Mục đích của nghiên cứu là xây dựng các mô hình động tạo ra các tương tác tích cực dựa trên hai phần mềm toán học phổ thông là The Geometer’s Sketchpad và Fathom, nhằm giúp cho học sinh lớp 10, 11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Huế, Năm 2007
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Huế, Năm 2007
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu
nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả
ii
Xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy giáo, TS. Trần Vui đã
giúp đỡ và hướng dẫn tận tình chu đáo cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
+ Khoa Toán, trường ĐHSP Huế
+ Phòng Đào tạo sau Đại học, trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
hoàn thành luận văn này.
+ Các thầy cô giáo tổ Toán trường THPT Hai Bà Trưng
+ Các thầy cô giáo tổ Tự nhiên trung tâm GDTX Huế
+ Giáo viên chủ nhiệm lớp 11A1, lớp 11B5 trường THPT Hai Bà Trưng, Giáo viên
chủ nhiệm lớp 11/5 trung tâm GDTX Huế.
+ Các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy lớn Cao học khóa XIV chuyên ngành
phương pháp giảng dạy Toán.
+ Bạn bè, đồng nghiệp đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn
này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn và
góp ý.
iii
Huế, tháng 11 năm 2007
Trang
Trang phụ bìa........................................................................................................ i
Lời cam đoan ....................................................................................................... ii
Lời cảm ơn.......................................................................................................... iii
Mục lục ................................................................................................................ 1
GIỚI THIỆU........................................................................................................ 3
Chương 1: MỞ ĐẦU ........................................................................................... 4
1. Giới thiệu..................................................................................................... 4
1.1. Nhu cầu nghiên cứu.................................................................................. 4
1.2. Đề tài nghiên cứu ..................................................................................... 4
2. Mục đích nghiên cứu................................................................................... 5
3. Câu hỏi nghiên cứu ..................................................................................... 5
4. Định nghĩa các thuật ngữ............................................................................. 5
5. Ý nghĩa của việc nghiên cứu ....................................................................... 6
6. Cấu trúc luận văn......................................................................................... 6
Chương 2: NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ......................... 8
1. Giới thiệu..................................................................................................... 8
2. Nền tảng lịch sử........................................................................................... 8
2.1. Lịch sử hình thành khái niệm xác suất ..................................................... 8
2.2. Các cách tiếp cận khái niệm xác suất..................................................... 10
2.3. Lịch sử hình thành khái niệm thống kê .................................................. 11
3. Khung lý thuyết......................................................................................... 13
4. Các kết quả nghiên cứu có liên quan......................................................... 14
5. Tóm tắt ...................................................................................................... 17
Chương 3: PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU ..................... 18
1. Giới thiệu................................................................................................... 18
2. Thiết kế quá trình nghiên cứu.................................................................... 18
1
3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................ 19
4. Công cụ nghiên cứu................................................................................... 19
5. Phương pháp thu thập dữ liệu ................................................................... 19
6. Phương pháp phân tích dữ liệu.................................................................. 20
7. Các hạn chế ............................................................................................... 21
8. Tóm tắt ...................................................................................................... 21
Chương 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.............................................................. 22
1. Giới thiệu................................................................................................... 22
2. Các kết quả ................................................................................................ 22
2.1. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất............................................... 22
2.2.Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai.................................................. 30
2.3. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba .................................................. 33
2.4. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư................................................... 41
3. Tóm tắt ...................................................................................................... 52
Chương 5: KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ ỨNG DỤNG ....................................... 53
1. Giới thiệu................................................................................................... 53
2. Kết luận ..................................................................................................... 53
2.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất.............................................. 53
2.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai................................................ 55
2.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba................................................. 56
2.4. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư ................................................. 59
3. Lý giải ....................................................................................................... 60
3.1. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất ................................................ 60
3.2. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai .................................................. 61
3.3. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba ................................................... 61
3.4. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư.................................................... 62
4. Ứng dụng................................................................................................... 62
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 65
2
PHỤ LỤC .......................................................................................................... P1
Nhiệm vụ của việc dạy học toán ở nhà trường là giúp người học kiến tạo các kiến
thức toán qua mỗi giờ dạy của giáo viên. Do đó chúng ta cần quan tâm đến việc
nâng cao hiệu quả của mỗi tiết dạy. Kết quả của việc học phụ thuộc nhiều vào
phương pháp tổ chức các hoạt động học tập trong lớp của giáo viên cũng như sự
tham gia tích cực của mỗi người học.
“Con người học như thế nào?” là một câu hỏi cốt yếu mà lý thuyết kiến tạo trong
giáo dục muốn trả lời. Thực tiễn cho thấy rằng, giáo viên không thể dạy học bằng
cách làm đầy kiến thức cho học sinh như kiểu đổ đầy một chai nước mà chính mỗi
học sinh phải tự kiến tạo tri thức theo cách của riêng mình với sự hỗ trợ của giáo
viên. Việc dạy và học toán ở nước ta hiện nay không phải lúc nào cũng phát huy hết
năng lực tự học và tính chủ động trong học tập của học sinh. Mỗi người giáo viên
vẫn còn chịu nhiều áp lực, áp đặt từ trên xuống và mất đi tính chủ động và sáng tạo
trong việc xây dựng những môi trường học tập phù hợp với đối tượng mà mình
đang giảng dạy.
Hơn nữa việc chưa nhất quán trong cách thi cử, ra đề thi, số lượng các kỳ thi đã làm
học sinh và giáo viên lúng túng trong việc định hướng dạy học. Ngoài ra áp lực thi
cử vẫn còn quá lớn khi chỉ khoảng 20% hoặc hơn thí sinh đỗ tốt nghiệp được vào
đại học đã làm cho việc học trở nên thay đổi cho kịp thời vụ: chỉ học những gì có
thể sẽ ra trong đề thi. Sẽ có nhiều sự thay đổi để việc dạy và học toán tập trung vào
phát triển tư duy giải quyết vấn đề cho học sinh cùng với những kỹ năng cần thiết
của một công dân trong tương lai.
Mảng kiến thức xác suất thống kê bắt đầu được đưa vào chương trình dạy học trong
đợt thay sách giáo khoa trung học phổ thông mới đây. Với luận văn này, trên nền
tảng lý luận là lý thuyết kiến tạo, chúng tôi mong muốn thiết kế được những mô
hình động tạo ra những tương tác tích cực để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán,
3
đặc biệt là tri thức xác suất thống kê.
Trong thực tiễn, chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên. Đó là những
hiện tượng (biến cố) mà chúng ta không thể dự báo một cách chắc chắn là nó xảy ra
hay không xảy ra. Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng
ngẫu nhiên. Năm 1812, nhà toán học Laplace đã dự báo rằng: “Môn khoa học bắt
đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng
quan trọng nhất của tri thức loài người”. Ngày nay, lý thuyết xác suất đã trở thành
một ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa
học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học... Gần gũi với xác
suất là bộ môn thống kê. Thống kê giúp ta phân tích các số liệu một cách khách
quan và rút ra các tri thức, thông tin chứa đựng bên trong các số liệu đó. Trên cơ sở
này, chúng ta mới có thể đưa ra được những dự báo và quyết định đúng đắn cho
một hiện tượng cụ thể. Thống kê cần thiết cho mọi lực lượng lao động, đặc biệt rất
cần cho các nhà quản lý, hoạch định chính sách. Ngay từ đầu thế kỷ XX, nhà khoa
học người Anh, H. G. Well đã dự báo: “Trong một tương lai không xa, kiến thức
thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thể thiếu được trong học
vấn phổ thông của mỗi công dân, giống như là khả năng biết đọc, biết viết vậy.”
Xác suất và thống kê là hai mảng kiến thức mới được đưa vào chương trình phổ
thông. Khi giảng dạy, giáo viên thiếu các mô hình minh họa, đặc biệt là các mô hình
động. Với sự hỗ trợ của máy tính và các phần mềm dạy học, các mảng kiến thức
khác trong chương trình phổ thông đã được khai thác, giảng dạy và học tập có hiệu
quả. Hơn nữa, trong xác suất, máy tính có thể cho phép thực hiện các phép thử
nhiều lần ở tốc độ cao. Vì vậy cần ứng dụng các thế mạnh của công nghệ thông tin
một cách khoa học trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê.
Các mô hình toán học động tỏ ra có hiệu quả trong việc kiến tạo tri thức toán học
cho học sinh. Việc xây dựng các mô hình này cũng như áp dụng chúng vào giảng
dạy đang ngày càng phổ biến trong xu thế đổi mới giáo dục hiện nay. Vấn đề quan
4
trọng là phải xây dựng và sử dụng mô hình sao cho nó tạo ra được các tương tác
tích cực trong hỗ trợ học sinh trong kiến tạo tri thức. Chúng tôi chọn đề tài: Tương
tác tích cực của mô hình động trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống
kê.
Mục đích của nghiên cứu là xây dựng các mô hình động tạo ra các tương tác tích
cực dựa trên hai phần mềm toán học phổ thông là The Geometer’s Sketchpad và
Fathom, nhằm giúp cho học sinh lớp 10, 11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê.
Mục đích của nghiên cứu là xây dựng các mô hình động tạo ra các tương tác tích
Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất
cực. Do đó việc nghiên cứu sẽ nhằm trả lời các câu hỏi sau đây:
Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Phần mềm động tạo ra các tương tác như thế nào
thống kê sẽ có hiệu quả như thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Sử dụng hàm ngẫu nhiên của máy tính như thế nào để
trong việc hỗ trợ học sinh lớp 10, lớp 11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê?
tạo được các mô hình động có tính tương tác tích cực trong việc kiến tạo tri thức
Câu hỏi nghiên cứu thứ tư: Xây dựng những mô hình xác suất thống kê nào để
xác suất thống kê?
giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt được hiệu quả trong giảng dạy và
học tập?
Nghiên cứu trường hợp: Là nghiên cứu trong đó nhà nghiên cứu làm việc trên một
nhóm nhỏ các đối tượng nghiên cứu, thậm chí chỉ trên một đối tượng. Nguyên bản
tiếng Anh của nghiên cứu trường hợp là Case Study.
Nghịch lý: Là những gì trái với tự nhiên hay những điều hiển nhiên đúng được công
nhận. Trong toán học, đôi khi nghịch lý mang nghĩa “kết quả không trực quan” hơn
là “mâu thuẫn dễ thấy”. Việc sử dụng nghịch lý trong dạy học xác suất được xem là
một phương pháp có hiệu quả khi mà tạo ra được những mâu thuẫn để rồi giải quyết
các mâu thuẫn đó sẽ giúp học sinh kiến tạo tri thức. Nguyên bản tiếng Anh:
5
Paradox.
Chướng ngại: Một hay nhiều những khó khăn mà học sinh gặp phải khi tham gia
các hoạt động học tập và mong muốn vượt qua. Chướng ngại cũng có thể là những
kiến thức mà học sinh đã có, chúng làm cản trở việc tiếp nhận những kiến thức mới
hơn.
Đồng khả năng: Một thuật ngữ được dùng nhiều trong xác suất, nói về những kết
quả, biến cố có cùng khả năng xảy ra.
Mô hình động: Là những mô hình chủ yếu được xây dựng bằng các phần mềm trên
máy tính nhằm mô phỏng những mô hình trong thực tế mà người sử dụng có thể
thao tác, sửa đổi. Mô hình động về toán được xây dựng để hỗ trợ cho người học
kiến tạo tri thức toán.
Tương tác: Những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa chủ thể và
khách thể.
Kiến tạo: Xây dựng một cách tích cực và chủ động. Kiến tạo cũng là một động từ
dùng chỉ hoạt động của chủ thể tác động lên đối tượng nhằm thực hiện mục đích đề
ra.
Đồng hóa: Là quá trình khi chủ thể tiếp nhận thông tin mới từ khách thể và những
thông tin này có thể kết hợp trực tiếp vào sơ đồ nhận thức đang tồn tại. Như thế,
đồng hóa là một quá trình chủ thể sử dụng kiến thức và kỹ năng của mình để giải
quyết tình huống mới.
Điều ứng: Là quá trình điều chỉnh sự mất cân bằng về nhận thức khi chủ thể tiếp
nhận thông tin từ khách thể. Khi quá trình này kết thúc là lúc mà chủ thể tạo nên sự
cân bằng mới về nhận thức ở mức độ cao hơn.
Các kết quả của nghiên cứu sẽ giúp cho học sinh tự kiến tạo tri thức xác suất thống
kê cho mình, từ đó biết cách áp dụng vào các bài toán thực tế, giải quyết vấn đề và
ra quyết định.
Phần này sẽ giới thiệu cấu trúc của luận văn, bao gồm 5 chương.
Chương 1 - GIỚI THIỆU: Giới thiệu, nêu nhu cầu nghiên cứu, đề tài nghiên cứu,
6
mục đích nghiên cứu và đưa ra những câu hỏi nghiên cứu cho luận văn. Một số
thuật ngữ dùng trong luận văn cũng được định nghĩa. Ngoài ra trong chương này
cũng trình bày ý nghĩa của việc nghiên cứu.
Chương 2 - NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN: Sau khi trình bày
lịch sử hình thành các khái niệm xác suất và thống kê, khung lý thuyết là lý thuyết
kiến tạo, chương này sẽ giới thiệu những kết quả nghiên cứu liên quan đến luận văn.
Chương 3 - PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU: Chương này giới
thiệu thiết kế quá trình nghiên cứu, đối tượng và công cụ nghiên cứu; phương pháp
thu thập dữ liệu và phân tích dữ liệu làm định hướng và quy trình cho quá trình
nghiên cứu.
Chương 4 - KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Nêu các kết quả nghiên cứu cho từng câu
hỏi nghiên cứu đã được đề ra ở chương 1.
Với câu hỏi nghiên cứu thứ nhất, chương này nêu lên các hiệu quả có thể khi áp
dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất.
Với câu hỏi nghiên cứu thứ hai, chương này nêu lên các tác động tích cực của phần
mềm động trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê.
Với câu hỏi nghiên cứu thứ ba, chương này trình bày cơ sở khoa học của hàm ngẫu
nhiên trong máy tính bắt đầu từ ý tưởng xây dựng đến kỹ thuật rồi những cải tiến
trong quá trình tạo số ngẫu nhiên. Cách tạo số ngẫu nhiên đơn giản cũng được trình
bày trong chương này trên hai phần mềm The Geometer’s Sketchpad và Fathom.
Với câu hỏi nghiên cứu thứ tư, chương này giới thiệu các mô hình hỗ trợ học sinh
kiến tạo tri thức xác suất thống kê trên cả hai phần mềm. Mỗi mô hình đều được
trình bày chi tiết cách thiết kế và sử dụng. Các kết quả thực nghiệm sư phạm khi sử
dụng một số mô hình đã xây dựng được trình bày ở cuối chương này.
Chương 5 - KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ ỨNG DỤNG: Nêu các kết luận cho từng
câu hỏi nghiên cứu dựa trên những kết quả nghiên cứu có được ở chương 4 rồi đưa
ra những lý giải cho các kết quả nghiên cứu đó. Ứng dụng của luận văn bao gồm
ứng dụng cho thực hành và cho các nghiên cứu sau này cũng được trình bày trong
7
chương 5.
Trong chương này chúng tôi sẽ xác định và làm rõ vấn đề nghiên cứu; tổng quan
nền tảng lịch sử của vấn đề cần nghiên cứu, khung lý thuyết cho đề tài nghiên cứu;
xác định, nhận biết các mâu thuẫn, kẻ hở trong các tài liệu; tóm tắt sơ lược các
nghiên cứu trước đây có liên quan đến đề tài và khẳng định rằng nghiên cứu này sẽ
là bước đi hợp lôgíc tiếp theo trong việc tìm ra một lời giải tối ưu cho vấn đề cần
nghiên cứu.
Phân tích các tài liệu, bài báo, kết quả nghiên cứu toán học liên quan để đưa ra các
bước hình thành và phát triển các khái niệm trong xác suất cũng như trong thống kê.
Lý thuyết xác suất chỉ thực sự hình thành và phát triển trong khoảng 3 thế kỷ rưỡi
vừa qua. Chính việc giải bài toán chia tiền cược khi cuộc chơi bị gián đoạn giữa
chừng đã dẫn đến sự hình thành khái niệm xác suất vào đầu thế kỷ XVII, sau đó các
phép tính về xác suất phát triển dần thành lý thuyết hiện đại được xây dựng theo
một hệ tiên đề vào thế kỷ XX.
Tuy nhiên, có thể nói rằng mầm mống của lý thuyết xác suất đã có từ thế kỷ thứ III
trước công nguyên, với các trò chơi may rủi. Những con súc sắc hình lập phương và
đồng chất bằng đất nung được tìm thấy trong các ngôi mộ cổ chứng tỏ rằng các trò
chơi liên quan đến phép thử ngẫu nhiên đã có từ rất lâu qua các trò chơi với
astragales, với súc sắc... rất phổ biến ở vùng Lưỡng Hà từ thời Ai cập cổ đại (tức thế
kỷ III trước Công nguyên).
Vào thời Hy Lạp cổ đại, đạo luật cấm các trò chơi cờ bạc với súc sắc đã được ban
hành. Nhà thờ Thiên chúa giáo cũng lên án các trò chơi đó. Dù vậy, chúng vẫn có
sức hấp dẫn mãnh liệt và tồn tại một cách dai dẳng. Các trò chơi may rủi đã có
những khai thác đầu tiên về đại số tổ hợp. Bài thơ có tựa đề De Vetula (của Richard
de Fournival (1201 – 1260)), một tu sĩ uyên bác người Pháp, đã được ghi nhận là có
từ khoảng năm 1250) là một bằng chứng về điều đó. Bài thơ mô tả trò chơi "tung ba
con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được" (tức là tổng số chấm xuất hiện) trên
8
mặt ba con súc sắc). Một trích đoạn của bài thơ cho thấy tác giả đã sử dụng đến
hoán vị khi nói rằng việc tung súc sắc sinh ra 16 kiểu tổng các điểm, ứng với 56
dạng điểm và việc hoán vị mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có đến 216
cách rơi 3 súc sắc.
Vấn đề đồng khả năng của các kết quả của việc tung súc sắc cũng được Galilé dùng
làm giả thiết trong tiểu luận về các trò chơi súc sắc của mình (nó còn có mặt trong
trao đổi thư từ giữa Pascal và Fermat sau này nữa). Cho đến nửa đầu thế kỷ XVII,
khái niệm xác suất mới chỉ xuất hiện dưới dạng công cụ ngầm ẩn để so sánh cơ hội.
Cũng như người ta đã nói "sự kiện này có cơ hội xảy ra lớn hơn sự kiện kia", hay
"các sự kiện có cùng khả năng xảy ra". Nhưng cụ thể "độ đo" cơ hội xảy ra của một
sự kiện là bao nhiêu? Được tính bằng cách nào? Một số yếu tố của Đại số tổ hợp đã
được khai thác khi người ta tìm kiếm câu trả lời cho trường hợp của vài trò chơi
may rủi. Tuy vậy, vẫn chưa có một câu trả lời tổng quát nào cho vấn đề đo cơ hội
xảy ra của một sự kiện tùy ý. Và tất nhiên, cho đến lúc đó, chưa một định nghĩa nào
về xác suất được đưa ra.
Nửa sau thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XIX, vấn đề tính xác suất của các biến cố
đồng khả năng và không đồng khả năng đã được đề cập đến. Mùa hè 1651,
Chevalier de Méré đã hỏi Blaise Pascal (1623-1662) về vấn đề chia tiền cược. Bài
toán này khiến Pascal phải suy nghĩ và ông đã viết thư cho nhà toán học Pierre de
Fermat (1601-1665). Qua thư từ trao đổi, họ đã “toán học hóa” các trò chơi cờ bạc.
Với những nghiên cứu chính thức về tính toán "xác suất" của hai nhà toán học
Pascal và Fermat, có thể nói các trò chơi ngẫu nhiên (jeu de hasard) đã chuyển
thành đối tượng nghiên cứu của toán học và có mặt trong các bài toán tính "cơ hội"
thắng cuộc. Đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy (L’art de penser) của Antoine
Arnauld và Pierre Nicole (các bạn của Pascal), thì thuật ngữ "xác suất" mới thật sự
xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa đúng như chúng ta biết ngày nay.
