ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LITNA AMPHONEPADID
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN METRIC
SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LITNA AMPHONEPADID
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN METRIC
SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG
Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN - 2020
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả
Litna AMPHONEPADID
i
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 11 năm 2020 Tác giả
Litna AMPHONEPADID
ii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... ii
MỤC LỤC ........................................................................................................ iii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 2
1.1. Không gian metric ......................................................................... 2
1.2. Không gian metric ........................................................................ 5
1.3. Tôpô trên không gian metric .......................................................... 8
CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN METRIC SẮP THỨ TỰ .......... 13
2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian b-metric ...................... 13
2.2. Điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian metric ..... 14
2.3. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian
metric sắp thứ tự .................................................................................. 19
2.4. Sự tồn tại nghiệm chung của hệ các phương trình tích phân ................ 36
KẾT LUẬN .................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 40
iii
MỞ ĐẦU
Nguyên lí ánh xạ co Banach là một trong những kết quả đơn giản nhưng
có nhiều ứng dụng của lí thuyết điểm bất động metric. Nó là một công cụ phổ
biến để chứng minh sự tồn tại của nghiệm của các bài toán trong các lĩnh vực
khác nhau của toán học. Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng theo
hai hướng. Hướng thứ nhất là mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach cho các loại
ánh xạ khác nhau như ánh xạ co yếu, ánh xạ dãn, ánh xạ tương thích yếu, ánh
xạ tương thích,… Hướng thứ hai là thiết lập nguyên lí ánh xạ co Banach cho
các không gian kiểu metric: chẳng hạn các không gian 2-metric, D-metric,
metric, metric, metric,… Năm 2000, Hitzler và Seda đã giới thiệu
khái niệm metric và tôpô và thiết lập định lí điểm bất động trong
không gian metric đầy đủ. Năm 2013, N. Hussain, J.R. Roshan, V.
Parvaneh và M.Abbas đã giới thiệu khái niệm metric và thiết lập định lí
về điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian metric.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối
với các ánh xạ co yếu trong không gian metric sắp thứ tự và ứng dụng”.
Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài
nước quan tâm nghiên cứu.
Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [3], [6] và [8],
gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Giới thiệu khái niệm và một vài tính chất của không gian
metric và không gian metric.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả
nghiên cứu gần đây của N. Hussain, J.R. Roshan, V. Parvaneh và M.Abbas về
điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian metric.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
1
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Cho là một tập khác rỗng và là một số thực. Một
hàm được gọi là một metric nếu với mọi , các
điều kiện sau được thỏa mãn:
nếu và chỉ nếu ,
,
. (𝑖𝑖𝑖)
Cặp được gọi là không gian metric.
Chú ý rằng lớp các không gian metric rộng hơn lớp các không gian metric.
Thật vậy, một metric là một metric khi và chỉ khi .
Ví dụ 1.1.2 Không gian
,
với hàm số xác định bởi
trong đó là một không gian -metric với .
Ví dụ 1.1.3. Cho là một không gian metric và , trong
đó . Khi đó là một metric với . Thật vậy:
Hiển nhiên, các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn.
Nếu thì sử dụng tính lồi của hàm số ta có bất
đẳng thức
2
nghĩa là, .
Do đó với mỗi , ta có:
Vì vậy, điều kiện (iii) của Định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn và là một
metric.
Định nghĩa 1.1.4. Cho là một không gian metric. Khi đó, dãy
được gọi là:
hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại khi . sao cho
Trong trường hợp này, ta viết .
dãy Cauchy khi và chỉ khi khi .
Mệnh đề 1.1.5. Trong một không gian metric các khẳng định sau
đây được thỏa mãn:
một dãy hội tụ có giới hạn duy nhất,
mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy,
nói chung, một metric là không liên tục.
Định nghĩa 1.1.6. Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy Cauchy trong đều hội tụ.
Nói chung, một hàm metric với không liên tục theo cả hai biến.
Sau đây là ví dụ về một metric không liên tục.
Ví dụ 1.1.7. Cho xác định bởi và
nếu ,
nếu là các số chẵn hoặc
3
nếu
là các số lẻ và
tại còn lại.
Khi đó với mọi , ta có
Do đó, là không gian metric với . Nếu , với mỗi
, thì , khi
Nghĩa là, , nhưng khi
Nói chung metric không liên tục, nên ta cần bổ đề đơn giản sau đây về các
dãy hội tụ.
