Luận văn Thạc sĩ: Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Phương An

HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ CÁC

KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SỸ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TRẦN HUYÊN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gởi đến TS. Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm

Tp. Hồ Chí Minh – người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình hoàn thành

luận văn này lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong trường Đại Học Sư Phạm Tp.

Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng

như tìm tòi các tài liệu cho việc nghiên cứu.

Vì kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong

được sự chỉ bảo chân thành của các thầy, các cô và các bạn.

- 2 -

MỞ ĐẦU

Có những cách khác nhau để xây dựng hàm tử mở rộng Ext trong phạm trù

mô đun và một trong các cách đó là xây dựng bằng phép giải xạ ảnh. Hơn nữa, ta

biết một không gian lồi địa phương có thể xem là một mô đun tự do mà trên đó

được trang bị một tôpô lồi địa phương nào đó. Bây giờ nếu ta thay phạm trù mô đun

bằng phạm trù các không gian lồi địa phương, mà ta sẽ kí hiệu là phạm trù (cid:76), thì

liệu rằng có thể xây dựng được hàm tử Ext trong đó hay không? Theo đuổi ý tưởng

này, chúng tôi đã xây dựng được hàm tử mở rộng Ext trên phạm trù (cid:76) và đó cũng

là mục đích chính của cuốn luận văn này.

Bố cục luận văn được chia làm hai chương:

(cid:61656) Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này chúng tôi trình bày một cách khái quát con đường xây dựng

hàm tử Ext trong phạm trù mô đun. Đồng thời chúng tôi cũng giới thiệu một số khái

niệm và tính chất cơ bản liên quan đến không gian lồi đia phương. Qua đó trình bày về

phạm trù các không gian lồi địa phương (cid:76) nhằm lấy làm cơ sở cho việc xây dựng hàm

tử Ext trong chính (cid:76) sau này.

(cid:61656) Chương 2: Xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi địa

phương.

Mục đích của cuốn luận văn này là xây dựng hàm tử Ext trên (cid:76) và được trình bày

rõ trong chương hai này. Ở chương này chúng tôi sẽ giới thiệu môt số khái niệm và

tính chất về không gian tôpô thuần nhất, vật xạ ảnh tương đối từ đó đưa ra cách xây

dựng hàm tử Ext bằng phép giải xạ ảnh tương đối.

- 3 -

Chương I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mục đích của chương này gồm hai phần chính: trình bày cách xây dựng hàm tử mở

nExt trong phạm trù mô đun bằng phép giải xạ ảnh và một số khái niệm, tính chất

1 , 2 , 3 nên việc trình bày chỉ nhằm mục đích nhắc lại chứ không đi sâu vào

rộng

cơ bản của phạm trù các không gian lồi địa phương. Các chứng minh đã được làm rõ trong (cid:61531) (cid:61533) (cid:61531) (cid:61533) (cid:61531) (cid:61533)

chi tiết.

X(cid:84) là nói

Trong suốt quyển luận văn này khi ta nói không gian tôpô X thì kí hiệu

không gian tôpô trên X, và nói không gian vectơ thì ta hiểu là không gian vectơ trên

trường số thực (cid:61601) .

Ta xác định R là vành hệ tử cho các mô đun được nói đến trong bài viết này. Để

đơn giản ta sẽ gọi các R (cid:61485) mô đun trái là các mô đun, các R (cid:61485) đồng cấu là các đồng cấu.

§1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU

1.1.1 Phạm trù các phức

X (cid:61622) gồm các mô đun

(cid:61565)

nX và

(cid:61622)

(cid:61614)

Định nghĩa 1.1.1.1 Một phức hợp dây chuyền các mô đun là họ (cid:61563)

X (cid:61485)

(cid:61501) . Như vậy, phức hợp X là một dãy vô tận về hai đầu:

. (cid:61622) (cid:61622) n

n(cid:61483) 1

(cid:61622)

1 (cid:61483)

: ....

...

(cid:61612)

(cid:61612) , trong đó tích hai đồng cấu nối tiếp nhau

X (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630) (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61630) n

1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

các đồng cấu , được cho theo tất cả các số nguyên n, hơn nữa

bằng 0.

- 4 -

(cid:61602)

(cid:61622)

(cid:61501)

(cid:61565)

(cid:61563)

(cid:61565)

(cid:61602) ,n

(cid:61602) (cid:61622) là các phức. Một biến đổi dây chuyền n

(cid:61602)(cid:61622)

(cid:61501)

:f X

X (cid:61602)(cid:61614) là họ các đồng cấu (cid:61563)

(cid:61565) X (cid:61602)(cid:61614) sao cho

f X :n

f n n

(cid:61622) đối với mọi n. 1

f (cid:61485)

Cho và Định nghĩa 1.1.1.2 (cid:61563) X(cid:61501)

(cid:61622)

1 (cid:61483)

: ....

...

(cid:61612)

X (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630) (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61630) n

1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

(cid:61615)

Điều kiện sau cùng tương đương với điều kiện biểu đồ (1.1) sau giao hoán:

1 (cid:61485)

1 (cid:61483)

(cid:61622)

(cid:61602) n

1 (cid:61483)

(cid:61602)

: ....

...

(cid:61612)

(cid:61602) n

(cid:61602) X (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630) (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61630) n

(cid:61602) n

1 (cid:61485)

1 (cid:61483)

(1.1)

Về sau này, đôi khi để giản tiện chúng ta không viết các chỉ số các đồng cấu, như

(cid:61602) , f

(cid:61622)

, (cid:61622) (cid:61622)

(cid:61602) n

. Tuy nhiên trong vậy các có thể được viết một cách đơn giản là

mỗi một hệ thức đồng cấu, chúng ta phải ngầm định là chúng phải được đánh số theo

các chỉ số nào.

(cid:61622)

Dễ thấy rằng tích hai biến đổi dây chuyền là một biến đổi dây chuyền và tích các

(cid:61565)

Để ý thêm rằng, với mỗi phức , họ các đồng cấu đồng nhất biến đổi dây chuyền có tính chất kết hợp. (cid:61563) X(cid:61501)

f(cid:61501)

g(cid:61501)

(cid:61501)

(cid:61614)

.1Xg

1 X

(cid:61563) 1 : X

(cid:61565)

và là một biến đổi dây chuyền có tính chất 1 .X f

.1Xg

là xác định. Từ những điều trên ta thấy lớp tất cả các phức lập nếu các tích 1 .X f ,

thành một phạm trù với các cấu xạ là các biến đổi dây chuyền.

1.1.2 Đồng luân dây chuyền

(cid:61622)

f g X :

Định nghĩa 1.1.2.1

X (cid:61602)(cid:61614) từ phức

(cid:61563) X(cid:61501)

(cid:61565)

(cid:61602)

(cid:61501)

(cid:61614)

Cho các biến đổi dây chuyền tới phức

(cid:61563)

(cid:61565)

(cid:61563)

(cid:61602) ,n

(cid:61602) (cid:61622) . Họ các đồng cấu n

s X :n

(cid:61565)1

(cid:61602) X (cid:61483) n

n (cid:61646)

(cid:61602)

,f g sao cho

(cid:61483)

(cid:61485)

được gọi là một đồng luân

(cid:61602)(cid:61622) n

1 (cid:61483)

(cid:61622) (cid:61501) 1 n (cid:61485)

dây chuyền giữa hai biến đổi dây chuyền đối với

g(cid:61499) .

mọi n. Khi đó ta viết:

- 5 -

Định lí 1.1.2.2

g(cid:61499) là một đồng luân dây chuyền giữa các biến đổi dây chuyền

(cid:61602)

f g X :

(cid:61602) :s

X (cid:61602)(cid:61614) và

Nếu :s

(cid:61602)(cid:61499) g

(cid:61602)

(cid:61602) ,

(cid:61602) g X :

(cid:61602) f s

(cid:61602) (cid:61602) s g f f :

(cid:61602) g g

(cid:61483)

(cid:61602)(cid:61602)(cid:61614) , thì đồng cấu

là đồng luân dây chuyền giữa các biến đổi dây chuyền

(cid:61499)

(cid:61602) (cid:61602) f f g g X

(cid:61602)(cid:61602)(cid:61614) . X

là đồng luân dây chuyền giữa

Có thể thấy rằng quan hệ đồng luân dây chuyền giữa các biến đổi dây chuyền từ

phức X tới phức X (cid:61602) là một quan hệ tương đương.

Định nghĩa 1.1.2.3

:f X

,X X (cid:61602) là các phức, biến đổi dây chuyền

X (cid:61602)(cid:61614) được gọi là một tương

:h X

Cho

(cid:61602) (cid:61614) và các đồng luân dây

đương dây chuyền nếu tồn tại biến đổi dây chuyền

t và :

s hf (cid:61499)

1X (cid:61602)(cid:61499)

:f X

X (cid:61602)(cid:61614)

. chuyền :

Hai phức X và X (cid:61602) mà có một tương đương dây chuyền giữa chúng

X (cid:61602)

(cid:61499)

. thì được gọi là hai phức tương đương đồng luân với nhau và ta viết: X

Hiển nhiên rằng, quan hệ tương đương đồng luân giữa các phức là một quan hệ

tương đương. Nó thực hiện sự phân hoạch lớp các phức thành lớp các bộ phận, mỗi bộ

phận gồm những phức tương đương đồng luân.

1.1.3 Các hàm tử đồng điều

(cid:61622)

Định nghĩa 1.1.3.1

Cho phức , đồng điều

H X là họ các mô đun:

(cid:61563) X(cid:61501)

(cid:61565)

(cid:61480)

(cid:61481)

Ker

(cid:61622)

(cid:61501)

(cid:61481)

(cid:61480) H X n

(cid:61622)

X(cid:61483)

1 (cid:61483)

(1.2)

(cid:61480)

(cid:61481)

Mô đun thương

nH X được gọi là mô đun đồng điều thứ n của phức X.

Ker(cid:61622) được gọi là các chu trình n – chiều, còn các phần

(cid:61622)

Các phần tử của mô đun con

(cid:61480)

(cid:61481)

nH X là mô đun

nX(cid:61483)

1 (cid:61483)

tử của mô đun con được gọi là các bờ n – chiều. Khi đó

thương của mô đun các chu trình theo mô đun con các bờ. Lớp ghép của chu trình c

- 6 -

(cid:61481)

(cid:61480)

nH X được viết là clsc hay (cid:61563) (cid:61565)c .

trong

clsc

clsc(cid:61602)

(cid:61501)

Ta nói rằng các chu trình n – chiều c và c(cid:61602) thuộc cùng một lớp đồng điều

(cid:61480)

(cid:61481)

c(cid:61602)(cid:61498)

; điều này xảy ra khi và chỉ khi là đồng điều với nhau (cid:61480)

(cid:61602)(cid:61485) (cid:61646) (cid:61622) c

X (cid:61483)

(cid:61602)

(cid:61622)

(cid:61501)

:f X

X (cid:61602)(cid:61614) là một biến đổi dây

(cid:61563) X(cid:61501)

(cid:61565)

(cid:61563)

(cid:61565) (cid:61622) và

(cid:61602) ,n

(cid:61602) n

(cid:61614)

, Cho các phức

(cid:61481) H f H X :

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) H X (cid:61602) n

(cid:61602) X

(cid:61483) (cid:61622)

(cid:61501)

(cid:61483) (cid:61622)

, mà chuyền. Từ đó với mỗi số nguyên n, ánh xạ

clsc

(cid:61501)

(cid:61481)

(cid:61481)(cid:61480)

(cid:61480) (cid:61481) f c

(cid:61481)(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) H f n

(cid:61602) n

1 (cid:61483)

(cid:61480) nH f

(cid:61480) (cid:61480) (cid:61481) cls f c

(cid:61481)

hay , là một đồng cấu

(cid:61501)

được cảm sinh bởi biến đổi dây chuyền f. Dễ dàng kiểm tra để thấy rằng, các đồng cấu

(cid:61501)

(cid:61481)

(cid:61481) (cid:61480) H g H f .

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61481)1 (cid:61480)

(cid:61480) H gf n

1 H

và cảm sinh này thỏa các hệ thức: . Do vậy,

nH trở thành một hàm tử hiệp biến từ phạm trù các phức và các biến

với mỗi n (cid:61646) (cid:61602) ,

:f X

X (cid:61602)(cid:61614) với đồng cấu

(cid:61480)

(cid:61481)

nH X và tương ứng với mỗi biến đổi dây chuyền

(cid:61614)

đổi dây chuyền tới phạm trù các mô đun, tương ứng mỗi phức X với mô đun đồng điều

(cid:61481) H f H X :

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) H X (cid:61602) n

nH ta có:

Ta gọi chúng là các hàm tử đồng điều. Liên quan tới các hàm tử đồng điều

f g X , :

Định lí 1.1.3.2

X (cid:61602)(cid:61614) là các biến đổi đồng luân dây chuyền từ phức X tới phức X (cid:61602)

(cid:61501)

(cid:61614)

Nếu

(cid:61481)

(cid:61481) H g H X :

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) H f n

(cid:61480) H X (cid:61602) n

. thì với mỗi n (cid:61646) (cid:61602) ta có:

:f X

Hệ quả 1.1.3.3

(cid:61614)

Nếu

(cid:61481) H f H X :

(cid:61480)

X (cid:61602)(cid:61614) là một tương đương dây chuyền thì với mỗi n (cid:61646) (cid:61602) , đồng cấu (cid:61481)

(cid:61481)

(cid:61480) H X (cid:61602) n

là đẳng cấu.

1.1.4 Đối đồng điều

(cid:61622)

(cid:61563) X(cid:61501)

(cid:61565)

f X :

Hom X G mà các phần tử của nó là các đồng cấu mô đun

G(cid:61614) ; sẽ được gọi

(cid:61480)

(cid:61481)

Cho phức các mô đun và G là một mô đun. Ta xây dựng nhóm aben

- 7 -

là các đối dây chuyền n – chiều của phức X. Đối bờ của đồng cấu f đó là đối dây

(cid:61483)

n (cid:61540)

. (cid:61622)

(cid:61614)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61481) 1 (cid:61480) 1 (cid:61501) (cid:61485)

1 (cid:61483)

n(cid:61540) (cid:61540) (cid:61485) (cid:61501) nên dãy 0

chuyền (n + 1) – chiều:

1 (cid:61485)

....

...

(cid:61614)

n (cid:61540) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

n (cid:61540) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61614)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

1 (cid:61485)

1 (cid:61483)

Dễ thấy

Hom X G ; hơn nữa theo như thông lệ mỗi

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61501)

là phức hợp các nhóm aben, được gọi là

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61480) n Hom X G

(cid:61481)

một nhóm sẽ được viết theo chỉ số trên: . Nếu phức X là

Hom X G là dương theo chỉ số trên.

(cid:61481)

(cid:61480)

dương theo chỉ số dưới thì phức

Định nghĩa 1.1.4.1

Hom X G được gọi là đối đồng điều của phức X với hệ số

(cid:61480)

(cid:61481)

Đồng điều của phức

Ker

n (cid:61540)

trong G. Đó là họ các nhóm aben được đánh số theo chỉ số trên:

H Hom X G

(cid:61501)

(cid:61480) H X G

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61540)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

1 (cid:61485)

(1.3).

Ker(cid:61540) được gọi là đối chu trình n – chiều, còn các phần tử của

(cid:61540)

Các phần tử của

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61485)

h X :

G(cid:61614) sao cho

h(cid:61622) (cid:61501) . 0

được gọi là đối bờ n – chiều. Như vậy một đối chu trình n – chiều là

:f X

một đồng cấu

X (cid:61602)(cid:61614) cảm sinh biến đổi dây chuyền

Mọi biến đổi dây chuyền

(cid:61480) Hom f

(cid:61481) ,1 :

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481) (cid:61602) (cid:61614) ,

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61537) (cid:61537)

(cid:61480) n Hom f

(cid:61481) ,1 :

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481) (cid:61602) (cid:61614) ,

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61537) . n

mà với mỗi số nguyên n ta có:

(cid:61480) Hom f

(cid:61481),1

Để ý thêm rằng, biến đổi dây chuyền sẽ cảm sinh, với mỗi n (cid:61646) (cid:61602) ,

(cid:61480) * : n f H X G

(cid:61481) (cid:61602) (cid:61614) ,

(cid:61480) H X G

(cid:61481)

clsc

(cid:61501)

mà: đồng cấu

(cid:61540)

(cid:61483)

(cid:61501)

(cid:61483)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) cls cf

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61602) Hom X G (cid:61540)

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61602) n

1 (cid:61485)

(cid:61480)

(cid:61481)

hay (1.4).

:h G G(cid:61602)(cid:61614) cảm sinh biến đổi dây

Hơn nữa, với bất kì phức X thì mọi đồng cấu

- 8 -

(cid:61614)

(cid:61481) Hom h Hom X G :

(cid:61480) 1,

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G(cid:61602)

(cid:61481)

(cid:61602)

nHom

(cid:61614)

(cid:61480) 1,

(cid:61481) h Hom X G

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

h(cid:61537) (cid:61537) (cid:61537) .

chuyền mà với mỗi số nguyên n ta có:

(cid:61481)1, (cid:61480)

Hom h sẽ cảm sinh, với mỗi n (cid:61646) (cid:61602) , đồng cấu

(cid:61614)

Tương tự, biến đổi dây chuyền

(cid:61481)

(cid:61480) H X G(cid:61602)

(cid:61481)

(cid:61480) n h H X G * :

(cid:61602)

(cid:61501)

mà:

(cid:61540)

(cid:61483)

(cid:61501)

(cid:61483)

(cid:61481)

(cid:61480) cls hc

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61602) Hom X G (cid:61540)

(cid:61481)

(cid:61480) *h clsc

1 (cid:61485)

(cid:61480) h c *

(cid:61481)

Hom X G và ,

hay (1.5).

nH X G là các song hàm tử, hiệp biến theo G và phản

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

Vì vậy

biến theo X.

Mệnh đề 1.1.4.2

(cid:61480) 1 (cid:61483) (cid:61501) (cid:61485)

(cid:61481) 1 1 n s(cid:61483)

g(cid:61499) là đồng luân thì bằng cách đặt

* n

Nếu :s ta có đồng luân

g(cid:61499)

Mệnh đề 1.1.4.3

,X X (cid:61602) là hai phức tương đương đồng luân thì các phức nhóm aben

Nếu

(cid:61481) Hom X G Hom X G(cid:61602) ,

(cid:61480)

(cid:61481)

cũng tương đương đồng luân.

Mệnh đề 1.1.4.4

,X X (cid:61602) là hai phức tương đương đồng luân thì với mỗi n (cid:61646) (cid:61602) ta có đẳng cấu

(cid:61504)

Nếu

(cid:61480) H X G

(cid:61481)

(cid:61480) H X G(cid:61602)

(cid:61481)

. nhóm giữa các nhóm đối đồng điều:

- 9 -

§2. XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ

MÔ ĐUN

nExt (một trong hai trụ cột của hàm số

Có những cách khác nhau để xây dựng hàm tử

đồng điều), tuy nhiên ở đây ta chỉ trình bày phép dựng hàm tử này bằng phép giải xạ

ảnh. Vì vậy, chúng ta sẽ bắt đầu bằng các khái niệm và tính chất về phép giải xạ ảnh.

1.2.1 Phép giải xạ ảnh

Định nghĩa 1.2.1.1

Cho A là một mô đun tùy ý, ta gọi phép giải xạ ảnh của A là một dãy khớp các

(cid:61622)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) n

X (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (1.6) 0

1 (cid:61485)

n (cid:61619) thì (1.6)

mô đun xạ ảnh và các đồng cấu:

nX là mô đun tự do ( t.ư. mô đun xạ ảnh) với mọi

Nói riêng, nếu

được gọi là một phép giải tự do (t.ư. phép giải xạ ảnh) của mô đun A.

Từ “tính đủ nhiều của các mô đun tự do”, nghĩa là “mỗi mô đun X đẳng cấu với

mô đun thương của một mô đun tự do nào đó”, ta có định lí sau khẳng định sự tồn tại

của phép giải xạ ảnh.

Định lí 1.2.1.2

Mọi mô đun A đều có một phép giải tự do.

Theo định lí 2.1.3 ta đã chứng minh được sự tồn tại phép giải xạ ảnh của mô đun

A. Sau đây chúng ta sẽ chứng tỏ tính duy nhất của phép giải xạ ảnh, theo nghĩa hai

phép giải xạ ảnh bất kì của cùng một mô đun A đều tương đương đồng luân. Ta có

được điều này nhờ các mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.2.1.3

:h A

B(cid:61614) là đồng cấu của mô đun A vào mô đun B bất kì và

(cid:61622)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) n

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) 1

1 (cid:61485)

Cho

là một phép giải xạ ảnh bất kì của A,

- 10 -

(cid:61602)

(cid:61622)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614)

Y n

Y 0

Y 1

1 (cid:61485)

là một phép giải xạ ảnh bất kì của B.

(cid:61619) sao cho biểu đồ sau đây là giao hoán:

f X : n

n(cid:61614) Y n

(cid:61622)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) n

1 (cid:61485)

(cid:61615)

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) 1 (cid:61615)

0 (cid:61615)

(cid:61615)

n (cid:61615)

f 1

(cid:61602)

(cid:61622)

...

1 n (cid:61485) (cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614)

Y n

Y 0

Y 1

1 (cid:61485)

Y(cid:61614) .

Khi đó, tồn tại các đồng cấu

n (cid:61619) và h lập thành phép biến đổi dây chuyền X

Các đồng cấu

Mệnh đề 1.2.1.4

,X Y là các phép giải xạ ảnh của các mô đun A, B như trong mệnh đề 2.1.4

g h n ,

(cid:61501)

(cid:61619)

(cid:61501)

(cid:61619)

Cho

Y(cid:61614) . Khi

(cid:61563)

(cid:61565) 0

(cid:61563)

(cid:61565) 0

f h n n

và , là các phép biến đổi dây chuyền X

đó f đồng luân với g.

Từ hai mệnh đề trên ta thu được định lí sau:

Định lí 1.2.1.5

Hai phép giải xạ ảnh bất kì của cùng một mô đun A đều tương đương đồng luân.

1.2.2 Xây dựng hàm tử mở rộng

Định nghĩa 1.2.2.1

(cid:61622)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) n

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) 1

1 (cid:61485)

: ...

...

(cid:61614)

(cid:61540) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61614)

Cho A và B là các mô đun và

(cid:61480) Hom X B

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X B

1 (cid:61483)

Xét dãy: là phép giải xạ ảnh của A. (cid:61481)

nH Hom X B gọi là tích ,

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

Khi đó với mỗi số nguyên dương n, đối đồng điều

(cid:61480) (cid:61481) nExt A B .

mở rộng n – chiều của các mô đun A và B đã cho và được kí hiệu là

Ext A B và gọi nó là tích mở rộng của các mô đun A

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61501)

Với n = 1, ta dùng kí hiệu

(cid:61480) 0 Ext A B

(cid:61481)

(cid:61480) Hom A B

(cid:61481)

. và B. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa

- 11 -

Theo mệnh đề 1.1.4.4 và định lí 1.2.1.5 ta chứng minh được rằng các nhóm đối

nH Hom X B không phụ thuộc vào cách chọn phép giải xạ ảnh của mô

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

đồng điều

H Hom X B(cid:61602)

H Hom X B

(cid:61504)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

. đun A. Nghĩa là nếu X (cid:61602) cũng là phép giải xạ ảnh của A thì ta có: (cid:61481) (cid:61480) (cid:61481)

Do đó định nghĩa tích mở rộng như trên là hợp lí.

Định nghĩa 1.2.2.2

nExt A (cid:61485) là hàm tử từ phạm trù mô đun

(cid:61480)

(cid:61481)

Cho A là một mô đun cố định, hàm tử

đến phạm trù các nhóm aben được xây dựng bằng cách cho tương ứng:

(cid:61481) (cid:61480) nExt A B .

(cid:61602)

(cid:61614)

(cid:61623) Mỗi mô đun B với một nhóm

: B

(cid:61537)

(cid:61602)(cid:61614) với một đồng cấu

(cid:61480) n Ext A B

(cid:61481)

(cid:61480) n Ext A B

(cid:61481)

* : (cid:61537)

(cid:61537)

clsc Ext A B

(cid:61646)

mà (cid:61623) Mỗi đồng cấu

(cid:61481)

(cid:61480) c cls (cid:61537)(cid:61501)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) * clsc

. với mỗi

Mệnh đề 1.2.2.3

nExt A (cid:61485) là hàm tử hiệp biến, tức là nó thỏa hai tính chất:

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61501)

Hàm tử

(cid:61481)

(cid:61480) 1 B

1 n (cid:61480) Ext A B

(cid:61481)

(cid:61501)

(cid:61481)

(cid:61480) .(cid:61537) (cid:61537) 2 1

(cid:61480) (cid:61481) (cid:61480) (cid:61537) (cid:61537) 1 *

ii) .

B(cid:61485) ,

Định nghĩa 1.2.2.4

(cid:61480)

(cid:61481)

Cho B là mô đun cố định, hàm tử là hàm tử từ phạm trù mô đun đến

phạm trù các nhóm aben được xây dựng bằng cách cho tương ứng:

(cid:61481) (cid:61480) nExt A B .

* :

(cid:61602) ,

(cid:61543)

(cid:61614)

(cid:61623) Mỗi mô đun A với một nhóm

: A

(cid:61543) (cid:61602) (cid:61614) với một đồng cấu

(cid:61480) n Ext A B

(cid:61481)

(cid:61480) Ext A B

(cid:61481)

mà (cid:61623) Mỗi đồng cấu

- 12 -

clsc Ext A B

(cid:61543)

(cid:61501)

(cid:61646)

(cid:61480) * clsc

(cid:61481)

(cid:61480) cls c

(cid:61481) (cid:61543)

(cid:61480)

(cid:61481)

B(cid:61485) ,

. với mỗi

(cid:61481)

(cid:61501)

Hàm tử là hàm tử phản biến, tức là nó thỏa mãn hai tính chất: Mệnh đề 1.2.2.5 (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) 1 A

1 n (cid:61480) Ext A B

(cid:61481)

(cid:61501)

(cid:61481)

(cid:61480) .(cid:61543) (cid:61543) 2 1

* (cid:61480) (cid:61481) (cid:61480) (cid:61543) (cid:61543) 2

ii) .

§3. KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG

Trong số các không gian vectơ tôpô, một lớp không gian đặc biệt quan trọng là các

không gian lồi địa phương. Do đó trước khi trình bày khái niệm về không gian lồi địa

phương, chúng ta sẽ xem lại khái niệm và các tính chất về không gian vectơ tôpô và về

các tập hợp lồi, cân, hút.

1.3.1 Tập hợp lồi, tập hợp cân và tập hợp hút

Định nghĩa 1.3.1.1

(cid:61548) (cid:61549)(cid:61619) và

y A

(cid:61548) (cid:61549)(cid:61483)

Tập hợp con A của một không gian vectơ E được gọi là lồi nếu với mọi x, y

(cid:61646) với

(cid:61501) . Nó được gọi là cân nếu với mọi

x A(cid:61548) (cid:61646) khi

thuộc A ta có

1(cid:61548) (cid:61603) . Tập hợp A được gọi là tuyệt đối lồi nếu nó đồng

x thuộc A thì ta có

(cid:61548) (cid:61549)(cid:61483)

(cid:61603) (1.7).

y A

(cid:61646) khi

(cid:61548) (cid:61549)(cid:61483)

thời là lồi và cân, điều này tương đương với điều kiện: với mọi x, y thuộc A ta có

Mọi giao của những tập hợp lồi là lồi. Cho một tập hợp con tùy ý A của một

0 i(cid:61548) (cid:61619) ,

x(cid:61548)(cid:61669) , với

không gian vectơ E , tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn

A(cid:61646) , là một tập hợp lồi chứa A, và được gọi là bao lồi của A. Nó là giao

(cid:61548) (cid:61501)(cid:61669)

của tất cả các tập hợp con lồi của E chứa A, do đó nó là tập hợp con nhỏ nhất trong các

- 13 -

A(cid:61646) (1.8) , nó là tập hợp tuyệt đối lồi nhỏ nhất chứa A.

(cid:61548) (cid:61603)(cid:61669)

A(cid:61548)(cid:61483)

và mọi tập hợp con ấy. Bao tuyệt đối lồi của A là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn x(cid:61548)(cid:61669) với

Ta cũng suy ra từ định nghĩa: nếu A là lồi thì x là lồi với mọi x E(cid:61646) ; và nếu

A và B đều là tuyệt đối lồi thì A B(cid:61483) và A(cid:61548) , với mọi số (cid:61548), cũng là tuyệt đối lồi.

Tập hợp con A của một không gian vectơ E được gọi là hút nếu: với mọi x E(cid:61646)

0(cid:61548)(cid:61502) sao cho: x

A(cid:61549)(cid:61646)

thì có với mọi (cid:61549) thỏa (cid:61549) (cid:61548)(cid:61619) . Rõ ràng giao của một số hữu

hạn những tập hợp hút là tập hợp hút.

Các mệnh đề sau nêu lên vài tính chất thường được sử dụng của các tập lồi, cân và hút:

:f X

Y(cid:61614) .Ta có:

Mệnh đề 1.3.1.2

Cho ánh xạ tuyến tính

i) Ảnh của một tập lồi (cân) là một tập lồi (cân).

ii) Nếu f là toàn ánh thì ảnh của một tập hút là một tập hút.

iii) Ảnh ngược của một tập lồi (cân hoặc hút) là một tập lồi (cân hoặc hút).

Mệnh đề 1.3.1.3

Giả sử A là một tập tuyệt đối lồi và không rỗng. Thế thì:

i) 0 A(cid:61646) ;

A (cid:61548) (cid:61549)(cid:61644)

; ii) A nếu (cid:61548) (cid:61549)(cid:61603)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61548) i

(cid:61548) i

i(cid:61548) (cid:61646) (cid:61601) .

(cid:61669)

i n

1 (cid:61603) (cid:61603)

(cid:61670) (cid:61501) (cid:61671) (cid:61672)

(cid:61686) (cid:61687) (cid:61688)

iii) với mọi

- 14 -

Mệnh đề 1.3.1.4

(cid:61605)

Một tập hợp tuyệt đối lồi A là hút khi và chỉ khi nó gây nên E; điều đó tương

nA (cid:61501) (cid:61525) .

1n (cid:61501)

đương với

1.3.2 Không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 1.3.2.1

Một tôpô trên không gian vectơ E tương hợp với cấu trúc đại số nếu các phép

toán đại số trong E là liên tục trên tôpô đó, tức là nếu:

y(cid:61483) là một hàm liên tục của cặp biến x, y ( nghĩa là với mọi lân cận V của

y(cid:61483)

P1: x

yU của y sao cho

xU của x và một lân cận

V (cid:61644) ).

U U (cid:61483) x

điểm x đều có một lân cận

x(cid:61548) là một hàm liên tục theo

, x(cid:61548) ( nghĩa là với mọi lân cận V của

x(cid:61548) đều có

(cid:61602)

(cid:61474)

,(cid:61548) (cid:61548) (cid:61548) (cid:61541) (cid:61485)

P2:

0(cid:61541) (cid:61502) và một lân cận U của x sao cho

(cid:61500) thì với mọi x U(cid:61602) (cid:61646) ta có

x V(cid:61548)(cid:61602) (cid:61602) (cid:61646) hay U V

(cid:61548)(cid:61602) (cid:61644) ).

một số

Một không gian vectơ E trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi là

một không gian vectơ tôpô.

x a

(cid:61501) (cid:61483)

:f E

E(cid:61614) ;

Mệnh đề 1.3.2.2

(cid:61480) (cid:61481) f x

(cid:61537)

a(cid:61483)(cid:85)

Với mọi a E(cid:61646) , phép tịnh tiến là một phép đồng

phôi của E lên chính nó. Đặc biệt, nếu (cid:85) là một cơ sở lân cận của điểm gốc thì

là một cơ sở lân cận của a.

Thành thử toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởi một cơ sở lân cận của

- 15 -

điểm gốc. Như vậy, ta sẽ làm việc chủ yếu với các lân cận của điềm gốc, và nếu không

xảy ra sự hiểu lầm, thì ta sẽ gọi lân cận của điềm gốc vắn tắt là “lân cận”.

x(cid:61537)(cid:61501)

:f E

E(cid:61614) ;

Mệnh đề 1.3.2.3

(cid:61480) (cid:61481) f x

(cid:61537)

0(cid:61537)(cid:61625) , U(cid:61537)

là một phép Với mỗi số khác không (cid:61537)(cid:61646) (cid:61601) , ánh xạ

đồng phôi của E lên chính nó. Đặc biệt, nếu U là một lân cận thì với mọi

cũng là một lân cận.

Mệnh đề 1.3.2.4

Nếu U là một cơ sở lân cận của điểm gốc thì ta có với mỗi U (cid:61646)(cid:85) :

i) U là hút;

(cid:61483) (cid:61644) ;

ii) Tồn tại V (cid:61646)(cid:85) sao cho V V U

iii) Tồn tại một lân cận cân W U(cid:61644) .

Từ mệnh đề 1.3.2.4, ta suy ra rằng mọi không gian vectơ tôpô đều có một cơ sở

gồm những lân cận cân. Trong các không gian vectơ tôpô quan trọng nhất và thường

được sử dụng, thì còn có cả một cơ sở gồm những lân cận lồi của điểm gốc.

1.3.3 Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.3.3.1

Một không gian vectơ tôpô E được gọi là không gian lồi địa phương (và tôpô của

nó được gọi là tôpô lồi địa phương) nếu trong E có một cơ sở lân cận (của điểm gốc)

gồm toàn tập lồi.

Mệnh đề 1.3.3.2

Một không gian lồi địa phương E có một cơ sở U những lân cận của điểm gốc,

- 16 -

(cid:61644) (cid:61639) ;

với các tính chất sau:

0(cid:61537)(cid:61625) .

C1: Nếu U (cid:61646)(cid:85) , V (cid:61646)(cid:85) , thì tồn tại W (cid:61646)(cid:85) với W U V

C2: Nếu U (cid:61646)(cid:85) thì U(cid:61537) (cid:61646)(cid:85) với mọi

C3: Mỗi U (cid:61646)(cid:85) đều là tuyệt đối lồi và hút.

Ngược lại, nếu cho một tập hợp không rỗng U những tập hợp con của một không

gian vectơ E với các tính chất C1 – C3, thì tồn tại một tôpô làm cho E trở thành một

không gian lồi địa phương với U là một cơ sở lân cận của điểm gốc.

Hệ quả 1.3.3.3

Một không gian lồi địa phương có một cơ sở lân cận đóng với các tính chất C1 –

C3.

- 17 -

§4. PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA

PHƯƠNG

Tập hợp tất cả các không gian lồi địa phương và các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các

không gian này hình thành nên một phạm trù – phạm trù các không gian lồi địa phương.

Trong đó, lớp các vật là các không gian lồi địa phương, các cấu xạ là các ánh xạ tuyến

tính liên tục và luật hợp thành là phép lấy tích hai ánh xạ. Phạm trù các không gian lồi

địa phương được kí hiệu là (cid:76).

1.4.1 Phân loại cấu xạ

Về việc phân loại các cấu xạ trong phạm trù (cid:76), ta có mệnh đề sau:

:f A

Mệnh đề 1.4.1.1

B(cid:61614) . Khi đó ta có:

Cho cấu xạ

i) Cấu xạ f là đơn xạ khi và chỉ khi nó đơn ánh.

ii) Cấu xạ f là toàn xạ khi và chỉ khi nó toàn ánh.

,a a

A(cid:61646) sao cho

Chứng minh:

(cid:61501)

i) Giả sử f là đơn xạ và f không đơn ánh. Khi đó, có 1

a(cid:61625)

c (cid:61625) . Khi 0

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61480) f a

(cid:61481)2

a 1

A c :

C (cid:61537) (cid:61614)

C (cid:61538) (cid:61614)

và . Gọi C là không gian vectơ sinh bởi một phần tử

(cid:61537) . Trên C

a (cid:61537) và 1

đó ta xây dựng hai ánh xạ như sau:

được trang bị tôpô thô trở thành không gian lồi địa phương. Khi đó (cid:61537) và (cid:61538) là các ánh

f(cid:61537) (cid:61538)(cid:61501)

và vì xạ tuyến tính liên tục nên đều là xạ. Nhận thấy (cid:61537) (cid:61538)(cid:61625) . Mặt khác, ta có f

f là đơn xạ nên (cid:61537) (cid:61538)(cid:61501) (vô lý). Vậy f là đơn ánh.

- 18 -

Ngược lại, giả sử f là đơn ánh . Ta dễ kiểm tra được f là đơn xạ.

(cid:61480) f A(cid:61647)

(cid:61481)

, ii) Giả sử f toàn xạ nhưng không toàn ánh. Khi đó có b B(cid:61646) sao cho

b (cid:61625) . Và b là không gian vectơ con của B sinh bởi b. Gọi C là không

hiển nhiên

C x :

B (cid:61537) (cid:61614)

C b :

B (cid:61538) (cid:61614)

(cid:61647)

(cid:61537) và 0

(cid:61537) . 0

c (cid:61625) . Khi đó ta xây dựng hai ánh xạ như sau: 0 (cid:61537) và (cid:61480) c

(cid:61481)

gian vectơ sinh bởi một phần tử

Trang bị trên C tôpô thô thì (cid:61537) và (cid:61538) là các ánh xạ tuyến tính liên tục nên đều là

(cid:61537) (cid:61538)(cid:61501)

(vô cấu xạ. Nhận thấy (cid:61537) (cid:61538)(cid:61625) . Mặt khác ta có mà f toàn xạ nên suy ra (cid:61537) (cid:61538)(cid:61501)

lý). Vậy f là toàn ánh.

Ngược lại giả sử f là toàn ánh . Ta dễ kiểm tra được f là toàn xạ. (cid:61550)

Phạm trù (cid:76) phân biệt hai khái niệm song xạ và đẳng xạ. Song xạ là ánh xạ tuyến

tính liên tục vừa đơn ánh vừa toàn ánh; còn đẳng xạ là một đồng phôi. Ví dụ sau sẽ cho

ta thấy tồn tại một song xạ mà không là đẳng xạ.

Ví dụ 1.4.1.2

Trường số thực (cid:61601) là một không gian lồi địa phương với tôpô thô 1(cid:84) mà cũng là

2(cid:84) trên (cid:61601) . Ta có cấu xạ

(cid:61614)

một không gian lồi địa phương với tôpô thông thường

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61601)

(cid:44)(cid:84) 2

(cid:44)(cid:84) 1

1 (cid:61485)

(cid:61614)

. Dễ thấy i là song ánh, liên tục nên có duy nhất ánh xạ

1i (cid:61485) không liên tục nên i chỉ là song xạ mà

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61601)

(cid:44)(cid:84) 1

(cid:44)(cid:84) 2

ngược . Nhưng

không là đẳng xạ. Do đó phạm trù các không gian lồi địa phương không có tính aben.

Trước khi nói về các cấu xạ nhúng và cấu xạ thương, ta nhận thấy rằng không

gian con và không gian thương của một không gian lồi địa phương là không gian lồi

địa phương.

- 19 -

Mệnh đề 1.4.1.3

Cho B là một không gian lồi địa phương và A là không gian con của B. Khi đó ta có:

A(cid:84) .

i) A là không gian lồi địa phương với tôpô cảm sinh

(cid:84) . B A

ii) là không gian lồi địa phương với tôpô

B(cid:61614) ,

B (cid:61552) (cid:61614)

iii) Các ánh xạ tuyến tính :i A đều liên tục.

Chứng minh:

A là không gian con của B nên ta có B cũng là không gian thương của B. Vì B

là không gian lồi địa phương nên có một cơ sở lân cận (cid:85) thỏa C1 – C3 của mệnh đề

1.3.3.2.

A(cid:84) là không gian lồi địa phương.

(cid:61646)

(cid:85)

i) Dễ dàng chứng minh được A với tôpô cảm sinh

B (cid:61552) (cid:61614) . Đặt

(cid:85) . Do ánh xạ tuyến

(cid:61481) :G G

(cid:61563) (cid:61480) (cid:61552)(cid:61501)

(cid:61565)

ii) Xét ánh xạ tuyến tính

(cid:84) trên B

tính(cid:61552) là toàn ánh nên theo mệnh đề 1.3.1.3 thì (cid:85) cũng thỏa các điều kiện C1 – C3

của mệnh đề 1.3.3.2. Do đó cũng theo mệnh đề 1.3.3.2 thì có một tôpô

làm cho B trở thành không gian lồi địa phương và nhận (cid:85) làm một cơ sở lân cận

của điểm gốc.

B(cid:61614) liên tục. Thậy vậy, lấy bất kì

1 (cid:61485) i G G A

iii) Ta chỉ cần chứng minh ánh xạ tuyến tính :i A

(cid:61501) (cid:61639) (cid:61646)(cid:84) nên i liên tục. A

G (cid:61646)(cid:84) , ta có B

B (cid:61552) (cid:61614)

tập mở

Ta chỉ cần chứng minh ánh xạ tuyến tính liên tục tại gốc Thậy vậy,

- 20 -

lấy bất kì lân cận V trong B

A . Khi đó theo cách xây dựng tôpô thương ở trên thì tồn (cid:61481)G (cid:61480) (cid:61552) (cid:61644) . Vậy ánh xạ tuyến tính (cid:61552) liên tục tại điểm gốc

tại lân cận G (cid:61646)(cid:85) sao cho

nên liên tục. (cid:61550)

e r :

Định nghĩa 1.4.1.4

(cid:61614)(cid:61601)

(cid:61601) (cid:61537) , trên (cid:61601) trang bị tôpô (cid:84) (tôpô thô

Xét ánh xạ tuyến tính

(cid:61501)

(cid:61646)

(cid:84) , do f là song ánh

hoặc tôpô thông thường) thì nó trở thành một không gian lồi địa phương. Trên không

(cid:61481) (cid:61480) f G G

e(cid:61601) ta xây dựng một tôpô như sau:

(cid:84) X

(cid:61563)

(cid:61565)

gian vectơ

e(cid:61601) cùng với

X(cid:84) làm thành một không gian lồi địa phương; và ta cũng

nên dễ nhận ra

e(cid:61601) được xây

dễ chứng minh được f là một đồng phôi. Không gian lồi địa phương

dựng như vậy gọi là một bản sao của vành hệ tử.

1.4.2 Phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù cộng tính

Muốn chứng tỏ phạm trù các không gian lồi địa phương (cid:76) là phạm trù cộng tính ta phải

chỉ ra (cid:76) thỏa các điều sau:

i) Trong (cid:76) có vật không

ii) Trong (cid:76) tồn tại tổng trực tiếp hai vật bất kì

,A B thuộc (cid:76) thì tập

Hom A B trang bị cấu trúc nhóm cộng

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61614)

iii) Đối với mỗi cặp vật

(cid:61481) Hom A B Hom B C (cid:61620)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) Hom A C

(cid:61481)

(cid:61483)

aben, hơn nữa ánh xạ cho bởi luật hợp thành

(cid:61480)

(cid:61481) (cid:61501) (cid:61538) (cid:61537) (cid:61537) (cid:61538)(cid:61537) (cid:61538)(cid:61537) 2

(cid:61483)

(cid:61538) (cid:61538) (cid:61537) (cid:61538)(cid:61537) (cid:61538)(cid:61537) (cid:61501) .

(cid:61480)

(cid:61481)

và các cấu xạ là song tuyến tính, nghĩa là:

Đầu tiên, ta dễ thấy vật không là không gian lồi địa phương chỉ có một phần tử là

phần tử gốc 0, tôpô trên đó là tôpô thô. Mệnh đề sau khẳng định phạm trù (cid:76) có tổng

- 21 -

trực tiếp và tích trực tiếp của hai vật bất kì.

Mệnh đề 1.4.2.1

Phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù có tổng trực tiếp và tích trực

tiếp.

Chứng minh:

2A là hai không gian lồi địa phương tương ứng với các tôpô 1(cid:84) và

2(cid:84) .

,(cid:61552) (cid:61552) là

i là hai đồng cấu nhúng;

Cho 1A và

2A là hai không gian vectơ. Ta gọi 1

2,i

A hai đồng cấu chiếu xác định không gian vectơ tổng 1

A(cid:61637) . Gọi 2

1(cid:61538) ,

2(cid:61538) lần lượt là hai

Khi đó 1A và

(cid:61538)

(cid:61501)

(cid:61620)

(cid:61646)

cơ sở lân cận thỏa các điều kiện C1 – C3 của mệnh đề 1.3.3.2.

(cid:61563) U V U

(cid:61565)

(cid:61538) 1

(cid:61538) 2

Đặt . Nhận thấy rằng mọi tập hợp U V(cid:61620) thuộc Với

(cid:61481) (cid:61480) ,

(cid:61481)

x y , 1 1

x y , 2

(cid:61548) (cid:61549)(cid:61483)

(cid:61603) thì :

mỗi (cid:61538) đều là tập hợp lồi, cân và hút. Thật vậy, lấy bất kì hai phần tử (cid:61480)

,(cid:61548) (cid:61549) thỏa

U V

(cid:61483)

(cid:61501)

(cid:61483)

(cid:61646) (cid:61620)

(cid:61480) (cid:61548)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61549)

(cid:61481)

x y , 1 1

x y , 2

(cid:61480) y x , (cid:61548) (cid:61549) (cid:61548) (cid:61549) 2

y 1

x 1

,x y

(cid:61646) (cid:61637) . Vì U, V là tập hút

thuộc U V(cid:61620) , với các số

(cid:61481)

A 2

A 1

Vậy U V(cid:61620) là tập tuyệt đối lồi. Ta lấy bất kì phần tử (cid:61480)

U(cid:61537)(cid:61646)

V(cid:61543)(cid:61646)

(cid:61548) (cid:61548) (cid:61502) sao cho với mọi

,(cid:61537)(cid:61543) thỏa

1(cid:61537) (cid:61548)(cid:61619)

(cid:61543) (cid:61548)(cid:61619) 2

max

,x y

(cid:61548)

(cid:61501)

(cid:61620)

và . thì x , y nên tồn tại

(cid:61565)

(cid:61481)

(cid:61480) U V(cid:61549)(cid:61646)

(cid:61481)

(cid:61563) , (cid:61548) (cid:61548) 1 2

U V(cid:61620) là tập hút.

Đặt . Do đó , khi đó với mọi (cid:61549) thỏa (cid:61549) (cid:61548)(cid:61619) ta có (cid:61480)

Ta dễ dàng kiểm tra (cid:61538) thỏa các điều kiện C1 – C3 của mệnh đề 1.3.3.2. Nên

A(cid:61637) trở thành một

A t(cid:84) làm cho 1

cũng theo mệnh đề 1.3.3.2 tồn tại một tôpô tổng

không gian lồi địa phương với (cid:61538) là một cơ sở lân cận của điểm gốc.

- 22 -

(cid:61552) (cid:61637) (cid:61614) . Lấy U là lân cận bất kì trong không gian

: A 1

A 2

A 1

1A , do 1(cid:61538) là cơ sở lân cận trong không gian 1A nên có lân cận

U (cid:61538)(cid:61646) sao cho 1

U U

(cid:61501)

0 U

U (cid:61646) (cid:61644) . Ta có

(cid:61644) . Điều này

(cid:61481)

(cid:61480) U A (cid:61552) (cid:61620) 1 2

U A(cid:61620) 1 2

A là lân cận trong 1

A(cid:61637) và 2

Xét đồng cấu chiếu 1

2(cid:61552)

cho thấy 1(cid:61552) liên tục tại điểm gốc 0 nên liên tục. Tương tự ta cũng chứng minh được

1(cid:61552) ,

2(cid:61552) là các cấu xạ trong phạm trù (cid:76).

liên tục. Suy ra

:i A 1

A (cid:61614) (cid:61637) . Lấy W là lân cận bất kì trong 1

A 2

A 1

A(cid:61637) . 2

A(cid:61637) nên có lân cận

A Theo chứng minh trên ta có(cid:61538) là cơ sở lân cận trong 1

(cid:61646)

(cid:61646) (cid:61620) (cid:61644) , với

U V (cid:61538)(cid:61620) (cid:61646) sao cho (cid:61480)

(cid:61481)0;0 U V W

V(cid:61538) , 1

(cid:61646) . Vậy U là lân cận trong 1A .

(cid:61538) 2

U V W

(cid:61501)

(cid:61620)

Xét đồng cấu nhúng 1

(cid:61563) (cid:61565) 0

(cid:61481) i U U 1

(cid:61644) (cid:61620) (cid:61644) . Dẫn đến 1i liên tục tại điểm gốc 0 nên liên tục.

Ta có (cid:61480)

2i là các cấu xạ trong phạm

Tương tự ta cũng chứng minh được 2i liên tục. Suy ra 1i ,

X(cid:61614) và

X(cid:61614) . Khi đó ta chứng minh có cấu xạ

trù (cid:76).

:f A 1

f A : 2 2

(cid:61543) (cid:61637) (cid:61614) làm cho biểu đồ (1.9) sau giao hoán:

: A 1

A 2

i 1

i 2

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61637) (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630)

A 1

A 2

A 1

(cid:61543)

A 2 (cid:61531) (1.9)

f 1

(cid:61615)(cid:61533) X

;

(cid:61543)

(cid:61483)

Giả sử có hai cấu xạ 1

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) x

(cid:61537)

A 1

A (cid:61637) (cid:61614) 2

(cid:61480) X x x 2

(cid:61480) (cid:61481) f x 1

. Xây dựng ánh xạ:

2f là ánh xạ tuyến tính nên (cid:61543) cũng là ánh xạ tuyến

Ta thấy (cid:61543) là ánh xạ mà 1f ,

f tính. Theo cách xây dựng (cid:61543)ta có 1

i(cid:61543)(cid:61501) 1

i(cid:61543)(cid:61501) 2

và .

(cid:61501) . Lấy W là một lân cận bất kì trong X. Khi đó theo mệnh đề

(cid:61480) (cid:61543)

(cid:61481)0;0

Ta có

(cid:61483)

0W là lân cận của điểm gốc sao cho

W W W 0

(cid:61644) . Mà 1f ,

2f liên tục nên

1.3.2.4, có

- 23 -

(cid:61481)

(cid:61480) 1 f W(cid:61485) 1 0

(cid:61480) 1 f W(cid:61485) 2 0

(cid:61480) 1 (cid:61485)(cid:61620) f W 2 0

2A . Suy ra

W (cid:61644) .

và là lân cận là lân cận trong 1A và

(cid:61481)0;0 . Để chứng minh (cid:61543) liên tục ta phải chứng minh

(cid:61481)

(cid:61480) 1 (cid:61485)(cid:61620) f W 2 0

(cid:61481)

(cid:61480) 1 (cid:61485) f W 1 0 (cid:61480) (cid:61480) 1 (cid:61543) (cid:61485) f W 1 0

,x y

(cid:61646)

(cid:61620)

của (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) f x 1

(cid:61480) (cid:61481) x W(cid:61646) , ta 0

(cid:61480) 1 (cid:61485) f W 1 0

(cid:61480) 1 (cid:61485) f W 2 0

;x y

(cid:61501)

(cid:61483)

; suy ra Thật vậy, lấy bất kì phần tử (cid:61480)

(cid:61644) .

(cid:61480) (cid:61543)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) x W W W

(cid:61480) (cid:61481) f x 1

(cid:61646) (cid:61483) 0

(cid:61644)

có:

(cid:61481)

(cid:61480) 1 (cid:61485)(cid:61620) f W 2 0

(cid:61480) (cid:61480) 1 (cid:61543) (cid:61485) f W 1 0

(cid:61481)

A(cid:61637) là tổng trực tiếp của

A cấu xạ. Từ đó ta chứng tỏ được không gian lồi địa phương 1

Vậy dẫn đến (cid:61543)liên tục tại điểm gốc nên liên tục nên nó là

1A và

2A .

A Chứng minh 1

A(cid:61637) là tích trực tiếp của 1A và

2A :

:f X

A(cid:61614) . Khi đó ta chứng minh có cấu xạ

hai không gian

A(cid:61614) và 1

f X : 2

: X

(cid:61543) (cid:61614) (cid:61637) làm cho biểu đồ (1.10) sau giao hoán:

A 2

A 1

(cid:61552) 2

(cid:61552) 1

(cid:61612)(cid:61630)(cid:61630) (cid:61637) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

A 1

A 2

(cid:61543)

Giả sử có hai cấu xạ 1

(cid:61530)

f 1

A 1 (cid:61613)(cid:61534) X

(1.10)

;

(cid:61543) (cid:61614) (cid:61637)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61537)

A 1

A x : 2

(cid:61480) f x 1

(cid:61480)

(cid:61481)

. Xây dựng ánh xạ

2f là ánh xạ tuyến tính nên (cid:61543) cũng là ánh xạ tuyến tính.

Ta có (cid:61543) là ánh xạ mà 1f ,

f (cid:61552)(cid:61543)(cid:61501) 1

f (cid:61552)(cid:61543)(cid:61501) 2

A Lấy W là một lân cận bất kì trong 1

A A(cid:61637) . Do (cid:61538) là cơ sở lân cận trong 1

A(cid:61637) 2

(cid:61646)

(cid:61646) (cid:61620) (cid:61644) , với

và . Theo cách xây dựng (cid:61543)thì

(cid:61481)0;0 U V W

V(cid:61538) , 1

(cid:61646) . Mà 1f ,

(cid:61538) 2

2f liên tục

1 (cid:61485)

nên ta có U V (cid:61538)(cid:61620) (cid:61646) sao cho (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) V

(cid:61481)

(cid:61480) V

(cid:61481)

(cid:61480) f U f 1

(cid:61480) 1 (cid:61485) f U 1

1 (cid:61485)(cid:61639) f 2

nên lần lượt là các lân cận trong X , như thế cũng

(cid:61480) U

(cid:61481)

1 1 (cid:61485) (cid:61543) (cid:61552)(cid:61485) 1

(cid:61480) 1 (cid:61485)(cid:61501) f U 1

f (cid:61552)(cid:61543)(cid:61501) 1

f (cid:61552)(cid:61543)(cid:61501) 2

và nên ta suy ra và là lân cận trong X. Vì

- 24 -

1 (cid:61485)

(cid:61480) V

(cid:61481)

(cid:61480) V

(cid:61481)

1 (cid:61543) (cid:61552)(cid:61485) 2

1 (cid:61485)(cid:61501) f 2

1 (cid:61485)

(cid:61485)

(cid:61639)

(cid:61501)

(cid:61639)

(cid:61501)

(cid:61639)

(cid:61481)

(cid:61480) V

(cid:61481)

(cid:61480) U

(cid:61481)

(cid:61480) U

(cid:61481)

(cid:61480) V

(cid:61481)

(cid:61480) 1 (cid:61485) f U 1

1 (cid:61485) (cid:61485) (cid:61543) (cid:61552) 1

1 (cid:61485) (cid:61543) (cid:61552) 2

(cid:61552) 2

(cid:61480) 1 (cid:61485) (cid:61485) (cid:61543) (cid:61552) 1

(cid:61481)

(cid:61501)

1 (cid:61485) (cid:61543)

(cid:61644)

1 (cid:61485) (cid:61543)

(cid:61481) (cid:61481)

(cid:61480) V (cid:61481)

(cid:61480) U V (cid:61620)

(cid:61480) W

. Mặt khác ta có:

(cid:61480) 1 W(cid:61543)(cid:61485)

(cid:61481)

A(cid:61637) cũng là

A nên cũng là cấu xạ. Từ đó ta chứng tỏ được không gian lồi địa phương 1

Suy ra là một lân cận trong X nên (cid:61543) liên tục tại điểm gốc, dẫn đến (cid:61543) liên tục

2A . (cid:61550)

tích trực tiếp của hai không gian 1A và

Mệnh đề 1.4.2.2

,A B thuộc (cid:76) thì tập

Hom A B trang bị cấu trúc nhóm

(cid:61480)

(cid:61481)

Đối với mỗi cặp vật

cộng aben.

Chứng minh mệnh đề này ta cần các bổ đề sau:

(cid:61537) (cid:61614) và

Bổ đề 1.4.2.3

(cid:61537) (cid:61614) . Khi đó ta có ánh xạ tuyến tính

: A 1

B 1

: A 2

B 2

(cid:61537) (cid:61537)(cid:61637) 2

: A 1

B (cid:61637) (cid:61614) (cid:61637) là cấu xạ. 2

A 2

B 1

Cho hai cấu xạ

Chứng minh:

Tính đúng đắn của bổ đề này có được nhờ tôpô tổng mà ta định nghĩa ở mệnh đề

1.4.2.1. (cid:61550)

Bổ đề 1.4.2.4

A A a

a a ;

(cid:61508) (cid:61614) (cid:61637)

Trong phạm trù các không gian lồi địa phương, ta có:

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61537)

i) Ánh xạ tuyến tính là cấu xạ và được gọi là cấu xạ

chéo.

- 25 -

;

A A (cid:61649) (cid:61637) (cid:61614)

(cid:61480) A a a

(cid:61481)

a (cid:61483)(cid:61537) 1

ii) Ánh xạ tuyến tính là cấu xạ và được gọi là

cấu xạ tổng.

A A a

a a ;

(cid:61508) (cid:61614) (cid:61637)

Chứng minh:

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61537)

A(cid:61538) là cơ sở

i) Dễ dàng kiểm tra là ánh xạ tuyến tính.Gọi

A A(cid:61637) . Do (cid:61538) là cơ sở lân cận trong A A(cid:61637) nên ta có U V (cid:61538)(cid:61620) (cid:61646) sao cho

(cid:61646) (cid:61620) (cid:61644) , với

U V (cid:61538)(cid:61646) . Như vậy U V(cid:61639) cũng là một lân cận trong A và ta

(cid:61480)

(cid:61481)0;0 U V W

U V W

lân cận của A và (cid:61538) là cơ sở lân cận của A A(cid:61637) . Lấy W là một lân cận bất kì trong

(cid:61639) (cid:61620) (cid:61639) (cid:61644) (cid:61620) (cid:61644) . Vậy (cid:61508) liên tục nên nó là cấu xạ.

(cid:61480) U V (cid:61508) (cid:61639) (cid:61644)

(cid:61481)

(cid:61480) U V

(cid:61481)

(cid:61480) U V

(cid:61481)

(cid:61649)

có

(cid:61501) . Lấy W là lân cận của 0

(cid:61480)

(cid:61481)0;0

ii) Dễ nhận thấy (cid:61649) là ánh xạ tuyến tính. Ta có

1W là

trong A. Vì A là không gian lồi địa phương nên theo mệnh đề 1.3.2.4 thì tồn tại

(cid:61483) (cid:61644) . Khi đó

(cid:61481)0;0 trong A A(cid:61637)

W W W 1

W W(cid:61620) 1 1

(cid:61649)

lân cận của 0 sao cho là lân cận của (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61644) (cid:61483) (cid:61644) . Vậy (cid:61649) liên tục tại (cid:61480)

(cid:61481)0;0 nên liên tục. (cid:61550)

(cid:61480) W W (cid:61620) 1 1

W W W 1

và

Bổ đề 1.4.2.5

,f g đều đi từ không gian lồi địa phương A đến không gian lồi

Cho hai cấu xạ

g(cid:61483) có sự phân tích như sau:

(cid:61649)

(cid:61508)

(cid:61637)

g A :

B B

A A

(cid:61483)

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61637) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61637) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (1.11)

địa phương B thì cấu xạ f

Chứng minh:

g(cid:61483) có sự phân tích như trong (1.11). Vì tích các cấu

g(cid:61483)

Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ f

xạ là một cấu xạ nên ta có f là một cấu xạ. Điều này có nghĩa là tổng hai cấu xạ là

một cấu xạ. (cid:61550)

Ta quay lại chứng minh mệnh đề 1.4.2.2:

- 26 -

Hom A B ta có đồng cấu 0 là phần tử trung lập, phần tử đối của f là (cid:61480)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61481)1B (cid:61485)

f g Hom A B

(cid:61646)

Xét

(cid:61481)f(cid:61485)

(cid:61480)

(cid:61481)

g Hom A B

(cid:61483) (cid:61646)

. Lấy bất kì hai cấu xạ thì do bổ đề 1.4.2.5 nên hay đơn giản là (cid:61480)

Hom A B là một nhóm aben. (cid:61550)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61614)

ta cũng có . Vậy

(cid:61481) Hom A B Hom B C (cid:61620)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) Hom A C

(cid:61481)

(cid:61483)

Ta dễ kiểm chứng được ánh xạ cho bởi

(cid:61480)

(cid:61481) (cid:61501) (cid:61538) (cid:61537) (cid:61537) (cid:61538)(cid:61537) (cid:61538)(cid:61537) 2

(cid:61501) (cid:61538) (cid:61538) (cid:61537) (cid:61538)(cid:61537) (cid:61538)(cid:61537)

(cid:61483)

và luật hợp thành các cấu xạ là song tuyến tính, nghĩa là:

(cid:61480)

(cid:61481)

.(cid:61550)

Như vậy phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù cộng tính.

1.4.3 Phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù tiền aben

Muốn chứng tỏ phạm trù các không gian lồi địa phương (cid:76) là phạm trù tiền aben ta phải

chỉ ra mỗi cấu xạ trong (cid:76) đều có hạt nhân và đối hạt nhân. Điều này được khẳng định

bởi mệnh đề 1.4.3.1 và 1.4.3.2 được trình bày sau đây:

Mệnh đề 1.4.3.1

Phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù có hạt nhân.

K f (cid:61485)(cid:61501)

:f A

B(cid:61614) . Do

Chứng minh:

(cid:61480) (cid:61481) 1 0

c(cid:84) và có

Lấy bất kì cấu xạ là không gian con của A nên theo

mệnh đề 1.4.1.3, K trở thành không gian lồi địa phương với tôpô cảm sinh

A(cid:61614) . Dễ nhận thấy

fi (cid:61501) và i là đơn xạ. Ta sẽ chứng minh i là

:u X

A(cid:61614) sao cho

fu (cid:61501) . 0

cấu xạ nhúng :i K

K x :

X (cid:61543) (cid:61614)

hạt nhân của f. Thật vậy, giả sử có cấu xạ

(cid:61480) (cid:61481) u x

(cid:61537)

(cid:61485)(cid:61646) f

(cid:61501)

fu x (cid:61501) , suy ra

Xây dựng ánh xạ:

(cid:61480) (cid:61481) 0

(cid:61480) (cid:61481) u x

(cid:61480) (cid:61481) 1 0

Với mọi x X(cid:61646) , ta có nên cách xây dựng

- 27 -

(cid:61543)trên là hợp lí. Mà u là ánh xạ tuyến tính nên (cid:61543)cũng là ánh xạ tuyến tính. Dễ kiểm tra

u(cid:61543) (cid:61501) . Ta lấy một lân cận bất kì V trong K, do tôpô trên K là tôpô cảm sinh nên tồn i

(cid:61501) (cid:61639) . Vì ánh xạ u liên tục nên

(cid:61481)

(cid:61480) 1 u V(cid:61485) 1

V V 1

u(cid:61543) (cid:61501) nên: i

là một tại một lân cận 1V trong A sao cho

(cid:61501)

(cid:61543)

(cid:61501)

1 (cid:61485) (cid:61543)

(cid:61639)

(cid:61501)

1 (cid:61485) (cid:61543)

(cid:61481)

(cid:61480) V

(cid:61481)

(cid:61480) 1 (cid:61485) u V 1

(cid:61480) 1 1 (cid:61485) (cid:61485) i V 1

(cid:61480) V 1

lân cận trong X. Mặt khác vì

(cid:61480) 1 V(cid:61543)(cid:61485)

(cid:61481)

Kerf

i K :

(cid:61501)

A (cid:61614) (cid:61550)

Suy ra là một lân cận trong X dẫn đến (cid:61543)liên tục; tức là (cid:61543) là một cấu xạ.

Vậy ta có hạt nhân của f là i, hay

Mệnh đề 1.4.3.2

(cid:61501)

. Nếu g đơn xạ thì Kerf Kergf

Mệnh đề 1.4.3.3

Phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù có đối hạt nhân.

Chứng minh:

:f A

B(cid:61614) . Do

(cid:61480) f A là không gian con và

(cid:61481)

(cid:61480) f A

(cid:61481)

là không Lấy bất kì cấu xạ

(cid:61480) f A

(cid:61481)

B (cid:61552) (cid:61614)

(cid:84)

gian thương của B, vì thế theo mệnh đề 1.4.1.3 thì là không gian lồi địa

(cid:61480) f A

(cid:61481)

(cid:61480) f A

(cid:61481)

f(cid:61552) (cid:61501) . Ta sẽ chứng minh (cid:61552) là đối hạt nhân của f. Thật vậy, giả sử có cấu xạ

:u B

X(cid:61614) sao cho

uf (cid:61501) . 0

X b :

(cid:61543)

(cid:61614)

phương với tôpô và có cấu xạ thương , dễ nhận ra rằng

(cid:61480) (cid:61481) u b

(cid:61537)

(cid:61480) f A

(cid:61481)

Ta xây dựng ánh xạ:

- 28 -

(cid:61501)

(cid:61480) f A

(cid:61481)

(cid:61480) f a

(cid:61481)

b 1

b (cid:61485) (cid:61646) 2

b 1

b (cid:61485) ; 2

b Nếu có 1

b(cid:61501) 2

(cid:61485)

(cid:61501)

thì , do đó tồn tại phần tử a A(cid:61646) sao cho

(cid:61481)

(cid:61480) uf a

(cid:61481)

(cid:61480) u b 2

(cid:61501) kéo theo (cid:61480) u b 1

(cid:61480) u b 2

. Vậy cách xây dựng(cid:61543) như trên vậy (cid:61480) u b 1

là hợp lí. Mà u là ánh xạ tuyến tính nên (cid:61543) là ánh xạ tuyến tính. Theo cách xây dựng (cid:61543)

. thì ta được u (cid:61543)(cid:61552)(cid:61501)

(cid:61480) 1u V(cid:61485)

(cid:61481)

Lấy một lân cận bất kì V trong X do u liên tục nên là lân cận trong B;

(cid:61480) 1u V

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61552) (cid:61485)

(cid:61481)

(cid:61480) f A

(cid:61481)

(cid:61501)

1 1 (cid:61485) (cid:61485) (cid:61552)(cid:61552) (cid:61543)

(cid:61501)

(cid:61485) (cid:61543)

theo cách xây dựng tôpô thương ta có là lân cận trong . Hơn nữa:

(cid:61480) 1 (cid:61485) u V

(cid:61481)

(cid:61480) V

(cid:61481)

(cid:61480) V

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61552)

(cid:61481)

(do (cid:61552)toàn xạ).

(cid:61480) 1 V(cid:61543)(cid:61485)

(cid:61481)

(cid:61480) f A

(cid:61481)

Vậy là lân cận trong nên (cid:61543)liên tục tại điểm gốc; do đó cũng liên

tục; tức là (cid:61543) là một cấu xạ. Và ta có đối hạt nhân của cấu xạ f là (cid:61552), hay

ker

(cid:61552)(cid:61501)

(cid:61614)

(cid:61480) f A

(cid:61481)

. (cid:61550)

Từ đó ta có phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù tiền aben. Do đó

nó mang các tính chất của một phạm trù tiền aben sau:

: A

Mệnh đề 1.4.3.4

(cid:61537) (cid:61614) . Khi đó ta có:

ker

Ker

Im , (cid:61537)(cid:61501)

(cid:61501)

Cho cấu xạ

(cid:61480) Ker Co

(cid:61481) (cid:61537)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481) (cid:61537)

i) và .

(cid:61480)

Ker

(cid:61481) , (cid:61552) (cid:61537)

Ker

ker

Ker

(cid:61659)

(cid:61537)

0 (cid:61501) (cid:61659)

(cid:61501)

(cid:61480)

(cid:61481) (cid:61537)

(cid:61480)

(cid:61481)

A ,1A

ker

(cid:61537)

0 (cid:61501) (cid:61659)

(cid:61501)

. ii) (cid:61537)đơn xạ

(cid:61480) Ker Co

(cid:61481) (cid:61537)

(cid:61480)

(cid:61481)

,1B

. iii) (cid:61537)toàn xạ

- 29 -

: A (cid:61537) (cid:61614)

Hệ quả 1.4.3.5

Mọi cấu xạ đều được phân tích như

(cid:61537)

(cid:61552) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61537) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) trong đó i là đơn xạ, (cid:61552) là toàn xạ và (cid:61537)

(cid:61480) (cid:61537)

(cid:61481)

1 (cid:61537)(cid:61485)

(cid:61480) (cid:61481) 0

là song xạ.

(cid:61480) (cid:61537) (cid:61537)

(cid:61481)

A (cid:61537)(cid:61485) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61480) (cid:61481) 1 0

có Trong phạm trù các không gian lồi địa phương, song xạ

thể không là đẳng xạ.

Trước khi kết thúc phần này ta sẽ chứng minh phạm trù các không gian lồi địa

phương là phạm trù có ảnh. Để từ đó ta đưa ra khái niệm dãy khớp cùng một số tính

chất liên quan phục vụ cho việc xây dựng hàm tử mở rộng sau này.

Mệnh đề 1.4.3.6

Phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù có ảnh.

f A :

Chứng minh:

(cid:61614)

:f A

B(cid:61614) . Xây dựng hai ánh xạ:

(cid:61481) (cid:61480) f A a

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61537)

B y :

(cid:61614)

i f(cid:61501) .

và Lấy bất kì cấu xạ

(cid:61480) f A

(cid:61481)

(cid:61537) . Dễ kiểm tra f , i là các ánh xạ tuyến tính và

, đồng

thời f là toàn ánh, i là đơn ánh.

(cid:61480) f A để các ánh xạ f , i liên tục. Gọi (cid:61538) là cơ

(cid:61481)

f là toàn ánh nên

Sau đây ta sẽ xây dựng tôpô trên

(cid:61501)

sở lân cận của A thỏa các điều kiện của mệnh đề 1.3.3.2. Khi đó vì

(cid:61646) thỏa các điều kiện C1 – C3 của

(cid:61480)

(cid:61481) (cid:61538)

(cid:61481) (cid:61480) f U U

(cid:61563)

(cid:61565) (cid:61538)

theo mệnh đề 1.3.1.2 ta có

(cid:61481) (cid:61480) f A . Ta

f A(cid:84) trên (cid:61481)

(cid:61480)

mệnh đề 1.3.3.2 nên là cơ sở lân cận của một tôpô lồi địa phương

(cid:61480) (cid:61481) f A .

cũng dễ thấy ảnh của một lân cận bất kì qua f đều là lân cận trong

- 30 -

(cid:61481) (cid:61480) f A . Vì

(cid:61480) f A

(cid:61481)

(cid:61480) f (cid:61538) là cơ sở lân cận trong

(cid:61481)

Cho G là một lân cận bất kì trong

G(cid:61644) nên ta được f liên tục.

(cid:61480) f U

(cid:61481)

nên tồn tại một lân cận U (cid:61538)(cid:61646) sao cho

(cid:61480) 1 V(cid:61485)

(cid:61481)

1 (cid:61485)

(cid:61501)

i f(cid:61501) .

Hơn nữa, lấy bất kì lân cận V trong B, nhờ ánh xạ f liên tục nên là một

(cid:61480) V

(cid:61481)

1 (cid:61485) (cid:61480) 1 (cid:61485) i V

(cid:61481)

lân cận trong A. Theo trên ta có dẫn đến . Vì ảnh của một

(cid:61480) f A ; mà f toàn ánh nên ta có

(cid:61481)

(cid:61501)

lân cận bất kì qua f đều là lân cận trong

(cid:61480) f A . Vậy ánh xạ i liên tục. Ta đã chứng

(cid:61481)

(cid:61480) 1 (cid:61485) i V

(cid:61481)

1 (cid:61485) (cid:61480) 1 (cid:61485) i V

(cid:61481)

là một lân cận trong

f A :

minh được f , i lần lượt là toàn xạ và đơn xạ.

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) , trong đó u là đơn xạ.

X y :

(cid:61543)

(cid:61614)

y(cid:61501) , x A(cid:61646) .

Nếu f có sự phân tích như sau:

(cid:61480) f A

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) v x

(cid:61480) (cid:61481) f x

(cid:61537)

(cid:61501)

Xây dựng ánh xạ: với

(cid:61480) f A , tồn tại x A(cid:61646) sao cho

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) f x

(cid:61480) (cid:61481) uv x

(cid:61501)

A(cid:61646) sao cho

Với mỗi y thuộc . Nếu có

(cid:61481)

(cid:61480) uv x 1

(cid:61480) uv x 2

,x x 1 2

(cid:61501)

thì do tính đơn ánh của u ta được

(cid:61481)

(cid:61480) v x 1

(cid:61480) v x 2

. Điều này có nghĩa là cách xây dựng (cid:61543)như trên là hợp lí. Ta cũng dễ

i f

(cid:61501)

u f(cid:61543)

u(cid:61543)(cid:61501)

kiểm tra được rằng ánh xạ (cid:61543) là ánh xạ tuyến tính nhờ tính tuyến tính của u; đồng thời

kiểm tra được i . Từ đó ta suy ra uv ; do tính đơn ánh của u ta

f(cid:61543)(cid:61501)

. chứng minh được v

1 (cid:61485) 1 (cid:61485) (cid:61543)

Ta chứng minh (cid:61543) là ánh xạ liên tục. Thật vậy, với bất kì lân cận U của X, vì ánh xạ v

f(cid:61543)(cid:61501)

(cid:61480) 1v U(cid:61485)

(cid:61481)

(cid:61480) U

(cid:61481)

(cid:61480) 1 (cid:61485)(cid:61501) v U

(cid:61481)

nên ; liên tục nên là một lân cận trong A. Mà v

1 (cid:61485) (cid:61480) 1 (cid:61485) U(cid:61543)

(cid:61481)

1 (cid:61485) (cid:61543)

(cid:61501)

1 (cid:61485) 1 (cid:61485) (cid:61543)

nghĩa là là một lân cận trong A. Vì ảnh của một lân cận bất kì qua f đều là

(cid:61480) f A ; mà f toàn ánh nên ta có

(cid:61481)

(cid:61480) U

(cid:61481)

(cid:61480) U

(cid:61481)

lân cận trong là một lân cận

(cid:61480) f A . Tức là (cid:61543) là ánh xạ liên tục và vì thế nó cũng là cấu xạ. Vậy ảnh của f là

(cid:61481)

trong

- 31 -

(cid:61501)

(cid:61614) .Theo đó phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù có

(cid:61480) f A

(cid:61481)

ảnh. (cid:61550)

Và ta nhắc lại mệnh đề liên quan đến ảnh của một cấu xạ như sau:

:f A

f(cid:61501) .

Mệnh đề 1.4.3.7

B(cid:61614) . Khi đó nếu f là đơn xạ thì Im f

Cho cấu xạ

Định nghĩa 1.4.3.8

1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61614) (1.12)

A n

1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

(cid:61483)

Trong pham trù (cid:76), một dãy cấu xạ liên tiếp:

được gọi là dãy khớp nếu hạt nhân mỗi cấu xạ là ảnh của cấu xạ đứng trước, tức là:

Kerf

i(cid:61474) .

(cid:61483) (cid:61501)

- 32 -

Chương II

XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG

PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN LỒI

ĐỊA PHƯƠNG

nExt trong phạm trù

Ở chương trước ta đã trình bày cách xây dựng hàm tử mở rộng

nExt trong phạm trù các

các mô đun bằng phép giải xạ ảnh. Để xây dựng hàm tử

không gian lồi địa phương theo một cách tương tự, ta cần một số khái niệm sau. Đó là

khái niệm về không gian tôpô thuần nhất, khái niệm toán tử chính quy, vật xạ ảnh

tương đối,…, và một số khái niệm về phức và đồng điều trong phạm trù (cid:76).

§1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU

2.1.1 Phạm trù các phức

(cid:61565) X (cid:61622) gồm n

Định nghĩa 2.1.1.1 Một phức hợp dây chuyền các không gian lồi địa phương là họ (cid:61563)

(cid:61622)

(cid:61614)

nX và các ánh xạ tuyến tính liên tục

X (cid:61485)

0 (cid:61501) .

, các không gian lồi địa phương

. (cid:61622) (cid:61622) n

n(cid:61483) 1

được cho theo tất cả các số nguyên n, hơn nữa

(cid:61622)

1 (cid:61483)

: ....

...

(cid:61612)

(cid:61612) (2.1)

X (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630) (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61630) n

1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

Như vậy, phức hợp X là một dãy vô tận về hai đầu:

trong đó tích hai ánh xạ tuyến tính liên tục nối tiếp nhau bằng 0.

- 33 -

(cid:61602)

(cid:61622)

(cid:61501)

(cid:61563)

(cid:61565)

(cid:61602) ,n

(cid:61602) (cid:61622) là các phức. Một biến đổi dây chuyền n

(cid:61602)(cid:61622)

(cid:61501)

:f X

X (cid:61602)(cid:61614) là họ các ánh xạ tuyến tính liên tục (cid:61563)

(cid:61565) X (cid:61602)(cid:61614) sao cho

f X :n

f n n

(cid:61622) 1

f (cid:61485)

Cho và Định nghĩa 2.1.1.2 (cid:61563) (cid:61565) X(cid:61501)

(cid:61622)

1 (cid:61483)

: ....

...

(cid:61612)

X (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630) (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61630) n

1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

(cid:61615)

đối với mọi n. Điều kiện sau cùng tương đương với điều kiện biểu đồ (2.2) giao hoán:

1 (cid:61485)

1 (cid:61483)

(cid:61622)

(cid:61602) n

1 (cid:61483)

(cid:61602)

: ....

...

(cid:61612)

(cid:61602) n

(cid:61602) X (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630) (cid:61612)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61630) n

(cid:61602) n

1 (cid:61485)

1 (cid:61483)

(2.2)

(cid:61622)

Dễ thấy rằng tích hai biến đổi dây chuyền là một biến đổi dây chuyền và tích các

(cid:61565)

Để ý thêm rằng, với mỗi phức , họ các ánh xạ tuyến tính liên tục biến đổi dây chuyền có tính chất kết hợp. (cid:61563) X(cid:61501)

f(cid:61501)

g(cid:61501)

(cid:61501)

(cid:61614)

.1Xg

1 X

(cid:61563) 1 : X

(cid:61565)

và là một biến đổi dây chuyền có tính chất 1 .X f

.1Xg

là xác định. Từ những điều trên ta thấy lớp tất cả các phức lập nếu các tích 1 .X f ,

thành một phạm trù với các cấu xạ là các biến đổi dây chuyền.

2.1.2 Đồng luân dây chuyền

(cid:61622)

f g X :

Định nghĩa 2.1.2.1

X (cid:61602)(cid:61614) từ phức

(cid:61563) X(cid:61501)

(cid:61565)

(cid:61602)

(cid:61501)

(cid:61614)

Cho các biến đổi dây chuyền tới phức

(cid:61563)

(cid:61565)

(cid:61563)

(cid:61602) ,n

(cid:61602) (cid:61622) . Họ các ánh xạ tuyến tính liên tục n

s X :n

(cid:61565)1

(cid:61602) X (cid:61483) n

n (cid:61646)

(cid:61602)

,f g sao cho:

được gọi là

(cid:61483)

(cid:61485)

một đồng luân dây chuyền giữa hai biến đổi dây chuyền

(cid:61602)(cid:61622) n

1 (cid:61483)

(cid:61622) (cid:61501) 1 n (cid:61485)

đối với mọi n.

g(cid:61499) .

Khi đó ta viết:

Định lí 2.1.2.2

g(cid:61499) là một đồng luân dây chuyền giữa các biến đổi dây chuyền

Nếu :s

- 34 -

(cid:61602)

f g X :

(cid:61602) :s

X (cid:61602)(cid:61614) và

(cid:61602)(cid:61499) g

(cid:61602)

(cid:61602) ,

(cid:61602) g X :

(cid:61602) f s

(cid:61602) (cid:61602) s g f f :

(cid:61602) g g

(cid:61483)

(cid:61602)(cid:61602)(cid:61614) , thì họ các ánh xạ tuyến tính liên tục

là đồng luân dây chuyền giữa các biến đổi dây chuyền

(cid:61499)

(cid:61602) (cid:61602) f f g g X

(cid:61602)(cid:61602)(cid:61614) . X

là đồng

luân dây chuyền giữa

Chứng minh:

Theo định lí 1.1.2.2 và do tích hai ánh xạ tuyến tính liên tục là một ánh xạ tuyến

tính liên tục, tổng hai ánh xạ tuyến tính liên tục là một ánh xạ tuyến tính liên tục dẫn

đến khẳng định trên là đúng đắn.

Có thể thấy rằng quan hệ đồng luân dây chuyền giữa các biến đổi dây chuyền từ

phức X tới phức X (cid:61602) là một quan hệ tương đương.

Định nghĩa 2.1.2.3

:f X

,X X (cid:61602) là các phức, biến đổi dây chuyền

X (cid:61602)(cid:61614) được gọi là một tương

:h X

Cho

(cid:61602) (cid:61614) và các đồng luân dây

đương dây chuyền nếu tồn tại biến đổi dây chuyền

t và :

s hf (cid:61499)

1X (cid:61602)(cid:61499)

:f X

X (cid:61602)(cid:61614)

. chuyền :

Hai phức X và X (cid:61602) mà có một tương đương dây chuyền giữa chúng

X (cid:61602)

(cid:61499)

. thì được gọi là hai phức tương đương đồng luân với nhau và ta viết: X

Hiển nhiên rằng, quan hệ tương đương đồng luân giữa các phức là một quan hệ

tương đương. Nó thực hiện sự phân hoạch lớp các phức thành lớp các bộ phận, mỗi bộ

phận gồm những phức tương đương đồng luân.

2.1.3 Đối đồng điều

(cid:61622)

(cid:61563) X(cid:61501)

(cid:61565)

Cho phức các không gian lồi đia phương và G là một không gian

Hom X G mà các phần tử của nó là các

(cid:61480)

(cid:61481)

f X :

lồi địa phương. Ta xây dựng nhóm aben

G(cid:61614) ; sẽ được gọi là các đối dây chuyền n – chiều của

ánh xạ tuyến tính liên tục

(cid:61483)

n (cid:61540)

. (cid:61622)

(cid:61614)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61481) 1 (cid:61480) 1 (cid:61501) (cid:61485)

1 (cid:61483)

n(cid:61540) (cid:61540) (cid:61485) (cid:61501) nên dãy 0

phức X. Đối bờ của ánh xạ tuyến tính liên tục f đó là đối dây chuyền (n + 1) – chiều:

Dễ thấy

- 35 -

1 (cid:61485)

....

...

(cid:61614)

n (cid:61540) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

n (cid:61540) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61614) (2.3)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

1 (cid:61485)

1 (cid:61483)

Hom X G ; hơn nữa theo như thông lệ mỗi

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61501)

là phức hợp các nhóm aben, được gọi là

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61480) n Hom X G

(cid:61481)

một nhóm sẽ được viết theo chỉ số trên: . Nếu phức X là

Hom X G là dương theo chỉ số trên.

(cid:61481)

(cid:61480)

dương theo chỉ số dưới thì phức

Định nghĩa 2.1.3.1

Hom X G được gọi là đối đồng điều của phức X với hệ số

(cid:61480)

(cid:61481)

Đồng điều của phức

Ker

n (cid:61540)

trong G. Đó là họ các nhóm aben được đánh số theo chỉ số trên:

H Hom X G

(cid:61501)

(cid:61480) H X G

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61540)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

1 (cid:61485)

(2.4).

Ker(cid:61540) được gọi là đối chu trình n – chiều, còn các phần tử của

(cid:61540)

Các phần tử của

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61485)

h X :

G(cid:61614) sao cho

h(cid:61622) (cid:61501) . 0

được gọi là đối bờ n – chiều. Như vậy một đối chu trình n – chiều là

:f X

một đồng cấu

X (cid:61602)(cid:61614) cảm sinh biến đổi dây chuyền

Mọi biến đổi dây chuyền

(cid:61480) Hom f

(cid:61481) ,1 :

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481) (cid:61602) (cid:61614) ,

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61537) (cid:61537)

(cid:61480) n Hom f

(cid:61481) ,1 :

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481) (cid:61602) (cid:61614) ,

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61537) . n

mà với mỗi số nguyên n ta có:

(cid:61480) Hom f

(cid:61481),1

Để ý thêm rằng, biến đổi dây chuyền sẽ cảm sinh, với mỗi n (cid:61646) (cid:61602) ,

(cid:61480) * : n f H X G

(cid:61481) (cid:61602) (cid:61614) ,

(cid:61480) H X G

(cid:61481)

clsc

(cid:61501)

mà: đồng cấu

(cid:61540)

(cid:61483)

(cid:61501)

(cid:61483)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) cls cf

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61602) Hom X G (cid:61540)

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61602) n

1 (cid:61485)

(cid:61480)

(cid:61481)

hay (2.5).

:h G G(cid:61602)(cid:61614) cảm sinh biến đổi dây

(cid:61614)

Hơn nữa, với bất kì phức X thì mọi đồng cấu

(cid:61481) Hom h Hom X G :

(cid:61480) 1,

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G(cid:61602)

(cid:61481)

(cid:61602)

nHom

(cid:61614)

(cid:61480) 1,

(cid:61481) h Hom X G

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

h(cid:61537) (cid:61537) (cid:61537) .

chuyền mà với mỗi số nguyên n ta có:

(cid:61481)1, (cid:61480)

Hom h sẽ cảm sinh, với mỗi n (cid:61646) (cid:61602) , đồng cấu

(cid:61614)

Tương tự, biến đổi dây chuyền

(cid:61481)

(cid:61480) H X G(cid:61602)

(cid:61481)

(cid:61480) n h H X G * :

mà:

- 36 -

(cid:61602)

(cid:61501)

(cid:61540)

(cid:61483)

(cid:61501)

(cid:61483)

(cid:61481)

(cid:61480) cls hc

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61602) Hom X G (cid:61540)

(cid:61481)

(cid:61480) *h clsc

1 (cid:61485)

(cid:61480) h c *

(cid:61481)

Hom X G và ,

hay (2.6).

nH X G là các song hàm tử, hiệp biến theo G và phản

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

Vì vậy

biến theo X.

Mệnh đề 2.1.3.2

(cid:61480) 1 (cid:61483) (cid:61501) (cid:61485)

(cid:61481) 1 1 n s(cid:61483)

g(cid:61499) là đồng luân thì bằng cách đặt

* n

Nếu :s ta có đồng luân

g(cid:61499)

Chứng minh:

g(cid:61627) là một đồng luân dây chuyền giữa hai

f g X :

(cid:61483)

(cid:61485)

Theo giả thiết mệnh đề, tồn tại

X (cid:61602)(cid:61614) . Khi đó ta có

(cid:61602)(cid:61622) n

1 (cid:61483)

(cid:61622) (cid:61501) 1 n (cid:61485)

biến đổi dây chuyền . Tác động

(cid:61480) Hom G(cid:61485)

(cid:61481)

1 (cid:61483)

(cid:61483) (cid:61622)

(cid:61501)

n (cid:61540)

(cid:61501)

(cid:61485)

(cid:61481) (cid:61480) 1 (cid:61485) (cid:61662) (cid:61485)

(cid:61480) (cid:61483) (cid:61485)

(cid:61481) 1

* * s n n

* n

* (cid:61602) s (cid:61540) n

1 * (cid:61485) s n

* n

* * (cid:61602) s (cid:61622) n n 1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

(cid:61501)

vào đẳng thức trên ta được:

(cid:61480) (cid:61501) (cid:61485)

1 n (cid:61481)

* n

s (cid:61485)

(cid:61563) (cid:61565)n t

n (cid:61646)

Đặt thì họ là đồng luân dây chuyền giữa các biến đổi

(cid:61530)

f g Hom X G

g(cid:61627)

(cid:61481) (cid:61602) (cid:61614) ,

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61480)

. dây chuyền , tức

Mệnh đề 2.1.3.3

,X X (cid:61602) là hai phức tương đương đồng luân thì các phức nhóm aben

Nếu

(cid:61481) Hom X G Hom X G(cid:61602) ,

(cid:61480)

(cid:61481)

cũng tương đương đồng luân.

:f X

:g X

X (cid:61602)(cid:61614) và

(cid:61602) (cid:61614)

Chứng minh:

t và :

s gf (cid:61627)

Giả sử X X (cid:61602)(cid:61627) thì khi đó có các biến đổi dây chuyền

1X (cid:61602)(cid:61627)

và các đồng luân dây chuyền : . Dưới sự tác động của hàm tử

,f g cảm sinh các biến đổi dây

(cid:61480) Hom G(cid:61485)

(cid:61481)

* : f Hom X G

g Hom X G

* :

(cid:61614)

phản biến thì các biến đổi dây chuyền

(cid:61481) (cid:61602) (cid:61614) ,

(cid:61480)

(cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X G(cid:61602)

(cid:61481)

(cid:61627)

và ; và theo chuyền

(cid:61602)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) 1X

và . mệnh đề 2.1.3.2 ta có các đồng luân dây chuyền

- 37 -

(cid:61501)

(cid:61480) Hom G(cid:61485)

(cid:61481)

(cid:61602)

(cid:61481)

(cid:61602)

1 (cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

1 (cid:61480) Hom X G

(cid:61481)

* f g

* g f

(cid:61501)

Do ; là hàm tử phản biến nên ta có (cid:61480) 1 ; (cid:61480) 1

(cid:61481) Hom X G Hom X G(cid:61602) (cid:61627)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)*

. . Như vậy ; (cid:61480)

Mệnh đề 2.1.3.4

,X X (cid:61602) là hai phức tương đương đồng luân thì với mỗi n (cid:61646) (cid:61602) ta có đẳng cấu

(cid:61504)

Nếu

(cid:61480) H X G

(cid:61481)

(cid:61480) H X G(cid:61602)

(cid:61481)

. nhóm giữa các nhóm đối đồng điều:

Chứng minh:

,X X (cid:61602) là hai phức tương đương đồng luân thì theo mệnh đề 2.1.3.3

Theo giả thiết

(cid:61481) Hom X G Hom X G(cid:61602) ,

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61504)

cũng tương đương đồng luân. Nên theo mệnh đề 1.1.3.3 với

(cid:61480) H X G

(cid:61481)

(cid:61480) H X G(cid:61602)

(cid:61481)

. mỗi n (cid:61646) (cid:61602) ta có đẳng cấu nhóm giữa các nhóm đối đồng điều:

§2. KHÔNG GIAN THUẦN NHẤT VÀ TOÁN TỬ

CHÍNH QUY

2.2.1 Không gian tôpô thuần nhất

Định nghĩa 2.2.1.1

Một tập hợp X khác rỗng, trong đó cố định một điểm gọi là điểm gốc và kí hiệu

(cid:61480) X r x :

(cid:61481)

X (cid:61620) (cid:61614)(cid:61601)

(cid:61537) thỏa:

là 0, được gọi là một không gian thuần nhất nếu có một phép nhân ngoài từ trường số

thực (cid:61601) vào X như sau:

Với mọi x X(cid:61646) và mọi số thực r, s ta có:

(cid:61501)

0 (cid:61480)

x (cid:61501) (cid:61481) .r s x

(cid:61480) r sx

(cid:61481)

ii)

x(cid:61501) .

iii)

Theo định nghĩa trên thì không gian vectơ là một không gian thuần nhất.

Trên không gian thuần nhất X ta định nghĩa một quan hệ (cid:61498) như sau:

X(cid:61646) thì

x(cid:61498)

,x x 1 2

x 1

x r (cid:61625) sao cho 1

rx(cid:61501) 2

. Với mọi nếu có số

- 38 -

Mệnh đề 2.2.1.2

Quan hệ (cid:61498) là một quan hệ tương đương.

x 1x

Chứng minh:

(cid:61501) (cid:61662) (cid:61498) . x x

(cid:61623) Tính phản xạ: Ta có

x(cid:61498)

x (cid:61623) Tính đối xứng: Nếu 1

x r (cid:61625) sao cho 1

rx(cid:61501) 2

. thì có số

x 2

1 (cid:61485)(cid:61501) r x 1

x (cid:61662) (cid:61498) 2

x 1

. Khi đó:

x(cid:61498)

x (cid:61623) Tính bắc cầu: Nếu 1

x 2

r s (cid:61625) sao cho 1 x

rx(cid:61501) 2

(cid:61501)

x và 2

sx(cid:61501) 3

x . Suy ra 1

rsx 3

x (cid:61662) (cid:61498) 1

x 3

và thì có các số ,

. Vậy (cid:61498)là một quan hệ tương đương. (cid:61550)

Khi đó quan hệ (cid:61498) thực hiện một sự phân lớp trên không gian thuần nhất X. Nhận

thấy mỗi một lớp x, kí hiệu là x có dạng sau:

y X y

y X

r (cid:61476) (cid:61646)

(cid:61501)

(cid:61563) (cid:61565) 0(cid:61501)

(cid:61563) (cid:61501) (cid:61646)

(cid:61498)

(cid:61601)

* x (cid:61601) và

(cid:61565) (cid:61563) x (cid:61501) (cid:61646)

(cid:61565) rx

* e (cid:61501) (cid:61601)(cid:61525) (cid:61525) và i

i J (cid:61646)

(cid:61501) (cid:61638)

Với mỗi lớp ix khác lớp 0, ta chọn một đại diện là ie . Vậy

j(cid:61625) . Ta gọi (cid:61480)

(cid:61601)

* e(cid:61639) (cid:61601)

* e i

(cid:61481)i e

i J (cid:61646)

nếu i là cơ sở thuần nhất của X. Và theo cách

chứng minh trên thì mọi không gian thuần nhất đều có một cơ sở thuần nhất. Ta cũng

J(cid:61646) ta gọi tập hợp

e i

ie(cid:61601) là một đường thẳng đi qua

(cid:61501) (cid:61601)(cid:61525) và với mỗi i

i J (cid:61646)

(cid:61485) (cid:61548)

(cid:61501) (cid:61485)

0(cid:61548)(cid:61625) là

có thể viết

e (cid:61548) i

(cid:61481) i e

với điểm gốc 0. Từ đó ta có thể hình dung không gian thuần nhất X gồm một họ các đường thẳng đồng quy tại điểm gốc. Ta cũng gọi hai điểm ie(cid:61548) và (cid:61480)

hai điểm đối xứng qua điểm gốc.

:f X

Định nghĩa 2.2.1.3

Y(cid:61614) được gọi là ánh

(cid:61501)

Cho X và Y là hai không gian thuần nhất. Một ánh xạ

(cid:61480) f rx

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) rf x

. xạ thuần nhất nếu với mọi số thực r và với mọi x X(cid:61646) thì

Rõ ràng ánh xạ thuần nhất là xác định nếu xác định được ảnh của cơ sở thuần nhất.

- 39 -

Hiển nhiên rằng theo định nghĩa 2.2.1.3 ánh xạ tuyến tính là ánh xạ thuần nhất. Ta dễ

kiểm tra được hợp thành của hai ánh xạ thuần nhất là ánh xạ thuần nhất.

Định nghĩa 2.2.1.4

x A(cid:61548) (cid:61646) khi

Tập hợp con A của một không gian thuần nhất X được gọi là cân nếu với mọi x

1(cid:61548) (cid:61603) . Nó được gọi là hút nếu: với mọi x X(cid:61646) thì có

0(cid:61548)(cid:61502) sao cho: x

A(cid:61549)(cid:61646)

thuộc A thì ta có

với mọi (cid:61549) thỏa (cid:61549) (cid:61548)(cid:61619) . Rõ ràng giao của một số hữu hạn

A(cid:61639) (cid:61485) là những tập hợp hút là tập hợp hút. Như vậy nếu A là một tập hợp chứa 0 thì A

một tập cân.

Định nghĩa 2.2.1.5

Nếu có một tập hợp (cid:85) không rỗng những tập hợp con chứa điểm gốc 0 của

(cid:61644) (cid:61639) ;

không gian thuần nhất X thỏa các tính chất sau:

0(cid:61537)(cid:61625) ;

T1: Nếu U (cid:61646)(cid:85) , V (cid:61646)(cid:85) , thì tồn tại W (cid:61646)(cid:85) với W U V

T2: Nếu U (cid:61646)(cid:85) thì U(cid:61537) (cid:61646)(cid:85) với mọi

T3: Mỗi U (cid:61646)(cid:85) đều là hút và cân.

thì khi đó X được gọi là không gian tôpô thuần nhất, tập hợp (cid:85) như vậy được gọi là

X(cid:85) . Tập hợp U của

X(cid:85) gọi là

cơ sở lân cận cân của điểm gốc trong X, và kí hiệu là

:f X

một lân cận cân của gốc trong X hay đơn giản chỉ gọi là lân cận trong X.

Y(cid:61614) từ không gian tôpô thuần nhất X đến không

Một ánh xạ thuần nhất

V(cid:61644) .

V (cid:61646)(cid:85) thì tồn tại một lân cận

(cid:61480) f U

(cid:61481)

U (cid:61646)(cid:85) sao cho X

gian tôpô thuần nhất Y được gọi là ánh xạ thuần nhất liên tục nếu với mỗi lân cận

Như vậy theo định nghĩa 2.2.1.5 trên thì không gian tôpô thuần nhất chưa hẳn là

một không gian tôpô nhưng một không gian vectơ tôpô là một không gian tôpô thuần

nhất. Để ý rằng ánh xạ thuần nhất liên tục cũng không có nghĩa là liên tục tại điểm gốc.

- 40 -

Nhưng ánh xạ tuyến tính liên tục là ánh xạ thuần nhất liên tục và dễ thấy tích các ánh

xạ thuần nhất liên tục là một ánh xạ thuần nhất liên tục.

X(cid:85) là chỉ cơ sở lân cận

Từ đây khi xét không gian lồi địa phương X thì kí hiệu

X(cid:85) cũng thỏa các điều

trong X thỏa các điều kiện C1 – C3 của mệnh đề 1.3.3.2; do đó

kiện

X(cid:85) làm thành không gian tôpô thuần nhất.

của định nghĩa 2.2.1.5 nên X cùng với

Mệnh đề 2.2.1.6

Mọi đường thẳng đi qua điểm gốc luôn cắt tất cả các lân cận V của không gian

tôpô thuần nhất X.

(cid:61481)i e

i J

(cid:61646) là cơ sở thuần nhất của X .

Chứng minh: Trong không gian tôpô thuần nhất X, ta gọi (cid:61480)

J(cid:61646) thì ta có một đường thẳng

ie(cid:61601) . Gọi V là một lân cận bất kì

Như vậy với mỗi i

X(cid:85) . Theo điều kiện T3 của định nghĩa 2.2.1.5 thì V là tập cân và hút. Nên với

0(cid:61548)(cid:61502) sao cho:

J(cid:61646) có

V(cid:61549)(cid:61646)

thuộc

0 |

inf

(cid:61501)

(cid:61502)

(cid:61548)

(cid:61501)

mỗi i với mọi (cid:61549) thỏa (cid:61549) (cid:61548)(cid:61619) .

(cid:61563) (cid:61548)

(cid:61565) (cid:61646) và đặt

(cid:61481)

e V i

(cid:61480) ip e

Đặt . Khi đó có các trường hợp sau:

(cid:61481)

(cid:61480) ip e (cid:61501) thì V chứa trọn đường thẳng

ie(cid:61601) .

;

(cid:61623) Nếu

A(cid:61646) thì tập V chứa tập hợp

(cid:61481)ip e (cid:61480)

ie(cid:61601) .

e i

(cid:61481)

1 (cid:61480) p e i

(cid:61673) (cid:61674) (cid:61485)(cid:61674) (cid:61675)

(cid:61689) (cid:61690) (cid:61690) (cid:61691)

A(cid:61647) và

;

(cid:61623) Nếu của đường thẳng

(cid:61481)

(cid:61481)ip e (cid:61480)

(cid:61480) ip e (cid:61625) thì tập V chứa tập hợp

e i

(cid:61481)

1 (cid:61480) p e i

(cid:61670) (cid:61671) (cid:61671) (cid:61485)(cid:61672)

(cid:61686) (cid:61687) (cid:61687) (cid:61688)

(cid:61623) Nếu của

ie(cid:61601) .

đường thẳng

Do đó V cắt mọi đường thẳng đi qua gốc. (cid:61550)

- 41 -

V V

(cid:61501) (cid:61639) (cid:61601) là vết của V để lại trên đường thẳng

e i

ie(cid:61601) . Như vậy V

Từ đây, ta gọi

iV .

là tập tất cả các vết

2.2.2 Toán tử chính quy

Định nghĩa 2.2.2.1

:f X

(cid:61602) (cid:61614) sao : f Y X

Y(cid:61614) là một toán tử chính quy nếu có ánh xạ thuần nhất liên tục

Cho X, Y là hai không gian lồi địa phương. Ta gọi ánh xạ tuyến tính liên tục

(cid:61602) (cid:61501) (2.7).

cho ff f

Từ đây khi nói toán tử chính quy f thì kí hiệu f (cid:61602) là chỉ ánh xạ thuần nhất thỏa (2.7).

X(cid:61614) và 0 : X

Y(cid:61614) là các

Ví dụ 2.2.2.2

Với X, Y là hai không gian lồi địa phương, ta có 1 :X X

toán tử chính quy.

:f X

Mệnh đề 2.2.2.3

Y(cid:61614) , khi đó:

f f(cid:61602) (cid:61501)

Cho toán tử chính quy

ff (cid:61602) (cid:61501)

i) Nếu f đơn ánh thì

ii) Nếu f toàn ánh thì

(cid:61501)

Chứng minh:

(cid:61480) (cid:61481) (cid:61602) ff f x

(cid:61480) (cid:61481) f x

i) Giả sử f là đơn ánh. Khi đó với mọi x X(cid:61646) ta có: ; mà f là đơn ánh

(cid:61501) . Suy ra

f f(cid:61602) (cid:61501)

(cid:61480) (cid:61481) (cid:61602) f f x

(cid:61501)

nên .

(cid:61480) (cid:61481) f x

(cid:61602)

(cid:61501)

(cid:61501) . Suy ra

. Ta có: ii) Giả sử f là toàn ánh. Khi đó với mọi y Y(cid:61646) , tồn tại x X(cid:61646) sao cho

ff (cid:61602) (cid:61501)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) (cid:61602) ff f x

(cid:61480) (cid:61481) f x

. (cid:61550)

:h X

Y(cid:61614) là

Mệnh đề 2.2.2.4

Cho X, Y là các không gian lồi địa phương. Nếu ánh xạ tuyến tính

ánh xạ thuần nhất liên tục thì h liên tục.

Chứng minh:

- 42 -

Vì h là ánh xạ tuyến tính nên ta chỉ cần chứng minh h liên tục tại điểm gốc. Thật

Y(cid:85) là cơ sở lân cận của gốc nên tồn

V (cid:61602) (cid:61646)(cid:85) sao cho V

vậy, lấy V là một lân cận bất kì trên Y. Khi đó do

V(cid:61602) (cid:61644) . Theo định nghĩa ánh xạ thuần nhất thì có

U (cid:61602) (cid:61646)(cid:85) sao cho X

(cid:61602)

(cid:61602)(cid:61644) (cid:61644) ; đây là điều cần phải chứng minh. (cid:61550)

(cid:61480) h U

(cid:61481)

tại

Mệnh đề 2.2.2.5

Cho B là không gian lồi địa phương và A là không gian con của B. Khi đó ánh xạ

B(cid:61614) là toán tử chính qui.

nhúng liên tục :i A

(cid:61481)i e

i J

(cid:61646) là cơ sở thuần nhất của A, ta có thể bổ sung thêm các (cid:61480)

(cid:61602)(cid:61646) để được

Chứng minh: (cid:61481)i Gọi (cid:61480) e

J(cid:61646) , đặt

(cid:61501) ; với mỗi i

J (cid:61602)(cid:61646) , đặt

(cid:61481)i (cid:61480) (cid:61602) i e

e i

(cid:61481) 0 (cid:61501) . Do đã xác định được ảnh của cơ sở thuần nhất nên ta xác định được ánh xạ

(cid:61480) i e(cid:61602) i

x A

cơ sở thuần nhất của B. Khi đó với mỗi i

(cid:61602) (cid:61614) . Với mọi x A(cid:61646) thì :i B

(cid:61501) (cid:61646) nên tồn tại i

J(cid:61646) và có số thực

(cid:61480) (cid:61481) i x

(cid:61602)(cid:61501)

(cid:61501)

thuần nhất

(cid:61602) (cid:61501) . i

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) (cid:61602) ii i x

(cid:61480) (cid:61481) i x

re(cid:61501) i i

(cid:61480) ii re i i

(cid:61480) i re i i

re i i

ir sao cho (cid:61480) (cid:61481) i x

, ta có: . Vậy ii i

(cid:61602) (cid:61614) là ánh xạ thuần nhất liên tục, nghĩa là lấy bất kì lân cận :i B

V (cid:61644) .

Ta chứng minh

V (cid:61646)(cid:85) ta phải chứng minh tồn tại lân cận của gốc

U (cid:61646)(cid:85) sao cho (cid:61480) (cid:61602) i U

(cid:61481)

của gốc

0 (cid:61501) (cid:61646)

Thật vậy, do tôpô trên A là tôpô cảm sinh nên có một lân cận U trên B sao cho

x U A

V U A

(cid:61646)

(cid:61501) (cid:61639) và lân cận

U (cid:61602) (cid:61646)(cid:85) thỏa U U(cid:61602) (cid:61644) . Mà với mỗi

(cid:61480) (cid:61481) (cid:61602) i x

(cid:61602)

(cid:61602)(cid:61644)

(cid:61644) suy ra

(cid:61644) . Đây là điều phải chứng minh. Ngoài ra,

thì

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61602) i U

(cid:61481)

(cid:61480) i U

(cid:61481)

nên ta có (cid:61480) (cid:61602) i U

i i(cid:61602) (cid:61501)

.(cid:61550) do i đơn ánh nên theo mệnh đề 2.2.2.3 ta còn có

:f A

Mệnh đề 2.2.2.6

B(cid:61614) là một toán tử chính quy, f có dạng phân tích qua ảnh là:

f A :

f (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

B (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (2.8)

(cid:61480) f A

(cid:61481)

Nếu

f và i là các toán tử chính quy, hơn nữa f là toàn ánh và i là đơn ánh.

thì

Chứng minh:

- 43 -

f là toàn xạ

(cid:61602)(cid:61501) f i

Thật vậy, theo mệnh đề 1.4.3.6 f có sự phân tích qua ảnh như (2.8),

(cid:61614) thì g là ánh xạ thuần nhất liên

(cid:61480) f A

(cid:61481)

(cid:61602)

(cid:61602) f f i f

f f

(cid:61501)

(cid:61480) f g f a

(cid:61481)

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61480) f a

(cid:61481)

và i là đơn xạ. Khi đó ta đặt ánh xạ

(cid:61481)(cid:61480)

(cid:61480)

(cid:61481)(cid:61480)

f (cid:61501) (cid:61673) (cid:61675)

f (cid:61689) (cid:61501) (cid:61673) (cid:61675) (cid:61691)

(cid:61689) (cid:61501) (cid:61691)

(cid:61602) f f B :

tục. Với mỗi a A(cid:61646) , ta có: (cid:61480)

(cid:61501)

(cid:61614)

(cid:61480) f A

(cid:61481)

thì j là Theo đó f là một toán tử chính quy. Hơn nữa, đặt ánh xạ

(cid:61480) f A(cid:61646)

(cid:61481)

(cid:61602)

i f

(cid:61501)

y (cid:61501) (cid:61501)

ánh xạ thuần nhất liên tục. Khi đó với mỗi , luôn tồn tại a A(cid:61646) sao cho

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61480) iji y

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61480) i y

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61673) (cid:61675)

(cid:61689) (cid:61501) (cid:61691)

(cid:61673) (cid:61675)

(cid:61689)(cid:61602) f i (cid:61691)

. Ta có: .

Vậy i là toán tử chính quy. (cid:61550)

:f A

:gf A

:g B

B(cid:61614) ,

(cid:61622) (cid:61501)

C(cid:61614) và

Mệnh đề 2.2.2.7

(cid:61614) . Nếu

Cho các ánh xạ tuyến tính liên tục

(cid:61622) (cid:61501)

(cid:61501)

. f là toán tử chính quy và f toàn ánh thì Im

(cid:61622) (cid:61501)

Chứng minh:

Theo mệnh đề 1.4.3.6, và g được viết dưới dạng phân tích qua ảnh lần

(cid:61622)

gf A :

(cid:61622) (cid:61501)

j (cid:61501) (cid:61622)

j (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) nghĩa là

g B :

ig(cid:61501)

C (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) nghĩa là g

(cid:61501)

lượt là:

(cid:61480) j gf A :

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481) (cid:61614) và ảnh

j là các ánh

(cid:61501)

Ta có ảnh của gf là đơn ánh tuyến tính liên tục

(cid:61614) , trong đó ,i

(cid:61480) i g B :

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61501)

của g là đơn ánh tuyến tính liên tục

(cid:61480) gf A

(cid:61481)

(cid:61480) g B

(cid:61481)

; xạ nhúng, liên tục. Vì f là toàn ánh nên theo nghĩa tập hợp thì

nhưng có thể trên X lần lượt trang bị hai tôpô khác nhau nên chúng khác nhau. Để

(cid:61481) (cid:61480) gf A là

1X , tôpô trên đó là

1(cid:84) ;

không nhầm lẫn ta sẽ gọi không gian lồi địa phương

(cid:61481) g B là

(cid:61480)

2X , tôpô trên đó là

2(cid:84) .

không gian lồi địa phương

- 44 -

: X

(cid:61543) (cid:61614) sao

ig f

(cid:61622) (cid:61501)

(cid:61501)

y X (cid:61646)

(cid:61501)

Vậy nên theo tính phổ dụng của Im (cid:61622) thì có cấu xạ

j(cid:61543) (cid:61501) . Như vậy, với mỗi

(cid:61480) gf A

(cid:61481)

(cid:61480) j y

(cid:61481)

(cid:61480) i (cid:61543)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61543)

(cid:61481)

(cid:61543)là một cấu xạ nhúng từ

1X đến

2X ; dẫn đến (cid:61543) là một song xạ. Vì thế với mỗi tập mở

1 G(cid:61543)(cid:61485)(cid:61501)

(cid:61646)(cid:84) ; mọi tập mở trong

(cid:61480)

(cid:61481)

G (cid:61646)(cid:84) thì 2

2X đều là mở trong

1X .

, ta có cho i ; tức là

(cid:61501)

Mặt khác, do f toàn ánh nên với mỗi phần tử b B(cid:61646) , tồn tại phần tử a A(cid:61646) sao

,a a

A(cid:61646) sao cho

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61480) f a 1

(cid:61501)

j (cid:61662) (cid:61622)

j (cid:61501) (cid:61622)

(cid:61662) (cid:61622)

(cid:61501) (cid:61622)

(cid:61646)

(cid:61481)

(cid:61480) gf a

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) gf a 1

a 1

h B :

(cid:61501)

(cid:61614)

(cid:61614) (cid:61622)

cho , ta suy ra: ; nếu có 1

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

X b : 1

Khi đó ánh xạ , trong đó , là được xây dựng hợp lí.

Từ (cid:61622) là ánh xạ tuyến tính nên h là ánh xạ tuyến tính. Theo cách xây dựng h thì dễ

(cid:61602)

hff

(cid:61501)

(cid:61501) (cid:61622)

kiểm tra hf (cid:61501) (cid:61622) (2.9). Ta nhân ánh xạ f (cid:61602) vào bên phải đẳng thức (2.9) , nhờ tính toàn

ánh và chính quy của f nên theo mệnh đề 2.2.2.3 ta có: h . Điều này cho

thấy h là ánh xạ thuần nhất liên tục nên theo mệnh đề 2.2.2.4 ta có h là ánh xạ liên tục

trên B.

jhf

jh(cid:61501)

(cid:61501) (cid:61622) (cid:61501) (cid:61622) (cid:61501)

: X

j(cid:61549)(cid:61501)

Ta có gf mà f toàn xạ nên g . Theo tính phổ dụng của Im g ,

X (cid:61549) (cid:61614) sao cho i 1

1 G(cid:61549)(cid:61485)(cid:61501)

ta có cấu xạ . Dễ kiểm tra được (cid:61549) là ánh xạ nhúng từ

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61646)(cid:84) ; 2

1X ; dẫn đến (cid:61549) là một song xạ. Vì thế với mỗi tập mở

G (cid:61646)(cid:84) thì 1

đến

,(cid:84) (cid:84) là bằng nhau, từ đó

1X đều là mở trong

2X . Như vậy hai tôpô 1

mọi tập mở trong

i X :

(cid:61501)

(cid:61480)

(cid:61481) (cid:61614) , C

1X ,

2X là bằng nhau; dẫn đến hai cấu xạ

hai không gian

j X :

(cid:61501)

(cid:61614) cũng bằng nhau. Vậy Im

(cid:61480)

(cid:61481)

.(cid:61550)

- 45 -

§3. VẬT XẠ ẢNH TƯƠNG ĐỐI, VẬT TỰ DO TƯƠNG

ĐỐI

2.3.1 Vật xạ ảnh tương đối

Định nghĩa 2.3.1.1

: X

:f P

: P

(cid:61546) (cid:61614) sao

Trong phạm trù (cid:76), không gian lồi địa phương P được gọi là vật xạ ảnh nếu với

(cid:61555) (cid:61614) , mỗi cấu xạ

Y(cid:61614) thì tồn tại một cấu xạ

mọi toàn xạ

cho f (cid:61555)(cid:61546)(cid:61501) .

Định nghĩa 2.3.1.2

: X

:f P

Trong phạm trù (cid:76), không gian lồi địa phương P được gọi là vật xạ ảnh tương đối

(cid:61555) (cid:61614) , mỗi cấu xạ

Y(cid:61614) thì tồn tại một cấu xạ

: P

(cid:61546) (cid:61614) sao cho f (cid:61555)(cid:61546)(cid:61501) .

nếu với mọi toàn xạ chính quy

Ví dụ 2.3.1.3

Bản sao các vành hệ tử là vật xạ ảnh tương đối.

Chứng minh:

: X

(cid:61555) (cid:61614) và bất kì cấu xạ

Y(cid:61614)(cid:61601)

(cid:61546) (cid:61555)(cid:61602)(cid:61501)

. Thật vậy, lấy bất kỳ toàn xạ chính quy

e(cid:61601) đến X. Mà

e(cid:61601) là không

Khi đó, đặt thì (cid:61546) là ánh xạ thuần nhất liên tục từ

e(cid:61601) đến X nên theo mệnh

(cid:61546) (cid:61555)(cid:61602)(cid:61501)

gian một chiều nên (cid:61546) có thể coi như là ánh xạ tuyến tính từ

(cid:61501)

đề 2.2.2.4 ta có (cid:61546) là ánh xạ tuyến tính liên tục. Ta có , do (cid:61555) là toàn xạ chính

(cid:61480) (cid:61555)(cid:61546) (cid:61555)(cid:61555)(cid:61602) (cid:61501)

(cid:61481)

. quy nên theo mệnh đề 2.2.2.3 ta có:

e(cid:61601) là vật xạ ảnh tương đối. (cid:61550)

Vậy

Ví dụ 2.3.1.4

Tổng trực tiếp bản sao các trường hệ tử (cid:61601) là vật xạ ảnh tương đối. Chứng minh:

- 46 -

e(cid:61637)(cid:61601)

(cid:61601) là vật xạ ảnh tương đối.

e 1

: X

Ta chỉ cần chứng minh

(cid:61555) (cid:61614) và bất kì cấu xạ

Thật vậy, lấy bất kỳ toàn xạ chính quy

(cid:61501)

e (cid:61601) 1

e (cid:61637) (cid:61614) (cid:61601) 2

f . Khi đó ta có các cấu xạ 1

fi 1

e (cid:61614)(cid:61601) 1

fi 2

e (cid:61614)(cid:61601) 2

và

(cid:61546) nên theo ví dụ 2.3.1.3 chúng cảm sinh các đồng cấu 1

e (cid:61614)(cid:61601) 1

(cid:61546) 2

e (cid:61614)(cid:61601) 2

và sao

1f(cid:61555)(cid:61546) (cid:61501)

(cid:61555)(cid:61546) (cid:61501) 2

cho và . Theo tính chất của tổng trực tiếp thì tồn tại đồng cấu (cid:61546) sao

1i(cid:61546) (cid:61546)(cid:61501)

2i(cid:61546) (cid:61546)(cid:61501)

(cid:61483)

(cid:61501)

(cid:61483)

(cid:61481)

(cid:61480)

i 1 1

1 1

i 2

i 1

(cid:61480) (cid:61662) (cid:61501)

(cid:61480) (cid:61501)

(cid:61481) (cid:61483)

(cid:61501)

(cid:61483)

(cid:61501)

(cid:61481) (cid:61546) (cid:61546) (cid:61552) (cid:61552) (cid:61546) (cid:61552) (cid:61546) (cid:61552) (cid:61546)(cid:61552) (cid:61546)(cid:61552) 2 (cid:61481)

(cid:61501) (cid:61480)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61481) (cid:61555)(cid:61546) (cid:61555)(cid:61546) (cid:61552) (cid:61555)(cid:61546) (cid:61552) 2

f f (cid:61483) (cid:61552) (cid:61552) 1 1 2

fi (cid:61552) 1 1

fi (cid:61552) 2 2

i i (cid:61483) (cid:61552) (cid:61552) 1 1 2 2

và . Suy ra: cho 1

e(cid:61637)(cid:61601)

(cid:61601) là vật xạ ảnh tương đối. (cid:61550)

e 1

Điều này có nghĩa là

2.3.2 Vật tự do tương đối sinh bởi một không gian tôpô thuần nhất

L X , nếu có ánh xạ nhúng thuần nhất liên

Định nghĩa 2.3.2.1

(cid:61480)

vật tự do tương đối sinh bởi X , kí hiệu Cho X là một không gian tôpô thuần nhất. Không gian lồi địa phương được gọi là (cid:61481)

(cid:61480) L X(cid:61614)

(cid:61481)

:Xj

:f X

Y(cid:61614) , trong đó Y là không gian lồi địa phương; nghĩa là mỗi ánh xạ thuần nhất

:f X

tục có tính chất phổ dụng đối với mọi ánh xạ thuần nhất liên tục

Y(cid:61614) (với Y là không gian lồi địa phương) đều có thể mở rộng tới một

(cid:61546)

(cid:61614) sao cho

liên tục

(cid:61480) : L X

(cid:61481)

j(cid:61546)(cid:61501) . X

. ánh xạ duy nhất tuyến tính liên tục

Mệnh đề 2.3.2.2

Mọi không gian tôpô thuần nhất X đều có vật tự do tương đối sinh bởi nó.

(cid:61481)i e

i J

(cid:61646) là cơ sở thuần nhất

J(cid:61646) , ta có

L X

Chứng minh: Lấy một không gian tôpô thuần nhất X bất kì và gọi (cid:61480)

(cid:61481)

e i

(cid:61501) (cid:61637)(cid:61601) và với mỗi i

i J (cid:61646)

(cid:61614)

(cid:61480) L X

(cid:61481)

(cid:61601) là ánh xạ nhúng thứ i . Ta xây dựng ánh xạ nhúng thuần nhất

j :i

e (cid:61601) i

e i

(cid:61501) (cid:61637)

i J (cid:61646)

của X. Khi đó ta xây dựng không gian vectơ (cid:61480)

- 47 -

(cid:61501)

J(cid:61646) thì

(cid:61480) L X được định nghĩa

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) L X(cid:61614)

(cid:61481)

:Xj

e i

j i

(cid:61481)1. (cid:61480) e i

nên , mà với mỗi i

(cid:61480)

(cid:61481)

e i

(cid:61480)

(cid:61481)

i J (cid:61646)

J(cid:61646) ,

. như trên là một không gian vectơ có cơ sở là

V (cid:61646)(cid:85) thì theo mệnh đề 2.2.1.6 mỗi đường thẳng

ie(cid:61601) , với i

Với mỗi lân cận

(cid:61481)

(cid:61480) j V X i

iV trên lân cận V. Khi đó ta gọi U là bao lồi tuyệt đối của

(cid:61525)

i J (cid:61646)

. Và đều để lại vết

V (cid:61646)(cid:85) sao cho U là bao lồi tuyệt đối của

(cid:68)là tập hợp tất cả các U được xây dựng theo cách này. Vậy với mỗi U (cid:61646)(cid:68) thì tồn tại

(cid:61481)

(cid:61480) j V X i

(cid:61525)

i J (cid:61646)

. Và ta sẽ chứng minh (cid:68) này làm

(cid:61480) L X nghĩa là chứng minh

(cid:61481)

(cid:68)thỏa các tính chất C1 – C3 của mệnh đề 1.3.3.2.

thành cơ sở lân cận của một tôpô lồi địa phương trên

(cid:61623) Với mỗi U (cid:61646)(cid:68), ta phải chứng minh U là tập hút:

V (cid:61646)(cid:85) sao cho U là bao lồi tuyệt đối của

y L X(cid:61646)

Theo cách xây dựng (cid:68) thì có

L X nên tồn tại các số

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) j V X i

e i

(cid:61480)

(cid:61481)

i J (cid:61646)

(cid:61525)

i J (cid:61646)

,...,

(cid:61501)

... (cid:61483) (cid:61483)

(cid:61480)

(cid:61481)

r j i 1

e i 1

r j i n

e i n

r i 1

r (cid:61625) sao cho i n

r e . Rõ ràng các phần tử 1 i i 1

r e là i i n n

(cid:61480)

(cid:61481)

do . Vậy với mỗi là cơ sở của

thuộc về không gian tôpô thuần nhất X . Vì V là tập hút trong X nên với mỗi số nguyên

V(cid:61549)(cid:61646)

(cid:61603) (cid:61603) , tồn tại các số dương

ir e

ji(cid:61537) mà với mọi số (cid:61549),

ji(cid:61549) (cid:61537)(cid:61619)

max

, 1

(cid:61537)

(cid:61501)

(cid:61646)

j (cid:61603) (cid:61603)

, thì j, 1 . Đặt

V(cid:61537)(cid:61646)

(cid:61602)

ir e

r e i i

V(cid:61537)(cid:61646) i

(cid:61563) (cid:61537) ji

(cid:61565) n

thì , với mọi j; nên với mọi j. Suy

r j i

e i

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) V(cid:61537)(cid:61646) X i

(cid:61481)

(cid:61646)

(cid:61501)

(cid:61644)

U (cid:61537)

(cid:61603) (cid:61603) . n j

ra với mọi j dẫn đến:

(cid:61481)

r j i

e i

V i

(cid:61480) j V X i

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61525)

i J (cid:61646)

(cid:61670) (cid:61480) (cid:61481) (cid:61537) (cid:61537) (cid:61671) (cid:61672)

(cid:61686) (cid:61687) (cid:61688)

với mọi số nguyên j, 1

Mà U là tập tuyệt đối lồi nên U(cid:61537) cũng tuyệt đối lồi, suy ra:

(cid:61501)

... (cid:61483) (cid:61483)

(cid:61646) (cid:61662) (cid:61646)

U (cid:61537)

n U (cid:61537)

(cid:61480)

(cid:61481)

r j i 1

e i 1

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

1 n

Vậy U là tập hút nên suy ra (cid:68) thỏa C3.

- 48 -

3U (cid:61646)(cid:68)sao

,U U (cid:61646)(cid:68) ta chứng minh có

(cid:61623) Chứng minh (cid:68)thỏa C1 nghĩa là nếu có

(cid:61644)

(cid:61639)

,U U lần lượt là bao tuyệt đối lồi

V V (cid:61646)(cid:85) sao cho X

cho .

V (cid:61646)(cid:85) sao cho X

(cid:61480) j V X

(cid:61525)

i J (cid:61646)

(cid:61644)

(cid:61639) ; suy ra

(cid:61644)

(cid:61639)

và của . Theo định nghĩa 2.2.1.5 thì có Theo cách xây dựng (cid:68)thì có (cid:61481)2 (cid:61481)1

J(cid:61646) . Dẫn đến

3U là bao tuyệt đối lồi

1 i

, với mọi i

y U(cid:61646)

3U (cid:61646)(cid:68). Lấy bất kì phần tử

(cid:61480) j V X

(cid:61481)3

(cid:61525)

i J (cid:61646)

,...,

, của , khi đó có các phần tử

,..., (cid:61548) (cid:61548) ,

3 i

(cid:61480) j V X

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

r j i X 1

e i 1

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

i n

i 1

(cid:61603)(cid:61669) (cid:61548) i

(cid:61646)(cid:61525)

1 (cid:61501)

i J (cid:61646)

(cid:61501)

... (cid:61483) (cid:61483)

, sao cho và các số

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61548) i 1

r j i 1

e i 1

(cid:61548) i n

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

,...,

(cid:61644)

(cid:61639)

1 i

(cid:61480) j V X

(cid:61481)1

(cid:61480)

(cid:61481)

r j i 1

e i 1

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61525)

i J (cid:61646)

Mà nên và đều thuộc vào

U(cid:61639) là tập tuyệt đối lồi nên:

(cid:61480) j V X

(cid:61481)2

(cid:61525)

i J (cid:61646)

1 U U

(cid:61501)

... (cid:61483) (cid:61483)

, hơn nữa

(cid:61644)

(cid:61639)

2 (cid:61646) (cid:61639) , nghĩa là

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61548) i 1

r j i X 1

e i 1

(cid:61548) i n

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

0(cid:61537)(cid:61625) ta sẽ chứng

(cid:61623) Chứng minh (cid:68)thỏa C2, nghĩa là nếu có U (cid:61646)(cid:68) và mọi số

minh U(cid:61537) (cid:61646)(cid:68) .

V (cid:61646)(cid:85) sao cho U là bao tuyệt đối lồi của

(cid:61481)

(cid:61480) j V X i

(cid:61525)

i J (cid:61646)

. Theo cách xây dựng (cid:68)thì có

V (cid:61537)

(cid:61537)(cid:61501)

V(cid:61537) (cid:61646)(cid:85) , dễ thấy vết (cid:61480)

(cid:61481)

V . i

nên Mà theo T2 của định nghĩa 2.2.1.5 thì

(cid:61537)

(cid:61481)

(cid:61480) V (cid:61537)

(cid:61481)

(cid:61480) j V(cid:61537) X i

(cid:61480) j V X i

(cid:61673) (cid:61675)

(cid:61689) (cid:61501) (cid:61691)

(cid:61525)

i J (cid:61646)

(cid:61537)

(cid:61501)

(cid:61537)

(cid:61644)

U (cid:61537)

(cid:61481)

(cid:61480) j V X i

(cid:61525)

i J (cid:61646)

. Vì: . Gọi W là bao tuyệt đối lồi của

- 49 -

Ta có U là tập tuyệt đối lồi thì U(cid:61537) là tuyệt đối lồi, W là tập tuyệt đối lồi nhỏ nhất chứa

U(cid:61537)(cid:61644)

U(cid:61537)(cid:61646)

(cid:61481)

(cid:61480) j V(cid:61537) X i

(cid:61525)

i J (cid:61646)

,...,

,..., (cid:61548) (cid:61548) ,

x(cid:61537)(cid:61501)

nên W . Mặt khác, lấy bất kì phần tử y , tồn tại x U(cid:61646) sao cho

(cid:61481)

(cid:61480) j V X i

(cid:61480)

(cid:61481)

r j i X 1

e i 1

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

i n

i 1

(cid:61646)(cid:61525)

i J (cid:61646)

(cid:61501)

... (cid:61483) (cid:61483)

. Khi đó có các phần tử và các số

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61548) i 1

r j i 1

e i 1

(cid:61548) i n

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61603)(cid:61669) (cid:61548) i

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

1 (cid:61501)

(cid:61501)

... (cid:61483) (cid:61483)

, sao cho ; suy

(cid:61480)

(cid:61481)

i 1

r j i 1

e i 1

i n

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61537) (cid:61548) (cid:61537) (cid:61501)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61548) (cid:61537)

(cid:61481)

,...,

(cid:61537)

ra: . Mà các

(cid:61481)

(cid:61480) j V X i

(cid:61480) j V(cid:61537) X i

(cid:61480)

(cid:61481)

r j i X 1

e i 1

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61646)(cid:61525)

(cid:61525)

i J (cid:61646)

(cid:61501)

... (cid:61483) (cid:61483)

, , trong đó W là bao tuyệt đối lồi của

W (cid:61646) .

(cid:61480)

(cid:61481)

i 1

r j i 1

e i 1

i n

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61548) (cid:61537)

(cid:61481)

nên:

(cid:61481) (cid:61480) (cid:61501) (cid:61537) (cid:61548) (cid:61537) . Vậy U W(cid:61537) (cid:61501)

Suy ra U W(cid:61537) (cid:61644) nên thuộc vào (cid:68). Như vậy ta chứng minh được(cid:68)thỏa

C2.

(cid:61480) L X . Xét ánh xạ

(cid:61481)

L X(cid:84) trên (cid:61481)

(cid:61480)

Nên (cid:68)làm thành cơ sở của một tôpô lồi địa phương

(cid:61480) L X(cid:61614)

(cid:61481)

:Xj

nhúng là ánh xạ thuần nhất liên tục. Thật vậy, lấy , ta chứng minh Xj

V (cid:61646)(cid:85) sao cho U là bao tuyệt đối lồi của

(cid:61481)

(cid:61480) j V X i

(cid:61525)

i J (cid:61646)

. bất kì lân cận U (cid:61646)(cid:68), khi đó có

J(cid:61646) và số ir sao cho

(cid:61481)i e

i J

(cid:61646) là cơ sở thuần nhất của X nên tồn tại i

Với mỗi x V(cid:61646) , vì (cid:61480)

r e(cid:61501) i i

iV ; suy ra:

(cid:61501)

(cid:61646)

(cid:61644)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) x

r j i X

e i

(cid:61480) j V X i

(cid:61525)

i J (cid:61646)

, điều này có nghĩa là x thuộc vào vết

(cid:61481)

(cid:61480) Xj V

U(cid:61644) . Điều này chứng tỏ Xj

Vậy là ánh xạ thuần nhất liên tục.

L X được xây dựng như trên là vật tự do tương đối

(cid:61480)

(cid:61481)

Sau đây ta phải chứng minh

:f X

sinh bởi không gian tôpô thuần nhất X, nghĩa là với bất kì một không gian lồi địa

Y(cid:61614) , ta phải chứng minh tồn tại

phương Y và bất kì ánh xạ thuần nhất liên tục

cấu xạ (cid:61546) làm biểu đồ (2.14) sau giao hoán:

- 50 -

Xj (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61480) L X

(cid:61481)

(cid:61615) Y

(2.14)

L X nên với mỗi i

J(cid:61646) , ta đặt

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61481)i e

i J (cid:61646)

(cid:61501)

của X là cơ sở của Vì cơ sở thuần nhất (cid:61480)

(cid:61480)

(cid:61481)

e i

(cid:61480) f e i

(cid:61480) (cid:61546)

(cid:61481)

(cid:61546)

(cid:61546) (cid:61501) .

. Biết được ảnh của cơ sở nên ta xác định được duy nhất ánh xạ

(cid:61614) . Để ý rằng

(cid:61480) : L X

(cid:61481)

tuyến tính

H(cid:61644) .

Ta sẽ chứng minh (cid:61546) là liên tục tại gốc. Thật vậy, lấy bất kì lân cận tuyệt đối

H (cid:61646)(cid:85) vì f là ánh xạ thuần nhất liên tục nên có lân cận

V (cid:61646)(cid:85) sao cho (cid:61480) f V

(cid:61481)

lồi

H (cid:61546) (cid:61644) . Với mỗi

(cid:61481)

(cid:61481)U (cid:61480)

(cid:61480) j V X i

(cid:61525)

i J (cid:61646)

,...,

,..., (cid:61548) (cid:61548) ,

y U(cid:61646) thì có các phần tử

Ta gọi U là bao tuyệt đối lồi của và chứng minh

(cid:61481)

(cid:61480) j V X i

(cid:61480)

(cid:61481)

r j i X 1

e i 1

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

i n

i 1

(cid:61646)(cid:61525)

i J (cid:61646)

(cid:61501)

... (cid:61483) (cid:61483)

và các số

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61548) i 1

r j i 1

e i 1

(cid:61548) i n

r j i n

e i n

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61603)(cid:61669) (cid:61548) i

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

1 (cid:61501)

,...,

, sao cho: .

iV của V nên cũng thuộc vào V. Như vậy với mỗi

r e i i 1 1

r e thuộc vào các vết i n

i n

(cid:61546)

(cid:61501)

(cid:61644)

(cid:61603) (cid:61603) , ta có n

Ta có

(cid:61644) . Mà H tuyệt đối lồi

(cid:61480) f V

(cid:61481)

r j i

e i

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) f r e i i

(cid:61481)

số nguyên j, 1

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61501)

... (cid:61483) (cid:61483)

(cid:61646)

(cid:61480) (cid:61546)

(cid:61481)

(cid:61548) i 1

(cid:61480) f r e i i 1 1

(cid:61548) i n

(cid:61480) f r e i i n n

(cid:61481)

nên:

(cid:61546) (cid:61644) nên (cid:61546) là liên tục tại gốc, do vậy nó cũng liên tục.

(cid:61481)U (cid:61480)

Vậy

L X là vật tự do tương đối sinh bởi không gian tôpô

(cid:61480)

(cid:61481)

Tóm lại ta đã chứng minh được

thuần nhất X.

Hơn nữa, vật tự do tương đối sinh bởi X là duy nhất theo nghĩa, nếu F là vật tự do

L X đẳng xạ với nhau. Thật vậy, F là vật tự do

(cid:61480)

(cid:61481)

tương đối thứ hai sinh bởi X thì F và

- 51 -

:j X

F(cid:61614) có tính phổ

tương đối sinh bởi X cùng với ánh xạ nhúng thuần nhất liên tục

X(cid:61614) ; nghĩa là có duy nhất ánh xạ

(cid:61480) L X

(cid:61481)

:Xj

: F (cid:61546) (cid:61614)

dụng đối với ánh xạ thuần nhất liên tục

j(cid:61546) (cid:61501) j

(cid:61480) L X

(cid:61481)

(cid:61561)

(cid:61614) sao cho

sao cho (2.15). tuyến tính liên tục

(cid:61480) : L X

(cid:61481)

j (cid:61561) (cid:61501) (2.16).

: F

(cid:61561)(cid:61546) (cid:61501) mà

Ngược lại ta cũng có duy nhất ánh xạ tuyến tính liên tục

(cid:61561)(cid:61546) (cid:61614) là ánh xạ tuyến tính liên tục.

j(cid:61501) nên theo tính phổ dụng của j đối với ánh xạ thuần nhất liên tục

Từ (2.15) và (2.16) ta suy ra

:j X

F(cid:61614) thì chỉ có duy nhất một ánh xạ tuyến tính từ F đến F làm cho biểu đồ (2.17)

Hơn nữa, 1 .F j

j (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

giao hoán:

(cid:61615) F

(cid:61546)(cid:61561) (cid:61501)

(2.17)

L X đẳng xạ với nhau. Do đó có

(cid:61480)

(cid:61481)

1F(cid:61561)(cid:61546)(cid:61501)

1L X (cid:61480)

(cid:61481)

Do vậy . Tương tự . Vậy F và

(cid:61480)

X(cid:68) là (cid:68) được xây dựng như

X(cid:68) mà

sở . Ta cũng kí hiệu cơ sở lân cận của duy nhất một vật tự do tương đối sinh bởi X và nó nhận cơ sở thuần nhất của X làm cơ (cid:61481) L X là

trên. (cid:61550)

Trước khi kết thúc phần này ta đưa ra một kết quả mà còn được gọi là “tính đủ

nhiều của các vật tự do tương đối” làm cơ sở cho việc xây dựng phép giải tự do tương

đối sau này:

Mệnh đề 2.3.2.3

Mỗi không gian lồi địa phương X đẳng xạ với không gian thương của một vật tự

do tương đối nào đó.

Chứng minh:

L X sinh bởi X và (cid:68) là cơ sở lân cận của

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61481) L X thỏa

(cid:61480)

Xét vật tự do tương đối

các điều kiện của mệnh đề 1.3.3.2. Do tính phổ dụng của ánh xạ thuần nhất liên tục

- 52 -

X(cid:61614) nên tồn tại ánh xạ tuyến

(cid:61480) L X(cid:61614)

(cid:61481)

:Xj

X(cid:61614) sao cho

đối với ánh xạ tuyến tính liên tục 1 :X X

(cid:61480) :p L X

(cid:61481)

pj (cid:61501) X

1 X

tính liên tục (2.18). Dễ kiểm tra j là đơn ánh và p là

toàn ánh. Từ (2.18) suy ra p là toán tử chính quy từ L(X) đến X. Theo hệ quả 1.4.3.5, p

(cid:61480) L X

(cid:61481)

(cid:61552) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

X (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (2.19)

1 (cid:61485)

(cid:61480) p L X

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) 0

(cid:61480) L X

(cid:61481)

X x :

có thể được phân tích như sau:

p(cid:61552)(cid:61501)

(cid:61480) (cid:61481) p x

(cid:61537)

p(cid:61485) (cid:61614) (cid:61480) (cid:61481) 0

(cid:61480) L X

(cid:61481)

. Ta có p , vì p là toàn ánh nên p là trong đó

p(cid:61485)

(cid:61480) (cid:61481) 1 0

toàn ánh; suy ra p là toàn xạ. Tôpô trên là tôpô thương được xây dựng

(cid:61480) L X

(cid:61481)

trong mệnh đề 1.4.1.3.

(cid:61614)

(cid:61480) (cid:61481) x

(cid:61537)

1 p(cid:61485)

(cid:61480) (cid:61481) 0

(cid:61480) L X

(cid:61481)

liên Xét ánh xạ , do Xj . Ta chứng minh Xj

(cid:61481)U(cid:61552) trong

(cid:61480)

U (cid:61646)(cid:68) ,do Xj

p(cid:61485)

(cid:61480) (cid:61481) 1 0

U(cid:61644) . Suy ra

tục tại gốc. Lấy bất kì lân cận , với là ánh xạ

V (cid:61646)(cid:85) để

(cid:61481)

(cid:61480) U (cid:61552)

(cid:61481)

(cid:61480) Xj V

(cid:61480) j V X

(cid:61501) (cid:61673) (cid:61552) (cid:61675)

(cid:61689) (cid:61644) (cid:61691)

. thuần nhất liên tục nên có

,(cid:61537) (cid:61538), do (2.18) ta có:

là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy với Vậy Xj liên tục tại gốc. Giờ ta sẽ chứng minh Xj

,x y X(cid:61646) và mọi số

(cid:61501)

(cid:61483)

(cid:61480) y x (cid:61483) (cid:61537) (cid:61538)

(cid:61481)

1 X

y (cid:61538)

(cid:61483)

(cid:61501)

(cid:61480) (cid:61481) y (cid:61501) (cid:61537) (cid:61538) (cid:61537) (cid:61538) (cid:61480) (cid:61480) pj x (cid:61537)

(cid:61483) (cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) x (cid:61537) (cid:61480) (cid:61481) x (cid:61483) (cid:61537)

(cid:61480) (cid:61480) y (cid:61538)

p j (cid:61501) (cid:61673) (cid:61675)

(cid:61481) y (cid:61538) (cid:61481) (cid:61689) (cid:61691)

(cid:61662)

(cid:61483)

y (cid:61538)

(cid:61480) y x (cid:61483) (cid:61537) (cid:61538)

(cid:61481)

(cid:61480) x (cid:61537)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) 1 0 (cid:61485)

(cid:61485) (cid:61673) (cid:61675)

(cid:61662)

(cid:61501)

(cid:61483)

y (cid:61538)

(cid:61483)

y (cid:61538)

(cid:61689) (cid:61646) (cid:61691) (cid:61480) x (cid:61537)

(cid:61481)

(cid:61480) y x (cid:61483) (cid:61537) (cid:61538)

(cid:61481)

(cid:61480) y x (cid:61483) (cid:61537) (cid:61538)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) x (cid:61537)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61501) (cid:61673) (cid:61675)

(cid:61689) (cid:61501) (cid:61691)

mọi

là ánh xạ tuyến tính liên tục. Vậy Xj

- 53 -

p j

(cid:61501)

(cid:61480) (cid:61481) x

1 X

(cid:61480) p j

(cid:61481)

(cid:61480) p j

(cid:61481)

(cid:61480) L X

(cid:61481)

Ngoài ra, với mỗi x X(cid:61646) ta có . Vậy

(cid:61646)

(cid:61501)

(cid:61480) p y

(cid:61481)

p j (cid:61501) X

1 X

(cid:61480) j p y X

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) j p y X

(cid:61481)

p(cid:61485)

(cid:61480) (cid:61481) 1 0

(cid:61485)

(cid:61501)

(cid:61485)

(cid:61501)

(cid:61485)

(cid:61501) . 0

ta có . Và với mỗi . Hơn

(cid:61481)

(cid:61480) p y

(cid:61481)

(cid:61480) pj p y

(cid:61481)

(cid:61480) p y

(cid:61481)

(cid:61480) p y

(cid:61481)

(cid:61480) j p y X

1 X

(cid:61480) p y

(cid:61481)

p (cid:61485)

(cid:61501)

(cid:61485)

(cid:61646)

nữa:

(cid:61501)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) 1 0

(cid:61480) j p y X

j p X

1 (cid:61480) L X

(cid:61481)

(cid:61485)

1 0 (cid:61480) (cid:61481)

(cid:61480) L X

(cid:61481)

Suy ra hay . . Vậy

p(cid:61485)

(cid:61480) (cid:61481) 1 0

.(cid:61550) Như thế ta đã chứng minh được X đẳng xạ với

Ví dụ về các vật xạ ảnh tương đối, ta có:

Mệnh đề 2.3.2.4

Vật tự do tương đối của một không gian thuần nhất là vật xạ ảnh tương đối.

L X là vật tự do tương đối sinh bởi không gian tôpô thuần nhất X, gọi

(cid:61481)

Gọi Chứng minh: (cid:61480)

(cid:61481) (cid:61480) L X .

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

e i

(cid:61481)i e

(cid:61480)

(cid:61481)

i J

(cid:61646) là cơ sở thuần nhất của X nên có

i J (cid:61646)

là cơ sở của

(cid:61480) L X là vật xạ ảnh tương đối. Thật vậy, lấy bất kỳ toàn xạ chính

(cid:61481)

Ta chứng minh

B(cid:61614) .

: A

(cid:61555) (cid:61614) và bất kì cấu xạ

(cid:61480) :f L X

(cid:61481)

(cid:61602) (cid:61555)

fj X :

(cid:61602)(cid:61501) (cid:61555)

Xj (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

quy

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) thì g là ánh xạ thuần nhất liên tục.

(cid:61480) L X

(cid:61481)

Đặt

(cid:61480) L X(cid:61614)

(cid:61481)

:Xj

(cid:61546)

(cid:61614) sao cho

g (cid:61546) (cid:61501) . Suy ra

Nên theo tính phổ dụng của ánh xạ đối với ánh xạ thuần nhất liên tục g

(cid:61480) : L X

(cid:61481)

thì tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục

j (cid:61546)

(cid:61501)

(cid:61555)(cid:61602)

(cid:61501)

(cid:61555)(cid:61546) (cid:61555)(cid:61555)(cid:61602) (cid:61501) X

j (cid:61555)(cid:61546) (cid:61501) X

j (cid:61555)(cid:61546)(cid:61501)

(cid:61501)

nên ; dẫn đến (do (cid:61555) là toàn xạ). Vì

J(cid:61646) . Nhận thấy (cid:61555)(cid:61546) và f là

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

e i

(cid:61480) (cid:61555)(cid:61546)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

f(cid:61555)(cid:61546)(cid:61501)

với mọi i

(cid:61480) L X là vật xạ ảnh tương đối. (cid:61550)

(cid:61481)

hai ánh xạ tuyến tính có ảnh bằng nhau trên cơ sở nên bằng nhau. Vậy , do đó

- 54 -

Từ kết quả của mệnh đề 2.3.2.4 và từ “tính đủ nhiều của lớp các vật tự do tương

đối”, ta suy ra “tính đủ nhiều của lớp các vật xạ ảnh tương đối”.

Sau cùng ta trình bày hệ quả về mối liên hệ giữa không gian lồi địa phương với

dãy khớp ngắn “đặc biệt” sau:

Mệnh đề 2.3.2.5

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

X(cid:61552) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614)

(cid:61480) L X

(cid:61481)

Mỗi không gian lồi địa phương X cảm sinh một dãy khớp ngắn:

trong đó i và(cid:61552) còn là các toán tử chính quy.

(cid:61480) L X

(cid:61481)

Chứng minh:

p(cid:61485)

(cid:61480) (cid:61481) 1 0

i p :

và Theo mệnh đề 2.3.2.3 , không gian lồi địa phương X đẳng xạ với

X(cid:61614) . Khi đó ta có hạt nhân của p,

(cid:61480) :p L X

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) 1 (cid:61485) (cid:61614) 0

(cid:61480) L X

(cid:61481)

có toàn xạ chính quy

i Kerp

(cid:61501) (cid:61501)

là đơn xạ nên theo mệnh đề 2.2.2.5 ta có i là chính quy. Mặt khác, do i là đơn xạ nên

i(cid:61501) . Từ đó Im i

1 (cid:61485)(cid:61614) p

i (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

X 0 (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) .

theo mệnh đề 1.4.3.7 ta có Im i . Như vậy ta có dãy khớp

(cid:61480) (cid:61481) 0

(cid:61480) L X

(cid:61481)

ngắn sau:

Đây là điều cần phải chứng minh. (cid:61550)

Mệnh đề 2.3.2.6

Trong phạm trù các không gian lồi địa phương, cho biểu đồ giao hoán:

(cid:61615)

(cid:61537)

(cid:61538)

Y (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(2.20)

,(cid:61537) (cid:61538) là các toán tử chính quy và A là vật xạ ảnh tương

:g A

trong đó dòng dưới là khớp ,

f(cid:61538) (cid:61501) . Khi đó tồn tại cấu xạ

X(cid:61614) sao cho biểu đồ giao hoán;

f(cid:61537) (cid:61501) g

đối. Hơn nữa

nghĩa là

Chứng minh:

- 55 -

(cid:61537)

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) . Do dòng dưới

(cid:61480) (cid:61537)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61481)

Giả sử (cid:61537) có sự phân tích qua ảnh là

(cid:61537) (cid:61614) là hạt nhân của (cid:61538); dẫn đến

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61538)(cid:61485)(cid:61501)

(cid:61485)(cid:61644) (cid:61538)

(cid:61501)

trong biểu đồ (2.10) là khớp nên

f(cid:61538) (cid:61501) nên ta suy ra

(cid:61480) X(cid:61537)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) 1 0

(cid:61480) f A

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61481) 1 0

(cid:61480) (cid:61537)

(cid:61481)

A (cid:61622) (cid:61614)

. . Mà theo giả thiết

(cid:61480) (cid:61537)

(cid:61481) X a :

(cid:61480) f a

(cid:61481)

(cid:61537)

f A :

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) ,

i(cid:61501) (cid:61622) (2.21).

. Do vậy ta xây dựng được ánh xạ tuyến tính

(cid:61480) (cid:61537)(cid:61622)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61481)

Nhận thấy f có thể phân tích dưới dạng

(cid:61602) (cid:61501) i i

Theo bổ đề 2.2.2.6 ta có đơn xạ i là toán tử chính quy và theo mệnh đề 2.2.2.3 tồn tại

1 X (cid:61480) (cid:61537)

(cid:61481)

(cid:61602) i f

i i

(cid:61602)(cid:61501) (cid:61622) (cid:61501) (cid:61622) cho thấy (cid:61622) là ánh xạ thuần nhất liên tục nên theo mệnh đề 2.2.2.4 ta có (cid:61622)

ánh xạ thuần nhất liên tục i(cid:61602) sao cho . Từ đẳng thức (2.21), suy ra:

liên tục. Khi đó ta có biểu đồ (2.22) các ánh xạ tuyến tính liên tục sau:

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61622) (cid:61615) (cid:61480) (cid:61537) (cid:61537)

(cid:61481)

(2.22)

:g A

X(cid:61614)

Mà (cid:61537) là toàn ánh tuyến tính liên tục, chính quy (theo mệnh đề 2.2.2.6) và A là vật xạ

i g (cid:61537) (cid:61537)(cid:61501)

ảnh tương đối nên do tính phổ dụng của vật xạ ảnh tương đối, tồn tại cấu xạ

g(cid:61537) (cid:61501) (cid:61622) dẫn đến

f (cid:61501) (cid:61622) (cid:61501) , và đây

sao cho biểu đồ (2.11) giao hoán, nghĩa là

là điều cần phải chứng minh. (cid:61550)

Mệnh đề 2.3.2.7

(cid:61537) 1

(cid:61538) 1

Y (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) 1

Trong phạm trù các không gian lồi địa phương, cho biểu đồ (2.23) giao hoán:

Z 1 (cid:61615)

(cid:61615)

(cid:61537) 2

(cid:61538) 2

Y (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) 2

(2.23)

,(cid:61537) (cid:61538) là toán tử chính quy,

1X là

:h X

X(cid:61614) làm cho

trong đó dòng trên khớp, dòng dưới là khớp với các

vật xạ ảnh tương đối. Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục

biểu đồ (2.23) giao hoán.

- 56 -

.0 0

(cid:61501)

(cid:61501) . Vì

Chứng minh:

(cid:61480)

(cid:61481)

f (cid:61538) (cid:61537) 2 1

(cid:61538)(cid:61537) 1 1

Do biểu đồ (2.12) giao hoán và hai dòng khớp nên

,(cid:61537) (cid:61538) là các toán tử chính quy,

1X là vật

:h X

X(cid:61614) sao cho

dòng dưới trong biểu đồ (2.12) là khớp, các

f(cid:61537) h

xạ ảnh tương đối nên theo mệnh đề 2.3.2.6 tồn tại cấu xạ

(cid:61537)(cid:61501) 1

. Và đó là điều ta cần phải chứng minh. (cid:61550)

§4. XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ

CÁC KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG

2.4.1 Phép giải xạ ảnh tương đối

Định nghĩa 2.4.1.1

Cho A là một không gian lồi địa phương tùy ý, ta gọi phép giải xạ ảnh tương đối

(cid:61622)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) n

X (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (2.24) 0

1 (cid:61485)

của A là một dãy khớp các vật xạ ảnh tương đối và các toán tử chính quy:

nX là vật tự do tương đối ( t.ư. vật xạ ảnh tương đối) với mọi

n (cid:61619) thì (2.24) được gọi là một phép giải tự do tương đối (t.ư. phép giải xạ ảnh tương

Nói riêng, nếu

đối) của không gian lồi địa phương A.

Từ “tính đủ nhiều của lớp các vật tự do tương đối”, ta có định lí sau sẽ khẳng

định sự tồn tại của phép giải xạ ảnh tương đối.

Định lí 2.4.1.2

Mọi không gian lồi địa phương A đều có một phép giải tự do tương đối.

Chứng minh:

Theo mệnh đề 2.3.2.5 ta biết rằng với mỗi không gian lồi địa phương A thì tồn tại

(cid:61537) 0

(cid:61538) 0

L (cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) 0

dãy khớp ngắn chính quy sau:

- 57 -

0(cid:61537) , toàn xạ

0(cid:61538) là các toán tử chính quy; trong đó 0L là vật tự do tương đối.

với đơn xạ

0X là không gian lồi địa phương nên ta cũng có dãy khớp ngắn :

(cid:61537) 1

(cid:61538) 1

L (cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) 1

1(cid:61537), toàn xạ

1(cid:61538) là các toán tử chính quy.

Lại vì

trong đó 1L là vật tự do tương đối và đơn xạ

(cid:61537) n

(cid:61538) n

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61614)

L n

1 (cid:61485)

Như vậy bằng phép quy nạp toán học ta thu được các dãy khớp ngắn:

n(cid:61537) , toàn xạ

n(cid:61538) là

n (cid:61502) , ở đó nL là vật tự do tương đối và đơn xạ

với mọi số nguyên

(cid:61622)

(cid:61483)(cid:61622) n 1

...

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (2.25)

L n

L 1

L 0

L n

1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

các toán tử chính quy. Bây giờ ta lập dãy

khi n

(cid:61501)

khi n

(cid:61619)

(cid:61538) (cid:61676) 0 (cid:61622) (cid:61501) (cid:61677) (cid:61537) (cid:61538)(cid:61485) (cid:61678)

trong đó nL là các vật tự do tương đối được xây dựng như trên, còn:

Để chứng minh (2.25) là phép giải tự do tương đối của A ta phải chứng minh nó là dãy

n (cid:61502) , ta có

khớp và các (cid:61622) là các toán tử chính quy.

n(cid:61537) ,

n(cid:61538) là các toán tử chính quy nên có các ánh xạ thuần nhất

Với mỗi

(cid:61501)

n(cid:61537)(cid:61602) ,

n(cid:61538)(cid:61602) sao cho

(cid:61537)(cid:61537)(cid:61602) n n

1 X

(cid:61602) (cid:61501) (cid:61538)(cid:61538) n n

1 X

1 (cid:61485)

và liên tục . Do đó với ánh xạ thuần nhất liên

(cid:61614) , ta có ánh xạ thuần nhất liên tục

(cid:61622) (cid:61501) n

L n

L (cid:61614) mà: n

(cid:61537) (cid:61538)(cid:61485)

1 (cid:61485)

(cid:61602) (cid:61602) (cid:61538)(cid:61537) (cid:61485) n n

1 (cid:61485)

(cid:61622)

(cid:61501)

tục

(cid:61481)(cid:61480)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61602) (cid:61602) (cid:61538)(cid:61537) n n n

(cid:61602) n

(cid:61622) (cid:61501) 1 n (cid:61485)

(cid:61537) (cid:61538)(cid:61538) (cid:61537) (cid:61537) (cid:61538) (cid:61537) (cid:61538) 1 n (cid:61485)

1 (cid:61485)

. Vậy các (cid:61622) là các toán tử chính quy.

n (cid:61619) nên theo

n(cid:61537) là đơn xạ, chính quy và n(cid:61538) là toàn xạ , chính quy với mọi

Ker

(cid:61622)

(cid:61501)

(cid:61622)

(cid:61481)

(cid:61480) (cid:61537)(cid:61538) n n

(cid:61537) n

(cid:61538) n

1 (cid:61483)

(cid:61480) (cid:61537) (cid:61538) 1 n n (cid:61485)

Ker

(cid:61501)

mệnh đề 2.2.2.7 và mệnh đề 1.4.3.2 ta có:

(cid:61622) với mọi

0n (cid:61619) . Đó là điều cần phải chứng minh. (cid:61550)

Im n (cid:61483)(cid:61622)

tức là

Theo định lí 2.4.1.2 ta đã chứng minh được sự tồn tại phép giải xạ ảnh tương đối của

không gian lồi địa phương A. Sau đây chúng ta sẽ chứng tỏ tính duy nhất của phép giải

- 58 -

xạ ảnh tương đối, theo nghĩa hai phép giải xạ ảnh tương đối bất kì của cùng một không

gian lồi địa phương A đều tương đương đồng luân. Ta có được điều này nhờ các mệnh

đề sau:

Mệnh đề 2.4.1.3

:h A

B(cid:61614) là một ánh xạ tuyến tính liên tục của không gian lồi địa phương A

Cho

(cid:61622)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) n

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) 1

1 (cid:61485)

vào không gian lồi địa phương B bất kì và

(cid:61602)

(cid:61622)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614)

Y n

Y 0

Y 1

1 (cid:61485)

là một phép giải xạ ảnh tương đối bất kì của A,

là một phép giải xạ ảnh tương đối bất kì của B.

(cid:61619) sao cho biểu đồ (2.26)

f X : n

n(cid:61614) Y n

Khi đó, tồn tại các ánh xạ tuyến tính liên tục

(cid:61622)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) n

1 (cid:61485)

là giao hoán:

(cid:61615)

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) 1 (cid:61615)

0 (cid:61615)

(cid:61615)

n (cid:61615)

f 1

(cid:61602)

(cid:61622)

...

n 1 (cid:61485) (cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614)

Y n

Y 0

Y 1

1 (cid:61485)

(2.26)

n (cid:61619) và h lập thành phép biến đổi dây chuyền

Y(cid:61614) .

Các ánh xạ tuyến tính liên tục

Chứng minh:

(cid:61602)(cid:61622) (cid:61614) là một toàn xạ, chính quy nên theo tính

0X là vật xạ ảnh tương đối và

: Y 0

Vì

f X : 0

Y(cid:61614) sao 0

phổ dụng của vật xạ ảnh tương đối, tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục

(cid:61622)

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614)

0 (cid:61615)

(cid:61615)

(cid:61602)(cid:61622)

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614)

Y 0

h (cid:61501) (cid:61622) .

cho biểu đồ sau đây là giao hoán:

(cid:61602)(cid:61622) 0f

tức là

- 59 -

(cid:61500)

(cid:61500) đã xây dựng được các ánh xạ tuyến tính liên tục

Y(cid:61614) sao cho biểu đồ sau đây giao hoán:

(cid:61622) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

m (cid:61615)

1 (cid:61485) (cid:61615)

Y m

m 1 (cid:61485) (cid:61602)(cid:61622) Y (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) m

1 (cid:61485)

m (cid:61474) (cid:61502)

m n (cid:61500) .

Giả sử với mọi 0 m n

1f h (cid:61485) (cid:61501) ,

trong đó

(cid:61622) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61485)

Xét biểu đồ giao hoán (2.27) sau:

n 1 (cid:61485) (cid:61615)

n (cid:61615)

(cid:61602)

(cid:61622)

2 Y n

Y n

n 1 (cid:61485) (cid:61485) Y (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) 1 n (cid:61485)

(cid:61485)

(2.27)

(cid:61602)(cid:61622) (cid:61622) là các toán tử chính quy và các không ,

trong đó do hai dòng là khớp với các ánh xạ

gian lồi địa phương trên (2.27) là vật xạ ảnh tương đối nên theo mệnh đề 2.3.2.7 tồn tại

Y(cid:61614) sao cho biểu đồ (2.27) là giao hoán. (cid:61550)

f X :n

ánh xạ tuyến tính liên tục

Như thế, ta đã hoàn thành phép xây dựng các cấu xạ của phép biến đổi dây

chuyền từ X đến Y. Hơn thế nữa, chúng ta còn có kết quả sau:

Mệnh đề 2.4.1.4

,X Y là các phép giải xạ ảnh tương đối của các không gian lồi địa phương

g h n ,

(cid:61501)

(cid:61619)

(cid:61501)

(cid:61619)

Cho

(cid:61563)

(cid:61565) 0

(cid:61563)

(cid:61565) 0

f h n n

, là các phép A, B như trong mệnh đề 2.1.4 và

Y(cid:61614) . Khi đó f đồng luân với g.

biến đổi dây chuyền X

Chứng minh:

k X :n

Y (cid:61483)(cid:61614) sao cho:

(cid:61602)(cid:61622) k

(cid:61483)

(cid:61485)

Ta phải xây dựng các cấu xạ:

(cid:61622) (cid:61501) 1 (cid:61485)

0 :

với mọi n.

Y (cid:61614) . 0

(cid:61485) (cid:61501)

Trước hết ta đặt

n (cid:61619) và ta đã dựng được các ánh xạ tuyến tính liên tục

Y (cid:61483)(cid:61614) với mọi

Giả sử

0 m n

(cid:61602)(cid:61622) k

(cid:61483)

(cid:61485)

(cid:61500) sao cho:

(cid:61603)

(cid:61622) (cid:61501) 1 (cid:61485)

- 60 -

Xét biểu đồ (2.28):

(cid:61615)

(cid:61602)(cid:61622)

Y n

Y (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) n

Y n

1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

(cid:61501)

(cid:61485)

(2.28)

(cid:61622) . 1

k (cid:61485)

trong đó j là ánh xạ tuyến tính liên tục:

(cid:61622)

(cid:61501) (cid:61622)

(cid:61485) (cid:61622)

(cid:61602) n

(cid:61602) k n n f

n g

(cid:61622) 1 (cid:61485) (cid:61485)

(cid:61485)

(cid:61485) (cid:61622)

(cid:61501) (cid:61622)

(cid:61485)

(cid:61622)

1 (cid:61485)

(cid:61485)

1 (cid:61485)

(cid:61485)

(cid:61485) (cid:61622)

(cid:61501) (cid:61622)

(cid:61481)

(cid:61622) (cid:61485) 1 n (cid:61485)

(cid:61485)

(cid:61481) (cid:61622) (cid:61622) 1 n (cid:61485)

(cid:61485) (cid:61622)

(cid:61501) (cid:61622)

(cid:61485) (cid:61622)

(cid:61485)

(cid:61501)

(cid:61485) (cid:61622) (cid:61480) (cid:61480) (cid:61480) (cid:61485) (cid:61622)

(cid:61622) (cid:61485) 1 n (cid:61485) (cid:61481)

(cid:61602) f n n (cid:61602) f n n (cid:61602) f n n (cid:61602) f n n

(cid:61602) n (cid:61602) n (cid:61602) n (cid:61602) n

n (cid:61602) f n n

(cid:61602) n

Khi đó ta có:

nX là vật

Do dòng dưới của (2.28) là khớp với các ánh xạ (cid:61622) là các toán tử chính quy,

(cid:61602)(cid:61622) k

j (cid:61501) (cid:61501)

(cid:61485)

(cid:61602)(cid:61622) k

(cid:61483)

(cid:61485)

xạ ảnh tương đối nên theo mệnh đề 2.3.2.6 tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục

k X :n

(cid:61622) . Suy ra 1

Y (cid:61483)(cid:61614) sao cho:

k (cid:61485)

(cid:61622) (cid:61501) 1 (cid:61485)

. Mệnh đề

đã được chứng minh. (cid:61550)

Từ hai mệnh đề trên ta thu được định lí sau:

Định lí 2.4.1.5

Hai phép giải xạ ảnh tương đối bất kì của cùng một không gian lồi địa phương A

đều tương đương đồng luân.

(cid:61622)

(cid:61483)(cid:61622) 1 n

:...

...

X (cid:61630)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614)

Chứng minh:

1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

(cid:61622)

(cid:61602) n

(cid:61483)(cid:61602) 1 n

(cid:61602)

:...

...

X (cid:61630)(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614)

Giả sử

(cid:61602) n

(cid:61602) 1

(cid:61602) 0

1 (cid:61483)

1 (cid:61485)

và

là hai phép giải xạ ảnh tương đối bất kì của cùng một không gian lồi địa phương A.

(cid:61501)

(cid:61614)

(cid:61619) (cid:61485)

(cid:61563)

(cid:61565) 1

f X : n

X n(cid:61602) | n

(cid:61501)

(cid:61614)

(cid:61619) (cid:61485)

(cid:61563)

(cid:61565) 1

g X : n

X n(cid:61602) | n

Khi đó tồn tại phép biến đổi dây chuyền:

- 61 -

g(cid:61485) ,

(cid:61485) là cấu xạ 1A .

trong đó

Khi đó theo mệnh đề 2.4.1.4 ta có gf đồng luân với tự đồng cấu đồng nhất của X,

đồng luân với tự đồng cấu đồng nhất của X (cid:61602) . Vậy X và X (cid:61602) tương đương đồng luân với

nhau.(cid:61550)

Vậy với mỗi không gian lồi địa phương A ta đã chứng minh được luôn tồn tại duy nhất

theo nghĩa tương đương đồng luân phép giải xạ ảnh tương đối của A. Sau đây ta sẽ

trình bày cách xây dựng hàm tử bằng phép giải xạ ảnh tương đối trong phạm trù

các không gian lồi địa phương.

2.4.2 Xây dựng hàm tử mở rộng

Định nghĩa 2.4.2.1

(cid:61622)

...

(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) n

(cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) (cid:61614) 1

1 (cid:61485)

Cho A và B là các không gian lồi địa phương và

: ...

...

(cid:61614)

(cid:61540) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614)

(cid:61614)

là phép giải xạ ảnh tương đối của A.

(cid:61480) Hom X B

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X

(cid:61481)

(cid:61480) Hom X B

(cid:61481)

1 (cid:61483)

Xét dãy:

nH Hom X B gọi là tích ,

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

Khi đó với mỗi số nguyên dương n, đối đồng điều

(cid:61480) (cid:61481) nExt A B .

mở rộng n – chiều của các không gian lồi địa phương A và B đã cho và được kí hiệu là

Ext A B và gọi nó là tích mở rộng của các không

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61501)

Với n = 1, ta dùng kí hiệu

(cid:61480) 0 Ext A B

(cid:61481)

(cid:61480) Hom A B

(cid:61481)

. gian lồi địa phương A và B. Ngoài ra, ta cũng định nghĩa

Theo mệnh đề 2.4.1.5 và định lí 2.1.3.4 ta chứng minh được rằng các nhóm đối

nH Hom X B không phụ thuộc vào cách chọn phép giải xạ ảnh tương

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

đồng điều

đối của không gian lồi địa phương A. Nghĩa là nếu X (cid:61602) cũng là phép giải xạ ảnh của A

H Hom X B

H Hom X B(cid:61602)

(cid:61504)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

thì ta có: .

Do đó định nghĩa tích mở rộng như trên là hợp lí.

- 62 -

Định nghĩa 2.4.2.2

(cid:61481) nExt A (cid:61485) là hàm tử từ

(cid:61480)

Cho A là một không gian lồi địa phương cố định, hàm tử

phạm trù các không gian lồi địa phương đến phạm trù các nhóm aben được xây dựng

bằng cách cho tương ứng:

(cid:61481) (cid:61480) nExt A B .

: B

(cid:61537)

(cid:61623) Mỗi không gian lồi địa phương B với một nhóm

(cid:61602)

clsc Ext A B

(cid:61537)

(cid:61614)

(cid:61646)

(cid:61623) Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục

(cid:61602)(cid:61614) với một đồng cấu (cid:61481) (cid:61481)

(cid:61480) cls c (cid:61537)(cid:61501)

(cid:61480) n Ext A B

(cid:61481)

(cid:61480) n Ext A B

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) * clsc

* : (cid:61537)

mà . với mỗi

Mệnh đề 2.4.2.3

nExt A (cid:61485) là hàm tử hiệp biến, tức là nó thỏa hai tính chất:

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61501)

Hàm tử

(cid:61481)

(cid:61480) 1 B

1 n (cid:61480) Ext A B

(cid:61481)

(cid:61501)

(cid:61481)

(cid:61480) .(cid:61537) (cid:61537) 2 1

(cid:61480) (cid:61481) (cid:61480) (cid:61537) (cid:61537) 1 *

ii) .

(cid:61501)

clsc

cls

clsc

clsc Ext A B

(cid:61501)

(cid:61646)

Chứng minh:

(cid:61481)

(cid:61481) (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) c 1 . B

1 n (cid:61480) Ext A B

(cid:61481)

(cid:61537) 1

(cid:61537) 2

. Với mỗi nên suy ra (cid:61480) 1 B thì (cid:61480) 1 B

B (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) . 2

B 1

clsc Ext A B

(cid:61646)

Cho các ánh xạ tuyến tính liên tục

(cid:61480)

(cid:61481)

thì: Khi đó với mỗi

clsc

cls

c .

cls

c .

clsc

(cid:61501)

(cid:61481) (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61481) (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) . (cid:61537) (cid:61537) 2 1

(cid:61480) (cid:61537) 2

(cid:61480) (cid:61537) 1

(cid:61480) (cid:61481) (cid:61480) (cid:61537) (cid:61537) 1 *

(cid:61673) (cid:61675)

(cid:61689) (cid:61501) (cid:61691)

nExt A (cid:61485) là hàm tử hiệp biến.(cid:61550)

(cid:61480)

(cid:61481)

Do đó hàm tử

B(cid:61485) ,

Định nghĩa 2.4.2.4

(cid:61480)

(cid:61481)

Cho B là không gian lồi địa phương cố định, hàm tử là hàm tử từ

phạm trù các không gian lồi địa phương đến phạm trù các nhóm aben được xây dựng

bằng cách cho tương ứng:

- 63 -

(cid:61481) (cid:61480) nExt A B .

: A

(cid:61623) Mỗi không gian lồi địa phương A với một nhóm

(cid:61543) (cid:61602) (cid:61614) với một đồng cấu

* :

(cid:61602) ,

clsc Ext A B

(cid:61543)

(cid:61614)

(cid:61543)

(cid:61501)

(cid:61646)

(cid:61623) Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục

(cid:61480) n Ext A B

(cid:61481)

(cid:61480) Ext A B

(cid:61481)

(cid:61480) * clsc

(cid:61481)

(cid:61480) cls c

(cid:61481) (cid:61543)

(cid:61480)

(cid:61481)

B(cid:61485) ,

mà . với mỗi

(cid:61481)

(cid:61501)

là hàm tử phản biến, tức là nó thỏa mãn hai tính chất: Hàm tử Mệnh đề 2.4.2.5 (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) 1 A

1 n (cid:61480) Ext A B

(cid:61481)

(cid:61501)

iii)

(cid:61481)

(cid:61480) .(cid:61543) (cid:61543) 1 2

* (cid:61480) (cid:61481) (cid:61480) (cid:61543) (cid:61543) 1

iv) .

(cid:61501)

clsc

clsc Ext A B

(cid:61501)

(cid:61646)

Chứng minh:

(cid:61481)

*1 (cid:61481) (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) cls c

(cid:61481)

(cid:61480)

(cid:61481)

.1 A

1 n (cid:61480) Ext A B

(cid:61481)

(cid:61543) 2

(cid:61543) 1

. Với mỗi thì (cid:61480) nên suy ra (cid:61480) 1 B

A 2

A A (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) (cid:61630)(cid:61630)(cid:61614) . 1

clsc Ext A B

(cid:61646)

Cho các ánh xạ tuyến tính liên tục

(cid:61480)

(cid:61481)

thì: Khi đó với mỗi

clsc

(cid:61501)

(cid:61481) (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61481) (cid:61480)

(cid:61481)

(cid:61480) . (cid:61543) (cid:61543) 1 2

(cid:61480) . cls c . (cid:61543) (cid:61543) 1 2

(cid:61480) (cid:61543) 2

(cid:61480) . cls c (cid:61543) 1

* (cid:61480) (cid:61481) (cid:61480) (cid:61543) (cid:61543) 1

(cid:61673) (cid:61675)

(cid:61689) (cid:61501) (cid:61691)

B(cid:61485) ,

(cid:61480)

(cid:61481)

Do đó hàm tử là hàm tử phản biến.(cid:61550)

- 64 -

KẾT LUẬN

Sau khi nghiên cứu phạm trù các không gian lồi địa phương cho việc xây dựng hàm

tử Ext, chúng tôi đã thu được một số kết quả sau đây:

1. Phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù tiền aben và chỉ ra được phạm

trù các không gian lồi địa phương không có tính aben.

2. Nếu A là không gian con của B mà B là không gian lồi địa phương thì lần lượt có

(cid:84) để A và B

tôpô cảm sinh trên A và tôpô trở thành không gian lồi địa phương.

3. Kiểm chứng được phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù tiền aben.

4. Ngoài ra cũng cho thấy phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù có ảnh

nên đưa ra được khái niệm dãy khớp trong nó.

5. Đưa ra các khái niệm không gian thuần nhất, ánh xạ thuần nhất, không gian tôpô

thuần nhất, toán tử chính quy.

6. Đưa ra khái niệm vật xạ ảnh tương đối, vật tự do tương đối sinh bởi không gian

thuần nhất X. Qua đó ta xây dựng vật tự do tương đối sinh bởi không gian thuần nhất X;

cũng chứng minh được vật tự do tương đối là vật xạ ảnh tương đối.

7. Sau cùng ta chứng minh được “tính đủ nhiều của lớp các vật tự do tương đối”, từ đó

cũng cho thấy “tính đủ nhiều của lớp các vật xạ ảnh tương đối”.

- 65 -

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2002), Đại số đồng điều, Nhà xuất bản Đại học

quốc gia thành phố Hồ Chí Minh.

2. Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà

Nội.

Tiếng Anh

3. A.P. Robertson và W.J. Robertson (1977), Không gian véctơ tôpô, Nhà xuất bản

đại học và trung học chuyên nghiệp.

4. Saunder Maclane (1975), Homology.

Luận văn Thạc sĩ: Hàm tử Ext trong phạm trù các không gian lồi địa phương

MỞ ĐẦU

Chương I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU

1.1.1 Phạm trù các phức

1.1.2 Đồng luân dây chuyền

1.1.3 Các hàm tử đồng điều

H X là họ các mô đun:

nH X được gọi là mô đun đồng điều thứ n của phức X.

1.1.4 Đối đồng điều

§2. XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ

MÔ ĐUN

1.2.1 Phép giải xạ ảnh

1.2.2 Xây dựng hàm tử mở rộng

§3. KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG

1.3.1 Tập hợp lồi, tập hợp cân và tập hợp hút

1.3.2 Không gian vectơ tôpô

1.3.3 Không gian lồi địa phương

§4. PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA

PHƯƠNG

1.4.1 Phân loại cấu xạ

1.4.2 Phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù cộng tính

1.4.3 Phạm trù các không gian lồi địa phương là phạm trù tiền aben

(cid:61480)

(cid:61481) , (cid:61552) (cid:61537)

Chương II

XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG

PHẠM TRÙ CÁC KHÔNG GIAN LỒI

ĐỊA PHƯƠNG

§1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU

2.1.1 Phạm trù các phức

2.1.2 Đồng luân dây chuyền

2.1.3 Đối đồng điều

(cid:61530)

§2. KHÔNG GIAN THUẦN NHẤT VÀ TOÁN TỬ

CHÍNH QUY

2.2.1 Không gian tôpô thuần nhất

2.2.2 Toán tử chính quy

§3. VẬT XẠ ẢNH TƯƠNG ĐỐI, VẬT TỰ DO TƯƠNG

ĐỐI

2.3.1 Vật xạ ảnh tương đối

2.3.2 Vật tự do tương đối sinh bởi một không gian tôpô thuần nhất

(cid:61480)

(cid:61481)

§4. XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ

CÁC KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG

2.4.1 Phép giải xạ ảnh tương đối

2.4.2 Xây dựng hàm tử mở rộng

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok