Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh Trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN NGỌC HOA

DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN NGỌC HOA

DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Cán bộ hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Trung

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi. Các số liệu, kết

quả nêu trong luận văn là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ

công trình nào khác.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Ngọc Hoa

i

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới PGS.TS Trần Trung đã tận tình

hƣớng dẫn em hoàn thành luận văn này.

Em xin trân trọng cảm ơn:

- Phòng đào tạo sau đại học trƣờng ĐHSP Thái Nguyên, Khoa Toán trƣờng

ĐHSP Thái Nguyên.

- Các thầy cô giáo ở trƣờng ĐHSP Thái Nguyên đã hƣớng dẫn em học tập

trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

- Bạn bè và gia đình đã động viên em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.

Dù đã rất cố gắng nhƣng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, em

mong nhận đƣợc sự góp ý chân thành của quý thầy, cô giáo và các bạn.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

ii

Nguyễn Ngọc Hoa

MỤC LỤC

Lời cam đoan .................................................................................................................. i

Lời cảm ơn ..................................................................................................................... ii

Mục lục ........................................................................................................................ iii

Danh mục các chữ viết viết tắt trong luận văn ............................................................. iv

Danh mục các bảng ........................................................................................................ v

Danh mục các hình ....................................................................................................... vi

MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................................... 1

2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................. 2

3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu ........................................................................... 2

4. Giả thuyết khoa học ................................................................................................... 2

5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................. 3

6. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................................... 3

7. Đóng góp của luận văn, kết quả đạt đƣợc .................................................................. 3

8. Cấu trúc của luận văn................................................................................................. 3

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................... 4

1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề ..................................................................... 4

1.1.1. Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học ................................................................. 4

1.1.2. Lịch sử hình thành Phƣơng pháp tọa độ .............................................................. 5

1.2. Dạy học giải toán .................................................................................................... 6

1.2.1. Vị trí chức năng của bài tập toán ......................................................................... 6

1.2.2. Phân loại bài tập toán............................................................................................. 9

1.2.3. Phƣơng pháp tìm lời giải các bài toán ............................................................... 10

1.2.4. Các yêu cầu của việc giải bài toán ..................................................................... 13

1.3. Năng lực và năng lực toán học ............................................................................. 14

1.3.1. Năng lực ............................................................................................................. 14

1.3.2. Năng lực toán học .............................................................................................. 15

iii

1.4. Năng lực giải toán của học sinh ............................................................................ 16

1.4.1. Quan niệm về năng lực giải toán ....................................................................... 16

1.4.2. Một số thành tố năng lực giải toán của học sinh ............................................... 18

1.4.3. Các yếu tố ảnh hƣởng đến năng lực giải toán của học sinh ............................... 30

1.5. Thực trạng bồi dƣỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán cho học sinh

ở trƣờng Trung học phổ thông hiện nay ...................................................................... 34

1.6. Kết luận chƣơng 1 ................................................................................................. 35

Chƣơng 2: CÁC BIỆN PHÁP SƢ PHẠM BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC GIẢI

TOÁN TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA

ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG .... 36

2.1. Khái quát chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng Trung học

phổ thông ..................................................................................................................... 36

2.1.1. Vị trí và mục tiêu dạy học nội dung chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt

phẳng ở trƣờng Trung học phổ thông .......................................................................... 36

2.1.2. Yêu cầu về kiến thức, kỹ năng của chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt

phẳng trong chƣơng trình môn Toán Trung học phổ thông ........................................ 36

2.1.3. Nội dung chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng Trung học

phổ thông ..................................................................................................................... 39

2.1.4. Đặc điểm dạy học chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng

Trung học phổ thông .................................................................................................... 41

2.2. Định hƣớng đề xuất các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán

trong dạy học giải toán chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ........................ 46

2.3. Các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán

chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng .............................................................. 48

2.3.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lƣợc đồ G.Polya

trong giải toán các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng ............................................... 48

2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh giải toán các bài toán tọa độ trong

mặt phẳng bằng nhiều cách khác nhau ........................................................................ 59

2.3.3. Biện pháp 3: Bồi dƣỡng cho học sinh khả năng chuyển đổi các bài toán đại

số sang bài toán tọa độ trong mặt phẳng thông qua hoạt động biến đổi đối tƣợng

iv

để nhận thức mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán ......................................................... 80

2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tọa độ hóa để giải các bài toàn hình học ....... 85

2.4. Kết luận chƣơng 2 ................................................................................................. 94

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................................. 95

3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm ........................................................... 95

3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm .................................................................. 95

3.1.2. Nội dung của thực nghiệm sƣ phạm .................................................................. 95

3.2. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................................ 95

3.2.1. Đối tƣợng và địa bàn thực nghiệm .................................................................... 95

3.2.2. Kế hoạch thực nghiệm ....................................................................................... 95

3.2.3. Đề kiểm tra thực nghiệm ................................................................................... 96

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm .............................................................................. 96

3.4. Kết luận chƣơng 3 ................................................................................................. 98

KẾT LUẬN ................................................................................................................. 99

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 100

v

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

[!] : Dự kiến câu trả lời của học sinh

[?] : Câu hỏi gợi ý của giáo viên

DH : Dạy học

GV : Giáo viên

HĐ : Hoạt động

HS : Học sinh

PPTĐ : Phƣơng pháp tọa độ

Pttq : Phƣơng trình tổng quát

THPT : Trung học phổ thông

Tr : Trang

Vtcp : vec-tơ chỉ phƣơng

iv

Vtpt : vec-tơ pháp tuyến

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1: Bảng khảo sát thực trạng DH giải toán ....................................................... 34

Bảng 3.1: Bảng phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra .......................................... 97

v

Bảng 3.2: Bảng phân phối tần suất điểm tính theo % .................................................. 97

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 ....................................................................................................................... 19

Hình 1.2 ....................................................................................................................... 21

Hình 1.3 ....................................................................................................................... 23

Hình 1.4 ....................................................................................................................... 25

Hình 2.1 ..................................................................................................................... 43

Hình 2.2 ...................................................................................................................... 43

Hình 2.3 ....................................................................................................................... 43

Hình 2.4 ....................................................................................................................... 51

Hình 2.5 ....................................................................................................................... 52

Hình 2.6 ....................................................................................................................... 54

Hình 2.7 ....................................................................................................................... 55

Hình 2.8 ....................................................................................................................... 57

Hình 2.9 ....................................................................................................................... 58

Hình 2.10 ..................................................................................................................... 60

Hình 2.11 ..................................................................................................................... 62

Hình 2.12 ..................................................................................................................... 63

Hình 2.13 ..................................................................................................................... 64

Hình 2.14 ..................................................................................................................... 65

Hình 2.15 ..................................................................................................................... 66

Hình 2.16 ..................................................................................................................... 67

Hình 2.17 ..................................................................................................................... 68

Hình 2.18 ..................................................................................................................... 70

Hình 2.19 ..................................................................................................................... 71

Hình 2.20 ..................................................................................................................... 72

Hình 2.21 ..................................................................................................................... 72

Hình 2.22 ..................................................................................................................... 73

Hình 2.23 ..................................................................................................................... 74

vi

Hình 2.24 ..................................................................................................................... 75

Hình 2.25 ..................................................................................................................... 76

Hình 2.26 ..................................................................................................................... 76

Hình 2.27 ..................................................................................................................... 77

Hình 2.28 ..................................................................................................................... 78

Hình 2.29 ..................................................................................................................... 78

Hình 2.30 ..................................................................................................................... 79

Hình 2.31 ..................................................................................................................... 82

Hình 2.32 ..................................................................................................................... 86

Hình 2.33 ..................................................................................................................... 87

Hình 2.34 ..................................................................................................................... 88

Hình 2.35 ..................................................................................................................... 90

Hình 2.36 ..................................................................................................................... 91

Hình 2.37 ..................................................................................................................... 93

vii

Hình 3.1: Biểu đồ phân phối tần suất điểm tính theo % .............................................. 97

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Giáo dục Việt Nam đang tiến hành đổi mới căn bản, toàn diện từ mục tiêu giáo

dục, nội dung đến phƣơng pháp, phƣơng tiện DH. Nâng cao chất lƣợng DH nói

chung, chất lƣợng DH môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với

ngành giáo dục nƣớc ta hiện nay GV phải thiết kế các HĐ, tổ chức DH một cách

thuận lợi đồng thời giúp HS nắm bắt, vận dụng đƣợc kiến thức trong thời gian ngắn

nhất vào thực tiễn một cách có hiệu quả và do vậy đặt ra những yêu cầu cấp thiết

trong việc nâng cao chất lƣợng và hiệu quả giảng dạy. Trong đó phƣơng pháp giảng

dạy là một trong những yếu tố quyết định để GV và HS hoàn thành nhiệm vụ dạy và

học của mình, nhằm đáp ứng những thay đổi nhanh chóng của khoa học, công nghệ,

truyền thông.

Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều

lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó

thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho

mọi ngành khoa học và đƣợc coi là chìa khóa của sự phát triển. DH giải toán có vai

trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tƣ duy của HS, vì để giải bài toán HS

phải suy luận phải tƣ duy, phải liên hệ với các bài toán khác để tìm ra lời giải; phải

biết huy động kiến thức, biết chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi đối tƣợng. Mối liên hệ,

dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể đƣợc phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng

hợp, khái quát hoá, so sánh... Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu

tƣợng cao độ của nó. Nhờ trừu tƣợng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều

sự vật, hiện tƣợng và có ứng dụng rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tƣơng tự mà

khả năng suy đoán và tƣởng tƣợng của HS đƣợc phát triển, và có những suy đoán có

thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các

thao tác tƣ duy. Cũng qua thao tác khái quát hoá và trừu tƣợng hoá mà tƣ duy độc lập,

tƣ duy sáng tạo, tƣ duy phê phán của HS cũng đƣợc hình thành và phát triển. Bởi qua

các thao tác tƣ duy đó HS tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định đƣợc phƣơng

hƣớng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt đƣợc

của bản thân cũng nhƣ những ý nghĩ và tƣ tƣởng của ngƣời khác. Một mặt các em

1

cũng phát hiện ra đƣợc những vấn đề mới, tìm ra hƣớng đi mới, tạo ra kết quả mới.

Bài tập toán học là một công cụ cần thiết giúp HS thực hiện các HĐ toán học

trong và ngoài giờ lên lớp. Đã có nhiều công trình nghiên cứu các chức năng của

bài tập toán. Trong các chức năng đƣợc nói đến, chức năng DH, chức năng phát

triển, chức năng kiểm tra và chức năng giáo dục đƣợc khai thác nhiều trong DH.

Thực chất HĐ giải toán là HĐ trung tâm trong học tập môn toán của HS. Thông qua

số lƣợng và chất lƣợng hoàn thành công việc giải toán về căn bản có thể đánh giá

đƣợc trình độ nhận thức môn toán của ngƣời học. Chính vì lẽ đó, bài tập toán tham

gia vào mọi khâu của quá trình DH môn toán.

Chƣơng “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” có vai trò quan trọng trong

môn Toán ở trƣờng THPT, đây là một nội dung luôn gắn với HS trong suốt quá

trình học tập cũng nhƣ trong nhiều bài toán thực tế.

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về việc DH giải toán cho HS nhƣng đây

vẫn là vấn đề cần đƣợc tiếp tục nghiên cứu cả về phƣơng diện lý luận và triển khai

trong thực tiễn DH, vì vậy với tất cả những lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của

luận văn này là: “Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

cho học sinh Trung học phổ thông”.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn về DH giải toán, năng

lực giải toán PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT. Đề xuất các biện pháp sƣ phạm

trong DH giải toán PPTĐ nhằm bồi dƣỡng năng lực giải toán góp phần nâng cao chất

lƣợng DH môn Toán ở trƣờng phổ thông.

3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu

- Đối tƣợng nghiên cứu: Quá trình DH giải toán PPTĐ trong mặt phẳng ở

trƣờng THPT.

- Khách thể nghiên cứu: Các biện pháp bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH

giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trƣờng THPT.

4. Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng đƣợc các biện pháp sƣ phạm và sử dụng các biện pháp trong

DH giải toán nói chung cũng nhƣ bồi dƣỡng năng lực giải toán PPTĐ trong mặt

phẳng nói riêng trong quá trình DH sẽ góp phần nâng cao chất lƣợng DH môn toán và

2

đổi mới phƣơng pháp DH trong giai đoạn hiện nay.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận có liên quan đến vấn đề DH giải toán, năng lực giải

toán cho HS.

- Nghiên cứu về nội dung chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng trong chƣơng trình

toán THPT.

- Điều tra, khảo sát để làm rõ cơ sở thực tiễn về vấn đề DH giải toán, bồi

dƣỡng năng lực giải toán cho HS ở trƣờng THPT hiện nay.

- Đề xuất các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải

toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT.

- Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các biện

pháp sƣ phạm đã đề xuất.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các

vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn.

- Phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát thực trạng việc DH nội dung

PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trƣờng THPT qua các hình thức dự giờ, quan sát,

điều tra.

- Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm và xử lý

số liệu thống kê để đánh giá kết quả định tính, định lƣợng.

7. Đóng góp của luận văn, kết quả đạt đƣợc

- Góp phần làm sáng tỏ một số thành tố năng lực giải toán của HS.

- Làm rõ vị trí, chức năng của bài tập toán.

- Đề xuất những định hƣớng và các biện pháp sƣ phạm trong quá trình DH giải

toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng nhằm góp phần bồi dƣỡng năng lực giải toán cho HS.

8. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận cùng Phụ lục, nội dung luận văn gồm ba

chƣơng nhƣ sau:

Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chƣơng 2: Các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải

toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT

3

Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

Chƣơng 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề

1.1.1. Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học

Nhà Toán học Pháp H. Poincaré là một trong những ngƣời đầu tiên đề xƣớng

việc nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của HS. Ông công nhận có tính đặc thù

của các năng lực sáng tạo Toán học và đã chỉ ra những thành phần quan trọng nhất

của chúng là trực giác Toán học. Trong các bài của Viện sĩ B.V. Gơnheđencô (dẫn

theo [16, tr.15 viết về giáo dục học ở trƣờng phổ thông, ông đƣa ra các yêu cầu đối

với tƣ duy Toán học của HS là: Năng lực nhìn thấy sự không r ràng của quá trình

suy luận, thấy đƣợc sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh; Sự cô

đọng; Sự chính xác của các kí hiệu; Phân chia r tiến trình suy luận; Thói quen lí lẽ

đầy đủ về logic.

A.N. Kôlmôgôrôv (dẫn theo [20, tr.18]) xem xét năng lực toán học trên cơ sở 3

thành tố có liên quan đến: Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp,

năng lực tìm kiếm các phƣơng pháp xa lạ với các qui tắc thông thƣờng để giải

phƣơng trình; Trí tƣởng tƣợng hình học hay “trực giác hình học”; Nghệ thuật suy

luận lôgíc đƣợc phân nhỏ hợp lí, tuần tự.

V. A. Cruchetxki (dẫn theo [20, tr.24]) lại nhìn nhận dƣới góc độ thu nhận và

xử lí thông tin đã phân chia năng lực Toán học bao gồm các thành tố cơ bản là:

- Thu nhận thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu Toán

học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán;

- Chế biến thông tin Toán học: Năng lực tƣ duy lôgic trong lĩnh vực các quan

hệ số lƣợng và hình dạng không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu. Năng lực tƣ duy

bằng các kí hiệu Toán học; Năng lực khái quát hóa nhanh chóng và rộng các đối

tƣợng, quan hệ Toán học và phép toán; Năng lực rút gọn quá trình suy luận Toán học

và hệ thống các phép toán tƣơng ứng. Năng lực tƣ duy bằng cấu trúc rút gọn; Tính

linh hoạt trong quá trình tƣ duy trong HĐ Toán học; Năng lực nhanh chóng và dễ

dàng sửa sai lại phƣơng hƣớng của tiến trình tƣ duy thuận sang tiến trình tƣ duy đảo

4

(trong suy luận Toán học);

- Lƣu trữ thông tin toán học: Trí nhớ Toán học (trí nhớ khái quát về hệ thống

Toán học; đặc điểm về loại; sơ đồ suy luận và chứng minh; phƣơng pháp giải Toán;

nguyên tắc đƣờng lối giải Toán);

- Thành phần tổng hợp khái quát: khuynh hƣớng Toán học của trí tuệ.

Theo hƣớng bồi dƣỡng năng lực Toán học cho HS trung học cơ sở, Trần Đình

Châu tập trung vào bốn yếu tố của nó trong DH Số học [3, tr.38]. Nghiên cứu rèn

luyện năng lực giải Toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hƣớng tìm hiểu, phân loại các sai

lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [12]...

Từ những nghiên cứu trên, có thể thấy: Năng lực Toán học là những đặc điểm

tâm lí về HĐ trí tuệ của HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tƣơng đối nhanh, dễ

dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong môn Toán. Năng lực Toán học

đƣợc hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn liền với) các HĐ của HS

nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng

khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,…

1.1.2. Lịch sử hình thành Phương pháp tọa độ

Theo [17], từ xa xƣa những ngƣời Ai Cập và La Mã cổ đại đã sử dụng PPTĐ

trong việc trắc địa. Tiếp đó, ngƣời Hy Lạp đã sử dụng PPTĐ trong việc vẽ bản đồ.

Đến thế kỉ thứ XVII, Réné Descartes và Pierre de Fermat đã đồng thời cống

hiến cho khoa học một phƣơng pháp mới mới đó là PPTĐ. PPTĐ là cơ sở cho hình

học giải tích do hai ông xây dựng nên. Một điều nói thêm rằng, khi Desargues và

Pascal mở ra một lĩnh vực mới là hình học xạ ảnh thì hình học xạ ảnh khác với hình

học giải tích do các ông Fermat và Descartes phát minh ra. Sự khác biệt đƣợc thể hiện

nhƣ sau, hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nói chung còn hình học giải tích

lại là một phương pháp của hình học.

Việc ứng dụng PPTĐ trong không gian ba chiều đƣợc thực hiện vào cuối thế

kỉ XVII và trong thế kỉ XVIII do công rất lớn của Clairot và Euler.

Vào thế kỉ thứ XIX, do sự phát triển nhƣ vũ bão của các ngành kĩ thuật, đặc

biệt là vật lý, toán học đã có nhiều bƣớc tiến mới nhƣ các khái niệm về vectơ,

tenxơ,… đã xuất hiện trong hình học. Wessel (1745 – 1818), J. R. Argent (1768 –

5

1822), C.F. Gauss (1777 – 1855) có các công trình về lý thuyết số phức đã thiết lập

mối liên hệ giữa các phép toán số học trên các số phức với các phép toán hình học

trên các vectơ trong không gian hai chiều.

Vào thế kỉ thứ XIX, các ông W.R. Hamilton, A.F. Mobiles đã sử dụng khái

niệm vectơ để nghiên cứu không gian ba chiều và nhiều chiều.

Cuối thế kỉ thứ XIX, đầu thế kỉ thứ XX, phép tính vectơ đƣợc phát triển và ứng

dụng rộng rãi. Xuất hiện các ngành mới nhƣ đại số vectơ, giải tích vectơ, lý thuyết

trƣờng, lý thuyết tổng quát về không gian nhiều chiều. Các lý thuyết này có ứng dụng rất

lớn trong vật lý hiện đại, chẳng hạn nhƣ thuyết tƣơng đối của Albert Einstein.

Nói tóm lại, sự ra đời của vectơ và tọa độ đã góp phần không nhỏ trong việc thúc

đẩy sự phát triển của toán học và ứng dụng của toán học trong các bài toán thực tế.

1.2. Dạy học giải toán

1.2.1. Vị trí chức năng của bài tập toán

Ở trƣờng phổ thông, dạy toán là dạy HĐ toán học. Đối với HS có thể xem

việc giải toán là HĐ chủ yếu của HĐ toán học. Các bài toán ở trƣờng phổ thông là

một phƣơng tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế đƣợc trong việc giúp HS nắm

vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, ứng dụng toán học vào

thực tiễn. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những HĐ nhất định bao gồm

cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, những HĐ

Toán học phức hợp, những HĐ trí tuệ phổ biến trong Toán học, những HĐ trí tuệ

chung và những HĐ ngôn ngữ. HĐ giải bài tập Toán học là điều kiện để thực

hiện tốt các mục đích DH. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập Toán

học có vai trò quyết định đối với chất lƣợng DH môn Toán.

Trong thực tiễn, bài tập toán đƣợc sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau. Mỗi

bài tập có thể đƣợc dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với

nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra... Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ thể

thƣờng không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thƣờng bao hàm những

ý đồ nhiều mặt đã nêu. HĐ học của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và

PPDH. Vai trò của bài tập Toán học đƣợc thể hiện trên ba bình diện sau:

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu DH, bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông là

6

giá mang những HĐ mà việc thực hiện các HĐ đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu.

Mặt khác, những bài tập lại thể hiện những chức năng khác nhau hƣớng đến việc

thực hiện các mục tiêu DH môn Toán, cụ thể là:

- Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau

của quá trình DH, kể cả khả năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những HĐ tƣ duy, hình thành những

phẩm chất trí tuệ.

- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm

chất đạo đức của ngƣời lao động mới.

Thứ hai, trên bình diện nội dung DH, những bài tập Toán học là giá mang HĐ

liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội dung để hoàn

chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lí thuyết.

Thứ ba, trên bình diện phương pháp DH, bài tập Toán học là giá mang HĐ để

ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu DH

khác. Khai thác tốt các bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong HĐ

và bằng HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong

giao lƣu [8, tr.388].

 Chức năng dạy học: GV có thể dùng bài tập toán để hình thành, củng cố cho HS

Theo Vũ Dƣơng Thụy [9], bài tập có các chức năng sau:

những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình DH.

Ví dụ 1.1. Để hình thành cho HS khái niệm của dãy số, GV có thể cho HS giải bài tập

sau: Cho dãy số ( ) . Biểu diễn ( ) trên trục số.

a Em có nhận xét gì về khoảng cách từ đến 0 khi n lớn?

b Bắt đầu từ số hạng nào của dãy số thì khoẳng cách từ đến 0 nhỏ hơn

0,01? 0,001?

Bằng việc giải bài tập này HS sẽ nhận ra 2 điều:

- Khi n càng lớn thì khoảng cách từ đến 0 càng nhỏ, tức là càng dần đến 0 khi

n càng lớn.

- Ta luôn tìm đƣợc số n để khoảng cách | | nhỏ hơn một số dƣơng tùy ý cho trƣớc.

7

Trên cơ sở đó, GV dẫn dắt HS vào khái niệm của dãy số.

 Chức năng giáo dục: HĐ giải bài tập toán giúp HS hình thành thế giới quan duy

vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin khám phá và phẩm chất đạo đức. Trong quá

trình giải bài tập HS phải thƣờng xuyên sử dụng các quy tắc, định lí, mệnh đề logic,...

Các em dần làm quen với luận chứng, luận cứ khao học và lối tƣ duy khoa học.

