Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Một nghiên cứu Didactic về mối quan hệ giữa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lý Tấn Tài

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ MỐI

QUAN HỆ GIỮA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ

VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lý Tấn Tài

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ MỐI

QUAN HỆ GIỮA LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ

VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LÔØI CAÛM ÔN

Xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán TS. Nguyeãn AÙi Quoác, ngöôøi ñaõ

taän tình höôùng daãn, giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy.

Chaân thaønh caûm ôn ñeán: PGS.TS. Leâ Thò Hoaøi Chaâu, PGS.TS. Leâ

Vaên Tieán, TS. Leâ Thaùi Baûo Thieân Trung, ñaõ nhieät tình giaûng daïy, giuùp ñôõ

toâi trong suoát khoaù hoïc Thaïc só.

Ban Giaùm hieäu Tröôøng THPT Phuù Quoác ñaõ taïo ñieàu kieän cho toâi

trong suoát thôøi gian hoïc taäp; caùc ñoàng nghieäp luoân quan taâm, chia seõ; caùc

thaày coâ toå Toaùn – Tin Tröôøng THPT Phuù Quoác ñaõ giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh

thöïc nghieäm luaän vaên naøy,

Ban Chuû nhieäm khoa Toaùn, laõnh ñaïo vaø chuyeân vieân phoøng SÑH ñaõ

giuùp ñôõ, toå chöùc toát lôùp hoïc cho chuùng toâi.

Caùc baïn hoïc vieân, ñaëc bieät laø caùc baïn hoïc vieân didactic khoùa 20

ñaõ thoâng caûm, chia seõ, ñoäng vieân vaø giuùp ñôõ nhau vöôït qua nhöõng khoù

khaên trong thôøi gian hoïc taäp, nghieân cöùu.

Gia ñình vaø nhöõng ngöôøi thaân ñaõ ñoäng vieân, giuùp ñôõ toâi trong suoát

Lyù Taán Taøi

thôøi gian hoïc taäp.

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Sách giáo khoa lớp 6 M1 :

Sách giáo khoa lớp 7 M2 :

Sách giáo khoa lớp 12 – chương trình nâng cao M3 :

Sách giáo khoa SGK :

Sách giáo viên SGV :

THCS : Trung học cơ sở

THPT : Trung học phổ thông

HS Học sinh

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Căn bậc n của một số thực .......................................................................... 6

Bảng 1.2. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ ............................................ 14

Bảng 2.1. So sánh định nghĩa hàm số lũy thừa ở bậc đại học và bậc THPT ............ 28

Bảng 2.2. So sánh định nghĩa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ở cấp độ tri

thức khoa học và cấp độ tri thức giảng dạy .............................................................. 29

Bảng 2.3. Bảng mô tả các kiểu nhiệm vụ về lũy thừa và hàm số lũy thừa. .............. 30

Bảng 2.4. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M1 .......................... 34

Bảng 2.5. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M2 .......................... 40

Bảng 2.6. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M3 .......................... 52

Bảng 2.7. Sự tiến triển của các tổ chức toán học ...................................................... 53

Bảng 3.1. Thống kê các chiến lược giải bài toán 1 của học sinh .............................. 67

Bảng 3.2. Thống kê các chiến lược giải bài toán 2 của học sinh .............................. 68

Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược giải bài toán 3 của học sinh .............................. 70

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Danh mục các chữ viết tắt

Danh mục các bảng

Mục lục

MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1

CHƯƠNG 1. KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ

TRI THỨC KHOA HỌC ......................................................................................... 4

1. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [2] ....................................................................... 4

2. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [3] ....................................................................... 8

3. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [1] ....................................................................... 9

CHƯƠNG 2. KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA TRONG

CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC ................................................................................... 16

1. Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở THCS .............................................. 16

1.1. Phân tích chương trình ............................................................................ 16

1.2. Phân tích sách giáo khoa ......................................................................... 17

2. Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở THPT .............................................. 19

2.1. Phân tích chương trình ............................................................................ 19

2.2. Phân tích sách giáo khoa ......................................................................... 20

3. Các tổ chức toán học về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ........................ 30

3.1. Các tổ chức toán học trong M1 ............................................................... 30

3.2. Các tổ chức toán học trong M2 ............................................................... 34

3.3. Các tổ chức toán học trong M3 ............................................................... 40

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM ............................................................................. 57

1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm .................................................................... 57

2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm ................................... 57

2.1. Bài toán 1 và bài toán 2 ........................................................................... 57

2.2. Bài toán 3 ................................................................................................. 63

3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm ............................. 67

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 73

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phụ lục

MỞ ĐẦU

1. CÂU HỎI MỞ ĐẦU

Khái niệm lũy thừa được đưa vào chương trình phổ thông từ lớp 6, trong đó

n

a

=

lũy thừa bậc n (n là số tự nhiên) của một số thực a là tích của n thừa số a:

n

a a a . . ... .  thöøa soá

.

Đến lớp 12, lũy thừa được mở rộng với số mũ nguyên âm, số mũ hữu tỷ, và

số mũ vô tỷ. Cùng với sự mở rộng phạm vi số mũ, điều kiện của cơ số cũng có sự

thu hẹp tương ứng.

Sự thay đổi này đã gây không ít khó khăn cho học sinh từ đó dẫn đến những

sai lầm mắc phải trong việc tiếp nhận khái niệm này. Chẳng hạn, sai lầm của học

sinh khi đồng nhất hàm chứa căn với hàm lũy thừa; sai lầm khi dùng máy tính bỏ túi

tính giá trị của một lũy thừa với số mũ hữu tỉ có cơ số âm nhưng vẫn cho ra một giá

trị xác định, mặc dù lũy thừa này không tồn tại theo định nghĩa hiện hành.

Trước thực tế như vậy, chúng tôi đặt ra các câu hỏi:

Q’1: Trong hệ thống dạy học, lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa được xây

dựng như thế nào? Có những cách tiếp cận nào?

Q’2: Trong chương trình phổ thông, lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa được

trình bày như thế nào?

Q’3: Những ràng buộc của chương trình có tác động như thế nào đến học sinh khi

học về các khái niệm này?

2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU

Chúng tôi đặt mình trong phạm vi lý thuyết của didactic toán. Cụ thể chúng

tôi sử dụng các khái niệm: chuyển đổi didactic; quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ

chức toán học của lý thuyết nhân chủng học; hợp đồng didactic.

Chuyển đổi didactic: nhằm làm rõ sự chuyển đổi từ tri thức khoa học sang tri

thức cần giảng dạy, xem sự chuyển đổi này có phù hợp với mục tiêu đưa vào khái

niệm này hay không?

Lý thuyết nhân chủng học: phân tích các tổ chức toán học liên quan đến khái

niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa từ đó làm rõ mối quan hệ thể chế, quan hệ cá

nhân đối với hai khái niệm này.

Hợp đồng didactic: tìm ra những quy tắc hợp đồng ngầm ẩn giữa giáo viên

và học sinh từ đó giải mã cho những cách ứng xử của giáo viên và học sinh khi giải

quyết các kiểu nhiệm vụ có liên quan.

3. CÂU HỎI NGHIÊN CỨU

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, các câu hỏi ban đầu được chúng tôi cụ

thể hóa thành các câu hỏi nghiên cứu như sau:

Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa được trình

bày như thế nào? Có những cách tiếp cận nào?

Q2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa xuất

hiện và tiến triển như thế nào?

Q3: Quan hệ thể chế ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân khi học sinh giải

quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hai khái niệm này ?

4. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 3. Cụ

thể: thứ nhất, tìm hiểu sự hình thành và tiến triển của khái niệm lũy thừa và hàm số

lũy thừa ở chương trình phổ thông; thứ hai, xác định các sai lầm mà học sinh

thường mắc phải khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến lũy thừa của một số

và hàm số lũy thừa; thứ ba, xác định nguồn gốc của những sai lầm này để từ đó có

những điều chỉnh trong cách dạy học, nhằm mang lại hiệu quả cao nhất trong giảng

dạy.

Để đạt được mục đích này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:

Ở cấp độ tri thức khoa học, chúng tôi phân tích nhằm làm rõ các cách tiếp

cận khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa.

Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng tôi phân tích chương trình, sách giáo

khoa và các tổ chức toán học liên quan đến lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa

ở cấp độ THCS và THPT nhằm làm rõ sự hình thành và tiến triển của chúng qua các

khối lớp.

Kết quả phân tích ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy, chúng

tôi đặt ra giả thuyết nghiên cứu.

Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm để kiểm chứng những giả

thuyết đã đặt ra.

5. TỔ CHỨC LUẬN VĂN

Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận.

Phần mở đầu, chúng tôi trình bày về những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất

phát, khung lý thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích và phương pháp

nghiên cứu, tổ chức luận văn.

Chương 1, trình bày kết quả phân tích về cách xây dựng lũy thừa của một số

và hàm số lũy thừa trong một số giáo trình đại học.

Chương 2, trình bày kết quả về phân tích chương trình, sách giáo khoa, các

tổ chức toán học ở THCS và THPT gắn với lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa.

Đặt ra giả thuyết nghiên cứu.

Chương 3, trình bày bộ câu hỏi thực nghiệm, phân tích tiên nghiệm và phân

tích hậu nghiệm bộ câu hỏi thực nghiệm.

Phần kết luận, trình bày kết qủa đạt được của luận văn và đề cập những

hướng nghiên cứu có thể mở ra từ luận văn.

Chương 1

KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC

KHOA HỌC

Mục tiêu của chương

Chương này tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: khái niệm lũy thừa và hàm

số lũy thừa được trình bày như thế nào trong các tài liệu ở bậc đại học? Chúng có

những cách tiếp cận nào?

Tài liệu tham khảo

1. Jean - Marie Monier (2009), Giải tích 1,Giải tích 2, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà

Nội. [1]

2. Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông,

Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh.

3. Alvin K.Bettinger, John A.Englund, Algebra and Trigonometry. [2]

4. Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite series. [3]

Chúng tôi chọn các tài liệu trên để phân tích vì các tài liệu này trình bày khá

chi tiết về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa, hơn nữa các tài liệu này trình bày

các cách khác nhau khi xây dựng lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa.

1. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [2]

Tài liệu này chỉ trình bày về lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không,

số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ; không trình bày lũy thừa với số mũ thực và hàm

số lũy thừa.

Các kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên dương, số mũ không, số mũ

nguyên âm và số mũ hữu tỉ được trình bày cụ thể và chứng minh chi tiết.

Lũy thừa với số mũ nguyên dương Cho a là một số thực và n là số nguyên dương, an là tích của n thừa số a; a

gọi là cơ số và n gọi là số mũ.

Lũy thừa với số mũ nguyên dương có các tính chất sau:

n

m n

=

.m a a

a +

a) Quy tắc nhân: cho a là một số thực và m, n là các số nguyên dương thì

.

b) Quy tắc chia: cho a là một số thực khác không; m, n là các số nguyên dương sao

m

− m n

=

a

n

a a

m

=

cho m > n thì .

n

a a

1 a − n m

. Nếu a ≠ 0 và n > m thì

m n .

a

a=

c) Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: cho a là một số thực và m, n là các số nguyên

nm )

. dương thì (

=

ab

n n a b

d) Quy tắc lũy thừa của một tích: cho a, b là các số thực, n là số nguyên dương thì

(

)n

.

n

n

=

e) Quy tắc lũy thừa của một thương: cho a, b là các số thực, b ≠ 0 và n là số

n

a b

a b

  

  

. nguyên dương thì

Lũy thừa với số mũ không

m

− m n

=

a

Lũy thừa với số mũ không xuất hiện khi mở rộng điều kiện của m trong quy

n

a a

n

− n n

0

=

=

=

a

a

1

vẫn tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số: nếu a ≠ 0 và m = n, giả sử công thức

n

a a

. đúng trong trường hợp số mũ bằng không, thì

Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa: a và a ≠ 0, a0 =1.

Lũy thừa với số mũ nguyên âm ∀ ∈ ℝ

Lũy thừa với số mũ nguyên âm xuất hiện khi mở rộng điều kiện của n trong

n

m n

0

− = n

=

n a a .

a

1

.m a a

a +

quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: nếu a ≠ 0 và m = -n, giả sử công thức

= , từ đó suy ra

− = n

a

vẫn đúng trong trường hợp số mũ âm thì

1 n a

.

− = n

a

Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa: cho a là số thực khác không và n là số

1 n a

nguyên dương, .

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa dựa trên căn bậc n của một số

thực.

Định nghĩa căn bậc n: cho n là số nguyên dương lớn hơn 1 và a là số thực bất

kì, căn bậc n của a là số b sao cho bn = a.

Theo định nghĩa này, kết quả về căn bậc n của một số thực a được tóm tắt

như sau:

Bảng 1.1. Căn bậc n của một số thực

n chẵn n lẻ

n a−

Có hai căn bậc n của a. Có duy nhất một căn bậc n của a, Giá trị dương kí hiệu: n a . a > 0 kí hiệu: n a . . Giá trị âm kí hiệu:

0

0

n = .

n = .

Có duy nhất một căn bậc n Có duy nhất một căn bậc n của a, a = 0 của a, kí hiệu 0 kí hiệu 0

Có duy nhất một căn bậc n của a, a < 0 Không tồn tại. kí hiệu: n a .

1

Trước khi đưa ra định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ, tài liệu [2] nhận xét:

na có nghĩa và công thức

n

.

n

mn

1 n

1 n

=

=

=

1 a

a

a

a

a

a=

m

cho a là một số thực và n là số nguyên dương. Giả sử

= thì

(

)nm

1 n

  

  

1

vẫn còn đúng khi . Điều này chứng tỏ

na là một căn bậc n của a.

rằng

Từ kết quả về căn bậc n của một số thực a và nhận xét trên, tài liệu [2] đưa ra

các định nghĩa:

1

• Định nghĩa 1

na chỉ căn bậc n của số

Nếu a là số thực không âm và n là số nguyên dương,

1

không âm a, còn kí hiệu là n a .

na chỉ căn bậc n của a, còn kí

Nếu a là số âm và n là số nguyên dương lẻ thì

hiệu là n a .

1 na .

Nếu a là số âm và n là số chẵn thì không định nghĩa

m

nm

a

a=

Tiếp theo, tài liệu [2] nhận xét: Cho a là số thực dương; m, n là các số

na có nghĩa và nếu công thức (

)mn

m

m

.

m

m n

1 n

1 n

=

a

a

a

nguyên, n > 0. Nếu vẫn còn đúng khi

na là lũy thừa bậc m của

1 na .

1 n

 =  

  

thay n bằng thì . Như vậy,

Từ đó tài liệu [2] đưa ra định nghĩa 2 – định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu

tỉ:

• Định nghĩa 2

m n

m

1

m n

a

a

tối giản; số thực a và giả sử Cho m, n là các số nguyên, n > 0 và phân số

na chỉ lũy thừa m của

na . Tức là

 =  

1 m  n  

a không âm khi n chẵn, thì .

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ

nguyên dương.

Nhận xét về tài liệu [2]

na là tích của n thừa số a. Các tính chất

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

của lũy thừa với số mũ nguyên dương được suy ra từ tính chất của phép nhân trên

tập số thực.

Lũy thừa với số mũ 0, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ được mở rộng từ

lũy thừa với số mũ nguyên dương theo hướng bảo toàn các tính chất của lũy thừa

0

=

≠

a

1 (

a

)0

với số mũ nguyên dương:

−

=n

≠

(

)0

a

a

. + Lũy thừa với số mũ 0:

1 n a

m

r

m n

=

a

a

1 n a

. + Lũy thừa với số mũ nguyên âm a-n là nghịch đảo của an:

m n

=  

  

trong đó là phân số tối + Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

giản và căn bậc n của a tồn tại.

Do tài liệu [2] không trình bày về lũy thừa với số mũ vô tỉ nên chúng tôi

chưa biết được cách tiếp cận định nghĩa này từ cách định nghĩa lũy thừa với số mũ

hữu tỉ như trên.

2. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [3]

Tài liệu này chỉ trình bày khái niệm lũy thừa của một số (lũy thừa với số mũ

nguyên dương, số mũ không, số mũ nguyên âm và số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số

thực bất kì), không trình bày về hàm số lũy thừa.

Lũy thừa của một số

Tài liệu [3] không trình bày cụ thể về lũy thừa với số mũ nguyên như tài liệu

[2]. Các kiến thức này được trình bày ngắn gọn như sau:

Nếu x là một số thực bất kì, ta biết rằng xk (với k là số nguyên dương ≥ 2) được định nghĩa là tích của k thừa số, tất cả đều bằng x. Ta kí hiệu: x1 nghĩa là chính

1 kx

q

+ p q

=

p x x

x

(k = 1, 2, 3, …). Vì thế xp được định nghĩa cho nó; khi x ≠ 0, x0 bằng 1, x-k bằng

p

p

pq

=

p x y .

xy

x

x . Từ các quy tắc này có thể suy ra được các quy tắc khác.

(

)

, mọi số nguyên p. Định nghĩa này thỏa 3 quy tắc cơ bản sau:

qp ) =

; (

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ cũng được định nghĩa dựa trên căn bận n của một

số thực.

Tài liệu [3] không trình bày định nghĩa căn bậc n của một số, mà chỉ đưa ra

nhận định: Cho a là số thực dương, căn bậc n của a là số thực mà lũy thừa bậc n của

n

m

=

∈

m na

a m n (

,

0)

nó bằng a. Từ nhận định này, tài liệu [3] đưa ra định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu

> n ;

tỉ: Cho a > 0, .

Lũy thừa với số mũ thực

Quá trình định nghĩa lũy thừa với số mũ thực có thể được tóm tắt như sau:

y≤

Cho (xn) là dãy hữu tỉ đơn điệu tăng, (yn) là dãy hữu tỉ đơn điệu giảm sao

x n

n

cho: với mọi n và hiệu số dn = yn – xn tạo thành một dãy có giới hạn là 0.

y

Khi đó ta được một dãy các khoảng lồng nhau thắt dần, trong đó khoảng thứ n là

(

)

)

x y ;n

n

x |n

n

. . Dãy các khoảng lồng nhau thắt dần này được kí hiệu là (

Dãy các khoảng lồng nhau thắt dần này có giao duy nhất, giả sử là s và được

y

s= .

)

x |n

n

y

s= là dãy các khoảng lồng nhau thắt dần bất kì và số thực

kí hiệu: (

)

x |n

n

y

y

n

x n

a

x |n

a

a

|n

a

Cho (

)

)

với a < 1 cũng là dãy các dương a. Khi đó ( với a > 1 hoặc (

saδ =

khoảng lồng nhau thắt dần, như vậy chúng có giao duy nhất là phần tử δ. Ta kí hiệu:

.

Sau đó, tài liệu [3] đưa ra nhận xét: khi s là số hữu tỉ thì định nghĩa này hoàn

toàn phù hợp với các định nghĩa đã được xây dựng trước đó.

