BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
Vũ Thị Thái
ĐẶC TÍNH CỦA HIGGS MANG ĐIỆN TRONG MÔ HÌNH
SIÊU ĐỐI XỨNG TIẾT KIỆM 331 với số hạng B/µ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Huy Thảo
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Hà Nội - 2017
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội II, dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Huy Thảo. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc đến TS. Nguyễn Huy Thảo, người thầy đã tận tình truyền dạy,
hướng dẫn động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu khoa học để hoàn thành luận văn này.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Vật lý lý thuyết,
khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, giúp đỡ
chia sẻ các tài liệu bổ ích và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tôt luận
văn. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị và các bạn
lớp cao học đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu của mình.
Tôi rất biết ơn gia đình, người thân, bạn bè và các đồng nghiệp luôn
động viên và chia sẻ khó khăn cùng tôi trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 9 năm 2017
Học viên
Vũ Thị Thái
Lời cam đoan
Tôi xin đảm bảo số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các luận văn khác. Cụ thể, chương
một và chương hai là phần tổng quan giới thiệu những vấn đề cơ sở có
liên quan đến luận văn. Chương ba tôi đã sử dụng kết quả tính toán mà
tôi đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn TS. Nguyến Huy Thảo.
Cuối cùng tôi xin khẳng định các kết quả có trong luận văn:"Đặc tính
của Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1, với số
hạng B/µ" là kết quả mới không trùng lặp với các kết quả của các luận
văn và công trình đã có.
Hà Nội, tháng 9 năm 2017
Học viên
Vũ Thị Thái
Mục lục
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Các kí hiệu chung
Mở đầu 1
1 Mô hình chuẩn và mô hình tiết kiệm 3-3-1 5
1.1 Giới thiệu về mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Những thành công và hạn chế của mô hình chuẩn 8
1.2 Mô hình tiết kiệm 3-3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Lý Thuyết siêu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Đại số Poincare và các spinor . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Siêu không gian và siêu trường . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Một số qui tắc xây dựng Lagrangian siêu đối xứng 23
1.3.5 Phân loại các đóng góp vào Lagrangian SUSY. . . 28
2 Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm
3-3-1 với số hạng B/µ 31
2.1 Mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ . 31
2.2 Thế vô hướng của Higgs và phần Higgs . . . . . . . . . . 34
3 Khối lượng của Higgs mang điện đơn trong mô hình siêu
đối xứng tiết kiệm 3-3-1, với số hạng B/µ 38
3.1 Phần Higgs mang điện đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Khối lượng của các Higgs mang điện . . . . . . . . . . . 42
Kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
Các kí hiệu chung
Trong luận văn này tôi sử dụng các kí hiệu sau:
Tên Kí hiệu
Mô hình chuẩn SM
Mô hình siêu đối xứng (nói chung) SUSY
Mô hình 3-3-1 tiết kiệm E331
Mô hình siêu đối xứng tối thiểu MSSM
Mô hình 3-3-1 tiết kiệm siêu đối xứng SUSYE331
Mô hình siêu đối xứng tối thiểu rút gọn 3-3-1 SUSYRM331
Đối xứng chẵn lẻ và liên hợp điện tích CP
Máy gia tốc năng lượng cao LHC
Vi phạm số lepton thế hệ LFV
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta biết rằng việc nghiên cứu sự tương tác của các hạt cơ bản
có tồn tại 4 loại tương tác: Tương tác mạnh, tương tác yếu, tương tác
điện từ và tương tác hấp dẫn.
Tương tác mạnh gắn kết quark trong hạt nhân nguyên tử và làm cho
vật chất vững bền. Tương tác điện từ diễn tả electron tương tác với
proton trong hạt nhân nguyên tử để tạo nên nguyên tử và phân tử của
các hóa chất trong bảng tuần hoàn Mendeleef cũng như các tế bào và
gen sinh vật.
Tương tác yếu chi phối toàn diện sự vận hành của neutrino, làm cho
một số hạt nhân nguyên tử phân rã và phát tán neutrino. Ba tương
tác"phi hấp dẫn": mạnh, yếu, điện từ đã được mô tả thống nhất trong
một lý thuyết tái chuẩn hóa được, việc giải thích các loại tương tác
này đã được xây dựng lí thuyết thống nhất tương tác là nội dung chính
của nghiên cứu vật lí hạt cơ bản. Hai tương tác cơ bản điện từ và hạt
nhân yếu tuy có cường độ tương tác hiệu dụng quá khác biệt nhưng vì
nhận thấy chúng có nhiều đặc tính chung nên S.Glashow, A.Salam và
S.Weiberg đã kết hợp tương tác điện từ và tương tác hạt nhân yếu trong
2
một lý thuyết duy nhất mà Salam đặt tên là điện-yếu (electroweak), kết
hợp với lý thuyết tương tác mạnh, lý thuyết này gọi là mô hình chuẩn
(Standard Model). Mô hình chuẩn tiên đoán nhiều hiện tượng và hạt
mới lạ cũng như tính chất của chúng mà sau đó đều được thực nghiệm
kiểm chứng với độ chính xác cao: Như dòng trung hòa của tương tác hạt
nhân yếu, các quark charm, top, bottom, hai boson chuẩn W, Z, và gần
đây nhất là hạt cơ bản vô hướng Higgs được phát hiện vào năm 2012.
Việc tiên đoán sự có mặt của Higgs trong thế giới đã được bắt đầu xuất
hiện từ thấp kỉ 60. Nhưng chưa đưa ra được bằng chứng thực nghiệm,
mãi tới năm 2012 đã được các nhà Vật lí học trên thế giới tìm ra từ
thực nghiệm và công bố điều này. Mặc dù là lý thuyết rất thành công,
nhưng mô hình chuẩn còn nhiều vấn đề còn tồn tại. Như vấn đề phân
bậc năng lượng, khối lượng neutrino, vật chất tối, năng lượng tối...Mô
hình SUSYE 3-3-1 là một trong những mô hình khắc phục được những
nhược điểm của mô hình chuẩn. Trong luận văn chúng tôi dự kiến sẽ tập
trung vào nghiên cứu Higgs mang điện đơn trong mô hình SUSYE 3-3-1
với số hạng B/µ, vì hai lí do: Thứ nhất mô hình SUSYE 3-3-1 có phần
Higgs đơn giản nhất trong các mô hình 3-3-1, đã được nghiên cứu một
cách rộng rãi. Thứ hai sự xuất hiện của Higgs trong mô hình SUSYE
3-3-1 có ảnh hưởng rất lớn trong vùng không gian tham số của các mô
hình hiện nay, bao gồm cả mô hình SUSY 3-3-1. Do đó việc nghiên cứu
Higgs mang điện đơn trong mô hình SUSYE 3-3-1 mở rộng là rất cần
thiết. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài "Đặc tính của Higgs mang
điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng
B/µ" để nghiên cứu.
3
2. Mục đích nghiên cứu
• Giới thiệu mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
• Tìm khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết
kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu về mô hình chuẩn và các mở rộng.
• Tìm hiểu về mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
• Đánh giá khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng
tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Khối lượng của Higgs mang điện trong mô
hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
• Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử,
chúng tôi tính toán và tìm khối lượng Higgs mang điện trong mô hình
siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
• Khảo sát, tính toán kết quả bằng phần mềm mathematica.
4
6. Dự kiến đóng góp mới
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 nội dung
chính sau:
• Mô hình chuẩn và mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng
B/µ.
• Đặc tính của Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết
kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ.
• Khối lượng Higgs mang điện trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm
3-3-1 với số hạng B/µ.
5
Chương 1
Mô hình chuẩn và mô hình tiết
kiệm 3-3-1
1.1 Giới thiệu về mô hình chuẩn
1.1.1 Giới thiệu
Mô hình chuẩn được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn SU (3)C⊗SU (2)L⊗
U (1)X của phép biến đổi chuẩn unitary. SU (3)C là nhóm đối xứng không
Abel của tương tác mạnh. Các trường chuẩn gluon liên kết với các tích
màu theo cách thức được mô tả trong QCD. SU (2)L là nhóm spin đồng
vị điện yếu không Abel. Siêu tích Y liên hệ với điện tích Q và spin đồng
vị I3 theo hệ thức Y = 2(Q − I3). Trường B liên hệ với nhóm U (1)Y trộn
với thành phần trung hoà W ba thành phần tạo nên trường photon A và
trường điện yếu Z. Lí thuyết chuẩn về tương tác điện yếu dựa trên nhóm
đối xứng SU (2)L ⊗U (1)Y được gọi là lý thuyết Glashow-Salam-Weinberg
(GWS).
Các quan sát thực nghiệm cho kết quả phù hợp với mô hình chuẩn
ở độ chính xác rất cao. Mô hình chuẩn cho ta một cách thức mô tả tự
6
I
thế hệ
II
III
u
quark
c
t
d
s
b
Lepton νe
νµ
ντ
e
µ
τ
Bảng 1.1: Các quark và lepton của mô hình chuẩn [6]
nhiên từ kích thước vi mô cỡ 10−16cm cho tới các khoảng cách vũ trụ
cỡ 1028cm và được xem là một trong những thành tựu lớn nhất của loài
người trong việc tìm hiểu tự nhiên. Mô hình chuẩn được tóm tắt ở 3
điểm cơ bản:
1.Vật chất được cấu tạo từ các yếu tố cơ bản là lepton và các quark.
Các quark và lepton được chia thành 3 thế hệ có cấu trúc giống nhau
(bảng 1.1), là thành viên của một nhóm các hạt được gọi là fermion (hạt
có spin bán nguyên). Cả quark và lepton đều được phân thành từng
cặp. Ví dụ, quark được chia thành u (up) và d (down), c (charm) và s
(strange), t (top) và b (bottom). Các quark kết hợp thành tam tuyến để
tạo ra baryon hoặc kết hợp thành các cặp quark - phản quark để tạo ra
meson. Lepton cũng kết hợp thành từng cặp. Các hạt electron, muon và
tau đều có một neutrino tương ứng không mang điện, có khối lượng bé.
Electron giống như proton và neutron, là một hạt bền và dường như có
mặt trong tất cả các dạng vật chất. Các hạt muon và tau không bền và
được tìm thấy chủ yếu trong các quá trình rã.
Tất cả lepton và quark nói trên đều đã được phát hiện trong thực
nghiệm. Bảng (1.2) trình bày khối lượng và điện tích của chúng.
7
Fermion
các thành phần vật chất
Spin = 1
Lepton
Quark
Spin = 1 2
2, 5 2, 3 2... Spin = 1 2
Vị Khối lượng Điện tích Vị Khối lượng Điện tích
(cid:39) GeV/c2
(cid:39) GeV/c2
< 7.10−9
0, 005
u
0
νe
0, 000511
e
0.01
d
-1
2 3 − 1 3
1, 5
e
0
νµ < 0, 0003
0, 106
µ
0, 2
s
−1
2 3 − 1 3
< 0, 03
170
t
0
ντ
1, 7771
τ
4, 7
b
−1
2 3 − 1 3
Bảng 1.2: Điện tích và khối lượng của các Quark và Lepton [18]
2. Các lepton và quark tương tác với nhau thông qua 4 loại lực khác
là điện từ, mạnh, yếu và hấp dẫn. Các tương tác được thực hiện thông
qua các boson vector trung gian hay hạt truyền tương tác.
• Photon γ là hạt truyền tương tác điện từ - lực chi phối quỹ đạo của
electron và các quá trình hoá học.
