Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm lũy thừa trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Tố Như

KHÁI NIỆM LŨY THỪA TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã nhiệt tình

hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo

Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, cùng các thầy cô khác đã nhiệt tình giảng dạy, truyền

thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi

những công cụ cần thiết và hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.

Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã nhiệt tình giúp tôi dịch các tài liệu

tiếng pháp trong quá trình làm luận văn.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều

kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học.

- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Xuyên Mộc nơi tôi công tác, đã

giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình.

- Các anh, các chị và các bạn cùng lớp, những người đã đồng hành cùng tôi chia sẽ những vui

buồn trong học tập cũng như trong cuộc sống suốt ba năm học.

NGUYỄN THỊ TỐ NHƯ

- Những người thân trong gia đình đã luôn sát cánh cùng tôi trong quá trình học.

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Trung học cơ sở THCS

Trung học phổ thông THPT

Sách giáo khoa SGK

Sách giáo viên SGV

Sách bài tập SBT

Chỉnh lý hợp nhất CLHN

Tổ chức toán học TCTH

Quy tắc hợp đồng QTHĐ

BKHTN Ban khoa học tự nhiên

KNV Kiểu nhiệm vụ

TLHDGD Tài liệu hướng dẫn giảng dạy

ĐKXĐ Điều kiện xác định

[A] Toán cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thông dụng, Guy Lefort

[B] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet

[C] Đại số và giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, NXBGD

[M] Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN, Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD

MỞ ĐẦU

I. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.

Lũy thừa là một đối tượng toán học được đưa vào từ đầu cấp hai và kết thúc ở cuối cấp 3,

mặc dù số lượng và nội dung của nó rất ít nhưng nó có một vai trò rất lớn trong chương trình toán.

Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến lũy thừa bởi những lý do sau đây:

- Qua các lần cải cách giáo dục thì mở rộng khái niệm lũy thừa vẫn được đưa vào đầu

chương: hàm số mũ-hàm số lôgarit, sau khi học giới hạn. Điều đó dẫn chúng tôi đến câu hỏi: Có hay

không sự phụ thuộc của lũy thừa vào giới hạn? Lũy thừa có vai trò gì trong việc nghiên cứu hàm mũ

và hàm lôgarit?

- Ở chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào

sau chương giới hạn và trước chương đạo hàm, nhưng sang chương trình cải cách năm 2005 thì nó

được đưa vào chương trình lớp 12 sau khi đã học xong chương “đạo hàm và các ứng dụng của đạo

hàm”. Sự thay đổi này có ý nghĩa như thế nào? Tại sao lại có sự thay đổi đó? Tiến trình đưa vào

khái niệm lũy thừa qua hai bộ SGK có gì thay đổi hay không? Khi học khái niệm lũy thừa học sinh

gặp phải những khó khăn gì?

- Sau khi tham khảo luận văn của tác giả Hữu Lợi và Hoàng Hùng, tôi thấy khái niệm lũy

thừa, hàm mũ và hàm lôgarit có mối quan hệ mật thiết với nhau. Đồng thời, mở rộng khái niệm lũy

thừa có thể đưa vào sau khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit. Từ đó, chúng tôi đặt ra câu hỏi: tại sao

SGK hiện hành lại chọn tiến trình ngược lại? Ý nghĩa của tiến trình đó là gì?

- Có những tương đồng và khác biệt gì về sự xuất hiện cũng như vai trò của lũy thừa trong

chương trình đại học và trong chương trình phổ thông ?

2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu.

Mục đích nghiên cứu của luận văn này là tìm câu trả lời cho một số câu hỏi đặt ra ở trên.

Để tìm kiếm câu trả lời, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic

toán. Cụ thể:

- Lý thuyết nhân chủng học: Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức toán

học, tổ chức toán học, chuyển đổi didactic.

- Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại.

 Lý thuyết nhân chủng học

- Lý thuyết tình huống: Hợp đồng didactic, biến didactic…

Ở đây, chúng tôi chỉ mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu của lý thuyết nhân chủng

 Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân đối với một tri thức

học để tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra.

Quan hệ thể chế:

Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với

tri thức O. Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì … trong I ?

Quan hệ cá nhân:

Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có

với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao ?

Việc học tập của cá nhân X đối với tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối

quan hệ (X,O). Hiển nhiên, đối với một tri thức O, quan hệ của thể chế I mà cá nhân X là một thành

phần, luôn luôn để lại một dấu ấn trong quan hệ R(X,O). Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt nó

 Tổ chức toán học

trong R(I,O).

Hoạt động toán học là một bộ phận của các hoạt động trong một xã hội; thực tế toán học cũng

là một kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó.

Chính trên quan điểm này mà Yves Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxéologie.

Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần [T,,,], trong đó T là một

kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T;  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ;  là lý

thuyết giải thích cho công nghệ .

Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một TCTH.

Bosch M. và Y. Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với một đối tượng, đối với một

vị trí thể chế xác định, được định hình và biến đổi bởi một tập hợp những nhiệm vụ mà cá nhân

chiếm vị trí này phải thực hiện, nhờ vào những kỹ thuật xác định. Chính việc thực hiện những nhiệm

vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó

nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với

đối tượng nói trên”.

Do đó, việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan

hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ cá nhân X (chiếm một vị trí nào

đó trong I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) duy trì đối với tri thức O.

Việc chỉ rõ các TCTH liên quan đến tri thức O cũng giúp ta xác định một số quy tắc của hợp

đồng didactic: mỗi cá nhân có quyền làm gì, không có quyền làm gì, có thể sử dụng tri thức O như

 Chuyển đổi didactic

thế nào chẳng hạn.

 Mắt xích thứ nhất :  đối tượng tri thức (thể chế tạo tri thức)

Quá trình chuyển đổi thể hiện ở 3 mắc xích sau:

Sự tồn tại của một “tri thức khoa học” đã đòi hỏi một sự soạn thảo. Ta có thể xem nó như kết quả

của một hoạt động khoa học. Đây là một hoạt động của con người, gắn liền với lịch sử cá nhân nhà

nghiên cứu. Nhà nghiên cứu đặt ra một vấn đề. Để giải quyết nó, ông ta phải khám phá ra những

kiến thức, mà một số trong những kiến thức này được nhà nghiên cứu nhận thấy là đủ mới, đủ hay,

có thể thông báo cho cộng đồng khoa học. Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho những kiến thức

này một dạng khái quát nhất có thể được, theo quy tắc suy lý logic đang lưu hành trong cộng đồng

khoa học. Sự biến đổi kiến thức như vậy là một phần rất quan trọng của hoạt động toán học.

«Một nhà nghiên cứu, để thông báo cho những nhà nghiên cứu khác cái mà ông ta nghĩ rằng đã tìm

thấy, phải biến đổi nó :

- trước hết nhà nghiên cứu xóa đi thời kỳ khai thủy của nghiên cứu : những suy nghĩ vô ích, những

sai lầm, những con đường vòng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt. Nhà nghiên cứu cũng bỏ

đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tư tưởng của khoa học theo nhận

thức của mình. Chúng tôi dùng từ phi cá nhân hóa để chỉ tập hợp những sự gạt bỏ này.

- nhà nghiên cứu cũng xóa đi lịch sử trước đó đã dẫn mình đến nghiên cứu này (những mò mẫm,

những con đường sai lầm), có khi còn tách nó ra khỏi bài toán đặc biệt mà lúc đầu mình muốn

nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát nhất sao cho trong đó kết quả vẫn đúng. Chúng tôi gọi

 Mắt xích thứ hai : đối tượng tri thức  đối tượng cần giảng dạy (thể chế chuyển đổi)

việc làm này là phi hoàn cảnh hóa.» (Arsac 1989)

Để cho một tri thức có thể đưa ra dạy ở trường được, tức là có thể trở thành một đối tượng cần giảng

dạy, thì điều cần thiết là tri thức đó phải chịu một số ràng buộc nào đó.

Sau đây là danh sách mà Chevallard đã đưa ra (1985, theo Verret 1975) :

- Tính đơn nhất của tri thức [nghĩa là khả năng vạch ranh giới những tri thức bộ phận có thể được

trình bày trong một bài diễn văn tự do]

- tính phi cá nhân hóa của tri thức [nghĩa là sự tách rời tri thức ra khỏi cá nhân]

- sự chương trình hóa việc tiếp thu tri thức [nghĩa là lập chương trình cho việc dạy và kiểm tra tri

trức]

 Mắt xích thứ ba : đối tượng cần giảng dạy  đối tượng được giảng dạy (thể chế dạy

học)

- tính công khai của tri thức [nghĩa là định nghĩa tường minh trong nội hàm và ngoại diên].

Chính ở bước này mà giáo viên can thiệp : chuyển đổi didactic được tiếp tục trong chính hệ thống

 Hệ sai lầm và khái niệm chương ngại

dạy học.

Theo Brousseau, nếu có những sai lầm nào đó của học sinh mang tính hời hợt, hết sức riêng

biệt, thì cũng có những sai lầm khác khiến chúng ta phải quan tâm, đó chính là những sai lầm không

phải ngẫu nhiên học sinh phạm phải.

Sai lầm không chỉ đơn giản là do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra, mà còn là hậu

quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai

hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa. Những sai lầm dạng này không phải thất thường hay

không dự đoán được trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên

nghĩa của kiến thức thu nhận được. Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên

hệ với nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng nhất quán-

nếu không nói là đúng đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt

động nào đó.

Đặc trưng của chướng ngại là gì?

 Chướng ngại là một kiến thực, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự

thiếu kiến thức

 Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong bối cảnh nào đó mà ta thường hay gặp

 Nhưng khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh những câu trả lời sai. Để có câu trả lời

đúng cho mọi bối cảnh cần phải có những thay đổi đáng kể trong quan điểm.

 Hơn nữa kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự thiết lập một kiến

thức hoàn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn chưa đủ để kiến thức sai này

biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nó và đưa việc loại bỏ nó vào tri thức mới.

 Ngay cả khi chủ thể ý thức được sự không chính xác của kiến thức chướng ngại này, nó cũng

 Lý thuyết tình huống

tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc.

Trong phần này, chúng tôi cũng chỉ đề cập đến khái niệm cần tham chiếu là hợp đồng didactic.

Hợp đồng didactic

Hợp đồng didactic liên quan đến một đối tượng tri thức là sự mô hình hóa các quyền lợi và

nghĩa vụ của giáo viên cũng như của học sinh đối với đối tượng đó. Nó là một tập hợp những quy

tắc (thường không được phát biểu tường minh) phân chia và giới hạn trách nhiệm của mỗi thành

viên, học sinh và giáo viên, về một tri thức toán học được giảng dạy.

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm

ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và chính

xác những sự kiện quan sát được trong lớp học.

Theo Annie BESSOT và Claude COMITI (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp đồng

didactic, người ta có thể tiến hành như sau:

 Tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy sao cho có thể đặt những thành viên chính (giáo

viên và học sinh) trong một tình huống khác lạ, được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng bằng cách:

+ Thay đổi các điều kiện sử dụng tri thức;

+ Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng một số tri thức nào đó;

+ Tự đặt mình ra ngoài lĩnh vực tri thức đang xét hoặc sử dụng những tình huống mà tri thức

đang xét không giải quyết được;

+ Làm cho giáo viên đối mặt với những ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi ở

học sinh.

 Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:

+ Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học;

+ Phân tích các đánh giá toán học của học sinh trong việc sử dụng tri thức;

+ Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong sách giáo khoa.

Đặc biệt, ta cũng có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng

cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, việc sử dụng tri thức đó không

chỉ được quy định bởi các văn bản hay định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận

dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình

giảng dạy. Những tiêu chí xác định tính hợp thức của tri thức trong tình huống này không còn phụ

thuộc vào bản thân tri thức nữa mà phụ thuộc vào các ràng buộc của hệ thống didactic.

Bất kỳ việc dạy một đối tượng tri thức mới nào cũng tạo ra những phá vỡ hợp đồng so với đối

tượng tri thức cũ và đòi hỏi thương lượng lại những hợp đồng mới: học tập là quá trình học sinh làm

quen với giá trị của những sự phá vỡ này thông qua thương lượng với giáo viên. Theo Brousseau, sự

thương lượng này tạo ra một loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép các thành viên

chính, nhất là học sinh đưa ra các quyết định trong một chừng mực an toàn nào đó, cần thiết để bảo

đảm cho họ sự độc lập đặc trưng của quá trình lĩnh hội.

Việc nghiên cứu quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết vì để chuẩn bị cho một tương lai,

giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Hợp

đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà được tạo thành từ một chuỗi biến cố rất

nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với những sự phá vỡ hợp đồng. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ

đạo để có sự tiến triển mong đợi.

3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu.

Trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau:

1. Trong thể chế dạy học toán ở bậc đại học, khái niệm lũy thừa xuất hiện theo những tiến

trình nào? Nó có vai trò gì đối với các kiến thức toán học khác? Ý nghĩa của tiến trình đó?

2. Trong thể chế dạy học phổ thông Việt Nam, khái niệm lũy thừa được đưa vào như thế nào?

Nó có vai trò gì trong việc xây dựng khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit? Các TCTH

nào được xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa? Có những thay đổi nào về TCTH được

xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa qua các thời kỳ? Có sự khác biệt và tương đồng

nào giữa mối quan hệ thể chế với mở rộng khái niệm lũy thừa ở bậc đại học và ở bậc trung

học phổ thông? Tìm hiểu sự thay đổi vị trí của lũy thừa trong hai bộ SGK, lí do và ý nghĩa

của sự thay đổi đó? Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi học và làm việc với

lũy thừa?

3. Những quy tắc hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về

khái niệm lũy thừa?

4. Mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa có ảnh hưởng như thế nào lên mối quan hệ cá

nhân giáo viên và học sinh với lũy thừa?

4. Phương pháp nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi dùng phương pháp nghiên cứu như sau:

- Phân tích một số giáo trình đại học để tìm hiểu cách xây dựng, con đường mở rộng khái

niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học, ý nghĩa của tiến trình đó, cũng như vai trò của nó.

- Phân tích thể chế dạy học khái niệm lũy thừa ở bậc trung học phổ thông, so sánh sự khác

biệt giữa thể chế đại học và thể chế trung học phổ thông về con đường mở rộng lũy thừa, qua đó tìm

hiểu về sự thay đổi vai trò của lũy thừa trong hai lần cải cách SGK gần đây.

- Từ những kết quả đạt được ở trên cho phép chúng tôi đề xuất những câu hỏi mới và giả

thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của nó sẽ được kiểm chứng bằng thực nghiệm.

5. Tổ chức luận văn

Luận văn gồm các phần sau:

 Phần mở đầu:

Trình bày những ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu

cũng như phương pháp nghiên cứu, và khung lý thuyết tham chiếu.

 Chương I: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học.

Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể là phân tích khái niệm lũy

thừa trong một số giáo trình đại học để tìm hiểu tiến trình xuất hiện nó, đặc trưng của các tiến trình

này? Vai trò của lũy thừa đối với khái niệm hàm mũ và hàm lôgarit.

 Chương II: Khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy.

Phân tích khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy. Cụ thể, phân tích chương trình,

SGK lớp 6, 7 và hai bộ SGK là Đại số và giải tích 11 (CLHN năm 2000) và SGK Giải tích 12 nâng

cao (2005) để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa. So sánh vai trò của lũy thừa trong

hai bộ sách. So sánh việc xây dựng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức

cần giảng dạy. Thông qua việc phân tích chương trình và các TCTH, chúng tôi sẽ rút ra các QTHĐ

liên quan đến việc dạy và học khái niệm lũy thừa, cũng như những sai lầm mà học sinh gặp phải khi

học lũy thừa.

 Chương III: Thực nghiệm

Chúng tôi thực nghiệm trên học sinh và giáo viên nhằm tìm hiểu ảnh hưởng của mối quan hệ

thể chế lên mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh, cũng như tìm hiểu mối quan hệ cá nhân

của họ về đối tượng tri thức lũy thừa.

- Phần kết luận: Trình bày tóm tắt những kết quả đạt đươc ở ba chương trên và mở ra hướng

nghiên cứu mới từ luận văn có thể có.

- Tài liệu tham khảo.

Chương 1

KHÁI NIỆM LUỸ THỪA

Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC

Trong chương này chúng tôi sẽ tìm hiểu tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri

thức khoa học thông qua việc phân tích giáo trình:

1. Toán cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân – các hàm thông dụng, Guy Lefort, Viện đại học

Sài Gòn, 1975.[A]

2. Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet, Presses Universitaire de France,

1960.[B]

Việc phân tích này sẽ giúp cho chúng tôi có cơ sở để so sánh với tiến trình đưa vào khái

niệm lũy thừa ở SGK phổ thông, thấy được ý nghĩa của mỗi tiến trình, cũng như vai trò của lũy thừa

đối với việc xây dựng các khái niệm khác có sự thay đổi như thế nào.

1.1. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [A].

HÀM MŨ VÀ LŨY THỪA”, thứ tự các mục trong chương như sau:

Khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đề cập trong chương 8 với nhan đề “CÁC HÀM LÔGARIT,

I. Hàm lôgarit

II. Hàm mũ

III. Hàm lũy thừa

Theo giáo trình này thì khái niệm lũy thừa với số mũ thực không được đưa vào một cách

tường minh mà nó xuất hiện ngầm ẩn thông qua định nghĩa của hàm mũ và các tính chất của hàm

mũ. Khái niệm lũy thừa đã được đưa vào giáo trình [A] theo tiến trình sau:

Hàm lũy thừa Căn bậc n Lũy thừa cơ số a Hàm mũ e Lũy thừa cơ số e Hàm mũ cơ số a Hàm lôgarit

1.1.1. Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e qua định

nghĩa và tính chất của hàm mũ e.

Do khái niệm lũy thừa với số mũ thực được đưa vào ngầm ẩn trong định nghĩa hàm mũ e nên

để hiểu rõ hơn vấn đề này ta hãy xem xét định nghĩa hàm mũ e:

“Ta biết rằng (mệnh đề 2) nếu t là một số thực cho trước, thì phương trình:

logx=t

có một và chỉ một nghiệm, nó là một số dương thực sự ký hiệu expt (đọc là êch-pônen t). Liên * gọi là hàm mũ e; hàm hệ với mỗi số thực t một số expt ta xác định một ánh xạ từ R vào R+

này là ngược của hàm lôgarit nêpe (định nghĩa hàm ngược đã trình bày ở 9-1).

Cho t ba giá trị 0, 1 và logs (với s>0) ta được các nghiệm :

exp0=1 ; exp1=e ; exp(logs)=s”([5,tr.79)

Theo định nghĩa này thì số e được giới thiệu là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1, nhưng chưa

cho biết giá trị thực của nó. Mặt khác, để định nghĩa hàm mũ e, trước đó giáo trình đã đưa vào khái

niệm hàm lôgarit nêpe trong mục I, với kí hiệụ Log (mà SGK Việt Nam thường kí hiệu là ln). Vì

vậy, ta hãy quay lại định nghĩa hàm logarit nêpe đã được trình bày trước đó để xem số e được giới

thiệu như thế nào và giá trị của nó bằng bao nhiêu?

+ vào R nghiệm phương trình:

Hàm logairt được định nghĩa tổng quát như sau: “Một hàm logarit là một ánh xạ từ R*

f(xt)=f(x)+f(t)

+” [1,trang 71]

(E) với x và t bất kì trong R*

Sau đó, giáo trình [A] đi tìm nghiệm của phương trình (E) với giả thiết hàm f là khả vi. Kết quả

chứng minh được rằng: “Các nghiệm của phương trình (E) là:

x

 ; hàm này được gọi là logarit nêpe và được kí hiệu

1 x

Nguyên hàm bằng 0 tại 1 của hàm

Log.

Các hàm nhận được bằng cách nhân hàm trên đây với một hằng số tùy ý C (mỗi hàm này là

nguyên hàm bằng không tại 1 của hàm xC/x )».[tr 72]

Mặc dù hàm logarit nêpe đã được định nghĩa nhưng khái niệm cơ số vẫn chưa được đề cập.

+ bởi:

log

x



a

log log

x a

Khái niệm cơ số chỉ xuất hiện khi định nghĩa hàm logairt cơ số a: “Hàm logarit cơ số a, ký hiệu loga được xác định trong R*

(a là một số dương thực sự khác 1)”.[3,tr76]

Tiếp theo giáo trình giới thiệu cơ số e như sau:

“Mọi hàm f xác định bởi:

f(x)=C.Logx

là một hàm logarit mà cơ số a là nghiệm duy nhất của phương trình (mệnh đề 2):

C=1/Loga  Loga=1/C

Đặc biệt hàm Log nhận được với C=1 là một hàm logarit đặc biệt mà cơ số là số vô tỉ: e=2,71828 1828 hơn kém 5.10-10” [3,tr.76]

Khác với cách hiểu số e trong định nghĩa hàm mũ e, e ở đây được hiểu là một số mà tại đó

hàm logarit nêpe bằng 1: Loge=1 và e=2,71828 1828 hơn kém 5.10-10.

Mặt khác, hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nepe nên Loge=1  e=exp1 (Đúng

theo định nghĩa hàm mũ). Do đó, số e được định nghĩa trong hai trường hợp này là như nhau.

Hàm logarit và hàm mũ e đã được định nghĩa. Tuy nhiên, khái niệm lũy thừa chưa xuất hiện.

Sau khi đưa ra định nghĩa hàm mũ e là hàm số ngược của hàm logarit nêpe, các tính chất của

hàm mũ e cũng được trình bày tường minh:

“Nếu u, v, u1, …,un là các số thực tuỳ ý và n là một số nguyên dương thì:

n

n

(1) exp(u+v)=expu.expv

exp

u

exp u

i

i

 i 1

 i 1

  

     

(2)

(3) exp(nu)=(expu)n

(4) exp(u-v)=expu/expv” [5,tr 80]

Mặc dù kí hiệu e chưa được dùng để thay thế cho kí hiệu exp lúc này, nhưng các tính chất trên

cũng cho thấy sự xuất hiện ngầm ẩn các tính chất của lũy thừa với số mũ thực của cơ số e.

Thông qua tính chất (3) exp(nu)=(expu)n ta thấy định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương

của một số thực dương đã được đưa vào trước đó: a.a…a=an (tích n số a với aR)

Do hàm mũ e được định nghĩa trên cơ sở hàm lôgarit nêpe nên các tính chất trên hoàn toàn được

suy ra từ tính chất đại số của lôgarit nêpe. Cũng từ hệ thức (3) giáo trình cho biết thêm:

« Nếu u=1 hệ thức (3) có dạng :

expn=(exp1)n=en

Phương trình này thiết lập với n nguyên dương, được mở rộng cho mọi giá trị thực : Ký hiệu ex (đọc «e mũ x») được xác định với mọi số thực x bởi “expx=ex” [5, tr 80].

Theo trích đoạn trên thì ex chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Ngoài ra, ex còn được hiểu

như là lũy thừa của e với số mũ thực x.

Việc mở rộng lũy thừa cơ số e từ số mũ nguyên dương sang số mũ thực được thực hiện dưới

dạng « expx=ex » chứ không trình bày định nghĩa một cách tường minh.

Như phần trình bày trên ta thấy nghĩa của lũy thừa với số mũ thực x, cơ số e chính là giá trị

của hàm mũ e tại điểm x.

Giáo trình cũng cho thấy sự khác biệt rõ nét giữa lũy thừa với số mũ thực và số mũ nguyên dương thông qua chú ý : « Nhưng ký hiệu này không cho phép coi ex như một tích các thừa số bằng

e trừ trường hợp x là số nguyên dương ». [5, tr 81]

Qua cách trình bày của giáo trình này ta thấy rằng trước khi có một định nghĩa dưới dạng quy

ước về lũy thừa với số mũ thực cơ số e thì các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số e đã được

đưa vào ngầm ẩn thông qua tính chất đại số của hàm mũ e.

Khái niệm hàm mũ e, tính chất hàm mũ e đã được trình bày một cách tường minh, thông qua

đó khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e và các tính chất của nó đã ngầm ẩn xuất hiện. Tuy

nhiên, nó vẫn chưa có tên gọi một cách chính thức là lũy thừa cơ số e với số mũ thực. Hay ta nói

rằng, khái niệm và tính chất của hàm mũ e là cơ sở để đưa vào khái niệm và các tính chất của lũy

thừa cơ số e với số mũ thực.

