BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Tăng Thị Thu Thanh
HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH:
SỰ NỐI KHỚP TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN VÀ BẢN VẼ KỸ THUẬT LỚP 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Tăng Thị Thu Thanh
HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH:
SỰ NỐI KHỚP TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN VÀ BẢN VẼ KỸ THUẬT LỚP 11
Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số
: 8140111
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục với đề tài: Hình
biểu diễn của một hình: Sự nối khớp trong dạy học hình học không gian và
bản vẽ kỹ thuật lớp 11 là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các nội dung và
kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì
một công trình nào khác.
Tác giả
Tăng Thị Thu Thanh
LỜI CẢM ƠN
Lời nói đầu tiên, tôi xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất đến
với TS. Vũ Như Thư Hương, người đã nhận hướng dẫn tôi, người đã giúp đỡ
tôi rất nhiều trong việc làm quen với công việc nghiên cứu và tận tình chỉ dạy,
động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Bên cạnh đó, tôi xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô PGS.TS. Lê Thị
Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Tăng Minh
Dũng, PGS.TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quí thầy cô đã tham gia
giảng dạy lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 27. Tôi xin chân
thành cảm ơn PGS. Claude Comiti, PGS. Annie Bessot, đã có những ý kiến
đóng góp quý báu cho luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban giám
hiệu và các thầy cô trong tổ Toán của Trường TiH, THCS, THPT Ngô Thời
Nhiệm Quận 9 Thành phố Hồ Chí Minh nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình cũng như đã giúp đỡ tôi
trong phần thực nghiệm; xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo và chuyên viên
phòng Khoa học công nghệ - Sau Đại học, Ban chủ nhiệm và giảng viên khoa
Toán - Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo
thuận lợi cho chúng tôi trong cả khóa học.
Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học cùng Khóa 27 đã cùng tôi
chia sẻ những buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập, nhất là
chị Nguyễn Thị Minh Nguyệt, bạn Hồ Vũ Kim Ngân, em Trần Phước Đoan
Trang người đã động viên tinh thần và có những ý kiến đóng góp quý báu cho
luận văn của tôi.
Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đến bố mẹ và anh
trai tôi đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Tăng Thị Thu Thanh
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. NGHIÊN CỨU CÁC KHÁI NIỆM ............................................ 8
1.1. Biểu diễn phối cảnh ................................................................................... 8
1.2. Phối cảnh đường nét ................................................................................ 10
1.3. Phép chiếu song song .............................................................................. 12
1.4. Hình biểu diễn trong Bản vẽ kỹ thuật ..................................................... 17
1.4.1. Hình chiếu trục đo ............................................................................. 17
1.4.2. Các hình chiếu trong Bản vẽ kỹ thuật ............................................... 26
1.5. Kết luận ................................................................................................... 34
Chương 2. NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ DẠY HỌC ĐỐI
VỚI KHÁI NIỆM PHÉP CHIẾU SONG SONG VÀ
KHÁI NIỆM PHỐI CẢNH SONG SONG TRONG BẢN
VẼ KỸ THUẬT ......................................................................... 35
2.1. Phép chiếu song song, hình biểu diễn của một hình không gian ............. 35
2.1.1. Bậc Trung học cơ sở ......................................................................... 35
2.1.2. Bậc Trung học phổ thông .................................................................. 44
2.2. Hình biểu diễn trong Bản vẽ kỹ thuật ...................................................... 59
2.2.1 Khái niệm được trình bày trong sách Công Nghệ 11 ....................... 59
2.2.2 Kiểu nhiệm vụ liên quan ................................................................... 66
2.3. Kết luận .................................................................................................... 68
Chương 3. THỰC NGHIỆM ........................................................................ 71
3.1. Mục đích và đối tượng thực nghiệm ........................................................ 71
3.1.1. Mục đích thực nghiệm................................................................... 71
3.1.2. Đối tượng thực nghiệm ................................................................. 71
3.2. Nội dung các yêu cầu thực nghiệm .......................................................... 72
3.2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm ........................................ 72
3.2.2. Dàn dựng kịch bản ....................................................................... 74
3.3. Phân tích apriori ....................................................................................... 77
3.3.1. Bài thực nghiệm 1 ......................................................................... 77
3.3.2. Bài thực nghiệm 2 ......................................................................... 87
3.4. Phân tích apospriori .................................................................................. 90
3.4.1. Bài thực nghiệm 1 ......................................................................... 90
3.4.2. Bài thực nghiệm 2 ......................................................................... 94
3.5. Kết luận .................................................................................................... 96
KẾT LUẬN .................................................................................................... 98
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 100
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
THPT : Trung học phổ thông
Tp : Thành phố
Nxb : Nhà xuất bản
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Thống kê số lượng bài tập có liên quan đến các kiểu nhiệm
vụ trong sách giáo khoa Toán bậc Trung học cơ sở ..................... 44
Bảng 2.2. Thống kê số lượng bài tập có liên quan đến các kiểu nhiệm
vụ trong sách Toán bậc Trung học phổ thông .............................. 58
Bảng 3.1. Thống kê bài làm của học sinh ở pha 1 thực nghiệm 1 ................ 90
Bảng 3.2. Thống kê bài làm của học sinh ở pha 2 thực nghiệm 1 ................ 90
Bảng 3.3. Thống kê bài làm của học sinh ở pha 1 thực nghiệm 2 ................ 94
Bảng 3.4. Thống kê bài làm của học sinh ở pha 2 thực nghiệm 2 ................ 94
DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 3.1. Hình minh họa vật mẫu của pha 1 thực nghiệm 1 .......................... 72
Hình 3.2. Hình minh họa vật mẫu của pha 2 thực nghiệm 1 .......................... 73
Hình 3.3. Hình Bản vẽ của pha 1 thực nghiệm 2 ............................................ 73
Hình 3.4. Hình Bản vẽ của pha 1 thực nghiệm 2 ............................................ 74
Hình 3.5. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒂.................. 78
Hình 3.6. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖. 𝒃 ................. 79
Hình 3.7. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖. 𝒄 ................. 80
Hình 3.8. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖. 𝒅 ................. 81
Hình 3.9. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒑𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈. 𝒂 .................. 82
Hình 3.10. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒑𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈. 𝒃 ................ 82
Hình 3.11. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖. 𝒂 .............. 83
Hình 3.12. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖. 𝒃 .............. 84
Hình 3.13. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖. 𝒄............... 85
Hình 3.14. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖. 𝒅 .............. 86
Hình 3.15. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒉𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈. 𝒂 ................ 87
Hình 3.16. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒉𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈. 𝒃 ................ 87
Hình 3.17. Trích bài làm cá nhân của học sinh 1 ............................................ 91
Hình 3.18. Trích bài làm cá nhân của học sinh 2 ............................................ 91
Hình 3.19. Trích bài làm cá nhân của học sinh 3 ............................................ 92
Hình 3.20. Trích bài làm cá nhân của học sinh 4 ............................................ 92
Hình 3.21. Trích bài làm cá nhân của học sinh 5 ............................................ 92
Hình 3.22. Trích bài làm cá nhân của học sinh 6 ............................................ 93
Hình 3.23. Trích bài làm cá nhân của học sinh 7 ............................................ 93
Hình 3.24. Trích bài làm cá nhân của học sinh 8 ............................................ 93
Hình 3.25. Trích bài làm cá nhân của học sinh 9 ............................................ 94
Hình 3.26. Hình ảnh thực hiện bài làm cá nhân của học sinh 10 .................... 95
Hình 3.27. Hình ảnh thực hiện bài làm cá nhân của học sinh 11 .................... 96
1
MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu
- Ghi nhận 1
Trong sách Hình Học 11 hiện hành, ở Chương 2 “Đường thẳng và mặt
phẳng trong không gian. Quan hệ song song”, bài 5 “Phép chiếu song song.
Hình biểu diễn của một hình không gian”, khái niệm hình biểu diễn của một
Cho mặt phẳng (𝛼) và đường thẳng
∆ cắt (𝛼).
Với mỗi điểm M trong không gian,
đường thẳng đi qua M và song song
hoặc trùng với ∆ sẽ cắt (𝛼) tại điểm
M’ xác định. Điểm M’ được gọi là
hình chiếu song song của điểm M
trên mặt phẳng (𝛼) theo phương của đường thẳng ∆ hoặc nói gọn là theo
phương ∆ (h.2.16).
Mặt phẳng (𝛼) gọi là mặt phẳng chiếu. Phương ∆ gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của
nó trên mặt phẳng (𝛼) được gọi là phép chiếu song song lên (𝛼) theo
phương ∆.
Nếu ℋ là một hình nào đó thì tập hợp ℋ′ các hình chiếu M’ của tất cả
những điểm M thuộc ℋ được gọi là hình chiếu của ℋ qua phép chiếu
song song nói trên.
(Trần Văn Hạo et al.,2012)
hình ℋ được định nghĩa như sau:
2
Trong khi đó, khái niệm hình chiếu trục đo được trình bày trong sách
Công nghệ 11, phần Vẽ kỹ thuật, ở Chương 1 “Vẽ kỹ thuật cơ sở”, bài 5 “Hình
Hình chiếu trục đo được xây
dựng như sau (hình 5.1):
Giả sử một vật thể có gắn một
hệ trục tọa độ vuông góc OXYZ
với các trục tọa độ đặt theo ba
chiều dài, rộng và cao của vật
thể. Chiếu vật thể cùng hệ trục
tọa độ vuông góc lên mặt phẳng
hình chiếu (P’) theo phương
chiếu l (l không song song với (P’) và không song song với các trục tọa
độ). Kết quả trên mặt phẳng (P’) nhận được một hình chiếu của vật thể
và hệ tọa độ O’X’Y’Z’. Hình chiếu đó gọi là hình chiếu trục đo của vật
thể.
Vậy hình chiếu trục đo là hình biểu diễn ba chiều của vật thể được xây
dựng bằng phép chiếu song song.
(Nguyễn Văn Khôi et al., 2012)
chiếu trục đo” như sau:
Một câu hỏi ban đầu đặt ra là: Hai khái niệm trên có mối liên quan gì
với nhau?
- Ghi nhận 2
Trong sách Hình học 11, hình biểu diễn của một hình hộp chữ nhật được
vẽ như sau bởi một trong ba hình, còn hình biểu diễn của một tứ diện là một
3
trong hai hình, như sau:
Trong khi đó, bản vẽ kỹ thuật của một vật thể theo Phương pháp chiếu
góc (thứ nhất hoặc thứ ba) là một bộ ba hình chiếu.
Các câu hỏi được đặt ra tiếp theo là: Vì sao hình biểu diễn trong Hình
học không gian chỉ cần dùng một hình vẽ trong khi hình biểu diễn trong
4
Bản vẽ kỹ thuật cần sử dụng đến ba hình vẽ? Phép chiếu song song trong
các cách vẽ hình biểu diễn ở hai lĩnh vực này có gì khác biệt?
- Ghi nhận thứ 3
Ở lớp 11, học sinh học phần Vẽ kỹ thuật trong môn Công nghệ 11 ở ngay
chương đầu, tức đầu học kỳ 1. Trong khi đó, hình biểu diễn cho một khối đa
diện xuất hiện trong chương 2, bài 5, Hình học 11. Thêm một câu hỏi nữa
được đặt ra: Liệu việc học song song hai phân môn học này (Hình học
không gian và Vẽ kỹ thuật) có tạo thuận lợi cho người học theo nghĩa
chúng có hỗ trợ lẫn nhau hay không? Nghĩa là việc học phần Vẽ kỹ thuật
có tạo thuận lợi (hoặc gây khó khăn) cho việc vẽ hình biểu diễn trong
Hình học không gian không? Hoặc ngược lại, những kiến thức và kỹ năng
hình thành nơi học sinh sau khi học phần hình biểu diễn trong Hình học
không gian có tạo thuận lợi (hoặc gây cản trở) cho họ trong thực hành vẽ
bản vẽ kỹ thuật không?
Quan tâm đến các vấn đề nảy sinh từ các ghi nhận trên, chúng tôi chọn
nghiên cứu đề tài: "Hình biểu diễn của một hình: Sự nối khớp trong dạy học
Hình học không gian và Vẽ kỹ thuật lớp 11".
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic toán
để giải quyết các câu hỏi trên. Lý thuyết nhân chủng học giúp chúng tôi phân
tích mối quan hệ thể chế đối với hình biểu diễn. Đây là cơ sở để chúng tôi tìm
hiểu các ảnh hưởng của nó lên quan hệ cá nhân của học sinh đối với hình biểu
diễn. Trong Những yếu tố cơ bản của Didactic Toán của các tác giả Annie
Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009) ở trang 315 có
Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những
tác động qua lại mà X có thể có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nghĩ về
ghi:
nó, nói về nó….Quan hệ cá nhân với đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X
biết O. Quan hệ thể chế với đối tượng O là một ràng buộc (thể chế) đối
với quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O này, khi cá nhân là
chủ thể của thể chế I.
(Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, 2009)
5
Bên cạnh đó, đề tài được thực hiện trên cơ sở vận dụng những yếu tố
công cụ của lí thuyết trong tổ chức toán học của lí thuyết nhân chủng học, lí
thuyết tình huống và khái niệm đồ án didactic.
Trong phạm vi tham chiếu trên, chúng tôi trình bày các câu hỏi nghiên
cứu sau:
CH1. Khái niệm Hình chiếu trục đo trong Bản vẽ kỹ thuật và khái
niệm hình biểu diễn trong Hình học không gian được trình bày như thế
nào trong sách giáo khoa bậc Trung học? Hai khái niệm này có mối liên
hệ gì đối với nhau?
CH2: Vì sao hình biểu diễn trong Hình học không gian chỉ cần dùng
một hình vẽ trong khi hình biểu diễn trong Bản vẽ kỹ thuật cần sử dụng
đến ba hình vẽ? Phép chiếu song song trong các cách vẽ hình biểu diễn ở
hai lĩnh vực này có gì khác biệt?
CH3: Việc học phần Vẽ kỹ thuật có tạo thuận lợi (hoặc gây khó khăn)
cho việc vẽ hình biểu diễn trong Hình học không gian không? Hoặc ngược
lại, những kiến thức và kỹ năng hình thành nơi học sinh sau khi học phần
hình biểu diễn trong Hình học không gian có tạo thuận lợi (hoặc gây cản
trở) cho họ trong thực hành vẽ bản vẽ kỹ thuật không?
3. Phương pháp nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở
mục trên. Từ đó, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu. Trước hết chúng
6
tôi nghiên cứu thể chế qua việc phân tích khái niệm phép chiếu song song
được đưa ra trong sách Hình học 11, sách giáo viên Hình học 11. Với câu hỏi:
Phép chiếu song song có phải là song ánh không? Chúng tôi cũng phân tích
các tổ chức toán học tương ứng sẽ giúp chúng tôi thấy được ý đồ, cách đưa tri
thức này đến với học sinh, những vấn đề liên quan đến tri thức đã được đề cập
như thế nào. Bên cạnh đó, chúng tôi nghiên cứu hình biểu diễn của vật thể
trong bản vẽ kỹ thuật thông qua việc phân tích sách Công Nghệ 11, sách giáo
viên Công Nghệ 11, cũng như phân tích các tổ chức toán học có liên quan.
Ngoài ra chúng tôi còn chỉ sự nối khớp của hình biểu diễn trong Hình học
không gian và trong Bản vẽ kỹ thuật lớp 11, xem xét sự hỗ trợ lẫn nhau của hai
phân môn học này. Chúng tôi còn tiến hành phân tích bộ môn Công Nghệ về
phần vẽ kỹ thuật cơ sở cũng như môn học Vẽ kỹ thuật xây dựng ở các giáo
trình đại học. Từ đó chúng tôi sẽ hình thành giả thuyết về cách hiểu của học
sinh về mối liên hệ của hình biểu diễn trong Hình học không gian và trong Bản
vẽ kỹ thuật, và sự vận dụng qua lại giữa hai phân môn học này.
4. Cấu trúc luận văn
Cấu trúc luận văn gồm những phần sau:
* Phần mở đầu
Mở đầu
Trình bày những ghi nhận ban đầu, mục đích nghiên cứu và phạm vi lý
thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu.
Trình bày các câu hỏi nghiên cứu.
* Nội dung nghiên cứu
Chương 1: Nghiên cứu các khái niệm
Biểu diễn một vật thể trong không gian lên mặt phẳng thì phải nói đến
“biểu diễn phối cảnh”. Biểu diễn phối cảnh nổi bậc có phối cảnh đường nét và
phối cảnh song song. Trong phối cảnh song song, ta xét phép chiếu song song
và phép chiếu vuông góc.
7
Trả lời cho câu hỏi: phép chiếu song song có phải là song ánh không?
Trình bày các khái niệm: Khái niệm hình chiếu trục đo, phép chiếu vuông
góc và hình biểu diễn của phép chiếu song song được trình bày trong sách giáo
khoa cũng như trong các giáo trình khác.
Chương 2: Nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học đối với khái niệm
phép chiếu song song trong Hình học 11 và khái niệm phối cảnh song song
trong Bản vẽ kỹ thuật
Nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học đối với khái niệm phép chiếu song
song có nghĩa là nghiên cứu các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến vẽ hình biểu
diễn của Hình học không gian.
Nghiên cứu quan hệ thể chế dạy học đối với khái niệm phối cảnh song
song trong Bản vẽ kỹ thuật có nghĩa là nghiên cứu các kiểu nhiệm vụ có liên
quan đến vẽ hình biểu diễn của một vật thể trong Bản vẽ kỹ thuật.
Chương 3: Thực nghiệm
* Kết luận
Tóm tắt những kết quả nghiên cứu đã đạt được và mở rộng hướng nghiên
cứu cho luận văn.
8
Chương 1. NGHIÊN CỨU CÁC KHÁI NIỆM
1.1. Biểu diễn phối cảnh
Trong “Kỷ yếu Hội thảo quốc tế về Didactic Toán lần thứ 6”, có bài
Các hướng tiếp cận và lợi ích của phân tích tri thức luận: Trường hợp nghiên
cứu “Biểu diễn phối cảnh” của tác giả Tăng Minh Dũng, lịch sử toán học xuất
hiện biểu diễn phối cảnh rất sớm do nhu cầu về ký họa hình ảnh, lưu lại hình
ảnh. Người ta chủ yếu dựa trên quan sát và cố ý bảo toàn tốt nhất những gì mà
mình thấy. Tuy nhiên, biểu diễn phối cảnh phải có sự cân bằng giữa “thấy” và
“biết”. Nghĩa là hình biểu diễn phải bảo toàn những gì thấy (hoặc tưởng tượng)
và bảo toàn được các tính chất song song và tỷ lệ (các tính chất quan trọng mà
học sinh thường làm việc). Để bảo toàn được phần “thấy” ta có phối cảnh
đường nét. Phối cảnh đường nét cho ra những hình ảnh rất gần với thực tế
những gì quan sát được, lấy cơ sở là phép chiếu xuyên tâm. Tuy nhiên, phối
cảnh đường nét lại không phù hợp với giảng dạy vì không bảo toàn được các
tính chất song song và tỷ lệ. Để bảo toàn được phần “biết” ta có phối cảnh
song song. Phối cảnh song song lại có hai cách tiếp cận: phép chiếu song song
Người ta có thể biểu diễn một đối tượng hình học trong không gian bằng
cách sử dụng nhiều hình vẽ cùng lúc, chẳng hạn như các hình vẽ kỹ thuật
(góc nhìn từ 6 mặt của 1 đối tượng). Tuy nhiên, do rất khó để có thể tổng
hợp các hình vẽ (góc nhìn) này để hình dung một đối tượng ba chiều duy
nhất mà chúng biểu diễn, người ta ưu tiên trong dạy học các biểu diễn
phối cảnh qua hình vẽ.
(Audibert, 1992)
và lập phương tham chiếu.
Trong số các biểu diễn phối cảnh, phối cảnh đường nét (perspective
linéaire) cho ra một hình vẽ gần với thực tế nhất. Chính vì thế, nó được
sử dụng rất nhiều và sự ra đời của nó đánh dấu một bước tiến quan trọng
trong hội họa (Thuillier, 1984). Thế nhưng, do lấy cơ sở là phép chiếu
xuyên tâm (projection linéaire) – không bảo toàn tính chất song song và
tỷ lệ (là những tính chất quan trọng mà học sinh thường làm việc) và sự
phức tạp trong thực hiện, nên nó không phù hợp trong dạy học (Adrait và
cộng sự, 2002).
Dường như, một phép phối cảnh được chấp nhận trong dạy học phải thỏa
mãn ít nhất hai yêu cầu: trực giác và bảo toàn nhiều nhất có thể để đáp
ứng hoàn toàn cả hai yêu cầu trên cùng lúc. Để khả thi, người ta buộc
phải giới hạn một phần của mỗi yêu cầu để đạt đến trạng thái cân bằng
giữa “thấy” và “biết”. Phối cảnh song song (perspective parallèle) là
một giải pháp thay thế cho phối cảnh đường nét (Parzysz,1991). Thật vậy,
từ mặt “biết”, phối cảnh song song bảo toàn tất cả các tính chất afin; và
từ mặt “thấy”, sự “tương đồng” của phối cảnh song song với phối cảnh
đường nét trong một số tình huống đặc thù (điểm nhìn ở rất xa) cho phép
có gợi lên đối tượng không gian từ hình vẽ (Bautier và cộng sự, 1988).
Để biến đổi một đối tượng hình học không gian sang mặt phẳng bằng
phối cảnh song song, ta có hai cách tiếp cận:
- Bằng “phép chiếu song song”: với 2 đặc trưng (tham số): mặt phẳng
chiếu và phương chiếu.
9
- Bằng “lập phương tham số”: với 2 đặc trưng (tham số): mặt phẳng
“biểu diễn đúng” và bộ đôi góc tụ, tỷ số rút gọn.
Từ quan điểm toán học, hai cách tiếp cận này là tương đương, theo nghĩa
ta có thể chuyển đổi các yếu tố đặc trưng giữa hai cách tiếp cận với nhau,
và có thể nhận được cùng một hình vẽ với việc lựa chọn một cách thích
đáng các tham số.
Liên quan đến biểu diễn phối cảnh, Pais và cộng sự (1991) còn đề cập
đến các “hình mẫu”. Cùng một đối tượng trong không gian và cùng một
phép phối cảnh, người ta có thể nhận được các hình biểu diễn khác nhau,
ứng với các tham số phép chiếu khác nhau. Thế nhưng, một số hình trong
số chúng sẽ được “ưa thích” hơn, vì chúng gợi lên được đối tượng không
gian tốt hơn các hình khác. Từ đây xuất hiện khuynh hướng đồng nhất
hình vẽ của một đối tượng hình học trong không gian với hình mẫu của
nó.
(Tăng Minh Dũng, 2017)
10
1.2. Phối cảnh đường nét
Theo sách Hình Học Họa Hình, trang 7, phép chiếu được định nghĩa như
Cho mặt phẳng ℘ và một điểm S không thuộc ℘
Chiếu một điểm A từ tâm S lên mặt phẳng ℘ là thực hiện hai động tác sau
đây:
1. Vẽ đường thẳng SA.
sau:
2. Xác định giao điểm A’ của đường thẳng SA với mặt phẳng ℘.
Người ta gọi.
S – tâm chiếu.
℘ – mặt phẳng chiếu hay tia chiếu.
SA – đường thẳng chiếu hay tia chiếu.
A’ – hình chiếu của A từ tâm S lên mặt phẳng ℘.
Vậy, mỗi điểm A bất kỳ co hình chiếu là một điểm A’, trừ những điểm M
mà đường thẳng SM song song với mặt phẳng ℘.
Hiển nhiên, A’ không chỉ là hình chiếu của điểm A mà còn là hình chiếu
của mọi điểm của đường thẳng SA.
Nếu A là một điểm của mặt phẳng ℘, hình chiếu của nó trùng với chính
nó và đảo lại, tức là:
𝐴 ∈ ℘ ⇔ 𝐴 ≡ 𝐴′
Hình chiếu của điểm S không xác định.
11
Hình chiếu của một hình: Hình là một tập hợp điểm. Người ta gọi hình
chiếu của một hình là tập hợp những hình chiếu của mọi điểm của hình
ấy.
Phép ánh xạ không gian lên mặt phẳng được thực hiện bằng cách chiếu
các điểm của không gian lên mặt phẳng được gọi là phép chiếu.
Các tính chất của phép chiếu:
Tính chất 1: Hình chiếu của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là
một đường thẳng.
Tính chất 2: Phép chiếu bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng.
(Nguyễn Đình Điện, Dương Tiến Thọ, Nguyễn Văn Tuấn, 1993)
12
1.3. Phép chiếu song song
Phép chiếu song song có phải là song ánh hay không?
Phép chiếu song song không là song ánh. Thật vậy, ta có bài chứng minh
sau:
Trong không gian, cho hai điểm phân biệt A và B, mặt phẳng (𝛼) không
chứa hai điểm trên, không song song với đường thẳng AB và đường thẳng ∆
song song với đường thẳng AB.
13
A và B là hai điểm phân biệt nhưng hình chiếu của của hai điểm này qua
phép chiếu song song theo phương chiếu ∆ lên mặt phẳng (𝛼) là một điểm.
Điều này chứng tỏ phép chiếu song song không là đơn ánh, nên phép
chiếu song song không là song ánh.
Theo sách Hình Học Họa Hình, trang 7, phép chiếu song song được định
Khi tâm chiếu S là một điểm vô tận, các đường thẳng chiếu trở thành
song song với nhau và phép chiếu được gọi là phép chiếu song song
(h.0 – 9)
Vậy một phép chiếu song song được xác định bởi mặt phẳng hình chiếu ℘
và hướng chiếu 𝓈.
Để phân biệt với phép chiếu song song, người ta dùng tên gọi phép chiếu
xuyên tâm để chỉ những phép chiếu khi tâm chiếu S là một điểm hữu hạn.
Như vậy, phép chiếu song song là một trường hợp riêng của phép chiếu
khi tâm chiếu là một điểm vô tận. Do đó phép chiếu song song có mọi tính
nghĩa:
chất của phép chiếu. Ngoài ra phép chiếu song song còn có các tính chất
riêng sau đây:
1 – Trong một phép chiếu song song, hai đường thẳng song song chiếu
thành hai đường thẳng song song (h.0 – 10).
2 – Trong một phép chiếu song song, tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng A,
B, C bằng tỷ số đơn của 3 điểm hình chiếu của chúng (h.0 – 11).
Phép chiếu thẳng góc
14
Nếu, trong một phép song song, các đường thẳng chiếu vuông góc với
mặt phẳng hình chiếu, phép chiếp được gọi là phép chiếu thẳng góc.
Ta nhắc lại tính chất thường được dùng dưới đây của phép chiếu thẳng
góc (h.0 – 13)
1 – Một góc vuông có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu sẽ
chiếu thẳng góc thành một góc vuông.
2 – Một góc mà có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu và có
hình chiếu thẳng góc là một góc vuông thì chính góc ấy là một góc vuông.
3 – Một góc vuông mà có hình chiếu thẳng góc là một góc vuông thì nó
có ít nhất một cạnh song song với mặt phẳng chiếu.
(Nguyễn Đình Điện et al., 1993)
15
Theo tác giả B.I.Acgunop, M.B.Ban (1974), trong cuốn “Hình học sơ
cấp”, phép chiếu song song được định nghĩa như sau:
Bộ máy của phép chiếu song song gồm có:
1) Một phẳng phẳng (𝑃) gọi
là mặt phẳng chiếu.
2) Một đường thẳng 𝑙 không
song song với mặt phẳng
chiếu. Đường thẳng 𝑙 xác
định phương của phép chiếu
song song và được gọi là phương chiếu (hay đường chuẩn).
Nếu 𝑙 vuông góc với (𝑃) thì ta có phép chiếu vuông góc hay trực giao.
Hình chiếu song song (gọi tắt là hình chiếu) của điểm 𝐴 lên mặt phẳng
(𝑃) theo phương của đường thẳng 𝑙 là giao điểm 𝐴’ của mặt phẳng (𝑃)
với đường thẳng dựng qua 𝐴 song song với 𝑙.
Hình chiếu song song của hình (𝐻) lên mặt phẳng (𝑃) là hình gồm các
hình chiếu của tất cả các điểm thuộc (𝐻).
Phép chiếu song song có các tính chất cơ bản sau đây:
1) Các điểm nằm trên một đường thẳng (không song song với phương
chiếu) sẽ chiếu thành những điểm của một đường thẳng.
2) Các đường thẳng song song (nhưng không song song với phương
chiếu) sẽ chiếu thành những đường thẳng cũng song song hoặc thành một
đường thẳng.
16
3) Tỉ số các đoạn thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng
bằng tỉ số các hình chiếu của chúng.
4) Một đoạn thẳng song song với mặt phẳng chiếu sẽ chiếu thành một
đoạn thẳng song song và bằng nó.
(B.I.Acgunop, M.B.Ban, 1974)
17
Theo định nghĩa của tác giả B.I.Acgunop, M.B.Ban (1974), phép song
song được định nghĩa một cụ thể, chi tiết, với tính chất nào cần đến điều kiện
hạn chế suy biến thì sẽ được tác giả giải thích thêm trong phần ngoặc đơn.
1.4. Hình biểu diễn trong Bản vẽ kỹ thuật
Hình chiếu trục đo
Khái niệm Hình chiếu trục đo được Giáo trình vẽ kỹ thuật của Trường
Hình chiếu thẳng góc là loại hình biểu diễn đơn giản, cho phép thể hiện
chính xác hình dạng và kích thước của vật thể. Do đó trong kỹ thuật dùng
phương pháp hình chiếu thẳng góc làm phương pháp biểu diễn chính.
Song mỗi hình chiếu thẳng góc chỉ thể hiện kích thước hai chiều nên
người đọc khó hình dung ra hình dạng của vật thể. Để khắc phục nhược
điểm đó người ta dùng phương pháp hình chiếu trục đo để bổ sung. Hình
chiếu trục đo là hình chiếu biểu diễn nổi của vật thể trên một mặt phẳng
hình chiếu bằng phép chiếu song song. Hình chiếu trục đo thể hiện đồng
thời cả ba chiều của vật thể trên một hình biểu diễn nên dễ thấy được
hình dạng của nó. Chính vì vậy, bên cạnh các hình chiếu thẳng góc người
ta thường vẽ trên hình chiếu trục đo của vật thể đó.
Đại học Sư phạm Hà Nội trình bày như sau:
Để xây dựng hình chiếu trục đo người ta làm như sau
– Gắn hệ trục tọa độ Descartes ba chiều OXYZ vào vậy thể.
–Chọn mặt phẳng P’ làm mặt phẳng hình chiếu và hướng chiếu L.
–Chiếu hệ trục tọa độ OXYZ và vật thể theo hướng chiếu L lên mặt phẳng
P’ ta có hình chiếu của các trục là OX’Y’Z’ (được gọi là các trục đo) và
hình chiếu của vật thể đó gọi là hình chiếu trục đo.
(https://voer.edu.vn/m/hinh-chieu-truc-do/43dca702)
18
19
Ta đã biết, một đoạn thẳng (hay một cạnh) được xác định bởi hai điểm,
mỗi hình phẳng (mỗi mặt) lại được xác định bằng các cạnh của nó, vì vậy việc
dựng Hình chiếu trục đo cũng quy về dựng các điểm, các cạnh và các mặt
trong không gian.
Cách dựng Hình chiếu trục đo được mô tả vô cùng chi tiết.
A. Dựng hình chiếu trục đo của điểm A
Từ hệ tọa độ vuông góc của điểm A (XA,YA, ZA) như trên hình 5.32 ta
dựng lại vị trí của điểm A trong không gian theo các bước sau:
- Chọn loại hình chiếu trục đo, vẽ các trục đo.
- Xác định tọa độ trục đo của điểm A bằng cách nhân tọa độ vuông góc
với hệ số biến dạng của hệ trục đo.
x’A=xAp;y’A=yAq;z’A=zAr
- Đặt các tọa độ trục đo lên các trục đo và xác định A’ là hình chiếu trục
đo của A (hình 5.33).
20
B. Dựng hình chiếu trục đo của một đoạn thẳng
- Nếu đoạn thẳng có vị trí bất kỳ so với truc tọa độ ta xác định hình chiếu
trục đo hai điểm đầu mút của đoạn thẳng rồi nối hình chiếu trục đo hai
điểm đó ta có hình chiếu trục đo của đoạn thẳng. Ví dụ đoạn A’B’ trên
hình 5.34.
Ta xác định hình chiếu trục đo của điểm A’ và B’, sau đó nối A’ với B’ ta
được đoạn thẳng A’B’.
- Nếu đoạn thẳng song song với một trục đo nào đó thì chỉ cần xác định
một điểm thuộc đoạn thẳng, qua hình chiếu trục đo của điểm vừa xác
định kẻ song song với trục đo. Điểm còn lại phải thuộc đường thẳng vừa
kẻ và có khoảng cách bằng khoảng cách thật giữa hai điểm nhân với hệ
số biến dạng của trục đo. Hình 5.35.
Để xác định A’D’ ta chỉ cần xác định tọa độ điểm A’ sau đó kẻ qua A’
đường thẳng song song với O’X’. Vị trí điểm D’ được tính bằng
A’D’=AD x p.
21
C. Dựng hình chiếu trục đo của một hình phẳng
Dựng hình chiếu trục đo của một lục giác ABCDEG thuộc mặt phẳng
song song với mặt phẳng ZOX, ta gắn mặt phẳng ABCDEG trùng với mặt
phẳng XOZ. Tâm O trùng với điểm A của hình phẳng, cạnh AG trùng với
trục OX, cạnh AB trùng với trục OZ (Hình 5.36).
Theo cách dựng điểm và đoạn thẳng ta có thể dựng dễ dàng hình phẳng
ABCDEG. Trình tự như sau:
+ Vẽ điểm A’(0,0).
+ Vẽ điểm B’(0,a).
+ Vẽ điểm C’(h,b).
+ Qua C’ kẻ đường thẳng song song với O’X’. Đặt C’D’=k.
+ Xác định G’ trên O’X’ thỏa mãn O’G’=m.
+ Vẽ điểm E(m,a).
+ Nối E’ với D’ ta được hình phẳng cần dựng (Hình 5.37).
22
D. Dựng hình chiếu trục đo vật thể có dạng hình hộp
- Chọn gốc tọa độ trùng với góc của khối hộp lớn, các mặt của khối hộp
nằm trong các mặt phẳng tọa độ. Dựng hình chiếu trục đo của khối hộp
lớn trước, sau đó dựng đến các khối nhỏ, phần vát, lỗ rỗng (nếu có), v.v…
- Trên hình chiếu trục đo không thể hiện phần khuất của vật thể. Tầy bỏ
các nét thừa, tô lại phần thấy. Hình 5.38 trình bày các bước dựng hình
chiếu trục đo của một khối hộp.
E. Dựng hình chiếu trục đo của vật thể có các mặt phẳng đối xứng
Đối với các vật thể có các mặt phẳng đối xứng thì nên chọn mặt phẳng
đối xứng làm mặt phẳng tọa độ. Hình 5.39 trình bày cách vẽ hình chiếu
trục đo của vật thể có mặt phẳng đối xứng. Ta chọn mặt phẳng đối xứng
làm mặt phẳng tọa độ YOX, mặt phẳng vuông góc với trục mặt trụ làm
mặt phẳng XOZ. Chọn Hình chiếu trục đo đứng đều để vẽ hình chiếu trục
đo của các đường tròn đơn giản hơn so với các loại trục đo khác. Cách
dựng như sau:
- Vẽ mặt ngoài cùng của vật thể (trùng với mặt phẳng tọa độ X’O’Z’)
(HÌnh 5.39b);
- Vẽ các đường song song với trục O’Y’ (hình 5.39c);
- Xác định bề bày vật thể (kích thước theo phương O’Y’) (hình 5.39d.
- Tô đậm các đường thầy và tầy các nét thừa ta có Hình chiếu trục đo của
vật thể cần dựng (Hình 5.38e)
23
G. Dựng Hình chiếu trục đo có giao tuyến giữa hai mặt cong
Hình 5.39 trình bày cách tìm các điểm thuộc giao tuyến hai mặt trụ bằng
cách giải bài toán điểm thuộc đường sinh.
(https://voer.edu.vn/m/hinh-chieu-truc-do/43dca702)
24
Theo sách Vẽ kỹ thuật xây dựng, khái niệm Hình chiếu trục đo được trình
bày như sau:
Khái niệm chung: Hình chiếu trục đo là loại hình biểu diễn nổi được xây
dựng bằng phép chiếu song song. Hình chiếu trục đo của vật thể thường
được vẽ kèm với các hình chiếu thẳng góc của nó nhằm giúp cho người
đọc bản vẽ dễ dàng hình dung ra vật thể cần biểu diễn.
Để có được hình chiếu trục đo của vật thể người ta gắn nó vào một hệ
trục tọa độ thẳng góc rồi chiếu song song cả hệ trục và vật thể đó lên mặt
phẳng hình chiếu (H.5 – 43).
Trong hình chiếu trục đo, tính song song của các đường thẳng được bảo
tồn. Trên hình 5 – 43 các đoạn thẳng OA, OB, OC thuộc ba trục tọa độ
được chiếu thành các đoạn thẳng O’A’, O’B’, O’C’.
Các tỷ số
= 𝑝;
= 𝑞;
= 𝑟
𝑂′𝐴′ 𝑂𝐴
𝑂′𝐵′ 𝑂𝐵
𝑂′𝐶′ 𝑂𝐶
gọi là các hệ số biến dạng theo các trục Ox, Oy, Oz .
Tùy theo góc 𝜑 tạo bởi hướng chiếu 𝑙 với mặt phẳng hình chiếu ℘, người
ta phân ra:
- Hình chiếu trục đo vuông góc, nếu 𝜑 = 900
- Hình chiếu trục đo xiên góc, nếu 𝜑 ≠ 900
Trong mỗi đoạn trên ta lại chia ra: hình chiếu trục đo đều (nếu 𝑝 = 𝑞 =
𝑟), hình chiếu trục đo cân (nếu 𝑝 = 𝑟 ≠ 𝑞), và hình chiếu trục đo lệch
(nếu 𝑝 ≠ 𝑞; 𝑞 ≠ 𝑟 và 𝑝 ≠ 𝑟).”
(Đoàn Như Kim, Nguyễn Quang Cự, Nguyễn Sĩ Hạnh, Dương Tiến Thọ, 2004)
25
26
Các hình chiếu trong Bản vẽ kỹ thuật
Một cách tiếp cận khác của phối cảnh song song là Lập phương tham
chiếu với hai đặc trưng (tham số): mặt phẳng “biểu diễn đúng” và bộ đôi góc
tụ, tỷ số rút gọn. Cách tiếp cận này được thể hiện bằng phép chiếu thẳng góc.
Các phương pháp chiếu để được hình chiếu thẳng góc biểu diễn vật thể
không gian lên mặt phẳng được Giáo trình vẽ kỹ thuật của Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội trình bày như sau:
1. Phương pháp chiếu góc thứ nhất
Trong phương pháp chiếu góc thứ nhất, vật thể được đặt giữa người quan
sát (xem hình 4.3) và mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng hình chiếu mà vật
thể được chiếu vuông góc lên đó (xem hình 4.4).
Các vị trí của các hình chiếu khác hình chiếu chính (từ trước) A được xác
định bằng cách quay các mặt phẳng hình chiếu quanh các đường thẳng
song song hoặc trùng với các trục tọa độ thuộc mặt phẳng tọa độ (mặt
phẳng bản vẽ) chứa hình chiếu đứng A (xem hình 4.4).
Do đó trên bản vẽ, các hình chiếu được bố trí theo hình chiếu A như sau
(xem hình 4.5).
- Hình chiếu B: hình chiếu từ phía trên được đặt ở phía dưới;
- Hình chiếu E: hình chiếu từ phía dưới được đặt ở phía trên;
- Hình chiếu C: hình chiếu từ bên trái được đặt ở bên phải;
- Hình chiếu D: hình chiếu từ bên phải được đặt ở bên trái;
- Hình chiếu F: hình chiếu từ phía sau được đặt ở bên phải hoặc bên trái
sao cho thuận tiện.
Kí hiệu đặc trưng của phương pháp này cho trong hình 4.6.
27
28
2. Phương pháp chiếu góc thứ ba
Trong phương pháp chiếu góc thứ ba, các mặt phẳng tọa độ được đặt
giữa người quan sát và vật thể, vật thể được chiếu vuông góc lên các mặt
phẳng đó (xem hình 5). Trên mỗi mặt phẳng, hình chiếu của vật thể giống
như hình mà người quan sát thấy được khi nhìn thẳng góc từ xa vào mặt
phẳng chiếu trong suốt. Các vị trí của các hình chiếu khác hình chiếu
chính (từ phía trước) A được xác định bằng cách quay các mặt phẳng
hình chiếu quan các đường thẳng song song hoặc trùng với các trục tọa
độ thuộc mặt phẳng tọa độ (mặt phẳng bản vẽ) chứa hình chiếu A (xem
hình 4.7).
Do đó, trên bản vẽ, các hình chiếu được bố trí theo hình chiếu A như sau
(xem hình 4.8):
- Hình chiếu B: hình chiếu từ phía trên được đặt ở phía trên;
- Hình chiếu E: hình chiếu từ phía dưới được đặt ở phía dưới;
- Hình chiếu C: hình chiếu từ bên trái được đặt ở bên trái;
- Hình chiếu D: hình chiếu từ bên phải được đặt ở bên phải;
- Hình chiếu F: hình chiếu từ phía sau được đặt ở bên trái hoặc bên phải;
Kí hiệu đặt trưng của phương pháp này cho hình 4.9.
29
30
Bố trí theo các mũi tên chỉ dẫn
Trong trường hợp xét thấy có lợi, nếu bố trí hình hình chiếu không theo
quy định của phương pháp chiếu góc thứ nhất hoặc góc thứ ba thì dùng
phương pháp mũi tên chỉ dẫn để cho phép bố trí các hình chiếu một cách
tự do. Khi đó, mỗi hình chiếu, trừ hình chiếu chính, phải kí hiệu bằng
chữ. Chữ thường chỉ hướng chiếu, chữ hoa chỉ hình chiếu và ghi ở góc
trên bên trái.
Các hình chiếu theo mũi tên chỉ dẫn có thể đặt ở vị trí bất kì đối với hình
chiếu chính (xem hình 4.10). Các chữ hoa kí hiệu hình chiếu luôn luôn
đặt ở vị trí theo chiều đọc bản vẽ mà không kể hướng chiếu như thế nào.
Trên bản vẽ, không cần ghi kí hiệu chỉ dẫn phương pháp này.
31
Hình chiếu vuông góc đối xứng gương
Hình chiếu vuông góc đối xứng gương là hình chiếu góc, trong đó vật thể
được biểu diễn là bản sao đối xứng qua gương (mặt trên) đặt song song
với mặt nằm ngang của vật thể (xem hình 4.11).
Kí hiệu đặc trưng của phương pháp này cho ở hình 4.12.
Phương pháp này thường dùng trong các bản vẽ xây dựng.
Phương pháp Hình chiếu thẳng góc được sách Vẽ kỹ thuật xây dưng trình
Theo phương pháp này, vật thể cần được biểu diễn được đặt giữa mắt
người quan sát (tâm chiếu) và mặt phẳng hình chiếu tương ứng (H 4 – 1).
bày như sau:
Hình chiếu của một vật thể là hình biểu diễn nhận được bằng cách chiếu
thẳng góc các đường bao, các cạnh (nếu có) thuộc bề mặt của vật thể đó
lên mặt phẳng hình chiếu tương ứng.
Các đường bao thấy, cạnh thấy được thể hiện bằng nét đậm. Các đường
bao khuất, cạnh khuất được thể hiện bằng nét đứt.
TCVN 5 -78 quy định dùng 6 mặt của một hình hộp chữ nhật làm 6 mặt
phẳng hình chiếu cơ bản (H.4 – 2a).
Sau khi chiếu thẳng góc vật thể lên các mặt phẳng hình chiếu đó, các mặt
của hình hộp được trải ra cho trùng với mặt phẳng 1 (được chọn là mặt
phẳng của bản vẽ). Sáu hình biểu diễn thu được gọi là các hình chiếu cơ
bản của vật thể.
Các hình chiếu cơ bản được bố trí như trên hình 4 – 2b và được gọi tên
như sau:
1 – Hình chiếu từ trước (hình chiếu đứng, hình chiếu chính);
32
2 – Hình chiếu từ trên (hình chiếu bằng);
3 – Hình chiếu từ trái;
4 – Hình chiếu từ phải;
5 – Hình chiếu từ dưới;
6 – Hình chiếu từ sau.
Cách bố trí các hình chiếu như trên gọi là cách bố trí theo phương pháp
chiếu ở góc tư thứ nhất (bố trí kiểu E).
Ở một số nước (Anh, Mỹ, Hà Lan…) người ta bố trí các hình chiếu theo
phương pháp chiếu ở góc tư thứ ba (bố trí theo kiểu A), ở đó mặt phẳng
33
hình chiếu đặt giữa mắt người quan sát và vật thể cần biểu diễn (H. 4 –
3).
(https://voer.edu.vn/m/hinh-chieu-truc-do/43dca702)
34
1.5. Kết luận
Qua phân tích trên, chúng tôi có nhận xét rằng: Để biểu diễn một vật thể
không gian, người ta thường dùng biểu diễn phối cảnh. Trong đó, biểu diễn
phối cảnh được phân theo bảo toàn phần “thấy” có phối cảnh đường nét và bảo
toàn phần “biết” có phối cảnh song song. Hình chiếu trục đo trong Bản vẽ kỹ
thuật và hình chiếu song song của hình học không gian về mặt bản chất là hình
biểu diễn qua phép chiếu song song, về mặt hình thức thì hình chiếu trục đo
không thể hiện phần khuất của vật thể, trong khi hình chiếu song song lại thể
hiện các đường nét khuất bằng các đoạn thẳng đứt nét. Bộ ba hình chiếu trong
Bản vẽ kỹ thuật cũng là hình biểu diễn qua phép chiếu song song, cụ thể là
phép chiếu vuông góc, cũng là một nhánh của phép chiếu phối cảnh.
35
Chương 2. NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ DẠY HỌC ĐỐI VỚI
KHÁI NIỆM PHÉP CHIẾU SONG SONG VÀ KHÁI NIỆM
PHỐI CẢNH SONG SONG TRONG BẢN VẼ KỸ THUẬT
2.1. Phép chiếu song song, hình biểu diễn của một hình không gian
Trong phần phân tích các tổ chức toán học sau đây, trọng tâm chúng tôi
hướng đến việc phân chia các kiểu nhiệm vụ có liên quan đến việc vẽ hình và
các bài tập cần sử dụng hình vẽ để giải nhằm cho thấy vai trò của hình vẽ đối
với từng nhiệm vụ cụ thể. Do đó chúng tôi không xét đến khía cạnh tưởng
tượng không gian, mặt khác những kỹ thuật để thực hiện thao tác vẽ các đối
tượng và quan hệ hình học nào mà thuộc hình học phẳng (chẳng hạn thao tác
vẽ đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước)
chúng tôi chỉ ký hiệu chung là 𝜏𝑝. Công nghệ “các tính chất (quy tắc) của
phép chiếu song song” liên quan đến nhiều nhiệm vụ, chúng tôi ký hiệu là 𝜃𝑘.
2.1.1. Bậc Trung học cơ sở
2.1.1.1. Cách tiếp cận hình biểu diễn của một hình trong các khái niệm,
định lý, tính chất
Học sinh được bắt đầu làm quen với hình học không gian từ lớp 8. Cụ thể
là Hình học không gian bắt đầu đến với học sinh từ sách Toán 8, tập 2, chương
IV: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều.
Một số hình ảnh không gian được giới thiệu là thường gặp trong cuộc
sống hàng ngày trong chương này là:
36
“Đó là những hình mà các điểm của chúng có thể không cùng nằm
trong một mặt phẳng.”
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Tác giả của sách Toán 8, tập 2 đã không định nghĩa Hình hộp chữ nhật,
thay vào đó là dựa trên minh họa một hình biểu diễn (là hình biểu diễn qua
phép chiếu song song) để giới thiệu Hình hộp chữ nhật. Từ đó định nghĩa các
thành tố của hình như mặt, đỉnh, cạnh. Hình lập phương thì được định nghĩa
dựa trên Hình hộp chữ nhật.
37
Tương tự như Hình hộp chữ nhật, Hình chóp cũng không được định
nghĩa, thay vào đó, dựa trên minh họa một hình biểu diễn (là hình biểu diễn
qua phép chiếu song song) để giới thiệu Hình chóp. Hình chóp đều được định
nghĩa dựa trên Hình chóp. Từ đó định nghĩa các thành tố của hình như mặt
bên, đỉnh, cạnh bên, đường cao, trung đoạn và mặt đáy.
38
Ngay từ khi bắt đầu, Hình học không gian đã chú ý đến học sinh các tính
chất song song của một hình hình học. Chủ đích của tác giả, biểu diễn một
hình hình học phải bảo toàn được tính chất song song của nó, được thể hiện rõ
ràng qua các đề mục học tập trong bài 2 Hình hộp chữ nhật (tiếp theo).
39
Và các bài tập cũng chỉ xoay quanh vấn đề song song.
Trong Toán 8, tập 2, bài 4: Hình lăng trụ đứng, lần đầu tiên và cũng là
duy nhất xuất hiện hướng dẫn về cách vẽ hình không gian lên hình học phẳng
và đảm bảo bảo toàn song song, nhưng không lưu ý đến yếu tố độ dài, tính tỷ
lệ cũng không được đề cập.
Chú ý
- BCFE là một hình chữ nhật, khi vẽ nó trên mặt phẳng, ta thường vẽ
thành hình bình hành.
- Các cạnh song song vẽ thành các đoạn thẳng song song.
- Các cạnh vuông góc có thể không vẽ thành các đoạn thẳng vuông góc
(EB và EF chẳng hạn).
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Sách giáo viên Toán 8, tập 2 có ghi rõ:
Ở chương này, các tác giả chỉ giới thiệu một số vật thể trong không
gian thông qua các mô hình. Trên cơ sở quan sát hình hộp chữ nhật,
học sinh nhận biết được một số khái niệm cơ bản của hình học không
gian:
- Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
- Đoạn thẳng trong không gian, cạnh, đường chéo.
- Hai đường thẳng song song với nhau.
- Đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.
Thông qua quan sát và thực hành học sinh nắm vững các công thức
đưuọc thừa nhận về diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích
của hình lăng trụ đứng, hình chóp đều và sử dụng các công thức đó để
tính toán.
Chương trình không yêu cầu học sinh biểu diễn hình không gian nhưng
việc quan sát mô hình, việc đọc hình là cần thiết.
(Phan Đức Chính et al., 2004)
40
Sách Toán 9, tập 2, Hình học không gian được giới thiệu ở chương IV:
Hình Trụ - Hình Nón – Hình Cầu.
Thông qua một số hoạt động: quan sát mô hình, quay hình, nhận xét mô
hình học sinh nhận biết được:
- Cách tạo thành hình trụ, hình nón, hình nón cụt và hình cầu. Thông qua
đó nắm được những yếu tố của những hình nói trên.
- Đáy của hình trụ, hình nón, hình nón cụt.
- Đường sinh của hình trụ, hình nón.
- Trục, chiều cao hình trụ, hình nón, hình cầu.
Sách giáo viên Toán 9, tập 2, có ghi:
- Mặt xung quanh của hình trụ, hình nón, hình cầu.
- Tâm, bán kính, đường kính của hình cầu.
Thông qua quan sát và thực hành học sinh nắm vững các công thức thừa
nhận về diện tích xung quang, diện tích toàn phần, thể tích của hình lăng
trụ đứng, hình chóp đều và sử dụng các công thức đó để tính toán.
“Không yêu cầu học sinh biểu diễn hình nhưng việc vẽ, quan sát mô hình,
“đọc” hình là cần thiết.”
(Phan Đức Chính et al., 2004)
41
Như vậy, tác giả đã ngầm ẩn giới thiệu đến học sinh phép chiếu song
song, sử dụng phép chiếu song song để biểu diễn một hình học không gian trên
mặt phẳng.
2.1.1.2. Kiểu nhiệm vụ liên quan
Qua phân tích sách Toán 8 tập 2, chúng tôi ghi nhận có các kiểu nhiêm
vụ sau:
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑡𝑖𝑛ℎ𝑐ℎ𝑎𝑡: Kể tên các cặp đoạn thẳng song song,
vuông góc, bằng nhau
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này chủ yếu là đọc hình. Nghĩa là hình biểu
diễn của một hình không gian được đề bài cho sẵn, học sinh có nhiệm vụ nhìn
hình, sau đó kể ra những đoạn thẳng song song, về tỷ lệ của các đoạn thẳng, về
vuông góc,…
Ví dụ sách Toán 8, Chương IV, Bài 1, Câu 1 trang 96.
42
“1. Hãy kể tên những cạnh bằng
nhau của hình hộp chữ nhật
ABCD.MNPQ (h. 72).”
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Ví dụ sách Toán 8 Chương IV, Bài 1, Câu 6 trang 100
6. ABCD.A1B1C1D1 là một hình lập
phương (h.81). Quan sát hình và cho
biết:
a) Những cạnh nào song song với cạnh
C1C.
b) Những cạnh nào song song với cạnh
A1D1.
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Kỹ thuật 𝜏𝑡𝑖𝑛ℎ𝑐ℎ𝑎𝑡
- Quan sát hình vẽ
- Dựa trên các khái niệm, tính chất
- Kết luận
Công nghệ 𝜃𝑡𝑖𝑛ℎ𝑐ℎ𝑎𝑡: Đặc điểm đặc trưng của hình vẽ, khái niệm hình
khối và đặc điểm các yếu tố của nó, các tính chất của quan hệ song song,
vuông góc.
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝒉𝒊𝒏𝒉𝒕𝒓𝒂𝒊: Gấp hình để được vật thể khi cho
trước hình trải phẳng
Khối hình không gian được đề bài cho trước và các hình trải phẳng của
vật thể không gian cũng được đề bài cho trước, nhiệm vụ của học sinh là cắt
theo hình khai triển mặt, gấp và ghép các mặt với nhau để được vật thể không
gian theo yêu cầu.
43
Ví dụ trong Toán 8, chương IV, bài 3, câu 10 trang 103
10. 1) Gấp hình 87a theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp chữ
nhật hay không?
2) Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như trên hình 87b.
a) Đường thẳng BF vuông góc với những mặt phẳng nào?
b) Hai mặt phẳng (AEHD) và (CGHD) vuông góc với nhau, vì sao?
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Kỹ thuật 𝜏ℎ𝑖𝑛ℎ𝑡𝑟𝑎𝑖: Quan sát, tưởng tượng, thử các cách gấp để thu được
kết quả.
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝑣𝑒𝑡ℎ𝑒𝑚: Vẽ thêm đoạn thẳng, khi cho trước các
đường cơ bản
Kiểu nhiệm vụ này chủ yếu là vẽ thêm các cạnh vào các hình được đề bài
cho sẵn để có được một hình không gian hoàn chỉnh.
Ví dụ trong Toán 8, chương IV, bài 4, câu 20 trang 108
“20. Vẽ lại các hình sau vào vở rồi vẽ thêm các cạnh vào các hình
97b, có một hình hộp hoàn chỉnh (như hình 97a).”
44
(Phan Đức Chính et al., 2004)
Kỹ thuật 𝜏𝑣𝑒𝑡ℎ𝑒𝑚: Quan sát, tưởng tượng (hình dung hình) để vẽ thêm
đường nét.
Công nghệ 𝜃𝑣𝑒𝑡ℎ𝑒𝑚: Khái niệm hình khối và đặc điểm các yếu tố của nó.
Bảng 2.1. Thống kê số lượng bài tập có liên quan đến các kiểu nhiệm vụ
trong sách giáo khoa Toán bậc Trung học cơ sở
Kiểu Kiểu Kiểu
nhiệm vụ nhiệm vụ nhiệm vụ Bài tập
𝑇𝑡𝑖𝑛ℎ𝑐ℎ𝑎𝑡 𝑇ℎ𝑖𝑛ℎ𝑡𝑟𝑎𝑖 𝑇𝑣𝑒𝑡ℎ𝑒𝑚
Sách giáo khoa 18 9 4 31 Toán 8 tập 2
Sách giáo khoa 2 1 0 3 Toán 9 tập 2
2.1.2. Bậc Trung học phổ thông
2.1.2.1. Cách tiếp cận hình biểu diễn của một hình trong các khái niệm,
định lý, tính chất
Chương trình hình học 11 dành hai chương để nghiên cứu phần Hình học
không gian.
CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG
GIAN. QUAN HỆ SONG SONG
Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Bài 5: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
CHƯƠNG 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Vectơ trong không gian
Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc
Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 5: Khoảng cách
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
45
Tuy chưa giới thiệu một cách chính thức cách vẽ các Hình biểu diễn một
hình hình học, nhưng sách Hình học 11 có giới thiệu một vài hình biểu diễn
của một số hình khối như hình lập phương, hình chóp tam giác.
46
Để vẽ hình biểu diễn của một hình không gian thì cần phải tuân thủ một
số qua tắc vẽ hình. Một số quy tắc được các tác giả nêu ra trong sách Hình học
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là
đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song
song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường
thẳng.
- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thất và nét đứt đoạn biểu
diễn cho đường bị che khuất.
Các quy tắc khác sẽ được học ở phần sau.
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
11 là:
Các định nghĩa được sách Hình học 11 phát biểu có kèm theo hình mình
họa. Điều này ngầm ẩn chỉ ra cách vẽ các đối tượng được định nghĩa, mà theo
sách này gọi đó là hình biểu diễn mẫu.
Trong mặt phẳng (𝛼) cho đa giác lồi 𝐴1𝐴2 … 𝐴𝑛. Lấy điểm S nằm ngoài
(𝛼). Lần lượt nối S với các đỉnh 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 ta được n tam giác 𝑆𝐴1𝐴2,
𝑆𝐴2𝐴3, …, 𝑆𝐴𝑛𝐴1. Hình gồm đa giác 𝐴1𝐴2 … 𝐴𝑛 và n tam giác 𝑆𝐴1𝐴2,
𝑆𝐴2𝐴3, …, 𝑆𝐴𝑛𝐴1 gọi là hình chóp, kí hiệu là 𝑆. 𝐴1𝐴2 … 𝐴𝑛. Ta gọi S là
Ví dụ như định nghĩa hình chóp trong sách Hình học 11 trang 51-52:
đỉnh và đa giác 𝐴1𝐴2 … 𝐴𝑛 là mặt đáy. Các tam giác 𝑆𝐴1𝐴2, 𝑆𝐴2𝐴3, …,
𝑆𝐴𝑛𝐴1 được gọi là các mặt bên; các đoạn 𝑆𝐴1, 𝑆𝐴2, … , 𝑆𝐴𝑛 là các cạnh
bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp. Ta gọi
hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… lần lượt là hình chóp
tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…(h.2.24).
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
47
Các định lí, tính chất không được chứng minh nhưng đều kèm theo hình
vẽ minh họa để giúp học sinh hiểu thêm về chúng.
Định lí 1
Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (𝛼) và d song song vớ
đường thẳng d’ nằm trong (𝛼) thì d song song với (𝛼).
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Ví dụ là Định lí 1 sách Hình học 11 trang 61:
48
Ngoài ra, các ví dụ cũng như các bài tập cũng được sách Hình học 11 vẽ
Ví dụ 3 trang 59
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q,R và S lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC. Chứng minh rằng các đoạn
thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn.
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
hình minh họa.
Trong sách giáo khoa Hình Học 11 hiện hành, ở Chương 2 “Đường thẳng
và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song”, Bài 5 “Phép chiếu song
song. Hình biểu diễn của một hình không gian”, khái niệm hình biểu diễn của
Cho mặt phẳng (𝛼) và đường thẳng ∆ cắt (𝛼).
Với mỗi điểm M trong không gian, đường thẳng đi qua M và song song
hoặc trùng với ∆ sẽ cắt (𝛼) tại điểm M’ xác định. Điểm M’ được gọi là
một hình ℋ được định nghĩa như sau:
hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng (𝛼) theo phương của
đường thẳng ∆ hoặc nói gọn là theo phương ∆ (h.2.16).
Mặt phẳng (𝛼) gọi là mặt phẳng chiếu. Phương ∆ gọi là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của
nó trên mặt phẳng (𝛼) được gọi là phép chiếu song song lên (𝛼) theo
phương ∆.
Nếu ℋ là một hình nào đó thì tập hợp ℋ′ các hình chiếu M’ của tất cả
những điểm M thuộc ℋ được gọi là hình chiếu của ℋ qua phép chiếu
song song nói trên.
49
Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình
chiếu của đường thẳng đó là một điểm. Sau đây ta chỉ xét các hình chiếu
của những đường thẳng có phương không trùng với phương chiếu.
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Như vậy, với chú ý trên, sách giáo khoa
đã đặt điều kiện cho những phép chiếu song
song được đặt ra hạn chế suy biến. Có như vậy
thì các hình biểu biểu một hình hình học được
trình bày trong sách giáo khoa hạn chế bị
trùng lấp các đường cơ bản của một hình hình
học. Cũng trong Bài 5 “Phép chiếu song song.
Hình biểu diễn của một hình không gian”,
phần III “Hình biểu diễn của một hình trong không gian lên mặt phẳng”, có
hoạt động giải thích thêm cho phần chú ý, như sau:
50
Nếu không có chú ý trên thì cả hình a) và hình c) đều là hình biểu diễn
của hình lập phương qua phép chiếu song song. Tuy nhiên, vì tác giả đã có chú
ý đến người học về trường hợp này nên đáp án của hoạt động trên chỉ là câu a).
nhấn mạnh phương chiếu góc.
Các tính chất của phép chiếu song song được các tác giả của sách giáo
Định lí 1
a) Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó (h.2.62).
b) Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia
thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
khoa Hình học 11 trình bày:
c) Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai
đường thẳng song song hoặc trùng nhau (h.2.63 và h.2.64).
d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn
thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một
đường thẳng (h.2.65 và h.2.66).
”
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
51
Với các tính chất trên của phép chiếu song song đã tạo thành một số quy
ước khi thể hiện một vật thể không gian lên trên mặt phẳng. Trong sách Hình
học 11 cơ bản, hình biểu diễn của một hình không gian trên mặt phẳng được
thể hiện như sau:
Hình biểu diễn của một hình 𝐻 trong không gian là hình chiếu song song
của hình 𝐻 trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình
đồng dạng với hình chiếu đó.
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
52
Trong sách Hình học 11, tác giả có trình bày hình biểu diễn các hình
Tam giác. Một tam giấc bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn
của một tam giác có dạng tùy ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam
giác cân, tam giác vuông, v.v…) (h.2.69).
Hình bình hành. Một hình bình hành bất kỳ bao giờ cũng có thể coi hình
biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình
hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật…) (h.2.70).
Hình thang. Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu
diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của
hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu.
thường gặp và có hình minh họa:
Hình tròn. Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn cho hình tròn
(h.2.71).
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
53
Thế nhưng vẫn không có hình mẫu cho các hình cơ bản như hình hộp,
hình hình chữ nhật, hình lập phương, các loại hình chóp đều,….
Theo sách giáo viên Hình học lớp 11, tác giả đã viết về hình biểu diễn của
Hình biểu diễn song song (về sau chúng tôi gọi tắt là hình biểu diễn) của
một hình hình học 𝐻 trên một mặt phẳng (𝛼) là hình chiếu song song 𝐻1
của hình 𝐻 lên mặt phẳng (𝛼) hoặc các hình 𝐻′ đồng dạng với hình chiếu
𝐻1 lên mặt phẳng (𝛼) theo một phương chiếu song song cho trước.
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
phép chiếu song song như sau:
54
Nhận xét
Những bài đầu chủ yếu là các khái niệm, định nghĩa, định lí, tính chất,
nên hình biểu diễn hình không gian chỉ đóng vai trò là hình minh họa, là hình
biểu diễn mẫu nhằm giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm, định nghĩa,
định lí, tính chất. Ở đây các hình biểu diễn hoàn toàn không được hướng dẫn
cách vẽ cụ thể rõ ràng cũng như chỉ ra các cơ sở để có các hình vẽ này nghĩa là
chưa giới thiệu phương pháp biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng.
Có nhiều phương pháp biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng mà thực
chất của các phương pháp đó là tìm cách thể hiện các yếu tố điểm, đường
thẳng, mặt phẳng của không gian ba chiều và các mối quan hệ của chúng trên
một mặt phẳng là không gian hai chiều sao cho từ hình biểu diễn người ta có
thể hình dung được một số tính chất của hình thực. Thông thường muốn biểu
diễn một hình nào đó người ta chiếu hình đó lên một mặt phẳng chiếu bằng
phép chiều xuyên tâm hay phép chiếu song song. Đặc biệt cũng có khi người ta
dùng phép chiếu vuông góc (là phép chiếu song song đặc biệt) và cùng một lúc
chiếu vật thể lên nhiều mặt phẳng chiếu để thành lập bản vẽ cơ khí trong bản
vẽ kỹ thuật. Các hình ảnh chụp được bằng máy ảnh hoặc các bản vẽ phối cảnh
trong các công trình xây dựng được hình thành trên lí thuyết của phép chiếu
xuyên tâm. Theo Sách giáo viên Hình học 11, ở trường THPT, do chương trình
chỉ hạn chế nên dùng loại hình biểu diễn qua phép chiếu song song. Mặc khác,
trước đó, chương trình sách giáo khoa đã giới thiệu đến học sinh biết cách biểu
diễn hình không gian lên hình phẳng và cho học sinh tập biểu diễn, tập vẽ theo
những hình vẽ. Trong quá trình dạy hình học không gian, việc biểu diễn hình
này cần được củng cố thường xuyên thông qua việc dạy định lí, chữa bài tập.
Một hình vẽ đúng và tốt là một hình thể hiện được hình thức một cách chính
xác và đúng đắn.
Phép chiếu song song không là song ánh, vì vậy nên sách Hình học 11
định nghĩa phép chiếu song song đã có Chú ý kèm theo để hạn chế phép chiếu
55
song song suy biến, người học ngầm hiểu rằng bất kỳ đường thẳng biên nào
của một hình hình học cũng không cùng phương với phương chiếu.
Ngoài ra, sách Hình học 11 chỉ có hình minh họa về hình biểu diễn các
trường hợp của tam giác, hình bình hành, hình thang và hình tròn chứ không
có ví dụ về hình không gian 3D cụ thể như hình nón, hình hộp,… Tuy nhiên lại
được trình bày từng bước cụ thể cách vẽ một hình hộp chữ nhật trong sách giáo
viên Toán 8 tập 2.
2.1.2.2. Kiểu nhiệm vụ liên quan
Qua phân tích sách Hình học 11 và sách bài tập Hình học 11, chúng tôi
ghi nhận các kiểu nhiệm vụ sau
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝒉𝒄𝒉𝒊𝒏𝒉𝒑𝒉𝒂𝒏𝒈: Xác định hình chiếu của một hình
phẳng qua phép chiếu song song
Nhiệm vụ của học sinh trong kiểu nhiệm vụ này là xác định được ảnh của
các hình phẳng như hình đa giác, hình tròn qua phép chiếu song song.
Có các câu hỏi hoạt động ∆1,∆2,∆3, ∆4, ∆5, ∆6 trong sách giáo khoa Hình
học 11.
Ví dụ sách Hình học 11 bài ∆2 trang 73
“Hình 2.67 có thể là hình chiếu song song của hình lục giác được
không? Tại sao?”
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
Cho hai mặt phẳng (𝛼) và (𝛽) song song với nhau. Đường thẳng a cắt
(𝛼) và (𝛽) lần lượt tại A và C. Đường thẳng b song song với a cắt (𝛼) và
(𝛽) lần lượt tại B và D.
Hình 2.72 minh họa nội dung nêu trên đúng hay sai?
Ví dụ sách Hình học 11 bài ∆4 trang 73
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
56
Kỹ thuật 𝜏ℎ𝑐ℎ𝑖𝑛ℎ𝑝ℎ𝑎𝑛𝑔: Dựa vào các tính chất của phép chiếu song song.
Công nghệ 𝜃ℎ𝑐ℎ𝑖𝑛ℎ𝑝ℎ𝑎𝑛𝑔: Định lý 1, sách giáo khoa trang 72-73.
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝒉𝒄𝒌𝒉𝒐𝒏𝒈𝒈𝒊𝒂𝒏: Vẽ hình biểu diễn của một vật thể
không gian cho trước
Nhiệm vụ của học sinh trong nhiệm vụ này là vẽ hình biểu diễn của một
vật thể không gian qua phép chiếu song song.
Các bài tập trong sách bài tập Hình học 11 trang 83.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC có hình chiếu
song song là trọng tâm G’ của tam giác A’B’C’, trong đó A’B’C’ là hình
chiếu song song của tam giác ABC.
Ví dụ là sách bài tập Hình học 11 ví dụ 1 trang 76.
(Nguyễn Mộng Hy et al., 2010),
57
Kỹ thuật 𝜏ℎ𝑐𝑘ℎ𝑜𝑛𝑔𝑔𝑖𝑎𝑛: Ta thực hiện các bước sau:
- Xác định các yếu tố song song của hình 𝐻.
- Xác định tỉ số điểm 𝑀 chia đoạn 𝐴𝐵.
- Hình 𝐻′ là hình biểu diễn của hình 𝐻 phải có tính chất
+ Đảm bảo tính song song trên hình 𝐻;
+ Đảm bảo tỉ số 𝑀 chia đoạn 𝐴𝐵.
Công nghệ 𝜃ℎ𝑐𝑘ℎ𝑜𝑛𝑔𝑔𝑖𝑎𝑛: Định lý 1, sách giáo khoa trang 72-73
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝒍𝒐𝒊𝒈𝒊𝒂𝒊: Dùng hình vẽ để tìm ra lời giải của bài
toán hình học
Các bài tập còn lại trong sách Hình học 11 và sách bài tập Hình học 11.
Ví dụ 2. Cho tứ diện SBAC có SA=SB=SC. Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân
giác ngoài của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB. Chứng minh:
a. Mặt phẳng (𝑆𝑥, 𝑆𝑦) song song với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶);
b. Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng.
Ví dụ là sách Hình học 11 ví dụ 2 trang 66
(Trần Văn Hạo et al., 2012)
58
Kỹ thuật 𝜏𝑙𝑜𝑖𝑔𝑖𝑎𝑖: Dựa vào yêu cầu bài toán và các giả thiết được cho để
giải quyết các vấn đề của bài toán.
Công nghệ 𝜃𝑙𝑜𝑖𝑔𝑖𝑎𝑖: Các định lý, tính chất, định nghĩa được nếu ra trong
sách Hình học 11.
Bảng 2.2. Thống kê số lượng bài tập có liên quan đến các kiểu nhiệm vụ
trong sách Toán bậc Trung học phổ thông
Kiểu Kiểu Kiểu nhiệm nhiệm vụ nhiệm vụ Bài tập vụ 𝑇𝑙𝑜𝑖𝑔𝑖𝑎𝑖 𝑇ℎ𝑐ℎ𝑖𝑛ℎ𝑝ℎ𝑎𝑛𝑔 𝑇ℎ𝑐𝑘ℎ𝑜𝑛𝑔𝑔𝑖𝑎𝑛
Sách Hình học 11 6 0 165 171 cơ bản
Sách Hình học 11 12 7 160 179 nâng cao
Sách bài tập
4 3 152 159 Hình học 11 cơ
bản
Sách bài tập
5 5 148 158 Hình học 11 nâng
cao
59
2.2. Hình biểu diễn trong Bản vẽ kỹ thuật
2.2.1. Khái niệm được trình bày trong sách Công Nghệ 11
Sách Công Nghệ 11 trình bày hai phương pháp dùng hình chiếu vuông
góc để biểu diễn hình dạng của vật thể:
1. Phương pháp chiếu góc thứ nhất
- Trong phương pháp chiếu góc thứ nhất, vật thể được đặt trong một góc
tạo thành bởi các mặt phẳng hình chiếu đứng, mặt phẳng hình chiếu bằng
và mặt phẳng hình chiếu cạnh vuông góc với nhau từng đôi một. Mặt
phẳng hình chiếu đứng ở sau, mặt phẳng hình chiếu bằng ở dưới và mặt
phẳng hình chiếu cạnh ở bên phải vật thể. Các hướng chiếu (hướng nhìn)
từ trước, từ trên và từ trái theo thứ tự, vuông góc với mặt phẳng hình
chiếu đứng, bằng và cạnh như hình 2.1.
- Sau khi chiếu vật thể lên các mặt phẳng sẽ được các hình chiếu đứng A,
hình chiếu bằng B và hình chiếu cạnh C. Mặt phẳng hình chiếu bằng
được xoay xuống dưới 900 và mặt phẳng hình chiếu cạnh xoay sang
phải 900 để các hình chiếu cùng nằm trên mặt phẳng hình chiếu đứng
(được chọn là mặt phẳng bản vẽ).
- Trên bản vẽ, hình chiếu được sắp xếp có hệ thống theo hình chiếu đứng
như hình 2.2
+ Hình chiếu bằng B đặt dưới hình chiếu đứng A.
+ Hình chiếu cạnh C đặt ở bên phải hình chiếu đứng A.
Nước ta và nhiều nước châu Âu thường dùng phương pháp chiếu góc thứ
nhất.
60
2. Phương pháp chiếu góc thứ ba:
- Trong phương pháp chiếu góc thứ ba, vật thể được đặt trong một góc
tạo thành bởi các mặt phẳng hình chiếu đứng, mặt phẳng hình chiếu bằng
và mặt phẳng hình chiếu cạnh vuông góc với nhau từng đôi một. Mặt
phẳng hình chiếu đứng ở trước, mặt phẳng hình chiếu bằng ở trên và mặt
phẳng hình chiếu cạnh ở bên trái vật thể. Các hướng chiếu (hướng nhìn)
từ trước, từ trên và từ trái theo thứ tự, vuông góc với các mặt phẳng hình
chiếu đứng, bằng và cạnh như hình 2.3.
- Sau khi chiếu vật thể lên các mặt phẳng hình chiếu được các hình chiếu
đứng A, hình chiếu bằng B và hình chiếu cạnh C. Mặt phẳng hình chiếu
bằng được xoay lên trên 900, mặt phẳng hình chiếu cạnh xoay sang trái
900 để các hình chiếu này cùng nằm trên mặt phẳng hình chiếu đứng
(được chọn là mặt phẳng bản vẽ).
- Trên bản vẽ, các hình chiếu được sắp xếp có hệ thống theo hình chiếu
đứng như hình 2.4:
+ Hình chiếu bằng B đặt ở trên hình chiếu đứng A.
61
+ Hình chiếu cạnh C đặt ở bên trái hình chiếu đứng A.
Nhiều nước châu Mĩ và một số nước khác thường dùng phương pháp
chiếu góc thứ ba.
(Nguyễn Văn Khôi et al., 2012)
62
Trong kỹ thuật, Bản vẽ kỹ thuật của một vật thể theo Phương pháp chiếu
góc (thứ nhất hoặc thứ ba) là một bộ ba hình chiếu bao gồm: hình chiếu đứng,
hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng.
Mỗi hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh, hình chiếu bằng là ảnh của phép
chiếu song song với phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu.
63
Khái niệm Hình chiếu trục đo được trình bày trong sách Công nghệ 11,
phần Vẽ kỹ thuật, ở Chương 1 “Vẽ kỹ thuật cơ sở”, Bài 5 “Hình chiếu trục
Hình chiếu trục đo được xây dựng như sau (hình 5.1):
Giả sử một vật thể có gắn một
hệ trục tọa độ vuông góc
OXYZ với các trục tọa độ đặt
theo ba chiều dài, rộng và cao
của vật thể. Chiếu vật thể
cùng hệ trục tọa độ vuông góc
lên mặt phẳng hình chiếu (P’)
theo phương chiếu l (l không
song song với (P’) và không
song song với các trục tọa độ). Kết quả trên mặt phẳng (P’) nhận được
một hình chiếu của vật thể và hệ tọa độ O’X’Y’Z’. Hình chiếu đó gọi là
hình chiếu trục đo của vật thể.
Vậy hình chiếu trục đo là hình biểu diễn ba chiều của vật thể được xây
dựng bằng phép chiếu song song.
(Nguyễn Văn Khôi et al., 2012)
đo”, như sau:
Với câu hỏi hoạt động (? ) được đặt ra: “Nếu phương chiếu l song song
với mặt phẳng hình chiếu (P’) hoặc song song với một trong ba trục tọa độ thì
như thế nào?”
64
Trả lời: Trước khi trả lời câu hỏi (?), chúng tối xin lưu ý rằng: phép chiếu
song song (cũng như là phép chiếu trục đo) không là song ánh. Nếu phương
chiếu l song song với mặt phẳng hình chiếu (P’) thì sẽ không thu được hình
chiếu trục đo. Hoặc phương chiếu 𝑙 song song với một trong ba trục tọa độ thì
hình chiếu của đường thẳng song song với phương chiếu là một điểm, khi đó
phương chiếu vuông góc với một mặt phẳng tọa độ, một số đường nét của một
hình không qua phép chiếu song song này sẽ bị trùng nhau (dường như bị mất).
Chính vì vậy, chúng tôi nhận thấy rằng ba hình chiếu song song có phương
chiếu 𝑙 song song với ba trục tọa độ tương ứng với ba góc chiếu tạo thành bộ
ba hình chiếu được trình bày như trong sách Công nghệ 11.
Cũng trong Bài 5 Hình chiếu trục đo, phần IV Cách vẽ hình chiếu trục đo,
Căn cứ vào đặc điểm hình dạng của vật thể để chọn cách vẽ hình chiếu
trục đo thích hợp.
Khi vẽ, để thuận tiện cho việc dựng hình,
thường đặt các trục tọa độ theo chiều dài,
chiều rộng và chiều cao của vật thể, sau đó
vẽ hình hộp ngoại tiếp theo các kích thước
dài, rộng và cao của vật thể.
Bảng 5.1 trình bày cách vẽ hình chiếu trục
đo xiên góc cân và hình chiếu trục đo vuông góc đều của vật thể có hình
chiếu đứng và hình chiếu bằng như trên hình 5.7.
(Nguyễn Văn Khôi et al., 2012)
có hướng dẫn một cách cụ thể cách vẽ hình chiếu trục đo.
65
Nhận xét
Phép chiếu trục đo trong Bản vẽ kỹ thuật được xây dựng bằng phép chiếu
song song. Phép chiếu trục đo trong Bản vẽ kỹ thuật không có điều kiện nào
đảm bảo là song ánh. Tuy nhiên, sách Công nghệ 11 có kèm theo câu (?) để
người học chú ý khi dựng hình phương chiếu không song song với mặt phẳng
chiếu và không song song với một trong ba trục tọa độ.
Sách Công nghệ 11 đã định nghĩa phép chiếu trục đo dựa theo định nghĩa
của phép chiếu song song và không nêu thêm tính chất nào, mà thay vào đó là
phần Cách vẽ hình chiếu trục đo được sách Công nghệ 11 đưa vào phần IV,
Bài 5, Chương I. Cách vẽ hình chiếu trục đo xiên góc cân và hình chiếu trục đo
vuông góc đều của vật thể được trình bày khá chi tiết ở Bảng 5.1, trang 30,
sách Công nghệ 11.
66
Trong một phép chiếu song song có phương chiếu vuông góc với mặt
phẳng chiếu, các đường thẳng chiếu vuông góc với mặt phẳng hình chiếu, phép
chiếp được gọi là phép chiếu thẳng góc. Và bộ ba ảnh chiếu tương ứng với ba
góc chiếu qua phép chiếu vuông góc ta thu được hình chiếu đứng, hình chiếu
cạnh và hình chiếu bằng tạo thành một Bản kẽ Kỹ thuật.
2.2.2. Kiểu nhiệm vụ liên quan
Qua phân tích sách Công nghệ 11, chúng tôi ghi nhận các kiểu nhiệm vụ
sau:
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝒉𝒄𝒗𝒖𝒐𝒏𝒈𝒈𝒐𝒄: Vẽ các hình chiếu của vật thể đơn
giản
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là học sinh phải biết đọc hình của Hình
chiếu trục đo, sau đó thể hiện bằng bộ ba hình chiếu vuông góc để tạo thành
Bản vẽ kỹ thuật.
Dùng các vật mẫu hoặc các mô hình có dạng hình học đơn giản làm các
đề bài thực hành. Cũng có thể dùng các hình biểu diễn ba chiều thay cho
các vật mẫu (hình 3.9).
Kích thước của vật thể trong hình 3.9 được tính theo kích thước của hình
thoi, mỗi hình thoi biểu diễn một hình vuông có cạnh bằng 10mm. Vật
mẫu được làm bằng thép. Mỗi học sinh làm một đề do giáo viên chỉ định.
(Nguyễn Văn Khôi et al., 2012)
Ví dụ là sách Công nghệ 11, bài Thực hành trang 21
67
Kỹ thuật 𝜏ℎ𝑐𝑣𝑢𝑜𝑛𝑔𝑔𝑜𝑐: Khi lập bản vẽ của vật thể cần tiến hành theo các
bước sau đây:
Bước 1: Quan sát vật thể, phân tích hình dạng và chọn các hướng chiếu
vuông góc với các mặt của vật thể để biểu diễn hình dạng của vật thể.
Bước 2: Chọn tỉ lệ thích hợp với khổ giấy A4 và kích thước của vật thể.
Bố trí ba hình chiếu cân đối trên bản vẽ theo các hình chữ nhật bao ngoài các
hình chiếu bằng nét liền mảnh.
Bước 3: Lần lượt vẽ mờ bằng nét mảnh từng phần của vật thể với các
đường gióng giữa các hình chiếu của từng phần.
Bước 4: Dùng bút chì mềm tô đậm các nét biểu diễn cạnh thấy, đường
bao thấy của vật thể trên các hình chiếu, dùng nét đứt biểu diễn các cạnh khuất,
đường bao khuất.
Bước 5: Kẻ các đường gióng kích thước, đường kích thước và ghi các chữ
số kích thước trên các hình chiếu.
Bước 6: Kẻ khung vẽ, khung tên, ghi các nội dung của khung tên và ghi
các phần chú thích.
Công nghệ 𝜃ℎ𝑐𝑣𝑢𝑜𝑛𝑔𝑔𝑜𝑐: Phương pháp chiếu gọc thứ nhất.
Kiểu nhiệm vụ 𝑻𝒉𝒄𝒕𝒓𝒖𝒄𝒅𝒐: Biểu diễn vật thể
Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ này là đọc Bản vẽ kỹ thuật khi cho hai hình
chiếu vuông góc hoặc ba hình chiếu vuông góc, nhiệm vụ của học sinh là biểu
diễn vật thể qua Hình chiếu trục đo.
Ví dụ là sách Công nghệ 11, bài Thực hành trang 32
“Các đề bài cho trong hình 6.7 biểu diễn các chi tiết gá bằng thép.
Mỗi học sinh làm một đề do giáo viên chỉ định.”
68
(Nguyễn Văn Khôi et al., 2012)
Kỹ thuật 𝜏ℎ𝑐𝑡𝑟𝑢𝑐𝑑𝑜: Bài làm được tiến hành theo các bước như sau:
Bước 1: Đọc bản vẽ hai hình chiếu.
Bước 2: Vẽ hình chiếu thứ ba.
Bước 3: Vẽ hình cắt.
Bước 4: Vẽ hình chiếu trục đo.
Công nghệ 𝜃ℎ𝑐𝑡𝑟𝑢𝑐𝑑𝑜: Khái niệm hình chiếu trục đo và hình chiếu vuông
góc.
Bảng 2.3. Thống kê số lượng bài tập có liên quan đến các kiểu
nhiệm vụ trong sách giáo khoa Công nghệ 11
Kiểu nhiệm vụ Kiểu nhiệm vụ Bài tập 𝑇ℎ𝑐𝑣𝑢𝑜𝑛𝑔𝑔𝑜𝑐 𝑇ℎ𝑐𝑡𝑟𝑢𝑐𝑑𝑜
Hình chiếu vuông góc 1 0 5
Hình chiếu trục đo 0 2 9
Thực hành 6 6 12
2.3. Kết luận
Trong các bài tập của sách giáo khoa Hình học 11, chủ yếu là chứng minh
các tính chất hình học của một vật thể không gian. Điều này yêu cầu một hình
69
vẽ mình họa cho một vật thể không gian phải bảo toàn các tính chất hình học
của vật thể không đó một cách hiệu quả nhất. Một số ví dụ về các tính chất
phải được bảo toàn là tính chất song song, tính bảo toàn tỷ lệ, ngoài ra đòi hỏi
hình vẽ phải có tính trực quan. Từ đó, người học sẽ quan sát hình biểu diễn
minh họa mà có thể dự đoán được một số tính chất nào đó của một hình hình
học không gian trước khi chứng minh. Chính vì vậy, để biểu diễn một hình
hình học không gian giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ hình biểu diễn của phép
chiếu song song. Đặc trưng của hình biểu diễn qua phép chiếu song song là
bảo toàn các tính chất song song cũng như tính bảo toàn tỷ lệ của những đoạn
thẳng nằm trên những đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Trong khi đó, đặc thù của Vẽ kỹ thuật là sự chính xác. Các hình chiếu
được thể hiện trong Bản vẽ kỹ thuật đòi hỏi sự chi tiết, tỉ mỉ và độ chính xác
cao, đầy đủ cơ sở để tái lập lại vật thể từ hình vẽ. Cụ thể hơn là các bài tập của
sách giáo khoa Công nghệ 11, Chương I, Bản vẽ kỹ thuật, chủ yếu là thể hiện
đầy đủ các hình chiếu vuông góc của vật thể trong bản vẽ kỹ thuật cũng như
thể hiện đầy đủ các thông số của vật thể không gian. Chính vì vậy, giáo viên
dạy cho học sinh một cách chi tiết tỷ mỉ về tỷ lệ cũng như số liệu các kích
thước. Mặc dù chương trình Công nghệ 11 có bài hình chiếu trục đo, với cơ sở
lý luận là phép chiếu song song, nhưng chương trình Công nghệ 11 là bản vẽ
kỹ thuật, với đặt thù biểu diễn vật thể không gian bằng cách tiếp cận Lập
phương tham chiếu. Đặc trưng của hình biểu diễn qua phép chiếu song song là
bảo toàn các tính chất song song cũng như tính tỷ lệ của những đoạn thẳng
nằm trên những đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Thế nhưng các tính
chất về vuông góc cũng như tính tỷ lệ của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường
thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau lại không được bảo toàn qua phép chiếu song
song. Đặc trưng của cách tiếp cận Lập phương tham chiếu gồm 3 hình chiếu là
đầy đủ chi tiết cho từng kích thước: chiều dài, chiều rộng, chiều cao.
70
Vì những lý do trên, chúng tôi trả lời cho câu hỏi 2 được nêu ở phần mở
đầu, hình biểu diễn trong Hình học không gian chỉ cần dùng một hình vẽ
trong khi hình biểu diễn trong Bản vẽ kỹ thuật cần sử dụng đến ba hình
vẽ.
71
Chương 3. THỰC NGHIỆM
3.1. Mục đích và đối tượng thực nghiệm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm nhằm tạo sự nối khớp của hình biểu diễn trong Hình học
không gian và Bản vẽ kỹ thuật ở học sinh. Trong chương trình của Hình học
11, Phép chiếu song song được trình bày trong Bài 5, Chương II, trong khi
chương trình của Công nghệ 11, bài Hình chiếu trục đo được học trong Bài 5,
chương I. Như vậy, về mặt chương trình lý thuyết mà nhà nước đưa ra, bài
Hình chiếu trục đo được học trước nhưng lại có sử dụng lý thuyết của Phép
chiếu song song. Tuy nhiên, trên thực tế, khi dạy về Hình học 11, một số
trường lướt qua Chương I, và bắt đầu dạy Chương II ngày từ đầu năm, điều
này sẽ tạo nên sự khác nhau giữa các trường về thời điểm học Phép chiếu song
song và Phép chiếu trục đo, có thể Phép chiếu song song được học sau hoặc cả
hai cùng học đồng thời.
Thực nghiệm này được thực hiện vào thời điểm học sinh đã học bài Phép
chiếu song song và Phép chiếu trục đo để khắc phục hạn chế trên. Qua buổi
thực nghiệm, chúng tôi muốn biết rằng học sinh có biết huy động kiến thức
bên Hình học 11 sang áp dụng cho Công nghệ 11, hay ngược lại, học sinh có
biết dùng kiến thức Công nghệ 11 ứng dụng, hỗ trợ cho Hình học 11 hay
không.
3.1.2. Đối tượng thực nghiệm
Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 11 sau khi học xong bài Bản vẽ kỹ
thuật (môn Công Nghệ 11) và bài Phép chiếu song song (Hình học không gian
11).
Thời gian thực nghiệm là hai buổi trên một lớp 11, chúng tôi thực nghiệm
trên hai lớp 11 khác nhau.
72
3.2. Nội dung các yêu cầu thực nghiệm
3.2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm
Phiếu số 1
Với vật mẫu mà nhóm được nhận, các em hãy mô tả bằng hình ảnh vật
mẫu sao cho người nhận được những hình ảnh này có thể tái lập lại vật mẫu
đó.
Hình 3.1. Hình minh họa vật mẫu của pha 1 thực nghiệm 1
Phiếu số 2
Chúng tôi điều chỉnh vật mẫu của pha 1 thành vật mẫu của pha 2, với các
chi tiết của vật mẫu của pha 2 phức tạp hơn chi tiết vật mẫu pha 1, yêu cầu
được giữ nguyên.
Với vật mẫu mà nhóm được nhận, các em hãy mô tả bằng hình ảnh vật
mẫu sao cho người nhận được những hình ảnh này có thể tái lập lại vật mẫu
đó.
73
Hình 3.2. Hình minh họa vật mẫu của pha 2 thực nghiệm 1
Nhóm 2 làm một sản phẩm tương ứng với thông tin nhận được là một bản
vẽ của một vật.
Phiếu số 3
Dựa vào hình vẽ mô tả khối hình, hãy tái lập mô hình sau:
Hình 3.3. Hình Bản vẽ của pha 1 thực nghiệm 2
74
Phiếu số 4
Dựa vào hình vẽ mô tả khối hình, hãy tái lập mô hình sau:
Hình 3.4. Hình Bản vẽ của pha 1 thực nghiệm 2
Dụng cụ: Kéo, bìa cứng, thước đo, giấy can, keo.
3.2.2. Dàn dựng kịch bản
Với một lớp chúng tôi chia làm hai buổi thực hiện:
Buổi 1: Chúng tôi kiểm tra cách học sinh biểu diễn một hình không
gian lên mặt phẳng với yêu cầu là người thợ có thể tái lập lại vật mẫu
(vật học sinh nhận được) với bản vẽ của học sinh thực hiện. Trong
buổi 1, chúng tôi chia làm hai pha:
o Pha 1 làm việc trên phiếu 1, dự kiến thực hiện khoảng 10 phút.
o Pha 2 làm việc trên phiếu 2, dự kiến thực hiện khoảng 15 phút.
Buổi 2: Chúng tôi kiểm tra học sinh cách đọc hình vẽ. Chúng tôi chọn
Hình chiếu trục đo của hình vẽ vì Hình chiếu trục đo là hình biểu diễn
nổi bằng phép chiếu song song, gần giống với hình biểu diễn của một
hình học không gian học sinh được học trong chương trình Hình học
75
11. Hình chiếu trục đo không thể hiện phần khuất của vật thể, đó là có
sự khác biệt với hình biễu diễn của một hình học không gian.
o Pha 1 làm việc trên phiếu 3, dự kiến thực hiện khoảng 20 phút.
o Pha 2 làm việc trên phiếu 4, dự kiến thực hiện khoảng 40 phút.
Thực nghiệm 1 – buổi 1
Thực nghiệm 1 được chúng tôi tiến hành trên phiếu điều tra gồm 2
bài tập, làm việc cá nhân. Bài tập 1 được giới hạn trong thời gian 10 phút,
bài tập 2 được thực hiện trong thời gian 15 phút.
o Pha 1: (Làm việc cá nhân – 10 phút)
Giáo viên phát thông báo phiếu số 1. Học sinh làm việc cá nhân
để nghiên cứu trả lời câu hỏi trong phiếu số 1.
Giáo viên thu lại bài làm của học sinh và tổng kết các câu trả
lời của học sinh.
o Pha 2: (Làm việc cá nhân – 15 phút)
Giáo viên phát thông báo phiếu số 2. Học sinh làm việc cá nhân
để nghiên cứu thực hiện yêu cầu của phiếu số 2.
Giáo viên thu lại bài làm của học sinh và tổng kết các câu trả
lời của học sinh.
o Pha 3: (Làm việc tập thể (thể chế hóa) – 15 phút)
Giáo viên trình bày kiến thức về:
Phép chiếu song song, hình biểu diễn qua phép chiếu song song
của bộ môn Hình Học 11.
Phép chiếu vuông góc, hình biểu diễn của vật thể trong bản vẽ
kỹ thuật của bộ môn Công Nghệ 11.
o Pha 4: (Làm việc tập thể (tổng kết) – 5 phút)
Giáo viên tổng kết kiến thức: Có nhiều cách biểu diễn một vật thể
không gian lên mặt phẳng, mà người đọc có thể tái lập lại vật thể đó.
76
Có hai cách phổ biến được chương trình Trung học phổ thông giới
thiệu đến học sinh là
Biểu diễn vật thể không gian qua phép chiếu song song của
Hình học không gian trong chương trình Hình Học 11
Biểu diễn vật thể không gian qua phép chiếu song song, cụ thể
là phép chiếu vuống góc của Bản vẽ kỹ thuật trong chương
trình Công Nghệ 11.
Thực nghiệm 2 – buổi 2
Thực nghiệm 2 được chúng tôi tiến hành trên phiếu điều tra gồm 2
bài tập, làm việc cá nhân. Bài tập 3 được giới hạn trong thời gian 20 phút,
bài tập 4 được thực hiện trong thời gian 40 phút.
o Pha 1: (Làm việc cá nhân – 20 phút):
Giáo viên phát thông báo phiếu số 3. Học sinh làm việc cá nhân
để nghiên cứu thực hiện yêu cầu của phiếu số 3.
Giáo viên thu lại kết quả của học sinh và tổng kết các câu trả lời
của học sinh.
o Pha 2: (Làm việc cá nhân – 40 phút):
Giáo viên phát thông báo phiếu số 4. Học sinh làm việc cá nhân
để nghiên cứu thực hiện yêu cầu của phiếu số 4.
Giáo viên thu lại kết quả của học sinh và tổng kết các câu trả lời
của học sinh.
o Pha 3: (Làm việc tập thể (thể chế hóa) – 15 phút)
Giáo viên trình bày kiến thức về:
Phép chiếu song song, các tính chất hình học được bảo toàn qua
phép chiếu song song của bộ môn Hình Học 11.
Phép chiếu vuông góc, cách đọc một bản vẽ kỹ thuật, cách đọc
một Hình chiếu trục đo.
o Pha 4: (Làm việc tập thể (tổng kết) – 5 phút)
77
Giáo viên tổng kết kiến thức: Có nhiều cách tái lập lại vật thể bằng
giấy cứng, đặc biệt là các vậy thể là sự ghép nối của các hình khối cơ
bản như Hình hộp chữ nhật, Hình trụ, Hình lăng trụ tam giác. Hai
cách phổ biến nhất mà chương trình học ở Trung học cơ sở và Trung
học phổ thông giới thiệu đến học sinh là
Cắt rời các mặt rồi nối ghép các mặt với nhau để tạo thành vật
thể theo yêu cầu.
Khai triển vật thể trên mặt phẳng, sau đó gấp ghép các mặt với
nhau để tạo thành vật thể theo yêu cầu.
3.3. Phân tích apriori
3.3.1. Bài thực nghiệm 1
3.3.1.1. Phân tích biến
Biến 1: Vtochuclamviec “Cách tổ chức cho học sinh làm việc”
Giá trị của các biến là:
- Cho học sinh làm việc cá nhân.
- Cho học sinh làm việc theo nhóm.
Nội dung thực nghiệm của chúng tôi gồm có 2 thực nghiệm, thực nghiệm
1 có 2 pha, và chúng tôi đều chọn biến cho học sinh làm việc cá nhân. Vì kết
quả này phản ánh chính xác hơn độ hiểu của học sinh về vấn đề nghiên cứu.
Học sinh phải tự mình làm việc, phải tự mình liên kết kiến thức của Hình học
không gian của Hình học 11 và Bản vẽ kỹ thuật của Công Nghệ 11.
Biến 2: Vvatmau “Vật mẫu để biểu diễn”
Giá trị của các biến là:
- Vật mẫu là sự kết hợp của những khối hộp chữ nhật.
- Vật mẫu là sự kết hợp nhiều khối hình đa dạng.
Nội dung thực nghiệm của chúng tôi gồm 2 thực nghiệm, mỗi thực
nghiệm gồm 2 pha. Chúng tôi chọn biến vật mẫu là sự kết hợp của những
khối hộp chữ nhật cho pha 1 để tạo bước khởi đầu đơn giản, học sinh có thể
78
suy nghĩ ra nhiều chiến lược khác nhau cho phiếu yêu cầu số 1. Chúng tôi chọn
biến vật mẫu là sự kết hợp nhiều khối hình đa dạng cho pha 2 với mục đích
thay đổi biến, từ đó thay đổi chiến lược giải cho các phiếu yêu cầu 2.
3.3.1.2 Phân tích chiến lược
Pha 1
Chiến lược 1: 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖: “Lập phương tham chiếu”
Chiến lược này nghĩa là học sinh sẽ vận dụng các kiến thức bên Công
nghệ 11, cụ thể là các kiến thức của Bản vẽ kỹ thuật để giải quyết bài toán.
Chiến lược 1a: 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒂: “Một trong ba hình của bộ ba hình
chiếu”
Vẽ 1 hình chiếu: hình chiếu đứng hoặc hình chiếu bằng.
Điền đầy đủ các thông số kích thước.
Hình 3.5. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒂
Nhận xét
79
Vì vật thể đơn giản nên hình chiếu cạnh có thể được suy ra từ hình chiếu
đứng và hình chiếu bằng khi cần. Chính vì vậy, nếu học sinh hiểu rõ và vận
dụng tốt bản vẽ kỹ thuật thì học sinh sẽ sử dụng lời giải này cho nhiệm vụ 1.
Chiến lược 1b: 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒃 “Hai trong ba hình của bộ ba hình
chiếu”
Vẽ hai hình chiếu: hình chiếu đứng và hình chiếu bằng.
Điền đầy đủ các thông số kích thước.
Hình 3.6. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒃
Nhận xét
Vì vật thể đơn giản nên hình chiếu cạnh có thể được suy ra từ hình chiếu
đứng và hình chiếu bằng khi cần. Chính vì vậy, nếu học sinh hiểu rõ và vận
dụng tốt bản vẽ kỹ thuật thì học sinh sẽ sử dụng lời giải này cho nhiệm vụ 1.
80
Chiến lược 1c: 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒄: “Bộ ba hình chiếu”
Vẽ bộ ba hình chiếu: hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu
cạnh.
Điền đầy đủ các thông số kích thước.
Hình 3.7. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒄
Nhận xét
Vì vật thể đơn giản nên hình chiếu cạnh có thể được suy ra từ hình chiếu
đứng và hình chiếu bằng. Tuy nhiên, do thói quen của học sinh, khi vẽ một
Bản vẽ kỹ thật là phải vẽ bộ ba hình chiếu nên khả năng xuất hiện của lời giải
này rất cao.
Chiến lược 1d: 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒅: “Bộ ba hình chiếu và hình chiếu trục
đo”
Vẽ bộ ba hình chiếu: hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu
cạnh.
Vẽ hình chiếu trục đo của vật thể.
Chú thích kích thước của từng kích thước của vật mẫu.
81
Hình 3.8. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒅
Nhận xét
Chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒅 có khả năng xuất hiện rất thấp. So với hình
biểu biễu vật thể qua phép chiếu song song, thì Hình chiếu trục đo có vẻ xa xỉ
với học sinh, chú thích về kích thước càng không được học sinh chú ý đến.
Chiến lược 2: 𝑺𝒑𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈: “Phép chiếu song song”
Chiến lược này huy động kiến thức của biểu diễn một hình trong không
gian qua phép chiếu song song.
Chiến lược 2a: 𝑺𝒑𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒂: “Hình biểu diễn qua phép chiếu song
song”
Vẽ hình biểu diễn của vật thể qua phép chiếu song song với các quy tắc
vẽ hình, nét đứt để biểu diễn các đường khuất và nét liền đậm để biểu biễn các
đường nhìn thấy.
82
Hình 3.9. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒑𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒂
Nhận xét
Chiến lược 𝑺𝒑𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒂 có khả năng xuất hiện rất cao.
Chiến lược 2b: 𝑺𝒑𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒃: “Hình biểu diễn qua phép chiếu song
song, có chú thích kích thước”
Vẽ hình chiếu trục đo của vật thể.
Chú thích kích thước của từng kích thước của vật mẫu.
Hình 3.10. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒑𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒃
Nhận xét
Lời giải 𝑺𝒑𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒃 có khả năng xuất hiện rất cao.
83
Pha 2
Chiến lược 1: 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖: “Lập phương tham chiếu”
Chiến lược này nghĩa là học sinh sẽ vận dụng các kiến thức bên Công
nghệ 11, cụ thể là các kiến thức của Bản vẽ kỹ thuật để giải quyết bài toán.
Chiến lược 1a: 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒂: “Một hình trong ba hình của bộ ba
hình chiếu”
Vẽ một trong ba hình của bộ ba hình chiếu: hình chiếu đứng, hình chiếu
bằng và hình chiếu cạnh.
Điền đầy đủ các thông số kích thước.
Hình 3.11. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒂
84
Nhận xét
Đối với nhiệm vụ 2: Vật thể đơn giản nhưng hình chiếu cạnh không thể
được suy ra từ hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh nên khả năng xuất hiện của
lời giải này cũng rất thấp.
Chiến lược 1b: 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒃: “Hai hình trong ba hình của bộ ba
hình chiếu”
Vẽ hai trong ba hình của bộ ba hình chiếu: hình chiếu đứng, hình chiếu
bằng và hình chiếu cạnh.
Điền đầy đủ các thông số kích thước.
Hình 3.12. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒃
Nhận xét
Đối với nhiệm vụ 2: Vật thể đơn giản nhưng hình chiếu cạnh không thể
được suy ra từ hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh nên khả năng xuất hiện của
lời giải này cũng rất thấp.
Chiến lược 1c: 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒄: “Bộ ba hình chiếu”
Vẽ bộ ba hình chiếu: hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu
cạnh.
85
Điền đầy đủ các thông số kích thước.
Hình 3.13. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒄
Nhận xét
Đối với nhiệm vụ 2: Vật thể đơn giản nhưng hình chiếu cạnh không thể
được suy ra từ hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh nên khả năng xuất hiện của
lời giải này cũng rất cao.
Chiến lược 1d: 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒅: “Bộ ba hình chiếu và hình chiếu trục
đo, có chú thích kích thước”
Vẽ bộ ba hình chiếu: hình chiếu đứng, hình chiếu bằng và hình chiếu
cạnh.
Vẽ hình chiếu trục đo của vật thể.
Chú thích kích thước của từng kích thước của vật mẫu.
86
Hình 3.14. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒅
Nhận xét
Chiến lược 𝑺𝒍𝒑𝒕𝒉𝒂𝒎𝒄𝒉𝒊𝒆𝒖.𝒅 có khả năng xuất hiện rất thấp, so với hình biểu
biễu vật thể qua phép chiếu song song, thì Hình chiếu trục đo có vẻ xa xỉ với
học sinh, chú thích về kích thước càng không được học sinh chú ý đến.
Chiến lược 2: 𝑺𝒉𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈: “Hình chiếu song song”
Chiến lược này huy động kiến thức của biểu diễn một hình trong không
gian qua phép chiếu song song.
Chiến lược 2a: 𝑺𝒉𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒂: “Chỉ có hình chiếu trục đo”
Vẽ hình chiếu trục đo của vật thể.
87
Hình 3.15. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒉𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒂
Nhận xét
Lời giải 𝑺𝒉𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒂 có khả năng xuất hiện rất cao.
Chiến lược 2b: 𝑺𝒉𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒃 : “Chỉ có hình chiếu trục đo, có chú
thích kích thước”
Vẽ hình chiếu trục đo của vật thể.
Chú thích kích thước của từng kích thước của vật mẫu.
Hình 3.16. Hình ảnh minh họa của chiến lược 𝑺𝒉𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒃
Nhận xét
Chiến lược 𝑺𝒉𝒄𝒔𝒐𝒏𝒈𝒔𝒐𝒏𝒈.𝒃 có khả năng xuất hiện rất cao.
3.3.2. Bài thực nghiệm 2
3.3.2.1. Phân tích biến
Biến 1: 𝑽𝑡𝑜𝑐ℎ𝑢𝑐𝑙𝑎𝑚𝑣𝑖𝑒𝑐 “Cách tổ chức cho học sinh làm việc”
88
Giá trị của các biến là:
Cho học sinh làm việc cá nhân. -
Cho học sinh làm việc theo nhóm. -
Nội dung thực nghiệm của chúng tôi gồm có 2 thực nghiệm, thực nghiệm
2 có 2 pha, và chúng tôi đều chọn biến cho học sinh làm việc cá nhân. Vì kết
quả này phản ánh chính xác hơn độ hiểu của học sinh về vấn đề nghiên cứu.
Học sinh phải tự mình làm việc, phải tự mình liên kết kiến thức của Hình học
không gian của Hình học 11 và Bản vẽ kỹ thuật của Công Nghệ 11.
Biến 2: 𝑽𝒔𝒍𝒉𝒊𝒏𝒉𝒗𝒆 “Số lượng hình vẽ trong bản vẽ” Giá trị của các biến là:
- Có một hình vẽ là hình chiếu trục đo.
- Có hai hình vẽ là hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh.
- Có ba hình vẽ là bộ ba hình chiếu.
- Có bốn hình vẽ là bộ ba hình chiếu và hình chiếu trục đo.
Nội dung thực nghiệm của chúng tôi gồm có 2 thực nghiệm, thực
nghiệm 2 có 2 pha, chúng tôi đều chọn biến có một hình vẽ là hình chiếu trục
đo. Vì Hình chiếu trục đo là hình biểu diễn nổi bằng phép chiếu song song, gần
giống với hình biểu diễn của một hình học không gian học sinh được học trong
chương trình Hình học 11.
Biến 3: 𝑽 𝑣𝑎𝑡𝑚𝑎𝑢“Vật mẫu để biểu diễn” Giá trị của các biến là:
- Hình mẫu là sự kết hợp của những khối hộp chữ nhật.
- Hình mẫu là sự kết hợp nhiều khối hình đa dạng.
Nội dung thực nghiệm của chúng tôi gồm có 2 thực nghiệm, thực
nghiệm 2 có 2 pha. Chúng tôi chọn biến hình mẫu là sự kết hợp của những
khối hộp chữ nhật cho pha 1 để tạo bước khởi đầu đơn giản, học sinh có thể
suy nghĩ ra nhiều chiến lược khác nhau cho phiếu yêu cầu số 3. Chúng tôi chọn
89
biến hình mẫu là sự kết hợp nhiều khối đa dạng cho pha 2 với mục đích
thay đổi biến, từ đó thay đổi chiến lược giải cho các phiếu yêu cầu 4.
3.3.2.2 Phân tích kỹ thuật thực hành
Chiến lược 𝑺𝒄𝒂𝒕𝒓𝒐𝒊: “Cắt rời các mặt”
Vẽ từng mặt của vật thể lên giấy bìa.
Cắt lần lượt từng mặt của vật thể theo đường vẽ vừa vẽ.
Dán các mặt để tạo thành vật thể hoàn chỉnh.
Nhận xét
Chiến lược này có khả năng xuất hiện cao vì thao tác dễ làm và hầu như
muốn tái lập lại vật thể ta đều dùng cách này.
Chiến lược 𝑺𝒉𝒊𝒏𝒉𝒕𝒓𝒂𝒊: “Khai triển vật thể trên mặt phẳng”
Trải các mặt của vật thể không gian lên mặt phẳng.
Cắt theo đường vẽ.
Gấp và dán các mặt để tạo thành vật thể hoàn chỉnh.
Nhận xét
Chiến lược này có thể xuất hiện với những khối bao gồm các khối hợp
chữ nhật. Chiến lược này đòi hỏi sự tư duy trừu tượng. Khi các mặt xung
quanh của khối hộp được phân tích một cách chi tiết.
90
3.4. Phân tích apospriori
3.4.1. Bài thực nghiệm 1
3.4.1.1. Thống kê bài làm của học sinh tương ứng với các chiến lược
Pha 1
Bảng 3.1. Thống kê bài làm của học sinh ở pha 1 thực nghiệm 1
Chiến lược Lời giải có thể quan sát được Tỷ lệ
7,6% 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢.𝑎
1,3% 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢.𝑏 10,2% 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢 0% 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢.𝑐
1,3% 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢.𝑑
0% 𝑆𝑝𝑐𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑜𝑛𝑔.𝑎 82,2% 𝑆𝑝𝑐𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑜𝑛𝑔 82,2% 𝑆𝑝𝑐𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑜𝑛𝑔.𝑏
0% 𝑆𝑝𝑐𝑑𝑢𝑜𝑛𝑔𝑛𝑒𝑡.𝑎 7,6% 𝑆𝑝𝑐𝑑𝑢𝑜𝑛𝑔𝑛𝑒𝑡 7,6% 𝑆𝑝𝑐𝑑𝑢𝑜𝑛𝑔𝑛𝑒𝑡.𝑏
Pha 2
Bảng 3.2. Thống kê bài làm của học sinh ở pha 2 thực nghiệm 1
Chiến lược Lời giải có thể quan sát được Tỷ lệ
16,1% 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢.𝑎
20,2% 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢.𝑏 80,8% 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢 40% 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢.𝑐
4,5% 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢.𝑑
0% 𝑆𝑝𝑐𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑜𝑛𝑔.𝑎 15,4% 𝑆𝑝𝑐𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑜𝑛𝑔 15,4%% 𝑆𝑝𝑐𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑜𝑛𝑔.𝑏
0% 𝑆𝑝𝑐𝑑𝑢𝑜𝑛𝑔𝑛𝑒𝑡.𝑎 7,6% 𝑆𝑝𝑐𝑑𝑢𝑜𝑛𝑔𝑛𝑒𝑡 7,6% 𝑆𝑝𝑐𝑑𝑢𝑜𝑛𝑔𝑛𝑒𝑡.𝑏
91
3.4.1.2. Phân tích lời giải của học sinh
Qua thực nghiệm 1 với hai pha, chúng tôi nhận thấy rằng:
- Đối với chiến lược 𝑆𝑝𝑐𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑜𝑛𝑔 là “Hình học không gian”, luôn nằm
trong đầu của học sinh, do số tiết học bộ môn Toán nhiều hơn hẳn so với số
tiết học môn Công Nghệ nên hình vẽ đầu tiên trong đầu học sinh nghĩ đến là
hình học không gian. Tuy nhiên, việc biểu diễn một hình trong hình học không
gian được chương trình sách giáo khoa lớp 11 và cả lớp 12 trình bày với những
hình khối lồi như: hình chóp, hình trụ, hình hộp,… hoàn toàn không có hình
khối nào không phải là hình lồi. Do đó, học sinh chỉ dùng chiến lược
𝑆𝑝𝑐𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑜𝑛𝑔 “Phép chiếu song song” cho Pha 1.
Hình 3.17. Trích bài làm cá nhân Hình 3.18. Trích bài làm cá nhân
của học sinh 1 của học sinh 2
Khi đến Pha 2 thì chỉ có số ít học sinh dùng chiến lược Phép chiếu song song
này
92
Hình 3.19. Trích bài làm cá nhân của học sinh 3
Đa số học sinh sử dụng chiến lược Lập phương tham chiếu.
- Đối với chiến lược 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢 là “Lập phương tham chiếu”, khi học sinh
gặp hình khó, hình lạ so với các khối hình đã học trong sách Hình học 11.
Chính vì vậy, trong Pha 2 học sinh sẽ suy nghĩ đến chiến lược 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢 để
biểu hiễn hình vẽ của một hình khối bất kỳ.
Hình 3.21. Trích bài làm cá nhân của Hình 3.20. Trích bài làm cá nhân
học sinh 5 của học sinh 4
93
Hình 3.23. Trích bài làm cá nhân của Hình 3.22. Trích bài làm cá nhân
học sinh 7 của học sinh 6
Pha 1 cũng góp phần vào chiến lược 𝑆𝑝𝑐𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑜𝑛𝑔 một số ít học sinh.
Hình 3.24. Trích bài làm cá nhân của học sinh 8
Học sinh sẽ vận dụng kiến thức Công nghệ 11, cụ thể là bài Phép chiếu
phối cảnh.
- Đối với chiến lược 𝑆𝑝𝑐𝑑𝑢𝑜𝑛𝑔𝑛𝑒𝑡 là “Phối cảnh đường nét” thì ít hơn hẳn so
với hai chiến lược 𝑆𝑙𝑝𝑡ℎ𝑎𝑚𝑐ℎ𝑖𝑒𝑢 và 𝑆𝑝𝑐𝑠𝑜𝑛𝑔𝑠𝑜𝑛𝑔 trong cả hai Pha. Chiến lược
này liên quan đến hội họa, nghĩa là hình vẽ vật thể sẽ thể hiện một cách chân
thực nhất qua mắt chúng ta nhìn thấy. Đây là chiến lược được phát sinh thêm
ngoài dự kiến. Qua cuộc điều tra riêng, chúng tôi nhận thấy rằng do học sinh
này có học thêm môn Mỹ Thuật nên có xu hướng biểu diễn hình không gian
bằng Hình chiếu phối cảnh.
94
Hình 3.25. Trích bài làm cá nhân của học sinh 9
3.4.2. Bài thực nghiệm 2
3.4.2.1. Thống kê bài làm của học sinh tương ứng với các chiến lược
Pha 1
Bảng 3.3. Thống kê bài làm của học sinh ở pha 1 thực nghiệm 2
Chiến lược Tỷ lệ
97,3% 𝑆𝑐𝑎𝑡𝑟𝑜𝑖
2,7% 𝑆ℎ𝑖𝑛ℎ𝑡𝑟𝑎𝑖
Pha 2
Bảng 3.4. Thống kê bài làm của học sinh ở pha 2 thực nghiệm 2
Chiến lược Tỷ lệ
88,7% 𝑆𝑐𝑎𝑡𝑟𝑜𝑖
0% 𝑆ℎ𝑖𝑛ℎ𝑡𝑟𝑎𝑖
Học sinh không hoàn thành 11,3% được thực nghiệm 2
95
3.4.2.2. Phân tích lời giải của học sinh
- Đối với chiến lược 𝑆𝑐𝑎𝑡𝑟𝑜𝑖 nghĩa là học sinh sẽ cắt từng mặt của hình
khối, sau đó dùng keo dính để dán các mặt với nhau tạo thành mô hình như
hình vẽ mà học sinh nhận được. Đây là cách phổ thông và cơ bản nhất, học
sinh đã sử dụng cách này rất nhiều và chỉ quen với cách này. Học sinh đã biết
huy động kiến thức của phép chiếu song song được học trong phần Hình Học
11, đó là bảo toàn được tính song song và tính tỉ lệ cũng những đoạn thẳng
nằm trên các đường thẳng song song hoặc trùng nhau, trong hình vẽ các đường
thẳng được vẽ song song và và bằng nhau được học sinh bảo toàn các tính chất
đó. Ngoài ra, học sinh đã biết huy động được kiến thức của Công Nghệ 11 về
bản vẽ kỹ thuật, sự áp dụng này tuy không được thể rõ ràng như môn Hình
Học 11, nhưng học sinh đã đọc bản vẽ của hình chiếu trục đo, tưởng tượng
trong đầu mình các hình chiếu vuông góc tương ứng với hình chiếu đứng, hình
chiếu bằng và hình chiếu cạnh, vì thế học đã cắt các mặt rời tương ứng với
hình ảnh của các hình chiếu đó.
Hình 3.26. Hình ảnh thực hiện bài làm cá nhân của học sinh 10
96
- Đối với chiến lược 𝑆ℎ𝑖𝑛ℎ𝑡𝑟𝑎𝑖 nghĩa là học sinh tưởng tượng ra được là
các mặt của khối hộp khi được trải phẳng trên hình học phẳng sẽ bao gồm các
mặt nào với thứ tự của chúng một cách thật chính xác. Chiến lược này học sinh
đã được làm quen trong sách giáo khoa Toán 8 tập 2, tương ứng với kiểu
nhiệm vụ 𝑇ℎ𝑖𝑛ℎ𝑡𝑟𝑎𝑖, tuy nhiên, đó chỉ là bài toán cắt và dán thành khối hộp với
hình trải phẳng của khối hộp được đề bài cho trước.
- Đối với chiến lược 𝑆ℎ𝑖𝑛ℎ𝑡𝑟𝑎𝑖 nghĩa là học sinh đã thể hiện một cách rõ
ràng hơn chiến lược 𝑆𝑐𝑎𝑡𝑟𝑜𝑖 vận dụng kiến thức Công nghệ 11, tướng ứng với
kiểu nhiệm vụ 𝑇ℎ𝑐𝑣𝑢𝑜𝑛𝑔𝑔𝑜𝑐, từ hình chiếu trục đo, học sinh sẽ lập nên bản vẽ
kỹ thuật với đầy đủ bộ ba hình chiếu, từ đó, học sinh sẽ có được hình trải các
mặt của vật thể lên mặt phẳng.
Hình 3.27. Hình ảnh thực hiện bài làm cá nhân của học sinh 11
- Có một số học sinh chưa hoàn thành được thực nghiệm này.
3.5. Kết luận
Qua thực nghiệm 1 chúng tôi nhận thấy rằng, học sinh có sự kết hợp giữa
môn Công Nghệ và môn Toán cụ thể là phân môn Hình học. Tuy được thực
nghiệm trên tiết Toán, với yêu cầu là biểu diễn một hình hình học không gian
khi cho một hình cho trước, nhưng học sinh có sự kết hợp giữa Hình học
97
không gian và Hình họa hình cụ thể là Bản vẽ kỹ thuật trong Công Nghệ 11.
Trong Pha 1 của thực nghiệm 1, khối hình học không gian là sự kết hợp của
hai hình khối quen thuộc là hình hộp, nên học sinh chỉ sử dụng hình học không
gian để biểu diễn hình khối này lên mặt phẳng. Khi qua Pha 2 của thực nghiệm
1, vì hình khối được yêu cầu biểu diễn là hình khá phức tạp và không là hình
lồi, nên học sinh lúng túng trong việc biểu diễn hình theo hình học không gian.
Do vậy, học sinh đã có được sự vận dụng của môn Công Nghệ là sử dụng Bản
vẽ kỹ thuật để biểu diễn hình khối hình này.
Nếu thực nghiệm 1 là yêu cầu học sinh biểu diễn hình học không gian lên
mặt phẳng với khối hình được cho trước thì thực nghiệm 2 là yêu cầu học sinh
tái lập lại vật khi cho hình biểu diễn của vật là Hình chiếu trục đo có ghi các số
liệu kích thước trên đó. Trong cả hai Pha, đa số học sinh cũng chỉ sử dụng một
chiến lược duy nhất là “Cắt rời các mặt”. Nhưng nhìn chung thì học sinh sẽ tái
lập lại vật thể chỉ cần thông qua Hình chiếu trục đo, vì Hình chiếu trục đo gần
giống với Hình học không gian, gần gũi với học sinh. Học sinh không có thói
quen đọc Hình chiếu trục đo, sau đó lập nên Bản vẽ kỹ thuật để dễ dàng thể
hiện chính xác kích thước cũng như hình dạng cụ thể các mặt của vật thể, từ đó
dễ dàng tái lập vật thể hơn.
Vẫn còn bộ phận nhỏ học sinh không hoàn thành được thực nghiệm. Một
số học sinh tuy hoàn thành được thực nghiệm nhưng mô hình được tái lập còn
méo mó, do quá trình đo và cắt chưa chính xác nên các mặt chưa khớp với
nhau.
98
KẾT LUẬN
1. Trong chương 1, chúng tôi đã phân tích các khái niệm về hình biểu
diễn trong Hình học không gian của bộ môn Hình học 11 và Hình chiếu trục đo
trong Bản vẽ kỹ thuật của bộ môn Công Nghệ 11. Qua phân tích trên, chúng
tôi có kết luận rằng: Để biểu diễn một vật thể không gian, người ta thường
dùng biểu diễn phối cảnh. Trong đó, biểu diễn phối cảnh được phân theo bảo
toàn phần “thấy” có phối cảnh đường nét và bảo toàn phần “biết” có phối cảnh
song song. Hình chiếu trục đo trong Bản vẽ kỹ thuật và hình chiếu song song
của hình học không gian về mặt bản chất là hình biểu diễn qua phép chiếu song
song, về mặt hình thức thì hình chiếu trục đo không thể hiện phần khuất của
vật thể, trong khi hình chiếu song lại thể hiện các đường nét khuất bằng các
đoạn thẳng đứt nét. Bộ ba hình chiếu trong Bản vẽ kỹ thuật cũng là hình biểu
diễn qua phép chiếu song song, cụ thể là phép chiếu vuông góc, cũng là một
nhánh của phép chiếu phối cảnh.
2. Trong chương 2, chúng tôi đã phân tích được rằng các bài tập của sách
giáo khoa Hình học 11, chủ yếu là chứng minh các tính chất hình học của một
hình. Điều này yêu cầu một hình vẽ mình họa cho một hình hình học phải bảo
toàn được đại đa số các tính của hình đó một cách hiệu quả nhất. Trong khi đó,
đặc trưng của hình biểu diễn qua phép chiếu song song là bảo toàn các tính
chất song song cũng như tính bảo toàn tỷ lệ của những đoạn thẳng nằm trên
những đường thẳng song song hoặc trùng nhau.bên cạnh đó, đặc thù của bộ
môn Công nghệ là về kỹ thuật. Các hình vẽ được thể hiện trong Bản vẽ kỹ
thuật đòi hỏi sự chi tiết, tỉ mỉ và độ chính xác cao. Các bài tập của sách giáo
khoa Công nghệ 11, Chương I, Bản vẽ kỹ thuật, chủ yếu là thể hiện đầy đủ các
hình chiếu của bản vẽ kỹ thuật. Thế nhưng các tính chất về vuông góc cũng
như tính tỷ lệ của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo
nhau lại không được bảo toàn qua phép chiếu song song. Đặc trưng của bản vẽ
kỹ thuật gồm 3 hình chiếu là đầy đủ chi tiết cho từng kích thước: chiều dài,
99
chiều rộng, chiều cao. Chính vì vậy, hình biểu diễn trong Hình học không
gian chỉ cần dùng một hình vẽ trong khi hình biểu diễn trong Bản vẽ kỹ
thuật cần sử dụng đến ba hình vẽ.
3. Trong chương 3, chúng tôi nhận thấy rẳng, học sinh có sự vận dụng và
biến đổi qua lại giữa Hình học không gian và Hình họa hình nói chung cũng
như là giữa Hình học không gian và Bản vẽ ký thuật lớp 11 nói riêng. Trong
thực nghiệm 1 ở cả hai Pha, học sinh đã biểu diễn được hình theo nhiều cách,
nhìn chung là đã vận dụng kết hợp các kiến thức của bản vẽ kỹ thuật và hình
học không gian để biểu diễn vật lên hình học phẳng. Trong thực nghiệm 2 ở cả
hai Pha, đa số học sinh đã vận dụng được các kiến thức đã học để tái lập lại mô
hình, và học sinh không có thói quen vận dụng Bản vẽ kỹ thuật vào việc tái lập
mô hình. Tuy nhiên vẫn còn có một số nhóm học sinh không làm được mô
hình hoặc tái lập lại vật không khớp các thông số nên mô hình còn méo mó,
không được chính xác.
100
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến. (2009). Những
yếu tố cơ bản của Didactic Toán. Tp. Hồ Chí Minh: Nxb ĐHQG.
Annie Bessot. Loại toán nào cho Giáo dục Chuyên Nghiệp? Sự cần thiết của
khảo sát khoa học luận để vượt qua dư luận. Kỷ yếu
CIDMath6.BaiBao.Annie.
Bùi Đức Tước Hoàn. (2012). Một nghiên cứu Didactic về đọc hình biểu diễn
trong hình học không gian. Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục. Chuyên
ngành Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán. Trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Thành phố Hồ Chí Minh.
Đại học Sư phạm Hà Nội. Giáo trình vẽ kỹ thuật. Nguồn https:// voer.edu.vn
/m/hinh-chieu-truc-do/43dca702
Đoàn Như Kim, Nguyễn Quang Cự, Nguyễn Sĩ Hạnh, Dương Tiến Thọ.
(2004). Vẽ kỹ thuật xây dựng. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Chương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban,
Tạ Mẫn. (2012). Sách giáo viên Hình học 11, nâng cao. Hà Nội: Nxb
Giáo dục.
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Chương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban,
Tạ Mẫn. (2012). Hình học 11, nâng cao. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Lê Thị Hoài Châu. (2004). Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT.
Nxb ĐHQG Tp. Hồ Chí Minh.
Nguyễn Đình Điện, Dương Tiến Thọ, Nguyễn Văn Tuấn. (1993). Hình Học
Họa Hình tập 1. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Nguyễn Đình Điện, Dương Tiến Thọ, Nguyễn Văn Tuấn. (1993). Hình Học
Họa Hình tập 2. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Nguyễn Mộng Hy. (2009). Hình học cao cấp. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Nguyễn Mộng Hy. (2010). Bài tập Hình học cao cấp. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
101
Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Nguyễn Hà Thanh, Khu Quốc Anh, Trần Văn
Hạo. (2010). Bài tập Hình học 11, cơ bản. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Nguyễn Hà Thanh, Khu Quốc Anh, Trần Văn
Hạo. (2010). Bài tập Hình học 11, nâng cao. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Nguyễn Văn Khôi (Chủ biên), Nguyễn Văn Ánh, Nguyễn Trọng Bình, Đặng
Văn Cứ, Nguyễn Trọng Khanh, Trần Hữu Quế. (2013). SGV Công nghệ
11. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Nguyễn Văn Khôi (Chủ biên), Nguyễn Văn Ánh, Nguyễn Trọng Bình, Đặng
Văn Cứ, Nguyễn Trọng Khanh, Trần Hữu Quế. (2012). Công nghệ 11.
Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Phạm Hoàng Nhi. (2010). Nghiên cứu Didactic về hình vẽ ở trường phổ thông
– bước chuyển từ hình học phẳng sang hình học không gian. Chuyên
ngành Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán. Trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Thành phố Hồ Chí Minh.
Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Trần
Phương Dung, Ngô Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo. (2004).
Hình học 8, tập 2. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Trần
Phương Dung, Ngô Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo.
(2004). SGV Hình học 8, tập 2. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Trần
Phương Dung, Ngô Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo.
(2004). Hình học 9, tập 2. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Trần
Phương Dung, Ngô Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo.
(2004). SGV Hình học 9, tập 2. Hà Nội: Nxb Giáo dục.
102
Tăng Minh Dũng, Các hướng tiếp cận và lợi ích của phân tích tri thức luận:
trường hợp nghiên cứu “Biểu diễn phối cảnh”. Kỷ yếu
CIDMath6.TangMinhDung.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh,
Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện. (2012). Hình học 11, cơ bản. Hà
Nội: Nxb Giáo dục.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh,
Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện. (2006). SGV Hình học 11 cơ bản.
Hà Nội: Nxb Giáo dục.
Văn Như Chương, Trần Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy (2000), Hình học 11.
Hà Nội: Nxb Giáo dục.
V.O.Goocđôn, M.A.Xêmenxôp-Oghiepxki, Người dịch: Nguyện Đình Điện,
Hoàng Văn Thân. (1988). Giáo trình hình học họa hình. Hà Nội: Nxb Đại
học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội.
