ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ THỜI
SỐ MŨ LYAPUNOV VÀ SỰ KHÔNG ỔN ĐỊNH
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số:
60460102
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY TIỄN
HÀ NỘI−2016
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, người đã tận tình hướng dẫn để em có
thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thành viên trong
nhóm seminar hệ động lực trường KHTN đã có những góp ý quý báu để em
hoàn hiện luận văn tốt nghiệp này. Nói riêng, em xin gửi lời cảm ơn chân
thành tới bạn Lê Đức Nhiên, người đã giúp đỡ rất nhiều và hướng dẫn em
trong việc sử dụng Latex và Maple.
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2016
Học viên
Nguyễn Thị Thời
2
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Một số khái niệm của hệ động lực rời rạc 3
1.1 Số mũ Lyapunov và số mũ Lyapunov mạnh . . . . . . . . . . 4
1.2 Tập bất biến hỗn độn và sự nhạy cảm của quỹ đạo . . . . . . 8
1.3 Sự ổn định Lyapunov của quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Bổ đề Gronwall rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm 18
2.1 Sự nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov dương . . . . 19
2.2 Sự nhạy cảm của lớp các hệ hỗn độn . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Sự không nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov âm . . 34
2.4 Sự nhạy cảm đối với hệ không ô tô nôm . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Tài liệu tham khảo 43
1
LỜI NÓI ĐẦU
Năm 1975, Li và Yorke là hai nhà toán học đầu tiên sử dụng khái niệm
sự hỗn độn trong lí thuyết hệ động lực để chứng minh một số tính chất của
điểm tuần hoàn đối với ánh xạ trên đường thẳng thực. Sau đó, đã có nhiều
nỗ lực để làm rõ khái niệm của sự hỗn độn cho hệ động lực rời rạc. Tiêu biểu,
năm 1989, Devaney đưa ra định nghĩa tường minh cho tập bất biến hỗn độn
và các kết quả sau này của Banks, Brooks, Cairns, Davis, Stacey (1992).
Sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu hay sự không ổn định là
một phần quan trọng trong lí thuyết trên, do vậy, việc tìm hiểu các tính chất
cho tính không ổn định của quỹ đạo là quan trọng và cần thiết. Năm 2010,
Palmer và cộng sự đưa ra một số các kết quả về đặc trưng của sự phụ thuộc
nhạy cảm theo số mũ Lyapunov nhằm đưa thêm một vài điều kiện đủ cho
việc kiểm tra tập bất biến hỗn độn. Trong luận văn này, em tập trung trình
bày lại các kết quả gần đây nhất về số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 dành để trình bày một vài khái niệm trong hệ động lực rời rạc.
Chương 2 đề cập tới kết quả chính của Palmer về số mũ Lyapunov và sự
nhạy cảm.
Luận văn là chi tiết hóa chứng minh của Palmer trong bài báo [3] được
viết năm 2010.
Hà Nội, ngày 05 tháng 09 năm 2016
Nguyễn Thị Thời
2
Chương 1
Một số khái niệm của hệ
động lực rời rạc
Mục đích chính của chương này nhằm giới thiệu một vài khái niệm cơ bản
trong hệ động lực rời rạc thông qua phép lặp các hàm một biến. Cụ thể, ta
tìm hiểu về quỹ đạo của điểm trên I ⊂ R khi nó được lặp đi, lặp lại bởi cùng
n=0 là quỹ đạo của điểm x0 dưới tác động hàm f . Trong
một hàm số: x1 = f (x0) và xn = f (xn−1) với n ≥ 1, ta gọi x0 là điều kiện ban đầu và dãy {xn}∞
trường hợp một chiều, ngoài việc dùng đồ thị của hàm số, ta có thể dùng rất
nhiều công cụ giải tích khác của giải tích như định lí Lagrange, định lí modul
liên tục, . . . để phân tích dáng điệu động lực của quỹ đạo tại một điểm. Các
định nghĩa chính dưới đây của chương được tham khảo chủ yếu trong sách
của C. Robinson [1].
3
1.1 Số mũ Lyapunov và số mũ Lyapunov mạnh
Trước tiên, ta đưa ra định nghĩa số mỹ Lyapunov, là số biểu diễn tốc
độ tăng trưởng mũ của đạo hàm của hàm số f : I ⊂ R → R theo sự biến
thiên của số phép lặp n. Tức là, nếu |(f n)(cid:48)(x0)| ∼ Ln thì log(|(f n)(cid:48)(x0)|) ∼ log(Ln) = n log(L) hay (1/n)(log(|(f n)(cid:48)(x0)|)) ∼ log(L) (n → ∞). Trong
luận văn này, ta xét trường hợp tốt nhất là giới hạn này tồn tại khi n tiến ra
vô cùng. Cụ thể, ta có định nghĩa dưới đây.
n=0 (kí hiệu λ(x0)) là
n (cid:88)
Định nghĩa 1.1.1. Cho f : R → R là hàm thuộc lớp C 1. Với mỗi điểm x0, ta định nghĩa số mũ Lyapunov của quỹ đạo {xn}∞
k=0
ln |f (cid:48)(xk)| λ(x0) = lim n→∞ 1 n + 1
nếu giới hạn tồn tại.
Nhận xét 1.1.1. Ta thấy rằng, vế phải của đẳng thức trên là giá trị trung
bình dọc theo quỹ đạo của logarithm các đạo hàm. Định nghĩa của số mũ
này tương tự trong luận án của Lyapunov năm 1892. Năm 1968, công trình
của Oseledec [7] chỉ ra rằng giới hạn trên tồn tại với hầu hết các điểm.
Ví dụ 1.1.1. Xét ánh xạ g : [0, 1] → R xác định bởi
2x với 0 ≤ x ≤ 0, 5 g(x) = 2(1 − x) với 0, 5 ≤ x ≤ 1.
Nếu x0 là điểm sao cho xn = gn(x0) = 0, 5 với n nào đó, thì λ(x0) không
xác định bởi vì đạo hàm của g tại điểm 0, 5 là không tồn tại. Những điểm x0
như thế là tập không quá đếm được. Còn lại là những điểm x0 ∈ [0, 1] mà g(cid:48)(xn) = 2 với mọi n thì số mũ Lyapunov của chúng đều bằng ln 2.
Đối với những hàm f phức tạp, việc đưa ra công thức xn là khó khăn nên
ý tưởng ước lượng mũ Lyapunov đối với quỹ đạo sinh bởi hàm f thông qua
4
một hàm g đơn giản hơn là cần thiết. Khái niệm liên hợp tô pô trong hệ động
lực là một trong những công cụ hữu ích để làm điều đó. Ta nói hai hàm f và g
là liên hợp tô pô nếu tồn tại một đồng phôi h thỏa mãn g(x) = h ◦ f ◦ h−1(x).
Ví dụ dưới đây là minh họa cho việc ước lượng số mũ Lyapunov thông qua
hàm liên hợp tô pô.
Ví dụ 1.1.2. Cho hàm f (x) = 4x(1 − x). Ta sẽ nghiên cứu số mũ Lyapunov
của các quỹ đạo sinh bởi f trong một số trường hợp cụ thể sau.
Trường hợp 1. Xét x0 là điểm sao cho xn = f n(x0) = 0, 5 với n nào đó,
thì
ln(|f (cid:48)(xn)|) = ln(|f (cid:48)(0, 5)|) = ln 0 = −∞
Do đó, λ(x0) = −∞ với những điểm x0 thỏa mãn tính chất trên.
Trường hợp 2. Xét x0 = 0 hoặc 1 thì
λ(x0) = ln(|f (cid:48)(0)|) = ln 4.
Trường hợp 3. Xét x0 ∈ (0, 1) mà f n(x0) khác 0; 1 và 0, 5. Theo Ví dụ
6.2 trong [1] trang 44, ta có hàm f liên hợp tô pô với hàm g trong Ví dụ 1.1.1,
trong đó, hàm h(y) = sin2(πy/2). Do hàm h khả vi liên tục trên [0, 1] nên
tồn tại số K > 0 sao cho h(cid:48)(y) < K với y ∈ [0, 1]. Hơn nữa, do h(cid:48)(y) > 0 trên
khoảng mở (0, 1) nên với δ > 0 đủ nhỏ, tồn tại Kδ > 0 sao cho Kδ < |h(cid:48)(y)|.
n (cid:88)
Ta hạn chế các quỹ đạo chỉ nằm trong miền [δ, 1 − δ], khi đó
k=0
ln |f (cid:48)(xk)| λ(x0) = lim n→∞ 1 n + 1
ln |(f n)(cid:48)(x0)| = lim n→∞
ln |(h ◦ gn ◦ h−1)(cid:48)(x0)| = lim n→∞
(ln(|h(cid:48)(yn)|) + ln(|(gn)(cid:48)(y0)|) + ln(|(h−1)(cid:48)(x0)|)) = lim n→∞
(ln(K) + n ln 2 + ln(|(h−1)(cid:48)(x0)|)) ≤ lim n→∞ 1 n + 1 1 n + 1 1 n + 1 1 n + 1
= ln 2.
5
1 n+1
(cid:80)n với quỹ đạo {xn}∞
(cid:80)n Nhận xét 1.1.2. Số mũ Lyapunov là đặc trưng cho dáng điệu tiệm cận đối k=0 ln |f (cid:48)(xk)| tồn tại thì với m > 0 n=0 do nếu lim n→∞ 1 k=0 ln |f (cid:48)(xk+m)| cũng tồn tại và chúng bằng n+1 cố định, giới hạn lim n→∞
nhau.
1 n+1
(cid:80)n
Trong Nhận xét 1.1.2, nếu ta thay điều kiện m cố định thành điều kiện k=0 ln |f (cid:48)(xk+m)| tồn tại đều theo m thì số mũ thu được được lim n→∞ gọi là số mũ mạnh. Khái niệm này được đưa ra bởi Palmer năm 2010 nhằm
nghiên cứu tính ổn định của quỹ đạo được nói đến trong Chương 2. Khái niệm
số mũ Lyapunov mạnh tương tự khái niệm số mũ Bohl của phương trình vi
phân. Cụ thể, ta có định nghĩa dưới đây.
n=0 của ánh xạ f : I ⊂ R → R được xác định bởi
i+n−1 (cid:88)
Định nghĩa 1.1.2. Số mũ Lyapunov mạnh, kí hiệu Λ(x0) của quỹ đạo {xn}∞
k=i
ln |f (cid:48)(xk)|, Λ(x0) = lim n→∞ 1 n
nếu giới hạn này tồn tại đều tương ứng với i ≥ 0.
Do điều kiện hội tụ đều theo chỉ số i ≥ 0 nên nếu sỗ mũ Lyapunov
mạnh tồn tại thì số mũ Lyapunov tồn tại và hai giá trị đó là bằng nhau.
Nhưng trường hợp ngược lại không đúng. Dưới đây là một số ví dụ cho số
mũ Lyapunov mạnh.
√ Ví dụ 1.1.3. Xét hàm f : [0, 1] → R, xác định bởi f (x) = x. Chọn điều
8 . Khi đó, ta có quỹ đạo
kiện ban đầu x0 = 1
xn = f n(x0) = 1 81/2n .
Theo định nghĩa, ta thu được số mũ Lyapunov mạnh của quỹ đạo trên như
6
n (cid:88)
k=0 n (cid:88)
sau (cid:19) Λ ln |f (cid:48)(xk)| = lim n→∞ (cid:18) 1 8 1 n + 1
ln = lim n→∞ 1 n + 1 1 4
k=0 n + 1 n + 1
= − ln 4 lim n→∞
= − ln 4.
Trong Chương 2, ta sẽ đề cập đến việc xét dấu của số mũ Lyapunov
(mạnh), đó là một trong những đặc trưng quan trọng để xác định sự nhạy
cảm của quỹ đạo. Dưới đây là điều kiện cần cho tính dương của số mũ
Lyapunov mạnh, mà ta sẽ cần dùng tới trong chương sau.
n=0. Khi đó
Mệnh đề 1.1.1. Cho f : I ⊂ R → R là ánh xạ khả vi liên tục và Λ(x0) > 0 là số mũ Lyapunov mạnh của quỹ đạo {xn}∞
|f (cid:48)(xn)| > 0. inf n≥0
i+n (cid:88)
Chứng minh. Ta có
k=i
ln|f (cid:48)(xk)| Λ(x0) = lim n→∞ 1 n + 1
tồn tại. Theo định nghĩa giới hạn, tồn tại N > 0 sao cho với mọi n ≥ N thì
< . ln|f (cid:48)(xi).f (cid:48)(xi+1)...f (cid:48)(xi+n)| < Λ(x0) 2 1 n + 1 3Λ(x0) 2
2
Lấy n = N ta có
2 < |f (cid:48)(xi)...f (cid:48)(xi+N )| < e3(N +1) Λ(x0)
e(N +1) Λ(x0) .
Vì f (cid:48) liên tục trên [0, 1] nên tồn tại
f (cid:48)(x0) = M sup [0,1]
7
Với mọi n ≥ 0
|f (cid:48)(xn)| ≥ M −N exp (N + 1)Λ(x0) 2
1.2 Tập bất biến hỗn độn và sự nhạy cảm của
quỹ đạo
|f (cid:48)(xn)| > 0. inf n≥0
Để định nghĩa tập bất biến hỗn độn, ta cần có giả thiết chỉ ra rằng, dáng
điệu động lực của quỹ đạo trên tập bất biến là hỗn độn hay những quỹ đạo
gần nhau tại thời điểm ban đầu sẽ không còn gần nhau dưới phép lặp đủ lớn.
Định nghĩa dưới đây là sự phục thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu là
một trong các khái niệm như thế.
n=0 sinh bởi f
Định nghĩa 1.2.1. Cho ánh xạ f : I ⊂ R → R. Quỹ đạo {xn}∞
được gọi là phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu nếu tồn tại số ε0 > 0
sao cho với bất kì số δ > 0 thì luôn có y0 ∈ I thỏa mãn
(i) |y0 − x0| < δ
(ii) |f N (y0) − f N (x0)| ≥ ε0 với số tự nhiên N nào đó.
Nếu các quỹ đạo với điều kiện ban đầu nằm trong tập A ⊂ I đều phụ thuộc
nhạy cảm vào điều kiện ban đầu thì ta nói f nhạy cảm trên A.
Ví dụ 1.2.1. Xét ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = x2. Xét điều kiện
2 . Khi đó, quỹ đạo qua điểm y0 là
ban đầu x0 = 1, khi đó ta có quỹ đạo xn = f n(x0) = 1 với mọi n. Lấy ε0 = 1 2 . Với mọi số δ > 0 đủ nhỏ, chọn y0 = 1 − δ
(cid:18) (cid:19)2n 1 − . yn = f n(y0) = δ 2
8
Rõ ràng yn tiến về 0 khi n → ∞. Do đó, tồn tại N đủ lớn sao cho
|yN − xN | > ε0.
Do đó, quỹ đạo qua điểm x0 phụ thuộc vào điền kiện ban đầu. Dưới đây là hình
minh họa trong Maple đối với quỹ đạo của y0 = 0.9999999 và y0 = 0.9999.
Quan sát Hình 1.1 ta thấy tuy điều kiện ban đầu y0 khá gần x0 nhưng với n
Hình 1.1: Dáng điệu quỹ đạo với x0 =, y0 = 0.9999999 và y0 = 0.9999
đủ lớn, hai quỹ đạo vẫn rời xa nhau.
Với những f phức tạp hơn thì việc tìm công thức tổng quát của f n là rất
phức tạp. Trong trường hợp đó, việc sử dụng công cụ máy tính là rất cần
thiết. Ta có ví dụ khác dưới đây.
n=0. Xét y0 (cid:54)= 0, ta có
Ví dụ 1.2.2. Cho hàm f (x) = x3 − x. Với điều kiện ban đầu là x0 = 0, ta có quỹ đạo {xn = 0}∞
0 − y0
y1 = f (y0) = y3
0 − y0)3 − (y3
0 − y0) = y9
0 − 3y7
0 + 3y5
0 − 2y3
0 + y0
y2 = f 2(y0) = (y3
. . . .
Dựa vào công thức trên, ta nhận thấy, việc ước lượng cho |yn − xn| là khó
khăn. Dưới đây, ta đưa ra thuật toán trong Maple để dự đoán sự phụ thuộc
n=0.
nhạy cảm vào điều kiện ban đầu của quỹ đạo {xn = 0}∞
> restart;
9
> with(plottools): with(plots):
> f := x → x3 − x
> Draw := proc(a, b, c, n);
local i,j,k,x,y,z,seq1,seq2,seq3,day;
x[0] := a;
y[0] := b;
z[0] := c;
seq1 := [0, a];
seq2 := [0, b];
seq3 := [0, c];
for i to n do
x[i] := f (x[i − 1]);
y[i] := f (y[i − 1]);
z[i] := f (z[i − 1]);
od;
seq1 := seq([i, x[i]], i = 0..n);
seq2 := seq([i, y[i]], i = 0..n);
seq3 := seq([i, z[i]], i = 0..n);
day := seq1unionseq2unionseq3;
pointplot(day, color = blue);
end;
> Draw(0, 0.1, 0.1, 50)
Lúc đó, ta thu được kết quả như Hình 1.2
Dựa vào đồ thị ta thấy khi y0 gần x0 tại thời điểm ban đầu thì yn cũng
gần với xn. Điều này có thể cho ta dự đoán là quỹ đạo xn = 0 không phụ
thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu.
Trước khi chuyển sang định nghĩa tập bất biến hỗn độn, ta đưa ra khái
niệm tính transitive của ánh xạ
10
Hình 1.2:
Định nghĩa 1.2.2. Ánh xạ f : I ⊂ R → R được gọi là transitive trên tập
bất biến A ⊂ I nếu tồn tại điểm x0 ∈ I sao cho quỹ đạo xuất phát từ x0 là
trù mật trong A.
Dưới đây là định nghĩa tập bất biến hỗn độn được đưa ra năm 1999 bởi
Clark Robinson [1].
Định nghĩa 1.2.3. Cho ánh xạ f : I ⊂ R → R. Khi đó f được gọi là hỗn
độn trên tập bất biến A ⊂ I nếu những điều sau được thỏa mãn
(i) f là ánh xạ transitive trên tập A
(ii) f nhạy cảm trên A.
Khái niệm "hỗn độn" trong lí thuyết hệ động lực được đưa ra đầu tiên
bởi Li và Yorke năm 1975 [5]. Trong bài báo đó, các tác giả chỉ ra rằng: Nếu
ánh xạ trên đường thẳng thực có điểm tuần hoàn chu kì 3 thì với mọi n, luôn
tồn tại quỹ đạo có chu kì n. Ngoài ra họ cũng chứng minh được rằng nếu ánh
xạ f trên đường thẳng có điểm tuần hoàn với chu kì 3 thì tồn tại tập bất
biến S sao cho
|f n(p) − f n(q)| = 0 (1.1) |f n(p) − f n(q)| > 0 và lim inf n→∞ lim sup n→∞
với mọi p, q ∈ S mà p (cid:54)= q. Li và Yorke gọi tính chất trên là "hỗn độn". Có thể
thấy, tính chất (1.1) khá gần với điều kiện sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều
11
kiện ban đầu. Sau đó, Devaney (1989, [6]) đưa ra định nghĩa tường minh cho
tập bất biến hỗn độn. Ngoài hai điều kiện trong Định nghĩa 1.2.3, Devaney
có đưa thêm giả thiết các điểm tuần hoàn là trù mật trong A. Mặc dù tính
chất này chỉ thỏa mãn với các ánh xạ hyperbolic đều, tuy nhiên nó không
là vấn đề trọng tâm trong ý tưởng xây dựng hệ động lực hỗn độn (điều này
được nêu trong bài báo đầu tiên của Li và Yorke (1975)). Cho nên trong [1],
Robinson chỉ dùng hai điều kiện như trong Định nghĩa 1.2.3 để định nghĩa
cho tập bất biến hỗn độn.
Trong bài báo của Banks, Brooks, Cairns, Davis và Stacey (1992) [4], tác
giả chứng minh rằng nếu f có tính bắc cầu trên tập A và các điểm tuần hoàn
là trù mật trên A thì có phụ thuộc nhạy cảm vào quỹ đạo và đo đó A là tập
bất biến hỗn độn.
Mệnh đề dưới đây khẳng định, sự phụ thuộc nhạy cảm (sự nhạy cảm) của
quỹ đạo được bảo toàn qua phép liên hợp tô pô đối với các ánh xạ trên tập
compact.
Mệnh đề 1.2.1. Cho f : I ⊂ R → I là liên hợp tô pô với g : J ⊂ R → J.
n=0. Do g nhạy cảm trên J nên tồn tại r > 0
Nếu I, J là compact và g nhạy cảm trên J thì f cũng nhạy cảm trên X.
Chứng minh. Xét quỹ đạo {yn}∞ sao cho với mọi ε(cid:48) ta luôn có q0 ∈ J thỏa mãn
(i) |q0 − y0| ≤ ε(cid:48)
(ii) Tồn tại số nguyên k để |yk − qk| ≥ r.
Do f, g là liên hợp tô pô, nên tồn tại đồng phôi h : I → J thỏa mãn g =
n=0 là quỹ đạo mà x0 = h−1(y0), ta sẽ chứng minh n=0 là nhạy cảm. Thật vậy, từ giả thiết I là compact ta dẫn đến h là
h ◦ f ◦ h−1. Lấy {xn}∞ {xn}∞
liên tục đều trên I. Tức là, với r > 0 ở trên, tồn tại số δ > 0 sao cho nếu
x, p ∈ I mà |x − p| < δ thì |h(x) − h(p)| < r. Do đó, nếu |h(x) − h(p)| > r thì
12
|x − p| > δ. Chọn p0 = h−1(q0), theo (ii), ta có |yk − qk| ≥ r nên
|h−1(yk) − h−1(qk)| > δ
⇔ |h−1(gk(y0)) − h−1(gk(q0))| > δ.
Do
h−1(gk(y0)) = f k(h−1(y0)) = f k(x0)
và
h−1(gk(q0)) = f k(h−1(q0)) = f k(p0)
nên
|f k(x0) − f k(p0)| > δ.
Do h là đồng phôi nên chọn ε(cid:48) đủ bé để p0 gần x0 nhưng
|f k(x0) − f k(p0)| > δ.
1.3 Sự ổn định Lyapunov của quỹ đạo
Mệnh đề được chứng minh.
Mục đích phần này dùng để trình bày khái niệm về sự ổn định theo nghĩa
Lyapunov của quỹ đạo trong trường hợp một chiều.
n=0 được gọi là ổn
Định nghĩa 1.3.1. Cho f : [0; 1] → [0; 1], quỹ đạo {xn}∞
định Lyapunov nếu với mọi (cid:15) > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y : |y0−x0| < δ
thì |yn − xn| < (cid:15), n ≥ 0.
Ví dụ 1.3.1. Cho f : [0; 1] → [0; 1] xác định bởi f (x) = 1 − x. Ta xét quỹ
đạo x0 = 0, xn = f n(xn−1). Khi đó x2k = 0 và x2k+1 = 1 (k = 0, 1, . . . ).
Lấy y0 thoả mãn |y0 − x0| ≤ ε. Do định nghĩa ánh xạ f nên y2k = y0 và
n=0 là ổn định.
y2k+1 = 1 − y0. Do đó |yn − xn| ≤ ε với mọi n = 0, 1, 2, . . . . Cho nên, quỹ đạo {xn}∞
13
n=0, quỹ đạo màu xanh là của {yn}∞
n=0
Hình 1.3: Quỹ đạo màu đỏ là của {xn}∞
với y0 tương ứng là 0.05 và 0.03.
Nhận xét 1.3.1. Đối với lớp ánh xạ đẳng tự (tức là |f (x) − f (y)| = |x − y|)
thì mọi quỹ đạo đều ổn định do |xn − yn| = |f n(x) − f n(y)| = |x − y|. Do đó,
luôn chọn được số δ = ε để |x0 − y0| < δ thì |xn − yn| < ε.
x(1 − x). Ví dụ 1.3.2. Xét ánh xạ f : [0; 1] → [0; 1] xác định bởi f (x) = 1 4
Khi đó, hệ động lực sinh bởi ánh xạ này có dạng xn+1 = xn(1 − xn), là 1 4
phương trình Logistic ô - tô - nôm rời rạc với hệ số (một trong các mô hình 1 4 dân số nổi tiếng được đưa ra vào năm 1837 bởi Verhulst). Do
≤ |f (cid:48)(x)| = − 2x 1 4 1 4 3 4 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Cho nên, theo định lí giá trị trung bình Lagrange thì với |x0 − y0| < ε ta thu
được
ε (với c ∈ [x0, y0]). |x1−y1| = |f (x0)−f (y0)| = |f (cid:48)(c)||x0−y0| ≤ |x0−y0| < 3 4
Bằng quy nạp, ta chứng minh được
(cid:19)n ε với mọi n = 0, 1, 2, . . . . (1.2) |xn − yn| < (cid:18) 3 4
Khi đó, mọi quỹ đạo của phương trình là ổn định. Hơn nữa, theo ước lượng
n=0.
(1.2) thì mọi quỹ đạo đều bị hút về quỹ đạo {xn = 0}∞
14
Hình 1.4: Các quỹ đạo của phương trình Logistic hệ số 1/4 ứng với điều kiện
1.4 Bổ đề Gronwall rời rạc
ban đầu x0 = 0.9, x0 = 0.5, x0 = 0.3.
Đối với trường hợp liên tục, phương pháp biến thiên hằng số và bất đẳng
thức Gronwall là một trong những công cụ quan trọng trong chứng minh tính
ổn định của phương trình vi phân tuyến tính với nhiễu Lipchits. Mục đích
của phần này, nhằm giới thiệu bất đẳng thức trên cho trường hợp rời rạc
và được dùng trong việc chứng minh sự ổn định của quỹ đạo với số mũ âm.
Trước khi vào mệnh đề chính, ta có bổ đề dưới đây.
Bổ đề 1.4.1. Nếu µn là các số không âm thì
n (cid:88)
k=1
l=1
l=1
(cid:33) (cid:33) (cid:32)k−1 (cid:88) (cid:32) n (cid:88) 1 + ≤ exp ( với n ≥ 1). (1.3) µk exp µl µl
Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề này bằng quy nạp. Với n = 1 ta có
1 + µ1 ≤ exp(µ1)
là đúng. Giả sử quy nạp, bất đẳng thức (1.3) đúng với n, ta sẽ chứng minh
15
(1.3) đúng với n + 1. Ta có
l=1
(cid:33) (cid:33) (cid:32) n (cid:88) (cid:32)n+1 (cid:88) exp = exp µl µl exp(µn+1)
l=1 (cid:32) n (cid:88)
l=1
l=1
(cid:33) (cid:33) (cid:32) n (cid:88) ≥ exp µl + µn+1 exp µl
n (cid:88)
k=1
l=1 (cid:33)
(cid:33) (cid:32)k−1 (cid:88) ≥ 1 + µk exp µl
l=1
(cid:32) n (cid:88) (do exp(x) ≥ 1 + x) + µn+1 exp µl
n+1 (cid:88)
k=1
l=1
(cid:33) (cid:32)k−1 (cid:88) (giả thiết quy nạp). = 1 + µl µk exp
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.4.1 (Bổ đề Gronwall rời rạc). Cho zn là các số không âm sao
n (cid:88)
cho
k=1
(với 0 ≤ n ≤ T ), zn ≤ B + µkzk−1
trong đó B và µn là các số không âm. Khi đó
k=1
(cid:33) (cid:32) n (cid:88) (với 0 ≤ n ≤ T ). (1.4) zn ≤ B exp µk
Chứng minh. Tương tự bổ đề trên ta chứng minh mệnh đề này bằng phương
pháp quy nạp theo n. Rõ ràng bất đẳng thức (1.4) đúng với n = 0. Giả sử
(1.4) đúng với mọi số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n − 1. Ta chứng minh
16
n (cid:88)
(1.4) đúng với n. Thật vậy, ta có ước lượng
k=1
zn ≤ B + µkzk−1
n (cid:88)
k=1
(cid:33) (cid:32)k−1 (cid:88) ≤ B + µkB exp µl
n (cid:88)
l=1 (cid:32)k−1 (cid:88)
(cid:34) (cid:33)(cid:35)
l=1
= B 1 + (giả thiết quy nạp) µk exp µl
k=1 (cid:32) n (cid:88)
(cid:33)
l=1
≤ B exp (sử dụng Bổ đề 1.4.1). µl
Do đó, ta có điều phải chứng minh.
17
Chương 2
Số mũ Lyapunov và sự
nhạy cảm
Như đã biết trong chương một, sự phụ thuộc nhạy cảm vào quỹ đạo là
khái niệm quan trọng trong lí thuyết hỗn độn. Vì vậy, việc đưa ra các tiêu
chuẩn hay đặc trưng để kiểm tra tính nhạy cảm của quỹ đạo là cần thiết.
Số mũ Lyapunov là một trong những khái niệm như thế. Trong bài báo của
Palmer [3], tác giả chỉ ra rằng, số mũ Lyapunov của quỹ đạo cần xét chưa đủ
đặc trưng cho tính nhạy cảm của quỹ đạo. Cụ thể, ngoài điều kiện dương của
số mũ Lyapunov, ta cần giả thiết thêm điều kiện bị chặn dưới bởi A > 0 của
các đạo hàm tại các điểm quỹ đạo thì quỹ đạo mới có tính nhạy cảm. Khi đó,
theo Mệnh đề 1.1.1 trong Chương 1, ta có hệ quả là số mũ Lyapunov mạnh
dương thì dẫn đến sự phụ thuộc nhạy cảm. Trong phần 2.2, ta trình bày lại
một điều kiện đủ khác cho sự nhạy cảm quỹ đạo. Phần cuối của chương dành
cho việc nêu lại chứng minh các quỹ đạo có số mũ Lyapunov âm thì không
nhạy cảm và nêu lại các kết quả trong trường hợp không ô - tô - nôm. Trong
chương này, ta chỉ xét các ánh xạ khoảng từ [0, 1] vào [0, 1] và các chứng minh
18
2.1 Sự nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lya-
punov dương
là chi tiết hóa các kết quả trong [3].
Trước khi đi đến định lí chính ta nhắc lại các khái niệm về hàm môđun
liên tục của một hàm bị chặn.
Cho h : [a, b] → R là hàm bị chặn. Ta định nghĩa hàm môđun liên tục của
h là
ω(|w|) = sup{|h(x) − h(y)| : x, y ∈ [a; b], |x − y| < |w|}.
Ví dụ 2.1.1. Xét h : [0, 1] → R xác định bởi h(x) = x. Khi đó
ω(|w|) = sup{|h(x) − h(y)| : x, y ∈ [0; 1], |x − y| < |w|}
= sup{|x − y| : x, y ∈ [0; 1], |x − y| < |w|}
= |w|.
n=0
Định lý 2.1.1. Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm thuộc lớp C 1. Quỹ đạo {xn}∞
thỏa mãn
|f (cid:48)(xn)| = A > 0 inf n≥0
n=0 phụ
và số mũ Lyapunov λ(x0) > 0 (nếu tồn tại). Khi đó, quỹ đạo {xn}∞
thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu (không ổn định).
n=1 là quỹ đạo của f đi qua điểm ban đầu y0 (cid:54)= x0.
Chứng minh. Lấy {yn}∞
Đặt
wn = yn − xn
Khi đó, với n ≥ 0 thì
wn+1 = f (cid:48)(xn)wn + f (xn + wn) − f (xn) − f (cid:48)(xn)wn.
19
Mặt khác, ta có
wn+1 = yn+1 − xn+1
= f (yn) − f (xn)
= f (wn + xn) − f (xn)
= f (cid:48)(xn)wn + f (wn + xn) − f (xn) − f (cid:48)(xn)wn.
Ta đặt
gn(wn) = f (xn + wn) − f (xn) − f (cid:48)(xn)wn.
Áp dụng dụng định lí giá trị trung bình Lagrange ta thu được
gn(w) = f (xn + w) − f (xn) − f (cid:48)(xn)w
= f (cid:48)(cn)w − f (cid:48)(xn)w
= (f (cid:48)(cn) − f (cid:48)(xn))w.
Do đó, ta có ước lượng
|gn(w)| = |f (cid:48)(cn) − f (cid:48)(xn)||w|
≤ ω(|cn − xn|)|w|
= ω(|w|)|w|,
trong đó ω là hàm môđun bị chặn. Ta có
wn = f (cid:48)(xn)wn + (f (cid:48)(cn) − f (cid:48)(xn))wn, (với cn ∈ [xn; xn + wn]).
Cho w0 (cid:54)= 0 và giả sử phản chứng với mọi (cid:15) dương đủ bé và n ≥ 0 thì
|wn| ≤ (cid:15),
ω((cid:15)) = sup |f (cid:48)(x) − f (cid:48)(y)| : x, y ∈ [0; 1], |x − y| < (cid:15).
Do f (cid:48) liên tục đều nên chọn được (cid:15) đủ bé sao cho
ω((cid:15))
ω((cid:15)) < A
A ≤ λ(x0)
2
20
f (cid:48)(xn) = A > 0. f (cid:48)(xn) + f (cid:48)(cn) − f (cid:48)(xn) = f (cid:48)(cn) > inf n≥0
n (cid:88)
n (cid:88)
Do ln(x + 1) ≤ x nên ta thu được ước lượng sau
k=0
k=0
n (cid:88)
| ln|f (cid:48)(xk) + f (cid:48)(ck) − f (cid:48)(xk)| − ln|f (cid:48)(xk)|| 1 n + 1 1 n + 1
k=0 n (cid:88)
ln|1 + || = | 1 n + 1 f (cid:48)(ck) − f (cid:48)(xk) f (cid:48)(xk)
k=0 n (cid:88)
≤ | | 1 n + 1 f (cid:48)(ck) − f (cid:48)(xk) f (cid:48)(xk)
k=0
≤ ω((cid:15)) A 1 n + 1
(n + 1) = ω((cid:15)) A
. = 1 n + 1 ω((cid:15)) A
n (cid:88)
n (cid:88)
Mặt khác, ta lại có
k=0
k=0
n (cid:88)
n (cid:88)
ln|f (cid:48)(xk)| − ln|f (cid:48)(xk) + f (cid:48)(ck) − f (cid:48)(xk)| 1 n + 1 1 n + 1
k=0
k=0
≤ | ln|f (cid:48)(xk)| − ln|f (cid:48)(ck)|| 1 n + 1 1 n + 1
≤ . ω((cid:15)) A
n (cid:88)
n (cid:88)
Khi đó
k=0
k=0
ln|f (cid:48)(ck)| ≥ ln|f (cid:48)(xk)| − 1 n + 1 1 n + 1 ω((cid:15)) A
n (cid:88)
Suy ra
k=0
inf ln|f (cid:48)(ck)| ≥ λ(x0) − lim n→∞ 1 n + 1 ω((cid:15)) A
. ≥ λ(x0) 2
n (cid:88)
Tồn tại số N dương đủ lớn sao cho với mọi n ≥ N thì
k=0
ln|f (cid:48)(ck)| ≥ 1 n + 1 λ(x0) 4
21
n−1 (cid:88)
k=0
ln|f (cid:48)(ck)| = ln|f (cid:48)(c0).f (cid:48)(c1)...f (cid:48)(cn−1)| ≥ 1 n 1 n λ(x0) 4
ln|f (cid:48)(c0).f (cid:48)(c1)...f (cid:48)(cn−1)| ≥
. |f (cid:48)(c0).f (cid:48)(c1)...f (cid:48)(cn−1)| ≥ exp nλ(x0) 4 nλ(x0) 4
Với mọi n ≥ N ta có
wn = f (cid:48)(cn−1).f (cid:48)(cn−2)...f (cid:48)(c0).w0
.|w0| → ∞ khi n → ∞ |wn| = |f (cid:48)(cn−1).f (cid:48)(cn−2)...f (cid:48)(c0)||w0| ≥ exp nλ(x0) 4
Mâu thuẫn |wn| ≤ (cid:15) với mọi n ≥ 0.
Ví dụ 2.1.2. Cho f : [0, 1] → [0, 1] là hàm xác định bởi f (x) = x2. Với
n=0 thỏa mãn x0 = 1, ta có xk = f k(x0) = 1. Khi đó, số mũ
quỹ đạo {xn}∞
n (cid:88)
Lyapunov của quỹ đạo cho bởi
k=0 n (cid:88)
ln |f (cid:48)(xk)| λ(x0) = lim n→∞ 1 n + 1
k=0
ln 2 = lim n→∞ 1 n + 1
= ln 2 > 0.
Mặt khác
|f (cid:48)(xn)| = 2 > 0. inf n≥0
Do đó, các giả thiết của Định lí 2.1.1 được thỏa mãn nên quỹ đạo trên là
nhạy cảm.
Từ Định lí 2.1.1 và Mệnh đề 1.1.1 trong Chương 1, ta thu được định lí
dưới đây như là một hệ quả.
n=0 có
Định lý 2.1.2. Cho f : [0, 1] → [0, 1] thuộc lớp C 1. Nếu quỹ đạo {xn}∞
số mũ Lyapunov mạnh dương Λ > 0 thì quỹ đạo đó không ổn định.
22
2.2 Sự nhạy cảm của lớp các hệ hỗn độn
Như đã trình bày trong mục trước việc, số mũ Lyapunov dương chưa đủ
để kết luận quỹ đạo là nhạy cảm. Tính bị chặn dưới của đạo hàm quỹ đạo
là một trong những điều kiện đủ quan trọng để suy ra được sự nhạy cảm.
Trong phần này, ta trình bày một một điều kiện đủ khác để quỹ đạo vẫn còn
nhạy cảm là đưa ra một số điều kiện cho những quỹ đạo chứa điểm đạo hàm
bằng 0. Dưới đây là bổ đề kĩ thuật.
Bổ đề 2.2.1. Cho f : I → I thuộc lớp C 2, I là tập compact và p thỏa mãn
f (p) = p, f (cid:48)(p) = α,
trong đó |α| < 1. Khi đó cho K > 1, tồn tại δ > 0 sao cho |x − p| ≤ δ thì với
n ≥ 0 ta có
K −1|α|n|x − p| ≤ |f n(x) − p| ≤ K|α|n|x − p|.
Chứng minh. Đặt
yn = xn − p = f n(x0) − f n(p)
Khi đó
yn+1 = f n+1(x0) − f n+1(p)
= f (cid:48)(p)yn + f n+1(x0) − f n+1(p) − f (cid:48)(p)yn.
Ta có
(2.1) yn+1 = αyn + g(yn),
trong đó g(yn) = f n+1(x0) − f n+1(p) − f (cid:48)(p)yn = f (yn + p) − f (p) − f (cid:48)(p)yn. Do f ∈ C 2 và I là tập compact nên f (cid:48)(cid:48) liên tục trên tập I compact. Tồn tại
số M dương sao cho với |x − p| ≤ δ0 thì
|f (cid:48)(cid:48)(x)| ≤ M.
23
Với cn ∈ [p; yn + p] và |yn| < δ0, ta có
|g(yn)| = |f (cid:48)(cn)yn − f (cid:48)(p)yn|
= |(f (cid:48)(cn) − f (cid:48)(p))yn|
≤ |f (cid:48)(cid:48)(cn)||cn − p||yn|
≤ M |yn|2.
Nếu |yn| < δ ≤ δ0 thì
|yn+1| ≤ |αyn| + |g(yn)|
≤ |α||yn| + M.|yn||yn|
≤ (|α| + M δ)|yn|.
Đặt
λ = |α| + M δ.
Với δ đủ bé thì λ < 1.
Với n ≥ 0 ta có
|yn| ≤ λ|yn−1| ≤ ... ≤ λn|y0|.
Nhân cả hai vế của (2.1) với α−n−1 ta được
α−n−1yn+1 = α−nyn + α−n−1g(yn).
Đặt
zn = α−nyn .
bn = α−n−1g(yn)
Khi đó
n−1 (cid:88)
n−1 (cid:88)
zn+1 = zn + bn
k=0
k=0
bk = y0 + bk. z1 = z0 + b0z2 = z1 + b1 = z0 + b0 + b1...zn = z0 +
24
Ta có
|bn| ≤ |α|−n−1.|g(yn)|
≤ |α|−n−1M |yn|2
≤ |α|−n−1M λ2n|y0|2
= M |α|−1( )n|y0|2
= M |α|−1[ ]n|y0|2 λ2 |α| (|α| + M δ)2 |α|
= M |α|−1µn|y0|2,
|α|
trong đó µ = (|α|+M δ)2 < 1 với δ đủ nhỏ.
n−1 (cid:88)
Với mọi n không âm, ta có
k=0
n−1 (cid:88)
|zn| ≤ |y0| + bk
k=0
n−1 (cid:88)
≤ |y0| + M |α|−1µk|y0|2
k=0
µk = |y0| + M |α|−1|y0|2
≤ |y0| + M |α|−1(1 − µ)−1δ|y0|.
Với K cho trước, δ đủ nhỏ thì
)|y0| ≤ K|y0| |α−nyn| ≤ (1 +
M δ |α|(1 − µ) |yn| ≤ Kαn.|y0|
|f n(x) − p| ≤ Kαn|x0 − p|.
n−1 (cid:88)
Tương tự:
k=0
n−1 (cid:88)
|zn| ≥ |y0| − bk
k=0
M |α|−1µk|y0|2 ≥ y0 −
≥ y0 − M |α|−1(1 − µ)−1δ|y0|.
25
Với δ đủ lớn thì
M |α|−1(1 − µ)−1δ ≤ 1 − K −1
|α−nyn| ≥ (1 − )|y0| ≥ K −1|y0|. M δ |α|(1 − µ)
Hệ quả 2.2.1. Cho f : [0, 1] → [0, 1] thuộc lớp C2, số p thỏa mãn
f (p) = p, f (cid:48)(p) = α,
trong đó |α| > 1. Với mọi K > 1, tồn tại δ > 0 sao cho
K|α|n|x0 − p| ≥ |f n(x) − p| ≥ K −1|α|n|x0 − p|
với mọi n ≥ 0, k = 0, .., n sao cho |f k(x) − p| ≤ δ.
Chứng minh. Do f (p) = p và f (cid:48)(p) (cid:54)= 0 nên tồn tại hàm khả nghịch g(y) =
f −1(y) đơn điệu chặt trên một khoảng compact I chứa p.
Vì f (p) = p nên p = f −1(p) và g(p) = p.
Ta có
|(f −1(p))(cid:48)| = = < 1. 1 |f (cid:48)(p)| 1 |α|
Áp dụng, cho trước K > 1 tồn tại δ > 0 sao cho nếu |y − p| ≤ δ thì với mọi
n ≥ 0, ta có
K −1|α|−n|y − p| ≤ |gn(y) − p| ≤ K|α|−n|y − p|.
Với n ≥ 0 đủ lớn, chọn x thỏa mãn |x − p| ≤ δ sao cho
|f k(x) − p| ≤ δ, k = 0, n.
Đặt y = f n(x). Khi đó
K −1|α|−n|f n(x) − p| ≤ |x − p| ≤ K|α|−n|f n(x) − p|.
26
Nhân |α|n vào từng vế ta được
K −1|f n(x) − p| ≤ |α|n|x − p| ≤ K|f n(x) − p|.
Hệ quả 2.2.2. Cho f : [0, 1] → [0, 1] thuộc lớp C2, số p thỏa mãn
f (p) = p, f (cid:48)(p) = α,
trong đó |α| > 1. Khi đó tồn tại δ0 > 0 và r với 0 < r < 1 sao cho nếu
và |x − p| ≤ r|y − p| |x − p| ≤ δ0, 0 < |y − p| ≤ δ0
thì tồn tại số N dương sao cho
. |f N (y) − f N (x)| > δ0 2
Chứng minh. Không mất tổng quát giả sử α > 0. Nếu α < 0 thì ta xét f 2.
Theo hệ quả (2.2.2), với k = 2, mọi n ≥ 0, tồn tại δ > 0 sao cho
2|α|n|z − p| ≥ |f n(z) − p| ≥ |α|n|z − p| (2.2) 1 2
và |f k(z) − p| ≤ δ, k = 0, n. Giả sử δ > 0 đủ nhỏ để với |z − p| ≤ δ thì
f (cid:48)(z) > 0.
Do đó f (z) đơn điệu tăng trên khoảng |z − p| ≤ δ.
Lấy δ0 < δ và z thỏa mãn |z − p| ≤ δ0 sao cho
|f (z) − p| = |f (cid:48)(c)||z − p| < (|α| + 1)|z − p| < δ.
Giả sử x và y thỏa mãn giả thiết của hệ quả. Do f (z) đơn điệu tăng trên
khoảng |z − p| ≤ δ, nếu p nằm giữa x và y ta có thể giả sử rằng quỹ đạo của
x và y nằm trong [p − δ; p + δ] và cùng ở một phía với p. Cho N là số đầu
tiên thỏa mãn
|f N −1(y) − p| ≤ δ0 < |f N (y) − p| hoặc |f N −1(x) − p| ≤ δ0 < |f N (x) − p|.
27
Giả sử x và y cùng ở một phía với p và x gần p hơn y.
Do f (z) đơn điệu tăng trên khoảng |z − p| ≤ δ, quỹ đạo x gần p hơn y trong
[p − δ; p + δ] nên N là số đầu tiên ta có
|f N −1(y) − p| ≤ δ0 < |f N (y) − p|.
Do cách chọn của δ0, |f k(x) − p| ≤ |f k(y) − p| < δ, với mọi 0 ≤ k ≤ N và sử
dụng công thức (2.2) ta có
|f N (y) − f N (x)| ≥ |f N (y) − p| − |f N (x) − p| > δ0 − 2αN |x − p|
≥ δ0 − 2rαN |y − p|.
8δ , ta có
Chọn r = δ0
= . |f N (y) − f N (x)| > δ0 − 4rδ = δ0 − 4 δ0δ 8δ δ0 2
Dưới đây là định lí chính của phần này, là đưa ra điều kiện thêm vào cho
những điểm trong quỹ đạo có đạo hàm bằng 0 để quỹ đạo đó vẫn còn nhạy
cảm.
Định lý 2.2.1. Cho f : [0, 1] → [0, 1] thuộc lớp C 2 thỏa mãn
(i) Nếu c là điểm cân bằng thì f (cid:48)(cid:48)(c) (cid:54)= 0 và tồn tại m ≥ 0 sao cho f m(c) = qc
là điểm bất động thỏa mãn |f (cid:48)(qc)| > 1
(ii) Không có quỹ đạo của điểm cân bằng này chứa điểm cân bằng khác
n (khác quỹ đạo hằng) có λ(x0) > 0.
(iii) Quỹ đạo {xn}∞
n không ổn định.
Kết luận {xn}∞
Ý tưởng chính trong chứng minh được chuyển từ Định lí 2.1.1. Cụ thể,
n=1 với thời điểm ban đầu gần x0 nhưng
ta cần chứng minh quỹ đạo {yn}∞
tồn tại n để yn không gần xn. Để thực hiện điều đó, định lí được chia làm 4
28
n=1 gần điểm cân
bước. Bước 1, ta ước lượng số các điểm trong quỹ đạo {xn}∞
bằng. Từ giả thiết của định lí, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu xn gần điểm cân bằng
ci, thì sau lần lặp thứ mi, quỹ đạo sẽ dần về điểm bất động qi. Ở bước 2,
ta sử dụng Hệ quả 2.2.2 để chứng minh rằng, với n nào đó mà xn gần điểm
cân bằng ci hơn yn, thì hai quỹ đạo sẽ tách nhau. Mặt khác, nếu không có
n để xn gần điểm cân bằng hơn yn, ta sẽ sử dụng lại kĩ thuật trong Định lí
2.1.1 ước lượng trong bước 1 để chỉ ra khẳng định tương tự như trong bước
2. Bước 4 là phần kết luận của định lí.
Trước khi bắt đầu chứng minh định lí, ta cần đưa ra một số kí hiệu. Theo
giả thiết (ii), tồn tại hữu hạn các điểm cân bằng ci (i = 1, . . . , I). Ta kí hiệu mi là số m đầu tiên sao cho f m(ci) = qi. Cũng theo giả thiết (ii), ta có
(cid:26) (cid:27) ∆ = min > 0. |ci − qj|, min i (cid:54)= j|ci − cj| min i,j 1 2
i
qi. Theo Định lí
Tiếp theo, ta chọn r, δ0 như trong Hệ quả 2.2.2 với p = min Taylor và (f mi)(cid:48)(ci) = 0 ta có
→ Di = (f mi)(cid:48)(cid:48)(ci) = f (cid:48)(f mi−1(ci)) . . . f (cid:48)(f (ci))f (cid:48)(cid:48)(ci) (cid:54)= 0 1 2 1 2 f mi(x) − f mi(ci) (x − ci)2
khi x → ci. Chọn η0 > 0 (độc lập với i) sao cho
≤ 0 < |x − ci| ≤ η0 ⇒ |Di| ≤ |Di|. 1 2 3 2 |f mi−1(x) − qi| (x − ci)2
Tiếp theo, ta chọn δ > 0 sao cho
δ < ∆, |Di|δ2 ≤ δ0, δ ≤ η0/2, 6 max i
δ − 1(cid:1) ln M1
ln (cid:0) ∆ , N(δ) = − max mi ≥ mδ = inf{|f (cid:48)(cid:48)(x)| : |x − ci| ≤ δ với i nào đó} > 0, 6M2(1 + (cid:112)3/r) mδλ(x0)
trong đó
M1 = max |f (cid:48)(x)|, M2 = max |f (cid:48)(cid:48)(x)|.
29
Khi đó, chọn η1 > 0 sao cho
1 ≤ δ0
η1 ≤ η0/2, |Di|η2 6 max i
và η2 > 0 sao cho
η2 ≤ Aδ, λ(x0) 6M2
trong đó
Aδ = min{|f (cid:48)(x)| : |x − ci| ≥ δ với mọi i}.
Dưới đây là chứng minh chi tiết.
Chứng minh. Bước 1. Cho n1 < n2 < . . . là dãy sao cho |xnj − ci| < δ với i
nào đó. Ta định nghĩa tập
In = {k : 0 ≤ k ≤ n : tồn tại j sao cho k = nj}
và Jn là số phần tử của In. Mục đích của bước này là ước lượng cận trên cho
số Jn.
Gọi n là một trong số các nj. Do f mi(ci) = qi, ta thu được
1
δ (k ≥ 0). |xn+mi+k − qi| = |f mi+k(xn) − f mi+k(ci)| ≤ M mi+k
Với mỗi i thì
1
δ ≥ δ |xn+mi+k − cj| ≥ |qi − cj| − |xnmi +k − qi| ≥ ∆ − M mi+k
với k ≤ N(δ). Do đó, với mỗi j thì
nj+1 − nj ≥ N(δ).
Jn(cid:88)
Khi đó,
j=2
(nj − nj−1) ≥ (Jn − 1)N(δ). n ≥ nJn ≥ nJn − n1 =
30
Nên
≤ + . (2.3) Jn n + 1 1 N(δ) 1 n + 1
Bước 2. Giả sử rằng n = nj sao cho tồn tại i để 0 < |xn − ci| < δ. Lấy
k=0 là quỹ đạo khác thỏa mãn với n = nj thì |yn − xn| ≤ η1 và
{yk}∞
(2.4) |xn − ci| ≤ |yn − ci|. (cid:114) r 3
Khi đó, ta sẽ chỉ ra rằng hai quỹ đạo x và y sẽ tách nhau bởi khoảng cách
δ0/2. Thật vậy,
Do 0 < |xn − ci| < δ < η0/2 nên
|Di||xn − ci|2. |Di||xn − ci|2 ≤ |xn+mi − qi| ≤ 1 2 3 2
Bằng lập luận tương tự, do 0 < |yn − ci| < δ + η1 ≤ η0 nên
|Di||yn − ci|2. |Di||yn − ci|2 ≤ |yn+mi − qi| ≤ 1 2 3 2
Từ hai đẳng thức cuối và đẳng thức (2.4) dẫn đến
≤ 3 |xn − ci|2 |yn − ci|2 ≤ r. |xn+mi − qi| yn+mi − qi
Cho nên
|Di|(δ + η1)2 ≤ δ0. |xn+mi − qi| ≤ r|yn+mi − qi| ≤ |yn+mi − qi| ≤ 3 2
i
Khi đó, theo Hệ quả 2.2.2 với p = min qi, ta áp dụng cho xn+mi và yn+mi thì
tồn tại N > 0 sao cho
δ0. |f N (yn+mi ) − f N (xn+mi )| > 1 2
Điều đó có nghĩa là với i, j nào đó mà
|ynj − ci| và |ynj − xnj | < η1 0 < |xnj − ci| < δ, |xnj − ci| ≤ (cid:114) r 3
thì hai quỹ đạo sẽ tách nhau với khoảng cách ít nhất là δ0/2.
31
Bước 3. Ta đặt
S = {y ∈ [0, 1] : f n(y) = xn với n > 0 nào đó}.
Ta giả sử rằng y0 (cid:54)= x0, y0 ¯∈S và với mọi j thì
(2.5) |xnj − ci| > |ynj − ci|, (cid:114) r 3
trong đó i là số duy nhất sao cho 0 < |xnj cj| < δ. Khi đó, tương tự như
chứng minh Định lí 2.1.1, ta giả sử rằng
|yn − xn| ≤ η2 với mọi n ≥ 0
và do đó mâu thuẫn.
Tương tự Định lí 2.1.1, ta đặt
wn = yn − xn.
Khi đó wn thỏa mãn
wn+1 = [an + bn]wn,
trong đó
|f (cid:48)(xn) − f (cid:48)(ci)| ≥ mδ|xn − ci| nếu |xn − ci| < δ |an| = |f (cid:48)(xn)| = ≥ Aδ nếu |xn − ci| ≥ δ
và
bn ≤ M2|wn|. 1 2
Khi đó, nếu n = nj (với j nào đó) sao cho 0 < |xn − ci| < δ (với i nào đó) thì
≤ ≤ . (2.6) ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) bn an M2|yn − xn| 2mδ|xn − ci| M2(|yn − ci| + |xn − ci|) 2mδ|xn − ci| M2(1 + (cid:112)3/r) 2mδ
Mặt khác, nếu n (cid:54)= nj với mọi j thì
≤ ≤ (2.7) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) bn an M2|yn − xn| 2|f (cid:48)(xn)| M2η2 2Aδ
32
n (cid:88)
n (cid:88)
n (cid:88)
Tiếp theo, do an + bn (cid:54)= 0 với mọi n ≥ 0 và y0 ¯∈S,
k=0
k=0
k=0
n (cid:88)
1 + ln ln |ak + bk| = ln |ak| + 1 n + 1 1 n + 1 1 n + 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) bk ak (2.8)
k=0
ln 1 + > λ(x0)/2 − 1 n + 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) bk ak (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
với n đủ lớn. Khi đó, sử dụng (2.3), (2.6), (2.7) cùng với bất đẳng thức
ln(1 + x) ≤ x với x ≥ 0,
n (cid:88)
và theo nghĩa của In và Jn (trong Bước 1) ta thu được
k=0
1 + ln (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) bk ak (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
k /∈In
k∈In (cid:19)
(cid:88) (cid:88) = 1 + 1 + + ln 1 n + 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) bk ak bk ak 1 n + 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:32) (cid:33) (cid:18) ≤ 1 + ln ln 1 + + (2.9) n + 1 − Jn n + 1 M2η2 2Aδ M2(1 + (cid:112)3/r) 2mδ
(cid:18) 1 + ≤ + N (δ) Jn n + 1 (cid:19) M2(1 + (cid:112)3/r) 2mδ
+ + ≤ 1 n + 1 λ(x0) 12 λ(x0) 12
= M2η2 2Aδ λ(x0) 12 λ(x0) 4
nếu
− 1. n ≥ 6M2(1 + (cid:112)3/r) mδλ(x0)
n (cid:88)
Từ ước lượng (2.8) và (2.9) ta kết luận rằng
k=0
ln |ak + bk| > 1 n + 1 λ(x0) 4
nếu n đủ lớn (mâu thuẫn). Vậy với y0 (cid:54)= x0, y0 /∈ S và phương trình (2.5)
đúng với mọi j thì với n ≥ 0, ta có |yn − xn| > η2.
33
Bước 4. Từ Bước 2 và Bước 3 ta kết luận rằng với bất kì quỹ đạo yn mà
y0 (cid:54)= x0, y0 /∈ S, thì tồn tại n ≥ 0 sao cho
|yn − xn| > ε = min(δ0/2, η1, η2).
Hơn nữa, do S là đếm được hầu khắp nơi, nên với mọi δ > 0, tồn tại y0 /∈ S
2.3 Sự không nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ
Lyapunov âm
sao cho 0 < |y0 − x0| < δ. Định lí được chứng minh.
n có
Định lý 2.3.1. Cho f : [0, 1] → [0, 1] thuộc lớp C 2. Nếu quỹ đạo {xn}∞
số mũ Lyapunov âm λ(x0) thì ổn định.
1 n+1
n (cid:80) k=0
ln|f (cid:48)(xk)| = λ(x0) nên với mọi (cid:15) > 0, tồn tại Chứng minh. Do lim n→∞
n−1 (cid:88)
N ((cid:15)) > 0 sao cho với mọi n > N thì
k=0
ln|f (cid:48)(xk)| < λ(x0) + (cid:15) λ(x0) − (cid:15) < 1 n
n(λ(x0) − (cid:15)) < ln|f (cid:48)(x0).f (cid:48)(x1)...f (cid:48)(xn−1)| < n(λ(x0) + (cid:15))
exp n(λ(x0) − (cid:15)) < |f (cid:48)(x0).f (cid:48)(x1)...f (cid:48)(xn−1)| < exp n(λ(x0) + (cid:15)).
Với n > k > N ta có
|f (cid:48)(x0).f (cid:48)(x1)...f (cid:48)(xn−1)| < en(λ(x0)+(cid:15))
|f (cid:48)(x0).f (cid:48)(x1)...f (cid:48)(xk−1)| > ek(λ(x0)−(cid:15)).
Khi đó
|f (cid:48)(xk)...f (cid:48)(xn−1)| < en(λ(x0)+(cid:15))−k(λ(x0)−(cid:15)) = e(n−k)(λ(x0)+(cid:15))+2k(cid:15).
Nếu 0 ≤ k ≤ N thì tồn tại ck ≥ 1 sao cho
|f (cid:48)(xk)...f (cid:48)(xn−1)| ≤ cke(n−k)(λ(x0)+(cid:15))+2k(cid:15).
34
ck, với 0 ≤ k ≤ N thì Chọn c = max k=0,N
|f (cid:48)(xk)...f (cid:48)(xn−1)| ≤ ce(n−k)(λ(x0)+(cid:15))+2k(cid:15).
Chú ý nếu k = n ta coi vế trái của bất đẳng thức trên là 1.
Đặt λ(x0) + (cid:15) = λ
Chọn (cid:15) > 0 đủ nhỏ sao cho
λ(x0) + 3(cid:15) = λ + 3(cid:15) < 0.
n=0 là quỹ đạo khác của f và đặt wn = yn − xn. Ta có
Xét {yn}∞
wn+1 = yn+1 − xn+1 = f (yn) − f (xn)
= f (xn + wn) − f (xn)
= f (cid:48)(xn)wn + [f (xn + wn) − f (xn) − f (cid:48)(xn)wn]
= f (cid:48)(xn)wn + gn(wn),
với gn(wn) = f (xn + wn) − f (xn) − f (cid:48)(xn)wn. Áp dụng định lí Lagrange, ta
có
|gn(wn)| = |f (xn + wn) − f (xn) − f (cid:48)(xn)wn|
n)wn − f (cid:48)(xn)wn|,
n ∈ (xn; xn + wn)
≤ |f (cid:48)(x(cid:48) với x(cid:48)
n) − f (cid:48)(xn)||wn|
= |f (cid:48)(x(cid:48)
n)||x(cid:48)
n − xn||wn|
≤ |f (cid:48)(cid:48)(x(cid:48)(cid:48)
|f (cid:48)(cid:48)(x)|. ≤ M |wn|2, với M = max x∈[0;1]
Quy nạp ta có
w1 = f (cid:48)(x0)w0 + g0(w0)
w2 = f (cid:48)(x1)w1 + g1(w1)
= f (cid:48)(x1)[f (cid:48)(x0)w0 + g0(w0)] + g1(w1)
= f (cid:48)(x1)f (cid:48)(x0)w0 + f (cid:48)(x1)g0(w0) + g1(w1)
...
35
wn =f (cid:48)(xn−1)...f (cid:48)(x0)w0 + f (cid:48)(xn−1)...f (cid:48)(x1)g0(w0)
+ ... + f (cid:48)(xn−1)gn−2(wn−2) + gn−1(wn−1).
Từ đó ta có
|wn| ≤|f (cid:48)(xn−1)...f (cid:48)(x0)||w0| + |f (cid:48)(xn−1)...f (cid:48)(x1)||g0(w0)|
+ ... + |f (cid:48)(xn−1)||gn−2(wn−2)| + |gn−1(wn−1)|
≤ cenλ|w0| + ce(n−1)λ+2(cid:15)M |w0|2 + ce(n−2)λ+2.2(cid:15)M |w1|2
+ ... + ce(n−k)λ+2k(cid:15)M |wk−1|2
n (cid:88)
+ ... + ce(n−(n−1))λ+2.(n−1)(cid:15)M |wn−2|2 + M |wn−1|2
k=0
e(n−k)λ+2k(cid:15)|wk−1|2. = cenλ|w0| + M c
n thì ta phải chứng minh với
Để chứng minh sự ổn định của quỹ đạo {xn}∞
mọi η > 0, tồn tại δ sao cho nếu |y0 − x0| = |w0| < δ thì với mọi n ≥ 0 ta có
|yn − xn| = |wn| < η.
Ta chứng minh điều mạnh hơn
|wn| < ηeλn < η
bằng phương pháp quy nạp.
Giả sử với 0 ≤ n ≤ T , |wn| < ηeλn. Ta sẽ chứng minh |wT | < ηeλT .
n (cid:88)
Thật vậy, với 0 ≤ n ≤ T thì
k=1
|wn| ≤ cenλ|w0| + M c e(n−k)λ+2k(cid:15)ηeλ(k−1)|wk−1|.
n (cid:88)
Nhân hai vế bất đẳng thức trên với e−λn ta được
k=1
e−λn|wn| ≤ c|w0| + M cηe(k−2)λ+2k(cid:15)e−λ(k−1)|wk−1|.
n (cid:88)
Đặt zn = e−λn|wn|. Khi đó
k=1
zn ≤ B + µkzk−1,
36
với B = c|w0| và µk = M cηe(k−2)λ+2k(cid:15).
Áp dụng bổ đề Gronwall, ta có
(cid:41) (cid:40) n (cid:88) zn ≤ c|w0| exp µk
k=1 (cid:40) n (cid:88)
(cid:41)
k=1
M cηe(k−2)λ+2k(cid:15) = c|w0| exp
(cid:26) (cid:27) M cη = c|w0| exp eλ+2(cid:15) 1 − eλ+2(cid:15)
= c|w0|eDη.
1−eλ+2(cid:15) . Khi đó, với 0 ≤ n ≤ T thì
với D = M c eλ+2(cid:15)
e−λn|wn| ≤ c|w0|eDη
|wn| ≤ c|w0|eDηeλn.
Chọn n = T ta có |wT | ≤ c|w0|eDηeλT . Chọn δ = c−1e−Dηη thì |w0| < δ.
Khi đó
|wT | ≤ eλT η < η.
Ví dụ 2.3.1. Xét phương trình Logistic ô - tô - nôm tổng quát xn+1 =
rxn(1 − xn) (n = 0, 1, . . . ) sinh bởi ánh xạ f (x) = rx(1 − x), x ∈ I := [0; 1].
Ta chỉ xét với 0 < r ≤ 4 để f (I) ⊂ I. Khi đó ta có ước lượng
|f (cid:48)(x)| = |r − 2rx| = |r||1 − 2x| ≤ r.
n (cid:88)
Nếu 0 < r < 1 thì |f (cid:48)(x)| < 1. Do đó,
k=0
ln|f (cid:48)(xk)| < 0 λ(x0) = lim n→∞ 1 n + 1
Theo Định lí 2.3.1 thì mọi quỹ đạo là ổn định.
37
Hình 2.1: Quỹ đạo với điểm ban đầu x0 = 0.5, x0 = 0.6, x0 = 0.7 trong
2.4 Sự nhạy cảm đối với hệ không ô tô nôm
trường hợp r = 1/5.
Nội dung phần này là tóm tắt lại lại các định nghĩa và kết quả chính
trong bản Preprint của nhóm Hua Shao, Yuming Shi, Hao Zhu năm 2016 [2]
đối với hệ không ô - tô - nôm. Trước tiên ta cần phát biểu lại các định nghĩa
chính trong trường hợp không ô - tô - nôm.
0 = fn−1 ◦ · · · ◦ f0.
Xét X là không giam metrix với metrix d. Ta kí hiệu f n
Định nghĩa 2.4.1. Ta nói phương trình
(2.10) xn+1 = fn(xn), n ≥ 0
là nhạy cảm tại x0 ∈ X nếu tồn tại hằng số δ > 0 sao cho với mọi lân cận U
của x0, tồn tại y0 ∈ U và số nguyên dương N sao cho
0 (y0), f N
0 (x0)) > δ
d(f N
trong đó δ được gọi là hằng số nhạy cảm của hệ (2.10) tại x0.
Trong trường hợp tồn tại hằng số δ > 0 sao cho nó nhạy cảm tại mọi điểm
trên tập khác rỗng S với hằng số nhạy cảm δ thì hệ (2.10) được gọi là nhạy
cảm trên S ⊂ X.
Định nghĩa 2.4.2. Cho x0 là điểm cô lập trong X. Hệ (2.10) được gọi là
nhạy cảm mạnh tại x0 nếu tồn tại δ > 0 và lân cận U cuả x0 sao cho với mọi
38
y0 (cid:54)= x0 cho trước thuộc U , với số nguyên dương N thì
0 (y0), f N
0 (x0)) > δ.
d(f N
Khi đó δ được gọi là hằng số nhạy cảm mạnh của hệ (2.10) tại x0.
n=0, {En}∞
n=0 là hai dãy các tập trong X
Định nghĩa 2.4.3. Giả sử {Dn}∞
n=0 được gọi là đồng liên tục trong {Dn}∞
n=0 nếu với mọi (cid:15) > 0, tồn tại
và hn : Dn → En là một ánh xạ liên tục đều với mỗi n ≥ 0. Dãy các ánh xạ {hn}∞
δ > 0 sao cho với mọi n ≥ 0
d(hn(x), hn(y)) < (cid:15)
mọi x, y ∈ Dn mà d(x, y) < δ.
Định nghĩa 2.4.4. Cho I là khoảng không suy biến, bị chặn và fn : I → I
là một ánh xạ thuộc lớp C 1 với mọi n ≥ 0. Số mũ Lyapunov của hệ (2.10)
n−1 (cid:88)
n−1 (cid:88)
tại x0 được xác định bởi
k(xk)|,
0 )(cid:48)(x0)| = lim sup n→∞
k=0
k=0
ln|(f n ln|f (cid:48) 1 n 1 n λ(x0) := lim sup n→∞
k=0 là quỹ đạo của (2.10) bắt đầu từ x0.
trong đó {xk}∞
Tiếp theo là hai kết quả chính trong [2] là mở rộng các kết quả trước đó
của Palmer vào năm 2010.
n}∞ 0
là đồng liên tục trong
n(xk)| : n, k ≥ 0} > 0. Nếu λ(x0) > 0 thì hệ (2.10) là nhạy
Định lý 2.4.1. Cho I là khoảng không suy biến, fn : I → I là một ánh xạ thuộc lớp C 1 với mọi n ≥ 0 và x0 ∈ I. Giả sử {f (cid:48) I và m := inf {|f (cid:48)
cảm mạnh tại x0.
n−1 (cid:88)
Định nghĩa
k(xk)|
k=0
ln|f (cid:48) λ0(x0) := lim inf n→∞ 1 n
39
n }∞
n=0 là bị
Định lý 2.4.2. Cho I là một khoảng không suy biến, đóng và bị chặn, fn : I → I thuộc lớp C 2 với mỗi n ≥ 0 và x0 ∈ I. Giả thiết rằng {f (cid:48)(cid:48)
chặn đều trong I. Nếu −∞ < λ(x0) < 0 và 2λ(x0) < λ0(x0) thì hệ (2.10) là
ổn định tiệm cận mũ tại x0.
Ví dụ 2.4.1. Xét phương trình Logistic không ô tô nôm
(2.11) xn+1 = rnxn(1 − xn), n ≥ 0
sinh bởi ánh xạ fn(x) = rnx(1 − x), x ∈ I := [0; 1].
thuộc lớp C 2 trong I, f (cid:48) Với 0 < rn ≤ 4, n > 0 thì fn(I) ⊂ I với mọi n ≥ 0. Ta có với n ≥ 0, fn n(x) = rn(1 − 2x) và f (cid:48)(cid:48)(x) = −2rn. Rõ ràng, 0 là
n−1 (cid:88)
n−1 (cid:88)
điểm bất động của hệ (2.11) và f (cid:48)(cid:48)(0) = rn, n ≥ 0 với
k(0)| = lim sup n→∞
k=0
k=0
ln|f (cid:48) lnrk 1 n 1 n λ(0) = lim sup n→∞
k=0 lnrk có thể không tồn tại, tuy nhiên giới hạn trên của nó có tồn tại. Từ đó, giới hạn trên được sử dụng trong Định nghĩa 2.4.4 là sử
(cid:80)n−1 Giới hạn 1 n
dụng được trong trường hợp này.
Trong trường hợp này, Ln ≤ rn ≤ 4, n ≥ 0 trong đó L > 1 là một hằng số,
n(0)| ≥ L > 1 và |f (cid:48)(cid:48)
n (x)| = 2rn ≤ 8 với mọi n ≥ 0. Suy ra {fn}∞
n=0
như vậy |f (cid:48)
là đồng liên tục trên I với λ(0) ≥ lnL > 0. Do đó, tất cả các giả thiết của
Định lí 2.4.1 thỏa mãn hệ (2.11) với x0 = 0. Vậy hệ (2.11) là nhạy cảm mạnh
tại 0.
Trong trường hợp 0 < a ≤ rn < b < 1, n > 0 với a, b là các hằng số dương
và b2 < a, từ (2.4.1) ta có
λ(0) ≤ lnb < 0, λ(0) ≥ lna > −∞.
Do b2 < a nên
< 0. 2λ(0) − λ0(0) ≤ 2lnb − lna = ln b2 a
40
n (x) = 2rn < 2 với mỗi n ≥ 0, kéo theo {f (cid:48)(cid:48)
n }∞
n=0 bị chặn đều trong
Ngoài ra, f (cid:48)(cid:48)
I. Do đó, các giả thiết của Định lí 2.4.2 thỏa mãn với hệ (2.11) với x0 = 0.
Vậy hệ (2.11) là ổn định tiệm cận mũ tại 0.
41
KẾT LUẬN
Đóng góp chính của luận văn bao gồm:
1. Trình bày lại những khái niệm cơ bản trong hệ động lực một chiều.
2. Chi tiết hóa chứng minh trong bài báo của Palmer.
3. Nêu ra một số ví dụ
Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất
mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.
Tài liệu tham khảo
[1] C. Robinson, 2000, "Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics
and Chaos", CRC Press.
[2] Hua Shao, Yuming Shi, Hao Zhu, 2016, "Lyapunov exponents, sensitiv-
ity, and stability for non-autonomous discrete systems", Preprint.
[3] H. Kocak and K. J. Palmer, 2010, "Lyapunov Exponential and Sensitive
Dependence", J. Dyn. Diff. Equat., 22, 381 - 398.
[4] J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis and P. Stacey, 1992, "On De-
vaney’s definition of Chaos", Amer. Math. Monthly, 99, 332 - 334.
[5] T. Li and J. Yorke, 1975, "Period three implies chaos", Amer. Math.
Monthly, 82, 985 - 992.
[6] R. Devaney, 1989, "Chaotic Dynamical Systems", Addison - Wesley
Publ. Co., New York and Reading, MA.
[7] V. I. Oseledec, 1968, "A multiplicative ergodic theorem. Liapunov char-
acteristic numbers for dynamical systems", Trans. Moscow Math. Soc.
19, 197 - 221.
