Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sự tồn tại nghiệm của mô hình động lực rừng điều chỉnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

HOÀNG HẢI MINH

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH

ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Toán Giải tích Mã số: 60460102

Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên

Hoảng Hải Minh

Mục lục

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1. Một số không gian và các kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Xấp xỉ Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 9

1.2. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach . .

10

1.4. Phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của mô hình động học rừng điều chỉnh . . 33

2.1.1. Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 36

2.1. Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1. Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 43

2.2. Hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2

LỜI MỞ ĐẦU

Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng là một trong những chủ đề về môi trường được quan tâm nhất hiện nay. Những vấn đề cơ bản trong nghiên cứu bảo tồn nguồn tài nguyên rừng được biết tới như: quy luật phát triển của mỗi cá thể cây, cây trong một khu vực rừng, cây trong rừng và cả những hệ thống phức tạp bao gồm hệ thống rừng và những hệ thống khác như đất, nước, thời tiết cùng với những tương tác giữa các hệ thống nêu trên,...

Nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu về các vấn đề trên và đạt được những kết quả quan trọng. Vào năm 1972, D. B. Botkin trong [2] đã đưa ra mô hình toán học cơ sở đầu tiên về sự phát triển của rừng. Trong đó, Botkin đã nghiên cứu một khu vực khoảng (100m3 tới 300m3) rừng và đưa ra phương trình phát triển cho mỗi cây cùng với sự tương tác giữa các cây trong khu vực. Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya. Antonovsky và M. D. Korzukhin trong [1] đã đưa ra mô hình toán học về rừng trong đó quan tâm tới mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi. Mô hình đó sau này vào năm 1994 đã được các tác giả Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky, V. N. Biktashev và A. Aponina trong [4] phát triển thành mô hình mô tả sự phát triển của rừng thông qua mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi và quá trình tái sinh.

Cụ thể là, trong một miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét một hệ rừng đơn loài và giả sử rằng các cây được chia thành hai lớp tuổi cây non và cây trưởng thành. Có ba yếu tố cấu thành của hệ rừng: cây non, cây trưởng thành và hạt giống trong không khí. Chúng tạo thành một mô hình động học thể hiện quá trình phát triển của hệ rừng như sau:

 trong Ω × (0, ∞), = β δ w − γ(v)u − f u

= f u − hv trong Ω × (0, ∞),

trong Ω × (0, ∞), = d∆w − β w + αv

  trong Ω, ∂ u ∂t ∂ v ∂t ∂ w ∂t u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), w(x, 0) = w0(x)

(0.1) trong đó Ω là khu vực rừng có thể phát triển (Ω ⊂ R2 là một miền hai chiều bị chặn). Các hàm u(x,t) và v(x,t) lần lượt là mật độ cây non và mật độ cây trưởng thành, tại một vị trí x ∈ Ω và tại thời điểm t ∈ [0, ∞). Hàm w(x,t) là mật độ hạt trong không khí tại x ∈ Ω và tại t ∈ [0, ∞). Phương trình thứ nhất và thứ hai mô tả sự phát triển

3

của các cây non và các cây trưởng thành. Phương trình thứ ba thể hiện động lực của các hạt trong không khí; d > 0 là hằng số khuếch tán của hạt, và α > 0 và β > 0 lần lượt là tỉ lệ hạt được tạo ra và số hạt rơi xuống đất. Trong khi đó, 0 < δ ≤ 1 là tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > 0 là tỉ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào tỉ lệ cây trưởng thành v, f > 0 là tỉ lệ cây non phát triển thành cây trưởng thành, và h > 0 là tỉ lệ chết của cây trưởng thành. Hàm γ(v) xác định bởi γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > 0 và c > 0. Với w, một số điều kiện biên được đặt trên biên ∂ Ω. Các hàm giá trị ban đầu không âm u0(x) ≥ 0, v0 ≥ 0 và w0 ≥ 0 được lấy trong Ω.

Mô hình (0.1) đã được một số tác giả nghiên cứu. Với điều kiện biên Neuman hoặc Dirichlet đặt lên w, các tác giả L. H. Chuan, A. Yagi và T. Shirai trong [3] và [5] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực và chỉ ra sự tồn tại hàm Lyapunove cho hệ (0.1).

Tuy nhiên, mô hình trên có vẻ chưa đầy đủ. Các nghiệm dừng u, v của bài toán (0.1) có giá hoàn toàn trong Ω. Tuy nhiên đối với rừng tự nhiên do sự khuếch tán, mật độ hạt bên ngoài biên tự nhiên vẫn dương. Một số kết quả tính toán cũng chỉ ra một số nghiệm dừng của hệ (0.1) có mật độ cây ở miền bên ngoài biên của rừng dương.

Hai tác giả A. Yagi và M. Primicerio vào năm 2014 trong [7] đã đưa ra hình

động học rừng điều chỉnh sau:  trong Ω × (0, ∞), = β δ (w − w∗)+ − γ(v)u − f u

= f u − hv trong Ω × (0, ∞),

= d∆w − β w + α ˜v

  ∂ u ∂t ∂ v ∂t ∂ w ∂t u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), w(x, 0) = w0(x)

trong R2 × (0, ∞), trong Ω và R2. (0.2) Ở đây, w∗ > 0 là một số cho trước và ký hiệu (w − w∗)+ là phần dương của w − w∗, với w ≥ w∗, (w − w∗)+ = w − w∗ và với w < w∗, (w − w∗)+ = 0. Vì thế, w∗ là mật độ tối thiểu của hạt trên mặt đất, mật độ tối thiểu này là cần thiết để cây mọc lên. Giờ đây hàm w là mật độ hạt trong không khí, được xác định trên toàn R2. Và ˜v ký hiệu hàm mở rộng của v từ L∞(Ω) tới L∞(R2), ˜v(x) = v(x) với x ∈ Ω và ˜v(x) = 0 với x ∈ R2\Ω.

Mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2) đã cải thiện hai khía cạnh. Khía cạnh đầu tiên, mở rộng miền xác định w thành toàn không gian R2 vì w biểu thị mật độ hạt trong không khí và hạt có thể phân tán xa hơn so với biên của Ω. Một cách tự nhiên, ta không còn cần phải quan tâm tới các điều kiện biên trên w. Khía cạnh

4

thứ hai, ta có ngưỡng w∗. Nếu w ≤ w∗ thì không có cây non mọc, tất nhiên khi đó sẽ không có cây trưởng thành. Điều đó khiến cho giá của các nghiệm dừng u, v là compact.

Nội dung của luận văn là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu mô hình động

học rừng điều chỉnh (0.2). Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:

• Chương 1 của luận văn trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết về các không gian hàm, toán tử quạt, phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, các định lý và kết quả cơ bản liên quan tới luận văn. Chương này được trình bày dựa trên tài liệu [6].

• Chương 2 của luận văn trước tiên trình bày về sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương của (0.2), sau đó chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục của (0.2). Cuối chương là phần trình bày về hàm Lyapunov của hệ động lực sinh bởi (0.2). Chương này được trình bày dựa trên tài liệu [7].

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015 Học viên

Hoàng Hải Minh

5

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ta đi xây dựng cơ sở lý thuyết nhằm tiếp cận bài toán mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2). Cụ thể, ta hệ thống lại các kiến thức về một số không gian hàm, toán tử quạt, đồng thời nhắc lại các kết quả của phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính. Phần cuối chương ta đi chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục và đánh giá nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.

1.1. Một số không gian và các kết quả liên quan

Cho X là không gian Banach với chuẩn (cid:107).(cid:107), [a, b] ⊂ R, với hai số mũ 0 < σ <

β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng

Fβ ,σ ((a, b]; X), 0 < σ < β ≤ 1,

như sau:

Định nghĩa 1.1. Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) bao gồm các hàm liên tục trên (a, b] (hay [a, b] ) khi 0 < β < 1 (khi β = 1) thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) Với β < 1, (t − a)1−β F(t) có giới hạn khi t → a.

6

(2) F là hàm liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β +σ , cụ thể là

(s − a)1−β +σ (cid:107)F(t) − F(s)(cid:107) (t − s)σ sup a≤s

(1.1) < ∞. (s − a)1−β +σ (cid:107)F(t) − F(s)(cid:107) (t − s)σ sup a≤s

(3) Khi t → a,

→ 0. (1.2) (s − a)1−β +σ (cid:107)F(t) − F(s)(cid:107) (t − s)σ ωF (t) = sup a≤s

Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) được trang bị với chuẩn

a≤s

. (t − a)1−β (cid:107)F(t)(cid:107) + sup (1.3) (s − a)1−β +σ (cid:107)F(t) − F(s)(cid:107) (t − s)σ (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ = sup a≤t≤b

Với chuẩn trên, không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) trở thành một không gian Banach.

p = 1−s

2 , với phép nhúng liên tục

Phần dưới đây, ta nhắc lại một số kết quả đã biết trong không gian Sobolev. Cho Ω là một miền lồi, bị chặn có biên C2 trong R2. Khi đó Hs(Ω) biểu thị không gian Sobolev, chuẩn của nó được kí hiệu bởi (cid:107).(cid:107)Hs. Khi 0 ≤ s < 1, Hs(Ω) ⊂ Lp(Ω), trong đó 1

(1.4) (cid:107).(cid:107)Lp ≤ C(cid:107).(cid:107)Hs.

p q

Khi s = 1, Hs1(Ω) ⊂ Lq(Ω) với mọi 2 ≤ q < ∞ và ước lượng

Lp ,

1− p q H1 (cid:107).(cid:107)

(1.5) (cid:107).(cid:107)Lp ≤ C (cid:107).(cid:107)

trong đó 1 ≤ p < q < ∞.

Khi s > 1, Hs(Ω) ⊂ C(Ω) với phép nhúng liên tục

(1.6) (cid:107).(cid:107)C ≤ C(cid:107).(cid:107)Hs .

1.2. Toán tử quạt

1.2.1. Toán tử quạt

Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian Banach với chuẩn (cid:107).(cid:107). Giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong X và phổ của A chứa trong một miền quạt mở, cụ thể là

(1.7) 0 < ω ≤ π, σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} ,

7

đồng thời với mỗi giá trị chính quy λ của A, ta có ước lượng sau

(cid:13) (cid:13) , (1.8) λ /∈ Σω , (cid:13)(λ − A)−1(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ M |λ |

với hằng số M ≥ 1. Khi đó toán tử A được gọi là toán tử quạt trên X.

Ký hiệu ωA là góc nhỏ nhất thỏa mãn (1.7) và (1.8). Khi đó, ωA được gọi là góc

của toán tử quạt A.

Trong luận văn này, ta luôn xét A là một toán tử quạt trong không gian Banach

2 và ω là góc sao cho ωA < ω < π

2 . Khi đó ta có

X với góc 0 ≤ ωA < π

(1.9) σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} ,

và

(cid:13) (cid:13) , (1.10) λ /∈ Σω . (cid:13)(λ − A)−1(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤

M |λ | Toán tử −A sinh ra nửa nhóm giải tích e−zA trên X (xem [[6], chương 2]), được

(cid:90)

xác định bởi công thức tích phân sau

2 −ω ,

Γ

e−zA = z ∈ Σ π e−zλ (λ − A)−1dλ , 1 2πi

trong đó Γ là một đường cong vô hạn nằm trong ρ(A) và bao quanh σ (A) theo chiều kim đồng hồ. Tích phân này hội tụ trong L(X). Đồng thời ta có kết quả sau.

(cid:90)

Hàm e−tA là hàm hạn chế của e−zA trên (0, ∞), được xác định bởi công thức

Γ

e−tA = 0 < t < ∞. e−tλ (λ − A)−1dλ ,

2 − ω, tồn tại một số mũ

1 2πi Họ các toán tử e−tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A.

Mệnh đề 1.1 ([6], p.62). Với mọi φ sao cho 0 < φ < π dương δφ > 0 và một hằng số Cφ > 0 sao cho

(cid:13)e−zA(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ Cφ e−δφ |z|, z ∈ Σφ − {0} .

(cid:90)

Phần tiếp theo trình bày về lũy thừa của toán tử quạt. Với mỗi số phức z sao cho Rez > 0, ta định nghĩa

Γ

A−z = λ −z(λ − A)−1dλ , 1 2πi

trong đó Γ là đường cong bao quanh σ (A) theo chiều kim đồng hồ nằm trong C\(∞, 0] ∩ ρ(A). Khi đó A−z là một hàm giải tích với Rez > 0 và hàm này nhận giá trị trong L(X).

Định nghĩa At với t ∈ R như sau:

8

Khi t = 0, A0 ≡ I.

Khi −∞ < t ≤ 0, At ∈ L(X).

Khi t > 0, At = (A−t )−1 và D(At ) trù mật trong X. Hơn nữa, với 0 < t1 ≤ t2 thì

2 , khi z → 0 với z ∈ Σφ − {0}, A−z hội tụ mạnh tới 1 trong X,

D(At2) ⊂ D(At1).

Ta có các tính chất sau của toán tử lũy thừa và toán tử mũ: Với mọi 0 < φ < π (Xem [6], định lý 2.21).

Chú ý rằng

(cid:90) t

(cid:90) t

(1.11) (cid:13) < ∞. (cid:13)A−z(cid:13) (cid:13) sup |arg z|<φ ,0<|z|<1

0

0

0 < t < ∞. A1−θ e−τAdτ ≤ Cθ τ θ −1dτ ≤ Cθ tθ , Cho 0 < θ ≤ 1, ta có (cid:0)e−tA − 1(cid:1) A−θ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (1.12)

Mặt khác, với mọi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0,

tθ Aθ e−tA hội tụ mạnh tới 0 trên X. (1.13)

Đồng thời, với mỗi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0 thì

t−θ (cid:0)e−tA − 1(cid:1) A−θ hội tụ mạnh tới 0 trong X . (1.14)

Định lý 1.1 ([6], p.102). Cho 0 < β ≤ 1 và U0 ∈ D(Aβ ). Khi đó, với mọi σ sao cho 0 < σ < β ≤ 1 và mọi 0 < T < ∞, ta có

Ae−tAU0 ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X)

và ước lượng

. (cid:13) (cid:13)Ae−tAU0 (cid:13) (cid:13)Fβ ,σ ((0,T ];X) ≤ CT (cid:13) (cid:13)AβU0 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)X

1.2.2. Xấp xỉ Yosida

Định nghĩa 1.3. Cho A là một toán tử quạt trên X với góc ωA. Ta xác định dãy An của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X bởi công thức

An = A(1 + n−1A)−1 = n − n2(n + A)−1, n = 1, 2, 3, ...

Dãy {An}n=1,2,3,... được gọi là Xấp xỉ Yosida của A.

9

Giả sử An là xấp xỉ Yosida của A. Khi đó An là các toán tử quạt, đồng thời ta có

ước lượng

n e−tAn

(1.15) 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞. (cid:13) (cid:13) ≤ Ct−θ , (cid:13) (cid:13) (cid:13)Aθ (cid:13)

và

n e−tAn → Aθ e−tA Aθ

(1.16) trong L(X) 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞.

Phần tiếp theo, ta trình bày một số kết quả đã biết về phương trình vi phân tuyến

tính cấp một trong không gian Banach.

1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong

không gian Banach

Ta xét bài toán giá trị ban đầu

  = p(t)u + q(t), 0 < t ≤ T,  du dt u(0) = u0

(cid:82) t s p(r)dru(s),

trong không gian Banach X. Ở đây, p, q ∈ C([0, T ] ; X) được xác định bởi các hàm liên tục nhận giá trị trong X và u0 ∈ X là một giá trị ban đầu. Với mỗi 0 < t ≤ T , ta xét hàm

0 ≤ s ≤ t. ϕ(s) = e

(cid:82) t s p(r)dru(s))(cid:48) = e

(cid:82) t (cid:82) t s p(r)drq(s). s p(r)dr(−p(s)u(cid:48)(s) = e

Vì toán tử f (cid:55)→ e f là một ánh xạ khả vi Fréchet từ X vào chính nó và đạo hàm của nó được xác định bởi công thức g (cid:55)→ e f g trên X, dẫn tới ϕ ∈ C1((0,t]; X) và

(e

(cid:90) t

(cid:82) t s p(r)drq(s)ds, e

Lấy tích phân kết quả trên [0, T ], ta có công thức

(cid:82) t 0 p(r)dru0 +

0

u(t) = e 0 ≤ t ≤ T. (1.17)

1.4. Phương trình tiến hóa tuyến tính

Ta xét bài toán giá trị ban đầu

  + AU = F(t), 0 < t ≤ T (1.18)  dU dt U(0) = U0

10

trong không gian Banach X. Trong đó 0 < T < ∞ là thời gian cho trước, A là một toán tử quạt trong X với góc ωA < π 2 .

Hàm F ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1. Giá trị ban đầu U0 được lấy trong

X.

Ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của bài toán (1.18).

Định lý 1.2 ([6], p.124). Cho A thỏa mãn (1.9) và (1.10). Với mỗi hàm F ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X), với 0 < σ < β ≤ 1 và với bất kỳ giá trị ban đầu U0 ∈ X, luôn tồn tại duy nhất một nghiệm U của (1.18) nằm trong không gian hàm

U ∈ C([0, T ] ; X) ∩ C((0, T ]; D(A)) ∩ C1((0, T ]; X) (1.19)

và thỏa mãn ước lượng

(t) (cid:107)U(t)(cid:107) + t 0 ≤ t ≤ T. (1.20) + t (cid:107)AU(t)(cid:107) ≤ C((cid:107)U0(cid:107) + (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ ), dU dt (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

(cid:90) t

Hơn thế nữa, nghiệm U được xác định theo công thức

0

0 ≤ t ≤ T. (1.21) e−(t−τ)AF(τ)dτ, U(t) = e−tAU0 +

(cid:90) t

Chứng minh. Với n = 1, 2, 3, ..., ký hiệu An là xấp xỉ Yosida của A. Khi đó An là các toán tử bị chặn trên X. Đồng thời, An là các toán tử quạt trên X với góc ω < ωA, và An sinh ra duy nhất một nửa nhóm giải tích e−tAn. Đặt

0

0 ≤ t < T. e−(t−τ)AnF(τ)dτ, Un(t) = e−tAnU0 +

(cid:90) t

0

Vì khi n → ∞ thì e−tAn → e−tA nên Un(t) hội tụ điểm tới hàm U(t) được cho bởi công thức (1.21) trong X. Hơn nữa, An là toán tử bị chặn và (cid:19) (cid:18) + e−tAnetAnF(t) eτAnF(τ)dτ −Ane−tAn = −Ane−tAnU0 + dUn dt

0 < t ≤ T. = −AnUn(t) + F(t),

(cid:90) t

Do đó, với bất kỳ 0 < ε < T , lấy tích phân hai vế ta có

ε

(1.22) ε ≤ t ≤ T. Un(t) = Un(ε) + [F(τ) − AnUn(τ)] dτ,

(cid:90) t

Tiếp theo ta sẽ đi xét sự hội tụ của AnUn(t). Với mục đích đó, ta viết

0

Ane−(t−τ)An [F(τ) − F(t)] dτ + (cid:0)1 − e−tAn(cid:1) F(t), AnUn(t) = Ane−tAnU0 +

11

(cid:90) t

trong đó

0

(1.23) Ane−(t−τ)Andτ = 1 − e−tAn.

(cid:90) t

Do đó

(cid:107)AnUn(t)(cid:107) ≤ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:107)F(τ) − F(t)(cid:107) dτ

(cid:13)Ane−tAn(cid:13) + (cid:13) (cid:13) (cid:107)U0(cid:107) + (cid:13)1 − e−tAn(cid:13) (cid:13) (cid:13)Ane−(t−τ)An (cid:13) 0 (cid:13) (cid:107)F(t)(cid:107) .

Từ (1.15) ta có

(cid:13)Ane−tAn(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)Ane−(t−τ)An (cid:13) (cid:13) ≤ Ct−1, (cid:13) (cid:13) ≤ C(t − τ)−1. (cid:13)

Từ (1.3) ta có

(cid:107)F(t)(cid:107) ≤ Ct−1+β (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ , (cid:107)F(τ) − F(t)(cid:107) ≤ C(t − τ)σ τ β −σ −1(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ .

(cid:90) t

Suy ra

0

(cid:107)AnUn(t)(cid:107) ≤ Ct−1 (cid:107)U0(cid:107) + C(t − τ)−1(t − τ)σ τ β −σ −1(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ dτ

(cid:90) t

+Ct−1+β (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ

0

(t − τ)σ −1τ β −σ −1dτ ≤ Ct−1 (cid:107)U0(cid:107) +C(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ

(cid:17) , ≤ C 0 < t ≤ T, (1.24) +Ct−1+β (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ (cid:16) t−1 (cid:107)U0(cid:107) + tβ −1(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ

(cid:90) t

hằng số C không phụ thuộc vào n. Hơn nữa, từ (1.16) suy ra AnUn(t) hội tụ tới

0

W = Ae−tA + Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ + (1 − e−tA)F(t),

trong X với mỗi t ∈ (0, T ]. Hơn nữa, W là một hàm liên tục với 0 < t ≤ T . Cho n → ∞ −1AnUn(t), ta suy ra U(t) = A−1W . Điều đó dẫn tới U(t) ∈ D(A) trong Un(t) = An và AU(t) = W (t) với mọi 0 < t ≤ T .

(cid:90) t

Từ (1.24) và áp dụng Định lý hội tụ Lebesgue cho (1.22) ta có

ε

U(t) = U(ε) + [F(τ) − AU(τ)] dτ, ε ≤ t ≤ T.

12

Suy ra U(t) khả vi với ε ≤ t ≤ T . Vì ε > 0 tùy ý nên U(t) ∈ C1((0, T ), X). Hơn nữa, U(t) có đạo hàm tại t = 0 nên U liên tục tại t = 0 suy ra U(t) ∈ C1([0, T ], X).

(cid:90) t

Ta có

0

Ae−(t−τ)AF(τ)dτ. AU(t) = Ae−tAU0 +

(cid:90) t

Do vậy

2 )A(cid:13) (cid:13) (cid:13)

2 )A(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:107)F(τ)(cid:107) dτ.

0

(cid:107)AU(t)(cid:107) ≤ Ct−1 (cid:107)U0(cid:107) + (cid:13) (cid:13)Ae−( t−τ (cid:13) (cid:13) (cid:13)e−( t−τ (cid:13)

(cid:90) t

Khi đó

−1 )

2 )tβ (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ dτ

0

(cid:90) t

e−ρ( t−τ ( t (cid:107)AU(t)(cid:107) ≤ C (cid:107)U0(cid:107) +C t − τ 2

2 )tβ dτ,

0

e−ρ( t−τ ≤ C (cid:107)U0(cid:107) +C(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ 2 t − τ

2 )tβ bị chặn khi t → ∞ nên

t−τ e−ρ( t−τ

mà 2

(cid:1) , C không phụ thuộc vào t. t (cid:107)AU(t)(cid:107) ≤ C (cid:0)(cid:107)U0(cid:107) | + (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ

Từ đó ta có U(t) thỏa mãn (1.20). Đồng thời ta dễ dàng kiểm tra được U(0) = U0, suy ra U(t) là nghiệm của bài toán (1.18).

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của nghiệm U của (1.18). Thật vậy, giả sử có V (t) là nghiệm của bài toán (1.18) và thuộc không gian nghiệm (1.19). Khi đó, ta có

(τ) = F(τ) − AV (τ), dV dτ

và

e−(t−τ)AV (τ) = Ae−(t−τ)AV (τ) + e−(t−τ)AF(τ) − e−(t−τ)AAV (τ) d dτ

= e−(t−τ)AF(τ).

(cid:90) t

Lấy ε > 0 bất kỳ, với ε < τ < t ta lấy tích phân hai vế đẳng thức trên thu được

ε

V (t) = e−(t−ε)AV (ε) + e−(t−τ)AF(τ)dτ, ε < t ≤ T.

(cid:90) t

Cho ε → 0 , ta thu được

0

0 < t ≤ T. e−(t−τ)AF(τ)dτ, V (t) = e−tAU0 +

Suy ra V (t) = U(t) với mọi 0 < t ≤ T .

13

Khi giá trị ban đầu U0 thuộc D(Aβ ), ta có thể chứng minh được tính chất tốt

hơn của nghiệm.

Định lý 1.3 ([6], p.126). Cho F ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1, và cho U0 ∈ D(Aβ ). Khi đó, nghiệm U của (1.18) có các tính chất sau:

AβU ∈ C((0, T ]; X), (1.25)

, AU ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X), (1.26) dU dt

với các ước lượng

(cid:17) ≤ C , (1.27) (cid:13) (cid:13)AβU (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)C

(cid:17) . (1.28) + (cid:107)AU(cid:107)Fβ ,σ ≤ C (cid:13) (cid:16)(cid:13) (cid:13)AβU0 (cid:13) (cid:13) (cid:13) + (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ (cid:16)(cid:13) (cid:13)AβU0 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) + (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ dU dt (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)Fβ ,σ

Chứng minh. Đầu tiên, ta đi chứng minh (1.25). Ta đã biết Aβ là một toán tử quạt với ωAβ ≤ β ωA nên Aβ bị chặn và AβU(t) là liên tục với mọi t ∈ (0, T ]. Do vậy, ta chỉ cần chỉ ra AβU(t) liên tục tại t = 0. Thật vậy, ta có

(cid:90) t

0

(cid:90) t

(cid:21) Aβ [U(t) −U0] = Aβ (cid:20) e−tAU0 + e−(t−τ)AF(τ)dτ −U0

0 (cid:90) t

Aβ e−(t−τ)AF(τ)dτ = (cid:0)e−tA − 1(cid:1) AβU0 +

(cid:90) t

Aβ e−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ = (cid:0)e−tA − 1(cid:1) AβU0 +

0 Ae−(t−τ)AF(τ)dτAβ −1F(t)

0

(cid:90) t

+

0

Aβ e−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ = (cid:0)e−tA − 1(cid:1) AβU0 +

+ (1 − e−tA)Aβ −1F(t)

= J1(t) + J2(t) + J3(t).

(cid:90) t

Dễ thấy lim t→0

0 (cid:90) t

(cid:13) (cid:13) (cid:107)J2(t)(cid:107)X ≤ (cid:13) (cid:13) (cid:107)F(τ) − F(t)(cid:107) dτ

0 (cid:90) t

≤ τ 1−β +σ (cid:107)F(τ) − F(t)(cid:107)X (t − τ)σ J1(t) = 0 trong X. Hơn nữa (cid:13)Aβ e−(t−τ)A(cid:13) C(t − τ)−β (t − τ)σ τ β −σ −1dτ sup 0<τ

0

≤ C (t − τ)σ −β τ β −σ −1dτ ωF (t).

