Luận án Tiến sĩ Vật lý: Quá trình phân rã của Higgs-Boson h → Zγ và h → µτ trong một số mô hình 3-3-1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

TRỊNH THỊ HỒNG

QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ

CỦA HIGGS BOSON h → Zγ VÀ h → µτ

TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH 3-3-1

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã chuyên ngành: 9 44 01 03

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Thanh Phong

TS. Lê Thọ Huệ

Hà Nội - 2020

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS. Lê

Thọ Huệ, PGS. TS. Nguyễn Thanh Phong và GS. Hoàng Ngọc

Long. Những người thầy đã hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi

trong suốt thời gian tôi làm NCS. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành

đến PGS.TS. Hà Thanh Hùng, TS. Nguyễn Huy Thảo vì đã hợp

tác và giúp tôi rất nhiều trong các công trình nghiên cứu và các thủ tục

hành chính.

Xin cảm ơn Khoa Vật Lý, Phòng Đào tạo Trường Đại học Sư

phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi kiều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành các

thủ tục hành chính và bảo vệ luận án.

Tôi xin cảm ơn Trường Đại học An Giang và các đồng nghiệp đã

tạo điều kiện và động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu.

Cuối cùng, tôi gửi lời cảm ơn đến tất cả người thân trong gia đình

đã ủng hộ, động viên tôi cả vật chất lẫn tinh thần trong suốt thời gian tôi

học tập.

Hà Nội, ngày 04 tháng 04 năm 2020

NCS Trịnh Thị Hồng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận án này gồm các kết quả chính mà bản thân tôi

đã thực hiện trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Cụ thể, phần Mở đầu và

Chương 1 là phần tổng quan giới thiệu những vấn đề trước đó liên quan

đến luận án. Trong Chương 2, Chương 3, Chương 4 và các phụ lục tôi sử

dụng các kết quả đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và các cộng sự.

Cuối cùng, tôi xin khẳng định các kết quả có trong luận án "QUÁ

TRÌNH PHÂN RÃ CỦA HIGGS BOSON h → Zγ VÀ h → µτ

TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH 3-3-1" là kết quả mới không trùng lặp

với kết quả của các luận án và công trình đã có.

NCS Trịnh Thị Hồng

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Các ký hiệu chung vi

Danh sách bảng viii

Danh sách hình vẽ ix

PHẦN MỞ ĐẦU 1

13 Chương 1 TỔNG QUAN

13 1.1 Tương tác ứng với quá trình rã h → Zγ trong mô hình chuẩn

1.2 Nguồn LFV liên quan đến rã h → µτ trong mô hình chuẩn

mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Tìm kiếm rã Higgs trong thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . 19

21 Chương 2 QUÁ TRÌNH RÃ h → Zγ TỔNG QUÁT

2.1 Quy tắc Feynman và các quy ước chung . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Công thức giải tích cụ thể đóng góp bậc một vòng . . . . . . . 26

2.2.1 Giản đồ chỉ chứa boson chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Giản đồ chỉ chứa fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

iii

2.2.3 Các giản đồ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Chương 3 QUÁ TRÌNH RÃ H → Zγ, W γ TRONG MỘT

SỐ MÔ HÌNH CỤ THỂ 38

3.1 Quá trình rã h → Zγ, γγ trong SM . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Quá trình rã H → Zγ, W γ trong mô hình GHU và Georgy-

Machacek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Quá trình rã h → Zγ trong mô hình 331β0 . . . . . . . . . . 45

h → Zγ trong mô hình LR và HTM . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Đóng góp của một số hạt mang điện nặng đến quá trình rã

3.5 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1 → µτ TRONG MÔ HÌNH

Chương 4 QUÁ TRÌNH RÃ h0

331ISS 64

4.1 Cấu trúc hạt và thế Higgs trong mô hình 331ISS . . . . . . . 64

4.2 Phổ khối lượng và trạng thái vật lý của các hạt . . . . . . . . 68

1 → µτ

. . . 81 4.3 Đỉnh tương tác cho đóng góp vào quá trình rã h0

4.4 Khảo sát số và biện luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.5 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

KẾT LUẬN 97

Danh sách các công bố của tác giả 100

PHỤ LỤC 120

Phụ lục A Hàm PV trong LoopTools 121

A.1 Định nghĩa, ký hiệu và biểu thức giải tích . . . . . . . . . . . 121

A.2 Công thức giải tích trong trường hợp đặc biệt m1 = m2 = m . 124

Phụ lục B Công thức giải tích tính biên độ rã h → Zγ

trong chuẩn unitary 126

L,R của LFVHD

Phụ lục C Công thức giải tích tính ∆(i)V

trong chuẩn unitary 140

Phụ lục D Công thức giải tích tính biên độ của rã

LFVHD trong 331ISS 147

Các ký hiệu chung

Trong luận án này tôi sử dụng các ký hiệu sau:

Viết tắt

Tên

BSM

Beyond the Standard Model (Mô hình chuẩn mở rộng)

Branching ratio (Tỷ lệ rã nhánh)

Lepton flavor violating decays of the charged leptons

cLFV

(Rã vi phạm số lepton thế hệ của lepton mang điện)

GIM

Glasshow-Iliopoulos-Maiani

The Gauge-Higgs Unification Model

GHU

(Mô hình thống nhất Higgs trường chuẩn)

HTM

Higgs Triplet Models (Mô hình chuẩn với tam tuyến Higgs)

ISS

Inverse seesaw (Cơ chế seesaw ngược)

3-3-1 model with inverse seesaw neutrino masses

331ISS

(Mô hình 3-3-1 với cơ chế seesaw ngược)

LHC

Large Hadron Collider (Máy gia tốc lớn Hadron)

LFV

Lepton flavor violating (Vi phạm số lepton thế hệ)

lepton flavor violating decay of the standard-model-like

LFVHD

Higgs boson (Rã vi phạm số lepton thế hệ của Higgs boson tựa

mô hình chuẩn)

Left Right Model (Mô hình đối xứng trái-phải)

Minimal Supersymmetric Standard Model (Mô hình chuẩn

MSSM, NP

siêu đối xứng tối thiểu), new physics (vật lý mới)

Passarino-Veltman (Hàm Passarino-Veltman)

QCD

Quantum chromodynamics (Sắc động học lượng tử)

3-3-1 model with right handed neutrinos

331RHN

(Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải)

Standard Model (Mô hình chuẩn)

SUSY

Supersymmetry (Siêu đối xứng)

VEV

Vacuum expectation value (Giá trị trung bình chân không)

vii

Danh sách bảng

1.1 Tương tác của Higgs boson với các fermion. . . . . . . . . . . . 15

1.2 Hệ số liên hệ với đỉnh tương tác của Z boson với fermion . . . . 16

1.3 Đỉnh tương tác của các boson trong chuẩn unitary. . . . . . . . . 16

trong chuẩn unitary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1 Đỉnh tương tác của quá trình rã Higgs trung hòa CP chẵn h → Zγ

3.1 Các đỉnh và hệ số đỉnh liên quan đến đóng góp của boson

chuẩn và Higgs boson mang điện vào biên độ rã bậc một vòng

của Higgs boson tựa mô hình chuẩn h → Zγ trong mô hình LR. 60

lepton và Higgs boson trong mô hình 331RHN . . . . . . . . . . . 68

4.1 Số lepton thông thường L (trái) và số lepton mới L (phải) của

1 → eaeb

trong mô hình 331ISS.

4.2 Đỉnh liên quan đến quá trình rã Higgs boson tựa SM h0

viii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Danh sách hình vẽ

fermions, Higgs và boson chuẩn tương ứng.

2.1 Giản đồ đóng góp bậc một vòng h → Zγ, với fi,j, Si,j và Vi,j là các

. . . . . . . . . . . . 22

góp vào biên độ của quá trình rã h → Zγ.

2.2 Các số hạng phản (counterterm) và các giản đồ bậc một vòng đóng

. . . . . . . . . . . . . 23

theo hàm của mH ±, các đường ngang tương ứng với các giá trị cho

bởi SM 1, 0.99, 1.01.

3.1 Cường độ tín hiệu quá trình rã H1 → Zγ trong mô hình 331β0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

V /m2

W , fW,S và fW,V như là hàm của mV .

. . . . . . 51 3.2 Đồ thị fV m2

1 → eaeb trong chuẩn unitary. Với V ± = W ±, Y ±. . . . . . . . . . 85 h0

4.1 Giản đồ Feynman cho đóng góp bậc 1 vòng của quá trình rã

1 →

với k = 500.

4.2 Đồ thị biểu diễn tỷ lệ rã nhánh của Br(µ → eγ) (trái) và Br(h0

µτ ) (phải) theo mH ±

. . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1 →

với k = 5.5 (trái) và k = 9 (phải). . . . . . . . 92

µτ ) (dưới) theo mH ± 4.4 Đồ thị mật độ của Br(h0

1 → µτ ) và đường bao (contour plots) của

và z, với k = 5.5 (trên) và

Br(µ → eγ) (đường màu đen) theo mH ±

k = 9 (dưới).

4.3 Đồ thị biểu diễn tỷ lệ rã nhánh của Br(µ → eγ) (trên) và Br(h0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1 → µτ ) và đường bao của Br(µ → eγ)

và z, với k = 5.5, z khoảng 500 GeV và

(đường màu đen) theo mH ±

4.5 Đồ thị mật độ của Br(h0

mY khác nhau.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Trong lĩnh vực vật lý hạt cơ bản hiện nay, các trung tâm thực nghiệm

lớn, cụ thể là CERN, ATLAS, CMS,... với máy gia tốc hạt khổng lồ Large

Hadron Collider (LHC), tiếp tục nâng cấp và mở rộng năng lượng va chạm

để tìm kiếm một số tín hiệu vật lý mới (new physics-NP), được định nghĩa

là các tín hiệu không xuất hiện trong giới hạn xác định bởi mô hình chuẩn

(Standard Model-SM). Một trong số tín hiệu đó là các quá trình liên quan

đến sự vi phạm số lepton thế hệ (LFV), đang được thực nghiệm rất quan

tâm tìm kiếm. Như chúng ta đã biết, SM cần phải được mở rộng để giải

thích đầy đủ các tín hiệu NP đã được thực nghiệm tìm thấy, trong số đó

các tín hiệu NP quan trọng nhất đã được cộng đồng các nhà vật lý thừa

nhận là sự tồn tại của vật chất tối, và dữ liệu dao động các neutrino hoạt

động, bao gồm sự trộn và khối lượng khác không của các neutrino này.

Kết quả về neutrino cũng đồng thời khẳng định tín hiệu LFV trong phần

lepton trung hòa (neutrino), dẫn đến gợi ý trực tiếp cho sự tồn tại tín hiệu

LFV trong phần lepton mang điện dù chúng chưa được phát hiện, thể hiện

qua các quá trình rã LFV sẽ được nghiên cứu chi tiết trong luận án này.

Ngoài các tín hiệu NP, thực nghiệm tiếp tục tìm kiếm và xác nhận các

h được tìm thấy bởi LHC, rất nhiều kênh rã liên quan đến Higgs vẫn chưa

kênh rã đã được dự đoán từ SM. Đặc biệt, kể từ thời điểm hạt Higgs boson

được xác định với độ chính xác cao. Các kênh rã này bước đầu cho phép

kết luận hạt Higgs boson được tìm thấy bởi thực nghiệm có các đặc điểm

phù hợp với các dự đoán từ SM, nên còn gọi là Higgs tựa SM (SM-like

Higgs). Thêm vào đó, thực nghiệm còn tìm kiếm một số kênh rã đặc biệt

của Higgs boson, chỉ xuất hiện ở bậc gần đúng một vòng theo dự đoán

bởi SM, mà cụ thể là hai kênh rã h → γγ và h → Zγ. Chúng hoàn toàn

không xuất hiện trong các lý thuyết cổ điển, mà ở đó luôn khẳng định rằng

các hạt trung hòa như h không bao giờ tương tác với trường điện chính

là photon γ. Ngược lại, thực nghiệm LHC đã hoàn toàn xác nhận kênh rã

này với độ chính xác rất cao. Đặc biệt, đây là một trong số các kênh rã

mà thực nghiệm dùng để xác định hạt Higgs h.

Trong khi đó, quá trình rã h → Zγ đang thu hút sự quan tâm lớn từ cả

lý thuyết và thực nghiệm. Tuy chưa quan sát được tại thời điểm hiện tại,

người ta kỳ vọng kênh rã này cũng sẽ sớm quan sát được ở LHC và các

máy va chạm khác đang được lên kế hoạch xây dựng trong tương lai gần.

Hơn thế nữa, một khi phát hiện được kênh rã h → Zγ, thực nghiệm còn

hi vọng hệ số đỉnh hiệu dụng tương tác này sẽ có sai lệch so với dự đoán

từ SM, nếu có thêm đóng góp lớn từ các hạt mang điện mới ngoài SM, bởi

vì đóng góp bậc 1 vòng của các hạt này tương đối nhạy với các kênh rã bổ

đính. Nếu vậy, đây cũng chính là tín hiệu NP, gián tiếp chỉ ra sự đóng góp

bổ sung từ các hạt mới dự đoán bởi các Mô hình chuẩn mở rộng (Beyond

the Standard Model - BSM).

Một số công bố hiện nay đã đưa ra các biểu thức tính các đóng góp bậc

một vòng của các hạt mang điện khác nhau vào biên độ rã của quá trình

h → Zγ nhưng kết quả chưa thống nhất [66, 85], ... Hầu hết các kết quả

đều chỉ áp dụng vào mô hình cụ thể, trong đó một số kết quả nghiên cứu

đã bỏ qua các đóng góp phức tạp, được dự đoán là nhỏ hơn đáng kể so

với phần giữ lại. Tuy nhiên, với thực nghiệm hiện tại có độ nhạy phép đo

ngày càng được cải thiện, các đóng góp đã bị bỏ qua vẫn có khả năng cho

đóng góp đáng kể trong các BSM. Để đánh giá được một cách cụ thể các

đóng góp từ các hạt vô hướng, fermions và đặc biệt là từ các boson chuẩn,

chúng ta cần tìm cách xác định biểu thức tổng quát mô tả được cụ thể

các đóng góp bậc một vòng nói trên vào biên độ rã h → Zγ. Nếu tính

được, kết quả này hoàn toàn áp dụng cho các tính toán cho biên độ rã của

các quá trình rã Higgs mang điện H ± → W ±γ, hay Higgs trung hòa mới

xuất hiện trong các BSM đã biết. Vì vậy, những kết quả nghiên cứu này

sẽ rất hữu ích cho các nghiên cứu sâu hơn về quá trình rã bậc một vòng

của các boson Higgs trung hòa và mang điện ví dụ như H → Zγ, W ±γ

(H = h, H ±) vẫn chưa được tính toán trong nhiều BSM đã biết. Trong

khi đó, thực nghiệm đã bắt đầu tìm kiếm các kênh rã này.

Kể từ khi hạt SM-like Higgs boson được tìm thấy, các quá trình rã LFV

liên quan đến Higgs này (LFVHD) đang được thực nghiệm tìm kiếm và

cập nhật liên tục, ví dụ như h → eτ, h → eµ, h → µτ ,... Song song với các

quá trình rã LFV các lepton mang điện đã được tiến hành trước đó, ví dụ

như τ → eγ, µ → eγ,... Ngoài ra, nhiều trung tâm thực nghiệm hiện nay

vẫn đang tìm kiếm hạt vật lý mới như neutrino nặng, các hạt mang điện

mới, thông qua các kênh rã ra các hạt trong SM. Các hạt mới này được dự

đoán bởi các BSM. Các BSM khác nhau có thể sẽ dự đoán các kết quả thực

nghiệm cho các tín hiệu NP khác nhau. Vì vậy, các tín hiệu NP nếu được

tìm thấy sẽ cho thông tin quan trọng, được dùng để phân biệt các BSM

phù hợp hoặc loại bỏ các mô hình không phù hợp. Bên cạnh các BSM đã

rất quen thuộc như lớp các mô hình seesaw, đối xứng trái-phải (left-right

symmetry), các mô hình siêu đối xứng (supersymmetry),... nghiên cứu lớp

các mô hình 3-3-1 cũng đã mang lại nhiều kết quả vật lý có ý nghĩa và

đáng quan tâm.

Cho tới thời điểm hiện tại, các hạt mới được dự đoán bởi các BSM đều

chưa được kiểm chứng bằng thực nghiệm, do khả năng các hạt này tương

đối nặng nên chúng không thể được sinh ra trong giới hạn năng lượng va

chạm hiện tại của các máy gia tốc. Tuy nhiên, tồn tại những dấu hiệu gián

tiếp đó là đóng góp nhiễu loạn của các hạt mới vào các quá trình rã của

Higgs boson là hoàn toàn có thể kiểm chứng được ở mức năng lượng thấp

của các máy gia tốc. Cụ thể là các quá trình rã LFV, rã Higgs trong SM

ra hai photon, ra photon và Z boson, các đóng góp hạt mới vào dòng trung

hòa thay đổi số vị,... Các quá trình này rất quan trọng, tạo ra các liên hệ

ban đầu gián tiếp dự đoán các tín hiệu NP. Sự xuất hiện các hạt mới này

mong đợi được tìm thấy ở vùng năng lượng gần mức phá vỡ đối xứng của

h → µτ trong các BSM là vấn đề rất đáng được quan tâm nghiên cứu.

2. Tổng quan tình hình nghiên cứu

SM. Do đó, những nghiên cứu về kênh rã h → Zγ và rã LFV kiểu như rã

Sau khi tìm ra hạt Higgs boson h bởi máy gia tốc LHC vào 04/7/2012 [24,

54], một số bằng chứng về thực nghiệm đã chứng tỏ sự phù hợp giữa kết

quả thực nghiệm với dự đoán cho các đỉnh tương tác trong SM, bao gồm cả

tương tác hiệu dụng được tính theo bổ đính bậc một vòng hγγ [3,55], dẫn

đến tên gọi SM-like Higgs boson cho hạt vô hướng này. Trong khi đó, hệ số

đỉnh hiệu dụng hZγ liên quan đến quá trình rã bậc một vòng h → Zγ vẫn

chưa đo được cho tới thời điểm hiện tại. Tỷ lệ rã nhánh của kênh rã này

được dự đoán là có cùng bậc với quá trình rã h → γγ trong SM [35]. Theo

một số nghiên cứu mới nhất thì Br(h → Zγ) bị giới hạn gián tiếp từ các dữ

liệu thực nghiệm của Br(h → γγ), cụ thể là Br(h → γγ) < 1.4×10−3 [59].

Bề rộng phân rã bậc một vòng của quá trình rã h → Zγ đã được tính

toán trong trong khuôn khổ của SM và mô hình chuẩn mở rộng siêu đối

xứng [26, 28, 76, 87, 103]. Từ những số liệu thực nghiệm cho thấy kênh rã

này vẫn đang được tìm kiếm tại LHC bởi CMS và ATLAS [2, 23, 56, 57].

Nhiều những công trình nghiên cứu liên quan đến kênh rã này cũng đang

e+e− hay ngay cả va chạm giữa 2 proton ở năng lượng 100 TeV bởi máy gia

được lên kế hoạch thực hiện trong tương lai gần ví dụ như va chạm giữa

tốc LHC [124, 126]. Trong khi hằng số tương tác của quá trình rã h → γγ

hiện tại đang bị ràng buộc chặt chẽ về mặt thực nghiệm, thì hằng số tương

tác của quá trình rã h → Zγ có thể vẫn còn sai khác đáng kể so với dự

đoán của SM . Trong các BSM, những đỉnh tương tác mới của Z boson

với các hạt mới chắc chắn sẽ xuất hiện. Nghiên cứu quá trình rã bổ đính

bậc một vòng của SM-like Higgs h → Zγ có sự đóng góp của các fermion

mới và các hạt vô hướng mang điện cũng đã được nghiên cứu trong một

số BSM [29, 32, 66, 76, 83].

Ở đóng góp bậc một vòng, biên độ của quá trình rã h → Zγ cũng chứa

đóng góp từ các hạt boson chuẩn mới của các BSM được xây dựng từ các

nhóm đối xứng chuẩn lớn hơn như nhóm điện yếu trái-phải của mô hình

3-3-1 và 3-4-1 như trong [114,129]. Quá trình tính đóng góp của những hạt

này vào biên độ rã bậc 1 vòng gặp khá nhiều khó khăn khi sử dụng chuẩn

’t Hooft-Feynman, mà nguồn gốc là sự xuất hiện của nhiều trạng thái phi

vật lý, cụ thể là Goldstone boson và trạng thái ma luôn luôn tồn tại cùng

với các boson chuẩn, đồng thời tất cả các hạt này đều cho đóng góp khác

không. Chúng tạo ra một số lượng rất lớn các giản đồ Feynman. Ngoài ra,

các đỉnh tương tác của chúng phụ thuộc vào các mô hình cụ thể, do đó

rất khó để xây dựng các công thức chung và tính đóng góp bậc một vòng

bằng cách sử dụng chuẩn ’t Hooft-Feynman. Vấn đề này đã được đề cập

gần đây trong nghiên cứu [66] trong đó các kết quả thảo luận tập trung

vào mô hình Georgi-Machacek, ở đây chỉ có các hạt Higgs mang điện tích

đôi được thêm vào so với SM. Nguyên nhân là do các Higgs boson mới sẽ

cho các đóng góp mới làm thay đổi các tương tác của các hạt phi vật lý với

các boson chuẩn Z và W ±. Trong mô hình đối xứng trái-phải (LR) cũng

h → Zγ, các tính toán trước đây trong mô hình này cũng phụ thuộc vào

có thêm các boson chuẩn mới, cho đóng góp vào biên độ của quá trình rã

mô hình cụ thể [118, 120].

Những khó khăn về tính toán do các trạng thái phi vật lý gây ra sẽ

biến mất nếu tính toán đó được thực hiện trong chuẩn unitary, vì các hàm

truyền tương ứng với các trạng thái phi vật lý đều bằng không, là nguyên

nhân khử mọi đóng góp từ các giản đồ chứa các hạt này. Vì vậy, số các

giản đồ Feynman cũng như số lượng các đỉnh tương tác cần thiết cho tính

toán là tối thiểu, cụ thể là chỉ bao gồm những đỉnh tương tác có chứa các

trạng thái vật lý. Sau đó, dựa vào cấu trúc Lorentz đã biết của các hạt

vật lý để xây dựng các công thức tính chung của các đóng góp bậc một

vòng. Tuy nhiên, khó khăn lớn nhất trong tính toán chi tiết là, chúng ta sẽ

gặp phải những dạng phức tạp của các giản đồ có đóng góp từ các boson

chuẩn, do đặc điểm hàm truyền chứa xung lượng bậc cao ở tử số, sẽ tạo

ra nhiều số hạng phân kỳ nguy hiểm. Đây chính là khó khăn mà các phần

mềm giải số không vượt qua được, dẫn đến tính không ổn định trong giải

số. Tuy nhiên, nếu sử dụng một số kỹ thuật giải tích hợp lý, nhiều số hạng

chứa phân kỳ nguy hiểm sẽ bị loại trừ lẫn nhau bởi những liên hệ giữa

các hệ số đỉnh tương tác liên quan đến các hạt vật lý, ví dụ như những

đỉnh liên quan đến photon trong rã h → Zγ. Bên cạnh đó, một số các số

hạng còn lại cũng sẽ bị loại bỏ khi các tích phân được viết theo các hàm

Passarino-Veltman (PV) [128], là các hàm chuẩn được sử dụng phổ biến

trong các tính toán hiện nay trong vật lý hạt cơ bản. Điều này sẽ được

chứng minh chi tiết trong luận án này. Vì vậy, sau khi vượt qua được các

khó khăn trong xử lý phân kỳ việc lựa chọn chuẩn unitary cho phép chúng

tôi thiết lập được công thức tính tổng quát cho những đóng góp bậc một

vòng liên quan đến các boson chuẩn khác nhau vào biên độ của quá trình

phân rã h → Zγ.

Các công thức sẽ được đưa về theo các hàm PV chuẩn được xác định

bởi [69], đồng thời các qui ước viết theo chuẩn xây dựng cho phần mềm

giải số LoopTools [89]. Các dạng công thức của các hàm PV này cũng được

trình bày để kết quả có thể so sánh được với các kết quả trước đó, được

tính toán độc lập trong các trường hợp cụ thể. Ngoài ra, các công thức

tính theo các hàm giải tích có thể áp dụng vào các gói giải số độc lập mà

không phụ thuộc vào LoopTools. Kết quả của chúng tôi có thể được dùng

cho việc tính biên độ của các quá trình rã tương tự như H ± → W ±γ, là

một trong số các kênh rã thú vị được dự đoán trong nhiều BSM. Kết quả

của luận án này cũng có thể dễ dàng so sánh và trùng khớp với một số

tính toán trước như [66], được tính trong chuẩn ’t Hooft-Feynman. Hơn

thế nữa, kết quả này cũng có thể được kiểm tra chéo với một số công thức

bậc một vòng khác có đóng góp của boson chuẩn mới trong mô hình thống

nhất Higgs trường chuẩn (GHU) [85].

Tín hiệu về rã vi phạm số lepton thế hệ của Higgs boson trong mô hình

chuẩn (Lepton-flavor-violating decays of the standard-model-like Higgs bo-

son - LFVHDs) đã từng được cho là tìm thấy bởi LHC [20,21,50,51], không

lâu sau khi tìm thấy Higgs boson cũng ở LHC vào năm 2012 [22, 52, 53].

Tuy nhiên, với các số liệu dữ liệu mới đã xác nhận chưa tìm thấy kênh

rã này. Giới hạn thực nghiệm gần đây nhất về tỷ lệ rã nhánh (Br) của

quá trình rã này là Br(h → µτ, eτ ) < O(10−3), công bố bởi CMS có được

bằng cách sử dụng dữ liệu thu thập được ở thang năng lượng trung bình là

13 TeV. Nhiều nghiên cứu mới cũng đã công bố các khả năng có thể nhằm

tìm kiếm LFVHDs, trong đó dự đoán khả năng tìm kiếm trong vùng có tỉ

lệ rã nhánh cỡ 10−5 [38, 47, 49, 64, 106, 140, 148].

Theo nghiên cứu lý thuyết, các nghiên cứu độc lập về các mô hình cho

thấy LFVHDs được dự đoán từ các BSM bị giới hạn gián tiếp từ các dữ liệu

thực nghiệm như rã vi phạm lepton mang điện (cLFV) [33]. Chính vì vậy,

eγ). Tuy vậy, tỷ lệ rã nhánh Br của quá trình rã h → µτ, eτ vẫn được phép

chúng bị ảnh hưởng mạnh bởi giới hạn thực nghiệm gần đây của Br(µ →

trong giới hạn của 10−4. Cũng vì thế, LFVHDs đã được nghiên cứu rộng rãi

trong nhiều BSM cụ thể, trong đó tỷ lệ rã nhánh được chỉ ra là gần với độ

nhạy được cải thiện trong thời gian tới của các máy gia tốc, bao gồm cả các

mô hình không liên quan đến nhóm siêu đối xứng (non-supersymmetric)

[8,45,61,70,74,80,90,91,93,95,102,110,135,144] và mô hình đã được siêu đối

xứng hóa (supersymmetric) [16–18,25,31,39,40,43,73,86,149]. Trong số đó,

mô hình dựa trên nhóm đối xứng chuẩn SU (3)C ×SU (3)L ×U (1)X (3-3-1)

chứa nhiều nguồn sinh LFV có thể dẫn đến dự đoán được khả năng sẽ có

hiện tượng cLFV thú vị như rã lepton mang điện ei → ejγ [15,65,99,137].

Điều đặc biệt là các nghiên cứu trên đã được chỉ ra rằng Br(µ → eγ) có

thể lớn tới giới hạn thực nghiệm trong các mô hình này, do đó phải được

đưa vào các tham số để giới hạn không gian tham số được phép. Ngoài ra,

các nguồn LFV phong phú có thể cho tỷ lệ LFVHD lớn và có thể sẽ là các

tín hiệu hứa hẹn của tín hiệu NP.

Mặc dù các mô hình 3-3-1 đã được giới thiệu trong thời gian dài [84,113,

125,134,141], rã vi phạm LFVHDs mới chỉ được nghiên cứu ở mô hình với

các lepton trung hòa nặng được xếp vào thế hệ thứ ba của lepton (hoặc

phản lepton), ở đây khối lượng neutrino được sinh ra từ các số hạng hiệu

dụng [7, 122]. Giá trị lớn nhất của LFVHD được dự đoán là O(10−5), có

nguồn gốc từ neutrino nặng và Higgs boson mang điện [95, 144].

Gần đây, các BSM bao gồm các mô hình 3-3-1với lepton trung hòa mới

được xếp vào đơn tuyến đã được giới thiệu [44,72,137]. Chúng trở nên thú

vị hơn nhiều, bởi vì đã giải thích thành công các số liệu thực nghiệm về

dao động neutrino thông qua cơ chế inverse seesaw (ISS), được ký hiệu

ngắn gọn là mô hình 331ISS. Chúng mang cho nguồn cLFV lớn dự đoán

được Br(µ → eγ) rất gần với giới hạn thực nghiệm gần đây. Mô hình này

cũng có thể chứa các ứng cử viên vật chất tối [44, 72, 137]. Những đặc tính

này khiến mô hình trở nên thú vị hơn nhiều so với các mô hình 3-3-1 với

neutrino phân cực phải ban đầu (331RHN) [84, 113, 125, 141]. Mô hình dự

đoán tỷ lệ rã nhánh LFV của lepton rất nhỏ so với thực nghiệm, bởi vì

tất cả các neutrino bao gồm cả những neutrino mới, đều cực kỳ nhẹ. Hơn

thế nữa, bổ đính bậc một vòng cần phải xét vào cả ma trận khối lượng

neutrino để có thể thu được phổ khối lượng neutrino phù hợp với thực

nghiệm [48]. Vì vậy, tín hiệu LFV là một kênh thông tin thú vị để so sánh

mô hình 331ISS và mô hình 331RHN.

Đặc biệt hơn, cơ chế ISS đơn giản mở rộng từ SM cho phép tỷ lệ rã

nhánh LFVHD đạt độ lớn cỡ Br(h → µτ, eτ ) ∼ O(10−5), trong vùng

thỏa mãn Br(µ → eγ) < 4.2 × 10−13 [13, 14]. Từ những vấn đề nêu trên,

Br(h → µτ, eτ ) có giá trị như thế nào trong mô hình 331ISS sao cho các

một phần luận án tập trung giải quyết một số câu hỏi: Tỷ lệ rã nhánh

quá trình rã cLFV thỏa mãn các ràng buộc của thực nghiệm? Các Brs này

có lớn hơn các giá trị được tính trong SM hay không? Bởi vì các mô hình

3-3-1 này chứa nhiều hạt mới cho đóng góp vào quá trình rã LFV thông

qua bổ đính bậc một vòng, dẫn đến các đóng góp mới có thể tăng cường

hoặc khử nhau sẽ làm cho mô hình có ý nghĩa hơn đối với các nghiên cứu

tiếp theo hoặc mô hình sẽ bị hủy bỏ, tương ứng làm tăng hoặc giảm đáng

kể tỉ lệ rã nhánh các kênh rã, từ đó ảnh hưởng mạnh đến các vùng của

không gian tham số thỏa mãn giới hạn hiện tại của thực nghiệm về tỷ lệ

rã µ → eγ. Các vùng tham số phù hợp nhất cho phép tỷ lệ LFVHD lớn,

là đối tượng mà chúng tôi sẽ cố gắng tìm kiếm trong nghiên cứu này.

Từ tất cả các vấn đề nêu trên, trong luận án này chúng tôi tập trung

nghiên cứu đề tài "QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ CỦA HIGGS BO-

SON h → Zγ VÀ h → µτ TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH 3-3-1".

1 → µτ

Cụ thể là hai quá trình phân rã Higgs boson h → Zγ tổng quát và h0

trong mô hình 331ISS.

• Xây dựng các công thức chung cho quá trình rã h → Zγ.

• Nghiên cứu về mô hình 331ISS.

• Nguồn LFV trong mô hình 331ISS.

• Khảo sát tỷ lệ rã nhánh của quá trình rã h0

1 → µτ trong mô hình 331ISS.

Mục đích nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

• Quá trình rã h → Zγ tổng quát và h0

1 → µτ trong mô hình 331ISS. • Đỉnh và hệ số đỉnh tương tác LFV, giản đồ Feynman và biên độ rã.

• Hàm Passarino – Veltman (PV) cho quá trình rã h → Zγ và h0

1 → µτ .

• Các phổ hạt liên quan đến quá trình rã h → Zγ.

• Đóng góp bậc một vòng vào Br(h → Zγ).

• Phổ hạt liên quan đến quá trình rã h0

• So sánh với một số kết quả và tính cụ thể một vài đóng góp trong BSM. 1 → µ±τ ∓ trong mô hình 331ISS.

• Đóng góp bậc một vòng vào Br(h0

• Khảo sát số quá trình rã h0

1 → µ±τ ∓) trong mô hình 331ISS. 1 → µ±τ ∓ trong mô hình 331ISS, dự đoán

Nội dung nghiên cứu

khả năng tìm kiếm tại LHC trong tương lai.

• Biện luận vùng không gian tham số thỏa mãn tất cả các điều kiện lý 1 → µ±τ ∓ trong mô hình 331ISS.

thuyết và thực nghiệm của quá trình rã h0

• Lý thuyết trường lượng tử.

• Giải số thông qua phần mềm Mathematica.

Phương pháp nghiên cứu

Cấu trúc luận án này được sắp xếp như sau:

Chương 1: Sơ lược về tương tác của boson Higgs trong SM. Chỉ ra

nguồn LFV trong một số BSM. Một số vấn đề liên quan đến tìm kiếm quá

trình rã của boson Higgs trong thực nghiệm của các máy gia tốc.

Chương 2: Xây dựng các công thức giải tích để tính tỷ lệ rã nhánh cho

quá trình rã h → Zγ tổng quát theo chuẩn unitary.

Chương 3: Từ các công thức xây dựng được ở Chương 2, Chương 3 sẽ

thực hiện tính và so sánh với một số kết quả đã được công bố và tính cụ

thể cho một vài đóng góp trong BSM.

1 → µ±τ ∓ trong mô hình 331ISS gồm các bước: Tìm tất cả các đỉnh tương tác và giản đồ Feynman bậc một vòng

Chương 4: Khảo sát rã h0

trong chuẩn unitary, tính biên độ rã và chứng minh khử phân kỳ, giải số

và thảo luận kết quả.

Kết luận chung: Đưa ra các kết quả chính thu được và đề xuất hướng

nghiên cứu trong thời gian tới.

Phụ lục: Trong phần phụ lục chúng tôi trình bày một số công thức

liên quan đến các tính toán trong luận án. Cụ thể là các hàm PV trong

LoopTools, cách tính chi tiết biên độ các giản đồ liên quan đến 2 quá trình

1 → µ±τ ∓ trong mô hình 331ISS.

rã h → Zγ tổng quát và h0

Chương 1

TỔNG QUAN

1.1 Tương tác ứng với quá trình rã h → Zγ trong mô hình

chuẩn

Cho đến nay SM vẫn là mô hình vật lý hạt thành công nhất khi dự đoán

chính xác phần lớn các kết quả thực nghiệm đo được. SM là sự kết hợp

của thuyết điện yếu (GWS) và sắc động lực học lượng tử (QCD) của tương

tác mạnh. SM dựa trên nhóm đối xứng SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y . Trong

SU (2)L là nhóm tác động lên các fermion phân cực trái; U (1)Y là nhóm

đó SU (3)C là nhóm đối xứng màu tác động lên các quark mang tích màu,

chuẩn gắn với số lượng tử là siêu tích yếu Y.

SM mô tả thống nhất 3 loại tương tác là tương tác mạnh, yếu và điện

từ. Trong SM, các fermion được chia làm 3 thế hệ, mỗi thế hệ có tính chất

tương đương nhau. Ban đầu các fermion không có khối lượng, để sinh khối

SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y bị phá vỡ đối xứng tự phát thông qua cơ chế

lượng cho các hạt này và các boson chuẩn W ±, Z thì nhóm đối xứng chuẩn

Higgs. Tuy nhiên, bên cạnh những thành công của SM, vẫn tồn tại một số

vấn đề mà người ta cần mở rộng SM: SM chưa thống nhất được các loại

tương tác (tương tác hấp dẫn), SM không giải thích được tại sao số thế

hệ là fermion là 3, tại sao top quark có khối lượng vượt xa so dự đoán,

neutrino không có khối lượng trong khi thực nghiệm đo được khối lượng

neutrino khác không, có sự dao động neutrino,...Do đó người ta cần mở

rộng SM. Để giải quyết được những vấn đề còn tồn tại của SM, nghiên

cứu vật lý mới trong các BSM là một xu hướng tất yếu.

Một trong những hướng nghiên cứu vật lý mới trong các BSM là nghiên

cứu các quá trình rã hiếm, là các quá trình rã có bề rộng rã nhánh rất

bé, bao gồm cả các quá trình rã LFV. Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt các

tương tác liên quan đến quá trình rã h → Zγ trong SM để tiện so sánh

với những tính toán ở phần sau của luận án.

Đầu tiên, Lagrangian mô tả tương tác của Higgs boson với fermion được

viết ở dạng sau [115, 131]

˜φuR + ¯uR

− hd (cid:0) ¯QLφdR + ¯dRφ†QL

(1.1) (cid:1) , (1.2) (cid:1) , Y u = −he (cid:0) ¯Leφ eR + ¯eRφ†Le Ll (cid:17) Y u = −hu (cid:16) ¯QL ˜φ†QL Lq

trong đó hl, hd, hu là các hằng số tương tác Yukawa của lepton và quark với trường vô hướng, ˜φ = φC = iσ2φ∗. Ngoài ra e = e, µ, τ ký hiệu chung cho các lepton; u = u, c, t ký hiệu chung các quark trên; và d = d, s, b ký

hiệu chung cho các quark dưới. Thực hiện khai triển Lagrangian nói trên

chúng tôi thu được hệ số đỉnh tương tác của Higgs với fermion được liệt

kê như ở bảng 1.1.

Lagrangian mô tả tương tác của Z boson với fermion thường được viết

ở dạng sau [115]

LZf f =

¯f γµ [gV − gAγ5] f Zµ.

g cW

(1.3)

Bảng 1.1: Tương tác của Higgs boson với các fermion.

Đỉnh tương tác Hệ số đỉnh

hee

hdd

huu

−i me v −i mu v −i md v

[gV − gAγ5] = gLPL + gRPR, dẫn đến các liên hệ gV = 1 gA = 1

2(gL + gR) và 2(gL − gR) hay gL = gV + gA và gR = gV − gA. Xét với các số hạng liên quan đến tương tác giữa Z boson chuẩn với các quark, biểu thức cụ

Hệ số trong ngoặc vuông còn được tính theo tham số gL, gR:

Lint

µ, Bµ (cid:88)

⊃

− s2

thể có thể viết [115]

Zµ

W Qq

(cid:3) , (cid:1) qL + ¯qRγµ (cid:0)−s2 (cid:1) = i ¯QLγµDµQL + i¯uRγµDµuR + i ¯dRγµDµdR (cid:1) qR (cid:2)¯qLγµ (cid:0)T 3 qL (cid:0)Q, W 3 g cW

¯qγµ (gLPL + gRPR) q,

⊃ Zµ

qR=uR,dR g (cid:88) cW

(1.4)

với qL = uL, dL là các thành phần của lưỡng tuyến QL = (uL, dL)T , Qq

là điện tích quark đang xét. Với q = qL + qR là spinor Dirac có các thành

phần trái và phải tương ứng là: qL = PLq và qR = PRq. Tương tự cho các

lepton. Thay giá trị điện tích và vi tử T3 vào Lagrangian (1.4) ở trên, ta

có các hệ số đỉnh tương tác được liệt kê như ở bảng 1.2.

Tiếp theo, xét hệ số đỉnh tương tác giữa các boson chuẩn với nhau và

các boson chuẩn với Higgs boson. Lagrangian ứng với tương tác giữa Higgs

µ W −

µ nằm trong số hạng động năng hiệp

boson và hai boson chuẩn hW +

µ W − µ

biến của trường Higgs

⊂ (Dµφ)† (Dµφ) ,

hW + k

(1.5)

µ W −

µ nằm trong số hạng động năng hiệp biến của

và tương tác Z(γ)W +

Bảng 1.2: Hệ số liên hệ với đỉnh tương tác của Z boson với fermion

Đỉnh tương tác

− 1

Zµdαdα

s2 W

Zµuαuα

gA W − 1 s2 1 4

gR 1 s2 W 3 − 2 3 s2 W 0

Zµνaνa

− 1

Zµeaea

1 4 W − 1

s2 W

gL 1 1 4 − 3 2 1 2 − 2 3s2 W 1 2 2 + s2 W

4 − 1

1 4 + 3 1 4 − 2 3s2 W 1 4 4 + s2

trường boson chuẩn không giao hoán của biểu thức [115]

Lgauge

ν − ∂νW a

µ + g(cid:15)abcW b

kin = −

1 4

µW c ν × (cid:0)∂µW aν − ∂νW aµ + g(cid:15)adeW dµW eν(cid:1)

(cid:1) (cid:0)∂µW a

= −

ν − ∂νW a µ

1 4

(cid:1) (∂µW aν − ∂νW aµ) (cid:0)∂µW a

− g (cid:15)abc(∂µW a

ν )W bµW cν −

µW c ν

g2 4

(1.6) (cid:0)(cid:15)abcW b (cid:1) (cid:0)(cid:15)adeW dµW eν(cid:1) .

Thực hiện khai triển 2 Lagrangian ở trên ta thu được các hệ số đỉnh

tương tác cần thiết được liệt kê như ở bảng 1.3. Trong đó, tất cả các

(p1 − p2)αgµλ + (p2 − p3)µgλα + (p3 − p1)λgαµ.

Bảng 1.3: Đỉnh tương tác của các boson trong chuẩn unitary.

Đỉnh tương tác

Hệ số đỉnh

hW αW β

ig mW gαβ

−ig cW Γµλα(pZ, pW +, pW −)

(cid:3)

Zµ(pZ)W +λ(pW +)W −α(pW −) γµ(pγ)W +λ(pW +)W −α(pW −) ZµγνW αW β

−ieg cW

−ieΓµλα(pγ, pW +, pW −) (cid:2)2gµνgαβ − gµαgνβ − gµβgνα

vector xung lượng p1,2,3 đều qui ước có chiều đi vào đỉnh, Γµλα(p1, p2, p3) =

Từ những kết quả trên, dễ dàng thấy rằng các hệ số đỉnh tương tác

của Higgs boson trong SM với các hạt khác và giữa các hạt trong SM với

nhau đều chứa các tham số xác định và thực nghiệm đã đo được. Do đó

các đặc tính của Higgs boson trong SM cũng đã được xác định và đã được

thực nghiệm (LHC) kiểm chứng một cách độc lập. Đối với các hạt mới

trong các BSM, các hệ số đỉnh sẽ chứa những tham số mới chưa được kiểm

chứng, do đó những tính toán của chúng tôi sẽ góp phần làm sáng tỏ hơn

về những vùng không gian của tham số này. Chúng sẽ dễ dàng được kiểm

1.2 Nguồn LFV liên quan đến rã h → µτ trong mô hình chuẩn

mở rộng

chứng khi được đưa về giới hạn của SM.

Lý thuyết đầu tiên về sự chuyển hóa neutrino được chỉ ra tương tự quá

trình chuyển hóa giữa các kaon trung hòa và sự chuyển hóa giữa 2 neutrino

khác nhau về số vị cũng đã được thảo luận. Tổng hợp các kết quả thực

nghiệm về neutrino cho đến nay được cho trong [130] và khá phù hợp với

dạng trộn tribimaximal của các neutrino.

Dao động neutrino [60, 142] là một bằng chứng rõ ràng nhất cho rã vi

phạm số lepton thế hệ (LFV) cho lepton trung hòa, cũng có nghĩa rằng có

thể sẽ tồn tại các quá trình rã LFV liên quan đến các lepton mang điện.

Đây chính là những tín hiệu NP ngoài SM. Các trung tâm thực nghiệm

đã và đang cố gắng để tìm kiếm các kênh rã vi phạm số lepton mang

điện [42, 112] mặc dù SM dự đoán không tồn tại kênh rã này.

Nguồn chính dẫn đến LFV là do có sự trộn lẫn giữa các thế hệ khác

nhau của các neutrino, các lepton mới được thêm vào trong các BSM. Như

vậy nhiều BSM có nguồn LFV như lớp các mô hình siêu đối xứng, các mô

hình Seesaw, các mô hình 3-3-1,... Tuy nhiên trong khuôn khổ luận án này

chúng tôi chỉ quan tâm đến lớp các mô hình 3-3-1, mà cụ thể là mô hình

331ISS.

Đầu tiên, chúng tôi nói đến nguồn LFV từ các neutrino mới. Trong mô

hình 331ISS, ngoài các neutrino thông thường còn có sự đóng góp của các

SU (3)L, thành phần phân cực phải xếp vào đơn tuyến. Những đóng góp từ

neutrino mới. Các neutrino mới phân cực trái được xếp vào tam tuyến của

các neutrino mới là đáng kể so với những đóng góp từ các neutrino trong

mν đóng góp đáng kể vào Br của quá trình rã LFV. Các neutrino không

SM. Theo cơ chế ISS, hằng số tương tác Yukawa mới tỷ lệ với khối lượng

cùng thế hệ cũng có thể trộn và góc trộn nhận giá trị lớn do chưa có ràng

buộc từ thực nghiệm.

Thứ hai, nguồn LFV đến từ những tương tác mới giữa các Higgs boson

tựa SM và các boson chuẩn mới, với các Higgs boson mang điện mới. Những

hạt mới này tạo ra thêm nhiều các giản đồ đóng góp bậc một vòng cho quá

1 , H ±

2 . Đóng góp của các Goldston boson luôn bằng không khi chúng ta thực hiện các tính toán trong chuẩn

trình rã LFV. Ví dụ trong mô hình 331ISS, có thêm boson chuẩn Y ± và các Higgs boson mang điện tích đơn H ±

unitary. Vì vậy chúng tôi sẽ không đề cập đến tất cả các yếu tố liên quan

đến Goldstone boson.

Như vậy, các đỉnh tương tác LFV sẽ được tính từ Lagrangian Yukawa,

động năng hiệp biến và thế Higgs. Từ đó giản đồ Feynman cho quá trình

rã h → µτ cũng được xác lập. Tỷ lệ rã nhánh của quá trình rã h → µτ có

thể sẽ phụ thuộc vào các tham số mới như khối lượng các hạt Higgs boson

SU (3)L,...

mang điện mới và neutrino mới được thêm vào, thang phá vỡ của nhóm

1.3 Tìm kiếm rã Higgs trong thực nghiệm

Có thể nói việc phát hiện ra boson Higgs [24, 54] đã khởi đầu cho hàng

loạt các nghiên cứu liên quan đến tương tác của Higgs. Cho tới thời điểm

Γtotal

, trong đó

hiện nay, thực nghiệm đã phát hiện và nghiên cứu Higgs boson thông qua các kênh rã chính [105, 130]: h → b¯b, c¯c, τ +τ −, γγ, ZZ, W W +, gg. Tỷ lệ rã nhánh được xác định theo hệ thức Br(h → XY ) = Γ(h→XY ) Γtotal (cid:39) 4.1 × 10−3GeV là bề rộng rã toàn phần của Higgs tựa SM. Tỷ lệ rã nhánh của hγγ, hZγ rất nhỏ cỡ 2.10−3, ứng với mh cỡ 120 → 130

GeV [105].

Trong các kênh rã Higgs boson, có hai kênh rã chỉ xuất hiện khi tính

đến đóng góp nhiễu loạn bậc một vòng là h → γγ và h → Zγ. Trong lý

thuyết cổ điển, các hạt trung hòa như Higgs boson không thể tương tác

với trường điện từ là photon, vì vậy không thể xuất hiện hai quá trình rã

nói trên. Kết luận này cũng đúng trong lý thuyết trường lượng tử áp dụng

cho SM, khi xét đến gần đúng bậc cây. Ở bậc một vòng, các kênh rã trên

đều xuất hiện với tỉ số rã nhánh rất nhỏ, được gọi là các kênh rã hiếm

(rare decay). Điều đặc biệt là kênh rã h → γγ đã được thực nghiệm đo

được với độ chính xác rất cao và phù hợp với dự đoán từ SM. Kênh rã còn

lại được SM dự đoán có cùng bậc tỉ lệ rã nhánh với kênh rã đầu, nhưng

thực nghiệm vẫn đang tiếp tục tìm kiếm để có thể tiếp tục kiểm tra tính

đúng đắn của SM [130].

Các kênh rã h → γγ và h → Zγ nói trên có các biểu thức giải tích tính

biên độ và tỉ lệ rã nhánh khá phức tạp do phải tính đến các giản đồ bậc

một vòng chứa các hạt truyền ảo. Trong các BSM, các hạt ảo còn có thể

là các hạt mới, sinh ra các đóng góp mới và có thể làm thay đổi biên độ

rã so với SM.

Bên cạnh đó, các kênh rã LFV và rã hiếm của Higgs boson cũng đã được

thực nghiệm quan tâm, vì đây là những tín hiệu NP không có trong dự

đoán của SM. Trước đây tất cả các máy gia tốc với năng lượng chưa đủ lớn

đều chưa thực hiện tìm kiếm các kênh này. LHC là máy gia tốc với năng

lượng đủ mạnh đầu tiên thực hiện tìm kiếm các kênh rã đây sau khi Higgs

tựa SM được tìm thấy. Vào năm 2015, tại ATLAS thực nghiệm đã xác lập

được giới hạn trên cho tỷ lệ rã nhánh của quá trình rã h → µτ [4, 108].

Như vậy kênh rã h → Zγ và h → µτ là hai kênh rã đã và đang được

thực nghiệm tích cực tìm kiếm. Nghiên cứu hai kênh rã trên mang tính

thời sự cao, do đó trong luận án này chúng tôi chỉ tập trung chủ yếu vào

những vấn đề liên quan đến hai kênh rã này.

Chương 2

QUÁ TRÌNH RÃ h → Zγ TỔNG

QUÁT

2.1 Quy tắc Feynman và các quy ước chung

M(h → Zγ) ≡ M (Zµ(p1), γν(p2), h(p3)) εµ∗

2 (p2)

1 (p1)εν∗

Biên độ của quá trình rã h → Zγ được định nghĩa như sau,

≡ Mµνεµ∗

1 εν∗ 2 ,

(2.1)

1 và εν

2 là các vectơ phân cực của Z boson và photon γ. Xung lượng ngoài của Z boson, γ và Higgs boson tương ứng là p1, p2 và p3. Chúng

ở đây εµ

liên hệ với nhau qua hệ thức bảo toàn xung lượng p3 = p1 + p2 với chiều

được quy ước trên giản đồ 2.1. Chúng tôi chỉ quan tâm đến các giản đồ

Feynman cho đóng góp vào quá trình rã bậc một vòng xét trong chuẩn

2 = 0 và p2

Z, p2

3 = m2 h.

unitary, cho trong hình 2.1. Các điều kiện thêm cho xung lượng ngoài là 1 = m2 p2

p1,2, biên độ của quá trình rã Mµν viết được dưới dạng tổng tất cả các

Dựa vào cấu trúc Lorentz, trạng thái cuối chỉ gồm hai xung lượng ngoài

Hình 2.1: Giản đồ đóng góp bậc một vòng h → Zγ, với fi,j, Si,j và Vi,j là các

fermions, Higgs và boson chuẩn tương ứng.

2 (cid:88)

cấu trúc Lorentz có thể xác định như sau [76]

Mµν ≡ F00 gµν +

Fijpiµpjν + F5 × i(cid:15)µναβpα

1 pβ 2 ,

i,j=1

(2.2)

2 p2ν = 0, F12,22 không cho đóng góp vào biên độ tổng cuối cùng trong (2.1). Thêm vào đó, Mµν trong phương trình (2.2) theo đồng nhất thức Ward cho photon ngoài thì pν

2Mµν = 0, cho kết quả là F11 = 0 [76]

với (cid:15)µναβ là các tensor phản xứng toàn phần, với (cid:15)0123 = −1 và (cid:15)0123 = +1 [131], εν∗

(m2

và

F00 = −(p1.p2)F21 =

F21.

Z − m2 h) 2

(2.3)

M(h → Zγ) = Mµνεµ∗

1 εν∗ 2 ,

Dựa trên các liên hệ F00 và (2.2), biên độ (2.1) được chuyển về dạng sau

Mµν = F21 [−(p2.p1)gµν + p2µp1ν] + F5 × i(cid:15)µναβpα

1 pβ 2 .

(2.4)

Hình 2.2: Các số hạng phản (counterterm) và các giản đồ bậc một vòng đóng

góp vào biên độ của quá trình rã h → Zγ.

Từ đây, bề rộng phân rã Γ(h → Zγ) có thể được viết lại như sau [66,103]

1 −

Γ(h → Zγ) =

m3 h 32π

m2 Z m2 h

(cid:18) (cid:19)3 (2.5) (cid:0)|F21|2 + |F5|2(cid:1) .

Từ công thức (2.5) cho thấy rằng để tính được bề rộng rã nhánh, chúng

ta chỉ cần tìm đóng góp của F21 và F5 trong phương trình (2.4). Bởi vì F5

F21p2µp1ν cho đóng góp bậc một vòng của boson chuẩn. Do đó, tính toán

chỉ xuất hiện từ đóng góp của các fermion (γ5), do đó chỉ cần xét số hạng

sẽ trở nên dễ dàng khi thực hiện trong chuẩn unitary. Kết hợp với các ký

hiệu của hàm PV [128], chúng tôi sẽ xác định một cách rõ ràng số hạng

nào đóng góp cho F21p2µp1ν và do đó loại trừ từng bước các số hạng không

liên quan trong suốt quá trình tính toán.

Tính toán số hạng chứa F21 rất thú vị vì số hạng này không nhận những

đóng góp từ các giản đồ chứa các hạt ảo phi vật lý. Các cấu trúc Lorentz

của các số hạng phản được thể hiện trong hình 2.2.

Biên độ cuối cùng của quá trình rã h → Zγ là tổng của các đóng góp

từ 3 sơ đồ 1, 4 và 5 trong hình 2.2 và tất cả các giản đồ được hiển thị

trong hình 2.1. Chúng ta có thể thấy trong hình 2.2, giản đồ đầu tiên chỉ

cho đóng góp F00. Trong chuẩn unitary, hàm truyền của gauge boson được

viết như sau

∆µν(k2, m2) =

gµν −

−i k2 − m2

kµkν m2

(cid:18) (cid:19) (2.6)

Cấu trúc Lorentz của hai đỉnh còn lại được viết

iMCT

gαα(cid:48)

−

× (gα(cid:48)νC1ZA + p2α(cid:48)p2νC2ZA)

(4)µν ∼ gµα ×

2 pα(cid:48) pα 2 m2 Z (cid:18)

(cid:32) (cid:33)

= gµνC1ZA + p2µp2ν

C2ZA −

C1ZA m2 Z

iMCT

(5)µν ∼ (p3 + p2)µ × (p2νCSiA) = (p1 + 2p2)µp2νCSiA.

(cid:19)

Các đỉnh này chỉ cho đóng góp vào các số hạng F00, F12 và F22. Kết quả

trong cấu trúc Lorentz không thay đổi nếu giá trị của boson ảo Z trong sơ

đồ 4 được thay thế bằng những hạt mới trong các BSM. Do đó, F21 không

bị ảnh hưởng bởi các hạt ảo, điều đó có nghĩa rằng không cần phải xét đến

chúng trong tính toán ở nghiên cứu này. Một cách tương tự trong mô hình

với 2 lưỡng tuyến Higgs đã được thảo luận trong [83]. Minh họa cho các

cấu trúc Lorentz của các hạt cũng được đưa ra trong [27, 69]. Các quy tắc

Feynman được sử dụng trong tính toán của chúng tôi được liệt kê trong

p−)µgνλ + (p− − p0)νgλµ, ở đây tất cả xung lượng quy ước chiều đi vào đỉnh

bảng 2.1 trong đó ký hiệu mới Γµνλ(p0, p+, p−) ≡ (p0 − p+)λgµν + (p+ −

i,j và S±Q

i,j , tương ứng. Chúng ta thấy rằng chúng xuất hiện thường xuyên trong nhiều BSM, ví dụ trong các mô hình được xây

và p0,± là xung lượng của h, boson chuẩn mang điện và Higgs boson với điện tích ±Q, ký hiệu V ±Q

Bảng 2.1: Đỉnh tương tác của quá trình rã Higgs trung hòa CP chẵn h → Zγ

trong chuẩn unitary.

Đỉnh tương tác

(cid:1)

hfifj

hSij

h(p0)S−Q

(p0 − p+)µ

Hệ số đỉnh −i (cid:0)YhfijLPL + YhfijRPR −iλhSij , −iλ∗ ighSiVj (p0 − p−)µ, −ig∗

i (p+)V −Qµ

hSiVj ighVij gµν, ighZZgµν

ie Qγµ, ie Q(p+ − p−)µ

hSQ i S−Q (p−)V Qµ j V Qν hV −Qµ j i Aµfifi, AµSQ

(p−)

Aµ(p0)V Qν

, hS−Q i SQ j , h(p0)SQ , hZµZν i S−Q i (p+)V −Qλ i

(cid:1)

−ieQΓµνλ(p0, p+, p−) i (cid:0)gZfijLγµPL + gZfijRγµPR igZSij (p+ − p−)µ

Zµfifj i (p+)S−Q

gµν

igZViSj gµν, ig∗

SQ j

ZViSj

ZµSQ ZµV Qν i S−Q j Zµ(p0)V Qν

(p−)

−igZVij Γµνλ(p0, p+, p−)

(cid:1)

i ZµAνV Qα

(cid:0)2gµνgαβ − gµαgνβ − gµβgνα

−ie Q gZVij

(p−) , ZµV −Qν i (p+)V −Qλ j i V −Qβ

SU (2)L × SU (2)R × U (1)Y và SU (3)L × U (1)X [30, 94, 96, 99]. Cần nhấn

dựng từ các nhóm đối xứng điện yếu sau đây: SU (2)1 × SU (2)2 × U (1)Y ,

mạnh rằng, trong tất cả các mô hình đã biết, chúng tôi đã kiểm tra và

chấp nhận hệ thức sau: gZγVij = e Q gZVij dù chưa chứng minh được một

cách tổng quát. Hệ thức này rất quan trọng, làm khử đi nhiều số hạng

phức tạp trong quá trình tính toán. Cụ thể là nhiều số hạng phân kỳ nguy

hiểm có trong đóng góp từ giản đồ 5 và 6 trong hình 2.1 bị khử lẫn nhau.

Theo LoopTools [89], thì trên hình 2.1 định nghĩa 3 xung lượng của các

q1 = q + k1 = q − p1,

q2 = q + k2 = q − (p1 + p2),

hạt trong q, q1, q2 tương ứng như sau

p1 = −k1, p2 = k1 − k2.

(2.7)

Công thức tổng quát của chúng tôi xây dựng sẽ được viết theo các hàm

PV. Hơn nữa, việc so sánh kết quả của chúng tôi với các công bố trước

đó, cũng như có thể thực hiện giải số với sự trợ giúp của gói số LoopTools

được thực hiện một cách dễ dàng. Các định nghĩa và ký hiệu cho các hàm

2.2 Công thức giải tích cụ thể đóng góp bậc một vòng

2.2.1 Giản đồ chỉ chứa boson chuẩn

PV được cho trong phụ lục A.

Trong phần nội dung này chúng tôi sẽ tính đóng góp từ các giản đồ bậc

một vòng của boson chuẩn thuần túy đến biên độ rã nhánh của quá trình

rã h → Zγ. Tất cả đều được kiểm tra chéo bằng cách sử dụng phần mềm

FORM [111,147]. Các đóng góp khác từ các giản đồ chứa chỉ một hoặc hai

đường boson chuẩn bên trong loop được tính toán dễ dàng và có thể thực

hiện tương tự như giản đồ chúng tôi trình bày ở đây. Đóng góp thuần túy

từ 3 boson chuẩn là đóng góp từ giản đồ 5, 6 và 7 ở hình 2.1. Trước hết

chúng tôi tính đóng góp từ giản đồ 5 hình 2.1.

Biên độ của quá trình rã được viết như sau

−

gαα(cid:48)

iM(5)µν = 2 ×

ddq (2π)d (ighVij gαβ)

−i D0

qαqα(cid:48) m2 1

(cid:32) (cid:33) (cid:90)

gλρ −

× (cid:2)−igZVijΓµα(cid:48)λ(−p1, q, −q1)(cid:3) ×

−i D1 (cid:32)

gδβ −

× [−ie Q Γνρδ(−p2, q1, −q2)] ×

−i D2

1 qρ qλ 1 m2 2 (cid:33) 2qβ qδ 2 m2 2

(cid:19) (cid:18)

= 2e Q ghVij gZVij

V1µβλV βλ 2ν ,

ddq (2π)d

1, D1,2 = q2

1 D0D1D2 1,2 − m2 2,

(cid:90) (2.8)

gαα(cid:48)

−

V1µβλ = gαβ

Γµα(cid:48)λ(−p1, q, −q1),

ở đây m1,2 ≡ mVi,j , D0 = q2 − m2 (cid:33) (cid:32)

qαqα(cid:48) m2 1 (cid:19)

gλρ −

gδβ −

× [Γνρδ(−p2, q1, −q2)]

V βλ 2µ =

1 qρ qλ 1 m2 2

2qβ qδ 2 m2 2

(cid:32) (cid:33) (cid:18) (2.9)

Lưu ý rằng số 2 xuất hiện trong dòng đầu tiên của phương trình (2.8)

đã được thêm vào để thay thế cho việc tính lặp một giản đồ mới có các

vector xung lượng có chiều ngược với chiều vẽ trên giản đồ 5. Trường hợp

này có thể làm như vậy bởi vì hằng số ghVij và gZVij là số thực trong tất cả

các mô hình mà chúng tôi xem xét ở đây. Dựa trên cấu trúc của các hàm

PV, chúng ta biết rằng F21p2µp1ν được đóng góp từ các số hạng có các yếu

tố sau: qµqν, qµp1ν, p2µqν và p2µp1ν. Điều này có nghĩa là chúng tôi có thể

q1µ → qµ,

q2µ → qµ − p2µ,

q2ν → qν − p1ν = q1ν,

thay thế như sau trong các tính toán tiếp theo

k1µ → 0,

k2µ → −p2µ,

k1ν, k2ν → −p1ν,

gµν → 0.

(2.10)

Do đó suy ra

[(q + q1)µgα(cid:48)λ − (q + p1)λgα(cid:48)µ − (q1 − p1)α(cid:48)gµλ]

V1µβλ = gαβ

gα(cid:48) β −

qβqα(cid:48) m2 1

= (q + q1)µgβλ − (q + p1)λgµβ − (q1 − p1)βgµλ −

(q + q1)µqβqλ m2 1

(q + p1)λqβqµ m2 1

(q1 − p1)qqβgλµ m2 1

→ 2qµgβλ − (q + p1)λgµβ − (q1 − p1)βgµλ

(cid:33) (cid:32)

1 − m2

Z)gµλ

qβ m2 1

(cid:3) (cid:2)−qµq1λ + (q2

× V1,2µβλ,

≡ V1,1µβλ +

1 m2 1

Z, p2

p1) = q2

(2.11)

1 − p2

1 = m2 2 = 0, q.(q1 − p1) = (q1 + p1).(q1 − 2,... Dấu mũi tên được sử dụng để biểu thị bước thay thế (2.10) đã được áp dụng. Qui ước này sẽ được áp dụng cho

ở đây chúng tôi đã sử dụng: p2 1, q1.(q2 − p2) = q2

tất cả tính toán tiếp theo trong luận án này. Tương tự, có thể viết như

× V βλ

2ν → V βλ V βλ

2,1ν +

2,2ν +

× V βλ 2,3ν,

1 m2 2

1 m4 2

(2.12)

ở đây

ν q2

1 − q2νpλ

2 − q1νqλ 2

ν + 2q1νgβλ, (cid:17) + qβ 2

→ qλ

ν q2

1 − 2q1νqλ

1 qβ 2 ,

(cid:0)δλ (cid:1) ,

2 p2ν → 0.

V βλ 2,1ν = −(q1 + p2)βδλ ν − (q2 − p2)λδβ (cid:16) V βλ 2 + q1ν(q1 + p2)β − 2q1νqβ 2,2ν = qλ ν q2 δβ 1 2 + qβ 1 δβ 2 δλ 1 qβ V βλ 2,3ν = −(q1.p2)qλ

(2.13)

2ν ) lại như sau

. (2.14)

V1µβλV βλ

2ν → (V1,1V2,1)µν +

(V1,1V2,2)µν m2 2

(V1,2V2,1)µν m2 1

(V1,2V2,2)µν 1m2 2

Đến đây, chúng tôi có thể viết tích (V1µβλV βλ

Tính chi tiết các số hạng trong (2.14) xem phụ lục B. Kết quả tính có

(V1,1V2,1)µν = 2(2d − 3)qµqν + (−4d + 7)qµp1ν − p2µqν + 5p2µp1ν,

thể viết lại như sau

(V1,1V2,2)µν = qµqν

1 + m2

(cid:3)

+ qµp1ν

h − 2m2 Z 2 − m2

(cid:3)

+ p2µqν

1 − 2m2 Z

(V1,2V2,1)µν = qµ

Z) (qµqν − 2qµp1ν + 2p2µqν)

(cid:3) ,

1 + q2 1 + 2m2 Z (cid:3) + (q2 m2

−

+ q2

= qµqν

+ qµp1ν×

1 +

(cid:20) (cid:21)

q2 2

h + 2m2 Z (cid:3) + p2µp1ν (cid:2)2q2 + q2 1 − m2 h − 2m2 Z 2

(cid:2)q2 + q2 (cid:2)−q2 − 3q2 (cid:2)−2q2 + q2 (cid:2)−q1ν(q.q2) + qνq2 2 q2 2 2

−m2

h + 4m2 Z

− 2q2

+ p2µqν

1 +

1 − 2m2 Z

(cid:21) (cid:2)2q2 (cid:3) , (cid:20)q2 2

(V1,2V2,2)µν = −qµqνp2

q2 2 2 2 + qµq1ν(q.q2) (cid:2)2p2

1 − q2 1

1q2

(cid:3)

(q2 + q2

= qµqν

2 − m2

h) (cid:0)−q2

1 + 2m2 Z

Zq2

2 +

(cid:21) (cid:1) (cid:20) −m2

(q2 + q2

− qµp1ν

1 2 2 − m2

h) (cid:0)−q2

1 + 2m2 Z

(2.15) (cid:1) ,

2 vào (2.15), ta có

1 2 1,2 + m2 1, D1,2 = q2 (cid:90)

thay q2 = D0 + m2

iM(5)µν → (cid:2)e Q ghVij gZVij (cid:26)

(cid:3) ×

ddq (2π)d × 2(m2

1 + m2

2 + m2 h)

−

qµqν

(cid:20)

1 + m2

1 D0 2 + 2 (cid:0)m2

1 D2 1m2 8(d − 2)m2

D0D2 (cid:35) 2 − m2 Z)

1 1m2 m2 2 1 − m2 2 + m2 Z) D1D2 2 + m2 h

1 + m2 D0D1D2 2(m2

2 + m2 Z)

−

+qµp1ν ×

1 − m2 D1D2

5m2

2(m2

2 − m2 Z)

−

(cid:1) (m2

1 + m2

+ 2 + 2 (cid:0)m2

1m2

2 − m2 Z)

1 + m2 D0D1 2 + m2 h

−

(cid:35) (cid:1) (m2 (cid:20) 1 1 D2 D0 2 + m2 1 + 3m2 h D0D2 8(d − 2)m2

2m2

4(m2

1 + m2

1 − m2

2 − m2 Z)

−

+ p2µqν

1 + m2 D0D1D2 1 + 4m2 2 D0D2

4m2 1 D1D2

4m2

1(m2

2)(m2 D0D1D2 (cid:21)(cid:27) 2 − m2 Z)

(cid:20) (cid:21)

+p2µp1ν

2m2 1 D0D2

1 + 3m2 D0D1D2

(2.16) (cid:20) 4m2 1 D1D2

Biên độ tương ứng với giản đồ 6 trong hình 2.1 được viết như sau

−

gαα(cid:48)

iM(6)µν =

(−ie Q gZVij)

ddq (2π)d (ighVij gαβ)

−i D0

(cid:33) (cid:32) (cid:90)

qαqα(cid:48) m2 1 (cid:32)

gββ(cid:48)

−

× [2gµνgα(cid:48)β(cid:48) − gµνgα(cid:48)β(cid:48) − gµνgα(cid:48)β(cid:48)]

−i D2

2 qβ(cid:48) qβ 2 m2 2

(cid:33)

→ (cid:2)e Q ghVij gZVij

ddq (2π)d

1 D0D2

1 1m2 m2 2

(cid:90) (cid:3) ×

× (cid:2)−2m2

1q2µq2ν − 2m2

2qµqν + (q.q2)(q2µqν + qµq2ν)(cid:3) .

(2.17)

Tính toán một cách tương tự như làm ở giản đồ 5, ta có thể viết biểu

thức biên độ của giản đồ 6 như sau

iM(6)µν → (cid:2)e Q ghVij gZVij (cid:26)

(cid:90) (cid:3)

1 m2 1m2 2 2 + m2 h

−

qµqν

ddq (2π)d × 1 + m2 m2 D0D2

1 D0

(cid:21)

3m2

2 + m2 h

−

+qµp1ν

(cid:21) (cid:20)

3m2

2 + m2 h

−

+p2µqν

1 − m2 2D0D2 1 − m2 2D0D2

1 2D0 1 2D0

(cid:21) (cid:20)

+p2µp1ν

(cid:21)(cid:27) (2.18) (cid:20) 1 D2 1 2D2 1 2D2 (cid:20)−2m2 1 D0D2

Giản đồ 7 trong hình 2.1 không cho đóng góp. Tính toán chi tiết được

trình bày trong phụ lục B. Chúng ta có thể thấy một số số hạng chứa phân

kỳ từ qµqν trong 2 phương trình (2.16) và (2.18) sẽ bị khử nhau khi chúng

được lấy tổng. Do đó, tổng các đóng góp bậc một vòng do 3 boson chuẩn

sinh ra được viết như sau

2 + m2 Z)

qµqν

M(5+6)µν → e Q ghViVj gZViVj

8(d − 2)m2

(cid:26) (cid:90) (cid:20)2(m2

1m2

2 + 2 (cid:0)m2

1 + m2

1 − m2 D1D2 (cid:35) 2 − m2 Z)

1 1m2 m2 2 2 + m2 h

7(m2

2 + m2 Z)

2) + m2 h

−

+qµp1ν

1 + m2 2D0D2

2(m2

1m2 2

1 2D0 2 − m2 Z)

−

ddq (2π)d × 1 + m2 D0D1D2 2(m2 1 − m2 D1D2 8(d − 2)m2 D0D1D2

(cid:1) (m2

2 (cid:0)m2

1 + m2

2 − m2 Z)

(cid:35) (cid:20) 1 2D2 1 + m2 D0D1 1 + m2

(cid:1) (m2 2 + m2 h D0D1D2

7(m2

2) + m2 h

−

+ p2µqν

1 2D2

1 2D0

4m2 1 D1D2

1 + m2 2D0D2

(cid:20)

4(m2

1 − m2

1 + m2

2 − m2 Z)

−

+ p2µp1ν

(cid:21)

2)(m2 D0D1D2 1(m2 4m2

2 − m2 Z)

1 + 3m2 D0D1D2

(cid:21)(cid:27) (2.19) (cid:20) 4m2 1 D1D2

Dựa trên định nghĩa các hàm PV và các ký hiệu của LoopTools cho

trong [83, 89], biên độ của đóng góp từ giản đồ (5+6) được viết lại như sau: M(5+6)µν = M(5+6)µν(B0,µ,ν,µν, C0,µ,ν,µν) × 1/(16π2). Thêm vào đó, ta chỉ giữ lại các số hạng có chứa hệ số p2µp1ν chúng ta có thể sử dụng các

thay thế sau

A(0)

A(2)

→

p2µ,

µ,ν, A(1)

µ , B(1)

µ,µν → 0,

µ , B(2)

µ , B(12)

0 , −B(2) A(2) 1 ,

(cid:41) (cid:40) (cid:110) (cid:111)

, B(12)

p2µp1ν,

p1ν, B(12)

A(1,2) ν

, B(1,2) ν

ν →

µν →

A(1,2) 0

, −B(1,2) 1

, B(12) 0

B(12) 0 2 B(12) 0 2

Cµ → −C2 p2µ, Cν → −(C1 + C2)p1ν, Cµν → (C12 + C22)p2µp1ν. (2.20)

(cid:111) (cid:110)

Vậy, tổng các đóng góp từ các giản đồ bậc một vòng có 3 đường boson

F21,Vijj =

chuẩn thuần túy Vi − Vj − Vj được viết như sau

2e Q ghVij gZVij 16π2 (m2

1 + m2

2 − m2 Z)

8 +

(C12 + C22 + C2)

(cid:21) (cid:26)(cid:20)

2(m2

1 − m2

2 − m2

h)(m2 2 + m2 1m2 m2 2 2 − m2 Z)

Z)C0

(C1 + C2) +

2)(m2 m2

1 + m2 1m2 2

1 + 3m2 m2 2

(cid:27)

(2.21)

trong đó tất cả các hàm PV có chứa phần phân kỳ hoàn toàn bị triệt tiêu

và do đó d = 4. Chúng ta cần lưu ý rằng công thức (3.1) được đưa về các

hàm PV theo các quy ước trong LoopTools và do đó có thể dễ dàng được

kiểm chứng bằng giải số. Hơn nữa, biểu thức giải tích cho các hàm PV có

liên quan đã được xây dựng [76, 99], đủ để thực hiện kiểm chứng kết quả

của chúng tôi trong các chương trình giải số hiện có hoặc viết một chương

trình độc lập mới. Như vậy, công thức cuối cùng M(5+6)µν được đưa về

các hàm PV và không còn chứa các số hạng phân kỳ nguy hiểm. Tất cả

2.2.2 Giản đồ chỉ chứa fermion

các số hạng đều được xác định và sử dụng rộng rãi để tính số.

Biên độ của giản đồ 1 hình 2.1 được viết như sau

iM(1)µν = (−1) ×

(cid:90)

(cid:20) −i (cid:0)YhfijL PL + YhfijR PR

×(ie Q γν)

ddq (2π)d × Tr (cid:16) (cid:104) ZfijL γµPL + g∗ g∗ i

ZfijR γµPR

i(q/1 + m2) D1

(cid:21) (cid:1) i(q/2 + m2) D2 (cid:17)(cid:105) i(q/ + m1)

= −e Q

1 D0D1D2

(cid:90)

K +

LL,RR − K −

1 2

ddq (2π)d × (cid:104)(cid:0)q/2γνq/1γµ + m2 2γµγν (cid:16)

LL,RRγ5 (cid:17)(cid:105)

(cid:17) (cid:1) (cid:16)

K +

+ (q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)

LR,RL + K −

LR,RLγ5

(2.22)

trong đó đã loại bỏ các tích chứa số lẻ γ0,1,2,3 có vết bằng 0. Có thể dễ

Tr [γνq/1γµq/] = qα

1 Tr [(2gνα − γαγν)γµq/] = 2q1νTr [γµq/] − Tr [q/1γνγµq/]

→q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/ = 2q1νTr [γµq/] − p/2γνγµq/.

dàng suy ra được

Kết quả là

K +

iM(1)µν → −e Q

LL,RR + K +

LR,RL

(cid:90) (cid:110) (cid:16) (cid:17)

1 D0D1D2 (cid:16) −K +

p2µqν + 2K + (cid:16)

LL,RRp2µp1ν (cid:17)(cid:105) (cid:111)

ddq (2π)d × ×(qµqν − qµp1ν) + 2 (cid:16)

LL,RR + K + LR,RL (cid:17)

−2K −

K −

+ pλ

(cid:17)

+i(cid:15)µναλ

2 ×

1pα

2 × 2

LL,RR

LL,RR − K −

LR,RL

(cid:104) qλpα

(2.23)

với

K ±

YhfijL g∗

LL,RR = m1

ZfijL ± YhfijR g∗

, (cid:17)

(cid:17) (cid:16)

K ±

±YhfijL g∗

LR,RL = m2

ZfijR ZfijR + YhfijR g∗

ZfijL

(cid:16) (2.24)

Tương tự, chúng tôi tính được đóng góp của F5,fijj . Như vậy F21, F5 từ

đóng góp của giản đồ 1 hình 2.1 là

K +

(C12 + C22 + C2)

F21,fijj = F (1)

(cid:104) (cid:16) (cid:17) LR,RL + c.c.

21 = − (cid:16)

K +

LL,RR + K + (cid:17) LR,RL + c.c.

LL,RR + c.c.)C0

e Q Nc 16π2 LL,RR − K + (cid:104)

(cid:105)

K −

F5,fijj = −

LL,RR − K −

e Q Nc 16π2

(C1 + C2) + 2(K + (cid:17) LR,RL − c.c (cid:105)

(cid:16)

× (C1 + C2) − 2(K −

LL,RR − c.c.)C0

(2.25)

Nc là hệ số của nhóm đối xứng màu SU (3)C và c.c. là viết tắt của các

ở đây m1,2 ≡ mX,Y là khối lượng các hạt bên trong vòng lặp của F21,XY Y ,

phần liên hợp phức. Ở những tính toán sau này đó là những đóng góp đến

từ các giản đồ có chiều xung lượng ngược lại của các đường bên trong vòng

F21,fijj cho trong phụ lục B. Tương tự, công thức F21,Sijj và F21,V SS được thực hiện tính toán một cách dễ dàng. Công thức F21,SV V một phần được tính toán dựa trên kết quả của V βλ

2µ trong phương trình (2.11). Tất cả các bước chúng tôi trình bày ở đây đã được thực hiện bằng cách sử dụng ngôn

lặp tương ứng trong hình 2.1. Chi tiết tính toán đóng góp từ các fermion

ngữ FORM [111, 147]. Dạng chung của những đóng góp này đã được trình

bày ở những công bố trước đây [32, 66, 83].

2.2.3 Các giản đồ khác

Giản đồ 2 hình 2.1

Biểu thức biên độ của giản đồ 2 có thể viết như sau

[ie Q (q1 + q2)ν]

iM(2)µν = 2

(cid:90)

i D2

(cid:2)igZSij(q + q1)µ

→ (cid:0)2e Q λhSijgZSij

(cid:90)

ddq i (2π)d (−iλhSij) D0 ddq (cid:1) (2π)d × (cid:1)

→

× [4(C12 + C22 + C2) + 2C1 + C0] p2µp1ν.

i (cid:0)2e Q λhSijgZSij 16π2

(cid:3) i D1 4qµqν − 2qµp1ν − 2p2µqν + p2µp1ν D0D1D2

Giản đồ 3 hình 2.1

(2.26)

Biểu thức biên độ của giản đồ 3 có thể viết như sau

gαα(cid:48)

−

(−q2 + p3)α

iM(3)µν =

hSiVj

qαqα(cid:48) m2 1

[ie Q (q1 + q2)ν]

ddq (2π)d × (cid:2)igZViSjgα(cid:48)µ

(cid:32) (cid:33) (cid:90) (cid:104) −ig∗ (cid:105) −i D0

i D2

(cid:3) i D1

→ −

e Q g∗

2q1ν

gZViSi

hSjVi

1 D0D1D2

(cid:16) (cid:17) (cid:90)

ddq (2π)d × (cid:19)

(2p2µ − qµ) −

qµq(p3 − q2) m2 1

(cid:18)

= −

e Q g∗

gZViSi

hSjVi

ddq (2π)d ×

1 D0D1D2

× (4qνp2µ − 2qµqν − 4p1νp2µ + 2qµp1ν

(cid:17) (cid:90) (cid:16)

−

(m2

(2qµqν − 2qµp1ν) m2 1

h − q2 2) (cid:17) (cid:90)

(cid:19)

= −

e Q g∗

gZViSi

hSjVi

1 D0D1D2 2m2

(cid:16)

qµqν +

qµp1ν

q2 2qµqν +

1 − 2m2 h m2 1

ddq (2π)d × 2 m2 1

1 + 2m2 h m2 1

(cid:18)−2m2

−

q2 2qµp1ν + 4qνp2µ − 4p1νp2µ

2 m2 1 (cid:16)

(cid:19)

= −

e Q g∗

gZViSi

hSjVi

ddq (2π)d ×

1 D0D1D2

(cid:17) (cid:90)

2m2

−

(C12 + C22) +

(C12 + C22)

2m2 2 m2 1

(cid:18)

2m2

−

C2 − 4(C1 + C2 + C0)

C2 +

−i

1 + 2m2 2 m2 1 1 + 2m2 2 m2 1 (cid:16) e Q g∗

2m2 2 m2 1 (cid:17) gZViSi

→

× [−2(C12 + C22 + 2C0 + 2C1 + 3C2)

2(m2

(cid:19)

p2µp1ν.

hSjVi 16π2 2 − m2 h) m2 1

Giản đồ 4 hình 2.1

(2.27) (cid:21) (C12 + C22 + C2)

Biểu thức biên độ của giản đồ 4 có thể viết như sau

ig∗

gµλ

iM(4)µν =

ZSiVj

ddq (2π)d

−i D1 (cid:32)

gλρ −

gδβ −

× [−ie Q Γνρδ(−p2, q1, −q2)] ×

−i D2

1 qρ qλ 1 m2 2

2qβ qδ 2 m2 2

(cid:90) (cid:104) (cid:105) (cid:2)ighSiVj (p3 + q)β (cid:3) i D0 (cid:33) (cid:18) (cid:19)

= e Q ghSiVj g∗

[gµλ(p3 + q)α] V βλ 2ν ,

ZSiVj

ddq (2π)d

1 D0D1D2

(cid:90) (2.28)

2ν được đưa ra từ tính toán ở giản đồ 5

× V βλ 2,2ν,

2ν → V βλ V βλ

2,1ν +

1 m2 2

ν + 2q1νgβλ,

ở đây V βλ

2 + qβ

V βλ 2,1ν = −(q1 + p2)βδλ V βλ 2 δλ ν q2 1 δβ 2,2ν → qλ

ν − (q2 − p2)λδβ 1 qβ 1 − 2q1νqλ ν q2 2 .

(2.29)

ZSiVj

ddq (2π)d

iM(4)µν → e Q ghSiVj g∗ (cid:20)

(cid:90)

gµλ(q + p3)β × V β,λ

2,1ν +

gµλ(q + p3)β × V β,λ 2,2ν

1 D0D1D2 1 m2 2

(cid:21)

→ [gµλ(q + p3)β × V2,1] = qµqν + 4qνp2µ − 3qµp1ν 2 + 2m2 h)

+ qµp1ν(2q2 + q2

→ [gµλ(q + p3)β × V2,2] = qµqν(−2q2 + q2 2 − 2m2

h).

(2.30)

Tương tự, thực hiện thay thế chuyển về theo hàm PV chúng tôi suy ra

ZSiVj

ddq (2π)d

1 D0D1D2

(cid:90)

iM(4)µν → e Q ghSiVj g∗ (cid:26)(cid:18)

(D2 − 2D0 + 2m2

qµqν +

(cid:19)

h + m2 (cid:19)

2 − 2m2 1) (cid:27)

(q2

−3qµp1ν +

+ 4qνp2µ

2 + 2q2 − 2m2 h)

qµqν m2 2 qµp1ν m2 2

ZSiVj

{(C12 + C22)p2µp1ν (cid:90)

−

= e Q ghSiVj g∗ (cid:90) ddq (2π)d

ddq (2π)d

2qµqν D1D2

1 m2 2

1 m2 2 2m2

qµqν D0D1 2 − 2m2 1

(C12 + C22)p2µp1ν + 3C2p2µp1ν

(cid:18)

−2m2

2 + 2m2 1

−

C2p2µp1ν +

qµp1ν D0D1

1 m2 2

ddq (2π)d (cid:27)

(cid:90)

− 4(C1 + C2)p2µp1ν

h + m2 m2 2 h + m2 m2 2 ddq (2π)d

1 m2 2

2qµp1ν D1D2 e Q ghSiVj g∗

ZSiVj

× [(2C12 + 2C22 − 2C2 − 4C1)

16π2

(cid:90)

p2µp1ν.

→ F21SiVjj = (m2 h − m2 1) m2 2

(2.31) (cid:21) (C12 + C22 + C2)

Cuối cùng chúng tôi có thể viết gọn kết quả lại như sau

e Q

λ∗

hSij

(cid:16) (cid:17)

F21,Sijj = F (2)

21 =

[4(C12 + C22 + C2)] , (cid:20)

(2.32)

e Q (g∗

−m2

hViSj

1 +

F21,V SS = F (3)

21 =

gZSij + c.c. 16π2 gZViSj + c.c.) 16π2

2 + m2 h m2 1

(cid:18) (cid:19)

×(C12 + C22 + C2) + 4(C1 + C2 + C0)] ,

(2.33)

+ c.c.)

e Q (ghVjSig∗

−m2

ZVjSi

1 +

F21,SV V = F (4)

21 =

16π2

1 + m2 h m2 2

(cid:20) (cid:18) (cid:19)

×(C12 + C22 + C2) − 4(C1 + C2)] ,

2.3 Kết luận chương

(2.34)

Trong chương này chúng tôi đã xây dựng được các công thức giải tích

tổng quát tính đóng góp bậc một vòng cho quá trình rã h → Zγ theo

chuẩn unitary. Cụ thể, dựa vào quy tắc Feynman chúng tôi xác định được

các giản đồ cho đóng góp vào biên độ của quá trình rã h → Zγ theo chuẩn

unitary. Chúng tôi cũng đã tính được chi tiết biên độ của tất cả các đóng

góp bao gồm cả những đóng góp bị bỏ qua trong các nghiên cứu trước,

ví dụ như đóng góp từ các boson chuẩn khác nhau (giản đồ 5). Kết quả

được đưa về hàm PV theo chuẩn định nghĩa trong LoopTools và không

còn chứa các số hạng phân kỳ nguy hiểm, do vậy có thể sử dụng để giải

số. Để khẳng định tính chính xác và khả thi của các công thức này, trong

chương tiếp theo chúng tôi sẽ thực hiện so sánh với những kết quả đã được

công bố trong SM và trong các BSM trong thời gian gần đây. Mặt khác

kết quả trên cũng sẽ được áp dụng trong một mô hình 3-3-1 cụ thể. Trong

Chương 2, chúng tôi đã viết dựa trên kết quả bài báo đăng trên tạp chí

EUROPEAN PHYSICAL JOURNAL C 78, 885 (2018).

Chương 3

QUÁ TRÌNH RÃ H → Zγ, W γ

TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH CỤ

THỂ

3.1 Quá trình rã h → Zγ, γγ trong SM

Đầu tiên chúng tôi thực hiện tính và so sánh rã h → Zγ, γγ với một số

kết quả trong SM. Như kết quả đã nghiên cứu và tính toán ở trên, tổng

các đóng góp từ 3 boson chuẩn thuần túy (Vi − Vj − Vj) được viết dưới

F21,Vijj =

dạng sau

2e Q ghVij gZVij 16π2 (m2

1 + m2

2 − m2 Z)

8 +

(C12 + C22 + C2)

(cid:21) (cid:26)(cid:20)

2(m2

1 − m2

2 − m2

2 + m2 h)(m2 1m2 m2 2 2 − m2 Z)

Z)C0

(C1 + C2) +

2)(m2 m2

1 + m2 1m2 2

1 + 3m2 m2 2

(cid:27)

(3.1)

Đóng góp của W boson tương ứng với việc thay các giá trị của ghVij, gZVij, Q

như sau

(ghVij, gZVij, Q) → (g mW , g cW , 1),

(3.2)

với m1 = m2 = mW , ở đây mW là khối lượng W boson, g là hằng số tương

tác của nhóm SU (2)L, sW ≡ sin θW với θW là góc Weinberg. Công thức

(2m2

W − m2 Z)

8 +

F h→Zγ,SM 21,W

(cid:26)(cid:20) (cid:21)

h)(m2 m4 W

(4m2

× (C12 + C22 + C2) + 2 × 0 +

(3.1) được viết dưới dạng đơn giản hơn như sau 2e g2mW cW W + m2 16π2 (cid:27)

2 m2 W (cid:19) (cid:18)

W − m2 Z)C0 (cid:19)(cid:21)

8 +

2 +

2 −

e g2mW cW 16π2

m2 Z m2 W

(cid:26) (cid:20) (cid:18)

4 −

× (C12 + C22 + C2) + 4

m2 h m2 W m2 Z m2 W

(cid:18) (cid:19) (cid:27) (3.3)

)(2 − 1 − t2

8 + (2 +

(cid:26) (cid:20)

e g2mW cW 16π2

4 t2

(cid:21) W )

W )C0

(cid:9)

× (C12 + C22 + C2) + 4(4 − 1 − t2 (cid:20)

)(1 − t2

8 + (2 +

(cid:26)

e g2mW cW 16π2

(cid:21) W )

W )C0

4 t2 × (C12 + C22 + C2) + 4(3 − t2 (cid:26)

(cid:9)

8 + (2 − 2t2

−

)(1 − t2

W +

(cid:20)

e g2mW cW 16π2

4 t2

4t2 W t2

(cid:21) W )

− 4(3 − t2

I2 m2 W

(cid:27)

W ) (cid:20)

10 +

− 2(1 +

)t2 W

I1 4m2 W e g2mW cW 16π2

2 t2

4 t2 (cid:27)

− 4(3 − t2

W )

I1 4m2 W

(cid:21) (cid:26)

5 +

1 +

−

t2 W

αem g cW 4πmW sW

(cid:26)(cid:20) (cid:19) (cid:21) (cid:18)

I2 m2 W 2 2 t2 t2 W )I2(t2, t1)(cid:9) , ×I1(t2, t1) − 4(3 − t2

(3.4)

W = 4/t2, m2

Z/m2

W =

h/m2

ở đây đã sử dụng αem = e2/(4π), e = g sW , m2

4/t1, m2

Z/m2

W = 1 + t2

W = 1/c2

W , sW = sin θW và tW = sW /cW . Hàm C0 trong trường hợp đặc biệt này là giống với kết quả trong [66, 83],

nhưng khác với kết quả trong [76] bởi dấu ngược lại. Chúng tôi cũng

W ) và C0 = −I2(t2, t1)/m2

W . Công thức (3.4) phù hợp với kết quả đã biết cho trường hợp của SM được đưa ra

đã sử dụng các hàm đã biết I1,2(t2, t1) cho trong [87] để xác định tổng C12 + C22 + C2 = I1(t2, t1)/(4m2

trong [66,87], đã được kiểm chứng bằng nhiều cách tiếp cận khác nhau [37].

Vế phải của phương trình (3.1) có thể được chứng minh là hoàn toàn

Z → ∞

W /m2

nhất quán với đóng góp của W vào biên độ rã h → γγ, với gZW W → gγW W = e và trong giới hạn mZ → 0, tương đương t1 = 4m2

C0 = −

I2(t2, t1) = −

lim t1→∞

t2f (t2) 2m2 W

và

C12 + C22 + C2 =

I1(t2, t1) =

2f (t2)(cid:3) ,

lim t1→∞

1 m2 W 1 4m2 W

1 8m2 W

(3.5) (cid:2)−t2 + t2

ở đây biểu thức của C0 giống biểu thức đã cho trong [119]. Thật vậy,

phương trình (3.3) ứng với trường hợp này được biến đổi thành

8 +

2 +

(2 − 0)

(C12 + C22 + C2)

F h→γγ,SM 21,W

e g2mW 16π2

4 t2

(cid:26) (cid:20) (cid:18) (cid:19) (cid:21)

8 + 2

2 +

(C12 + C22 + C2) + 4.4C0

4 t2

(cid:27) (cid:19)(cid:21) (cid:18) (cid:26)

)

8(3 +

(−t2 + t2

1 8m2 W

t2f (t2) 2m2 W

(cid:26) (cid:27)

2f (t2)) − 4.4 (cid:27)

(3 +

)(−t2 + t2

2f (t2)) − 8t2f (t2)

(cid:26)

2 t2 2 t2 (cid:2)2 + 3t2 + 3(2t2 − t2

2)f (t2)(cid:3) .

+4 (4 − 0) C0} (cid:20) e g2mW 16π2 e g2mW 16π2 e g2mW 16π2m2 W αem g 4πmW

(3.6)

Dạng công thức chung của đóng góp này đã biết trong [103, 146], giống

h và f (x) là hàm đã cho trong phụ |2, ở đây F hγγ,SM h/(64π)|F hγγ,SM

W /m2 như công thức (3.6), ở đây t2 = 4m2 lục A.2. Bề rộng rã của Γ(h → γγ) = m3 bao gồm F hγγ,SM 21,W .

Biểu thức F21,W ở trên chỉ phụ thuộc vào giản đồ đóng góp của W boson,

do đó sẽ giống nhau trong cả hai trường hợp của photon và Z boson, ngoại

3.2 Quá trình rã H → Zγ, W γ trong mô hình GHU và Georgy-

Machacek

trừ khối lượng của chúng và đỉnh với W boson.

Để tính và so sánh với kết quả trong một số BSM, chúng tôi chọn một

số mô hình cụ thể, trước hết xét trong GHU. Đóng góp bậc một vòng từ

các boson chuẩnmới trong GHU được đưa ra trong [85], trong đó chuẩn

unitary được sử dụng mà không có giải thích chi tiết. Chúng ta thấy rằng

đỉnh 3 và 4 boson chuẩn trong mô hình này cũng tuân thủ các quy tắc

Feynman được liệt kê trong bảng 2.1, do đó công thức của chúng tôi trong

(3.1) vẫn hợp lý. Bởi vì kết quả cuối cùng trong [85] chỉ được viết theo

hàm B0 và C0, độc lập với việc chọn biến số của tích phân, có thể dễ dàng

được so sánh với kết quả của chúng tôi. Bằng cách sử dụng thống nhất ký

hiệu chung, phần công thức quan trọng nhất trong [85] là

(cid:3) E−(m1, m2) (cid:1) E+(m1, m2) 1m2 2 Z) − m2 h − m2

21,V = (cid:0)m4 F GHU + (cid:2)(m2 − (cid:2)4m2

1 + m4 1 + m2 2(m2 1m2

2 + 10m2 2)(m2 h − m2

hm2 Z 1 + m2 Z(m2

Z) + 2m4

2)(cid:3) (C0 + C (cid:48)

0) ,

(3.7)

0 được xác định bằng cách thay đổi vai trò của m1 và m2:

ở đây C (cid:48)

B(2)

± (m2

E±(m1, m2) = 1 +

2C0 + m2

1C (cid:48)

0).

0 − B(1)

m2 Z h − m2 Z

(cid:16) (cid:17) (3.8)

C (cid:48)

Trong trường hợp đặc biệt Vi ≡ Vj, tương đương với m1 = m2 = m, 0 = C0 = −I2(t2, t1)/m2 và C12 + C22 + C2 = I1(t2, t1)/(4m2), sử dụng

công thức

= −1 −

I1(t2, t1) + 2I2(t2, t1),

0 − B(1)

h − m2 Z 2m2 W

m2 Z h − m2 Z

(cid:17) (3.9) (cid:16) B(2)

chúng tôi tìm thấy sự đồng nhất giữa phương trình (3.18) của [85] và kết

quả của chúng tôi. Cụ thể, phương trình (3.7) được viết lại như sau

21,V = (cid:0)m4 + m4 + 10m2m2(cid:1) E+(m, m) + (cid:2)(m2 + m2)(m2 F GHU

h − m2

Z) − m2

hm2 Z

h − m2

Z) + 2m4 Z) − m2

Z(m2 + m2)(cid:3) (C0 + C0) hm2 Z]E−(m, m)

h − m2

− 2[4m4(m2

Z)]C0

(cid:3)

B(2)

= 12m4

1 +

+ 2C0m2

0 − B(1) (cid:20)

(cid:21) (cid:20) (cid:17)

+ (cid:2)2m2(m2

1 +

B(2)

− 2C0m2

× E−(m, m) − (cid:2)4m2m2(m2 = 12m4E+(m, m) + [2m2(m2 h − m2 Z + 4m2m4 m2 (cid:16) Z h − m2 Z Z) − m2

h − m2

hm2 Z

0 − B(1)

m2 Z h − m2 Z

− 2 (cid:2)4m4(m2

h − m2

(cid:21) (cid:16) (cid:17) (cid:3)

= 12m4

1 − 1 −

(cid:21) (cid:20)

+ (cid:2)2m2(m2

1 − 1 −

I1(t2, t1) + 2I2(t2, t1)

Zm4(cid:3) C0 I1(t2, t1) + 2I2(t2, t1) + 2m2 −I2(t2, t1) (cid:20) h − m2 Z 2m2 W

− 2 (cid:2)4m4(m2

Z) + 4m4m4 Z

(cid:3)

Z) + 4m4 h − m2 m2 Z 2m2 W h − m2 hm2 Z) − m2 Z (cid:21) −2m2 −I2(t2, t1) (cid:20)

−

= 12m4

+ (cid:2)2m2(m2

h − m2 (cid:21) I1(t2, t1)

(cid:3) −I2 m2

h − m2

Z) − m2

hm2 Z

h − m2 Z 2m2 W

(cid:3) [4I2(t2, t1)

−

+ 2I2(t2, t1) (cid:2)4m2(m2

h − m2

Z) + 4m2m4 Z

(cid:3) (cid:21) I1(t2, t1)

I1(t2, t1) (cid:2)12m4 + 2m2(m2

hm2 Z

Z) − m2

h − m2

h − m2 Z 2m2 W h − m2 −m2 Z 2m2

+ 4I2(t2, t1).4m2(m2

hm2 Z)

Z − m2

Z) + 4I2(t2, t1)(2m2m4

h − m2

(cid:3)

−m2

h − m2

h − m2 Z 2m2

(cid:2)12m4 + 2m2(m2 (cid:3) I1(t2, t1)

+ 4 (cid:2)4m2(m2

Z) − m2 hm2 Z (cid:3) I2(t2, t1).

h − m2

Z) − m2

hm2

Z + 2m4 Z

(3.10)

Như vậy so với phương trình (3.18) của tài liệu số [85] có kết quả đồng

Z. Sự sai khác này có thể

nhất, tuy nhiên khác nhau bởi hệ số 2 trước m4

do tính toán nhầm lẫn của các tác giả trong [85]. Xét hiệu của (3.10) và

(cid:20)

× (cid:2)−m2

= 0.

δF21 = F GHU

(cid:21) (F21,Vijj + F21,Vjii)

1m2

2(m2

z)(cid:3)

21,V −

h − m2

16π2 2e Q ghVij gZVij

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)m1=m2

(3.3) ta có

Công thức (3.7) tương đương với kết quả của chúng tôi, cụ thể là tổng

2C (cid:48) 0

1C0 + m2

F21,Vijj + F21,Vjii. Nhưng 2 kết quả dạng chung không giống nhau, chúng khác nhau một đại lượng: δF21 = −2 (cid:0)m2 Z. Trong công bố [85] mà chúng tôi đang xét các tác giả đưa ra dạng chung nhưng không

(cid:1) m4

sử dụng và sử dụng trường hợp đặc biệt, nếu sử dụng công thức chung của

nhóm nghiên cứu này thì kết quả không khớp với kết quả SM, do đó công

thức chung của bài báo có sai sót. Ngoài công thức F21,Vijj cho trong (3.1),

các công thức của chúng tôi rất phù hợp với kết quả trong [66], thu được

bằng cách tính toán biên độ rã của boson Higgs mang điện H ± → W ±γ

trong chuẩn ’t Hooft-Feynman cho mô hình Georgi-Machacek. Trong ký

hiệu của chúng tôi, F21,Sijj , F21,SiV SS và F21,SV V tương ứng với các giản đồ

bậc một vòng: vô hướng-vô hướng-vô hướng, vector-vô hướng-vô hướng và

vô hướng-vector-vector được đề cập trong [66]. Bằng cách sử dụng cùng

một ký hiệu từ LoopTools, kết quả của chúng tôi và của tài liệu [66] có

cùng dạng.

Sự nhất quán giữa kết quả của chúng tôi và những kết quả trong [66]

W ± boson. Một sự khác biệt quan trọng là W ± mang điện trong khi Z

được giải thích bởi cùng cấu trúc Lorentz trong đỉnh tương tác của Z và

trung hòa. Đối với các giản đồ có W + hoặc W − ở trạng thái cuối, các

đường trong vòng lặp giữ cố định, do có xuất hiện các số hạng liên hợp

H ± → W ±γ. Do đó, ngoại trừ giản đồ vòng có đóng góp của boson chuẩn

phức trong biên độ của quá trình rã h → Zγ, nhưng không có trong

thuần túy, những đóng góp cho h → Zγ có thể đưa về dạng H ± → W ±γ

bằng cách loại trừ tất cả các số hạng liên hợp phức. Tuy nhiên, khối

lượng mZ và đỉnh của Z boson phải được thay bằng những thông số của W ± boson. Lời giải thích này có thể được kiểm tra trực tiếp dựa trên

mh → mH ±, mZ → mW , gZVij → gW Vij, ghVij → gHVij có thể viết lại như

tính toán ở trên. Biên độ rã H ± → W ±γ được suy ra từ (3.1) ứng với

(m2

2 − m2

1 + m2

2 + m2

1 + m2

W )

8 +

F H ±W ±γ 21,Vijj

e Q gHVij gW Vij 16π2

2(m2

1 − m2

W )

(C1 + C2)

× (C12 + C22 + C2) +

2(m2

H ±)(m2 m2 1m2 2 2 − m2 1 + m2 2)(m2 1m2 m2 2 (cid:27) W )C0

(cid:26)(cid:20) (cid:21)

2 − m2 1 + 3m2 m2 2

(3.11)

ở đây mH ± là khối lượng Higgs boson mang điện, gW Vij là hệ số đỉnh của W boson và 2 boson chuẩn và Q luôn là điện tích của gauge boson gHVij là

hệ số đỉnh của Higgs boson mang điện và 2 boson chuẩn, đỉnh tương tác

với photon giống như mô hình chuẩn. Chúng tôi lưu ý rằng số 2 trong (3.1)

không được tính nữa. Bây giờ, chúng ta chỉ cần tập trung vào phần giản đồ

loop được sử dụng để so sánh với kết quả cụ thể đã cho trong [66]. Trường

hợp này tương ứng với m1 = mZ, m2 = mW = mZcW và mH ± = m5 cho

5 → W ±γ. Công thức (3.11) bây giờ viết lại ở dạng sau

quá trình rã H ±

(m2

Z + m2

Zc2

W − m2

Zc2

W )

5 W ±γ

∼

8 +

F H ± 21,Vijj

Z + m2 5)(m2 W + m2 Zc2 Zm2 m2 W Zc2 Z − m2 2(m2

Zc2

W − m2

Zc2

W )

× (C12 + C22 + C2) +

Z + m2 Zc2 W

2(m2

W )(m2 m2 Zm2 Zc2 W )

W − m2

× (C1 + C2) +

Zc2 Z + 3m2 m2 Zc2 W (cid:21)

(cid:20) (cid:21)

W + m2 5

8 +

(C12 + C22 + C2)

2(m2

Zc2 Z + m2 m2 Zc2 W Zc2 W )

Zc2

W )

(C1 + C2) +

Z + 2m2 Zc2 m2 W

(cid:20)

9 +

(C12 + C22 + C2)

Z − m2 Zc2 m2 W 1 c2 W

m2 5 m2 W

(cid:18) (cid:19)

− 1

+ 2

(C1 + C2) + 2

(cid:19) (cid:19)

= 10(C12 + C22 + C2) + 6C0 +

(C12 + C22 + C2)

(cid:18) 1 c2 W

(cid:18) 1 c2 W m2 5 m2 W

(C12 + C22 + 2C1 + 3C2 + 2C0).

s2 W c2 W

(3.12)

Khác với kết quả được đưa ra trong [66] bởi hệ số 10 thay vì 12 trước

5/m2

W /c2

W và s2

W phù hợp với kết quả trong [66]. Sự khác biệt trong phần còn lại có thể phát sinh do một

tổng (C12 + C22 + C2). Chúng tôi cũng thấy rằng hai số hạng còn lại trong kết quả của chúng tôi với các hệ số m2

hệ số (−1) bị bỏ sót trong biểu thức đóng góp của trường ma Sghost được

3.3 Quá trình rã h → Zγ trong mô hình 331β0

đưa ra trong tài liệu [66].

Chúng tôi sẽ sử dụng các kết quả tính toán ở Chương 2 để tính tỷ lệ rã

nhánh và giải số minh họa trong mô hình 3-3-1 với β = 0, viết ngắn gọn

LR,RL = mf Yhf L(gL + gR). Kết quả là F21,fijj trong

LL,RR = K +

LL,RR

là 33β0 [98]. Trong mô hình 331β0 thì Yhf L = Yhf R và nhận giá trị thực, dẫn đến K +

F 331β0

[16 (C12 + C22. + C2) + 4C0] ,

21,f = −

(3.13) (2.25) được viết lại như sau e Qf NcK f + 16π2

W Qf

f − 2s2 T 3

LL,RR = −

gm2 f cα 2mW

sαs2

W /u cho các lepton mới Ea và m2 Ua

(cid:16) (cid:17) cho các fermion trong

W /(3u) cho các quark v2+u2 và H1

trong đó hệ số K f + SM, m2 sαs2 Ea mới Ua. Sử dụng điều kiện góc trộn α cho trong [98], sX = v√

được đồng nhất với Higgs boson trong SM.

X c2

Xét đóng góp của các giản đồ chỉ chứa Higgs boson mang điện. Mô

2, gZSij → s2

W −c2 2cW

và H ±. Bằng cách sử dụng các thay thế Q → 1

1,2

W −s2 W 2cW

cho H ±. Công thức (3.14) được viết hình 331β0 bao gồm ba giản đồ chứa các Higgs boson mang điện cùng loại X s2 H ±1/2 W 1,2 cho H ±1/2 và Q → 1, gZSij → c2

e g(−c2

1,2

W )

Xc2

Xs2

[4(C12 + C22 + C2)] ,

F21,H ±1/2

1,2

lại như sau

[4(C12 + C22 + C2)] .

F21,H ± =

λH1H 1/2 16π2 × λH1H ± 16π2 ×

W + s2 2cW 2e g(1 − 2s2 W ) 2cW

(3.14)

1,2

2λ1cαv − sαλ13u + f sα

√

→ −

Xλ3u

Các hệ số λH1H ±1/2 (cid:104) , và λH1H ± là các hệ số đỉnh tương tác giữa ba Higgs √ (cid:105) 2

1 H −1/2

2λ1c2 √

−

, λH1H +1/2 sαc2

−λ23

2cαs2

Xcαv − 2sαs2 . 2f sXcXcα

2 H −1/2 √ Xu −

boson được thay thế như sau: λH1H +H − → − λH1H +1/2 (cid:16) (cid:105) (cid:104) 2 (cid:17)

Xét đóng góp của các giản đồ chỉ chứa boson chuẩn mang điện V V V ,

với V = W ±, V ±1/2, V (cid:48)±1/2. Bằng cách thay m1,2 → mV , từ (3.1) suy ra

công thức chung cho trường hợp này được viết

Z)C0

F21,V =

2e QV ghV gZV 16π2

V − m2 m2 V

(cid:20)2(4m2

(2m2

V + m2

V − m2 Z)

8 +

h)(2m2 m4 V

(cid:19) (cid:18) (3.15) (cid:21) (C12 + C22 + C2)

Đối với đóng góp của W ± boson: Thực hiện thay thế một cách tương

Z)C0

F 331β0

21,W = − (cid:32)

(cid:20)2(4m2

2eg2cW mW sα 16π2 (2m2

)(2m2

8 +

. (3.16)

(C12 + C22 + C2)

W + m2 H1 m4 W

(cid:33) (cid:35) tự ghV → −gmW cα, gZV → gcW vào (3.15): W − m2 m2 W W − m2 Z)

√

2vcα

, gZV → g/2cW vào (3.15):

ghV → g2 2usα− 4

√

Tương tự như vậy đối với đóng góp của V ±1/2, V (cid:48)±1/2 boson:

2vcα)

Z)C0

21,V (cid:48) =

V − m2 m2 V

21,V = F 331β0 F 331β0 (cid:32)

(cid:20)2(4m2

(2m2

V − m2 Z)

(cid:33) (cid:35)

8 +

(C12 + C22 + C2)

eg3cW (2usα − 16π2 V + m2 )(2m2 H1 m4 V

(3.17)

Xét đóng góp của các giản đồ chứa cả Higgs boson và boson chuẩn mang

2e g∗

gZSjVi

F21,V SS =

hSjVi 16π2

điện

−m2

1 +

S + m2 h m2 V

(cid:18) (cid:19) (cid:20) 2 (cid:21) (C12 + C22 + C2) + 4(C1 + C2 + C0)

ZSV

(3.18)

2e Q ghSiVjg∗ 16π2 −m2

F21,SV V = (cid:20) 2

1 +

S + m2 h m2 V

2cX cα

(cid:18) (cid:19) (3.19) (cid:21) (C12 + C22 + C2) − 4(C1 + C2)

ZSjVi

hSjVi

√ → 2sX sα+ 4

2, g∗

1 }, {V, H 1/2 2 }. → g2vcX , 2cW

Sử dụng thay thế như sau: Q → 1 Kết quả đóng góp của 2 giản đồ tương ứng {V, S} = {V, H 1/2 , g∗

√

2cXcα)

F21,V SS =

cX(2sXsα + 4

suy ra:

√ 2g2mZ e 16π2 × (cid:18) −m2 1 +

(cid:19)

√

2cXcα)

S + m2 h m2 V cX(2sXsα + 4

(cid:21) (C12 + C22 + C2) + 4(C1 + C2 + C0)

F21,SV V = (cid:20) 2

S + m2 h m2 V

(cid:19) (cid:18) (3.20) (cid:20) 2 √ 2g2mZ e 16π2 × −m2 1 + (cid:21) (C12 + C22 + C2) − 4(C1 + C2)

Trong giới hạn mô hình 331β0, tỉ số rã nhánh H1 → Zγ có dạng:

Br331(H1 → Zγ) =

Γ331(H1 → Zγ) Γ331 H1

(3.21)

trong đó

(cid:32) (cid:33)3

1 −

|F 331

Γ331(H1 → Zγ) =

21 |2,

m3 H1 32π

m2 Z m2 H1

(3.22)

là bề rộng rã toàn phần của H1. Hệ số sai khác của quá trình rã và Γ331 H1

H1 → Zγ của mô hình 331β0 so với kết quả của SM được định nghĩa theo hệ số cường độ rã nhánh µ331 Zγ

. Đây là đại lượng đồng nhất với cường độ rã

nhánh được thực nghiệm xác định. Đại lượng này được định nghĩa trong

thực nghiệm (máy gia tốc LHC) như sau:

µ331 Zγ ≡

σ331(pp → H1) σSM(pp → H1)

Br331(H1 → Zγ) BrSM(H1 → Zγ)

(3.23)

trong đó σ331(pp → H1) và σSM(pp → H1) là tiết diện sinh hạt Higgs

boson H1 trong máy gia tốc tính theo mô hình 331β0 và SM.

mH1 = 125.1 GeV. Bề rộng rã toàn phần tương ứng là ΓSM H1 GeV. Khi đó giới hạn sai số cho phép trong SM tương ứng với cường độ

Theo kết quả tính trong SM thì BrSM(H1 → Zγ) = 1.57 × 10−3| tại = 4.07 × 10−3

Zγ = 1 ± 0.01, tương đương 0.99 ≤ µSM

Zγ ≤ 1.01. Mô hình BSM như

rã là µSM

331β0 cho kết quả µ331

Zγ nằm ngoài khoảng này sẽ dự đoán có đóng góp từ

Hình 3.1: Cường độ tín hiệu quá trình rã H1 → Zγ trong mô hình 331β0 theo

hàm của mH ±, các đường ngang tương ứng với các giá trị cho bởi SM 1, 0.99, 1.01.

các hạt mới không thuộc SM.

Xét trong trường hợp đơn giản nhất, sα (cid:39) 0 và cα (cid:39) −1, tương ứng

với tất cả cả các tương tác của các hạt giống SM trong mô hình 331β0

đều trùng với dự đoán từ SM. Do đó, tiết diện sinh và bề rộng rã toàn

phần tương ứng với quá trình rã Higgs boson H1 đều trùng với SM. Các

tham số tự do của mô hình sẽ là khối lượng các fermion mới mEa, mUa; khối lượng Higgs mang điện tích đơn mH ± và các hằng số tự tương tác của

Higgs λ1,13. Bằng cách chọn bộ tham số phù hợp thõa mãn cả những điều

kiện về lý thuyết và thực nghiệm, chúng tôi thực hiện khảo sát số cho quá

Zγ phụ thuộc khối lượng Higgs mang điện tích đơn trong mô hình 331β0 cho như hình 3.1.

trình rã h → Zγ. Kết quả giải số đơn giản nhất cho µ331

Các giá trị mH ± lớn đều dự đoán cường độ tín hiệu trùng với dự đoán từ

SM. Vì vậy nếu thực nghiệm đo được giá trị sai lệch so với SM, mH ± trong

mô hình 331β0 sẽ phải nhận giá trị nhỏ hơn 1 TeV.

mV đủ nhỏ, có xét đến các liên hệ tương quan giữa các tham số λ1 và λ13.

Chúng tôi cũng thấy được µZγ chỉ lệch nhiều so với dự đoán từ SM nếu

Theo kết quả hình 3.1, sai khác nhiều xảy ra trong miền giá trị µZγ < 1,

là giá trị nhỏ hơn kết quả dự đoán từ SM.

Như vậy công thức chung mà chúng tôi đã xây dựng được sử dụng hiệu

quả và cho kết quả trùng với những dự đoán từ SM trong vùng tham số

3.4 Đóng góp của một số hạt mang điện nặng đến quá trình

rã h → Zγ trong mô hình LR và HTM

phù hợp của mô hình 331β0.

V ± và các Higgs boson S±, do đó những hạt mới này có thể cho đóng

Do trong các BSM có thêm các hạt mới như boson chuẩn mang điện

h → Zγ. Trong khi các hệ số đỉnh tương tác hV V và hSS chứa các hạt

góp vào quá trình rã bậc 1 vòng của Higgs boson tựa SM như h → γγ và

mang điện ảo giống nhau luôn luôn đóng góp vào cả 2 biên độ rã nêu trên

thì các hệ số đỉnh tương tác hW V và hW S chỉ cho đóng góp vào biên độ

rã h → Zγ trong các BSM. Vì vậy, các hệ số đỉnh tương tác này có thể cho

chặt chẽ từ thực nghiệm vào Br(h → γγ) [3]. Cụ thể hơn, khi m2

đóng góp lớn tới tỉ lệ rã nhánh Br(h → Zγ) ngay cả khi có các ràng buộc X (cid:29) m2 W với X = S, V , ở đóng góp bậc 1 vòng có chứa ít nhất một hạt ảo W boson

F (cid:48)

W,X ≡

trong vòng thì đại lượng liên quan đến cấu trúc bậc 1 vòng

≡

∼ O

F21,W XX + F21,XW W eQghXW gZXW /(16π2) (cid:12) F21,W (cid:12) (cid:12) eghW W gZW W /(16π2) (cid:12)

∼ F (cid:48) W (cid:18) 1 m2 W

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:19) (3.24) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

có cùng bậc với đóng góp của W boson ở bậc 1 vòng.

F (cid:48)

∼ O(m−2

V ≡

V ),

F21,V V V ghV V gZV V /(16π2)

Ngược lại, cấu trúc bậc 1 vòng của một gauge boson nặng F21,V V V là

V . Khảo W X/F (cid:48) W ,

W /m2 sát số minh họa được hiển thị trong hình 3.2, ở đây fW,X ≡ F (cid:48) fV ≡ F (cid:48)

W và mS = mV .

V /F (cid:48)

Hình 3.2: Đồ thị fV m2

V /m2

W , fW,S và fW,V như là hàm của mV .

khác với đóng góp của W boson trong SM bởi một yếu tố m2

Do đó, tích ghW XgZW X có thể cho đóng góp đáng kể trên tổng biên

độ của quá trình phân rã h → Zγ. Nhưng những đóng góp phát sinh từ

phần này đã bị bỏ qua trong các tài liệu trước, ngay cả với những mô

hình rất phổ biến như mô hình LR và mô hình chuẩn với tam tuyến Higgs

(Higgs Triplet Models-HTM). Cụ thể là, người ta thường giữ lại F21,V V V

F21,V S, F21,W S. Trong các mô hình LR ban đầu được xem xét trong [82], gZW W (cid:48) ∼ (mW /mW (cid:48))2, giới hạn dưới cỡ vài TeV cho khối lượng boson

mà bỏ qua các đóng góp cùng bậc khác mà chúng tôi đã chỉ ra là F21,V W ,

chuẩn nặng mW (cid:48) được quan tâm từ các thí nghiệm gần đây tại LHC [1].

Do đó, đóng góp của số hạng này có thể nhỏ nên thường được bỏ qua.

Ngược lại, các BSM gần đây giới thiệu các cách biểu diễn fermion khác

nhau để giải thích dữ liệu thực nghiệm mới nhất về dị thường trong phân

rã meson B cho phép các giá trị nhỏ hơn của mW (cid:48) cỡ gần 1 TeV [36, 92].

Các nghiên cứu thú vị về boson chuẩn mới mang điện W (cid:48) trong các mô

W (cid:48)H ±Z dẫn đến quá trình phân rã quan trọng của W (cid:48)± đang được tìm

hình LR [77–79] đã chỉ ra rằng tồn tại các đỉnh tương tác W (cid:48)W h, W (cid:48)W Z,

kiếm tại LHC. Những đỉnh tương tác này cũng cho đóng góp vào quá trình

rã h → Zγ.

Sau đây chúng tôi xét mô hình cụ thể được đề cập trong [77]. Đây là

một trường hợp đặc biệt của nhóm SU (2)1 × SU (2)2 × U (1)X với kiểu

1,2µ ≡ W a

L,Rµ và Xµ ≡ AB−Lµ,

phá vỡ loại I, SU (2)1 ≡ SU (2)L, SU (2)2 ≡ SU (2)R và X = B − L. Các boson chuẩn tương ứng được xác định là W a

với a = 1, 2, 3 [78].

µ}

µ , Aµ, Zµ, Z (cid:48)

µ , W ±

trạng thái ban đầu W a Sử dụng thống nhất các ký hiệu của tài liệu [77,78], mối quan hệ giữa các L,Rµ và các trạng thái vật lý {W (cid:48)±

 của boson chuẩn trong mô hình này là   

sθ+ cθ+ −sθ+ cθ+

W (cid:48)± µ W ± µ

W ± Rµ W ± Lµ

   =     , 

(cid:15)2

sW ,

cW ,

Aµ

     

(cid:39)

sRcW , −sRsW ,

gR −c3 R gL cR

(3.25)

W 3 Lµ W 3 Rµ AB−Lµ

cRcW , −cRsW ,

−sR

Zµ Z (cid:48) µ

                       

W 1

L,Rµ

W ±

(cid:15)2 sin 2β,

sR ≡

sθ+ =

L,Rµ ≡

gR g

gY gR

gLtW gR

L,Rµ ∓ iW 2 √ 2

ở đây

(cid:15) ≡

MZ (cid:48) =

MW MW (cid:48)

mW (cid:48) cR

Trong tính toán, chúng tôi sẽ lấy gần đúng đến bậc O((cid:15)2), do đó chúng

= 0 và cθ+ = 1. Tất cả các số hạng có chứa s2 θ+

sẽ bị bỏ tôi sẽ chọn s2 θ+

qua trong tính toán này. Chỉ có Higgs Σ ∼ (2, 2, 0) đóng góp cho tương

tác với Higgs tựa mô hình chuẩn, cụ thể

h0,

 

Σ =

vHcβ − sα√ 2 H −sβ,

1 Σ+ Σ0 2 Σ− 1 Σ0 2

H +cβ vHsβ + cα√ 2

(3.26)   =     ,

ở đây chỉ có Higgs tựa mô hình chuẩn h0 và Higgs boson mang điện được

W a

LµΣ + igRΣ

Rµ,

σa 2

giữ lại. Đạo hàm hiệp biến được viết [82],

PΣµ,

≡ ∂µΣ −

DµΣ = ∂µΣ − igL igL 2

(3.27)

L,Rµ là hằng số tương tác và boson chuẩn của nhóm SU (2)L,R, σa là ma trận Pauli. Thành phần PΣµ được tính toán như sau

ở đây gL,R và W a

(11)µ (12)µ

PµΣ ≡



(21)µ (22)µ

√

  , 

2W +

2W −

(11)µ = W 3

LµΣ0

1 +

RµΣ0

1 +

1 −

LµΣ−

RµΣ+ 2

√

W 3 (cid:16)√

(cid:17) (cid:16)

2W +

LµΣ+

2 −

2 +

RµΣ+ 2

LµΣ0

RµΣ0

(12)µ = W 3 √

1 − W 3 √

(cid:17)

2W −

(21)µ =

1 − W 3

LµΣ−

RµΣ−

1 −

1 +

LµΣ0

RµΣ0 2

√

W 3 (cid:16)√

(cid:16) (cid:17)

2W −

2W +

(22)µ =

2 −

RµΣ0 2

1 − W 3

LµΣ+

RµΣ−

gR gL gR gL gR gL gR gL

(cid:17)

(11)∗



(PµΣ)† =

LµΣ0 2 − W 3   .

(12)∗

µ (21)∗ µ µ (22)∗ µ

(3.28) 

Thành phần liên hợp của Σ là

(cid:104)

−

Σ = Tr igL 2

= Tr (cid:2)∂µΣ† (∂µΣ) g2 L 4

(3.29) (cid:105) (DµΣ)† (DµΣ) (cid:105) (cid:104) ∂µΣ† (P µΣ) − (PµΣ)† (∂µΣ) (cid:21) (PµΣ)† (P µΣ)

Hệ số đỉnh tương tác giữa Higgs boson với 2 boson chuẩn được suy ra

(hvv) ∈ Tr

từ số hạng dưới đây

(cid:21) (PµΣ)† (P µΣ)

µ(21)µ + (12)∗ (cid:19)

µ(22)µ(cid:3) µ(12)µ + (22)∗ √

√

2W −

2W +

× [...]∗

W 3

Σ0∗

W 3 Rµ

Lµ −

1 +

1 −

LµΣ+

gR gL

(cid:21) (cid:20)g2 L 4 (cid:2)(11)∗ (cid:26)(cid:20)(cid:18)

RµΣ− 2 (cid:21)

g2 L 4 g2 L 4 (cid:20)√

√

2W +

W 3

× [...]∗

1 −

2 −

Lµ +

W 3 Rµ

Σ+ 1

LµΣ0∗

µ(11)µ + (21)∗ gR gL gR gL

(cid:18) (cid:19)

RµΣ0∗ √

gR gL √

W 3

2W −

× [...]∗

Σ−

2 −

Lµ +

W 3 Rµ

2 +

LµΣ0∗ (cid:18)

RµΣ0∗ 1 (cid:19) (cid:21)

(cid:20)(cid:18) (cid:21) (cid:19)

√

W 3

2W +

2W −

× [...]∗

Lµ −

W 3 Rµ

Σ0∗ 2

2 −

1 −

gR gL LµΣ−

RµΣ+

gR gL

gR gL gR gL

(cid:27) (cid:20)√

(3.30)

Đỉnh tương tác h0V +V (cid:48)− được suy ra từ những số hạng ở hàng thứ hai

và thứ ba của (3.30), cụ thể là

W +

W −µ

h0V ±V (cid:48)∓ :

1 −

LµΣ0∗

L Σ0

g2 L 2

gR gL

RµΣ0∗ 2 (cid:19) (cid:18)

R Σ0 2 (cid:19)(cid:21)

(cid:20)(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)

W −

W +µ

gR gL W +µ

W −

2 −

LµΣ0∗

gR gL

RµΣ0∗ 1 (cid:18)

R Σ0 (cid:19)

(cid:18)

W +µ

→

W +µ

1 Σ0

1 + Σ0∗

2 Σ0 2

Rµ

Lµ +

L W −

g2 L 2

L Σ0 g2 R g2 L

R W − (cid:17)(cid:21)

(cid:1) (cid:20) (cid:0)Σ0∗

Σ0∗

−2

1 Σ0

2W +µ

2 Σ0

1W +µ

Rµ + Σ0∗

Lµ

L W −

R W −

gR gL (cid:40)(cid:34)(cid:18)

(cid:16)

→

vHcβ −

vHsβ +

g2 L 2

sα√ 2

cα√ 2

(cid:19)2 (cid:18) (cid:19)2(cid:35)

W +µ

− 2

W +µ

Rµ

R W −

sα√ 2

(cid:19) (cid:18) (cid:18) (cid:19)

g2 R g2 L (cid:19) (cid:16)

vHcβ − (cid:17)(cid:27)

W +µ

vHsβ +

Lµ

L W −

R W −

L W − Lµ + cα√ 2

(cid:18)

W µW −

→

vH sin(β − α)h0

W (cid:48)+µW (cid:48)− µ

µ +

g2 L√ 2

(cid:19) (cid:18)

− gLgR

vH√ 2

gR gL Rµ + W +µ g2 R g2 L cos(β + α)h0 (cid:0)W +µW (cid:48)− µ + W −µW (cid:48)+ µ (cid:19)

(cid:1)

W µW −

→gLMW sin(β − α)h0

W (cid:48)+µW (cid:48)− µ

µ +

(cid:18)

g2 R g2 L − gRMW cos(β + α)h0 (cid:0)W +µW (cid:48)− µ + W −µW (cid:48)+ µ

(3.31) (cid:1) ,

h0V +V (cid:48)− đồng thời, sử dụng xấp xỉ W (cid:39) WL và W (cid:48) (cid:39) WR.

ở đây chúng tôi chỉ giữ những đóng góp liên quan đến các hệ số của

(cid:26)(cid:18)

(cid:18)

(cid:19)

(cid:21)

(cid:19) (cid:20)√

W 3

W +

+ H.c.

W −

ZH ±V ∓ :

2Σ0∗ 1

Lµ −

1 −

LµΣ−

gR gL

RµΣ+ (cid:19)

(cid:21)

(cid:18)

g2 L 4 (cid:18)

W 3 Rµ (cid:19) (cid:20)√

W +

+ H.c.

W +

−

W 3

1 −

W 3 Rµ

Lµ +

2Σ− 1

LµΣ0∗

RµΣ0∗ (cid:19)

(cid:21)

(cid:18)

(cid:19) (cid:20)√

W +

+ H.c.

W 3

W +

2 −

Lµ +

W 3 Rµ

2Σ− 2

RµΣ0

LµΣ0

(cid:18)

(cid:19)

(cid:21)(cid:27)

(cid:18)

(cid:19) (cid:20)√

W +

W −

+ H.c.

−

W 3

2Σ0 2

W 3 Rµ

2 −

RµΣ+

gR gL gR gL gR gL

(cid:19)

LµΣ− (cid:18)

Lµ − (cid:26)(cid:18)

(cid:19)

W −

W 3

√ (

2vH )

sβcβW +

W 3 Rµ

Lµ −

RµH + + H.c.

LµH − − c2

gR gL

g2 L 4 (cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

√

−

W 3

(

W +

2vH )

sβcβW +

Lµ +

W 3 Rµ

LµH − − s2

(cid:18)

(cid:19)

RµH − + H.c. (cid:19)

(cid:18)

√

W 3

(

W +

2vH )

sβcβW +

Lµ +

W 3 Rµ

RµH − + H.c.

LµH − − c2

(cid:18)

(cid:19)

(cid:21)(cid:27)

(cid:18)

√

(

W +

−

W 3

2vH )

sβcβW +

Lµ −

W 3 Rµ

LµH − − s2

RµH − + H.c.

gR gL gR gL gR gL

= −gRMW cos(2β) × W 3

Lµ(W +

RµH +)

(3.32)

(cid:39) −gRcW MW cos(2β) × Zµ

RµH − + W − (cid:0)sθ+W +

µ H − + W (cid:48)+

µ H − + H.c.(cid:1) ,

Đỉnh tương tác ZH ±V ∓ được suy ra từ số hạng sau

ở đây đã sử dụng cθ+ = 1.

Đỉnh tương tác h0H ±V ∓ được suy ra từ số hạng,

h0H ±V ∓ : −

igL 2 = (∂µΣ0∗

µ(∂µΣ−

1 )(21)µ + (∂µΣ− 1 ) + (12)∗

2 )(12)µ + (∂µΣ0∗ 2 ) + (22)∗ µ(∂µΣ+

→

1 )(11)µ + (∂µΣ+ µ(∂µΣ0 1) + (21)∗ cos(β − α) (cid:2)(p0 − p−)µW +µ sin(β + α) (cid:2)(p0 − p−)µW +µ

2 )(22)µ µ(∂µΣ0 2) L H +h0(cid:3) L H −h0 − (p0 − p+)µW −µ R H +h0(cid:3) , R H −h0 − (p0 − p+)µW −µ

(cid:104) (cid:105) ∂µΣ† (P µΣ) − (PµΣ)† (∂µΣ)

h0H ±V ∓ : −

−

(cid:104) (cid:105) ∂µΣ† (P µΣ) − (PµΣ)† (∂µΣ)

1 )(11)µ + (∂µΣ+

1 )(21)µ + (∂µΣ−

µ(∂µΣ0

1 ) − (12)∗

µ(∂µΣ− (cid:20)√

⊃ −

W −µ

2W +µ

)h0

p0µ(−

+ (11)∗ gL 2 gR 2 igL 2 igL 2 µ(∂µΣ0 −(11)∗ (cid:26) gL 2

2 )(22)µ 2 )(12)µ + (∂µΣ0∗ 2)(cid:3) (cid:21) R (H +cβ) (cid:21)

L (H −sβ) − √

)h0

1) − (21)∗ sα√ 2 (cid:20)√ 2W −µ

)h0 −

+p+µ(H +sβ)

W −µ R (

sα√ 2

(cid:2)(∂µΣ0∗

√

gR gL W +µ

)h0

)h0 −

+p−µ(H −cβ)

2W +µ L (

R (−

√

(cid:21) (cid:20)√

W +µ

2W −µ

)h0

+p0µ(

L (− cα√ 2 L (H +cβ) −

(cid:20)√

√

)h0

W +

−

2W −

gR gL

pµ 0 (− (cid:21)

√

(cid:20)√

)h0

)h0 −

−

W +

2W +

2 ) − (22)∗ µ(∂µΣ+ √ gR gL cα√ 2 sα√ 2 (cid:21) R (H −sβ) sα√ 2 pµ −(H −sβ)

Rµ(

gR gL

cα√ 2 Lµ(H +sβ) − sα√ 2

(cid:20)√

√

−

)h0

)h0 −

2W −

W −

Rµ(−

Lµ(

(cid:21) (cid:20)√

√

−

W −

2W +

)h0

pµ 0 (

gR gL gR gL (cid:21) Rµ(H −cβ) cα√ 2 sα√ 2 (cid:21) Rµ(H +sβ)

Lµ(− cα√ 2 Lµ(H −cβ) −

gR pµ +(H +cβ) gL (cid:27) cα√ gR gL 2 [(cαcβ + sαsβ)p0µ − (cαcβ + sαsβ)p−µ] W +µ L H −h0

−

[(cαcβ + sαsβ)p0µ − (cαcβ + sαsβ)p+µ] W −µ

L H +h0

gL 2 gL 2

(cid:20)√

[(sαcβ + cαsβ)p0µ − (sαcβ + cαsβ)p−µ] W +µ

R H −h0

−

R H −h0

→

[(sαcβ + cαsβ)p0µ − (sαcβ + cαsβ)p+µ] W −µ cos(β − α) (cid:2)(p0 − p−)µW +µ sin(β + α) (cid:2)(p0 − p−)µW +µ

L H −h0 − (p0 − p+)µW −µ R H −h0 − (p0 − p+)µW −µ

gR 2 gR 2 gL 2 gR 2

L H +h0(cid:3) R H +h0(cid:3) , (3.33)

L H −h0 − (p0 − p+)µW −µ

trong đó ∂µ → −ipµ; p0,± là xung lượng của Higgs boson h0 và H ±.

µ + sθW ±

Rµ (cid:39) W (cid:48)±

µ , dòng thứ hai được viết theo trạng thái vật lý của boson chuẩn như sau, h0H ±V ∓ :

Dòng đầu tiên của kết quả cuối cùng trong (3.33): L H +h0(cid:3) chứa yếu tố 2 cos(β − α) (cid:2)(p0 − p−)µW +µ cos(β − α) (cid:39) cos(π/2) = 0, bởi vì điều kiện về đỉnh tương tác h0W +W − trong SM dẫn đến β = α + π/2. Sử dụng W ±

sin(β + α) (cid:2)(p0 − p−)µ

gR 2

(cid:0)W (cid:48)+ (cid:1) H −h0

µ + sθW + µ (cid:1) H +h0(cid:3) .

−(p0 − p+)µ

µ + sθW − µ

(3.34) (cid:0)W (cid:48)−

Đỉnh tương tác của 3 boson chuẩn ZV V (cid:48) nằm trong động năng hiệp

LµνF aµν F a

g = −

L −

RµνF aµν F a R ,

1 4

biến của các trường chuẩn không giao hoán, cụ thể là [82]

1 4 L,Rµ + gL,R(cid:15)abcW b L,Rν − ∂νW a

L,Rµν = ∂µW a F a

L,RµW c

L,Rν.

(3.35)

Lν)W b

LµW c

Lν − gR(cid:15)abc(∂µW a

Rν)W b

L3g = −gL(cid:15)abc(∂µW a (cid:104)

(cid:16)

(cid:17)

RµW c Rν (cid:16)

(cid:17)

∂µW 1

∂µW 2

= −gL

LνW 1µ

LνW 2µ

LνW 1µ

LνW 2µ

L − ∂µW 1

+ W 3µ L

W 3ν L (cid:16)

L − ∂µW 2 (cid:17)(cid:105)

W 1µ

− (L → R),

L − W 2µ

L W 1ν

+∂µW 3 Lν (cid:104)

(cid:1)

(cid:0)∂µW +

L W 2ν (cid:0)−∂µW +

= −igL

W 3ν L

LνW −µ

L + ∂µW −

LνW +µ

(cid:1) + W 3µ L

LνW −ν

L − ∂µW −

LνW +ν

Các tương tác của 3 boson chuẩn xuất phát từ

(cid:1)(cid:3) − (L → R),

(cid:0)−W +µ

+∂µW 3 Lν

L W +ν

(cid:1)

(cid:1) + Zµ (cid:0)∂µW +

L W −ν (cid:2)Zν (cid:0)−∂µW +

= −igLcW

L − ∂µW −

LνW +ν

L + W −µ LνW −µ

L + ∂µW −

LνW +µ

(cid:0)−W +µ

(3.36)

+∂µZν

LνW −ν (cid:1)(cid:3) − igR(−sRsW ) × (L → R),

L W −ν

L + W −µ

L W +ν

W 3

R → −sRsW Z trong dòng cuối của (3.36).