Nhà toán học Jacques Bernoulli đã dành suốt hai mươi năm của đời mình để hoàn
thành tác phẩm Thuật suy đoán (Ars Conjectandi), nhưng năm 1713 (8 năm sau khi
ông mất), tác phẩm này mới được người cháu là Nicolas Bernoulli xuất bản. Với
Thuật suy đoán, lần đầu tiên việc tính xác suất của một biến cố đã chuyển từ chỗ sử
9
dụng công cụ đại số tổ hợp sang sử dụng công cụ giải tích.
Cho đến đầu thế kỷ XIX, ngoài định nghĩa theo kiểu mô tả của Bernoulli thì chưa
có một định nghĩa toán học nào về khái niệm xác suất. Vấn đề này chỉ được giải
quyết bởi Pierre Simon Marquis de Laplace trong Chuyên luận giải tích về xác suất
(Traité analytique des probabilité) công bố năm 1812. Với chuyên luận này,
Laplace đã chính thức đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất trong nguyên lý thứ
nhất của mình.
Một trong những khó khăn trong việc phát triển lý thuyết xác suất là đi đến một
định nghĩa tổng quát, chính xác trong toán học. Cuối thế kỷ XIX, nhiều thành tựu
của công cụ giải tích, trong đó có phép biến đổi Fourier, cho phép thay thế các hàm
sin bởi một hàm số đặc trưng. Tiếp đó là sự phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết
độ đo, lý thuyết tích phân của Borel và Lebesgue ở đầu thế kỷ XX đã dẫn đến xu
hướng xây dựng một lý thuyết xác suất hình thức hơn theo phương pháp tiên đề của
Hilbert. Năm 1933, trong công trình nghiên cứu của mình, nhà toán học Nga Andrei
Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện
đại.
Từ nghiên cứu lịch sử, các tác giả Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, Michel
Henry, Bernard Parzysz đều thống nhất rằng khái niệm xác suất có thể được tiếp
cận theo ba cách sau đây:
Tiếp cận theo Laplace (AL - Approche Laplacienne):
Xác suất của một biến cố, theo Laplace, là “tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số
tất cả các trường hợp có thể xảy ra”.
Để tính xác suất theo Laplace, đòi hỏi phải có một không gian hữu hạn các biến cố
sơ cấp đồng khả năng xuất hiện (đây chính là điểm hạn chế của tiếp cận).
Theo cách tiếp cận này, việc xác định xác suất của một biến cố được đưa về các
phép đếm và Đại số tổ hợp đóng vai trò chính trong các tính toán xác suất. Chính vì
thế mà Coutinho đặt tên cho tiếp cận này là "tiếp cận đại số tổ hợp".
Trong trường hợp phép thử có thể gắn với một không gian hữu hạn các biến cố sơ
cấp đồng khả năng xuất hiện thì bằng định nghĩa của Laplace người ta có thể tính
được xác suất mà không cần thực hiện phép thử. Vì lẽ đó, Bernard Parzysz gọi xác
10
suất theo định nghĩa của Laplace là xác suất chủ quan hay xác suất tiên nghiệm.
Tiếp cận thống kê (AS: Approche Statistique):
Theo tiếp cận này, xác suất của một biến cố là một giá trị mà tần suất tương đối của
biến cố đó dao động quanh giá trị này khi thực hiện một số lượng lớn các phép thử.
Xác suất theo quan điểm này còn được gọi là xác suất khách quan vì giá trị của xác
suất chỉ được biết sau thực nghiệm.
Đứng từ góc độ toán học và thực tế, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê cho
phép giải quyết vấn đề tìm xác suất trong các trường hợp mà định nghĩa của
Laplace không thể vận hành được (ví dụ như việc ước tính xác suất để một đinh mũ
rơi ngẫu nhiên chạm đất bằng mũi nhọn hay bằng đầu). Nhưng, đứng từ góc độ dạy-
học, Parzysz cho rằng cách tiếp cận này gây ra những khó khăn sau:
Trước hết, nó dựa trên sự "hội tụ" của các tần suất (sự hội tụ theo xác suất), tức
không phải là sự hội tụ thuần túy (của dãy số) mà học sinh gặp trong giải tích.
Mặt khác, tiếp cận này có thể dẫn đến nguy cơ là "học sinh không thực hiện được
bước nhảy khái niệm mà lại đồng hóa tần suất với xác suất" (tham khảo Parzysz,
2003, tr.31-32).
Tiếp cận tiên đề (AA: Approche Axiomatique)
Xác suất được định nghĩa như "một độ đo không âm bị chặn được xác định trên một
tập hợp trừu tượng mô hình hoá các kết cục có thể của một phép thử ngẫu nhiên" và
thỏa mãn một hệ tiên đề.
Là một mô hình thuần túy toán học cao cấp nên tiếp cận này quá khó hiểu đối với
học sinh PTTH và chỉ được cung cấp ở bậc đại học.
Từ thống kê được xuất phát từ tiếng Latin statisticum collegium và một từ tiếng Ý
statista. Từ statistik (tiếng Đức) lần đầu tiên được giới thiệu bởi Gottfried
Achenwall (1749) nhằm giới thiệu sự phân tích dữ liệu thống kê, biểu thị "khoa học
của thống kê" (được gọi là số học mang tính chính trị (political arithmetic) trong
tiếng Anh). Thống kê mang nghĩa thu thập và phân tích dữ liệu lần đầu tiên được đề
cập vào đầu thế kỷ 19. Nó được giới thiệu bằng tiếng Anh bởi ông John Sinclair.
Như thế, mục đích chính của thống kê ban đầu là dữ liệu được sử dụng bởi những
người trong chính phủ và công việc hành chính. Việc thu thập dữ liệu về các tiểu
11
bang và các địa phương được tiếp tục, được mở rộng thông qua các ban thống kê
quốc gia và quốc tế. Đặc biệt, các điều tra về dân số cung cấp một cách đều đặn
thông tin về dân cư.
Phương pháp toán học của thống kê xuất hiện từ lý thuyết xác suất, lý thuyết được
bắt đầu từ bức thư của Pierre de Fermat và Blaise Pascal.
Lý thuyết sai số (theory of errors) có lẽ được mô tả đầu tiên bởi Roger Cotes trong
cuốn Opera Miscellanea (xuất bản sau khi tác giả mất, 1722) nhưng một hồi ký của
Thomas Simpson vào năm 1755 (in năm 1756) lần đầu tiên đã ứng dụng lý thuyết
đó cho thảo luận việc quan sát các sai số.
Pierre-Simon Laplace (1774) đã làm những phép thử đầu tiên để xác định một quy
luật của sự tổ hợp các quan sát nguồn gốc của lý thuyết xác suất. Ông ta trình bày
luật sai số xác suất bởi một đường cong. Ông suy ra một công thức cho giá trị trung
bình của 3 quan sát. Ông cũng đưa ra một công thức cho luật thuận lợi của sai số,
nhưng đó là một điều dẫn đến các phương trình không kiểm soát được. Daniel
Bernoulli (1778) giới thiệu nguyên tắc tích cực đại của xác suất trong một hệ thống
các sai số xảy ra đồng thời.
Phương pháp hình vuông tối tiểu (least squares), được sử dụng để cực tiểu các sai
số trong đo lường dữ liệu, được xuất bản một cách độc lập bởi Andrien-Marie
Legendre (1805), Robert Adrain (1808) và Carl Friedrich Gauss (1809). Gauss đã
dùng phương pháp này trong lời tiên tri nổi tiếng năm 1801 về vị trí của sao lùn đỏ
(dwarf planet Ceres). Các chứng minh tiếp theo được các nhà toán học đưa ra:
Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826)... Công thức cho r
của Peter (1856) về sai số có thể xảy ra cho một quan sát đơn được nhiều người biết
đến.
Vào thế kỷ 19, các tác giả (Laplace, Dedekind, Morgan...) trong lý thuyết tổng quát
đã cải tiến sự trình bày của lý thuyết thống kê. Adolphe Quetelet (1796-1874), một
người sáng lập khác của lý thuyết thống kê, đã giới thiệu khái niệm số trung vị
(average mean) như là một giá trị trung bình của việc hiểu các hiện tượng xã hội
phức tạp như tỉ lệ tội phạm, tỉ lệ hôn nhân hoặc tỉ lệ tự tử.
Trong suốt thế kỷ 20, việc tạo ra các dụng cụ chính xác cho những vấn đề liên quan
đến y tế (dịch tễ học, thống kê sinh học...) và các mục đích kinh tế xã hội (tỉ lệ thất
12
nghiệp, toán kinh tế (econometry)...) tạo nên một sự phát triển của thống kê trong
thực hành. Ngày nay việc sử dụng thống kê đã mở rộng hơn nhiều so với gốc của nó
như là một dịch vụ cho một bang hoặc chính phủ. Các cá nhân và tổ chức sử dụng
thống kê để phân tích dữ liệu và đưa ra quyết định ở khắp các khoa học tự nhiên và
xã hội, y học, kinh doanh và những lĩnh vực khác.
Thống kê nói chung không được xem như là một lĩnh vực con của toán học mà là
một lĩnh vực riêng biệt mặc dầu chúng có quan hệ mật thiết. Nhiều trường đại học
vẫn giữ việc phân chia các khoa toán học và khoa thống kê. Thống kê cũng được
nhắc đến trong các khoa khác như là tâm lý học, giáo dục học và y tế.
Hầu hết các nghiên cứu gần đây đề nghị rằng các lý thuyết văn hóa - xã hội kết hợp
với các thành phần (elements) của lý thuyết kiến tạo sẽ cung cấp một mô hình có
ích cho việc làm thế nào để học sinh học toán (theo Sashi Sharma, Đại học
Waikato). Von Glasersfeld (1993) trong nghiên cứu của mình đã chỉ ra rằng lý
thuyết kiến tạo, trong các dạng khác nhau của nó, đều dựa trên một quan điểm rằng
người học phải tự kiến tạo tri thức cho chính họ bằng cách điều ứng các kinh
nghiệm được giới thiệu với kiến thức có sẵn. Cobb (1989) đã khẳng định là những
kiến tạo toán học của trẻ em được chi phối một cách đáng kể bởi những điều kiện xã
hội và văn hóa. Vào năm 1994, ông nói rằng, học sinh không còn được xem như là
những người được người lớn chuyển tải các kiến thức toán học một cách bị động
mà chúng phải tự kiến tạo các ý nghĩa cho bản thân mình bằng cách kết nối với
thông tin mới hoặc cấu trúc lại những kiến thức trước đó của chúng. Đây chính là
hai quan điểm chính của lý thuyết kiến tạo: đồng hóa và điều ứng trong việc học.
Một khái niệm khác của lý thuyết kiến tạo có được từ các nhà lý luận văn hóa - xã
hội như là Vygotsky (1978) và Lave (1991). Họ đề nghị rằng việc học nên được
xem là một tiến trình xã hội (social process) nhiều hơn là một hoạt động cá nhân
(individual activity). Có một nhấn mạnh trong tương tác xã hội, ngôn ngữ, kinh
nghiệm, sự đa dạng về văn hóa và ngữ cảnh để học trong tiến trình học hơn là chỉ
chú ý vào khả năng nhận thức. Bodner (1986) đã khẳng định: "...người học kiến tạo
sự hiểu biết. Họ không chỉ đơn giản phản chiếu lại những gì được dạy và những gì
họ đọc được. Người học tìm kiếm ý nghĩa và cố gắng để tìm ra quy luật và trật tự
13
của sự vật trong thế giới khách quan dù thiếu những thông tin đầy đủ".
Như thế, trong luận văn này, dựa trên lý thuyết kiến tạo, chúng tôi nghiên cứu để
tạo nên các môi trường hỗ trợ cho người học tự phát triển trực giác xác suất và
thống kê của chính mình, xây dựng các mối liên hệ cụ thể với các đối tượng toán
học. Học sinh với sự trang bị đầy đủ các yếu tố cần thiết sẽ xây dựng nên một môi
trường mà trong đó các em sẽ tự kiến tạo tri thức xác suất thống kê cho mình.
Phần này bao gồm giới thiệu một số kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề tài ở
trong cũng như ngoài nước. Các kết quả này được tìm thấy trong các khóa luận, tiểu
luận, luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ, các thông tin trên internet, các bài báo.
Trong dự án “ Xác suất được liên kết ” (Connected Probability) thực hiện ở các năm
1993, 1994, Uri Wilensky và các cộng sự của mình đã đặt mục tiêu khám phá cách
thức cho người học (cấp II và trước cấp II) phát triển các nhận thức trực giác của
những khái niệm cốt lõi của xác suất. Họ đã kết luận rằng, công nghệ máy tính đóng
một vai trò quan trọng trong việc cho phép người học xây dựng các khái niệm trực
giác của xác suất. Thông qua việc xây dựng các mô hình tính toán hằng ngày và các
hiện tượng khoa học, người học có thể tạo nên các mô hình tích cực dựa trên xác
suất và thống kê. Cũng nằm trong dự án này, họ đã mở rộng ngôn ngữ mô hình song
song StarLogo và biến đổi nó để xây dựng các mô hình xác suất.
Trong các công trình nghiên cứu của Kahneman & Tversky (1982), Nisbett (1983),
Knold (1991) đã chỉ ra rằng, việc hiểu xác suất của con người được xác định là khó
khăn. Việc dạy học đã cung cấp quá ít những biện pháp khắc phục. Các nhà giáo
dục đã đáp lại kết quả nghiên cứu trên bằng cách khuyên học sinh đừng tin tưởng
tuyệt đối vào trực giác của mình khi trực giác đó dẫn đến xác suất và chỉ dựa độc
nhất vào các thao tác hình thức. Tuy nhiên kết quả thu được là người học tạo nên
các mô hình hình thức cho các khái niệm cốt lõi của xác suất và thất bại trong việc
liên kết chúng với kiến thức hằng ngày. Wilensky (1993, 1994) khẳng định rằng
trực giác xác suất có thể được kiến tạo bởi người học và môi trường máy tính cho
phép người dùng tạo nên những sản phẩm đáng tin cậy (như phân bố chuẩn) bằng
cách sử dụng các thành phần ngẫu nhiên.
Môi trường giả lập dựa trên máy tính của các hiện tượng phức tạp đã và đang được
14
mở rộng. Rucker (1993), Stanley (1989), Wright (1992) trong công trình nghiên cứu
của mình đã chỉ ra rằng, trong môi trường giả lập, người học được giới thiệu và
khám phá một mô hình phức tạp (được tạo bởi các chuyên gia). Người dùng có thể
thay đổi các biến của mô hình và khám phá những thay đổi tương ứng. Khả năng
chạy các giả lập có tính tương tác là một cải tiến rất lớn so với việc học dựa trên các
sách vở tĩnh với những nhấn mạnh về công thức và thao tác trên các kí hiệu toán
học. Stanley (1992) đã giải thích rằng việc giảng dạy dựa trên sự giả lập của các
hiện tượng xác suất là rất phù hợp cho học sinh trung học và giáo viên. Tuy nhiên,
trong môi trường giả lập, người học không tiếp cận được cách làm việc của mô
hình. Do đó người học chỉ có thể nhận được từ mô hình theo đúng dự định của
người thiết kế và tính bị động vào mô hình trở nên rất cao. Để hỗ trợ cho người
dùng có thể tạo nên các mô hình hữu dụng, một số lượng lớn các môi trường mô
hình hóa đủ mạnh được thiết kế: Stella - Richmond & Peterson (1990), Roberts
(1978); StarLogo - Resnick (1992), Wilensky (1993); Agensheets - Repenning
(1993); KidSim - Smith, Cypher & Spohrer (1994).
Trong bài báo “Học xác suất thông qua xây dựng các mô hình tính toán” (Learning
probability through building computation models), Wilensky (1993) và các cộng sự
của mình muốn người học tự mình tạo nên các mô hình và thiết kế các khảo sát cho
chính họ. Khi phân tích những mô hình mà người học tạo được cũng như quan sát
công việc khảo sát của họ, Wilensky nhận ra rằng thông qua việc tự xây dựng các
mô hình cho chính bản thân mình, người học tự đưa ra được những câu hỏi, tự hình
thành nên lý thuyết, thử nghiệm lý thuyết và nắm được một cách sâu sắc những khái
niệm. Mặc khác, ông cũng kết luận rằng, môi trường mô hình hóa không giới hạn
các hướng đòi hỏi của người sử dụng.
Các nguyên tắc của xác suất và thống kê đã làm thay đổi một cách nền tảng cách
chúng ta làm khoa học và cách mà chúng ta hiểu về thế giới xung quanh. Nhiều nhà
nghiên cứu (Cohen, 1990; Gigerenzer, 1990; Hacking, 1990) đã chỉ rõ rằng một
cuộc cách mạng xác suất đã xuất hiện trong thế kỷ này và rằng các khái niệm ngẫu
nhiên và không chắc chắn đã mở ra một lĩnh vực mới của toán học và khoa học.
Điều này đã làm người ta chú ý nhiều hơn đến các đề tài về sự phức tạp
(complexity), hỗn loạn (chaos) và cuộc sống nhân tạo (artificial life). Các phương
pháp thống kê hiện diện khắp nơi trong các đề tài khoa học. Các bài giảng về xác
15
suất và thống kê là bắt buộc đối với tất cả học sinh theo các ngành khoa học tự
nhiên và xã hội. Tuy nhiên chúng ta có thể bắt gặp những tài liệu đáng tin cậy về
các thiếu hụt lớn đối với việc hiểu ý nghĩa của thống kê (Gould, 1991; Knold, 1991;
Phillip, 1998; Piaget, 1975; Tversky & Kahneman, 1971). Ngay cả những chuyên
gia giáo dục cao cấp, những người sử dụng xác suất và thống kê trong công việc
hằng ngày vẫn có những khó khăn lớn khi giải thích những thống kê mà họ đưa ra.
(Kahneman & Tversky, 1982).
Bên cạnh việc thiếu năng lực, học sinh biểu lộ sự chán ghét với các bài giảng về xác
suất và thống kê, một ác cảm mà cả Mark Twain và Benjamin Disraeli đã nói: “Lời
nói dối có 3 loại: lời nói dối (lies), lời nói dối tồi tệ (damn lies) và thống kê”. Hầu
hết các học sinh thấy rằng, việc đầu tiên khi học xác suất ở các dạng bài tập trong
trường là việc tính toán các tỉ số của tần số (ratios of frequencies) và các hệ số nhị
phân (binomial coefficients). Và thế là, chủ đề chính của xác suất và thống kê được
xem như là sự tập hợp các công thức để nhồi nhét cho bộ óc. Khi học sinh sai sót
trong việc làm chủ các kỹ năng được dạy, phương pháp tốt nhất là cố gắng cải tiến
khả năng tính toán và áp dụng các công thức. Nhưng các trường học rất ít khi cho
học sinh khám phá ý tưởng cơ bản của xác suất hoặc trả lời cho các câu hỏi, chẳng
hạn: “Cái gì là phân bố chuẩn và cái gì làm nó trở nên có ích?” hay là “một thứ gì
đó có thể vừa ngẫu nhiên vừa được xây dựng như thế nào?” Một phần bởi vì ý
nghĩa của các khái niệm xác suất cốt lõi vẫn đang còn được tranh cãi bởi các triết
gia của toán học và khoa học (chẳng hạn, Chaitin, 1987; Kolmogorov, 1950;
Savage, 1954, Suppes, 1984; Von Mises, 1957), họ nói rằng những ý nghĩa đó là
quá khó để cho học sinh có thể hiểu được.
Trong nghiên cứu “Nghịch lý, chương trình và học xác suất: một nghiên cứu trường
hợp trong một khung toán học được liên kết ” (Paradox, Programming and Learing
Probability: A Case Study in a Connected Mathematics Framework), Uri Wilensky
đã nêu ra một quy trình nghiên cứu trường hợp thông qua một thử nghiệm với một
học sinh của mình. Qua nghiên cứu trường hợp, ông đã kết luận rằng việc tự tạo nên
các mô hình và tự khảo sát của người học sẽ giúp họ có được những hiểu biết sâu
sắc hơn về các khái niệm của xác suất hơn là sử dụng các giả lập hoặc các mô hình
16
máy tính đã dựng sẵn.
Ở Việt Nam, phần xác suất và thống kê được đưa vào chương trình phổ thông mới
đây nên chưa có nhiều đề tài nghiên cứu giáo dục về nó. Các đề tài liên quan đến
xác suất thống kê chủ yếu về nội dung phục vụ cho đại học.
Thông qua tìm hiểu một số nghiên cứu trong và ngoài nước ở trên, chúng tôi thấy
rằng các nghiên cứu, do tính lịch sử của mình, đã chưa tận dụng hết sức mạnh của
công nghệ thông tin trong dạy học. Các mô hình về phép thử ngẫu nhiên với số lần
thử lớn chưa được nghiên cứu xây dựng, việc vận dụng lý thuyết kiến tạo trong dạy
học xác suất thống kê đang còn ít. Do đó, cần phải có một nghiên cứu về xác suất
thống kê để giúp cho học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là thông qua việc xây dựng
các mô hình động để tạo nên các tương tác tích cực đối với học sinh lớp 10, 11 ở
Việt Nam.
Qua chương 2, chúng tôi đã giới thiệu nền tảng lịch sử của đề tài, của các vấn đề
liên quan; đưa ra khung lý thuyết là lý thuyết kiến tạo, làm nền tảng lý luận cho quá
trình nghiên cứu; giới thiệu một số các kết quả thu được từ các đề tài đã nghiên cứu.
Chúng tôi cũng đã định hướng cho nghiên cứu của mình sau khi có được một số kết
quả từ các nghiên cứu liên quan. Từ cơ sở và các định hướng này, chúng tôi thiết kế
quá trình nghiên cứu, thực hiện việc nghiên cứu cũng như các vấn đề khác trong các
17
chương tiếp theo.
Mục đích của nghiên cứu là xây dựng các mô hình động tạo nên các tương tác tích
cực, nhằm giúp học sinh lớp 10, 11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê. Chương này
nhằm giới thiệu phương pháp và quy trình nghiên cứu của luận văn. Nó bao gồm
các mục: thiết kế quy trình nghiên cứu, xác định các đối tượng nghiên cứu, đưa ra
các công cụ nghiên cứu, trình bày phương pháp thu thập dữ liệu, phương pháp phân
tích dữ liệu và nêu ra các hạn chế khi thực hiện theo phương pháp và quy trình
nghiên cứu đó.
Quy trình nghiên cứu được tiến hành theo các bước sau đây:
• Thông qua các nghiên cứu, bài báo, các kết quả nghiên cứu đã có từ trước để
nghiên cứu những hiệu quả khi áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học nhằm
giúp học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê, nghiên cứu cách thức áp
dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học để có được những hiệu quả ở trên.
Nghiên cứu sẽ có sử dụng phương pháp nghiên cứu trường hợp (Case Study)
để củng cố những kết quả có được trong quá trình nghiên cứu lý thuyết.
• Nghiên cứu các tác động tích cực của phần mềm động trong việc hỗ trợ học
sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là phần xác suất thống kê. Quy trình nghiên
cứu sẽ được hỗ trợ bởi các thống kê dựa trên các phiếu hỏi, các cuộc khảo sát
với cả học sinh và giáo viên.
• Nghiên cứu cơ sở khoa học của hàm ngẫu nhiên và cách sử dụng hàm ngẫu
nhiên trong các phần mềm dạy học để thiết kế các mô hình động giúp cho
học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê. Nghiên cứu sẽ có sự hỗ trợ chủ yếu của các phần mềm: The Geometer’s Sketchpad và FathomTM.
• Phân tích sách giáo khoa, thống kê các đơn vị kiến thức, các dạng bài tập...
để xây dựng các mô hình xác suất thống kê phù hợp trên hai phần mềm, tiến
tới xây dựng nên các công cụ đủ mạnh giúp học sinh có thể tự tạo nên các
mô hình để khảo sát nhằm kiến tạo tri thức xác suất thống kê cho chính
18
mình.
Các đối tượng trong nghiên cứu này bao gồm: học sinh lớp 10 và 11; giáo viên lớp
10, 11. Học sinh sẽ được nghiên cứu trong từng nhóm hoặc một lớp học được chọn
trong một số trường THPT ở thành phố Huế. Để phục vụ cho nghiên cứu trường
hợp, một vài học sinh sẽ được chọn để thực hiện quá trình nghiên cứu. Đối với giáo
viên, việc nghiên cứu sẽ được thực hiện thông qua quan sát quá trình dạy học, vấn
đáp.
Công cụ nghiên cứu của luận văn bao gồm các mô hình xác suất thống kê được thiết
kế trên hai phần mềm The Geometer’s Sketchpad và Fathom, kế hoạch bài học,
phiếu trắc nghiệm, các bảng hỏi, câu hỏi vấn đáp, bảng đánh dấu kiểm. Các mô hình
sẽ được giới thiệu đầu tiên, phiếu trắc nghiệm sẽ được sử dụng trước và sau khi
thực hiện các thực nghiệm dạy - học. Bảng hỏi sẽ được dùng chủ yếu trong nghiên
cứu trường hợp và tiền thực nghiệm. Các câu hỏi vấn đáp được sử dụng cho nghiên
cứu trường hợp riêng còn bảng ‘‘đánh dấu kiểm’’ sẽ dùng trong quá trình quan sát,
thu thập dữ liệu. Tất cả các phiếu trắc nghiệm, bảng hỏi, bảng đánh dấu kiểm sẽ
được trình bày trong phần phụ lục của luận văn. Các câu hỏi vấn đáp được trình bày
trong quá trình nghiên cứu trường hợp hoặc ở phần phụ lục.
Phương pháp thu thập dữ liệu của nghiên cứu được thực hiện như sau:
• Chuẩn bị một mô hình dạy học về xác suất, mục đích cho học sinh hiểu khái
niệm ngẫu nhiên, các bảng hỏi, phiếu trắc nghiệm, hệ thống các câu hỏi vấn
đáp dùng cho nghiên cứu trường hợp. Tiến hành chọn hai nhóm học sinh,
mỗi nhóm từ 3 đến 4 người ở hai mức độ toán học khác nhau để thực nghiệm
lần lượt. Người nghiên cứu sẽ tiến hành giới thiệu mô hình dạy học với từng
học sinh, học sinh sẽ tiến hành trả lời các phiếu trắc nghiệm, thực hành khảo
sát trên mô hình với quá trình quan sát, tương tác và vấn đáp để thu thập dữ
liệu. Nhà nghiên cứu thu thập dữ liệu thông qua quan sát, vấn đáp và các
phiếu trắc nghiệm, phiếu hỏi. Phương pháp này cũng được áp dụng cho
nhóm học sinh lớp 10 ở mô hình dạy học về thống kê. Các diễn biến chính
19
trong quá trình thực nghiệm sư phạm sẽ được ghi lại thành các đoạn phim.
• Thông qua các phiếu hỏi, phiếu trắc nghiệm cho cả giáo viên và học sinh,
nhà nghiên cứu tiến hành thu thập dữ liệu từ phía học sinh ở một số trường
THPT trong thành phố Huế ở cả 3 lớp 10, 11, 12. Mục đích của việc nghiên
cứu là có được các thông tin, dữ liệu về những tác động tích cực của phần
mềm động trong việc học toán của học sinh. Đối với giáo viên, nhà nghiên
cứu sẽ tiến hành phỏng vấn một số giáo viên THPT.
• Tiến hành nghiên cứu hoạt động: thông qua các hoạt động dạy - học của giáo
viên và học sinh, chúng tôi nghiên cứu để trả lời cho các câu hỏi: Bằng cách
nào để học sinh hình thành nên kiến thức? Làm thế nào để nâng cao chất
lượng dạy học xác suất thống kê? Học sinh hiểu như thế nào về các khái
niệm “ngẫu nhiên”, “thống kê” và các yếu tố khác?
• Tiến hành quá trình phân tích sách giáo khoa lớp 10 phần thống kê và lớp 11
phần xác suất để có dữ liệu về các đơn vị kiến thức được truyền đạt, thống kê
các dạng nhiệm vụ, các kỹ thuật và công nghệ giải quyết, mức độ kiến thức
đưa vào so với kiến thức hàn lâm, các chủ ý của tác giả, những điểm mạnh,
hạn chế...
• Thu thập dữ liệu của các phần mềm The Geometer’s Sketchpad, Fathom
thông qua phần hướng dẫn, hỗ trợ để tạo nên các mô hình, công cụ giúp cho
học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê. Chúng tôi sẽ tiến hành cùng với
các giáo viên phổ thông dạy một tiết thực nghiệm phần xác suất lớp 11 trong
học kỳ I.
• Từ các dữ liệu thu được qua nghiên cứu trường hợp đối với các nhóm học
sinh, chúng tôi tiến hành thống kê các kết quả, phân tích quá trình kiến tạo tri
thức của hai học sinh góp phần trả lời các câu hỏi nghiên cứu thứ nhất và thứ
hai.
• Với dữ liệu thu được từ học sinh và từ giáo viên, chúng tôi thống kê các tác
động tích cực của phần mềm động trong việc học toán của học sinh, các mức
độ ưu tiên của các tác động, các thế mạnh và các hạn chế, góp phần trả lời
20
câu hỏi nghiên cứu thứ hai.
• Với các dữ liệu thu được từ việc tìm hiểu các phần mềm, chúng tôi nghiên
cứu tìm cách sử dụng hiệu quả hàm ngẫu nhiên của máy tính để tạo các mô
hình động có tính tương tác tích cực trong việc kiến tạo tri thức cho học sinh,
góp phần trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ ba.
• Với quá trình phân tích SGK cùng các dữ liệu thu được, chúng tôi tiến hành
thống kê các đơn vị kiến thức đưa vào, mức độ của chúng; phân tích các kiểu
nhiệm vụ, các kỹ thuật và công nghệ, mức độ và yêu cầu của các kiểu nhiệm
vụ. Từ đó chúng tôi rút ra kết luận để xây dựng một số mô hình xác suất
thống kê để giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt được hiệu quả
trong giảng dạy và học tập.
Việc tiến hành dạy thực nghiệm hiện tại có thể gặp nhiều khó khăn, các thông tin
thu thập từ các phiếu hỏi, phiếu trắc nghiệm có thể độ chính xác chưa cao do tính
địa phương của cuộc khảo sát. Khi thiết kế các phiếu hỏi, phiếu trắc nghiệm, chúng
tôi giả định rằng đối tượng nghiên cứu hiểu nội dung các câu hỏi và trả lời theo
đúng chứng kiến của mình. Tuy nhiên điều đó trong thực tế không hoàn toàn đúng.
Việc nghiên cứu trường hợp có thể mức độ chính xác chưa cao trong các kết luận vì
nghiên cứu không chỉ qua quan sát, vấn đáp mà có thể cần đến các kết quả về tâm lý
học, thần kinh học...
Trong chương 3, chúng tôi đã đề ra phương pháp nghiên cứu cho luận văn, thiết kế
quy trình nghiên cứu một cách chi tiết, nêu lên phương pháp thu thập dữ liệu và
phân tích chúng. Thông qua các quy trình thu thập và phân tích dữ liệu này, chúng
21
tôi sẽ đưa ra các kết quả nghiên cứu cho luận văn. Chúng được đề cập ở chương 4.
Chúng tôi tiến hành nghiên cứu theo đúng phương pháp và quy trình đã được trình
bày ở chương 3 để thu được những kết quả. Chương này sẽ nêu các kết quả thu
được, mục đích nhằm lần lượt trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra ở chương 1.
Nêu ra các hiệu quả có thể khi áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất
thống kê. Một số kết quả có thể được bổ sung các số liệu thống kê có được thông
qua quá trình nghiên cứu.
2.1.1. Học sinh thật sự tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức
Lý thuyết kiến tạo được gọi là lý thuyết của nhận thức hơn là lý thuyết của tri thức.
Theo Ernst Von Glasersfeld [18], kiến thức luôn là kết quả của hoạt động kiến tạo
và từ đó nó không thể thâm nhập vào một người học thụ động. Nó phải được xây
dựng một cách tích cực bởi chính mỗi người học. Tuy nhiên, giáo viên có thể định
hướng cho người học theo một cách tổng quát và sự hướng dẫn đó sẽ giúp người
học không phải kiến tạo tri thức theo những hướng mà giáo viên không mong
muốn.
Theo Siegfried M. Holzer [34], trong môi trường học tập tích cực, người học được
trực tiếp thực nghiệm, kiến tạo, hoạt động hay kiểm tra kiến thức. Câu hỏi đặt ra là
chúng ta thiết kế một môi trường học tập sáng tạo như thế nào để đẩy mạnh việc
học một cách tích cực?
Jacqueline Grennon Brooks [40] (2004) cho rằng, trong một lớp học kiến tạo, học
sinh nhận được từ giáo viên những thông tin chưa định hình (amorphous
information) và những vấn đề chưa được xác định rõ ràng. Học sinh phải hợp tác
làm việc nhằm tìm ra cách làm thế nào để tiến đến lời giải cho vấn đề. Giáo viên trở
thành người dàn xếp cho quá trình hình thành ý nghĩa.
Các nhà kiến tạo đều thống nhất rằng, tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi
chủ thể nhận thức, chứ không phải được tiếp nhận một cách thụ động từ môi trường
22
bên ngoài. Và rằng, nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của
chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn
tại bên ngoài ý thức của chủ thể. Cần bác bỏ việc áp đặt và truyền thụ một chiều thụ
động đến người học bởi vì việc học mang tính chủ động. Hơn nữa việc học mang
tính cá nhân. Trong một môi trường học tập kiến tạo, học sinh được học nhiều hơn
khi các em thật sự bị cuốn hút vào việc học, thay vì chỉ là những người lắng nghe
thụ động.
Đối với giáo viên, chúng ta giúp học sinh kiến tạo tri thức như thế nào? Bằng cách
để cho học sinh vật lộn với những vấn đề mà bản thân các em chọn hoặc những vấn
đề mà các em gặp phải trong quá trình khám phá tri thức, giúp đỡ chỉ khi các em
mong muốn. Tốt nhất, giáo viên có thể định hướng quá trình kiến tạo của học sinh,
nhưng không bắt ép các em. Điều này, dĩ nhiên là tốn kém thời gian, nhưng sau khi
các em đã một hoặc hai lần có được niềm vui trong việc tìm lời giải chính bởi suy
nghĩ của mình, các em sẽ sẵng sàng làm việc với những vấn đề giáo viên đưa ra.
Thực nghiệm sư phạm
Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm với chủ đề “Khái niệm không gian mẫu, tiếp
cận khái niệm xác suất” cho 3 nhóm học sinh. Hai nhóm đầu tiên đến từ các trường:
Hai Bà Trưng, Quốc Học và nhóm thứ ba ở Trung Tâm GDTX Huế. Khi chúng tôi
trình bày xong mục đích của trò chơi bốc bi (xem phụ lục), các em đều hăng say,
hứng thú tham gia trò chơi với nhiều cảm xúc: lạ lẫm, ngạc nhiên và thú vị. Các em
thật sự chủ động trong việc kiến tạo tri thức cho chính mình thông qua việc đối mặt
với vấn đề, khảo sát để tìm hiểu và giải quyết vấn đề mà chúng tôi đưa ra.
Những thao tác bốc bi, ghi kết quả, xóc đều lon
đựng bi làm cho các em thực sự cuốn hút vào quá
trình kiến tạo tri thức. Việc thao tác trên các đối
tượng thật, tận mắt chứng kiến các kết quả bốc bi sẽ
giúp cho các em đưa ra những lý luận đáng tin cậy
Một kết quả bốc bi
cho bản thân mình.
Khi thực hiện xong trường hợp bốc bi đầu tiên với hai bi cam và một bi xanh, các
em nhận được một kết quả thắng thua rất chênh lệch. Với gợi ý của giáo viên rằng
các em có thể cho thêm một trái bi nữa, một cuộc tranh luận nổ ra giữa các em về
23
việc nên thêm trái bi màu gì. Kết quả lần hai với 2 bi xanh và 2 bi cam thật sự làm
một số em khá thất vọng. Trường hợp thứ 3 với 1 bi cam và 3 bi xanh được đưa ra
và các em có vẻ chắc chắn rằng phần thắng sẽ nghiêng nhiều về phía học sinh.
Khi đã thực hiện xong 3 trường hợp bốc bi, học sinh đã có những kết quả cho bản
thân và đã có những lý giải ban đầu cho các kết quả. Với một gợi ý nhỏ rằng các em
cần giải thích cặn kẽ về các kết quả, các em đã bắt tay vào công việc. Và thật sự,
một số em đã gặp khó khăn do lý giải theo cảm tính của mình và chưa dẫn tới kết
quả, các em khác lý giải theo cơ hội thắng cuộc của mỗi bên và bước đầu thành
Học sinh gặp khó khăn trong phân tích
Học sinh lý giải các cơ hội thắng cuộc
công.
2.1.2. Học sinh có nhiều cơ hội hơn để trình bày những quan điểm của mình
Theo Papert, S. A., và I. Harel, Eds, [34] việc xây dựng cấu trúc tri thức xảy ra đặc
biệt phù hợp khi mà người học có chủ ý tham gia vào những hoạt động có ý nghĩa
và có thể chia sẻ với bạn học của mình.
Lý thuyết kiến tạo ảnh hưởng tới giải quyết vấn đề như thế nào? Bằng cách để cho
người học phát hiện rằng giải quyết vấn đề là thú vị. Nó sẽ không thú vị nếu giáo
viên không ngừng nhắc nhở các em phải đi theo con đường “đúng” để có lời giải
“đúng”. Người học thường hay có những con đường bất ngờ hoặc khác thường để
tiếp cận lời giải mà các em thấy hợp lý. Người giáo viên phải tôn trọng những con
đường đó và giúp cho các em chọn con đường đúng theo cách của riêng mình.
Trong mảng kiến thức xác suất thống kê, học sinh có thể tham gia vào những hoạt
động đích thực với các môi trường học tập hiệu quả: học thực nghiệm (experiential
learning), học hợp tác (collaborative learning), học theo ngữ cảnh (contex-based
learning) và học với sự hỗ trợ của máy tính (computer-based learning). Chúng ta
24
cần phải tìm kiếm và đánh giá những quan điểm của học sinh vì chúng phản ánh
kiến thức và những lý giải của các em.
Wagener, U. E., trong bài báo “Thay đổi văn hóa dạy học: Changing the Culture of
Teaching” đã phát biểu rằng, những môi trường dạy học mới dựa trên những hoạt
động học tập tích cực đang được phát triển ở nhiều nơi. Chúng phản ánh một thay
đổi trong văn hóa giáo dục từ “lấy giáo viên làm trung tâm” (teacher-centered) sang
“lấy người học làm trung tâm” (learner-centered).
Thực nghiệm sư phạm
Với mô hình trò chơi đoán tổng số chấm của hai súc sắc, chúng tôi đã tiến hành
thực nghiệm với 3 nhóm. Sau khi quan sát mô hình máy tính với số lần gieo 10.000
lần, các em đã có một cuộc tranh luận, hợp tác khá sôi nổi để lý giải kết quả của đồ
thị tương quan giữa tổng số lần gieo và số lần gieo có tổng số chấm bằng 2, 3,…12
mà các em quan sát được. Sau đây là một số cuộc đối thoại giữa các em trong nhóm
với nhau.
Bưởi: Tổng bằng 10 là 5-5.
Diệm: 6-4 nữa.
Bưởi: 5-5, 6-4, 9-1. A, làm gì có 9-1!
Ngang số 6 là hết đát. Vậy chỉ có hai
(trường hợp) thôi.
Diệm: Tổng bằng 11 là 5-6.
làm gì có 9-1!
Bưởi 5-6, 5-6 thôi, chỉ có một trường hợp.
Quang: 5 cộng 6 bằng 11
Nam: 5 cộng 7 là 12 nữa
Quang: Ừ, 5 cộng 7 là 12…
(Quang ghi vào bảng kết quả của nhóm)
Quang: làm chi có 7, súc sắc làm gì có 7.
(Quang và Nam đã nhất trí xóa đi trường
Xóa trường hợp 5 cộng 7
25
hợp 5 cộng 7 trong bảng kết quả của mình).
Sau khi thảo luận luận hai người, cả bốn
học sinh tiến hành thảo luận nhóm. Các
ý kiến của 4 học sinh được đưa ra thảo
luận. Các ý kiến thảo luận đều nhất trí
rằng tổng bằng 7 xảy ra nhiều nhất. Mặc
dù vậy, khả năng lập luận của các em
Quang trình bày quan điểm của mình
còn nhiều hạn chế, do đó mức độ thuyết
phục chưa cao.
2.1.3. Học sinh tạo ra và tiếp nhận những tương tác tích cực
Jacqueline Grennon Brooks [40], một nhà lý luận giáo dục, theo lý thuyết kiến tạo
đã nói rằng học sinh không phải là một phiến đá trống (blank slates) mà chúng ta có
thể khắc (etch) kiến thức vào. Các em học qua các tình huống mà kiến thức, ý
tưởng, hiểu biết đã được định sẵn. Các hoạt động học tập đòi hỏi học sinh phải thật
sự tham gia vào đó. Một phần quan trọng trong tiến trình học là học sinh phải có
phản ánh, phải nói về những hoạt động của các em. Điều này giúp cho giáo viên có
phương tiện để đánh giá việc học của học sinh.
Lớp học kiến tạo dựa chủ yếu vào sự hợp tác giữa các học
sinh. Có nhiều lý do tại sao hợp tác lại chi phối việc học.
Lý do chính là học sinh không chỉ tự học mà còn học từ bạn
Học hợp tác
của mình. Khi học sinh xem lại và phản ánh những tiến
trình học tập của các em với nhau, các em có thể tìm ra
chiến lược và phương pháp từ bạn của mình.
Môi trường kiến tạo sẽ thúc đẩy những kỹ năng thông tin và xã hội bằng cách tạo ta
một môi trường học tập đề cao tính hợp tác và trao đổi ý tưởng. Học sinh phải học
cách làm thế nào để liên kết (articulate) những ý tưởng của mình một cách rõ ràng
giống như là hợp tác ở các nhiệm vụ một cách hiệu quả bởi việc chia sẻ trong các
thành viên của nhóm. Từ đó học sinh phải trao đổi và vì vậy, phải học cách “đàm
phán” với học sinh khác, đồng thời để ước lượng những đóng góp của các em cho
nhóm. Đây là một điểm cốt yếu cho thành công trong cuộc sống thực tiễn.
26
Thực nghiệm sư phạm
Với mô hình trò chơi đoán tổng số chấm của hai súc sắc, đến công đoạn phân tích
các khả năng xảy ra của tổng số chấm, chúng tôi đã cho các em phân tích theo ý
mình mà không đưa ra mẫu sẵn để điền kết quả. Hai nhóm học sinh ở trường Hai Bà
Trưng đã có những cách làm khác nhau trong việc mô tả không gian mẫu. Có nhóm
phân tích khá dài dòng đến hơn cả một trang giấy nhưng có nhóm phân tích gọn
hơn, thể hiện dạng đồ thị mà các em quan sát được trên máy tính.
Sau khi thảo luận hai người, cả nhóm tiến hành thảo luận. Các em được xem và
phản ánh những tiến trình làm việc với nhau. Các cách làm việc được đưa ra để so
so sánh và cách làm việc hiệu quả hơn được công nhận.
Trước đó, với công việc tính tần số cho các khả năng xảy ra của 100 lần gieo súc
sắc, việc làm thế nào để khỏi đếm thiếu, thừa cũng được các em thảo luận. Như thế
Một phân tích tốt
Làm thế này gọn hơn
các em đã làm việc trong môi trường học tập đề cao tính hợp tác, trao đổi ý tưởng.
2.1.4. Giáo viên biết được quan điểm của học sinh
Lý thuyết kiến tạo cho rằng, người giáo viên nên tìm kiếm và coi trọng những quan
điểm của học sinh bởi vì chúng là cánh cửa mở đến những tri thức, những lý giải
của học sinh. Biết những quan điểm của học sinh sẽ giúp giáo viên thuận tiện cho
việc dạy học.
Jacqueline Grennon Brooks [40] cho rằng học là một lộ trình chứ không phải là
điểm đến. Mỗi quan điểm của học sinh là một điểm dừng tạm thời trên con đường
kiến thức của các em. Những quan điểm của học sinh có thể tiếp cận được thông
qua những câu hỏi kết thúc mở (open-ended questions) và khuyến khích với ít phê
bình những phản hồi của học sinh. Ngược lại những câu chỉ đòi hỏi câu trả lời có
27
hoặc không sẽ làm giảm khả năng hoạt động và sáng tạo của học sinh.
Thực nghiệm sư phạm
Với hoạt động nhóm, giáo viên có thể biết được những quan điểm của học sinh
thông qua quan sát các trao đổi, phân tích của các em với nhau. Trong quá trình
thực nghiệm chúng tôi thấy rằng, khi trao đổi, các em đã bộc lộ các quan điểm của
mình, lắng nghe quan điểm của bạn, tranh luận để thống nhất. Trong các cuộc tranh
luận như vậy, chúng tôi đóng vai trò là người cố vấn cho các em.
Khi thực nghiệm với các học sinh lớp 10 trường THPT Cao Thắng về mô hình
“khái niệm phương sai, độ lệch chuẩn”, chúng tôi đã cho các em thảo luận sau khi
tính điểm trung bình cho hai bạn An và Bình. Quan điểm của các em đã được thể
hiện khi thảo luận và ý kiến thống nhất của nhóm được trình bày trên giấy.
Nhóm gồm 2 học sinh Trương Minh Khánh, Ngô Thị Minh Trang có nhận xét rằng
“kết quả điểm của An bằng kết quả của Bình, điểm của An học đều các môn, điểm
của Bình có 3 môn dưới 5”. Với nhận xét trên, chúng ta thấy mặc dù ý của các em
rằng An học đều các môn nhưng việc thể hiện ý đó ra giấy lại chưa ổn.
Nhóm gồm hai học sinh Trần Hồng Thắng và
Nguyễn Thị Kim Dung có nhận xét đáng lưu ý:
”An học đều các môn, Bình có môn điểm cao,
có môn điểm thấp”. Việc biết được quan điểm
của các em đã giúp chúng tôi định hướng quá
trình tiếp theo cho thực nghiệm. Nhận xét trên
Ghi các nhận xét sau khi thảo luận
đưa ra một nhu cầu: cần đánh giá độ sai lệch
của điểm từng môn so với điểm trung bình.
2.1.4. Giáo viên có những đánh giá đích thực
Theo quan điểm kiến tạo, việc đánh giá học sinh sẽ mang tính ngữ cảnh nhiều hơn
và dựa vào cách giải quyết vấn đề mà học sinh đối mặt. Những bài tập có ý nghĩa
cho việc đánh giá theo ngữ cảnh không dễ để tạo nên, tuy nhiên chúng lại cung cấp
nhiều lợi ích: Việc học là liên tục vì giải quyết những vấn đề phức tạp đòi hỏi phải
biết ứng dụng và điều ứng tri thức cho các tình huống mới, do đó, giáo viên có thể
phân biệt giữa học thuộc lòng với học kiến tạo và nhiều lời giải cho bài toán là có
thể.
28
Thực nghiệm sư phạm
Trong quá trình thực nghiệm đối với hai nhóm học sinh trường THPT Hai Bà
Trưng, Nguyễn Huệ, Quốc Học, chúng tôi nhận thấy rằng các em đã quen với làm
việc theo nhóm. Sau khi được phân công nhiệm vụ, mỗi em đều tìm được công việc
của mình, theo sự phân công của giáo viên hoặc của nhóm. Hơn nữa, trong phần
thực nghiệm gieo súc sắc 100 lần, các em đã phân công nhiệm vụ rõ ràng: một
người gieo một người ghi kết quả, sau đó lại đổi vai trò cho nhau. Khi quan sát quá
trình thực hiện của các em, cả trực tiếp và thông qua video ghi lại, chúng tôi thấy
rằng tất cả các em đều làm việc một cách tích cực.
Việc đánh giá các em không chỉ dừng lại ở
kết quả cuối cùng được trình bày trên giấy
mà thật sự phải đánh giá cả quá trình làm
việc. Với trình độ không quá chênh lệch,
chúng tôi thấy rằng mỗi người trong các em
đều có những đóng góp nhất định cho kết
Từ trái qua: Trâm-Hải-Minh-Bảo
quả của cả nhóm. Bên cạnh đó, những em
học sinh nổi bật vẫn thể hiện được mình.
Hơn nữa, qua quan sát, chúng tôi nhận thấy rằng việc tạo lập mối quan hệ bạn bè
gắn kết đã làm công việc của các em nhanh chóng, hiệu quả hơn. Sự ganh đua đã
nhường chỗ cho sự hợp tác để hoàn thành công việc được giao. Với vai trò người
dẫn dắt, cố vấn, chúng tôi thấy rằng các em ít cần sự giúp đỡ từ giáo viên.
Đối với nhóm học sinh Trung tâm GDTX, việc tham gia các hoạt động nhóm trong
lớp học chưa nhiều nên trong quá trình thực nghiệm các em còn lúng túng. Sau khi
tiến hành trò chơi bốc bi, giáo viên yêu cầu các em lý giải các kết quả và trao mỗi
người một tờ giấy trắng để ghi chép. Cả 4 học sinh đã làm việc cá nhân trong vòng
2 phút, sau đó từng nhóm 2 người thảo luận. Chúng tôi nhận thấy rằng ở nhóm
Quang – Nam, Quang luôn sôi nổi trong khi Nam có vẻ dè dặt, chưa quen với làm
việc theo nhóm mặc dù Nam vẫn có những phân tích khá tốt. Nam chưa cảm thấy tự
29
tin về bản thân và có những biểu hiện bị động vào Quang.
Ngược lại với nhóm Bưởi – Diệm, cả hai
thảo luận một cách rất sôi nổi, hợp tác. Ý
kiến của mỗi người được tôn trọng và cả hai
đều cố gắng đưa ra những lập luận chặt chẽ
và hợp lý. Tuy nhiên, do còn nhiều hạn chế
nên việc đi đến kết quả gặp nhiều khó khăn.
Với vai trò cố vấn, chúng tôi đã gợi mở vấn Nam còn chưa quen với hoạt động nhóm đề, giúp các em hoàn thành nhiệm vụ.
Trường hợp của Nam cũng tương tự với trường hợp của Khánh trong nhóm thực
nghiệm lớp 10. Khánh cũng chưa quen với hoạt động nhóm và còn bị động. Đôi lúc
công việc của nhóm Trang – Khánh lại chủ yếu do Trang làm.
Nêu ra các tác động tích cực của phần mềm động trong việc hỗ trợ học sinh lớp 10,
11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê.
2.2.1. Tăng cường khả năng quan sát của học sinh
Quan sát tình huống: Các đối tượng trong một tình huống sẽ được xem xét ở nhiều
góc độ khác nhau, ở nhiều vị trí tương đối khác nhau. Những tác động của các giả
thiết trong tình huống sẽ được quan sát đầy đủ hơn.
Quan sát mối liên hệ: Học sinh sẽ quan sát mối liên hệ, ràng buộc giữa các đối
tượng dễ dàng hơn thông qua những ứng xử của đối tượng đó trong một tổng thể, từ
đó học sinh có thể đưa ra những dự đoán, giả thuyết để rồi kiểm chứng và kiến tạo
tri thức thông qua hoạt động.
Quan sát khám phá: Với thế mạnh của phần mềm động, có thể định lượng các yếu
tố để có những kết luận. Từ các định lượng đó và với tính chất “động” của giá trị,
học sinh có thể phát hiện những bất biến, các quy luật của các đối tượng được quan
sát.
Thực nghiệm sư phạm
Sau khi cho các nhóm thực hiện gieo súc sắc 100 lần, chúng tôi giới thiệu một mô
hình gieo súc sắc trên Fathom. Sau một số lần gieo, các em đã tin rằng việc gieo súc
30
sắc trong thực tế có thể được minh họa thông qua mô hình vì nó vẫn thể hiện được
sự ngẫu nhiên trong kết quả: các em không thể dự đoán đúng trong hầu hết các lần
gieo.
Việc định lượng các yếu tố được phần mềm hoàn thành một cách nhanh chóng và
Đồ thị sẽ giúp các em nhanh có những kết luận
Nhấn nút Rerandomize để gieo hai súc sắc
chính xác, giúp các em có ngay những kết luận cho mình.
2.2.2. Làm những thực nghiệm nhanh, chính xác, ít tốn kém
Thực nghiệm nhanh chóng: Học sinh có thể tiến hành thực nghiệm những ý tưởng
của mình thông qua những công cụ dựng sẵn của phần mềm động. Những thực
nghiệm này rất nhanh chóng và với số lượng lớn tùy ý.
Điều kiện thực nghiệm ổn định: Với những thực nghiệm mang tính vật lý, các điều
kiện về các đối tượng phải được bảo đảm trong suốt quá trình thực nghiệm. Đối với
thực nghiệm trên phần mềm động, điều đó là hiển nhiên có được. Nhờ đó tính chính
xác trong thực nghiệm được đảm bảo từ đầu đến cuối quá trình thực nghiệm.
Thực nghiệm có độ chính xác cao: Những thực nghiệm mà học sinh tiến hành có độ
chính xác rất cao do dựa trên những công cụ đã được kiểm nghiệm và tính chính
xác của các phép tính trên máy tính. Tính chính xác cao còn được thể hiện ở chỗ,
một lượng lớn dữ liệu được tạo ra trong quá trình thực nghiệm và được thống kê
một cách đầy đủ và chính xác.
Thực nghiệm ít tốn kém: Với phần mềm động, những chi phí tốn kém cho thực
nghiệm sẽ được giảm thiểu nhưng vẫn bảo đảm tính khách quan, chính xác. Thời
gian cũng là một vấn đề trong thực nghiệm: phần mềm động giúp tiết kiệm rất nhiều
thời gian và một hoạt động thực nghiệm có thể gói gọn trong một hoạt động của
một tiết học.
31
Thực nghiệm sư phạm
Những con súc sắc trong quá trình thực nghiệm
được chọn lựa sau khi kiểm tra kỹ lưỡng về cấu
tạo, chất liệu súc sắc để đảm bảo sự cân đối và
kết quả ngẫu nhiên khi gieo. Tuy nhiên, độ chính
xác của nó vẫn chưa phải tốt nhất khi mà mỗi
mặt từ 1 đến 6 đều có những khác biệt riêng do
4 con súc sắc trong thực nghiệm
mỗi chấm tương ứng với một lỗ được khoét sâu
vào thân của súc sắc.
Hơn nữa, công việc gieo súc sắc muốn đảm bảo có những kết quả chính xác phải
thực hiện gieo rất nhiều lần. Điều này đôi lúc đem lại sự nhàm chán và làm mất hiệu
quả trong hoạt động kiến tạo tri thức của học sinh.
Sử dụng phần mềm chuyên dụng như GSP và Fathom, giáo viên có thể giúp học
sinh tiến hành những thực nghiệm với số lượng lớn một cách nhanh chóng trong
những điều kiện đảm bảo. Hơn nữa, với khả năng chèn hình ảnh, những con súc sắc
ảo vẫn đủ sức hấp dẫn học sinh. Các lá bài tú lơ khơ được dùng trong một số bài
toán xác suất vẫn có thể được thể hiện một cách sinh động trên GSP.
2.2.3. Làm việc trên một số lượng lớn các kết quả
Khả năng xử lý một số lượng lớn
dữ liệu: Với một tập hợp lớn các
dữ liệu thu thập được, học sinh có
thể nhanh chóng có ngay các kết
quả cần thiết của mình dưới sự hỗ
trợ của phần mềm động. Cả hai
phần mềm GSP và Fathom đều
Với thao tác nhấp chuột, một số lượng lớn các phép thử
cho phép thực hiện một số lượng
sẽ được tiến hành ngay lập tức
lớn các phép thử với tốc độ xử lý
32
nhanh.
Trích xuất các kết quả dưới những dạng khác
nhau: Dựa trên những số liệu thu được, học
sinh có thể có được những kết quả được thể
hiện ở những dạng khác nhau, chứa đựng
nhiều thông tin cần thiết theo thế mạnh của
những dạng đó. Với GSP, có thể sử dụng tính
năng vẽ hình để có các bảng kết quả. Với
Chỉ một thao tác rê và thả chuột, ta có
Fathom, biểu đồ và xử lý trên biểu đồ là thế
ngay mối tương quan giữa nhiệt độ và
thời gian
mạnh của phần mềm này.
Những thay đổi tương ứng: Với dữ liệu đầu vào thay đổi, những kết quả đã có cũng
thay đổi theo một cách tương ứng, giúp cho học sinh có ngay những kết luận cho
mình.
Nêu lên kết quả nghiên cứu về cơ sở khoa học của hàm ngẫu nhiên trong máy tính;
giới thiệu một số mô hình động đã xây dựng được trong xác suất và thống kê có sử
dụng hàm ngẫu nhiên, thông qua phần mềm GSP và Fathom, mục đích tạo ra các
tương tác tích cực giúp học sinh kiến tạo tri thức.
2.3.1. Ý tưởng tạo số ngẫu nhiên
Theo Measut Gunes [29], hai tính chất thống kê quan trọng của số ngẫu nhiên là
đồng khả năng và độc lập. Ông nói rằng, có thể tạo ra các số ngẫu nhiên giả
(pseudo random numbers), bởi vì tạo ra các số bằng cách sử dụng một phương pháp
đã biết sẽ làm mất đi khả năng cho sự ngẫu nhiên thực sự. Mục tiêu là tạo ra một
dãy các số trong [0; 1] sao cho giả lập và mô phỏng được những tính chất cốt lõi
của số ngẫu nhiên thật sự.
Khi tạo số ngẫu nhiên giả, chúng ta cần phải chú ý đến các đặc tính sau của máy tạo
số ngẫu nhiên:
• Nhanh, tạo được một loạt các số ngẫu nhiên trong thời gian ngắn;
• Tiện lợi cho các máy tính khác nhau;
• Có chu trình đủ dài một cách hiệu quả (have sufficiently long cycle);
33
• Tái tạo được (Replicable);
• Xấp xỉ tốt nhất đến tính chất thống kê lý tưởng của đồng khả năng và độc
lập.
Một số vấn đề xảy ra khi tạo ra số ngẫu nhiên giả:
• Số được tạo ra có thể không có phân bố chuẩn. Điều này không bảo đảm tính
đồng khả năng của các số ngẫu nhiên;
• Số được tạo ra có thể bị mang giá trị rời rạc thay vì giá trị liên tục. Điều này
làm cho nhiều số không xuất hiện bao giờ;
• Trung bình của các số được tạo ra có thể quá cao hoặc quá thấp.
2.3.2. Kỹ thuật tạo số ngẫu nhiên
Measut Gunes (2005) đưa ra một phương pháp tạo số ngẫu nhiên, đó là phương
pháp Đồng dư tuyến tính (Linear Congruential Method).
Ý tưởng của phương pháp đồng dư tuyến tính là tạo một dãy các số nguyên X1,
X2,… giữa 0 và m – 1 bởi mối liên hệ đệ quy sau:
Xi+1 = (aXi + c) mod m, i = 1, 2, …
Trong đó a là hệ số nhân (multiplier), c là số gia (increment) và m là môđun. Từ
công thức trên, chúng ta có nhận xét
• Việc chọn lựa các giá trị cho a, c, m và X0 ảnh hưởng mạnh đến tính chất
thống kê và độ dài của chu kỳ.
• Số nguyên ngẫu nhiên được tạo trên [0; m – 1] theo cách trên, và để biến
những số nguyên đó thành những số ngẫu nhiên trong [0; 1] thì
, i = 1, 2, … Ri =
Ví dụ:
Sử dụng X0 = 27, a = 17, c = 43 và m = 100:
X1 = (17*27 + 43)mod 100 = 502 mod 100 = 2, R1 = 0.02;
X2 = (17*2 + 43)mod 100 = 77, R2 = 0.77;
X1 = (17*77 + 43)mod 100 = 52, R3 = 0.52;
X1 = (17*52 + 43)mod 100 = 27, R4 = 0.27;
34
…
Chẳng hạn, với a = 13; c = 0 và m = 64, sử dụng The Geometer’s Sketchpad với
tính năng lặp, ta có bảng sau:
Xi Xi Xi Xi i (X0 = 1) (X0 = 2) (X0 = 3) (X0 = 4)
1 13 39 52 26
2 41 59 36 18
3 21 63 20 42
4 17 51 4 34
5 29 23 58
6 57 43 50
7 37 47 10
8 33 35 2
9 45 7
10 9 27
11 53 31
12 49 19
13 61 55
14 25 11
15 5 15
16 1
Các trường hợp này có chu kỳ đều rất thấp. Chúng ta cần có máy tạo số ngẫu nhiên
tốt hơn với các đặc điểm:
• Độ trù mật cực đại
+ Sao cho giá trị Ri tạo ít khoảng trống rộng trên [0; 1]
+ Vấn đề: Thay vì liên tục, mỗi Ri là rời rạc.
+ Giải quyết: Một số nguyên rất lớn cho m.
• Chu kỳ cực đại
+ Để đạt được độ trù mật cực đại và tránh lặp lại.
+ Đạt được bằng cách chọn thích hợp các số a, c, m và X0.
• Hầu hết máy tính sử dụng biểu diễn nhị phân cho các số
35
+ Tốc độ và hiệu quả được giúp đỡ bởi một môđun m, là một số mũ của 2.
Đối với máy tính, theo thời gian, khả năng tính toán của nó ngày càng lớn với phạm
vi các số ngày càng mở rộng. Ta có thể sử dụng hệ số nhân a = 25214903917, số
gia c = 11 và môđun m = 291474976710655.
Tuy nhiên, Measut Gunes nói rằng cần phải tổ hợp các máy đồng dư tuyến tính trên
để có được chu kỳ dài hơn, tận dụng sức mạnh của máy tính với cách tiếp cận là kết
hợp hai hay nhiều máy tạo đồng dư.
2.3.3. Tạo số ngẫu nhiên trên máy tính
Ion Saliu [21] nói rằng tính năng tạo số ngẫu nhiên đã có sẵn ở những máy tính cá
nhân đời đầu. Nó được tích hợp với ngôn ngữ lập trình BASIC theo máy tính. Ngôn
ngữ này không nằm trên đĩa (software-based) mà được tích hợp trên chip nhớ ROM
(hardware-based). Hàm ngẫu nhiên khi đó thông tin trực tiếp với chip thạch anh, nó
đọc trực tiếp tần số của chip và sử dụng nó như là số khởi tạo cho số ngẫu nhiên.
Lợi ích của kỹ thuật này là có được một số lượng lớn các giá trị khởi tạo khác nhau.
Microsoft vào những năm 80 đã tạo nên ngôn ngữ Microsoft BASIC trong các máy
IBM PC. Chương trình không còn ở ROM nữa mà ở ổ đĩa (disk), đây là một nền
tảng lập trình chắc chắn cho đến ngày nay. Tại thời điểm đó, số ngẫu nhiên được tạo
ra đôi khi được gọi là số ngẫu nhiên giả (pseudo-random numbers) bởi vì phần mềm
tạo các số ngẫu nhiên dựa trên một số khởi tạo (seed) nhờ bộ đếm thời gian.
David W. Deley [16], trong nghiên cứu về việc tạo số ngẫu nhiên trên máy tính của
mình, ông đã phân tích nhiều giải thuật tạo số ngẫu nhiên trên máy tính thông qua
các ngôn ngữ lập trình như Fortran, C, ANSI C, Microsoft C và Turbo Pascal. Nền
tảng lý luận cho nghiên cứu của ông là lý thuyết xác suất và phương pháp kiểm tra
các giải thuật là kiểm tra dựa trên phân bố chi bình phương (Chi-square) và phân bố
Kolmogorov-Smirnov. David nhận thấy rằng, các cách tạo số ngẫu nhiên ở trên đều
sử dụng phương pháp đồng dư tuyến tính đã trình bày ở trên và với mỗi ngôn ngữ
có một thế mạnh riêng trong việc tạo các số ngẫu nhiên.
David cũng nhận xét rằng, việc xác định chính xác ngôn ngữ nào để tạo số ngẫu
nhiên phụ thuộc vào ứng dụng mà chúng ta thiết kế. Có một sự cân bằng giữa độ
phân giải (resolution) và số lượng (quantity) các số ngẫu nhiên được tạo ra. Với độ
phân giải cao, không quá nhiều các số ngẫu nhiên được tạo ra trước khi tìm ra một
36
vài số không ngẫu nhiên. Với độ phân giải thấp, sẽ có đủ nhiều các số ngẫu nhiên
được tạo ra trước khi tìm ra một vài số không ngẫu nhiên. Theo ông, các ngôn ngữ
lập trình như Fortran, C, Microsoft C là đủ để tạo các số ngẫu nhiên.
2.3.4. Số ngẫu nhiên giả và số ngẫu nhiên thật
Theo Mads Haahr [41], một nhà nghiên cứu về ngẫu nhiên và các trò chơi cờ bạc
(gambling), có hai cách tiếp cận chính trong việc sử dụng máy tính để tạo các số
ngẫu nhiên, đó là máy tạo số ngẫu nhiên giả (Pseudo-Random Number Generators)
và máy tạo số ngẫu nhiên thật (True Random Number Generators). Các tiếp cận này
có những đặc điểm hoàn toàn khác nhau. Có nhiều ý kiến tán thành cũng như phản
Một trang web tạo số ngẫu nhiên trực tuyến
đối cho mỗi tiếp cận.
Máy tạo số ngẫu nhiên giả (PRNGs)
Số ngẫu nhiên giả không phải ngẫu nhiên, chí ít là nếu chúng ta đã biết phép rơi
ngẫu nhiên súc sắc hay là cách xổ số của các công ty xổ số. Về cơ bản, máy tạo số
ngẫu nhiên giả sử dụng một công thức toán học đệ quy để tạo một dãy các số xuất
hiện ngẫu nhiên. Một thuật toán tốt là phương pháp đồng dư tuyến tính (đã nêu ở
trên). Những thuật toán hiện đại để tạo số ngẫu nhiên giả trở nên quá tốt đến nỗi mà
những số được tạo ra trông như là thật sự ngẫu nhiên.
PRNGs là hiệu quả, theo nghĩa chúng có thể tạo ra nhiều số trong một thời gian
ngắn, và xác định được, theo nghĩa một dãy các số cho sẵn có thể tái tạo (tại một
thời điểm khác) nếu biết được điểm đầu trong dãy đó. Hiệu quả là tính chất tốt nếu
ứng dụng cần nhiều số, và tính xác định được thuận tiện để lặp lại cùng một dãy số
ở những thời điểm khác. PRNGs cũng có tính tuần hoàn (periodic). Cho dù tính
tuần hoàn hầu như không phải là một đặc tính đáng mong muốn nhưng những máy
37
tạo số ngẫu nhiên giả hiện đại có những chu kỳ dài đến độ có thể bỏ qua cho những
mục đích mang tính thực hành. Theo Mads Haahr, PRNGs là đủ cho những ứng
dụng cần nhiều số và những ứng dụng tạo mô hình. PRNGs không phù hợp cho
những ứng dụng đòi hỏi số phải không được xác định trước như là bảo mật dữ liệu
hay các trò cờ bạc.
Máy tạo số ngẫu nhiên thật (TRNGs)
Nếu so sánh với PRNGs, TRNGs trích xuất sự ngẫu nhiên từ các hiện tượng vật lý
và đưa vào máy tính. Chúng ta có thể hình dung giống như một con súc sắc kết nối
với máy tính vậy. Tuy nhiên, sử dụng hiện tượng vật lý dễ kết nối với máy tính hơn
nhiều so với súc sắc. Hiện tượng vật lý có thể là sự nhấp môi của ai đó hay khoảng
thời gian giữa hai lần nhấn phím, hoặc có thể là tiếng động…
Có một số cách để tạo ra sự ngẫu nhiên thực sự trên máy tính. Một hiện tượng vật lý
thật sự tốt cho sự ngẫu nhiên là nguồn phóng xạ. Điểm quan trọng ở đây là sự phân
rã của một chất phóng xạ là không đoán trước được và chúng có thể dễ dàng đưa
vào máy tính. Một hiện tượng vật lý khác cũng thích hợp là tiếng ồn của khí quyển
Một thiết bị tạo số ngẫu nhiên thật
Máy tạo số ngẫu nhiên thật
(atmospheric noise), dễ dàng tìm thấy trong một cái radio bình thường.
Đặc tính của TRNGs hoàn toàn khác với PRNGs. Trước hết, TRNGs không hiệu
quả bằng PRNGs khi xem xét đến thời gian tạo các số. Chúng có đặc tính không xác
định trước được, theo nghĩa các dãy số không bị lặp lại và TRNGs không có chu kỳ.
Máy tạo số ngẫu nhiên thật đặc biệt cần cho việc bảo mật dữ liệu, các trò cờ bạc và
xổ số.
2.3.5. Tạo số ngẫu nhiên trên GSP và Fathom
The Geometer’s Sketchpad và Fathom đều là những phần mềm có nền đôi (dual –
platforms). Chúng được viết chính cho nền Macintosh và có một phiên bản dành
38
cho nền Windows. Theo Nick Jackiw, người viết phần mềm GSP và tham gia viết
phần mềm Fathom, cả hai phần mềm trên đều sử dụng ngôn ngữ ISO C để lập trình
trên Macintosh và C++ trên Windows. Như thế, hàm ngẫu nhiên được dùng cho hai
phần mềm đều sử dụng kỹ thuật đồng dư tuyến tính và tạo ra các số ngẫu nhiên giả
(pseudo-random numbers), hoàn toàn phù hợp với phần mềm tạo mô hình như GSP
và Fathom.
Một cách tạo số nguyên ngẫu nhiên trên GSP
Trên phần mềm GSP, việc tạo số ngẫu nhiên phải thông qua hoạt động (Animation).
Một đối tượng này có thể di chuyển ngẫu nhiên trên một đối tượng khác. Chẳng
hạn, một điểm tùy ý trên đoạn thẳng có thể di chuyển ngẫu nhiên trên đoạn thẳng
đó. Bằng cách đo khoảng cách của điểm đó đến một điểm cố định cho trước, giá trị
khoảng cách sẽ là giá trị ngẫu nhiên.
1. Dựng một đoạn thẳng AB tùy ý, lấy một
điểm M tùy ý trên AB.
2. Chọn điểm M, áp dụng Edit | Action
Buttons | Animation, trong hộp thoại
hiện ra chọn thẻ Animate, phần
Direction chọn random, chọn thẻ
Label và nhập tên Random.
3. Đo độ dài đoạn thẳng AM, nhấn nút
Tạo số ngẫu nhiên trên GSP
Random để độ dài thay đổi ngẫu nhiên
từ 0 đến độ dài đoạn AB.
Nếu thay đoạn thẳng AB bởi một đường tròn và điểm M trở thành một điểm tự do
trên đường tròn đó thì M có thể ở những vị trí ngẫu nhiên. Với một điểm N cố định
trên đường tròn, việc vị trí M là ngẫu nhiên sẽ làm cho độ dài đoạn thẳng MN là một
giá trị ngẫu nhiên. Lấy phần nguyên của giá trị đó sau khi chia nó cho chu vi của
đường tròn rồi nhân thêm một hệ số nguyên, ta có thể tạo ra một dãy các số nguyên
ngẫu nhiên trong một đoạn nào đó.
Một cách tạo số nguyên ngẫu nhiên trên Fathom
Fathom là phần mềm chuyên về thống kê và xác suất nên có sẵn các hàm ngẫu
nhiên để sử dụng. Với tính năng tạo thanh trượt (Sliders), Fathom cho phép người
39
dùng tạo thanh trượt ngẫu nhiên.
1. Ở trang hình Fathom, nhấp chuột vào
biểu tượng thanh trượt (Sliders) rồi kéo
vào trang hình để tạo một thanh trượt.
2. Áp dụng Edit | Edit Fomula để tạo
công thức cho thanh trượt random.
3. Trong ô công thức, chọn randomPick,
nhập 1, 2, 3, 4, 5, 6 rồi nhấn nút OK để
kết thúc.
4. Nhấn nút hình tam giác ở thanh trượt để
Tạo số ngẫu nhiên trên Fathom
có các số ngẫu nhiên từ 1 đến 6.
Thực nghiệm sư phạm
Trong quá trình thực nghiệm với 3 nhóm học sinh lớp 11, chúng tôi đã lập biểu mẫu
thống kê 100 lần gieo súc sắc để cho các em ghi kết quả. Thống kê các kết quả được
cho ở bảng sau:
Kết quả tổng số chấm của hai súc sắc Tên nhóm Tổng 2 3 9 4 5 6 7 8 10 11 12
Trinh + Nga 1 4 9 11 13 12 19 12 10 5 4 100
Minh + Bảo 3 4 13 13 9 13 18 11 8 5 3 100
Hải + Trâm 4 4 6 5 17 12 13 18 8 6 7 100
Linh + Ngân 4 6 11 10 15 15 17 9 8 5 0 100
Quang + Nam 3 3 9 12 13 7 11 17 7 13 5 100
Bưởi + Diệm 2 1 7 17 18 15 13 10 9 4 4 100
Tổng 17 22 57 70 84 81 84 74 50 38 23 600
Ta có biểu đồ thống kê giữa các kết quả
tổng số chấm và tần số của chúng sau 600
lần gieo súc sắc ở bên. Việc thể hiện đúng
hình tháp của biểu đồ chưa hoàn toàn được
như mong đợi. Điều này cũng dễ hiểu do
Biểu đồ thống kê 600 lần gieo súc sắc
40
số lần gieo súc sắc chưa đủ lớn.
Nêu ra và phân tích các mô hình xác suất thống kê, mỗi mô hình đặt trong một mục.
Trong từng mô hình, nêu cách tạo (sơ lược), ứng dụng của mô hình và các số liệu
thống kê (nếu có) thông qua việc sử dụng mô hình của học sinh và giáo viên.
Giáo dục toán dựa trên nền tảng máy tính điện tử
(Computer-Based Mathematics Education –
CBME) là một phương pháp giáo dục toán với sự
hỗ trợ của máy tính, cụ thể hơn là thông qua các
phần mềm giáo dục. Phạm vi của CBME là phần
giao của 3 miền: toán học, giáo dục và máy tính.
Máy tính và giáo dục toán
Tuy là phần giao nhưng CBME lại có những đặc
trưng riêng, giống như nước hoàn toàn khác với cả
Oxi và Hidro.
Theo Uri Wilensky [36], việc hiểu các khái niệm cốt lõi của xác suất và thống kê
của học sinh có thể hiệu quả bằng cách tạo các mô hình (hoặc giúp học sinh tạo các
mô hình) để khảo sát, kiến tạo tri thức. Ông nói rằng, thông qua việc xây dựng các
mô hình, học sinh sẽ tiếp cận được các khái niệm cốt lõi của xác suất và thống kê.
Hơn nữa, qua việc nghiên cứu quá trình xây dựng mô hình của học sinh và những
thao tác mà học sinh thực hiện trên mô hình, giáo viên có thể hiểu tốt hơn những
tiến triển trong việc kiến tạo tri thức của học sinh.
Qua phân tích sách giáo khoa phần thống kê ở lớp 10, phần xác suất ở lớp 11, chúng
tôi đưa ra một số mô hình nhằm hỗ trợ cho học sinh kiến tạo tri thức thông qua khảo
sát trên các mô hình đó. Đối với phần thống kê lớp 10, chúng tôi giúp học sinh tiếp
cận với các khái niệm: số liệu thống kê, tần số, tần suất; các giá trị đặc trưng của
mẫu số liệu, phương sai và độ lệch chuẩn. Đối với phần xác suất lớp 11, chúng tôi
xây dựng các mô hình giúp học sinh tiếp cận với các khái niệm: ngẫu nhiên, biến
cố, xác suất của biến cố. Một số mô hình ở phần xác suất được thiết kế dưới dạng
các trò chơi nhỏ, có thể sử dụng như là một hoạt động trong tiết học.
2.4.1. Mô hình số liệu thống kê, tần số, tần suất
41
* Mô hình số liệu thống kê, tần số
Tình huống: Có 20 bạn tham dự một kỳ thi học sinh giỏi. Kết quả điểm (theo thang
điểm 10 của các bạn được cho bởi một bảng điểm. Hãy thống kê số các bạn có cùng
một điểm số.
Cách tạo mô hình:
+ Lập một danh sách kết quả điểm trên GSP với các giá trị điểm là các tham số với
giá trị thay đổi được.
+ Dùng công cụ sắp thứ tự các số, sắp thứ tự các kết quả điểm trên rồi lấy giá trị
nhỏ nhất (min) và lớn nhất (max). Công cụ sắp thứ tự các số được chúng tôi xây
dựng dựa trên giải thuật nổi bọt cổ điển.
+ Lập hàm để xác định tần số cho từng giá trị điểm khác nhau. Chẳng hạn tạo họ
hàm số fi(x) = . Với i = 2, f2(x) chỉ bằng 1 khi x = 2, các giá trị x khác
đều cho giá trị 0. Như thế với x là các điểm số ta có thể thống kê được số các thí
sinh có điểm 2 bằng cách lấy , với x chạy khắp các giá trị điểm của thí sinh.
+ Tạo một đồ thị thể hiện mối tương quan giữa điểm các thí sinh và tần số của nó. Ý
tưởng mà chúng tôi thực hiện trong mô hình này như sau: Lập một dãy các đoạn
thẳng nằm ngang cách nhau một đơn vị. Với một giá trị tần số, chẳng hạn giá trị 7
thể hiện cho số điểm 5 của các thí sinh, ta vẽ điểm có tọa độ (5; 7). Tiếp theo ta
dựng đoạn thẳng nối điểm (5; 0) đến điểm (5; 7) rồi dựng giao điểm của đường
thẳng này với các đường thẳng nằm ngang ở trên. Tại mỗi giao điểm ta dựng một
đường tròn có bán kính nhỏ (chẳng hạn 0.2cm) rồi tô màu cho đường tròn. Để dựng
nhanh các đường tròn, chúng ta có thể tạo thành một công cụ.
Sử dụng mô hình:
1. Giới thiệu tình huống.
2. Yêu cầu học sinh phân nhóm và đếm
các giá trị để điền vào bảng.
3. Kiểm tra kết quả của nhóm và hiển thị
kết quả.
Đồ thị tương quan giữa Điểm và Tần Số
4. Đánh giá kết quả thu được thông qua
bảng và thông qua đồ thị.
42
File tham khảo: tktsts.gsp
* Mô hình về số liệu thống kê, tần số, tần suất
Tình huống: Một bảng số liệu các điểm kiểm tra môn toán của một nhóm học sinh.
Học sinh biết cách thu thập các thông tin qua bảng số liệu.
Cách tạo mô hình:
+ Sử dụng bảng điểm đã nhập sẵn trong file bangdiem.ftm. Những giá trị trong
bảng điểm này cũng như số lượng các thí sinh hoàn toàn có thể thay đổi được
+ Sử dụng bảng biểu (Table), đồ thị (Graph) để phân tích mẫu số liệu.
1. Mở file bangdiem.ftm có trên CD kèm theo luận văn
này.
Biểu tượng tạo bảng biểu và
tạo đồ thị trong Fathom
2. Nhấp vào biểu tượng Danh sách HS để chọn danh sách
này, kéo các góc của biểu tượng để mở rộng danh sách.
3. Vẫn chọn danh sách, nhấp đè vào biểu tượng tạo bảng biểu rồi kéo vào phần
trống của trang hình. Lập tức một bảng biểu xuất hiện thể hiện các kết quả
điểm của học sinh.
4. Nhấp và kéo biểu tượng đồ thị vào phần
trống của trang hình.
5. Đặt con trỏ ở tiêu đề của cột để con trỏ
trở thành bàn tay. Kéo các cột của bảng
điểm vào hàng hoặc cột của đồ thị rồi
Kéo thông tin ở cột Vong_1 vào đồ thị
thả chuột.
6. Dựa vào đồ thị để phân tích.
Sử dụng mô hình:
1. Giới thiệu tình huống, cung cấp cho học sinh số liệu, nêu lên các yêu cầu cần
đạt và chia nhóm học sinh để làm việc.
2. Phân tích các kết luận có được của học sinh thông qua xử lý số liệu.
3. Sử dụng phần mềm Fathom để kiểm tra các kết luận có được.
File tham khảo: bangdiem.ftm.
2.4.2. Mô hình các giá trị đặc trưng của mẫu số liệu
Mô hình này giúp học sinh tiếp cận với các giá trị đặc trưng cho mẫu số liệu, các giá
43
trị này xuất hiện một cách tự nhiên khi học sinh làm việc với số liệu.
Tình huống: Với mô hình ở trên, tính điểm trung bình của cả nhóm và số trung vị.
Cách tạo mô hình:
Tạo công thức tính điểm trung bình dạng thô (cộng tất cả các giá trị rồi chia trung
bình) và dạng dựa vào bảng phân bố tần số. Đối với số trung vị, sắp xếp dãy số
(điểm) theo thứ tự tăng dần sử dụng công cụ sắp xếp các số rồi xác định giá trị trung
vị.
Sử dụng mô hình:
1. Nêu tình huống, phân nhóm học sinh để
tính giá trị trung bình.
2. Thảo luận để đưa ra công thức tính giá
trị trung bình thông qua bảng phân bố
Minh họa số trung vị
tần số.
3. Học sinh thảo luận để sắp xếp điểm theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.
4. Nêu khái niệm trung vị và giúp học sinh tìm giá trị trung vị, tìm được công
thức tính số trung vị với các mẫu số liệu khác nhau.
File tham khảo: tktsts.gsp
2.4.3. Mô hình khái niệm phương sai, độ lệch chuẩn
Mô hình này giúp học sinh tiếp cận với hai khái niệm: phương sai và độ lệch chuẩn.
Chúng xuất phát từ nhu cầu phân biệt độ lệch khi mà số trung bình chưa nói lên
được nhiều thông tin.
Tình huống: Điểm trung bình của từng môn học của hai học sinh An và Bình cuối
năm được cho bởi một bảng. Nhiệm vụ của học sinh là tính điểm trung bình (không
kể hệ số) của tất cả các môn học của An và Bình, kiểm tra xem bạn nào học khá hơn
và nhận xét về sự chênh lệch, biến động giữa các điểm số của hai bạn.
Cách tạo mô hình:
1. Sử dụng The Geometer’s Sketchpad với các công cụ dựng đoạn thẳng, tạo
sẵn một bảng điểm trung bình các môn của hai bạn An và Bình.
2. Sử dụng tính năng vẽ đồ thị, vẽ đồ thị tương ứng giữa môn và điểm môn đó.
3. Tính điểm trung bình của hai bạn và tính các độ lệch của từng môn so với
44
điểm trung bình.
4. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Sử dụng mô hình:
1. Giới thiệu bài toán.
2. Học sinh tiến hành tính điểm trung bình
rồi rút ra nhận xét.
3. Giới thiệu đồ thị biểu điểm của hai học
sinh, học sinh nhận xét.
4. Giới thiệu vấn đề: Mặc dù hai bạn điểm
Đồ thị tương quan giữa các môn và
trung bình giống nhau nhưng bạn này
điểm trung bình các môn
học lệch, bạn kia học đều. Cần phải đo
độ lệch để có thêm thông tin.
5. Cùng học sinh tính độ lệch, giới thiệu khái niệm độ lệch chuẩn và phương
sai, cách tính chúng dựa vào máy tính bỏ túi.
6. Thay đổi bảng điểm của An và Bình bởi điểm của hai bạn khác. Tính điểm
trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
File tham khảo: Phuongsai-Dolechchuan.gsp.
2.4.4. Mô hình khái niệm ngẫu nhiên
Mô hình này giới thiệu phép thử gieo súc sắc với một số lượng lớn các lần gieo.
Học sinh sẽ được thực nghiệm trên máy tính với sự hỗ trợ của phần mềm The
Geometer’s Sketchpad.
Tình huống: Học sinh gặp các hiện tượng ngẫu nhiên và nắm bắt khái niệm ngẫu
nhiên thông qua khảo sát trên mô hình.
Cách tạo mô hình:
1. Sử dụng công cụ tạo số nguyên ngẫu nhiên có trong file
ngaunhien.gsp để tạo một biến nguyên ngẫu nhiên lấy
giá trị trong đoạn [1; 6].
Mô hình súc sắc
2. Tạo một hình lập phương 3 chiều với mỗi mặt ứng với số
chấm của con súc sắc.
3. Ứng với mỗi lần gieo ngẫu nhiên một số, hình lập phương sẽ quay đến mặt
45
có số chấm đúng với số ngẫu nhiên vừa gieo.
Vì ý tưởng tạo súc sắc khá phức tạp nên chúng tôi đã tạo nó trở thành một công cụ,
khi cần chúng ta có thể có ngay một con súc sắc 6 mặt với một nút gieo súc sắc, một
nút ẩn hiện, một điểm thay đổi kích thước súc sắc và một giá trị bằng số thể hiện số
chấm xuất hiện trên mặt súc sắc.
Trong quá trình xây dựng công cụ súc sắc,
chúng tôi cần các điều kiện để xác định mặt
nào của súc sắc sẽ xuất hiện. Do đó, để súc
sắc thể hiện đúng, chúng ta cần thiết lập môi
trường cho giá trị góc là định hướng ở trang
hình hiện thời: Áp dụng Edit | Preferences,
trong hộp thoại Preferences hiện ra, chọn đơn
Tùy chọn directed degrees
vị (Unit) cho góc (Angle) là giá trị độ có định
hướng (directed degrees).
Sử dụng mô hình:
1. Giới thiệu các tình huống ngẫu nhiên trong thực tế, dẫn dắt đến khảo sát tình
huống gieo súc sắc.
2. Nêu vấn đề: Liệu có đoán được kết quả của phép gieo súc sắc hay không,
học sinh trực tiếp khảo sát bằng cách gieo súc sắc và khảo sát trên mô hình.
3. Học sinh khảo sát mô hình để có được những đặc tính của sự ngẫu nhiên, đặc
biệt cho trường hợp gieo súc sắc (tính đồng khả năng).
File tham khảo: ngaunhien.gsp
2.4.5. Mô hình tính xác suất của biến cố thông qua thống kê
Mô hình này giúp học sinh tiếp cận khái niệm xác suất của biến cố thông qua việc
gieo súc sắc 6 mặt. Là sự mở rộng của mô hình trên, chúng ta sẽ xây dựng thêm đồ
thị để thống kê số tổng số lần gieo súc sắc, tổng số lần xuất hiện mỗi mặt của súc
sắc.
Tình huống: Gieo một con súc sắc 6 mặt ngẫu nhiên. Tính xác suất của các biến cố
Ai: “Súc sắc xuất hiện mặt i chấm”.
Cách tạo mô hình:
1. Tạo mô hình gieo súc sắc ngẫu nhiên như mô hình ở trên. Có thể dùng công
46
cụ tạo súc sắc để có nhanh mô hình con súc sắc.
2. Tạo một nút hoạt động để đếm số lần gieo súc sắc, nút này di chuyển (move)
một điểm đầu theo hướng ngang 1đơn vị (1cm chẳng hạn). Với mỗi lần nhấn,
khoảng cách từ điểm ngọn đến điểm đầu tăng thêm 1cm (tức tăng 1 lần gieo).
3. Tạo 6 hàm số, f1 đến f6, trong đó fi = 1 nếu mặt thứ i xuất hiện, ngược lại thì
, bằng 0. Chẳng hạn, xét họ hàm gi = sgn(x – i). Lúc đó, fi =
với socham là số chấm của mặt súc sắc hiện ra. Giả sử súc sắc xuất hiện mặt
số 4 (socham = 4) thì chỉ có g4 = 0 và do đó, f4 = 1.
4. Tạo 6 nút di chuyển (move) tương ứng với 6 hàm số ở trên, mục đích tính số
lần xuất hiện cho mỗi mặt. Nút này sẽ di chuyển điểm đầu đi một đơn vị nếu
hàm số tương ứng với nó nhận giá trị 1, ngược lại thì nó di chuyển 0 đơn vị.
5. Tạo một nút trình diễn, kết hợp các nút: gieo súc sắc, nút tính số lần gieo, 6
nút tính tổng số lần xuất hiện của 6 mặt.
6. Tạo một nút để thiết lập lại trạng thái ban đầu khi súc sắc chưa gieo lần nào.
7. Sử dụng giá trị đầu vào là 6 giá trị kết quả của 6 nút di chuyển ở trên để tạo
đồ thị thống kê tổng số lần gieo và tổng số lần xuất hiện các mặt của súc sắc.
Sử dụng mô hình:
1. Giới thiệu bài toán: Gieo một con súc sắc 6 mặt ngẫu nhiên. Tính xác suất
của các biến cố Ai: “Súc sắc xuất hiện mặt i chấm”.
2. Học sinh tiến hành thiết lập không gian mẫu, tính các kết quả thuận lợi cho
từng biến cố để từ đó tính được xác suất cho các biến cố Ai.
3. Nêu vấn đề: Các kết quả trên lý thuyết có đúng với thực tế hay không? Có
thể thực nghiệm để khẳng định kết quả không?
4. Giới thiệu mô hình gieo súc sắc 6 mặt, học sinh
cùng giáo viên tiến hành gieo súc sắc và thống kê
các kết quả.
5. Thực nghiệm với số lượng lớn các phép thử để
Biểu đồ quạt trong phép gieo
kiểm chứng.
súc sắc 6 mặt
6. Tiến hành thực nghiệm nhiều lần để khẳng định
47
kết quả.
File tham khảo: ngaunhien.gsp.
2.4.6. Mô hình trò chơi đoán tổng số chấm của hai súc sắc
Với mô hình này, học sinh được tham gia vào trò chơi đoán tổng số chấm khi gieo
hai con súc sắc 6 mặt ngẫu nhiên. Học sinh sẽ học được cách lập luận để có khả
năng chiến thắng cao trong trò chơi, lập không gian mẫu cho phép thử và tính xác
suất thắng cuộc.
Tình huống: Gieo hai con súc sắc ngẫu nhiên, giá trị nào của tổng số chấm có xác
suất xảy ra cao nhất?
Cách tạo mô hình:
1. Mở phần mềm Fathom, tạo một tập hợp (Collection) mới bằng cách nhấp
chuột vào biểu tượng Collection rồi kéo vào trang hình, đặt tên cho nó là
Gieo2sucsac.
2. Áp dụng Collection | New Cases để tạo hai đối tượng mới, mỗi đối tượng là
kết quả gieo của một súc sắc.
3. Áp dụng Object | Inspect Collection để tạo thuộc tính cho hai súc sắc.
Trong hộp thoại hiện ra, phần Attribute nhập suc_sac, nhấp đôi vào phần
Fomula, nhập hàm randomInter(1, 6), nhấn OK để tạo hàm. Hàm này sẽ
Tạo công thức tính tổng số chấm
Tạo giá trị ngẫu nhiên cho súc sắc ảo
tạo các số nguyên ngẫu nhiên từ 1 đến 6.
4. Làm tương tự, vào phần Measure nhập Tong, nhấp đôi vào phần Fomula và
nhập hàm sum (suc_sac). Hàm này sẽ tính tổng giá trị số chấm xuất hiện
trên mặt của hai súc sắc.
5. Để tạo biểu tượng cho hai súc sắc, nhấp chọn Display ở hộp thoại trên, ở
phần Image, nhấp đôi vào phần Fomula rồi nhập hàm switch (hàm rẽ
48
nhánh) như hình dưới.
Nhập công thức cho width, height, caption
Hàm switch tạo biểu tượng cho súc sắc
Với mỗi lần nhấn nút Rerandomize, số chấm xuất hiện trên mặt hai con súc sắc sẽ
thay đổi một cách ngẫu nhiên. Với hàm Tong tạo ở trên, chúng ta sẽ đưa các giá trị
Tong sau mỗi lần gieo vào một tập hợp (Collection) mới. Trong file tham khảo cho
mô hình này, chúng tôi đã xây dựng sẵn các bước được trình bày ở trên. Tuy nhiên
việc trình bày cũng cần thiết vì nó giúp ta hiểu rõ cách tạo mô hình. Hơn nữa các
thao tác trên cũng có thể sử dụng khi xây dựng các mô hình khác trên Fathom.
Sử dụng mô hình:
1. Giáo viên giới thiệu tình huống, mô hình. Giáo viên tiến hành gieo hai súc
sắc (bằng cách nhấn nút Rerandomize). Học sinh đưa ra dự đoán của mình
về tổng số chấm.
2. Tiến hành gieo 2 súc sắc nhiều lần, học sinh thống kê xem giá trị nào của
tổng số chấm có xác suất xảy ra nhiều nhất.
3. Giáo viên nêu tình huống: cần phải gieo nhiều lần để biết được giá trị nào có
xác suất xảy ra cao nhất.
4. Trong khi tập hợp hai con súc sắc được chọn, áp dụng Collection | Colect
Measures, một hoạt hình diễn ra cho phép ta thấy quá trình chọn của
Fathom. Mặc định, Fathom sẽ chọn 5 lần, tức là 5 lần gieo hai súc sắc và có
5 giá trị tổng số chấm xuất hiện.
5. Chọn biểu tượng Measure from Gieo2sucsac, nhấp vào biểu tượng Table
(bảng biểu) rồi kéo vào trang hình, một bảng biểu thống kê Tong cho 5 lần
49
gieo hai súc sắc sẽ xuất hiện.
Bảng biểu và đồ thị của Tong
Thay đổi thông số cho tập các giá trị Tong
6. Chọn biểu tượng Graph rồi kéo xuống trang hình để tạo một đồ thị rỗng.
Kéo (Drag) cột Tong (có 5 giá trị xếp hàng dọc) vào trục hoành của đồ thị
rồi thả (Drop), chúng ta có một đồ thị tương quan giữa các giá trị của Tong
và tần số của nó.
7. Chọn biểu tượng Measure from Gieo2sucsac, áp dụng Collection | Collect
More Measures để tăng thêm 5 lần gieo hai súc sắc. Làm tương tự để tăng
số lần gieo (có thể nhấn tổ hợp phím Ctrl + Y liên tục để tăng số lần gieo
nhanh hơn).
8. Áp dụng Object | Inspect Collection, trong phần measures nhập 1000, đánh
dấu kiểm vào ô vuông Replace existing cases (thay thế các trường hợp hiện
có) rồi nhấn nút Collect More Measures để tiến hành gieo 1000 lần.
Quan sát đồ thị thu được, ta nhận
thấy rằng nó có dạng tháp, giá trị 7 ở
giữa có nhiều khả năng xảy ra nhất
và giảm đều về hai phía.
9. Học sinh liệt kê các kết quả
gieo hai súc sắc có tổng số
chấm bằng 7 và bằng những
kết quả khác ra giấy.
Đồ thị tần số của giá trị Tong sau 1000 lần gieo súc sắc
10. Học sinh kết luận giá trị tổng
số chấm bằng 7 có xác suất
cao nhất.
50
File tham khảo: Gieo2sucsac.ftm.
Thực nghiệm sư phạm
Với kế hoạch bài học dùng để thực nghiệm sư phạm “Khái niệm không gian mẫu,
tiếp cận khái niệm xác suất”, chúng tôi đã thực nghiệm trên 2 nhóm học sinh. Quá
trình thực hiện như đã nêu trong kế hoạch bài học và các kết quả bốc bi của nhóm
thứ nhất được cho bởi bảng sau:
Số lượng bi Số lần Điểm của Thắng Tên nhóm bốc cuộc cam xanh Học sinh Giáo viên
Minh+Bảo
Hải+Trâm
Minh+Bảo
Hải+Trâm
Minh+Bảo
Hải+Trâm
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 0 3 5 5 5 5 GV GV GV GV GV GV GV GV GV GV GV GV HS HS GV GV GV GV 2 3 1 3 1 1 2 1 2 2 2 1 5 5 3 4 2 2 7 8 6 8 6 6 7 6 7 7 7 6 5 8 8 9 7 7
Đối với nhóm thực nghiệm thứ hai, các kết quả như sau:
Số lượng bi Số lần Điểm của Thắng Tên nhóm Học sinh Máy tính bốc cuộc
cam 2 xanh 1
Quang+Nam
Bưởi+Diệm
51
5 3 5 5 5 5 5 5 5 MT HS MT MT MT MT MT MT MT 1 5 2 2 2 1 4 2 3 6 8 7 7 7 6 9 7 8
Quang+Nam
Bưởi+Diệm
Quang+Nam
Bưởi+Diệm
7 7 6 5 6 7 8 8 9 6 7 7 9 8 9 9 8 6 7 9 9 2 5 1 0 1 5 5 3 4 1 2 2 5 5 4 4 5 1 5 5 5 5 2 5 5 5 2 3 5 5 5 5 5 4 3 5 5 3 5 2 4 4 MT HS MT MT MT HS HS MT MT MT MT MT HS HS MT MT HS MT HS HS HS
Qua hai lần thực nghiệm, chúng ta có bảng tổng hợp:
Số lượng bi Số lần thắng cuộc Tỉ lệ thắng Số lần chơi cam xanh Học sinh GV&MT
2 2 1 2 16 16 1 3 15 13 của HS 6,0% 19,0%
3 1 16 8 8 50,0%
Với các phương pháp và quy trình nghiên cứu đưa ra ở chương 3, chúng tôi đã tiến
hành nghiên cứu và có được những kết quả, mục đích trả lời cho các câu hỏi nghiên
cứu đã đề ra ở chương 1. Các kết quả chính bao gồm những hiệu quả khi áp dụng lý
thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất thống kê và những tác động tích cực của phần
mềm động trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán. Hơn nữa, chúng tôi đã xây
52
dựng được một số mô hình dựa trên các phần mềm động để hỗ trợ cho dạy học.
Chương này nêu ra các kết luận cho các câu hỏi nghiên cứu của luận văn. Các kết
luận dựa trên những kết quả nghiên cứu cho các câu hỏi đã được trình bày ở chương
4. Ngoài ra, chương 5 cũng nêu các lý giải cho các kết quả nghiên cứu có được.
Phần ứng dụng của luận văn cũng được trình bày trong chương này.
Phần này giới thiệu các kết luận cho từng câu hỏi nghiên cứu. Các kết luận này dựa
trên các kết quả nghiên cứu đã được trình bày ở chương 4.
Nêu ra các kết luận về các hiệu quả khi áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác
suất thống kê thông qua nghiên cứu lý luận và thực tiễn.
Với thay đổi từ lấy giáo viên làm trung tâm thành lấy học sinh làm trung tâm, các
nhà giáo dục đều muốn rằng học sinh thật sự là những người chủ động trong học
tập, thật sự tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức cho riêng mình. Khi đóng vai trò
là người chủ động, việc tiếp nhận tri thức của học sinh trở nên dễ dàng hơn bởi vì
chính các em có nhu cầu hiểu biết, có nhu cầu tiếp nhận, khám phá tri thức.
Lý thuyết kiến tạo cho rằng việc học gắn liền với sự tương tác giữa hai yếu tố: sơ đồ
tri thức của người học và những tri thức mới. Nếu gặp một tri thức mới, nhưng
tương tự với cái đã biết thì tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào trong
một sơ đồ nhận thức đang tồn tại mà nó rất giống với tri thức mới. Đôi khi một tri
thức mới có thể hoàn toàn trái ngược với những sơ đồ nhận thức đang có, những sơ
đồ hiện có sẽ được thay đổi để tương hợp với những thông tin trái ngược đó và kiến
thức đã có không bao giờ bị xóa đi.
Trong xác suất thống kê, các em sẽ thật sự đối mặt với một lĩnh vực toán học vừa
quen thuộc vừa khác lạ. Quen thuộc là bởi vì chúng tồn tại hiện hữu chung quanh
các em và lạ bởi vì những kết luận có được sau khi các em khám phá chúng. Đối
với thống kê, khi mà các vấn đề của nó mang tính thực tiễn cao và gần gũi cuộc
sống của các em thì sự chủ động của các em là rất cần thiết và hiệu quả. Việc để cho
các em có những kết quả thống kê của riêng mình như là các bài tập nhỏ và kết quả
53
của nó được chính em trình bày trước nhóm, trước lớp sẽ kích thích hoạt động kiến
tạo tri thức của các em cũng như bạn học. Ngoài ra nó còn bồi dưỡng những kỹ
năng cần thiết cho một công dân trong tương lai: kỹ năng trình bày quan điểm của
mình, kỹ năng diễn thuyết, kỹ năng làm việc hợp tác…
Đối với xác suất, khi các em làm việc trên các đối tượng như: súc sắc, các quả bóng,
rồi các thao tác bốc bi, gieo súc sắc… thì những thao tác, hành động này sẽ được
lưu giữ một cách sâu sắc trong trí óc các em và nó tạo nên cơ sở vững chắc cho
những lý luận, lý giải về những điều mà các em rút ra được.
Với cách làm việc theo nhóm, mỗi học sinh
tích cực đều có những đóng góp nhất định
của mình cho kết quả chung. Những ý kiến
đưa ra thảo luận, những góp ý, đề xuất, hợp
tác làm việc… chính là những tương tác mà
mỗi các em tạo ra trong quá trình hoàn
Tiếp nhận và tạo ra các tương tác tích cực
thành công việc được giao.
Thông qua quan sát quá trình làm việc của học sinh, giáo viên sẽ thật sự hiểu rõ học
sinh hơn, nắm được những quan điểm của học sinh về vấn đề đang thảo luận, đánh
giá được đóng góp của từng em cho kết quả của nhóm. Trên cơ sở đó, cùng với
những kết quả kiểm tra trên giấy và những thành phẩm mà học sinh có được, giáo
viên sẽ đưa ra những đánh giá đích thực về từng học sinh. Mặt khác, thông qua quá
trình làm việc, học sinh bộc lộ những thế mạnh, điểm yếu, cách thức làm việc…
Nhờ đó giáo viên có thể có những điều chỉnh sao cho học sinh làm việc tốt hơn,
hiệu quả hơn. Việc đánh giá học sinh dựa trên một bài kiểm tra là chưa toàn diện do
trong một khoảng thời gian cố định, học sinh có thể chưa thể hiện hết mình hoặc
vấp phải những sai sót do áp lực kiểm tra.
Đóng vai trò là người cố vấn nhưng không vì thế mà vai trò của giáo viên trở nên
mờ nhạt đi trong quá trình dạy học. Ngược lại, giáo viên phải làm việc hết sức tích
cực bằng tâm huyết dạy học của mình. Mỗi giáo viên phải là một nhà nghiên cứu để
tạo ra được những môi trường học tập tích cực phù hợp với đối tượng để học sinh
thật sự bị cuốn hút vào và mong muốn học tập. Trong tiến trình kiến tạo tri thức của
học sinh, giáo viên phải tích cực theo dõi, có ngay những điều chỉnh để học sinh đi
54
đúng hướng và có những kết quả như mong muốn.
Những điều chỉnh của giáo viên
phải kịp thời, hiệu quả theo nghĩa
giúp học sinh giải quyết được
chướng ngại mà các em đang cố
gắng vượt qua. Những dự đoán tình
huống, dự đoán các thuận lợi, khó
khăn có thể gặp phải… cần có sẵn
Giáo viên giúp học sinh giải quyết chướng ngại
trước khi giáo viên thực hiện bất kỳ
một hoạt động học tập nào.
Thông qua nghiên cứu lý luận và thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thấy rằng, việc áp
dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất thống kê thật sự có hiệu quả. Trong
một lớp học kiến tạo:
Học sinh thật sự tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức
Học sinh có nhiều cơ hội hơn để trình bày quan điểm của mình
Học sinh tiếp nhận và tạo ra những tương tác tích cực
Giáo viên biết được quan điểm của học sinh
Giáo viên có những đánh giá đích thực
Nêu các kết luận sau khi phân tích các kết quả có được khi trả lời câu hỏi nghiên
cứu thứ hai.
Thuật ngữ “dynamic geometry” hay hình học động (hoặc hình học cơ hoạt) đã được
thừa nhận một cách rộng rãi đối với các nhà toán học và các nhà giáo dục toán. Các
nghiên cứu đã chỉ ra rằng, những hình động được lưu giữ một cách bền vững trong
não bộ và mang nhiều ý nghĩa hơn là hình tĩnh. Khi quan sát các mô hình động trên
máy tính, học sinh thật sự tiếp xúc với những ứng xử của các đối tượng hình học
trên màn hình trong một mối tương quan nhất định. Qua những ứng xử đó và qua
quá trình phân tích, tìm hiểu, khám phá, học sinh có thể có được những kết luận,
những tri thức mang tính bền vững cao.
Đối với thống kê, học sinh sẽ có cơ hội quan sát những tình huống xảy ra ở nhiều
góc độ khác nhau. Chẳng hạn việc thay đổi các dữ liệu đầu vào sẽ làm thay đổi hình
55
dáng của những biểu đồ, đồ thị… và giúp cho các em nhanh chóng có những kết
luận. Tương tự, khi thay đổi dữ liệu ban đầu, với những thay đổi tương ứng, học
sinh có thể nắm bắt các mối liên hệ, ràng buộc giữa các đối tượng, phát hiện ra vấn
đề.
Đối với xác suất, việc tạo ra được những thực nghiệm “ảo” thay thế cho các thực
nghiệm mang tính vật lý rườm rà đã làm cho các phần mềm động trở nên hiệu quả
hơn rất nhiều. Học sinh có thể tiến hành những thực nghiệm gần như “không
tưởng”: gieo súc sắc 10.000 lần, thực hiện trò chơi bốc bi với số lần chơi tùy ý,
chọn các lá bài ngẫu nhiên nhiều lần…
Trong quá trình thực nghiệm sư phạm, khi
tiến hành thống kê các kết quả về tổng số
chấm khi gieo hai súc sắc, một số các em đã
gặp khó khăn do số lần gieo 100 là khá lớn.
Có một nhóm đưa ra cách khoanh tròn các số
đã được tính để tránh nhầm lẫn và cách này tỏ
Thống kê các kết quả của 100 lần gieo
ra có hiệu quả. Nhóm Quang – Nam mất khá
nhiều thời gian do lần đếm đầu tiên sai.
Đối với phần mềm động, việc gieo 100 lần và thống kê các kết quả chẳng mất bao
nhiêu thời gian. Trên Fathom với mô hình thực nghiệm mà chúng tôi thiết kế, việc
gieo và thống kê các kết quả của 10.000 lần gieo hai súc sắc chỉ tốn chừng 20 giây.
Khi chúng tôi hỏi các em có thể gieo 10.000 lần và thống kê các kết quả không, hầu
hết các em đều lắc đầu, tỏ vẻ nhàm chán. Với mô hình động, công việc này không
hề nhàm chán tí nào, thậm chí còn đem lại cho học sinh nhiều thú vị khi quan sát
quá trình gieo súc sắc của máy tính.
Việc vượt qua những rào cản về thời gian, điều kiện, chi phí, độ ổn định của các
thực nghiệm mang tính vật lý, các phần mềm động như GSP và Fathom đã tiến một
bước dài trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức, đặc biệt là tri thức xác suất
thống kê. Như thế, các kết quả xác suất thực nghiệm mà học sinh có được nhờ phần
mềm động sẽ giúp cho các em củng cố niềm tin vào các kết quả tính theo xác suất
cổ điển.
56
Từ các kết quả thu được khi trả lời câu hỏi thứ ba, nêu ra kết luận về việc ứng dụng
hàm ngẫu nhiên để thực nghiệm các kết quả của xác suất là đúng, việc thực nghiệm
bằng mô hình hoàn toàn có thể thay thế cho việc thực nghiệm thực tế rườm rà, tốn
kém.
Số ngẫu nhiên tạo trên máy tính thật sự đã trải qua một quá trình phát triển dài theo
máy tính. Như kết quả đã được trình bày, nó đã xuất hiện ngay ở những máy tính cá
nhân đời đầu do nhu cầu về tạo các số ngẫu nhiên cho các trò chơi cờ bạc, may rủi.
Mặc dầu chỉ tạo ra các số ngẫu nhiên “giả” nhưng với khả năng tính toán ngày càng
lớn của máy tính, nó hoàn toàn đáp ứng đủ cho những nhu cầu bình thường. Trên
trang web random.org, người ta đã đưa ra các kết quả so sánh giữa đặc tính các máy
tạo số ngẫu nhiên giả (PRNGs) và thật (TRNGs):
Đặc tính Máy tạo số ngẫu nhiên giả Máy tạo số ngẫu nhiên thật
Năng suất Xuất sắc Kém
Xác định trước Xác định trước được Không xác định trước được
Tính tuần hoàn Tuần hoàn Không tuần hoàn
Trang web kết luận từ những phân tích trên rằng số ngẫu nhiên thật phù hợp cho
những ứng dụng như các trò chơi và trò cờ bạc. Ngược lại, do có năng suất kém và
không xác định trước được nên số ngẫu nhiên thật ít phù hợp cho các giả lập và các
ứng dụng mô hình hóa – những ứng dụng đòi hỏi tạo nhiều dữ liệu ngẫu nhiên trong
thời gian ngắn. Trang web cũng đưa ra một bảng tổng hợp các loại ứng dụng thích
hợp cho hai loại máy tạo số ngẫu nhiên:
Ứng dụng Máy tạo phù hợp
Xổ số và rút thăm TRNG
Trò chơi và cờ bạc TRNG
Mẫu ngẫu nhiên (e. g. drug screening) TRNG
Giả lập và tạo mô hình PRNG
Bảo mật TRNG
57
Nghệ thuật Thay đổi
Như kết quả nghiên cứu đã trình bày, sự quan trọng của việc tạo số ngẫu nhiên đến
độ người ta đã thực hiện nhiều nghiên cứu để có những phần mềm tạo ra các số thật
sự ngẫu nhiên, những thiết bị tạo số ngẫu nhiên. Trên trang web này, chúng ta có
thể thực hiện các công việc thú vị như tung đồng xu với nhiều chủng loại tiền xu
Tung 3 đồng xu của Mỹ
Gieo một lúc 7 con súc sắc
trên thế giới hay gieo ngẫu nhiên một lúc nhiều con súc sắc.
Hai phần mềm GSP và Fathom có những cách riêng để tạo số ngẫu nhiên. Đối với
GSP, đó là các nút tạo hoạt động (Action Buttons) còn Fathom sử dụng thanh trượt
và các hàm ngẫu nhiên. Phần mềm GSP có một tính năng hiện đại, đó là tạo các
công cụ (Custom Tools). Nhờ vậy chúng ta có thể sử dụng hàm ngẫu nhiên để tạo
các công cụ cho phần xác suất thống kê. Chẳng hạn, tạo công cụ súc sắc để khi cần
Một số công cụ cho xác suất
Công cụ tạo súc sắc
ta có thể nhanh chóng có ngay mô hình một con súc sắc.
Việc trở thành các công cụ làm cho công việc tạo mô hình dễ dàng hơn. Chẳng hạn,
khi nhấn đè vào nút công cụ thường dùng rồi chọn sucsac (như hình trên, bên trái),
58
chúng ta có ngay một con súc sắc. Nút điều khiển gieo khi đó là gieo1, nút
dieukhien ẩn hiện điểm Scale, dùng để thay đổi kích thước súc sắc còn giá trị rd1
thể hiện cho số chấm của mặt súc sắc hiện thời.
Nêu kết luận đối các mô hình động xây dựng được và một số lưu ý khi sử dụng mô
hình trong dạy và học để đạt hiệu quả cao.
Đối với phần thống kê, trước hết chúng tôi đã xây dựng mô hình thống kê số liệu,
tần số và tần suất. Với tính động của mô hình, giáo viên và học sinh có thể thay đổi
số liệu ban đầu để có những kết quả khác nhau. Chúng tôi cũng tạo một mô hình
tương tự trên Fathom và đã trình bày chi tiết cách làm để giáo viên và học sinh có
thể sử dụng.
Với mô hình các giá trị đặc trưng của số liệu trên GSP, việc tính giá trị trung bình
được thực hiện khá dễ dàng nhưng tìm số trung vị sẽ khó hơn (trên GSP). Trong file
công cụ ở đĩa CD kèm theo luận văn này, chúng tôi đã cung cấp một loạt các công
cụ để sắp xếp dãy số nhằm tìm ra số trung vị một cách nhanh chóng. Chẳng hạn,
nếu chúng ta muốn sắp thứ tự 30 số, sau khi có 30 số trên trang hình, chúng ta chọn
công cụ sap30so rồi nhấn chuột lần lượt vào 30 số đó. Ngay lập tức GSP sẽ xuất
hiện 30 số đã được sắp xếp từ nhỏ đến lớn. Giá trị nhỏ nhất của dãy được đặt tên
mặc định là Min còn lớn nhất là Max.
Phương sai và độ lệch chuẩn là một khái niệm khó đối với học sinh khi học thống
kê, nhất là hiểu được ý nghĩa của chúng và khi nào thì áp dụng chúng. Một số bài
toán trong sách giáo khoa có yêu cầu tính các giá trị phương sai và độ lệch chuẩn
mà đôi khi tạo cho học sinh thói quen sau khi tính các giá trị trung bình, trung vị thì
tiếp tục tính hai giá trị trên một cách máy móc. Việc tính hai giá trị đó chỉ thật sự
cần thiết khi học sinh có nhu cầu cần biết độ lệch giữa các giá trị thành phần so với
giá trị trung bình. Ở mô hình mà chúng tôi xây dựng, việc tạo cho học sinh có nhu
cầu trên là cần thiết để đánh giá đúng mức độ học lệch của hai bạn An và Bình.
Việc đưa các mô hình trò chơi vào dạy và học xác suất đã được thực hiện nhiều trên
thế giới bởi xác suất liên quan mật thiết đến các trò chơi mang tính ngẫu nhiên, may
rủi. Chúng tôi đưa vào mô hình trò chơi “đoán tổng số chấm của hai súc sắc” với
mong muốn tạo ra một hoạt động thật sự thú vị cho học sinh. Trong quá trình thực
59
nghiệm cũng như quan sát các diễn biến tâm lý của các em qua các đoạn băng,
chúng tôi thấy rằng các em thật sự bị lôi cuốn vào trò chơi và những kết quả các em
có được chính là thành quả lao động đáng quý. Việc giới thiệu mô hình cho các em
theo chúng tôi chỉ diễn ra khi các em đã khá “mệt” với công việc gieo súc sắc và
thống kê kết quả. Mặc dù trong các thực nghiệm trên các nhóm chúng tôi cho các
em gieo súc sắc 100 lần nhưng đối với một tiết dạy trên lớp, chúng ta chỉ nên cho
từng nhóm 2 – 3 bạn gieo 20 lần.
Mô hình bốc bi mà chúng tôi giới thiệu trong phần thực nghiệm cũng là một tiếp
cận xác suất bắt đầu từ trò chơi. Trò chơi ban đầu có vẻ như công bằng có thể đã
đánh lừa các em và kết quả như là một “nghịch lý”. Nghịch lý này kích thích các em
tư duy để lý giải cũng như đề ra phương án thêm viên bi. Khi tiến hành thực
nghiệm, đã có nhiều cuộc tranh luận sôi nổi diễn ra giữa các học sinh xoay quanh
vấn đề nên thêm viên bi màu nào và với tỉ lệ 3 bi cam, 1 bi xanh có công bằng
không. Thông qua thực nghiệm, chúng tôi thấy rằng trò chơi này giúp cho các em
tăng tính chủ động trong kiến tạo tri thức, khái niệm không gian mẫu được các em
tiếp nhận tự nhiên và đóng vai trò cốt lõi trong việc lý giải các kết quả.
Việc học là của học sinh và mỗi giáo viên cần hỗ trợ để nó đạt hiệu quả. Lý thuyết
kiến tạo chú trọng đến vai trò của những quá trình nhận thức nội tại và “cài đặt dữ
liệu” trong đầu của riêng từng cá nhân học sinh trong việc học toán của chính mình.
Học sinh học toán tốt nhất khi các em được đặt trong một môi trường xã hội tích
cực ở đó các em có khả năng kiến tạo cách hiểu biết về toán theo cách của riêng
mình. Việc học hợp tác được tổ chức nhằm tạo cơ hội cho học sinh trao đổi, thảo
luận, tạo ra và tiếp nhận các tương tác tích cực. Cũng theo quan điểm kiến tạo, việc
học bắt đầu bằng những khám phá của học sinh. Trong quá trình khám phá, học
sinh sẽ đặt ra những câu hỏi và để trả lời chúng, học sinh có những khảo sát cụ thể.
Quy trình kiến tạo tri thức
60
Từ đó học sinh đưa ra phản ánh và lý giải rồi kiến tạo tri thức cho riêng mình.
Trong xác suất thống kê, có nhiều thuận lợi để thực hiện quá trình trên. Những hoạt
động khám phá ban đầu được đưa vào sẽ hấp dẫn và gây hứng thú cho học sinh do
nó xuất phát từ thực tế cuộc sống, những nghịch lý hay những nhu cầu sẽ được phát
sinh khi học sinh khám phá và cần thiết phải có lời giải đáp. Thông qua những hoạt
động trên, học sinh thật sự kiến tạo tri thức cho riêng mình.
Phần mềm động thật sự có ý nghĩa trong việc tạo ra một môi trường giải quyết vấn
đề cho học sinh. Ở đó, các em có thể khám phá, tìm tòi và kiến tạo tri thức theo
hướng hội tụ, đồng thời cũng tạo nên môi trường khảo sát toán phát triển theo
hướng phân kỳ. Học sinh sẽ khám phá, đưa ra dự đoán để có giả thuyết rồi từ đó
kiểm chứng để xây dựng kiến thức mới.
Đối với mảng kiến thức xác suất thống kê, phần mềm động đã giúp cho giáo viên,
học sinh có giảm bớt các quá trình phân tích mang tính thuật toán rườm rà, giúp
thực hiện các thực nghiệm nhanh chóng với độ chính xác cao. Với một số lượng lớn
các dữ liệu thu được, phần mềm động sẽ nhanh chóng đưa ra những kết quả mong
muốn, giúp học sinh nhanh chóng có được những kết luận. Một số tác động chủ yếu
Tác động của phần mềm động
của phần mềm động được thể hiện thông qua mô hình sau:
Việc xây dựng được một hàm ngẫu nhiên trên máy tính thật sự là một thành công
lớn của các nhà lập trình. Mỗi ngôn ngữ lập trình có một cách xây dựng riêng và đi
kèm với nó là những ưu điểm và nhược điểm riêng. Mặc dù vậy, thuật toán cơ bản
vẫn là phương pháp đồng dư tuyến tính. Kết nối kết quả của một phép gieo súc sắc
với máy tính thật sự khó khăn và người ta đã đưa ra các giải pháp khác: sử dụng
61
tiếng ồn trong không khí để tạo các số ngẫu nhiên thật sự.
Với các mô hình theo xu hướng giả lập, việc tạo nhanh một số lượng lớn các số
ngẫu nhiên là cần thiết nên các máy tạo số ngẫu nhiên giả là hoàn toàn phù hợp. Từ
việc tạo được các số ngẫu nhiên, chúng tôi đã tiến hành tạo các phép gieo ngẫu
nhiên mà giao diện tiếp xúc với người sử dụng là những con súc sắc, trái bi…mô
phỏng thực tế.
Dựa trên việc phân tích sách giáo khoa và các tài liệu liên quan, đồng thời kết hợp
với thế mạnh của các phần mềm, chúng tôi đã định hướng cho các nội dung cần xây
dựng mô hình. Một số mô hình đã được chúng tôi tiến hành thực hiện trên các nhóm
nhỏ và mở rộng cho các lớp học. Hầu hết các mô hình được thiết kế theo đúng theo
tinh thần của sách giáo khoa và coi trọng vai trò chủ động của học sinh. Một số mô
hình sau khi xây dựng đã được công bố và giới thiệu rộng rãi, đặc biệt là các giáo
viên Trung học phổ thông lớp 10, 11.
Phần này sẽ giới thiệu ứng dụng của luận văn. Các ứng dụng được chia theo hai
mảng: thực hành và các nghiên cứu sau này.
Luận văn, với vai trò là một “kho” các mô hình động tích cực cơ bản, sẽ giúp cho
học sinh tự kiến tạo tri thức xác suất thống kê cho chính mình, cao hơn, học sinh có
thể tự tạo cho mình các mô hình tích cực để khảo sát và kiến tạo tri thức thông qua
các phần mềm và các công cụ dựng sẵn. Việc đưa các mô hình đến với học sinh sẽ
dễ dàng hơn khi mà mạng internet đang ngày càng phổ biến đến từng nhà. Chúng
tôi sẽ giới thiệu các mô hình trên các trang web và học sinh có thể tải về để sử dụng.
Trong quá trình thực nghiệm, mặc dù chưa để cho học sinh tự tạo mô hình cho mình
nhưng một số thao tác trên mô hình đã được chúng tôi khuyến khích các em thực
hiện.
Với vai trò một tài liệu tham khảo, luận văn sẽ giúp cho giáo viên định hướng và
thực hiện việc giảng dạy mảng kiến thức xác suất thống kê của mình hiệu quả hơn.
Một số kết quả trình bày trong luận văn đã được chúng tôi đưa vào trong sách
“Khám phá Đại số và giải tích 11 với The Geometer’s Sketchpad”. Ngoài ra chúng
62
tôi đã trích một phần trong luận văn thành một bài báo tựa đề “Sử dụng phần mềm
The Geometer’s Sketchpad và Fathom trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác
suất”. Ở thời điểm của luận văn, một số mô hình của chúng tôi đã được giới thiệu ở
nhiều tỉnh thành trong cả nước thông qua sách, bài báo, internet và có được những
phản hồi tích cực.
Với hướng nghiên cứu sâu hơn về xác suất thống kê, chúng tôi mong muốn xây
dựng thêm nhiều mô hình để học sinh và giáo viên có thể sử dụng nhằm đạt hiệu
quả cao trong giảng dạy và học tập. Các mô hình này sẽ đi sâu hơn vào các vấn đề
của thống kê cũng như xác suất.
Với hướng nghiên cứu mở rộng, chúng tôi mong muốn xây dựng một mô hình học
trực tuyến bằng cách thiết kế các khóa học qua mạng (courses online) dựa trên
mạng internet đang ngày càng phổ biến như hiện nay. Với khuynh hướng này, các
mô hình xác suất thống kê mà chúng tôi xây dựng sẽ cùng với những mô hình toán
học khác, hình thành nên một thư viện trực tuyến để giáo viên và nhất là học sinh có
thể sử dụng.
Những kết quả của luận văn cũng có thể hỗ trợ cho việc nghiên cứu các mảng kiến
63
thức khác.
Qua quá trình nghiên cứu và từ những kết quả, kết luận thu được, luận văn “Tương
tác tích cực của mô hình động trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống
kê” đã làm được những điều sau đây:
1. Luận văn đã nêu được những hiệu quả khi áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy
học xác suất thống kê. Những hiệu quả này có được thông qua một quá trình
nghiên cứu cẩn thận, đầy đủ và được củng cố bởi những kết quả thực
nghiệm.
2. Những tác động tích cực của phần mềm động trong dạy học toán đã được
trình bày nhiều ở các tài liệu khác nhau, và với luận văn này, chúng tôi bổ
sung thêm cho mảng kiến thức xác suất thống kê.
3. Việc tạo ra các số ngẫu nhiên trên máy tính, dù là “giả” hay “thật” đều là
thành công của các lập trình viên và luận văn đã ứng dụng hàm tạo số ngẫu
nhiên đó để xây dựng các mô hình động tạo ra các tương tác tích cực hỗ trợ
học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê.
4. Dựa trên nền tảng sách giáo khoa, luận văn đã xây dựng được các mô hình
động nhằm giúp cho học sinh tự mình kiến tạo tri thức xác suất thống kê.
Những mô hình này cũng có thể hỗ trợ cho giáo viên trong việc thiết kế các
hoạt động dạy học.
5. Một phần trong luận văn đã được giới thiệu trong chương “Tổ hợp và xác
suất” của sách “Khám phá Đại số và giải tích 11 với The Geometer’s
Sketchpad” do tác giả Trần Vui chủ biên (2007) và một bài báo “Sử dụng
phần mềm The Geometer’s Sketchpad và Fathom trong hỗ trợ học sinh kiến
tạo tri thức xác suất” được trình bày tại hội thảo khoa học “Ứng dụng công
nghệ thông tin và truyền thông trong đổi mới phương pháp và nâng cao chất
lượng giáo dục” do Sở Giáo dục và Đạo tạo Thừa Thiên Huế tổ chức vào
64
ngày 16/11/2007.
1. Lê Thị Hoài Châu (2007), Chuyên đề Nghiên cứu Tri thức luận, ĐHSP TP
HCM.
2. Lê Thị Hoài Châu (2007), Phân tích lịch sử hình thành khái niệm Xác suất,
ĐHSP TP HCM.
3. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán, NXB Giáo Dục.
4. Nguyễn Lan Phương (2000), Cải tiến phương pháp dạy học toán với yêu
cầu tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát hiện và
giải quyết vấn đề, Luận án tiến sĩ, Viện khoa học giáo dục, Hà Nội.
6. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2006), Đại số
5. Jean Piaget (1997), Tâm lý học và Giáo dục học, Hà Nội.
7. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2006), Đại số
10, bộ nâng cao, NXB Giáo Dục, Hà Nội.
và giải tích 11, bộ nâng cao, NXB Giáo Dục, Hà Nội.
8. Đặng Hùng Thắng (1997), Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng,
NXB Giáo Dục, Hà Nội.
9. Nguyễn Văn Toản (1995), Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán
học, Huế.
10. Trần Vui (chủ biên) (2005), Một số xu hướng đổi mới trong dạy học toán ở
trường THPT, NXB Giáo Dục.
11. Trần Vui (2006), Dạy và học có hiệu quả môn toán theo những xu hướng
mới, Bài giảng thạc sĩ phương pháp giáo dục Toán, Huế.
12. Trần Vui (chủ biên) Lê Quang Hùng (2006), Thiết kế các mô hình dạy học
toán phổ thông với The Geometer’s Sketchpad, NXB Giáo Dục, Hà Nội.
13. Alfred S. Posamentier & Stephen Krulik (1998), Problem - solving
65
strategies for efficient and elegant solutions, Corwin press.
14. Anna Maria Milito, Maria A. Pannone, Silio Rigatti Luchini (2001), New
Strategies for Teaching Statistics at School, University of Palermo, Perugia,
Padova, Italy.
15. Clark Kimberling (2003), Geometry in Action - A Discovery Approach
Using The Geometer’s Sketchpad®, Key College Publishing.
16. David W. Deley (1991), Computer Generated Random Number, an internet
journal.
17. Dor Abrahamson & Uri Wilensky (2003), The Quest of the Bell Curve: A
Constructionist approach to Learning Statistics through Designing
Computer-Based Probability Experiments, Northwestern University.
18. Ernst Von Glasersfeld (1991), Radical Constructivism in Mathematic
Education, Kluwer Academic Publishers.
19. Godino, Juan D., Batanero, Carmen and Roa, Rafael (2005), Traning
teachers to teach Probability, University of Granada, Spain.
20. H. S. Drier (2000), The Probability Explorer: A Research-Based
Microworld to Enhance Children’s Intuitive Understandings of Chance and
Data.
21. Ion Saliu (2002), Radommizing: An Art of Scientific Philosophy,
CompuPsychology.
22. Jere Confrey & Alan Maloney (2006), From Constructivism to modelling,
Washington University.
23. Jo Boaler (2001), Mathematical Modelling and New Theories of Learning,
Stanford University.
24. John A. Malone & Peter C. S. Taylor (1993), Constructivist interpretation
of Teaching and Learning Mathematics, Curtin University of Technology,
Western Australia.
25. Key Curriculum Press (1997), Geometry of the Mean, a Sketchpad activity
from http://keypress.com.
26. Key Curriculum Press (2002), Teaching Mathematics with The Geometer’s
66
Sketchpad®, Key College Publishing.
27. Key Curriculum Press (2005), Teaching Mathematics with FathomTM
Dynamic DataTM Software, Key College Publishing.
28. Key Curriculum Press (2005), FathomTM Dynamic DataTM Software -
Learning Guide, Key College Publishing.
29. Mesut Gunes (2005), Random-Number Generation, Rwthaachen University.
30. Paul Ernest (1989), Mathematics Teaching: The State of the Art, The Falmer
Press.
31. Paul Ernest (1993), The Philosophy of Mathematics Education, The Falmer
Press.
32. Sashi Sharma (2005), Personal Experiences and Beliefs in early
Probabilistic Reasoning: Implication for Reseach, University of Waikato.
33. Shelton Peiris, Eric J. Beh (2006), Where statistics teaching can go wrong,
University of Sydney.
34. Siegfried M. Holzer (1998), From Constructivism to Active Learning,
Virginia Polytechnic Institue and State University, Blacksburg
35. Stephan Krner (1986), The Philosophy of Mathematics, Dover Publications,
INC, New York.
36. Uri Wilensky (1995), Learning Probability through building computational
models, Northwestern University.
37. Uri Wilensky (1995), Paradox, Programming and Learning Probability: A
Case Study in a Connected Mathematics Framework, Volume 14 No.12.
38. Yan Liu & Patrick W. Thompson (2006), Mathematics Teachers’
Understanding of Hypothesis testing, National Institute of Education &
Arizona State University.
39. http://keypress.com, http://dynamicgeometry.com
40. http://www.thirteen.org/edonline/concept2class/
41. http://www.random.org, http://www.saliu.com
43. http://phucemux.net
67
42. http://vi.wikipmedia.org
Phần này giới thiệu chi tiết một số các biểu mẫu thống kê đã dùng trong luận văn,
hướng dẫn một số các thao tác trong phần mềm GSP và Fathom, chi tiết giáo án
thực nghiệm (nếu có) và các nội dung khác phục vụ cho luận văn.
CÁC KẾ HOẠCH BÀI HỌC
DÙNG ĐỂ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
A. Khái niệm không gian mẫu, tiếp cận khái niệm xác suất
I. Chuẩn bị
1. Ba viên bi xanh và ba viên bi đỏ (hoặc cam), một cái lon nhỏ để đựng các
viên bi.
2. Một bảng đánh dấu các kết quả bốc bi.
3. Mô hình máy tính mô tả trò chơi bốc bi.
4. Phân học sinh thành từng nhóm từ 3-4 người.
5. Thiết bị ghi âm, ghi hình (nếu có).
II. Quá trình thực nghiệm
1. Giới thiệu trò chơi
Chúng ta tiến hành trò chơi: Bỏ một viên bi xanh và hai viên bi đỏ vào lon. Cách chơi như sau:
Các em sẽ bốc (không nhìn) 2 viên bi từ trong lon.
Nếu màu của hai viên khác nhau, giáo viên được 1 điểm, nếu màu giống
nhau, học sinh được 1 điểm.
Ai đạt được 5 điểm trước sẽ thắng.
Sau mỗi lần bốc, bỏ lại các viên bi vào lon và xóc đều lon.
2. Tiến hành trò chơi
Học sinh tiến hành bốc bi, ghi lần lượt kết quả vào bảng.
Kết luận thắng thua sau mỗi ván chơi.
Hỏi học sinh về những suy luận, lý giải của mình.
Các câu hỏi:
Tại sao giáo viên thắng trong hầu hết các ván chơi?
Trò chơi có công bằng không? Tại sao?
Những khả năng thắng của các em là gì? của giáo viên là gì?
P1
Thay đổi số lượng bi như thế nào để công bằng?
3. Thay đổi điều kiện của trò chơi
Giáo viên gợi ý nếu học sinh chưa có kiến nghị thay đổi số lượng bi.
Thay đổi số lượng bi: hai xanh và hai đỏ hoặc 1 xanh và 3 đỏ.
Tiến hành trò chơi, ghi kết quả.
4. Giới thiệu khái niệm không gian mẫu, xác suất
Giáo viên giới thiệu khái niệm không gian mẫu.
Thiết lập không gian mẫu cho trò chơi ở trên.
Một ví dụ nhỏ để học sinh tìm không gian mẫu.
5. Mô hình máy tính
Giáo viên nêu ý tưởng: Khả năng mà các em ghi điểm là 1/3 ở tình huống đầu tiên, điều đó có đúng khi chúng ta tiến hành bốc bi nhiều lần không?
Các em nghĩ thế nào nếu chúng ta bốc bi 10.000 lần?
Giới thiệu mô hình máy tính, học sinh thao tác trên máy tính.
Học sinh đưa ra kết luận của mình cho từng tình huống.
III. Tổng kết thực nghiệm
Các học sinh làm một bài trắc nghiệm nhỏ về không gian mẫu và tính xác
suất (đơn giản).
Hỏi những suy nghĩ của các em về cách tiếp cận khái niệm như trong thực
nghiệm này.
I. Chuẩn bị
1. Một bảng điểm các môn học của hai bạn An và Bình.
2. Mô hình bảng điểm, đồ thị trên máy tính với phần mềm GSP.
3. Máy tính bỏ túi.
II. Quá trình thực nghiệm
1. Giáo viên giới thiệu tình huống Điểm trung bình từng môn học của hai học sinh An và Bình được cho trong bảng. Nhiệm vụ của các em là: Tính điểm trung bình (không kể hệ số) của tất cả các môn học của An và của Bình; xem bạn nào học khá hơn, có nhận xét gì về bảng điểm của hai bạn.
Mỗi học sinh tính toán, rồi điền kết quả trong bảng của mình.
Học sinh rút ra các nhận xét sau đó thảo luận, phân tích các nhận xét của
nhau.
2. Học sinh làm việc
P2
Các học sinh tiến hành làm việc, hoàn thành các nhiệm vụ được giao.
Học sinh trao đổi, thảo luận, rút ra các nhận xét.
Giáo viên cố vấn, định hướng đến vấn đề tính độ chênh lệch giữa các giá trị
của mẫu với số trung bình.
3. Giải quyết vấn đề
Giáo viên giúp học sinh phát hiện vấn đề: Cần phải “đo” được độ chênh lệch,
biến động giữa điểm các môn với điểm trung bình.
Giúp học sinh tìm ra cách tính độ lệch, trung bình của các độ lệch (bằng bình
phương, bằng giá trị tuyệt đối)
Dẫn dắt tới công thức tính độ lệch chuẩn, phương sai.
Nêu định nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn.
Tính phương sai và độ lệch chuẩn bằng máy tính bỏ túi.
III. Tổng kết thực nghiệm
* Giáo viên giúp học sinh tìm ra ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn.
* Học sinh nêu lên những suy nghĩ của bản thân khi tham gia vào hoạt động.
* Làm một bài trắc nghiệm nhỏ về phương sai và độ lệch chuẩn.
I. Chuẩn bị
1. Hai con súc sắc, một cái chén.
2. Một bảng đánh dấu kết quả.
3. Phân học sinh thành từng nhóm 3-4 người.
4. Mô hình gieo 2 súc sắc trên Fathom.
II. Quá trình thực nghiệm
1. Giới thiệu trò chơi Giáo viên giới thiệu trò chơi: Giáo viên gieo 2 con súc sắc ngẫu nhiên, học sinh đoán tổng số chấm và đặt cược, các số đoán của mỗi học sinh là khác nhau. Giáo viên tiến hành gieo 100 lần, em nào đoán trúng được nhiều lần sẽ thắng.
2. Tiến hành trò chơi
Giáo viên cho học sinh ghi số mà mình đặt cược vào bảng đánh dấu.
Từng người một giải thích lý do chọn của mình.
Giáo viên tiến hành gieo súc sắc, học sinh quan sát kết quả rồi đánh dấu vào
bảng nếu tổng số chấm trên hai súc sắc đúng như mình dự đoán.
3. Thảo luận
Giáo viên tổng kết trò chơi.
Học sinh thảo luận để có lý giải ban đầu về kết quả trò chơi.
Giáo viên gợi ý thực hiện trò chơi trên mô hình máy tính.
P3
4. Thực nghiệm trên mô hình
* Giáo viên giới thiệu mô hình cho học sinh.
* Giáo viên cùng học sinh thực nghiệm trên mô hình với số lần gieo lớn (từ 500 lần trở lên).
* Học sinh quan sát kết quả gieo trên đồ thị và nhận xét.
* Học sinh tính toán trên giấy các khả năng xảy ra và tính xác suất cho các trường hợp của tổng số chấm.
* Học sinh có kết luận cho trò chơi.
III. Tổng kết thực nghiệm
Giáo viên tổng kết trò chơi và phát biểu bài toán tính xác suất dựa trên trò
chơi: Gieo ngẫu nhiên 2 con súc sắc và tính tổng số chấm trên hai mặt của chúng. a. Giá trị nào của tổng số chấm có khả năng xảy ra nhiều nhất? b. Tính xác suất của giá trị đó.
Giáo viên củng cố khái niệm xác suất của biến cố.
CÁC MẪU THỐNG KÊ
Họ và tên:………………………………………………
BẢNG GHI TỔNG SỐ CHẤM KHI GIEO HAI SÚC SẮC
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
THỐNG KÊ KẾT QUẢ TỔNG SỐ CHẤM (TẦN SỐ)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P4
BẢNG GHI KẾT QUẢ TRÒ CHƠI
Nhóm:………………………………………………………………………..
Số lượng bi: ….. bi xanh + ……bi cam
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lần bốc thứ
Điểm cho máy tính
Điểm cho HS
Kết quả:
BẢNG ĐÁNH DẤU KIỂM
Họ và tên:……………………………………
Lớp:………………………….
Mức độ đánh giá
Không có
Nội dung đánh giá TT Tốt Có ít Vừa phải
1 Hiểu nội dung nhiệm vụ và cách làm việc
2 Phân công và triển khai nhanh công việc
3 Hợp tác trong lúc làm việc
4 Giúp đỡ bạn trong nhóm
5 Thái độ làm việc tích cực
6 Tâm lý thoải mái trong lúc làm việc
7 Đề ra ý tưởng hay để giải quyết công việc
8 Có sáng tạo trong lúc làm việc
9 Trao đổi ý tưởng với nhóm khác
10 Khả năng làm việc độc lập
11 Trình bày quan điểm của mình
12 Thao tác trên mô hình động
13 Hoàn thành công việc
P5
14 Chất lượng công việc
PHIẾU TRẮC NGHIỆM THỐNG KÊ
Họ và tên:……………………………………………… Lớp:………… Khoanh tròn vào chữ cái trước câu đúng: Câu 1: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau về tần số:
a. Số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu được gọi là tần số của
c. Số trung bình. a. Số lớn nhất. d. Phương sai.
giá trị đó. b. Kích thước của mẫu bằng tổng các tần số c. Tần số của 1 giá trị không nhất thiết là 1 số nguyên dương. d. Tần suất của 1 giá trị không nhất thiết là 1 số nguyên dương. Cđu 2: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau về số trung bình x : a. Số trung bình x đại diện tốt nhất cho các số liệu trong mẫu. b. Một nửa số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng x . c. Số trung bình x bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hoặc quá bé. d. Đơn vị của x không cùng đơn vị với các số liệu trong mẫu. Câu 3: Chọn phương án đúng trong các phương án sau: Độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh: b. Số trung vị. Câu 4: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau về phương sai:
a. Phương sai luôn luôn là 1 số dương. b. Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn. c. Phương sai càng lớn thì độ phân tán của các giá trị quanh số trung bình càng lớn. d. Phương sai luôn luôn lớn hơn độ lệch chuẩn.
PHIẾU TRẮC NGHIỆM XÁC SUẤT
Họ và tên:……………………………………………. Lớp:………… Khoanh tròn vào chữ cái trước câu đúng: Câu 1: Gieo một con súc sắc đồng chất, xác suất của biến cố: “Mặt chẵn xuất hiện là:
a. 1/2 c. 3/4 b. 2/3 d. 1/4
Câu 2: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50. Gọi A là biến cố “Số được chọn là số nguyên tố”. Xác suất của A là:
a. 0,28 b. 0,3 c. 0,32 d. 0,34
Câu 3: Một trường nọ tổ chức một đợt xổ số với vé số có 4 chữ số. Để trúng giải đặc biệt, tờ vé số trúng phải có cùng số với giải đặt biệt. Bạn An mua một vé số. Xác suất để An trúng giải đặc biệt là:
a. 0,25 d. 0,0001 c. 0,001 b. 0,01
Câu 4: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Xác suất của biến cố A: “Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm” là:
P6
a. 1.3 b. 1/4 c. 1/5 d. 1/6