Việc giải các bài tập liên môn nhƣ ứng dụng Toán học vào giải các bài toán vật

lí, hóa học, sinh học, địa lí... đã cho thấy đƣợc tầm quan trọng và ý nghĩa của

môn toán, học tốt môn toán là nền tảng để học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.

Cũng chính vẽ đẹp của các bài tập toán học và những ứng dụng thực tiễn của nó sẽ

tạo nên niềm hứng thú, niềm tin và lòng say mê học tập.

Ví dụ 1.2. Để nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phân biệt các hình hộp, GV có

thể cho tình huống nhƣ sau: Một công ty A đến kí hợp đồng để công ti B sản xuất

các hình hộp bằng kim loại quí với ba kích thƣớc là a, b, c cho trƣớc. Nhƣng do

hợp đồng không ghi rõ là hình hộp gì, nên để “dạy” cho bên A một bài học, bên

B đã sản xuất những hình hộp rất dẹt với 3 kích thƣớc nhƣ đã kí kết. Bên B không

dùng đƣợc những sản phẩm này nhƣng

vẫn phải thanh lí hợp đồng. Thiệt hại này của cơ quan là do khái niệm “hình

 Chức năng phát triển: Thông qua HĐ giải bài tập HS đƣợc phát triển năng lực

hộp” trong văn bản kí kết.

tƣ duy và các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tƣ duy khoa học. Các

HĐ thƣờng xuyên diễn ra trong DH giải toán là: phân tích, so sánh, tổng hợp, khái

quát hóa, trừu tƣợng hóa...

Trong khi DH, GV nên tạo điều kiện cho HS đƣợc rèn luyện các HĐ trí

tuệ. Cho HS thực hiện các thao tác phân tích và tổng hợp, phân tích trong khi đi

tìm lời giải và tổng hợp để trình bày lời giải. Việc tìm nhiều lời giải cho một bài

toán và phân tích, so sánh để tìm ra lời giải hay nhất là một HĐ phát huy đƣợc

năng lực tƣ duy của HS, đó là một HĐ rất đáng lƣu ý trong DH.

Ví dụ 1.3. Khi giải bài toán: “Chứng minh rằng nếu thì ”, các em

đã tìm ra đƣợc nhiều cách giải. Sau đây là một số cách giải:

( )( )

8

*Cách 1: Đặt thì . Ta có :

Dấu “=” xảy ra khi

( ) ( )

*Cách 2: Từ Xét hiệu:

( ) ( )( )

*Cách 3: Ta có Do đó :

(2). Cộng (1) với (2 ta đƣợc :

*Cách 4: Ta có ( ) ( ) hay ( )

*Cách 5 : Không mất tính tổng quát ta giả sử , ta có :

Từ đó : ( )( )

(vô lý). Vậy

*Cách 6 : Giả sử . Từ giả thiết và do nên ta có:

Sở dĩ tìm được nhiều cách giải như vậy là vì các em biết khai thác giả thiết theo

 Chức năng kiểm tra: Bài tập là phƣơng tiện tốt để đánh giá mức độ, chất lƣợng, kết quả

nhiều cách khác nhau, có nhiều cách “nhìn’ khác nhau.

giảng dạy và học tập, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS.

1.2.2. Phân loại bài tập toán

Ngƣời ta có thể phân loại bài tập toán theo nhiều cách khác nhau tùy thuộc

vào mục đích khai thác của nó.

Theo tài liệu bồi dƣỡng GV, phân chia theo cấp độ kiến thức thì bài tập

 Bài tập nhận biết: là loại bài tập chỉ yêu cầu HS nhớ khái niệm, định nghĩa, định

đƣợc phân thành ba loại: bài tập nhận biết, bài tập thông hiểu và bài tập vận dụng.

 Bài tập thông hiểu: là loại bài tập yêu cầu HS phải hiểu đƣợc ý nghĩa, kí hiệu

lí, hệ quả... là giải đƣợc. Ví dụ 1.4. Tìm tâm và bán kính của đƣờng tròn

toán học trong định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức mới giải đƣợc.

Ví dụ 1.5. Viết phƣơng trình chính tắc của elip (E có tiêu điểm trùng với tiêu điểm

và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H .

9

của Hypebol (H):

- Bài tập vận dụng: là loại bài tập đòi hỏi HS phải vận dụng các định lí, định

nghĩa, quy tắc, suy luận, khái quát hóa, trừu tƣợng hóa kiến thức mới giải đƣợc.

| | | | .

Ví dụ 1.6. Tìm quỹ tích các điểm biểu diễn trên mặt phẳng biểu diễn số phức

Gọi ( ) biểu diễn số phức z, ta có

√ ( ) √ ( ) ( )

Ta có | | | | | ( ) | | ( ) |

Đặt A(0 ;1), B(0 ;-1) ta có (2)

Vậy quỹ tích các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z là elip(E :

Theo G. Polya, ông chia bài toán thành hai dạng : Bài toán tìm tòi và bài toán

chứng minh.

- Bài toán tìm tòi: là bài toán yêu cầu HS phải tìm ra một đối tƣợng nào đó, hay nói

cách khác là tìm ra ẩn số của bài toán.

Ví dụ 1.7. Các bài toán dựng hình, quỹ tích, bài toán xác định, giải phƣơng trình,

bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bài toán tìm max, min,...là các bài toán tìm tòi.

- Bài toán chứng minh: là bài toán xác định xem một kết luận nào đó đúng hay sai,

là xác nhận hay bác bỏ kết quả đó.

Ví dụ 1.8. Các bài toán chứng minh về hình học, đại số, lƣợng giác... đều thuộc loại

bài toán chứng minh.

1.2.3. Phương pháp tìm lời giải các bài toán

Không thể có một phƣơng pháp chung để giải mọi bài toán. Ngay cả đối với

những lớp bài toán riêng biệt cũng có trƣờng hợp có, trƣờng hợp không có thuật

giải. Tuy nhiên, trang bị những hƣớng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát

hiện cách giải bài toán lại là điều có thể và cần thiết.

Bài tập toán rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài tập là một yêu cầu quan

trọng đối với HS. Có thể chia bài tập toán ra làm hai loại:

10

a) Loại có sẵn thuật toán.

Để giải loại này HS phải nắm vững các quy tắc giải đã học và rèn luyện kỹ

năng, kỹ xảo. Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn. Yêu cầu cho

HS là:

- Nắm vững quy tắc giải đã học.

- Nhận dạng đúng bài toán

- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo.

b) Loại chƣa có sẵn thuật toán.

Loại bài tập này chiếm số lƣợng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho HS

không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây

là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vƣơn lên trong học tập của HS. Do vậy khi dạy

HS giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho

HS biết cách suy nghĩ tìm ra con đƣờng hợp lý để giải bài toán.

Trong DH giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan

trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tƣ duy là một thành phần không thể thiếu

trong DH giải toán.

Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.

Polya về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn DH, có thể

nêu lên phƣơng pháp chung để giải bài toán nhƣ sau:

 Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dƣới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán;

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh;

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

Bước 2: Tìm cách giải

- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán, biến đổi

cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho và cái phải

tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tƣơng tự, một

trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan,

sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng,

quy nạp toán học, giải toán dựng hình, quỹ tích...

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt

hóa kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên quan.

11

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp lí nhất.

 Bước 3: Trình bày lời giải

- Từ các cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc làm thành một

chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện mạch lạc các

bƣớc đó.

 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng, khái quát hóa hay lật

ngƣợc vấn đề.

Ví dụ 1.9. Giải phƣơng trình: √  Bước 1: Tìm hiểu bài toán: Bài toán yêu cầu giải phƣơng trình có chứa một căn

thức bậc 2.

 Bước 2: Tìm cách giải:

- Với bài toán trên ta có thể giải nhƣ thế nào?

- Cách giải thông thƣờng của các phƣơng trình chứa căn thức?

- Hãy nêu các hƣớng để giải bài toán trên?

Cách 1: Đặt điều kiện sau đó bình phƣơng hai vế.

Cách 2: Đặt √ và chuyển phƣơng trình đã cho về biến

Cách 3: Phân tích (1) thành ( )( ) √ có nhân tử chung là √ ,…

0

{

 Bước 3: Trình bày lời giải:

( )

0

0

{

{

{ 0

0 ( )

0

0

[

√

[ ( )( ) {

{ [

√ √

12

Ta có: √ {

 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:

Với phƣơng trình trên thì các cách giải ở bƣớc 2 đều thực hiện vì phƣơng trình đã

cho có nghiệm nguyên là x=-1. Một câu hỏi rất tự nhiên là nếu phƣơng trình không có

nghiệm nguyên thì sao? Chẳng hạn với phƣơng trình √ thì cách giải ở

trên rất khó giải vì phƣơng trình bậc 4 sau khi bình phƣơng không có nghiệm nguyên.

GV khuyến khích HS tìm ra cách giải khác:

{

Đặt √ . Từ đó ta có hệ phƣơng trình:

Đây là hệ đối xứng loại 2 mà HS đã biết cách giải bằng cách trừ vế với về của

hai phƣơng trình.

- GV nên cho HS khái quát bài toán và giải phƣơng trình tổng quát hơn:

√

- Nếu GV chỉ dừng lại ở dạng √ thì HS sẽ gặp khó khăn khi

giải các bài toán tổng quát hơn. GV có thể cho HS nghiên cứu thêm bài toán:

1. √

2. √

3. √

.

Từ các tình huống mà GV đặt ra, HS có thể tìm đƣợc dạng tổng quát của

phƣơng trình trên là: √

1.2.4. Các yêu cầu của việc giải bài toán

Để phát huy tác dụng của bài tập toán học cần nắm vững các yêu cầu của lời

giải. Nói một cách tóm tắt, lời giải phải đúng và phải tốt. Để thuận tiện cho việc

thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình DH và đánh giá HS, có thể cụ thể

hóa các yêu cầu, đƣơng nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định

 Kết quả phải đúng

trong các yêu cầu chi tiết :

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số,

13

một hình vẽ,... thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bƣớc trung gian cũng phải

đúng. Nhƣ vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi

 Lập luận phải chặt chẽ: Lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

biểu thức,...

- Luận đề phải nhất quán;

- Luận cứ phải đúng;

 Lời giải phải đầy đủ: Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không đƣợc bỏ sót một

- Luận chứng phải hợp lôgic.

trƣờng hơp, một chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phƣơng trình không đƣợc thiếu

nghiệm, phân chia trƣờng hợp không đƣợc thiếu một khả năng nào,...

1.3. Năng lực và năng lực toán học

1.3.1. Năng lực

Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con ngƣời, đáp ứng đƣợc yêu

cầu của một loại HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt HĐ đó.

Thông thƣờng, một ngƣời đƣợc coi là có năng lực nếu ngƣời đó nắm vững tri

thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại HĐ nào đó và đạt đƣợc kết quả tốt hơn, cao hơn so

với trình độ trung bình của những ngƣời khác cũng tiến hành HĐ đó trong những

điều kiện hoàn cảnh tƣơng đƣơng.

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại HĐ nhất định của con

ngƣời. Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát đƣợc trong HĐ giải quyết những yêu cầu

đặt ra.

Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục học cho thấy, từ

nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bƣớc vào HĐ. Qua quá trình HĐ mà dần

hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần thiết và ngày càng phong

phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với mức độ mới cao hơn. Đến một lúc

nào đó, trẻ em đủ khả năng bên trong để giải quyết những HĐ ở những yêu cầu khác

xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì lúc đó HS sẽ có đƣợc một năng lực nhất

định. Dƣới đây là một số cách hiểu về năng lực:

+ Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con ngƣời khả năng

hoàn thành một loại HĐ nào đó với chất lƣợng cao [24].

+ Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con

ngƣời, đáp ứng đƣợc yêu cầu của một HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn

14

thành có kết quả một số HĐ nào đó [2].

+ Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con ngƣời đáp ứng

yêu cầu của một loại HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc

một số loại HĐ nào đó (Dẫn theo [3]).

Nhƣ vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy sinh và

quan sát đƣợc trong HĐ giải quyết những yêu cầu mới mẽ, và do đó nó gắn liền với

tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3 gắn với mức độ hoàn

thành xuất sắc).

Mọi năng lực của con ngƣời đƣợc biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản nhƣ tính dễ

dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo

trong giải quyết nhiệm vụ...

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa nhận

rằng con ngƣời có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng, tức là sự thừa

nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho sự hình thành và

phát triển của những năng lực khác nhau.

1.3.2. Năng lực toán học

Theo V. A. Krutecxki (dẫn theo [4, tr. 13]) năng lực toán học đƣợc hiểu theo 2

ý nghĩa, 2 mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học

Toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trƣờng phổ thông, nắm một cách nhanh

và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực HĐ sáng tạo

Toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài ngƣời.

Giữa hai mức độ HĐ toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt đối. Nói

đến năng lực học tập Toán không phải là không đề cập tới năng lực sáng tạo. Có

nhiều em HS có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một cách độc lập và sáng tạo,

đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con đƣờng, các

phƣơng pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự

tìm ra các phƣơng pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực...

Sau đây là một số định nghĩa về năng lực toán học:

Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trƣớc

15

hết là các đặc điểm HĐ trí tuệ đáp ứng yêu cầu HĐ toán học và giúp cho việc nắm

giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tƣơng đối nhanh, dễ

dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học [4, tr. 14].

Định nghĩa 2: Những năng lực học toán đƣợc hiểu là những đặc điểm tâm lý

cá nhân (trƣớc hết là những đặc điểm HĐ trí tuệ đáp ứng yêu cầu của HĐ toán học,

và trong những điều kiện vững chắc nhƣ nhau thì là nguyên nhân của sự thành công

trong việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học với tƣ cách là một môn học, đặc

biệt nắm vững tƣơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong

lĩnh vực toán học [5,tr. 126].

Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến HS có trí thông minh trong việc

học Toán. Tất cả mọi HS đều có khả năng và phải nắm đƣợc chƣơng trình trung học,

nhƣng các khả năng đó khác nhau từ HS này qua HS khác. Các khả năng này không

phải cố định, không thay đổi: Các năng lực này không phải nhất thành bất biến mà

hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm đƣợc HĐ tƣơng

ứng; vì vậy, cần nghiên cứu để nắm đƣợc bản chất của năng lực và các con đƣờng

hình thành, phát triển, hoàn thiện năng lực.

Tuy nhiên, ở mỗi ngƣời cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học. Do

vậy, trong DH toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phƣơng pháp thích

hợp để sao cho mọi đối tƣợng HS đều đƣợc nâng cao dần về mặt năng lực toán học

vấn đề này nhà Toán học Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv cho rằng:

“Năng lực bình thƣờng của HS trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm đƣợc

toán học trong trƣờng trung học với sự hƣớng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”.

1.4. Năng lực giải toán của học sinh

1.4.1. Quan niệm về năng lực giải toán

Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học. Năng lực giải

toán là một phần của năng lực toán học. Vậy năng lực giải toán là gì và thể hiện nhƣ

thế nào?

Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc điểm tâm lí

cá nhân của con ngƣời đáp ứng đƣợc yêu cầu của HĐ giải toán, và là điều kiện cần

thiết để hoàn thành tốt HĐ giải toán đó.

Từ góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu, năng lực giải toán là

16

khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hƣớng đích

cao, đòi hỏi huy động khả năng tƣ duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt đƣợc kết quả

sau một số bƣớc thực hiện.

Thông thƣờng, một ngƣời đƣợc coi là có năng lực giải toán nếu ngƣời đó nắm

vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của HĐ giải toán và đạt đƣợc kết quả tốt hơn, cao hơn

so với trình độ trung bình của những ngƣời khác cũng tiến hành HĐ giải toán trong

những điều kiện hoàn cảnh tƣơng đƣơng.

Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp, năng

lực khái quát hóa, năng lực suy luận lôgic, năng lực rút gọn quá trình suy luận, năng

lực tƣ duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực tƣ duy thuận nghịch, trí

nhớ toán học,...

Năng lực giải toán của HS chỉ phát triển dƣới tác động liên hoàn của các biện

pháp cụ thể, thực sự đƣa HS vào vị trí ngƣời học.

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một

vấn đề có tính hƣớng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tƣ duy tích cực và sáng

tạo, nhằm đạt kết quả cao sau một số bƣớc thực hiện.

Nhƣ vậy, một ngƣời đƣợc coi là có năng lực giải toán nếu ngƣời đó nắm vững

tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của HĐ giải toán và đạt đƣợc kết quả cao so với trình độ

trung bình của những ngƣời khác cùng tiến hành HĐ giải toán đó trong các điều kiện

tƣơng đƣơng.

Từ đặc điểm HĐ trí tuệ của những HS có năng lực toán học và khái niệm về

năng lực giải toán ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán

nhƣ sau:

Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của

một lời giải r ràng, đẹp đẽ.

Sự phát triển mạnh của tƣ duy logic, tƣ duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập

luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán.

Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kí hiệu, ngôn

ngữ toán học. Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ: kí hiệu,

quan hệ, phép toán giữa các đại lƣợng đã biết, chƣa biết và ngƣợc lại.

Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng

17

lực giải quyết vấn đề.

Có tính tích cực, kiên trì về mặt ý chí và khả năng huy động trí óc cao trong

lao động giải toán.

Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc vào việc giải

bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ƣu.

Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt đƣợc và hình thành một số kiến thức

mới thông qua HĐ giải toán, tránh đƣợc những nhầm lẫn trong quá trình giải toán.

Có khả năng nêu ra đƣợc một số bài tập tƣơng tự cùng với cách giải (có thể là định

hƣớng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật toán để giải bài toán đó .

Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, từ bài toán

có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát, nhờ các thao tác trí

tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tƣơng tự, trừu tƣợng, hệ thống hóa, đặc biệt hóa.

Bàn về năng lực, cũng có nhiều ý kiến cho rằng: năng lực là do thƣợng đế ban

cho. Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là một phần nhỏ, còn phần nhiều là do sự tích

lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, rèn luyện mà có. Quá trình học tập HS sẽ đƣợc bổ sung

các kiến thức, đƣợc trang bị các phƣơng pháp, từ đó năng lực giải toán đƣợc nâng lên.

Một phần do HS tự nâng thêm năng lực của mình, một phần do các thầy cô giáo

hƣớng dẫn, rèn luyện, bồi dƣỡng.

1.4.2. Một số thành tố năng lực giải toán của học sinh

1.4.2.1. Năng lực dự đoán vấn đề

Khi kiểm tra một tình huống hoặc tiến hành theo dõi liên tục trong một quãng

thời gian, sau đó đƣa ra ý kiến nhận xét về những gì có khả năng xảy ra thì ta đã làm

công việc dự đoán. Để có dự đoán mang tính chuẩn xác cao, cần phải xem xét các

bằng chứng một cách cẩn thận trƣớc khi đƣa ra điều dự đoán của mình.

Theo Đào Văn Trung mô tả: “Dự đoán là một phƣơng pháp tƣ tƣởng đƣợc ứng

dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các nguyên lý và sự thật

đã biết để nêu lên những hiện tƣợng và quy luật chƣa biết. Hay, dự đoán là sự nhảy

vọt từ giả thuyết sang kết luận” [22].

Dự đoán có vai trò quan trọng nhƣ thế trong khoa học, trong cuộc sống, vậy

18

liệu có cách nào học đƣợc dự đoán hay không? Theo G.Polia thì “... trừ những ngƣời

đƣợc trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập để có đƣợc

năng khiếu dự đoán đó. Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán mà chúng ta đƣa

ra gần với chân lý nhất, cần nghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự

kiện, đổi dạng chúng đi nếu cần, và nhƣ vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu

sắc) về các dự đoán sai và các dự đoán đúng. Những dự đoán có thể rất táo bạo nhƣng

phải có căn cứ dựa trên những qui tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải là đoán

mò, càng không phải là nghĩ liều” [14].

Để có năng lực dự đoán, phát hiện vấn đề thì điều kiện tiên quyết là HS phải

giải thật nhiều dạng toán, phải biết tích luỹ kinh nghiệm. Họ cần phải đƣợc rèn luyện

các năng lực thành tố nhƣ: Năng lực xem xét các đối tƣợng Toán học, năng lực tƣ

duy biện chứng; năng lực so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá;

năng lực liên tƣởng các đối tƣợng, quan hệ đã biết với các đối tƣợng tƣơng tự, quan

hệ tƣơng tự.

Ví dụ 1.10.

Dạy học định nghĩa vec-tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng, GV tạo tình huống

n

Δ

n

n3

O

gợi vấn đề:

Hình 1.1

+ Trong mặt phẳng tọa độ, cho đƣờng thẳng và các vtpt khác vec-tơ không

có giá vuông góc với nhƣ hình vẽ. Khi đó đƣợc gọi là vtpt của đƣờng thẳng.

+ Hãy đƣa ra dự đoán về định nghĩa vtpt của đƣờng thẳng?

+ Dự đoán mỗi đƣờng thẳng có bao nhiêu vtpt và chúng có liên hệ với nhau

19

nhƣ thế nào?

1.4.2.2. Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ

Đứng trƣớc một vấn đề, HS có thể gặp khó khăn khi tìm cách giải quyết hoặc

là muốn có nhiều cách giải quyết khác nhau. Một trong những phƣơng án có thể đáp

ứng đƣợc nhu cầu đó là năng lực chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán.

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ là một trong những năng lực quan trọng để huy

động kiến thức đối với việc giải toán. Nó đƣợc thể hiện qua các HĐ nhƣ:

- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ nhìn nhận một nội dung toán học theo mối liên hệ

liên môn: đại số hoá, hình học hoá, lƣợng giác hoá,...

- HĐ chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại hình học: từ phƣơng pháp tổng hợp

sang phƣơng pháp giải tích (gồm có phƣơng pháp véc-tơ và PPTĐ), hoặc phƣơng

pháp biến hình.

Việc chuyển đổi ngôn ngữ có thực hiện đƣợc hay không còn phụ thuộc vào kỹ

năng phân tích bài toán tức là bài toán đó có thể chuyển sang đƣợc ngôn ngữ nào, nếu

là bài toán hình học thì làm sao để chuyển sang đƣợc ngôn ngữ véc tơ hoặc toạ độ.

Tuy nhiên không phải bài toán nào cũng chuyển đổi đƣợc ngôn ngữ. Một trong các

dấu hiệu để xác định xem một bài toán hình học có giải đƣợc bằng phƣơng pháp

véc-tơ một cách thuận lợi hay không là khả năng diễn đạt các khái niệm, các mối liên

hệ giữa các yếu tố đã cho và các yếu tố cần tìm ra ngôn ngữ véc-tơ. Nếu sự “phiên

dịch” không gặp khó khăn lớn thì việc sử dụng véc-tơ để giải bài toán đó là có cơ sở.

Năng lực chuyển đổi ngôn ngữ giúp HS có thêm những định hƣớng, những

đƣờng lối cho việc tìm tòi nhiều phƣơng pháp, cách giải khác nhau.

Ví dụ 1.11.

Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chữ nhật có chu vi không đổi, A, C là 2

điểm thay đổi thuộc Ox, Oy. Chứng minh rằng đƣờng thẳng d vuông góc kẻ từ B

20

vuông góc với đƣờng chéo AC luôn đi qua 1 điểm cố định.

