ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Phạm Ngọc Hưng
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẬN SAI SỐ CỦA CÁC HÀM
NỬA LIÊN TỤC DƯỚI
Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
Mã số: 60 46 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ
Thái Nguyên - 2012
.
1
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học -
Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Trương
Xuân Đức Hà. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô
giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS.TS. Trương Xuân Đức
Hà, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình
nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các
thầy cô trong khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính
để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến
gia đình, BGH trường THPT Thị xã Mường Lay - Điện Biên và các bạn
trong lớp Cao học K4, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và làm luận văn.
.
1
Mục
lục
Mở
đầu
3
1
Kiến
thức
chuẩn
bị
5
1.1
Hàm
nửa
liên
tục
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
1.2
Nguyên
lý
biến
phân
Ekeland
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
1.3
Giải
tích
lồi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
1.3.1
Tập
lồi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
1.3.2
Hàm
lồi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
1.3.3
Dưới
vi
phân
của
hàm
lồi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
1.4
Một
số
dưới
vi
phân
hàm
không
lồi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
1.4.1
Dưới
vi
phân
Fréchet
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
1.4.2
Dưới
vi
phân
xấp
xỉ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
1.4.3
Dưới
vi
phân
tổng
quát
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
2
Điều
kiện
đủ
cho
sự
tồn
tại
cận
sai
số
16
2.1
Điều
kiện
độ
dốc
mạnh
và
dưới
vi
phân
hàm
lồi
.
.
.
.
.
.
.
16
2.1.1
Điều
kiện
độ
dốc
mạnh
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
2.1.2
Điều
kiện
dưới
vi
phân
của
hàm
lồi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
2.2
Điều
kiện
dưới
vi
phân
tổng
quát
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
2.2.1
Điều
kiện
dưới
vi
phân
tổng
quát
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
2.2.2
Điều
kiện
dưới
vi
phân
Fréchet
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
2.2.3
Điều
kiện
dưới
vi
phân
xấp
xỉ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36
3
Một
số
áp
dụng
40
3.1
Mối
liên
hệ
giữa
cận
sai
số
và
tính
chính
quy
metric
.
.
.
.
40
3.2
Phân
tích
độ
nhạy
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
Kết
luận
52
.
2
53Tài liệu tham khảo
.
3
Mở đầu
Bài toán tìm điều kiện tồn tại cận sai số cho khoảng cách từ một điểm
tới một tập mức của hàm nửa liên tục dưới đã được Hoffman nghiên cứu
lần đầu trong [10]. Bài toán được phát biểu như sau: Cho một hàm nửa
liên tục dưới f:X→R∪ {+∞} xác định trên không gian metric đủ X,
chúng ta nói rằng fcó một cận sai số toàn cục tại mức αnếu tồn tại số
thực dương τthỏa mãn
τd(x, [f(x)≤α]) ≤(f(x)−α)+,∀x∈X,
trong đó [f≤α] := {x∈X:f(x)≤α}, d(x, [f≤α]) là khoảng cách từ
điểm x đến tập [f≤α], và t+= sup(t, 0).
Năm 1952, Hoffman đã đạt được các kết quả cho các hàm lồi đa
diện dạng f(x) = max1≤j≤m(aT
jx+bj), trong đó a1,· · · , am∈Rmvà
b1,· · · , bm∈R. Robinson [11] đã xét các hàm lồi không đa diện trong
không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện Slater (infXf < α) với tập
[f≤α]bị chặn và thu được kết quả sau
d(x, [f≤α]) ≤r+||x0||
θ(f(x)−α),
trong
đó
θ
>
0,
f
(x0)
<
α
−
θ,
r
là
bán
kính
hình
cầu
gốc
0
chứa
tập
[f
≤
α].
Tiếp
đó
Mangasarian
[12],
Auslender
-
Crouzeix
[13]
và
Klatte
-
Ly
[14]
đã
thu
được
một
điều
kiện
đủ
cho
sự
tồn
tại
cận
sai
số
của
hệ
tuyến
tính
với
điều
kiện
tiệm
cận.
Trong
trường
hợp
không
lồi,
kết
quả
đầu
tiên
về
cận
sai
số
thuộc
về
Ioffe
[15],
Ng-Zheng
[16]
và
Wu-Ye
[5].
Năm
1998,
Penot
nhận
được
kết
quả
trong
trường
hợp
hàm
tựa
lồi.
Các
tính
chất
đầu
tiên
về
cận
sai
số
trong
trường
hợp
hàm
lồi
được
chứng
minh
bởi
Corneia-jourari-Zalinesco
[17],
một
số
tính
chất
khác
được
thiết
lập
bởi
Lewis-Pang
[18],
Lemaire[19],Zalinesco
[20].
Sau
đó,
D.Aze
nhận
được
một
.