• Gluon g là hạt truyền tương tác của các loại lực có cường độ lớn nhất
- lực tương tác mạnh. Lực này giữ các quark trong photon và neutron
cũng như các hạt trong hạt nhân nguyên tử lại với nhau.
• W và Z boson là hạt truyền tương tác yếu, thể hiện trong các quá
trình rã phóng xạ. Lực yếu đóng vai trò rất quan trọng trong việc quan
sát các phản ứng neutrino, vì neutrino trơ đối với lực điện từ (do chúng
không mang điện) và không bị ảnh hưởng bởi lực mạnh nên chỉ có lực
yếu là giúp ta xác định được đặc tính của neutrino.
• Cuối cùng, tương tác hấp dẫn được thực hiện thông qua hạt truyền
8
tương tác là graviton G.
• Các hạt γ, g, W và Z đều có spin bằng 1 còn G có spin bằng 2.
• Tương tác giữa các trường lực điện từ, mạnh và yếu với thành phần
fermion của vật chất cũng như tương tác giữa chúng được mô tả bởi các
lí thuyết chuẩn SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y . Phần hấp dẫn được gắn với
các phần khác của mô hình chuẩn bằng tay chứ không được mô tả như
một hiện tượng lượng tử.
3. Cơ chế Higgs là thành phần quan trọng thứ 3 của Mô hình chuẩn.
theo cơ chế này, các trường vô hướng tương tác với nhau sao cho trạng
thái cơ bản thu được cường độ trường khác không, phá vỡ đối xứng điện
từ một cách tự phát. Năng lượng tương tác của các boson chuẩn điện
yếu, các lepton và các quark với trường Higgs thể hiện như là khối lượng
của các hạt này. Theo tiên đoán của Mô hình chuẩn thì hạt vô hướng
Higgs có khối lượng lớn hơn 115 GeV.
1.1.2 Những thành công và hạn chế của mô hình chuẩn
Trong hơn 30 năm qua kể từ khi Mô hình chuẩn ra đời, chúng ta được
chứng kiến những thành công nổi bật của nó. Mô hình này đã đưa ra
một số tiên đoán mới có ý nghĩa quyết định như sự tồn tại của dòng yếu
trung hoà, và các vector boson trung gian, cùng những hệ thức liên hệ
khối lượng đã được thực nghiệm xác nhận.
Gần đây, một loạt phép đo kiểm tra các giá trị các thông số điện yếu
đã được tiến hành trên các máy gia tốc Tevatron, LEP và SLC với độ
chính xác rất cao, đạt tới 0, 1% hoặc bé hơn. Điều này chứng tỏ rằng
ngay cả cấu trúc lượng tử của mô hình cũng đã thành công với các dữ
9
liệu thực nghiệm. Người ta đã xác nhận rằng W và Z với lepton và quark
có giá trị đúng như mô hình chuẩn đã dự đoán.
Mô hình chuẩn hạt cơ bản đã giải thích được rất nhiều các hiện tượng
vật lý trong thang năng lượng khoảng 200 GeV. Việc quan sát hạt boson
Higgs với khối lượng khoảng 125.09 GeV bởi các thí nghiệm tại Large
Hadron Collider (LHC) một lần nữa khẳng định sự thành công của SM
ở mức năng lượng thấp dưới vài trăm GeV [5, 4, 6] Như vậy, Mô hình
chuẩn đã mô tả thành công bức tranh hạt cơ bản và các tương tác đồng
thời có vai trò quan trọng trong sự phát triển của vật lí hạt. Mô hình
này đã được công nhận rộng rãi, tên gọi "Mô hình chuẩn của Vật lí hạt"
xứng đáng nói lên vai trò của nó.
Bên cạnh những thành tựu nổi bật, Mô hình chuẩn vẫn còn một số
hạn chế sau [10, 3, 17]:
• Mô hình chuẩn không giải quyết được những vấn đề có liên quan đến
số lượng và cấu trúc các thế hệ fermion như: Tại sao trong Mô hình
chuẩn số thế hệ quark - lepton phải là 3? Có thể tồn tại bao nhiêu thế
hệ quark - lepton? Giữa các thế hệ có sự liên hệ với nhau như thế nào?
• Mô hình chuẩn cho rằng neutrino chỉ có phân cực trái, tức là neutrino
không có khối lượng. Nhưng các số liệu đo neutrino khí quyển do nhóm
Super - Kamiokande công bố năm 1998 đã cung cấp những bằng chứng
về sự dao động của neutrino, khẳng định rằng các neutrino có khối lượng.
• Mô hình chuẩn không giải thích được tại sao quark t lại có khối lượng
quá lớn so với dự đoán. Về mặt lí thuyết, dựa theo Mô hình chuẩn thì
khối lượng quark t vào khoảng 10 GeV, trong khi đó, năm 1995, tại
Fermilab người ta đo được khối lượng của nó là 175 GeV.
10
• Mô hình chuẩn không tiên đoán được các hiện tượng vật lí ở thang
năng lượng cao cỡ TeV, mà chỉ đúng ở vùng năng lượng thấp vào khoảng
200GeV.
1.2 Mô hình tiết kiệm 3-3-1
Trong mục này chúng tôi giới thiệu một số đặc điểm chính của mô
hình tiết kiệm 3-3-1 [7, 13]. Đa tuyến các hạt trong mô hình này được
sắp xếp như sau:
i )T
L ∼
(cid:18) (cid:19) 3, − , ψiL = (νi, ei, νc eiR ∼ (1, −1) , i = 1, 2, 3. 1 3
L ∼
(cid:19) (cid:18) 3, QiL = (u1, d1, U )T , QαL = (dα, uα, Dα)T 1 3
L ∼ (3∗, 0) , α = 2, 3. (cid:18)
(cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:19) (cid:18) , 1, − 1, 1, − 1, diR ∼ , UR ∼ , DαR ∼ uiR ∼ 2 3 1 3 2 3 1 3
Nhóm đối xứng chuẩn SU (3)L ⊗ U (1)X bị phá vỡ theo hai giai đoạn.
Trước tiên sẽ phá vỡ xuống nhóm đối xứng của mô hình chuẩn thông
qua tam tuyến vô hướng.
1, χ−
2 , χ0 3
(cid:18) (cid:19) χ = (cid:0)χ0 (cid:1)T ∼ 3, − . 1 3
(u, 0, ω)T . Tam tuyến này có giá trị chân không (cid:104)χ(cid:105) = 1√ 2
Cuối cùng là phá vỡ từ mô hình chuẩn xuống U(1)Q thông qua tam
tuyến Higgs.
1 , φ0
2, φ+ 3
(cid:1)T ∼ (3, φ = (cid:0)φ+ ) 2 3
11
Tam tuyến này có chân không như sau:
(cid:104)φ(cid:105) = (0, v, 0)T 1 √ 2
Khối lượng của fermion được cho bởi Lagrangian Yukawa và có dạng
tổng quát như sau:
Y
Y + Lφ Lχ
(cid:17) (cid:16) LY = + Lmix Y
Trong phần luận văn này chúng tôi quan tâm đến Lgrangian sau:
Y
(cid:17) (cid:16) ¯ψiLφejR ¯QαLχ∗DβR + he ij = h, 11
Y + Lφ Lχ ijεpmn( ¯ψc
iL)p(ψjL)mφn + hd 1i
+hε ¯QαLφ∗uiR + h.c ¯Q1LχUR + h, αβ ¯Q1LφdiR + hd αi
Y = hu 1i
Lmix ¯QαLφ∗UR + h.c ¯Q1LχuiR + hu αi ¯QαLχ∗diR + h,, 1α ¯Q1LφDαR + h,, α1
Trung bình chân không ω sinh khối lượng cho quark ngoại lai U và Dα
còn u sinh khối lượng cho u1, dα quarks trong khi đó v sinh khối lượng
cho uα, d1 và lepton thông thường.
1.3 Lý Thuyết siêu đối xứng
1.3.1 Giới thiệu
Lý thuyết siêu đối xứng là hướng mở rộng đối xứng không - thời gian
trong thuyết tương đối hẹp. Vật lý hạt cơ bản gắn liền với việc phân
loại hạt thông qua các đối xứng tương ứng với bất biến của tác dụng S.
Nếu xét đến giới hạn của mô hình chuẩn chúng ta đã biết có hai loại đối
xứng cơ bản sau:
• Đối xứng không - thời gian (còn gọi là đối xứng ngoài): Chẳng
12
hạn như các phép biến đổi Poincare, Biến đổi Lorentz tác dụng trực tiếp
lên toạ độ không - thời gian của hệ vật lý. Chính đối xứng này phân loại
các hạt theo khối lượng và spin.
• Đối xứng trong: Là các đối xứng biến đổi qua lại các thành phần
trường xếp trong cùng một đa tuyến:
bΦb(x).
Φa(x) −→ M a (1.1)
b là biểu
Trong đó các chỉ số a, b là các chỉ số thành phần của trường, M a
diễn của toán tử đối xứng. Đối xứng trong phân loại hạt theo tương tác,
theo các số lượng tử như điện tích, màu.....
Nhóm đối xứng trong SM là tích trực tiếp của nhóm đối xứng ngoài (đối
xứng Lorentz) và nhóm đối xứng trong (nhóm chuẩn SU (3)C ⊗SU (2)L ⊗
U (1)Y ) vì tất cả các vi tử của nhóm đối xứng ngoài đều giao hoán với
mọi vi tử của nhóm đối xứng trong. Người ta gọi đây là cách mở rộng
tầm thường nhóm đối xứng ngoài.
Lý thuyết siêu đối xứng tương ứng với sự mở rộng không tầm thường
nhóm đối xứng ngoài bằng cách xây dựng nhóm đối xứng mới bao gồm
các vi tử Lorentz và các vi tử mới không giao hoán với ít nhất một các
vi tử Lorentz. Người ta chia ra được các vi tử này là các vi tử phản giao
hoán có các tính chất sau:
1. Không giao hoán với phép quay
[Q, M µν] (cid:54)= 0. (1.2)
Như vậy vi tử này có phép quay Lorentz không sơ đẳng và có spin khác
không. Nó sẽ liên hệ các hạt có spin khác nhau. Cụ thể hơn Qi biến đổi
13
fermion thành boson và ngược lai.
Q | f ermion > = | boson >,
Q | boson > = | f ermion >, (1.3)
do vậy lý thuyết bất biến siêu đối xứng phải có bậc tự do boson và
fermion bằng nhau [15]. Các fermion và boson biến đổi qua lại lẫn nhau
dưới tác dụng của Q được xếp vào cùng một đa tuyến gọi là siêu đa
tuyến. Siêu đối xứng thống nhất hai thành phần có đặc điểm thống kê
spin khác nhau.
2. Bất biến với phép biến đổi tịnh tiến không thời gian
[Q, E] = [Q, P ] = 0. (1.4)
3. Phản giao hoán tử {Q, Q+} là toán tử năng lượng E và xung lượng P
(cid:8)Q, Q+(cid:9) = αE + βP. (1.5)
Nếu ta lấy tổng theo tất cả các tổ hợp khả dĩ, thì số hạng tỷ lệ với xung
lượng triệt tiêu và chỉ còn lại số hạng tỷ lệ với năng lượng.