Nhận xét tài liệu [3]

m

n

=

m na

a

Các kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên được trình bày giống tài liệu [2].

(

)

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa cho cơ số dương: .

, được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy số: αa là giới hạn của dãy số ( Lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa cho cơ số dương, khái niệm này )nxa

)nx

trong đó ( là dãy số hữu tỉ có giới hạn là α.

3. Khái niệm lũy thừa trong tài liệu [1]

Lũy thừa của một số

Tài liệu này không trình bày định nghĩa và các tính chất của lũy thừa với số

mũ nguyên. Tuy nhiên trong phần nhận xét mà tài liệu này nêu ra sau khi định nghĩa

hàm số mũ cơ số e:

t

“Mệnh đề: exp1 = e .

*. Ta

1 = , n n

Cho tới lúc này thì kí hiệu et được định nghĩa với t hay

∈ ℤ ∈ ℕ thấy expt trùng với et trong hai trường hợp này” (Giải tích 2, tr.6).

Đoạn trích trên chứng tỏ tài liệu [1] đã thừa nhận định nghĩa và các tính chất

của lũy thừa với số mũ nguyên.

Lũy thừa với số mũ bất kì được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số a.

Quá trình này có thể được tóm tắt theo sơ đồ sau: Hàm số logarit nêpe → Hàm mũ

→ Hàm logarit cơ số a → hàm mũ cơ số a → Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực.

Hàm logarit nêpe

*

+ vào

Hàm logarit nêpe, ký hiệu là ln, ánh xạ từ định nghĩa như sau:

∀ ∈ x

x

, ln



* +

= ∫

x dt t

1

ℝ .

*

ln :

= +∞ ,

Hàm mũ

 liên tục, tăng nghiêm ngặt, và vì lim ln

+ →

+∞

= −∞ , nên ánh xạ ln có ánh xạ ngược, ánh xạ ngược này được gọi là hàm mũ,

lim ln+

0

*

exp :

Vì ánh xạ

→  .

+

ký hiệu là

t

Sau khi xây dựng xong hàm mũ, tài liệu [1] đưa ra nhận xét: “Cho tới lúc này

*. Ta thấy expt trùng với et

1 = , n n

hay thì kí hiệu et được định nghĩa với t

t

=

∀ ∈ x

, e

exp

t

∈ ℕ ∈ ℤ trong hai trường hợp này. Như vậy chúng ta có thể thác triển kí hiệu et cho trường



hợp t bằng cách đặt: ” (Giải tích 2, tr.10).

*

∈ Hàm logarit cơ số a ℝ

+ vào

được xác định Hàm logarit cơ số a, kí hiệu là loga , là ánh xạ từ

=

∀ ∈ x

x

, log



* +

a

x a

ln ln

ℝ như sau: .

*

Hàm mũ cơ số a

+ ngược với ánh xạ

vào Hàm mũ cơ số a, kí hiệu là expa , là ánh xạ từ

loga. ℝ

∀

=

x y ( ,

)

,

y

exp

x

⇔ = x

log

y

Hàm số mũ cơ số a có các tính chất sau:

 

* +

a

a

( ∈ ×

)2

x

a

ln

=

∀ ∈ x

x

e

, exp

•



a

=

ln

exp

∀ ∈ x

a

x

(

)

(

)(

)



•

* , exp '( ) x + a

a

• Hàm số expa thuộc lớp C ∞ trên  và

2

∀

∈

+

=

x y ( ,

)

x

y

)

exp

x

.exp

y

• exp (0) 1 = a

(

)

(

)



, exp ( a

a

a

−

=

)

∀ ∈ x

x

•



, exp ( a

1 exp

x

a

•

=

∀ ∈ +∞ (1;

) {1},

\

, exp

a

∀ ∈ x

x



1 exp

x

a

1 a

•

*

*

a

, x

Sau khi xây dựng xong hàm mũ cơ số a, tài liệu [1] nhận xét: “Cho đến lúc

∈  ), hoặc khi

+∈  và x

1 x

này thì kí hiệu ax đã được định nghĩa khi ( hay

x

=

ln

a

a

ln

∈ ℤ a = e. Trong các trường hợp đó, ta có:

=

x

x

ln

a

) ( ( ln exp

x )

a

   

, do đó ax = expa(x).

x

=

∀ ∈ x

,

a

exp

x

bằng cách định Như vậy, ta có thể thác triển kí hiệu ax ra trường hợp x



a

nghĩa: .” (Giải tích 2, tr.12) ∈ ℝ

xa .

Sau đó, tài liệu [1] trình bày lại các tính chất của expa khi thay kí hiệu expa x

bởi

Như vậy, aα là giá trị của hàm số expa tại α, với a là một số thực dương và α

là một số thực bất kì.

Hàm số lũy thừa

*

Hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số e: “Cho α ,

+ vào

α

ln

x

=

∀ ∈ x

p x ( )

eα = x

hàm số lũy thừa với số mũ α là ánh xạ từ , ở đây được kí hiệu là pα và ∈ ℝ



* , α+

được xác định như sau: .” (Giải tích 2, tr.15) ℝ

Vì hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm số mũ nên hàm số lũy

thừa có đầy đủ các tích chất của hàm số mũ. Tài liệu [1] trình bày chi tiết về hàm số

ln

x

eα

0

lũy thừa pα:

→ , và do đó ta có thể thác triển liên tục phải hàm

+→ 0

x

Nếu α > 0 thì

số pα bằng cách đặt pα(0) = 0.

x

( − α

) 1 ln

ln

x

=

=

=

α e

α e

− α 1 α e

' ( ) p x α

),

x

2

=

−

− α x

α x ( α α

) 1

'' ( ) p x α

  ∀ ∈ +∞  (0;  

= .

Ánh xạ pα thuộc lớp C ∞ trên (0 ; +∞) và :

' (0) 0 pα

Nếu α > 0 thì pα khả vi tại 0 và

(0)

→ +∞ .

' pα

x

+→ 0

Nếu α < 0 thì pα không khả vi tại 0 và

Bảng biến thiên của hàm số pα:

Trường hợp α > 0 Trường hợp α < 0

0 +∞

p xα ( )

– x ' ( ) p xα x ' ( ) p xα

p xα ( ) +∞ 0 0 +∞ + +∞ 0

Đồ thị của hàm số lũy thừa

Nhận xét tài liệu [1]

Lũy thừa với số mũ nguyên tuy không được trình bày, nhưng ngầm ẩn chúng

được hiểu như trong tài liệu [2] và [3].

Lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa cho cơ số dương: αa là giá trị của

hàm số expa tại α.

Mặc dù lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa không theo hướng mở rộng

như trong tài liệu [2] và [3] nhưng khi α là số nguyên thì định nghĩa này hoàn toàn

phù hợp với các kiến thức về lũy thừa đã biết trước đó. Như vậy, các tính chất của

lũy thừa được bảo toàn.

α

ln

x

=

∀ ∈ x

p x ( )

eα = x

Hàm số lũy thừa được định nghĩa thông qua hàm mũ cơ số e:



* , α+

. Hàm số lũy thừa có tập xác định là (0 ; +∞) với mọi số

mũ α, và là hàm số đơn điệu.

Kết quả phân tích trên cho thấy sự xuất hiện độc lập của lũy thừa của một số

và hàm số lũy thừa. Chúng đều là kết quả của việc xây dựng hàm số mũ cơ số a.

Kết quả phân tích tài liệu [1] có những nét tương đồng với kết luận về sự mở

rộng khái niệm lũy thừa trong luận văn “Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học

phổ thông” của Nguyễn Hữu Lợi. Kết quả về tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa

trong luận văn này được tóm tắt như sau:

Có 2 tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên dương sang số

mũ thực:

Tiến trình 1: “hàm logarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa cơ số e → hàm mũ

cơ số a → lũy thừa cơ số a” (Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở

trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, tr.22). Trong tiến trình

này, lũy thừa với số mũ thực trước hết được định nghĩa cho cơ số e. Các tính chất của ex (x ) là cơ sở để xây dựng hàm mũ cơ số a (a > 0). Lũy thừa với số mũ

thực bất kì được định nghĩa từ hàm số mũ cơ số a, các tính chất của lũy thừa cũng ∈ ℝ

được suy ra từ tính chất của hàm số mũ cơ số a.

Tiến trình 2: “hàm lôgarit nêpe → hàm mũ e → lũy thừa thực cơ số e → lũy

thừa thực cơ số a” (Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung

học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, tr.22). Trong tiến trình này, lũy thừa

0)>a

với số mũ thực trước hết cũng được định nghĩa cho cơ số e, kết quả này là cơ sở để

xây dựng lũy thừa với số mũ thực cơ số a ( . Tính chất của lũy thừa với số mũ

thực cơ số a được suy ra từ tính chất của ex.

Kết quả phân tích cho thấy tiến trình xây dựng lũy thừa của một số trong tài

liệu [1] giống tiến trình 1 trong luận văn của Nguyễn Hữu Lợi.

KẾT LUẬN

n

a

=

1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương được định nghĩa là tích của n thừa số a:

n

a a a . . ... .  thöøa soá

. Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương được suy ra từ tính

chất của phép nhân trên tập số thực.

2. Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm được mở rộng từ lũy thừa với

số mũ nguyên dương theo hướng bảo toàn tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

0

=

≠

a

1 (

a

)0

dương.

−na là nghịch đảo của

na :

. + Lũy thừa với số mũ 0:

−

n

=

(

)

a

n

thừa với số mũ nguyên âm + Lũy

∈ 

+

1 n a

.

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: kết quả về lũy thừa với số mũ hữu tỉ được tóm

tắt như sau:

Bảng 1.2. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ hữu tỉ

m

=

α

α a

exp

Định nghĩa 1 Định nghĩa 2 Định nghĩa 3

n

r

a

m n

r

m n

=

=

a

a

m a

=

a

a

1 n a

=  

  

0>a

0>a

+ .

trong đó trong đó trong đó . , m , n

+ , phân số

m n

m , n ∈ ℤ ∈ ℤ

∈ ∈ ℤ tối giản và ℤ 1 na tồn tại.

4. Lũy thừa với số mũ thực: kết quả về lũy thừa với số thực được tóm tắt như

sau:

Bảng 1.3. Các định nghĩa về lũy thừa với số mũ thực

=x

0>a

exp

a

x trong đó

Định nghĩa 1 Định nghĩa 2

0>a

α = a

lim

a

nr a trong đó lim α=nr

. , .

Hai định nghĩa này cũng là hai cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ.

5. Các quy tắc tính lũy thừa được bảo toàn với mọi số mũ.

6. Hàm số lũy thừa được định nghĩa dựa vào hàm số mũ cơ số e:

α

ln

x

=

∀ ∈ x

p x ( )

eα = x



* , α+

. Hàm số lũy thừa xuất hiện như là một kết quả của việc

xây dựng hàm số mũ cơ số a.

Như vậy, có hai cách xây dựng lũy thừa của một số. Cách 1: lũy thừa của

một số được xây dựng theo hướng mở rộng số mũ: số mũ nguyên dương → số mũ 0

và số mũ nguyên âm → số mũ hữu tỉ → số mũ thực. Cách 2: lũy thừa của một số là

kết quả của việc xây dựng hàm số mũ cơ số a.

Việc xây dựng hàm số lũy thừa hoàn toàn không dựa vào kết quả lũy thừa

của một số, chúng xuất hiện độc lập với nhau.

Chương 2

KHÁI NIỆM LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA

TRONG CÁC THỂ CHẾ DẠY HỌC

Mục tiêu của chương

Chương này tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: khái niệm lũy thừa và hàm

số lũy thừa xuất hiện và tiến triển như thế nào trong các thể chế dạy học ở trường

phổ thông? Đặc trưng của các tổ chức toán học gắn liền với các khái niệm này?

Để trả lời cho các câu hỏi đặt ra, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình

và sách giáo khoa lớp 6, 7 và lớp 12 hiện hành. Đối với lớp 12, chúng tôi chọn phân

tích sách 12 chương trình nâng cao, đồng thời có sự đối chiếu với sách 12 chương

trình chuẩn.

1. Khái niệm lũy thừa trong thể chế dạy học ở (THCS)

1.1. Phân tích chương trình

a) Sách giáo khoa lớp 6 (M1)

Chương trình của môn đại số 6 gồm 3 chương: chương I – ÔN TẬP VÀ BỔ

TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN, chương II – SỐ NGUYÊN và chương III – PHÂN SỐ.

Khái niệm lũy thừa xuất hiện trong chương I và chương II.

Chương I (39 tiết), khái niệm lũy thừa được trình bày ở §7 – Lũy thừa với số

mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số (1 tiết), §8 – Chia hai lũy thừa cùng cơ

số (1 tiết), Luyện tập về lũy thừa (1 tiết). Bên cạnh đó, lũy thừa còn là công cụ dùng

để viết gọn tích của các thừa số giống nhau khi phân tích một số tự nhiên ra thừa số

nguyên tố (§15 – Phân tích một số ra thừa số nguyên tố).

Chương II, khái niệm lũy thừa được trình bày ở §12 – Tính chất của phép

nhân (khái niệm lũy thừa được trình bày dưới dạng một chú ý)

b) Sách giáo khoa lớp 7 (M2)

Chương trình của môn đại số 7 gồm 4 chương: chương I – SỐ HỮU TỈ. SỐ

THỰC, chương II – HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ, chương III – THỐNG KÊ, và chương

IV – BIỂU THỨC ĐẠI SỐ. Khái niệm lũy thừa xuất hiện trong chương I và IV.

Chương I (23 tiết), khái niệm lũy thừa được trình bày trong §5, 6 – Lũy thừa

của một số hữu tỉ (2 tiết), luyện tập về lũy thừa (1 tiết).

Chương IV, §3 – Đơn thức, lũy thừa xuất hiện với vai trò là một trong những

công cụ để nhân hai đơn thức.

1.2. Phân tích sách giáo khoa

Trong phần này, chúng tôi sẽ phân tích M1 và M2 song song với nhau nhằm

tìm hiểu cách trình bày khái niệm lũy thừa ở hai bậc học (lớp 6 và lớp 7), để từ đó

làm rõ quan hệ thể chế đối với khái niệm lũy thừa.

+ + + =

a a a a

a

.4

Khái niệm lũy thừa của một số

?

a a a a = ” (M1, tr.26), sau đó giới thiệu cách viết gọn biểu thức chứa tích của các . . . thừa số giống nhau bằng cách dùng lũy thừa “người ta viết 2.2.2 thành 23; a.a.a.a thành a4” (M1, tr.26). Khái niệm lũy thừa được M1 trình bày như sau: “Lũy thừa

n

a

=

M1 tiếp cận khái niệm lũy thừa bằng hoạt động “ , còn

n

a a a . . ... .  thöøa soá

(

0)≠n

bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

. a gọi là cơ số, n gọi là số mũ. Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là

phép nâng lên lũy thừa.” (M1, tr.26).

Trên tập số nguyên, khái niệm lũy thừa được M1 trình bày khá vắn tắt “ta

cũng gọi tích của n số nguyên a là lũy thừa bậc n của số nguyên a (cách đọc và kí

hiệu như đối với số tự nhiên).” (M1, tr.94).

M2 trình bày khái niệm này bằng cách kế thừa các kết quả có được từ M1

n

x

x

n

n

=

∈

∈

>

,

“tương tự đối với số tự nhiên, với số hữu tỉ x ta định nghĩa: Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1):

, 



(

) 1

x x x . . ... .   n thöøa soá

. xn đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa

bậc n của x; x gọi là cơ số, n gọi là số mũ.” (M2, tr.17).

Lũy thừa với số mũ 0

− m n

m

n

m

n

=

0≠a

0≠a

a

a

1=

:

:

a

a

M1 tiếp cận lũy thừa với số mũ 0 bằng nhận xét “Với m > n ta có:

( ). Trong trường hợp m = n, ta có: với

=

≠

0" a

1 (

a

0)"

(vì số bị a chia bằng số chia), chẳng hạn 54:54 = 1.” (M1, trang 29). Từ đó đưa ra quy ước

(M1, tr.29).

M2 cũng đưa ra quy ước “ x0 = 1 (x ≠ 0)” (M2, tr.17), nhưng không giải thích

gì về tính hợp lí của quy ước này.

Nhận xét

n

a

=

Với n là số tự nhiên (n ≠ 0), lũy thừa bậc n của a (a hoặc a ) là tích

n

a a a . . ... .  thöøa soá

của n thừa số a: . ∈ ℕ ∈ ℤ

Lũy thừa với số mũ 0 được định nghĩa cho cơ số a khác 0: a0 = 1 (a ≠ 0).

Định nghĩa này xuất phát từ quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số khi số mũ bằng

nhau.

Quy tắc tính lũy thừa

M1 chỉ trình bày hai quy tắc về nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số. Quy tắc

4

7 3 5 : 5

?= và

?= ” (M1, tr.31). Từ đó, M1 đưa ra các quy tắc tính lũy thừa “

n

+ m n

=

a

m a a .

0≠a

7 5 : 5 ; am:an = am-n với

về nhân hai lũy thừa cùng cơ số được xây dựng bằng ví dụ “Viết tích của hai lũy thừa sau thành một lũy thừa: 23.22; a4.a3 ” (M1, tr.30), quy tắc về chia hai lũy thừa cùng cơ số được xây dựng bằng hoạt động “Ta đã biết 53.54 = 57. Hãy suy ra

và m ≥ n)” (M1, tr.31).

Kế thừa các kết quả có được từ M1, M2 phát biểu tương tự cho số hữu tỉ “Với số tự nhiên a, ta đã biết: am.an = am+n; am:an = am-n (a ≠ 0, m ≥ n). Cũng vậy, đối với số hữu tỉ x, ta có các công thức: xm.xn = xm+n; xm:xn = xm-n (x ≠ 0, m ≥ n)”

(M2, tr.19). Bên cạnh hai quy tắc này, M2 trình bày thêm quy tắc lũy thừa của lũy

thừa, lũy thừa của một tích và lũy thừa của một thương. Cách tiếp cận các quy tắc

+ m n

=

1)

x

− m n

m n . x x m

n

=

≠

≥

(

)

2)

:

0,

x

x

m

n

n

=

3)

. x y

n . x y

x (

x n )

n

n

=

≠

4)

(

)

y

0

n

x y

x y

m n .

=

x

x

) 5

   nm )

   (

được trình bày giống với M1. Trên tập số hữu tỉ, lũy thừa có các quy tắc tính sau:

Nhận xét

Các quy tắc tính lũy thừa không được chứng minh, chúng được xây dựng

theo phương pháp quy nạp: từ kết quả của một số ví dụ cụ thể rồi khái quát thành

công thức.

Các quy tắc tính lũy thừa là yếu tố kỹ thuật trong nhiều kiểu nhiệm vụ liên

quan đến lũy thừa.

