Luận văn Thạc sĩ: Hàm chọn của một số lớp ánh xạ đa trị và ứng dụng

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ: Hàm chọn của một số lớp ánh xạ đa trị và ứng dụng sau đây giới thiệu tới các bạn những nội dung về hàm chọn liên tục; hàm chọn đo được; hàm chọn của ánh xạ tăng. Mời các bạn tham khảo tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ: Hàm chọn của một số lớp ánh xạ đa trị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đức Dũng HÀM CHỌN CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đức Dũng HÀM CHỌN CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn: Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1. HÀM CHỌN LIÊN TỤC ....................................................................... 3 1.1 Tính liên tục của các ánh xạ đa trị ............................................................. 3 1.1.1 Tính nửa liên tục và liên tục của các ánh xạ đa trị .............................. 3 1.1.2 Các ví dụ ........................................................................................... 10 1.2 Hàm chọn liên tục .................................................................................... 16 1.2.1 Sự tồn tại của hàm chọn liên tục ....................................................... 16 1.2.2 Các ví dụ ........................................................................................... 18 1.3 Hàm chọn xấp xỉ ...................................................................................... 21 1.3.1 Khái niệm hàm chọn xấp xỉ .............................................................. 21 1.3.2 Sự tồn tại của các hàm chọn xấp xỉ ................................................... 22 1.4 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị - điểm bất động ............................................. 24 1.4.1 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị ................................................................. 24 1.4.2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị ....................................................... 29 Chương 2 HÀM CHỌN ĐO ĐƯỢC ...................................................................... 35 2.1 Sự tồn tại của hàm chọn đo được ............................................................ 35 2.1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị đo được ....................................................... 35 2.1.2 Sự tồn tại của hàm chọn đo được ...................................................... 40 2.2 Các ví dụ áp dụng .................................................................................... 42 Chương 3 HÀM CHỌN CỦA ÁNH XẠ TĂNG ................................................... 42 3.1 Ánh xạ đa trị tăng .................................................................................... 46 3.1.1 Các khái niệm .................................................................................... 46 3.1.2 Ánh xạ đa trị tăng .............................................................................. 48 3.2 Hàm chọn của ánh xạ tăng ....................................................................... 49 3.2.1 Sự tồn tại hàm chọn đơn điệu của ánh xạ tăng ................................. 49 3.2.2 Các ví dụ áp dụng .............................................................................. 60 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 64
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT. 2Y : Lớp các tập con của tập Y . 2Y \ : Lớp các tập con khác rỗng của tập Y . (GF ) : Đồ thị của ánh xạ F . Fix(F ) : Tập hợp các điểm bất động của ánh xạ F . r (x , A) : Khoảng cách từ điểm x đến tập A. dH (A, B ) : Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B. B(x 0 , r ) : Quả cầu mở tâm x 0 bán kính r . B(x 0 , r ) : Quả cầu đóng tâm x 0 bán kính r . L(X ,Y ) : Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . R(T ) : Ảnh của ánh xạ tuyến tính T . N (T ) : Nhân của ánh xạ tuyến tính T . |x | : Chuẩn của x . h.k.n : Hầu khắp nơi. convA : Bao lồi của tập A . m : Độ đo Lebesgue. x n  x 0 : Dãy x n hội tụ yếu về x 0 . diamA : Đường kính của tập A. suppf : Giá của hàm f . D : Biên của tập D. A : s - đại số. x y : Cận dưới của hai phần tử x , y. x y : Cận trên của hai phần tử x , y. X : Tập các phần tử cực đại của X . X : Tập các phần tử cực tiểu của X .
