Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH

Nguyễn Thiện Chí

KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG

PHỔTHÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Văn Tiến, người

đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào

việc hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến,

TS.Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy,

truyền thụ kiến thức và niềm say mê đối với Didactic Toán.

Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS.Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot,

TS.Vũ Như Thư Hương đã nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp

những thắc mắc cần thiết cho chúng tôi.

Tôi cũng xin chân thành cám ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.HCM

đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi khi được học tập tại trường.

- Ban Giám hiệu Trường THCS Võ Việt Tân và các đồng nghiệp thuộc Bộ

môn Toán đã tạo mọi thuận lợi cho tôi trong lúc học tập tại trường ĐHSP TP.HCM.

Xin gởi những lời cảm ơn chân thành đến các bạn trong lớp Didactic khóa 18 đã

cùng tôi học tập, trải qua những ngày vui buồn và những khó khăn trong khóa học.

Sau cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thành viên trong gia đình

tôi, luôn động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt.

NGUYỄN THIỆN CHÍ

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SGK: Sách giáo khoa

SBT: Sách bài tập

SGV: Sách giáo viên

PT: Phương trình

QT: Quy tắc

BP: Bình phương

XD: Xét dấu

TL: Trả lời

d( x,0): Khoảng cách từ điểm x đến điểm 0

M6: Sách giáo khoa toán 6 tập 1

E6: Sách bài tập toán 6 tập 1

G6: Sách giáo viên toán 6 tập 1

M7: Sách giáo khoa toán 7 tập 1

E7: Sách bài tập toán 7 tập 1

G7: Sách giáo viên toán 7 tập 1

M8: Sách giáo khoa toán 8 tập 2

E8: Sách bài tập toán 8 tập 2

G8: Sách giáo viên toán 8 tập 2

M9: Sách giáo khoa toán 9 tập 1

E9: Sách bài tập toán 9 tập 1

G9: Sách giáo viên toán 9 tập 1

M10: Sách giáo khoa đại số lớp 10 ( Ban cơ bản )

E10: Sách bài tập đại số lớp 10 ( Ban cơ bản )

G10: Sách giáo viên đại số lớp 10 ( Ban cơ bản)

MỞ ĐẦU

 Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu

 Khung lý thuyết tham chiếu

 Mục đích nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu.

1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu

Giá trị tuyệt đối là một đối tượng xuất hiện trong chương trình toán phổ thông

xuyên suốt từ bậc trung học cơ sở đến trung học phổ thông, với một vị trí khá quan trọng.

Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi học các kiến

thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối. Đặc biệt, chúng tôi thường nhận thấy

hiện tượng sau:

Hầu hết học sinh cho câu trả lời đúng với bài toán tính giá trị tuyệt đối của một

7 = 7), nhưng lại sai lầm khi cho kết quả

a = a, hoặc

( x  

  .

số cụ thể (chẳng hạn

chẳng hạn

Tại sao học sinh phạm phải sai lầm này? Còn những sai lầm khác gắn liền với

khái niệm này không ?

Chắc chắn những sai lầm trên xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau,

nhưng có hai yếu tố cần nêu lên trong các nhận xét trên:

- Có một sự khác biệt khi chuyển từ giá trị tuyệt đối của số cụ thể sang giá trị

tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ, hay của một biểu thức.

- Dấu “ - ” dường như cũng đóng một vai trò quan trọng tạo nên khó khăn và

sai lầm ở học sinh khi tiếp cận với các tình huống có giá trị tuyệt đối.

Từ những ghi nhận và gợi hỏi trên chúng tôi quyết định chọn chủ đề “Khái

niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông” làm đề tài cho luận

văn thạc sĩ của mình.

Cụ thể hơn, mục tiêu của luận văn này là trả lời cho các câu hỏi khởi đầu đặt ra sau đây:

- Khái niệm giá trị tuyệt đối được đưa vào chương trình phổ thông như thế

nào? Nhằm mục đích gì? Được định nghĩa ra sao? Những dạng toán nào liên quan

đến khái niệm giá trị tuyệt đối? Chúng được phát triển như thế nào qua các khối lớp,

bậc học?

- Học sinh thường gặp những lầm nào khi giải quyết các tình huống gắn liền

với khái niệm giá trị tuyệt đối ? Những sai lầm này sinh ra từ đâu?

- Các đối tượng “Số âm”, bản thân dấu “–”, “Chữ” hay “Biến” có vai trò gì đối

với khái niệm giá trị tuyệt đối? chúng có phải là yếu tố gắn liền với những khó khăn

và sai lầm trên của học sinh ?

- Nội dung và hình thức tổ chức các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị

tuyệt đối trong chương trình và sách giáo khoa hiện nay (kết quả lựa chọn của hệ

thống dạy học) ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về khái niệm giá trị tuyệt

đối và việc giải quyết các dạng toán liên quan đến khái niệm này?

2. Khung lý thuyết tham chiếu

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc

vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây:

2.1. Lý thuyết nhân chủng học

Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “ quan

hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”.

Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua

nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard

,  , ,

(1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế



, trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần  

giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lý thuyết giải thích cho

công nghệ .

2.2. Chướng ngại

2.2.1. Chướng ngại và sai lầm

(Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4])

Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard và

Brousseau. Kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với

tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nói đến

bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó.

Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được xây

dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với

những kiến thức khác. Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và có thể là không

hoàn toàn chính xác.

Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh:

“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không hiểu biết, không chắc chắn,

ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa

hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức

đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không

còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không

phải là không dự kiến trước được , và chúng tạo nên những chướng ngại. Trong hoạt

động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm có thể sinh ra từ

nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi chủ thể này” (Brousseau, 1983).

Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có một nguồn gốc chung.

Việc phân tích sai lầm có thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập.

2.2.2. Đặc trưng của chướng ngại

(Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4-5])

Trước tiên, cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều có thể được

xem là chướng ngại.

Về việc này, Duroux đã nêu lên những đặc trưng của khái niệm chướng ngại mà

theo đó thì chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm. Kiến thức, quan niệm này tạo

ra những câu trả lời phù hợp trong một số ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn

đến những câu trả lời sai ở ngoài những ngữ cảnh này. Để có một câu trả lời chính xác

và đúng trong mọi trường hợp, cần phải có sự thay đổi trong quan điểm.

Sự phân biệt giữa khó khăn và chướng ngại cũng đã được nói rõ bởi El

Bouazzauori, bằng một sự tiếp cận song song các quan điểm lịch sử và quan điểm

nhận thức.

“Nếu vấn đề được đặt ra ở một thời đại nào đó, trong một lý thuyết toán học

nào đó đã được giải quyết mà không cần phải xem xét lại những quan điểm của lý

thuyết đang nói đến, thì người ta nói rằng một khó khăn đã được vượt qua. Dấu

hiệu của sự tồn tại một khó khăn là toán học ở thời kỳ đó đã bị bế tắc, cho dù những

phương tiện để giải quyết vấn đề có thể đã có sẵn […]. Người ta cũng có thể nói

như vậy về những khó khăn trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối

với một khái niệm toán học […]

Nếu ngược lại, vấn đề chỉ được giải quyết sau khi đã có một sự xây dựng lại

kiến thức và một sự thay đổi quan trọng về quan điểm, thì người ta nói rằng một

chướng ngại đã vượt qua. Dấu hiệu của sự tồn tại một chướng ngại là lý thuyết của

thời đại đó đã kìm hãm và ngăn cản việc giải quyết vấn đề được đặt ra.

Theo cùng một cách thức như vậy, người ta cũng có thể nói về những chướng

ngại trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm toán

học” (El Bouazzauori, 1988)

Các nhà didactic toán phân biệt bốn kiểu chướng ngại chủ yếu tùy theo nguồn

gốc của chúng:

- Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử

của những kiến thức mà việc loại bỏ nó đòi hỏi phải được đưa vào một cách tường

minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh.

- Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi didactic,

chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của từng hệ thống

giáo dục.

- Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với những

hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát

triển của nó.

- Chướng ngại văn hóa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn

hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luôn luôn tồn tại.

Chỉ có những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc vượt

qua chúng đóng một vai trò quyết định trong việc xây dựng tri thức. Và người ta có

thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử phát sinh của chính khái

niệm đang được nói đến.

Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic

của khái niệm, và như vậy nó đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đó.

2.3. Quan niệm và quy tắc hành động

(Theo Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến [4])

2.3.1. Quan niệm

Ta gọi quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích

ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm

toán học. Mô hình này cho phép:

- Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những

cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của

một lớp nào đó các bài toán;

- Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực tế

được học sinh xây dựng.

G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực

hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn

đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm này dẫn

đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách

khó khăn trong điều kiện bất lợi”.

Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau):

- Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh;

- Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các định

nghĩa và tính chất khác nhau.

2.3.2. Quy tắc hành động

Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ

những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một

nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất

toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh.

Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai

của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những

tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thường thì

phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với

học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó. Một câu

trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp

thức của nó.

3. Mục đích nghiên cứu

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình

bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời

chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:

Q1: Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa

học luận và sư phạm? Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào

mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này?

Q2: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập như thế

nào? Nghĩa của chúng là gì? Khái niệm này được tiến triển ra sao?

Q3: Mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối đã được xây dựng và tiến

triển ra sao trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ

chức toán học gắn liền với khái niệm này? Các tổ chức toán học đó tiến triển như

thế nào qua các khối lớp, bậc học? Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi

nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối ở bậc đại học và ở bậc

phổ thông?

Q4: Những ràng buộc của thể chế dạy học có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan

hệ cá nhân học sinh? Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được học

  (với mọi số nguyên a) hoặc

x (  

  (với mọi số thực x)? Còn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm

sinh vận dụng góp phần tạo ra sai lầm

giá trị tuyệt đối không?

4. Phương pháp nghiên cứu

Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết phù hợp và đặt

ra những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3, Q4.

Để trả lời câu hỏi Q1, chúng tôi tham khảo một số luận văn trong didactic đã

được công bố về vai trò của chữ và bước chuyển từ số cụ thể sang chữ. Mặt khác,

chúng tôi phải tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng sẽ có tác dụng bổ sung cho

nhau, một nghiên cứu thể chế và một nghiên cứu điều tra khoa học luận của khái

niệm số âm. Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho

chúng tôi hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm. Đó sẽ là

cơ sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm.

Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng

tôi hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trò gì trong thể

chế. Nó cũng giúp cho chúng tôi xác định nguồn gốc didactic của những khó khăn

mà học sinh thường gặp. Từ đó đưa ra dự đoán kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh

phạm phải gắn liền với khái niệm số âm. Các kết quả thu được cho phép chúng tôi

đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong chương 1: “Một số đặc

trưng khoa học luận và sư phạm của khái niệm chữ và số âm ”.

Để trả lời câu hỏi Q2, chúng tôi tiến hành phân tích một vài nét về lịch sử của

khái niệm giá trị tuyệt đối với mục đích tìm ra sự tiến triển cũng như nghĩa của khái

niệm này trong lịch sử. Đó là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích các giáo trình

toán ở bậc đại học. Kết quả thu được cho phép trả lời câu hỏi Q2 và được trình bày

trong chương 2: “Khái niệm giá trị tuyệt đối ở cấp độ tri thức khoa học”.

Để trả lời các câu hỏi Q3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối

tượng giá trị tuyệt đối. Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách

giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập hiện hành ở các lớp 6, 7, 8, 9, 10. Chúng tôi

sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối, cũng như chỉ ra được

các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp, bậc học.

Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tôi trả lời các câu hỏi Q3 và đưa

ra các giả thuyết nghiên cứu. Kết quả này sẽ được trình bày trong chương 3:

“Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối”.

Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này,

chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với học sinh qua các

phiếu học tập. Các kết quả nhận được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu

hỏi Q4 và được trình bày trong chương 4: “Nghiên cứu thực nghiệm”.

Chương 1.

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ SƯ PHẠM

CỦA KHÁI NIỆM CHỮ VÀ SỐ ÂM

 Khái niệm chữ

 Khái niệm số âm.

Mục tiêu của chương

Mục tiêu chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu lịch sử và

nghiên cứu thể chế về hai đối tượng “chữ” và “số âm” nhằm làm rõ các đặc trưng

khoa học luận và đặc trưng sư phạm của chúng. Cụ thể chúng tôi nhắm đến trả lời

các câu hỏi sau đây:

1. Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt

khoa học luận và sư phạm?

2. Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh

phạm phải liên quan đến khái niệm này?

1.1. Về khái niệm chữ

Liên quan đến lịch sử của khái niệm chữ, vai trò của chữ và bước chuyển từ

việc thao tác trên các số cụ thể sang kí hiệu chữ, chúng tôi tìm được các tài liệu sau:

1. Phan Thị Hằng (2002), Vai trò và ý nghĩa của các chữ trong việc dạy học số

học ở lớp 6 chương trình cải cách giáo dục trường hợp phép chia Euclide, Luận văn

Thạc sĩ. [19]

2. Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình bậc

hai trong việc dạy học trung học tại Việt Nam và tại Pháp, Luận án Tiến sĩ. [21]

3. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1. [22]

4. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2. [23]

Vì thế trong phần này chúng tôi sẽ tham khảo các tài liệu trên và tóm tắt những

kết quả mà các tác giả đã nghiên cứu để bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên

cứu luận văn của mình.

1.1.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm chữ

Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt lịch sử, đại số ra đời

nhằm giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công cụ giải các

bài toán thuộc các lĩnh vực khác. Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại sự

phát triển lịch sử của phong trào ký hiệu đại số thành ba giai đoạn:

Giai đoạn “hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử

dụng ngôn ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu

vắng cho việc biểu thị các biến số. Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài

toán mà không dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả.

Giai đoạn “rút âm từ” (Từ Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã đưa

vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết. Đại số “rút âm từ” sử dụng

một số viết tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử

dụng thường xuyên hơn.

Giai đoạn “đại số ký hiệu” (từ thời Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử

dụng để chỉ các đại lượng : do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử

dụng đại số như một công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán” [21, tr.5].



 v



chỉ bình phương của ẩn số, x v

chỉ lập phương của ẩn số. Bên phải ẩn số hay

 v

 (trong đó

Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu sau: s’ để chỉ ẩn số,

=2). Như vậy, kí hiệu chữ được dùng để chỉ ẩn số và để ghi các số với dấu gạch

lũy thừa của nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x5 được viết là x

ngang trên đầu, chẳng hạn =1,=2,…Việc sử dụng chữ s’ để chỉ đại lượng chưa

biết là do từ Arập Shei (nghĩa là đồ vật), viết theo tiếng La tinh là xei, rồi rút gọn

dần thành x.

Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và để chỉ bình phương, chẳng hạn 3x2 + 10x. Theo cách viết của Brakhmagupta (thế kỉ

thứ 7) có dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương).

Cuối thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L. Pacioli dùng

m (là chữ đầu của minus có nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ.

kí hiệu p (là chữ đầu của plus có nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu

Một bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu toán học là việc F.

Vìète (1591), đưa vào kí hiệu chữ để chỉ các đại lượng không đổi tùy ý: đó là các

phụ âm thông thường trong bảng chữ cái la tinh b, d…Điều này lần đầu tiên cho

phép viết các phương trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng. Để chỉ

các ẩn số Vìète dùng các nguyên âm a, e…

Nhà bác học Pháp R. Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số có bộ mặt như

hiện nay khi kí hiệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và

các đại lượng đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng a2, a3 …Các kí hiệu của Descartes có ưu điểm hơn hẳn các kí hiệu trước kia, do đó

nhanh chóng được thừa nhận rộng rãi.

Để thấy được tầm quan trọng của việc đưa vào sử dụng ký hiệu chữ, chúng tôi

xin trình bày đoạn trích trong [22] như sau: “ Việc thực hiện các phép toán trên các

chữ thay thế cho bất kỳ số cụ thể nào, quả là có ý nghĩa cực kỳ quan trọng, không

có công cụ đó – ngôn ngữ của các công thức – không thể có được sự phát triển của

toán học. Đặc biệt ký hiệu chữ và các phép toán trên những ký hiệu đó, ngay từ thế

kỷ 16-17, đã thúc đẩy sự ra đời của quan điểm coi những đại lượng toán học là đại

lượng biến thiên, ấy là nét đặc trưng của giải tích toán học, trong đó sự biến thiên

liên tục của một đại lượng thường tương ứng với sự biến thiên liên tục của một đại

lượng khác, là hàm của nó”

Tóm lại, khái niệm chữ có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau:

- Đã xảy ra sự chuyển biến từ đại số bằng lời tới đại số kí hiệu bằng cách rút

gọn (viết tắt) các từ, rồi bằng cách đưa ra các kí hiệu. Điều này đã thể hiện bước

chuyển quan trọng từ việc thực hiện các phép toán trên tập hợp các số cụ thể sang

tập hợp các số biểu thị bằng chữ.

- Về mặt lịch sử khái niệm ẩn số xuất hiện trước khái niệm biến số: chữ được

dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó được sử dụng để biểu thị một tập

hợp giá trị.

- Các kí hiệu chữ có nhiều vai trò khác nhau : dùng chữ để ghi số, chữ chỉ

hằng số, ẩn số, biến số, phép toán cộng, trừ, bình phương của ẩn số, lập phương

của ẩn số.v.v . Điều này cho thấy tính phức tạp về nghĩa của kí hiệu chữ .

1.1.2. Đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ

Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Trong số học chữ dùng để chỉ

các đơn vị đo hay chỉ các sự vật. Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g. Khi

chuyển sang đại số các chữ dùng để chỉ các số (Booth 1984, Kieran 1991), và biểu

thức 5g có thể được giải thích 5*g trong đó g chỉ một số.

Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ, trong đó

ông phân biệt:

- Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số

- Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán

- Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn

- Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm

- Chữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị

- Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” [21, tr.6]

Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002) “Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa

của các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng:

Trong số học, các chữ đã hiện diện, chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo

hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12 mét hoặc chỉ 12 môtô (chữ m

được dùng như một nhãn hiệu). Việc chuyển sang đại số kéo theo một sự mở rộng

về nghĩa: các chữ bây giờ được dùng để chỉ các số, 12m cũng sẽ có nghĩa là 12 lần

số mét, m chỉ một số và với danh nghĩa đó chúng được đưa vào để tính toán (…)

Như vậy, quy chế về nghĩa của các chữ phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể chứ

không bị rút gọn vào ý nghĩa nhãn hiệu. Đối với học sinh, sự thay đổi quy chế này

không hề được làm rõ, hơn thế nữa nó được khắc sâu bởi một chuỗi các cách viết

cũng như bởi các phương tiện tranh luận thông thường kiểu như: để làm cho học

sinh hiểu rằng 2x + 3x = 5x, người ta gợi ý rằng hãy nghĩ đến x như nghĩ về những

quả táo, điều này càng củng cố thêm cách hiểu các số thiên về ý nghĩa nhãn hiệu.

Vì vậy, bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác có thể hình thành

một chướng ngại quan trọng đối với học sinh.” [19, tr.11]

Phan Thị Hằng (2002), khi nghiên cứu về “Vai trò, ý nghĩa của các ký hiệu

chữ” trong dạy học phép chia Euclide ở lớp 6 (theo chương trình cải cách giáo dục)

đã chỉ ra rằng: “Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú, đa

dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ vai trò

như một chữ số của một số có nhiều chữ số .v.v. Chính sự phức tạp này có thể gây

nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong

đó có sự tham gia của các kí hiệu chữ.” [19, tr.61]. Đặc biệt, tác giả đã đưa ra kết

luận sau: “ Khi đối diện với các tình huống liên quan đến tới phép chia Euclide mà

ở đó có sự hiện diện của các chữ, học sinh lớp 6 thường gặp phải những khó khăn,

lúng túng trong việc thực hiện các thao tác với các chữ. Đặc biệt, học sinh có xu

hướng áp dụng các thao tác quen thuộc trên các số cụ thể đã được học ở bậc tiểu

học với các chữ.” [19, tr.64]

Từ các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi rút ra một số đặc trưng sư phạm của

khái niệm chữ như sau:

- Chữ giữ nhiều vai trò khác nhau, chẳng hạn: Chữ được gán giá trị, chữ là

một nhãn, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ biến số. Điều

này cho thấy tính đa nghĩa của kí hiệu chữ. Đây là vấn đề đã từng xuất hiện trong

a (với a là số nguyên) thì a giữ vai trò gì? Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này ở các

lịch sử. Đến đây một câu hỏi được đặt ra: Trong các tình huống có sự hiện diện của

phần sau.

- Ý nghĩa của các ký hiệu chữ được sử dụng khác nhau tùy thuộc vào ngữ cảnh

khác nhau. Đặc biệt, khi chuyển sang đại số sẽ dẫn đến một sự mở rộng về nghĩa

của “ký hiệu chữ”.

- Trong trường hợp phép chia Euclide việc thực hiện các thao tác trên tập hợp

các số cụ thể đã tạo nên chướng ngại cho việc thực hiện các thao tác trên tập hợp

các số biểu thị bằng chữ. Một điểm quan trọng ở đây là trong chương trình Toán 6

hiện hành phép chia Euclide được đề cập ở chương 1: “Ôn tập và bổ túc về số tự

nhiên”, còn khái niệm giá trị tuyệt đối mà chúng tôi đang nghiên cứu thuộc chương

2: “Số nguyên”. Do đó, từ kết quả này chúng tôi đặt ra câu hỏi: Phải chăng việc tính

giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể, tạo nên chướng ngại cho việc tính giá trị

tuyệt đối trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ? Chúng tôi sẽ trả lời

câu hỏi này ở các phần sau.

1.2. Về khái niệm số âm

Trong phần này chúng tôi tham khảo các nguồn tài liệu sau:

1. Nguyễn Cang (2001), giới thiệu tóm tắt cuộc đời và sự nghiệp của các nhà

Toán học [1]

2. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), lịch sử toán học.

3. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1.

4. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2.

5. Boyé A (2006), Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs.

6. Cauchy (1821). Cours d’analyse de l’école royale polytechnique.

7. Schubring G, Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs.

1.2.1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm số âm

Những người Trung Quốc đã sử dụng những số âm từ thế kỷ đầu tiên của thời

đại chúng ta. Thông thường họ dùng những que tính màu đen để biểu thị các số âm,

những que màu đỏ để biểu thị các số dương. Liu Hui (220-280) đã giải thích và dạy

các phép tính số học bằng cách liên kết với các que tính. Tuy nhiên những số âm chỉ

xuất hiện như là hỗ trợ cho tính toán, nghĩa là công cụ trung gian, không có số âm

trong những phát biểu của bài toán, cũng không có trong các câu trả lời.Trong thời

kỳ này số âm được hiểu như số “tiền nợ”.

Diophante (Khoảng thế kỉ thứ 3, sau công nguyên). Ông không chấp nhận những phương trình dạng như 4 = 4x + 201, bởi nghiệm của chúng là “vô lý”.

Diophante xem số âm là số “vô lý” .

Brahmagupta (598-660) là nhà toán học lớn người Ấn Độ thế kỷ VI và VII. Qua

tác phẩm của ông người ta xác nhận rằng: “Ông là người đầu tiên đưa ra số 0 và

những số âm. Và ông đã dùng những số này trong tính toán những “khoản tiền” ”.

Các nhà toán học Ấn Độ xem số âm là “số lỗ”, là “món nợ”. Quy tắc cộng các

số được viết là: “Tổng của hai số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của

số lãi và số lỗ là hiệu của chúng và nếu hai số đó bằng nhau thì tổng bằng không”.

Trong giai đoạn này số âm được trình bày dưới dạng các “khoản nợ”. Nó không

được sử dụng mà chỉ được coi như một khả năng lý luận. Mặt khác Brahmagupta đã

sử dụng dấu chấm (.) để chỉ số “tiền nợ”.

(m là từ chữ la tinh minus nghĩa là trừ)

k ma

Vào năm 1484, trong tác phẩm “khoa học về các số” của mình Chuquet (1445- 

ka . Như vậy, trong thời kỳ này ông

là ký hiệu của 1500) đã đưa vào số mũ âm, chẳng hạn 5 3 m là kí hiệu của 5-3 , nói chung

dùng ký hiệu chữ m với một vạch nhỏ trên đầu để chỉ phép trừ và cho cả số âm.

Số âm được hiểu theo nghĩa là số “thiếu”. Tuy nhiên lúc bấy giờ số âm chưa

được chấp nhận.

Ở phương tây những số âm xuất hiện vào cuối thế kỷ XV, khi giải phương

trình. Chẳng hạn, qua tác phẩm “Các qui tắc đại số” của nhà toán học người Ý

 (trong đó 

 1 Ẩn số x được ki hiệu là s’, bên phải ẩn số Diophante ghi hệ số, ví dụ 4x được viết là s’ = 4). Khi cộng ông viết số hạng này sát số hạng kia, dùng chữ l để chỉ đẳng thức. Như vậy phương trình ở trên

 

 l 

 được viết là s’

, với =20.

Cardan (1501-1576) người ta xác nhận rằng: “Cardan là người đầu tiên đã nhận ra

nhiều giá trị của ẩn số trong những phương trình và ông phân biệt các số dương, số âm. Chính ông đã đề nghị một phương trình bậc hai: x2 + 4x = 21 và nhận thấy

các giá trị của x là +3 và số hư 7”. Cardan gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”. Ông

dùng ký hiệu m để chỉ số “hư”. Ký hiệu này trùng với ký hiệu của phép toán trừ mà

Chuquet đã sử dụng.

Vào năm 1637, trong tác phẩm “hình học” của mình Descartes (1596-1650) đã

giới thiệu các nghiệm của một phương trình như sau: “Đôi khi một vài nghiệm thì

được gọi là “hư” hoặc nhỏ hơn 0, khi giả sử x để chỉ số lượng thiếu nó là 5 thì x + 5  2 0, lấy x + 5 nhân với x3 – 9xx + 26x – 24  0 thì được x4 – 4x3 – 19xx + 106x

– 120  0. Phương trình này có bốn nghiệm, trong đó ba nghiệm thật là 2, 3, 4 và

một nghiệm hư là 5”.

Như vậy, Descartes gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”, số “nhỏ hơn 0”, số

“thiếu”. Dấu “-” trong đoạn trích trên dùng để chỉ phép trừ, kí hiệu này được giới

thiệu bởi nhà bác học Tiệp Vidman (1489).

Các số âm đã phải trải qua nhiều khó khăn trong một thời gian dài vẫn chưa

được công nhận, số âm được hiểu theo nghĩa như số “tiền nợ”, số “thiếu”, các

nghiệm âm của phương trình gọi là số “vô lý”, nghiệm “hư”, bên cạnh nghiệm thật

là số dương. Các nghiệm này sinh ra từ giá trị của chữ chưa biết trong phương trình.

Đến khi hình học giải tích của Descartes ra đời, số âm được chấp nhận vào thế

kỉ thứ 17 sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích. Với

sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng (chẳng hạn các đoạn

thẳng hướng theo chiều ngược, di chuyển theo chiều ngược với chiều đã chọn). Ông

biểu diễn số âm trên trục số vào bên trái điểm 0 với cách viết như -1,-2, -3,…Từ đó

kí hiệu dấu“-” được gán để chỉ số âm đã xuất hiện. Như vậy, sự xuất hiện của dấu

“-” là một dấu hiệu chỉ số âm. Điểm đáng chú ý ở đây là dấu “-” trong ký hiệu số

2 Kí hiệu  được đưa vào năm 1557 bởi Robert Record (1510 – 1558) tương ứng với ngày nay là kí hiệu dấu “=”

âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu vào năm 1489.

Vào năm 1748, Maclaurin (1698-1746) đã hình thành các quy tắc nhân: nhân một

số âm với một số dương, nhân hai số âm như sau: “Với a và n là các số dương thì:

n × [a + (-a)] = n × 0 = 0 (1)

n × [a + (-a)] = n × a + n × (-a) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: n × a + n × (-a) = 0

Vì n × a là số dương nên n × (-a) là số âm

n là số dương và (-a) là số âm nên tích của một số dương và một số âm là một số âm

(-n) × [a + (-a)] = (-n) × 0 = 0

(-n) × [a + (-a)] = (-n) × a + (-n) × (-a)

Do đó: (-n) × a + (-n) × (-a) = 0

Mà (-n) × a là số âm (vì nhân một số dương với một số âm)

Suy ra: (-n) × (-a) là một số dương

Vì (-n) là số âm và (-a) là số âm nên tích của hai số âm là một số dương”

Trong chứng minh trên Maclaurin đã đề cập đến việc dùng ký hiệu chữ, nhưng

ở đây chữ chỉ đại diện cho số dương và do đó chẳng hạn (–a) được hiểu là số âm.

Như vậy đã có thời kỳ mà (-a) luôn được xem là số âm (vì luôn giả thiết a > 0).

Vào năm 1766, trong sách giáo khoa của mình Euler (1707-1783) đã khẳng

định sự tồn tại phép toán 25 - 40 = -15 và những số âm thì nhỏ hơn 0. Ông đã xem 2

dãy số: 0, 1, 2, 3, 4,…

…,-4, -3, -2, -1, 0 hợp lại thành một khái niệm số nguyên. Euler định nghĩa

bốn phép toán trên những số này.

Trong giáo trình giải tích của mình (1821), Cauchy (1789-1857) đã định nghĩa

số (để chỉ số cụ thể) và đưa ra quy tắc nhân dấu dựa trên các ký hiệu “+” và “-” như

sau: “Những số bao gồm phần bằng số và trước nó có dấu “+” hoặc “-”. Dấu “+”

hoặc “-” đặt trước một số sẽ làm thay đổi nghĩa của số đó, gần như là một tính từ

đổi thành danh từ. Những số mà đằng trước có dấu “+” gọi là những số dương,

những số mà đằng trước có dấu “-” gọi là những số âm. Trong trường hợp mà ở

đó chữ a được đại diện bởi một số thì ký hiệu – a để chỉ số đối của a. Theo sự thỏa

thuận này thì nếu A đại diện cho số bất kỳ, người ta có: a = +A, b = -A. Ta có: +a

= +A, +b = -A, -a = -A, -b = +A.

Nếu trong bốn phương trình này, người ta đặt lại a, b và giá trị của chúng

trong ngoặc đơn thì sẽ có: +(+A) = +A; +(-A) = -A; -(+A) = -A, -(-A) = +A. Trong

mỗi công thức này dấu ở vế phải gọi là tích của hai dấu ở vế trái. Việc xem xét duy

nhất những phương trình ở trên đủ để hình thành quy tắc của những dấu”.

Từ đoạn trích trên, chúng tôi nhận thấy Cauchy đã sử dụng cùng một ký hiệu

dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ

thể), dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ). Theo chúng tôi đây

chính là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể

sang số hiện diện dưới dạng chữ.

Theo quan điểm của Wilckens (1800) thì ông đưa ra việc phân biệt rõ ràng

giữa dấu của phép toán với dấu của một số, để giải thích sự khác nhau ông đề nghị

một khái niệm số đối của một số a được ký hiệu bởi a và số đối ở đây được xác

định bởi phương trình: a + a = 0. Bằng cách sử dụng a như là dấu của một số đối

b được cho bởi phương trình b + b = 0. Vì vậy phép trừ tổng quát trên những số

của a, ông đưa đến định nghĩa: “đối với một số nguyên bất kỳ b, số đối của nó là

nguyên được định nghĩa bởi: a – b = a + b ”

Theo quan điểm của Hankel (1867), được thể hiện trong giáo trình: “lý thuyết

của số phức”. Ông giải thích phép nhân hai số đối:

“0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb)

0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb)

Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab”

Từ cách trình bày trên đã cho thấy Hankel kí hiệu (oppa) để chỉ số đối của số

a. Với cách ký hiệu này thì ông đã phân biệt một cách rõ ràng dấu “-” của số đối

(trong cách ký hiệu số đối của Cauchy) và dấu “-” của phép toán trừ

Bảng 1. Sự tiến triển của khái niệm số âm

Kí hiệu của số

Thời điểm

Đối tượng Đặc trưng của số âm

âm

Các que tính màu

Số âm được hiểu như số

Liu Hiu (220-280)

số cụ thể

đen

“tiền nợ”

Số âm được hiểu như số

Diophante (Thế kỉ thứ 3) Không có kí hiệu Số cụ thể

“vô lý”

Số âm được hiểu như số

Brahmagupta (598-660) Dấu chấm (.)

Số cụ thể

“tiền nợ”

Số âm được hiểu như số

Chuquet (1445-1500)

Số cụ thể

 m

“thiếu”

Số âm được hiểu như số

Cardan (1501-1576)

Số cụ thể

 m

“hư”

Số âm được chấp nhận, sự

giải thích hình học số âm

Descartes (1596-1650)

Dấu “-”

Số cụ thể

như là các đoạn thẳng có

hướng.

Chữ chỉ đại

Maclaurin (1698-1746)

Dấu “-”

diện cho số

- a được hiểu là số âm

dương

Số âm được hiểu như một

Euler (1707-1783)

Dấu “-”

Số cụ thể

ký hiệu gồm số dương và

dấu “-” đứng trước.

Số âm được hiểu như một

Dấu “-”

Số cụ thể

ký hiệu gồm số dương và

dấu “-” đứng trước.

Cauchy (1789-1857)

- a được hiểu là số đối của

Dấu “-”

Chữ

Tóm lại, số âm có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau đây:

- Số âm được sinh ra từ nhu cầu tính toán các “khoản tiền”, giải phương

trình,…Trong một thời gian dài số âm không được chấp nhận, chẳng hạn các

nghiệm âm của phương trình được gọi là nghiệm “hư”, số “vô lý”, số “thiếu”. Cuối

cùng số âm cũng được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17, sau khi được Descartes biểu

diễn trực quan trong hình học giải tích, với sự giải thích hình học số âm như là các

đoạn thẳng có hướng. Cuối cùng đã xóa bỏ sự khác biệt về nguyên tắc giữa các

nghiệm âm và nghiệm dương.

- Ký hiệu của số âm đã được sử dụng qua các giai đoạn lịch sử: Các que màu

đen, dấu chấm, m (trùng với dấu của phép toán trừ m mà chuquet đã sử dụng), dấu

“-” (trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu). Điều này cho

thấy tính không thống nhất trong việc sử dụng ký hiệu gắn với số âm. Hơn nữa đã

có thời kỳ (-a) được hiểu là số âm (vì luôn giả thiết a dương).

- Đã có các quan điểm khác nhau trong cách sử dụng kí hiệu số đối của một số,

chẳng hạn, theo Hankel thì số đối của a, kí hiệu là oppa, theo Wilekens thì số đối của a,

kí hiệu là ā. Với các quan điểm này tạo thuận lợi cho việc phân biệt dấu của số âm và

dấu của phép toán trừ. Tuy nhiên, Cauchy lại sử dụng cùng một kí hiệu dấu “-” với hai

nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số âm (trong trường hợp số cụ thể) và là dấu

chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”). Điều này dẫn đến trở ngại trong việc

hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí

hiệu chữ. Theo chúng tôi đây được xem như là kiểu trở ngại liên quan đến phức tạp về

nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang chữ.

Như vậy, việc phân tích lịch sử cho phép chúng tôi chỉ ra chướng ngại chủ yếu

liên quan đến số âm: Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể có

thể tạo nên chướng ngại cho việc hiểu số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới

dạng chữ.

1.2.2. Đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm

Trong luận văn này, khái niệm số âm được xem xét với tư cách là đối tượng

liên quan đến việc nghiên cứu khái niệm giá trị tuyệt đối. Để tìm hiểu những

chướng ngại gắn liền với số âm, trong phần này chúng tôi chỉ đặt trọng tâm đến việc

xem xét nghĩa của dấu “-” đã được sách giáo khoa hiện hành tính đến như thế nào

trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ.

Để thuận tiện chúng tôi sẽ dùng các kí hiệu sau đây: M6 để chỉ sách giáo khoa

toán 6, tập 1. G6 để chỉ sách giáo viên toán 6, tập 1.

Số nguyên âm được đưa vào M6, chương 2: “số nguyên”. Ở mục các ví dụ (bài

1), M6 có đoạn viết: “Trong thực tế, bên cạnh các số tự nhiên, người ta dùng các số

với dấu “-” đằng trước như: -1, -2, -3, … (đọc là âm 1, âm 2, âm 3, …, hoặc trừ 1,

trừ 2, trừ 3, …). Những số như thế được gọi là số nguyên âm” [M6, tr.66].

Từ đoạn trích trên, cho thấy số âm chỉ đơn thuần là sự “dán nhãn” dấu “-’’ đặt

trước một số dương. Như vậy, đã có sự xuất hiện trong quan niệm của học sinh về

đối tượng số âm, tập hợp những cái biểu đạt mà học sinh có thể gắn vào đối tượng

số âm là dấu “-”. Với tình huống trên đã đem lại nghĩa của khái niệm số âm đối với

học sinh: “Số nguyên âm được hiểu như một kí hiệu gồm số nguyên dương và dấu

“-” đứng trước”. Mặt khác chúng tôi nhận thấy xuất hiện dấu “-” trong ký hiệu của

số âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà học sinh đã quen biết. Vấn đề đặt ra là

tại sao như vậy? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi tìm thấy ở G6, trang 94, giải

thích như sau: “dấu “-” trong ký hiệu số âm tuy không phải là dấu “-” trong phép

trừ, nhưng vì lý do sư phạm, giáo viên không cần đề cập đến sự khác nhau đó. Nếu

vì lý do nào đó cần giải thích thì giáo viên cũng chỉ nên giải thích như sau: tuy bản

chất hai dấu có khác nhau, nhưng sau khi học xong phép trừ số nguyên, chúng ta sẽ

thấy chúng phù hợp với nhau. Vì thế chúng ta không sợ nhầm lẫn khi viết hai dấu

như nhau” . Việc dùng dấu “-” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-” trong phép trừ

đã từng tồn tại trong lịch sử của khái niệm số âm.

Mặt khác, nếu xét về cách đọc, chẳng hạn -1 thì đọc là âm 1, hoặc trừ 1. Tại

sao M6 lại nêu ra hai cách đọc? Để giải thích cho điều này thì G6 trang 94 có đoạn

viết: “Dấu “-” trong số âm đúng ra chỉ đọc là âm, nhưng trên thực tế người ta vẫn

đọc cả hai cách “âm” hoặc “trừ”, nên sách giáo khoa yêu cầu học sinh biết đọc cả

hai cách” [G6, tr 94].

Đến đây chúng tôi đặt ra câu hỏi: như vậy khi chuyển sang ký hiệu chữ, chẳng

hạn (–a) thì cách đọc như thế nào? Để trả lời câu hỏi này chúng tôi tìm thấy ở bài 6:

“Tính chất của phép cộng các số nguyên”, M6 đã đề cập đến ký hiệu dấu “-” gắn với

ký hiệu chữ như sau: “số đối của số nguyên a được ký hiệu là –a. Khi đó số đối của

(-a) cũng là a , nghĩa là - (-a) = a. Rõ ràng: Nếu a là số nguyên dương thì –a là số

nguyên âm, chẳng hạn a = 3 thì -a = -3. Nếu a là số nguyên âm thì –a là số nguyên

dương, chẳng hạn a = -5 thì -a = -(-5)=5 (vì 5 là số đối của -5)” [M6, tr.78].

Đoạn trích trên cho thấy, M6 đã sử dụng kí hiệu dấu “-” để chỉ số đối trùng với

dấu “-” trong kí hiệu số âm. Như vậy, các tác giả đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-”

với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể ) và

dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ ). Theo chúng tôi đây chính

là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện

diện dưới dạng chữ. Cụ thể nếu a là số nguyên dương, chẳng hạn a = 3 thì số đối (-a)

trong trường hợp này chính là số nguyên âm -3. Như vậy dấu “-” trong ký hiệu số đối

và dấu “-” trong ký hiệu số âm là phù hợp. Tuy nhiên nếu a là số nguyên âm, chẳng

hạn a = -5 thì -a = 5 lại là số nguyên dương. Đến đây vấn đề đặt ra: Liệu học sinh có

“thoát khỏi” cách hiểu (-a) luôn luôn là số nguyên âm hay không, khi dùng dấu “-” để

ký hiệu cho cả số âm và số đối? Hơn nữa, đối với học sinh nghĩa của dấu “-” không

được làm rõ. Trích dẫn sau đây sẽ minh chứng cho điều khẳng định này. “Dấu “-”

trong kí hiệu số đối không phải là dấu “-” trong kí hiệu số âm, cũng không phải là dấu

“-” trong kí hiệu phép trừ. Nhưng vì lý do sư phạm, giáo viên không cần đề cập đến.

Nếu vì lý do nào đó cần giải thích thì giáo viên cũng chỉ nên giải thích như sau: tuy

bản chất các dấu có khác nhau, nhưng sau khi học xong phép trừ số nguyên, chúng ta

sẽ thấy chúng phù hợp với nhau” [G6, tr.105].

Trong phần phân tích khoa học luận của khái niệm số âm, chúng tôi đã chỉ ra

các nhà toán học đương thời đã sử dụng các kí hiệu khác để chỉ số đối, chẳng hạn

opp(a) (theo Hankel), a (theo Wileken). Tại sao M6 sử dụng cùng một dấu “-” với

ba nghĩa khác nhau như đã đề cập? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi tìm thấy ở G6,

trang 96 đã giải thích như sau: “Trong chương này có sử dụng kí hiệu dấu “-” với

ba nghĩa khác nhau, dấu “-” trong phép trừ, dấu “-” của số nguyên âm trong bài 1

thực ra chỉ thuần túy là một kí hiệu gắn với loại số mới đưa ra, vì vậy ta hoàn toàn

có thể thay bằng kí hiệu khác. Cũng tương tự như vây đối với dấu “-” của số đối (ở

bài 6) ta hoàn toàn có thể thay bằng kí hiệu khác. Tuy nhiên, sau khi có phép trừ

(bài 7) (trừ đi a là cộng với số đối của nó, nên có thể kí hiệu số đối của a là –a). Vì

thế để thuận tiện, người ta thường dùng dấu “-” (trùng với dấu của phép trừ) để kí

hiệu cho cả số âm và số đối. Sách giáo khoa một số nước có dùng kí hiệu khác để

ghi số âm” [G6, tr.96].

Tóm lại: Qua phân tích thể chế chúng tôi nhận thấy M6 sử dụng cùng một kí

hiệu dấu “-’’ với hai nghĩa khác nhau dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp

số cụ thể ) và dấu “-” mang nghĩa số đối (Trong trường hợp ký hiệu chữ ). Vấn đề

này đã xuất hiện trong lịch sử (theo Cauchy). Mặt khác theo qui định của thể chế lại

không yêu cầu học sinh phân biệt rõ nghĩa của dấu “-”. Điều này được thể hiện rõ

trong G6, trang 93 như sau: “Không đòi hỏi học sinh phải phân biệt rõ sự khác nhau

giữa các dấu “-” trong số âm, số đối và trong phép trừ”. Do đó, theo chúng tôi

chính sự không phân biệt này sẽ dẫn đến một trở ngại mà học sinh gặp phải là hiểu

nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí

hiệu chữ. Từ đây, cho phép chúng tôi chỉ ra chướng ngại didactic gắn liền với âm:

Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể tạo nên chướng ngại

cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ. Từ chướng

ngại trên, chúng tôi hình thành giả thuyết về kiểu sai lầm gắn liền với khái niệm số

âm trong bước chuyển từ số cụ thể sang kí hiệu chữ.

H1: Đối với học sinh (-a) là một số nguyên âm với mọi số nguyên a khác 0

Chương 2.

KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC

KHOA HỌC

 Vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối

 Khái niệm giá trị tuyệt đối ở một số giáo trình đại học

Mục tiêu của chương

Mục tiêu của chương này là phân tích một vài nét về lịch sử của khái niệm giá

trị tuyệt đối, nhằm vạch rõ sự tiến triển của khái niệm này cùng với nghĩa tương ứng

của chúng. Đó là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích các giáo trình đại học. Cụ thể

là chúng tôi nhắm đến trả lời câu hỏi sau:

Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập như thế

nào? Khái niệm này tiển triển ra sao? Nghĩa của chúng là gì?

2.1. Vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối

Trong phần này, chúng tôi tham khảo các nguồn tài liệu sau:

1. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1.

2. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2.

3. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), lịch sử toán học.

4. Cauchy (1821). Cours d’analyse de l’école royale polytechnique.

5. Duroux (1983), la valeur absolue difficultés majeures pour une notion mireure.

6. http://fr.wikipeadia.org/wiki/valeur-absolue.

Có bốn giai đoạn chủ yếu trong sự tiến triển của khái niệm giá trị tuyệt đối. Cụ

thể như sau:

Trong giai đoạn thứ nhất:

Trong giai đoạn này, giá trị tuyệt đối lấy cơ chế của một khái niệm tiền toán

học. Nghĩa là không có tên, không được định nghĩa và hoạt động như một công cụ

ngầm ẩn. Phạm vi hoạt động chủ yếu trong giai đoạn này là: số học. Chẳng hạn

Napier (1550-1617) sử dụng giá trị tuyệt đối trong việc hình thành bảng lôgarit,

 trong cách viết lg0,0032 = 3

,4800069 có ý nghĩa là trước dấu phẩy người ta ghi

 3

 ). Do đó số 3

phần đặc tính nếu nó âm thì dấu “-” được đặt trên đầu giá trị tuyệt đối của nó (-3 =

,4800069 thật ra phải viết là -3 + 0,4800069.

Mặt khác, Descartes (1596-1650), ngầm ẩn sử dụng giá trị tuyệt đối để đưa ra

qui tắc dấu: “Trong dãy các hệ số của phương trình đa thức có bao nhiêu lần đổi

2 0

5 4 x

dấu thì có bấy nhiêu nghiệm dương và có bao nhiêu lần lặp dấu thì có bấy nhiêu

  có một lần đổi dấu (hệ số đầu

nghiệm âm”. Chẳng hạn phương trình

dương cả hai hệ số sau đều âm) nên phương trình có một và chỉ một nghiệm dương.

Như vậy, các hệ số của phương trình được đề cập ở đây là các số cụ thể gồm hai

phần: Phần dấu (dấu +, - ) và phần “số” ngầm ẩn được xem là giá trị tuyệt đối.

Trong giai đoạn này giá trị tuyệt đối ngầm ẩn được hiểu theo nghĩa “số không dấu”

hay là “khoảng cách từ số 0”.

Trong giai đoạn thứ hai:

Giá trị tuyệt đối lấy cơ chế của khái niệm cận toán học. Nghĩa là có tên nhưng

không có định nghĩa. Chúng là khái niệm công cụ của hoạt động toán học nói chung

nó không phải là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học. Sự xuất hiện của giá

trị tuyệt đối như là một phương tiện để giải quyết các vấn đề về số âm (do sự mở

rộng từ  sang  ). Trong giai đoạn này giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “số

bỏ qua các dấu”. Với cách hiểu này giá trị tuyệt đối được sử dụng như một công cụ

để chuyển một số có dấu “+”, “-” thành số không dấu. Trong giai đoạn này

Lagrange (1736-1813) và Gausse (1777-1855) sử dụng giá trị tuyệt đối để tính toán

sai số và xây dựng lý thuyết số. Phạm vi hoạt chủ yếu của giá trị tuyệt đối trong giai

đoạn này là số học, đại số.

Trong giai đoạn thứ ba:

Giá trị tuyệt đối mang cơ chế của khái niệm toán học. Chúng vừa là đối tượng

nghiên cứu của các nhà toán học vừa là công cụ tường minh để giải quyết các bài

toán trong nhiều lĩnh vực toán. Cụ thể là giá trị tuyệt đối được định nghĩa một cách

tường minh cho mỗi số (số thực, số phức). Khi đó chúng được hiểu theo nghĩa “hàm

số” và các tính chất của nó đã được đề cập. Chẳng hạn Argand (1768-1822)-nhà

toán học Thụy Sĩ đã cho một cách minh họa hình học các số phức trên mặt phẳng

tọa độ và ông đã đưa vào thuật ngữ “modul của số phức”. Vào năm 1821 Cauchy

 1 và M(a, b) .Khi đó OM

đưa vào khái nịêm modul số phức :

được xác định hoàn toàn bởi độ “Xét số phức a+b

cos ;

sin (

1  

(cos  

 

1sin ); 



     

dài  của nó và góc mà nó tạo ra với trục Ox. Ta có:

2 ,

(cos

sin

)











2 b  



2   

>0) a+b

 gọi là modul

a b

 ” (Ở đây i =

1 là do Euler đề xuất năm 1777 và công bố

Suy ra . Vậy

của số phức

năm 1794). Cauchy còn sử dụng giá trị tuyệt đối để định nghĩa dãy số và chứng

minh sự hội tụ của dãy số. Phạm vi hoạt động chủ yếu của giá trị tuyệt đối trong

giai đoạn này là: số học, đại số, giải tích.

Giai đoạn sau cùng:

Khái niệm giá trị tuyệt đối đã được hình thức hóa. Nghĩa là người ta đề cập

đến giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành sắp thứ tự, giá trị tuyệt đối trong

một trường, khái niệm hàm khoảng cách, chuẩn của một vectơ. Phạm vi hoạt động

chủ yếu của giá trị tuyệt đối trong giai đoạn này là: Đại số hiện đại, các không gian

trừu tượng (không gian mêtric, không gian định chuẩn). Chẳng hạn Weierstrass



(1815-1897) đưa ra tiêu chuẩn sau về sự hội tụ của chuỗi trong không gian định

 được gọi là

1 



chuẩn (Không gian vectơ trên đó đã xác định một chuẩn). Chuỗi



1n 

hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số dương hội tụ .

* Nhận xét:

- Sự tiến triển của khái niệm giá trị tuyệt đối gắn liền với sự mở rộng các tập

số cũng như sự xuất hiện của các khái niệm trừu tượng như vành, trường, không

gian vectơ.

- Việc chuyển từ giai đoạn thứ hai sang giai đoạn thứ ba đã có sự thay đổi về

nghĩa của khái niệm giá trị tuyệt đối. Cụ thể là

+ Khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “số cụ thể”. Với cách hiểu

này thì khi tính giá trị tuyệt đối chỉ cần loại bỏ các dấu “+”, “-” đằng trước số đó .

+ Khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “hàm số”. Theo cách hiểu

này việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối luôn gắn với điều kiện của biến .

2.2. Khái niệm giá trị tuyệt đối ở một số giáo trình đại học

Ở đây chúng tôi chọn phân tích các tài liệu sau:

- Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm. [2]

- Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số và số học tập 2. [20]

- http://fr.wikipeadia.org/wiki/valeur-absolue. [34]

2.2.1. Khái niệm giá trị tuyệt đối trong http://fr.wikipeadia.org/wiki/valeur-

absolue.

Trước tiên tài liệu [34] đưa vào tiếp cận ban đầu như sau: “mỗi số thực được

xác định bởi dấu (+ hoặc -) và giá trị tuyệt đối của nó. Chẳng hạn giá trị tuyệt đối

của (+7) là 7, giá trị tuyệt đối của (-5) là 5, tức là số đối của (-5)”.

Như vậy, tài liệu [34] đã xem một số cụ thể gồm hai phần: phần dấu và phần

số (Tương tự như quan điểm của Cauchy), mà phần số chính là giá trị tuyệt đối của

nó. Cách tiếp cận trên thuộc giai đoạn thứ hai trong sự tiển triển lịch sử của khái

niệm giá trị tuyệt đối. Do đó giá trị tuyệt đối được đề cập tường minh theo nghĩa

“số cụ thể”.

Sau đó, tài liệu [34] đưa vào 2 định nghĩa sau :

Định nghĩa 1. “Đối với số thực bất kỳ x, giá trị tuyệt đối của x (ký hiệu là x )

x nếu x 0

được xác định bởi:

- x nếu x < 0

     

max(

x x , )





Định nghĩa 2. Với x là số thực bất kỳ thì .

* Nhận xét :

- Hai định nghĩa hình thức ở trên về bản chất xuất hiện như một hàm số (hàm

cho bằng công thức) trên tập hợp số thực. Điểm khác biệt ở chỗ giá trị tuyệt đối của

số thực x ở định nghĩa 2 được xác định duy nhất bởi một biểu thức, còn định nghĩa

1 thì được xác định bởi 2 biểu thức.

x y z , ,



- Về mặt toán học hai định nghĩa trên là tương đương. Thật vậy

     (1) ( z

  ), ta có :

) 0 (

(

)

Dựa vào quan hệ thứ tự trên  : x

     (theo (1)) x

      x x

+Nếu x 0 thì

Suy ra 0

x  .Do đó max(-x,x)=x

(

Vậy x

     ) ) 0 (

+Nếu x < 0 thì

      x x

Suy ra 0

x  . Do đó max (-x, x)= -x

max(

, ) x x





Vậy x

x nếu x 0 -x nếu x < 0

     

+Như vậy

-Khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu ngầm ẩn theo nghĩa “hàm số”, các biến

nhận giá trị trong  . Công thức tính x đã được xác định. Vấn đề còn lại là hàm số

này có những tính chất gì? Các tính chất quan trọng về giá trị tuyệt đối đã được tài

0a

liệu [34] thừa nhận như sau:



, với mọi a 

.

, với mọi a 



, với mọi a, b 

a b





, với mọi a, b 







, với mọi a, b 



1 

t dt ( )



, với mọi a, b 



a 

Cho f: I     liên tục trên I,

, với mọi a 

Như vậy từ tiếp cận ban đầu để đi đến hai định nghĩa ở trên, đã cho thấy một

bước chuyển quan trọng từ việc xét giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể sang

tập hợp các số hiện diện dưới dạng biến. Tương ứng với bước chuyển này là sự tồn

tại hai nghĩa khác nhau của khái niệm giá trị tuyệt đối, nghĩa “số cụ thể” và nghĩa

“hàm số”. Tuy nhiên nghĩa “hàm số” chỉ được đề cập ngầm ẩn.

Tiếp tục tài liệu [34] đưa vào định nghĩa modul của số phức:

2 x 

“Với số phức bất kỳ z = x + iy, trong đó x, y là số thực, giá trị tuyệt đối hoặc

modul của z, ký hiệu là z được định nghĩa z = ”

2 x 

Định nghĩa trên đã cho thấy, sự tồn tại một hàm số:    +, z  z =

. Ở đây người ta đã sử dụng ký hiệu giá trị tuyệt đối của số thực để chỉ





modul của số phức. Điều này không phải ngẫu nhiên, vì nếu số phức z là thực, tức

là có dạng z = x + 0i thì ta có: z = . Vậy trong trường hợp số

thực thì khái niệm modul và giá trị tuyệt đối trùng nhau.