Q
(cid:88) (cid:8)Q, Q+(cid:9) ∼ E. (1.6)
Do các tính chất trên nên toán tử Q có tính chất của spinor. Trong siêu
đối xứng người ta có thể làm việc với spinor Majorana hoặc Weyl. Tuy
nhiên làm việc với spinor Weyl sẽ gọn hơn. Trong kí hiệu hai thành phần,
spinor Majorana bốn chiều có dạng:
(cid:19) , α = 1, 2; ˙α = ˙1, ˙2. (1.7) Q = (cid:18)Qα ¯Q ˙α
14
Đại số siêu đối xứng tổng quát có dạng như sau:
(cid:3) = 0,
(1.8)
= 0,
(cid:111) (1.9) [Qα, Pµ] = (cid:2) ¯Q ˙α, Pµ ˙β, ¯Q [Qα, Mµν] = (¯σµν) ˙α ˙β (cid:111) (cid:110) ¯Q ˙α, ¯Q ˙β = 2(σµ)α ˙βPµ. {Qα, Qβ} = (cid:110) Qα, ¯Q ˙β
Trong đó σµ = (1, σi), ¯σµ = (1, −σi). Đại số trên chứa cả hai loại giao
hoán tử và phản giao hoán tử nên được gọi là đại số Lie phân bậc (graded
Lie algebra). Chú ý rằng Qi có thể mang chỉ số i = 1, 2, ...N của nhóm
đối xứng trong. Khi đó người ta gọi là N siêu đối xứng. Trong phần này
chúng tôi chỉ quan tâm đến trường hợp N = 1. Từ điều kiện giao hoán tử (1.8), ta thấy đối xứng ngoài (đại số Poincare) và đối xứng trong Q, ¯Q
kết hợp một cách không tầm thường. Phần tiếp theo chúng tôi liệt kê các
yếu tố cơ bản nhất cần thiết để xây dụng Lagrangian tổng quát nhất.
1.3.2 Đại số Poincare và các spinor
Đại số Poincare tương ứng với đối xứng không - thời gian trong lý
thuyết tương đối hẹp tác dụng lên các toạ độ không - thời gian xµ như
sau
νxν + aµ.
xµ (cid:55)→ x(cid:48)µ = Λµ (1.10)
ν tương ứng với phép biến đổi Lorentz, thoả mãn điều kiện
Trong đó Λµ
tensor metric ηµν = diag(1, −1, −1, −1) bất biến, cụ thể:
ΛT ηΛ = η.
15
Tập hợp tất cả các phép biến đổi Lorentz nói trên hợp thành nhóm
Lorentz không đồng nhất. Nhóm này có một nhóm con đặc biệt liên kết
(connected) với phần tử đơn vị và có định thức bằng 1, gọi là nhóm
Lorentz trực giao thời gian riêng (orthochronous) SO(3, 1)↑. Tất cả các
nhóm con còn lại có thể được xây dựng bằng cách lấy tích trực tiếp của
nhóm con này với ít nhất một trong hai phép biến đổi: nghịch đảo thời
gian T hoặc nghịch đảo không gian P (parity). Do vậy người ta chỉ xét
đến nhóm Lorentz này. Nhóm Poincare có các vi tử kí hiệu M µν và P σ
thoả mãn đại số:
[P µ, P ν] = 0,
[M µν, P σ] = i(P µηνσ − P νηµσ). (1.11)
Các vi tử M µν của nhóm Lorentz có thể mô tả các vi tử quay Ji và các
boost Lorentz theo các liên hệ :
(1.12) Ji = (cid:15)kMjk; Ki = M0i, i, j, k = 1, 2, 3,
Vì vậy các phép biến đổi Lorentz liên hệ với các phép quay quanh ba
trục không gian và các boost Lorentz dọc theo chúng. Cụ thể biến đổi
Lorentz của hạt spin J cho bởi:
|J >→ ei(Jaθa+Kbωb)|J > . (1.13)
Các vi tử nhóm Lorentz có biểu diễn theo hai lớp vi tử (không có tính
hermitian hoặc phản hermitian) trong đó mỗi lớp vi tử độc lập thoả mãn
đại số SU (2). Cụ thể người ta đặt:
(1.14) La = (Ja + iKa), Na = (Ja − iKa). 1 2 1 2
16
Khi đó từ đại số Poincare của các vi tử M µν người ta tìm được các liên
hệ giao hoán tử [14, 16]:
[Ja, Jb] = i(cid:15)abcJc, [Ja, Jb] = i(cid:15)abcKc, [Ka, Kb] = −i(cid:15)abcKc,
(1.15) [La, Lb] = i(cid:15)abcLc, [Na, Nb] = i(cid:15)abcNc, [La, Lb] = 0.
Tác dụng của phép biến đổi chẵn lẻ (x0, (cid:126)x) → (x0, −(cid:126)x) cho kết quả
Ja → Ja, Ka → −Ka, dẫn đến La ↔ Na. Các kết quả trên cũng cho thấy sự tương ứng SO(3, 1)↑ (cid:119) SU (2) ⊕ SU (2), đồng thời spin J của hạt mô tả theo các spin của 2 nhóm SU (2) thành phần: (cid:126)J = (cid:126)j1 + (cid:126)j2. Như
vậy biểu diễn của nhóm Lorentz có thể đặc trưng bởi hai bán số nguyên
(j1, j2) đặc trưng cho các biểu diễn của hai đại số SU (2) ở trên. Biểu
diễn (j, j) tương ứng hạt có spin nguyên 2j. Hai biểu diễn spinor đơn
2) và ( 1
2, 0) tương ứng với các trạng thái hai hạt thành phần, ψL - Weyl trái và ψR - Weyl phải. Hai trạng thái này vì vậy biến
giản nhất là (0, 1
đổi khác nhau dưới phép biến đổi Lorentz. Cụ thể, biểu diễn ( 1
2σa và Na = 0 (hay Ja = 1
2σa, Ka = − i
2, 0) tương 2σa) cho biến đổi
ứng với La = 1
2 θa+ σb
Lorentz của ψL:
2 ωb)ψL.
ψL → e(i σa
2) có La = 0, Na = σa
2 (Ja = σa
2 , Ka = i
2σa)
Trong khi đó biểu diễn (0, 1
2 θa− σb
thì
2 ωb)ψR.
ψR → e(i σa
Nhận xét: Các spinor này biến đổi khác nhau dưới tác dụng của các
boost Lorentz. Các biểu diễn tương ứng biến đổi qua lại lẫn nhau qua
một phép biến đổi chẵn lẻ. Do vậy nếu định nghĩa χα là spinor weyl trái
người ta thu được spinor weyl phải thông qua phép liên hợp chẵn lẻ, ký
17
˙α ≡ (χα)†.
hiệu χ†
Để phân biệt các spinor Weyl trái và phải, người ta qui ước các chỉ số
không chấm trên (α, β, ....) chỉ được ký hiệu cho weyl trái còn các chỉ số có chấm trên ( ˙α, ˙β....) chỉ được dùng cho weyl phải.
Tổng trực tiếp của hai biểu diễn weyl trái và phải nói trên chính là biểu
(cid:19)
ΨD(x) = ≡ (ψL ψR)T ≡ (ψ1, ψ2, χ+1, χ+2)T . diễn Dirac quen thuộc. (cid:18) ψα χ† ˙β
Sự nâng hạ chỉ số spinor weyl thông qua các tensor phản xứng bất biến
đối với nhóm SU (2)C:
0 1 (cid:15)αβ = (cid:15) ˙α ˙β = = −(cid:15)αβ = −(cid:15) ˙α ˙β. −1 0
Phần này chúng tôi chỉ tập trung vào biểu diễn Lagrangian theo các
trường spinor hai thành phần.
1.3.3 Siêu không gian và siêu trường
Trong lý thuyết SUSY, ta phải xây dựng siêu trường ˆΦ(X)1 thoả mãn
các điều kiện [8]:
- Là hàm của các toạ độ X trong siêu không gian (superspace).
- Biến đổi theo nhóm siêu Poincare.
Người ta xây dựng siêu không gian bằng cách thêm vào không gian
minkowsky thông thường các toạ độ Grassmann phản giao hoán. Các
biến Grassmann có liên quan tới các toạ độ mở rộng xuất hiện trong siêu
không gian được định nghĩa như sau. Trước tiên người ta xây dựng nhóm
siêu Poincare bằng cách mở rộng không tầm thường nhóm Poincare. Cụ
18
˙α được thêm vào nhóm Poincare, với vai trò tương tự như các vi tử P µ trong các toạ độ thông thường. Tương ứng trong siêu không gian có thêm các toạ độ Grassmann θα, ¯θ ˙α. Hệ toạ độ siêu không gian được ký hiệu là X = (xµ, θα, ¯θ ˙α). Các hàm biểu diễn siêu trường mới đều phụ thuộc tất cả các biến trên (cid:98)Φ ≡ (cid:98)Φ(X) = (cid:98)Φ(xµ, θα, ¯θ ˙α). Các siêu trường vô hướng tổng quát (cid:98)S(xµ, θ, ¯θ) được khai triển các biến Grassmann θα, ¯θ ˙α như sau [12]:
thể bộ hai vi tử fermion Qα, Q+
(cid:98)S(xµ, θ, ¯θ) = ϕ(x) + θψ(x) + ¯θχ+(x) + (θθ)M (x)
+ (¯θ ¯θ)N (x) + (θσµ ¯θ)Vµ(x) + (θθ)(¯θ¯λ(x))
+ (¯θ ¯θ)(θρ(x)) + (θθ)(¯θ ¯θ)D(x). (1.16)
Như đã nhận xét ở trên, người ta xét (cid:98)S(xµ, θα, ¯θ ˙α) liên quan tới hai phép
biến đổi:
- Biến đổi theo qui tắc biến tổi toán tử trường đối với nhóm Poincare
(cid:98)S(xµ, θα, ¯θ ˙α) → e−i((cid:15)Q+¯(cid:15) ¯Q) (cid:98)Sei((cid:15)Q+¯(cid:15) ¯Q).
- Biến đổi theo qui tắc biến đổi của vector Hilbert trong không gian hàm,
(cid:98)S(xµ, θα, ¯θ ˙α) → ei((cid:15)Q+¯(cid:15) ¯Q) (cid:98)S = (cid:98)S(x − ic((cid:15)σµθ) + ic∗(θσµ¯(cid:15)), θ + (cid:15), ¯θ + ¯(cid:15)),
trong đó (cid:15) là tham số, Q là biểu diễn của Qα, c là hằng số phức liên hệ
với phép tịnh tiến.
x → x − ic((cid:15)σµθ) + ic∗(θσµ¯(cid:15)).
So sánh hai phép biến đổi trên theo các hệ số của xµ, θα, ¯θ ˙α cho ta kết
quả:
˙β∂µ, ¯θ
˙β ∂ ¯θ ∂xµ := −i∂α − c(σµ)α ˙β
˙α = i∂ ˙α + c∗θβ(σµ)β ˙α∂µ, Pµ = −i∂µ. Q+
Qα = −i − c(σµ)α ˙β ∂ ∂θα
19
(cid:111) Đại lượng c được xác định từ liên hệ phản giao hoán tử = (cid:110) Qα, Q ˙β
Pµ ta được Re(c) = 1. Chọn c = 1. Tiếp theo cân bằng hai vế
2(σµ)α ˙β hai phép biến đổi siêu trường nói trên, tính đến bậc nhất của (cid:15), ta được
liên hệ giao hoán tử của (cid:98)S với Qα:
(1.17) i [ (cid:98)S, (cid:15)Q + ¯(cid:15) ¯Q] = i((cid:15)Q + ¯(cid:15)¯Q) (cid:98)S = δ (cid:98)S.
Biết được biểu thức cụ thể của Qα, ¯Q ˙α và Pµ, người ta thu được các biến
phân tương ứng của từng số hạng khai triển có trong (cid:98)S. Trong đó người
ta đặc biệt chú ý tới δD là một vi phân toàn phần.
δD = ∂µ((cid:15)σµλ+ − ρσµ¯(cid:15)). i 2
Số hạng này sẽ cho đóng góp vào Lagrangian siêu đối xứng.
Siêu trường tổng quát có nhiều đặc điểm cơ bản có trong nhiều tài liệu
chuẩn hiện nay.
Siêu trường vô hướng tổng quát (cid:98)S không phải là biểu diễn tối giản của
siêu đối xứng nên người ta tìm các biểu diễn tối giản bằng cách giảm đi
số thành phần độc lập của siêu trường tổng quát. Cụ thể người ta đặt
thêm các điều kiện ràng buộc vào siêu trường tổng quát như sau:
1. siêu trường chiral (cid:98)Φ thoả mãn : ¯D ˙α (cid:98)Φ = 0. 2. Siêu trường phản chiral (cid:98)¯Φ thoả mãn điều kiện: Dα (cid:98)¯Φ = 0. 3. Siêu trường vector (siêu trường thực) (cid:98)V thoả mãn: (cid:98)V + = (cid:98)V . 4. Siêu trường tuyến tính (cid:98)L thoả mãn điều kiện DD(cid:98)L = 0 và (cid:98)L+ = (cid:98)L.
Thông thường ta chỉ cần xét đến siêu trường chiral (phản chiral) và siêu
trường vector vì hai loại siêu trường này chứa đủ các loại trường vật lý
có trong SM .
20
Siêu trường chiral
Siêu trường chiral (cid:98)Φ thoả mãn điều kiện ¯D ˙α (cid:98)Φ = 0. Đây còn gọi là siêu
trường chiral phân cực trái (left - handed), là siêu trường chứa các spinor
phân cực trái, với biểu thức có dạng:
√ 2[θψ(x)] + (θθ)F (x) + i(θσµ ¯θ)∂µϕ(x) (cid:98)Φ(xµ, θα, ¯θ ˙α) = ϕ(x) +
i √ (1.18) − (θθ)[∂µψ(x)σµθ] − (θθ)(¯θ ¯θ)∂µ∂µϕ(x). 1 4 2
Siêu trường chiral có một số đặc điểm quan trọng :
√ - δF là một số hạng vi phân toàn phần δF = i 2¯(cid:15)¯σµ∂µψ.
- Tích của các siêu trường chiral cũng là một siêu trường chiral. Tổng
quát, bất kì hàm holomorphic f ((cid:98)Φ) của siêu trường chiral (cid:98)Φ cũng thoả
mãn điều kiện chiral. - Nếu (cid:98)Φ là siêu trường chiral thì ¯Φ = (cid:98)Φ+ là siêu trường - phản siêu
trường chiral.
Siêu trường phản chiral
Làm tương tự trường hợp siêu trường chiral ta khai triển cụ thể của siêu
trường antichiral như sau:
√ (cid:98)¯Φ(xµ, θα, ¯θ ˙α) = ϕ+(x) + 2[¯θ ¯ψ(x)] + (¯θ ¯θ)F +(x) − i(θσµ ¯θ)∂µϕ+(x)
i √ − ¯ψ(x)] − (1.19) (¯θ ¯θ)[θσµ∂µ (θθ)(¯θ ¯θ)∂µ∂µϕ+(x). 1 4 2
Siêu trường vector
Siêu trường vector (vector superfield) tổng quát nhất (cid:98)V (x, θ, ¯θ) = (cid:98)V +(x, θ, ¯θ).
Siêu trường vector có 8 bậc boson độc lập tương ứng với 8 bậc fermion
độc lập. Người ta chứng minh được siêu trường này có thể viết ở dạng
21
gọn hơn bằng cách loại bỏ các thành phần không có ý nghĩa vật lý. Siêu
trường vector viết trong dạng này được gọi là siêu trường vector viết
theo chuẩn Wess Zumino, được mô tả bởi biểu thức:
(θθ)(¯θ ¯θ)D(x). (cid:98)VW Z(x, θ, ¯θ) = (θσµ ¯θ)Vµ(x) + (θθ)[¯θ¯λ(x)] + (¯θ ¯θ)[θλ(x)] + 1 2
(1.20)
Thông thường ta chỉ xét vector chuẩn này
Một số đặc điểm của siêu trường vector:
1. Gồm các thành phần vật lý: Vµ tương ứng với bậc tự do boson ví dụ : hạt vật lý (γ, W ±, Z, gluon); λ và ¯λ tương ứng các bậc tự do fermion
(các gaugino). D là trường khuyết thiếu, không phải trường vật lý được
định nghĩa sau.
2. Các luỹ thừa của (cid:98)VW Z xác định như sau:
(1.21) (θθ)(¯θ ¯θ)V µVµ, (cid:98)V 2 W Z = (cid:98)V n+2 W Z = 0 ∀n ∈ N 1 2
Tiếp theo để xây dựng số hạng động năng cho các trường vector, người
ta phải tìm cách xây dựng siêu trường cường độ trường cho SUSY. Cụ
thể ta xét hai trường hợp: nhóm Abel và non - Abel.
Cường độ siêu trường của trường chuẩn giao hoán
Cường độ siêu trường chuẩn được định nghĩa trên cơ sở mở rộng định
nghĩa cường độ trường chuẩn thông thường. Cụ thể, khi chưa siêu đối
xứng hoá, cường độ trường chuẩn được định nghĩa theo :
(1.22) Fµν ≡ ∂µVν − ∂νVµ,
cho cường độ trường giao hoán. Trong trường hợp siêu đối xứng, định
22
nghĩa cho cường độ siêu trường là
(1.23) Wα ≡ − ( ¯D ¯D)D (cid:98)V . 1 4
Cường độ siêu trường này thoả mãn cả hai điều kiện chiral và bất biến
theo phép biến đổi chuẩn mở rộng.
˙β(y), (1.24) ¯λ
Khai triển theo các trường thành phần (của siêu trường vector tương ứng) theo hệ biến (y, θ, ¯θ), trong đó yµ = xµ + iθσµ¯θ, ta được :
Wα(y, θ) = λα(y)+θαD(y)+(σµνθ)αFµν(y)−i(θθ)(σµ)α ˙β∂µ
trong đó ta kí hiệu
(1.25) σµν ≡ (σµ¯σν − σν ¯σµ) β α . i 4
Cường độ siêu trường chuẩn không giao hoán
Đối với nhóm chuẩn không giao hoán, số bậc tự do của nhóm tương ứng
với số vi tử T a của nhóm. Để khai thác kết quả có được từ nhóm chuẩn
giao hoán, người ta dùng định nghĩa:
(cid:2)T a, T b(cid:3) = if abcT c, (1.26) (cid:98)Λ = (cid:98)ΛaT a, (cid:98)V = (cid:98)VaT a,
trong đó qui ước tổng được lấy theo chỉ số lặp nếu không chú thích gì
thêm.
Tương tự như nhóm chuẩn giao hoán ta cần ((cid:98)Φ+e2q (cid:98)V (cid:98)Φ) bất biến dưới phép biến đổi chuẩn mở rộng (cid:98)Φ → eiq (cid:98)Λ (cid:98)Φ, nhưng do đặc tính không giao
hoán của (cid:98)Λ và (cid:98)V trong trường hợp này làm cho (cid:98)V không biến đổi như
trường hợp nhóm chuẩn giao hoán. Dựa vào định nghĩa cường độ trường
Fµν, trong trường hợp của lý thuyết không siêu đối xứng Yang Mills,
23
biến đổi thành U FµνU −1 dưới các phép biến đổi unitary, người ta định
nghĩa được đại lượng:
(1.27) Wα ≡ − ( ¯D ¯D)(e−2q (cid:98)V Dαe2q (cid:98)V ), 1 8q
thoả mãn điều kiện hiệp biến chuẩn (q tương tự như g trong SU (2)L).
Lúc này trong chuẩn Wess Zumino, cường độ trường siêu đối xứng khai
triển được theo các trường thành phần như sau:
( ¯D ¯D)Dα[V α(y, θ, ¯θ) + if abcV b(y, θ, ¯θ)V c(y, θ, ¯θ)] Wα = −
µν(y) − i(θθ)(σµ)α ˙βDµ
¯λα ˙β(y). 1 4 α(y) + θαDα(y) + (σµνθ)αF a = λa
(1.28)
µ V c ν ,
Với
µ + qf abcV b ¯λc.
ν − ∂νV a ¯λa + qf abcV b µ
(1.29) F a µν ≡ ∂µV a ¯λa ≡ ∂µ Dµ
Như vậy với ta đã xây dựng các siêu trường cần thiết cho việc xây dựng
Lagrangian bất biến siêu đối xứng. Phần tiếp theo sẽ tóm tắt một số
quy tắc chung để xây dựng một Lagrangian tổng quát thoả mãn điều
kiện bất biến siêu đối xứng, bất biến chuẩn và tái chuẩn hoá được.
1.3.4 Một số qui tắc xây dựng Lagrangian siêu đối xứng
Ta xét lần lượt các trường hợp: siêu trường chiral, siêu trường vector
và cường độ siêu trường.
Lagrangian cho siêu trường chiral
Để tìm L(Φ) sao cho δL là một vi phân toàn phần dưới tác dụng của
24
phép biến đổi SUSY, ta lợi dụng các tính chất đã biết sau [9, 11]: - Đối với một siêu trường vô hướng tổng quát (cid:98)S = ... + (θθ)(¯θ ¯θ)D(x) số
hạng D biến đổi một lượng vi phân toàn phần:
δD = ∂((cid:15)σµ¯λ − ρσµ¯(cid:15)). i 2
- Đối với một siêu trương chiral (cid:98)Φ = ... + (θθ)F (x), số hạng F − term
cũng biến đổi một lượng bằng vi phân toàn phần:
√ (1.30) δF = i 2¯(cid:15)¯σµ∂µψ.
Do vậy Lagrangian tổng quát nhất cho siêu trường chiral sẽ chứa các
thành phần F - term và D- term như sau:
(cid:32)
(1.31) + (cid:33) . + h.c
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)D (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)F W (Φ) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) Siêu thế L = K(Φi, Φ+ j ) (cid:124) (cid:125) (cid:123)(cid:122) Thế K¨ahler
Trong đó kí hiệu |D chỉ phần D- term, |F chỉ phần F - term của siêu
trường. Hàm K là hàm thực của (cid:98)Φ và (cid:98)Φ+, gọi là thế K¨ahler. W ((cid:98)Φ) gọi
là siêu thế (supper - potential), là một hàm holomorphic của các siêu
trường chiral (không chứa phản chiral), nên nó cũng là một siêu trường
chiral.