Có sự tương ứng 1 - 1 giữa phép nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số với phép

cộng, trừ các số mũ. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số ứng với việc giữ nguyên cơ số và

cộng hai số mũ; chia hai lũy thừa cùng cơ số ứng với việc giữ nguyên cơ số và trừ

hai số mũ (tương ứng).

Nhận xét M1 và M2

1. Về định nghĩa lũy thừa: lũy thừa được định nghĩa cho cơ số là một số tự

n

a

=

nhiên (lớp 6) và một số nguyên (lớp 7) với số mũ là một số tự nhiên. Lũy thừa bậc n

n

a a a . . ... .  thöøa soá

0

=

≠

a

1 (

a

)0

của a là tích của n thừa số a: . Lũy thừa với số mũ 0 được định nghĩa

cho cho cơ số khác 0: . Định nghĩa này xuất phát từ quy tắc chia hai

lũy thừa cùng cơ số khi số mũ bằng nhau.

2. Về tính chất của lũy thừa: M1, M2 chỉ trình bày các quy tắc tính lũy

thừa: quy tắc nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số, quy tắc lũy thừa của lũy thừa, quy

tắc lũy thừa của một tích, của một thương. Các quy tắc về so sánh lũy thừa không

được trình bày.

2. Khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa trong thể chế dạy học ở THPT

2.1. Phân tích chương trình

Chương trình của môn giải tích 12 (chương trình nâng cao) gồm 4 chương,

khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa được trình bày trong chương II – HÀM SỐ

LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT (39 tiết). Cụ thể:

Khái niệm lũy thừa được trình bày trong §1 – Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (2

tiết) và §2 – Lũy thừa với số mũ thực (1 tiết).

Hàm số lũy thừa được trình bày trong §6 – Hàm số lũy thừa (1 tiết).

Luyện tập về lũy thừa (2 tiết), luyện tập về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và

hàm số logarit (2 tiết).

Ngoài ra, các tính chất của lũy thừa còn xuất hiện khi nghiên cứu về logarit

(§3 – Logartit), giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit (§7- Phương trình

mũ và logarit, §9 – Bất phương trình mũ và logarit) và chương III – NGUYÊN

HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG.

2.2. Phân tích sách giáo khoa

Khái niệm lũy thừa được M3 trình bày theo thứ tự lũy thừa với số mũ

nguyên âm, số mũ hữu tỉ và số mũ vô tỉ. Kết quả của việc mở rộng khái niệm lũy

thừa là một trong những cơ sở để xây dựng khái niệm logarit, hàm số mũ và hàm số

logarit.

Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa với số mũ nguyên được xây dựng theo thứ tự: lũy thừa với số mũ

nguyên dương, lũy thừa với số mũ 0 và lũy thừa với số mũ nguyên âm.

Lũy thừa với số mũ nguyên dương được M3 kế thừa từ các kết quả đã có

n

a

=

trước đó: “Nhắc lại rằng với mỗi số nguyên dương n, lũy thừa bậc n của số a (còn

n

a a a . . ... .  thöøa soá

1 =a

a ; a được gọi là cơ số, n được gọi là số mũ của lũy thừa an ” (M3, tr.69).

gọi là lũy thừa của a với số mũ n) là số an xác định bởi (với n > 1),

Để xây dựng lũy thừa với số mũ nguyên, M3 đưa ra định nghĩa lũy thừa với

0

n

=

=

1 ;

a

a

số mũ 0 và số mũ nguyên âm: “Với a ≠ 0, n = 0 hoặc n là một số nguyên âm, lũy

n

1 a−

thừa bậc n của a là số an xác định bởi: .” (M3, tr.69).

Nhận xét

n

=

a

Lũy thừa của một số thực a với số mũ tự nhiên n (n ≠ 0) được định nghĩa là

a a a . ....  n

0

=

≠

a

1 (

a

)0

. tích của n thừa số a:

Lũy thừa với số mũ 0 được định nghĩa cho số thực khác 0: .

m

− m n

=

a

“Định nghĩa này là tự nhiên, phù hợp với các công thức đã biết, đặc biệt là công

n

a a

(m, n nguyên dương và m > n)” (SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.114). thức

na (n nguyên âm) chính là phần tử nghịch đảo của

na là lũy thừa bậc (-n) của phần tử (a-1).

−na . Vì vậy có thể xem ℝ

Vì là một trường nên

Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên được M3 trình bày chi tiết, bao

gồm các quy tắc tính lũy thừa và các quy tắc so sánh lũy thừa:

“ĐỊNH LÍ 2

m

n

a

a>

Cho m, n là những số nguyên. Khi đó

m

n

a

a>

Với a > 1 thì khi và chỉ khi m n> .

khi và chỉ khi m n< . Với 0 < a < 1 thì

HỆ QUẢ 1

m

m

a

b<

Với 0 < a < b và m là số nguyên thì

0m > .

m

m

a

b>

khi và chỉ khi

0m < .

khi và chỉ khi

n

n

a

b<

HỆ QUẢ 2

. Với a < b, n là số tự nhiên lẻ thì

n

n

a

b=

HỆ QUẢ 3

b= .” (M3, tr.70, tr.71, tr.72)

Với a, b là những số dương, n là một số nguyên khác không thì khi và

chỉ khi a

Nhận xét

Định lí 2 và các hệ quả của nó cung cấp cho học sinh công cụ để so sánh hai

lũy thừa.

Khi so sánh hai lũy thừa, có thể đưa hai lũy thừa về cùng số mũ và so sánh

cơ số, hoặc đưa hai lũy thừa về cùng cơ số và so sánh số mũ.

Lũy thừa của một số mũ hữu tỉ

Khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỉ được định nghĩa dựa trên căn bậc n của

một số thực dương. Để làm rõ cách xây dựng khái niệm này, trước hết ta sơ lược

một số kết quả về căn bậc n của một số thực:

nb

Căn bậc n của một số thực được định nghĩa như sau: “Với n nguyên dương,

a= .” (M3, tr.72). Từ định nghĩa

căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho

này, M3 đưa ra nhận xét “Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Khi n

là số chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau. Căn bậc

n của số 0 là 0. Số âm không có căn bậc chẵn vì lũy thừa bậc chẵn của một số thực

bất kì là một số không âm” (M3, tr.72-73).

Các tính chất về căn thức được tóm tắt như sau: Với hai số không âm a, b,

n

n

=

ab

n a b .

hai số nguyên dương m, n và hai số nguyên p, q tùy ý, ta có:

n

n

=

>

b

1)

(

)0

n

a b

a b

p

n

p

n

=

>

a

a

a

2)

(

)0

(

)

mn

=

a

a

3)

n

m

p

q

=

>

a

a

a

4) m n

(

)0

p q = n m

=

n a

mn m a

thì 5) Nếu

Đặc biệt,

Do điều kiện xác định của biểu thức dưới dấu căn thay đổi tùy thuộc vào số

nguyên m, n nên để tránh những rắc rối trong việc trình bày, M3 đã thu hẹp điều

kiện xác định của chúng trên [0 ; +∞).

Từ mục tiêu mở rộng khái niệm lũy thừa của thể chế: “Lũy thừa với số mũ

hữu tỉ cần phải được định nghĩa sao cho nó có tất cả các tính chất của lũy thừa với

số mũ nguyên.” (SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.114), M3 trình bày định nghĩa lũy

=

r

thừa với số mũ hữu tỉ như sau: “Cho a là một số thực dương và r là một số hữu tỉ.

m n

n

r

m

m n

=

=

a

a

a

Giả sử , trong đó m là một số nguyên và n là một số nguyên dương. Khi đó,

.” (M3, tr.74). lũy thừa của a với số mũ r là số ar xác định bởi:

n

r

m

m n

=

=

a

a

a

Tính chất dương của cơ số a được được SGV Giải tích 12 nâng cao (tr.114-

3

−

8

2

= − = − ; mặt

115) giải thích rõ “Giả sử cũng được định nghĩa đối với cả a < 0.

1 ) 38

2

r

rs

6

1 3

2 6

=

a

a=

− 8

− 8

Khi đó có thể xảy ra điều mâu thuẩn, chẳng hạn một mặt (

= nên (

)

( = − 8

)

(

)

= . Hơn nữa, tính chất ( 2

)s

1 3

2 6

khác, do cũng

3 2

1

=

−

−

1

1

= − . Bởi vậy, cần phải

2 ) 31

(

( = −

) 1

2 3 . ) 3 21

  

  

không thỏa mãn; chẳng hạn , còn (

có điều kiện cơ số dương cho số mũ không nguyên.”

Tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ được kế thừa hoàn toàn từ lũy thừa

với số mũ nguyên “Có thể chứng minh được rằng lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của

một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu ở

trên.” (M3, tr.75).

Nhận xét

m

n

r

m

m n

=

=

a

a

a . Như vậy,

na được hiểu là căn bậc n của am hoặc lũy thừa bậc m của

n a .

n a=

1 na

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ chỉ được định nghĩa cho một số thực dương:

1

chỉ đúng khi a là một số thực dương. Như vậy, ta hoàn Biểu thức

na dưới dạng căn thức n a mà không cần kiểm tra điều

toàn có thể viết biểu thức

kiện của a. Ngược lại, biểu thức n a chỉ được viết dưới dạng lũy thừa sau khi đã thu

hẹp điều kiện xác định của a (a dương).

Chúng tôi nghĩ rằng học sinh sẽ mắc sai lầm khi chuyển từ cách viết căn sang

cách viết lũy thừa khi điều kiện của cơ số không hợp thức.

Lũy thừa của một số mũ vô tỉ

Theo SGV Giải tích 12 nâng cao (tr.112) : “Lũy thừa với số mũ vô tỉ là một

khái niệm khó trong chương trình Toán phổ thông. Để định nghĩa chính xác số aα

với a là một số dương và α là số vô tỉ tùy ý, người ta phải thực hiện các bước sau:

)nα là một dãy số hữu tỉ sao cho lim nα α= . Khi đó (

)naα là một

+ Gọi (

) ( lim naα .

dãy số xác định và có giới hạn (hữu hạn), tức là tồn tại

lim naα không phụ thuộc vào việc chọn dãy số (

)nα , nghĩa là:

(

)

+ Giới hạn

)nβ là một dãy số hữu tỉ tùy ý, thỏa mãn

) lim naβ α= thì

(

β n

=

lim

a

lim

α a n

Nếu (

(

)

(

)

.”

Trong khuôn khổ chương trình Toán phổ thông, M3 chỉ mô tả định nghĩa này

theo tinh thần trên. Tính chất của nó được kế thừa từ tính chất lũy thừa với số mũ

nguyên và không được chứng minh.

Nhận xét

Lũy thừa với số mũ vô tỉ aα, trong đó α là số vô tỉ, được định nghĩa là giới

)nr

)nra

là dãy số hữu tỉ hội tụ về α. với a > 0 và ( hạn của dãy số (

Lũy thừa với số mũ vô tỉ có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.

Như vậy, lũy thừa αa được định nghĩa cho mọi cơ số a và mọi số mũ α. Có

sự ràng buộc nghiêm ngặt giữa cơ số a và số mũ α, mối tương quan giữa chúng

được mô tả như sau:

α = 0 hoặc α không nguyên Số mũ (α) α là số tự nhiên α là số nguyên âm (hữu tỉ hoặc vô tỉ)

Cơ số (a) a tùy ý a ≠ 0 a > 0

Hàm số lũy thừa

Thứ tự trình bày hàm số lũy thừa trong M3:

§1 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

§2 Lũy thừa với số mũ thực

§3 Logarit

§4 Số e và logarit tự nhiên

§5 Hàm số mũ và hàm số logarit

§6 Hàm số lũy thừa

…

Thứ tự trình bày hàm số lũy thừa có sự khác nhau giữa M3 và sách 12

chương trình chuẩn. Trong sách 12 chương trình chuẩn, hàm số lũy thừa được trình

bày sau các kết quả về mở rộng khái niệm lũy thừa; còn trong M3, hàm số lũy thừa

được trình bày sau khi nghiên cứu về hàm số mũ và hàm số logarit. Sự khác nhau

này được SGV giải tích 12 nâng cao giải thích như sau: “Cũng như các sách giáo

khoa trước đây, hàm số lũy thừa giới thiệu rất sơ lược; chỉ khác là đưa sau bài hàm

số mũ và hàm số logarit. Sở dĩ có sự khác biệt đó là do phép chứng minh công thức

đạo hàm của hàm số lũy thừa có sử dụng đạo hàm của hàm số mũ và hàm số

logarit” (tr.149).

Như vậy, việc trình bày hàm số lũy thừa sau hàm số mũ và logarit nhằm sử

dụng các kết quả về đạo hàm của hàm số mũ và logarit để tính đạo hàm của hàm số

lũy thừa.

Định nghĩa hàm số lũy thừa

2

− 1

=

=

=

=

y

x

,

y

x

,

y

x

Hàm số lũy thừa được khái quát từ các hàm số đã được học “Chúng ta đã

1 x

học các hàm số: . Đó là các trường hợp riêng của hàm

xα=

số lũy thừa” (M3, tr.114). Từ đó, M3 đưa ra định nghĩa “Hàm số lũy thừa là hàm

, trong đó α là hằng số tùy ý.” (M3, tr.114). số có dạng y

n

y

x=

Tập xác định của hàm số lũy thừa được khái quát từ nhận xét “Từ các định

n

y

x=

, với n nguyên dương, xác định với mọi nghĩa về lũy thừa ta thấy: Hàm số

∈ x

y

xα=

; Hàm số , với n nguyên âm hoặc n = 0, xác định với mọi x ≠ 0; hàm số

, với α không nguyên, có tập xác định là tập các số thực dương.” (M3,

tr.114). Như vậy, M3 chỉ rõ tập xác định của hàm số lũy thừa sẽ thay đổi theo tính

chất (nguyên dương, nguyên âm hoặc không nguyên) của số mũ.

Tính liên tục của hàm số lũy thừa được thừa nhận “Người ta chứng minh

được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó” (M3, tr.114).

Với kết quả có được từ hàm số mũ và hàm số logarit, M3 trình bày các công

thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số chứa căn:

=

xα

αα − 1x

y

xα α=

(

)

Công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa:

∈  có đạo hàm tại mọi điểm x > 0 và (

)'

'

=

x u ( ) '( ) x

αα − 1 u

α u

x ( )

y

u xα= ( )

“a) Hàm số .

” (M3, tr.115). b) Nếu hàm số u = u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên J thì hàm số ) cũng có đạo hàm trên J và (

Công thức tính đạo hàm của hàm số chứa căn:

“a) Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm

n

=

x

)'

n

1

n

1 n x −

(với mọi x > 0 nếu n chẵn, với mọi x ≠ 0 nếu n số căn bậc n sau đây: (

lẻ).

b) Nếu u = u(x) là hàm số có đạo hàm trên J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0

với mọi x J khi n chẵn, u(x) ≠ 0 với mọi x J khi n lẻ thì

=

u x ( )

( ∈ n

)'

n n u

'( ) u x x− n 1 ( )

∈ (với mọi x J)” (M3, tr.116).

α=y

x , tập xác định của hàm

∈ Nhận xét

Hàm số lũy thừa là hàm số cho bởi công thức

số lũy thừa thay đổi tùy thuộc vào tính chất của số mũ α. Như vậy, M3 xây dựng

hàm số lũy thừa từ lũy thừa của một số. Các kết quả về mở rộng khái niệm lũy thừa

là cơ sở để xây dựng hàm số lũy thừa.

y

y

Việc trình bày rõ công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa và hàm số

1 x và hàm số = n = n

x .

chứa căn, M3 muốn phân biệt sự khác nhau giữa hàm số

Đồ thị hàm số lũy thừa

Để tránh những rắc rối do sự thay đổi tập xác định của hàm số lũy thừa gây

ra, M3 chỉ xét chúng trên tập xác định là khoảng (0 ; +∞) (điều này được giải thích

trong SGV Giải tích 12 nâng cao, tr.149).

=

xα=

xα

αα − 1 x

'

Kết quả về sự biến thiên của hàm số lũy thừa được trình bày sơ lược : “từ

)

ta suy ra hàm số y đồng biến trên khoảng (0 ; +∞) với công thức (

xα=

α > 0 và nghịch biến trên khoảng (0 ; +∞) với α < 0” (M3, tr.117). Đồ thị hàm số

α= −

1 ,

, 1 , 3

được minh họa bằng hình vẽ trong 4 trường hợp tương ứng với lũy thừa y

1 3

, tuy nhiên chúng chỉ được biểu diễn trên tập xác định đã thu hẹp.

α=y

x là hàm số đơn điệu (đồng

Nhận xét

Trên tập xác định (0 ; + ∞), hàm số lũy thừa

α=y

x được M3 trình bày khá vắn tắt, đồng thời cũng

biến khi α > 0 và nghịch biến khi α < 0).

Đồ thị hàm số lũy thừa

không nhấn mạnh khi nghiên cứu hàm số lũy thừa phải xét trên toàn tập xác định

của chúng. Không có kiểu nhiệm vụ vẽ đồ thị hàm số lũy thừa. Mặc dù M3 có minh

họa đồ thị hàm số lũy thừa nhưng chúng lại được xét trên tập xác định đã thu hẹp.

Từ sự thu hẹp điều kiện xác định của hàm số lũy thừa cùng với việc thể chế

không ưu tiên các kiểu nhiệm vụ về hàm số lũy thừa, chúng tôi nghĩ rằng học sinh

sẽ quan niệm hàm số lũy thừa là hàm số đơn điệu.

Kết quả về mở rộng khái niệm lũy thừa trong M3 còn là cơ sở để xây dựng

hàm số mũ. Tuy nhiên trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi sẽ không phân tích

về hàm số mũ. Hơn nữa, khái niệm hàm số mũ đã được phân tích khá chi tiết trong

luận văn “Khái niệm hàm số mũ ở Trường trung học phô thông” của Nguyễn Hữu

Lợi.

Ngoài ra, kết quả về mở rộng khái niệm lũy thừa trong M3 còn là yếu tố

( n ax b

)α+

công nghệ trong kỹ thuật tìm nguyên hàm của hàm số chứa căn dạng .

Nhận xét M3

1. Về định nghĩa lũy thừa: lũy thừa của một số được xây dựng theo hướng

mở rộng dần: lũy thừa với số mũ nguyên dương → lũy thừa với số mũ nguyên âm

na là tích của n thừa số a:

→ lũy thừa với số mũ hữu tỉ → lũy thừa với số mũ vô tỉ với cơ số là một số thực.

n

a

=

+ Lũy thừa với số mũ nguyên dương

n

a a a . . ... .  thöøa soá

−na chính là nghịch đảo của

na :

.

−

=n

≠

(

)0

a

a

+ Lũy thừa với số mũ nguyên âm

1 n a

r

=

a

m a n

.

n

r

m

m n

a

a

a

a

=

=

>

(

0)

là căn bậc n của am: thừa với số mũ hữu tỉ + Lũy

.

