Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Mô hình hóa trong dạy học Hàm số ở lớp 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Kim Huệ

MÔ HÌNH HÓA

TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Huỳnh Thị Kim Huệ

MÔ HÌNH HÓA

TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở LỚP 12

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số

: 6014 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Thị Hoài Châu-

người đã cho tôi nhiều sự động viên về tinh thần cũng như những giúp đỡ về mặt

kiến thức. Cô đã dành những thời gian quý báu của mình để hướng dẫn và giúp tôi

hoàn thành luận văn này. Xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Cô!

Tiếp đến, tôi muốn gửi lời cảm ơn đến PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo

Thiên Trung, TS Nguyễn Thị Nga, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Vũ Như Thư

Hương. Các Thầy Cô đã giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những tri thức nền

tảng và quan trọng của bộ môn didactic Toán.

Bên cạnh đó, tôi cũng cảm ơn những góp ý của PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain

Birebent đối với hướng đi trong luận văn của tôi.

Tôi chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo

thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Cũng không thể không nhắc đến tập thể lớp 12T1 trường Trung học phổ thông

Nguyễn Thông (Tỉnh Long An). Cám ơn các em đã không ngại bỏ thời gian của mình để

cùng xây dựng tiết học thực nghiệm của luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình. Ba mẹ

và các em là nguồn động lực to lớn giúp tôi hoàn thành công việc của mình.

Huỳnh Thị Kim Huệ

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các cụm từ viết tắt

Danh mục các bảng MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ....................................................................................... 7

1.1. Mô hình hóa trong dạy học toán .......................................................................... 8

1.1.1. Khái niệm mô hình hóa ............................................................................... 8

1.1.2. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa ................................ 10

1.2. Thuyết nhân học trong Didactic Toán ................................................................ 11

1.3. Lý thuyết tình huống .......................................................................................... 11

1.4. Vấn đề tìm biểu thức xác định hàm số trong Vật Lý .................................... 14

1.5. Kết luận chương 1 .............................................................................................. 15

Chương 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ............................................................ 16

2.1. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Việt Nam ......... 18

2.1.1. Mô hình hóa hàm số trong chương trình và SGK Toán lớp 9 và lớp 10 ...... 18

2.1.2. Yêu cầu của chương trình Toán lớp 12 với việc dạy học mô hình hóa ..... 19

2.1.3. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách MN và EN ................. 19

2.1.4. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách MC và EC ................. 31

2.1.5. Kết luận ...................................................................................................... 32

2.2. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Mỹ .................... 33

2.2.1. Vấn đề mô hình hóa Toán học trong sách giáo khoa Mỹ .......................... 33

2.1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến vấn đề mô hình hóa trong dạy học

hàm số ........................................................................................................ 42

2.1.3. Kết luận ...................................................................................................... 46

2.3. So sánh và kết luận ............................................................................................. 47

2.3.1 So sánh vấn đề dạy học mô hình hóa ở Việt Nam và Mỹ ......................... 47

2.3.2. Kết luận chương 2 ..................................................................................... 48

Chương 3. THỰC NGHIỆM - XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG MÔ HÌNH HÓA

TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ ................................................................ 49

3.1. Thực nghiệm dạy học mô hình hóa hàm số ....................................................... 50

3.1.1. Mục đích xây dựng tình huống dạy học mô hình hóa .............................. 50

3.1.2. Đối tượng, hoàn cảnh và nội dung của thực nghiệm ................................ 51

3.1.3. Dự kiến kịch bản dạy học ......................................................................... 54

3.1.4. Phân tích tiên nghiệm ............................................................................... 58

3.1.5. Phân tích kịch bản dạy học ....................................................................... 72

3.1.6. Phân tích hậu nghiệm ............................................................................... 73

3.2. Kết luận chương 3 .............................................................................................. 86

KẾT LUẬN .................................................................................................................. 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 89

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

Cụm từ

Cụm từ viết đầy đủ của cụm từ viết tắt

viết tắt

MHH Mô hình hóa

KNV Kiểu nhiệm vụ

Giáo viên GV

Học sinh HS

Sách giáo khoa Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), MC Nxb Giáo dục

Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng MN chủ biên), Nxb Giáo dục

KNV Kiểu nhiệm vụ

SBT Sách bài tập

SGK Sách giáo khoa

SGV Sách giáo viên

Sách bài tập Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục EC

Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao (2008), Nguyễn Huy Đoan (Chủ EN biên), Nxb Giáo dục

Sách giáo viên Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), GC Nxb Giáo dục

Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng GN chủ biên), Nxb Giáo dục

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1. Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I sách MN

và sách EN .................................................................................................... 26

Bảng 2.2. Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương II sách

MN và sách EN ............................................................................................. 30

Bảng 2.3. Các KNV liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I, II sách

MC và sách EC .............................................................................................. 31

Bảng 2.4. Các KNV liên quan đến MHH dạy học hàm số trong sách M ..................... 46

Bảng 4.1. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 1 ....................................... 74

Bảng 4.2. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 2 ....................................... 75

Bảng 4.3. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 3 ....................................... 76

Bảng 4.4. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 4 ....................................... 77

Bảng 4.5. Bảng thống kê các bước của quá trình MHH trong các bài toán

thực nghiệm ................................................................................................... 79

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Hàm số là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán phổ thông ở Việt

Nam. Nội dung này được đề cập xuyên suốt trong chương trình môn Toán Trung học

cơ sở (bắt đầu ở năm lớp 7) và Trung học phổ thông. Người ta có thể sử dụng nhiều hệ

thống biểu đạt khác nhau để biểu thị hàm số, như hệ thống biểu đạt đại số (biểu thị

hàm số bằng biểu thức giải tích), hệ thống biểu đạt hình học (biểu thị hàm số bằng đồ

thị, biểu đồ). Mỗi hệ thống biểu đạt có những lợi thế riêng. Chúng không tồn tại riêng

lẻ, tách rời nhau mà có thể chuyển đổi qua lại hoặc cùng tồn tại song song với nhau.

Việc chuyển đổi giữa các hệ thống này có thể giúp học sinh hiểu rõ hơn về hàm số

đang xét và là một kỹ năng không thể thiếu trong việc sử dụng kiến thức về hàm số để

giải quyết các vấn đề trong thực tế hay các khoa học khác.

“Đối với học sinh, hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích. Vì vậy, họ gặp nhiều khó

khăn khi đối diện với các tình huống trong đó hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị”

Thế nhưng, theo kết quả nghiên cứu tác giả Nguyễn Thị Nga (2003) thì:

(Nguyễn Thị Nga (2003), tr.2)

Nguyên nhân dẫn đến hiện tượng này, theo nghiên cứu của tác giả, chính là sự lựa

chọn của sách giáo khoa (SGK) toán từ THCS đến THPT và thực tiễn dạy học (DH)

toán, ưu tiên cho hệ thống biểu đạt đại số. Lý do của sự lựa chọn chính là ưu thế của

hệ thống biểu đạt đại số: việc nghiên cứu hàm số sẽ trở nên tổng quát hơn mà lại thuận

lợi hơn, vì các tính chất của hàm số trên toàn tập xác định sẽ được chỉ ra một cách dễ

dàng, đặc biệt là với công cụ đạo hàm. Thế nhưng, việc sử dụng kiến thức đã được học

về hàm số vào các phạm vi ngoài toán học trở thành vấn đề nan giải đối với các em (vì

trong thực tiễn tương quan hàm số không phải lúc nào cũng được cho bằng biểu thức

giải tích).

Chính vì lý do trên, một số công trình nghiên cứu về vấn đề chuyển đổi từ bảng số

hay đồ thị sang biểu thức hàm số kết hợp với dạy học MHH (MHH) đã được tiến hành.

Chẳng hạn, trong số các luận văn Thạc sỹ ở Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh,

chúng tôi tìm thấy

 Phan Tấn Phú (2012), Mô hình hóa trong dạy học hàm số: Vấn đề tìm

mô hình hàm từ bảng giá trị, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học. Đại học Sư phạm

thành phố Hồ Chí Minh.

 Đinh Quốc Khánh (2012), Hàm số và đồ thị trong dạy học Toán ở

trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh.

Tuy nhiên các luận văn trên đây đều nghiên cứu việc chuyển đổi hệ thống biểu đạt

hàm số khi tương quan hàm có sẵn. Chẳng hạn, tác giả Phan Tấn Phú xem xét việc tìm

biểu thức hàm số khi đã biết sẵn bảng giá trị của hàm số.

Để sử dụng toán học vào nghiên cứu một vấn đề của thực tiễn, việc làm đầu tiên là

phải tìm được mô hình toán học phù hợp. Trong nhiều trường hợp, hàm số là những

yếu tố cần thiết cho mô hình đó. Nhưng công thức biểu thị hàm số không có sẵn, và

không phải bao giờ người ta cũng có thể tìm được công thức biểu thị chính xác hiện

tượng. Lúc này, tìm được một công thức mô tả hiện tượng “đúng” nhất trong chừng

mực có thể là điều cần thiết. Chúng tôi gọi đó là “hàm số xấp xỉ” (với hiện tượng cần

nghiên cứu).

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự đặt cho mình câu hỏi ban đầu như sau:

Học sinh có được cung cấp những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tìm mô hình

toán học cũng như xác định một hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu rồi từ đó

nghiên cứu vấn đề trong phạm vi ngoài Toán học bằng công cụ của hàm số hay

không?

Việc trả lời câu hỏi trên theo chúng tôi là rất cần thiết. Bên cạnh đó, chúng tôi chọn

khách thể nghiên cứu là học sinh lớp 12 vì đối tượng này đã được giảng dạy đầy đủ

các nội dung của hàm số ở chương trình phổ thông. Vì vậy, đề tài nghiên cứu được xác

định lại là:

“Mô hình hóa trong dạy học hàm số ở lớp 12”

2. Tổng quan về các công trình nghiên cứu có liên quan

 Luận văn thạc sĩ của Đinh Quốc Khánh về “Hàm số và đồ thị trong dạy học

toán ở trường phổ thông”

Nghiên cứu quá trình chuyển từ đồ thị sang biểu thức hàm số đồng thời ở cấp độ tri

thức khoa học và cấp độ tri thức cần giảng dạy để thấy rõ mục đích và kỹ thuật của

việc chuyển đổi nói trên.

Chỉ ra được các ràng buộc của sách giáo khoa ở trường phổ thông với vấn đề

chuyển từ đồ thị sang biểu thức đặt ra trên hai đối tượng hàm số bậc nhất và bậc hai.

Trong sách giáo khoa toán ở Việt Nam, vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức

hàm số và vấn đề MHH trong toán có xuất hiện. Nhưng xét về “mức độ quan tâm” thì

đây không phải là các vấn đề được thể chế coi là trọng tâm nhất.

Kết quả của việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn tại giả thuyết

nghiên cứu: “Kỹ năng chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực sự được

hình thành ở HS”.

Tác giả đã làm rõ quan hệ cá nhân của HS với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu

thức và vấn đề MHH nhằm hợp thức giả thuyết nghiên cứu được trình bày ở trên. Một

tiểu đồ án didactic đã được thiết kế nhằm dạy học việc chuyển đổi từ đồ thị sang biểu

thức hàm số.

Tuy nhiên, nghiên cứu này còn hạn chế trong việc chuyển từ đồ thị sang biểu thức

hàm số đối với hàm số bậc nhất và bậc hai.

 Luận văn thạc sĩ của Phan Tấn Phú về “Mô hình hóa trong dạy học hàm số:

Vấn đề tìm một mô hình hàm tử bảng giá trị”

Với nghiên cứu này, tác giả Phan Tấn Phú đã tìm hiểu về kỹ năng chuyển từ bảng

số sang biểu thức hàm số. Trong luận văn, chúng tôi tìm thấy phân tích thể chế về việc

xử lý bảng số liệu trong SGK Vật Lý 10 và hàm số biểu đạt bằng bảng.

Tác giả đã xây dựng thực nghiệm với một số bài toán xuất phát từ các vấn đề của

“Các bài toán thực nghiệm có liên quan đến các vấn đề thực tế hoặc ở môn học khác mà ở đây là

môn Vật lí. Trong bài toán có ngầm ẩn việc đi tìm công thức (có thể ở dạng xấp xỉ) một hàm số cho

bằng bảng”

thực tiễn. Cụ thể:

(Phan Tấn Phú (2012), tr.39).

Tuy nhiên, các bài toán thực nghiệm của luận văn này còn thu hẹp trong việc đi

tìm một hàm số từ bảng giá trị mà hàm số tìm được chỉ dừng lại ở hàm bậc nhất y = ax

+ b. Từ đó, tác giả đã đề ra những hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này là xây

dựng các bài toán thực nghiệm đi tìm hàm số từ bảng giá trị mà hàm tìm được không

là loại hàm số trên.

3. Hướng nghiên cứu đặt ra

Vấn đề chúng tôi quan tâm ở đây là nghiên cứu việc giảng dạy hàm số tích hợp với

việc tìm hiểu khả năng vận dụng kiến thức cũng như kỹ năng của học sinh vào các vấn

đề của thực tế.

Như vậy, với hướng nghiên cứu đặt ra ở trên thì luận văn có nhiệm vụ cụ thể như

- Tìm cách trả lời hai câu hỏi sau:

• Trong Toán học và một số lĩnh vực ngoài Toán học việc tìm một mô

hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước có tồn tại

hay không? Nếu có thì mục đích là gì?

• Trong chương trình Toán hiện hành (chương trình phổ thông) việc tìm

xấp xỉ một hàm số với tương quan hàm cho trước được đặt ra với những

hàm số nào? Vấn đề này được đặt ra một cách tường minh hay ngầm ẩn

đối với học sinh?

- Tìm cách xây dựng một thực nghiệm nhằm:

• Hình thành cho học sinh kỹ thuật tìm mô hình toán học cho một vấn đề

của thực tiễn cũng như tìm một hàm số xấp xỉ cho tương quan hàm ấy.

• Thực hiện việc dạy học MHH.

4. Câu hỏi nghiên cứu

Câu hỏi nghiên cứu ban đầu của chúng tôi được trình bày như sau:

Q1: Trong toán học, kỹ thuật nào cho phép thực hiện kiểu nhiệm vụ (KNV) tìm

biểu thức xác định hàm số (hay xấp xỉ với hàm số) trong một khoảng nào đó khi biết

hữu hạn điểm của hàm số? Nếu có, nó xuất phát từ nhu cầu nào của toán học và lĩnh

vực ngoài toán học?

Q2: Việc tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho

trước có tồn tại trong SGK Việt Nam hay không? Nếu có thì những tổ chức toán học

nào liên quan đến hai đối tượng này được nhấn mạnh? Vấn đề dạy học MHH có được

thể chế quan tâm đến khi xây dựng kiểu nhiệm vụ trên? Có sự khác biệt nào so với

sách giáo khoa của Mỹ?

Q3: Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng thế nào đến học sinh khi được đặt trước

những kiểu nhiệm vụ liên quan đến tìm biểu thức xác định hàm số đặc biệt khi những

kiểu nhiệm vụ đòi hỏi phải có mặt sự MHH.

Để trả lời được những câu hỏi trên chúng tôi xin dựa vào khung lý thuyết tham

chiếu là: Thuyết Nhân học, Lý thuyết tình huống. Các khái niệm này đã được trình bày

trong cuốn giáo trình song ngữ Việt – Pháp Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán

của Bessot A. và các tác giả, chúng tôi sẽ nhắc lại trong chương 1 của luận văn.

5. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Để trả lời câu hỏi Q1 chúng tôi sẽ tóm tắt các kết quả nghiên cứu đã có về vấn đề

hàm số xấp xỉ trong toán học cũng như một số ngành khoa học khác (cụ thể là Vật lý)

Trong chương 2, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK Giải tích lớp 12 cả hai ban

cơ bản (CB) và nâng cao (NC). Nghiên cứu thể chế này sẽ giúp chúng tôi trả lời câu

hỏi Q2. Bên cạnh đó, việc so sánh sự khác nhau giữa sách giáo khoa Việt Nam và của

Mỹ cũng được tiến hành để thấy rõ đặc trưng của mỗi thể chế (có thể nhìn lại những

hạn chế của sách giáo khoa Việt Nam).

Cuối cùng, chúng tôi sẽ tiến hành một thực nghiệm nhằm dạy học MHH hàm số.

Như vậy, luận văn gồm có: phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương.

Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề

tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và

cấu trúc của luận văn.

Chương 1. Cơ sở lý luận.

Chương 1 này sẽ giúp chúng tôi nhìn lại các công trình nghiên cứu đã có về dạy

học MHH hàm số (phân tích những kết quả khả quan cũng như những hạn chế). Từ đó,

chúng tôi sẽ có cái nhìn khách quan hơn trong phân tích thể chế của mình cũng như có

thêm cơ sở để đưa ra những giả thuyết nghiên cứu gần với thực tế hơn. Giải quyết

được vấn đề này chúng tôi sẽ trả lời được câu hỏi Q1.

Chương 2. Một nghiên cứu thể chế

Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế liên quan đến đối tượng tri thức cần

nghiên cứu trong sách giáo khoa Toán Việt Nam. Một so sánh với việc dạy-học MHH

trong quyển sách của Mỹ sẽ được tiến hành.

Chương 3. Thực nghiệm

Thực nghiệm nhằm triển khai tình huống MHH trong dạy hàm số ở lớp 12.

Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3

của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn.

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN

Mục tiêu của chương này là:

 Tìm hiểu về dạy học MHH và sự cần thiết của việc dạy học MHH.

 Tìm hiểu những kết quả đạt được của một số nghiên cứu về MHH trong dạy học

hàm số.

 Tổng kết lại vấn đề tìm một hàm số xấp xỉ trong toán học, các kiểu nhiệm vụ

cũng như kỹ thuật trong các công trình liên quan.

Để thực hiện được mục tiêu đề ra, chúng tôi buộc phải tham khảo thật kỹ các tài

liệu sau đây:

- Nguyễn Thị Tân An (2013), Xây dựng các tình huống hổ trợ quá trình toán học

hóa – Tạp chí khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh Số

48(62)/KHGD

- Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga (2011), Mô hình hóa toán học các hiện tượng

biến thiên trong dạy học nhờ hình học động – dự án nghiên cứu MIRA, Tạp chí

khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh Số 28(62)/KHGD

- Lê Thị Hoài Châu (2013), Tích hợp trong dạy học toán, tài liệu bồi dưỡng giáo

viên.

- Quách Huỳnh Hạnh (2009), Nghiên cứu thực hành giảng dạy thống kê mô tả ở

trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TPHCM.

- Đinh Quốc Khánh (2012), Hàm số và đồ thị trong dạy học Toán ở trường phổ

thông, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học. Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí

Minh.

- Nguyễn Thị Nga (2013), Nghiên cứu một đồ án dạy học hàm số tuần hoàn bằng

mô hình hóa toán trong môi trường hình học động, Tạp chí khoa học giáo dục

trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh Số 45/KHGD.

- Phan Tấn Phú (2012), Mô hình hóa trong dạy học hàm số: Vấn đề tìm mô hình

hàm từ bảng giá trị, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học. Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh.

- Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông, Nhà

Xuất bản ĐH quốc gia TPHCM.

Kết quả của chương này sẽ đóng vai trò là cơ sở phương pháp luận và là nền tảng

tri thức để chúng tôi trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu cũng như hướng đi cho những

phân tích ở chương sau:

1.1. Mô hình hóa trong dạy học toán

1.1.1. Khái niệm mô hình hóa

1.1.1.1. Khái niệm mô hình hóa

Theo Từ điển bách khoa toàn thư, MHH toán học là sự giải thích toán học cho một

hệ thống toán học hay ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt

ra trên hệ thống này.

1.1.1.2. Quá trình mô hình hóa toán học

Quá trình MHH một hệ thống ngoài toán học đã được Coulange tóm tắt bằng một

sơ đồ, trong đó bước 1 được tác giả đặt tương ứng với bước chuyển từ lĩnh vực ngoài

toán học vào lĩnh vực phỏng thực tế. Mô hình này được tác giả Lê Văn Tiến mô phỏng

lại trong Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông. Chúng tôi xin mô phỏng

lại như sau:

Phạm vi ngoài toán

Hệ thống hay tình huống ngoài toán

Câu trả lời cho BT thực tiễn

Câu hỏi trên hệ thống này (Bài toán thực tiễn)

Bài toán phỏng thực

Câu trả lời cho bài toán phỏng thực tiễn

Phạm vi phỏng thực tiễn

Mô hình phỏng thực tiễn

Câu trả lời cho bài toán toán

Giải

Bài toán toán học

học

Mô hình toán học

Phạm vi toán học

“Dạy-học mô hình hóa là một yêu cầu tự nhiên của việc hoàn thiện, nâng cao năng lực học sinh,

cũng là cách để giúp họ biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết các vấn đề thực tế

một cách hiệu quả”

Trước hết, chúng tôi xin nói về vai trò của việc dạy-học MHH

(Quách Huỳnh Hạnh (2009), tr.9)

Như vậy, vai trò quan trọng trên của việc dạy học MHH có thể được vận dụng để

thực hiện mục tiêu của dạy học toán-cung cấp cho học sinh một số vai trò công cụ của

tri thức toán học. Đồng thời, học sinh có thể vận dụng chúng vào việc giải quyết các

“Một cách tổng quát hơn, việc tăng cường các bài toán thực tiễn trong dạy học toán còn nhắm đến

một mục tiêu xa hơn, quan trọng hơn và mấu chốt hơn của dạy học toán, đó là dạy học mô hình hóa

và dạy học bằng mô hình hóa”

vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.

(Lê Văn Tiến (2005), tr.171).

Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi chỉ quan tâm đến vấn đề dạy học

MHH. Và quá trình MHH toán cho một vấn đề thực tiễn thường trải qua các bước:

“Bước 1: Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan

trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng ta phải tuân theo.

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ

toán học cho mô hình định tính. Khi có một hệ thống ta chọn các biến cố đặc trưng cho các trạng thái

của hệ thống. Mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến cố và hệ số điều khiển hiện tượng.

Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai.

Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp cho phù hợp.

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Trong phần này phải xác

định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả của tính toán với vấn đề thực tế”

(Quách Huỳnh Hạnh (2009), tr. 8-9).

Ở bước 4 trên có thể xảy ra một hai khả năng:

 Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế.

Khi đó cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các thuật

toán đã sử dụng, kết quả thu được.

 Khả năng 2: mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế.

Trường hợp này ta phải tìm nguyên nhân. Có thể đặt ra những câu hỏi sau:

- Các kết quả ở bước thứ ba có đủ độ chính xác không?

