LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:
(i) Luận văn đã được hoàn thành với sự học tập, nghiên cứu, sưu tầm
tài liệu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu.
(ii) Luận văn trình bày các kết quả mới đây về tối ưu.
Học viên
Vy Thanh Hương
1
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả quý Thầy Cô đã giảng
dạy trong chương trình Cao học Toán ứng dụng khóa 1 – Trường Đại học
Thăng Long, những người đã truyền đạt kiến thức hữu ích về ngành Toán ứng
dụng làm cơ sở cho tôi hoàn thành luận văn này.
Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo PGS.TS. Đỗ Văn Lưu –
Giảng viên Trường Đại học Thăng Long. Thầy đã dành nhiều thời gian quý
báu tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luâ ̣n văn, đồng thời
còn là người giúp tôi lĩnh hội được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện
cho tôi tác phong nghiên cứu khoa học.
Qua đây, tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn
bè thân thiết là những người luôn sát cánh bên tôi, tạo mọi điều kiện tốt nhất
cho tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học
tập, cũng như khi tôi thực hiện và hoàn thành luâ ̣n văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng song luâ ̣n văn không khỏi có những thiếu sót, rất
mong nhận được ý kiến góp ý của các Thầy giáo, Cô giáo và các anh chị học
viên để luâ ̣n văn được hoàn thiện hơn.
Phú Thọ, tháng 04 năm 2015
Học viên thực hiê ̣n
Vy Thanh Hương
2
MỤC LỤC
Chương 1. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG
VECTƠ ............................................................................................................6
1.1. Các khái niệm và kết quả bổ trợ .......................................................... 6
1.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với giả thiết giả đơn
điệu. ............................................................................................................. 14
1.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với giả thiết tựa đơn
điệu. ............................................................................................................. 19
1.4. Trường hợp tổng quát hơn. ................................................................ 23
Chương 2. CÁC NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ HỮU HIỆU HENIG CỦA
BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ ................................................................ 27
2.1. Các khái niệm và định nghĩa ............................................................. 27
2.2. Phép vô hướng hóa bài toán cân bằng vectơ .................................... 30
2.3. Sự tồn tại nghiệm .............................................................................. 34
2.4. Tính liên thông của tập nghiệm ......................................................... 41
KẾT LUẬN .................................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 47
3
MỞ ĐẦU
Bài toán cân bằng vectơ được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Nó
bao gồm nhiều bài toán như các trường hợp đặc biệt: Bài toán bất đẳng thức
biến phân vectơ, bài toán tối ưu vectơ, bài toán điểm bất động, bài toán bù
vectơ, bài toán cân bằng Nash,.... Người ta nghiên cứu bài toán cân bằng
vectơ về sự tồn tại nghiệm, điều kiện tối ưu, tính ổn định nghiệm, thuật toán
tìm nghiệm,….
Nhiều kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng đã nhận
được. Bianchi, Hadjisavvas và Schaible (1997) đã chứng minh các kết quả về
sự tồn tại nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ với các giả thiết
về tính giả đơn điệu hoặc tựa đơn điệu. Gong (2001) đã thiết lập một số kết
quả về sự tồn tại nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu Henig của bài toán cân
bằng vectơ và tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu Henig của bất đẳng
thức biến phân vectơ. Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoài nước
quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Về sự tồn tại nghiệm của
bài toán cân bằng vectơ”.
Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và tính
liên thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ của Bianchi,
Hadjisavvas, Schaible (1997) và Gong (2001).
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các
tài liệu tham khảo.
Chương 1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ
Trình bày các kết quả của M. Bianchi, N. Hadjisavvas và Schaible [3] về sự
tồn tại nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ với các song hàm giả
đơn điệu hoặc tựa đơn điệu cùng với một điều kiện bức.
4
Chương 2. Các nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu Henig của bài toán cân
bằng vectơ
Trình bày khái niệm nghiệm hữu hiệu Henig của bài toán cân bằng
vectơ, các kết quả về vô hướng hóa bài toán cân bằng vectơ, các kết quả về
tồn tại nghiệm hữu hiệu và tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu Henig và
tập nghiệm hữu hiệu yếu của bất đẳng thức biến phân Hartman – Stampacchia
vectơ. Các kết quả trình bày trong chương này là của X. Gong [7].
5
Chương 1
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ
Chương 1 trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm hữu hiệu yếu của
bài toán cân bằng vectơ với các song hàm giả đơn điệu hoặc tựa đơn điệu và
điều kiện bức. Các kết quả trình bày trong chương này là của M. Bianchi, N.
Hadjisavvas và Schaible [3].
1.1. Các khái niệm và kết quả bổ trợ
Cho X là một không gian vectơ tôpô Hausdorff thực, Y là một không
gian vectơ lồi địa phương thực. Xét nón C nhọn, đóng, lồi trong Y, int C .
Khi đó, C sinh ra một thứ tự vectơ trong Y, xác định bởi:
x y nếu và chỉ nếu y – x C.
Do int C , ta cũng có một thứ tự yếu trong Y, được xác định bởi
int C, x ≮ y nếu và chỉ nếu y – x
C, x ≰ y nếu và chỉ nếu y – x
x < y nếu và chỉ nếu y – x C.
Chú ý rằng kéo theo y ≮ 0. Hơn nữa,
và
,
6
bởi vì
Nếu C là nón lồi đóng và Y là không gian lồi địa phương thực thì tồn tại
phiếm hàm tuyến tính liên tục khác 0 là , trong đó
.
Hơn nữa
khi và chỉ khi ;
khi và chỉ khi .
Giả sử K X là một tập không rỗng, đóng, lồi, và xét song hàm
F: sao cho F(x, x) 0 với mọi x K. Chúng ta sẽ trình bày các kết
quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ (kí hiệu là VEP) như
sau: Tìm x* K sao cho
, F(x*, y) ≮ 0, với mọi,
hay tương đương
F(x*, y) -int C.