1.1.2. Giai đoạn xuất hiện ngầm ẩn của khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a qua định

nghĩa hàm mũ cơ số a.

Theo giáo trình này thì «hàm mũ cơ số a là hàm ngược của hàm lôgarit cơ số a » và biểu thức

biểu diễn hàm mũ cơ số a được xác định như sau :

  t

 log x t.loga

« Với mọi số thực t, phương trình :

log x loga

logax=t 

có một nghiệm duy nhất.

x=exp(tLoga)

Đặc biệt nếu t là một số nguyên dương n

x=exp(nLoga)=(exp(Loga))n=an» [6,tr82].

Do hàm mũ a là hàm số ngược của hàm logarit cơ số a nên ta luôn có 0

số mũ nguyên dương.

Ở đây lũy thừa cơ số a với số mũ nguyên dương được định nghĩa thông qua hàm mũ a. Ngoài

cách viết hàm mũ a là: x=exp(tLoga), hàm mũ a còn có cách viết khác theo trích đoạn sau: « Với mọi số thực t ta dùng kí hiệu : x=exp(tLoga)=at

Đây là một định nghĩa của kí hiệu at (với t nguyên cách viết đó đã được định nghĩa như một

tích các thừa số và trong trường hợp này hai định nghĩa là đồng nhất)» [6, tr83]. Trong trường hợp t là số thực, người ta vẫn dùng kí hiệu at như là exp(tLoga). Hàm mũ a còn được viết dưới dạng: x=at. Kí hiệu at cũng chính là lũy thừa cơ số a với số mũ thực. Ta thấy lũy

thừa cơ số a với số mũ thực vẫn được định nghĩa tương tự như số mũ nguyên dương- định nghĩa

thông qua hàm mũ a. Theo giáo trình [A], lũy thừa với số mũ thực t, cơ số a chính là giá trị của hàm

mũ a tại điểm t. Ngoài ra, trong trường hợp t là số n nguyên dương thì lũy thừa cơ số a với số mũ n

là tích của n số a.

Quá trình phân tích ở trên cho thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a được hiểu ngầm ẩn qua việc biểu diễn hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at. Vì vậy các tính chất của lũy thừa

với số mũ thực cơ số a cũng được đưa vào ngầm ẩn trong các tính chất của hàm mũ cơ số a.

Ta xét các tính chất của hàm mũ cơ số a:

« Định lý 2.(các tính chất đại số của các hàm mũ ).

n

u

n

u i



v

u v 

u v 

 1

u i

i

Nếu u,v, u1,...,un là các số thực tùy ý, a và b là các số thực dương thực sự, thì :

u a a .



a

; (2)

a



a

; (3)



a

v



a a

 1

i

u

u

uv

(4)

u a b .



a b .

; (5)

(

a

u v )



a

"[6, tr 83]

(1)





.

Đây cũng là các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a, 0

chất của hàm mũ e.» [tr84].

Như vậy việc định nghĩa hàm mũ cơ số a không yêu cầu phải trình bày trước đó khái niệm

lũy thừa với số mũ thực mà ngược lại nó còn sinh ra khái niệm lũy thừa với số mũ thực. Giống như

nhận định ở trên : việc mở rộng lũy thừa trên tập số thực với cơ số e đã được thực hiện bởi khái

niệm và tính chất của hàm mũ e, thì ở đây hàm mũ cơ số a và các tính chất của nó vẫn là cơ sở cho

việc mở rộng lũy thừa cơ số a với số mũ thực.

Sau khi chứng minh các tính chất trong định lý 2, giáo trình chính thức đề cập đến lũy thừa với

số mũ nguyên:

«Các quy tắc cổ điển về lũy thừa nguyên là một trường hợp đặc biệt các kết quả của định lý 2 vì rằng nếu u và v là các số nguyên thì các cách viết au và av là các lũy thừa nguyên bậc u

và v của a nghĩa là các tích của u hay v các thừa số bằng a ». [tr 84]

Điều đó có nghĩa là, lũy thừa với số mũ nguyên đã được đưa vào trước đó, nó có các tính chất

giống tính chất của hàm mũ, nó được định nghĩa thông qua phép nhân các thừa số bằng nhau.

Việc phân tích trên cho chúng ta thấy, khái niệm hàm mũ a, tính chất hàm mũ a đã được trình

bày một cách tường minh, thông qua đó khái niệm và tính chất lũy thừa với số mũ thực cơ số a đã

ngầm ẩn xuất hiện. Tuy nhiên, nó vẫn chưa có tên gọi một cách chính thức là lũy thừa cơ số a với số

mũ thực.

1.1.3. Hàm lũy thừa.

Xét định nghĩa hàm lũy thừa trong trích đoạn sau :

« Nếu  là một số thực cho trước, hàm lũy thừa f với số mũ  được xác định bằng :

f(x)=x

Ta đã định nghĩa ký hiệu x bằng cách đặt x=eLogx và định nghĩa này chỉ có nghĩa khi

x>0 »[9, tr 89]

Hàm lũy thừa được định nghĩa thông qua phép đặt « x=eLogx », mà bản chất nó là một định

nghĩa của kí hiệu at, với t là số thực. Cũng do cách định nghĩa x=eLogx nên điều kiện đặt ra là x>0.

Ở đây, người ta không xét sự thay đổi tập xác định của hàm lũy thừa khi số mũ  thay đổi.

Ta thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa. Tuy nhiên, lũy thừa và các tính

chất của nó không được nêu ra một cách tường minh nên việc khảo sát hàm lũy thừa cũng không

dựa vào tính chất của lũy thừa mà dựa vào hàm mũ và hàm lôgarit, « vì nó là hợp của hàm lôgarit

và hàm mũ.

xu= .Logxf(x)=expu » [9, tr89]

Và để phục vụ cho viêc khảo sát nó thì trước đó giáo trình này đã đưa vào khái niệm đạo hàm và

tích phân.

1.1.4. Hàm ngược của hàm lũy thừa, căn bậc n.

Bây giờ ta hãy đi nghiên cứu hàm ngược của hàm lũy thừa. Theo giáo trình thì :

« Phương trình :

t 

(1) x

1 

1   ) x



t

x



(

Trong đó t là một số dương cho trước, có một và chỉ một nghiệm

Hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ  liên hệ mọi số dương t với nghiệm của phương

trình (1). Đó chính là hàm lũy thừa với số mũ 1/. » [10,tr 91].

Theo định nghĩa này thì hàm lũy thừa với số mũ 1/ là hàm số ngược của hàm lũy thừa với

số mũ . Do đó, đồ thị của hai hàm này đối xứng với nhau qua đường phân giác của các trục.

1 nt

« Đặc biệt nếu  là số nguyên dương n thì số là nghiệm của phương trình (1) theo định

nghĩa là căn bậc n của t, kí hiệu n t » [10,tr 91].

Như vậy, hàm ngược của hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương n là căn bậc n. Nói cách

khác, hàm lũy thừa là cơ sở để định nghĩa căn bậc n thông qua hàm số ngược. Ở đây chỉ định nghĩa căn bậc n của một số thực dương. Căn bậc n của t được nêu ra như là nghiệm của phương trình xn=t,

với t>0, x>0. Vấn đề đặt ra ở đây là tại sao không có khái niệm cho căn bậc n của t<0 ?

Ta thấy, do căn bậc n được xây dựng là hàm số ngược của hàm lũy thừa, hàm lũy thừa lại

được định nghĩa là : f =x=eLogx , nên không thể đưa ra khái niệm căn bậc n của một số âm.

n

1 n

t

t (t>0). Do đó, dựa vào các tính chất đại số của hàm mũ

Theo cách định nghĩa trên thì :

n

n

1 n

1 n

1 a b . n

"



a b ( . )



n a b .



a b .

m n

mn

1 1 ) n m

a

(

a

a

a

" [tr 92]

1   mn



cơ số a, ta suy ra được các tính chất của căn bậc n, chẳng hạn :

Hàm căn bậc n là hàm ngược của hàm lũy thừa y=xn, n nguyên dương nên việc khảo sát hàm căn

bậc n cũng được xem như việc khảo sát một hàm lũy thừa đặc biệt.

 Kết luận giáo trình [A]

Khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a không được trình bày một cách tường minh. Nó

được đưa vào ngầm ẩn qua hai giai đoạn : ex  ax. Lũy thừa với số mũ nguyên dương n, cơ số e

được định nghĩa như là tích của n thừa số e, sau đó lũy thừa với số mũ thực cơ số e được mở rộng dưới dạng « ex=expx », lũy thừa với số mũ thực cơ số a xuất hiện ngầm ẩn thông qua khái niệm hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at, exp(tLoga)=at, t thực.

Ta cũng tìm thấy các tính chất của lũy thừa với số mũ thực thông qua tính chất của hai hàm

mũ cơ số e và cơ số a. Trước khi có khái niệm lũy thừa xuất hiện một cách ngầm ẩn thì khái niệm

hàm logarit và hàm mũ đã được đưa vào. Vì vậy, mở rộng khái niệm lũy thừa không có vai trò gì

trong việc định nghĩa hàm logarit và hàm mũ, hàm lũy thừa mà chính hàm mũ cơ số a là cơ sở để

xây dựng khái niệm lũy thừa với số mũ thực.

Căn bậc n là hàm ngược của một hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nó được đưa vào

sau khi đã biết khái niệm hàm lũy thừa. Do đó, căn bậc n không có vai trò gì trong việc định nghĩa

lũy thừa. Theo giáo trình này thì để định nghĩa cũng như khảo sát hàm mũ và hàm logarit hay hàm

lũy thừa người ta dùng giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm...Nên các kiến thức toán học này đã được

trình bày trước đó.

1.2. Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B].

Trong giáo trình này, mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa được đưa vào phần II- Hàm mũ

và nằm trong chương 1-Hàm lôgarit và hàm mũ. Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa trong giáo

trình [B] như sau:

Hàm mũ e Hàm mũ a Hàm lôgarit nêpe Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hàm logarit cơ số a Lũy thừa cơ số a với số mũ thực

1.2.1. Khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ, cơ số a.

Do trong giáo trình này, định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ được nhắc lại trong phần xét

tính chất của lôgarit, nên để tìm hiểu nó, ta đi xét các tính chất của lôgarit.

Không giống như giáo trình [A], ở giáo trình này không đề cập đến hàm số lôgarit tổng quát

mà nghiên cứu cụ thể là hàm lôgarit nêpe. Hàm lôgarit nêpe là một ánh xạ f từ tập số thực dương

đến tập các số thực thỏa mãn tính chất f(x.y)=f(x)+f(y), f(1)=0, có đạo hàm bằng 1/x.

Các tính chất của nó cũng được suy ra từ định nghĩa với kiến thức liên quan là đạo hàm.

Đặc biệt, với mọi số nguyên dương n, áp dụng tính chất của hàm lôgairt nêpe : Log(a1a2...an)=Loga1+Loga2+...+Logan với a1, a2,....an >0. Ta có Logan=n.Loga với a>0. Từ đây ta có thể hiểu rằng : với n nguyên dương thì an=a.a...a ( n số a, a>0).

r



Theo giáo trình này thì :

p q

(p, q nguyên « Hệ thức trên còn đúng với n là số hữu tỷ dương. Thật vậy, xét số hữu tỷ

q

p

p qa



a

   

   

p q



Loga

Loga

dương), ta có theo định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ :

p q

Từ đó qLogap/q=pLoga tức ». [tr3]

Theo trích đoạn trên, thì định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương của cơ số a dương đã

r



được đưa vào trước đó.

p q

q

p

(p, q nguyên dương) được định nghĩa là một số Lũy thừa cơ số a>0 với số mũ hữu tỷ



a

p qa

   

   

r

thỏa :

a



'

1 r a

« Đặc biệt, nếu r là số hữu tỷ âm, đặt r=-r’. Với mọi a>0, ta có , Logar=Log1/ar’=-

logar’=-r’Loga=rLoga. Tóm lại, hệ thức Logar=rLoga đúng với mọi số hữu tỷ dương hoặc

âm và với mọi a>0 ».[tr3]

r

a



Tóm lại, lũy thừa với số mũ hữu tỷ âm được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ

'

1 r a

với r<0, r=-r’. Và định nghĩa này hiển nhiên là đúng trong trường hợp số mũ là số dương :

nguyên âm.

Các định nghĩa trên đều được xét khi a>0, vậy khi a<0 thì nó còn đúng không ? Ta hãy xét

chú ý sau :

« Nếu a<0, có thể ar tồn tại và dương, chẳng hạn khi r là số nguyên chẵn (dương hoặc âm)

hoặc khi r có dạng phân số tối giản p/q với q lẻ, p chẵn và có dấu bất kỳ » [tr4]

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ, cơ số âm vẫn tồn tại, nhưng có những ràng buộc nhất định dành

cho số mũ như số mũ phải là số nguyên chẵn hoặc nếu số mũ có dạng phân số tối giản thì mẫu số

phải là số lẻ, tử số là số chẵn.

Như vậy, khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương, nguyên âm, hữu tỷ đã được định nghĩa

trước khi có các định nghĩa về hàm logarit và hàm mũ, và nó là công cụ được dùng để tìm ra một

vài tính chất của logarit nêpe. Hay nói cách khác nó là công nghệ để giải thích cho một số tính chất

của logarit nêpe.

1.2.2. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số e.

Sau khi dùng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm logarit nêpe, thì hàm số mũ e xuất hiện

và được định nghĩa là hàm số ngược của hàm logarit nêpe :

« Khi biến y tăng từ 0 đến +, hàm số x=Logy được xác định, liên tục và tăng từ - đến

+. Nó có hàm số ngược mà chúng ta tạm ký hiệu là y=e(x), xác định, liên tục và tăng từ 0

đến + khi x tăng từ - đến +”.

Vì vậy, chúng ta có sự đồng nhất giữa hai kí hiệu « x=Logy và y=e(x) ». Cách định nghĩa này

hoàn toàn giống với giáo trình [A]. Trong định nghĩa hàm mũ, kí hiệu e(x) được sử dụng nhưng khái niệm cơ số chưa xuất hiện. Đến khi trình bày các tính chất của hàm mũ, kí hiệu ex mới được

định nghĩa như sau :

«Đặc biệt, nếu kí hiệu e(1)=e (số thực dương duy nhất xác định bởi Loge=1) thì với mọi số

hữu tỉ r=r.1

e(r)=e(r.1)=[e(1)]r=er

Do đó, ta sẽ dùng kí hiệu ex để chỉ e(x) ngay cả khi x là vô tỉ, ta gọi hàm này là hàm mũ

Với số e, định nghĩa này là mở rộng cho lũy thừa với số mũ vô tỉ. Thật vậy, các quy tắc cổ điển của lũy thừa được áp dụng cho ex với x hữu tỷ hoặc vô tỷ như lũy thừa bình thường» [tr

6].

Giống như giáo trình [A], số e ở đây được hiểu là giá trị mà tại đó logarit nepe bằng 1 hoặc e

là giá trị của hàm mũ e tại điểm 1. Tuy nhiên giá trị thực của e chưa được xác định. Sau đó, bằng

giới hạn và khai triển Mac-Laurin cho hàm mũ e thì e được xác định là số vô tỉ và có giá trị gần

đúng là e 2,71828. Đến đây hàm mũ cơ số e chính thức được viết dưới dạng : y=ex.

Lũy thừa với số mũ vô tỷ cơ số e được định nghĩa là : ex = e(x). Với cách định nghĩa này thì ex

chính là giá trị của hàm mũ e tại điểm x. Giáo trình [B] mở rộng lũy thừa từ er  ex, điều này khác

với giáo trình [A].

Đoạn trích trên phần nào nói rõ, lũy thừa với số mũ thực cơ số e có đầy đủ tính chất của lũy

thừa với số mũ nguyên. Ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số e được định nghĩa thông

v

u e e .

,

 u v R

,

qua khái niệm và tính chất của hàm mũ e, vì vậy các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất

 u v e ar

(

e

a r )



e

,

a R r Q ,





của hàm mũ e như :

Cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỷ cơ số e ở giáo trình [B] hoàn toàn giống với giáo

trình [A], tuy nhiên nó được trình bày tường minh.

1.2.3. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, cơ số a.

xL

og

a

Trong mục 7 trang 8, lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa như sau :

a

x

e

với a>0 và x bất kì ». Vì sao nó được định nghĩa như vậy, ta hãy xem lí giải của giáo «

trình này :

« Chúng ta sẽ định nghĩa lũy thừa với số mũ bất kì cho một số thực dương sao cho các quy tắc tính toán cũ vẫn còn áp dụng được. Chúng ta đã chứng minh rằng Logar=rLoga, với r hữu tỉ. Nói cách khác, ar=erLoga

xL

og

a

Nếu thay r bằng một số thực bất kì x, vì a là số thực dương, vế phải của đẳng thức trên còn

a

x

e

với a>0 và x bất

có nghĩa trong khi vế trái thì chưa. Do đó, ta sẽ định nghĩa rằng kì » [7,tr 8]

xL

og

a

Lũy thừa với số mũ thực cơ số a>0 được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ thực cơ số

a

x

e

e, mà kiến thức liên quan là logarit nêpe. Do lũy thừa ax được biểu diễn là nên cơ số a

luôn dương. Dựa vào các tính chất của lũy thừa cơ số e và tính chất của logarit nêpe, người ta chứng

 x Loga Logb ( )

xLoga xLogb e . e



e



xLogab e

x x   a b .

x ab ( )

minh được các tính chất của lũy thừa với số mũ thực cơ số a >0. Cụ thể :

y

 x y

x

y

xy

x a a .



a

, (

a

)



a

1, Với mọi a, b dương, với mọi số thực x :

 x y Loga )

x y  a a e .

x a y a log log e .

(  e



 x y a

2, Với mọi a>0, với mọi x, y :

Thật vậy,

Ngoài hai tính chất này thì giáo trình không trình bày thêm tính chất nào nữa. Như vậy, các

tính chất của lũy thừa cơ số a với số mũ thực được trình bày nhưng không đầy đủ.

Quá trình phân tích trên cho thấy, lũy thừa cơ số e là cơ sở để mở rộng khái niệm lũy thừa với

số mũ thực cơ số a, còn các tính chất của lũy thừa cơ số e và logarit nêpe là công nghệ để giải thích cho các tính chất của lũy thừa ax. Một điểm khác biệt của giáo trình này so với giáo trình [A] là định nghĩa ax xuất hiện trước khi hàm mũ cơ số a được định nghĩa.

Sau khi mở rộng khái niệm số mũ và lũy thừa, giáo trình đưa ra khái niệm hàm mũ a như sau :

« Để nghiên cứu hàm số y=ax với a>0, ta nhắc lại định nghĩa

y=ax=exLoga

hàm số này xác định với mọi x, tăng nếu a>1, giảm nếu 01, ax tiến đến 0 khi x

tiến ra -, ax tiến ra + khi x tiến ra +. Nếu 0

đến 0 khi x tiến ra +. Nếu a=1, y=ax=1 là hàm hằng”. [8, tr9]

Ta thấy, hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực: y=ax=exLoga. Cũng do cách định nghĩa này mà đường biểu diễn của hàm số y=ax được suy ra từ đường biểu diễn của hàm số y=ex.

y Log x





Định nghĩa hàm lôgarit được đưa ra sau khi đã có định nghĩa hàm mũ a. Hàm số y=Logax có

a

Logx Loga

thể viết hoặc một cách tương đương là x=ay. Theo giáo trình này thì hàm logarit

cơ số a là hàm số ngược cùa hàm mũ cơ số a nên các tính chất của nó tương tự như các tính chất của

hàm mũ a, đường biểu diễn của nó có được nhờ phép lấy đối xứng đồ thị hàm mũ a qua đường phân

giác thứ nhất. Trong giáo trình [A], hàm mũ a là hàm số ngược của hàm logarit cơ số a. Cách định

nghĩa hàm logarit cơ số a ở đây hoàn toàn ngược lại với giáo trình [A]. Hàm mũ a, hàm logarit cơ số

a đã được định nghĩa, vậy hàm lũy thừa có được đưa vào giáo trình này không? Việc khảo sát nó

được thực hiện như thế nào?

Để tìm câu trả lời cho những câu hỏi trên, ta hãy xét trích đoạn trong mục 10, trang 10 của

giáo trình này:

x

với  “Vì lũy thừa với số mũ thực đã được định nghĩa, nên ta có thể khảo sát hàm số y

là hằng số thực bất kì. Chúng ta giới hạn việc khảo sát với x>0 vì hàm này chỉ xác định với

x<0 trong nhưng trường hợp đặc biệt của  ( nguyên hoặc  hữu tỉ có dạng phân số tối

giản và mẫu số là lẻ)”.

Điều này khẳng định lại một lần nữa sự thay đổi điều kiện của cơ số khi số mũ thay đổi. Người

ta chỉ xét x,  là số thực bất kì khi x>0, điều này hoàn toàn phù hợp với định nghĩa lũy thừa với số

Logx

mũ bất kì được đưa vào trước đó. Lũy thừa với số mũ thực là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa.

y



e   x

Căn cứ vào định nghĩa của lũy thừa với số mũ thực thì . “Dưới dạng này, tính

chất của hàm lũy thừa có thể suy ra từ tính chất của hàm Logx”.[tr10]

Kết luận giáo trình [B]

Giáo trình [B] mở rộng khái niệm lũy thừa thông qua bốn giai đoạn: lũy thừa với số mũ

nguyên lũy thừa với số mũ hữu tỷ lũy thừa với số mũ thực cơ số e  lũy thừa với số mũ thực

cơ số a. Cơ sở để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực cơ số e là hàm mũ e, đến lượt nó lại là cơ sở để

mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số a.

Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B] được trình bày tường minh chứ không còn ngầm ẩn

như giáo trình [A].

Hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực cơ số a, do đó

các tính chất của nó cũng được suy ra từ tính chất của lũy thừa. Sau đó, người ta xem hàm logarit cơ

số a là hàm số ngược của hàm mũ a.

Thứ tự và cách thức mở rộng khái niệm lũy thừa ở đây hoàn toàn giống với giáo trình [A]. Tuy

nhiên, tiến trình đưa vào hàm mũ a và hàm logarit cơ số a thì hoàn toàn ngược lại.

Do các giáo trình này chỉ trình bày lý thuyết mà không có ví dụ và bài tập đặc trưng cho phần

lũy thừa nên chúng tôi không đề cập đến tổ chức toán học ở hai giáo trình này.

KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Sau đây là một số kết quả chính trong quá trình phân tích chương I:

+ Tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa trong hai giáo trình đều giống nhau ở chỗ : mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số e : « ex=expx (hoặc ex=e(x)) rồi đến mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số a : ax=exp(xLoga) hoặc ax= exLoga . Ở đây, ta thấy có hiện tượng mở rộng về số mũ lẫn cơ số của

lũy thừa. Tuy nhiên cơ sở cho phép thực hiện việc mở rộng lũy thừa trong hai giáo trình là khác

nhau. Nếu như giáo trình [A] mở rộng lũy thừa cơ số a với số mũ vô tỉ dựa trên hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at, thì giáo trình [B] lại dựa vào lũy thừa cơ số e.

+ Ở giáo trình [A] ta không thấy được vai trò của lũy thừa trong việc xây dựng hàm mũ và hàm

logarit thì ở giáo trình [B] ta thấy được phần nào vai trò của lũy thừa trong việc chứng minh các tính

chất của hàm logarit nêpe, cũng như việc định nghĩa hàm mũ cơ số a, hàm lũy thừa.

+ Khái niệm lũy thừa được đưa vào ngầm ẩn trong giáo trình [A] và trình bày tường minh trong

giáo trình [B]. Căn bậc n không có vai trò gì trong việc mở rộng khái niệm lũy thừa.

Giáo trình

Khái niệm cần định nghĩa

Cơ sở để định nghĩa

Hàm mũ e

Hàm logarit nêpe

Lũy thừa cơ số e với số mũ thực

Hàm mũ

A

Hàm mũ a

Hàm logarit cơ số a

Lũy thừa cơ số a với số mũ thực

Hàm mũ a

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Phép nhân

Lũy thừa với số mũ nguyên âm

LT với số mũ nguyên dương

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ

LT với số mũ nguyên dương

B

Hàm mũ e

Hàm logarit nêpe

Lũy thừa cơ số e với số mũ thực

Hàm mũ e

Lũy thừa cơ số a với số mũ thực

Lũy thừa cơ số e với số mũ thực

Hàm mũ a

Lũy thừa cơ số a

Bảng 1.1: So sánh các khái niệm cần định nghĩa giữa hai giáo trình [A] và [B].

Chương 2

KHÁI NIỆM LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG

DẠY

2.1. Mục tiêu của chương 2

Thông qua việc phân tích chương trình và SGK ở trường phổ thông chúng tôi muốn làm rõ

tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, từ đó thấy được vai trò của lũy

thừa đối với việc xây dựng các khái niệm liên quan như hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Trên cơ sở những gì chúng tôi đã phân tích ở chương 1 sẽ làm rõ được những điểm giống và

khác nhau giữa cách xây dựng khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng

dạy. Giải thích được lý do vì sao có sự khác biệt giữa hai tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở

cấp độ tri thức khoa học và tri thức cần giảng dạy. Vai trò của lũy thừa trong việc xây dựng các khái

niệm hàm mũ và hàm lôgarit có thay đổi như thế nào từ cấp độ tri thức khoa học đến cấp độ tri thức

cần giảng dạy.

Cụ thể, chúng tôi sẽ phân tích chương trình và SGK ở trường THCS và THPT.

Ở trường THCS chúng tôi sẽ phân tích chương trình và SGK lớp 6, 7.

Ở trường THPT chúng tôi phân tích chương trình và SGK qua hai thời kì : chương trình chỉnh lý

hợp nhất năm 2000- Đại số và giải tích lớp 11 và chương trình chuyên ban năm 2005- Giải tích 12

nâng cao.

Theo chương trình chỉnh lý hợp nhất thì mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào chương

trình lớp 11, với chương trình phân ban thì nó được đưa vào chương trình 12. Do đó, việc phân tích

hai bộ sách của hai thời kì có thể cho chúng tôi thấy mục đích của sự thay đổi này. Qua đó làm rõ

được vai trò, chức năng của khái niệm lũy thừa.

Đối với chương trình phân ban chúng tôi sẽ phân tích bộ sách nâng cao vì sách nâng cao trình bày

các vấn đề phong phú hơn, bài tập cũng đa dạng hơn sách cơ bản.

Thông qua quá trình phân tích các tổ chức toán học, chúng ta sẽ thấy được sự thay đổi của

các TCTH qua hai thời kì. Từ đó làm rõ các ràng buộc của thể chế và các qui tắc hợp đồng liên quan

đến khái niệm lũy thừa, cũng như những sai lầm mà học sinh gặp phải khi làm việc với đối tượng

lũy thừa trong buổi đầu tiếp cận (lớp 6,7) và đã qua một thời gian sử dụng (lớp 12).

2.2. Khái niệm lũy thừa ở trường trung học cơ sở. 2.2.1. Khái niệm lũy thừa ở lớp 6

Trong SGK 6, học sinh được học lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I phần số học.

Lũy thừa với số mũ tự nhiên được định nghĩa như sau:

n

a

  (n ≠ 0) » [1,tr26].

a a a . ....... n thöøa soá

“Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

a gọi là cơ số và n gọi là số mũ.

Khái niệm lũy thừa với số mũ tự nhiên được hình thành từ phép nhân nhiều thừa số giống

nhau, phép nhân đó được gọi là phép nâng lên lũy thừa. Lũy thừa với số mũ nguyên dương được

định nghĩa hoàn toàn giống với giáo trình đại học. Lũy thừa bậc n của a là một trường hợp đặc biệt

của một phép nhân.

Lũy thừa được hình thành từ một phép toán mà học sinh đã làm quen từ rất sớm, đó là phép

nhân. Tuy nhiên, kí hiệu của lũy thừa thì rất mới. Trong thời gian đầu tiếp cận nó, có thể học sinh sẽ

khó sử dụng. Vì vậy, nên chăng có hoạt động giúp học sinh phân biệt cơ số, số mũ, cũng như cách

tính lũy thừa như sau:

Chép lại và điền vào bảng sau đây giống như ở cột số 1

« 0,7 mũ 5 »

« 3 mũ 4 » 34 3×3×3×3 4×4×4 (-1,2)3 26 « -2 mũ 6 »

n

n

m n a 

81



a

:m

a



a  m n

.m a a

Từ một ví dụ cụ thể, SGK giới thiệu hai phép toán trên lũy thừa là: ; (1)

Công thức (1) hoàn toàn có thể chứng minh được bằng cách dùng định nghĩa, nhưng có thể

do yêu cầu giảm tải nên SGK không chứng minh. Theo tôi nên chứng minh công thức (1) nhằm

khắc sâu định nghĩa cho học sinh.

Thông qua khái niệm bình phương một số, học sinh biết được một loại số mới trong các số tự

nhiên, đó là số chính phương-số bằng bình phương của một số tự nhiên.

Sau đó, SGK trình bày một vài ứng dụng của lũy thừa như:

 Lũy thừa được dùng để viết gọn một tích có nhiều thừa số giống nhau.

 Thông qua bài toán phân tích một số ra thừa số nguyên tố, lũy thừa được dùng để viết gọn lại

kết quả phân tích đó. Chính nhờ cách viết theo lũy thừa mà học sinh xác định ƯCLN và

BCNN một cách nhanh nhất. Ngoài ra, nó còn giúp cho chúng ta xác định được số tự nhiên

có bao nhiêu ước số.

Ví dụ: Tìm ƯCLN(36, 84, 168)

Trước hết ta phân tích ba số trên ra thừa số nguyên tố :

36=22.32 ; 84=22.3.7 ; 168=23.3.7

Chọn ra các thừa số chung, đó là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của

3 là 1. Khi đó :

2

ƯCLN(36, 84, 168)=22.3=12. [2, tr55]

 63 3 .7

y

z

Ví dụ : nên số lượng ước của 63 là : (2+1)(1+1)=6



x m a b c .

.

....

Tổng quát đối với số (với a, b, c là số nguyên tố) thì số lượng ước của m

bằng : (x+1)(y+1)(z+1)...

2.2.2. Khái niệm lũy thừa ở lớp 7

Ở lớp 7 học sinh được làm quen với khái niệm lũy thừa của một số hữu tỷ với số mũ tự

nhiên. Nó được đưa vào chương trình sau khi đã học các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số hữu

tỷ. Về cơ bản khái niệm lũy thừa của một số hữu tỷ với số mũ tự nhiên được định nghĩa tương tự

như SGK lớp 6, nhưng các tính chất của lũy thừa được đưa vào phong phú hơn.

Cụ thể, ngoài phép tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số, SGK trình bày thêm

n

n

n

m n .

x

x

y

công thức lũy thừa của lũy thừa, lũy thừa của một tích và lũy thừa của một thương :









(

m n )

;

n x y ( . )

n x y .

;

(

0)

n

x y

x y

  

  

(1)

Theo sách giáo viên thì « Để giảm nhẹ lý thuyết, SGK cho học sinh « tính và so sánh » rồi

đưa ra các quy tắc để học sinh thấy các quy tắc này là hợp lý. SGK không chứng minh và cũng

không yêu cầu học sinh chứng minh. ». [tr28]

Như vậy, SGK đưa vào lũy thừa của một số hữu tỷ ở lớp 7 nhằm hoàn thiện các phép toán

trên tập hợp số hữu tỷ bao gồm : phép cộng, trừ, nhân, chia, phép nâng lên lũy thừa, nó được nghiên

cứu như một đối tượng toán học mà chưa có một ứng dụng nào rõ nét. SGK có đưa vào định nghĩa

lũy thừa với số mũ nguyên âm trong bài đọc thêm như sau:

“Cùng với lũy thừa với số mũ tự nhiên, người ta còn xét cả lũy thừa với số mũ nguyên âm của

*

một số khác 0. Ta có định nghĩa:

x

  n

(

n N x



,



0)

1 n x

” [Tr 23].

Lũy thừa với số mũ nguyên âm được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ nguyên

dương. Ở đây, có điều kiện ràng buộc cho cơ số là cơ số phải khác 0. Bài đọc thêm này cũng đưa ra

một ứng dụng nhỏ của lũy thừa với số mũ nguyên âm là “Lũy thừa với số mũ nguyên âm của 10

thường được dùng để viết những số rất nhỏ cho thuận tiện. Ví dụ, khối lượng của nguyên tử hydro (0,00…0166g) được viết gọn là 1,66.10-24g”[tr 23]

Theo tôi lúc này có thể đưa khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên âm vào bài học chính thức

nhưng vì trong chương trình lớp 7, lũy thừa với số mũ nguyên âm nói riêng chưa có nhiều công

dụng. Trong thực tiễn, lũy thừa với số mũ nguyên âm thường được sử dụng để biểu diễn những đại

lượng rất nhỏ, nhưng học sinh lớp 7 vẫn chưa dùng nhiều những đại lượng này trong toán học và

các môn học khác.

Mặc dù vậy, những bài tập về lũy thừa với số mũ nguyên âm vẫn có trong SBT lớp 7.

Quá trình phân tích trên cho chúng ta thấy, khái niệm lũy thừa từ lớp 6 chuyển qua lớp 7 tuy không

mở rộng về số mũ nhưng nó được mở rộng về cơ số, từ số tự nhiên sang số hữu tỷ.

Các quy tắc tính của lũy thừa đều được SGK lớp 6 và lớp 7 thừa nhận mà không chứng minh,

điều đó làm cho học sinh nhớ các quy tắc này một cách máy móc. Lũy thừa với số mũ tự nhiên mặc

dù được xây dựng từ phép nhân- rất quen thuộc đối với học sinh nhưng nó có cách kí hiệu riêng, tên

gọi riêng, nên trong những năm đầu học tập và sử dụng nó,G học sinh có thể mắc phải những sai

lầm khi sử dụng các quy tắc tính, cũng như định nghĩa lũy thừa.

Chúng tôi dự đoán học sinh có thể mắc phải những sai lầm do sử dụng các quy tắc hành động



na

sau:

an

n

m n .

Quy tắc 1:

a

.m a a

n

Quy tắc 2:



m a b .

m n a b  ( . )

n

m n .



m a b .

a b ( . )

Quy tắc 3:

nm

 nm

(

a

)

a

Quy tắc 4:

m

m

m n 

m n .

a

a





Quy tắc 5:

n

n

a a

a a

m n 

m

Quy tắc 6: hoặc

n

a b

a b

   

  

Quy tắc 7:

Nguyên nhân nào làm cho học sinh thường xuyên sử dụng các qui tắc này trong quá trình tính toán

trên đối tượng lũy thừa? Theo tôi có những nguyên nhân sau:

 Đối với qui tắc 1,2: Học sinh có thể hiểu như sau: an bao gồm tích của n số a, tích của n

na  . Hoặc học sinh áp dụng một quy tắc tính của phép cộng sang



na

n a

n a

số a có thể ghi thành

    

 

a n

a a a ...  n soá a

a a a . ...  n soá a

cho phép nhân là: thành Do đó: .

n

m n .

am.an bao gồm m số a nhân với n số a, kết quả thu được là có m.n số a. Suy ra

a

.m a a

m n .

n

m n a 

a



.m a a

a

(

)m n

. Hoặc quy tắc 2 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc

n

m n a 

tính ;



.m a a

m

m

 Quy tắc 3 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính và



m a b .

a b ( . )

.

n

n

m n .

a



a

n a b .

a b ( . )

(

)m n

 Quy tắc 4 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính

và

n

m n a 



.m a a

m n .

a

a

(

)m n

 Quy tắc 5 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính và

m

mn

n

m n 

m n 

a

a

a

a







; (

m n )

;

m a a .

n

a a

 Quy tắc 6 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính

m

m

m

m n 

a





;

m

n

a b

a b

a a

  

  

 Quy tắc 7 hình thành từ sự “pha trộn” trong việc sử dụng hai quy tắc tính

Liệu những sai lầm mà học sinh THCS gặp phải có còn tồn tại trên học sinh lớp 12 hay không?

Điều này sẽ được kiểm chứng qua kết quả thực nghiệm ở chương 3.

2.3. Khái niệm lũy thừa ở trường trung học phổ thông

2.3.1. Khái niệm lũy thừa trong SGK CLHN năm 2000 [C]

2.3.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Trong chương trình này “Mở rộng khái niệm lũy thừa” được đưa vào chương “Hàm số mũ”

đặt sau chương “Giới hạn”.

Mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ thực được thực hiện qua các giai đoạn: lũy thừa với số

mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỷ và lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Đầu tiên, học sinh được học khái niệm lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm của một số

thực thông qua định nghĩa sau :

n



0

a

a





Với a ≠0 và n là số nguyên dương ta định nghĩa

1 n a

1;

Chú ý ; 00 và 0-n không có nghĩa. [2, tr142]

Lũy thừa với số mũ nguyên âm được định nghĩa dựa trên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

m

m n 

a



Định nghĩa này hoàn toàn tự nhiên, phù hợp với các công thức đã biết, đặc biệt là công thức :

n

a a

(m, n nguyên dương, m>n).

Đó cũng là lý do vì sao SGK nhắc lại định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương ở đầu bài.

Cách định nghĩa này hoàn toàn giống trong SGK lớp 7. Điều cần lưu ý là trong lũy thừa với số mũ

nguyên âm, cơ số phải có điều kiện là khác 0.

 Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên

Các tính chất biểu thị bằng đẳng thức được trình bày ở mục 3, trang 143 như sau:

n

 m n

m n .

m a a a .

)



a

;

c

)

(

a

m n )



a

m

n

n

 m n

d

)

(

ab

)



n a b .



a

;

b

)

n

a a

n

n



c

.

)

n

a b

a b

  

  

với a, bR, a0; b0, m,n Z

Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên đều được thừa nhận mà không chứng minh vì theo như

tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11 thì “Chúng có thể suy ra từ định nghĩa một cách không khó

khăn, mặc dù phải xét từng trường hợp” [tr 77].

Ngoài 5 tính chất quen thuộc biểu thị bằng đẳng thức mà học sinh đã được làm quen từ cấp 2,

SGK giới thiệu thêm 3 tính chất mới của lũy thừa được biểu thị bằng bất đẳng thức:

a) Nếu 00

an >bn, n<0

b) Nếu a>1 thì am > an với m>n c) Nếu 0n

Các tính chất trên sẽ là một công cụ giúp học sinh giải quyết các bài toán so sánh hai lũy thừa thuận

lợi hơn. Các tính chất này chưa xuất hiện ở SGK lớp 7. Do đó, SGK 7 chỉ đưa ra các bài toán so

sánh hai lũy thừa dưới dạng “tính và so sánh”. Các bài toán so sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về

cùng số mũ hoặc cơ số chỉ có trong SBT và rất hạn chế.

2.3.1.2. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ.

Để định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ, SGK đưa ra định nghĩa căn bậc n (n nguyên dương)

của một số thực a như sau:

“Căn bậc n (n N*) của số thực a là số thực b, nếu có, sao cho bn=a. Như vậy, theo

định nghĩa, căn bậc n của a là nghiệm của phương trình xn=a” [1,tr144]

Đây là một khái niêm mới vì ở cấp 2 học sinh chỉ được làm quen với căn bậc hai, bậc ba. Từ

n

y

định nghĩa trên, ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương là cơ sở để định nghĩa căn bậc n. Vì căn bậc n của a là nghiệm của phương trình xn=a nên để tìm số nghiệm của phương trình này

x

người ta dùng phương pháp đồ thị, tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y=a.

Kết quả thu được từ quá trình biện luận như sau:

1.“Nếu n lẻ thì mọi số thực a đều có căn bậc n duy nhất, cùng dấu với a, kí hiệu là n a .

2. Nếu n chẵn thì số âm không có căn bậc n; số 0 có căn bậc n bằng 0; số dương có hai căn

n a .”[SGV, tr77-78]

bậc n đối nhau. Người ta quy ước viết căn dương bậc n (n chẵn) của số dương a là n a , căn âm là -

Việc dẫn dắt để đi đến kết luận trên được SGK trình bày khá chi tiết, tuy nhiên các tính chất

của căn bậc n không được đề cập đến trong [C].

Có sự khác biệt giữa định nghĩa căn bậc n trong SGK và giáo trình đại học [A]. Trong giáo

trình [A] căn bậc n được định nghĩa là hàm số ngược của hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương,

không có căn bậc n của số âm. SGK không thể xây dựng khái niệm căn bậc n giống giáo trình đại

học vì tại thời điểm này khái niệm hàm lũy thừa chưa được đưa vào chương trình.

Từ định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên người ta mở rộng ra định nghĩa lũy thừa với số mũ

hữu tỷ:

r



m n

, trong đó m là một số nguyên, n là “a là một số thực dương, r là một số hữu tỉ có dạng

r

n

m

m n

a



a



a

một số nguyên dương. Ta định nghĩa

(a>0)” [2, tr 147]

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ được định nghĩa gián tiếp thông qua khái niệm căn bậc n của một

số dương. Theo định nghĩa trên thì lũy thừa với số mũ hữu tỷ luôn biểu diễn được qua căn bậc n, tuy

nhiên không phải lúc nào căn bâc n của một số cũng có thể chuyển về lũy thừa với số mũ hữu tỷ, nó

chỉ chuyển được khi biểu thức dưới dấu căn là số dương, do không chú ý đến điều kiện của cơ số

nên học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình chuyển đổi một biểu thức từ căn sang lũy thừa của một

số với số mũ hữu tỷ.

Cách định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ trong SGK hoàn toàn khác với giáo trình đại học.

q

p

p qa

a

)

Ở bậc đại học thì lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương được định nghĩa dựa trên lũy thừa với số mũ

r

a



(p, q nguyên dương) và lũy thừa với số mũ hữu tỷ âm được định nghĩa nguyên dương: (

'

1 r a

với r=-r’<0. thông qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương:

Như vậy không có khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ của một số a  0. Trong giáo trình

đại học người ta vẫn đề cập đến lũy thừa với cơ số a<0 trong các trường hợp đặc biệt của số mũ như

số mũ là số nguyên chẵn hoặc có dạng phân số tối giản với mẫu là số lẻ và tử là số chẵn.

Trong định nghĩa này nêu rõ điều kiện của cơ số a>0. Sở dĩ có điều kiện này là vì n a , (n

chẵn) chỉ có nghĩa khi a≥0 và am (m nguyên) chỉ xác định khi a≠0. Tại sao SGK không đưa ra lũy

thừa của số a<0 với số mũ hữu tỷ ?

Theo tài liệu hướng dẫn giảng dạy lớp 11 thì:

m n 

2

1

2

 1

m

n

m na   2 1

a (a<0) (2n+1,m)=1” [tr78].

m n

km kn

“Nếu a<0, và số mũ là phân số tối giản dạng (mẫu số lẻ) thì ta có thể đặt

a

a

3

6

1 3

2 6

 ( 8)

8



 ( 8)

2  ( 8)

    nhưng 2

 . 2

m

Tuy nhiên với định nghĩa đưa ra trong SGK thì ta không có , nếu k chẵn. Chẳng hạn,

na với n1 bao giờ người ta cũng giả thiết a>0. Vậy khi

“Vì lý do đó, trong định nghĩa của

xét lũy thừa với số mũ không nguyên bao giờ ta cũng phải giả thiết cơ số là dương” (tài liệu

HDGD toán 11) [tr79].

Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ được thừa nhận là giống tính chất của lũy thừa

với số mũ nguyên, nhưng không được liệt kê thành bảng công thức và không được chứng minh.

Điều này được tài liệu HDGD toán 11 lý giải như sau: “Căn cứ vào định nghĩa, có thể chứng minh

rằng lũy thừa với số mũ hữu tỷ có các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên. Song phép chứng

minh cũng phức tạp. Vì vậy SGK đã thừa nhận, không chứng minh các tính chất ấy”.

Việc SGK không liệt kê các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ cũng gây cho học sinh

những khó khăn nhất định khi giải toán. Bởi vì chỉ có định nghĩa thôi thì chưa đủ để nhấn mạnh cho

học sinh biết sự khác biệt rất lớn về cơ số trong lũy thừa với số mũ nguyên và số mũ hữu tỷ.

Theo tôi, để chứng minh các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ thì ta phải dùng các tính

chất của căn bậc n, nhưng trong giáo trình này không trình bày tường minh các tính chất của căn bâc

n nên ở đây ta chỉ thừa nhận các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

2.3.1.3. Lũy thừa với số mũ vô tỷ.

Để hoàn thành việc định nghĩa lũy thừa với số mũ thực, người ta định nghĩa lũy thừa với số

mũ vô tỷ. Cũng như đối với lũy thừa với số mũ hữu tỷ, cơ số phải là một số a>0. SGK đưa ra định

nghĩa sau:

,...,

,...

“Cho a là một số dương và  là một số vô tỉ. Xét một dãy bất kì những số hữu tỉ

r n

r r r , , 1 2 3

r n

r 1

r 3

r a a a 2

a

,

,

,...,

,...

sao cho limrn=. Xét dãy số những lũy thừa của a tương ứng

nra ) gọi là lũy thừa với số mũ vô tỉ  của số dương a, kí hiệu a. Vậy

a=lim nra .[1,tr148]

Giới hạn của dãy số (

Lũy thừa với số mũ thực được xây dựng dựa trên lũy thừa với số mũ hữu tỷ và giới hạn của

một dãy lũy thừa. Đó cũng là lý do vì sao, mở rộng khái niệm lũy thừa luôn được đặt sau chương

“Giới hạn”. Do lũy thừa với số mũ vô tỉ được định nghĩa thông qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ nên

cơ số a>0. Mặc dù lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa tường minh nhưng học sinh cũng phải

ngầm ẩn thừa nhận hai điều trong định nghĩa này, đó là:

nra

có giới hạn - dãy 

- Giới hạn đó không phụ thuộc vào dãy (rn).

Chính điều đó làm cho học sinh gặp khó khăn khi tiếp nhận định nghĩa này. SGK chỉ đưa ra một ví

dụ để minh họa:

2 là một số vô tỉ, được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ:



1;



1, 4;



1, 41;



1, 414;....

2 1, 414213...



“Số

r 2

r 3

r 4

ta được một dãy số hữu tỷ (rn) tăng, Đặt 1 r

2 . Xét dãy số những lũy thừa tương ứng của 3:

r n

r 2

bị chặn bởi 2 và có giới hạn là

r r 3 ,3 ,3 ,...,3 ,... 1 3

23 “[1, tr 148].

Dãy này có giới hạn là

Cách định nghĩa của SGK là hoàn toàn khác với giáo trình đại học, ở cấp độ tri thức khoa học thì ax=exLoga với mọi số thực x. Sở dĩ có sự khác nhau đó là vì tại thời điểm này học sinh chưa

được học hàm mũ và hàm logarit.

Ngoài ra không có một bài tập nào trong SGK đề cập đến bản chất của định nghĩa lũy thừa

với số mũ vô tỉ, chính điều đó làm cho khái niệm này lu mờ trong cách hiểu của học sinh, theo thời

gian học sinh chỉ biết làm việc tính toán trên lũy thừa với số mũ vô tỷ nhưng không hiểu được bản

chất của nó là gì.

Mặc dù, các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỷ, số mũ vô tỷ, về cơ bản là

giống nhau, nhưng phạm vi hợp thức của cơ số đã bị thu hẹp.

Quá trình phân tích trên cho chúng ta thấy, SGK hầu như không có ví dụ nào được đưa ra

nhằm giúp cho học sinh thấy được sự khác nhau cơ bản về cơ số của lũy thừa khi số mũ thay đổi

ngoài định nghĩa.

Như vậy, SGK chỉ mở rộng khái niệm lũy thừa trên tinh thần mở rộng số mũ của nó, còn cơ

số thì không thay đổi, điều này có phần khác với giáo trình đại học. Trong giáo trình đại học, người

ta mở rộng lũy thừa trên cơ số e rồi mới mở rộng trên cơ số a.

2.3.1.4. Vai trò của lũy thừa.

Sau khi đã hoàn thiện việc mở rộng khái niệm lũy thừa, SGK giới thiệu hàm lũy thừa như

sau:

“Hàm số y=x, trong đó  là số thực tùy ý, được gọi là hàm số lũy thừa”.

Ta thấy, mở rộng khái niệm lũy thừa là tiền đề để định nghĩa hàm số lũy thừa. Dựa vào các

định nghĩa lũy thừa với số mũ khác nhau người ta tìm được tập xác định của hàm số lũy thừa. Hay

tập xác định của hàm lũy thừa y=x tùy thuộc vào giá trị của . Cụ thể:

Với  nguyên dương, tập xác định là R

  \ 0R

Với  nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là

Với  không nguyên, tập xác định là (0; +)

Điều này hoàn toàn khác so với giáo trình [A], giáo trình [A] chỉ định nghĩa hàm lũy thừa

với điều kiện x>0. Do tại thời điểm này học sinh chưa được học đạo hàm nên SGK dùng tính chất

của lũy thừa để xét tính đơn điệu của hàm số lũy thừa.

Theo tài liệu hướng dẫn giảng dạy 11 thì “các tính chất của lũy thừa với số mũ thực được

dùng để nghiên cứu hàm số mũ”.

x

y

Để thấy rõ điều đó, ta xét định nghĩa hàm số mũ trong SGK trang 151:

a

“Hàm số mũ cơ số a (a>0 và a≠1) là hàm số xác định bởi công thức

(khi a=1 thì y=1x=1 với mọi x thuộc R)”. Định nghĩa này đã sử dụng khái niệm lũy thừa với số mũ thực ax. Hay mở rộng khái niệm lũy

thừa là cơ sở để định nghĩa hàm số mũ. Chính vì vậy “Tất cả các tính chất của hàm số mũ đều suy

ra từ các tính chất của lũy thừa với số mũ thực” [ tr151].

Dựa vào các tính chất của lũy thừa ta có: Với a>1 thì ax>at  x>t

Với 0at  x

Từ đó kết luận: hàm số mũ đồng biến khi cơ số a>1 và nghịch biến khi cơ số 0

Ở đây người ta không thể xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số mũ bằng công cụ giải

tích là đạo hàm vì khái niệm đạo hàm chưa được đưa vào ở thời điểm này. Do đó, tính chất của lũy

thừa với số mũ thực là công cụ duy nhất được dùng để nghiên cứu một vài tính chất của hàm số mũ.

Các tính chất của hàm số mũ chỉ được liệt kê mà không chứng minh, lí do được SGK đưa ra

là: “phép chứng minh phần lớn vượt ra ngoài chương trình toán học bậc phổ thông” [2, tr 151].

Như vậy, mở rộng khái niệm lũy thừa cho phép sử dụng khái niệm ax, x để định nghĩa hàm

số mũ, hàm lũy thừa. Ngoài ra các tính chất của lũy thừa còn có chức năng là công nghệ giải thích

cho các tính chất của hai hàm số này. Do đó, nó sẽ là một yếu tố lý thuyết giải thích cho kiểu nhiệm

vụ có công nghệ là các tính chất của hàm số mũ. Chúng ta sẽ thấy rõ hơn điều này qua việc phân

tích một vài kiểu nhiệm vụ liên quan đến “Hàm số mũ”:

Kiểu Ví dụ Kỹ thuật Công nghệ - Lý thuyết

nhiệm vụ

- Đưa về dạng hàm số mũ (nếu BT1 trang 153 Công nghệ : - Tính chất 4 T1: Xét

tính đồng cần). Trong các hàm số của hàm số mũ.

biến, - Xét cơ số: nếu cơ số lớn hơn sau, hàm số nào Lý thuyết:

nghịch 1 thì đồng biến, cơ số nhỏ hơn đồng biến, hàm số - Tính chất của lũy thừa.

x

biến của 1 thì nghịch biến. nào nghịch biến?

a y ,

 3

  

  

x

b y ,

2 e

   

  

x

1

x





c y ,

3



3

2

  

  

hàm số.

BT6 trang 155 - Chuyển hai vế đẳng thức về Công nghệ: - Tính chất 5 T2: Tìm x

x

Tìm x biết dạng lũy thừa cùng cơ số. của hàm số mũ.

a



, 2

1024

- Áp dụng tính trong đẳng thức ax=b Lý thuyết:

b



,

27

1 x 3

  

  

- Tính chất của lũy thừa. chất :am=anm=n (0

Từ đó, xác định giá trị của x.

BT24 trang 189 - Tính giá trị của f tại các điểm. Công nghệ: T3: Chứng

x

minh giá Cho hàm số - Tính giá trị của biểu thức ở vế - Giá trị của hàm số tại điểm

f x  ( )

4 x 

4

2

trị biểu trái đẳng thức với các giá trị xác định

thức chứa của f. - Tính chất của lũy thừa

CMR: nếu a+b=1 lũy thừa - So sánh giá trị hai vế của

thì f(a)+f(b)=1. đẳng thức và kết luận.

* Đưa về cùng cơ số: Công nghệ: BT 3.1 trang 153 T4: Giải

x x

 

5 7

x  17 x  3



32

0, 25.128

phương - Sử dụng các tính chất của lũy Giải phương trình - Tính chất của lũy thừa trình thừa để biến đổi hai vế của pt

về dạng lũy thừa có cùng cơ số. - Sử dụng hệ thức ax=ab để tìm

nghiệm.

BT 3.1 trang 153 *Đặt ẩn số phụ Công nghệ:

x

x

x





3.4

2.6

9

Giải phương trình - Biến đổi lũy thừa hai vế của - Định nghĩa lũy thừa pt về dạng cùng cơ số.

- Đặt t bằng lũy thừa có số mũ

thích hợp.

- Giải pt tìm t

- Chọn giá trị t và sử dụng phép

tính logarit để tìm nghiệm.

Bảng tóm tắt trên cho thấy, định nghĩa và tính chất của lũy thừa có một tầm ảnh hưởng mạnh

mẽ đến các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hàm số mũ.

Tiếp theo, người ta định nghĩa hàm logarit thông qua khái niệm hàm số ngược, hàm logarit là

hàm số ngược của hàm mũ.

Mặc dù lôgarit được định nghĩa dựa trên hàm số lôgarit nhưng các định lí về lôgarit muốn

chứng minh thì “phương pháp chung là quy về các tính chất của lũy thừa, thông qua hàm số mũ”

x





log

log

log

(TLHDGD 11).

a

a

a

x x . 1

2

x 1

2

x

log

log

a

a

x 1

2

a

x

a





Ta coù

,

2



log

log

log

log

a

a

a

a

x 1

x 2

x 1

x 2

a

a





a .

Ví dụ: Chứng minh tính chất

)

log ( a

x x . 1

2

a



Maët khaùc:

x 1 x x Vì vaäy . 2 1 x x . 1

2





log

.

Töø hai ñaúng thöùc treân suy ra log

log

a

a

a

x x . 1

2

x 1

x 2

[4, tr163]

Qua quá trình phân tích trên ta thấy có sự khác biệt rõ nét giữa tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa

ở bậc đại học và trung học phổ thông.

Ở bậc đại học thì mở rộng khái niệm lũy thừa được thực hiện nhờ khái niệm và tính chất của

hàm số mũ, hàm số mũ lại được định nghĩa nhờ vào hàm lôgarit, mà các kiến thức liên quan là đạo

hàm và nguyên hàm.

Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy thì mở rộng khái niệm lũy thừa được thực hiện tường minh

và kiến thức liên quan là giới hạn, hàm số mũ không xuất phát từ hàm logarit mà nó được hình

thành dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực, và hàm mũ còn là cơ sở để định nghĩa hàm

lôgarit.

Theo tác giả Nguyễn Hữu Lợi thì có thể giải thích lí do có sự khác biệt đó như sau: “Do hàm số mũ

được giảng dạy trước khi học sinh học về đạo hàm và tích phân. Song tiến trình định nghĩa hàm mũ

ở bậc đại học lại sử dụng đến kiến thức này. Do đó SGK không thể định nghĩa theo tiến trình ở đại

học được” [tr25].

Ngoài ra, trong quá trình giải phương trình mũ, lôgarit và bất phương trình mũ, lôgarit ta

cũng sử dụng các tính chất của lũy thừa.

Ví dụ: Giải phương trình

9x+1 = 272x+1 [tr 120, SGK]

Lời giải:

9x+1 = 272x+1  32(x+1) = 33(2x+1)  2(x+1)=3(2x+1)  4x=-1 x= -1/4

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= -1/4

2.3.1.5. Các tổ chức gắn liền với khái niệm lũy thừa.

2



1

 1

a

a



4

9

A





a, Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: “Đơn giản biểu thức”.

a 1 2

a   4 3  1 1 2 2

 1 2

a

a

a

a





2

3

   

   

Ví dụ 1: Bài 4/155. Đơn giản biểu thức:

2

2

2

2

a

a







1

1

2

4

  4

a

a



4

9

a

a

a

a



4

9

(



A













9 a 3

3 a 1



 a a (2

3)

a   3) 4 a a  1) (

a 1 2

a   4 3  1 1 2 2

 1 2

a

a





2

a

a

a

a

   





   

   

   

2

3

Với (a>0; a1; a3/2)

a

a

     

      2

2

2

a

a

a

a

a

a













(2

3)(2

3)

(

1)(

3)

2

3

3

a

a













3

9





a

a





a a (2

3)

a a (

1)

  

  

   

   

Giải

 Chuyển các lũy thừa với số mũ âm về lũy thừa với số mũ dương, số mũ hữu tỉ về dạng

căn.

 Dùng các tính chất của lũy thừa, các hằng đẳng thức và ứng dụng của định lí Vi-et: ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) với x1, x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai ax2+bx+c để đưa biểu thức về dạng tích. Sau đó rút gọn.

Kỹ thuật giải 1:

Công nghệ-Lý thuyết 1-1:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, căn bậc n.

- Định lý Vi-ét.

- Phép nhân đa thức với đa thức.

Nhận xét:

- Trong các bài toán đơn giản biểu thức thì điều kiện của cơ số có lúc được nhắc đến, và đôi lúc

không được nhắc đến. Cụ thể như bài 8/150 SGK sau đây:

 2 1



2

3

2  ( 3 1)

a a )

.

;

b b )

:

b

“Rút gọn biểu thức

1 a

  

  

3

3

4

2

 4

25

5

:

;

)

 ) . c x

x

x

) ( d a

” [bài 8/trang 150]

Trong 12 bài tập thuộc KNV này có 4 bài không nêu điều kiện của cơ số.

- Khi bài toán yêu cầu đơn giản biểu thức thì học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện xác

định của biểu thức. Ngược lại, học sinh phải biết rút gọn biểu thức mà SGK hay giáo viên cung cấp

bằng cách áp dụng các định nghĩa và tính chất của lũy thừa. Hệ quả tất yếu của vấn đề này là gì?

Đây là một điều cần được quan tâm và nó có thể được đề cập trong một nghiên cứu khác của chúng

tôi.

Một biến thể của kiểu nhiệm vụ này được cho ở bài 4/150: Đưa biểu thức vào trong dấu căn.

Đề bài như sau:

a

a

a







a  

a, (4

)

neáu

4;

b, (5

).

neáu 0

5

“Đưa biểu thức vào trong dấu căn

2

a

a 

4

a

1 

25

”

a



 



 

(4

)

a a (

4)

Lời giải:

a

a a ( a

a 

 

4

2 4) 4

a







(5

).

a, Ta có a>4 nên 4-a<0. Do đó :

2

a

a a

 

2 a  (5 ) a   )(5

(5

)

5 5

a

1 

25

b, Ta có 00. Do đó :

- Căn cứ vào điều kiện đã cho, ta xét dấu biểu thức nằm ngoài dấu căn.

- Sau đó đưa biểu

thức vừa xét dấu vào

trong dấu căn theo quy

tắc

2 A B



 neáu A 0, B 0

A B

, rồi rút gọn biểu thức trong căn.

2 A B





neáu A<0, B 0

    

Kỹ thuật giải 1a:

Công nghệ-1a:

- Tính chất: a>b  a-b>0.

- Định nghĩa căn bậc hai

Mặc dù bài toán “đưa nhân tử vào trong dấu căn” cũng là một hình thức rút gọn biểu thức nhưng kĩ

thuật giải hoàn toàn khác. Ở đây chủ yếu dùng những kiến thức về căn bậc hai, hoàn toàn không

dùng đến tính chất của lũy thừa.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T1:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

0 12 2 14 T1

2T : “Tính giá trị biểu thức”

1 2

3 2

 7 4

1 4

A

b)Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ

5 3 .5 : 2 3

1 1 : 16 : (5 .2 .3 ) 3 2

  

     

  

     

    

Ví dụ: Bài tập 6/150. Tính biểu thức:

1 2

1 2

2

2

1 2

5 3

1 2

1 3

3 2

 7 4

1 4

1 2

A









5 3 .5 : 2 3

1 : 16 : (5 .2 .3 ) 3

.

1 5 .2 .3 4 16

15 2

2 5 .3 .2 4 2

  

  

3 3 .5 2  7 4

  

     

  

    

    

2

    

    

Giải:

- Đơn giản biểu thức (kĩ thuật giống T1)

- Thay giá trị của biến vào biểu thức (nếu có) và thực hiện phép tính.

Kỹ thuật giải 2:

Công nghệ-Lý thuyết 2-2:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên và số mũ hữu tỷ.

Nhận xét:

Các biểu thức cần tính đa số không chứa biến. Kết quả của bài toán “tính giá trị biểu thức”

phải là một giá trị chính xác, chứ không dùng giá trị gần đúng. Nói cách khác, thể chế không chấp

nhận học sinh sử dụng MTBT để tính kết quả của bài toán ra giá trị gần đúng.

Từ hai kiểu nhiệm vụ trên, chúng tôi dự đoán sự tồn tại ngầm ẩn các quy tắc hợp đồng sau:

R1: Khi đơn giản biểu thức hoặc tính giá trị của biểu thức, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra

điều kiện xác định của biểu thức đó. Ngược lại, học sinh phải biết rút gọn biểu thức mà SGK hay

giáo viên cung cấp bằng cách áp dụng các định nghĩa và tính chất của lũy thừa.

R2: Kết quả tính toán của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ vô tỉ và số mũ hữu tỉ là một giá trị

chính xác, chứ không phải là giá trị gần đúng.

R3: Không sử dụng MTBT để tính giá trị của biểu thức chứa lũy thừa với số mũ hữu tỉ và vô tỉ.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T2:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

2 3 0 5 T2

c) Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ T3: “Chứng minh đẳng thức”.

4

3

4

2

2

 1 3

x

y

1

x

y

x

y









.(

)

: (

 )

1

Ví dụ 1: Bài tập 3/141 SBT. Chứng minh:

 2 y

x

y y

xy 

 

3 x y   2 xy x  2

y x 3 (  1 x (

) )

  

  

, Với x>0, y>0, x y

4

3

4

2

2

 1 3

x

y

1

VT

x

y

x

y











.(

)

: (

 )

 2 y

x

y y

xy 

 

3 x y   2 xy x  2

y x 3 (  1 x (

) )

  

  

 1 3

y



3 x x (

)

x

y

xy x

y

x

y











.(

 ) 3 (

)

.(

)

y   ) x  (

3 y x ( 2 y )

  

  

Giải:

3.(

)

3

3

2

 1 3

 1 3

x

y

2 x y

xy

x

y

x

y

x

y

VP

















 

(

3

3

)

.(

)

.(

) 1





2

2

3

3

2

3

3 a + a

4 2 b



b



a

2 4 b



(

a



b

2 3 )

Ví dụ 2: Bài tập 3/155 SGK. Chứng minh đẳng thức sau

3

3

3

2

2

4

2

2

4 2 b

b

b

a

b









3 a + a

a

(

2 3 )

3

3

3

3

2

4

2

2

4

2

2

4

2

2

2

4

b

b

2 2 a b

a

b

b

b













(a + a

)

b (

a

 ) 2 2

a

a

2

4

2

2

4

2

b

b

b









a

3 3 a

3 3 a

(Bình phöông hai veá)

3

3

3

3

2

2

4

2

2

2

4

4

2

2 a b

a

b

b

4 2 b

b

b











2

a

a

a

a

(Bình phöông hai veá)

3

3

3

3

2

2 a b

8 4 b

4 8 b

8 4 b











6 6 b 

2

a

a

a

3 2 a

4 8a b

Giải:

- 3a: Rút gọn vế phức tạp của đẳng thức cần chứng minh bằng cách: Nhóm các hạng tử

Kỹ thuật giải 3:

- 3b: + Bình phương hai vế đẳng thức đã cho.

và đặt nhân tử chung, kết hợp với việc dùng hằng đẳng thức, tính chất của lũy thừa (am)n=amn.

+ Dùng hằng đẳng thức để rút gọn hai vế và đưa về một đẳng thức luôn đúng.

Công nghệ-Lý thuyết 3-3:

- Định nghĩa và tính chất của lũy thừa.

- Phép biến đổi tương đương, định nghĩa căn bậc 2.

- Phép nhân đa thức với đa thức: A.(B+C)=A.B+A.C

Nhận xét:

Ta thấy chỉ có 1 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này trong phần ôn tập chương và ba bài trong

SBT. Các đẳng thức đưa ra có vế trái tương đối phức tạp còn vế phải là một số hoặc là một biểu

thức đơn giản. Đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa chữ mà không chứa số.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T3:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

0 1 3 4 T3

d, Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ T4: “Viết biểu thức cho trước dưới dạng lũy thừa

của một số với số mũ hữu tỷ”.

Ví dụ: Bài tập 2/155 SGK. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ.

2 3

11 16

x

x

x 

(

0)

a a a a a

:

a, 4 d, (a>0)

1 4

4

2

3

1 4

7 12

1 3

7 3

x

x

2 x x

x

x







(

)

Giải:

   

   

.

.

.

11 16

1 2

1 8

1 16

11 16

15 16

11 16

1 4

a a a a a

a

a

a

a







:

1 . a a a a . . 4

.

(

) :

:

a,

d,

n m

m n .

a

a



Kỹ thuật giải 4:

n

m

m n

a

a

- Dùng tính chất để tách rời các căn lồng vào nhau.

n

m

n

m n 

m n 

m n .

a

a

a

a

a

a

- Dùng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ để chuyển .







m a a .

;

:

; (

m n )

để rút gọn và - Dùng các quy tắc tính của lũy thừa:

đưa về một lũy thừa.

Công nghệ 4:

- Định nghĩa và tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ và căn bậc n.

 Lý thuyết 4:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Nhận xét: KNV này nhằm giúp cho học sinh sử dụng thành thạo các tính chất của căn và lũy thừa,

rèn luyện quá trình chuyển đổi từ căn sang lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Do trong đề bài luôn cho sẵn

điều kiện của các chữ trong biểu thức, nên học sinh không có thói quen chú ý đến điều kiện là cơ số

phải dương. Dẫn đến những sai lầm mà học sinh có thể gặp về sau khi giải quyết các KNV đòi hỏi

phải tìm điều kiện của cơ số trong lời giải.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T4:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

0 4 0 4 T4

e) Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ T5: “Tìm các số thực  thoả điều kiện cho trước”.

 a

a

 a



(

 ) 1 (

0)

Ví dụ 1: Bài tập 7/150 SGK. Tìm số thực  sao cho:

 

27

1 2

a, b, 3

Giải:

 

 

 a

a

 a

a



  

a .

(

) 1

  2

0

1 2

2





 2

 2

 2

a

a

a

  

0

(*)

  a   2   

   





 Neáu a 1 thì (*)

0.





Neáu a=1 thì (*)

       2 2  laø soá thöïc tuyø yù.





       





3

27

3

3

3

3 3

 3

b,

Kỹ thuật giải 5:

- Ta chuyển các lũy thừa về cùng cơ số.

- Sau đó, sử dụng các tính chất của lũy thừa để tìm  như :

ax=at  x=t

ax 1

axt nếu 0

Công nghệ -Lý thuyết 5-5:

-Định nghĩa và tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Nhận xét::

-Thông qua kiểu nhiệm vụ này, SGK ngầm ẩn đưa vào bài toán giải phương trình và bất

phương trình mũ dưới dạng đơn giản. Ta thấy ở đây số thực  phải tìm luôn là số mũ.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T5:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

0 2 0 2 T5

f) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T6: “Khử căn thức ở mẫu”

5

1

4

Ví dụ : Bài 5/150. Trục căn ở mẫu số của các biểu thức sau:

3



4

11

5

3 2

20

4

5

a, ; b, ; c,







  4

11

4 20 20

20 5

 5(4 2  4

11) 11



20

4

11

3

3

2

3

3

3

3









1

5

10

4

2 5

4





; b, Giải: a,

3

3

3

3

3

3

3

10 3



5

2







2

5

2 5

10

4



c,





Kỹ thuật giải 6:

- Nhân mẫu số và tử số cho các biểu thức liên hợp của mẫu hoặc biểu thức nằm dưới mẫu:

C

)





1)

;

A B B

 A B .( 2 A B 

A B

C A B 

3

2

2

3

C

.(

B

)

3 C A (

B

)



2)

;





3

3

 A A B 

 AB A B 

A

B

A

B

C 

C 

n a

)n

a (a>0) để khử căn ở mẫu.

- Sau đó dùng hằng đẳng thức và tính chất (

c



vôùi

Công nghệ 6:

 . 0

a b

a c . b c .

- Tính chất:

- Phép nhân đa thức với đa thức.

 Lý thuyết 6:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương.

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T6:

Các biểu thức cần khử căn thức ở mẫu chỉ chứa số chứ không chứa chữ. Trong bài toán dạng

này người ta chỉ đề cập đến căn bậc hai và căn bậc 3.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T1:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

0 5 0 5 T6

g, Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ T7: “So sánh hai số”

20

30

14

30

Ví dụ: Bài T.1 trong SBT trang 141. So sánh các cặp số sau:

2



2

3 vaø 2

vaø 4 ; b, 

a,



28

30

2







14 4

2

2

2



14

20

30

30







2

3

1

Giải: a, Ta có

 1 2

b, 20

7a:

Kỹ thuật giải 7:

- Chuyển hai lũy thừa đã cho về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

- So sánh hai số mũ của chúng (nếu cùng cơ số) hoặc so sánh hai cơ số (nếu cùng số mũ).

- Sử dụng các tính chất sau để đi đến kết luận.

m

n

a

a

a



m n 

1, vôùi

1thì

 m

kh i vaø chæ khi n

a

a

a





m n 

2, vôùi 0<

1thì

kh i vaø chæ khi

 Cho m, n là những số nguyên. Khi đó

 Với 0

m

m

m





1,

kh i vaø chæ khi

0

a m

b m

a

b

m





2,

kh i vaø chæ khi

0

7b: Dùng các tính chất của lũy thừa được biểu thị bằng bất đẳng thức để so sánh hai số đã

 Nếu a>b mà b>c thì a>c

cho qua một số trung gian (thường là số 0 hoặc số 1).

Công nghệ -Lý thuyết 7-7:

- Định nghĩa lũy thừa. - Tính chất: nếu a>1 thì ax >1 với x>0, nếu 00

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T7:

Các số đem ra so sánh đều có dạng căn bậc cao hoặc lũy thừa, các cơ số đều là số dương.

Trong kiểu nhiệm vụ này học sinh không được tính rồi so sánh. Khi giải quyết kiểu nhiệm vụ này

học sinh phải chuyển về cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh hay so sánh qua một số trung gian

chứ không đưa về so sánh giá trị thập phân của hai số. Nói cách khác, thể chế không chấp nhận học

sinh sử dụng MTBT để tính các lũy thừa ra giá trị gần đúng rồi so sánh trên các giá trị gần đúng

này. Từ đó chúng tôi dự đoán tồn tại ngầm ẩn qui tắc hợp đồng sau :

R4 : Không sử dụng MTBT để so sánh hai lũy thừa.

 Kiểu nhiệm vụ “So sánh các số” chỉ xuất hiện duy nhất ở bài T.1 trong SBT.

1 3

1 2

x

x







(24

)

(12

)

h, Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ T8: “Giải phương trình”.

 6

Ví dụ: Bài T.4 trong SBT trang 141. Giải phương trình:

x  

24

0

 

x  

24

12

x  

0

  12 

1 3

1 2

a

x

b

x











(24

)

0,

(12

)

Lời giải: Để phương trình có nghĩa ta phải có:

 . 0

Đặt

a

b

a

b

6

  6 3

  6 3 2

a b   3 2

a

a

a

a

a

b

a

  



  







36

(6

2 )

36

12

0

a

b

a

b

a

b













0,

0

0,

0

0,

0

    

    

    

 

3 3

  b a 

1 3

x

(24

)

3

Ta có hệ phương trình :

  24+x=27  x=3.

Với a=3 thì

Kỹ thuật giải 8:

- Tìm điều kiện xác định của phương trình

- Đặt ẩn phụ để chuyển phương trình đã cho về một hệ phương trình mới

- Giải hệ tìm ẩn phụ

- Thay vào biểu thức vừa đặt để tìm ẩn x.

Công nghệ -Lý thuyết 8-8:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ.

- Các tính chất của lũy thừa.

Nhận xét: Đây là KNV mà học sinh ít gặp khi làm việc với đối tượng luỹ thừa

Phương trình cần giải chứa căn hoặc lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Từ thực tế giảng dạy, chúng tôi

nhận thấy đa số học sinh không đặt điều kiện cho cơ số của lũy thừa hoặc chỉ đặt điều kiện khi

m

m na

chuyển về dạng phương trình chứa căn. Do đó, các em sẽ mắc sai lầm do không kiểm soát được

n a

là a>0 mà các em chỉ quan tâm đến điều kiện để căn có phạm vi hợp thức của đẳng thức

nghĩa.

n

m



m na

a đúng với mọi a sao cho n ma có nghĩa mà không quan

Từ quá trình phân tích KNV T4 và T8 chúng tôi dự đoán:

m

“ Học sinh thường quan niệm

na là a>0”

tâm đến phạm vi hợp thức của lũy thừa

Bảng 2.1: Thống kê số lượng ví dụ và bài tập liên quan đến

khái niệm lũy thừa trong SGK và SBT

Kiểu nhiệm vụ Số lượng

Ví dụ Bài tập Tỉ lệ

0 14 38,9% T1: Đơn giản biểu thức

2 3 8,3% T2: Tính giá trị biểu thức

0 4 11,1% T3: Chứng minh đẳng thức

0 4 11,1% T4: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với

số mũ hữu tỷ

0 2 5.6% T5: Tìm số thực  thỏa điều kiện cho trước

0 5 13.8% T6: Trục căn thức ở mẫu

0 2 5.6% T7: So sánh hai số (SBT)

0 2 5.6% T8: Giải phương trình (SBT)

Tổng cộng 2 36 100%

 Kết luận cho sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000.

Qua việc phân tích cho thấy SGK 2000 mở rộng lũy thừa với các số mũ khác nhau theo các

giai đoạn sau:

Lũy thừa Lũy thừa Lũy thừa với Lũy thừa với

với số mũ với số mũ số mũ nguyên số mũ nguyên

hữu tỉ vô tỉ dương âm và mũ 0

Các tính chất của lũy thừa đều được SGK thừa nhận, không chứng minh mặc dù có những

chứng minh tương đối đơn giản.

Các tính chất của căn bậc n không được SGK đề cập. Sở dĩ như vậy là do SGK thừa nhận

toàn bộ tính chất cũa lũy thừa mà không chứng minh, do đó các bài tập về căn cũng rất hạn chế.

Mở rộng khái niệm lũy thừa luôn được đưa vào sau chương “Giới hạn” bởi vì mở rộng khái

niệm lũy thừa dùng đến kiến thức liên quan là giới hạn để định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Khái niệm lũy thừa được mở rộng có một vai trò rất lớn trong chương này là dùng nó để định

nghĩa hàm số mũ, hàm số lũy thừa. Nói khác đi, lũy thừa với số mũ thực là cơ sở để định nghĩa hàm

số mũ, hàm số lũy thừa. Sau đó hàm lôgarit lại được định nghĩa thông qua hàm số mũ. Các định lí

về lôgarit cũng được chứng minh dựa trên các tính chất của lũy thừa.

Do học sinh chưa học đạo hàm tại thời điểm này nên người ta dùng tính chất của lũy thừa để

nghiên cứu tính chất của hàm số mũ, hàm số lũy thừa. Từ tính chất của hàm số mũ suy ra tính chất

của hàm số lôgarit vì hàm số lôgarit là hàm số ngược của hàm số mũ.

Có 8 kiểu nhiệm vụ được đưa ra liên quan đến lũy thừa nhưng số lượng bài tập trong SGK

quá ít. Đặc biệt kiểu nhiệm vụ “Chứng minh đẳng thức” hay “Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ

hữu tỉ của biểu thức” chỉ xuất hiện ở phần ôn tập chương, còn kiểu nhiệm vụ “so sánh các số” hay

“giải phương trình chứa lũy thừa” hoàn toàn vắng mặt trong SGK, nó chỉ xuất hiện trong SBT. Kiểu

nhiệm vụ phổ biến nhất liên quan đến lũy thừa trong [C] là đơn giản biểu thức và tính giá trị biểu

thức. Trong quá trình trình bày lý thuyết SGK có rất ít ví dụ minh hoạ, cụ thể qua bảng thống kê ta

thấy chỉ có 2 ví dụ liên quan đến kiểu nhiệm vụ T2. Trong 8 kiểu nhiệm vụ mà SGK đưa ra chủ yếu

là các bài toán tính toán, các kiểu nhiệm vụ liên quan đến bản chất của lũy thừa với số mũ vô tỷ

hoàn toàn vắng mặt.

Có một sự khác biệt giữa tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở bậc đại học và THPT. Nếu

như ở bậc đại học, người ta mở rộng khái niệm lũy thừa trên cơ số e rồi mới đến trên cơ số a, mà cơ

sở để mở rộng là định nghĩa và tính chất của hàm mũ thì ở THPT lại đi theo tiến trình ngược lại: mở

rộng khái niệm lũy thừa trên cơ số a, và cơ số e là một trường hợp đặc biệt của cơ số a, kiến thức

dùng trực tiếp để xây dựng lại là căn bậc n và giới hạn. Đến lượt nó lại là cơ sở để xây dựng hàm số

mũ.

Theo tôi, có sự khác biệt như trên là vì khi mở rộng khái niệm lũy thừa học sinh chưa được

học đạo hàm và nguyên hàm, mà nếu xây dựng như ở bậc đại học thì phải dùng đến những kiến thức

của đạo hàm và nguyên hàm.

Bảng 2.2: So sánh các khái niệm cần định nghĩa giữa bậc đại học và phổ thông

Khái niệm cần định nghĩa Cơ sở để định nghĩa Cấp độ

Hàm mũ Hàm lôgarit Đại học

Lũy thừa ĐN và TC của hàm mũ

Hàm lũy thừa Hàm mũ e

Căn bậc n và giới hạn dãy Lũy thừa Phổ thông

Hàm mũ Lũy thừa

Hàm lũy thừa Lũy thừa

2.3.2. Sách giáo khoa giải tích 12(Nâng cao) [M]

2.3.2.1. Khái niệm lũy thừa trong giải tích 12 [M].

Trong chương trình phân ban 2005 khái niệm lũy thừa được đưa vào chương trình 12 sau

chương “Ứng dụng đạo hàm” bởi vì theo TLHD thực hiện chương trình 12 thì “không còn thời gian

để học trước chương đạo hàm”. Ngoài ra theo SGV thì “Việc đưa nội dung này vào chương trình

giải tích 12 và đặt ngay sau chương I về khảo sát hàm số ngụ ý rằng có sử dụng đạo hàm trong việc

khảo sát các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit”. [trang 4]

Ở đây, việc mở rộng khái niệm lũy thừa được thực hiện qua các giai đoạn hoàn toàn giống

trong sách CLHN năm 2000. Do đó, chúng tôi chỉ đưa ra những điểm khác nhau của hai bộ sách

này.

Điểm khác biệt đầu tiên so với bộ sách trước là các tính chất của căn bậc n được liệt kê đầy đủ.

Thông qua các hoạt động và các ví dụ minh hoạ, SGK nâng cao có chứng minh một vài tính chất

của lũy thừa. Điều này hoàn toàn phù hợp với tiêu chí giảm tải đã đề ra là : “giảm tính hàn lâm và

không yêu cầu quá chặt chẽ về lý thuyết. Tuy nhiên phải đảm bảo tính chính xác, khoa học. Tăng

n

n



cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy toán gắn liền với thực tiễn” (SGV lớp 12 nâng cao).

n

a b

a b

  

  

.(1) Ví dụ: Chứng minh tính chất

Với n 0, công thức (1) hiển nhiên đúng.

n

n

n



1









n

n

n

n





a b

b a

a b

  

  

n



1  a b

a b

  

  

Với n<0, ta có –n là số nguyên dương. Do đó

Nếu như SGK chỉnh lý hợp hợp nhất trình bày khái niệm hàm số lôgarit là hàm số ngược của

hàm số mũ và lôgarit được định nghĩa thông qua hàm số lôgarit thì SGK [M] lại trình bày khái niệm

lôgarit trước, sau đó hàm số mũ và hàm số lôgarit được định nghĩa song song, không sử dụng khái

niệm hàm số ngược, nó chỉ liên hệ với nhau thông qua khái niệm lũy thừa và lôgarit.

b  được gọi là lôgarit

Định nghĩa lôgarit được trình bày trong trang 83 như sau:



b   ”. a

“Cho a là một số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực  để a

loga b

cơ số a của b và kí hiệu là logab, tức là

Ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực được dùng để định nghĩa lôgarit. Qua đó thấy

được các phép toán nâng lên lũy thừa và lấy lôgarit theo cùng một cơ số là hai phép toán ngược của

nhau.

Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực được dùng để chứng minh tìm ra các quy tắc tính

logarit, cũng như quy tắc so sánh hai lôgarit cùng cơ số. Hay tính chất của lũy thừa là công nghệ

b

c

log

log

a

a

b

c

a

a







log

log

  b c

giải thích cho các quy tắc tính lôgarit.

a

a

b

c



log

  b c

Ví dụ: “Khi a>1, theo quy tắc so sánh hai lũy thừa ta có:

a

a

b

c

b c



  ” [tr 84].

Vậy khi a>1 thì log

log

a

a

Tương tự khi 0

Định nghĩa hàm số mũ ở SGK này không khác gì so với định nghĩa trong [C]. Tức là định nghĩa đã sử dụng khái niệm lũy thừa với số mũ thực ax. Tuy nhiên, các tính chất của hàm mũ, cũng

như việc khảo sát hàm số mũ lại dựa trên đạo hàm.

Vai trò của việc mở rộng khái niệm lũy thừa ở đây cũng tương tự như trong [C]. Nghĩa là

việc mở rộng khái niệm lũy thừa là cơ sở cho việc định nghĩa hàm số mũ. Ngoài ra, một điểm mới

trong [M] là khái niệm lũy thừa còn là cơ sở để định nghĩa lôgarit. Sau đó lôgarit là cơ sở để định

nghĩa cho hàm lôgarit.

Nếu như ở SGK [C] hàm số lũy thừa được định nghĩa ngay sau khi học “mở rộng khái niệm

lũy thừa” thì ở SGK [M] nó được đưa vào sau bài “hàm số mũ và hàm số lôgarit” . Theo lý giải của

SGV thì “sở dĩ có sự khác biệt đó là do phép chứng minh công thức đạo hàm của hàm lũy thừa có

sử dụng đạo hàm của hàm mũ và hàm lôgarit” .

Khái niệm lũy thừa với số mũ thực là cơ sở để định nghĩa hàm số lũy thừa. Tập xác định của

hàm số lũy thừa hoàn toàn phụ thuộc vào số mũ , và muốn tìm tập xác định của hàm số lũy thừa ta

phải dùng các định nghĩa lũy thừa. Do tại thời điểm này học sinh đã được học đạo hàm nên tính chất

của hàm số lũy thừa được khảo sát dựa trên đạo hàm.

N

r

C A 



Trong SGK 12 nâng cao người ta có đưa thêm vào những vấn đề mang tính thực tiễn có sử

 1



được sử dụng đến công thức lũy thừa. Ví dụ như công thức lãi kép (định kì rời rạc)

dụng rộng rãi không những trong lĩnh vực tiền tệ mà còn được sử dụng trong các lĩnh vực khác của

tự nhiên và xã hội. Thực ra công thức này đã được đề cập ở lớp 11 trong chương- dãy số, cấp số

cộng, cấp số nhân. Việc giới thiệu lại công thức này không chỉ vì ý nghĩa thực tiễn của nó mà còn

để chuẩn bị giới thiệu công thức lãi kép liên tục- một công thức mô tả sự tăng trưởng (hoặc suy

giảm) có nhiều ứng dụng.

Nếu như trước đây người ta dùng các tính chất của lũy thừa để nghiên cứu tính chất của hàm

số mũ, thông qua “hàm số ngược” suy ra tính chất của hàm số lôgarit thì trong [M] có một sự khác

biệt rõ nét. Do chương “hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit” được đặt ở sau chương đạo

hàm nên các tính chất của hàm số này đều dùng đạo hàm để khảo sát hoặc là thừa nhận, mà không

còn dùng tính chất của lũy thừa để suy ra như trước đây.

Ví dụ: Theo SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì:

,

y

a

a

Với a> 1 thì ax>at khi x>t Với 0at khi x1 và nghịch biến khi 0



.lnx

Nhưng trong SGK giải tích 12 nâng cao: với y=ax thì mà khi a>1 thì lna>0 và khi

01 và nghịch biến khi 0

2.3.2.2. Các tổ chức toán học liên quan khái niệm lũy thừa.

a) Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T1: “Đơn giản biểu thức”



4

1 3

7 3

1 3

5 3

a b

a

a

a





(

3 2 4 )

a



;

,

b ,

3

1 3

4 3

2 3

a  1 3

12 6 a b

a

a

a

a





Ví dụ: Bài 5 SGK/ 76. Đơn giản biểu thức (với a, b là những số dương)

4

a b

3 2 a b

(

3 2 4 )

a

ab







,

6

6

3

3 2 a b 2 a b

12 a b

12 6 a b





2

2

1 3

7 3

1 3

5 3

1 3

1 3

a

a

a

a

a

a

a









)

)

b

a

a

a







,

  (1

)

  (1

 ) 2



1 3

4 3

2 3

a  1 3

(1 1 3

(1 1 3

a

a

a

a

a

a

a

a









(1

)

(1

)

Gợi ý giải ở SGV trang 118 như sau:

Kỹ thuật giải 1:

- Đặt nhân tử chung để đưa về dạng tích.

- Chuyển các số hạng chứa căn về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ hoặc ngược lại.

- Dùng tính chất của lũy thừa và các hằng đẳng, hoặc các tính chất của căn bậc n để rút gọn

các lũy thừa và các thừa số giống nhau.

Công nghệ-Lý thuyết 1-1:

-Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên và căn bậc n

- Phép nhân đa thức với đa thức : A.(B+C)=AB+AC

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T1:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

2 12 11 25 T1

Nhận xét: Có 17/25 bài toán dạng này không cho sẵn điều kiện của các chữ trong biểu thức cần đơn

giản. Và dĩ nhiên khi học sinh giải quyết KNV này cũng không mấy lưu ý đến điều kiện tồn tại của

biểu thức.

 1 3

 3 5

0,75

A

b) Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ T2: “Tính giá trị biểu thức”







 81

1 125

1 32

  

  

  

  

Ví dụ 1: Bài tập 4/76: thực hiện phép tính

 1 3

 3 5

 1 3

 3 5

0,75

4

 3 4

A















 81

(3)





1 125

1 32

1 3 ( ) 5

1 5 ( ) 2

  

  

  

  

  

  

  



1

    3



3









(3)

    5 8

1 5

1 2

1 27

80 27

  

  

  

  





Gợi ý giải của SGV như sau:

2 18 .5 2 15 .3

2

2











Ví dụ 2: viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản

2 .3 12  5

5

2 18 .5 2 15 .3

2 18 .5 2 3 5 .3

4 2 .5.3 2 3 5 .3

Ta có:

Kỹ thuật giải 2:

m

m n 

m n .

m n 

m n a a .



a

;

(

a

m n )



a

;



a

- Chuyển các số hạng về dạng lũy thừa với cơ số thích hợp.

n

a a

- Dùng các tính chất: để rút gọn các lũy thừa cùng cơ số và

đưa ra kết quả.

Công nghệ-Lý thuyết 2-2:

- Định nghĩa lũy thừa

- Định nghĩa căn bậc n.

Nhận xét :

Khác với SGK [C], biểu thức cần tính giá trị ở SGK [M] chỉ chứa số mà không chứa biến.

Hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2 chiếm một lượng bài tập khá lớn trong SGK và SBT. Các quy tắc

hợp đồng được rút ra khi phân tích SGK [C] vẫn tồn tại ở đây. SGK đưa ra các bài tập thiên về kỹ

năng tính toán hơn là hiểu rõ bản chất của khái niệm lũy thừa.

m

m

p

p m

p m

a

a

a

Khi thực hiện tính toán trên các biểu thức chứa lũy thừa, học sinh thường xuyên sử dụng tính







   

   

với a là một số dương cụ thể. Điều này dẫn đến học sinh có thể gặp sai lầm chất: 

khi sử dụng tính chất trên mà a đã chuyển từ số sang chữ.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T2:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng c) Tổ 10 11 16 37 T2 chức

toán học gắn liền với nhiệm vụ T3: “Chứng minh đẳng thức”.

T31 : « Chứng minh các tính chất của căn bậc n »

n

n



a b .

n a b .

Ví dụ : Bài tập 9/78 SGK. Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương. Chứng minh

.

n

n

n

n

n

n

ab

a

b





n a b .

.

Gợi ý giải trong SGV như sau:











Theo tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương ta có : 

n

n



a b .

n a b .

Do đó theo định nghĩa căn bậc n của một số, ta có

Kỹ thuật giải 31:

- Lũy thừa bậc n hoặc bậc n.k hai vế của đẳng thức.

n

n

n

m

n

n

mn

n

n

ab

a

a

a











n a b .

;

;

;

a a (

0)





n





-Tiếp theo dùng các tính chất sau để khai căn và kết luận :





a b

a b

  

  

Công nghệ-Lý thuyết 31- 31:

-Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương

- Định nghĩa căn bậc n.

Nhận xét : Đây là một kiểu nhiệm vụ hoàn toàn mới vì ở trong [C] không đưa ra các tính chất của

căn bậc n trong phần lý thuyết nên kéo theo không có dạng bài tập này trong SGK và SBT.

3







7 5 2

7 5 2

 2

T32 : « Chứng minh đẳng thức chứa căn của các số »

Ví dụ : Bài tập 7/76. Chứng minh rằng : 3

 

 



7 5 2 1 3 2 6 2 2

  (1

3 2)

Gợi ý giải trong SGV như sau:



Töông töï 7 5 2

  (1

3 2)

3

Cách 1: ta có







 

7 5 2

7 5 2

  1

2 1

2

 . 2

Suy ra 3

3

3





 









3 7 5 2 . 7 5 2

3 1, Do ñoù 7 5 2

7 5 2

2

3

3

2

X

X







Neáu 7 5 2 vaø 7 5 2 laø hai nghieäm cuûa phöông trình

- 2 -1 0

Töùc laø:

3



7 5 2

  1

2 (2)

3



7 5 2

  1

2 (3)

    

3







7 5 2

7 5 2

Cách 2

 . 2

Vậy 3

3

Ñaët x

x







3 7 5 2 

7 5 2 . Ta caàn chöùng minh

 2

3

3

3

x









7 5 2

7 5 2

  

3   

3

3

2

 

 













3 7 5 2 7 5 2 3. (7 5 2) . 7 5 2

2 3 3. 7 5 2 . (7 5 2 )

3







7 5 2 )

x

 

3  14 3( 7 5 2  14 3

3

x



x Töø ñoù ta coù:

3

 14 0

 2

x

x



x   (

2)(

2

 7) 0

 2

x

x  



 

x 2 (vì

2

7 0)

Cách 3 :

32a :- Đưa biểu thức trong căn về bình phương hoặc lập phương của một tổng hoặc một hiệu

Kỹ thuật giải 32:

bằng cách: tách- nhóm các hạng tử hoặc dùng định lý viet đảo.

32b : - Đặt vế phức tạp trong đẳng thức bằng x.

- Sau đó thực hiện phép khai căn và tính.

- Dùng hằng đẳng thức để chuyển x thành nghiệm của một phương trình đa thức (bậc hai

hoặc bậc 3)

32c :

- Giải phương trình vừa tìm được để tìm x. Giá trị x tìm được sẽ bằng vế còn lại.

- Tính tích của hai số hạng có mặt ở vế phức tạp - Dùng định lí viet đảo để chuyển hai số hạng trên thành hai nghiệm của phương trình bậc

hai hoặc bậc 3.

- Giải phương trình tìm được.

- Bình phương hoặc lập phương hai vế để chứng minh kết quả tìm được luôn đúng.

Công nghệ 3:

32a:

a

khi n leû

n

n

a

+ Định lý viet đảo.

a

khi n chaün

   

+ Tính chất của căn bậc n :

+ Công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

32b:

+ Các phép biến đổi tương đương

+ Các hằng đẳng thức

+ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

32c:

+ Định lí Vi-ét

+ Các phép biến đổi tương đương

 Lý thuyết 3:

- Phép nhân đa thức với đa thức

- Định nghĩa căn bậc n

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T3:

 Đẳng thức cần chứng minh có hai dạng:

+ Chứng minh một trong các tính chất của căn bậc n

+ Đẳng thức chứa toàn số, trong đó vế trái là một biểu thức chứa căn bậc hai hoặc bậc

3, còn vế phải của đẳng thức là một số nguyên. Các biểu thức nằm dưới dấu căn đều

có thể khai căn được. Đặc điểm đẳng thức cần chứng minh mà SGK [M] đưa ra hoàn

toàn khác với đẳng thức cần chứng minh trong SGK [C].

Nhận xét:

Ta thấy có một sự thay đổi trong kĩ thuật giải kiểu nhiệm vụ “chứng minh đẳng thức”. Kĩ

thuật cơ bản ở đây là đưa biểu thức trong căn về dạng hằng đẳng thức và sau đó khai căn. Sử sụng

MTBT để giải phương trình bậc 2, bậc 3 do nghiệm thu được là số nguyên. Trong SGK [M] ta

không thấy xuất hiện dạng bài tập chứng minh đẳng thức chứa chữ như trong SGK [C].

Cũng cùng một KNV là “chứng minh đẳng thức” nhưng dạng bài tập đưa ra trong hai bộ

SGK ở hai thời kỳ là hoàn toàn khác nhau, và kỹ thuật để giải quyết các KNV này cũng khác nhau.

Chúng tôi dự đoán tồn tại ngầm ẩn qui tắc hợp đồng sau:

R5: Đẳng thức cần chứng minh phải thoả mãn một trong hai đặc trưng sau:

+ Đẳng thức là một trong các tính chất của căn bậc n.

+ Đẳng thức có vế trái là tổng của hai căn, mà các biểu thức trong căn đều có thể khai

căn được, còn vế phải của đẳng thức luôn là một số nguyên.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T3:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

3 1 6 10 T31

0 3 0 3 T32

d) Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ T4: “Viết biểu thức cho trước dưới dạng lũy thừa

của một số với số mũ hữu tỷ”.

Ví dụ: Bài tập 2.13/72 SBT. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ

7

3

5 4.a

(với a>0, b>0, x>0)

a

ax ; b, 3

5 2 .

1 8

a,

7

3

3 7

3 7

ax

Gợi ý giải trong SBT như sau:





5 2 .

5 .2 . 7

1 . a x . 7

8 2 . 21

1 . a x . 7

1 8

1 3 2

3

1 12

21 12

a

a

a





5 4 .

5 a a . 3

a,

b,

Kỹ thuật giải 4:

- Viết các số hạng dưới dấu căn theo lũy thừa với số mũ hữu tỷ.

- Dùng các quy tắc tính của lũy thừa để cộng, trừ các số mũ lại với nhau đối với các lũy

thừa cùng cơ số.

Công nghệ 4:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ của một số thực.

 Lý thuyết 4:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên, và căn bậc n.

Nhận xét: Khi giải quyết KNV này, học sinh chuyển đổi một biểu thức từ căn sang lũy thừa một

m

m na

cách máy móc mà không hề quan tâm đến điều kiện của cơ số, do đề bài đã cho sẵn. Chính điều này

n a

là một trong những nguyên nhân dẫn đến việc học sinh suy nghĩ theo hướng: luôn đúng

với những giá trị của a sao cho căn có nghĩa.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T4:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

0 4 4 8 T4

e) Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ T5: “Tìm các số thực x thoả điều kiện cho trước”.

T51 : « Tìm điều kiện của cơ số »

 4 7

1 3

 1 4

2 3





a x ,(

2)

b x ,

;

c x ,

d x ,(

3)

;

;

Ví dụ 1 : Bài 2.11/72 SBT. Tìm điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau :

 4 7

Q

x



(

2)

 nên biểu thức

Gợi ý giải trong SBT như sau:

 4 7

xác định khi x+2>0 x>-2 a,Vì

Q nên x1/3 xác định khi x>0

1 3

Q

b, Vì

 nên x-1/4 xác định khi x>0

 1 4

2 3

x 

(

3)

Q nên biểu thức

c,

2 3

xác định khi x-3>0  x>3. d,

Ví dụ 2: Bài 2.12 trong SBT trang 72

6

1 4 4

x

1 6x

x

Với giá trị nào của x thì mỗi đẳng thức sau đúng?

x 





   

   

1

0.7

1 8 8

3 7

x



x

x 

a, b, 





1 x

c,  d, 

6

1

x

1 6x

Gợi ý giải như sau:

6x chỉ xác định khi x>0. Do đó:



   

   

1 4 4

x

x

x



  nếu x<0

a, Ta có nếu x>0



b, 

8

2

1 8

x

x

x

x



      1 1



1 x

1

0.7

3 7

7 10

x

x

x

Q



x   



Ta coù:

10 ) 7

(

(Vì

neân x>0)

c, 





7 10

d,

Vậy không có giá trị nào của x để đẳng thức trên đúng.

Kỹ thuật giải 51 :

a

neáu m leû

a

(

1 m m )

- Xác định xem số mũ là số tự nhiên hay số nguyên âm, số hữu tỉ, số vô tỉ? - Dùng định nghĩa: biểu thức [A(x)]r với r là số hữu tỉ hoặc vô tỉ xác định khi A(x)>0 hoặc

a

neáu m chaün

   

các tính chất của lũy thừa như:

để xác định điều kiện của cơ số.

- Giải phương trình hoặc bất phương trình thu được để tìm x (nếu có).

Công nghệ-Lý thuyết 51 -51:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương

- Định nghĩa căn bậc n.

Nhận xét:

Ta thấy KNV này chỉ xuất hiện trong SBT, hoàn toàn vắng bóng trong SGK. Đây là một

KNV mới so với SGK CLHN năm 2000. KNV này là hết sức cần thiết vì nó giúp cho học sinh phân

biệt được sự thay đổi điều kiện của cơ số khi mở rộng lũy thừa về số mũ. SGK chỉ chú trọng các các





0.75

3

4

 4 3

 3 4

 4 3

A

bài tập tính toán trên các số cụ thể.















)

24

1 ( 16

1 ( ) 8

1 4 (( ) ) 2

1 3 (( ) ) 2

1  ( ) 2

1 ( ) 2

Ví dụ: Tính .

Các bài tập chứa chữ thì đã cho sẵn điều kiện của các chữ. Ngoài ra, học sinh đã quen với

việc thao tác trên lũy thừa với số mũ nguyên dương từ đầu cấp hai mà không có điều kiện cho cơ số.

Do đó, học sinh thường gặp sai lầm khi giải quyết kiểu nhiệm vụ này mà ta thay các số cụ thể bằng

các chữ.

Chính điều đó giúp chúng tôi dự đoán rằng:

 Đa số học sinh thường không phân biệt được sự khác nhau về cơ số của lũy thừa khi số mũ

m

m

p q

p q

1 m

a

a



a  

(

)

(

m a ) vaø (

)

a, m Z

 .

thay đổi.

 Học sinh thường sai lầm khi cho rằng:

T52 : « Giải phương trình và bất phương trình mũ đơn giản »

2

3

a 2

Ví dụ 2: Bài 2.23 trang 74 trong SBT

a 

4.2

0,25

a, Tìm a để có đẳng thức

2

b



3

5

b



0,2

2 5



2

a 2

b, Tìm b để có đẳng thức 

2

2

2

a

a

a

a



3

3

 2 3

a 2

a











. 4.2

0,25

2 2 .2

2

2

1 2

  

  

   

   

2

2

a

a

 

   

a 2 3

a 3

2

   a 1 a

 

2

    0 

b



3

5

2 b



2

b



3

5

2 b

2

b







   

2 5

b 3

5

2

 b . 0,2



1 5

1 5

  

  

1

2

b   2

b 3

   5 0

        b    b 

 5 2

Gợi ý giải như sau:

Kỹ thuật giải 52

- Chuyển hai vế của phương trình về dạng lũy thừa cùng cơ số. - Sau đó áp dụng tính chất của lũy thừa ax=at  x=t để tìm x.

Công nghệ-Lý thuyết 52-52:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên và các tính chất của lũy thừa.

t

4 x

T53 : « Giải phương trình chứa căn của biến số x »

4

4

a

x

x

x

x







,

2;

b ,

3

  2 0

Ví dụ: Giải phương trình sau bằng cách đặt ( Bài 21 trang 82 SGK)

Lời giải mong đợi trong SGV như sau:

Cách 1:

t

4 x

a, Điều kiện x0

1

2

t

t

Đặt (t0), ta được phương trình t2+t=2

2

2 0

  t t

 

2(loaïi)

t         

4

4

x

x

x

x

Ta có 2 t



     . 1

2

1

Do đó

Vậy phương trình có một nghiệm x=1.

t

4 x

b, Điều kiện x0

1

Đặt (t0), ta được phương trình t2-3t+2=0



t 3

    2 0

2

  t t 

4

x



1

4

x

x

Ta có : 2 t





3

   2 0

4

x x

 

1 16

x



2

  

   

Do đó:

Vậy phương trình có hai nghiệm x=1, x=16

4

4

4

4

4

4

a

x

x

x

x

x

x

x



 



 

,

2

(

2 )

  1

   1 0

(

1)(

  1)

(

1) 0

4

4

4

x

x

x







x     

(

1)(

2) 0

1

1

4

4

4

4

b

x

x

x

x

x









,

3

   2 0

(

2 )

 2 2

0









4

4

4

4

4

x

x

x

x

x



 



 





(

1) 2(1

) 0

(

1)(

 2) 0

4

x

x





1

1





4

x



16

x



2

  

   

Cách 2 :

53a :

Kỹ thuật giải:

- Đặt ẩn phụ t bằng căn bậc cao nhất của x có trong phương trình để chuyển phương trình đã

cho về phương trình đa thức theo ẩn t.

- Giải phương trình đa thức theo ẩn t. Lưu ý điều kiện t0

53b :

- Dùng các phương pháp tách, nhóm và hằng đẳng thức để đưa phương trình đã cho về dạng

- Thay t vào và tìm x

tích.

- Giải phương trình tích vừa tìm được bằng cách áp dụng tính chất :

A(x).B(x) =0  A(x)=0 hoặc B(x)=0

Công nghệ -53:

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai.

- Định nghĩa căn bậc n

- Phép nhân đa thức với đa thức.

Lý thuyết -53:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên.

-Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

T54 : « Giải bất phương trình chứa lũy thừa của x»

Ví dụ : Bài 22/82 SGK. Giải các bất phương trình sau :

a, x4<3 ; b, x117

4

2

4

4

x

x

Lời giải ở SGV như sau:

  

x  

0

3

   3

3

3

11

11

x

x

  

7

7

a,

b,

Kỹ thuật giải 54 :

- Khai căn hai vế

k hoặc x

k (nếu có) để tìm x.

- Giải bất phương trình x

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T5:

- Số thực x cần tìm không chỉ nằm ở số mũ như trong SGK [C] mà trong SGK [M] nó còn

xuất hiện ở cơ số.

- Kiểu nhiệm vụ này nhằm nhấn mạnh điều kiện của cơ số khi số mũ thay đổi là số nguyên

dương, nguyên âm, số hữu tỷ hoặc số thực.

- Thông qua kiểu nhiệm vụ này, SGK muốn cho học sinh làm quen dần với dạng toán giải

phương trình và bất phương trình mũ.

Nhận xét:

SGK 2005 chỉ đưa ra KNV giải phương trình chứa căn của biến số x. Không có KNV giải phương

trình chứa lũy thừa như SGK năm 2000. Khi giải phương trình chứa căn học sinh không có xu

hướng chuyển căn về lũy thừa để giải.

Đặc biệt là việc giải các phương trình và bất phương trình liên quan đến lũy thừa của x là một kiểu

nhiệm vụ mới chỉ có trong [M].

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T5:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK Tổng cộng SBT

0 4 12 16 T51

0 2 3 5 T52

0 6 0 6 T53

0 4 0 4 T54

1

f)Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T6: “Khử căn thức ở mẫu”

2

3 3

Ví dụ: Khử căn thức ở mẫu: (SBT trang 73)

3

3





1

2

2







3 2

2

3

3 3

3



2

3

 9 2



3

2







3

3







3

3 81 2. 9 4

2





 

3

3











3

2

3 81 2. 9 4

3







3

3



9

2





Gợi ý lời giải ở SBT như sau:

Kỹ thuật giải 6:

Nhân mẫu số và tử số cho các biểu thức liên hợp của mẫu số, sau đó dùng hằng đẳng thức và

tính chất của căn bậc n để khai căn.

Công nghệ 6:

-Khi nhân một phân số cho một số khác không thì ta được một phân số bằng phân số ban đầu

-Định nghĩa của căn bậc n.

- Phép nhân đa thức với đa thức.

 Lý thuyết 6:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Nhận xét: Kiểu nhiệm vụ này chỉ xuất hiện trong SBT, còn hoàn toàn vắng bóng trong SGK.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T6:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

0 0 2 2 T6

g) Tổ chức toán học gắn liền với nhiệm vụ T7: “So sánh hai số”

30

40

 5 7

a

3 ,( ) vaø 2.2 ; 14

b , 7

vaø 4

1 2

Ví dụ 1: Bài tập 11/78. So sánh các số

30

3 10

10

 5 7

b

ù





5 7

a



ù , Taco :

2

,Taco : 7 40

(7 ) 4 10

343 10

10

1 2





4

(4 )

256

343

  

  

30

 40



Vaäy 7

4

1 3  2 14

3 14

3 14

5 7







1 2 .2 2

2.2

2

2

3

3

vaø



3

30

63

Gợi ý giải trong SGV như sau:

Ví dụ 2: Bài tập 6/76. So sánh các số:

3

3

3

3



 



3

30 1

27

  4

64

63

Gợi ý giải trong SGV như sau:

Kỹ thuật giải 7:

-Đưa hai số đã cho về lũy thừa cùng số mũ hoặc cùng cơ số để so sánh, hoặc so sánh chúng

qua một số trung gian thông qua các tính chất của lũy thừa.

Công nghệ - Lý thuyết 7-7:

Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên và số mũ hữu tỉ

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T7:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

1 7 8 16 T7

h) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T8 “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

một biểu thức”

2

x

x

sin

y

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức



y 

3 x  

(0.5)

a, b, (SBT trang 74)

2

2

x

x

x

x



 





a. Ta coù: -x+

(

)

2.

.

1 4

1    4

1 2

1   4

1 4

1 2

  

  

  

  

x

x  

1 4

x





Neân 3

1   3 4

3 khi

y max

1 4

2

x



b. Ta coù sin

0,cô soá 0<0.5<1 neân

2

x

sin





(0.5)

0 (0.5)

1

y

x

k





1 khi

Max

Gợi ý lời giải như sau:

u x (

)

y

Kỹ thuật giải 8:

a

- Nếu biểu thức đưa ra có dạng thì ta tìm số M, N sao cho: Mu(x)N. Sau đó dùng

tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số để tìm GTNN hoặc GTLN.

- Nếu biểu thức đưa ra có dạng tổng của hai hàm mũ thì ta dùng bất đẳng thức côsi để tìm

GTLN hoặc GTNN.

Công nghệ-Lý thuyết 8-8:

- Định nghĩa lũy thừa

- Tính chất so sánh hai lũy thừa.

- Hằng đẳng thức (A+B)20.

Đặc trưng của kiểu nhiệm vụ T8:

- Biểu thức cần tìm GTLN, GTNN được cho ngầm ẩn dưới dạng hàm số mũ.

Kiểu nhiệm vụ này chỉ xuất hiện trong SBT, còn hoàn toàn vắng bóng trong SGK.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T8:

Ví dụ SGK SBT Tổng cộng Kiểu nhiệm vụ

0 0 6 6 T8

i) Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T9 “Giải các bài toán thực tế liên quan đến công

thức lãi kép và công thức tăng trưởng mũ”

Ví dụ 1: Bài 17/81. Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm

với lãi suất 7,56% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền đó thu được sau 5 năm là bao

nhiêu triệu đồng? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2)

Lời giải mong đợi trong SGV như sau:

Sau 5 năm người gửi thu được số tiền cả vốn lẫn lãi là:

15(1+0,0756)5 21,59 (triệu đồng).

Ví dụ 2: Tỉ lệ dân số hàng năm của In-đô-nê-xi-a là 1,5%. Năm 1998, dân số của nước này là 212

942 000 người. Hỏi dân số của nước này vào năm 2006 là bao nhiêu? (SBT trang 75).

Gợi ý lời giải như sau:

Áp dụng công thức tăng trưởng mũ ta có:

e

Số dân của In-đô-nê-xi-a vào năm 2006 là:

 240091000 (người). 212 942 000. 8.0,015

Kỹ thuật giải 9:

-Áp dụng công thức lãi kép: C=A(1+r)N hoặc công thức tăng trưởng mũ

Công nghệ- Lý thuyết 9-9:

x

x

e





1

-Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên dương

lim

lim

1 x

1 x

x

x





  

  

  1 

  

- Sự tồn tại của giới hạn và

Nhận xét:: Học sinh dùng MTBT để giải các bài toán thực tế và kết quả thu được là một số gần

đúng.

Số liệu thống kê các bài tập và ví dụ thuộc kiểu nhiệm vụ T9:

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ SGK SBT Tổng cộng

5 1 5 11 T9

Bảng 2.3: Thống kê số lượng ví dụ và bài tập liên quan đến

khái niệm lũy thừa trong SGK và SBT

Kiểu nhiệm vụ Số lượng

Ví dụ Bài tập Tỉ lệ

2 23 18% T1: Đơn giản biểu thức

10 27 21.1% T2: Tính giá trị biểu thức

3 10 7.8% T3: Chứng minh đẳng thức

0 8 6.2% T4: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số

mũ hữu tỷ

0 31 24.2% T5: Tìm số thực x thỏa điều kiện cho trước

0 2 1.6% T6: Trục căn thức ở mẫu

1 15 11.7% T7: So sánh hai số

0 6 4.7% T8: Tính GTLN và GTNN

4 6 4.7% T9: Giải các bài toán thực tế

Tổng cộng 20 128 100%

Kết luận cho sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao:

Tiến trình đưa vào các khái niệm về lũy thừa là tương tự như chương trình CLHN năm 2000.

Tuy nhiên nội dung mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào giải tích 12 sau chương “Đạo hàm”

nên nó có một số khác biệt so với chương trình CLHN như sau:

+ Mở rộng lũy thừa không chỉ dùng làm cơ sở định nghĩa hàm số mũ, hàm số lũy thừa mà còn được

dùng để định nghĩa lôgarit. Hàm số mũ và hàm số lơgarit được trình bày song song chứ không thông

qua hàm số trung gian là hàm số ngược.

+ Nhằm tăng cường tính thực tiễn của toán học, SGK đã đưa vào công thức lãi kép, công thức tăng

trưởng mũ dựa trên lũy thừa để giải quyết các bài toán thực tế.

+ Thông qua việc phân tích các tổ chức toán học, ta thấy trong SGK này xuất hiện 1 kiểu nhiệm vụ

mới là: “So sánh hai số”; “ giải các bài toán thực tế”, trong SBT có 1 kiểu nhiệm vụ mới là “tìm

GTLN và GTNN”. KNV “trục căn thức ở mẫu” đã biến mất trong SGK 12 nâng cao.

+ Do “mở rộng khái niệm lũy thừa” được dạy sau khi học sinh đã học chương “đạo hàm” và “ứng

dụng đạo hàm” nên tính chất của lũy thừa không còn được dùng để nghiên cứu hầu hết các tính chất

của hàm số mũ, hàm số lũy thừa nữa, mà người ta dùng đạo hàm để khảo sát hàm số mũ, hàm số lũy

thừa và hàm số lôgarit. Tuy nhiên việc dùng công cụ giải tích ở đây vẫn chưa trọn vẹn.

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Quá trình phân tích chương trình và SGK qua hai thời kỳ khác nhau ở trường THPT: thời kỳ

chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và thời kỳ chuyên ban năm 2005 cho phép chúng tôi làm rõ tiến trình

mở rộng khái niệm lũy thừa như sau:

Đối với [C]:

Hàm lôgarit Hàm lũy thừa Hàm mũ Mở rộng khái niệm lũy thừa

Đối với [M]:

Hàm số lũy thừa Lôgarit Mở rộng khái niệm lũy thừa Hàm mũ và hàm lôgarit

Điểm giống nhau của hai tiến trình này là mở rộng khái niệm lũy thừa đều được thực hiện

qua các giai đoạn: Lũy thừa với số mũ tự nhiên, lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu

tỷ, lũy thừa với số mũ vô tỷ. Cơ sở để mở rộng khái niệm lũy thừa là căn bậc n và giới hạn của dãy

số. Nó luôn được đưa vào trước khi có định nghĩa hàm mũ. Mặt khác, khái niệm lũy thừa là tiền đề

để định nghĩa hàm mũ và hàm lũy thừa.

Nếu như ở cấp độ tri thức khoa học lũy thừa được mở rộng từ cơ số e sang cơ số a>0 thì ở

cấp độ tri thức cần giảng dạy người ta lại mở rộng lũy thừa theo số mũ: từ số mũ nguyên sang số mũ

hữu tỉ và vô tỉ chứ không có hiện tượng mở rộng theo cơ số như ở giáo trình đại học. Cách định

nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ và vô tỉ trong SGK hoàn toàn khác so với cách định nghĩa trong

giáo trình đại học.

Điểm khác nhau của hai tiến trình này là: trong [C], lôgarit được định nghĩa thông qua hàm

lôgarit, còn trong [M], khái niệm lũy thừa là cơ sở để định nghĩa lôgarit.

Quá trình nghiên cứu hàm số mũ và hàm lũy thừa trong [C] vẫn được thực hiện nhờ vào tính

chất của lũy thừa với số mũ thực. Tuy nhiên trong [M], người ta dùng công cụ là đạo hàm.

Các TCTH đưa vào trong hai bộ SGK có một vài thay đổi, ví dụ như cùng là KNV “chứng

minh đẳng thức” nhưng các bài tập đưa ra ở hai bộ sách này hoàn toàn khác nhau. Tuy nhiên, sự

thay đổi về TCTH giữa hai bộ sách là không nhiều nhưng bài tập trong SGK năm 2005 phong phú

và đa dạng hơn.

Khi có hiện tượng mở rộng về số mũ thì tính chất của lũy thừa không thay đổi. Tuy nhiên,

phạm vi hợp thức của cơ số đã bị thu hẹp. Điều này đã không được SGK nhấn mạnh.

Ngoài ra, các bài tập trong SGK đưa ra luôn thỏa mãn điều kiện tồn tại của lũy thừa. SGK

không đưa ra các dạng bài tập nhằm giúp cho học sinh phân biệt sự khác nhau về cơ số của lũy thừa

khi số mũ thay đổi. Học sinh chỉ biết điều này thông qua định nghĩa lũy thừa.

Từ kết quả phân tích chương II, chúng tôi rút ra giả thuyết:

Giả thuyết H1: “Khi giải các bài toán liên quan đến lũy thừa, học sinh không có trách nhiệm kiểm

tra điều kiện xác định của công thức dùng trong định nghĩa của khái niệm lũy thừa (nếu bài toán

không có yêu cầu trực tiếp). Ngược lại, giáo viên luôn có trách nhiệm ra các bài tập liên quan đến

lũy thừa mà điều kiện tồn tại của lũy thừa phải được đảm bảo”.

Giả thuyết H2: Khi làm việc với đối tượng lũy thừa, học sinh thường mắc phải sai lầm do sử dụng

na

  a n

các quy tắc hành động sau:

m n .

a

.m n a a

R1:

n



m a b .

m n a b  ( . )

R2:

n

m n .



m a b .

a b ( . )

R3:

m

a

m n a 



R4:

n

m

m

m n 

m n .

a

a

R5: 





n

n

a a

a a

m n 

m

hoặc R6:

n

a b

a b

   

  

R7:

Chương 3

THỰC NGHIỆM

Mục tiêu của chương

Chúng tôi thực nghiêm nhằm nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá

nhân của giáo viên và học sinh về đối tượng lũy thừa, cũng như những sai lầm mà học sinh thường

gặp khi giải quyết các bài toán liên quan đến lũy thừa.

Cụ thể, chúng tôi triển khai 2 thực nghiệm (một đối với giáo viên và một đối với học sinh) nhằm

kiểm chứng các giả thuyết sau:

Giả thuyết H1: quy tắc hợp đồng

R1: “Khi giải các bài toán liên quan đến lũy thừa, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện

xác định của công thức dùng trong định nghĩa của khái niệm lũy thừa (nếu bài toán không có yêu

cầu trực tiếp). Ngược lại, giáo viên luôn có trách nhiệm ra các bài tập liên quan đến lũy thừa mà

điều kiện tồn tại của lũy thừa phải được đảm bảo”.

Giả thuyết H2: Khi làm việc với đối tượng lũy thừa, học sinh thường mắc phải sai lầm do sử dụng

na

  a n

các quy tắc hành động sau:

n

m n .

a

.m a a

R1:

n



m a b .

m n a b  ( . )

R2:

n

m n .



m a b .

a b ( . )

R3:

m

a

m n a 



R4:

n

m

m

m n 

m n .

a

a





R5: 

n

n

a a

a a

m n 

m

hoặc R6:

n

a b

a b

   

  

R7:

THỰC NGHIỆM A

(Đối với giáo viên)

3.1. Mục đích thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên giáo viên nhằm kiểm chứng tính hợp thức của giả thuyết H1

về sự tồn tại quy tắc hợp đồng didactic gắn liền với khái niệm lũy thừa.

3.2. Nội dung thực nghiệm

1. Tuổi của Thầy Cô: .................................................................................

Thâm niên công tác giảng dạy ở trường THPT của Thầy Cô: .................

2. Thầy Cô hãy cho một bài toán “tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa với số mũ hữu tỷ hoặc vô

tỷ” và trình bày lời giải mà Thầy Cô mong đợi từ học sinh.

Bài toán:……………………………………………………………………

Lời giải mong đợi: …………………………………………………………

3. Thầy Cô hãy cho một bài toán “viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ” hoặc

“đơn giản biểu thức- có chứa lũy thừa” và trình bày lời giải mà Thầy Cô mong đợi từ học sinh.

Bài toán:……………………………………………………………………

Lời giải mong đợi:…………………………………………………………

4. Theo quý Thầy Cô, nếu không dạy bài “Mở rộng khái niệm lũy thừa” thì có dạy được bài

“Hàm số mũ và hàm số lôgarit” hay không? Vì sao?

3.3. Phân tích bảng câu hỏi thực nghiệm giáo viên

Chúng tôi đặt ra câu hỏi 1 nhằm tìm hiểu tuổi và số năm công tác của giáo viên. Từ đó, thấy

được trong quá trình giảng dạy đối tượng lũy thừa quan điểm của người dạy lâu năm và những

người mới đi dạy chưa có nhiều kinh nghiệm, có gì giống và khác nhau hay không?

Kết quả phân tích chương 2 cho thấy đề bài toán mà SGK đưa ra trong KNV tính giá trị biểu

thức và đơn giản biểu thức, viết biểu thức dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ đều cho

sẵn điều kiện của biến hoặc giá trị của biến luôn thuộc miền xác định của biểu thức. Tuy nhiên, trên

thực tế thì giáo viên có bị chi phối bởi ràng buộc này hay không. Phải chăng giáo viên luôn cho các

bài toán mà tính hợp thức của biểu thức luôn thỏa mãn, và trong lời giải mà giáo viên mong đợi từ

học sinh cũng không tính đến điều kiện của cơ số. Câu trả lời có thể được tìm thấy qua việc phân

tích các bài tập mà giáo viên đặt ra đối với học sinh.

Ngoài ra các lời giải mà giáo viên mong đợi từ học sinh cũng phần nào phản ánh được mối

quan hệ của cá nhân học sinh lên đối tượng lũy thừa. Đó là lý do vì sao chúng tôi đặt ra câu hỏi số 2

và 3.

Bảng câu hỏi mà chúng tôi đưa ra đặt giáo viên vào một tình huống hoàn toàn chủ động để

họ có thể bộc lộ quan điểm của mình.

Câu 4 chúng tôi đặt ra nhằm tìm hiểu xem giáo viên nhận thấy mối quan hệ giữa 3 đối tượng:

lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit là như thế nào? Chúng tôi dự đoán đa số giáo viên sẽ trả lời

là nếu không dạy bài “Mở rộng khái niệm lũy thừa” thì không thể dạy bài “Hàm số mũ, hàm số

lôgarit”.

3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm trên giáo viên

Thực nghiệm được tiến hành với 10 giáo viên dạy toán lớp 12 thuộc trường THPT Xuyên

Mộc và trường THPT Bưng Riềng (Bà Rịa-Vũng Tàu).

Sau đây là kết quả thu được từ quá trình phân tích câu trả lời của giáo viên:

Câu 1: Có 7 giáo viên trên 35 tuổi và 3 giáo viên dưới 28 tuổi.

Chỉ có 1/10 giáo viên (dưới 28 tuổi) trả lời câu hỏi 4 khác với dự đoán của chúng tôi. Theo

giáo viên này thì có thể dạy bài “Hàm số mũ và hàm số lôgarit” trước bài “Mở rộng khái niệm lũy

thừa”. Đối với câu hỏi 2 và 3 thì độ tuổi và số năm công tác của giáo viên không ảnh hưởng đến

quan niệm của họ khi giảng dạy đối tượng lũy thừa.

Câu 2:

+ Có 8/10 giáo viên (chiếm 80%) đưa ra bài toán tính giá trị biểu thức mà giá trị của biến số

luôn thuộc miền xác định của biểu thức.

+ Có 2/8 giáo viên (chiếm 20%) cho biểu thức cần tính giá trị chỉ chứa số mà không chứa

biến, và biểu thức đưa ra luôn thỏa mãn điều kiện cơ số của lũy thừa.

+ Tất cả các lời giải mà 8 giáo viên đưa ra đều tập trung vào chiến lược S14 (Rút gọn và tính).

Kết quả này hoàn toàn đúng với dự đoán của chúng tôi về sự tồn tại của quy tắc hợp đồng R1.

Câu 3:

Đối với câu 3, có 6/10 giáo viên (chiếm 60%) cho bài toán dạng đơn giản biểu thức chứa lũy

thừa. Tuy nhiên, chỉ có 4/6 giáo viên cho sẵn điều kiện của biến, còn 2 giáo viên không cho sẵn điều

kiện. Mặc dù vậy nhưng lời giải mà 2 giáo viên này đưa ra cũng không nhắc đến điều kiện của cơ

số. Điều đó cho thấy, giáo viên cũng ngầm hiểu rằng giá trị của biến đã cho luôn thuộc miền xác

định của biểu thức.

Có 4/10 giáo viên (chiếm 40%) đưa ra bài toán viết biểu thức dưới dạng lũy thừa của một số

với số mũ hữu tỷ. Trong đó, 3 giáo viên cho biểu thức chứa căn của các số dương, chỉ có 1 giáo viên

cho biểu thức chứa biến và cho sẵn điều kiện của biến. Kết quả này đã kiểm chứng được tính thỏa

đáng của qui tắc hợp đồng R1.

Câu 4:

Có 9/10 giáo viên cho rằng không thể dạy bài “hàm số mũ và hàm số logarit” trước bài “mở

rộng khái niệm lũy thừa”. Theo một số giáo viên thì “ nếu không dạy bài mở rộng khái niệm lũy

thừa thì không dạy được bài hàm số mũ và hàm số lũy thừa vì sẽ gặp những khó khăn sau đây: sự tồn tại của ax và sự xác định duy nhất của nó, không biết được tính chất so sánh hai lũy thừa cùng

cơ số nên gặp khó khăn trong việc xét tính đơn điệu của hàm số mũ…” Điều này cho thấy giáo viên

bị ảnh hưởng mạnh mẽ bởi cách biên soạn của SGK. Các giáo viên này lý giải rằng vì phải dùng

kiến thức về lũy thừa mới có thể đưa ra khái niệm hàm số mũ.

Chỉ có 1/10 giáo viên trả lời có thể được, lý do mà giáo viên này đưa ra là: ta sắp xếp lại thứ

tự chương trình toán trong SGK, ví dụ như đạo hàm lúc đầu đưa vào sau khi học lũy thừa, nhưng

SGK 2005 lại đưa vào trước khi học lũy thừa.

Điều này phản ánh đúng như dự đoán của chúng tôi, tất cả giáo viên đều cho rằng “Mở rộng khái

niệm lũy thừa” có một vai trò rất lớn trong việc xây dựng hàm số mũ và hàm số lôgarit.

THỰC NGHIỆM B

Tóm lại: Kết quả thực nghiệm trên giáo viên đã kiểm chứng tính thỏa đáng của qui tắc hợp đồng R1.

(Đối với học sinh)

3.5. Mục đích thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm B nhằm kiểm chứng tính hợp thức của giả thuyết H1 mà

chúng tôi đã trình bày ở cuối chương 2.

Ngoài ra thực nghiệm này cũng nhằm kiểm chứng xem học sinh thường mắc phải những sai

lầm nào khi sử dụng định nghĩa cũng như các quy tắc tính của lũy thừa.

3.6. Hình thức thực nghiệm

Để thấy được sự tồn tại của qui tắc hợp đồng R1 trên đối tượng học sinh, chúng tôi đưa ra các

bài toán 4,5,6,7 và đề nghị học sinh lớp 12 làm việc cá nhân trong thời gian 30 phút.

Để kiểm chứng giả thuyết H2, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên học sinh lớp 7 và học sinh

lớp 12.

Đối với lớp 7: Thời điểm thực nghiệm là sau khi học sinh lớp 7 đã học xong bài lũy thừa của một

số hữu tỉ.

Đối với lớp 12: Chúng tôi tiến hành thực nghiệm sau khi các em học xong bài lũy thừa với số mũ

thực.

Thời gian thực nghiệm cho học sinh lớp 7 là 20 phút.

Thời gian thực nghiệm cho học sinh lớp 12 là 15 phút (đối với các bài toán 1,2,3). Học sinh sẽ làm

việc cá nhân với các bài toán này.

3.7. Phân tích tiên nghiệm (a priori) các câu hỏi thực nghiệm

3.7.1. Xây dựng câu hỏi thực nghiệm

Các câu hỏi trong thực nghiệm này được xây dựng trên sự lựa chọn giá trị của một số biến didactic

và biến tình huống sau đây:

V1: Độ lớn của số

+ Đủ nhỏ để tính bằng tay.

+ Đủ lớn để ngăn cản khả năng tính toán bằng tay.

V2: Việc sử dụng máy tính bỏ túi

+ Dùng máy tính bỏ túi để tìm câu trả lời.

+ Không dùng máy tính bỏ túi.

V3: Đặc trưng của biểu thức cần tính giá trị.

+ Biểu thức đã cho chứa biến.

+ Biểu thức đã cho chỉ chứa số.

V4: Kết quả rút gọn biểu thức

+ Kết quả sau khi rút gọn không chứa lũy thừa với số mũ hữu tỷ (khi thay giá trị của biến

vào, học sinh không thể nhận ra biểu thức này không tồn tại)

+ Kết quả sau khi rút gọn chứa lũy thừa với số mũ hữu tỷ (khi thay số vào học sinh có thể

biết biểu thức không xác định và giải lại bài toán theo chiến lược “miền xác định”)

V5: Giá trị đã cho của biến

+ Là một số nguyên (tạo điều kiện cho chiến lược S13-thay giá trị và tính)

+ Là một số không nguyên (tạo điều kiện cho chiến lược S14-Rút gọn và tính)

p m ma )

p mma )

V6 : Dạng phương trình

p m ma )

p mma )

+ Phương trình có chứa biểu thức dạng : ( hoặc ( .

hoặc ( . + Phương trình không chứa biểu thức dạng : (

V7: Đặc điểm của hàm số lũy thừa.

+ Có số mũ không là số tự nhiên.

+ Có số mũ là số tự nhiên.

V8 : Dấu của số nằm dưới dấu căn

+ Là một số dương (lũy thừa với số mũ nào cũng có nghĩa)

+ Là một số âm (lũy thừa với số mũ hữu tỷ không có nghĩa)

3.7.2. Nội dung các bài toán thực nghiệm

Bài 1: Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu A, B, C, D, E:

2 7 3 .3 

a.

A) 314 ; B) 39 ; C) 99 ; D) 914 ; E) 69

b. 76: 73=

A) 13 ; B) 718 ; C) 79 ; D)73 ; E) 72

2

3

2

3

28 .

Bài 2: Tính

43 b.

3 .2 c. (23)2 d.

6 3 3

 2 1  7 

  

a. e.

4

2

6

3

6

Bài 3: Trong vở bài tập của bạn Mai Khôi có bài làm sau:

2 2 .2

2

1 3

1 3

  

  

  

  

   

    

 5 3

5

4

2



0.5

b. a.





2

5  0.5 : 0.5





4 2

4 3 2

  

  

c. d. 

1 3

1 3

4 3

a

a

A





Hãy kiểm tra lại các đáp số và sửa lại chỗ sai ( nếu có)

a a 

1

a  2 a 

 1

Với a= -2 Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:

6

4

1 4

2

x

x





2 4 

2

4

x





 

5

1  61



 a.   

  

 ; b.    

   

Bài 5: Giải các phương trình sau:



2

 1 3

y

y

x







2

3

y

x

Bài 6: Tìm tập xác định của các hàm số





4

 x

1  21







 5

a. ; b. ; c.

3

7





53.

3.

 3

Bài 7: Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ.

3.7.3. Các chiến lược có thể

S11: Chiến lược “dùng quy tắc tính và định nghĩa của lũy thừa”

+ Đối với bài 1: Dùng quy tắc tính hoặc định nghĩa của lũy thừa để tính 32.3; 76:73 và chọn

đáp án đúng với kết quả vừa tính.

+ Đối với bài 2: Kết hợp việc dùng định nghĩa và các quy tắc tính của lũy thừa để đưa ra kết

quả.

+ Đối với bài 3: Căn cứ vào các quy tắc tính đã học để phát hiện ra sai lầm trong bài làm của

bạn Mai Khôi.

S12: Chiến lược “dùng máy tính”

+ Đối với bài 1: Dùng MTBT để tính kết quả của tích 32.37 ; 76:73 và kết quả của các đáp án.

Từ đó, so sánh chúng và chọn ra đáp án đúng.

+ Đối với bài 2: Nhập các số đã cho vào máy tính và ghi kết quả thu được.

+ Đối với bài 3: Dùng MTBT để kiểm tra kết quả hai vế của đẳng thức. Từ đó đưa ra nhận

xét.

Bài 4 có thể giải theo các chiến lược S13, S14, S15 như sau:

S13: Chiến lược “ thay giá trị và tính”.

Không rút gọn biểu thức A, thay giá trị a vào biểu thức A rồi tính.

S14: Chiến lược “Rút gọn và tính”

Rút gọn biểu thức A, sau đó thay giá trị a vào biểu thức đã rút gọn để tính.

S15: Chiến lược “Miền xác định”

Dựa trên nhận xét: Nếu cơ số a<0 thì không tồn tại lũy thừa với số mũ hữu tỷ cơ số a. Kết

luận: biểu thức trên không tồn tại khi a= -2.

S16: Chiến lược “Bỏ qua điều kiện xác định của lũy thừa” có thể áp dụng đối với các bài toán:

Bài 5: Giải pt tìm x, không quan tâm đến điều kiện của pt.

Bài 6: Chỉ đặt điều kiện khi có căn bậc chẵn và mẫu của phân thức.

Bài 7: Không tính đến dấu của số nằm dưới dấu căn, vẫn chuyển biểu thức đã cho về dạng lũy

thừa của một số với số mũ hữu tỷ.

S17: Chiến lược “Tính đến điều kiện xác định lũy thừa” có thể áp dụng đối với các bài toán:

Bài 5: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Sau đó, giải phương trình để tìm nghiệm.

Bài 6: Dựa vào số mũ, đặt điều kiện cho cơ số của lũy thừa.

Bài 7: Nhận định dấu của số nằm dưới dấu căn, sau đó kết luận không thể viết biểu thức đã

cho dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ.

3.7.4. Sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng đến các chiến lược.

Bảng 3.1: Tóm tắt sự lựa chọn giá trị của biến trong các bài toán.

V1:Độ lớn của

V2:việc

V3:Đặc trưng

V4: Kết quả rút gọn

V5: giá trị

V6: Dạng phương trình

V7: Đặc điểm của

V8: Dấu của số

số.

sử dụng

của biểu thức

biểu thức

hàm số lũy thừa.

nằm dưới dấu

đã cho

MTBT

cần tính

căn.

của biến

Không

Bài 1 Đủ lớn để ngăn

cản khả năng

dùng

tính bằng tay

MTBT

Không

Bài 2 Đủ nhỏ để tính

bằng tay

dùng

MTBT

Không

Bài 3 Đủ nhỏ để tính

bằng tay

dùng

MTBT

Biểu thức đã

Không chứa LT với

Là số

Bài 4

cho chứa biến

số mũ hữu tỷ

nguyên

Có chứa biểu thức dạng

Bài 5

m

p m

a

p m ) vaø (a ) m

(

Có số mũ không là

Bài 6

số tự nhiên

Là một số âm.

Bài 7

Bài 1,2,3.

Bài 1,2,3 được xây dựng sao cho học sinh phải sử dụng 5 qui tắc phép toán đối với lũy thừa trong

n

7

2

3

6

m n a 



.m a a

quá trình làm bài:

2 3 .3 vaø 2 .2

2

m

5

4

6

3

 nm



. Đó là bài toán . Qui tắc 1 :



(0.5) : 0.5 (0.5)

7 : 7 và

a

n

a a

4

2

6

2

m

nm

3

a

Qui tắc 2 : . Đó là bài toán

a

2

vaø

n



1 3

1 3

  

  

  

  

    

   

2

n



. Qui tắc 3 :  . Đó là bài toán 

n n a b . .

a b ( . )

28 .

 2 1  7 

  

m

 5 3

m

3

5

2

. Qui tắc 4 : . Đó là bài toán





2

3

m

a b

4 2

6 3

a b

4 3 2

   

  

  

  

. Đó là bài toán và Qui tắc 5 :

Ngoài ra tôi còn đề nghị bài toán chỉ sử dụng định nghĩa lũy thừa của một số. Đó là các bài :

4 3 ;

2 3 3 .2 .

Tính

Số được lựa chọn thế nào để có thể làm toán mà không cần đến máy tính, do đó trong thời

gian làm bài HS đã không được sử dụng máy tính.

Các bài toán này chúng tôi thực hiện trên hai lớp 7 và 12 nhằm mục đích kiểm tra xem khi

học và làm việc trên các tính chất của lũy thừa, học sinh thường mắc phải những sai lầm nào?

những sai lầm mà học sinh lớp 7 (mới bắt đầu học lũy thừa) mắc phải có còn lập lại trên học sinh

lớp 12 hay không.

Bài 4

Kiểu nhiệm vụ “ tính giá trị biểu thức” khá phổ biến trong SGK. Học sinh được đặt trong

phạm vi của hợp đồng didactic của khái niệm lũy thừa: Khi giải các bài toán liên quan đến lũy thừa,

học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện của công thức dùng trong định nghĩa của khái

niệm lũy thừa (nếu bài toán không có yêu cầu trực tiếp. Chúng tôi lựa chọn giá trị a=-2 không thuộc

tập xác định của biểu thức. Sự ngắt quãng hợp đồng didactic cho phép nhận xét ảnh hưởng của nó

trên ứng xử của học sinh.

Chúng tôi lựa chọn giá trị của biến nhắm đến việc tạo cơ hội cho học sinh sử dụng chiến lược S13,

S14, cụ thể như sau:

+ Giá trị của a cho dưới dạng số nguyên, nên tạo điều kiện cho học sinh suy nghĩ theo hướng

thay số vào rồi tính giá trị biểu thức.

+ Biểu thức A có thể rút gọn đơn giản nên sẽ tạo điều kiện cho học sinh thực hiện rút gọn rồi

mới thay giá trị của a. Ở đây, lũy thừa với số mũ hữu tỷ luôn chuyển về theo căn bậc lẻ .

a 

1

2a

+ Kết quả sau khi rút gọn A= : không còn lũy thừa của a với số mũ hữu tỷ nên học sinh

khó phát hiện ra giá trị a=-2 không thuộc miền xác định của biểu thức. Vì vậy, chiến lược S15 không

có cơ hội xuất hiện.

+ Nếu cho biểu thức cần tính chỉ chứa số thì học sinh có thể nhận ra biểu thức đó không tồn

tại với cơ số của lũy thừa âm bằng cách dùng định nghĩa lũy thừa hoặc bấm máy tính. Do đó, chúng

tôi lựa chọn biểu thức cần tính chứa biến tạo cơ hội cho chiến lược S14 xảy ra, hạn chế khả năng xảy

ra của chiến lược S15.

Bài 5

Dạng bài tập đưa ra là “giải phương trình”. Đây là một dạng toán vừa quen mà vừa lạ đối với

học sinh. Nó quen vì bài toán “giải phương trình” hoc sinh đã được biết qua hầu hết các cấp học. Nó

lạ vì kiểu bài toán này học sinh ít gặp khi làm việc với đối tượng lũy thừa. Để giải đúng các phương

trình này, đòi hỏi học sinh phải biết đặt điều kiện cho cơ số của lũy thừa căn cứ vào số mũ của nó.

Đề bài đưa ra không đặt nặng về các thao tác giải phương trình, mà chỉ yêu cầu học sinh nhận định

p m ma )

p mma )

được điều kiện xác định của lũy thừa.

và ( , nhằm tìm hiểu Chúng tôi lựa chọn phương trình có chứa biểu thức dạng: (

ứng xử của học sinh khi áp dạng tính chất: lũy thừa của lũy thừa có tính đến điều kiện xác định của

lũy thừa hay không. Ở câu a, dấu của cơ số phụ thuộc vào biến x, nhưng câu b chúng tôi cho lũy

thừa mà cơ số luôn âm với mục đích tạo cơ hội cho các em nhớ lại điều kiện của cơ số trong định

nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ.

Bài 6

Bài này chúng tôi muốn tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh về khái niệm lũy thừa khi có

sự mở rộng về số mũ. Như phân tích ở chương 2, hệ thống bài tập mà SGK đưa ra hầu như cho sẵn

điều kiện cơ số hoặc là không đề cập đến điều kiện của cơ số trong đề bài cũng như trong lời giải

mong đợi. Do đó, sự thay đổi điều kiện cơ số khi có sự mở rộng về số mũ không được học sinh tính

đến. Bài này sẽ cho phép chúng tôi tìm hiểu vấn đề vừa nêu.

Liệu rằng với cách đưa ra yêu cầu một cách trực tiếp như đề bài 6 thì học sinh có tìm được

điều kiện xác định của lũy thừa hay không? Câu trả lời của học sinh sẽ cho chúng ta biết điều đó.

Biểu thức trong hàm số mà chúng tôi đưa ra đều chứa lũy thừa với số mũ không phải là số tự

nhiên nhằm tìm hiểu khả năng nhận biết của học sinh về sự thay đổi điều kiện của cơ số khi số mũ

của nó thay đổi trên các tập hợp số.

Bài 7

Kiểu nhiệm vụ “Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ” chiếm một

vị trí khá lớn trong phần bài tập của SGK. Chúng tôi lựa chọn căn bậc lẻ để biểu thức đưa ra luôn

tồn tại. Khi đưa ra bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này, SGK luôn cho sẵn điều kiện của biến nằm dưới

dấu căn là dương hoặc luôn cho số dương. Vì vậy, chúng tôi lựa chọn số nằm dưới dấu căn là số âm

(-3). Sự ngắt quãng hợp đồng didactic cho phép nhận xét ảnh hưởng của nó trên ứng xử của học

sinh.

3.7.5. Phân tích chi tiết các bài toán

Bài 1:

Câu trả lời có thể nhận được theo các chiến lược sau:

S11: Chiến lược “dùng quy tắc tính hoặc định nghĩa của lũy thừa”





2 7 3 .3

3.3 . 3.3.3.3.3.3.3

9 3



a

)

Bài 1:

 2 7



 3

  9  3

2 7 3 .3

   





. Vậy B đúng.





2 7 3 .3 2 7 3 .3

3.2.3.7 126 14 2.7 9

(3.3)

   

2.7





2 7 3 .3

3

14 3

. Mà 914=9.14=126 nên D đúng.

3

3







6 7 : 7

7.7.7 7

b

)

. Vậy A đúng.

3

 6 3



6 7 : 7

7.7.7.7.7.7 7.7.7 3  7

7

    

 6 3

. Vậy D đúng.





6 3 7 : 7

3 1

7 7

  

  

3

9

. Vậy A đúng.



6 7 : 7

 3 6 7

7

. Vậy C đúng.





6 3 7 : 7

3.6 7

18 7

6:3

. Vậy B đúng.





6 3 7 : 7

7

2 7

. Vậy E đúng.

3





3.2.2.3 36

5









4 * 3

3.3.3.3 81

32

3



3.3.2.2.2 72







 3.4 12

2 2 8

64

3

 6







6

 6.6 36









4 3 4 3

4.4.4 64

3 2 * (2 ) 3 2 (2 ) 3 2 (2 )

2.3.2 12

3

5





2 * 3 .2 2 3 .2 2 3 .2 2 3 .2

6 (3.2) 5 (3.2)

6

Bài 2:

2

2

3

2







2 * 28 .

28.

4

16





*

3 2

8

1 7

1 7

  

  

  

  

2





2



2 28 .

28.2.

 .2 16

6.3 3.3

1 7

1 7

  

0

6 3 3 3 6 3 3 3

   2

 2 2

2.2





1

4









2 28 .

28.

28.

4

256

6 3

6 3 3

  

  

1 7

1 7

1 7

  

  

  

  

  

  

3

5

2 2 .2

2

Bài 3:

3

6

. Từ đó, kết luận a sai a.

2 2 .2

2

4

2

8

.Từ đó, kết luận a đúng.

1 3

1 3

  

  

  

  

   

    

4

2

6

.Từ đó, kết luận b sai b.

1 3

1 3

  

  

  

  

   

    

2

5

2

c

.Từ đó, kết luận b đúng.





2

)

3

4 2

4 2

  

  

5

7





2

. Từ đó, kết luận c đúng.

5





10 2 3 2 4.5 2.3

10 3

    

4 3 2 4 3 2

4

d



0.5

. Từ đó, kết luận c sai.

5  ) 0.5 : 0.5







5



0.5

. Từ đó kết luận d đúng.

5  0.5 : 0.5





.Từ đó kết luận d sai. 

3

S12: Chiến lược “dùng máy tính”

2 7 3 .3 và

6 7 : 7 . Sau đó, dùng MTBT kiểm tra các đáp án cho

Bài 1: Nhập vào MTBT tích:

bên dưới. Từ đó, chọn đáp án giống kết quả.

Bài 2: Nhập lũy thừa cần tính vào MTBT và ghi lại kết quả thu được.

Bài 3: Dùng MTBT tính lũy thừa ở vế trái của đẳng thức và so sánh kết quả với vế phải để

đưa ra nhận xét.

Bài 4

Câu trả lời có thể nhận được theo các chiến lược như sau

S13: chiến lược “ thay giá trị và tính”

Với a= -2 ta có:

1 3

4 3

1 3

1 3

4 3

1 3





 ( 2)

2

 ( 2)

2

A









  ( 2) 3

 ( 2)   2 1

 ( 2)  1

1 3

4 3

1 3

  ( 2) 2   ( 2) 1 1 3

4 3

 









( 2)

2

 ( 2).( 2)

( 2)

2

 3.( 2)







  3

  ( 2)  3

4 3

4 3



2

 ( 2)





  ( 2)  3

 2 3

1 3

4 3

1 3

1 3

4 3

a

a

a

a





1 a a ( 3

A







1

  1) 2 a

a 

1

a a  4 3

1 3

a  2 a  1 3

 1 4 3

a

a

a

a









2

 2 a

a

a 

a 

 1

1

S14: Chiến lược “ Rút gọn và tính”



A

 2 3

Với a=-2 thì

S15: Chiến lược “Miền xác định”

Với cơ số a<0 thì không tồn tại lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Vậy biểu thức trên không tồn tại khi

a= -2.

Bài 5:

Câu trả lời có thể nhận được theo các chiến lược sau:

4

1 4

2

x

x







a .

4

2

4





   x

   x



4 2

4

2    2

x

x  

 

2

8 0

2

 

   x x  4

S16: Chiến lược “Bỏ qua điều kiện xác định của lũy thừa”

6

2

1 6

x

 





5

b .

 1



2

     

       1 5

x 2

x   4 x    2

Vậy phương trình có hai nghiệm x=-2 và x=4.

Vậy phương trình có hai nghiệm x=2.

S17: Chiến lược “Tính đến điều kiện xác định của lũy thừa”

4

1 4

x

x





2 4 

2

4

S17a: “Sử dụng phép biến đổi tương đương”



 a.   

  

x

x



(1)

2 4     0

2 vaø x

-2

x

x

 

4 0

2

2

2

x

x

2   





(1)

4

2

  4

x

x



 

2

8 0

4

4 0

  x  x  

2

x

x





2

0

      

0

   2     x   x     x

Điều kiện:

6

2

x





 

5

1  61

 b.    

   

2

x

Vậy phương trình có nghiệm x=4 và x=0

x



  nên  2 1 0

1  61

Ta có không tồn tại.Vậy phương trình vô nghiệm.

4

1 4

2

x

x







a .

4

2

4





  

  

x

x

2   



4

2

4

2

x

x

 



2

8 0

2

x

x





2

0

2

0

       x  x   4   x

S17b: Chiến lược “phương trình hệ quả”

6

2

1 6

x

 





5

b .

 1



2

     

       1 5

x 2 x   4 x    2

Thử lại: ta được x=4 và x=0 là nghiệm của phương trình.

6

Thử lại:



  5

1  65



  

  

6

(sai) Với x=2:



  5

1  65



  

  

Với x=-2: (sai). Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 6:

Câu trả lời có thể nhận được theo các chiến lược sau:

S16: Chiến lược “Bỏ qua điều kiện xác định của lũy thừa”

y

x

x







 1

a. TXĐ: D R .



1  21

x

x

b. Ta có:

     1

1 0

y

x

x







 xác định khi

1

1  21



)

Hàm số

D    . [ 1;

1

 1 3

y

x

Vậy TXĐ:







2

3





3

x



2

3

1

 1 3

y

x

c. Ta có:

x

x







2

3

   

2

3 0





3

 3 2

x



2

3

xác định khi Hàm số

D R 

\

  

 3  2 

Vậy TXĐ: .



2

2

x



4

0

y

x

S17: Chiến lược “Tính đến điều kiện xác định của lũy thừa”.

    x 2





4



 5

D R

xác định khi a. Hàm số

   . \ 2; 2

y



Vậy TXĐ:

 x

1  21

xác định khi x+1>0x>-1 b. Hàm số

 D    1;



 1 3

Vậy TXĐ:

y

x

x

x





   

2

3

2

3 0





 3 2

c. Hàm số xác định khi

D



(

;

 . )

 3 2

Vậy TXĐ:

Bài 7:

Câu trả lời có thể nhận được theo các chiến lược sau:

3

7

5

1 15

1 105

43 105





  



 

3.

3.

3

1 ( 3) .( 3) 3

 .( 3)

( 3)

S16: Chiến lược “Bỏ qua điều kiện xác định của lũy thừa”

S17: Chiến lược “Tính đến điều kiện xác định của lũy thừa”.

Vì -3<0 nên không tồn tại lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số -3. Do đó, không thể viết biểu

thức đã cho dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ.

3.8. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 129 học sinh lớp 12 của trường THPT Xuyên Mộc (Bà Rịa-

Vũng Tàu) và 58 học sinh lớp 7 của trường THCS Bầu Lâm, Xã Bầu Lâm, huyện Xuyên Mộc.

Bài 1:

Bảng 3.2: Thống kê các lời giải bài 1 học sinh lớp 7

A B C D E Tổng cộng

11 8 5 2 58 Câu 1a 32

18.96% 13.79% 8.62% 3.45% 100% 55.17%

4 8 10 01 58 Câu 1b 35

6.9% 13.79% 17.24% 1.73% 100% 60.34%

Mặc dù, hai quy tắc tính tích và thương hai lũy thừa cùng cơ số đã được học ở lớp 6 lẫn lớp 7 nhưng

từ kết quả thống kê ta thấy số học sinh mắc sai lầm do sử dụng các quy tắc hành động R2, R3, R4,

R6, R7 là tương đối nhiều (>40%). Điều này hoàn toàn đúng với dự đoán ban đầu của chúng tôi.

Bài 2:

m n 

m n .

m

Bảng 3.3: Thống kê các lời giải bài 2 học sinh lớp 7

Trả lời khác



m n a b .

m n a b  ( . )



m n a b .

a b ( . )

na

a

n





m a

m n a 

n

Yêu cầu tính Kết quả



n

a b

a b

   

  

Không trả lời

đúng

Tần số

43

81 3.4=12 4.4.4=64

3

5

55.17% 29.31% 15.51%

2 3 .2

5

2 3 3 .2

72 (3.2).(2.3)=36 (3.2)5=65 (3.2)2.3=66

39.65% 25.86% 12.06% 13.79%

2 3 (2 )

8.62% (23)2 =26=12 25=32 64 (2.2)3=4.3=12

2

2

2

2

2

25.86% 5.17% 8.62% 58.62%



28 .

2 28 .





2 28 .

2 28 .

28 .

1 7

1 7

1 7

16

 2 1  7 

  

  

  

 2 1  7 

  

   4

   4

4

4





28.2.

8

2 28.





28.

4

28.

4

   2 14

   2 14

1 7

1 7

  

  

  

  

36.20% (21)

3

3

3

3

0

31.03% 12.06% 8.62% 12.06%

0



2

 2







2

1



 2

6 3 3

6 3

6 3 3

  

 3 3   

6.3 3.3

6 3 3

6 3 3

8

32.76% 3.45% 46.55% 17.24%

Thông qua bài toán 2, ta tìm thấy được rất nhiều sai lầm từ bài làm của học sinh.

Bài 3:

Trong số 58 học sinh tham gia làm bài thực nghiệm:

+ Có 10/58 (chiếm 17.24%) học sinh không nhận ra câu a sai.

+ Có 24/58 (chiếm 41.38%) học sinh không nhận ra câu b sai.

+ Có 53/58 (chiếm 91.38%) hoc sinh không nhận ra câu c sai.

+ Có 47/58 (chiếm 81.03%) học sinh nhận biết được d là một đáp án đúng.

Nhận xét:

Từ kết quả thống kê ba bài toán 1, 2, 3, ta thấy đa số học sinh gặp sai lầm do vận hành các

quy tắc tính lũy thừa vượt quá phạm vi hợp thức của nó hoặc có sự “pha trộn” giữa các công thức

trong quá trình tính toán.

Kết quả thực nghiệm cho thấy học sinh lớp 7 gặp rất nhiều khó khăn khi làm việc trên đối tượng lũy

thừa.

Qua bài làm của học sinh, ta thấy có đến 3 học sinh cho rằng (0.5)5: (0.5)=(0.5)5 vì

0.5=(0.5)0.

Tuy nhiên, khi lấy bài tập này thực nghiệm trên học sinh lớp 12 thì những sai lầm mà học

sinh lớp 7 gặp phải ít xuất hiện ở học sinh lớp 12. Theo tôi, vì học sinh mười hai đã có một lượng

kiến thức toán học tương đối nhiều, nên những bài toán này tỏ ra đơn giản so với trình độ học sinh

12.

Số liệu thu nhận được đã kiểm chứng tính hợp thức của giả thuyết H2.

Bài 4:

Bảng 3.4: Bảng thống kê các lời giải bài 4 của học sinh.

Chiến lược Bỏ Tổng

trống số S13(Thay giá trị và tính) S14(Rút gọn và tính) S15(Miền xác định)

70 15 30 14 129

Qua kết quả thực nghiệm, chúng tôi nhận thấy, đa số học sinh sử dụng chiến lược S14 (Có

70/129 chiếm 54,29%). Mặc dù giá trị của biến a được cho là một số nguyên nhưng số học sinh

chọn lựa chiến lược S13 vẫn không cao (có 30/129 chiếm 23,25%). Trong khi đó, chỉ có 15/129

(chiếm 11,6%) nhận ra biểu thức A không tồn tại khi a=-2. Có 3/15 em sau khi thay giá trị a vào đã

nhận ra sai, có thể học sinh đã dùng MTBT để phát hiện ra điều này.

Có 14/129 (chiếm 10,85%) học sinh không biết cách giải bài toán này.

Từ thống kê, chúng tôi thấy rằng, khi giải quyết kiểu nhiệm vụ tính giá trị của biểu thức, học sinh

hầu như ít quan tam đến điều kiện xác định của biểu thức đó, mà chỉ biết tìm một cách tối ưu để giải

mà thôi. Điều này phù hợp với nhận định ban đầu của chúng tôi, lý do là SGK và giáo viên luôn cho

học sinh giải quyết các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ này mà giá trị của biến đã thỏa mãn điều kiện

xác định của biểu thức.

Kết quả thực nghiệm đã kiểm chứng được tính thỏa đáng của qui tắc hợp đồng H1 đối với

kiểu nhiệm vụ T2.

Bài 5:

Bảng 3.5: Thống kê các lời giải bài 5 của học sinh.

Chiến lược Bỏ Tổng Câu

trống số S17 S16

Bỏ qua ĐKXĐ của lũy thừa Tính đến ĐKXĐ lũy thừa

a 9 25 129 95

b 9 25 129 95

Từ kết quả thống kê ta thấy:

+ Có 95/129 học sinh (chiếm 73,64%) không tìm điều kiện xác định của phương trình. Tất cả các

4

1 4

2

2

2

2

x

x

x

x

x





x    

  

4

2

4 2

4

4

2

   8 0





  

  

   x  x  4

m

p

p m

p m

a

a





m )

a (

)

học sinh này đều có chung lời giải là:

với mọi giá trị của a.

Tức là học sinh đều suy nghĩ là : (

a

neáu m leû

m

m

m

1 m

a

a



(

)

+ Chỉ có 9/129 học sinh (chiếm 6,97%) có tìm điều kiện của cơ số trong lũy thừa. Tuy nhiên 9 học sinh này chỉ giải đúng câu b, còn câu a các em đều không bỏ giá trị tuyệt đối cho biểu thức x2-4.

a

neáu m chaún

   

. Tức là học sinh không vận dụng được một tính chất của căn thức là

+ Có 25 học sinh không đưa ra được lời giải cho bài toán này. Có thể do dạng toán này các em ít khi

gặp.

Bài 6:

Bảng 3.6: Thống kê các lời giải bài 6 của học sinh.

Câu Chiến lược Bỏ Tổng

trống số S16: Bỏ qua ĐKXĐ của lũy S17: Tính đến ĐKXĐ của lũy

thừa thừa

a 0 129 0 129

b 29 100 0 129

c 25 104 0 129

Theo kết quả thống kê:



5

1

2

y

x

+ Có 129/129 (chiếm 100%) học sinh giải quyết câu a có tính đến điều kiện xác định của lũy







4

5





2

x



4





2

thừa. Tuy nhiên, có đến 20 học sinh chuyển hàm số đã cho về dạng rồi

x

 . Điều này cho thấy, vẫn có một số rất ít học sinh không nhận ra điều

4

0

mới đặt điều kiện

kiện cơ số của lũy thừa với số mũ nguyên âm là khác 0.

y

x

x







1

 . Sau đó, đặt điều kiện cho biểu thức trong căn là

x   . 29 học sinh này

1 0



1  21

+ Có 29/129 (chiếm 22,48%) học sinh biến đổi hàm số đã cho ở câu b về dạng

đều thuộc các lớp nâng cao trong trường. Có thể do SGK nâng cao không đưa ra dạng bài toán

này, trong khi đó SGK cơ bản lại có, nên học sinh khối cơ bản làm bài tập dạng này có phần

chiếm ưu thế hơn.

1

 1 3

y

x

+ Có 25/129 (chiếm 19,37%) học sinh biến đổi hàm số đã cho ở câu c về dạng

x   . 3 0







2

3





3

x



2

3

, rồi mới đặt điều kiện cho 2

Đa số học sinh giải được bài tập 6, điều này cho thấy, khi đặt học sinh trước nhiệm vụ là phải

tìm điều kiện xác định của lũy thừa thì học sinh sẽ biết được sự thay đổi điều kiện cơ số của lũy

thừa khi số mũ thay đổi. Nhưng nếu ta không yêu cầu trực tiếp thì hầu như các em không mấy

quan tâm, đó là trách nhiệm của giáo viên.

Kết quả này một lần nữa khẳng định tính thích đáng của giả thuyết H1.

Bài 7:

Bảng 3.7: Thống kê các lời giải bài 7 của học sinh.

Chiến lược Tổng số Bỏ

trống S16: Bỏ qua ĐKXĐ của lũy S17: Tính đến ĐKXĐ lũy

thừa thừa

105 6 18 129

Kết quả thống kê bài toán này phản ánh rất rõ giả thuyết H1 của chúng tôi. Có đến 105/129

(chiếm 81,39%) học sinh chuyển biểu thức đã cho về dạng lũy thừa của -3 với số mũ hữu tỷ. Hầu

như học sinh không hề quan tâm đến điều kiện xác định của lũy thừa với số mũ hữu tỷ.

3

7

105





53.

3.

  3

3

Chỉ có 6 (chiếm 4,65%) học sinh không đưa về lũy thừa với số mũ hữu tỷ, mà vẫn để biểu thức

 , tuy nhiên không giải thích gì thêm.

đã cho dưới dạng căn:

 Kết luận chương 3

Có 18/129 (chiếm 13,95%) học sinh không biết cách giải quyết kiểu nhiệm vụ này.

Thực nghiệm được tiến hành trên hai đối tượng giáo viên và học sinh THPT đã cho phép chúng

tôi kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết H1.

Kết quả của sự phân tích phiếu trả lời học sinh từ các bài toán 1, 2, 3 đã cho phép hợp thức giả

thuyết H2.

KẾT LUẬN

Quá trình phân tích con đường mở rộng lũy thừa ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức cần

giảng dạy đã cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi đặt ra ở đầu luận văn. Kết quả thực nghiệm ở

chương 3 khẳng định tính thích đáng của các giả thuyết được đặt ra.

 Các kết quả chính của việc nghiên cứu được tóm tắt như sau:

1. Ở cấp độ tri thức khoa học: có hai tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa.

Tiến trình 1: Hàm mũ e Lũy thừa cơ số e Hàm mũ a Lũy thừa cơ số a.

xLoga

Tiến trình 2: Hàm mũ e Lũy thừa cơ số e Lũy thừa cơ số a Hàm mũ a.

xa

xLoga

x a 

e



exp(

)

và trong giáo trình B: . Trong giáo trình A thì

Khái niệm lũy thừa luôn được xây dựng trên cơ số e trước khi có lũy thừa cơ số a>0. Dù theo

tiến trình nào thì để mở rộng khái niệm lũy thừa người ta đều dùng đến kiến thức của hàm mũ.

Trong giáo trình đại học, lũy thừa không có vai trò gì trong việc xây dựng định nghĩa hàm

mũ, hàm lôgarit và lôgarit.

Căn bậc n là hàm số ngược của hàm lũy thừa, nó được đưa ra sau khi đã có khái niệm lũy

thừa. Vì vậy, nó không có vai trò gì trong việc xây dựng khái niệm lũy thừa.

2. Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, qua hai lần cải cách vẫn chỉ có một con đường mở rộng

khái niệm lũy thừa là: Lũy thừa với số mũ tự nhiên Lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa

với số mũ hữu tỷ Lũy thừa với số mũ thực.

Kiến thức dùng để mở rộng là giới hạn và căn bậc n. Tiến trình mở rộng lũy thừa ở phổ thông có

phần giống với giáo trình B nhưng cơ sở dùng để mở rộng là hoàn toàn khác nhau.

Trong SGK lớp 12 thì lũy thừa cơ số e chỉ là một trường hợp đặc biệt của lũy thừa cơ số a, nó

không có vai trò gì trong việc xây dựng khái niệm lũy thừa cơ số a.

Hàm mũ không có vai trò gì trong việc mở rộng khái niệm lũy thừa ở bậc THPT ngược lại

lũy thừa là cơ sở trực tiếp để định nghĩa hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Có sự khác biệt lớn giữa giáo trình đại học và SGK phổ thông là vì ở bậc đại học thì mở rộng

khái niệm lũy thừa được đưa vào sau khi đã học đạo hàm và nguyên hàm, còn ở bậc THPT mở rộng

khái niệm lũy thừa được đưa vào trước khi có nguyên hàm.

Mặc dù ở bậc THPT lũy thừa với số mũ thực có lúc được đưa vào trước khi học đạo hàm

hoặc sau khi học đạo hàm, tuy nhiên tiến trình mở rộng lũy thừa hoàn toàn không thay đổi, tổ chức

toán học thì có một vài thay đổi nhỏ.

Việc thay đổi chương trình, dạy học đạo hàm trước khi dạy lũy thừa trong SGK năm 2005 ít

nhiều ảnh hưởng đến vai trò của lũy thừa. Khi đã học đạo hàm thì người ta dùng nó để tìm ra các

tính chất của hàm mũ và hàm lũy thừa, chứ không dùng tính chất của lũy thừa như SGK CLHN năm

2000. Mặc dù vậy, khái niệm đạo hàm chỉ tác động trong việc khảo sát hàm mũ và hàm logarit, còn

định nghĩa hàm mũ vẫn phải dùng đến kiến thức lũy thừa.

Quá trình phân tích SGK cho phép chúng tôi rút ra hai giả thuyết H1 và H2.

3. Kết quả thực nghiệm của chương 3 đã kiểm chứng tính hợp thức của hai giả thuyết đã nêu

ra.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Những yếu tố cơ bản của didactic toán, Đại học Quốc gia thành

phố Hồ Chí Minh.

2. Cục nhà giáo và cán bộ quản lí Giáo dục (2008). Hướng dẫn thực hiện chương trình và sách

giáo khoa lớp 12 THPT, Giáo dục.

3. Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11, Giáo

dục.

4. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Toán 6, tập 1, Giáo dục.

5. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Toán 7, tập 1, Giáo dục.

6. Phan Đức Chính, Tôn Thân, SGV Toán 6, tập 1, Giáo dục.

7. Phan Đức Chính, Tôn Thân, SGV Toán 7, tập 1, Giáo dục.

8. Nguyễn Huy Đoan (2008), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Ban KHTN, Giáo dục.

9. Guy Lefort (1975), Toán cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thông dụng, Viện đại học

sài gòn.

10. Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2000), Đại số và giải tích 11, Giáo dục.

11. Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2000), Bài tập đại số và giải tích 11, Giáo dục.

12. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Giải Tích 12, Giáo dục.

13. Phạm Trần Hoàng Hùng, Khái niệm hàm số lôgarit ở trường trung học phổ thông, 2008.

14. Nguyễn Hữu Lợi, Khái niệm hàm số ở trường trung học phổ thông, 2008.

15. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, Giáo dục.

16. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), SGV Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, Giáo dục.

17. Vũ Tuấn, Bài tập giải tích 12, Giáo dục

Tiếng Pháp

18. André Delachet (1960), Les Logarithmes et leurs applications, Presses Universitaire de France.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Bảng câu hỏi thực nghiệm đối với giáo viên

Phụ lục 2: Các bài toán thực nghiệm đối với học sinh

Phụ lục 3: Một số trả lời của giáo viên

Phụ lục 4: Một số bài làm của học sinh

Phiếu số 1

(Thực nghiệm cho HS lớp 7)

Họ và tên:………………………………………..Lớp:……….

2 7 3 .3 

Bài 1: Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu A, B, C, D, E:

a.

A) 314 ; B) 39 ; C) 99 ; D) 914 ; E) 69

b. 76: 73=

A) 13 ; B) 718 ; C) 79 ; D)73 ; E) 72

2

3

Bài 2: Tính

43 b.

2 3

2 c. (23)2 d.

2 28

1 7

6 3 2 3

  

  

e. a.

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.....................................................................................................Bài 3: Trong vở bài tập của bạn Mai

4

2

6

3

6

2 2 .2

2

Khôi có bài làm sau:

1 3

1 3

  

  

  

  

   

    

 5 3

5

4

2

a. b.







0.5

2

5  0.5 : 0.5





4 2

4 3 2

  

  

c. d. 

Hãy kiểm tra lại các đáp số và sửa lại chỗ sai ( nếu có)

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................

....................................................................................................

................................................................................................................................................

Phiếu số 2

(Thực nghiệm cho HS lớp 12)

………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………..

Họ và tên:………………………………………Lớp: ………………

Bài 1: Hãy chọn câu trả lời đúng trong các câu A, B, C, D, E:

2 7 3 .3 

a.

A) 314 ; B) 39 ; C) 99 ; D) 914 ; E) 69

b. 76: 73=

A) 13 ; B) 718 ; C) 79 ; D)73 ; E) 72

2

2

3

Bài 2: Tính

43 b.

3 .2 c. (23)2 d.

28 .

6 3 2 3

 2 1  7 

  

a. e.

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

4

2

6

3

6

2 2 .2

2

Bài 3: Trong vở bài tập của bạn Mai Khôi có bài làm sau:

1 3

1 3

  

  

  

  

   

    

 5 3

5

4

2







0.5

2

b. a.

5  0.5 : 0.5





4 2

4 3 2

  

  

c. d. 

Hãy kiểm tra lại các đáp số và sửa lại chỗ sai ( nếu có)

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

1 3

1 3

4 3

a

a

A





Họ và tên:……………………………………….Lớp:………

a a 

1

a  2 a 

 1

Với a= -2 Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

4

1 4

x

x





2 4 

2

4

Bài 5: Giải các phương trình sau:



 a.   

  

.

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

6

2

x





 

5

1  61

 b.    

   

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

Họ và tên:……………………………………….Lớp:………



2

y

x





4

Bài 6: Tìm tập xác định của các hàm số sau:



 5

a.

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

y



 x

1  21

b.

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

 1 3

..................................................................................................................................

y

x





2

3





c.

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

y

x

x





2 3 

2



 5

d.

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

7

3 A  



53.

3.

 3

Bài 7: Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ.

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

..................................................................................................................................

…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………

Phiếu số 3 ( Thực nghiệm đối với giáo viên)

Kính gửi quí Thầy Cô

Tôi đang thực hiện một nghiên cứu về dạy học khái niệm lũy thừa. Kính mong quí Thầy Cô giúp đỡ tôi hoàn thành đề

tài bằng cách trả lời một số câu hỏi dưới đây.

……………………………………………………………………...

1. Tuổi của Thầy Cô: ........................................................................................

Thâm niên công tác giảng dạy ở trường THPT của Thầy Cô: .......................

2. Thầy Cô hãy cho một bài toán “tính giá trị biểu thức chứa lũy thừa với số mũ hữu tỷ hoặc vô tỷ”

và trình bày lời giải mà Thầy Cô mong đợi từ học sinh.

Bài toán:

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

Lời giải mong đợi

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

3. Thầy Cô hãy cho một bài toán “ viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ” hoặc “đơn

giản biểu thức- có chứa lũy thừa” và trình bày lời giải mà Thầy Cô mong đợi từ học sinh.

Bài toán:

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

Lời giải mong đợi

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

4. Theo quý Thầy Cô, nếu không dạy bài “Mở rộng khái niệm lũy thừa” thì có dạy được bài “ hàm

số mũ và hàm số lôgarit” hay không? Vì sao?

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

......................................................................................................................................

Cám ơn quý Thầy Cô.