14

J2(t) = 0. Mặt khác, vì Mà lim t→0 ωF (t) = 0 nên lim t→0

J3(t) = (1 − e−tA)Aβ −1F(t)

= −tβ −1(e−tA − 1)Aβ −1t1−β F(t),

J3(t) = 0. Như vậy, (cid:13) (cid:13)Aβ [U(t) −U0](cid:13) (cid:13) → 0 khi t → 0. và theo (1.16) ta có với 0 < β ≤ 1, khi t → 0 thì tβ −1 (cid:0)1 − e−tA(cid:1) Aβ −1 hội tụ đến 0 trong X nên lim t→0 Ta có

(cid:13) (cid:13) (cid:13)AβU(t) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ (cid:107)J1(t)(cid:107) ≤ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)Aβ [U(t) −U0] (cid:13)AβU0 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) + (cid:13) , (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)e−tA − 1(cid:13) (cid:13)AβU0 (cid:13)AβU0 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ C (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ,

(cid:13) (cid:13) (cid:107)J2(t)(cid:107) ≤ C(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ , (cid:13)1 − e−tA(cid:13) (cid:107)J3(t)(cid:107) ≤ (cid:13) (cid:13) (cid:13)Aβ −1(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:107)F(t)(cid:107) ,

kết hợp với (1.11), ước lượng (1.27) được chứng minh.

(cid:90) t

Tiếp theo, ta sẽ đi chứng minh (1.26). Tương tự trên có

0

Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ + (1 − e−tA)F(t) AU(t) = Ae−tAU0 +

= I1(t) + I2(t) + I3(t).

Theo Định lý 1.1 ta có, I1(t) ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X). Vì thế ta chỉ cần chứng minh Ii(t) ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X) với i = 2, 3.

(cid:90) t

Chứng minh I2. Chuẩn của I2(t) được ước lượng bởi

0

(t − τ)σ −1τ β −σ −1dτ (cid:107)I2(t)(cid:107) ≤ C τ 1−β +σ (cid:107)F(τ) − F(t)(cid:107)X (t − τ)σ sup 0<τ

≤ Ctβ −1B(σ , β − σ )ωF (t).

t1−β I2(t) = 0 trong X. Vì thế từ (1.2) ta có lim t→0

15

(cid:90) t

(cid:90) s

Mặt khác, ta có

0 (cid:90) t

0 (cid:90) s

Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ − Ae−(s−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ I2(t) − I2(s) =

s

0

(cid:90) s

= Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ + Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ

(cid:90) s

(cid:90) t

− Ae−(s−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ

0 Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ +

s

(cid:90) s

= Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ

0 (cid:90) s Ae−(t−τ)A [F(s) − F(t)] dτ −

0

(cid:90) t

+ Ae−(s−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ

0 Ae−(t−τ)A [F(τ) − F(t)] dτ

s

=

0

(cid:90) s

(cid:17) (cid:90) s + (cid:16) e−(t−s)A − 1 Ae−(s−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ

0

+ Ae−(t−τ)A [F(s) − F(t)] dτ

= I21(t, s) + I22(t, s) + I23(t, s).

(cid:90) t

Trong đó

s (cid:90) t

(cid:13) (cid:13) (cid:107)I21(t, s)(cid:107) ≤ (cid:13) (cid:13) (cid:107)F(τ) − F(t)(cid:107) dτ

s

(cid:90) t

≤ (cid:13)Ae−(t−τ)A(cid:13) (t − τ)−1(t − τ)σ τ β −σ −1dτ τ 1−β +σ (cid:107)F(τ) − F(t)(cid:107)X (t − τ)σ sup 0<τ

s ≤ CωF (t)(t − s)σ sβ −σ −1,

(t − τ)σ −1τ β −σ −1dτ ≤ CωF (t)

(cid:90) s

(cid:90) t−s

và

o

0 (cid:90) t−s

(cid:90) s

Ae−(s−τ)A [F(τ) − F(s)] dτ Ae−ρAdρ (cid:107)I22(t, s)(cid:107) = (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

o (cid:90) s (cid:13) (cid:13)

0 (cid:90) t−s

o (cid:90) s

= (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 0 (cid:90) t−s ≤ (cid:13) (cid:13) (cid:107)F(τ) − F(s)(cid:107) dτdρ

o

0

≤ A2e−(ρ+s−τ)A [F(τ) − F(s)] dτdρ (cid:13)A2e−(ρ+s−τ)A(cid:13) C(ρ + s − τ)−2(s − τ)σ τ β −σ −1ωF (s)dτdρ.

16

(cid:90) t−s

(cid:90) t−s

Hơn nữa

0

(ρ + s − τ)−2(s − τ)σ τ β −σ −1dρ = (s − τ)σ τ β −σ −1 (ρ + s − τ)−2dρ

0 (cid:20) −1 t − τ

(cid:21) + = (s − τ)σ τ β −σ −1 1 s − τ

= (t − s)(s − τ)σ −1(t − τ)−1τ β −σ −1.

(cid:90) t−s

(cid:90) s

Suy ra

0

o (cid:90) t−s

I = (ρ + s − τ)−2(s − τ)σ τ β −σ −1dτdρ

0

= (t − s) (s − τ)σ −1(t − τ)−1τ β −σ −1dτ.

(cid:90) s

Đặt τ = s − x ta được

0

I = (t − s) (t − s + x)−1xσ −1(s − x)β −σ −1dx.

(cid:90) s

Xét

s 2 (cid:90) s

H = (t − s) (t − s + x)−1xσ −1(s − x)β −σ −1dx

s 2

(cid:90) s

(t − s + x)−1x−1xσ (s − x)β −σ −1dx = (t − s)

s 2 (cid:90) s

(t − s + x)−1xσ (s − x)β −σ −1dx ≤ 2s−1(t − s)

s 2

(t − s + x)1−σ xσ (t − s + x)−1(cid:105) (cid:104) (s − x)β −σ −1dx. ≤ 2s−1(t − s)σ

Vì (t − s + x)−1 = (t − s + x)−1+σ (t − s + x)−σ nên

x

(cid:19)1−σ (cid:18) (cid:19)σ (cid:18) t − s (t − s + x)1−σ xσ (t − s + x)−1 = . t − s + x x t − s + x

t−s+x < 1 do x ∈ (cid:2) s

t−s+x < 1 do t > s > 0. Suy ra

2 ; s(cid:3) và

Trong đó t−s

(t − s + x)1−σ xσ (t − s + x)−1 < 1.

(cid:90) s

Do vậy

0

(s − x)β −σ −1dx. H ≤ 2(t − s)σ s−1

17

(cid:90) s 2

Mặt khác

0

(cid:90) ∞

(t − s) (t − s + τ)−1τ σ −1(s − τ)β −σ −1dτ

0 (cid:90) ∞

≤ (t − s)(s − )β −σ −1 (t − s + τ)−1τ σ −1dτ s 2

0

≤ (t − s)21−β +σ sβ −σ −1 (t − s + τ)−1τ σ −1dτ

sin(σ π) .

= (t − s)σ 21−β +σ vì B(σ , 1 − σ ) = π 21−β +σ π sin(σ π)

Khi đó

(cid:32) (cid:33)(cid:35)

(cid:34) (t − s)σ sβ −σ −1 + , (cid:107)I22(t, s)(cid:107) ≤ CωF (t) 2 β − σ 21−β +σ π sin σ π

suy ra

(cid:107)I22(t, s)(cid:107) ≤ CωF (t)(t − s)σ sβ −σ −1, 0 ≤ s < t ≤ T.

Cuối cùng, vì

[F(s) − F(t)] , I23(t, s) =

e−(t−s)A − e−tA(cid:105) (cid:104) e−(t−s)A − e−tA(cid:105) s1−β +σ [F(s) − F(t)] (cid:104) = (t − s)σ sβ −σ −1, (t − s)σ

nên

0 ≤ s < t ≤ T. (cid:107)I23(t, s)(cid:107) ≤ CωF (t)(t − s)σ sβ −σ −1,

Tóm lại, ta có

→ 0, s1−β +σ (cid:107)I2(t) − I2(s)(cid:107)X (t − s)σ

sup 0≤s

Chứng minh I3. Vì t1−β I3(t) = (cid:0)e−tA − 1(cid:1)t1−β F(t) nên

t1−β I3(t) = 0. lim t→0

Tiếp theo

I3(t) − I3(s) = (cid:0)1 − e−tA(cid:1) F(t) − (cid:0)1 − e−sA(cid:1) F(s)

e−sAF(s) = (cid:0)1 − e−tA(cid:1) [F(t) − F(s)] −

A−σ Aσ e−sAF(s). = (cid:0)1 − e−tA(cid:1) [F(t) − F(s)] − (cid:17) (cid:16) e−(t−s)A − 1 (cid:17) (cid:16) e−(t−s)A − 1

18

Trong đó

0 ≤ s < t ≤ T, (cid:13) (cid:0)1 − e−tA(cid:1) [F(t) − F(s)](cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ CωF (t)(t − s)σ sβ −σ −1,

và từ (1.12) ta có,

(cid:17) (cid:16) e−(t−s)A − 1 (cid:13)Aσ e−sAF(s)(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) A−σ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

(cid:13) (cid:17) (cid:16) A−σ Aσ e−sAF(s) e−(t−s)A − 1 (cid:13) (cid:13) ≤ (cid:13) ≤ C(t − s)σ sβ −σ −1 (cid:13) (cid:13)sσ Aσ e−sAs1−β F(s) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ,

0 ≤ s < t ≤ T.

sσ Aσ e−sAs1−β F(s) = 0. Chứng tỏ Hơn nữa, theo (1.13), lim s→0

(cid:107)I3(t) − I3(s)(cid:107) ≤ CωF (t)(t − s)σ sβ −σ −1,

nên

= 0. lim t→0 s1−β +σ (cid:107)I3(t) − I3(s)(cid:107)X (t − s)σ sup 0

Như vậy, I3 ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X). Do đó, AU(t) ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X).

Ta có

= −AU + F(t), dU dt

nên

∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X) . dU dt

Hơn nữa

(cid:107)AU(cid:107)Fβ ,σ ≤ (cid:107)I1(cid:107)Fβ ,σ + (cid:107)I2(cid:107)Fβ ,σ + (cid:107)I3(cid:107)Fβ ,σ ,

trong đó

, (cid:107)I1(cid:107)Fβ ,σ = (cid:13) (cid:13)Ae−tAU0 (cid:13) (cid:13)Fβ ,σ ≤ C (cid:13) (cid:13)AβU0 (cid:13)

0

, t1−β (cid:107)I2(cid:107) + sup (cid:13) (cid:13) (cid:13)X s1−β +σ (cid:107)I2(t) − I2(s)(cid:107)X (t − s)σ (cid:107)I2(cid:107)Fβ ,σ = sup 0

19

(cid:90) t

mà

0

(cid:13) (cid:13) (cid:107)I2(cid:107) ≤ (cid:13) (cid:13) (cid:107)F(τ) − F(t)(cid:107) dτ (cid:13)Ae−(t−τ)A(cid:13)

(cid:90) t

≤ C(t − τ)−1τ β −σ −1(t − τ)σ (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ dτ

0 ≤ CB(σ , β − σ )tβ −1(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ ≤ Ctβ −1(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ ,

C(t − τ)σ −1τ β −σ −1dτ ≤ C(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ

(cid:107)I2(t) − I2(s)(cid:107) ≤ C(t − s)σ sβ −σ −1(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ ,

suy ra

(cid:107)I2(cid:107)Fβ ,σ ≤ C(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ .

Khi đó

0

, t1−β (cid:107)I3(cid:107) + sup s1−β +σ (cid:107)I3(t) − I3(s)(cid:107)X (t − s)σ (cid:107)I3(cid:107)Fβ ,σ = sup 0

nên

(cid:107)I3(cid:107)Fβ ,σ ≤ C(cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ ,

bằng cách đó thì

(cid:105) . + (cid:107)AU(cid:107)Fβ ,σ ≤ C (cid:104)(cid:13) (cid:13)AβU0 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) + (cid:107)F(cid:107)Fβ ,σ dU dt (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)Fβ ,σ

Phần tiếp theo, ta trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục và đánh giá tiên nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.

1.5. Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Cho X là một không gian Banach với chuẩn (cid:107).(cid:107). Ta xét bài toán Cauchy cho

phương trình nửa tuyến tính như sau

  + AU = F(U) + G(t), 0 < t ≤ T, (1.29)  dU dt U(0) = U0,

20

trong X. Trong đó, A là một toán tử quạt trên X thỏa mãn (1.9) và (1.10), F là một toán tử phi tuyến đi từ D(Aη ) vào X, với

(1.30) 0 ≤ η < 1.

Giả sử rằng F thỏa mãn điều kiện Lipschitz

(cid:107)F(U) − F(V )(cid:107) ≤ ϕ((cid:107)U(cid:107) + (cid:107)V (cid:107)) [(cid:107)Aη (U −V )(cid:107) + ((cid:107)AηU(cid:107) + (cid:107)AηV (cid:107)) (cid:107)U −V )(cid:107)] , (1.31) trong đó U,V ∈ D(Aη ) và ϕ(.) là một hàm liên tục tăng. Từ (1.31), ta có F thỏa mãn ước lượng sau

U ∈ D(Aη ), (1.32) (cid:107)F(U)(cid:107) ≤ ψ((cid:107)U(cid:107))((cid:107)AηU(cid:107) + 1),

với ψ(ξ ) = (cid:107)F(0)(cid:107)+ϕ(ξ )(ξ +1). Hàm G(t) được cho trong không gian Fβ ,σ ((0, T ]; X), 0 < σ < β . Giá trị ban đầu U0 được lấy trong D(Aβ ).

Ta sẽ chứng minh (1.29) có duy nhất một nghiệm đại phương.

Định lý 1.4 ([6], p.188). Cho A là toán tử quạt thỏa mãn (1.9), (1.10) và F thỏa mãn (1.31), (1.30). Khi đó, với mỗi hàm G ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤ 1 − η, và bất kỳ U0 ∈ X, (1.29) có duy nhất một nghiệm địa phương U thuộc không gian hàm

(1.33) U ∈ C([0, TG,U0]; X) ∩ C1((0, TG,U0]; X), AU ∈ C((0, TG,U0]; X),

trong đó TG,U0 > 0 chỉ phụ thuộc vào (cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ và (cid:107)U0(cid:107). Hơn nữa, U thỏa mãn ước lượng

(cid:107)U(t)(cid:107) + t (t) (1.34) 0 ≤ t ≤ TG,U0, + t (cid:107)AU(t)(cid:107) ≤ CG,U0, dU dt (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

với hằng số CG,U0 > 0 phụ thuộc vào (cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ và (cid:107)U0(cid:107).

Chứng minh. Với S ∈ (0, T ], đặt

(cid:27) (cid:26) , X(S) = tη (cid:107)AηU(t)(cid:107) < ∞ U ∈ C((0, S]; D(Aη )) ∩ C([0, S] ; X) : sup 0

(cid:107)U(t)(cid:107) . (cid:107)U(cid:107)X(S) = sup 0

Tập con K(S) của X(S) là tập gồm các hàm thỏa mãn

0 < t ≤ S, (1.35) tη (cid:107)AηU(t)(cid:107) ≤ C1,

21

0 ≤ t ≤ S, (1.36) (cid:107)U(t)(cid:107) ≤ C2,

với Ci > 0 (i = 1, 2) sẽ được xác định sau.

Ta có K(S) là tập con đóng khác rỗng của X(S). Thật vậy, giả sử Un ∈ K(S) và

Un → U0. Ta sẽ chứng minh U0 ∈ K(S). Từ điều giả sử ta có

(cid:107)Un −U0(cid:107)X(S) → 0,

suy ra

tη (cid:107)Aη [Un(t) −U0(t)](cid:107) → 0, sup 0

và

(cid:107)Un(t) −U0(t)(cid:107) → 0. sup 0≤t≤S

Khi đó

(cid:107)AηUn(t)(cid:107) → (cid:107)AηU0(t)(cid:107) ,

mà

tη (cid:107)AηUn(t)(cid:107) ≤ C1 ⇒ tη (cid:107)AηU0(t)(cid:107) ≤ C1,

và

(cid:107)Un(t)(cid:107) ≤ C2 ⇒ (cid:107)U0(t)(cid:107) ≤ C2,

nên U0(t) ∈ K(S).

(cid:90) t

Với U ∈ K(S), ta xác định hàm

0

e−(t−s)A[F(U(s)) + G(s)]ds, 0 ≤ t ≤ S. (1.37) {ΦU} (t) = e−tAU0 +

Mục tiêu của ta là chỉ ra Φ là một ánh xạ co từ K(S) vào chính nó khi S đủ nhỏ, đồng thời điểm bất động của Φ là nghiệm của (1.29). Để đạt được mục tiêu trên, ta sẽ chia việc chứng minh thành các bước. Trong suốt quá trình chứng minh, CG,U0 là hằng số phổ dụng được xác định trong từng lần xuất hiện bởi các hằng số trong (1.9), (1.10), (1.31), (1.30), bởi hàm ϕ(.), bởi các chuẩn (cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ và (cid:107)U0(cid:107).

Bước 1. Ta sẽ đi chứng minh Φ là một ánh xạ từ K(S) vào chính nó. Với U ∈

K(S), dựa vào (1.32) ta có

0 < t ≤ S. (1.38) (cid:107)F(U)(cid:107) ≤ ψ((cid:107)U(cid:107))((cid:107)AηU(cid:107) + 1) ≤ ψ(C2)(C1t−η + 1),

(cid:90) t

Với mỗi θ ∈ [0, 1), Aθ là toán tử bị chặn nên Aθ là toán tử đóng. Khi đó

0

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)Aθ {ΦU} (t) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ (cid:13)Aθ e−tA(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:107)U0(cid:107) + (cid:13)Aθ e−(t−s)A(cid:13) (cid:13) (cid:13) [(cid:107)F((U(s))(cid:107) + (cid:107)G(s)(cid:107)] ds,

22

(cid:90) t

0 (cid:90) t

(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) [(cid:107)F((U(s))(cid:107) + (cid:107)G(s)(cid:107)] ds (cid:13) (cid:107)U0(cid:107) + tθ (cid:13) suy ra (cid:13) tθ (cid:13) (cid:13)Aθ {ΦU} (t) (cid:13) (cid:13)

0

(cid:90) t

(cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ tθ (cid:13) ≤ tθ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:107)F((U(s))(cid:107) ds (cid:13)Aθ e−(t−s)A(cid:13) (cid:13)Aθ e−(t−s)A(cid:13)

(cid:90) t

(cid:13) (cid:13) (cid:13)Aθ e−tA(cid:13) (cid:13)Aθ e−tA(cid:13) + tθ (cid:13) (cid:13) (cid:107)G(s)(cid:107) ds. (cid:13) (cid:107)U0(cid:107) + tθ (cid:13) (cid:13)Aθ e−(t−s)A(cid:13)

0

0 ≤ Aθ (cid:107)U0(cid:107) + tθ (cid:90) t

(t − s)−θ ψ(C2)(C1s−η + 1)ds

0

(cid:90) t

+ tθ (t − s)−θ sβ −1(cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ ds

0

(cid:90) t

(t − s)−θ (C1s−η + 1)ds ≤ Aθ (cid:107)U0(cid:107) + Aθ ψ(C2)tθ

0 ≤ Aθ (cid:107)U0(cid:107) + Aθ B(1 − θ , β )(cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ tβ

(t − s)−θ sβ −1ds + Aθ tθ (cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ

(1.39) + Aθ ψ(C2) (cid:2)C1B(1 − θ , 1 − η)t1−η + B(1 − θ , 1)t(cid:3) .

Ở đây, B(p, q) là hàm Beta và Aξ được xác định bởi

0 ≤ ξ ≤ 1. (cid:13)Aξ e−tA(cid:13) tξ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) , Aξ = sup 0

Áp dụng ước lượng trên với θ = η ta được

tη (cid:107)Aη {ΦU} (t)(cid:107) ≤ Aη (cid:107)U0(cid:107) + Aη B(1 − η, β )(cid:107)G(cid:107)F β ,σ tβ

+ Aη ψ(C2) (cid:2)C1B(1 − η, 1 − η)t1−η + B(1 − η, 1)t(cid:3) .

Ta chọn C1 > Aη (cid:107)U0(cid:107) + Aη B(1 − η, β )(cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ . Áp dụng ước lượng trên với θ = 0 ta được

(cid:107)ΦU(t)(cid:107) ≤ (cid:107)U0(cid:107) + B(1 − η, β )(cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ tβ + ψ(C2) (cid:2)C1B(1, 1 − η)t1−η + B(1, 1)t(cid:3) .

Ta chọn C2 > (cid:107)U0(cid:107) + B(1 − η, β )(cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ . Kết hợp với S đủ nhỏ, thì ΦU thỏa mãn (1.35) và (1.36).

(cid:90) t

Với 0 < s < t ≤ S, theo tính chất của nửa nhóm thì

s

(cid:90) s

e−(t−τ)A [F(U(τ)) + G(τ)] dτ {ΦU} (t) = e−(t−s)Ae−sAU0 +

0

+ e−(t−s)A e−(s−τ)A [F(U(τ)) + G(τ)] dτ.

23

(cid:90) t

Từ đó ta có

s

(cid:90) s

e−(t−τ)A [F(U(τ)) + G(τ)] dτ {ΦU} (t) − {ΦU} (s) = e−(t−s)Ae−sAU0 +

0

(cid:90) s

+ e−(t−s)A e−(s−τ)A [F(U(τ)) + G(τ)] dτ − e−sAU0

0

− e−(s−τ)A [F(U(τ)) + G(τ)] dτ

(cid:17) = (cid:16) e−(t−s)A − 1

(cid:90) t

e−sAU0 (cid:17) (cid:90) s + (cid:16) e−(t−s)A − 1 e−(s−τ)A [F(U(τ)) + G(τ)] dτ

0 e−(t−τ)A [F(U(τ)) + G(τ)] dτ

s

(cid:90) t

+

s

= (cid:17) (cid:16) e−(t−s)A − 1 {ΦU} (s) + e−(t−τ)A [F(U(τ)) + G(τ)] dτ.

Do đó

(cid:90) t

(cid:13) (cid:13) (cid:107)Aη [{ΦU} (t) − {ΦU} (s)](cid:107) ≤ {ΦU} (s) (cid:13)Aη (cid:16) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

(cid:13) (cid:13) +

≤ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) [(cid:107)F(U(τ))(cid:107) + (cid:107)G(τ)(cid:107)] dτ A−σ (cid:13) (cid:13)Aη+σ {ΦU} (s)(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

s

(cid:13) (cid:13) + (cid:17) e−(t−s)A − 1 (cid:13)Aη e−(t−τ)A(cid:13) s (cid:17) (cid:16) e−(t−s)A − 1 (cid:90) t (cid:13)Aη e−(t−τ)A(cid:13) (cid:13) (cid:13) [(cid:107)F(U(τ))(cid:107) + (cid:107)G(τ)(cid:107)] dτ.

Áp dụng ước lượng (1.39) với θ = η + σ ta có

sη+σ (cid:13) (cid:13)Aη+σ {ΦU} (s)(cid:13) (cid:13) ≤ CG,U0,

và từ (1.12) ta có

(cid:17) (cid:16) e−(t−s)A − 1 A−σ (cid:13) (cid:13) ≤ C(t − s)σ . (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Khi đó

(cid:17) (cid:16) e−(t−s)A − 1 (cid:13) (cid:13)Aη+σ {ΦU} (s)(cid:13) (cid:13) ≤ CG,U0A1−σ (t − s)σ s−η−σ . (cid:13) (cid:13) (cid:13) A−σ (cid:13) (cid:13) (cid:13)

Theo (1.3) và (1.38) thì

(cid:107)G(τ)(cid:107) ≤ τ β −1(cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ ,

(cid:107)F(U(τ))(cid:107) ≤ ψ(C2)(C1τ −η + 1).

24

Với các số mũ 0 < β ≤ 1 − η < 1 thì β − 1 < −η < 0. Do đó τ −η < τ β −1 với τ < 1, và τ −η < 1 với τ > 1. Vì thế nên

(cid:90) t

(cid:107)Aη [{ΦU} (t) − {ΦU} (s)](cid:107) ≤ CG,U0A1−σ (t − s)σ s−η−σ

s

(t − τ)−η (τ β −1 + 1)dτ. +CG,U0Aη

(cid:90) t

(cid:90) t

Vì β − 1 = (η + σ − 1) + (−η − σ ) + β và η + σ − 1 < 0, −η − σ < 0, β > 0 nên

s

s (cid:90) t

(t − τ)−η (τ β −1 + 1)dτ ≤ (t − τ)−η (τ − s)η+σ −1s−η−σ Sβ dτ

s

≤ C (t − τ)−η (τ − s)η+σ −1s−η−σ dτ.

(cid:90) t−s

Đặt t − τ = x, khi đó

0

I = x−η (t − s − x)η+σ −1s−η−σ dx.

(cid:90) 1

Đặt x = (t − s)z, khi đó

0

I = (t − s)−η z−η (t − s)η+σ −1(1 − z)η+σ −1s−σ −η (t − s)dz

= CB(1 − η, η + σ )(t − s)σ s−σ −η .

Do vậy,

(1.40) (cid:107)Aη [{ΦU} (t) − {ΦU} (s)](cid:107) ≤ CG,U0(t − s)σ s−η−σ t→s−→ 0,

với 0 < s < t ≤ S. Điều đó có nghĩa là ΦU ∈ C ((0, S] ; D(Aη )). Tính toán tương tự, ta có

(cid:107){ΦU} (t) − {ΦU} (s)(cid:107) ≤ A−σ (cid:13) (cid:13) (cid:107)Aσ {ΦU} (s)(cid:107) (cid:13)

s

(cid:13) (cid:13) +

s

(cid:13) (cid:13) [(cid:107)F(U(τ))(cid:107) + (cid:107)G(τ)(cid:107)] dτ (cid:90) t (τ β −1 + 1)dτ. (cid:13) (cid:105) (cid:104) e−(t−s)A − 1 (cid:13) (cid:13) (cid:90) t (cid:13)e−(t−τ)A(cid:13) ≤ CG,U0(t − s)σ s−σ +CG,U0

(cid:90) t

(cid:90) t

Ta viết β − 1 = (σ − 1) − σ + β , trong đó σ − 1 < 0, −σ < 0, β > 0, ta có

s

s (cid:90) t

τ β −1dτ ≤ (τ − s)σ −1s−σ Sβ dτ

s

≤ C (τ − s)σ −1s−σ dτ

= CB(1, σ )(t − s)σ s−σ .

25

Do đó

0 e−(t−s)AG(s)ds là liên tục tại t = 0 theo chuẩn

0 < s < t ≤ S. (1.41) (cid:107){ΦU} (t) − {ΦU} (s)(cid:107) ≤ CG,U0(t − s)σ s−σ ,

(cid:90) t

(cid:90) t

Theo Định lý 1.2, ta có e−tAU0 + (cid:82) t của D(Aβ ). Hơn nữa, theo (1.38), khi t → 0 thì

0

0 (cid:90) t

(cid:13) (cid:13) ≤ (cid:13) (cid:13) (cid:107)F(U(s))(cid:107) ds (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) e−(t−s)AF(U(s))ds (cid:13) (cid:13)

≤

0

(cid:13)e−(t−s)A(cid:13) ψ(C2)(C1s−η + 1)ds 0 (cid:90) t ≤ C (s−η + 1)ds

0 e−(t−s)AF(U(s))ds liên tục tại t = 0. Vì thế nên ΦU ∈ C ([0, S] ; X). Suy ra

= C(s1−η + s)|t 0 = C(t1−η + t) → 0.

Suy ra (cid:82) t ΦU ∈ K(S), nghĩa là, Φ là ánh xạ từ K(S) vào chính nó, với S đủ nhỏ.

Bước 2. Tiếp theo ta sẽ chỉ ra Φ là ánh xạ co theo chuẩn của X(S). Lấy U,V ∈

(cid:90) t

K(S) là hai hàm bất kỳ. Với 0 < θ < 1, ta có

0

Aθ e−(t−s)A [F(U(s)) − F(V (s))] ds. Aθ [{ΦU} (t) − {ΦV } (t)] =

0 (cid:90) t

≤ (cid:13) (cid:13) (cid:107)F(U(s)) − F(V (s))(cid:107) ds

0

(cid:90) t

≤ Từ (1.31), (1.35) và (1.36) ta có tθ (cid:13) (cid:13) (cid:13)Aθ [{ΦU} (t) − {ΦV } (t)] (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:90) t (cid:13)Aθ e−(t−s)A(cid:13) tθ (cid:13) (cid:13) tθ (t − s)−θ ϕ(2C2) (cid:8)(cid:107)Aη (U(s) −V (s))(cid:107) + 2C1s−η (cid:107)U(s) −V (s)(cid:107)(cid:9) ds

≤ Aθ ϕ(2C2)tθ

0 ≤ CAθC1ϕ(2C2)tθ

0

(t − s)−θ (cid:8)(cid:107)Aη (U(s) −V (s))(cid:107) + 2C1s−η (cid:107)U(s) −V (s)(cid:107)(cid:9) ds (cid:90) t (1.42) (t − s)−θ s−η ds(cid:107)U −V (cid:107)X(S).

26

(cid:90) t

Áp dụng (1.42) với θ = η và θ = 0, ta được

0

tη (cid:107)Aη [{ΦU} (t) − {ΦV } (t)](cid:107) ≤ CC1ϕ(2C2)tη (t − s)−η s−η ds(cid:107)U −V (cid:107)X(S)

0

≤ CC1ϕ(2C2)t1−η B(1 − η, 1 − η)(cid:107)U −V (cid:107)X(S) ≤ CC1ϕ(2C2)S1−η (cid:107)U −V (cid:107)X(S), (cid:90) t (cid:107){ΦU} (t) − {ΦV } (t)(cid:107) ≤ CC1ϕ(2C2) s−η ds(cid:107)U −V (cid:107)X(S)

≤ CC1ϕ(2C2)t1−η B(1 − η, 1)(cid:107)U −V (cid:107)X(S) ≤ CC1ϕ(2C2)S1−η (cid:107)U −V (cid:107)X(S).

Do đó

(cid:107){ΦU} − {ΦV }(cid:107)X(S) ≤ CC1ϕ(2C2)S1−η (cid:107)U −V (cid:107)X(S),

nghĩa là, Φ là ánh xạ co trong X(S) nếu S đủ nhỏ.

(cid:90) t

Bước 3. Cho S > 0 đủ nhỏ khi đó Φ là ánh xạ đi từ K(S) và chính nó và là một ánh xạ co theo chuẩn trong X(S). Dựa vào các tính toán trong Bước 1 và Bước 2, S = TG,U0 > 0 được xác định bởi hai chuẩn (cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ và (cid:107)U0(cid:107). Từ Định lý điểm bất động của ánh xạ co, ta suy ra tồn tại suy nhất hàm U ∈ K(TG,U0) sao cho U = ΦU. Và khi đó U được xác định theo công thức

0

e−(t−s)A [F(U(s)) + G(s)] ds, (1.43) U(t) = e−tAU0 + 0 ≤ t ≤ TG,U0.

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng

0 < σ < β < 1 − η. F(U) ∈ Fβ ,σ ((0, TG,U0]; X),

Thật vậy, từ

(cid:107)F(U(t))(cid:107) ≤ ψ(C2)(C1t−η + 1),

suy ra

t1−β (cid:107)F(U(t))(cid:107) ≤ CG,U0(t1−η−β + t1−β ) t→0−→ 0.

27

Hơn mữa, ta thấy

(cid:107)F(U(t)) − F(U(s))(cid:107) = (cid:107)F({ΦU} (t)) − F({ΦU} (s))(cid:107) ≤ ϕ((cid:107){ΦU} (t)(cid:107) + (cid:107){ΦU} (s)(cid:107)){ (cid:107)Aη [{ΦU} (t) − {ΦU} (s)](cid:107) + ((cid:107)Aη {ΦU} (t)(cid:107)

+ (cid:107)Aη {ΦU} (s)(cid:107)) (cid:107){ΦU} (t) − {ΦU} (s)(cid:107) }

(cid:2)(t − s)σ s−σ −η + s−η (t − s)σ s−σ (cid:3)

≤ ϕ(2C2) (cid:8)CG,U0(t − s)σ s−σ −η +C(C1t−η +C1s−η )(t − s)σ s−σ (cid:9) ≤ CG,U0 ≤ CG,U0(t − s)σ s−σ −η ,

nên

≤ CG,U0s1−β −η < ∞, 0 < s < t ≤ TG,U0 . s1−β +σ (cid:107)F(U(t)) − F(U(s))(cid:107) (t − s)σ

Do đó, F(U(t)) thỏa mãn (1.1) và (1.2), nghĩa là, F(U) ∈ Fβ ,σ ((0, TG,U0]; X).

Như vậy, ta đã có F(U) + G ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X). Ta có thể áp dụng Định lý (1.2)

và Định lý (1.3), ta thu được (1.33), (1.34) và U là nghiệm của (1.29).

(cid:3), (cid:101)U thuộc (1.33), Bước 4. Xét tính duy nhất của nghiệm. Giả sử có (cid:101)U là nghiệm khác của (1.29) xác định trên (cid:2)0; TG,U0

thỏa mãn

(cid:101)U ,

t 0 < t ≤ TG,U0, (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)A (cid:101)U(t) (cid:13) + (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ C (cid:13) (cid:101)U(t)

và

(cid:101)U ,

0 < t ≤ TG,U0. (cid:13) tη (cid:13) (cid:13)Aη (cid:101)U(t) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ C

(cid:90) t

Ta có

0

e−(t−s)A (cid:104) ds, (cid:105) F( (cid:101)U(s)) + G(s) (cid:101)U(t) = e−tAU0 + 0 ≤ t ≤ TG,U0,

(cid:90) t

nên

0

e−(t−s)A (cid:104) ds, (cid:105) F(U(s)) − F( (cid:101)U(s)) U(t) − (cid:101)U(t) = 0 ≤ t ≤ TG,U0.

Ta lặp lại các bước chứng minh như ở Bước 2, dẫn tới

, 0 < S ≤ TG,U0. ≤ CU, (cid:101)U S1−η (cid:13) (cid:13) (cid:13)U − (cid:101)U (cid:13) (cid:13) (cid:13)U − (cid:101)U (cid:13) (cid:13) (cid:13)X(S) (cid:13) (cid:13) (cid:13)X(S)

Điều đó có nghĩa là, nếu S đủ nhỏ thì U(t) = (cid:101)U(t) với 0 ≤ t ≤ S. Giả sử

(cid:110) (cid:111) , với mọi 0 ≤ t ≤ S (cid:101)S = sup S : U(t) = (cid:101)U(t)

28

và (cid:101)S < TG,U0. Khi đó, ta có U((cid:101)S) = (cid:101)U((cid:101)S). Ta lập lại các bước chứng minh tương tự với thời gian đầu (cid:101)S và giá trị ban đầu U((cid:101)S) = (cid:101)U((cid:101)S), dẫn tới U((cid:101)S + t) = (cid:101)U((cid:101)S + t) với mọi t > 0 đủ nhỏ, điều này mâu thuẫn với giả sử. Do đó, giả sử là sai. Vậy U(t) = (cid:101)U(t) với mọi 0 < t ≤ TG,U0.

Phần dưới đây, ta xây dựng nghiệm toàn cục cho bài toán (1.29).

Bổ đề 1.1 ([6], p.185). Với giả thiết của Định lý (1.4), cho G ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X), 0 < σ < β ≤ 1 − η và U0 ∈ X. Giả sử bất kỳ nghiệm địa phương U của (1.29) trong không gian hàm

(1.44) C ((0, TU ] ; D(A)) ∩ C ([0, TU ] ; X) ∩ C1 ((0, TU ] ; X) ,

thỏa mãn ước lượng

(1.45) 0 ≤ t ≤ TU , (cid:107)U(t)(cid:107) ≤ CG,U0,

với CG,U0 > 0 không phụ thuộc vào TU . Khi đó, (1.29) có một nghiệm toàn cục duy nhất trong không gian hàm

U ∈ C ((0, T ] ; D(A)) ∩ C ([0, T ] ; X) ∩ C1 ((0, T ] ; X) .

(cid:13)G(cid:13) (cid:13)(a,b] ≤ C(cid:107)G(cid:107)(0,T ] với (a, b] bất kỳ Chứng minh. Ta mở rộng hàm G thành hàm G xác định trên [0; ∞) sao cho G(t) ≡ G(T ) với T < t < ∞. Rõ ràng, ta có (cid:13) nên

(cid:13) (cid:13)G(cid:13) (cid:13)Fβ ,σ ((a,b];X) ≤ C(cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ ((0,T ];X).

Lấy U1 bất kỳ trong X thỏa mãn (cid:107)U1(cid:107) ≤ CG,U0. Xét bài toán Cauchy

  + AV (t) = F(V ) + G(t), (1.46)  dV dt V (t1) = U1,

với t1là thời gian ban đầu sao cho 0 ≤ t1 < ∞. Theo Định lý (1.4) thì tồn tại τ > 0 được xác định bởi (cid:107)G(cid:107)Fβ ,σ và CG,U0 sao cho (1.46) có nghiệm địa phương trong đoạn [t1,t1 + τ].

Mặt khác, (1.29) có nghiệm địa phương duy nhất trong (cid:2)0, TG,U0

(cid:3). Rõ ràng TG,U0 > τ. Đặt t1 = TG,U0 − τ 2 và U1 = U(t1). Vì (1.46) có nghiệm địa phương V trong [t1,t1 + τ] nên do tính duy nhất của nghiệm thì U(t) = V (t) với t1 ≤ t ≤ TG,U0. Như vậy, ta đã xây dựng được một nghiệm địa phương của (1.29) trong đoạn

29

2

(cid:2)0, TG,U0+ τ (cid:3). Ước lượng (1.45) cho phép ta tiếp tục thực hiện các bước trên mà không bị giới hạn. Mỗi lần, nghiệm địa phương được mở rộng thêm một đoạn dài τ 2 . Vì vậy, thông qua một số bước hữu hạn đoạn mở rộng có thể phủ hết đoạn [0, T ].

Phần cuối của chương, ta xét tính liên tục Lipschitz của các nghiệm của (1.29) theo điều kiện ban đầu. Lấy G là một quả cầu đóng của không gian Fβ ,σ ((0, T ] ; X), với 0 < σ < β ≤ 1 − η,

(cid:111) G = , 0 < R1 < ∞, (cid:110) G ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X) : (cid:107)G(cid:107)β ,σ ≤ R1

và B là quả cầu đóng của D(Aβ )

(cid:110) (cid:111) B = , U ∈ D(Aβ ) : 0 < R2 < ∞. (cid:13) (cid:13)AβU (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) ≤ R2

(cid:3) mà trong đó (1.29) có một nghiệm địa phương duy

Khi đó, tồn tại đoạn (cid:2)0, TG,B nhất với bất kì cặp (G,U0) ∈ G × B. Khi đó ta có kết quả sau.

Định lý 1.5 ([6], p.189). Cho A là toán tử quạt thỏa mãn (1.9) và (1.10). Lấy hàm F đi từ D(Aη ) vào X và thỏa mãn (1.31) và (1.30). Giả sử U,V lần lượt là nghiệm của (1.29) với các dữ kiện (G,U0), (H,V0) trong G × B. Khi đó,

tη (cid:107)Aη [U(t) −V (t)](cid:107) + (cid:107)U(t) −V (t)(cid:107)

(cid:105) , ≤ CG,B 0 < t ≤ TG,B. (cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ

(cid:90) t

Chứng minh. Ta có U,V là nghiệm của (1.29) nên U,V thỏa mãn (1.35) và (1.36). Với 0 ≤ θ < 1, ta có

0 × {[F(U(s)) − F(V (s))] + [G(s) − H(s)]}ds,

Aθ e−(t−s)A Aθ [U(t) −V (t)] = Aθ e−tA(U0 −V0) +

(cid:90) t

0 < t ≤ TG,B.

0

(cid:90) t

(t − s)−θ (cid:107)G(s) − H(s)(cid:107) ds Do đó tθ (cid:13) (cid:13) (cid:13)Aθ [U(t) −V (t)] (cid:13) ≤ Aθ (cid:107)U0 −V0(cid:107) + Aθ tθ (cid:13) (cid:13)

0 + s−η (cid:107)U(s) −V (s)(cid:107) }ds

(cid:90) t

(t − s)−θ {[ (cid:107)Aη (U(s) −V (s))(cid:107) +CB,GAθ tθ

(t − s)−θ sβ −1ds

0 (t − s)−θ s−η p(s)ds.

0

≤ Aθ (cid:107)U0 −V0(cid:107) + Aθ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ tθ (cid:90) t (1.47) +CB,GAθ tθ

30

trong đó

p(t) = tη (cid:107)Aη [U(t) −V (t)](cid:107) + (cid:107)U(t) −V (t)(cid:107) , 0 < t ≤ TG,B.

(cid:90) t

Áp dụng bất đẳng thức (1.47) với θ = η, ta thu được

(cid:90) t

0 (t − s)−η s−η p(s)ds

(t − s)−η sβ −1ds tη (cid:107)Aη [U(t) −V (t)](cid:107) ≤ Aη (cid:107)U0 −V0(cid:107) + Aη (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ tη

0

+CB,GAηtη

(cid:90) t

≤ Aη (cid:107)U0 −V0(cid:107) + Aη (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ B(β , 1 − η)tβ

0

(t − s)−η s−η p(s)ds. +CB,GAηtη

(cid:90) t

Áp dụng bất đẳng thức (1.47) với θ = 0, ta thu được

0

(cid:90) t

sβ −1ds (cid:107)[U(t) −V (t)](cid:107) ≤ A0 (cid:107)U0 −V0(cid:107) + A0(cid:107)G − H(cid:107)β ,σ

0

s−η p(s)ds +CB,GA0

(cid:90) t

≤ A0 (cid:107)U0 −V0(cid:107) + A0(cid:107)G − H(cid:107)β ,σ B(β , 1)tβ

0

s−η p(s)ds. +CB,GA0

Do vậy

(cid:90) t

(cid:105) p(t) ≤ C (cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ

0

(cid:2)tη (t − s)−η + 1(cid:3) s−η p(s)ds, 0 < t ≤TG,B. +CG,B

Trước hết, với 0 ≤ t ≤ ε, ta có

(cid:90) t

(cid:105) p(t) ≤ C (cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ

ε

p(s) +CG,B (cid:2)tη (t − s)−η + 1(cid:3) s−η ds sup 0≤s≤ε (cid:105) ≤ C (cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ

p(s)

(cid:105) ≤ C p(s). (cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ +CG,B [B(1 − η, 1 − η) + B(1 − η, 1)]t1−η sup 0≤s≤ε +CG,Bε 1−η sup 0≤s≤ε

31

Vì 1 − η > 0, ε > 0 ⇒ 1 −Cε 1−η < 1 nên

p(s) ≤ CG,B. (1 −Cε 1−η ) sup 0≤s≤ε

2 thì

Nếu ε lấy đủ nhỏ sao cho Cε 1−η ≤ 1

(cid:105) . p(t) ≤ CG,B (cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ

(cid:90) ε

Tiếp theo, với ε < t ≤ TG,B, ta có

0

(cid:105) (cid:2)tη (t − s)−η + 1(cid:3) s−η p(s)ds p(t) ≤ CG,B +CG,B

ε

(cid:90) t

(cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ (cid:90) t (cid:2)tη (t − s)−η + 1(cid:3) s−η p(s)ds +CG,B

(cid:105) (t − s)−η p(s)ds. ≤ CG,B +CG,Bε −η T η

0 +CG,Bε 1−η sup 0≤s≤ε

(cid:105) p(s). ≤ CG,B (cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ (cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ

Như vậy,

(cid:105) , 0 < t ≤ TG,B, p(t) ≤ CG,β (cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ

hay

(cid:105) , tη (cid:107)Aη [U(t) −V (t)](cid:107) + (cid:107)U(t) +V (t)(cid:107) ≤ CG,B (cid:104) (cid:107)U0 −V0(cid:107) + tβ (cid:107)G − H(cid:107)β ,σ

với 0 < t ≤ TG,B.

32

Chương 2

Sự tồn tại nghiệm của mô hình động học rừng điều chỉnh

Trong chương này, ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục của bài toán mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2). Phần cuối chương ta đi xây dựng hàm Lyapunov của hệ động lực sinh bởi (0.2).

Xét mô hình động lực rừng điều chỉnh

 trong Ω × (0, ∞), = β δ (w − w∗)+ − γ(v)u − f u

= f u − hv trong Ω × (0, ∞),

= d∆w − β w + α ˜v

  ∂ u ∂t ∂ v ∂t ∂ w ∂t u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x), w(x, 0) = w0(x)

trong R2 × (0, ∞), trong Ω và R2, (2.1) trong đó Ω là khu vực rừng có thể phát triển (Ω ⊂ R2 là một miền hai chiều biên trơn). Các hàm u(x,t) và v(x,t) lần lượt là mật độ cây non và mật độ cây trưởng thành, tại một vị trí x ∈ Ω và tại thời điểm t ∈ [0, ∞). Hàm w(x,t) là mật độ hạt trong không khí tại x ∈ Ω và tại t ∈ [0, ∞). Phương trình đầu tiên thể hiện sự phát triển của các cây non và phương trình thứ hai thể hiện sự phát triển của các cây trưởng thành. Phương trình thứ ba thể hiện động lực của các hạt trong không khí; d > 0 là hằng số khuếch tán của hạt, và α > 0 và β > 0 lần lượt là tỉ lệ hạt được tạo ra và số hạt rơi xuống đất. Trong khi đó, 0 < δ ≤ 1 là tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > 0 là tỉ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào tỉ lệ cây trưởng thành v, f > 0 là tỉ lệ cây non

33

phát triển thành cây trưởng thành, và h > 0 là tỉ lệ chết của cây trưởng thành. Hàm γ(v) xác định bởi γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > 0 và c > 0. Ở đây, w∗ > 0 là một số cho trước và ký hiệu (w − w∗)+ là phần dương của w − w∗, với w ≥ w∗, (w − w∗)+ = w − w∗ và với w < w∗, (w − w∗)+ = 0. Vì thế, w∗ là mật độ tối thiểu của hạt trên mặt đất, mật độ tối thiểu này là cần thiết để cây mọc lên. Hàm w là mật độ hạt trong không khí, được xác định trên toàn R2. Và ˜v ký hiệu hàm mở rộng của v từ L∞(Ω) tới L∞(R2), ˜v(x) = v(x) với x ∈ Ω và ˜v(x) = 0 với x ∈ R2\Ω. Các hàm giá trị ban đầu không âm u0(x) ≥ 0, v0 ≥ 0 và w0 ≥ 0 được lấy trong Ω. Ta sẽ chứng minh được (2.1) có duy nhất nghiệm địa phương.

2.1. Nghiệm địa phương

Trước tiên, ta thiết lập không gian nền của bài toán (2.1) Đặt

(2.2) X = (cid:8)t (u, v, w) : u ∈ L∞(Ω), v ∈ L∞(Ω) và w ∈ L2(R2)(cid:9)

là không gian cơ sở. Ta viết lại bài toán (2.1) thành bài toán Cauchy với một phương trình tiến hóa

  + AU = F(U), 0 < t < ∞ (2.3)  dU dt U(0) = U0,

trong X. Ở đây, A là một toán tử tuyến tính trên X xác định bởi A = diag { f , h, Λ}, D(A) = (cid:8)t (u, v, w) : u ∈ L∞(Ω), v ∈ L∞(Ω) và w ∈ H2(R2)(cid:9) , trong đó Λ là toán tử liên kết với −d∆ + β trong L2(R2). Vì Λ là toán tử quạt với 2 và D (Λ) = H2(R2) nên A là toán tử quạt trên X với góc ωA = 0. Với góc nhỏ hơn π 0 ≤ θ ≤ 1, thì lũy thừa Aθ của A là được cho bởi công thức Aθ = diag (cid:8) f θ , hθ , Λθ (cid:9) với

D Aθ (cid:17) (cid:16) = . (cid:110)t (u, v, w) : u, v ∈ L∞(Ω) và w ∈ H2θ (R2) (cid:111)

Toán tử phi tuyến F được xác định bởi

 

F(U) = U = t (u, v, w) ∈ D(Aη ),     ,

2 < η < 1. Giá trị ban đầu U0 được lấy trong

β δ (w − w∗)+ − γ(v)u f u α (cid:101)v

trong đó η là số mũ cố định thỏa mãn 1 X.

Phần sau đây, ta đi xây dựng nghiệm địa phương của bài toán (2.1).

34

2.1.1. Sự tồn tại nghiệm địa phương

Như đã nhắc tới ở trên, A trong (2.3) là một toán tử quạt trong X với góc ωA = 0; trong tính toán, A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích trên X. Vì vậy, ta có thể áp dụng lý thuyết của các phương trình parabol trừu tượng nửa tuyến tính để thu được định lý tồn tại nghiệm địa phương.

Định lý 2.1 ([7], p.111). Với bất kỳ U0 ∈ X, (2.3) có một nghiệm địa phương duy nhất trong không gian hàm

(cid:40)

(2.4) u, v ∈ C ([0, T0] ; L∞(Ω)) ∩ C1 ((0, T0] ; L∞(Ω)) , w ∈ C (cid:0)[0, T0] ; L2(R2)(cid:1) ∩ C1 (cid:0)(0, T0] ; L2(R2)(cid:1) ∩ C (cid:0)(0, T0] ; H2(R2)(cid:1) .

. + (cid:107)v0(cid:107)L∞ + (cid:107)w0(cid:107)L2

Ở đây, T0 > 0 được xác định bởi chuẩn (cid:107)u0(cid:107)L∞ Chứng minh. Với U = t (u1, v1, w1) và V = t (u2, v2, w2) trong D(Aη ) ta có

 

F(U) − F(V ) =     ,

β δ (w1 − w2) − γ(v1)(u1 − u2) − (γ(v1) − γ(v2))u2 f (u1 − u2) α( (cid:101)v1 − (cid:101)v2)

Như vậy,

(cid:17) + + 1 + (cid:107) (cid:101)v1 − (cid:101)v2(cid:107)L∞ + (cid:107)u2(cid:107)2 L∞ (cid:110) (cid:107)w1 − w2(cid:107)L2 + (cid:107)v1(cid:107)2 L∞

+ (cid:107)v2(cid:107)2 L∞ (cid:1)(cid:9)

X + (cid:107)V (cid:107)2

(cid:107)F(U) − F(V )(cid:107)X ≤ C (cid:16) (cid:107)u1(cid:107)2 L∞ (cid:0)(cid:107)u1 − u2(cid:107)L∞ (cid:16) (cid:107)U(cid:107)2 ≤ C + (cid:107)v1 − v2(cid:107)L∞ (cid:17) X + 1 (cid:107)Aη (U −V )(cid:107)X .

với C là hằng số độc lập với U và V . Ta thấy, điều kiện (1.31) được thỏa mãn. Vì thế áp dụng Định lý 1.4, ta có với mọi U0 ∈ X, (2.3) có nghiệm địa phương duy nhất nằm trong không hàm (2.4) và nghiệm địa phương này thỏa mãn

0 < t ≤ T0, t(cid:107)AU(cid:107)X + (cid:107)U(t)(cid:107)X ≤ CU0

s [γ(v(τ))+ f ]dτ w(s)ds,

0 [γ(v(s))+ f ]dsu0 + β δ

0

(cid:90) t

CU0 chỉ phụ thuộc vào (cid:107)U0(cid:107)X . Từ (1.17), ta có (cid:90) t e− (cid:82) t u(t) = e− (cid:82) t (2.5)

0

e−h(t−s)u(s)ds. (2.6) v(t) = e−ht v0 + f

35

Ta sẽ chỉ ra khi giá trị ban đầu không âm thì mô hình động học rừng điều chỉnh

(2.1) có nghiệm địa phương không âm.

2.1.2. Nghiệm địa phương không âm

Đặt

K = (cid:8)t (u, v, w) : 0 ≤ u, v ∈ L∞(Ω), 0 ≤ w ∈ L2(R2)(cid:9) ,

Giả sử U0 ∈ K và U ∈ X là nghiệm của (2.3). Ta sẽ chỉ ra U là không âm, nghĩa là:

u(t) ≥ 0, v(t) ≥ 0, w(t) ≥ 0 với 0 < t ≤ T0.

Đặt

u ∈ D(Aη ), (cid:98)F(U) = t (β δ w − γ(v)u, f u, α χ(Re(cid:101)v)) ,

với χ((cid:98)v) là một hàm chặt cụt xác định bởi:

(cid:40)

χ((cid:98)v) = (cid:98)v 0 nếu (cid:98)v ≥ 0, nếu (cid:98)v < 0.

Chú ý rằng,

(cid:107)χ( (cid:98)v1) − χ( (cid:98)v2)(cid:107) ≤ (cid:107) (cid:98)v1 − (cid:98)v2(cid:107) .

Khi đó ta xét bài toán phụ

 trong Ω × (0, ∞), = β δ ( (cid:98)w − w∗)+ − γ(v)(cid:98)u − f (cid:98)u

trong Ω × (0, ∞), = f (cid:98)u − h(cid:98)v

= d∆ (cid:98)w − β (cid:98)w + α χ (cid:17) (cid:16) Re(cid:101)(cid:98)v

  ∂ (cid:98)u ∂t ∂ (cid:98)v ∂t ∂ (cid:98)w ∂t (cid:98)u(x, 0) = (cid:98)u0(x), (cid:98)v(x, 0) = (cid:98)v0(x), (cid:98)w(x, 0) = (cid:99)w0(x) trong R2 × (0, ∞), trong Ω và R2. (2.7)

Áp dụng Định lý 2.1, ta có (2.7) có nghiệm địa phương duy nhất

(cid:98)U = t ((cid:98)u, (cid:98)v, (cid:98)w)

trong không gian nghiệm (2.4) trong khoảng (0, (cid:98)T0). Ta sẽ chỉ ra (cid:98)u, (cid:98)v và (cid:98)w không âm.

Trước hết, (cid:98)U nhận giá trị thực. Thật vậy, vì nếu (cid:98)U là một nghiệm địa phương của (2.7) thì số phức liên hợp của (cid:98)U cũng là một nghiệm địa phương của (2.7) với cùng một giá trị ban đầu. Vì tính duy nhất của nghiệm nên (cid:98)U nhận giá trị thực.

36

Thứ hai, ta sẽ chỉ ra (cid:98)U là không âm. Đặt H(τ) ∈ C1,1 xác định bởi

(cid:40) 1

2 τ 2 0

H(τ) = nếu nếu τ ≥ 0, τ > 0.

(cid:90)

Khi đó hàm

R

ψ1(t) = 0 ≤ t ≤ (cid:98)T0. H( (cid:98)w(t))dx,

(cid:90)

(cid:48)(t) =

Rõ ràng, ψ1(t) là hàm không âm với

R (cid:90)

(cid:90)

ψ1 H(cid:48)( (cid:98)w(t)) (cid:98)w(cid:48)(t)dx.

R

R

(cid:17)(cid:105) = d dx. H(cid:48)( (cid:98)w(t))∆ (cid:98)wdx + H(cid:48)( (cid:98)w(t)) (cid:104) −β (cid:98)w + α χ (cid:16) Re(cid:101)(cid:98)v

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

Ta có

R

R

R

H(cid:48)( (cid:98)w(t))∆ (cid:98)wdx = − ∇H(cid:48)( (cid:98)w)∇ (cid:98)wdx = − H(cid:48)(cid:48)( (cid:98)w)|∇ (cid:98)w|2dx.

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

(cid:48)(t) = −d

Do đó,

R

R

R

(cid:48)(t) ≤ 0 với 0 ≤ t ≤ (cid:98)T0, nghĩa là, ψ1(t) ≤ ψ1(0) với mọi t ∈ [0, (cid:98)T0]. Như Ta thấy, ψ1 vậy, ψ1(t) = 0 với mọi t ∈ [0, (cid:98)T0] hay (cid:98)w(t) ≥ 0 trên [0, (cid:98)T0]. Mặt khác, từ (2.5) và (2.6) ta có

(cid:90) t

s [γ((cid:98)v(τ))+ f ]dτ

0 [γ((cid:98)v(s))+ f ]ds

dx. ψ1 H(cid:48)(cid:48)( (cid:98)w).|∇ (cid:98)w|2dx − β H(cid:48)( (cid:98)w) (cid:98)wdx + α H(cid:48)( (cid:98)w)χ (cid:17) (cid:16) Re(cid:101)(cid:98)v

0

e− (cid:82) t (cid:98)w(s)ds. (cid:98)u(t) = e− (cid:82) t (cid:98)u0 + β δ

(cid:90) t

Do (cid:98)w(t) ≥ 0 trên [0, (cid:98)T0] nên (cid:98)u(t) ≥ 0 trên [0, (cid:98)T0]. Tương tự,

0

e−h(t−s) (cid:98)u(s)ds, (cid:98)v0 + f (cid:98)v(t) = e−ht

và (cid:98)v(t) ≥ 0 trên [0, (cid:98)T0].

Chú ý rằng, (cid:98)v(t) ≥ 0 thì χ(Re(cid:98)v(t)) = (cid:98)v(t). Như vậy (cid:98)U cũng là nghiệm địa phương của (2.1). Do tính duy nhất của nghiệm nên U(t) ≡ (cid:98)U(t) với mọi t ∈ [0, min{T0, (cid:98)T0}]. Dẫn tới, u(t) ≥ 0, v(t) ≥ 0, w(t) ≥ 0 trên [0, (cid:98)T0]. Nếu (cid:98)T0 ≥ T0 ta suy ra được điều phải chứng minh. Nếu (cid:98)T0 < T0, ta giả sử

với 0 < t ≤ T } . T1 = sup {0 < T ≤ T0 : u(t) ≥ 0, v(t) ≥ 0, w(t) ≥ 0

37

(cid:90)

(cid:90)

Vì,

Ω

Ω

H(u(t))dx = 0, H(u(T1))dx = lim t→T1

nên u(T1) ≥ 0. Tương tự ta có, v(T1) ≥ 0, w(T1) ≥ 0. Nếu T1 = T0, ta suy ra điều phải chứng minh. Nếu T1 < T0, ta lặp lại bài toán (2.7) với thời gian đầu là T1 và U(T1). Lập lại các bước chứng minh ta có ∃τ > 0 sao cho u(t) ≥ 0, v(t) ≥ 0, w(t) ≥ 0 với T0 ≤ t ≤ T0 + τ. Điều này mâu thuẫn với giả sử. Vậy T1 = T0 suy ra điều phải chứng minh.

Phần tiếp theo, ta đi xây dựng nghiệm toàn cục của bài toán (2.1), từ đó xây

dựng nên hệ động lực của (2.1).

2.2. Hệ động lực

2.2.1. Nghiệm toàn cục

Trước hết, ta đi thiết lập một ước lượng tiên nghiệm cho nghiệm địa phương.

Mệnh đề 2.1 ([7], p.111). Cho 0 ≤ u0, v0 ∈ L∞(Ω) và 0 ≤ w0 ∈ L2(R2). Giả sử (u, v, w) là một nghiệm địa phương của (2.1) trên [0, Tu,v,w) sao cho

(cid:40)

0 ≤ u, v ∈ C ([0, Tu,v,w) ; L∞(Ω)) ∩ C1 ((0, Tu,v,w) ; L∞(Ω)) , 0 ≤ w ∈ C (cid:0)[0, Tu,v,w) ; L2(R2)(cid:1) ∩ C1 (cid:0)(0, Tu,v,w) ; L2(R2)(cid:1) ∩ C (cid:0)(0, Tu,v,w) ; H2(R2)(cid:1) .

Khi đó ta có ước lượng

(cid:107)ut (cid:107)L∞ (cid:17) , + (cid:107)vt (cid:107)L∞ e−ρt (cid:16) (cid:104) ≤ C (cid:105) + 1 0 ≤ t < Tu,v,w, + (cid:107)wt (cid:107)L2 (cid:107)u0(cid:107)L∞ + (cid:107)v0(cid:107)L∞ + (cid:107)w0(cid:107)L2

với c > 0 và ρ > 0 không phụ thuộc vào (u, v, w).

Chứng minh. Trong các chứng minh dưới đây, ta sẽ sử dụng ký hiệu C1,C2, ... và C, ρ, ρ (cid:48) là các hằng số dương và các số mũ dương, được xác định bởi các hằng số cho trước a, b, c, d, f , h, α, β và δ , Ω. C, ρ, ρ (cid:48) có thể thay đổi trong từng lần xuất hiện.

. , (cid:107)w(cid:107)L2 Bước 1. Đánh giá (cid:107)u(cid:107)L2 , (cid:107)v(cid:107)L2 Nhân phương trình thứ nhất của (2.1) với u ta được

u = β δ ( (cid:98)w − w∗)+u − γ(v)u2 − f u2, ∂ u ∂t

38

suy ra

(u2) = β δ ( (cid:98)w − w∗)+u − γ(v)u2 − f u2. d dt 1 2

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

Lấy tích phân hai vế của đẳng thức trên Ω ta được

Ω

Ω

(cid:90)

(cid:90)

Ω w2dx −

u2dx + f u2dx = γ(v)u2dx d dt 1 2

R

Ω

Ω

≤ (2.8) γ(v)u2dx. u2dx +C1 β δ ( (cid:98)w − w∗)+udx − Ω (cid:90) f 2

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

Nhân phương trình thứ ba của (2.1) với w và lấy tích phân hai vế kết quả ta được

R

R

R

(cid:90) R (cid:101)vwdx,

w2dx = d w2dx + β w∆wdx + α d dt 1 2

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

suy ra

R

R

R

(cid:90) R (cid:101)vwdx (cid:90)

w2dx + d w2dx + β |∇w|2dx = α d dt 1 2

R

(cid:90) R (cid:101)v2dx.

≤ (2.9) w2dx +C2 β 2

4 . Nhân (2.8) với C3 ta được

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

Lấy C3 > 0 sao cho C1C3 ≤ β

R

Ω

Ω

Ω

Ω

u2dx ≤ u2dx +C3 f u2dx +C1.C3 w2dx −C3 d dt C3 2 C3 f 2 γ(v)u2dx. (2.10)

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

Cộng từng vế của 2.9 và (2.10) ta được

Ω

Ω

(cid:90)

R (cid:90)

w2dx u2dx + u2dx+ d dt C3 2 C3 f 2 1 2

(cid:90) R (cid:101)v2dx −C3

R

Ω

+ γ(v)u2dx. w2dx ≤ C2 d dt β 4

(2.11)

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

Tiếp theo, ta nhân phương trình thứ hai của (2.1) với v rồi sau đó lấy tích phân trên Ω ta được

Ω

Ω

Ω

v2dx + h v2dx = f uvdx. d dt 1 2

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

Lấy C4 > 0 sao cho C4h ≥ 2C2 sau đó nhân đẳng thức trên với C4 ta có

Ω

Ω

Ω

uvdx. v2dx + 2C2 v2dx = C4 f d dt C4 2

39

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

Cộng từng vế bất đẳng thức trên với từng vế của bất đẳng thức (2.11) được

R

R

Ω

Ω

(cid:90)

Ω

Ω

Ω

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

v2dx u2dx + u2dx + w2dx + w2dx + d dt C3 2 C3 f 2 C4 2 β 4 (cid:90) uvdx. + 2C2 1 2 Ω v2dx ≤ C2 d dt (cid:90) γ(v)u2dx +C4 f

R

Ω

Ω

Ω

(cid:90)

(cid:90)

R

Ω

Ω

Ω

u2dx u2dx + v2dx + w2dx + d dt d dt C4 2 C3 2 C3 f 2 1 2 (cid:90) d dt (cid:90) R (cid:101)v2dx −C3 Vì (cid:101)v(x) = v(x), ∀x ∈ Ω và (cid:101)v(x) ≡ 0, ∀x ∈ R\Ω suy ra (cid:90) d dt (cid:90) v2dx + γ(v)u2dx. +C2 w2dx ≤ C4 f uvdx −C3 β 4

Chú ý rằng

(cid:21) C4 f uv −C3γ(v)u2 = − (cid:20) C3a(v − b)2u2 −C4 f (v − b)u +

2 f 2 C4 4C3a C4

2 f 2b2 4C3c

2 f 2b2 4C3

(cid:19) (cid:19) (cid:18) C4 − + + . C3Cu2 −C4 f bu + (cid:18) 1 a b2 c

Nhận xét thấy

2 f 2 C4 4C3a

(cid:21) , ≥ 0 (cid:20) C3a(v − b)2u2 −C4 f (v − b)u +

2 f 2b2 4C3c

C4 ≥ 0, C3Cu2 −C4 f bu +

2 f 2b2 4C3

Do đó, (cid:19) C4 + . C4 f uv −C3γ(v)u2 ≤ (cid:18) 1 a b2 c

Vì thế nên

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

R

R

Ω

Ω

(cid:21) (cid:20)(cid:90) w2dx ≤ C. w2dx+ρ (cid:0)C3u2dx +C4v2(cid:1)dx+ (cid:0)C3u2dx +C2v2(cid:1)dx + d dt d dt

Suy ra

(cid:17) +C. ≤ Ce−ρt (cid:16) C3 (cid:107)u0(cid:107)2 L2 +C4 (cid:107)v0(cid:107)2 L2 + (cid:107)w0(cid:107)2 L2 C3 (cid:107)u(t)(cid:107)2 L2 +C4 (cid:107)v(t)(cid:107)2 L2 +(cid:107)w(t)(cid:107)2 L2

Từ đó suy ra

(cid:1) + 1(cid:3) , + (cid:107)w0(cid:107)H2η + (cid:107)v0(cid:107)L∞ ≤ C (cid:2)e−ρt (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞ + (cid:107)w(t)(cid:107)L2 + (cid:107)v(t)(cid:107)L2 (cid:107)u(t)(cid:107)L2

với 0 ≤ t < Tu,v,w.

(2.12)

40

Bước 2. Đánh giá (cid:107)w(t)(cid:107)H2η

(cid:90) t

−t−τ

Sử dụng kết quả của nửa nhóm, ta có

2 Λ(cid:111)

−t−τ 2 Λαv(τ)dτ,

0

(cid:110) e Λη e Λη w(t) = e−tΛ {Λη w0} +

với (cid:13) (cid:13) ≤ e−tβ , (t ≥ 0).