Bài toán bất đẳng thức biến phân vectơ (kí hiệu là VVI) là một trường hợp
đặc biệt của bài toán (VEP) với
F(x, y) = ,
7
trong đó A là một ánh xạ từ K vào L(X, Y), không gian của tất cả các toán tử
tuyến tính liên tục từ X vào Y. Các bài toán (VEP) và (VVI) tổng quát hóa các
bài toán tương ứng trong trường hợp vô hướng (Y = R), ta ký hiệu các bài
toán vô hướng đó lần lượt là (EP) và (VI).
Bổ đề 1.1.1. Giả sử a, b Y, với a < 0 và b < 0. Khi đó, tập hợp các
cận trên của a và b là không rỗng và giao với (-int C).
Chứng minh. Ta phải chỉ ra tồn tại c < 0 sao cho . Ta chỉ
cần chọn c = b, với > 0 gần với 0. □
Bổ đề 1.1.2. Giả sử a, b Y, với a < 0 và b ≱ 0. Khi đó, tập hợp các
cận trên của a và b là không rỗng và giao với Y∖C.
. Vì Chứng minh. Ta phải chỉ ra rằng tồn tại c ≱ 0 sao cho
int C 0, tồn tại d int C sao cho d – b C. Với t [0, 1], ta đặt
= td + (1 - t)b.
Vì C là đóng và lồi nên tồn tại (0, 1) sao cho
C, với mọi t [ , 1],
C, với mọi t [0, ).
Nói riêng, ta có . Như vậy,
.
Bởi vậy, với < đủ gần , thì ta có
8
.
Đặt c = . Khi đó, c C và do đó c ≱ 0. Hơn nữa, chúng ta có
. □
Bây giờ, cho K X là tập khác rỗng, đóng, lồi. Xét song hàm F: K x K
Y. Song hàm F được gọi là tựa đơn điệu nếu với mọi x, y K,
F(x, y) > 0 F(y, x) 0.
Song hàm F được gọi là giả đơn điệu nếu với mọi x, y K
F(x, y) ≮ 0 F(y, x) ≯ 0,
hoặc tương đương,
F(x, y) > 0 F(y, x) < 0.
Cuối cùng, song hàm F được gọi là giả đơn điệu chặt nếu với mọi , x, y
K,
F(y, x) < 0. F(x, y) ≮ 0
Rõ ràng, tính giả đơn điệu kéo theo tính tựa đơn điệu và tính giả đơn
điệu chặt kéo theo tính giả đơn điệu trong trường hợp vô hướng. Điều ngược
lại không đúng.
Một hàm f : K Y được gọi là nửa liên tục dưới nếu với mọi ,
tập hợp
9
≯ },
là đóng trong K. Một hàm f : K Y được gọi là nửa liên tục trên nếu với mọi
, tập hợp
≮ }
đóng trong K. Chú ý rằng một hàm liên tục vừa là hàm nửa liên tục trên vừa là
nửa liên tục dưới, bởi vì
.
Một hàm f : K Y được gọi là hemi - liên tục nếu với mọi , hàm
,
xác định với mọi , là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới.
Ta chỉ ra rằng tính nửa liên tục dưới là tương đương với tính C – liên
tục. Nhắc lại: một hàm f : K Y là C - liên tục tại x* K nếu với bất kỳ lân
cận V của f (x*) trong Y, tồn tại một lân cận U của x* trong X sao cho
.
Hơn nữa, f là C - liên tục trên K nếu nó là C - liên tục tại mọi x K.
Bổ đề 1.1.3. Hàm f : K Y nửa liên tục dưới khi và chỉ khi nó là C -
liên tục.
10
Chứng minh. Theo định nghĩa, f là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi với
mọi , tập hợp
,
là mở trong K.
Giả sử f là C - liên tục. Lấy x* . Khi đó, a + int C là một lân
cận của f(x*). Do đó, tồn tại một lân cận U của x* sao cho, với mọi
f (x) (a + int C) + C = + int C;
tức là, với mọi , ta có x . Do đó, là mở trong K.
Ngược lại, giả sử f là nửa liên tục dưới. Xét một lân cận V của f(x*) với
x* K. Khi đó, tồn tại một V sao cho < f(x*). Vì là mở trong K
nên tồn tại một lân cận U của x* sao cho, với mọi , x , tức
là f (x) > . Do đó,
f (x) + int C V + C,
và f là C - liên tục. □
Y là các hàm Từ Bổ đề 1.1.3, ta suy ra rằng, nếu f1: K Y và f2: K
nửa liên tục dưới thì hàm f1 + f2 cũng là nửa liên tục dưới. Thật vậy, cho x*
K, với mỗi lân cận V của f1 (x*) + f2 (x*), ta có thể tìm được các lân cận Vi của
fi (x*), i = 1, 2, sao cho . Vì f1 và f2 là C – liên tục nên từ Bổ đề
1.1.3 ta có thể tìm được các lân cận Ui của x* sao cho
và i = 1, 2.
11
Đặt , ta thấy f1 + f2 là C – liên tục, bởi vậy nó là nửa liên tục dưới.
Hệ quả khác của Bổ đề 1.1.3 có thể phát biểu như sau
Bổ đề 1.1.4. Nếu f: K Y là nửa liên tục dưới thì hàm giá trị thực
là nửa liên tục dưới với mọi .
Chứng minh. Nếu = 0 thì bổ đề được chứng minh.
Bây giờ, giả sử 0 và . Với bất kỳ , ta xác định
.
Từ Bổ đề 1.1.3, f là C – liên tục, bởi vậy với bất kỳ , tồn tại một lân
cận U của x* sao cho
.
Do đó với bất kỳ , tồn tại sao cho . Bởi vậy,
,
tức là là nửa liên tục dưới tại . □
Một hàm f: K Y được gọi là tựa lồi nếu với mọi , tập hợp
,
là tập lồi (xem [9]).
Nếu hàm f là tựa lồi thì tập hợp
12
,
cũng là tập hợp lồi. Thật vậy, cho x, y , ta đặt
.
Do Bổ đề 1.1.1, tồn tại sao cho:
.
Từ tính tựa lồi, ta có
.
Hàm f: K Y được gọi là tựa lồi hiện nếu f là tựa lồi và với mọi x, y
K sao cho f (x) < f (y) thì
. f (zt) < f (y), với mọi
Hàm f: K , hàm Y được gọi là * - tựa lồi nếu với mọi
: R là tựa lồi. Hàm f: K Y được gọi là * - tựa lồi bán chặt nếu với
mọi : R là tựa lồi bán chặt. Ta biết rằng mỗi hàm ∖{0} , hàm
* - tựa lồi là trường hợp riêng của hàm tựa lồi (xem [9]).
Bổ đề 1.1.5. Nếu hàm f: K Y là nửa liên tục dưới và là * - tựa lồi bán
chặt thì f là tựa lồi hiện.
Chứng minh. Từ Bổ đề 1.1.4 thì hàm là nửa liên tục dưới với mọi
. Theo giả thiết là tựa lồi bán chặt. Do đó là tựa lồi. Điều
13
này kéo theo f là tựa lồi. Ta cần chỉ ra rằng: với mọi x, y K sao cho f (x) <
f(y) thì
. f (zt) < f (y), với mọi
Từ điều kiện f (x) < f (y), ta suy ra rằng
∖{0}.
Vì là tựa lồi bán chặt nên bất đẳng thức trên kéo theo
∖{0},
Do đó f (zt) < f (y). □
Ta gọi (xem [5]) một ánh xạ là một KKM – ánh xạ nếu với
mọi và mọi , ta có .
1.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với giả thiết giả đơn
điệu.
Xét tập hợp
. ≮ 0},
Từ giả thiết ta có .
Bổ đề 1.2.1. Giả sử là tập lồi với .
Khi đó, là một KKM – ánh xạ.
14
Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng . Do đó, , với
mọi i = 1,..., n, và khi đó với mọi i = 1,..., n. Điều này kéo theo
, và từ giả thiết lồi của W(x) ta suy ra . Điều này mâu
thuẫn với . □
Nhận xét 1.2.1. Tính lồi của tập hợp W(x), , được đảm bảo nếu
hàm F(x, .) tựa lồi với .
Bây giờ ta xét điều kiện bức sau:
(C) Tồn tại một tập hợp compắc và vectơ sao cho F(x, y*) <
0 với ∖{0}.
Từ điều kiện bức (C) ta suy ra . Do đó, nếu giả thiết của Bổ
đề 1.2.1 thỏa mãn thì Bổ đề Fan [6] kéo theo
,
Trong đó là bao đóng của .
Bây giờ, cho
. ≯ 0},
Để chứng minh kết quả tiếp theo, chúng ta đưa ra các giả thiết sau:
thì tập hợp là tập (i) Với mọi c ≱ 0 và
lồi.
15
(ii) Nếu F(x, y) < F(x, z) và F(x, z) ≯ 0 thì F(x, zt) < F(x, z) với
. zt = ty + (1 - t)z và
Nhận xét 1.2.2. Giả thiết (i) kéo theo tính lồi của tập W(x), .
Các giả thiết (i) và (ii) được suy ra từ tính tựa lồi hiện của hàm F(x, .),
.
Nhắc lại: Ánh xạ T: được gọi là hemi – liên tục trên X nếu
R), ⇀ T(x) khi
trong đó kí hiệu ⇀ chỉ sự hội tụ yếu.
Mệnh đề 1.2.1. Nếu song hàm F thỏa mãn các giả thiết (i), (ii) và nếu
F( x, .) là hemi – liên tục với thì
.
Chứng minh. Lấy . Với . Khi đó F(y, x) ≯ 0 với
một cố định, ta đặt
.
Khi đó,
. (1.1) F(yt, x) ≯ 0,
Ta phải chứng minh rằng
. ≮0,
16
nào đó. Ta xét 2 trường hợp: Giả sử ngược lại rằng F(yt*, y) < 0 với
Trường hợp 1. Nếu . Từ giả thiết (ii), ta
thấy rằng , do (1.1). Khi đó, kéo theo
. Điều này mâu thuẫn với (1.1).
Trường hợp 2. Nếu ≱ 0, thì từ Bổ đề 1.1.2, tồn tại c ≱ 0 sao cho
. Từ giả thiết (i), ta suy ra , cho nên
, ta đi đến một mâu thuẫn.
Do đó, , và từ tính hemi – liên tục thì ≮ 0 với ≮ 0 .
Điều này thỏa mãn với , và bởi vậy,
. □
Định lí 1.2.1. Giả sử rằng F thỏa mãn các giả thiết của Mệnh đề 1.2.1,
mà F(x, .) là nửa liên tục dưới với và F(x, y) là giả đơn điệu. Nếu
điều kiện bức (C) thỏa mãn thì (VEP) có một nghiệm.
Chứng minh. Vì F là giả đơn điệu, ta có
.
Từ tính nửa liên tục dưới, là tập đóng. Do đó, . Bởi vậy,
,
do Mệnh đề 1.2.1.
17
Vì vậy,
.
Do đó,
;
tức là (VEP) có một nghiệm. □
Nhận xét 1.2.3. Chứng minh trên chỉ ra rằng, trong trường hợp các
song hàm giả đơn điệu, tập nghiệm . Vấn đề này được
chỉ ra cho trường hợp vô hướng trong [2].
Từ Định lí 1.2.1 và Nhận xét 1.2.2, ta suy ra kết quả sau
Định lí 1.2.2. Giả sử rằng F thỏa mãn các giả thiết sau:
(A1) F(. , y) là hemi – liên tục với ;
(A2) F(x, y) là giả đơn điệu;
(A3) F(x, .) là nửa liên tục dưới và tựa lồi hiện với .
Nếu điều kiện bức (C) thỏa mãn thì bài toán (VEP) có một nghiệm.
Hệ quả 1.2.1. Giả sử rằng F thỏa mãn các giả thiết của Định lí 1.2.1
hoặc Định lí 1.2.2. Khi đó tập nghiệm là khác rỗng và compắc.
18
Chứng minh. Do , tập các nghiệm là đóng. Theo
giả thiết (C), tồn tại tập hợp compắc và phần tử sao cho
. Bởi vậy, , tức là tập nghiệm là compắc.
Nhận xét 1.2.4. Với các giả thiết của Định lí 1.2.1 hoặc Định lí 1.2.2
tập nghiệm không lồi.
Chúng ta xét ví dụ sau:
Cho R2, R2
+. Dễ thấy rằng, song hàm
F(x, y) = (y1 – x1 , y2 – x2),
với x = (x1, x2) và y = (y1, y2), thỏa mãn các giả thiết của Định lí 1.2.2. Các
vectơ x* = (0, 1) và là các nghiệm của (VEP), vì
và . ≮ 0, ≮ 0,
Tuy nhiên, x = không phải là nghiệm, vì
) < 0, với 0 , 0 . F(x, y) = ( y1 – , y2 – y1 < y2 <
Từ định nghĩa của tính giả đơn điệu chặt, ta thấy hệ quả sau đúng.
Hệ quả 1.2.2. Giả sử rằng F thỏa mãn các giả thiết của Định lí 1.2.1
hoặc Định lí 1.2.2 và cho F là giả đơn điệu chặt. Khi đó, nghiệm của bài toán
là duy nhất.
19
1.3. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng vectơ với giả thiết tựa đơn
điệu.
Nhắc lại: Phần trong đại số của tập trong không gian X là tập
.
Khi chúng ta chuyển từ tính giả đơn điệu sang giả thiết yếu hơn là tính
tựa đơn điệu của F, thì cần có điều kiện mạnh hơn (A3) của Định lí 1.2.2.
Chúng ta cần thêm hai giả thiết nữa như trong trường hợp vô hướng [2]. Điều
này dẫn đến các giả thiết sau:
(A1) F(. , y) là hemi – liên tục với ;
(A2’) F(x, y) là tựa đơn điệu;
; (A3’) F(x, .) là nửa liên tục dưới và * - tựa lồi bán chặt với
; (A4) F(x, .) là * - tựa lõm bán chặt với
(A5) Điều kiện bức (C) thỏa mãn;
(A6) Phần trong đại số Ai(K) của K là không rỗng.
Bổ đề 1.3.1. Giả sử F thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2’), (A4). Xét x, y
K sao cho , thì tồn tại ∖{0} sao cho
20
Chứng minh. Bất đẳng thức đầu tiên là đúng vì , và do đó
khác không sao cho ≮ 0. Điều này kéo theo tồn tại
. Để chứng minh bất đẳng thức thứ 2, giả sử ngược lại với , ta có
.
Đặt
.
Vì F(x, . ) là * - tựa lõm bán chặt, ta có
.
Bởi vậy, F( x, yt ) ≰ 0. Từ tính tựa đơn điệu, ta suy ra rằng
. ≯ 0, với mọi
Khi đó, tính hemi – liên tục kéo theo . Điều đó ≯ 0, bởi vậy
mâu thuẫn với giả thiết. □
Định lí 1.3.1. Giả sử F thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2’), (A3’), (A4),
(A5), (A6). Khi đó, (VEP) có nghiệm.
Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng (VEP) không có nghiệm. Theo Bổ
đề 1.1.5, F(x, .) là tựa lồi với . Bởi vậy, có
.
Lấy .
21
Khi đó, . Do đó, tồn tại một lưới sao cho .
Giả sử rằng, với . Khi đó Bổ đề 1.3.1 kéo theo tồn tại
∖{0} sao cho
Bởi vậy, hàm tựa lồi bán chặt đạt một cực đại tuyệt đối
tại z trên K. Vì nên g là hằng số trên K (xem [2]), tức là
.
Do đó,
; ≮ 0,
tức là, (VEP) có một nghiệm. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ở trên.
Bởi vậy,
,
nghĩa là,
. ≯ 0,
Do tính nửa liên tục dưới, ta suy ra rằng , ta xét ≯ 0. Với bất kỳ
.
22
Khi đó,
,
Và ta có ≯ 0. Do tính hemi – liên tục,
. ≯ 0,
Do vậy,
.
Do Mệnh đề 1.2.1, ta có
.
Khi đó,
; ≮ 0,
tức là (VEP) có một nghiệm. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. □
Nhận xét 1.3.1. Giả thiết (A4) có thể làm yếu đi như sau: với mọi
∖{0},
và ≮ 0
kéo theo
,
23
với mọi
.
1.4. Trường hợp tổng quát hơn
Trong phần này, chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán
(VEP) trong trường hợp
F(x, y) = G (x, y) + H (x, y), (1.2 )
với . Nếu H = 0 thì các kết quả nhận được sẽ
quy về trường hợp của Định lí 1.2.2.
Trong phần tiếp theo, chúng ta cần có định nghĩa sau. Một song hàm G được
gọi là giả đơn điệu theo H (H – giả đơn điệu ) nếu, với mọi :
≮ 0 kéo theo ≯ 0.
Chú ý rằng với H = 0, định nghĩa này quy về định nghĩa của song hàm giả
đơn điệu. Hơn nữa, dễ thấy rằng mỗi song hàm C – đơn điệu là trường hợp
đặc biệt của H – giả đơn điệu. Chúng ta đưa vào các giả thiết sau:
(I) ;
(II) G(. , y) là hemi – liên tục với ;
(III) G(x, y) là H – giả đơn điệu;
(IV) G(x, .) là nửa liên tục dưới và lồi với ;
(V) H(x, x) = 0 với ;
24
(VI) H(. , y) là nửa liên tục trên với ;
(VII) H (x, . ) là lồi với ;
(VIII) Điều kiện bức (C) thỏa mãn.
Với , chúng ta xét các tập hợp:
≮0} ≮ 0}
≯ 0}.
Từ Bổ đề 1.2.1 chúng ta biết rằng là một KKM – ánh xạ. Do đó, điều
kiện bức (C) đảm bảo rằng .
Mệnh đề 1.4.1. Nếu song hàm G thỏa mãn các giả thiết (I), (II), (IV)
và nếu song hàm H thỏa mãn các giả thiết (V) và (VII) thì
.
Chứng minh. Trong trường hợp , ta lấy .
Khi đó,
. ≯ 0,
Với mỗi cố định, đặt
.
