ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Thị Hương
RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - Năm 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Thị Hương
RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số:
8460101.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ HUY TIỄN
Hà Nội - Năm 2020
LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Lê Huy Tiễn, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới khoa Toán - Cơ - Tin Học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội. Cảm ơn các thầy cô giáo đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn cao học.
Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân
đã luôn động viên, cổ vũ em trong quá trình học tập.
Hà Nội, ngày 23 tháng 02 năm 2020 Học viên
Nguyễn Thị Hương
i
Mục lục
Lời cảm ơn i
Lời nói đầu 1
Bảng thuật ngữ và ký hiệu 3
Danh sách hình 4
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1 Hình dung ban đầu về rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ví dụ rẽ nhánh trong phương trình đại số . . . . . . . . 1.1.2 Ví dụ rẽ nhánh trong phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kiến thức chuẩn bị 1.3 Vài ví dụ rẽ nhánh của phương trình sai phân một chiều . . . 5 5 6 7 8 12
2 SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI
PHÂN MỘT CHIỀU 2.1 Thác triển địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Rẽ nhánh nút-yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Rẽ nhánh dĩa và rẽ nhánh xuyên tới hạn . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh nút yên-ngựa . . . . . . . 2.5.2 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh xuyên tới hạn . . . . . . 2.5.3 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh dĩa . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 23 25 26 27 27 28 29 30
ii
3 RẼ NHÁNH TRONG HỆ PHẲNG
3.1 Rẽ nhánh ánh xạ co diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Rẽ nhánh ánh xạ bảo toàn diện tích . . . . . . . . . . . . . . . 32 32 36
Kết luận 41
Tài liệu tham khảo 42
iii
LỜI NÓI ĐẦU
• Rẽ nhánh địa phương xảy ra khi thay đổi tham số làm cho bức tranh pha
Trong hệ động lực, rẽ nhánh là khái niệm ngược với ổn định. Khái niệm rẽ nhánh lần đầu tiên được giới thiệu bởi Henri Poincaré vào năm 1885, sau đó được các nhà toán học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], . . . . Lý thuyết rẽ nhánh là nghiên cứu toán học về những thay đổi trong bức tranh pha của nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân. Rẽ nhánh xảy ra khi thay đổi nhỏ giá trị tham số của một hệ động lực gây ra sự thay đổi đột ngột trong bức tranh pha. Rẽ nhánh được chia ra làm hai loại.
• Rẽ nhánh toàn cục xảy ra khi thay đổi tham số làm cho bức tranh pha
xung quanh điểm cân bằng hoặc điểm tuần hoàn thay đổi.
toàn cục thay đổi.
Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu một số rẽ nhánh địa phương sau.
1. Rẽ nhánh nút-yên ngựa (saddle-node).
2. Rẽ nhánh xuyên tới hạn (transcritical).
3. Rẽ nhánh dĩa (pitchfork).
4. Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ (period doubling).
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài
liệu tham khảo.
Chương 1. Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình sai phân một
chiều
Trong chương này tác giả sẽ trình bày lại những kiến thức liên quan đến sự rẽ nhánh của phương trình sai phân cụ thể là các định nghĩa điểm bất động,
1
điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm không ổn định (đẩy). Sau đó, các ví dụ rẽ nhánh nói trên được tính toán chi tiết và minh họa hình học.
Chương 2. Sự tồn tại rẽ nhánh của phương trình sai phân một
chiều
Mục đích của chương này là trình bày các định lý tồn tại các rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ.
Chương 3. Rẽ nhánh trong hệ phẳng Trong chương này tác giả đưa ra một số ví dụ về rẽ nhánh trong các hệ
hai chiều, nhấn mạnh vào tính co diện tích và tính bảo toàn diện tích.
Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ cuốn sách [2]. Luận văn chỉ xét
rẽ nhánh của hệ rời rạc, tức là các phương trình sai phân.
Hà Nội, ngày 23 tháng 02 năm 2020 Học viên
Nguyễn Thị Hương
2
BẢNG THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU
[1]
Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo"
Tập hợp các số tự nhiên Vành các số nguyên Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng) Môđun con suy biến của môđun M rẽ nhánh nút-yên ngựa rẽ nhánh dĩa rẽ nhánh xuyên tới hạn
N Z Q, R Z(M ) saddle-node bifurcation pitchfork bifurcation transcritical bifurcation period doubling bifurcation rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ
3
Danh sách hình
(c) a = 0.5. (a) a = −1, (b) a = −0.25,
(b) a = 0.75, (b) a = 0.75, (a) a = 0.5, (a) a = 0.5,
(b) ρ = 1.5, (a) ρ = 1,
(b) a = −1;
1.1 Bức tranh pha hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 1.2 Điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Sơ đồ bước cầu thang của g(x) = 2x(1 − x) . . . . . . . . . . . . 1.4 . . . . . . . . . . . . . 1.5 Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . (c) a = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 1.7 (c) a = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Lược đồ rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 (c) ρ = 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Lược đồ rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 (a) a = −2; (c) a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Lược đồ rẽ nhánh dĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 11 12 13 14 15 15 16 18 19 20 20
2.1 Đồ thị f với điểm bất động hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lược đồ rẽ nhánh nút yên-ngựa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Họ bản đồ có đạo hàm xuyên qua 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Rẽ nhánh nút-yên ngựa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Rẽ nhánh xuyên tới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Rẽ nhánh dĩa. 22 25 26 28 29 30
(b) b = −1.1, (a) b = −0.9,
3.1 Rẽ nhánh nút-yên ngựa trong hệ phẳng . . . . . . . . . . . . . (c) a = −1.0. . . . . . . . . . . . . 3.2 3.3 Giá trị riêng phức của các điểm bất động elliptic . . . . . . . . 33 39 40
4
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
1.1 Hình dung ban đầu về rẽ nhánh
Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại những kiến thức liên quan đến sự rẽ nhánh của phương trình sai phân. Cụ thể ta định nghĩa điểm bất động, điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm không ổn định (đẩy) và các điều kiện liên quan phục vụ cho Chương 2 và Chương 3. Sau đó một số ví dụ về rẽ nhánh được tính toán minh họa cụ thể.
Hiện tượng rẽ nhánh 1 xảy ra trong nhiều lĩnh vực khác nhau: toán học, sinh học, vật lý, hóa học, kinh tế, . . . .
1Nội dung phần này tham khảo từ tài liệu [1].
Câu hỏi đầu tiên: Thế nào là hiện tượng rẽ nhánh?
5
1.1.1 Ví dụ rẽ nhánh trong phương trình đại số
x2 − a = 0.
Chúng ta lấy ví dụ hiện tượng rẽ nhánh của phương trình đại số. Xét phương trình
Khi a > 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt; khi a = 0, phương trình có duy nhất nghiệm; khi a < 0, phương trình vô nghiệm. Khi giá trị tham số a đi qua 0, tính chất của phương trình bị thay đổi, cụ thể là số nghiệm thay đổi. Ta nói a = 0 là giá trị rẽ nhánh.
x2 − a = 0 và x2 − (a ± ε) = 0
Ngược với hiện tượng rẽ nhánh là hiện tượng ổn định. Trong ví dụ trên, tất cả các giá trị tham số dương a > 0 đều ổn định, theo nghĩa các phương trình
√
√
a ± ε
x = ±
a và x = ±
đều có 2 nghiệm
x2 − a = 0 và x2 − (a ± ε) = 0
với ε đủ bé để a ± ε > 0; tức là 2 hệ gần nhau có cùng số nghiệm. Tương tự, các giá trị tham số a < 0 đều ổn định theo nghĩa các phương trình
đều vô nghiệm.
√
x
a
x =
Ta có lược đồ sau.
a
ổn định ổn định
√
x = −
a
điểm rẽ nhánh
Lược đồ rẽ nhánh của phương trình x2 − a = 0
6
1.1.2 Ví dụ rẽ nhánh trong phương trình vi phân
Hệ động lực chia làm hai loại: liên tục (phương trình vi phân thường) và rời rạc (phương trình sai phân thường). Ngoài ra còn có các hệ động lực sinh bởi phương trình vi-sai phân, phương trình vi-tích phân, phương trình vi phân trễ, phương trình sai phân trễ, hệ động lực lai, hệ động lực trên thang thời gian. Nói chung, các kết quả của hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc là tương đồng nhau. Tuy nhiên, trong lý thuyết rẽ nhánh, sự khác biệt giữa hệ rời rạc và hệ liên tục là khá nhiều, cả về kỹ thuật lẫn kết quả. Sự khác nhau này không chỉ bởi tô-pô của đường thẳng thực R khác với tô-pô rời rạc trên tập số nguyên Z, mà còn xuất phát từ việc xây dựng bức tranh pha của phương trình sai phân khác với bức tranh pha của phương trình vi phân.
Nếu bạn đã biết lý thuyết ổn định Lyapunov của nghiệm của phương trình vi phân, thì bạn không ngạc nhiên khi toàn bộ lý thuyết cơ bản đều phát biểu cho các hệ vững (rough systems): ổn định mũ, nhị phân mũ, ổn định tuyến tính hóa, tương đương tô-pô và định lý Hartman-Grobman, đa tạp bất biến ổn định và không ổn định. Trong các hệ vững, bức tranh pha của hệ ban đầu và các hệ gần nó là đồng phôi với nhau, hay là các hệ này tương đương tô-pô. Lý thuyết rẽ nhánh là phần nâng cao, đề cập đến trường hợp ngược lại, nghĩa là khi thay đổi tham số thì bức tranh pha của hệ không đồng phôi với nhau nữa.
Trong phần này, thông qua ví dụ chúng ta sẽ hình dung ban đầu về khái niệm rẽ nhánh trong hệ động lực. Trước hết, để dễ hình dung, ta hãy xét các phương trình vi phân.
x(cid:48) = β + x2
Xét hệ vi phân phẳng phụ thuộc tham số
y(cid:48) = −y
với β ∈ R.
7
Hình 1.1: Bức tranh pha hệ phương trình vi phân
1.2 Kiến thức chuẩn bị
Trong Hình 1.1 ban đầu với β < 0 hệ có 2 điểm bất động trong đó một điểm yên ngựa và một điểm nút, khi β = 0 hệ chỉ có một điểm bất động và khi β > 0 hệ không có điểm bất động. Bức tranh pha của hệ trên không đồng phôi với nhau khi ta thay đổi giá trị tham số β hiện tượng đó gọi là rẽ nhánh và loại rẽ nhánh này được gọi là rẽ nhánh nút yên-ngựa.
xn+1 = f (a, xn).
Xét phương trình sai phân phụ thuộc tham số
Việc thay đổi giá trị tham số từ a từ a0 đến giá trị a1 gần a0 có thể sẽ làm thay đổi bức tranh pha của nghiệm phương trình sai phân. Có hai trường hợp xảy ra.
1. Bức tranh pha với a = a1 đồng phôi với bức tranh pha với a = a0. Tình
huống này ta nói a0 là điểm ổn định (stability).
2. Bức tranh pha với a = a1 không đồng phôi với bức tranh pha với a = a0.
Ta nói a0 là điểm phân nhánh hay rẽ nhánh (bifurcation).
xn+1 = f (xn)
Định nghĩa 1.2.1. Xét phương trình sai phân
với f : Rm → Rm là ánh xạ trơn. Điểm p được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f (p) = p.
8
Fix(f ) = {p : f (p) = p}.
Ký hiệu Fix(f ) là tập hợp các điểm bất động của f, tức là
Điểm p được gọi là điểm tuần hoàn của ánh xạ f nếu tồn tại số m ∈ N∗ sao cho f m(p) = p. Số m nhỏ nhất gọi là chu kỳ của điểm tuần hoàn p, và ký hiệu là π(p). Tập các điểm tuần hoàn của f ký hiệu là Per(f ).
Nε(p) = {x ∈ R : (cid:107)x − p(cid:107) < ε}.
Với ε > 0, ký hiệu Nε(p) là ε-lân cận của điểm p, tức là
f k(x) = p
lim k→∞
Định nghĩa 1.2.2. Cho p là điểm bất động của ánh xạ f. Nếu tồn tại (cid:15) > 0 sao cho với mọi x ∈ N(cid:15)(p) mà
thì p gọi là điểm bất động hút.
Nói cách khác, điểm bất động p gọi là hút nếu mọi điểm gần p đều hút về p dưới tác động của ánh xạ f. Tương tự, ta có khái niệm điểm bất động đẩy.
Định nghĩa 1.2.3. Cho p là điểm bất động của ánh xạ f. Điểm p gọi là điểm bất động đẩy đối với f nếu tồn tại ε > 0 sao cho với mọi x ∈ Nε(p), tồn tại số tự nhiên N để f N (x) /∈ Nε(p).
p sau hữu hạn tác động của ánh xạ f.
Nói cách khác, điểm bất động p gọi là đẩy nếu mọi điểm gần p đều ra xa
f −1.
Khi f là song ánh, thì p là đẩy đối với f nếu và chỉ nếu p là đẩy đối với
xn+1 = f (xn)
Định lý 1.2.4. Cho x∗ là một điểm bất động của phương trình sai phân
(cid:48)
trong đó f là ánh xạ trơn một chiều. Khi đó, các mệnh đề sau đây là đúng.
(x∗)| < 1 thì x∗ là ổn định (hút).
(cid:48)
(i) Nếu |f
(x∗)| > 1 thì x∗ là không ổn định (đẩy).
(ii) Nếu |f
9
Định nghĩa 1.2.5. Cho p là điểm tuần hoàn chu kỳ k của ánh xạ f. Quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ k của điểm p gọi là quỹ đạo tuần hoàn hút nếu p là điểm hút của f k.
Tương tự, ta có khái niệm điểm bất động đẩy của ánh xạ f k.
Định nghĩa 1.2.6. Cho p là điểm tuần hoàn chu kỳ k của ánh xạ f. Quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ k của điểm p gọi là quỹ đạo tuần hoàn đẩy nếu p là điểm đẩy của f k.
Đối với không gian có số chiều cao hơn, ta có tiêu chuẩn khác để xác định một điểm bất động là ổn định hay không ổn định, đó là dựa vào các giá trị riêng của ma trận Jacobi.
Định nghĩa 1.2.7. Cho f = (f1, f2, . . . , fm) là một ánh xạ trong Rm và cho p ∈ Rm. Ma trận Jacobi của f tại p, ký hiệu bởi Df (p), là ma trận
(p)
(p)
∂f1 ∂x1
∂f1 ∂xm
Df (p) =
(p)
· · · . . . · · ·
(p)
∂fm ∂x1
∂fm ∂xm
... ...
của đạo hàm thành phần tại p.
Định lý 1.2.8. Cho f là một ánh xạ trong Rm và giả sử f (p) = p. Khi đó, các mệnh đề sau đây là đúng.
(i) Nếu |λ| < 1 với mọi λ ∈ σ(Df (p)) thì p là điểm bất động hút.
(ii) Nếu |λ| > 1 với mọi λ ∈ σ(Df (p)) thì p là điểm bất động đẩy.
Trong không gian hai chiều và không gian có số chiều lớn hơn, hệ có điểm
|λ| > 1 và |λ| < 1
bất động hỗn hợp (điểm yên ngựa). Điểm yên ngựa là điểm tồn tại
sao cho λ ∈ σ(Df (p)).
10
Hình 1.2: Điểm yên ngựa
|λ| (cid:54)= 1
Định nghĩa 1.2.9. Cho f là một ánh xạ trong Rm, giả sử f (p) = p. Khi đó p được gọi là điểm bất động hyperbolic nếu
với mọi λ ∈ σ(Df (p)).
|λ| = 1
Định nghĩa 1.2.10. Cho f là một ánh xạ trong Rm, giả sử f (p) = p. Khi đó p được gọi là điểm bất động elliptic nếu
với mọi λ ∈ σ(Df (p)).
Chú ý 1.2.11. (Sơ đồ bước cầu thang)
Sau đây là một phương pháp đồ họa quan trọng cho việc phân tích sự ổn định của điểm bất động của f. Với xn+1 = f (xn) ta vẽ đồ thị của hàm f trên mặt phẳng (xn, xn+1) = (xn, f (xn)). Sau đó, cho x(0) = x0 ta xác định giá trị của x1 bằng cách vẽ một đường thẳng đứng qua x0 sao cho đường thẳng này cắt đồ thị của f tại (x0, x1). Tiếp theo vẽ một đường ngang từ (x0, x1) giao với đường y = x tại (x1, x1). Một đường thẳng đứng vẽ từ điểm (x1, x1) giao với đồ thị f tại điểm (x1, x2). Cứ tiếp tục quá trình này chúng ta có thể thấy xn với mọi n > 0.
Trong Hình 1.3 với giá trị ban đầu x0 = x(0) = 0.1, điểm bất động x = 0.5
là điểm hút, và điểm gốc là điểm bất động đẩy.
11
1.3 Vài ví dụ rẽ nhánh của phương trình sai
phân một chiều
Hình 1.3: Sơ đồ bước cầu thang của g(x) = 2x(1 − x)
Trong mục này chúng ta sẽ tính toán và minh họa hình học rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ, rẽ nhánh dĩa, và rẽ nhánh xuyên tới hạn thông qua các họ ánh xạ đơn giản.
Ví dụ 1.2.1. (Rẽ nhánh nút-yên ngựa và rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ)
xn+1 = a − x2
n với a ∈ R.
Cho phương trình sai phân
12
a − x2 = x.
Điểm bất động của f (a, x) = a − x2 thỏa mãn
x2 + x − a = 0.
Do đó, các điểm bất động của f là nghiệm phương trình bậc 2 như sau
Khi đó xảy ra các trường hợp sau.
• Với a < −
1 4
• Với a = −
, f không có điểm bất động (trường hợp (a) trong Hình 1.4).
1 4
1 2
, f có một điểm bất động x = − (trường hợp (b) trong Hình
) = 1.
1 2
< a <
• Với −
1.4) lúc này đường thẳng y = x là tiếp tuyến của y = a − x2 và f (cid:48)(−
1 4
√
3
√ 3
, f có 2 điểm bất động. Cụ thể a = 0.5, f có một điểm
−1 + 2
3 4 −1 − 2
(trường hợp (c) và 1 điểm hút tại x2 =
đẩy tại x1 = trong Hình 1.4).
• Với a ≥
3 4 (c) trong Hình 1.6).
hệ động lực chuyển sang một trạng thái mới (trường hợp (b),
Hình 1.4: (a) a = −1, (b) a = −0.25, (c) a = 0.5.
13
Chú ý 1.3.1. Khi một cặp điểm bất động xuất hiện ở miền không có điểm bất động nào, do sự thay đổi tham số ta gọi nó là rẽ nhánh nút-yên ngựa. Trong không gian một chiều rẽ nhánh này được gọi là rẽ nhánh tiếp tuyến. Điều này được thể hiện trong Hình 1.4. Trong không gian 2 chiều, khi thay đổi giá trị tham số a sẽ làm xuất hiện một điểm yên ngựa và một điểm nút, tên rẽ nhánh nút-yên ngựa xuất phát từ đây.
Hình 1.5: Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa
1 4
Hình 1.4 cho biết đồ thị không gian trạng thái trước, trong và sau giá trị , tính chất của bức tranh pha bị rẽ nhánh. Khi giá trị tham số a đi qua −
1 4
thay đổi, cụ thể là số điểm bất động bị thay đổi. Ta nói a = − là giá trị rẽ
nhánh. Một loại lược đồ khác cung cấp thông tin về không gian trạng thái một cách tổng quát hơn, lược đồ này được minh họa trong Hình 1.5 và ta gọi nó là lược đồ rẽ nhánh. Lược đồ rẽ nhánh có trục hoành thể hiện giá trị tham số a, còn trục tung thể hiện giá trị điểm bất động x. Lược đồ rẽ nhánh mô tả điểm bất động của f như một hàm của a. Điểm bất động hút được chỉ ra trong đường cong liền, điểm bất động đẩy được chỉ ra trong đường cong đứt.
14
1 4
Vòng tròn tại a = − thể hiện vị trí xảy ra rẽ nhánh nút-yên ngựa.
Hình 1.6: (a) a = 0.5, (b) a = 0.75, (c) a = 1.
Hình 1.7: (a) a = 0.5, (b) a = 0.75, (c) a = 1.
15
Hình 1.8: Lược đồ rẽ nhánh
hệ động lực chuyển sang một trạng thái mới,
3 4 ) = −1 tách ra thành 2 điểm, một điểm tuần hoàn
1 2
điểm bất động x = có f (cid:48)(
1 2
1 2
Khi giá trị tham số a = 1 2 chu kỳ 2 có quỹ đạo lớn hơn và một điểm tuần hoàn chu kỳ 2 có quỹ đạo
nhỏ hơn (trường hợp (b) Hình 1.6) rẽ nhánh này ta gọi là rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ. Hình 1.6 là đồ thị họ fa(x) = a − x2 trước, trong, sau rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ. Để dễ hình dung về rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ chúng ta vẽ đồ thì f 2 a (x) = f (f (x)) tại các giá trị tham số a tương ứng với trước, trong, và sau rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ (Hình 1.7).
3 4
đạo hàm của f 2 Hình 1.8 là lược đồ rẽ nhánh của họ phương trình sai phân trên, trong đó các điểm bất động và điểm tuần hoàn của f là hàm của a và x gần điểm rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ. Quỹ đạo hút là đường cong đậm và quỹ đạo đẩy là đường cong đứt. Tại a = a bằng 1 gây ra rẽ nhánh nhân đôi
3 4
thể hiện vị trí xảy ra rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ. Vòng tròn tại vị trí a =
chu kỳ các vòng tròn còn lại thể hiện vị trí xảy ra rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ cao hơn ( thành chu kỳ 4).
16
Ví dụ 1.2.2. (Rẽ nhánh xuyên tới hạn)
xn+1 = ρxn(1 − xn) với ρ ∈ R.
Cho phương trình sai phân
ρx(1 − x) = x.
• Với ρ = 0 hoặc ρ = 1, đồ thị f có duy nhất một điểm bất động x = 0
Điểm bất động của f (ρ, x) = ρx(1 − x) thỏa mãn
(trường hợp (a) trong Hình 1.9).
• Với mọi 0 (cid:54)= ρ (cid:54)= 1, đồ thị f có 2 điểm bất động x1 = 0 và x2 =
ρ − 1 ρ
. Khi
• Với ρ < −1, ta thấy x1 là điểm bất động đẩy và x2 cũng là điểm bất
đó xảy ra các trường hợp sau.
• Với −1 < ρ < 1, ta thấy x1 là điểm bất động hút và x2 là điểm bất
động đẩy.
• Với 1 < ρ < 3, ta thấy x1 là điểm bất động đẩy và x2 là điểm bất
động đẩy.
• Với ρ ≥ 3, hệ động lực chuyển sang một trạng thái mới, đồ thị f lúc
động hút (trường hợp (b), (c) Hình 1.9).
này xảy ra rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ tại ρ = 3.
Rẽ nhánh xảy ra tại ρ = 1, trong loại rẽ nhánh này một điểm bất động tồn tại cho tất cả các giá trị của tham số ρ và không bao giờ bị phá hủy. Tuy nhiên, điểm bất động đó sẽ thay đổi sự ổn định của nó với một điểm bất động khác.
17
Hình 1.9: (a) ρ = 1, (b) ρ = 1.5, (c) ρ = 2.8
Trong Hình 1.9 là đồ thị của f (ρ, x) = ρx(1 − x) trong và sau rẽ nhánh. Trong Hình 1.10 các điểm bất động đẩy được chỉ ra trong đường cong đứt, các điểm bất động hút được chỉ ra trong đường cong liền. Trong lược đồ rẽ nhánh đường nối các điểm bất động xuyên qua 1 nên loại rẽ nhánh này gọi là rẽ nhánh xuyên tới hạn. Tại điểm ρ = 3 xảy ra rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ và nó còn tiếp tục xảy ra rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ (thành chu kỳ 4, 8, . . . ) khi tăng giá trị tham số ρ.
18
Hình 1.10: Lược đồ rẽ nhánh
xn+1 = x3
n − axn với a ∈ R.
Ví dụ 1.2.3. (Rẽ nhánh dĩa) Cho phương trình sai phân
x3 − ax = x.
Điểm bất động của f (a, x) = x3 − ax thỏa mãn
• Với a ≤ −1, f có 1 điểm bất động x = 0 (trường hợp (a), (b) trong Hình
Khi đó xảy ra các trường hợp sau.
√
√
a + 1
a + 1 và x3 = −
• Với −1 < a < 0, f có 3 điểm bất động x1 = 0, x2 =
1.11).
√
• Với 0 ≤ a < 1, f có 3 điểm bất động x1 = 0 là điểm hút, x2 =
√
a + 1 và a + 1 là 2 điểm bất động đẩy (trường hợp (c) trong Hình 1.11).
x3 = −
là 3 điểm bất động hút.
19
√
√
a + 1 là 3
• Với a > 1, f có 3 điểm bất động x1 = 0, x2 =
a + 1 và x3 = −
điểm bất động đẩy.
Khi hệ động lực chuyển từ có một điểm bất động sang có 3 điểm bất động, ta gọi rẽ nhánh này là rẽ nhánh "dĩa". Lý do ta gọi rẽ nhánh này là rẽ nhánh "dĩa" bởi vì, khi quan sát lược đồ rẽ nhánh (Hình 1.12), ta sẽ thấy hình dáng đồ thị giống cái dĩa.
x
1
a
−1
1
−1
Hình 1.11: (a) a = −2; (b) a = −1; (c) a = 0
Hình 1.12: Lược đồ rẽ nhánh dĩa
20
Chương 2
SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN MỘT CHIỀU
2.1 Thác triển địa phương
Trong phần trước, chúng ta thấy rằng điểm xảy ra rẽ nhánh của phương trình sai phân một chiều luôn có đạo hàm bằng ±1. Trong phần này chúng ta sẽ đi tìm hiểu điều ngược lại, liệu những điểm bất động có đạo hàm bằng ±1 có xảy ra rẽ nhánh hay không và nếu xảy ra rẽ nhánh thì loại rẽ nhánh nào sẽ xảy ra?
g : (a − d, a + d) → N(cid:15)(v)
Định nghĩa 2.1.1. Cho fa là ánh xạ trơn một chiều. Cho v là điểm bất động của fa nếu tập hợp các điểm bất động của f trong một lân cận (a − d, a + d) × N(cid:15)(v) là đồ thị của hàm liên tục
thì v được gọi là điểm thác triển địa phương được (hoặc nói gọn là thác triển). Khi đó, ta nói rằng tồn tại đường của các điểm bất động được tham số hóa bởi (a, v).
21
Nói cách khác, v được gọi là thác triển địa phương nếu các điểm bất động
của fa với a gần a nằm trên một đường liên tục.
, −
−
1 2
1 4
(cid:17) (cid:16)
1 4
Định nghĩa được minh họa trong trường hợp (b) Hình 2.1. Trong ví dụ của đồ thị 1.2.1, ta thấy điểm rẽ nhánh nút yên ngựa (a, x) = f (a, x) = a − x2 cho biết trong Hình 1.5, không nằm trên đường của các điểm , và do đó không thỏa mãn Định nghĩa bất động kéo dài đến giá trị a < −
1 2
2.1.2. Cho nên x = − không thác triển địa phương.
Hình 2.1: Đồ thị f với điểm bất động hyperbolic
(a, x) (cid:54)= 1
∂f ∂x
Định lý 2.1.2. Cho fa là ánh xạ trơn một chiều. Nếu x là một điểm bất động của fa và
thì (a, x) là thác triển được.
(a, x) > 1. Với x là điểm bất động của fa và f
∂f ∂x
Chứng minh. • Trường hợp
là hàm liên tục theo hai biến a và x.
(a, x) > 1, tức là với mọi (a, x) ∈ [a − h, a + h] × [x − h, x + h], ta có
∂f ∂x
(a, x) > 1 ở đó h > 0.
∂f ∂x
Cho
Hơn nữa f là hàm liên tục theo 2 biến a và x nên
22
fa(x − h) − (x − h) < 0 và fa(x + h) − (x + h) > 0.
fa(x − h) − (x − h) < 0 và fa(x + h) − (x + h) > 0.
Nói cách khác, với mọi a ∈ [a − d, a + d] và d > 0, ta có
Bây giờ chúng ta đang trong trường hợp (a) Hình 2.1, với tất cả a trong một khoảng nhỏ. Hàm fa có độ dốc lớn hơn 1 trên một khoảng nhỏ của x và cắt đường chéo tại một điểm. Do đó mỗi a ∈ [a − d, a + d] có duy nhất một điểm bất động pa của fa trong khoảng [x − d, x + d].
Vì hàm fa thay đổi liên tục với tham số a nên các điểm bất động pa tạo
thành một đường liên tục trong a.
Xét giá trị a ∈ [a − d, a + d] bất kỳ, tồn tại dãy ai sao cho ai → a, ta cần
pai = p∗.
lim i→∞
chứng minh rằng
pai = p∗.
fa(p∗) = lim i→∞
fai(pai) = lim i→∞
Thật vậy, ta có
• Các trường hợp khác chứng minh tương tự.
Vậy p∗ là điểm bất động duy nhất và đường là liên tục.
Ở Ví dụ 1.2.1 đồ thị f (a, x) = a − x2 tại giá trị a = có điểm bất động
,
,
x =
= −1. Do đó theo Định lý 2.1.2 thì
1 2
∂f ∂x
1 2
3 4 (cid:16)3 4
1 2
(cid:17) (cid:17) và là điểm thác (cid:16)3 4
=
,
,
,
= 1 không thỏa mãn Định
∂f 2 ∂x
∂f ∂x
1 2
1 2
2.2 Rẽ nhánh nút-yên ngựa
(a, x) =
∂f ∂x
(cid:17) (cid:17) động của f 2 vì triển được, nhưng nó không thác triển địa phương được như một điểm bất 1 2 (cid:17) ∂f ∂x (cid:16) 3 4 (cid:16) 3 4 (cid:16)3 4 lý 2.1.2.
A =
(a, x) (cid:54)= 0 và D =
∂f ∂a
∂2f ∂x2 (a, x) (cid:54)= 0.
Định lý 2.2.1. Giả sử rằng x là một điểm bất động của fa sao cho 1. Hơn nữa, giả sử rằng
Khi đó có hai đường cong của các điểm bất động xuất phát từ (a, x). Các điểm bất động tồn tại với a > a nếu DA < 0 và với a < a nếu DA > 0.
23
g(a, x) = a ⇔ f (a, x) = x,
g(a, x) = a,
(a, x) = A + 1 (cid:54)= 1.
∂g ∂a
Chứng minh. Áp dụng Định lí 2.1.2 nhưng đảo vai trò của x và a. Đặt g(a, x) = f (a, x) + a − x thỏa mãn các điều kiện sau:
Áp dụng Định lí 2.1.2 tồn tại, a → {pa} ∈ F ix(g(., x)) liên tục.
Đạo hàm theo biến thứ nhất hàm f (p(x), x) và sau đó cho (a, x) = (a, x), ta
(cid:48)
(a, x)p
(x) +
(a, x) = 1.
được
∂f ∂a
∂f ∂a
(cid:48)
(p(x), x)p
(x) +
(p(x), x) = 1
∂f ∂a
(2.1)
Đạo hàm tiếp biểu thức: ∂f ∂a
(cid:48)
p
(x) +
(p(x), x)p(cid:48)(cid:48)(x)+
ta được
∂f ∂a
(p(x), x) = 0.
+
(p(x), x)p(cid:48)(x) +
(cid:19) ∂2f ∂x2 (p(x), x)
∂2f ∂2x
(cid:18)∂2f ∂x2 (p(x), x)p(cid:48)(x) + ∂2f ∂x∂a
Cho a = a và x = x. Khi đó, a = p(x). Thay vào (2.1), ta có p(cid:48)(x) = 0.
(a, x)p(cid:48)(cid:48)(x) +
∂f ∂a
∂2f ∂x2 (a, x) = 0
Từ giả thiết của định lý ta có
.
p(cid:48)(cid:48)(x) = −
D A
nên
Nếu DA < 0 ta có p(cid:48)(cid:48)(x) > 0. Vì vậy, đồ thị p(x) lõm vào tại x = x thể hiện trong trường hợp (b) trong Hình 2.2.
Nếu DA < 0 ta có p(cid:48)(cid:48)(x) > 0. Vì vậy, đồ thị p(x) lồi lên tại x = x.
xn+1 = a − x2
n với a ∈ R.
Quay lại Ví dụ 1.2.1
24
Hình 2.2: Lược đồ rẽ nhánh nút yên-ngựa.
−
, −
= 1.
1 4
1 2
∂f ∂x
1 4
1 2
(cid:16) (cid:17) Điểm bất động của f (a, x) = a − x2 tại a = − là x = − và
A =
, −
−
= 1 (cid:54)= 0
∂f ∂a
1 4
1 2
Dễ tính được (cid:16) (cid:17)
−
, −
= −2 (cid:54)= 0.
D =
∂2f ∂x2
1 4
1 2
và (cid:16) (cid:17)
1 2
2.3 Rẽ nhánh dĩa và rẽ nhánh xuyên tới hạn
∂f ∂x
Như vậy, DA = −2 < 0 nên theo Định lý 2.2.1 điểm xảy ra rẽ nhánh nút-yên ngựa là x = − .
Định lý 2.3.1. Giả sử fa là một ánh xạ trơn một chiều và giả sử rằng có một (a, x) xuyên đường của các điểm bất động được tham số hóa bởi (a, x). Nếu qua +1 tại (a, x) với x ∈ F ix(a, .) thì mọi lân cận của (a, x) trong R × R chứa một điểm bất động không nằm trên đường.
(a, 0) =
(a, x(a)).
df1 du
df dx
Chứng minh. Giả sử rằng các điểm bất động trên đường có tọa độ (x, 0). Nói cách khác, thay (a, x) bởi (a, u) với u = x − x(a). Đặt f1 = f (a, u), tức là
25
• Trường hợp 1.
(a, 0) > 1 với a < a và
(a, 0) < 1 với a > a. Trong
∂f ∂x
∂f ∂x
fa−h(h) − h > 0 và fa+h(h) − h < 0.
trường hợp (a) Hình 2.3 với h > 0, ta có
fa−h(−h) − (−h) < 0 và fa+h(−h) − (−h) > 0.
Hơn nữa
• Trường hợp 2 chứng minh tương tự.
Do fa(x) là hàm liên tục nên tồn tại a1, a2 ∈ [a − h, a + h] thỏa mãn fa1(h) = h và fa2(−h) = −h. Từ đó, ta có các điểm bất động của fa càng gần (a, x). Trong thực tế, các điểm bất động nằm trên và dưới đường.
2.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ
Hình 2.3: Họ bản đồ có đạo hàm xuyên qua 1
(a, x) = −1
∂f ∂x
(a, x) xuyên qua điểm −1 tại (a, x) thì mọi lân cận của (a, x) (trong
∂f ∂x
Định lý 2.4.1. Cho f là ánh xạ trơn một chiều. Giả sử x ∈ F ix(a, .) sao cho
Nếu R × R) đều có điểm tuần hoàn chu kỳ 2.
26
a . Khi đó, ga(x) = fa(fa(x)). Đạo hàm phương trình
(x) =
(x)
(x).
∂ga ∂x
∂fa ∂x
∂fa(fa) ∂x
Chứng minh. Đặt ga = f 2 trên ta thu được
(x) =
(x)
(fa(x))
⇔
(x) =
(x)
(x)
∂fa ∂x ∂fa ∂x
∂fa ∂x ∂fa ∂x
(x) = 1.
⇔
∂ga ∂x ∂ga ∂x ∂ga ∂x
Thay a = a, x = x = f (x) vào phương trình trên ta thu được
tức là đạo hàm ga đi qua 1 tại a = a.
Áp dụng Định lý 2.3.1, ga có điểm bất động khác điểm bất động của fa
trong bất kỳ lân cận nào của (a, x).
(a, x) = −1, điểm bất động x là điểm thác triển được theo
∂f ∂x
Mặt khác, từ
2.5 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh
Định lý 2.1.2. Do đó, các điểm bất động khác phải là điểm tuần hoàn chu kỳ 2 của fa.
2.5.1 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh nút yên-ngựa
Trong mục này, chúng ta sẽ áp dụng các định lý tồn tại ở trên vào khảo sát các rẽ nhánh ở dạng chuẩn tắc1, đây là dạng điển hình đơn giản nhất cho rẽ nhánh. Nội dung mục này chủ yếu từ [5].
xn+1 = µ + xn − x2
n+1 với µ ∈ R.
Cho phương trình sai phân
µ + x − x2 = x.
Điểm bất động của f (µ, x) = µ + x − x2 thỏa mãn
• Nếu µ < 0, f không có điểm bất động.
1Chúng ta không đưa ra định nghĩa chính xác dạng chuẩn tắc, mà chỉ hiểu đơn giản là
dạng tiêu biểu của rẽ nhánh.
Khi đó.
27
• Nếu µ = 0, f có một điểm bất động.
√
√
µ.
• Nếu µ > 0, f có hai điểm bất động x1 =
µ và x2 = −
Tại µ = 0, f có điểm bất động x = 0 và
(0, 0) = 1 (cid:54)= 0 và D =
∂f ∂µ
∂f (0, 0) = 1 ∂x ∂2f ∂x2 (0, 0) = −2 (cid:54)= 0.
Mặt khác A =
Như vậy, DA = −2 < 0. Theo Định lý 2.2.1, điểm xảy ra rẽ nhánh nút-yên
ngựa là x = 0 (trong Hình 2.4).
2.5.2 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh xuyên tới hạn
Hình 2.4: Rẽ nhánh nút-yên ngựa.
xn+1 = xn + µxn − x2
n+1 với µ ∈ R.
Cho phương trình sai phân
x + µx − x2 = x.
Điểm bất động của f (µ, x) = x + µx − x2 thỏa mãn
• Nếu µ = 0, f có một điểm bất động là x = 0.
• Nếu µ (cid:54)= 0, f có hai điểm bất động x1 = 0 và x2 = µ.
Khi đó.
28
(0, 0) = 1.
∂f ∂x
(2, x) = 3−2x
Tại µ = 0, f có điểm bất động x = 0 và
∂f ∂x
Với µ = 2, f có 2 điểm bất động x1 = 0 và x2 = 2. Mặt khác
(2, 2) = −1, theo Định lý 2.1.2, x2 = 2
∂f ∂x
xuyên qua +1 tại (0,0). Trong đó
(µ, x) = 0.
∂f ∂µ
là điểm thác triển được. Áp dụng Định lý 2.3.1 điểm bất động x1 = 0 không nằm trên đường thác triển bởi x2 = 2 (trong Hình 2.5), điểm xảy ra rẽ nhánh xuyên tới hạn là (0, 0). Hơn nữa
2.5.3 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh dĩa
Hình 2.5: Rẽ nhánh xuyên tới hạn.
Cho phương trình sai phân
xn+1 = xn + µxn − x3
n+1
với µ ∈ R.
x + µx − x3 = x.
Điểm bất động của f (µ, x) = x + µx − x3 thỏa mãn
• Nếu µ < 0, f có một điểm bất động x = 0 .
• Nếu µ = 0, f có một điểm bất động x = 0.
√
√
µ.
• Nếu µ > 0, f có ba điểm bất động x1 = 0 và x2 =
µ, x3 = −
Khi đó, ta có
29
(µ, 0) = 1.
∂f ∂µ
√
√
Tại µ = 0, f có điểm bất động x = 0 và
(2,
2, x) = 3 − 3x2 xuyên qua +1 tại (0,0). Trong đó
2. Mặt khác 2) = −2, theo
2, và x3 = − √ ∂f ∂x
√
√
2 là điểm thác triển được. Áp dụng Định lý 2.3.1 điểm 2 (trong Hình
∂f ∂x Định lý 2.1.2, x2 = bất động x1 = 0, không nằm trên đường thác triển bởi x2 = 2.6), điểm xảy ra rẽ nhánh dĩa là (0, 0). Hơn nữa,
(µ, x) = 0.
∂f ∂µ
Với µ = 2, f có 3 điểm bất động x1 = 0, x2 = √ (
2.5.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ
Hình 2.6: Rẽ nhánh dĩa.
µ ∈ R.
Cho phương trình sai phân
xn+1 = µ + xn − x2
n+1
với
µ + x − x2 = x.
Điểm bất động của f (µ, x) = µ + x − x2 thỏa mãn
• Nếu µ < 0, f không có điểm bất động.
• Nếu µ = 0, f có một điểm bất động.
√
√
µ.
• Nếu µ > 0, f có hai điểm bất động x1 =
µ và x2 = −
(µ, 1) = −1.
Khi đó.
∂f ∂x
Tại µ = 1, f có hai điểm bất động x = 1 và x2 = −1. Mặt khác,
Áp dụng Định lý 2.4.1 ta thấy trong mọi lân cận của (µ, x) đều có điểm bất
30
(µ, x) = 1 (cid:54)= 0.
∂f ∂µ
động tuần hoàn chu kỳ 2. Tại tham số µ = 1 xảy ra rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ. Hơn nữa
(¯a, ¯x)
(¯a, ¯x)
Bảng phân loại các rẽ nhánh cơ bản của phương trình sai phân một chiều dưới đây được rút ra từ các định lý và các dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh.Khi đạo hàm tại điểm bất động là 1 hoặc −1, loại rẽ nhánh có thể xảy ra phụ thuộc vào đạo hàm riêng.
∂f ∂x
∂f ∂a
(cid:54)= 0
1
Rẽ nhánh
1
0
nút-yên ngựa
(cid:54)= 0
−1
dĩa, xuyên tới hạn
nhân đôi chu kỳ
31
Chương 3
RẼ NHÁNH TRONG HỆ PHẲNG
3.1 Rẽ nhánh ánh xạ co diện tích
Trong hệ phẳng hiện tượng rẽ nhánh xảy ra phức tạp hơn rất nhiều so với rẽ nhánh trong không gian một chiều. Trong phần này chúng ta chỉ tìm hiểu một số ví dụ về rẽ nhánh trong trường hợp co diện tích và trường hợp bảo toàn diện tích.
Định lý 3.1.1. Giả sử f là một ánh xạ trơn trên Rn. Nếu v là điểm bất động của fa và 1 không là giá trị riêng của Dfa(v) thì (a, v) là thác triển được.
fa : R2 −→ R2
(x, y)
(cid:55)−→ fa(x, y) = (ga(x), 0.2y)
Ví dụ 3.1.1 Xét ánh xạ
Với ga(x) = a − x2, ta thấy ma trận Jacobi fa có giá trị riêng e1 = g(cid:48) a(x) và e2 = 0.2. Định lý 3.1.1 cho các họ tham số trong hệ phẳng nói rằng rẽ nhánh chỉ có thể xảy ra tại +1 là giá trị riêng của Dfa. Chính vì vậy đồ thị f xảy ra rẽ nhánh khi g(cid:48) a = +1. Nói cách khác đồ thị f xảy ra rẽ nhánh tại chính tham số ở đó xảy ra rẽ nhánh của ga. Điểm bất động hyperbolic của fa khác hơn trong trường hợp một chiều: fa có một điểm nút và một điểm yên ngựa còn ga thì có một điểm đẩy và một điểm hút. Hình 3.1 mô tả rẽ nhánh nút- yên ngựa và rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ của đồ thị fa. Tại rẽ nhánh nhân đôi
32
chu kỳ giá trị riêng e1 đi qua −1. Một nhánh của điểm bất động hút thay đổi thành một nhánh yên ngựa như hai nhánh của điểm tuần hoàn chu kỳ 2.
Hình 3.1: Rẽ nhánh nút-yên ngựa trong hệ phẳng
Trong hệ phẳng việc mô tả rẽ nhánh nút yên-ngựa và rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ là rất phức tạp. Bởi thực tế là các điểm bất động và điểm tuần hoàn có hai hướng: hướng co và hướng giãn. Mặc dù ở ví dụ ta vừa xét tính chất của giá trị riêng rõ ràng là trường hợp đặc biệt có giá trị riêng nhỏ hơn 1 tại tất cả các điểm, hoặc lớn hơn 1 tại tất cả các điểm. Đối với các bản đồ như vậy, các loại rẽ nhánh có thể xảy ra là giới hạn có thể nhìn thấy trong đồ thị một chiều. Đồ thị co diện tích là một lớp quan trọng trong hệ động lực học.
|detDf (v)| < 1
Định nghĩa 3.1.2. Cho f là ánh xạ trơn trên R2 và Df (v) là ma trận Jacobi của f với v ∈ R2. Khi đó, f được gọi là co diện tích nếu
|detDf (v)| = 1
với mọi v ∈ R2. Tương tự, f được gọi là bảo toàn diện tích nếu
với mọi v ∈ R2.
Chúng ta sẽ giải thích thêm ý nghĩa của tên gọi "co diện tích" và "bảo toàn diện tích". Trong phép tính tích phân, khi muốn đổi biến tích phân hai
33
x = x(u, v)
lớp từ (x, y) sang (u, v) của hàm f = (f1, f2) theo công thức
y = y(u, v).
Ta có công thức đổi biến sau
f (x, y)dxdy =
f (x(u, v), y(u, v)) |J| dudv
G
Ω
(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)
J = detDf (v) =
.
trong đó
∂f1 ∂u ∂f2 ∂u
∂f1 ∂v ∂f2 ∂v
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
• (cid:82)(cid:82)
G dxdy chính là diện tích SG của miền G trong hệ tọa độ (x, y);
• (cid:82)(cid:82)
Ω dudv chính là diện tích SΩ của miền Ω trong hệ tọa độ (u, v);
•
Khi f (x, y) ≡ 1 thì ta có
dxdy =
|J| dudv.
G
Ω
(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90)
Như vậy, số Jacobi |J| = |detDf (v)| xác định sự thay đổi vi phân diện tích
từ miền trong tọa độ (x, y) sang miền tương ứng trong tọa độ (u, v).
Nếu S là miền trong R2 khi đó
Area(f (S)) =
|detDf (v)|dS.
S
(cid:90) (cid:90)
yn+1 = xn
xn+1 = ayn + xn − x2 n,
Ví dụ 3.1.2 Cho đồ thị
1 4
với |a| < .
x = ay + x − x2,
Điểm bất động của f (a, x, y) = ay + x − x2 với y = x thỏa mãn
y = x.
• Nếu a = 0 đồ thị f có một điểm bất động (0, 0).
34
• Nếu a (cid:54)= 0, đồ thị f có 2 điểm bất động (x1, y1) = (0, 0) và (x2, y2) = (a, a).
Ma trận Jacobi của f là
(ay + x − x2)
(ay + x − x2)
1 − 2x
∂ ∂y
∂ ∂x
Df (x, y) =
.
(cid:32) (cid:33) a
1
0
(x)
(x)
∂ ∂y
∂ ∂x
=
1
a
1 − 2a
1
0
1
0
(cid:32) (cid:32) (cid:33) (cid:33) a . Đặt Df (x1, y1) = và Df (x2, y2) =
λ − 1 −a
= λ2 − λ − a = 0.
Tại điểm bất động (x1, y1) giá trị riêng được tính theo biểu thức
−1
λ
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:12)λI − Df (x1, y1) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
√
√
1 +
1 −
,
.
λ1 =
λ2 =
1 + 4a 2
1 + 4a 2
Tại điểm bất động (x1, y1) có 2 giá trị riêng là
λ − 1 + 2a −a
= λ2 − (1 − 2a)λ − a = 0.
Tại điểm bất động (x2, y2) giá trị riêng được tính theo biểu thức
−1
λ
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:12)λI − Df (x2, y2) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
√
√
1 + 4a2
1 + 4a2
,
.
λ4 =
λ3 =
1 − 2a + 2
1 − 2a − 2
Tại điểm bất động (x2, y2) có 2 giá trị riêng là
0,
(cid:17) (cid:16)
1 4 1 + 4a2 <
1 + 4a + 4a2 = 1 + 2a. Do đó √
1 + 4a2
<
= 1
λ3 =
1 − 2a + 2
1 − 2a + (1 + 2a) 2
Khi a ∈ √ , λ1 > 1 và λ2 < 1 điểm bất động (x1, y1) là không ổn định. Ta √ có
−
, 0
1 4
và λ4 < 1. Vậy (x2, y2) = (a, a) là ổn định. (cid:16) (cid:17) Khi a ∈ , ta có
1 + 4a2 >
1 + 4a + 4a2 = 1 + 2a.
(cid:112) (cid:112)
Vậy λ1 < 1 và λ2 < 1, do đó (x1, y1) = (0, 0) là điểm ổn định.
35
|detDf (v)| = |a| < 1.
Còn λ3 > 1 và λ4 < 1, do đó (x2, y2) = (a, a) là không ổn định. Ta thấy sự ổn định của 2 điểm bất động thay đổi khi thay đổi tham số a. Do đó xảy ra hiện tượng rẽ nhánh xuyên tới hạn. Ánh xạ f là co diện tích vì với mọi v ∈ R2 ta luôn có
3.2 Rẽ nhánh ánh xạ bảo toàn diện tích
Cho p là quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ k. Ta gọi giá trị riêng của Dvf k(p) là giá trị riêng của p. Giả sử đồ thị của Dvf k(p) có 2 giá trị riêng e1 và e2. Khi đó, đồ thị co diện tích nếu |e1.e2| < 1, tức là ít nhất một trong những giá trị riêng của {e1, e2} phải nằm trong vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng phức. Do đó giả thuyết co diện tích hạn chế loại quỹ đạo tuần hoàn có thể xảy ra. Khi đó có 2 loại của quỹ đạo hyperbolic: điểm hút (2 giá trị riêng nằm trong đường tròn đơn vị) và yên có giá trị riêng lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn −1. Đối với quỹ đạo không hyperbolic chỉ có 2 dạng: các quỹ đạo của một giá trị riêng bằng +1 và các quỹ đạo của một giá trị riêng bằng −1.
√
Trong các phần trước chúng ta thấy rằng, rẽ nhánh xảy ra khi các điểm bất động hoặc điểm tuần hoàn có đạo hàm hoặc một giá trị riêng có môdun bằng 1. Với họ ánh xạ một chiều, rẽ nhánh nút-yên ngựa hoặc rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ có thể xảy ra khi đạo hàm là 1 hoặc −1. Với họ đồ thị có số chiều 2 hoặc lớn hơn, rẽ nhánh xảy ra khi điểm bất động có giá trị riêng có môdun bằng 1.
√ 3
a
a
x −
y,
x +
y
2
2
a 2
(cid:19) Thực tế rẽ nhánh của các điểm bất động chu kỳ k chỉ có thể xảy ra khi một nghiệm nguyên thứ k của phần tử đơn vị là một giá trị riêng. Trong các họ đồ thị một chiều điều này có nghĩa là k = 1 hoặc k = 2, tương tự nguyên tắc này cũng được áp dụng trong trường hợp co diện tích trong hệ phẳng. Nếu bỏ giả thuyết co diện tích thì rẽ nhánh của các quỹ đạo chu kỳ cao hơn (k > 2) có thể xảy ra đối với họ hai chiều. Nếu không bỏ giả thuyết co diện tích thì ma trận Jacobi phải là ma trận đối xứng đặc biệt hoặc bị giới hạn (giống như trong trường hợp bảo toàn diện tích). Để tìm hiểu rẽ nhánh chu kỳ xảy ra khi nào, chúng ta bắt đầu với ví dụ sau. 3 với a > 0 và Ví dụ 3.1.2. Cho đồ thị fa(x, y) = (cid:18)a 2 mọi x, y ∈ R.
36
√
√
√
3
3
a
a
a
3
y
y
−
2
2
x − √
x − √
=
Dfa(x, y) =
(cid:19) (cid:19) Ma trận Jacobi của fa là
a 2 √ 3
a
3
3
x +
x +
y
y
2 a 2
2
∂ ∂x ∂ ∂x
a 2
a 2
2
2
√
a
3
x =
y,
(cid:19) (cid:19) . (cid:18)a 2 (cid:18)a (cid:18)a 2 (cid:18)a
2
∂ ∂y ∂ ∂y Ta có |detDha(v)| = a2 với mọi v ∈ R2. Điểm bất động của fa(x, y) thỏa mãn a x − 2 √ 3 a
y =
x +
y.
a 2
2
√
√
+ i
− i
3 2
3 2
Đồ thị fa(x, y) có điểm bất động (0, 0) với mọi a. (cid:19) (cid:19) . Giá trị riêng của ma trận Dfa là e1(a) = a và e2(a) = a (cid:18) 1 2 (cid:18)1 2
• Với 0 < a < 1, đường giá trị riêng e1(a) và e2(a) bắt đầu trong đường tròn đơn vị và đi qua đường tròn đơn vị. Điểm bất động (0, 0) là điểm hút và đồ thị là co diện tích.
• Với a = 1, đồ thị xoay tất cả các vecto khác không qua một góc
Khi đó xảy ra các trường hợp sau.
π 3
. Điểm
• Với a > 1, điểm bất động (0, 0) là điểm đẩy và đồ thị là giãn diện tích.
bất động (0, 0) là điểm bất động elliptic và tất cả các điểm bất động là điểm tuần hoàn chu kỳ 6. Đồ thị là bảo toàn diện tích.
Đối với họ đồ thị phi tuyến tính fa thì giá trị riêng của Dfa là chìa khóa để phát hiện các thay đổi về độ ổn định của các điểm bất động dẫn đến xảy ra rẽ nhánh. Để xác định vị trí rẽ nhánh của quỹ đạo tuần hoàn k dọc theo đường đi của các điểm bất động, chúng ta tìm các điểm tại đó đường e(a) của các giá trị riêng đi qua vòng tròn đơn vị tại nghiệm thứ k của đơn vị. Nếu đường e(a) đi qua vòng tròn đơn vị với vận tốc khác không (nếu de da (cid:54)= 0), thì một đường cong khép kín bất biến sẽ tách ra khỏi đường đi của các điểm bất động. Trong ví dụ 3.1.3 chúng ta tìm hiểu một rẽ nhánh trong họ Hénon khi đồ thị chuyển từ co diện tích sang giãn diện tích.
(−0.75 − x2 + by)
(−0.75 − x2 + by)
−2x
b
∂ ∂x
∂ ∂y
.
Dhb(x, y) =
Ví dụ 3.1.3. Cho đồ thị hb(x, y) = (−0.75 − x2 + by, x). Ma trận Jacobi của hb là (cid:32) (cid:33)
1
0
(x)
(x)
∂ ∂x
∂ ∂y
=
37
• Với |b| < 1 đồ thị là co diện tích.
• Với b = −1 đồ thị là bảo toàn diện tích, có điểm bất động elliptic là
√
Ta thấy |detDhb| = | − b|, khi đó xảy ra các trường hợp sau.
±
,
i (2 nghiệm thứ 6 của đơn vị).
−1 2
3 2
1 2
• Với |b| > 1 đồ thị là giãn diện tích.
• Với b = 1 đồ thị là bảo toàn diện tích.
(cid:17) với giá trị riêng e± = (cid:16)−1 2
Hình 3.2 cho biết vùng lân cận của điểm bất động khi b tăng từ −0.9 đến −1.1. Điểm bất động chuyển từ hút (Hình 3.2(a)) sang đẩy (Hình 3.2(b)). Hình 3.2(a) đồ thị là co diện tích và có một điểm bất động hút. Các đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của một điểm yên ngựa gần đó được mô tả. Một nhánh của đa tạp không ổn định xoắn ốc vào điểm hút. Hình 3.2(b) đồ thị là giãn diện tích và có một điểm bất động đẩy, đa tạp ổn định của một điểm yên ngựa xoắn ốc ra ngoài điểm đẩy. Hình 3.2(c) đồ thị là bảo toàn diện tích và có điểm bất động elliptic, đa tạp ổn định và đa tạp không ổn định của một điểm yên ngựa giao nhau qua vô hạn các điểm đồng nghiêng.
38
Hình 3.2: (a) b = −0.9, (b) b = −1.1, (c) a = −1.0.
Ví dụ 3.1.4. Cho đồ thị ha(x, y) = (a − x2 − y, x). Ma trận Jacobi của h là
(a − x2 − y)
(a − x2 − y)
−2x
−1
∂ ∂x
∂ ∂y
.
Dha(x, y) =
(cid:33) (cid:32)
1
0
(x)
(x)
∂ ∂x
∂ ∂y
=
Ta có |detDha(v)| = 1 với mọi v ∈ R2. Do đó đồ thị là bảo toàn diện tích
với mọi a.
39
x = a − x2 − y,
Điểm bất động của h(a, x, y) = a − x2 − y với y = x thỏa mãn
y = x.
• Nếu a < −1, đồ thị h không có điểm bất động.
• Nếu a = −1, đồ thị h có một điểm bất động (−1, −1) có giá trị riêng
λ1 = λ2 = 1. Khi đó xảy ra rẽ nhánh nút-yên ngựa.
√
√
1 + a, −1 −
• Nếu −1 < a < 3, đồ thị h có 2 điểm bất động (−1 −
√
√
1 + a) 1 + a) là điểm elliptic. khi đó là điểm yên ngựa và (−1 + 1 + a, −1 + các giá trị riêng của điểm bất động elliptic bị giới hạn trong vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng phức. Vì vậy, có hai đường di chuyển của giá trị riêng, một di chuyển dọc theo đỉnh (phần ảo dương) và một di chuyển dọc phía dưới (phần ảo âm) được mô tả trong Hình 3.3.
• Nếu a=3, điểm bất động (1, 1) có 2 giá trị riêng λ1 = λ2 = −1, xảy ra rẽ
nhánh nhân đôi chu kỳ.
Hình 3.3: Giá trị riêng phức của các điểm bất động elliptic
40
KẾT LUẬN
Đóng góp chính của luận văn bao gồm:
1. Trình bày lại những khái niệm cơ bản, tính toán chi tiết và minh họa hình học một số ví dụ về rẽ nhánh của phương trình sai phân một chiều.
2. Trình bày các định lý về rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ của phương trình sai phân một chiều. Áp dụng định lý để xác định loại rẽ nhánh cho dạng chuẩn tắc phương trình sai phân một chiều.
3. Trình bày rẽ nhánh trong hệ phẳng và các ví dụ được tính toán chi tiết.
Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên luận văn không tránh khỏi những sai sót,
rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
41
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
Tiếng Anh
[1] Lê Huy Tiễn (2019), Bài giảng hệ động lực (đang viết), Hà Nội.
[2] K. T. Alligood, T. D. Sauer, James A. Yorke (1996), An introduction to
dynamical systems, Jounal of Artist Rights Socienty, New York.
[3] D. K. Arrowsmith, C. M. Place (1990), An introduction to dynamical
systems, Cambridge University Press.
[4] W. E. Boyce, R. C. Diprima, D. B. Meade (2017), Elementary differential
equations and boundary value problems, John Wiley Sons, Inc.
[5] A. Dawes, Bifurcation theory for discrete time systems,
http://www.math.ualberta.ca/~atdawes/m371_2010/discrete_ bifurcation.pdf.
[6] J. Guckenheimer, P. Holmes (1983), Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields, Springer-Verlag, New York.
[7] J. K. Hale, H. Kocak, (1991)Dynamics and bifurcations, Springer-Verlag,
New York.
[8] J. H. Hubbard, B. H. West,(1995) Differential equations: a dynamical sys- tems approach: higher-dimensional Systems, Springer-Verlag, New York.
[9] Y. A. Kuznetsov, (2004) Elements of applied bifurcation theory, Springer-
Verlag, New York.
42
[10] L. Perko (2006), Differential equations and dynamical systems, Springer-
Verlag, New York.
[11] S. H. Strogatz, (2018), Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering, CRC Press Taylor & Fran- cis Group.
[12] S. Wiggins, (2003), Introduction to applied nonlinear dynamical systems
and chaos, Springer-Verlag, New York.
43