LỜI CẢM ƠN Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Ninh Thuận và trường THPT Chu Văn An, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi được tham gia học tập khóa học Cao học và hoàn thành luận văn này . Xin chân thành cám ơn quý cô thầy đã tham gia giảng dạy lớp Cao học chuyên ngành Toán Giải Tích khóa 21 đã trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản làm nền tảng giúp cho tôi bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, người thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, sửa chữa và góp ý cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Cám ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn. Cám ơn các bạn học viên trong lớp cao học chuyên ngành Toán Giải Tích khóa 21 đã nhiệt tình giúp đỡ, góp ý và động viên tinh thần giúp tôi hoàn thành tốt luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 08 năm 2012. Học viên thực hiện Nguyễn Đức Dũng
1 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết về các ánh xạ đa trị bắt đầu được quan tâm, nghiên cứu và phát triển mạnh từ những năm 1950. Xuất phát từ sự phát triển nội tại của toán học cũng như do nhu cầu mô tả nhiều mô hình tự nhiên và xã hội. Cho đến nay lý thuyết về các ánh xạ đa trị đã được nghiên cứu, phát triển khá hoàn chỉnh và đã tìm được nhiều ứng dụng rộng rãi, có giá trị trong toán học cũng như các lĩnh vực đời sống xã hội. Chẳng hạn như trong lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết tối ưu và điều khiển, các bài toán kinh tế, lý thuyết trò chơi… Do phạm vi ứng dụng rộng rãi cũng như giá trị và tầm quan trọng của nó, việc nghiên cứu các ánh xạ đa trị trong suốt một thời gian dài luôn là một đề tài hấp dẫn, đã thu hút được rất nhiều các nhà toán học trên thế giới. Việc tiếp cận và nghiên cứu nó cũng được phát triển theo nhiều hướng, nhiều phương pháp khác nhau. Tuy nhiên một pháp tự nhiên và hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất của ánh xạ đa trị đó là nghiên cứu các ánh xạ đơn trị có chứa đầy đủ những tính chất, thông tin của ánh xạ đa trị đó. Hàm chọn (hay lát cắt) của ánh xạ đa trị là một trong những ánh xạ đơn trị như vậy. Chính vì những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài: Hàm chọn của một số lớp ánh xạ đa trị và ứng dụng làm đề tài trình bày trong luận văn Thạc sĩ của mình. Trong luận văn này, chúng tôi đã tham khảo các tài liệu, tập hợp lại và trình bày theo sự hiểu biết của mình về điều kiện tồn tại hàm chọn của các ánh xạ đa trị cùng với các tính chất như tính liên tục, tính xấp xỉ, tính đo được, tính đơn điệu… Đồng thời cũng thông qua các hàm chọn này xây dựng bậc tôpô cho ánh xạ đa trị và ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ đa trị. Kết cấu của luận văn được chia thành 3 chương. Chương 1 Hàm chọn liên tục. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày về tính nửa liên tục, liên tục và Hausdorff – liên tục của các ánh xạ đa trị từ đó xem xét
2 điều kiện tồn tại của các hàm chọn liên tục. Đồng thời cũng trình bày về cấu trúc hàm chọn xấp xỉ liên tục từ đó xây dựng bậc tôpô cho ánh xạ đa trị và ứng dụng vào việc nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ đa trị. Các ví dụ trong chương này đã chỉ ra điều kiện tồn tại nghiệm liên tục của một bao hàm thức vi phân, điều kiện tồn tại nghiệm tuần hoàn chu kỳ w trong bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân đây chính là điểm bất động của ánh xạ đa trị Poincaré. Chương 2 Hàm chọn đo được. Trong chương này, chúng tôi tập trung trình bày về cấu trúc đo được của hàm chọn thông qua các tính chất đo được và đo được yếu của các ánh xạ đa trị. Điều kiện tồn tại của các hàm chọn đo được. Các ví dụ trong chương này giúp thấy được một ứng dụng quan trọng của hàm chọn đo được vào bài toán điển hình của lý thuyết điều khiển tối ưu. Chương 3 Hàm chọn của ánh xạ tăng. Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ đa trị tăng bằng cách mở rộng một quan hệ thứ tự trên một tập X cho trước thành một quan hệ thứ tự trên lớp các tập hợp con của X . Từ đó định nghĩa ánh xạ đa trị tăng và xem xét điều kiện tồn tại hàm chọn đơn điệu của ánh xạ tăng khi tập đích của nó là một tập được sắp thứ tự bộ phận, một dàn hay một dây chuyền. Khác với hai chương đầu, chủ yếu xét hàm chọn của ánh xạ đa trị trong không gian Banach. Chương thứ ba, trình bày hàm chọn của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự cho nên chúng tôi chỉ xét trên các tập hợp được sắp bộ phận và các trường hợp đặc biệt là trên các dàn hay các dây chuyền. Vì lý do những kiến thức cơ sở được sử dụng trong luận văn không nhiều, cho nên để tiện cho người đọc, chúng tôi đã không chia ra một chương riêng để trình bày về những kiến thức cơ sở, mà những kiến thức cơ sở này sẽ được trình bày ngay trước mỗi phần có liên quan và được sử dụng đến trong luận văn. Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng vì thời gian và kiến thức còn hạn chế cho nên luận văn này có thể không tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn. Rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô trong hội đồng phản biện và sự góp ý của các bạn học viên.
3 Chương 1. HÀM CHỌN LIÊN TỤC 1.1 Tính liên tục của các ánh xạ đa trị 1.1.1 Tính nửa liên tục và liên tục của các ánh xạ đa trị Trước khi xét tính liên tục của ánh xạ đa trị ta sẽ trình bày lại một số khái niệm và ký hiệu liên quan đến các ánh xạ đa trị được sử dụng trong phần này. Cho hai tập hợp khác rỗng X ,Y một ánh xạ đa trị từ X vào Y là một phép đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với một tập hợp con của Y mà ta ký hiệu là Fx . Như vậy, nếu ta ký hiệu 2Y là lớp tất cả các tập con của Y thì một ánh xạ đa trị F từ X vào Y được ký hiệu là F : X  2Y . Cũng có thể định nghĩa ánh xạ đa trị F sao cho Fx  , x  X . Khi đó ta ký hiệu F : X  2Y \ . Trường hợp đặc biệt, đối với ánh xạ F mà với mỗi x  X , tập Fx chỉ chứa một phần tử thì ánh xạ F chính là ánh xạ đơn trị đã biết từ X vào Y . Cho ánh xạ đa trị F : X  2Y , với A  X , B  Y , ta có các khái niệm sau: • Ảnh của tập A qua ánh xạ F là một tập con của Y , ký hiệu là F (A) , được xác định bởi: F (A)   x A Fx . • Ảnh ngược lớn của tập B qua ánh xạ F là một tập con của X , ký hiệu là F1(B ), được xác định bởi: F1(B )  {x  X : Fx  B   . • Ảnh ngược nhỏ của tập B qua ánh xạ F là một tập con của X , ký hiệu là F 1(B ) , được xác định bởi: F 1(B )  {x  X : Fx  B } . • Đồ thị của ánh xạ F là một tập con của X Y , ký hiệu là (GF ) , được xác định bởi: (GF )  {(x , y )  X Y : y  Fx } . • Nếu Y  X thì điểm x  X mà x  Fx gọi là điểm bất động của ánh xạ F . Tập hợp các điểm bất động của ánh xạ F ký hiệu là Fix(F ) .
4 • Khi có ánh xạ đơn trị f : X  Y thỏa mãn f (x )  Fx , x  X thì f được gọi là hàm chọn (hay lát cắt) của ánh xạ đa trị F . • Cho X là không gian Banach, khoảng cách từ điểm x  X đến tập A  X là r (x , A)  inf{| x  y |: y  A} . Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp con A, B   của X là dH (A, B )  max sup r (x , B ); sup r (x , A) A B • Nếu dãy {x n } hội tụ yếu về x 0 , ta ký hiệu x n  x 0 Bây giờ ta sẽ trình bày các khái niệm và một số tính chất của ánh xạ đa trị nửa liên tục, liên tục và Hausdorff – liên tục trong không gian Banach. Định nghĩa 1.1.1. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị F : D  X  2Y \ , ta nói: a) F là nửa liên tục trên trên D nếu tập F 1(V ) là mở trong D với bất kỳ V  Y là mở. b) F là nửa liên tục dưới trên D nếu tập F1(V ) là mở trong D với bất kỳ V  Y là mở. Từ Định nghĩa 1.1.1 ở trên ta có ngay một số tính chất sau: Mệnh đề 1.1.1. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị F : D  X  2Y \ . Khi đó ta có: a) F là nửa liên tục trên trên D nếu và chỉ nếu F1(A) đóng trong D với bất kỳ A  Y là đóng. b) F là nửa liên tục dưới trên D nếu và chỉ nếu F 1(A) đóng trong D với bất kỳ A  Y là đóng. Chứng minh. a) Ta có F là nửa liên tục trên trên D khi và chỉ khi tập F 1(V )  {x  D : Fx  V } là mở trong D với bất kỳ V  Y là mở. Điều này tương đương với tập D \{x  D : Fx  V } là đóng trong D với mọi V  Y là mở. Hay có nghĩa là tập
5 D \{x  D : Fx  (Y \A)} là đóng trong D với mọi A  Y đóng. Tương đương với tập {x  D : Fx  (Y \A)} là đóng trong D với bất kỳ A  Y là đóng. Tức là tập {x  D : Fx  A  }  F1(A) đóng trong D với bất kỳ A  Y là đóng. b) Ta có F là nửa liên tục dưới trên D khi và chỉ khi tập hợp F1(V )  {x  D : Fx V  } là mở trong D với bất kỳ V  Y là mở. Điều này có nghĩa tương đương với tập {x  D : Fx V  } là đóng trong D với bất kỳ V  Y là mở. Nói cách khác tập {x  D : Fx  (Y \A)  } là đóng trong D với bất kỳ A  Y là đóng. Tương đương với tập {x  D : Fx  A}  F 1(A) là đóng trong D với bất kỳ A  Y là đóng.  Trước khi tiếp tục trình bày thêm một số tính chất ta có một vài nhận xét sau: Đối với ánh xạ đơn trị F ta có {x  D : Fx  V }  F 1(V )  F1(V ) với mọi tập mở V  Y do vậy trong trường hợp này định nghĩa nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của F là trùng nhau và có nghĩa là liên tục. Như vậy, hiển nhiên rằng đối với hàm nửa liên tục trên j : D  X   đã được định nghĩa trước đây bởi lim j(x n )  j(x 0 ) với bất kỳ dãy {x n }  D và x n  x 0  D không có quan hệ gì n  với Định nghĩa 1.1.1. bởi vì khi đó j có thể gián đoạn. Tuy nhiên, có một sự tương tự khi cho rằng đối với một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên F ta có lim Fx n  Fx 0 n  với bất kỳ dãy x n  x 0 và với Fx 0 là đóng. Thật vậy, bởi vì theo định nghĩa ta có lim Fx n   n 1  k n Fx k và ánh xạ F nửa liên tục trên tại x 0 có nghĩa là n  Fx n  Fx 0  B(0, e ) với mọi n đủ lớn, từ đó lim Fx n  Fx 0  B(0, e ) với mọi n  e  0 và vì thế lim Fx n chứa trong Fx 0 nếu Fx 0 là đóng. n  Ta cũng có thể định nghĩa ánh xạ đa trị F nửa liên tục trên tại điểm x 0  D như sau: với mọi tập mở V  Fx 0 trong Y đều tồn tại d  d(x 0,V )  0 sao cho
6 F (B(x 0, d )  D )  V . Khi đó ta có F là nửa liên tục trên trên D nếu như F là nửa liên tục trên tại mọi x 0  D . Tương tự, ta có thể định nghĩa ánh xạ đa trị F nửa liên tục dưới tại x 0  D như sau: với mọi y  Fx 0 và mọi lân cận V của y đều tồn tại d  d(x 0, y,V )  0 sao cho Fx V   với mọi x  B(x 0, d )  D. Khi đó ta có F là nửa liên tục dưới trên D nếu và chỉ nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi x 0  D . Mệnh đề 1.1.2. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị F : D  X  2Y \ thỏa mãn Fx đóng với mọi x  D . Khi đó ta có: a) Nếu sup{r (y, Fx n ) : y  Fx 0 }  0 với bất kỳ dãy {x n }  D, x n  x 0 thì F là nửa liên tục dưới trên D . b) Nếu F là nửa liên tục trên trên D thì sup{r (y, Fx 0 ) : y  Fx n }  0 với bất kỳ dãy {x n }  D, x n  x 0 . Chứng minh. a) Giả sử F không nửa liên tục dưới trên D . Khi đó tồn tại tập mở V  Y sao cho F1(V ) không là tập mở trong D. Suy ra tồn tại x 0  F1(V ) sao cho có dãy {x n }  F1(V ) mà x n  x 0 . Khi đó Fx 0 V   và Fx n V   với mọi n . Chọn y 0  Fx 0 V , bởi vì V mở nên tồn tại r  0 sao cho B(y 0, r )  V . Khi đó B(y 0, r )  Fx n   với mọi n . Điều này mâu thuẫn với giả thiết sup{r (y 0, Fx n ) : y 0  Fx 0 }  0 khi n   . Vậy F là nửa liên tục dưới trên D. b) Giả sử F là nửa liên tục trên và {x n } là dãy bất kỳ sao cho x n  x 0 . Lấy e  0 tùy ý, khi đó do F là nửa liên tục trên nên Fx n  Fx 0  B(0, e ) với n đủ lớn. Vì thế sup{r (y, Fx 0 ) : y  Fx n }  e với n đủ lớn. Bởi vì e  0 nhỏ tùy ý , do vậy ta phải có sup{r (y, Fx 0 ) : y  Fx n }  0 . 
7 Mệnh đề 1.1.3. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị F : D  X  2Y \ thỏa mãn Fx đóng với mọi x  D . Khi đó: a) Nếu F là nửa liên tục trên và D đóng thì đồ thị (GF ) là đóng. b) Nếu F (D ) compact và D đóng thì F là nửa liên tục trên khi và chỉ khi đồ thị (GF ) đóng. Chứng minh. a) Lấy tùy ý dãy (x n , yn )  (GF ) , giả sử (x n , yn )  (x 0, y 0 ) tức là x n  x 0 và yn  y 0 . Ta chứng minh x 0  D và y 0  Fx 0 . Trước tiên, do D đóng {x n }  D và x n  x 0 nên x 0  D . Tiếp theo, do (x n , yn )  (GF ) nên yn  Fx n , n . Mặt khác, Fx đóng với mọi x  D và F là nửa liên tục trên nên theo Mệnh đề 1.1.2 (b) ta có sup{r (yn , Fx 0 ) : yn  Fx n }  0 . Vì yn  y 0 nên r (y 0, Fx 0 )  0 , lại do Fx 0 đóng nên y 0  Fx 0 . Vậy (x 0, y 0 )  (GF ) nên (GF ) là đóng. b) Cho Fx đóng với mọi x  D, F (D ) compact và D đóng. Trước tiên, ta thấy rằng nếu F nửa liên tục trên thì theo câu (a) ta có đồ thị (GF ) là đóng. Ngược lại, giả sử đồ thị (GF ) đóng, ta chứng minh F là nửa liên tục trên trên D . Nếu trái lại F không là nửa liên tục trên trên D , khi đó tồn tại một lân cận mở V  Y chứa Fx sao cho với mọi lân cận mở U của x trong X ta đều có F (U )  V . Bây giờ, lấy U  B(x , n 1 ), n  1, 2,... Với mỗi n chọn x n  B(x , n 1 ) sao cho Fx n  V và lấy yn sao cho yn  Fx n và yn  V . Khi đó ta có lim x n  x và {yn }  F (D ) . n  Vì F (D ) compact, không mất tính tổng quát ta có thể coi lim yn  y  F (D ) . Ta n  thấy rằng y  V . Từ đó, với mỗi n ta có (x n , yn )  (GF ) và (x n , yn )  (x , y ) . Bởi vì đồ thị (GF ) đóng cho nên (x , y )  (GF ) . Điều này mâu thuẫn với y  V . Như vậy phải có F là nửa liên tục trên. 
8 Mệnh đề 1.1.4. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị F : D  X  2Y \. Khi đó nếu D là tập compact, F là nửa liên tục trên và Fx compact với mọi x  D thì F (D ) là compact. Chứng minh. Lấy {Vt } là một họ phủ mở của F (D ) . Vì Fx compact với mọi x  D nên tồn tại một số hữu hạn các tập Vt sao cho Fx  Wx , trong đó Wx là hợp của một số hữu hạn các tập Vt , với mọi x  D . Điều này dẫn đến một họ {Wx }x D là họ phủ mở của F (D ) . Với mỗi x  D, đặt U x  F 1(Wx ) . Khi đó do F là nửa liên tục trên nên U x mở, do đó họ {U x }x D là một phủ mở của D trong X . Vì D compact nên tồn tại một phủ con hữu hạn U x , U x ,...,U x của D . Từ đây 1 2 n suy ra Wx , Wx ,..., Wx phủ F (D ) . 1 2 n Bây giờ bởi vì mỗi Wx là hợp của một số hữu hạn các tập trong họ {Vt } nên i rõ ràng ta thu được một phủ con hữu hạn Vt , Vt , ..., Vt của phủ {Vt } . Vậy ta phải 1 2 k có F (D ) là tập compact.  Dựa vào các khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới ta đưa ra định nghĩa ánh xạ đa trị liên tục sau: Định nghĩa 1.1.2. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị F : D  X  2Y \, ta nói F là liên tục trên D nếu nó vừa là nửa liên tục trên vừa là nửa liên tục dưới trên D . Ta thấy rằng khái niệm liên tục của ánh xạ đa trị trong Định nghĩa 1.1.2 được định nghĩa thông qua các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới, bởi vậy khi nghiên cứu các ánh xạ đa trị thì các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới sẽ là các khái niệm được quan tâm và sử dụng nhiều hơn khái niệm liên tục đã được giới thiệu trong Định nghĩa 1.1.2. Tuy nhiên, đối với các ánh xạ đa trị, bởi vì Fx là một tập con của Y và ta sẽ làm việc với chúng chủ yếu trên các tập hợp nên ta sẽ giới thiệu thêm một khái niệm
9 liên tục có nhiều ý nghĩa và ứng dụng khi nghiên cứu, đó là khái niệm Hausdorff - liên tục. Định nghĩa 1.1.3. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị F : D  X  2Y \, ta nói F là Hausdorff- liên tục tại x 0 nếu dH (Fx n , Fx 0 )  0 với bất kỳ dãy x n  x 0 và nói F là Hausdorff - liên tục trên D nếu nó là Hausdorff - liên tục tại mọi điểm x 0  D . Mệnh đề 1.1.5. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị F : D  X  2Y \ thỏa mãn Fx đóng với mọi x  D . Khi đó: a) Nếu F là Hausdorff - liên tục thì F là nửa liên tục dưới. b) Nếu Fx compact với mọi x  D thì F là Hausdorff - liên tục nếu và chỉ nếu F liên tục. Chứng minh. a) Giả sử F là Hausdorff - liên tục, theo định nghĩa ta có dH (Fx n , Fx 0 )  0 . Hay   max sup r (y, Fx n ); sup r (y, Fx 0 )  0 với bất kỳ dãy {x n } sao cho x n  x 0 . Suy  Fx 0 Fx n  ra sup{r (y, Fx n ) : y  Fx 0 }  0 với bất kỳ dãy x n  x 0 . Do đó theo Mệnh đề 1.1.2 (a) thì F là nửa liên tục dưới. b) Cho Fx compact với mọi x  D . Giả sử F là Hausdorff - liên tục, theo câu (a) ta đã có F là nửa liên tục dưới. Để chứng minh F nửa liên tục trên, lấy tùy ý tập đóng A  Y và dãy {x n }  F1(A) sao cho x n  x 0 . Ta có Fx n  A  , n . Bây giờ với mỗi n, chọn yn  Fx n  A . Do F là Hausdorff - liên tục nên r (yn , Fx 0 )  0 và do tính compact của Fx 0 dẫn đến có một dãy con hội tụ, không mất tính tổng quát giả sử yn  y 0  Fx 0  A . Vậy F1(A) là đóng do đó F là nửa liên tục trên. Ngược lại, giả sử F liên tục nghĩa là nó vừa là nửa liên tục dưới vừa là nửa liên tục trên, nếu x n  x 0 thì do F là nửa liên tục trên nên theo Mệnh
10 đề 1.1.2 (b) ta có sup{r (y, Fx 0 ) : y  Fx n }  0 . Bây giờ để chứng minh dH (Fx n , Fx 0 )  0 , ta sẽ chứng tỏ rằng không tồn tại a  0 sao cho r (yn , Fx n )  a  0 với mọi n và yn  Fx 0 nào đó. Thật vậy, nếu không thì do tính compact của Fx 0 nên không mất tính tổng quát ta có thể coi yn  y 0  Fx 0 và do vậy r (y 0, Fx n )  a/2 . Đặt V  B(y 0, a/2) ta thấy rằng với n đủ lớn thì Fx n V   . Điều này mâu thuẫn với tính nửa liên tục dưới của F tại x 0 . Vậy F là Hausdorff - liên tục.  1.1.2 Các ví dụ Một số ví dụ sau đây sẽ phần nào giúp làm rõ hơn về các ánh xạ đa trị, các thuộc tính nửa liên tục, liên tục và Hausdorff - liên tục. Đồng thời cũng giúp làm rõ thêm những giả thiết về các tính chất của Fx như đóng, lồi, compact… Ví dụ 1.1.1. Cho hai không gian Banach X ,Y và một toàn ánh T : X  Y trên đó. Xét ánh xạ đa trị F : X  2Y \ được xác định bởi Fy  T 1y . Khi đó với một tập bất kỳ M  X ta có: F1(M )  {y  Y : Fy  M  }  {y  Y : T 1y  M  }  {y  Y : x  M : Tx  y }  T (M ) Do đó từ Định nghĩa 1.1.1 và Mệnh đề 1.1.1 ta thấy rằng ánh xạ F là nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu T là ánh xạ mở. Ánh xạ F là nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu T là ánh xạ đóng. Giả sử nói riêng T  L(X ,Y ) . Vì T là toàn ánh nên R(T )  Y là đóng và T 1y  x  N (T ) với Tx  y . Ta có | Tx | c r (x , N (T )) trên X với một c  0 nào đó, thật vậy giả sử ngược lại tồn tại x 0  X :| Tx 0 | er (x 0, N (T )), e  0 . Cho e  0 ta được | Tx 0 |  0 tức x 0  N (T ) dẫn đến 0  0 đây là điều vô lý. Bây giờ, giả sử với bất kỳ dãy {yn } thỏa yn  y 0 trong Y . Do T là toàn ánh nên tồn tại {x n } và x 0 sao cho yn  Tx n , y 0  Tx 0 . Bởi vì Tx n  Tx 0 nên
11 T (x n  x 0 )  0 điều này kéo theo r (x n  x 0, N (T ))  0 cho nên dẫn đến r (x n ,T 1y 0 )  0 và r (x 0,T 1yn )  0 . Từ đó suy ra dH (T 1yn ,T 1y 0 )  0 hay dH (Fyn , Fy 0 )  0 . Vậy F là Hausdorff - liên tục và do đó theo Mệnh đề 1.1.5 (a) thì F là nửa liên tục dưới hay T là ánh xạ mở. Tuy nhiên, T  0 với N (T )  0 không là ánh xạ đóng. Để thấy được điều này ta xét A  {nx 0  x 1 /n : n  1} với 0  x 0  N (T ) và Tx 1  0 . Ta có A đóng và F1(A)  T (A)  {T (x 1 /n )} nên lim T (x 1 /n )  0  T (A) vậy T (A) không đóng. Do đó F không phải là ánh xạ n  nửa liên tục trên hay T không phải là ánh xạ đóng. Ví dụ 1.1.2. Cho X là không gian Banach và   D  X là tập compact. Xét mêtric chiếu P : X  2D \ được định nghĩa bởi: Px  {z  D :| x  z |  r (x , D )} Khi đó Px đóng trong D compact nên Px compact với mọi x  D . Thật vậy, lấy tùy ý dãy {z n }  Px , giả sử z n  z 0 bởi vì: | z n  x |  | z n  z 0 | | x  z 0 | | z n  x |  | z n  z 0 |, n Dẫn đến r (x , D ) | z n  z 0 |  | x  z 0 |  r (x , D )  | z n  z 0 |, n . Cho n   , ta được | z n  z 0 | 0 nên | x  z 0 | r (x , D ) . Hay z 0  Px nên Px đóng. Hơn nữa, Px cũng lồi nếu D là lồi. Thật vậy: u, v  Px  D và t  [0,1] . Bởi vì D lồi nên tu  (1  t )v  D. Hơn nữa: r (x , D )  | tu  (1  t )v  x | | t(u  x )  (1  t )(v  x ) |  t | u  x | (1  t ) | v  x |  t r (x , D )  (1  t )r (x , D )  r (x , D ) Vậy tu  (1  t )v  Px . Do đó Px lồi với mọi x  D . Bây giờ lấy tùy ý A  X là đóng và lấy bất kỳ dãy {x n }  P1(A) giả sử x n  x 0 ta chứng minh x 0  P1(A) . Giả sử trái lại x 0  P1(A) khi đó ta có
12 Px 0  A   . Dẫn đến z  A đều có | x 0  z |  r (x 0, D ) . Đặt A1  {z  A : | x 0  z | r (x , D )} và A2  {z  A :| x 0  z | r (x , D )} thì rõ ràng A  A1  A2 . Khi đó e  0 :| x 0  z | e  r (x 0, D ), z  A1 và | x 0  z | e  r (x 0, D ), z  A2 . Mặt khác vì x n  x 0 nên | x n  x 0 |  e với n đủ lớn, khi đó: | x n  z |  | x n  x 0 |  | x 0  z |  e  | x 0  z |  r (x 0, D ), z  A1 | x n  z |  | x 0  z |  | x n  x 0 | | x 0  z |  e  r (x 0, D ), z  A2 Suy ra Px n  A1   và Px n  A2   với n đủ lớn. Hay Px n  A   với n đủ lớn. Điều này mâu thuẫn với sự kiện Px n  A  , n . Như vậy ta phải có Px 0  A   vậy P là nửa liên tục trên trên X . Tuy nhiên P có thể không là nửa liên tục dưới nếu D lồi, vì thế P cũng không là Hausdorff - liên tục. Ta hãy xem một ví dụ minh họa cụ thể trong trong hình 1.1 sau. Lấy X  2 và D  {(x ,| x |) : x  [1,1]}  2 với chuẩn: | (x , y ) | max{| x |,| y |} . Khi đó P là Hausdorff – liên tục trên 2 \{(0, y ) : y  0} , P không nửa liên tục dưới tại những điểm (0, y ), y  0 và cũng dễ thấy P (0, y ) không liên thông với y  0.
13 Ví dụ 1.1.3. Cho X là không gian Banach,   X và cho các hàm bị chặn j, y :    thỏa mãn j(x )  y(x ) trên  . Xét ánh xạ đa trị F :   2 \ xác định bởi Fx  [j(x ), y(x )]   . Hiển nhiên Fx compact lồi với mọi x   . Khi đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị F nửa liên tục dưới là các hàm j nửa liên tục trên và y nửa liên tục dưới. Thật vậy: • Điều kiện đủ: Giả sử j là nửa liên tục trên và y là nửa liên tục dưới. Lấy bất kỳ tập mở V   và x 0  F1(V ), giả sử dãy {x n }  , x n  x 0   . Bởi vì x 0  F1(V ) nên Fx 0 V   . Tức là [j(x 0 ), y(x 0 )] V   . Do j là nửa liên tục trên, y là nửa liên tục dưới và j(x )  y(x ) trên  cho nên lim j(x n )  j(x 0 )  y(x 0 ) n   lim y(x n ) . Điều này dẫn đến [j(x n ), y(x n )] V   với n đủ lớn, hay là n  Fx n V   với n đủ lớn. Do vậy x n  F1(V ) với n đủ lớn. Bởi vậy F1(V ) là mở trong  . • Điều kiện cần: Giả sử ánh xạ đa trị F xác định bởi Fx  [j(x ), y(x )] là nửa liên tục dưới, ta chứng minh j là nửa liên tục trên và y là nửa liên tục dưới. Lấy tùy ý dãy {x n }   giả sử x n  x 0   . Ta phải chứng tỏ rằng lim j(x n )  j(x 0 ) và n  lim y(x n )  y(x 0 ) . Thật vậy, giả sử trái lại y  lim j(x n )  j(x 0 ) . Khi đó đặt n  n  r  y  j(x 0 )  0 . Do F là nửa liên tục trên tại x 0 nên với dãy x n  x 0 và V  B j(x 0 ), r /2 là lận cận của j(x 0 )  Fx 0 , ta có Fx n  V với n đủ lớn. Dẫn đến y  j(x n )  r /2 với n đủ lớn. Điều này mâu thuẫn với y  lim j(x n ) . Vậy phải n  có j là hàm nửa liên tục trên. Lập luận tương tự như trên ta cũng có được y là hàm nửa liên tục dưới.
14 Ví dụ 1.1.4. Cho J  [0,1], f : J  n  n là một hàm liên tục và thỏa | f (t, x ) |  M (1 | x |) . Ta biết rằng bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân: u   f (t, u )     u(0)  x  (1.1) có nghiệm trên J . Đặt X  C (J ) và xét ánh xạ đa trị S : n  2X \ định bởi Sx  {u  C (J ) : u là một nghiệm của (1.1)} . Ta biết rằng Sx là compact, liên n thông. Lấy t  (0,1] và xét ánh xạ đa trị - Poincaré Pt : n  2 \ được cho bởi Ptx  {u(t; x ) : u  Sx } . Rõ ràng Pt  Rt  S , trong đó Rt : X  n là ánh xạ liên tục được xác định bởi Rtu  u(t) và Ptx là compact liên thông trong n . Nói Ptx chung, đây là những tính chất tốt nhất mà ta có thể nói về . Trong trường hợp n  1 ta có ngay Ptx compact, lồi vì trong trường hợp này Ptx là một điểm hoặc một khoảng compact. {x }  Ta có S là nửa liên tục trên. Thật vậy, lấy tùy ý A  X đóng và dãy n S 1(A) xn  x 0 Sx n  A  , n. u  giả sử . Ta có Khi đó với mỗi n chọn n Sx n  A un  f (t, un ) u (0)  x n  x 0 ta được trong J và n . Do vậy từ Định lý un  u u  Sx 0  A S 1(A) Ascoli-Arzela ta có k trong X và cho nên . Vậy là R đóng với bất kỳ A đóng. Bây giờ bởi vì t liên tục, Sx compact với mọi x và S Pt là nửa liên tục trên do đó cũng là nửa liên tục trên. Ví dụ 1.1.5. Cho ánh xạ đa trị f : n  2 \ là nửa liên tục trên, f (n ) compact và f (x ) compact, lồi với mọi x , tức f (x ) là một điểm hoặc một khoảng p compact trong  . Cho J  [0, a ] và xét ánh xạ đa trị F : C (J , n )  2L (J ) \ xác định bởi Fu  {v  L (J ) : v(t )  f (u(t )) h.k.n trong J } với p  [1, ) . Do f (x )
15 compact, lồi với mọi x nên với mọi u  C (J ) thì Fu là tập con lồi, bị chặn của Lp (J ) , Hơn nữa vì một dãy hội tụ trong Lp (J ) đều có một dãy con hội tụ h.k.n nên Fu là đóng trong Lp (J ) . Để chứng minh rằng Fu   , ta phải tìm một hàm chọn đo được v của f (u()) : J  2 \ , điều này là có thể thực hiện được dưới những giả thiết đã cho ở trên, ta sẽ thấy trong Ví dụ 2.1.1, chương 2. Ở đây, chúng ta sẽ chứng tỏ đồ thị (GF ) là nửa đóng yếu, nghĩa là cho un  u 0, vn  Fun và vn  v0 dẫn đến v0  Fu 0 . Bởi vì f là nửa liên tục trên, cho nên với mỗi tập mở Vn  {y   : r (y, f (u 0 (t )))  n 1} chứa f (u 0 (t )) đều tồn tại dn  0 sao cho f (B(u 0 (t ), dn ))  Vn . Điều này dẫn đến convf (B(u 0 (t ), dn ))  Vn . Từ đây ta có:  d 0 convf (B(u0(t ), d ))  n 1 convf (B(u0(t ), dn ))  n 1Vn  f (u0(t )) Mặt khác hiển nhiên ta có f (u 0 (t ))   d 0 convf (B(u 0 (t ), d )). Vậy f (u 0 (t ))   d 0 convf (B(u 0 (t ), d )) trên J . Hơn nữa un  u 0 trong C (J ) dẫn đến un (s )  B(u 0 (t ), d ) với n  n 0 (d ) và | s  t |  r (d ). Do đó vn (s )  f (B(u 0 (t ), d )) với n  n 0 (d ) và | s  t |  r (d ) nên: t h 1 h  vn (s )ds  convf (B(u 0 (t ), d )) (1.2) t với những giá trị n đủ lớn và h đủ nhỏ; Nhớ lại rằng tích phân là giới hạn của các tích phân các hàm bậc, nghĩa là tổng  i 1 zn m (J n ) với m  i 1 m (J n )  h mn mn là độ đo Lebesgue, và z n  v(J n ) . Bởi vì i i i i i 1  Lq (t, t  h ) và 〈vn − v0 , 1〉  0 khi n   ta thu được (1.2) với v0 thay vì vn 1 t h h t và bởi vì v0 (s )ds  v0 (t ) khi h  0 với hầu như tất cả t  J , cho nên ta có