Luận văn Thạc sĩ: Một số vấn đề cơ sở trong giải tích P−ADIC

Tài liệu này đề cập đến vấn đề trường số hữu tỷ Q không đầy đủ khi thực hiện các phép toán giới hạn do sự tồn tại của các dãy Cauchy không hội tụ. Mặc dù trường Q có thể được mở rộng thành trường số thực R để giải quyết các vấn đề giải tích, trường R lại không đóng đại số. Luận văn này sẽ khảo sát một cách mở rộng khác của Q, không phải R, và nghiên cứu một số tính chất giải tích trên trường đầy đủ này.

Tài liệu này được biên soạn dành cho các học viên cao học, nghiên cứu sinh và nhà nghiên cứu trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là những người quan tâm đến lý thuyết số, lý thuyết số đại số và giải tích p-adic. Luận văn cung cấp một nguồn tài liệu toàn diện để nắm vững các khái niệm cơ bản và các tính chất nâng cao trong giải tích p-adic.

Luận văn được cấu trúc thành hai chương chính. Chương 1, với tiêu đề "Trường các số p-adic", tập trung trình bày các kiến thức nền tảng. Chương này khởi đầu bằng việc giới thiệu những khái niệm cơ bản về không gian siêu metric và quá trình bổ sung đủ của chúng, là những yếu tố thiết yếu để xây dựng trường các số p-adic. Tiếp theo, chương đi sâu vào định nghĩa và các tính chất của trường các số p-adic, bao gồm một số khái niệm then chốt và bản chất của chính các số p-adic. Mục tiêu là thiết lập một khung lý thuyết vững chắc để làm việc với các trường phi Acsimet này, đồng thời so sánh các tính chất hình học của chúng với các không gian metric thông thường. Chương 2, "Hàm xác định bởi chuỗi lũy thừa", tiến tới các chủ đề chuyên sâu hơn bằng cách khảo sát các hàm được định nghĩa thông qua chuỗi lũy thừa p-adic. Chương này khám phá các đặc tính hội tụ của chúng, đi sâu vào chuỗi lũy thừa p-adic, Định lý biểu diễn Weierstrass và Đa giác Newton. Đây là những công cụ cơ bản để hiểu hành vi giải tích của các hàm trong môi trường p-adic. Chương hai nhấn mạnh những đặc điểm riêng biệt của các hàm trong giải tích p-adic, thường khác biệt đáng kể so với các hàm tương tự trong giải tích phức. Nghiên cứu này góp phần làm rõ các tính chất độc đáo đó và cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về cấu trúc của các hàm giải tích p-adic.