* Phân tích:

Hình 1.2

- Bài toán này có dáng dấp của một bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế rất thuận

tiện khi ta đại số hóa bằng PPTĐ.

- Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục tọa độ Oxy trùng với góc vuông Oxy.

*Lời giải:

- Chọn hệ trục tọa độ Oxy nhƣ hình vẽ

- Trong hệ trục tọa độ này giả sử A(a;0), B(a;c), C(0;c)

Đặt a+c=b=const (vì chu vi OABC không đổi)

Phƣơng trình đƣờng thẳng AB theo đoạn chắn là:

( )

.

/

/

- Phƣơng trình đƣờng thẳng d qua B(a;c và vuông góc với AC có dạng:

.

( ) ( )

{

{

- Giả sử d đi qua điểm cố định ( ) Khi đó

21

Do b không đổi chứng tỏ d luôn đi qua điểm cố định M(b;b .

1.4.2.3. Năng lực quy lạ về quen nhờ biến đổi về dạng tương tự

Tƣơng tự là một kiểu giống nhau nào đó, trong toán học hai bài toán đƣợc gọi

là tƣơng tự nhau nếu hoặc chúng có cùng phƣơng pháp giải; hoặc cùng giả thiết, hoặc

cùng kết luận; hoặc đƣợc đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tƣợng có

tính chất giống nhau. Khai thác chức năng của bài tập tƣơng tự là một trong những

việc làm quan trọng trong DH bởi nó có vai trò khắc sâu kiến thức đã học, rèn luyện

kỹ năng, kỹ xảo.

Biến đổi về dạng tƣơng tự là một HĐ biến đổi đối tƣợng, HĐ này thể hiện

trong tiến trình ngƣời giải toán phải làm bộc lộ đối tƣợng của HĐ (các khái niệm toán

học, các qui luật về mối liên hệ giữa các đối tƣợng toán học, các quan hệ giữa chúng).

Những HĐ đó là để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối tƣợng, sao cho

các tri thức mới tƣơng thích với các tri thức đã có; từ chủ thể xâm nhập vào đối

tƣợng, hiểu và giải thích chúng, vận dụng chúng với tƣ cách là sản phẩm của HĐ

nhận thức. Để sự tìm tòi đƣợc thuận lợi, nhiều khi cũng cần có những thủ thuật để

biến cái khó thành cái dễ, biến ý đồ thành những việc cụ thể.

Biến đổi về dạng tƣơng tự thực chất là đi tìm những điểm tiếp xúc của bài toán

với kiến thức đã có thể hiện ở các góc độ khác nhau. Nhờ quá trình biến đổi vấn đề,

biến đổi các bài toán HS có thể quy các vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ

về các vấn đề quen thuộc, về các bài toán tƣơng tự đã giải.

( )

Ví dụ 1.12. (Đại học GTVT-2001)

Tìm a để hệ sau có nghiệm: { √ ( )

( )

*Lời giải:

√ ( ) ( )

{

{

( ) ( ) ( ) ( )

( )

Biến đổi hệ phƣơng trình về dạng:{

Gọi A,B theo thứ tự là tập nghiệm của (2), (3). Ta có:

+ A là nửa mặt phẳng phía dƣới đƣờng thẳng (d):x+y-2=0

( ) ( ) và ta có: {

( ) √

22

+B là tập các điểm thuộc đƣờng tròn (C có phƣơng trình:

| |

( ( ))

√

√

Vậy hệ có nghiệm khác rỗng

, hệ đã cho có nghiệm. Kết luận: với

Việc biến đổi, chuyển đổi bài toán từ giải hệ phƣơng trình về dạng toán PPTĐ trong

mặt phẳng đã giúp bài toán trở nên dễ dàng hơn.

1.4.2.4. Năng lực nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau

Căn cứ vào bản chất của kiến thức toán học vào mối quan hệ duy vật biện

chứng ta thấy mỗi nội dung, mỗi một vấn đề có thể nhìn nhận dƣới nhiều góc độ, có

nhiều hình thức biểu đạt khác nhau. Một bài toán có thể ta phải chuyển đổi ngôn ngữ

bằng cách: đại số hoá, lƣợng giác hoá, hình học hoá.

Nếu đứng trƣớc một vấn đề mỗi ngƣời làm toán có thói quen nhìn nhận theo

nhiều góc độ khác nhau dựa trên những tri thức, những kinh nghiệm đã có thì sẽ hình

thành dần nên trong họ một tƣ duy nhạy bén, sắc sảo một niềm tin sẽ giải quyết đƣợc

vấn đề bởi lẻ bài toán đang giải đó nó còn ẩn tàng những cách giải ở những góc độ

nào đó mà chúng ta phải khám phá ra.

Ví dụ 1.13. (Trích đề thi thử tỉnh Bắc Ninh năm 2014)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AD=2AB, gọi M,N

lần lƣợt là trung điểm của cạnh AD, BC. Trên đƣờng thẳng MN lấy điểm K sao cho

N là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết K(-5;1),

phƣơng trình đƣờng thẳng chứa cạnh AC: 2x+y-3=0 và điểm A có tung độ dƣơng.

* Phân tích:

23

Hình 1.3

Bài toán trên có thể chia thành hai bƣớc:

+Bƣớc 1: chứng minh (dùng giả thiết quan trọng này để làm tiếp

bƣớc 2

+Bƣớc 2: vận dụng vào việc giải tìm tọa độ của 4 đỉnh A, B, C, D

. Để chứng minh có rất nhiều cách trong đó kể đến:

 Bƣớc 1: Nhận xét đầu tiên sau khi dựng hình xong đó là phát hiện

Cách 1: Gọi

Chứng minh ̂ ̂ (chứng minh tổng 2 góc trong một tam giác

̂ (2 góc này bằng nhau do 2 tam giác )

bằng suy ra ̂ = ̂ ̂ nên ta cần chứng minh ̂

Cụ thể: Ta có (c-g-c) ̂ ̂

Ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ . Suy

ra ̂ = tại H.

̂ = . Ta đã có ̂ ̂ ̂ ̂ (2 góc này bằng nhau do

̂ ̂ để dễ hiểu hơn chúng ta có thể mở rộng hình chữ nhật ABCD

Cách 2: Vẫn với ý tƣởng nhƣ cách 1, ta chứng minh ̂ ̂ để suy ra

thành hình vuông ADEF.

̂

̂ ̂ ̂ ̂

Cụ thể: Dựng hình vuông ADEF sao cho K là trung điểm của EF.

̂

Ta có: {

Ta có: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

24

Suy ra ̂ tại H.

Cách 3:

Hình 1.4

Dựng hệ trục Bxy nhƣ hình vẽ tọa độ hóa các điểm và điều phải chứng minh tƣơng

đƣơng ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Cụ thể: Dựng hệ trục Bxy nhƣ hình vẽ, đặt cạnh AB=a>0 AD=2AB=2a

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tại H.

⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

Mặt khác: {

Cách 4: Dựa trên ý tƣởng chứng minh ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ta sử dụng tích vô hƣớng

chuyển bài toán chứng minh ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thành ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (Ta sẽ dùng

giữa hai vec-tơ ⃗ | | | | ( ⃗ ) Cụ thể trong bài này ta sẽ gọi

quy tắc “chèn điểm” để tạo ra các tích vô hƣớng bằng 0 hoặc các cạnh có độ dài và

hợp góc cụ thể .

Cụ thể: Gọi

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

25

Xét:

)

{

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Suy ra tại H.

Với

để thực hiện điều này cần tính số đo của 3 cạnh HC, HD, CD theo 1 cạnh

Cách 5: Ta có thể vận dụng “định lý đảo Pytago” để chứng minh

và IK // CD.

còn lại hoặc 1 cạnh cho trƣớc đồng thời vận dụng “định lý thuận Thales” do xét thấy

Cụ thể: Gọi

Ta có KI//CD và , theo định lý Thales ta có:

√

√

(Theo định lý đảo Pytago

Suy ra HC= và

Xét {

Suy ra

 Bƣớc 2: Sau khi đã chứng minh đƣợc . Ta có thể đi tiếp theo 2

hƣớng sau:

Hướng 1: Tạo thêm phƣơng trình đƣờng thẳng mới

*Gọi . Do : 2x+y-3=0 : x-2y+m=0.

KD qua K(5;-1) . Vậy KD: x-2y-7=0

{

.

/

*Tọa độ H là nghiệm của hệ: {

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

.

/

( )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Suy ra {

{

.

/

*Ta có IH/HC=HD/HK=IK/CD=3/2 (theo định lý Thales)

26

*Gọi ⃗ ( ) ) là vtpt của AD.

Đƣờng thẳng AD qua D có dạng là: a(x-1)+b(y+3)=0

√

| |

Ta có ̂ √

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )|

√ √

Mặt khác ̂ | ( √

Suy ra ( ) ( ) [

*TH1: Với AD: 3x+4y+9=0

/. Loại vì A có tung độ dƣơng.

Ta có .

*TH2: Với AD: x-1=0

Ta có ( ). Nhận vì A có tung độ dƣơng.

Do M là trung điểm của AD ( )

Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

Mặt khác I là trung điểm của AC và BD ( ) ( )

Vậy tọa độ thỏa yêu cầu bài toán là A(1;1 , B(3;1 , C(3;-3), D(1;-3)

Hướng 2: Tìm tọa độ điểm A thông qua độ dài AK

- Viết phƣơng trình KD tọa độ H

- Tham số hóa điểm A theo đƣờng AC một ẩn nên cần một phƣơng trình độ dài

AK=?

Dựa vào định lý Thales ở cách 5 ta tính đƣợc độ dài AK.

⃗⃗⃗⃗⃗ ) tọa độ trung điểm I tọa độ D

- Có tọa độ điểm A tọa độ C (do ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ) tọa độ B.

(do ⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy có thể thấy bài toán đã vận dụng rất nhiều kĩ thuật, phƣơng pháp để giải quyết

các đối tƣợng cần tìm. Về phần chứng minh vuông góc, với nhiều phƣơng án tiếp cận

khác nhau chúng ta có nhiều cách chứng minh khác nhau.

1.4.2.5. Năng lực khái quát hóa

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Khái quát hoá là chuyển từ một tập hợp đối

tƣợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc

27

điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [7, tr. 55].

Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến

phƣơng pháp tƣ duy khái quát. Đúng nhƣ Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đã nói:

“Chỉ khi trí tuệ của con ngƣời tự khái quát hoặc đã kiểm tra sự khái quát thì con

ngƣời mới có thể hiểu đƣợc nó”. Không có khái quát thì không có khoa học; không

biết khái quát là không biết cách học. Khả năng khái quát là khả năng học tập vô

cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc biệt [23, tr.170].

Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực khái quát hoá tài liệu Toán học là

thành phần cơ bản nhất của năng lực toán học; điều này đã đƣợc các nhà Sƣ phạm,

nhà Toán học nhƣ: V. A. Krutecxki, A. I. Marcusêvich, Pellery, Tổ chức quốc tế

UNESCO, ... khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của mình.

Để giúp HS phát triển năng lực khái quát hoá cần tập luyện cho họ HĐ khái

quát hoá và điều cốt yếu nhất là nắm vững phƣơng pháp khái quát hoá. Trên tinh thần

đó, để phát triển năng lực khái quát hoá cho HS có thể thực hiện theo các cách sau:

a) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở so sánh các trường hợp

riêng có sự tham gia của hoạt động phân tích - tổng hợp.

Khái quát hoá có ý nghĩa là sự chuyển những kiến thức đã có lên một mức độ

cao hơn dựa trên cơ sở xác định tính chất chung hay quan hệ phổ biến của các đối

tƣợng đang xét. Chính vì vậy, trong khi tiến hành khái quát hoá phải thấy đƣợc những

nét chung duy nhất trong các mệnh đề riêng biệt.

HĐ phân tích và tổng hợp bao giờ cũng diễn ra khi HĐ so sánh chƣa tìm ra

đƣợc đặc điểm bản chất – chung để khái quát hoá. Kết quả HĐ khái quát hoá chỉ là

dự đoán, vì vậy để có độ chính xác về mặt Toán học cần có bƣớc chứng minh. Đƣờng

lối chứng minh kết quả khái quát có thể tìm thấy sau quá trình phân tích, quá trình

giải các bài toán cụ thể nhƣng cũng có những trƣờng hợp đƣờng lối giải quyết bài

toán cụ thể chƣa thể áp dụng để giải quyết bài toán tổng quát lúc này GV cần gợi

động cơ để HS có thể tìm kiếm con đƣờng giải quyết khác mà nó có thể giúp ích cho

việc giải quyết bài toán tổng quát.

Khái quát hoá trên cơ sở so sánh những trƣờng hợp riêng lẻ là một con đƣờng

khái quát hoá, nhƣng không phải là con đƣờng duy nhất. Bên cạnh con đƣờng này

28

(con đƣờng của số đông HS) còn tồn tại một con đƣờng khác (con đƣờng của một số

HS có nhiều khả năng không dựa vào sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một

hiện tƣợng trong hàng loạt hiện tƣợng giống nhau. Việc nhận biết một số bài tập cụ

thể nhƣ là đại diện của một lớp bài tập cùng kiểu thuộc về dạng khái quát hoá này. Vì

vậy, ta coi trọng đúng mức nhƣng không quá cƣờng điệu vai trò của so sánh trong

khái quát hoá.

b) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở trừu tượng hoá cùng

với hoạt động phân tích và tổng hợp.

Đặc điểm của phƣơng pháp này là từ phân tích một sự vật cụ thể, riêng lẻ suy

ra tính chất chung của loại sự vật đó. Khái quát từ trừu tƣợng cũng là phƣơng pháp vô

cùng quan trọng. Nó bắt đầu từ phân tích, từ ngoài vào trong, từ thô đến tinh, chọn

lấy cái cốt lõi.

Trừu tƣợng hóa là sự nêu bật và tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc

điểm không bản chất. Khái quát hóa có mối liên hệ mật thiết với trừu tƣợng hóa, trừu

tƣợng hóa chính là để khái quát hóa, sẽ không khái quát hóa đƣợc theo những phƣơng

hƣớng đúng đắn nếu không nắm đƣợc phƣơng phƣơng pháp trừu tƣợng hóa, trừu

tƣợng hóa là điều kiện ắt có nhƣng chƣa phải là đủ để khái quát hóa. Khai thác mối

liên hệ này có thể tạo điều kiện cho HS tập luyện trừu tƣợng hóa với khái quát hóa.

Trong khi đòi hỏi HS khái quát hóa trên cơ sở so sánh những trƣờng hợp riêng lẻ có

thể nâng cao yêu cầu trừu tƣợng hóa bằng cách bố trí những trƣờng hợp riêng lẻ

mang một số đặc điểm chung nổi bật nhƣng không cần thiết cho việc dự đoán quy

luật tổng quát.

Phân tích và tổng hợp là bản chất của HĐ tƣ duy nói chung, của khái quát hóa

và những HĐ trí tuệ có liên quan nói riêng. Khái quát hóa và các HĐ trí tuệ có liên

quan chỉ là những dạng của phân tích và tổng hợp. Vì vậy, khi tập luyện cho HS khái

quát hóa và những HĐ trí tuệ có lien quan, cần phải rèn luyện cho họ khả năng phân

tích và tổng hợp coi đó là cơ sở để thực hiện các HĐ trí tuệ. Nếu HS gặp khó khăn

khi tiến hành một HĐ nào đó thì cần quay lại cơ sở của HĐ đó là phân tích và tổng

hợp. Chẳng hạn nhƣ, khi hƣớng dẫn HS khái quát một số ví dụ cụ thể để tìm ra quy

luật, nếu HS khó khăn trong việc phát hiện ra đặc điểm chung thì yêu cầu họ trƣớc

29

hết hãy mô tả đặc điểm của từng ví dụ (phân tích) rồi đối chiếu với nhau để tìm ra các

đặc điểm chung (tổng hợp). Nếu HS gặp khó khăn trong việc phân biệt đặc điểm

bản chất với đặc điểm không bản chất, có thể gợi cho họ liên hệ đặc điểm chung

vừa phát hiện với mục đích tổng hợp. Đặc điểm nào ảnh hƣởng tới sự kiện sẽ là

đặc điểm bản chất.

c) Tập luyện cho học sinh hoạt động khái quát hoá trên cơ sở hoạt động tương tự hoá

và đặc biệt hoá.

Các phƣơng pháp đặc biệt hoá, tổng quát hoá và tƣơng tự hoá đặc biệt có ý

nghĩa rất quan trọng trong sáng tạo toán học. Có thể vận dụng chúng để giải các bài

toán đã cho; để mò mẫm và dự đoán kết quả, tìm ra phƣơng hƣớng giải bài toán; để

mở rộng đào sâu, và hệ thống hoá các kiến thức.

Khi giải một bài toán, phƣơng pháp tổng quát là tìm cách đƣa bài toán phải

giải thành một bài toán tƣơng tự, đơn giản hơn; sao cho nếu giải đƣợc bài toán sau thì

sẽ giải đƣợc bài toán đã cho. Đây là một HĐ mà chúng ta cần phải bồi dƣỡng cho HS.

Tuy nhiên, chúng ta cũng phải biết hình thành ở HS khả năng ngƣợc lại; tức là từ

những trƣờng hợp đặc biệt rồi cho HS dự đoán kết quả khái quát hoá.

1.4.3. Các yếu tố ảnh hưởng đến năng lực giải toán của học sinh

1.4.3.1. Ảnh hưởng của ý thức học tập, khát vọng hiểu biết của người học và động cơ

nhận thức của bản thân học sinh

Ý thức là một trong hai phạm trù thuộc vấn đề cơ bản của triết học. Nó là hình

thức cao của sự phản ánh của thực tại khách quan, hình thức mà riêng con ngƣời mới

có. Ý thức của con ngƣời là cơ năng của cái “khối vật chất đặc biệt phức tạp mà

ngƣời ta gọi là bộ óc con ngƣời” (Lênin . Tác động của ý thức học tập đối với chất

lƣợng học tập là vô cùng to lớn. Nó không những là kim chỉ nam cho HĐ mà còn là

động lực của thực tiễn. Sự trƣởng thành hay sa sút của HS phụ thuộc vào vai trò chỉ

đạo của ý thức.

Ý thức học tập, khát vọng hiểu biết và động cơ nhận thức có ý nghĩa quyết

định trong quá trình hình thành và phát triển năng lực phát hiện phƣơng pháp giải

toán của HS. Suy cho cùng, chất lƣợng học tập phải là kết quả trực tiếp của sự nỗ lực

của chính bản thân ngƣời học. Nếu ngƣời học không xác định đƣợc vai trò quyết định

30

của mình trong sự thành bại của sự học thì không bao giờ thành công. Chỉ khi đã xác

định đƣợc mục đích và động cơ học tập đúng đắn, HS mới có thể phát huy đƣợc "nội

lực" trong học tập, từ đó kết hợp các yếu tố "ngoại lực" khác để tổ chức các HĐ diễn

ra một cách hợp lý và thu đƣợc kết quả cao.

1.4.3.2. Ảnh hưởng của vốn tri thức hiện có của bản thân học sinh, đặc biệt là tri

thức phương pháp

Tri thức là cơ sở để rèn luyện kỹ năng và thực hiện các nhiệm vụ khác. Cơ sở

không nên hiểu là quan trọng hơn các nhiệm vụ khác mà chỉ có nghĩa là nếu HS

không vốn tri thức tƣơng đối thì không thể thực hiện đƣợc các nhiệm vụ khác. Tuy

nhiên chúng ta tránh tình trạng gia tăng khối lƣợng tri thức quá nhiều, nhồi nhét tri

thức cho HS. Để việc học có hiệu quả thì ngƣời học dƣới sự dẫn dắt của ngƣời thầy

phải tự trang bị cho mình vốn kiến thức tối thiểu đủ để có thể tự nghiên cứu các vấn

đề liên quan đến phƣơng pháp giải Toán.

Với tƣ cách là cơ sở của giáo dục toán học, tri thức có quan hệ mật thiết với

việc thực hiện các nhiệm vụ môn toán. Đặc biệt những tri thức phƣơng pháp liên

quan chặt chẽ với việc rèn luyện kỹ năng, những tri thức giá trị (đánh giá vai trò của

một HĐ, tầm quan trọng của một tri thức… nhiều khi có liên hệ với việc gây động

cơ HĐ, điều đó cũng ảnh hƣởng tới việc rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực trí tuệ.

“Tri thức phƣơng pháp liên hệ với hai loại phƣơng pháp khác nhau về bản

chất: Những phƣơng pháp có tính chất thuật toán (ví dụ phƣơng pháp giải phƣơng

trình bậc hai) và những phƣơng pháp có tính chất tìm đoán (chẳng hạn phƣơng pháp

tổng quát của Polya để giải bài tập toán học ” – [9, tr.28]

1.4.3.3. Ảnh hưởng của năng lực trí tuệ và tư duy

GS. TS. Nguyễn Cảnh Toàn đã từng phát biểu trong cuốn Tập cho HS làm quen

dần với nghiên cứu Toán học (1992, tr.5): "Ở những điểm "nút" có thể xuất hiện

những khái niệm mới lạ, có khi ngƣời làm Toán cần tƣ duy hình tƣợng, cần một trí

tƣởng tƣợng thật bay bổng, thật táo bạo nhƣ là với một nhà văn viết chuyện viễn

31

tƣởng hay thần thoại. Để phát hiện ra vấn đề, nhiều khi ngƣời làm Toán cũng cần có

óc thẩm mỹ để thƣởng thức cái đẹp trong Toán học, và từ chỗ thƣởng thức cái đẹp đó

mà có ý muốn đi sâu vào cái thâm thúy bên trong".

1.4.3.4. Ảnh hưởng của phương pháp dạy của giáo viên

Theo Nguyễn Bá Kim [9, tr.6 , "Phƣơng pháp DH là cách thức HĐ và ứng xử

của thầy gây nên những HĐ và giao lƣu của trò nhằm đạt đƣợc các mục đích DH".

Do đó, có thể thấy rằng phƣơng pháp DH của GV có ảnh hƣởng rất lớn đến sự hình

thành và phát triển năng lực phát hiện phƣơng pháp giải toán của HS.

- Không ai khác, GV chính là ngƣời truyền lửa đam mê đến các em HS, hƣớng

dẫn, định hƣớng HS cách học từ việc nắm vững các khái niệm, phát hiện và chứng

minh các định lí, phát hiện phƣơng pháp giải và giải các bài toán…, điều này làm cho

HS ý thức đƣợc những mục đích đặt ra và tạo đƣợc động lực bên trong giúp HS học

tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. “… Nếu ngƣời thầy khiêu gợi đƣợc trí tò

mò của HS bằng cách ra cho HS những bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán

bằng cách đặt ra những câu hỏi gợi ý hợp lý, thì ngƣời thầy có thể mang lại cho họ

cái hứng thú của sự suy nghĩ độc lập và những phƣơng tiện để đạt đƣợc kết quả” –

G.Pôlia [14, tr.6]. "Anh không thể dạy cho con ngƣời bất kỳ điều gì, mà anh chỉ có

thể giúp ngƣời ấy tự tìm ra chân lý" (Galilê).

- Chúng ta có thể xem quá trình dạy và học thông qua ba tầng tiếp thu của HS

nhƣ sau:

+ Tầng 1, tiếp nhận thông tin. Khi ấy thầy giảng, trò nghe và ghi nhớ. Trò cần

học thuộc với hy vọng sử dụng kiến thức đó để làm những bài tập gần sát với những

điều thầy dạy.

+ Tầng 2, sự trao đổi thông tin và tạo thông tin mới. Khi ấy thầy và trò có sự

trao đổi trong quá trình dạy và học nhằm bám sát những kiến thức trọng tâm, giúp trò

sau này dễ dàng vận dụng đƣợc những điều đã học vào những môi trƣờng (những bài

toán mới, những dạng toán mới… hết sức đa dạng.

+ Tầng 3, rèn luyện cách tiếp cận, hình thành phƣơng pháp tƣ duy sáng tạo.

Trong quá trình giảng bài với những bài học khác nhau, ngƣời thầy phải chọn những

32

nội dung để kết cấu thành hệ thống bài giảng nhằm từng bƣớc hình thành một phƣơng

pháp tƣ duy, tạo nên kỹ năng sáng tạo cho trò. Kết quả là trò sẽ có phƣơng pháp tiếp

cận thực tế độc đáo và hiệu quả, có kỹ năng giải quyết vấn đề mức cao.

Nhƣ vậy, điều hết sức quan trọng mà thầy cần rèn cho trò là phƣơng pháp tiếp

cận thông tin, quan sát và nhận dạng vấn đề, hình thành những nhận thức mới.

1.4.3.5. Ảnh hưởng của phương pháp học tập của học sinh

Phƣơng pháp học của HS là một hệ thống những kỹ năng mang tính cá nhân

cao. Tính cá nhân ở đây bị chi phối bởi nhân cách, mục đích học, tƣơng quan của HS

đó với môi trƣờng xã hội. Đây là yếu tố làm cho phƣơng pháp học không thể rập

khuôn từ HS này sang HS khác. "Phƣơng pháp học tốt giúp ta phát huy đƣợc tài năng

vốn có, phƣơng pháp học không tốt sẽ cản trở phát triển tài năng" (Penne, nhà sinh lý

học ngƣời Pháp).

Thuyết phát triển mac-xit cho rằng con ngƣời không phải là khách thể thụ

động của những yếu tố phát triển của nó, không phải là kết quả cơ học của di truyền

bẩm sinh, của môi trƣờng hay của sự phát triển chung của hai yếu tố đó. Theo thuyết

này, con ngƣời tự tạo ra nhân cách của mình chủ yếu là bằng HĐ tƣơng tác tích cực

với các điều kiện bên ngoài. Nhƣng các điều kiện này không tác động trực tiếp mà tác

động gián tiếp thông qua HĐ của cá nhân làm hình thành nên nhân cách và từng

thuộc tính của nhân cách đó.

Theo A.D. La Garandrie (dẫn theo Bùi Văn Nghị (2003), Đổi mới cách viết

sách giúp người tự học tích cực, Tạp chí Giáo dục) mỗi ngƣời có thể có một vài hoặc

tất cả các HĐ trí óc. Có ngƣời có thể học thuộc lòng dễ dàng chỉ sau một vài lần lặp

lại, nhƣng có ngƣời dù lặp lại nhiều lần nhƣng mỗi lần cần đến kiến thức đó lại phải

tra cứu lại. Ngƣợc lại có ngƣời tuy không nhớ máy móc đƣợc nhƣng lại có óc lôgíc

khá nhạy, họ có thể hay quên các công thức nhƣng mỗi lần cần nhớ đến, họ có thể

suy ra từ các công thức đã nhớ khác để nhớ lại công thức này, các thói quen này ảnh

hƣởng rất lớn đến việc học tập của mỗi ngƣời.

Vì vậy, trong quá trình DH, đặc biệt là HĐ dạy HS giải toán, ngƣời thầy không

nên ép buộc HS phải suy nghĩ theo thói quen suy nghĩ của mình. Mặt khác, cần chú ý

bồi dƣỡng, phát triển các thói quen chƣa có hay còn yếu (nhƣ: thói quen gợi lại những

33

cái cụ thể đã gặp, thói quen ghi nhớ, thói quen suy luận lôgic, thói quen tƣởng tƣợng

sáng tạo… của các em, từ đó cũng góp phần hình thành phƣơng pháp học tập nói

chung, phƣơng pháp giải toán nói riêng cho các em.

1.5. Thực trạng bồi dƣỡng năng lực giải toán trong dạy học giải toán cho học

sinh ở trƣờng Trung học phổ thông hiện nay

Để tìm hiểu thực trạng việc bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải toán

cho HS ở trƣờng THPT chúng tôi tiến hành khảo sát “Thực trạng bồi dƣỡng năng lực

giải toán trong DH giải toán cho HS THPT ” thông qua phiếu điều tra (phụ lục 2). Số

giáo viên đƣợc hỏi ý kiến gồm 36 giáo viên ở các trƣờng THPT Lê Qúy Đôn – Cẩm

Phả - Quảng Ninh; THPT Hòn Gai , THPT Vũ Văn Hiếu – Hạ Long – Quảng Ninh.

Kết quả thu đƣợc nhƣ sau:

Bảng 1.1: Bảng khảo sát thực trạng DH giải toán

Thƣờng xuyên tìm Có hệ thống câu Chú ý đến việc giải hiểu các phƣơng pháp hỏi và bài tập để Số giáo viên toán của HS trong dạy học giúp HS giải HS bồi dƣỡng năng quá trình học toán tốt hơn lực giải toán

36 34 (94,44%) 08 (22,22%) 19 (52,77%)

Thật vậy, nhìn chung vẫn còn tồn tại các vấn đề sau:

Một là, vẫn nặng về lối “thầy giảng, trò nghe”. Chẳng hạn khi dạy định lý hoặc

bài tập toán còn thiên về lối diễn giảng - đúng nhƣ lời nhận xét của GS. TS. Nguyễn

Cảnh Toàn: “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đƣa ra kiến thức (định lý, khái niệm)

rồi giải thích chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý,

hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định lý để tính

toán, để chứng minh khi làm bài tập mà ở đó cái gì cho biết, phải tìm, phải chứng

minh là r ràng” [21, tr. 4].

Hai là, thầy giáo thƣờng “bao biện” thời gian thì có hạn, kiến thức phải dạy

phải luyện thì nhiều, thôi thì cứ trình diễn cho HS thấy hợp lý là đƣợc.

Ba là, có những bƣớc suy luận mà đối với thầy thì rất “tầm thƣờng”, bởi thế

nhầm tƣởng rằng đối với HS thì cũng nhƣ vậy, do đó lƣớt qua rất nhanh, không để

34

cho HS có thời gian suy nghĩ. “Thực ra không phải nhƣ vậy, trƣớc khi trình bày một

kiến thức nào đó thì thầy giáo đã làm việc với nó khá nhiều lần rồi, nhƣng còn với HS

thì đây là lần đầu tiên đƣợc tiếp xúc với nó”.

Bốn là, chƣa sử dụng đƣợc một hệ thống câu hỏi và bài tập hợp lý, mềm dẻo

và linh hoạt với từng đối tƣợng HS. Nhiều bài tập còn trùng lặp về dạng, chỉ đòi hỏi

áp dụng theo công thức. Còn thiếu những câu hỏi và bài tập rèn luyện năng lực suy

luận lôgic, chƣa khai thác triệt để những tình huống có thể phát triển năng lực suy

luận lôgic cho HS.

Năm là, chƣa khai thác đƣợc tiềm năng của phƣơng pháp suy luận quy nạp

không hoàn toàn để phát hiện vấn đề và phát triển năng lực tƣ duy sáng tạo cho HS.

“Trong việc giảng dạy và học tập môn Toán việc tách rời giữa suy luận quy nạp và

suy diễn là một nguyên nhân rất cơ bản trong việc kìm hãm sự phát triển tƣ duy sáng

tạo cho HS” [6, tr. 90].

1.6. Kết luận chƣơng 1

Trong Chƣơng 1, luận văn đã trình bày các vấn đề về DH giải toán, năng lực toán

học, năng lực giải toán; làm rõ một số khái niệm về năng lực, năng lực toán học, năng

lực giải toán đồng thời làm rõ một số thành tố của năng lực giải toán thông qua khai thác

phân tích các bài toán cụ thể. Việc DH giải toán nhằm bồi dƣỡng năng lực giải toán cho

HS là rất cần thiết bởi qua đó giúp HS học tập tích cực, kích thích tính sáng tạo của HS

35

trong học tập và trong cuộc sống.

Chƣơng 2

CÁC BIỆN PHÁP SƢ PHẠM BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN

TRONG DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG MẶT PHẲNG CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1. Khái quát chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng Trung

học phổ thông

2.1.1. Vị trí và mục tiêu dạy học nội dung chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt

phẳng ở trường Trung học phổ thông

PPTĐ trong mặt phẳng đƣợc trình bày dựa trên các kiến thức về vec-tơ và các

phép tính vec-tơ. Phƣơng pháp này giúp cho HS “đại số hóa” các kiến thức đã có về

Hình học. Chƣơng “Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng” đi sâu tìm hiểu về phƣơng

trình của đƣờng thẳng, đƣờng tròn, ba đƣờng cônic và các tính chất của chúng.

Tinh thần của PPDH mới là phát huy tính chủ động sáng tạo của HS, chú ý

đến HĐ tích cực của HS trên lớp, HS trực tiếp tham gia xây dựng và chiếm lĩnh tri

thức. Dƣới sự tổ chức của thầy, HS có thể phát hiện ra vấn đề và tìm cách giải quyết

các vấn đề một cách tích cực và sáng tạo.

Nghệ thuật của GV là từ những tri thức cần trang bị cho HS, thiết kế thành

những tình huống có vấn đề để HS khám phá ra tri thức. Nhƣ thế HS sẽ nhớ lâu, hiểu

kĩ và hứng thú vì bản thân mình phát hiện ra tri thức, từ đó thúc đẩy các HĐ tiếp theo.

Chƣơng này HS phải đạt đƣợc các mục tiêu sau: Lập đƣợc phƣơng trình đƣờng

thẳng, đƣờng tròn, các cônic (khi biết các yếu tố xác định các đường đó) và ngƣợc lại, từ

phƣơng trình của mỗi đƣờng, xác định đƣợc các yếu tố đặc trƣng của nó; Vận dụng đƣợc

các kiến thức, các tính chất để giải một số bài toán có liên quan.

2.1.2. Yêu cầu về kiến thức, kỹ năng của chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt

phẳng trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông

Nội dung mục này đƣợc viết dựa theo tƣ liệu [19,tr75-87]

2.1.2.1. Yêu cầu về kiến thức

* Phương trình đường thẳng (Vtpt của đƣờng thẳng; Pttq của đƣờng thẳng;

36

Vtcp của đƣờng thẳng; Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng; Điều kiện để hai

đƣờng thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau; Khoảng cách từ

một điểm đến một đƣờng thẳng; Góc giữa hai đƣờng thẳng):

- Hiểu vtpt, vtcp của đƣờng thẳng.

- Hiểu cách viết pttq, phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng.

- Hiểu đƣợc điều kiện hai đƣờng thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông

góc với nhau.

- Biết công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng, góc giữa

hai đƣờng thẳng.

- Biết điều kiện để hai điểm nằm cùng phía hay khác phía đối với một đƣờng thẳng.

* Phương trình đường tròn (Phƣơng trình đƣờng tròn với tâm và bán kính cho

trƣớc; Nhân dạng phƣơng trình đƣờng tròn; Phƣơng trình tiếp tuyến):

- Hiểu đƣợc cách viết phƣơng trình đƣờng tròn.

* Elip (Định nghĩa elip; Phƣơng trình chính tắc của elip; Mô tả hình dạng elip):

- Biết định nghĩa elip.

- Biết phƣơng trình chính tắc, hình dạng của elip.

* Hypebol (Định nghĩa hypebol; Phƣơng trình chính tắc của hypebol; Mô tả

hình dạng hypebol):

- Hiểu định nghĩa, phƣơng trình chính tắc hypebol.

- Biết hình dạng của hypebol.

* Parabol (Định nghĩa parabol; Phƣơng trình chính tắc của parabol; Mô tả

hình dạng parabol):

- Hiểu định nghĩa, phƣơng trình chính tắc parabol.

-.Biết ý nghĩa của tham số tiêu, tiêu điểm, đƣờng chuẩn, hình dạng của parabol.

- Biết đƣợc một số đồ thị ( ) cũng là một parabol theo định

nghĩa trên.

* Ba đường cônic; Đường chuẩn cùa ba đường cônic:

- Biết đƣợc khái niệm đƣờng chuẩn của ba đƣờng elip, hypebol, parabol.

- Biết đƣợc tính chất chung của ba đƣờng cônic: Cho điểm cố đinh và

(

( )

đƣờng thẳng không đi qua . Tập hợp những điểm sao cho tỉ số

37

là một số dƣơng không đổi là một cônic.

2.1.2.2. Yêu cầu về kĩ năng

* Phương trình đường thẳng:

( ) và có phƣơng cho trƣớc hoặc đi qua hai điểm cho trƣớc.

- Viết đƣợc pttq, phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng đi qua điểm

- Tính đƣợc tọa độ của vtpt nếu biết tọa độ của vtcp của một đƣờng thẳng hoặc

ngƣợc lại.

- Sử dụng đƣợc công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng.

- Tính đƣợc số đo của góc giữa hai đuờng thẳng.

* Phương trình đường tròn:

- Viết đƣợc phƣơng trình đƣờng tròn khi biết tâm ( ) và bán kính . Xác

định đƣợc tâm và bán kính khi biết phƣơng trình đƣờng tròn.

- Viết đƣợc phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng tròn trong các trƣờng hợp: Biết tọa

độ của tiếp điểm (tiếp tuyến tại một điểm nằm trên đƣờng tròn); biết viết phƣơng trình tiếp

tuyến đi qua điểm nằm ngoài đƣờng tròn; biết tiếp tuyến có phƣơng cho trƣớc.

*Elip:

( ) Xác định đƣợc trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai của elip; xác định đƣợc tọa

- Từ phƣơng trình chính tắc của elip:

độ các tiêu điểm, giao điểm của elip với các trục tọa độ.

- Viết đƣợc phƣơng trình chính tắc của elip khi cho các yếu tố của elip đó.

* Hypebol:

( ) Xác định đƣợc đƣợc tọa độ các tiêu điểm, giao điểm của hypebol với các trục

- Từ phƣơng trình chính tắc của hypebol:

tọa độ, tiêu cự, độ dài trục thực, độ dài trục ảo, phƣơng trình các đƣờng tiệm cận, tâm

sai. Vẽ đƣợc hypebol.

38

- Viết đƣợc phƣơng trình chính tắc của hypebol khi cho các yếu tố của hypebol đó.

* Parabol:

- Từ phƣơng trình chính tắc của parabol ( ) xác định đƣợc

tọa độ tiêu điểm, phƣơng trình đƣờng chuẩn. Vẽ đƣợc parabol.

- Viết đƣợc phƣơng trình chính tắc của parabol khi cho các yếu tố xác đinh

parabol.

* Ba đường cônic:

- Sử dụng đƣợc khái niệm đƣờng chuẩn của ba đƣờng elip, hypebol, parabol

vào giải một số bài tập đơn giản.

2.1.3. Nội dung chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường Trung học

phổ thông

Trong phần này, luận văn sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về đƣờng thẳng,

đƣờng tròn thƣờng đƣợc sử dụng trong giải bài tập về PPTĐ trong mặt phẳng. Các

kiến thức này đã đƣợc nêu trong sách giáo khoa, không chứng minh.

1) Tọa độ:

( ) ⃗ ( ). Khi đó ta có các phép toán sau:  ⃗ ( )  ( )

Trong hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy, cho 2 vec-tơ trong đó:

 ⃗

 ⃗ | | | ⃗ | ( ⃗ )

√

√

 | | √ √  Với ( ) ( ) ta có các tính chất: ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) , | ⃗⃗⃗⃗⃗ | √( ) ( ) 2) Đƣờng thẳng

 ⃗ | | | ⃗ | ( ⃗ )

39

+) Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng:

( ) ( ) trong đó ⃗ ( ) là vtpt của đƣờng

thẳng ( ).

⃗ ( ) là: ( )

+ Phƣơng trình chính tắc đƣờng thẳng ( ) đi qua điểm ( ) và có vtcp

* Quy ƣớc: a = 0 thì viết:

b = 0 thì viết:

.

+ Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm ( ) và có hệ số góc k có

+ Phƣơng trình đoạn chắn đƣờng thẳng ( ) đi qua điểm ( ) và ( ) là:

cho bởi công thức:

| |

√

√

phƣơng trình: ( ). + Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm ( ) và có vtpt ⃗ ( ) là: ( ) ( ) . +) Góc  giữa hai đƣờng thẳng ( ) và ( )

+) Khoảng cách từ một điểm ( ) đến đƣờng thẳng ( )

| | √

cho bởi công thức ( )

3) Đƣờng tròn:

+) Đƣờng tròn tâm ( ), bán kính R có phƣơng trình: ( ) ( )

( ) đều là phƣơng trình của đƣờng tròn tâm ( ) bán kính

√ .

+ Phƣơng trình dạng:

40

+ Phƣơng trình tiếp tuyến tại điểm ( ) của đƣờng tròn tâm ( ) có phƣơng trình: ( )( ) ( )( ) .

2.1.4. Đặc điểm dạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở trường

Trung học phổ thông

2.1.4.1. Sơ lược về chủ đề Phương pháp tọa độ

 Một số nét đại cương về Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Theo [21 , cơ sở của PPTĐ là hệ trục tọa độ. Hệ tọa độ cho phép ta dựng đƣợc

đồ thị của một đƣờng khi biết phƣơng trình của đƣờng đó. Hệ tọa độ cho phép ta lập

phƣơng trình của một đƣờng khi biết tính chất đặc trƣng của tất cả các điểm thuộc

đƣờng đó. Thay vì chúng ta làm việc với các bài toán hình học thì chúng ta sẽ làm

việc với các phƣơng trình. Tức là, chúng ta đã chuyển những ngôn ngữ hình học về

ngôn ngữ đại số.

Khi làm việc với hình học, ta đã sử dụng đến số thực và các phép toán của

trƣờng số thực. Tức là, ta đã sử dụng đến “mô hình bằng số thực” để thể hiện các khái

niệm và các quan hệ hình học. Ứng với mỗi điểm M của đƣờng thẳng sẽ tƣơng ứng 1

- 1 với số thực x xác định. Tƣơng tự với mỗi điểm M của mặt phẳng, ứng với một cặp

số thực xác định có thứ tự (x ; y và ngƣợc lại.

Khi chúng ta đƣa vào mặt phẳng một hệ tọa độ thì ứng với mỗi điểm ta có thể

cho tƣơng ứng một cặp số thực gọi là tọa độ của điểm đó. Một đƣờng đƣợc biểu thị

bằng một phƣơng trình và một hệ phƣơng trình. Các quan hệ nhƣ thẳng hàng, đồng

quy, song song, vuông góc, … đƣợc thay bằng những quan hệ đại số giữa những số,

những véctơ và những phép toán.

PPTĐ nhƣ là “cây cầu” nối giữa hình học và đại số. Nhờ có PPTĐ ta có thể

“đại số hóa” hình học và cả “hình học hóa” đại số.

Có thể nói, sự ra đời của PPTĐ đã xác lập mối quan hệ mật thiết giữa hình học

và đại số - vốn là hai ngành khác nhau của toán học.

 Một số nét đại cương về sự trình bày kiến thức tọa độ trong chương trình

hình học phổ thông

Các khái niệm quan trọng về tia số, trục số, hệ trục tọa độ đƣợc trình bày ở đại

41

số 7 và đại số 9.

Trong chƣơng trình THPT kiến thức tọa độ đƣợc trình bày ở nhiều chƣơng.

Ở chƣơng trình THPT việc trình bày PPTĐ có liên quan mật thiết với công cụ

vec-tơ : sách giáo khoa giới thiệu phƣơng pháp vectơ sau đó dùng vec-tơ để xây dựng

tọa độ. Tọa độ của điểm M đƣợc hiểu là tọa độ của vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . PPTĐ trong mặt

phẳng (hình học 10 nâng cao) chủ yếu nghiên cứu các dạng phƣơng trình của đƣờng

thẳng, các quan hệ song song, vuông góc của hai đƣờng thẳng, góc giữa hai đƣờng

thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng, phƣơng trình đƣờng tròn,

phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn và phƣơng trình đƣờng elip, hypebol, parabol.

PPTĐ trong không gian (hình học 12) trình bày nội dung về PPTĐ trong không gian.

Đó là các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu, khoảng cách giữa các

yếu tố.

Ở chƣơng trình THPT trƣớc kia, ba đƣờng cônic đƣợc trình bày ở chƣơng trình

lớp 12 sau khi học xong đạo hàm, tức là đã học kiến thức về tiếp tuyến với một

đƣờng cong. Còn chƣơng trình THPT hiện nay, ba đƣờng cônic đƣợc đƣa vào chƣơng

trình hình học 10 nên chƣa học về tiếp tuyến với một đƣờng cong. Chính vì thế các

dạng bài tập về tiếp tuyến với đƣờng cônic nay không còn học nữa.

2.1.4.2. Dạy học một số tình huống điển hình chủ đề Phương pháp tọa độ trong

mặt phẳng

 Dạy học khái niệm

HS phát biểu định nghĩa parabol (Sách giáo khoa) ?

+ Cho một điểm F cố định và một đƣờng thẳng cố định không đi qua F.

Tập hợp các điểm M cách đều F và đƣợc gọi là đƣờng parabol (hay parabol).

+ Điểm F đƣợc gọi là tiêu điểm của parabol.

+ Đƣờng thẳng đƣợc gọi là đƣờng chuẩn của parabol.

+ Khoảng cách từ F đến đƣợc gọi là tham số tiêu của parabol.

HS nêu cách vẽ parabol (Sách giáo khoa) ?

+ Ta có thể vẽ parabol với tiêu điểm F và đƣờng chuẩn nhƣ sau : Lấy một

êke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một

đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của êke. Đặt êke sao cho cạnh AC nằm trên

42

, lấy đầu bút chì ép sát sợi dây vào cạnh AB và giữ căng sợi dây rồi cho cạnh AC

của êke trƣợt trên . Khi đó đầu M của bút chì sẽ vạch nên một phần của parabol (vì

ta luôn có MF = MA).

 Dạy học định lý

DH định lí sin trong tam giác:

“ Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c nội tiếp đƣờng tròn (O ; R).

Ta có

Trong đó R là bán kính đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.”

Hình 2.1 Hình 2.2 Hình 2.3

Nếu góc A vuông có BC = a, CA = b, AB = c nội tiếp đƣờng tròn (O ; R) thì a =

2R. Dễ thấy a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.

Nếu góc A nhọn vẽ đƣờng kính BA’ ta có a = 2RsinA’ = 2RsinA.

Tƣơng tự ta cũng có b = 2RsinB và c = 2RsinC.

Chứng minh tƣơng tự cho trƣờng hợp góc A tù ta cũng có A = 2RsinA’ = 2Rsin(1800 – A) = 2RsinA và b = 2RsinB, c = 2RsinC.

Vậy trong mọi trƣờng hợp

 Dạy học giải bài tập

*Bài tập:

Cho tam giác ABC với

Viết phƣơng trình đƣờng phân giác trong của góc A.

*Giải:

43

Các đƣờng thẳng AB và AC có phƣơng trình là

và AC : y – 3 = 0.

Các đƣờng phân giác trong và phân giác ngoài của góc A có phƣơng trình

hoặc

hay:

(đƣờng phân giác )

4x – 8y + 17 = 0 (đƣờng phân giác ).

Do hai điểm B, C nằm cùng phía đối với đƣờng phân giác ngoài và nằm khác phía đối với

đƣờng phân giác trong của góc A nên ta chỉ cần xét vị trí của B, C đối với một trong hai

đƣờng, chẳng hạn . Thay tọa độ của B, C lần lƣợt vào vế trái của ta đƣợc

và

tức là B, C nằm khác phía đối với .

Vậy phƣơng trình đƣờng phân giác trong của góc A là

2.1.4.3. Một số khó khăn của việc dạy học chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt

phẳng hiện nay

- Kết quả của của các bài toán trong DH truyền thống thƣờng là các kết quả tƣởng

tƣợng trong trí óc nên không phải lúc nào chúng ta cũng tƣởng tƣợng đúng. Từ đó có

thể xảy ra các chứng minh không đúng.

- Không cho phép chúng ta biết ngay kết quả “tức thì” của các bài toán mới khi thay

đổi một số yếu tố của bài toán cũ. Thông thƣờng khi thay đổi một số yếu tố của bài

toán cũ thì đối với cách DH truyền thống chúng ta phải tính toán lại ngay từ đầu.

Công việc này khá nhàm chán và dễ dẫn đến sai sót.

- Không cho phép chúng ta di chuyển các điểm của các hình. Nói r hơn, phƣơng

pháp truyền thống là phƣơng pháp làm việc với các đối tƣợng “hình tĩnh”, không cho

hoặc khó có thể cho chúng ta di chuyển hình trên bảng hay trên giấy.

- Không kiểm chứng đƣợc hai yếu tố có song song, thẳng hàng, vuông góc hay thuộc.

Bằng mắt thƣờng chúng ta khó có thể nhận biết đƣợc một cách chính xác tính chất

44

của hai yếu tố này. Chúng ta rất dễ bị đánh lừa bởi trực giác. Có những bài toán mà

sự sai sót chỉ xảy ra từ hàng thập phân thứ ba trở lên thì các DH thông thƣờng không

thể kiểm chứng đƣợc bài toán này.

- Không cho phép chúng ta biết trƣớc kết quả của bài toán nhƣ các bài toán về tập

hợp điểm. Do đó chúng ta thƣờng phải dự đoán tập hợp điểm trên giấy hoặc trên

bảng. Cách làm này đƣa về việc tìm dạng của tập hợp điểm. Do đó rất dễ dẫn đến sai

sót. Một ví dụ điển hình là khi dự đoán đƣợc dạng của tập hợp điểm là ba điểm không

thẳng hàng chúng ta thƣờng nghĩ ngay tập hợp điểm có dạng đƣờng tròn hay một

phần của đƣờng tròn. Tuy nhiên cách nghĩ này là sai vì với hai điểm và điểm thứ ba

thẳng cách đều một đƣờng thẳng cho trƣớc nằm khác phía đối với đƣờng thẳng này

thì tập hợp điểm lại cho ta là hai đƣờng thẳng cách đều một đƣờng thẳng cho trƣớc

chứ không phải là đƣờng tròn.

- Việc DH giải toán bằng phƣơng pháp truyền thống dẫn đến những tính toán rƣờm rà.

Ví dụ nhƣ để tìm phƣơng trình đƣờng phân giác trong của một góc nào đó chúng ta buộc

lòng phải tính toán đối với cả đƣờng phân giác trong và phân giác ngoài. Sau đó sử dụng

một số thủ thuật mới đi đến kết luận về phƣơng trình của đƣờng phân giác trong.

- Không cho phép chúng ta trình bày thứ tự các đƣờng, các hình theo thứ tự từ trƣớc đến

sau một cách thuận tiện. Để làm điều này chúng ta thƣờng phải dùng vật che để che đối

tƣợng. Chính vì thế khi muốn thực hiện tuần tự các cách dựng, muốn hình nào xuất hiện

trƣớc, xuất hiện sau thì phƣơng pháp DH truyền thống khó có thể làm hoặc làm đƣợc thì

tính thẩm mĩ không cao, giảm sự thu hút của HS vào đối tƣợng GV muốn dạy.

- Không thể định nghĩa lại đối tƣợng. Ví dụ một điểm ở trên đƣờng tròn ta không thể

cho điểm đó ở trên đƣờng thẳng đƣợc. Nếu muốn cho điểm đó ở trên đƣờng thẳng thì

chúng ta buộc phải vẽ lại hình, mất thời gian và không tốt về mặt sƣ phạm.

- Đối với các bài toán mà trong đó chúng ta yêu cầu đến việc đo độ dài đoạn thẳng,

góc, diện tích, chu vi tam giác, .. nếu DH bằng phƣơng pháp truyền thống chúng ta

thực hiện mất rất nhiều công sức và thƣờng là không đƣợc chính xác bởi cách đo đạc

bằng tay dễ dẫn đến sai số. Thêm vào đó, nếu chúng ta đo đạc đƣợc chính xác rồi và giả sử biết đƣợc tam giác ABC có diện tích là 30cm2, cạnh đáy là 5cm. Hỏi đƣờng

cao thì chúng ta phải sử dụng tính tay hoặc dùng máy tính cá nhân để tính. Cách làm

45

này khá thủ công và rƣờm rà.

- Không cho phép chúng ta có ngay đƣợc hình khi biết một số điểm của nó. Chẳng

hạn nhƣ cho biết hai điểm A, B thì ta sẽ thu đƣợc tam giác đều ABC chẳng hạn.

- Không cho chúng ta ẩn, hiện các hình hay các đối tƣợng một cách dễ dàng. Việc ẩn

hiện các đối tƣợng sử dụng phƣơng pháp DH truyền thống khá rƣờm rà và không có

tính thẩm mĩ.

- Muốn tạo các tọa độ nguyên khi biết hệ trục tọa độ, chúng ta phải thực hiện bằng

tay. Cách làm này thƣờng mất nhiều thời gian và không chuẩn xác.

- Chúng ta không biết đƣợc tọa độ hay phƣơng trình của một đƣờng nào đó “tức thì”

mà thƣờng phải đi tính toán mới biết đƣợc kết quả.

- Làm việc các phép biến hình tƣơng đối thủ công và không chính xác. Cách DH

truyền thống không cho phép chúng ta tìm đƣợc ảnh của một hình qua một phép biến

hình nào đó một cách “tức thì”. Ví dụ cho đƣờng thẳng d và đoạn thẳng AB. Để lấy

đoạn thẳng A’B’ đối xứng với AB qua d chúng ta lấy A’ đối xứng với A và B’ đối

xứng với B và nối với A’ với B’ trong khi sử dụng phần mềm thì ta lấy đối xứng

đƣợc cả đoạn AB qua đƣờng thẳng d.

- Tô màu, vẽ nét dày thực hiện thủ công và không có tính thẩm mĩ cao.

- Không hoặc khó vẽ đƣợc đồ thị của hàm cần tìm cực trị.

2.2. Định hƣớng đề xuất các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán

trong dạy học giải toán chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng

Định hƣớng 1. Các biện pháp phải thể hiện r ý tƣởng góp phần bồi dƣỡng năng lực

giải toán trong DH giải toán cho HS, đồng thời cũng góp phần giúp HS nắm vững các

tri thức, kỹ năng của môn học.

Để giúp HS bồi dƣỡng năng lực giải toán trong chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng,

GV cần chú trọng rèn luyện kỹ năng giải toán PPTĐ cho HS. Đồng thời trong quá

trình dạy học, GV không những cung cấp cho HS những tri thức về phƣơng pháp để

HS có thể tìm tòi, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, tìm đƣợc hƣớng giải quyết,

hƣớng chứng minh bài toán mà còn giúp HS hiểu đƣợc sâu sắc các kiến thức thuộc

46

chủ đề PPTĐ.

Định hƣớng 2. Các biện pháp phải thể hiện tính khả thi, có thể thực hiện đƣợc trong

quá trình DH.

Tính khả thi của các biện pháp sƣ phạm đƣợc hiểu là khả năng thực hiện có

hiệu quả, áp dụng đƣợc vào thực tế dạy học hiện nay, trên cơ sở tôn trọng nội dung

sách giáo khoa hiện hành, phân phối chƣơng trình môn toán ở bậc THPT của Bộ

Giáo dục và Đào tạo hiện nay. Tính khả thi này còn phụ thuộc nhiều vào trình độ

nhận thức chung và thái độ học tập của HS.

Tính hiệu quả của các biện pháp sƣ phạm trƣớc hết là sự nắm vững các kiến

thức cơ bản của bài học. Tiếp đó là sự thành thạo của HS trong việc liên hệ để xử lí

các vấn đề đƣợc đặt ra trong thực tiễn. Muốn vậy, những tình huống thực tiễn phải

đơn giản, gần gũi với HS. Khi liên hệ với thực tiễn, GV cần chọn lọc những vấn đề là

những tình huống bám sát nội dung trong sách giáo khoa và với vốn kinh nghiệm sẵn

có của HS trong đời sống, lao động sản xuất. Những tình huống đó phải là những tình

huống xuất hiện trong thực tế, chúng sẽ giúp tạo ra một bức tranh sinh động về bài

học để giúp HS có thể cảm thụ đƣợc tốt nội dung của bài học trên cơ sở niềm vui,

hứng thú học tập của học HS.

Định hƣớng 3. Các biện pháp không chỉ sử dụng trong DH chủ đề PPTĐ nói riêng, mà

còn có thể sử dụng trong quá trình DH nói chung và có thể vận dụng trong thực tiễn.

Bồi dƣỡng năng lực giải toán cho HS là vô cùng thiết yếu. Vì vậy, các biện

pháp sƣ phạm nếu có thể sử dụng rộng rãi trong chƣơng trình toán phổ thông sẽ giúp

GV có thêm nhiều tài liệu nghiên cứu, từ đó giúp HS nâng cao chất lƣợng giải toán

đồng thời nâng cao chất lƣợng dạy và học Toán.

Định hƣớng 4. Trong quá trình thực hiện các biện pháp, cần quan tâm đúng mức tới

việc tăng cƣờng HĐ cho ngƣời học, phát huy tối đa (trong chừng mực có thể tính

tích cực, độc lập cho ngƣời học.

Các hoạt động cần đƣợc tăng cƣờng cho học sinh nhƣ: HĐ nhận dạng và thể

hiện, HĐ ngôn ngữ, HĐ trí tuệ... Tính độc lập của HS đƣợc thể hiện ở khả năng tự

mình phát hiện ra vấn đề, tự mình phát hiện ra phƣơng hƣớng, tìm cách giải quyết, tự

47

mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt đƣợc.

Định hƣớng 5. Các biện pháp sƣ phạm phải đƣợc vận dụng trên cơ sở bám sát nội

dung PPTĐ trong mặt phẳng trong sách giáo khoa hiện hành ở trƣờng phổ thông.

Sách giáo khoa là tài liệu học tập chính thống của HS, đảm bảo cung cấp cho

HS những kiến thức chuẩn mực nhất, phù hợp với bậc học, cấp học. Trong những

năm gần đây, thực hiện phƣơng thức tuyển sinh mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo với

nguyên tắc của việc ra đề là không đánh đố, không quá khó, quá phức tạp và bám sát

kiến thức trong sách giáo khoa hiện hành. Vì vậy, trong DH cần phải bám sát nội

dung chƣơng trình và chuẩn kiến thức đã đƣợc quy định.

2.3. Các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong dạy học giải

toán chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng

2.3.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lược đồ G.Polya

trong giải toán các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng

2.3.1.1. Mục đích của biện pháp

Thực tế cho thấy không ít GV khi dạy giải bài tập toán học chỉ đƣa ra lời giải

chứ không có sự phân tích để HS thấy đƣợc ngƣời ta đã nghĩ nhƣ thế nào để có đƣợc

lời giải nhƣ thế. Đó mới là điều cần cho ngƣời học. Mục đích của biện pháp này là

hình thành cho HS kĩ năng tìm lời giải các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng theo 4

bƣớc của Polya một cách thích hợp giúp HS THPT định hƣớng đƣờng lối giải toán

các bài toán, hiểu sâu các bài toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng. Biện pháp này còn

giúp cho việc giảng dạy môn toán có hiệu quả hơn cũng nhƣ phát huy đƣợc khả năng

tƣ duy độc lập, tích cực, sang tạo, rèn luyện cho HS kĩ năng tiến hành các HĐ tƣơng

tự giúp khắc sâu ghi nhớ kiến thức.

2.3.1.2. Nội dung của biện pháp

Việc vận dụng lƣợc đồ giải toán của G.Polya để bồi dƣỡng năng lực giải toán

cho HS giúp rèn luyện cho HS những thao tác tƣ duy nhƣ quan sát và dự đoán khi

giải toán, phân tích tìm tòi cách giải và trình bày lời giải của bài toán, nhận biết đƣợc

các quan hệ hình học và bƣớc đầu vận dụng đƣợc các kiến thức hình học đã học.

Nội dung biện pháp hƣớng đến năng lực huy động kiến thức dƣới sự gợi ý của

GV, nâng cao năng lực tự học khắc phục tình trạng áp đặt kiến thức đối với HS phù

48

hợp với thực tiễn đổi mới phƣơng pháp dạy học hiện nay.

Từ các bài toán PPTĐ cụ thể, GV gợi ý HS bằng hệ thống các câu hỏi giúp HS

hiểu và giải quyết các bài toán một cách dễ dàng.

2.3.1.3. Tổ chức thực hiện biện pháp

G. Polya đã đƣa ra 4 bƣớc để đi đến lời giải bài toán. Để thực hiện biện pháp

này, GV sẽ dựa vào lƣợc đồ của G.Polya [14] để đƣa ra các câu hỏi gợi ý giúp HS đi

tìm lời giải.

 Bước 1: Hiểu rõ bài toán

Để giải một bài toán, trƣớc hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải có hứng

thú giải bài toán đó. Vì vậy điều đầu tiên ngƣời GV cần chú ý hƣớng dẫn HS giải

toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải toán của các em, giúp các em hiểu bài

toán phải giải muốn vậy cần phải: Phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là

ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện, yêu cầu của bài toán là gì? kiến thức nào liên

quan, hãy vẽ hình thật cẩn thận. Có thể biểu diễn bài toán dƣới một dạng khác đƣợc

không?

 Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để tìm đƣờng lối giải, phải tìm sự liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm; phải

dùng phƣơng pháp phân tích, nếu cần thì xét các bài tập trung gian.

- Kỹ năng huy động kiến thức có liên quan:

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chƣa? Em có

biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng đƣợc không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tƣơng tự?.

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng

kết quả của nó không?.

- Kỹ năng dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không?. Một bài toán

tổng quát hơn?. Một trƣờng hợp riêng?. Một bài toán tƣơng tự? Em có thể giải một

phần của bài toán?.

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chƣa? Đã sử dụng hết điều kiện chƣa? Đã để ý

49

đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chƣa?.

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn đƣợc xác định

đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?.

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hƣớng giải

quyết vấn đề.

 Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Khi thực hiện chƣơng trình giải hãy kiểm tra lại từng bƣớc. Em đã thấy rõ ràng

là mỗi bƣớc đều đúng chƣa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?.

 Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được

HS phổ thông thƣờng có thói quen khi đã tìm đƣợc lời giải của bài toán thì

thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan tâm

tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì vậy trong quá trình DH, GV

cần chú ý cho HS thƣờng xuyên thực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.

- Xem xét đầy đủ các trƣờng hợp có thể xảy ra của bài toán.

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thƣờng có nhiều cách giải, HS

thƣờng có những suy nghĩ khác nhau trƣớc một bài toán nhiều khi độc đáo và sáng

tạo. Vì vậy, GV cần lƣu ý để phát huy tính sáng tạo của HS trong việc tìm lời giải

gọn, hay của một bài toán. Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm

cho HS trung bình và yếu kém chán nản.

2.3.1.4. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.1. ( Bài tập 6 trang 80 sách giáo khoa Hình học 10)

Cho đƣờng thẳng d có phƣơng trình tham số: {

Tìm điểm và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

*Lời giải:

Để giải bài toán này HS có thể giải theo nhiều cách khác nhau, tuy nhiên cách

thông dụng nhất vẫn là sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm

Ta có thể rèn luyện trình tự các bƣớc giải bài toán theo gợi ý của G.Polia nhƣ sau:

[?] Bạn hãy cho biết giả thiết, kết luận của bài toán?

50

[!] Giả thiết là đường thẳng d có phương trình tham số: {

và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

Kết luận: Tìm tọa độ điểm

[?] Bạn đã giải bài toán dạng này bao giờ chƣa, hay gặp bài tập tƣơng tự nhƣ thế này

chƣa?

[!] Đã gặp bài toán tương tự

[?] Công cụ chọn để giải bài toán này là gì?

[!] Khoảng cách giữa hai điểm

Ở đây ta sẽ khai thác giả thiết giả thiết bài toán , M cách A một khoảng bằng 5.

[?] Vậy bạn sẽ áp dụng nó nhƣ thế nào?

[!] Tìm hình chiếu của A(0;1) trên d, sau đó áp dụng định lý Pytago để tìm điểm cần tìm.

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | đƣợc không?

[?] Có thể giải trực tiếp bằng cách xem tọa độ của điểm M đã biết và sử dụng giả thiết

[!] Được, ( ), áp dụng ; giải phương trình bậc hai tìm

t thế lại tìm được tọa độ M

Bây giờ có thể giải bài toán này một cách dễ dàng rồi.

Ví dụ 2.2. (Đề thi Đại học khối B-2007)

Tìm tọa độ các điểm lần lƣợt thuộc

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho điểm ( ) và các đƣờng thẳng

và sao cho tam giác vuông cân tại

Lời giải:

51

Hình 2.4

*Gợi ý: [?] Tìm ( ) ( ) quy về tìm mấy ẩn? [!] Tìm hai ẩn ( ) ( )

[? Hai điểm phải thỏa mãn điều kiện gì để tam giác vuông cân tại

[!] và

ta tìm được tọa độ và [? Sau đó ta tìm tọa độ nhƣ thế nào? [!] Giải hệ phương trình { ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

{

{

( )( ) ( ) ( )

{ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

{ [

*Giải: +) Vì ( ) ( ) nên ( ) ( ). Từ giả thiết ta có hệ:

{

+ Đặt ta có hệ : {

Từ đó suy ra ( ) ( ) hoặc ( ) ( )

Ví dụ 2.3. (Đề thi ĐH khối A-2007)

( ). Gọi là chân đƣờng cao kẻ từ ; và lần lƣợt là trung điểm của các

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có ( ) ( )

cạnh và . Viết phƣơng trình đƣờng tròn đi qua các điểm .

Lời giải:

*Gợi ý 1:

52

Hình 2.5

[? : Đƣờng tròn cần tìm phải thỏa mãn những điều kiện nào?

[!]: Đi qua ba điểm trong đó là chân đường cao kẻ từ và lần lượt

là trung điểm của các cạnh và .

[?]: Biết tọa độ các điểm ta tính đƣợc tọa độ của các điểm nào?

[!]: Tọa độ trung điểm của các cạnh và .

[?]: Còn có thể tính đƣợc tọa độ điểm nào nữa? Từ đó viết đƣợc phƣơng trình đƣờng

tròn cần tìm chƣa? [!]: H là giao điểm của và , tọa độ là nghiệm của hệ { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Do đó viết đƣợc phƣơng trình đƣờng tròn đi qua ba điểm .

*Giải:

( )

Ta có ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). Giả sử ( ). Ta có:

{

( ) ( ) ( )

{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

{

Giả sử phƣơng trình đƣờng tròn cần tìm là: ( ).

{

{

Thay tọa độ của vào (1) ta có hệ điều kiện:

Vậy phƣơng trình đƣờng tròn cần tìm là: .

Ngoài ra, ta có thể hƣớng dẫn HS giải bài toán theo hƣớng khác.

Gợi ý 2:

không ?

[?]: Gọi là trung điểm . Có mối liên hệ nào giữa và đƣờng tròn đi qua

[!]: Bốn điểm cùng thuộc một đường tròn, chính là đường tròn Ơle.

[?]: Bài toán giải tiếp nhƣ thế nào? Yêu cầu bài toán ban đầu đã đơn giản hơn chƣa?

[!]: Bài toán quy về viết phương trình đường tròn đi qua ba trung điểm của

53

ba cạnh.

Hình 2.6

*Giải:

Gọi là trung điểm . Dễ thấy bốn điểm cùng thuộc một đƣờng tròn,

chính là đƣờng tròn Ơle.

Đƣờng tròn đi qua ba điểm cũng là đƣờng tròn đi qua ba điểm .

Ta có ( ) ( ) ( )

Giả sử phƣơng trình đƣờng tròn cần tìm là: ( )

{

{

Thay tọa độ của vào (1) ta có hệ điều kiện:

Vậy phƣơng trình đƣờng tròn cần tìm là:

Ví dụ 2.4. (Trích đề thi thử THPT Nguyễn Đức Mậu-Nghệ An-2013)

Trong mặt phẳng tọa độ , cho hình thang cân đáy lớn . Các đƣờng

thẳng lần lƣợt có phƣơng trình và . Gọi

là trung điểm của . Xác định tọa độ các đỉnh biết đƣờng có

54

phƣơng trinh và có hoành độ âm.

Lời giải:

Hình 2.7

* Gợi ý:

[?] Trong tọa độ 4 đỉnh cần tìm, ta xác định ngay đƣợc tọa độ đỉnh nào? Vì sao?

[!] Dễ dàng tìm được tọa độ D do

[?] Gọi . Từ đó ta suy đƣợc điều gì?

[!] Suy ra được tọa độ điểm

[? Điểm có làm các em liên tƣởng đến điều gì không?

cân tại .

[!] Do tính chất của hình thang cân nên nên suy ra tam giác

[?] Theo giả thiết đề bài có là trung điểm của vậy ta suy ra đƣợc điều gì?

[!] vuông góc .

[?] Từ đó làm thế nào có thể tìm đƣợc tọa độ ?

[!] Ta có thể tham số theo , theo (2 ẩn nên cần 2 phương trình) và biểu

diễn tọa độ theo tọa độ . Do nên ta được phương trình (1). Mặt

khác (Phương trình (2)). Từ đây giải (1) và (2) ta tìm được tọa độ .

[?] Còn tọa độ điểm

// .

[!] nên ta chỉ cần lập phương trình đường thẳng qua và

( )

*Giải:

{

55

+) Ta có tọa độ thỏa mãn hệ {

{

.

