ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ THỜI
SỐ MŨ LYAPUNOV
VÀ SỰ KHÔNG ỔN ĐỊNH
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60460102
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY TIỄN
HÀ NỘI−2016
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, người đã tận tình hướng dẫn để em có
thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thành viên trong
nhóm seminar hệ động lực trường KHTN đã có những góp ý quý báu để em
hoàn hiện luận văn tốt nghiệp này. Nói riêng, em xin gửi lời cảm ơn chân
thành tới bạn Lê Đức Nhiên, người đã giúp đỡ rất nhiều và hướng dẫn em
trong việc sử dụng Latex và Maple.
Hà Nội, ngày 16 tháng 11 năm 2016
Học viên
Nguyễn Thị Thời
2
Mục lục
Lời nói đầu .............................. 2
1 Một số khái niệm của hệ động lực rời rạc 3
1.1 Số mũ Lyapunov và số mũ Lyapunov mạnh .......... 4
1.2 Tập bất biến hỗn độn và sự nhạy cảm của quỹ đạo ...... 8
1.3 Sự ổn định Lyapunov của quỹ đạo ............... 13
1.4 Bổ đề Gronwall rời rạc ...................... 15
2 Số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm 18
2.1 Sự nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov dương . . . . 19
2.2 Sự nhạy cảm của lớp các hệ hỗn độn .............. 23
2.3 Sự không nhạy cảm của quỹ đạo với số mũ Lyapunov âm . . 34
2.4 Sự nhạy cảm đối với hệ không ô tô nôm ............ 38
Kết luận ................................ 42
Tài liệu tham khảo 43
1
LỜI NÓI ĐẦU
Năm 1975, Li và Yorke là hai nhà toán học đầu tiên sử dụng khái niệm
sự hỗn độn trong lí thuyết hệ động lực để chứng minh một số tính chất của
điểm tuần hoàn đối với ánh xạ trên đường thẳng thực. Sau đó, đã có nhiều
nỗ lực để làm rõ khái niệm của sự hỗn độn cho hệ động lực rời rạc. Tiêu biểu,
năm 1989, Devaney đưa ra định nghĩa tường minh cho tập bất biến hỗn độn
và các kết quả sau này của Banks, Brooks, Cairns, Davis, Stacey (1992).
Sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu hay sự không ổn định là
một phần quan trọng trong lí thuyết trên, do vậy, việc tìm hiểu các tính chất
cho tính không ổn định của quỹ đạo là quan trọng và cần thiết. Năm 2010,
Palmer và cộng sự đưa ra một số các kết quả về đặc trưng của sự phụ thuộc
nhạy cảm theo số mũ Lyapunov nhằm đưa thêm một vài điều kiện đủ cho
việc kiểm tra tập bất biến hỗn độn. Trong luận văn này, em tập trung trình
bày lại các kết quả gần đây nhất về số mũ Lyapunov và sự nhạy cảm.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 dành để trình bày một vài khái niệm trong hệ động lực rời rạc.
Chương 2 đề cập tới kết quả chính của Palmer về số mũ Lyapunov và sự
nhạy cảm.
Luận văn là chi tiết hóa chứng minh của Palmer trong bài báo [3] được
viết năm 2010.
Hà Nội, ngày 05 tháng 09 năm 2016
Nguyễn Thị Thời
2
Chương 1
Một số khái niệm của hệ
động lực rời rạc
Mục đích chính của chương này nhằm giới thiệu một vài khái niệm cơ bản
trong hệ động lực rời rạc thông qua phép lặp các hàm một biến. Cụ thể, ta
tìm hiểu về quỹ đạo của điểm trên I⊂Rkhi nó được lặp đi, lặp lại bởi cùng
một hàm số: x1=f(x0)và xn=f(xn−1)với n≥1, ta gọi x0là điều kiện
ban đầu và dãy {xn}∞
n=0 là quỹ đạo của điểm x0dưới tác động hàm f. Trong
trường hợp một chiều, ngoài việc dùng đồ thị của hàm số, ta có thể dùng rất
nhiều công cụ giải tích khác của giải tích như định lí Lagrange, định lí modul
liên tục, . . . để phân tích dáng điệu động lực của quỹ đạo tại một điểm. Các
định nghĩa chính dưới đây của chương được tham khảo chủ yếu trong sách
của C. Robinson [1].
3