Bổ đề 1.1.8. Cho là không gian metric và là dãy trong sao
cho và . Khi đó .
Bổ đề 1.1.9. Cho là không gian metric , . Khi đó:
.
Bổ đề 1.1.10. Cho là dãy trong không gian metric sao cho
với và mỗi . Khi đó là dãy Cauchy trong .
Bổ đề 1.1.11. Cho là không gian metric với . Giả sử rằng
và là hội tụ đến và tương ứng. Khi đó ta có:
Đặc biệt, nếu , thì , hơn nữa với mỗi ta có
4
Định nghĩa 1.1.12. Cho là một không gian metric. Một cặp ánh xạ
được gọi là tương thích nếu và chỉ nếu , trong đó
là một dãy trong sao cho , với nào đó.
Định nghĩa 1.1.13. Cho và là định nghĩa hai tự ánh xạ trên tập không rỗng
. Nếu với , thì được gọi là điểm trùng của và ,
trong đó được gọi là điểm trùng nhau của và .
Định nghĩa 1.1.14. Cho và là hai tự ánh xạ xác định trên tập . Khi đó
và được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại mỗi điểm trùng.
1.2. Không gian metric
Định nghĩa 1.2.1. Cho là tập không rỗng. Ánh xạ được
gọi là metric nếu thoả mãn điều kiện sau với mọi :
thì Nếu ;
;
.
Cặp được gọi là không gian metric.
Chú ý rằng khi , có thể không bằng 0.
Ví dụ 1.2.2. Nếu , thì xác định một metric
trên .
Định nghĩa 1.2.3. Dãy trong không gian metric được gọi là:
(1) dãy Cauchy nếu với , tồn tại sao cho với , ta có
hoặc .
5
(2) hội tụ đối với nếu sao cho khi . Trong
trường hợp này được gọi là giới hạn của dãy và ta viết .
Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy trong hội tụ đến
một điểm thuộc .
Định nghĩa 1.2.4. Tập không rỗng được gọi là không gian metric sắp
thứ tự nếu nó được trang bị một quan hệ thứ tự bộ phận và tồn tại metric
trên .
Định nghĩa 1.2.5. Cho là tập được sắp thứ tự bộ phận. Khi đó
gọi là so sánh được nếu hoặc .
Định nghĩa 1.2.6. Cho là tập được sắp thứ tự bộ phận. Tự ánh xạ trên
được gọi là trội nếu với mỗi .
Ví dụ 1.2.7. Cho được trang bị thứ tự thông thường và
được xác định bởi . Vì với mọi , nên là ánh
xạ trội.
Định nghĩa 1.2.8. Cho là tập được sắp thứ tự bộ phận. Tự ánh xạ trên
được gọi là bị trội nếu với mỗi .
Ví dụ 1.2.9. Cho được trang bị thứ tự thông thường và
được xác định bởi với . Vì với mọi , nên
là ánh xạ bị trội.
Định nghĩa 1.2.10. Cho là tập không rỗng. Ánh xạ
được gọi là metric nếu các điều kiện sau thoả mãn với mọi và
:
nếu thì ;
;
6
.
Cặp được gọi là không gian metric.
Chú ý rằng lớp các không gian metric rộng hơn lớp các không gian
metric, vì metric là metric khi .
Sau đây là một ví dụ chỉ ra rằng nói chung metric không phải
metric.
Ví dụ 1.2.11. Cho là không gian metric và
trong đó . Ta sẽ chỉ ra là một metric với .
Rõ ràng, các điều khiện và của Định nghĩa 1.2.10 được thoả mãn.
Nếu , thì tính lồi của hàm kéo theo
.
. Như vậy, với mỗi , ta được: Vì thế,
.
Do đó, điều kiện của Định nghĩa 1.2.10 được thoả mãn và là
metric.
Tuy nhiện, nếu là không gian metric, thì không nhất
thiết là không gian metric. Chẳng hạn, nếu là tập hợp các số thực,
7
thì là metric và là
metric trên nhưng không phải metric trên . với
1.3. Tôpô trên không gian metric
Sarma và Kumari [9] đã thiết lập sự tồn tại của tôpô cảm sinh bởi
metric mà nó metric hóa được với họ các tập hợp
với mọi và
là cơ sở, ở đó . Ngoài ra,
là tập đóng.
