). Khi tr„ng th‚i ﬁ˙u v(cid:181)o cæa mode y l(cid:181) mØt

tr„ng th‚i Fock |miy v(cid:181) n(cid:213)u º ﬁ˙u ra c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang d(cid:223) sŁ photon trong

mode n(cid:181)y im l˘ng, hi(cid:214)u łng cæa c‚c bØ t‚ch ch(cid:239)m ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t th(cid:181)nh

yh0| ˆBxy(T )|miy =

. (3.38) ρmT ˆx† ˆxˆx†m √ T m m!

Khi mØt tr„ng th‚i Fock |nix cæa mode x ﬁ›(cid:238)c l‚i v(cid:181)o bØ t‚ch ch(cid:239)m c(cid:239)ng

v(cid:237)i mode y nh› tr“n, sø bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.38) d(cid:201)n t(cid:237)i

√ (3.39) |nix → |n + mix. ρmT np(m + n)! m!n!

Trong s‹ ﬁ(cid:229) cæa ch(cid:243)ng t«i, tr„ng th‚i ﬁ˙u v(cid:181)o cæa h(cid:214) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

trong ﬁª tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba |Ψp,qiabc ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.38).

Ti(cid:213)p theo c‚c mode a v(cid:181) 1, b v(cid:181) 2, c v(cid:181) 3 ﬁ›(cid:238)c l‚i ﬁ(cid:229)ng thŒi v(cid:181)o ba bØ t‚ch ch(cid:239)m BS1, BS2 v(cid:181) BS3 ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘c tr›ng l˙n l›(cid:238)t bºi to‚n t(cid:246) ˆBa1(T ), ˆBb2(T ) v(cid:181) ˆBc3(T ). Sau ﬁª c‚c mode 1, 2 v(cid:181) 3 ﬁ›(cid:238)c d(cid:223) l˙n l›(cid:238)t bºi ba ﬁ˙u d(cid:223) quang

ki(cid:211)u b¸t/t(cid:190)t l(cid:181) PD1, PD2 v(cid:181) PD3. Gi¶ s(cid:246) t˚t c¶ c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang ho„t ﬁØng

l(cid:253) t›ºng, n(cid:213)u t˚t c¶ c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang ﬁ(cid:210)u im l˘ng (tłc l(cid:181) ch(cid:243)ng ﬁ(cid:210)u d(cid:223) ﬁ›(cid:238)c

kh«ng photon trong tıng mode), tr„ng th‚i ﬁ˙u ra ﬁ›(cid:238)c cho trong d„ng

321h0, 0, 0| ˆBa1(T ) ˆBb2(T ) ˆBc3(T )|ψvµoiabc123,

1 √ (3.41) |ψraiabc = P

v(cid:237)i P l(cid:181) x‚c su˚t d(cid:223) ﬁ(cid:229)ng thŒi kh«ng photon º t˚t c¶ c‚c mode 1, 2, 3 v(cid:181)

ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

c3(T ) ˆB†

a1(T )(cid:17).

(3.42) ⊗ 321cbahψvµo| ˆB† P = Trabc123(cid:16)|0, 0, 0i123h0, 0, 0| ˆBa1(T ) ˆBb2(T ) ˆBc3(T )|ψvµoiabc123 b2(T ) ˆB†

S(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.39) v(cid:181) døa tr“n ph›‹ng tr(cid:215)nh

(3.40), ch(cid:243)ng t«i thu ﬁ›(cid:238)c tr„ng th‚i ra mØt c‚ch t›Œng minh l(cid:181) √

∞ X n=0

√ |ψraiabc = ρh+k+l h!k!l!P na!nb!nc! pn!(n + p)!(n + p + q)!

(3.43) × T 3n+2p+qcn(ξ)|na, nb, nciabc.

Tr„ng th‚i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.43) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l„i d›(cid:237)i d„ng

ρh+k+lT 2p+qNp,q(r) √ |ψraiabc = h!k!l!P Np,q;h,k,l(rT 3)Np,q(rT 3)

∞ X n=0

× (3.44) Cn;h,k,l(ξT 3)|na, nb, nciabc,

v(cid:237)i Np,q(r) ﬁ›(cid:238)c cho nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.35). H(cid:214) sŁ Np,q(rT 3) v(cid:181)

Np,q;h,k,l(rT 3) ﬁ›(cid:238)c cho l˙n l›(cid:238)t bºi c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.35) v(cid:181) (2.2) nh›ng

thay r bºi rT 3 v(cid:181) Cn;h,k,l(ξT 3) ﬁ›(cid:238)c cho nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.4) nh›ng

thay ξ bºi ξT 3. So s‚nh ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.44) v(cid:237)i ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.3), ﬁ˙u ra

ch(cid:221)nh l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon nh›ng v(cid:237)i bi“n ﬁØ l(cid:181) |ξT 3|

(thay v(cid:215) |ξ|).

B»ng c‚ch d(cid:239)ng Pn |Cn;h,k,l(ξT 3)|2 = 1, n = {0, 1, 2, ..., ∞} v(cid:181) c‚c

ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.42), (3.44), x‚c su˚t t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m

photon P ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh to‚n l(cid:181)

p,q(r) p,q(rT 3)h!k!l!

. P = (3.45) N 2 ρ2(h+k+l)T 4p+2qN 2 p,q;h,k,l(rT 3)N 2

§Ø trung thøc F cæa tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c t„o ra ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

(3.46) F = |cbahΨp,q;h,k,l|ψraiabc|2,

v(cid:237)i |Ψp,q;h,k,liabc v(cid:181) |ψraiabc l˙n l›(cid:238)t ﬁ›(cid:238)c cho bºi c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.3) v(cid:181)

(3.44). Sau mØt sŁ b›(cid:237)c t(cid:221)nh to‚n ﬁ‹n gi¶n, ﬁØ trung thøc F trº th(cid:181)nh

p,q(rT 3)N 2

p,q(r)

p,q;h,k,l(r)N 2

p,q;h,k,l(rT 3)N 2 N 4

p,q(rT 3/2)

p,q;h,k,l(rT 3/2)N 4

N 2 . F = (3.47)

Ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.45)

v(cid:181) (3.47) ﬁ(cid:211) kh¶o s‚t x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng v(cid:181) ﬁØ trung thøc t„o ra tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon. H(cid:215)nh 3.7 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung

thøc F v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng P v(cid:181)o T khi cŁ ﬁ(cid:222)nh p = q = 0, r = 3 v(cid:181)

mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) h, k v(cid:181) l. B“n c„nh ﬁª ﬁ(cid:211) th˚y ﬁ›(cid:238)c sø bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i cæa F v(cid:181)

P theo r, h(cid:215)nh 3.8 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F v(cid:181) x‚c su˚t

th(cid:181)nh c«ng P v(cid:181)o T khi p = q = 0 v(cid:181) (h, k, l) = (1, 1, 1) łng v(cid:237)i c‚c gi‚ tr(cid:222)

r = 1, r = 3 v(cid:181) r = 6. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ trung thøc F ﬁ›(cid:238)c n'ng

l“n bºi t¤ng h(cid:214) sŁ T v(cid:181) cª th(cid:211) ﬁ„t ﬁ‹n v(cid:222) khi T ti(cid:213)n ﬁ(cid:213)n 1. Tuy nhi“n x‚c

0.04

(1,1,1)

(2,2,2)

0.9

(3,3,3)

0.02

(1,1,1)

(2,2,2)

0.8

(3,3,3)

0.7

0.8

0.9

0.8

0.9

H×nh 3.7: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng P t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba th“m photon v(cid:181)o T v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181) r = 3 khi (h, k, l) = (1, 1, 1) (ﬁ›Œng li(cid:210)n

n—t), (2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch) v(cid:181) (3, 3, 3) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

su˚t th(cid:181)nh c«ng P l„i gi¶m khi t¤ng T v(cid:181) nª ti(cid:213)n v(cid:210) kh«ng khi T ﬁ„t ﬁ‹n

v(cid:222). M˘t kh‚c, khi t¤ng sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o, ﬁØ trung thøc c(cid:242)ng nh› x‚c

su˚t th(cid:181)nh c«ng cª xu h›(cid:237)ng gi¶m. B“n c„nh ﬁª, cª sø gi¶m cæa ﬁØ trung

thøc khi r t¤ng l“n nh›ng b(cid:239) l„i x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng l„i t¤ng l“n theo r khi

T cao. Nh(cid:247)ng ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y th(cid:211) hi(cid:214)n sø ph(cid:239) h(cid:238)p thøc nghi(cid:214)m trong c‚c k(cid:213)t qu¶

0.1

0.08

0.9

r = 1 r = 3 r = 6

0.06

r = 1

0.8

0.04

r = 3

0.02

r = 6

0.7

0.8

0.9

0.8

0.9

H×nh 3.8: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc F v(cid:181) x‚c su˚t th(cid:181)nh c«ng P t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba th“m photon v(cid:181)o T v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181) (h, k, l) = (1, 1, 1) khi r = 1 (ﬁ›Œng li(cid:210)n

n—t), r = 3 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch) v(cid:181) r = 6 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

t(cid:221)nh to‚n cæa ch(cid:243)ng t«i.

3.4. T„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m pho-

ton

Trong ch›‹ng hai ch(cid:243)ng ta ﬁ• th˚y r»ng º mi(cid:210)n bi“n ﬁØ tr›Œng b—, ph—p

th“m photon kh«ng ﬁ(cid:222)nh xł cho bi(cid:211)u hi(cid:214)n c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n r(cid:226) h‹n so

v(cid:237)i th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł. §(cid:211) t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m

photon hai mode, ta cª th(cid:211) ‚p d(cid:244)ng c‚c s‹ ﬁ(cid:229) ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra g˙n ﬁ'y trong

[51], [82]. Tuy nhi“n cho ﬁ(cid:213)n nay, chæ ﬁ(cid:210) v(cid:210) t„o ra ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon

ba mode, theo ch(cid:243)ng t«i ﬁ›(cid:238)c bi(cid:213)t, ch›a ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu. V(cid:215) v¸y trong m(cid:244)c

n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i ﬁ(cid:210) xu˚t s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m thøc hi(cid:214)n ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon ba mode trong tr›Œng h(cid:238)p ch(cid:229)ng ch˚t ﬁ‹n photon l(cid:181) ((cid:15)ˆa† +λˆb† +σˆc†)|Ψp,qiabc.

BŁ tr(cid:221) c‚c thi(cid:213)t b(cid:222) quang t„o ra sø ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon ba mode l“n tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ﬁ›(cid:238)c ph‚c h(cid:228)a trong h(cid:215)nh 3.9.

Trong s‹ ﬁ(cid:229) t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon,

ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng ba bØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i tham sŁ, hai bØ t‚ch ch(cid:239)m c'n b»ng

v(cid:181) ba ﬁ˙u d(cid:223) ﬁ‹n photon. §˙u v(cid:181)o bao g(cid:229)m mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

|Ψp,qiabc t›‹ng łng v(cid:237)i ba mode a, b v(cid:181) c c(cid:239)ng v(cid:237)i ba tr„ng th‚i ch'n kh«ng

|0id, |0ie v(cid:181) |0if cæa ba mode d, e v(cid:181) f . C(cid:242)ng trong s‹ ﬁ(cid:229) n(cid:181)y, c‚c bØ t‚ch √ √ 2 v(cid:181) (−ˆu + ˆv)/ 2, v(cid:237)i ˆu v(cid:181) ˆv l(cid:181) ch(cid:239)m c'n b»ng m« t¶ ﬁ˙u ra l(cid:181) (ˆu + ˆv)/

c‚c to‚n t(cid:246) hæy photon łng v(cid:237)i hai tr›Œng v(cid:181)o [82]. B“n c„nh ﬁª, khi mØt

tr„ng th‚i |ψix cæa mode x v(cid:181) mØt tr„ng th‚i ch'n kh«ng |0iy cæa mode y ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a v(cid:181)o mØt bØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i tham sŁ ﬁ›(cid:238)c m« t¶ bºi to‚n t(cid:246) e−κˆx† ˆy†+κˆxˆy,

tr„ng th‚i ra cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng [82]

e−κˆx† ˆy†+κˆxˆy|ψix|0iy = e−sˆx† ˆy† (1 − s2)( ˆNx+1)/2|ψix|0iy

(3.48) ≡ ˆSxy(s)|ψix|0iy,

v(cid:237)i s = tanh κ, trong ﬁª κ l(cid:181) c›Œng ﬁØ k(cid:213)t c˘p cæa bØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i tham sŁ.

H×nh 3.9: S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m t„o ra ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon ba mode l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

bØ ba. C‚c ﬁ˙u v(cid:181)o a, b v(cid:181) c t›‹ng łng v(cid:237)i ba mode cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba |Ψp,qiabc,

|0id, |0ie v(cid:181) |0if l(cid:181) c‚c tr„ng th‚i ch'n kh«ng. Tı DC1 ﬁ(cid:213)n DC3 l(cid:181) c‚c bØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i tham

sŁ. C‚c mode d, e v(cid:181) f ﬁ›(cid:238)c d(cid:223) bºi c‚c ﬁ˙u d(cid:223) ﬁ‹n photon tı SPD1 ﬁ(cid:213)n SPD3. BS1 v(cid:181)

BS2 l(cid:181) c‚c bØ t‚ch ch(cid:239)m c'n b»ng. Nh(cid:247)ng ﬁ›Œng tr(cid:223)n th(cid:211) hi(cid:214)n cho c‚c ﬁ›Œng d(cid:201)n quang

nh»m ﬁ›a c‚c mode v(cid:181)o nh(cid:247)ng thi(cid:213)t b(cid:222) mØt c‚ch ﬁ(cid:229)ng thŒi.

§Łi v(cid:237)i s‹ ﬁ(cid:229) trong h(cid:215)nh 3.9, s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh

(3.48) v(cid:181) ch(cid:243) (cid:253) r»ng t˚t c¶ c‚c mode a, b, c, d, e v(cid:181) f l(cid:181) ﬁØc l¸p l(cid:201)n nhau,

tr„ng th‚i cæa h(cid:214) sau khi xuy“n qua ﬁ(cid:229)ng thŒi ba bØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i tham sŁ l(cid:181)

|Ψ1iabcdef = ˆSad(s1) ˆSbe(s2) ˆScf (s3)|Ψp,qiabc|0, 0, 0idef

ˆb†ˆe†−s3ˆc† ˆf †|Φiabcdef ,

1)( ˆNa+1)/2(1−s2

2)( ˆNb+1)/2(1− v(cid:237)i si = tanh κi, i = {1, 2, 3} v(cid:181) |Φiabcdef = (1−s2 3)( ˆNc+1)/2|Ψp,qiabc|0, 0, 0idef . Ti(cid:213)p theo, c‚c mode d v(cid:181) e ﬁ›(cid:238)c l‚i ﬁ(cid:229)ng thŒi s2 v(cid:181)o bØ t‚ch ch(cid:239)m BS1, tr„ng th‚i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.49) trº th(cid:181)nh

√

( ˆd†+ˆe†)+ s2 √

ˆb† 2

= e−s1ˆa† ˆd†−s2 (3.49)

(− ˆd†+ˆe†)+s3ˆc† ˆf †]|Φiabcdef.

(3.50) |Ψ2iabcdef = e−[ s1ˆa†

C‚c mode e v(cid:181) f ti(cid:213)p t(cid:244)c ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ﬁ(cid:229)ng thŒi v(cid:181)o bØ t‚ch ch(cid:239)m BS2, tr„ng

†

√

) ˆd†

) ˆf †

2 + s2

† ˆb 2

2 + s2

† ˆb 2 + s3 ˆc

† ˆb − s2 √ 2

† − s3ˆc √ 2

th‚i cæa h(cid:214) ﬁ›(cid:238)c bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i th(cid:181)nh

e−( s1 ˆa e−( s1ˆa )ˆe† |Ψ3iabcdef =e−( s1 ˆa |Φiabcdef. (3.51)

Tr„ng th‚i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.51) cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c khai tri(cid:211)n theo chu(cid:231)i l(cid:181)

k (cid:17)

(cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) − − + |Ψ3iabcdef = (−1)m+n+k m!n!k! s1ˆa† 2 ˆb† s2 2 s1ˆa† √ 2 ˆb† s2 √ 2 s3ˆc† √ 2

1)( ˆNa+1)/2(1 − s2

2)( ˆNb+1)/2

∞ X m,n,k=0 s1ˆa† 2 ×(1 − s2

×(cid:16) + + (1 − s2 ˆb† s2 2 s3ˆc† √ 2

3)( ˆNc+1)/2|Ψp,qiabc

(3.52) ˆd†mˆe†n ˆf †k|0, 0, 0idef .

Trong tr›Œng h(cid:238)p c¶ hai ﬁ˙u d(cid:223) ﬁ‹n photon SPD1 v(cid:181) SPD2 (SPD3) d(cid:223)

ﬁ(cid:229)ng thŒi kh«ng photon trong c‚c mode d v(cid:181) e (f ), ﬁ(cid:229)ng thŒi ﬁ˙u d(cid:223) ﬁ‹n

photon SPD3 (SPD2) d(cid:223) ﬁ›(cid:238)c mØt photon trong mode f (e). §i(cid:210)u ﬁª cª

ngh(cid:220)a l(cid:181) m = n = 0 v(cid:181) k = 1 ho˘c m = k = 0 v(cid:181) n = 1, tr„ng th‚i trong

1)( ˆNa+1)/2

+ + (cid:17)(1 − s2 |Ψraiabc = −(cid:16) ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.52) ﬁ›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p th(cid:181)nh ˆb† s2 2 s3ˆc† √ 2

2)( ˆNb+1)/2(1 − s2

3)( ˆNc+1)/2|Ψp,qiabc,

s1ˆa† 2 ×(1 − s2 (3.53)

ho˘c

1)( ˆNa+1)/2

− (cid:17)(1 − s2 + |Ψraiabc = −(cid:16) ˆb† s2 2 s3ˆc† √ 2

2)( ˆNb+1)/2(1 − s2

3)( ˆNc+1)/2|Ψp,qiabc.

s1ˆa† 2 ×(1 − s2 (3.54)

Trong tr›Œng h(cid:238)p κ1, κ2, κ3 (cid:28) 1, v(cid:215) v¸y s1, s2, s3 (cid:28) 1, c‚c tr„ng th‚i trong

hai ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.53) v(cid:181) (3.54) g˙n ﬁ(cid:243)ng l(cid:181)

+ + (3.55) (cid:17)|Ψp,qiabc, |Ψraiabc ' −(cid:16) s1ˆa† 2 ˆb† s2 2 s3ˆc† √ 2

ho˘c

− + (3.56) (cid:17)|Ψp,qiabc. |Ψraiabc ' −(cid:16) s1ˆa† 2 ˆb† s2 2 s3ˆc† √ 2

√ √ 2), hai tr„ng th‚i trong c‚c §˘t (cid:15) = −s1/2, λ = −s2/2 v(cid:181) σ = −s3/ 2 (s3/

ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.55) v(cid:181) (3.56) chuy(cid:211)n th(cid:181)nh tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng

ch˚t th“m photon nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.19) v(cid:237)i tr›Œng h(cid:238)p ch(cid:229)ng ch˚t

th“m ﬁ‹n photon

(3.57) |Φp,q;1,1,1iabc = Np,q;1,1,1(r)((cid:15)ˆa† + λˆb† + σˆc†)|Ψp,qiabc,

trong ﬁª Np,q;1,1,1(r) ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.20) nh›ng v(cid:237)i c‚c

gi‚ tr(cid:222) h = k = l = 1.

§(cid:211) t„o ra c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t b¸c cao, tłc l(cid:181)

h, k, l > 1, ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) ‚p d(cid:244)ng ph›‹ng ph‚p t›‹ng tø ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra

bºi Lee v(cid:181) cØng sø trong [82]. Trong ﬁª, c‚c t‚c gi¶ ﬁ• thøc hi(cid:214)n mº rØng

vi(cid:214)c ch(cid:229)ng ch˚t tı b¸c mØt l“n b¸c hai cho h(cid:214) hai mode. Tuy nhi“n º ﬁ'y

ch(cid:243)ng t«i kh«ng tr(cid:215)nh b(cid:181)y th“m ph›‹ng ph‚p mº rØng n(cid:181)y.

3.5. K(cid:213)t lu¸n

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, ﬁ(cid:211) t„o ra c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon

v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• ﬁ(cid:210) xu˚t s‹

ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i nh»m t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba. §i(cid:211)m v›(cid:238)t trØi

cæa s‹ ﬁ(cid:229) n(cid:181)y so v(cid:237)i c‚c s‹ ﬁ(cid:229) tr›(cid:237)c ﬁ'y l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ﬁ›(cid:238)c

t„o ra cª th(cid:211) lan truy(cid:210)n tø do trong kh«ng gian mº. Th“m v(cid:181)o ﬁª, s‹ ﬁ(cid:229) s(cid:246)

d(cid:244)ng c‚c ngu(cid:229)n v¸t l(cid:253) cª s‰n v(cid:237)i c«ng ngh(cid:214) hi(cid:214)n nay nh› bØ t‚ch ch(cid:239)m,

bØ d(cid:222)ch pha, tinh th(cid:211) phi tuy(cid:213)n Kerr, c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang v(cid:181) c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p. K(cid:213)t qu¶ kh¶o s‚t ﬁØ trung thøc ﬁ• th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng y(cid:213)u tŁ n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c t¤ng √ 2| l“n khi hi(cid:214)u su˚t c‚c ﬁ˙u d(cid:223) c(cid:242)ng nh› bi“n ﬁØ cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p |α

√ η|α|τ ≥ 5. t¤ng. Trong s‹ ﬁ(cid:229) n(cid:181)y, ﬁØ trung thøc cª th(cid:211) ﬁ„t ﬁ‹n v(cid:222) n(cid:213)u

Thi(cid:213)t l¸p s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m trong qu‚ tr(cid:215)nh t„o ra c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

√ v(cid:237)i η|α|τ ≥ 5 cª th(cid:211) ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c trong ph(cid:223)ng th(cid:221) nghi(cid:214)m hi(cid:214)n nay.

Trong ﬁ(cid:210) xu˚t s‹ ﬁ(cid:229) m(cid:237)i t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon,

ch(cid:243)ng t«i ﬁ• s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c bØ t‚ch ch(cid:239)m nh› l(cid:181) nh(cid:247)ng thi(cid:213)t b(cid:222) c‹ b¶n. Ngo(cid:181)i

ﬁ˙u v(cid:181)o l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, s‹ ﬁ(cid:229) s(cid:246) d(cid:244)ng th“m ba tr„ng th‚i Fock

kh‚c. Khi h(cid:214) sŁ truy(cid:210)n qua T cæa c‚c bØ t‚ch ch(cid:239)m ti(cid:213)n t(cid:237)i mØt, k(cid:213)t qu¶

kh¶o s‚t ﬁØ trung thøc ﬁ• th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng nª cª th(cid:211) ti(cid:213)n t(cid:237)i ﬁ‹n v(cid:222), tłc l(cid:181) t›‹ng

łng v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) cao nh˚t. Nh(cid:247)ng k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y l(cid:181) ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i thøc nghi(cid:214)m.

Do ﬁª thi(cid:213)t l¸p s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m ﬁ(cid:211) t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m

photon nh› ﬁ(cid:210) xu˚t cæa ch(cid:243)ng t«i mang t(cid:221)nh kh¶ thi cao.

§(cid:211) t„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon, ch(cid:243)ng t«i

c(cid:242)ng ﬁ• ﬁ›a ra s‹ ﬁ(cid:229) m(cid:237)i t„o ra sø ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon ba mode b¸c nh˚t.

S‹ ﬁ(cid:229) s(cid:246) d(cid:244)ng nh(cid:247)ng thi(cid:213)t b(cid:222) quang nh› c‚c bØ t‚ch ch(cid:239)m, c‚c bØ chuy(cid:211)n

ﬁ(cid:230)i tham sŁ v(cid:181) c‚c ﬁ˙u d(cid:223) quang. Khi ﬁ˙u v(cid:181)o l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba,

k(cid:213)t qu¶ ﬁ• th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng n(cid:213)u c‚c c›Œng ﬁØ k(cid:213)t c˘p κ cæa c‚c bØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i

tham sŁ trº n“n r˚t y(cid:213)u th(cid:215) tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c t„o ra sˇ trº th(cid:181)nh tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m ﬁ‹n photon. §i(cid:210)u n(cid:181)y cª ngh(cid:220)a l(cid:181) ﬁØ trung thøc

sˇ ti(cid:213)n v(cid:210) ﬁ‹n v(cid:222), tłc l(cid:181) cª gi‚ tr(cid:222) cao nh˚t. §'y l(cid:181) k(cid:213)t qu¶ h(cid:213)t słc (cid:253) ngh(cid:220)a

v(cid:181) ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i thøc nghi(cid:214)m t„o ra c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n hi(cid:214)n nay.

Ch›‹ng 4

łng d(cid:244)ng cæa c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong

th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246)

4.1. Mº ﬁ˙u

Trong l(cid:220)nh vøc th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246), c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi ﬁ›(cid:238)c łng d(cid:244)ng

v(cid:181)o r˚t nhi(cid:210)u nhi(cid:214)m v(cid:244) kh‚c nhau nh› vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) [21], vi(cid:212)n t„o [22] v(cid:181)

ﬁ(cid:229)ng vi(cid:212)n t„o tr„ng th‚i [17], s(cid:246)a l(cid:231)i l›(cid:238)ng t(cid:246) [24] v(cid:181) chia s˛ b(cid:221) m¸t l›(cid:238)ng

t(cid:246) [61]. Trong c‚c giao thłc n(cid:181)y, vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁ›(cid:238)c quan t'm nhi(cid:210)u h‹n

c¶. Trong ch›‹ng n(cid:181)y, tr›(cid:237)c ti“n ch(cid:243)ng t«i kh¶o s‚t c‚c qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i

l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p th«ng qua hai ngu(cid:229)n ﬁan rŁi hai mode.

Ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ﬁ˙u ti“n l(cid:181) tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t

th“m photon. §'y l(cid:181) mØt tr„ng th‚i hai mode m(cid:237)i ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra v(cid:181)

nghi“n cłu [43]. Ngu(cid:229)n ﬁan rŁi thł hai l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p [34]. Døa

v(cid:181)o c‚c k(cid:213)t qu¶ thu ﬁ›(cid:238)c, ch(cid:243)ng t«i k(cid:213)t lu¸n v(cid:210) sø ho(cid:181)n thi(cid:214)n c‚c qu‚ tr(cid:215)nh

vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i hai tr„ng th‚i ﬁan rŁi n(cid:181)y.

Tı nh(cid:247)ng k(cid:213)t qu¶ n(cid:230)i b¸t trong c‚c qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng

th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

c˘p, ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra c‚c giao thłc m(cid:237)i v(cid:210) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) trong h(cid:214) ba

mode. S(cid:246) d(cid:244)ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon l(cid:181)m ngu(cid:229)n rŁi, c‚c qu‚

tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi hai mode v(cid:181) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n

t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n mode ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu theo h›(cid:237)ng c¶i

thi(cid:214)n ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh. Trong ﬁª, ch(cid:243)ng t«i ch(cid:216) ra r»ng vi(cid:214)c th“m

photon cª th(cid:211) n'ng cao hi(cid:214)u qu¶ cæa c‚c qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246).

4.2. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai

mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon

4.2.1. Tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon

Kh‚c v(cid:237)i th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł trong c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.42) v(cid:181) (1.43),

ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra mØt tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n m(cid:237)i g(cid:228)i l(cid:181) tr„ng th‚i ch'n kh«ng

n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon. Tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c t„o ra b»ng ph—p

th“m photon kh«ng ﬁ(cid:222)nh xł l“n tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode |riab

ﬁ›(cid:238)c cho bºi trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.29) l(cid:181)

(4.1) |r, h, kiab = Nh,k(ˆa†h + (cid:15)ˆb†k)|riab,

trong ﬁª (cid:15) l(cid:181) sŁ thøc, 0 ≤ (cid:15) ≤ 1, h, k l(cid:181) c‚c sŁ nguy“n d›‹ng v(cid:181) mang (cid:253)

ngh(cid:220)a l(cid:181) sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o, h(cid:214) sŁ chu¨n hªa Nh,k ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

h,k =

N −2 (4.2) h! (1 − λ2)h + (cid:15)2k! (1 − λ2)k .

Khi khai tri(cid:211)n theo c‚c tr„ng th‚i Fock, tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode

ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon ﬁ›(cid:238)c cho bºi

∞ X n=0

|r, h, kiab = Nh,kp1 − λ2 (cid:16)p(n + h)!|n + h, niab λn √ n!

(4.3) + (cid:15)p(n + k)!|n, n + kiab(cid:17).

Tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon l(cid:181) mØt

tr„ng th‚i ﬁan rŁi [43]. Tr„ng th‚i n(cid:181)y cª ﬁØ ﬁan rŁi ﬁ›(cid:238)c t¤ng c›Œng khi

tham sŁ n—n r c(cid:242)ng nh› sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o h v(cid:181) k t¤ng l“n [43]. V(cid:215)

v¸y, s(cid:246) d(cid:244)ng tr„ng th‚i n(cid:181)y l(cid:181)m ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ﬁ(cid:211) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) c‚c tr„ng

th‚i ﬁ‹n mode mang t(cid:221)nh kh¶ thi cao.

4.2.2. Qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246)

Sau ﬁ'y, ch(cid:243)ng ta h•y nghi“n cłu qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) th«ng qua

tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon |r, h, kiab ﬁ›(cid:238)c

cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.1). Gi¶ s(cid:246) Alice gi(cid:247) mode a v(cid:181) mode b d(cid:181)nh cho

Bob, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng giao thłc cæa Vaidmann, Braunstein v(cid:181) Kimble [23],

[110] ﬁ(cid:211) vi(cid:212)n t¶i mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p |αic cæa mode c. Tr›(cid:237)c khi Alice

thøc hi(cid:214)n ph—p ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao tr“n hai mode a v(cid:181) c,

to(cid:181)n bØ tr„ng th‚i cæa h(cid:214) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

(4.4) |ψvµoiabc = |r, h, kiab|αic.

Ph—p ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao tr“n hai mode a v(cid:181) c t›‹ng łng

l(cid:181) ph—p chi(cid:213)u cæa tr„ng th‚i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.4) l“n tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c cho

d›(cid:237)i ﬁ'y [67]

∞ X k=0 trong ﬁª ˆDc(β) l(cid:181) to‚n t(cid:246) d(cid:222)ch chuy(cid:211)n cª vai tr(cid:223) t‚c d(cid:244)ng l“n tr„ng th‚i cæa

(4.5) ˆDc(β)|kic|kia, |βiac = 1 √ π

mode c khi thøc hi(cid:214)n ph—p chi(cid:213)u, β l(cid:181) mØt sŁ phłc v(cid:237)i th(cid:181)nh ph˙n thøc v(cid:181)

¶o ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

(4.6) ˆq−|βiac = R(β)|βiac,

(4.7) ˆp+|βiac = I(β)|βiac,

√ trong ﬁª ˆq− = ˆqa − ˆqc v(cid:181) ˆp+ = ˆpa + ˆpc, v(cid:237)i ˆqi = (ˆa† + ˆa)/ 2 v(cid:181) ˆpi = i(ˆa† − √ ˆa)/ 2 l˙n l›(cid:238)t l(cid:181) c‚c to‚n t(cid:246) t(cid:228)a ﬁØ v(cid:181) xung l›(cid:238)ng cæa mode i, i = {a, c},

R(β) (I(β)) k(cid:253) hi(cid:214)u cho l˚y ph˙n thøc (¶o) cæa sŁ phłc β.

Sau ph—p ﬁo cæa Alice, tr„ng th‚i cæa Bob ﬁ›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p th(cid:181)nh

ahm|riab(cid:1).

∞ X m,n=0

(4.8) |ψib = hm|α − βi(cid:0)ahm|ˆa†h|riab + (cid:15)ˆb†k Nh,k√ π

Sau d(cid:222)ch chuy(cid:211)n cæa Bob bºi to‚n t(cid:246) ˆDb(β), tr„ng th‚i ra ﬁ›(cid:238)c cho bºi

ahm|riab(cid:1).

∞ X m,n=0

(4.9) |ψrai = hm|α − βi ˆDb(β)(cid:0)ahm|ˆa†h|riab + (cid:15)ˆb†k Nh,k√ π

Do ﬁª, ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

(4.10) Ftb = Z d2β|hα|ψrai|2.

K(cid:213)t qu¶ t(cid:221)nh to‚n v(cid:210) ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh trong qu‚ tr(cid:215)nh n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c x‚c

ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

h,k(1 − λ2) 2

∞ X m,n=0

N 2 (cid:16) + (cid:17), (4.11) Ftb = λm+n m!n! (m + n + h)! 2m+n+h (cid:15)2(m + n + k)! 2m+n+k

1.0

0.8

0.6

b t F

0.4

0.2

(1,1) (2,2) (3,3)

(4,0) (3,1) (2,2)

(a)

(b)

0.0

0.5

1.5

2.0

0.0

0.5

1.5

2.0

1.0 r

H×nh 4.1: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o r v(cid:237)i (cid:15) = 1 khi (a) (h, k) = (1, 1)

(ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (2, 2) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (3, 3) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) (b) (h, k) = (4, 0)

(ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (3, 1) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (2, 2) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

v(cid:237)i Nh,k ﬁ›(cid:238)c cho nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.2).

Ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.11) ﬁ(cid:211) kh¶o

s‚t ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh trong qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p th«ng qua tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m

photon. H(cid:215)nh 4.1 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb

v(cid:181)o r t›‹ng łng v(cid:237)i mØt v(cid:181)i gi‚ tr(cid:222) cæa h v(cid:181) k. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng Ftb

ﬁ›(cid:238)c c¶i thi(cid:214)n khi t¤ng tham sŁ n—n r (xem h(cid:215)nh 4.1 (a)). Qua kh¶o s‚t b»ng

sŁ, ch(cid:243)ng t«i nh¸n ﬁ›(cid:238)c ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ„t gi‚ tr(cid:222) ﬁ‹n v(cid:222), t›‹ng

łng v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) l(cid:237)n nh˚t, khi r ≥ 2.5. Ngo(cid:181)i ra, x—t tr›Œng h(cid:238)p cŁ ﬁ(cid:222)nh h + k,

h(cid:215)nh 4.1 (b) th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ„t cøc ﬁ„i khi sŁ photon

th“m v(cid:181)o c‚c mode b»ng nhau, tłc l(cid:181) h = k.

4.3. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p

Theo h›(cid:237)ng ho(cid:181)n thi(cid:214)n qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) trong h(cid:214) hai mode,

ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng ngu(cid:229)n ﬁan rŁi l(cid:181) th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p |ΨQiab ﬁ›(cid:238)c cho trong

ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.24) ﬁ(cid:211) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p |αic cæa mode

c, trong ﬁª Alice gi(cid:247) mode a v(cid:181) Bob sº h(cid:247)u mode b. Tr„ng th‚i v(cid:181)o cæa h(cid:214)

ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

∞ X n=0

v(cid:237)i

. (4.13) cn,Q(χ) = NQ χn pn!(n + Q)!

Ti(cid:213)p theo, Alice thøc hi(cid:214)n ph—p ﬁo tr“n hai mode a v(cid:181) c. Ch(cid:243)ng ta h•y kh¶o

s‚t qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) theo hai ki(cid:211)u ﬁo cæa Alice, ﬁª l(cid:181) ﬁo c‚c th(cid:181)nh

ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao v(cid:181) ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t v(cid:181) hi(cid:214)u pha.

4.3.1. S(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao

Sau ph—p ﬁo cæa Alice, tr„ng th‚i (ch›a chu¨n hªa) cæa Bob trº th(cid:181)nh

trong ﬁª |βiac ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.5). Alice g(cid:246)i cho Bob c‚c k(cid:213)t

qu¶ ﬁo ﬁ›(cid:238)c β b»ng k“nh th«ng tin c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. Sau khi nh¸n ﬁ›(cid:238)c sŁ li(cid:214)u β

tı Alice, ﬁ˙u ti“n, Bob thøc hi(cid:214)n ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i sŁ h„t photon cæa m(cid:215)nh tı

n + Q th(cid:181)nh n b»ng s(cid:246) d(cid:244)ng to‚n t(cid:246) [78]

∞ X j=0 Ti(cid:213)p theo, Bob t‚c d(cid:244)ng to‚n t(cid:246) ˆD(β) ﬁ(cid:211) cho tr„ng th‚i ra (ﬁ• chu¨n hªa)

|jihj + Q|. (4.15) ˆUQ =

∞ X n=0

ˆD(β)|ni, (4.16) |Φrai = cn,Q(χ)(α − β)n √ n! e−|α−β|2/2 pP (β)π

trong ﬁª P (β) l(cid:181) x‚c su˚t ph—p ﬁo v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c cho bºi

∞ X n=0

. P (β) = (4.17) e−|α−β|2 π |cn,Q(χ)|2n|α − β|2n n!

§(cid:211) th˚y ﬁ›(cid:238)c hi(cid:214)u qu¶ cæa qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246), ch(cid:243)ng ta h•y kh¶o s‚t

y(cid:213)u tŁ ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh. §Ø trung thøc ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(4.18) F = |chα|Φrai|2.

Tı ﬁª, ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

Ftb = Z F P (β)d2β = Z |hα|Φrai|2P (β)d2β

(4.19) = Z |hα|Ωrai|2d2β,

v(cid:237)i

∞ X n=0

ˆD(β)|ni. (4.20) |Ωrai = e−|α−β|2/2 √ π cn,Q(χ)(α − β)n √ n!

Døa v(cid:181)o c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.19) v(cid:181) (4.20), ta d(cid:212) d(cid:181)ng nh¸n th˚y ﬁØ

trung thøc trung b(cid:215)nh l(cid:243)c n(cid:181)y kh«ng c(cid:223)n ph(cid:244) thuØc x‚c su˚t ph—p ﬁo P (β).

K(cid:213)t qu¶ t(cid:221)nh to‚n ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh khi χ = |χ| l(cid:181)

∞ X m,n=0

. (4.21) Ftb = N 2 Q 2 |χ/2|m+n(m + n)! m!n!pm!n!(m + Q)!(n + Q)!

K(cid:213)t qu¶ trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.21) th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh

0.8

0.7

b t F

0.6

0.5

Q = 0 Q = 1 Q = 3 Q = 6

0.4

» Χ»

H×nh 4.2: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o χ = |χ| v(cid:237)i Q = 0 (ﬁ›Œng

li(cid:210)n n—t), Q = 1 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), Q = 3 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) Q = 6 (ﬁ›Œng ch˚m -

ch˚m).

kh«ng ph(cid:244) thuØc bi“n ﬁØ tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c vi(cid:212)n t¶i |α|.

Døa v(cid:181)o ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.21) ch(cid:243)ng t«i th¶o lu¸n v(cid:210) vi(cid:214)c n'ng cao ﬁØ

trung thøc trung b(cid:215)nh trong qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p th«ng qua tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p. H(cid:215)nh 4.2 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc

cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o |χ| t›‹ng łng v(cid:237)i mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa Q.

K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c c¶i thi(cid:214)n khi Q t¤ng.

Gi‚ tr(cid:222) cæa Ftb cª th(cid:211) ﬁ„t g˙n ﬁ‹n v(cid:222) khi Q trº n“n r˚t l(cid:237)n. §'y l(cid:181) mØt ›u

ﬁi(cid:211)m trong giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) th«ng qua tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p m(cid:181)

ch(cid:243)ng t«i ﬁ• ﬁ›a ra. Trong khi c(cid:242)ng s(cid:246) d(cid:244)ng tr„ng th‚i n(cid:181)y l(cid:181)m ngu(cid:229)n rŁi

ﬁ(cid:211) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) mØt tr„ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p, ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh

theo Agarwal v(cid:181) Gabris ch(cid:216) ﬁ„t t(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) cao nh˚t c(cid:236) 0.76 [53].

4.3.2. S(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha

Giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa tr„ng th‚i ﬁ‹n mode th«ng qua ngu(cid:229)n

ﬁan rŁi hai mode s(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a

ra ﬁ˙u ti“n bºi Yu v(cid:181) Sun [117]. Ta vi(cid:213)t tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c vi(cid:212)n t¶i |αic trong

d„ng c‚c tr„ng th‚i Fock l(cid:181)

∞ X m=0

(4.22) |αic = |mic = dm|mic, e−|α|2/2αm √ m!

v(cid:237)i

. (4.23) dm = e−|α|2/2αm √ m!

Ch(cid:243)ng t«i vi(cid:213)t l„i ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.12) d›(cid:237)i d„ng

∞ X m,n=0

(4.24) cn,Q(χ)dm|n, n + Q, miabc. |Φvµoiabc =

B'y giŒ Alice thøc hi(cid:214)n ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha tr“n hai

(4.25) = P −1/2|Ψbi, mode a v(cid:181) c, tr„ng th‚i cæa h(cid:214) ﬁ• chu¨n hªa cª d„ng |Φbi = achφ− N |Φiniabc √ P

v(cid:237)i P l(cid:181) x‚c su˚t ﬁ(cid:211) thu ﬁ›(cid:238)c t(cid:230)ng sŁ h„t photon N v(cid:181) hi(cid:214)u pha φ− v(cid:181) P = hΨb|Ψbi, |φ− N iac l(cid:181) tr„ng th‚i ri“ng cæa to‚n t(cid:246) t(cid:230)ng sŁ h„t photon ˆN = ˆNa + ˆNc v(cid:181) to‚n t(cid:246) hi(cid:214)u pha ˆφ− = ˆφa − ˆφc. Tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c cho

bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh d›(cid:237)i ﬁ'y [88]

N iac =

N X j=0

|φ− (4.26) eijφ−|jia|N − jic, 1 √ 2π

0 ≤ φ− < φ−

0 l(cid:181) mØt sŁ thøc. Ch(cid:243)ng t«i vi(cid:213)t

0 + 2π, φ− ﬁ›(cid:238)c tr„ng th‚i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.25) l(cid:181)

v(cid:237)i φ− l(cid:181) sŁ thøc v(cid:181) φ−

N X n=0

(4.27) |Φbi = P −1/2|Ψbi = cn,Q(χ)dN −ne−inφ−|n + Qib, P −1/2 √ 2π

v(cid:237)i

N X n=0

(4.28) |Ψbi = cn,Q(χ)dN −ne−inφ−|n + Qib. 1 √ 2π

Tı ﬁª

N X n=0

(4.29) P = hbΨ|Ψbi = |cn,Q(χ)|2|dN −n|2. 1 2π

Sau ph—p ﬁo, Alice g(cid:246)i cho Bob c‚c sŁ N v(cid:181) φ− b»ng k“nh th«ng tin

c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. S(cid:246) d(cid:244)ng nh(cid:247)ng sŁ li(cid:214)u n(cid:181)y, Bob xoay pha cæa m(cid:215)nh b»ng s(cid:246) d(cid:244)ng to‚n t(cid:246) unita ˆU = ei( ˆNb−Q)φ− , ˆNb l(cid:181) to‚n t(cid:246) sŁ h„t t‚c d(cid:244)ng l“n tr„ng th‚i cæa

mode b. Tr„ng th‚i cæa Bob trº th(cid:181)nh

N X n=0

|Φi = (4.30) cn,Q(χ)dN −n|n + Qib. P −1/2 √ 2π

Ti(cid:213)p theo, Bob bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i sŁ h„t photon trong tr„ng th‚i cæa m(cid:215)nh tı n + Q

th(cid:181)nh N − n, tr„ng th‚i ra ﬁ›(cid:238)c chu¨n hªa l(cid:181)

N X n=0

cn,Q(χ)dN −n|N − ni |Φrai = P −1/2 √ 2π

N X n=0

= |N − ni. (4.31) cn,Q(χ) P −1/2e−|α|2/2 √ 2π αN −n p(N − n)!

§Ø trung thøc trong qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i n(cid:181)y l(cid:181)

2 cn,Q(χ)|dN −n|2(cid:12) (cid:12) (cid:12)

F = |chα|Φrai|2 = 1 2πP

2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

N X n=0 N X n=0

. = (4.32) cn,Q(χ) (cid:12) (cid:12) (cid:12) e−|α|2 2πP |α|2(N −n) (N − n)! (cid:12) (cid:12) (cid:12)

φ− 0 +2π

Tı ﬁª, ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c cho bºi

φ− 0

2 cn,Q(χ)|dN −n|2(cid:12) (cid:12) (cid:12)

N X n=0

∞ X N =0

Z F P dφ− = . (4.33) Ftb = (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Trong tr›Œng h(cid:238)p χ = |χ| v(cid:181) Q = 0, ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

0 e−2|α|2

N X n=0

∞ X N =0

2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

. (4.34) Ftb = N 2 |χ|n|α|2(N −n) (N − n)!n! (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.34) ﬁ(cid:211) kh¶o

s‚t ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh trong qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p, trong ﬁª Alice s(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha.

H(cid:215)nh 4.3 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa Ftb theo |χ| v(cid:237)i mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa |α|.

K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c n'ng l“n khi |χ| t¤ng,

tłc l(cid:181) ﬁØ ﬁan rŁi t¤ng. §i(cid:210)u n(cid:181)y ﬁŁi l¸p v(cid:237)i k(cid:213)t qu¶ cæa Agarwal v(cid:181) Gabris

trong [53]. C˙n l›u (cid:253) r»ng theo qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i cæa mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

trong [53], ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ch(cid:216) cª th(cid:211) ﬁ„t cao nh˚t c(cid:236) 0.76, nh›ng º

1.0

0.8

0.6

b t F

|Α| = 0.5

0.4

0.2

|Α| = 1.0 |Α| = 2.0

0.0

» Χ»

H×nh 4.3: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o χ = |χ| v(cid:237)i |α| = 0.5 (ﬁ›Œng

li(cid:210)n n—t), |α| = 1 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch) v(cid:181) |α| = 2 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m).

ﬁ'y ch(cid:243)ng t«i ch(cid:216) ra r»ng y(cid:213)u tŁ n(cid:181)y cª th(cid:211) ﬁ„t g˙n ﬁ‹n v(cid:222) n(cid:213)u |χ| (cid:29) |α|.

4.4. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m

photon

C˙n l›u (cid:253) r»ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p v(cid:181) tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai

mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon ch(cid:216) cª th(cid:211) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n

mode. Ch(cid:243)ng kh«ng th(cid:211) thøc hi(cid:214)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) c‚c tr„ng th‚i hai mode

ho˘c ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) theo c‚c giao thłc nh› trong [57], [119].

C‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) n(cid:181)y ﬁ(cid:223)i hÆi ph¶i s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ba mode.

B'y giŒ, ch(cid:243)ng t«i ﬁ›a ra giao thłc m(cid:237)i v(cid:210) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c

tr„ng th‚i ﬁan rŁi hai mode th«ng qua ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ki(cid:211)u pha-sŁ h„t ba

mode. §ª l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon |Ψp,q; h, k, liabc ﬁ›(cid:238)c cho

nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.3). Gi¶ s(cid:246) Alice sº h(cid:247)u mode a, c‚c mode b v(cid:181) c

l(cid:181) cæa Bob. Alice vi(cid:212)n t¶i t(cid:237)i Bob mØt tr„ng th‚i ﬁan rŁi sŁ h„t photon hai

mode 1 v(cid:181) 2 cª d„ng t(cid:230)ng qu‚t l(cid:181)

∞ X m=0

(4.35) |Ψi12 = dm|m + p1, m + p2i12,

trong ﬁª p1 v(cid:181) p2 l(cid:181) c‚c sŁ nguy“n kh«ng 'm v(cid:181) Pm |dm|2 = 1, m = {0, 1, 2, ..., ∞}. C‚c tr„ng th‚i cª d„ng nh› trong (4.35) cª th(cid:211) l(cid:181) tr„ng

th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode [111] ho˘c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p nh› trong

ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.24) v(cid:237)i p1 = 0, p2 = Q. Tr„ng th‚i t(cid:230)ng th(cid:211) cæa h(cid:214) thŁng l(cid:243)c

n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng

§(cid:211) b(cid:190)t ﬁ˙u qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i, Alice thøc hi(cid:214)n ph—p ﬁo ﬁ(cid:229)ng thŒi t(cid:230)ng

sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha tr“n hai mode a v(cid:181) 1. Alice c(cid:242)ng ﬁ(cid:229)ng thŒi thøc

hi(cid:214)n ph—p ﬁo pha tr“n mode 2. T›‹ng tø nh› trong qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng

t(cid:246) th«ng qua tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p, sau ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon N v(cid:181)

hi(cid:214)u pha φ− tr“n hai mode a v(cid:181) 1, tr„ng th‚i cæa h(cid:214) b'y giŒ thu g(cid:228)n th(cid:181)nh

|Ψibc2 = 1ahφ−

N |Ψvµoiabc12 N −h−p1 X n=0

= Cn;h,k,l(ξ)dN −na−p1e−inaφ− 1 √ 2π

(4.37) ×|nb, nc, N − na − p1 + p2ibc2,

N ia1 ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.26). C˙n l›u (cid:253) r»ng trong c‚c

trong ﬁª |φ−

tr„ng th‚i sau mØt sŁ ph—p ﬁo v(cid:181) bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i, ch(cid:243)ng t«i sˇ vi(cid:213)t ch(cid:243)ng d›(cid:237)i d„ng

kh«ng ﬁ›a v(cid:181)o h(cid:214) sŁ chu¨n hªa. §i(cid:210)u n(cid:181)y ﬁ(cid:229)ng ngh(cid:220)a v(cid:237)i vi(cid:214)c ch(cid:243)ng t«i

kh«ng ﬁ(cid:210) c¸p ﬁ(cid:213)n x‚c su˚t c‚c ph—p ﬁo trong nh(cid:247)ng giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng

t(cid:246). B“n c„nh ﬁª, ph—p ﬁo pha cæa Alice t›‹ng łng v(cid:237)i ph—p chi(cid:213)u cæa tr„ng

th‚i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.37) l“n tr„ng th‚i ri“ng pha cæa mode 2 ﬁ›(cid:238)c cho

bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh d›(cid:237)i ﬁ'y [88]

∞ X j=0

(4.38) |φ2i2 = eijφ2|ji2, 1 √ 2π

trong ﬁª φ2 l(cid:181) k(cid:213)t qu¶ ﬁo ﬁ›(cid:238)c, φ02 ≤ φ2 < φ02 + 2π, φ02 l(cid:181) mØt sŁ thøc.

Sau ph—p ﬁo, tr„ng th‚i cæa Bob ﬁ›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p trong d„ng l(cid:181)

|Ψibc = 2hφ2|Ψibc2

= e−i(N −na−p1+p2)φ2 Cn;h,k,l(ξ)dN −na−p1e−inaφ− 1 √ 2π

N −h−p1 X n=0 ×|nb, ncibc.

(4.39)

Sau khi thøc hi(cid:214)n xong c‚c ph—p ﬁo, Alice g(cid:246)i cho Bob t(cid:230)ng sŁ h„t

, photon N , hi(cid:214)u pha φ− v(cid:181) pha φ2 b»ng k“nh th«ng tin c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. Khi cª ﬁ›(cid:238)c c‚c sŁ li(cid:214)u n(cid:181)y, Bob thøc hi(cid:214)n ph—p xoay pha b»ng to‚n t(cid:246) ei( ˆNb+h−p−k)φ−

l(cid:243)c n(cid:181)y tr„ng th‚i cæa Bob trº th(cid:181)nh

N −h−p1 X n=0

(4.40) |Ψibc = Cn;h,k,l(ξ)dN −na−p1e−i(N −na−p1+p2)φ2|nb, ncibc. 1 2π

Ti(cid:213)p theo, Bob thøc hi(cid:214)n c‚c ph—p d(cid:222)ch chuy(cid:211)n sŁ h„t photon trong mode b

tı nb th(cid:181)nh N − na, trong mode c tı nc th(cid:181)nh N − na − p1 + p2 ﬁ(cid:211) thu ﬁ›(cid:238)c

tr„ng th‚i cª d„ng

N −h−p1 X n=0

|Ψibc = Cn;h,k,l(ξ)dN −na−p1e−i(N −na−p1+p2)φ2

(4.41) 1 2π ×|N − na, N − na − p1 + p2ibc.

CuŁi c(cid:239)ng Bob thøc hi(cid:214)n ph—p xoay pha b»ng to‚n t(cid:246) ei ˆNcφ2. Tr„ng th‚i ra

t„i Bob ﬁ›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p th(cid:181)nh

N −h−p1 X n=0

|Ψraibc = Cn;h,k,l(ξ)dN −na−p1

(4.42) 1 2π ×|N − na, N − na − p1 + p2ibc.

§(cid:211) th˚y t(cid:221)nh hi(cid:214)u qu¶ trong giao thłc vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) n(cid:181)y, ch(cid:243)ng ta

h•y kh¶o s‚t y(cid:213)u tŁ ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh. §Ø trung thøc trung b(cid:215)nh trong

φ02+2π

φ− 0 +2π

qu‚ tr(cid:215)nh n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:181)

φ02

φ− 0

Z dφ− Z Ftb = dφ2|21hΨ|Ψraibc|2

2 Cn;h,k,l(ξ)|dN −na−p1|2(cid:12) (cid:12) (cid:12)

N −h−p1 X n=0

∞ X N =h+p1 ∞ X N =h+p1

= . (4.43) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Ch(cid:243)ng t«i x—t tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c vi(cid:212)n t¶i l(cid:181) mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p ﬁ›(cid:238)c

cho nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.24), do ﬁª p1 = 0, p2 = Q, h(cid:214) sŁ khai tri(cid:211)n

ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

, (4.44) dN −na−p1 ≡ NQχN −na p(N − na)!(N − na + Q)!

trong ﬁª NQ ﬁ›(cid:238)c cho bºi trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.25). Tr„ng th‚i ra l(cid:181)

N −h X n=0

|Ψraibc = Cn;h,k,l(ξ)χN −na p(N − na)!(N − na + Q)!

(4.45) NQ 2π ×|N − na, N − na + Qibc.

K(cid:213)t qu¶ ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

N −h X n=0

∞ X N =h

. (4.46) Ftb = N 4 Q Cn;h,k,l(ξ)|χ|2(N −na) (N − na)!(N − na + Q)! (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Tı ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.46), ta d(cid:212) d(cid:181)ng th˚y r»ng cª sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung

thøc trung b(cid:215)nh v(cid:181)o bi“n ﬁØ tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c vi(cid:212)n t¶i |χ|. Khi x—t v(cid:237)i tr›Œng

h(cid:238)p ri“ng l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, tłc l(cid:181) h = k = l = 0, ﬁØ trung thøc

trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l„i l(cid:181)

2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

N X n=0

∞ X N =0

, (4.47) Ftb = N 4 Q cn(ξ)|χ|2(N −n) (N − n)!(N − n + Q)! (cid:12) (cid:12) (cid:12)

v(cid:237)i cn(ξ) ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.37).

Tr›(cid:237)c ti“n, s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.47), ch(cid:243)ng

t«i kh¶o s‚t ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb trong qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246)

cæa mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p th«ng qua tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba. H(cid:215)nh 4.4

bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i p = q = Q = 0 cho mØt sŁ

tr›Œng h(cid:238)p cæa |χ|. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb t¤ng

khi r t¤ng nh›ng l„i gi¶m theo |χ|. §i(cid:210)u n(cid:181)y t›‹ng tø v(cid:237)i tr›Œng h(cid:238)p vi(cid:212)n t¶i

l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p th«ng qua tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p, trong

1.0

0.8

0.6

b t F

0.4

0.2

|Χ| = 1 |Χ| = 2 |Χ| = 5 |Χ| = 10

0.0

10 r

H×nh 4.4: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i p = q = Q = 0

khi |χ| = 1 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), |χ| = 2 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), |χ| = 5 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181)

|χ| = 10 (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m).

ﬁª Alice thøc hi(cid:214)n ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha.

Ti(cid:213)p theo, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.46)

ﬁ(cid:211) kh¶o s‚t ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb trong qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa

mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p th«ng qua tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon.

H(cid:215)nh 4.5 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i p = q = Q = 0 v(cid:181)

|χ| = 1 cho mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa (h, k, l), trong ﬁª (h, k, l) = (0, 0, 0) t›‹ng

łng v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, c‚c tr›Œng h(cid:238)p c(cid:223)n l„i l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

bØ ba th“m photon. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb t¤ng

0.9

0.8

0.7

b t F

0.6

0.5

(0,0,0) (1,1,1) (2,2,2) (3,3,3)

0.4

2 r

H×nh 4.5: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i p = q = Q = 0

v(cid:181) |χ| = 1 khi (h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (1, 1, 1) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), (2, 2, 2)

(ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) (3, 3, 3) (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m).

khi bi“n ﬁØ r v(cid:181)/ho˘c sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o h, k, l t¤ng.

4.5. §i(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ

ba th“m photon

Giao thłc v(cid:210) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra ﬁ˙u ti“n bºi

Karlsson v(cid:181) Bourennane cho h(cid:214) bi(cid:213)n rŒi r„c [75]. Theo giao thłc n(cid:181)y, h(cid:214) ba

ng›Œi g(cid:229)m Alice, Bob v(cid:181) Cliff c(cid:239)ng chia s˛ v(cid:237)i nhau mØt tr„ng th‚i ﬁan rŁi

ba h„t. Alice vi(cid:212)n t¶i t(cid:237)i Bob mØt tr„ng th‚i ﬁ‹n h„t. Trong qu‚ tr(cid:215)nh ﬁª,

ph—p ﬁo ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n bºi Alice v(cid:181) Cliff c(cid:242)ng nh› c‚c bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i cæa Bob.

Trong ph˙n n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i nghi“n cłu qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246)

cæa tr„ng th‚i ﬁ‹n mode th«ng qua tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon.

§(cid:211) thøc hi(cid:214)n ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) mØt tr„ng th‚i ﬁ‹n mode, gi¶ s(cid:246)

h(cid:214) thŁng g(cid:229)m Alice, Cliff v(cid:181) Bob c(cid:239)ng ﬁan rŁi v(cid:237)i nhau th«ng qua tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon |Ψp,q; h, k, liabc trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.3), trong ﬁª

Alice gi(cid:247) mode a, Bob gi(cid:247) mode b v(cid:181) mode c d(cid:181)nh cho Cliff. Gi¶ s(cid:246) Alice

chuy(cid:211)n cho Bob mØt tr„ng th‚i ﬁ‹n mode |ψid cæa mode d. MØt c‚ch t(cid:230)ng

qu‚t, tr„ng th‚i n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t trong d„ng c‚c tr„ng th‚i Fock l(cid:181)

∞ X m=0 v(cid:237)i h(cid:214) sŁ khai tri(cid:211)n dm thÆa m•n Pm |dm|2 = 1, m = {0, 1, 2, ..., ∞}. Tr„ng

(4.48) dm|mid, |ψid =

th‚i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.48) cª th(cid:211) l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

ch‰n l˛ [37] v(cid:181) mØt sŁ tr„ng th‚i kh‚c [98]. Tr„ng th‚i v(cid:181)o cæa c¶ h(cid:214) l(cid:243)c

n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng

Ti(cid:213)p theo, Alice løa ch(cid:228)n mØt trong hai ph—p ﬁo tr“n hai mode a v(cid:181) d, ﬁª l(cid:181)

ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao ho˘c ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha.

Sau khi ho(cid:181)n th(cid:181)nh, Alice sˇ ph¶i g(cid:246)i k(cid:213)t qu¶ cæa ph—p ﬁo cho Bob v(cid:181) Cliff

th«ng qua k“nh th«ng tin c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

4.5.1. S(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao

Ph—p ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao tr“n hai mode a v(cid:181) d t›‹ng

łng v(cid:237)i ph—p chi(cid:213)u cæa tr„ng th‚i trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.49) l“n tr„ng th‚i

ﬁ›(cid:238)c cho trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.5). Sau ph—p ﬁo, tr„ng th‚i cæa h(cid:214) trº th(cid:181)nh

|Ψibc = dahβ|Ψvµoiabcd

= Cn;h,k,l(ξ)dm dhk| ˆDd(−β)|mid ahk|naia|nb, ncibc 1 √ π

∞ X m,n,k=0 ∞ X m,n=0

= (4.50) Cn;h,k,l(ξ)dmhna| ˆD(−β)|mi|nb, ncibc. 1 √ π

Tr„ng th‚i cæa h(cid:214) l(cid:243)c n(cid:181)y v(cid:201)n c(cid:223)n b(cid:222) ﬁan rŁi gi(cid:247)a Bob v(cid:181) Cliff. Bob kh«ng

th(cid:211) t„o ra tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c vi(cid:212)n t¶i n(cid:213)u Cliff ch›a thøc hi(cid:214)n mØt bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i n(cid:181)o

tr“n tr„ng th‚i cæa m(cid:215)nh. Qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) ch(cid:216) ﬁ›(cid:238)c ti(cid:213)p t(cid:244)c khi

Cliff thøc hi(cid:214)n mØt ph—p ﬁo tr“n mode c. Vi(cid:214)c løa ch(cid:228)n ph—p ﬁo cæa Cliff

c(cid:242)ng ¶nh h›ºng ﬁ(cid:213)n qu‚ tr(cid:215)nh d(cid:222)ch chuy(cid:211)n cæa Bob v(cid:210) sau. Nh(cid:247)ng ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y

th(cid:211) hi(cid:214)n vai tr(cid:223) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa Cliff. Trong giao

thłc n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i kh¶o s‚t cho tr›Œng h(cid:238)p Cliff thøc hi(cid:214)n ph—p ﬁo pha. Sau

ph—p ﬁo n(cid:181)y, tr„ng th‚i cæa Bob trº th(cid:181)nh

∞ X m,n,j=0

1 √ |Ψib = chφc|Ψibc = Cn;h,k,l(ξ)dme−ijφchna| ˆD(−β)|mihj|nci|nbib π 2

∞ X m,n=0

1 √ = (4.51) Cn;h,k,l(ξ)dme−incφchna| ˆD(−β)|mi|nbib, π 2

trong ﬁª |φcic ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.38). K(cid:213)t qu¶ φc ﬁ›(cid:238)c Cliff g(cid:246)i

cho Bob th«ng qua k“nh th«ng tin c(cid:230) ﬁi(cid:211)n.

Sau khi cª t˚t c¶ k(cid:213)t qu¶ ﬁo, ﬁ˙u ti“n, Bob d(cid:239)ng to‚n t(cid:246) ei( ˆNb−p−k+p+q+l)φc

t‚c d(cid:244)ng l“n tr„ng th‚i cæa mode b, tr„ng th‚i cæa anh b'y giŒ ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

∞ X m,n=0

1 √ (4.52) |Ψib = Cn;h,k,l(ξ)dmhna| ˆD(−β)|mi|nbib. π 2

Ti(cid:213)p theo, Bob thøc hi(cid:214)n vi(cid:214)c bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i sŁ h„t photon trong mode b tı nb th(cid:181)nh

na. Ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i n(cid:181)y cª th(cid:211) l(cid:181)m t¤ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh cæa qu‚ tr(cid:215)nh

vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) nh› ch(cid:243)ng t«i ﬁ• ch(cid:216) ra trong [34]. CuŁi c(cid:239)ng Bob thøc

hi(cid:214)n bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i mØt l˙n n(cid:247)a tr“n tr„ng th‚i cæa m(cid:215)nh ﬁ(cid:211) cho ra tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c vi(cid:212)n t¶i b»ng s(cid:246) d(cid:244)ng to‚n t(cid:246) d(cid:222)ch chuy(cid:211)n ˆD(β) l(cid:181)

∞ X m,n=0

1 √ (4.53) Cn;h,k,l(ξ)dmhna| ˆD(−β)|mi ˆD(β)|nai. |Ψrai = π 2

Qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i cæa tr„ng th‚i ﬁ‹n mode th«ng qua tr„ng th‚i

ﬁan rŁi ki(cid:211)u pha-sŁ h„t ba mode ﬁ(cid:213)n ﬁ'y ho(cid:181)n t˚t. Nh»m ﬁ‚nh gi‚ t(cid:221)nh hi(cid:214)u

qu¶ cæa qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) º tr“n, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng y(cid:213)u

tŁ ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh. §Ø trung thøc trung b(cid:215)nh cæa qu‚ tr(cid:215)nh n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c

φ0c+2π

ch(cid:243)ng t«i vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng

Ftb = Z d2β Z dφc|dhψ|Ψrai|2

khna| ˆD(−β)|mihk| ˆD(β)|nai(cid:12) (cid:12) (cid:12)

φ0c ∞ X m,n,k=0

= d2β, (4.54) Cn;h,k,l(ξ)dmd∗ 1 π Z (cid:12) (cid:12) (cid:12)

trong ﬁª |ψid v(cid:181) |Ψrai l˙n l›(cid:238)t ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.48) v(cid:181) (4.53),

φ0c l(cid:181) mØt sŁ thøc ﬁ(cid:211) cho φ0c ≤ φc < φ0c + 2π.

Trong vi(cid:214)c łng d(cid:244)ng giao thłc º tr“n, ch(cid:243)ng t«i kh¶o s‚t mØt tr›Œng

h(cid:238)p ti“u bi(cid:211)u nh˚t l(cid:181) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p |αid.

L(cid:243)c n(cid:181)y tr„ng th‚i ra l(cid:181)

∞ X n=0

e−|α−β|2/2 √ (4.55) ˆD(β)|nai. |Ψrai = π 2 Cn;h,k,l(ξ)(α − β)na √ na!

§Ø trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh l(cid:181) (xem Ph(cid:244) l(cid:244)c 4)

m;h,k,l(ξ)(na + ma)!

∞ X m,n=0

Cn;h,k,l(ξ)C∗ . (4.56) Ftb = ma!na!2na+ma+1

Bi(cid:211)u thłc n(cid:181)y cho th˚y ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh kh«ng ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o tr„ng

th‚i ﬁ›(cid:238)c vi(cid:212)n t¶i. §'y l(cid:181) mØt l(cid:238)i th(cid:213) cæa giao thłc ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng

t(cid:246) cª s(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao º Alice. V(cid:237)i ngu(cid:229)n

ﬁan rŁi l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, tłc l(cid:181) h = k = l = 0, ﬁØ trung thøc trung

b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng

m(ξ)(n + m)!

∞ X m,n=0

cn(ξ)c∗ , (4.57) Ftb = m!n!2n+m+1

v(cid:237)i cn(ξ) ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.37).

§˙u ti“n, ch(cid:243)ng t«i th¶o lu¸n v(cid:210) ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb trong

ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.57) ﬁŁi v(cid:237)i qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p khi s(cid:246) d(cid:244)ng k“nh l›(cid:238)ng t(cid:246) l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba.

H(cid:215)nh 4.6 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa Ftb v(cid:181)o ξ = r łng v(cid:237)i mØt v(cid:181)i gi‚ tr(cid:222)

cæa p v(cid:181) q. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh lu«n nh¸n c‚c

gi‚ tr(cid:222) tr“n 0.5. Tłc l(cid:181) qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) lu«n th(cid:181)nh c«ng

v(cid:237)i m(cid:228)i gi‚ tr(cid:222) p, q c(cid:242)ng nh› r 6= 0. Trong mi(cid:210)n r l(cid:237)n, sø gia t¤ng cæa p v(cid:181)

q l(cid:181)m t¤ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh nh›ng ng›(cid:238)c l„i khi r trº n“n r˚t nhÆ.

Cª th(cid:211) nh¸n th˚y khi t¤ng r trong mi(cid:210)n gi‚ tr(cid:222) l(cid:237)n, ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh

b t F

p = q = 0 p = q = 1 p = q = 2 p = q = 3

0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50

6 r

H×nh 4.6: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i p = q = 0 (ﬁ›Œng

li(cid:210)n n—t), p = q = 1 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), p = q = 2 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) p = q = 3

(ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m).

cª xu h›(cid:237)ng gi¶m.

Ti(cid:213)p theo, ch(cid:243)ng t«i s(cid:246) d(cid:244)ng bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.56)

ﬁ(cid:211) kh¶o s‚t ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁŁi v(cid:237)i qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i

l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p khi s(cid:246) d(cid:244)ng k“nh l›(cid:238)ng t(cid:246) l(cid:181) tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon. H(cid:215)nh 4.7 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa Ftb v(cid:181)o

ξ = r łng v(cid:237)i mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) p, q, h, k v(cid:181) l. So s‚nh c‚c h(cid:215)nh vˇ 4.6 v(cid:181) 4.7,

ta cª th(cid:211) nh¸n th˚y sø bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh theo p v(cid:181) q º

ngu(cid:229)n ﬁan rŁi l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon giŁng v(cid:237)i ngu(cid:229)n ﬁan

rŁi l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba. Tuy nhi“n, khi th“m photon v(cid:181)o tr„ng th‚i

k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh cª xu h›(cid:237)ng gi¶m nh(cid:209). §i(cid:210)u ﬁª ﬁ›(cid:238)c

th(cid:211) hi(cid:214)n khi ﬁŁi chi(cid:213)u c‚c h(cid:215)nh 4.7 (a) v(cid:181) 4.7 (b) v(cid:237)i nhau trong c(cid:239)ng gi‚ tr(cid:222)

0.7

0.6

0.5

0.4

b t F

0.4

0.3

(b)

p = q = 0 p = q = 1 p = q = 2 p = q = 3

(a)

0.2

6 r

H×nh 4.7: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i (a) h = k = l = 1

v(cid:181) (b) h = k = l = 2 khi p = q = 0 (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), p = q = 1 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch),

p = q = 2 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) p = q = 3 (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m).

c‚c tham sŁ p, q v(cid:181) r.

4.5.2. S(cid:246) d(cid:244)ng ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha

K(cid:213)t qu¶ trong qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p

trong ph˙n tr›(cid:237)c ﬁ• th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng khi Alice ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u

pha th(cid:215) vi(cid:214)c t¤ng ﬁØ ﬁan rŁi cª th(cid:211) c¶i thi(cid:214)n ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh. V(cid:215)

v¸y, trong ﬁ(cid:210) xu˚t cæa ch(cid:243)ng t«i v(cid:210) ki(cid:211)u ﬁo thł hai cæa Alice, c« sˇ thøc

0 l(cid:181) mØt sŁ thøc. Sau ph—p ﬁo, tr„ng th‚i ra cæa h(cid:214)

0 + 2π, φ−

hi(cid:214)n ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha tr“n hai mode a v(cid:181) d ﬁ(cid:211) cho ra k(cid:213)t

qu¶ t(cid:230)ng h„t photon N v(cid:181) hi(cid:214)u pha φ−, trong ﬁª N l(cid:181) tr(cid:222) ri“ng cæa to‚n t(cid:246) t(cid:230)ng h„t ˆN = ˆNd + ˆNa, φ− l(cid:181) tr(cid:222) ri“ng to‚n t(cid:246) hi(cid:214)u pha ˆφ− = ˆφd − ˆφa v(cid:181) 0 ≤ φ− < φ− φ− cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t theo ph—p chi(cid:213)u l(cid:181)

N |Ψvµoiabcd,

(4.58) |Ψibc = dahφ−

N iad ﬁ›(cid:238)c cho nh› trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.26). Ch(cid:243)ng t«i vi(cid:213)t ﬁ›(cid:238)c tr„ng th‚i |Ψibc

trong ﬁª |Ψvµoiabcd ﬁ• ﬁ›(cid:238)c cho trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.49) v(cid:181) tr„ng th‚i |φ−

trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.58) d›(cid:237)i d„ng t›Œng minh l(cid:181)

N −h X n=0

(4.59) |Ψibc = Cn;h,k,l(ξ)dN −nae−inaφ−|nb, ncibc. 1 √ 2π

Alice g(cid:246)i c‚c k(cid:213)t qu¶ bao g(cid:229)m N v(cid:181) φ− cho Bob v(cid:181) Cliff b»ng k“nh

th«ng tin c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. T›‹ng tø nh› trong tr›Œng h(cid:238)p Alice thøc hi(cid:214)n ph—p ﬁo

c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n ﬁØ trøc giao, Cliff th(cid:211) hi(cid:214)n vai tr(cid:223) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n cæa m(cid:215)nh

khi ti(cid:213)p t(cid:244)c thøc hi(cid:214)n qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i b»ng vi(cid:214)c løa ch(cid:228)n thøc hi(cid:214)n mØt

trong nhi(cid:210)u ph—p ﬁo kh‚c nhau tr“n mode c. Ch(cid:243)ng t«i v(cid:201)n kh¶o s‚t cho

tr›Œng h(cid:238)p Cliff thøc hi(cid:214)n ph—p ﬁo pha. Ph—p ﬁo t›‹ng tø nh› trong ph›‹ng

tr(cid:215)nh (4.51). Sau ph—p ﬁo pha n(cid:181)y, tr„ng th‚i cæa Bob trº th(cid:181)nh

N −h X n=0

(4.60) |Ψib = e−incφc|nbi. Cn;h,k,l(ξ)dN −nae−inaφ− 1 2π

Cliff g(cid:246)i k(cid:213)t qu¶ ﬁo φc cho Bob th«ng qua k“nh th«ng tin c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. Sau khi

cª t˚t c¶ c‚c k(cid:213)t qu¶ ﬁo, Bob thøc hi(cid:214)n ph—p xoay pha tr„ng th‚i cæa m(cid:215)nh v(cid:181) ei( ˆNb−k+q)φc. L(cid:243)c n(cid:181)y tr„ng th‚i b»ng s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c to‚n t(cid:246) ei( ˆNb−p−k+h)φ−

c(cid:223)n l„i t„i Bob ﬁ›(cid:238)c s(cid:190)p x(cid:213)p th(cid:181)nh

N −h X n=0

(4.61) |Ψib = Cn;h,k,l(ξ)dN −na|nbib. 1 2π

CuŁi c(cid:239)ng, Bob thøc hi(cid:214)n ph—p d(cid:222)ch chuy(cid:211)n sŁ h„t photon tı nb th(cid:181)nh N − na

ﬁ(cid:211) cho ra tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c vi(cid:212)n t¶i

N −h X n=0

(4.62) |Ψrai = Cn;h,k,l(ξ)dN −na|N − nai. 1 2π

φ0c+2π

φ− 0 +2π

§Ø trung thøc trung b(cid:215)nh l(cid:243)c n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243)ng t«i vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng

φ0c

φ− 0

Z dφ− Z Ftb = dφc|dhψ|Ψrai|2

2 Cn;h,k,l(ξ)|dN −na|2(cid:12) (cid:12) (cid:12)

N −h X n=0

∞ X N =h ∞ X N =h

= . (4.63) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

B'y giŒ, ch(cid:243)ng t«i ‚p d(cid:244)ng cho tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c vi(cid:212)n t¶i l(cid:181) mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p |αid, khi ﬁª tr„ng th‚i ra t„i Bob l(cid:181)

N −h X n=0

(4.64) Cn;h,k,l(ξ) |N − nai. |Ψrai = e−|α|2/2 2π αN −na p(N − na)!

§Ø trung thøc trung b(cid:215)nh trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y l(cid:181)

2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

N −h X n=0

∞ X N =h

. (4.65) Ftb = e−2|α|2 Cn;h,k,l(ξ) |α|2(N −na) (N − na)! (cid:12) (cid:12) (cid:12)

V(cid:237)i ngu(cid:229)n ﬁan rŁi l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, tłc l(cid:181) h = k = l = 0, ﬁØ trung

thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t t›Œng minh l(cid:181)

2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

N X n=0

∞ X N =0

, (4.66) Ftb = e−2|α|2 cn(ξ) |α|2(N −n) (N − n)! (cid:12) (cid:12) (cid:12)

1.0

0.8

0.6

b t F

0.4

0.2

|Α| = 0.5 |Α| = 1.0 |Α| = 1.5 |Α| = 2.0

0.0

6 r

H×nh 4.8: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i |α| = 0.5 (ﬁ›Œng

li(cid:210)n n—t), |α| = 1.0 (ﬁ›Œng g„ch - g„ch), |α| = 1.5 (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) |α| = 2.0 (ﬁ›Œng

ch˚m - ch˚m).

v(cid:237)i cn(ξ) ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.37).

Tr›(cid:237)c ti“n, ch(cid:243)ng t«i th¶o lu¸n v(cid:210) ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh trong qu‚

tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:237)i ngu(cid:229)n ﬁan

rŁi l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th«ng qua ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181)

hi(cid:214)u pha º Alice. Døa v(cid:181)o bi(cid:211)u thłc gi¶i t(cid:221)ch trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.66),

h(cid:215)nh 4.8 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i p = q = 0 łng v(cid:237)i

mØt sŁ tr›Œng h(cid:238)p cæa |α|. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh

t¤ng nhanh t(cid:237)i ﬁ‹n v(cid:222) khi bi“n ﬁØ cæa ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ξ = r t¤ng. B“n c„nh

ﬁª, ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ„t gi‚ tr(cid:222) cao khi bi“n ﬁØ cæa tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c

vi(cid:212)n t¶i |α| nhÆ. Ngo(cid:181)i ra, Ftb b(cid:222) gi¶m nh(cid:209) khi t¤ng p v(cid:181)/ho˘c q. V(cid:221) d(cid:244) khi

0.9

0.8

b t F

0.7

(0,0,0) (1,1,1) (2,2,2) (3,3,3)

0.6

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 r

H×nh 4.9: Sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i p = q = 0 v(cid:181)

|α| = 0.5 khi (h, k, l) = (0, 0, 0) (ﬁ›Œng li(cid:210)n n—t), (h, k, l) = (1, 1, 1) (ﬁ›Œng g„ch - g„ch),

(h, k, l) = (2, 2, 2) (ﬁ›Œng g„ch - ch˚m) v(cid:181) (h, k, l) = (3, 3, 3) (ﬁ›Œng ch˚m - ch˚m).

ξ = r = 1, |α| = 0.5, p = q = 1 (2) th(cid:215) Ftb ≈ 76.6% (72.2%).

Ti(cid:213)p theo, v(cid:237)i ngu(cid:229)n ﬁan rŁi l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon,

h(cid:215)nh 4.9 bi(cid:211)u di(cid:212)n sø ph(cid:244) thuØc cæa ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh Ftb trong ph›‹ng

tr(cid:215)nh (4.65) v(cid:181)o ξ = r v(cid:237)i p = q = 0 cho mØt sŁ gi‚ tr(cid:222) cæa (h, k, l), trong ﬁª

tr›Œng h(cid:238)p (h, k, l) = (0, 0, 0) łng v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, c‚c tr›Œng

h(cid:238)p kh‚c l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon. Nh› kœ v(cid:228)ng cæa ch(cid:243)ng

t«i, ph—p th“m photon ﬁ• l(cid:181)m t¤ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh. §Ø trung thøc

trung b(cid:215)nh c(cid:181)ng l(cid:237)n khi sŁ photon th“m v(cid:181)o ba mode cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p

bØ ba c(cid:181)ng cao. §'y l(cid:181) mØt k(cid:213)t qu¶ h(cid:213)t słc (cid:253) ngh(cid:220)a trong vi(cid:214)c d(cid:239)ng t‚c ﬁØng

th“m photon ﬁ(cid:211) c¶i thi(cid:214)n hi(cid:214)u qu¶ cæa c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246).

4.6. K(cid:213)t lu¸n

Trong ch›‹ng n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ngu(cid:229)n ﬁan rŁi l(cid:181) tr„ng th‚i

ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p

ﬁ(cid:211) ho(cid:181)n thi(cid:214)n qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p. Trong

tr›Œng h(cid:238)p ngu(cid:229)n ﬁan rŁi l(cid:181) tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t

th“m photon, ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh cª th(cid:211) ti(cid:213)n t(cid:237)i ﬁ‹n v(cid:222) khi tham sŁ n—n

cª gi‚ tr(cid:222) l(cid:237)n. N(cid:213)u ngu(cid:229)n ﬁan rŁi l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p, ﬁØ trung thøc

trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c c¶i thi(cid:214)n v(cid:181) cª th(cid:211) ti(cid:213)n t(cid:237)i ﬁ‹n v(cid:222) khi t¤ng tham sŁ Q (khi

Q d›‹ng). Th“m v(cid:181)o ﬁª, trong ph—p ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha cæa

Alice, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• ch(cid:216) ra r»ng khi t¤ng gi‚ tr(cid:222) cæa |χ| (t›‹ng łng v(cid:237)i t¤ng

ﬁØ ﬁan rŁi) th(cid:215) ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh c(cid:242)ng ﬁ›(cid:238)c t¤ng l“n.

§Łi v(cid:237)i vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• s(cid:246)

d(cid:244)ng ngu(cid:229)n ﬁan rŁi l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon ﬁ(cid:211) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng

t(cid:246) c‚c tr„ng th‚i ﬁan rŁi ki(cid:211)u pha-sŁ h„t hai mode. C‚c k(cid:213)t qu¶ kh¶o s‚t cæa

ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ• th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) l(cid:181) th(cid:181)nh

c«ng. B“n c„nh ﬁª, khi gia t¤ng ﬁØ ﬁan rŁi trong c‚c ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ba mode

(v(cid:221) d(cid:244) t¤ng bi“n ﬁØ r cæa ngu(cid:229)n ﬁan rŁi ho˘c t¤ng sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o)

ﬁ• t¤ng c›Œng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh. §'y l(cid:181) k(cid:213)t qu¶ m(cid:237)i trong łng d(cid:244)ng

cæa tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ba mode v(cid:181)o th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246).

§Łi v(cid:237)i qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i ﬁ‹n

mode b»ng tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon, k(cid:213)t qu¶ ﬁ• th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng

qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) th(cid:181)nh c«ng. Trong ph—p ﬁo c‚c th(cid:181)nh ph˙n bi“n

ﬁØ trøc giao cæa Alice, sø gia t¤ng c‚c tham sŁ p, q c(cid:242)ng nh› bi“n ﬁØ c‚c

ngu(cid:229)n ﬁan rŁi r ﬁ• t¤ng c›Œng y(cid:213)u tŁ ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh. §˘c bi(cid:214)t,

trong ph—p ﬁo thł hai cæa Alice l(cid:181) ﬁo t(cid:230)ng sŁ h„t photon v(cid:181) hi(cid:214)u pha, k(cid:213)t qu¶

th(cid:243) v(cid:222) l(cid:181) vi(cid:214)c th“m photon ﬁ• kh«ng ch(cid:216) l(cid:181)m t¤ng ﬁØ ﬁan rŁi m(cid:181) c(cid:223)n n'ng

cao ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh cæa qu‚ tr(cid:215)nh ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246). Nh›

v¸y, cho ﬁ(cid:213)n nay t‚c ﬁØng th“m photon l“n h(cid:214) ba mode ﬁ• ﬁ›(cid:238)c ch(cid:243)ng t«i

nghi“n cłu c¶ v(cid:210) m˘t c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) łng d(cid:244)ng. K(cid:213)t qu¶ th(cid:211)

hi(cid:214)n r»ng t‚c ﬁØng th“m photon kh«ng ch(cid:216) c¶i thi(cid:214)n ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa tr„ng

th‚i ba mode ban ﬁ˙u m(cid:181) nª c(cid:223)n n'ng cao hi(cid:214)u qu¶ cæa c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng

t(cid:246) trong c˚p ﬁØ ba mode, c(cid:244) th(cid:211) l(cid:181) trong c‚c qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) trong

100

th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246).

KÕt luËn chung

Trong thŒi gian g˙n ﬁ'y, ﬁ(cid:211) n'ng cao hi(cid:214)u qu¶ trong thøc hi(cid:214)n c‚c nhi(cid:214)m

v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246), ng›Œi ta ﬁ• nghi“n cłu k(cid:252) thu¸t th“m photon l“n c‚c tr„ng th‚i

ﬁ‹n v(cid:181) hai mode nh»m t¤ng c›Œng ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa ch(cid:243)ng. C(cid:239)ng xu h›(cid:237)ng

ﬁª, mº rØng sang h(cid:214) ba mode, ch(cid:243)ng t«i nghi“n cłu vi(cid:214)c t¤ng c›Œng ﬁØ phi

c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba. Ch(cid:243)ng t«i ﬁ• thu ﬁ›(cid:238)c mØt sŁ k(cid:213)t

qu¶ ch(cid:221)nh nh› sau:

Thł nh˚t, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• ﬁ›a ra hai tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ba mode m(cid:237)i

b»ng c‚ch th“m photon ﬁ(cid:222)nh xł v(cid:181) kh«ng ﬁ(cid:222)nh xł l“n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ

ba, ﬁª l(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon. Th«ng qua ﬁØ 'm cæa h(cid:181)m Wigner, ﬁØ n—n t(cid:230)ng

ba mode v(cid:181) ﬁØ ﬁan rŁi, ch(cid:243)ng t«i nh¸n th˚y r»ng hai tr„ng th‚i m(cid:237)i th(cid:211) hi(cid:214)n

t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n m„nh h‹n so v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba. M˘t kh‚c, ﬁØ

n—n t(cid:230)ng cæa hai tr„ng th‚i m(cid:237)i ﬁ›(cid:238)c t¤ng l“n khi t¤ng sŁ c‚c photon th“m

v(cid:181)o. §i(cid:210)u ﬁ˘c bi(cid:214)t l(cid:181) hai tr„ng th‚i m(cid:237)i n(cid:181)y ﬁan rŁi ho(cid:181)n to(cid:181)n v(cid:181) cª ﬁØ ﬁan

rŁi ﬁ›(cid:238)c t¤ng c›Œng khi t¤ng sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o. §'y l(cid:181) c‹ sº ﬁ(cid:211) ch(cid:243)ng

t«i s(cid:246) d(cid:244)ng hai tr„ng th‚i n(cid:181)y v(cid:181)o vi(cid:214)c thøc hi(cid:214)n c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246).

Thł hai, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• ﬁ(cid:210) xu˚t ba s‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m m(cid:237)i t„o ra ba tr„ng

th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ba mode bao g(cid:229)m tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, tr„ng th‚i k(cid:213)t

h(cid:238)p bØ ba th“m photon v(cid:181) tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon.

C‚c s‹ ﬁ(cid:229) s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c thi(cid:213)t b(cid:222) quang cª s‰n v(cid:237)i c«ng ngh(cid:214) hi(cid:214)n nay nh› bØ

t‚ch ch(cid:239)m, bØ d(cid:222)ch pha, tinh th(cid:211) phi tuy(cid:213)n Kerr, bØ chuy(cid:211)n ﬁ(cid:230)i tham sŁ v(cid:181)

ﬁ˙u d(cid:223) quang. §i(cid:211)m chung cæa c¶ ba s‹ ﬁ(cid:229) t„o ra nh(cid:247)ng tr„ng th‚i n(cid:181)y l(cid:181)

c‚c tr„ng th‚i ﬁ›(cid:238)c t„o ra cª th(cid:211) lan truy(cid:210)n tø do trong kh«ng gian mº ﬁ(cid:211)

101

thøc hi(cid:214)n c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) m„ng l›(cid:237)i ho˘c cª ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n. B“n c„nh

ﬁª, c‚c k(cid:213)t qu¶ kh¶o s‚t ﬁ• th(cid:211) hi(cid:214)n r»ng c¶ ba tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n n(cid:181)y

ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c t„o ra v(cid:237)i ﬁØ trung thøc r˚t cao v(cid:181) cª th(cid:211) ﬁ„t t(cid:237)i ﬁ‹n v(cid:222).

Thł ba, b»ng vi(cid:214)c t¤ng ﬁØ ﬁan rŁi cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p v(cid:181) tr„ng

th‚i ch'n kh«ng n—n hai mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• ch(cid:216) ra

r»ng ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh cæa c‚c qu‚ tr(cid:215)nh vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) mØt tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ›(cid:238)c t¤ng c›Œng. §˘c bi(cid:214)t, v(cid:237)i vi(cid:214)c s(cid:246) d(cid:244)ng ngu(cid:229)n ﬁan rŁi l(cid:181)

tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• ﬁ›a ra c‚c giao thłc m(cid:237)i

v(cid:210) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa nh(cid:247)ng tr„ng th‚i ﬁan rŁi hai mode v(cid:181) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n

t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa nh(cid:247)ng tr„ng th‚i ﬁ‹n mode. K(cid:213)t qu¶ kh¶o s‚t ﬁ• th(cid:211) hi(cid:214)n

r»ng khi t¤ng ﬁØ ﬁan rŁi trong tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon, c‚c ﬁØ

trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c t¤ng l“n. B“n c„nh ﬁª, c‚c ﬁØ trung thøc trung

b(cid:215)nh c(cid:242)ng ﬁ›(cid:238)c c¶i thi(cid:214)n bºi t¤ng sŁ c‚c photon th“m v(cid:181)o ba mode cæa tr„ng

th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba.

Tªm l„i, v(cid:237)i c‚c k(cid:213)t qu¶ nh› tr“n, ch(cid:243)ng t«i k(cid:213)t lu¸n r»ng m(cid:244)c ti“u c¶i

thi(cid:214)n ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) n'ng cao hi(cid:214)u qu¶ cæa vi(cid:214)c thøc hi(cid:214)n c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244)

l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n b»ng ph—p th“m photon º c˚p ﬁØ ba

mode l(cid:181) ﬁ• ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c. Lu¸n ‚n n(cid:181)y cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c ph‚t tri(cid:211)n b»ng c‚ch nghi“n

cłu łng d(cid:244)ng c‚c tr„ng th‚i ba mode m(cid:237)i m(cid:181) ch(cid:243)ng t«i ﬁ• ﬁ›a ra v(cid:181)o c‚c

nhi(cid:214)m v(cid:244) kh‚c trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246) nh› chia s˛ b(cid:221) m¸t l›(cid:238)ng t(cid:246) hay ﬁ(cid:229)ng

vi(cid:212)n t„o tr„ng th‚i. Th“m v(cid:181)o ﬁª, ﬁ(cid:210) t(cid:181)i cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c mº rØng theo h›(cid:237)ng

nghi“n cłu vi(cid:214)c t¤ng c›Œng ﬁØ phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) n'ng cao hi(cid:214)u qu¶ trong thøc

hi(cid:214)n c‚c nhi(cid:214)m v(cid:244) l›(cid:238)ng t(cid:246) b»ng k(cid:252) thu¸t th“m photon l“n c‚c tr›Œng bŁn

102

mode v(cid:181) nhi(cid:210)u h‹n.

Danh m(cid:244)c c‚c b(cid:181)i b‚o ﬁ• c«ng bŁ cª li“n quan ﬁ(cid:213)n

lu¸n ‚n

1. Truong Minh Duc, Tran Quang Dat, Nguyen Ba An and Jaewan Kim

(2013), \Scheme for the generation of freely traveling optical trio coherent

states", Physical Review A 88, pp. 022320(1-8).

2. Tran Quang Dat, Truong Minh Duc and Ho Sy Chuong (2018), \Improve-

ment quantum teleportation via the pair coherent states", Journal of Physics:

Conference Series 1034, pp. 012004(1-6).

3. Truong Minh Duc and Tran Quang Dat (2020), \Enhancing nonclassical

and entanglement properties of trio coherent states by photon-addition", Optik

210, pp. 164479(1-11).

4. Tran Quang Dat and Truong Minh Duc (2020), \Nonclassical properties

of the superposition of three-mode photon-added trio coherent state", Inter-

national Journal of Theoretical Physics 59, pp. 3206-3216.

5. Truong Minh Duc, Tran Quang Dat and Ho Sy Chuong (2020), \Quan-

tum entanglement and teleportation in superposition of multiple-photon-added

two-mode squeezed vacuum state", International Journal of Modern Physics

B 34(25), pp. 2050223(1-9).

6. Tran Quang Dat and Truong Minh Duc (2020), \Higher-order nonclas-

sical and entanglement properties in photon-added trio coherent state", Hue

University Journal of Science: Natural Science 129(1B), pp. 49-55.

7. Tran Quang Dat and Truong Minh Duc (2020), \Improvement of quantum

teleportation and controlled quantum teleportation via photon-added trio co-

herent state", ﬁ• g(cid:246)i ﬁ¤ng t„p ch(cid:221) Journal of Physics B: Atomic, Molecular

103

and Optical Physics.

Tµi liÖu tham kh¶o

I. Ti(cid:213)ng Vi(cid:214)t

1. Tr˙n Quang §„t (2011), \Kh¶o s‚t t(cid:221)nh ﬁan ﬁan rŁi v(cid:181) chuy(cid:211)n v(cid:222) l›(cid:238)ng

t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba", LuËn v¨n th¹c sÜ VËt lý, Tr›Œng §„i

h(cid:228)c S› ph„m, §„i h(cid:228)c Hu(cid:213).

2. §˘ng H(cid:247)u §(cid:222)nh (2017), \Kh¶o s‚t c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181) v¸n d(cid:244)ng

c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n v(cid:181)o th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246)", LuËn ¸n tiÕn sÜ VËt

lý, Tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m, §„i h(cid:228)c Hu(cid:213).

3. Tr›‹ng Minh §łc (2006), \Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p phi tuy(cid:213)n K h„t, tr„ng

th‚i c‚i qu„t, tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n cæa

ch(cid:243)ng", LuËn ¸n tiÕn sÜ VËt lý, Tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m H(cid:181) NØi.

4. Nguy(cid:212)n Th(cid:222) Xu'n Ho(cid:181)i (2016), \Nghi“n cłu c‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n,

d(cid:223) t(cid:215)m ﬁan ﬁan rŁi v(cid:181) vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) cæa mØt sŁ tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

m(cid:237)i", LuËn ¸n tiÕn sÜ VËt lý, Tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m, §„i h(cid:228)c Hu(cid:213).

II. Ti(cid:213)ng Anh

5. Aasi J., Abadie J., Abbott B. P., et al. (2013), \Enhanced sensitivity of

the LIGO gravitational wave detector by using squeezed states of light",

Nature Photonics 7, pp. 613-619.

6. Agarwal G. S. and Biswas A. (2005), \Quantitative measures of en-

tanglement in pair-coherent states", Journal of Optics B: Quantum and

Semiclassical Optics 7, pp. 350-354.

104

7. Agarwal G. S. and Tara K. (1991), \Nonclassical properties of states

generated by the excitations on a coherent state", Physical Review A 43,

pp. 492-497.

8. Agarwal G. S. and Wolf E. (1970), \Calculus for functions of noncom-

muting operators and general phase-space methods in quantum mechan-

ics. I. Mapping theorems and ordering of functions of noncommuting

operators", Physical Review D 2, pp. 2161-2186.

9. An N. B. (2002), \Multimode higher-order antibunching and squeezing

in trio coherent states", Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical

Optics 4, pp. 222-227.

10. An N. B. (2003), \Teleportation of coherent state superpositions within

a network", Physical Review A 68, pp. 022321(1-6).

11. An N. B. (2003), \Even and odd trio coherent states: number distri-

bution, squeezing and realization scheme", Physics Letters A 312, pp.

268-276.

12. An N. B. (2004), \Quantum dialogue", Physics Letters A 328, pp. 6-10.

13. An N. B. (2004), \Optimal processing of quantum information via W -

type entangled coherent states", Physical Review A 69, pp. 022315(1-9).

14. An N. B. (2009), \Teleportation of a general two-mode coherent-state su-

perposition via attenuated quantum channels with ideal and/or threshold

detectors", Physics Letters A 373, pp. 1701-1707.

15. An N. B. and Duc T. M. (2002), \Trio coherent states", Journal of optics

105

B: Quantum and Semiclassical Optics 4, pp. 80-85.

16. An N. B. and Duc T. M. (2002), \Generation of three-mode nonclassical

vibrational states of ions", Physical Review A 66, pp. 065401(1-3).

17. An N. B. and Kim J. (2008), \Joint remote state preparation", Journal of

Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 41, pp. 095501(1-6).

18. An N. B., Kim J. and Kim K. (2011), \Generation of cluster-type entan-

gled coherent states using weak nonlinearities and intense laser beams",

Quantum Information and Computation 11, pp. 0124-0141.

19. Banaszek K. and Wªdkiewicz K. (1998), \Nonlocality of the Einstein-

Podolsky-Rosen state in the Wigner representation", Physical Review A

58, pp. 4345-4347.

20. Bennett C. H., Bernstein H. J., Popescu S. and Schumacher B. (1996),

\Concentrating partial entanglement by local operations", Physical Re-

view A 53, pp. 2046-2052.

21. Bennett C. H., Brassard G., Cr—peau C., Jozsa R., Peres A. and Wootters

W. K. (1993), \Teleporting an unknown quantum state via dual classic

and Einstein-Podolsky-Rosen channels", Physical Review Letters 70(13),

pp. 1895-1899.

22. Bennett C. H., DiVincenzo D. P., Shor P. W., Smolin J. A., Terhal B.

M. and Wootters W. K. (2001), \Remote state preparation", Physical

Review Letters 87(7), pp. 077902(1-4).

23. Braunstein S. L. and Kimble H. J. (1998), \Teleportation of continuous

quantum variables", Physical Review Letters 80, pp. 869-872.

24. Braunstein S. L. and Loock P. V. (2000), \Quantum information with

106

continuous variables", Reviews of Modern Physics 77(2), pp. 513-577.

25. Cao Z. L. and Song W. (2005), \Teleportation of a two-particle entan-

gled state via W class states", Physica A: Statistical Mechanics and its

Applications 347, pp. 177-183.

26. Cavalcanti D. and Skrzypczyk P. (2017), \Quantum steering: a re-

view with focus on semidefinite programming", Reports on Progress

in Physics 80, pp. 024001(1-30).

27. Caves C. M. and Schumaker B. L. (1985), \New formalism for two-

photon quantum optics. I. Quadrature phases and squeezed states",

Physical Review A 31, pp. 3068-3093.

28. Chai C. (1992), \Two-mode nonclassical state via superpositions of two-

mode coherent states", Physical Review A 46(11), pp. 7187-7191.

29. Chou K. S., Blumoff J. Z., Wang C. S., Reinhold P. C. and Axline C.

J. (2018), \Deterministic teleportation of a quantum gate between two

logical qubits", Nature 561, pp. 368-373.

30. Clark J. B., Lecocq F., Simmonds R. W., Aumentado J. and Teufel J.

D. (2017), \Sideband cooling beyond the quantum backaction limit with

squeezed light", Nature 541, pp. 191-195.

31. Cochrane P. T., Milburn G. J. and Munro W. J. (2000), \Teleportation

using coupled oscillator states", Physical Review A 62, pp. 062307(1-8).

32. Crnugelj J., Martinis M. and Martinis V. M. (1993), \A dynamical model

of deformed coherent states for multiplicity distributions and correla-

.. oll L. and Welsch D. G. (1998), \Photon-added state

tions", Physics Letters B 318, pp. 227-230.

107

33. Dakna M., Kn

preparation via conditional measurement on a beam splitter", Optics

Communications 145, pp. 309-321.

34. Dat T. Q., Duc T. M. and Chuong H. S. (2018), \Improvement quantum

teleportation via the pair coherent states", Journal of Physics: Confer-

ence Series 1034, pp. 012004(1-6).

35. Dat T. Q. and Duc T. M. (2020), \Higher-order nonclassical and entan-

glement properties in photon-added trio coherent state", Hue University

Journal of Science: Natural Science 129(1B), pp. 49-55.

36. Dat T. Q. and Duc T. M. (2020), \Nonclassical properties of the super-

position of three-mode photon-added trio coherent state", International

Journal of Theoretical Physics 59, pp. 3206-3216.

37. Dodonov V. V., Malkin I. A. and Man’ko V. I. (1974), \Even and odd

coherent states and excitations of a singular oscillator", Physica 72(3),

pp. 597-615.

38. Dodonov V. V., Marchiolli M. A., Korennoy Y. A., Man’ko V. I. and

Moukhin Y. A. (1998), \Dynamical squeezing of photon-added coherent

states", Physical Review A 58, pp. 4087-4094.

39. Dong Y. L., Zou X. B. and Guo G. C. (2008), \Generation of pair

coherent state using weak cross-Kerr media", Physics Letters A 372, pp.

5677-5680.

40. Duan M., Giedke G., Cirac J. I. and Zoller P. (2000), \Inseparability

criterion for continuous variable systems", Physical Review Letters 84,

108

pp. 2722-2725.

41. Duc T. M. and Dat T. Q. (2020), \Enhancing nonclassical and entangle-

ment properties of trio coherent states by photon-addition", Optik 210,

pp. 164479(1-11).

42. Duc T. M., Dat T. Q., An N. B. and Kim J. (2013), \Scheme for the gen-

eration of freely traveling optical trio coherent states", Physical Review

A 88, pp. 022320(1-8).

43. Duc T. M., Dat T. Q. and Chuong H. S. (2020), \Quantum entanglement

and teleportation in superposition of multiple-photon-added two-mode

squeezed vacuum state", International Journal of Modern Physics B

34(25), pp. 2050223(1-9).

44. Duc T. M., Dinh D. H. and Dat T. Q. (2016), \Even and odd charge coher-

ent states: Higher-order nonclassical properties and generation scheme",

International Journal of Theoretical Physics 55, pp. 3027-3040.

45. Duc T. M., Dinh D. H. and Dat T. Q. (2020), \Higher-order nonclassical

properties of nonlinear charge pair cat states", Journal of Physics B:

Atomic, Molecular and Optical Physics 53, pp. 025402(1-7).

46. Duc T. M. and J. Noh (2008), \Higher-order properties of photon-added

coherent states", Optics Communications 281(10), pp. 2842-2848.

47. Duc T. M., Noh J. and Kim K. (2008), \Entanglement criteria in in-

equality for pair and trio coherent states", Advances in Natural Sciences

9(2), pp. 123-132.

48. Einstein A., Podolsky B. and Rosen N. (1935), \Can quantum mechani-

cal description of physical reality be considered completete?", Physical

109

Review 47, pp. 777-780.

49. Fan H. and Jiang N. Q. (2002), \New three-mode Einstein-Podolsky-

Rosen entangled state representation and its application in squeezing

theory", Chinese Physics Letters 19(10), pp. 1403-1406.

50. Fan H. and Yu G. (2002), \Three-mode squeezed vacuum state in Fock

space as an entangled state", Physical Review A 65, pp. 033829(1-7).

51. Fiur‚sek J. (2002), \Conditional generation of N -photon entangled states

of light", Physical Review A 65, pp. 053818(1-6).

52. Furusawa A., Sorensen J. L., Braunstein S. L., Fuchs C. A., Kimble H. J.

and Polzik E. S. (1998), \Unconditional quantum teleportation", Science

282, pp. 706-709.

53. Gabris A. and Agarwal G. S. (2007), \Quantum teleportation with pair-

coherent states", International Journal of Quantum Information 5, pp.

17-22.

54. Gerry C. and Knight P. (2005), \Introductory Quantum Optics", Cam-

bridge University Press.

55. Giedke G., Kraus B., Lewenstein M. and Cirac J. I. (2001), \Separability

properties of three-mode Gaussian states", Physical Review A 64, pp.

052303(1-10).

56. Glauber R. J. (1963), \The quantum theory of optical coherence", Phys-

ical Review 130, pp. 2529-2539.

57. Gorbachev V. N., Zhiliba A. I. and Trubilko A. I. (2001), \Teleportation

of entangled states", Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical

110

Optics 3, pp. 25-29.

58. Gratsea A., Lewenstein M. and Dauphin A. (2020), \Generation of hy-

brid maximally entangled states in a one-dimensional quantum walk",

Quantum Science and Technology 5(2), pp. 025002(1-7).

59. Heo J., Hong C., Choi S. G. and Hong J. P. (2019), \Scheme for gener-

ation of three-photon entangled W state assisted by cross-Kerr nonlin-

earity and quantum dot", Scientific Reports 9, pp. 10151(1-15).

60. Hillery M. (1989), \Sum and difference squeezing of the electromagnetic

field", Physical Review A 40, pp. 3147-3155.

61. Hillery M., Buzek V. and Berthiaume A. (1999), \Quantum secret shar-

ing", Physical Review A 59, pp. 1829-1834.

62. Hillery M. and Zubairy M. S. (2006), \Entanglement conditions for two-

mode states", Physcal Review Letters 96, pp. 050503(1-4).

63. Hillery M. and Zubairy M. S. (2006), \Entanglement conditions for two-

mode states: Applications", Physcal Review Letters 74, pp. 032333(1-7).

64. Hoai N. T. X. and An N. B. (2014), \Generation of two-mode photon-

added displaced squeezed states", Advances in Natural Sciences: Nano-

science and Nanotechnology 5, pp. 035012(1-6).

65. Hoai N. T. X. and Duc T. M. (2016), \Nonclassical properties and tele-

portation in the two-mode photon-added displaced squeezed states", In-

ternational Journal of Modern Physics B 30, pp. 1650032(1-15).

66. Hofheinz M., Weig E. M., Ansmann M., Bialczak R. C., Lucero E.,

111

Neeley M., O’Connell A. D., Wang H., Martinis J. M. and Cleland A.

N. (2007), \Generation of Fock states in a superconducting quantum

circuit", Nature 454, pp. 310-314.

67. Hofmann H. F., Ide T. and Kobayashi T. (2000), \Fidelity and infor-

mation in the quantum teleportation of continuous variables", Physical

Review A 62, pp. 062304(1-4).

68. Hong L. and Can G. G. (1999), \Nonclassical properties of photon-

added pair coherent states", Acta Physica Sinica (Overseas Edition) 8,

pp. 577-582.

69. Horodecki R., Horodecki P., Horodecki M. and Horodecki K. (2009),

\Quantum entanglement", Reviews of Modern Physics 81, pp. 865-942.

70. Hu L. Y., Jia F. and Zhang Z. M. (2012), \Entanglement and nonclas-

sicality of photon-added two-mode squeezed thermal state", Journal of

the Optical Society of America B 29(6), pp. 1456-1464.

71. Hu L. Y. and Zhang Z. M. (2013), \Statistical properties of coherent

photon-added two-mode squeezed vacuum and its inseparability", Jour-

nal of the Optical Society of America B 30(3), pp. 518-529.

72. Jacobsen S. H. and Jarvis P. D. (2008), \Regularized tripartite continuous

variable EPR-type states with Wigner functions and CHSH violations",

Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 41, pp. 365301(1-

16).

73. Janszky J., Koniorczyk M. and G‚bris A. (2001), \One-complex-plane

representation approach to continuous variable quantum teleportation",

112

Physical Review A 64, pp. 034302(1-4).

74. Kim M. S., Son W., Buzek V. and Knight P. L. (2002), \Entanglement

by a beam splitter: nonclassicality as a prerequisite for entanglement",

Physical Review A 65, pp. 032323(1-7).

75. Karlsson A. and Bourennane M. (1998), \Quantum teleportation using

three-particle entanglement", Physcal Review A 58(6), pp. 4394-4400.

76. Kurochkin Y., Adarsh S. P. and Lvovsky A. I. (2014), \Distillation of the

two-mode squeezed state", Physical Review Letters 112, pp. 070402(1-

5).

77. Krisnanda T., Tham G. Y., Paternostro M. and Paterek T. (2020), \Ob-

servable quantum entanglement due to gravity", Npj Quantum Informa-

tion 12, pp. 1-6.

78. Kurucz Z., Adam P., Kis Z. and Janszky J. (2005), \Continuous variable

remote state preparation", Physcal Review A 72, pp. 052315(1-7).

79. Lee C. T. (1990), \Many-photon antibunching in generalized pair coher-

ent states", Physcal Review A 41, pp. 1569-1575.

80. Lee C. T. (1990), \Nonclassical photon statistics of two-mode squeezed

states", Physical Review A 42, pp. 1608-1616.

81. Lee S. M., Lee S. W., Jeong H. and Park H. S. (2020), \Quantum

teleportation of shared quantum secret", Physical Review Letters 124,

pp. 060501(1-5).

82. Lee S. Y. and Nha H. (2012), \Second-order superposition operations via

113

Hong-Ou-Mandel interference", Physical Review A 85, pp. 043816(1-5).

83. Lee S. Y., Ji S. W., Kim H. J. and Nha H. (2011), \Enhancing quantum

entanglement for continuous variables by a coherent superposition of

photon subtraction and addition", Physical Review A 84, pp. 012302(1-

6).

84. Li Z. D., Yuan X., Yin X. F., et al. (2020), \Experimental random-

party entanglement distillation via weak measurement", Physical Review

Research 2, pp. 023047(1-6).

85. Liu Z., Li X., Lin D. L. and George T. F. (1991), \Two-mode squeezing

of cavity fields", Physical Review A 44, pp. 6144-6146.

86. Loock P. V. and Furusawa A. (2003), \Detecting genuine multipartite

continuous-variable entanglement", Physical Review A 67, pp. 052315(1-

13).

87. Loock P. V. and Braunstein S. L. (1999), \Multipartite entanglement

for continuous variables: A quantum teleportation network", Physical

Review Letters, 84(15), pp. 3482-3485.

88. Luis A. and Soto L. L. S. (1996), \Probability distributions for the phase

difference", Physical Review A 53, pp. 495-501.

89. Ma X. and Rhodes W. (1990), \Multimode squeeze operators and squeezed

states", Physical Review A 41, pp. 4625-4631.

90. Malpani P., Alam N., Thapliyal K., Pathak A., Narayanan V. and Baner-

jee S. (2019, \Lower- and higher-order nonclassical properties of photon

added and subtracted displaced fock states", Annalen der Physik 531(2),

114

pp. 1800318(1-12).

91. Mancini S., Giovannetti V., Vitali D. and Tombesi P. (2002), \Entangling

macroscopic oscillators exploiting radiation pressure", Physical Review

Letters 88, pp. 120401(1-4).

92. Milburn G. J. and Braunstein S. L. (1999), \Quantum teleportation with

squeezed vacuum states", Physical Review A 60(2), pp. 937-942.

93. Miry S. R. and Tavassoly M. K. (2012), \Generation of nonlinear mo-

tional trio coherent states and their nonclassical properties", Journal of

Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 45, pp. 175502(1-7).

94. Mojaveri B., Dehghani A. and Ali-Mohammadzadeh B. (2016), \Even

and odd deformed photon added nonlinear coherent states", International

Journal of Theoretical Physics 55, pp. 421-431.

95. Nha H. and Kim J. (2007), \Demonstrating multipartite entanglement

of single-particle W states: Linear optical schemes", Physical Review A

75, pp. 012326(1-6).

.. odinger cats’ from photon number states", Nature

96. Ourjoumtsev A., Jeong H., Brouri R. T. and Grangier P. (2007), \Gen-

eration of optical ‘Sch

448, pp. 784-786.

97. Pathak A. and Garcia M. E. (2006), \Control of higher-order antibunch-

ing", Applied Physics B 84, pp. 479-484.

98. Ralph T. C., Gilchrist A., Milburn G. J., Munro W. J. and Glancy S.

(2003), \Quantum computation with optical coherent states", Physical

Review A 68, pp. 042319(1-11).

99. Ren G. and Fan H. Y. (2012), \New three-mode Coherent-entangled state

115

derived by virtue of decomposing normally ordered Gaussian operator

integrand", International Journal of Quantum Information 10(1), pp.

1250017(1-12).

100. Ren G. and Zhang W. (2019), \Nonclassicality of superposition of photon-

added two-mode coherent states", Optik 181, pp. 191-201.

101. Renner R. (2008), \Security of quantum key distribution", International

Journal of Quantum Information 6, pp. 1-127.

102. Sanders B. C. (1992), \Entangled coherent states", Physical Review A

45, pp. 6811-6815.

.. odinger E. (1926), \Der stetige

.. Ubergang von der Mikro-zur Makro-

103. Schr

mechanik", Naturwissenschaften 14, pp. 664-666.

104. Shchukin E. and Vogel W. (2005), \Inseparability criteria for continuous

bipartite quantum states", Physical Review Letters 95, pp. 230502(1-4).

105. Sivakumar S. (2011), \Photon-added coherent states in parametric down-

conversion", Physical Review A 83, pp. 035802(1-4).

106. Slusher R. E., Hollberg L. W., Yurke B., Mertz J. C. and Valley J. F.

(1985), \Observation of squeezed states generated by four-wave mixing

in an optical cavity", Physical Review Letters 55(22), pp. 2409-2412.

107. Stoler D. (1970), \Equivalence classes of minimum uncertainty packets

I", Physical Review D 1(12), pp. 3217-3219.

108. Sudarshan E. C. G. (1963), \Equivalence of semiclassical and quan-

tum mechanical descriptions of statistical light beams", Physcal Review

116

Letters 10(7), pp. 277-279.

109. Vahlbruch H., Mehmet M., Danzmann K. and Schnabel R. (2016), \De-

tection of 15 dB squeezed states of light and their application for the

absolute calibration of photoelectric quantum efficiency", Physical Re-

view Letters 117, pp. 110801(1-5).

110. Vaidmann L. (1994), \Teleportation of quantum states", Physical Review

A 49, pp. 1473-1476.

111. Wall D. F. (1983), \Squeezed states of light", Nature 306, pp. 141-146.

112. Wang S., Hou L. L., Chen X. F. and Xu X. F. (2015), \Continuous-

variable quantum teleportation with non-Gaussian entangled states gen-

erated via multiple-photon subtraction and addition", Physical Review A

91, pp. 063832(1-12).

113. Wang X. (2001), \Quantum teleportation of entangled coherent states",

Physical Review A 64, pp. 022302(1-4).

114. Wu J., Liu S., Hu L., Huang J., Duan Z. and Ji Y. (2015), \Improving

entanglement of even entangled coherent states by a coherent superposi-

tion of photon subtraction and addition", Journal of the Optical Society

of America B 32(11), pp. 2299-2307.

115. Yap M. J., Altin P., McRae T. G., Slagmolen B. J. J. S., Ward R. L.

and McClelland D. E. (2020), \Generation and control of frequency-

dependent squeezing via Einstein-Podolsky-Rosen entanglement", Na-

ture Photonics 14, pp. 223-226.

116. Yi H. S., An N. B. and Kim J. (2003), \Improved scheme for generation

of vibrational trio coherent states of a trapped ion", Physics Letters A

117

315, pp. 6-11.

117. Yu S. and Sun C. P. (2000), \Canonical quantum teleportation", Physical

Review A 61, pp. 022310(1-4).

118. Yuan H. C., Xu X. X., Cai J. W. and Xu Y. J. (2019), \Single-mode

squeezed vacuum state orthogonalization via photon-addition operation",

Optik 183, pp. 1043-1047.

119. Yun H. L. and Liang L. H. (2007), \Application of three-mode Einstein-

Podolsky-Rosen entangled state with continuous variables to teleporta-

tion", Chinese Physics 16(8), pp. 2200(1-8).

120. Zavatta A., Viciani S. and Ballini M. (2004), \Quantum to classical

transition with single-photon-added coherent states of light", Science

118

306, pp. 660-662.

Ph(cid:244) l(cid:244)c

1. Chłng minh c«ng thłc trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.2)

S(cid:246) d(cid:244)ng d„ng cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.38), ta

vi(cid:213)t ﬁ›(cid:238)c

|Ψp,q; h, k, liabc = Np,q;h,k,l(r) cn(ξ)ˆa†hˆb†kˆc†l|n, n + p, n + p + qiabc

∞ X n=0 ∞ X n=0

= Np,q;h,k,l(r) p(n + h)!(n + p + k)!(n + p + q + l)! pn!(n + p)!(n + p + q)!

(P.1) × cn(ξ)|n + h, n + p + k, n + p + q + liabc.

Tı ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n chu¨n hªa cbahΨp,q; h, k, l|Ψp,q; h, k, liabc = 1, ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c

p,q;h,k,l(r) =

∞ X m,n=0

N −2 c∗ m(ξ)cn(ξ) p(n + h)!(n + p + k)!(n + p + q + l)! pn!(n + p)!(n + p + q)!

× p(m + h)!(m + p + k)!(m + p + q + l)! pm!(m + p)!(m + p + q)!

× cbahm + p + q + l, m + p + k, m + h|

⊗ |n + h, n + p + k, n + p + q + liabc

∞ X m,n=0

= c∗ m(ξ)cn(ξ) p(n + h)!(n + p + k)!(n + p + q + l)! pn!(n + p)!(n + p + q)!

× δmn p(m + h)!(m + p + k)!(m + p + q + l)! pm!(m + p)!(m + p + q)!

= |cn(ξ)|2(n + h)!(n + p + k)!(n + p + q + l)! n!(n + p)!(n + p + q)!

∞ X n=0 ∞ X n=0

, = (P.2) c2 n(r)na!nb!nc! n!(n + p)!(n + p + q)!

n(r).

trong ﬁª na = n + h, nb = n + p + k, nc = n + p + q + l v(cid:181) |cn(ξ)|2 = c2

P.1

§'y ch(cid:221)nh l(cid:181) ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.2).

2. Chłng minh c«ng thłc trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.7)

Thay c«ng thłc ˆρabc trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.6) v(cid:181)o ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.53),

sau ﬁª t‚c d(cid:244)ng c‚c to‚n t(cid:246) hæy l“n c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p t›‹ng łng, ch(cid:243)ng

ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c

p,q(r)e3r2/3

p,q;h,k,l(r)N 2

aαa+γ∗

c αc−γaα∗

a−γbα∗

b αb+γ∗

b−γcα∗ c)

1)+(p+q)(λ−λ1)]

8e2(|αa|2+|αb|2+|αc|2)N 2 W = π6ζ 4p+2q

ei[q(λ0−λ0 × Z d2γad2γbd2γce2(γ∗ dλ0 × Z dλ 2π 2π dλ0 1 2π

dλ1 2π × (−1)h+k+l|γa|2h|γb|2k|γc|2l

× cbah−γc, −γb, −γa|ζeiλ, ζeiλ0 , ζe−i(λ+λ0)iabc

1), ζeiλ0

1, ζeiλ1|γa, γb, γciabc.

× hζe−i(λ1+λ0 (P.3)

√ k!)|kix v(cid:237)i x = {a, b, c}, r(cid:229)i t(cid:221)nh

1, k(cid:213)t qu¶ cæa h(cid:181)m Wigner ﬁ›(cid:238)c cho

Khai tri(cid:211)n c‚c tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (P.3) trong d„ng c‚c tr„ng th‚i Fock |zix = e−|z|2/2 Pk(zk/ to‚n c‚c t(cid:221)ch ph'n theo λ, λ0, λ1 v(cid:181) λ0

bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh d›(cid:237)i ﬁ'y

p,q(r)

p,q;h,k,l(r)N 2

8e2(|αa|2+|αb|2+|αc|2)N 2 W = π6

∞ X m,n=0

aαa+2γ∗

c αc−2γaα∗

a−2γbα∗

b αb+2γ∗

b−2γcα∗ c

× ξnξ∗m(−1)n+q+h+k+l n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)!

× Z d2γad2γbd2γce2γ∗

a)n+hγm+h (γ∗

(γ∗ × e−|γa|2−|γb|2−|γc|2

b )n+p+kγm+p+k

c )n+p+q+lγm+p+q+l

P.2

× (γ∗ . (P.4)

Ta vi(cid:213)t l„i ph›‹ng tr(cid:215)nh (P.4) d›(cid:237)i d„ng

p,q(r)

p,q;h,k,l(r)N 2

8e2(|αa|2+|αb|2+|αc|2)N 2 W = π3

aαa−2γaα∗

× ξnξ∗m(−1)n+q+h+k+l n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)!

a(γ∗

a)n+hγm+h

b αb−2γbα∗

× Z d2γae−|γa|2+2γ∗

b (γ∗

b )n+p+kγm+p+k

c αc−2γcα∗

× Z d2γbe−|γb|2+2γ∗

c (γ∗

c )n+p+q+lγm+p+q+l

∞ X m,n=0 1 π 1 π 1 π

× Z d2γce−|γc|2+2γ∗

p,q(r)

p,q;h,k,l(r)N 2

8e2(|αa|2+|αb|2+|αc|2)N 2 = π3

∞ X m,n=0

× (P.5) J1J2J3, ξnξ∗m(−1)n+q+h+k+l n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)!

aαa−2γaα∗

a(γ∗

v(cid:237)i

a)n+hγm+h

b αb−2γbα∗

b (γ∗

, (P.6) J1 = Z d2γae−|γa|2+2γ∗

b )n+p+kγm+p+k

c αc−2γcα∗

c (γ∗

, (P.7) J2 = Z d2γbe−|γb|2+2γ∗

c )n+p+q+lγm+p+q+l

. (P.8) J3 = Z d2γce−|γc|2+2γ∗ 1 π 1 π 1 π

Ch(cid:243)ng ta xem x—t t(cid:221)ch ph'n d„ng t(cid:230)ng qu‚t trong d„ng

J = (P.9) Z d2βe−|β|2+αβ∗ (β∗)ke−α∗ββl. 1 π

§(cid:211) t(cid:221)nh t(cid:221)ch ph'n trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (P.9), ch(cid:243)ng ta s(cid:246) d(cid:244)ng t(cid:221)ch ph'n phłc

d›(cid:237)i ﬁ'y

(β∗)nf (β) = (∂/∂α)nf (α). Z d2βe−|β|2+αβ∗ (P.10) 1 π

Do ﬁª t(cid:221)ch ph'n trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (P.9) trº th(cid:181)nh

P.3

J = (∂/∂α)k[e−α∗ααl]. (P.11)

Ch(cid:243)ng ta s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a h(cid:181)m Laguerre l(cid:181)

n(z) =

Li (d/dz)n(e−zzn+i), (P.12) z−iez n!

n k(cid:253) hi(cid:214)u cho h(cid:181)m Laguerre. §˘t α∗α = |α|2 = y ⇒ α = y/α∗ ⇒ (∂/∂α)k = (α∗)k(∂/∂y)k, t(cid:221)ch ph'n trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (P.11) ﬁ›(cid:238)c cho trong

v(cid:237)i Li

d„ng

J = k!(−|α|2)−kL−(−l)−k (|α|2)(−1)kαl(α∗)ke−|α|2. (P.13)

M˘t kh‚c, mŁi li“n h(cid:214) gi(cid:247)a h(cid:181)m Laguerre v(cid:181) h(cid:181)m si“u bØi 2F0 ﬁ›(cid:238)c cho bºi

2F0(−n, b; −1/z) = n!(−z)−nL−b−n

(z). (P.14)

Do ﬁª

2F0(−k, −l; −1/|α|2).

J = (−1)kαl(α∗)ke−|α|2 (P.15)

Theo kh(cid:221)a c„nh t(cid:221)ch ph'n J1, ch(cid:243)ng ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c

a)n|2αa|2he−|2αa|2

J1 = (−1)n+h(2αa)m(2α∗

(P.16) × 2F0(−n − h, −m − h; −1/|2αa|2).

T›‹ng tø, t(cid:221)ch ph'n J2 trº th(cid:181)nh

b)n|2αb|2p+2ke−|2αb|2

J2 = (−1)n+p+k(2αb)m(2α∗

(P.17) × 2F0(−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb|2).

K(cid:213)t qu¶ cæa t(cid:221)ch ph'n J3 l(cid:181)

c)n|2αc|2p+2q+2le−|2αc|2

J3 = (−1)n+p+q+l(2αc)m(2α∗

P.4

(P.18) × 2F0(−n − p − q − l, −m − p − q − l; −1/|2αc|2).

S(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (P.16), (P.17) v(cid:181) (P.18), h(cid:181)m Wigner trong

ph›‹ng tr(cid:215)nh (P.5) ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh to‚n l(cid:181)

p,q(r)

p,q;h,k,l(r)N 2

8e−2(|αa|2+|αb|2+|αc|2)N 2 W = π3

∞ X m,n=0

× ξnξ∗m n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)!

a2α∗

b2α∗

c )n|2αa|2h|2αb|2p+2k|2αc|2p+2q+2l

× (2αa2αb2αc)m(2α∗

× 2F0(−n − h, −m − h; −1/|2αa|2)

× 2F0(−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb|2)

(P.19) × 2F0(−n − p − q − l, −m − p − q − l; −1/|2αc|2).

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng ξ = reiφ, αx = |αx|eiϕx, x = {a, b, c}, c«ng thłc trong ph›‹ng

tr(cid:215)nh (P.19) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

p,q(r)

p,q;h,k,l(r)N 2

8e−2(|αa|2+|αb|2+|αc|2)N 2 W = π3

∞ X m,n=0

× rn+mei(m−n)(ϕa+ϕb+ϕc−φ) n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)!

× |2αa|n+m+2h|2αb|n+m+2p+2k|2αc|n+m+2p+2q+2l

× 2F0(−n − h, −m − h; −1/|2αa|2)

× 2F0(−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb|2)

(P.20) × 2F0(−n − p − q − l, −m − p − q − l; −1/|2αc|2).

Do sø t›‹ng ﬁ›‹ng cæa m v(cid:181) n trong t(cid:230)ng n“n ph˙n ¶o cæa h(cid:181)m Wigner

trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (P.20) tri(cid:214)t ti“u. B'y giŒ h(cid:181)m Wigner trº th(cid:181)nh

p,q(r)

p,q;h,k,l(r)N 2

8e−2(|αa|2+|αb|2+|αc|2)N 2 W = π3

∞ X m,n=0

P.5

× rn+m cos[(m − n)(ϕa + ϕb + ϕc − φ)] n!m!(n + p)!(m + p)!(n + p + q)!(m + p + q)!

× |2αa|n+m+2h|2αb|n+m+2p+2k|2αc|n+m+2p+2q+2l

× 2F0(−n − h, −m − h; −1/|2αa|2)

× 2F0(−n − p − k, −m − p − k; −1/|2αb|2)

(P.21) × 2F0(−n − p − q − l, −m − p − q − l; −1/|2αc|2).

§'y l(cid:181) d„ng t›Œng minh cæa c«ng thłc (2.7).

3. Chłng minh c«ng thłc trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.20)

V(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba, ch(cid:243)ng ta cª cbahΨp,q|ˆxi ˆy†j|Ψp,qiabc = 0

khi i 6= j ho˘c ˆx 6= ˆy v(cid:181) i, j 6= 0, x, y = {a, b, c}. Trong tr›Œng h(cid:238)p

ˆx ≡ ˆy ≡ ˆa, i = j = h, s(cid:246) d(cid:244)ng d„ng cæa tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba trong

cbahΨp,q|ˆahˆa†h|Ψp,qiabc = N 2

p,q(r)

ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.34), ta cª

∞ X m,n=0

ξ∗m pm!(m + p)!(m + p + q)!

× ξn pn!(n + p)!(n + p + q)!

× cbahm + p + q, m + p, m|

⊗ ˆahˆa†h|n, n + p, n + p + qiabc

p,q(r)

∞ X m,n=0

= N 2

× δmn (n + h)! n! ξ∗m pm!(m + p)!(m + p + q)! ξn pn!(n + p)!(n + p + q)!

p,q(r)

∞ X n=0

= N 2 |ξ|2n(n + h)! (n!)2(n + p)!(n + p + q)!

p,q(r)Ah,0,0

0,0,0(r),

= N 2 (P.22)

trong ﬁª

t,u,v (r) =

∞ X n=0

P.6

. Ai,j,m (P.23) r2n(n + i)!(n + j)!(n + m)! n!(n + p)!(n + p + q)!(n + t)!(n + u)!(n + v)!

t,u,v (r) ﬁ›(cid:238)c cho bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.21).

Trong d„ng cæa h(cid:181)m si“u bØi, Ai,j,m

Trong tr›Œng h(cid:238)p ˆx ≡ ˆy ≡ ˆb, i = j = k ho˘c ˆx ≡ ˆy ≡ ˆc, i = j = l,

ch(cid:243)ng ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c

cbahΨp,q|ˆbkˆb†k|Ψp,qiabc = N 2

0,p,0

(r), (P.24)

cbahΨp,q|ˆclˆc†l|Ψp,qiabc = N 2

p,q(r)A0,k+p,0 p,q(r)A0,0,l+p+q

0,0,p+q

(r). (P.25)

Tı ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n chu¨n hªa cbahΦp,q;h,k,l|Φp,q;h,k,liabc = 1, ch(cid:243)ng ta thu ﬁ›(cid:238)c

p,q;h,k,l(r) = cbahΨp,q|((cid:15)ˆah + λˆbk + σˆcl)((cid:15)ˆa†h + λˆb†k + σˆc†l)|Ψp,qiabc

N−2

cbahΨp,q|ˆahˆa†h|Ψp,qiabc + λ2

cbahΨp,q|ˆbkˆb†k|Ψp,qiabc

= (cid:15)2

cbahΨp,q|ˆclˆc†l|Ψp,qiabc

+ σ2

0,0,0(r) + λ2A0,k+p,0

0,p,0

0,0,p+q

p,q(r)[(cid:15)2Ah,0,0

= N 2 (r) + σ2A0,0,l+p+q (r)]. (P.26)

§'y ch(cid:221)nh l(cid:181) ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.20).

4. Chłng minh c«ng thłc trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.56)

Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p |αid ﬁ›(cid:238)c khai tri(cid:211)n l(cid:181)

∞ X m=0

(P.27) |αid = |mid, e− |α|2 2 αm √ m!

2 αm/

√ v(cid:237)i h(cid:214) sŁ khai tri(cid:211)n dm = e− |α|2 m! v(cid:181) |mid l(cid:181) tr„ng th‚i Fock. §Ø

trung thøc trung b(cid:215)nh trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.54) ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l(cid:181)

∞ X n=0

d2β. (P.28) Ftb = 1 π Z (cid:12) (cid:12) (cid:12) Cn,h,k,lhna|α − βihα − β|nai(cid:12) (cid:12) (cid:12)

Khai tri(cid:211)n tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p |α − βi trong d„ng cæa tr„ng th‚i Fock, sau mØt

sŁ ph—p t(cid:221)nh to‚n, ﬁØ trung thøc trung b(cid:215)nh ﬁ›(cid:238)c cho bºi

2 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

m;h,k,l

d2β Ftb = e−2|α−β|2 π Cn;h,k,l(ξ)|α − β|2na na!

∞ Z (cid:12) X (cid:12) (cid:12) n=0 Cn;h,k,l(ξ)C∗ na!ma!

∞ X m,n=0

P.7

= Z e−2|α−β|2|α − β|2na+2mad2β. (P.29) 1 π

Ta cª t(cid:221)ch ph'n

Z e−2|α−β|2|α − β|2na+2mad2β 1 π

= Z e−2|α−β|2|α − β|2na+2mad2(α − β) = (P.30) 1 π (na + ma)! 2na+ma+1 .

Tı ﬁª ta nh¸n ﬁ›(cid:238)c

m;h,k,l(na + ma)!

∞ X m,n=0

Cn;h,k,l(ξ)C∗ . (P.31) Ftb = ma!na!2na+ma+1

P.8

§'y ch(cid:221)nh l(cid:181) ph›‹ng tr(cid:215)nh (4.56).

Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của một số trạng thái phi cổ điển ba mode

§„i h(cid:228)c Hu(cid:213)

tr›Œng ﬁ„i h(cid:228)c s› ph„m

Tr˙n Quang §„t

Nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt Vµ øng dông cña mét sè tr¹ng th¸i phi cæ ®iÓn ba mode

Lu¸n ‚n ti(cid:213)n s(cid:220) v¸t l(cid:253)

§„i h(cid:228)c Hu(cid:213)

tr›Œng ﬁ„i h(cid:228)c s› ph„m

Tr˙n Quang §„t

Nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt Vµ øng dông cña mét sè tr¹ng th¸i phi cæ ®iÓn ba mode

Lu¸n ‚n ti(cid:213)n s(cid:220) v¸t l(cid:253)

1. PGS.TS. Tr›‹ng Minh §łc

2. PGS.TS. Nguy(cid:212)n B‚ ¢n

Lêi cam ®oan

Lêi c¶m ¬n

B¶ng ch(cid:247) vi(cid:213)t t(cid:190)t

Danh m(cid:244)c c‚c h(cid:215)nh vˇ

M(cid:244)c l(cid:244)c

Ph˙n mº ﬁ˙u

Ph˙n nØi dung

K(cid:213)t lu¸n chung

PhÇn më ®Çu

PhÇn néi dung

C‹ sº l(cid:253) thuy(cid:213)t

1.1. Mº ﬁ˙u

1.2. C‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n bi(cid:213)n li“n t(cid:244)c

1.3. MØt sŁ tr„ng th‚i c‹ b¶n cæa tr›Œng boson

1.4. C‚c tr„ng th‚i th“m photon

1.5. MØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

1.6. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) trong th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246)

1.7. K(cid:213)t lu¸n

C‚c t(cid:221)nh ch˚t phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

cæa mØt sŁ tr„ng th‚i ba mode

2.1. Mº ﬁ˙u

2.2. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon

2.3. Tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon

2.4. K(cid:213)t lu¸n

S‹ ﬁ(cid:229) thøc nghi(cid:214)m

T„o ra c‚c tr„ng th‚i ba mode

3.1. Mº ﬁ˙u

3.2. T„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba

3.3. T„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m photon

3.4. T„o ra tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba ch(cid:229)ng ch˚t th“m pho-

ton

3.5. K(cid:213)t lu¸n

łng d(cid:244)ng cæa c‚c tr„ng th‚i phi c(cid:230) ﬁi(cid:211)n trong

th«ng tin l›(cid:238)ng t(cid:246)

4.1. Mº ﬁ˙u

4.2. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i ch'n kh«ng n—n hai

mode ch(cid:229)ng ch˚t th“m photon

4.3. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p c˘p

4.4. Vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ ba th“m

photon

4.5. §i(cid:210)u khi(cid:211)n vi(cid:212)n t¶i l›(cid:238)ng t(cid:246) v(cid:237)i tr„ng th‚i k(cid:213)t h(cid:238)p bØ

ba th“m photon

4.6. K(cid:213)t lu¸n

KÕt luËn chung

Danh m(cid:244)c c‚c b(cid:181)i b‚o ﬁ• c«ng bŁ cª li“n quan ﬁ(cid:213)n

lu¸n ‚n

Tµi liÖu tham kh¶o

Ph(cid:244) l(cid:244)c

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng