Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu didactic về các phép toán trên mệnh đề ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Trang

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÁC

PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ Ở

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Trang

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ CÁC

PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ Ở

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán

Mã số: 64 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

3

Lời cảm ơn

Tôi xin dành những dòng đầu tiên để gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Trần

Lương Công Khanh. Thầy là người luôn tận tình hướng dẫn, cho tôi nhiều lời góp ý

quý báu, giúp đỡ tôi rất nhiều về mặt nghiên cứu khoa học trong suốt quá trình làm

luận văn.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến tập thể giảng viên Didactique toán

của trường Đại học Sư phạm TP.HCM, đặc biệt là PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS.

Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, PGS.TS Lê Văn Tiến, … và

xin chân thành cảm ơn PGS. TS Annie Bessot, TS. Alain Birebent. Quý thầy cô là

những người đã mang lại cho chúng tôi những tri thức quý báu và niềm say mê đối

với chuyên ngành Didactic toán.

Tôi xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm

TP.HCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập,

nghiên cứu và thực hiện luận văn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, quý thầy cô và các em học sinh

trường THPT Hoàng Hoa Thám – Khánh Hòa, trường THPT Phan Bội Châu –

Phan Thiết đã tạo điều kiện cho tôi trong nghiên cứu thực nghiệm.

Xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn học viên lớp cao học khóa 21 chuyên

ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán đã trải qua những ngày vui buồn

trong cả khóa học và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích thiết thực cho luận văn.

Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn những người thân yêu nhất trong gia đình

tôi đã động viên và tiếp sức tinh thần để tôi hoàn thành luận văn.

Tác giả

4

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

SGK: Sách giáo khoa

SGV: Sách giáo viên

SBT: Sách bài tập

THPT: Trung học phổ thông

HS: Học sinh

GV: Giáo viên

5

Mục lục

LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................3

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ..........................................................................4

MỤC LỤC ..................................................................................................................5

PHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................7

CHƯƠNG 1. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI CÁC PHÉP TOÁN TRÊN

MỆNH ĐỀ ................................................................................................................12

1.1 Mục đích của việc đưa các phép toán trên mệnh đề vào sách giáo khoa .....12

1.2 Các phép toán trên mệnh đề trong sách Đại số 10 nâng cao .........................14

1.2.1 Về phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương ..................................15

1.2.2 Về phép hội, phép tuyển ..............................................................................28

1.3 Sự liên hệ giữa logic và tập hợp trong sách Đại số 10 nâng cao ...................34

1.4 Vài kết luận ........................................................................................................36

CHƯƠNG 2. SỰ VẬN HÀNH CỦA CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ

TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ................................................................................39

2.1 Bài toán chứng minh bằng phản chứng ..........................................................40

2.2 Tính chẵn lẻ của hàm số ...................................................................................41

2.2.1 Một số ghi nhận ............................................................................................41

2.2.2 Tổ chức toán học liên quan đến chủ đề xét tính chẵn lẻ của hàm số trong

SGK .......................................................................................................................42

2.2.3 Đánh giá về sự lựa chọn sư phạm của tác giả SGK và những ảnh hưởng có

thể có đến đối tượng học sinh ................................................................................47

2.3 Phương trình ......................................................................................................50

2.4 Kết luận ..............................................................................................................51

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM .............................................................................53

3.1 Thăm dò ý kiến giáo viên ..................................................................................53

6

3.1.1 Phân tích a priori ...........................................................................................53

3.1.2 Phân tích a posteriori ....................................................................................57

3.2 Thực nghiệm đối với học sinh ..........................................................................61

3.2.1 Thực nghiệm thứ nhất ...................................................................................61

3.2.1.1 Phân tích a priori ........................................................................................61

3.2.1.2 Phân tích a posteriori .................................................................................63

3.2.2 Thực nghiệm thứ hai ......................................................................................65

3.2.2.1 Phân tích a priori ........................................................................................65

3.2.2.2 Phân tích a posteriori .................................................................................69

3.3 Kết luận thực nghiệm ........................................................................................74

KẾT LUẬN ..............................................................................................................76

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................78

PHỤ LỤC .................................................................................................................80

7

Phần mở đầu

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Logic toán là ngành toán học được hình thành vào nửa sau thế kỉ XIX. Logic

toán cùng với lý thuyết tập hợp đóng vai trò nền tảng trong việc xây dựng toán học

hiện đại. Các phép toán logic: phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo,

phép tương đương giữ một vai trò quan trọng trong sự cấu thành của logic toán. Tác

giả Hoàng Chúng đã nhận định: “Việc nắm vững các phép toán logic là rất cần thiết

để sử dụng chính xác ngôn ngữ trong toán học, để hiểu và trình bày chính xác các

định nghĩa, định lý và chứng minh toán học.” (Những yếu tố logic trong môn toán ở

trường phổ thông cấp II, trang 12).

Với tầm quan trọng ấy, “một số kí hiệu và ngôn ngữ của logic toán đã được đưa

vào chương trình toán ở trường phổ thông của nhiều nước, ngay từ các lớp dưới”

(Tài liệu đã dẫn, trang 3). Ở Việt Nam, một số phép toán logic được đưa vào giảng

dạy chính thức từ giai đoạn chỉnh lý hợp nhất năm 2000 đến nay.

Qua tìm hiểu chương trình và sách giáo khoa (SGK) toán phổ thông hiện hành,

chúng tôi chỉ thấy giới thiệu phép phủ định, phép kéo theo và phép tương đương các

mệnh đề, còn phép tuyển và phép hội không được đề cập đến (không đưa ra định

nghĩa và không đưa ra ký hiệu). Tuy nhiên, cấu trúc hội, tuyển các mệnh đề lại xuất

hiện trong nhiều định lý, nhiều định nghĩa các khái niệm như: định nghĩa ba phép

toán cơ bản của lý thuyết tập hợp, định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ, định nghĩa

điều kiện xác định của phương trình, bất phương trình, định nghĩa hệ phương trình,

hệ bất phương trình, định nghĩa quy tắc cộng, quy tắc nhân, phép thử ngẫu nhiên,

biến cố hợp, biến cố giao….

Trong thực tế dạy học, thỉnh thoảng chúng tôi cũng thường bắt gặp một số lỗi

sai liên quan đến việc vận dụng các phép toán logic khi giải toán. Chẳng hạn như:

- Khi biến đổi phương trình tích vẫn có học sinh viết x(x –1) = 0 ⇔ x = 0 và x = 1.

1

- Khi tìm điều kiện

2

 ≠ x  x ≠

x2 – 3x +2 ≠ 0 ⇔ (x – 1)(x – 2) ≠ 0 ⇔ .

8

Khi thử hỏi học sinh về việc phủ định mệnh đề “ A = 0 hoặc B = 0” thì học sinh tỏ

ra lúng túng, cho đáp án không chính xác.

- Nhiều học sinh cho rằng mệnh đề “1≤7” là sai vì 1 nhỏ hơn hẳn 7 chứ không bằng

7, điều này dẫn tới việc lúng túng khi giải một số bài toán (chẳng hạn như trong

việc kết luận tập nghiệm của phương trình, bất phương trình,…).

Những ghi nhận trên lôi cuốn chúng tôi chú ý đặc biệt đến việc dạy và học các

phép toán trên mệnh đề ở THPT và làm nảy sinh những câu hỏi ban đầu sau:

1/ Các tác giả viết sách giáo khoa xác định vai trò của các phép toán trên mệnh đề

trong dạy học toán phổ thông là gì?

2/ Các phép toán trên mệnh đề được đưa vào như thế nào, tiến triển ra sao ở THPT?

Có thể giải thích nguyên nhân của những sai lầm nêu trên từ sự lựa chọn sư phạm

của các tác giả viết SGK trong dạy học các phép toán trên mệnh đề hay không?

3/ Kiến thức về các phép toán trên mệnh đề trình bày trong SGK có đáp ứng được

yêu cầu của việc dạy học các nội dung tiếp theo trong chương trình của giáo viên và

học sinh hay không? Việc bỏ đi phép hội, phép tuyển có gây nên khập khiễng gì

trong chương trình hay không?

4/ Sự lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK và giáo viên khi dạy học các nội dung

có sự tham gia của phép hội, phép tuyển? Sự lựa chọn sư phạm này ảnh hưởng như

thế nào đến đối tượng học sinh?

Tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên sẽ rất có ý nghĩa đối với với việc dạy

học các yếu tố logic cơ bản trong môn toán ở trường phổ thông, nhất là trong bối

cảnh đổi mới chương trình và SGK như hiện nay. Hy vọng rằng việc giải đáp những

câu hỏi trên sẽ giúp người giáo viên có được một cái nhìn rõ nét hơn về các yếu tố

logic trong môn toán, đặc biệt là các phép toán trên mệnh đề ở trường trung học phổ

thông. Để từ đó có sự lựa chọn sư phạm hợp lý, nhằm đạt được hiệu quả giảng dạy

tốt nhất, cung cấp đầy đủ cho học sinh những công cụ quan trọng phục vụ cho việc

học tập, nghiên cứu toán trong tương lai.

2. Giới hạn đề tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu

Mục đích tổng quát của luận văn này là đi tìm một số yếu tố để trả lời cho các

câu hỏi đã đặt ra ở trên. Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình

9

trong phạm vi lý thuyết didactic toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng một số khái

niệm công cụ của lí thuyết nhân học sư phạm (tổ chức toán học, sự chuyển đổi

didactic, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức)

và lí thuyết tình huống (khái niệm hợp đồng didactic). Đối tượng tri thức O mà

chúng tôi đã chọn là các phép toán trên mệnh đề (phép phủ định, phép hội, phép

tuyển, phép kéo theo và phép tương đương). Thể chế I là thể chế dạy học toán ở

THPT theo chương trình Việt Nam hiện hành.

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, từ các câu hỏi đặt

ra ban đầu, chúng tôi trình bày các câu hỏi nghiên cứu cụ thể như sau:

CH1. Trong chương trình toán THPT hiện hành, các phép toán trên mệnh đề được

đưa vào như thế nào, nhằm mục đích gì và tiến triển ra sao?

CH2. Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với việc dạy học các phép toán

trên mệnh đề?

CH3. Các phép toán trên mệnh đề vận hành như thế nào trong một số nội dung

thuộc SGK Đại số lớp 10 nâng cao? Lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK và giáo

viên khi dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội, phép tuyển? Sự lựa

chọn này tác động như thế nào đến đối tượng học sinh?

3. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu gồm các bước như sau:

- Để trả lời cho các câu hỏi CH1, CH2 chúng tôi tìm hiểu sách giáo khoa, sách bài

tập, sách giáo viên đại số 10 nâng cao và một số tài liệu hướng dẫn giảng dạy liên

quan. Chúng tôi phân tích chương “Mệnh đề - Tập hợp” SGK Đại số lớp 10 nâng

cao, bởi vì đây là nơi mà các phép toán trên mệnh đề lần đầu tiên được giới thiệu

tường minh. Trong quá trình phân tích, chúng tôi sẽ dự đoán những giả thuyết,

những quy tắc hợp đồng liên quan đến đối tượng O, sau đó sẽ tiến hành thực

nghiệm để kiểm chứng hoặc bác bỏ chúng.

- Để tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi CH3, chúng tôi chọn phân tích một số nội

dung thuộc SGK Đại số 10 nâng cao, đồng thời tiến hành thực nghiệm thăm dò ý

kiến giáo viên bằng cách thiết kế bộ câu hỏi điều tra để biết lựa chọn sư phạm của

giáo viên trong dạy học các nội dung này. Ngoài ra, chúng tôi sẽ cố gắng dự đoán

10

những ảnh hưởng của sự lựa chọn sư phạm của SGK và giáo viên trong dạy học các

nội dung đã phân tích đến đối tượng học sinh.

- Đối tượng học sinh được lựa chọn để thực nghiệm là học sinh lớp 10 học chương

trình nâng cao.

4. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương.

+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý

thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận

văn.

+ Chương 1: Mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề

Nội dung của chương tập trung trả lời cho câu hỏi CH1, CH2. Chúng tôi sẽ làm rõ

mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề. Dựa vào những phân tích trên

dự đoán các quy tắc hợp đồng Didactic và các giả thuyết khác liên quan đến đối

tượng O.

+ Chương 2: Sự vận hành của các phép toán trên mệnh đề trong một số bài toán

Nội dung của chương tập trung trả lời cho nhóm câu hỏi CH3. Chúng tôi sẽ tiến

hành phân tích sự vận hành của các phép toán trên mệnh đề trong một số bài toán

(tập trung vào phép phủ định, phép tuyển, phép hội) để thấy được vai trò công cụ

của các phép toán trên mệnh đề. Sau đó chúng tôi sẽ tập trung phân tích chi tiết về

sự lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK trong dạy học các nội dung có sự tham

gia của phép hội, phép tuyển. Cuối cùng, dự đoán những ảnh hưởng của sự lựa chọn

sư phạm của các tác giả SGK đến đối tượng học sinh.

+ Chương 3: Thực nghiệm

Tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đã dự đoán và tìm các yếu tố

trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở chương 1 và chương 2. Thực nghiệm sẽ được

tiến hành trên cả hai đối tượng: giáo viên và học sinh. Thực nghiệm giáo viên được

tiến hành trước bằng bộ câu hỏi điều tra, thăm dò ý kiến với mục đích thấy được sự

lựa chọn sư phạm của giáo viên trong dạy học các phép toán trên mệnh đề và dạy

học một số nội dung liên quan đến các phép toán trên mệnh đề. Tiếp đến là thực

nghiệm trên đối tượng học sinh lớp 10 học chương trình nâng cao.

11

+ Trong phần kết luận chúng tôi sẽ tóm tắt lại những kết quả đã đạt được ở chương

1, chương 2, chương 3, nêu lên những hạn chế của luận văn và một số hướng

nghiên cứu mở ra cho luận văn.

12

Chương 1. Mối quan hệ thể chế đối với các phép toán

trên mệnh đề

Chương này nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các phép toán trên mệnh đề ở

trung học phổ thông để trả lời hai câu hỏi sau:

CH1. Trong chương trình toán THPT hiện hành, các phép toán trên mệnh đề được

đưa vào như thế nào, nhằm mục đích gì và tiến triển ra sao?

CH2. Những điều kiện và ràng buộc của thể chế đối với việc dạy học các phép toán

trên mệnh đề?

Chúng tôi chọn sách Đại số 10 nâng cao và sách Bài tập Đại số 10 nâng cao

hiện hành làm tư liệu phân tích chính vì hai lý do:

- Các phép toán trên mệnh đề được giới thiệu tường minh lần đầu tiên ở phân môn

đại số lớp 10.

- Sách Đại số 10 nâng cao trình bày các phép toán trên mệnh đề chi tiết hơn sách

Đại số 10. Do đó, quyển thứ nhất sẽ thể hiện rõ yêu cầu thể chế hơn quyển thứ hai.

Ngoài ra, khi cần thiết, chúng tôi sẽ tham khảo sách giáo viên, các tài liệu bồi

dưỡng giáo viên hoặc đối chiếu với sách giáo khoa các chương trình khác (chương

trình chuẩn, chương trình chỉnh lý chỉnh lý hợp nhất 2000) để làm rõ đặc thù của tri

thức cần dạy trong chương trình đang xét.

1.1 Mục đích của việc đưa các phép toán trên mệnh đề vào sách giáo

khoa

Phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo, phép tương đương trong

các giáo trình đại học có thể được gọi chung là phép toán logic, phép liên kết logic,

phép logic hay chỉ ngắn gọn là phép toán. Chúng có thể được thực hiện trên các

mệnh đề và trên các hàm mệnh đề. Vì sách Đại số 10 nâng cao xây dựng phép phủ

1 Sách Đại số 10 nâng cao không sử dụng thuật ngữ các phép toán trên mệnh đề nhưng có dùng thuật ngữ logic toán trong phần mở đầu chương I.

định, phép kéo theo, phép tương đương chỉ trên các mệnh đề nên chúng tôi quy ước gọi chung các phép toán này là các phép toán trên mệnh đề1.

13

Chương này sẽ cung cấp những kiến thức mở đầu về logic toán và tập hợp. Các khái niệm

và các phép toán về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp diễn đạt các nội dung toán học thêm rõ ràng,

chính xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong toán học.

Bởi vậy chương này có ý nghĩa quan trọng đối với việc học tập môn Toán.

Mở đầu chương 1-Mệnh đề và tập hợp, sách Đại số 10 nâng cao có viết:

Cũng như đa số các giáo trình đại học, cao đẳng, khi trình bày về logic toán,

Trong phần mở đầu chương 1- Cơ sở logic toán, giáo trình Đại số và số học, tập 2, tác giả Ngô

Thúc Lanh có viết: “Cách trình bày ở đây là sơ lược và phổ cập. Nó nhằm giới thiệu những

khái niệm cơ bản của logic toán làm nền cho sự suy luận và những kí hiệu logic thông dụng

trong các giáo trình toán học hiện đại.”

SGK xác định chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, ban đầu của logic toán mà thôi.

Đại số mệnh đề là bộ phận cơ bản và sơ cấp nhất của logic toán. Trong đại số mệnh

đề, nhờ các phép toán trên mệnh đề mà từ các mệnh đề đơn giản, ta có thể xây dựng

được những mệnh đề mới ngày càng phức tạp hơn, tạo thành các công thức của đại

số mệnh đề. Do đó có thể nói các mệnh đề đơn giản và các phép toán trên mệnh đề

là những nhân tố cơ bản, thiết yếu nhất cấu thành nên đại số mệnh đề. Đó là lý do

mà các phép toán trên mệnh đề xuất hiện trong các chương nói về cơ sở logic toán

thuộc các giáo trình đại học, và được lựa chọn đưa vào ngay bài 1, chương 1, sách

Đại số 10 nâng cao, chương trình toán phổ thông hiện hành.

Phần mở đầu trên còn cho thấy các tác giả SGK đánh giá cao vai trò của các

phép toán trên mệnh đề trong chương trình.

Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình sách giáo khoa lớp 10

trung học phổ thông (Toán học nâng cao) ở trang 45 nhấn mạnh thêm rằng “chương

này nhằm cung cấp cho học sinh công cụ quan trọng để suy luận và trình bày các

suy luận toán học”.

Sách giáo viên Đại số 10 ở trang 31 cũng nêu rõ mục tiêu: “Cung cấp các kiến

thức ban đầu về logic và các khái niệm số gần đúng, sai số tạo cơ sở để học sinh

học tập tốt các chương sau. Hình thành khả năng suy luận có lí, khả năng tiếp nhận,

biểu đạt các vấn đề một cách chính xác”.

Như vậy, với yêu cầu chỉ trình bày những kiến thức cơ bản, ban đầu của logic

toán, các phép toán trên mệnh đề được đưa vào sách giáo khoa cùng với các khái

14

niệm và các phép toán trên tập hợp nhằm trình bày chính xác và chặt chẽ các khái

niệm toán học, góp phần trang bị cho học sinh công cụ quan trọng để suy luận, trình

bày suy luận, giúp học sinh tiếp thu, biểu đạt các vấn đề một cách rõ ràng, chính

xác. Tất cả nhằm tạo cơ sở cho việc dạy - học các nội dung tiếp theo trong chương

trình.

Để thực hiện mục đích đã xác định, sách Đại số 10 nâng cao xây dựng các

phép toán trên mệnh đề như thế nào? Những điều kiện và ràng buộc nào tác động

lên việc dạy học các phép toán này?

1.2 Các phép toán trên mệnh đề trong sách Đại số 10 nâng cao

Tri thức cơ bản về logic toán và về tập hợp được SGK xác định cùng giữ chung

một vai trò, chức năng quan trọng trong chương trình. Do đó chúng được đưa vào

cùng một chương, và tri thức về logic được trình bày trước tập hợp. Điều này là hợp

lý vì nhìn từ góc độ tri thức bác học, logic và tập hợp có mối liên hệ với nhau.

Logic cùng với tập hợp làm cơ sở nền tảng cho toán học hiện đại, có sự tương ứng

một - một giữa một mệnh đề chứa biến xác định trên tập X với một tập con của tập

X. Do đó trong nhiều trường hợp, ngôn ngữ logic và ngôn ngữ tập hợp có thể

chuyển đổi cho nhau. Chẳng hạn, liên quan đến năm phép toán trên mệnh đề: mệnh

đề kéo theo tương ứng với quan hệ bao hàm giữa hai tập hợp, mệnh đề tương đương

tương ứng với quan hệ bằng nhau giữa hai tập hợp, mệnh đề hội tương ứng với kết

quả của phép giao hai tập hợp, mệnh đề tuyển tương ứng với kết quả của phép hợp

hai tập hợp.

SGK có thể hiện mối liên hệ này khi trình bày các phép toán trên mệnh đề và

tập hợp hay không? Chúng tôi sẽ trình bày chi tiết hơn về sự thể hiện mối liên hệ

này trong SGK ở tiểu mục 3.

Tuy cùng một yêu cầu chung khi trình bày về logic toán, nhưng khác với đa số

các giáo trình đại học, sách Đại số 10 nâng cao chỉ giới thiệu phép phủ định, phép

kéo theo và phép tương đương mà không đề cập đến phép hội và phép tuyển. Lý do

được tác giả SGK giải thích: “do hạn chế của chương trình” và “hơn nữa mục đích

cũng chỉ để học sinh làm quen với các dạng mệnh đề toán học thường gặp” (SGV

15

Đại số 10, trang 32). Ngoài ra, tác giả viết SGK chương trình chỉnh lý hợp nhất năm

2000 thì cho rằng mệnh đề phủ định, kéo theo, đương đương rất hay gặp trong các

suy luận toán học nên nhất thiết phải trình bày, còn các mệnh đề thuộc dạng hội và

tuyển do hơi phức tạp (đặc biệt là phép tuyển không loại trừ) nên không đưa vào

SGK (Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 10 chương trình chỉnh lý hợp nhất năm

2000). Việc bỏ đi hai trong năm phép toán thiết yếu cấu thành nên đại số mệnh đề

có gây nên khập khiễng gì trong chương trình toán phổ thông hay không?

1.2.1 Về phép phủ định, phép kéo theo, phép tương đương

Về phép kéo theo và phép tương đương trong sách Đại số 10 nâng cao, tác giả

Đỗ Tất Thắng đã có nghiên cứu chi tiết trong luận văn Nghiên cứu Didactic về phép

kéo theo và phép tương đương trong dạy và học toán ở THPT . Do đó, chúng tôi tập

trung phân tích chi tiết về sự xuất hiện của phép phủ định, những kết quả liên quan

đến phép kéo theo và phép tương đương sẽ được sử dụng khi cần.

Ba phép toán trên được đưa vào ngay bài đầu tiên §1. Mệnh đề và mệnh đề

chứa biến, của chương I – Mệnh đề và tập hợp. Sau khi giới thiệu khái niệm mệnh

đề logic (gọi tắt là mệnh đề), SGK đưa vào khái niệm mệnh đề phủ định, tiếp đến là

mệnh đề kéo theo, và sau đó là mệnh đề tương đương ở các trang 5, 6 như sau:

Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí

hiệu là

. Mệnh đề P và mệnh đề phủ định

là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu

sai, nếu P sai thì

đúng.

P đúng thì 𝑃 �

𝑃 �

CHÚ Ý:

𝑃 �

𝑃 �

Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề

P: “

là số hữu tỉ”. Khi đó, mệnh đề phủ định của P có thể phát biểu là

: “

không phải

là số hữu tỉ” hoặc

: “

là một số vô tỉ”

𝑃 �

√2

√2

∗ Định nghĩa mệnh đề phủ định: (SGK trang 5)

𝑃 �

√2

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí

hiệu là P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q sai khi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn

lại.

Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề P ⇒ Q là “P kéo theo Q”

hay “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”. . .

∗ Định nghĩa mệnh đề kéo theo: (SGK trang 5)

16

Ta thường gặp các tình huống sau:

- Cả hai mệnh đề P và Q đều đúng. Khi đó P ⇒ Q là mệnh đề đúng.

- Mệnh đề P đúng và mệnh đề Q sai. Khi đó P ⇒ Q là mệnh đề sai.

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề

∗ Định nghĩa mệnh đề tương đương: (SGK trang 6)

tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q.

Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề kéo theo P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng và sai

trong các trường hợp còn lại.

Đôi khi, người ta phát biểu mệnh đề P ⇔ Q là “P khi và chỉ khi Q”.

Mệnh đề P ⇔ Q đúng nếu cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Khi đó ta nói

rằng hai mệnh đề P và Q tương đương với nhau.

Về định nghĩa của phép kéo theo và phép tương đương, tác giả Đỗ Tất Thắng

“Các tên gọi phép kéo theo, phép tương đương không được đưa vào sách giáo khoa. Các khái

niệm phép kéo theo, phép tương đương không được định nghĩa như là các phép toán (hai ngôi) trên

tập hợp các mệnh đề, biến hai mệnh đề cho trước thành một mệnh đề thứ ba có chân trị thỏa mãn

những điều kiện nào đó. Thay vào đó, sách giáo khoa định nghĩa các khái niệm mệnh đề kéo theo,

mệnh đề tương đương mà bản chất toán học của chúng tương ứng là kết quả của phép kéo theo,

phép tương đương.

Bảng chân trị của hai loại mệnh đề này không được thể hiện rõ ràng trong định nghĩa. Chẳng

hạn, trường hợp mệnh đề kéo theo P ⇒ Q, sách giáo khoa chỉ ghi “Mệnh đề P ⇒ Q sai khi P đúng,

Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại”. Sau đó, sách giáo khoa tiếp tục nhấn mạnh chân trị

của P ⇒ Q trong hai trường hợp đặc biệt: P, Q đều đúng, P đúng và Q sai.” (trang 27, 28)

đã nhận định như sau:

Đối với phép phủ định, SGK cũng không nêu trực tiếp định nghĩa phép phủ

định mà giới thiệu thông qua định nghĩa mệnh đề phủ định. Tên gọi phép phủ định,

bảng chân trị cũng không hề xuất hiện trong SGK. Ngoài ra, trước khi đưa ra các

định nghĩa trên, SGK luôn cho HS tiếp cận các ví dụ về mệnh đề phủ định, mệnh đề

kéo theo, mệnh đề tương đương. Điều này là phù hợp với quan điểm biên soạn của

các tác giả “Quán triệt phương pháp trực quan, nhờ đó có thể giảm tính hàn lâm và

đơn giản hóa cách trình bày một số vấn đề phức tạp” ([13], trang 42).

Như vậy, SGK không định nghĩa khái niệm phép phủ định như là phép toán

một ngôi trên tập hợp các mệnh đề. Bù lại, SGK định nghĩa khái niệm mệnh đề phủ

17

định bằng cách đưa trực tiếp giá trị chân lý của mệnh đề phủ định vào ngay trong

định nghĩa và tránh đề cập đến thuật ngữ bảng chân trị. Sự lựa chọn này có tác

dụng đơn giản hóa trong chừng mực có thể được các nội dung cần dạy. Mặt khác,

sự vắng mặt (trong khối logos) của bảng chân trị sẽ dẫn đến sự vắng mặt (trong khối

praxis) của kiểu nhiệm vụ chứng minh sự tương đương lôgic của hai mệnh đề bằng

cách lập bảng chân trị.

Sau khi định nghĩa, SGK giới thiệu khái niệm mệnh đề chứa biến của lôgic vị

từ (trong logic toán còn gọi là hàm mệnh đề hay vị từ) thông qua ví dụ về hai kiểu

câu:

(1) “n chia hết cho 3”, với n là số tự nhiên.

(2) “y > x + 3, với x, y là hai số thực”.

Sách còn nêu cách biến một mệnh đề chứa biến thành mệnh đề là “cho các biến

những giá trị cụ thể trong tập X”, giúp học sinh hiểu rõ sự khác nhau cơ bản của

mệnh đề chứa biến và mệnh đề. Sau đó, SGK tiếp tục giới thiệu hai lượng từ quan

trọng ∀ và ∃ (đọc là “với mọi” và “tồn tại”) để biến mệnh đề chứa biến thành mệnh

đề. Nhưng trường hợp tổng quát: nhiều lượng từ tác động lên mệnh đề nhiều biến

không được trình bày, chỉ có trường hợp đơn giản nhất: một lượng từ tác động lên

mệnh đề một biến mà thôi. Cụ thể, sách chỉ trình bày mệnh đề dạng “∀x ∈ X, P (x)”

“Với mọi x thuộc X, P (x) đúng” (hay “P (x) đúng với mọi x ∈ X ”) (1)

là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu với x 0 bất kì thuộc X, P (x0) là mệnh đề đúng. Mệnh đề

này sai nếu có x 0 ∈ X sao cho P (x0) là mệnh đề sai.

“Tồn tại x thuộc X để P (x) đúng” (2)

là một mệnh đề. Mệnh đề này đúng nếu có x 0 ∈ X để P (x0) là mệnh đề đúng. Mệnh đề này sai

nào thuộc X để P

nếu với x 0 bất kì thuộc X , P (x0) là mệnh đề sai (nói cách khác là không có x 0

(x0) là mệnh đề đúng).

và “∃x ∈ X, P (x)” với tính đúng sai được nêu rõ ràng ở trang 7, 8:

Từ đó làm cở sở để giới thiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu

Cho mệnh đề chứa biến P (x) với x ∈ X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)”

là “∃ x ∈ X,

”.

������ 𝑃(𝑥)

∀, ∃ như sau:

18

Cho mệnh đề chứa biến P (x) với x ∈ X. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P (x)” là

“∀x ∈ X,

”.

������ 𝑃(𝑥)

Từ trên ta thấy rằng khi lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P (x)” và

“∃x ∈ X, P (x)” đã có sự xuất hiện ngầm ẩn phép phủ định trên mệnh đề chứa biến

mặc dù các phép toán trên các mệnh đề chứa biến không được giới thiệu trong

? SGK. Chúng tôi tự hỏi trong phần bài tập, kỹ thuật nào được đưa ra để lập

P (x) trong trường hợp này có đặc trưng gì? Chúng tôi sẽ tìm hiểu rõ trong phần ������ 𝑃(𝑥)

phân tích các tổ chức toán học.

Như vậy, trong phần bài học, thay vì đưa vào phép phủ định, phép kéo theo,

phép tương đương, sách Đại số 10 nâng cao nêu định nghĩa mệnh đề phủ định,

mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương thông qua việc xác định tính đúng sai của

chúng; còn khái niệm phép hội, phép tuyển cũng như mệnh đề hội, mệnh đề tuyển

hoàn toàn không xuất hiện. Bên cạnh đó, các khái niệm mệnh đề và mệnh đề chứa

biến, kí hiệu hai lượng từ ∀, ∃, mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀ và

∃ cũng được đưa vào. Các nội dung được trình bày giản lược thông qua những ví dụ

- Nắm được khái niệm mệnh đề, nhận biết một câu có phải là mệnh đề hay không.

- Nắm được khái niệm mệnh đề phủ định, kéo theo, tương đương.

- Biết khái niệm mệnh đề chứa biến.

( SGV Đại số 10 nâng cao, trang 36)

cụ thể, với yêu cầu về mặt kiến thức được các tác giả xác định là:

∗ Các tổ chức toán học liên quan đến phép phủ định

Trong phần này, chúng tôi chỉ xem xét các TCTH liên quan đến phép phủ định,

vì các TCTH liên quan đến phép kéo theo và tương đương đã được tác giả Đỗ Tất

Thắng khảo sát. Mục đích của phần này là hiểu rõ những ràng buộc của thể chế đối

với việc dạy học các phép toán trên mệnh đề, tìm ra những quy tắc hợp đồng liên

quan đến các phép toán trên mệnh đề (nếu có).

Ở trang 37, SGV Đại số 10 nâng cao có nêu yêu cầu về kỹ năng đối với học

sinh khi học mệnh đề và mệnh đề chứa biến như sau:

- Biết lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, mệnh đề kéo theo, tương đương từ

hai mệnh đề đã cho và xác định được tính đúng-sai của các mệnh đề này.

19

- Biết chuyển mệnh đề chứa biến thành mệnh đề bằng cách: hoặc gán cho biến

một giá trị cụ thể trên miền xác định của chúng, hoặc gán các kí hiệu ∀ và ∃

vào phía trước nó.

- Biết sử dụng các kí hiệu ∀ và ∃ trong các suy luận toán học.

- Biết cách lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃.

Chúng tôi sẽ xem xét những yêu cầu này được thể hiện qua những kiểu nhiệm

vụ nào liên quan đến mệnh đề phủ định, và sẽ phân tích các tổ chức toán học gắn

liền với các kiểu nhiệm vụ ấy ngay sau đây.

Các ví dụ, hoạt động, bài tập luyện tập và ôn tập cuối chương liên quan đến

mệnh đề phủ định trong SGK và SBT được phân loại thành 2 kiểu nhiệm vụ lớn:

 T1: Lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề

 T2: Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định

Đối với mỗi kiểu nhiệm vụ, chúng tôi sẽ chọn ra một số ví dụ, hoạt động, hoặc

bài tập để minh họa, đồng thời trích dẫn cả phần lời giải sẵn có của chúng từ SGK,

SBT, hoặc SGV để có thể xác định được các thành phần tương ứng của mỗi một tổ

chức toán học, để biết được những gì thể chế mong đợi ở học sinh.

 T1: Lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề

Có 3 kỹ thuật được sử dụng, tùy thuộc vào mệnh đề đã cho ban đầu:

 Kỹ thuật τ1a: (Mệnh đề cho trước được diễn đạt bằng câu thông thường,

không chứa “với mọi” lẫn “tồn tại”)

Thêm từ “không phải” (hoặc từ “không”) vào trước vị ngữ của mệnh đề P.

 Kỹ thuật τ1b: (Mệnh đề cho trước được diễn đạt bằng câu thông thường, có

chứa “với mọi” hoặc “tồn tại”)

Thay các từ “với mọi”, “mọi”, “tất cả” bằng một trong các từ: “tồn tại”, “có

một”, “có”, “có ít nhất một” hoặc ngược lại, thay các từ “tồn tại”, “có một”, “có”,

“có ít nhất một” bằng một trong các từ “với mọi”, “mọi”, “tất cả”. Sau đó, thêm từ

“không” (hoặc từ “không phải”) trước vị ngữ của câu giống như kĩ thuật τ1a.

 Kỹ thuật τ1c : (Mệnh đề cho trước có chứa ký hiệu ∀, ∃ và chứa biến)

20

Thay kí hiệu ∀ bằng kí hiệu ∃ (hoặc ngược lại, thay kí hiệu ∃ bằng kí hiệu ∀),

rồi phủ định mệnh đề chứa biến P(x) theo kỹ thuật τ1a để được mệnh đề phủ định

”, mệnh đề phủ định của “∃x ∈ X, P (x)” là của “∀x ∈ X, P (x)” là “∃x ∈ X,

. “∀x ∈ X, ������ 𝑃(𝑥)

Chú ý: Trong nhiều trường hợp, ta có thể thay thế một số từ bằng những từ ������ 𝑃(𝑥)

mang nghĩa tương đương với chúng, để được cách phát biểu khác, nhưng ý nghĩa

vẫn không thay đổi.

 Ví dụ minh họa cho T1:

Bài tập 13, SGK, trang 13:

Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) Tứ giác ABCD đã cho là hình chữ nhật.

b) 9801 là số chính phương.

Lời giải: (trích từ SGV, trang 49)

a) Tứ giác ABCD đã cho không phải là hình chữ nhật.

b) 9801 không phải là số chính phương.

Bài tập 2, SGK, trang 9:

Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau […] a) Phương trình x 2 – 3x + 2 = 0 có nghiệm. b) 2 10 – 1 chia hết cho 11.

c) Có vô số số nguyên tố.

Lời giải: (trích từ SGV, trang 40)

a) Phương trình x 2 – 3x + 2 = 0 vô nghiệm. b) 2 10 – 1 không chia hết cho 11.

c) Có hữu hạn số nguyên tố.

Ví dụ 10, SGK, trang 8:

𝑛

2

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Với mọi số tự nhiên n, là số

𝑛

2

không là số nguyên tố” nguyên tố” là “Tồn tại số tự nhiên n để 2 + 1

H7, SGK, trang 8: + 1 2

21

Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề “Tất cả các bạn trong lớp em đều có

máy tính”.

Lời giải: (SGV trang 39)

Mệnh đề phủ định là: “Có một bạn trong lớp em không có máy tính”.

Bài tập 5, SGK, trang 9

Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

a) “∀n ∈ N*, n 2 – 1 là bội của 3”; b) “∀ x ∈ R, x 2 – x + 1 > 0”; c) “∃x ∈ Q, x2 = 3”; d) “∃ n ∈ N, 2n +1 là số nguyên tố”; e) “∀ n ∈ N, n2 ≥ n + 2”.

Lời giải: (trích từ SGV, trang 40)

f) Mệnh đề phủ định là “∃n ∈ N*, n 2 – 1 không là bội của 3”; g) Mệnh đề phủ định là “∃ x ∈ R, x 2 – x + 1 ≤ 0”; h) Mệnh đề phủ định là “∀x ∈ Q, x2 ≠ 3”; i) Mệnh đề phủ định là “∀ n ∈ N, 2n +1 không là số nguyên tố”; j) Mệnh đề phủ định là “∃ n ∈ N, n2 < n + 2”.

 Công nghệ θ1: Định nghĩa mệnh đề phủ định của SGK, mệnh đề phủ định của

mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ của SGK.

 Lý thuyết: Logic học hình thức.

 Nhận xét:

- Có tất cả 41 câu thuộc kiểu nhiệm vụ T1, nhằm giúp học sinh thành thạo kỹ năng

lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề cho trước.

- Trong những câu trên, mệnh đề cho trước có những đặc trưng sau:

 Các mệnh đề hầu hết là những mệnh đề dạng hình học, hoặc số học, hoặc

những vấn đề thực tế trong cuộc sống, để giúp học sinh dễ hiểu, dễ nắm được

khái niệm mệnh đề phủ định. Ngoài ra, còn giúp học sinh thấy rằng phép phủ

định trong toán học phù hợp với phép phủ định thông thường trong cuộc sống.

22

 Tất cả các mệnh đề đều là mệnh đề đơn, nghĩa là chỉ yêu cầu lập mệnh đề phủ

định của những mệnh đề đơn giản, không yêu cầu lập mệnh đề phủ định của

mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương, cũng như những mệnh đề có cấu

trúc tuyển, hội. Có thể giải thích lý do là vì tri thức về phép hội và phép tuyển

không được giới thiệu trong phần bài học, nên mệnh đề phủ định của mệnh đề

hội, tuyển cũng không được tính đến trong phần bài tập. Ngoài ra, mệnh đề

phủ định của mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương cũng là những mệnh đề

có cấu trúc tuyển, hội nên cũng không xuất hiện.

 Trong những trường hợp xuất hiện mệnh đề chứa biến P(x), P(x) cũng chỉ là

những mệnh đề chứa biến dạng đơn, không phức hợp dạng tuyển, hội, kéo

theo, hay tương đương.

 Các mệnh đề cho trước có thể là mệnh đề đúng, hoặc là mệnh đề sai.

- Thống kê thấy kỹ thuật τ1c được sử dụng 20 lần trong trường hợp mệnh đề ban đầu

được cho bằng kí hiệu logic, kỹ thuật τ1b được sử dụng 7 lần trong trường hợp mệnh

đề ban đầu được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường. Chúng tôi còn tìm thấy

trong sách bài tập có xuất hiện bài tập như sau:

1.16. Cho mệnh đề chứa biến P(x): “x thích môn Ngữ văn”, trong đó x lấy giá trị trên tập hợp

X các học sinh của trường em.

a) Dùng kí hiệu logic để diễn tả mệnh đề: “Mọi học sinh của trường em đều thích môn

Ngữ văn”

b) Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề trên bằng kí hiệu logic rồi diễn đạt mệnh đề phủ

định đó bằng câu thông thường.

Như vậy là nếu đề bài không yêu cầu cụ thể, kỹ thuật τ1b được sử dụng khi mệnh đề ban đầu được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường, và kỹ thuật τ1c được sử dụng khi mệnh đề ban đầu cho bằng kí hiệu logic. Những ghi nhận trên cho phép chúng tôi rút ra sự ràng buộc của thể chế đối với việc lựa chọn hình thức biểu đạt mệnh đề phủ định trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ T1, được thể hiện qua hợp đồng thể chế như sau:

R1: Nếu mệnh đề cho trước được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường thì

mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường, nếu mệnh đề

23

cho trước bằng kí hiệu logic thì mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng kí hiệu

logic.

Những phân tích trên còn cho thấy rằng: mặc dù phép phủ định trên mệnh đề

chứa biến P(x) không được giới thiệu tường minh trong phần bài học, nhưng nó đã

tham gia vào kỹ thuật τ1b , τ1c để giải quyết kiểu nhiệm vụ T1. Với những đặc

, SGK mong muốn trưng của P(x) như vừa nêu trên, để lập mệnh đề chứa biến

học sinh sử dụng kỹ thuật τ1a (thêm “không phải” hoặc “không” vào trước vị ngữ) ������ 𝑃(𝑥)

như khi lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề. Câu hỏi mà chúng tôi đã đặt ra ở

phần phân tích bài học liên quan đến mệnh đề chứa biến được giải quyết.

Không những trong phần bài học, mà cả trong phần bài tập, sách Đại số 10

nâng cao chỉ cung cấp lớp bài toán lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đơn, và của

mệnh đề chứa lượng từ ∀, ∃ có dạng “∀x ∈ X, P (x)” và “∃ x ∈ X, P (x)”, không

có bài nào yêu cầu lập mệnh đề phủ định của mệnh đề hội, mệnh đề tuyển, mệnh đề

kéo theo, hay mệnh đề tương đương. Mệnh đề chứa biến P(x) xuất hiện trong những

câu trên cũng chỉ là những câu đơn, không phức hợp dạng tuyển, hội, kéo theo hay

tương đương. Với kỹ thuật là thêm “không phải” (hoặc “không”) vào trước vị ngữ

để được mệnh đề chứa biến mang ý nghĩa trái ngược với mệnh đề chứa biến

ban đầu. Quy tắc lập mệnh đề phủ định của mênh đề dạng tuyển, hội theo luật De ������ 𝑃(𝑥)

Morgan không được đề cập đến cả trong phần bài học và phần bài tập.

Sự ràng buộc này của thể chế hướng chúng tôi nghĩ đến giả thuyết về sự tồn tại

ở học sinh quy tắc hành động R2 như sau: luôn và chỉ thêm “không” hoặc

“không phải” vào trước vị ngữ khi lập mệnh đề phủ định. Phạm vi hợp thức của

quy tắc hành động này là những mệnh đề đơn. Trong tình huống cần phải lập mệnh

đề phủ định của những mệnh đề có dạng mệnh đề hội, mệnh đề tuyển, mệnh đề kéo

theo, mệnh đề tương đương, việc học sinh ứng xử theo quy tắc hành động này sẽ

dẫn đến những câu trả lời sai. Ngoài ra, việc ứng xử theo quy tắc hành động này còn

có thể dẫn đến quan niệm sai lầm của học sinh về tính đúng sai của mệnh đề “P và

Q” rất thường gặp trong toán học. Học sinh sẽ cho rằng mệnh đề “P và Q” sai khi

và chỉ khi P sai và Q sai.

24

Chúng tôi tự hỏi rằng trong thực tế dạy học, khi ra đề toán thuộc kiểu nhiệm vụ

lập mệnh đề phủ định của mệnh đề cho trước, giáo viên có tuân theo những ràng

buộc của thể chế hay không? Nghĩa là họ có cho những mệnh đề phức hợp dạng

tuyển, hội, kéo theo, tương đương hay chỉ cho những mệnh đề đơn?

Để trả lời cho câu hỏi này chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm ở chương 3.

 T2: Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định

 Ví dụ minh họa:

Hoạt động H1 a,b, SGK, trang 5:

Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ

định đó đúng hay sai.

a) Pa-ri là thủ đô của nước Anh.

b) 2002 chia hết cho 4.

Lời giải: (trích từ SGV, trang 38)

a) “Pa-ri không là thủ đô của nước Anh”. Mệnh đề phủ định đó đúng.

b) “2002 không chia hết cho 4”. Mệnh đề phủ định đó đúng.

Bài 1.43, SBT trang 13

Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀n ∈ N, n2+ n + 1 là số nguyên tố”

Mệnh đề phủ định đó đúng hay sai?

Lời giải: (trích từ SBT trang 23)

Mệnh đề phủ định là: “∃ n ∈ N, n2+ n+ 1 không là số nguyên tố”. Mệnh đề phủ định đó đúng. Ví dụ với n=4 thì n2 + n + 1 =21 chia hết cho 3

nên là hợp số.

 Kỹ thuật τ2a: “gián tiếp”

- Xét tính đúng sai của mệnh đề ban đầu:

Trường hợp mệnh đề là câu thông thường, không chứa lượng từ “với mọi” lẫn

“tồn tại”: nếu mệnh đề là câu khẳng định đúng (sai) thì kết luận mệnh đề đúng

(sai).

Trường hợp mệnh đề có chứa lượng từ “với mọi” hoặc “tồn tại”: Nếu với x0 bất

kì thuộc X, P(x0) là mệnh đề đúng thì mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” đúng. Nếu có x0 ∈

X sao cho P(x0) là mệnh đề sai thì mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” sai. Nếu có x0 ∈ X

25

sao cho P(x0) là mệnh đề đúng thì mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” đúng. Nếu với x0 bất

kì thuộc X , P(x0) là mệnh đề sai (nói cách khác là không có x0 nào thuộc X để

P(x0) là mệnh đề đúng) thì mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” sai.

: - Dựa vào tính đúng sai của mệnh đề P để kết luận tính đúng sai của mệnh đề

nếu P đúng thì sai, nếu P sai thì đúng. 𝑃�

 Kỹ thuật τ2b: “trực tiếp” 𝑃� 𝑃�

- Lập mệnh đề phủ định theo kỹ thuật τ1a, hoặc τ1b hoặc τ1c.

- Xét trực tiếp tính đúng sai của mệnh đề phủ định với hai trường hợp như đã nêu 𝑃�

trong kỹ thuật τ2a.

∀, ∃, mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ của SGK.

 Công nghệ: định nghĩa mệnh đề logic, mệnh đề phủ định, mệnh đề chứa kí hiệu

 Lý thuyết: Logic học hình thức.

 Nhận xét:

- Kiểu nhiệm vụ này luôn đi kèm với kiểu nhiệm vụ lập mệnh đề phủ định của

mệnh đề cho trước.

- Mệnh đề P và mệnh đề chứa biến P(x) trong những câu thuộc kiểu nhiệm vụ này

cũng có những đặc trưng như ở kiểu nhiệm vụ T1: mệnh đề đại số, hình học, những

vấn đề thực tế, mệnh đề đơn, không có mệnh đề phức hợp dạng tuyển, hội, kéo

theo, hay tương đương.

- Các mệnh đề cho trước có thể có chân trị đúng hoặc sai.

- Trong tất cả 9 câu thuộc kiểu nhiệm vụ này, chỉ có 1 câu duy nhất xuất hiện trong

sách bài tập thuộc trường hợp mệnh đề có chứa lượng từ “với mọi”, “tồn tại”, và kỹ

thuật được sử dụng là τ2b (xét trực tiếp tính đúng sai của mệnh đề phủ định). Có thể

lý giải nguyên nhân như sau: vì mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃

cũng là những mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃ nên việc xét tính đúng sai của những

mệnh đề phủ định này cũng dựa theo kỹ thuật xét tính đúng sai của mệnh đề có

chứa kí hiệu ∀, ∃. Kỹ năng này đã được SGK tính đến trong kiểu nhiệm vụ xét tính

đúng sai của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃. Có đến 16 câu yêu cầu xét tính đúng sai

của mệnh đề có chứa ∀, ∃. Ngay sau đây là trích dẫn bài tập minh họa cụ thể:

1.15. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề đó:

26

a) ∃ r ∈ Q, 4r2 – 1 = 0.

b) ∃ n ∈ N, n2 + 1 chia hết cho 8.

c) ∀ x ∈ R, x2 + x + 1 > 0.

d) ∀ n ∈ N*, 1+2+…+ n không chia hết cho 11.

Lời giải: (trích từ SBT trang 18)

thì 4r2 – 1 = 0. Mệnh đề phủ định là “∀r ∈ Q, 4r2 –1 ≠ 0”

a) Mệnh đề đúng vì với r = 1 2

b) Mệnh đề sai. Ta chứng tỏ mệnh đề phủ định “∀n ∈ R, n2 + 1 không chia hết cho 8” là đúng. Thật vậy, nếu n là số chẵn thì n2 +1 là số lẻ nên không chia hết cho 8, nếu n là số lẻ thì n = 2k + 1 (k ∈ N) thì n2 +1 = 4k(k + 1) +2 chia 8 dư 2 (vì k(k + 1) là số chẵn).

c) Mệnh đề đúng. Mệnh đề phủ định “∃ x ∈ R, x2 + x + 1 ≤ 0”

d) Mệnh đề sai. Ta chứng tỏ mệnh đề phủ định “∃ n ∈ N*, 1+2+…+ n chia hết cho 11” là đúng.

Thật vậy, với n = 11 thì 1 + 2 +….+ 11 = 66 chia hết cho 11.

Trong trích dẫn trên, ngoài cách xét trực tiếp chân trị của mệnh đề P, ở câu b và

d, SGK còn xét tính đúng sai của , sau đó suy ra chân trị của mệnh đề P. Có lẽ

SGK muốn nhấn mạnh mối liên hệ giữa chân trị của mệnh đề P và . Vì có thể coi

= P) nên có 𝑃� mệnh đề ban đầu là mệnh đề phủ định của mệnh đề phủ định của nó ( 𝑃�

thể nói kỹ thuật τ2a và τ2b có thể sử dụng cho kiểu nhiệm vụ xét tính đúng sai của 𝑃 �

một mệnh đề bất kì.

Định nghĩa tính đúng sai của mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃ của SGK cho thấy để

chứng minh mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” sai ta phải chỉ ra x0 ∈ X sao cho P(x0) là mệnh

” đề sai, điều này đồng nghĩa với việc chứng minh mệnh đề phủ định “∃ x ∈ X,

là đúng; để chứng minh mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” đúng, ta phải chứng tỏ với x0 bất kì ������ 𝑃(𝑥)

thuộc X, P(x0) là mệnh đề đúng, điều này đồng nghĩa với việc chứng tỏ mệnh đề

” sai. Như vậy là đối với mệnh đề có chứa lượng từ ∀, ∃, phủ định “∃ x ∈ X,

việc xét tính đúng sai của nó một cách trực tiếp (kỹ thuật τ2a) hay gián tiếp thông ������ 𝑃(𝑥)

qua mệnh đề phủ định (kỹ thuật τ2b) là như nhau.

- 8 câu còn lại thuộc trường hợp mệnh đề cho trước không chứa lượng từ “với mọi”

lẫn “tồn tại”. Tất cả các lời giải của các câu này đều không thể hiện rõ kỹ thuật xét

tính đúng sai của mệnh đề phủ định. Chúng tôi chỉ tìm thấy lời giải thích thêm sau

hoạt động H1 nêu trên ở trang 40 SGV như sau: “mục đích của hoạt động này là để

cho học sinh thực hành việc lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề và xét tính

27

đúng sai của mệnh đề phủ định bằng cách xét tính đúng sai của mệnh đề ban đầu.”

Theo lời giải thích này, có thể SGK muốn nhấn mạnh rằng tính đúng sai của mệnh

đề phủ định phụ thuộc vào tính đúng sai của mệnh đề ban đầu nên đã ưu tiên sử

dụng kỹ thuật τ2a hơn kỹ thuật τ2b.

Trong 8 câu này, chúng ta có thể sử dụng được cả hai kỹ thuật τ2a và τ2b để giải

quyết mà không gặp khó khăn gì.

Tuy nhiên chúng tôi cho rằng trong một bài toán cụ thể (thuộc trường hợp

τ2a, τ2b là không như nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề P: “2012 là một nghiệm của phương trình x2 – 123456x + 121456 = 0”. Việc kiểm chứng tính đúng, sai của P gặp

mệnh đề không chứa lượng từ “với mọi” lẫn “tồn tại”), độ tối ưu của hai kỹ thuật

trở ngại (ngay cả với máy tính bỏ túi lẫn bảng tính Excel) vì các hệ số của phương

trình bậc hai quá lớn, ngăn cản việc tính toán trực tiếp. Như vậy, kỹ thuật τ2a (dùng

tính đúng, sai của P để suy ra tính đúng sai của P ) bị phong tỏa. Nhưng, ta có thể

trực tiếp chỉ ra rằng mệnh đề P là đúng. Thật vậy, 20122 – 123456. 2012 là một số

chẵn, 121456 là một số lẻ. Vậy, 20122 – 123456. 2012 + 121456 ≠ 0, hay P : “2012 không phải là một nghiệm của phương trình x2 – 123456x + 121456 = 0” là mệnh đề

đúng.

Tồn tại những bài toán cụ thể mà tính hiệu quả của hai kỹ thuật này là không

như nhau. Vì SGK đã không tập trung xây dựng lớp những bài toán như thế nên có

thể thấy mục đích của SGK không phải là làm rõ độ tối ưu của từng kỹ thuật. Điều

này phù hợp với quan điểm biên soạn sách Đại số 10 nâng cao: “giảm nhẹ nhiều

yêu cầu về kiến thức, kỹ năng, hạn chế các ví dụ và bài tập phức tạp, đòi hỏi cao về

kĩ thuật nhỏ hay những mẹo mực” ([13] , trang 42). Ngay cả trong phần chuẩn kiến

thức, kĩ năng của phần Mệnh đề và mệnh đề chứa biến Chương trình giáo dục phổ

thông cấp trung học phổ thông trang 161 cũng chỉ yêu cầu “… Biết lấy ví dụ về

mệnh đề, mệnh đề phủ định của một mệnh đề cho trước, xác định tính đúng-sai của

một mệnh đề trong những trường hợp đơn giản…”. Theo chúng tôi, khi đứng trước

nhiệm vụ xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định, hay của một mệnh đề bất kỳ nói

chung, học sinh sẽ nghĩ đến kỹ thuật xét trực tiếp trước tiên. Điều này là hết sức tự

28

nhiên. Do đó, SGK muốn khắc sâu thêm kỹ thuật “gián tiếp” cho HS, đồng thời một

lần nữa nhấn mạnh đến sự phụ thuộc chân trị của P và mà thôi.

Ngoài ra còn có kiểu nhiệm vụ: cho trước mệnh đề chứa biến P(x) bằng câu

” bằng các 𝑃� ”, “∃x ∈ X, thông thường, phát biểu mệnh đề “∀x ∈ X,

câu thông thường. Chỉ có 2 câu thuộc kiểu nhiệm vụ này. Để giải quyết chúng, ������ 𝑷(𝒙) ������ 𝑷(𝒙)

cần phải phát biểu mệnh đề chứa biến theo kỹ thuật τ1a (thêm từ “không” hoặc

“không phải” vào trước vị ngữ của câu). Chính vì lý do này nên chúng tôi gộp luôn ������ 𝑃(𝑥)

kiểu nhiệm vụ này vào T1.

1.2.2 Về phép hội, phép tuyển

Tuy không xuất hiện trong phần bài học, nhưng phép hội và phép tuyển được

đề cập trong sách giáo viên và các tài liệu hướng dẫn giảng dạy với yêu cầu: “khi

cần ta sử dụng cách diễn đạt như ngôn ngữ thông thường. Đến các chương sau, khi

trình bày bài giải PT hay BPT, cũng có thể dùng một cách hạn chế kí hiệu “[” để

thay thế và giải thích một cách không đầy đủ là thay cho từ “hoặc”” ([13], trang

45).

Như vậy, sách giáo viên ngầm xác nhận sự can thiệp không thể tránh khỏi của

mệnh đề có cấu trúc tuyển, hội trong phần tiếp theo của chương trình và đã hướng

dẫn cách xử lý né tránh.

Chúng tôi tự hỏi:

- Phép tuyển xuất hiện ngầm ẩn trong chương trình là tuyển loại hay tuyển không

loại?

- Ngoài việc tránh sử dụng trực tiếp ngôn ngữ hội và tuyển, sách giáo viên còn

hướng dẫn giảng dạy những nội dung chịu tác động của hội và tuyển như thế

nào?

- Giáo viên sẽ triển khai nội dung giảng dạy đó ra sao?

- Học sinh sẽ gặp phải những chướng ngại nào khi làm việc với những dạng mệnh

đề trên?

Chúng tôi gọi sự xuất hiện của phép hội và phép tuyển là “ngầm ẩn” bởi vì SGK

không đưa chúng vào với vai trò là đối tượng nghiên cứu, khi chúng xuất hiện cũng

29

không đề cập đến chúng một cách trực tiếp mà né tránh, thể hiện chúng bằng những

cách khác.

Trong logic học, chân trị của mệnh đề hội, mệnh đề tuyển phụ thuộc vào chân trị

của các mệnh đề thành phần và chức năng của liên từ logic. Mệnh đề hội chỉ đúng

khi tất cả các mệnh đề thành phần đều có chân trị đúng và sai trong các trường hợp

còn lại. Căn cứ vào ý nghĩa của liên từ logic “hoặc”, người ta còn chia ra làm hai

loại phép tuyển: phép tuyển loại (kí hiệu ∨ ) và tuyển không loại (kí hiệu ∨). Trong

mệnh đề tuyển loại, từ “hoặc” mang nghĩa phân chia tuyệt đối về mặt giá trị chân lý

của các mệnh đề thành phần. Trong mệnh đề tuyển không loại, từ “hoặc” lại mang

nghĩa liên kết, nghĩa là giá trị chân lý của hai mệnh đề thành phần không bị loại trừ

bởi liên từ “hoặc”. (TS. Nguyễn Như Hải, Giáo trình logic học đại cương, trang 99,

100)

Cụ thể, sự khác nhau giữa phép tuyển loại (kí hiệu ∨ ) và tuyển không loại (kí hiệu

∨) thể hiện qua bảng chân trị như sau:

Q Đ S Đ S P ∨ Q Đ Đ Đ S P ∨ Q S Đ Đ S P Đ Đ S S

Trong ngôn ngữ thông thường của cuộc sống, cách nói “P hoặc Q” được dùng

để chỉ một trong hai loại phép tuyển trên, tùy tình huống cụ thể mà từ “hoặc” sẽ

được hiểu theo nghĩa phép tuyển loại hay không loại. Chỉ khi cần nhấn mạnh P

hoặc Q, nhưng không có cả P lẫn Q (phép tuyển loại) người ta sẽ nói: “hoặc P hoặc

Q”. Còn trường hợp P hoặc Q, hoặc cả P lẫn Q (phép tuyển không loại) người ta sẽ

nói: “P hoặc Q”.

Từ điển Tiếng Việt phổ thông giải thích nghĩa từ “hoặc” như sau: “ từ biểu thị

quan hệ giữa nhiều (thường là hai) khả năng khác nhau, không khả năng này thì khả

năng kia, ít nhất một khả năng được thực hiện” ([2], trang 399).

30

Trong các giáo trình logic toán, phép tuyển được định nghĩa phù hợp với liên từ

“hoặc” theo nghĩa không loại trừ. Nói cách khác mệnh đề tuyển ta xét trong toán

học là mệnh đề tuyển không loại.

Ngay sau đây, chúng tôi sẽ chỉ rõ một số trường hợp có sự xuất hiện ngầm ẩn

của phép tuyển, phép hội trong chương trình, để thấy rõ hơn những cách mà SGK

đã dùng để thay thế chúng và để biết phép tuyển xuất hiện ngầm ẩn là phép tuyển

loại hay tuyển không loại.

• Trường hợp hệ phương trình, hệ bất phương trình:

Một hệ phương trình hay hệ bất phương trình là hội của những hàm mệnh đề. Kí

y

=

hiệu “{” được sử dụng để thay thế cho phép hội hai mệnh đề chứa biến.

x

x − 1

• Hàm số xác định với điều kiện x ≥ 0 và x – 1 ≠ 0 .

Từ “và” ở đây thay cho phép hội, để chỉ đồng thời hai điều kiện mà biến x phải thỏa

mãn.

• Trường hợp các phép toán trên tập hợp:

SGK trang 19, 20 nêu định nghĩa phép hợp, phép giao, phép hiệu của hai tập hợp

như sau:

Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∪ B, là một tập hợp bao gồm tất cả

các phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

A ∪ B = { x | x ∈ A hoặc x ∈ B }

Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∩ B, là tập hợp bao gồm tất cả các

phần tử thuộc cả A và B.

A ∩ B = { x | x ∈ A và x ∈ B }

Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A \ B , là một tập hợp bao gồm tất cả

các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

A \ B = { x | x ∈ A và x ∉ B }

Trong trường hợp này, liên từ “và”, “hoặc” của ngôn ngữ thông thường được sử

dụng để thay thế cho phép hội, phép tuyển hai mệnh đề chứa biến “x ∈ A”, “x ∈ B”

31

(x ∉ B). Từ “hoặc” ở đây mang ý nghĩa tuyển không loại. SGK đã dùng cách vẽ

biểu đồ Ven để học sinh hiểu được đúng nghĩa của từ “hoặc”.

Trên biểu đồ Ven (h.1.2), phần gạch chéo biểu diễn hợp của hai tập hợp A và B.

Sơ đồ thể hiện rõ: tập A ∪ B bao gồm tất cả những phần tử hoặc thuộc tập A,

hoặc thuộc tập B, hoặc thuộc cả tập A và tập B.

• Trường hợp phương trình tích A.B = 0:

Chúng tôi thấy có các cách trình bày sau:

0

A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B = 0

0

 = A  B =

A.B = 0 ⇔

Một phương trình tích tương đương với tuyển hai phương trình (tuyển hai hàm

mệnh đề). Vậy là từ “hoặc” và kí hiệu “[” được sử dụng để thay thế cho phép tuyển.

Tuy nhiên SGV lưu ý tránh lạm dụng kí hiệu “[” vì dễ gây thêm những rắc rối

không cần thiết. Từ “hoặc” ở đây được hiểu theo nghĩa phép tuyển không loại (vì

A.B = 0 ngay cả khi A và B đều bằng 0). Tuy nhiên, trong một số phương trình tích

cụ thể, không thể xảy ra trường hợp cả hai nhân tử cùng bằng 0, ví dụ như: x(x – 1)

= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1. Lúc này từ “hoặc” lại mang nghĩa của phép tuyển loại. Tuy

nhiên SGK đã không sử dụng cách diễn đạt “hoặc x = 0 hoặc x = 1” để phân biệt với

phép tuyển không loại. Theo chúng tôi, chính vì không xảy ra khả năng cả hai mệnh

đề “x = 0” và “x = 1” đều đúng nên có thể nói trong trường hợp này, mệnh đề tuyển

loại với mệnh đề tuyển không loại là tương đương logic (có cùng giá trị chân lý).

Do đó, nếu ta hiểu “hoặc” theo nghĩa tuyển không loại cũng không ảnh hưởng gì

đến kết quả.

• Trường hợp bất phương trình “A ≥ 0”:

32

Kí hiệu “≥” được đọc là “lớn hơn hoặc bằng”, có nghĩa là bất phương trình “A ≥ 0”

tương đương với “A > 0 hoặc A = 0” (tuyển của hai hàm mệnh đề). Từ “hoặc” ở đây

mang nghĩa phép tuyển loại vì không thể xảy ra khả năng A vừa bằng 0 vừa lớn hơn

0 được. Tương tự như trường hợp vừa nêu trên, SGK cũng không sử dụng cách diễn

đạt “hoặc A > 0 hoặc A = 0” để phân biệt với phép tuyển không loại. Theo chúng

tôi, chính vì không xảy ra khả năng cả hai mệnh đề “A > 0” và “A = 0” đều đúng

nên có thể nói trong trường hợp này, mệnh đề tuyển loại với mệnh đề tuyển không

loại là tương đương logic (có cùng giá trị chân lý). Do đó, nếu ta hiểu theo nghĩa

tuyển không loại cũng không ảnh hưởng gì đến kết quả.

Ngoài những trường hợp điển hình nêu trên, phép hội, phép tuyển còn xuất hiện

ngầm ẩn rất nhiều trong toàn bộ chương trình, và thường được thể hiện bằng ngôn

ngữ tự nhiên qua hai liên từ “và”, “hoặc”, bằng hai kí hiệu “{”, “[”.

Theo phân tích ở trên, từ “hoặc” xuất hiện trong SGK có khi mang nghĩa của

phép tuyển loại, đôi khi lại mang nghĩa của phép tuyển không loại. SGK không hề

phân biệt rõ hai phép tuyển này. Chúng tôi nhận thấy: trong các trường hợp nêu

trên, nếu hiểu từ “hoặc” theo nghĩa tuyển không loại thì thực sự không gây nhầm

lẫn gì, không ảnh hưởng gì đến việc giải toán. Do đó, việc phân biệt rõ hai phép

tuyển này trong những trường hợp chúng xuất hiện trong chương trình sẽ gây rắc

rối thêm và thực sự là không cần thiết. Như vậy, chúng tôi cho rằng SGK mong

muốn học sinh hiểu từ “hoặc” theo nghĩa tuyển không loại.

Trong SGK, từ “và” không phải lúc nào cũng được dùng với ý nghĩa thay cho

phép hội, để chỉ những quan hệ sau đó đồng thời xảy ra, mà nó còn được dùng với ý

nghĩa liệt kê. Chẳng hạn trong các phát biểu như: “mệnh đề P và Q tương đương

với nhau”, “hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau”,…(ta không thể tách các

mệnh đề này thành hai mệnh đề đơn giản hơn nối với nhau bởi từ “và” ). Hay trong

trường hợp liệt kê nghiệm của phương trình bậc hai rất hay gặp trong giải toán:

phương trình x.(x – 1) = 0 có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.

Xét một ví dụ minh họa khác:

2

Ví dụ 4: (SGK trang 150) Giải bất phương trình > x – 3

Giải. Bất phương trình đã cho tương đương với − 4𝑥 √𝑥

33

x

3 0

x

2

x

x

x

x

−

>

−

4

(

3)

2 4 0 − ≥ − < 3 0

 − ≥   2 

   

≥

4

(I) hoặc (II)

x 0 hoaëc 3

 ≤ x  x <

3

Ta có (I) ⇔ ⇔ x ≤ 0.

x ⇔ >

9 2

3 >

9

 ≥ x  x 2 

 ≥ x   x > 

9 2

⇔ (II) ⇔ .

9 2

+∞

;

. Nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 0 và x >

9 2

  

  

. Tập nghiệm của bất phương trình là (-∞; 0] ∪

Trong minh họa này, từ “và” xuất hiện không mang nghĩa của phép hội, mà mang

nghĩa liệt kê hai trường hợp nghiệm của bất phương trình; hai từ “hoặc” xuất hiện

thay cho phép tuyển không loại, với chức năng liệt kê hai khả năng (hai trường hợp)

có thể xảy ra, khả năng này hoặc khả năng kia. Như vậy, trong trường hợp này, ta

có thể nói, từ “hoặc” tương đương với từ “và” theo nghĩa liệt kê khả năng.

Theo chúng tôi, cách sử dụng từ “và”, “hoặc” của SGK trong trường hợp này dễ

gây những thắc mắc, khó hiểu cho học sinh. Đây có thể là một trong những nguyên

nhân làm cho học sinh sử dụng nhầm lẫn hai liên từ logic “và”, “hoặc” trong giải

toán (ví dụ sai lầm của học sinh mà chúng tôi đã đưa ra ở phần lý do chọn đề tài:

khi biến đổi phương trình tích vẫn có học sinh viết x(x –1) = 0 ⇔ x = 0 và x = 1)

Kí hiệu “{” cũng tương tự, không phải lúc nào cũng được dùng để thay thế cho

phép hội, mà đôi khi nó còn được dùng với ý nghĩa liệt kê các trường hợp như

A

A

trong định nghĩa giá trị tuyệt đối:

≥ A

−

neáu A neáu

0 < 0

  

= .

|𝐴| Như vậy, SGK dùng từ “và”, kí hiệu “{” để thay thế cho phép hội, nhưng

không có sự tương ứng 1-1 giữa phép hội và hai cách thể hiện này. Về phép tuyển,

SGK dùng từ “hoặc”, đôi khi là kí hiệu “[” để thay thế. Tuy nhiên mỗi lần từ “và”,

“hoặc” (thay thế cho phép hội, phép tuyển) xuất hiện, SGK không giải thích gì

34

thêm, mà muốn học sinh tự hiểu theo nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên. Nghĩa là dùng

từ “và” để chỉ những quan hệ sau đó đồng thời xảy ra, từ “hoặc” để chỉ hai khả năng

khác nhau, khả năng này hoặc khả năng kia, ít nhất một khả năng xảy ra (tuyển

không loại). Chúng tôi tự hỏi học sinh có hiểu từ “hoặc” theo nghĩa mà SGK mong

đợi hay không?

SGK không đề cập đến chân trị của mệnh đề dạng “A hoặc B”. Tuy nhiên,

chúng tôi nhận thấy: chân trị của mệnh đề dạng “A hoặc B” đóng vai trò là thành

phần công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải một số bài toán. Chẳng hạn như trong

hai bài toán sau:

Bài toán 1: giải và biện luận bất phương trình sau:

(2m – 1) x ≥ 4m – 3

Giải: …….

1 2

1 2

BPT nghiệm đúng với thì BPT trở thành 0x ≥ – 1. Vậy với m = ... Nếu m =

mọi số thực x..…

Bài toán 2: Giải phương trình bằng cách biến đổi tương đương như

2

=

7 x 6 hoaëc

9

−

− =

7  ≤ x √𝑥 − 5 = 7 − 𝑥  x = x ) 5 (7 

 ≤ x  x 

⇔ sau: ⇔

√𝑥 − 5 = 7 − 𝑥 Đến đây ta so sánh với điều kiện x ≤ 7 để nhận x = 6 và loại x = 9.

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi thấy sự cần thiết phải điều tra để tìm câu trả

lời cho các câu hỏi: Trong khi SGK né tránh việc đề cập đến những tri thức liên

quan đến phép hội, phép tuyển như vậy, lúc gặp những bài toán trên, giáo viên có

dùng tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B” để giải thích cho kỹ thuật giải hay né

tránh, dùng một cách nào khác? Học sinh quan niệm như thế nào về tính đúng sai

của mệnh đề dạng “A hoặc B”?

1.3 Sự liên hệ giữa logic và tập hợp trong sách Đại số 10 nâng cao

Như đã nhắc đến ở phần trên, ở cấp độ tri thức bác học, giữa logic và tập hợp

có sự liên hệ với nhau thể hiện qua một số liên hệ cơ bản sau: có sự tương ứng một -

một giữa một mệnh đề chứa biến xác định trên tập X với một tập con của tập X. Do

35

đó trong nhiều trường hợp, ngôn ngữ logic và ngôn ngữ tập hợp có thể chuyển đổi

cho nhau.

Định nghĩa tập con, tập bằng nhau, phép giao, phép hợp, phép hiệu, phép lấy

phần bù của hai tập hợp được SGK Đại số 10 nâng cao trình bày như sau:

Tập A được gọi là tập con của tập B, kí hiệu là A ⊂ B nếu mọi phần từ của tập A

đều là phần tử của tập B.

A ⊂ B ⇔ ∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B

Tập A và B được gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B nếu mỗi phần tử của A là một

phần tử của B và mỗi phần tử của B cũng là một phần tử của A.

Từ định nghĩa này ta có:

A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A)⇔ ∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B

Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∪ B, là một tập hợp bao gồm tất cả các

phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

A ∪ B = { x | x ∈ A hoặc x ∈ B }

Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A ∩ B, là tập hợp bao gồm tất cả các phần

tử thuộc cả A và B.

A ∩ B = { x | x ∈ A và x ∈ B }

Cho A là tập con của E. Phần bù của A trong E, kí hiệu là CEA là tập hợp tất cả các

phần tử của E mà không phải là phần tử của A.

Hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A \ B , là một tập hợp bao gồm tất cả các

phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

A \ B = { x | x ∈ A và x ∉ B }

Như vậy, sách Đại số 10 nâng cao cũng đã phần nào thể hiện mối liên hệ giữa

logic và tập hợp. Cụ thể trong phần trình bày lý thuyết về một số khái niệm cơ bản

của tập hợp, SGK đã dùng các phép toán trên mệnh đề để định nghĩa các khái niệm

của tập hợp. Mệnh đề kéo theo tương ứng với quan hệ bao hàm giữa hai tập hợp,

mệnh đề tương đương tương ứng với quan hệ bằng nhau giữa hai tập hợp, mệnh đề

hội tương ứng với kết quả của phép giao hai tập hợp, mệnh đề tuyển tương ứng với

36

kết quả của phép hợp hai tập hợp, và mệnh đề phủ định tương ứng với phép lấy

phần bù.

Chính vì có sự tương ứng 1-1 trên mà trong nhiều trường hợp, ta có thể chuyển

đổi ngôn ngữ tập hợp và ngôn ngữ logic cho nhau, không những trong việc trình

bày lý thuyết và trong phần bài tập cũng vậy. Chẳng hạn, khi xét tính đúng sai của

mệnh đề ∀x∈ R, x ∈ (2,1; 5,4) ⇒ x ∈ (2;5), SGK đã không sử dụng tính đúng sai

của mệnh đề dạng ∀x∈ X, P(x)) ⇒ Q (x) mà ưu tiên chuyển sang ngôn ngữ tập hợp

tương ứng để giải quyết: vì (2,1; 5,4) ⊂ (2;5), nên mệnh đề trên là mệnh đề đúng.

(bài tập 29, SGK Đại số 10 nâng cao, trang 21)

Tóm lại, bằng việc trình bày mối liên hệ cơ bản trên, SGK đã cung cấp đủ tri

thức cần dạy cần thiết, làm cơ sở cho những sự chuyển đổi giữa ngôn ngữ logic và

ngôn ngữ tập hợp ở những nội dung tiếp theo trong chương trình.

1.4 Vài kết luận

Các phép toán trên mệnh đề được đưa vào giảng dạy tường minh lần đầu tiên ở

bài 1, chương 1, chương trình Đại số lớp 10 hiện hành. Phép phủ định, kéo theo,

tương đương không được giới thiệu tương ứng như là những phép toán một ngôi,

hai ngôi trên tập hợp các mệnh đề mà được giới thiệu thông qua mệnh đề phủ định,

mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương. Còn phép hội, phép tuyển thì được SGV

yêu cầu né tránh bằng cách dùng từ “và”, “hoặc” của ngôn ngữ thông thường, hoặc

dùng kí hiệu “{”, “[” thay thế khi cần. Không có sự tương ứng 1-1 giữa phép hội,

(phép tuyển) và hai cách thể hiện này. Thế nhưng SGK không giải thích gì thêm về

nghĩa của các liên từ “và”, “hoặc” mỗi khi chúng xuất hiện.

Các phép phủ định, phép hội, phép tuyển tuân theo các luật như luật giao hoán,

kết hợp, phân phối, quy tắc De Morgan… là cơ sở của nhiều phép chứng minh toán

học, nhưng cũng không được SGK giới thiệu.

Liên quan đến phép phủ định: có hai tổ chức toán học được xây dựng liên quan

đến hai kiểu nhiệm vụ: T1 (Lập mệnh đề phủ định) và T2 (Xét tính đúng sai của

mệnh đề phủ định).

37

Có thể nói kiểu nhiệm vụ T2 là rất quan trọng và rất thường gặp trong tương lai,

thế nhưng chỉ có tất cả 9 câu, và sách chỉ cung cấp những mệnh đề đơn, mệnh đề

phủ định, mệnh đề có chứa lượng từ ∀, ∃, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương.

Chúng tôi tự hỏi HS sẽ ứng xử thế nào khi gặp bài toán yêu cầu xác định tính đúng

sai của mệnh đề dạng “∀x ∈ X, P(x) ∧ Q(x)” trong tương lai?

Đối với kiểu nhiệm vụ T1, học sinh chỉ được làm quen với mệnh đề phủ định

của mệnh đề đơn và của mệnh đề có chứa lượng từ “với mọi”, “tồn tại” mà thôi. Cả

SGK và SBT đều không đặt ra nhiệm vụ lập mệnh đề phủ định của mệnh đề hội,

mệnh đề tuyển, mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương.

Những phân tích chi tiết ở cả phần bài học lẫn phần bài tập đã cho phép chúng

tôi phát biểu quy tắc hợp đồng thể chế R1: “Nếu mệnh đề cho trước được phát

biểu bằng ngôn ngữ thông thường thì mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng

ngôn ngữ thông thường, nếu mệnh đề cho trước bằng kí hiệu logic thì mệnh đề

phủ định cũng phát biểu bằng kí hiệu logic”.

Ngoài ra, chúng tôi còn dự đoán giả thuyết về sự tồn tại ở học sinh quy tắc hành

động R2: “luôn và chỉ thêm “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ khi lập

mệnh đề phủ định”. Chúng tôi sẽ cố gắng kiểm chứng sự tồn tại của các quy tắc

R1, R2 nêu trên bằng thực nghiệm ở chương 3.

Các phép toán trên mệnh đề không chỉ xuất hiện, tiến triển trong bài 1, chương

1, mà trong tương lai, chúng còn xuất hiện trong các định nghĩa khái niệm, trong

các định lý, và trong nhiều bài toán với tư cách là phương tiện để diễn đạt các mệnh

đề toán học, và là công cụ để suy luận, chứng minh (kể cả phép tuyển và phép hội,

dù cho hai phép toán này không được xuất hiện với vai trò là đối tượng nghiên cứu

trong SGK). Thật vậy, ngay ở bài 2. Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

Trong toán học, định lý là một mệnh đề đúng, nhiều định lý được phát biểu dưới dạng

“∀x ∈ X, P(x) ⇒ Q(x)”, (1)

trong đó P(x) và Q(x) là những mệnh đề chứa biến. X là một tập hợp nào đó.

cũng đã bước đầu thể hiện điều ấy. Cụ thể:

38

Chứng minh định lý dạng (1) là dùng suy luận và kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh

đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ rằng với mọi x thuộc X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng trên là

đúng. (SGK trang 10 )

Rõ ràng các phép toán trên mệnh đề là công cụ để phát biểu định lý, và dĩ nhiên

là một công cụ để suy luận, chứng minh định lý.

Với vai trò quan trọng như thế, tri thức liên quan đến các phép toán trên mệnh

đề mà các tác giả đưa vào SGK có đủ để đáp ứng cho yêu cầu của việc dạy và học

trong tương lai của giáo viên và học sinh hay không? Có đáp ứng đúng mục đích đã

đề ra ban đầu : “nhằm trình bày chính xác và chặt chẽ các khái niệm toán học, góp

phần trang bị cho học sinh công cụ quan trọng để suy luận, trình bày suy luận, giúp

học sinh tiếp thu, biểu đạt các vấn đề một cách rõ ràng, chính xác” hay không? Việc

bỏ đi phép hội và phép tuyển có gây khập khiễng gì trong chương trình hay không?

Chúng tôi sẽ cố gắng tìm kiếm các yếu tố để trả lời cho những câu hỏi này ngay

trong chương tiếp theo sau đây của luận văn.

39

Chương 2.

Sự vận hành của các phép toán trên mệnh đề trong một số

bài toán

Mục đích của chương này là tìm kiếm các yếu tố để trả lời cho các câu hỏi

nghiên cứu sau:

CH3: Các phép toán trên mệnh đề vận hành như thế nào trong một số nội dung

thuộc SGK Đại số lớp 10 nâng cao? Lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK và giáo

viên khi dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội, phép tuyển? Sự lựa

chọn này tác động như thế nào đến đối tượng học sinh?

Cụ thể, chúng tôi sẽ lựa chọn khảo sát một số nội dung tiếp theo trong chương

trình để thấy rõ hơn vai trò công cụ của các phép toán trên mệnh đề trong dạy học

toán phổ thông, với sự quan tâm đặc biệt đến phép phủ định, phép hội và phép

tuyển (vì những ràng buộc đặc biệt của thể chế đối với các phép toán này như đã

phân tích ở chương 1). Ngoài ra, chúng tôi sẽ cố gắng phân tích sự lựa chọn sư

phạm của tác giả SGK khi dạy học các nội dung có sự tham gia của phép tuyển,

phép hội, đồng thời dự đoán những ảnh hưởng của sự lựa chọn sư phạm này đến đối

tượng học sinh, dự đoán những sai lầm mà học sinh có thể mắc phải. Qua đó, chúng

tôi hy vọng sẽ đánh giá được phần nào sự ảnh hưởng của những điều kiện và ràng

buộc thể chế đối với các phép toán trên mệnh đề ở chương 1 đến việc dạy học các

nội dung khác trong chương trình.

Các phép toán trên mệnh đề tham gia trong rất nhiều nội dung dạy học với vai

trò công cụ. Vai trò công cụ của các phép toán trên mệnh đề thể hiện trong việc diễn

đạt các mệnh đề toán học (định nghĩa khái niệm, định lý,…), trong suy luận, chứng

minh, tìm kiếm và trình bày lời giải cho các bài toán.

Chúng tôi chọn ba nội dung thuộc SGK Đai số 10 nâng cao để phân tích và sẽ

phân tích theo thứ tự xuất hiện của chúng trong SGK. Trong đó, nội dung tính chẵn

lẻ của hàm số được phân tích chi tiết hơn hai nội dung kia về sự lựa chọn sư phạm

40

của các tác giả SGK, và những ảnh hưởng đến đối tượng học sinh (vì những ghi

nhận đặc biệt sẽ được trình bày trong mục 2.2).

2.1 Bài toán chứng minh bằng phản chứng

Phép chứng minh phản chứng được SGK giới thiệu ở bài §2. Áp dụng mệnh đề

vào suy luận toán học, ngay sau khi trình bày một số lý thuyết cơ bản của mệnh đề.

Để chứng minh mệnh đề dạng “∀x∈ X, P(x)⇒ Q(x)” đúng bằng phản chứng, ta giả

sử rằng mệnh đề này sai, nghĩa là tồn tại x0 thuộc X sao có P (x0) đúng và Q (x0)

sai. Sau đó dùng suy luận và những kiến thức toán học đã biết để đi đến mâu thuẫn

(Đại số 10 nâng cao, trang 10). Trong bài toán chứng minh bằng phản chứng, đôi

khi ta gặp trường hợp mệnh đề Q(x) dạng mệnh đề hội hay mệnh đề tuyển (dạng “A

và B”, “A hoặc B”, chẳng hạn như:

Hãy phát biểu và chứng minh định lý đảo của định lý sau (nếu có) rồi sử dụng thuật ngữ điều kiện

“cần và đủ” để phát biểu gộp cả hai định lý thuận và đảo: Nếu m, n là hai số nguyên và mỗi số đều chia hết cho 3 thì tổng m 2+ n 2 cũng chia hết cho 3.

Bài tập 1.24 SBT Đại số 10 nâng cao, trang 11:

Lời giải: Định lý đảo: “Nếu m, n là hai số nguyên dương và m 2+ n 2 chia hết cho 3 thì cả m

và n đều chia hết cho 3” Để chứng minh định lý này bằng phản chứng, ta phải giả sử: m 2+ n 2 chia hết cho

3, nhưng m hoặc n không chia hết cho 3, nghĩa là xảy ra hai trường hợp sau:

TH1: một số không chia hết cho 3, số kia chia hết cho 3 thì rõ ràng tổng bình

phương hai số đó không chia hết cho 3 (mâu thuẫn).

TH2: cả m và n đều không chia hết cho 3. Nếu m = 3k +1 hoặc m = 3k + 2 thì ta đều có m 2 = 9k2 + 6k +1 chia 3 dư 1, thành thử m 2 + n 2 chia 3 dư 2 (mâu thuẫn).

Định lý được chứng minh. Vậy: điều kiện cần và đủ để m 2+ n 2 chia hết cho 3 (m, n ∈ N* là cả m và n đều chia

hết cho 3.

Nhận xét: Trong tình huống này, nếu HS không hiểu đúng nghĩa từ “và”, không

biết lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “cả m và n đều chia hết cho 3” thì bài giải

41

sẽ thiếu chính xác, thiếu chặt chẽ. Chẳng hạn HS chỉ giả sử trường hợp “ m và n đều

không chia hết cho 3”.

Như vậy, quy tắc lập mệnh đề phủ định của mệnh đề phức hợp dạng tuyển, hội

là cần thiết cho việc lập luận, giải một số bài toán chứng minh phản chứng. Có thể

nói: tri thức cần dạy về các phép toán trên mệnh đề ở chương 1: Mệnh đề – tập hợp

không đủ đáp ứng yêu cầu giải toán trong tương lai của học sinh. Chúng tôi tự hỏi,

trong thực tế dạy học, GV có giới thiệu cho học sinh quy tắc lấy phủ định những

mệnh đề dạng hội, tuyển hay không?

2.2 Tính chẵn lẻ của hàm số

2.2.1 Một số ghi nhận

Tính chẵn, lẻ của hàm số là một trong những tính chất đặc biệt của hàm số,

giúp cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trở nên đơn giản và dễ dàng hơn. Trong

chương trình toán phổ thông Việt Nam hiện hành, khái niệm hàm số chẵn, hàm số

lẻ được giới thiệu lần đầu tiên ở lớp 10. Đến lớp 11, học sinh tiếp tục gặp lại kiểu

nhiệm vụ xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác. Lên lớp 12, học sinh vận dụng

tính chẵn, lẻ của hàm số để chứng minh đồ thị của hàm số bậc ba nhận điểm uốn là

tâm đối xứng, đồ thị hàm số trùng phương nhận Oy làm trục đối xứng,... Do đó, đây

là một nội dung khá quan trọng trong chương trình.

Sách Đại số 10 nâng cao trang 40 định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ như sau:

Cho hàm số y=f (x) với tập xác định D.

Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì - x ∈ D và f (– x )= f (x).

Hàm số y=f (x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu nếu ∀x ∈ D thì – x ∈ D

và f (–x) = – f (x).

Rõ ràng định nghĩa trên là những mệnh đề có cấu trúc hội dạng “∀x ∈ X, P(x) ∧

Q(x)”. Việc xét tính chẵn, lẻ của hàm số chính là việc xét tính đúng, sai của mệnh

đề “∀x ∈ X, P(x) ∧ Q(x)”. Do đó tri thức về mệnh đề “∀x ∈ X, P(x) ∧ Q(x)” chính

là cơ sở để lập luận, hay nói cách khác nó là một thành phần công nghệ giải thích

cho kỹ thuật giải quyết bài toán xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

42

Thuật toán để giải bài toán này có thể được sơ đồ hóa như sau:

f(–x)= f(x), ∀x∈ D Hàm số chẵn Tính f (– x) và Xác định ∀x∈D thì-x∈D

so sánh với f (x) TXĐ D Hàm số lẻ f(–x)=–f(x), ∀x∈ D

∃x0∈D, -x0∉D Hàm số không ∃x0∈D, f(–x0)≠ ±f (x0)

chẵn, không lẻ

Như vậy, ở nội dung này, chúng ta sẽ thấy được vai trò công cụ của các phép

toán trên mệnh đề trước tiên là tham gia vào định nghĩa khái niệm, sau đó là tham

gia vào suy luận tìm kiếm lời giải và trình bày lời giải.

Như đã trình bày ở chương 1, mệnh đề dạng hội không được giới thiệu, SGV

hướng dẫn né tránh sử dụng ngôn ngữ tuyển, hội khi cần và đồng thời kiểu nhiệm

vụ xét tính đúng sai của mệnh đề dạng hội, tuyển như định nghĩa trên cũng không

được đưa ra ở chương 1. Nên có thể coi bài toán xét tính chẵn lẻ của hàm số là bài

toán không tuân theo những ràng buộc của thể chế ở chương 1. Như vậy là học sinh

sẽ không biết dựa vào tính đúng sai của mệnh đề “∀x ∈ X, P(x) ∧ Q(x)” để lập luận

xét tính chẵn lẻ của hàm số. Hơn nữa, SGK chỉ đưa ra định nghĩa hàm số chẵn, hàm

số lẻ, mà không đưa ra định nghĩa thế nào là một hàm số không chẵn, không lẻ.

Chúng tôi tự hỏi: trong nội dung tính chẵn lẻ của hàm số, SGV có đưa ra chỉ

dẫn gì không? SGK đã xử lý như thế nào? Những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến

tính chẵn lẻ của hàm số được SGK đưa ra? Và những kỹ thuật, yếu tố công nghệ

tương ứng với các kiểu nhiệm vụ ấy?

Để trả lời cho những câu hỏi đó, chúng tôi sẽ phân tích tổ chức toán học liên

quan đến chủ đề xét tính chẵn lẻ của hàm số y=f (x).

2.2.2 Tổ chức toán học liên quan đến chủ đề xét tính chẵn lẻ của hàm số trong

SGK

Liên quan đến chủ đề xét tính chẵn lẻ của hàm số y=f (x) chúng tôi thấy có 3 kiểu

nhiệm vụ sau:

43

♦ T3: chứng minh hàm số cho trước là hàm số chẵn

τ3a : “đại số”

- Tìm tập xác định D.

- Chứng tỏ ∀x ∈ D thì - x ∈ D.

- Tính f (– x), chứng tỏ f (– x )= f (x), ∀x ∈ D.

- Kết luận hàm số chẵn.

Ví dụ minh họa cho (T3, τ3a): (H5, SGK trang 41)

Chứng minh rằng hàm số g(x) = ax2 (a ≠ 0) là hàm số chẵn.

Giải. Vì tập xác định của hàm số g(x) = ax2 (a ≠ 0) là R nên nếu x∈ R thì – x ∈ R;

mặt khác với mọi x∈ R ta có a(– x)2 = ax2. Vậy g(x) = ax2 là hàm số chẵn.

θ3: Định nghĩa hàm số chẵn của SGK.

τ3b : “đồ thị”

- Vẽ đồ thị hàm số (nếu đề bài không cho trước đồ thị).

- Quan sát đồ thị của hàm số, chỉ rõ đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

- Kết luận hàm số chẵn.

♦ T4: chứng minh hàm số cho trước là hàm số lẻ

τ4a: “đại số”

- Tìm tập xác định D.

- Chứng tỏ ∀x ∈ D thì - x ∈ D.

- Tính f (– x), chứng tỏ f (– x )= – f (x), ∀x ∈ D.

- Kết luận hàm số lẻ

Ví dụ minh họa cho (T4, τ4a): (ví dụ 5, SGK trang 40)

Chứng minh hàm số f (x )= là hàm số lẻ.

Giải. Tập xác định của hàm số là đoạn [-1; 1] nên dễ thấy √1 + 𝑥 − √1 − 𝑥

∀x, x ∈ [-1; 1]⇒ – x∈ [-1; 1] và

f (– x )= = – f (x).

Vậy f là hàm số lẻ √1 − 𝑥 − √1 + 𝑥 = −(√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥)

44

θ4a: Định nghĩa hàm số lẻ của SGK.

τ4b: “đồ thị”

- Vẽ đồ thị hàm số (nếu đề bài không cho trước đồ thị).

- Quan sát đồ thị của hàm số, chỉ rõ đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

- Kết luận hàm số lẻ.

♦ T5: kiểm tra hàm số cho trước là hàm số chẵn hay hàm số lẻ

τ5a : “đại số”

- Tìm TXĐ

- Chứng tỏ ∀x ∈ D thì - x ∈ D.

- Tính f (– x).

- So sánh f (– x) với f (x). Nếu f (– x )= f (x), ∀x ∈ D thì kết luận hàm số chẵn.

Nếu f (– x )= – f (x), ∀x ∈ D thì kết luận hàm số lẻ.

θ5a : định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ của SGK.

τ5b : “đồ thị”

Quan sát đồ thị của hàm số. Nếu đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng thì kết

luận hàm số chẵn. Nếu đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng thì kết luận hàm

số lẻ.

Ví dụ minh họa cho (T5, τ5b): (H6, SGK trang 42)

Cho hàm số f xác định trên khoảng (–∞; +∞) có đồ thị như trên hình 2.5. Hãy ghép

mỗi ý ở cột trái dưới đây với một ý ở cột phải để được một mệnh đề đúng.

2

y

O

-2 1) Hàm số f là 2) Hàm số f đồng biến 3)Hàm số f nghịch biến x a) Hàm số chẵn b) Hàm số lẻ c) trên khoảng (– ∞; 0) d) Trên khoảng (0; +∞) e) Trên khoảng (–∞; +∞)

Hình 2.5

Lời giải: (trích từ SGV trang 73)

Ta ghép được các cặp: (1, a), (2, c) và (3, d).

45

θ5b : Định lý về đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ.

τ5c : “dựa vào các hàm cấu thành”

Nếu hàm số cho trước là tổng của các hàm số chẵn (lẻ) thì kết luận hàm số chẵn

(lẻ).

Nếu hàm số cho trước là tích của hai hàm số chẵn (lẻ) thì kết luận hàm số chẵn.

Nếu hàm số cho trước là tích của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ thì kết luận

hàm số lẻ.

Ví dụ minh họa cho (T5, τ5c ): (bài 2.10 a, b, c SBT trang 31)

Xét tính chẵn - lẻ các hàm số sau:

a) y = 3x 4 + 3x 2 – 2 b) y = 2x 3 – 5x

c) y= x |x|

Lời giải: (trích từ SBT trang 41)

a) Hàm số chẵn (tổng của ba hàm số chẵn).

b) Hàm số lẻ (tổng của hai hàm số lẻ).

c) Hàm số lẻ (tích của hàm số lẻ y = x và hàm số chẵn y = |x| ).

θ5c : kết quả bài 2.9 SBT trang 31.

Thực ra còn có kiểu nhiệm vụ xét tính chẵn lẻ của hàm số (5 câu), nhưng vì các

hàm số đề cho luôn là những hàm số chẵn, hoặc hàm số lẻ nên chúng tôi đã ghép

chung chúng với kiểu nhiệm vụ T5: kiểm tra hàm số cho trước là hàm số chẵn hay

hàm số lẻ.

Có một bài tập khá đặc biệt nên chúng tôi trình bày riêng ngay sau đây:

Bài tập 14 phần luyện tập, SGK trang 47

Tập con S của tập số thực R gọi là đối xứng nếu với mọi x thuộc S, ta đều có – x

thuộc S. Em có nhận xét gì về tập xác định của một hàm số chẵn (lẻ)? Từ nhận xét

đó, em có kết luận gì về tính chẵn lẻ của hàm số y = ? Tại sao?

Lời giải: (trích từ SGV trang 77) √𝑥

46

Nếu một hàm số là chẵn hoặc lẻ thì tập xác định của nó là đối xứng. Tập xác định

của hàm số y = là [0; +∞) không phải là tập đối xứng nên hàm số này không

phải là hàm số chẵn, không phải là hàm số lẻ. √𝑥

Qua bài tập trên SGK muốn HS rút ra nhận xét về tập xác định của một hàm số

chẵn (lẻ): “Nếu một hàm số là chẵn hoặc lẻ thì tập xác định của nó là đối xứng”, nói

cách khác tập xác định đối xứng là điều kiện cần để một hàm số là hàm số chẵn

hoặc lẻ. Từ đó, cung cấp cho HS một kỹ thuật chứng minh một hàm số là không

chẵn, không lẻ là: chứng tỏ tập xác định không đối xứng (chúng tôi xếp vào loại kỹ

thuật “đại số”). Thế nhưng ngoài bài tập trên ra, không còn bài tập nào có tập xác

định không đối xứng để HS làm quen với kỹ thuật này.

Ngoài ra SGK còn cung cấp cho HS kỹ thuật “đồ thị” để chứng minh một hàm

số không chẵn, không lẻ thông qua ví dụ nêu sau định lý về đồ thị hàm số chẵn và

hàm số lẻ (SGK trang 41):

…có nhiều hàm số không chẵn và không lẻ. Chẳng hạn, hàm số y = x + 1 (hình

1

y 2.4.c) không chẵn và không lẻ.

O

-1

x

Nhưng kỹ thuật này cũng chỉ xuất hiện một lần duy nhất trong ví dụ trên mà

thôi.

Như vậy liên quan đến chủ đề xét tính chẵn lẻ của hàm số có tất cả 21 câu,

trong đó 1 ví dụ và một bài tập được chúng tôi xếp riêng, 19 câu còn lại phân loại

thành 3 kiểu nhiệm vụ T3, T4, T5. Để tiện cho việc theo dõi, chúng tôi phân loại,

thống kê số lượng các ví dụ, hoạt động, bài tập theo các kiểu nhiệm vụ và các kỹ

thuật tương ứng trong bảng sau:

47

Kỹ thuật Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Hoạt động BT trong SGK BT trong SBT Tổng số BT

1 4 5

T3 Chứng minh HS chẵn

1 3 4

T4 Chứng minh HS lẻ

4 2 6 τ3a (Đại số) τ3b (Đồ thị) τ4a (Đại số) τ4b (Đồ thị) τ5a (Đại số)

1 1 τ5b (Đồ thị)

T5 Kiểm tra HS chẵn hay lẻ

3 3

τ5c (Dựa vào các hàm cấu thành)

TỔNG CỘNG 1 2 4 12 19

2.2.3 Đánh giá về sự lựa chọn sư phạm của tác giả SGK và những ảnh hưởng

có thể có đến đối tượng học sinh

SGK chỉ đưa ra 3 kiểu nhiệm vụ: chứng minh hàm số chẵn, chứng minh hàm

số lẻ, kiểm tra hàm số cho trước là chẵn hay lẻ, mà không đặt ra kiểu nhiệm vụ

chứng minh hàm số không chẵn và không lẻ. Tất cả những hàm số xuất hiện

trong 19 câu thuộc 3 kiểu nhiệm vụ trên đều có đặc trưng là những hàm số chẵn

hoặc hàm số lẻ, nghĩa là mệnh đề “∀x ∈ X, P(x) ∧ Q(x)” luôn có chân trị đúng. Chỉ

có hai trường hợp hàm số không chẵn, không lẻ xuất hiện ở bài tập 14 và ở ví dụ đã

nêu riêng ở trên. Trong hai trường hợp này SGK đã cung cấp 2 kỹ thuật chứng minh

một hàm số không chẵn, không lẻ, nhưng không cho thêm bài nào để cho học sinh

luyện tập. Theo chúng tôi việc các tác giả viết SGK đưa vào quá ít hàm số không

chẵn, không lẻ trong những bài toán xét tính chẵn lẻ của một hàm số là chưa hợp lý

vì dễ làm HS nhầm tưởng rằng một hàm số chỉ có thể là hàm số chẵn hoặc hàm số

lẻ.

48

Tập xác định đa số là các tập hợp có tính đối xứng (20/21 câu). Ràng buộc này

có thể sẽ làm cho học sinh ít quan tâm đến tính đối xứng của tập xác định khi xét

tính chẵn lẻ của một hàm số bất kỳ.

Có ba nhóm kỹ thuật được đưa ra: “đại số”, “đồ thị”, “dựa vào các hàm cấu

thành”. Trong đó, kỹ thuật “đại số” chiếm ưu thế với 16/21 câu, kỹ thuật “dựa vào

các hàm cấu thành” xuất hiện 3 lần trong SBT, kỹ thuật “đồ thị” chỉ xuất hiện 2 lần

trong một ví dụ, một hoạt động rồi mất hẳn trong tương lai. Điều đó cho thấy kỹ

thuật “đồ thị” không được ưu tiên. Công nghệ cho kỹ thuật “đồ thị” không được

SGK đưa ra đầy đủ. Cụ thể, SGK chỉ đưa ra định lý điều kiện cần: “Đồ thị của hàm

số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm

tâm đối xứng.”. Định lý này chỉ có thể làm công nghệ giải thích cho kỹ thuật chứng

minh hàm số không chẵn, không lẻ mà thôi.

Chúng tôi quan tâm đặc biệt tới nhóm kỹ thuật “đại số” vì nó liên quan đến tri thức

về tính đúng sai của mệnh đề có cấu trúc hội, có chứa lượng từ ∀. Trong một bài tập

duy nhất mà tập xác định của hàm số không đối xứng, SGK cung cấp kỹ thuật

chứng minh hàm số không chẵn không lẻ bằng cách chứng tỏ tập xác định không

đối xứng, nhưng cũng không nói rõ phải chỉ ra một giá trị x0 ∈ D mà - x0 ∉ D. Còn

một kỹ thuật chứng minh hàm số không chẵn, không lẻ nữa nhưng SGK không đề

cập đến là: chỉ ra một giá trị x0 ∈ D mà f (–x0) ≠ ± f (x0). Hay nói cách khác, ở nội

dung này SGK không đưa ra các hàm số có tính chất: tập xác định đối xứng, nhưng

tồn tại x0 ∈ D mà f (–x0) ≠ ± f (x0). Sự né tránh này theo chúng tôi là không hợp lý

vì ở SGK Đại số và giải tích 11 nâng cao, chúng tôi thấy có xuất hiện bài toán xét

tính chẵn lẻ của hàm số có tính chất trên: y = 3sinx – 2 ; y = sinx – cosx (bài tập 2b,

2c trang 14).

Theo chúng tôi, việc học sinh không được làm quen với mệnh đề dạng “∀x ∈

X, P(x) ∧ Q(x)” khi học về mệnh đề ở chương 1 sẽ dẫn đến khó khăn trước tiên là

trong việc tiếp thu khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ. Nếu không ý thức được nghĩa

logic của liên từ “và” (chỉ các quan hệ đồng thời xảy ra – phép hội) trong định

nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ, thì học sinh khó nắm vững hai tính chất đặc trưng

49

của khái niệm hàm số chẵn (hàm số lẻ) là: tập xác định D đối xứng đồng thời

f (–x)= f (x), với mọi x∈ D (f (–x)= – f (x), với mọi x∈ D ).

Thêm vào đó, chúng tôi không tìm thấy một hướng dẫn thêm nào ở SGV cũng

như các tài liệu hướng dẫn giảng dạy liên quan về việc xử lý né tránh phép tuyển,

phép hội khi dạy học nội dung này. Phân tích sự lựa chọn sư phạm của các tác giả

viết SGK đã cho thấy cách trình bày của SGK không liên hệ đến tri thức về tính

đúng sai của mệnh đề có chứa lượng từ ∀, cũng như sự tham gia của phép hội hai

mệnh đề (cả phần lý thuyết và phần bài tập). Như vậy sẽ khiến học sinh không hề

∧ Q(x)”, chứng minh một hàm số không chẵn không lẻ là chứng tỏ mệnh đề “∀x ∈

biết rằng xét tính chẵn lẻ của hàm số là xét tính đúng sai của mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)

∨ ” là X, P(x) ∧ Q(x)” sai, hay chứng minh mệnh đề phủ định “∃x ∈ X,

đúng, nghĩa là ta phải chỉ ra một giá trị x0 ∈ D mà - x0 ∉ D hoặc chỉ ra một giá trị ������ 𝑃(𝑥) ������� 𝑄(𝑥)

x0 ∈ D mà f (–x0)≠ ± f (x0). Chúng tôi cho rằng việc không nắm vững cơ sở của kỹ

thuật sẽ làm học sinh lúng túng khi gặp trường hợp hàm số không chẵn, không lẻ và

có thể sẽ dễ dẫn đến một số sai lầm khi giải toán.

Từ những phân tích trên, chúng tôi dự đoán một số sai lầm mà học sinh có thể

mắc phải khi giải bài toán xét tính chẵn lẻ của hàm số như sau:

1/ Học sinh ít quan tâm đến việc kiểm tra tính đối xứng của tập xác định. Biểu hiện:

không kiểm tra cả hai điều kiện mà chỉ tính f (–x) rồi so sánh với f (x), sau đó kết

luận; đôi khi ghi một cách hình thức “∀x ∈ D thì –x ∈ D” dù cho tập xác định là

không đối xứng.

2/ Học sinh sau khi đã chỉ rõ tập xác định không đối xứng có thể sẽ vẫn tiếp tục tìm

cách chứng minh vi phạm điều kiện thứ hai, dẫn đến bài làm thừa. (sai lầm này,

theo chúng tôi có thể một phần là do quan niệm sai lầm của học sinh về tính đúng

sai của mệnh đề “P và Q” mà chúng tôi đã dự đoán qua phân tích chương 1, học

sinh sẽ cho rằng mệnh đề “P và Q” sai khi và chỉ khi P sai và Q sai)

3/ Học sinh không biết vận dụng cách xét tính đúng sai của mệnh đề có chứa lượng

từ “∀” nên sẽ vi phạm một số lỗi như: khi gặp trường hợp hàm số có tính chất: tập

xác định không đối xứng hoặc có giá trị x0 ∈ D mà f (–x0) ≠ ± f (x0) (không chẵn

50

không lẻ), học sinh không biết chỉ rõ giá trị x0 ∈ D vi phạm một trong hai điều kiện,

mà viết một cách hình thức “∀x ∈ D thì –x ∉ D” hoặc sẽ viết “∀x ∈ D , f (–x) ≠ ± f

0; +∞ . Cách viết “∀x ∈ D , f (–x) ≠ ± f (x)” không phải bao giờ cũng đúng.

)

(x). Cách viết “∀x ∈ D thì –x ∉ D” chỉ đúng trong trường hợp: tập D là tập con thực

2

−

≠ ±

+

f

(

x

)

f x ( )

( ) = f x

x

sự của [

x thì

=

−

0

f x ( )

x

1

x ≠ ; hay có những trường hợp f (–x) không xác định như

Chẳng hạn như trường hợp hàm số chỉ với những

.

2.3 Phương trình

Phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán ở nhà

trường phổ thông. Việc giải phương trình đã được đưa vào dạy học ngay từ bậc tiểu

học (ở dạng ngầm ẩn). Khái niệm phương trình được chính thức định nghĩa ở lớp 8

và được định nghĩa lại ở lớp 10. Tác giả Đỗ Tất Thắng trong luận văn Thạc sĩ của

mình đã phân tích sự vận hành của phép kéo theo và phép tương đương trong nội

dung giải phương trình ở lớp 10. Phân tích đã cho thấy mệnh đề chứa biến là một

công cụ dùng để định nghĩa phương trình, và giải phương trình thực chất là một dãy

biến đổi hữu hạn phép kéo theo và phép tương đương các mệnh đề chứa biến. Tuy

nhiên SGK đã né tránh logic mệnh đề bằng cách không tạo điều kiện cho HS sử

dụng khái niệm phép kéo theo, phép tương đương trong mệnh đề chứa biến mà ưu

tiên, tạo điều kiện cho HS sử dụng định nghĩa hai phương trình tương đương,

phương trình hệ quả, và định lý 1, định lý 2 của SGK về một số phép biến đổi tương

đương, một số phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả để giải quyết. Cụ thể, để

xét xem các khẳng định: f1(x) = g1(x) ⇒ f(x) = g(x), f1(x) = g1(x) ⇔ f2 (x) = g2 (x)

là đúng hay sai, SGK đã hướng HS kiểm tra, so sánh hai tập nghiệm S1, S2 của hai

phương trình.

Ở nội dung này, ngoài sự tham gia của phép kéo theo, phép tương đương,

chúng tôi còn thấy có sự tham gia của phép hội, phép tuyển.

Thật vậy, điều kiện xác định của phương trình f(x) = g(x) được SGK trình bày

như sau: “điều kiện của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f(x) và

g(x) cùng được xác định và các điều kiện khác của ẩn (nếu có yêu cầu)”. Nghiệm

51

của phương trình là giá trị của biến phải thỏa mãn đồng thời các điều kiện xác định

của phương trình và làm cho mệnh đề f(x) = g(x) đúng. Đây chính là phép hội của

các mệnh đề chứa biến. Việc giải phương trình chính là đi tìm miền đúng của mệnh

đề hội của các mệnh đề chứa biến trên.

Ngoài ra, chúng tôi còn thấy có nhiều phương trình đưa đến khái niệm tuyển

hai phương trình như: phương trình tích, phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt

đối… Tuy nhiên SGV lưu ý: “vì lí do sư phạm, SGK đã không đưa vào khái niệm

tuyển phương trình. Khi gặp trường hợp cần đến khái niệm tuyển phương trình,

SGK dùng từ “hoặc” để thay thế”, đôi khi cũng sử dụng kí hiệu “[” nhưng SGV lưu

ý “tránh lạm dụng dễ gây thêm những rắc rối không cần thiết”. Việc SGK không

đưa khái niệm tuyển phương trình cũng không gây trở ngại gì nhiều, miễn là học

sinh hiểu được cách tìm tập nghiệm của phương trình ban đầu sau khi đã giải xong

từng phương trình trong tuyển. (lấy hợp hai tập nghiệm của hai phương trình trong

tuyển).

2.4 Kết luận

Phân tích trên đã cho thấy: một số tri thức liên quan đến phép hội, phép tuyển

như: chân trị và quy tắc lập mệnh đề phủ định của mệnh đề tuyển, mệnh đề hội có

tham gia vào một số nội dung dạy học toán ở lớp 10. Cụ thể, nội dung tính chẵn lẻ

của hàm số, bài toán chứng minh bằng phản chứng, nội dung phương trình. Và còn

nhiều nội dung khác nữa cũng cần đến tri thức về phép phủ định, phép tuyển, phép

hội. Chẳng hạn như: khi tính xác suất bằng cách sử dụng biến cố đối ở lớp 11, học

sinh cũng cần phải xác định đúng biến cố đối của biến cố cho trước (nghĩa là phải

biết lập mệnh đề phủ định của mệnh đề cho trước, trong đó mệnh đề mô tả biến cố

cho trước có thể chứa từ “và”, “hoặc”)…Ngoài ra, rất nhiều định nghĩa khái niệm

trong chương trình có cấu trúc tương tự như hàm số chẵn, hàm số lẻ: hàm số liên

tục tại một điểm, hàm số khả vi tại một điểm,.... Bài toán chứng minh hàm số không

chẵn, không lẻ chỉ là một tiêu biểu cho bài toán chứng minh bác bỏ một mệnh đề có

cấu trúc hội mà thôi.

52

Như vậy có thể nói rằng tri thức cơ bản về các phép toán trên mệnh đề trình bày

ở chương 1, SGK Đại số 10 nâng cao là chưa đủ để đáp ứng yêu cầu của việc học

những nội dung tiếp theo trong chương trình toán trung học phổ thông.

Chúng tôi tự hỏi: trong thực tế dạy học, giáo viên có giới thiệu cho học sinh về

tính đúng, sai của mệnh đề dạng “A hoặc B”, “A và B” và quy tắc lập mệnh đề phủ

định của các mệnh đề trên hay không? Khi dạy học nội dung tính chẵn lẻ của hàm

số, liệu giáo viên có tuân theo những ràng buộc của SGK? Giáo viên làm thế nào để

giảng giải cho học sinh về cơ sở của kỹ thuật? Có sử dụng tri thức về mệnh đề và

các phép toán trên mệnh đề không hay là sử dụng một cách nào khác?

Để biết được câu trả lời, chúng tôi sẽ quay về với thực tế dạy học, tiến hành

thực nghiệm điều tra giáo viên. Phần này sẽ được trình bày ngay chương sau đây.

53

Chương 3. THỰC NGHIỆM

Trong chương này, chúng tôi tiến hành những thực nghiệm với mục đích trả lời

một số câu hỏi và kiểm chứng các giả thuyết đã được đặt ra ở chương 1 và 2.

Thực nghiệm gồm hai phần: thăm dò ý kiến giáo viên và thực nghiệm đối với

học sinh.

3.1 Thăm dò ý kiến giáo viên

3.1.1 Phân tích a priori

Mục đích của việc thăm dò ý kiến giáo viên là để trả lời cho những câu hỏi sau:

(1) Giáo viên có tuân theo ràng buộc của thể chế khi dạy học các phép toán trên

mệnh đề hay không? Cụ thể, khi ra đề toán thuộc kiểu nhiệm vụ lập mệnh đề phủ

định của mệnh đề cho trước, giáo viên có cho trước mệnh đề P hay mệnh đề chứa

biến P(x) phức hợp dạng tuyển, hội, kéo theo, tương đương hay chỉ cho những

mệnh đề đơn?

(2) Chân trị của mệnh đề dạng “A hoặc B” có được giáo viên sử dụng làm yếu tố

công nghệ giải thích cho kỹ thuật trong một số bài toán?

(3) Giáo viên có tuân theo những ràng buộc của thể chế khi dạy học tính chẵn lẻ của

hàm số hay không? Cụ thể, giáo viên có ra đề bài tập yêu cầu xét tính chẵn lẻ của

những hàm số mà có tập xác định không đối xứng hoặc tồn tại giá trị x0 ∈ D mà

f (–x0) ≠ ± f (x0)? Giáo viên có sử dụng tri thức về mệnh đề và các phép toán trên

mệnh đề để giảng giải cho học sinh về cơ sở của kỹ thuật hay không?

Chúng tôi thiết kế bộ câu hỏi điều tra gồm 4 câu hỏi như sau:

Câu 1: Khi dạy phần mệnh đề, theo chương trình Đại số lớp 10 nâng cao, quý thầy

(cô) có cho bài tập yêu cầu học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa từ

“và”, từ “hoặc” không? (Chẳng hạn như lập mệnh đề phủ định các mệnh đề sau:

“15 chia hết cho 3 hoặc 15 chia hết cho 7”,

a/ Chưa bao giờ.

“Tất cả học sinh trong lớp đều có mang theo compa và làm bài tập đầy đủ”, “∀ x ∈ Z+, x > 5 hoặc x ≤ 2”.

54

b/ Thỉnh thoảng.

c/ Thường xuyên.

Quý thầy (cô) vui lòng cho biết lý do lựa chọn của mình:

………………………………………………………………………………………...

(vì chương trình giảm tải, vì đối tượng học sinh, vì thời gian, vì cần thiết cho việc

học những nội dung tiếp theo,…)

Thầy (cô) có giới thiệu cho học sinh quy tắc phủ định mệnh đề dạng “A hoặc

B”, dạng “A và B” (lập mệnh đề phủ định , chuyển từ “hoặc” thành từ “và”

hoặc ngược lại chuyển “và” thành “hoặc”) hay không? 𝐴 � , 𝐵 �

………………………………………………………………………………………...

Câu 2: Khi dạy phần mệnh đề, theo chương trình Đại số lớp 10 nâng cao, quý thầy

(cô) có cho bài tập yêu cầu học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề kéo theo,

a/ Chưa bao giờ.

b/ Thỉnh thoảng.

c/ Thường xuyên.

mệnh đề tương đương không?

Quý thầy (cô) vui lòng cho biết lý do lựa chọn của mình:

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

Câu 1, câu 2 để tìm câu trả lời cho câu hỏi (1). Vì việc lập mệnh đề phủ định

của mệnh đề phức hợp dạng tuyển, hội, kéo theo, tương đương là không phù hợp

với sự ràng buộc của thể chế mà chúng tôi đã phân tích ở chương 1, nên chúng tôi

còn yêu cầu giáo viên nêu lý do lựa chọn sau mỗi câu, để hiểu rõ hơn về ý đồ sư

phạm của giáo viên. Chúng tôi có gợi ý một vài lý do có thể nghĩ đến để giáo viên

không bị lúng túng khi trả lời, tránh tình trạng bỏ trống. Ngoài ra, ở câu 1, chúng tôi

còn muốn biết thêm giáo viên có giới thiệu cho học sinh quy tắc lập mệnh đề phủ

định của mệnh đề hội, tuyển hay không.

55

7

Câu 3: Khi giải phương trình bằng cách biến đổi tương đương như

2

=

x 6 hoaëc

9

−

− =

 ≤ x 7 √𝑥 − 5 = 7 − 𝑥  x = x ) 5 (7 

 ≤ x  x 

⇔ sau: ⇔ , giả sử cần hướng dẫn

√𝑥 − 5 = 7 − 𝑥 học sinh cách nhận x = 6 và loại x = 9, quý thầy (cô) thường ưu tiên sử dụng cách

a) Cách 1: Kiểm tra nếu x thỏa điều kiện thì nhận, không thỏa điều kiện thì loại.

nào?

Ở đây, 6 ≤ 7 là đúng vì mệnh đề có từ “hoặc” chỉ cần một trong hai trường hợp

đúng là đúng. 9 ≤ 7 là sai vì 9 không nhỏ hơn 7, cũng không bằng 7. Do đó nhận x

b) Cách 2: Dùng trục số.

c) Cách 3: Dùng tập hợp.

d) Cách khác:

= 6, loại x = 9.

………………………………………………………………………………………

……..………………………………………………………………………………

Như đã phân tích ở chương 1, chân trị của mệnh đề dạng “A hoặc B” không

được SGK đề cập, nhưng lại tham gia làm thành phần công nghệ giải thích cho kỹ

thuật giải một số bài toán. Chúng tôi đặt giáo viên vào một tình huống dạy học cụ

thể có sử dụng chân trị của mệnh đề “A hoặc B” để hướng dẫn học sinh làm bài.

Chúng tôi chọn bài toán 2 mà không chọn bài toán 1 (đã nêu ở chương 1) vì đối với

bài toán 2, cách dùng tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B” không phải là cách giải

thích duy nhất, mà ta còn có thể dùng tập hợp để giải quyết. Cụ thể: ta kiểm tra số 6,

số 9 có thuộc tập (– ∞; 7] hay không? Có thể biểu diễn x ≤ 7, số 6, số 9 lên trục số

để xác định. Theo chúng tôi, đây là một cách xử lý tốt vì có thể né tránh được việc

đề cập đến chân trị của mệnh đề “A hoặc B”, vừa rất rõ ràng, dễ hiểu. Tuy nhiên khi

thiết kế câu 3, chúng tôi đưa ra nhiều phương án để giáo viên lựa chọn nhưng không

nêu chi tiết cách sử dụng tập hợp này mà chỉ gợi ý: b) Cách 2: Dùng trục số. c)

Cách 3: Dùng tập hợp và d) Cách khác…(ngoài phương án a) dùng chân trị mệnh

đề tuyển), với hy vọng điều tra được chính xác trong thực tế, giáo viên thường dùng

56

chân trị của mệnh đề dạng “A hoặc B” làm yếu tố công nghệ để giải thích cho kỹ

thuật hay né tránh, dùng một cách nào khác? Ngoài ra, việc cho sẵn lời giải phương

trình bằng phép biến đổi tương đương như trên nhằm mục đích không ưu tiên kỹ

thuật loại nghiệm bằng cách thế vào phương trình đề cho ban đầu.

Câu 4: Khi ra đề toán yêu cầu xét tính chẵn lẻ của hàm số, quý thầy (cô) có cho

những hàm số có tập xác định không đối xứng hoặc hàm số có tập xác định đối

xứng nhưng ∃x0 ∈ D mà f (–x0) ≠ ± f (x0) (là những hàm số không chẵn và không

a/ Chưa bao giờ.

b/ Thỉnh thoảng.

c/ Thường xuyên.

lẻ) hay không?

Theo tinh thần giảm tải của chương trình Đại số lớp 10 nâng cao hiện hành, tính

đúng sai của mệnh đề dạng “∀x ∈ X, P(x) và Q(x)” không được đưa vào dạy học

ở nội dung mệnh đề. Quý thầy (cô) vui lòng cho biết ngoài việc hướng dẫn học sinh

cách giải 2 loại trên: chứng tỏ TXĐ không đối xứng hoặc chỉ ra ∃x0 ∈ D mà

f (–x0)≠± f (x0), thầy (cô) có hướng dẫn gì thêm không?

a/ Không hướng dẫn gì thêm.

(lưu ý: có thể có nhiều lựa chọn)

b/ Giảng giải cho học sinh về tính đúng sai của mệnh đề dạng “∀x∈X, P(x) và

c/ Giảng giải cho học sinh quy tắc: mệnh đề có từ “và” đúng nếu thỏa mãn hết

Q(x)”.

d/ Giúp học sinh liên hệ với tính đúng sai của mệnh đề chứa “∀”: để chứng tỏ

đồng thời các điều kiện, khi vi phạm một trong các điều kiện thì mệnh đề sai.

mệnh đề dạng ∀x∈X, P(x) sai ta phải chỉ rõ ∃x0 ∈ X sao cho P(x) sai.

e/ Hướng dẫn thêm khác:……………………………………………………….

Quý thầy (cô) vui lòng giải thích lý do sự lựa chọn của mình

57

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

Mục đích câu này là để tìm câu trả lời cho câu hỏi (3). Chúng tôi đặt câu hỏi

một cách trực tiếp để biết giáo viên có ra bài tập loại hàm số không chẵn, không lẻ

mà SGK đã né tránh hay không. Để biết lựa chọn sư phạm của giáo viên trong việc

giảng giải cho học sinh cơ sở công nghệ của kỹ thuật, chúng tôi thiết kế nhiều lựa

chọn có thể a, b, c, d, và có thêm lựa chọn e/ hướng dẫn thêm khác. Đặc biệt, chúng

tôi có nhắc đến việc giảm tải của SGK trước khi đưa ra câu hỏi cùng các lựa chọn.

Đồng thời có thêm phần đề nghị giáo viên giải thích lý do lựa chọn để hiểu được vì

sao giáo viên lại không tuân theo ràng buộc của SGK.

Các câu trả lời có thể được phân nhóm và được mã hóa như sau:

S1 “Không giải thích công nghệ”: giáo viên chọn a.

S2 “Giải thích đầy đủ về công nghệ”: giáo viên chọn b hoặc cả c và d.

S3 “Giải thích không đầy đủ về công nghệ”: giáo viên chỉ chọn hoặc c hoặc d.

S3a: chỉ liên hệ đến tính đúng sai của mệnh đề hội.

S3b: chỉ liên hệ đến tính đúng sai của mệnh đề chứa lượng từ “∀”.

3.1.2 Phân tích a posteriori

Chúng tôi tiến hành gửi phiếu thăm dò đến 23 giáo viên toán, đã dạy hoặc đang

dạy lớp 10 nâng cao, thuộc 3 trường trung học phổ thông của tỉnh Khánh Hòa và

tỉnh Bình Thuận. Tất cả các giáo viên đều tham gia trả lời phiếu.

Các câu trả lời của giáo viên cho câu 1 được thống kê qua bảng sau:

Trả lời Số lượng

a/ Chưa bao giờ 0/23

b/ Thỉnh thoảng 16/23

c/ Thường xuyên 7/23

Các câu trả lời của giáo viên cho câu 2 được thống kê qua bảng sau:

Trả lời Số lượng

58

a/ Chưa bao giờ 22/23

b/ Thỉnh thoảng 1/23

c/ Thường xuyên 0/23

Thống kê cho thấy: trong dạy học mệnh đề, đa số giáo viên tham gia thực

nghiệm không ra yêu cầu lập mệnh đề phủ định của mệnh đề kéo theo, mệnh đề

tương đương, nhưng có yêu cầu học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề có

chứa từ “và”, “hoặc”. Tuy nhiên đưa vào ở mức độ thỉnh thoảng hay thường xuyên

tùy đối tượng học sinh, thời gian,…và với lưu ý trong phần giải thích lý do là không

cho kiểm tra. Với nhiều lý do được đưa ra như: làm đa dạng thêm bài tập, đây là

dạng bài tập hay, giúp rèn luyện tư duy, kỹ năng suy luận cho học sinh, đây là nội

dung quan trọng cần thiết cho việc giải toán ở những lớp sau (bài chứng minh phản

chứng, xét điều kiện phương trình, bất phương trình); do chương trình không dạy

nhưng trong thực tế về sau học sinh dùng để lập luận, rèn luyện suy luận cho học

sinh nâng cao,…Nhóm giáo viên chọn phương án b/ Thỉnh thoảng nêu một số lý do

như sau: vì các dạng này hơi khó đối với học sinh, coi như ví dụ nâng cao cho học

sinh khá giỏi làm thêm vì thời lượng trên lớp chỉ đủ trình bày nội dung trong SGK

và SBT, …

Ngoài ra, có 21/23 giáo viên đã khẳng định có giới thiệu cho học sinh quy tắc

phủ định của mệnh đề dạng “A hoặc B”. Trong đó có 2 giáo viên còn giải thích

thêm: vì gần với ngôn ngữ tự nhiên nên cho học sinh làm trước rồi mới giới thiệu

quy tắc. Chỉ có 2 giáo viên không giới thiệu học sinh quy tắc này mà chỉ ra mệnh đề

tuyển, hội để học sinh biết thêm…

Ở câu 3, có 3 giáo viên chọn cả hai phương án a và b, a và c, a và d. 20 giáo

viên còn lại mỗi người chỉ chọn 1 phương án. Các câu trả lời của giáo viên được

thống kê qua bảng sau:

Phương án được chọn Số lượng

21/23 A

2/23 B

59

2/23 C

1/23 D

Có ý kiến của một giáo viên cho rằng việc nhận x = 6 và loại x = 9 là tự nhiên,

học sinh chấp nhận được nên không cần giải thích nhiều (ghi vào phần cách khác).

Thống kê cho thấy đa số giáo viên (21/23) thường sử dụng chân trị của mệnh

đề tuyển trong việc hướng dẫn học sinh so sánh nghiệm với điều kiện khi giải

phương trình, cho dù đối với trường hợp này còn có thể dùng cách khác. Vậy là

trong thực tế dạy học, giáo viên có đưa chân trị của mệnh đề tuyển “A hoặc B” vào

giảng dạy cho học sinh dù cho tri thức về phép tuyển được SGK yêu cầu né tránh.

Các câu trả lời của giáo viên cho câu 4 được thống kê qua bảng sau:

Trả lời Số lượng

a/ Chưa bao giờ 0/23

b/ Thỉnh thoảng 14/23

c/ Thường xuyên 9/23

Thống kê cho thấy đa số giáo viên thường không tuân theo ràng buộc của thể

chế khi dạy học tính chẵn lẻ của hàm số. Tất cả giáo viên tham gia thực nghiệm đều

có ra những hàm số không chẵn, không lẻ. Có giáo viên giải thích lý do: để giúp

học sinh nắm vững khái niệm, không kết luận ẩu.

Về việc giải thích công nghệ cho kỹ thuật, chúng tôi thống kê các câu trả lời

của giáo viên theo chiến lược như sau:

Chiến lược Số lượng

7/23 S1“Không giải thích công nghệ”

8/23 S2 “Giải thích đầy đủ về công nghệ”

2/23 8/23 6/23 S3 “Giải thích không đầy đủ về công nghệ” S3a: “chỉ liên hệ tính đúng sai của mệnh đề hội” S3b: “chỉ liên hệ tính đúng sai của mệnh đề chứa lượng từ ∀”

60

7/23 giáo viên không giải thích yếu tố công nghệ với những lý do được đưa ra

như sau: theo tinh thần giảm tải, chỉ nói những cái cần thiết, đủ giúp học sinh làm

bài tập là được, phương án này học sinh dễ hiểu hơn, không cần thiết và không đủ

thời gian… cho thấy sự ảnh hưởng của các ràng buộc của hệ thống dạy học lên một

bộ phận giáo viên.

16/23 giáo viên còn lại có giải thích cho học sinh về yếu tố công nghệ (giải

thích đầy đủ hoặc chỉ một phần về tính đúng sai của mệnh đề hội và tính đúng sai

của mệnh đề chứa lượng từ ∀) với những lý do đưa ra như sau: vì thấy cần thiết,

theo suy luận toán học về mệnh đề, nhằm củng cố kiến thức về mệnh đề cho học

sinh, phục vụ cho các kiến thức sau này…

Có giáo viên không chọn phương án b mà chọn phương án c, d vì cho rằng:

trực quan, ngắn gọn, dễ hiểu hơn là việc giải thích về tính đúng sai của mệnh đề

“∀x∈X, P(x) và Q(x)” và hướng dẫn thêm: nêu thêm những ví dụ trực quan để học

sinh hiểu như: Muốn học sinh giỏi thì phải học lực giỏi và hạnh kiểm tốt…vi phạm

một điều kiện là không được…

Có giáo viên hướng dẫn thêm cho học sinh: tương tự như quy trình của máy

tính, lập trình sai ở bước nào thì dừng lại ở bước đó, không làm tiếp nữa.

Quan sát bảng thống kê trên ta thấy có 10/23 giáo viên đã dùng chân trị của

mệnh đề “A và B” để giải thích cơ sở công nghệ cho học sinh.

Như vậy khi dạy học bài toán xét tính chẵn lẻ của hàm số, một số GV quyết

định bỏ ra thời gian giải thích cho HS hiểu rõ về cơ sở công nghệ của kỹ thuật, có

GV thì thông qua một vài ví dụ, sẽ giải thích cơ sở bằng các quy tắc ngắn gọn. Một

số giáo viên quyết định không giải thích vì lý do thời gian. Việc bỏ đi phép hội,

phép tuyển có phải chăng đã gây khó khăn cho GV trong việc dạy học những nội

dung tiếp theo trong chương trình?

Kết luận: Kết quả thực nghiệm trên đối tượng giáo viên đã cho thấy sự can

thiệp của giáo viên trong dạy học các phép toán trên mệnh đề cũng như dạy học các

nội dung có sự tham gia của phép hội và phép tuyển. Đa số giáo viên có đưa vào

dạy học một số tri thức liên quan đến phép hội và phép tuyển cần thiết cho việc học

những nội dung tiếp theo trong chương trình như: chân trị của mệnh đề dạng “A

61

hoặc B”, “A và B” quy tắc lập mệnh đề phủ định của mệnh đề dạng “A hoặc B”, “A

và B” dù cho SGK không đề cập đến. Khi dạy học một số nội dung có sự can thiệp

của phép tuyển, phép hội, một bộ phận giáo viên tham gia thực nghiêm có sử dụng

tri thức liên quan đến phép tuyển, phép hội để làm kỹ thuật hoặc công nghệ giải

thích cho kỹ thuật.

3.2 Thực nghiệm đối với học sinh

Phần này chúng tôi tiến hành hai thực nghiệm tách biệt nhau.

3.2.1 Thực nghiệm thứ nhất

Mục đích thực nghiệm là để trả lời cho câu hỏi: Học sinh quan niệm như thế nào

về tính đúng sai của mệnh đề dạng “A hoặc B”?

Chúng tôi phát phiếu bài tập, yêu cầu HS làm trong thời gian 10 phút. Nội dung

phiếu bài tập như sau:

PHIẾU BÀI TẬP

Câu 1: Em hãy cho biết các mệnh đề được cho trong bảng sau đây đúng hay sai.

Nếu đúng, em viết Đ; nếu sai, em viết S vào ô bên cạnh. Sau đó, em hãy giải thích

lý do lựa chọn của mình.

Mệnh đề Lý do Đúng hay sai?

(1) “100 chia hết cho 5 hoặc 10”

(2) “6 nhỏ hơn hoặc bằng 7”

(3) “2 > 5 hoặc 1< 0”

(4) “Hôm nay trời mưa hoặc không mưa” (5) “Pari là thủ đô của Pháp hoặc Việt Nam”

3.2.1.1 Phân tích a priori

Kiểu nhiệm vụ xét tính đúng sai của mệnh đề là quen thuộc, tuy nhiên mệnh đề

ở đây có chứa liên từ logic “hoặc”. Tuy rằng bài toán này không tuân theo ràng

62

buộc của thể chế dạy học các phép toán trên mệnh đề ở lớp 10 nâng cao. Nhưng liên

từ này HS gặp nhiều trong cuộc sống, gặp nhiều lần trong suốt chương trình toán

phổ thông, và nhiệm vụ xét tính đúng sai của mệnh đề dạng “A hoặc B” cũng xuất

hiện trong giải một số bài toán ở phổ thông. Ngoài yêu cầu xét tính đúng sai, chúng

tôi còn yêu cầu giải thích lý do vì muốn HS phải suy nghĩ kỹ về câu trả lời chứ

không phải chọn may rủi. Từ đó, chúng tôi hy vọng sẽ biết được quan niệm của HS

về tính đúng sai của loại mệnh đề này, để biết học sinh hiểu nghĩa của từ “hoặc”

như thế nào.

Các biến tình huống và giá trị các biến và các giá trị được chọn:

V1: Chân trị của các mệnh đề thành phần: (ĐĐ) cả hai mệnh đề cùng đúng, (SS) cả

hai mệnh đề cùng sai, (ĐS) một trong hai mệnh đề sai, mệnh đề còn lại đúng.

V2: Các mệnh đề cho trước có nội dung thực tế đời sống (a), toán học(b).

V3: Ý nghĩa của các mệnh đề thành phần:

V3a: sự thật hiển nhiên (phù hợp với hiện thực khách quan).

V3b: phán đoán khả năng có thể xảy ra.

V3c: trái với sự thật hiển nhiên, không có khả năng xảy ra (vô lý).

Chúng tôi đã thiết kế 5 mệnh đề tất cả (có đánh số thứ tự). Để thuận tiện cho

việc theo dõi, việc lựa chọn giá trị các biến cho các mệnh đề được mã hóa qua sơ đồ

sau:

(1) ĐĐ – b – V3a

(2) ĐS – b – V3c

(3) SS – b – V3c

(4) ĐS – a – V3b

(5) ĐS – a – V3c

Ở mệnh đề (2) chúng tôi không viết dưới dạng kí hiệu “6≤7” nhằm tránh trường

hợp học sinh quan niệm dấu “≤”dùng để so sánh thứ tự giữa hai số.

Các chiến lược có thể:

S1 “tuyển không loại”: dựa vào bảng chân trị của mệnh đề tuyển không loại.

Nhóm câu trả lời tương ứng với chiến lược S1: cho rằng (3) sai, (1), (2), (4), (5)

đúng.

63

S2 “tuyển loại”: dựa vào bảng chân trị của mệnh đề tuyển loại.

Nhóm câu trả lời tương ứng với chiến lược S2: cho rằng (1), (3) sai, (2), (4), (5)

đúng.

S3 “xét ý nghĩa”: dựa vào ý nghĩa của mệnh đề thành phần, nếu các mệnh đề thành

phần là sự thật hiển nhiên thì cho Đ, nếu là phán đoán các khả năng có thể xảy ra thì

cho Đ, nếu có một mệnh đề thành phần mang nghĩa trái với sự thật hiển nhiên hoặc

không có khả năng xảy ra thì cho S

Các câu trả lời tương ứng với chiến lược S3 được phân thành hai nhóm:

Nhóm A: cho rằng (1), (4) đúng, (2), (3), (5) sai.

Nhóm B: cho rằng chỉ có (4) đúng, (2), (3), (5) và cả (1) sai.

3.2.1.2 Phân tích a posteriori

Chúng tôi khảo sát 138 HS của 4 lớp thuộc hai trường khác nhau. Trong đó, 2

nhóm HS lớp 10 học chương trình nâng cao, đã học xong tập hợp (tức là đã gặp từ

“hoặc” trong định nghĩa hợp hai tập hợp, ít nhiều đã liên hệ được với phép hợp hai

tập hợp), và 2 nhóm HS lớp 11 học chương trình nâng cao (đã gặp từ “hoặc” rất

nhiều lần trong suốt chương trình).

Chúng tôi chỉ thống kê kết quả bài làm của 127 học sinh, vì 11 học sinh còn lại

không giải thích rõ lý do lựa chọn, hoặc có 4 bài cho rằng mệnh đề (3) đúng.

Kết quả khảo sát thể hiện qua bảng sau:

Số lượng Tỷ lệ Câu trả lời tương ứng với chiến lược

S1“tuyển không loại” 48/127 (37,79%)

S2 “tuyển loại” 20/127 (15,75 %)

A 40/127 (31,50%) S3 “xét ý nghĩa” B 19/127 (14,96%)

Thống kê cho thấy chỉ có 48/127 học sinh tham gia khảo sát (chiếm 37,79% ) có

câu trả lời theo chiến lược S1, nghĩa là có quan niệm đúng về chân trị của mệnh đề

tuyển dạng “P hoặc Q” như SGK mong đợi. 20/127 học sinh cho rằng từ “hoặc”

mang nghĩa tuyển loại (làm theo chiến lược S2). Còn lại 59/127 học sinh không dựa

64

vào bảng chân trị của mệnh đề tuyển mà làm theo chiến lược S3 “xét ý nghĩa”,

nghĩa là học sinh cho rằng mệnh đề (4) “Hôm nay trời mưa hoặc không mưa” đúng,

nhưng lại không chấp nhận mệnh đề (2) và (5): “6 nhỏ hơn hoặc bằng 7”, “Pari là

thủ đô của Pháp hoặc Việt Nam” đúng, mặc dù ba mệnh đề này có chân trị của các

mệnh đề thành phần giống nhau. Có thể giải thích lý do là vì trong SGK không đề

cập đến tính đúng sai của mệnh đề có chứa từ “hoặc”, mỗi lần từ “hoặc” xuất hiện

cũng không giải thích gì về nghĩa logic của nó. Trong ngôn ngữ tự nhiên, từ “hoặc”

thường được dùng để chỉ hai trường hợp, hai khả năng đều có thể xảy ra, chứ không

phải là những phát biểu vô lý, trái với sự thật hiển nhiên. Ngoài ra, trong 59 học

sinh làm theo chiến lược S3 “xét ý nghĩa” có 19 học sinh cho câu (1) sai, với lý do

là phải dùng từ “và” thay cho từ “hoặc” thì mới đúng. Có thể giải thích lý do là vì

trong trường hợp này từ “hoặc” tương đương với từ “và” theo nghĩa liệt kê hai khả

năng có thể xảy ra.

Như vậy, lựa chọn sư phạm của các tác giả SGK trong dạy học mệnh đề ở

chương 1 đã làm HS hiểu không đúng về tính đúng sai của mệnh đề này trong toán

học. Chỉ một số ít học sinh sử dụng bảng chân trị của mệnh đề tuyển không loại để

xét tính đúng sai cho mệnh đề dạng “A hoặc B”. Số đông học sinh không có quan

niệm đúng về tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B” trong toán học. Có thể kết

luận quan niệm về nghĩa từ “hoặc” ở đa số học sinh như sau: “hoặc” dùng để chỉ hai

khả năng có thể xảy ra, không khả năng này thì khả năng kia, ít nhất một khả năng

xảy ra chứ không phải là những phát biểu vô lý, trái với sự thật hiển nhiên hay

không có khả năng xảy ra.

Tuy rằng kết quả thực nghiệm giáo viên ở phần trước đã cho thấy đa số giáo

viên có sự can thiệp, có giới thiệu về tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B” cho học

sinh, nhưng số đông học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc hiểu nghĩa logic của liên

từ “hoặc”. Điều này cho thấy sự ảnh hưởng mạnh từ sự lựa chọn sư phạm của SGK

“né tránh đề cập phép hội, phép tuyển” và quan niệm về nghĩa của từ “hoặc” trong

ngôn ngữ tự nhiên. Và như thế sẽ dẫn đến việc HS gặp khó khăn trong việc sử dụng

hai liên từ logic này trong lập luận giải toán, khó khăn trong việc học một số nội

dung tiếp theo trong chương trình có sự can thiệp của hai phép toán này.

65

3.2.2 Thực nghiệm thứ hai

Mục đích là để kiểm chứng quy tắc hợp đồng R1: Nếu mệnh đề cho trước

được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường thì mệnh đề phủ định cũng phát

biểu bằng ngôn ngữ thông thường, nếu mệnh đề cho trước bằng kí hiệu logic thì

mệnh đề phủ định cũng phát biểu bằng kí hiệu logic.

Và kiểm chứng sự tồn tại ở học sinh quy tắc hành động R2: luôn và chỉ thêm từ

“không” hoặc “không phải” trước các vị ngữ, khi lập mệnh đề phủ định.

3.2.2.1 Phân tích a priori

Thực nghiệm được tiến hành trên 112 học sinh thuộc 3 lớp 10 của 2 trường

trung học phổ thông khác nhau ở tỉnh Khánh Hòa và Bình Thuận, học chương trình

nâng cao, và được giảng dạy bởi 3 giáo viên khác nhau. Ba giáo viên này có tham

gia làm phiếu thăm dò ý kiến và kết quả cho thấy họ có dạy cho học sinh quy tắc lập

mệnh đề phủ định của mệnh để tuyển, hội.

Thực nghiệm được tiến hành sau khi HS đã học xong bài 1 và bài 2 thuộc

chương 1 – Mệnh đề, tập hợp. Mỗi HS được phát một phiếu bài tập, làm việc độc

lập trong thời gian 15 phút. Phiếu bài tập dành cho học sinh gồm có 2 câu được

trích dẫn trong phần phụ lục 1.

♦ Câu 1 thuộc dạng “cho điểm các lời giải của một số HS giả định”

Đề bài như sau: Với đề bài: Hãy lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x∈Z+, x > 5 hoặc x ≤ 2”

4 học sinh đã giải với 4 lời giải tương ứng như sau: Lời giải 1: “∃ x ∈ Z+, x ≤ 5 hoặc x > 2”

Lời giải 2: “∃ x ∈ Z+, x > 5 và x ≤ 2”

Lời giải 3: “Tồn tại số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5 hoặc lớn hơn

2”

Lời giải 4: “Tồn tại số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5 và lớn hơn 2”

Yêu cầu đặt ra cho em là:

66

Em hãy cho điểm 4 lời giải trên theo thang điểm từ 0 đến 10. Sau đó giải

thích rõ vì sao em cho điểm như vậy? Trường hợp không có bài nào em cho

điểm 10, em hãy trình bày cách giải mà em cho là tốt nhất.

Ở câu này, chúng tôi đưa ra một bài toán quen thuộc với yêu cầu lập mệnh đề

phủ định của một mệnh đề cho trước bằng kí hiệu logic, có chứa từ “hoặc”, và cho

trước 4 lời giải của 4 HS giả định, sau đó yêu cầu HS phải đánh giá, cho điểm 4 lời

giải. Một điều đặc biệt là chúng tôi còn yêu cầu HS giải thích lý do “vì sao em cho

số điểm như vậy?” để buộc HS phải suy nghĩ kỹ, cân nhắc kỹ lưỡng, so sánh, tìm

chi tiết đúng, sai, hay, dở, thừa, thiếu,… có quan điểm riêng, có chính kiến của bản

thân chứ không cho điểm theo sở thích hay may rủi. Chúng tôi hy vọng qua lời giải

thích đánh giá, cho điểm của HS sẽ cho thấy sự ưu tiên lựa chọn hình thức biểu đạt

mệnh đề phủ định của học sinh, từ đó kiểm chứng được một phần quy tắc hợp đồng

R1.

∗ Phân tích 4 lời giải giả định:

Chúng tôi bố trí lời giải 1 và 3 có nội dung như nhau, chỉ khác nhau ở hình thức

thể hiện, một cách diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, và một cách sử dụng kí

hiệu logic. Lời giải 1 và 3 sẽ là hoàn hảo nếu thay từ “hoặc” bởi từ “và”.

Lời giải 2 là lời giải sai nhiều chỗ, được xếp xen giữa lời giải 1 và 3, chỉ đúng ở

việc chuyển từ “hoặc” thành “và” với mục đích muốn nhắc HS chú ý đến ý nghĩa

logic của hai liên từ này.

Lời giải 4 là lời giải đúng duy nhất, tuy nhiên chúng tôi không chọn cách sử

dụng kí hiệu logic mà chọn cách diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, để xem HS

có chấp nhận không, phản ứng thế nào?

∗ Những cái cần quan sát:

Cái cần quan sát không phải là số điểm HS cho mà là đánh giá của HS đối với

các lời giải giả định: HS có phân biệt lời giải 1 với lời giải 3 không hay là đánh giá

hai cách diễn đạt ngang nhau? HS có xác định được lời giải 4 là đúng và có chấp

nhận cách diễn đạt này không? Việc HS đánh giá thấp các lời giải diễn đạt bằng

ngôn ngữ thông thường hơn các lời giải dùng kí hiệu logic sẽ giúp chúng tôi hợp

thức được một phần quy tắc hợp đồng R1. Ngoài ra nếu HS cho rằng lời giải 1 hoặc

67

lời giải 3 (giữ nguyên “hoặc”) là đúng hoàn toàn (điểm 10), còn lời giải 4 (chuyển

“hoặc” thành “và”) là sai, hay lời giải 2 sai ở việc chuyển từ “hoặc” thành “và” thì

sẽ khẳng định sự tồn tại quy tắc hành động R2 ở học sinh.

∗ Chúng tôi mã hóa một số dạng câu trả lời có thể quan sát được như sau:

Nhóm câu trả lời thể hiện sự tương quan giữa lời giải 1 và lời giải 3:

S1a: Đánh giá lời giải 1 tốt hơn lời giải 3 (cho điểm cao hơn) với lời giải thích là vì

cách diễn đạt mệnh đề bằng ngôn ngữ thông thường là không tốt, hoặc cho điểm

bằng nhau, nhưng vẫn đưa ra lời giải thích cho rằng nên (phải) sử dụng kí hiệu

logic. Đây là nhóm câu trả lời mong đợi của chúng tôi.

S1b: Đánh giá 2 cách diễn đạt như nhau, cho điểm lời giải 1 và lời giải 3 bằng nhau

với những lời giải thích không liên quan đến việc diễn đạt mệnh đề: vì sai như nhau,

vì đúng như nhau,.…

S1c: Những câu trả lời khác như: cho sai không giải thích, hiểu sai đề, đi xét tính

đúng sai của mệnh đề, cho sai vì cho rằng số nguyên dương chưa đủ mà phải thêm

điều kiện khác số 0 nữa,…

Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải 2:

S2a: Cho điểm thấp và chỉ ra các lỗi sai về quy tắc phủ định mệnh đề.

S2b: Cho điểm thấp, cho rằng sai vì đã chuyển “hoặc” thành “ và” .

S2c: Những câu trả lời khác như: không cho điểm, không giải thích, hoặc giải thích

lạc đề (giải thích tính đúng sai của mệnh đề),…

Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải 4:

S3a: Cho điểm thấp hơn 10, thậm chí điểm 0 và đưa ra lý do là do cách diễn đạt

bằng ngôn ngữ thông thường; hoặc cho điểm 10 nhưng vẫn cho rằng không nên

diễn đạt như vậy và đưa ra câu trả lời tốt nhất sử dụng kí hiệu logic.

Đây là nhóm câu trả lời chúng tôi mong đợi.

S3b: Chấp nhận cách diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, cho điểm tuyệt đối.

S3c: Cho rằng lời giải 4 sai vì đã chuyển từ “hoặc” thành “và”.

S3d: Những câu trả lời khác như: không cho điểm, cho điểm không giải thích, giải

thích vì quy tắc phủ định sai, giải thích lạc đề (về tính đúng sai của mệnh đề)….

68

Bảng sau đây thể hiện sự tương ứng giữa các câu trả lời có thể của HS và các

quy tắc có thể được kiểm chứng

Chiến lược S1a S1b S2a S2b S3a S3b S3c S3d R1 X X R2 X X

Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ thống kê số HS cho lời giải 1 điểm 10. Nếu số đông HS

cho rằng lời giải 1 đúng hoàn toàn thì cũng cho thấy sự tồn tại của quy tắc hành

động R2: “luôn và chỉ thêm không trước vị ngữ khi lập mệnh đề phủ định”.

♦ Câu 2:

Em hãy lập mệnh đề phủ định của mệnh đề sau: “Tất cả học sinh trong lớp

đều có mang theo compa và làm bài tập đầy đủ”

Câu 2 yêu cầu HS lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề cho trước. Mệnh đề

cho trước là mệnh đề có chứa “với mọi” được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông

thường, có nội dung là vấn đề thực tế cuộc sống. Kiểu nhiệm vụ này là quen thuộc

đối với HS khi học chương 1. Tuy nhiên đây không là loại mệnh đề đơn giản mà là

mệnh đề có cấu trúc hội. Do đó đây là một bài toán không tuân theo những ràng

buộc của thể chế như đã phân tích ở chương 1. Mục đích của câu hỏi này là để kiểm

chứng phần còn lại của quy tắc hợp đồng R1. Nếu số đông HS phát biểu mệnh đề

phủ định bằng ngôn ngữ thông thường thì khẳng định được quy tắc “Nếu mệnh đề

cho trước được phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường thì mệnh đề phủ định

cũng phát biểu bằng ngôn ngữ thông thường”. Và một lần nữa kiểm chứng xem

quy tắc hành động R2: “Khi lập mệnh đề phủ định của mệnh đề bất kỳ, học sinh

luôn và chỉ thêm từ “không” hoặc “không phải” trước các vị ngữ” có thực sự tồn

69

tại và ảnh hưởng đến ứng xử của học sinh khi giải quyết kiểu nhiệm vụ lập mệnh

đề phủ định của một mệnh đề hay không.

∗ Các chiến lược có thể quan sát được

Đây là mệnh đề có dạng “∀x ∈X, P(x) và Q(x)”. Do đó, mệnh đề phủ định đúng

hoặc ”. Mệnh đề phủ định có thể được diễn đạt phải có dạng “∃x ∈X,

bằng ngôn ngữ thông thường như sau: “tồn tại học sinh trong lớp không mang theo ������� 𝑄(𝑥) ������ 𝑃(𝑥)

compa hoặc không làm bài tập đầy đủ”. Để thuận tiện cho việc trình bày và phân

tích, các chiến lược có thể được chúng tôi mã hóa như sau:

S1: thay “với mọi” bằng “tồn tại”, thêm “không” trước “làm bài tập đầy đủ”, thêm

“không” trước “mang theo compa”

S2: thay “với mọi” bằng “tồn tại”, thêm “không” trước “làm bài tập đầy đủ và mang

theo compa”

S3: thêm “không” trước “làm bài tập đầy đủ”, thêm “không” trước “mang theo

compa”

S4: thêm “không” trước “làm bài tập đầy đủ và mang theo compa”

S5: thay “với mọi” bằng “tồn tại”, thêm “không” trước “làm bài tập đầy đủ”, thay

“và” bằng “hoặc”, thêm “không” trước “mang theo compa”

S6: thay “với mọi” bằng “tồn tại”

S7: Thay “tất cả học sinh” bằng “không có học sinh nào”

Chỉ có chiến lược S5 là chiến lược cho câu trả lời đúng. Chúng tôi không quan tâm

chiến lược S6 vì nó thể hiện HS chỉ nhớ việc phủ định của lượng từ “với mọi”. Các

chiến lược S1, S2, S3, S4, S7 đều thể hiện HS luôn và chỉ thêm “không” hoặc

“không phải” trước vị ngữ của câu. Vì việc phân tích thể chế ở chương 1 đã cho

thấy HS thường làm việc với loại câu đơn nên có một số HS chỉ thêm “không” một

lần trước vị ngữ (S2, S4). Việc số đông HS làm theo các chiến lược S1, S2, S3, S4,

S7 sẽ giúp chúng tôi kiểm chứng được quy tắc hành động R2.

3.2.2.2 Phân tích a posteriori

Chúng tôi tiến hành phát phiếu bài tập cho 112 HS thuộc 3 lớp như đã nêu trên.

70

Toàn bộ HS đều có câu trả lời cho câu 2. Riêng ở câu 1: chúng tôi chỉ thống kê kết

quả bài làm của 97 HS, vì lý do 15 HS còn lại tuy có cho điểm 4 lời giải giả định

nhưng không kèm theo lời giải thích cho bất kỳ số điểm nào.

♦Câu hỏi 1:

Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải 1 và lời giải 3 được thống kê trong bảng sau:

Tỷ lệ 47,42% Nhóm câu trả lời S1a Số câu trả lời 46

34 35,05% S1b

17 17,53% S1c

Tổng 100% 97

Có 46/97 có câu trả lời thuộc nhóm S1a, nghĩa là cho điểm lời giải 1 cao hơn

lời giải 3 với lý do cách diễn đạt mệnh đề bằng ngôn ngữ thông thường là không tốt,

hoặc cho điểm bằng nhau, nhưng vẫn đưa ra lời giải thích cho rằng nên (phải) sử

dụng kí hiệu logic vì đề bài cho mệnh đề bằng kí hiệu logic. Thậm chí có HS còn

cho lời giải 3 điểm 0. Chứng tỏ đa số HS tham gia làm thực nghiệm này cho rằng

nếu mệnh đề cho trước được phát biểu dưới dạng nào thì mệnh đề phủ định phải

được phát biểu dạng như thế. Ngay dưới đây là phần trích dẫn một số câu trả lời của

HS liên quan đến lời giải 1 và 3 thể hiện rõ điều này:

HS1: Lời giải 1: 10đ vì đúng hoàn toàn

Lời giải 3: 9 điểm vì nên ghi bằng kí hiệu

HS: Lời giải 1: 10điểm

Lời giải 3: 9điểm. Vì mệnh đề phủ định đúng nhưng dài dòng

HS: Lời giải 1: 10điểm. Lời giải 3: 9điểm. Vì như trên phải ghi theo công thức. Ghi

vậy cũng không sai nhưng không giống như lời giải 1 theo ý kiến của em.

Các HS này không phủ nhận cách trình bày bằng ngôn ngữ thông thường, mà

chỉ cho rằng nên dùng kí hiệu tốt hơn vì ngắn gọn hơn hoặc là vì đề cho trước bằng

kí hiệu. Tuy nhiên một số HS hoàn toàn không chấp nhận cách phát biểu bằng ngôn

ngữ thông thường và cho điểm 0.

HS: Lời giải 1: 10 điểm.

71

Lời giải 3, 4: 0 điểm vì đề bài không yêu cầu phát biểu bằng lời mệnh đề phủ

định.

Có 1 HS duy nhất cho cả 4 lời giải đều điểm 0 và đưa ra lời giải tốt nhất. Có thể

theo quan điểm của HS này, chỉ có điểm số tuyệt đối (nếu đúng hoàn toàn) hoặc

điểm 0 (nếu không hoàn hảo). Điều đặc biệt là HS này đã giải thích về lời giải tốt

nhất bằng cách viết ra hẳn quy tắc lấy phủ định De Morgan.

HS: LG1: 0, LG2: 0, LG3: 0, LG4: 0. A: “∀x∈ Z+, x > 5 hoặc x ≤ 2” ⇒ : “∃x∈ Z+, x ≤ 5 và x > 2”

∧ ∨ ∨ ∧ Vì và

𝐴 � 34/97 HS có câu trả lời thuộc nhóm S1b, nghĩa là đánh giá việc dùng kí hiệu 𝐵 � 𝐵������� = 𝐴 � 𝐴 𝐵 �

𝐵������� = 𝐴 � 𝐴 logic với việc dùng ngôn ngữ thông thường là như nhau. Chẳng hạn:

HS: Lời giải 3 giống lời giải 1 nhưng ở lời giải 3 thể hiện bằng lời về nghĩa thì nó

vẫn giống nhau và em cho rằng nó đúng.

Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải 2 được thống kê trong bảng sau:

Số câu trả lời 78 Tỷ lệ 80,41% Nhóm câu trả lời S2a

3,09% S2b 3

16 16,5% S2c

100% 97

Tổng Trích dẫn một số bài làm của HS:

HS: Lời giải 2: 5 điểm vì mệnh đề x >5 hoặc x ≤ 2 không được phủ định.

HS: Lời giải 2: 5 điểm vì lời giải chỉ đúng phần trước và sai phần sau.

Chỉ 3 HS có câu trả lời thuộc nhóm S2b (cho rằng lời giải 2 sai vì đã chuyển “hoặc”

thành “và”) nhưng cũng cho thấy phần nào ảnh hưởng của quy tắc hành động R2.

Tỷ lệ này thấp cũng là hợp lý vì ở lời giải 2 này, có khá nhiều lỗi sai dễ bị HS phát

hiện, nên việc HS chỉ nêu ra những lỗi sai về quy tắc phủ định khác cũng đã đủ cho

việc giải thích cho số điểm đã cho.

Nhóm câu trả lời liên quan đến lời giải 4 được thống kê trong bảng sau:

Tỷ lệ 54,63% Nhóm câu trả lời S3a Số câu trả lời 53

72

18 18,56% S3b

7 7,21% S3c

19 19,58% S3d

Tổng 100% 97

Có 53 /97 HS có câu trả lời thuộc nhóm S3a. HS đã không cho lời giải 4 số

điểm tuyệt đối mặc dù lời giải này là đúng duy nhất trong 4 lời giải giả định. Một số

lý do được HS đưa ra là: vì ngắn gọn hơn, nhìn vào dễ hiểu hơn, vì phải viết như

mệnh đề cần phủ định, vì đã học về kí hiệu logic nên phải dùng… Chứng tỏ HS ưu

tiên sử dụng kí hiệu toán học hơn, chứng tỏ sự tồn tại của quy tắc hợp đồng R1.

Trích dẫn một số bài làm của HS:

HS: Lời giải 4: 8đ (vì ta phải viết mệnh đề phủ định bằng kí hiệu toán học như

mệnh đề cần phủ định) Lời giải của em: “∃x∈ Z+, x ≤ 5 và x > 2”  10đ

HS: Lời giải 4 em cho 8 điểm vì em cần mệnh đề phủ định viết dưới dạng kí hiệu

toán học, mặc dù lời giải 4 đúng vẫn không đạt điểm tối đa. Theo em lời giải tốt nhất là: “∃x∈ Z+, x ≤ 5 và x > 2”.

HS: lời giải 4: có ý tưởng nhưng phải diễn đạt bằng kí hiệu. “∃x∈ Z+, x ≤ 5 và x > 2”.

HS: lời giải 4: cách thức trình bày sai tuy nội dung phủ định đúng 7đ

HS: lời giải 1: 4đ, lời giải 2: 0đ, lời giải 3: 2đ, lời giải 4: 9đ

Tùy vào kiến thức và cách trình bày của các học sinh mà em đã cho điểm như vậy.

Trong các trường hợp trên em không cho điểm 10 vì chỉ có lời giải 4 là đúng nhất

nhưng chắc 4 học sinh này cũng đã học về các kí hiệu tồn tại và với mọi nên cần

trình bày với kí hiệu.

HS: Trường hợp em không cho điểm là “lời giải 3” và “lời giải 4”. Vì đề yêu cầu

lập mệnh đề chứ không phải trình bày bằng cách như mấy bạn. HS: lời giải 4: 9đ. Trình bày dài. Theo em cách giải khác là: “∃x∈ Z+, x ≤ 5 và x >

2” Bởi vì: cách này gọn và nhìn vào dễ hiểu.

73

Có 7/97 HS có câu trả lời thuộc nhóm S3c. Chẳng hạn:

HS: Lời giải 4: 5 điểm vì không được dùng từ “và” mà phải dùng từ “hoặc”

HS: Lời giải 4: 0 điểm. Vì dùng sai từ “hoặc” mà thay bằng từ “và”

Tuy tỉ lệ này không cao nhưng cũng chứng tỏ sự tồn tại của quy tắc hành động

R2.

Qua việc quan sát, thống kê kết quả bài làm của HS, chúng tôi thấy trong lời

giải thích ở câu 1, nhiều bài làm có viết rất rõ ràng quy tắc phủ định “phủ định của

hoặc là và, phủ định của và là hoặc”, chứng tỏ trong thực tế dạy học, GV đã phát

biểu một cách ngắn gọn luật De Morgan thành quy tắc sau: phủ định của “và” là

“hoặc”, phủ định của “hoặc” là “và” để giúp học sinh dễ ghi nhớ, bên cạnh các quy

tắc: phủ định của “=” là “≠”, phủ định của “>” là “≤”, …

Mặc dù viết rất rõ ràng quy tắc lấy phủ định, nhưng HS vẫn chỉ ghi nhớ một

cách máy móc, điều này thể hiện rõ qua kết quả thực nghiệm thu được ở câu hỏi 2

mà chúng tôi sẽ trình bày ngay sau đây.

♦ Câu hỏi 2:

Lưu ý rằng trong bài giải, HS có sử dụng các từ: “có ít nhất một”, “có một”,

“có” thay cho từ “tồn tại” với ý nghĩa tương đương, thậm chí có HS dùng từ “một

số”, “chỉ có một số” mang nghĩa không tương đương với “tồn tại” (điều này phần

nào thể hiện khó khăn của HS trong việc hiểu và sử dụng lượng từ “với mọi”, “tồn

tại”). Nhưng chúng tôi vẫn xếp chúng chung một chiến lược tương ứng vì chúng tôi

đặc biệt quan tâm đến việc HS có hành động theo quy tắc hành động “thêm không”

trước vị ngữ khi lập mệnh đề phủ định mà thôi.

Sau đây là bảng thống kê bài làm của HS theo các chiến lược.

Chiến lược Số lượng Tỷ lệ

40,18% S1 45

16,96% S2 19

22,32% S3 25

8,93% S4 10

74

3 2,68% S5

7 6,25% S6

2,68% S7 3

Tổng số 100% 112

100% số học sinh đều phát biểu mệnh đề phủ định bằng ngôn ngữ thông

thường, không có HS nào sử dụng kí hiệu logic trong lời giải. Điều này khẳng định

sự ảnh hưởng mạnh của quy tắc hợp đồng R1 đến đối tượng học sinh.

Kết quả thống kê cho thấy có 102/112 (91,07%) học sinh sử dụng các chiến

lược S1, S2, S3, S4, S7. Điều này khẳng định sự tồn tại của quy tắc hành động R2:

học sinh luôn và chỉ thêm “không” hoặc “không phải” trước vị ngữ khi lập mệnh đề

phủ định. Ngoài ra, việc gần như toàn bộ HS không lập được mệnh đề phủ định

chính xác, không biết chuyển từ “và” thành từ “hoặc” còn chứng tỏ HS chỉ ghi nhớ

một cách máy móc quy tắc lấy phủ định mệnh đề theo luật De Morgan chứ không

biết áp dụng vào suy luận thực tế, và học sinh không quan tâm đến ý nghĩa logic

của liên từ “và” mà chỉ hành động theo quy tắc hành động R2.

3.3 Kết luận thực nghiệm

Nghiên cứu thực nghiệm đã cho thấy rõ thực tế dạy học của GV và HS trong

thể chế dạy học toán phổ thông.

Kết quả thực nghiệm trên đối tượng giáo viên cho thấy: mặc dù SGK không

đưa phép tuyển, phép hội vào làm đối tượng nghiên cứu nhưng đa số GV đều đưa

một số yếu tố liên quan đến phép tuyển và phép hội cần thiết cho việc học những

nội dung tiếp theo trong chương trình vào giảng dạy (tính đúng sai, quy tắc lấy phủ

định của mệnh đề hội, mệnh đề tuyển).

Thực nghiệm trên đối tượng học sinh đã kiểm chứng được sự tồn tại của quy

tắc hợp đồng R1, chứng tỏ sự tồn tại ở học sinh quy tắc hành động R2, và cho thấy

đa số học sinh không có quan niệm đúng về tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B”.

Ngoài ra, kết quả thực nghiệm thứ 2 đối với học sinh còn cho thấy không

những quy tắc hành động R2 mà ngay cả quy tắc hợp đồng R1 cũng là một phần

75

nguyên nhân dẫn đến sai lầm của học sinh. Thể hiện ở việc một số học sinh dù trong

lời giải thích, cho điểm ở câu 1, nêu rất rõ quy luật phủ định mệnh đề có chứa “và”,

“hoặc”, nhưng vẫn làm sai câu 2. Điều này có nghĩa là khi gặp mệnh đề được phát

biểu bằng ngôn ngữ thông thường, có nội dung thực tế cuộc sống, học sinh không

biết chuyển sang phạm vi toán học, không biết vận dụng logic mệnh đề để giải

quyết.

76

KẾT LUẬN

Các kết quả nghiêu cứu chính của luận văn đã trả lời được hầu hết các câu hỏi

nghiên cứu đặt ra ban đầu. Cụ thể, các kết quả thu được gồm có:

Ở chương 1 chúng tôi đã có một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với các

phép toán trên mệnh đề, biết được SGK đánh giá cao vai trò của các phép toán trên

mệnh đề, nhưng lại đưa vào tương đối nhẹ nhàng, các kiến thức liên quan đa số

được trình bày giản lược nhiều. Phân tích đã dẫn chúng tôi đến với một hợp đồng

thể chế R1 liên quan đến hình thức biểu đạt của mệnh đề phủ định. Việc SGK chỉ

yêu cầu lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đơn, dẫn đến hình thành ở học sinh quy

tắc hành động R2 “luôn và chỉ thêm không hoặc không phải trước vị ngữ”. Hai quy

tắc này đã được kiểm chứng trong thực nghiệm chương 3. Ngoài ra, sự né tránh của

tác giả SGK về phép hội và phép tuyển gây nên khó khăn của học sinh trong việc

tiếp thu khái niệm và lập luận giải toán sau này. Sự khó khăn, lúng túng của học

sinh phần nào thể hiện qua những sai lầm mà học sinh mắc phải khi làm việc với

những mệnh đề có liên từ “và”, “hoặc”, đa số học sinh không có quan niệm không

đúng về tính đúng sai của mệnh đề “A hoặc B” trong toán học. Điều này đã được

chúng tôi kiểm chứng trong thực nghiệm chương 3.

Phân tích ở chương 2 đã cho thấy sự tham gia của các phép toán trên mệnh đề

trong một số nội dung dạy học tiếp theo trong chương trình kể cả phép hội, phép

tuyển, khẳng định tri thức về các phép toán trên mệnh đề được trình bày trong SGK

là chưa đủ để đáp ứng yêu cầu của việc dạy và học những nội dung tiếp theo trong

chương trình. Phân tích còn cho thấy sự lựa chọn sư phạm của tác giả SGK trong

dạy học các nội dung có sự tham gia của phép hội và phép tuyển ảnh hưởng không

tốt đến đối tượng học sinh. Từ đó cho thấy được vai trò quan trọng của người giáo

viên trong bước chuyển đổi từ tri thức cần dạy sang tri thức thực dạy sao cho đảm

bảo hiệu quả dạy học tốt nhất.

Thực nghiệm điều tra trên đối tượng giáo viên và học sinh ở chương 3 cho thấy

trong một số trường hợp, đa số giáo viên có đưa vào giảng dạy một số yếu tố liên

77

quan đến phép tuyển, phép hội mà SGK né tránh tuy nhiên học sinh vẫn gặp khó

khăn trong giải toán khi gặp những mệnh đề chứa “và”, “hoặc”. Do đó, chúng tôi hy

vọng rằng sẽ có sự can thiệp hợp lý của các tác giả viết SGK về các tri thức liên

quan đến nội dung này.

Dạy học các yếu tố cơ bản của logic toán ở trường phổ thông là cả quá trình dài

xuyên suốt chương trình. Do đó, người giáo viên cần nắm vững những nội dung có

sự tham gia của các yếu tố logic, để có sự can thiệp hợp lý, đúng lúc thì mới đạt

được hiệu quả .

Vì điều kiện thời gian, trong khuôn khổ luận văn Thạc sĩ, chúng tôi chưa có

một nghiên cứu thật toàn diện về những khó khăn của HS gặp phải liên quan đến

các phép toán trên mệnh đề trong toàn bộ chương trình, rất hy vọng trong thời gian

tới sẽ có những nghiên cứu về vấn đề này.

78

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 10 sách chỉnh

lí hợp nhất năm 2000, NXB Giáo dục.

2. Viện ngôn ngữ học (2002), Từ điển tiếng Việt phổ thông, NXB Phương

Đông.

3. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (1996), Sai lầm phổ

biến khi giải toán, NXB Giáo dục.

4. Hoàng Chúng (1994), Logic học phổ thông, NXB Giáo dục.

5. Hoàng Chúng (1978), Những yếu tố logic trong môn toán ở trường phổ

thông cấp II (sách dùng cho các trường cao đẳng sư phạm và bồi dưỡng

giáo viên), NXB Giáo dục.

6. Hoàng Chúng (1992), Một số vấn đề về giảng dạy ngôn ngữ và kí hiệu toán

học ở trường phổ thông (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên), Vụ Giáo viên, Bộ

GD-ĐT.

7. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2007), Đại số 10, NXB Giáo dục.

8. Vũ Như Thư Hương (2005), Khái niệm xác suất trong dạy – học toán ở

trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ khoa học, trường ĐH Sư phạm TP

HCM.

9. Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu Didactic về những khó khăn

chính của học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn Thạc sĩ khoa

học, trường ĐH Sư phạm TP HCM.

10. Nguyễn Bá Kim (chủ biên) (1994), Phương pháp dạy học môn toán (phần

hai), NXB Giáo dục.

11. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn

Toán, NXB Giáo dục.

12. Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số và số học, tập hai, NXB Giáo dục.

79

13. Đoàn Quỳnh (chủ biên) (2006), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện

chương trình sách giáo khoa lớp 10 trung học phổ thông (Toán học nâng

cao), Hà Nội.

14. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2007), Đại số nâng cao 10, NXB Giáo dục.

15. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2007), Bài tập Đại số nâng cao 10, NXB

Giáo dục.

16. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2007), Sách giáo viên Đại số nâng cao 10,

NXB Giáo dục.

17. Đỗ Tất Thắng (2009), Nghiên cứu Didactic về phép kéo theo và phép tương

đương trong dạy và học toán ở THPT, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học,

trường ĐH Sư phạm TP HCM.

18. Nguyễn Mạnh Trinh (1989), Logic Toán, NXB Giáo dục.

Song ngữ Pháp - Việt

1. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009),

Những yếu tố cơ bản của didactic toán, NXB Đại học Quốc Gia TP.HCM.

80

PHỤ LỤC

PHỤ LỤC 1: PHIẾU BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH

Họ và tên:…………….

Lớp:…………………..

Các em thân mến, phiếu này được soạn thảo nhằm tìm hiểu những khó khăn mà các

em gặp phải khi học về mệnh đề, chứ không có mục đích kiểm tra lấy điểm. Do đó

hy vọng các em sẽ làm bài thật nghiêm túc, độc lập. Cám ơn sự tham gia của các

em. 1) Với đề bài: Hãy lập mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀ x ∈ Z+, x > 5 hoặc x ≤ 2”

4 học sinh đã giải với 4 lời giải tương ứng như sau: Lời giải 1: “∃ x ∈ Z+, x ≤ 5 hoặc x > 2”

Lời giải 2: “∃ x ∈ Z+, x > 5 và x ≤ 2”

Lời giải 3: “Tồn tại số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5 hoặc lớn hơn

2”

Lời giải 4: “Tồn tại số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5 và lớn hơn 2”

Yêu cầu đặt ra cho em là:

Em hãy cho điểm 4 lời giải trên theo thang điểm từ 0 đến 10. Sau đó giải thích

rõ vì sao em cho điểm như vậy? Trường hợp không có bài nào em cho điểm 10,

em hãy trình bày cách giải mà em cho là tốt nhất.

2) Em hãy lập mệnh đề phủ định của mệnh đề sau: “Tất cả học sinh trong lớp đều

có mang theo compa và làm bài tập đầy đủ”

Bài làm:

1)……………………………………………………………………………………

….…….….……………………………………………………………………………

………………..………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………

………………….…………..…………………………………………………………

…………………….…………….……………………………………………………

………………………….…………….………………………………………………

81

…………………………….……………….…………………………………………

………………………………….……………….……………………………………

…………………………………….………………….………………………………

………………………………………………………………………………………

2)……………………………………………………………………………………..

PHỤ LỤC 2: PHIẾU XIN Ý KIẾN GIÁO VIÊN

Thưa quý thầy, cô

Nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán ở trường trung học phổ

thông, xin quý thầy, cô vui lòng dành ít thời gian để trả lời những câu hỏi dưới đây.

Cám ơn sự giúp đỡ của quý thầy, cô!

Câu 1: Khi dạy phần mệnh đề, theo chương trình Đại số lớp 10 nâng cao, quý thầy

(cô) có cho bài tập yêu cầu học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa từ

“và”, từ “hoặc” không? (Chẳng hạn như lập mệnh đề phủ định các mệnh đề sau:

“15 chia hết cho 3 hoặc 15 chia hết cho 7”,

a/ Chưa bao giờ.

b/ Thỉnh thoảng.

c/ Thường xuyên.

“Tất cả học sinh trong lớp đều có mang theo compa và làm bài tập đầy đủ”, “∀ x ∈ Z+, x > 5 hoặc x ≤ 2”.

Quý thầy (cô) vui lòng cho biết lý do lựa chọn của mình:

………………………………………………………………………………………...

(vì chương trình giảm tải, vì đối tượng học sinh, vì thời gian, vì cần thiết cho việc

học những nội dung tiếp theo,…)

Thầy (cô) có giới thiệu cho học sinh quy tắc phủ định mệnh đề dạng “A hoặc

B”, dạng “A và B” (lập mệnh đề phủ định , chuyển từ “hoặc” thành từ “và”

hoặc ngược lại chuyển “và” thành “hoặc”) hay không? 𝐴 � , 𝐵 �

82

………………………………………………………………………………………...

Câu 2: Khi dạy phần mệnh đề, theo chương trình Đại số lớp 10 nâng cao, quý thầy

(cô) có cho bài tập yêu cầu học sinh lập mệnh đề phủ định của mệnh đề kéo theo,

a/ Chưa bao giờ.

b/ Thỉnh thoảng.

c/ Thường xuyên.

mệnh đề tương đương không?

Quý thầy (cô) vui lòng cho biết lý do lựa chọn của mình:

………………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………...

7

Câu 3: Khi giải phương trình bằng cách biến đổi tương đương như

2

=

x 6 hoaëc

9

−

)

 ≤ x 7 √𝑥 − 5 = 7 − 𝑥  x = x − = 5 (7 

 ≤ x  x 

⇔ sau: ⇔ , giả sử cần hướng dẫn

√𝑥 − 5 = 7 − 𝑥 học sinh cách nhận x = 6 và loại x = 9, quý thầy (cô) thường ưu tiên sử dụng cách

a) Cách 1: Kiểm tra nếu x thỏa điều kiện thì nhận, không thỏa điều kiện thì loại.

nào?

Ở đây, 6 ≤ 7 là đúng vì mệnh đề có từ “hoặc” chỉ cần một trong hai trường hợp

đúng là đúng. 9 ≤ 7 là sai vì 9 không nhỏ hơn 7, cũng không bằng 7. Do đó nhận x

b) Cách 2: Dùng trục số.

c) Cách 3: Dùng tập hợp.

d) Cách khác:

= 6, loại x = 9.

………………………………………………………………………………………

……..………………………………………………………………………………

Câu 4: Khi ra đề toán yêu cầu xét tính chẵn lẻ của hàm số, quý thầy (cô) có cho

những hàm số có tập xác định không đối xứng hoặc hàm số có tập xác định đối

83

xứng nhưng ∃x0 ∈ D mà f (–x0) ≠ ± f (x0) (là những hàm số không chẵn và không

a/ Chưa bao giờ.

b/ Thỉnh thoảng.

c/ Thường xuyên.

lẻ) hay không?

Theo tinh thần giảm tải của chương trình Đại số lớp 10 nâng cao hiện hành, tính

đúng sai của mệnh đề dạng “∀x ∈ X, P(x) và Q(x)” không được đưa vào dạy học

ở nội dung mệnh đề. Quý thầy (cô) vui lòng cho biết ngoài việc hướng dẫn học sinh

cách giải 2 loại trên: chứng tỏ TXĐ không đối xứng hoặc chỉ ra ∃x0 ∈ D mà

f (–x0)≠± f (x0), thầy (cô) có hướng dẫn gì thêm không?

a/ Không hướng dẫn gì thêm.

(lưu ý: có thể có nhiều lựa chọn)

b/ Giảng giải cho học sinh về tính đúng sai của mệnh đề dạng “∀x∈X, P(x) và

c/ Giảng giải cho học sinh quy tắc: mệnh đề có từ “và” đúng nếu thỏa mãn hết

Q(x)”.

d/ Giúp học sinh liên hệ với tính đúng sai của mệnh đề chứa “∀”: để chứng tỏ

đồng thời các điều kiện, khi vi phạm một trong các điều kiện thì mệnh đề sai.

mệnh đề dạng ∀x∈X, P(x) sai ta phải chỉ rõ ∃x0 ∈ X sao cho P(x) sai.

e/ Hướng dẫn thêm khác:……………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

Quý thầy (cô) vui lòng giải thích lý do sự lựa chọn của mình