Tương tự, mỗi metric trên sinh ra một tôpô mà cơ sở của nó
là họ các hình cầu mở
.
Định nghĩa 1.3.1. Ta nói rằng lưới trong hội tụ đến
và viết nếu .
Chú ý rằng giới hạn của lưới trong là duy nhất.
Với , ta viết là giới hạn của lưới trong .
Mệnh đề 1.3.2. [9] Nếu , thì
nếu ,
nếu ,
,
.
8
Hệ quả 1.3.3. [9] Với mọi , đặt . Khi đó, toán tử
thoả mãn
Mệnh đề 1.3.4. Cho là họ tất cả các tập hợp con mà và
là họ các tập hợp là phần bù của các tập hợp thuộc . Khi đó, là tô
pô của bao đóng của là . và
Định nghĩa 1.3.5. Tô pô nhận được trong Mệnh đề 1.3.4 gọi là tôpô cảm
sinh bởi và gọi là tô pô của và ký hiệu là .
Bây giờ chúng ta nêu một số mệnh đề và hệ quả trong được
chứng minh tương tự với các kết quả được đưa ra trong [9].
Mệnh đề 1.3.6. Cho . Khi đó nếu với mọi ,
.
Hệ quả 1.3.7. hoặc .
Hệ quả 1.3.8. Tập là mở trong với mọi , tồn tại
. sao cho
và Mệnh đề 1.3.9. Nếu , thì mở trong .
và Hệ quả 1.3.10. Nếu với , thì tập hợp
là cơ sở mở tại trong . Nếu là metric và
, thì trùng với tôpô metric.
9
Mệnh đề 1.3.11. là không gian Hausdorff.
Chứng minh. Nếu và , thì .
Dựa theo Mệnh đề 3.2 trong [2], ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3.12. Cho là không gian metric. Khi đó các điều kiện
sau là tương đương:
Với mọi , ta có .
metric.
là Với mọi và mọi , ta có .
Định nghĩa 1.3.13. Dãy metric hội tụ đối trong không gian
với hội tụ) nếu sao cho hội tụ đến 0 khi . (
Trong trường hợp hày, được gọi là giới hạn của và ta viết .
Mệnh đề 1.3.14. Giới hạn của dãy hội tụ trong không gian metric là
duy nhất.
Chứng minh. Giả sử và là các giới hạn của dãy . Theo tính chất
và của Định nghĩa 1.2.10, ta có
.
Suy ra . Theo tính chất của Định nghĩa 1.10 suy ra .
Định nghĩa 1.3.15. Dãy metric trong không gian được gọi là
dãy Cauchy nếu với , sao cho với mọi ta có
hoặc .
Mệnh đề 1.3.16. Mỗi dãy hội tụ trong không gian metric là Cauchy.
10
Chứng minh. Giả sử . Khi đó với tồn là dãy hội tụ đến
tại sao cho .
Từ đó với mọi ta nhận được
.
Vậy Cauchy. là dãy
Định nghĩa 1.3.17. Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mỗi
dãy Cauchy trong hội tụ. đều
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng nói chung metric không liên tục.
Ví dụ 1.3.18. Lấy và được xác định bởi
nếu chẵn hoặc
nếu và lẻ và
trong các trường hợp còn lại.
Khi đó, dễ thấy rằng với mọi , ta có
.
Như vậy, là không gian metric. Lấy với mỗi .
Khi dó
khi
Nghĩa là, nhưng khi .
Bổ đề sau về dãy hội tụ sẽ cần thiết trong chứng minh kết quả chính.
11
Bổ đề 1.3.19. Cho là không gian metric với hệ số . Giả sử
là các dãy hội tụ đến tương ứng. Khi đó và
.
. Nói riêng, nếu , thì ta có
Ngoài ra, với mỗi , ta có
.
. Nói riêng, nếu , thì
Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức tam giác trong không gian metric, ta
nhận được
và
Lấy giới hạn dưới khi trong bất đẳng thức thứ nhất và giới hạn trên
khi trong bất đẳng thức thứ hai, ta được kết quả cần chứng minh.
Khẳng định cuối cùng được chứng minh tương tự, nhờ sử dụng bất đẳng thức
tam giác.
Định nghĩa 1.3.20. Cho là không gian metric. Khi đó cặp
được gọi là tương thích khi và chỉ khi , với mọi dãy
với nào đó. sao cho
CHƯƠNG 2
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU
12
TRONG KHÔNG GIAN METRIC SẮP THỨ TỰ
2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian b-metric
Định lý 2.1.1. Cho là không gian metric đầy đủ, và là
ánh xạ sao cho tồn tại ,
với mọi . Khi đó có điểm bất động duy nhất , và với , dãy
hội tụ đến .
Chứng minh. Lấy bất kì và kí hiệu . Khi đó
với mỗi
Theo Bổ đề 1.1.10, là dãy Cauchy, và vì là không gian đầy đủ, nên
tồn tại sao cho khi . Khi đó
khi . Do đó, và là điểm bất động của .
Nếu là điểm bất động khác của , thì ta có
.
Điều này chỉ có thể xảy ra khi .
Định lý 2.1.2. Cho là không gian metric đầy đủ, là
13
ánh xạ thỏa mãn với mỗi tồn tại sao cho và
với mọi .
Khi đó có điểm bất động duy nhất .
Chứng minh. Lấy sao cho . Vì khi , nên tồn tại
sao cho với mỗi . Khi đó
với mọi khi .
Nói cách khác, với tùy ý, thỏa mãn
với mọi .
Định lý 2.1.1 kéo theo có điểm bất động duy nhất, gọi điểm đó là . Khi đó
, kéo theo và là điểm bất động của
. Vì điểm bất động của là duy nhất, nên và là điểm bất
động của .
2.2. Điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian metric
Định lý 2.2.1. Giả sử là các ánh xạ từ không gian metric đầy đủ
vào chính nó sao cho và
(2.1)
với mọi , , đồng thời và liên tục và cặp và
là tương thích. Khi đó và có một điểm bất động chung duy
nhất trong .
Chứng minh. Lấy . Vì , nên tồn tại sao cho
14
. Vì , nên chọn sao cho . Nói chung,
và được chọn trong sao cho
và .
Xác định một dãy sao cho
, với mọi . và
Ta sẽ chỉ ra là một dãy Cauchy. Ta có
.
Nếu với nào đó, thì từ bất đẳng thức trên ta có
Điều này là mâu thuẫn. Do đó
với mọi .
Cũng như vậy, theo bất đẳng thức trên ta được
Tương tự
15
Từ đó suy ra
Khi và Do đó, với mọi ta nhận được
(2.2)
Vì vậy với mọi ta có
Theo (2.2) ta có
Cho , ta được khi . Vì vậy là một dãy
Cauchy. Vì là không gian metric đầy đủ, nên tồn tại sao cho
.
Ta sẽ chỉ ra là điểm bất động chung của . Vì liên tục, nên
và .
Vì cặp là tương thích, nên
.
Do đó theo Bổ đề 1.1.11 ta có
Đặt và trong (2.1), ta được
16
. (2.3)
Lấy giới hạn trên khi trong (2.3) và sử dụng Bổ đề 1.1.10 ta có
Do đó,
.
Vì , nên suy ra . Vậy
Sử dụng tính liên tục của , ta được
và
Vì và tương thích, nên
Do đó, theo Bổ đề 1.1.11, ta có
Đặt và trong (2.1), ta nhận được
17
(2.4)
Lấy giới hạn trên khi trong (2.4) và sử dụng Bổ đề 1.1.10 ta nhận được
.
Điều này chỉ có thể xảy ra khi , suy ra .
Áp dụng điều kiện (2.1) ta nhận được
(2.5)
Lấy giới hạn trên khi trong (2.5), và sử dụng , ta có
. Vì , nên bất đẳng thức chỉ có thể xảy ra Suy ra
. Do đó . khi
Cuối cùng, từ điều kiện (2.1), và , suy ra
18
Điều này kéo theo và . Do đó .
Nếu tồn tại là một điểm bất động khác đối với và thì
.
Suy ra , do đó . Vậy là điểm bất động chung duy nhất của
của bốn ánh xạ và .
2.3. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian
metric sắp thứ tự
Giả sử
không giảm, liên tục, và
nửa liên tục dưới,
Định lý 2.3.1. Cho là không gian metric đầy đủ được sắp thứ tự
và là các tự ánh xạ trên sao cho và là các ánh xạ bị
trội và ánh xạ trội tương ứng, với và . Giả sử với
mọi cặp so sánh được với nhau, bất đẳng thức
(2.6)
19
được thỏa mãn, trong đó
và . Nếu với mỗi dãy không tăng và dãy với
với mọi sao cho , ta có và
tương thích, hoặc liên tục và tương thích yếu, hoặc
tương thích, hoặc liên tục và tương thích yếu ,
thì và có điểm bất động chung. Ngoài ra, tập điểm bất động chung
của và và có một và chỉ một điểm được sắp thứ tự tốt
bất động chung.
Chứng minh. Lấy tuỳ ý. Bằng qui nạp, ta xác định các dãy và
trong bởi
.
Điều này có thể được thực hiện vì và . Bởi giả thiết
đã cho, ta có
và
.
Như vậy, với . Ta sẽ chỉ ra là dãy Cauchy.
Giả sử với mỗi . Nếu không thì đối với một số nào đó
và từ (2.6), ta được
, (2.7)
20
trong đó
, (2.8)
vì
.
Do đó, từ (2.7) và (2.8), ta được
.
, do đó , điều này kéo theo Suy ra
. Như vậy, trở thành dãy hằng, do đó là dãy Cauchy.
Bây gờ, lấy với mỗi . Vì và so sánh được với
nhau, nên từ (2.6) ta có
21
.
Từ đó
, (2.9)
trong đó
.
Nếu với nào đó, , thì
.
Kết hợp với (2.9) ta được
22
và từ (2.6) ta có
.
, do đó , mẫu thuẫn. Suy ra
Như vậy
.
Vì , nên
.
Tương tự như trên, ta có
Do đó là dãy không tăng nên tồn tại sao cho
.
Giả sử , vì
,
nên lấy giới hạn trên khi , ta nhận được
,
là mẫu thuẫn. Do đó
(2.10)
23
Bây giờ, ta chứng minh rằng là dãy Cauchy. Để làm điều đó, chỉ cần
chỉ ra rằng dãy con là Cauchy trong . Giả sử ngược lại
không là dãy Cauchy. Khi đó tồn tại mà với nó có thể tìm được các
dãy con và của sao cho là chỉ số nhỏ nhất mà
,
và
(2.11)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác và (2.11), ta được
Lấy giới hạn trên khi và áp dụng (2.10), ta được
. (2.12)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác và (2.11), ta được
Lấy giới hạn trên khi và áp dụng (2.10), ta được
(2.13)
Cũng như vậy,ta có
.
Từ đó
(2.14)
24
Mặt khác, ta có
Do đó, từ (2.10) và (2.13), ta có
.
Kết hợp với (2.14),ta được
(2.15)
Vì
Tương tự, ta có
và là so sánh được, nên từ (2.6) ta có
,
trong đó
.
Lấy giới hạn trên và áp dụng (2.10) và (2.13)-(2.15), ta được
25
.
Từ đó, ta có
(2.16)
Tương tự, ta được
(2.17)
Vì
,
nên lấy giới hạn trên khi và từ (2.12) và (2.16), ta nhận được
.
Suy ra
.
Do đó , mâu thuẫn với (2.17). Như vậy là dãy
Cauchy trong . Vì sao cho là đầy đủ, nên
.
26
Bây giờ, ta chỉ ra rằng là điểm bất động chung của và .
Giả sử xảy ra và liên tục. Khi đó
và .
Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
.
Vì cặp . Do đó, lấy giới hạn là tương thích, nên
trong bất đẳng thức trên, ta được khi
.
. Suy ra
, nên từ (2.6) ta được Vì
, (2.18)
trong đó
Bây giờ, sử dụng Bổ đề 1.3.20, ta được
Từ đó, lấy giới hạn trên trong (2.18) và áp dụng Bổ đề 1.3.20, ta được
27
.
Suy ra hay .
và khi , nên và từ Bây giờ, vì
(2.6) ta có
, (2.19)
trong đó
.
Lấy giới hạn trên khi trong (2.19) và sử dụng Bổ đề 1.3.20, ta có
.
Suy ra , do đó .
Vì , nên tồn tại một điểm sao cho . Giả sử
. Vì , khi đó từ (2.6) ta có
, (2.20)
trong đó
Do đó, từ (2.20) ta có
28
,
mâu thuẫn. Do đó . Vì cặp là tương thích yếu, nên
và là điểm trùng của và . Vì và khi , nên
suy ra và từ (2.6) ta được
, (2.21)
trong đó
(2.22)
Lấy giới hạn trên khi trong (2.22) và áp dụng Bổ đề 1.3.20, ta có
. (2.23)
Lấy giới hạn trên khi trong (2.21) và áp dụng Bổ đề 1.3.20 kết hợp với
(2.23), ta có
29
,
Suy ra , do đó . Như vậy ta được
.
Chứng minh tương tự khi liên tục.
Trường hợp nếu xảy ra, thì kết quả cũng được chứng minh tương tự.
Bây giờ, giả sử tập hợp điểm bất động chung của và được sắp thứ tự
tốt. Ta sẽ chỉ ra rằng chúng có một điểm bất động chung duy nhất. Giả sử ngược
lại và , nhưng .
Theo giả thiết, áp dụng (2.6) ta nhận được
,
trong đó
.
Như vậy
30
.
Suy ra , mâu thuẫn. Do đó . Ngược lại là hiển nhiên.
Trong định lý sau, bỏ quả giả thiết liên tục của và và thay thế tính
tương thích của các cặp và bởi tính tương thích yếu và ta sẽ chỉ
ra rằng và có một điểm bất động chung trên .
Định lý 2.3.2. Cho là không gian metric đầy đủ sắp thứ tự, và
và là các tự ánh xạ trên sao cho và là các ánh xạ bị
trội và ánh xạ trội, tương ứng, với và , và
là các tập con đóng của . Giả sử với mọi cặp phần tử so sánh
được ,
(2.24)
được thỏa mãn, trong đó
,
và . Nếu với mọi dãy không tăng và dãy với
, sao cho , ta có và các cặp và là tương thích
yếu, thì và có điểm bất động chung. Ngoài ra, tập hợp các điểm bất
động chung của và là sắp thứ tự tốt và có một và chỉ
một điểm bất động chung.
Chứng minh. theo chứng minh của Định lý 2.3.1, sao cho
là đóng và , nên . Do dó sao Vì
và cho
31
(2.25)
Tương tự, sao cho và
(2.26)
Bây giờ ta chứng minh rằng là điểm trùng của và .
Vì khi nên theo giả thiết, . Do đó, từ
(2.24) ta có
, (2.27)
trong đó
.
Lấy giới hạn trên khi , áp dụng (2.25)-(2.26) và Bổ đề 1.3.20, ta được
. (2.28)
32
Lấy giới hạn trên khi trong (2.27), sử dụng (2.28) và Bổ đề
1.3.20, ta được
,
suy ra , do đó từ (2.28) ta được .
Vì và là tương thích yếu, nên ta có . Như vậy,
là điểm trùng của và .
Tương tự, có thể chỉ ra rằng là điểm trùng của cặp . Bây giờ, ta sẽ
chỉ ra . Từ (2.24) ta có
,
trong đó
Do đó, ta có
33
Suy ra , do đó ta có . Do đó .
Bây giờ, tương tự như chứng minh của Định lý 2.1.1, thật vậy từ (2.21)-
(2.23), ta có . Do đó, .
Kết luận cuối cùng suy ra tương tự chứng minh của Định lý 2.1.1.
Sau đây là ví dụ minh họa cho kết quả trên.
Ví dụ 2.3.3. Cho được trang bị metric
, trong đó và giả sử ‘ ’ là thứ tự thông thường
trên . Hiển nhiên, là không gian metric đầy đủ được sắp thứ
tự. Cho là các ánh xạ được xác định bởi
.
Với mỗi , ta có và , nên
và .
Như vậy, và là các ánh xạ bị trội và và là các ánh xạ trội với
.
Ngoài ra, cặp là tương thích, là liên tục và là tương thích yếu.
Lấy các hàm được xác định bởi và
, với mọi , ở đó . Với , ta có
34
.
Như vậy, và thoả mãn tất cả các điều kiện của Định lý 2.1.1 và là
điểm bất động chung duy nhất của và .
Hệ quả 2.3.4. Cho là không gian metric đầy đủ sắp thứ tự và
, là hai tự ánh xạ bị trội trên .Giả sử với hai phần tử so sánh được
tùy ý,
được thỏa mãn, trong đó
và . Nếu với mọi dãy không tăng và dãy với
, với mọi sao cho , ta có , thì và có một điểm bất động
chung. Ngoài ra, tập các điểm bất động chung của và là sắp thứ tự tốt
và có một và chỉ một điểm bất động chung.
Chứng minh. Lấy và ánh xạ đồng nhất trên . Khi đó kết quả cần chứng
minh được suy ra từ Định lý 2.3.2.
Hệ quả 2.3.5. Cho là không gian metric đầy đủ sắp thứ tự và
, là hai tự ánh xạ bị trội trên . Giả sử với hai phần tử so sánh được
tùy ý,
được thỏa mãn, trong đó
35
và . Nếu với mọi dãy không tăng và dãy với , với
sao cho , thì và có một điểm bất động chung. , ta có
và và là sắp thứ tự tốt
Ngoài ra, tập các điểm bất động chung của có một và chỉ một điểm bất động chung.
Chứng minh. Nếu lấy và là ánh xạ đồng nhất trên , và
, thì từ Định lý 2.3.2 suy ra và có điểm bất động chung.
2.4. Sự tồn tại nghiệm chung của hệ phương trình tích phân
Xét hệ phương trình tích phân sau:
,
, (2.29)
trong đó . Mục đích của phần này là trình bày định lý tồn tại nghiệm
của hệ (2.29) thuộc vào bằng cách sử dụng kết quả nhận được trong
Hệ quả 2.3.4.
. Bài toán được xét có thể được phát biểu Ở đây,
lại như sau.
Cho là các ánh xạ được xác định bởi
với mọi và mọi .
Khi đó sự tồn tại nghiệm của (2.29) tương đương với sự tồn tại điểm bất
động chung của và . Theo ví dụ 1.2.11, được trang bị
36
với mọi , là không gian metric đầy đủ với .
Bây giờ ta cho bởi một quan hệ thứ tự bộ phận
với mọi .
Ta có kết quả sau đây.
Định lý 3.1.1. Giả sử các giả thiết sau đây xảy ra:
liên tục
và , ta có
và với , ta có
,
trong đó là hàm liên tục thoả mãn
.
Khi đó các phương trình tích phân (2.29) có nghiệm chung .
Chứng minh. Từ điều kiện , và là các tự ánh xạ bị trội trên .
Lấy với và sao cho . Từ điều
kiện , , ta có
37
Vì thế,
Khi đó lấy và trong Hệ quả 2.3.4,
là điểm bất động chung của và , tức là, là nghiệm của hệ (2.29).
38
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
Tổng quan và hệ thống một số khái niệm, tính chất cơ sở của không gian
metric và không gian metric. Một số kết quả về điểm bất động và điểm
bất động chung của các ánh xạ trong không gian metric. Các kết quả được
trình bày trong các Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.2 và Định lí 2.2.1.
Một số kết quả nghiên cứu của N. Hussain, J.R. Roshan, V. Parvaneh và
M.Abbas về điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian
metric. Các kết quả được trình bày trong các Định lí 2.3.1, Định lí 2.3.2,
Hệ quả 2.3.4, Hệ quả 2.3.5.
39
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. 1. Aghajani A., Abbas M., Roshan J.R (2012), “Common fixed point of
generalized weak contractive mappings in partially ordered b-metric
spaces”. Math. Slovaca (in press)
[2]. Hitzler P., Seda A.K., (2000), “Dislocated topologies”. J. Electr. Eng.
51(12), 3-7.
[3]. Hussain N., Roshan J.R., Parvaneh M.Abbas M., (2013), “Common fixed
point results for weak contractive mappings in ordered b-dislocated metric
spaces with applications”, Journal of Inequalities and applications,
2013:486
http://www.journalofinequalitiesandapplications.com/content/2013/1/486
[4]. Jha K., (2012), “A common fixed point theorem in dislocated metric
space”. Appl. Math. Sci. 6(91), 4497-4503.
[5]. Jungck G., (1986), “Compatible mappings and common fixed points”. Int.
J. Math. Math. Sci. 9(4), 771-779.
[6]. Kirk M, Shahzad N.,(2014), Fixed point theory in distance spaces,
Springer International Publishing Switzerland.
[7]. Kumari P.S., Kumar V.V., Sarma I.R., (2012), “Common fixed point
theorems on weakly compatible maps on dislocated metric spaces”. Math.
Sci. 6, 71.
[8]. Roshan J.R, Shobkolaei N., Sedghi S. and Abbas M., (2014), "Common
fixed point of four maps in b−metric spaces", Hac Jour of Math and Stat
Vol 43(4), 613–624.
[9]. Sarma I.R., Kumari P.S., (2012), ”On dislocated metric spaces”. Int. J.
Math. Arch. 3(1), 72-77.
40