L3g ⊂ −

(∂µW a

Lν)

LµW c

Lµ + gL(cid:15)abcW b

Lν − ∂νW a

W b(cid:48)µ

L W c(cid:48)ν

1 4 L − ∂νW aµ × (∂µW aν (cid:104)

= −

(cid:15)ab(cid:48)c(cid:48)

(∂µW a

L + gL(cid:15)ab(cid:48)c(cid:48) LνW b(cid:48)µ

L − ∂νW a

L W c(cid:48)ν

1 4

Lν∂µW aν

L − W b

LµW c

Lν∂νW aµ

L ) − (L → R) LµW b(cid:48)µ L W c(cid:48)ν L ) L )(cid:3) − (L → R)

+ (cid:15)abc(W b LµW c (cid:104)

= −

(cid:15)abc(∂µW a

LνW bµ

L − ∂νW a

LµW bµ

L W cν

1 4

+ (cid:15)abc(∂µW aν

L W b

LµW c

Lν − ∂νW aµ

LµW c

L W b

= −

gL × 2(cid:15)abc(∂µW a

LνW bµ

L − ∂νW a

L W cν L ) Lν)(cid:3) − (L → R) LµW bµ

L ) − (L → R)

L W cν

1 4

= −gL(cid:15)abc(∂µW a

Lν)W bµ

L − (L → R)

L W cν

= −gL(∂µW 1

LνW 2µ

L + ∂µW 2

LνW 3µ

L + ∂µW 3

LνW 1µ

L W 3ν

L W 1ν

L W 2ν

− ∂µW 1

LνW 3µ

L − ∂µW 2

LνW 1µ

L − ∂µW 3

LνW 2µ

L ) − (L → R)

L W 3ν

L W 1ν

= −gL[(∂µW 1

L W 2ν LνW 2µ

LνW 1µ

L + (∂µW 2

LνW 1ν

L − ∂µW 1

LνW 2ν

L )W 3µ

L )W 3ν

L − ∂µW 2 L − W 2µ

L )] − (L → R) = −gL×

(cid:19)

(cid:19)(cid:21)

+ ∂µW 3 (cid:26)(cid:20)

Lν(W 1µ (cid:18)W +

L W 1ν (cid:19) (cid:18)W −µ

(cid:18)W −

(cid:19) (cid:18)W +µ

Lν

− ∂µ

∂µ

cW Zν

(cid:20)

(cid:19)

(cid:19)(cid:21)

(cid:18)W −

(cid:19) (cid:18)W +ν

(cid:18)W +

(cid:19) (cid:18)W −ν

Lν

∂µ

− ∂µ

cW Zµ

(cid:19)

(cid:19)(cid:21)(cid:27)

L − W +µ L√ 2i L + W −ν L√ 2 (cid:19) (cid:18)W −ν

−

+cW ∂µZν

L − W +ν L√ 2i

Lν − W + √ 2i Lν + W − √ 2 (cid:18) W −µ L − W +µ L√ 2i

L + W −µ L√ 2 L − W +ν L√ 2i (cid:19) (cid:18)W +ν L + W −ν L√ 2

[(∂µW +

L W 2ν Lν + W − √ 2 Lν − W + √ 2i (cid:20)(cid:18)W +µ L + W −µ L√ 2 LνW −µ

L − ∂µW +

LνW +µ

L + ∂µW −

LνW −µ

L − ∂µW −

LνW +µ

igLcW 2

− ∂µW −

LνW +µ

L − ∂µW −

LνW −µ

L + ∂µW +

LνW +µ

L + ∂µW +

LνW −µ

L )cW Zν

ở đây chúng tôi chỉ chú ý đến đỉnh chứa Z boson, sử dụng thay thế L → cW Z và W 3

+ (∂µW −

LνW +ν

L + ∂µW −

L − ∂µW +

LνW +ν

L − ∂µW +

LνW −ν

− ∂µW +

LνW −ν

L + ∂µW +

L + ∂µW −

LνW +ν

L )cW Zµ

L − ∂µW −

+ cW ∂µZν(W +µ

LνW −ν LνW +µ L − W +µ

LνW −ν L + W −µ

L − W −µ

L W +ν

− W −µ

L W +ν

(cid:1)

L W −ν L − W −µ L W −ν (cid:2)Zν (cid:0)−∂µW +

= −igLcW

LνW −ν

L − ∂µW −

LνW +ν

L W +ν L + W +µ LνW −µ

L W −ν L + W +µ LνW +µ

L + ∂µW −

(cid:0)−W +µ

(3.37)

+∂µZν

L W −ν L )] (cid:1) + Zµ (cid:0)∂µW + (cid:1)(cid:3) − igR(cW → −sRsW ) × (L → R),

L W −ν

L + W −µ

L W +ν

L W b

LµW c

Lν =

∂µW a

LνW bµ

L . Xét số hạng thứ hai trong (3.37),

L W cν

(cid:15)abc(−∂νW a

LµW bµ

L W cµ

LνW cν

L W bµ

L W cν

L = −(cid:15)acb∂µW a

ở đây chúng tôi đã sử dụng thay thế b(cid:48), c(cid:48) → b, c; và ∂µW aν

L ) = −(cid:15)abc∂µW a = (cid:15)abc∂µW a

LνW bν LνW bµ

L W cν L .

(3.38)

Chú thích: i) trong dòng đầu của (3.38), các chỉ số lấy tổng (chỉ số câm)

được thay thế để giữ kết quả không thay đổi, cụ thể là µ ↔ ν và b ↔ c;

ii) trong dòng thứ hai, đã sử dụng tính chất đối xứng của (cid:15)abc. Vì thế, dòng

× sin(2β)(cid:15)2 và (cid:15) =

cuối cùng của (3.37) bằng với dòng đầu tiên của (3.36).

mW /mW (cid:48) trong tính toán chi tiết ở nội dung này. Do đó, dựa trên các quy tắc Feynman, đỉnh Z αW +µW −ν được viết như sau: −igZW +W −Γαµν(p0, p+, p−). Xét trong trường hợp W ±

L → W ± thì chúng tôi suy ra được: gZW +W − (cid:39)

gLcW . Tương tự, với trường hợp đỉnh Z αW (cid:48)+µW (cid:48)−ν, có hệ số đỉnh:

−igZW (cid:48)+W (cid:48)−Γαµν(p0, p+, p−), ta có gZW (cid:48)+W (cid:48)− (cid:39) −gRsRsW = −gY sW = W /cW . Đối với các đỉnh Z αW (cid:48)+µW −ν và Z αW +µW (cid:48)−ν, tương tự ta −gLs2

Chúng tôi sử dụng: g ≡ gL, sθ+ (cid:39) tan θ+ = gR gL

có: gZW +W (cid:48)− = gZW (cid:48)+W − = −sθ+cθ+ (gLcW + gRsRsW ) (cid:39) −gLsθ+/cW .

Sử dụng điều kiện α = β − π/2 để đảm bảo rằng đỉnh tương tác hW W

là giống như trong SM. Chúng tôi bỏ qua tất cả những số hạng có bậc lớn

Bảng 3.1: Các đỉnh và hệ số đỉnh liên quan đến đóng góp của boson chuẩn

và Higgs boson mang điện vào biên độ rã bậc một vòng của Higgs boson

tựa mô hình chuẩn h → Zγ trong mô hình LR.

g2 mW cW , −

−

ghW W gZW W ghW (cid:48)W gZW W (cid:48) ghW (cid:48)W (cid:48)gZW (cid:48)W (cid:48) ghW +H −gZW −H + ghW (cid:48)+H −gZW (cid:48)−H +

Đỉnh tương tác Hệ số đỉnh-SM

Hệ số đỉnh-LR [77, 79] g2 L mW cW sin(β − α) sθ+ gLgR mW cos(β + α) cW R mW sin(β − α) s2 −g2 W cW − g2 2 mW cW sin(β + α) cos(2β)s2 θ+ − g2 2 mW cW sin(β + α) cos(2β)

hơn O((cid:15)2), với (cid:15) = mW /mW (cid:48) và mW (cid:48) là khối lượng gauge boson mới, có thể

được coi là giới hạn phá vỡ của nhóm SU (2)R. Đỉnh tương tác của Higgs

boson tựa SM thảo luận ở đây phù hợp với kết quả trong [71, 77, 78, 104].

Đỉnh tương tác giữa 3 boson chuẩn cũng trùng với kết quả trong [75, 82].

Chúng không phụ thuộc vào cách biểu diễn fermion, nên có thể được xem

xét để thiết lập công thức tính trong trường hợp tổng quát, không phụ

thuộc vào số liệu của giới hạn thực nghiệm gần đây.

Với các giả định ở trên, các đỉnh tương tác của Higgs boson tựa SM

đang xét gần giống như trong SM. Quá trình rã h → Zγ có liên quan đến

F LR

(cid:15)2,

(cid:39) 1,

∼ −

21,W W W F SM 21,W

21,W (cid:48)W (cid:48)W (cid:48) F SM 21,W

21,W (cid:48)W W

(cid:15)2,

∼

21,W (cid:48)HH

đóng góp của boson chuẩn mang điện được tính như sau,

(cid:15)2,

∼

Rs2 g2 W Lc2 g2 W R sin2(2β) g2 Lc2 2g2 W R cos2(2β) g2 2g2 L

21,W W (cid:48)W (cid:48) + F LR F LR F SM 21,W 21,HW (cid:48)W (cid:48) + F LR F LR F SM 21,W

(3.39)

ở đây (cid:15) ≡ mW /mW (cid:48) và α (cid:39) β − π/2. Chúng ta có thể thấy rằng toàn bộ

các số hạng liệt kê trong (3.39) có cùng thứ nguyên, mặc dù có một số số hạng bị ảnh hưởng bởi tham số trộn nhỏ sθ+ = O((cid:15)2) giữa 2 boson chuẩn mang điện. Do đó, tất cả chúng phải được tính đến. Lập luận này khác với

21,W (cid:48)W (cid:48)W (cid:48) được đề cập [116,118,120]. Các giới hạn dưới gần đây của SU (2)R có bậc (cid:15)2 ≤ O(10−3), có nghĩa rằng

tính toán trước đây, ở đó chỉ có F LR

các đóng góp của Higgs boson và boson chuẩn mang điện được thảo luận

ở đây bị triệt tiêu. Tính toán này của chúng tôi rất hữu ích để nghiên cứu

sâu hơn trong nhiều BSM khác, cho phép các thang phá vỡ mới thấp hơn.

Chẳng hạn, các mô hình thuộc kiểu phá vỡ đối xứng loại I mà chúng tôi

đã đề cập trong [75], hoặc mô hình với kiểu phá vỡ loại II [36, 92].

Đóng góp của Higgs boson mang điện nặng mH ± từ F21,W SS và F21,SW W

xuất hiện trong các mô hình đơn giản như HTM được đề cập trong [5].

Chúng thậm chí còn xuất hiện trong các mô hình HTM đơn giản được mở

rộng từ SM bằng cách chỉ thêm tam tuyến Higgs ∆ [109, 123, 139]. Mối

tương quan của hai quá trình phân rã h → γγ và h → Zγ đã được nghiên

cứu trước đây, nhưng những đóng góp F21,W SS và F21,SW W đã bị bỏ qua trong [29] vì tích ghSW gZW S nhỏ, tỷ lệ thuận với (v∆/v)2 [19]. Ở đây v∆ là

v = 246 GeV. Yêu cầu tham số ρ = m2

Zc2

W /(m2

W ) gần bằng 1 ở mức đóng góp bậc cây, dẫn đến v∆ nhỏ với giá trị lớn nhất cỡ vài GeV [9, 29, 34].

giá trị trung bình chân không (VEV) của thành phần trung hòa của ∆ và

Nhưng độ lệch ∆ρ = ρ − 1 dự đoán bởi mô hình này là âm, ngược lại với

kết quả của thực nghiệm gần đây [130].

v∆ nhỏ là không cần thiết [5,88]. Theo lý thuyết dự đoán v∆ ∼ O(10) GeV

Do đó, bổ đính bậc một vòng nên đưa vào tham số này, điều đó có nghĩa

vẫn phù hợp [107]. Giới hạn từ thực nghiệm gần đây là v∆ < 25 GeV [6].

Đóng góp từ F21,SW W và F21,W SS đến quá trình rã Higgs boson tựa mô

hình chuẩn h → Zγ có thể đạt giá trị F21,W ×O(10−2), vẫn còn xa độ nhạy

của các thí nghiệm gần đây. Do đó, các nghiên cứu trước đây [9, 10, 29]

bỏ qua F21,SW W và F21,W SS trong việc tính bổ đính bậc một vòng của rã

Higgs boson tựa SM h → Zγ vẫn được chấp nhận.

Mặt khác, rã của Higgs boson trung hòa nặng (H) được dự đoán bởi

nhiều BSM, có thể có tích gHW SgZW S lớn, ví dụ trong HTM [19]. Trong

trường hợp này, đóng góp của F21,SW W , F21,W SS có thể đạt được các giá trị quan trọng của F21,W W W × O(v∆/v) = F21,W W W × O(10−1) trong

tính toán Br(H → Zγ), nhưng chúng đã bị bỏ qua trong các nghiên cứu

trước [10,34,46]. Các công thức chúng tôi giới thiệu trong luận án này nên

được sử dụng để cải thiện các tính toán trước về các quá trình rã đã được

3.5 Kết luận chương

đề cập.

Trong chương này, chúng tôi đã dùng công thức giải tích tổng quát tính

được ở Chương 2 để áp dụng khảo sát quá trình rã của Higgs trung hòa

và cả Higgs mang điện H → Zγ, W γ trong một số BSM. Cụ thể, chúng

tôi đã áp dụng để khảo sát về sự phân rã của Higgs tựa SM trong SM, mô

hình thống nhất Higgs trường chuẩn, mô hình chuẩn với tam tuyến Higgs,

mô hình đối xứng trái-phải và mô hình 331β0. Quá trình rã H ± → W ±γ

cũng được chúng tôi khảo sát trong mô hình Georgi-Machacek. Chúng tôi

có tính đến những phần đã bị bỏ qua trong các nghiên cứu trước đó và

thực hiện so sánh với các công bố có liên quan, kết quả tính của chúng tôi

cho thấy một số đóng góp là tương đối lớn và cần được đưa vào để phù hợp

với giới hạn thực nghiệm hiện nay. Đặc biệt khi mà thang năng lượng phá

vỡ mới có thể sẽ được xác lập trong các nghiên cứu sâu hơn về các BSM

trong tương lai gần. Trong Chương 3, chúng tôi cũng đã viết dựa trên kết

quả bài báo đăng trên tạp chí EUROPEAN PHYSICAL JOURNAL C 78,

885 (2018).

Chương 4

QUÁ TRÌNH RÃ h0

1 → µτ TRONG

MÔ HÌNH 331ISS

4.1 Cấu trúc hạt và thế Higgs trong mô hình 331ISS

Chúng tôi xét mô hình 331ISS dựa trên mô hình 331RHN được đưa ra

trong [48], trong đó khối lượng và dao động neutrino được sinh ra từ cơ

chế ISS. Các thế hệ quark và nhóm SU (3)C màu không tham gia vào quá

trình rã LFV, nên tạm thời được bỏ qua, không nói đến ở đây.

Các fermion

Đối với mỗi thế hệ, tất cả các hạt neutrino mới phân cực trái được xếp

vào thành phần thứ ba của tam tuyến SU (3)L, còn các neutrino mới phân

cực phải được xếp vào đơn tuyến,

νaL

 

∼

1, 3, −

, eaR ∼ (1, 1, −1),

ψaL =

1 3

(cid:19) (cid:18)

       

eaL (NaR)c NaR ∼ (1, 1, 0), a = 1, 2, 3.

(4.1)

Hai số lượng tử đầu tiên trong ngoặc đơn chỉ các biểu diễn cụ thể của

U (1)X. Mô hình không có thành phần phân cực phải của neutrino thông

nhóm SU (3)C và SU (3)L, số lượng tử thứ ba là siêu tích yếu của nhóm

thường và khối lượng neutrino Majorana được sinh ra từ toán tử hiệu

T8 + X, ở đây T3,8 là vi tử của nhóm SU (3)L.

dụng 5 chiều. Ngoài ra, không có sự trộn lẫn giữa neutrino thông thường

với neutrino mới. Toán tử điện tích của nhóm SU (3)L × U (1)X có dạng Q = T3 − 1√ 3

Các boson chuẩn

µ (a = 1, ..., 8) của nhóm SU (3)L và Xµ của nhóm U (1)X, tương ứng với 8 vi tử T a của nhóm

SU (3)L và một vi tử T9 của U (1)X. Đạo hàm hiệp biến trong mô hình này

Nhóm chuẩn SU (3)L × U (1)X có 8 boson chuẩn W a

Dµ ≡ ∂µ − igW a

µ T a − gXT 9XXµ = ∂µ − iPµ,

được viết





√

(cid:113) 2

W8 + t

2W + µ

2U 0 µ

3XXµ

W3 + 1√ 3

√

(cid:113) 2

Pµ =

W8 + t

2W − µ

3XXµ

g 2

√

−W3 + 1√ 3 √

      

      

2Y − µ (cid:113) 2

W8 + t

2U 0∗ µ

2Y + µ

3XXµ

− 2√ 3

với a = 1, 2, ..., 8,

λa 2

I3√ 6

cho tam tuyến (phản , λa là các ma trận Gell-Mann, T9 = và Ta =

√

cho đơn tuyến. Công thức liên hệ g, gX như sau tam tuyến) và 1√ 6

g = e sW ,

gX g

3 2sW (cid:112)3 − 4s2

(4.2)

W (cid:39) 0.231. Trong luận án này chúng tôi chỉ quan tâm đến các boson chuẩn mang điện.

ở đây e và sW tương ứng với điện tích và sin của góc Weinberg, s2

Mô hình này bao gồm hai cặp boson chuẩn mang điện tích đơn, được xác

W 1

, m2

định như sau

W ±

W =

1 + v2 2

µ =

W 6

(cid:0)v2 (cid:1) ,

, m2

Y =

Y ± µ =

g2 4 g2 4

µ ∓ iW 2 µ√ 2 µ ± iW 7 µ√ 2

(4.3) (cid:1) , (cid:0)ω2 + v2 1

1 + v2

dẫn đến v2

√

2 =

2mW /g [95, 100, 144].

v1 = v2 = v/

trong đó W ± là các boson được đồng nhất với boson chuẩn trong SM, 2 ≡ v2 = (246GeV )2. Còn Y ± là các boson mang điện tích đơn mới của mô hình. Chúng tôi sẽ xét chi tiết trường hợp đơn giản

Boson Higgs

Để sinh khối lượng các hạt, mô hình này cần 3 tam tuyến Higgs là

   

ρ =

∼

1, 3,

(cid:104)ρ(cid:105) =

2 3

1 √ 2

(cid:18) (cid:19) (4.4)

ρ+ 1 ρ0 ρ+ 2

               

   

(cid:104)η(cid:105) =

η =

∼

1, 3, −

η0 1 η−

1 3

1 √ 2

(cid:19) (cid:18) (4.5)

η0 2

               

   

(cid:104)χ(cid:105) =

χ =

∼

1, 3, −

χ0 1 χ−

1 3

1 √ 2

(cid:19) (cid:18) (4.6)

χ0 2

               

SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)X

↓ (cid:104)χ(cid:105)

SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y

↓ (cid:104)ρ(cid:105), (cid:104)η(cid:105)

SU (3)C ⊗ U (1)Q.

Trong mô hình, đối xứng bị phá vỡ theo 2 bước

Bước phá vỡ thứ nhất nhằm sinh khối lượng cho các hạt mới có liên

2(cid:105) =

ω √ 2

. Sau bước phá vỡ thứ hai, quan đến thang phá vỡ SU (3)L là (cid:104)χ0

các hạt trong SM và neutrino thông thường nhận khối lượng thông qua

(cid:104)ρ0(cid:105) =

1(cid:105) =

v1√ 2

v2√ 2

. Các hạt mới có khối lượng rất lớn so với các hạt và (cid:104)η0

trong SM nên ω (cid:29) v1, v2. Mô hình có hai trường boson Higgs trung hòa

nhận VEV bằng không (vi phạm số lepton mới). Các boson Higgs trung

ρ0 =

(v1 + S1 + iA1) ,

(v2 + S2 + iA2) ,

η0 1 =

(S(cid:48)

η0 2 =

2 + iA(cid:48)

2) ,

χ0

(S3 + iA3) ,

1 =

hòa trong mô hình được viết như sau

(ω + S(cid:48)

χ0

3 + iA(cid:48)

3) .

2 =

1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2 1 √ 2

(4.7)

Thế Higgs của mô hình được viết theo [97]

+ λ2

V = µ2 1

2χ†χ + λ1 √

(cid:0)χ†χ(cid:1)2 (cid:0)ρ†ρ + η†η(cid:1) + µ2

+λ12

(4.8) (cid:0)ρ†ρ + η†η(cid:1) (cid:0)χ†χ(cid:1) − (cid:2)ρ†ρ + η†η(cid:3)2 2f (cid:0)(cid:15)ijkηiρjχk + H.c.(cid:1) ,

trong đó f là thực; µ1, µ2 có thứ nguyên khối lượng; λ1, λ2, λ12 là các tham

số không thứ nguyên và (cid:15)i,j,k là tensor phản xứng. Từ điều kiện cực tiểu

1 + 2λ1v2 µ2

1 +

1 2

của thế Higgs dẫn đến hai phương trình ràng buộc

1 =

2 + λ2ω2 + λ12v2 µ2

λ12ω2 = f ω, f v2 1 ω

4.2 Phổ khối lượng và trạng thái vật lý của các hạt

(4.9)

Lepton

Trong mô hình có hai số lepton, cụ thể là số lepton thông thường và số

T8 + L. Chi tiết các số lepton khác

lepton mới được đưa vào ký hiệu là L và L tương ứng. Chúng liên hệ với

Bảng 4.1: Số lepton thông thường L (trái) và số lepton mới L (phải) của lepton

và Higgs boson trong mô hình 331RHN

Fields χ η

ρ ψaL eaR

Fields NL νL eL eR ρ+ 2

-1

-2

1 χ− 2 χ0 η0 2 2 -2

4 3

2 3

1 3

nhau bởi biểu thức [48, 145]: L = 4√ 3 không của L và L được liệt kê trong bảng 4.1. Khối lượng của lepton được

suy ra từ Lagrangian Yukawa

l = −he

abψaLρebR + hν

ab(cid:15)ijk(ψaL)i(ψbL)c

jρ∗

k + H.c.,

(4.10)

ab = −hν

√

ba. Số hạng đầu tiên trong (4.10) sinh 2δabma/v1, để đảm bảo

ở đây (cid:15)ijk là tensor phản xứng, (cid:15)123 = 1; (ψaL)c ≡ ((νaL)c, (eaL)c, (NaL)c)T ; hν là ma trận phản xứng: hν

ab ≡

khối lượng lepton mang điện ma thỏa mãn he

không xuất hiện số hạng vi phạm (LFV) ở bậc cây. Số hạng thứ hai trong

(4.10) được mở rộng như sau

ab(cid:15)ijk(ψaL)i(ψbL)c hν

jρ∗

k = 2hν ab

2 − νaL(NbL)cρ0∗ + eaL(νbL)cρ− 1 (4.11)

(cid:3) , (cid:2)−eaL(νbL)cρ−

ở đây chúng tôi đã sử dụng phương trình NaL(νbL)c = νbL(NaL)c. Số

((N1L)c, (N2L)c, (N3L)c)T và (mD)ab ≡

2 v1hν

trino: −Lν

hạng thứ hai trong (4.11) đóng góp vào khối lượng Dirac của các neu- mass = νL mD NR + H.c., trong đó νL ≡ (ν1L, ν2L, ν3L)T , NR ≡ √ ab. Mô hình này có thể dự đoán phổ khối lượng phù hợp với dữ liệu neutrino hiện tại [130] khi tính

đến bổ đính vòng, tuy nhiên ở đây tất cả neutrino đều rất nhẹ [48] với

hằng số tương tác Yukawa bé nên đóng góp không đáng kể vào quá trình

rã LFV. Như vậy, mô hình 331ISS như là một phần mở rộng của mô hình

331RHN, trong đó ba neutrino phân cực phải được thêm vào là các đơn

tuyến, XaR ∼ (1, 0), a = 1, 2, 3. Khối lượng neutrino ở mức cây có thêm

đóng góp mới dẫn đến khối lượng và góc trộn neutrino sinh ra theo cơ chế

ISS. Cụ thể L được thêm vào là

(µX)ab(XaR)cXbR + H.c.,

−LXR = YabψaL χXbR +

1 2

(4.12)

trong đó µX là ma trận đối xứng 3 × 3 và L(XaR) = L(XaR) = −1. Số

hạng cuối (4.12) là thành phần duy nhất có sự vi phạm cả L và L, do

đó có thể coi rất nhỏ, điều đó chính xác trong mô hình ISS. Số hạng đầu

tiên sinh ra khối lượng cho các neutrino nặng, dẫn đến kết quả là hằng

SU (3)L. Thêm vào đó, cơ chế ISS cho phép các đóng góp lớn của ma

số tương tác Yukawa Yab lớn, phù hợp với tam tuyến Higgs của nhóm

trận khối lượng Dirac mD có nguồn gốc từ (4.10), hoàn toàn ngược lại với

yêu cầu trong mô hình 331RHN. Cơ sở mới gồm 9 thành phần neutrino

νL

   

ν(cid:48) L =

L)c =

và (ν(cid:48)

NL (XR)c

(νL)c (NL)c XR

              .  

Kết hợp (4.10) và (4.12) cho số hạng khối lượng neutrino có dạng

−Lν

L)c + H.c.,

mass =

LM ν (ν(cid:48) ν(cid:48)

1 2

(4.13)

trong đó

 

M ν =

0 MR

(4.14)

0 mD mT D 0 M T

       

MR là ma trận 3 × 3 có (MR)ab ≡ Yab

R µX ω √ 2 (cid:16)

với a, b = 1, 2, 3. Các cơ sở

(ν1L)c ν2L)c ν3L)c (cid:17)T

(cid:17)T , NR =

(X1R)c (X2R)c (X3R)c

(cid:16) (cid:17)T và XL = con của các neutrino được kí hiệu là: νR = (cid:16) (N1L)c (N2L)c (N3L)c

 

M ν =

0 MR M T

0 MD M T

R µX

D MN

(4.15) Ma trận M ν có thể viết dưới dạng seesaw thông thường [101]   .   , MD ≡ (mD, 0) , MN =  

Theo cơ chế seesaw, M ν luôn chéo hóa được bởi một ma trận unita U ν

bậc 9 × 9 [12]

,(4.16)

ˆmν, ˆMN

U νT M νU ν = ˆM ν = diag (mn1, mn2, ..., mn9) = diag

(cid:17) (cid:16)

trong đó mni(i = 1, 2, ..., 9) là trị riêng khối lượng của 9 trạng thái riêng khối lượng niL (trạng thái vật lý của neutrino). Các ma trận khối lượng

ˆmν = diag (mn1, mn2, mn3) và ˆMN = diag (mn4, mn5, ..., mn9), cho tương ứng với khối lượng của ba neutrino nhẹ naL (a = 1, 2, 3) và 6 neu-

có dạng chéo

trino mới nIL (I = 4, 5, ...9) . Mối liên hệ giữa các trạng thái riêng thế hệ

L = U ν∗nL, (ν(cid:48)

L)c = U ν (nL)c , trong đó và trạng thái riêng khối lượng là ν(cid:48) nL ≡ (n1L, n2L, ..., n9L)T ; (nL)c ≡ ((n1L)c, (n2L)c, ..., (n9L)c)T . Spinor 4 thành phần ni được định nghĩa là ni ≡ (niL, (niL)c)T = nc i = (ni)c với nL,i ≡ PLni và nR,i = PRni = (nL,i)c, PL,R = là toán tử

1 ∓ γ5 2

chiếu trái, phải. Định nghĩa tương tự cho trạng thái neutrino ban đầu νa ≡ (νL,a, (νL,a)c)T , Na ≡ (NL,a, (NL,a)c)T , XI ≡ ((XR,I)c, XR,I)T và ν(cid:48) = (ν, N )T . Từ (4.2), chúng ta có

PLν(cid:48)

i = ν(cid:48)

i,L = U ν∗

ij niL, PRν(cid:48)

i = ν(cid:48)

i,R = U ν

ijniR, i, j = 1, 2, ..., 9.

a+6 = U ν∗

(4.17)

a+3 = U ν∗ ainiR, (NaL)c = PRν(cid:48)

(a+3)iniL và XaR = PRν(cid:48)

NaL = PLν(cid:48) PRν(cid:48) a = U ν U ν

νaL = ν(cid:48) U ν

ainiL, NaL = ν(cid:48) aPL = U ν∗

(a+3)iniL, (NaR)c = ν(cid:48) a+3PL = U ν∗

aPR = U ν (a+6)iniL, (νaL)c = ν(cid:48)

a = U ν∗ ai niL, (a+6)iniL, (νaL)c = a+3 = U ν a+6 = (a+6)jnjR (a = 1, 2, 3). Trạng thái liên hiệp Dirac biến đổi như sau a+3PR = U ν a+6PR = ai niR, (NaL)c = ν(cid:48) (a+3)iniL và

XaR = ν(cid:48)

a+6PL = U ν∗

(a+6)jnjR.

Khi đó mối liên hệ giữa các cơ sở của neutrino là: νaL = PLν(cid:48) (a+3)iniL, (NaR)c = PLν(cid:48)

U O

Ma trận trộn U ν được viết dưới dạng tổng quát như sau [101] 

U ν = Ω

O V

(4.18)    ,

trong đó O là ma trận bậc 3 × 6 có tất cả các phần tử bằng 0; U, V và Ω

lần lượt là các ma trận unita 3 × 3, 6 × 6 và 9 × 9. Ma trận Ω có thể viết

ở dạng sau

1 −

RR†

O R

Ω = exp

 

−R† O

1 2 −R†

1 −

R†R

R 1 2

R là ma trận 3 × 6 trong đó trị tuyệt đối của tất các yếu tố ma trận ký

   =     + O(R3), (4.19) 

hiệu chung là |R|, phải thỏa mãn |R| < 1. Ma trận U = UP M N S là ma

trận Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS) đã biết [117]

s13e−iδ

UPMNS =

s23c13

 

c12c13 s12c13 c12c23 − s12s23s13eiδ −s12c23 − c12s23s13eiδ s12s23 − c12c23s13eiδ −c12s23 − s12c23s13eiδ

c23c13

       

× diag(1, eiα, eiβ),

(4.20)

và cab ≡ cosθab, sab ≡ sinθab. Trong trường hợp khối lượng các neutrino

phân bậc thông thường, giá trị phù hợp nhất của các tham số neutrino

∆m2

nhẹ là [130]

21 = 7.370 × 10−5 eV2, ∆m2 = 2.50 × 10−3 eV2, s2 12 = 0.297, s2

23 = 0.437, s2

(4.21)

−

21 = m2 n2

− m2 n1

13 = 0.0214, ∆m2 21 2

. Trong luận án này, trong đó ∆m2 và ∆m2 = m2 n3

β = 0.

chúng tôi cố định pha Dirac δ và pha Majorana α, β như sau: δ = π, α =

Vì v (cid:28) ω dẫn đến điều kiện |MD| (cid:28) |MN |, trong đó |MD| và |MN | là

các khối lượng đặc trưng cho thang của MD và MN . Theo đó, mối liên hệ

seesaw thu được là hợp lý [11, 63, 101]. Các hệ thức cụ thể là

(4.22)

R∗ (cid:39) (cid:0)−mDM −1, mD(M T mν (cid:39) mDM −1mT

(4.23)

V ∗ ˆMN V † (cid:39) MN +

R )−1(cid:1) , PMNS ˆmνUPMNS, MN R†R,

D ≡ U ∗ RT R∗MN +

1 2

(4.24)

trong đó

M ≡ MRµ−1

X M T R .

(4.25)

Vì ma trận khối lượng neutrino Dirac mD trong trường hợp này là phản

xứng, tương đương mD chỉ có ba tham số độc lập x12, x13 và z,

x12 x13

√

 

, với

z =

mD ≡ z

2v1hν

−x12

23.

(4.26)

−x13 −1

       

Ngược lại, mν trong (4.23) là đối xứng (mν)ij = (mν)ji. Từ (4.23) dẫn

0 = (mν)ij − (mν)ji ∼ x12

đến

(cid:3) + x13 (cid:2)(M −1)13

−(M −1)31

(4.27) (cid:2)(M −1)12 − (M −1)21 (cid:3) + (M −1)23 − (M −1)32, với i, j = 1, 2, 3.

mD đúng. Để phù hợp với dữ liệu neutrino, ma trận M và mD thỏa mãn

Điều này có nghĩa là ma trận đối xứng M sẽ cho ma trận đối xứng

phương trình (4.23). Ở đây chúng tôi chọn M để cho đơn giản trong các

(cid:1)

tính toán ở phần sau. Phải tồn tại một bộ thông số z, x12, x13 và Mij (i ≤ j ≤ 3) thỏa mãn 6 phương trình sau (cid:0)mDM −1mT ij = (mν)ij. Từ ba phương trình tương ứng với i = j = 1, 2, 3, chúng tôi có thể viết (M −1)ii như là hàm ba điểm của z, x12, x13, và (M −1)ij (i (cid:54)= j). Thay chúng vào

−(mν)13x12 + (mν)12x13 = (mν)11,

−(mν)23x12 + (mν)22x13 = (mν)12,

các phương trình còn lại và thực hiện một số bước trung gian suy ra

−(mν)33x12 + (mν)23x13 = (mν)13,

(4.28)

ở đây chúng tôi loại trừ trường hợp x12, x13 = 0.

Giải 3 phương trình trên dẫn đến 2 phương trình của x12,13 và mối quan

x12 =

(mν)11(mν)23 − (mν)13(mν)12 (mν)12(mν)33 − (mν)13(mν)23

hệ chặt chẽ giữa (mν)ij

x13 =

0 = (mν)11(mν)2

(mν)11(mν)33 − (mν)2 13 (mν)12(mν)33 − (mν)13(mν)23 23 + (mν)22(mν)2

13 + (mν)33(mν)2 12

− (mν)11(mν)22(mν)33 − 2(mν)12(mν)13(mν)23.

(4.29)

Thật vậy, mối quan hệ cuối cùng trong (4.29) cho phép chúng ta dự đoán

các giá trị có thể có của khối lượng neutrino chưa biết dựa trên những dấu

hiệu được đưa ra trong (4.23). Sử dụng dữ liệu thực nghiệm (4.21), chúng

tôi chọn được mν1 = 0 trong trường hợp phân bậc thông thường. Ma trận Dirac bây giờ chỉ phụ thuộc vào z

0.545 0.395

 

mD (cid:39) z ×

−0.545

(4.30)

−0.395 −1

       

M = diag (cid:0)1010z2, 7.029 × 1010z2, −2.377 × 1011z2(cid:1),

Cũng từ các lập luận ở trên dẫn đến

cho ma trận chéo MR. Trong luận án này, chúng tôi cũng xét một trường

hợp đơn giản, MR có dạng chéo và tất cả các phần tử đều dương. Bên

cạnh đó cũng giả thuyết rằng |mν| < µX (cid:28) |mD| < |MR|. Chúng tôi nhận

thấy rằng khối lượng neutrino xấp xỉ MR, như được đưa ra trong phương

trình (4.25). Nhưng việc lấy gần đúng này không thật sự hiệu quả cho việc

nghiên cứu LFVHD, bởi vì ở đây phần phân kỳ trong giải số bắt buộc phải

được khử hoàn toàn. Thay vào đó, chúng tôi sẽ chọn phương pháp giải số

để tính khối lượng neutrino nặng cũng như ma trận trộn U ν sao cho tổng

phần phân kỳ bị triệt tiêu trong kết quả giải số cuối cùng. Điều này, giúp

chúng tôi tránh được các sai số nguy hiểm gây ra từ các đóng góp phi vật

lý của các số hạng phân kỳ.

Tham số còn lại được cho trong tài liệu [137], có thể áp dụng được cho

các trường hợp chung khác không của pha Dirac δ cũng như cả trường hợp

khối lượng neutrino tuân theo dạng phân bậc thông thường và ngược. Với

mục đích tìm kiếm các vùng có LFVHD lớn, chúng tôi sẽ chọn một trường

hợp đơn giản là mD cho trong phương trình (4.30).

Để đơn giản trong giải số, chúng tôi sẽ xét ma trận MR có dạng chéo,

trong trường hợp cụ thể MR = MR1 = MR2 = MR3 ≡ k × z. Tham số k

sẽ cố định tại các giá trị đủ nhỏ đảm bảo cho tỉ lệ rã nhánh LFVHD càng

lớn càng tốt. Ma trận khối lượng neutrino toàn phần trong phương trình

(4.14) chỉ phụ thuộc vào tham số tự do z. Khối lượng neutrino nặng và

|µX| (cid:28) z.

ma trận U ν có thể tìm ra bằng giải số, không bị ảnh hưởng bởi z bởi vì

Chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp giải số chính xác để tìm khối lượng

neutrino và ma trận trộn U ν trong khảo sát này. Khối lượng và tham số

trộn của neutrino được suy ra từ việc chéo hóa ma trận M ν cho bởi phương

trình (4.14) và phải thỏa mãn độ tin cậy 3σ của dữ liệu thực nghiệm về

dao động neutrino.

mν trong phương trình (4.23) được sử dụng để tính toán ma trận mD và

Tóm lại, khối lượng neutrino và các thông số trộn xác định bởi ma trận

coi là tham số tự do. Nói cách khác, các giá trị thực nghiệm của khối lượng

neutrino và các tham số trộn chỉ được sử dụng để ước lượng giới hạn của

các tham số tự do, xác định ma trận khối lượng M ν. Sau đó, ma trận khối

lượng toàn phần được chéo hóa số trực tiếp bằng phần mềm Mathematica

9 để tìm khối lượng neutrino cũng như ma trận trộn U ν. Các tham số trộn

sẽ được tính từ ma trận UPMNS liên quan đến U ν theo hệ thức ở phương

trình (4.18). Chúng tôi thấy rằng các giá trị của k thõa mãn k > 1 và đủ

nhỏ đều đảm bảo yêu cầu về khai triển gần đúng ma trận Ω trong phương

trình (4.19) và điều kiện: |µX| > mn3. Cụ thể, chúng tôi thấy rằng nếu ba

tham số trộn được cố định tại ba giá trị trung tâm (best fit) tương ứng, thì

hai giá trị đầu của khối lượng neutrino có thể nằm ngoài nhưng rất gần ở

khoảng 3σ của dữ liệu thực nghiệm với k = 5. Khi k ≥ 5.5, chúng tôi thấy

rằng luôn có các giá trị đầu vào nằm trong phạm vi 3σ của dữ liệu thực

nghiệm cho các kết quả giải số trùng khớp với khối lượng neutrino thỏa

mãn thực nghiệm. Khi k ≥ 9, các giá trị đầu vào tương ứng cố định tại

các giá trị trung tâm trong (4.21) luôn nằm trong phạm vi 3σ của dữ liệu

thực nghiệm. Các tỷ lệ rã LFVHD phụ thuộc mạnh vào đặc điểm unita

của ma trận trộn U ν và khối lượng các neutrino nặng. Mặt khác, chúng

bị ảnh hưởng yếu bởi những ràng buộc cho khối lượng neutrino cũng như

các thông số trộn thỏa mãn với độ tin cậy 3σ so với số liệu thực nghiệm.

Do đó chúng tôi sẽ sử dụng ma trận mD cho trong phương trình (4.30)

và k ≥ 5.5 để giải số. Ma trận khối lượng Dirac mD phải thỏa mãn điều

kiện phản xứng, là điều kiện đặc trưng bị áp đặt bởi tương tác tam tuyến

lepton đặc trưng cho mô hình đang được khảo sát.

Boson chuẩn

Từ đạo hàm hiệp biến, chúng tôi định nghĩa

0 W +

 

Pµ ≡ W a

µ T a =

µ U 0 µ Y − 0 µ

1 √ 2

(4.31)

Y + µ

W − µ U 0∗ µ

       

λa 2

với Ta = , λa là các ma trận Gell-Mann. Lagrangian chứa số hạng động

Kin = (Dµρ)† (Dµρ) + (Dµχ)† (Dµχ) + (Dµη)† (Dµ(cid:104)η(cid:105)) LHiggs

năng của trường boson Higgs có dạng

= LGauges

Mass + LGauges

Int

(4.32)

1 → µ±τ ∓

trong đó số hạng khối lượng của trường chuẩn liên quan đến rã h0

được viết như sau

1 + v2 2

Mass = (Dµ(cid:104)ρ(cid:105))† (Dµ(cid:104)ρ(cid:105)) + (Dµ(cid:104)χ(cid:105))† (Dµ(cid:104)χ(cid:105)) + (Dµ(cid:104)η(cid:105))† (Dµ(cid:104)η(cid:105)) LGauges µ W µ− + (cid:0)v2

µ Y µ−(cid:3) + ...

1 + ω2(cid:1) Y +

g2 4

(4.33) (cid:2)(cid:0)v2 (cid:1) W +

Khối lượng của các boson chuẩn mang điện được xác định là

W =

1 + v2 2

Y =

g2 4

(4.34) (cid:0)v2 (cid:1) , m2 (cid:1) . (cid:0)ω2 + v2 1

Boson Higgs mang điện

Từ biểu thức của thế Higgs (4.8) và điều kiện cực tiểu của thế Higgs

(4.9), thực hiện khai triển và chỉ giữ lại các số hạng bậc hai theo các trường

W và

mang điện, chúng tôi thu được các số hạng trộn lẫn giữa các trường này.

Y tương ứng với các boson mang điện tích đơn W ± và Y ±.

Chéo hóa các ma trận ta thu được trạng thái riêng và tìm được khối lượng của Higgs mang điện. Trong mô hình này có hai Goldstone boson G± G±

f ω f ω

V H ±

1,2 =

ρ− 1 η−

ρ+ 1 η+

    (cid:16) (cid:17)    

f ω f ω 

ρ− 2 χ−

ρ+ 2 χ+

f v2 

   (cid:16) (cid:17)      

G−

M 2 1d

W H − 2

f ω f v2 f v2 2 ω G+ W H + 2 

 (cid:16) (cid:17)  

G−

M 2 2d

Y H − 1

G+ Y H + 1

(cid:16) (cid:17) (4.35)    ,

1d và M 2

2d là các ma trận bình phương khối lượng. Khối lượng của Higgs mang điện tích đơn và các Goldstone boson được xác định

trong đó ký hiệu M 2

bằng cách chéo hóa ma trận bình phương khối lượng tìm trị riêng và các

vector riêng. Kết quả thu được vector riêng tương ứng

−1 1

C1 =



1 √ 2

   ,

⇒ M 2



1d = C1.M 2

1 .C T

1 =

0 2f ω

= 2f ω ứng

= 0, m2

   .

2 : mG±

W và H ±

H ± 2

Khối lượng của Goldstone boson G±

với các trạng thái riêng

−1 1

   

1 √ 2

ρ± 1 η±

G± W H ± 2

(4.36)    =     . 

Y , H ± 1 được tìm bằng cách giải phương trình trị riêng và vector riêng tương ứng

Tương tự, khối lượng và trạng thái riêng của Glodstone boson G±

M 2

. (4.37)

tθ ≡

của ma trận M 2 2   

2 =

v2 ω

sθ cθ

f ω

f ω f tθω f tθω f t2

θω

f ω f ω f v2 2 ω

= 0, m2

  ,      =

1 : mG±

Y và H ±

H ± 1

f ω(t2

Suy ra, khối lượng của Goldstone boson G±

−sθ cθ

   

θ + 1) ứng với các trạng thái riêng ρ± 2 χ±

cθ

sθ

G± Y H ± 1

(4.38)     .   =  

Boson Higgs trung hòa CP - lẻ

Để tìm khối lượng của Higgs trung hòa CP - lẻ chúng tôi thực hiện khai

U 0

f t2

θω −f tθω

A3 A(cid:48) 2

f ω

−f tθω

A3 A(cid:48) 2

triển thế Higgs trong (4.8), sau đó tìm khối lượng của Higgs trung hòa HA1, HA2 và khối lượng của các Glodstone boson GZ, GZ (cid:48), G(cid:48)    (cid:16) (cid:17) (4.39)      ,

= MGZ =

= f ω(t2

θ + 1), các trạng thái riêng tương ứng

0, mHA2

Suy ra khối lượng của Goldstone boson GZ và HA2: mHA3

cθ −sθ

   

(cid:48)

sθ

cθ

A3 A(cid:48) 2

HA2

(4.40)    =      .

= 0, m(cid:48)

= 0, và mHA1

G0 U

Tiếp theo, thực hiện khảo sát các số hạng trộn lẫn của trường A1, A2, A(cid:48) 3. =

θ + 2), các trạng thái riêng tương ứng như sau

Thực hiện tương tự, suy ra khối lượng của mG(cid:48) f ω(t2

−tθ

 

1 √ 2

2 + t2 θ 1

2(2 + t2 θ) −tθ

(cid:113) (cid:113)    

−1 √ 2

(cid:113) (cid:113) (4.41)

HA1

A2 A(cid:48) 3

2(2 + t2 θ) √ 2

2 + t2 θ tθ

               

2 + t2 θ

(cid:113) (cid:113)                      

Boson Higgs trung hòa CP - chẵn

Khối lượng của Higgs trung hòa CP - chẵn được tính từ thế Higgs của

phương trình (4.8). Sau đó chúng tôi đi tìm khối lượng của Higgs trung

3 và khối lượng của Glodstone boson GU . Khảo sát số hạng

1, h0

2, h0 trộn của các trường S(cid:48)

2, S3

hòa h0

f ω

S(cid:48)

2 S3

t2 θ −tθ 1

−tθ

S(cid:48) 2 S3

   (cid:16) (cid:17) (4.42)      .

= f ω(t2

θ +1),

Chéo hóa ma trận khối lượng để tìm trị riêng và vector riêng tương ứng.

Suy ra, khối lượng của Glodstone boson GU : mGU = 0 và m2 h0 4 các trạng thái riêng tương ứng

−sθ cθ

    

S(cid:48) 2 S3

sθ

cθ

GU h4 0

(4.43)   =     







2λ1v2

−f v2 + λ12v2ω

2 + f ω

2 − f ω

(cid:16)

(cid:17)

.(4.44)

2λ1v2

2 − f ω

2 + f ω

S1 S2 S(cid:48) 3

   

   

    

    

−f v2 + λ12v2ω −f v2 + 2λ12v2ω

+ 2λ2ω2

S(cid:48) 3

−f v2 + λ12v2ω f v2 2 ω

Tiếp theo, khảo sát số hạng trộn lẫn của các trường S1, S2, S(cid:48) 3.

Giải phương trình tìm trị riêng ta thu được nghiệm tương ứng

√

λa =

4λ1t2

θ + 2λ2 +

t2 θ −

∆ (cid:21)

√

 (cid:20) (cid:21)

∆

λb =

θ + 2λ2 +

t2 θ +

ω2 2 ω2 2

f ω f ω

(4.45) (cid:20) 4λ1t2

λc = 2f ω,

     

với

√

∆ =

4λ1t2

− λ12

+ 8t2 θ

θ − 2λ2 −

t2 θ

f ω

(cid:115)(cid:18) (cid:19)2 (cid:19)2 (4.46) (cid:18) f ω

Khối lượng của Higgs trung hòa CP - chẵn

√

∆

(cid:21)

θ + 2λ2 +

t2 θ −

m2 h0 1

(cid:20) 4λ1t2

√

∆

(cid:21)

θ + 2λ2 +

t2 θ +

m2 h0 2

f ω f ω

(cid:20) 4λ1t2

ω2 2 ω2 2 = 2f ω.

m2 h0 3

(4.47)

Trạng thái riêng của Higgs trung hòa CP - chẵn

     

(4.48)

S2 S(cid:48) 3

h0 1 h0 2 h0 3

−1 √ 2 1 √ 2 0

−cα√ 2 −cα√ 2 sα

sα√ 2 sα√ 2 cα

                           

4λ1t2

θ −

sα =

m2 h0 1 ω2 (cid:32)

với

(cid:33) (cid:19)2

− λ12

4λ1t2

t2 θ +

θ −

m2 h0 1 ω2

(cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)2 (cid:18) f ω

√

λ12 −

tθ

(cid:18) (cid:19)

cα =

f ω (cid:32)

(4.49) (cid:33) (cid:19)2

− λ12

4λ1t2

t2 θ +

θ −

m2 h0 1 ω2

∼ O(m2

(cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)2 (cid:18) f ω

W ) và sα (cid:39) 0 [100], kết quả là các hệ số đỉnh tương tác thu được phù hợp với dự đoán

Xét trong giới hạn tθ (cid:28) 1 (v1 (cid:28) ω) dẫn đến m2 h0 1

1 được đồng nhất với Higgs boson

bởi SM (xem trong bảng 4.2). Vì thế h0

4.3 Đỉnh tương tác cho đóng góp vào quá trình rã h0

1 → µτ

trong SM được tìm thấy tại LHC.

Trong nội dung này, chúng tôi xét quá trình rã của Higgs boson h0

1 → µτ 1 được đồng nhất với Higgs boson (h)

trong mô hình 331ISS, trong đó h0

trong SM.

Các đỉnh tương tác

Số hạng liên quan đến Lagrangian Yukawa sẽ được biểu diễn theo các

phần tử của ma trận trộn U ν và khối lượng neutrino vật lý trong tính

toán ở nội dung này. Do vậy, công thức biên độ và tỷ lệ LFVHD được

= 0 → U ν∗

M ν

ak U ν∗

bk mnk = 0,

ab =

(cid:16) viết theo khối lượng vật lý và các tham số trộn. Từ phương trình (4.16), M ν = U ν∗ ˆM νU ν†, dẫn đến U ν∗ ˆM νU ν†(cid:17)

√

ak U ν∗

(b+3)kmnk,

ab = (mD)ab = (M ν)a(b+3) = (U ν∗ ˆM νU ν†)a(b+3) = U ν∗ Yab = (MR)ab = (M ν)(a+3)(b+6) = U ν∗

(a+3)kU ν∗

(b+6)kmnk,

2v1 hν ω √ 2

(4.50)

ở đây a, b = 1, 2, 3; tổng được thực hiện với k = 1, 2, .., 9.

Các hệ số đỉnh tương tác được suy ra từ số hạng đầu tiên của Lagrangian

− he

(4.10) là

1 + eaLeaRρ0 + NaLeaRρ+

2 + H.c.(cid:3) (cid:17)(cid:105)

⊃

gma mW (cid:16) cθ

(a+3)iniPReaH + U ν

(a+3)ieaPLniH − 1

(cid:2)νaLeaRρ+

1 + U ν∗ (cid:1)(cid:3) .

g ma mW ainiPReaH +

2 + U ν∗

ai eaPLniH − 2

abψaLρebR + H.c. = − g macα (cid:104) h0 1eaea − 2mW g ma√ (cid:2)(cid:0)U ν − 2mW

(4.51)

Các hệ số đỉnh tương tác được suy ra từ số hạng thứ hai của Lagrangian

k + H.c.

(4.10) là

jρ∗ 2 − νaL(NbL)cρ0∗ + eaL(νbL)cρ− 1

(cid:3)

ab(cid:15)ijk(ψaL)i(ψbL)c hν (cid:2)−eaL(νbL)cρ− (cid:34) 3

h0 1

U ν ciU ν∗

cj ni

c=1

−

biH −

1 eaPRni + H.c.(cid:3)

(cid:35) (cid:88) (cid:1) nj (cid:0)mniPL + mnjPR

(b+3)iH −

= 2hν ab gcα 2 mW gcθ mW g √ 2mW

(4.52) (cid:2)(mD)abU ν (cid:104) (mD)abU ν (cid:105) 2 eaPRni + H.c.

ở đây kết quả ở dòng cuối được suy ra từ tính toán trong [143]

νLMD((NL)c, XR)T ↔ νaL(MD)aINIR.

(4.53)

√

= −

− YabψaL χXbR + H.c. (cid:2)νaLχ0

(MR)ab

Số hạng đầu tiên trong (4.12) cho hệ số đỉnh

1 + eaLχ− + NaLχ0 2

2 ω

(cid:3) XbR + H.c.

(MR)ab

(cid:104) sαU ν

gtθ√ ⊃ − 2mW √ 2sθU ν

(b+6)jniPRnjh0 (a+3)iU ν 1 (cid:105) 1 + H.c.

(b+6)ieaPRniH −

√

(4.54)

2mW ).

ở đây chúng tôi đã sử dụng tθ = v1/ω → 1/ω = tθ/v1 = gtθ/(

(W ±, Y ±) được suy ra từ Lagrangian Dirac

Các hệ số đỉnh LFVHD giữa các lepton và boson chuẩn mang điện

L(cid:96)(cid:96)V = ψaLγµDµψaL ⊃

µ + eaLγµNaLY − µ

(cid:1) + H.c. (cid:0)eaLγµνaLW −

ai eaγµPLniW −

µ + U ν

ainiγµPLeaW + µ

(cid:2)U ν∗

µ + U ν

(a+3)iniγµPLeaY + µ

g √ 2 g √ 2 (a+3)ieaγµPLniY − + U ν∗

(cid:105)

(4.55)

3)Bµ

(cid:0)W a

µ = W 1

µ ∓iW 2 µ√ 2

(cid:1), λa (a = 1, 2, .., 8) là ma trận và

µ ±iW 7 µ√ 2

. ở đây Dµ = ∂µ − ig µ λa + t × (− 1 2 Gell-mann và t = gX/g. Các boson chuẩn mang điện là W ± µ = W 6 Y ±

ij = λ0

ji, cụ thể là

3 (cid:88)

Bằng cách định nghĩa hệ số đối xứng λ0

λ0 ij =

ciU ν∗

cj mni + U ν∗

ci U ν

cjmnj

√

(cid:1) (cid:0)U ν

c=1 3 (cid:88)

−

, (4.56)

2tαtθ(M ∗

R)cd

(d+6)j + U ν∗

(c+3)jU ν∗

(d+6)i

c,d=1

(cid:105) (cid:104) (c+3)iU ν∗ U ν∗

1ninj thu được khi thực hiện khai triển số hạng (4.52) và (4.54), (cid:3) nj, dựa trên các quy

ijPL + λ0∗

ij PR

h0 1ni tắc Feynman được đưa ra trong [81].

(cid:2)λ0 đỉnh h0 được viết ở dạng đối xứng: gcα 4mW

Đỉnh liên quan đến Higgs boson mang điện xuất phát từ Lagrangian

Yukawa được xác định bởi

3 (cid:88)

D)acU ν∗

ci + t2

θ(M ∗

R)acU ν∗

(a+3)i, λL,1

(c+6)i

λR,1 ai = maU ν

ai =

c=1

(cid:105) (cid:104) (m∗

3 (cid:88)

(m∗

ai, λL,2

D)acU ν∗

(c+3)i,

λR,2 ai = maU ν

ai = −

c=1

(4.57)

Sau khi thực hiện các khai triển trên, tất cả các đỉnh liên quan đến các

quá trình rã LFV được liệt kê trong bảng 4.2. Chúng tôi quy ước tất cả

Bảng 4.2: Đỉnh liên quan đến quá trình rã Higgs boson tựa SM h0

1 → eaeb

trong mô hình 331ISS.

Đỉnh tương tác

Hệ số đỉnh

(cid:1)

igcα 2mW

(cid:17)

(cid:16)

H +

1 eani

bi PR

− igcθ mW

(cid:16)

(cid:17)

H +

− ig√

igma cα 2mW (cid:0)λ0 ijPL + λ0∗ ij PR (cid:17) (cid:16) , − igcθ mW , − ig√

2 eani

ai PR + λR,1∗ λL,1∗ ai PL (cid:16) ai PR + λR,2∗ λL,2∗

ai PL

2mW

W +

µ eani

ig√ 2

(cid:17)µ

2sαsθ

2mW ig√ ai γµPL U ν∗ 2 ig√ (a+3)iγµPL U ν∗ 2 (cid:1) (cid:16) − ph0 pH −

h0 1eaea h0 1ninj 1 nieb, H − 2 nieb, H − µ nieb, W − µ nieb, Y − Y + H + 1Y − 1 h0 µ

√

(cid:17)µ

(cid:1) (cid:16)

bi PL + λR,1 λL,1 bi PL + λR,2 λL,2 bi PR ig√ biγµPL, U ν 2 (b+3)iγµPL, U ν √ (cid:0)cαcθ + (cid:0)cαcθ +

2sαsθ

− ph0

µ H − Y +

pH −

1 h0 1

ig √ 2 2 ig √ 2 2

−igmW cα gµν (cid:0)√

2sαcθ − cαsθ

igmY√ 2

√

(cid:3)

= −iω (cid:2)sαc2

(cid:1) tθ

1W + h0 1Y + h0 1H + h0

µ W − ν µ Y − ν 1 H − 1

θλ1 + cαs2

θλ12

iλ± H1

(cid:1) gµν 2 (cid:0)2cαc2 (cid:3)

θλ2 − 2f cαcθsθ

(cid:19)

θλ12 + 2sαs2 +i (cid:2)√ (cid:18) √

−2

= −iv1

2cαλ1 +

1H + h0

2 H − 2

iλ± H2

sαωλ12 + sαf v1

1W ±Y ∓, h0

1W ±H ∓

1Y ±H ∓

1,2, h0

2 và

các vector động lượng trong giản đồ Feynman có chiều đi vào đỉnh.

2 bằng 0.

1 H ∓

Mô hình dự đoán các đỉnh sau: h0 1H ± h0

Công thức giải tích

a e∓

b được viết như sau

Lagrangian hiệu dụng LFVHD của Higgs boson tựa mô hình chuẩn 1 → e± h0

LLFVH = h0 1

(cid:1) + H.c., (cid:0)∆(ab)LeaPLeb + ∆(ab)ReaPReb

ở đây các trường vô hướng ∆(ab)L,R xuất phát từ những đóng góp bậc

một vòng. Trong chuẩn unitary, giản đồ Feynman cho đóng góp bậc một

Hình 4.1: Giản đồ Feynman cho đóng góp bậc 1 vòng của quá trình rã h0

1 → eaeb

trong chuẩn unitary. Với V ± = W ±, Y ±.

vòng liên quan đến quá trình rã LFVHD cho trên hình 4.1.

Γ(h0

Bề rộng của quá trình rã

1 → eaeb) ≡ Γ(h0

1 → e−

a e+

1 → e+

a e−

b )+Γ(h0

b ) =

mh0 8π

(cid:0)|∆(ab)L|2 + |∆(ab)R|2(cid:1) ,

(cid:29) ma,b và ma,b tương ứng là khối lượng của µ và τ .

(4.58)

với điều kiện mh0 Các điều kiện về xung lượng cho các hạt bên ngoài là p2

p2 h0 1 Γ(h0

. Tỷ lệ rã nhánh tương ứng là Br(h0

1,2 = m2 a,b và 1 → eaeb) = (cid:39) 4.1 × 10−3 GeV [68, 130]. Đến đây

≡ (p1 + p2)2 = m2 h0 1 1 → eaeb)/Γtotal

h0 1

∆(ab)L,R có thể viết ở dạng tổng như sau

, ở đây Γtotal

10 (cid:88)

∆(i)W

∆(i)Y

∆(ab)L,R =

(ab)L,R +

(ab)L,R,

i=1,5,7,8

i=1

(cid:88) (4.59)

(ab)L,R và ∆(i)Y

(ab)L,R được viết chi tiết trong phụ lục C.

∆(i)W

(ab)L,R và ∆(i)Y

(ab)L,R có thể được tính bằng cách sử dụng chuẩn unitary được nêu trong [95, 143, 144]. Chúng tôi đã thực hiện kiểm tra chéo với tài

ở đây ∆(i)W

liệu [111, 147] và cho kết quả phù hợp.

Tổng các phân kỳ được khử trong biểu thức tính biên độ cuối cùng

U ν( ˆM ν)2U ν† = (U ν∗ ˆM νU ν†)∗U ν∗ ˆM νU ν† = M ν∗M ν

(4.59) đã được chứng minh trong phụ lục C, dựa trên cơ sở

m∗

 

m†

RM T R

(4.60)

M †

XµX

0 DmD + M ∗ XM T µ∗ R

DMR M ∗ RµX RMR + µ∗

DmT D 0 M † RmT D

       

(ab)L,R và ∆(i)Y

(ab)L,R được biểu diễn dưới dạng hàm của các trạng thái riêng vật lý và các yếu tố của ma

DmT

Bởi vì công thức của chúng tôi về ∆(i)W

trận trộn U ν. Các phần tử (m∗ D)(ab) liên quan đến các phần phân kỳ (ab)L,R và ∆(i)Y khác nhau của ∆(i)W (ab)L,R, ở đây các Higgs boson và boson chuẩn nặng mang điện có liên quan đến cả hai số hạng (M ν∗M ν)(a+3)(b+3) và (M ν∗M ν)(a+6)(b+6) với a, b ≤ 3, phụ thuộc vào khối lượng neutrino nặng.

Trong mô hình đang xét, việc yêu cầu tổng của phân kỳ phải bị triệt tiêu

đòi hỏi khối lượng vật lý của neutrino nặng và U ν phải là các giá trị chính

xác. Do đó, các dạng gần đúng của khối lượng neutrino nặng và ma trận

trộn neutrino từ cơ chế ISS không thể được áp dụng.

Ngược lại, chúng tôi cũng đã kiểm tra bằng giải số, vì các phần phân kỳ

DmT

D)(ab). Do đó các công thức này có thể sử dụng hiệu quả cho khảo sát mô hình ISS tối thiểu được

chỉ liên quan đến các phần tử (M ν∗M ν)ab = (m∗

mở rộng trực tiếp từ SM.

Nhiều đóng góp được liệt kê trong phương trình (4.59) bị chặn, do đó

có thể bỏ qua trong tính toán số. Từ đây, chúng tôi chỉ tập trung vào

1 → µτ , do đó sử dụng ký hiệu đơn giản ∆L,R ≡ ∆(23)L,R. Quá 1 → eτ có các tính chất tương tự vì vậy chúng tôi không cần | (cid:39)

phân rã h0

trình rã h0 phải thảo luận rõ ràng hơn ở đây. Chúng ta có thể thấy rằng | ∆L ∆R (cid:17)

(cid:16) mµ mτ

L,R

, ∆(7+8)Y

O sau đây là hữu hạn: ∆(1+5)W và (∆(1+2+3+5)Y ∆(7+8)Y L,R L,R 1 − B(2) 1 , B(2) B(1)

, , ∆(6+9+10)Y H2 . Thêm vào đó, theo kết quả tính ở phụ lục C cho thấy các tổng , ∆(4)Y H1 L,R , ∆(4)Y H2 L,R

1 + B(2)

L,R

). Với mµ,τ (cid:28) mW , chúng ta có (4)Y H ± 1,2 L,R

L,R (cid:39) 0. Số hạng ∆

, ∆(7+8)W L,R L,R + ∆(6+9+10)Y H1 0 (cid:39) 0, ở đây ∆(7+8)W

khoảng vài TeV. cũng cho đóng góp lớn với mH ±

Bốn giản đồ (4), (6), (9) và (10) bao gồm các đóng góp từ boson Higgs

mang điện. Chúng gần như không bị ảnh hưởng bởi nhóm SU (3)L (tỷ lệ

với mY ), kết quả là chúng có thể làm tăng độ rộng phân rã của LFVHD với

khối lượng của Higgs boson mang điện nhỏ. Các vùng không gian tham số

dự đoán Brs lớn của LFVHD bị ảnh hưởng mạnh bởi dữ liệu thực nghiệm

hiện tại của Br(µ → eγ) < 4.2 × 10−13 [121]. Một công thức gần đúng rất

tốt để tính tỷ lệ phân rã này trong giới hạn mµ, me → 0 là [99]

Br(µ → eγ) =

|DR|2,

12π2 G2 F

√

2m2

(4.61)

R +DH ±

R +DY

W ) và DR là đóng góp bậc một vòng từ boson chuẩn R +DH ± R .

ở đây GF = g2/(4 và Higgs boson mang điện ở bên trong loop, DR = DW

9 (cid:88)

R = −

ai U ν U ν∗

biF (tiW ),

eg2 32π2m2 W

i=1 9 (cid:88)

R = −

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)iF (tiY ),

Công thức tổng quát

1 − 6tik + 3t2

i=1 9 (cid:88)

ik − 6t2

ik ln(tik)

DH ±

R = −

ik + 2t3 12(tik − 1)4

eg2 32π2m2 Y eg2fk 16π2m2 W

i=1

λL,k∗ ai λL,k m2 H ± k

(cid:34)

−1 + t2

(cid:35)

ik − 2tik ln(tik) 2(tik − 1)3

ai λ(cid:48)R,k mniλL,k∗ m2 H ± k

(4.62)

b = 2, a = 1, tiW ≡

, tiY ≡

, tik ≡

m2 ni m2

m2 ni m2 W

m2 ni m2 Y

H ± k

f1 ≡

θ, λ(cid:48)R,1

(b+3)i, λ(cid:48)R,2

bi ≡ U ν

bi ≡ U ν bi,

1 2

ở đây

F (x) ≡ −

, f2 ≡ c2 10 − 43x + 78x2 − 49x3 + 4x4 + 18x3 ln(x) 12(x − 1)4

(4.63)

Bởi vì tất cả các đỉnh tương tác giữa Higgs boson mang điện với neutrino

ab của ma trận Yukawa, do đó ma trận này bị ảnh hưởng mạnh bởi giới hạn trên O(10−13) của Br(µ → eγ).

nặng đều thông qua hằng số tương tác hν

Trong thực tế, kết quả giải số của chúng tôi cho thấy vùng tham số được

phép với khối lượng Higgs boson mang điện nhỏ là rất hẹp.

Một số nghiên cứu trước đây về Br(µ → eγ) trong [137] cho thấy rằng

331ISS dự đoán Br(µ → eγ) lớn, ở đây các vùng tham số được phép đã

z ∼ O(1) eV. Công thức của chúng tôi đã được kiểm tra để phù hợp với

được lựa chọn như sau k ∼ O(103) và MR ≤ 1 TeV, điều đó có nghĩa rằng

những kết quả này. Nói chung, các vùng không gian được phép rất nghiêm

ngặt, đáp ứng một trong các điều kiện sau: Đầu tiên, vùng có z nhỏ, trong

lớn, có nghĩa rằng k (cid:29) 1, đây là những vấn đề chính

k nhỏ, cho đóng góp bậc một vòng của 2 giản đồ: boson chuẩn và Higgs

khi |MR| và mH ± đã được thảo luận trong tài liệu [137]. Thứ hai, các khu vực có mD lớn và

boson mang điện phải trái dấu. Những khu vực này cũng được quan tâm

nhưng không được chú ý đầy đủ trong tài liệu [137]. Điều này trở nên rất

thú vị vì dự đoán các Brs lớn của LFVHD và các hạt nhẹ như neutrino

mới và boson Higgs mang điện có thể được tìm thấy tại LHC trong thời

gian tới. Một số trung tâm thực nghiệm lớn, cụ thể là các máy gia tốc

cũng đã lên kế hoạch thực hiện [62, 127]. Do đó, khảo sát của chúng tôi sẽ

4.4 Khảo sát số và biện luận

Thiết lập tham số

tập trung vào vấn đề này.

Để tiến hành khảo sát số về LFVHD của Higgs boson tựa mô hình

chuẩn, chúng tôi sử dụng các tham số thực nghiệm đã biết trong [130]:

= 125.1 GeV; hằng số tương tác của

khối lượng của W boson mW = 80.385 GeV; khối lượng của lepton mang điện: me = 5 × 10−4 GeV, mµ = 0.105 GeV, mτ = 1.776 GeV; khối lượng

Higgs boson tựa mô hình chuẩn mh0 nhóm đối xứng SU (2)L là g (cid:39) 0.651.

Kết hợp với các thảo luận đã nói ở trên, các tham số tự do bao gồm:

khối lượng neutrino nặng MR = diag(MR, MR, MR), khối lượng gauge

boson nặng mY được coi là thang phá vỡ đối xứng của nhóm SU (3)L, khối

, khối lượng của mD được xác định như

lượng Higgs boson mang điện mH ± là tham số z, hai hằng số tự tương tác của Higgs boson là λ1,12.

Các thông số khác có thể được tính theo các tham số tự do ở trên, có

√

mW √

, ω =

v1 = v2 =

, sθ =

2mW g

2mY g cθ

mY m2

H ± 2

thể viết như sau,

f =

, m2

(t2

θ + 1).

H ± 1

H ± 2 2

g cθ m2 4mY

(4.64)

Ngoài ra, tham số trộn α của Higgs trung hòa CP chẵn được xác định

trong phương trình (4.49). Hằng số tự tương tác của Higgs boson λ2 xác

định như trong [95, 144]

λ12 −

H± 2 2ω2

(cid:19)2 (cid:18) (cid:33)

−

λ2 =

t2 θ 2

H ± 2 2ω2

4λ1 −

m2 h0 1 v2 1

(4.65) (cid:32)m2 h0 1 v1

Trong mô hình đang xét được đưa ra trong tài liệu [48, 127], chỉ mình

2 bắt cặp với tất cả các lepton và quark trong SM. Chúng đã được nghiên cứu tại LHC thông qua va chạm trực

Higgs boson mang điện tích đơn H ±

tiếp giữa 2 proton pp → t(b)H ± sau đó phân rã thành hai fermion ở trạng

thái cuối [58]. Nhưng những ràng buộc cụ thể về chúng trong khuôn khổ

≥ 480 GeV

của các mô hình 331 vẫn chưa được đề cập. Thay vào đó, các giới hạn dưới

về khối lượng của chúng đã được thảo luận dựa trên dữ liệu gần đây về trộn meson trung hòa B0 − ¯B0, ở đây giới hạn dưới của mH ± đã được khảo sát trong [127].

Giá trị của λ1,2,12 phải đáp ứng các điều kiện về lý thuyết theo chuẩn

unitary và thế Higgs phải thỏa mãn các ràng buộc như đã đề cập trong

[95, 144]. Khối lượng gauge boson mang điện nặng mY liên quan đến giới hạn dưới của gauge boson trung hòa Z (cid:48) trong mô hình này.

Vì lý do trên, các giá trị mặc định của các tham số tự do được chọn

để khảo sát số như sau: không mất tính tổng quát, các hằng số tự tương

tác của Higgs được chọn λ1 = 1, λ12 = −1, để đảm bảo rằng tất cả các

tθ → 0. Giá trị mặc định mY = 4.5 TeV đáp ứng tất cả các ràng buộc

đỉnh tương tác của Higgs boson tựa SM gần với giới hạn của SM khi

√

z < 2

π × v1 (cid:39) 617 GeV, đặc biệt chúng tôi sẽ cố định z = 50, 200, 400,

gần đây [41, 127, 138]. Tham số z được xem xét trong khoảng giới hạn

500 và 600 [GeV]. Cuối cùng, khối lượng Higgs boson mang điện mH ±

sẽ

được khảo sát chủ yếu trong phạm vi từ 300 GeV đến 5 × 104 GeV, giá trị

Kết quả giải số

lớn của bề rộng rã LFVHD có thể xuất hiện.

Đầu tiên, chúng tôi tái thiết lập các vùng tham số đã được đề cập trước

đây trong tài liệu [137], ở đây MR được chọn trong vùng vài trăm GeV

đến 1TeV và thang của mD (cụ thể là z) cỡ vài GeV, tương ứng với k (cid:29) 1.

Kết quả là các vùng tương ứng của không gian tham số luôn thỏa mãn

đủ lớn. Các kết quả

Hình 4.2: Đồ thị biểu diễn tỷ lệ rã nhánh của Br(µ → eγ) (trái) và Br(h0

1 → µτ )

với k = 500.

(phải) theo mH ±

giới hạn thực nghiệm của Br(µ → eγ) với giá trị mH ± này được hiển thị trong hình 4.2 với z = 1, 5, 10, 100 và 500 GeV.

Br(µ → eγ) < 4.2 × 10−13, cho giá trị của Br(h0

Tất cả vùng tham số cho phép, những vùng thỏa mãn giới hạn trên 1 → µτ ) < O(10−9). Nói chung, với giá trị lớn của k chúng tôi đã kiểm tra bằng giải số rằng giá trị

Br của LFVHD sẽ giảm đáng kể, do đó chúng tôi sẽ không thảo luận thêm

nữa.

Với giá trị nhỏ của k = 5.5 và 9, sự phụ thuộc của cả Br(µ → eγ) và

Hình 4.3: Đồ thị biểu diễn tỷ lệ rã nhánh của Br(µ → eγ) (trên) và Br(h0

1 → µτ )

với k = 5.5 (trái) và k = 9 (phải).

(dưới) theo mH ±

với tham số cố định z cho trên hình 4.3. Hầu hết Br(h → µτ ) vào mH ±

các vùng của không gian tham số bị loại trừ bởi giới hạn trên từ thực

nghiệm cho Br(µ → eγ), ngoại trừ các miền nhỏ đặc biệt do có sự đóng

góp trái dấu từ Higgs boson mang điện và boson chuẩn. Vấn đề thú vị này

của mô hình 331ISS đã được chỉ ra trước đó trong tài liệu [137]. Hơn nữa,

1 → µτ ) lớn. Đặc biệt, các giá trị lớn nhất có thể đạt được O(10−4) khi k = 5.5 và z = 600 GeV, rất gần

mô hình dự đoán các vùng cho phép Br(h0

với giới hạn nhiễu loạn của hằng số Yukawa của lepton. Nói chung, minh

họa trong hai hình 4.2 và 4.3 cho thấy rằng Br biến đổi theo hướng tăng

. dần khi k giảm và z tăng, nhưng biến đổi chậm theo mH ±

Ngược lại, vùng cho phép tỉ lệ rã nhánh Br(µ → eγ) đủ nhỏ để thỏa

mãn thực nghiệm lại rất hẹp, cần có sự khử nhau giữa các đóng góp từ các

giản đồ khác nhau. Do vậy, nếu hai kênh rã này được thực nghiệm phát

hiện đồng thời, mô hình 331ISS dự đoán một vùng không gian thỏa mãn

rất hẹp, được minh họa trong hình 4.4, tương ứng với k = 5.5 và k = 9.

Hình 4.4: Đồ thị mật độ của Br(h0

1 → µτ ) và đường bao (contour plots) của và z, với k = 5.5 (trên) và k = 9 (dưới).

Br(µ → eγ) (đường màu đen) theo mH ±

sẽ được xác định. Khi đó, mối liên hệ giữa các tham số k, z và mH ±

Cần nhắc lại rằng, chúng tôi chỉ quan tâm đến các vùng không gian

1 → µτ ) lớn. Trong hình 4.4, chúng được giới hạn giữa hai đường cong màu đen, thể hiện giá trị không đổi của Br(µ → eγ)×1013 = 4.

tham số cho Br(h0

1 → µτ ) phụ thuộc vào z và k, bên cạnh đó Br ít thay đổi . Ngược lại, Br(µ → eγ) bị chặn bởi thực nghiệm đã giới hạn

Rõ ràng, Br(h0

theo mH ±

vùng được phép trong một miền rất hẹp của của không gian tham số, trong

với k và z. Do

đó chúng ta có thể tìm được mối liên hệ cụ thể giữa mH ± đó, nếu hai kênh rã này được phát hiện bởi các trung tâm thực nghiệm,

tùy thuộc vào giá trị cụ thể của chúng, mối quan hệ giữa neutrino nặng và

khối lượng Higgs mang điện có thể được xác định từ nghiên cứu này trong

mô hình 331ISS.

1 → µτ ) vào thang phá vỡ đối xứng của nhóm SU (3)L được xác định bởi mY trong khảo sát này, bốn

Để hiểu rõ hơn về sự phụ thuộc của Br(h0

vùng được phép tương ứng với bốn giá trị cố định mY = 3, 4, 5 và 6 TeV

được minh họa trong hình 4.5.

Có thể thấy rằng Br của LFVHD phụ thuộc yếu vào mY , cụ thể là Br

giảm chậm khi tăng mY . Do đó, các nghiên cứu phân rã LFV sẽ cung cấp

thông tin hữu ích về các neutrino nặng và các Higgs boson mang điện bên

cạnh những vấn đề được sinh ra bởi các boson chuẩn nặng được thảo luận

trong nhiều công trình trước đó. Điều thú vị hơn là kết quả (Br) có thể

xảy ra ở thang phá vỡ của nhóm SU (3)L mà hiện tại LHC chưa thể phát

4.5 Kết luận chương

hiện ra.

1 → eaeb và ej → eiγ (j > i) trong mô hình 331ISS, giả sử bỏ qua mức độ phân rã ở bậc cây, chúng tôi thu được một

Nghiên cứu quá trình rã h0

số kết quả chính như sau:

Chúng tôi đã xây dựng được công thức tính tỷ số rã nhánh của rã LFV

thông qua tính các đỉnh tương tác LFV, thiết lập các quy tắc Feynman, các

giản đồ Fenman và biên độ bậc một vòng tương ứng trong chuẩn unitary.

Hình 4.5: Đồ thị mật độ của Br(h0

1 → µτ ) và đường bao của Br(µ → eγ) (đường

và z, với k = 5.5, z khoảng 500 GeV và mY khác nhau.

màu đen) theo mH ±

Chúng tôi cũng chỉ ra được khử phân kỳ trong biên độ toàn phần của

1 → eaeb, từ đó có thể áp dụng để giải số mà không cần đến bất kỳ

rã h0

phương pháp chỉnh phân kỳ nào.

1 → µτ và µ → eγ, chúng tôi đã tìm vùng không gian tham số phù hợp cả điều kiện lý thuyết và

Để tiến hành khảo sát số cho quá trình rã h0

thực nghiệm chỉ ra trong các công bố gần đây nhất. Từ kết quả khảo sát

• Br(h0

1 → µτ ) dự đoán bởi mô hình 331ISS có thể đạt được các giá trị

số, chúng tôi thu được một số kết quả quan trọng:

lớn cỡ O(10−5). Chúng thậm chí rất gần với giá trị 10−4, ví dụ trong

trường hợp đặc biệt của k = 5.5 và z (cid:39) 600 GeV, gần với giới hạn

• Chúng tôi đã chỉ ra bằng giải số rằng chỉ những vùng có Br(h0

1 → µτ ) > 10−5 là lớn khi 400GeV < z < 600 GeV và k ≤ 9 trong trường

nhiễu loạn của hằng số Yukawa của lepton.

hợp ma trận khối lượng Majorana MR nhận giá trị tỷ lệ với ma trận

• Hơn thế nữa, giá trị lớn của Br(h0

1 → µτ ) phụ thuộc yếu vào khối lượng boson chuẩn mang điện nặng, nhưng khối lượng neutrino nặng

đơn vị.

MR và mH ± tốc trong thời gian gần đây. Bên cạnh đó, tỷ lệ rã nhánh Br(h0

1 → τ e)

phải cỡ vài TeV, có thể được phát hiện bởi những máy gia

cũng cho cùng kết quả.

1 → µτ, eτ sẽ là dấu hiệu tích cực cho mô hình 331ISS và có thể loại trừ mô hình 331RHN

Tóm lại, tỷ lệ rã nhánh lớn của các quá trình LFV như h0

ban đầu chứa khối lượng neutrino mới với giá trị nhỏ. Ngoài ra, nhiều đặc

tính của neutrino nặng và Higgs boson mang điện trong mô hình 331ISS có

thể được xác định độc lập với thang SU (3)L. Trong Chương 4, chúng tôi

đã viết dựa trên kết quả bài báo đăng trên tạp chí PHYSICAL REVIEW

D 97, 073003 (2018).

KẾT LUẬN

Thực hiện các tính toán trong chuẩn unitary, chúng tôi đã nghiên cứu

chi tiết hai quá trình rã SM-like Higgs, cụ thể là rã h → Zγ tổng quát và

1 → µτ trong mô hình 331ISS. Chúng tôi đã thu được một số kết quả

rã h0

mới, được liệt kê cụ thể như sau:

+ Xây dựng được các biểu thức giải tích tổng quát để tính đóng góp bậc

1 vòng vào biên độ rã, từ đó tính tỷ số rã nhánh của quá trình rã h → Zγ

trong trường hợp tổng quát, bao gồm được tất cả các đóng góp đã bị bỏ

qua trong các công bố trước đây. Biểu thức giải tích cuối cùng được đưa

về các hàm PV theo chuẩn định nghĩa trong LoopTools. Kết quả luận án

cũng đã chỉ ra công thức tổng quát của chúng tôi có thể dùng cho cả quá

trình rã H → Zγ, W γ của cả Higgs mang điện và các Higgs trung hòa

nặng trong các mô hình BSM.

+ Chúng tôi đã thực hiện so sánh kết quả thu được với một số kết quả

trong SM và BSM gần đây. Trong đó đã bao gồm tất cả những phần bị bỏ

qua trong các nghiên cứu trước, đồng thời chỉ ra được rằng một số đóng

góp tương đối lớn, cần được đưa vào để phù hợp với giới hạn thực nghiệm

hiện nay. Kết quả thu được có áp dụng cụ thể trong mô hình 331β0.

+ Xây dựng được biểu thức giải tích tính tỉ số rã nhánh của quá trình

1 → µτ trong mô hình 331ISS. Chỉ ra được sự khử phân kỳ trong biểu

rã h0

thức cuối cùng của biểu thức tính biên độ. Dựa vào kết quả trên, chúng

tôi thực hiện tìm các vùng không gian tham số được phép thỏa mãn các

kết quả thực nghiệm trong thời gian gần đây về dao động neutrino và rã

cLFV, đồng thời cho tỉ số rã nhánh LFVHD đủ lớn để thực nghiệm có thể

đo được trong tương lai gần. Chúng tôi đã thực hiện khảo sát số, cụ thể là

(MR = k.z), khối lượng gauge boson mang điện nặng (mY ), khối lượng

). Chúng tôi thu được một số kết quả mới

khảo sát sự phụ thuộc của Br vào các tham số: khối lượng neutrino nặng

• Giá trị Br(h0

1 → µτ ) dự đoán bởi mô hình 331ISS có thể đạt được các giá trị lớn cỡ O(10−5). Chúng thậm chí rất gần với giá trị 10−4, ví dụ

Higgs mang điện tích đơn (mH ± như sau:

trong trường hợp đặc biệt của k = 5.5 và z (cid:39) 600 GeV, gần với giới

• Vùng không gian tham số cần tìm thỏa mãn tỉ số rã nhánh LFVHD

hạn nhiễu loạn của hằng số Yukawa của lepton.

lớn trong mô hình 331ISS cũng đã được chỉ ra chi tiết. Trong đó các

mH ± những vùng có Br(h0

giá trị Br tăng lên khi k giảm và z tăng, nhưng thay đổi chậm khi

không thay đổi. Cụ thể chúng tôi đã chỉ ra bằng giải số rằng 1 → µτ ) > 10−5 khi 400GeV < z < 600 GeV và k ≤ 9 trong trường hợp ma trận khối lượng Majorana MR nhận giá

• Giá trị của Br(h0

1 → µτ ) phụ thuộc yếu vào khối lượng gauge boson mang điện nặng, nhưng phụ thuộc mạnh vào khối lượng neutrino nặng

trị tỷ lệ với ma trận đơn vị.

MR và mH ± lượng cỡ vài TeV, sẽ có thể được phát hiện bởi máy va chạm trong

. Tương ứng giá trị lớn LFVHD, các hạt này nhận khối

tương lai gần.

Từ những kết quả ở trên, chúng tôi đề xuất hướng nghiên cứu trong

thời gian tới như sau:

Từ các biểu thức giải tích tính biên độ, các giản đồ Feynman và các

hàm PV cho rã h → Zγ, H ± → W ±γ, li → ljγ, ljlkγ đã được xây dựng.

Chúng tôi sẽ áp dụng trong các mô hình cụ thể mới được đề xuất trong

thời gian gần đây.

Danh sách các công bố của tác giả

1. Trinh Thi Hong, Lam Thi Thanh Phuong and Nguyen Thi Lan Anh,

"One-loop contributions of heavy charged fermions to decays of Seesaw

III-Model-like Higgs", Đại học Cần Thơ, Số 43a, 11 (2017).

2. L. T. Thuy, V. T. N. Hien, T. Y. Mi, N. T. Phong, T. T. Hong, "One

loop corrections to decay H 0 → eaeb in economical 3-3-1 model", Đại

học Sư phạm Hà Nội 2, Số 50, 08 (2017).

3. T. T. Hong, L. T. T. Phuong, N. T. L. Anh, and L. T. Hue, "Passsarino

- Veltman function for decay rate h → Zγ at one loop lever", Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, Số 50, 08 (2017).

4. T. T. Hong, H. T. Hung, D. P. Khoi, L. T. M. Phuong, H. H. Phuong,

L. T. Hue, "Decay of standard model-like Higgs boson H1 → Zγ in

the simplest 3-3-1 model", Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc, Lần

43rd, 08 (2018).

5. Nguyễn Thị Kim Ngân, Trịnh Thị Hồng, Lê Thọ Huệ, "Đóng góp của

boson chuẩn vào quá trình rã Higgs H → γγ (revisited)", Đại học Sư

phạm Hà Nội 2, Số 54, 04 (2018).

6. T. Phong Nguyen, T. Thuy Le, T. T. Hong, and L. T. Hue, "Decay of

100

standard-model-like Higgs boson h → µτ in a 3-3-1 model with inverse

seesaw neutrino masses", PHYSICAL REVIEW D 97, 073003 (2018).

7. L. T. Hue, A. B. Arbuzov, T. T. Hong, T. Phong Nguyen, D. T. Si,

H. N. Long, "General one-loop formulas for decay h → Zγ", EURO-

PEAN PHYSICAL JOURNAL C 78, 885 (2018).

8. Trinh Thi Hong, Truong Tin Thanh, Le Tho Hue, Nguyen Thuy Nga,

"Quá trình rã h → Zγ trong mô hình inter Zee", Đại học Tân Trào,

Số 11, 3 (2019).

101

Trong luận án này tôi chỉ sử dụng công trình số 6 và 7.

Tài liệu tham khảo

√

[1] Aaboud. M et al (ATLAS Collaboration). (2018), "Search for Hight -

s = 13 TeV with

Mass Resonances Decaying to τ ν in pp Collisions at

the ATLAS Dêtctor", Phys. Rev. Lett. 120 (16), pp.161802-161832

[arXiv:1801.06992].

[2] Aaboud. M et al (ATLAS Collaboration). (2017), “Searches for the Zγ

√

pp collisions at

s = 13 TeV with the ATLAS detector”, JHEP. 1710

decay mode of the Higgs boson and for new high-mass resonances in

(10), pp.112-164 [arXiv:1708.00212].

[3] Aad. G et al (ATLAS and CMS Collaborations). (2016), "Measure-

ments of the Higgs boson production and decay rates and constraints

√

on its couplings from a combined ATLAS and CMS analysis of the

s = 7 and 8 TeV", JHEP. 1608 (1), pp.045-

LHC pp collision data at

115 [arXiv:1606.02266].

[4] Aad. G et al (ATLAS Collaboration). (2015), "Search for lep-

ton–flavour–violating H → µτ decays of the Higgs boson with the

ATLAS detector", JHEP. 1511, pp.211.

[5] Accomando. E et al. (2006), "Workshop on CP Studies and Non-

102

Standard Higgs Physics", CERN -009 (7) [hep-ph/0608079].

[6] Agrawal. P., Mitra. M., Niyogi. S., Shil. S., Spannowsky. M. (2018),

"Probing the Type-II Seesaw Mechanism through the Production of

Higgs Bosons at a Lepton Collider", Phys. Rev. D 98, pp.015024-

015044 [arXiv: 1803.00677].

[7] Alex G. Dias, De S. Pires. C. A., Rodrigues da Silva. P. S. (2005),

"Naturally light right-handed neutrinos in a 3-3-1 Model", Phys. Lett.

B 628 (1-2), pp.85-92 [arXiv: hep-ph/0508186].

[8] Altmannshofer. W., Gori. S., Kagan. A. L., Silvestrini. L., Zupan. J.

(2016), "Uncovering Mass Generation Through Higgs Flavor Viola-

tion", Phys. Rev. D 93 (3), pp.031301-031307 [arXiv: 1507.07927].

[9] Aoki. M., Kanemura. S., Yagyu. K. (2012), "Testing the Higgs triplet

model with the mass difference at the LHC", Phys. Rev. D 85 (5),

pp.055007-055022 [arXiv: 1110.4625].

[10] Arbabifar. F., Bahrami. S., Frank. M. (2013), "Neutral Higgs Bosons

in the Higgs Triplet Model with nontrivial mixing", Phys. Rev. D 87

(1), pp.015020-015052 [arXiv: 1211.6797].

[11] Arganda. E., Herrero. M. J., Marcano. X and Weiland. C. (2015),

"Imprints of massive inverse seesaw model neutrinos in lepton flavor

violating Higgs boson decays", Phys. Rev. D 91 (1), pp.015001.

[12] Arganda. E., Herrero. M. J., Marcano. X., Morales. R and Szynkman.

A. (2017), "Effective lepton flavor violating Hlilj vertex from right-

handed neutrinos within the mass insertion approximation", Phys.

Rev. D 95 (9), pp.095029-095065 [arXiv:1612.09290].

[13] Arganda. E., Herrero. M. J., Marcano. X., Weiland. C. (2015), "Im-

103

prints of massive inverse seesaw model neutrinos in lepton flavor vi-

olating Higgs boson decays", Phys. Rev. D 91 (1), pp.015001-015030

[arXiv:1405.4300].

[14] Arganda. E., Herrero. M. J., Marcano. X., Morales. R., Szynkman.

A. (2017), "Effective lepton flavor violating Hlilj vertex from right-

handed neutrinos within the mass insertion approximation", Phys.

Rev. D 95 (9), pp.095029-095065 [arXiv:1612.09290].

[15] Arcadi. G., Ferreira. C. P., Goertz. F., Guzzo. M. M., Queiroz. F. S.,

Santos. A. C. O. (2018), "Lepton Flavor Violation Induced by Dark

Matter", Phys. Rev. D 97 (7), pp.075022-075033 [arXiv: 1712.02373].

[16] Arganda. E., Herrero. M. J., Morales. R., Szynkman. A. (2016), "Anal-

ysis of the h, H, A → τ µ decays induced from SUSY loops within the

Mass Insertion Approximation", JHEP. 1603 (3), pp.055-092 [arXiv:

1510.04685].

[17] Arganda. E., Curiel. A. M., Herrero. M. J., Temes. D. (2005), "Lepton

flavor violating Higgs boson decays from massive seesaw neutrinos",

Phys. Rev. D 71 (3), pp.035011-035055 [arXiv: hep-ph/0407302].

[18] Arganda. E., Herrero. M. J., Marcano. X., Weiland. C. (2016), "En-

hancement of the lepton flavor violating Higgs boson decay rates

from SUSY loops in the inverse seesaw model", Phys. Rev. D 93 (5),

pp.055010-055024 [arXiv: 1508.04623].

[19] Arhrib. A., Benbrik. R., Chabab. M., Moultaka. G., Peyranere. C. M.,

Rahili. L., Ramadan. J. (2011), "The Higgs Potential in the Type

II Seesaw Model", Phys. Rev. D 84 (9), pp.095005-095060 [arXiv:

104

1105.1925].

H → µτ decays of the Higgs boson with the ATLAS detector", JHEP.

[20] ATLAS Collaboration. (2015), "Search for lepton-flavour-violating

1511 (11), pp.211-242.

H → µτ decays of the Higgs boson with the ATLAS detector", JHEP.

[21] ATLAS Collaboration. (2015), "Search for lepton-flavour-violating

211 (11), p.184-215 [arXiv: 1508.03372 [hep-ex]].

[22] ATLAS Collaboration. (2012), "Observation of a new particle in the

search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector

at the LHC", Phys. Lett. B 716 (1), pp.1-29.

Zγ decay mode of the Higgs boson and for new high-mass resonances

√

[23] ATLAS Collaboration., Aaboud. M et al. (2017), "Searches for the

s = 13 TeV with the ATLAS detector", JHEP.

in pppp collisions at

10, pp.112-164 [arXiv:1708.00212].

[24] ATLAS Collaboration., Aad. G et al. (2012), "Observation of a

new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with

the ATLAS detector at the LHC", Phys. Lett. B 716 (1), pp.1-29

[arXiv:1207.7214].

µτ and muon (g-2)", Phys. Rev. D 93 (1), pp.015002-015019

[25] Baek. S., Nishiwaki. K. (2016), "Leptoquark explanation of h →

[arXiv:1509.07410].

[26] Bardin. D. Y., Khristova. P. K., Vilensky. B. M. (1991), "Calculation

of the Higgs boson decay widths into boson pairs", Sov. J. Nucl. Phys.

105

54 (3), pp.833-844 [Yad. Fiz. 54 (1991) 1366].

[27] Belanger. G., Boudjema. F., Fujimoto. J., Ishikawa. T., Kaneko. T.,

Kato. K., Shimizu. Y. (2006), "Automatic calculations in high energy

physics and Grace at one-loop", Phys. Rept. 430 (3), pp.117-209.

[28] Bergstrom. L., Hulth. G. (1986), "Induced Higgs Couplings to Neutral

Bosons in e+e− Collisions", Nucl. Phys. B 259 (1), pp.137-155 [err.

B276 (1986) 744].

[29] Bhupal Dev. P. S., Ghosh. D. K., Okada. N., Saha. I. (2013), "125 GeV

Higgs Boson and the Type-II Seesaw Model", JHEP. 05, pp.150-179

[arXiv:1301.3453].

[30] D.T. Binh, D. T. Huong, T. T. Huong, H. N. Long, D. V. Soa (2003),

SU (3)(L) × U (1)(N ) models", J. Phys. G 29 (6), pp.1213.

"Quartic gauge boson couplings and tree unitarity in the SU (3)(C) ×

[31] D. T. Binh, L. T. Hue, D. T. Huong, H. N. Long. (2014), "Higgs revised

in supersymmetric economical 3-3-1 model with B/µ-type terms",

Eur. Phys. J. C 74 (5), pp.2851-2882 [arXiv:1308.3085].

[32] Bizot. N., Frigerio. M. (2016), "Fermionic extensions of the Stan-

dard Model in light of the Higgs couplings", JHEP. 01, pp.036-117

[arXiv:1508.01645].

[33] Blankenburg. G., Ellis. J., Isidori. G. (2012), "The Physics Landscape

after the Higgs Discovery at the LHC", Phys. Lett. B 267 (10), pp.3-14.

[34] Blunier. S., Cottin. G., Díaz. M. A., Koch. K. (2017), "Phenomenology

of a Higgs triplet model at future e+e− colliders", Phys. Rev. D 95 (7),

106

p075038-075067 [arXiv: 1611.07896].

[35] Bonciani. R., Duca. V. D., Frellesvig. H., Henn. J. M., Moriello. F.,

Smirnov. V. A. (2015), "Next-to-leading order QCD corrections to the

decay width H → Zγ", JHEP. 08, pp.108-138 [arXiv:1505.00567].

[36] Boucenna. S. M., Celis. A., Fuentes-Martin. J., Vicente. A., Virto.

J. (2016), "Phenomenology of an SU (2) × SU (2) × U (1) model

with lepton-flavour non-universality", JHEP. 1612 (2), pp.059-105

[arXiv:1608.01349].

[37] Boradjiev. I., Christova. E., Eberl. H. (2018), "Dispersion theoretic

calculation of the H → Z + γ amplitude", Phys. Rev. D 97 (7),

pp.073008-073024 [arXiv:1711.07298].

[38] Bressler. S., Dery. A., Efrati. A. (2014), "Asymmetric lepton-flavor

violating Higgs boson decays", Phys. Rev. D 90 (1), pp.015025-015035

[ arXiv:1405.4545].

[39] Brignole. A., Rossi. A. (2003), "Lepton flavour violating decays of

supersymmetric Higgs bosons", Phys. Lett. B 566 (6), pp.217-225.

[40] Brignole. A., Rossi. A. (2004), "Anatomy and Phenomenology of mu-

tau Lepton Flavour Violation in the MSSM", Nucl. Phys. B 701 (1-2),

pp.3-53 [arXiv: hep-ph/0404211].

b → sµ+µ−data", JHEP. 1402 (2), pp.112-162 [arXiv: 1311.6729].

[41] Buras. A. J., Fazio. F. D., Girrbach. J. (2014), "331 models facing new

[42] Calibbi. L., Signorelli. G. (2018),"Charged Lepton Flavour Violation:

An Experimental and Theoretical Introduction", Riv. Nuovo Cim. 41

107

(2), pp.1-112, [arXiv:1709.00294].

[43] Catania. M. A., Arganda. E., Herrero. M. J. (2013), "Non-decoupling

SUSY in LFV Higgs decays: a window to new physics at the LHC",

JHEP. 1309 (9), pp.160-187 [arXiv:1304.3371].

[44] Catano. M. E., Martinez. R., Ochoa. F. (2012), "Neutrino masses

in a 331 model with right-handed neutrinos without doubly charged

Higgs", Phys. Rev. D 86 (7), pp.073015-073034 [arXiv:1206.1966].

[45] Celis. A., Cirigliano. V., Passemar. E. (2014), "Lepton flavor violation

in the Higgs sector and the role of hadronic τ lepton decays", Phys.

Rev. D 89 (1), pp.013008-013041 [arXiv:1309.3564].

[46] Chabab. M., Peyranere. M. C., Rahili. L. (2014), "Degenerate Higgs

bosons decays to γγ and Zγ in the type II seesaw model", Phys. Rev.

D 90 (3), pp.035026-035054 [arXiv: 1407.1797].

[47] Chakraborty. I., Datta. A., Kundu. A. (2016), "Lepton flavour vio-

lating Higgs boson decay h → µτ at the ILC", J.Phys. G 43 (12),

pp.125001-125008.

[48] Chang. D., H. N. Long. (2006), "Interesting radiative patterns of neu-

trino mass in an SU (3)(C) ⊗ SU (3)(L) ⊗ U (1)(X) model with right-

handed neutrinos", Phys.Rev. D 73 (5), pp.053006-053027 [ arXiv:hep-

ph/0603098].

[49] Choudhury. D., Kundu. A., Nandi. S., Patra. S. K. (2017),"Unified

resolution of the R(D) and R(D∗ ) anomalies and the lepton flavor

violating decay h → µτ ", Phys. Rev. D 95 (3), pp.035021-035036

108

[arXiv:1612.03517].

√

[50] CMS Collaboration. (2016), "Search for lepton flavour violating decays

s =

8T eV ", Phys. Lett. B 763 (12), pp.472-500.

of the Higgs boson to eτ and eµ in proton–proton collisions at

√

[51] CMS Collaboration. (2018), "Search for lepton flavour violating decays

s = 13

of the Higgs boson to µτ and eτ in proton-proton collisions at

TeV", JHEP. 06, pp.001-049 [arXiv: 1712.07173].

[52] CMS Collaboration. (2012), "Observation of a new boson at a mass

of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC", Phys. Lett. B 716

(1), pp.30-61.

√

[53] CMS Collaboration. (2013), "Observation of a new boson with mass

s = 7 and 8T eV ", JHEP. 06,

near 125 GeV in pp collisions at

pp.081-199.

[54] CMS Collaboration., Chatrchyan. S et al. (2012), "Observation of a

new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the

LHC", Phys. Lett. B 716 (1), pp.30-61 [arXiv:1207.7235].

[55] CMS Collaboration., Khachatryan. V et al. (2015), "Precise deter-

mination of the mass of the Higgs boson and tests of compatibility

of its couplings with the standard model pblackictions using pro-

ton collisions at 7 and 8 TeV", Eur. Phys. J. C 75 (5), pp.212-287

[arXiv:1412.8662].

√

[56] CMS Collaboration., Sirunyan. M. A et al. (2017), "Search for high-

s =8 and 13 TeV

mass Zγ resonances in proton-proton collisions at

using jet substructure techniques", Phys. Lett. B 772 (9), pp.363-387

109

[arXiv:1612.09516].

[57] CMS Collaboration., Khachatryan. V et al (2017), "Search for high-

√

mass Zγ resonances in e+e−γ and µ+µ−γ final states in proton-

s = 8 and 13 TeV", JHEP. 01, p076-106

proton collisions at

[arXiv:1610.02960].

[58] CMS Collaboration, Khachatryan. V et al. (2015), "Search for neutral

MSSM Higgs bosons decaying into a pair of bottom quarks", JHEP.

1511 (11), pp.018-058 [arXiv:1506.08329].

[59] CMS Collaboration, Flechl. M. (2019), "CMS Higgs physics results",

arXiv : 1905.07150[hep-ex].

[60] Collaboration, Ahmad. Q et al. (2002), "Direct Evidence for Neu-

trino Flavor Transformation from Neutral-Current Interactions in the

Sudbury Neutrino Observatory", Phys. Rev. Lett. 89 (1), pp.011301-

011307.

[61] Crivellin. A., Dambrosio. G., Heeck. J. (2015), "Addressing the LHC

flavor anomalies with horizontal gauge symmetries", Phys. Rev. D 91

(7), pp075006-075020 [arXiv:1503.03477].

[62] Das. A., Bhupal Dev. P. S., Kim. C. S. (2017), "Constraining Ster-

ile Neutrinos from Precision Higgs Data", Phys. Rev. D 95 (11),

pp.115013.

√

[63] Das. A., Dev. P. S. B., Okada. N. (2014), "Direct Bounds on Elec-

s = 8 TeV LHC Data",

troweak Scale Pseudo-Dirac Neutrinos from

Phys. Lett. B 735 (7), pp.364-370.

[64] Davidson. S., Verdier. P. (2012), "Octahedral symmetry with geomet-

rical breaking: New pblackiction for neutrino mixing angle θ13 and CP

110

violation", Phys. Rev. D 86 (11), pp.111701-111708 [arXiv:1203.2908].

[65] Debierre. V., Keitel. C. H., Harman. Z. (2019), "The g factor of

bound electrons as a test for physics beyond the Standard Model",

arXiv :1901.06959v1 [physics.atom-ph].

γγ, Zγ, and W γ in the Georgi-Machacek model", Phys. Rev. D 96

[66] Degrande. C., Hartling. K., Logan. H. E. (2017), "Scalar decays to

(7), pp.075013-075039 [arXiv:1708.08753].

[67] Denner. A., Dittmaier. S. (2006), "Reduction schemes for one-loop

tensor integrals", Nucl.Phys. B 734 (1-2), pp.62-115 [hep-ph/0509141].

[68] Denner. A., Heinemeyer. S., Puljak. I., Rebuzzi. D., Spira. M. (2011),

"Standard model Higgs-boson branching ratios with uncertainties",

Eur. Phys. J. C 71 (9), pp.1753-1785 [arXiv:1107.5909].

[69] Denner. A. (1993), "Techniques for calculation of electroweak radiative

corrections at the oneloop level and results for W physics at LEP-200",

Fortsch. Phys. 41, pp.307-420 [arXiv:0709.1075].

[70] Dery. A., Efrati. A., Nir. Y., Soreq. Y., Susi. V. (2014), "Model

building for flavor changing Higgs couplings", Phys. Rev D 90 (11),

pp115022-115037 [arXiv:1408.1371].

[71] Dev. P. S. B., Mohapatra. R. N., Zhang. Y. (2016), "Probing the Higgs

Sector of the Minimal Left-Right Symmetric Model at Future Hadron

Colliders", JHEP. 1605 (5), pp.174-225, [arXiv: 1602.05947].

[72] Dias. A. G., De S.Pires. C. A., Rodrigues da Silva. P. S., Sampieri.

A. (2012), "A Simple Realization of the Inverse Seesaw Mechanism",

111

Phys.Rev. D 86 (3), pp.035007-035021 [arXiv:1206.2590].

[73] Diaz-Cruz. J. L. (2003), "A More Flavoblack Higgs boson in Su-

persymmetric models", JHEP. 0305 (6), pp.036-053 [arXiv:hep-

ph/0207030].

[74] Diaz-Cruz. J. L., Toscano. J. J. (2000), "Probing lepton flavour vio-

lation with Higgs boson decays H → li + lj", Phys.Rev. D 62 (11),

pp.116005-116020 [arXiv: hep-ph/9910233].

[75] Diener. R., Godfrey. S., Turan. I . (2012), "Constraining extra neutral

boson chuẩn with atomic parity violation measurements", Phys.Rev.

D 86 (11), pp.035011-035019.

[76] Djouadi. A., Driesen. V., Hollik. W., Kraft. A. (1998), "The Higgs

photon - Z boson coupling revisited", Eur.Phys. J. C 1, pp.163-175 [

arXiv:hep-ph/9701342 ].

W (cid:48) boson", JHEP. 1510, pp.118-140 [arXiv:1507.01923].

[77] Dobrescu. B. A., Liu. Z. (2015), "Heavy Higgs bosons and the 2 TeV

[78] Dobrescu. B. A., Fox. J. P. (2016), "Signals of a 2 TeV W (cid:48) boson and

a heavier Z (cid:48) boson", JHEP. 1605, pp047-075 [arXiv:1511.02148].

[79] Dobrescu. B. A., Liu. Z. (2015), "W (cid:48) Boson near 2 TeV: Pblackictions

for Run 2 of the LHC", Phys. Rev. Lett. 115 (21), pp.211802-211807

[arXiv:1506.06736].

[80] Dorsner. I., Fajfer. S., Greljo. A., Kamenik. J. F., Kosnik. N.,

Nisandzic. I. (2015), "Physics of leptoquarks in precision experiments

and at particle colliders", JHEP. 1506, pp.108-244 [arXiv: 1603.04993].

[81] Dreiner. H. K., Haber. H. E., Martin. S. P. (2010), "Two-component

spinor techniques and Feynman rules for quantum field theory and

112

supersymmetry", Phys. Rept. 494 (1-2), pp.1-196.

[82] Duka. P., Gluza. J., Zralek. M. (2000), "Quantization and renormal-

ization of the manifest left-right symmetric model of electroweak inter-

actions", Annals Phys. 280 (2), pp.336-408 [arXiv: hep-ph/9910279].

[83] Fontes. D., Romao. J. C., Silva. J. P. (2014), "h → Zγ in the complex

two Higgs doublet model", JHEP. 12, pp.043-074, [arXiv:1408.2534].

SU (4)L ⊗ U (1)N gauge models with right-handed neutrinos", Phys.

[84] Foot. R, H. N. Long., Tuan A. Tran. (1994), "SU (3)L ⊗ U (1)N and

Rev. D 50 (1), pp.34-42 [ arXiv:hep-ph/9402243].

[85] Funatsu. S., Hatanaka. H., Hosotani. Y. (2015), "H → Zγ in the

gauge-Higgs unification", Phys. Rev. D 92 (11), pp.115003.

[86] P. T. Giang, L. T. Hue, D. T. Huong, and H. N. Long. (2012) ,

"Lepton-flavor violating decays of neutral Higgs to muon and tauon

in supersymmetric economical 3-3-1 model", Nucl. Phys. B 864 (1),

pp.85-112 [arXiv: 1204.2902].

[87] Gunion. J. F., Kane. G. L., Wudka. J. (1988), "Search Techniques for

Charged and Neutral Intermediate Mass Higgs Bosons", Nucl. Phys.

B 299 (2), pp.231-278.

[88] Gunion. J. F., Vega. R., Wudka. J. (1991), "Naturalness problems for

rho = 1 and other large one loop effects for a standard model Higgs

sector containing triplet fields", Phys. Rev. D 43 (7), pp.2322-2336.

[89] Hahn. T., Perez-Victoria. M. (1999), "Automatized one loop calcula-

tions in four-dimensions and D-dimensions", Comput. Phys. Commun.

118 (2-3), pp.153-165 [arXiv: hep-ph/9807565].

[90] Harnik. R., Kopp. J., Zupan. J. (2013), "Flavor Violating Higgs De-

113

cays", JHEP. 1303 (3), p026-065 [arXiv: 1209.1397].

[91] Heeck. J., Holthausen. M., Rodejohann. W ., Shimizu. Y. (2015),

"Higgs h → µτ in Abelian and non-Abelian flavor symmetry mod-

els", Nucl. Phys. B 896 (7), pp.281-310.

[92] He. X. G., Valencia. G. (2018), "Lepton universality violation and

right-handed currents in b → cτ ν", Phys. Lett. B 779(2), pp.52-57.

[93] He. X. G., Tandean. J., Zheng. Y. J. (2015), "Higgs decay h → µτ

with minimal flavor violation" , JHEP. 1509 (9), pp.093-108.

[94] L. T. Hue, A. B. Arbuzov, N. T. K. Ngan, H. N. Long. (2017), "Probing

neutrino and Higgs sectors in SU (2)1 × SU (2)2 × U (1)Y model with

lepton-flavor non-universality", Eur. Phys.J. C 77(5), pp.346-366.

[95] L. T. Hue, H. N. Long, T. T. Thuc, T. Phong Nguyen. (2016), "Lepton

flavor violating decays of Standard-Model-like Higgs in 3-3-1 model

with neutral lepton", Nucl.Phys. B 907 (6), pp.37-76.

[96] L. T. Hue, H. N. Long, T. T. Thuc, T. Phong Nguyen. (2016),

"Lepton flavor violating decays of Standard-Model-like Higgs in 3-

3-1 model with neutral lepton", Nucl. Phys. B 907 (6), pp.37-76 [

arXiv:1512.03266].

[97] L. T. Hue, H. N. Long, T. T. Thuc, T. Phong Nguyen (2016), "Lepton

flavor violating decays of Standard-Model-like Higgs in 3-3-1 model

with neutral lepton", Nucl. Phys. B 907 (6), pp.37 -76.

[98] L. T. Hue., L. D. Ninh. (2016), “The simplest 3-3-1 model,” Mod. Phys.

Lett. A 31 (10), p.1650062 [arXiv:1510.00302].

[99] L. T. Hue, L. D. Ninh, T. T. Thuc, N. T. T. Dat. (2018), "Exact

one-loop results for li → ljγ in 3-3-1 models", Eur.Phys.J. C 78 (2),

114

pp.128-142.

[100] L. T. Hue, L. D. Ninh. (2019), "On the triplet anti-triplet symmetry

in 3-3-1 models", Eur. Phys. J. C 79 (3), pp.221-228.

[101] Ibarra. A., Molinaro. E., Petcov. S. T. (2010), "TeV Scale See-Saw

Mechanisms of Neutrino Mass Generation, the Majorana Nature of the

Heavy Singlet Neutrinos and ββ- Decay", JHEP. 1009 (9), pp.108-130

[arXiv:1007.2378].

[102] Ilakovac. A. (2000), "Lepton Flavor Violation in the Standard Model

Extended by Heavy Singlet Dirac Neutrinos", Phys.Rev. D 62 (3),

pp.036010-036048 [arXiv: hep-ph/9910213].

[103] J. Gunion. F., Haber. H. E., Kane. G. L., Dawson. S. (2000), The

Higgs Hunter’s Guide, Westview Press.

[104] Jinaru. A., Alexa. C., Caprini. I., Tudorache. A. (2014), "W (cid:48) → hH ±

decay in G(221) models", J. Phys. G 41 (7), pp.075001-075018 [arXiv:

1312.4268].

[105] J. Lorenzo D’ıaz-Cruz (2019), "The Higgs Profile in the Standard

Model and Beyond", axiv :1904.06878 .

[106] Kanemura. S., Matsuda. K., Ota. T., Shindou. T., Takasugi. E.,

Tsumura. T. (2003), "New Physics Effect on the Higgs Self-Coupling",

Phys. Lett. B 558 (3-4), pp.157-164.

[107] Kanemura. S., Yagyu. K. (2012), "Radiative corrections to elec-

troweak parameters in the Higgs triplet model and implication with

the recent Higgs boson searches", Phys. Rev. D 85 (11), pp.115009-

115

115026 [arXiv: 1201.6287].

[108] Khatrchyan. V., et al (2015) (CMS Collaboration), "Search for

lepton-flavour-violating decays of the Higgs boson", Phys. Lett. B 749

(10), p.337-362.

[109] Konetschny. W., Kummer. W. (1977), "Nonconservation of Total

Lepton Number with Scalar Bosons", Phys. Lett. 70 (4), pp.433-435.

[110] Korner. J. G., Pilaftsis. A., Schilcher. K. (1993), "Leptonic CP asym-

metries in flavor-changing H0 decays", Phys. Rev. D 47 (3), pp.1080-

1086.

[111] Kuipers. J., Ueda. T., Vermaseren. J. A. M., Vollinga. J. (2013),

"FORM version 4.0", Comput. Phys. Commun. 184 (5), pp.1453-1467

[arXiv:1203.654].

[112] Lindner. M., Platscher. M., Queiroz. F. S. (2018), "A Call for New

Physics: The Muon Anomalous Magnetic Moment and Lepton Flavor

Violation ", Phys. Rept. 731 (2), pp.1-82 [arXiv:1610.06587].

[113] H. N. Long. (1996), "SU (3)C ⊗ SU (3)L ⊗ U (1)N model with right-

handed neutrinos", Phys. Rev. D 53 (1), pp.437-443.

[114] H. N. Long, L. T. Hue, D. V. Loi. (2016), "Electroweak theory based

on SU (4)L × U (1)X gauge group", Phys. Rev. D 94 (1), pp.015007-

015048 [arXiv:1605.07835].

[115] Hoàng Ngọc Long (2006), Cơ sở vật lý hạt cơ bản, NXB Thống Kê,

Hà Nội.

[116] Maiezza. A., Nemevˇsek. M., Nesti. F. (2016), "Perturbativity and

mass scales in the minimal left-right symmetric model", Phys. Rev. D

116

94 (3), pp.035008-035019 [arXiv: 1603.00360].

[117] Maki. Z., Nakagawa. M., Sakata. S. (1962), Remarks on the Unified

Model of Elementary Particles, Prog. Theor. Phys. 28 (5), pp.870-880.

[118] Martinez. R., Perez. M. A. (1990), "Loop Induced Radiative Decays

of Neutral Scalars and Neutral Vector Bosons in Left-right Symmetric

Theories", Nucl. Phys. B 347 (1-2), pp.105-119.

[119] Marciano. W. J., Zhang. C., Willenbrock. S. (2012), "Higgs De-

cay to Two Photons", Phys. Rev. D 85 (1), pp.013002-013017

[arXiv:1109.5304].

Zγ and Z (cid:48) → H 0γ in Left-right Symmetric Models", Phys. Lett. B

[120] Martinez. R., Perez. M. A., Toscano. J. J. (1990), "The Decays H 0 →

234 (4), pp.503-507.

[121] MEG Collaboration. (2016), "Search for the lepton flavour violating

decay µ+ → e+γ with the full dataset of the MEG experiment", Eur.

Phys. J. C 76 (8), pp.434-464 [ arXiv:1605.05081].

[122] Mizukoshi. J. K., De. S. Pires. C. A., Queiroz. F.S., Rodrigues da

Silva. P. S. (2011), "WIMPs in a 3-3-1 model with heavy sterile neu-

trinos", Phys. Rev. D 83 (6), pp.065024-065050.

[123] Mohapatra. R. N., Senjanovi´c. G. (1981), "Neutrino Masses, Mixings

and Oscillations in SU(2) x U(1) Models of Electroweak Interactions",

Phys. Rev. D 23 (1), pp.165.

[124] Monfablack. S. T., Fayazbakhsh. Sh., Najafabadi. M. M. (2016), "Ex-

ploring anomalous HZγ couplings in γ-proton collisions at the LHC",

Phys. Lett. B 762 (11), pp.301-308.

[125] Montero. J. C., Pisano. F., Pleitez. V. (1993), "Neutral currents

117

and Glashow-Iliopoulos-Maiani mechanism in SU (3)L ⊗ U (1)N mod-

els for electroweak interactions", Phys. Rev. D 47 (7), pp.2918-2929 [

10.1103/PhysRevD.47.2918].

[126] No. J. M., Spannowsky. M. (2017), "A Boost to h → Zγ: from LHC

to Future e+e− Colliders", Phys. Rev. D 95 (7), pp.075027-075034

[arXiv:1612.06626].

[127] Okada. H., Okada. N., Orikasa. Y., Yagyu. K. (2016), "Higgs Phe-

nomenology in the Minimal SU (3)L × U (1)X Model", Phys. Rev. D

94 (1), pp.015002-015037 [arXiv: 1604.01948].

e + e− Annihilation Into mu + mu− in the Weinberg Model", Nucl.

[128] Passarino. G., Veltman. M. J. G. (1979), "One Loop Corrections for

Phys. B 160 (1), pp.151-207.

[129] Pati. J. C., Salam. A. (1974), "Lepton Number as the Fourth Color",

Phys. Rev. D 10 (1), pp.275-289.

[130] Patrignani. C et al (Particle Data Group). (2016), Review of Particle

Physics, Chinsese Physics. C 40, p100001.

[131] Peskin. M. E., Schroeder. D. V. (1995), An in troduction to Quantum

Field Theory, Westview Press, Perseus Books Group.

[132] Pisano. F. (1996), "A Simple solution for the flavor question", Mod.

Phys. Lett. A 11 (32n33), pp.2639-2647 [arXiv:hep-ph/9609358].

[133] Pisano. F., Pleitez. V. (1995), "SU (4)L × U (1)N model for the elec-

troweak interactions", Phys. Rev. D 51 (7), pp.3865-3876 [arXiv: hep-

ph/9401272].

[134] Pisano. F., Pleitez. V. (1992), "SU (3) × U (1) model for electroweak

118

interactions", Phys. Rev. D 46 (1), pp.410-417.

[135] Pilaftsis. A. (1992), "Lepton flavor nonconservation in H0 decays",

Phys.Lett. B 285 (1-2), pp.68-74.

[136] Qin. Q., Li. Q., Lu. C. D., Yu. F. S., Zhou. S. H. (2018), "Charged

lepton flavor violating Higgs decays at the CEPC", Eur. Phys. J. C

78 (10), pp.835-854 [arXiv: 1711.07243].

[137] Reig. M., Valle. J. W. F., Vaquera-Araujo. A. (2016), "Realis-

tic SU (3)C × SU (3)L × U (1)X model with a type II Dirac neu-

trino seesaw mechanism", Phys. Rev. D 94 (3), pp.033012-033019 [

arXiv:1606.08499].

[138] Salazar. C., Benavides. R. H., Poncea. W. A., Rojas. E. (2015), "LHC

Constraints on 3-3-1 Models", JHEP. 1507 (9), pp.096-117 [arXiv:

1503.03519].

[139] Schechter. J., Valle. J. W. F. (1980), "Neutrino Masses in SU(2) x

U(1) Theories", Phys. Rev. D 22 (6), pp.2227-2255.

[140] Sierra. D. A., Vicente. A. (2014), "Explaining the CMS Higgs

flavor-violating decay excess", Phys. Rev. D 90 (11), p115004-115012

[arXiv:1409.7690].

[141] Singer. M., Valle. J. W. F., Schechter. J. (1980), "Canonical neutral-

SU (3) × U (1)", Phys. Rev. D 22 (3), pp.738-757.

current pblackictions from the weak-electromagnetic gauge group

[142] Super-Kamiokande Collaboration, Fukuda. Y et al. (1998), "Evi-

dence for oscillation of atmospheric neutrinos", Phys. Rev. Lett. 81

119

(8), pp.1562-1567 [arXiv: hep-ex/9807003].

[143] N. H. Thao, L.T. Hue, H.T. Hung, N.T. Xuan. (2017), "Lepton flavor

violating Higgs boson decays in seesaw models: new discussions", Nucl.

Phys. B 921 (8), pp.159-180 [arXiv:1703.00896].

[144] T. T. Thuc, L. T. Hue, H.N. Long, and T. Phong Nguyen. (2016),

"Lepton flavor violating decay of SM-like Higgs in a radiative neutrino

mass model", Phys.Rev. D 93 (11), pp.115026-115051.

[145] Tully. M. B., Joshi. G. C. (2001), "Generating neutrino mass in

the 3-3-1 model", Phys. Rev. D 64 (1), pp.011301-011309 [arXiv:hep-

ph/0011172].

[146] Vainshtein. A. I., Voloshin. M. B., Zakharov. V. L., Shifman. M. S.

(1979), "Low-Energy Theorems for Higgs Boson Couplings to Pho-

tons", Sov. J. Nucl. Phys. 30, pp.711-716 [Yad.Fiz. 30 (1979) 1368].

[147] Vermaseren. J. A. M. (2000), "New features of FORM", math-

ph/0010025.

[148] Yue. C. X., Pang. C., Guo. Y. C. (2015), "Lepton flavor violating

Higgs couplings and single production of the Higgs boson via eγ col-

lision", J. Phys. G 42 (7), pp.075003-075016 [arXiv:1505.02209].

[149] Zhang. H. B., Feng. T. F., Zhao. S. M., Yan. Y. L. (2017), "125 GeV

Higgs decay with lepton flavor violation in the µνSSM", Chin. Phys.

120

C 41 (4), pp.043106-043132 [arXiv: 1511.08979].

Phụ lục A

Hàm PV trong LoopTools

A.1 Định nghĩa, ký hiệu và biểu thức giải tích

Chúng tôi sử dụng các ký hiệu cho các hàm Passarino-Veltman giống

A(i)

, i = 0, 1, 2,

i ; m2

i+1) ≡

0,µ = A0,µ(k2

như trong thư viện LoopTools [89]

B(i)

, i = 1, 2,

1, m2

i ; m2

i+1) ≡

0, µ, µν = B0,µ(k2

(cid:90) ddq {1, qµ, } Di

2, m2 3)

1, m2

(cid:90) ddq {1, qµ, qµqν} D0Di

≡

C0,µ,µν = C0,µ,µν(p2 (2πµ)4−d iπ2

(2πµ)4−d iπ2 (2πµ)4−d iπ2 1, p2 2, (p1 + p2)2; m2 (cid:90) ddq {1, qµ, qµqν} D0D1D2 ở đây d = 4−2(cid:15) ((cid:15) → 0) là số chiều lấy tích phân, Di = (q+ki)2−m2

i+1,k0 = 0, k1 = −p1, k2 = −(p1 + p2), i = 0, 1, 2. Trong trường hợp này, chúng tôi

(A.1)

luôn luôn có m3 = m2.

(cid:15) + ln(4πµ2) − γE, giống như trong [67, 131]

A(0)

1(∆(cid:15) − ln m2

1 + 1), A(1,2)

2(∆(cid:15) − ln m2

2 + 1), A(i)

0 = m2

0 kiµ

µ = −A(i) (A.2)

121

Ký hiệu ∆(cid:15) = 1

0,µ,µν và C0,µ,µν

Dựa trên các ký hiệu của LoopTools [89], các hàm B(i)

B(i)

µ = B(i) µν = B(i)

11 kiµkiν,

1 kiµ, 00 gµν + B(i) Cµ = C1k1µ + C2k2µ,

được viết như sau

Cµν = C00gµν + C11k1µk1ν + C12(k1µk2ν + k2µk1ν) + C22k2µk2ν.

(A.3)

Đổi biến lấy tích phân q → q(cid:48) = q + k1 để có thể đưa về dạng chuẩn cho

B(12)

2, m2

2; m2

2) =

bởi (A.1)

(2πµ)4−d 1, k2 iπ2 (cid:90) ddq {1, qµ − k1µ, (qµ − k1µ)(qν − k1ν)}

(cid:90) ddq {1, qµ, qµqν} D1D2

0,µ,µν ≡ B0,µ,µν(k2 (2πµ)4−d iπ2

(q2 − m2

2) [(q + k2 − k1)2 − m2 2]

(A.4)

Sau đó chúng ta có thể sử dụng các hàm vô hướng B(12) , B(12) 1 và B(12) 11

như các định nghĩa chuẩn ban đầu , ở đây k2 − k1 = −p2,

B0,µ,µν((k2 − k1)2; m2

2, m2

2) =

, −B(12)

(2πµ)4−d iπ2 = B(12) 0

ddq {1, qµ, qµqν} 2) [(q + k2 − k1)2 − m2 2] 00 gµν + B(12)

11 p2µp2ν.

(q2 − m2 1 p2µ, B(12)

(cid:90)

(A.5)

2 = 0

3B(12)

2),

1 = B(12) 0 = ∆(cid:15) − ln(m2 (cid:17) (cid:16)

B(12)

1 + B(12)

00 =

B(12)

p2µ + B(12)

µ =

0 p1µ,

Thay vào (A.4) và ta có k1 = −p1 và p2

1 + B(12)

B(12)

gµν +

p2µp2ν

µν =

11 = −2B(12) m2 2 2 B(12) 0 2 m2 2 2

B(12) 0 3

122

(cid:16) (cid:17)

(p2µp1ν + p1µp2ν) + B(12)

0 p1µp1ν.

B(12) 0 2

(A.6)

Cho 2 trường hợp khác, chúng tôi có

1 −

B(i)

ln(1 − xσ),

0 ≡ B(12)

0 + 2 −

1 xiσ

σ=±

(cid:18) (cid:19) (cid:88)

B(i)

1 − m2

2 + k2

i )B(i)

1 ≡

0 − A(i) A(0)

0 − (m2

2x2 − (m2

1 2k2 i 2 = m2

h và xiσ là nghiệm của phương trình m2

(cid:105) (cid:104) (A.7)

Z, k2 i + i(cid:15) = 0. Dạng của B(i)

2 − 0,1 được dùng cho giải số rất phù hợp,

1 = m2 i )x + k2 xem trong [67].

ở đây k2 1 + k2

Hàm C0 trong trường hợp m3 = m2 có dạng đơn giản [76]

2 (cid:88)

C0 =

(−1)iLi2

1 k2 1 − k2 2

2 − m2

1 + k2

1, m2 2)

2k2 i i + σλ1/2(k2

i , m2

σ=±

i=1

(cid:21) (cid:20) (cid:88)

(A.8)

ở đây λ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 2xy − 2yz − 2xz. Công thức này

(m2

1, m2

2, m2

1, k2

2, m2

1, m2

B) → (k2

F , m2

2). Các hàm Ci,ij được tìm ra bằng cách dựa trên kỹ thuật rút gọn [67]. Các hàm Ci,ij cụ thể ở trường hợp

cũng phù hợp với LoopTools và [99], ký hiệu được thay đổi như sau

này như sau [99]

B(2)

(m2

0 − B(12)

− 2m2 h

h + m2 Z)

C1 =

f2C0 Z − m2 h

(cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) B(1)

(m2

B(2)

B(1)

0 − B(12)

Z)2 − 2m2 Z

h + m2 Z)

−

C2 =

f1C0 Z − m2 h

(cid:16) (cid:16) (cid:17)

h + m4

h − 4m4

Zm2 h

C22 =

(f 2

0 − B(12) 0 h − m2 (m2 (cid:17) 0 − B(12) 0 (m2 h − m2 Zm2 Z − 4m2 h Z − m2 h (m2 2m2 (cid:2)f1 + f2 + 2(m2

h)(cid:3) B(12)

3f1m2 (m2

2(m2

1 + 2m2 (m2

ZB(1) 0 Z − m2

Z − m2

h)3 −

Z)2 (cid:1) + 4m6 h)3 Z − m2 h)2

2m2 Z)C0 Z − m2 h)2

123

(cid:0)−3m4 (cid:2)f2 (cid:3) B(2) 0

(m2

−

m2 Z Z − m2

(cid:17) (cid:16)

h)2 , (cid:2)f1(5m2

Z + m2 h) 2m2 h(m2 (cid:2)f2(5m2

(m2 (cid:3) B(1) 0

h − m4 Z

C12 = −

(2m2

h)(cid:3) C0

h)B(12)

−

× B(2)

0 +

h + m2 2(m2 (cid:2)f1f2 + m2 (m2

Z) + m4 Z − m2 h)3 Z + m2 2(m2 Z − m2 h)2

(cid:3)

Z + m2 2(m2 2 − 2m2 2(m2 m2 2(m2

0 − A(0) A(1) Z − m2 h)2 Z − m4 h) + m4 h Z − m2 h)3 Z + m2 1 + m2 Z − m2 h)2 Z + m2 h Z − m2

A(1) 0 − A(0) 0 Z − m2 (m2

h)2 ,

(A.9)

h)2 − 2 − m2

i . Một số công thức kết hợp thường dùng trong

1 + k2 tính toán của chúng tôi là

C1 + C2 = −

− C0,

)

C12 + C22 + C2 =

ở đây fi = m2

)

(0) − B2 B1 (0) Z − m2 m2 h 2 + m2 1 + m2 (−m2 2(m2 2)(2m2

1 − m2

0 − B(12)

1/m2 2)

Zm2 h h)2 h − m2

. (A.10)

Z)(B(1) 0 − B(12) Z − m2 h)2 Z) − m2 h − m2 Z − m2 h(m2 2m2 2 + m2 1 − m2 2m2

h(m2

m2 2C0 Z − m2 h

1 ln(m2 Z − m2 h)

A.2 Công thức giải tích trong trường hợp đặc biệt m1 = m2 =

(cid:3) (B(2) (cid:2)(m2

Trong trường hợp khối lượng các hạt trong loop bằng nhau, chúng ta có

√

x ≥ 1,

thể sử dụng công thức phổ biến đã biết sau đây [66, 76, 83]

√

g(x) =

x < 1

1−x 2

x ≥ 1,

  (A.11) (cid:17)

f (x) =

x < 1

− 1 4

1−x 1−x

124

   (A.12) (cid:16) (cid:17)2  (cid:113) 1 x − 1 arcsin x √ (cid:16) −iπ + ln 1+ 1−x √ 1−x 1− arcsin2 (cid:113) 1 x √ −iπ + ln 1+ √ 1−

x2y2

x2y

I1(x, y) =

xy 2(x − y)

2(x − y)2 [f (x) − f (y)] +

(x − y)2 [g(x) − g(y)] , (A.13)

[f (x) − f (y)] .

I2(x, y) = −

xy 2(x − y)

(A.14)

Z và t2 = th = 4m2/m2

h, hàm PV có liên quan

Đặt t1 = tz = 4m2/m2

trong trường hợp này được viết như sau

B(i)

0 = B(12)

(A.15)

C0 = −

− C0,

C1 + C2 =

C12 + C22 + C2 =

0 + 2 − 2g(ti), I2(t2, t1) , m2 B(1) 0 − B(2) 0 Z − m2 m2 h Z(B(1) m2 2(m2

I1(t2, t1) 4m2

2(m2

0 − B(2) 0 ) h)2 + Z − m2

m2C0 Z − m2 h

1 Z − m2 h)

(A.16)

(A.17)

trong phương trình (A.15) được viết từ một dạng chung, Các hàm B(i) 0

cụ thể là

dx ln (cid:2)1 + 4t−1

B(i)

i x(x − 1)(cid:3)

0 = B(12)

0 −

0 (cid:90) 1

(cid:90) 1

= B(12)

dx ln (cid:2)4t−1

i x2 + 1 − t−1 i

0 −

− 1 2

(cid:3) .

Các bước trung gian khác, bao gồm lấy tích phân từng phần, như sau

dx ln (cid:2)4t−1

i x2 + 1 − t−1 i

4t−1

8t−1 i x2 dx i x2 + 1 − t−1 i

− 1 2

(cid:90) 1 (cid:90) 1 (cid:3) = −

= −2 +

= −2 + 2g(ti).

− 1 2

2 dx 4x2 ti−1 + 1

125

(cid:90) 1

Phụ lục B

Công thức giải tích tính biên độ rã

h → Zγ trong chuẩn unitary

Như đã đề cập ở trên, chỉ có các giản đồ 1, 5 và 7 trong hình 2.1 là cần

thiết để được tính chi tiết trong phụ lục này.

Biên độ đóng góp từ giản đồ 1 của hình 2.1

iM(1)µν = (−1) ×

−i (cid:0)YhfijL PL + YhfijR PR

(cid:20) (cid:90)

ddq (2π)d × Tr (cid:16) (cid:104)

×(ie Q γν)

g∗ ZfijLγµ PL + g∗

ZfijRγµ PR

i(q/1 + m2) D1

(cid:21) (cid:1) i(q/2 + m2) D2 (cid:17)(cid:105) i(q/ + m1)

= −e Q

1 D0D1D2

(cid:90)

K +

LL,RR − K −

1 2

LL,RRγ5 (cid:17)(cid:105)

ddq (2π)d × (cid:104)(cid:0)q/2γνq/1γµ + m2 2γµγν (cid:16)

K +

+ (q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)

LR,RL + K −

LR,RLγ5

(cid:17) (cid:1) (cid:16)

Biên độ đóng góp từ sơ đồ 1 của hình 2.1 trong trường hợp hướng của

vector xung lượng của các hạt có chiều ngược lại là

iM(cid:48)

(1)µν = −e Q

ddq (2π)d ×

1 D0D1D2

126

(cid:90)

K +∗

1 2

(cid:17) (cid:1) (cid:16)

LL,RR + K −∗ LL,RRγ5 (cid:17)(cid:105)

K +∗

+ (q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)

LR,RL − K −∗

LR,RLγ5

(cid:104)(cid:0)q/2γνq/1γµ + m2 2γµγν (cid:16)

trong đó biểu thức liên hợp phức tương ứng với sự đóng góp của M(cid:48)

Tổng của hai giản đồ trên cho kết quả cuối cùng của F21,fijj và f5,fijj (1)µν. Sử dụng các thuộc tính của ma trận Dirac để tính các vết trong biểu thức

biên độ. Tính chi tiết giản đồ 1 hình 2.1 theo chiều thuận

iM(1)µν = (−eQ) ×

× Tr (cid:2)(cid:0)YhfijL PL + YhfijR PR (cid:17)

(cid:90) (cid:1) (q/2 + m2)

×(γν)(q/1 + m2)

ddq 1 (2π)d D0D1D2 (cid:16) g∗ ZfijL γµPL + g∗

ZfijR γµPR

(B.1) (cid:105) (q/ + m1)

Tr [I] = Tr (cid:2)(cid:0)YhfijL PL

Xét

(q/ + m1)

ZfijR γµPR

×(γν)(q/1 + m2) + (cid:0)YhfijR PR

(cid:17)

×(γν)(q/1 + m2)

(q/ + m1)

ZfijR γµPR

(cid:17) (cid:1) (q/2 + m2) (cid:16) g∗ ZfijL γµPL + g∗ (cid:1) (q/2 + m2) (cid:16) ZfijL γµPL + g∗ g∗

= Tr [1] + Tr [2]] .

(B.2)

Tr [1] = Tr (cid:2)(cid:0)YhfijL PL

Tính các số hạng thành phần trong (B.2) như sau

ZfijR γµPR

×(γν)(q/1 + m2) = Tr (cid:2)(cid:0)YhfijL PL

(cid:17) (cid:105) (q/ + m1)

×(γν)(q/1 + m2) + Tr (cid:2)(cid:0)YhfijL PL

(cid:17) (cid:105) (q/ + m1)

×(γν)(q/1 + m2)

127

(cid:17) (cid:105) (q/ + m1) (cid:1) (q/2 + m2) (cid:16) g∗ ZfijL γµPL + g∗ (cid:1) (q/2 + m2) (cid:16) g∗ ZfijL γµPL (cid:1) (q/2 + m2) (cid:16) g∗ ZfijR γµPR

= Tr [a] + Tr [b] ,

(B.3)

với

Tr [a] = Tr

(q/2 + m2)

g∗ ZfijL YhfijL PL

×(γν)(q/1 + m2)γµPL(q/ + m1)]

(cid:104)(cid:16) (cid:17)

(q/2 + m2)

g∗ ZfijL YhfijL PL

1 2

×(γν)(q/1 + m2)γµ(1 − γ5)(q/ + m1)]

(cid:104)(cid:16) (cid:17)

[(q/2 + m2)(γν)(q/1 + m2)γµ(q/ + m1)

g∗ ZfijL YhfijL PL

1 2

−(q/2 + m2)(γν)(q/1 + m2)γµγ5(q/ + m1)]]

(cid:104)(cid:16) (cid:17)

g∗ ZfijL YhfijL Tr [PL(X − Y )] ,

1 2

(B.4)

Tr[PLX] = Tr[PL(q/2 + m2)(γν)(q/1 + m2)γµ(q/ + m1)]

= Tr[PL(q/2γνq/1γµq/ + q/2γνγµm2q/ + m2γνq/1γµq/ + m2

2γνγµq/

+ q/2γνq/1γµm1 + q/2γνγµm2m1 + m2m1γνq/1γµ + m2

2m1γνγµ)]

= Tr[PL(m2q/2γνγµq/ + m2γνq/1γµq/ + m1q/2γνq/1γµ + m2

2m1γνγµ)]

Tr[PLY ] = Tr[PL(m2q/2γνγµγ5q/ + m2γνq/1γµγ5q/

ở đây đã đặt

+ m1q/2γνq/1γµγ5 + m2

2m1γνγµγ5)].

(B.5)

Tr[a] =

2γνγµ)

ZfijL YhfijLTr[PL(m2(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/) + m1(q/2γνq/1γµ + m2 g∗

1 2

− m2(q/2γνγµγ5q/ + γνq/1γµγ5q/) − m1(q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γνγµγ5))]

Tr[b] =

2γνγµ)

ZfijR YhfijLTr[PL(m2(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/) + m1(q/2γνq/1γµ + m2 g∗

1 2

+ m2(q/2γνγµγ5q/ + γνq/1γµγ5q/) + m1(q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γνγµγ5))].

Do đó suy ra

128

(B.6)

Tr[1] =

2γνγµ)

ZfijL YhfijLPLTr[(m2(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/) + m1(q/2γνq/1γµ + m2 g∗

1 2

− m2(q/2γνγµγ5q/ + γνq/1γµγ5q/) − m1(q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γνγµγ5))

2γνγµ)

ZfijR YhfijLPLTr(m2(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/) + m1(q/2γνq/1γµ + m2 g∗

1 2

+ m2(q/2γνγµγ5q/ + γνq/1γµγ5q/) + m1(q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γνγµγ5))]

Tr[2] =

2γνγµ)

ZfijL YhfijRPRTr[(m2(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/) + m1(q/2γνq/1γµ + m2 g∗

1 2

− m2(q/2γνγµγ5q/ + γνq/1γµγ5q/) − m1(q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γνγµγ5))

2γνγµ)

ZfijR YhfijRPRTr(m2(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/) + m1(q/2γνq/1γµ + m2 g∗

1 2

+ m2(q/2γνγµγ5q/ + γνq/1γµγ5q/) + m1(q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γνγµγ5))].

Vậy

(B.7)

2γνγµ]

Tr[I] = Tr[1] + Tr[2] (cid:104) ZfijL YhfijLm1Tr[(1 − γ5)q/2γνq/1γµ + (1 − γ5)m2 g∗

1 2 +g∗ ZfijR YhfijLm2Tr[(1 − γ5)q/2γνγµq/ + (1 − γ5)γνq/1γµq/]

Do đó suy ra

(cid:105) 2γνγµ]

2γνγµ)(g∗

ZfijL YhfijLm1 + g∗

(cid:104) (q/2γνq/1γµ + m2 (cid:105) ZfijR YhfijRm1)

ZfijR YhfijLm2 + g∗

ZfijL YhfijRm2)

g∗ ZfijL YhfijRm2Tr[(1 + γ5)q/2γνγµq/ + (1 + γ5)γνq/1γµq/] ZfijR YhfijRm1Tr[(1 + γ5)q/2γνq/1γµ + (1 + γ5)m2 +g∗ 1 2 1 2

+(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)(g∗

ZfijL YhfijRm2 − g∗

(cid:104) (q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)(g∗

(cid:105) ZfijR YhfijLm2)

2γνγµ)(K +

1 2

(cid:104) (q/2γνq/1γµ + m2

(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)(K +

RL,LR + k−

LL,RR − k− LL,RRγ5) (cid:105) LR,RLγ5)

129

(B.8)

a = (q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)

Đến đây tiếp tục đặt

b = (q/2γνq/1γµ + m2

2γνγµ)

c = (q/2γνγµγ5q/ + γνq/1γµγ5q/)

(B.9)

d = (q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γνγµγ5).

(B.10)

Tr[I] =

g∗ ZfijL YhfijLPLTr (m2a + m1b − m2c − m1d)

g∗ ZfijL YhfijRPRTr (m2a + m1b − m2c − m1d)

g∗ ZfijR YhfijRPRTr (m2a + m1b + m2c + m1d) (cid:104)

g∗ ZfijL YhfijLTr ((1 − γ5)(m2a + m1b − m2c − m1d))

1 2 1 g∗ ZfijR YhfijLPLTr (m2a + m1b + m2c + m1d) 2 1 2 1 2 1 4 +g∗ ZfijR YhfijLTr ((1 − γ5)(m2a + m1b + m2c + m1d))

+g∗

ZfijL YhfijRTr ((1 + γ5)(m2a + m1b − m2c − m1d))

+g∗

Do đó

T r(1(cid:48) + 2(cid:48) + 3(cid:48) + 4(cid:48)).

i=1

(cid:105) ZfijR YhfijRTr ((1 + γ5)(m2a + m1b + m2c + m1d)) 4 (cid:88) (B.11)

Tính lần lượt các số hạng trong tổng (B.11)

Tr[1(cid:48)] =

g∗ ZfijL YhfijLTr ((m2a + m1b − m2c − m1d)

1 4

−γ5(m2a + m1b − m2c − m1d))]

(cid:104)

g∗ ZfijL YhfijLTrm2(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/ − q/2γνγµγ5q/ + γνq/1γµγ5q/)

1 4

+m1(q/2γνq/1γµ + m2

2γνγµ − q/2γνq/1γµγ5 − m2

2γνγµγ5)

130

(cid:104)

−m2(γ5q/2γνγµq/ + γ5γνq/1γµq/ − γ5q/2γνγµγ5q/ − γ5γνq/1γµγ5q/)

−m1(γ5q/2γνq/1γµ + m2

2γ5γνγµ − γ5q/2γνq/1γµγ5 − m2

2γ5γνγµγ5)(cid:3) (cid:3) ,

2γνγµ

ZfijL YhfijLm1Tr (cid:2)(1 − γ5)q/2γνq/1γµ + (1 − γ5)m2 g∗ (cid:104)

Tr[2(cid:48)] =

g∗ ZfijR YhfijLTr [(m2a + m1b + m2c + m1d)

1 2 1 4

−γ5(m2a + m1b + m2c + m1d)]]

g∗ ZfijR YhfijLTr [m2(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/ + q/2γνγµγ5q/ + γνq/1γµγ5q/)

1 4

+m1(q/2γνq/1γµ + m2

2γνγµ + q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γνγµγ5)

−m2(γ5q/2γνγµq/ + γ5γνq/1γµq/ + γ5q/2γνγµγ5q/ + γ5γνq/1γµγ5q/)

−m1(γ5q/2γνq/1γµ + m2

2γ5γνγµ + γ5q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γ5γνγµγ5)(cid:3)

g∗ ZfijR YhfijLm2Tr [2q/2γνγµq/ + 2γνq/1γµq/ − 2γ5q/2γνγµq/ − 2γ5γνq/1γµq/]

g∗ ZfijR YhfijLm2Tr [(1 − γ5)q/2γνγµq/ + (1 − γ5)γνq/1γµq/]

Tr[3(cid:48)] =

g∗ ZfijL YhfijRTr[(1 + γ5)(m2a + m1b − m2c − m1d)]

g∗ ZfijL YhfijRTr [m2(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/ − q/2γνγµγ5q/ − γνq/1γµγ5q/)

1 4 1 2 1 4 1 4

+m1(q/2γνq/1γµ + m2

2γνγµ − q/2γνq/1γµγ5 − m2

2γνγµγ5)

+m2(γ5q/2γνγµq/ + γ5γνq/1γµq/ − γ5q/2γνγµγ5q/ − γ5γνq/1γµγ5q/)

+m1(γ5q/2γνq/1γµ + m2

2γ5γνγµ − γ5q/2γνq/1γµγ5 − m2

2γ5γνγµγ5)(cid:3)

g∗ ZfijL YhfijRm2Tr [2q/2γνγµq/ + 2γνq/1γµq/ + 2γ5q/2γνγµq/ + 2γ5γνq/1γµq/]

g∗ ZfijL YhfijRm2Tr [(1 + γ5)q/2γνγµq/ + (1 + γ5)γνq/1γµq/]

Tr[4(cid:48)] =

g∗ ZfijR YhfijRTr[(1 + γ5)(m2a + m1b + m2c + m1d)]

g∗ ZfijR YhfijRTr [m2(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/ + q/2γνγµγ5q/ + γνq/1γµγ5q/)

1 4 1 2 1 4 1 4

+m1(q/2γνq/1γµ + m2

2γνγµ + q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γνγµγ5)

131

+m2(γ5q/2γνγµq/ + γ5γνq/1γµq/ + γ5q/2γνγµγ5q/ + γ5γνq/1γµγ5q/)

+m1(γ5q/2γνq/1γµ + m2

2γ5γνγµ + γ5q/2γνq/1γµγ5 + m2

2γ5γνγµγ5)(cid:3)

1 4

g∗ ZfijR YhfijRm1 × Tr (cid:2)2q/2γνγµq/ + 2m2

2γνγµ + 2m2

2γνγµ

2γ5γνγµ + 2γ5q/2γνγµq/(cid:3) ZfijR YhfijRm1Tr (cid:2)(1 + γ5)q/2γνq/1γµ + (1 + γ5)m2 g∗

1 2

(cid:3) .

(B.12)

Cộng Tr[1(cid:48) + 2(cid:48) + 3(cid:48) + 4(cid:48)] vừa tính ở trên ta có

2Tr[I] = g∗

2γνγµ

+ g∗

ZfijL YhfijLm1Tr (cid:2)(1 − γ5)q/2γνq/1γµ + (1 − γ5)m2 ZfijR YhfijLm2Tr [(1 − γ5)q/2γνγµq/ + (1 − γ5)γνq/1γµq/]

+ g∗

(cid:3)

+ g∗

2γνγµ

(cid:3) (B.13)

= Tr

(q/2γνq/1γµ + m2

ZfijL YhfijRm2Tr [(1 + γ5)q/2γνγµq/ + (1 + γ5)γνq/1γµq/] ZfijR YhfijRm1Tr (cid:2)(1 + γ5)q/2γνq/1γµ + (1 + γ5)m2 2γνγµ)(g∗

ZfijL YhfijLm1 + g∗

+(q/2γνq/1γµ + m2

2γνγµ)(g∗

ZfijR YhfijRm1) (cid:105) ZfijL YhfijLm1γ5)

ZfijR YhfijRm1γ5 − g∗

(cid:104)

(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)(g∗

ZfijR YhfijLm2 + g∗

ZfijL YhfijRm2)

1 2

+(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)(g∗

(cid:104)

= Tr

(cid:105) ZfijR YhfijLm2)

2γνγµ)(K +

ZfijL YhfijRm2 − g∗ LL,RR − K −

=⇒

+(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)(K +

RL,LR + K −

LL,RRγ5) (cid:105) LR,RLγ5)

(cid:104) (q/2γνq/1γµ + m2

Tr[I] =

(q/2γνq/1γµ + m2

2γνγµ)K +

LL,RR − (q/2γνq/1γµ + m2

1 2

2γνγµ)γ5K − LL,RR (cid:105)

+(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)K +

RL,LR + (q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)γ5K −

LR,RL

Tr[A + B + C + D], với

1 2

2γνγµ)]

= 4Tr[γαγνγβγµ]qα

Tr[A] = Tr[(q/2γνq/1γµ + m2 2 qβ

132

(cid:104)

= 4qα

2 qβ

1 [gανgβµ + gαµgνβ − gαβgµν]

= 4[q2νq1µ + q2µq1ν − q1q2gµν]

⊃ 4[(qν − p1ν)qµ + (qµ − p2µ)(qν − p1ν)]

= 4[qµqν − qµp1ν + qµqν − qµp1ν − qνp2µ + p1νp2µ]

= 4[2qµqν − 2qµp1ν − qνp2µ + p1νp2µ],

= −qα

1 Tr[γ5γαγνγβγµ]

(B.14)

= −qa

Tr[B] ⊃ −Tr[(q/2γνq/1γµγ5)] 2 qβ 2lphaqβ

2 qβ

1 (−4i)εµναβ = 4iqα

1 εµναβ = −4iqα

1 εµανβ,

= qα

= 4qα

Tr[C] = Tr[q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/] 1 qβTr[γνγαγµγβ] 2 qβTr[γαγνγµγβ] + qα 2 qβ[gανgβµ + gαβgµν − gαµgνβ] + 4qα

1 qβ[gναgµβ + gνβgαµ − gµνgαβ]

= 4[q2νqµ + qq2gµν − q2µqν] + 4[q1νqµ + q1µqν − qq1gµν]

⊃ 4[2qµ(qν − p1ν) − qν(qµ − p2µ) + qµqν − 0]

(B.15)

= 4[2qµqν − 2qµp1ν + qνp2µ],

Tr[D] = Tr[(q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)γ5]

1 qβεµναβ =⇒ Tr[I]

4(2qµqν − 2qµp1ν − qνp2µ + p1νp2µ)K +

2 qβ

1 εµναβ

LL,RR + 4iqα

(B.16)

= 4iqα 2 qβεµναβ − 4iqα 1 (cid:104) 2 × K −

2 qβ − qα

1 qβ)εµναβ

LL,RR + 4(2qµqν − 2qµp1ν + qνp2µ)K +

RL,LR + 4i(qα

= 4(K +

(cid:105)

− 2ipα

LL,RR + K + RL,LR − K + + 2(K + 1 pβ 2 K −

LL,RRp2µp1ν 2 (K −

LR,RL)(qµqν − qµp1ν) LL,RR)qνp2µ + 2K + LL,RRεµανβ + 2iεµανβqαpβ

LL,RR − K −

LR,RL).

(B.17)

⊃ (C12 + C22)p2µp1ν

qµqν D0D1D2

133

Chuyển sang hàm PV

⊃ −C2p2µp1ν

⊃ −(C1 + C2)p2µp1ν.

qµp1ν D0D1D2 qµp2µ D0D1D2

(B.18)

Biên độ giản đồ 1 hình 2.1 khi xung lượng các hạt có chiều ngược lại

iM (cid:48)

(1)µν = (−1) ×

hfijR PL

(cid:90) (cid:17) (cid:104) −i (cid:16) hfijL PR + Y ∗ Y ∗

(cid:1)(cid:3)

(ie Q γν)

ddq (2π)d × Tr (cid:2)i (cid:0)gZfijL γµPL + gZfijR γµPR i(−q2/ + m2) D0

i(−q/ + m1) D0 i(−q/1 + m2) D1 (cid:90)

iM(cid:48)

(1)µν = −e Q

1 D0D1D2

(cid:21)

K +∗

1 2

ddq (2π)d × (cid:104)(cid:0)q/2γνq/1γµ + m2 2γµγν (cid:16)

LL,RR + K −∗ LL,RRγ5 (cid:17)(cid:105)

K +∗

+ (q/2γνγµq/ + γνq/1γµq/)

LR,RL − K −∗

LR,RLγ5

(cid:17) (cid:1) (cid:16)

iM(cid:48)

1 D0D1D2 (cid:17)

(1)µν → −e Q (cid:16)

(cid:90)

K +

(qµqν − qµp1ν)

ddq (2π)d × LL,RR + K +

LR,RL (cid:17)

(cid:110)

LL,RR + K + −K + LR,RL (cid:104) (cid:16)

p2µqν + 2K + LL,RRp2µp1ν (cid:17)

(cid:16)

qλpα

K −

+ pλ

+i(cid:15)µναλ

2 × 2

1pα

2 ×

LL,RR − K −

LR,RL

LL,RR

(cid:17)(cid:105) (cid:111) (cid:16) −2K −

(B.19)

Ở đây chúng tôi đã sử dụng tính chất vết của tích các ma trận γ sẽ

không đổi khi đảo ngược thứ tự tất cả các vị trí của ma trận, xem phụ lục

của tài liệu [131]. Ví dụ chứng minh được: Tr[q/2γνγµq/] = Tr[q/γµγνq/2].

Đóng góp của F21 từ giản đồ 1 hình 2.1

K +

(C12 + C22 + C2)

F21,fijj = F (1)

21 = −

LL,RR + K +

e Q Nc 16π2

134

(cid:16) (cid:104) 4 (cid:17) LR,RL + c.c.

K +

(C1 + C2) + 2(K +

LL,RR − K +

LL,RR + c.c.)C0

(cid:16) (cid:105) (cid:17) LR,RL + c.c.

(B.20)

Giản đồ 5 hình 2.1: Chi tiết các thành phần trong phương trình (2.14)

× [−(q1 + p2)βgλ

V1,1V2,1 = [2qµgβλ − (q + p1)λgµβ − (q1 − p1)βgµλ] ν + 2q1νgβλ]

ν − (q2 − p2)λgβ

= 4qµq1νd − 2qµ(q1 + p2)ν − 2qµ(q2 − p2)ν − 2q1ν(q + p1)µ

+ (q + p1)ν(q1 + p2)µ + (q + p1)(q2 − p2)gµν − 2q1ν(q1 − p1)µ

+ (q1 − p1)(q1 + p2)gµν + (q1 − p1)ν(q2 − p2)µ

= 4qµq1νd − 2qµ(q1ν + p2ν) − 2qµ(q2ν − p2ν) − 2q1ν(qµ + p1µ)

+ (qν + p1ν)(q1µ + p2µ) − 2q1ν(q1µ − p1µ) + (q1ν − p1ν)(q2µ − p2µ)

= 4qµq1νd − 2qµq1ν − 2qµp2ν − 2qµq2ν + 2qµp2ν − 2qµq1ν − 2q1νp1µ

+ qµqν + qνp2µ + qµp1ν + p1νp2µ − 2qµq1ν + 2q1νp1µ

+ q1νq2µ − q1νp2µ − p1νq2µ + p1νp2µ

= 4qµ(qν − p1ν)d − 6qµ(qν − p1ν) − 2qµ(qν − p1ν) − 2(qν − p1ν)p1µ

+ qµqν + qνp2µ + qµp1ν + 2p1νp2µ + 2(qν − p1ν)p1µ + (qν − p1ν)

× (qµ − p2µ) − (qν − p1ν)p2µ − p1ν(qµ − p2µ)

= 4dqµqν − 4dqµp1ν − 6qµqν + 6qµp1ν − 2qµqν + 2qµp1ν − 2qνp1µ

+ 2p1µp1ν + qµqν + qνp2µ + qµp1ν + 2p1νp2µ + 2qνp1µ − 2p1µp1ν

+ qµqν − qνp2µ − qµp1ν + p1νp2µ − qνp2µ + p1νp2µ − qµp1ν + p1νp2µ

được tính như sau

= (4d − 6)qµqν + (7 − 4d)qµp1ν − p2µqν + 5p2µp1ν.

(B.21)

Tương tự như vậy ta có

V1,2V2,2 = (cid:2)−qµq1λ + (q2

1 − p2

1)gµλ

135

(cid:3)

× [qλ 1

ν q2 δβ

2 − q1νqβ

ν q2

1 − q1νqλ 1

+ qβ 2

= −qµq2

1q1ν + 2qµq1νq2

1q.q2

+ (q2

2 + q.q2q2

1gµν − 2q1νq1µq.q2]

1q1ν + 2q1νq2

1q.q2]

+ (q2

2qν − qµq.q2q2 1q2 1)[q1µqνq2 1 − p2 2qν − q.q2q2 1q2 = qµ[−q2 1)[q1µqνq2 1 − p2

= qµ[q2

1q.q2(qν − p1ν) − q2

1 − p2

1)q1µ

2 − 2q1νq1µq.q2] 1q2

2qν] + (q2

× [qνq2

= qµ[q2

1q.q2p1ν − q2

1q2

2qν]

+ (q2

= q2

2 − 2(qν − p1ν)qq2] 1q.q2qν − q2 1 − p2 1)qµ[q2 1q.q2qµqν − q2

2qν − 2qq2qν + 2qq2p1ν] 1q.q2qµp1ν − q2

1q2

2qµqν + qµqν(q2

1 − p2

1)q2 2

= qµqν[−p2

1 − q2 1)

− 2qµqνq.q2(q2 1q2 = qµqν[−p1q2

1) + 2q.q2qµp1ν(q2 1 − p2 2 + q.q2(2p2 1 − q2 2 + 1/2(q2 + q2

1 − p2 1) 1)] − qµp1ν(2p2 2 − p2 3)(2p2 1 − q2

1)]

(q2 + q2

−

2 − p2

3)(2p2

1 − q2

1),

qµp1ν 2 V1,2V2,1 = qβ[−qµq1λ + (q2

× [−(q1 + p2)βgλ

1 − p2 1)gµλ] ν − (q2 − p2)λgβ

ν + 2q1νgβλ]

= q(q1 + p2)qµq1ν + qνqµq1(q2 − p2) − 2qµq1νq.q1 − (q2

1 − p2 1)

× q(q1 + p2)gµν − (q2

1 − p2

1)(q2 − p2)µqν + 2q1νqµ(q2

1 − p2 1)

→ qµq1ν[qq1 + qp2 − 2qq1 + 2q2

1 − 2p2

1] + qµqνq1(q2 − p2)

− (q2

1)(qµ − 2p2µ)qν 1 − 2p2

1 − q.q1 + qp2) + qµqνq1(q2 − p2)

− (q2

1 − p2 = qµq1ν(2q2 1 − p2 = qµqν(2q2

1 + p2 1)

1 − qq + qp2 + q1q2 − q1p2 − q2

1)(qµqν − 2p2µqν) 1 − 2p2

136

(cid:16) (cid:17) (cid:0)δλ (cid:1)]

− qµp1ν(2q2

1 − 2p2

1 − qq1 + qp2) + qνp2µ(2q2

1 − 2p2 1)

= qµqν[q2

1 − p2

1 + q1(q2 − q) + p2(q − q1)]

− qµp1ν(2q2

1 − qq1 + qp2) + qνp2µ(2q2

− 2q2

1 − 2p2 1 + q2 2 − 1/2q2 − 1/2p2 1 − p1p2) + qνp2µ(2q2

1 − 2p2 1) 1 + p1p2) + qµp1ν(1/2q2 + 1/2q2 2 1 − 2p2

1),

= qµqν(1/2q2 1 + 3/2p2

V1,1V2,2 = [2qµgβλ − (q + p1)λgµbeta − (q1 − p1)βgµλ]

× [qλ

ν q2

2 − q1νqβ

ν q2

1 − q1νqλ

1 )]

2 ) + qβ

2 (gλ

1 (gβ = 2qµ[q1nuq2

2 − q1νq1.q2] + 2qµ[q2νq2

1 − q1νq1.q2]

− q1(q + p1)[q2

2gµν − q1νq2µ]

− q2µ[(q + p1)νq2

1 − q1νq1(q + p1)] − q1µ[(q1 − p1)νq2 2

− q1νq2(q1 − p1)] − q2(q1 − p1)[gµνq2

1 − q1µq1ν]

→ q1νq2µq1(q + p1) − q2µ[(q + p1)νq2

1 − q1νq1(q + p1)]

− q1µ(q1 − p1)νq2

2 + q1µq1νq2(q1 − p1) + q1µq1νq2(q1 − p1)

= 2q1νq2µq1(q + p1) − q2µ(q + p1)νq2

2 + q1µq1νq2

× (q1 − p1) + q1µq1νq2(q1 − p1) + 2qµqν(q2

1 − q1µ(q1 − p1)νq2 2 − q1q2 + q2

− qµ(qν − 2p1ν)q2

1 − q1q2) = 2q2µq1νq1(+p1) + 2q1µq1νq2(q1 − p1) − (qµ − p2µ)(qν + p1ν)q2 1 2 + 2qµ(qν − p1ν)(q2 − q1)2

= 2(qν − p1ν)(qµ − p2µ)q1(q + p1) + 2qµ(qν − p1ν)q2(q1 − p1)

− (qµ − p2µ)(qν + p1ν)q2

1 − qµ(qν − 2p1ν)q2 2

= (qµqν − qνp2µ − qµp1ν + p1νp2µ)2q1(q + p1) + (qµqν − qµp1ν)2q2

= qµqν(q2 + q2

1 − (qµqν − 2qµp1ν)q2 2 1 + q2

1 − 2p1p2)

2 + p2

1 − p2 + qνp2µ(−2q2 + q2

× (q1 − p1) − (qµqν − qνp2µ + qµp1ν − p1νp2µ)q2 1 + 2p1p2) + qµp1ν(−q2 − 3q2 1) + p2µp1ν(2q2 + q2 1 + 2p2

1 − 2p2

1).

137

(B.22)

Giản đồ 7 hình 2.1: Bởi vì photon luôn kết hợp với hai boson chuẩn

giống hệt nhau, biên độ tương ứng với giản đồ 7 trong hình 2.1 là

gαα(cid:48)

−

iM(7)µν =

ddq (2π)d (ighZZ gµα)

(cid:32) (cid:33) (cid:90)

gλρ −

× [−igZViViΓα(cid:48)βλ(p2, q2, −q1)]

gδβ −

× [−ie QΓνρδ(−p2, q1, −q2)]

−i 2 − m2 p2 Z −i D1 (cid:32) −i D2

2 pα(cid:48) pα 2 m2 Z 1 qρ qλ 1 m2 1 (cid:33) 2qβ qδ 2 m2 1

(cid:19) (cid:18)

= (e Q ghZZ gZViVi)

1µαβV (cid:48)αβ V (cid:48) 2ν ,

ddq (2π)d

1 ZD1D2

(cid:90) (B.23)

ở đây đã đổi biến số q → q1 = q − p1, dẫn đến q − p2 → q2 và ddq → ddq1 = ddq. Các ký hiệu khác trong phương trình (B.23) được viết như sau

gαα(cid:48)

−

Γραβ(p2, q2, −q1)

V (cid:48) 1µλβ ≡ gµα

2 pα(cid:48) pα 2 m2 Z

→ (q1 + q2)µgλβ + gµβ(−q2 + p2)λ + gµλ(−q1 − p2)β

(−2q1.p2gλβ + p2λq1β + q2λp2β)

p2µ m2 Z ≡ V (cid:48)

1,1µβλ +

V (cid:48) 1,2µβλ,

2ν → V λβ V λβ

2,1ν +

(cid:32) (cid:33)

1 m2 Z 1 V λβ 2,2ν, m2 1 2ν trong phương trình (2.12) với m2 → m1. Sử

2ν đồng dạng với V λβ dụng thay thế ở (2.10), chúng tôi có

ở đây V λβ

iM(7)µν → (e Q ghZZ gZViVi)

1 D1D2

(cid:90)

1 m2 Z (cid:0)V (cid:48)

1,1V3,2

V (cid:48) 1,1V3,2 m2 W

ddq (2π)d V (cid:48) 1,2V3,1 m2 Z

1 m4 W

W ) − p2µq1ν(−D1 + 2D2 + m2

W ),

V (cid:48) 1,1V3,1 → (2d − 3)(q1 + q2)µq1ν = (2d − 3)(2q1 − p2)µq1ν, 1,1V3,2 → q1µq1ν(D1 + D2 + 2m2 V (cid:48) V (cid:48) 1,2V3,1 → p2µq1ν(q1.p2) × (−4d + 6),

138

(cid:21) (cid:1) (cid:20) V (cid:48) 1,1V3,1 +

V (cid:48) 1,1V3,2 → p2µq1ν

W )(cid:3) .

D1 → D0 và D2 → D(cid:48)

(B.24) (cid:2)−(q1.p2)(D1 + D2 + 2m2

1 = q − p2, W chỉ chứa động lượng bên ngoài

p2. Kết quả bây giờ là

iM(7)µν → (e Q ghZZ gZViVi)

Thay đổi biến tích phân q → q − p1 = q1, dẫn đến q2 → q(cid:48) 1 = (q − p2)2 − m2

−

(2d − 3)m4 W

(cid:26) (cid:21) (cid:90)

−

− p2µq1ν

ddq (2π)d × (cid:20) qµqν

+m2 W

2 D0

p2µqν D0D(cid:48) 1 1 D(cid:48) 1

− p2µ(q.p2)

(cid:20) 2qµqν D0D(cid:48) 1 (cid:19) (cid:18) (cid:19)(cid:21)

2m2 1 W D0D(cid:48) D0 1 p2µqν(q.p2) D0D(cid:48) 1

qν D(cid:48) 1

1 m2 Zm4 1 (cid:18) 1 D(cid:48) 1 (−4d + 6)m4 W m2 Z

m2 W D0D(cid:48) 1 (cid:21)(cid:27) 2m2 W qν D0D(cid:48) 1 (B.25)

(cid:20) qν D0

Tất cả các số hạng trong phương trình (B.25) chứa yếu tố qν. Do đó

trong kết quả cuối cùng được viết theo dạng hàm PV, M(7)µν sẽ chỉ bao

gồm hàm A và B luôn chứa một trong 2 hệ số gµν hoặc p2ν, do đó không

139

đóng góp vào F21p2µp1ν.

Phụ lục C

Công thức giải tích tính ∆

(i)V L,R của

LFVHD trong chuẩn unitary

L,R , ở đây i có ý nghĩa là giản đồ (i) trong

Các biểu thức giải tích của ∆(i)W

4.1

9 (cid:88)

− m2

U ν∗ ai U ν bi

bB(2)

1 − B(1)

0 − B(2)

∆(1)W L

m2 ni

(cid:110) (cid:17) (cid:16) B(1)

2m2

a − m2 b

m2 ni

C0 − (cid:2)2m2 (cid:16)

(cid:17) (cid:1)

+ m2 (cid:111)

+ m2

+ m2 ni

g3cαma 64π2m3 W i=1 (cid:16) W + m2 h0 1 (cid:104) (cid:105) 2m2 m2 h0 W 1

W a − m2 h0 1

W + m2 ni (cid:105) bm2 h0 1

(cid:0)2m2 (cid:17)

9 (cid:88)

B(2)

+ m2

ai U ν U ν∗ bi

aB(1)

1 + B(1)

0 + B(2)

∆(1)W R

−m2 ni

(cid:110) (cid:16) (cid:17)

2m2

C0 −

(cid:17) (cid:104) (cid:105)

− m2

2m2 W a + m2 b

b − m2 h m2 h0 1

(cid:1) + m2 am2 h0 1 (cid:111) (cid:105) (cid:104) 2m2 W (cid:0)m2 (cid:1) + m2 ni

g3cαmb 64π2m3 W i=1 (cid:16) W + m2 m2 h0 ni 1 (cid:0)2m2 W + m2 ni 9 (cid:88)

B(12)

W C0 + (2m2

λ0∗ ij mnj

ai U ν U ν∗ bj

0 − m2

∆(5)W L

W + m2 ni

(cid:104) (cid:110)

− m2

g3cαma 64π2m3 W i,j=1 (cid:3) + λ0

− m2

b)C1

ijmni

a)C1

1 + (2m2

W + m2 nj

140

(cid:105)(cid:111) (cid:104) B(1)

9 (cid:88)

ai U ν U ν∗ bi

λ0 ijmni

W C0 − (2m2

0 − m2

∆(5)W R

W + m2 nj

(cid:110) (cid:104) B(12)

− m2

g3cαmb 64π2m3 W i=1 (cid:3) − λ0∗

b)C2

ij mnj

− m2 a

W + m2 ni

(cid:105)(cid:111) (cid:1) C2 (cid:104) 1 + (cid:0)2m2 B(2)

9 (cid:88)

B(1)

ai U ν U ν∗ bi

0 − B(2)

∆(7+8)W L

64π2m3

i=1

(cid:16) (cid:17) (cid:104) 2m2 ni

− m2

aB(1)

bB(1)

bcα a − m2 b) (cid:1) (cid:16) 1 + B(2) B(1)

1 − m2

(cid:17) (cid:105)

g3mam2 W (m2 W + m2 ni ∆(7+8)W L

∆(7+8)W R

− (cid:0)2m2 ma mb

+ ∆(i)Y H ±

(C.1)

với i = 4, 6, 9, 10, các biểu thức giải

L = ∆(i)Y H ± L,R là

Đặt ∆(i)Y tích của ∆(i)Y

g3ma

9 (cid:88)

2sαcθ − cαsθ √

= −

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)i

∆(1)Y L

(cid:16)√ (cid:17)

i=1 (cid:17) − m2

(cid:110) (cid:16)

a − m2 b

2π2m3 64 Y 0 − B(2) 1 − B(1) B(1) (cid:17) m2 ni

C0 − (cid:2)2m2 (cid:16)

+ m2 (cid:111)

+ m2

+ m2 ni

bB(2) 1 (cid:0)2m2 Y + m2 ni (cid:105) (cid:17) bm2 h0 1

Y a − m2 h0 1 (cid:17)

m2 ni (cid:16) Y + m2 2m2 h0 1 (cid:104) (cid:105) 2m2 m2 C1 h0 Y 1 (cid:16)√

g3mb

9 (cid:88)

2sαcθ − cαsθ √

= −

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)i

∆(1)Y R

i=1 (cid:17)

(cid:1)

64 (cid:16) B(2)

0 + B(2)

+ m2 (cid:16)

(cid:110)

2m2

C0 −

+ m2 am2 h0 1 (cid:111)

(cid:17) (cid:105)

m2 (cid:1) + m2 ni

aB(1) 1 b − m2 h0 1 m2 h0 1

2π2m3 Y 1 + B(1) −m2 ni (cid:16) (cid:17) Y + m2 m2 h0 ni 1 (cid:0)2m2 Y + m2 ni √ (cid:16)

0 (cid:104) 2m2 Y − m2 a + m2 b (cid:17)

2sαsθ

g3macθ

(cid:105) (cid:104) 2m2 Y

9 (cid:88)

B(1)

U ν∗

0 − B(1)

(a+3)i

∆(2)Y L

λL,1 bi mni

(cid:104) (cid:110)

i=1 (cid:16)

Y − m2

cαcθ + 64π2mW m2 Y − m2 h0 1

C0 + (cid:16)

+ m2 h0 1 (cid:105)(cid:111) (cid:17)

Y + m2 H ± 1 (cid:104) 2m2

+ λR,1

Y C1 −

Y + m2

bi mb

H ± 1 − m2 h0 1

H ± 1

141

(cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:105)

√

g3cθ

2sαsθ

9 (cid:88)

U ν∗

(a+3)i

∆(2)Y R

(cid:16) (cid:17)

cαcθ + 64π2mW m2 Y (cid:104) −2m2

(cid:17) (cid:105) (cid:16) (cid:110)

B(1)

Y − m2 H ± 1 (cid:16) m2

+ m2 h0 1 (cid:17)(cid:105)

λL,1 bi mbmni (cid:104) −m2 ni (cid:16)

aB(1) − m2 a

1 + m2 ni (cid:16) Y − m2 m2

+ m2 h0 1 Y − m2 H ± 1 + m2 h0 1

H ± 1

i=1 Y C0 − 0 + m2 (cid:17) − m2 b (cid:3)(cid:9) , (cid:17)

m2 h0 1 bm2 Y C2 √ 2sαsθ

+ λR,1 bi (cid:104) 2m2 Y ×C1 + 2m2 (cid:16) g3cθ

9 (cid:88)

U ν

(b+3)i

∆(3)Y L

(cid:17)

cαcθ + 64π2mW m2 Y (cid:104) −2m2

+ λR,1∗ ai

+ m2 h0 1

m2 (cid:16)

C1 (cid:17)

λL,1∗ ai mamni B(2)

+ m2 h0 1

H ± 1

Y − m2 H ± 1 m2 Y − m2 (cid:17)

−

i=1 Y C0 + bB(2) 0 − m2 1 + m2 ni (cid:16) (cid:104) m2 2m2 h0 Y 1 (cid:17)(cid:105)

− m2 a (cid:105)(cid:111)

− m2 b

Y C1 − Y − m2 H ± 1 √

+ m2 h0 1 (cid:17)

(cid:110) (cid:16) (cid:17) (cid:105)

2sαsθ

g3cθ

9 (cid:88)

U ν

(b+3)i

∆(3)Y R

i=1

(cid:104) −m2 ni − 2m2 am2 (cid:16) m2 (cid:16)

cαcθ + 64π2mW m2 Y (cid:104) B(2)

(cid:110)

λL,1∗ ai mni (cid:16)

C0 −

m2 (cid:17)

+ m2 h0 1 (cid:105)(cid:111)

Y + m2 (cid:104)(cid:16)

+ λR,1∗

H ± 1 m2

Y − m2 H ± 1 C1 − 2m2

Y C2

0 + B(2) (cid:17) − m2 h0 1 Y + m2

ai ma

− m2 h0 1

H ± 1

9 (cid:88)

∆(4)Y H ±

(cid:16) (cid:17) (cid:105)

ai λL,k

bi mniC0

g2λ± fk Hk 16π2m2 W

i=1

(cid:104) −λR,k∗

− λL,k∗

ai λR,k

bi mbC2

9 (cid:88)

∆(4)Y H ±

(cid:105)

ai λR,k

bi mniC0

bi maC1 + λR,k∗ ai λL,k g2λ± fk Hk 16π2m2 W

i=1

(cid:104) −λL,k∗

− λR,k∗

ai λL,k

ai λR,k

bi mbC2

bi maC1 + λL,k∗

142

(cid:105)

9 (cid:88)

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)j

∆(5)Y L

g3cαma 64π2mW m2 Y (cid:110) (cid:104) B(12)

− m2 a

λ0∗ ij mnj (cid:104)

Y + m2 ni (cid:105)(cid:111) (cid:17)

+ λ0

i,j=1 0 − m2 (cid:16) 2m2

B(1)

ijmni

Y C0 + (cid:0)2m2 − m2 Y + m2 b nj

1 + 9 (cid:88)

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)j

∆(5)Y R

(cid:105) (cid:1) C1

− m2 b

− λ0∗

Y + m2 nj (cid:105)(cid:111) (cid:1) C2

ij mnj

− m2 a

g3cαmb 64π2mW m2 Y i,j=1 (cid:110) B(12) λ0 0 − m2 ijmni (cid:104) 1 + (cid:0)2m2 B(2)

Y C0 − Y + m2 ni

(cid:104) (cid:17) (cid:105) (cid:16) 2m2

9 (cid:88)

= −

∆(6)Y H ±

λ0∗ ij

ai λL,k λR,k∗

g3cαfk 32π2m3 W

i,j=1

(cid:110) (cid:104)

B(12)

C0 − m2

bC2

0 + m2

H ± k

(cid:16) (cid:17)

bj mamniC1 ai λR,k

bj mnimb(C0 + C2)

(cid:105)

+ λ0 ij + λL,k∗

ai λL,k

ai λR,k

aC1 + m2 ai λL,k ai λR,k + λR,k∗ bj mbmnjC2 − λL,k∗ (cid:104) bj mnimnjC0 + λR,k∗ ai λL,k λR,k∗ bj mamnj(C0 − C1) + λL,k∗

bj mamb(C0 − C1 + C2)

(cid:105) (cid:111)

9 (cid:88)

= −

∆(6)Y H ±

λ0 ij

g3cαfk 32π2m3 W

i,j=1

(cid:110) (cid:104) ai λR,k λL,k∗

B(12)

C0 − m2

bC2

0 + m2

H ± k

(cid:16) (cid:17)

bj mnimb(C0 + C2)

(cid:105)

+ λ0∗ ij + λR,k∗

ai λR,k

ai λL,k

bj mamb(C0 − C1 + C2)

(cid:105) (cid:111)

aC1 + m2 ai λR,k bj mbmnjC2 − λR,k∗ ai λL,k + λL,k∗ bj mamniC1 (cid:104) ai λL,k bj mnimnjC0 + λL,k∗ ai λR,k λL,k∗ bj mamnj(C0 − C1) + λR,k∗ g3mam2

9 (cid:88)

B(1)

0 − B(2)

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)i

∆(7+8)Y L

2m2 ni

64π2mW m2

i=1

(cid:104) (cid:16) (cid:17)

bcα Y (m2 (cid:1) (cid:16)

− m2

aB(1)

bB(2)

1 − m2

a − m2 b) 1 + B(2) B(1)

∆(7+8)Y R

Y + m2 ni ∆(7+8)Y L

− (cid:0)2m2 ma mb

143

(cid:105) (cid:17)

9 (cid:88)

∆(9+10)Y H ±

= −

ai λR,k

(cid:104) mambmniλL,k∗

bB(1) (cid:17) (cid:16)

(cid:16) (cid:17) (cid:16) B(1)

0 − m2 B(1)

+ mamb

aB(2) 1 + B(2)

ai λL,k ai λR,k

bi ma

g3cαfk a − m2 W (m2 b) i=1 (cid:17) + mniλR,k∗ bi mb + λR,k∗

9 (cid:88)

∆(9+10)Y H ±

= −

(cid:17)(cid:105)

ai λL,k

(cid:104) mambmniλR,k∗

ai λR,k

bB(1) (cid:17) (cid:16)

(cid:16) (cid:17) (cid:16) B(1)

0 − m2 B(1)

+ mamb

aB(2) 1 + B(2)

32π2m3 0 − B(2) 0 (cid:16) ai λR,k λR,k∗

ai λL,k

32π2m3 0 − B(2) 0 (cid:16) ai λL,k λL,k∗ g3cαfk a − m2 W (m2 b) i=1 (cid:17) + mniλL,k∗ bi mb + λL,k∗

bi ma

L,R và ∆(3)Y

L,R , ∆(2)Y

(cid:17)(cid:105) (C.2)

ở đây f1 = cθ và f2 = 1/2. Chúng tôi lưu ý rằng các hàm vô hướng ∆(1)W L,R , ∆(1)Y L,R trong (C.2) bao gồm những phần không phụ thuộc vào mni do đó chúng bị triệt tiêu bởi cơ chế GIM. Ở đây những đóng góp

mới được tạo ra ngoài những đóng góp được tính toán trong các công bố

0 =divB(12)

0 =divB(2)

trước [95, 143, 144].

√

1/mY =

2sθ/mW , những phần phân kỳ còn lại là

khác nhau chỉ chứa trong hàm B: divB(1) −2 divB(2) biểu thức trong (C.2). Bỏ qua yếu tố chung g3/(64π2m3 Việc khử phân kỳ trong tổng ∆L,R được thực hiện như sau. Các phần 0 = 2divB(1) 1 = 1 = ∆(cid:15). Xét ∆L chúng ta có thể rút ra các phần khác nhau của W ) và sử dụng

div

−

= ma∆(cid:15) ×

ai U ν U ν∗

∆(1)W L

bim2 ni

3cα 2

i=1

(cid:19) 9 (cid:18) (cid:104) (cid:105) (cid:88)

9 (cid:88)

div

= ma∆(cid:15) × cα

λ0∗ ij mnj +

ai U ν U ν∗ bj

λ0 ijmni

∆(5)W L

1 2

(cid:18) (cid:19) (cid:104) (cid:105)

i,j=1 (cid:105)

div

= div

= 0,

∆(7+8)W L

∆(7+8)Y L

(cid:105) (cid:104) (cid:104) (cid:105) (cid:104) ∆(4)Y L

div

2sαcθ − cαsθ

= ma∆(cid:15) × 3s3 θ

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)im2 ni

i=1

144

(cid:105) (cid:16)√ (cid:17) 9 (cid:88) (cid:104) ∆(1)Y L

√

div

= ma∆(cid:15) × s2

cαcθ +

2sαsθ

θcθ

(a+3)iλL,1 U ν∗

bi mni,

i=1

√

(cid:105) (cid:16) (cid:17) 9 (cid:88) (cid:104) ∆(2)Y L

div

2sαsθ

= ma∆(cid:15) ×

cαcθ +

θcθ

(a+3)iU ν U ν∗

∆(3)Y L

(b+3)im2 ni

i=1

(cid:16) (cid:104) (cid:105) (cid:17)(cid:105) 9 (cid:88) (cid:104) −2s2

9 (cid:88)

div

= ma∆(cid:15) × 2s2

λ0∗ ij mnj +

λ0 ijmni

θcα

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)j

∆(5)Y L

1 2

i,j=1

(cid:19) (cid:18) (cid:104) (cid:105)

9 (cid:88)

div

= ma∆(cid:15) × (cid:0)−2cαc2

(a+3)iλ0∗ U ν∗

ij λL,1 bj ,

i,j=1

(cid:105) (cid:1) (cid:104) ∆(6)Y H ±

9 (cid:88)

div

= ma∆(cid:15) × (−cα)

ai λ0∗ U ν∗

ij λL,2 bj ,

i,j=1

(cid:105) (cid:104) ∆(6)Y H ±

9 (cid:88)

div

∆(9+10)Y H ±

= ma∆(cid:15) × (cid:0)2cαc2

(a+3)iλL,1 U ν∗

bi mni,

i=1

(cid:104) (cid:105) (cid:1)

9 (cid:88)

div

∆(9+10)Y H ±

= ma∆(cid:15) × cα

ai λL,2 U ν∗

bi mni.

i=1

(cid:105) (cid:104) (C.3)

U ν( ˆM ν)2U ν† = (U ν∗ ˆM νU ν†)∗U ν∗ ˆM νU ν† = M ν∗M ν

Chúng tôi sẽ sử dụng phương trình M ν = U ν∗ ˆM νU ν† và

m∗

m†

RM T R

 

M †

XµX

DMR M ∗ RµX RMR + µ∗

DmT D 0 M † RmT D

       

9 (cid:88)

0 DmD + M ∗ XM T µ∗ R U ν( ˆM ν)2U ν†(cid:105) (cid:104)

= (m∗

div

∼

DmT

D)ba

ai U ν U ν∗

bim2 ni

DmD)ba,

(cid:105) (cid:104) ∆(1)W L,R

9 (cid:88)

i=1 = (m† 9 (cid:88)

div

∼

ai U ν U ν∗

bjλ0∗

ij mnj,

ai U ν U ν∗

bjλ0

ijmni = (m∗

DmT

D)ba

i,j=1

i,j=1 = (m†

DmD)ba,

(cid:105) (cid:104) ∆(5)W L,R

9 (cid:88)

div

∼

U ν( ˆM ν)2U ν†(cid:105)

(a+3)iU ν U ν∗

∆(1,3)Y L,R

(b+3)im2 ni

(b+3)(a+3)

i=1

145

(cid:104) (cid:105) (cid:104)

= (m†

RM T

R )ba,

DmD + M ∗

9 (cid:88)

div

∆(2)Y, (9+10)Y H ±

∼

DmD)ba + t2

θ(M ∗

RM T

R )ba

(a+3)iλL,1 U ν∗

L,R

bi mni = (m∗

θ(M ∗

RM T

DmD)ba + t2

(cid:104) (cid:105)

R )ba, 9 (cid:88)

i=1 = −(m† 9 (cid:88)

div

∼

ij mnj,

ijmni

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)jλ0

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)jλ0∗ √

2tαtθ(M ∗

i,j=1 RM T R )ba,

DmD)ba −

√

(cid:105) (cid:104) ∆(5)Y L,R

i,j=1 ∼ (m† 9 (cid:88)

div

∼

2tαt3

DmD)ba −

θ(M ∗

RM T

R )ba

(a+3)iλ0∗ U ν∗

L,R

ij λL,1 bj = (m∗ √

2tαt3

θ(M ∗

RM T

R )ba,

DmD)ba −

(cid:105) (cid:104) ∆(6)Y H ±

i,j=1 = −(m† 9 (cid:88)

div

∼

ai λ0∗ U ν∗

ij λL,2

L,R

DmD)ba,

bj = −(m†

i,j=1

(cid:105) (cid:104) ∆(6)Y H ±

9 (cid:88)

div

∼

ai λL,2 U ν∗

DmD)ba,

L,R

bi mni = −(m†

i=1

(cid:105) (C.4) (cid:104) ∆(9+10)Y H ±

= div

+ div

∆(1)W L

∆(5)W L

(cid:104) (cid:105) (cid:105) (cid:105) Từ đây, có thể thấy rằng div ở đây chúng tôi đã sử dụng tính bất đối xứng của mD: mT D = −mD. (cid:104) (cid:104) ∆(6)Y H ± +

div

= 0. Tổng của tất cả các phần phân kỳ là

(cid:105) (cid:104) ∆(9+10)Y H ±

+ ∆(6+9+10)Y H ±

∼

div

(cid:105) (cid:104) ∆(1+2+3+5)Y

(m†

θcθ(3 − 1 − 2) + cα

θ(−3s2

θ − c2

θ − 2c2

θ + 3) + 2s2

θ − 2s2 θ

DmD)ba

(cid:110)√ (cid:3)(cid:111) (cid:2)s2

2sαs2 (cid:20)√

+ (M ∗

2sα

RM T

R )ba

θ + s2

θ − 2c2

θ − 3 + 2(cid:1) + cαs2

θ + s2

θ − 2c2

θ + 2(cid:1)

s2 θ cθ

(cid:21) (cid:0)3c2 (cid:0)−3s2

= 0.

146

(C.5)

Phụ lục D

Công thức giải tích tính biên độ

của rã LFVHD trong 331ISS

Kết quả cuối cùng trong tính toán sẽ được lấy dựa trên các phép biến

đổi như sau

;

(cid:27)

1, kµ D0D1D2

(cid:26)1, kµ Di

→

; C 0, C1pµ

1, kµ D0Di (cid:110) A0, Aµ; B(i)

1, kµ D0Di 1 ; B(12)

0 , B(i)

1 + C2pµ

(cid:111)

(cid:90) ddk (2π)d i 16π2

Đóng góp từ W ±

Giản đồ 1

9 (cid:88)

iMW

ai γµPL U ν∗

aiγνPL U ν

(1) =

(2π)4 ua

i((cid:54) k + mni) D0

(cid:90) d4k

ig √ 2

(cid:20) ig √ 2

[−ig mW cα gαβ]

gµα −

(cid:18) (cid:19)

gνβ −

i=1 −i D1 −i D2 9 (cid:88)

γµ/kγνPLvbgαβ

ai U ν U ν∗ bi

g3mW cα 2

(k − p1)µ(k − p1)α m2 W (k + p2)ν(k + p2)β m2 W ua D0D1D2

i=1

147

(cid:18) (cid:19)(cid:21)

gµα −

(cid:19) (cid:18)

gνβ −

9 (cid:88)

[I1 + I2 + I3]

ai U ν U ν∗ bi

I1 =

gµν =

i=1 (cid:90) d4k (2π)4

(cid:18) (cid:19)

(2 − d)ua/kPLvb D0D1D2

(k − p1)µ(k − p1)α m2 W (k + p2)ν(k + p2)β m2 W g3mW cα 2 uaγµ/kγνPLvb D0D1D2 = (2 − d)ua [maC1PL − mbC2PR] vb

I2 =

γµ/kγνPLvb

(cid:90) d4k (2π)4

−1 m2 W

(cid:90) d4k (2π)4

(cid:2)(k2/k + k2/p2 + /p2k2 + /p2/k/p2)PL (cid:90) d4k (2π)4

+ m2

uaPLvb

a − m2

b)C1

− m2

(cid:110) (cid:104) 2maB(12) (cid:3) vb 1 − 2maB(12) 0 + ma(2m2 ni

a − m2

b)C2 − m2

(cid:104) −2mbB(12)

b)C2

C0 + ma(m2 H0 C0 − mb(m2 ni (cid:3)(cid:9)

b)C1

γµ/kγνPLvbgαβ

I3 =

1 m4 W

ua D0D1D2 × [(/k + /p2)µ(/k + /p2)ν + (/k − /p1)(/k − /p1)ν] −1 ua m2 D0D1D2 W + (k2/k − k2/p1 − /p1k2 + /p1/k/p1)PL −1 m2 W − 2mam2 ni −2mbB(12) 0 − 2mbm2 ni − mb(m2 a − m2 − m2 H0 (cid:90) d4k ua (2π)4 D0D1D2 × (k − p1)µ(k − p1)α(k + p1)ν(k + p2)β

)(/k + /p2 − /p1) (D1 + D2

(cid:3) + uaPRvb a + m2

(cid:2)(D0 + m2 ni

)PRvb

ua D0D1D2 (cid:1) PLvb + mamb/k(D1 + D2 + 2m2 )(B(12)

)

(cid:3)

uaPLvbma

W − m2 H0 1 − B(12)

W − m2 H0

(B(1)

bB(2)

1 − B(2)

0 ) + (2m2

)

× (m2 ni

W − m2 H0

× (−B(12)

(−B(1)

) + m2

aB(1)

(cid:104) −A0 + (2m2

W − m2 ) H0 (cid:2)−A0 + (2m2 0 − B(2)

0 − B(2) 1 )

0 − B(1) bC2)(cid:3) + uaPRvbmb 1 + m2 ni

148

(cid:90) d4k 1 2m4 (2π)4 W + 2m2 W − m2 H0 1 (cid:110) 2m4 W 1 + m2 − m2 ni (C1 − C0) − m2 2 − B(12)

)(m2

1C1 − m2 ni

(C0 + C2))(cid:3)(cid:9) → (cid:16)

+ (2m2 9 (cid:88)

iMW

B(1)

ai U ν U ν∗

bi × uaPLvb

1 − B(2)

0 − B(1)

(1) =

−A0 + m2 ni

i=1 + (cid:0)2m2

(cid:110) (cid:17)

(cid:1) B(12) (cid:1) B(12)

0 − (cid:0)2m2 (cid:1) C0 − (cid:2)2m2 (cid:0)m2

(cid:1)

W − m2 H0 ig3macα 64π2m3 W W + m2 H0 (cid:0)2m2 W + m2 H0 (cid:3) C1 + (cid:2)2m2

bB(2) W + m2 1 − m2 H0 1 (cid:0)2m2 W + m2 a − m2 + m2 ni b (cid:3) C2 (cid:9) bm2 H0 (cid:16)

W a − m2 H0 (cid:110)

(cid:1) + m2

9 (cid:88)

B(1)

ai U ν U ν∗

bi × uaPRvb

0 + B(2)

−A0 − m2 ni

+ (cid:0)2m2

(cid:17)

(cid:1) B(12) (cid:1) B(12)

(cid:3) C1

0 + (cid:0)2m2 (cid:1) C0 + (cid:2)2m2 − m2

aB(1) 1 am2 H0 (cid:9) ,

2 + m2 (cid:1) − m2 (cid:3) C2

+ m2 ni + (cid:2)2m2 W

W a + m2 b

+ m2 ni + m2 m2 ni H0 g3mbcα 64π2m3 W i=1 W + m2 H0 (cid:0)2m2 W + m2 H0 (cid:0)2m2 W + m2 ni

W + m2 H0 (cid:0)m2 H0 (cid:1) + m2 ni

− m2 b m2 H0

0 = B0(p2

W , m2 ai U ν

2, m2 i=1 U ν∗

W ). Chúng không phụ bi = δab = 0 với a (cid:54)= b L,R , ở đây

1, p2 ở đây A0 = A0(mW ) và B12 thuộc vào mni do đó bị triệt tiêu vì (cid:80)9 và a, b ≤ 3. Kết quả này cũng được sử dụng trong tính ∆(1)Y (cid:80)9

i=1 U ν∗

(b+3)i = δ(a+3)(b+3) = 0.

(a+3)iU ν

(D.1)

Giản đồ 5

9 (cid:88)

iMW

ai γµPL U ν∗

(5) =

(cid:19) (cid:90) d4k

gµν −

bjγνPL U ν

(2π)4 ua i,j=1 i(− (cid:54) k+ (cid:54) p1 + mni) D1 i(− (cid:54) k− (cid:54) p2 + mnj) D2

ijPL + λ0∗ ij PR (cid:18) (cid:19) (−i) D0

kµkν m2 W

9 (cid:88)

ai U ν U ν∗ bj

(cid:19) (cid:3) (cid:2)λ0 (cid:18) ig √ 2 (cid:18) igcα 2mW (cid:19)

ua D0D1D2

i,j=1

g3cα 4mW (cid:26)

(cid:18) ig √ 2 (cid:90) d4k (2π)4

(cid:21)

PLvb

λ0∗ ij mnj

(cid:20) (2 − d)(/p1 − /k) −

+λ0

(2 − d)(−/k − /p2)/k −

/k (−/k − /p2) /k

PLvb

ijmni

/k(/p1 − /k)/k m2 W 1 m2 W

149

(cid:20) (cid:21) (cid:27)

9 (cid:88)

ai U ν U ν∗ bj

ig3cα 64π2m3 W (cid:110)

i,j=1 (cid:104)

− m2

B(12)

a)C1

0 − m2

W + m2 ni

uaPLvbma (cid:16)

(cid:16) (cid:17)

+λ0

W C0 + (2m2 − m2

ijmni

(cid:17)(cid:105)

λ0∗ ij mnj B(1) 1 + (2m2 (cid:104) −λ0∗

W + m2 nj (cid:16) B(2)

+ uaPRvbmb

b)C1 W − m2

1 + (2m2

(cid:17)

)C2 (cid:17)(cid:105)(cid:111)

+ λ0

B(12)

a + m2 ni − m2

ijmni

W C0 − (2m2

b)C2

ij mnj 0 − m2

W + m2 nj

(cid:16) (D.2)

Giản đồ 7

9 (cid:88)

iMW

biγνPL U ν

ai γµPL U ν∗

(7) =

(2π)4 ua

(cid:19) (cid:90) d4k

(cid:19) i((cid:54) k + mni) D0 (cid:18) ig √ 2 (cid:18) ig √ 2

cα

vb ×

gµν −

(k − p1)µ(k − p1)ν m2 W

i=1 i((cid:54) p1 + mb) a − m2 m2 b g3cαmb

(cid:19) (cid:19) (cid:18)

U ν∗ ai U ν bi

(−i) D1 (cid:90) d4k (2π)4

a − m2 b)

i=1

4mW (m2 (cid:20)

(2 − d)/k −

(cid:18) igmb 2mW 9 (cid:88)

(/p1PR + mbPL) vb

ua D0D1

1 m2 W 9 (cid:88)

ai U ν U ν∗

bi × [ua (mbPL + maPR) vb]

ig3mbcα W (m2

a − m2 b)

(cid:21) (/k − /p1)/k(/k − /p1)

B(1)

64π2m3 i=1 (cid:104) A0(mW ) + (2 − d)m2

W B(1)

aB(1)

1 − m2

B(1) 0

1 − m2 ni

1 + 2m2 ni

(cid:105)

(D.3)

Giản đồ 8

9 (cid:88)

iMW

cα

(8) =

(cid:19) (cid:90) d4k

(cid:18) imag 2mW

ai γµPL U ν∗ (cid:20) gµν −

(2π)4 ua i=1 i(− (cid:54) p2 + ma) b − m2 a biγνPL U ν

(cid:19) i((cid:54) k + mni) D0 (cid:19) (cid:21)

m2 (cid:18) ig √ 2

(k + p2)µ(k + p2)ν) m2 W

150

(cid:18) ig √ 2 (−i) D2

ig3macα

9 (cid:88)

U ∗

aiUbi

4mW (m2

b − m2 a)

i=1

(cid:90) d4k (2π)4

(2 − d)/k −

PLvb

ua(−/p2 + ma)

1 D0D2

(/k + /p2)/k(/k + /p2) m2 W

(cid:21) (cid:20)

−g3macα

9 (cid:88)

U ∗

ua(−/p2 + ma)

aiUbi

1 D0D2m2 W

i=1

4π2mW (m2 × (cid:2)(2 − d)m2

)/p2 − /p2/k/p2)(cid:3) PLvb

a − m2 b) W /k − (D0 + m2 ni

(2π)4 × )/k − 2(D0 + m2 ni (cid:90) d4k

−ig3macα

9 (cid:88)

U ∗

ua(−/p2 + ma)

aiUbi

64π2mW (m2

1 D0D2m2 W

i=1 (cid:16)

(cid:90) d4k

(2π)4 × (cid:17) B(2) 1

× /p2 (cid:16)

− m2

− 2

PLvb

−A0 + m2 ni (cid:105) bB(2)

a − m2 b) W B(2) 1 − (cid:17) B(2) 0

A0 + m2 ni

9 (cid:88)

[ua(mbPL + maPR)vb] × (−1)

ai U ν U ν∗ bi

(cid:104) (2 − d)m2

−ig3mambcα 64π2m3 W (m2 (cid:104) (2 − d)m2

B(2)

. (D.4)

bB(2)

i=1 0 − m2

a − m2 b) W B(2) 1 − A0 − m2 ni

1 − 2m2 ni

(cid:105)

9 (cid:88)

iMW

U ν∗ ai U ν bi

(7+8) = [ua (mbPL + maPR) vb] ×

i=1

64π2m3 (cid:17)

Tổng của giản đồ (7) và (8)

+ m2

ig3cαmamb W (m2 aB(1)

a − m2 b) bB(2) 1 + m2

1 + B(2) B(1) (cid:17)(cid:105)

(cid:1) (cid:16)

− 2m2 ni

(D.5) (cid:104)(cid:0)2m2 W + m2 ni (cid:16) 0 − B(2) B(1)

1 + B(2)

1 ) là hữu hạn.

ở đây chúng tôi đã sử dụng 2 − d = −2 khi (B(1)

Đóng góp từ Y ± bosons

Giản đồ 1

9 (cid:88)

iMY

(1) =

(a+3)iγµPL U ν∗

(b+3)iγνPL U ν

(2π)4 ua

i((cid:54) k + mni) D0

(cid:21) (cid:90) d4k

ig √ 2

√

(cid:20) ig √ 2

√

gµα −

igmY

gαβ

i=1 −i D1

2sαcθ − cαsθ 2

(k − p1)µ(k − p1)α m2 Y

151

(cid:35) (cid:18) (cid:19) (cid:34)

(k + p2)ν(k + p2)β m2 Y

gνβ − (cid:16)√

(cid:19) (cid:18)

−i D2 −g3mY

9 (cid:88)

2sαcθ − cαsθ √

× gαβ

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)i

uaγµ/kγµPLvb D0D1D2

(cid:17)

i=1 (cid:19) (cid:18)

gνβ −

gµα −

(k + p2)ν(k + p2)β m2 Y

(cid:19) (cid:18)

(k − p1)µ(k − p1)α m2 Y −g3mY

9 (cid:88)

= U ν∗

[I1 + I2 + I3]

(a+3)iU ν

(b+3)i

I1 =

gµν =

2sαcθ − cαsθ √ 2 2 (cid:90) d4k (2π)4

(cid:17) (cid:16)√

(2 − d)ua/kPLvb D0D1D2

i=1 uaγµ/kγµPLvb D0D1D2 = (2 − d)ua [maC1PL − mbC2PR] vb

I2 =

γµ/kγνPLvb

(cid:90) d4k (2π)4

−1 m2 Y

ua D0D1D2 × [(/k + /p2)µ(/k + /p2)ν + (/k − /p1)(/k − /p1)ν]

(cid:90) d4k (2π)4

(2π)4 ua

2m2 /kPL ni D0D1D2

−

(cid:34) (cid:90) d4k

−

+ ma

mb/p2/kPR D0D1D2 /k/p1 D0D1D2

2/kPL D1D2 2mbm2 PR ni D0D1D2 2m2 maPL ni D0D1D2

+ m2

(cid:35)

uaPLvb

a − m2

b)C1

1 − 2maB(12)

0 + ma(2m2 ni

− m2

(cid:104) 2maB(12)

b)C2 − m2

(cid:104) −2maB(12)

b)C2

b)C1

γµ/kγνPLgαβ

I3 =

−1 m2 Y 2mbPR D1D2 2maPL D1D2 −1 (cid:110) m2 Y − 2mam2 C0 + ma(m2 a − m2 H0 ni − 2mbB(12) C0 − mb(m2 0 − 2mbm2 ni ni (cid:3)(cid:9) , a − m2 − m2 − mb(m2 H0 (cid:90) d4k ua 1 m4 (2π)4 D0D1D2 Y × (k − p1)µ(k − p1)α(k + p1)ν(k + p2)β

(cid:3) + uaPRvb a + m2

ua D0D1D2

/p1)(D1 + D2 + 2m2

)PLvb + mamb/k

1 2m4 Y /p2 − m2 + m2 ni ni

Y − m2 H0

152

(cid:2)(D0/k + D0/p2 − D0/p1 + m2 ni (cid:90) d4k (2π)4

)PRvb

× (D1 + D2 + 2m2 (cid:110)

)(B(12)

) − m2

Y − m2 H0 (cid:104) −A0 + (2m2

uaPLvbma

bB(2)

1 − B(12)

Y − m2 H0

(C1 − C0) − m2

(cid:3)

1 2m4 Y (B(1) + m2 ni

)(m2 ni

1 − B(2) (cid:104)

) + m2

+ uaPRvbmb

aB(1)

(cid:105) bC2)

(−B(1)

W − m2 H0 2 − B(12) )(−B(12) )(m2

(C0 + C2))

0 − B(1) −A0 + (2m2 0 − B(2)

+ m2 ni

Y − m2 H0

0 aC1 − m2 ni

0 ) + (2m2 Y − m2 H0 1 ) + (2m2 (cid:17)

0 − B(2) (cid:16)√

ig3ma

9 (cid:88)

2sαcθ − cαsθ √

→ MY

−

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)i × uaPLvb

(1) =

(cid:105)(cid:111)

+ (cid:0)2m2

(cid:8)−A0 + m2 ni

− m2

(cid:1) B(12)

0 − (cid:0)2m2 (cid:0)2m2 Y + m2 ni (cid:9) (cid:3) C2

Y + m2 H0 (cid:1) C0 − (cid:2)2m2 Y (cid:1) + m2 bm2 H0

+ m2 ni g3mb

Y + m2 H0 (cid:0)m2 a − m2 H0 (cid:17) 9 (cid:88)

2π2m3 64 Y i=1 (cid:17) (cid:16) 0 − B(1) 1 − B(2) B(1) 0 (cid:0)2m2 bB(2) 1 + m2 ni (cid:3) C1 + (cid:2)2m2 m2 H0 (cid:16)√ 2sαcθ − cαsθ √

−

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)i × uaPRvb

(cid:1) B(12) Y + m2 H0 1 (cid:1) + m2 a − m2 b

(cid:8)−A0 − m2 ni

i=1 + (cid:0)2m2

(cid:17)

2π2m3 Y 0 + B(2) 1 (cid:0)2m2

(cid:1) B(12) 2 (cid:3)

Y + m2 H0 − m2

Y + m2 H0 (cid:1) − m2 am2 H0 (cid:9) .

64 (cid:16) 0 + B(2) B(1) aB(1) + m2 1 + m2 ni × C1 + (cid:2)2m2 (cid:0)2m2

Y + m2 H0 (cid:1) C0 + (cid:2)2m2 a + m2 b

Y + m2 ni

0 + (cid:0)2m2 (cid:1) B(12) (cid:0)m2 − m2 Y H0 b (cid:1) + m2 (cid:3) C2 m2 ni H0

(D.6)

Giản đồ 2

9 (cid:88)

iMY

(a+3)iγµPL U ∗

(2) =

(2π)4 ua

i((cid:54) k + mni) D0

(cid:19) (cid:90) d4k

(cid:18)−igcθ mW

ig √ 2 (cid:105)

i=1 (cid:104)

gµν −

bi PL + λR,1 λL,1

bi PR

(cid:18) (cid:19)

√

−i D1 (cid:17)ν (cid:16)

−

cαcθ +

2sαsθ

ph0

(k − p1)µ(k − p1)ν m2 Y (cid:17)(cid:21) i D2

− pH − √

(cid:20) (cid:16)

2 cαcθ +

ig √ 2 g3cθ

2sαsθ

9 (cid:88)

U ∗

(a+3)i

(cid:16) (cid:17)

4mW

i=1

153

(cid:90) d4k (2π)4

uaγµ (cid:16)

bi PL

(cid:17)

λR,1 bi /kPR + mniλL,1 D0D1D2 (cid:16) D2 + m2

(k − p1)µ

− m2 h0 1

H ± 1

(cid:17) 

m2 Y

√

 (k + p1 + 2p2)µ − 

g3cθ

cαcθ +

2sαsθ

9 (cid:88)

U ∗

× ua

(a+3)i

λR,1 bi

(cid:16) (cid:17) (cid:110)

4mW

i=1

1 D0D1D2 (cid:17)

(cid:90) d4k (2π)4

− /p1/k)

D2 + m2

(D0 + m2 ni

H ± 1

+ /p1/k + 2/p2/k −

(cid:16)

− m2 h0 1 m2 Y

  PR  D0 + m2 ni

D2 + m2

(/k − /p1)

− m2 h0 1

H ± 1

+ mniλL,1 bi

m2 Y

√

(cid:17) (cid:16)    /k + /p1 + 2/p2 −   PL 

2sαsθ

ig3macθ

9 (cid:88)

U ν∗

(a+3)i × uaPLvb

cαcθ + 64π2mW m2 Y

(cid:17) (cid:16)

+ λL,1

2m2

i=1 Y + m2

bi mni

H ± 1

Y C1 − (cid:16)

− m2 h0 1 (cid:17)

C2 (cid:16)

(cid:17) (cid:105) (cid:16) (cid:104) (cid:110)

C0 +

Y − m2

− m2 H0

+ m2 h0 1

H ± 1

1 + √

Y + m2 (cid:17)

λR,1 bi mb (cid:104) 0 − B(1) B(1) (cid:16)

2sαsθ

g3cθ

9 (cid:88)

U ν∗

(a+3)i

cαcθ + 64π2mW m2 Y

(cid:17) (cid:105)(cid:111)

i=1 (cid:16) m2

−A0 +

× uaPRvb

Y − m2

B(12) 0

λR,1 bi

+ m2 h0 1

B(1)

(m2

+ m2 h0 1

H ± 1

(cid:104) (cid:110) (cid:17)

−m2 ni (cid:16)

2m2

H ± 1 Y − m2 Y − m2

bm2

Y C2

+ m2 h0 1

C1 + 2m2 (cid:105)(cid:111)

aB(1) 0 + m2 − m2 Y (m2 h0 1 (cid:104)

1 + m2 ni a(m2 b) − m2 (cid:16)

)C0 (cid:17) ) (cid:17)

(cid:105)

−2m2

+ λL,1

H ± 1 Y − m2

Y C0 −

bi mnimb

+ m2 h0 1

H ± 1

). Những hàm này

1, p2

0 = B0(p2

Y , m2

H ± 1

(D.7)

ở đây A0 = A0(mY ) và B(12) 2; m2 không phụ thuộc vào mni do đó bị triệt tiêu vì

i=1 U ν∗

bi ∼ δ(a + 3)(b + 3) = 0.

(a+3)iλR,1

(cid:80)9

154

Chú ý: bước trung gian đã sử dụng là (k − p1)(k + p1 + 2p2) = [k + p2 −

(p1 + p2)][(k + p2) + (p1 + p2)] = (k + p2)2 − (p1 + p2)2 = D2 + m2

− m2 h0 1

H ± 1

Giản đồ 3

9 (cid:88)

iMY

(3) =

ai PR + λR,1∗ λL,1∗

ai PL

(2π)4 ua

(cid:19) (cid:104) (cid:90) d4k

(cid:105) i((cid:54) k + mni) D0

−

− pH 0

pH +

(b+3)iγµPL U ν

i=1 (cid:18) ig √ 2

ig √ 2

(cid:18)−igcθ mW (cid:19) (cid:20) (cid:16) (cid:17)ν

i D1 (cid:18)

√

gµν −

cαcθ +

2sαsθ √

(cid:19) (cid:16)

g3cθ

cαcθ +

2sαsθ

9 (cid:88)

U ν∗

(b+3)i

2 (k + p2)µ(k + p2)ν m2 Y (cid:90) d4k (2π)4

i=1

(cid:16) (cid:17)(cid:105) −i D2 (cid:17)

4mW (cid:16)

γµPLvb

(cid:17)

(k + p2)µ

ai /k + mniλL,1∗ λR,1∗ ai D0D1D2 (cid:16) D1 + m2

− m2 h0 1

H ± 1

(cid:17) 

m2 Y

√

  (k − 2p1 − p2)µ −

2sαsθ

g3cθ

cαcθ +

9 (cid:88)

U ∗

(a+3)i

λR,1∗ ai

(cid:17) (cid:16) (cid:110)

4mW

i=1

1 D0D1D2 (cid:17)

(cid:90) d4k (2π)4

+ /k/p2)

(D0 + m2 ni

H ± 1

− 2/k/p1 − /k/p2 −

 (cid:16) D1 + m2

− m2 h0 1 m2 Y (cid:17)

  D0 + m2 ni

D1 + m2

(/k + /p2)

− m2 h0 1

H ± 1

PLvb

+ mniλL,1∗

m2 Y

√

(cid:16)      /k − 2/p1 − /p2 − 

ig3cθ

2sαsθ

9 (cid:88)

U ν

(b+3)iuaPLvb

cαcθ + 64π2mW m2 Y

i=1

(cid:16) (cid:17)

λL,1∗ ai mamni

+ m2 h0 2

Y − m2 m2 (cid:16)

C1 (cid:17) (cid:16)

(cid:105) (cid:16) (cid:17) (cid:110) (cid:104) −2m2

+ λR,1∗ ai B(12)

Y C0 + bB(2)

H ± 1 Y − m2

1 +

+ m2 h0 1

m2 (cid:17)

0 − m2 (cid:16)

−2m2

− m2

0 + m2 ni (cid:105)(cid:111) (cid:105) )

Y m2

aC1 −

H ± 1 Y − m2 b(m2

− m2 a

B(2) (cid:104) 2m2 Y

m2 h0 1

+ m2 h0 1

H ± 1

155

(cid:17) (cid:104) −A0 − m2 ni

√

ig3mbcθ

2sαsθ

9 (cid:88)

U ν

B(2)

0 + B(2)

(b+3)iuaPRvb

λL,1∗ ai mni

i=1

(cid:16) (cid:17) (cid:110) (cid:104)

+ m2

− m2

+ (cid:0)m2 H2

cαcθ + 64π2mW m2 Y Y − m2 H0

(cid:3)

+ maλR,1∗

Y C2 + (cid:0)m2

Y − m2 H0

0 = B0(p2

Y ). Các hàm trên không

ai ∼ δ(a + 3)(b + 3) =

2; m2 H ± 1 i=1 U ν

, m2 (b+3)iλR,1∗

(D.8) (cid:2)−2m2 (cid:1) C0 + (cid:0)m2 H2 + m2 (cid:1) C2 Y − m2 H0 (cid:3)(cid:111) (cid:1) C1

ở đây A0 = A0(mY ) và B12 1, p2 phụ thuộc vào mni do đó bị triệt tiêu vì (cid:80)9 0.

√

Giản đồ 4

9 (cid:88)

fk∗

iMY,H ±

PR + λR,k∗

ai PL

√ λL ai

(4)

(cid:19) (cid:104) (cid:18)−ig (cid:90) d4k

(cid:105) i((cid:54) k + mni) D0

i=1 (cid:18)−ig

(2π)4 ua √ (cid:19) (cid:104) fk

vb ×

bi PL + λR,k λL,k

bi PR

i D1

(cid:105) (cid:0)iλ± Hk (cid:1) i D2

9 (cid:88)

ai λL,k λL,k∗

bi /kPL

i=1

(cid:110)

ai λL,k

ua D0D1D2 ai λR,k

ai λR,k

bi PR

bi /kPR + mniλR,k∗

9 (cid:88)

= −

mW −g2fkλH ± m2 W + mniλL,k∗ g2fkλH ± 16π2m2 W (cid:104)

(cid:111) (cid:90) d4k (2π)4 bi PR + λR,k∗

ai λR,k

bi maC1 − λR,k∗

bi mbC2

(cid:17)

uaPLvb (cid:16)

+ uaPRvb

i=1 (cid:16) mniλR,k∗ mniλL,k∗

ai λL,k ai λR,k

ai λR,k

ai λL,k

ai λL,k bi C0 + λL,k∗ bi C0 + maλR,k∗

bi C1 − mbλL,k∗

bi C2

(cid:17)(cid:105)

(D.9)

Giản đồ 5

9 (cid:88)

iMY

(5) =

(a+3)iγµPL U ν∗

ig √ 2

(cid:90) d4k

ijPL + λ0∗

ij PR

gµν −

(b+3)jγµPLvb × U ν

(2π)4 ua i,j=1 i(− (cid:54) k+ (cid:54) p1 + mni) D1 i(− (cid:54) k − p2 + mnj) D2

(−i) D0

ig √ 2

kµkν m2 Y

156

(cid:19) (cid:3) (cid:2)λ0 (cid:18) igcα 2mW (cid:18) (cid:19)

9 (cid:88)

U ν∗

(a+3)iU(b+3)νj

ua D0D1D2 (cid:21)

i,j=1 (cid:26)

PLvb

g3cα 4mW (cid:20) (2 − d)(/p1 − /k) −

λ0∗ ij mnj

(cid:90) d4k (2π)4

+λ0

/k (−/k − /p2) /k

PLvb

(2 − d)(−/k − /p2)/k −

ijmni

/k(/p1 − /k)/k m2 Y 1 m2 Y

(cid:27) (cid:21) (cid:20)

9 (cid:88)

B(12)

uaPLvbma

λ0∗ ij mnj

Y C0

0 − m2

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)j

ig3cα 64π2mW m2 Y

(cid:104) (cid:110) (cid:16)

i,j=1 + (2m2

− m2

B(1)

− m2

b)C1

(cid:16) (cid:17)(cid:105)

Y + m2 nj (cid:17)

Y + m2 ni (cid:104) −λ0∗

B(2)

+ uaPRvbmb

Y − m2

ijmni 1 + (2m2

(cid:1) + λ0 a)C1 (cid:16)

)C2 (cid:17)(cid:105)(cid:111)

B(12)

+ λ0

1 + (2m2 a + m2 ni − m2

ijmni

Y C0 − (2m2

b)C2

ij mnj 0 − m2

Y + m2 nj

(cid:16) (D.10)

Giản đồ 6

√

Sử dụng ký hiệu k1 ≡ k − p1 và k2 ≡ k + p2 chúng ta có

9 (cid:88)

iMY H ±

ai PR + λR,k∗ λL,k∗

ai PL

(6) =

(cid:105) (cid:19) (cid:104) (cid:18)−ig (cid:90) d4k

ijPL + λ0∗

ij PR

(cid:2)λ0 (cid:3) i(− (cid:54) k2 + mnj) D2

(2π)4 ua i,j=1 i(− (cid:54) k1 + mni) D1 √ fk

mW (cid:19) (cid:18) igcα 2mW bj PL + λR,k λL,k

bj PR

i D0

9 (cid:88)

(cid:19) (cid:104) (cid:105) (cid:18)−ig

ua D0D1D2

mW −g3cαfk 2m3 W

i,j=1 (cid:110)

bj /k2PR (cid:105)

bj PL

bj /k2PL

(cid:90) d4k (2π)4

+ λ0∗ ij − mnjλR,k∗

ai λR,k ai λL,k ai λL,k ai λR,k

bj PR

bj /k1/k2PR − mniλR,k∗ bj /k1PL + mnimnjλR,k∗ bj /k1/k2PL − mniλL,k∗ bj /k1PR + mnimnjλL,k∗

157

(cid:105)(cid:111) (cid:104) λL,k∗ ai λR,k λ0 ij − mnjλL,k∗ ai λL,k (cid:104) ai λL,k λR,k∗ ai λR,k

9 (cid:88)

uaPLvb

λ0 ij

ai λR,k λL,k∗

bj mamb(C0 − C1 + C2)

−ig3cαfk 32π2m3 W

i,j=1

+ λL,k∗

+ λR,k∗

+ λ0∗ ij

ai λL,k ai λL,k

bj mnimb(C0 + C2) ai λL,k bj mni(−maC1) + λR,k∗ (cid:105)(cid:111)

× (B(12)

C0 − m2

bj mnjma(C0 − C1) + λR,k∗ ai λR,k (cid:104) (cid:105) ai λL,k λL,k∗ bj mnimnjC0 bC2) + λR,k∗

aC1 + m2

ai λR,k

bj mnjmbC2

(cid:104) (cid:110)

9 (cid:88)

−

uaPRvb

C0 − m2

λ0 ij

aC1

0 + m2

ai λR,k λL,k∗

bj (B(12)

H ± k

0 + m2 H ± k ig3cαfk 32π2m3 W

i,j=1

+ m2

ai λR,k

(cid:104) (cid:110)

+ λ0∗ ij

bj mnimnjC0

(cid:105) bj mni(−maC1)

+ λR,k∗

ai λL,k

ai λR,k ai λR,k

ai λL,k bC2) + λL,k∗ bj mnjmbC2 + λR,k∗ (cid:104) bj mnimb(C0 + C2) + λL,k∗ ai λL,k λL,k∗ bj mamb(C0 − C1 + C2) + λR,k∗

bj mnjma(C0 − C1)

(cid:105)(cid:111)

(D.11)

Giản đồ 7

9 (cid:88)

iMY

(a+3)iγµPL U ν∗

(b+3)iγνPL U ν

(7) =

(2π)4 ua

i((cid:54) k + mni) D0

ig √ 2

(cid:90) d4k

cα

gµν −

ig √ 2 (cid:18) igmb 2mW

(cid:18) (cid:19)

(k − p1)µ(k − p1)ν m2 Y

i=1 i((cid:54) p1 + mb) a − m2 m2 b 9 g3mbcα (cid:88)

[(2 − d)/k/p1PR

U ν∗ (a+3)iU ν

(b+3)i

(cid:19) (−i) D1

4mW (m2

ua D0D1

a − m2 b)

−

(/k − /p1)/k(/k − /p1)/p1PR + mb(2 − d)/kPL

(cid:90) d4k (2π)4

−

(/k − /p1)/k(/k − /p1)PL

i=1 1 m2 Y mb m2 Y 9 (cid:88)

{uaPLvbmamb

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)i

i=1 (cid:16)

(cid:21)

−2m2

B(1)

+ uaPRvbm2 a

(cid:17)

B(1)

−2m2

aB(1) aB(1)

g3mbcα 64π2mW m2 Y Y B(1) Y B(1)

0 − m2 0 − m2

1 + A0 − m2 ni 1 + A0 − m2 ni

1 a − m2 b 1 + 2m2 ni 1 + 2m2 ni

158

(cid:17)(cid:111) (cid:16) (D.12)

Giản đồ 8

9 (cid:88)

iMY

cα

(8) =

(a+3)iγµPL U ν∗

(2π)4 ua

(cid:90) d4k (cid:19) i(− (cid:54) p2 + ma)

i((cid:54) k + mni) D0

b − m2 a

(cid:18) imag 2mW

gµν −

(b+3)iγνPLvb × U ν

(−i) D2

i=1 ig √ 2

ig √ 2 (k + p2)µ(k + p2)ν) m2 Y

(b+3)i

9 (cid:88)

[(−/p2 + ma)γµ/kγνPL

g3macα 4mW

(cid:21) (cid:20)

i=1 (cid:18)

gµν −

(a+3)iU ν U ν∗ a − m2 m2 b (k + p2)µ(k + p2)ν m2 Y

9 (cid:88)

= [ua(mbPL + maPR)vb] ×

(a+3)iU ν U ν∗

(b+3)i

(cid:90) d4k ua (2π)4 D0D2 (cid:21) (cid:19)

64π2mW m2 B(2)

Y B(2)

bB(2)

a − m2 b) i=1 B(2) 0 − m2

1 − A0 − m2 ni

ig3mambcα Y (m2 1 − 2m2 ni

(cid:105) (cid:104) (2 − d)m2

√

Giản đồ 9

9 (cid:88)

iMY H ±

ai PR + λR,k∗ λL,k∗

ai PL

(9) =

i=1 (cid:18)−ig

(2π)4 ua √ (cid:19) (cid:104) fk

vb ×

cα

bi PR

bi PL + λR,k λL,k

(cid:19) (cid:104) (cid:18)−ig (cid:90) d4k

9 (cid:88)

(cid:105) i((cid:54) k + mni) D0 (cid:18) igmb 2mW (cid:19) i D1 (cid:105) i((cid:54) p1 + mb) 1 − m2 p2 b

2m3

i=1

(cid:90) d4k (2π)4

bi PL + λR,k∗

ai λR,k bi PR (cid:17)(cid:105)

mW −g3mbcαfk a − m2 W (m2 b) ua (cid:16) (cid:104) ai λL,k λL,k∗ /k D0D1 (cid:16)

(/p1 + mb)vb

+ mni

ai λL,k

bi PR + λR,k∗

bi PL

(cid:17)

a − m2 b) (cid:104)(cid:16)

λL,k∗ ai λR,k −g3mbcαfk W (m2 (cid:110)

32π2m3 9 (cid:88)

uaPLvb

maB(1) 1

ai λL,k λL,k∗

ai λR,k

bi mb + λR,k∗

bi ma

(cid:17)

mniB(1) (cid:17)

+ uaPRvb

maB(1) 1

ai λR,k

i=1 (cid:16) bi mb + λL,k∗ ai λL,k λR,k∗ (cid:104)(cid:16) ai λL,k λL,k∗

bi mb

ai λR,k bi ma bi ma + λR,k∗

159

(cid:105) (cid:17)

mniB(1)

ai λR,k λL,k∗

ai λL,k

bi mb + λR,k∗

bi ma

(cid:16) (cid:17) (cid:105)(cid:111)

√

Giản đồ 10

9 (cid:88)

iMY H ±

(10) =

(2π)4 ua

(cid:19) (cid:18)−ig (cid:90) d4k (cid:19) i(− (cid:54) p2 + ma)

√

(cid:18)igmacα 2mW

p2 2 − m2 a (cid:18)−ig

i=1 (cid:104) ai PR + λR,k∗ λL,k∗

ai PL

(cid:19)

ai PR

bi PL + λR,k λL,k

9 (cid:88)

(−/p2 + ma)

2m3

ua D0D2

i=1

(cid:105) (cid:104)

(cid:17)

mni

ai λR,k bi PR ai λL,k

bi PL

g3cαfk W (m2

(cid:17)(cid:105) (cid:105) i((cid:54) k + mni) D0 i D2 (cid:90) d4k −g3macαfk W (m2 b − m2 (2π)4 a) (cid:16) (cid:104) bi PL + λR,k∗ ai λL,k λL,k∗ /k (cid:16) bi PR + λR,k∗ ai λR,k λL,k∗

a − m2 b) (cid:16) (cid:104)

32π2m3 9 (cid:88)

−

uaPLvb

mambB(2) 1

ai λR,k

ai λL,k λL,k∗

bi ma

bi mb + λR,k∗

(cid:17) (cid:110)

i=1 (cid:16)

(cid:105) (cid:17)

+ uaPRvb

(cid:16)

mambB(2) 1 (cid:105)(cid:111)

mamniB(2) 0 (cid:17) ai λR,k bi mb (cid:17) mamniB(2)

ai λL,k bi ma bi ma + λR,k∗ ai λL,k

ai λR,k λL,k∗

bi mb + λR,k∗ ai λR,k λL,k∗ (cid:104) ai λL,k λL,k∗ − bi ma + λR,k∗

bi mb

160

(cid:16)

Luận án Tiến sĩ Vật lý: Quá trình phân rã của Higgs-Boson h → Zγ và h → µτ trong một số mô hình 3-3-1

QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ

CỦA HIGGS BOSON h → Zγ VÀ h → µτ

TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH 3-3-1

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

Mục lục

Các ký hiệu chung

Danh sách bảng

Danh sách hình vẽ

PHẦN MỞ ĐẦU

Chương 1

TỔNG QUAN

Chương 2

QUÁ TRÌNH RÃ h → Zγ TỔNG

QUÁT

Chương 3

QUÁ TRÌNH RÃ H → Zγ, W γ

TRONG MỘT SỐ MÔ HÌNH CỤ

THỂ

Chương 4

QUÁ TRÌNH RÃ h0

1 → µτ TRONG

MÔ HÌNH 331ISS

KẾT LUẬN

Danh sách các công bố của tác giả

Tài liệu tham khảo

Phụ lục A

Hàm PV trong LoopTools

Phụ lục B

Công thức giải tích tính biên độ rã

h → Zγ trong chuẩn unitary

Phụ lục C

Công thức giải tích tính ∆

(i)V L,R của

LFVHD trong chuẩn unitary

Phụ lục D

Công thức giải tích tính biên độ

của rã LFVHD trong 331ISS

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok