Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Số mũ Lyapunov và sự khẳng ổn định

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Năm 1975, Li và Yorke là hai nhà toán học đầu tiên sử dụng khái niệm sự hỗn độn trong lí thuyết hệ động lực để chứng minh tính một số tính chất của điểm tuần hoàn đối với ánh xạ trên đường thẳng thực. Sau đó, đã có nhiều nỗ lực để làm rõ khái niệm của sự hỗn độn cho hệ động lực rời rạc. Tiêu biểu, năm 1989, Devaney đưa ra định nghĩa tường minh cho tập bất biến hỗn độn và các kết quả sau này của Banks, Brooks, Cairns, Davis, Stacey (1992). Mời các bạn cùng tham khảo nội dung luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Số mũ Lyapunov và sự khẳng ổn định

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THỜI SỐ MŨ LYAPUNOV VÀ SỰ KHÔNG ỔN ĐỊNH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ HUY TIỄN HÀ NỘI−2016
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thành viên trong nhóm seminar hệ động lực trường KHTN đã có những góp ý quý báu để em hoàn hiện luận văn tốt nghiệp này. Nói riêng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn Lê Đức Nhiên, người đã giúp đỡ rất nhiều và hướng dẫn em trong việc sử dụng Latex và Maple. Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thời 2
Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Một số khái niệm của hệ động lực rời rạc 3 1.1 Số mũ Lyapunov và số mũ Lyapunov mạnh . . . . . . . . . . 4 1.2 Tập bất biến hỗn độn và sự nhạy cảm của quỹ đạo . . . . . . 8 1.3 Sự ổn định Lyapunov của quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Bổ đề Gronwall rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm 18 2.1 Sự nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov dương . . . . 19 2.2 Sự nhạy cảm của lớp các hệ hỗn độn . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Sự không nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov âm . . 34 2.4 Sự nhạy cảm đối với hệ không ô tô nôm . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Tài liệu tham khảo 43 1
LỜI NÓI ĐẦU Năm 1975, Li và Yorke là hai nhà toán học đầu tiên sử dụng khái niệm sự hỗn độn trong lí thuyết hệ động lực để chứng minh một số tính chất của điểm tuần hoàn đối với ánh xạ trên đường thẳng thực. Sau đó, đã có nhiều nỗ lực để làm rõ khái niệm của sự hỗn độn cho hệ động lực rời rạc. Tiêu biểu, năm 1989, Devaney đưa ra định nghĩa tường minh cho tập bất biến hỗn độn và các kết quả sau này của Banks, Brooks, Cairns, Davis, Stacey (1992). Sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu hay sự không ổn định là một phần quan trọng trong lí thuyết trên, do vậy, việc tìm hiểu các tính chất cho tính không ổn định của quỹ đạo là quan trọng và cần thiết. Năm 2010, Palmer và cộng sự đưa ra một số các kết quả về đặc trưng của sự phụ thuộc nhạy cảm theo số mũ Lyapunov nhằm đưa thêm một vài điều kiện đủ cho việc kiểm tra tập bất biến hỗn độn. Trong luận văn này, em tập trung trình bày lại các kết quả gần đây nhất về số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 dành để trình bày một vài khái niệm trong hệ động lực rời rạc. Chương 2 đề cập tới kết quả chính của Palmer về số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm. Luận văn là chi tiết hóa chứng minh của Palmer trong bài báo [3] được viết năm 2010. Hà Nội, ngày 05 tháng 09 năm 2016 Nguyễn Thị Thời 2
Chương 1 Một số khái niệm của hệ động lực rời rạc Mục đích chính của chương này nhằm giới thiệu một vài khái niệm cơ bản trong hệ động lực rời rạc thông qua phép lặp các hàm một biến. Cụ thể, ta tìm hiểu về quỹ đạo của điểm trên I ⊂ R khi nó được lặp đi, lặp lại bởi cùng một hàm số: x1 = f (x0 ) và xn = f (xn−1 ) với n ≥ 1, ta gọi x0 là điều kiện ban đầu và dãy {xn }∞ n=0 là quỹ đạo của điểm x0 dưới tác động hàm f . Trong trường hợp một chiều, ngoài việc dùng đồ thị của hàm số, ta có thể dùng rất nhiều công cụ giải tích khác của giải tích như định lí Lagrange, định lí modul liên tục, . . . để phân tích dáng điệu động lực của quỹ đạo tại một điểm. Các định nghĩa chính dưới đây của chương được tham khảo chủ yếu trong sách của C. Robinson [1]. 3
1.1 Số mũ Lyapunov và số mũ Lyapunov mạnh Trước tiên, ta đưa ra định nghĩa số mỹ Lyapunov, là số biểu diễn tốc độ tăng trưởng mũ của đạo hàm của hàm số f : I ⊂ R → R theo sự biến thiên của số phép lặp n. Tức là, nếu |(f n )0 (x0 )| ∼ Ln thì log(|(f n )0 (x0 )|) ∼ log(Ln ) = n log(L) hay (1/n)(log(|(f n )0 (x0 )|)) ∼ log(L) (n → ∞). Trong luận văn này, ta xét trường hợp tốt nhất là giới hạn này tồn tại khi n tiến ra vô cùng. Cụ thể, ta có định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.1.1. Cho f : R → R là hàm thuộc lớp C 1 . Với mỗi điểm x0 , ta định nghĩa số mũ Lyapunov của quỹ đạo {xn }∞ n=0 (kí hiệu λ(x0 )) là n 1 X λ(x0 ) = lim ln |f 0 (xk )| n→∞ n + 1 k=0 nếu giới hạn tồn tại. Nhận xét 1.1.1. Ta thấy rằng, vế phải của đẳng thức trên là giá trị trung bình dọc theo quỹ đạo của logarithm các đạo hàm. Định nghĩa của số mũ này tương tự trong luận án của Lyapunov năm 1892. Năm 1968, công trình của Oseledec [7] chỉ ra rằng giới hạn trên tồn tại với hầu hết các điểm. Ví dụ 1.1.1. Xét ánh xạ g : [0, 1] → R xác định bởi   2x với 0 ≤ x ≤ 0, 5 g(x) =  2(1 − x) với 0, 5 ≤ x ≤ 1. Nếu x0 là điểm sao cho xn = g n (x0 ) = 0, 5 với n nào đó, thì λ(x0 ) không xác định bởi vì đạo hàm của g tại điểm 0, 5 là không tồn tại. Những điểm x0 như thế là tập không quá đếm được. Còn lại là những điểm x0 ∈ [0, 1] mà g 0 (xn ) = 2 với mọi n thì số mũ Lyapunov của chúng đều bằng ln 2. Đối với những hàm f phức tạp, việc đưa ra công thức xn là khó khăn nên ý tưởng ước lượng mũ Lyapunov đối với quỹ đạo sinh bởi hàm f thông qua 4
một hàm g đơn giản hơn là cần thiết. Khái niệm liên hợp tô pô trong hệ động lực là một trong những công cụ hữu ích để làm điều đó. Ta nói hai hàm f và g là liên hợp tô pô nếu tồn tại một đồng phôi h thỏa mãn g(x) = h ◦ f ◦ h−1 (x). Ví dụ dưới đây là minh họa cho việc ước lượng số mũ Lyapunov thông qua hàm liên hợp tô pô. Ví dụ 1.1.2. Cho hàm f (x) = 4x(1 − x). Ta sẽ nghiên cứu số mũ Lyapunov của các quỹ đạo sinh bởi f trong một số trường hợp cụ thể sau. Trường hợp 1. Xét x0 là điểm sao cho xn = f n (x0 ) = 0, 5 với n nào đó, thì ln(|f 0 (xn )|) = ln(|f 0 (0, 5)|) = ln 0 = −∞ Do đó, λ(x0 ) = −∞ với những điểm x0 thỏa mãn tính chất trên. Trường hợp 2. Xét x0 = 0 hoặc 1 thì λ(x0 ) = ln(|f 0 (0)|) = ln 4. Trường hợp 3. Xét x0 ∈ (0, 1) mà f n (x0 ) khác 0; 1 và 0, 5. Theo Ví dụ 6.2 trong [1] trang 44, ta có hàm f liên hợp tô pô với hàm g trong Ví dụ 1.1.1, trong đó, hàm h(y) = sin2 (πy/2). Do hàm h khả vi liên tục trên [0, 1] nên tồn tại số K > 0 sao cho h0 (y) < K với y ∈ [0, 1]. Hơn nữa, do h0 (y) > 0 trên khoảng mở (0, 1) nên với δ > 0 đủ nhỏ, tồn tại Kδ > 0 sao cho Kδ < |h0 (y)|. Ta hạn chế các quỹ đạo chỉ nằm trong miền [δ, 1 − δ], khi đó n 1 X λ(x0 ) = lim ln |f 0 (xk )| n→∞ n + 1 k=0 1 = lim ln |(f n )0 (x0 )| n→∞ n + 1 1 = lim ln |(h ◦ g n ◦ h− 1)0 (x0 )| n→∞ n + 1 1 = lim (ln(|h0 (yn )|) + ln(|(g n )0 (y0 )|) + ln(|(h−1 )0 (x0 )|)) n→∞ n + 1 1 ≤ lim (ln(K) + n ln 2 + ln(|(h−1 )0 (x0 )|)) n→∞ n + 1 = ln 2. 5
Nhận xét 1.1.2. Số mũ Lyapunov là đặc trưng cho dáng điệu tiệm cận đối Pn với quỹ đạo {xn }∞ n=0 do nếu lim n+1 1 0 k=0 ln |f (xk )| tồn tại thì với m > 0 n→∞ 1 Pn 0 cố định, giới hạn lim n+1 n→∞ k=0 ln |f (xk+m )| cũng tồn tại và chúng bằng nhau. Trong Nhận xét 1.1.2, nếu ta thay điều kiện m cố định thành điều kiện 1 Pn 0 lim n+1 n→∞ k=0 ln |f (xk+m )| tồn tại đều theo m thì số mũ thu được được gọi là số mũ mạnh. Khái niệm này được đưa ra bởi Palmer năm 2010 nhằm nghiên cứu tính ổn định của quỹ đạo được nói đến trong Chương 2. Khái niệm số mũ Lyapunov mạnh tương tự khái niệm số mũ Bohl của phương trình vi phân. Cụ thể, ta có định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.1.2. Số mũ Lyapunov mạnh, kí hiệu Λ(x0 ) của quỹ đạo {xn }∞ n=0 của ánh xạ f : I ⊂ R → R được xác định bởi i+n−1 1 X Λ(x0 ) = lim ln |f 0 (xk )|, n→∞ n k=i nếu giới hạn này tồn tại đều tương ứng với i ≥ 0. Do điều kiện hội tụ đều theo chỉ số i ≥ 0 nên nếu sỗ mũ Lyapunov mạnh tồn tại thì số mũ Lyapunov tồn tại và hai giá trị đó là bằng nhau. Nhưng trường hợp ngược lại không đúng. Dưới đây là một số ví dụ cho số mũ Lyapunov mạnh. √ Ví dụ 1.1.3. Xét hàm f : [0, 1] → R, xác định bởi f (x) = x. Chọn điều kiện ban đầu x0 = 18 . Khi đó, ta có quỹ đạo 1 xn = f n (x0 ) = . 81/2n Theo định nghĩa, ta thu được số mũ Lyapunov mạnh của quỹ đạo trên như 6
sau n 1 1 X Λ = lim ln |f 0 (xk )| 8 n→∞ n+1 k=0 n 1 X 1 = lim ln n→∞ n + 1 4 k=0 n+1 = − ln 4 lim n→∞ n + 1 = − ln 4. Trong Chương 2, ta sẽ đề cập đến việc xét dấu của số mũ Lyapunov (mạnh), đó là một trong những đặc trưng quan trọng để xác định sự nhạy cảm của quỹ đạo. Dưới đây là điều kiện cần cho tính dương của số mũ Lyapunov mạnh, mà ta sẽ cần dùng tới trong chương sau. Mệnh đề 1.1.1. Cho f : I ⊂ R → R là ánh xạ khả vi liên tục và Λ(x0 ) > 0 là số mũ Lyapunov mạnh của quỹ đạo {xn }∞ n=0 . Khi đó inf |f 0 (xn )| > 0. n≥0 Chứng minh. Ta có i+n 1 X Λ(x0 ) = lim ln|f 0 (xk )| n→∞ n + 1 k=i tồn tại. Theo định nghĩa giới hạn, tồn tại N > 0 sao cho với mọi n ≥ N thì Λ(x0 ) 1 3Λ(x0 ) < ln|f 0 (xi ).f 0 (xi+1 )...f 0 (xi+n )| < . 2 n+1 2 Lấy n = N ta có Λ(x0 ) Λ(x0 ) e(N +1) 2 < |f 0 (xi )...f 0 (xi+N )| < e3(N +1) 2 . Vì f 0 liên tục trên [0, 1] nên tồn tại sup f 0 (x0 ) = M [0,1] 7
Với mọi n ≥ 0 (N + 1)Λ(x0 ) |f 0 (xn )| ≥ M −N exp 2 inf |f 0 (xn )| > 0. n≥0 1.2 Tập bất biến hỗn độn và sự nhạy cảm của quỹ đạo Để định nghĩa tập bất biến hỗn độn, ta cần có giả thiết chỉ ra rằng, dáng điệu động lực của quỹ đạo trên tập bất biến là hỗn độn hay những quỹ đạo gần nhau tại thời điểm ban đầu sẽ không còn gần nhau dưới phép lặp đủ lớn. Định nghĩa dưới đây là sự phục thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu là một trong các khái niệm như thế. Định nghĩa 1.2.1. Cho ánh xạ f : I ⊂ R → R. Quỹ đạo {xn }∞ n=0 sinh bởi f được gọi là phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu nếu tồn tại số ε0 > 0 sao cho với bất kì số δ > 0 thì luôn có y0 ∈ I thỏa mãn (i) |y0 − x0 | < δ (ii) |f N (y0 ) − f N (x0 )| ≥ ε0 với số tự nhiên N nào đó. Nếu các quỹ đạo với điều kiện ban đầu nằm trong tập A ⊂ I đều phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu thì ta nói f nhạy cảm trên A. Ví dụ 1.2.1. Xét ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = x2 . Xét điều kiện ban đầu x0 = 1, khi đó ta có quỹ đạo xn = f n (x0 ) = 1 với mọi n. Lấy ε0 = 21 . Với mọi số δ > 0 đủ nhỏ, chọn y0 = 1 − 2δ . Khi đó, quỹ đạo qua điểm y0 là 2n n δ yn = f (y0 ) = 1− . 2 8
Rõ ràng yn tiến về 0 khi n → ∞. Do đó, tồn tại N đủ lớn sao cho |yN − xN | > ε0 . Do đó, quỹ đạo qua điểm x0 phụ thuộc vào điền kiện ban đầu. Dưới đây là hình minh họa trong Maple đối với quỹ đạo của y0 = 0.9999999 và y0 = 0.9999. Quan sát Hình 1.1 ta thấy tuy điều kiện ban đầu y0 khá gần x0 nhưng với n Hình 1.1: Dáng điệu quỹ đạo với x0 =, y0 = 0.9999999 và y0 = 0.9999 đủ lớn, hai quỹ đạo vẫn rời xa nhau. Với những f phức tạp hơn thì việc tìm công thức tổng quát của f n là rất phức tạp. Trong trường hợp đó, việc sử dụng công cụ máy tính là rất cần thiết. Ta có ví dụ khác dưới đây. Ví dụ 1.2.2. Cho hàm f (x) = x3 − x. Với điều kiện ban đầu là x0 = 0, ta có quỹ đạo {xn = 0}∞ n=0 . Xét y0 6= 0, ta có y1 = f (y0 ) = y03 − y0 y2 = f 2 (y0 ) = (y03 − y0 )3 − (y03 − y0 ) = y09 − 3y07 + 3y05 − 2y03 + y0 .... Dựa vào công thức trên, ta nhận thấy, việc ước lượng cho |yn − xn | là khó khăn. Dưới đây, ta đưa ra thuật toán trong Maple để dự đoán sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu của quỹ đạo {xn = 0}∞ n=0 . > restart; 9
> with(plottools): with(plots): > f := x → x3 − x > Draw := proc(a, b, c, n); local i,j,k,x,y,z,seq1,seq2,seq3,day; x[0] := a; y[0] := b; z[0] := c; seq1 := [0, a]; seq2 := [0, b]; seq3 := [0, c]; for i to n do x[i] := f (x[i − 1]); y[i] := f (y[i − 1]); z[i] := f (z[i − 1]); od; seq1 := seq([i, x[i]], i = 0..n); seq2 := seq([i, y[i]], i = 0..n); seq3 := seq([i, z[i]], i = 0..n); day := seq1unionseq2unionseq3; pointplot(day, color = blue); end; > Draw(0, 0.1, 0.1, 50) Lúc đó, ta thu được kết quả như Hình 1.2 Dựa vào đồ thị ta thấy khi y0 gần x0 tại thời điểm ban đầu thì yn cũng gần với xn . Điều này có thể cho ta dự đoán là quỹ đạo xn = 0 không phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu. Trước khi chuyển sang định nghĩa tập bất biến hỗn độn, ta đưa ra khái niệm tính transitive của ánh xạ 10
Hình 1.2: Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ f : I ⊂ R → R được gọi là transitive trên tập bất biến A ⊂ I nếu tồn tại điểm x0 ∈ I sao cho quỹ đạo xuất phát từ x0 là trù mật trong A. Dưới đây là định nghĩa tập bất biến hỗn độn được đưa ra năm 1999 bởi Clark Robinson [1]. Định nghĩa 1.2.3. Cho ánh xạ f : I ⊂ R → R. Khi đó f được gọi là hỗn độn trên tập bất biến A ⊂ I nếu những điều sau được thỏa mãn (i) f là ánh xạ transitive trên tập A (ii) f nhạy cảm trên A. Khái niệm "hỗn độn" trong lí thuyết hệ động lực được đưa ra đầu tiên bởi Li và Yorke năm 1975 [5]. Trong bài báo đó, các tác giả chỉ ra rằng: Nếu ánh xạ trên đường thẳng thực có điểm tuần hoàn chu kì 3 thì với mọi n, luôn tồn tại quỹ đạo có chu kì n. Ngoài ra họ cũng chứng minh được rằng nếu ánh xạ f trên đường thẳng có điểm tuần hoàn với chu kì 3 thì tồn tại tập bất biến S sao cho lim sup |f n (p) − f n (q)| > 0 và lim inf |f n (p) − f n (q)| = 0 (1.1) n→∞ n→∞ với mọi p, q ∈ S mà p 6= q. Li và Yorke gọi tính chất trên là "hỗn độn". Có thể thấy, tính chất (1.1) khá gần với điều kiện sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều 11
kiện ban đầu. Sau đó, Devaney (1989, [6]) đưa ra định nghĩa tường minh cho tập bất biến hỗn độn. Ngoài hai điều kiện trong Định nghĩa 1.2.3, Devaney có đưa thêm giả thiết các điểm tuần hoàn là trù mật trong A. Mặc dù tính chất này chỉ thỏa mãn với các ánh xạ hyperbolic đều, tuy nhiên nó không là vấn đề trọng tâm trong ý tưởng xây dựng hệ động lực hỗn độn (điều này được nêu trong bài báo đầu tiên của Li và Yorke (1975)). Cho nên trong [1], Robinson chỉ dùng hai điều kiện như trong Định nghĩa 1.2.3 để định nghĩa cho tập bất biến hỗn độn. Trong bài báo của Banks, Brooks, Cairns, Davis và Stacey (1992) [4], tác giả chứng minh rằng nếu f có tính bắc cầu trên tập A và các điểm tuần hoàn là trù mật trên A thì có phụ thuộc nhạy cảm vào quỹ đạo và đo đó A là tập bất biến hỗn độn. Mệnh đề dưới đây khẳng định, sự phụ thuộc nhạy cảm (sự nhạy cảm) của quỹ đạo được bảo toàn qua phép liên hợp tô pô đối với các ánh xạ trên tập compact. Mệnh đề 1.2.1. Cho f : I ⊂ R → I là liên hợp tô pô với g : J ⊂ R → J. Nếu I, J là compact và g nhạy cảm trên J thì f cũng nhạy cảm trên X. Chứng minh. Xét quỹ đạo {yn }∞ n=0 . Do g nhạy cảm trên J nên tồn tại r > 0 sao cho với mọi ε0 ta luôn có q0 ∈ J thỏa mãn (i) |q0 − y0 | ≤ ε0 (ii) Tồn tại số nguyên k để |yk − qk | ≥ r. Do f, g là liên hợp tô pô, nên tồn tại đồng phôi h : I → J thỏa mãn g = h ◦ f ◦ h−1 . Lấy {xn }∞ n=0 là quỹ đạo mà x0 = h −1 (y0 ), ta sẽ chứng minh {xn }∞ n=0 là nhạy cảm. Thật vậy, từ giả thiết I là compact ta dẫn đến h là liên tục đều trên I. Tức là, với r > 0 ở trên, tồn tại số δ > 0 sao cho nếu x, p ∈ I mà |x − p| < δ thì |h(x) − h(p)| < r. Do đó, nếu |h(x) − h(p)| > r thì 12
|x − p| > δ. Chọn p0 = h−1 (q0 ), theo (ii), ta có |yk − qk | ≥ r nên |h−1 (yk ) − h−1 (qk )| > δ ⇔ |h−1 (g k (y0 )) − h−1 (g k (q0 ))| > δ. Do h−1 (g k (y0 )) = f k (h−1 (y0 )) = f k (x0 ) và h−1 (g k (q0 )) = f k (h−1 (q0 )) = f k (p0 ) nên |f k (x0 ) − f k (p0 )| > δ. Do h là đồng phôi nên chọn ε0 đủ bé để p0 gần x0 nhưng |f k (x0 ) − f k (p0 )| > δ. Mệnh đề được chứng minh. 1.3 Sự ổn định Lyapunov của quỹ đạo Mục đích phần này dùng để trình bày khái niệm về sự ổn định theo nghĩa Lyapunov của quỹ đạo trong trường hợp một chiều. Định nghĩa 1.3.1. Cho f : [0; 1] → [0; 1], quỹ đạo {xn }∞ n=0 được gọi là ổn định Lyapunov nếu với mọi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y : |y0 −x0 | < δ thì |yn − xn | < , n ≥ 0. Ví dụ 1.3.1. Cho f : [0; 1] → [0; 1] xác định bởi f (x) = 1 − x. Ta xét quỹ đạo x0 = 0, xn = f n (xn−1 ). Khi đó x2k = 0 và x2k+1 = 1 (k = 0, 1, . . . ). Lấy y0 thoả mãn |y0 − x0 | ≤ ε. Do định nghĩa ánh xạ f nên y2k = y0 và y2k+1 = 1 − y0 . Do đó |yn − xn | ≤ ε với mọi n = 0, 1, 2, . . . . Cho nên, quỹ đạo {xn }∞ n=0 là ổn định. 13
Hình 1.3: Quỹ đạo màu đỏ là của {xn }∞ ∞ n=0 , quỹ đạo màu xanh là của {yn }n=0 với y0 tương ứng là 0.05 và 0.03. Nhận xét 1.3.1. Đối với lớp ánh xạ đẳng tự (tức là |f (x) − f (y)| = |x − y|) thì mọi quỹ đạo đều ổn định do |xn − yn | = |f n (x) − f n (y)| = |x − y|. Do đó, luôn chọn được số δ = ε để |x0 − y0 | < δ thì |xn − yn | < ε. 1 Ví dụ 1.3.2. Xét ánh xạ f : [0; 1] → [0; 1] xác định bởi f (x) = x(1 − x). 4 1 Khi đó, hệ động lực sinh bởi ánh xạ này có dạng xn+1 = xn (1 − xn ), là 4 1 phương trình Logistic ô - tô - nôm rời rạc với hệ số (một trong các mô hình 4 dân số nổi tiếng được đưa ra vào năm 1837 bởi Verhulst). Do
0
1 1
3 |f (x)| =