Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Lê Vương Quốc

NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Lê Vương Quốc

NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành

: LL&PP dạy học bộ môn Toán

Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn:

Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt

nghiên cứu khoa học, luôn động viên để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong suốt

quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn này;

Tất cả quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, dẫn dắt

chúng tôi lĩnh hội những kiến thức nền tảng, truyền cho chúng tôi sự hứng thú đối

với chuyên ngành Didactic Toán. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Claude

Comiti, PGS.TSKH Hamid Chaachoua đã chỉ dẫn, gợi mở và định hướng đề tài

luận văn cho chúng tôi.

Tôi xin chân thành cảm ơn:

Ban giám hiệu, quý thầy cô Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến

Tre đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại

trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh.

Quý thầy cô và các em học sinh lớp 11 (năm học 2013 – 2014) Trường

THPT Phan Văn Trị, các em học sinh lớp 9 (năm học 2012 – 2013) Trường THCS

Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre đã nhiệt tình hỗ trợ và giúp đỡ tôi tiến hành

thực nghiệm tại trường;

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn:

Các bạn học cùng lớp Didactic Toán K22 (2011 – 2013) đã đồng hành

cùng tôi, chia sẻ những khó khăn và kinh nghiệm giảng dạy trong suốt khóa học.

Tôi xin dành những dòng cuối cùng để cảm ơn sự động viên, chia sẻ và

tạo những điều kiện tốt nhất từ phía gia đình, đặc biệt là cha mẹ tôi, đã giúp tôi tự

tin trong công việc, học tập và nghiên cứu trong suốt 2 năm học cao học.

Trần Lê Vương Quốc

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN ...........................................................................................................

MỤC LỤC .................................................................................................................

2TMỞ ĐẦU2T ................................................................................................................ 1

2T1.2T

2TLí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát2T ............................................................. 1

2T2.2T

2TPhạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu2T ................................... 4

2T3.2T

2TTrình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu2T .......................... 6

2T4.2T

2TTổ chức của luận văn2T ....................................................................................... 7

2TChương 1. CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT ......................................................

TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN

2T1.1.2T 2TMục tiêu của chương2T........................................................................................ 9

2T1.2.2T 2TNghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học2T ..... 11

2T1.2.1.2T 2TTrong Hình học tổng hợp2T....................................................................... 11

2T1.2.2.2T 2TTrong Đại số - Giải tích2T ......................................................................... 12

2T1.2.3.2T 2TTrong Hình học giải tích2T ........................................................................ 19

2T1.3.2T 2TNghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong môn Kinh tế lượng2T .................. 25

2T1.4.2T 2TKết luận chương 12T .......................................................................................... 27

2TChương 2. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG HỆ SỐ GÓC

HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC2T ...................................... 9

CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY – HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG

2T2.1.2T 2TMục tiêu của chương2T...................................................................................... 29

2T2.2.2T 2TMối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy

PHỔ THÔNG2T ...................................................................................................... 29

– học toán ở bậc phổ thông2T ............................................................................ 30

2T2.2.1.2T 2THệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THCS2T ............. 30

2T2.2.2.2T 2THệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THPT2T ............. 45

2T2.3.2T 2TKết luận chương 22T .......................................................................................... 64

2TChương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM2T .................................................. 66

2T3.1.2T 2TMục tiêu của chương2T...................................................................................... 66

2T3.2.2T 2TThực nghiệm trên học sinh THCS2T ................................................................. 66

2T3.2.1.2T 2TĐối tượng thực nghiệm2T .......................................................................... 66

2T3.2.2.2T 2TMục tiêu thực nghiệm2T ............................................................................ 66

2T3.2.3.2T 2TNội dung câu hỏi thực nghiệm2T ............................................................... 66

2T3.2.4.2T 2TPhân tích thực nghiệm2T ........................................................................... 67

2T3.2.5.2T 2TKết luận2T .................................................................................................. 80

2T3.3.2T 2TThực nghiệm trên học sinh THPT2T ................................................................. 80

2T3.3.1.2T 2TĐối tượng thực nghiệm2T .......................................................................... 80

2T3.3.2.2T 2TMục tiêu thực nghiệm2T ............................................................................ 81

2T3.3.3.2T 2TNội dung bài toán thực nghiệm2T ............................................................. 81

2T3.3.4.2T 2TPhân tích thực nghiệm2T ........................................................................... 81

2T3.3.5. Kết luận2T .................................................................................................. 92

2T3.4.2T 2TKết luận chương 32T .......................................................................................... 93

2TKẾT LUẬN2T .......................................................................................................... 94

2TTÀI LIỆU THAM KHẢO2T ................................................................................. 97

2TPHỤ LỤC2T............................................................................................................. 99

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ

Chiến lược CL

Đại số - Giải tích ĐS-GT

Giả thuyết GT

Hình học HH

Hình học tổng hợp HHTH

Hình học giải tích HHGT

Kiểu nhiệm vụ KNV

Sách giáo khoa SGK

SGK9.T1 Sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1

SGV9.T1 Sách giáo viên toán lớp 9 tập 1

SBT9.T1 Sách bài tập toán lớp 9 tập 1

ĐS10.NC Sách giáo khoa Đại số lớp 10 nâng cao

GVĐS10.NC Sách giáo viên Đại số lớp 10 nâng cao

BTĐS10.NC Sách Bài tập Đại số lớp 10 nâng cao

ĐS10.CB Sách giáo khoa Đại số lớp 10 cơ bản

HH10.NC Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao

GVHH10.NC Sách giáo viên Hình học lớp 10 nâng cao

BTHH10.NC Sách Bài tập Hình học lớp 10 nâng cao

HH10.CB Sách giáo khoa Hình học lớp 10 cơ bản

tr.00 Trang 00

THCS Trung học cơ sở

THPT Trung học phổ thông

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Hàm số là một trong những khái niệm có ý nghĩa hết sức quan trọng trong

toán học cũng như trong thực tiễn. Trong toán học, chủ đề về hàm số có mặt hầu

như xuyên suốt từ THCS đến THPT, từ Trung học cho đến Đại học. Trong đó, hàm

số bậc nhất là một dạng hàm số cơ bản nhất trong tất cả các dạng hàm số ở trường

phổ thông. Nó giữ vai trò là nền tảng để học sinh nghiên cứu các dạng hàm số khác

phức tạp hơn.

Khái niệm hàm số nói chung và hàm số bậc nhất nói riêng được học sinh bắt

đầu tiếp cận từ lớp 7 với dạng đặc biệt y = ax (a ≠ 0) và đến lớp 9 thì học sinh được

học hàm số bậc nhất dạng tổng quát y = ax + b (a ≠ 0).

Ở lớp 7, bước đầu học sinh có những hiểu biết sơ lược về hàm số bậc nhất và

đồ thị của nó trong trường hợp đặc biệt y = ax (a ≠ 0). Việc cung cấp kiến thức về

hình dạng của đồ thị hàm số y = ax là một đường thẳng làm nền tảng để xây dựng

đồ thị của hàm số bậc nhất tổng quát y = ax + b (a ≠ 0), trong đó hệ số a của x chưa

có một tên gọi chính thức mà sau này đến lớp 9 thì hệ số a của x được gọi là hệ số

góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0).

Đến lớp 9, học sinh được cung cấp khá đầy đủ những đặc trưng của hàm số

bậc nhất (tập xác định, tính biến thiên) và đồ thị của hàm số bậc nhất, trong đó đáng

chú ý nhất là khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0).

Đến lớp 10, khái niệm “hệ số góc” được học sinh tiếp cận qua cả hai phân

môn Đại số lẫn Hình học.

Ở phân môn Đại số, ngoài việc củng cố, nhắc lại các kiến thức cơ bản về hàm

số bậc nhất mà học sinh đã được học ở lớp 9 như tập xác định, đồ thị của hàm số

bậc nhất, sách giáo khoa đại số 10 (cả sách cơ bản và nâng cao) còn bổ sung thêm

bảng biến thiên của hàm số bậc nhất. Chính hình ảnh trực quan này đã làm nổi bật

tính biến thiên của hàm số bậc nhất. Ngoài ra, sách giáo khoa đại số 10 còn mở rộng

một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc nhất trong trường hợp a = 0. Hàm số đó có

dạng y = b, gọi là hàm số hằng và đồ thị của nó cũng là một đường thẳng.

Ở phân môn Hình học, bằng phương pháp tọa độ thông qua công cụ vectơ, đối

tượng đường thẳng được xây dựng một cách bài bản hơn, tổng quát hơn thông qua

việc xây dựng “phương trình đường thẳng”. Ở đây, khái niệm “hệ số góc” của

đường thẳng một lần nữa được củng cố và đặt trong mối liên hệ với góc tạo bởi

đường thẳng với trục Ox. Nhưng trong nó vẫn tồn tại một sự khác biệt so với cách

tiếp cận ở bậc THCS, đó là hệ số góc của đường thẳng có mối liên hệ với tọa độ của

vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Hơn nữa, đến lớp 11, một lần nữa học sinh được tiếp cận khái niệm “hệ số

góc” của đường thẳng nhưng nó được đặt trong mối liên hệ với một phân môn mới

của toán học đó là Giải tích. Theo đó, qua bài toán tiếp tuyến của đường cong,

người ta đã chỉ ra rằng hệ số góc của đường thẳng có mối liên hệ với đạo hàm của

hàm số, một trong những khái niệm cơ bản của Giải tích: Hệ số góc của tiếp tuyến

bằng đạo hàm của hàm số tại tiếp điểm. Từ đây, hệ số góc của đường thẳng trở

thành một công cụ đắc lực trong toán học. Nó giữ vai trò quan trọng trong việc giải

quyết các bài toán về xác định tính biến thiên của hàm số, xác định tiếp tuyến với

một đường cong, …

Trên cơ sở đó, chúng tôi nhận thấy rằng: hệ số góc của đường thẳng tồn tại

trong nhiều phân môn của toán học như Đại số, Hình học và Giải tích. Với sự xuất

hiện đa dạng của nó trong những phạm vi khác nhau đó đã làm nổi lên mối liên hệ

mật thiết giữa các phân môn của toán học qua Sơ đồ mối liên hệ sinh thái của hệ số

góc của đường thẳng trong mối liên hệ giữa Hình học và Đại Số - Giải tích (h.1):

Hình 1. Sơ đồ mối liên hệ sinh thái của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên

hệ giữa Hình học và Đại số - Giải tích.

Xuất phát từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự hỏi rằng sự tồn tại phong phú

và đa dạng của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ sinh thái giữa các phân

môn của toán học có những nghĩa gì? với cách tiếp cận của chương trình giảng dạy

toán ở THCS và THPT hiện hành (gọi chung là bậc phổ thông) thì học sinh hiểu gì

về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?

Vì vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài cho luận văn của mình là “Nghĩa của

hệ số góc của đường thẳng trong dạy học toán ở trường phổ thông”.

Dưới góc độ toán học thì trong hai phạm vi Hình học và Đại số - Giải tích luôn

mang trong nó nhiều kiến thức sâu và rộng. Vì vậy trong khuôn khổ của luận văn

này, mục tiêu chính của chúng tôi là đi tìm nghĩa của hệ số góc của đường thẳng.

Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ không đi sâu phân tích mối liên hệ sinh thái giữa

Hình học và Đại số - Giải tích. Thay vào đó, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu khái

niệm hệ số góc của đường thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng với cách

hiểu là sự xuất hiện và sự tồn tại của nó trong mối liên hệ với các phân môn của

toán học, trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác trong toán học cũng

P (chẳng hạn như môn Kinh tế lượng). Trong đó, chúng tôi sẽ

1 Liên môn ở đây chúng ta có thể hiểu là những phân môn khác trong các lĩnh vực ngoài toán học nhưng có liên quan và sử dụng đến những kiến thức của toán học.

như trong các liên mônP0F

tập trung chỉ ra các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong phạm vi của HH và

ĐS-GT. Đặc biệt, qua phân tích chương trình và SGK bậc phổ thông hiện hành ở

Việt Nam, chúng tôi sẽ chỉ ra sự xuất hiện và sự hình thành các nghĩa của hệ số góc

của đường thẳng ở học sinh.

Cụ thể, nghiên cứu của chúng tôi sẽ khởi đầu với các câu hỏi sau đây:

- Trong các phân môn của toán học và các liên môn, hệ số góc của đường

thẳng có những nghĩa gì? và những nghĩa đó có mối liên hệ với những đối tượng

toán học nào?

- Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng được chương trình và sách giáo khoa

phổ thông trình bày như thế nào? Chương trình và sách giáo khoa phổ thông có

những mong muốn và ràng buộc gì trong việc dạy và học hệ số góc của đường

thẳng? Học sinh phổ thông sẽ hiểu gì về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu

Để có sự giải thích thỏa đáng cho những vấn đề đã nêu thì điều quan trọng mà

chúng tôi cần làm trước tiên là tìm kiếm công cụ lý thuyết làm cơ sở cho việc đưa ra

các câu trả lời cho các câu hỏi đó. Và chúng tôi đã tìm những công cụ này trong

phạm vi Didactic toán bởi vì “Didactic mang lại những công cụ hữu hiệu lí giải các

hiện tượng trong giảng dạy và học tập” [1, tr.9].

Nếu chúng tôi gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng; I là thể chế dạy

học hiện hành ở trường phổ thông của Việt Nam thì vấn đề về mối quan hệ giữa các

cách tiếp cận O trong các phạm vi của toán học, trong việc dạy học hệ số góc của

đường thẳng ở trường phổ thông liên quan đến khái niệm “quan hệ thể chế” của

Thuyết nhân học do Chevallard (1998) đặt nền móng. Câu hỏi “Học sinh phổ thông

sẽ hiểu gì về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?” liên quan đến khái niệm

“quan hệ cá nhân” của lý thuyết này. Cá nhân được xét ở đây là đối tượng học sinh

đã được học về hệ số góc của đường thẳng. Câu hỏi “Nghĩa của hệ số góc của

đường thẳng được sách giáo khoa và chương trình phổ thông trình bày như thế

nào? Chương trình và sách giáo khoa phổ thông có những mong muốn và ràng

buộc gì trong việc dạy và học hệ số góc của đường thẳng?” liên quan đến khái niệm

“quan hệ thể chế” của lý thuyết này. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm lược

những khái niệm đó và cố gắng giải thích tính hợp lý của sự lựa chọn phạm vi lý

thuyết tham chiếu của luận văn. Phần trình bày các khái niệm này được trích lọc từ

quyển sách song ngữ Việt - Pháp “Những yếu yếu tố cơ bản của Didactic Toán”

(2009).

Chúng tôi sử dụng các khái niệm sau: “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”

và “tổ chức toán học”. Mối quan hệ thể chế R(I,O) và quan hệ cá nhân R(X,O)

được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một

khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà qua việc phân tích chúng, cho phép

chúng tôi xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O.

2.1. Quan hệ thể chế R(I, O)

Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà

thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có

vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I.

2.2. Quan hệ cá nhân R(X,O)

Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về

O, có thể thao tác O ra sao,… Quan hệ cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách

thức mà X biết O.

Với đối tượng O mà chúng tôi quan tâm (hệ số góc của đường thẳng), phân

tích R(I, O) cho phép chúng tôi rút ra được nghĩa của O trong I từ đó chúng tôi sẽ

làm rõ vai trò, phạm vi tác động cũng như mối liên hệ giữa các lựa chọn của thể chế

I trên con đường tiếp cận nghĩa của O, đặc biệt là ở bậc trung học cơ sở và trung

học phổ thông. Đồng thời, để tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với O

thì lại cần phải nghiên cứu R(I, O) bởi vì sự lựa chọn của thể chế đối với O ảnh

hưởng trực tiếp đến quan hệ cá nhân đối với O. Vì lẽ đó, chúng tôi nhận thấy sự cần

thiết phải xem xét “quan hệ thể chế” và “quan hệ cá nhân” đối với đối tượng tri

thức mà chúng tôi quan tâm. Mặt khác, theo Bosch và Chevallard để phân tích mối

quan hệ R(I, O) thì cần phải dùng đến khái niệm “tổ chức toán học”.

2.3. Tổ chức toán học

Theo Chevallard (1998), mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần

[T,τ,θ,Θ] trong đó T là KNV, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết KNV T, θ là công

nghệ giải thích cho kỹ thuật τ và Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ. Một

praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức

toán học (organisation mathématique). Việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn

liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của

một chủ thể X tồn tại trong O. Do đó, việc chúng tôi lựa chọn Thuyết nhân học làm

tham chiếu cho nghiên cứu của mình là hoàn toàn thỏa đáng.

3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi

ban đầu và trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho

phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này.

Gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng; I là thể chế dạy học hệ số góc

của đường thẳng theo chương trình phổ thông hiện hành ở Việt Nam.

CH1. Về mặt tri thức luận, đối tượng O được nghiên cứu trong những phân

môn nào, những phạm vi nào của toán học? Trong mỗi phạm vi đó, đối tượng O

được hiểu như thế nào? Nó có những nghĩa gì? Nó liên hệ với những đối tượng toán

học nào?

CH2. Trong I, cách tiếp cận đối tượng O được trình bày như thế nào? Trong

các cách tiếp cận đó, nghĩa của O được thể hiện ra sao? Những mong muốn và ràng

buộc nào của thể chế đối với O trong các cách tiếp cận này? Có những tổ chức toán

học nào trong thể chế nhằm làm rõ nghĩa của O?

Chúng tôi đi tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi CH1 và CH2 thông qua việc

nghiên cứu các giáo trình đào tạo và bồi dưỡng giáo viên, phân tích các kết quả từ

các công trình nghiên cứu đã có, phân tích các bộ sách giáo khoa môn toán được

giảng dạy ở trường phổ thông theo chương trình hiện hành ở Việt Nam (bao gồm

các bộ sách giáo khoa Đại số 9, Đại số 10 nâng cao và Hình học 10 nâng cao).

Trước khi phân tích R(I, O), chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích về O ở góc

độ tri thức bác học. Bởi vì để tồn tại trong một thể chế nào đó thì mỗi tri thức phải

được biến đổi cho phù hợp. Chính sự biến đổi đó đã tạo nên một khoảng cách giữa

tri thức được trình bày trong SGK và tri thức bác học. Vì vậy để có sự hiểu biết đầy

đủ về O thì một phân tích O ở góc độ tri thức bác học là thật sự cần thiết.

