Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng mô thức và không gian làm việc hình học để phân tích khó khăn của học sinh và quan niệm của giáo viên về dạy học Hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGÔ THỊ HẢI LÊ SỬ DỤNG MÔ THỨC VÀ KHÔNG GIAN LÀM VIỆC HÌNH HỌC ĐỂ PHÂN TÍCH KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH VÀ QUAN NIỆM CỦA GIÁO VIÊN VỀ DẠY HỌC HÌNH HỌC Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Huế, Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số

liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được

các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố

trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Ngô Thị Hải Lê

llLỜIl LỜI CÁM ƠN CÁM LƠN

Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến cô Lê Thị

Hoài Châu, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cám ơn thầy Trần Kiêm Minh, người đã có những lời

khuyên, những bài giảng và tài liệu hết sức quan trọng liên quan đến đề tài.

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy

cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa qua.

Tôi cũng xin chân thành cám ơn lớp 91 trường THCS Lộc Sơn đã tạo điều

kiện cho tôi thực nghiệm thực trên thực tế.

Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của tôi luôn ủng hộ,

quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng

dẫn và góp ý.

Chân thành cám ơn!

Huế, tháng 4 năm 2015.

iii

MỤC LỤC

TRANG PHỤ BÌA .................................................................................................. i

LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. ii

LỜI CÁM ƠN ....................................................................................................... iii

MỤC LỤC .............................................................................................................. 1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................ 3

LỜI GIỚI THIỆU ................................................................................................. 4

Chương 1. ĐẶT VẤN ĐỀ ...................................................................................... 7

1.1. Vị trí của bộ môn Hình học trong chương trình phổ thông ............................. 7

1.2. Sơ lược về dạy học hình học ở bậc trung học ................................................. 8

1.3. Kiến thức toán của giáo viên trong việc dạy hình học .................................... 8

1.4. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học .................................. 9

1.4.1. Nguồn gốc những khó khăn của học sinh trong việc học hình học ........... 9

1.4.2. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học .......................... 10

1.5. Ghi nhận và đặt vấn đề ................................................................................ 10

Chương 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ........................................................................ 11

2.1. Lý thuyết Van Hiele về các cấp độ nhận thức hình học ................................ 11

2.2. Hình học từ một tiếp cận nhận thức ............................................................. 14

2.3. Mô thức và mô thức hình học ...................................................................... 16

2.3.1. Khái niệm mô thức ................................................................................ 16

2.3.2. Mô thức hình học .................................................................................. 16

2.3.3. Mối quan hệ giữa các mô thức hình học ................................................ 18

2.4. Không gian làm việc hình học ..................................................................... 18

2.4.1. Khái niệm về không gian làm việc hình học .......................................... 18

2.4.2. Các loại không gian làm việc hình học .................................................. 21

2.5. Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độVan Hiele ....................... 22

2.6. Câu hỏi nghiên cứu...................................................................................... 22

2.7. Kết luận chương 2 ....................................................................................... 23

Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU............................................................... 24

3.1. Ngữ cảnh và mục tiêu .................................................................................. 24

3.1.1. Ngữ cảnh ............................................................................................... 24

3.1.2. Mục tiêu ................................................................................................ 24

3.2. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 24

3.3. Nội dung phiếu học tập ................................................................................ 25

3.3.1. Phiếu học tập 1 ...................................................................................... 25

3.3.2. Phiếu học tập 2 ...................................................................................... 27

3.3.3. Phiếu học tập 3 ...................................................................................... 29

3.3.4. Phiếu học tập 4 ...................................................................................... 30

3.4. Bảng hỏi ...................................................................................................... 31

3.4.1. Nội dung bảng hỏi ................................................................................. 31

3.4.2. Phân tích tiên ngiệm .............................................................................. 33

3.5. Kết luận chương 3 ....................................................................................... 34

Chương 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ................................................................ 35

4.1. Phân tích phiếu học tập của học sinh ........................................................... 35

4.1.1. Lời giải bài toán dựa trên quan điểm Hình học II .................................. 35

4.1.2. Lời giải bài toán dựa trên quan điểm Hình học I .................................... 40

4.1.3. Lời giải bài toán dựa trên kết nối hai mô thức Hình học I và II .............. 43

4.2. Phân tích những khó khăn của học sinh khi thực hiện một công việc hình học .... 45

4.3. Phân tích bảng hỏi ....................................................................................... 47

4.3.1. Những khó khăn của học sinh khi giải quyết một công việc hình học .... 47

4.3.2. Các kiến nghị của giáo viên trong việc xử lý các khó khăn của học sinh ....... 48

4.3.3. Mô thức hình học được giáo viên dự định giảng dạy trong lớp học ....... 50

4.3.4. GWS được tổ chức bởi giáo viên ........................................................... 52

4.4. Kết luận chương 4 ....................................................................................... 52

Chương 5. KẾT LUẬN........................................................................................ 53

5.1. Kết luận ....................................................................................................... 53

5.2. Đóng góp nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài ................................... 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 57

PHỤ LỤC ............................................................................................................. P1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Hình học I Natural geometry (hình học tự nhiên)

Hình học II Natural axiomatic geometry (hình học tiên đề

tự nhiên)

Hình học III Formal axiomatic geometry (hình học tiên đề

hình thức)

GWS Geometric work space (không gian làm việc

hình học)

LỜI GIỚI THIỆU

Thuật ngữ mô thức hình học (geometrical paradigms) và không gian làm việc

hình học (geometric work space, GWS) xuất hiện với tần suất khá nhiều trong các

tài liệu gần đây về chương trình dạy học hình học và đào tạo giáo viên toán cũng

như trong các hội nghị về giáo dục toán ở Châu Âu (các hội nghị CERME 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8). Điều này chứng tỏ đây là một vấn đề được các nhà nghiên cứu và giáo dục

toán rất quan tâm.

Khung lý thuyết về mô thức hình học và không gian làm việc hình học

(Houdement & Kuzniak, 1999; Kuzniak, 2006; Kuzniak, 2012; Kuzniak &

Rauscher, 2011, [8], [12], [14], [15]) mô tả các vấn đề liên quan đến công việc mà

một chủ thể (học sinh, giáo viên, các nhà toán học…) thực hiện khi họ giải quyết

các bài toán hình học. Để nghiên cứu hình học được giảng dạy ở trường học, ba mô

thức hình học đã được đưa ra là Hình học I, Hình học II và Hình học III. Trong đó

Hình học I, II đóng một vai trò quan trọng trong việc dạy học hình học ở bậc phổ

thông. Hình học III chủ yếu là hình học đã được tiên đề hóa một cách tuyệt đối ở

bậc Đại học.

Nhiều nghiên cứu khác nhau tại Pháp (Kuzniak, 2008; Rauscher & Kuzniak,

2005; Kuzniak & Rauscher, 2011, [13], [15], [18]) cho thấy học sinh (từ lớp 7 đến

lớp 10) có thể giải quyết các bài toán hình học trong một mô thức khác với phỏng

đoán của giáo viên. Giáo viên mong muốn học sinh đưa ra lời giải trong mô thức

Hình học II trong khi đó học sinh lại đưa ra lời giải trong mô thức Hình học I. Điều

này tạo ra các chênh lệch trong việc dạy và học hình học giữa giáo viên và học sinh.

Nhận ra và giúp học sinh vượt qua các chênh lệch này trong việc học hình

học là một nhiệm vụ hết sức quan trọng của giáo viên toán. Nắm được các khái

niệm về mô thức hình học và không gian làm việc hình học sẽ cho phép giáo viên

tiếp cận và hiểu hơn các lời giải trong các mô thức khác nhau của học sinh khi giải

quyết một bài toán hình học. Điều này giúp cho giáo viên hiểu rõ bản chất các khó

khăn mà học sinh mắc phải khi thực hiện một công việc hình học và từ đó có kế

hoạch điều chỉnh phương pháp giảng dạy phù hợp để giúp học sinh vượt qua các

khó khăn khi học hình học.

Vì vậy nghiên cứu về vấn đề sử dụng mô thức và không gian làm việc hình

học để phân tích khó khăn của học sinh và quan niệm của giáo viên về dạy học hình

học là một đề tài có tính cấp thiết, khoa học và ý nghĩa. Trong nghiên cứu này,

chúng tôi hướng đến các mục tiêu sau:

 Phân tích các khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết một bài toán

hình học. Nguyên nhân các học sinh gặp khó khăn và cách giáo viên xử lý

các khó khăn này.

 Phân tích quan niệm của giáo viên về dạy học hình học ở phổ thông.

 Tìm hiểu các mô thức hình học được giáo viên sử dụng dạy trong lớp học,

các không gian làm việc hình học cá nhân của giáo viên.

Cấu trúc luận văn bao gồm 5 chương:

 Chương 1: Đặt vấn đề. Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về

việc dạy học hình học ở bậc phổ thông, các kiến thức toán trong việc dạy

hình học và các khó khăn của học sinh trong việc học hình học. Từ đó chúng

tôi đặt ra một số vấn đề cho nghiên cứu này.

 Chương 2: Cơ sở lý thuyết. Trong chương này, chúng tôi đã điểm bình qua

một vài nghiên cứu liên quan đến dạy học hình học, làm rõ các khái niệm

mô thức hình học và không gian làm việc hình học, cũng như mối quan hệ

giữa chúng.

 Chương 3: Thiết kế nghiên cứu. Chương này trình bày về ngữ cảnh và

phương pháp nghiên cứu. Chúng tôi giới thiệu nội dung bảng hỏi, phiếu học

tập, phân tích tiên nghiệm các nội dung trong bảng hỏi, phiếu học tập.

 Chương 4: Kết quả nghiên cứu. Trong chương này, chúng tôi phân tích các

kết quả của phiếu học tập và bảng hỏi. Đối với phiếu học tập chúng tôi phân

loại theo ba hướng: lời giải bài toán dựa trên mô thức Hình học II, lời giải

bài toán dựa trên mô thức Hình học I và lời giải bài toán dựa trên việc kết nối

hai mô thức trên. Từ đó chúng tôi phân tích những khó khăn của học sinh khi

thực hiện một công việc hình học. Bảng hỏi chúng tôi phân tích quan niệm

của giáo viên về dạy học hình học dựa trên các câu trả lời của giáo viên.

 Chương 5: Kết luận. Trong chương này, trước hết chúng tôi phân tích các

yếu tố cho phép đưa đến các câu trả lời ban đầu đối với các câu hỏi nghiên

cứu. Sau đó, chúng tôi nêu lên các hạn chế của nghiên cứu này cũng như

định vị nghiên cứu của chúng tôi trong các hướng nghiên cứu hiện tại có liên

quan đến chủ đề này.

Chương 1

ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1. Vị trí của bộ môn Hình học trong chương trình phổ thông

Trong chương trình giảng dạy hiện nay, toán học đóng vai trò là một môn

học cơ sở cho giáo dục phổ thông, là công cụ đắc lực giúp cho việc dạy và học các

môn khác. Các kiến thức toán học đóng một vai trò rất quan trọng trong việc tìm

hiểu nội dung của các môn học khác như khoa học, xã hội học, thậm chí cả âm nhạc

và nghệ thuật. Việc học môn toán sẽ giúp học sinh phát triển năng lực, trí tuệ, sự

tưởng tượng, rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tác phong làm việc khoa học… góp

phần hình thành, phát triển nhân cách cho học sinh.

Hình học là một nội dung rất quan trọng trong việc học môn toán vì nó cho

phép các học sinh phân tích và giải thích thế giới chúng ta đang sống cũng như

trang bị các công cụ mà học sinh có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác của toán

học. Ngoài ra, các kiến thức về hình học còn hỗ trợ học sinh học tập các môn học

khác như khoa học, địa lý, nghệ thuật, thiết kế và công nghệ…Việc học hình học

góp phần giúp học sinh phát triển các kỹ năng như trực quan, tư duy phê phán, trực

giác, suy đoán, giải quyết vấn đề, lập luận suy diễn, lập luận và chứng minh logic…

Do đó việc dạy, học hình học là rất quan trọng trong chương trình phổ thông, học

sinh cần nắm được các kiến thức hình học và đạt được các kỹ năng cơ bản trong khi

học hình học.

Bộ môn hình học đóng một vai trò hết sức quan trọng trong chương trình

giảng dạy phổ thông. Tuy nhiên, từ thực tiễn cho thấy rằng học sinh gặp rất nhiều

khó khăn để có thể hiểu và học tốt bộ môn hình học. Điều này đặt ra thách thức rất

lớn cho các giáo viên trong việc giảng dạy, các giáo viên cần phải hiểu rõ bản chất

của các khó khăn mà học sinh mắc phải khi học hình học, đồng thời xây dựng cho

mình một phương pháp giảng dạy hình học phù hợp để có thể giúp đỡ học sinh vượt

qua các căng thẳng trong việc học hình học.