Mặt khác, tài liệu [34] cũng đề cập đến giá trị tuyệt đối xác định trong một

trường như sau:

“Giá trị tuyệt đối xác định trên một trường  là một hàm:    +, x  x

0 x

x ≥ 0; x = 0

sao cho thỏa mãn các tính chất:







, với mọi x 

. yx

.  yx

, với mọi x, y 

, với mọi x, y  ”

Trong định nghĩa trên nghĩa “hàm số” được đề cập tường minh. Đây là định

nghĩa tổng quát của khái niệm giá trị tuyệt đối trong một trường mà giá trị tuyệt đối

của một số thực, số phức là ví dụ.

Kết luận

Khái niệm giá trị tuyệt đối mà tài liệu [34] đã đề cập thuộc các giai đoạn từ thứ

hai đến thứ tư trong sự tiển triển lịch sử của khái niệm này. Đặc biệt làm nổi bật hai

nghĩa khác nhau của khái niệm giá trị tuyệt đối đã từng xuất hiện trong lịch sử là

nghĩa “số cụ thể” và nghĩa “hàm số” (ngầm ẩn và tường minh ).

2.2.2. Khái niệm giá trị tuyệt đối trong giáo trình đại số và số học, tập 2

Giáo trình [20] đưa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối của một phần tử trong

a nếu a 0 -a nếu a < 0

     

a gọi là giá trị tuyệt đối của a” [20, tr.107]

vành số nguyên  : “Xét hàm số xác định như sau:    , a  a

Như vậy, giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành số nguyên  được định

nghĩa một cách tường minh bằng ngôn ngữ hàm số. Khi đó giá trị tuyệt đối được đề

0 a



ba 



. ba

.  ba

cập một cách tường minh theo nghĩa “hàm số”. Hàm số này có các tính chất: a = 0

, với mọi a  ; ; .

Mặt khác tập  các số hữu tỉ và tập  các số thực với phép cộng và nhân thông

thường là những vành giao hoán có đơn vị. Do đó giáo trình [2] cũng thừa nhận sự tồn

tại các định nghĩa giá trị tuyệt đối của một phần tử trong các vành  và  .

x V x





Tiếp theo, giáo trình định nghĩa vành sắp thứ tự:

 0

x V x





, thế thì nếu gọi - P là “Giả sử V là một vành sắp thứ tự. Đặt P =

 0

. Hiển nhiên P và – P có tập hợp các phân tử đối của P, ta có - P =

các tính chất:

1. aP và bP  a + bP

2. a P và b P  a.bP

3. P  (-P) =  0

4. P  (-P) = V

Đảo lại, nếu trong một vành giao hoán V ta cho một bộ phận P có các tính

a 

b a  P ” [20, tr.197]

chất 1, 2, 3, 4 thì ta được một vành sắp thứ tự, với quan hệ thứ tự  xác định bởi:

Định nghĩa vành sắp thứ tự được đưa vào nhằm mục đích làm cơ sở để định

nghĩa giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành sắp thứ tự V.

“Trong một vành sắp thứ tự V, giá trị tuyệt đối a của aV được định nghĩa

như sau: a = 0 nếu a = 0 ; nếu a ≠ 0 thì a là phần tử dương trong hai phần tử a

và – a” [20, tr.198]

Định nghĩa này chính là sự mở rộng của định nghĩa giá trị tuyết đối của một

phần tử trong  (bởi vì  là vành sắp thứ tự), về thực chất giá trị tuyệt đối của một

phần tử trong vành sắp thứ tự là một hàm số a  a , xác định trên V và nhận giá trị

. ba

; baba







trong tập P. Từ định nghĩa, bằng cách xét các trường hợp aP, a = 0, và –aP .

Người ta chứng minh các tính chất sau: . Tương tự ở đây

người ta cũng đề cập đến giá trị tuyệt đối của một phần tử trong trường thứ tự. Việc

đưa vào các định nghĩa giá trị tuyệt của một phần tử trong vành, trường thứ tự nhằm

tạo thuận lợi cho việc nghiên cứu định nghĩa và các tính chất hội tụ của dãy số hữu

tỉ và dãy số thực.

Kết luận

Khái niệm giá trị tuyệt đối được giáo trình [20] đề cập thuộc giai đoạn thứ tư

(phạm vi đại số hiện đại ) trong sự tiến triển lịch sử của khái niệm này. Hơn nữa giá

trị tuyệt đối chỉ được hiểu duy nhất theo nghĩa “hàm số” (ngầm ẩn và tường minh).

Đây cũng chính là điểm khác biệt so với tài liệu [34].

2.2.3. Khái niệm giá trị tuyệt đối trong giáo trình giải tích hàm

Giáo trình [2], đưa vào định nghĩa một mêtríc trên tập hợp X như sau :

“Cho X là một tập hợp. Một mêtric trên X là một hàm d: X × X   thỏa mãn

  ;

các tính chất sau

(m1) d(x, y) 0 ; d(x, y)=0

(m2) d(x, y) = d(y, x)

(m3) d(x, z )  d(x, y)+d(y, z)

Với mọi x, y, z X

Không gian mêtric X = (X, d) là một tập X cùng với mêtríc d trên nó .

y ” [2, tr.8]

Trường  là một không gian mêtric với mêtric d(x, y)= x

Nhận xét:

- Từ đoạn trích trên cho thấy sự tồn tại một hàm d:     , được xác định

y là một mêtric thông thường trên  và số d(x, y) gọi là khoảng

bởi d(x, y)= x

cách thông thường gữa hai điểm x và y (x, y  ). Cụ thể là bằng cách dựa vào các

, d ) là

a b

a c

c b



 

tính chất sau của khái niệm giá trị tuyệt đối một số thực sẽ kiểm tra được (

    ; a a

     . Điều

một không gian mêtric. ; a b

này nói lên rằng định nghĩa mêtric trên một tập X bất kỳ xem như là sự tổng quát

hóa từ các tính chất về khái niệm giá trị tuyệt đối của số thực .

y nên d(x, 0) = x . Như vậy, có thể xem như giá trị tuyệt đối

- Vì d(x, y) = x



d x

( , 0)

x

của một số thực được định nghĩa thông qua khái niệm khoảng cách như sau:

d:  × 0   , (x, 0)

Giáo trình [2] đưa vào định nghĩa chuẩn của một vectơ như sau :

“Cho E là một  (= ;  ) không gian vectơ. Một chuẩn trên E là một hàm

x từ E vào  thỏa mãn các điều kiên sau với mọi x, y E , mọi  

x  , 0

   x 0

 

(n1)







(n2)

y

x là một chuẩn trên E thì d(x, y)= x

(n3) x

là một mêtric trên E” [2, tr.18] Nếu x

* Nhận xét:



- Khi  xem như là một không gian vectơ một chiều thì giá trị tuyệt đối là một

chuẩn vì . Do đó chuẩn chính là sự mở rộng giá trị tuyệt đối của một số.

- Trong điều kiện (n2) của định nghĩa trên xuất hiện ký hiệu  có 2 vai trò :

thì ký hiệu  để chỉ giá trị tuyệt đối của một số thực + Nếu xét  

a bi





thì ký hiệu  để chỉ modul của số phức, tức là + Nếu xét  

  . Như vậy giá trị tuyệt của một số thực và modul của số

với

phức tài lịêu [2] đã thừa nhận và xem như đã biết .

Kết luận

Giáo trình [2] đã đề cập đến các định nghĩa mêtric trên một tập X, chuẩn của

một vectơ, bằng ngôn ngữ hàm số. Khái niệm giá trị tuyệt đối đã được hình thức

hoá. Điều này tương ứng với giai đoạn thứ tư (thuộc lĩnh vực giải tích hàm) trong

lịch sử tiến triển của khái niệm. Giá trị tuyệt đối được định nghĩa tường minh bằng

ngôn ngữ hàm số thông qua khái niệm khoảng cách. Đây chính là điểm khác biệt so

với tài liệu [34] và giáo trình [20].

Tóm lại:

Qua việc nghiên cứu khái niệm giá trị tuyệt đối ở cấp độ tri thức khoa học

chúng tôi đưa đến các kết luận sau :

- Tồn tại các cách định nghĩa khác nhau của khái niệm giá trị tuyệt đối:

x nếu x 0 (Với x  ) -x nếu x < 0

     





+ Định nghĩa hình thức: x

max(

x x , )





với z = a + bi

. Với x  + Định nghĩa bằng “max”:



( , 0)

d x

x

+ Định nghĩa thông qua khái niệm khoảng cách:

d:  × 0   , (x, 0)



+ Định nghĩa tường minh bằng ngôn ngữ hàm số (đối với các phần tử trong

a nếu a 0 - a nếu a < 0

     

, a vành) Chẳng hạn,  

- Ở cấp độ tri thức khoa học người ta đề cập đến giá trị tuyệt đối của một số thực

modul của số phức giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành sắp thứ tự ,giá trị tuyệt

đối trong một trường ,chuẩn của một vectơ, khái niệm mêtric trên một tập hợp

-Đã có sự xuất hiện 2 nghĩa khác nhau của khái niệm giá trị tuyệt đối

+ Nghĩa “số cụ thể” theo nghĩa này thì để bỏ dấu giá trị tưyệt đối chỉ cần

loại bỏ dấu “+”, “-” đằng trước số đó.

+ Nghĩa “hàm số” theo nghĩa này thì việc bỏ dấu giá trị tưyệt đối luôn gắn

với điều kiện của biến.

- Vấn đề ở đây là nghĩa “số cụ thể” và nghĩa “hàm số” của khái giá trị tuyệt

đối có xuất hiện ở chương trình phổ thông hay không? Để trả lời câu hỏi này chúng

tôi phải tiếp tục nghiên cứu chương 3: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối

tượng giá trị tuyệt đối.

Chương 3.

NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

 Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán bậc phổ thông

 Giá trị tuyệt đối trong các sách giáo khoa trung học cơ sở

 Giá trị tuyệt đối trong sách giáo khoa lớp 10

Mục tiêu của chương

Chương này sẽ tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :

Mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối đã được xây dựng và tiến

triển ra sao trong thể chể dạy học toán ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ

chức toán học gắn liền với khái niệm này? Các tổ chức toán học đó tiển triển như

thế nào qua các khối lớp bậc học? Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi

nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối ở bậc đại học và bậc

phổ thông?

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa

hiện hành ở các lớp 6, 7, 8, 9, 10. Ở lớp 10 khái niệm giá trị tuyệt đối được giảng

dạy trong các bộ sách của cả hai ban: ban khoa học tự nhiên (bộ sách tương ứng là

bộ nâng cao) và ban khoa học xã hội và nhân văn (bộ sách tương ứng là bộ cơ bản).

Nhìn chung nội dung hai bộ sách là như nhau. Tuy nhiên do thời gian có hạn chúng

tôi sẽ phân tích bộ sách dành cho ban khoa học xã hội và nhân văn.

Các kết quả nghiên cứu của chương 1 và chương 2 là cơ sở tham chiếu cho

phân tích của chương này. Phần tiếp theo sau đây là phân tích các sách trên.

3.1. Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán bậc phổ thông

Để thuận tiện chúng tôi sẽ dùng các ký hiệu sau đây:

Mi, Gi, Ei (Với i = 6,…, 10), tương ứng là sách giáo khoa, sách giáo viên, sách

bài tập ở các lớp 6,7,8,9,10.

3.1.1. Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán trung học cơ sở

Khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên được đưa vào giảng dạy ở

chương 2 có tên gọi là “số nguyên” trong chương trình toán lớp 6. Cụ thể là bài 3:

“thứ tự trong tập hợp các số nguyên”. Mục tiêu của bài này là giúp học sinh:

“ - Biết so sánh hai số nguyên

- Tìm được giá trị tuyệt đối của một số nguyên” [G6, tr.98]

Trong mục những điểm cần lưu ý, G6, trang 98 có đoạn viết:

“Vì lý do sự phạm, sách giáo khoa hoàn toàn dựa vào hình ảnh của trục số để

so sánh hai số nguyên và xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên

(và cũng cần thiết khi đề cập đến phép cộng sau này)” [G6, tr.98]

Những trích dẫn trên cho thấy khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên

được tiếp cận thông qua hình ảnh của trục số và vấn đề trọng tâm là so sánh hai số

nguyên và tìm được giá trị tuyệt đối của một số nguyên.

Sau đó, chương trình lớp 7 đưa vào khái niệm giá trị tuyệt đối của một số hữu

tỉ qua bài: “Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân”.

x

Tuy nhiên có điểm khác biệt so với lớp 6 là ở đây, sách giáo khoa đưa vào công

x nếu x 0 - x nếu x < 0

    

thức xác định giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ:

0x



Từ đó dẫn đến các tính chất của giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ được viết

x  . Cũng ở lớp 7

; ; dưới dạng kí hiệu: với mọi x  ta luôn có:

học sinh được học số thực, do đó công thức xác định x được hợp thức trong trường

hợp của số hữu tỉ và được ngầm mở rộng cho trường hợp số thực.

Đến lớp 8, định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số thực được nhắc lại ở bài 5: “

Phương trình chứa giá trị tuyệt đối” (thuộc chương 4: Bất phương trình bậc nhất

một ẩn). Mục tiêu của bài này là giúp học sinh:

ax 









“- Biết bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở biểu thức dạng ax và dạng

và dạng -Biết giải một số phương trình dạng .” [G8, tr.57]

Với mục tiêu trên thì giá trị tuyệt đối được sử dụng như công cụ tường minh

trong việc giải các bài toán rút gọn biểu thức và giải phương trình chứa ẩn trong dấu

giá trị tuyệt đối theo các dạng quy định như trên. Như vậy, công thức xác định x

được hợp thức trong trường hợp số thực, ngầm mở rộng, thừa nhận cho trường hợp



trong dấu giá trị tuyệt đối là một biểu thức bậc nhất.

A nếu A 0 -A nếu A < 0

     

Ở lớp 9, người ta đưa vào hằng đẳng thức

Với A là biểu thức đại số. Sự mở rộng này nhằm tạo thuận lợi cho việc rút gọn

2A . Điều này được thể hiện rõ trong G9 trang

A

các biểu thức chứa căn bậc hai dạng

để rút gọn biểu thức”. 19 “Học sinh cần biết vận dụng hằng đẳng thức

3.1.2. Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán trung học phổ thông

xx ;





Ở lớp 10, ngoài các tính chất về giá trị tuyệt đối đã đề cập ở trung học cơ sở

; học sinh được học thêm các tính chất bất đẳng thức về như:



a 

giá trị tuyệt đối, chẳng hạn:

x < a  -a  x  a (với a > 0)

x > a  x  -a hoặc x > a (với a > 0)



ba 



với mọi a 

(với mọi a, b  )

Đến lớp 12, với việc bổ sung số i vào tập số thực  , người ta xét tập hợp các số mới dạng a + bi ; a, b  , i2 = -1. Đó là tập hợp các số phức. Từ đó khái niệm

modul của số phức được đưa vào và được định nghĩa nhờ vào biểu diễn hình học

 z OM





 thì độ dài của vectơ OM

của nó. Nếu số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M trên mặt phẳng tọa độ

được gọi là modul của z, tức là . Tuy

nhiên trong phạm vi của đề tài chúng tôi không nghiên cứu phần này .

3.2. Giá trị tuyệt đối trong các sách giáo khoa trung học cơ sở

3.2.1. Giá trị tuyệt đối trong sách giáo khoa toán 6

Chương “số nguyên” trong M6 gồm các nội dung sau:

-Làm quen với số nguyên âm

-Tập hợp các số nguyên

-Thứ tự trong tập hợp các số nguyên

-Cộng hai số nguyên cùng dấu

-Cộng hai số nguyên khác dấu

-Tính chất của phép cộng các số nguyên

-Phép trừ hai số nguyên

-Quy tắc dấu ngoặc

-Quy tắc chuyển vế

-Nhân hai số nguyên khác dấu

-Nhân hai số nguyên cùng dấu

-Tính chất của phép nhân

-Bội và ước của một số nguyên

Trong đó, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên được giới thiệu ở bài:

“Thứ tự trong tập hợp các số nguyên”

3.2.1.1. Về định nghĩa, tính chất của giá trị tuyệt đối

M6 xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên như sau:

-6

-5

-4

‐2

‐3

‐1

“Trên trục số:

Ta thấy điểm -3 cách điểm 0 một khoảng là 3 (đơn vị), điểm 3 cũng cách điểm

0 một khoảng là 3 (đơn vịị).

? 3 Tìm khoảng cách từ mỗi điểm: 1, -1, -5, 5, -3, 2, 0 đến điểm 0.

Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của số nguyên a

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a, kí hiệu là a ( đọc là “giá trị tuyệt đối

của a”).

13





0 .

Ví dụ: 13 ; 20  ; 75 75 ; 0

? 4 Tìm giá trị tuyệt đối của mỗi số sau: 1, -1, -5, 5, -3, 2.

Nhận xét:

Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0.

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên dương là chính nó.

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên âm là số đối của nó (và là một số nguyên

dương).” [M6, tr. 72]

Từ đoạn trích trên chúng tôi có các nhận xét sau:

Trước hết M6 xét mô hình quen thuộc là trục số, qua đó đưa vào khái niệm

khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số. Sự xuất hiện của hoạt động 3

nhằm củng cố khái niệm khoảng cách, trên cơ sở đó đi đến định nghĩa giá trị tuyệt

đối của số nguyên đã được trình bày như trong khung. Như vậy, khái niệm giá trị

tuyệt đối của một số nguyên được trình bày hoàn toàn dựa vào hình ảnh của trục số,

cụ thể là nhờ vào khoảng cách trên trục số. Từ định nghĩa về thực chất là đã ngầm







( , 0)

a , ( , 0)

d a



 0  

ẩn thừa nhận sự tồn tại một hàm số d: . Nhờ hàm số

này mà người ta có thể đặt tương ứng mỗi cặp điểm (a,0) với một số đo (theo đơn vị

dài để lập trục số) của khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số mà ta gọi

là giá trị tuyệt đối của số nguyên a.





13



Trong ký hiệu a thì a đại diện cho một số tùy ý của tập hợp  . Sau đó M6

0 , lúc này a lấy nghĩa là

; 20  ; 75 75 ; 0 đưa vào các ví dụ: 13

“chữ được gán giá trị”, tức là thay bằng một giá trị số, nhằm làm ví dụ minh họa

cho định nghĩa. Một điểm đáng chú ý ở đây là các số cụ thể được đề cập trong hoạt

động 3 và hoạt động 4 là giống nhau có thể đây là dụng ý của các tác giả nhằm nhấn

mạnh lại sự tương ứng của việc tìm giá trị tuyệt đối của một số chính là tìm khoảng

cách từ số đó đến điểm gốc 0 trên trục số. Đến đây câu hỏi được đặt ra: trong trường

hợp số nguyên có giá trị tuyệt đối khá lớn thì liệu việc tìm giá trị tuyệt đối của một

số, nhờ vào khoảng cách trên trục số có thuận lợi không? Để trả lời câu hỏi này

chúng tôi tìm thấy ở G6, trang 99 đưa vào nhận xét “Có thể coi mỗi số nguyên có

hai phần: phần dấu và phần số. Phần số chính là giá trị tuyệt đối của nó”. Điều

75,



13; 20 



20; 75 



này nói lên rằng giá trị tuyệt đối được đề cập một cách tường minh theo nghĩa “số

cũng

cụ thể”. Bên cạnh đó từ một lớp các tình huống: 13

đem lại nghĩa cho khái niệm giá trị tuyệt đối là “số cụ thể”. Nghĩa này đã từng xuất

hiện trong lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối.

Chúng tôi đặt ra câu hỏi: Tại sao M6 chọn cách xây dựng khái niệm giá trị

tuyệt đối của một số nguyên thông qua khái niệm khoảng cách trên trục số? Câu trả

lời được thể hiện trong G6, trang 99 “khái niệm giá trị tuyệt đối được trình bày như

trong khung nhằm làm cho học sinh dễ hiểu và dễ hình dung (vì thông qua hình ảnh

trực quan). Nhưng ít khi ta sử dụng trực tiếp định nghĩa này để giải bài tập. Khi

giải bài tập thường vận dụng các nhận xét” [G6, tr. 99]

Rõ ràng là từ hoạt động 4, M6 trang 72 đưa ra các nhận xét sau (được phát biểu

bằng lời ) nhằm tạo thuận lợi cho việc tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên mà

không dựa vào trục số:

“Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0.

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên dương là chính nó.

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên âm là số đối của nó (và là một số nguyên dương).”

Ba nhận xét trên, đã chứng tỏ sự tồn tại phép tương ứng mỗi số nguyên a với

a xác định trên tập hợp 

giá trị tuyệt đối của nó thực chất là một hàm số a

nhận giá trị trong tập hợp  . Như vậy, một cách ngầm ẩn M6 thừa nhận chữ a giữ

vai trò là biến nhận giá trị trong  . Lúc này giá trị tuyệt đối ngầm ẩn được hiểu

theo nghĩa “hàm số”. Về mặt toán học, ba nhận xét đã nêu là dạng tương đương với

định nghĩa. Ở đây các tác giả không đề cập đến công thức xác định a . Điều này

được nói rõ trong G6 trang 93: “Về lý thuyết, không đưa vào công thức biểu diễn

     

a nếu a 0 tổng quát giá trị tuyệt đối của một số nguyên a: a –a nếu a < 0”

M6 cũng đưa ra tính chất sau: “Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau”

[M6, tr.72]. Tính chất này được rút ra từ hoạt động 4, yếu tố công nghệ giải thích

cho tính chất đã nêu là định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số nguyên.

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên được đưa vào với mục đích làm cơ sở cho

cho việc so sánh hai số nguyên mà không cần xét chúng trên trục số, cũng như trình

bày các phép toán cộng, nhân các số nguyên (do tập hợp Z mới được xây dựng).

Các đoạn trích sau đây sẽ minh chứng cho điều này: “trong hai số nguyên âm, số

nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì số đó lớn hơn. Điều này rất quan trọng vì dựa

vào đó học sinh có thể so sánh hai số nguyên mà không cần xét chúng trên trục số”

[G6, tr.99]. “Muốn cộng hai số nguyên âm ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng

rồi đặt dấu “-” trước kết quả” [M6, tr. 75]. “Nếu a, b cùng dấu thì a.b = a . b ;

nếu a, b khác dấu thì a.b = - a . b ” [M6, tr. 90].

Tóm lại:

Phân tích trên, đã chỉ ra rằng ký hiệu chữ trong dấu giá trị tuyệt đối giữ hai vai

trò khác nhau: chữ được gán giá trị, chữ chỉ biến số (ngầm ẩn). Hơn nữa có sự xuất

hiện hai nghĩa của giá trị tuyệt đối nghĩa “số cụ thể” được đề cập tường minh, nghĩa

“hàm số” là ngầm ẩn. Nếu xét nghĩa “số cụ thể” thì để tìm giá trị tuyệt đối của một

số nguyên chỉ việc loại bỏ các dấu “+” và “-” đằng trước số đó. Liệu nghĩa này có

a (với a là một số nguyên )?

gây trở ngại gì không khi tính

3.2.1.2. Về các tổ chức toán học

1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: “Tìm giá trị tuyệt đối của một số”

Ví dụ: Bài tập 14 (M6, tr.73)

“Tìm giá trị tuyệt đối của mỗi số sau: 2000; -3011; -10”

2000

3011; 10



2000; 3011 







Lời giải mong đợi:

+Kỹ thuật giải 1: Bằng cách xét số trong dấu giá trị tuyệt đối như sau:

- Nếu trong dấu giá trị tuyệt đối là một số dương thì giá trị tuyệt đối của số đó

bằng chính nó.

- Nếu trong dấu giá trị tuyệt đối là một số âm thì giá trị tuyệt đối của số đó

bằng số đối của nó.

+Yếu tố công nghệ 1: Các nhận xét

- Giá trị tuyệt đối của một số nguyên dương là chính nó.

- Giá trị tuyệt đối của một số nguyên âm là số đối của nó (và là một số nguyên

dương).

+Yếu tố lý thuyết 1: Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số nguyên.

* Nhận xét:

- Đặc trưng của T1 trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể và là một số nguyên.

- Kiểu nhiệm vụ được nêu rõ ràng và cụ thể, qua những yêu cầu ở trước mỗi

bài tập như: Tìm giá trị tuyệt đối của mỗi số. Đây là kiểu nhiệm vụ được đưa vào

nhằm làm cơ sở cho việc thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 là Tính giá trị của biểu thức

chứa giá trị tưyệt đối và T4 So sánh các số chứa giá trị tuyệt đối.

- Đối với học sinh thì kỹ thuật này cũng dễ hiểu và dễ sử dụng. Hơn nữa kỹ

thuật vẫn vận hành tốt đối với trường hợp trong dấu giá trị tuyệt đối là số biểu thị

bằng chữ. Ở đây để giải quyết kiểu nhiệm vụ T1 thì M6 không dùng kỹ thuật

“khoảng cách”. Trích dẫn sau đây sẽ minh chứng cho khẳng định này: “Khi giải bài

tập thường vận dụng các nhận xét. Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn sao cho học

sinh hiểu và vận dụng tốt các nhận xét này” [G6, tr.99]. Tuy nhiên G6 còn đưa vào

nhận xét: “Có thể coi mỗi số nguyên có hai phần: phần dấu và phần số. Phần số

chính là giá trị tuyệt đối của nó” [G6, tr.99]. Từ phát biểu công nghệ này cho phép

sinh ra một kỹ thuật khác như sau: Để tìm giá trị tưyệt đối của một số nguyên chỉ

cần loại bỏ dấu “-” (nếu có) đằng trước số đó. Kỹ thuật này chỉ vận hành tốt khi

trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể. Nếu trong dấu giá trị tuyệt đối là số hiện diện

dưới dạng ký hiệu chữ thì học sinh có thể phạm phải sai lầm, chẳng hạn tìm a

(với a   ), nếu theo kỹ thuật trên và không quan tâm đến việc xét điều kiện của a

  . Như vậy, việc tìm giá trị tuyệt đối

thì học sinh sẽ loại bỏ dấu “-”, khi đó a

trên tập hợp các số cụ thể có thể tạo nên chướng ngại quan trọng cho việc tìm giá trị

tuyệt đối trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ.

-Yếu tố công nghệ được trình bày rõ ràng ngay trong phần lý thuyết. Cụ thể là

ở mục các nhận xét.

2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T2: “Tính giá trị của biểu thức chứa

giá trị tuyệt đối”

Ví dụ: Bài tập 20 [M6, tr.73]

a) 8

  

“Tính giá trị các biểu thức sau:



 

b) 7 . 3 

d) 153 ” c) 18 : 6

+Kỹ thuật giải 2 :

- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối nhờ vào kỹ thuật  1

- Thực hiện các phép toán trong 

+ Yếu tố công nghệ 2:

- Công nghệ 1

- Các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên

+Yếu tố lý thuyết 2:

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số nguyên

- Định nghĩa các phép toán trong 

* Nhận xét:

- Đặc trưng của T2 trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể và là số nguyên.

- Kiểu nhiệm vụ được nêu ra một cách tường minh qua những yêu cầu ở trước

mỗi bài tập như: Tính giá trị của biểu thức. Để thực hiện kiểu nhiệm vụ này hiệu

quả trước tiên học sinh phải làm tốt kiểu nhiệm vụ T1 . Về thực chất T2 chính là

thực hiện các phép toán trong  .

- Kỹ thuật 2 sẽ có hiệu quả tốt nếu học sinh giải quyết thành thạo T1.

3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T3: “Tìm giá trị của chữ trong một

đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối”

Ví dụ: Bài tập 115 [M6, tr. 99]

“Tìm a  Z, biết rằng: a) a = 5; b) a = 0; c) a = -3, d) -11 a = -22”

Lời giải mong đợi

   hoặc a = -5

   a 0

“a)

( 22) : ( 11)

    





c) Không có số a nào thỏa mãn (vì giá trị tuyệt đối của a không thể là số âm)

a  hoặc a = -2” [G6, tr.125]

d) -11

+ Kỷ thuật giải 3:

( với m là số cụ thể) - Biến đổi đẳng thức về dạng a m

- Nếu m = 0 thì a = 0

- Nếu m > 0 thì a nhận hai giá trị đối nhau là m và – m

- Nếu m < 0 thì không tồn tại a

+ Yếu tố công nghệ 3:

- Phép chia trong 

- Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0

- Hai số đối nhau có giá trị đối bằng nhau

    a

- Tính chất

+Yếu tố lý thuyết 3:

- Lý thuyết về phép chia hết trong 

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số nguyên

* Nhận xét:

(với m - Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T3 là các đẳng thức đều có dạng a m

là số cụ thể) hoặc có thể biến đổi được về dạng này. Trong dấu giá trị tuyệt đối là số

hiện diện dưới dạng chữ (chữ giữ vai trò là ẩn số) có thể nhận giá trị trong các

trường hợp sau:

+ Chỉ một giá trị, ví dụ: “Tìm a  Z, biết a = 0”

+ Nhận hai giá trị, ví dụ: “Tìm a  Z, biết a = 5”

+ Không có giá trị nào, ví dụ: “Tìm a  Z, biết a = -3”.

- Trong cách trình bày, chẳng hạn “ a = 5  a = 5 hoặc a = -5” [G6, tr.125]

chỉ đưa ra kết quả mà không có lời giải thích nào. Điều này cho thấy chức năng giải

thích của yếu tố công nghệ (Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ) là ngầm

ẩn. Liệu học sinh có làm chủ được yếu tố công nghệ này không? Hơn nữa kỹ

thuật 3 chỉ đưa ra ngầm ẩn thông qua lời giải bài toán, không nêu ra một cách tường

minh. Đặc biệt 3 không đề cập đến việc xét điều kiện của a. Chính từ các lý do trên

có thể dẫn đến một cách hiểu ở học sinh là để tìm a học sinh chỉ việc gán cho a hai

giá trị đối nhau ở vế phải. Như vậy, học sinh sẽ ứng xử thế nào khi gặp phải tình

huống vế phải là số âm hoặc là số hiện diện dưới dạng chữ? Liệu họ có tìm cách gán

giá trị cho a như ở trên hay không?

4. Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T4 : “So sánh các số chứa giá trị

tuyệt đối”

Để có thể phân biệt một cách rõ ràng các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ

này, chúng ta có dựa vào đặc trưng của các đối tượng trong dấu giá trị tuyệt đối

* Trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể

Ví dụ 1: Bài tập 15 [M6, tr.73]

3 5 3 5

1 0 2 2

+ Kỹ thuật giải 4a:

- Tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên nhờ vào kỷ thuật  1.

- So sánh hai số tự nhiên

+Yếu tố công nghệ 4a :

- Công nghệ 1

- Quy tắc so sánh hai số tự nhiên

+Yếu tố lý thuyết 4a:

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số nguyên

- Quan hệ thứ tự trong N

* Nhận xét :

Kỹ thuật 4a vận hành tốt hơn nếu học sinh thực hiện thành thạo T1.

* Trong dấu giá trị tuyệt đối là số biểu thị bằng chữ

Ví dụ 2: Bài tập 107 [M6, tr.98]

“ Trên trục số cho hai điểm a, b (hình vẽ). Hãy:

a) Xác định các điểm –a, -b trên trục số

a , b trên trục số

a , b với 0.

b) Xác định các điểm a , b ,

c) So sánh các số a, b, -a, -b, a , b ,

b a

a

Hướng dẫn giải:

-a

-b

a = a > 0; b = b =

b > 0 và – b <

“a) b) b

c) Theo trục số, ta có: a < 0 và – a =

0” [G6, tr.124]

+ Kỹ thuật giải  4b:

- Dựa vào hai điểm đã cho sẵn trên trục số, từ đó biểu diễn các số còn lại cần

so sánh trên trục số, nhờ vào sự biểu diễn này sẽ so sánh được các số đã cho với 0.

Cụ thể hơn là dựa vào vị trí của các số trên trục số. Mỗi số ứng với một điểm trên

trục số.

- Điểm nào nằm bên trái điểm 0 thì số ứng với điểm đó bé hơn 0

- Điểm nào nằm bên phải điểm 0 thì số ứng với điểm đó lớn hơn 0

- Hai điểm cùng vị trí thì hai số ứng với chúng sẽ bằng nhau

+Yếu tố công nghệ 4b:

-Khái niệm số đối của một số nguyên

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số nguyên

-Các quy tắc so sánh hai số nguyên trên trục số

4b : Trục số

+ Yếu tố lý thuyết

* Nhận xét:

4b là hoàn toàn dựa vào hình ảnh của trục số, cụ thể là vị trí các số

- Kỹ thuật

4a .

đã biểu diễn trên trục số. Đây chính là điểm khác biệt so với

- Đối tượng được xét trong dấu giá trị tuyệt đối là số biểu thị bằng chữ, chữ

này đại diện cho một số tùy ý của tập hợp  , do đó các chữ được đề cập ở đây

ngầm ẩn giữ vai trò là biến. Hơn nữa từ kết quả câu c) cho thấy sự xuất hiện của các

công thức sau:



a 

a nếu a 0 và -a nếu a < 0

     

Công thức biểu diễn tổng quát giá trị tuyệt đối của một số nguyên a:

Các kết quả này xuất hiện trong phần lý thuyết chỉ được phát biểu bằng lời.

Sau đây chúng tôi thống kê các bài toán được đưa vào chương 2 “Số nguyên”

trong M6 và E6 thành hai loại: trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể, trong dấu giá

trị tuyệt đối là chữ.

Bảng 3.1.Thống kê các bài toán phân loại theo số cụ thể và ký hiệu chữ

Đặc trưng của đối

Kiểu

Kỹ

Bài tập

Tổng số bài

tượng trong dấu

nhiệm vụ

thuật

tập

trong M6

trong E6

giá trị tuyệt đối

T1

Số cụ thể

T2

T4

 1  2  4a

Tổng cộng

44 T3

 3

Chữ

T4

 4b

Tổng cộng

19

Một điểm rất nổi bật mà ta thấy ngay từ bảng thống kê trên là các bài tập mà trong

dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể chiếm ưu thế (44 bài) so với các bài tập trong dấu giá

trị tuyệt đối là chữ (19 bài). Điều này hoàn toàn phù hợp với yêu cầu của thể chế, được

thể hiện ở G6 trang 93: “Về bài tập: hạn chế tối đa các bài tập chứa chữ”.

75,...





20, 75 



Từ số liệu thống kê, chứng tỏ rằng học sinh thường xuyên gặp phải các bài

toán mà trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể, chẳng hạn 20 Kết

quả nhận được đều không có dấu “-”. Điều này có thể giải thích bằng hai cách: vì

giá trị tuyệt đối của một số âm là một số dương hoặc theo nhận xét mà G6 đã nêu

“Có thể coi mỗi số nguyên có hai phần: phần dấu và phần số. Phần số chính là giá

trị tuyệt đối của nó” [G6, tr.99]. Với các tình huống này giá trị tuyệt đối mang nghĩa

“số cụ thể”, khi đó có thể hình thành ở học sinh dạng thức hành động: Để bỏ dấu giá

trị tuyệt đối của một số chỉ cần bỏ dấu “-” đằng trước số đó. Dạng thức hành động

này vận hành rất tốt và trở nên một kiến thức bền vững ở học sinh mà theo kết quả

nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002) đã chỉ ra rằng: “Học sinh có xu hướng áp

dụng các thao tác quen thuộc dựa trên các số cụ thể với các chữ”.

Như vậy, từ kết quả này cùng với tính phức tạp về nghĩa của ký hiệu chữ (chữ

được gán giá trị, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số ) như đã phân tích, mà điều này lại

không được làm rõ bởi học sinh. Do đó, chúng tôi nghĩ rằng khi gặp tình huống

mới, chẳng hạn trong dấu giá trị tuyệt đối là một biến thì học sinh sẽ tìm cách đồng

hóa khách thể mới vào dạng thức hành động cũ (tức là áp dụng các thao tác tìm giá

trị tuyệt đối của một số cụ thể cho các chữ) mà không có sự điều tiết thích ứng.

a = a (với

Điều này có thể là nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm khi cho rằng

mọi số nguyên a). Mặt khác, đối với kiểu nhiệm vụ tìm giá trị tuyệt đối của một số,

M6 đã nêu ra nhận xét “Giá trị tuyệt đối của một số nguyên âm là số đối của nó (và

là một số nguyên dương)” [M6, tr.72].

Điều này nói lên rằng việc tìm giá trị tuyệt đối của một số liên quan đến khái

niệm số âm, mà theo kết quả chương 1, chúng tôi đã dự đoán có thể tồn tại ở học

sinh quan niệm (-a) là một số âm với mọi số nguyên a khác 0 (chúng tôi sẽ kiểm

chứng giả thuyết này ở phần thực nghiệm ).Từ quan niệm này có thể xem như

a = a (với mọi số nguyên a).

nguồn gốc dẫn đến sai lầm khi cho rằng

Từ các phân tích trên, chúng tôi đưa ra dự đoán tồn tại ở học sinh quy tắc

hành động sau :

R1: Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức dạng –A(x) chỉ cần bỏ dấu “-”

trước A(x) là đủ.

Bảng 3.2.Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T3

Bài tập trong

Kiểu nhiệm

Các trường

Bài tập trong

Tổng số

vụ

hợp của m

M6

E6

m 0

15 T3

a m

m < 0

2

Qua thống kê, chúng tôi nhận thấy số lượng bài tập được cho với m 0

chiếm đa số (15/17 bài). Điều này có thể làm cho học sinh ít quan tâm đến trường

hợp m <0. Theo kỹ thuật 3 gán cho a nhận hai giá trị đối nhau ở vế phải (vế phải là

số dương) mà không quan tâm đến điều kiện của a khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Từ

đó có thể dẫn đến một trở ngại khi học sinh gặp phải tình huống vế phải là một số

âm. Liệu họ có sự điều tiết thích ứng khi gặp tình huống này không?

Qua phân tích, cho phép chúng tôi dự đoán tồn tại ở học sinh qui tắc hành

x m

  

động sau:

hoặc x = -m R2: x m

3.2.2. Giá trị tuyệt đối trong sách giáo khoa toán 7

Chương 1: “Số hữu tỉ. Số thực” trong M7 gồm các nội dung sau:

- Tập hợp  các số hữu tỉ

- Cộng, trừ số hữu tỉ

- Nhân, chia số hữu tỉ

- Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân.

- Lũy thừa của một số hữu tỉ

- Tỷ lệ thức

- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn

- Làm tròn số

- Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai

- Số thực

Trong đó khái niệm giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ được giới thiệu ở bài

“Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân”.

3.2.2.1. Về định nghĩa, tính chất của giá trị tuyệt đối

Trước hết một câu hỏi đặt ra nêu ở đầu bài “với điều kiện nào của số hữu

x  ? ”, sau đó M7 trình bày khái niệm giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

tỉ x thì x

x như sau: “Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, ký hiệu x , là khoảng cách từ điểm x

đến điểm 0 trên trục số.

? 1 Điền vào chỗ trống (…):

a) Nếu x = 3, 5 thì x = … b) Nếu x > 0 thì x =…

 thì x = … Nếu x = 0 thì x = …

4 7

Nếu x =

Nếu x < 0 thì x  …

x nếu x 0 -x nếu x < 0

    

Ta có : x =

2 3

75,5

thì x = = (vì > 0) Ví dụ: x =

= - (-5,75) = 5,75 (vì -5,75 < 0)” x = -5,75 thì x =

x và x ≥ x” [M7, tr.14]

Nhận xét: Với mọi x  ta luôn có: x ≥ 0; x =

Qua phần trình bày trên, chúng tôi có một số nhận xét sau:

- Câu hỏi đặt ra ở đầu bài với mục đích nhắm đến việc xác định công thức x .

Điều này cho thấy M7 đã quan tâm đến điều kiện của biến, giá trị tuyệt đối của một

số hữu tỉ được định nghĩa thông qua khái niệm khoảng cách từ một điểm x đến điểm

0 trên trục số. G7 đã giải thích lý do về việc lựa chọn cách định nghĩa này: “Ta coi ý

nghĩa hình học của khái niệm giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ là định nghĩa của

nó: Trên trục số, x là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0. Nhờ ý nghĩa này, học

sinh có thể hiểu được rằng trong hai số hữu tỉ âm số lớn hơn là số có giá trị tuyệt

đối nhỏ hơn” [G7, tr.22]





( , 0)

x , ( , 0)

d x



- Từ định nghĩa về thực chất đã ngầm ẩn thừa nhận sự tồn tại một hàm số:

 0  



d: . Hoạt động 1 đưa vào với mục đích minh

họa cho định nghĩa đồng thời qua đó đưa đến công thức xác định x , nếu xét hoạt

động 1a) thì x giữ vai trò là chữ được gán giá trị là một số hữu tỉ, khi đó hoạt động

1b) thì x một cách ngầm ẩn giữ vai trò là biến (khái niệm biến số chỉ được đưa vào

x xác định

từ chương 2 “Hàm số và đồ thị”). Thông qua hoạt động 1b) người ta đi đến công

thức x . Như vậy biểu thức x ngầm ẩn được xem là một hàm số x

trên  . Việc M7 đưa vào công thức x ngay trong phần lý thuyết đây chính là điểm

khác biệt so với M6 (ở lớp 6 chỉ phát biểu bằng lời). Sau đó M7 đưa vào ví dụ áp

x x ,



 

 ”. x

dụng công thức x , trong ví dụ này x giữ vai trò là chữ được gán giá trị. M7 đã đưa

vào phần nhận xét 3 tính chất: “Với mọi x  , ta luôn có :

Các tính chất này đưa ra mà không có lời giải thích nào. Theo chúng tôi các tính

chất được suy ra từ công thức tính x . Nói cách khác công thức tính x là yếu tố

công nghệ giải thích cho các tính chất đã nêu. Các tính chất mà M7 nêu ra được viết

dưới dạng ký hiệu chữ cũng cho thấy sự tiến triển của khái niệm giá trị tuyệt đối xét

về phương diện sử dụng ký hiệu chữ .

- Một câu hỏi được đặt ra: khái niệm giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ được

M7 đưa vào nhằm mục đích gì? Để trả lời câu hỏi này chúng tôi tìm hiểu ở phần tiếp

theo M7, trang 14 có đoạn viết:

“- Trong thực hành ta thường cộng, trừ, nhân hai số thập phân theo các quy

tắc về giá trị tuyệt đối và về dấu tương tự như đối với số nguyên.

- Khi chia hai số thập phân x cho số thập phân y (y ≠0) áp dụng quy tắc:

thương của hai số thập phân x và y là thương của x và y với dấu “+” đằng trước

nếu x và y cùng dấu và dấu “-” đằng trước nếu x và y khác dấu”

Qua đoạn trích trên cho thấy giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ được đưa vào

nhằm tạo thuận lợi cho việc thực hành các phép toán trên  .

Tóm lại: Qua phân tích trên, khái niệm giá trị tuyệt đối mang nghĩa “hàm số”

    

được đề cập một cách ngầm ẩn. Mặt khác M7 đã xem x = x nếu x 0 là công - x nếu x < 0

thức xác định x và nhấn mạnh tầm quan trọng của công thức này. Điều đó được thể

hiện trong G7, trang 23: “ Giáo viên cần giải thích kỹ công thức xác định x ”

3.2.2.2. Về các tổ chức toán học

1.Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T’1: “Tìm giá trị tuyệt đối của một số”

3

Ví dụ: Hoạt động 2 [M7, tr.14]

1  7

1 7

1 5

b) x = c) x = d) x = 0” “Tìm x , biết: a) x =

+ Kỹ thuật giải ’1 : Thay x bằng các số cụ thể đã cho, từ đó tìm giá trị tuyệt đối

của một số cụ thể như sau :

- Nếu trong dấu giá trị tuyệt đối là số 0 thì giá trị tuyệt đối của nó bằng 0.

- Nếu trong dấu giá trị tuyệt đối là một số hữu tỉ dương thì giá trị tuyệt đối của

số đó bằng chính nó.

- Nếu trong dấu giá trị tuyệt đối là một số hữu tỉ âm thì giá trị tuyệt đối của số

đó bằng số đối của nó.

+ Yếu tố công nghệ ’1: Công thức xác định x

1' : Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

+ Yếu tố lý thuyết

* Nhận xét:

- Đặc trưng của T’1 trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể và là số hữu tỉ.

- Kiểu nhiệm vụ T’1 và T1 đã xuất hiện ở lớp 6, có cùng yếu tố công nghệ và

lý thuyết, kỹ thuật ’1 cũng tương tự như kỹ thuật  1 đã xuất hiện ở lớp 6. Đối với

học sinh thì kỹ thuật này dễ hiểu và dễ sử dụng. Đặc biệt, nó vẫn vận hành tốt đối

với trường hợp trong dấu giá trị tuyệt đối là số biểu thị bằng chữ nếu học sinh quan

tâm đến việc xét điều kiện của chữ. Tuy nhiên ngay từ lớp 6 học sinh đã quen thuộc

với việc tìm giá trị tuyệt đối của một số cụ thể và họ tiếp tục gặp lại ở lớp 7. Liệu

điều này có gây trở ngại gì không khi họ gặp phải tình huống trong dấu giá trị tuyệt

đối là số biểu thị bằng chữ, chẳng hạn “Tìm a (với a là số hữu tỉ)”. Hơn nữa học

sinh có “thoát khỏi” cách hiểu (-a) là số hữu tỉ âm hay không? Từ đây chúng tôi dự

đoán tồn tại ở học sinh quy tắc hành động sau:

R1: Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức dạng –A(x) chỉ cần bỏ dấu “-”

trước A(x) là đủ.

2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T’3: “Tìm giá trị của chữ trong một

đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối”

“Tìm x, biết rằng:

Ví dụ 1: Bài tập 172 [M7, tr.15]

1 5

2 1 ” 3

Hướng dẫn giải

1 

a) x = ; b) x = 0,37 c) x = 0 d) x =

 ; b) x =  0,37; c) x = 0; d) x=

2 3

1 5

“ a) x = ” [G7, tr.24]

“Tìm x, biết x = -1,2”

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Bài tập 101b [M7, tr.49]

Không tồn tại giá trị nào của x [G7, tr.52]

“Tìm x, biết rằng:

7,1x

x

Ví dụ 3: Bài tập 25 [M7, tr.16]

3 4

1 3

a) = 2,3; b) - = 0”

Hướng dẫn giải

“ a) Ta có: x -1,7 = 2,3 hoặc x – 1,7 = -2,3

x

Từ đó, tìm được x = 4 hoặc x = - 0,6

3 4

1 3



 hoặc x =

= . Giải như trên: b)Ta có:

5 2

13 12

được x = ” [G7, tr.25]

( )A x

m

+ Kỹ thuật giải ’3:

- Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng (với A(x) là biểu thức bậc nhất,

m là số cụ thể)

- Nếu m = 0 thì tìm x từ đẳng thức A(x) = 0

- Nếu m > 0 thì đưa về tìm x từ hai đẳng thức A(x) = m hoặc A(x) = - m

- Nếu m < 0 thì không tồn tại x

+Yếu tố công nghệ ’3:

-Qui tắc chuyển vế.

x .

- Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0.

- Các tính chất: x ≥ 0,  x   ; x =

+Yếu tố lý thuyết ’3: Công thức tính x , Các tính chất của đẳng thức

Bảng 3.3. Thống kê các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T’3

Các trường

Bài tập trong

Kiểu nhiệm vụ

Tổng số

hợp của m

E7

M7

m 0

14 T’3

( )A x

m

m < 0

2

( )A x

m

(với m là * Nhận xét: - Đặc trưng của T’3 là các đẳng thức đều có dạng

số cụ thể và là số hữu tỉ) hoặc có thể đưa được về dạng này. Trong dấu giá trị tuyệt

đối là số biểu thị bằng chữ hoặc biểu thức chứa chữ ở dạng bậc nhất. Chữ được đề

cập trong dấu giá trị tuyệt đối giữ vai trò là ẩn số. Đây là kiểu nhiệm vụ đã xuất hiện

ở lớp 6. Yếu tố công nghệ và lý thuyết tương tự như kiểu nhiệm vụ T3 đã đề cập ở

lớp 6. Chỉ có một điểm khác biệt là xét trên tập hợp các số hữu tỉ.

- Kỹ thuật’3 được đưa ra ngầm ẩn thông qua lời giải các bài toán, không nêu

7,1x

ra một cách tường minh. Hơn nữa theo cách trình bày ở ví dụ 3: “Để tìm x trong

đẳng thức = 2,3 đưa về tìm x từ hai đẳng thức x -1,7 = 2,3 hoặc x – 1,7 = -

x  

2,3”. Ở đây chỉ đưa ra kết quả mà không có lời giải thích nào vì sao lại làm như

là ngầm vậy. Điều này cho thấy chức năng giải thích của yếu tố công nghệ

ẩn. Hơn nữa kỹ thuật này không quan tâm đến việc xét điều kiện của x khi bỏ dấu

3 ở lớp 6). Bởi vì, học sinh ở các khối lớp

giá trị tuyệt đối (tương tự như kỹ thuật

này chưa học cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn số. Mặt khác theo thống kê

trên thì học sinh thường xuyên gặp phải tình huống với vế phải là một số dương (14

bài). trong khi chỉ có hai bài toán cho trường hợp vế phải là số âm. Câu hỏi đặt ra:

Liệu học sinh ứng xử thế nào trong trường hợp vế phải là số âm?

Theo chúng tôi việc học sinh thường xuyên giải quyết kiểu nhiệm vụ T’3

trong trường hợp vế phải là số dương có thể tạo nên chướng ngại cho việc thực hiện

kiểu nhiệm vụ T’3 trong trường hợp vế phải là một số âm. Từ chướng ngại này cho

A x ( )

m  

phép chúng tôi dự đoán tồn tại ở học sinh qui tắc hành động sau:

  . Đây chính là sự mở rộng của quy tắc R2 ở lớp 6.

R’2:

3.2.3. Giá trị tuyệt đối trong sách giáo khoa toán 8

Trong chương trình đại số lớp 8, giá trị tuyệt đối được đề cập ở chương 2:

“Bất phương trình bậc nhất một ẩn”, gồm các nội dung sau:

- Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

- Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

- Bất phương trình một ẩn

- Bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Giá trị tuyệt đối được M8 đề cập ở bài “Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối”.

3.2.3.1. Về định nghĩa giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối được M8 trình bày như sau :

“Giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu là a , được định nghĩa như sau:

a = a khi a ≥ 0

a = -a khi a  0

5,3

= 3,5 Chẳng hạn: 5 = 5, 0 = 0,

Theo định nghĩa trên, ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối tùy theo giá trị của biểu

thức ở trong dấu giá trị tuyệt đối là âm hay không âm”. [M8, tr.49]

* Nhận xét:

- Công thức xác định x (với x   ) đã xuất hiện ở lớp 7, bây giờ được M8

xem như là định nghĩa của khái niệm giá trị tuyệt đối của một số thực. Biểu thức a

  , xác định bởi a = a khi a ≥ 0; a

ngầm ẩn được xem như là một hàm số từ

= - a khi a  0.

- Đoạn trích: “Theo định nghĩa trên, ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối tùy theo giá

trị của biểu thức ở trong dấu giá trị tuyệt đối là âm hay không âm”. Đã xuất hiện hai

điểm đáng chú ý: Thứ nhất, ngầm mở rộng cho giá trị tuyệt đối của một biểu thức. Thứ

hai, việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối gắn với điều kiện của biến tức là M8 đã quan tâm đến

nghĩa “hàm số”. Đây là điểm khác biệt so với các lớp 6, 7. Có thể lý giải điều này bởi

học sinh lớp 8 đã được học giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

3.2.3.2. Về các tổ chức toán học

1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T’’1: “Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút

gọn biểu thức”

Ví dụ 1: Ví dụ 1 [M8, tr.50]

3x

“Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức:

x2

a) A = + x - 2 khi x ≥ 3;

khi x > 0” b) B = 4x + 5 +

3x

Lời giải mong đợi

a) Khi x ≥ 3, ta có x – 3 ≥ 0 nên = x – 3. Vậy

x2

A = x – 3 + x – 2 = 2x – 5

b) Khi x > 0, ta có -2x < 0 nên = -(-2x). Vậy

B = 4x + 5 + 2x = 6x + 5

5x

Ví dụ 2: Bài tập 35d [M8, tr.51]

“Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức : D = 3x + 2 + ”

Hướng dẫn giải:

“D = 4x + 7 khi x ≥ -5 và D = 2x -3 khi x < -5” [G8, tr.59]

+ Kỹ thuật giải ’’1

- Nếu cho trước điều kiện của biến x thì tùy theo điều kiện này xác định xem

giá trị của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là không âm hay âm mà từ đó bỏ dấu

giá trị tuyệt đối.

- Nếu không cho trước điều kiện của biến x thì phải tìm điều kiện làm cho biểu

thức trong dấu giá trị tuyệt đối không âm hay âm, để từ đó bỏ dấu giá trị tuyệt đối

theo mỗi điều kiện.

- Thực hiện các phép toán trên biểu thức không chứa giá trị tuyệt đối.

+ Yếu tố công nghệ ’’1:

- Các quy tắc biến đổi bất phương trình.

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối.

+Yếu tố lý thuyết ’’1 :

- Các tính chất liên hệ giữ thứ tự và phép cộng, phép nhân

- Khái niệm khoảng cách trên trục số

Bảng 3.4.Thống kê số lượng bài tập thuộc kiểu nhiêm vụ T’’1

Bài tập

Kiểu nhiệm

Bài tập

Tổng số

Đặc trưng của T’’1

vụ

trong M8

trong E8

Cho điều kiện của x

T’’1

Không cho điều kiện của x

* Nhận xét:

- Trong kiểu nhiệm vụ T’’1 vấn đề mấu chốt là bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Như

vậy, thực chất đây chính là sự mở rộng của kiểu nhiệm vụ Tìm giá trị tuyệt đối của

một số đã xuất hiện ở các lớp 6, 7. Đặc trưng của T’’1 là có hai mức độ thực hiện

việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở biểu thức dạng ax và dạng x b . Mức độ thứ nhất:

cho điều kiện của biến x, mức độ thứ hai: không cho điều kiện của x, mức độ này

đưa vào nhằm tạo thuận lợi cho việc thực hiện kiểu nhiệm vụ T’’3 là giải phương

trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

- Ký hiệu chữ trong dấu giá trị tuyệt đối giữ vai trò là biến được đề cập tường

minh. Đây cũng chính là điểm khác biệt so với các lớp 6, 7.

- Theo kỹ thuật ’’1, nếu xét ở mức độ thứ nhất thì chỉ cho một kết quả sau khi

rút gọn biểu thức, nếu xét ở mức độ thứ hai thì luôn cho hai kết quả sau khi rút gọn

ứng với mỗi điều kiện của biến. Hơn nữa ở mức độ này một khó khăn nảy sinh là

yêu cầu phân loại khả năng xảy ra để xét theo mỗi khả năng, sau đó phải tổng hợp

kết quả theo các khả năng đó. Cụ thể hơn khi thực hành ở mức này học sinh phải tự

ax  hoặc 0

x b  , mà từ đó bỏ dấu giá trị

đặt ra bài toán giải bất phương trình

tuyệt đối. Đến đây một câu hỏi đặt ra: Trong trường hợp không cho trước điều kiện

của biến x thì khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối liệu học sinh có quan tâm đến việc xét

điều kiện của biến không khi mà ở mức độ này chỉ có 1 bài tập?.

Từ phân tích này, chúng tôi dự đoán tồn tại ở học sinh lớp 8 quy tắc hành

động sau: R1: Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức dạng –A(x) chỉ cần bỏ

dấu “-” trước A(x) là đủ.

2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T’’3 : “Giải phương trình chứa ẩn

trong dấu giá trị tuyệt đối ”

3x

Ví dụ 1: Ví dụ 3 [M8, tr.50]

“Giải phương trình: = 9 – 2x (2)”

3x

Lời giải mong đợi

3x

Ta có: = x - 3 khi x -3 ≥ 0 hay x ≥ 3

= -(x – 3) khi x - 3 < 0 hay x < 3

Vậy để giải phương trình (2) ta quy về giải hai phương trình sau.

a) Phương trình x - 3 = 9 – 2x với điều kiện x ≥ 3

ta có: x - 3 = 9 – 2x  3x = 9 + 3  3x = 12  x = 4

Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện x ≥ 3, nên 4 là nghiệm của phương trình (2).

b) Phương trình –(x – 3) = 9 – 2x với điều kiện x < 3

ta có: –(x – 3) = 9 – 2x  - x + 3 = 9 – 2x  x = 6

Giá trị x = 6 không thỏa mãn điều kiện x < 3, ta loại.

Tổng hợp các kết quả trên, ta có tập nghiệm của phương trình (2) là: S = {4}”

   ” [M8, tr.131]

Ví dụ 2: “Giải phương trình 3

       2 3

Lời giải mong đợi

x + 2 0 3x -1 = x + 2 hoặc 3x -1 = - (x+2)

     

2 

hoặc x =

x =

     

3 2

1  4

 x 

 

“ 3

3 2 1  4

  x 

” [G8, tr.145]

Như vậy, có hai kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ T’’3

3'' a :

+Kỹ thuật giải

- Xét hai trường hợp của biến x để khử dấu giá trị tuyệt đối

- Giải hai phương trình thu được không chứa giá trị tuyệt đối và kiểm tra

nghiệm theo điều kiện

- Tổng hợp nghiệm 2 phương trình và trả lời

3'' a :

+Yếu tố công nghệ

- Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối

- Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

3'' a :

+Yếu tố lý thuyết

- Các quy tắc biến đổi tương đương bất phương trình

- Các quy tắc biến đổi tương đương phương trình

- Khái niệm khoảng cách trên trục số

3'' b :

cx d

 

 (với a, b, c, d là các số

+Kỹ thuật giải

- Biến đổi phương trình đã cho về dạng ax b

cx d  để tìm điều kiện của x.

cụ thể)

- Giải bất phương trình

- Giải hai phương trình ax + b = cx + d và ax + b = - (cx+d)

cx d  , từ đó trả lời nghiệm của

- Kết hợp với điều kiện của x làm cho

phương trình đã cho

3'' b :

 

  ; a a

+Yếu tố công nghệ

. - Các tính chất:

- Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất một ẩn

3'' b :

+Yếu tố lý thuyết

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối

- Các quy tắc biến đổi tương đương phương trình, bất phương trình

cx d

 

 hoặc có thể biến

* Nhận xét:

- Đặc trưng của T’’3 là phương trình có dạng ax b

đổi về dạng này.

3'' a được hình thành thông qua lời giải bài toán, kỹ thuật sẽ có hiệu

- Kỹ thuật

quả nếu học sinh thực hiện thành thạo thao tác bỏ dấu giá trị tuyệt đối, tức là phải

giải quyết tốt kiểu nhiệm vụ T’’1. Đặc biệt kỹ thuật này vẫn vận hành tốt trong

trường hợp phương trình có nhiều dấu giá trị tuyệt đối. Hơn nữa nó vẫn sử dụng để

giải phương trình với tình huống vế phải của phương trình là số cụ thể, chẳng hạn

x   ” [E8, tr.48]

“Giải phương trình 2

Hướng dẫn giải

“Đưa về giải hai phương trình:

5  ) 2

. 2x -5 = 4 (khi x

5 2

. – (2x -5) = 4 (khi x < )

Đáp số: x = 4,5; x = 0,5.” [E8, tr.60]

Phương trình như trên đã xuất hiện ở lớp 7, nhưng với yêu cầu “Tìm x, biết…”

sang lớp 8 yêu cầu ấy đổi thành “giải phương trình”, thuật ngữ “giải phương trình…”

chỉ bắt đầu được sử dụng khi khái niệm phương trình đã được giới thiệu chính thức

3'' a chỉ xuất hiện lần đầu tiên ở lớp 8, gắn liền với

trong chương 3 của lớp 8. Kỹ thuật

cx d

 

 ,

việc học sinh lớp 8 đã được học giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

- Kỹ thuật ’’3b vận hành tốt trong trường hợp phương trình ax b

cho lời giải ngắn gọn và không xét điều kiện của biến trong dấu giá trị tuyệt đối để

khử dấu giá trị tuyệt đối. Đây chính là điểm khác biệt so với ’’3a . Tuy nhiên ’’3b

chỉ đưa vào ngầm ẩn thông qua lời giải của bài toán. Một chi tiết quan trọng là học

sinh thường xuyên gặp phải các tình huống vế phải của phương trình là những số

 x 

  

dương ở các lớp 6,7 và họ tiếp tục gặp lại ở lớp 8, chẳng hạn đối với phương trình

 

x x

2 2

3 4   3 4   

  

7 2 1  2

  x 

sau: “ ” [G8, tr.145].

( )A x

A x ( )

B x ( )

m



Đến đây câu hỏi đặt ra: Học sinh gặp phải trở ngại gì trong bước chuyển từ

giải phương trình dạng (với m là số cụ thể) sang dạng (với

B(x) là biểu thức bậc nhất. Nếu sử dụng kỹ thuật ’’3b thì liệu họ có quan tâm đến

điều kiện B(x) 0 hay không?

Từ phân tích trên, cho phép chúng tôi dự đoán tồn tại ở học sinh qui tắc hành

( ) A x

( ) B x



động sau:

( ) A x ( ) A x

( ) B x ( ) B x

  

   

R’’2 : (mở rộng của R’2 ở lớp 7)

3.2.4. Giá trị tuyệt đối trong sách giáo khoa Toán 9

Trong chương trình đại số lớp 9, giá trị tuyệt đối được đề cập ở chương 1:

“Căn bậc hai - căn bậc ba”, gồm các nội dung sau:

A

- Căn bậc hai

- Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

- Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

- Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

- Bảng căn bậc hai

- Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai

- Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

- Căn bậc ba

A

Giá trị tuyệt đối được M9 vận dụng kể từ bài “căn thức bậc hai và hằng đẳng

thức ”

3.2.4.1. Về định nghĩa giá trị tuyệt đối

a

Trong M9, định nghĩa giá trị tuyệt đối được nhắc lại và áp dụng để chứng

A

minh định lý “Với mọi số a, ta có ”. Định lý này là cơ sở để đưa đến hằng

đẳng thức (Với A là biểu thức đại số). Như vậy M9 đã đề cập đến giá trị

tuyệt đối của một biểu thức một cách tường minh.

3.2.4.2. Về các tổ chức toán học

1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T’’’1: “Rút gọn và tính giá trị của

biểu thức chứa căn bậc hai”

Vì mục đích của luận văn nên trong kiểu nhiệm vụ này, chúng tôi chỉ đề cập

đến các bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối.

5

Ví dụ 1: Ví dụ 3 [M9, tr.9]

“Rút gọn biểu thức: ”



2

5 2

5





 (vì 5

2 )

= 2 Giải.



2

6a với a < 0”

Ví dụ 2: ví dụ 4 [M9, tr.10]

“Rút gọn

6a =

Giải. =



23a

3a = - a 3

Vì a < 0 nên a 3 < 0 , do đó

6a = - a 3 (với a < 0)

Vậy

Ví dụ 3: Bài tập 34c [M9, tr. 20]

4a 9 12   2 b

“Rút gọn biểu thức : với a  - 1,5 và b < 0”

3 2 





2







Giải.

4a 9 12   2 b

3 2  2 b

 b

a 

= (vì a  - 1,5 ; b < 0) “

29 x

x 6

Ví dụ: Bài tập 73 [M9, tr.40]

 tại x = - 3 ”

“Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 4x -

; 7x + 1 nếu x

“4x - 3

1x  . Rút gọn tiếp, ta có kết quả: x - 1 nếu x





1  3

Thay x = - 3 , tính được -7 3 +1” [G9, tr.47]

Hướng dẫn giải

1''' :

+Kỹ thuật giải

A

- Biển đổi biểu thức đã cho về dạng xuất hiện

- Áp dụng hằng đẳng thức

* Nếu trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể xét xem số đó dương hay âm, mà

từ đó bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

* Nếu trong dấu giá trị tuyệt đối là một biến hoặc biểu thức thì sử dụng kỹ

thuật đã biết ’’1 đã biết ở lớp 8

- Thay giá trị cho trước của x vào biểu thức thích hợp vừa rút gọn (trong

trường hợp bài toán tính giá trị của biểu thúc).

1''' :

+Yếu tố công nghệ

- Hằng đẳng thức đáng nhớ

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối

- Các qui tắc biến đổi căn bậc hai.

- Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn số.

1''' :

+Yếu tố lý thuyết

- Phép nhân đơn thức, đa thức

- Các tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép nhân

- Khái niệm khoảng cách trên trục số

- Các định lý về phép biến đổi căn bậc hai

* Nhận xét:

A

- Kiểu nhịêm vụ trên đưa được về kiểu nhiệm vụ T’’1 đã biết ở lớp 8, nhờ vào

. Điều này gợi lên cho chúng tôi dự đoán có thể tồn tại ở hằng đẳng thức

học sinh lớp 9 qui tắc hành động sau khi giải quyết kiểu nhiệm vụ T’’’1

R1: Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức dạng –A(x) chỉ cần bỏ dấu “-”

trước A(x) là đủ.

2.Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T’’’3 : “Giải phương trình chứa ẩn

trong căn bậc hai”

2 6 

9  

Ví dụ: Bài tập 17 [E9, tr.18]

 ” 1

“Giải phương trình

Đối với kiểu nhiệm vụ này E9 đã đưa ra kỹ thuật giải như sau

3''' :

 

 cx d

+ Kỹ thuật giải

- Biến đổi phương trình đã cho về dạng ax b

3'' a và

3'' b ở lớp 8

- Áp dụng các kỹ thuật

3''' :

+Yếu tố công nghệ

A

- Hằng đẳng thức đáng nhớ

-Hằng đẳng thức

 

-Cách giải phương trình, bất phương trình bậc nhất một ẩn

  ; a a

''''

- Tính chất .

3 :

+ Yếu tố lý thuyết

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối

- Các quy tắc biến đổi tương phương trình, bất phương trình

* Nhận xét:

Đặc trưng của T’’’3 là đưa về kiểu nhiệm vụ T’’3 ở lớp 8. Do đó, chúng tôi dự

( ) A x

( ) B x



đoán qui tắc hành động sau tồn tại ở học sinh lớp 9

R’’2:

( ) A x ( ) A x

( ) B x ( ) B x

  

   

3.3. Giá trị tuyệt đối trong sách giáo khoa lớp 10 hiện hành

3.3.1. Về định nghĩa và các tính chất của giá trị tuyệt đối

Trong chương 2: “Hàm số bậc nhất và bậc hai” M10 trang 41 đã đề cập đến

hàm số:

x nếu x 0 - x nếu x < 0

     

y= x

Các tính chất về giá trị tuyệt đối được đưa vào ở chương 4: “Bất đẳng thức và

bất phương trình”. Cụ thể là bài 1: “Bất đẳng thức”. M10 trang 78 có đoạn viết:

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất cho trong bảng sau

x x ,



  x

     a a

Điều kiện Nội dung

    hoặc x

a



a b   



a > 0

Qua các đoạn trích trên, chúng tôi có nhận xét sau:

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số thực giữ vai trò là yếu tố công nghệ

giải thích cho các tính chất như đã nêu trong khung. M10 không đưa ra chứng minh

các tính chất trên. Điều này được thể hiện rõ trong G10 trang 88: “Theo qui định của

chương trình, chúng ta chỉ dừng ở mức giới thiệu các tính chất trên mà không

chứng minh cho học sinh”.

- Việc đưa vào hàm số y= x , cho thấy khái niệm giá trị tuyệt đối được nhìn

nhận một cách tường minh theo quan điểm hàm số. Với quan điểm này người ta

xem x như một hàm số.

3.3.2. Về các tổ chức toán học

Các bài tập gắn với khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập ở cả 3 chương của

M10. Cụ thể là chương 2: “Hàm số bậc nhất và bậc hai”, chương 3: “Phương trình

và hệ phương trình”, chương 4: “Bất đẳng thức và bất phương trình”. Chúng tôi

sắp xếp theo các kiểu nhiệm vụ sau đây:

Tvẽ : “Vẽ đồ thị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối”

T’’’’3: “Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối”

T5: “Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối”

Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết các kiểu nhiệm vụ đã được

chỉ ra trên đây.

1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ Tvẽ : “Vẽ đồ thị của hàm số

f x ” (trong đó f(x) là đa thức bậc nhất)

y= ( )

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y= x , M10 trang 41 trình bày như sau:

“ Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có:

x nếu x 0 - x nếu x < 0

     

y= x

Trong nửa khoảng [0;+  ) đồ thị của hàm số y= x trùng với đồ thị của hàm

Trong khoảng (-  ;0) đồ thị của hàm số y= x trùng với đồ thị của hàm số y = -x”

số y= x.

+ Kỹ thuật giải  vẽ :

( );

f x ( )

;



 

D i

( );

f x x D   1 1 f x x D   1 i 2

  

- Khử dấu giá trị tuyệt đối y=

if x (với i=1, 2). Đồ thị của hàm số cần tìm là tất

- Vẽ đồ thị các hàm số y= ( )

if x nằm phía trên trục hoành

cả các phần đồ thị hàm số y= ( )

+ Yếu tố công nghệ vẽ :

- Cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối

+ Yếu tố lý thuyết  vẽ :

- Định nghĩa đồ thị của hàm số

- Khái niệm khoảng cách trên trục số

2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T’’’’3 : “Giải phương trình chứa ẩn

trong dấu giá trị tuyệt đối”

)(xf

Kiểu nhiệm vụ này bao gồm ba kiểu nhiệm vụ con sau:

= g(x) T’’’’31: Giải phương trình dạng

( f(x) là đa thức bậc nhất, g(x) là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai)

1 (1 )







Ví dụ: ví dụ1 [M10, tr.59]

” “Giải phương trình

Lời giải mong đợi:

Cách 1

“ Nếu x 3 thì phương trình (1) trở thành x - 3= 2x+1. Từ đó x= -4

Giá trị x = -4 không thoả mãn điều kiện x 3 nên bị loại

2 3

. Nếu x <3 thì phương trình (1) trở thành –x+3=2x+1.Từ đó x=

Giá trị này thỏa mãn điệu kiện x <3 nên là nghiệm

2 3

Kết luận : vậy nghiệm của phương trình là x= ” [M10, tr.59]

Cách 2

(1)

( x  





“Bình phương hai vế của phương trình (1) ta đưa tới phương trình hệ quả

9 4

2 x  

 



 1

23 x  

  8 0

2 3

Phương trình cuối có hai nghiệm là x= -4 và x =

2 3

Thử lại ta thấy phương trình (1) chỉ có nghiệm là x=

2 3

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x= ” [ M10, tr.59]

Như vậy, để giải quyết kiểu nhiệm vụ trên, M10 đưa ra 2 kỹ thuật sau:

3'' a đã biết ở các lớp 8, 9. Kỹ thuật này vẫn vận hành tốt trong

Kỹ thuật

trường hợp g(x) là đa thức bậc hai. Ngoài ra M10 còn đưa vào kỹ thuật sau:

'''' : 31

+ Kỹ thuật giải

- Bình phương hai vế của phương trình đã cho

- Giải phương trình hệ quả thu được

- Thử lại bằng cách thế giá trị tìm được vào phương trình ban đầu. Từ đó kết

luận nghiệm của phương trình đã cho.

'''' : 31

f x ( )

g x ( )

[

f x

2 ( )]

2 g x [ ( )]







+Yếu tố công nghệ

- Hằng đẳng thức đáng nhớ

- Cách giải phương trình bậc hai

'''' : 31

+ Yếu tố lý thuyết

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối

- Phép nhân đơn thức, đa thức

- Lý thuyết về phương trình bậc hai

- Định nghĩa phương trình hệ quả

* Nhận xét :

- Kiểu nhiệm vụ T’’’’31 đã xuất hiện ở các lớp 8, 9 (chỉ xét f(x) và g(x) là các

đa thức bậc nhất). Ngoài các kỹ thuật đã biết, ở đây M10 đã đưa vào một kỹ thuật

'''' b

mới ( Bình phương hai vế). Kỹ thuật được trình bày ngầm ẩn thông qua lời giải

một ví dụ minh hoạ. Chúng chỉ vận hành tốt khi f(x) và g(x) đều là đa thức bậc nhất.

Nếu g(x) là đa thức bậc hai thì khi bình phương hai vế có thể dẫn đến phương trình

f x ( )

g x ( )

[

f x

2 ( )]

2 g x [ ( )]







bậc cao.

- Yếu tố công nghệ “ ” được đưa vào trong kỹ

thuật, chỉ thể hiện được chức năng biện minh cho kỹ thuật, nhưng chưa thể hiện rõ

chức năng giải thích vì sao lại thu được phương trình hệ quả, mà không phải là

phương trình tương đương? Như vậy điều gì sẽ xảy ra nếu học sinh dùng phép biến

0, x

f x ( )

đổi tương?. Lúc này liệu họ có quan tâm đến việc đặt điều kiện g(x) 0 hay không?

  thì g(x)

  ? Hoặc chỉ xét duy nhất ở khía

Hay là họ nghĩ rằng

cạnh bình phương để khử dấu giá trị tuyệt đối, không quan tâm đến điều kiện mà

nghiệm phải thoả mãn? mặt khác phương trình dạng này học sinh đã thường xuyên

gặp ở các lớp trung học cơ sở và tiếp tục gặp lại ở lớp 10, do đó các kỹ thuật giải đã

biết có thể còn đọng lại ở học sinh lớp 10.

( ) A x

( ) B x



Từ phân tích trên chúng tôi dự đoán tồn tại ở học sinh các qui tắc hành động sau:

( ) A x ( ) A x

( ) B x ( ) B x

  

   

A x ( )

B x ( )

[

A x

2 ( )]

[

B x

2 ( )]







xf )(

xg )(



R’’2 : a)

T’’’’32: Giải phương trình dạng

(trong đó f(x), g(x) là các đa thức bậc nhất)

5  

Ví dụ: Bài tập 4 [E10, tr.62]

 ” 2

“Giải phương trình 2

Lời giải mong đợi :

5  

  





4 x  



25 9 



 4



Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được phương trình tương đương

 21 0

 25 x

3  5

Phương trình cuối có 2 nghiệm x1=7, x2= ” [E10, tr.63]

'''' : 32

+ Kỹ thuật giải

- Bình phương hai vế của phương trình đã cho đưa đến phương trình tương đương

-Giải phương trình thu được

-Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

'''' : 32

f x ( )

g x ( )

[

f x

2 ( )]

2 g x [ ( )]







+ Yếu tố công nghệ

-Hằng đẳng thức đáng nhớ, cách giải phương trình bậc hai

'''' : 32

+ Yếu tố lý thuyết

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối

- Phép nhân đơn thức, đa thức

- Lý thuyết về phương trình bậc hai

- Định nghĩa hai phương trình tương đương

* Nhận xét :

'''' được hình thành thông qua lời giải bài toán, kỹ thuật này chỉ vận hành tốt

Kiểu nhiệm vụ T’’’’32 không xuất hiện ở các lớp trung học cơ sở, kỹ thuật

trong trường hợp đa thức trong dấu giá trị tuyệt đối ở dạng bậc nhất, bởi vì nếu bậc



lớn hơn hoặc hai thì khi bình phương hai sẽ dẫn đến phương trình bậc cao.

( ) f x g x ( )

( ) h x k x ( )

T’’’’33: Giải phương trình dạng

(trong đó các đa thức đều là đa thức bậc nhất)



Ví dụ : Bài tập 6c [M10, tr.63]

3  x

 1

x 1  x 2 3 

x 

” “Giải phương trình

 và x

1 

Lời giải mong đợi

3 2

“Điều kiện x

x 11

1 6   



27 x  

 3

  2 0

Nếu x >-1 thì phương trình đã cho tương đương với phuơng trình



x 1,2

 14

3 2

Phương trình cuối có 2 nghiệm đều lớn hơn -1 và khác nên

là nghiệm của phương trình đã cho

x 11



6  



25 x  

 3

  4 0



Nếu x<-1 thì phương trình đã cho tương đương với phương trình

x 3,4

 10



đều lớn hơn -1 nên bị loại Phương trình cuối có 2 nghiệm

 14

” [G10, tr.74] Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 1,2

Có thể hình thành kỹ thuật giải như sau :

'''' : 33

+ Kỹ thuật giải

- Tìm điều kiện của x sao cho các giá trị của các mẫu khác 0

- Xét 2 trường hợp của x để khử dấu giá trị tuyệt đối, đưa về phương trình

thông thường.

- Giải hai phương trình thu được rồi kết hợp với điều kiện của x ở hai bước

trên. Từ đó kết luận nghiệm của phương trình đã cho .

'''' : 33

+ Yếu tố công nghệ

-Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

-Định nghĩa giá trị tuyệt đối

- Cách giải phương trình bậc hai

'''' : 33

+ Yếu tố lý thuyết

- Các quy tắc biến đổi tương đương phương trình, bất phương trình

- Khái niệm khoảng cách trên trục số

* Nhận xét: Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này hoàn toàn phụ thuộc vào

kiến thức mà học sinh đã học, chẳng hạn bỏ dấu giá trị tuyệt đối, giải phương trình

chứa ẩn ở mẫu. Do đó kỹ thuật dễ hiểu và dễ sử dụng .

3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T5 : “Giải bất phương trình chứa ẩn

trong dấu giá trị tuyệt đối”

f x ( )

a

Kiểu nhiệm vụ này bao gồm hai kiểu nhiệm con sau

T51: Giải bất phương trình dạng

(trong đó a > 0 và f(x) là đa thức bậc nhất)

Ví dụ: Bài tâp3a [M10, tr.94]

x   ”

“Giải bất phương trình 5

f x ( )

G10 không nêu lời giải bất phương trình này .Nhưng G10 đưa ra phần chú ý:

a thì không cần xét dấu f(x) mà chỉ cần vận

“Đối với bất phương trình dạng

f x ( )

a a (



dụng tính chất của bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối:

( ) f x f x ( )

  

 0)    

” [G10, tr.107]

x 

5 5

x x

4 6   4   

 6     

2 5

    x 

Từ chú ý trên lời giải mong đợi có thể là :

+Kỹ thuật giải 51 :

a 

- Giải hai bất phương trình f(x) a ; f(x)

- Hợp các nghiệm tìm được của hai bất phương trình trên

51 :

f x ( )

a a (



+ Yếu tố công nghệ

f x ( ) f x ( )

  

 0)    

Tính chất

51 :

+ Yếu tố lý thuyết

-Định nghĩa giá trị tuyệt đối

-Phép biến đổi tương đương các bất phương trình

* Nhận xét:

- Yếu tố công nghệ được trình bày một cách tường minh trong G10 và có chức

năng tạo ra kỹ thuật

- Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ trên là trong bất phương trình chỉ chứa một

51 chỉ vận hành được trong trường hợp bất phương

dấu giá trị tuyệt đối, kỹ thuật

f x ( )

g x ( )



 a

trình có dạng như đã nêu.

T52: Giải bất phương trình dạng

(với a > 0 và f(x), g(x) là các đa thức bậc nhất)

3 5

Ví dụ: Ví dụ 4 [M10, tr.93]

    ”

“Giải bất phương trình 2 

Lời giải mong đợi

“Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ,ta có

‐2x+1 nếu -2x +1 0 - (-2x+1) nếu -2x +1< 0

      

2 

 , ta có hệ bất phương trình

Do đó ta xét bất phương trình trong hai khoảng

1 2

1 2 x

3 5

x    

1  x  2    x 7 

 x     ( 2 

hay a)Với x

1  2

Hệ này có nghiệm là -7

1 2

3 5

1 2 3

1 2 x    

 x    

 x     x

, ta có hệ bất phương trình hay b)với x>

x  3

1 2

Hệ này có nghiệm là

Tổng hợp lại tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng

1 2

] và ( ) (-7;

Kết luận : Bất phương trình đã cho có nghiệm là -7 < x <3

52 :

+ Kỹ thuật giải

- Phân chia hai trường hợp để khử dấu giá trị tuyệt đối

g x ( )

f x ( ) 0  f x ( ) 



  

f x

- Giải hệ bất phương trình tìm được tập nghiệm S1

( ) 0  f x ( )

g x ( )







  

2S là tập nghiệm của bất phương trình đã cho

- Giải hệ bất phương trình tìm được tập nghiệm S2

- S = S1

52 :

f x ( )

g x ( )



 tương đương với

f x

+Yếu tố công nghệ

g x ( )

( ) 0  f x ( )

g x ( )

f x ( ) 0  f x ( ) 









  

hoặc

52 :

+ Yếu tố lý thuyết

- Định nghĩa hợp của hai tập hợp

- Định nghĩa giá trị tuyệt đối

- Phép biển đổi tuơng đương các bất phương trình, hệ bất phương trình.

Kết luận

Qua phân tích thể chế với đối tượng “giá trị tuyệt đối” ở các lớp trung học cơ

- Về định nghĩa: Ở các lớp 6, 7 giá trị tuyệt đối được định nghĩa thông qua

sở và lớp 10 chúng tôi thu được các kết quả sau:

khoảng cách trên trục số. Đến các lớp 8, 9, 10 thì công thức xác định x (đưa vào từ

lớp 7 với x là số hữu tỉ) bây giờ được xem như là định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số

thực. Đặc biệt ở lớp 10, biểu thức x được đề cập tường minh là một hàm số.

- Về nghĩa của khái niệm: Giá trị tuyệt đối mang nghĩa “số cụ thể” được đề

cập một cách tường minh ngay từ lớp 6. Trong khi nghĩa “hàm số” xuất hiện ngầm

ẩn ở các lớp 6, 7, 8, 9. Tuy nhiên ở lớp 10 thì nghĩa “hàm số” được đề cập tường

minh ngay trong phần lý thuyết.

Bảng 3.5. Thống kê các định nghĩa ở cấp đại học và phổ thông.

Cấp học

Đại học

Phổ thông

Xem mỗi số nguyên gồm 2

Giá trị tuyệt

Xem mỗi số thực gồm 2 phần: phần dấu và

phần: Phần dấu và phần số.

đối xét trên

tập hợp các

Phần số chính là giá trị

giá trị tuyệt đối

số cụ thể

tuyệt đối

. Định nghĩa thông qua khái niệm khoảng

.d(x,0)= x

cách :

(với x

,  )



, ( , 0)x

 x

 0  

.Định nghĩa hình thức giá

. Định nghĩa hình thức giá trị tuyệt đối của

trị tuyệt đối của một số

Các cách

một số thực và modul của số phức.

thực, modul của số phức.

định nghĩa

. Giá trị tuyệt đối của một phần tử trong



vành

,   . Chẳng hạn

   , x

. Định nghĩa bằng “max”

. Chuẩn của một vectơ

.Số cụ thể (tường minh)

Nghĩa của

.Hàm số (ngầm ẩn và

.Hàm số (ngầm ẩn và tường minh )

khái niệm

tường minh)

- Về các định nghĩa : Điểm giống nhau ở chỗ đều tồn tại các định nghĩa hình

thức giá trị tuyệt đối của một số thực và modul của số phức. Tuy nhiên ở cấp đại

học thì phần lớn giá trị tuyệt đối được định nghĩa tường minh bằng ngôn ngữ hàm

số. Hơn nữa ở cấp đại học người ta đã cập đến giá trị tuyệt đối của phần tử trong

vành thứ tự, trường thứ tự, chuẩn của một véctơ và định nghĩa bằng “max”. Đây

chính là điểm khác biệt cơ bản so với cấp độ phổ thông.

- Về nghĩa của khái niệm : Nghĩa “số cụ thể” và nghĩa “hàm số” đều xuất hiện

ở cả hai cấp học. Tuy nhiên ở cấp độ đại học thì nghĩa “hàm số” phần lớn được đề

cập tường minh, trong khi ở phổ thông nghĩa này chỉ ngầm ẩn thừa nhận. Chúng chỉ

được hiểu một cách tường minh từ lớp 10.

- Kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối” xuất

hiện ở tất cả các lớp trung học cơ sở và lớp 10. Để thuận lợi trong việc thống kê,

chúng tôi nhóm các kỹ thuật đã nêu ở phần phân tích thể chế để giải quyết kiểu

nhiệm vụ “giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối” bằng các ký hiệu

sau đây:

QT: Kỹ thuật dựa trên quy tắc A = B (B ≥ 0)  A = B hoặc A = - B.

BP: Bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối . XD: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, áp dụng định nghĩa giá trị

tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình chứa ẩn trong

dấu giá trị tuyệt đối” (ký hiệu là TPT) được nhìn rõ hơn qua bảng 3.6 sau đây:

Bảng 3.6. Thống kê tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TPT

Kỹ

Công nghệ

Lý thuyết

thuật

- Các tính chất:

  ,

x  

- Định nghĩa giá trị tuyệt

QT

- Cách giải phương trình, bất phương trình bậc

đối

nhất một ẩn

- Định lý về các phép

- Các tính chất:

  ;

x

biến đổi tương đương, hệ

BP

- Cách giải phương trình, bất phương trình bậc

quả trong phương trình.

nhất một ẩn

- Định lý về các phép

- Công thức xác định x

biến đổi tương đương

trong bất phương trình.

XD

- Cách giải phương trình, bất phương trình bậc

nhất một ẩn

Các kiểu nhiệm con của kiểu nhiệm vụ “giải phương trình chứa ẩn trong dấu

giá trị tuyệt đối” được phân biệt bởi dạng của phương trình. Chúng tôi sử dụng các

f x ( )

a (a là số cụ thể)

ký hiệu sau:

f x ( )

g x ( )



TPT1: Để chỉ phương trình dạng

f x ( )

g x ( )



TPT2: Để chỉ phương trình dạng

TPT3: Để chỉ phương trình dạng



( ) f x g x ( )

( ) h x k x ( )

TPT4: Để chỉ phương trình dạng

Sự tiến triển của các kiểu nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ: “giải phương trình

chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối” trong suốt chương trình từ trung học cơ sở đến

lớp 10, có thể quan sát rõ hơn qua bảng 3.7 như sau:

Bảng 3.7. Sự tiến triển của các kiểu nhiệm con của kiểu nhiệm vụ TPT

Kiểu

Dạng của biểu thức

Kỹ

nhiệm

Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10

f(x), g(x)

thuật

vụ

f(x) là biểu thức bậc

17

16

4

9 TPT1

QT

nhất

2

38

f(x) và g(x) đều là biểu

6

thức bậc nhất

TPT2

QT +XD BP

f(x) bậc nhất, g(x) bậc

3

XD

hai

f(x) và g(x) đều là biểu

TPT3

4

BP

thức bậc nhất

f(x) và g(x) đều là biểu

TPT4

1

XD

thức bậc nhất

- Về kiểu nhiệm vụ, sự phân bố và xuất hiện các kiểu nhiệm vụ ở các khối lớp,

bậc học không đều nhau. Cụ thể là kiểu nhiệm vụ TPT1 chỉ xuất hiện ở các lớp trung

học cơ sở. Ngựơc lại các kiểu nhiệm vụ TPT3 và TPT4 chỉ xuất hiện ở lớp 10. Đối với

kiểu nhiệm vụ TPT2 xuất hiện ở lớp 8 với số lượng bài tập rất lớn (38 bài). Chúng

vẫn xuất hiện ở lớp 10 nhưng với số lượng bài tập ít hơn (6 bài).

- Sự tiến triển của các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình

chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ” đựợc thể hiện rõ hơn qua bảng 3.8 sau đây:

Bảng 3.8 Sự tiến triển của các kỹ thuật đối với kiểu nhiệm vụ TPT

Lớp

6 và 7

8 và 9

Kỹ thuật

QT

QT XD

10 QT XD BP

Như vậy, các kỹ thuật xuất hiện ở các lớp trung học cơ sở vẫn xuất hiện ở lớp

10. Ngoài ra còn có kỹ thuậtBP.

Qua phân tích thể chế liên quan đến 2 đối tượng “số âm” và “giá trị tuyệt đối”

chúng tôi đi đến các giả thuyết sau trong thể chế các lớp trung học cơ sở và lớp 10

H1 : Đối với học sinh (-a) là số âm với mọi a khác 0

H2: Tồn tại ở học sinh 2 qui tắc hành động sau :

R1: Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức dạng –A(x) chỉ cần bỏ dấu “-”

A x ( )

B x ( )



trước A(x) là đủ.

A x ( ) A x ( )

B x ( ) B x ( )

  

   

( ) A x

( ) B x

( ) A x

( ) B x







R2: a)









(Chỉ ở lớp 10) b)

Các quy tắc hành động R1, R2 sinh ra từ việc học sinh không quan tâm đến

tính hợp thức của các công thức biến đổi.

Chương 4.

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Mục tiêu của chương

Chương này sẽ tìm câu trả lời cho câu hỏi sau:

Những ràng buộc của thể chế dạy học có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan

hệ cá nhân học sinh?

( x  

Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được học sinh vận dụng

  (với mọi số nguyên a) hoặc

  (với mọi

góp phần tạo ra sai lầm a

số thực x)? Còn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối không?

Trọng tâm nghiên cứu này là đưa vào kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu

sau đây:

H1: Đối với học sinh (-a) là số âm với mọi a  0

H2:Tồn tại ở học sinh hai qui tắc hành động sau:

R1: Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức dạng –A(x) chỉ cần bỏ dấu “-”

A x ( )

B x ( )

A x ( )

B x ( )

( ) A x

( ) B x







 

trước A(x) là đủ.

( ) A x

( ) B x

( ) A x

( ) B x







hoặc . R2: a)









. b)

Việc kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết nêu trên được tiến hành

thông qua một thực nghiệm đối với học sinh.

4.1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm

Để tiến hành nghiên cứu, chúng tôi tổ chức trên đối tượng học sinh ở bốn khối

lớp: 6, 7, 8, 10. Chúng tôi chọn các đối tượng này vì các kiểu nhiệm vụ gắn với giá

trị tuyệt đối học sinh được học ngay từ lớp 6 và vẫn tiếp tục gặp lại ở các lớp 7, 8, 9,

10. Hơn nữa qua đó nhằm tìm hiểu một số sai lầm có tồn tại dai dẳng ở học sinh hay

không? Do thời gian có hạn chúng tôi không tiến hành thực nghiệm trên đối tượng

học sinh lớp 9.

Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 6, ngay sau khi học xong lý thuyết và

bài tập chương 2: “Số nguyên”. Đối với học sinh lớp 7, sau khi học xong lý thuyết

và bài tập chương 1: “Tập hợp các số hữu tỉ”. Đối với học sinh lớp 8, sau khi học

xong lý thuyết và bài tập chương 4: “Bất phương trình bậc nhất một ẩn”. Đối với

học sinh lớp 10, sau khi học xong lý thuyết và bài tập chương 4: “Bất đẳng thức và

bất phương trình” theo chương trình phân ban (Ban cơ bản).

Học sinh sẽ được phát tờ giấy làm bài trên đó có in đề bài toán (gồm 3 bài) cho

mỗi khối lớp. Tổng thời gian thực nghiệm dành cho ba bài toán là 20 phút (đối với

học sinh các lớp 6, 7). Và 30 phút ( đối với học sinh lớp 8, 10). Học sinh sẽ làm bài

cá nhân với các bài toán này.

4.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm

4.2.1. Xây dựng các bài toán thực nghiệm

 Các biến didactic

Việc chọn các bài toán thực nghiệm được đặt trên cơ sở lựa chọn giá trị các

biến didactic sau đây:

V1: Có hay không dấu “ - ” được đặt trước ký hiệu chữ?

Hai giá trị của biến:

- Có dấu “-” đặt trước ký hiệu chữ hay một biểu thức chữ.

- Không có dấu “-” đặt trước ký hiệu chữ và biểu thức.

V2: Đặc trưng của đối tượng trong dấu giá trị tuyệt đối

Hai giá trị của biến:

- Trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể

- Trong dấu giá trị tuyệt đối là số biểu thị bằng chữ hay biểu thức chứa chữ

V3: Đặc trưng của đối tượng trong dấu căn bậc hai

Hai giá trị của biến:

- Trong dấu căn bậc hai là số cụ thể

- Trong dấu căn bậc hai là số biểu thị bằng chữ

V4: Dạng của phương trình

m

Hai giá trị của biến:

A x ( )

B x ( )



- Phương trình dạng ( )A x (m là số cụ thể và m < 0, A(x) là biểu thức bậc nhất)

(Với A(x), B(x) là các biểu thức bậc nhất) - Phương trình dạng

 Nội dung các bài toán thực nghiệm

 Dành cho học sinh các lớp 6,7

Bài 1: “Cho số nguyên a khác 0. Sau đây là phát biểu của 3 bạn học sinh lớp 6:

Bạn Nam nói: “(-a) luôn luôn là số nguyên âm”

Bạn An nói : “(-a) luôn luôn là số nguyên dương”

Bạn Bình nói : “(-a) có thể là số nguyên dương hoặc số nguyên âm”

Hãy cho biết ý kiến của em về phát biểu của các bạn trên, bằng cách đánh chéo vào

ô thích hợp trong bảng sau đây và giải thích .

Giải thích vì sao em đánh giá Sai Đúng như vậy

Phát biểu của bạn Nam

Phát biểu của bạn An

Phát biểu của bạn Bình

2010

x  

Bài 2: Tìm a (với a là số nguyên). Giải thích cách làm của em.

2  

(lớp 6) Bài 3: Tìm x  , biết

3  4

Tìm x  , biết (lớp 7)

Đối với học sinh lớp 7 thì các bài toán 1 và 2 xét a là số hữu tỉ

 Dành cho học sinh các lớp 8, 10

a (với a  ) có tồn tại không? Vì sao?



Bài 1:

3  )

( 3) x   3 x 

Bài 2: Cho biểu thức M= (Với x  và x

Hãy rút gọn biểu thức trên (Cần giải thích rõ khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối)

   5 x

Bài 3: Giải phương trình: 2

Đặc trưng của các bài toán nhìn qua cách lựa chọn các giá trị của biến

didactic

 Đối với các lớp 6, 7

Biến

V1

V2

V4

Bài 1 Dấu “-” đặt trước chữ

Trong dấu giá trị tuyệt đối là số

Bài 2 Dấu “-” đặt trước chữ

biểu thị bằng chữ

( )A x  m (m < 0)

Bài 3

Đối với các lớp 6, 7 chúng tôi sử dụng cùng đề bài thực nghiệm, chỉ khác nhau

ở bài 3. Bởi vì ở các khối lớp này học sinh được học các kiểu nhiệm vụ giống nhau,

cùng với kỹ thuật giải, chẳng hạn “Tìm giá trị tuyệt đối của một số”; “Tìm giá trị

của chữ trong một đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối”. Hơn nữa với cách chọn này sẽ

giúp chúng tôi xem xét các sai lầm có tồn tại dai dẳng ở học sinh không?

 Đối với các lớp 8, 10

Biến

V1

V2

V3

V4

Trong dấu căn bậc hai

Dấu “-” đặt trước

Bài 1

là số biểu thị bằng chữ

chữ

Trong dấu giá trị

Dấu “-” đặt trước

tuyệt đối là một

Bài 2

chữ biểu thức

biểu thức chữ

A x ( )

B x ( )



Bài 3

Đối với các lớp 8, 10 việc chọn cùng đề bài thực nghiệm với mục đích tìm

hiểu các quy tắc hành động có thể xuất hiện ở lớp 8, liệu chúng có xuất hiện ở lớp

10 hay không?

4.2.2. Phân tích chi tiết các bài toán

4.2.2.1. Các bài toán dành cho học sinh các lớp 6,7

Bài 1:

Như đã phân tích ở chương 3 Sách giáo khoa sử dụng ký hiệu dấu “-” của

phép toán trừ để ký hiệu cho cả số âm và số đối. Trong bài toán này chúng tôi chọn

biến V1 với giá trị: Có dấu “-” đặt trước ký hiệu chữ. Với cách chọn này nhằm tìm

xem học sinh hiểu như thế nào về nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể

sang số hiện diện dưới dạng kí hiệu chữ. Qua đó thấy được một vài đặc trưng trong

quan niệm của học sinh về khái niệm số âm.

Với bài toán yêu cầu xác định tính đúng sai các phát biểu cho trước và nêu các

giải thích tương ứng, cho phép chúng tôi thấy được các lập luận mà học sinh đã

cung cấp. Từ những thông tin này cho phép xác định chiến lược mà họ đã được sử

dụng để tìm câu trả lời. Thông qua bài toán này phần nào chúng tôi kiểm chứng

được giả thuyết H1.

 Các chiến lược có thể

- S1: Chiến lược “dấu “-” ”: Trong chiến lược này dựa trên một cách hiểu dấu

“-” đặt trước số cụ thể hay ký hiệu chữ thì luôn luôn là số âm. Chiến lược S1 sinh ra

từ việc sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-”, nhưng mang hai nghĩa khác nhau: nghĩa

số âm và số đối. Chiến lược này vẫn cho câu trả lời đúng trong trường hợp a là số

dương.

- S2: Chiến lược “Số”: Trong chiến lược này xuất phát từ cách hiểu nghĩa của

chữ: Chữ được gán giá trị. Khi đó gán cho a một hoặc vài giá trị số cụ thể rồi từ kết

quả nhận được trong trường hợp số cụ thể này rút ra kết luận tổng quát. Tùy theo

cách gán giá trị số cho a mà đưa ra câu trả lời.

- S3: Chiến lược “Biến”: Với cách hiểu a nhận giá trị tùy ý trong tập hợp  , từ

đó xét tất cả các trường hợp của a. Trên cơ sở đó đưa ra câu trả lời, chiến lược này

thể hiện một quan niệm đúng.

 Cái có thể quan sát cho bài toán 1

- Câu trả lời và giải thích tương ứng với chiến lược S1:

(-a) luôn luôn là số âm với mọi a khác 0 vì có dấu “-” là biểu thị cho số âm.

Câu trả lời này chứng tỏ học sinh không quan tâm đến vai trò của chữ. Dấu “-” là

tiêu chuẩn duy nhất để họ đưa ra câu trả lời.

- Câu trả lời và giải thích tương ứng với chiến lược S2:

Có thể có ba trường hợp xảy ra như sau:

+ Nếu gán một cách ngẫu nhiên cho a giá trị số cụ thể duy nhất là số dương thì

kết luận phát biểu của bạn Nam là đúng, hai phát biểu còn lại là sai.

+ Nếu gán một cách ngẫu nhiên cho a một giá trị số cụ thể duy nhất là số âm

thì kết luận phát biểu của bạn An là đúng, hai phát biểu còn lại là sai.

+ Trường hợp gán cho a các giá trị số cụ thể dương lẫn âm thì kết luận phát

biểu của bạn Bình là đúng, hai phát biểu còn lại là sai.

- Câu trả lời và giải thích tương ứng với chiến lược S3:

+ Nếu chỉ xét duy nhất a dương thì kết luận phát biểu của bạn Nam là đúng,

hai phát biểu còn lại là sai

+ Nếu chỉ xét duy nhất a âm thì kết luận phát biểu của bạn An là đúng, hai

phát biểu còn lại là sai.

+ Nếu xét cả a dương lẫn âm thì kết luận phát biểu của bạn Bình là đúng, hai

phát biểu còn lại là sai.

 Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến các chiến lược

Trong bài toán này, nếu học sinh vượt qua được chướng ngại dấu “-” thì các

chiến lược “ Số” và chiến lược “Biến” sẽ ưu tiên được chọn tùy theo cách hiểu của

học sinh về vai trò của chữ a. Trong trường hợp ngược lại thì chiến lược dấu “-” có

cơ hội xuất hiện. Khi đó chúng tôi kiểm chứng được giả thuyết H1.

Bài 2: Tìm a (với a là số nguyên). Giải thích cách làm của em.

Bài toán này được xây dựng dựa trên biến V1 với giá trị: Có dấu “-” đặt trước

ký hiệu chữ và biến V2 với giá trị: Trong dấu giá trị tuyệt đối là số biểu thị bằng

chữ. Với cách chọn này nhằm tìm hiểu bản thân dấu “-” và “Chữ” đã ảnh hưởng

như thế nào đến việc học tập giá trị tuyệt đối.

Với yêu cầu giải thích cách làm trong bài toán sẽ giúp chúng tôi thấy được

cách lập luận mà học sinh cung cấp để đưa ra câu trả lời. Từ đó rút ra những thông

tin cho phép xác định chiến lược đã được sử dụng. Trên cơ sở đó chúng tôi chỉ ra

những nguyên nhân dẫn đến sai lầm. Đây là điểm quan trọng trong bài toán này. Từ

đây chúng tôi kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết H1, cùng với sự tồn tại của

quy tắc hành động R1. Như vậy để kiểm chứng H1 chúng tôi sử dụng bài toán 1 và

bài toán 2.

 Các chiến lược có thể

S1: Chiến lược “Bỏ dấu “-” ”: Trong chiến lược này, việc bỏ dấu giá trị tuyệt

đối dựa trên hai cách hiểu sau đây:

+ Việc tìm giá trị tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ tương tự như tìm giá

trị tuyệt đối của một số cụ thể. Nghĩa là giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “Số

cụ thể”.

+Quan niệm dấu “-” đặt trước chữ luôn là một số âm với mọi giá trị khác 0 của

biến.

Chiến lược này chỉ cho câu trả lời đúng trên tập hợp các số cụ thể hoặc a luôn

luôn là số dương.

S2: Chiến lược “công thức”: Chiến lược này chỉ dựa trên tiêu chuẩn số trường

hợp xảy ra khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, mà không quan tâm đến việc xét điều kiện

của biến. Cụ thể là áp dụng các phép biến đổi: Giá trị tuyệt đối của một số thì luôn

bằng chính nó hoặc bằng số đối của nó.

S3: Chiến lược “dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối: Chiến lược này thể hiện một

quan niệm đúng. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối luôn gắn với việc xét điều kiện của biến.

S4: Chiến lược “dùng tính chất”: Dựa trên tính chất: “hai số đối nhau có giá

trị tuyệt đối bằng nhau”.

 Cái có thể quan sát cho bài 2

Câu trả lời và giải thích tương ứng với chiến lược S1

  nên a

  . a

  .

+ S1a. Dựa vào bài toán tìm giá trị tuyệt đối của một số cụ thể, chẳng hạn vì

+ S1b. Vì (-a) < 0 nên a

Câu trả lời và giải thích tương ứng với chiến lược S2

;

a  

   . a

Vì giá trị tuyệt đối của một số thì luôn bằng chính nó hoặc bằng số đối

của nó nên

Câu trả lời và giải thích tương ứng với chiến lược S3

Vì a  nên a 0 hoặc a < 0

 

   a

Nếu a 0 thì –a 0 . Khi đó a

Nếu a < 0 thì –a > 0. Khi đó a

Câu trả lời và giải thích tương ứng với chiến lược S4

Vì hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau nên

a nếu a 0

      

a a -a nếu a < 0

Chúng tôi dự đoán các câu trả lời trên cùng với các giải thích vẫn xuất hịên ở

học sinh lớp 7, với a là số hữu tỉ.

 Sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng đến các chiến lược

Nếu học sinh vượt qua được chướng ngại dấu “-” trong ký hiệu số âm và quan

tâm đến việc xét điều kiện của biến thì các chiến lược “dùng định nghĩa” và “dùng

tính chất” có cơ hội xuất hiện. Nếu không quan tâm đến điều kiện của biến thì chiến

lược “Công thức” được ưu tiên. Trong trường hợp không vượt qua được chướng

2010

x  

2  

ngại của dấu “-” thì chiến lược bỏ dấu “-” có thể được chọn nhiều nhất.

3  4

(lớp 6); Tìm x  ,biết (lớp 7) Bài 3: Tìm x  , biết

Học sinh thường gặp các bài toán với vế phải là một số dương. Tuy nhiên bài

toán thực nghiệm trên chúng tôi chọn biến V4 với giá trị: vế phải là số âm nhằm tìm

xem học sinh có sự điều tiết thích ứng khi gặp tình huống này không? Qua đó chúng

tôi kiểm chứng sự tồn tại qui tắc R2a của giả thuyết H2..

 Các chiến lược có thể cho bài 3:

A x ( )

A x m

( )

m  



S1: Chiến lược “công thức”: Trong chiến lược này để tìm x dựa trên các biến

A x ( )

m  

  m

A x ( )

m  

  m

đổi sau:

Chiến lược S1 sinh ra từ cùng một cách hiểu sai lầm là không quan tâm đến

tính hợp thức của các công thức biến đổi.

2010

 

x   

Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1

2010

 

x  

S1a.

2010

 

x  

S1b.

hoặc x= -2010 S1c.

      .Vậy x= 2

* Đối với lớp 7

3 4

11  4

3  4

S1a.

     . Vậy x= 2

3 4

5  4

3  4

    

S1b.

3  4

3 4

3  4

x  

S1c. hoặc x+2=

11  4

5  4

hoặc x=

A x ( )

  ). x

S2: Chiến lược “dùng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối ”

Vì m < 0 thì nên không tồn tại x (do

x  mà -2010 < 0 nên không tồn tại x

Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S2

Vì

x   mà 0

 nên không tồn tại x (lớp 7)

3  4

Vì

 Sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng đến các chiến lược

Nếu học sinh nhận ra vế phải là một số âm thì chiến lược S2 nhanh chóng

được chọn. Ngược lại chiến lược S1 có thể xảy ra.

a (với a  ) có tồn tại không? Vì sao?

4.2.2.2. Các bài toán dành cho học sinh các lớp 8, 10

Bài 1:

Bài toán được xây dựng dựa trên biến V1 với giá trị: Có dấu “-” đặt trước ký

hiệu chữ và biến V3 với giá trị: Trong dấu căn bậc hai là số biểu thị bằng chữ. Với

cách chọn này, thông qua điều kiện tồn tại của căn bậc hai, chúng tôi muốn tìm xem

quan niệm (-a) là số âm với mọi a khác 0 có tồn tại ở học sinh các lớp 8,10 hay

không? Từ đó chúng tôi kiểm chứng được phần nào giả thuyết H1

 Các chiến lược có thể

a

S1: Chiến lược “dấu “-” ”: Trong chiến lược này dựa trên một cách hiểu dấu

“-” đặt trước số cụ thể hay ký hiệu chữ thì luôn luôn là số âm. Từ đó kết luận

không tồn tại với mọi a.

S2: Chiến lược “Số”: Trong chiến lược này xuất từ cách hiểu nghĩa của ký

hiệu chữ: Chữ được gán giá trị. Khi đó gán cho a một vài giá trị số cụ thể. Tùy theo

cách gán giá trị cho a mà đưa ra câu trả lời.

S3: Chiến lược “Biến”: Với cách hiểu a nhận giá trị tùy ý trong tập hợp R, từ

đó xét tất cả các trường hợp của a. Trên cơ sở đó nhờ vào điều kiện tồn tại căn bậc

hai mà đưa ra câu trả lời, chiến lược này thể hiện một quan niệm đúng.

 Cái có thể quan sát

a không tồn tại với mọi a vì (–a) < 0 với mọi a

Câu trả lời và giải thích tương ứng với chiến lược S1

Câu trả lời và giải thích tương ứng với chiến lược S2

a

Có thể có ba trường hợp xảy ra

+ Gán cho a giá trị số cụ thể duy nhất là số dương rồi kết luận tổng quát

a tồn tại

không tồn tại

+ Gán cho a giá trị số cụ thể duy nhất là số âm rồi kết luận tổng quát

a tồn

+ Gán cho a các giá trị số cụ thể dương lẫn âm rồi kết luận tổng quát

a  ; 0

a không tồn tại khi a > 0.

tại khi

Câu trả lời và giải thích tương ứng với chiến lược S3

Có thể có hai trường hợp xảy ra

+ Bằng cách dựa vào điều kiện tồn tại căn bậc hai “ a tồn tại khi a 0 ”.Từ đó

a tồn tại khi -a 0 , tức là a 0 .

lập luận

+ Xét trường hợp tổng quát.Vì a  nên a 0 hoặc a > 0.

a không tồn tại khi a > 0

Nếu a > 0 thì –a < 0. Vậy

a tồn tại khi a 0

Nếu a 0 thì -a 0 . Vậy

 Sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng đến các chiến lược

Với cách chọn biến V3 với giá trị: Trong dấu căn bậc hai là số biểu thị bằng chữ

tạo cơ hội cho chiến lược “Biến” xuất hiện. Nếu học sinh quan tâm đến vai trò của chữ

đồng thời vượt qua được chướng ngại dấu “-” trong ký hiệu số âm thì chiến lược



“Biến” sẽ ưu tiên được chọn. Ngược lại học sinh có thể chọn chiến lược dấu “-”.

3  )

( 3) x   3 x 

Bài 2 : Cho biểu thức M= (Với x  và x

Rút gọn biểu thức trên ( cần giải thích rõ khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối)

Bài toán được xây dựng dựa trên biến V1 với giá trị: Có dấu “-” ở trước biểu

thức và biến V2 với giá trị: Trong dấu giá trị tuyệt đối là biểu thức chữ. Với cách

chọn này chúng tôi muốn tìm hiểu bản thân dấu “-” và “chữ” có phải là yếu tố gắn

liền với những khó khăn và sai lầm của học sinh khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối hay

không? Đây là điểm quan trọng mà chúng tôi quan tâm trong bài toán này.

Với yêu cầu giải thích khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối nhằm giúp chúng tôi hiểu

được chi tiết các lập luận của học sinh, qua đó cho phép xác định chiến lược mà họ

sử dụng. Từ đây chúng tôi chỉ ra được nguyên nhân đưa đến sai lầm.Thông qua bài

toán này chúng tôi kiểm chứng giả thuyết H1 và quy tắc R1. Như vậy để kiểm chứng

H1 chúng tôi sử dụng bài toán 1 và bài toán 2.

 Các chiến lược có thể

S1: Chiến lược “Bỏ dấu “-” ”: Trong chiến lược này, việc bỏ dấu giá trị tuyệt

đối dựa trên hai cách hiểu sau đây:

+ Áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối của một số cụ thể cho số hiện diện bằng

chữ. Chúng tôi dự đoán cách hiểu này ít có cơ hội xảy ra, bởi vì học sinh lớp 8

thường gặp các tình huống trong dấu giá trị tuyệt đối là biểu thức chứa chữ.

+ Quan niệm dấu “-” đặt trước chữ luôn luôn là một số âm với mọi giá trị của biến

Chiến lược này chỉ cho câu trả lời đúng trên tập hợp các số cụ thể hoặc biểu

thức A(x) nhận giá trị không âm với mọi giá trị của biến.

Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S1

(

    

  .Từ đó rút gọn biểu thức không chứa giá trị tuyệt đối

3))

1 1 1 0

1  

   

S1a. Xuất phát từ cách tìm giá trị tuyệt đối của một số cụ thể, chẳng hạn

( (    3 x

3) ( x   3 x 

x 

S1b. M= (Vì - (x+3) < 0).

S2: Chiến lược “công thức”: Chiến lược này chỉ dựa trên tiêu chuẩn số trường

hợp xảy ra khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, mà không quan tâm đến việc xét các giá trị

của biến làm cho biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối là âm hay không âm. Cụ thể là

áp dụng các phép biến đổi: Giá trị tuyệt đối của biểu thức thì luôn bằng chính nó

hoặc bằng biểu thức đối của nó.

1 1

1  

2      

Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S2

( 3) x   3 x 

( x  

(   

S2a. M= .

( x  

  nên M = 1-1 = 0

nên M = -1-1 = -2. S2b.Vì

Vì

S3: Chiến lược “dùng định nghĩa”: Chiến lược này thể hiện một quan niệm

đúng. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối luôn gắn với việc xét điều kiện của biến làm cho biểu

thức trong dấu giá trị tuyệt đối là âm hay không âm. Dùng định nghĩa để khử dấu

giá trị tuyệt đối. Sau đó rút gọn biểu thức không chứa giá trị tuyệt đối.

( x  

Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S3

- (x+3) nếu x < -3 x + 3 nếu x > -3

     

Với x  -3, ta có

Với x < -3 thì M = -1-1= -2

Với x > -3 thì M = 1-1= 0

S4: Chiến lược “dùng tính chất”: Dựa trên tính chất hai số đối nhau thì có giá

trị tuyệt đối bằng nhau.

( x  

  =

x + 3 nếu x > -3 - (x+3) nếu x < -3

    

Với x < -3 thì M= -1-1= -2

Với x > -3 thì M =1-1 = 0

S5: Chiến lược khác

Chúng tôi nhóm vào đây tất cả các chiến lược khác với các chiến lược kể trên.

Chẳng hạn bỏ dấu giá trị tuyệt đối chỉ quan tâm đến x  0, x < 0 (do học sinh đã

quen với định nghĩa x ), có thể xét tính không âm hay âm của cả biểu thức chứa giá

trị tuyệt đối (do không phân biệt giữa việc xét tính không âm hay âm giá trị của biểu

thức ở trong dấu giá trị tuyệt đối với cả biểu thức chứa giá trị tuyệt đối)

x  (

 0

( x  

Cái có thể quan sát gắn với chiến lược S5

- (x + 3) nếu x + 3 nếu

x  (

 0

     

( x  

S5a.

- (x+3) nếu x  0 x + 3 nếu x < 0

     

S5b.

Sau đó rút gọn biểu thức không chứa giá trị tuyệt đối.

 Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến các chiến lược

Nếu học sinh vượt qua được chướng ngại dấu “-” và quan tâm đến việc xét

điều kiện của biến thì các chiến lược S3, S4 ưu tiên được chọn. Nếu không quan

tâm đến điều kiện của biến thì chiến lược “Công thức” có cơ hội xuất hiện. Trong

trường hợp không vượt qua được chướng ngại dấu “-” thì chiến lược bỏ dấu “-”

được ưu tiên nhiều nhất.

   x 5

Bài 3: Giải phương trình: 2

Bài toán được xây dựng dựa trên biến V4 với giá trị: vế phải là biểu thức chứa

chữ. Cụ thể là biểu thức chứa ẩn. Ở các lớp 6, 7 học sinh đã quen với việc giải các

phương trình dạng như trên nhưng với vế phải là số cụ thể (số dương) và vẫn gặp lại

ở lớp 8. Lúc này học sinh sẽ gặp trở ngại gì trong bước chuyển từ số cụ thể sang kí

hiệu chữ? Từ đây chúng tôi kiểm chứng sự tồn tại qui tắc R2a của giả thuyết H2 .

Đặc biệt ở lớp 10, ngoài các kỹ thuật đã xuất hiện ở các lớp Trung học cơ sở,

còn có kỹ thuật “bình phương” để khử dấu giá trị tuyệt đối. Khi đó thông qua bài

toán này chúng tôi kiểm chứng sự tồn tại của cả hai quy tắc R2a và R2b ở học sinh

lớp 10.

 Các chiến lược có thể

A x ( )

B x ( )

A x ( )

B x ( )







S1: Chiến lược “công thức”: Trong chiến lược này để giải phương trình dựa

A x ( )

B x ( )

A x ( )

B x ( )





 

trên các công thức biển đổi sau:

Chiến lược S1 sinh ra từ cùng một cách hiểu sai lầm là không quan tâm đến

tính hợp thức của các công thức biến đổi.

       5 2

Lời giải tương ứng với chiến lược S1

x   2

S1a. 2

2

       hoặc 2x – 3 = - (x-5) 5

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 

x   hoặc x = 2

8 3

S1b. 2

8 3

  

  

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=

A x ( )

S2: Chiến lược “dùng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối ”

  nên nghiệm của phương trình phải thỏa mãn điều kiện

( ) A x

( ) B x

 

Vì

rồi kết hợp với điều kiện B(x) 0 , sau đó đưa đến giải 2 phương trình

của x làm cho B(x) 0 . Từ đó kết luận nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải tương ứng với chiến lược S2

Với điều kiện x 5 thì ta có:

       hoặc 2x-3 = -(x-5) x

x   (loại) hoặc x =

8 3

(loại)

Tập nghiệm của phương trình là S= 

S3: Chiến lược “dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối”

Xét hai trường hợp của biến x để khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ vào định nghĩa.

Đưa đến giải 2 phương trình không chứa giá trị tuyệt đối và gắn với điều kiện của

biến. A(x) = B(x) (với A(x) 0 ); A(x) = -B(x) (với A(x) < 0).

Lời giải tương ứng với chiến lược S3

2x-3 nếu x

3  2

Theo định nghia giá trị tuyệt đối, ta có:

3 2

       

- (2x-3) nếu x <

 thì phương trình đã cho tương đương với 2x-3 = x-5

x   (loại) 2

3 2

Nếu x

3 2

8 x  (loại) 3

Nếu x < thì phương trình đã cho tương đương với 3-2x = x-5

Tập nghiệm của phương trình là S= 

S4: Chiến lược “Bình phương” (Chỉ xuất hiện ở lớp 10)

S4a. Bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối, đưa đến việc giải

phương trình hệ quả không chứa giá trị tuyệt đối.

- Thế giá trị tìm được của x vào phương trình ban đầu (thử lại).Từ đó kết

luận nghiệm của phương trình đã cho.

S4b. Với B(x) 0 ,bình phương hai vế đưa đến phương trình tương đương .

- Giải phương trình thu được, rồi kết hợp với điều kiện B(x) 0 để kết

lụân nghịêm của phương trình đã cho.

( ) A x

( ) B x

( ) A x

( ) B x







S4c. Bình phương hai vế của phương trình đã cho đưa đến phương trình tương









đương. Cụ thể là áp dụng biển đổi sau: .

-Giải phương trình thu được, các giá trị tìm được đều là nghiệm của

phương trình đã cho.

Chiến lược này thể hiện một quan niệm sai lầm khi không quan tâm đến phạm

vi hợp thức của công thức biến đổi.

(

5     





Lời giải tương ứng với chiến lược S4

4 x  

9  





16 0

23 x  



    hoặc x = 2

8 3

S4a.

Sau khi thử lại cả 2 giá trị của x đều không thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

(

5     





4 x  

9  





16 0

23 x  



    hoặc x = 2

8 3

S4b. Với x 5 , ta có:

Cả hai giá trị của x đều không thỏa mãn điều kiện x 5 nên bị loại

(

5     





Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

4 x  

9  





16 0

23 x  



    hoặc x= 2

8 3

S4c.

8 3

  

  

Tập nghiệm của phương trình đã cho là S=

 Sự lựa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến các chiến lược

Nếu học sinh chú ý đến điều kiện B(x) 0 thì các chiến lược “dùng tính chất

không âm của giá trị tuyệt đối” và chiến lược S4b nhanh chóng được chọn. Nếu

quan tâm đến việc xét điều kiện của biến làm cho biểu thức trong dấu giá trị tuyệt

đối là âm hay không âm thì chiến lược “dùng định nghĩa” được ưu tiên. Trong

trường hợp không chú ý đến hai khả năng trên thì các chiến lược “Công thức”, S4a,

S4c có khả năng xuất hiện.

4.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm

4.3.1. Các bài toán dành cho học sinh lớp 6

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 168 học sinh lớp 6 (5 lớp) ở 2 trường :

- Trung học cơ sở Trừ văn Thố -Tiền Giang (2lớp)

- Trung học cơ sở Võ việt Tân -Tiền giang (3lớp)

Bài 1: Chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau đây để chỉ định các câu trả lời:

TL1: Để chỉ câu trả lời: “(-a) luôn luôn là số nguyên âm”

TL2: Để chỉ câu trả lời: (-a) có thể là số nguyên dương hoặc nguyên âm”

TL3: Để chỉ câu trả lời: “(-a) luôn luôn là số nguyên dương”

Cách ký hiệu trên vẫn tiếp tục sử dụng cho lớp 7 (với a là số hữu tỉ)

Bảng 4.1. Thống kê các câu trả lời bài 1 của học sinh

Chiến lược quan sát được

Kiểu câu trả lời

Tổng

TL1

TL2

TL3

S1: Chiến lược dấu “-”

112 S2: Chiến lược “Số”: Gán cho a các giá trị số cụ thể

S2a. Chỉ gán cho a một giá dương

S2b. Chỉ gán cho a một giá trị âm

S2c. Gán cho a cả giá trị dương lẫn âm

S3: Chiến lược “Biến”: Xét điều kiện của biến a

S3a. Chỉ xét a > 0

S3b. Chỉ xét a < 0

S3c. Xét cả a > 0 và a < 0

35

Không giải thích

Tổng

41

3

168

124

- Có 124/168 (73,81%) đưa ra câu trả lời “(-a) luôn luôn là số nguyên âm với

mọi a khác 0”. Trong đó: Có 9/168 (5,36%) học sinh sử dụng chiến lược “Số”, có

1/168 (0,59%) sử dụng chiến lược S3a, có 2/168 (1,19%) học sinh chỉ đưa ra câu trả

lời nhưng không giải thích. Đặc biệt, có 112/168 (66,67%) sử dụng chiến lược dấu

“-”. Các giải thích điển hình là: “Vì có dấu “-” đặt trước chữ a nên (- a) luôn luôn

là số âm”; “Dấu “-”là biểu thị cho số âm”.

- Có 41/168 (24,40%) trả lời “(-a) có thể là số nguyên dương hoặc nguyên

âm”, trong đó: Có 5/168 (2,98%) học sinh sử dụng chiến lược “số” và 35/168

(20,83%) chọn chiến lược “Biến” và cho kết quả đúng. Điều này cho thấy học sinh

lớp 6 đã ít quan tâm đến vai trò của chữ: Chữ nhận giá trị tùy ý trong tập hợp Z, có

1/168 (0,59%) trả lời, nhưng không giải thích.

- Có 3/168 (1,79%) học sinh trả lời “(-a) luôn luôn là số nguyên dương”.

Tóm lại, có 73,81% học sinh cho rằng (-a) luôn luôn là số nguyên âm với mọi

a khác 0. Trong đó có 112/168 (66,67%) giải thích rằng do có dấu “-” trước chữ a.

Điều này chứng tỏ rằng dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể

thực sự trở thành chướng ngại cho việc học tập số âm xét trên tập hợp các số hiện

diện dưới dạng chữ. Như vậy, phần nào giả thuyết H1 đã được kiểm chứng.

Bài 2: Tìm a (với a là số nguyên). Giải thích cách làm của em.

Chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau đây để chỉ định các câu trả lời:

  a

  nếu a 0 ; a

   nếu a < 0

TL1: Để chỉ câu trả lời: a

  ; a a

   .

TL2: Để chỉ câu trả lời: a

TL3: Để chỉ câu trả lời: a

Cách ký hiệu trên vẫn tiếp tục sử dụng cho lớp 7 (với a là số hữu tỉ)

Bảng 4.2: Thống kê các câu trả lời bài 2 của học sinh

Kiểu câu trả lời

Chiến lược quan sát được

Tổng

TL1

L2

TL3

S1: “Bỏ dấu “-” ”

S1a. Dựa vào cách tìm giá trị tuyệt đối của số cụ thể

49 S1b. Quan niệm (-a) là số nguyên âm

93 S2: “Công thức”

S3: “Định nghĩa”

S4: “Tính chất”

Không giải thích

Tổng

149

15

4

168

  với mọi số nguyên a” .Trong đó:

- Có 149/168 (88,69%) học sinh trả lời “ a

+ Có 49/168 (29,17%) học sinh sử dụng chiến lược S1a, tức là gán cho a một

     ” (ở đây học sinh còn gán cho a các giá trị số dương khác). Điều

giá trị số cụ thể là số dương. Lời giải điển hình trong trường hợp này là: “

này chứng tỏ học sinh áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối của một số cụ thể cho giá

trị tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ. Nguyên nhân dẫn đến hiện tượng này là

do học sinh thường xuyên gặp phải các tình huống trong dấu giá trị tuyệt đối là số

cụ thể.

+ Có 93/168 (55,36%) học sinh sử dụng chiến lược S1b. Các giải thích điển

  ”; “ Vì giá trị tuyệt đối

hình quan sát được là: “ Vì (-a) là số nguyên âm nên a

của một số nguyên âm là một số nguyên dương”.

+ Có 7/168 (4,16%) học sinh đưa ra kết quả mà không giải thích

  nếu a 0 ; a

   nếu a < 0”. Trong đó

- Chỉ có 15/168 (8,93%) trả lời “ a

+ Có 12/168 (7,14%) học sinh sử dụng chiến lược S3. Điều này chứng tỏ học

sinh không quan tâm đến vai trò của chữ.

+ Có 3/168 (01,79%) học sinh sử dụng chiến lược S4. Số liệu này đã chứng tỏ

rằng tính chất “Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau” giữ vai trò mờ nhạt.

  ; a a

   ”.

- Có 4/168 (2,38%) học sinh chọn chiến lược S2, trả lời “ a

Các học sinh này chỉ quan tâm đến số trường hợp xảy ra khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

  a

Tóm lại, có đến 88,69% học sinh phạm phải sai lầm khi cho rằng: a

với mọi số nguyên a khác 0. Có 2 nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là:

+ Học sinh quan niệm (-a) là số nguyên âm với mọi số nguyên a khác 0.

Thống kê cho thấy có đến 93/168 (55,36%) học sinh giải thích theo hướng này.

Đến đây cùng với kết quả thực nghiệm của bài toán 1 đã cho phép kiểm chứng tính

thỏa đáng giả thuyết H1.Hơn nữa một vấn đề đáng quan tâm là số âm thật sự tạo nên

chướng ngại cho việc học tập khái niệm giá trị tuyệt đối.

+ Áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối của một số cụ thể cho các số biểu thị bằng

chữ. Thực nghiệm cho thấy có 49/168 (29,17%) học sinh gán cho a một giá trị số

cụ thể rồi đưa ra kết luận tổng quát. Như vậy, khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu

theo nghĩa “Số cụ thể” tạo nên chướng ngại cho việc hiểu theo nghĩa “hàm số”.

2010

x  

Như vậy, quy tắc R1 đã tồn tại ở học sinh lớp 6.

Bài 3: Tìm x  , biết

Bảng 4.3.Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh.

Chiến lược quan sát được

Số lượng

Tỷ lệ

S1: Chiến lược “công thức”

S1a: x = -2010

6,55%

S1b. x = 2010

4,76%

S1c. x = 2010 hoặc x = -2010

73 43,45%

S2:Chiến lược “dùng tính chất”. Kết luận không tồn tại x.

45,24%

Tổng cộng

168

100%

* Nhận xét :

Có đến 92/168 (54,76%) học sinh sử dụng chiến lược S1, tức là học sinh đã

phạm phải sai lầm khi cho rằng tồn tại các giá trị của x thỏa mãn đẳng thức x m

(Với m là số cụ thể và m < 0). Đặt biệt đã có 73/168 (43,45%) học sinh áp dụng

A x ( )

m  

  . Như vậy quy tắc R2a đã được kiểm

quy tắc hành động sau:

chứng ở học sinh lớp 6.

4.3.2. Các bài toán dành cho học sinh lớp7

Bài 1: Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 180 học sinh lớp 7 (5 lớp) ở 2

trường:

- Trung học cơ sở Trừ văn Thố -Tiền Giang (2lớp)

- Trung học cơ sở Võ việt Tân -Tiền giang (3lớp)

Bảng 4.4.Thống kê các câu trả lời bài 1 của học sinh

Kiểu câu trả lời

Chiến lược quan sát được

Tổng

TL1 TL2

TL3

S1: Chiến lược dấu “-”

79 S2: Chiến lược “Số”: Gán cho a các giá trị số cụ thể

S2a. Chỉ gán cho a một giá dương

S2b. Chỉ gán cho a một giá trị âm

S2c. Gán cho a cả giá trị dương, âm

S3: Chiến lược “Biến”: Xét điều kiện của biến a

S3a. Chỉ xét a dương

S3b. Chỉ xét a âm

S3c. Xét cả a dương và âm

68

Không giải thích

Tổng

91

88

1

180

* Nhận xét:

- Có 91/180 (50,55%) đưa ra câu trả trả lời “(-a) là số hữu tỉ âm với mọi a

khác 0”.Trong đó:

+Có 3/180 (1,66%) học sinh sử dụng chiến lược “Số”, 9/180 (5,00%) học

sinh chỉ đưa ra câu trả lời nhưng không giải thích. Đặc biệt, có 79/180 (43,89%) sử

dụng chiến lược dấu “-”.

- Có 88/180 (48,89%) trả lời “(-a) có thể là số hữu tỉ dương hoặc số hữu tỉ

âm”. Trong đó: Có 14/180 (7,78%) học sinh sử dụng chiến lược “số” và 68/180

(37,78%) chọn chiến lược “Biến” và cho kết quả đúng. Điều này cho thấy học sinh

100

lớp 7 đã quan tâm nhiều hơn đến vai trò của chữ so với học sinh lớp 6 (chỉ có 20,83

%), có 6/180 (3,33%) đưa ra câu trả lời, nhưng không giải thích.

- Chỉ có 1/180 (0,56%) học sinh trả lời “(-a) luôn luôn là số hữu tỉ dương”.

Tóm lại, có 50,55% học sinh cho rằng “(-a) luôn luôn là số hữu tỉ âm với mọi

a khác 0”. Trong đó có 79/180 (43,89%) giải thích rằng do có dấu “-”. Tỷ lệ này

thấp hơn so với lớp 6 (có 66,67%). Tuy nhiên điều này cũng chứng tỏ rằng dấu “-”

trong ký hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể thật sự trở thành chướng ngại cho

việc học tập số âm xét trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ. Như vậy, phần

nào chúng tôi đã được kiểm chứng được giả thuyết H1.

Bài 2: Tìm a (với a là số hữu tỉ). Giải thích cách làm của em.

Bảng 4.5: Thống kê các câu trả lời bài 2 của học sinh

Kiểu câu trả lời

Chiến lược quan sát được

Tổng

TL1 TL2 TL3

S1: Chiến lược “Bỏ dấu “-” ”

S1a. Dựa vào cách tìm giá trị tuyệt đối của số cụ thể

46 S1b. Quan niệm (-a) là số hữu tỉ âm

87 S2: “Công thức”

S3: “Định nghĩa”

S4: “Tính chất”

Không giải thích

Tổng

7

138

35

180

* Nhận xét:

  với mọi số hữu tỉ a” .Trong đó:

- Có 138/180 (76,67%) học sinh trả lời “ a

+ Có 46/180 (25,56%) học sinh sử dụng chiến lược S1a, tức là gán cho a một

    ” (ở đây học sinh còn gán cho a các giá trị số dương khác). Điều

3  2

3 2

giá trị số cụ thể là số dương. Lời giải điển hình trong trường hợp này là: “

này chứng tỏ học sinh áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối của một số cụ thể cho giá

101

trị tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ. Nguyên nhân dẫn đến hiện tượng này là

do học sinh thường xuyên gặp phải các tình huống trong dấu giá trị tuyệt đối là số

cụ thể ở lớp 6 và tiếp tục gặp lại ở lớp 7.

+ Có 87/180 (48,33%) học sinh sử dụng chiến lược S1b. Các giải thích điển

  ”; “ Vì giá trị tuyệt đối của một

(

)

   

 ”.

hình quan sát được là: “ Vì (-a) là số âm nên a

số hữu tỉ âm là một số hữu tỉ dương”; “

+ Có 5/180 (2,78%) học sinh đưa ra kết quả mà không giải thích

  nếu a

0 ; a

   nếu a < 0”.

- Chỉ có 35/180 (19,44%) trả lời “ a

Trong đó:

+ Có 26/180 (14,44%) học sinh sử dụng chiến lược S3. Điều này chứng tỏ rất

ít học sinh quan tâm đến vai trò của chữ.

+ Có 9/180 (05,00%) học sinh sử dụng chiến lược S4. Số liệu này đã chứng tỏ

  ; a a

   ”.

rằng tính chất “Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau” giữ vai trò mờ nhạt.

- Có 7/180 (3,89%) học sinh chọn chiến lược S2, trả lời “ a

Các học sinh này chỉ quan tâm đến số trường hợp xảy ra khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

  a

Tóm lại, có đến 76,67% học sinh phạm phải sai lầm khi cho rằng : a

với mọi số hữu tỉ a khác 0. Tỉ lệ phần trăm học sinh phạm sai lầm có giảm đi so với

lớp 6 (88,69%). Có 2 nguyên nhân dẫn đến sai lầm này là:

+ Học sinh quan niệm (-a) là số hữu tỉ âm với mọi số hữu tỉ a khác 0. Thống

kê cho thấy có đến 87/180 (48,33%) học sinh giải thích theo hướng này. Đến đây

cùng với kết quả thực nghiệm của bài toán 1 đã cho phép kiểm chứng giả thuyết H1.

Hơn nữa một vấn đề đáng quan tâm là số âm thật sự tạo nên chướng ngại cho việc

học tập khái niệm giá trị tuyệt đối.

+ Áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối của một số cụ thể cho các số biểu thị bằng

chữ. Thực nghiệm cho thấy có 46/180 (25,56%) học sinh gán cho a một giá trị số

cụ thể rồi đưa ra kết luận tổng quát. Như vậy, khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu

theo nghĩa “Số cụ thể” tạo nên chướng ngại cho việc hiểu theo nghĩa “hàm số”.

102

Vậy: Qui tắc R1 vẫn tồn tại ở học sinh lớp 7. Điều này cho thấy sai lầm tồn tại dai

2  

dẳng ở học sinh lớp7. Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm tương tự như ở lớp 6.

3  4

Bài 3: Tìm x  , biết

Bảng 4.6.Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh.

Các chiến lược quan sát được

Số lượng

Tỷ lệ

S1: Chiến lược “công thức”

S1a: x =

20,55%

11  4

S1b: x =

hoặc x =

92 51,11%

11  4

5  4

S2: Chiến lược “dùng tính chất”. Kết quả là không tồn tại x

23,89%

Không trả lời

4,45%

Tổng

180

100%

* Nhận xét:

- Chỉ Có 43/180 (23,89%) vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối

(sử dụng chiến lược S2) để giải đúng câu này. Điều này chứng tỏ tính chất của giá

trị tuyệt đối giữ vai trò mờ nhạt.

( )A x

m

- Có 129/180 (71,66%) sử dụng chiến lược S1, nghĩa là học sinh phạm phải sai

lầm khi cho rằng: Tồn tại các giá trị của x thoả mãn đẳng thức (Với m là số

cụ thể và m < 0). Điều đáng quan tâm ở đây là tỷ lệ học sinh phạm sai lầm cao hơn ở

A x ( )

m  

lớp 6 (chỉ có 54,76%). Đặc biệt là đã có 92/180 (51,11%) áp dụng quy tắc hành động

  . Như vậy quy tắc R2a đã được kiểm chứng ở lóp 7.

4.3.3. Các bài toán dành cho học sinh lớp 8

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 108 học sinh (3lớp) ở trường Trung Học

a (với a  ) có tồn tại không? Vì sao?

Cơ Sở Võ Việt Tân (Tiền Giang)

Bài 1:

a không tồn tại với mọi a

Chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau đây để chỉ định các câu trả lời:

TL1: Để chỉ câu trả lời:

103

a tồn tại khi a 0

a tồn tại khi a 0 , không tồn tại khi a > 0

TL2: Để chỉ câu trả lời:

TL3: Để chỉ câu trả lời:

Cách ký hiệu trên vẫn tiếp tục sử dụng cho lớp 10

Bảng 4.7. Thống kê các câu trả lời bài 1 của học sinh.

Chiến lược quan sát được

Kiểu câu trả lời

Tổng

TL1

TL2

TL3

S1: Chiến lược dấu “- “

65 S2: Chiến lược “Số”: Gán cho a các giá trị số cụ thể

S2a. Chỉ gán cho a một giá trị dương

S2b. Chỉ gán cho a một giá trị âm

S2c. Gán cho a các giá trị dương, âm

S3: Chiến lược “Biến”: Xét điều kiện của biến a

S3a. Chỉ xét a 0

S3b. Xét a > 0 và a 0

17

Tổng

65

22

21

108

a tồn tại

* Nhận xét:

- Có 22/108 (20,37%) sử dụng chiến lược S3a đưa ra câu trả lời “

a tồn tại khi a 0 ;

a không

khi a 0 ”

- Chỉ có 17/108 (15,74%) sử dụng S3b trả lời “

tồn tại khi a > 0”. Những học sinh này đã quan tâm đến việc xét điều kiện của a.

a không tồn

- Có đến 65/108 (60,19%) sử dụng chiến lược S1 cho rằng “

tại với mọi a”. Các giải thích điển hình là: “Vì không có căn bậc hai của số âm”;

“Vì trong dấu căn bậc hai không thể có dấu “-” ”; “Vì (-a) là số âm”. Điều này

chứng tỏ tồn tại ở học sinh lớp 8 quan niệm (-a) là số âm với mọi a khác 0. Như vậy

có thể nói dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể đã thật sự tạo

nên chướng ngại cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký

hiệu chữ. Đến đây giả thuyết H1 đã đựơc kiểm chứng đối với học sinh lớp 8.

104



3  )

x ( 3)   x 3 

Bài 2: Rút gọn biểu thức M= (Với x  và x

Bảng 4.8. Thống kê các lời giải bài 2 của học sinh

Chiến lược quan sát được

Số lượng

Tỷ lệ

S1: Chiến lược “Bỏ dấu “-””

S1a. Dựa vào số cụ thể. Kết quả là M = 0

11 10,19%

S1b. Lý do – (x+3) là số âm. Kết quả là M = 0

62 57,40%

S2: Chiến lược “Công thức”

S2a. Kết quả là M = -2

5,56%

S2b. Kết quả là M = 0 ;M = -2

2,78%

S3: Chiến lược “dùng định nghĩa ”

16,67%

S4:Chiến lược “dùng tính chất”

2,78

S5: Chiến lược khác

S5a. Xét dấu của cả biểu thức chứa giá trị tuyệt đối

1,85%

S5b. Chỉ xét x 0 , x < 0 khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối

1,85%

Không trả lời

0,92%

Tổng cộng

108 100%

* Nhận xét:

- Có 73/108 (67,59%) sử dụng chiến lược chiến lược S1.Trong chiến lược S1

này vấn đề mà chúng tôi quan tâm là các giải thích khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Cụ

thể có 11/108 (10,19%) học sinh đã áp dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối của số cụ

thể sang biểu thức chữ. Tỷ lệ này thấp hơn ở các lớp 6, 7, bởi vì đối tượng học sinh

lớp 8 thường xuyên gặp phải các tình huống trong dấu giá trị tuyệt đối là một biểu

thức chữ. Có 62/108 (57,40%) bỏ dấu giá trị tuyệt đối với giải thích – (x+3) là số

âm. So sánh với kết quả thực nghiệm ở bài toán 1 thì có 60,19% học sinh quan

niệm (-a) luôn là số âm. Với quan niệm này có thể họ đã đưa vào giải thích cho cách

bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở bài toán 2. Như vậy, giả thuyết H1 đã được kiểm chứng

đồng thời cho thấy số âm đã tạo nên chướng ngại cho việc học tập giá trị tuyệt đối.

- Chỉ có 9/108 (8,34%) học sinh sử dụng chiến lược S2.

- Có 21/108 (19,45%) học sinh sử dụng chiến lược S3 và S4.

105

Tóm lại, giả thuyết H1 và qui tắc R1 đã được kiểm chứng ở học sinh lớp 8.

   x 5

Bài 3: Giải phương trình: 2

Bảng 4.9.Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh

Chiến lược quan sát được

Số lượng

Tỷ lệ

S1: Chiến lược “Công thức”

S1a: Giải phương trình 2x-3 = x-5, tìm được x = -2

10,19%

S1b: Giải 2 phương trình 2x-3 = x-5; 2x - 3= - (x-5).

a) Kết luận phương trình có hai nghiệm -2 và

68 62,96%

8 3

b) Chưa tìm được hai giá trị của x

2 1,86%

S2: Chiến lược “dùng tính chất không âm của giá trị

6,48%

tuyệt đối”. Kết luận phương trình vô nghiệm

S3: Chiến lược “dùng định nghĩa”.

S3a. Kết luận phương trình đã cho vô nghiệm

14,81%

S3b. Chưa đến kết quả

3,70%

Tổng

108 100%

* Nhận xét :

- Chỉ có 27/108 học sinh sử dụng các chiến lược S2 và S3, trong đó có 23/108

(chiếm 21,29%) học sinh giải đúng câu này.

A x ( )

B x ( )

A x ( )

B x ( )





 

-Có đến 68/108 (62,96%) học sinh sử dụng chiến lược S1b. Như vậy qui tắc

hành động sau đây vẫn tồn tại ở học sinh lớp 8.

4.3.4. Các bài toán dành cho học sinh lớp 10

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 118 học sinh (3 lớp ) ở trường Trung học

phổ thông Vĩnh Kim (Tiền Giang).

106

Bài 1:

Bảng 4.10. Thống kê các câu trả lời bài 1 của học sinh

Kiểu câu trả lời

Tổng

Chiến lược quan sát được

TL1

TL2

TL3

S1: Chiến lược dấu “-”

69 S2: Chiến lược “Số”: Gán cho a các giá trị số cụ thể

S2a. Chỉ gán cho a một giá trị dương

S2b. Chỉ gán cho a một giá trị âm

S2c. Gán cho a các giá trị dương và âm

S3: Chiến lược “Biến”: Xét điều kiện của biến a

S3a. Chỉ xét a 0

S3b. Xét a > 0 và a 0

72

19

27

118 Tổng

a tồn tại khi a 0 ”

* Nhận xét:

- Có 19/118 (16,11%) sử dụng chiến lược S3a trả lời “

- Chỉ có 15/118 (12,71%) sử dụng S3b và 12/118 (10,17%) sử dụng S2c trả lời

a tồn tại khi a 0 ;

a không tồn tại khi a > 0”.

“

a

- Có đến 72/118 (61,01%) sử dụng chiến lược S1 và S2a cho rằng “

không tồn tại với mọi a”. Đặc biệt có 69/118 (58,47%) sử dụng chiến lược S1 với

các giải thích điển hình đối với chiến lược S1 là: “Vì không thể lấy căn bậc hai của

số âm”; “Vì trong dấu căn bậc hai không thể có dấu “-” được”; “Vì (-a) là số thực

âm”. Điều này chứng tỏ tồn tại ở học sinh lớp 10 quan niệm (-a) là số âm với mọi a

khác 0. Như vậy, có thể nói dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ

thể đã thật sự tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện

diện dưới dạng ký hiệu chữ. Đến đây giả thuyết H1 phần nào đã đựơc kiểm chứng

đối với học sinh lớp 10.

107



3  )

x ( 3)   x 3 

Bài 2: Rút gọn biểu thức M= (Với x  và x

Bảng 4.11.Thống kê các lời giải bài 2 của học sinh

Chiến lược quan sát được

Số lượng Tỷ lệ

S1:Chiến lược “Bỏ dấu “-””

S1a. Dựa vào số cụ thể. Kết quả là M = 0

7 5,94%

S1b. Vì –(x+3) là số âm. Kết quả là M = 0

67 56,78%

S2: Chiến lược “Công thức”

S2a. Kết quả là M = -2

16,10%

S2b. Kết quả là M = 0 hoặc M = -2

13,56%

S3:Chiến lược “dùng định nghĩa”

3,39%

S4: Chiến lược “dùng tính chất”

S5: Chiến lược khác

S5a. Xét dấu của cả biểu thức chứa giá trị tuyệt đối

2,54%

S5b. Chỉ xét x 0 , x < 0 khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối

1,69%

Tổng cộng

118 100%

* Nhận xét:

- Có 74/118 (62,72%) sử dụng chiến lược chiến lược S1.Trong chiến lược S1 này

vấn đề mà chúng tôi quan tâm là các giải thích khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Cụ thể có

7/118 (5,94%) học sinh đã áp dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối của số sang chữ. Có

3))

( x  

( (    

67/108 (56,78%) bỏ dấu giá trị tuyệt đối với giải thích – (x+3) là số âm hoặc cho

  . So sánh với kết quả thực nghiệm ở bài 1 có 61,01%

rằng:

học sinh quan niệm (-a) là số âm. Có thể với quan niệm này họ đưa vào giải thích khi

bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở bài toán 2. Như vậy, giả thuyết H1 đã được kiểm chứng đồng

thời số âm đã tạo nên chướng ngại cho việc học tập giá trị tuyệt đối.

- Có 35/118 (29,66%) học sinh sử dụng chiến lược S2. Đặc biệt, có 16/118

(13,56%) cho đúng kết quả rút gọn, nhưng họ chỉ quan tâm đến số trường hợp xảy ra

khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, mà không quan tâm đến điều kiện tương ứng của biến.

- Chỉ có 4/118 (3,39%) học sinh sử dụng chiến lược S3 và không có học sinh

nào sử dụng chiến lược S4.

108

Tóm lại, giả thuyết H1 và qui tắc R1 đã được kiểm chứng ở học sinh lớp 10.

   x 5

Bài 3: Giải phương trình: 2

Bảng 4.12. Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh

Số

Các chiến lược quan sát được

Tỷ lệ

lượng

S1: Chiến lược “công thức”

S1a: Giải phương trình 2x-3 = x-5, tìm được x = -2

0,85%

S1b: Giải 2 phương trình 2x-3 = x-5; 2x-3 = -(x-5).

a) Kết luận phương trình có hai nghiệm -2 và

62 52,54

8 3

b) Tìm sai một giá trị của x, kết luận hai giá trị tìm được là nghiệm

3 2,54

S2: Chiến lược “dùng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối”. Kết

8,47%

luận phương trình vô nghiệm

S3: Chiến lược “dùng định nghĩa”. Kết luận phương trình vô nghiệm

5,93%

S4: Chiến lược “bình phương”

S4a. Đưa đến phương trình hệ quả, kết luận phương trình vô nghiệm

1,70%

S4b. Đưa đến phương trình tương đương, kết hợp với điều kiện x 5

4,24%

để loại nghiệm.Từ đó kết luận phương trình đã cho vô nghiệm

S4c. Đưa đến phương trình tương đương

16 0

23 x

x 2



 (1).

a) Kết luận phương trình có hai nghiệm -2 và

17,80%

8 3

5,08%

b) Giải sai phương trình (1).

0,85%

Không trả lời

Tổng cộng

118 100%

* Nhận xét :

- Chỉ có 24/118 (20,34%) học sinh sử dụng các chiến lược S2, S3, S4a, S4b.

- Có đến 65/118 (55,08%) học sinh sử dụng chiến lược S1b cho lời giải sai.

Các học sinh này kết luận phương trình đã cho có nghiệm, trong khi phương trình

này vô nghiệm. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm là học sinh đã sử dụng quy tắc hành

109

A x ( )

B x ( )

A x ( )

B x ( )





 

động sau , mà không quan tâm đến phạm vi hợp thức:

B(x)  0

Như vậy, quy tắc R2a đã được kiểm chứng đối với học sinh lớp 10. Sự tồn tại

A x ( )

B x ( )



của quy tắc này đã chứng tỏ rằng khi giải quyết kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình

chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối dạng ”, với tình huống vế phải là số

cụ thể (số dương) đã tạo nên chướng ngại cho việc giải phương trình trong tình

huống vế phải là biểu thức chứa ẩn.

A x ( )

B x ( )

[

A x

2 ( )]

[

B x

2 ( )]







- Có 27/118 (22,88%) học sinh sử dụng chiến lược S4c, tức là quy tắc R2b đã

được kiểm chứng. .Phạm vi hợp thức B(x) 0 .

Tóm lại, Có 55,08% đã sử dụng quy tắc hành động R2a (Đã tồn tại ở các lớp

Trung học cơ sở) và 22,88% học sinh đã áp dụng quy tắc hành động R2b (Chỉ tồn

tại ở lớp 10). Mặc dù chỉ có 55,08% sử dụng R2a thấp hơn so với lớp 8 (có

62,96%). Tuy nhiên lại nhường chỗ cho sai lầm khác là có 22,88% sử dụng R2b.

Như vậy, quy tắc hành động R2 được kiểm chứng ở học sinh lớp 10.

Bảng 4.13. Thống kê tỉ lệ phần trăm các sai lầm của học sinh trung học cơ sở và

lớp 10.

Lớp

R1

R2a

R2b

A x ( )

B x ( )

A x ( )

B x ( )

A x ( )

B x ( )

[

A x

2 ( )]

[

B x

2 ( )]





 







88,69 %

43,45%

76,67 %

51,11%

67,59 %

62,96%

62,72 %

55,08%

22,88%

* Nhận xét:

0 ) đã tồn tại dai dẳng ở các lớp

Sai lầm khi cho rằng (-a) < 0 (Với mọi a

trung học cơ sở và lớp 10. Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm này là: sử dụng

cùng một kí hiệu dấu “-” với 3 nghĩa khác nhau: để chỉ phép trừ, số âm, số đối. Vấn

đề này đã từng xuất hiện trong lịch sử của khái niệm số âm cũng như trong thể chế

phổ thông, cụ thể là ngay từ lớp 6. Từ đó dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập

110

hợp các số cụ thể đã trở thành chướng ngại cho việc hiểu số âm trên tập hợp các số

hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ.

Qui tắc hành động R1 vẫn tồn tại dai dẳng ở các lớp trung học cơ sở và lớp 10.

Qui tắc này sinh ra từ quan niệm (-a) là số âm với mọi a khác 0 và học sinh hiểu

khái niệm giá trị tuyệt đối mang nghĩa “số cụ thể” (nghĩa này đã từng xuất hiện

trong lịch sử và thể chế phổ thông). Như vậy, số âm và việc học tập giá trị tuyệt đối

trên tập hợp các số cụ thể đã tạo nên chướng ngại cho việc học tập giá trị tuyệt đối

xét trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ. Tuy nhiên tỷ lệ phần trăm

học sinh phạm sai lầm có xu hướng giảm dần qua các khối lớp bậc học. Có thể lý

giải điều này, bởi vì học sinh các lớp 8, 10 thường xuyên tiếp cận với các kiểu

nhiệm vụ mà trong dấu giá trị tuyệt đối là một biểu thức chứa biến. Chính điều này

làm cho họ quan tâm hơn đến nghĩa “hàm số” của khái niệm giá trị tuyệt đối.

Qui tắc hành động R2a vẫn tồn tại dai dẳng ở các lớp trung học cơ sở và lớp 10.

( )A x

m

Qui tắc này có nguồn gốc từ việc học sinh đã tiến hành giải nhiều bài tập dạng như

“Tìm x, biết , với m 0 là số cụ thể ” ở các lóp 6, 7 và tiếp tục gặp lại ở

A x ( )

B x ( )



lớp 8. Chính điều này đã gây nên trở ngại khi chuyển sang phương trình dạng

0 . Đây là nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm mà cụ thể là qui tắc R2a vẫn tiếp

(với B(x) là biểu thức chứa ẩn), họ không quan tâm đến điều kiện B(x)

tục xuất hiện ở các lớp 8, 10 với tỷ lệ khá cao.

111

KẾT LUẬN

Các nghiên cứu ở chương 1, 2, 3, 4 cho phép chúng tôi tìm ra câu trả lời cho

các câu hỏi nghiên cứu đặt ra trước đó. Sau đây là những kết quả nghiên cứu chính

đã đạt được:

1. Phân tích khoa học luận lịch sử của khái niệm số âm (với tư cách là đối

tượng liên quan để nghiên cứu khái niệm giá trị tuyệt đối ), Chúng tôi đã chỉ ra tính

phức tạp về nghĩa của dấu “-”. Cụ thể là nó có ba nghĩa khác nhau như: dấu “-” để

chỉ phép trừ được giới thiệu bởi Vidman (1489) và cũng là dấu để chỉ số âm và số

đối (theo Cauchy (1821)). Đặc biệt với số đối có các ký hiệu sau: Dấu “-” (theo

Cauchy), “ a ” (theo Wilekens), “oppa” (theo Hanken). Tuy nhiên Cauchy lại sử

dụng cùng một ký hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số

âm và là dấu chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”). Mặt khác qua phân tích

thể chế, chúng tôi đã chỉ ra tính đa nghĩa của ký hiệu dấu “-”. Cụ thể dấu “-” mang

ba nghĩa khác nhau như đã tồn tại trong lịch sử. Từ đó dẫn đến chướng ngại didactic

gắn liền với khái niệm số âm: Dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập hợp các số

cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện diện

dưới dạng ký hiệu chữ. Từ chướng ngại này đã biểu hiện dưới dạng sai lầm là tồn

tại ở học sinh quan niệm (-a) là số âm với mọi a khác 0. Điều này đã được chúng tôi

kiểm chứng bằng thực nghiệm ở các lớp 6, 7, 8, 10.

2. Phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu khoa học luận và thể chế về khái

niệm chữ cho phép chúng tôi chỉ ra tính đa nghĩa của ký hiệu chữ, chẳng hạn : chữ

được gán giá trị, chữ là một nhãn, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số,…Từ đó khi nghiên

cứu thể chế trong trường hợp cụ thể là đối tượng “giá trị tuyệt đối”, chúng tôi nhận

thấy ký hiệu chữ trong dấu giá trị tuyệt đối có các vai trò khác nhau, cụ thể là chữ

được gán giá trị (người ta thay bằng một giá trị số), chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ biến số.

Mặt khác từ phân tích một vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối đã cho

thấy tồn tại hai nghĩa khác nhau của khái niệm này, nghĩa “số cụ thể” và nghĩa

“hàm số”.

112

Qua phân tích thể chế thì hai nghĩa này vẫn xuất hiện ở các lớp trung học cơ sở

và lớp 10. Thực nghiệm của chúng tôi đã chứng tỏ rằng nghĩa “số cụ thể” tạo nên

chướng ngại cho việc hiểu “hàm số” trong học tập của học sinh. Cụ thể là sai lầm

  a

tồn tại dai dẳng ở học sinh các lớp trunh học cơ sở và lớp 10, khi cho rằng a

với mọi a. Hai lý do dẫn đến sai lẩm này là xuất phát từ quan niệm (-a) là số âm và

học sinh áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể cho các chữ.

Từ đây cho phép chúng tôi khẳng định số âm đã thật sự tạo nên chướng ngại cho

việc học tập khái niệm giá trị tuyệt đối. Việc tìm giá trị tuyệt đối trên tập hợp các

số cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc tìm giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số

hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ.

A x ( )

B x ( )



3. Đối với kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

dạng ”, nghiên cứu của chúng tôi đã chỉ ra sự gắn kết giữa những câu trả

A x ( )

B x ( )

A x ( )

B x ( )





 

lời sai của học sinh trung học cơ sở và học sinh lớp 10 với các quy tắc hành động :

A x ( )

B x ( )

[

A x

2 ( )]

[

B x

2 ( )]







. Phạm vi hợp thức B(x) 0 . R2a:

. Phạm vi hợp thức B(x) 0 . R2b:

Quy tắc hành động R2a sinh ra từ việc học sinh đã tiến hành giải nhiều bài toán

với tình huống vế phải là số cụ thể (số dương). Quy tắc hành động R2b sinh ra từ

quan niệm sau khi bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối thì luôn thu được

phương trình tương đương với nó .

Thực nghiệm đã chỉ ra các sai lầm tồn tại dai dẳng ở các học sinh trung học cơ

sở và lớp 10. Điều này đúng như Perrin-Glorian đã nói: “Những sai lầm gây nên bởi

chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và có thể tái xuất hiện ngay cả khi chủ thể

đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình”

*Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn :

Do hạn chế về thời gian nên chúng tôi chưa thực nghiệm để kiểm chứng sự

tồn tại các giả thuyết H1, H2 đối với học sinh lớp 9. Mặt khác, luận văn cũng chưa

đề cập đến các sai lầm của học sinh khi giải quyết kiểu nhiệm vụ: “Giải bất phương

113

trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối”. Nếu sau này có điều kiện, Chúng tôi sẽ

tiếp tục nghiên cứu các vấn đề như đã nêu.

Việc học sinh phạm phải sai lầm tồn tại dai dẳng khi học tập khái niệm “giá trị

tuyệt đối”. Điều này tạo ra cho chúng tôi câu hỏi gợi ý. Có thể xây dựng các tình

huống xung đột nhận thức, cho phép làm mất ổn định và dẫn tới phá hủy kiến thức

cũ, địa phương, nguồn gốc của sai lầm như đã đề cập hay không? Đây là câu hỏi mà

chúng tôi cần nghiên cứu trong thời gian tới.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt

1. Nguyễn Cang (2001), Giới thiệu tóm tắt cuộc đời và sự nghiệp các nhà toán

học, NXB Trẻ.

2. Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXBGD.

3. Lê Thị Hoài Châu (1997), Nghiên cứu lý luận dạy học và khoa học luận về việc

dạy học vectơ trong hai thể chế : lớp mười ở Việt Nam và lớp tương ứng ở

Pháp. Luận án Tiến sĩ.

4. Lê Thị Hoài Châu, Lê văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic toán,

NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.

5. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2002), Toán 6 Tập 1, NXBGD

6. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2002), SGV Toán 6 Tập 1, NXBGD

7. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2003), Toán 7 Tập 1, NXBGD

8. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2003), SGV Toán 7 Tập 1, NXBGD

9. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2004), Toán 8 Tập 2, NXBGD

10. Phan Đức Chính,Tôn Thân (2005), SGV Toán 8 Tập 2, NXBGD

11. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2005), Toán 9 Tập 1, NXBGD

12. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2005), SGV Toán 9 Tập1, NXBGD

13. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), Giáo trình lịch sử toán, NXBĐHSP

14. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2006), Đại số 10, BKHXH, NXBGD

15. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2006), Bài tập Đại số 10, BKHXH, NXBGD

16. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2006), SGV Đại số 10, BKHXH, NXBGD

17. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2008), Giải tích 12, BKHXH, NXBGD

18. Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2008), SGV Giải tích 12, BKHXH, NXBGD

19. Phan Thị Hằng (2002), Vai trò và ý nghĩa của các chữ trong việc dạy học số

học ở lớp 6 chương trình cải cách Giáo dục trường hợp Phép chia Euclide,

Luận văn thạc sĩ giáo dục học.

20. Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số và số học Tập 2, NXBGD.

21. Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình bậc

hai trong việc dạy học trung học tại Việt Nam và tại Pháp, Luận án Tiến sĩ.

22. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1, NXBGD.

23. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thôngToán học 2, NXBGD.

24. Tôn Thân (2003), Bài tập Toán 6 Tập 1, NXBGD.

25. Tôn Thân (2003), Bài tập Toán 7 Tập 1, NXBGD.

26. Tôn Thân (2004), Bài tập Toán 8 Tập 2, NXBGD.

27. Tôn Thân (2005), Bài tập Toán 9 Tập 1, NXBGD.

28. Lê văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông,

NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.

29. Lê Văn Tiến (2006), “Sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ lý thuyết về học

tập”, nghiên cứu Giáo dục số 137.

Tiếng pháp

30. Boýe (2006), Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs, pp.127-141

31. Cauchy A (1821), Cours d’analyse de l’école royale Polytechniques, Paris

32. Duroux (1983), La valeur absolue difficultés majeures pour une notion

mineure, petit x numéro 3, pp. 43-67.

33. Schubring G (1986), Ruptures dans le statut mathématique des nombres

négatifs, petit x numéro 12, pp. 5-32.

34. http://fr.wikipeadia.org/wiki/valeur-absolu.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1. Phiếu bài tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp 6

Các em thân mến!

Phiếu này gồm 3 bài toán. Các em có 20 phút để trình bày lời giải ngay phía dưới phần

bài làm.Tuy nhiên đối với Bài 1 các em đánh chéo vào ô thích hợp và giải thích. Lời

giải không nhằm để đánh giá các em mà để góp phần cải thiện việc dạy và học Toán.

Xin cám ơn sự tham gia của các em.

Bài 1:

“Cho số nguyên a khác 0. Sau đây là phát biểu của 3 bạn học sinh lớp 6

 Bạn Nam nói: “ (-a) luôn luôn là số nguyên âm ”

 Bạn An nói : “ (-a) luôn luôn là số nguyên dương ”

 Bạn Bình nói : “ (-a) có thể là số nguyên dương hoặc số nguyên âm”

Hãy cho biết ý kiến của em về phát biểu của 3 bạn trên bằng cách đánh chéo vào

ô thích hợp trong bảng sau đây và giải thích .

Đúng sai Giải thích vì sao em đánh giá như vậy

Phát biểu của bạn

Nam

Phát biểu của bạn An

Phát biểu của bạn Bình

a (với a là số nguyên ) .Giải thích cách làm của em.

2010

x  

Bài 2:Tìm :

Bài 3: Tìm x  , biết rằng :

BÀI LÀM

Bài 2: _____________________________________________________________

__________________________________________________________________

Bài 3: _____________________________________________________________

__________________________________________________________________

Phụ lục 2. Phiếu bài tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp 7

Các em thân mến!

Phiếu này gồm 3 bài toán các em có 20 phút để trình bày lời giải ngay phía dưới

phần bài làm. Tuy nhiên đối với bài 1 các em đánh chéo vào ô thích hợp và giải

thích. Lời giải không nhằm để đánh giá các em mà để góp phần cải thiện việc dạy

và học Toán. Xin cám ơn sự tham gia của các em.

Bài 1:

“Cho số hữu tỉ a khác 0 . Sau đây là phát biểu của 3 bạn học sinh lớp 7

 Bạn Nam nói: “ (-a) luôn luôn là số hữu tỉ âm ”

 Bạn An nói : “ (-a) luôn luôn là số hữu tỉ dương ”

 Bạn Bình nói : “ (-a) có thể là số hữu tỉ dương hoặc số hữu tỉ âm”

Hãy cho biết ý kiến của em về phát biểu của 3 bạn trên bằng cách đánh chéo vào

ô thích hợp trong bảng sau đây và giải thích .

Đúng sai Giải thích vì sao em đánh giá như vậy

Phát biểu của bạn Nam

Phát biểu của bạn An

Phát biểu của bạn Bình

a (với a là số hữu tỉ ) .Giải thích cách làm của em.

2  

Bài 2:Tìm :

3  4

Bài 3: Tìm x  ,biết rằng :

BÀI LÀM

Bài 2: _____________________________________________________________

__________________________________________________________________

Bài 3: _____________________________________________________________

__________________________________________________________________

Phụ lục 3. Phiếu bài tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp 8 và lớp 10.

Các em thân mến!

Phiếu này gồm 3 bài toán. Các em có 30 phút để trình bày lời giải ngay phía dưới

phần bài làm. Lời giải không nhằm để đánh giá các em mà để góp phần cải thiện

a ( với a  ) có tồn tại không ? Vì sao ?

việc dạy và học Toán. Xin cám ơn sự tham gia của các em.



Bài 1:

3  )

x ( 3)   x 3 

(Với x  và x Bài 2: Cho biểu thức M=

Hãy rút gọn biểu thức trên (cần giải thích rõ khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối)

Bài 3: Giải phương trình sau:

   x 5

BÀI LÀM

Bài 1: _____________________________________________________________

__________________________________________________________________

Bài 2: _____________________________________________________________

__________________________________________________________________

Bài 3: _____________________________________________________________

__________________________________________________________________