Phạm vi hoạt động của mỗi tri thức toán học thường rất lớn và đối tượng hệ số

góc của đường thẳng cũng không ngoại lệ. Do đó, chúng tôi không thể thực hiện một

nghiên cứu khoa học về hệ số góc một cách đầy đủ. Thay vào đó, chúng tôi sẽ chỉ

tiến hành nghiên cứu O thông qua việc tổng hợp các kết quả đã có về đường thẳng

và hệ số góc của đường thẳng.

Kết quả thu được từ việc nghiên cứu tri thức bác học về hệ số góc của đường

thẳng và phân tích các bộ sách giáo khoa môn toán được giảng dạy ở trường phổ

thông theo chương trình hiện hành ở Việt Nam sẽ làm cơ sở cho phép chúng tôi đưa

ra các giả thuyết nghiên cứu về hiểu biết của học sinh đối với nghĩa của hệ số góc

của đường thẳng. Từ đó, chúng tôi xây dựng hai thực nghiệm (một ở THCS và một

ở THPT) nhằm kiểm chứng lại giả thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên.

4. Tổ chức của luận văn

Chương 1. Các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn

của toán học và trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác

Chúng tôi sẽ phân tích các tính chất toán học của đường thẳng và hệ số góc

của đường thẳng dưới góc độ toán học. Qua việc phân tích những tính chất này,

chúng ta sẽ có cái nhìn rõ hơn khái niệm hệ số góc của đường thẳng và nghĩa của nó

trong mặt phẳng. Từ đó chúng tôi trả lời được câu hỏi CH1.

Chương 2. Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng

trong dạy – học toán ở trường phổ thông

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm

hệ số góc của đường thẳng trong chương trình và SGK môn Toán THCS và THPT

hiện hành. Qua đó, chúng tôi làm rõ: cách tiếp cận khái niệm hệ số góc của đường

thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng. Kết quả nghiên cứu mối quan hệ thể

chế sẽ cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH2 và nêu lên các giả thuyết nghiên cứu.

Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực nghiệm bằng việc xây dựng một hệ thống

các câu hỏi và bài toán. Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 9 và lớp 11 đã học

về hệ số góc của đường thẳng.

Mục đích của việc xây dựng thực nghiệm là nhằm kiểm chứng tính thích đáng

của các giả thuyết nghiên cứu đã nêu lên ở cuối chương 2.

Chương 1. CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN

HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC

1.1. Mục tiêu của chương

Như chúng tôi đã đề cập ở phần mở đầu, đường thẳng được nghiên cứu trong

nhiều phân môn của toán học như Hình học (HH), Đại số (ĐS) và Giải tích (GT).

Sự xuất hiện đa dạng của nó trong những phạm vi khác nhau được tìm thấy trong

mối liên hệ mật thiết giữa các phân môn của toán học (h.1).

Ta đã biết, “đường thẳng” là một trong những đối tượng nghiên cứu của toán

học. Trong cả HH lẫn ĐS-GT, “đường thẳng” đều là một tập hợp của vô số các

điểm thẳng hàng. Nhưng trong HH, “đường thẳng” là một tập hợp vô số các điểm

thẳng hàng thỏa mãn những tiên đề hình học của Hilbert. Còn trong ĐS-GT, “đường

thẳng” cũng là một tập hợp vô số các điểm thẳng hàng nhưng các điểm của nó phải

thỏa mãn một “phương trình đại số”.

- Trong HH, “Góc” tạo bởi hai đường thẳng là một đối tượng quan trọng – vì

đối tượng này huy động các kiến thức lượng giác. Còn trong ĐS-GT thì một trong

những đặc trưng của đường thẳng chính là “Hệ số góc” của nó. Dù xét trong phạm

vi nào của toán học, trong HH hay trong ĐS-GT, thì cả hai khái niệm “Góc” và “Hệ

số góc” của đường thẳng có mối liên hệ với nhau thông qua “Lượng giác”.

- Trong ĐS-GT, “Hệ số góc của đường thẳng” giữ vai trò là một công cụ hữu

hiệu trong việc xác định phương trình đường thẳng, cũng như xác định phương trình

tiếp tuyến với đường cong (liên quan đến công cụ “Đạo hàm của hàm số”). Tuy

nhiên, trong ĐS-GT, mọi quan hệ hình học giữa các đối tượng trong toán học đều

được đại số hóa. Điều này làm cho một số tính chất hình học bị che khuất, đặc biệt

là nghĩa của nó.

Như vậy ẩn chứa sau mối liên hệ giữa HH và ĐS-GT thì các đối tượng toán

học, cụ thể là “Đường thẳng” và “Hệ số góc” của nó trong mặt phẳng, có những tính

chất nào? Về mặt toán học, hệ số góc của đường thẳng trong mặt phẳng được hiểu

như thế nào? Nghĩa của nó trong toán học là gì?

Chính vì vậy, mục tiêu của chương này là nhằm phân tích các tính chất toán

học của đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng dưới góc độ toán học. Qua việc

phân tích những tính chất này, chúng ta sẽ có cái nhìn rõ hơn khái niệm hệ số góc

của đường thẳng và nghĩa của nó trong mặt phẳng. Để đạt được mục tiêu đó, chúng

tôi tham khảo các giáo trình toán cao cấp và công trình nghiên cứu đã có liên quan

đến đồ thị hàm số, đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng.

Với tư cách là một đối tượng toán học, hệ số góc của đường thẳng được đề cập

trong nhiều phân môn của toán học như đã trình bày trong sơ đồ trên (h.1). Câu hỏi

đặt ra là: Trong những phân môn khác nhau của toán học, hệ số góc của đường

thẳng mang những ý nghĩa gì?

Trong chương này, chúng tôi sử dụng các giáo trình, các tài liệu tham khảo và

các kết quả nghiên cứu trước đây có liên quan như sau:

- Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm – Một

nghiên cứu khoa học luận và sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ

Chí Minh.

- Phạm Trí Cao – Vũ Minh Châu (2009), Kinh tế lượng ứng dụng (Dành cho

khối tài chính ngân hàng), Nxb Thống kê Tp.Hồ Chí Minh.

- Phan Huy Điển – Phan Huy Khải – Tạ Duy Phượng (2002), Cơ sở giải tích

phổ thông, lý thuyết và thực hành tính toán, Nxb Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.

- Nguyễn Thúc Hào (1992), Hình học vectơ, Nxb Khoa học và Kỹ thuật Hà

Nội.

- Trương Đức Hinh – Đào Tam (2004), Giáo trình cơ sở hình học và hình học

sơ cấp, Nxb Đà Nẵng.

- Ngô Thúc Lanh – Đoàn Huỳnh – Nguyễn Đình Trí (2003), Từ điển toán học

thông dụng, Nxb Giáo dục.

- Nguyễn Minh Phong (2012), Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và giải tích

trong dạy học hình học lớp 12 ở Việt Nam, Luận Văn Thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP

Tp.Hồ Chí Minh.

- S.M.Nikolski – Nhóm dịch giả, Từ điển bách khoa phổ thông toán học Tập

1, 2, Nxb Giáo dục.

- Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên cứu đường cong

qua phương trình của nó, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh.

1.2. Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học

1.2.1. Trong Hình học tổng hợp

Trong HH, các khái niệm cơ bản như mặt phẳng, điểm, đường thẳng, ba điểm

thẳng hàng, tia, góc; các mối quan hệ: liên thuộc, song song, vuông góc, …; các

khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn, … được xây dựng dựa trên hệ tiên đề

Hilbert. Xét trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày các vấn đề có

liên quan đến đường thẳng mà thôi.

Theo hệ tiên đề Hibert, mỗi đường thẳng được đồng nhất với tập hợp tất cả các

điểm thẳng hàng với nhau. Vì thế, với hai đường thẳng cắt nhau thì chúng sẽ cắt

nhau tại một điểm duy nhất. Khi ấy ta có khái niệm “góc giữa hai đường thẳng”. Từ

điển toán học thông dụng đã định nghĩa góc giữa hai đường thẳng và phép cộng các

góc như sau:

[…] Góc định hướng giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng

Cặp đường thẳng có thứ tự đi qua O trong mặt phẳng (d,δ), d là đường thẳng đầu, δ là

đường thẳng cuối; O gọi là đỉnh của góc.

Phép cộng các góc định hướng giữa hai đường thẳng và có hệ thức Chasles:

(d,δ) + (δ,∆) = (d,∆); (d,δ) = -(δ,d)

(d, δ, ∆ là ba đường thẳng trong mặt phẳng cùng đi qua O)

Sau khi mặt phẳng đã được định hướng: số đo bằng độ là số thực xác định sai khác

0 cộng k.180P

P (k ∈  ), số đo radian được xác định sai khác cộng kπ (k ∈  ).

Do đó: (d,δ) + (δ,∆) = (d,∆) + kπ; (d,δ) = -(δ,d) + kπ (k ∈  ).

Sau khi định hướng mặt phẳng, có hàm số tang xác định trên tập các góc định hướng

giữa các cặp đường thẳng không vuông góc là:

sin(

Ou Ov ,

)

d tan( ,

δ = )

c Ou Ov os(

)

Trong đó, O là đỉnh của góc (d,δ), Ou là một tia của d, Ov là một tia của δ; tập giá trị

của hàm số tang là  . [12,tr.270-273]

• Nhận xét

Trong HH, đường thẳng là một trong những khái niệm cơ bản. Nó là một tập

hợp các điểm thẳng hàng với nhau. Trong mặt phẳng có định hướng,

d δ giữa các đường thẳng không vuông góc d và δ là

)

sin(

Ou Ov ,

)

, trong đó O là đỉnh của góc (d,δ), Ou là một tia của d, Ov

d tan( ,

δ = )

c Ou Ov os(

)

góc định hướng ( ,

là một tia của δ. Như vậy khái niệm “Góc” trong HH được xây dựng dựa trên tỉ số

lượng giác của góc tạo bởi hai đường thẳng. Đặc trưng của khái niệm “Góc” là luôn

gắn với sự định hướng của hai đường thẳng không vuông góc trong mặt phẳng.

Vậy vì sao lại có sự ràng buộc đó?

Rõ ràng từ định nghĩa trên cho ta thấy có hai lí do. Lí do thứ nhất, sự ràng

buộc “hai đường thẳng không vuông góc” tức cos (Ou, Ov) ≠ 0 làm cho tan (d,δ)

xác định. Lí do thứ hai, sự ràng buộc “mặt phẳng định hướng” làm cho các góc tạo

0 0P

0 P và nhỏ hơn 90P

P) mà trái lại nó đạt được những giá trị rộng hơn (giá trị của góc sai

P nếu tính theo độ và sai khác k.π nếu tính theo radian).

0 khác k.180P

thành giữa hai đường thẳng không bị thu hẹp trong giới hạn của góc nhọn (lớn hơn

1.2.2. Trong Đại số - Giải tích

Trong ĐS-GT, một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng của toán học

đó là “Hàm số” và “Đồ thị của hàm số”.

[…] Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của toán học, biểu diễn sự phụ thuộc

của những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên khác.

Từ “đại lượng” trong định nghĩa ấy của hàm số được hiểu với ý nghĩa rất rộng, [...] nói

chung là phần tử của một tập hợp bất kỳ”. [18, tr.324].

[…] Đồ thị của một hàm là tập hợp các điểm của mặt phẳng có tọa độ vuông góc

(x, y), trong đó y = f(x) là hàm của x trong miền xác định E của hàm. Ở đây y = f(x) là

hàm của một biến x. Nhưng đồ thị có thể chỉ xác định một đường cắt mọi đường thẳng

song song với trục Oy tại chỉ một điểm. Để thoát khỏi sự hạn chế đó, người ta cho một

đường dưới dạng ẩn nhờ phương trình: F(x, y) = 0, trong đó F(x, y) là một hàm số nào đó của hai biến x và y. [18, tr. 356]

Từ điển bách khoa phổ thông toán học, viết:

[…] Đồ thị của hàm số y = f(x) cho trên đoạn [a, b] , hoặc trong khoảng (a, b), là một

đường liên tục nếu hàm số f(x) liên tục; và trơn nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên

tục.[18,tr.134]

Như vậy, trong ĐS-GT, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm có tọa

độ (xR0R;f(xR0R)) với mọi xR0R thuộc tập xác định của hàm số đó. Do đó, với hàm số bậc

nhất y = ax + b, người ta chứng minh được rằng đồ thị của nó là một đường thẳng.

Tuy vậy, điều này không có nghĩa là mọi đường thẳng đều là đồ thị của hàm số bậc

nhất y = ax + b. Chẳng hạn, các đường thẳng song song với trục tung không là đồ

thị của hàm số nào cả. Do vậy, một đường thẳng không thẳng đứng trong mặt phẳng

tọa độ được biểu diễn bởi hàm số dạng y = ax + b và luôn có hệ số góc. Theo đó, hệ

số góc của đường thẳng được định nghĩa như sau:

Định nghĩa [về hệ số góc của đoạn thẳng]

Nếu PR1R = (xR1R, yR1R) và PR2R = (xR2R, yR2R), và 1 2P P không

thẳng đứng,

thì hệ số góc của

y2 là

1 2P P

−

a =

−

y 1 x 1

Định lý 13-1

Trên một đường thẳng không thẳng đứng, mọi

Hình 1.1

đoạn thẳng đều có cùng hệ số góc.

Chứng minh: Nếu đường thẳng nằm ngang thì rõ ràng ta có điều khẳng định trên, bởi

vì mọi đoạn thẳng trên đường thẳng đều có hệ số góc bằng 0. Trong những trường hợp

còn lại, ta quan sát hai hình dưới đây:

Hình 1.2

P (g-g).

Trong trường hợp 1, ta có ∆RPR1RPR2 R

’ ’ ∆R’PR1RP PPR2RP

RP 2

P R 1

hay

Vì vậy

R P '

P R ' 1

P R 1

R P ' ∽ P R ' 1

P P có cùng hệ số góc.

' 1

Do đó 1 2P P và 2 Trong trường hợp 2, ta cũng có ∆ RPR1RPR2R

∆ R’PR1R’PR2R’.

R P '

RP 2

∽ =

Điều đó cũng cho ta giống như trên

P R 1

P R ' 1

Như vậy ta cũng có điều phải chứng minh bởi vì các hệ số góc của hai đoạn thẳng chính là những số đối của hai tỉ lệ ở trên. […] Định nghĩa [về hệ số góc của đường thẳng không thẳng đứng] Hệ số góc của một đường thẳng không thẳng đứng là hệ số góc của một đoạn thẳng bất kỳ của đường thẳng”. [Bùi anh Tuấn(2007), tr.20-22]

)

Qua trích dẫn trên cho chúng ta thấy nghĩa của hệ số góc của đường thẳng được bộc lộ ngay trong chính định nghĩa nó. Theo định nghĩa hệ số góc của đoạn

− −

f x ( 2 x 2

f x ( 1 x 1

y 2 x 2

− y 1 − hay x 1

, tỉ số này gọi là tỉ số biến thẳng, với xR1R ≠ xR2R, ta có

thiên của hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0). Do đó, một cách tổng quát: hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) bằng tỉ số biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0).

Mặt khác, nếu ta gọi xR1R và xR2R là hai giá trị bất kì trên tập xác định của hàm số

y = f(x) = ax + b (a ≠ 0). Do vai trò bình đẳng của xR1R và xR2R nên ta giả sử xR1R < xR2R. Khi đó, f(xR2R) – f(xR1R) = a.(xR2R – xR1R). Vì xR2R – xR1R > 0 nên:

+ Nếu a > 0 thì f(xR2R) – f(xR1R) > 0 hay f(xR2R) > f(xR1R). Ta suy ra được hàm số

y = f(x) = ax + b đồng biến trên  .

+ Nếu a < 0 thì f(xR2R) – f(xR1R) < 0 hay f(xR2R) < f(xR1R). Ta suy ra được hàm số

y = f(x) = ax + b nghịch biến trên  .

2 Vì chúng ta biết rằng tập xác định của hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) là  nên để đơn giản, từ đây trở đi khi nói đến sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) chúng tôi không nhắc lại tập xác định của nó.

Như vậy, ta có thể nói rằng hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là công cụ để xác định sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0). Cụ thể hơn, dấu của hệ số góc của đường thẳng cho biết sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) 2 trên  P1F

Ngoài ra, chúng tôi còn tìm thấy một định nghĩa khác của hệ số góc của

[…] Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy trong mặt phẳng nếu đường thẳng có

phương trình y = kx + m thì hệ số k được gọi là hệ số góc của đường thẳng đó.

Khi Oxy là hệ tọa độ (định hướng) thuận thì k là tang của góc định hướng giữa đường

thẳng Ox và đường thẳng đang xét.

Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì cùng phương.

[…] Cũng có khi người ta coi hệ số góc của đường thẳng song song với trục tung bằng

“vô cực”. [18, tr.307]

đường thẳng trong mặt phẳng Oxy như sau:

Cụ thể, trong mặt phẳng Oxy, ta xét một đường thẳng (d) định hướng được xác

định bởi hàm số bậc nhất y = f(x) = kx + m. Không mất tính tổng quát, ta xét k > 0

(h.1.3). Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d) với trục Ox và trục Oy. Khi đó

0;m và OA =

)

m k

− m k

 − 

  

;OB = |m|. điểm A có tọa độ là , điểm B có tọa độ là (

sin(

AB AO ,

)

Theo định nghĩa góc định hướng giữa hai đường thẳng (d) và trục Ox, ta có:

c os(

AB AO ,

)

tan(d,Ox) =

Trong tam giác OAB vuông tại O,

theo định nghĩa tỉ số lượng giác ta có:

Hình 1.3

sin(AB,AO) = và cos(AB,AO) = .

−

sin(

AB AO ,

)

Khi đó:

c os(

AB AO ,

)

= : = = |m|: = |k| = k (do k > 0). tan(d,Ox) =

• Nhận xét

Từ phân tích trên, ta có thể khẳng định rằng góc định hướng giữa đường thẳng

y = kx + m và trục Ox có mối liên hệ với hệ số của x (tức hệ số k của hàm số

y = kx + m) qua hệ thức tan(d,Ox) = k (k > 0).

Mối liên hệ đó làm cho hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) xuất hiện

trong ĐS-GT bộc lộ thêm một nghĩa khác gắn liền với "Góc" qua "Lượng giác": hệ

số góc của đường thẳng bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox.

Chúng tôi gọi đó là "nghĩa hình học" của hệ số góc của đường thẳng trong mặt

phẳng.

Tuy vậy, mặc dù có sự phân biệt trong cách gọi tên nghĩa của hệ số góc của

đường thẳng trong mặt phẳng nhưng xét về mặt toán học thì các nghĩa nói trên của

hệ số góc của đường thẳng vẫn có sự tương đồng. Trở lại với h.1.1, nếu xét trong

−

tan

−

HP  2 = P P H 2 1 HP 1

2 x 2

y 1 x 1

∆HPR1RPR2R vuông tại H thì ta có HPR1R = xR2R – xR1R, HPR2R = yR2R – yR1R. Khi đó:

Như vậy, nếu xét đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với vai trò độc lập trong mặt

phẳng tọa độ Oxy thì hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) xuất hiện dưới

nhiều dạng khác nhau. Sự xuất hiện đa dạng của nó làm cho nó bộc lộ những nghĩa

khác nhau.

Nếu xét đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) trong sự tương giao với đường cong

trò gì? và nghĩa của nó còn tồn tại hay không? ngoài mối liên hệ với tỉ số biến thiên

của hàm số, liên hệ với góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox thì hệ số góc

của đường thẳng còn liên hệ với những đối tượng nào khác trong toán học?

• Hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với các đối tượng toán học

khác

1.2.2.1. Hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với đạo hàm

Cho đường cong (C) được xác định như là đồ thị của hàm số y = f(x), điểm

MR0R(xR0R,yR0R) cố định trên (C), còn điểm M(x,y) di động dọc theo đường cong (h.1.4).

Đường thẳng MMR0R được gọi là cát tuyến của đường cong (C). Vị trí giới hạn (nếu

có) của cát tuyến MMR0R khi M tiến tới MR0R dọc theo đường cong (từ cả hai phía)

được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm MR0R. Điểm MR0 R gọi là tiếp điểm.

Hình 1.4

Gọi α và αR0R lần lượt là góc giữa cát tuyến và tiếp tuyến với chiều dương trục

hoành. Trong mặt phẳng, một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu ta biết được một

điểm và hệ số góc của nó. Như vậy, tiếp tuyến tại MR0R hoàn toàn xác định khi biết hệ

số góc của nó (giả sử k là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) tại MR0R).

Vì MR0R nằm trên (C) nên MR0R(xR0R;yR0R) với yR0R = f(xR0R). Vì M di động trên (C) nên

M(x;y) với y = f(x). Khi M → MR0R tức x → xR0R thì hệ số góc của cát tuyến

−

f x ( )

)

f x ( 0

. Vì tanα là hàm liên tục trên tập xác định của nó, do đó ta có:

tan

−

x 0

−

f x ( )

)

f x ( 0

tan(

)

α ( )

α 0

lim tan → M M

lim → x x 0

−

x 0

−

f x ( )

)

f x ( 0

MMR0R → hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại MR0R. Hệ số góc của MMR0R là

lim → x x 0

−

x 0

[…] bài toán trên (và nhiều bài toán thực tế khác) có chung một bản chất: tìm giới hạn

−

f x ( )

)

f x ( 0

của đại lượng

. Việc nghiên cứu giới hạn này dẫn tới một khái

lim → x x 0

−

x 0

3 niệm mới trong toán học: đạo hàm của hàm sốP2F

P. [7, tr.142]

3 Cho hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và x0 là một điểm trong khoảng đó. Nếu tồn tại giới hạn

−

f x (

)

f x (

)

thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại điểm x0. Khi ấy ta nói f có

lim → h 0

đạo hàm tại x0 và giới hạn nêu trên được kí hiệu là f’(x0). [7,tr.142].

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại MR0R là k =

Như vậy, đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xR0R chính là hệ số góc của tiếp

tuyến với đường cong (C) (đồ thị của hàm số y = f(x)) tại điểm MR0R(xR0;RyR0R). Vì hàm

số y = f(x) liên tục trên tập xác định của nó nên tại mỗi điểm M chỉ tồn tại duy nhất

một tiếp tuyến. Do vậy tiếp tuyến của đường cong (C) tại M đặc trưng cho “độ

dốc” của đường cong y = f(x) tại điểm M. Nói cách khác, với vai trò là tiếp tuyến

của đường cong (C), hệ số góc của đường thẳng là số chỉ “độ dốc” của đường cong

)

cho ta biết điều gì?

lim → x x 0

− −

( ) f x x

f x ( 0 x 0

)

Bây giờ ta xét từng trường hợp cụ thể của giới hạn .

P thì góc tạo

lim → x x 0

− −

( ) f x x

f x ( 0 x 0

Nếu giới hạn tiến về một hằng số k và k > 0 P3F

bởi tiếp tuyến với đường cong (C) tại các giá trị x = xR0R là góc nhọn. Điều này chứng

tỏ đường cong (C) có chiều “đi lên” hay hàm số của đường cong (C) y = f(x) đồng

)

biến trên tập xác định của nó.

lim → x x 0

− −

( ) f x x

f x ( 0 x 0

Ngược lại, nếu giới hạn tiến về một hằng số k và k < 0 thì

góc tạo bởi tiếp tuyến với đường cong (C) tại các giá trị x = xR0R là góc tù. Điều này

chứng tỏ đường cong (C) có chiều “đi xuống” hay hàm số của đường cong (C)

)

nghịch biến trên tập xác định của nó.

lim → x x 0

− −

( ) f x x

f x ( 0 x 0

Trong trường hợp giới hạn dần đến ∞ ta nói hàm số

y = f(x) có đạo hàm vô hạn tại xR0R. Lúc đó, tiếp tuyến với đường cong (C) y = f(x) tại

xR0R vuông góc với trục Ox. Do vậy, ta có thể nói hệ số góc của đường thẳng bằng

4 Nếu f’(x) ≥ 0 (hay f’(x) ≤ 0), ∀x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y = f(x) đồng biến (hay nghịch biến) trên K (trong đó K là tập xác định của hàm số y = f(x)).

“vô cực”.

Tóm lại, nếu đường cong (C) y = f(x) xác định và có đạo hàm tại mọi

x ∈ (a;b) thì dấu của hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) y = f(x) tại

x ∈ (a;b) cho biết sự biến thiên của hàm số đó trên khoảng (a;b).

1.2.2.2. Hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với vi phân

Xét hàm số y = f(x) xác định với mọi x ∈ (a;b), có đạo hàm tại x ∈ (a;b). Theo

f x '( )

lim ∆ → x 0

∆ y ∆ x

định nghĩa của đạo hàm ta có: (*). Trong đó ∆y = f(x + ∆x) – f(x).

f x '( )

∆ y ∆ x

, và α → 0 khi ∆x → 0. Khi ∆x → 0,

Do đó, ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = f’(x). ∆x + α. ∆x. Ta gọi số hạng α. ∆x là một

vô cùng bé bậc cao hơn ∆x. Do đó, ∆y và f’(x). ∆x là hai vô cùng bé tương đương.

Biểu thức f’(x). ∆x gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là dy hay df(x).

Vậy dy = f’(x).∆x

Nếu y = x thì dy = dx = 1.∆x = ∆x. Do đó, với biến số độc lập x, ta có dy = ∆x.

f x '( )

. Mà ta đã Khi đó, công thức trên được viết lại: dy = f’(x).dx. Suy ra

biết, đạo hàm của hàm số f(x) tại x (tức f’(x)) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với

đường cong tại điểm (x;f(x)). Do vậy, hệ thức này cho chúng ta thấy được mối liên

hệ giữa hệ số góc của đường thẳng với vi phân của hàm số.

Như vậy, đối với hàm số một biến số, khái niệm hàm số có đạo hàm tại x và

khái niệm hàm số khả vi tại x tương đương nhau.

1.2.3. Trong Hình học giải tích

Trong HHGT, vì các hoạt động toán học diễn ra qua các phép biến đổi đại số

[…] do đã chuyển từ bài toán hình học thành thành bài toán đại số, với phương pháp

giải tích người ta hoàn toàn thoát ly khỏi phạm vi hình học, và do đó mà không tận

dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán. Chẳng những thế,

lời giải bằng phương pháp giải tích chỉ đòi hỏi những biến đổi đại số hình thức, làm

cho cái nghĩa hình học của bài toán bị che lấp. [3, tr.59]

hình thức nên nghĩa hình học của bài toán bị che khuất

P là một trong những khuynh hướng đã dẫn

Chính vì lẽ đó, ý tưởng của LeibnizP4F

các nhà toán học thế kỷ XVII, XVIII và XIX xây dựng nên lý thuyết về không gian

[…] Với phương pháp vectơ người ta có thể cộng, trừ, nhân trực tiếp trên các đối

tượng hình học, không thoát ly khỏi phạm vi hình học và vì thế vừa tận dụng được

công cụ đại số, vừa khai thác được phương diện trực giác trong quá trình tìm tòi lời

giải bài toán. [3,tr.59]

vectơ

Trong một nghiên cứu về “Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và giải tích

trong dạy học hình học lớp 12 ở Việt Nam”, tác giả Nguyễn Minh Phong cũng đã

Các khái niệm hình học trong HHGT đã có một bước tiến mạnh mẽ: dùng chính

phương trình để định nghĩa các khái niệm hình học. Các tính chất của các khái niệm

hình học có thể suy ra từ phương trình của chúng, do vậy việc vận dụng tính chất của

HHTH để giải toán HHGT không còn là yêu cầu bắt buộc nữa. Các quan hệ hình học

trong HHGT là các quan hệ đại số. Và cũng từ đây, các khái niệm hình học, các quan

hệ hình học của HHGT dần mang một vỏ bọc đại số đơn giản và dễ sử dụng, hầu như

tách biệt với chính khái niệm hình học, quan hệ hình học đó trong HHTH. Sự tiến

triển này tạo thuận lợi cho việc sử dụng công cụ đại số để nghiên cứu hình học. Do đó,

xu hướng đại số hóa hình học trở thành một xu hướng chiếm ưu thế hoàn toàn so với

xu hướng nghiên cứu hình học trước đây. Tuy nhiên, cũng chính vì vậy mà ý nghĩa

hình học của bài toán bị che dấu đằng sau đề toán, đằng sau lời giải thuần túy đại số.

[13,tr.24].

khẳng định:

Dù xét trong phạm vi nào của toán học, thì một trong những đặc trưng quan

trọng của đường thẳng là “Hệ số góc”. “Hệ số góc” của đường thẳng trong ĐS-GT

và “Góc” trong HHTH liên quan với nhau qua “Lượng giác”. Tức là, thông qua

“Lượng giác”, “Góc” được chuyển từ quan hệ hình học sang quan hệ đại số thành

“Hệ số góc”. Mối quan hệ đó được xác định bởi công thức a = tanα (trong đó a là hệ

số góc của đường thẳng và α là góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox). Đây chính

là “nghĩa hình học” của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) mà chúng tôi

5 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

đã đề cập ở trên. Vậy trong HHGT thì nghĩa của hệ số góc của đường thẳng được

thể hiện như thế nào?

Trước hết, chúng tôi xin trình bày khái niệm phương trình đường thẳng theo

quan điểm của HHGT.

Theo tác giả Nguyễn Mộng Hy (2000), trong không gian Euclide n chiều với

mục tiêu trực chuẩn cho trước, một siêu phẳng α luôn có phương trình:  aR1RxR1R + aR2RxR2R + … + aRnRxRnR + aR0R = 0. Ngoài ra, vectơ n = (aR1R, aR2R, …, aRnR) còn được gọi

 là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng α vì nó luôn trực giao với phương α

của siêu

 hai chiều, sẽ có phương trình tổng quát là aR1RxR1R + aR2RxR2R + aR0R = 0, trong đó n

phẳng. Như vậy, đường thẳng – với tư cách siêu phẳng trong không gian Euclide

= (aR1R,

aR2R) là vectơ pháp tuyến của nó. Do đó, đặc trưng của đường thẳng trong không gian

Euclide hai chiều là nó luôn gắn liền với vectơ pháp tuyến.

Theo tác giả Nguyễn Thúc Hào (1992), trong không gian Afin hai chiều ER2R,

mọi đường thẳng (∆) là một tập hợp gồm những điểm thuộc ER2R sao cho các vectơ



xác định bởi hai điểm bất kỳ thuộc (∆) đều cộng tuyến với nhau. Nghĩa là, nếu ta

 lấy hai điểm phân biệt A và B ∈ (∆) và đặt AB u=

 (∆) sẽ xác định vectơ PQ

 uλ=

, thì mọi cặp điểm P, Q thuộc

 u

, λ ∈  . Lúc đó,

 ( u

≠

P của (∆).

 ta nói rằng đường thẳng (∆) theo phương u  0

 ) hoặc u

là vectơ chỉ phươngP5F

)

(

u u 2; 1

nhận làm vectơ chỉ phương thì với Khi đó, nếu (∆) đi qua điểm MR0R(xR0R;yR0R) và  u

Hình 1.5

−

điểm bất kỳ M(x;y) trong mặt phẳng (h.1.5), ta

)

 ( M M x 0

x y ; 0

. Theo định nghĩa có

 và u

 0M M

cộng tuyến với nhau, nghĩa là tồn tại số trên, M ∈ (∆) khi và chỉ khi

  u ≠ 0

6 Ta luôn ngầm định hiểu rằng

2 ≠ 0.

hay u1

2 + u2

λ ∈  sao cho:

−

 uλ=

 0M M

−

x 0 y

λ u 1 λ u

x 0 y

λ u 1 λ u

  

⇔ ⇔ (1)

Trong đó, λ gọi là tham số. Ứng với mỗi giá trị của λ ta xác định được một

điểm trên đường thẳng (∆). Hệ phương trình (1) trên gọi là phương trình tham số

của đường thẳng (∆) .

Như vậy, trong không gian (Afin và Euclide) hai chiều, một đường thẳng vừa

có vectơ pháp tuyến, vừa có vectơ chỉ phương. Một đường thẳng hoàn toàn được

xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) của nó.

Vậy giữa vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) và hệ số góc có mối liên hệ

như thế nào?

x 0 y

λ u 1 λ u

  

• Xét đường thẳng (∆) có phương trình tham sốP6F (λ ∈  ).

 u

(

)

u u 2; 1

2 2 P + uR2RP phương thì uR1RP

P ≠ 0. Do đó, giả sử uR1R ≠ 0 thì từ phương trình tham số của (∆)

−

x 0

là vectơ chỉ phương của (∆). Theo định nghĩa vectơ chỉ Khi đó

u 1 =

−

λ u

 λ    

x 0

−

. ta có:

u .

(

)

y 0

x 0

y 0

u 2 u 1

− u 1

−

Suy ra hay ⇔ .

x 0

2 u 1

7 Xét trong khuôn khổ luận văn này, để cho thuận tiện chúng tôi đồng nhất phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng trong trường hợp đặc biệt : hoành độ và tung độ của vectơ chỉ phương của nó đều khác 0.

Nếu đặt và m = thì ta được y = kx + m.

Gọi A là giao điểm của (∆) với trục hoành

 u α u1

Ox, Av là tia thuộc (∆) ở về nửa mặt phẳng tọa

độ phía trên trục hoành (có chứa tia Oy).

u Đặt α = xAv . Do đó tanα = tan xAv = 2 u 1

= k

(h.1.6). Số k được gọi là hệ số góc của đường

Hình 1.6

thẳng (∆).

Như vậy mọi đường thẳng (∆) có dạng tham

 u

(

)

u u 2; 1

số có vectơ chỉ phương (với uR1R ≠ 0) thì ta luôn đưa được (∆) về dạng

2 u 1

. Do vậy, hệ số góc của đường thẳng bằng hàm số bậc nhất và có hệ số góc k =

tỉ số giữa tung độ và hoành độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2 A, B, C là các số thực và AP

2 P + BP

P ≠ 0. Khi đó

• Xét đường thẳng (d) có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 trong đó

(

A B ;

)

 n

gọi là vectơ pháp tuyến

của đường thẳng (d).

= −

−

Giả sử B ≠ 0. Từ phương trình của đường thẳng Ax + By + C = 0 ta chia hai

= ⇒ 0

+ + y

−

. vế của phương trình cho B ta được:

− và m =

Nếu ta đặt k = thì ta được y = kx + m. Số k được gọi là hệ số

 góc của đường thẳng (d). Gọi u

 n

 phương vuông góc với n

A−

 u α B

là vectơ có

= − (

B A ; )

 Khi đó u

 . n

= 0 ⇒ . .  u

Gọi M là giao điểm của (d) và trục hoành

− = k (h.1.7).

Ox, Mt là tia thuộc (d) ở về nửa mặt phẳng tọa độ phía trên trục hoành. Đặt α = xMt . Do đó,

Hình 1.7

tanα = tan xMt =

Như vậy mọi đường thẳng (d) có phương trình tổng quát có vectơ pháp tuyến

 n

(

A B ;

)

, với B ≠ 0, thì ta luôn đưa được về dạng phương trình theo hệ số góc (tức

− (*).

 Mặt khác, vì vectơ pháp tuyến n

 và vectơ chỉ phương u

hàm số bậc nhất) và có hệ số góc k =

 trong mặt phẳng có phương vuông góc với nhau nên n

 . u

của một đường thẳng  = 0. Suy ra u

= (B;-A).

Do đó từ công thức (*) ta có thể khẳng định lại một lần nữa hệ số góc của đường

thẳng bằng tỉ số giữa tung độ và hoành độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng

đó.

Tóm lại, một đường thẳng bất kỳ (không vuông góc với Ox) dạng tổng quát

hay tham số đều đưa được về dạng hàm số bậc nhất. Khi đó hệ số góc của nó đều có

mối liên hệ với tọa độ của vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) của nó: hệ số

góc của đường thẳng bằng tỉ số giữa tung độ và hoành độ của vectơ chỉ phương

của đường thẳng đó. Từ đó, ta có thể nói rằng, hệ số góc của đường thẳng cho phép

ta xác định được vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

Tuy vậy, nghĩa hình học của hệ số góc của đường thẳng vẫn không thay đổi.

Hệ số góc của đường thẳng vẫn đặt trong mối liên hệ với góc tạo bởi đường thẳng

đó với trục Ox qua hệ thức tanα = k.

Ngược lại, nếu đặt một đường thẳng cho

bởi hàm số bậc nhất y = kx + m

trong phạm vi của HHGT thì mối liên hệ đó sẽ được

lý giải như thế nào? Vì sao

tanα = k? Để lý giải cho sự tồn tại của mối quan hệ

Bài toán. Cho đường thẳng ∆: y = kx + m với

Hình 34

k ≠ 0. Gọi M là giao điểm của ∆ với trục Ox và Mt

là tia của đường thẳng ∆ nằm phía trên trục Ox (h.34).

 u

. Chứng minh rằng với mọi điểm N trên tia Mt, N ≠ M, ta có

Xét vectơ

  

  

đó, chúng tôi xét bài toán sau:

. Gọi α là góc giữa hai tia Mx và Mt. Chứng minh rằng

 MN

 cùng hướng với u

tanα = k.

Giải

; 0

a) Ta tính được

. Lấy N(xR0R;yR0R) thuộc tia Mt thì yR0R > 0 và yR0R = kxR0R +

 = −  

  

m. Ta có:

kx 0

 MN

;

, với yR0R > 0, suy ra vectơ

x 0

 y u . 0

  

  

  

  

 MN

 cùng hướng với u

α =

−

và

c os

  c i u os( ;

)

sin

k k

k 1 2

Do đó tanα = k. [17,tr.88-89].

• Nhận xét

Trong phạm vi của HHGT, đối tượng đường thẳng được biểu thị qua nhiều

dạng phương trình đại số khác nhau: phương trình tổng quát, phương trình tham số

hay phương trình theo hệ số góc. Với mỗi dạng phương trình đường thẳng khác

nhau, chúng ta luôn tìm thấy được các nghĩa khác nhau của chúng. Vì trong HHGT,

đường thẳng luôn gắn liền với vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) nên hệ số

góc của đường thẳng cùng với nghĩa của nó cũng có mối liên hệ với tọa độ vectơ

chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) của đường thẳng.

Tuy nhiên, một cách tổng quát, vì ta luôn biến đổi được từ dạng phương trình

này sang dạng phương trình khác nên cho dù đường thẳng được cho bởi dạng

phương trình nào đi nữa thì "nghĩa hình học" của hệ số góc của nó vẫn là nền tảng,

là cái "gốc" sinh ra các nghĩa khác của hệ số góc của đường thẳng.

1.3. Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong môn Kinh tế lượng

Trong các môn học ứng dụng toán học ở bậc Đại học cho chuyên ngành kinh

tế, chúng ta cũng nhận thấy được sự xuất hiện của hệ số góc của đường thẳng và

hơn hết là nhận thấy được những ý nghĩa phong phú của đối tượng này. Chẳng hạn,

trong môn Kinh tế lượng, người ta dùng hệ số góc để diễn giải sự biến thiên của hai

biến kinh tế là biến chi tiêu tiêu dùng và biến thu nhập.

Nhận thấy được sự tác động lẫn nhau giữa chi tiêu tiêu dùng và thu nhập, nhà

toán kinh tế học Keynes đã đưa ra thí dụ lý thuyết thu nhập tiêu dùng với phát biểu

tóm tắt như sau: « chi tiêu tiêu dùng tăng khi thu nhập tăng nhưng sự gia tăng trong

tiêu dùng không nhiều như sự gia tăng trong thu nhập ». Trên cơ sở lý thuyết này,

khi thu nhập thay đổi 1 đơn vị thì chúng ta muốn xác định (hay ước lượng) xem tiêu

dùng sẽ thay đổi như thế nào (cụ thể là bao nhiêu đơn vị).

Đặt Y biểu diễn cho biến chi tiêu tiêu dùng và X biểu diễn cho biến thu nhập.

Keynes đã đề xuất dạng hàm đơn giản như sau: Y = α + βX.

Các tham số của mô hình kinh tế lượng, xét về bản chất là những giá trị số cố

định nhưng chưa biết của tổng thể. Ta có thể ước lượng chúng dựa trên số liệu mẫu

đã được thu thập. Chẳng hạn, với phương pháp bình phương bé nhất thông thường

(OLS – Ordinary Least Squares), trên cơ sở dữ liệu về GDP và tiêu dùng cá nhân

của Việt Nam giai đoạn 1995-2003, người ta đã ước lượng được mối liên hệ giữa

chi tiêu và thu nhập (nếu loại trừ yếu tố nhiễu ảnh hưởng đến tiêu dùng cá nhân)

+ 43,08986 0,519794

 X i

(*) qua hệ thức sau:  Y i

Sự tác động của thu nhập đối với tiêu dùng thể hiện bằng giá trị của hệ số hồi

quy góc (0,519794) theo nghĩa, nếu thu nhập trong nước tăng (hay giảm) 1 tỉ đồng

thì bình quân chi tiêu tiêu dùng cá nhân có xu hướng tăng (hay giảm) tương ứng xấp

xỉ là 0,519794 tỉ đồng. Lý thuyết kinh tế định nghĩa hệ số này là xu hướng tiêu dùng

biên tế (MPC – Marginal Propensity to Consume).

Trong ví dụ trên, để phản ánh quan hệ đồng biến giữa thu nhập và tiêu dùng

đòi hỏi hệ số β > 0. Mặt khác, vì sự gia tăng trong tiêu dùng không nhiều bằng sự

gia tăng của thu nhập nên β < 1. Việc đánh giá hệ số hồi quy có thật sự thỏa mãn

điều kiện nằm trong khoảng (0,1) hay không đòi hỏi phải thông qua việc kiểm định

giả thuyết, nghĩa là đánh giá mức độ ý nghĩa thống kê của con số 0,519794 trong

mô hình (*). Điều này là thật sự cần thiết vì giá trị ước lượng phụ thuộc vào mẫu,

cho nên mặc dù hệ số góc ước lượng cung cấp cho ta giá trị thuộc vào (0,1) nhưng

kết quả này là do tình cờ ngẫu nhiên có được bởi mẫu sử dụng hay là do nó có ý

nghĩa thật sự.

• Nhận xét

Trong môn Kinh tế lượng, hệ số góc ước lượng (tức hệ số góc của đường

thẳng y = ax + b) hoạt động với vai trò là một công cụ để nhằm ước lượng mối quan

hệ đồng biến giữa chi tiêu và thu nhập. Đặc biệt, dựa vào hệ số góc ước lượng, ta dễ

dàng dự đoán được sự thay đổi (tăng hay giảm) của bình quân chi tiêu tiêu dùng cá

nhân khi biến thu nhập tăng hay giảm 1 đơn vị.

Như vậy, trong môn Kinh tế lượng, sự xuất hiện của hệ số góc của đường

thẳng làm cho nó bộc lộ thêm một nghĩa khác: Cho hàm số y = ax + b (a ≠ 0). Nếu

x tăng thêm 1 đơn vị thì y tăng thêm (nếu a > 0) hay giảm đi (nếu a < 0) đúng a đơn

vị.

1.4. Kết luận chương 1

Trong mỗi phân môn toán học khác nhau, ngôn ngữ biểu đạt về đường thẳng

sẽ khác nhau và do đó nghĩa của hệ số góc của đường thẳng cũng có những cách thể

hiện khác nhau.

- Nghĩa 1: Trong phạm vi HHTH, ta có nghĩa đầu tiên của khái niệm hệ số

góc. Theo đó, hệ số góc của đường thẳng bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng đó

với trục Ox.

- Nghĩa 2: Trong phạm vi của HHGT, hệ số góc của đường thẳng bằng tỉ số

giữa tung độ và hoành độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó (nếu

đường thẳng đó có hệ số góc). Nghĩa là, nếu đường thẳng có phương trình

−

Ax + By + C = 0 (với B ≠ 0) thì một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là

 u

(

− B A ; )

. Khi đó, hệ số góc của đường thẳng đó là . Ngược lại, hệ số góc

của đường thẳng cho phép ta xác định được một vectơ chỉ phương (hay một vectơ

pháp tuyến) của đường thẳng đó. Nghĩa là, nếu đường thẳng có hệ số góc k (k ∈  )

n k n , trong đó n

. )

thì tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng đó sẽ có dạng ( ;

là số thực tùy ý khác 0. Khi đó, với mỗi giá trị của n ≠ 0, ta sẽ tìm được vectơ chỉ

phương của đường thẳng đó.

- Nghĩa 3: Trong phạm vi của ĐS-GT, hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

(a ≠ 0) cho biết tính đơn điệu của hàm số y = ax + b trên  . Rộng hơn, hệ số góc

của các tiếp tuyến với đường cong y = f(x) trong một khoảng (a; b) bằng đạo hàm

của hàm số y = f(x) tại các điểm thuộc khoảng (a;b). Như vậy, hệ số góc của tiếp

tuyến với đường cong y = f(x) cho biết tốc độ biến thiên của hàm số y = f(x) trên

khoảng (a;b).

- Nghĩa 4: Cho hàm số y = ax + b (a ≠ 0). Nếu x tăng thêm 1 đơn vị thì y tăng

thêm (nếu a > 0) hay giảm đi (nếu a < 0) đúng a đơn vị.

Về mặt toán học, các nghĩa 1, 2, 3 và 4 là tương đương nhau. Nghĩa là, từ một

trong các nghĩa trên của hệ số góc của đường thẳng, ta có thể suy ra được các nghĩa

còn lại.

Vậy trong chương trình phổ thông, việc dạy – học khái niệm đường thẳng và

hệ số góc của nó được trình bày như thế nào? Những nghĩa nào của hệ số góc của

đường thẳng xuất hiện trong chương trình dạy – học môn toán ở bậc THCS, THPT

và những nghĩa nào chưa được đề cập? Đó là những vấn đề mà chúng tôi sẽ quan

tâm nghiên cứu trong phần tiếp theo của luận văn này.

Chương 2. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG HỆ SỐ GÓC

CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY – HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

2.1. Mục tiêu của chương

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm

hệ số góc của đường thẳng trong chương trình và SGK môn Toán THCS và THPT

hiện hành. Cụ thể là chúng tôi sử dụng các bộ sách sau: bộ sách lớp 9 và bộ sách lớp

10 hiện hành (ở đây bộ sách lớp 9 bao gồm SGK9.T1, SGV9.T1, SBT9.T1 và bộ

sách lớp 10 bao gồm ĐS10.NC, GVĐS10.NC, BTĐS10.NC, HH10.NC,

GVHH10.NC, BTHH10.NC). Ở mức độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông,

sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng tôi làm rõ: cách tiếp cận khái niệm hệ

số góc của đường thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng. Kết quả nghiên cứu

mối quan hệ thể chế sẽ cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH2.

Để tiện theo dõi, chúng tôi xin nhắc lại: nếu gọi đối tượng O là hệ số góc của

đường thẳng và I là thể chế dạy học môn toán hiện hành ở Việt Nam thì vấn đề về

cách tiếp cận O trong trong việc dạy – học hệ số góc của đường thẳng ở trường phổ

thông được thể chế trình bày như thế nào? Có những nghĩa nào của O xuất hiện

trong chương trình và SGK môn Toán bậc phổ thông? Đó là mục tiêu chính mà

chúng tôi nhắm đến trong câu hỏi CH2 đã được đặt ra ở phần mở đầu của luận văn.

Chúng tôi trình bày lại câu hỏi CH2: Trong I, cách tiếp cận đối tượng O được trình

bày như thế nào? Trong các cách tiếp cận đó, nghĩa của O được thể hiện ra sao?

Những mong muốn và ràng buộc nào của thể chế đối với O trong các cách tiếp cận

này? Có những tổ chức toán học nào trong thể chế nhằm làm rõ nghĩa của O?

Trong mục này, chúng tôi sẽ cố gắng phân tích và làm rõ những nội dung

trong hai bộ sách giáo khoa lớp 9 và 10 hiện hành có liên quan đến đường thẳng và

hệ số góc của đường thẳng. Cụ thể, chúng tôi sẽ chỉ ra sự khác nhau trong cách tiếp

cận khái niệm hệ số góc của đường thẳng ở hai cấp học THCS và THPT, để từ đó

chúng tôi chỉ ra sự xuất hiện các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong sự ràng

buộc của thể chế. Để đạt được mục đích đó, chúng tôi sẽ phân tích các tổ chức toán

học tồn tại trong hai thể chế dạy học THCS và THPT để từ đó thấy được nghĩa của

hệ số góc của đường thẳng.

2.2. Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy –

học toán ở bậc phổ thông

2.2.1. Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THCS

Hệ số góc của đường thẳng là một trong những khái niệm toán học luôn gắn

liền với đối tượng “đường thẳng” trong dạy học hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm

số bậc nhất ở bậc THCS. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và các khái

niệm liên quan được trình bày ở bài cuối trong chương II, Hàm số bậc nhất. Do vậy,

những phân tích mà chúng tôi trình bày dưới đây chỉ tập trung chủ yếu vào nội dung

của chương này. Những kiến thức về hàm số bậc nhất và đồ thị của nó được

SGK9.T1 trình bày trong chương này gồm 05 bài:

+ Bài 1. Nhắc lại và bổ sung các khái niệm hàm số.

+ Bài 2. Hàm số bậc nhất.

+ Bài 3. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)P7F

+ Bài 4. Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau.

+ Bài 5. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0).

Thời lượng dành cho chương này là 12 tiết, trong đó Lý thuyết 05 tiết (chiếm

41,7%), Bài tập và ôn tập chương 06 tiết (chiếm 50%) và 01 tiết kiểm tra. Những

yêu cầu mà chương trình đặt ra đối với việc dạy – học hàm số bậc nhất nói chung và

hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) nói riêng khá nhẹ nhàng. Học sinh chỉ

Về kiến thức: học sinh nắm được các kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất y = ax + b

(tập xác định, sự biến thiên, đồ thị), ý nghĩa của các hệ số a và b; điều kiện để hai

đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) song song với nhau, cắt nhau,

trùng nhau; nắm vững khái niệm “góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục

8 Khi nói “hàm số bậc nhất y = ax + b” thì không cần phải ghi chú thêm a ≠ 0, vì chỉ khi a ≠ 0 thì hàm số y = ax + b mới được gọi là hàm số bậc nhất.

cần nắm được một số vấn đề cơ bản nhất về hàm số bậc nhất.

Ox, khái niệm hệ số góc và ý nghĩa của nó.

Về kĩ năng: học sinh vẽ thành thạo đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) với các hệ số

a, b chủ yếu là các số hữu tỉ; xác định được tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt

nhau; biết áp dụng định lí Py-ta-go để tính khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng

tọa độ ; tính được góc α tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox.[5, tr.50]

Qua đó cho chúng ta thấy rằng các khái niệm: góc tạo bởi đường thẳng

y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox, khái niệm hệ số góc cũng như nghĩa của nó là một

trong những mục tiêu quan trọng của chương và được thể chế đặc biệt quan tâm

trong dạy – học hàm số bậc nhất. Với cấu trúc và trình tự bài học trong chương trình

dạy – học về Hàm số bậc nhất ở cấp THCS như trên thì hệ số góc của đường thẳng

và nghĩa của nó được thể chế tiếp cận như thế nào? Những nghĩa nào của hệ số góc

của đường thẳng xuất hiện trong bài học và bài tập của chương trình dạy – học toán

bậc THCS?

2.2.1.1. Nghĩa của hệ số góc trong phần bài học của các SGK THCS

Sự biến thiên của hàm số bậc nhất

Sự biến thiên của hàm số bậc nhất, cụ thể hơn là sự “đồng biến” và “nghịch

biến”, được SGK9.T1 giới thiệu qua hai hàm số cụ thể là y = 2x + 1 và y = -2x + 1

?3 Tính giá trị của y tương ứng của hàm số y = 2x +1 và y = -2x + 1 theo giá trị đã cho

của biến x rồi điền vào bảng sau:

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0,5

1,5

y = 2x + 1

trong hoạt động ?3/SGK9.T1, tr.43.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

y = -2x + 1

6

5

4

3

2

1

0 -1

-2

[…] Xét hàm số y = 2x + 1. Dễ thấy 2x + 1 xác định với mọi x ∈  . […] Khi cho x

các giá trị tùy ý tăng lên thì các giá trị tương ứng của y = 2x + 1 cũng tăng lên. Ta nói

rằng hàm số y = 2x + 1 đồng biến trên  . […] Xét hàm số y = -2x + 1. Ta thấy –2x + 1 xác định với mọi x ∈  . […] Khi cho x

các giá trị tùy ý tăng lên thì các giá trị tương ứng của y = -2x + 1 lại giảm đi. Ta nói

rằng hàm số y = 2x + 1 nghịch biến trên  .[4, tr.43-44]

Một cách dễ hiểu, từ ví dụ về hai hàm số bậc nhất, SGK9.T1 đã chỉ ra sự biến

thiên của hàm số bằng cách: cho trước dãy các giá trị của biến x đơn điệu tăng,

kiểm tra tính “tăng” hay “giảm” các giá trị tương ứng của hàm số để khẳng định

hàm số đồng biến hay nghịch biến. Qua đó SGK9.T1, tr.44 nêu lên sự biến thiên

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của 

a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số

y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên  (gọi tắt là hàm số đồng biến).

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số

y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên  (gọi tắt là hàm số đồng biến).

Nói cách khác, với xR1R, xR2R bất kì thuộc  :

Nếu xR1R < xR2R mà f(xR1R) < f(xR2R) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên  ;

Nếu xR1R < xR2R mà f(xR1R) > f(xR2R) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên  .[4, tr.44]

của hàm số một cách tổng quát:

Tuy nhiên, với hàm số bậc nhất, SGK9.T1, tr.47 chỉ đưa ra dấu hiệu nhận biết

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc  và có tính chất sau:

a) Đồng biến trên  , khi a > 0,

b) Nghịch biến trên  , khi a < 0.[4, tr.47]

sự biến thiên của nó dựa vào dấu của hệ số a mà không có chứng minh:

Tuy vậy, trước đó, SGK9.T1,tr.47 cũng đã giới thiệu đến học sinh 01 ví dụ về

sự biến thiên của hàm số y = -3x + 1 và 01 hoạt động ?3 về sự biến thiên của hàm

số y = 3x + 1.

Ví dụ. Xét hàm số y = -3x + 1.

Hàm số y =-3x + 1 luôn xác định với mọi giá trị của x thuộc  vì biểu thức –3x + 1

luôn xác định với mọi giá trị của x thuộc  .

Khi cho biến x lấy hai giá trị bất kì xR1R, xR2R sao cho xR1R < xR2R hay xR2R – xR1R > 0, ta có

f(xR2R) – f(xR1R) = (-3xR2R + 1) – (-3xR1R + 1) = -3(xR2R – xR1R) hay f(xR1R) < f(xR2R).

Vậy hàm số y = -3x + 1 nghịch biến trên  .

?3 Cho hàm số bậc nhất y = f(x) = 3x + 1.

Cho x hai giá trị bất kì xR1R, xR2R, sao cho xR1R < xR2R. Hãy chứng minh f(xR1R) < f(xR2R) rồi rút ra

kết luận hàm số đồng biến trên  . [4, tr.47]

Thông qua ví dụ và hoạt động trên, sự khác nhau của hệ số a ở hai hàm số cụ

thể y = -3x + 1 và y = 3x + 1 làm nên dấu hiệu nhận biết sự biến thiên của chúng.

Một hàm số có hệ số a = -3 < 0 thì nghịch biến, còn một hàm số có hệ số a = 3 > 0

thì đồng biến. Mục đích của việc đưa ra ví dụ và hoạt động này không nhằm vào

mục đích chứng minh cho trường hợp tổng quát mà chỉ là để học sinh tiếp cận dần

• Bình luận

với tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b mà thôi.

Việc chứng minh sự biến thiên của hàm số bậc nhất y = ax + b trong trường

hợp tổng quát cũng khá đơn giản. Xét hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b.

Hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b xác định trên  . Lấy hai giá trị bất kì xR1R, xR2R

sao cho xR2R > xR1R hay xR2R – xR1R > 0, ta có:

f(xR2R) – f(xR1R) = (axR2R + b) – (axR1R + b) = a(xR2R – xR1R) (*)

Nếu a > 0 thì f(xR2R) > f(xR1R). Khi đó hàm số y = f(x) = ax + b đồng biến trên  .

 . Từ đây ta có thể suy ra rằng: dấu của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a

Nếu a < 0 thì f(xR2R) < f(xR1R). Khi đó hàm số y = f(x) = ax + b nghịch biến trên

≠ 0) cho biết sự biến thiên của hàm số bậc nhất y = ax + b. Đây chính là nghĩa 3

của hệ số góc của đường thẳng mà chúng tôi đã đề cập đến trong chương 1 của luận

−

)

f x ( 1

văn này.

−

f x ( 2 x 2

x 1

Mặt khác, từ hệ thức (*) ta suy ra được . Nếu đặt

∆ y ∆ x

, gọi là tỉ số biến thiên ∆y = f(xR2R) – f(xR1R) và ∆x = xR2R – xR1R thì khi đó ta được

của hàm số bậc nhất y = ax + b. Tuy nhiên, thể chế đã không đề cập đến mối liên hệ

này - mối liên hệ giữa hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với tỉ số biến

thiên của hàm số y = ax + b. Mối liên hệ này sẽ giúp chúng ta giải quyết được

KNV: “Tìm giá trị của hàm số y = ax + b(a ≠ 0 ; a, b là hai số cho trước) khi x

tăng 1 đơn vị”.

Tuy nhiên KNV “Tìm giá trị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0 ; a,b là hai số cho

trước) khi x tăng 1 đơn vị” thì hoàn toàn vắng mặt trong SGK9.T1. KNV này bộc lộ

−

)

f x ( 1

rõ nghĩa 4 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0). Thật vậy, với hàm số

−

∆ y ∆ x

f x ( 2 x 2

x 1

y = ax + b, a và b là hai số cho trước, a ≠ 0, vì hay nên ta

suy ra được ∆y = a.∆x. Vì x tăng lên 1 đơn vị tức là ∆x = 1. Do đó ∆y = a.1 = a.

Nếu a > 0 thì ta nói hàm số tăng a đơn vị. Nếu a < 0 thì ta nói hàm số giảm |a| đơn

vị.

−

)

f x ( 1

Lí do của sự không tồn tại KNV trên trong SGK9.T1 là vì hệ thức

−

f x ( 2 x 2

x 1

có liên quan đến khái niệm “đạo hàm” trong giải tích toán học.

Nó có liên quan đến kỹ thuật xác định hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong mà

học sinh sẽ được học ở THPT. Đó cũng chính là những ràng buộc của thể chế đối

với hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học môn toán cấp THCS.

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b

(a ≠ 0) với trục Ox

Vì ở chương trình Đại số lớp 7 đã giới thiệu hệ trục tọa độ Descartes, các khái

niệm về “hàm số”, “biến số”, “giá trị của hàm số”, “Đồ thị của hàm số y = ax

(a ≠ 0)” nên tiếp theo đó, SGK9.T1 đưa ra khái niệm “Đồ thị của hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng:

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b;

- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu

b = 0.

Chú ý. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b;

b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.[4, tr.50]

y = ax + b (a ≠ 0)” mà không nhắc lại các khái niệm trên.

Như vậy, với mục đích nghiên cứu một hàm số đơn giản – hàm số bậc nhất,

những kiến thức về mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hàm số được thể chế đưa vào trong

phạm vi đại số. Theo định nghĩa trên, đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) song song

hoặc trùng với đường thẳng y = ax do đó nó luôn cắt trục Ox tại một điểm.

Bằng cách mô tả hình thức, khái niệm góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và

trục Ox, cũng như khái niệm về hệ số góc được SGK9.T1, tr.56 giới thiệu đến học

sinh một cách trực quan như sau:

[…] Trong mặt phẳng Oxy, khi nói góc α tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

(hoặc nói đường thẳng y = ax + b tạo với trục Ox một góc α), ta hiểu đó là góc tạo bởi

tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là

điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương (h.10).

[…] Các đường thẳng song song với nhau sẽ tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

Từ đó suy ra: Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau. [4, tr.56]

Thông qua các hình ảnh trực quan của các đồ thị hàm số bậc nhất trong muc ?,

thể chế đã giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ mật thiết giữa hệ số a với góc

? Hình 11a) biểu diễn đồ thị của các hàm số (với hệ số a > 0):

y = 0,5x + 2; y = x + 2; y = 2x + 2.

Hình 11b) biểu diễn đồ thị của các hàm số (với hệ số a < 0):

tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.

y = -2x + 2; y = -x + 2; y = -0,5x + 2

a) Hãy so sánh các góc αR1R, αR2R, αR3R và so sánh các giá trị tương ứng của hệ số a trong

các hàm số (trường hợp a > 0) rồi rút ra nhận xét.

b) Cũng làm tương tự như câu a) với trường hợp a < 0.

Qua việc xét đồ thị của các hàm số đã nêu ở trên, ta có thể nói:

- Khi hệ số a dương (a > 0) thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc

0 nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 90P P.

- Khi hệ số a âm (a < 0) thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù.

0 Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn 180P

Vì có sự liên quan giữa hệ số a với góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox nên

người ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b. [4, tr.56-57]

Do mối liên hệ mật thiết giữa hệ số a với góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b

(a ≠ 0) và trục Ox nên với một đường thẳng cho trước thì việc tính góc tạo bởi nó

với trục Ox luôn gắn liền với yếu tố hình vẽ, tức là đồ thị của hàm số bậc nhất

y = ax + b. Chính nhờ yếu tố hình vẽ giúp cho học sinh thấy rõ được mối liên hệ đó

và từ đó thấy được nghĩa hình học (nghĩa 1) của hệ số góc của đường thẳng

y = ax + b (a ≠ 0). Vậy nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng xuất hiện như thế

nào trong SGK9.T1? Chúng ta xét hai ví dụ sau:

Ví dụ 1. Cho hàm số y = 3x + 2.

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

góc

tạo

bởi

đường

thẳng

b) Tính

y = 3x + 2 và trục Ox (làm tròn đến phút).

Giải

a) Khi x = 0 thì y = 2, ta được điểm A(0;2).

− 2

Khi y = 0 thì x =

, ta được điểm

− 2   3

  

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta

được đồ thị của hàm số đã cho (h.12).

b) Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = 3x + 2 và

trục Ox là α, ta có ABO α= . Xét tam giác vuông OAB, ta có tgα =

= 3

2 2

(3 chính là hệ số góc của đường thẳng y = 3x + 2). Bằng cách tra bảng hoặc tính trên

0 máy tính, ta được α ≈ 71P

P34’.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = – 3x + 3.

a) Vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 3x + 3 và trục Ox

(làm tròn đến phút).

Giải

a) Khi x = 0 thì y = 3, ta được điểm A(0;3).

Khi y = 0 thì x =1, ta được điểm B(1;0).

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị

của hàm số đã cho (h.13).

b) Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = – 3x + 3 và trục Ox

α =

. Xét tam giác vuông OAB, ta có

là α, ta có ABx

= (3 chính là giá trị tuyệt đối của hệ số góc –3 của đường thẳng

tg OBA =

0 P34’.

y = –3x + 3). Bằng cách tra bảng hoặc tính trên máy tính, ta được OBA ≈ 71P

0 Vậy α = 180P

0 P26’. [4, tr.57-58]

P – OBA ≈ 108P

Từ hai ví dụ trên cho thấy, tác giả đã dẫn dắt học sinh tính góc tạo tạo bởi

đường thẳng với trục Ox thông qua việc vẽ đồ thị hàm số ở câu a). Bằng kỹ thuật

hình học, học sinh tính được góc dựa vào tỉ số lượng giác trong tam giác vuông

được tạo bởi đường thẳng đó và hai trục tọa độ.

Tuy vậy, nếu bỏ qua yếu tố đồ thị của hàm số thì chúng ta có tính được trực

[…] Ở cấp THCS chưa học cách tính góc α khi tgα có giá trị âm, do đó khi gặp trường

hợp hệ số góc a của đường thẳng y = ax + b là số âm, phải tìm cách tính gián tiếp góc

hợp bởi đường thẳng này và trục Ox.

[…] Cuối cùng thông qua hai ví dụ đã học, giáo viên chốt lại vấn đề về cách tính trực

tiếp góc α hợp bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox trong trường hợp a > 0 và cách

0 0 tính gián tiếp góc α trong trường hợp a < 0 (α = 180P P – α’ với α’ < 90P

P và

tgα’ = – a).[5, tr70-71]

tiếp góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox hay không? SGV9.T1 có chú ý:

Và SGK9.T1 cũng đã chỉ ra rõ mối liên hệ giữa hệ số góc a và góc tạo bởi

tanα =

, 3 chính là hệ số góc của đường

2 = = 3 2 3

, 3 chính là giá trị tuyệt đối của hệ số

tanOBA =

= = 3

đường thẳng y = ax + b: “

thẳng y = 3x +2" hay "  OA 3 OB 1

góc – 3 của đường thẳng y = – 3x + 3". Nhận xét này có thể được xem như là yếu

tố công nghệ để giải thích cho kỹ thuật giải các KNV liên quan đến việc tìm góc tạo

bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox. Và điều này cũng chứng tỏ rằng

những điều kiện bảo đảm cho sự vận hành của kỹ thuật hình học đã xuất hiện ngay

từ trong lý thuyết mà chưa có một sự giải thích nào. Điều này có thể xem như thể

chế đã chỉ ra một cách tường minh nghĩa hình học (nghĩa 1) của hệ số góc của

đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) trong chương trình mặc dù nó không được hợp thức

hóa trong lý thuyết.

Qua đó, chúng tôi cho rằng, hai ví dụ đã chứa đựng một thông điệp: để tính

góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox, trước hết ta phải vẽ đồ thị

của hàm số bậc nhất y = ax + b, tức là phải thực hiện KNV TRve_dt Rtrước.

Thông qua hai ví dụ trên, hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với vai

trò làm trung gian giữa đại số và hình học, chuyển từ quan hệ hình học sang quan hệ

đại số qua công thức a = tanα. Kỹ thuật tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b

(a ≠ 0) với trục Ox được trình bày một cách tường minh trong lý thuyết (qua hai ví

dụ cụ thể), từ đó làm cho nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

được thể chế hóa trong lý thuyết: hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox.

• Nhận xét

Trong thể chế dạy – học toán ở cấp THCS, nghĩa của hệ số góc của đường

thẳng y = ax + b (a ≠ 0) đã xuất hiện một cách khá tường minh trong lý thuyết, bao

gồm 02 nghĩa:

- Nghĩa 1: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) bằng tang của góc tạo

bởi đường thẳng đó với trục Ox.

- Nghĩa 3: Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) cho biết sự biến thiên

của hàm số y = ax + b trên  .

Vậy thì các nghĩa đó có xuất hiện trong các bài tập hay không? Nếu có thì các

nghĩa đó xuất hiện thông qua các KNV nào?

2.2.1.2. Nghĩa của hệ số góc trong phần bài tập của các SGK THCS

– tổ chức toán học

Qua phân tích trên, chúng ta thấy rằng: các nghĩa của hệ số góc của đường

thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được trình bày tường minh trong lý thuyết nhưng chưa đầy

đủ (chỉ xuất hiện nghĩa 1 và nghĩa 3). Vậy trong các bài tập thì các nghĩa đó có tồn

tại hay không? Nếu có thì nó được thể hiện như thế nào?

Đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu

SGK9.T1 và SBT9.T1 để tìm ra những KNV có liên quan đến nghĩa của hệ số góc

của đường thẳng xuất hiện thông qua các bài tập, các hoạt động? và các ví dụ trong

SGK9.T1 và SBT9.T1.

Sau đây, chúng tôi chỉ phân tích những KNV có liên quan đến các nghĩa của

hệ số góc mà thôi.

• KNV TRtinh_bien_thienR: Xác định tính biến thiên của hàm số bậc nhất

1

PRtinh_bien_thienR: Xác định tính biến thiên của hàm số bậc nhất

+ Nhiệm vụ TP

Bài 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số

a, b của chúng và xét xem hàm số bậc nhất nào đồng biến, nghịch biến.

a) y = 1 – 5x

b) y = – 0,5x

−

2 d) y = 2xP

P + 3

[4,tr.48]

Giải. a) y = 1 – 5x là hàm số bậc nhất, có a = – 5 và b = 1, là hàm số nghịch biến

trên  .

b) y = – 0,5x là hàm số bậc nhất, có a = – 0,5 và b = 0, là hàm số nghịch biến

trên  .

−

, là

2−

là hàm số bậc nhất, có a = 2 và b = 3

hàm số đồng biến trên  .

P + 3 không là hàm số bậc nhất.[5,tr.58-59]

2 d) y = 2xP

cho trước

1

PRtinh_bien_thien

Kỹ thuật τP

- Xác định hệ số góc a của hàm số;

- So sánh hệ số góc a với số 0: nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên  ;

PRtinh_bien_thienR: Xác định tham số để hàm số bậc nhất đồng

nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên  . 2 + Nhiệm vụ TP

Bài 9. Cho hàm số bậc nhất y = (m – 2)x + 3. Tìm các giá trị của m để hàm số:

a) Đồng biến;

[4,tr.48]

b) Nghịch biến.

Giải. a) Hàm số y = (m – 2)x + 3 đồng biến khi m – 2 > 0 hay m > 2.

b) Hàm số y = (m – 2)x + 3 nghịch biến khi m – 2 < 0 hay m < 2. [5,tr.59]

biến, nghịch biến

2

PRtinh_bien_thien

Kỹ thuật τP

- Xác định hệ số góc a của hàm số theo m;

- Hàm số đồng biến trên  ⇔ a > 0 ⇒ tìm m;

- Hàm số nghịch biến trên  ⇔ a < 0 ⇒ tìm m.

Công nghệ θRtinh_bien_thienR: tính chất về sự biến thiên của hàm số bậc nhất

Lý thuyết ΘRtinh_bien_thienR: khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến.

• Nhận xét

Kỹ thuật giải quyết KNV T Rtinh_bien_thienR đơn giản, nó xuất hiện tường minh trong

SGK9.T1 và SBT9.T1. Dấu vết của TRtinh_bien_thien Rthể hiện qua hai KNV “trái ngược

PRtinh_bien_thien R“Xác định tính biến thiên của hàm số bậc nhất cho trước” và

nhau”: TP

PRtinh_bien_thienR “Xác định tham số để hàm số bậc nhất đồng biến, nghịch biến”.

Như vậy KNV TRtinh_bien_thienR đã làm bộ lộ rõ nghĩa 3 của hệ số góc của đường

thẳng y = ax + b (a ≠ 0) - Dấu của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

cho biết sự chất biến thiên của hàm số y = ax + b.

• KNV TRvi_tri_tuong_doiR: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Giả sử hai đường thẳng cho trước là (dR1R): y = aR1Rx + bR1R và (dR2R): y = aR2Rx + bR2R ;

trong đó aR1R, aR2R ≠ 0.

1 + Nhiệm vụ TP

PRvi_tri_tuong_doiR : Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

?2. Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau trong các đường thẳng sau:

y = 0,5x + 2

y = 0,5x – 1

y = 1,5x + 2.[4,tr.53]

Giải. Có 2 cặp đường thẳng cắt nhau: vì 0,5 ≠ 1,5

y = 0,5x + 2 và y = 1,5x + 2 ; y = 0,5x – 1 và y = 1,5x + 2. [5,tr56]

khi biết trước các hệ số của nó

1

PRvi_tri_tuong_doi

Kỹ thuật τP

- Xác định các hệ số: hệ số góc và tung độ gốc của hai đường thẳng.

- So sánh các hệ số:

+ Nếu aR1R = aR2R và bR1R ≠ bR2R thì (dR1R) và (dR2R) song song nhau;

+ Nếu aR1R ≠ aR2R thì (dR1R) và (dR2R) cắt nhau;

+ Nếu aR1R = aR2R và bR1R = bR2R thì (dR1R) và (dR2R) trùng nhau.

2 + Nhiệm vụ TP

PRvi_tri_tuong_doiR: tìm tham số m (đặt trong quan hệ với hệ số

Bài 21. Cho hai hàm số bậc nhất y = mx + 3 và y = (2m + 1)x – 5. Tìm giá trị của m

để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a) Hai đường thẳng song song với nhau;

b) Hai đường thẳng cắt nhau. [4,tr.54]

Giải. a) Các hàm số đã cho là các hàm số bậc nhất, do đó phải có điều kiện m ≠ 0

và m ≠

. Kết hợp với điều kiện để hai đường thẳng song song với nhau:

m = 2m + 1, ta tìm được m = – 1.

b) Lập luận tương tự như câu a), hai đường thẳng cắt nhau khi m ≠ 0, m ≠

và m ≠ – 1. [5,tr.68]

góc) để hai đường thẳng song song nhau, cắt nhau hoặc trùng nhau

2

PRvi_tri_tuong_doiR Xác định hệ số góc và tung độ gốc của hai đường

Kỹ thuật τP

thẳng theo m;

+ Nếu (dR1R) // (dR2R) thì aR1R = aR2R và bR1R ≠ bR2R ⇒ giá trị của m;

+ Nếu (dR1R) cắt (dR2R) thì aR1R ≠ aR2 R⇒ điều kiện của m;

+ Nếu (dR1R) và (dR2R) trùng nhau thì aR1R = aR2R và bR1R = bR2R ⇒ giá trị của m.

Công nghệ θRvi_tri_tuong_doiR: Định nghĩa đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b;

3 Lý thuyết Θ”P

PRvi_tri_tuong_doiR: Khái niệm góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với

trục Ox.

• Nhận xét

Những đường thẳng có cùng hệ số góc (aR1R = aR2R = a) thì đều song song với

đường thẳng y = ax. Cơ sở để giải thích cho nhận xét này chính là góc tạo bởi

đường thẳng y = ax + b và trục Ox vì hai đường thẳng song song với nhau khi và

chỉ khi cặp góc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng đó với trục Ox bằng nhau. Do vậy,

một cách gián tiếp, chúng ta có thể xem KNV TRvi_tri_tuong_doiR cũng là một trong những

KNV làm xuất hiện nghĩa hình học (nghĩa 1) của hệ số góc của đường thẳng

y = ax + b (a ≠ 0).

• KNV TRgocR: Tính góc hợp bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox

Kỹ thuật τRgoc

- Vẽ đồ thị của hàm số;

- Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng với trục Oy, giao điểm B của

đường thẳng với trục Ox;

- Tính OA = |yRAR|, OB= |xRBR|. Gọi α là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox. Xét

tam giác OAB vuông tại O.

⇒ số đo = + Nếu a > 0 thì α là góc nhọn. Khi đó tanα = tan ABO =

góc α;

 ABO =

0 ABO ⇒ số đo góc α = 180P

P – ABO .

⇒ số đo góc = + Nếu a < 0 thì α là góc tù. Khi đó ta có tan

Công nghệ θRgocR: khái niệm góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox.

Lý thuyết ΘRgocR: khái niệm góc tạo bởi hai đường thẳng trong mặt phẳng.

• Nhận xét

Yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải này xuất hiện tường minh trong

SGK9.T1 và SBT9.T1. Kỹ thuật giải rõ ràng và dễ sử dụng. Cùng với KNV “Vẽ đồ

thị của hàm số”, KNV TRgocR cho phép khẳng định mối quan hệ hai chiều giữa đại số

và hình học, từ đó nó đã làm bộc lộ được nghĩa hình học (nghĩa 1) của hệ số góc của

đường thẳng. Từ những điều đã trình bày, chúng tôi nhận thấy rằng đồ thị của hàm

số bậc nhất y = ax + b chính là cầu nối cho phép thiết lập mối liên hệ giữa hệ số a

của hàm số bậc nhất và góc tạo bởi đồ thị của nó (tức đường thẳng y = ax + b) và

trục Ox. Vì vậy, với KNV này thì việc vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất là một hoạt

động không thể thiếu đối với học sinh THCS.

Kết luận về nghĩa của hệ số góc trong các SGK THCS

Qua phân tích trên cho chúng ta thấy thể chế dạy học Toán bậc THCS đã thể

hiện rõ 02 nghĩa của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) ở ngay cả phần lý

thuyết lẫn bài tập là nghĩa 1 và nghĩa 3.

Các KNV chủ yếu đã làm bộc lộ rõ các nghĩa đó của hệ số góc của đường

thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là TRtinh_bien_thienR; TRvi_tri_tuong_doiR; TRgocR. Trong đó, hai KNV đặc

trưng cho nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là TRvi_tri_tuong_doiR

và TRgocR. Còn nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) thì gắn liền

với KNV đặc trưng là TRtinh_bien_thienR. Yếu tố kỹ thuật và công nghệ của các KNV này

xuất hiện tường minh trong SGK9.T1 và SBT9.T1.

Các KNV liên quan đến nghĩa của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

(a ≠ 0) được chúng tôi tóm tắt trong Bảng 2.1:

Bảng 2.1. Bảng thống kê các nhiệm vụ liên quan hệ số góc trong SGK9.T1

và SBT9.T1P8F

Số lần xuất

Số lần xuất hiện

hiện trong

Tổng

Tỉ lệ %

KNV

trong SGK

SBT

(ví dụ + bài tập)

1 TP

10,11%

PRtinh_bien_thien

TRtinh_bien_thien

2 TP

5,62%

PRtinh_bien_thien

23,60%

TRve_dt

1 TP

6,74%

PRvi_tri_tuong_doi

TRvi_tri_tuong_doi

2 TP

11,24%

PRvi_tri_tuong_doi

7,87%

TRgoc

Khác

34,82%

Tổng cộng

56

33

89 100%

Từ bảng thống kê cho thấy, so với nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng, thì

nghĩa 1 được thể chế quan tâm hơn nhiều hơn. Nhận xét này chúng tôi đưa ra vì có

cơ sở của nó. KNV gắn với nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng chiếm ưu thế

hơn các KNV còn lại được trình bày trong SGK9.T1 và SBT9.T1. Cụ thể, theo số

liệu mà chúng tôi thống kê được trong chương trình và SGK9.T1 cho thấy, có đến

23/89 ví dụ và bài tập làm xuất hiện nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng, chiếm

25,85% tổng số các ví dụ và bài tập trong chương trình. Trong khi đó, nghĩa 3 chỉ

xuất hiện trong 14/89 ví dụ và bài tập, chiếm 15,73% tổng số các ví dụ và bài tập

trong chương trình và SGK9.T1.

Ngoài ra, nhiệm vụ “Tìm giá trị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) khi x tăng lên 1

đơn vị với a,b là hai số cho trước” cũng hoàn toàn vắng mặt trong trong lý thuyết,

trong các ví dụ và các bài tập của SGK9.T1. Điều này cho chúng ta thấy rằng hệ số

9 Bảng thống kê trên chỉ mang tính chất tương đối vì có những bài tập đưa ra bao gồm nhiều KNV khác nhau.

góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) đã bị mất đi một nghĩa quan trọng của nó

(nghĩa 4) trong chương trình và SGK lớp 9, đó là: hệ số góc của đường thẳng

y = ax + b (a ≠ 0) cho biết giá trị của hàm số y = ax + b tăng lên (nếu a > 0) hoặc

giảm xuống (nếu a < 0) đúng bằng a đơn vị khi x tăng thêm 1 đơn vị.

Đặc biệt, với kiểu nhiệm vụ TRgocR, yếu tố đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b

không tách rời kỹ thuật tìm góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox.

“Đồ thị của hàm số bậc nhất” giúp học sinh có cái nhìn trực quan về đối tượng

đường thẳng. Và từ cái nhìn trực quan đó giúp học sinh dễ dàng nhận thấy được

nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) hơn so với nghĩa 3 của nó.

Tầm quan trọng của “đồ thị hàm số bậc nhất” được minh chứng qua số ví dụ và bài

tập trong SGK và SBT chiếm tỉ lệ cao nhất trong các KNV còn lại (23,6%). Chính

vì thế, hầu hết các bài tập thuộc KNV TRgocR luôn gắn liền với KNV “vẽ đồ thị

của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0)” và việc tính góc tạo bởi đường thẳng

y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox luôn căn cứ vào đồ thị của nó.

2.2.2. Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THPT

Khái niệm hệ số góc của đường thẳng được thể chế tiếp cận ở cả hai phân môn

Đại số và Hình học.

2.2.2.1. Trong Đại số

Ta đã biết trong Đại số và Giải tích, đường thẳng gắn với “đồ thị của hàm số

bậc nhất y = ax + b”. Do đó, việc nghiên cứu đường thẳng được chuyển thành việc

nghiên cứu đồ thị hàm số y = ax + b. Cách tiếp cận khái niệm “đường thẳng” và hệ

số góc của nó mà thể chế lựa chọn vẫn là theo quan điểm của giải tích, chủ yếu là

“tái hiện và củng cố các tính chất và đồ thị của hàm số bậc nhất mà học sinh đã

học ở lớp dưới”. [14,tr.78]

• Về sự biến thiên của hàm số bậc nhất

Ta đã biết hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi biểu thức y = ax + b, trong đó a và

b là những hằng số với a ≠ 0. Hàm số bậc nhất có tập xác định là  .

Khi a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến trên  .

Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên  .[14,tr.48]

ĐS10.NC đã nhắc lại

Cũng tương tự như SGK9.T1, ĐS10.NC đã cho học sinh thấy được nghĩa 3

của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0): hệ số góc của đường thẳng

y = ax + b (a ≠ 0) cho biết sự biến thiên của hàm số y = ax + b. Tuy nhiên, nghĩa 3

của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) xuất hiện trong chương trình và

Đối với hàm số cho bằng biểu thức, để khảo sát sự đồng biến hay nghịch biến của hàm

số đó trên một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) K, ta có thể dựa vào định nghĩa […]

hoặc dựa vào nhận xét sau: Điều kiện “xR1R < xR2R ⇒ f(xR1R) < f(xR2R)” có nghĩa là xR2R – xR1R và

f(xR1R) – f(xR2R) cùng dấu. Do đó:

Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi ∀xR1R, xR2R ∈ K và xR1R ≠ xR2R ,

−

f x (

)

f x ( 1

;

−

x 1

Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi ∀xR1R, xR2R ∈ K và xR1R ≠ xR2R ,

−

f x (

)

f x ( 1

;

−

x 1

Như vậy để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên K, ta có thể xét dấu của tỉ số

−

f x (

)

f x ( 1

trên K. [14,tr.39]

−

x 1

ĐS10.NC tổng quát hơn, rõ ràng hơn so với SGK9.T1.

Đoạn trích trên đã chỉ rõ kỹ thuật để xét sự biến thiên của một hàm số tổng

quát, trong đó có hàm số bậc nhất. Dấu của tỉ số biến thiên cho biết sự biến thiên

của một hàm số. Riêng với hàm số bậc nhất, kỹ thuật trên chỉ xuất hiện trước khi

học sinh được nhắc lại những kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b

trong ĐS10.NC. Vả lại, kỹ thuật đó cũng không được các tác giả ưu tiên lựa chọn vì

“…trong SGK, việc khảo sát sự biến thiên của hàm số bằng định nghĩa hoặc bằng tỉ

số biến thiên không được coi là yêu cầu số một. Trong khi đó, việc vẽ đồ thị (chủ

yếu là các hàm số bậc nhất và bậc hai) lại là quan trọng để từ đồ thị mà suy ra sự

biến thiên của hàm số. Do đó, hầu hết các bài tập trong SGK đều yêu cầu vẽ đồ thị

trước rồi mới căn cứ vào đồ thị để nêu kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm

số…” [15,tr.78-79]. Chính vì sự ràng buộc đó mà học sinh không nhìn thấy được

mối liên hệ giữa hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với tỉ số biến thiên

−

)

f x ( 1

−

f x ( 2 x 2

x 1

của hàm số y = f(x) = ax+ b qua công thức . Nói một cách khác,

nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng cũng trở nên mờ nhạt trong chương trình

Đại số 10 nâng cao. Vậy còn các nghĩa khác của hệ số góc của đường thẳng

y = ax + b (a ≠ 0) được thể chế trình bày như thế nào?

• Về đồ thị của hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b, được ĐS10.NC trình bày, về ý tưởng,

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng, gọi là đường thẳng

y = ax + b. Nó có hệ số góc bằng a và có đặc điểm sau:

- Không song song và không trùng với các trục tọa độ;

−

- Cắt trục tung tại điểm B(0;b) và cắt trục hoành tại điểm

. [14, tr.48]

; 0

  

  

không khác gì so với SGK9.T1.

Bên cạnh đó, đáng chú ý hơn hết là chúng tôi tìm thấy một sự khác biệt giữa

ĐS10.NC và SGK9.T1 là ĐS10.NC đã chỉ rõ một trường hợp đặc biệt của đường

thẳng có mối liên hệ với đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b, đó là hàm số hằng (mà

Chú ý

Nếu f(xR1R) = f(xR2R) với mọi xR1R và xR2R thuộc K, tức

là f(x) = c (c là hằng số) thì ta có hàm số không

đổi (còn gọi là hàm số hằng) trên K.

Chẳng hạn, y = 2 là một hàm số không đổi xác

định trên R. Nó có đồ thị là đường thẳng song

song với trục Ox (h.2.3).[14,tr.38]

Hàm số hằng là một ví dụ về hàm số không

Hình 2.3

đồng biến, mà cũng không nghịch biến trong

bất kì khoảng nào thuộc tập xác định của nó. Hàm số hằng có mối liên hệ chặt chẽ với

hàm số bậc nhất không chỉ bởi công thức xác định hàm số (dạng y = ax + b với a = 0

hoặc a ≠ 0) mà còn bởi đồ thị của chúng (đều là đường thẳng). [15,tr.56]

ta thường gọi là hàm hằng)

Từ đó cho thấy, trong trường hợp đặc biệt a = 0 thì đường thẳng với vai trò là

đồ thị của hàm số y = ax + b trở thành đường thẳng y = b. Nó là một đường thẳng

song song hoặc trùng với trục hoành, cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng b.

Do đó trong trường hợp này, ta nói “đường thẳng có hệ số góc bằng 0”. Như vậy,

hàm số y = ax + b được ngầm định ở đây bao gồm cả hàm số bậc nhất và hàm số

hằng.

• Nhận xét

Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b được thể chế giới thiệu qua khái niệm

hàm số bậc nhất. Chủ yếu là trình bày lại các kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất

mà học sinh đã được học ở chương trình toán lớp 9. Tuy nhiên, cùng với nghĩa 3,

nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b cũng trở nên mờ nhạt, không

được thể chế quan tâm. Thêm nữa, nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng

−

)

f x ( 1

y = ax + b không thể hiện tính liên tục trong lý thuyết. Tức là, dấu của tỉ số biến

−

f x ( 2 x 2

x 1

thiên cho biết sự biến thiên của hàm số không được thể chế trình bày

trong sự gắn kết với tính biến thiên của hàm số bậc nhất mà nó lại được trình bày

trong nội dung “sự biến thiên của hàm số” tổng quát.

• Các KNV liên quan đến hệ số góc của đường thẳng trong ĐS10.NC

Qua nghiên cứu chương trình và ĐS10.NC, chúng tôi tổng kết được các kiểu

nhiệm vụ chủ yếu sau đây:

- T’Rve_do_thiR: vẽ đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số y = |ax + b|;

- T’Rtinh_tienR: xác định đồ thị hàm số dạng y = |ax + b| qua phép tịnh tiến;

- T’Rvi_tri_tuong_doiR: xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng;

- T’Rxac_dinh_hsR: xác định hàm số y = ax + b thỏa mãn điều kiện cho trước:

+ Đồ thị của nó đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước (hay song

song với một đường thẳng cho trước);

+ Đồ thị của nó đi qua hai điểm cho trước;

+ Đồ thị của nó đối xứng với một đường thẳng cho trước qua trục tọa độ;

+ Đồ thị của nó là đường thẳng đồng quy với hai đường thẳng cho trước.

- Và các KNV khác.

Sau đây chúng tôi chỉ tập trung phân tích các KNV và các nhiệm vụ liên quan

đến hệ số góc và nghĩa của nó.

’  KNV TP

PRvi_tri_tuong_doiR: xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dạng

(d): y = ax + bR Rvà (d’): y = a’x + b’.

Kỹ thuật τ’Rvi_tri_tuong_doiR:

- Đưa các đường thẳng đã cho về phương trình đường thẳng theo hệ số góc y

= ax + b (nếu có);

- So sánh các hệ số góc và tung độ gốc của các cặp đường thẳng

+ Nếu a = a’R R và b ≠ b’ thì (d) // (d’);

+ Nếu a ≠ a’ thì (d) cắt (d’);

+ Nếu a = a’ và b = b’ thì (d) trùng (d’).

Công nghệ θ’Rvi_tri_tuong_doiR: dấu hiệu nhận biết vị trí tương đối giữa hai đường

thẳng.

Lý thuyết Θ’Rvi_tri_tuong_doi

+ Khái niệm góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox;

+ Hai đường thẳng song song nhau khi và chỉ khi chúng cắt một đường thẳng

thứ ba và tạo nên các cặp góc đồng vị hay so le trong bằng nhau; các cặp góc trong

cùng phía bù nhau.

• Nhận xét

Tương tự như KNV TRvi_tri_tuong_doiR, yếu tố kỹ thuật và công nghệ của KNV

T’Rvi_tri_tuong_doiR xuất hiện tường minh trong chương trình và ĐS10.NC. Kỹ thuật đơn

giản, dễ hiểu. KNV T’Rvi_tri_tuong_doi Rlà một trong những KNV đặc trưng cho nghĩa 1

của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0).

 KNV T’Rxac_dinh_hsR: xác định hàm số y = ax + b thỏa mãn điều kiện cho

1 + Nhiệm vụ T’P

PRxac_dinh_hsR: có đồ thị là đường thẳng (d) đi qua điểm A(xRAR;yRAR)

và biết hệ số góc k

1 Kỹ thuật τ’P

PRxac_dinh_hs

- Vì (d) có hệ số góc k nên a = k.

- Thay tọa độ điểm A vào (d) ta được b = yRAR – k.xRAR;

- Kết luận: hàm số cần tìm là: y = k.x + yRAR – k.xRA.R

2 + Nhiệm vụ T’P

PRxac_dinh_hsR: có đồ thị là đường thẳng (d) đi qua hai điểm

AR1R(xR1R;yR1R) và AR2R(xR2R;yR2R)

Có hai kỹ thuật giải quyết nhiệm vụ này:

2.1

PRxac_dinh_hsR: giải hệ phương trình

. Kỹ thuật τ’P

+ = b

- Điểm AR1R ∈ (d) nên yR1R = axR1R + b; điểm AR2R ∈ (d) nên yR2R = axR2R + b;

+ = b

y 1 y

  

tìm được a và b. - Giải hệ phương trình

Kết luận: hàm số cần tìm là y = ax + b với a, b vừa tìm được.

2.2

PRxac_dinh_hsR: xác định hệ số góc qua tỉ số biến thiên

−

. Kỹ thuật τ’P

−

Tìm hệ số góc của đường thẳng (d): . Khi đó phương trình đường

−

thẳng (d) có dạng: y = x + b. Điểm A(xRAR;yRAR) ∈ (d) nên:

−

⇒

−

Kết luận: hàm số cần tìm là:

−

A y

A x

hay .

Công nghệ θ’Rxac_dinh_hsR: định nghĩa hệ số góc của đường thẳng.

Lý thuyết Θ’Rxac_dinh_hs

- Định nghĩa đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b;

- Quan hệ “liên thuộc” giữa một điểm và đồ thị của một hàm số y = f(x).

Điểm A(xRAR;yRAR) thuộc đồ thị hàm số y =f(x) ⇔ yRAR = f(xRAR).

• Nhận xét

2 đường thẳng trong chương trình và ĐS10.NC là T’Rvi_tri_tuong_doiR và T’P PRxac_dinh_hsR. Các

Các KNV và nhiệm vụ liên quan đến nghĩa 1 và nghĩa 3 của hệ số góc của

KNV và nhiệm vụ chủ yếu trong ĐS10.NC và BTĐS10.NC được chúng tôi thống

kê trong Bảng 2.2:

Bảng 2.2. Bảng thống kê các KNV chủ yếu trong ĐS10.NC và BTĐS10.NC

Số lần xuất

hiện trong

Tổng

Tỉ lệ %

KNV

SGK

SBT

(VD + BT)

18,75%

T’Rve_do_thi

12,50%

T’Rtinh_tien

12,50%

T’Rvi_tri_tuong_doi

1 T’P

6,25%

PRxac_dinh_hsR

2 T’P

3,125%

T’Rxac_dinh_hs

PRxac_dinh_hs

Khác

18,75%

Các KNV khác

28,125%

100%

Tổng cộng

16

32

Từ bảng thống kê trên cho chúng ta thấy, số lượng các ví dụ, các hoạt động và

bập trong ĐS 10.NC rất khiêm tốn. Tổng số các ví dụ, các hoạt động và bài tập liên

quan đến nghĩa của hệ số góc cũng rất khiêm tốn, với số lượng 6/32, chiếm tỉ lệ

18,75%. Trong đó, các KNV và nhiệm vụ liên quan đến nghĩa 1 của hệ số góc

2 Điều đáng chú ý ở đây là nhiệm vụ T’P

PRxac_dinh_hsR. Với KNV này, yếu tố kỹ thuật

2 τ’P

PRxac_dinh_hsR giúp ta xác định hệ số góc của đường thẳng thông qua tỉ số biến thiên

(T’Rvi_tri_tuong_doiR) chiếm 12,5% so với các nhiệm vụ còn lại.

của hàm số y = ax + b mà không phải giải hệ phương trình. Tuy vậy, kỹ thuật này

hoàn toàn vắng mặt trong chương trình và ĐS10.NC.

2.2.2.2. Trong Hình học

Kiến thức về đường thẳng và hệ số góc của nó được trình bày trong chương

III. “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” của bộ sách Hình Học lớp 10 (chúng

tôi chỉ giới hạn phân tích trong bộ sách HH10.NC).

Mục tiêu của chương trong chủ đề về Phương trình đường thẳng được

SGVHH10.NC trình bày như sau:

Kiến thức

- Hiểu vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng.

- Hiểu phương trình tổng quát và các dạng đặc biệt của nó, phương trình tham số của

đường thẳng.

- Hiểu được điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc

với nhau.

- Biết công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng; góc giữa hai

đường thẳng.

- Biết điều kiện để hai điểm nằm cùng phía hoặc khác phía đối với một đường thẳng.

Kĩ năng

- Viết được phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua

điểm MR0R(xR0R;yR0R) và có phương cho trước, hoặc đi qua hai điểm cho trước.

- Tính được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của vectơ chỉ phương của một

đường thẳng và ngược lại.

- Biết chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường

thẳng. [17,tr.21-23]

Như vậy so với SGKĐS9.T1, mục tiêu mà HH10.NC đặt ra ở chương này có

một điểm khác biệt mà chúng tôi đặc biệt quan tâm là HH10.NC đã hoàn toàn

không đề cập đến hệ số góc của đường thẳng. Tuy vậy, trong HH10.NC thì khái

niệm đường thẳng và hệ số góc của nó được trình bày một cách đầy đủ và tường

minh. Sau đây, chúng tôi sẽ phân tích cách tiếp cận của thể chế về đường thẳng và

hệ số góc của nó.

Theo đó, đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng được thể chế tiếp cận

theo quan điểm của Hình học giải tích. Bằng phương pháp tọa độ cùng với công cụ

vectơ, khái niệm đường thẳng được thể chế xây dựng theo hai hướng: phương trình

đường thẳng gắn với vectơ pháp tuyến – gọi là phương trình tổng quát của đường

thẳng và phương trình đường thẳng gắn với vectơ chỉ phương – gọi là phương trình

tham số của đường thẳng. Với hai dạng phương trình đường thẳng đó thì nghĩa của

hệ số góc của đường thẳng có được thể chế nêu ra trong lý thuyết và bài tập hay

không?

Để trả lời câu hỏi đó, chúng tôi tiếp tục phân tích cách tiếp cận các dạng

đường thẳng và hệ số góc của nó trong chương trình và SGK HH lớp 10 nâng cao

qua hai dạng phương trình đường thẳng: phương trình tham số và phương trình tổng

quát.

• Phương trình tổng quát của đường thẳng

Sau khi giới thiệu định nghĩa về vectơ pháp tuyến, HH10.NC đã đưa ra khái

Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng

2 ax + by + c = 0, với aP

2 P ≠ 0. Ngược lại ta có thể chứng minh được rằng: mỗi P + bP

2 P ≠ 0. Đều là phương trình tổng quát của P + bP

2 phương trình dạng ax + by + c = 0, với aP

là vectơ pháp tuyến. [16,tr.76]

một đường thẳng xác định, nhận

a b ( ; )

 n

niệm phương trình tổng quát của đường thẳng như sau:

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng có liên quan gì đến đường thẳng

y = ax + b (a ≠ 0), dạng đường thẳng quen thuộc mà học sinh đã học ở lớp 9? Để

GHI NHỚ

Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox (h.67a).

Đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với trục Oy (h.67b).

Đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc tọa độ (h.67c).

∆

O O

Hình 67

[…] GHI NHỚ

≠

1 (

Đường thẳng có phương trình

(2) đi qua hai điểm A(a;0) và

B(0;b). Phương trình dạng (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

[16, tr.77]

làm rõ mối liên hệ đó, HH10.NC đã đưa ra hai ghi nhớ:

Như vậy so với đường thẳng y = ax + b mà học sinh học ở lớp 9, phương trình

đường thẳng được HH10.NC xây dựng tổng quát hơn, đầy đủ hơn. So với lớp 9,

điểm khác biệt cơ bản của dạng đường thẳng mà học sinh được học ở lớp 10 là ở

chỗ: HH10.NC đã bổ sung thêm một dạng đường thẳng đứng song song với trục

tung Oy: x = n (n: hằng số). Chính vì thế, học sinh sẽ có cái nhìn tổng quát hơn, đầy

đủ hơn về đường thẳng trong mặt phẳng theo quan điểm giải tích.

Tuy nhiên, đường thẳng x = n (n: hằng số) song song hoặc trùng với Oy không

phải đồ thị của hàm số (theo quan điểm của Đại số-giải tích). Hệ số góc của đường

thẳng x = n không xác định.

Thật vậy, với hai điểm bất kì PR1R và PR2R thuộc đường thẳng x = n. Giả sử

−

y 1

PR1R(n;yR1R) và PR2R(n;yR2R). Giả sử ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng x = n. Theo định

2 − n n

. Tỉ số này không xác nghĩa hệ số góc của đường thẳng, ta có

định. Vì vậy, ta nói hệ số góc của đường thẳng x = n không xác định, nói cách khác

là đường thẳng không có hệ số góc. Chính điều này đã tạo nên sự tách biệt trong

cách tiếp cận khái niệm đường thẳng cùng hệ số góc của nó ở hai phân môn Đại số

và Hình học (cụ thể ở lớp 10).

Trên tinh thần đó, HH10.NC cũng đã chỉ rõ cho học sinh thấy được nghĩa hình

học – nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng tổng quát một cách tường minh qua

việc chuyển từ phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng phương trình

đường thẳng theo hệ số góc:

Chú ý

Xét đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát ax + by + c = 0.

Nếu b ≠ 0 thì phương trình trên đưa được về dạng y = kx + m (3)

= − . Khi đó k là hệ số góc của

Với

a = − , b

đường thẳng ∆ và (3) gọi là phương trình của ∆ theo

hệ số góc .

Ý nghĩa hình học của hệ số góc (h.69)

Xét đường thẳng ∆: y = kx + m.

Với k ≠ 0, gọi M là giao điểm của ∆ với trục Ox và

MRtR là tia của ∆ nằm phía trên Ox. Khi đó, nếu α là

góc hợp bởi hai tia Mt và Mx thì hệ số góc của đường

thẳng ∆ bằng tang của góc α, tức là k = tanα.

Khi k = 0 thì ∆ là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.[16, tr.77-78]

Sở dĩ HH10.NC phải giới thiệu cho học sinh biết dạng phương trình đường

Một là giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa Hình học với Đại số (hàm số bậc

nhất). Sau này trong môn Giải tích, khái niệm Đạo hàm của hàm số có liên quan mật

thiết đến hệ số góc của đường thẳng.

Hai là khi tìm phương trình tổng quát của đường thẳng, học sinh thường phải giải hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất có ẩn số lớn hơn số phương trình, các em sẽ lúng

túng nên thường giả thiết đường thẳng có phương trình y = kx + m. Tất nhiên lời giải

bài toán nói chung sẽ không đầy đủ. Cần phải xét thêm trường hợp đường thẳng vuông

góc với Ox (không có hệ số góc).[17,tr.89]

thẳng theo hệ số góc vì hai lí do sau:

Việc giải thích nghĩa hình học – nghĩa 1 của “hệ số góc k” được thể hiện qua

?5 Mỗi đường thẳng sau đây có hệ số góc bằng bao nhiêu? Hãy chỉ ra góc α tương

ứng với hệ số góc đó.

[16,tr.78]

y− + =

a) ∆R1R: 2x + 2y – 1 = 0

b) ∆R2R: 3

hai ví dụ đơn giản nêu trong hoạt động ?5:

Trong hoạt động này, vì các đường thẳng cho dưới dạng tổng quát nên để tìm

ra số đo góc α thì học sinh sẽ chuyển các phương trình đường thẳng đó về dạng

phương trình theo hệ số góc dạng y = kx + m và dùng công thức tanα = k P9F

Cụ thể, với câu a), ta có thể chuyển phương trình đường thẳng ∆R1 Rvề dạng

0 suy ra αR1R = 135P

P. Với câu b), ta cũng chuyển phương trình đường thẳng ∆R2R về dạng

0 + . Do đó, hệ số góc của đường thẳng ∆R2R là kR2R = 3 suy ra αR2R = 60P

y = –x + . Do đó, hệ số góc của đường thẳng ∆R1R là kR1R = –1. Khi đó, tanαR1R = k = –1

Qua hoạt động trên, chúng tôi thấy rằng, thể chế đã không đặt ra yêu cầu vẽ

đường thẳng (tức vẽ đồ thị của hàm số) và việc xác định góc α hợp bởi đường thẳng

và trục Ox. Nhận định đó cũng đồng thời cho chúng ta thấy được nghĩa hình học –

10 Chúng ta cần phân biệt sự khác nhau trong công thức tanα = k giữa Đại số 9 và Hình học 10 nâng cao. Điểm khác nhau ở chỗ, ở Đại số 9 hệ số góc được đặt trong dấu giá trị tuyệt đối vì rằng học sinh chưa được học giá trị của tang của một góc khi giá trị đó âm.

nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng xuất hiện trong HH10.NC đã tách biệt với

yếu tố hình vẽ.

Liệu ngoài hai nghĩa 1 và 3 mà chúng tôi đề cập ở trên, thể chế còn cung cấp

cho học sinh những nghĩa nào khác của hệ số góc của đường thẳng?

Chúng ta biết rằng, phương trình đường thẳng theo hệ số góc dạng y = kx + m

đưa ra trong mục này chỉ là một trường hợp đặc biệt của dạng tổng quát. Điều này

cũng hết sức dễ hiểu, mục đích của việc chuyển phương trình tổng quát của đường

thẳng về dạng “phương trình đường thẳng theo hệ số góc” là nhằm cho học sinh

thấy được mối liên hệ, cũng như sự tiếp nối với chương trình Đại số lớp 9 về hệ số

góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0). Đồng thời qua đó, thể chế cũng mong muốn

học sinh hiểu được nghĩa của hệ số góc của đường thẳng khi đường thẳng được đại

diện bởi một phương trình đại số - “phương trình tổng quát của đường thẳng”. Hệ

= − , trong đó k là hệ số góc, (a;b) là tọa độ vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

số góc của đường thẳng có mối liên hệ với tọa độ của vectơ pháp tuyến qua hệ thức

• Phương trình tham số của đường thẳng

Sau khi giới thiệu định nghĩa “vectơ chỉ phương” của đường thẳng, HH10.NC

x 0

Điều kiện cần và đủ để M(x;y) thuộc ∆ là có số t sao cho

2 (aP

2 P + bP

P ≠ 0) (1)

  

Hệ (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ , với tham số t.[16,tr.81]

đã đưa ra khái niệm phương trình tham số của đường thẳng:

Vì sao hệ (1) lại là phương trình của một đường thẳng? Liệu dạng “phương

trình tham số” của đường thẳng có làm cho học sinh hoài nghi về sự tồn tại của nó?

Và nó có liên hệ như thế nào với “phương trình tổng quát” của đường thẳng? Để lý

CHÚ Ý

Với mỗi giá trị của tham số t, t tính được x và y từ hệ (1), tức là có được điểm M(x;y)

nằm trên ∆ . Ngược lại, nếu điểm M(x;y) nằm trên ∆ thì có một số t sao cho x, y thỏa

mãn hệ (1). [16,tr.81]

giải cho sự hoài nghi đó, HH10.NC đã chú ý

Bên cạnh đó, HH10.NC còn chỉ ra mối liên hệ giữa “phương trình tổng quát”,

“phương trình tham số” và “phương trình chính tắc” (nếu có) trong chú ý sau:

CHÚ Ý

x 0

Trong phương trình tham số

của đường thẳng, nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì bằng

  

−

x 0

cách khử tham số t từ hai phương trình trên, ta đi đến

(a ≠ 0,

b ≠ 0) (2). Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.

Trường hợp a = 0 hoặc b = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

[16,tr.82]

Do vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của một đường thẳng có giá vuông

góc nhau nên nếu (a;b) là tọa độ của vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì ta suy ra

= − , ta có thể nói rằng: hệ số góc của một đường thẳng bằng tỉ số giữa tung độ

được tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là (b; –a). Do vậy, từ hệ thức

và hoành độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Như vậy, ngoài nghĩa 1 và 3, thể chế cũng giới thiệu một nghĩa khác nữa của

hệ số góc của đường thẳng: hệ số góc của đường thẳng cho phép chúng ta xác định

được tọa độ vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) của nó. Đây cũng chính là

nghĩa 2 của hệ số góc của đường thẳng mà chúng tôi đã trình bày ở chương 1 của

luận văn này.

• Nhận xét

Cách tiếp cận khái niệm đường thẳng trong mặt phẳng ở ĐS10.NC và

HH10.NC theo quan điểm của phương pháp giải tích nhưng với hai cách biểu đạt

khác nhau. Một là, đường thẳng được biểu đạt qua đồ thị của hàm số bậc nhất (trong

Đại số) và một là biểu thị qua một phương trình đại số (trong Hình học).

Trong ĐS, hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được thể chế giới

thiệu lại một cách hình thức, và nghĩa 3 của nó xuất hiện một cách mờ nhạt: hệ số

góc của đường thẳng y = ax + b cho phép ta xác định sự biến thiên của hàm số

y = ax + b.

Trong HH, hệ số góc của đường thẳng không những xuất hiện trong mối liên

hệ với góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox mà còn xuất hiện trong sự gắn kết với

tọa độ vectơ chỉ phương hoặc vectơ pháp tuyến của đường thẳng: hệ số góc của

đường thẳng bằng tỉ số giữa tung độ và hoành độ của vectơ chỉ phương của đường

thẳng đó. Như vậy, trong HH10.NC, ngoài sự xuất hiện của nghĩa 1, hệ số góc của

đường còn xuất hiện với một nghĩa khác nữa: hệ số góc của một đường thẳng cho

phép chúng ta xác định được vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) của đường

thẳng đó (nghĩa 2).

Tuy nhiên, trong mặt phẳng, không phải bất kì đường thẳng nào cũng đưa

được về dạng hệ số góc. Điều đó có nghĩa là, hệ số góc của một đường thẳng tổng

quát chỉ tồn tại khi đường thẳng đó có phương không thẳng đứng (vectơ chỉ phương

có giá không vuông góc với trục Ox).

• Các KNV liên quan đến hệ số góc của đường thẳng trong HH10.NC

Qua nghiên cứu chương trình và HH10.NC, chúng tôi tổng kết được các KNV

chủ yếu sau đây:

- T”RgocR: tìm góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox;

- T”Rvi_tri_tuong_doiR: xét vị trí tương đối của hai đường thẳng;

- T”Rviet_ptdtR: viết (lập) phương trình đường thẳng;

Sau đây chúng tôi chỉ tập trung phân tích các KNV và các nhiệm vụ liên quan

đến hệ số góc và nghĩa của nó.

 KNV T”Rvi_tri_tuong_doiR: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Vì mọi đường thẳng đều đưa được về dạng tổng quát nên ở đây chúng tôi xét

hai đường thẳng cho bởi dạng tổng quát: trong mặt phẳng tọa độ, xét hai đường

thẳng ∆R1R và ∆R2R có phương trình ∆R1R: aR1Rx + bR1Ry + cR1R = 0 và ∆R2R: aR2Rx + bR2Ry + cR2R = 0.

Có hai kỹ thuật giải quyết KNV này.

1 + Kỹ thuật τ”P

PRvi_tri_tuong_doiR: dùng định thức cấp hai.

c a 1 1 c a 2

a b 1 1 a b 2 2

b c 1 1 b c 2 2

. Tính các định thức cấp hai

. So sánh các định thức với 0 và kết luận:

a b 1 1 a b 2 2

.. Nếu ≠ 0 thì ∆R1R và ∆R2R cắt nhau;

a b 1 1 a b 2 2

b c 1 1 b c 2 2

c a 1 1 c a 2

= 0 và ≠ 0, hoặc = 0 và .. Nếu ≠ 0 thì ∆R1R // ∆R2R;

b c 1 1 b c 2 2

c a 1 c a 2

a b 1 1 a b 2 2

.. Nếu = = 1 = 0 thì ∆R1R ≡ ∆R2R.

1 Công nghệ θ”P

PRvi_tri_tuong_doiR: công thức nghiệm của hệ phương trình Grammer

(hệ gồm hai phương trình hai ẩn).

1 Lý thuyết Θ”P

PRvi_tri_tuong_doiR: số điểm chung của hai đường thẳng (∆R1R) và (∆R2R)

bằng số nghiệm của hệ gồm hai phương trình đường thẳng (∆R1R) và (∆R2R).

Đặc trưng của kỹ thuật này là dùng định thức cấp hai trong toán cao cấp. Tuy

nhiên kiến thức về định thức cấp hai học sinh phổ thông chưa được học vì vậy kỹ

thuật này không được thể chế quan tâm mà chỉ bước đầu giúp học sinh làm quen với

việc tính định thức cấp hai, làm nền tảng cho học sinh tính tích có hướng của hai

vectơ ở lớp 12.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng được xác định qua việc tính các định thức cấp hai

Tuy nhiên, có thể nhận biết một cách nhanh chóng vị trí tương đối đó qua các tỉ số của

các hệ số aR1R, bR1R, cR1R và aR2R, bR2R, cR2R trong trường hợp aR1R, bR1R, cR1R hoặc aR2R,bR2R, cR2R đều khác 0.

[17,tr.89]

Chính vì vậy SGVHH10.NC có lưu ý:

2 + Kỹ thuật τ”P

PRvi_tri_tuong_doiR: so sánh tỉ số các hệ số của hai đường thẳng.

Đây chính là kỹ thuật mà thể chế đặc biệt ưu tiên cho KNV này. Đặc trưng của

kỹ thuật con này là các hệ số aR2R, bR2R và cR2R khác 0.

;

a 1 a

b c 1 1 ; b c 2 2

. Tính các tỉ số các hệ số tương ứng của hai đường thẳng:

. So sánh các tỉ số trên và kết luận:

thì ∆R1R và ∆R2R cắt nhau ;

a 1 a

b 1 b 2

≠ .. Nếu

≠

thì ∆R1R // ∆R2R ;

a 1 a

b 1 b 2

c 1 c 2

.. Nếu

thì ∆R1R ≡ ∆R2R .

a 1 a

b 1 b 2

c 1 c 2

.. Nếu

Trong trường hợp aR1R = 0 thì hai đường thẳng cùng phương với Ox (song song

hoặc trùng nhau) khi và chỉ khi aR2R = 0. Và trong trường hợp bR1R = 0 thì hai đường

thẳng cùng phương với Oy (song song hoặc trùng nhau) khi và chỉ khi bR2R = 0.

Minh họa cho kỹ thuật này, chúng tôi xin nêu ra một ví dụ trong HH10.NC

?7. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆R1R và ∆R2R trong mỗi trường hợp sau:

−

y− 3

y+ 3

= ; 0

a) ∆R1R: 2

+ = và ∆R2R: 0

b) ∆R1R: x – 3y + 2 = 0 và -2x + 6y + 3 = 0;

c) ∆R1R: 0,7x + 12y – 5 = 0 và ∆R2R: 1,4x + 24y – 10 = 0. [16,tr.79]

như sau:

− 3

≠ ⇒ ∆R1R và ∆R2R cắt nhau.

− 3

≠

⇒ ∆R1R và ∆R2R song song.

− 2

0, 7

− 5

⇒ ∆R1R và ∆R2 Rtrùng nhau.[17,tr.91]

−

1, 4

Và chúng tôi đã tìm thấy được lời giải mà SGVHH10.NC đưa ra như sau:

2 Công nghệ θ”P

(

)

 PRvi_tri_tuong_doiR: đường thẳng ∆R1R có vectơ pháp tuyến 1 n

a b ; 1 1

(

)

;

a b ; 2 2

 n 2

đường thẳng ∆R2R có vectơ pháp tuyến

 .. ∆R1R và ∆R2R cắt nhau ⇔ 1n

 2n

a 1 a

b 1 b 2

≠

và không cùng phương ⇔ ≠ ;

 .. ∆R1R // ∆R2R ⇔ 1n

 2n

a 1 a

b 1 b 2

c 1 c 2

và cùng phương và có giá khác nhau ⇔ ;

 .. ∆R1R ≡ ∆R2R ⇔ 1n

 2n

a 1 a

b 1 b 2

c 1 c 2

và cùng phương và có giá trùng nhau ⇔ .

2 Lý thuyết Θ”P

PRvi_tri_tuong_doiR: vị trí tương đối của hai đường thẳng cũng chính là

vị trí tương đối của hai vectơ pháp tuyến tương ứng.

2 đưa chúng về dạng phương trình tổng quát rồi áp dụng kỹ thuật τ”P PRvi_tri_tuong_doiR để

Nếu hai đường thẳng được cho dưới dạng phương trình tham số thì ta có thể

xét vị trí tương đối của chúng.

Ngoài hai kỹ thuật trên, chúng tôi nhận thấy còn một kỹ thuật khác gắn liền

với hệ số góc và tung độ gốc của đường thẳng. Đó là kỹ thuật τRvi_tri_tuong_doiR mà

chúng tôi đã trình bày trong mục 2.1. Tuy nhiên, kỹ thuật này không phải là kỹ

thuật được thể chế ưu tiên trong các bài tập thuộc KNV này.

 KNV T”Rviet_ptdtR: Viết (lập) phương trình đường thẳng.

Với một phương trình tổng quát đã biết, ta hoàn toàn có thể chỉ ra được một

điểm bất kì thuộc nó và một vectơ pháp tuyến của nó. Vì vectơ pháp tuyến và vectơ

a b ( ; )

 n

chỉ phương có giá vuông góc nhau nên nếu là một vectơ pháp tuyến của

− b a ( ;

)

 u

đường thẳng thì ta có thể chọn là một vectơ chỉ phương của đường

thẳng đó. Do vậy, ta có thể xem kỹ thuật viết phương trình tổng quát của đường

thẳng và kỹ thuật viết phương trình tham số của đường thẳng là “tương đương”

nhau.

Vả lại, nếu một bài toán không yêu cầu dạng phương trình cụ thể thì ta có thể

lựa chọn dạng phương trình thích hợp khi viết phương trình đường thẳng: “Bài toán

không đòi hỏi dạng phương trình đường thẳng, vì thế tùy trường hợp cụ thể, nên

chọn dạng thích hợp để có thể viết được ngay phương trình.”(SGV10.NC,tr.11).

Chính vì thế, chúng tôi phân ra thành các KNV sau:

1 + Nhiệm vụ T”P

PRviet_ptdtR: viết (lập) phương trình đường thẳng d đi qua điểm

M(xR0R;yR0R) và biết vectơ pháp tuyến (hay vectơ chỉ phương) của nó

1.1

a b ( ; )

 n

PRviet_ptdtR: biết vectơ pháp tuyến

Kỹ thuật τ”P

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(xR0R;yR0R) và có vectơ

a b ( ; )

 n

pháp tuyến là a(x – xR0R) + b(y – yR0R) = 0 ⇔ ax + by + (– axR0R – byR0R) = 0.

1.1

PRviet_ptdtR. Định nghĩa phương trình tổng quát của đường thẳng

Công nghệ θ”P

1.2

a b ( ; )

 n

PRviet_ptdtR: biết vectơ chỉ phương

Kỹ thuật τ”P

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(xR0R;yR0R) và có vectơ chỉ

là:

a b ( ; )

 n

x 0 y

  

phương

1.2

Công nghệ θ”P

PRviet_ptdtR. Định nghĩa phương trình tham số của đường thẳng. 2 + Nhiệm vụ T”P

PRviet_ptdtR: viết (lập) phương trình đường thẳng d đi qua điểm

M(x R0R;y R0R) và có hệ số góc k

2 Kỹ thuật τ”P

PRviet_ptdtR

 - Tọa độ vectơ chỉ phương u

;

của đường thẳng d có dạng (n;k.n), với n là số  u

k (1; )

thực khác 0. Chọn n = 1 khi đó vectơ chỉ phương của d là

- Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(xR0R;yR0R) và có vectơ chỉ

k (1; )

 u

k t .

x 0 y 0

  

phương là (t ∈  ).

2 Công nghệ θ”P

PRviet_ptdtR

- Khái niệm phương trình tham số của đường thẳng;

= , với (a;b) là tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng, a ≠ 0.

- Mối liên hệ giữa hệ số góc của đường thẳng với tọa độ vectơ chỉ phương của

2 Ngoài kỹ thuật τ”P

PRviet_ptdt Rnày ra, trong KNV này, đơn giản hơn, chúng ta có

đường thẳng

thể viết phương trình đường thẳng đó theo hệ số góc rồi đưa nó về dạng phương

2 Lí do mà chúng tôi đưa ra kỹ thuật τ”P

PRviet_ptdtR là nhằm chỉ ra rằng kỹ thuật

2 τ”P

PRviet_ptdtR này làm xuất hiện nghĩa 2 của hệ số góc của đường thẳng: hệ số góc của

trình đường thẳng tổng quát.

đường thẳng cho biết tọa độ vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) của đường

thẳng đó. Tuy nhiên, kỹ thuật này cũng hoàn toàn vắng mặt trong chương trình và

HH10.NC.

• Nhận xét

2 1 của đường thẳng. Có hai nhiệm vụ thuộc KNV T”Rviet_ptdtR là T”P PRviet_ptdt Rvà T”P

PRviet_ptdtR.

2 Trong đó, chỉ có kỹ thuật τ”P

PRviet_ptdtR làm xuất hiện nghĩa 2 của hệ số góc của đường

- Kiểu nhiệm vụ T”RgocR và T”Rvi_tri_tuong_doiR làm xuất hiện nghĩa 1 của hệ số góc

thẳng mà thôi.

Bảng 2.3. Bảng thống kê các KNV trong HH10.NC và BTHH10.NC

Số lần xuất hiện

Tổng

Tỉ lệ %

KNV

trong SGK

trong SBT

(VD+BT)

1 2%

T”Rgoc

6 12%

T”Rvi_tri_tuong_doi

1 T”P

20 40%

PRviet_ptdt

2 T”P

1 2%

T”Rviet_ptdt

PRviet_ptdt

Khác

8 16%

Khác

14 28%

Tổng

23

27

50 100%

Từ bảng thống kê (Bảng 2.3) cho ta thấy, các KNV làm xuất hiện nghĩa của hệ

số góc của đường thẳng trong chương trình và HH10.NC rất hạn chế, chỉ chiếm

14% trong tổng số các ví dụ, các hoạt động và bài tập. Trong đó, chỉ có duy nhất

một hoạt động thuộc KNV T”RgocR , chiếm tỉ lệ rất nhỏ 2% trong tổng số các ví dụ,

các hoạt và bài tập, trong khi đó KNV T”Rvi_tri_tuong_doiR chiếm tỉ lệ cao hơn 12%. Thế

2 Trong KNV T”Rviet_ptdtR thì nhiệm vụ T”P

PRviet_ptdtR không xuất hiện trong lý thuyết

nhưng, con số này vẫn cho thấy sự khiêm tốn của nó so với tổng thể chương trình.

và bài tập mà chỉ xuất hiện 1 bài tập duy nhất trong SBT, chiếm tỉ lệ rất nhỏ 2% so

với tổng các ví dụ, các hoạt động và bài tập trong chương trình và HH10.NC.

Như vậy, các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng xuất hiện trong lý thuyết

và bài tập thuộc chương trình Hình học lớp 10 nâng cao chỉ là: nghĩa 1 và nghĩa 2.

Tuy nhiên, cả hai nghĩa này đều xuất hiện hết sức mờ nhạt trong bài tập bởi điều

kiện làm cho các nghĩa đó xuất hiện không thuận lợi.

2.3. Kết luận chương 2

Hệ số góc của đường thẳng là một đối tượng toán học. Nó xuất hiện trong các

phân môn của toán học như Đại số - Giải tích và cả trong Hình học với nhiều nghĩa

khác nhau:

- Nghĩa 1: hệ số góc của một đường thẳng bằng tang của góc tạo bởi đường

thẳng đó với trục Ox.

- Nghĩa 2: hệ số góc của đường thẳng bằng tỉ số giữa tung độ và hoành độ

của một vectơ chỉ phương của phương trình đường thẳng đó (nếu đường thẳng đó

có hệ số góc).

- Nghĩa 3: hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) cho biết tính đơn

điệu của hàm số y = ax + b trên  . Ngoài ra, hệ số góc của tiếp tuyến với đường

cong xác định bởi hàm số y = f(x) tại các điểm x ∈ (a;b) cho biết tốc độ biến thiên

của hàm số ấy trên khoảng (a;b) (với (a;b) là một khoảng xác định của hàm số

y = f(x)).

- Nghĩa 4: Cho hàm số y = ax + b (a ≠ 0). Nếu x tăng thêm 1 đơn vị thì y tăng

thêm (nếu a > 0) hay y giảm đi (nếu a < 0) đúng a đơn vị.

Tuy vậy, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng xuất hiện chưa đầy đủ trong

chương trình dạy – học môn toán ở bậc phổ thông. Ở cấp THCS, các nghĩa của hệ

số góc của đường thẳng xuất hiện trong lý thuyết và bài tập là nghĩa 1 và nghĩa 3. Ở

cấp THPT, hệ số góc của đường thẳng chỉ xuất hiện trong lý thuyết với 02 nghĩa:

nghĩa 1 và nghĩa 2.

 Ở bậc THCS, nghĩa 1 và nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng được thể

chế tiếp cận một cách tường minh. Cả hai nghĩa 1 và nghĩa 3 của hệ số góc được thể

chế đặc biệt quan tâm qua hai KNV đặc trưng là TRtinh_bien_thienR và TRgocR.

- Với KNV TRtinh_bien_thienR, nghĩa 3 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

(a ≠ 0) được bộc lộ rõ nét trong cả lý thuyết và bài tập. Thế nhưng, trong đó thể chế

−

)

f x ( 1

đã hoàn toàn không quan tâm đến mối liên hệ giữa hệ số góc của đường thẳng và tỉ

−

f x ( 2 x 2

x 1

. số biến thiên của hàm số:

- Với KNV TRgocR, nghĩa 1 của hệ số góc của đường thẳng cũng được thể chế

trình bày một cách tường minh trong lý thuyết và bài tập. Tuy vậy, theo cách tiếp

cận của SGK9.T1, góc α tạo bởi đường thẳng với trục Ox lại luôn gắn liền với yếu

tố đồ thị hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) nên với KNV TRgocR, học sinh luôn vẽ đồ thị

của hàm số trước khi tính góc α mặc dù bài toán không yêu cầu vẽ đồ thị.

 Ở bậc THPT, mỗi đường thẳng luôn được biểu diễn bởi một phương trình

đại số. Hệ số góc của đường thẳng đặt trong mối liên hệ với vectơ pháp tuyến và

vectơ chỉ phương của đường thẳng. Nghĩa 1 và nghĩa 2 của hệ số góc của đường

thẳng được thể chế tiếp cận một cách tường minh trong lý thuyết. Dưới tác động của

những đặc trưng của phương pháp tọa độ – vectơ, nghĩa của hệ số góc của đường

2 T”Rviet_ptdtR. Đặc biệt, kỹ thuật τ”P

PRviet_ptdtR thuộc KNV T”Rviet_ptdt Rlàm xuất hiện nghĩa 2

thẳng bị che khuất bởi các tính toán đại số trong các KNV T”RgocR, T”Rvi_tri_tuong_doiR và

của hệ số góc của đường thẳng hoàn toàn vắng mặt trong các bài tập.

Qua phân tích thể chế chúng tôi đã nghi ngờ về sự tồn tại của một quy tắc

hành động (QTHĐ) liên quan đến hệ số góc của đường thẳng:

QTHĐ: để tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox, học

sinh luôn căn cứ vào đồ thị của nó mà không chú ý đến mối liên hệ giữa hệ số góc

và góc α tạo bởi đường thẳng với trục Ox qua công thức tanα = a.

Và như vậy, kết quả phân tích thể chế dạy học cho phép chúng tôi phát biểu

các giả thuyết nghiên cứu về mối quan hệ giữa học sinh với đối tượng hệ số góc của

đường thẳng trong mặt phẳng như sau:

Giả thuyết 1: Đứng trước nhiệm vụ tính góc tạo bởi đường thẳng có

phương trình y = ax + b (a ≠ 0) với trục Ox, học sinh không huy động được nghĩa 1

của hệ số góc (theo đó a = tanα, với α là góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox),

Giả thuyết 2: Nghĩa 4 của hệ số góc của đường thẳng chỉ được hình thành

nhưng họ sẽ sử dụng đồ thị và giải quyết bằng kỹ thuật hình học.

ở học sinh sau khi khái niệm tỉ số biến thiên của hàm số được học sinh tiếp cận. Do

đó,bằng cách lập bảng giá trị của hàm số y = ax + b ( a ≠ 0), học sinh sẽ xác định

được giá trị của hàm số y = ax + b ( a ≠ 0) khi x tăng thêm 1 đơn vị.

Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

3.1. Mục tiêu của chương

Ở đây, chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực nghiệm bằng việc xây dựng các

bài toán nhằm mục đích là kiểm chứng tính thích đáng của các giả thuyết: Giả

thuyết 1 và Giả thuyết 2 đã được đặt ra ở cuối chương 2.