)nr

)nra

nr

≠

α = a

a

a

lim

(

) 0

là với ( + Lũy thừa với số mũ vô tỉ αa chính là giới hạn của dãy (

. dãy số có giới hạn là α : với lim α=nr

2. Về tính chất của lũy thừa: lũy thừa được mở rộng theo hướng bảo toàn

tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, nghĩa là lũy thừa luôn được mở

=

.α β a a

α β− a

rộng sao cho có đầy đủ các tính chất sau:

=

α β − a

. (1) + Quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số:

β

α a a

α

=

α β a b . .

. (2) + Quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số:

). a b

=

(3) + Quy tắc lũy thừa của một tích: (

a b

α a α b

  

α   

=

αβ . a

. (4) + Quy tắc lũy thừa của một thương:

βα ) a

. (5) + Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: (

Ngoài ra, M3 trình bày đầy đủ các tính chất về so sánh hai lũy thừa cùng cơ

số, hai lũy thừa cùng số mũ.

α=y

3. Về hàm số lũy thừa:

x Tập xác định của hàm

Hàm số lũy thừa là hàm số cho bởi công thức

số lũy thừa thay đổi tùy thuộc vào tính chất của số mũ. Trên khoảng (0 ; +∞), hàm

số lũy thừa là hàm số đơn điệu.

Cách định nghĩa này hoàn toàn khác với kết quả phân tích ở chương 1

Bảng 2.1. So sánh định nghĩa hàm số lũy thừa ở bậc đại học và bậc THPT

Bậc Hàm số lũy thừa Cơ sở định nghĩa

x

ln

=

=

α x

α e

p x ( ) α

Hàm số mũ cơ số e. Hàm số lũy thừa . Đại học Đạo hàm, nguyên hàm.

α=y

x là quy tắc

Kết quả về mở rộng khái Hàm số lũy thừa

α=y

x .

niệm lũy thừa và các tính cho tương ứng mỗi số thực x với số THPT chất của nó. thực

Giới hạn.

Câu hỏi đặt ra: Vì sao có sự khác biệt giữa hai cách định nghĩa hàm số lũy

thừa ở bậc phổ thông và bậc đại học? Theo chúng tôi, ở bậc đại học, hàm số lũy

thừa được định nghĩa dựa trên kết quả của hàm số mũ cơ số e, tiến trình xây dựng

hàm số này cần đến các kiến thức về đạo hàm, nguyên hàm, tích phân. Ở chương

trình phổ thông, các kiến thức này được trình bày sau khi học về hàm số lũy thừa.

Vì vậy sách giáo khoa không thể định nghĩa hàm số lũy thừa như ở cấp độ đại học.

4. Về mối quan hệ giữa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa: hàm số

lũy thừa được định nghĩa dựa trên kết quả của mở rộng khái niệm lũy thừa. Các tính

chất hàm số lũy thừa đều được suy ra từ tính chất lũy thừa của một số.

Đối với SGK 12 chương trình chuẩn, chúng tôi nhận thấy các kiến thức về

lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa được trình bày giống với kết quả phân tích

trong M3.

Kết quả phân tích chương trình và SGK (M1, M2, M3) chúng tôi tìm thấy

được sự lựa chọn của thể chế khi trình bày về lũy thừa của một số và hàm số lũy

thừa. Sự lựa chọn này được chúng tôi tóm tắt trong bảng sau:

Bảng 2.2. So sánh định nghĩa lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa ở cấp độ tri

thức khoa học và cấp độ tri thức giảng dạy

n

n

a

a

=

=

n

n

a a a . . ... .  thöøa soá

a a a . . ... .  thöøa soá

Đối tượng Cấp độ tri thức khoa học Cấp độ tri thức giảng dạy

0

0

a

a

a

a

=

≠

=

≠

1 (

0)

1 (

0)

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

n

n

−

−

a

a

a

a

=

≠

=

≠

(

)0

(

)0

1 n a

1 n a

Lũy thừa với số mũ 0

m

1 n

m n

a

a

 =   

   

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

n

m

m n

m na

a

a

=

>

(

0)

1

na tồn tại.

n

m

m na

a

a

=

>

(

0)

nr a

nr a

=

lim,

α

α = a lim ∈ Với r n

r n

là phân số tối giản Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

=

lim,

α

α = lim a ∈ với r n

r n

=

α a

α )

exp ( a

ln

x

→

⊂

f D :

(

D

)



=

=

α x

α e

Lũy thừa với số mũ vô tỉ

p α ∈

+

∞

 α x

x



(0;

)

x

Hàm số lũy thừa

3. Các tổ chức toán học về lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa

Bảng 2.3. Bảng mô tả các kiểu nhiệm vụ về lũy thừa và hàm số lũy thừa.

T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một lũy thừa.

T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa tích, thương các lũy T1: Tính giá trị biểu thừa. thức chứa lũy thừa. T1.3: Tính giá trị biểu thức gồm tổng các biểu thức trong

T1.2.

T2.1: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa (với cơ số không

cho trước).

thức T2: Viết biểu T2.2: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với cơ số cho

dưới dạng lũy thừa. trước.

T2.3: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ cho

trước.

T3: So sánh hai biểu thức dạng lũy thừa.

T4: Tìm x thỏa hệ thức chứa lũy thừa.

T5.1: Rút gọn biểu thức chứa tích, thương các lũy thừa. T5: Rút gọn biểu

thức. T5.2: Rút gọn biểu thức chứa hỗn hợp căn và lũy thừa.

m

)+ ( n ax b dx .

T6: Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số căn.

∫

T7: Tìm nguyên hàm dạng

3.1. Các tổ chức toán học trong M1

Các tổ chức toán học trong M1 có công nghệ được giải thích dựa trên lý

thuyết công nghệ Θ[M1]:

+ Định nghĩa lũy thừa.

+ Các quy tắc tính lũy thừa.

là một vị nhóm giao hoán. + Tập số tự nhiên

. + Tính chất các phép toán trên tập số tự nhiên ℕ

a) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: Tính giá trị của biểu thức ℕ

chứa lũy thừa.

Kiểu nhiệm vụ này gồm hai kiểu nhiệm vụ con: T1.1 và T1.2

 Kiểu nhiệm vụ T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một lũy thừa.

?1 trang 27: Điền vào chỗ trống cho đúng:

Cơ số Số mũ Giá trị của lũy thừa

… … …

Lũy thừa 72 23 … … …

… 3 4 …

Bài giải

Cơ số Số mũ Giá trị của lũy thừa

7 2 49

2 3 8

Lũy thừa 72 23 34 3 4 81

• Kỹ thuật giải τ1.đn: áp dụng định nghĩa lũy thừa.

 Kiểu nhiệm vụ T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa tích, thương các lũy thừa.

Bài tập 68 trang 30: Tính bằng hai cách:

Cách 1: tính số bị chia, tính số chia rồi tính thương.

3

4

4

a

10 8 ) 2 : 2

b

6 ) 4 : 4

c

5 ) 8 : 8

d

4 ) 7 : 7

Cách 2: chia 2 lũy thừa cùng cơ số rồi tính kết quả.

a

) 4

b

) 64

c

) 8

d

) 1

Bài giải

• Kỹ thuật giải τ1.gt: Tính giá trị mỗi lũy thừa bằng kỹ thuật τ1.đn; tính tích, thương

của các giá trị này.

• Kỹ thuật giải τ1.qt12:

+ Đưa các lũy thừa về cùng cơ số nào đó; thu gọn chúng bằng quy tắc

nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số.

+ Tính giá trị biểu thức bằng kỹ thuật τ1.đn.

n

a

=

• Công nghệ θ1:

n

a a a . . ... .  thöøa soá

. + Định nghĩa lũy thừa:

+ Quy tắc nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số.

+ Các phép toán trên tập số tự nhiên.

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1.1 trong M1: cơ số và số mũ là các số cụ thể;

kiểu nhiệm vụ được trình bày tường minh, kỹ thuật giải đơn giản.

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1.2 trong M1:

+ Biểu thức cần tính giá trị chỉ chứa tích hoặc thương của hai lũy thừa.

+ Các lũy thừa này có cùng cơ số hoặc dễ dàng đưa về cùng cơ số.

+ Kiểu nhiệm vụ được trình bày tường minh, kỹ thuật giải đơn giản.

b) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T2: Viết biểu thức dưới dạng lũy

thừa.

M1 chỉ trình bày kiểu nhiệm vụ T2.1: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa (cơ

4

số không cho trước).

3 2 2 .2 ;

3.a a .

Ví dụ trang 27: Viết tích của hai lũy thừa sau thành một lũy thừa

2

5

3 2

=

=

=

3 2 .2

2

2 +

(

)( 2.2.2 2.2

)

(

)

3

7

4 3

=

=

=

4 a a .

a

a +

(

)( a a a a a a a . . . . .

)

(

)

Bài giải

4

6

3

4

≠

≠

a

12 ) 7 : 7

b x )

:

x

(

x

)0

c a )

4 a a (

:

0

)

?2 trang 30: Viết thương của hai lũy thừa sau dưới dạng một lũy thừa:

4

8

6

3

3

4

4

0

=

=

=

≠

12 7 : 7

7

;

x

:

x

x

;

a

:

a

a

(

a

)0

Bài giải

• Kỹ thuật giải τ2.qt12: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số; áp dụng quy tắc nhân, chia

m

n

+ m n

− m n

=

=

a

a

m a a .

,

hai lũy thừa cùng cơ số.

n

a a

. • Công nghệ θ2: các tính chất:

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T2.1 trong M1:

+ Biểu thức cần viết dưới dạng lũy thừa chỉ chứa tích hoặc thương các lũy

thừa.

+ Các lũy thừa đã cho có cùng cơ số hoặc có thể đưa về cùng cơ số.

+ Kiểu nhiệm vụ này không chỉ rõ cơ số trong lũy thừa nhưng được ngầm

hiểu: đối với biểu thức có cơ số là chữ thì chọn cơ số này khi viết biểu

thức dưới dạng lũy thừa; đối với biểu thức có cơ số là số thì chọn cơ số

nhỏ nhất có thể để viết dưới dạng lũy thừa.

c) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T3: So sánh hai biểu thức dạng

lũy thừa.

Bài tập 65 trang 29: Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số b) 24 và 42; c) 25 và 52 ; d) 210 và 100. sau? a) 23 và 32;

Bài giải

23 < 32; 24 = 42; 25 > 52; 210 > 100.

• Kỹ thuật giải τ3.đn: Tính giá trị từng biểu thức và so sách chúng với nhau.

• Công nghệ θ3:

+ Định nghĩa lũy thừa.

+ Quy tắc so sánh hai số.

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T3 trong M1:

+ Biểu thức đem so sánh là một lũy thừa có cơ số và số mũ là các số cụ thể,

hoàn toàn có thể tích được giá trị của chúng bằng kỹ thuật τ1.đn.

+ Hai biểu thức đem so sánh có dạng ab và ba. Kiểu nhiệm vụ này giúp học sinh phân biệt ab và ba, không có mối liên hệ gì

giữa hai biểu thức này, tránh sai lầm do biểu diễn hình thức của chúng gây ra.

.=ba

Ngoài ra, việc giải quyết kiểu nhiệm vụ này giúp học sinh tránh sai lầm khi các em

a b .

nghĩ rằng :

Bảng 2.4. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M1

Số lần Kiểu nhiệm vụ Tỉ lệ xuất hiện

T1: Tính giá trị T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một 6 của biểu thức lũy thừa. 29,4 % chứa lũy thừa. T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa tích, 4 thương các lũy thừa.

T2.1: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa (cơ số không cho 20 58,8 % trước).

4 11,8 % T3: So sánh hai biểu thức dạng lũy thừa.

Tổng 34 100 %

M1 ưu tiên kiểu nhiệm vụ T1 và T2 (88,2 %), kỹ thuật giải của hai kiểu

nhiệm vụ này luôn có sự hiện diện của định nghĩa và quy tắc tính lũy thừa. Điều này

phù hợp với mục tiêu mà thể chế đặt ra (“Học sinh nắm được định nghĩa lũy thừa;

biết nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số” – SGV Toán 6 tập 1, tr.44, 47).

T3 không phải là kiểu nhiệm vụ so sánh hai lũy thừa, kiểu nhiệm vụ này trình

bày nhằm hạn chế sai lầm mà học sinh có thể mắc phải do biểu diễn hình thức của

chúng gây ra. Vì vậy kiểu nhiệm vụ này không được M1 ưu tiên (11,8 %).

3.2. Các tổ chức toán học trong M2

Các tổ chức toán học sau có công nghệ được giải thích dựa trên lý thuyết

công nghệ Θ[M2]:

+ Định nghĩa lũy thừa.

+ Các quy tắc tính lũy thừa.

là một trường. + Tập số hữu tỉ

. + Tính chất các phép toán trên tập số hữu tỉ ℚ

a) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: Tính giá trị biểu thức chứa ℚ

lũy thừa.

Kiểu nhiệm vụ này gồm hai kiểu nhiệm vụ con: T1.1 và T1.2.

 Kiểu nhiệm vụ T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một lũy thừa.

4

3

2

0

−

−

;

− 2

0, 2

;

5,3

;

(

)

(

)

1 4

− 1  3 

  

  

  

Bài tập 27 trang 19 : Tính: .

3

3

4

= −

= −

=

− 2

11

Bài giải

1 4

9 4

729 64

25 64

1 81

  

  

 = −  

  

− 1  3 

  

−

−

=

5,3

0, 2

0, 04

= . 1

(

)2

;

)0

; (

• Kỹ thuật giải τ1.đn: áp dụng định nghĩa lũy thừa.

 Kiểu nhiệm vụ T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa tích, thương các lũy thừa.

5

3

3

0, 6

a

)

b

)

c

)

Bài tập 37 trang 22 : Tìm giá trị các biểu thức sau:

6

2 4 .4 10 2

7 2 .9 5 2 6 .8

0, 2

( (

) )

.

3

5

5

4

=

=

=

1

)

a

5

5

2

2 4 .4 10 2

4 4

2

(

)

5

5

0, 6

(

)

=

=

=

=

)

1215

b

6

243 0, 2

0, 2

0, 2

5 ) ( 5 0, 2 .3 5 ) ( 0, 2 .0, 2

0, 2.3 6 ( )

( (

) )

3

3

=

=

=

=

=

c

)

2

6

5

3

7 2 .9 5 2 6 .8

7 6 2 .3 5 5 2 .3 .2

7 6 2 .3 7 4 5 2 .2 .3

3 4 2

3 16

) 2

2.3

(

( 7 2 2 . 3 ) (

)

2

2

;

;

Bài giải

3

2

72 24

3 15 27

2,5

( − (

) 7,5 )

?4 trang 21: Tính

• Kỹ thuật giải τ1.qt12:

+ Đưa các lũy thừa về cùng cơ số; thu gọn chúng bằng quy tắc nhân, chia

hai lũy thừa cùng cơ số.

+ Tính giá trị biểu thức bằng kỹ thuật τ1.1.

• Kỹ thuật giải τ1.qt34:

+ Đưa các lũy thừa về cùng số mũ; thu gọn chúng bằng quy tắc lũy thừa

của một tích, lũy thừa của một thương.

+ Tính giá trị biểu thức bằng kỹ thuật τ1.đn.

• Công nghệ θ1:

+ Định nghĩa lũy thừa.

+ Quy tắc phân tích một số tự nhiên thành nhân tử.

+ Các quy tắc nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số; quy tắc lũy thừa của một

tích, lũy thừa của một thương.

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1.1 trong M2 giống trong M1.

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1.2 trong M2:

+ Biểu thức chứa tích và thương của nhiều lũy thừa.

+ Các lũy thừa đã cho có thể đưa về cùng cơ số hoặc có thể phân tích thành

tích của các cơ số có mặt trong biểu thức; hoặc chúng có thể đưa về cùng

số mũ.

Kỹ thuật τ1.gt không được M2 nêu ra. Như vậy, vai trò công cụ của lũy thừa

một phần được thể hiện qua kiểu nhiệm vụ này.

Bên cạnh kỹ thuật giải trên, M2 còn giới thiệu cho học sinh kỹ thuật giải

dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị các lũy thừa. Tuy nhiên, kỹ thuật giải này không

được M2 ưu tiên “Bài 33. Cho học sinh tự đọc SGK rồi dùng máy tính bỏ túi để

tính” (SGV Toán 7 tập 1, tr.26).

b) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T2: Viết biểu thức dưới dạng lũy

thừa.

Kiểu nhiệm vụ này gồm ba kiểu nhiệm vụ con: T2.1, T2.2 và T2.3

 Kiểu nhiệm vụ T2.1: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa (cơ số không cho trước).

4

a

8 8 ) 10 .2

b

8 8 ) 10 : 2

c

4 8 ) 25 .2

d

8 ) 15 .9

2 3 ) 27 : 25

e

Bài tập 36 trang 22 : Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:

.

a

8 8 ) 10 .2

8 20=

b

8 8 ) 10 : 2

8 5=

2

=

=

=

4 8 ) 25 .2

c

8 .2

8 8 5 .2

8 10

5

(

4

8

4

=

=

=

=

d

8 ) 15 .9

8 8 15 .3

8 45

( 15.3

)

)4 ( 8 2 15 . 3

)

Bài giải

6

2

3

2

6

=

=

2 3 ) 27 : 25

e

3 3

6 3 : 5

(

)

( : 5

)

3 5

 =  

  

• Kỹ thuật giải τ2.qt12: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số; áp dụng quy tắc nhân, chia

hai lũy thừa cùng cơ số.

• Kỹ thuật giải τ2.qt34: Đưa các lũy thừa về cùng số mũ; áp dụng quy tắc lũy thừa

của một tích, lũy thừa của một thương để viết dưới dạng lũy thừa.

 Kiểu nhiệm vụ T2.2: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với cơ số a cho trước. Bài tập 31 trang 19 : Viết các số (0,25)8 và (0,125)4 dưới dạng các lũy thừa của cơ

số 0,5.

8

4

8

2

16

4

3

12

=

=

=

=

0, 25

0,5

0,5

0,125

0,5

0,5

Bài giải

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

 

 

 

 

; .

• Kỹ thuật giải τ2.2: Phân tích cơ số đã cho thành ak; áp dụng quy tắc lũy thừa của

lũy thừa để viết dưới dạng lũy thừa.

27

3

9

=

=

=

=

2

2

9 8

2 3

9

18 3

 Kiểu nhiệm vụ T2.3: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ n cho trước. Bài tập 38 trang 22 : Viết các số 227 và 318 dưới dạng các lũy thừa có số mũ là 9.

(

)9

; . Bài giải )9 (

• Kỹ thuật giải τ2.3: Phân tích số mũ đã cho thành m.n; áp dụng quy tắc lũy thừa

n

m

n

n

n

+ m n

− m n

=

=

=

a

a

m a a .