/

. Ta lại có là trung điểm nên:

Và tọa độ thỏa mãn hệ {

{

( ) ( )

(

)

+) Ta có {

+) Mặt khác, {

{

[ {

( ) ( )

+ Phƣơng trình qua và nhận ⃗⃗⃗⃗⃗ làm vtpt và là giao điểm giữa và

nên ta có tọa độ ( )

( ) ( ) ( ) ( ;-4)

Vậy tọa độ các điểm thỏa yêu cầu bài toán là:

Ví dụ 2.5.

và trung tuyến lần lƣợt là: và . Biết

Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có phƣơng trình đƣờng cao

tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác tam giác là ( ) . Tìm tọa độ các đỉnh

Lời giải:

*Gợi ý:

[?] Tọa độ điểm nào dễ dàng tìm đƣợc ngay?

[!] Dễ dàng tìm được tọa độ A (giao điểm AH và AM).

[?] Từ hình vẽ ta thấy quan hệ gì giữa

[!] Ta có // . Đồng thời ta có thể viết phương trình // và qua (do

56

tính chất đặc biệt của đường tròn ngoại tiếp tam giác ).

[? Khi đó là gì?

[!] nên ta suy ra được tọa độ điểm

[? Đến đây ta có thể viết đƣợc phƣơng trình cạnh đƣợc không ? Nếu viết đƣợc thì

viết nhƣ thế nào ?

[!] qua và vuông góc với

[?] Từ đó ta tìm tọa độ điểm nhƣ thế nào ?

[!] Tọa độ điểm chính là giao điểm của và đường tròn ngoại tiếp tam giác

*Giải:

( )

Hình 2.8

{

+) Tọa độ là nghiệm của hệ {

( )

+) Ta có qua ( ) và song song . Phƣơng trình là .

{

Tọa độ là nghiệm của hệ {

+) Đƣờng thẳng qua và vuông góc . Phƣơng trình là

Do đó ( )

( ) ( ) 0

Lại có:

+) Với suy ra ( ) ( )

57

+) Với suy ra ( ) ( )

( ) ( ) ( ) hay ( ) ( ) ( )

Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu bài toán là:

Ví dụ 2.6. (Đề thi ĐH khối D-2007)

Trong mặt phẳng tọa độ , cho đƣờng tròn ( ) ( ) ( )

và đƣờng thẳng Tìm m để trên có duy nhất một điểm mà

từ đó có thể kẻ đƣợc hai tiếp tuyến với ( ) (điểm là các tiếp điểm) sao

cho tam giác đều.

Lời giải:

Hình 2.9

*Gợi ý:

[?] Từ giả thiết ta xác định đƣợc những yếu tố nào?

[!] Đường tròn ( ) có tâm ( ) và bán kính

[?] Các tam giác có gì đặc biệt? Có thể tính đƣợc độ dài các đoạn thẳng

đều). Suy ra

nào? [!] Các tam giác là các tam giác vuông có góc ̂ ̂ (vì

[?] suy ra điều gì?

[!] cách một khoảng không đổi, do đó thuộc đường tròn ( ) tâm bán kính

58

[?] Trên có duy nhất một điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán khi nào?

[!] Khi và chỉ khi tiếp xúc với ( ) tại

*Giải:

+ Đƣờng tròn ( ) có tâm ( ) và bán kính +) Ta có đều nên thuộc đƣờng tròn ( ) tâm , bán kính

| ( ) |

( )

| |

√ ( )

Trên có duy nhất một điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi tiếp xúc với ( ) tại

Vậy

2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh giải toán các bài toán tọa độ trong mặt

phẳng bằng nhiều cách khác nhau

2.3.2.1. Mục đích của biện pháp

Rèn luyện khả năng tƣ duy lôgic, tƣ duy sáng tạo, chuyển từ HĐ trí tuệ này

sang HĐ trí tuệ khác, nhìn một đối tƣợng Toán học, một vấn đề hay một bài toán,

dƣới nhiều góc độ khác nhau, nhìn trong mối tƣơng quan với các hiện tƣợng khác,

tìm ra cách giải mới, sáng tạo - đó là ý nghĩa thiết thực của việc tìm nhiều cách giải

cho bài toán, đây cũng là biểu hiện của con ngƣời sáng tạo.

Tìm nhiều lời giải cho một bài toán giúp cho HS có cách nhìn toàn diện, biết

hệ thống hóa và sử dụng các kiến thức, các kỹ năng và phƣơng pháp giải toán một

cách chắc chắn, mềm dẻo linh hoạt.

2.3.2.2. Nội dung của biện pháp

Tập hợp nhiều cách giải và tìm đƣợc cách giải tối ƣu cho bài toán là quá trình

suy nghĩ đến cách giải. Từ đó phát hiện ra các vấn đề mới, các bài toán mới; Dễ dàng

áp dụng vào thực tiễn, vào các trƣờng hợp riêng của bài toán hay đi đến hƣớng giải

tổng quát cho từng loại bài toán. Quy trình suy nghĩ trên lời giải của bài toán giúp

chúng ta:

+ Tổng hợp đƣợc nhiều phƣơng pháp giải toán từ bài toán cụ thể.

+ Tìm đƣợc nhiều mối liên quan giữa các yếu tố liên quan môn Đại số, giải

59

tích, số học, hình học và lƣợng giác khi giải một bài toán cụ thể.

+ Mở rộng thành bài toán mới, bài toán tổng quát, bài toán tƣơng tự từ bài toán

đã giải xong .

+ Khai thác kết quả của bài toán, giúp HS thấy r ƣu, khuyết của từng phƣơng pháp

giải toán. Vì vậy tìm nhiều cách giải giúp HS thu nhận, hợp thức hóa bài toán, làm phong

phú thêm tri thức của ngƣời giải toán.

Việc giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng bằng nhiều cách sẽ giúp HS nhìn

bài toán toàn diện hơn, khai thác kỹ hơn, hứng thú hơn, luôn luôn thấy sự mới mẽ

không nhàm chán, từ đó kích thích đƣợc sự ham học hỏi trong các em.

2.3.2.3. Tổ chức thực hiện biện pháp

Khi đặt ra một tình huống bài tập yêu cầu HS giải quyết, GV phải chọn bài tập

sao cho HS có nhiều cách giải. Tùy theo năng lực của mỗi cá nhân mà các em lựa

chọn các cách giải khác nhau. Vì vậy, để thực hiện biện pháp này, GV cần xây dựng

hệ thống bài tập trong chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng có nội dung phong phú; có

những đối tƣợng, vấn đề, quan hệ có thể xem xét dƣới nhiều khía cạnh và góc độ

khác nhau.

2.3.2.4. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.7. (Đề thi ĐH khối A, A1-2012 ban Cơ bản):

Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên

/ và đƣờng thẳng AN có phƣơng trình

cạnh CD sao cho CN=2ND. Gỉa sử .

2x-y-3=0. Tìm tọa độ điểm A.

Lời giải:

Cách 1:

60

Hình 2.10

*Gợi ý:

+) Ta có * + nên ta phải đi lập thêm phƣơng trình AM

+ Biết M nhƣng chƣa biết A (chính là đáp số ta cần tìm nên ta phải đi tìm thêm vtpt

hoặc vtcp

+ Bài toán không có yếu tố song song, vuông góc để tìm vtpt hoặc vtcp nên ta phải

khai thác yếu tố định lƣợng + Yếu tố định lƣợng: ̂ | ( ⃗ ⃗ )| ⃗ phƣơng trình AM Tọa độ điểm A

*Giải:

.

+ Đặt vì là hình vuông và

√

√

Áp dụng Pitago ta đƣợc: và

√

+) Trong ta có: ̂

| |

( )

̂ | ( ⃗ ⃗ )|

√

√ √

( )

( )( ) 0

+ Gọi ⃗ ( ) là vtpt của và ta có ⃗ ( )

phƣơng trình .

/ .

/ hay

( )

+) Với chọn ⃗ ( )

{

Vì * + nên ta giải hệ: {

phƣơng trình .

/ .

/ hay

( )

+) Với chọn ⃗ ( )

{

Vì * + nên ta giải hệ: {

61

Vậy ( ) hoặc ( )

Cách 2:

Hình 2.11

*Gợi ý:

Do nên ( ) với ( ) chính là tọa độ điểm A biểu diễn theo t. Từ đó

/ là trung điểm của

ta chƣa sử dụng – sẽ giúp ta làm điều này) .

ta cần thiết lập 1 phƣơng trình ( ) (còn dữ kiện .

*Giải:

|

|

( )

√

√

+) Gọi là hình chiếu của lên

Đặt

(vì là hình vuông và )

√

√

Và áp dụng Pitago ta đƣợc:

̂

̂

√

cân tại

62

Trong ta có:

( )

√ √

√

√

(

)

(

[

)

[

( ) ( )

(theo (*)) +) Gọi ( ) và

Vậy ( ) hoặc ( ).

Cách 3:

Hình 2.12

và .

/ cố định. Nếu (ta sẽ tìm cách đi tính AM

*Gợi ý:

thì * + ( ) với ( ) là đƣờng tròn tâm bán kính .

|

|

*Giải:

√

√

+) Gọi là hình chiếu của lên ( )

)

Đặt (vì là hình vuông và

√

√

Và áp dụng Pitago ta đƣợc: và

̂

√

cân tại √ √

√

√

63

Trong ta có: ̂

nằm trên đƣờng tròn có phƣơng trình:

√

Vậy

.

.

/

/

/

.

/

{.

{

. Mà . Nên ta xét hệ:

hoặc {

Vậy ( ) hoặc ( ).

Cách 4:

Hình 2.13

*Giải:

+ Gọi * + . Kẻ đƣờng thẳng qua H và song song với cắt

lần lƣợt tại P và Q.

Đặt

Ta có nên Do đó

√

Hơn nữa ta cũng có Do đó √ √ ( )

(

)

(

)

√

[

[

( ) ( )

+) nên ( )

64

Vậy ( ) hoặc ( ).

Ví dụ 2.8. (Đề thi ĐH khối D-2012 ban Cơ bản)

và ; đƣờng thẳng đi qua điểm .

/ Tìm tọa

Cho hình chữ nhật . Các đƣờng thẳng lần lƣợt có phƣơng trình là

độ các đỉnh của hình chữ nhật .

Lời giải:

Cách 1:

Hình 2.14

*Gợi ý:

+) * + tọa độ điểm

( ) là tọa độ điểm B theo ẩn ) + Gọi * + ( là trung điểm của ) ( ) mà

tọa độ

+) nên ta gọi ( ) ( ) (với ( ) là tọa độ điểm D theo ẩn

( ) ( ) Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phƣơng ( ) ( )

+ Từ (1 và (2 {

( )

*Giải:

{

đi qua và vuông góc với nên có phƣơng trình :

+) Vì * + nên xét hệ: {

65

+) Gọi ( ) và ( ) (( )

(

)

( )

(Với là trung điểm của ). Mà

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

/ .

/ (theo (*))

+) Có:

/

Và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

( ) ( ) và ( ) ( ) ( là trung điểm của ).

+) Mặt khác thẳng hàng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phƣơng

Cách 2:

Hình 2.15

*Gợi ý:

+) * + tọa độ điểm

+ Do trong bài toán có nhiều tính chất đối xứng nên ta nghĩ tới việc tìm các điểm

phụ liên quan. Cụ thể:

+ Ta tìm điểm đối xứng với qua đƣờng trung trực của bằng cách viết

phƣơng trình ’ đi qua song song với và * + phƣơng trình

66

trung trực của tọa độ trung điểm của và tọa độ

( )

*Giải:

{

+) Vì * + nên xét hệ: {

( )

+ Phƣơng trình của ’ đi qua song song có dạng:

{

(

)

{

+ Gọi * + nên ta xét hệ:

lần lƣợt là trung điểm .

/

phƣơng trình của là: .

/

/ .

( )

+) Gọi là đƣờng trung trực của cắt lần lƣợt tại

{

( ) ( là trung điểm của )

( )

+) Ta có * + nên ta xét hệ: {

{

( ) ( là trung điểm của ) ( ) ( là trung điểm của ).

Và * + nên ta xét hệ: {

Ví dụ 2.9. (Đề thi ĐH khối A, A1-2014 ban Cơ bản)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của đoạn thẳng AB và N là điểm thuộc đoạn thẳng AC sao cho AN=3NC. Viết

phƣơng trình đƣờng thẳng CD biết rằng M(1;2) và N(2;-1).

*Lời giải:

Cách 1:

67

Hình 2.16

(do vuông cân tại K

+) N là trung điểm của IC nên K là trung điểm của MB. Đặt MK=x>0

√

√

+) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) √ , mà +

Suy ra D là giao điểm của đƣờng tròn tâm M, bán kính MD và đƣờng tròn tâm N, bán

{

( ) ( )

( ) ( ) { ( ) ( )

{

{

( )

( ) ( )

{ [ {

kính ND. Tọa độ của D là nghiệm của hệ phƣơng trình:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (

)

+ Lại có:

/ ( )

/ ( )

TH2: ( ) .

TH1: ( ) .

Vậy phƣơng trình của CD là: ( ) ; ( )

Cách 2:

68

Hình 2.17

(do vuông cân tại K

+) N là trung điểm của IC nên K là trung điểm của MB. Đặt MK=x>0

√

√

+) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) √ , mà +

Suy ra D là giao điểm của đƣờng tròn tâm M, bán kính MD và đƣờng tròn tâm N, bán

{

( ) ( )

( ) ( ) { ( ) ( )

{

{

( )

( ) ( )

{ [ {

kính ND. Tọa độ của D là nghiệm của hệ phƣơng trình:

Mà ( ) ( ), ta xét các trƣờng hợp:

.

TH1: ( ), phƣơng trình đƣờng thẳng DC với VTPT ⃗ ( ) là:

| |

| |

| | | |

√

0

0

√

Do đó: ( ) ( )

+ Với , chọn ta có ( ) . Do M, N

nằm cùng phía so với ( ) nên phƣơng trình này không thỏa mãn bài toán.

+) Với , chọn ta có ( ) . Do M,

N nằm cùng phía so với ( ) nên phƣơng trình này không thỏa mãn bài toán.

.

TH2: ( ), phƣơng trình đƣờng thẳng DC với VTPT ⃗ ( ) là:

| |

| |

| | | |

√

√

69

Do đó: ( ) ( )

0

0

( ) nên phƣơng trình này thỏa mãn bài toán.

+) Với , chọn ta có ( ) . Do M, N nằm cùng phía so với

+) Với , chọn ta có ( ) . Do M,

N nằm cùng phía so với ( ) nên phƣơng trình không này không thỏa mãn bài toán.

Vậy phƣơng trình của CD là: ( ) ; ( )

Cách 3:

Hình 2.18

vuông cân tại N {

{ ̂ ̂

Phƣơng trình đƣờng thẳng ND là: {

Ta có: (hai cạnh góc vuông bằng nhau

√ √ [

( ) ( )

Gọi ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) mà √ nên ta có:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (

)

+ Lại có: nên:

/ ( )

/ ( )

TH2: ( ) .

70

TH1: ( ) .

Vậy phƣơng trình của CD là: ( ) ; ( )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , hoặc tính rồi áp dụng định lí Pytago đảo...

Chú ý: Ta có nhiều cách để chứng minh nhƣ: xét tích vô hƣớng

Cách 4:

Hình 2.19

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (

)

+) Ta có: nên:

̂ ̂

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

√

√

+ Đặt √ √

| | √

| ( ⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |

√

√

| | √ √

( )

0

Đƣờng thẳng DC có VTCP ⃗ ( ) thì ta có:

TH1: ⃗ ( ) ⃗ ( ) ( )

( )

TH2: chọn ⃗ ( ) ⃗ (

71

Vậy phƣơng trình của CD là: ( ) ; ( )

Cách 5:

Hình 2.20

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (

)

+) Ta có: nên:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) √ √ √

+ Đặt √ √

nên a, b là nghiệm của hệ phƣơng trình:

suy ra tọa độ của điểm K.

( ) ( ) { ( ) ( )

/ và nhận ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ làm VTCP.

Đƣờng thẳng đi qua .

+) Gọi ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) mà

Vậy phƣơng trình của CD là: ( ) ; ( )

Cách 6:

72

Hình 2.21

+) Ta có √ . Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông . Ta có:

hay a=4.

√

. Do đó Nên ̂

√ , nên

+) Gọi ( ) là trung điểm của CD. Ta có: và

{

{

( ) ( ) ( ) ( )

ta có hệ phƣơng trình:

+) Với ta có: ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

Đƣờng thẳng CD đi qua I và có VTPT là ⃗⃗⃗⃗⃗ nên có phƣơng trình:

/

, ta có .

/ và ⃗⃗⃗⃗⃗ .

+) Với

Đƣờng thẳng CD đi qua I và có VTPT là ⃗⃗⃗⃗⃗ nên có phƣơng trình:

Vậy phƣơng trình của CD là: ( ) ; ( )

Cách 7:

/

+ Từ giải thiết ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Có ̂ ̂ và nên

Hình 2.22

73

vuông cân tại N.

+ Đƣờng thẳng DN có VTPT là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

Nên phƣơng trình của DN qua N: ( ) ( )

0

+) Ta có: ( ) ( )

/

+) Với ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

/

+) Với ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Vậy phƣơng trình của CD là: ( ) ; ( )

Cách 8:

/

+ Từ giải thiết ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Hình 2.23

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

N là trung điểm của IC, suy ra H là trung điểm của MB nên

vuông tại H nên (vì

+ Đặt

x>0)

/ ( )

| .

/ ( )|

Phƣơng trình của CD qua K: .

√

74

+) Ta có: ( )

và

và

Giải tìm đƣợc:

Vậy phƣơng trình của CD là: ( ) ; ( )

Cách 9:

/

+ Từ giải thiết ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Hình 2.24

N là trung điểm của IC, suy ra H là trung điểm của MB nên

: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )

Từ đó:

/ ( )

Phƣơng trình của CD qua K: .

̂ | ( ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )| ̂

| | √ √

( )

(

)

| | √ √

Suy ra CD có VTCP là ⃗ ( ). Ta có:

và

và

Giải tìm đƣợc:

75

Vậy phƣơng trình của CD là: ( ) ; ( )

Ví dụ 2.10.

Cho các điểm ( ) ( ) và ( ) là các đỉnh của hình thang

cân trong đó song song với Tìm tọa độ đỉnh C.

Lời giải:

Cách 1:

A

B

D

C

Hình 2.25

{

+) Có ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ), khi đó // nên có phƣơng trình:

( ) ( )

[

[

( ) ( )

+) Gọi ( ) , khi đó là hình thang cân nên ta có:

là hình thang cân)

+) Với ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ // (không thỏa mãn vì

+) Với ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ), khi đó ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ không cùng phƣơng

(thỏa mãn

Vậy ( )

Cách 2:

I

A

B

D

C

J

76

Hình 2.26

( )

+) Có ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ), khi đó // ⃗ ⃗ ( ) và đi quá ( ) nên có phƣơng trình:

/ và (do

là hình thang cân) nên có phƣơng trình:

(

)

+) Vì * + nên tọa độ điểm J là nghiệm của hệ:

+) Gọi lần lƣợt là trung điểm của và , khi đó .

{

.

/

{

+) Do là trung điểm của nên suy ra ( )

Vậy ( )

Ví dụ 2.11. (Đề thi ĐH khối D năm 2010 - Cơ bản)

Cho tam giác có đỉnh ( ), trực tâm ( ), tâm đƣờng tròn ngoại

tiếp là ( ) Xác định tọa độ đỉnh , biết có hoành độ dƣơng.

Lời giải:

) qua 2 cách sau:

Cách 1: Ta sẽ đi tìm tọa độ hình chiếu của trên (hay chính là trung điểm của

Cách 1.1:

A

E

H

I

C

B

D

Hình 2.27

̂ ̂ (góc có cạnh tƣơng ứng song song

77

+) Gọi lần lƣợt là trung điểm của . Khi đó: ̂ ̂ và

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (*)

+) Có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ). Gọi ( ) ⃗⃗⃗⃗ )

( )

Suy ra nên

{

( )

Khi đó từ (* {

Cách 1.2:

A

H

H

I

C

B

D

Hình 2.28 +) Kéo dài cắt đƣờng tròn tại điểm (khác ), khi đó là trung điểm của

nên suy ra ( )

Mặt khác: // (cùng vuông góc với ) Và // (cùng vuông góc với AB)

suy ra là hình bình hành, khi đó cũng là trung điểm của nên suy ra ( ) (Trong cách này ta có thể chỉ ra luôn đƣợc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ( ), sau khi có đƣợc cũng là trung điểm của ) Cách 2:

A

B'

H

I

C

B

K

A'

78

Hình 2.29

Ta sẽ đi tìm tọa độ chân đƣờng cao của xuống

+) Ta có ( ) và ( ) nên đƣờng thẳng có phƣơng trình:

Kéo dài cắt đƣờng tròn tại điểm (khác ). Gọi ( ) với

hoặc (loại) ( )

Khi đó:

( )

+) Gọi * + và * + nội tiếp đƣờng tròn ̂ ̂ (cùng bù với ̂ ). Mặt khác: ̂ ̂ (cùng chắn cung ) Suy ra ̂ ̂ hay tam giác cân tại là trung điểm của

Ở phẩn trình bày tiếp theo ta lấy số liệu của điểm (điểm tƣơng tự ).

(Nhƣ vậy khi biết tọa độ điểm hoặc điểm thì ta dễ dàng viết đƣợc phƣơng trình

( ) hay

+) đi qua và có VTPT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) nên phƣơng trình là:

√ ( ) ( )

√ hoặc √ (loại

+) Gọi ( ) (với ), khi đó:

Vậy ( √ ).

Cách 3:

Hình 2.30

+ Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác có phƣơng trình: ( )

79

+ Phƣơng trình và , suy ra phƣơng trình có dạng:

( , do không đi qua . Do đó hoành độ thỏa mãn phƣơng trình:

( ) ( )

Phƣơng trình (1 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có ít nhất một nghiệm dƣơng khi

và chỉ khi: | | √

Do có hoành độ dƣơng nên ( √ ) và ( √ )

.√ / .√ / ( )( )

(loại) hoặc (thỏa mãn

+) , suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy ( √ ).

2.3.3. Biện pháp 3: Bồi dưỡng cho học sinh khả năng chuyển đổi các bài toán đại

số sang bài toán tọa độ trong mặt phẳng thông qua hoạt động biến đổi đối tượng để

nhận thức mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán

2.3.3.1. Mục đích của biện pháp

Biện pháp này sẽ giúp cho HS thâm nhập vào đối tƣợng, hiểu và giải thích chúng,

vận dụng chúng với tƣ cách là sản phẩm của HĐ nhận thức. Đối tƣợng ở đây chính là các

bài toán bài toán đại số. Khi HS thực hiện các HĐ biến đổi sẽ giúp sẽ làm bộc lộ bản chất

bài toán, đƣa bài toán về dạng quen thuộc hơn, dễ giải quyết hơn. Cụ thể các bài toán đại

số đôi khi nếu giải theo cách truyền thống sẽ rất phức tạp tuy nhiên nếu khéo léo biến đổi

vận dụng đƣợc PPTĐ để giải bài toán sẽ trở nên rất đơn giản.

2.3.3.2. Nội dung của biện pháp

HĐ biến đổi đổi tƣợng là quá trình chủ thể dùng hành động trí tuệ, các thao tác

tƣ duy dựa trên các tri thức kinh nghiệm đã có thể xâm nhập vào đối tƣợng nghiên

cứu đối tƣợng, thông qua đó để biến đổi cấu trúc, nội dung và hình thức của đối

tƣợng sao cho các thƣơng tích mới tƣơng thích với các tri thức đã có.

Từ các bài toán đại số, thông qua các bƣớc biển đổi làm bộc lộ bản chất bài

toán cũng nhƣ các mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán sẽ đƣa bài toán về bài toán

thuộc chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng, từ đó áp dụng các kiến thức ở chủ đề này để

80

giải quyết các bài toán đó dễ dàng hơn.

2.3.3.3. Tổ chức thực hiện biện pháp

Để bồi dƣỡng cho HS khả năng giải quyết vấn đề thông qua HĐ biến đổi đối

tƣợng chúng ta cần tổ chức các HĐ bồi dƣỡng cho HS kỹ năng phân tích vấn đề, làm

rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm, để từ đó đề xuất và thực hiện

hƣớng giải quyết vấn đề. Phƣơng hƣớng đƣợc đề xuất không phải là bất biến, trái lại

có thể điều chỉnh, thậm chí là bác bỏ và chuyển hƣớng khi cần thiết.

Để thực hiện biện pháp này GV cần xác lập đƣợc mối quan hệ giữa nội dung

và hình thức, biết lựa chọn các hình thức phù hợp với nội dung, biết biến đổi tƣơng

đƣơng để quy lạ về quen, từ đó HS dễ dàng huy động kiến thức để giải quyết vấn đề.

2.3.3.4. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.12.

√ √

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

*Lời giải:

Rõ ràng với HS lớp 10 thì các em phải biến đổi hàm số về dạng quen thuộc,

dựa các tri thức kinh nghiệm đã có HS có thể biết cách biến đổi biểu thức dƣới căn

thức về dạng tổng hợp các bình phƣơng. Nếu HS gặp khó khăn, giáo viên có thể định

hƣớng cho HS thông qua các câu hỏi gợi ý:

[?] Hãy biến đổi biểu thức dƣới dẫu căn thức thành tổng các bình phƣơng ?

[!] √( ) √( )

[?] Mỗi căn thức gợi cho ta nghĩ đến điều gì?

[!] Mỗi căn thức gợi cho chúng ta nghĩ đến độ dài đoạn thẳng.

[?] Căn cứ vào biếu thức √( ) hãy chỉ ra các điểm M; A trên mặt phẳng

tọa độ sao cho √( )

[!] Chọn ( ) ( )

( Lƣu ý: Ở câu hỏi này HS có thể có các phƣơng án trả lời khác nhau, chẳng hạn,

chọn ( ) ( ), với cách chọn này bài toán vẫn đƣợc giải quyết, tuy nhiên

giáo viên có thể định hƣớng cho HS, điểm M thay đổi phụ thuộc vào x, vì vậy ta nên

81

chọn tung độ của điểm M bằng 0 để điểm M luôn di chuyển trên trục 0x).

Hình 2.31

[?] Căn cứ vào tọa độ điểm M và căn cứ vào biểu thức √( )

hãy chỉ ra điểm B trên mặt phẳng tọa độ sao cho √( )

[!] ( ) ( )

[?] Với các điểm đã chọn hãy viết lại biểu thức cho hàm số?

[!] với ( ) ( ) ( )

[?] Hãy phát biểu lại bài toán?

bé nhất

[!] Trên mặt phẳng tọa độ cho ( ) ( ). Tìm điểm M trên trục Ox sao cho

Nhƣ vậy, thông qua HĐ biến đổi đối tƣợng ( là một biểu thức đại số) chúng ta

đã chuyển đổi bài toán, từ bài toán đại số sang bài toán hình học quen thuộc.

Một HĐ biến đổi đối tƣợng cũng rất cần đƣợc quan tâm và tập luyện cho là

biểu thức lƣợng giác và ngƣợc lại. Việc tập luyện cho HS HĐ biến đổi này còn góp

phần quan trọng khi học phần phƣơng trình lƣợng giác.

Ví dụ 2.13.

Cho bốn số thực thỏa mãn điều kiện √ Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

Lời giải:

( )

(

)

.

/

82

+) Biểu thức đƣợc viết lại dƣới dạng nhƣ sau:

/ và ( ) √

+ Đặt ( ) .

(

)

.

/

Nhƣ vậy ta có :

. (Đẳng thức xảy ra khi là hình

Mà ( ) nên , ( )-

( ) √

( )

chiếu của trên ( ))

) .

/

(

( ) √

{

/.

Vậy đạt đƣợc khi và chỉ khi:

√

Chẳng hạn với ( ) .√ √

Từ bài toán 2.13 ta thấy, chỉ cần 1 bƣớc biến đổi biểu thức đã làm bộc lộ bản chất

của bài toán!

Ví dụ 2.14.

)√ √ √

)( )( )( )

√

Cho bốn số thực thỏa mãn Chứng minh:

Lời giải:

√

√

√

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

√

83

a) Bất đẳng thức a đƣợc viết lại dƣới dạng nhƣ sau:

+) Ta lấy các điểm ( ) ( ) ( ) trên hệ trục tọa độ Oxy. Nhƣ vậy từ

giả thiết ta thấy các điểm này nằm trên đƣờng tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính

bằng √

chu vi tam giác √

+) Bất đẳng thức tƣơng đƣơng với: √

Mà tam giác đều cạnh √ √ √ là tam giác cho chu vi lớn nhất trong các tam

giác nội tiếp trong đƣờng tròn bán kính √ có tâm tại gốc tọa độ nên ta có điều phải

chứng minh.

,( ) ( ) -,( ) ( ) -,( ) ( ) -

.

b) Bất đẳng thức b tƣơng đƣơng với:

ở đây √ Mà:

√ có diện tích lớn nhất nên suy ra ( ) . Vậy ta có

Tam giác đều cạnh √ √ √ nội tiếp trong đƣờng tròn tâm ( ) bán kính

điều phải chứng minh.

Dấu “=” ở cả hai bất đẳng thức a ,b đều xảy ra khi tam giác là tam giác đều,

( ) (

)

√

√

√

√

( ) (

)

√

√

√

√

đạt tại:

Dạng toán chứng minh bất đẳng thức luôn là một dạng toán khó, gây nhiều

khó khăn cho HS khi tƣ duy đƣờng hƣớng giải, tuy vậy với bài toán trên, chỉ cần một

bƣớc biến đổi dựa vào giả thiết đã đƣa bài toán về bài toán tọa độ đơn giản hơn bài

toán ban đầu.

Ví dụ 2.15.

( )

84

Cho hai số thực thỏa mãn: ( ). Chứng minh:

Lời giải:

( )

+ Gỉa thiết có thể biến đổi lại nhƣ sau:

( )

√

Vậy biểu thức (1 đúng khi và chỉ khi:

( ) ( ) ( )

+) Xét hệ trục toạ độ , lấy điểm ( ) thỏa mãn (*

Nhƣ vậy ( ) tâm ( )

√

+) Nối cắt ( ) tại và khi đó với mọi ( ) ta có:

Vậy bất đẳng thức đƣợc chứng minh!

2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tọa độ hóa để giải các bài toàn hình học

2.3.4.1. Mục đích của biện pháp

Một trong những nhiệm vụ DH môn toán chƣơng trình phổ thông đặc biệt là

DH hình học là hƣớng dẫn cho HS sử dụng PPTĐ vào giải toán , nghĩa là biết vận

dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về tọa độ điểm, tọa độ vec-tơ và các công

thức có liên quan vào giải toán. Cách tiếp cận và giải các bài toán hình học bằng

phƣơng pháp tọa độ sẽ làm cho HS có khả năng tìm tòi, sang tạo và nhất là khả năng

tƣ duy toán tốt hơn. Ngoài ra, các bài toán hình học nếu HS giải bằng PPTĐ thay vì

phƣơng pháp tổng hợp truyền thống rất có khả năng tìm ra lời giải thậm chí là rất

ngắn gọn.

2.3.4.2. Nội dung của biện pháp

Chuyển một bài toán hình học đƣợc phát biểu dƣới dạng truyền thống, không

85

có các đại lƣợng tọa độ, phƣơng trình đƣờng về bài toán phát biểu trong mặt phẳng

tọa độ có những đại lƣợng tọa độ, phƣơng trình đƣờng mà HS quen thuộc trong

chƣơng trình Hình học 10.

Biện pháp tập trung hƣớng dẫn HS giải các bài toán nhƣ chứng minh quan hệ

vuông góc, các bài quỹ tích theo phƣơng pháp tọa độ hóa. Với những bài toán hình

học phẳng có chứa các quan hệ hình học nếu ta chọn hệ tọa độ thích hợp thì ta có thể

chuyển về bài toán đại số với các số và giữa các vec-tơ, giữa các phép toán.

2.3.4.3. Tổ chức thực hiện biện pháp

Để giải một bài toán bằng PPTĐ ta thực hiện theo các bƣớc sau:

 Bƣớc 1: Thực hiện việc chọn hệ trục tọa độ phù hợp, chuyển bài toán đã cho

về bài toán hình học giải tích.

 Bƣớc 2: giải bài toán hình học giải tích nói trên.

 Bƣớc 3: Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính

chất hình học tƣơng đƣơng.

2.3.4.4. Các ví dụ minh họa

Ví dụ 2.16.

Cho hai điểm cố định. Tìm tập hợp các điểm sao cho

Lời giải:

Hình 2.32

+) Chọn hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy : ( ) ( )

86

+) Giả sử ( ) giả thiết , tính và .

√( ) ( ) √

√( ) ( ) √( )

√ √( )

( )

(

)

/ bán kính

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là đƣờng tròn tâm .

.

+) Từ giả thiết ta có:

Ví dụ 2.17.

( ). Gọi là hình chiếu của trên . Tìm quỹ tích trung điểm của .

Cho đƣờng tròn ( ) có đƣờng kính không đổi, một điểm di động trên

Lời giải:

Hình 2.33

*Gợi ý:

+) Để phƣơng trình của đƣờng tròn đơn giản ta chọn hệ trục tọa độ có gốc trùng

87

với tâm của đƣờng tròn.

+) Trục đi qua .

+) Tìm tọa độ trung điểm của theo tọa độ điểm .

+) Tìm mối liên hệ giữa tung độ và hoành độ của điểm .

*Giải:

+) Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ

không đổi. Đƣờng tròn ( ) có phƣơng trình:

( )

+) Đặt

là hình chiếu của M trên AB ( )

Xét điểm ( ) ( )

{

/

.

hay

I là trung điểm của MH {

( )

Thay vào (1)

( )

độ dài trục lớn là 2R, trục bé là R.

Chứng tỏ quỹ tích I là elip (E :

Ví dụ 2.18.

Cho , là điểm di động trên cạnh . Hạ tƣơng ứng vuông

góc và song song với ( ) Gọi là hình chiếu của trên ,

là tâm của hình chữ nhật .

Tìm quỹ tích tâm khi chạy trên cạnh .

Lời giải:

88

Hình 2.34

*Gợi ý:

+) Gọi là chân đƣờng cao hạ từ xuống .

+) Chọn hệ trục toạ độ sao cho , qua

+) Tìm toạ độ của theo toạ độ của điểm

+) Tìm mối liên hệ tung độ và hoành độ của điểm chú y điều kiện của điểm

*Giải:

+) Gọi là chân đƣờng cao hạ từ xuống .

+) Chọn hệ trục toạ độ ( nhƣ hình vẽ ).

Giả sử toạ độ các đỉnh là : ( ) ( ) ( )

Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn:

Phƣơng trình đƣờng thẳng theo đoạn chắn :

+) Giả sử có phƣơng trình ( )

( ) /

{

( ) ) .

{

Tƣơng tự ta có :

(

( ) )

( ) /

Toạ độ của điểm là .

Toạ độ của điểm là nghiệm của hệ phƣơng trình:

+) Gọi là tâm của hình chữ nhật . Suy ra là trung điểm của

( )

( )

( )( )

( )

{

( )

( )

Khi đó

89

Từ (1) suy ra (2) suy ra m = 2 . Vì nên

)

( )

( {

{

lần lƣợt là trung điểm của và . (đpcm

Từ (*) và (**) suy ra quỹ tích tâm của hình chữ nhật là đoạn , ở đây

Chú ý : Mọi lập luận ở đây không phụ thuộc vào hình dáng của

Ví dụ 2.19.

Cho hình vuông cạnh . lần lƣợt là trung điểm của Chứng

minh rằng

Lời giải:

Hình 2.35

*Gợi ý:

- Để bài toán đƣợc đơn giản nhất ta chọn hệ trục tọa độ sao cho trùng với , hai

cạnh nằm trên 2 trục và

- Tìm tọa độ của

- Xét ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

*Giải:

90

- Chọn hệ trục tọa độ (nhƣ hình vẽ .

/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

/ .

.

/

/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

- Trong hệ tọa độ này ( ) ( ) ( ) và ( ) Khi đó:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( )

Do đó:

Hay

Ví dụ 2.20.

Cho tam giác cân tại . Gọi là trung điểm của cạnh , là trọng tâm

của tam giác . Gọi là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh

rằng .

Lời giải:

Hình 2.36

*Gợi ý:

Do tam giác cân tại nên ta chọn hệ tọa tọa có trục đi qua và vuông góc

với , qua .

Từ giải thiết ta đi tìm tọa độ của các điểm theo tọa độ của 3 điểm .

91

Tính tọa độ của ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sau đó xét ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

*Giải:

- Gọi là trung điểm của cạnh đáy

- Dựng hệ tọa độ nhƣ hình vẽ.

).

- Các điểm có tọa độ ( ) ( ) ( ) (ở đây giả sử

/.

Do là trung điểm của nên .

/ ( ) (

) ( )

.

Theo giả thiết: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Hay:

(

)

) ⃗⃗⃗⃗ (

Vậy có tọa độ là:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (

) (

)

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ta lại có :

Vậy (đpcm

Chú ý: Cách giải trên không phụ thuộc vào góc là góc nhọn, vuông hay tù. Nếu giải

bằng phƣơng pháp toán học thuần túy, thì khi vẽ hình ta phải xét 3 trƣờng hợp trên.

Đó cũng chính là lợi thế của PPTĐ.

Ví dụ 2.21.

Trên cung của đƣờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ta lấy điểm

. Chứng minh rằng và giao điểm của chúng nằm trên một

khác và . Gọi là hình chiếu của trên các đoạn thẳng

92

trong hai đƣờng chéo của hình chữ nhật .

Lời giải:

Hình 2.37

*Gợi ý:

+) Nếu gọi là tâm hình chữ nhật thì cũng là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp

hình chữ nhật đó.

+ Do đó ta chọn gốc trục toạ độ là , các trục thì song song với các cạnh của hình

chữ nhật.

+) Tìm toạ độ của theo toạ độ của .

+) Viết phƣơng trình của

*Giải:

+) Gọi là tâm của hình chữ nhật ( tức cũng là tâm của đƣờng tròn ngoại tiếp

hình chữ nhật ).

+) Dựng hệ toạ độ (nhƣ hình vẽ), (trục lần lƣợt song song với ). +) Giả sử bán kính đƣờng tròn là . Phƣơng trình đƣờng tròn :

( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra .

Trong hệ trục toạ độ này giả sử toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là:

93

+) Giả sử ( ) bất kỳ thuộc cung nên Ta có toạ độ hình chiếu là: ( ) ( ) ( ) ( ). Suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) Nên ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Vậy .

+) Đƣờng thẳng đi qua ( ) và có vectơ pháp tuyến ⃗ ( ) Nên có phƣơng trình là : ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Tƣơng tự phƣơng trình RS là : ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( )

+) Gọi ( ) là giao điểm của và thì ta có ( ) là nghiệm của hệ sau :

b + a = 0 (3)

Cộng vế với vế của (1 và (2 ta đƣợc:

( )( ) ( ) ( )

+) Do điểm ( ) ( ) nên phƣơng trình đƣơng chéo có dạng:

Hay .

Từ đẳng thức (3) chứng tỏ ( ) (đpcm 2.4. Kết luận chƣơng 2

Chƣơng 2 trình bày bốn biện pháp bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải

toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng bao gồm:

- Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện lƣợc đồ G.Polya trong giải toán các bài

toán về tọa độ trong mặt phẳng.

- Rèn luyện cho HS giải toán các bài toán tọa độ trong mặt phẳng bằng nhiều

cách khác nhau.

- Bồi dƣỡng cho HS khả năng chuyển đổi các bài toán đại số sang bài toán tọa

độ trong mặt phẳng thông qua HĐ biến đổi đối tƣợng để nhận thức mối liên hệ ẩn

chứa trong bài toán.

- Rèn luyện kỹ năng tọa độ hóa để giải các bài toàn hình học.

Trong phần trình bày của chƣơng này, luận văn đã chú ý đến hình thức dẫn dắt

cho HS theo hƣớng tích cực hóa ngƣời học, nhằm hiện thực hóa những biện pháp sƣ

phạm trong những điều kiện thực tế của quá trình DH. Từ đó góp phần nâng cao chất

94

lƣợng dạy và học ở trƣờng THPT.

Chƣơng 3

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm

3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sƣ phạm đƣợc tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả

thi và tính hiệu quả của những biện pháp đã đƣợc đề xuất nhằm bồi dƣỡng năng lực

giải toán cho HS thông qua DH giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng.

3.1.2. Nội dung của thực nghiệm sư phạm

- Dạy giáo án đã soạn về chủ đề tọa độ trong mặt phẳng với mục đích bồi

dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải toán cho HS.

- Sau khi dạy xong, cho HS ở các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng làm bài kiểm

tra tự luận trong khoảng thời gian 45 phút.

3.2. Tổ chức thực nghiệm

3.2.1. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm

- Đối tƣợng thực nghiệm là DH phần tọa độ trong mặt phẳng ở trƣờng THPT.

- Địa bàn thực nghiệm là trƣờng THPT Lê Qúy Đôn – Cẩm Phả - Quảng Ninh.

Trong đó lớp 10A2 chọn là lớp thực nghiệm và lớp 10A4 chọn là lớp đối chứng.

3.2.2. Kế hoạch thực nghiệm

- Chuẩn bị giáo án thực nghiệm.

- Tiến trình thực nghiệm: Dạy thực nghiệm chuyên đề phƣơng trình đƣờng

thẳng, phƣơng trình đƣờng tròn theo hƣớng bồi dƣỡng năng lực giải toán cho HS tại

lớp 10A2 và lớp 10A4 để so sánh, đối chứng và đánh giá kết quả.

- Đánh giá kết quả thực nghiệm.

- Thời gian thực nghiệm: 16/02/2017 đến 28/02/2017

Để đánh giá kết quả thực nghiệm, tác giả đã soạn một đề kiểm tra với thời gian

làm bài là 45 phút. Yêu cầu HS của cả hai lớp 10A2 và 10A4 cùng làm trong một

điều kiện tổ chức lớp. Kết quả của các bài kiểm tra làm căn cứ để xác định mức độ

95

nắm kiến thức cũng nhƣ năng lực giải toán của HS sau khi học thực nghiệm.

3.2.3. Đề kiểm tra thực nghiệm

 Đề kiểm tra

Câu 1: (4 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đƣờng thẳng và . Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông biết rằng đỉnh thuộc , đỉnh thuộc và các đỉnh thuộc trục hoành. Câu 2: (3 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm ( ) ( ) Viết phƣơng trình

đƣờng tròn ( ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm và khoảng cách từ tâm của ( )

đến điểm bằng 5.

Câu 3: (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho đƣờng tròn ( ) và

có bán kính gấp đôi bán kính đƣờng tròn ( ), tiếp xúc ngoài với đƣờng tròn ( )

đƣờng thẳng . Tìm tọa độ điểm nằm trên sao cho đƣờng tròn tâm

 Mục đích của bài kiểm tra

Mục đích của bài kiểm tra này là kiểm tra kĩ năng giải các bài toán về phƣơng trình

đƣờng thẳng, phƣơng trình đƣờng tròn của HS. Kiểm tra năng lực giải toán của các em sau

khi học thực nghiệm thông qua việc suy nghĩ không dập khuôn, máy móc, kĩ năng đƣa bài

toán phức tạp về những bài toán quen thuộc hơn mà đề kiểm tra đƣa ra.

3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm

 Đánh giá định tính

Qua quan sát HĐ dạy, học ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng, tôi thấy:

- Ở lớp thực nghiệm, HS tích cực HĐ, chịu khó suy nghĩ, tìm tòi và phát huy

tƣ duy độc lập, sáng tạo hơn ở lớp đối chứng. Hơn nữa, tâm lý HS ở lớp thực nghiệm

thoải mái, tạo mối quan hệ thân thiết, cởi mở giữa thầy và trò.

- Khả năng tiếp thu kiến thức mới, giải các bài tập toán cao hơn so với bài đối

chứng. Các em có thể vận dụng các kiến thức một cách linh hoạt và sáng tạo trong

giải bài toán. Các em biết huy động kiến thức cơ bản, các tri thức liên quan để giải

các bài tập toán, kỹ năng lựa chọn của HS cao hơn, trình bày lời giải bài toán một

96

cách chặt chẽ, ngắn gọn và r ràng hơn.

 Đánh giá định lượng

Kết quả làm bài kiểm tra của HS lớp thực nghiệm (TN) và HS lớp đối chứng

(ĐC đƣợc thể hiện thông qua Bảng thống kê sau đây:

Kết quả Bài kiểm tra thực nghiệm số I của lớp thực nghiệm (10A2 – 34HS) và

lớp đối chứng (10A4– 37HS)

Bảng 3.1: Bảng phân phối tần suất điểm của bài kiểm tra

Số bài kiểm tra đạt điểm tƣơng ứng Số Điểm Lớp HS TB 1 2 3 7 8 9 10 4 5 6

34 0 0 0 2 3 5 10 12 2 0 6,97 10A2

10A4 37 0 4 2 7 12 8 3 1 0 0 4,83

Bảng 3.2: Bảng phân phối tần suất điểm tính theo %

Số % bài kiểm tra đạt điểm tƣơng ứng Số Lớp HS 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1

5,8 9,1 14,7 29,4 35,2 5,8 34 0 0 0 0 10A2

40

0 10A4 37 10,8 5,4 18,9 32,4 21,6 8,8 2,1 0 0

i

35

ĐC

TN

30

25

20

X m ể i đ t ạ đ a r t

15

m ể i

k

10

05

i à b %

00

ố S

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Điểm

Hình 3.1: Biểu đồ phân phối tần suất điểm tính theo %

Từ các kết quả trên ta có nhận xét sau:

- Điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng qua bài

97

kiểm tra.

- Số HS có điểm dƣới 5 ở lớp thực nghiệm thấp hơn và số HS có điểm khá, giỏi

từ 7 điểm trở lên ở lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng.

3.4. Kết luận chƣơng 3

Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy:

mục đích thực nghiệm đã đƣợc hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp

mà luận văn xây dựng đã đƣợc khẳng định. Thực hiện các biện pháp đó sẽ góp phần

bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải toán cho HS đồng thời góp phần quan

98

trọng vào việc nâng cao hiệu quả DH môn Toán ở trƣờng THPT.

KẾT LUẬN

Luận văn đã thu đƣợc những kết quả chính sau đây:

1. Luận văn đã minh họa làm sáng tỏ lý luận về dạy học giải toán, năng lực, năng

lực toán học, năng lực giải toán đồng thời làm rõ các thành tố của năng lực giải toán.

2. Luận văn đã trình bày 4 biện pháp nhằm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong

dạy học giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT đó là:

- Rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện lƣợc đồ G.Polya trong giải toán các bài

toán về tọa độ trong mặt phẳng.

- Rèn luyện cho HS giải toán các bài toán tọa độ trong mặt phẳng bằng nhiều

cách khác nhau.

- Bồi dƣỡng cho HS khả năng chuyển đổi các bài toán đại số sang bài toán tọa

độ trong mặt phẳng thông qua HĐ biến đổi đối tƣợng để nhận thức mối liên hệ ẩn

chứa trong bài toán.

- Rèn luyện kỹ năng tọa độ hóa để giải các bài toàn hình học.

3. Luận văn đã tổ chức thực nghiệm sƣ phạm để bƣớc đầu khẳng định tính

99

khả thi và hiệu quả của các biện pháp sƣ phạm đƣợc đề xuất.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. A. N. Leonchiev (1998), HĐ ý thức nhân cách, Nxb Giáo dục.

2. Nguyễn Trọng Bảo, Nguyễn Huy Tú (1992 , Tài năng và chính sách đối với năng

khiếu, tài năng, Viện khoa học Giáo dục, Hà Nội.

3. Trần Đình Châu (1996 , Xây dựng hệ thống bài tập số học nhằm bồi dưỡng một

số yếu tố năng lực toán học cho học sinh khá giỏi đầu cấp THCS, Luận án Phó

tiến sĩ khoa học Sƣ phạm - Tâm lý, Viện khoa học Giáo dục, Hà Nội.

4. Đặng Thành Hƣng (2002 , DH hiện đại: Lý luận, biện pháp, kỹ thuật, Nxb Đại

học Quốc gia Hà Nội.

5. Đặng Thành Hƣng (2002 , Dạy học hiện đại: Lý luận, biện pháp, kỹ thuật, Nxb

Đại học Quốc gia Hà Nội.

6. Trần Kiều (1998 , Toán học nhà trường và yêu cầu phát triển văn hóa toán học,

Nghiên cứu giáo dục, (10 , tr. 3 - 4.

7. Nguyễn Bá Kim(2002 , Phương pháp dạy học môn toán, Nxb Sƣ phạm Hà Nội,

Hà Nội.

8. Nguyễn Bá Kim (2004 , Phương pháp dạy học bộ môn Toán, Nxb Đại học Sƣ

phạm Hà Nội.

9. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy (1996 , Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb

Giáo dục, Hà Nội.

10. Nguyễn Văn Mậu (2003 , Phương trình hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

11. Phạm Thị Trà My (2013 , Vận dụng bảng gợi ý của G.Polya hướng dẫn HS tìm

lời giải bài toán về tọa độ trong mặt phẳng, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục,

Đại học Thái Nguyên.

12. Lê Thống Nhất (1996 , Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh PTTH thông

qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán, Luận án Phó

tiến sĩ khoa học Sƣ phạm - Tâm lý, trƣờng Đại học Sƣ phạm Vinh, Vinh.

13. Nguyễn Văn Phu (2013 , Bồi dưỡng năng lực toán học cho HS thông qua DH

Nguyên hàm - Tích phân ở trường THPT, Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục,

Đại học Giáo Dục, Đại học Quốc gia Hà Nội.

100

14. PolyA. G (1997), Giải bài toán như thế nào, NXB Giáo dục, Hà Nội.

15. Polya.G (1997), Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

16. Polya. G (1997), Toán học và những suy luận có lý, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

17. Hồ Thị Lam Sa (1999 , Xây dựng và sử dụng quy trình DH giải một số dạng toán

hình học phẳng bằng PP tọa độ ở trường phổ thông trung học, Luận văn thạc sĩ

giáo dục học, Đại học Vinh.

18. Lê Doãn Tá, Tô Duy Hợp (2002 , Giáo trình Logic học, Nxb Chính trị Quốc gia,

Hà Nội.

19. Nguyễn Thế Thạch, Nguyễn Hải Châu, Quách Tú Chƣơng, Nguyễn Trung Hiếu,

Đoàn Thế Phiệt, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thị Qúy Sửu, Hướng dẫn thực hiện

chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 10, Nxb Giáo dục Việt Nam.

20. Nguyễn Văn Thuận (2004 , Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng

chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp THPT trong dạy học Đại số,

Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Trƣờng Đại học Vinh, Vinh.

21. Nguyễn Cảnh Toàn (1997 , Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học,

dạy, nghiên cứu Toán học, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

22. Đào Văn Trung (1999 , Những vấn đề cơ bản giáo dục hiện đại, Nxb Giáo dục

Hà Nội.

23. Đào Văn Trung(2001 , Làm thế nào để học tốt toán phổ thông, Nxb Đại học quốc

gia, Hà Nội.

24. Từ điển tiếng Việt (1997 , Nxb Đà Nẵng và Trung tâm Từ điển học, Hà Nội -

101

Đà Nẵng.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1

Giáo án 1: Bài tập phương trình đường thẳng (Tiết ½)

I. Mục tiêu bài dạy

1. Về kiến thức

- Nắm vững cách viết phƣơng trình đƣờng thẳng ở dạng tổng quát và tham số.

2. Về kỹ năng

- Viết đƣợc phƣơng trình tổng quát, phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng d đi qua

điểm và có phƣơng cho trƣớc hoặc đi qua hai điểm cho trƣớc.

3. Về tư duy

- Hiểu và vận dụng đƣợc phƣơng pháp viết phƣơng trình tham số và phƣơng trình

tổng quát của một đƣờng thẳng để giải các bài toán liên quan.

4. Về thái độ và tình cảm

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận.

- Tích cực, chủ động khai thác nhiều cách giải trong một bài toán.

II. Chuẩn bị của giáo viên và HS

1. Giáo viên: giáo án, sách giáo khoa, phấn, máy chiếu

2. HS: sách giáo khoa, vở ghi, bút, thƣớc,…

III. Phƣơng pháp

- Gợi mở, vấn đáp.

IV. Tiến trình giờ dạy

1. Ổn định lớp: HS ổn định chỗ ngồi, kiểm tra sĩ số, kiểm tra vệ sinh lớp…(1’

2. Kiểm tra bài cũ:

- Phát phiếu học tập cho HS điền vào chỗ trống trả lời những kiến thức đã học ở bài

trƣớc.

- Phiếu bài tập:

PHIẾU BÀI TẬP

1. Phương trình tham số và phương trình tổng quát của hai đường thẳng:

a) Phương trình tham số:

*Định nghĩa: Đƣờng thẳng đi qua điểm ( )và nhận ⃗ ( ) làm vecto chỉ phƣơng có phƣơng trình tham số là :…….

*Liên hệ giữa vecto chỉ phƣơng và hệ số góc của đƣờng thẳng :

 Đƣờng thẳng qua điểm ( ) và hệ số góc k là…………………………

 Nếu có vecto chỉ phƣơng ⃗ ( ) với ⃗ thì hệ số góc của

là:………………………..

 Nếu có hệ số góc là k thì có một vecto chỉ phƣơng ⃗ ( )

b) Phương trình tổng quát:

*Định nghĩa: Phƣơng trình dạng ………………., với a,b không đồng thời bằng 0

đƣợc gọi là phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng

 Đƣờng thẳng qua điểm ( ) và nhận ⃗ ( )làm vec-tơ pháp tuyến có phƣơng trình : …………………………..

 Đƣờng thẳng cắt Ox tại A(a;0) và Oy tại B(0;b) có phƣơng trình theo

đoạn chắn: ……………………………..

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đƣờng thẳng

Để xét vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng trên ta xét số nghiệm của

hệ phƣơng trình (I :

- Hệ (I) có một nghiệm: ………………………….

- Hệ (I) vô nghiệm: ………………………………..

- Hệ (I)có vô số nghiệm:……………………………….. Có thể xét vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng bằng cách khác không?

Cho đƣờng thẳng có phƣơng trình:

a Nếu // thì đƣờng thẳng có phƣơng trình:…………………………….

b Nếu thì đƣờng thẳng có phƣơng trình:…………………………….

3. Góc giữa hai đường thẳng

Cho với vtpt

với vtpt

Gọi là góc giữa 2 đƣờng thẳng thì:…………………………...............

*Chú ý: | ( ⃗ ⃗ )| | ( ⃗ ⃗ )|

(Với ⃗ ⃗ lần lƣợt là các VTCP của hai đƣờng thẳng )



4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng là:

…………………………………………………………

Chú ý: Nếu thì: ……………………………………………… 3. Bài mới:

Hoạt động 1: A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

HĐTP1: Nội dung phiếu bài - Lắng nghe Tiết 34: BÀI TẬP

tập chính là hệ thống kiến PHƢƠNG TRÌNH

thức cần ghi nhớ ở bài ĐƢỜNG THẲNG (TIẾT 1)

phƣơng trình đƣờng thẳng. A. Kiến thức cần ghi nhớ

(Nội dung phiếu bài tập)

Hoạt động 2: B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Có 4 dạng bài tập cơ bản. - Lắng nghe. B. Các dạng bài tập cơ bản

Dạng 1: Viết phƣơng trình Dạng 1: Viết phƣơng trình

tổng quát. tổng quát.

Phƣơng pháp: Dạng 2: Viết phƣơng trình

tham số của đƣờng thẳng. B1: Tìm một vtpt

Dạng 3: Xét vị trí tƣơng đối của .

giữa hai đƣờng thẳng. B2: Tìm một điểm

Dạng 4: Tình khoảng cách từ . một điểm đến một đƣờng B3: Pttq của d có dạng: thẳng và tính số đo góc giữa

hai đƣờng thẳng. B4: Biến đổi về dạng: - Trong nội dung giới hạn của ax+by+c=0 tiết 1, chúng ta cũng nghiên Kết luận cứu 2 dạng 1 và 2. Dạng 2: Viết phƣơng trình *HĐTP2: Dạng 1: Viết tham số của đƣờng thẳng. phƣơng trình tổng quát của

đƣờng thẳng. B1: Tìm vectơ chỉ phƣơng H1: Để viết đƣợc phƣơng Đ1: Cần biết đƣợc của trình tổng quát của một vectơ pháp tuyến của

B2: Tìm một điểm đƣờng thằng ta cần biết đƣợc đƣờng thẳng và tọa độ

. những yếu tố nào? một điểm thuộc đƣờng

thẳng. B3: Phƣơng trình tham số

H2: Để viết pttq của một của có dạng

đƣờng thẳng ta làm theo 4

bƣớc: Đ3: Cần có vtcp và

H3: Tƣơng tự, để viết ptts một điểm thuộc đƣờng

của 1 đt ta cần những yếu tố thẳng.

nào?

H4: Phƣơng pháp viết ptts Đ4: 3 bƣớc

của một đt?

H5: Hai HS lên bảng làm bài Đ5: Thực hiện

tập 1(sách giáo khoa-80) và ý

b bài tập 2(sách giáo khoa-

80)

( để viết phƣơng trình đƣờng

thẳng qua 2 điểm ta có thể

làm cách khác? PT có dạng

TQ: ax+by+c=0 với:

,sau lần lƣợt thay

tọa độ 2 điểm vào  tìm BTTT1: VTPT (a;b) a) Viết ptts của đt biết Sau đó tìm c=? có pttq là x+y+2=0

b) Viết pttq của đt biết

Đ6: Thực hiện có phƣơng trình tham số H6: Hs dƣới lớp làm BTTT:

là

Đ7: Thực hiện H7: Y/c 2hs lên bảng làm

BTTT

*GV nhấn mạnh tìm 1 điểm

thuộc đƣờng thẳng ta có thể

BTTT2: chọn 1 giá trị x bất kì rồi suy

a) Viết pttq của đt d biết d ra giá trị của y hoặc ngƣợc

đi qua M(1;2 và // với đt lại.

H8: GV yêu cầu 2 HS lên (d1):2x+3y-5=0

bảng là BTTT2. b) Viết pttq của của đƣờng

thẳng d biết d vuông góc

với đƣờng thẳng AB trong

đó A(1;5 ;B(-2;3)

Bài tập 3(sách giáo khoa-

80): Cho tam giác ABC biết H8: Hƣớng dẫn HS làm bài

tập 3(sách giáo khoa-80) Đ9: Ta cần biết 1 điểm A(1,4),B(3;-1),C(6;2).

H9: Ý a cách làm tƣơng tự thuộc đt AH và vtpt a) Lập pttq của các đƣờng

bài tập 2b. của AH. thẳng AB,BC,CA.

Để viết đƣợc pttq của đƣờng b) Lập pttq của đƣờng cao

cao AH ta cần những yếu tố? Đ10: Ta đã biết điểm AH và trung tuyến AM.

H10: Ta đã biết yếu tố nào A thuộc vào đt AH,

trong 2 yếu tố trên? cần tìm vtpt.

H11: Dựa vào dữ kiện nào để Đ11: AH vuông góc

tính đc vtpt? với BC

H12: Tƣơng tự để viết đƣợc Đ12: Cần 1 điểm thuộc

pttq của AM ta cần yếu tố đt và vtpt?

nào?

H13: Đã có gì? Cần tìm gì? Đ13: Đã có A thuộc

AM. Cần tìm M để

=>vtpt

H14: Yêu cầu 3hs lên bảng

làm bài tập.

4. Củng cố:

V. Rút kinh nghiệm

Giáo án 2: Bài tập về phương trình đường tròn - Tự chọn

I. Mục tiêu bài giảng

1. Kiến thức

- Hiểu cách viết phƣơng trình đƣờng tròn.

2. Kỹ năng

- Viết đƣợc phƣơng trình đƣờng tròn khi biết tâm ( ) và bán kính R

- Xác định đƣợc tâm và bán kính đƣờng tròn khi biết phƣơng trình đƣờng tròn.

II. Chuẩn bị của GV và HS

- Giáo viên: Giáo án, sách giáo khoa, câu hỏi gợi mở …

- Học sinh: Học và làm bài tập ở nhà.

III. Phƣơng pháp

- Gợi mở vấn đáp thông qua các HĐ tƣ duy

IV. Tiến trình giờ dạy

1. Ổn định tổ chức

2. Bài mới:

Hoạt động 1: Bài 48 – tr108 – SBT HH10 – Nâng cao

Viết phƣơng trình đƣờng tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và

a) Đi qua ( );

b) Có tâm thuộc đƣờng thẳng .

Hoạt động của HS Hoạt động của GV Ghi bảng

H1: Vẽ hình Đ1: Phƣơng trình đƣờng tròn C, tâm

y

( ) , bán kính R có dạng

O

A

x

C ( ) ( ) .

.

| | | | .

tiếp xúc với Ox , Oy khi và chỉ khi

( ) ( ) .

H2: Đƣờng tròn tiếp Đ2: Tâm đƣờng tròn Phƣơng trình của C trở thành xúc với các trục tọa độ nằm trên đƣờng đƣờng

, tức là tọa độ

) ( )

có đặc điểm gì? hoặc thẳng

( )

( ) ( )

tâm hoặc

( ) và bán kính

(1)

| |

( ) ( )

- Với thì (1)

,phƣơng trình

( ) đã viết đƣợc

Đ3: , đã viết H3: Thêm điều kiện đƣợc phƣơng trình đƣờng tròn đi qua đƣờng tròn. vô nghiệm.

( ) ( )

- Với thì (1) phƣơng trình đƣờng

0

tròn chƣa?

+) Khi ta

đƣợc phƣơng trình đƣờng tròn ( ) ( ) ( ) Khi ta b) Đ4: trình đƣờng H4: Vẽ hình

y

đƣợc phƣơng tròn ( ) ( ) ( )

x

b)

O

.

nên

(2)

3x – 5y – 8 = 0

I thuộc đƣờng thẳng

- Với thì (2)

H5:Kết hợp điều kiện Đ5: Tọa độ tâm là

tâm thuộc đƣờng thẳng nghiệm của hệ phƣơng

3x-5y-8=0 thì tọa độ Ta đƣợc đƣờng tròn trình

{

tâm đƣờng tròn xác

định nhƣ thế nào?

hoặc ( ) ( ) ( ) - Với thì (2)

{

Ta đƣợc đƣờng tròn ( ) ( ) ( )

Hoạt động 2: Bài 49 – tr108 – SBT HH10 – Nâng cao

Viết phƣơng trình đƣờng tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm ( ) và đi qua

điểm ( )

H1: Vẽ hình Đ1: Cách 1:

( ) nên tâm ( ) bán kính

Đƣờng tròn C tiếp xúc với tại

B(9,9) .

| |. Vì đƣờng tròn đi qua điểm

.

.

( ) ta có:

A(6,0)

√

√ .

O

H2: Tạm bỏ điều kiện Đ2: Ox là tiếp tuyến,

điểm A là tiếp điểm, đi qua điểm ( ),

Phƣơng trình đƣờng tròn C là: tâm đƣờng tròn đƣờng tròn tiếp xúc

( ) ( ) ( )

thuộc đƣờng thẳng với Ox tại ( ) có

 hay ( ),

có phƣơng trình Cách 2: đặc điểm gì?

Đƣờng tròn C tâm ( ), bán kính

| | có phƣơng trình:

bán kính | |.

( ) ( )

H3: Kết hợp với điều hoặc Đ3:

( ) ( ),

( ) đã viết đƣợc

kiện đi qua điểm tìm

đƣợc tọa độ tâm I , Phƣơng trình đƣờng tròn C là:

( ) ( ) ( )

phƣơng trình đƣờng viết đƣợc phƣơng

tròn chƣa? trình đƣờng tròn.

Hoạt động 3 : Bài 45 – tr107 – SBT HH10 – Nâng cao

Viết phƣơng trình đƣờng tròn nội tiếp tam giác ABC biết phƣơng trình các cạnh

H1: Vẽ hình Đ1: Tọa độ của A là nghiệm của hệ

{

{

phƣơng trình:

3x + 4y – 6 ( )

y=0

( ) (

)

Tƣơng tự, ta tính đƣợc

.

√

√

H2: Từ phƣơng trình Đ2: Tọa độ các đỉnh Phƣơng trình các đƣờng phân giác các cạnh ta tìm đƣợc trong và ngoài của góc A là điều gì?

[

H3: Tâm đƣờng tròn

( ) ( )

nội tiếp tam giác ABC

xác định nhƣ thế nào? Đ3: Tâm I là giao

Khoảng cách từ tâm I của ba đƣờng phân Thay lần lƣợt tọa độ của vào vế

đến ba cạnh có gì đặc giác trong. Khoảng trái của (1 , ta đƣợc:

biệt? cách từ tâm I đến ba

cạnh bằng nhau Vậy (2 là phƣơng trình đƣờng phân

giác trong của góc A. Phƣơng trình

các đƣờng phân giác trong và ngoài

√

[

( ) ( )

của góc B là

Thay lần lƣợt tọa độ của vào vế

trái của (4 , ta đƣợc:

Vậy (4 là phƣơng trình đƣờng phân

giác trong của góc B.

Gọi ( ) và r là tâm và bán kính

đƣờng tròn nội tiếp tam giác .

Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ

{

{

(

)

( )

phƣơng trình

Vậy phƣơng trình đƣờng tròn nội tiếp

(

)

(

)

tam giác là:

4. Củng cố:

V. Rút kinh nghiệm

Phụ lục 2

PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN

(Dành cho GV dạy Toán ở trường THPT)

Các Thầy cô vui lòng hợp tác tìm hiểu và cho biết ý kiến của mình (bằng

cách đánh dấu X vào ô thích hợp. Phiếu điều tra này chỉ có mục đích nghiên cứu

khoa học không dùng để đánh giá xếp loại GV.

Câu 1: Thầy cô có thƣờng xuyên chú ý đến năng lực giải toán của học sinh không?

Luôn luôn

Thỉnh thoảng

Rất ít

Không bao giờ

Câu 2: Thầy cô có muốn tìm hiểu các vấn đề giúp học sinh nâng cao năng lực giải

toán không?

Rất muốn tìm hiểu

Không có ý định

Câu 3: Thầy cô có gặp khó khăn khi dạy học giải toán cho học sinh không?

Luôn luôn

Thỉnh thoảng

Rất ít

Không bao giờ

Câu 4: Có nên tìm tòi những phƣơng pháp dạy học giải toán mới giúp học sinh giải

toán tốt hơn không?

Có

Không

Câu 5: Giáo viên có thƣờng xuyên chuẩn bị hệ thống các câu hỏi và bài tập hợp lý

giúp học sinh nâng cao năng lực giải toán?

Thƣờng xuyên

Thỉnh thoảng

Tùy lƣợng thời gian cho phép

Không cần thiết

Ý kiến khác

Câu 6: Theo thầy cô học sinh cần có những thành tố năng lực nào để nâng cao năng

lực giải toán?

Dự đoán vấn đề

Quy lạ về quen

Đặc biệt hóa, khái quát hóa

Chuyển đổi ngôn ngữ

Ý kiến khác

Nếu có thể Thầy cô có thể cho biết họ và tên:..............................................

Xin Chân thành cảm ơn Thầy cô!

Phụ lục 3

PHIẾU ĐIỀU TRA HỌC SINH

(Dành cho HS trường THPT Lê Qúy Đôn)

Em vui lòng hợp tác tìm hiểu và cho biết ý kiến của mình (bằng cách đánh

dấu X vào ô thích hợp. Phiếu điều tra này chỉ có mục đích nghiên cứu khoa học

không dùng để đánh giá xếp loại HS.

Câu 1: Em có thích giải bài tập toán không?

Bình thƣờng

Thích

Rất thích

Không thích

Câu 2: Em nghĩ có nên thƣờng xuyên giải toán không?

Có

Không

Câu 3: Theo em việc nêu cách tìm ra lời giải một bài toán có cần thiết không?

Rất cần thiết

Cần thiết

Không cần thiết

Khó khăn, phức tạp

Ý kiến khác

Câu 4: Các em có thích dạng bài tập hình học đƣợc giải theo phƣơng pháp tọa độ

không?

Rất thích

Thích

Bình thƣờng

Không thích

Câu 5: Thầy cô có sử dụng phần mềm dạy học nào để hỗ trợ dạy trong giờ học

không?

Không

Thỉnh thoảng

Thƣờng xuyên

Câu 6: Trong giờ học các em có hay trao đổi nhóm để tìm ra lời giải của một bài toán

không?

Không

Thỉnh thoảng

Thƣờng xuyên

Xin Chân thành cảm ơn các em đã hợp tác!