1.2.Sơ lược về dạy học hình học ở bậc trung học

Theo Kuzniak (2011, [17]) một trong những mục tiêu chính của việc dạy

hình học là bảo đảm rằng các học sinh hoàn thành việc xây dựng không gian làm

việc hình học phù hợp và hiệu quả của riêng mình. Sau đó, học sinh có thể hiểu và

giải các bài toán hình học bằng cách sử dụng không gian làm việc này. Tuy nhiên,

lời giải của bài toán phụ thuộc vào các mô thức hình học khác nhau liên quan đến

các thể chế khác nhau - các quốc gia - nơi hình học được giảng dạy. Từ sự đa dạng

của các mô thức hình học dẫn đến một sự đa dạng rất lớn của không gian làm việc

hình học: điều này giải thích một số lượng lớn các khó khăn và sai lầm của học sinh

trong việc học hình học.

Hiện nay, việc dạy học hình học ở bậc trung học chủ yếu tuân theo mô thức

Hình học II – hình học Euclid cổ điển. Một chứng minh hình học trong mô thức này

chỉ được xem là hợp lệ khi lập luận suy diễn được xây dựng dựa trên các kiến thức

hình học (định lý, định nghĩa, tính chất hình học…). Việc đưa ra chứng minh dựa

trên hình vẽ hoặc các quan sát được thực hiện với các công cụ đo đạc, vẽ hình như

thước kẻ, compa, thước đo góc… hoàn toàn không được chấp nhận. Tuy nhiên,

trong thực tế, học sinh có thể giải quyết bài toán trong các mô thức hình học khác

với mong đợi của giáo viên và yêu cầu của thể chế (chương trình, sách giáo khoa...)

- điều này gây ra một số khó khăn trong dạy học hình học.

Đôi lúc các giáo viên cũng chưa có sự quan tâm đúng mức đến thực tế xảy ra

trong lớp học hình học. Giáo viên thường mong muốn học sinh giải quyết một bài

toán hình học trong mô thức Hình học II mà không xem xét đến thực tế rằng học sinh

có thể có các cách tiếp cận trong các mô thức hình học khác nhau. Điều này dẫn đến

các chênh lệch trong quan điểm về dạy và học hình học giữa giáo viên và học sinh.

1.3. Kiến thức toán của giáo viên trong việc dạy hình học

Các nghiên cứu về đào tạo giáo viên toán được tiến hành trong những năm

1980 đã tập trung vào những gì mà giáo viên thực sự cần phải dạy trong lớp học.

Shulman (1986, [19]) đã giới thiệu khái niệm về Kiến thức nội dung sư phạm (PCK)

để bổ sung cho Kiến thức về nội dung môn học. Dựa trên ý tưởng này, những nghiên

cứu khác đã được thực hiện để mô tả kiến thức thực sự cần thiết để dạy học toán. Gần

đây, Hill, Ball & Schilling (2008, [7]) đã giới thiệu khái niệm Kiến thức về nội dung

và học sinh (KCS) và Kiến thức về nội dung và việc giảng dạy (KCT) nhằm sắp xếp,

bổ sung cho khía cạnh kiến thức toán cho việc dạy học (MKT).

Trong một cách tiếp cận khác, Steinbring (1998, [20]) đã nhấn mạnh về sự

cần thiết của việc tìm hiểu khía cạnh tri thức luận để cải thiện việc giảng dạy và đề

nghị để chuyển đổi thực hành dạy học hiện tại bằng cách thay đổi cách nhìn và sự

hiểu biết về toán học của giáo viên. Đây cũng là một khía cạnh mà chúng tôi vận

dụng trong nghiên cứu này, tức là sử dụng khái niệm về các mô thức hình học để

giải thích một số khó khăn mà học sinh và giáo viên gặp phải trong quá trình dạy và

học hình học.

1.4. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học

1.4.1. Nguồn gốc những khó khăn của học sinh trong việc học hình học

Theo các giáo viên trung học ở Pháp thì nguồn gốc của những khó khăn hay

hiểu lầm của học sinh trong hình học có bản chất ở khía cạnh tri thức luận và dạy

học. Dựa trên khái niệm chướng ngại tri thức luận của Bachelard (1938, [1]),

Brousseau (1997, [3]) đề xuất rằng việc học toán học có thể bị cản trở bởi ba loại

chướng ngại được phân biệt bởi nguồn gốc của chúng: cá thể, tri thức luận và dạy

học. Hai thuật ngữ đầu đề cập đến các khả năng hoặc sự hiểu biết của học sinh, và

thuật ngữ cuối liên quan nhiều hơn đến những sự lựa chọn về phương pháp dạy học

mà giáo viên thực hiện trong một hệ thống giáo dục. Trong khi các chướng ngại tri

thức luận là không thể tránh khỏi do vai trò định hình của nó trong tri thức mới sắp

được học, các chướng ngại về dạy học có thể được hình thành như là kết quả của

việc lựa chọn phương pháp tổ chức dạy học đặc thù của từng giáo viên hoặc từ việc

thiếu hiểu biết của giáo viên về khả năng nhận thức của học sinh.

Các vấn đề thuộc về khía cạnh dạy học cũng có thể xuất hiện khi học sinh

không thực hiện công việc hình học chính xác như giáo viên mong đợi, cho dù học

sinh nghĩ rằng công việc này hợp lệ. Cụ thể, sự hiểu lầm xảy ra khi quan điểm của

học sinh về những gì học sinh cần phải làm đi chệch khỏi các mong đợi của giáo

viên. Ví dụ, trong thực hành, khi học hình học, học sinh thường mất nhiều thời gian

để vẽ các hình hình học chính xác, trong khi đối với giáo viên, chúng đơn thuần chỉ

là các công cụ hỗ trợ về mặt trực quan.

1.4.2. Những khó khăn của học sinh trong việc học hình học

Việc học toán ở nhà trường cung cấp cho học sinh một “thế giới toán học”,

trong lĩnh vực hình học, “thế giới hình học” có đặc trưng cơ bản là khiến cho một

sự trừu tượng gần với thực tế. Vì vậy, hình hình học, hoàn toàn được xác định bởi

định nghĩa của nó, phải đối mặt với một hình vẽ, là cơ sở để định nghĩa. Điều này

phần nào giải thích tại sao học sinh gặp rất nhiều khó khăn để hiểu hình học.

Kuzniak & Rauscher (2011, [15]) đã sử dụng khái niệm mô thức hình học để

xem xét các khó khăn của học sinh trong việc học hình học, cụ thể, giáo viên và học

sinh có thể áp dụng các mô thức hoàn toàn khác biệt. Sự khác biệt trong cách tiếp

cận có thể dẫn đến những hiểu lầm. Do đó, các kiến thức hình học được tổ chức và

giảng dạy bởi giáo viên có thể được hiểu khác với những gì mà giáo viên dự định và

điều này dẫn đến những khác biệt về quan điểm giữa giáo viên và học sinh.

1.5. Ghi nhận và đặt vấn đề

Trong chương 1, chúng tôi đã trình bày sơ lược về việc dạy học hình học ở bậc

phổ thông, các kiến thức toán trong việc dạy hình học và các khó khăn của học sinh

trong việc học hình học. Nhiều nghiên cứu cho thấy rằng giáo viên chưa thực sự quan

tâm đúng mức đến thực tế xảy ra trong lớp học hình học. Các giáo viên thường yêu

cầu học sinh làm việc trong mô thức Hình học II. Tuy nhiên, các học sinh có thể sử

dụng mô thức hình học trái ngược với mong đợi của giáo viên. Điều này sẽ tạo ra các

chênh lệch trong việc dạy và học hình học giữa giáo viên và học sinh.

Các khái niệm mô thức hình học và không gian làm việc hình học cung cấp

một công cụ để các giáo viên có thể nhìn nhận và phân tích các cách thực hiện một

công việc hình học khác nhau của học sinh, từ đó giúp giáo viên có thể hiểu được

bản chất các khó khăn của học sinh khi học hình học và có phương án chuyển đổi

phương pháp dạy học cho phù hợp để có thể hỗ trợ học sinh vượt qua các khó khăn

khi học hình học.

Để làm sáng tỏ vấn đề này, trong chương 2, chúng tôi phân tích rõ hơn cơ sở

lý thuyết của các khái niệm mô thức hình học và không gian làm việc hình học. Sau

đó, chúng tôi trình bày mục tiêu nghiên cứu và cụ thể hoá nó bằng các câu hỏi

nghiên cứu của đề tài.

Chương 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1. Lý thuyết Van Hiele về các cấp độ nhận thức hình học

Lý thuyết Van Hiele có nguồn gốc từ luận án tiến sĩ của Dina Van Hiele-

Geldof và chồng bà là Pierre Van Hiele tại đại học Utrecht, Hà Lan vào năm 1957.

Đặc trưng nổi bật nhất của lý thuyết này là sự phân biệt 5 cấp độ nhận thức đối với

sự phát triển nhận thức hình học của học sinh.

Theo lý thuyết Van Hiele (1986, [21]), lý do chính của việc dạy học hình học

truyền thống thất bại ở các trường trung học là vì chương trình giảng dạy được trình

bày theo một cấp độ cao hơn so với khả năng của học sinh. Nói cách khác, học sinh

không thể hiểu được giáo viên cũng như giáo viên không hiểu tại sao học sinh lại

không hiểu! Mặc dù lý thuyết Van Hiele phân biệt sự khác nhau giữa 5 cấp độ nhận

thức nhưng chúng ta chỉ tập trung vào 4 cấp độ đầu tiên vì chúng thích hợp cho hình

học ở cấp độ tiểu họcvà trung học. Các đặc trưng của mỗi cấp độ được trình bày

như sau:

 Cấp độ 1: Nhận biết - trực quan

Học sinh có khả năng nhận ra, gọi tên, so sánh các hình hình học cơ bản

theo hình dạng bên ngoài bằng cách so sánh chúng với các hình vẽ mẫu, đo đạc

các yếu tố liên quan đến một hình (góc, cạnh…). Ở cấp độ này, học sinh chưa xác

định được tính chất của các hình và đưa ra quyết định chỉ dựa vào trực giác, không

phải dựa vào suy luận. Chẳng hạn, ở cấp độ này, khi giáo viên mô tả các hình thoi,

chữ nhật, hình vuông, học sinh có thể vẽ lại chúng trên bảng, học sinh nhận ra

hình vuông và hình chữ nhật là khác nhau nhưng chưa thể nhận ra hình thoi cũng

là một hình bình hành…

 Cấp độ 2: Phân tích

Ở cấp độ này, học sinh xem một hình như là tập hợp các tính chất (lớp các

hình). Học sinh có khả năng nhận ra và mô tả tính chất các hình cơ bản, nhưng

không thấy được mối quan hệ giữa các tính chất này. Học sinh có thể phân tích các

hình theo các thành phần của chúng và khám phá tính chất của các hình bằng thực

nghiệm (gấp, đo đạc, sử dụng tọa độ ô vuông…). Khi mô tả một hình, học sinh có

thể liệt kê tất cả các tính chất mà các em biết nhưng không phân biệt được tính chất

nào là cần hay đủ để mô tả nó. Chẳng hạn, học sinh nhận biết hai cạnh bên của một

tam giác cân thì bằng nhau, hai góc ở đáy tương ứng bằng nhau; hiểu được rằng một

hình là hình chữ nhật nếu nó có bốn góc vuông, thậm chí khi hình đó không được

vẽ cẩn thận…

 Cấp độ 3: Suy diễn không chính thống (sắp xếp)

Ở cấp độ này, học sinh nhận thức được mối quan hệ giữa các tính chất và các

hình, hiểu được mối quan hệ bao hàm giữa các hình. Học sinh có thể thực hiện các

suy luận đơn giản không chính thống (chưa thể chứng minh bằng suy diễn hình

thức). Ví dụ, học sinh nhận ra quan hệ bao hàm của các hình hình học sau: hình

vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, tứ giác. Học sinh bắt đầu hiểu thế nào là một

« chứng minh » trong hình học. Tuy nhiên, học sinh chưa thể hiểu bản chất của suy

luận diễn dịch (chứng minh).

 Cấp độ 4: Suy luận diễn dịch

Ở cấp độ này, học sinh có thể nhận ra mối quan hệ giữa các tính chất và thực

hiện các lập luận logic về các tính chất hình học, chứng minh các tính chất hình học

bằng lập luận diễn dịch. Học sinh hiểu vai trò của các tiên đề, định nghĩa và định lý;

hiểu được ý nghĩa của điều kiện cần, điều kiện đủ trong một phép chứng minh.