Đối với lý thuyết tái chuẩn hoá được, người ta cần tìm Lagrangian viết
theo các thành phần trường có số chiều bằng 4. Như chúng ta biết thứ
nguyên [ϕ] = 1 và cần có [L] = 4. Xét đối với siêu trường, so sánh thứ
nguyên với các trường thành phần, đồng thời đối chiếu với thứ nguyên
của các trường thông thường, ta được
[ψ] = . [(cid:98)Φ] = [ϕ] = 1, 3 2
25
√ Trong khi đó khai triển siêu trường chiral Φ = ϕ + 2θψ + (θθ)F + ...
cho kết quả:
[θ] = − [F ] = 2. , 1 2
Từ đây người ta thấy F không phải là loại trường vô hướng đã biết. Nó
chính là hàm của các thành phần vô hướng khi siêu trường thoả mãn
điều kiện "on - shell". Điều kiện [L] = 4 cho tương ứng các điều kiện:
[KD] ≤ 4 trongK = ... + (θθ)(¯θ ¯θ)KD,
[WF ] ≤ 4 trongW = ... + (θθ)WF ,
⇒ [K] ≤ 2, [W ] ≤ 3. (1.32)
Trong trường hợp tổng quát người ta xác định Lagrangian theo các
trường thành phần bằng cách khai triển Taylor siêu trường quanh giá
∂ϕ = ∂W ∂ (cid:98)Φ
): trị (cid:98)Φ ∼ ϕ, ví dụ (Lưu ý ∂W (cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:98)Φ=ϕ
(1.33) + ∂W ∂ϕ ∂2W ∂ϕ2 . W ((cid:98)Φ) = W (ϕ) + ((cid:98)Φ − ϕ) (cid:124) (cid:123)(cid:122) (cid:125) ...+(θθ)F 1 ((cid:98)Φ − ϕ)2 2 (cid:125) (cid:123)(cid:122) (cid:124) ...+(θψ)(θψ)+...
Phần Lagrangian phụ thuộc vào trường F có dạng đơn giản sau:
L = F F ∗ + F + (1.34) ∂W ∂ϕ ∂W ∗ ∂ϕ∗ F ∗.
Lagrangian có dạng bậc hai và không chứa số hạng vi phân, hệ quả là
trường F không có hàm truyền. Người ta xác định F bằng cách xét
phương trình Euler - Lagrangian ở điều kiện "on - shell":
= 0 ⇒ F ∗ + = 0,
= 0 ⇒ F + (1.35) δS(F, F ∗) δF δS(F, F ∗) δF ∗ ∂W ∂ϕ ∂W ∗ ∂ϕ∗ = 0.
26
2
Thay vào phần Lagrangian LF ta thu được:
(1.36) ≡ −V(F )(ϕ). L(F ) (cid:55)→ − ∂W ∂ϕ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Như vậy ta thiết lập được thế vô hướng với F -term. Thế này chỉ phụ
thuộc vào các trường vô hướng là thành phần của siêu trường chiral. Ta
có hai chú ý sau.
Siêu thế tổng quát. Trong trường hợp lí thuyết có nhiều siêu trường
chiral, siêu thế viết ở dạng tổng quát như sau [1]:
i,j
i,j,k
(cid:88) (cid:88) (1.37) W ((cid:98)Φi) = a(cid:98)Φi + mij (cid:98)Φi (cid:98)Φj + yijk (cid:98)Φi (cid:98)Φj (cid:98)Φk, 1 3! 1 2
trong đó
√ i √ 2θψ(x) − iθσµ ¯θ∂µϕ(x) + (θθ) (cid:2)∂µψ(x)σµ ¯θ (cid:3) (cid:98)Φ(x, θ, ¯θ) = ϕ(x) + 2
(1.38) − (θθ)(¯θ ¯θ)∂µ∂µϕ(x) − (θθ)F (x). 1 4
): = ∂W ∂ (cid:98)Φi Siêu thế W (Φi) ở trên được khai triển Taylor theo các giá trị (cid:98)Φi = ϕi (cid:12) theo công thức sau (chú ý ∂W (cid:12) (cid:12)(cid:98)Φi=ϕi ∂ϕi
i
(cid:88) W ( (cid:98)Φi) = W (ϕi) + ∂W ∂ϕi ((cid:98)Φi − ϕi) (cid:125) (cid:123)(cid:122) (cid:124) ...+(θθ)Fi+...
i,j
(cid:88) + . (1.39) 1 2 ∂2W ∂ϕi∂ϕj ((cid:98)Φi − ϕi)((cid:98)Φj − ϕj) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) ...+(θψi)(θψj)+...
Chúng ta có thể thấy phần Lagrangian phụ thuộc vào F -term do thế
này đóng góp, khi chưa xét đến phương trình trường, chỉ là các số hạng
bậc nhất theo Fi và F ∗ i .
i
i
(cid:88) (cid:88) (1.40) Fi + F ∗ i , ∂W ∂ϕi ∂W + ∂ϕ+ i
27
i có nguồn gốc từ khai triển phần thế K¨ahler
còn các số hạng bậc hai FiF ∗
sẽ xét sau đây.
Thế K¨ahler trong trường hợp tổng quát.
Đối với SUSY, người ta tìm thế K¨ahler K bằng cách xây dựng thêm
siêu trường vector và tìm được biểu thức thế dạng
(1.41) K = (cid:98)Φexp(2q (cid:98)V )(cid:98)Φ,
bất biến với phép biến đổi chuẩn mở rộng (general gauge transfor -
mation). Trong biểu thức trên q là hằng số tương tác tương ứng với nhóm
chuẩn xác định các siêu trường vector. Phần đóng góp vào Lagrangian
bất biến là
i exp(2q (cid:98)V )(cid:98)Φi
. (1.42) Lf ermion = (cid:98)Φ+ (cid:12) (cid:12) (cid:12)D
Cách khai triển cụ thể phần Lagrangian này theo các trường thành phần
của cả siêu trường chiral và vector như sau. Trước hết người ta khai triển
2(2q (cid:98)V )2. Các số hạng bậc cao hơn không cho đóng góp do tính chất biến Grassmann. Đối với nhóm chuẩn không
hàm mũ exp(2q (cid:98)V ) = 1 + 2q (cid:98)V + 1
tạo thành một giao hoán, ta có tương ứng mỗi tập hợp vi tử {T a} cho ta (cid:98)V = T a (cid:98)V a trong đó mỗi (cid:98)V a đều là một siêu trường vector. (cid:98)V a(cid:111) (cid:110)
biểu diễn chính quy của nhóm chuẩn.
Lagrangian cho siêu trường vector.
Các phần Lagrangian đã xét ở trên chưa có số hạng động năng của trường
chuẩn vector như trong mô hình không siêu đối xứng. Đây chính là lí do
người ta xây dựng cường độ siêu trường vector sinh số hạng động năng
cho các trường vector. Cụ thể người ta thiết lập cường độ siêu trường
như đã xét ở phần trên. Phần Lagrangian chứa loại động năng trường
28
chuẩn vector có dạng:
(cid:35) (cid:34)
, (1.43) + h.c Lgauge = 1 4 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)θθ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)θθ tr(W W ) (cid:123)(cid:122) (cid:125) (cid:124) Abelian + tr(W aW a) (cid:124) (cid:125) (cid:123)(cid:122) N on−Abelian
α được định nghĩa ở các biểu thức
trong đó cường độ siêu trường Wα và W a
(1.23) và (1.27). Từ khai triển (1.24) và (1.28) ta được phần Lagrangian
(1.43) có biểu thức cụ thể sau
µν −
¯λa)(cid:3) F aµνF a (cid:2)(∂µλa)σµ¯λa − λaσµ(∂µ 1 4 i 2
+ 1 4 DaDa. (1.44) T r(W aW a)|θθ + h.c = − 1 2
Phần Lagrangian cho 2 loại đóng góp sau:
i) Các số hạng động năng bất biến chuẩn của các trường gauge boson
và các trường siêu đối tác tương ứng (gaugino).
ii) Số hạng bậc hai của D-term.
Đến đây chúng tôi đã khảo sát tất cả các yếu tố xuất hiện trong một
Lagrangian bất biến siêu đối xứng.
1.3.5 Phân loại các đóng góp vào Lagrangian SUSY.
Từ các phân tích trên ta có thể tổng lại các đóng góp vào lagrangian
của các mô hình SUSY như sau:
−Lgauge. Được xây dựng dựa trên sự tương tự của cường độ siêu trường
vector trong siêu đối xứng và cường độ siêu trường trong mô hình không
siêu đối xứng. Số hạng này chứa số hạng động năng cho trường chuẩn,
gauge boson (trong mô hình không siêu đối xứng) + số hạng động năng
của bạn đồng hành siêu đối xứng tương ứng, gaugino(khi xét trong siêu
29
đối xứng). Đối với siêu đối xứng, phần Lagrangian này xuất hiện thêm
số hạng bậc hai của DaDa, chứa các tương tác của trường vô hướng.
−Lf ermion. Được xây dựng để sinh số hạng động năng cho trường
fermion (lepton, quark) và trường vô hướng Higgs vì các trường này
đều là các thành phần của siêu trường chiral. Đây là các loại hạt đã
có trong các mô hình không siêu đối xứng. Sau khi siêu đối xứng, phần
Lagraugian này sinh thêm các số hạng động năng (bất biến) cho các hạt
bạn đồng hành siêu đối xứng tương ứng của chúng(sfermion, Higgsion).
Ngoài ra đối với siêu đối xứng Lagrangian này còn sinh thêm ba loại
số hạng mới:(i) tương tác sfermion- fermion- gaugion đối với phần chứa
siêu trường chiral loại fermion, và Higgs- Higgsino- gaugino đối với siêu
trường chiral loại Higgs; (ii) số hạng bậc hai F-term; (iii) tương tác ba
trường vô hướng Da- vô hướng- vô hướng, trong đó xét cho tất cả các
trường vô hướng (Higgs, sfermion) xuất hiện trong lý thuyết. - Siêu thế W ( ˆφi). Đây là hàm theo các siêu trường chiral (không chứa
siêu trường phản chiral), với bậc cao nhất theo lũy thừa tích siêu trường
bằng 3 (để đảm bảo tính tái chuẩn hóa). Tương tác của các trường
thành phần xuất hiện trong siêu thế là các tương tác của trường vô
hướng và spinor. Khi chưa xét đến phương trình trường (phương trình
Euler- Lagran) thì tương tác trong siêu thế này gồm: (i) tương tác bậc
hai+ bậc ba của các trường vô hướng (sfermion+ Higgs, không chứa đạo
hàm); tương tác F- term- vô hướng chứa các tương tác của các trường
vô hướng (Higgs, sfermion); (iii)tương tác ba spinor- spinor- vô hướng
(fermion, Higgsino, vô hướng: Higgs, sfermino).
- Lagrangian phá vỡ đối xứng mềm −Lsof t. Là phần Lagrangian chứa
30
các số hạng bất biến chuẩn nhưng không bất biến siêu đối xứng. Nó bao
gồm các số hạng sau: (i) số hạng khối lượng các gaugino; (ii) số hạng
khối lượng các sfermion; (ii) tương tác bậc ba bất biến chuẩn của các
hạt vô hướng (Higgs, sfermion).
-Với các mô hình chỉ gồm có các đối xứng U (1), Lagarangian chứa thêm
một số hạng gọi là số hạng Feyet Ilioupoulos, bậc nhất theo siêu trường
vector, là đơn tuyến nhóm chuẩn. Biểu thức cụ thể của số hạng này là:
LF I = ξV |(θθ)(¯θ ¯θ)
Các mô hình thông thường như MSSM không có số hạng này,
31
Chương 2
Higgs mang điện trong mô hình
siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số
hạng B/µ
2.1 Mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số
hạng B/µ
Trong phần này, các siêu trường được chứa định nghĩa như sau:
(cid:17) (cid:17) ˆF = (cid:16) ˜F , F , ˆS = (cid:16) S, ˜S , ˆV = (λ, V )
Trong đó F, S và V là các trường fermion, vô hướng và véc tơ.
• Siêu trường chứa lepton:
a
L
L = ((cid:98)νR)c, a=1,2,3 là các chỉ số thế hệ. (cid:98)νc • Siêu trường chứa các quark:
(cid:16) (cid:17)T ∼ (1, 3, −1/3), (2.1) (cid:98)LaL = (cid:98)lc aL ∼ (1, 1, 1), (cid:98)νa, (cid:98)la, (cid:98)νc
32
Siêu trường với quark trái của thế hệ thứ nhất là các tam tuyến:
L
(cid:16) ∼ (3, 3, 1/3). (2.2) (cid:98)Q1L = (cid:98)u1, (cid:98)d1, (cid:98)u(cid:48)(cid:17)T
Ta bỏ qua các chỉ số màu của các quark. Các thành phần đơn tuyến
(cid:48)c L ∼ (3∗, 1, −2/3), ˆuc 1L, ˆu
phải của siêu trường được định nghĩa dưới dạng:
ˆdc 1L ∼ (3∗, 1, 1/3).
Hai thế hệ còn lại, siêu trường biến đổi như tam tuyến của SU(3)L:
α
L
(cid:17)T ∼ (3, 3∗, 0). α = 2, 3, ˆQαL = (cid:16) ˆdα, −ˆuα, ˆd(cid:48)
αL ∼ (3∗, 1, −2/3), ˆuc
αL, ˆd,c ˆdc
αL ∼ (3∗, 1, 1/3).
Thành phần phải có dạng đơn tuyến:
Các thành phần fermion phân cực phải, ψR được viết theo định nghĩa L=( ˆψ+ của thành phần phân cực trái ˆψc R). Trong mô hình này các quark ngoại lai(exotic quark) u(cid:48) và d(cid:48) mang điện tích tương ứng qu(cid:48) = 2/3 và
qd(cid:48) = −1/3 như các quark thông thường.
Trong mô hình này ta cần 4 siêu trường Higgs để sinh khối lượng cho
các fermion và để đảm bảo điều kiện khử dị thường. Chúng được sắp
xếp như sau:
1, ˆχ−, ˆχ0 2
1 , ˆρ0, ˆρ+ 2
(cid:1)T ∼ (1, 3, −1/3), ˆρ = (cid:0)ˆρ+ (cid:1)T ∼ (1, 3, 2/3), ˆχ = (cid:0) ˆχ0
1 , ˆχ,+, ˆχ,0 ˆχ,0
2
1 , ˆρ,0, ˆρ,−
2
(cid:17)T (cid:16) (cid:1)T ∼ (1, 3∗, −2/3), ∼ (1, 3∗, 1/3), ˆρ = (cid:0)ˆρ,+ ˆχ(cid:48) =
Quá trình phá vỡ tự phát nhóm chuẩn SU (3)L ⊗ U (1)X thông qua hai
bước:
ω,ω(cid:48) −−→ SU (2)L ⊗ SU (1)Y
v,v(cid:48),u,u(cid:48) −−−−→ U (1)Q
SU (3)L ⊗ U (1)X
33
Trong đó các VEV của các trường Higgs tương ứng với các thành phần
Higgs trung hòa được kí hiệu:
√ √ 2 (cid:104)χ(cid:48)(cid:105)T = (u(cid:48), 0, ω(cid:48)),
2 (cid:104)χ(cid:105)T = (u, 0, ω), √ √ 2 (cid:104)ρ(cid:105)T = (0, v, 0), 2 (cid:104)ρ(cid:48)(cid:105)T = (0, v(cid:48), 0),
Các siêu trường vector chứa các trường chuẩn vector thông thường trong
các mô hình 3-3-1 và các phiên bản siêu đối xứng là các biểu diễn phó của các nhóm tương ứng: ˆVc tương ứng nhómSU (3)C gồm 8 gluon và 8 bạn đồng hành SUSY tương ứng là các gluino; ˆV tương ứng nhóm SU (3)L gồm 8 boson chuẩn và 8 bạn đồng hành SUSY tương ứng (gaugino); ˆV (cid:48)
tương ứng với nhóm U (1)X chứa một boson chuẩn (B boson) và bạn
đồng hành SUSY tương ứng (bion). Trong trung bình chân không VEVs
giữa ω và ω(cid:48) có giai đoạn đầu tiên của sự phá vỡ đối xứng, SU (3)L x
U (1)X →SU (2)L x U (1)Y và cung cấp khối lượng mới cho các hạt mới,
cụ thể là:
(cid:18) (cid:19)T (cid:18) (cid:19)T 0, 0, 0, 0, (cid:54)= 0, (cid:54)= 0, i = 4, 5, 6, 7, 8 Ti Ti ω √ 2 ω(cid:48) √ 2
(cid:18) (cid:19)T (cid:18) (cid:19)T X 0, 0, (cid:54)= 0, X 0, 0, (cid:54)= 0. ω √ 2 ω(cid:48) √ 2
Với phần boson chuẩn, chỉ có boson mới là Y +−, X, X ∗ và Z (cid:48) thu được
khối lượng trong giai đoạn phá vỡ đối xứng này. Ngược lại ba vi tử T1,
T2 và T3 của nhóm SU (2)L là bảo toàn. Vi tử của nhóm U (1)Y được
định nghĩa:
= − T8 + X Y 2 1 √ 3
34
cũng bảo toàn. Trong giai đoạn này của quá trình phá vỡ đối xứng không
có sự pha trộn giữa Z và Z (cid:48). Ở giai đoạn tiếp theo đối xứng điện yếu
bị phá vỡ xuống thành U (1)Q bởi u, u(cid:48), v, v(cid:48) và đây là lý do mang lại
khối lượng cho các hạt ban đầu. Để thống nhất với mô hình siêu đối
xứng tối thiểu mô hình chuẩn, ở đây ta giả sử:
u, u(cid:48), v, v(cid:48) (cid:28) ω, ω(cid:48).
Sau bước thứ nhất của quá trình phá vỡ đối xứng ta thu được La-
grangian hiệu dụng của trường Higgs. Lagrangian toàn phần là tổng của
Lagrangian mô hình chuẩn và Lagrangian phá vỡ đối xứng mềm.
2.2 Thế vô hướng của Higgs và phần Higgs
Thế vô hướng của mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng
B/µ được xây dựng bằng cách thêm số hạng mới:
(bρρρ(cid:48) + bxχχ(cid:48) + Hc)
vào thế vô hướng của mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1. Thế vô
hướng này có dạng:
V ≡ Vscalar + Vsoft
8 (cid:88)
= (cid:0)χ†χ + χ(cid:48)†χ(cid:48)(cid:1) + (cid:0)ρ†ρ + ρ(cid:48)†ρ(cid:48)(cid:1) µ2 ρ 4 (cid:19)2 (cid:18) − χ†χ + χ(cid:48)†χ(cid:48) + ρ†ρ − ρ(cid:48)†ρ(cid:48) + 1 3 2 3 2 3 1 3
ijχj − χ(cid:48)†
ij χ(cid:48)
j + ρ†
ijρj − ρ(cid:48)†
ij ρ(cid:48)
j)2
i λb
i λ∗b
i λb
i λ∗b
+ (χ† µ2 χ 4 g(cid:48)2 12 g2 8
b=1 ρρ†ρ + m2
χχ†χ + m2
ρ(cid:48)ρ(cid:48)†ρ(cid:48) + m2
χ(cid:48)χ(cid:48)†χ(cid:48)
+m2
(2.3) − (bρρρ(cid:48) + bχχχ(cid:48) + H.c.) .
35
Giống như trong mô hình siêu đối xứng tối thiểu 3-3-1, ta định nghĩa
lại pha của trường Higgs để bx và bρ nhận các giá trị thực. Thêm vào đó,
những giá trị này phải dương để tránh điều kiện cực tiểu thế tương ứng
với các Higgs trung hoà có khối lượng bằng không. Nghĩa là không phá
vỡ điện yếu.
Giả sử rằng các trung bình chân không của các thành phần trung
hòa u, u(cid:48), υ, υ(cid:48), ω và ω(cid:48) là thực, chúng ta khai triển tất cả các trường
Higgs xung quanh các trung bình chân không này như sau:
2 ),
χT = ( , χ−, , ρ+ ), ρT = (ρ+ 1 , ν + S5 + iA5 √ 2
(cid:48)+,
(cid:48)T = (
(cid:48)T = (ρ+ 1 ,
(cid:48)− 2 ),
, χ ), ρ , ρ χ u + S1 + iA1 √ 2 u(cid:48) + S3 + iA3 √ 2 ω + S2 + iA2 √ 2 ω(cid:48) + S4 + iA4 √ 2 ν(cid:48) + S6 + iA6 √ 2
Điều kiện cực tiểu thế tương đương với các phương trình sau:
ρ = 4
(cid:2)2 (cid:0)v2 − v2(cid:48)(cid:1) + w2(cid:48) − w2 + u(cid:48)2 − u2(cid:3) , bρ − µ2 ρ + 4m2
χ + 4m2 µ2
χ = 4
2g2(cid:48) + 9g2 27 (cid:2)w2 − w(cid:48)2 + u2 − u(cid:48)2 + 2 (cid:0)v(cid:48)2 − v2(cid:1)(cid:3) bχ − g(cid:48)2 27
− (cid:2)2 (cid:0)u2 − u(cid:48)2 + w2 − w(cid:48)2(cid:1) + v(cid:48)2 − v2(cid:3) , (2.4) v(cid:48) v u(cid:48) u g2 3
ρ + m2
ρ(cid:48) +
(2.5) m2 , µ2 ρ = bρ
χ + m2
(2.6) m2 , 1 2 1 2 v2 + v(cid:48)2 vv(cid:48) u2 + u(cid:48)2 uu(cid:48)
χ(cid:48) + (cid:20) bχ +
(2.7) (−u(cid:48)w + uw(cid:48)) (cid:21) (uu(cid:48) + ww(cid:48)) = 0. µ2 χ = bχ g2 4
Từ điều kiện (2.7) chúng ta suy ra được u u(cid:48) = ω ω(cid:48) .
Để thuận lợi trong tính toán ta quy ước:
, t = tan β = tβ = tan γ = tγ = u u(cid:48) ,
X =
β + 1(cid:1) ,
W =
(2.8) (cid:0)v2 + v(cid:48)2(cid:1) , m2 m2 g2 4 g(cid:48) v v(cid:48) , g g2 (cid:0)u(cid:48)2 + w(cid:48)2(cid:1) (cid:0)t2 4
36
Ở đây mX và mW là khối lượng tương ứng của Hermitian boson X và
W trong (2.8) là điều kiện đồng nhất với khối
boson W. Biểu thức của m2
lượng của boson W trong mô hình chuẩn với v2 + v(cid:48)2 = 246(GeV )2.
Từ các phương trình (2.4) − (2.7) ta có:
ρ + m2 µ2
ρ =
X cos 2β + 2m2
W cos 2γ(cid:3) ,
+ (cid:2)−m2 (2.9) 1 4 2t2 + 9 27 bρ tγ
χ + m2 µ2
χ =
X cos 2β −
W cos 2γ,
m2 m2 (2.10) + 1 4 (2t2 + 9) 27 bχ tβ
ρ(cid:48) + 1
χ(cid:48) + 1
2µ2 ρ
2µ2 χ (2.11)
, . s2γ ≡ sin 2γ = s2β ≡ sin 2β = m2 m2 t2 + 18 27 2bρ ρ + m2 2bχ χ + m2
Từ hai phương trình trong (2.11) ta có thể suy ra điều kiện của các
tham số bρ và bχ:
ρ + m2
ρ(cid:48) +
χ + m2
χ(cid:48) +
(2.12) 2bρ ≤ m2 and 2bχ ≤ m2 µ2 χ. µ2 ρ 1 2 1 2
Từ các phương trình (2.9), (2.10), (2.11) ta có thể biểu diễn cos 2γ và
cos 2β theo các tham số mềm như sau:
ρ + m2
χ + m2
χ − bχ tβ
(cid:17) (cid:17) + 2c2 W (cid:16) 1 4µ2 (cid:16) 1 4µ2 , c2γ ≡ cos 2γ =
ρ + m2
χ + m2
ρ − bρ tγ m2 W (cid:16) 1 4µ2
ρ − bρ tγ
χ − bχ tβ
(cid:17) (cid:17) + 2 (cid:16) 1 4µ2 c2β ≡ cos 2β =
ρ + m2
ρ − bρ tγ
(cid:17) (3 − 4s2 m2 X W ) − . (2.13) = (cid:16) 1 4µ2 m2 X 2m2 W c2γ m2 X
Từ các phương trình trong (2.13) với các điều kiện |c2γ|, |c2β| ≤ 1 kết
hợp với tính chất mW << mX của mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1
ta nhận thấy các tham số ở vế phải của (2.13) phải cùng thang với bình
37
X. Điều đó có nghĩa là ta có hai trường
W hoặc m2
phương khối lượng m2
hợp:
ρ + m2 µ2
ρ −
χ + m2 µ2
χ −
W ),
(2.14) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∼ (cid:12) (cid:12) ∼ O(m2 (cid:12) 1 4 1 4 bρ tγ bχ tβ
ρ + m2 µ2
ρ −
χ + m2 µ2
χ −
(2.15) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) ∼ (cid:12) (cid:12) ∼ O(m2 (cid:12) χ) 1 4 1 4 bρ tγ bχ tβ
Nếu không có sự phân bậc mạnh giữa tham số đối xứng mềm và µρ,χ,
thì chúng có thể ở cùng thang.
ρ + m2
X sẽ xảy ra khi hai biểu thức: c2
W ( 1
4µ2
phương khối lượng m2 )
χ + m2
4µ2
χ − bχ tβ
Trường hợp các tham số ở vế phải của (2.13) cùng thang với bình ρ − bρ tγ ) có dấu ngược nhau, khi đó chúng triệt tiêu lẫn nhau và ( 1
và kết quả là số hạng tổng có thang cỡ m2 X.
38
Chương 3
Khối lượng của Higgs mang điện
đơn trong mô hình siêu đối xứng
tiết kiệm 3-3-1, với số hạng B/µ
3.1 Phần Higgs mang điện đơn
Trong chương này chúng tôi khảo sát khối lượng của các Higgs mang
2 , ρ+(cid:48)
1 , ρ+
2 ) ma trận khối lượng có dạng:
Trong cơ sở (χ+, χ+(cid:48), ρ+ điện đơn trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ 1 , ρ+(cid:48)
(cid:48)+
ρ
ρ
(cid:48)+ 2 χ−
χ+χ− m2 m2
(cid:48)+
(cid:48)+ 2 ρ− 1
(cid:48)+ 1 ρ− 1
m2
6charged =
(cid:48)+ 1 ρ− 2
(cid:48)+ 2 ρ− 2
2 χ− m2 1 χ− m2 χ(cid:48)+χ− m2 ρ+ ρ+ 2 χ(cid:48)− m2 1 χ(cid:48)− m2 χ(cid:48)+χ(cid:48)− m2 ρ+ ρ+ ρ m2 m2 m2 ρ+ 2 ρ− 1 ρ− ρ+ ρ 1 1 m2 m2 2 ρ− ρ+ ρ 2 m2
1 χ− m2 1 χ(cid:48)− m2 (cid:48)+ 2 χ(cid:48)− ρ m2 ρ m2 ρ m2
1 ρ−(cid:48) ρ+(cid:48)
1
2 ρ−(cid:48) ρ+(cid:48)
1
M 2 g2 4
2 ρ−(cid:48) ρ+(cid:48)
2
m2
39
Trong đó:
(cid:48)2 + ν2 − ν
(cid:48)2 + ω
(cid:48)2.
χ+χ− =
(cid:48)2 + ω
(cid:48)2).
m2 + u
χ(cid:48)+χ− = − χ− = uν.
m2 4bχ.u(cid:48) g2u 4bχ g2 − u u(cid:48) (u
m2 ρ+ 1
χ− = νω. m2 ρ+ 2
(cid:48)+ 1
χ− = −uν(cid:48).
(cid:48)+ 2
(cid:48)2 + ω
(cid:48)2).
χ− = −ν(cid:48)ω. m2 ρ m2 ρ
χ(cid:48)+χ(cid:48)− =
(cid:48)− = −νu(cid:48).
m2 4bχ.u g2u(cid:48) − (−1 + ( ν ν(cid:48) )2)ν(cid:48) + ( u u(cid:48) )2(u
(cid:48)− = −ω(cid:48)ν
χ m2 ρ+ 1
(cid:48)− = ν(cid:48)u(cid:48).
χ m2 ρ+ 2
(cid:48)+ 1
χ
(cid:48)+ 2
(cid:48)2
χ m2 ρ m2 ρ
(cid:48)2 + ν
(cid:48)− = ν(cid:48)ω(cid:48). 4bρ.ν(cid:48) g2ν
= + (−1 + ( m2 1 ρ− ρ+ 1 u u(cid:48) )2)u
= (−1 + ( m2 2 ρ− ρ+ 1 u u(cid:48) )2)u(cid:48)ω(cid:48).
(cid:48)+ 1 ρ− 1
= (− 4bρ g2 − νν(cid:48)).
(cid:48)+ 2 ρ− 1
= 0. m2 ρ m2 ρ
(cid:48)2 + (−1 + (
(cid:48)2)
= m2 2 ρ− ρ+ 2 4bρ. g2 + (ν u u(cid:48) )2)ω
(cid:48)+ 1 ρ− 2
= 0. m2 ρ
(cid:48)+ 2 ρ− 2
= (− m2 ρ 4bρ g2 − νν(cid:48))
40
(cid:48)− 1
(cid:48)+ 1 ρ
= ( ) + (−(−1 + u2) + m2 ρ ν(cid:48) ν ν2 g2 ).
(cid:48)+ 2 ρ
(cid:48)− 1
4bρ. g2 ( = (−(−1 + ( m2 ρ
(cid:48)2).
(cid:48)+ 2 ρ
(cid:48)− 2
= ( m2 ρ 4bρ. g2 ( u u(cid:48) )2u(cid:48)ω(cid:48)). ν ν(cid:48) ) + ν2 − (−1 + ( u u(cid:48) )2ω
Khối lượng của các Higgs mang điện trong mô hình là các nghiệm của
6charged − λI6) = 0. Mỗi nghiệm ứng với trị riêng
phương trình: Det(M 2
H ± với I6 là ma trận đơn vị 6 × 6.
λ = m2
Ta có:
6charged − λI6) = 0
Det(M 2
(cid:48)2)(cid:1)
(cid:48)2
⇔ (cid:0) − 4λ tan γ + (1 + tan2 γ)(4bρ + g2 tan γν λ2 256 tan β tan2 γ
(cid:48)2 + (1 + tan2 γ)ν
(−64λ3 tan β tan γ + g2((1 + tan2 β)u
(cid:48)2 (cid:48)2)(4bρ(−1 + tan2γ) + g2 tan γ(−(−1) + tan2 β)u
+(1 + tan2 β)ω
(cid:48)2 − (−1 + tan2 β)ω
(cid:48)2)(cid:1)(4bχ(−1 + tan2 β) (cid:48)2
+(−1 + tan2 γ)ν
(cid:48)2 − (−1 + tan2 γ)ν
+g2 tan2 β(−1 + tan2 β)u
(cid:48)2)(cid:1) − 4λ(8bχ(2bρ(1 + tan2 β)(1 + tan2 γ)
+(−1 + tan2 β)ω
(cid:48)2) + g2 tan β(8bρ(1 + tan2 β tan2 γ)
(cid:48)2
+g2 tan γ(1 + tan2 β tan2 γ)ν
(cid:48)2 + ω
(cid:48)2) − g2 tan γ(cid:0)(−1 + tan2 β)u
(cid:48)2) − (−1 + tan2 γ)ν
(u
(cid:48)2)2)(cid:1) + 16λ2(4bρ tan β(1 + tan2 γ)
(cid:48)2 + tan γ(4bχ(1 + tan2 β) + g2 tan β(1 + tan2 β)u
+(−1 + tan2 β)ω
(cid:48)2 + (1 + tan2 β)ω
(cid:48)2)(cid:1)(cid:1)(cid:1) = 0
+(1 + tan2 γ)ν (3.1)
Phương trình trên là phương trình bậc 6 đối với λ, phương trình này có
nghiệm kép λ = 0 tiếp theo là một nghiệm khác không, ba nghiệm còn
41
lại là các nghiệm của phương trình bậc ba.
(cid:48)2)) = 0
Nghiệm đơn khác không là nghiệm của phương trình:
(−4λ tan γ + (1 + tan2 γ)(4bρ + g2 tan γν
⇔ λ =
(cid:48)2)
(cid:48)2)
⇔ λ = (1 + tan2 γ)(4bρ + g2 tan γν (cid:48)2) 4 tan γ (4bρ + g2 tan γ.ν 1 cos2 γ4 tan γ
= (4bρ + g2 tan γ.ν
= (4bρ + g2ν.ν(cid:48))
4.m2 A1 ( + g2ν.ν(cid:48)) = . sin .2γ 2 1 2 sin 2γ 1 2 sin 2γ 1 2 sin 2γ
+ + = m2 A1 = m2 A1 g2νν(cid:48)(1 + tan2 γ) 4. tan γ
+ (3.2) + m2 W = m2 A1 (ν2 + ν(cid:48)2) = m2 A1 g2νν(cid:48) 2.sin2γ g2 4
. Phương trình trên sẽ được viết như sau: Vì ở đó g2 = 4m2 W (ν2 + ν (cid:48)2)
W )(cid:3) × f (λ) = 0
(3.3) + m2 λ2 (cid:2)λ − (m2 A1
X và ở đó mW là khối lượng của boson W. Hàm số f (X)
Với λ = X × m2
là một đa thức bậc 3 được trình bày như sau:
f (X) = X 3 + AX 2 + BX + C, (3.4)
ở đó: k1 = , k2 = m2 A1 m2 X m2 A2 m2 X
A = −(1 + k1 + k2 + (cid:15))
2β + k1(1 + c2γc2β + k2) + [k2 + c2γc2β(2+k2)] × (cid:15) − c2
γ × (cid:15)2
B = −c2
(3.5) C = (1 + (cid:15))[c2β − c2γ((cid:15) + k1)][c2β(1 + k2 − c2γ)(cid:15)]
42
- Phần Higgs mang điện đơn cho hai trị riêng khối lượng bằng 0 tương
ứng với hai cặp Goldstone boson bị ăn bởi các boson U ± và Y ±.
-Ngoài ra Higgs mang điện đơn còn có một trị riêng khối lượng xác
W + m2 A1
H ± 4
định bởi, m2 = m2 . với mA1 là khối lượng của Higgs giả vô
hướng.
3.2 Khối lượng của các Higgs mang điện
Xét trường hợp tất cả các tham số mềm nằm ở thang SU (3)L, hai
công thức (2.13) chỉ ra rằng giá trị của c2β rất nhỏ. Khi áp dụng điều
kiện ràng buộc phương trình (3.5), người ta có thể chứng minh rằng
tất cả nghiệm của phương (3.3) đều tương ứng với các khối lượng Higgs
i + (cid:15)
i + X (cid:48)(cid:48)
mang điện. Đặt Xi = X (cid:48)
(cid:48)(cid:48)
(i = 1, 2, 3) thì:
i × m2
W + O((cid:15)) × m2
W .
X = X (cid:48)
i × m2
X + X
H ± i
(3.6) m2 = Xi × m2
X + m2 A2
Giải phương trình (2.25) ta có: X1 = (1 + k2) = (1 + ). Vậy λ1 = m2 A2 m2 X m2
1 × m2
X = m2
X + m2 A2
H ± 1
⇔ m2 (cid:119) X (cid:48) (3.7)
Tương tự:
2β − 4c2βc2γk1 + k2 1
(cid:113) (cid:1) 4c2 X2 =
Xc2βc2γ)2 + 4m4
Xc2
2βs2 2γ
(cid:113) (cid:1) X3 = (cid:0)k1 − (cid:0)k1 + 1 2 1 2 (cid:1) − 2m2 ∓ Vậy ta có: λ2,3 = (m2 A1
Xc2βc2γ)2 + 4m4
Xc2
2βs2 2γ
H ± 2,3 (cid:0)m2 A1
2β − 4c2βc2γk1 + k2 4c2 1 (cid:113) 1 (cid:0)m2 A1 2 ⇔ m2 1 2
(cid:119) X (cid:48) 2,3 × m2 X (cid:113) = ∓ − 2m2 (cid:1). (3.8) (m2 A1
43
i = ax/bx phụ thuộc vào X (cid:48)
i theo công sau:
và X (cid:48)(cid:48)
i] + c2
2γk1
ax = −c2βc2γ [1 + (k1 + 1)(k2 + 1) + (k2 + 2)X (cid:48)
2β(1 + k2) + c2
2β(1 + k2) + k2X (cid:48)
i − X
(cid:48)2 i ,
+c2
2β − c2βc2γk1 − k1(k1 + k2) + 2(1 + k1 + k2)X
(cid:48)2 i 3X
(cid:48)2 i .
(3.9) bx = c2
Chú ý rằng khối lượng của Higgs trong biểu thức (3.8) phải dương, tức
là:
(3.10) c2β(c2β − k1c2γ) < 0
Do vậy ta có k1c2γ < c2β < 0 vì c2γ < 0. Từ điều này chúng ta có
được điều kiện chính xác cho các khối lượng của Higgs mang điện dương
W )c2γ
< 0, điều đó nghĩa là: là:(k1 + (cid:15))c2γ < c2β < c2γ(cid:15) 1 + k2
(m2 A1 < 0 (3.11) < c2β < m2 + m2 m2 X c2γm2 W X + m2 A2
Nếu điều kiện này là thỏa mãn, thì tất cả các Higgs mang điện trong mô
hình này là cùng bậc của SU (3)L.
Tiếp theo ta khảo sát số khối lượng của Higgs mang điện:
H ± i
Khảo sát sự phụ thuộc của m2 theo khối lượng Higgs giả vô hướng mA1
với các tham số tγ, tβ cố định
Với những giá trị tan β, tan γ lớn ta có thể cố định c2β (cid:39) c2γ = −1.
Sau khi xây dựng ma trận khối lượng, lập bảng số liệu khối lượng và xây
dựng hàm biểu diễn khối lượng riêng của Higgs mang điện đơn chúng
H ± i
tôi vẽ được các đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của m2 theo mA1.
Trong (hình 3.1) các thông số được chọn như sau [2]:
mX = 2, 5 T eV, mA2 = 1.0 T eV, u2 + u(cid:48)2 ν2 + ν (cid:48)2 = 10−4,
mW = 80.4 GeV, tγ = 50, tβ = 10.
44
Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn m2
theo mA1 với tan γ = 50, tan β = 10.
H ± i
Hình 3.2: Đồ thị biểu diễn m2
theo mA1 với tan γ = 5, tan β = 3.
H ± i
Trong (hình 3.2) các thông số được chọn như sau:
mX = 2, 0 T eV, mA2 = 1.0 T eV, u2 + u(cid:48)2 ν2 + ν (cid:48)2 = 10−4,
mW = 80.4 GeV, tγ = 5, tβ = 3.
Các hình 3.1, 3.2 biểu diễn sự phụ thuộc của sáu Higgs mang điện
đơn theo mA1 trong mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng
B/µ. Ngoài hai Higgs có khối lượng bằng không bốn Higgs còn lại là các
nghiệm (3.7) và (3.8). Ở trong các hình vẽ trên có giao điểm màu đỏ giữa
45
Xc2β c2γ
H ± = 0 và đường cong tương ứng với m2 A1 (đường cong này là Higgs mang điện đơn có bình phương khối lượng
m2 đường thẳng m2 = −m2 W
nhẹ nhất); đây là biên để ta khử trường hợp Higgs có khối lượng âm.
Kết hợp với biểu thức (3.8) ta có hai giá trị của Higgs mang điện đơn
X}. Do đó để loại bỏ higgs tachyon thì mA1 phải
H ± = {m2
X, m2 A1
− m2 m2
H ± =
lớn hơn mX. Trên đồ thị ta cũng thấy rằng hai đường thẳng m2
X}
X} và hai đường cong m2
W , m2 A1
H ± = {m2 A1
X + m2 A2
− m2 + m2 , m2 {m2
cách đều nhau bởi vì chúng chỉ sai khác nhau bởi hai giá trị không đổi
W .
X + m2 Khảo sát sự phụ thuộc của m2
m2
H ± i
theo mA1 với các tham số tγ, tβ thay
Hình 3.3: Contours biểu diễn m2
theo mA1 và tan β.
H ± i
đổi.
Trong (hình 3.3) các thông số được chọn như sau:
mX = 2, 5 T eV, mA2 = 1.0 T eV, u2 + u(cid:48)2 ν2 + ν (cid:48)2 = 10−4,
mW = 80.4 GeV, tγ = 30.
46
Hình 3.4: Contours biểu diễn m2
theo mA1 và tan γ.
H ± i
Trong (hình 3.4) các thông số được chọn như sau:
mX = 2, 5 T eV, mA2 = 1.0 T eV, u2 + u(cid:48)2 ν2 + ν (cid:48)2 = 10−4,
mW = 80.4 GeV, tβ = 10.
Trong các hình vẽ trên contour biểu thị bằng nét đứt là đường ứng với
H ± = 0, contour nằm rất gần đường m2
H ± = 0 biểu diễn Higgs mang
m2
điện nhẹ nhất của mô hình. Những contour này đều biểu diễn sự phụ
thuộc của Higgs mang điện đơn theo mA1, tβ và tγ. Các hình 3.3, 3.4 cho
thấy một hệ quả là mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng
Xc2β c2γ
m2 rất gần với giá trị của − m2 m2 A1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) B/µ có Higgs mang điện nhẹ nhất nằm ở thang SU(3) nếu giá trị của (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
W ; Ở mức cây khối lượng Higgs H ± > (0, 9.102)2GeV .
nhẹ nhất sẽ phải thoả mãn điều kiện m2
47
Kết luận
Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, luận văn hoàn thành những mục
tiêu đặt ra. Trong quá trình nghiên cứu luận văn chúng tôi thu được
những kết quả chính như sau:
• Đã trình bày được khái quát về Mô hình thống nhất tương tác, Mô
hình 3-3-1 tiết kiệm, một số cơ sở của lý thuyết siêu đối xứng, giới
thiệu được mô hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ
và đặc tính của Higgs trong mô hình này.
• Luận văn đã đánh giá được khối lượng của các Higgs mang điện mô
hình siêu đối xứng tiết kiệm 3-3-1 với số hạng B/µ, trong đó: Hai
Higgs mang điện đơn có khối lượng bằng không GeV; trong số bốn
Higgs mang điện đơn còn lại, Higgs nhẹ nhất phải có bình phương
khối lượng lớn hơn 902 [GeV] ở bậc cây.
• Đề tài sẽ hoàn thiện hơn khi tính thêm bổ chính để khối lượng của
các Higgs mang điện đơn phù hợp với giá trị thực nghiệm. Các kết
quả tính toán được trong luận văn này hy vọng góp phần cùng thực
nghiệm trong quá trình phát hiện và tìm kiếm Higgs cũng như các
hạt mới của mô hình này.
48
Tài liệu tham khảo
[1] A. Signer (2009), J. Phys. 36 073002.
[2] Abbiendi G et al. (2013) [ALEPH and DELPHI and L3 and OPAL
and The LEP working group for Higgs boson searches Collabora-
tions], Search for Charged Higgs bosons: Combined Results Using
LEP Data, arXiv/hep-ex: 1301.6065.
[3] A. Arbey, M. Battaglia, A. Djouadi, F. Mahmoudi and J. Quevillon
(2012), Phys. Lett. B 708 162, arXiv: hep-ph/1112.3028; P. Draper,
P. Meade, M. Reece and D. Shih (2012), Phys. Rev. D 85 095007,
arXiv: hep-ph/1112.3068.
[4] ATLAS Collaboration, CMS Collaboration (2015), Phys. Rev. Lett.
114 191803.
[5] CMS Collaboration (2014), Eur. Phys. J. C 74 3076
[6] CMS Collaboration (2015), Eur. Phys. J. C 75 212.
[7] D. T. Binh, D. T. Huong, H. N. Long (2015) arXiv:hep-
ph/1504.03510; Journal-ref: Zh. Eksp. Teor. Fiz. 148, No. 6, pp.
1115-1120.
49
[8] D.T. Binh, L.T. Hue, D.T. Huong, H.N. Long (2014),
arXiv:1308.3085, Journal-ref: Eur. Phys. J. C 74 2851.
[9] D.T. Huong, L.T. Hue, M.C. Rodriguez and H.N. Long (2013), Su-
persymmetric reduced minimal 3-3-1 model, Nuclear Physics B 870
293.
[10] L. Hall, D. Pinner and J. Ruderman (2012), JHEP 1204 131,
arXiv:hep-ph/1112.2703;
[11] L.T.Hue, D.T. Huong and H.N. Long (2013), Lepton flavor violat-
ing processes τ → µγ, τ → 3µ and Z → µτ in supersymmetric
economical 3-3-1 model, Nucl. Phys. B 873 207.
[12] L.J. Hall and Y. Nomura (2012), JHEP 1201, 082; M. Ibe and T.T.
Yanagida, Phys. Lett. B 709, 374 (2012).
[13] P. V. Dong, D. T. Huong, M. C. Rodriguez, H. N. Long (2007),
arXiv:hep-ph/0701137 Journal-ref: Nucl.Phys. B 772:150-174. P. V.
Dong, D. T. Huong, N. T. Thuy, H. N. Long (2008), arXiv:hep-
ph/0707.3712, Journal-ref: Nucl.Phys. B 795:361-384.
[14] P. Binetruy (2006), Supersymmetry : Theory, Experiment, and Cos-
mology (Oxford University Press, Oxford, UK).
[15] S. Weinberg (2000), The Quantum Theory of Fields, Volume III:
Supersymmetry (Cambridge University Press, Cambridge, UK);
[16] J.P. Vega and G. Villadoro (2013), JHEP 1507, 159 . 79. Y. Kahn,
M. McCullough and J. Thaler (2015), JHEP 1311, 161.
50
[17] The LHC Higgs Cross Section Working Group Collaboration (S.
Heinemeyer (eds.) et al.) (2013), arXiv: hep-ph/1307.1347.
[18] The ATLAS Collaboration (2012), Phys.Lett. B 716 1,
arXiv:1207.7214.