Để trả lời, người ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã

sử dụng. Như vậy, trong trường hợp này, người ta tạm chấp nhận mô hình toán học

(hay mô hình trung gian) được xây dựng là thỏa đáng.

- Mô hình toán học xây dựng như thế đã thỏa đáng chưa? Nếu chưa thì

phải xây dựng lại. Với câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã

xây dựng, nhưng phải xem lại mô hình toán học đã lựa chọn.

- Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh được đầy đủ hiện tượng

thực tế không? Nếu không thì phải rà soát lại bước một xem có yếu tố, qui

luật nào bị bỏ sót không.

1.1.2. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa

Việc dạy học MHH đang là vấn đề đang được đặt ra cho việc dạy học Toán. Mục

đích là nâng cao năng lực toán cho học sinh và việc dạy học mà chủ yếu là“Cách thức

xây dựng mô hình toán học để giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra” (Lê

Thị Hoài Châu, Vũ Như Thư Hương (2013), tr.3, 4).

Dạy học MHH thường được tổ chức theohai tiến trình:

Tiến trình thức nhất: Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức → Vận dụng tri thức vào việc giải quyết các bài toán

thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học.

Tiến trình thức hai: Xuất phát từ vấn đề thực tiễn → xây dựng mô hình toán học → câu trả lời cho bài toán thực tiễn → thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức → vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà

tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp.

Tiến trình dạy học thứ nhất, được gọi là dạy học MHH, tiết kiệm được thời gian

nhưng làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học, và do đó làm mất đi

nghĩa của tri thức. Hơn nữa, trong trường hợp này, một cách rất tự nhiên học sinh sẽ

không lưỡng lự gì và hướng ngay đến việc xây dựng một mô hình toán học phù hợp

với tri thức được đưa vào. Liệu vượt ra khỏi bối cảnh ấy, họ có thể xây dựng được mô

hình toán học phù hợp hay không?

Tiến trình thứ hai, bản chất là dạy học toán thông qua dạy học MHH, cho phép

khắc phục khuyết điểm này.Ở đây tri thức cần giảng dạy sẽ được hình thành từ quá

trình nghiên cứu thực tiễn, nảy sinh với tư cách là kết quả hay phương tiện giải quyết

vấn đề.Người ta gọi đây là dạy học bằng MHH.

Như vậy, dạy học mô hình hoá và dạy học bằng MHH là con đường để nâng cao

năng lực hiểu biết toán cho học sinh.Như vậy, để đạt được mục đích dạy toán thì cần

thiết phải tính đến vấn đề MHH trong dạy học.

1.2. Thuyết nhân học trong Didactic Toán

Đầu tiên chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm sau: chuyển đổi didactic, quan hệ thể

chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, khái niệm tổ chức toán học.

Các đối tượng mà chúng tôi xem xét trong luận văn này là “Tìm hàm số xấp xỉ với

tương quan hàm ban đầu” và “vấn đề MHH” trong dạy học hàm số ở bậc Trung học

phổ thông mà chủ yếu là lớp 12. Chúng tôi xin gọi đó là Vấn đề MHH trong việc “Tìm

hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu”. Các tài liệu được xem xét ở đây là sách

giáo khoa hàm số ở Giải tích lớp 12 theo chương trình, SGK hiện hành và quyển sách-

James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole.

Quan hệ của thể chế I với đối tượng tri thức O là một khái niệm cơ bản của Thuyết

nhân học trong didactic toán. Nó phản ánh quá trình nảy sinh, tồn tại và phát triển của

O trong I. Trong Thuyết nhân học còn có khái niệm trường sinh thái của đối tượng O,

cho biết vai trò, chức năng, nơi lưu trú, điều kiện để O tồn tại và phát triển. Tổ chức

toán học là một khái niệm khác của Thuyết nhân học, được dùng để nghiên cứu quan

hệ thể chế với đối tượng O.

Để tạo cơ sở tham chiếu cho việc phân tích quan hệ thể chế R(I1, O1), trước hết

chúng tôi sẽ nghiên cứu xem O1 tồn tại ra sao trong toán học cũng như trong các khoa

học khác. Chúng tôi sẽ xem xét các công trình có liên quan để tìm hiểu vấn đề “Tìm

hàm số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu”. Việc phân tích thể chế sẽ được tiến hành

ở bậc Trung học phổ thông chủ yếu là chương trình và SGK Giải tích lớp 12. Đồng

thời, sẽ có so sánh với sách giáo khoa của Mỹ đã được đề cập.

1.3. Lý thuyết tình huống

Dựa trên kết quả nghiên cứu thể chế cho phép chúng tôi dự đoán những khó khăn

của học sinh khi đối diện với một tình huống thực tế buộc phải tìm một mô hình toán

học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước. Từ đó, dựa vào khái niệm đồ án

dạy học trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý thuyết MHH chúng tôi sẽ xây dựng

các tình huống dạy học nhằm hình thành cho học sinh kỹ thuật giải quyết vấn đề cũng

như khắc phục được những khó khăn gặp phải. Trong các tình huống thực nghiệm của

mình, chúng tôi đều lựa chọn xây dựng theo các ràng buộc thể chế.

1.4. Vấn đề tìm hàm số xấp xỉ trong Toán học

Trong toán học, đa số các tương quan hàm số thường được cho dưới dạng

bảng.Vấn đề chỉ là loại hàm số nào sẽ là xấp xỉ tốt nhất cho tương quan hàm ấy?

Về mặt giải tích toán học, theo công thức khai triển Taylor thì mọi hàm số khả vi

cấp n+1 có thể xấp xỉ bằng một đa thức bậc bé hơn hoặc bằng n. Vì vậy, người ta hay

xấp xỉ những hàm số cho bằng bảng bởi hàm đa thức.

Tham khảo từ luận văn của tác giả Đinh Quốc Khánh (2012) thì đa thức nội suy

“Đa thức này được xây dựng như sau. Cho bảng số liệu

…

Tìm đa thức nội suy bậc n có dạng

+

a 0

a x 1

( ) P x n

a x n

với mọi i từ 0 đến n. Người ta chứng minh được đa thức này là duy nhất

thỏa mãn

)

( P x n i

y= i

và được tính bởi công thức:

( ) P x n

( ) y L x i i

n ∑= = 0 i

với

−

(

)

x i

− 1

x i

+ 1

”

( ) L xi

−

xn −



x (

)

) x 1 ) 

)( x )(

 )

(

( x i

)( x 0 )( x i

(  ( x i

x i

x 1

x 0

− 1

+ 1

(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.13)

Lagrange là một trong những đa thức được chọn để xấp xỉ cho hàm số ban đầu.

Và cũng theo nghiên cứu này, chúng tôi tổng kết lại được hai tổ chức toán học sau

liên quan đến việc tìm hàm số xấp xỉ trong toán cao cấp:

 KNV1: Tìm biểu thức xác định của hàm số (Tìm một hàm số sao cho 1, với i = 0, 1, 2, …, n”) nó nhận giá trị yi tại x = xi

1Trong đó xi được gọi là các nút nội suy, yi là các giá trị (hàm) nội suy với = 0

 KNV2: Tính giá trị của hàm số tại bất kì giá trị nào của biến (Hàm số

f được cho bởi (n + 1) nút nội suy. Tìm giá trị của f tại điểm x tùy ý thuộc

tập xác định và không trùng với nút nội suy nào)

Cụ thể:

 KNV1: Tìm một hàm số sao cho nó nhận giá trị yi tại x = xi, với

i = 0, 1, 2,…, n.

−

− x x

Kỹ thuật gồm hai bước :

0,n

- Lập (n + 1) đa thức Lagrange cơ sở li(x) : )

( l x i

)

−

− i 1 x

( x

+ i 1 x

) n − x

− i 1

+ i 1

)( )( x

( ) x x ... x x ( ) x ... x

)( − x x )(

(

( ... x x ( ) ... x

)

- Lập đa thức nội suy Lagrange :

) ( L x :

( y l x i

)

= ∑

= i 0

Công nghệ: phương pháp nội suy Lagrange.

(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.15)

 KNV2: Hàm số f được cho bởi (n + 1) nút nội suy. Tìm giá trị của f

tại điểm x tùy ý thuộc tập xác định và không trùng với nút nội suy nào.

+ +

≠ , là đa thức nội suy của f.

Kỹ thuật

a x ... a x ,a 1

) P x : a

(

- Gọi

- Thay giá trị của (n + 1) nút (xi, yi), i = 0, 1, …, n vào Pn(x) để tìm các hệ

số ai.

- Sau đó thay giá trị đã cho của x vào Pn(x) để có giá trị của f tại x.

“Giá trị tìm được thường là giá trị xấp xỉ với f(x), bởi đa thức nội suy là một hàm số xấp xỉ với f”

(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.16)

Ở đây, có một lưu ý rất quan trọng rằng

Như vậy, phương pháp nội suy Lagrange cho phép tìm lại hàm số xấp xỉ với hàm

số ban đầu trong khoảng lân cận của n+1 các điểm được cho trước với điều kiện hàm

số ban đầu phải là hàm liên tục và khả vi đến cấp n+1.Và khi tìm được biểu thức hàm

số chúng ta có thể sử dụng những kiến thức toán học về hàm số để nghiên cứu chính

nó hoặc trả lời cho các hiện tượng của thực tiễn.

1.5. Vấn đề tìm biểu thức xác định hàm số trong Vật Lý

Vật lý là một ngành khoa học thực nghiệm trong có Động học chất điểm chuyên

nghiên cứu những đặc trưng của chuyển động và những dạng chuyển động khác nhau.

Cũng tổng hợp từ Đinh Quốc Khánh (2012), chúng tôi tìm thấy vấn đề tìm biểu thức

hàm số thường được gắn với kiểu nhiệm vụ sau:

Kiểu nhiệm vụ TQT: “Tìm quỹ tích chuyển động của một chất điểm”

Bước 2: Chọn hệ quy chiếu cho chuyển động.

Bước 3: Thiết lập phương trình chuyển động tương ứng (các phương trình này chính là các hàm

của thời gian).

Bước 4: Từ phương trình kết luận quỹ đạo chuyển động của chất điểm.”

(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.19)

Kĩ thuật được vận dụng là τ QT: “Bước 1: Phân tích lực để dự đoán chuyển động.

Để làm rõ thêm về kiểu nhiệm vụ này chúng tôi xét ví dụ sau:

Ví dụ.

“Từ một đỉnh tháp cao h = 25m ta ném một hòn đá theo phương nằm ngang với vận tốc v0 =

15m/s. Xác định:

a. Quỹ đạo của hòn đá.

b. Thời gian chuyển động của hòn đá (từ lúc ném đến lúc chạm đất)”

(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.19)

x x O

y N

M y

 Lời giải: Lời giải sau thu được từ việc sử dụng kỹ thuật τQT

 “Ta thấy hòn đá chịu tác động của hai lực: trọng lực p

hướng xuống và chuyển động theo

phương nằm ngang với vận tốc v0. Chuyển động này có hai thành phần kéo xuống và kéo ngang nên

chuyển động tổng hợp của hòn đá sẽ là chuyển động cong trong mặt phẳng đứng chứa

. Để giải

 0v

bài toán cần xác định phương trình chuyển động của hòn đá.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy: gốc O trùng với điểm hòn đá bắt đầu chuyển động, trục Ox nằm ngang,

trục Oy thẳng đứng hướng xuống phía dưới. Chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu ném đá.

Gọi x, y là tọa độ hòn đá tại thời điểm t.

Theo phương nằm ngang Ox, hòn đá chuyển động với vận tốc v0, do đó theo công thức chuyển

động thẳng đều:

(1)

v t 0

Theo phương thẳng đứng Oy, hòn đá rơi tự do với gia tốc g, do đó theo công thức quãng đường

rơi tự do:

(2)

(1) và (2) chính là các phương trình chuyển động của hòn đá.

a. Khử t trong các phương trình (1) và (2) ta có phương trình của quỹ đạo.

Từ (1) có

x v

Thay vào (2), ta có:

g 2v

2 0

0,y

≤ nên quỹ đạo của hòn đá chỉ là nhánh parabol OM

Vì x b. Khi hòn đá chạm đất y = h. Gọi τ là thời gian chuyển động của hòn đá. Từ (2) suy ra:

2.25

τ =

2, 26 (s)

”

9, 81

(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.20)

1.6. Kết luận chương 1

Các kết quả đã đạt được trong nghiên cứu chương 1.

- Xét các KNV liên quan đến việc tìm biểu thức giải tích của hàm số: có hai kiểu

nhiệm vụ

 KNV1: Tìm biểu thức xác định của hàm số (Tìm một hàm số sao cho

nó nhận giá trị yi tại x = xi, với i = 0, 1, 2, …, n)

 KNV2: Tính giá trị của hàm số tại bất kì giá trị nào của biến (Hàm số

f được cho bởi (n + 1) nút nội suy. Tìm giá trị của f tại điểm x tùy ý thuộc

tập xác định và không trùng với nút nội suy nào)

KNV1, KNV2 thường được gắn với các bài thực tiễn, do đó việc giải quyết chúng

sẽ giúp ta phần nào thấy được vai trò của Toán học nói chung và của hàm số nói riêng

trong thực tế.

a, b

- Xét về quá trình tìm biểu thức xác định hàm số:

∈ 

  nào đó

Trong Toán học muốn phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị x

a, b

x ,x ,...,x 1

  . Ta tìm một đa thức bậc n dạng:

+ +

≠ 0

a x ... a x ,a 1

∈  (

) P x : a

0,n=

∈

mà chỉ biết một số hữu hạn gồm (n + 1) giá trị của hàm số tại các điểm rời rạc

R , sao cho Pn(x) trùng với f(x) tại các mút xi, i

a ,a ,...,a 1

( P x n

)

( f x

)

với , nghĩa là

a, b

Đa thức Pn(x) tìm được đó gọi là đa thức nội suy. Xin nhấn mạnh đa thức này chỉ

∈ 

  .

xấp xỉ với hàm số ban đầu trong khoảng x

Như vậy, trong lĩnh vực toán học thì ta cần biết một tập hữu hạn rời rạc các điểm

thuộc đồ thị và sử dụng các công cụ đã nêu trên để nội suy biểu thức hàm số.

Trong vật lí cơ học hay cụ thể hơn trong cơ học chất điểm để tìm chuyển động hay

quỹ tích của một chất điểm chuyển động ta thường gắn vào hệ quy chiếu một hệ tọa

độ, sau đó thiết lập các phương trình chuyển động tương ứng. Các phương trình này

chính là các hàm của thời gian t. Nhưng việc tìm biểu thức hàm số xấp xỉ này chỉ được

tiến hành đối với bài toán tổng quát. Sau đó, kết quả được áp dụng trong các bài toán

cụ thể. Học sinh chỉ cần nhớ các công thức và thay các dữ kiện cần thiết vào.

Những kết quả đạt được ở chương 1 sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích sách

giáo khoa mà chúng tôi sẽ thực hiện ở chương

Chương 2. MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ

Mục tiêu chương 2 là tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi

Q2: Việc tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho

trước có tồn tại trong SGK Việt Nam hay không? Nếu có thì những tổ chức toán học

nào liên quan đến hai đối tượng này được nhấn mạnh? Có sự khác biệt nào so với SGK

Mỹ?

Hay cụ thể hơn nghiên cứu thể chế sẽ giúp chúng tôi làm rõ: Các KNV liên quan

đến tìm một mô hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước. Bên

cạnh đó, các KNV có liên quan sẽ giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối

tượng tri thức này.

Tài liệu chúng tôi dùng để phân tích

1. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương và Cấn Văn Tuất (2007).

Giải tích 12. NXB Giáo dục. (kí hiệu MC)

2. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên

(2007). Giải tích 12 Sách giáo viên. NXB Giáo dục.

3. Vũ Tuấn, Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên

(2011). Bài tập Giải tích 12. NXB Giáo dục Việt Nam.

4. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm,

Đăng Hùng Thắng (2007). Giải tích 12 (nâng cao). NXB Giáo dục. (kí hiệu

MN)

5. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm,

Đăng Hùng Thắng (2007). Giải tích 12 (nâng cao) Sách giáo viên. NXB

Giáo dục.

6. Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị

Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đăng Hùng Thắng (2007). Bài tập Giải tích 12

(nâng cao).

7. James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals,6th edition,

Brooks/Cole (kí hiệu M).

Bằng cách so sánh sự khác nhau giữa SGK Việt Nam và quyển sách của Mỹ để

thấy rõ đặc trưng của mỗi sách. Từ đó chúng tôi có thể nhìn lại những ưu thế và hạn

chế của SGK Việt Nam.

2.1. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Việt Nam

2.1.1. Mô hình hóa hàm số trong chương trình và SGK Toán lớp 9 và lớp 10

Trong khuôn khổ luận văn của mình chúng tôi tập trung phân tích vấn đề “MHH

trong dạy học hàm số ở lớp 12”. Tuy nhiên, muốn tìm hiểu thêm về “cuộc sống” của

đối tượng này hàm trong sách giáo khoa Toán lớp 9 và 10, chúng tôi tham khảo phần

phân tích các tổ chức toán học liên quan MHH trong dạy học hàm số trong luận văn

của Đinh Quốc Khánh. Kiểu nhiệm vụ chúng tôi quan tâm ở đây là “TTBTHS (Tìm biểu

thức hàm số)” chiếm tỉ lệ 3/48 (6, 25%)”

“…Các bài tập có nội dung thực tiễn được đưa vào SGK toán 9 đều được viết dưới dạng một bài

toán, việc của học sinh chỉ là giải toán. Không có bài tập nào yêu cầu thực hiện bước 1 và bước 2_

bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học, điều này cho

thấy vấn đề mô hình hóa toán học đã không được tính đến”

(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.41)

Và kèm theo đó là nhận định:

Tác giả cũng phân tích kiểu nhiệm vụ “TTBTHS (Tìm biểu thức hàm số)” trong sách

“Các bước trong kĩ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ nói trên đều tương ứng với các bước của quá

trình mô hình hóa…đây chính là các bước 1, bước 2 và bước 3 điều này cho thấy vấn đề mô hình hóa

có mặt trong dạy-học hàm số ở lớp 10”.(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.47)

giáo khoa toán lớp 10. Và khẳng định

Như vậy, vấn đề MHH có mặt trong dạy học hàm số ở lớp 10 nhưng theo chúng tôi

nó chưa được quan tâm đúng mực và chưa thể hiện được những mục tiêu mà chương

“Về thực tiễn, học sinh thấy được rằng: Toán học là môn khoa học trừu tượng, nhưng các vấn đề

toán học nói chung cũng như vấn đề hàm số nói riêng lại thường được xuất phát từ việc nghiên cứu

các bài toán thực tế.”(Đinh Quốc Khánh (2012), tr.28)

trình đặt ra

Nhận xét: chúng tôi thấy rằng có bước tiến triển trong việc dạy học MHH hàm số.

Nếu như ở sách giáo khoa Toán lớp 9 “vấn đề mô hình hóa toán học đã không được

tính đến” thì sang sách giáo khoa Toán lớp 10 “vấn đề mô hình hóa có mặt…nhưng nó

chưa được quan tâm đúng mực”. Liệu rằng trong chương trình và SGK Toán lớp 12

thì quá trình MHH có được chú trọng hay không? Nếu có thì ở mức độ nào? Những

phân tích tiếp theo trong chương này sẽ cho phép chúng tôi giải trả lời câu hỏi trên.

2.1.2. Yêu cầu của chương trình Toán lớp 12 với việc dạy học mô hình hóa

Nhìn lại chương trình Toán 12 Việt Nam, chúng tôi bắt gặp quan điểm quan trọng

“Mục tiêu đầu tiên của xây dựng chương trình cần đạt được là ý nghĩa, ứng dụng của những kiến

thức Toán học vào đời sống, vào việc phục vụ các môn học khác. Do đó cần tăng cường thực hành và

vận dụng, thực hiện dạy học phải gắn với thực tiễn”

(Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, Bộ Giáo dục và Đào tạo, năm 2006, tr.7)

như sau:

+Lựa chọn các kiến thức cơ bản, cập nhật, thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giảm, phù hợp

với trình độ nhân thức của học sinh, thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung giáo dục, thể hiện

vai trò công cụ của môn Toán.

+Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền với thực tiễn.

+Tạo điều kiện đẩy mạnh vận dụng các phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động,

sáng tạo. Rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, phát triển năng lực trí tuệ chung.

(GN, tr.4)

Mục tiêu này cụ thể hóa lại như sau:

Như vậy, trong mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông do Bộ Giáo Dục và

Đào Tạo xác định “tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học phải gắn với

thực tiễn” hay nói khác hơn đó chính là phải chú trọng dạy MHH.

2.1.3. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách MN và EN

Với EN là ký hiệu sách bài tập Giải tích lớp 12 ban nâng cao.

a) Phân tích chương I

Trong phần này, chúng tôi xin tập trung phân tích vào những nội dung về hàm số

có liên quan đến dạy học MHH hay những vấn đề có liên quan đến thực tiễn.

Chương này gồm các bài học sau:

 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 Cực trị của hàm số.

 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

 Tiệm cận.

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Chúng tôi xin bắt đầu bằng một ví dụ trong bài “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

của hàm số”. Theo chúng tôi, ví dụ này là “sự xuất hiện lần đầu tiên” của kiểu nhiệm

vụ tìm biểu thức xác định hàm số cùng với sự hiện diện của quá trình MHH.

“Một hộp không nắp được làm từ một mảnh cáctông theo mẫu hình 1.4. Hộp đáy là một hình

vuông cạnh x (cm), đường cao h (cm) và có thể tích là 500 cm3.

Hãy biễu diễn h theo x.

Tìm diện tích S(x) của mảnh các-tông theo x.

Tìm giá trị của x sao cho S(x) nhỏ nhất.”(MN, tr.20)

Ví dụ 3: (MN, tr.20)

“Thể tích của hộp là

Thể tích của hộp là

, x>0

2 x h .

500

(cm3). Do đó

500 2

Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là

S x ( )

Từ a) ta có

2000

, x>0

( ) S x

Ta tìm

x > sao cho

( )S x đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0,

)+∞ . Ta có

−

'( ) S x

2000 2

− 1000) 2

= ⇔ =

S x '( )

Bảng biến thiên của S trên khoảng (

) 0, +∞

Sách giáo khoa đưa ra bài giải như sau.

x =

0, +∞ hàm số S đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (

)

Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp chữ nhật là

(cm).”(M, tr,20,

x =

21)

Như vậy, ví dụ trên đáp ứng được mục tiêu đề ra của thể chế là cho học sinh thấy

được toán học nói chung và hàm số nói riêng có liên quan đến thực tế.

Bên cạnh đó, chúng tôi thấy hiện diện các bước để tìm ra biểu thức xác định hàm

số như sau:

Bước 1: Xác định biến, điều kiện của biến.

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập được công thức hàm số

(Cụ thể trong bài toán này là dựa vào công thức thể tích của hình hộp)

Bước 3: Lập công thức hàm số ; tìm GTLN của hàm số và trả lời cho bài

toán thực tế. 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Nhìn chung, thể chế đã chỉ ra các bước thực hiện để tìm ra biểu thức hàm số. Hay

nói đúng hơn vấn đề MHH trong dạy học hàm số đã có mặt được trong ví dụ này. Tuy

nhiên, các bước của quá trình MHH không được làm rõ. Cụ thể, bước 1 của quá trình

MHH không được hiện diện một cách rõ ràng và đúng nghĩa vì học sinh không cần tìm

bất kỳ mô hình trung gian nào. Và bước kiểm tra lại tính đúng đắn của mô hình toán

học cũng không được tìm thấy.

 Các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến vấn đề MHH

f x ( )

rồi tìm GTLN (GTNN) của  KNV TN1: Tìm biểu thức xác định

f x ( )

hàm số

+ c

 KNV TN2: “Tính tốc độ tăng trưởng dân số vào một thời điểm”

 KNV TN3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai

 KNV TN4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai

. = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 +

𝑎𝑥

𝑐𝑥+𝑑

𝑑 và tìm giá trị của biến để hàm  KNV TN5: Tìm hàm phân thức

số đạt GTLN (GTLN) 𝑦 =

Chúng tôi xin phân tích cụ thể các kiểu nhiệm vụ:

f x ( )

rồi tìm GTLN (GTNN) của  KNV TN1: Tìm biểu thức xác định

f x ( )

hàm số

Như vậy, với cách giải của sách MN đề xuất ở trên chúng tôi tìm thấy hai yếu tố

của kiểu nhiệm vụ TN1

Kĩ thuật :

+ Tìm đại lượng chưa biết dựa vào các dữ kiện của bài toán. 𝝉𝟏

S x ( )

+ Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng.

+ Dựa vào công thức tính diện tích hình hộp thiết lập hàm số:

+ Trả lời cho bài toán thực tế.

: Công nghệ

+Công thức tính diện tích hình hộp 𝜽𝑵𝟏

+Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

 KNV TN2: “Tính tốc độ tăng trưởng dân số vào một thời điểm”

“Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được tính bởi công thức

t ( )

(f(t) được tính bằng nghìn người)

Tính số dân của thị trấn vào năm 1980 và năm 1995.

t '( )

0; +∞

Xem f là một hàm số xác định trên nửa khoảng

. Tính

và xét chiều biến thiên của

)



0; +∞

hàm số f trên nửa khoảng

)



Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm)

Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990 và năm 2008 của thị trấn.

Vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm”

(MN tr.9)

Ví dụ 1 (Bài tập 10, Sách MN tr.9)

Kĩ thuật :

+Tốc độ tăng trưởng dân số chính là đạo hàm của của hàm số f (với hàm f là hàm 𝝉𝑵𝑵

số biểu thị cho số dân).

+Tính . là tốc độ tăng trưởng dân số vào thời điểm

𝑓′(𝑡0) 𝑡0

Công nghệ :

+ . c

“Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn” (MN, tr.9) 𝜽𝑵𝑵

 KNV TN3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai

“Một tạp chí được bán với giá 20 nghìn một cuốn. Chi phí cho xuất bản là x cuốn tạp chí (bao

gồm lương cán bộ, công nhân viên, giấy in,…) được cho bởi

−

C x ( )

0, 0001

0, 2

10000

C(x) được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. 10. a)Tính tổng chi phí T(x) (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí.

( ) T x

được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn.

b)Tỉ số

( ) M x

Tính M(x) theo x và số lượng tạp chí cần xuất bản sao cho chi phí trung bình thấp nhất.

20. Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu đồng nhận được quảng cáo và sự trợ giúp

cho báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết.

a)Chứng minh rằng số tiền lãi khi in x cuốn tạp chí là

= −

−

L x ( )

0, 0001

1, 8

1000

b)Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi?

c)In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? Tính số tiền lãi đó”

(MN, tr. 58)

Ví dụ: ( Bài tập 67, MN, tr. 58)

Kĩ thuật :

+ Tìm công thức của hàm số bậc hai, hay chứng minh công thức hàm số bậc hai đã 𝝉𝑵𝑵

cho là phù hợp với hiện tượng đang xét (nếu đề bài yêu cầu).

+Dựa vào kỹ thuật tìm GTLN (GTNN) của hàm số để tìm GTLN (GTNN) của hàm

số đang xét.

+ Đưa ra kết luận cho bài toán thực tế.

Công nghệ :Định ng hĩa GTLN, GTNN của hàm số

 KNV TN4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai 𝜽𝑵𝑵

. = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 +

: Kĩ thuật 𝑐𝑥 + 𝑑

+ Công thức của hàm số bậc ba 𝝉𝑵𝑵

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑

+Dựa vào kỹ thuật tìm GTLN (GTNN) của hàm số để tìm GTLN (GTNN) của hàm

số đang xét.

+ Đưa ra kết luận cho bài toán thực tế.

Công nghệ : Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

𝑵 𝒂𝒙

𝒄𝒙+𝒅

𝜽𝑵𝑵 và tìm giá trị của biến để  KNV TN5: Tìm hàm phân thức

hàm số đạt GTLN (GTLN) 𝒚 =

“Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là

6km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t

giờ được cho bởi công thức

( )E v

3 cv t

Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để

năng lượng tiêu hao là ít nhất.”

(MN, tr.23)

Ví dụ (Bài tập 25, MN, tr.23)

“Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là

(km/h). Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách

300km là

𝑣 − 6

(giờ)

300 𝑣−6

Năng lượng tiêu hao để cá vượt khoảng cách đó là 𝑡 =

𝐸(𝑣) = 𝑐𝑣

(𝑗𝑗𝑗), 𝑣 > 6

= 300𝑐.

𝑣 𝑣 − 6

3 300 𝑣 − 6

′

𝐸

(𝑣) = 600𝑐𝑣

2 𝑣 − 9 2 (𝑣 − 6)

′

Bảng biến thiên

𝐸

(𝑣) = 0 ⇔ 𝑣 = 9; 𝑣 = 0 (𝑙𝑙ạ𝑖 𝑑𝑙 𝑣 > 6)

Như vậy, để ít tiêu hao năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên là.”

(GN, tr.47)

Sách Giáo viên nâng cao đã gợi ý cách giải như sau:

Từ lời giải của sách giáo viên, chúng tôi đưa ra kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ

trên như sau:

Kĩ thuật :

𝑵 𝒂𝒙

𝒄𝒙+𝒅

𝝉𝑵𝑵 +Dựa vào các dữ kiện của bài toán tìm hàm số .

+Tính đạo hàm . 𝒚 =

′

tìm các điểm tới hạn. + Cho 𝑦′

+ Lập bảng biến thiên tìm để tại đó hàm số hàm số đạt GTLN (hay GTNN). = 0 𝑦

+ Trả lời cho bài toán thực tế. 𝑥

Công nghệ : Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số

♦ Nhận xét: 𝜽𝑵𝑵

Qua phân tích trên, chúng tôi thấy rằng:

− Sách MN có xuất hiện kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm

số” (kiểu nhiệm vụ TN1). Đây là kiểu nhiệm vụ duy nhất có liên quan đến

vấn đề MHH cũng như tìm biểu thức giải tích của hàm số.

− Các kiểu nhiệm vụ trong sách MN và EN khá đa dạng. Có nhiều kiểu

nhiệm vụ được đặt ra rất gần với những yêu cầu thực tiễn như: tính tốc độ

tăng trưởng dân số, tính số lượng sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận cao

nhất. Tuy nhiên, đây cũng là những bài toán với mô hình toán học sẵn có

hoặc công thức tổng quát của hàm số đã được cho trước.

Bảng 2.1. Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I sách MN và

sách EN

Số Số Tổng số bài lượng lượng tập về hàm bài bài Tỷ lệ số trong trong trong EC MC và EC MC

TN1: Tìm biểu thức xác

f x ( )

định rồi tìm 1 4 162 3,08% GTLN (GTNN) của hàm số

TN2: Tính tốc độ tăng

1 1 162 1,23% trưởng dân số vào một thời

điểm.

TN3: Tìm giá trị lớn

+ c

nhất của hàm số bậc hai 3 0 162 1,851%

Kiểu

TN4: Tìm giá trị lớn nhiệm

nhất của hàm số bậc hai 0 1 162 0,617% vụ

TN5:Tìm hàm phân thức = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑

𝑎𝑥

𝑐𝑥+𝑑

và tìm giá trị của 1 1 162 1,23%

biến để hàm số đạt GTLN 𝑦 = (GTLN)

b) Phân tích chương II

MN trình bày chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit theo

cấu trúc như sau: 1.Lũy thừa với số mũ hữu tỉ  2.Lũy thừa với số mũ thực

3.Logarit 4.Số e và logarit tự nhiên 5.Hàm số mũ và hàm số logarit 6.Hàm số

lũy thừa 7.Phương trình mũ và phương trình logarit8.Hệ PT mũ và logarit

9.BPT mũ và logarit .

Trong phần này, chúng tôi xin tập trung phân tích một số nội dung sau:

- Lũy thừa với số mũ thực.

- Số e và logarit tự nhiên.

Theo cách trình bày của sách MN thì “Lũy thừa với số mũ thực” chỉ là sự mở rộng

của lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Điều chúng tôi quan tâm trong bài này là “Công thức lãi

kép”, vì từ công thức này cho phép học sinh giải quyết một số bài toán thực tế liên

quan đến lãi suất đầu tư.

“Gửi tiền vào ngân hàng, ngoài thể thức lãi đơn (tức là tiền lãi của kỳ trước không được tính vào

vốn của kì kế tiếp nếu đến kì hạn, người gửi không rút lãi ra), còn có thể thức lãi kép theo định kì.

Theo thể thức này, nếu đến kỳ hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vố n của kì kế

tiếp. Nếu một người gửi số tiền A với lãi suất r mỗi kì thì dễ thấy sau N kì số tiền người ấy thu được

cả vốn lẫn lãi là:

= C A

)

(1)

(Có thể chứng minh bằng quy nạp theo N)”

(MN, tr.80)

Công thức này được xây dựng như sau:

Sau khi đưa công thức (1) vào thì MN đưa vào một số ví dụ để áp dụng công thức

Ví dụ 3.

“Theo thể thức lãi kép, một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng.

a) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm người đó thu được một số tiền

là

(triệu đồng)

2 b)Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% quý thì sau hai năm người đó thu được số tiền là 10(1 + 0,0756)

≈ 11,569 (triệu đồng)”

8 (MN, tr.80) 10(1 + 0,0165) Như vậy, công thức lãi kép trên được đưa ra nhằm giải quyết bài toán thực tế là

trên.

S Ae=

(*)

tính tiền lãi huy động vốn đồng thời đặt tiền đề cho việc hình thành công thức lãi kép

liên tục

Các công thức trên được đưa vào với mục đích giải quyết một số hiện tượng tăng

trưởng của tự nhiên và xã hội. Sách MN khẳng định:

“Nhiều hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giảm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng dân số,

cũng được tính theo công thức (*). Vì vậy, công thức (*) được gọi là công thức tăng trưởng mũ.”

(MN, tr.96)

Như vậy, sách MN có tính đến những ứng dụng thực tế của hàm số mũ bằng việc

đưa ra một số công thức để giải quyết các bài toán thực tế.Tuy nhiên, việc làm này làm

mất đi bản chất của bài toán MHH vì bước 1 của quá trình này sẽ được thay bằng việc áp dụng công thức có sẵn.

Ví dụ 2.

“Sự tăng dân số được ước tính theo công thức (*), trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính,

S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là

1,32%, năm 1998 dân số thế giới vào khoảng 5926,5 triệu người. Khi đó, dự đoán dân số thế giới năm

2008 (10 năm sau) sẽ là

≈

10.0,1132 e 5926, 5.

6762, 8

(triệu người)”

(MN,tr.83)

Sau đó, nhiều ví dụ cho việc áp dụng công thức (*) được đưa vào.

 Các tổ chức toán học:

Trong sách MN và EN, chúng tôi thấy xuất hiện khá đa dạng hình thức bài

tập gồm có các kiểu nhiệm vụ sau:

 KNV TN6: “Tìm số tiền thu được sau n năm khi gửi số tiền A với

lãi suất không đổi a% ”.

 KNV TN7: “Tìm dân số của một quốc gia tại thời điểm trong

tương lai”.

 KNV TN8: “Tìm biểu thức hàm số mũ và tìm giá trị của hàm số tại

”. giá trị

 KNV TN6: “Tìm số tiền thu được sau n năm khi gửi số tiền A với lãi 𝑥0

suất không đổi a% ”.

“Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56%

một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 5 năm là

bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).” (MN, tr.81)

Ví dụ (Bài tập 17, MN, tr.81)

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Đề bài yêu cầu rõ là sử dụng công thức lãi kép để giải quyết bài toán.

+ Kết quả của bài toán là số gần đúng nên đề bài yêu cầu rõ số các chữ số làm tròn.

+ Đây là dạng toán buộc phải sử dụng máy tính bỏ túi để giải quyết.

= C A

Kĩ thuật :

+ Sử dụng công thức lãi kép . 𝝉𝑵𝑵

+ Thay A: tiền gửi ban đầu, r: lãi suất định kỳ, N: số kì.

+ Kết luận số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) sau N năm.

Công thức lãi kép: 𝜽𝑵𝑵

= C A

)

Công nghệ :

 KNV TN7: “Tìm dân số của một quốc gia tại thời điểm trong tương

lai”.

“Tỉ lệ tăng dân số hằng năm của In-đô-nê-xi-a là 1,5%. Năm 1998, dân số của nước này là

212942000 người. Hỏi dân số của In-đô-nê-xi-a vào năm 2006?”

(EN, tr.75)

Ví dụ 1(EN, tr.75)

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Đề bài không yêu cầu là sử dụng công thức tăng trưởng mũ để giải quyết bài

toán.

+ Kết quả của bài toán buộc phải là con số đúng.

Kĩ thuật :

+ Sử dụng công thức tăng trưởng mũ. 𝝉𝑵𝑵

+ Thay A: dân số tại thời điểm hiện tại, r: tỉ lệ gia tăng dân số không đổi, N: thời

gian xét (tính từ thời điểm hiện tại đến mốc thời điểm trong tương lai).

+ Kết luận dân số sau N năm.

Công thức tăng trưởng mũ:

Công nghệ :

Ae=

𝜽𝑵𝑵

 KNV TN8: “Tìm biểu thức hàm số mũ và tìm giá trị của hàm số tại giá

”. trị

“Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp là Clô-zi-ut (R.Clausius) và Cla-pay-rông

(E.claupeyron) đã thấy rằng áp suất p của hơi nước (tính bằng milimét thủy ngân, viết tắt là mmHg)

gây ra khi nó chiếm khoảng trống phía trên của mặt nước chứa trong một bình kín (h.2.7) được tính

k 273

.10

theo công thức

trong đó t là nhiệt độ C của nước, a và k là những hằng số. Cho biết

k ≈ −

2258, 624

Tính a biết rằng khi nhiệt độ của nước là 1000C thì áp suất của hơi nước là 760mmHg (tính chính

xác đến hàng phần chục)

Tính áp suất của hơi nước khi nhiệt độ của hơi nước là 400C (tính chính xác đến hàng phần chục)”

(MN, tr.111)

Ví dụ (bài tập 47, MN, tr.111) 𝒙𝟎

Kĩ thuật :

+ Thay nhiệt độ t của nước và áp suất p để tìm hằng số a. Thay a và hằng số k

𝝉𝑵𝑵 để tìm hàm số lũy thừa.

+ Thay giá trị của nhiệt độ t vào hàm số lũy thừa để tìm áp suất tương ứng.

Công thức liên hệ giữa áp suất và nhiệt độ

Công nghệ :

k 273

a .10

𝜽𝑵𝑵

♦ Nhận xét

Dưới đây là bảng thống kê số lượng bài tập có liên quan đến các kiểu nhiệm vụ nói

trên trong chương II sách MN và EN

Bảng 2.2. Các TCTH liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương II sách MN

và sách EN

Số lượng bài tập trong EN Tỷ lệ Tổng số bài tập về hàm số trong MN và EN lượng Số ví dụ và tập bài trong MN

5 1 3,28% 183 Kiểu nhiệm TN6: Tìm số tiền thu được sau n năm khi gửi số tiền A với lãi

vụ

0 5 2,73%

4 1 2,73%

suất không đổi a%. TN7: Tìm dân số của một quốc gia tại thời điểm trong tương lai TN8: Tìm biểu thức hàm số mũ và tìm giá trị của hàm số tại giá trị bất kỳ của biến.

Nhìn vào bảng thống kê, chúng tôi nhận thấy rằng trong chương II sách MN kiểu

nhiệm vụ TN6 liên quan đến tính lãi suất tiết kiệm chiếm ưu thế hơn 3,28% . Hai kiểu

nhiệm vụ TN7 và TN8 xuất hiện với tỉ lệ bằng nhau 2,73%. Hai tỉ lệ quá thấp này

chứng tỏ trong chương II thể chế MN rất ít quan tân đến vấn đề MHH. Điều này mâu

thuẫn với mục tiêu chương trình đề ra “tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện

dạy học phải gắn với thực tiễn”

2.1.4. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách MC và EC

Với EC là kí hiệu sách bài tập Giải tích lớp 12 ban cơ bản.

Phần lý thuyết chương I và II của sách MC cũng không đề cập đến vấn đề MHH.

Đồng thời các kiểu nhiệm vụ cũng không có những sự khác biệt nên chúng tôi chỉ xin

đưa ra bảng thống kê các bài tập theo từng kiểu nhiệm vụ.

Bảng 2.3. Các KNV liên quan đến MHH dạy học hàm số ở chương I, II sách MC

và sách EC

Tổng số bài

Tỷ lệ Số lượng bài trong MC Số lượng bài trong EC tập về hàm số trong MC và EC

xác

3 3 13%

T1: Tìm biểu định rồi tìm (GTNN) số Kiểu nhiệm vụ 68 hàm . thức = f x ( ) y GTLN của = y

f x ( ) Tìm T2: GTLN (GTNN) của hàm số với biểu thức xác định

0 1 1,47%

toán mang

(bài nội dung thực tế)

2 1 84 3,57%

T3: Tìm biểu thức biểu diễn hiện tăng tượng trưởng mũ (hay suy giảm mũ)

0 1 1,19%

T4: Tìm biểu thức hàm số mũ và tìm giá trị của hàm số tại giá trị bất kỳ của biến.

Từ bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy kiểu nhiệm vụ T1 xuất hiện với tỉ lệ

13%, kiểu nhiệm vụ T2 chiếm 1,47%. Như vậy, nếu tính tổng thể thì dạng bài tập có

nội dung thực tế chỉ chiếm 14,47% một tỉ lệ rất thấp. Trong khi, số lượng bài tập còn

lại-hàm số được gắn liền với biểu thức giải tích- chiếm đến 85,53%. Điều này chứng

tỏ rằng vấn đề MHH toán học có xuất hiện nhưng chưa được quan tâm đến.

Với chương II, sách giáo khoa nâng cao chỉ chú trọng vào việc hình thành công

thức tăng trưởng mũ ở kiểu nhiệm vụ T3. Sau khi có công thức tăng trưởng mũ các bài

tập thuộc kiểu nhiệm vụ này đều được HS giải quyết một cách dễ dàng bằng cách sử

dụng công thức có sẵn mà không cần thiết lập hay chứng minh lại. Bên cạnh đó, các

bài tập có nội dung thực tế thuộc kiểu nhiệm vụ T4 cũng xuất hiện. Tuy nhiên, số

lượng rất ít chỉ có 1 bài chiếm tỉ lệ 1,19%.

2.1.5. Kết luận

Qua phân tích chương I và chương II của sách MN và MC, chúng tôi thấy rằng thể

chế có tính đến việc giải quyết các bài toán có nội dung thực tế cũng như quá trình

MHH.

Các kiểu nhiệm vụ trong sách MC và MN có thể chia làm hai dạng:

+Dạng thứ nhất: gắn liền với kiểu nhiệm vụ T1và TN1. Các bài toán của dạng này

theo chúng tôi có sự hiện diện các bước của quá trình MHH. Tuy nhiên, các bước chưa

thể hiện được rõ ràng và đầy đủ. Mô hình hình học sẵn có chính là điểm tựa để học

sinh thiết lập nên công thức xác định của hàm số. Bên cạnh đó, hàm số tìm được là

một hàm chính xác nên bước 4 (là bước kiểm tra lại tính đúng đắn của kết quả tìm

được so với bài toán thực tế) cũng không có cơ hội xuất hiện. Chính vì nguyên nhân

này làm mất đi tính thực tế của bài toán ban đầu.

+Dạng thứ hai: gắn liền với kiểu nhiệm vụ T2, T3, T4 và TN2, TN3, TN4, TN5, TN6,

TN7. Bao gồm các bài toán có nội dung thực tế với biểu thức hàm số đã hoàn toàn sẵn

có hoặc dạng tổng quát của nó. Yêu cầu chủ yếu của dạng bài tập này là dùng kiến

thức toán để giải quyết bài toán và trả lời cho bài toán thực tế. Tuy nhiên, số lượng

xuất hiện các bài tập này cũng không nhiều chỉ chiếm tỉ lệ trung bình 1, 47%.

Từ đây, chúng tôi khẳng định rằng so với sách giáo khoa hàm số ở lớp 9 và lớp 10

sách giáo khoa hàm số lớp 12 vẫn chưa có một bước tiến triển rõ rệt nào trong vấn đề

MHH toán học. Trong khi đó, chương trình thì vẫn đặt ra mục tiêu quan trong là dạy

học MHH, cho học sinh biết được những ứng dụng của hàm số trong thực tiễn.Thế

nhưng, SGK vẫn tập trung vào các dạng bài tập mà trong đó hàm số hoàn toàn được

cho bằng biểu thức giải tích.

2.2. Vấn đề mô hình hóa và tìm hàm xấp xỉ trong sách giáo khoa Mỹ

Như đã nói ở phần mở đầu, quyển sách chúng tôi chọn phân tích một quyển sách

dạy học ở Mỹ là:

James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole.

(Để cho đơn giản chúng tôi kí hiệu M).

Sách M gồm 12 chương. Nhưng để thực hiện mục đích nghiên cứu trong chương

này, chúng tôi xin tập trung vào Chương 1 trong đó phần lý thuyết được tập trung vào

bài 1.2 “MHH Toán học: danh mục các hàm số chủ yếu”

2.2.1. Vấn đề mô hình hóa Toán học trong sách giáo khoa Mỹ

2.2.1.1. Dạy học mô hình hóa

Trong sách giáo khoa Toán ở Mỹ cụ thể là quyển Calculus mà chúng tôi lựa chọn

nghiên cứu, việc MHH Toán học được đề cập từ ban đầu ngay khi hàm số cũng như

các hệ thống biểu đạt hàm số được định nghĩa.

“Mô hình hóa toán học là sự mô tả (thông thường bằng quan hệ hàm hay một phương trình) của

các hiện tượng thực tế như kích cỡ dân số, nhu cầu của một sản phẩm, tốc độ rơi của một vật….Mục

Theo M:

đích của việc mô hình hóa là hiểu các hiện tượng và có thể phán đoán về động thái của chúng trong

tương lai”

(M, tr.24)

Các bước của quá trình MHH toán học được M trình bày như sau:

Mô hình trên có thể được diễn giải như sau:

Bước 1: Đưa vào mô hình trung gian sau đó là mô hình toán học bằng cách nhận

diện và gọi tên các biến độc lập và biến phụ thuộc sao cho đơn giản được hiện tượng

và đủ để xử lý bằng công cụ toán học.

Bước 2: Sau khi có mô hình toán học thì dùng các công cụ toán học để giải quyết

vấn đề và đưa ra được kết luận trong toán học.

Bước 3: Từ kết luận trong toán học đưa ra kết luận về vấn đề thực tiễn ban đầu.

Bước 4: Kiểm tra lại dự đoán bằng cách đối chiếu lại với các dữ kiện được cho

trong bài toán thực tế.

Đồng thời M cũng khẳng định câu trả lời cho bài toán thực tế mang tính chất gần

đúng. Bên cạnh đó các hàm số mà tương quan hàm của nó tuân theo các hiện tượng

của thực tế cũng được M đưa vào.

2.2.1.2. Một số hàm số được sách giáo khoa Mỹ lựa chọn trong việc dạy học

≠

+ y mx b m

(

mô hình hóa

a. Hàm tuyến tính:

≠

+ y mx b m

(

Gọi y là hàm tuyến tính của x thì đồ thị của hàm số là một đường thẳng. Khi đó,

(trong đó m là hệ số góc hay độ dốc của đường thẳng hàm số có dạng

và b tung độ chắn).

Tính chất: hàm tuyến tính tăng (hoặc giảm) theo tốc độ là một hằng số.

Ví dụ 1:

f x ( )

x= 3

“Hình vẽ 2 là đồ thị của hàm tuyến tính

− và bảng giá trị của một số điểm tiêu biểu.

Ta thấy rằng, khi x tăng 0,1 thì giá trị của f(x) tăng 0.3. Vì thế giá trị của f(x) tăng gấp 3 lần giá trị

f x ( )

x= 3

− ,ở đây là 3, có thể được hiểu như là tỉ số thay

tăng của x. Chính vì vậy, độ dốc của đồ thị

đổi của biến y trong mối tương quan với biến x” (M, tr.25)

Sau khi đưa ra biểu thức và đặc trưng của hàm tuyến tính, M đưa ra ví dụ về một

bài tập MHH cần sử dụng kiến thức về hàm tuyến tính để giải quyết.

“Bảng dưới đây nêu ra hàm lượng trung bình của Cacbon dioxit trong không khí tại thành phố

Mauna Loa Observatory từ năm 1980 đến 2002 (đơn vị:ppm hay 1/1000000). Dùng dữ liệu của bảng

1 để tìm một mô hình cho biểu thị hàm lượng Cacbon dioxit

Sau đó, dùng kết quả trên để ước lượng hàm lượng CO2 của thành phố vào năm 1987 và dự đoán

hàm lượng CO2 của thành phố vào năm 2010. Hãy cho biết, vào thời điểm nào thì hàm lượng CO2

của thành phố vượt quá 400 (ppm) ”

(M, tr.26)

Ví dụ 2:

Bài toán được giải quyết như sau:

“Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ, khi đó trục t đại diện cho thời gian (được tính bằng

năm), và trục C đại diện cho hàm lượng của khí CO2 (được tính bằng 1/1000000, ppm)”

− Biểu diễn các điểm đã cho lên mặt phẳng tọa độ.

− Nhìn hình vẽ dự đoán hình dạng mà các điểm tạo thành và tìm hàm số đi

“Ta thấy rằng các điểm đã cho gần như nằm trên một đường thẳng, vì thế một cách tự nhiên ta

dùng mô hình hàm tuyến tính trong trường hợp này” (M, tr.27).

“[…]Từ đồ thị các điểm cho thấy rằng có một khả năng là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm

cuối. Độ dốc-hệ số góc của đường thẳng này là

− 372, 9 338, 7

34, 2

≈

1, 5545

− 2002 1980

Và phương trình của nó là:

−

338, 7

1.5545(

1980)

Hay

−

t 1, 5545

2739, 21(1)

Phương trình (1) cho ta một hàm tuyến tính có khả năng biểu thị cho hàm lượng khí CO2. Đồ thị

của nó được biểu diễn trên hình 5” (M, tr.27)

qua các điểm.

− So sánh kết quả tìm được với các dữ kiện ban đầu của bài toán.

“Mặc dù mô hình hàm vừa tìm được khá phù hợp với các dữ liệu được cho ban đầu, tuy nhiên nó

cung cấp các giá trị hầu như cao hơn hàm lượng CO2 thực tế trong không khí. Một mô hình hàm tốt hơn được tìm bằng một tiến trình khác2 và được gọi là đường thẳng hồi quy

…Hệ số góc và tung độ chắn của đường thẳng hồi quy là

1.55192 b=-2734.55

m =

Vì thế hàm tuyến tính mới có dạng:

−

( )2

t 1.55192

2734.55

Đồ thị của hàm tuyến tính mới có dạng:

Như vậy, từ hình 6 ta thấy đồ thị thẳng hồi quy minh họa tốt cho các điểm dữ liệu ban đầu. So

sánh với hình 5, ta thấy mô hình này tốt hơn mô hình hàm tuyến tính trước đó”

“Từ (2) với t=1987, ta dự đoán được hàm lượng CO2 trung bình trong năm 1987 là

−

≈

(1987)

2734.55

349.12

)( ( 1.55192 1987

)

Với t=2010 ta được

−

≈

(2010)

2010

2734.55

384.81

( 1.55192

)(

)

Vì thế ta dự đoán được hàm lượng CO2 trung bình vào năm 2010 là 384.8 ppm.

Từ (2), ta thấy rằng hàm lượng CO2 vượt quá 400ppm khi

1.55192

t −

2734.55

> 0

Giải bất phương trình trên ta được:

3134.55

≈

t >

2019.79

1.55192

− Khẳng định tính phù hợp của mô hình mới và trả lời cho bài toán thực tế.

Sử dụng máy tính có chức năng vẽ đồ thị và cách dùng phần mềm Maple để tìm đường thẳng tuyến tính. M còn nói thêm phương pháp các máy này dùng là phương pháp hồi quy tuyến tính. Phương pháp giải tích thì dùng phương pháp bình phương tối thiểu được trình bày trong chương 14.

2 M nêu lên hai cách tìm đường thẳng hồi quy

Ta dự đoán được rằng hàm lượng CO2 vượt quá 400ppm vào năm 2019. Dự đoán này thì khá rủi

ro vì nó liên quan đến khoảng thời điểm khá xa nguồn dữ liệu chúng ta quan sát”(M, tr.28)

Nhận xét:

 Qua bài toán trên, M đã thể hiện đầy đủ các bước của quá trình

MHH.

Bước 1: Biểu diễn các điểm lên hệ trục và nhận xét về tương quan hàm giữa hàm

lượng CO2 và năm tương ứng.

Bước 2: Xác định mô hình toán học là hàm tuyến tính và dùng các công cụ toán

học để tìm công thức hàm.

Bước 3: Sau khi tìm được mô hình hàm. Trả lời cho bài toán thực tế.

Bước 4: Đối chiếu đồ thị hàm số vừa tìm được với các thông số được cho ban đầu

và rút ra nhận xét “Mô hình hàm vừa tìm được khá phù hợp với các dữ liệu được cho

ban đầu, tuy nhiên nó cung cấp các giá trị hầu như cao hơn hàm lượng CO2 thực tế

trong không khí”.Từ đó, việc tìm một công thức hàm tuyến tính mới phù hợp hơn với

các dữ kiện của bài toán được đặt ra.

 Cũng từ đây, trong hệ thống bài tập của mình M chú trọng đưa ra các

− 1

P x ( )

+ + ...

dạng bài tập gắn với quá trình MHH.

a x n

a x − 1 n

a x 2

+ a x a 1 0

;

;...;

b. Hàm đa thức

a a a ; 0 1 2

a là hằng số và được gọi là hệ số của đa n

(trong đó: n là số tự nhiên,

thức)

) R = −∞ +∞ ;

(

Tập xác định:

= ( )P x mx b

+ là một hàm tuyến tính.

Bậc của hàm đa thức: n

ax=

( )P x

n=1:

+ hàm bậc hai (trường hợp đặc biệt

n=2: được gọi là

( )P x

cx d

+ hàm bậc ba

Parabol).

n=3:

….

Tiếp theo, M đưa ra một ví dụ về việc xấp xỉ một hiện tượng vật lý bởi hàm đa thức

bậc hai.

“Ví dụ 4. Một quả bóng rơi từ sân thượng của tòa tháp CN Tower, cách mặt đất 450m. Độ cao của

quả bóng thu được trong khoảng thời gian cách đều nhau 1 giây được ghi nhận trong bảng 2. Dựa vào

đó, hãy dự đoán thời điểm mà quả bóng chạm đất”

(M, tr.29)

Thời điểm (giây) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Độ cao (mét) 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61

“Cách giải. chúng ta biểu diễn các điểm trong bảng dữ liệu ban đầu trên hệ trục tọa độ như hình 9

và quan sát thấy rằng mô hình của hàm tuyến tính là không phù hợp.

Nhưng khi quan sát các điểm chúng gần như nằm trên một parabol, vì thế chúng ta sẽ thử thay thế

bằng mô hình hàm bậc hai. Ta thu được mô hình hàm bậc hai dưới đây:

= −

t 4.90

t 0.96

449.36 (3)

Biễu diễn các điểm được cho trong bảng dữ liệu ban đầu và đồ thị hàm số vừa tìm được trên cùng

một hệ trục tọa độ ta thu được hình 10

Sách M đã đưa ra cách giải quyết ví dụ này như sau:

Nhận xét: mô hình hàm bậc hai thu được cho một kết quả phù hợp với dữ liệu ban đầu.

Quả bóng chạm đất khi độ cao

h = , giải phương trình bậc hai:

−

4.90

0.96

449.36

= 0

Ta được:

≈

9.67

≈ −

9.47

  

t ≈

9.67

Do thời gian là đại lương không âm nên ta chấp nhận

. Vì vậy, chúng ta dự đoán được

rằng quả bóng sẽ chạm đất sau khoảng thời gian 9.7 giây.”

(M, tr.29)

f x ( )

c. Hàm số lũy thừa ( ) f x

Hàm lũy thừa có dạng (a: hằng số)

Sau khi đưa ra định nghĩa về hàm lũy thừa, sách M khẳng định hàm số mũ thường

được MHH trong các hiện tượng vật lý và hóa học.

Một ví dụ về việc sử dụng hàm số lũy thừa trong việc MHH cho các hiện vật lý

“Ví dụ. bảng dưới đây cho biết khoảng cách trung bình d của một số hành tinh so với mặt trời (lấy

đơn vị đo giữa khoảng cách giữa trái đất và mặt trời) và chu kỳ T (số vòng quay trong năm)

Hành tinh Sao Thủy Sao Kim Trái Đất Sao Hỏa Sao Mộc Sao Thổ Sao Thiên Vương Sao Hải Vương

d 0.387 0.723 1.000 1.523 5.203 9.541 19.190 30.086

T 0.241 0.651 1.000 1.881 11.861 29.457 84.008 164.784

a. Tìm mô hình tương ứng với dữ liệu cho trong bảng.

được M đưa vào. Cụ thể như sau:

b. Định luật 3 của Kepler về sự chuyển động của các hành tinh được phát biểu như sau: “Bình

phương chu kỳ quỹ đạo tỷ lệ với lập phương giá trị trung bình giữa khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất

từ hành tinh tới Mặt Trời.

Em có thể làm sáng tỏ cho Định luật của Kepler không?”

(M, tr.37)

Đây là một ví dụ để học sinh tự giải.Nhưng qua ví dụ, chúng ta cũng nhận thấy

được mô hình của hàm lũy thừa được ứng dụng vào các hiện tượng vật lý như thế nào.

d. Hàm số mũ

Sách M định nghĩa hàm số mũ như sau:

(trong đó, a gọi là cơ số và a là hằng số Hàm số mũ là hàm số có dạng

dương)

Sau khi hàm số mũ được định nghĩa, M đưa ra ví dụ về việc sử dụng hàm này trong

“Ví dụ. Bằng thống kê, các nhà dân số có bảng dân số thế giới trong thế kỷ 20 như sau:

Năm

1900

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

1650

1750

1860

2070

2300

2560

3040

3710

4450

5280

6080

Dân số (triệu người)

Em hãy dự đoán dân số thế giới vào năm 2025.

“Lời giải.Ta có thể mô tả bảng dữ liệu trên mặt phẳng toạ độ bởi những điểm rời rạc như sau:

Dựa vào hình dạng của mà các điểm rời rạc mang lại, ta thấy rằng sự tăng dân số này có xu hương

tiếp tục tăng. Và người ta nghiên cứu được nó thường tăng tự nhiên theo hàm số mũ. Do đó, bằng

phương pháp xấp xỉ hàm (chủ yếu là phương pháp bình phương bé nhất), chúng ta tìm được công thức

cụ thể của hàm số P(t).

các bài toán thực tế.Cụ thể, đó là mô hình toán học của sự tăng trưởng dân số tự nhiên.

P =

(0.008079266).(1.013731)

(4)

Dựa vào (4) ta có thể dự đoán được dân số thế giới vào năm 2025”

 Nhận xét:

Qua cách trình bày của sách M, chúng thôi nhận thấy:

- Sách giáo khoa của Mỹ chú trọng đến việc dạy học MHH.

- Việc dạy học MHH được gắn liền với một số vấn đề thực tế (hay các

ngành khoa học khác) mang tính cấp thiết và tương ứng với từng hàm số cụ

thể.

- Các bước của quá trình MHH được thể hiện khá rõ ràng.

2.1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến vấn đề mô hình hóa trong dạy

học hàm số

Các kiểu nhiệm vụ sau được chúng tôi tìm thấy trong sách M:

 T1: “Tìm hàm số bậc nhất mô tả cho một hiện tượng và tính

bất kỳ”. tại

 T2: “Tìm hàm số bậc hai mô tả cho một hiện tượng và tính

𝒙𝒐 bất kỳ”. 𝒇(𝒙𝟎) tại 𝒇(𝒙𝟎)

 T3: “Tìm hàm số bậc ba mô tả cho một hiện tượng và tính 𝒙𝒐

bất kỳ”. tại

𝒇(𝒙𝟎) mô tả cho một hiện tượng và tính  T4: “Tìm hàm số mũ 𝒙𝒐

𝒙 𝒚 = 𝒂

bất kỳ”. tại

Dưới đây chúng tôi sẽ phân tích từng kiểu nhiệm vụ cụ thể. 𝒇(𝒙𝟎) 𝒙𝒐

 Kiểu nhiệm vụ T1: “Tìm hàm số bậc nhất mô tả cho một hiện tượng và dự

đoán bất kỳ”. tại

Bảng dưới đây cho biết độ cao kỷ lục của môn đẩy sào tại thế vận hội Olympic trong thế kỷ 20

Chiều cao (ft) 10.83 11.48 12.17 12.96 13.42 12.96 13.77 14.15 14.27 14.10 14.92

Năm 1900 1904 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1936 1948 1952

Năm 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996

Chiều cao (ft) 14.96 15.42 16.73 17.71 18.04 18.04 18.96 18.85 19.77 19.02 19.42 a)Hãy biểu diễn dữ liệu trên mặt phẳng tọa độ và quyết định mô hình hàm phù hợp?

b)Vẽ đồ thị biễu diễn mối tương quan giữa thời gian và kỷ lục được thiết lập.

c)Từ đó, hãy dự đoán độ cao của kỷ lục môn đẩy sào tại Olympics năm 2000 và so sánh với kỷ

luật thực tế là 19.36 feet.

d)Có hợp lý để dùng mô hình hàm trên dự đoán kỷ luật tại Olympics 2100?

𝒇(𝒙𝟎) Ví dụ (bài tập 21, M tr.36) 𝒙𝒐

Nhận xét:

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Tương quan hàm được cho dưới dạng bảng.

+ Có sử dụng phần mềm hình học động để hổ trợ việc dự đoán dạng của hàm số

(cụ thể đây là hàm tuyến tính ).

+Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

số xấp xỉ.

Với kiểu nhiệm vụ này, ta có hai kĩ thuật giải tương ứng như sau:

Kĩ thuật :

+ Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ để có cái nhìn trực quan về hình dáng 𝝉𝟏𝟏

của hàm số và dự đoán dạng của hàm số là hàm bậc nhất .

+ Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

số xấp xỉ bậc nhất.

+Dựa vào dữ kiện thực tế để kiểm tra tính thích hợp của mô hình hàm vừa tìm

được.

+Sử dụng mô hình hàm vừa tìm được tính giá trị tại bất kỳ.

𝑓(𝑥0) 𝑥0

Công nghệ :Các bước của quá trình MHH.

 Kiểu nhiệm vụ T2: “Tìm hàm số bậc hai mô tả cho một hiện tượng và tính

tại

𝜽𝑵𝟏 bất kỳ”. Ví dụ (ví dụ 4, M, tr. 293) 𝒇(𝒙𝟎)

𝒙𝒐 Kĩ thuật :

+ Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ để có cái nhìn trực quan về hình dáng 𝝉𝑵

của hàm số.

+ Dựa vào dạng của đồ thị (dưới dạng các điểm) dự đoán dạng của hàm số là hàm

bậc hai .

+ Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)

số xấp xỉ bậc hai.

+Vẽ lại đồ thị hàm số vừa tìm được lên mặt phẳng tọa độ với các dữ kiện ban đầu

và nhận xét về tính phù hợp của mô hình hàm bậc hai thu được.

+ Sử dụng mô hình hàm vừa tìm được tính giá trị tại bất kỳ.

: Công nghệ 𝑓(𝑥0) 𝑥0

Các bước của quá trình MHH. 𝜽𝑵

 Kiểu nhiệm vụ T3: “Tìm hàm số bậc ba mô tả cho một hiện tượng và tính

bất kỳ”. tại

Dùng bảng số liệu dưới đây để tìm một mô hình dân số thế giới của thế kỷ 20. Sau đó dùng mô

hình này để dự đoán đoán dân số thế giới vào năm 1925.

Năm

1960 1970 1980 1990 2000

Dân số (triệu người) 3040 3710 4450 5280 6080

Dân số (triệu người) 1650 1759 1860 2070 2300 2560

1900 1910 1920 1930 1940 1950

Ví dụ (bài tập 25, M tr. 37) 𝒇(𝒙𝟎) 𝒙𝒐

: Kĩ thuật

𝝉𝑵

3Ví dụ này chúng tôi đã đề cập trong phần 2.1.1.2 của luận văn.

+ Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ để có cái nhìn trực quan về hình dáng

của hàm số

+ Dựa vào dạng của đồ thị (dưới dạng các điểm) dự đoán dạng của hàm số là hàm

bậc ba .

+ Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑(𝑎 ≠ 0)

số xấp xỉ bậc ba.

+ Sử dụng mô hình hàm vừa tìm được tính giá trị tại bất kỳ.

: Công nghệ 𝑓(𝑥0) 𝑥0

Các bước của quá trình MHH. 𝜽𝑵

mô tả cho một hiện tượng và  Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm hàm số mũ

𝒙 𝒚 = 𝒂

bất kỳ”. tại tính

2000. Dùng “Graphing calculator” với phương pháp hồi quy để tìm mô hình dân số từ năm 1900.

Dùng mô hình hàm vừa tìm để ước lượng dân số của nước này vào năm 1925 và dự đoán dân số vào

năm 2010 và 2020.

Năm

Dân số

Năm

Dân số

1900

1960

179

1910

1970

203

1920

106

1980

227

1930

123

1990

250

1940

131

2000

281

1950

150

Ví dụ: (bài tập 28, M, tr.59) 𝒙𝒐 𝒇(𝒙𝟎) Bảng dưới đây cho biết dân số của nước Mỹ (đơn vị tính: triệu người) trong thời gian từ 1900-

Nhận xét:

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là:

+ Tương quan hàm được cho dưới dạng bảng.

+ Yêu cầu rõ dùng “Graphing calculator” tìm hàm số mũ để mô hình cho hiện

tượng tăng dân số.

+Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm

số xấp xỉ.

Với kiểu nhiệm vụ này, ta có kĩ thuật giải tương ứng như sau:

Kĩ thuật :

𝝉𝑵

+ Biễu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ để có cái nhìn trực quan về hình dáng

của hàm số.

+ Dùng phần mềm, máy tính có chức năng đồ thị hoặc công cụ giải tích để tìm hàm

𝑥

số xấp xỉ .

tại bất kỳ. +Sử dụng mô hình hàm vừa tìm được tính giá trị 𝑦 = 𝑎

: Công nghệ 𝑥0 𝑓(𝑥0)

Các bước của quá trình MHH. 𝜽𝑵

2.1.3. Kết luận

Qua việc phân tích sách M, chúng tôi nhận thấy rằng:

Sách giáo khoa Mỹ khá chú trọng đến việc dạy học MHH. Điều này thể hiện qua

việc sách M đã trình bày rõ ràng các bước của quá trình MHH trước khi đề cập đến

những nội dung quan trọng của hàm số. Và sau đó, quá trình MHH được lồng ghép

vào các kiến thức của hàm số một cách tự nhiên.

Kiểu nhiệm vụ T1 chiếm tỉ lệ khá cao. Các kiểu nhiệm vụ còn lại xuất hiện với tỉ lệ

khá đều nhau. Điều này thể hiện qua bảng thống kê sau:

Bảng 2.4. Các KNV liên quan đến MHH dạy học hàm số trong sách M

Kiểu nhiệm vụ Tỉ lệ Số lượng Tổng số bài tập về hàm số trong chương 1

9 33,33%

3 10% 27 2 7,4%

2 7,4% T1 T2 T3 T4

Theo chúng tôi, lý do kiểu nhiệm vụ T1 xuất hiện nhiều vì hàm tuyến tính mô tả

cho khá nhiều các hiện tượng của thực tế. Và xét tỉ lệ tổng số bài tập có yếu tố MHH

trong chương 1 này chiếm đến 59,3% trên tổng các bài tập. Con số này một lần nữa

chứng tỏ mức độ quan tâm của sách giáo khoa Mỹ đến quá trình MHH toán học, cũng

như các ứng dụng của hàm số trong thức tế.

2.2. MHH trong dạy học hàm số ở sách giáo khoa Toán Việt Nam

2.3. So sánh và kết luận

2.3.1 So sánh vấn đề dạy học mô hình hóa ở Việt Nam và Mỹ

2.3.1.1. Giống nhau

Mục đích của dạy học MHH là cho học sinh thấy được những ứng dụng thực tế của

kiến thức toán vào thực tiễn.

2.3.1.2. Khác nhau

- SGK Mỹ chú trọng đến việc dạy học MHH hàm số. Các bước của quá trình

MHH được đưa ra ngay từ đầu trước khi trình bày chi tiết các kiến thức liên quan

đến hàm số. Ngoài ra sách M của Mỹ lại còn đề cập đến những dạng hàm số

thường dùng để xấp xỉ cho các hiện tượng biến thiên của thực tế.Việc làm này

giúp học sinh nắm được cách giải quyết một bài toán thực tế cũng như kỹ thuật

giải quyết nó. Chúng tôi thấy rằng thể chế này chú trọng đến cách thức giải quyết

một vấn đề chứ không quan trọng ở các phương pháp giải tích. Cụ thể, trong việc

tìm hàm số xấp xỉ thể chế chỉ chú trong vào việc tìm mô hình toán học và biểu

diễn các dữ kiện trên mặt phẳng tọa độ để nhận ra dạng của hàm số. Còn kỹ thuật

tìm hàm số xấp xỉ trong quyển sách M của Mỹ lại ưu tiên dùng máy tính có chức

năng đồ thị để tìm ra kết quả.Trong khi đó với sách giáo khoa ở lớp 12 Việt Nam

thì hàm số luôn gắn liền với một biểu thức giải tích. Chúng tôi tìm thấy một số

lượng ít các bài tập có nội dung thực tế. Trong đó, chúng được chia làm hai dạng:

Dạng 1 gắn liền với kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” và các bước

của quá trình MHH có xuất hiện; Dạng 2: thực chất là lồng ghép các hiện tượng

của thực tế với một hàm số cụ thể và dùng công cụ toán học giải quyết vấn đề.

- Về số lượng bài tập, với tỉ lệ trên 59,3% các bài tập có yếu tố MHH trên

tổng số các bài tập được cho chứng tỏ sách M quan tâm nhiều đến việc MHH

trong dạy học hàm số. Những hàm số này thường xuất phát từ những bài toán

thực tế khá quen thuộc. Điều này đòi hỏi sự diễn giải bằng lời sự thay đổi của các

đại lượng, từ đó hình thành nên đồ thị của hàm số tương ứng rồi mới đi tìm hàm

số xấp xỉ với tương quan hàm ban đầu. Trong khi đó với phân tích cả hai SGK

chương trình chuẩn và nâng cao chúng tôi chỉ tìm thấy 6,994% những bài toán

thực tế xuất hiện.Chủ yếu SGK Việt Nam quan tâm đến những hàm số đã được

cho sẵn bởi một công thức và các kỹ thuật tính toán giải tích như tìm cực trị,

GTLN, GTNN,…. Từ đây có thể khẳng định rằng sách giáo khoa Việt Nam chưa

có sự quan tâm đúng mức với vấn đề “MHH trong dạy học hàm số”.

Cuối cùng, chúng tôi muốn khẳng định lại rằng: SGK Việt Nam quan tâm quá

nhiều đến hàm số cho bằng công thức – Chính điều này làm mất đi cơ hội “MHH

trong dạy học hàm số”. Kiểu nhiệm vụ buộc phải đi tìm biểu thức hàm số có xuất hiện

nhưng với kỹ thuật tìm là dựa vào mô hình hình học sẵn có với các công thức tính diện

tích, thể tích.... Các bước của quá trình MHH toán học cũng không được xuất hiện rõ

ràng và đầy đủ. Vì vậy, việc tạo ra những tình huống cho HS hiểu rõ quá trình MHH

toán học cũng như việc thực hiện kiểu nhiệm vụ tìm hàm số xấp xỉ để biểu thị mối

tương quan hàm giữa hai đại lượng được chúng tôi cho là cần thiết.

2.3.2. Kết luận chương 2

Qua việc việc phân tích các sách giáo khoa và so sánh sự tương đồng cũng như

khác biệt, chúng tôi đã tìm được các yếu tố để trả lời cho câu hỏi Q2:“Việc tìm một mô

hình toán học và hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước có tồn tại trong SGK

Việt Nam hay không? Nếu có thì những tổ chức toán học nào liên quan đến hai đối

tượng này được nhấn mạnh? Vấn đề dạy học MHH có được thể chế quan tâm đến khi

xây dựng kiểu nhiệm vụ trên? Có sự khác biệt nào so với sách giáo khoa của Mỹ?”

Như vậy, kiểu nhiệm vụ tìm hàm số xấp xỉ với tương quan hàm cho trước không

xuất hiện trong chương trình và sách giáo khoa Toán 12 Việt Nam. Việc tìm biểu thức

hàm số có xuất hiện nhưng với kỹ thuật tìm là dựa vào mô hình hình học sẵn có với

các công thức tính diện tích, thể tích. Chính điều này làm mất đi cơ hội tạo ra tình

huống MHH.

Vì vậy, trong chương 3 chúng tôi sẽ xây dựng những tình huống dạy học trong với

mục đích chính là MHH trong dạy học hàm số gắn liền với kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu

thức xác định hàm số”. (xin nói rõ hàm số tìm được là hàm xấp xỉ với tương quan hàm

ban đầu).

Chương 3. THỰC NGHIỆM - XÂY DỰNG TÌNH HUỐNG MÔ

HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ

Từ việc tiến hành phân tích thể chế, chúng tôi rút ra một số kết luận quan trọng sau:

+ Vấn đề MHH trong dạy học hàm số chưa được thể chế quan tâm đến đúng mức,

học sinh chỉ làm việc với một số bài toán có nội dung thực tế mà trong đó biểu thức

hàm số đã hoàn toàn xác định (học sinh chỉ thực hiện bước 2 và bước 3 trong quá trình

MHH).

+ Đối với học sinh kiểu nhiệm vụtìm hàm số biểu thị mối tương quan hàm giữa hai

đại lượng có xuất hiện một cách “mờ nhạt” và hoàn toàn không được ứng dụng vào

việc giải quyết vấn đề ngoài toán học.

Do đó, chúng tôi sẽ tiến hành xây dựng tình huống dạy học nhằm cho học sinh

nhận thức được:

+Trong thực tế, chúng ta không thể đo được giá trị của một hàm số tại mọi điểm,

mà chỉ đo được tại một số điểm. Vì thế bằng phép đo tại một số điểm, ta sẽ có một kỹ

thuật để dựng lại một đa thức mô tả cho hàm số thực tế. Kỹ thuật đó chính là xấp xỉ

a, b

một hiện tượng biến thiên của thực tế với một hàm đa thức “Nếu chỉ biết một số hữu

x ,x ,...,x 1

∈ 

  .

hạn gồm (n + 1) giá trị của hàm số tại các điểm rời rạc

+ +

≠

0 ”

a x ... a x ,a 1

) = P x : a

(

Ta có thể mô tả nó với một đa thức bậc n dạng:

+Các bước của quá trình MHH toán học: từ việc giải quyết một số bài toán thực tế

giúp học sinh thực hiện được kiểu nhiệm vụ tìm biểu thức xác định hàm số. Kỹ thuật

chúng tôi nhắm đến ở đây là xấp xỉ tương quan hàm cho trước với một hàm đa thức

trong một khoảng cho phép.Đồng thời, thông qua các dữ kiện của bài toán cũng như

các bước của quá trình MHH toán học sẽ giúp học sinh tìm được hàm số xấp xỉ phù

hợp nhất với bài toán thực tiễn.

3.1. Thực nghiệm dạy học mô hình hóa hàm số

3.1.1. Mục đích xây dựng tình huống dạy học mô hình hóa

Như đã nói ở trên mục đích của thực nghiệm là xây dựng một tình huống dạy học

MHH hàm số. Trong đó, học sinh được làm việc với kiểu nhiệm vụ tìm mô hình hàm

số (bảng, đồ thị, hay biểu đồ…) và phải tìm một hàm số xấp xỉ với hàm số ban đầu.

Tình huống dạy học được thiết kế nhằm giải quyết những vấn đề sau:

 Một mặt, trang bị cho học sinh kỹ thuật xấp xỉ tương quan hàm cho

trước bởi một hàm đa thức. Cụ thể như sau:

,x y và ( )

)

,x y 2

cho trước ta xác định được hàm số xấp xỉ -Thông qua hai điểm (

)

,x x 1 2

. bậc nhất trong khoảng (

) ,x y , (

)

,x y cho trước ta xác định được hàm số 3

,x y 2

-Thông qua ba điểm ( và (

)

,x x 1 3

. xấp xỉ bậc hai trong khoảng (

,x y , ( )

)

) ,x y và (

)

,x y 2

,x y 4

cho trước ta xác định -Thông qua bốn điểm ( , (

)

,x x 1 4

. được hàm số xấp xỉ bậc ba trong khoảng (

(

)1n + điểm cho trước luôn xác định được hàm số đa thức bậc n xấp xỉ với tương quan

-Và mục đích cuối cùng là chúng tôi muốn học sinh nhận biết được rằng: thông qua

hàm đã cho.

Chúng tôi đặt học sinh vào các tình huống cụ thể như sau:

1. Tình huống không cho biết trước dạng của đồ thị hay hàm số mà chỉ biết

một tập hợp rời rạc hữu hạn điểmhàm thông qua quá trình tính toán. Tình huống

này sẽ đưa đến việc học sinh tìm được hàm số xấp xỉ bậc nhất trong khoảng

đang xét.

2. Tình huống biết một vài nét rất khái quát về hàm số f(x) và tập hợp rời

rạc hữu hạn của hàm số. Giải quyết được tình huống này học sinh sẽ tìm được

hàm số xấp xỉ bậc hai từ đó trả lời được một số câu hỏi liên quan.

3. Tình huống này cũng cho biết một tập hợp rời rạc hữu hạn của hàm số từ

việc giải quyết một số yêu cầu của thực tế sẽ đưa đến việc học sinh tìm được

hàm số xấp xỉ bậc ba.

4. Tình huống 4 là tình huống kiểm tra lại sự tiến triển trong nhận thức của

học sinh, với tình huống này từ việc cho trước 5 điểm của hàm số chúng tôi

muốn kiểm tra lại rằng học sinh sẽ tìm được hàm đa thức xấp xỉ bậc 4 từ những

kết quả đã học được trong ba tình huống trước.

3.1.2. Đối tượng, hoàn cảnh và nội dung của thực nghiệm

3.1.2.1. Đối tượng thực nghiệm

Chúng tôi dự kiến sẽ tiến hành nghiên cứu thực nghiệm trên học sinh lớp 12 sau

khi các em đã học xong hầu hết các kiến thức liên quan đến hàm số.

Môi trường thực nghiệm là môi trường giấy bút, kết hợp với môi trường công nghệ

thông tin.

3.1.2.2. Hoàn cảnh thực nghiệm

Với thực nghiệm này buộc thì sinh phải được trang bị những kiến thức sau đây

− Kiến thức Toán

Học sinh phải học xong chương “Ứng dụng của đạo hàm” (biết tìm GTLN,

GTNN của hàm số…)

− Kiến thức Vật lý

o Biết cách tính vận tốc trung bình trên đoạn đường bất kỳ. o Biết phân biệt được các loại chuyển động.

Chuyển động thẳng biến đổi đều có hai đặc trưng:

• Quãng đường là hàm bậc hai của thời gian

• Vận tốc là hàm bậc nhất của thời gian.

Trong khi chuyển động thẳng đều có các đặc trưng:

• Quãng được đi được là hàm số bậc nhất của biến thời gian.

• Vận tốc là hằng số.

Và chuyển động biến đổi (không là chuyển động thẳng biến đổi đều cũng không là

chuyển động thẳng đều)

• Quãng được đi được không là hàm số bậc nhất của biến thời gian

cũng không là hàm bậc hai của biến thời gian.

• Vận tốc thay đổi theo thời gian và phương trình vận tốc là đạo hàm

của phương trình chuyển động.

− Học sinh phải biết sử dụng phần mềm hình học động Geogebra (giáo

viên giới thiệu phần mềm và hướng dẫn sử dụng một số nút công cụ cơ bản

như: nhập tọa độ điểm, vẽ đường thẳng đi qua hai điểm, vẽ đường cong đi

qua các điểm cho trước)

3.1.2.3. Nội dung thực nghiệm

Chúng tôi dự kiến các bài toán trong tình huống dạy học của mình như sau:

Bài 1.

Quan sát một hòn bivtrượt trên một mặt phẳng nghiêng, người ta lập được bảng số

sau mô tả quan hệ về thời gian và vị trí của hòn bi trong 0,4 giây đầu tiên như sau:

Thời điểm 0,2 0,4 0

(s)

Vị trí A B C

Toạ độ (dm) 0 0,32 1,28

a. Em hãytìm vận tốc tức thời tại các thời điểm 0,1s; 0,3s.

b. Em hãy thử nhận xét về chuyển động của hòn bi trên. Dùng lập luận

chứng minh cho nhận xét của mình và cho biết vận tốc tức thời của xe tại thời

điểm 0,3005s.

Bài 2.

Một cầu thủ bóng rổ thực hiện một quả ném phạt. Vị trí ném phạt theo phương nằm

ngang từ tâm của rổ đến điểm ném phạt là 4,21m và độ cao của cột rổ là 3,05m tính từ mặt sân. Cầu thủ ném quả bóng theo một góc 350 với vận tốc ban đầu v nhỏ hơn5m/s.

Tại thời điểm 0,5 giây người ta thấy bóng đạt độ cao là 2,005 (m). Và sau 0,96 giây

bóng chạm đất. Biết cầu thủ này có chiều cao 1,83 (m) và bỏ qua sức cản của không

khí.

a) Dựa vào các dữ kiện trên em hãy dùng phần mềm Geogebra phác thảo đường đi

của quả bóng từ lúc được ném cho đến lúc rơi xuống đất lên mặt phẳng tọa độ.

b) Theo em cầu thủ có ném phạt thành công không?

Bài 3.

Một chất điểm bắt đầu chuyển động không vận tốc ban đầu, khi quan sát sự thay

đổi vị trí của vật theo thời gian người ta thu được bảng số liệu sau:

1 2 3

Thời điểm (giây) Vị trí (mét) 4 2 0

a. Em hãy tính toán và hoàn thành các bảng số liệu được cho dưới đây

Thời điểm (s) Vị trí (m) 1,95 2,35 2,95

b. Dựa vào phần mềm Geogebra, hãy biễu diễn các điểm cho ban đầu trên

mặt phẳng tọa độ và mô tả chuyển động của vật? Từ đó, dự đoán vị trí xa nhất

của chất điểm sau khi chuyển động trong 3,5 giây đầu tiên?

c. Em hãy hoàn thành tiếp bảng số liệu sau đây và nhận xét về tính chất của

chuyển động trên

0 0,5 1 2

A C 2,35 E 2,95 F

Thời điểm (s) Vị trí (m) Tên vị trí Quãng đường (m) Thời gian (s) Vận tốc trung bình (m/s) B AC D CE EF 3,3 G FG

Bài 4. Một người mới chơi cổ phiếu, ông đang sở hữu 200 cổ phiếu-mỗi cổ phiếu

trị giá 10 nghìn đồng. Trong ba ngày liên tiếp gần đây, ông theo dõi thị trường giao

dịch và quan sát được giá cổ phiếu vào lúc 12 giờ trưa là 1 nghìn đồng. Từ thời điểm

này giá cổ phiếu của ông có sự dao động mạnh từ 1 đến 4 giờ chiều. Số liệu quan sát

được ghi theo bảng sau:

Thời điểm 1 giờ 2 giờ 3 giờ 4 giờ

≈

6,58(3)

4, (3)

12,1(6)

79 12

73 6

13 3

13,75 Giá cổ phiếu (đơn vị nghìn đồng)

a) Dùng phần mềm Geogebra, em hãy mô tả lại sự thay đổi giá của cổ phiếu theo

thời gian từ 12 giờ đến 4 giờ chiều.

b) Theo dự báo của thị trường cổ phiếu, cho đến hết tuần này giá cổ phiếu của ông

vẫn giữ mức giao dịch khá ổn định. Ông muốn bán số cổ phiếu đang có, em hãy giúp

ông ta chọn thời điểm thích hợp trong ngày để bán ra với lợi nhuận cao nhất!

3.1.3. Dự kiến kịch bản dạy học

Thực nghiệm được chúng tôi dự kiến tiến hành trong hai buổi với thời gian 90 phút

(buổi thứ nhất: 35 phút; buổi thứ hai 55 phút). Các pha trong mỗi buổi và thời gian

từng pha được thiết kế như sau:

Buổi thứ nhất: Mục đích là kiểm tra mối quan hệ cá nhân của học sinh với kiểu

ax b

nhiêm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” cùng với “Kỹ thuật Qua hai điểm cho

+ (

a ≠ )”. Đồng thời trong

trước luôn xác định được một hàm số bậc nhất y

pha này chúng tôi muốn thể chế hóa rằng “Mọi hiện tượng biến thiên của thực tế thì

tương quan hàm của nó luôn có thể được biểu diễn bởi một hàm đa thức trong một

khoảng cho phép”

Pha 1 (làm việc cá nhân – thời gian 15 phút)

Mục đích của pha này là kiểm tra quan hệ các nhân của học sinh kiểu nhiêm vụ

“Tìm biểu thức xác định hàm số”. Bên cạnh đó chúng tôi muốn xem cách ứng xử của

từng học sinh trong các bài toán mang nội dung vật lý nhưng do các dữ kiện được cho

buộc phải sử dụng kiến thức của toán học giải quyết.

Để thực hiện mục đích trên chúng tôi dự kiến tiến hành pha 1 như sau:

Giáo viên thông báo bài toán 1, phát phiếu I yêu cầu học sinh tự làm việc cá nhân

và trả lời bài toán.

PHIẾU SỐ I

Quan sát một hòn bi trượt trên một mặt phẳng nghiêng, người ta lập được bảng số sau mô tả quan hệ về thời

gian và vị trí của hòn bi trong 0,4 giây đầu tiên như sau:

Thời điểm (s)

0,2

0,4

Vị trí

Toạ độ (dm)

0,32

1,28

c. Em hãy tìm vận tốc tức thời tại các thời điểm 0,1s; 0,3s.

d. Em hãy thử nhận xét về chuyển động của hòn bi trên và cho biết vận tốc tức thời của xe tại

thời điểm 0,3005s.

Với bài toán 1a, giáo viêncho các em làm bài và ghi kết quả trực tiếp trên phiếu.

Với bài toán 1b, do các dữ kiện được cho với số khá nhỏ chúng tôi sẽ chuẩn bị cho

các em giấy nháp có kẻ ô ly để dùng cho trường hợp các em dùng CLđồthị.

Sau khi hết thời gian làm bài giáo viên thu giấy làm bài,gọi học sinh trả lời kết quả

(gọi những học sinh có các kết quả khác nhau mà giáo viên quan sát được trong quá

trình làm phiếu số I) và cả lớp cùng phân tích để tìm ra kết quả cũng như cách làmcho

kết quả chính xác.

Tổng kết hai pha này, giáo viên sẽ thể chế hóa lại kiến thức: “với một tương quan

hàm cho trước, nếu biết cho biết hai giá trị tương ứng luôn tìm được hàm số bậc nhất

xấp xỉ với nó”.

Pha 2 (làm tập thể– thời gian 25 phút)

Mục đích: cho học sinh tiếp cận với quan điểm “Với một hiện tượng thực tế trong

,x y , ( )

)

,x y 2

) ,x y ta 3 3

đó có một tương quan hàm, thông qua ba điểm biết trước ( và (

≠

hoàn toàn có thể biểu diễn tương quan hàm này với một hàm đa thức

( c a

)

”

Cụ thể chúng tôi xây dựng pha 2 như sau:

Pha 2 a (làm việc theo nhóm – thời gian 5 phút)

Giáo viên phát phiếu số II.A và giấy nháp cho các nhóm, yêu cầu giải quyết bài

toán 2a. Các nhóm suy nghĩ và lựa chọn cách giải chung của nhóm, sau đó viết vào

phiếu số II.A.

PHIẾU SỐ IIA

Bài 2.

Trong một trận đấu bóng rổ, một cầu thủ đang cố gắng ném bóng vào rổ của đội bạn nhưng bị đội bạn phạm

lỗi và được hưởng một quả ném phạt. Vị trí ném phạt theo phương nằm ngang từ tâm của rổ đến điểm ném phạt là 4,21m và độ cao của cột rổ là 3,05m tính từ mặt sân. Cầu thủ ném quả bóng theo một góc 350 với vận tốc ban

đầu v nhỏ hơn5m/s. Tại thời điểm 0,5 giây người ta thấy bóng đạt độ cao là 2,005 (m). Và sau 0,96 giây bóng

chạm đất. Biết cầu thủ này có chiều cao 1,83 (m) và bỏ qua sức cản của không khí.

Dựa vào các dữ kiện trên em hãy phát thảo đường đi của quả bóng lên mặt phẳng tọa độ.

Tiếp tục làm việc theo nhóm

Pha 2b (làm việc theo nhóm – thời gian 20 phút)

Giáo viên tiếp tục phát phiếu số II.B và giấy nháp cho các nhóm giải quyết bài toán

2b.

PHIẾU SỐ IIB

Trong một trận đấu bóng rổ, một cầu thủ đang cố gắng ném bóng vào rổ của đội bạn nhưng bị đội bạn phạm

đầu v nhỏ hơn5m/s. Tại thời điểm 0,5 giây người ta thấy bóng đạt độ cao là 2,005 (m). Và sau 0,96 giây bóng

chạm đất. Biết cầu thủ này có chiều cao 1,83 (m) và bỏ qua sức cản của không khí.

Theo em cầu thủ có ném phạt thành công không?

Các nhóm thảo luận và trình bày lời giải của nhóm vào phiếu số II.B.

Sau đó, giáo viên điều khiển các nhóm tranh luận với nhau, cuối cùng thống nhất

cách giải cho bài toán 2.

Tổng kết hai pha này, giáo viên sẽ thể chế hóa như sau: “Mọi hiện tượng biến thiên

của thực tế thì tương quan hàm của nó luôn có thể được biểu diễn bởi một hàm đa thức

trong một khoảng cho phép”

Pha 3 (làm việc nhóm – thời gian 20 phút)

Trong pha 3, chúng tôi vẫn đặt học sinh trong tình huống vật lý. Tuy nhiên, mục

đích của pha này là cho học sinh thoát khỏi ảnh hưởng của mô hình vật lý vì với

trường hợp này với các công cụ vật lý không thể giải quyết được.

Giáo viên sẽ phát phiếu số IIIA cùng giấy nháp cho mỗi học sinh, yêu cầu các em

giải bài toán.

PHIẾU SỐ IIIA

Một chất điểm bắt đầu chuyển động không vận tốc ban đầu, khi quan sát sự thay đổi vị trí của vật theo thời

gian người ta thu được bảng số liệu sau:

Thời điểm (giây) Vị trí (mét)

a. Em hãy tính toán và hoàn thành các bảng số liệu được cho dưới đây

1,95

2,35

2,95

Thời điểm (s) Vị trí (m)

Sau khi học sinh đã trình bày lời giải vào phiếu làm bài, giáo viên không thu phiếu

này và tiếp tục cho học sinh hoạt động nhóm để hoàn thành phiếu IIIB.

PHIẾU SỐ IIIB

Bài 3.

Một chất điểm bắt đầu chuyển động không vận tốc ban đầu, khi quan sát sự thay đổi vị trí của vật theo thời

gian người ta thu được bảng số liệu sau:

Thời điểm (giây) Vị trí (mét)

Em hãy hoàn thành tiếp bảng số liệu sau đây

0,5

2,35

2,95

3,3

Thời điểm (s) Vị trí (m) Tên vị trí Quãng đường (m) Thời gian (s) Vận tốc trung

D CE

G FG

bình (m/s)

Từ đó, hãy nhận xét về chuyển động trên và cho biết vị trí xa nhất của chất điểm sau khi chuyển động trong

3,5 giây đầu tiên?

Pha 4 (làm việccá nhân – thời gian 15 phút)

Trong pha này, giáo viên cho học sinh làm việc cá nhân. Mục đích kiểm tra lại sự

tiến triển về mặt nhận thức trong mỗi học sinh. Bài toán mang nội dung thực tế thoát

hẳn mô hình vật lý của các bài toán trước.

PHIẾU SỐ IV

Bài 4.Một người mới chơi cổ phiếu, ông đang sở hữu 200 cổ phiếu-mỗi cổ phiếu trị giá 10 nghìn đồng.

Trong ba ngày liên tiếp gần đây, ông theo dõi thị trường giao dịch và quan sát được giá cổ phiếu vào lúc 12 giờ

trưa xuống rất thấp với giá là 1 nghìn đồng. Từ thời điểm này giá cổ phiếu của ông có sự dao động mạnh từ 1

đến 4 giờ chiều. Số liệu quan sát được ghi theo bảng sau:

Thời điểm

1 giờ

2 giờ

3 giờ

4 giờ

Giá cổ phiếu

13,75

≈

6,58(3)

12,1(6)

4, (3)

(đơn vị nghìn đồng)

79 12

73 6

13 3

Theo dự báo của thị trường cổ phiếu, cho đến hết tuần này giá cổ phiếu của ông vẫn giữ mức giao dịch khá

ổn định. Ông muốn bán số cổ phiếu đang có, em hãy giúp ông ta chọn thời điểm thích hợp trong ngày để bán ra

với lợi nhuận cao nhất!

Pha 5 (tổng kết – thời gian 10 phút)

Giáo viên tổng kết lại những gì học được từ đầu buổi học, các bước của quá trình

MHH cũng như kỹ thuật tìm hàm xấp xỉ vừa được hình thành cho học sinh.

3.1.4. Phân tích tiên nghiệm

3.1.4.1. Biến didactic và biến tình huống

 Biến tình huống

 Biến V1: Cách thức làm việc

Có 3 cách làm việc có thể được tổ chức là: làm việc cá nhân, làm việc theo nhóm

và làm việc tập thể.

Với bài toán 1, chúng tôi muốn các em là việc theo nhóm để các em bộc lộ biểu

hiện cá nhân với kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số”

Trong cả 3 bài toán còn lại, chúng tôi cho học sinh làm việc nhóm với mong đợi

nhiều ý kiến khác nhau xuất hiện, tranh luận giữa các thành viên trong nhóm buộc các

em thấy được sự khác biệt giữa các kết quả. Đây là điều kiện cần và đủ để bốn bước

dạy học MHH của chúng tôi được diễn ra một cách thuận lợi.

 Biến didactic

 Biến V2: Tương quan hàm số có xuất hiện hay không?

Trong các bài toán của mình chúng tôi lựa chọn giá trị của biến là: tương quan hàm

xuất hiện không xuất hiện- lựa chọn này phù hợp với mục đích thực nghiệm ban đầu

của chúng tôi “Dạy học MHH các bài toán thực tiễn khi tương quan hàm chưa được

cho sẵn”. Điều này buộc học sinh phải đi tìm mô hình hàm số rồi mới tìm biểu thức

xác định hàm số.

 Biến V3: có cho biết trước dạng của hàm số hay không?

Biến này nhận một trong 2 giá trị:

− Giá trị V4a: Cho biết trước dạng của hàm số (chẳng hạn cho biết

trước là hàm đa thức (bậc 1, bậc 2…), hàm mũ, hàm lượng giác, . . . )

− Giá trị V4b: Không cho biết trước dạng của hàm số.

Để thực hiện các bước dạy học MHH nên bắt buộc chúng tôi lựa chọn giá trị V4b:

(

;

)

Không cho biết trước dạng của hàm số.

)

x f x i i

của hàm số được cho trước.  Biến V4: Số lượng các giá trị (

Biến này có thể nhận một trong hai giá trị sau:

(

;

)

x f x i i

được khảo sát không quá − Giá trị V4a: Số lượng các điểm (

(

;

)

hai điểm.

)

x f x i i

được khảo sát không quá ba − Giá trị V4b: Số lượng các điểm (

(

;

)

điểm.

)

x f x i i

được khảo sát nhiều hơn ba − Giá trị V4c: Số lượng các điểm (

điểm.

Số lượng giá trị cho trong bảng được xem là ít nếu chỉ có từ 2 đến 3 giá trị. Điều

+ ) rồi sau đó lập hệ phương trình để giải tìm các

này tạo thuận lợi cho việc gọi dạng tổng quát của hàm số có chứa các hệ số chưa biết

+ , ax b

(chẳng hạn y

hệ số chưa biết này.

Số lượng giá trị của hàm số cho trước được xem là nhiều nếu có từ 4 giá trị trở

lên.Số lượng nhiều gây khó khăn cho việc lập hệ phương trình rồi hệ tìm các hệ số

chưa biết đó.

Khi biến V4 này nhận giá trị V4.a thì chiến lược xây dựng hàm tuyến tính bậc nhất

chiếm ưu thế.Khi biến V4 nhận giá trị V4.b thì chiến lược xây dựng hàm tuyến tính và

chiến lược xây dựng xây dựng hàm bậc hai đều có khả năng xuất hiện. Trong bài toán

2 chúng tôi chọn giá trị V4.b. Còn đối với giá trị V4.c thì chúng tôi nghĩ rằng cả hai

chiến lược hàm bậc nhất và bậc hai đều không có khả năng xuất hiện.

 Biến V5: giá trị x0 cần tính f(x0) là số nguyên hay số thập phân?

− Giá trị V5a: giá trị x0là số nguyên.

− Giá trị V5b: giá trị x0là số thập phân.

Nếu giá trị là số nguyên thì CLđồthị sẽ có cơ hội xuất hiện nhiều hơn và chiếm ưu

thế. 𝑥0

Nếu giá trị là số thập phân buộc học sinh phải dùng CL biểu thức xác định của

hàm số vì sử dụng CLđồthị sẽ không đưa ra kết quả chính xác. 𝑥0

3.4.1.2. Các chiến lược và cái có thể quan sát được

 Bài toán 1

a) Câu a này chúng tôi dự đoán có các chiến lược sau

 CLTB (chiến lược trung bình): tính vận tốc trung bình trên từng đoạn

đường và coi đó là vận tốc tức thời vì với các khoảng thời gian là rất nhỏ thì

vận tốc trung bình trên đoạn đường bất kỳ có thể xem là vận tốc tức thời tại

thời điểm ở giữa đoạn đường ấy.

Đoạn đường AB BC

Độ dài đoạn đường (dm) 0,32 0,96

Vận tốc trung bình 1,6 4,8 (dm/s)

Vận tốc tức thời (dm/s) 1,6 4,8

 CLTL (chiến lược tỉ lệ): xem vận tốc trung bình và thời gian là hai đại

lượng tỉ lệ thuận với nhau.Tìm vận tốc trung bình tại thời đểm 0,1 giây và

0,1

⇒ = a

0,8

→  0, 2  = →  1, 6

t =

0,3

coi đó là vận tốc tức thời tại thời điểm đó

3, 6

⇒ = b

0,3 ?

→  0, 4  = →  4,8

Tương tự đối với việc tính vận tốc tức thời tại thời điểm giây

Từ đó, bảng vận tốc tức thời tại hai thời điểm 0,1 và 0,3 giây là

Thời điểm t (s) 0,1 0,3

Vận tốc tức thời 0,8 3,6

b) Để đưa ra nhận xét về chuyển động này, ta cần phải biết được vận tốc

của vật là không đổi ( ) hay biến thiên theo hàm bậc nhất . Nếu

vận tốc của vật không đổi thì chuyển động của vật là chuyển động thẳng đều, 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑦 = 𝑏

nhưng nếu như vận tốccủa vật biến thiên theo đồ thị của đường thẳng đi qua

gốc tọa độ thì chuyển động của vật là chuyển động thẳng biến đổi đều. Chúng

tôi dự đoán có các chiến lược sau:

và trên mặt  CLđồthị: biểu diễn hai điểm

phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng qua hai điểm này. Quan sát đường thẳng vừa 𝑀1(0,1; 1,6) 𝑀2(0,3; 4,8)

vẽ và đưa ra nhận xét

Như vậy, dựa vào đồ thị thì học sinh có thể dự đoán được sự phụ thuộc của vận tốc

theo thời gian là hàm bậc nhất vì đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.Nghĩa là

vận tốc tăng đều theo thời gian. Kết luận đây là chuyển động thẳng nhanh dần đều.

giây sẽ được tiến Với CLđồthịviệc tính vận tốc tức thời tại thời điểm

hành như sau: 𝑡 = 0,3005

− Kéo dài đồ thị về bên phải và lấy một điểm M có hoành độ 0.3005

trên đồ thị

− Tìm tung độ bằng cách kẻ một đường ngang qua M cắt trục tung tại

K. Bằng cách đếm đơn vị trên đồ thị thì sẽ được tung độ của K. Giá trị tung

độ này là giá trị dự đoán vận tốc tức thời của xe tại thời điểm 0,35s.

 CLhàmbậcnhất( chiến lược hàm bậc nhất): chiến lược này có nội dung

như sau:

− Tính hệ số góc của các đường thẳng M1M2.

Đường thẳng M1M2

Hệ số góc 16

(hệ số góc và qua điểm − Đường thẳng đi qua hai điểm

) có dạng: 𝑀1𝑀2 𝑘 = 16

𝑀1(0,1; 1,6)

Dựa vào công thức hàm số, ta thấy rằng đây là hàm số bậc nhất (đồ thị hàm 𝑦 − 1,6 = 16(𝑥 − 0,1) ⇒ 𝑦 = 16𝑥

số này đi qua gốc tọa độ )nghĩa là vận tốc tăng đều theo thời gian. 𝑦 = 𝑎𝑥

Vậy, chuyển động của vật là chuyển động thẳng nhanh dần đều. 𝑂(0,0), 𝑣à 𝑎 > 0

Từ đó,ta tính được vận tốc tức thời của xe tại thời điểm 0,305s bằng cách cho

thì y = 16 × 0,3005 = 4,88 (dm/s).

 Bài toán 2 𝑡 = 0,305

Các chiến lược chúng tôi dự kiến có thể xảy ra

a) Các em có thể có hai chiến lược để mô phỏng đường đi của quả bóng

 CLđườngthẳng: từ thời điểm được ném đến khi chạm đất quả bóng đi qua

hai vị trí và nên quỹ đạo của quả bóng sẽ là một

đường thẳng đi qua hai điểm trên. (0,5; 2,005) (1,96; 0)

sẽ được bổ sung.  CLđườngcong: với chiến lược này điểm

Chính vì vậy, quỹ đạo của quả bóng sẽ là một đường cong. (0; 1,83)

b) Với câu hỏi của bài toán đặt ra buộc học sinh phải quy trình mô hình

hoá thể hiện ở chỗ xác định các đại lượng quan trọng trong việc khảo

sátchuyển động của quả bóng: thời gian, độ cao. Trong đó các em phải xác

định được độ cao h(m) của quả bóng là hàm số theo thời gian t(s).

≠

 CLhàmbậcnhất:Đồ thị của hàm số cần tìm đi qua hai điểm nên biểu thức

( at b a

)

. xác định hàm số là một đa thức tuyến tính dạng: ( ) h t

Dựa vào các dữ kiện của bài toán ta có bảng giá trị sau:

0,5 2,005 0,96 0 Thời gian (s) Độ cao của quả bóng (m)

Từ bảng giá trị trên ta nhận thấy độ cao của quả bóng là hàm số bậc nhất theo thời

gian.

≠

Giả sử t (giây) là thời gian chuyển động của quả bóng, khi đó độ cao h (m) của quả

( ) h t

( at b a

)

bóng là hàm số bậc nhất theo quãng đường đi:

−

+ =

2,005

4,385

a b + =

0,96

a b

  

= −

4,385

4,184

 a ⇒  = b

Với hai điểm đã cho ta có hệ phương trình sau:

= −

4,358

4,184

Vậy hàm số cần tìm có dạng:

Ta có đồ thị sau

Kết luận: quả bóng không bay vào rổ mà cứ bay thẳng lên trời.

Nghĩa là cầu thủ ném phạt không thành công.

Nhìn lại thực tế đề bài là quả bóng chạm đất sau 0,96(s) chứ không phải bay thẳng

lên trời học sinh sẽ nhận thấy chiến lược của mình bộc lộ khuyết điểm và chuyển sang

mô hình hàm bậc hai.

 CLđồthị: học sinh dựa vào phần phác thảo đường đi của quả bóng, bổ

sung thêm một điểm là (4,21; 3,05). Dựa vào hình vẽ và đưa ra nhận xét:

≠

Từ hình vẽ trên học sinh đưa ra nhận xét là bóng không đi vào rổ.

( ) h t

( c a ,

)

làm biểu  CLhàmbậchai: Chọn đa thức bậc hai

thức của hàm số. Trong chiến lược này học sinh sẽ chọn thêm một điểm là

thời điểm bắt đầu ném bóng, điểm này có tọa độ (0;1,83).

 Lời giải có thể quan sát tương ứng với chiến lược:

Dựa vào các dữ kiện của bài toán ta có bảng giá trị sau:

≠

( c a ,

)

Thời gian (s) Độ cao của quả bóng (m) 0,5 2,005 0,96 0 0 1,83

Độ cao h (m) của quả bóng là hàm số bậc hai theo thời gian t (s). Hàm số có dạng: ( ) h t

+ =

1,83 + a

b c

2, 005

+ =

0,5 + a

b c

0,9216

0,96

= c  0, 25   

≈ −

4,9

Với ba điểm của bảng giá trị ta có hệ phương trình sau:

2,8 1,83

 a  ≈ b  = c

Giải hệ phương trình trên ta được:

= −

4,9

2,8

1,83

Ta được hàm số như sau:

= −

4,9

2,8

1,83

Độ cao cực đại của quả bóng đạt được chính là GTLN của hàm số

2, 23

h =

3, 05

x = (giây) so sánh với độ cao của cột rổ

2 7

tại ta thấy Ta có: max

rằng bóng không bay vào rổ. Nghĩa là cầu thủ ném phạt không thành công.

 Bài toán 3

1 2 3

4 2 0

Thời điểm (giây) Vị trí (mét) ; Với ba điểm và thì chiến lược cơ sở đối với bài toán này là

CLhàmbậcnhất: với chiến lược này học sinh sẽ viết phương trình đường thẳng đi qua hai (1; 4) (2; 2) (3; 0)

trong ba điểm trên. Sau đó, kiểm tra sự thẳng hàng của ba điểm này và kết luận ba

điểm này thẳng hàng sau đó tính vị trí của vật tại các thời điểm được yêu cầu.

 Lời giải có thể quan sát tương ứng với chiến lược:

≠

; có dạng:

( at b a

)

− Hàm số cần tìm đi qua hai điểm ( ) x t (1; 4) (2; 2)

− Thay tọa độ hai điểm này vào biểu thức trên và giải hệ phương trình

ta được:

a = -2, b = 6

− Do đó biểu thức hàm vị trí của vật theo thời gian t đi qua hai điểm có

( ) = − +2 x t

dạng:

vào biểu thức hàm số trên ta thấy rằng ba điểm − Thay điểm

( ) = − +2 x t

; và . Vậy hàm vị trí của vật là: (3; 0)

Từ đó, ta lập được bảng số liệu sau: (1; 4) (2; 2) (3; 0)

1,95 2,35 2,95

Thời điểm (s) Vị trí (m) 2,1 1,3 0,1

Sang câu hỏi 3b

Với dữ kiện ban đầu, học sinh biểu diễn trên phần mềm và mô tả được quỹ đạo

chuyển động của vật là một đường thẳng

Tuy nhiên, với câu hỏi tiếp theo dự đoán vị trí xa nhất của vật trong 3 giây đầu tiên.

Kết quả sẽ là 6m tại vị trí 0 giây.Điều này mâu thuẩn với giả thiết là “vật chuyển động

không vận tốc ban đầu”.Từ đây, học sinh sẽ biểu diễn thêm điểm trên mặt

phẳng tọa độ. Với công cụ mới thiết lập “Đường cong qua 4 điểm”. Học sinh mô tả (0; 0)

được quỹ đạo chuyển động của vật như sau:

Dựa vào quỹ đạo chuyển động của vật, học sinh dự đoán được vị trí xa nhất của vật

sau khi chuyển động trong 3 giây đầu tiên là 4 (m).

Như vậy, môi trường tin học cho phép học sinh nhận ra hàm tuyến tính chưa phù

hợp, và với quỹ đạo trên học sinh nhận ra hàm mô tả chuyển động này là hàm bậc ba.

3c) CLhàmbậcnhất bộc lộ khiếm khuyết đối với câu 3c

0 6 A 1 4 C 2,35 1,3 E

Thời điểm (s) Vị trí (m) Tên vị trí Quãng đường (m) 0,5 5 B AC=2 2 2 D CE=2,7

Thời gian (s) 1 1,35 0,6

Vận tốc trung bình (m/s) 2 2 2 2,95 3,3 -0,6 0,1 G F Không EF=1,2 tính được Không tính được Không tính được

Như vậy, CLhàmbậcnhất bộc lộ khiếm khuyết vì hai lý do:

Thứ nhất, vị trí của vật tại một thời điểm bất kỳ của một vật trong chuyển động

không thể là một số âm.

Thứ hai, vật chuyển động không vận tốc đầu nghĩa là tại thời điểm 0 giây khi xuất

phát vị trí của vật cũng là 0 mét. Nhưng trong trường hợp này tại thời điểm 0 giây vị

trí của vật là 6 m. Điều này mâu thuẩn dữ kiện đề bài cho.

Đến đây, học sinh buộc phải thay đổi chiến lược ban đầu và phải tìm lại công thức

hàm số xác định vị trí của vật.

Sự phản hồi của môi trường tin học trong câu 3b cho phép học sinh chuyển sang

≠

dùng hàm bậc ba để mô tả cho chuyển động đã cho

( + ct d a

)

là hàm vị trí của + CLhàmbậcba: dùng hàm bậc ba

chuyển động.

 Lời giải có thể quan sát tương ứng với chiến lược:

− Từ các dữ kiện đề bài cho, học sinh lập ra bảng giá trị sau:

Thời gian (t) Vị trí (m) 0 0 1 4 2 2 3 0

≠

Giả sử t (giây) là thời gian chuyển động của chất điểm khi đó vị trí y −

( + ct d a

)

(mét) của vật là hàm đa thức bậc 3 theo t:

− Khi đó ta có hệ phương trình:

4 + =

2 +

2 + =

b 9

= d 0  + + + = a b c d   8 4 b c d   + c d 3 

= a 1  = − b 6   = c 9  = d 0

Giải hệ phương trình ta được

−

26 x

− Vậy ta được hàm số sau:

Từ hàm vị trí tìm được thì:

− Các bảng số liệu tìm được ở câu a và b lần lượt là

Thời điểm (s) Vị trí (m) 1,95 2,149875 2,95 0,007375

2,35 0,992875 Bảng a

2,35 2,95 3,3

0,992875 0,007375 0,297

2 2 C D E F G

1 0,5 0 0 3,125 4 B A AC=4 1 4 CE=3,007125 EF=0,9855 FG=0,289625 0,6 1,6425 1,35 2,2275 0,35 0,8275 Thời điểm (s) Vị trí (m) Tên vị trí Đoạn đường (m) Thời gian (s) Vận tốc trung bình (m/s)

Bảng b

− Vận tốc của vật thay đổi trên từng đoạn đường nên chuyển động của

= tại 4

vật là chuyển động biến đổi.

]

0;3,5 ta được max

− Giá trị lớn nhất của hàm số trong khoảng [

x=1.Từ đó, trả lời được trong 3,5 giây đầu tiên thì tại thời điểm 1 giây vị trí

chuyển động xa nhất của vật là 4 (m).

 Bài toán 4

a. Dùng phần mềm Geogebra, mô tả lại sự thay đổi giá của cổ phiếu theo

thời gian từ 12 giờ đến 4 giờ chiều.

+ CLđườnggấpkhúc:học sinh biểu diễn các điểm giả thiết cho lên mặt phẳng tọa độ.

Sau đó, vẽ đường gấp khúc nối liền các điểm này.

+ CLđườngcong1: học sinh biểu diễn các điểm giả thiết cho lên mặt phẳng tọa độ. Sau

đó, dùng nút lệnh “đường cong qua 4 điểm” để vẽ đường cong mô tả theo yêu cầu bài

toán.

+ CLđườngcong2:

Với chiến lược này học sinh cần phải tìm lại đúng mô hình toán học của bài toán

thực tế. Cụ thể là bổ sung thời điểm 12 giờ với giá 1 nghìn đồng tương ứng với điểm

. Bảng giá trị sẽ như sau:

≈

4, (3)

6,58(3)

12,1(6)

13 3

3 4 (0; 1) 13,75 0 1

1 79 12 2 73 6

Thời điểm Giá cổ phiếu (đơn vị nghìn đồng)

Sau đó, học sinh biễu diễn các điểm giả thiết cho lên mặt phẳng tọa độ. Sau đó,

dùng nút lệnh “đường cong qua 4 điểm” để vẽ đường cong mô tả theo yêu cầu bài

toán.

≠

( + ct d a

)

+ CLhàm bậc ba : hàm bậc ba

Với chiến lược này, học sinh sẽ dựa vào 4 điểm trong bảng số liệu thiết lập nên

hàm số bậc ba để biễu diễn sự phụ thuộc giá cổ phiếu theo thời gian t.

 Lời giải có thể quan sát tương ứng với chiến lược:

1 giờ 2 giờ 4 giờ

≈

12,1(6)

6,58(3)

4, (3)

13 3

79 12

73 6 Bảng giá trị cho ta 4 điểm cụ thể như sau:

3 giờ 13,75 Thời điểm Giá cổ phiếu (đơn vị nghìn đồng)

+ = 1

+ + a b c d

79 12

8 b

4 c

2 d

+ =

73 6 1 13,75

27 b

9 + 3 d c

256

+ = 1

13 3

� , �2; � , (3; 13,75), �4, �1, Từ điều kiện đề bài suy ra hệ: 13 � 3 73 6

79 12  e      16    81 a   

, Giải hệ này ta được

Hàm số đi qua bốn điểm trên có dạng: 𝑎 ≈ −1,17, 𝑏 ≈ 5, 𝑐 ≈ −1,25, 𝑑 = 4 2 Nhưng với hàm số này, không thể tìm được giá giao dịch vào lúc 12 giờ trưa.Sự có + 5𝑡 − 1,15𝑡 + 4 𝑦 = −1,17𝑡

mặt của môi trường tin học trong câu 4a.sẽ giúp học sinh nhận ra mô hình hàm bậc ba

là không phù hợp.

≠

( e a

)

+ CLhàmbậcbốn: hàm bậc ba

Với chiến lược này giá dao dịch vào thời điểm 12 giờ trưa sẽ được bổ sung vào

bảng giá trị, nhưng 12 giờ phải tương ứng với giá trị của biến thời là 0 giờ. Bảng giá trị

cụ thể như sau:

4 giờ

≈

6,58(3)

12,1(6)

4, (3)

13 3

0 giờ 1 3 giờ 13,75 Thời điểm Giá cổ phiếu (đơn vị nghìn đồng) 2 giờ 73 6 1 giờ 79 12

 Lời giải có thể quan sát tương ứng với chiến lược:

t là hàm số ( )

Ta thấy rằng, giá cổ phiếu sẽ biến động theo thời điểm t. Nếu gọi

biểu thị giá cổ phiếu theo thời điểm t. Với 5 điểm đã cho sẽ xác định được hàm đa thức

bậc 4.

Gọi đa thức bậc 4 có dạng f(t) = at4 + bt3 + ct2 + dt + e (a≠0)

+ = 1

+ + a b c d

79 12

8 b

4 c

2 d

+ =

73 6 1 13,75

27 b

9 + 3 d c

256

+ = 1

13 3

      16    81 a   

Từ điều kiện đề bài suy ra hệ:

Giải hệ này ta được a = -1/8, b = 1/12, c = 5/8, d = 5, e = 1

= −

t ( )

t 5

t ∈

0, 4

[

]

(

)

1 8

1 12

5 8

Vậy hàm số biểu diễn giá cổ phiếu theo thời điểm t (từ 12 giờ đến 4 giờ) có dạng:

Để biết thời điểm bán cổ phiếu thích hợp nhất ta tìm GTLN của hàm số f(t) trong

]0, 4

= −

đoạn [

t '( )

+ 5

1 2

1 4

5 4

= ⇔ ≈

≈

t '( ) 0

2,74

t⇒ f

( ) 14, 06

Ta có:

Như vậy thời điểm bán thích hợp nhất là vào 2 giờ 44 phút 24 giây với giá cổ phiếu

là 14.060 đồng.

3.1.5. Phân tích kịch bản dạy học

Buổi thứ nhất

Pha 1:

Như đã đề cập ở trên, mục đích của pha 1 này là kiểm tra quan hệ các nhân của học

ax b

sinh với kiểu nhiệm vụ tìm biểu thức xác định hàm số và kỹ thuật “Qua hai điểm cho

+ (

a ≠ )”. Bên cạnh đó chúng

trước luôn xác định được một hàm số bậc nhất y

tôi còn muốn kiểm tra xem ảnh hưởng của mô hình vật lý đến việc đi tìm lời giải của

học sinh.Với việc chọn biến V5aở câu 1a,theo chúng tôi đánh giá thì học sinh sẽ dễ

dàng tìm ra chiến lược cũng như lời giải đúng.Tuy nhiên, khi xem xét bài toán trong

hoàn cảnh vật lý thì ý đồ chúng tôi buộc học sinh phải có sự lưỡng lự trong việc lựa

chọn mô hình vật lý hay mô hình toán học để giải quyết. Và đích đến cuối cùng chúng

tôi muốn học sinh thấy được sự khiếm khuyết trong mô hình vật lý buộc học sinh phải

chuyển sang mô hình toán học để giải quyết.Như vậy, với bài toán 1a thì các em học

sinh vẫn có thể dùng mô hình Vật lý với CLtrungbình để cho ra kết quả.Nhưngvới bài

toán 1b thì CL này hoàn toàn vô hiệu. Học sinh buộc phải suy nghĩ tìm ra chiến lược

mới đó là: CLđồthị và CLhàmbậcnhất. Với hai chiến lược này, học sinh hoàn toàn có thể sử

dụng để đưa ra “nhận xét về chuyển động của hòn bi”, Tuy nhiên, với yêu cầu cuối

cùng là “cho biết vận tốc tức thời tại thời điểm t=0,3005” giây thì CLđồthị lại bộc lộ

khiếm khuyết vì CL này cho ra kết quả chưa chính xác. Đến đây, học sinh buộc phải

tìm cho mình chiến lược tối ưu-đó chính là chiến lược hàm bậc nhất: CLhàmbậcnhất

Pha 2: Mục đích của pha này là cho học sinh tách dần ra khỏi sự thống trị của mô

hình vật lý. Vì lẽ đó, chúng tôi sẽ không cho đầy đủ các thông số cần thiết để các em

có thể áp dụng được chiến lược của môn vật lý và sự lựa chọn biến V4b (ba giá trị).

Đồng thời, với câu hỏi b của pha này chúng tôi tạo ra nhằm mục đích cho các em thực

hiện được đầy đủ bốn bước của quá trình MHH.

Pha 3: Trong pha này, chúng tôi muốn các em tách hoàn toàn suy nghĩ về việc sử

dụng các hàm chuyển động vật lý để giải quyết. Tuy nhiên, một số kiến thứcphân môn

vật lý sẽ là công cụ để các em lựa chọn được chiến lược tìm ra lời giải chính xác của

mình.Cụ thể, nếu học sinh sử dụng CLhàm bậc nhấtlà hàm vị trí của chuyển động thì bài

toán 3a hoàn toàn có thể giải quyết được. Tuy nhiên, đến bài toán 3b việc xử lý số liệu

của bảng sẽ giúp học sinh nhận ra hạn chế của CLhàm bậc nhất (vì một số vị trí chuyển

động sẽ nhận kết quả âm). CLhàm bậc hai sẽ giúp các em có được câu trả lời cho yêu cầu

“tìm vị trí xa nhất sau khi vật chuyển động trong 3,5 giây đầu tiên”. Tuy nhiên, nếu sử

dụng chiến lược hàm bậc hai sẽ cho ra kết quả âm. Điều này không thể xảy ra vì vị trí

chuyển động của vật luôn là một số dương. Tình huống có vấn đề này buộc các em

phải xem xét lại chiến lược và chuyển sang dùng hàm bậc ba để giải quyết.

Pha 4: Mục đích của pha này cho học sinh thoát hoàn toàn ra khỏi mô hình vật lý,

cũng như tổng quát hóa cho kỹ thuật tìm hàm đa thức xấp xỉ với tương quan hàm cho

trước. Đồng thời chúng tôi muốn kiểm tra lại sự tiến triển trong nhân thức của học

sinh. Chính vì vậy, giá trị của biến V4được chọn là V4b (số các giá trị nhiều). Đồng

thờipha này chúng tôi vẫn tiếp tục cho học sinh hoạt động theo nhóm với mong muốn

tiến trình dạy học MHH sẽ diễn ra thuận lợi hơn.

Pha 5:

Pha này, mục đích của chúng tôi là sự thể chế hóa và tổng hợp của giáo viên. Kết

luận về những kiến thức đạt được trong buổi học:

- Cách thức giải quyết một bài toán thực tế nghĩa là các bước cụ thể của quá trình

MHH.

- Kỹ thuật xấp xỉ một hiện tượng biến thiên của thực tế với một hàm đa thức

a, b

x ,x ,...,x 1

∈ 

  .

“Nếu chỉ biết một số hữu hạn gồm (n + 1) giá trị của hàm số tại các điểm rời rạc

+ +

≠

0 ”

a x ... a x ,a 1

) = P x : a

(

Ta có thể biễu diễn nó với một đa thức bậc n dạng:

3.1.6. Phân tích hậu nghiệm

Với thực nghiệm được thiết kế, chúng tôi tiến hành tại lớp 12T1 (30 học sinh)

trường Trung học phổ thông Nguyễn Thông (tỉnh Long An) vào ngày 20 tháng 9 năm

2014. Dữ liệu thu được bao gồm phiếu làm bài của 5 nhóm, hình vẽ do học sinh làm

việc trên phần mềm Geogebra dưới dạng file ggb và file ảnh kèm theo file ghi âm và

một số giấy nháp của học sinh.

3.1.6.1. Những ghi nhận tổng quát trong quá trình thực nghiệm

Buổi thứ nhất

Gồm pha 1 và phần giới thiệu của giáo viên về phần mềm Geogebra.

Trong pha 1 (pha làm việc cá nhân của học sinh), chúng tôi ghi nhận được những

kết quả đáng chú ý trong bảng sau:

Bảng 4.1. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 1

Bài toán 1a Bài toán 1b

CLđồthị CLTB Nhóm 1 (Chiến lược trung bình) (Chiến lược đồ thị)

RCLhàmbậcnhất

→

CLTB CLđồthị Nhóm 2 (Chiến lược trung bình) (Chiến lược ngoài dự kiến)

Chỉ đưa ra câu trả lời mà không CLTB Nhóm 3 (Chiến lược trung bình) dùng lập luận chính xác.

RCLhàmbậcnhất

→

CLTB CLđồthị Nhóm 4 (Chiến lược trung bình) (Chiến lược hàm bậc nhất)

CLTB CLđồthị Nhóm 5 (Chiến lược trung bình) (Chiến lược đồ thị)

Các câu trả lời của nhóm 1, 3, 4, 5 trong pha 1 đều theo các chiến lược dự kiến. Chỉ

có nhóm 2 là nhóm đưa ra câu trả lời chính xác nhưng nằm ngoài các chiến lược mà

chúng tôi dự đoán ban đầu. Chúng tôi sẽ làm rõ chiến lược này trong phần Phân tích

chi tiết kết quả thực nghiệm. Tuy nhiên, với bảng kết quả thu được thì tỉ lệ các nhóm

không tìm ra biểu thức hàm số đã chiếm tỉ lệ khá cao: 3/5 (60%). Điều này chứng tỏ

rằng, kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” khá mới lạ đối với học sinh.

Buổi thứ hai

Pha thứ 2:

Kết quả thống kê lời giải của học sinh đối với bài toán 2 được thể hiện trong

bảng 4.2 như sau:

Bảng 4.2. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 2

RCLhàmbậcnhất

Số lượng Tỷ lệ nhóm

RCLhàmbậchai

CLđườngthẳng 1 20% (Chọn đa thức tuyến tính) →

→

CLđườngcong 3 60% (Chọn đa thức bậc hai)

Không xác định được quỹ đạo 1 20% cũng như công thức hàm số

Tổng cộng 5 100%

Trong pha hai này, các nhóm làm việc rất tích cực để sử dụng phần mềm Geogebra

trong việc phác thảo đường cong của quả bóng cũng như trả lời cho câu 2c “Bóng có

đi vào rổ hay không”. Tuy nhiên, chỉ có một nhóm (nhóm 5) không đưa ra được câu

trả lời. Lý do, các em đã sử dụng mô hình Vật Lý để giải quyết. Dù chúng tôi đã hạn

chế các yếu tố trong môi trường Vật Lý để các em không nghĩ đến chiến lược này.Tuy

nhiên, nhóm 5 vẫn không thoát khỏi sự ảnh hưởng sâu sắc của mô hình Vật Lý.

Trong pha 3, Chúng tôi thống kê lại chiến lược của các nhóm sử dụng để giải quyết

các bài toán được phát ra trong phiếu số 3 trong bảng 4.3 dưới đây:

Bảng 4.3. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 3

Bài toán 3a Bài toán 3b Bài toán 3c

Biễu diễn các điểm

trên mặt phẳng tọa

CLhàmbậchai

(Chiến lược tìm hàm số độ vẽ đường thẳng Nhóm 1 CLHàmbậcnhất bậc hai theo mô hình đi qua 3 điểm nhưng →

Vật Lý) vẫn không bổ sung

điểm (0; 0)

Biễu diễn các điểm

trên mặt phẳng tọa

CLhàmbậcnhất

CLhàmbậcba

(Chiến lược tìm hàm số (Chiến lược tìm độ vẽ đường thẳng Nhóm 2

bậc nhất) biểu thức bậc 3)

đi qua 3 điểm bổ → sung điểm (0; 0)

Biễu diễn các điểm

CLhàmbậchai

CLhàmbậcba

(Chiến lược tìm hàm số trên mặt phẳng tọa (Chiến lược tìm Nhóm 3 bậc hai theo mô hình độ vẽ đường thẳng biểu thức bậc 3) Vật Lý) đi qua 3 điểm →

Biễu diễn các điểm

CLhàmbậchai

CLhàmbậcba

trên mặt phẳng tọa (Chiến lược tìm hàm số (Chiến lược tìm Nhóm 4 độ vẽ đường thẳng bậc hai) biểu thức bậc 3)

đi qua 3 điểm →

Biễu diễn các điểm

CLhàmbậcnhất

CLhàmbậcba

trên mặt phẳng tọa (Chiến lược tìm hàm số (Chiến lược tìm Nhóm 5 độ vẽ đường thẳng bậc nhất) biểu thức bậc 3)

đi qua 3 điểm →

Kết thúc pha 3, chúng tôi tiến hành pha 4 như là pha kiểm tra lại sự tiến triển trong

nhận thức của học sinh đối với kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” cũng

như các bước của quá trình MHH. Kết quả được ghi nhận theo bảng sau:

Bảng 4.4. Bảng thống kê lời giải các nhóm trong Bài toán 4

Bài toán 4a Bài toán 4b

CLhàmbậcba

RCLhàmbậcbốn

CLđườngcong1

Nhóm 1

(Chiến lược tìm biểu thức → bậc 4)

CLđườngcong1

RCLđườngcong2

CLhàmbậcbốn

(Chiến lược tìm biểu thức (bổ sung thêm điểm (0, 1) tương → ứng với giá cổ phiếu lúc 12 giờ và Nhóm 2

bậc 4) tìm lại đường cong mô tả giá cổ

phiếu từ 12 giờ đến 4 giờ)

CLđườnggấpkhúc

CLtrựcgiác

(Biễu diễn các điểm giả thiết cho (Dựa vào “đường gấp trên mặt phẳng tọa độ nối các Nhóm 3 khúc” trong câu 4a để đưa điểm bằng các đoạn thẳng để được → ra câu trả lời) đường gấp khúc mô tả giá cổ phiếu)

CLhàmbậcbốn

(Chiến lược tìm biểu thức

CLđườngcong1

RCLđườngcong2

Nhóm 4

→

bậc 4)

CLhàmbậcbốn

(Chiến lược tìm biểu thức

CLđườngcong1

RCLđườngcong2

Nhóm 5

→

bậc 4)

3.1.6.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm

 Sự có mặt của quá trình MHH trong dạy học hàm số

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm với mục đích dạy học MHH kiểu nhiệm vụ “Tìm

biểu thức xác định hàm số”. Với học sinh vấn đề này hoàn toàn mới lạ. Sau đây chúng

tôi sẽ phân tích rõ các bước của quá trình MHH trong từng bài toán cụ thể.

Với bài toán 1, chúng tôi muốn tạo thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với kiểu nhiệm vụ

mới “Tìm biểu thức xác định hàm số”. Chính vì vậy, bốn bước của quá trình MHH

chưa thật sự đầy đủ.

Câu 1a như là một bước trung gian để tìm ra hai điểm (0,1; 1,6) và (0,3; 4,8) đây là

bài toán tìm vận tốc tức thời rất quen thuộc trong Vật lý. Tất cả 5 nhóm đều sử dụng

CLtrungbình. Theochúng tôi kết quả này hoàn toàn hợp lý vì quy ước “với các khoảng

thời gian là rất nhỏ thì vận tốc trung bình trên đoạn đường bất kỳ có thể xem là vận

tốc tức thời tại thời điểm ở giữa đoạn đường ấy” các em đã được biết đến trong vật lý

10. Với vai trò này, thì câu 1a như là bước 1 của quy trình mô hình hoá thể hiện ở chỗ

xác định các đại lượng quan trọng trong việc khảo sát một chuyển động là thời gian,

vận tốc, quãng đường. Các bước hai, ba, bốn lần xuất hiện khá rõ ràng:

Xem vận tốc là hàm số của thời gian, quãng đường là hàm số của thời gian, đặt ra

nhiệm vụ phải tính toán xem vận tốc là hàm bậc mấy của thời gian, quãng đường là

hàm bậc mấy của thời gian là bước 2 của quy trình mô hình hoá. Bước này phát biểu

lại bài toán thực tế bằng ngôn ngữ của toán học.

Việc khôi phục hàm số bằng CLđồthị hay CLhàmbậcnhất đi đến nhận xét vận tốc tăng

đều thể hiện việc đưa ra một kết luận đối với một hiện tượng Vật lí chính là bước 3 của

quá quy trình mô hình hoá. Bước này dùng các công cụ của toán học để giải quyết bài

toán vừa được phát biểu theo ngôn ngữ của toán học.

Tuy nhiên, việc nhận ra CLđồthị cho kết quả chưa chính xác khi tìm vận tốc tức thời

tại thời điểm giây và buộc chuyển sang dùng CLhàmbậcnhất chính là bước 4

của quy trình mô hình hoá toán học. 𝑡 = 0,3005

Trong pha 2, 3, 4 các bước của quá trình MHH xuất hiện đầy đủ. Qua các lời giải

của các nhóm, chúng tôi nhận thấy học sinh đã thực hiện các bước như sau:

Bước 1: chọn lọc các dữ kiện cần thiết, các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất và

xác lập những quy luật mà chúng ta phải tuân theo. (được thực hiện thông qua yêu cầu

mô tả lại “chuyển động của vật” hay “giá của cổ phiếu” bằng phần mềm Geogebra)

Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét.

Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình

thành ở bước hai. (lập hệ phương trình bật nhất để tìm các hệ số của , chứng minh

một điểm không thuộc đồ thị của hàm số, hay tìm GTLN của hàm số) 𝑓(𝑥)

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Xác

địnhmức độ phù hợp của mô hình và kết quả của tính toán với vấn đề thực tế.

Sau đây, chúng tôi xin thống kê sự xuất hiện các bước trong quá trình MHH trong

từng bài toán:

Bảng 4.5. Bảng thống kê các bước của quá trình MHH trong các bài toán thực nghiệm

Bài Toán 1 2 3 4 Các bước MHH

Bước 1 Ngầm ẩn

Tường minh Tường minh Tường minh Bước 2 Tường minh Bước 3

Bước 4

Như vậy, vấn đề MHH đã xuất hiện trong việc giải quyết bốn bài toán thực nghiệm

của chúng tôi. Đồng thời, các bước của quá trình này cũng hiện diện trong cá nhân học

sinh thông qua pha tranh luận để đi đến thể chế hóa của giáo viên ở cuối buổi học.Sau

Gv : các em hãy cho Cô biết nhận xét của mình về bốn bài toán vừa giải xong? Cả về nội dung và

cách làm ?

Im lặng…

Gv : Cô gợi ý, Về nội dung cách cho bài toán giống hay khác các bài toán em từng gặp trong

SGK?

Hs1 : Dạ thưa Cô, hình như trong sách bài tập tụi em có gặp một số bài Toán có nội dung không

hoàn toàn là môn Toán nhưng trong đó đọc lên là biết dùng Toán để giải vì giả thiết của nó có xuất

hiện các biểu thức Toán.

Gv : thế những bài Toán Cô cho như thế nào ?

Hs2 : Nó có nội dung cũng không phải là môn Toán, nhưng tụi em không biết dùng Toán để giải

quyết, tưởng phải dùng môn Vật lý thưa Cô ?

Gv : thế làm sao tụi em giải quyết nó ?

đây là đoạn đối thoại của giáo viên với các học sinh trong lớp:

Hs1 : Tụi em thường phải dùng Vật Lý để như bài toán 1, 2, 3 mà thấy dùng không được, không

đủ dữ kiện nên chuyển sang phương án dùng Toán. Mà phải bỏ hết những dữ kiện thừa của Vật lý ra

như bài toán 2 ?

Hs2 : không có, đôi khi phải bổ sung vào như bài toán 3, 4 đó Cô. Không bổ sung thêm dữ kiện

thì không làm được, mà có làm cũng k ra được kết quả đúng.

Gv : Như vậy, việc làm các em đang nói là bước 1 của cách giải quyết các bài Toán Cô cho. Thế

đã xong chưa ?

Hs2 : dạ chưa. Còn phải biễu diễn chúng và nhận xét, xem chọn biến ra sao ? Như bài 1, 2, 3 chọn

biến là thời gian hàm số là quãng đường hay độ cao. Còn bài 4 biến cũng là thời gian nhưng hàm số là

giá của cổ phiếu. Mỗi bài khác nhau hết. Rồi còn phải gọi dạng của hàm số.

Gv : đúng rồi. Mỗi bài khác nhau, các em phải biết xác định lại bài toán này trong toán học như

thế nào. Sau đó tìm ra biểu thức xác định hàm số. Rồi các em còn làm gì nữa không ?

Hs : còn phải áp dụng toán để trả lời câu hỏi nữa Cô. Mà chưa biết có chính xác hay không nữa,

phải nhìn lại đề bài như bài nhóm em giải tìm ra hàm số sai nên tính vị trí âm mà vị trí chuyển động

của vật không âm được nên phải kiểm tra lại. Hơi khó Cô ơi.

Gv : À Đúng rồi, sau khi có được hàm số, các em phải tìm cách trả lời cho bài toán thực tế. Thế

phải nhìn lại thực tế, xem nó có đúng không. Đôi khi kết quả không phù hợp, ta phải điều chỉnh lại.

Hoặc xem lại quá trình tính toán, hoặc xem lại các dữ kiện đủ chưa.

Hs (giơ tay phát biểu) : vậy có quá nhiều bước cô ơi, em tính tới 4 bước đó Cô.

Gv : cười ! đúng rồi, để giải quyết các bài toán kiểu như vầy ta phải trải qua 4 bước. Đó là quá

trình MHH toán học […]

 Sự hình thành và tiến triển của kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số.

Theo chúng tôi, sự hình thành và tiến triển kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số

được thể hiện qua tỉ lệ các nhóm sử dụng đúng chiến lược và tìm được hàm số phù hợp

với đề bài.Nếu như với bài toán 1 chỉ có 2/5 (40%) nhóm sử dụng CLhàmbậcnhất thì qua

bài toán 2, 3 đã có 3/5 (60%) nhóm sử dụng CLhàmbậchai và CLhàmbậcba. Riêng đối với

bài toán 4, có đến 4/5 (80%) nhóm sử dụng CLhàmbậcbốn nhưng có một nhóm do bất cẩn

trong quá trình tính toán nên đưa ra kết quả không chính xác và hạn chế về thời gian

nên nhóm này không có cơ hội điều chỉnh sự sai sót.

Pha 1. Các em gặp khó khăn trong việc vẽ đồ thị hàm số vì số cho tương đối lẻ.

Tuy vậy, các nhóm vẫn cố sử dụng chiến lược này và vẽ đi vẽ lại nhiều lần.

“Nhóm 1 cố gắng sử dụng CLđồthị để giải quyết nhưng không thành công”

Nhóm 5, là nhóm làm việc khá hiệu quả các em đã chuyển từ CLđồthị sang

CLhàmbậcnhất

Riêng nhóm 2, chúng tôi tìm thấy một sự khác biệt trong lời giải. Chiến lược các

em đưa ra nằm ngoài dự đoán của chúng tôi.

Chiến lược này hoàn toàn đúng, vì các em đã lập phương trình chuyển động của

vật.Và tìm phương trình vận tốc chính là đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển

động.chúng tôi ghi nhận được quá trình làm việc của nhóm như sau:

Hs1: nhận xét chuyển động mình cần phải biết được phương trình vận tốc của nó kìa?

Hs2: vận tốc tại hai thời điểm câu 1 chứng tỏ nó không là hằng số rồi. Đúng không Quý?

Hs 3 (Quý): giờ lập phương trình chuyển động:

Hs 1: Có biết gì đâu mà lập? Gia tốc đâu?

Hs 3 (Quý): Có ba điểm kìa. Tui kiểm tra rồi, nó không thẳng hàng. Chỉ còn có kiểu parabol thôi.

Trong Lý phương trình chuyển động học tới bậc hai chứ mấy.

Hs 4: Ok, tìm xong lấy đạo hàm. Thay vào tính vận tốc tại 3,005 giây. Nhóm mình giỏi quá![…]”

“[…]

Pha 2.Các em rất hứng thú khi biểu diễn các dữ kiện trên phần mềm Geogebra.

Ba nhóm dùng mô hình toán học tìm biểu thức hàm số bậc hai đi qua ba điểm, cho

kết quả chính xác.

Trong khi hai nhóm còn lại quá phụ thuộc vào mô hình Vật lý nên chưa tìm được

kết quả

Từ kết quả trên, chúng tôi nhận thấy rằng học sinh đã bắt đầu quen với kiểu nhiệm

vụ tìm biểu thức hàm số.

Pha 3. Kết quả thu được từ bảng 4.3 không nằm ngoài dự đoán của chúng tôi. Các

em đã biết tìm biểu thức xác định hàm số, biết tự điều chỉnh chiến lược khi thấy kết

quả tìm được không phù hợp với thực tế.

Mặc dù vẫn còn hai nhóm chịu ảnh hưởng của mô hình vật lý, nhưng có một nhóm

đã quay lại mô hình toán học. Điều này theo chúng tôi là hoàn toàn hợp lý.

Pha 4. Kết quả thu được khá khả quan khi đa số các nhóm đều biết phân tích dữ

kiện đề bài cho và tìm được hàm số chính xác. Đây chính là sự tiến triển trong nhận

thức của học sinh qua ba bài toán trước. Qua lời giải của các nhóm, chứng tỏ các em

đã vận dụng được kỹ thuật tìm hàm số xấp xỉ thông qua 5 điểm cho trước từ đó mở

rộng hơn cho n+1 điểm cho trước.

Pha 5. Là pha tranh luận giữa các nhóm để bảo vệ kết quả của nhóm mình, và nhận

xét đúng sai từ phía giáo viên. Cuối cùng giáo viên cho các em làm việc tập thể để thể

Gv: Cô đã đưa ra nhận xét kết quả của các nhóm. Bây giờ, các em hãy rút ra cách tìm biểu thức

hàm số trong các bài toán trên.

Tâm: thưa Cô, theo em bài 1 có hai điểm thì lập được biểu thức hàm bậc nhất. Điều đó đúng vì

qua hai điểm ta luôn vẽ được một đường thẳng.

Gv: Đúng rồi. Thế còn bài toán 2, 3 và 4 thì sao?

Sơn: Dạ thưa Cô với bài toán 2 qua 3 điểm thì lập được biểu thức hàm bậc nhất, bài 3 qua 4 điểm

lập được biểu thức hàm bậc ba, và bài 4 qua 5 điểm lập được biểu thức hàm bậc 4. Em thấy bậc của

biểu thức hàm số sẽ giảm đi một so với các điểm.

Gv: cảm ơn em. Đó là nhận xét đúng khi so sánh bậc của hàm số với các điểm được cho. Vậy thì

hàm số tìm được diễn tả đúng hiện tượng trên toàn bộ tập xác định của nó đúng k?

Cả lớp: im lặng.

Gv: Các em hãy quan sát lại đồ thị của các bài toán trên phần mềm Geogebra. Ví dụ bài toán 2,

đường đi của quả bóng từ lúc ném lên đến khi rơi xuống đất có phải là toàn bộ parabol không?

Cả lớp: ồn ào…

Quý: thưa cô, đường đi của quả bóng chỉ là một phần parabol từ điểm 0 đến 0,96 thôi.

Gv: tương tự, các bạn hãy nhận xét với bài toán 3 và 4?

Hằng: thưa cô bài toán 3 thì quỹ đaọ chuyển độg của vật chỉ ứng với đồ thị của hàm số với

khoảng x từ 0 đến 3 còn ngoài khoảng đó thì không. Bài 4 cũng tương ứng với x từ 1 đến 4.

chế hóa các bước giải các bài toán cũng như kỹ thuật tìm hàm số được đưa ra.

Gv: cảm ơn em. Đúng rồi, như vậy hàm số chúng ta tìm được chỉ diễn tả gần đúng hiện tượng

đang xét trong khoảng các x cho trước. Ví dụ bài 2 chỉ tương ứng với x từ 0 đến 0,96, bài 3 chỉ tương

ứng với x từ 0 đến 3. Hàm số chúng ta tìm được chỉ gọi là hàm số gần đúng.

Hs (giơ tay có ý kiến): thế ngoài các khoảng đó thì không chính xác đúng không Cô?

Gv: đúng rồi.Ngoài các điểm đó thì hàm số tìm được không mô tả chính xác tương quan hà ban

đầu. Như vậy, qua 2 điểm ta lập được hàm số gần đúng bậc nhất trong khoảng

, qua 3 điểm ta

…Tổng quát qua n+1 điểm ta lập được hàm

lập được hàm số gần đúng bậc nhất trong khoảng

(𝑥1; 𝑥2)

với điều kiện các tương hàm trong hiện tượng ban đầu

số gần đúng bậc n trong khoảng

(𝑥1; 𝑥3)

phải liên tục và có đạo hàm đến cấp n+1.

(𝑥1; 𝑥𝑛+1)

3.2 Kết luận chương 3

Thực nghiệm chúng tôi triển khai nhằm mục đích dạy học MHH và đưa vào kiểu

nhiệm vụ mới “tìm biểu thức xác định hàm số” (Hàm số tìm được là một hàm số xấp

xỉ với tương quan hàm cho trước).

Buổi thứ nhất, chúng tôi đã tạo điều kiện để học sinh gặp gỡ với kiểu nhiệm vụ này

cũng như làm quen với một bài toán thực tế mà để giải quyết nó phải thực hiện quá

trình MHH.Trong buổi làm việc này chúng tôi cũng cho học sinh thấy sự cần thiết phải

dùng phần mềm Geogebra để vẽ đồ thị hàm số.

Buổi thứ hai, chúng tôi tiếp tục với các bài toán thực tế mà trong đó quá trình

MHH xuất hiện với đầy đủ các bước hơn và kỹ thuật tìm hàm số cũng phức tạp dần

lên.Kết quả thực nghiệm cho thấy học sinh từng bước quen dần với kiểu nhiệm vụ tìm

biểu thức xác định hàm số. Bốn bước của quá trình MHH cũng hiện diện rõ ràng hơn

trong cá nhân học sinh thông qua việc giải các bài toán cũng như pha thể chế ở cuối

buổi học thứ hai. Điều quan trọng nhất là có sự tiến triển trong nhận thức của học sinh

đối với kỹ thuật tìm hàm số xấp xỉ cũng như các điều kiện kèm theo.

Những ghi nhận có được trên đây, là cơ sở để để chúng tôi tin tưởng rằng thực

nghiệm chúng tôi xây dựng đã có kết quả khả quan và hy vọng nó có thể được tiến

hành trong việc dạy học MHH hàm số.

KẾT LUẬN

Sau đây là một số kết quả chính của nghiên cứu.

1. Trong chương 1, từ việc tìm hiểu vấn đề tìm biểu thức xác định hàm số trong

lĩnh vực Toán họcvà Vật lí, chúng tôi đã làm rõ được các mục đích cũng như các kĩ

thuật của kiểu nhiệm vụ này

- Mục đích chính là: Tìm được biểu thức mô tả hàm số và từ đó giải quyết được

các vấn đề trong thực tiễn.

+ +

∈

- Kĩ thuật thường được sử dụng trong lĩnh vực Toán học là chọn các đa thức bậc

≠ với 0

R , sao cho Pn(x) trùng

a ,a ,...,a 1

a x ... a x ,a 1

(

) P x : a

0,n=

n có dạng:

y ) làm biểu thức xác định

( P x n

)

( f x

)

(nghĩa là với f(x) tại các mút xi, i

hàm số.

Đa thức này tìm được bằng các phương pháp nội suy và trong khuôn khổ của luận

văn này chúng tôi đề cập đến phương pháp nội suy Lagrange.

- Kĩ thuật trong Vật lí mà cụ thể là trong Cơ học chất điểm thì thường được gắn

với việc chọn một hệ trục tọa độ tương ứng với chuyển động, tìm mối liên hệ giữa các

đại lượng và xây dựng phương trình của chuyển động.

2. Trong chương 2, chúng tôi đã làm rõ được mức độ quan tâm của sách giáo khoa

ở trường phổ thông với vấn đề MHH trong dạy học hàm số ở sách giáo khoa 12 cả

chương trình chuẩn và chương trình nâng cao. Bên cạnh đó, có một sự so sánh với

sách giáo khoa hàm số ở Mỹ.

- Trong sách giáo khoa toán ở Việt Nam, vấn đề tìm biểu thức xác định hàm số và

vấn đề MHH trong toán có xuất hiện. Nhưng xét về “mức độ quan tâm” thì đây không

phải là các vấn đề được thể chế coi là trọng tâm nhất.

- Kết quả của chương phân tích quan hệ thể chế dẫn đến nhận định: “Việc tạo ra

những tình huống cho HS hiểu rõ quá trình MHH toán học cũng như việc thực hiện

kiểu nhiệm vụ tìm hàm số xấp xỉ để biểu thị mối tương quan hàm giữa hai đại lượng là

cần thiết”.

3. Nghiên cứu thực nghiệm ở chương 3 trên đối tượng học sinh lớp 12 sau khi

các em đã học xong hầu hết các kiến thức liên quan đến hàm số đã làm rõ quan hệ của

cá nhân với vấn đề “Tìm biểu thức xác định hàm số” cũng như vấn đề MHH.

Thực nghiệm chúng tôi xây dựng là một tình huống dạy học MHH hàm số bằng

việc đưa vào kiểu nhiệm vụ “Tìm biểu thức xác định hàm số” thông qua kỹ thuật tìm

hàm nội suy Lagrange (hàm nội suy Lagrange là hàm đa thức bậc n xấp xỉ với tương

quan hàm ban đầu trong khoảng [a; b] chứa n+1 điểm cho trước). Kết quả của thực

nghiệm như là một minh chứng cho tính khả quan của việc MHH trong dạy học hàm. 𝑥0

Tuy nhiên, thực nghiệm chúng tôi chỉ dừng lại ở việc tìm hàm đa thức xấp xỉ với

tương quan hàm cho trước. Theo chúng tôi, ngoài hàm đa thức thì hàm số mũ hay hàm

số logarit cũng là hai dạng hàmthường mô tả cho rất nhiều hiện tượng của thực tế.Vì

vậy, để xây dựng được một tình huống dạy học MHH hàm số với việc tìm các hàm số

khác hàm đa thức được trong chương trình phổ thông thì cần phải tiến hành một

nghiên cứu sâu sắc và rộng hơn. Tuy nhiên do thời gian không cho phép, chúng tôi

chưa nghiên cứu được vấn đề này. Đây là hướng nghiên cứu có thể gợi ra từ luận văn

này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Thị Tân An (2013), Xây dựng các tình huống hổ trợ quá trình toán học

hóa, Tạp chí Khoa học Giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh

(48)/KHGD.

2. Lê Thị Hoài Châu (2013), Tích hợp trong dạy học toán, Tài liệu bồi dưỡng giáo

viên.

3. Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga (2011), Mô hình hóa toán học các hiện tượng biến

thiên trong dạy học nhờ hình học động – dự án nghiên cứu MIRA, Tạp chí Khoa

học Giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, (28)/KHGD.

4. Annie Bessot, Claude Comiti (Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I), Lê Thị Hoài

Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những vấn đề cơ bản của Didactic Toán, Nxb Đại

học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh.

5. Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012), Sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt trong dạy học

hàm số ở lớp 12, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Tp. HCM.

6. Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch

Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2008), Bài tập giải tích 12 nâng cao,

Nxb Giáo dục.

7. Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn và Lê Anh Vũ

(1998), Toán cao cấp Tập 1, Nxb Giáo dục.

8. Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch

Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đăng Hùng Thắng (2007), Bài tập Giải tích 12 (nâng cao).

9. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương và Cấn Văn Tuất (2007), Giải tích

12. Nxb Giáo dục.

10. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên (2007),

Giải tích 12 Sách giáo viên, Nxb Giáo dục.

11. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến và Vũ Viết Yên (2011).

Bài tập Giải tích 12, Nxb Giáo dục Việt Nam.

12. Nguyễn Thị Nga (2003), Dạy học hàm số ở trường phổ thông, Luận văn Tốt

nghiệp đại học, Trường Đại học Sư phạm Tp. HCM.

13. Nguyễn Thị Nga (2013), Nghiên cứu một đồ án dạy học hàm số tuần hoàn bằng

mô hình hóa toán trong môi trường hình học động, Tạp chí Khoa học Giáo dục

trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, (45)/KHGD.

14. Đinh Quốc Khánh (2012), Hàm số và đồ thị trong dạy học Toán ở trường phổ

thông, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ

Chí Minh.

15. Phan Tấn Phú (2012), Mô hình hóa trong dạy học hàm số: Vấn đề tìm mô hình

hàm từ bảng giá trị, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Đại học Sư phạm thành phố

Hồ Chí Minh.

16. Trần Phương (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán, Nxb

Hà Nội.

17. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đăng

Hùng Thắng (2007), Giải tích 12 (nâng cao), Nxb Giáo dục.

18. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đăng

Hùng Thắng (2008), Giải tích 12 (nâng cao) Sách giáo viên, Nxb Giáo dục.

19. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông, Nxb

Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh.

Tiếng Anh

1. James Stewart (2008), Calculus: Early Transcendentals, 6th edition, Brooks/Cole.

2. Morris Kline (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Oxford

University press, New York.

PHỤ LỤC

PHIẾU THỰC NGHIỆM SỐ I

Trường:……………………………………………..

Họ và tên học sinh:…………………………………

Lớp:…………………………………………………

Bài toán 1.Quan sát một hòn bitrượt trên một mặt phẳng nghiêng, người ta lập được

bảng số sau mô tả quan hệ về thời gian và vị trí của hòn bi trong 0,4 giây đầu tiên như

Thời điểm 0,2 0,4 0

(s)

Vị trí A B C

Toạ độ (dm) 0 0,32 1,28

e. Em hãytìm vận tốc tức thời tại các thời điểm 0,1s; 0,3s.

f. Em hãy thử nhận xét về chuyển động của hòn bi trên. Dùng lập luận chứng

minh cho nhận xét của mình và cho biết vận tốc tức thời của xe tại thời điểm

0,3005s.

PHIẾU THỰC NGHIỆM SỐ II

Trường:……………………………………………………………..

Lớp:……………

Nhóm:… Thành viên:……………………………………………….

Bài toán 2.Trong một trận đấu bóng rổ, một cầu thủ đang cố gắng ném bóng vào rổ

của đội bạn nhưng bị đội bạn phạm lỗi và được hưởng một quả ném phạt. Vị trí ném

phạt theo phương nằm ngang từ tâm của rổ đến điểm ném phạt là 4,21m và độ cao của cột rổ là 3,05m tính từ mặt sân. Cầu thủ ném quả bóng theo một góc 350 với vận tốc

ban đầu nhỏ hơn 5m/s. Tại thời điểm 0,5 giây người ta thấy bóng đạt độ cao là 2,005

(m). Và sau 0,96 giây bóng chạm đất. Biết cầu thủ này có chiều cao 1,83 (m) và bỏ

qua sức cản của không khí.

a) Dựa vào các dữ kiện trên em hãy dùng phần mềm Geogebra phác thảo đường

đi của quả bóng lên mặt phẳng tọa độ.

b) Theo em cầu thủ có ném phạt thành công không?

PHIẾU THỰC NGHIỆM SỐ III

Trường:……………………………………………………………..

Lớp:……………

Nhóm:… Thành viên:……………………………………………….

Bài toán 3.Một chất điểm bắt đầu chuyển động không vận tốc ban đầu, khi quan sát

sự thay đổi vị trí của vật theo thời gian người ta thu được bảng số liệu sau:

1 2 3

Thời điểm (giây) Vị trí (mét) 4 2 0

a)Em hãy tính toán và hoàn thành các bảng số liệu được cho dưới đây

1,95 2,35 2,95

Thời điểm (s) Vị trí (m)

b)Dựa vào phần mềm Geogebra, hãy biễu diễn các điểm cho ban đầu trên mặt

phẳng tọa độ và mô tả chuyển động của vật? Từ đó, dự đoán vị trí xa nhất của chất

điểm sau khi chuyển động trong 3,5 giây đầu tiên?

c)Em hãy hoàn thành tiếp bảng số liệu sau đây và nhận xét về tính chất của chuyển

động trên

0 A 0,5 B 2,35 E 2,95 F 3,3 G

1 2 C D CE EF FG AC

Thời điểm (s) Vị trí (m) Tên vị trí Quãng đường (m) Thời gian (s) Vận tốc trung bình (m/s)

PHIẾU THỰC NGHIỆM SỐ IV

Trường:……………………………………………………………..

Lớp:……………

Nhóm:… Thành viên:……………………………………………….

Bài toán 4. Một người chơi cổ phiếu, ông đang sở hữu 200 cổ phiếu-mỗi cổ phiếu

trị giá 10 nghìn đồng. Trong ba ngày liên tiếp gần đây, ông theo dõi thị trường giao

dịch và quan sát được giá cổ phiếu vào lúc 12 giờ trưa là 1 nghìn đồng. Từ thời điểm

này giá cổ phiếu của ông có sự dao động mạnh từ 1 đến 4 giờ chiều. Số liệu quan sát

được ghi theo bảng sau:

Thời điểm 1 giờ 2 giờ 3 giờ 4 giờ

≈

6,58(3)

4, (3)

12,1(6)

79 12

13 3

73 6

13,75 Giá cổ phiếu (đơn vị nghìn đồng)

a)Em hãy mô tả lại sự thay đổi giá của cổ phiếu theo thời gian từ 12 giờ đến 4 giờ

chiều với sự hổ trợ của phần mềm Geogebra.

b)Theo dự báo của thị trường cổ phiếu, cho đến hết tuần này giá cổ phiếu của ông

vẫn giữ mức giao dịch khá ổn định. Ông muốn bán số cổ phiếu đang có, em hãy giúp

ông ta chọn thời điểm thích hợp trong ngày để bán ra với lợi nhuận cao nhất!

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Mô hình hóa trong dạy học Hàm số ở lớp 12