(cid:90) t

(cid:13)e−tΛ(cid:13) Từ đó suy ra

2 (t−τ)(cid:107)v(τ)(cid:107)L2

0

(t − τ)−η e− β dτ. ≤ Ce−βt (cid:107)w0(cid:107)H2η +C (cid:107)w(t)(cid:107)H2η ≤ C(cid:107)Λη w(t)(cid:107)L2

Hơn nữa, từ (2.12) ta có

(cid:107)v(τ)(cid:107)L2 + (cid:107)v(τ)(cid:107)L2 + (cid:107)w(τ)(cid:107)L2

(cid:1) + 1(cid:3) . + (cid:107)w0(cid:107)H2η + (cid:107)v0(cid:107)L∞ ≤ (cid:107)u(τ)(cid:107)L2 ≤ C (cid:2)e−ρτ (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞

(cid:90) t

(cid:90) t

2 (t−τ)dτ

Do vậy

2 (t−τ)(cid:107)v(τ)(cid:107)L2

0

(t − τ)−η e− β dτ ≤ C

2 (t−τ)e−ρτ dτ

0

(t − τ)−η e− β 0 (cid:90) t +C (t − τ)−η e− β

(cid:1) . + (cid:107)w0(cid:107)H2η × (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞ + (cid:107)v0(cid:107)L∞

2 , ρ

(cid:90) t

(cid:90) t

(cid:111) (cid:110) β , khi đó Lấy 0 < ρ (cid:48) < min

2 (t−τ)dτ

2 (t−τ)(cid:107)v(τ)(cid:107)L2

0

(t − τ)−η e− β dτ ≤ C

0 +Ce−ρ (cid:48)τ

2 −ρ (cid:48))(t−τ)e−(ρ−ρ (cid:48))τ dτ

0

(t − τ)−η e− β (cid:90) t (t − τ)−η e−( β

+ (cid:107)w0(cid:107)H2η

. ≤ C (cid:1) . (cid:105) (cid:1) + 1 + (cid:107)w0(cid:107)H2η × (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞ (cid:104) e−ρ (cid:48)τ (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞ + (cid:107)v0(cid:107)L∞ + (cid:107)v0(cid:107)L∞

Từ đó suy ra

(cid:1) + 1(cid:3) . (2.13) + (cid:107)w0(cid:107)H2η ≤ C(cid:107)w(t)(cid:107)H2η ≤ C (cid:2)e−ρτ (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞ + (cid:107)v0(cid:107)L∞ (cid:107)w(t)(cid:107)L∞

. Từ (2.5), ta có Bước 3: Đánh giá (cid:107)u(t)(cid:107)L∞

τ [γ(v(s))+ f ]dsw(τ)dτ,

0 [γ(v(s))+ f ]dsu0 + β δ

0

, (cid:107)v(t)(cid:107)L∞ (cid:90) t e− (cid:82) t u(t) = e− (cid:82) t 0 ≤ t < Tu,v,w.

41

(cid:90) t

Vì thế nên

0

+C dτ. = e− f t (cid:107)u0(cid:107)L∞ (cid:107)u(t)(cid:107)L∞ e− f (t−τ)(cid:107)w(τ)(cid:107)L∞

(cid:90) t

(cid:90) t

Từ (2.13) ta có

0

0 (cid:90) t

dτ ≤ C e− f (t−τ)dτ e− f (t−τ)(cid:107)w(τ)(cid:107)L∞

0

+C (cid:1) dτ. + (cid:107)w0(cid:107)H2η + (cid:107)v0(cid:107)L∞ e− f (t−τ)e−ρτ (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞

(cid:90) t

(cid:90) t

Lấy 0 < ρ (cid:48) < min { f , ρ} khi đó

0

(cid:90) t

0 +Ce−ρ (cid:48)τ

dτ ≤ C e− f (t−τ)dτ e− f (t−τ)(cid:107)w(τ)(cid:107)L∞

0

e−( f −ρ (cid:48))(t−τ)e−(ρ−ρ (cid:48))τ dτ

(cid:1)

(cid:1) +C. + (cid:107)w0(cid:107)H2η + (cid:107)w0(cid:107)H2η + (cid:107)v0(cid:107)L∞ + (cid:107)v0(cid:107)L∞ × (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞ ≤ Ce−ρ (cid:48)τ (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞

Như vậy

(cid:1) + 1(cid:3) , 0 ≤ t < Tu,v,w. + (cid:107)w0(cid:107)H2η ≤ C (cid:2)e−ρt (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞ + (cid:107)v0(cid:107)L∞ (cid:107)u(t)(cid:107)L∞ (2.14)

Tương tự, từ (2.6) và (2.14) ta có

(cid:1) + 1(cid:3) , 0 ≤ t < Tu,v,w. (2.15) + (cid:107)w0(cid:107)H2η ≤ C (cid:2)e−ρt (cid:0)(cid:107)u0(cid:107)L∞ + (cid:107)v0(cid:107)L∞ (cid:107)v(t)(cid:107)L∞

Liên kết (2.12), (2.13), (2.14) và (2.15) ta có

(cid:107)ut (cid:107)L∞ (cid:17) (cid:105) , + (cid:107)vt (cid:107)L∞ e−ρt (cid:16) (cid:104) ≤ C + 1 0 ≤ t < Tu,v,w, + (cid:107)wt (cid:107)L2 (cid:107)u0(cid:107)L∞ + (cid:107)v0(cid:107)L∞ + (cid:107)w0(cid:107)L2

Hệ quả trực tiếp của Mệnh đề (2.1), ta có thể chứng minh sự tồn tại và duy nhất

nghiệm toàn cục của (2.1).

Định lý 2.2 ([7], p.112). Cho u0, v0 ∈ L∞(Ω) và w0 ∈ L2(R2) với u0 ≥ 0, v0 ≥ 0 và w0 ≥ 0. Khi đó, (2.1) có một nghiệm toàn cục duy nhất sao cho

(cid:40)

0 ≤ u, v ∈ C ([0, ∞) ; L∞(Ω)) ∩ C1 ((0, ∞) ; L∞(Ω)) 0 ≤ w ∈ C (cid:0)[0, ∞) ; L2(R2)(cid:1) ∩ C1 (cid:0)(0, ∞) ; L2(R2)(cid:1) ∩ C (cid:0)(0, ∞) , H2(R2)(cid:1) .

42

Nghiệm toàn cục này thỏa mãn ước lượng

(cid:107)u(t)(cid:107)L∞ (cid:17) + (cid:107)v(t)(cid:107)L∞ e−ρt (cid:16) (cid:104) ≤ C , (cid:105) + 1 (2.16) 0 ≤ t < ∞. + (cid:107)w(t)(cid:107)L2 (cid:107)u0(cid:107)L∞ + (cid:107)v0(cid:107)L∞ + (cid:107)w0(cid:107)L2

Ta chứng minh Định lý 2.2 tương tự như chứng minh Bổ đề 1.1. Theo Định lý 2.1, bài toán (2.1) luôn có duy nhất nghiệm địa phương U trong [0, T0]. Theo Định lý 2.1, ta có U (T0) được xác định bởi U0. Do đó nghiệm U có thể thác triển thành nghiệm địa phương trên [0, T0 + τ] với τ > 0 được xác định bởi U (T0) , tức là chỉ phụ thuộc vào U0. Tiếp tục quá trình thác triển đó ta sẽ thu được nghiệm toàn cục của bài toán.

Hơn thế nữa, từ đây ta có thể xây dựng một hệ động lực sinh bởi bài toán (2.1).

Đặt

K = (cid:8)t (u, v, w) ∈ X; u0 ≥ 0, v0 ≥ 0 và w0 ≥ 0(cid:9)

là không gian giá trị ban đầu. Như đã chỉ ra ở Định lí 2.2, với mỗi U0 ∈ K, (2.1) tồn tại một nghiệm toàn cục duy nhất U (t,U0) = t (u(t), v(t), w(t)). Vì thế, ta có thể xác định một nửa nhóm phi tuyến {S(t)}t≥0 tác động trên K bởi S(t)U0 = U(t;U0). Ta thấy, S(t) là liên tục với chuẩn của X. Vậy, (S(t), K, X) xác định một hệ dộng lực trong không gian nền X, K là không gian pha và (S(t), K, X) được gọi là hệ động lực sinh bởi (2.1).

Giống như trong trường hợp mô hình (0.1), ta có thể xây dựng hàm Lyapunov

cho hệ động lực (S(t), K, X).

2.2.2. Hàm Lyapunov

Đặt ϕ = f u − hv, khi đó

− h ∂ ϕ ∂t ∂ u ∂t ∂ v ∂t

= f = f (cid:2)β δ (w − w∗)+ − γ(v)u − f u(cid:3) − hϕ = f β δ (w − w∗)+ − f ( f u − hv) − f hv − γ(v)( f u − hv) − γ(v)hv − hϕ = f β δ (w − w∗)+ − [γ(v) + f + h] ϕ − h [γ(v) + f ] v.

∂t )

Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với ϕ ta được (lưu ý: ϕ = ∂ v

ϕ = f β δ (w − w∗)+ϕ − [γ(v) + f + h] ϕ 2 − h [γ(v) + f ] vϕ, ∂ ϕ ∂t

43

suy ra

(cid:19)2 (cid:19) (cid:19) − [γ(v) + f + h] − h [γ(v) + f ] v ϕ 2 = f β δ (w − w∗)+ d dt 1 2 (cid:18) ∂ v ∂t

(cid:90) v

0

(cid:19)2 (cid:19) − h − [γ(v) + f + h] [γ(v) + f ] dv. = f β δ (w − w∗)+ d dt (cid:18) ∂ v ∂t (cid:18) ∂ v ∂t (cid:18) ∂ v ∂t (cid:18) ∂ v ∂t

0 [γ(v) + f ] dv và lấy tích phân trên Ω ta được

Đặt Γ(v) = (cid:82) v

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

Ω

Ω

(cid:19) dx ϕ 2dx + h Γ(v)dx − f β δ (w − w∗)+ d dt d dt 1 2 (cid:18) ∂ v ∂t

(cid:90)

Ω (cid:18) ∂ v ∂t

Ω

∂t (w − w∗)+

(cid:19)2 = − dx. (2.17) [γ(v) + f + h]

(cid:90)

(cid:90)

Bên cạnh đó, nhân cả hai vế của phương trình thứ ba trong (2.1) với ∂ và lấy tích phân trên R2 ta được

R2

R2

(cid:90)

(cid:90)

(w − w∗) ∆ (w − w∗) (w − w∗)+dx = d (w − w∗)+dx ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t

R2

R2

− β (w − w∗) (w − w∗)+dx − β w∗ (w − w∗)+dx ∂ ∂t ∂ ∂t

(cid:90) R2 (cid:101)v

+ α (w − w∗)+dx. ∂ ∂t

(cid:90)

(cid:90)

(cid:90)

Vì thế nên

R2

R2

(cid:90)

R2

R2 (cid:20) ∂ ∂t

(cid:3)2dx + β w∗ (cid:12) 2dx + (cid:12) (cid:12) (cid:12)∇(w − w∗)+ (cid:2)(w − w∗)+ d dt d dt d 2 β 2 (w − w∗)+dx (cid:21)2 dx. −α (w − w∗)+dx = − (w − w∗)+ d dt (cid:90) R2 (cid:101)v ∂ ∂t

(2.18)

Nhân (2.17) với α và (2.18) với f β δ rồi cộng các kết quả lại ta được

(cid:26)(cid:90) (cid:105) dx ϕ 2 + hαΓ(v) − (α f β δ ) v(w − w∗)+ d dt

(cid:90)

R2

(cid:21) (cid:27) dx + (cid:12) 2 + (cid:12) (cid:12) (cid:12)∇(w − w∗)+ (cid:104) α 2 Ω (cid:20) d f β δ 2 f β 2δ 2

(cid:90)

(cid:90)

R2

Ω

(cid:19)2 (cid:3)2 + ( f β 2δ w∗)(w − w∗)+ (cid:21)2 dx ≤ 0. [γ(v) + f + h] = −α dx − f β δ (w − w∗)+ (cid:18) ∂ v ∂t (cid:2)(w − w∗)+ (cid:20) ∂ ∂t

44

(cid:90)

Điều đó có nghĩa hàm

(cid:105) dx ψ(U) = ϕ 2 + hαΓ(v) − (α f β δ ) v(w − w∗)+

(cid:90)

R2

(cid:21) dx + (cid:12) 2 + (cid:12) (cid:12) (cid:12)∇(w − w∗)+ (cid:2)(w − w∗)+ (cid:3)2 + ( f β 2δ w∗)(w − w∗)+ (cid:104) α 2 Ω (cid:20) d f β δ 2 f β 2δ 2

1 2 ) trở thành một hàm Lyapunov của (S(t), K, X).

xác định với U ∈ D(A

Nhận xét: Sau khi xây dựng được hàm Lyapunov cho hệ, ta có thể chứng minh

được sự tồn tại của tập hút toàn cục.

45

KẾT LUẬN

Nội dung của luận văn này là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2) mô tả sự phát triển của rừng thông qua mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi và quá trình tái sinh. Nội dung chính của luận văn bao gồm:

1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian hàm có trọng, không gian Sobolev, các kết quả cùng một số định lý liên quan tới phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính và phương trình tiến hóa nửa tuyến tính .

2. Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục của

mô hình động học rừng điều chỉnh.

3. Xây dựng hàm Lyapunov của hệ động lực sinh bởi (0.2).

Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn không nhiều còn có những sai sót em

rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc.

46

Tài liệu tham khảo

[1] M. Ya. Antonovsky, M. D. Korzukhin, Mathematical modeling of economic and process ecological-economic, Proc. International Symp. "Intergrated Global Monitoring of Environmental Pollution", Tbilisi 1981, Leningrad: Hy- dromet, 1983, 353-358.

[2] D. B. Botkin, J. F. Janak, Some ecological consequences of a computer model

of forest growth, J. Ecol. 60 (1972), 849-872.

[3] L. H. Chuan, A. Yagi, Dynamical system for forest kinetic model, Adv. Math.

Sci. Appl. 16 (2006), 393-409.

[4] Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky, V. N. Biktashev and A. Aponina, A cross-diffusion model of forest boundary dynamics, J.Math. Biol. 32 (1994), 219-232.

[5] T. Shirai, L. H. Chuan, A. Yagi, Dynamical system for forest kinematic model

under Dirichlet conditions, Sci. Math. Jpn, 66 (2007), 289-301.

[6] A. Yagi, Abtract Parabolic Evolution Equations and their Applications,

Springer, (2010).

[7] A. Yagi, M. Primicerio, A modified forest kinematic model, Vietnam journal

of Math. Appl. 12 (2014), 107-118.

47