,

n n a b

ab

,

của lũy thừa để viết dưới dạng lũy thừa.

(

)

n

n

a a

a b

a b

 =  

  

m n .

a

a=

; ; • Công nghệ θ2 : Các tính chất:

(

nm )

.

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T2.1 trong M2:

+ Biểu thức cần viết dưới dạng lũy thừa chỉ chứa tích hoặc thương các lũy

thừa.

+ Các lũy thừa đã cho có cùng cơ số hoặc có thể đưa về cùng cơ số; có

cùng số mũ hoặc có thể đưa về cùng số mũ.

+ Kiểu nhiệm vụ này không chỉ rõ cơ số trong lũy thừa nhưng được ngầm

hiểu như trong M1.

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T2.2 và T2.3 trong M2

+ Khi viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với cơ số a cho trước thì cơ số

trong lũy thừa luôn có dạng am.

+ Khi viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ n cho trước thì số mũ

trong lũy thừa luôn có dạng m.n.

Kiểu nhiệm vụ này thường xuất hiện lồng trong kiểu nhiệm vụ giải phương

trình, bất phương trình mũ (được trình bày trong M3 – §7, 9 phương trình, bất

phương trình mũ, logarit).

c) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T3: So sánh hai biểu thức dạng

a

lũy thừa.

62 ;

( ) 2

)32

1 2

1 2

 − 

10   

  

  −    

52    

?1 trang 18: Tính và so sánh: và b) và .

• Kỹ thuật giải τ3.đn: tính giá trị từng lũy thừa; so sánh các giá trị này với nhau.

• Công nghệ θ3:

+ Định nghĩa lũy thừa.

+ Quy tắc so sánh hai số nguyên.

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T3 trong M2:

+ Các lũy thừa đem so sánh có cùng cơ số.

+ Giá trị của các lũy thừa này đều bằng nhau.

+ Việc so sánh chúng không dùng đến các quy tắc so sánh lũy thừa mà so

sánh dựa vào giá trị của chúng.

Trong M2, T3 không phải là kiểu nhiệm vụ so sánh hai lũy thừa mà kiểu

nhiệm vụ này được M2 trình bày để xây dựng các quy tắc tính lũy thừa.

d) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T4: Tìm x thỏa một hệ thức chứa

lũy thừa.

3

5

7

−

= −

=

a x )

:

b

)

.

x

1 2

1 2

3 4

3 4

  

  

  

  

  

  

Bài tập 30 trang 19 : Tìm x, biết: .

3

4

−

=

a x )

Bài giải

1 2

1 2

1 2

1 16

 = −  

  .    

  

 = −  

  

7

5

2

=

=

=

b x )

:

.

3 4

3 4

3 4

9 16

  

  

  

  

  

  

n

a=

.

Bài tập 35 trang 22 : Ta thừa nhận tích chất sau đây: Với a ≠ 0, a ≠ ± 1, nếu m a

m

n

=

=

)

)

a

b

thì m = n. Dựa vào tính chất này, hãy tìm các số tự nhiên m và n, biết:

1 2

1 32

343 125

7 5

  

  

  

  

.

3

b

)

a m = ) 5

Bài giải

343 125

7 5

 =  

  

; . Suy ra n = 3.

• Kỹ thuật giải τ4.ccs: Biến đổi biểu thức về cùng cơ số rồi kết luận số mũ bằng

nhau.

• Kỹ thuật giải τ4.1:

+ Tìm x bằng các quy tắc tìm số bị chia, số chia, thương; quy tắc tìm thừa

số, tích.

+ Thu gọn x bằng kỹ thuật τ1.qt12; tính giá trị của x bằng kỹ thuật τ1.đn.

Công nghệ θ4:

+ Định nghĩa lũy thừa.

+ Quy tắc nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số.

+ Các quy tắc tìm số bị chia, số chia, thương; quy tắc tìm thừa số, tích. + Tính chất: với a ≠ 0 và a ≠ ± 1, nếu am = an thì m = n.

Nhận xét

x a

: =

. =x a

b hoặc

b , thì a và b là các lũy

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T4 trong M2:

+ Đối với bài toán tìm x dạng

thừa có cùng cơ số.

+ Đối với bài toán tìm x dạng ax = b, thì b có thể đưa được về cơ số a.

Bảng 2.5. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M2

Số lần Kiểu nhiệm vụ Tỉ lệ xuất hiện

T1: Tính giá trị T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một 11 của biểu thức lũy thừa. 43,6 % chứa lũy thừa. T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa tích, 13 thương các lũy thừa.

T2: Viết biểu T2.1: Viết biểu thức dưới dạng lũy 12 thức dưới dạng thừa (cơ số không cho trước).

lũy thừa. T2.2: Viết biểu thức dưới dạng lũy 2 thừa với cơ số a cho trước. 29,1 % T2.3: Viết biểu thức dưới dạng lũy 2 thừa với số mũ n cho trước.

6 10,9 % T3: So sánh hai biểu thức dạng lũy thừa.

9 16,4 % T4: Tìm x thỏa một hệ thức chứa lũy thừa.

Tổng 55 100 %

Giống với M1, hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2 được M2 ưu tiên (72,7 %), kỹ

thuật giải của hai kiểu nhiệm vụ này luôn có sự hiện diện của định nghĩa và quy tắc

tính lũy thừa. Điều này phù hợp với mục tiêu mà thể chế đặt ra (“Học sinh có kỹ

năng vận dụng các quy tắc tính lũy thừa trong tính toán” – SGV Toán 7 tập 1,

tr.26).

Trong M2, T3 có vai trò xây dựng các quy tắc tính lũy thừa (3/5 quy tắc tính

lũy thừa được khái quát từ T3). Với tỉ lệ 10,9 %, đây là kiểu nhiệm vụ không được

M2 ưu tiên.

3.3. Các tổ chức toán học trong M3

Các tổ chức toán học trong M3 có công nghệ được giải thích dựa trên lý

thuyết công nghệ Θ[M3]:

+ Các định nghĩa về lũy thừa của một số.

+ Các quy tắc tính lũy thừa, quy tắc so sánh lũy thừa.

+ Định nghĩa căn bậc n của một số thực.

là một trường; tính chất các phép toán trên trường số thực. + Tập số thực

+ Lý thuyết về đạo hàm, nguyên hàm. ℝ

a) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: Tính giá trị của một biểu

thức chứa lũy thừa.

Kiểu nhiệm vụ này gồm ba kiểu nhiệm vụ con: T1.1, T1.2 và T1.3.

3

5

4

−

;

3

; 0

 Kiểu nhiệm vụ T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một lũy thừa.

(

)

2 3

  

  

. H1 trang 69: Tính

3

=

=

.

.

2 3

  

5

−

−

−

−

−

3

3

)

   (

8 9 ) ( 3 .

) ( 3 .

) ( 3 .

) ( 3 .

)

2 2 2 3 3 3 ( = − = −

9 3

4

=

=

0

0.0.0.0 0

3

=

=

−

2

= 1

Bài giải

−− ) 3

3

)0

1 27

1 − 3

(

)

−

2 3

1 3

8 ; 27

Ví dụ 1 trang 69: ( ; (

Ví dụ 4 trang 75: Tính .

3

2

3

2 3

=

=

=

8

8

64

4

−

3

− 1

1 3

3

=

=

=

27

27

1 27

1 3

Bài giải

− 1 + 1

5 5

3 5 2

2

.2

• Kỹ thuật giải τ1.đn: áp dụng định nghĩa lũy thừa.  Kiểu nhiệm vụ T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa tích, thương các lũy thừa.

   

   

H1 trang 80: Tính .

Bài giải

+

2

− 1 + 1

5 5

− 1 + 1

5 3 5 5

3 5 2

9 2

=

=

=

2

.2

2

2

16 2

   

   

.

• Kỹ thuật giải τ1.qt

+ Đưa mỗi lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ; thu gọn chúng bằng

các quy tắc tính lũy thừa.

+ Tính giá trị bằng kỹ thuật τ1.đn.

 Kiểu nhiệm vụ T1.3: Tính giá trị biểu thức gồm tổng các biểu thức trong T1.2.

−

−

1 3

3 5

−

0,75

+

−

a

) ( ) 81

1 125

1 32

  

  

  

2

− 2

0

1 3

   1 − 1 3

2 3

−

+

− ) 0, 001

64

8

9

b

( − − 2

)

(

)

Bài tập 4 trang 76: Thực hiện phép tính

−

−

1 3

3 5

−

0,75

+

−

a

) ( ) 81

1 125

1 32

  

  

  

  

−

−

3

5

− 1

− 3

1 3

3 5

−

3 4

=

+

−

=

+

−

=

4 3

− 3 3

+ − = 5 8

− = − 3

(

)

1 5

1 2

1 5

1 2

1 27

1 27

80 27

  

  

  

  

  

  

  

  

   

   

   

   

2

− 2

0

1 3

2 3

1 − 1 3

−

+

b

− ) 0, 001

64

8

9

( − − 2

)

(

)

−

−

− 2

− 3

6

3

1 3

2 3

4 3

=

−

+

2

1

2

( − − 2

)

)

(

)

(

( 10

2

− 4

=

−

=

− 10 2

2

+ = − 1 7

) 111 16

1 16

Bài giải

• Kỹ thuật τ1.3: Tính giá trị mỗi số hạng bằng kỹ thuật τ1.qt; tính tổng của các giá

trị này.

na

=

a (

• Công nghệ θ1:

*)

a a . . ... .  n thöøasoá

a , n +

n

0

=

=

1 ;

a

a

∈ ℕ ℝ

n

m

m na

n a=

∈ (a ≠ 0). + ∀ 1 a−

*, m

(a > 0, n ). +

∈ ℕ ∈ ℤ

αβ= a

(

βα )a

=

=

=

>

αβ a

;

α β a a .

α β + a

;

α β − a

(

a

0)

. +

β

(

βα ) a

α a a

. +

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1.1 , T1.2 trong M3 giống với trong M2.

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T1.3 trong M3:

+ Biểu thức chứa nhiều lũy thừa.

+ Các lũy thừa đều có cơ số và số mũ là những giá trị cụ thể.

−

1 3

−

81

+ Số mũ là số hữu tỉ không nguyên hoặc là số vô tỉ, tính giá trị của chúng

) 0,75

1 125

  

  

−

3 5

, , bằng định nghĩa sẽ gặp nhiều khó khăn, chẳng hạn (

1 32

  

  

… , vì vậy sự thu gọn biểu thức trước khi tính giá trị là cần thiết.

Kỹ thuật τ1.qt chính là hợp của kỹ thuật τ1.qt12 và τ1.qt34 được trình bày trong

M1 và M2. Vai trò công cụ của lũy thừa thể hiện rõ trong kiểu nhiệm vụ này.

Qua kiểu nhiệm vụ này chúng tôi nhận thấy: khi số mũ là nguyên dương thì lũy thừa được hiểu theo đúng nghĩa1 của nó; khi số mũ không phải nguyên dương,

lũy thừa chỉ được hiểu qua biểu thức hình thức.

b) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T2: Viết một biểu thức dưới dạng

lũy thừa.

M3 chỉ trình bày kiểu nhiệm vụ T2.1: viết biểu thức dưới dạng lũy thừa (cơ số

không cho trước).

Bài tập 17 trang 81: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số

2

4

3

5

>

>

>

a

)

x

x x (

0)

b

)

(

a

0,

b

0)

b a 3 a b

1 Theo M1 tr.28, Lũy thừa (từ Hán – Việt) có nghĩa là nhân chồng lên.

mũ hữu tỉ:

11 16

3

>

c

)

d

)

a a a a a

:

(

a

0)

32 2 2 3 3 3

1 4

1 4

2

4

3

1 3

7 3

=

=

=

a

)

x

x

2 x x .

x

7 x 12

  

  

  

  

1 5

1 5

1 5

−

−

−

1

1 3

1 3

2 3

2 15

5

=

=

=

=

b

)

b a 3 a b

a b

a b

a b

a b

 b a  a b 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

   

   

   

   

   

   

1 3

1 3

1 3

1 6

1 1 3 6

3 2

1 2

3

=

=

=

=

c

)

32 2 2 3 3 3

2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

  

     

1   3    

  

+ + 1   

  

  

  

  

  

   

   

   

   

   

   

11 16

1 8

1 16

11 16

15 16

11 16

1 2

1 4

=

=

=

d

)

a a a a a

:

1 4 a a a a . .

.

:

a

a

:

a

a

  

  

Bài giải

• Kỹ thuật giải τ2.qt:

+ Biến đổi mỗi thừa số trong biểu thức thành các lũy thừa cùng cơ số nào

đó.

+ Áp dụng các quy tắc tính lũy thừa để viết biểu thức dưới dạng lũy thừa.

n

m

m n

− = n

=

>

;

(

0)

a

a

a

a

• Công nghệ θ2:

1 n a

=

=

=

>

αβ a

;

α β a a .

α β + a

;

α β − a

(

a

0)

. +

β

(

βα ) a

α a a

. +

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T2.1 trong M3:

+ Biểu thức chỉ chứa tích, thương của các lũy thừa.

+ Các thừa số có số mũ khác nhau hoặc được đặt trong nhiều dấu căn.

+ Các lũy thừa này có thể đưa về cùng cơ số; cơ số cần viết dưới dạng lũy

thừa không được nêu ra.

+ Khi cơ số trong biểu thức bằng chữ, điều kiện của cơ số được chỉ rõ.

Kỹ thuật τ2.qt chính là sự kết hợp của kỹ thuật τ2.qt12 và τ2.qt34 được trình bày

trong M1 và M2.

Để viết được dưới dạng lũy thừa, điều kiện của cơ số luôn được thu hẹp trên

b a 3 a b

khoảng (0 ; + ∞). Chẳng hạn, biểu thức 5 hoàn toàn xác định khi a, b cùng

dấu, nhưng ở đây thể chế chỉ xét khi a, b là các số thực dương.

Không có bài tập nào đòi hỏi cần phải xem xét tính hợp thức của một biểu

thức chứa căn khi viết chúng dưới dạng lũy thừa.

Từ nhận xét trên, chúng tôi nghĩ rằng học sinh không có trách nhiệm kiểm tra

tính hợp thức của biểu thức dưới dấu căn khi viết biểu thức chứa căn dưới dạng lũy

thừa.

3

4

− 1 3

6003

4005

c) Kiểu nhiệm vụ T3: So sánh hai biểu thức dạng lũy thừa.

5 − ) 63

1 3

và ; b) và Bài tập 11 trang 78: So sánh các số: a) (

3 2.2 ; 14

5 −  71  2 

  

c) và d) 730 và 440.

−

5 6

1 12

5 12

5 12

3

4

=

=

=

− 1 3

1 − − 3 3 .3

− 3

3

− 3

Bài giải

)

(

1 3

−

5 6

3

4

=

3

− 1 3

a) ;

)

1 3

200

400

2

200

=

=

=

=

600 3

3 3

27

5

5

25

. Vậy (

(

)200

(

)200

400

600 3

>

5

b) ;

Vậy .

• Kỹ thuật giải τ3.qt: biến đổi hai biểu thức về dạng lũy thừa có cùng cơ số rồi so

sánh số mũ; hoặc biến đổi hai biểu thức về dạng lũy thừa có cùng số mũ rồi so

sánh cơ số.

n

a

=

• Công nghệ θ3:

*)

n

a a a . . ... .  thöøa soá

( a , n +

∀ ∈ ℝ ∈ ℕ

0

=

=n

1 ;

a

a

n

1 − a

n

m

=

m na

a (a > 0, n

*, m

(a ≠ 0). +

=

). +

>

αβ a

;

α β a a .

;

α β − a

(

a

0)

(

βα ) a

α a ∈ ℤ = β a

>

>

β α β >⇔

a

a

1: α a

∈ = ℕ α β + a . +

>

β α β >⇔

< < a

a

1: α a

. + Với

. + Với 0

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T3 trong M3:

+ Cơ số và số mũ là các số cụ thể.

+ Số mũ là các số hữu tỉ không nguyên, số vô tỉ hoặc số nguyên rất lớn, so

6003

4005

sánh chúng bằng cách tích giá trị gặp rất nhiều khó khăn, đôi khi không

thực hiện được. Chẳng hạn, không thể tính được giá trị của và

bằng máy tính bỏ túi thông thường.

+ Các biểu thức đem so sánh luôn có thể đưa về các lũy thừa cùng cơ số

hoặc cùng số mũ.

Kỹ thuật τ3.đn hoàn toàn vắng bóng trong M3, chúng hoàn toàn không sử

dụng được đối với các bài toán đặt ra. Như vậy, kiểu nhiệm vụ so sánh hai lũy thừa

chỉ thực sự xuất hiện trong M3 khi các quy tắc về so sánh lũy thừa được thể chế

trình bày đầy đủ.

d) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T4: Tìm x thỏa một hệ thức chứa

lũy thừa.

=

>

a

α a

α−+ a

a

)

1 (

0)

α < | | ) 3

b

27

Bài tập 20 trang 82: Tìm các số thực α, thỏa mãn từng điều kiện sau:

(

)

1 2

; .

2

−

−

α −

α −

α 2

α 2

α 2

α 2

+

= ⇔ +

−

= ⇔ =

1

− = ⇔ 2 0

0

(*)

α a

a

α a

a

a

a

a

a

Bài giải

)

(

1 2

  

  

α

0

a)

= − ⇔ = .

α α 2 2

Nếu a ≠ 1 thì (*)

⇔

α

⇔

α

<

α | | 3

α | | < ⇔ < ⇔ < 3

27

| 3

|

− < 3

3

Nếu a = 1 thì (*) α là một số thực tùy ý.

3 3 ⇔

7

2

4 x < ; 3

11 x ≥ ;

10 x > ;

3 x ≤ . 5

b) .

Bài tập 22 trang 82: Giải các bất phương trình sau:

4

2

4

4

< ⇔ ≤

< ⇔ −

x

3

0

x

3

3

< < x

3

Bài giải

11

≥ ⇔ ≥

11 x

7

x

7

.

10

10

10 > ⇔ > ⇔ < −

>

10 x

2

2

x

x

2,

x

2

.

3

3

≤ ⇔ ≤

x

5

x

5

.

.

• Kỹ thuật giải τ4.ccs: biến đổi biểu thức về cùng cơ số rồi so sánh số mũ.

• Kỹ thuật giải τ4.căn: lấy căn bậc n hai vế.

=

α

>

≠

xa

α = ⇔ a

x

(

a

0,

a

1)

• Công nghệ θ4:

x

< ⇔ <

α

>

<

xa

α a

x

(

a

a

α < ⇔ a

x

α < (0

a

1)

> , 1)

. +

a

n b<

. +

a

n b<

. + Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n

. + Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 ≤ a < b thì n

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T4 trong M3:

+ Ẩn x chỉ xuất hiện hoặc ở số mũ hoặc ở cơ số.

+ Khi x xuất hiện ở số mũ, biểu thức có thể đưa về cùng cơ số để so sánh số

mũ.

+ Khi x xuất hiện ở cơ số, số mũ luôn là một số nguyên dương để có thể tìm

x bằng kỹ thuật lấy căn bậc n.

Với kỹ thuật τ4.csm được trình bày ở trên cùng với dự đoán của chúng tôi về

quan niệm của học sinh (hàm số lũy thừa là hàm số đơn điệu), chúng tôi nghĩ rằng

học sinh sẽ vận dụng hai quy tắc hành động sau để giải phương trình, bất phương

α=b

trình có chứa lũy thừa:

b , học sinh sẽ phân tích

a và vận dụng

α= ⇔ =

a

x

a .

Đối với dạng phương trình α =x

quy tắc hành động: α x

α=b

b , học sinh sẽ phân tích

a và vận

α< ⇔ <

a

x

Đối với dạng bất phương trình α

a . Quy tắc này có nguồn gốc sau:

dụng quy tắc hành động: α x

m

m

m

m

< ⇔ >

< ⇔ <

a

m

b

0

a

m

b

0

+ Quy tắc so sánh lũy thừa: với 0 < a < b và m là số nguyên thì:

α=y

x là hàm số đơn điệu.

; .

2

n

+ 1

2

n

+ 1

< ⇔

<

a b

a

b

+ Trên (0; +∞), hàm số

*,

2

n

2

n

< < ⇔ <

0

a b

a

b

thức: “Với n ; + Tính chất bất đẳng

” (SGK Đại số 10 chương trình chuẩn, tr.75). ∈ ℕ

+

− 3 1

− 2 1

a

2

;

a

.

e) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T5: Rút gọn biểu thức.  Kiểu nhiệm vụ T5.1: Rút gọn biểu thức chứa tích, thương các lũy thừa.

−

5

4

− 5 3

1 a

  

  

( a

) 3 1 a .

Bài tập 16 trang 81: Đơn giản biểu thức

+ 3 1

− 3 1

(

)( − 3 1

) + 3 1

2

a

a

=

=

=

a

−

− + −

− 5 3

4

5

5 3 4

5

a 1 a

a

( a

) a .

− 2 1

− 2 1

+ −

2

2

− 1

2

2

2 1

2

=

=

=

=

a

a

a

a

a

a

.

.

− 1 a .

(

)

1 a

  

  

Bài giải

• Kỹ thuật giải τ5.qt: biến đổi mỗi lũy thừa trong biểu thức về cùng cơ số; áp dụng

các quy tắc tính lũy thừa để rút gọn biểu thức.

 Kiểu nhiệm vụ T5.2: Rút gọn biểu thức chứa hỗn hợp căn và lũy thừa.

1 3

1 3

+

b

4 3

4 3

 ab a  

  

=

=

ab

3

+ a b ab 3 + b

a

1 3

1 3

+

a

b

Ví dụ 5 trang 75: Cho a, b là những số thực dương. Ta có:

• Kỹ thuật giải τ5.lt:

+ Biến đổi mỗi biểu thức chứa căn về dạng lũy thừa.

+ Biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung giống nhau ở tử và mẫu; khử các

nhân tử chung này.

+ Thu gọn biểu thức.

• Công nghệ θ5:

n

a

=

*)

n

a a a . . ... .  thöøa soá

( a , n +

0

=

=n

1 ;

a

a

∈ ℕ ℝ

n

n

m

=

m na

a (a > 0, n

*, m

∈ (a ≠ 0). + ∀ 1 − a

=

). +

>

αβ a

;

α β a a .

;

α β − a

(

a

0)

(

βα ) a

α a ∈ ℤ = β a

∈ = ℕ α β + a . +

+ Quy tắc rút gọn phân thức; quy tắc cộng trừ, nhân, chia các phân thức.

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T5 là:

+ Biểu thức thường chứa tổng của nhiều lũy thừa hoặc hỗn hợp căn và lũy

thừa.

+ Các lũy thừa, các biểu thức chứa căn có thể đưa được về lũy thừa cùng cơ

số.

+ Trong biểu thức chứa hỗn hợp căn và lũy thừa, biểu thức chứa căn luôn

hợp thức khi viết dưới dạng lũy thừa.

Chúng tôi nghĩ rằng kiểu nhiệm vụ này sẽ là môi trường tốt cũng cố thêm sai

lầm của các em khi chuyển từ các viết căn sang cách viết lũy thừa.

f) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T6: Tính đạo hàm của hàm số

chứa lũy thừa, hàm số chứa căn.

π

5

=

=

+

b y )

3 ln 5

x

a y )

2

x

Bài tập 58 trang 117: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

(

) 1

b

3

5

=

=

>

c y )

d y )

a b ( ,

0)

; ;

3

+ −

1 1

x x

x b

a x

  

a      

  

.

π

− π 1

+

=

+

⇒ = y

' 2

2

x

y

2

x

Bài giải

(

) 1

( π

) 1

2

x

3 ln 5

3.5ln 5

x

x

5

=

=

⇒ = y

'

=y

3ln 5

a)

5

5

2

x

)' ( x 5 ln 5

5

x

2 ln 5

x

2 3ln 5 5 2 ln 5

x

x

b)

'

3

3

3

2

3

+ −

1 1

x x

  

  

3

3

=

=

y

'

⇒ = y

6

2

3

2

3

+ −

+ −

1 1

2 x − 1 x

x x

1 1

x x

3

3

3

x x

 + 1  − 1

  

b

y

c)

x b

a x

 =  

a      

  

d)

f x là hàm số lũy thừa thì áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm ( )

• Kỹ thuật giải τ6:

+ Nếu

f x là hàm số chứa căn thì áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm ( )

số lũy thừa.

+ Nếu

số chứa căn.

'

=

xα

αα − ∀ ∈ 1 (

x

x

 . )

• Công nghệ θ6:

)

α u x ( )

αα − 1 u

x ( )

u x '( )

+ Với x > 0 thì (

 

'  = 

n

=

x

trên J. + Với u(x) > 0 và có đạo hàm trên J thì

(

)'

n

1

n

1 n x −

(với mọi x > 0 nếu n chẵn, với mọi x ≠ 0 nếu n lẻ). +

n

J khi n chẵn, u(x) ≠ 0 J

=

( ) u x

'( ) u x x− n 1 ( )

n n u

∈ ∀ ∈ x ( ∀ J). + Với u(x) có đạo hàm trên J và u(x) > 0 )' khi n lẻ thì (

∀ ∈ Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T6 là: kiểu nhiệm vụ được nêu tường minh; kỹ

thuật giải rõ ràng.

Trong các bài giải mà M3 trình bày, luôn phân biệt rõ hàm số lũy thừa và

hàm số chứa căn. Khi tính đạo hàm của hàm số chứa căn, M3 chỉ trình bày một kỹ

thuật duy nhất áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số chứa căn mặc dù

'

x

2

x

2

'

+

(

) 1

e

2

x

2

4

+

=

=

y

4 e=

e

1

chúng hoàn toàn hợp thức khi viết dưới dạng lũy thừa (H2 tr.116: “Tính đạo hàm

của hàm số ”), và khi

)

3

3

+ . Bài giải: ( 1x

x

x

2

2

4

4

+

+

e

e

4

2

e (

) 1

(

) 1

đó chúng ta có thể sử dụng một kỹ thuật khác quy về hàm số lũy thừa và áp dụng

các quy tắc tính đạo hàm của hàm số lũy thừa. Vì quy tắc tính đạo hàm của hàm

số lũy thừa khá quen thuộc (học sinh đã được học ngay từ lớp 11 – §2 QUY TẮC

TÍNH ĐẠO HÀM – SGK 11 chương trình chuẩn, tr.157) nên kỹ thuật này có thể

vận hành tốt hơn kỹ thuật mà M3 trình bày.

g) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T7: Tìm nguyên hàm

m )+ ( n ax b dx , n

∫

, n ≥ 2; m .

3

=

=

+

=

+

1 2 x dx

C

x

C

∫

∫

2 3

+

1

ℤ 1 + 1 2 Ví dụ 3, trang 139: ∈ ℕ xdx

∈ x 1 2

m

n

m n

=

+ ax b

+ ax b

• Kỹ thuật giải τ7:

(

)

(

)

( n ax b

)α+

+ α 1

α

(

=

+

+ ax b

dx

C

dưới dạng lũy thừa: . + Viết biểu thức

)

(

∫

1 a

) + ax b + α 1

. + Áp dụng công thức nguyên hàm:

n

m

=

>

a

a

m na

(

0)

• Công nghệ θ7:

+ α 1

α

(

=

+

+ ax b

dx

C

. + Định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

(

)

∫

1 a

) + ax b + α 1

. +

Nhận xét

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T7:

+ Chỉ số căn luôn là số chẵn.

+ Biểu thức dưới dấu căn là một nhị thức.

Do quy ước “trong các bài toán về nguyên hàm của một hàm số, nếu không

nói gì thêm, ta luôn giả thiết rằng hàm số đó liên tục và nguyên hàm của nó được

xét trên mỗi khoảng (nửa khoảng, đoạn) xác định của hàm số đó” (M3, tr.139) vì

vậy mà điều kiện xác định của biểu thức dưới dấu căn khi viết chúng dưới dạng lũy

thừa không được nêu ra.

x và hàm số

1 x khác nhau, nhưng trong bài giải 2=y

Mặc dù hàm số =y

được trình bày ở trên (M3, tr.139), M3 đã đồng nhất hai hàm số này.

Không có bài toán nào đỏi hỏi phải kiểm tra tính hợp thức của biểu thức dưới

dấu căn khi viết chúng dưới dạng lũy thừa.

Bảng 2.6. Thống kê tần số xuất hiện các kiểu nhiệm vụ trong M3

Số lần Kiểu nhiệm vụ Tỉ lệ xuất hiện

T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa một 7 lũy thừa. T1: Tính giá trị T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa tích, của biểu thức 4 27,8 % thương các lũy thừa. chứa lũy thừa. T1.3: Tính giá trị biểu thức gồm tổng 4 các biểu thức trong T1.2.

4 7,4 % T2.1: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa.

4 7,4 % T3: So sánh hai biểu thức dạng lũy thừa.

6 11,1 % T4: Tìm x thỏa một hệ thức chứa lũy thừa.

T5.1: Rút gọn biểu thức chứa tích, 6 thương các lũy thừa. T5: Rút gọn biểu 24,1 % thức T5.2: Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa 7 dạng phân thức.

m

T6: Tính đạo hàm của hàm số chứa lũy thừa, hàm số chứa 8 14,8 % căn.

)+ ( n ax b dx .

∫

4 7,4 T7: Tìm nguyên hàm

Tổng 54 100 %

Bảng 2.5 cho thấy thể chế ưu tiên các kiểu nhiệm vụ mà kỹ thuật của nó vận

dụng được định nghĩa và các quy tắc tính lũy thừa.

Kiểu nhiệm vụ giải phương trình, bất phương trình có chứa hàm số lũy thừa

(T4) không được ưu tiên (11,1 %).

Có 9 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ mà kỹ thuật giải của nó cần chuyển từ cách

viết căn sang cách viết lũy thừa, trong đó có 3 bài cơ số là một số dương, 4 bài cơ số

được giả thiết gán cho điều kiện dương và 2 bài không nói rõ điều kiện. Hơn nữa,

tất cả các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T7 đều được thể chế lựa chọn biểu thức trong

căn luôn là số không âm. Như vậy, tính hợp thức từ việc viết một biểu thức chứa

căn dưới dạng lũy thừa chưa được làm rõ.

Các kiểu nhiệm vụ về đồ thị hàm số lũy thừa không được quan tâm (không

có kiểu nhiệm vụ nào về đồ thị hàm số lũy thừa). Điều này cùng với việc khi nghiên

(0;

)+∞ , chúng tôi nghĩ rằng học sinh quan niệm hàm số lũy thừa là hàm số đơn

cứu về sự biến thiên và đồ thị hàm số lũy thừa, thể chế xét trên tập xác định là

điệu.

Bảng 2.7. Sự tiến triển của các tổ chức toán học

Kỹ thuật giải Kiểu nhiệm vụ M1 M2 M3

T1.1: Tính giá trị biểu thức chứa τ1.đn τ1.đn τ1.đn một lũy thừa. T1: Tính giá trị T1.2: Tính giá trị biểu thức chứa τ1.qt12 τ1.qt12 τ1.qt biểu thức chứa tích, thương các lũy thừa. τ1.qt34 lũy thừa. T1.3: Tính giá trị biểu thức gồm τ1.3 tổng các biểu thức trong T1.2.

T2.1: Viết biểu thức dưới dạng lũy τ2.qt12 τ2.qt12 τ2.qt

thừa (cơ số không cho trước). τ2.qt34 T2: Viết biểu T2.2: Viết biểu thức dưới dạng lũy thức dưới dạng τ2..2 thừa với cơ số cho trước. lũy thừa. T2.3: Viết biểu thức dưới dạng lũy τ2.3 thừa với số mũ cho trước.

T3: So sánh hai biểu thức dạng lũy thừa. τ3.đn τ3.đn τ3.qt

τ4.ccs τ4.ccs T4: Tìm x thỏa hệ thức chứa lũy thừa. τ4.1 τ4.căn

T5: Rút gọn T5.1: Rút gọn biểu thức chứa tích, τ5.qt biểu thức. thương các lũy thừa.

T5.2: Rút gọn biểu thức chứa hỗn τ5.lt hợp căn và lũy thừa.

m

T6: Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số căn. τ6

)+ ( n ax b dx .

∫

τ7 T7: Tìm nguyên hàm dạng

KẾT LUẬN

Như vậy, ở chương trình phổ thông, lũy thừa của một số được xây dựng theo

hình thức mở rộng số mũ: số mũ nguyên dương → số mũ 0 và số mũ nguyên âm →

số mũ hữu tỉ → số mũ vô tỉ. Sự mở rộng số mũ gắn liền với sự thu hẹp điều kiện

nhất định của cơ số. Việc tính được giá trị của lũy thừa với số mũ hữu tỉ khi cơ số

âm bằng máy tính bỏ túi đã dẫn đến sai lầm của học sinh khi làm việc với biểu thức

chứa căn, đặc biệt là chuyển từ cách viết căn sang cách viết lũy thừa mà không kiểm

tra tính hợp thức của cơ số. Điều này cùng với sự lựa chọn của SGK được tìm thấy

khi phân tích các tổ chức toán học, chúng tôi đặt ra Giả thuyết H1: Tồn tại quy tắc

hợp đồng R: Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tính hợp thức của biểu thức

dưới dấu căn khi viết một biểu thức chứa căn dưới dạng lũy thừa.

Hàm số lũy thừa được xây dựng dựa trên kết quả của mở rộng khái niệm lũy

thừa, các tính chất của hàm số lũy thừa đều được suy ra từ lũy thừa của một số.

Phần lớn các kiểu nhiệm vụ được tìm thấy, kỹ thuật giải của nó đều dựa trên công

nghệ là các tính chất của lũy thừa. Như vậy, vai trò của hàm số lũy thừa bị mờ nhạt

khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ mà SGK đặt ra. Từ bảng 2.5, ta nhận thấy SGK

không ưu tiên các kiểu nhiệm vụ về hàm số lũy thừa, hơn nữa khi xét hàm số lũy

thừa, SGK chỉ thu hẹp trên tập xác định (0 ; +∞) (hàm số lũy thừa đơn điệu trên

khoảng này). Điều này cho phép chúng tôi đặt ra Giả thuyết H2: Học sinh quan

niệm hàm số lũy thừa là hàm số đơn điệu.

=

⇔ = a

Các quy tắc hành động sinh ra từ giả thuyết H2:

b , với

f x là hàm số lũy thừa. ( )

( f a

)

( ) f b

Quy tắc hành động R1:

f x có cơ số dương. ( )

Phạm vi hợp thức: có 3 trường hợp mà quy tắc R1 cho kết quả đúng:

f x có mũ là số nguyên lẻ. ( )

+ Hàm số lũy thừa

f x có số mũ không nguyên. ( )

+ Hàm số lũy thừa

<

⇔ <

a b , với

f x là hàm số lũy thừa. ( )

+ Hàm số lũy thừa

( f a

)

( ) f b

Quy tắc hành động R2:

f x có cơ số dương. ( )

Phạm vi hợp thức: có 3 trường hợp mà quy tắc R2 cho kết quả đúng:

+ Hàm số lũy thừa

f x có mũ là số nguyên lẻ. ( )

f x có số mũ không nguyên và dương. ( )

+ Hàm số lũy thừa

+ Hàm số lũy thừa

Các giả thuyết này sẽ được chúng tôi kiểm chứng trong chương 3.

Chương 3

THỰC NGHIỆM

Mục tiêu của chương

Tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: Quan hệ thể chế có ảnh hưởng như thế

nào đến quan hệ cá nhân học sinh? Các quy tắc hợp đồng, quy tắc hành động nào

tạo ra những sai lầm khi học sinh giải các bài toán gắn với lũy thừa của một số và

hàm số lũy thừa?

Cụ thể, chúng tôi kiểm chứng các giả thuyết đã được đặt ra ở cuối chương 2.

Giả thuyết H1: Tồn tại quy tắc hợp đồng R: “Học sinh không có trách nhiệm

kiểm tra tính hợp thức của biểu thức dưới dấu căn khi viết một biểu thức chứa căn

dưới dạng lũy thừa”.

Giả thuyết H2: “Học sinh quan niệm hàm số lũy thừa là hàm số đơn điệu”.

=

⇔ = a

Trong giải thuyết H2, chúng tôi kiểm tra hai quy tắc hành động sau:

b , với

f x là hàm số lũy thừa. ( )

( f a

)

( ) f b

<

⇔ <

a b , với

f x là hàm số lũy thừa. ( )

Quy tắc hành động R1:

( f a

)

( ) f b

Quy tắc hành động R2:

1. Đối tượng và hình thức thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên học sinh lớp 12 học sách nâng cao, sau

khi các em học xong chương “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”.

Mỗi học sinh sẽ được phát một tờ giấy làm bài có in đề gồm 3 bài toán và

thời gian làm bài 30 phút.

−

x

−

=

3

2

Các bài toán thực nghiệm

) 4

1 16

x −

5

4

< . 2

. Bài 1. Giải phương trình: (

)6

−

1

3

2

I

x

x

dx

=

−

Bài 2. Giải bất phương trình (

(

) 1

∫

−

8

. Bài 3. Tính tích phân:

2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm

2.1. Bài toán 1 và bài toán 2

−

x

−

=

3

2

(1)

) 4

1 16

x −

<

5

4

2 (2)

. Bài 1. Giải phương trình: (

)6

. Bài 2. Giải bất phương trình (

 Mục đích

Kiểm chứng H2: Học sinh quan niệm hàm số lũy thừa là hàm số đơn điệu.

Bài 1: kiểm chứng sai lầm của học sinh khi áp dụng quy tắc R1 ngoài phạm

vi hợp thức.

Bài 2: kiểm chứng sai lầm của hàm sinh khi áp dụng quy tắc R2 ngoài phạm

vi hợp thức.

Trong cả hai bài toán này, chúng tôi chọn hàm số lũy thừa có cơ số là một

nhị thức. Sự lựa chọn này giúp học sinh có thể quy phương trình, bất phương trình

đã cho về các dạng quen thuộc đã học.

 Các biến didactic (cho cả bài 1 và bài 2)

α

= ±

α

= ±

α

1 ;

2 ;

= ± 3

V1: Tính chất của số mũ α

α

≠ ±

α

≠ ±

α

1 ;

2 ;

≠ ± ) 3

+

+ α nguyên (

+ α không nguyên

V2 : Mối tương quan giữa số mũ α và số b

) + b có dạng aα (a ) + b không có dạng aα (a ℚ

∈  Các chiến lược giải ∈ ℚ

BÀI 1

a) Chiến lược “đưa về cùng số mũ” - Scsm: biến đổi hai vế phương trình về cùng

số mũ rồi so sánh cơ số.

b

=

f a ( )

f b ( )

a ⇔ = .

Cái có thể quan sát được:

• Chiến lược Scsm.1: Sử dụng quy tắc hành động:

Có thể xuất hiện hai lời giải sau:

Lời giải 1

− 4

− 4

− 4

x

x

x

x

−

−

= ⇔ − = ⇔ =

3

2

3

2

2 2

3

2

(

)

(

)

4 3

1 = ⇔ 16

4 x = . 3

Vậy phương trình có nghiệm là

− 4

4

4

x

x

x

x

−

−

= ⇔ − = ⇔ =

3

2

3

2

2 2

3

2

(

)

(

)

4 3

1 = ⇔ 16

Lời giải 2

4 x = . 3

Vậy phương trình có nghiệm là

−

4

4

4

x

x

−

−

x = ⇔ − = ⇔

3

2

3

2

2

3

2

2

(

)

• Chiến lược Scsm.2: Đưa về cùng số mũ và so sánh cơ số

)

1 = ⇔ 16

4 3 0

 x =  x =

x = và x = 0.

(

4 3

f x ( )

Vậy phương trình có nghiệm là

 

α   với α

b) Chiến lược “lấy căn hai vế” - Scăn: biến đổi đưa về biểu thức

nguyên dương rồi lấy căn bậc α hai vế.

n

n

a

b

a

b

= ⇔ =

Cái có thể quan sát được:

− 4

4

x

x

x

x

−

−

= ⇔ − = ⇔ =

3

2

3

2

2 2

16

3

(

)

(

)

1 = ⇔ 16

4 3

• Chiến lược Scăn.1: Sử dụng quy tắc hành động:

4 x = . 3

na

b= rồi lấy căn bậc n hai vế.

Vậy phương trình có nghiệm là

−

4

4

x

x

−

−

3

2

3

2

x = ⇔ − = ⇔ 3

16

2

2

(

)

(

)

1 = ⇔ 16

4 3 0

 x =  x =

• Chiến lược Scăn.2: Đưa về dạng

4 x = . 3

Vậy phương trình có nghiệm là

c) Chiến lược “logarit hóa” - Slgr: lấy logarit hai vế theo một cơ số nào đó nhằm

khử lũy thừa.

x

x

3

2 0

Cái có thể quan sát được:

2 − > ⇔ > 3

−

−

4

4

x

x

x

−

−

=

⇔ −

−

= −

3

2

2

log

2

4

2

(

)

( log 3 2

)

( 4 log 3 2

)

1 = ⇔ 16

1 16

x

x

x

⇔

−

= ⇔ − = ⇔ =

2

2 2

1

3

( log 3 2

)

4 3

Điều kiện:

4 x = . 3

Vậy phương trình có nghiệm là

d) Chiến lược “hằng đẳng thức” - Shđt: sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương

trình đã cho về dạng phương trình đa thức hoặc phương trình tích.

−

4

4

2

2

x

x

x

x

−

= ⇔ −

4 = ⇔

−

−

−

+

=

3

2

3

2

2

3

2

4

3

2

4

0

(

)

(

)

(

)

(

)

  

     

  

1 16

0

2

2

x

x

x

−

2

− = ⇔ 4 0

9

12

= ⇔ 0

( ⇔ − 3

)

4 3

 = x   = x 

Cái có thể quan sát được:

4 x = . 3

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 và

BÀI 2

a) Chiến lược “đưa về cùng số mũ” - Scsm: biến đổi hai vế bất phương trình về

cùng số mũ rồi so sánh cơ số.

<

f a ( )

f b ( )

a b ⇔ < .

Cái có thể quan sát được:

6

6

6

6

4

2

6

6

x

x

x

x

−

−

<

⇔ − < ⇔ <

5

4

< ⇔ 2

5

4

2

4

5

2

(

)

(

)

(

)

+ 5

2

S

∞

;

• Chiến lược Scsm.1: Sử dụng quy tắc hành động

64 + 5

 = −  

   

<

f a ( )

f b ( )

. Tập nghiệm của bất phương trình là

6

6

6

6

x

x

−

−

<

x ⇔ − <

< ⇔ 2

5

4

5

4

2

5

4

2

)

(

)

(

rồi so sánh a và b.

)6

• Chiến lược Scsm.2: Đưa về dạng (

6

6

−

6

x

⇔ −

<

6 − < ⇔

x < <

2

5

4

2

+ 2 4 5

+ 2 4 5

6

6

−

S

;

+ 2 4 5

+ 2 4 5

 =   

   

f x ( )

Tập nghiệm của bất phương trình là .

 

α   với α

b) Chiến lược “lấy căn hai vế” - Scăn: biến đổi đưa về biểu thức

nguyên dương và lấy căn bậc α hai vế.

n

n

a

b

a

b

< ⇔ <

Cái có thể quan sát được:

6

6

4

2

6

x

x

x

−

5

4

< ⇔ − < ⇔ < 4

2

2

5

(

)

+ 5

S

∞

;

• Chiến lược Scăn.1: Sử dụng quy tắc hành động

 = −  

+ 6 2 4   5 

na

b< rồi lấy căn bậc n hai vế.

. Tập nghiệm của bất phương trình là

6

6

6

2

4

4

2

6

x

x

−

< ⇔ − < ⇔

x < <

5

4

5

2

4

2

(

)

− 5

+ 5

6

6

−

S

;

• Chiến lược Scăn.2: Đưa về dạng

+ 2 4 5

+ 2 4 5

 =   

   

. Tập nghiệm của bất phương trình là

c) Chiến lược “logarit hóa” - Slgr: lấy logarit hai vế theo một cơ số nào đó nhằm

khử lũy thừa.

x

x

5

4 0

Cái có thể quan sát được:

4 − > ⇔ > 5

6

6

x

x

x

−

−

<

⇔

−

<

5

4

< ⇔ 2

4

4

1

log 2 2

(

)

( log 5 2

)

( 6 log 5 2

)

1 6

2

4

1 6

x

x

x

⇔

−

< ⇔ − < ⇔ <

4

4 2

5

( log 5 2

)

1 6

+ 5

1 62

4

S

0;

Điều kiện:

+ 5

  =   

    

Tập nghiệm của bất phương trình là .

d) Chiến lược “hằng đẳng thức” - Shđt: sử dụng hằng đẳng thức biến đổi bất

phương trình đã cho về dạng bất phương trình đa thức hoặc phương trình tích.

6

3

3

x

x

x

−

−

−

−

+

<

5

4

< ⇔ 2

5

4

2

5

4

2

0

(

)

)

(

)

(

  

     

  

6

3

+ 2 4 5

x

−

−

<

5

4

2

0

6

−

3

x

>

6

6

x

−

+

>

5

4

2

0

−

+ 2 4 5

⇔

x < <

⇔

⇔

3

6

+ 2 4 5

+ 2 4 5

x

−

−

>

5

4

2

0

3

+ 2 4 5

x

−

+

<

5

4

2

0

6

) ) ) )

 (    (     (    (  

−

+ 2 4 5

 x <             x >     x <

6

6

−

S

;

Cái có thể quan sát được:

+ 2 4 5

+ 2 4 5

 =   

   

. Tập nghiệm của bất phương trình là

 Sự ảnh hưởng của các biến đến các chiến lược

α

= ±

α

= ±

α

1 ;

2 ;

= ± 3

V1: Tính chất của số mũ α

α

≠ ±

α

≠ ±

α

1 ;

2 ;

≠ ± ) 3

+

+ α nguyên (

α

= ±

α

= ±

α

1 ;

2 ;

3

+ α không nguyên

= ± thì chiến lược Shđt sẽ được ưu tiên, vì khi đó học

Nếu

sinh dễ dàng đưa phương trình (bất phương trình) đã cho về dạng phương trình (bất

phương trình) đa thức hoặc phương trình (bất phương trình) tích bằng cách áp dụng

α

≠ ±

α

≠ ±

α

1 ;

2 ;

3

các hằng đẳng thức.

≠ ± ), chiến lược Scăn và chiến lược Slgr sẽ

Nếu α nguyên (

được ưu tiên, vì khi đó học sinh có thể khử được dạng lũy thừa (Phép nâng lũy thừa

bậc n với n là số nguyên dương lớn hơn 1 và phép khai căn bậc n là hai phép toán

ngược nhau; Khi cơ số dương và khác 1, phép nâng lũy thừa và phép lấy logarit là

n

b

b

=

hai phép toán ngược nhau). Hơn nữa, chiến lược Scms cũng có thể được nhắm đến

(

)n

(b là số mà n b có nghĩa). nếu các em nhận xét được

Nếu α không nguyên, chiến lược Slgr sẽ được ưu tiên.

V2 : Mối tương quan giữa số mũ α và số b

) + b có dạng aα (a ) + b không có dạng aα (a ∈ ℚ

=

<

f a ( )

f b ( )

f a ( )

f b ( )

Nếu b có dạng aα, chiến lược Scsm sẽ được ưu tiên, vì khi đó phương trình ∈ ℚ

(

)

f x là hàm số lũy thừa. ( )

với (bất phương trình) đã cho dễ dàng viết được dưới dạng

n

b

b

=

Nếu b không có dạng aα, chiến lược Scsm có thể được nhắm đến nếu học sinh

(

)n

na

b= thì a là một căn bậc n của b. Vì vậy,

(b là số mà n b có nghĩa). Tuy nhiên, chúng tôi dự đoán nhận xét được

chiến lược Scăn sẽ được ưu tiên vì khi

phép khai căn sẽ tìm được nghiệm của phương trình hay bất phương trình. Ngoài ra,

chiến lược Slgr cũng sẽ được nhắm đến vì khi cơ số dương và khác 1, phép nâng lũy

α

≠ ±

α

≠ ±

α

1 ;

2 ;

≠ ± ) 3

thừa và phép lấy logarit là hai phép toán ngược nhau.

Trong bài toán 1, chúng tôi chọn biến V1: α nguyên (

). Sự lựa chọn α có giá trị âm nhằm kiểm tra quan và biến V2: b có dạng aα (a

niệm của học sinh đối với biểu thức lũy thừa với số mũ âm, và giá trị α = –4 nhằm ℚ

α

≠ ±

α

≠ ±

α

≠ ±

1 ;

2 ;

3)

∈ tạo ra sự khó khăn khi học sinh nhắm đến chiến lược Shđt .

Trong bài toán 2, chúng tôi chọn biến V1: α nguyên (

). Sự lựa chọn α = 6 nhằm tạo ra sự và biến V2: b dương và không có dạng aα (a

khó khăn khi học sinh nhắm đến chiến lược Shđt . ℚ ∈

−

1

3

2

I

x

x

dx

=

−

2.2. Bài toán 3

(

) 1

∫

−

8

. Bài 3. Tính tích phân:

 Mục đích

Kiểm chứng H1: Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tính hợp thức của

biểu thức dưới dấu căn khi viết một biểu thức chứa căn dưới dạng lũy thừa.

 Các biến didactic

α

ax b +

V1: Hàm số dưới dấu căn

)

+ Có dạng (

α

ax b +

)

+ Không có dạng (

u x

u x '( )

V2: Hàm số dưới dấu tích phân

( ϕ

) ( ) .

u x

u x '( )

+ Có dạng

( ϕ

) ( ) .

+ Không có dạng

 Các chiến lược giải

α

dx

ax b +

a) Chiến lược “đưa về dạng lũy thừa” - Slt: biến đổi biểu thức chứa căn về dạng

(

)

∫

lũy thừa để áp dụng công thức .

Cái có thể quan sát được:

• Chiến lược Slt.1: Chuyển từ cách viết căn sang cách viết lũy thừa mà không

−

1

−

−

−

1

1

1

3

2

2 3

5 3

8 3

5 3

2 3

I

x

x

dx

x

x

dx

x

x

dx

x

x

=

−

=

−

=

−

=

−

(

) 1

(

) 1

∫

∫

∫

3 8

3 5

−

−

−

8

8

8

   

   

   

   

−

8

8 3

5 3

8 3

5 3

=

−

−

−

−

−

−

−

=

−

= −

8

8

(

) 1

(

) 1

(

)

)

(

3 8

3 5

3 8

3 5

576 5

4569 40

39 40

  

  

  

  

quan tâm đến điều kiện của cơ số

• Chiến lược Slt.2: Chuyển từ cách viết căn sang cách viết lũy thừa có xem xét

−

−

−

1

1

1

2

3

2 3

5 3

2 3

I

x

dx

x

dx

x

x

dx

= −

−

x − +

= −

−

x − +

= −

−

(

)

(

)

(

)

+ − (

)

(

) 1

(

) 1

∫

∫

∫

−

−

−

8

8

8

   

   

− 1

8 3

5 3

8 3

5 3

x

x

=

−

+

−

=

+

−

+

= −

(

)

(

)

8 1 3

5 1 3

2

2

3 8

3 5

3 8

3 5

3 8

3 5

4569 40

   

   

   

   

   

   

− 8

đến điều kiện của cơ số.

b) Chiến lược “đổi biến số” - Sđbs: đổi biến số để khử biếu thức chứa căn hoặc để

hợp thức việc viết biểu thức chứa căn dưới dạng lũy thừa.

Cái có thể quan sát được

• Chiến lược Sđbs.1: Đổi biến số để hợp thức cách viết biểu thức chứa căn dưới

dt

x

dx

= − ⇒ = −

dạng lũy thừa

Đặt t

1

x x

t t

8

 = − → = 1  = − → = 8 

1

1

1

1

3

2

2 3

5 3

2 3

8 3

5 3

I

t

dt

t

dt

t

t

t

dt

t

t

=

t − −

−

=

+

=

+

=

+

)

(

) 1 (

(

) 1

∫

∫

∫

3 8

3 5

8

8

8

   

   

   

   

8

8 3

5 3

=

−

+

=

−

= −

8

8

3 3 + 8 5

3 8

3 5

39 40

576 5

4569 40

  

  

   

   

Đổi cận:

• Chiến lược Sđbs.2: Đổi biến số để khử biểu thức chứa căn trong tích phân ban

3

2

3

3

t

x

x

t

t

=

2 x ⇒ = ⇒ =

đầu (không quan tâm đến cận tích phân)

dx

tdt

=

Đặt

3 2

t

x

1

Ta có:

x

t

4

 = − → = 1  = − → = 8 

1

1

1

4

3

3

3 2

5 2

I

t

tdt

t

t

dt

t

t

=

−

=

−

=

−

1

∫

∫

Đổi cận:

)

(

3 2

3 2

2 5

3

4

4

   

   

 t 3   2 4 

   

4

=

−

−

−

= −

64

2 5

3 2

64 5

3069 40

 3 1  2 4 

  

  

  

• Chiến lược Sđbs.3: Đổi biến số để khử biểu thức chứa căn trong tích phân ban

3

2

3

3

t

x

x

x

t

t

=

2 ⇒ = ⇒ = −

đầu (có quan tâm đến cận tích phân).

dx

tdt

= −

Đặt

3 2

t

x

Ta có:

x

t

1 4

 = − → = 1  = − → = 8 

4

1

3

3 2

I

t

t

tdt

t

dt

= −

−

−

=

3 t − −

1

∫

∫

Đổi cận:

)

(

3 2

3 2

1

4

   

   

4

4

5 2

t

=

−

−

=

−

−

−

= −

64

3 2

t 4

2 5

3 2

64 5

3 2

1 − − 4

2 5

4569 40

  

  

  

  

   

   

1

• Chiến lược Sđbs.4: Kết hợp Sđbs.1 và Sđbs.2

−

−

−

1

1

1

3

3

3

2

I

x

x

dx

2 x x dx

2 x dx

=

−

=

−

(

) 1

∫

∫

−

−

8

8

∫ − 8  

I

I 1

2

Đối với I1, sử dụng chiến lược Sđbs.1.

Đối với I2, sử dụng chiến lược Slt.1.

 Sự ảnh hưởng của các biến đến các chiến lược

α

ax b +

V1: Hàm số dưới dấu căn

)

α

ax b +

+ Có dạng (

)

α

ax b +

+ Không có dạng (

)

, chiến lược Slt sẽ được ưu tiên, Nếu hàm số dưới dấu căn có dạng (

vì khi đó học sinh có thể chuyển hàm số chứa căn về hàm số lũy thừa mà nguyên

hàm của hàm số này có thể tìm được bằng bảng nguyên hàm các hàm số thường

α

ax b +

gặp.

)

, chiến lược Slt sẽ không Nếu hàm số dưới dấu căn không có dạng (

được ưu tiên, vì khi chuyển hàm số chứa căn về hàm số lũy thừa thì không tìm được

nguyên hàm của nó bằng bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp. Do đó, chiến

lược mà học sinh nhắm đến sẽ là Sđbs hoặc chiến lược khác.

u x

u x '( )

V2: Hàm số dưới dấu tích phân

( ϕ

) ( ) .

u x

u x '( )

+ Có dạng

( ϕ

) ( ) .

u x

u x '( )

+ Không có dạng

( ϕ

) ( ) .

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng , chiến lược Sđbs sẽ

được ưu tiên, vì khi đó học sinh có thể quy về tìm nguyên hàm của một hàm số đơn

( )t dtϕ∫

u x

u x '( )

. giản hơn

( ϕ

) ( ) .

Nếu hàm số dưới dấu tích phân không có dạng , chiến lược Sđbs

sẽ không được ưu tiên, vì việc biểu diễn sang biến số mới sẽ gặp nhiều khó khăn. Vì

vậy, chiến lược mà học sinh nhắm đến có thể là Slt hoặc chiến lược khác.

Trong bài toán 3, chúng tôi chọn biến V1: hàm số dưới dấu căn có dạng

α

ax b +

( )

(

)

( ϕ

) u x u x '( )

. và biến V2: hàm số dưới dấu tích phân không có dạng

3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 72 học sinh lớp 12 (2 lớp) tại Trường

THPT Phú Quốc. Kết quả thu được như sau:

Bài toán 1

Bảng 3.1. Thống kê các chiến lược giải bài toán 1 của học sinh

Chiến lược quan sát được Số lượng Tổng Tỉ lệ

Chiến lược “đưa về cùng số mũ” - Scsm

b

=

f a ( )

f b ( )

a ⇔ = .

=

f a ( )

f b ( )

tắc hành động: Scsm.1: Sử dụng quy 53 94,4 % 68 Scsm.2: Đưa về dạng rồi so sánh a 15 và b.

Chiến lược “lấy căn hai vế” - Scăn

n

n

a

b

a

b

= ⇔ =

na

b= rồi lấy căn bậc n

tắc hành động: Scăn.1: Sử dụng quy 1 1,4 % 1

Scăn.2: Đưa về dạng 0 hai vế.

0 0 % 0 Chiến lược “logarit hóa” - Slgr

3 4,2 % 3 Chiến lược “hằng đẳng thức” - Shđt

Tổng 72 100 % 72

Nhận xét

=

f a ( )

f b ( )

⇔ = a

b

Có 68/72 học sinh (94,4%) dùng chiến lược Scsm trong đó có 53/72 học sinh

(73,6%) dùng chiến lược Scsm.1 – áp dụng quy tắc hành động

f x là hàm số lũy thừa. ( )

trong đó

− 4

− 4

− 4

−

= ⇔ −

3

2

3

2

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = 2

3

4

2

3

2

x

x

x

x

x

Các bài giải điển hình cho chiến lược Scsm.1:

)

(

)

1 16

4 3

=x

. HS1: (

4 3

. Vậy phương trình có nghiệm là

= ⇔ − = ⇔ =

2 2

3

x

x

1 4 2

4 3

1 −

3

x

2

(

)4

4

−

= ⇔ − = ⇔ =

3

x

2

2 2

3

2

x

x

HS2: .

)4

4 3

− 4

− 4

− 4

−

= ⇔ −

=

3

2

3

2

2

x

x

. HS3: (

)

(

)

1 4 2

(*). HS4: Ta có: (

3

x

− = ⇔ = ⇔ = x 3

2 2

4

x

Ta thấy (*) có phần mũ giống nhau nên ta giải phần cơ số.

4 3

Ta có: .

4 3

. Vậy phương trình có nghiệm bằng

Trong 53 học sinh sử dụng chiến lược Scsm.1 có 47 bài giải được trình bày

giống với HS1. Quan niệm hàm số lũy thừa là hàm số đơn điệu thể hiện rõ ở bài giải

α=a

của HS4 “Ta thấy (*) có phần mũ giống nhau nên ta giải phần cơ số”. Kết quả thực

b thì a = b.

nghiệm cho thấy học sinh quan niệm α

Có rất ít học sinh sử dụng các chiến lược còn lại (1/72 học sinh (1,4%) dùng

chiến lược Scăn; 3/72 học sinh (4,2%) dùng chiến lược Shđt; không có học sinh nào

dùng chiến lược Slgr). Điều này phản ảnh sự tác động mạnh mẽ của biến V2.

Kết quả trên phản ánh đúng với phân tích tiên nghiệm của chúng tôi và cho

thấy sự tồn tại sai lầm của học sinh khi sử dụng quy tắc hành động R1 trong kiểu

nhiệm vụ “giải phương trình”.

Bài toán 2

Bảng 3.2. Thống kê các chiến lược giải bài toán 2 của học sinh

Chiến lược quan sát được Số lượng Tổng Tỉ lệ

Chiến lược “đưa về cùng số mũ” - Scsm

<

f a ( )

f b ( )

a b ⇔ < .

<

f a ( )

f b ( )

tắc hành động: Scsm.1: Sử dụng quy 12 26,4 % 19 Scsm.2: Đưa về dạng rồi so sánh a 7 và b.

26,4 % Chiến lược “lấy căn hai vế” - Scăn

n

n

a

a

b

b

< ⇔ <

tắc hành động: Scăn.1: Sử dụng quy 5

na

b< rồi lấy căn bậc n

19

Scăn.2: Đưa về dạng 14 hai vế.

13 13 18,1 % Chiến lược “logarit hóa” - Slgr

4 4 5,5 % Chiến lược “hằng đẳng thức” - Shđt

Chiến lược khác 3 3 4,2 %

Không làm bài 14 14 19,4 %

Tổng 72 72 100 %

Nhận xét

<

f a ( )

f b ( )

a b ⇔ <

Có 19/72 học sinh (26,4%) dùng chiến lược Scsm trong đó có 12/72 học sinh

(16,7%) dùng chiến lược Scsm.1 - Sử dụng quy tắc hành động:

f x là hàm số lũy thừa. ( )

trong đó

6

6

6

6

6

6

−

<

⇔ − < ⇔ <

5

x

4

2

5

x

4

5

x

4

2

x

2

Bài giải điển hình cho chiến lược Scsm.1:

)

( < ⇔ −

)

(

)

+ 2 4 5

. HS5: (

Các bài giải sử dụng chiến lược Scsm.1 đều trình bày giống với bài giải của

HS5.

Do sự lựa chọn giá trị của biến V2: b không có dạng aα (a ), đã có nhiều

tác động đến sự lựa chọn chiến lược của học sinh. Có 19/72 học sinh (26,4%) dùng ∈ ℚ

chiến lược Scăn; 32/72 học sinh (44,4%) sử dụng chiến lược Slgr và Shđt.

Có 14/72 học sinh (19,4%) không trình bày bài giải của mình, nhưng khi

quan sát bài làm trên giấy nháp của các em, chúng tôi nhận thấy chiến lược mà các

em nhắm đến là Slgr và Shđt. Tuy nhiên, do sự khó khăn mà các chiến lược này mang

lại nên không tìm được nghiệm của bất phương trình, vì vậy mà các em không trình

bày trên bài làm của mình.

Trong 19 học sinh dùng chiến lược Scsm có đến 12 học sinh dùng chiến lược

<

f a ( )

f b ( )

Scsm.1 (63,2%). Sự quan tâm của chúng tôi trong bài toán này là ứng xử của học sinh

f x là hàm số lũy thừa), vì vậy kết ( )

đối với bất phương trình dạng (với

quả này một phần chứng tỏ sự tồn tại sai lầm của học sinh khi sử dụng quy tắc hành

động R2 trong kiểu nhiệm vụ “giải bất phương trình”.

Như vậy, với kết quả thực nghiệm từ bài toán 1 và bài toán 2 chúng tôi đã

kiểm chứng được giả thuyết H2.

Bài toán 3

Bảng 3.3. Thống kê các chiến lược giải bài toán 3 của học sinh

Chiến lược quan sát được Số lượng Tổng Tỉ lệ

Chiến lược “đưa về dạng lũy thừa” - Slt

Slt.1: Chuyển từ cách viết căn sang cách viết

lũy thừa mà không quan tâm đến điều kiện 68 94,4 % của cơ số. 68

Slt.2: Chuyển từ cách viết căn sang cách viết 0 lũy thừa có xem xét đến điều kiện của cơ số.

Chiến lược “đổi biến số” - Sđbs

Sđbs.1: Đổi biến số để hợp thức cách viết biểu 0 thức chứa căn dưới dạng lũy thừa.

S đbs.2: Đổi biến số để khử biểu thức chứa căn

trong tích phân ban đầu (không quan tâm đến 1 4,2 % cận tích phân). 3

S đbs.3: Đổi biến số để khử biểu thức chứa căn

trong tích phân ban đầu (có quan tâm đến cận 0

tích phân).

2 S đbs.4: Kết hợp S đbs.1 và S đbs.2.

Chiến lược khác 1 1,4 % 1

Tổng 72 100 % 72

Nhận xét

Kết quả thực nghiệm cho thấy hầu hết học sinh sử dụng chiến lược Slt.1 (có

68/72 học sinh, chiếm tỉ lệ 94,4%).

Bài giải điển hình cho chiến lược Slt.1:

1

− 1

− 1

− 1

3

2

2 3

5 3

2 3

8 3

5 3

=

−

=

−

=

−

=

−

= −

I

x

x

dx

x

dx

x

dx

x

x

x

x

(

) 1

(

) 1

∫

∫

∫

3 8

3 5

4569 40

− 8

− 8

− 8

  

  

  

  

− 8

1

− 1

− 1

− 1

3

2

2 3

5 3

2 3

8 3

5 3

−

=

−

=

−

=

−

=

x

x

x

x

I

x

x

dx

x

dx

x

dx

HS6: .

(

) 1

(

) 1

∫

∫

∫

3 8

3 5

− 8

− 8

− 8

  

  

  

  

− 8

8 3

5 3

8 3

5 3

−

=

−

−

= −

− 8

− 8

HS7:

(

) − 1

(

) − 1

(

)

(

)

3 8

3 5

3 8

3 5

4569 40

  

  

  

  

.

Trong 68 bài giải dùng chiến lược Slt.1 có 61 bài trình bày giống với bài giải

3

2

x

x

của HS6, 7 bài trình bày giống với bài giải của HS7. Đối với bài giải của HS6, em

(

) 1−

1

8 3

5 3

−

x

x

chỉ quan tâm đến việc tìm nguyên hàm của hàm số mà không quan tâm

3 8

3 5

4569 40

 − 

  

  

  

− 8

đến việc tính giá trị biểu thức . Kết quả có được nhờ sử

dụng máy tính bỏ túi. Đối với bài giải của HS7, mặc dù viết dưới dạng lũy thừa với

số mũ hữu tỉ, em cũng không quan tâm đến điều kiện của cơ số. Như vậy học sinh

này quan niệm lũy thừa với số mũ hữu tỉ của một số âm tồn tại, vì tính được giá trị

của nó bằng máy tính.

Có 3/72 học sinh (4,2%) dùng chiến lược Sđbs trong đó có 2/72 học sinh

− 1

3

I

(2,8%) sử dụng chiến lược Sđbs.4. Tuy nhiên các em vẫn mắc sai lầm khi tính tích

2 x dx bằng chiến lược Slt.1.

2

= ∫

− 8

phân

Có 1/72 học sinh (1,4%) dùng chiến lược khác. Học sinh này dùng phương

dx

−

−

1

1

x

3

2

2 3

I

x

x

dx

x

dx

x

=

−

=

−

⇒

pháp tích phân từng phần như sau:

(

) 1

(

) 1

∫

∫

5 3

v

x

=

−

−

8

8

dv

=

 = − u 1   2  x dx 3 

3 5

 = u    

. Đặt …

2

2x thành

3x mà không quan tâm đến điều kiện

Tuy có sự khác nhau trong cách tiếp cận cách tính tích phân I nhưng học sinh

x

∈ − −

  . 8; 1

 

này vẫn mắc sai lầm khi viết 3

Như vậy có 71/72 học sinh (98,6%) mắc sai lầm khi chuyển từ hàm số căn

sang hàm lũy thừa để tính tích phân. Kết quả này chứng tỏ sự tồn tại quy tắc hợp

đồng didactic R ở hầu hết các học sinh.

Qua kết quả thực nghiệm, chúng tôi đã kiểm chứng được các giả thuyết đã

đặt ra. Mặc dù đối tượng thực nghiệm chỉ thu hẹp trên các học sinh học sách nâng

cao, nhưng do sự tương đồng của hai bộ sách (kết quả phân tích SGK) chúng tôi tin

rằng kết quả mẫu thực nghiệm này là đáng tin cậy, có thể đại diện cho một tổng thể

học sinh, kể cả học sinh học sách chuẩn.

KẾT LUẬN

Các nghiên cứu ở chương 1, 2, 3 cho phép chúng tôi tìm ra câu trả lời cho

các câu hỏi nghiên cứu được đặt ra trước đó. Sau đây là những kết quả chính đã đạt

được:

1. Phân tích chương 1 cho thấy:

na chính là kí hiệu cho tích của n thừa số

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

a. Tính chất của nó đều được suy ra từ tính chất của phép nhân trên tập số thực.

Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm được mở rộng từ lũy thừa với số

mũ nguyên dương sao cho bảo toàn các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

dương.

Có hai cách xây dựng lũy thừa với số mũ không nguyên (hữu tỉ và vô tỉ).

Cách 1: lũy thừa với số mũ không nguyên được xây dựng theo hướng mở rộng số

mũ (từ số mũ nguyên đến số mũ không nguyên) sao cho bảo toàn các tính chất có

được từ lũy thừa với số mũ nguyên. Theo cách tiếp cận này, lũy thừa với số mũ hữu

m

1

m n

a

1 n a

tỉ có hai cách định nghĩa khác nhau:

na tồn tại. Theo định nghĩa

m n

=  

  

Định nghĩa 1: với là phân số tối giản và

m n

này, lũy thừa với số mũ hữu tỉ định nghĩa cho mọi số thực a miễn là phân số tối

n

m

=

m na

giản và căn bậc n của a tồn tại.

a với a >0. Theo định nghĩa này, khi số mũ là số hữu tỉ thì

Định nghĩa 2:

cơ số phải dương.

)nx

)nxa

, trong đó ( là Lũy thừa với số mũ vô tỉ αa là giới hạn của dãy số (

α=y

x được định nghĩa thông qua hàm số mũ cơ số e:

dãy số hữu tỉ có giới hạn là α. Cách 2: lũy thừa với số mũ không nguyên aα chính là giá trị của hàm số expα tại a.

α

x

ln

=

∀ ∈ x

p x ( )

eα = x

Hàm số lũy thừa



* , α+

.

2. Phân tích chương 2, chúng tôi tìm thấy được sự lựa chọn của thể chế khi

trình bày các khái niệm lũy thừa và hàm số lũy thừa. Khái niệm lũy thừa được thể

chế trình bày theo hướng mở rộng số mũ, từ số mũ nguyên dương (bậc THCS) đến

số mũ nguyên âm, số mũ hữu tỉ, số mũ hữu tỉ (bậc THPT). Sự mở rộng này luôn

tuân thủ nguyên tắc: bảo toàn tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Hàm số lũy thừa được thể chế trình bày dựa trên kết quả của mở rộng khái

niệm lũy thừa, các tính chất của nó đều được suy ra từ tính chất lũy thừa của một số.

Vai trò của hàm số lũy thừa bị mờ nhạt trong chương trình phổ thông.

Phân tích quan hệ thể chế cho phép chúng tôi đưa ra các giả thuyết về sự tồn

tại quy tắc hợp đồng didactic, các quy tắc hành động khi giải quyết các kiểu nhiệm

vụ gắn liền với lũy thừa của một số và hàm số lũy thừa:

Quy tắc hợp đồng R: “Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tính hợp thức

của biểu thức dưới dấu căn khi viết một biểu thức chứa căn dưới dạng lũy thừa” gắn

với kiểu nhiệm vụ “Rút gọn biểu thức”, hoặc “Tìm nguyên hàm của hàm số dạng

( n ax b

)+ m

=

⇔ = a

b , với

f x là hàm số lũy ( )

”.

( f a

)

( ) f b

<

⇔ <

a b , với

f x là hàm số lũy thừa” gắn với kiểu nhiệm ( )

Các quy tắc hành động R1: “

)

( ) f b

thừa”; R2: “ ( f a

vụ “giải phương trình, bất phương trình chứa hàm số lũy thừa”.

3. Kết quả chương 3 cho thấy được sự tồn tại các giả thuyết mà chúng tôi đã

đặt ra, đặc biệt là quy tắc hợp đồng didactic R.

Kết quả của luận văn cho thấy:

Lũy thừa chỉ được hiểu đúng nghĩa đen của nó “nhân chồng lên” khi số mũ

là số nguyên dương. Khi số mũ không phải nguyên dương, lũy thừa chỉ được hiểu

bằng một biểu thức hình thức. Điều này đặt ra cho chúng tôi câu hỏi: có thể thiết kế

một tình huống dạy học để mang lại nghĩa “nhân chồng lên” của lũy thừa hay

không?

Sự tồn tại biểu thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ của một số âm trong các thể

chế khác nhau đã dẫn đến sai lầm ở hầu hết các học sinh khi viết một biểu thức chứa

căn dưới dạng lũy thừa mà không kiểm tra điều kiện của cơ số. Khắc phục sai lầm

này ở học sinh là điều cần thiết.

Chúng tôi nghĩ đây là những hướng có thể mở ra từ luận văn.

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm,

Đặng Hùng Thắng (2008), Giải tích 12 Nâng cao, Nxb Giáo dục.

2. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm,

Đặng Hùng Thắng (2008), Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục.

3. Jean - Marie Monier (2009), Giải tích 1,Giải tích 2, Nxb Giáo dục Việt Nam.

4. Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic toán,

Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.

5. Nguyễn Đình Trí (1999), Toán học cao cấp, Tập 2: Phép tính giải tích một biến

số, Nxb Giáo dục.

6. Nguyễn Hữu Lợi (2008), Khái niệm hàm số mũ ở trường trung học phổ thông,

Luận văn Thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh.

7. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận (2002),

Toán 6 Tập 1, Nxb Giáo dục.

8. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận (2002),

Sách giáo viên Toán 6, Tập 1, Nxb Giáo dục.

9. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận (2003),

Toán 7 Tập 1, Nxb Giáo dục.

10. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận (2003),

Sách giáo viên Toán 7 Tập 1, Nxb Giáo dục.

11. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

(2008), Giải tích 12, Nxb Giáo dục.

12. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất

(2008), Sách giáo viên Giải tích 12, Nxb Giáo dục.

Tiếng Anh

1. Alvin K.Bettinger, John A.Englund, Algebra and Trigonometry.

2. Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite series.

Phụ lục 1. Phiếu bài tập thực nghiệm trên học sinh (lớp 12)

Các em thân mến!

Phiếu này gồm 3 bài toán. Các em có 30 phút để trình bày lời giải ngay phía

dưới bài tập đã cho. Lời giải không nhằm để đánh giá các em mà để góp phần cải

thiện việc dạy và học Toán. Xin cám ơn sự tham gia của các em.

−

x

−

=

3

2

Họ và tên học sinh:………………………………………………Lớp

) 4

1 16

. Bài 1. Giải phương trình: (

.......................................................................................................................................

x −

5

4

< . 2

.......................................................................................................................................

)6

Bài 2. Giải bất phương trình (

.......................................................................................................................................

−

1

3

2

I

x

x

dx

=

−

.......................................................................................................................................

(

) 1

∫

−

8

Bài 3. Tính tích phân: .

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

NHÁP Ở ĐÂY

Phụ lục 2. Một số bài làm của học sinh

HS1

HS2

HS3

HS4

HS5

HS6

HS7