Chẳng hạn, học sinh có thể phân biệt được mệnh đề thuận/đảo; hoặc từ tính chất

song song của hai đường thẳng suy ra được sự bằng nhau của các góc tương ứng và

ngược lại…

 Cấp độ 5: Chính xác

Học sinh ở cấp độ này có thể hiểu được các khía cạnh hình thức của suy diễn

như thiết lập và so sánh các hệ tiên đề khác nhau. Học sinh thực hiện các suy diễn

trừu tượng (hình học đã được tiên đề hóa hoàn toàn), lập luận trong các hệ tiên đề

hình học khác nhau. Chẳng hạn, học sinh hiểu việc sử dụng gián tiếp các chứng

minh và chứng minh bằng phản chứng, có thể hiểu hệ thống hình học phi Euclide…

Clements & Battista (1992, [4]) đã đề nghị bổ sung thêm một cấp độ, gọi là

cấp độ 0, hay cấp độ tiền nhận thức. Học sinh ở cấp độ này chỉ ghi nhớ được một

tập con các tính chất trực quan của các hình, dẫn đến việc khó khăn trong phân biệt

các hình. Chẳng hạn, học sinh có thể phân biệt tam giác và tứ giác, nhưng khó khăn

trong phân biệt hình thoi với hình bình hành.

Theo lý thuyết Van Hiele, lập luận suy diễn xuất hiện lần đầu ở cấp độ 3 khi

mạng lưới các mối quan hệ logic giữa các tính chất được thiết lập. Ở cấp độ 1 và 2,

học sinh chỉ có thể trải nghiệm một chứng minh như một nỗ lực nhằm xác minh kết

quả. Tuy nhiên, vì học sinh không nghi ngờ tính hợp lệ của các quan sát thực

nghiệm nên trải nghiệm mà học sinh hướng tới là vô nghĩa. Ngoài ra, cần lưu ý rằng

quá trình chuyển đổi từ cấp độ 1 lên cấp độ 2 đặt ra vấn đề đặc biệt cho người học

sử dụng ngôn ngữ thứ 2 vì nó đòi hỏi sự tiếp nhận các thuật ngữ chuyên môn để mô

tả và khám phá các tính chất của các hình.

Bên cạnh việc cung cấp một cái nhìn sâu sắc trong tư duy, cụ thể cho từng

cấp độ tư duy hình học, Van Hiele đã xác định một số đặc trưng chung của lý thuyết

này. Các tính chất này đặc biệt quan trọng đối với nhà giáo dục bởi vì chúng cung

cấp hướng dẫn để đưa ra quyết định giảng dạy:

 Tính chất 1: Học sinh không thể ở cấp độ nhận thức n mà chưa đi qua cấp độ

n – 1.

 Tính chất 2: Mỗi cấp độ liền sau đều cao hơn cấp độ liền trước về bản chất

lập luận.

 Tính chất 3: Mỗi một cấp độ tương ứng với một ngôn ngữ, ký hiệu và hệ

thống các quan hệ riêng.

 Tính chất 4: Hai học sinh lập luận ở trong hai cấp độ khác nhau thì không thể

« hiểu nhau ».

 Tính chất 5: Quá trình chuyển từ một cấp độ sang cấp độ cao hơn ở học sinh

đòi hỏi nhiều thời gian, chủ yếu phụ thuộc vào các trải nghiệm dạy học mà

học sinh được tiếp nhận, hơn là vào tuổi tác của học sinh.

Theo lý thuyết Van Hiele, học sinh tiến bộ qua mỗi cấp độ tư duy thông qua

việc học được tổ chức thành 5 bước kiểu kiến tạo:

 Thông tin: qua trao đổi, giáo viên xác định những gì học sinh đã biết về một

chủ đề và định hướng học sinh vào chủ đề mới.

 Hướng dẫn: học sinh khám phá nội dung bài học qua các nhiệm vụ toán thiết

kế cẩn thận như gấp hình, đo đạc, dựng hình.

 Phát biểu: học sinh mô tả những gì vừa được học theo ngôn ngữ của mình.

Giáo viên giới thiệu các thuật ngữ toán học thích hợp.

 Áp dụng: học sinh áp dụng kiến thức đang học vào giải quyết các vấn đề và

khảo sát các nhiệm vụ kết thúc mở.

 Tích hợp: học sinh tóm lược và tích hợp những gì đã được học, phát triển hệ

thống các đối tượng và quan hệ hình học mới.

Theo lý thuyết này để việc học có ý nghĩa, học sinh nên được làm quen và

khám phá nội dung hình học theo các bước từ thấp đến cao tương ứng với các cấp

độ Van Hiele.

2.2. Hình học từ một tiếp cận nhận thức

Theo Duval (1998, [5]), suy luận trong hình học liên quan chủ yếu đến ba

quá trình nhận thức sau đây:

 Trực quan hóa (visualization)

◦ Khả năng diễn giải và hiểu các thông tin liên quan đến hình.

◦ Tạo ra hình ảnh (tư duy hoặc thực) từ các ý tưởng trừu tượng.

 Dựng hình (construction)

◦ Quá trình sử dụng các công cụ để dựng các mô hình.

◦ Thước kẻ, compa, gấp hình, phần mềm… là các công cụ dựng hình

chủ yếu.

Ở đây cần phân biệt hai khái niệm quan trọng là hình vẽ và hình hình học:

Hình vẽ Hình hình học

Đối tượng vật chất cụ thể được vẽ Một hình phản ánh một đối tượng lý

thuyết được biểu diễn

Hình vẽ biểu diễn một hình hình học Hình được lập nên từ các đối tượng

hoặc một đối tượng vật lý hình học (điểm, đường thẳng…) và các

tính chất giữa chúng

Hình vẽ không thuộc không gian hình Thuộc về không gian hình học

học

 Suy luận (reasoning)

◦ Suy luận hình học dựa trên tiên đề.

Theo Jones & Bills (1998, [10]), Duval đã chỉ ra rằng những quá trình nhận

thức khác nhau có thể được thực hiện một cách riêng biệt. Ví dụ, trực quan hóa

không nhất thiết phụ thuộc vào dựng hình. Tương tự như vậy, ngay cả khi việc dựng

hình dẫn đến trực quan hóa, quá trình dựng hình thực sự chỉ phụ thuộc vào các kết

nối giữa các tính chất toán học có liên quan và những hạn chế của công cụ đang

được sử dụng. Tương tự, trực quan hóa có thể trợ giúp để suy luận nhưng trong một

số trường hợp cũng có thể gây ra hiểu lầm.

Tuy nhiên, Duval (1998, tr. 38, [5]) lập luận rằng: "ba loại quá trình nhận

thức này được kết nối chặt chẽ và sức mạnh tổng hợp của chúng về mặt nhận thức

là cần thiết để thành thạo về khía cạnh hình học". Duval đã minh họa các kết nối

giữa ba kiểu quá trình nhận thức theo sơ đồ sau:

Trực quan hóa

Dựng hình Suy luận

Hình 2.1. Kết nối giữa ba kiểu quá trình nhận thức (Duval, 1998, tr. 38, [5])

Trong sơ đồ trên mỗi mũi tên đại diện cho cách một loại quá trình nhận thức

có thể hỗ trợ một loại khác trong bất kỳ hoạt động hình học. Mũi tên từ trực quan

hóa đến suy luận được vẽ chấm chấm bởi vì, như đã lập luận ở trên, trực quan hóa

không luôn luôn hỗ trợ suy luận. Mũi tên "vòng tròn" minh họa rằng suy luận có thể

phát triển theo một cách độc lập với các quá trình dựng hình hoặc trực quan hóa.

Cho rằng sức mạnh tổng hợp của ba quá trình này là cần thiết về mặt nhận thức

để thành thạo hình học, theo Duval, vấn đề là làm thế nào để cho các học sinh nhận ra

mối liên hệ giữa ba loại quá trình. Duval (1998, [5]) lập luận rằng, trong cố gắng để

hiểu sự phát triển của lập luận hình học, nghiên cứu của ông đã chỉ ra như sau:

1. Ba loại quá trình nhận thức phải được phát triển riêng biệt.

2. Công việc phân biệt sự khác nhau giữa quá trình trực quan hóa và quá

trình suy luận là cần thiết trong chương trình giảng dạy.

3. Việc phối hợp ba loại quá trình chỉ thực sự có thể xảy ra sau khi thực hiện

việc phân biệt.

2.3. Mô thức và mô thức hình học

2.3.1. Khái niệm mô thức

Khái niệm mô thức (paradigm) được Thomas Samuel Kuhn giới thiệu trong

tác phẩm The structure of scientific revolutions (1962, 1966), một trong những tác

phẩm khoa học được trích dẫn nhiều nhất thế kỷ XX. Theo Kuhn (1966, [11]), thuật

ngữ mô thức đại diện cho toàn bộ tập hợp các niềm tin, giá trị, kỹ thuật, thực

hành… được chia sẻ bởi các thành viên trong một cộng đồng khoa học.

Khái niệm mô thức mở rộng khái niệm lý thuyết và liên kết nó với sự tồn

tại của một cộng đồng các cá nhân cùng chia sẻ một lý thuyết chung. Một mô

thức là những gì các thành viên của một cộng đồng khoa học chia sẻ và một cộng

đồng khoa học bao gồm những người chia sẻ cùng một mô thức (Kuhn, 1966, tr.

180, [11]).

Khi mọi người chia sẻ cùng một mô thức chung, họ có thể giao tiếp với nhau

rất dễ dàng và theo một cách rõ ràng. Ngược lại, khi họ ở trong những mô thức khác

nhau, những sự hiểu lầm có thể thường xuyên xảy ra. Chẳng hạn, các hình vẽ được

sử dụng như thế nào trong hình học phụ thuộc vào mô thức hình học nào được chấp

nhận: sử dụng các hình vẽ để chứng minh một tính chất hình học bằng cách đo đạc

nhiều lúc không được chấp nhận.

2.3.2. Mô thức hình học

Theo quan điểm nhận thức luận của Gonseth (1945-1955, [6]), ba mô thức

hình học sau đây được đưa ra bởi Houdement & Kuzniak (1999; 2003, [8], [9]) để

tổ chức sự tương tác giữa trực giác, suy diễn và lập luận. Ba mô thức hình học lần

lượt được gọi là Hình học I (Hình học tự nhiên), Hình học II (Hình học tiên đề tự

nhiên), Hình học III (Hình học tiên đề hình thức).

Hình học I: Hình học tự nhiên

Hình học tự nhiên có phạm vi là thế giới thực và có thể nhận thức được bằng

giác quan. Đó cũng là căn cứ để hợp thức (chứng minh) các mệnh đề trong mô thức

hình học này. Trong hình học này, các khẳng định hợp lý được tạo ra bằng cách sử

dụng lập luận dựa trên tri giác, thử nghiệm và suy luận. Các khẳng định được chứng

minh bằng cách phối hợp mô hình và thực tế. Chứng minh có thể dựa vào hình vẽ

hoặc các quan sát được thực hiện với các công cụ đo đạc, vẽ hình như thước kẻ,

compa, thước đo góc… và cũng có thể gấp hoặc cắt hình để đi đến một khẳng định.

Về mặt lịch sử, sự phát triển của hình học này đã được thúc đẩy bởi các vấn đề thực

tế. Hình học I có bản chất là hình học kỹ thuật và có thể xem là “hình học ở cấp độ

tiểu học”.

Hình học II: Hình học tiên đề tự nhiên

Hình học II, với nguyên mẫu là hình học Euclid cổ điển, được xây dựng trên

một mô hình tiệm cận với thực tế. Một khi các tiên đề được thiết lập, chỉ có các

chứng minh được phát triển trong hệ thống các tiên đề mới có hiệu lực. Hệ thống

các tiên đề có thể chưa đầy đủ và hoàn chỉnh, chưa hoàn toàn tiên đề hóa một cách

hình thức (còn liên kết với thực tế về ngữ nghĩa). Hình học II là có thể xem như là

“hình học ở cấp độ trung học cơ sở và trung học phổ thông”.

Hình học III: Hình học tiên đề hình thức

Hình học I và II đều gắn liền với thế giới thực, nhưng theo những cách khác

nhau. Đặc biệt, chúng khác nhau ở kiểu hợp thức (chứng minh) một khẳng định và

bản chất của hình (trong Hình học I, hình có tính duy nhất và cụ thể, trong Hình học

II, hình mang tính tổng quát và dựa trên định nghĩa). Điều này khác với hình học

III, nơi mà hệ thống các tiên đề là trung tâm và tách khỏi thực tế. Hệ thống này là

đầy đủ và không còn liên quan đến các ứng dụng trong thế giới thực. Khía cạnh lập

luận logic hình thức là chủ đạo trong mô thức hình học này. Hình học Euclide trừu

tượng, hình học phi Euclide, hình học affine… là các ví dụ về Hình học III. Ta có

thể xem Hình học III như là « hình học ở cấp độ đại học ».