25
Khi đó,
. ≯ 0,
Do đó,
. ≯
Do (I) và (IV), ta có
.
Với mọi , các điều kiện a ≯ b, a 0 tức là b ≮ 0, chúng ta suy ra rằng
≮ 0.
Từ (V) và (VII), chúng ta có
.
Do đó,
≮ 0.
Khi đó từ (II), ta suy ra
≮ 0,
tức là,
. □
Định lí 1.4.1. Nếu các giả thiết (I) – (VIII) thỏa mãn thì bài toán cân
bằng vectơ trong trường hợp (1.2), có một nghiệm.
26
Chứng minh. Vì G là H – giả đơn điệu, ta có
.
Do các giả thiết nửa liên tục (IV), (VI) và sự kiện: tổng của hai hàm nửa liên
tục dưới là nửa liên tục dưới, nên là đóng trong K. Bởi vậy, suy ra điều
phải chứng minh như trong Định lí 1.2.1. □
Chương 2
CÁC NGHIỆM HỮU HIỆU VÀ HỮU HIỆU HENIG CỦA BÀI
TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ
Chương 2 trình bày các kết quả của X. Gong [7] về nghiệm hữu hiệu
Henig của bài toán cân bằng vectơ, các kết quả về vô hướng hóa bài toán cân
bằng vectơ, các định lý về tồn tại nghiệm hữu hiệu và tính liên thông của tập
nghiệm hữu hiệu Henig và tập nghiệm hữu hiệu của bài toán bất đẳng thức
biến phân Hartman – Stampacchia vectơ.
2.1. Các khái niệm và định nghĩa
Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn, Y* là không gian đối ngẫu
tôpô của Y, C là một nón lồi, đóng, nhọn trong Y,
C* = { f Y*: f(y) 0, với mọi y C}
là các nón đối ngẫu của C. Ký hiệu là tựa phần trong của C*, tức là,
= { f Y*: f(y) > 0, với mọi y C\{0}}.
27
Nón C sinh ra một thứ tự trong Y được xác định bởi
u v nếu và chỉ nếu v - u C.
Cho D là một tập hợp không rỗng trong Y. Ký hiệu int D và cl D tương ứng là
phần trong và bao đóng của D. Bao nón của một tập D Y được xác định bởi
cone (D) = {td: t 0, d D}.
Một tập hợp con không rỗng, lồi B của nón lồi, đóng C được gọi là một cơ sở
của C nếu
C = {b: 0, b B} và 0 cl B.
Ta cũng biết rằng nếu và chỉ nếu C có một cơ sở.
Nếu C có một cơ sở B, ta có thể xác định một nón lồi đóng khác (B), bởi
(B) = cl (cone (B + U )),
trong đó
0 < < := inf { : b B}
và U là hình cầu đơn vị đóng của Y.
Ta biết rằng, nếu 0 < < ’ < thì (B) là một nón nhọn, lồi, đóng,
C\{0} int (B),
và
(B) cone (B + ’U ).
28
Bây giờ, giả sử A là một tập hợp con không rỗng của X, và F: A A Y
là một song hàm. Chúng ta sẽ xét bài toán cân bằng vectơ (VEP) như
sau: Tìm x A sao cho
F(x, y) - K, với mọi y A,
trong đó K {0} là một nón lồi trong Y.
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử int C . Một vectơ x A, thỏa mãn F(x, y)
-int C, với mọi y A được gọi là một nghiệm hữu hiệu yếu của (VEP). Ký
hiệu bởi (A, F) là tập tất cả các nghiệm hữu hiệu yếu của (VEP).
Định nghĩa 2.1.2. Vectơ x A thỏa mãn F(x, y) - C\{0}, với mọi y
A được gọi là một nghiệm hữu hiệu của (VEP). Ký hiệu bởi V(A, F) là tập tất
cả các nghiệm hữu hiệu của (VEP).
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử C có một cơ sở B. Vectơ x A được gọi là
nghiệm hữu hiệu Henig của (VEP) nếu có 0 < < := inf { : b B},
F(x, y) -int (B), với mọi y A.
Ký hiệu bởi (A, F) là tập tất cả nghiệm hữu hiệu Henig của (VEP).
Nhận xét 2.1.1. Khái niệm nghiệm hữu hiệu Henig của tối ưu vectơ
được đưa vào trong [4].
Cho f C*\{0}. Chúng ta xét bài toán cân bằng (vô hướng) sau:
Tìm x A sao cho f (F(x, y)) 0, với mọi y A. (2.1)
29
Định nghĩa 2.1.4. Giả sử f C*\{0}. Nếu x A là một nghiệm của bài
toán cân bằng (2.1), thì ta nói rằng x là một nghiệm f - hữu hiệu của (VEP).
Kí hiệu (A, F) là tập tất cả nghiệm f - hữu hiệu của (VEP).
Mệnh đề 2.1.1. Nếu int C thì V(A, F) (A, F) và
{ (A, F). Nếu thì { (A, F): f } (A, F): f C*∖{0}}
V(A, F) và (A, F) V(A, F).
2.2. Phép vô hướng hóa bài toán cân bằng vectơ
Đặt
F(x, A) = {F(x, y): y A}, x A.
Bổ đề 2.2.1. Giả sử rằng int C và F(x, A) + C là một tập lồi với
mỗi x A. Khi đó,
(A, F ) = { (A, F ): f C*\{0}}.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.1.1, ta chỉ cần chứng minh
(A, F) { (A, F): f C*\{0}}.
Lấy x (A, F). Từ định nghĩa, ta có
F(x, y) -int C, với mọi y A.
Bởi vậy,
30
F(x, A) ( int C) = .
Do đó,
(F(x, A) + C) ( int C) = .
Vì F(x, A) + C là một tập lồi, theo định lý tách các tập lồi trong [8], tồn tại
hàm f Y*\{0} sao cho
inf {f (F(x, y) + c): y A, c C} > sup {f ( c): c int C}.
Ta có f C*\{0} và
f(F(x, y)) 0, với mọi y A.
Bởi vậy,
x (A, F ). □
Giả sử B là một cơ sở của C. Đặt
= { f : tồn tại t > 0, sao cho f(y) t, với mọi y B}.
Rõ ràng là .
Bổ đề 2.2.2.
(i) { (A, F): f } (A, F).
(ii) Giả sử, với mỗi x A, tập hợp F(x, A) + C lồi. Khi đó,
(A, F) { (A, F ): f }.
31
Chứng minh.
(i) Lấy x { (A, F): f }.
Khi đó, tồn tại f sao cho x (A, F). Điều đó có nghĩa là
f(F(x, y)) 0, với mọi y A;
tức là,
F(x, y) {u Y: f(u) < 0}, với mọi y A. (2.2)
Vì f , tồn tại t > 0 sao cho
f(b) t, với mọi b B.
Đặt
V = {u Y: f(u) < t}.
Khi đó, V là một lân cận của không. Chọn sao cho V, trong đó
:= inf { : b B},
và U là hình cầu đóng đơn vị của Y. Ta có
( - B ) {u Y: f(u) < 0}. (2.3)
Chọn và lưu ý rằng (B) là một nón nhọn, lồi, đóng và
(B) cone (B + ).
32
Lấy u -int (B).
Vì
(B) cone (B + ),
nên ta có
u = (v+ b) = (- v - b),
trong đó > 0, b B, v . Từ (2.3) ta suy ra f(u) < 0. Ta nhận được
-int (B) {u Y: f(u) < 0}.
Do (2.2), nên
F(x, y) -int (B), với mọi y A.
Bởi vậy,
x (A, F).
Do đó,
{ (A, F): f } (A, F).
(ii) Giả sử x (A, F). Theo định nghĩa, tồn tại sao cho
F(x, A) ( int (B)) = .
Ta có
33
(F(x, A) + C) ( int (B)) = .
Theo giả thiết, F(x, A) + C là một tập hợp lồi. Ta có thể áp dụng định lý tách
của các tập lồi, tồn tại f Y*\{0} sao cho
inf {f(F(x, y) + c): y A, c C} > sup {f( z): z int (B)}.
Từ đó, ta có
f(F(x, y)) 0, với mọi y A, (2.4)
và f ( (B))*.
Do đó f( + B) 0.
Vì f 0, tồn tại u , sao cho f(u) < 0. Như vậy,
f(u + b) 0, với mọi b B.
Điều này có nghĩa là f . Do đó,
(A, F) { (A, F): f }. □
2.3. Sự tồn tại nghiệm
Giả sử C là một nón nhọn, lồi, đóng trong Y. Như đã đề cập ở phần
trước, ta có thể xác định một thứ tự trong Y bởi
y x nếu và chỉ nếu y - x C.
Giả sử L(X, Y) là không gian của tất cả các ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X vào
Y. Kí hiệu (h, x) là giá trị của h L(X, Y) tại x.
34
Định nghĩa 2.3.1. Giả sử A là một tập hợp con không rỗng của X,
T: A L (X, Y) là một toán tử
(i) T được gọi là đơn điệu trên A nếu
(Tx - Ty, x - y) 0, với mọi x, y A.
(ii) Cho f C*\{0}. T được gọi là f - đơn điệu trên A nếu
f ((Tx, x - y)) + f ((Ty, y - x)) 0, với mọi x, y A.
Rõ ràng là, nếu T là đơn điệu trên A thì với bất kỳ f C*\{0}, T là f - đơn
điệu trên A.
Định nghĩa 2.3.2. Cho T: A L(X, Y). T được gọi là v - hemi liên tục
nếu, với mọi x, y A cố định, ánh xạ H(t) := (T(ty +(l - t) x), y - x), t [0, 1]
liên tục tại 0. Cho f C*\{0}. T được gọi là f – hemi liên tục nếu với mọi x, y
A cố định, hàm h(t) := f((T(ty + (1- t) x), y - x)), t [0, 1] nửa liên tục dưới
tại 0.
Dễ thấy rằng, nếu T là v – hemi liên tục trên A thì với bất kỳ f
C*\{0}, T là f – hemi liên tục trên A.
Định nghĩa 2.3.3. Ánh xạ q: A Y được gọi là C – nửa liên tục dưới
(hoặc trên ) tại A nếu với bất kỳ lân cận V của q( ) trong Y, tồn tại lân
cận U( ) của trong X sao cho
q(x) V + C, với mọi x U( ) A,
35
[q(x) V - C, với mọi x U( ) A].
Ta nói q là C – nửa liên tục dưới (C - nửa liên tục trên) trên A nếu nó là
C – nửa liên tục dưới (C - nửa liên tục trên) tại mọi x A.
Cho f C*\{0}. Ánh xạ q được gọi là f – nửa liên tục dưới trên A nếu
hàm : R là nửa liên tục dưới trên A.
Nhận xét 2.3.1. Nếu q là C – nửa liên tục dưới tại A thì -q là C -
nửa liên tục trên tại . Ta có thể thấy rằng, nếu là C – nửa liên tục
dưới trên A thì là C – nửa liên tục dưới trên A. Nếu f C*\{0} và nếu
q là C – nửa liên tục dưới trên A thì hàm : R là nửa liên tục dưới
trên A [3].
Cho A X là một tập hợp con lồi của X. Ánh xạ q: A Y được gọi là
C - lồi trên A nếu với mọi A, t [0, 1], ta có
tq( ) + (1- t) q( ). q(t + (1- t) x2)
Bổ đề 2.3.1. (Fan). Trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff, cho A
là một tập lồi, là một tập con không rỗng của A. Với mỗi x , gọi E(x)
là một tập con đóng của A sao cho bao lồi của mỗi tập con hữu hạn
{ } của nằm trong E( ).
Nếu tồn tại một điểm sao cho E( ) là compắc thì
{E(x): x } .
36
Nhận xét 2.3.2. Ánh xạ đa trị E: A 2A được gọi là một KKM – ánh
xạ nếu co { } E( ), với bất kỳ tập hợp con hữu hạn { }
của A, trong đó co (D) kí hiệu bao lồi của tập hợp D.
Định lý 2.3.1. Giả sử A là một tập con lồi, không rỗng, compắc yếu của
X, f C . Giả sử T: A L(X, Y) là f –hemi liên tục trên A, q: A Y là f -
nửa liên tục dưới yếu trên A [X được trang bị tôpô yếu (X, X*)], và q là C –
lồi. Hơn nữa, giả sử T là f - đơn điệu trên A. Khi đó, (A, F) , và do đó
V(A, F) , trong đó F(x, y) = (Tx, y - x) + q(y) - q(x), x, y A.
Chứng minh. Ta cần chỉ ra, tồn tại x A, đó là một nghiệm của bài
toán bất đẳng thức biến phân vô hướng
f(F(x, y)) = f((Tx, y - x)) + f(q(y)) - f(q(x)) ≥ 0, với mọi y A.
Trước hết, chúng ta xác định các ánh xạ đa trị E, G: A 2A bởi
E(y) = {x A: f((Tx, x - y)) + f(q(x)) ≤ f(q(y))},
G(y) = {x A: f((Ty, y - x)) + f(q(y)) ≥ f(q(x))}.
Khi đó, bằng cách chứng minh tương tự Định lý 2.4 trong [10], chúng ta có E
là một KKM – ánh xạ trên A và
{E(y): y A} = {G(y): y A} .
Vì
{E(y): y A}
nên
37
(A, F) . □
Định nghĩa 2.3.4. Song hàm F: A A Y được gọi là lõm - convexlike,
nếu với t [0, 1], các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Cho A, tồn tại A với
F( , y) tF( , y) + (1 - t) F( , y), với mọi y A;
(ii) Cho A, tồn tại A với
F(x, ) tF(x, ) + (1 - t) F(x, ), với mọi x A.
Định lý 2.3.2. Cho A là một tập hợp con không rỗng, compắc yếu của
X, và f C . Giả sử F: A A Y là lõm - convexlike và với mỗi y cố định,
y A, hàm x f(F(x, y)) là nửa liên tục trên yếu trên A. Hơn nữa, giả sử
F(x, x) 0, với mọi x A thì V(A, F) .
Chứng minh. Xác định ánh xạ đa trị G: A 2A bởi
G(y) = {x A: f(F(x, y)) 0}, với mọi y A.
Theo giả thiết,
y G(y), với mọi y A.
Giả sử { : I} là một lưới trong G(y) sao cho { } hội tụ yếu đến . Rõ
ràng, ta có A. Vì { } G(y), nên ta có
f(F( , y)) 0, với mọi I.
38
Từ giả thiết, ta có G(y) là một tập hợp con đóng yếu của A. Ta phải chứng
minh rằng
{ G(y): y A} .
Do A là compắc yếu, ta chỉ cần chỉ ra rằng ,
với bất kỳ trong A. Nếu điều này là không đúng, thì tồn tại tập hợp
B = { } A với .
Vì vậy, với bất kỳ x A, tồn tại B sao cho x G( ).
Điều đó có nghĩa là
f(F(x, )) < 0.
Bởi vậy, tồn tại sao cho
f(F(x, )) < - .
Vì x f(F(x, y)) là nửa liên tục trên yếu trên A, ta có thể chọn > 0 sao cho
với bất kỳ x A, tồn tại B sao cho
f(F(x, )) + < 0. (2.5)
Định nghĩa g: Rn bởi
g(x) = ( f(F(x, )) - , - f(F(x, )) - , ..., - f(F(x, )) - ), x A.
39
Từ (2.5), ta có:
- g(x) int Rn
+, với bất kỳ x A.
(2.6)
Do f , và F(x, y) là lõm - convexlike, ta có, với t [0, 1], , tồn
tại A
g( ) tg( ) + (1 - t) g( ).
Theo Định lý 2.11 [8], g(A) + Rn
+ là một tập lồi. Từ (2.6) ta có
0 g(A) + int Rn
+.
Theo định lý tách các tập lồi, ta có thể tìm được , với
sao cho
, với mọi x A,
tức là,
, với mọi x A. (2.7)
Theo giả thiết, tồn tại y A sao cho
, với mọi x A.
Vì f , ta có
, với mọi x A. (2.8)
40
Từ (2.7) - (2.8), ta suy ra
f(F(x, y)) , với mọi x A.
Với x = y, ta có
f(F(y, y)) - .
Mặt khác, từ giả thiết 0 F(y, y) , ta phải có
0 f(F(y, y)) .
Điều này dẫn đến một mâu thuẫn. Do đó,
{G(y): y A} .
Ta suy ra tồn tại
x {G(y): y A}.
Điều này có nghĩa là:
0 f(F(x, y)) , với mọi y A.
Bởi vậy,
x (A, F) V(A, F). □
2.4. Tính liên thông của tập nghiệm
Bây giờ, chúng ta nghiên cứu tính liên thông của tập hợp các nghiệm
hữu hiệu Henig và tập hợp các nghiệm hữu hiệu yếu của bất đẳng thức biến
phân Hartman- Stampacchia giá trị vectơ.
41
Định lý 2.4.1. Cho A là một tập hợp con lồi, không rỗng, compắc yếu
của X. Giả sử T: A L (X, Y) là v - hemi liên tục và đơn điệu trên A, q: A Y
là C – nửa liên tục dưới yếu trên A [X được trang bị tôpô (X, X*)], q là C –
lồi. Hơn nữa, q(A) là tập con bị chặn của Y và . Khi đó, { (A, F):
f } là tập liên thông theo (X, X*), trong đó F(x, y) = (Tx, y - x) + q(y) -
q(x), với bất kỳ x, y A.
Chứng minh. Xác định ánh xạ đa trị H: 2A bởi
H(f) = (A, F), f .
Do là một tập lồi, nên là một tập hợp liên thông. Theo Định lý 2.3.1,
H(f) , với mỗi f .
Ta chỉ ra rằng H(f) là một tập hợp lồi với mỗi f . Lấy H(f). Khi
đó, với i = 1, 2,
f(F( , y)) = f((T , y - ) + q(y) - q( )) 0, với mọi y A.
Xác định các ánh xạ đa trị E, G: A 2A bởi
E(y) = {x A: f((Tx, x - y)) + f(q(x)) f(q(y))},
G(y) = {x A: f((Ty, y - x)) + f(q(y)) f(q(x))}.
Vì (A, F) nên ta có .
Ta có
42
{E(y): y A} = {G(y): y A}.
Như vậy, với i =1, 2, ta có
f((Ty, y - )) + f(q(y)) f(q( ), với mọi y A.
Với bất kỳ t [0, 1], do tính C – lồi của q và f nên ta có
f((Ty: y - (t + (1- t) )) + f(q(y)) f(q(t + (1- t) )), với mọi y A;
có nghĩa,
t + (1 - t) {G(y): y A} = {E(y): y A}.
Như vậy,
t + (1 - t) H(f),
H(f) là một tập hợp lồi, và do đó là một tập liên thông.
Chúng ta chỉ ra rằng H(f) là nửa liên tục trên trên . Vì A là compắc
yếu nên ta chỉ cần chỉ ra rằng H là đóng (xem [1]).
Cho
) graph (H) = {(f, x) : x H(f)}, (
và
) . (
Vì
,
43
nên ta có
, với mọi y A.
Do tính đơn điệu của T và , ta nhận được
, với mọi y A. (2.9)
Cho y là điểm bất kỳ trong A. Do Ty L(X, Y), ta có {(Ty, y - )} hội tụ yếu
đến (Ty, y - ), vì { } hội tụ yếu đến . Hơn nữa, 0, ta có
và .
Ta có
.
Lấy giới hạn dưới hai vế của (2.9), ta có
. (2.10)
Rõ ràng (2.10) đúng với mỗi y A. Do đó,
, với bất kỳ y A.
Do T là v – hemi liên tục, q là C - lồi và nên bằng cách chứng minh
tương tự Định lý 2.4 trong [10], ta có
, với mọi y A,
đó là,
44
, với mọi y A.
Điều này có nghĩa là,
.
Bởi vậy, H(f) đóng và nửa liên tục trên trên . Theo Định lý 3.1 [11], ta có
{H(f): f } = {Vf (A, F): f }
là một tập hợp liên thông theo (X, X*). □
Định lý 2.4.2. Giả sử các giả thiết của Định lý 2.4.1 thỏa mãn. Khi đó,
VH (A, F) là tập liên thông. Hơn nữa, nếu int C thì Vw (A, F) là một tập
hợp liên thông theo (X, X*).
Chứng minh. Theo giả thiết, ta có F(x, A) + C là một tập hợp lồi với
mỗi x A. Theo Bổ đề 2.2.2, ta có
VH(A, F) = {Vf(A, F): f }.
Dễ thấy rằng là một tập hợp lồi và Vf (A, F) là một tập hợp lồi.
Xác định ánh xạ đa trị H: 2A bởi
H(f) = Vf(A, F), f .
Từ chứng minh của Định lý 2.4.1, ta có H(f) là nửa liên tục trên trên . Do
đó, theo Định lý 3.1 [11], VH(A, F) là một tập liên thông theo (X, X*).
Nếu int C , từ Bổ đề 2.2.1, ta có
45
Vw (A, F) = {Vf (A, F): f C*\{0}}.
Chúng ta có thể thấy Vw(A, F) là một tập liên thông theo (X, X*), vì có thể
thay thế f bởi f C*\{0} trong chứng minh Định lý 2.4.1. □
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính liên
thông của tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ, bao gồm:
- Các kết quả về tồn tại nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán cân bằng vectơ của
Bianchi – Hadjisavvas – Schaible [3];
- Các kết quả về vô hướng hóa bài toán cân bằng vectơ và sự tồn tại nghiệm
hữu hiệu của Gong [7];
- Các kết quả về tính liên thông của tập nghiệm hữu hiệu Henig và tập nghiệm
hữu hiệu yếu của bất đẳng thức biến phân Hartman – Stampacchia của Gong
[7].
Sự tồn tại nghiệm và cấu trúc tập nghiệm của bài toán cân bằng vectơ là
đề tài được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và phát triển.
46
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Aubin, J. P., and Ekeland, I. (1984), Applied Nonlinear Analysis, John
Wiley, New York, NY.
[2] Bianchi, M., and Schaible, S. (1996), Generalized monotone bifunctions
and equilibrium problems, Journal of Optimization Theory and Applications,
vol. 90, pp. 31-43.
[3] Bianchi, M., Hadjisavvas, N., and Schaible, S. (1997), Vector
Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions, Journal of
Optimization Theory and Applications, vol. 92, pp. 527–542.
[4] Borwein, J. M., and Zhuang, D. (1993), Superefficiency in vector
optimization, Transactions of the American Mathematical Society, vol.
338, pp. 105 –122.
[5] Chen, G. Y. (1992), Existence of solutions for a vector variational
inequality: An extension of the Hartman – Stampacchia theorem, Journal of
Optimization Theory and Applications, vol. 74, pp. 445 – 456.
[6] F a n , K. (1961), A Generalization of Tychonoff's fixed - point theorem,
Mathematische Annalen, vol. 142, pp. 305 – 310.
47
[7] Gong, X. H. (2001), Efficiency and Henig efficiency for vector
equilibrium problems, J. Optim. Theory Appl., vol. 108, 139 – 154.
[8] Jahn, J. (1986), Mathematical Vector Optimization in Partially –
Ordered Linear Spaces, Peter Lang, Frankfurt am Main, Germany.
[9] Jeyakumar, V., Oettli, W., and Natividad, M. (1993), A Solvability
theorem for a class of quasiconvex mappings with applications to
Optimization, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 179,
pp. 537 – 546.
[10] Lassonde, M. (1983), On the use of KKM multifunctions in fixed –
point theory and related topics, Journal of Mathematical Analysis and
Applications, vol. 97, pp. 151 – 201.
[11] Warburton, A. R. (1983), Quasiconcave vector m aximization:
connectedness of the sets of Pareto – optimal and weak Pareto – optimal
Alternatives, Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 40,
pp. 537–557.
48
49