2.3.3. Mối quan hệ giữa các mô thức hình học

Theo Houdement & Kuzniak (2003, [9]), mối quan hệ giữa các mô thức hình

học được trình bày trong bảng sau:

Hình học I Hình học II Hình học III

Cảm giác, gắn với tri Trong nội bộ Gắn với các hình Trực giác giác, trải nghiệm toán học

Gắn với một sơ Trải nghiệm Gắn với đo đạc Theo kiểu logic đồ của thực tế

Chứng minh Gần với thực tế và Chứng minh dựa hoàn toàn dựa Suy diễn gắn với trải nghiệm trên các tiên đề trên các tiên đề

Không gian trực giác Không gian Không gian Kiểu không gian và vật lý vật lý-hình học trừu tượng

Sơ đồ của một

Đối tượng nghiên cứu khái niệm lý Vai trò Hỗ trợ lập luận của hình vẽ (và chứng minh) thuyết, công cụ

thử nghiệm

Chứng minh và Thực chứng và tạo Tính chất và mối liên hệ giữa Khía cạnh ưu tiên dựng hình chứng minh các đối tượng

Bảng 2.1. Mối quan hệ giữa các mô thức hình học (Houdement & Kuzniak, 2003, [9])

2.4. Không gian làm việc hình học

2.4.1. Khái niệm về không gian làm việc hình học

Nhiều quan điểm nhân chủng hiện đại đều xem toán học nói chung và hình

học nói riêng, khi được dạy trong trường học, là một dạng hoạt động của con người

và được xem như một phần trong một hệ thống xã hội, chứ không đơn thuần chỉ là

lĩnh vực của các ký hiệu và biểu tượng trừu tượng. Xem xét toán học như là một

hoạt động có tính xã hội được thực hiện bởi bộ não con người có thể giúp chúng ta

hiểu cách cộng đồng và các cá nhân áp dụng một mô thức hình học trong thực hành

hàng ngày về toán học. Theo Kuzniak (2011, [17]), khi các chuyên gia (nhà hình

học) cố gắng để giải quyết một số bài toán hình học, họ có thể chuyển đổi qua lại

giữa các mô thức. Họ có thể sử dụng các hình vẽ cho các mục đích khác nhau, đôi

khi là đối tượng để nghiên cứu và đôi khi như một phương tiện để hợp thức một số

tính chất. Tuy nhiên, họ luôn biết chính xác mức độ tin cậy mà họ có thể cung cấp

cho mỗi kết luận của mình.

Một loạt các vấn đề liên quan đến người sử dụng hình học được gợi lên khi

chúng ta quan niệm hình học như một công việc của con người. Công việc này phụ

thuộc vào vai trò của trực quan và công cụ vẽ hình trong quá trình hợp thức. Nó

cũng phụ thuộc vào mô hình của các tính chất và định nghĩa của các đối tượng hình

học. Cuối cùng, nó phụ thuộc vào niềm tin và kiến thức của mỗi cá nhân học sinh.

Do đó, để mô tả sự phức tạp của một công việc hình học, khái niệm không gian

làm việc hình học (GWS) đã được đưa vào. GWS (Kuzniak, 2006, 2008, [12], [13]) là

nơi được tổ chức, sắp xếp để đảm bảo công việc của người giải quyết các bài toán hình

học (học sinh, giáo viên, nhà hình học…). Một GWS bao gồm hai mức độ (khía cạnh):

mức độ thành phần (hay mức độ tri thức luận) và mức độ nhận thức.

Trực quan Chứng minh

Dựng hình

Không gian thực Mô hình lý thuyết

Công cụ

Hình 2.2. Không gian làm việc hình học (Kuzniak, 2012, [14])

 Mức độ thành phần bao gồm ba yếu tố sau đây:

 Một không gian có tính địa phương và thực.

 Một tập hợp các công cụ, chẳng hạn như các công cụ vẽ hoặc phần mềm.

 Một mô hình lý thuyết tham chiếu dựa trên các định nghĩa và tính chất.

Trong đó:

 Không gian địa phương và thực phụ thuộc vào từng mô thức hình học

◦ Đối với Hình học I, đó là các hình vẽ, hình mẫu thực.

◦ Đối với Hình học II, đó là các hình hình học.

◦ Đối với Hình học III, đó là các đối tượng trừu tượng (điểm, đường

thẳng, mặt phẳng).

 Các công cụ :

◦ Trong Hình học I, đó là thước có chia vạch, thước đo độ, compa…

◦ Trong Hình học II, đó là thước không chia vạch, compa, phần mềm…

nhưng phải chứng minh cách dựng hình bằng lý thuyết.

◦ Trong Hình học III, đó là thước, compa, phần mềm… nhưng hình vẽ

chỉ mang tính hỗ trợ thực nghiệm.

 Mô hình lý thuyết: Đó là các mô thức Hình học I, II và III.

Người ta thấy rằng mức độ thành phần như trên chưa đủ để xác định nghĩa

tổng quát của một GWS, vì nghĩa đó còn phụ thuộc vào chức năng mà người sử

dụng nó (học sinh, giáo viên…) xác định cho nó. Vì vậy, mức độ nhận thức được

đưa vào để mô tả hoạt động nhận thức của một cá nhân sử dụng nó. Kuzniak (2006,

[12]) đã chọn tiếp cận nhận thức hình học của Duval để làm rõ các quá trình nhận

thức liên quan trong quá trình giải quyết các bài toán hình học.

 Khía cạnh nhận thức của một GWS bao gồm ba quá trình nhận thức sau đây:

 Một quá trình trực quan liên quan đến các biểu diễn không gian tương ứng.

 Một quá trình dựng hình được xác định bằng các công cụ (thước, compa…)

và các hình dạng hình học.

 Một quá trình suy luận hình học để chuyển tải lập luận và chứng minh.

Cả hai khía cạnh thành phần và nhận thức như trên cần phải được khớp nối để đảm

bảo một công việc hình học chặt chẽ và đầy đủ.

2.4.2. Các loại không gian làm việc hình học

Khi GWS được tạo ra trong khuôn khổ thể chế nhà trường, việc giới thiệu

các cấp độ khác nhau của GWS là cần thiết để mô tả sự đa dạng tồn tại trong giáo

dục nhà trường. Kuzniak (2011, [16], [17]) đã phân chia GWS thành ba loại sau:

 GWS qui chiếu

◦ Cộng đồng (nhà toán học, nhà thiết kế chương trình…) nhất trí về một

mô thức hình học để dạy.

◦ Là GWS tương ứng với cấp độ chương trình (nghiên cứu ý định của

chương trình).

 GWS tương thích

◦ GWS qui chiếu phải được sắp xếp, tổ chức lại để trở thành một GWS

thích hợp, hiệu quả cho việc tổ chức dạy học hình học.

◦ Là GWS tương ứng ở cấp độ sách giáo khoa (nghiên cứu nội dung

sách giáo khoa).

 GWS cá nhân

◦ GWS tương thích sẽ được chiếm lĩnh, khám phá bởi học sinh (và giáo

viên), phụ thuộc vào kiến thức, nhận thức của mỗi cá nhân.

◦ Là GWS tương ứng với cấp độ thực hành dạy học trong lớp học

(nghiên cứu thực hành của giáo viên, quan niệm của học sinh…).

Theo Kuzniak & Rauscher (2011, [15]), một GWS chỉ tồn tại thông qua

người sử dụng nó. Cấu trúc của nó phụ thuộc vào cách người sử dụng kết hợp hai

khía cạnh thành phần và nhận thức của chúng để giải quyết các bài toán hình học.

Nó cũng phụ thuộc vào khả năng nhận thức của một người sử dụng cụ thể, các

chuyên gia hoặc người mới bắt đầu học hình học.

Cấu trúc của một GWS sẽ thay đổi tùy theo hệ thống giáo dục, ngữ cảnh

trường học, cá nhân học sinh và giáo viên. Trong thực tế, cấu trúc của một GWS

không dựa trên một mô thức duy nhất, mà là trên sự tương tác giữa các mô thức

khác nhau.

2.5. Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độ Van Hiele

Theo Braconne-Michoux (2011, [2]), mối quan hệ giữa mô thức hình học và

các cấp độ Van Hiele được thể hiện trong bảng sau:

Hình học tự nhiên Hình học tiên đề

Hình học III Hình học II Kiểu hình học Hình học I (cụ thể, hình họa) (tiên đề (tựa tiên đề) chính thức)

Vật lý Lý thuyết Đối tượng

Trực giác Suy diễn Kiểu hợp thức (chứng minh)

Level 1: Level 2: Level 3: Level 4: Level 5:

Trực quan Phân tích Suy diễn Suy luận Chính

– Nhận không diễn dịch xác Cấp độ Van Hiele dạng chính

thống

Bảng 2.2. Mối quan hệ giữa mô thức hình học và các cấp độVan Hiele (Braconne-

Michoux, 2011, [2])

Từ bảng trên, có thể thấy rằng cấp độ suy luận diễn dịch trong hình học

thường gặp ở phổ thông nằm hoàn toàn trong mô thức Hình học II, trong khi đó

mức độ suy diễn không chính thống nằm ở phần tương giao giữa hai mô thức Hình

học I và II.

2.6. Câu hỏi nghiên cứu

Các phân tích trong chương 1 cho phép chúng tôi đặt ra một số vấn đề cho

nghiên cứu. Cơ sở lý thuyết trình bày ở trên định vị cách nhìn khoa học của chúng

tôi đối với vấn đề nghiên cứu đặt ra và cho phép cụ thể hoá mục tiêu nghiên cứu

thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

 Câu hỏi 1: Học sinh THCS (lớp 9) gặp phải khó khăn như thế nào khi thực

hiện một công việc hình học? Nguyên nhân của các khó khăn đó là gì?

 Câu hỏi 2: Giáo viên quan niệm về việc dạy học hình học như thế nào? Mô

thức hình học được giáo viên sử dụng để dạy học hình học? GWS cá nhân

của giáo viên và tầm quan trọng của mỗi thành phần như thế nào ?

2.7. Kết luận chương 2

Trong chương này, chúng tôi đã điểm bình qua một vài nghiên cứu liên quan

đến dạy học hình học, làm rõ các khái niệm mô thức hình học và GWS cũng như

mối quan hệ giữa chúng. Việc phân tích các yếu tố lý thuyết này cho phép chúng tôi

định vị cách tiếp cận vấn đề và định mục tiêu nghiên cứu, từ đó chúng tôi hình

thành các câu hỏi nghiên cứu phù hợp cho đề tài.

Chương 3

THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

3.1. Ngữ cảnh và mục tiêu

3.1.1. Ngữ cảnh

Thực nghiệm đã được tiến hành vào học kỳ 2 của năm học 2014 - 2015 trên

đối tượng là học sinh lớp 9/1 Trường THCS Lộc Sơn – Phú Lộc – Huế. Chúng tôi

đã tiến hành thực nghiệm trên 30 học sinh lớp 9/1. Học sinh của lớp 9/1 được chọn

có kết quả học tập môn toán khá, đại diện cho phần lớn học sinh trong trường. Tiếp

theo, chúng tôi tiến hành mời một số giáo viên THCS giảng dạy môn toán trả lời

các câu hỏi được đưa ra trong một bảng hỏi để thu thập dữ liệu.

3.1.2. Mục tiêu

Phần thực nghiệm có mục tiêu là thu thập dữ liệu cần thiết và phù hợp về:

 Các khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải quyết một công việc hình học.

 Cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải

quyết một công việc hình học.

 Quan niệm của giáo viên về việc dạy học hình học.

3.2. Phương pháp nghiên cứu

Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu trên, chúng tôi tiến hành tổ chức thực

nghiệm như sau:

Quan sát lớp học: Học sinh làm việc trên phiếu học tập được chuẩn bị sẵn.

Nội dung các phiếu học tập đề cập đến các bài toán mà học sinh có thể đưa ra lời

giải tùy thuộc vào mô thức hình học mà học sinh lựa chọn.

Bảng hỏi: Sau chuỗi bài thực nghiệm, chúng tôi tiến hành thu thập dữ liệu từ

các câu trả lời của giáo viên thông qua bảng hỏi. Mục đích là tìm hiểu quan niệm

của các giáo viên về việc dạy hình học, cách giáo viên xem xét các khó khăn mà

học sinh gặp phải khi giải quyết một công việc hình học cũng như cách giáo viên xử

lý các khó khăn mà học sinh mắc phải.

Phân tích dữ liệu được thực hiện đối với lời giải các bài toán trong phiếu học

tập được học sinh thực hiện và các câu trả lời trong bảng hỏi được giáo viên thực

hiện. Chúng tôi phân tích kết quả theo ba hướng:

 Các khó khăn mà học sinh có thể gặp phải khi giải quyết một công việc hình

học: chúng tôi xem xét tất cả lời giải của các bài toán được học sinh đưa ra

trong phiếu học tập dựa trên khung lý thuyết mô thức hình học và GWS,

phân loại các câu trả lời của học sinh là theo quan điểm hình học I hay hình

học II hoặc nối khớp giữa hai mô thức trên. Từ đó, chúng tôi phân tích những

khó khăn mà học sinh có thể gặp phải khi giải quyết một công việc hình học.

 Cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh có thể gặp phải

khi giải quyết một công việc hình học: căn cứ vào các câu trả lời mà giáo

viên đưa ra trong bảng hỏi, chúng tôi sẽ phân tích cách giáo viên xem xét và

xử lý các khó khăn mà học sinh có thể gặp phải.

 Quan niệm của giáo viên về việc dạy hình học: căn cứ vào các câu trả lời mà

giáo viên đưa ra trong bảng hỏi, chúng tôi sẽ phân tích và xem xét quan niệm

của giáo viên về việc dạy hình học.

3.3. Nội dung phiếu học tập

Sau đây chúng tôi trình bày nội dung các phiếu học tập và phân tích tiên

nghiệm. Bài toán trong phiếu học tập 1 được chúng tôi trích dẫn từ một nghiên cứu

của Rauscher & Kuzniak (2005, [26]). Bài toán này được Rauscher và Kuzniak lấy

từ một cuốn sách giáo khoa thiết kế cho học sinh ở tuổi 14.

3.3.1. Phiếu học tập 1

Họ và tên:………………………………..

Lớp: ………………

PHIẾU HỌC TẬP 1

Bài toán 1: Xét hình vẽ bên với các

kích thước được cho sẵn.

Câu hỏi: Tại sao chúng ta có thể

khẳng định rằng tứ giác OELM là

một hình thoi? Marie cho rằng

OELM là một hình vuông. Charlotte

cho rằng điều đó sai. Theo em,

Marie đúng hay Charlotte đúng?

Giải thích?

Phân tích tiên nghiệm:

Mục tiêu của bài toán này là xem xét việc học sinh xác định một không gian

làm việc hình học để giải bài toán, tùy thuộc vào quan điểm nhìn hình vẽ, học sinh

sẽ có cách giải khác nhau phụ thuộc vào mô thức Hình học (I hoặc II) mà học sinh

lựa chọn.

Nhiệm vụ của học sinh: xác định xem ai trả lời đúng, Marie hay Charlotte.

Bằng cách sử dụng định lý Pythagore (đảo) và đưa ra kết luận tùy vào mô thức hình

học mà học sinh lựa chọn. Ở đây, học sinh lớp 9 được mong đợi giải quyết bài toán

trong mô thức Hình học II. Học sinh có thể đưa ra các câu trả lời như sau:

 Từ quan điểm Hình học II, học sinh kết luận Charlotte trả lời đúng: - Nếu tam giác OEM vuông ở O thì ta có OE2+ OM2 = ME2. Kiểm tra xem liệu 42 + 42 = 5,62 ta có 32 không bằng 31,26. Do đó, OEM không phải là

một tam giác vuông.

 Từ quan điểm Hình học I, học sinh kết luận Marie trả lời đúng:

- OELM là một hình vuông, vì √32 xấp xỉ bằng 5,6.

- OELM là một hình vuông vì nó là một hình thoi và có một góc vuông (đo đạc).

- Dựa vào hình vẽ, học sinh kết luận OELM là hình vuông mà không đưa ra

bất kỳ lời giải thích nào.

 Khi giải quyết bài toán này học sinh có thể mắc các sai lầm như:

- Dựa vào hình vẽ, học sinh khẳng định rằng OELM là hình vuông và cố gắng

để chứng minh được điều đó (học sinh lấy giá trị của √32 xấp xỉ bằng 5,6),

hoặc học sinh phụ thuộc tuyệt đối vào hình vẽ, đưa ra kết luận dựa trên cảm

giác, OELM là hình vuông mà không đưa ra chứng minh (cũng có thể do

thiếu kiến thức hình học).

- Giả thiết ME = 5,6 làm cho học sinh nghĩ đến việc sử dụng giá trị gần đúng

với một chữ số thập phân. Trong trường hợp này học sinh sẽ lấy √32 bằng

5,6 và kết luận OELM là hình vuông.

- Học sinh đo đạc và kết luận OELM là hình vuông.

3.3.2. Phiếu học tập 2

Họ và tên:………………………………..

Lớp: ………………

PHIẾU HỌC TẬP 2

C

1,4 cm

Bài toán 2: Dựng tam giác ABC

I

vuông cân tại A, BA = 6 cm.

J

Câu hỏi:

1. Tính BC

5 cm

2. Trên cạnh BC dựng điểm I sao cho

CI = 1,4 cm. Trên cạnh CA dựng điểm

J sao cho JA = 5 cm. IJ có song song

với BA? Chứng minh cho câu trả lời

B

A

của bạn.

Phân tích tiên nghiệm:

Mục tiêu của bài toán này là xem xét liệu học sinh có chuyển đổi liên tục

giữa các mô thức hình học để giải quyết bài toán hay không. Đầu tiên, học sinh sử

dụng công cụ đo đạc để dựng hình (Hình học I) và sau đó đi đến một kết quả tính

toán rất chính xác và kết luận IJ không song song BA (Hình học II) hay quan điểm

của học sinh chỉ dừng lại ở Hình học I.

Nhiệm vụ của học sinh trong câu hỏi 1 là sử dụng một hình vẽ và công cụ đo

đạc để kiểm tra và hợp thức việc dựng hình; tính độ dài BC bằng cách sử dụng định

lý Pythagore và đưa ra kết quả (6√2 hay giá trị xấp xỉ). Trong câu hỏi 2, học sinh

sử dụng công cụ đo đạc để dựng điểm I, J (đo độ dài CI và AJ), sử dụng định lý

Thales để kiểm tra xem liệu IJ // BA. Trong bài toán này, học sinh được mong đợi

đưa ra kết quả chính xác 6√2 và kết luận IJ không song song với BA. Học sinh có

thể đưa ra các câu trả lời như sau:

(cid:2869),(cid:2872)

(cid:2869)

≠

 Từ quan điểm Hình học II:

nên

CI CB

CJ CA

(cid:2874)

(cid:2874)√(cid:2870)

vì vậy IJ không song ≠ - BC = √AB(cid:2870) + AC(cid:2870) = 6√2 và

song với BA.

(cid:2887)(cid:2894)

 Từ quan điểm Hình học I:

- BC = √AB(cid:2870) + AC(cid:2870) = 6√2 ≈ 8,4 lúc đó

CI CB

1 6 vì vậy IJ // BA.

(cid:2887)(cid:2885)

= =

- Dựa vào hình vẽ, học sinh kết luận IJ // BA.

 Khi giải quyết bài toán này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:

(cid:2887)(cid:2894)

- Giả thiết CI = 1,4 làm cho học sinh nghĩ đến việc sử dụng giá trị gần đúng

CI CB

(cid:2887)(cid:2885)

1 6 tức là IJ // BA. - Từ hình vẽ học sinh bị thuyết phục rằng IJ // BA, vì vậy học sinh cố gắng

= một chữ số thập phân. Trong trường hợp này thì =

chứng minh điều này bằng cách lấy giá trị 6√2 xấp xỉ bằng 8,4.

3.3.3. Phiếu học tập 3

Họ và tên:………………………………..

Lớp: ………………

PHIẾU HỌC TẬP 3

x

Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông

tại B, AB = 4 cm, BC = 2 cm. Tia Ax

vuông góc với AB.

Câu hỏi: Có tồn tại hay không một

C

điểm M nằm trên tia Ax sao cho tam

giác ACM là tam giác đều? Chứng

minh cho câu trả lời của bạn?

A

B

Phân tích tiên nghiệm:

Mục tiêu của bài toán này là xem xét việc học sinh xác định một không gian

làm việc hình học để giải bài toán. Học sinh sẽ đưa ra câu trả lời tùy thuộc vào mô

thức Hình học (I hoặc II) mà học sinh lựa chọn.

Nhiệm vụ của học sinh là khẳng định không tồn tại một điểm M nằm trên tia

Ax để tam giác ACM đều và đưa ra giải thích tùy thuộc vào mô thức hình học mà

học sinh lựa chọn. Trong bài toán này, học sinh lớp 9 được mong đợi sẽ đưa ra câu

trả lời không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để tam giác ACM đều trong Hình học

II. Học sinh có thể đưa ra các câu trả lời như sau:

 Từ quan điểm Hình học II:

- Giả sử tồn tại điểm M trên tia Ax để tam giác ACM đều, lúc đó BAC(cid:3554) = 30(cid:2868).

Lấy C’ là điểm đối xứng của C qua AB. Khi đó tam giác CAC’ đều. Vô lý vì

CC’ = 4 cm, CA = AC’= 2√5 cm. Vậy không tồn tại điểm M nằm trên tia

Ax để tam giác ACM đều.

- Ta có tan CAB(cid:3554) = 2/4 = 0,5 nên CAx(cid:3554) = 90(cid:2868) − CAB(cid:3554) = 63,43(cid:2868) do đó không

tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để tam giác ACM đều.

 Từ quan điểm Hình học I:

- Dựng đường tròn (A, AC) và đường tròn (C, AC), giao điểm của hai đường

tròn này không nằm trên tia Ax nên không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để

tam giác ACM đều.

- CAx(cid:3554) ≈ 64(cid:2868) (đo) nên không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax để tam giác

ACM đều.

 Khi giải quyết bài toán này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:

- Học sinh sử dụng các công cụ như compa, thước đo góc… để thực hiện việc

đo đạc và đưa ra kết luận.

3.3.4. Phiếu học tập 4

Họ và tên: ………………………………..

Lớp: ………………

PHIẾU HỌC TẬP 4

B

A

Bài toán 4: Cho hình vuông

ABCD cạnh 6 cm, E là trung điểm

của CD, từ A kẻ đường thẳng

vuông góc với BE tại F.

F

6 cm

Câu hỏi: Tam giác ADF có phải là

một tam giác cân? Chứng minh

cho câu trả lời của bạn.

D

E

C

Phân tích tiên nghiệm:

Mục tiêu của bài toán này là xem xét việc học sinh đưa ra câu trả lời tùy thuộc

vào mô thức Hình học (I hoặc II) mà học sinh lựa chọn, sử dụng chứng minh trong

Hình học I (đo đạc hoặc dựng đường tròn tâm D bán kính 6 cm để đi đến kết luận Δ

ADF là tam giác cân tại đỉnh D) như một nguồn hỗ trợ lập luận trong Hình học II.

Nhiệm vụ của học sinh trong bài toán này là kiểm tra ΔADF là một tam giác

cân (có thể dựa vào quan sát hoặc sử dụng thước, compa đo đạc trên hình vẽ) từ đó

đưa ra một chứng minh trong Hình học II. Trong bài toán này, giáo viên mong đợi

học sinh đưa ra câu trả lời ΔADF cân tại D và đưa ra một chứng minh trong Hình

học II. Học sinh có thể đưa ra các câu trả lời như sau:

 Theo quan điểm Hình học I:

- Dựng đường tròn tâm D bán kính 6 cm thì điểm F nằm trên đường tròn. Vậy

DA = DF nên Δ AFD cân tại D.

 Theo quan điểm Hình học II:

- Lời giải 1: ta có BAF(cid:3554) = DAE(cid:3555) (cid:3435)cùng bằng CBE(cid:3554) (cid:3439) và tứ giác AFED nội tiếp nên

DAF(cid:3554) = 90(cid:2868) − BAF(cid:3554) = 90(cid:2868) − DAE(cid:3555) và AFD(cid:3555) = 90(cid:2868) − DEF(cid:3554) = 90(cid:2868) − DAE(cid:3555) . Vậy

DAF(cid:3554) = AFD(cid:3555) hayΔ AFD cân tại D.

- Lời giải 2: Gọi G là giao điểm của AD và BE. Khi đó DE là đường trung

bình của Δ GAB, nên D là trung điểm của AG. Vì Δ AFG vuông tại F nên

DF = AG/2 = DA. Vậy Δ AFD cân tại D.

- Lời giải 3: gọi X là trung điểm của AB. Vì DX // EB nên AF vuông góc DX

tại Y. Khi đó ta có ΔAYX ≅ ΔAFB nên Y là trung điểm của AF. Vậy Δ AFD

cân tại D.

 Khi giải quyết bài toán này học sinh có thể mắc các sai lầm sau:

- Học sinh xác định sai đỉnh tam giác cân.

- Học sinh dựa vào đo đạc, dựng đường tròn tâm D bán kính 6 cm kết luận

tam giác ADF cân.

3.4. Bảng hỏi

3.4.1. Nội dung bảng hỏi

Bảng hỏi bao gồm ba câu hỏi liên quan đến quan niệm của giáo viên về dạy

học hình học, cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh có thể gặp

phải khi giải quyết một công việc hình học. Câu hỏi thứ nhất được giáo viên trả lời

khi giáo viên xem xét các bài toán trong phiếu học tập. Câu hỏi thứ 2 và 3 được

giáo viên trả lời sau khi giáo viên xem xét các câu trả lời trong phiếu học tập của

học sinh. Sau đây là nội dung bảng hỏi:

………………………………………….

BẢNG HỎI

1. Theo thầy, cô các khó khăn có thể có của học sinh khi giải quyết các bài toán

………………………………………………………………………………

này là gì?

2. Theo thầy, cô lời giải nào của học sinh là gần với lời giải mà thầy cô sẽ đưa ra

………………………………………………………………………………

trong lớp học nhất?

3. Thầy, cô dự định xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết các

………………………………………………………………………………

bài toán này như thế nào để có thể khai thác được các câu trả lời của học sinh?

………………………………………………………………………………

3.4.2. Phân tích tiên ngiệm

Trong phần này, chúng tôi trình bày phân tích tiên nghiệm các câu hỏi đưa ra

trong bảng hỏi.

Câu hỏi 1:

Theo thầy, cô các khó khăn có thể có của học sinh khi giải quyết các bài toán này

là gì?

Mục tiêu của câu hỏi này là để giáo viên dự đoán các khó khăn mà học sinh có

thể mắc phải khi giải quyết các bài toán này. Nguyên nhân các học sinh gặp khó khăn

là gì? Với câu hỏi này, chúng tôi mong muốn xem xét các khó khăn của học sinh khi

giải quyết một công việc hình học mà giáo viên quan tâm, cách giáo viên phân tích giả

thiết, kết luận của bài toán, các sai lầm của học sinh trong khi chứng minh một bài toán

hình học, qua đó phân tích quan điểm của giáo viên khi dạy hình học.

Câu hỏi 2:

Theo thầy, cô lời giải nào của học sinh là gần với lời giải mà thầy, cô sẽ đưa ra

trong lớp học nhất?

Mục tiêu của câu hỏi này, chúng tôi mong muốn các giáo viên bày tỏ mong

đợi của họ về lời giải mà học sinh đưa ra khi giải quyết các bài toán trên. Từ đó xem

xét GWS của giáo viên, các giáo viên tập trung vào mô thức Hình học nào (I hoặc

II) hoặc nối khớp giữa hai mô thức khi giảng dạy hình học, xem xét các điểm tương

đồng hay khác biệt trong việc lựa chọn mô thức hình học giữa các giáo viên từ đó

phân tích quan điểm của giáo viên khi dạy hình học.

Câu hỏi 3:

Thầy, cô dự định xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết các bài

toán này như thế nào để có thể khai thác được các câu trả lời của học sinh?

Mục tiêu của câu hỏi mở này là để giáo viên tự do thể hiện cách xử lý các

khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết các bài toán này, cách giáo viên xử lý

các câu trả lời mà học sinh đưa ra. Với câu hỏi này chúng tôi mong muốn xem xét

việc giáo viên hoàn toàn nhận ra được sự tồn tại các lời giải khác nhau của bài toán

là tùy thuộc vào sự lựa chọn mô thức hình học của học sinh. Khi giáo viên xác định

được nguyên nhân gây khó khăn, chúng tôi xem xét việc các giáo viên cung cấp các

ý tưởng hoặc đề nghị để khắc phục, từ đó làm rõ quan điểm của giáo viên về việc

dạy học hình học.

3.5. Kết luận chương 3

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày các vấn đề liên quan đến phương

pháp nghiên cứu như ngữ cảnh, phương pháp thu thập và phân tích dữ liệu. Chúng

tôi giới thiệu chi tiết nội dung các phiếu học tập, bảng hỏi. Phân tích tiên nghiệm

các phiếu học tập và bảng hỏi cho phép chúng tôi làm sáng tỏ ý định của nhà nghiên

cứu qua các bài toán và nhiệm vụ đưa ra, các cách trả lời có thể có của học sinh,

những khó khăn học sinh có thể gặp phải, quan niệm của giáo viên về dạy học hình

học... làm cơ sở để đối chiếu với phân tích bài làm của học sinh sau thực nghiệm.

Chương 4

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Trong chương này, chúng tôi mô tả lại các kết quả định tính từ phiếu học tập

và bảng hỏi. Dựa trên bài làm của học sinh, chúng tôi phân loại theo ba hướng: lời

giải bài toán dựa trên quan điểm Hình học II, lời giải bài toán dựa trên quan điểm

Hình học I và lời giải bài toán dựa trên việc kết nối hai mô thức trên. Từ đó chúng

tôi phân tích những khó khăn của học sinh khi thực hiện một công việc hình học.

Dựa trên các câu trả lời của giáo viên trong bảng hỏi chúng tôi sẽ phân tích quan

niệm của giáo viên về dạy học hình học.

4.1. Phân tích phiếu học tập của học sinh

Chúng tôi tiến hành xem xét tất cả các phiếu học tập của học sinh. Dựa trên

khái niệm mô thức hình học và GWS, chúng tôi phân loại các lời giải bài toán thành

ba loại chính.

4.1.1. Lời giải bài toán dựa trên quan điểm Hình học II

Học sinh đi đến một chứng minh dựa trên các định nghĩa, định lý, tính chất

hình học và các con số trên lý thuyết mà không xem xét các khía cạnh thực tế của

đối tượng. Một số phiếu học tập sau sẽ minh chứng cho điều này:

Bài toán 1:

Bài toán 1: Xét hình vẽ bên với các

kích thước được cho sẵn.

Câu hỏi: Tại sao chúng ta có thể

khẳng định rằng tứ giác OELM là

một hình thoi? Marie cho rằng

OELM là một hình vuông.

Charlotte cho rằng điều đó sai.

Theo em, Marie đúng hay Charlotte

đúng? Giải thích?

Học sinh tập trung kiểm tra tứ giác OELM có phải là 1hình vuông bằng cách

kiểm tra định lý Pytagore đảo mà không xem xét khía cạnh thực tế của hình vẽ.

Hình 4.1. Bài làm của Thùy Dung

Hình 4.2. Bài làm của Xuân Hảo

Bài toán 2:

Bài toán 2: Dựng tam giác ABC

C

1,4 cm

vuông cân tại A, BA = 6 cm.

I

Câu hỏi:

J

1. Tính BC

2. Trên cạnh BC dựng điểm I sao cho

5 cm

CI = 1,4 cm. Trên cạnh CA dựng điểm

J sao cho JA = 5 cm. IJ có song song

với BA? Chứng minh cho câu trả lời

B

của bạn.

A

Học sinh áp dụng định lý Pythagore để tính BC và đưa ra kết quả là một giá

trị chính xác, sau đó áp dụng định lý Thales đảo để chứng minh IJ không song song

với BA mà không xem xét đến yếu tố hình vẽ.

Hình 4.3. Bài làm của Kim Chi

Hình 4.4. Bài làm của Minh Thư

Bài toán 3:

x

Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông

tại B, AB = 4 cm, BC = 2 cm. Tia Ax

vuông góc với AB.

Câu hỏi: Có tồn tại một điểm M nằm

C

trên tia Ax sao cho tam giác ACM là

tam giác đều? Chứng minh cho câu trả

lời của bạn?

A

B

Học sinh chứng minh không tồn tại điểm M nằm trên tia Ax dựa vào định

nghĩa, các tính chất của tam giác đều và các con số trên lý thuyết mà không xem xét

hình vẽ như một nguồn hợp thức.

Hình 4.5. Bài làm của Diệu My

Hình 4.6. Bài làm củaMinh Ngọc

Bài toán 4

B

A

Bài toán 4: Cho hình vuông ABCD

cạnh 6 cm, E là trung điểm của CD,

từ A kẻ đường thẳng vuông góc với

BE tại F.

F

6 cm

Câu hỏi: Tam giác ADF có phải là

tam giác cân hay không ? Chứng

minh cho câu trả lời của bạn.

D

E

C

Học sinh sử dụng định nghĩa, các tính chất của tam giác cân để đi đến chứng

minh tam giác ADF cân tại D mà không xem xét hình vẽ như một hợp thức.

Hình 4.7. Bài làm của Tuyết Trinh

Hình 4.8. Bài làm của Minh Tâm

4.1.2. Lời giải bài toán dựa trên quan điểm Hình học I

Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên trực giác, thử nghiệm và suy luận bằng

cách quan sát hình vẽ hoặc sử dụng các công cụ như thước đo góc, thước kẻ,

compa... để đi đến một khẳng định. Một số phiếu học tập sau sẽ minh chứng cho

điều này:

Bài toán 1:

Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên đo đạc.

Hình 4.9. Bài làm của Minh Tâm

Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên cảm giác mà không đưa ra bất kỳ lời giải

thích nào.

Hình 4.10. Bài làm của Ngọc Thảo

Học sinh áp dụng định lý Pythagore và sử dụng tính toán xấp xỉ để đưa ra

câu trả lời.

Hình 4.11. Bài làm của Tuyết Trinh

Bài toán 2:

Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên đo đạc.

Hình 4.12. Bài làm của Đức Tài

Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên cảm giác mà không đưa ra bất kỳ lời giải

thích nào.

Hình 4.13. Bài làm của Tuấn Kiệt

Học sinh dựa trên việc lấy giá trị xấp xỉ để đưa ra câu trả lời.

Hình 4.14. Bài làm của Thị Nhớ

Bài toán 3:

Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên đo đạc.

Hình 4.15. Bài làm của Thị Mai

Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên việc sử dụng công cụ vẽ (compa).

Hình 4.16. Bài làm của Thị Phấn

Bài toán 4:

Học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên việc sử dụng công cụ vẽ (compa) và

công cụ đo đạc (thước kẻ).

Hình 4.17. Bài làm của Ngọc Giàu

Hình 4.18. Bài làm của Mỹ Loan

4.1.3. Lời giải bài toán dựa trên kết nối hai mô thức Hình học I và II

Đầu tiên, học sinh dựa vào hình vẽ hoặc các quan sát được thực hiện với các

công cụ đo đạc, vẽ hình như thước kẻ, compa, thước đo góc… để đi đến một khẳng

định. Từ đó, học sinh xây dựng một chứng minh trong Hình học II. Một số phiếu

học tập trong bài toán 3 và 4 sẽ minh chứng cho điều này:

Từ chứng minh trong Hình học I, học sinh khẳng định không tồn tại điểm M

nằm trên tia Ax để tam giác ACM đều (bài toán 3), và tam giác ADF cân tại D (bài

toán 4). Đây là một cơ sở hỗ trợ học sinh về mặt trực quan, từ đó học sinh đi đến

một chứng minh trong Hình học II. Nói chung trong trường hợp này, chứng minh

trong Hình học I như một nguồn xác nhận và hợp thức.

Hình 4.19. Bài làm của Tuyết Trinh

Hình 4.20. Bài làm của Diệu My

4.2. Phân tích những khó khăn của học sinh khi thực hiện một công việc

hình học

Từ việc phân loại các loại lời giải của học sinh trong phiếu học tập, chúng tôi

nhận thấy rằng đa phần học sinh nắm vững các kiến thức hình học. Trong bài toán

1, học sinh biết sử dụng định lý Pythagore đảo để kiểm tra tam giác vuông, nắm

vững định nghĩa và tính chất của hình thoi và hình vuông. Trong bài toán 2, học

sinh biết sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh BC, nắm vững định lý Thales đảo

hoặc quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song. Trong bài toán 3, học sinh nắm

vững định nghĩa và tính chất của một tam giác cân. Trong bài toán 4, học sinh nắm

vững định nghĩa và tính chất của một tam giác đều. Điều này chứng tỏ rằng học sinh

gặp khó khăn khi giải quyết một công việc hình học không phải vì thiếu kiến thức

hình học.

Chúng tôi tập trung phân tích vai trò gây hiểu lầm của hình vẽ như một cái

bẫy hình ảnh. Trong bài toán 1, rõ ràng, dựa vào hình vẽ học sinh nhận thấy tứ giác

OELM là một hình vuông. Trong bài toán 2, từ hình ảnh trực quan học sinh nhận

thấy IJ // BA, từ đó học sinh có thể cố gắng không đúng cách để giải quyết bài toán

trong Hình học I.

Thứ nhất, chúng tôi thấy có một số học sinh sử dụng giá trị xấp xỉ để giải bài

toán. Điều này chứng tỏ rằng các học sinh này gặp khó khăn trong việc lý giải kết

quả. Học sinh nhận thấy rằng kết quả của một chứng minh chặt chẽ trong Hình học

II trái ngược hoàn toàn với kết quả học sinh thu được từ hình ảnh trực quan trong

Hình học I. Vì vậy, học sinh có xu hướng sử dụng giá trị xấp xỉ để đồng nhất kết

quả. Rõ ràng, trong trường hợp này, những học sinh này bị nhập nhằng khi xây

dựng GWS cá nhân chứa một mô thức hình học phù hợp. Ngoài ra, các em còn gặp

khó khăn khi di chuyển qua lại, nối khớp giữa hai mô thức hình học, Hình học I

(hình ảnh trực quan) và Hình học II (một chứng minh chặt chẽ). Ngoài ra, chúng ta

không thể phủ nhận vai trò quan trọng của hình vẽ đã tác động đến kết quả mà các

học sinh này đã đưa ra.

Thứ hai, một số học sinh đưa ra câu trả lời dựa trên cảm giác mà không cung

cấp bất kỳ lời giải thích nào, điều này phần nào giải thích sự phụ thuộc tuyệt đối

vào hình vẽ của các em này.

Tiếp theo, chúng tôi xem xét việc học sinh sử dụng các công cụ đo đạc như

thước kẻ, thước đo độ… và các công cụ dựng hình như compa để đưa ra chứng

minh trong Hình học I. Một số học sinh đã đưa ra một chứng minh dựa trên trực

giác và thực nghiệm. Điều này phần nào phản ánh sự khó khăn trong việc áp dụng

các định nghĩa, định lý, tính chất để đi đến một chứng minh chặt chẽ trong Hình

học II của học sinh. Các học sinh này nắm được các kiến thức hình học, tuy nhiên

các em chưa biết cách vận dụng các kiến thức này để giải quyết bài toán. Các em

gặp khó khăn khi kết nối các thành phần của một GWS (trong trường hợp này học

sinh chỉ làm việc trên hình vẽ - không gian thực; thước kẻ, thước đo độ, compa -

công cụ).

Tóm lại, sau khi phân tích các câu trả lời của học sinh trong phiếu học tập,

chúng tôi nhận thấy rằng việc học sinh đưa ra các câu trả lời khác nhau là tùy thuộc

vào mô thức hình học mà học sinh lựa chọn và nguyên nhân cơ bản dẫn đến những

khó khăn khi giải quyết một công việc hình học là nằm ở sự tương tác giữa các mô

thức hình học. Học sinh gặp khó khăn khi phải di chuyển qua lại giữa các mô thức

và một sự hiểu biết hạn chế về Hình học II.

Sau khi phân tích các khó khăn của học sinh khi giải quyết một công việc

hình học, chúng tôi tiếp tục phân tích các câu trả lời của giáo viên trong bảng hỏi để

xem xét quan điểm của giáo viên khi dạy học hình học. Chúng tôi phân tích theo ba

hướng sau đây:

 Cách giáo viên xem xét và xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải

quyết một công việc hình học;

 Các giáo viên tập trung vào mô thức hình học nào trong khi giảng dạy hình

học: Hình học I, Hình học II hay nối khớp giữa hai mô thức;

 Cách giáo viên tiếp cận các thành phần của một GWS và tầm quan trọng của

mỗi thành phần mà giáo viên đưa ra. Nội dung chi tiết của bảng hỏi đã được

trình bày ở phần trên.

4.3. Phân tích bảng hỏi

4.3.1. Những khó khăn của học sinh khi giải quyết một công việc hình học

Với câu hỏi “Theo thầy, cô các khó khăn có thể có của học sinh khi giải

quyết các bài toán này là gì?”, các giáo viên đã nêu được một số khó khăn cơ bản

mà học sinh mắc phải khi giải quyết một công việc hình học và nguyên nhân mà các

học sinh gặp khó khăn. Sau đây là một số câu trả lời điển hình của các giáo viên:

Theo cô Phương Lộc:

Hình 4.21. Bài làm của cô Phương Lộc

Theo cô Bích Phương:

Hình 4.22. Bài làm của cô Bích Phương

Theo cô Mỹ Linh:

Hình 4.23. Bài làm của cô Mỹ Linh

Theo cô Mỹ Ý:

Hình 4.24. Bài làm của cô Mỹ Ý

Theo các câu trả lời của nhiều giáo viên ở trên, chúng ta có thể thấy rằng các

giáo viên này đã có ý thức về vai trò của các yếu tố thuộc mô thức Hình học I (hình

vẽ, số đo, giá trị xấp xỉ...) đối với những khó khăn gặp phải của học sinh khi giải

các bài toán hình học này. Tuy nhiên, trong phân tích ở phần ngay sau đây, chúng ta

sẽ thấy rằng do nhiều giáo viên chỉ quen làm việc trong một GWS được định hướng

bởi mô thức Hình học II nên điều đó đã ảnh hưởng đến cách nhìn nhận và xử lý với

các khó khăn gặp phải như trên của học sinh.

4.3.2. Các kiến nghị của giáo viên trong việc xử lý các khó khăn của học sinh

Khi các giáo viên đã xác định được các nguyên nhân gây khó khăn, chúng tôi

xem xét các ý tưởng, kiến nghị của giáo viên để khắc phục các khó khăn này.

Với câu hỏi “Thầy, cô dự định xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi

giải quyết các bài toán này như thế nào để có thể khai thác được các câu trả lời của

học sinh?”, các giáo viên đã trình bày một số phương án như sau:

Theo cô Quỳnh Trâm:

Hình 4.25. Bài làm của cô Quỳnh Trâm

Theo cô Mỹ Linh:

Hình 4.26. Bài làm của cô Mỹ Linh

Đa phần các giáo viên chỉ nhấn mạnh đến việc giúp học sinh nắm vững

các định lý, định nghĩa, tính chất hình học. Sau đó yêu cầu học sinh áp dụng các

kiến thức đó để đưa ra một chứng minh chặt chẽ trong Hình học II. GWS cá

nhân của các giáo viên này chỉ làm việc trên mô hình lý thuyết và hoàn toàn

không chú ý đến các thành phần khác, đặc biệt là vai trò của không gian thực

(hình vẽ) và các công cụ.

Một số giáo viên đã xem xét đến yếu tố hình vẽ và sử dụng các công cụ đo

đạc để đưa ra chứng minh của học sinh. Các giáo viên này đã có ý thức phân biệt

các mô thức và không gian làm việc hình học khác nhau có thể có liên quan đến quá

trình giải các bài toán hình học này. Hơn nữa, họ còn có những phân tích cụ thể về

những “áp lực” giữa hai mô thức hình học này trong quá trình giải của học sinh và

gợi ý những phương án dạy học để giúp học sinh vượt qua những khó khăn này.

Phần trả lời dưới đây của cô Mỹ Ý và cô Bích Phương minh họa cho điều này.

Theo cô Mỹ Ý:

Hình 4.27. Bài làm của cô Mỹ Ý

Theo cô Bích Phương:

Hình 4.28. Bài làm của cô Bích Phương

4.3.3. Mô thức hình học được giáo viên dự định giảng dạy trong lớp học

Với câu hỏi “Theo thầy, cô lời giải nào của học sinh là gần với lời giải mà

thầy cô sẽ đưa ra trong lớp học nhất?” chúng tôi muốn xem xét mô thức hình học

mà giáo viên lựa chọn để giảng dạy trong lớp học.

Phân tích các câu trả lời của giáo viên, chúng tôi nhận thấy có một sự đồng

nhất rất lớn trong việc lựa chọn mô thức hình học để giảng dạy của giáo viên. Tất cả

các giáo viên đều chọn làm việc và lý luận trong mô thức Hình học II. Các giáo viên

mong muốn học sinh sử dụng các giả thiết được đưa ra trong bài toán và áp dụng

các định nghĩa, định lý, tính chất hình học một cách chính xác để đạt được một

chứng minh chặt chẽ trong Hình học II. Có ít giáo viên chú ý đến các yếu tố phân

biệt giữa Hình học I và Hình học II trong lời giải của học sinh.

Theo cô Quỳnh Trâm:

Hình 4.29. Bài làm của cô Quỳnh Trâm

Theo cô Mỹ Linh:

Hình 4.30. Bài làm của cô Mỹ Linh

Theo cô Bích Phương:

Hình 4.31. Bài làm của cô Bích Phương

Theo cô Phương Lộc:

Hình 4.32. Bài làm của cô Phương Lộc

Một vài giáo viên đã xem xét đến yếu tố hình vẽ, theo các giáo viên này,

hình vẽ có thể giúp học sinh có cái nhìn trực quan, hỗ trợ học sinh trong việc chứng

minh, tuy nhiên cần phải quản lý điều này vì một số hình vẽ có thể gây hiểu lầm

(chẳng hạn như bài toán 1, 2).

4.3.4. GWS được tổ chức bởi giáo viên

Xem xét các câu trả lời của giáo viên, chúng tôi nhận thấy có sự khác biệt

trong cách tổ chức một GWS của giáo viên.

Một số giáo viên hoàn toàn không cố gắng phân biệt các yếu tố của Hình học

I hay Hình học II trong câu trả lời của học sinh. Giáo viên dự kiến cách giải của

mình trong Hình học II và nhấn mạnh nghĩa vụ của học sinh là phải trình bày chứng

minh một cách chặt chẽ trong mô thức hình học này. Các giáo viên này có xem xét

các khó khăn của học sinh, tuy nhiên họ không xem xét đến yếu tố hình vẽ và các

công cụ. Họ chỉ nhấn mạnh đến văn bản chính thức (yêu cầu của chương trình, sách

giáo khoa ở cấp độ lớp 9) mà họ mong đợi.

Ngược lại, một số giáo viên đã hoàn toàn nhận ra được hai mô thức hình học

và định hình được GWS cá nhân của học sinh. Một vài giáo viên đã đưa ra được các

kiến nghị để giúp học sinh quản lý quá trình chuyển đổi từ một mô thức hình học

này sang mô thức hình học khác.

4.4. Kết luận chương 4

Trong chương 4, chúng tôi đã phân tích những khó khăn của học sinh khi

thực hiện một công việc hình học và quan niệm của giáo viên khi dạy học hình học.

Phân tích bước đầu cho thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi thực hiện một công

việc hình học, đặc biệt là khi phải di chuyển giữa hai mô thức hình học và một số

học sinh có một tầm hiểu biết hạn chế trong Hình học II. Đa số giáo viên vẫn duy trì

một GWS chỉ sử dụng Hình học II và không xem xét Hình học I như một nguồn xác

nhận và là thách thức đối với các học sinh. Mặt khác, một số giáo viên đã hoàn toàn

nhận ra được hai mô thức hình học, định hình được GWS cá nhân của học sinh và

đưa ra được một số kiến nghị để giúp học sinh khắc phục và vượt qua các khó khăn

khi học hình học.

Chương 5

KẾT LUẬN

Chương này đưa ra các kết luận ban đầu về nghiên cứu của tác giả, những

đóng góp, hạn chế và hướng phát triển của đề tài.

5.1. Kết luận

Nghiên cứu này của chúng tôi đề cập đến việc sử dụng các khái niệm mô

thức hình học và GWS để phân tích các khó khăn của học sinh khi giải quyết một

công việc hình học và quan niệm của giáo viên về dạy học hình học. Mục tiêu của

nghiên cứu là phân tích các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết một công

việc hình học, nguyên nhân các học sinh gặp khó khăn, cách giáo viên xem xét và

xử lý các khó khăn này. Quan niệm của giáo viên khi dạy học hình học, mô thức

hình học được giáo viên sử dụng dạy trong lớp học, GWS cá nhân của giáo viên và

tầm quan trọng của mỗi thành phần. Từ mục tiêu nghiên cứu này, chúng tôi đã cụ

thể hóa thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

 Câu hỏi 1: Học sinh THCS (lớp 9) gặp phải khó khăn như thế nào khi thực

hiện một công việc hình học? Nguyên nhân của các khó khăn đó là gì?

 Câu hỏi 2: Giáo viên quan niệm về việc dạy học hình học như thế nào? Mô

thức hình học được giáo viên sử dụng để dạy học hình học? GWS cá nhân

của giáo viên và tầm quan trọng của mỗi thành phần như thế nào?

Sau đây chúng tôi sẽ trình bày các yếu tố cho phép trả lời cho các câu hỏi

nghiên cứu trên.

Về các khó khăn mà học sinh mắc phải khi thực hiện một công việc

hình học:

Phân tích dữ liệu cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn, trong đó nổi bật

hai khó khăn chính: học sinh gặp khó khăn khi phải di chuyển qua lại giữa hai mô

thức hình học và có một tầm hiểu biết hạn chế trong mô thức Hình học II.

Học sinh gặp khó khăn khi di chuyển qua lại giữa hai mô thức hình học:

phân tích từ dữ liệu cho thấy học sinh gặp khó khăn không phải vì thiếu kiến

thức hình học mà là vì phải lý giải kết quả. Sự mâu thuẫn giữa kết quả của một

chứng minh trong Hình học II và hình ảnh trực quan làm cho một số học sinh

mất phương hướng, đưa ra những nhận định sai lầm. Trong trường hợp này, học

sinh thường cố tình đồng nhất kết quả chứng minh với kết quả học sinh thu được

từ hình ảnh trực quan.

Một số học sinh đã đưa ra lời giải trong Hình học I. Điều này chứng tỏ rằng

một số học sinh phụ thuộc tuyệt đối vào hình vẽ trực quan hoặc gặp khó khăn khi

phải đưa ra một chứng minh trong Hình học II. Học sinh chưa biết áp dụng các kiến

thức hình học để đưa ra một chứng minh chặt chẽ, thay vào đó, học sinh đưa ra

chứng minh dựa trên trực giác, thử nghiệm.

Sự phân hóa về các câu trả lời của học sinh trong các mô thức Hình học I và II

chứng tỏ rằng ở cấp độ cuối Trung học cơ sở (lớp 9), nhiều học sinh vẫn còn quen

thuộc với mô thức Hình học I và chưa thể làm việc hoàn toàn trong mô thức Hình

học II như mong đợi của thể chế (chương trình, sách giáo khoa) ở giai đoạn này (lập

luận trong mô thức Hình học II).

Về quan niệm của giáo viên trước các khó khăn đặc trưng mà học sinh

gặp phải khi giải bài toán hình học:

Hầu hết các giáo viên đều nhận thức được các khó khăn mà học sinh gặp

phải trong quá trình giải các bài toán hình học trên. Đó là sự đan xen của các yếu tố

đặc trưng cho cả hai mô thức Hình học I và II trong mỗi bài toán đưa ra. Tuy nhiên,

do nhiều giáo viên quen với không gian làm việc hình học được định hướng và dẫn

dắt bởi mô thức Hình học II nên họ thường chỉ đề cập đến các khía cạnh lý thuyết

(định nghĩa, định lý, tính chất...) của Hình học II mà không xem xét đến yếu tố hình

vẽ hoặc sử dụng công cụ xuất hiện trong lời giải của học sinh. Chỉ một số giáo viên

đã có xem xét đến yếu tố hình vẽ và sử dụng công cụ để hỗ trợ chứng minh của học

sinh. Tuy nhiên giáo viên nhấn mạnh quá trình này cần phải được kiểm soát.

Về mô thức hình học được giáo viên sử dụng để dạy học hình học và GWS

cá nhân của giáo viên:

Phân tích từ dữ liệu cho thấy có một sự đồng nhất rất lớn trong việc lựa chọn

mô thức hình học để giảng dạy hình học. Hầu hết các giáo viên đều đưa ra lựa chọn

mô thức Hình học II. Các giáo viên này chỉ làm việc trên một mô hình lý thuyết và

không xem xét tới không gian thực (hình vẽ) và công cụ liên quan trong bài toán đặt

ra. Một số giáo viên đã hoàn toàn nhận ra được hai mô thức hình học có mặt trong

các câu trả lời của học sinh. Các giáo viên này đã định hình được GWS cá nhân của

học sinh, họ nhận ra được sự hiểu lầm xảy ra khi học sinh đưa ra câu trả lời trong

Hình học I và giáo viên mong đợi câu trả lời trong Hình học II. Các giáo viên này

đã đưa ra một số gợi ý về phương pháp dạy học để giúp học sinh khắc phục và vượt

qua các “áp lực” giữa hai mô thức hình học này.

5.2. Đóng góp nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài

Nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ các khó khăn về khía cạnh tri thức luận

hình học của học sinh khi thực hiện một công việc hình học. Các học sinh tham gia

khảo sát gặp khó khăn không phải vì thiếu hụt kiến thức hình học mà ở chính vấn đề

tri thức luận liên quan đến hai mô thức hình học khác nhau. Một vài học sinh còn

chưa đáp ứng mong đợi của thể chế dạy học hình học ở cuối cấp Trung học cơ sở.

Như vậy, nghiên cứu đã góp phần cho thấy bản chất các khó khăn học sinh gặp phải

khi học hình học.

Nghiên cứu cũng đã cho thấy một sự đồng nhất trong việc lựa chọn mô thức

hình học để giảng dạy hình học. Hầu hết các giáo viên đều quen thuộc làm việc với

mô thức Hình học II và ít xem xét tới không gian thực (hình vẽ) và công cụ liên

quan trong bài toán đặt ra và trong lời giải của học sinh. Kết quả góp phần nhấn

mạnh tầm quan trọng của việc giáo viên nhận ra được bản chất các khó khăn của

học sinh khi thực hiện một công việc hình học. Từ đó giáo viên có sự điều chỉnh

phương pháp dạy học cho phù hợp để giúp học sinh vượt qua những khó khăn đó.

Nghiên cứu của chúng tôi cũng góp phần nhấn mạnh vai trò và tầm quan

trọng của các khía cạnh tri thức luận hình học trong quá trình đào tạo giáo viên

toán. Các khái niệm về mô thức hình học và không gian làm việc hình học như là

những công cụ hữu hiệu để phân tích và làm sáng tỏ các khía cạnh tri thức luận đó

trong dạy học hình học ở phổ thông.

Do thời gian có hạn và trong khả năng cho phép, nghiên cứu này chưa thật sự

sâu rộng. Nghiên cứu xa hơn có thể hướng đến việc sử dụng các khái niệm mô thức

hình học và GWS để phân tích các khó khăn của học sinh khi thực hiện một công

việc hình học và quan niệm của giáo viên khi giảng dạy hình học trong bối cảnh

công nghệ. Nghiên cứu cũng sẽ thú vị và có ý nghĩa trong đào tạo giáo viên toán

nếu được thực hiện trên đối tượng là các sinh viên sư phạm toán.

Chúng tôi hy vọng những kết quả đạt được trong luận văn này sẽ đóng

góp một phần nhỏ trong việc giúp giáo viên hiểu được bản chất một số khó khăn

của học sinh khi học hình học. Từ đó giáo viên có sự điều chỉnh phương pháp

giảng dạy hình học phù hợp để giúp học sinh vượt qua các thách thức trong việc

học hình học./.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Bachelard, G. (1938). La formation de l’esprit scientifique. Paris: Vrin.

(Translation Formation of the Scientific Mind. Clinamen Press).

2. Braconne-Michoux, A. (2011). Relations between geometrical paradigms

and Van Hiele levels. Proceedings of CERME 7. Rzeszów, Poland.

3. Brousseau, G. (1997).Theory of didactical situations in mathematics.

Dordrecht: Kluwer.

4. Clements, D. and M. Battista, “Geometry and Spatial Reasoning.” In D.

Grouws, ed. Handbook of Research on Mathematics Teaching andLearning,

NewYork: Macmillan Publishing Co., 1992.

5. Duval, R. (1998), Geometry from a Cognitive Point of View. In C Mammana

and V Villani (Eds), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st

Century: an ICMI study. Dordrecht: Kluwer.

6. Gonseth F. (1945–1955). La géométrie et le problème de l’espace [Geometry

and the Space Problem]. Lausanne: Editions Le Griffon.

7. Hill, H. C., Ball, D. L., & Schilling, S. G. (2008). Unpacking pedagogical

content knowledge: conceptualizing and measuring teachers’ topic-specific

knowledge of students. Journal for Research in Mathematics Education,

39(4), 372–400.

8. Houdement, C., & Kuzniak, A. (1999). Un exemple de cadre conceptuel pour

l’étude de l’enseignement de la géométrie en formation des maîtres [A

Conceptual Framework to study Geometry Teaching in Teachers Training].

Educational Studies in Mathematics, 40(3), 283–312.

9. Houdement, C., & Kuzniak, A. (2003). Elementary geometry split into

different geometrical paradigms. Proceedings of CERME 3. Bellaria, Italy.

10. Jones, K. and Bills, C. (1998), Visualisation, Imagery, and the Development

of Geometrical Reasoning. Proceeding of the British Society for Research

into Learning Mathematics, 18(1&2), 123-128.

11. Kuhn, T. S. (1966). The structure of scientific revolutions (2nd ed.). Chicago:

University of Chicago Press.

12. Kuzniak, A. (2006). Paradigmes et espaces de travail géométriques

[Paradigms and Geometric Work Spaces]. Canadian Journal of Science and

Mathematics, 6(2), 167–187.

13. Kuzniak, A. (2008). Personal geometrical working space: a didactic and

statistical approach. In Gras, R., Suzuki, E., Guillet, F., Spagnolo, F. (Eds)

Statistical implicative analysis: theory and applications studies in

computational intelligence, vol. 12. Heidelberg: Springer.

14. Kuzniak, A. (2012). Understanding the nature of the geometry work through

its development and its transformations. Paris: Université Paris-Diderot.

15. Kuzniak, A. & Rauscher, J. C. (2011). How do teachers' approaches on

geometrical work relate to geometry students learning difficulties?

Educational Studies in Mathematics, 77(1), 129–147.

16. Kuzniak, A. (2011). Geometric work at the end of compulsory education.

Proceedings of CERME 7. Rzeszów, Poland.

17. Kuzniak, A. (2011). Trouble in the teaching of geometry. Proceedings of

CERME 7. Paris: Université Paris-Diderot.

18. Rauscher, J-C. & Kuzniak, A. (2005). On geometrical thinking of pre-service

school teachers. Proceedings of CERME4 (pp. 738–747). Sant Feliu de

Guíxols, Spain.

19. Shulman, L. S. (1986). Those who understand: knowledge growth in

teaching. Educational Researcher, 15 (2), 4–14.

20. Steinbring, H. (1998). Elements of epistemological knowledge for mathematics

teachers. Journal of Mathematic Teacher Education, 1(2), 157–189.

21. Van Hiele, P. M. (1986), Structure and Insight: a theory of mathematics

education. Orlando, Fla: Academic Press.

PHỤ LỤC

CÁC PHIẾU HỌC TẬP

Họ và tên:………………………………..

Lớp: ………………

PHIẾU HỌC TẬP 1

Bài toán 1: Xét hình vẽ bên với các

kích thước được cho sẵn.

Câu hỏi: Tại sao chúng ta có thể

khẳng định rằng tứ giác OELM là

một hình thoi? Marie cho rằng

OELM là một hình vuông. Charlotte

cho rằng điều đó sai. Theo em,

Marie đúng hay Charlotte đúng?

Giải thích?

…………………………………………………………………………………

BÀI LÀM

Họ và tên:………………………………..

Lớp: ………………

PHIẾU HỌC TẬP 2

C

1,4 cm

Bài toán 2: Dựng tam giác ABC

I

vuông cân tại A, BA = 6 cm.

J

Câu hỏi:

5 cm

1. Tính BC

2. Trên cạnh BC dựng điểm I sao cho

CI = 1,4 cm. Trên cạnh CA dựng điểm

J sao cho JA = 5 cm. IJ có song song

B

A

với BA? Chứng minh cho câu trả lời

của bạn.

…………………………………………………………………………………

BÀI LÀM

Họ và tên:………………………………..

Lớp: ………………

PHIẾU HỌC TẬP 3

x

Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông

tại B, AB = 4 cm, BC = 2 cm. Tia Ax

vuông góc với AB.

Câu hỏi: Có tồn tại hay không một

C

điểm M nằm trên tia Ax sao cho tam

giác ACM là tam giác đều? Chứng

minh cho câu trả lời của bạn?

A

B

…………………………………………………………………………………

BÀI LÀM

Họ và tên: ………………………………..

Lớp: ………………

PHIẾU HỌC TẬP 4

B

A

Bài toán 4: Cho hình vuông

ABCD cạnh 6 cm, E là trung điểm

của CD, từ A kẻ đường thẳng

vuông góc với BE tại F.

F

6 cm

Câu hỏi: Tam giác ADF có phải là

một tam giác cân? Chứng minh

cho câu trả lời của bạn.

D

E

C

…………………………………………………………………………………

BÀI LÀM

………………………………………..

BẢNG HỎI

…………………………………………………………………………………

1. Theo thầy, cô các khó khăn có thể có của học sinh khi giải quyết các bài toán này là gì?

2. Theo thầy, cô lời giải nào của học sinh là gần với lời giải mà thầy cô sẽ đưa ra

…………………………………………………………………………………

trong lớp học nhất?

3. Thầy, cô dự định xử lý các khó khăn mà học sinh mắc phải khi giải quyết các bài

…………………………………………………………………………………

toán này như thế nào để có thể khai thác được các câu trả lời của học sinh?

CÁC BÀI LÀM CỦA HỌC SINH

P10

P11

P12

P13

P14

P15

P16

P17

P18

P19

P20

P21

P22

P23

CÁC CÂU TRẢ LỜI CỦA GIÁO VIÊN

P24

P25

P26

P27

P28

P29

P30

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Sử dụng mô thức và không gian làm việc hình học để phân tích khó khăn của học sinh và quan niệm của giáo viên về dạy học Hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Huế, Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

llLỜIl LỜI CÁM ƠN CÁM LƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

LỜI GIỚI THIỆU

Chương 1

ĐẶT VẤN ĐỀ

Chương 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương 3

THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU

PHIẾU HỌC TẬP 1

PHIẾU HỌC TẬP 2

C

I

J

B

A

PHIẾU HỌC TẬP 3

x

C

A

B

PHIẾU HỌC TẬP 4

B

A

F

D

E

C

BẢNG HỎI

Chương 4

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

C

I

J

B

A

x

C

A

B

B

A

F

D

E

C

Chương 5

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

PHIẾU HỌC TẬP 1

PHIẾU HỌC TẬP 2

C

I

J

B

A

PHIẾU HỌC TẬP 3

x

C

A

B

PHIẾU HỌC TẬP 4

B

A

F

D

E

C

BẢNG HỎI

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới