BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
======
NGUYỄN THU HÀ
MỘT SỐ LÝ THUYẾT VỀ NHIỆT DUNG
CỦA MẠNG TINH THỂ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. LƢU THỊ KIM THANH
HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban
chủ nhiệm, Tổ Vật lí lý thuyết và các thầy cô khoa Vật lí trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Lưu Thị Kim
Thanh người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và
hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người
đã động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và làm luận văn.
Hà Nội, ngày tháng năm 2017
Tác giả
Nguyễn Thu Hà
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong bất kì một công
trình khoa học nào khác.
Hà Nội, ngày tháng năm 2017
Tác giả
Nguyễn Thu Hà
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu. ................................................................................... 2
3 .Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................ 2
4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 2
5. Nội dung nghiên cứu .................................................................................... 3
NỘI DUNG ...................................................................................................... 4
Chương 1: Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể .............................. 4
1.1. Cấu trúc mạng tinh thể ............................................................................. 4
1.2. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể ......................................... 8
1.2.1. Lượng tử hoá dao động mạng ................................................................. 9
1.2.2. Phonon .................................................................................................. 10
Kết luận chương 1 .......................................................................................... 14
Chương 2: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể ....................... 15
2.1. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của mạng tinh thể ................................. 15
2.2. Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của mạng tinh thể ............................... 16
2.3. Lý thuyết Debye về nhiệt dung của mạng tinh thể .................................. 19
2.4. Một số kết quả thực nghiệm về nhiệt dung của mạng tinh thể ................ 25
2.4.1. Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Cu .............................................. 25
2.4.2. Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Ag .............................................. 28
2.4.3. Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Au .............................................. 31
Kết luận chương 2 .......................................................................................... 35
Chương 3: Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q ............ 36
3.1. Dao động tử Boson biến dạng q .............................................................. 36
3.2. Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q ....................... 39
3.3. So sánh nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng với lý
thuyết Debye ................................................................................................... 42
3.4. Tính số ..................................................................................................... 43
3.4.1. Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Cu ................................................. 44
3.4.2. Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Ag .................................................. 45
3.4.3. Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Au .................................................. 46
3.4.4. Kết luận ............................................................................................... 47
Kết luận chương 3 .......................................................................................... 48
KẾT LUẬN CHUNG ..................................................................................... 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 50
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí là một ngành khoa học liên quan đến việc nghiên cứu các vấn đề tự
nhiên theo thời gian và không gian. Đây có lẽ là ngành khoa học xuất hiện từ
lâu đời nhất nếu xem Thiên văn học cũng là một phần của vật lí. Tuy nhiên
Vật lí (khoa học vật lí) không được xem như một ngành khoa học theo đúng
nghĩa của nó cho đến thế kỷ 17 khi mà các khía cạnh vật lí, sinh học và hóa
học của khoa học được công nhận là ba chủ đề riêng biệt với những đặc trưng
khác nhau.Vật lí và các nhà vật lí là tác giả của một số phát triển khoa học
tiên tiến nhất trong 400 năm qua. Từ phát hiện của lực hấp dẫn của Newton và
lý thuyết tương đối của Einstein cho đến chuyến phi hành lên mặt trăng lần
đầu tiên vào năm 1969. Các nghiên cứu về vật lí không chỉ giúp con người lý
giải về thế giới xung quanh, mà còn là một yếu tố quan trọng cho phép chúng
ta phát triển và đổi mới công nghệ.
Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử dụng
hàng ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể lỏng
hoặc thể khí. Do vậy, vật lí học cũng chia thành các chuyên ngành nghiên cứu
sự vận động của vật chất ở ba thể tồn tại trên. Trong cuộc cách mạng khoa
học công nghệ hiện nay, ngành vật lí chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan
trọng. Vật lí chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi
nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Hiện nay, xuất
hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô
làm cho vị trí của ngành vật lí chất rắn ngày càng thêm nổi bật. Vật lí chất rắn
chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lí tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên
tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh
thể. Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn
nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử là cơ sở của mạng tinh thể đó. Trong
2
các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có
cấu trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên tử phức tạp hơn đơn vị có thể
chứa một vài nguyên tử hoặc phân tử. Kể từ khi có sự ra đời của các lý thuyết
lượng tử và các tiến bộ của khoa học kỹ thuật thì vật lý chất rắn mới có được
cơ sở vững chắc và thu được những kết quả hết sức quan trọng về mặt ứng
dụng cũng như lí thuyết. Vấn đề nghiên cứu về nhiệt dung của mạng tinh thể
đã được rất nhiều nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu.
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến
dạng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà Vật lí lý thuyết, vì các cấu
trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của Vật lí lý thuyết như
Thống kê lượng tử, Vật lí chất rắn, quang học phi tuyến…Khi áp dụng đại số
biến dạng vào vật lí thống kê, chúng ta rất thuận lợi trong nghiên cứu dao
động tử điều hòa biến dạng. Và tôi thấy rằng lý thuyết này đã đạt được khá
nhiều thành công trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan đến
hạt Boson. Thống kê q- biến dạng đã được áp dụng cho một số hệ vật lí phức
tạp, ví dụ thủy động lực học, nhiễu loạn khiếm khuyết, lý thuyết ma trận ngẫu
nhiên, các mạng ngẫu nhiên. Do đó, tôi quyết định chọn lý thuyết đại số biến
dạng để áp dụng nghiên cứu về nhiệt dung của mạng tinh thể.
Với những lí do trên tôi xin chọn đề tài “ Một số lý thuyết về nhiệt dung của
mạng tinh thể” làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Xác định nhiệt dung của mạng tinh thể biến dạng q
3 .Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Mạng tinh thể
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp vật lí lý thuyết
- Phương pháp đại số biến dạng
3
- Phương pháp toán giải tích
- Phương pháp tính số bằng phần mềm toán học Mathematica
5. Nội dung nghiên cứu
Chương 1: Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể
1.1. Cấu trúc mạng tinh thể
1.2. Lý thuyết lượng tử về dao động mạng tinh thể
Chương 2: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể
2.1. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của mạng tinh thể
2.2. Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của mạng tinh thể
2.3. Lý thuyết Debye về nhiệt dung của mạng tinh thể
2.4. Một số kết quả thực nghiệm về nhiệt dung của mạng tinh thể
Chương 3: Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q
3.1. Dao động tử Boson biến dạng q
3.2. Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q
3.3. So sánh nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng với lý
thuyết Debye
3.4. Giải số
4
NỘI DUNG
Chƣơng 1: Lý thuyết lƣợng tử về dao động mạng tinh thể
1.1. Cấu trúc mạng tinh thể
Để mô tả cấu trúc tinh thể người ta dùng khái niệm mạng tinh thể và gắn
nguyên tử hoặc một nhóm các nguyên tử là cơ sở của mạng tinh thể đó. Trong
các tinh thể đơn giản nhất như đồng, bạc hay kim loại kiềm chẳng hạn đều có
cấu trúc chỉ một nguyên tử, trong các nguyên tử phức tạp hơn đơn vị có thể
chứa một vài nguyên tử hoặc phân tử [1], [2].
Cấu trúc tinh thể là dạng thực của tinh thể chất rắn nếu ta đặt nguyên tử hay
nhóm các nguyên tử vào mỗi nút mạng hay gần mỗi nút mạng. Trong các tinh
thể phân tử ở mỗi nút mạng là mỗi phân tử có chứa hàng chục có khi hàng
trăm nguyên tử. Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy được gọi là gốc.
Do đó có thể viết một cách tượng trưng như sau:
Mạng không gian + gốc = cấu trúc tinh thể
Trog không gian, các nguyên tử được sắp xếp một cách có trật tự đều đặn,
tuần hoàn trong không gian mạng tinh thể.
Mạng không gian:
Trong các vật rắn, nguyên tử, phân tử được sắp xếp một cách đều đặn, tuần
hoàn trong không gian tạo thành mạng tinh thể. Ta bắt đầu bằng việc khảo sát
tinh thể lí tưởng, là tinh thể trong đó sự sắp xếp các phân tử, nguyên tử là
hoàn toàn tuần hoàn. Tinh thể lí tưởng phải hoàn toàn đồng nhất, nghĩa là mọi
nơi tinh thể đều chứa các nguyên tử như nhau. Tinh thể lí tưởng phải có kích
thước trải rộng vô hạn để không có mặt giới hạn để ảnh hưởng tới tính chất
sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử.
Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo một quy
luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp. Ở các tinh
thể đơn giản như tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, mỗi ô sơ cấp chỉ
5
chứa một nguyên tử. Ở các tinh thể phức tạp, mỗi ô sơ cấp có thể chứa nhiều
nguyên tử, phân tử.
Để mô tả cấu trúc tinh thể, ta coi như nó gồm các ô sơ cấp lặp lại tuần
hoàn trong không gian. Gắn với mỗi đỉnh của ô sơ cấp là một nhóm các
nguyên tử. Nhóm nguyên tử đó gọi là gốc. Với các tinh thể lí tưởng có thể coi
như gồm các nguyên tử phân bố trong mạng không gian.
Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ , , gọi là ba vectơ tịnh
tiến cơ sở. Chúng có tính chất là khi khảo sát tinh thể từ một điểm tuỳ ý có
bán kính vectơ , ta thấy no giống hệt như khi ta khảo sát nó từ điểm có bán
kính vectơ :
(1.1)
Trong đó n1, n2, n3 là các số nguyên tuỳ ý.
Tập hợp các điểm có bán kính vectơ (sau này gọi là điểm ) xác định
theo (1.1.1) với các giá trị khác nhau của n1, n2, n3 lập thành mạng không
gian. Các điểm đó gọi là nút của mạng không gian.
Ba vectơ cơ sở , , cũng đồng thời xác định các trục của hệ toạ độ
trong tinh thể. Nói chung đó là hệ toạ độ không vuông góc.
Hình hộp được tạo thành từ ba vectơ cơ sở chính là ô sơ cấp.
Ngoài ra, trong nhiều trường hợp, còn có thể xây dựng ô sơ cấp sao cho
nó có dạng đối xứng trung tâm. Ô như vậy, gọi là ô Vicnơ – Daixơ (Wignet –
Seitz). Các ô này được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của các đoạn
thẳng nối nút mạng đang xét với các nút mạng lân cận.
Mạng đảo
- Khái niệm mạng đảo: Mạng đảo là một khái niệm hết sức quan trọng của
vật lý chất rắn, do Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903) đề xuất. Sự xuất hiện
của mạng đảo là một hệ quả tất yếu của tính tuần hoàn tịnh tiến của mạng
thuận (mạng tinh thể thực). Mạng không gian được xây dựng từ ba vectơ cơ
6
sở là , , ta định nghĩa mạng đảo là mạng được xây dựng từ ba vectơ ,
, được xác định như sau:
(1.2)
Các vectơ , , là vectơ cơ sở của mạng đảo. Vị trí các nút mạng đảo
được xác định bởi vectơ mạng đảo có dạng như sau:
(1.3)
Trong đó m1, m2, m3 có thể là các số nguyên dương hoặc âm có thể bằng 0.
- Các tính chất của véctơ mạng đảo:
+ Tính chất 1:
,
, (1.4)
,
+ Tính chất 2: Độ lớn vectơ mạng đảo có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài
+ Tính chất 3: Hình hộp được dựng lên từ ba vectơ cơ sở của mạng đảo
, , gọi là ô sơ cấp của mạng đảo, có thể tích :
vuông góc với mặt phẳng + Tính chất 4: Vectơ mạng đảo
(hkl) của mạng thuận. + Tính chất 5: khoảng cách giữa hai mặt phẳng mạng liên kết nhau thuộc họ
mặt phẳng (hkl) bằng nghịch đảo độ dài vectơ nhân với 2π:
7
- Ô cơ sở mạng đảo:
Cách thông thường để xây dựng ô cơ sở của mạng đảo là xây dựng hình
, , hộp không gian trên cơ sở các vectơ . Ô cơ sở Wigner – Seitz của
mạng đảo được gọi là vùng Brillouin (thứ nhất) của mạng thuận.
Có thể tính ra rằng thể tích V của ô cơ sở của mạng Bravais (mạng thuận) và
thể tích V’ của mạng đảo liên hệ với nhau theo công thức:
- Ý nghĩa vật lí của mạng đảo:
Khái niệm mạng đảo nảy sinh ra một cách trực tiếp từ bài toán khai triển
Fourier của một hàm tuần hoàn. Tuy vậy, ý nghĩa vật lý của khái niệm này
sâu sắc và rộng lớn hơn nhiều vì nó đại diện cho tính chất tuần hoàn của mọi
loại chuyển động xảy ra trong tinh thể tuần hoàn tịnh tiến. Có thể nói rằng
khái niệm mạng đảo có các ý nghĩa vật lý sau đây:
+ Mạng đảo là khung của không gian chuyển động.
+ Mạng đảo thể hiện tính chất: Tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũng
tuần hoàn.
Ý nghĩa thực tế: Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ
tia X thì bức tranh thu được chỉ là ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu xạ (chứ
không phải ảnh chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong tinh thể), bức tranh
này chính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó ta có thể suy ra mạng
thuận (mạng tinh thể thực).
Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman
Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà chỉ có tinh thể nhiều nguyên tử
(N>>1), nếu tinh thể là hữu hạn thì các tính chất của tinh thể vô hạn, chẳng
8
hạn tính đối xứng không còn đúng nữa, ta phải xét điều kiện ở biên tinh thể.
Trong mạng tinh thể một chiều đó là đầu và biên của dãy nguyên tử. Tuy
nhiên, nếu mạng tinh thể là đủ lớn thì ảnh hưởng của biên là rất nhỏ, và tính
chất của tinh thể gần như khi mạng là vô hạn.
Để đảm bảo tính chất tuần hoàn tịnh tiến của các nút trong mạng tinh thể.
Chúng ta đưa ra điều kiện biên tuần hoàn Born – Karman như sau:
Dao động của nguyên tử cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như nguyên tử ở
đầu dãy (nút thứ 1). Bằng cách đó, ta coi các dãy giống nhau được xếp kế tiếp
nhau thành một dãy dài vô hạn. Cũng có thể tưởng tượng là mạng một chiều
có đầu và cuối nối nhau thành một vòng kín. Giả thiết là điều kiện tuần hoàn
giúp cho việc tính toán được thuận lợi nhưng không ảnh hưởng gì đến kết quả
vật lý. Từ điều kiện tuần hoàn, ta thấy dao động thứ m và dao động thứ (m +
N) là như nhau:
Muốn vậy
Hay Qna=2nπ với
hoặc
với L là chiều dài của dãy nguyên tử. Trong mạng một chiều ; vì
vậy các giá trị nằm trong khoảng
Các giá trị này cho ta N giá trị khác nhau của Q. Như vậy điều kiện tuần
hoàn đã đưa đến sự gián đoạn của các vectơ sóng Q. Các giá trị này cách nhau
. Trong phổ chỉ cho các giá trị của ứng với N giá trị của Q.
1.2. Lý thuyết lƣợng tử về dao động mạng tinh thể
9
1.2.1. Lượng tử hoá dao động mạng
Trong cơ học cổ điển, phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa:
(1.5)
Và nếu ta đặt thì phương trình trở thành:
(1.6)
Năng lượng toàn phần của dao động tử là tổng động năng và thế năng:
(1.7)
Ta có thể biểu diễn nó qua tọa độ x và xung lượng p, và được hàm Hamintơn
của dao động tử:
(1.8)
Trong cơ học lượng tử, việc xét chuyển động của dao động tử được thực hiện
bằng cách chuyển các biến số tọa độ và xung lượng thành các toán tử tương
ứng và . Khi đó, toán tử năng lượng toàn phần hay toán tử Hamintơn của
dao động tử điều hòa (lượng tử) là:
(1.9)
Giải phương trình Srôđingơ ứng với toán tử Hamintơn này, ta tìm được biểu
thức cho năng lượng của dao động tử:
(1.10)
trong đó, n = 0,1,2,3,….
Theo cơ học lượng tử thì giá trị nhỏ nhất của năng lượng dao động tử sẽ là
, ứng với n = 0 và được gọi là năng lượng bậc không.
Ta thu được năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử là:
10
(1.11)
với
Công thức trên cho ta thấy rằng năng lượng của một dao động tử điều hòa chỉ
có thể thay đổi một cách gián đoạn theo một số nguyên lần .
Năng lượng của cả tinh thể là tổng năng lượng của các dao động tử điều hòa
được xác định bởi:
(1.12)
1.2.2. Phonon
a. Phương pháp chuẩn hạt
Khi nghiên cứu các tính chất của tinh thể chúng ta gặp khó khăn là phải xác
định chuyển động của rất nhiều hạt (nguyên tử, phân tử) tương tác với nhau.
Vì vậy, cần phải sử dụng phương pháp gần đúng và một trong các phương
pháp đó là phương pháp chuẩn hạt.
Theo phương pháp này, ta coi trạng thái kích thích của tinh thể như là trạng
thái của một khối khí lí tưởng gồm các kích thích sơ cấp không tương tác
nhau. Các kích thích đó mô tả chuyển động tập thể của các nguyên tử chứ
không phải là chuyển động của từng nguyên tử riêng lẻ. Các kích thích sơ cấp
chuyển động trong thể tích của tinh thể như là các chuẩn hạt có năng lượng và
xung lượng xác định. Năng lượng của trạng thái kích thích của vật rắn là tổng
năng lượng của các chuẩn hạt.
(1.13)
với là số chuẩn hạt có xung lượng là và năng lượng .
Khác với các hạt thông thường, chuẩn hạt không tồn tại ngoài vật thể. Sự tồn
tại của chúng có quan hệ chặt chẽ với một cấu trúc xác định của vật thể vĩ mô.
Khi cấu trúc đó bị mất đi (chẳng hạn như có sự chuyển pha), thì chuẩn hạt
11
tương ứng cũng mất đi.
b. Tính chất của chuẩn hạt
Ta hãy xét một số tính chất của chuẩn hạt trong vật thể. Năng lượng của khí
chuẩn hạt được xác định bởi:
(1.14)
trong đó: là hàm phân bố, cho biết số lượng trung bình của các chuẩn
hạt ở trạng thái có năng lượng ε và ở nhiệt độ T; là mật độ trạng thái;
đại lượng xác định số trạng thái trong hệ ở khoảng năng lượng từ
Vận tốc của chuẩn hạt là:
Mật độ dòng chuẩn hạt là:
Xung lượng toàn phần của khí chuẩn hạt là:
Chuẩn hạt cũng mang theo năng lượng. Mật độ dòng năng lượng mà các
chuẩn hạt chuyển tải được xác định bởi:
(1.15)
Giả thiết các chuẩn hạt không tương tác với
nhau chỉ là gần đúng. Ở các phép gần đúng bậc
cao hơn, có thể có các tương tác giữa các
chuẩn hạt, nghĩa là khí chuẩn hạt không còn là
khí lí tưởng. Khi đó trạng thái của chuẩn hạt
chỉ là chuẩn dừng. Nếu thời gian sống của
chuẩn hạt là τ thì độ bất định của chuẩn hạt là:
12
(1.16)
Vì vậy, ta chỉ có thể mô tả trạng thái kích thích của vật thể bằng các chuẩn hạt
nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(1.17)
c. Phonon
Trong phép gần đúng điều hòa, có thể coi trạng thái kích thích yếu của tinh
thể như là tập hợp các chuẩn hạt, mỗi chuẩn hạt có năng lượng:
(1.18)
Và chuẩn xung lượng:
(1.19)
Chuẩn hạt được xác định bởi (1.18) và (1.19) được gọi là phonon. Với và s
xác định các mức năng lượng, chúng cách đều nhau và khoảng cách giữa
chúng là .
d. Tính chất của phonon
Ở trạng thái cân bằng nhiệt, số phonon trung bình có năng lượng được
xác định bởi biểu thức của hàm phân bố Bose – Einstein (hay còn gọi là phân
bố Planck) với thế hóa học (µ=0) bằng không:
(1.20)
Năng lượng của dao động mạng là tổng năng lượng của các phonon:
(1.21)
Khi các phonon tương tác với nhau, định luật bảo toàn năng lượng được thỏa
13
mãn. Còn định luật bảo toàn xung lượng xác định sai kém nhau vectơ mạng
đảo . Chẳng hạn khi có sự va chạm giữa hai phonon có chuẩn xung lượng
và để tạo thành một phonon có chuẩn xung lượng (hoặc quá trình
ngược lại, một phonon có chuẩn xung lượng tách thành hai phonon có
chuẩn xung lượng và ).
Định luật bảo toàn năng lượng có dạng:
(1.22)
với chuẩn xung lượng ta có đẳng thức:
(1.23)
Khi , thì (1.22) trở thành: hay . Nghĩa là, tổng
xung lượng hay tổng vectơ sóng được bảo toàn. Quá trình va chạm thỏa mãn
(1.22) gọi là quá trình bình thường (quá trình N). Tương tác trong đó tổng của
vectơ sóng thay đổi đi một lượng X gọi là quá trình bật ngược (hay quá trình
U).
Đó vì trong quá trình bình thường vectơ vượt ra khỏi vùng Brillouin
thứ nhất. Nhưng trạng thái ứng với này hoàn toàn tương đương với
trạng thái ứng với vectơ sai khác một vectơ mạng đảo . Trên hình vẽ ta
thấy hai vectơ và hướng theo chiều của trục x nhưng vectơ lại
hướng theo chiều âm.
14
Kết luận chƣơng 1
Trong chương này chúng tôi đã trình bày về lý thuyết lượng tử của
mạng tinh thể. Với các nội dung cụ thể là: cấu trúc mạng tinh thể, lý thuyết
lượng tử của mạng tinh thể. Trong đó, chúng tôi đã nêu rõ đặc điểm và tính
chất của hạt phonon.
15
Chƣơng 2: Một số lý thuyết về nhiệt dung của mạng tinh thể
2.1. Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của mạng tinh thể
Trong mạng tinh thể của chất rắn các nguyên tử thực hiện các dao động nhỏ
xung quanh vị trí cân bằng. Trong chừng mực nào đó ta có thể coi chúng là
các dao động tử điều hòa ba chiều. Thế năng của dao động tử điều hòa phụ
thuộc tọa độ dưới dạng toàn phương, vì vậy giá trị trung bình của thế năng
ứng với mỗi bậc tự do là . Mỗi nguyên tử là dao động tử điều hòa ba chiều
(có ba bậc tự do), vì vậy số bậc tự do của cả hệ N nguyên tử sẽ là [3], [4]:
Năng lượng trung bình của hệ là:
(2.1)
Đối với 1 phân tử gam:
(2.2)
Nhiệt dung đẳng tích được xác định bởi công thức:
(2.3)
Đối với một phân tử gam:
Hằng số khí R=8,31 jun/độ, vì vậy nhiệt dung đẳng tích của 1 mol chất rắn là:
Như vậy, theo thuyết nhiệt dung cổ điển thì nhiệt dung chất rắn có giá trị
không đổi theo nhiệt độ. Đó chính là định luật Dulong-Petit. Thực nghiệm
cho thấy rằng định luật Dulong-Petit chỉ đúng đối với vùng nhiệt độ cao. Điều
này rất dễ hiểu, bởi vì ở vùng nhiệt độ cao chúng ta có thể áp dụng thống kê
cổ điển nói chung và định luật phân bố đều năng lượng theo các bậc tự do nói
16
riêng. Đối với vùng nhiệt độ thấp nhiệt dung chất rắn phụ thuộc mạnh vào
nhiệt độ. Trong lý thuyết nhiệt dung cổ điển hệ các nguyên tử chất rắn được
xem là hệ N dao động tử điều hòa cổ điển độc lập với nhau. Tuy nhiên ở nhiệt
độ thấp quan niệm ấy không đúng nữa vì hai lý do. Một là, các nguyên tử chất
rắn phải tuân theo quy luật dao động điều hòa lượng tử, tức là các phổ năng
lượng gián đoạn. Hai là, các nguyên tử này liên kết với nhau , chứ không thể
xem là độc lập được.
2.2. Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của mạng tinh thể
Nhằm khắc phục những hạn chế của lý thuyết nhiệt dung cổ điển , năm 1907,
Einstein đã đưa ra lý thuyết dựa trên quan điểm lượng tử. Chuyển động của
các nguyên tử trong mạng tinh thể là chuyển động của các dao động tử điều
hoà ba chiều. Dao động tử lượng tử điều hoà một chiều với tần số có phổ
năng lượng gián đoạn được xác định theo công thức:
trong đó n=0,1,2,3……
Phổ năng lượng của dao động tử điều hoà có giá trị gián đoạn, cách đều
nhau. Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng cùng
một lượng tử năng lượng , mức năng lượng thấp nhất.
Trước hết ta tính tổng trạng thái (tổng được lấy theo tất cả trạng thái của hệ) Z
của dao động tử theo công thức:
(2.4)
17
Vì >0 nên <1, nên trên đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn
ta có với u1=0;
Từ đó ta có biểu thức tổng trạng thái Z:
(2.5)
Biết tổng trạng thái Z, ta có thể tính được năng lượng trung bình của một dao
động tử điều hoà nhờ biểu thức được suy ra trực tiếp từ phân bố Maxwell-
Boltzman:
(2.6)
Thay Z từ công thức (2.5) vào (2.6) và thực hiện phép tính đạo hàm theo T ta
được:
(2.7)
Chú ý rằng ở nhiệt độ thấp T→0 năng lượng trung bình cũng dẫn tới mức
năng lượng thấp nhất ; ở nhiệt độ cao (T>> ) năng lượng trung
bình của dao động tử có trị số cổ điển là kT.
Vì mỗi nguyên tử có 3 bậc tự do nên hệ N nguyên tử trong mạng là hệ 3N dao
động tử điều hoà một chiều. Einstein quan niệm rằng tất cả các nguyên tử đều
chung một tần số dao động là . Trên cơ sở quan niệm đó và kết quả (2.7) ta
tính được nội năng của hệ.
18
(2.8)
Lấy đạo hàm nội năng theo nhiệt độ ta sẽ tính được nhiệt dung đẳng tích
(2.9)
Như vậy, theo lý thuyết Einstein thì nhiệt dung mạng tinh thể phụ thuộc nhiệt
độ theo quy luật khá phức tạp. Chúng ta lần lượt khảo sát dáng điệu phụ thuộc
vào nhiệt độ trong trường hợp nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp mà chúng ta cần
quan tâm.
Trường hợp nhiệt độ cao
Xét trường hợp khi nhiệt độ T>> (TE gọi là nhiệt độ Einstein), khi đó
chúng ta có thể khai triển gần đúng hàm mũ theo đại lượng <<1 như sau:
Thay giá trị này vào biểu thức (1.6) ta được:
Vì <<1 nên có thể lấy gần đúng:
Đối với 1 mol, nhiệt dung có giá trị:
Như vậy trong vùng nhiệt độ cao kết quả của (2.9) của lý thuyết Einstein phù
hợp với kết quả cổ điển, tức là định luật Dulong- petit trùng với kết quả thực
19
nghiệm.
Trường hợp nhiệt độ thấp
Xét trường hợp nhiệt độ thấp, khi hệ thức T<< được thoả mãn. Trong
trường hợp này >>1, do đó ta có thể bỏ qua số 1 ở mẫu số của vế phải biểu
thức (2.9):
Như vậy, theo lý thuyết Einstein thì ở vùng nhiệt độ thấp nhiệt dung phụ
thuộc nhiệt độ dưới dạng:
(2.10) CV ~
Qua đó ta thấy:
Kết quả (2.10) phù hợp với định tính của thực nghiệm: Nhiệt dung tiến tới 0
khi nhiệt độ tiến tới 0 độ tuyệt đối. Tuy nhiên, thực nghiệm cho thấy rằng nhiệt dung của mạng tinh thể tiến tới 0 theo quy luật CV~ T3 chứ không tiến
tới 0 quá nhanh như quy luật (2.10). Đây chính là thiếu sót của lý thuyết
Einstein. Thiếu sót này bắt nguồn từ chỗ Einstein quan niệm rằng tất cả các
nguyên tử trong mạng tinh thể đều dao động với cùng một tần số.
2.3. Lý thuyết Debye về nhiệt dung của mạng tinh thể
Năm 1912 Debye đưa ra lý thuyết mới về nhiệt dung mạng tinh thể. So với lý
thuyết Einstein thì lý thuyết Debye phù hợp tốt hơn với thực nghiệm, vì vậy
cho đến nay nó vẫn được coi là lý thuyết đúng đắn nhất. Dưới đây chúng ta sẽ
điểm qua những nét cơ bản nhất trong lý thuyết Debye.
Trong mạng tinh thể chất rắn các nguyên tử tương tác với nhau, vì vậy chúng
chuyển động như các dao động tử liên kết, chứ không phải là các dao động tử
20
độc lập như trong lý thuyết Einstein. Mỗi nguyên tử có ba bậc tự do, vì vậy
tập hợp có N nguyên tử trong vật rắn là tập hợp 3N dao động tử điều hoà
lượng tử liên kết, với các tần số khác nhau, kể từ tần số 0 cho tới tần số cực
đại (tần số Debye).
Chuyển động dao động tập thể của các nguyên tử liên kết tạo thành sóng âm,
tức là sóng đàn hồi trong vật rắn. Sóng âm trong vật rắn gồm hai loại: Sóng
dọc và sóng ngang. Ta kí hiệu vận tốc truyền sóng dọc là Ce, vận tốc truyền
sóng ngang Ct
Hệ 3N dao động tử điều hoà liên kết có thể thay thế được bằng tập hợp 3N
dao động chuẩn (hay gọi là “mốt”). Nếu vận tốc truyền sóng là C, tần số là
thì trong khoảng số lượng của các dao động chuẩn được tính theo
công thức:
Để ý rằng sóng âm trong vật rắn bao gồm sóng ngang và sóng dọc với vận tốc
truyền khác nhau; mặt khác, sóng ngang lại có hai khả năng phân cực, ta có
thể tính số dao động chuẩn trong khoảng theo công thức:
Để thuận tiện ta đưa vào đại lượng C xác định theo hệ thức:
(2.11)
Đại lượng C có thứ nguyên như vận tốc truyền sóng. Bây giờ ta có thể viết lại
biểu thức như sau:
(2.12)
Hệ 3N dao động chuẩn có tần số khác nhau, kể từ 0 cho đến tần số cực đại
21
. Giá trị của xác định từ điều kiện:
(2.13)
Sau khi lấy tích phân ta được:
(2.14)
Tần số gọi là tần số Debye. Nó tuỳ thuộc vào vận tốc truyền sóng âm trong
vật rắn và mật độ nguyên tử trong môi trường đó.
Trên cơ sở (2.14) ta có thể viết lại (2.12) có dạng:
(2.15)
Mỗi dao động chuẩn là một dao động tử điều hoà lượng tử, vì vậy năng lượng
trung bình của mỗi dao động chuẩn là:
(2.16)
Năng lượng trung bình của cả hệ 3N dao động chuẩn được tính theo công
thức:
Thay các biểu thức (2.15), (2.16) vào vế phải của công thức trên ta được:
(2.17)
Số hạng thứ nhất ở vế phải của (2.17) không phụ thuộc T, vì vậy nhiệt dung
CV được tính như sau:
Từ đó ta có:
22
Đặt ta có thể viết:
Đại lượng được gọi là nhiệt độ Debye. Với kí hiệu đó ta có thể viết
lại biểu thức nhiệt dung như sau:
(2.18)
Người ta thường viết biểu thức nhiệt dung mạng tinh thể vật rắn dưới dạng
ngắn gọn:
(2.19)
Trong đó là hàm Debye được xác định như sau:
(2.20)
Đối với 1mol ta có:
(2.21)
Kết quả này cho ta thấy nhiệt dung của mạng tinh thể chất rắn phụ thuộc vào
nhiệt độ theo hàm Debye. Ta hãy xét dáng điệu của (CV)mol trong hai vùng
nhiệt độ khác biệt, nhiệt độ cao và nhiệt độ thấp.
Trường hợp nhiệt độ cao
Xét vùng nhiệt độ thoả mãn điều kiện T>> với điều kiện này thì
23
có giá trị rất nhỏ.
Ta hãy khảo sát hàm Debye khi biến số rất nhỏ. Theo định nghĩa (2.20) ta có:
Nếu α rất nhỏ ta có thể lấy gần đúng:
Dựa vào kết quả này và biểu thức (2.21) ta có: (CV)mol=3R (khi T>>TD)
Điều này có nghĩa là trong vùng nhiệt độ cao lí thuyết Debye phù hợp với
định luật Dulong – Petit trùng với kết quả thực nghiệm.
Trong vùng nhiệt độ thấp
Xét vùng nhiệt độ thoả mãn điều kiện T<< trong trường hợp rất
lớn, do đó ta phải khảo sát hàm D(α) khi α rất lớn. Từ định nghĩa ta thấy rằng
α rất lớn thì cận trên của tích phân ở vế phải biểu thức (2.20) có thể thay bằng
∞, do đó:
Thay kết quả này vào (3.18) ta được:
(2.22)
Như vậy trong vùng nhiệt độ rất thấp lý thuyết Debye cho kết quả phù hợp
với thực nghiệm:
Trên hình có vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung mạng
tinh thể chất rắn theo các lý thuyết cổ điển (định luật Dulong – Petit), lý
thuyết Einstein và lý thuyết Debye.
24
Như đã trình bày ở trên định luật
Dulong – Petit ((CV)mol=3R) chỉ đúng
khi nhiệt độ T lớn hơn nhiều so với nhiệt
độ Debye . Các chất rắn khác
nhau có nhiệt độ Debye khác nhau, do
đó lĩnh vực nhiệt độ cho phép áp dụng
định luật Dulong – Petit cũng khác nhau.
Điều này cho phép chúng ta hiểu được
một thực tế: Cùng ở nhiệt độ phòng thí nghiệm nhưng một số chất rắn có
nhiệt dung (CV)mol xấp xỉ 3R, còn một số khác lại có nhiệt dung (CV)mol khác
nhiều với giá trị 3R. Chẳng hạn nhiệt độ Debye của chì (Pb) có giá trị 88k, vì
vậy nhiệt độ phòng thí nghiệm (T~300K) đã là khá cao với TD, do đó nhiệt
dung (CV)mol của chì trong điều kiện phòng thí nghiệm có giá trị cỡ 3R (số
liệu thực nghiệm là (CV)mol=27,8 Jun/độ. Kim cương có nhiệt độ Debye rất
cao (TD~800K), vì vậy ở nhiệt độ phòng thí nghiệm (TD~300K) nhiệt dung
của nó không tuân theo định luật Dulong – Petit ở nhiệt độ 298K, Kim cương
có nhiệt dung (CV)mol=6,1 Jun/độ.
Nhiệt dung kim loại bao gồm hai phần là nhiệt dung của mạng ion dương và
nhiệt dung của các điện tử tự do. Nhưng kết quả tính toán nói trên chỉ liên
quan tới nhiệt dung của mạng các ion dương. Kí hiệu là nhiệt dung của
các ion dương và là nhiệt dung của các điện tử tự do, ta có thể viết nhiệt
dung của các kim loại như sau:
ở nhiệt độ cao cỡ phòng thí nghiệm nhiệt dung của các điện tử nhỏ hơn nhiều
so với nhiệt dung của mạng các ion dương, do đó ta có thể lấy gần đúng:
(nhiệt độ cao)
25
ở vùng nhiệt độ thấp ta thấy có tình trạng ngược lại. Khi T→0K thì nhiệt
dung của khí điện tử tự do cỡ:
~ T
Theo kết quả của lý thuyết Debye thì T→0K nhiệt dung của mạng tinh các
ion dương cỡ:
~T3
Như vậy rõ ràng là ở nhiệt độ thấp << . Vì vậy, ở nhiệt độ thấp nhiệt
dung của kim loại chủ yếu là nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại:
(nhiệt độ thấp)
2.4. Một số kết quả thực nghiệm về nhiệt dung của mạng tinh thể
Trong quá trình thu thập tài liệu, chúng tôi đã tìm được bảng kết quả thực
nghiệm về nhiệt dung của Cu, Ag, Au qua hệ đo lường của Mỹ [15].
2.4.1. Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Cu
C
T/TD (TD=343,5) (oK) (J/deg.mol)
0.002911 0.000743
0.005822 0.00177
0.008734 0.00337
0.011645 0.00582
0.014556 0.00943
0.017467 0.0145
0.020378 0.0213
0.02329 0.0301
0.026201 0.0414
0.029112 0.0555
0.032023 0.0727
26
0.034934 0.0936
0.037846 0.119
0.040757 0.149
0.043668 0.184
0.046579 0.225
0.049491 0.273
0.052402 0.328
0.055313 0.390
0.058224 0.462
0.07278 0.963
0.087336 1.693
0.101892 2.638
0.116448 3.740
0.131004 4.928
0.14556 6.154
0.160116 7.385
0.174672 8.595
0.189229 9.759
0.203785 10.86
0.218341 11.89
0.232897 12.85
0.247453 13.74
0.262009 14.56
0.276565 15.31
0.291121 16.01
0.305677 16.64
27
0.320233 17.22
0.334789 17.76
0.349345 18.25
0.363901 18.70
0.378457 19.12
0.393013 19.51
0.407569 19.87
0.422125 20.20
0.436681 20.51
0.451237 20.79
0.465793 21.05
0.480349 21.30
0.494905 21.53
0.509461 21.74
0.524017 21.94
0.538574 22.13
0.55313 22.31
0.567686 22.47
0.582242 22.63
0.596798 22.77
0.611354 22.91
0.62591 23.04
0.640466 23.17
0.655022 23.28
0.669578 23.39
0.684134 23.50
28
0.69869 23.60
0.713246 23.69
0.727802 23.78
0.742358 23.86
0.756914 23.94
0.77147 24.02
0.786026 24.09
0.795197 24.13
0.800582 24.15
0.815138 24.22
0.829694 24.28
0.84425 24.34
0.858806 24.40
0.867977 24.44
0.873362 24.46
2.4.2. Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Ag
C
(J/deg.mol) T/TD (TD=215) (oK)
0.004651 0.000818
0.009302 0.00265
0.013953 0.00650
0.018605 0.0134
0.023256 0.0243
0.027907 0.0403
0.032558 0.0626
29
0.037209 0.0927
0.04186 0.132
0.046512 0.183
0.051163 0.247
0.055814 0.325
0.060465 0.421
0.065116 0.535
0.069767 0.670
0.074419 0.826
0.07907 1.002
0.083721 1.199
0.088372 1.414
0.093023 1.647
0.116279 3.066
0.139535 4.774
0.162791 6.612
0.186047 8.419
0.209302 10.11
0.232558 11.66
0.255814 13.04
0.27907 14.27
0.302326 15.35
0.325581 16.30
0.348837 17.14
0.372093 17.87
0.395349 18.53
30
0.418605 19.11
0.44186 19.63
0.465116 20.10
0.488372 20.52
0.511628 20.89
0.534884 21.23
0.55814 21.54
0.581395 21.82
0.604651 22.07
0.627907 22.31
0.651163 22.52
0.674419 22.72
0.697674 22.90
0.72093 23.07
0.744186 23.22
0.767442 23.37
0.790698 23.50
0.813953 23.63
0.837209 23.75
0.860465 23.86
0.883721 23.96
0.906977 24.06
0.930233 24.16
0.953488 24.24
0.976744 24.33
1 24.41
31
24.49 1.023256
24.56 1.046512
24.63 1.069767
24.69 1.093023
24.76 1.116279
24.82 1.139535
24.88 1.162791
24.93 1.186047
24.99 1.209302
25.04 1.232558
25.09 1.255814
25.12 1.270465
25.14 1.27907
25.19 1.302326
25.24 1.325581
25.28 1.348837
25.32 1.372093
25.35 1.386744
25.37 1.395349
2.4.3. Kết quả nhiệt dung thực nghiệm của Au
C
T/TD (TD=170) (oK) (J/deg.mol)
0.005882 0.00118
0.011765 0.00504
0.017647 0.0141
0.023529 0.0306
32
0.029412 0.0570
0.035294 0.0955
0.041176 0.149
0.047059 0.220
0.052941 0.313
0.028824 0.431
0.064706 0.577
0.070588 0.755
0.076471 0.963
0.082353 1.203
0.088235 1.474
0.094118 1.772
0.1 2.096
0.105882 2.442
0.111765 2.807
0.117647 3.187
0.147059 5.245
0.176471 7.375
0.205882 9.395
0.235294 11.22
0.264706 12.86
0.294118 14.29
0.323529 15.52
0.352941 16.59
0.382353 17.51
0.411765 18.31
33
0.441176 19.01
0.470588 19.63
0.5 20.17
0.529412 20.64
0.558824 21.06
0.588235 21.44
0.617647 21.77
0.647059 22.06
0.676471 22.33
0.705882 22.56
0.735294 22.78
0.764706 22.97
0.794118 23.15
0.823529 23.31
0.852941 23.45
0.882353 23.59
0.911765 23.70
0.941176 23.81
0.970588 23.91
1 24.00
1.029412 24.08
1.058824 24.15
1.088235 24.22
1.117647 24.29
1.147059 24.35
1.176471 24.41
34
24.48 1.205882
24.54 1.235294
24.60 1.264706
24.65 1.294118
24.71 1.323529
24.76 1.352941
24.82 1.382353
24.87 1.411765
24.92 1.441176
24.97 1.470588
25.02 1.5
25.07 1.529412
25.12 1.558824
25.17 1.588235
25.20 1.606765
25.21 1.617647
25.26 1.647059
25.31 1.676471
25.35 1.705882
25.39 1.735294
25.42 1.753824
25.43 1.764706
35
Kết luận chƣơng 2
Ở chương 2, chúng tôi trình bày lý thuyết cổ điển, lý thuyết Einstein, lý
thuyết Debye về nhiệt dung của mạng tinh thể. Trong đó, lý thuyết cổ điển
phù hợp ở nhiệt độ phòng thí nghiệm, lý thuyết Einstein chỉ phù hợp ở vùng
nhiệt độ cao. Cho đến nay, lý thuyết Debye vẫn được xem là phù hợp tốt nhất
với thực nghiệm.
36
Chƣơng 3: Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q
3.1. Dao động tử Boson biến dạng q
Dao động tử Boson biến dạng q được định nghĩa theo toán tử sinh hạt ,
toán tử hủy hạt và toán tử số hạt , thỏa mãn hệ thức giao hoán sau [5-14]:
(3.1)
Phương trình (3.1) có sự thay đổi bởi tham số biến dạng q
Hệ quả (3.1) là:
, (3.2)
Ta tính được biểu thức ma trận của các toán tử , , như sau:
(3.3)
(3.4)
(3.5) với
Với và là các toán tử sinh, hủy Boson biến dạng q. Cơ sở của không
gian Fock được xác định bởi sự tác dụng liên tiếp của toán tử sinh lên
37
trạng thái chân không đã bị hủy bởi toán tử :
Ta đi xác định hệ số A:
√ ( ̂ ) ̂ | 〉 √ √ ( ̂ ) | 〉
√ √ √ √ | 〉 √( ) | 〉
Vậy
√( )
(3.6) | 〉 ̂ | 〉
Hay ta tìm được
(3.7) √( )
Tác động của các toán tử lên cơ sở này là:
(3.8)
Từ các hệ thức trên ta chứng minh lại (3.1) như sau:
38
(Đó là điều phải chứng minh)
Các toán tử tọa độ và toán tử xung lượng được biểu diễn theo các toán tử
sinh, hủy q-hạt.
Hệ thức giao hoán giữa và là:
(3.9)
Toán tử Hamiltonian có dạng:
(3.10)
Trị riêng của toán tử Hamiltonian trong các cơ sở trên là:
(3.11)
Hệ thức (3.11) cho chúng ta biết phổ năng lượng của q- dao động không cách
đều nhau mà được giãn rộng hơn và có thể viết được:
Trong giới hạn q→1,chúng ta thu lại được biểu thức thông thường:
39
3.2. Nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng q
Trước hết chúng tôi tính năng lượng trung bình của một dao động tử điều hòa,
dựa vào biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lí F như sau:
(3.12)
Vậy năng lượng trung bình của một dao động tử là:
(3.13)
trong đó:
(vì điều kiện trực chuẩn )
(3.14)
Mặt khác ta có:
40
(3.15)
Thay (3.14),(3.15) vào (3.13) ta được năng lượng trung bình của một
dao động tử biến dạng là:
(3.16)
(3.17)
Theo lý thuyết Debye, năng lượng hệ 3N dao động chuẩn được tính
theo công thức [13],[14]:
(3.18)
và số dao động chuẩn trong khoảng là:
(3.19)
Hệ 3N dao động chuẩn có tần số khác nhau, kể từ 0 cho đến tần số cực đại
. Giá trị của xác định từ điều kiện:
(3.20)
Thay (3.19),(3.20) vào (3.18), chúng tôi thu được năng lượng của mạng tinh
thể khi có biến dạng:
(3.21)
Đặt ta có thể viết:
41
(3.22)
trong đó TD là nhiệt độ Debye
Từ điều kiện (3.20) ta có:
mà
,
Ta có thể viết lại biểu thức (3.22) như sau:
(
)
(3.23)
Nhiệt dung Cv của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng được tính bởi công
thức sau:
(
)
(
)
(
42
) (3.24)
3.3. So sánh năng lƣợng của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng với lý
thuyết Debye
Ở chương 2 mục 2.3, chúng tôi đã trình bày về nhiệt dung của mạng tinh
thể theo lý thuyết Debye. Và đã đưa ra công thức (2.17) là công thức năng
lượng của cả hệ 3N dao động chuẩn:
Đặt , ta có thể viết lại công thức (2.17) như sau:
(3.25)
Mặt khác, bằng kĩ thuật tính toán lý thuyết chúng tôi đã thu được biểu thức
năng lượng của cả hệ 3N dao động theo lý thuyết biến dạng (3.23):
43
Khi q→1, ta có:
Thay vào biểu thức Uq ta thu được kết quả:
(3.26)
Từ (3.25) và (3.26), chúng tôi thấy rằng:
Mà , từ đó chúng tôi có thể đưa ra dự đoán, công thức nhiệt dung của
mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng mà chúng tôi thu được (3.24) khi q→1
trùng khớp với công thức nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết Debye.
3.4. Tính số
Để kiểm chứng kết quả đã thu được so với thực nghiệm sau đây chúng tôi
sử dụng phần mềm toán học Mathematica để vẽ đồ thị nhiệt dung CVtheo lý
thuyết biến dạng q (3.24) vừa tìm được của một số kim loại ( Cu, Ag, Au ).
44
3.4.1. Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Cu
Chú thích:
- Đường màu xanh lá: nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng ứng với
q=0.95
- Đường màu đỏ: nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng ứng với q=1
- Đường màu tím: nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng ứng với q=1.1
- Đường màu xanh dương: nhiệt dung CV theo kết quả thực nghiệm
Figure 1: Đồ thị nhiệt dung CV của Cu ứng với các giá trị q khác nhau và
thực nghiệm.
Chúng tôi có 1 số nhận xét sau:
+ Khi thì CV lý thuyết< CV thực nghiệm với mọi giá trị của q.
+ Khi thì CV lý thuyết> CV thực nghiệm với mọi giá trị của q.
+ Khi >0.4 thì đồ thị của nhiệt dung CV ứng với các giá trị q khác nhau
đã không khớp với thực nghiệm.
45
3.4.2. Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Ag
Chú thích:
- Đường màu xanh lá: nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng ứng với
q=0.95
- Đường màu đỏ: nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng ứng với q=1
- Đường màu tím: nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng ứng với q=1.1
- Đường màu xanh dương: nhiệt dung CV theo kết quả thực nghiệm
Figure 2: Đồ thị nhiệt dung Cv của Ag ứng với các giá trịq khác nhau và
thực nghiệm.
Chúng tôi có 1 số nhận xét sau:
+ Khi thì CV lý thuyết< CV thực nghiệm với mọi giá trị của q.
+ Khi thì CV lý thuyết> CV thực nghiệm với mọi giá trị của q.
+ Khi >0.3 thì đồ thị của nhiệt dung CV ứng với các giá trị q khác nhau đã
không khớp với đường thực nghiệm.
46
3.4.3. Đồ thị nhiệt dung CV của kim loại Au
Chú thích:
- Đường màu xanh lá: nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng ứng với
q=0.95
- Đường màu đỏ: nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng ứng với q=1
- Đường màu tím: nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng ứng với q=1.1
- Đường màu xanh dương: nhiệt dung CV theo kết quả thực nghiệm
Figure 3: Đồ thị nhiệt dung Cv của Au ứng với các giá trị q khác nhau và
thực nghiệm.
Chúng tôi có 1 số nhận xét sau:
+ Khi thì CV lý thuyết< CV thực nghiệm với mọi giá trị của q.
+ Khi thì CV lý thuyết> CV thực nghiệm với mọi giá trị của q.
+ Khi >0.3 thì đồ thị của nhiệt dung CV ứng với các giá trị q khác nhau đã
không khớp với đường thực nghiệm.
47
3.4.4. Kết luận
Như vậy, chúng tôi thấy rằng công thức nhiệt dung CV theo lý thuyết biến
dạng chỉ có thể áp dụng khi
Để có thể trình bày một cách rõ ràng hơn, sau đây chúng tôi sẽ vẽ đồ thị
nhiệt dung CV phụ thuộc vào tham số biến dạng q:
Figure 4: Đồ thị Cv-q
Quan sát đồ thị trên chúng tôi nhận thấy rằng với mọi giá trị nhiệt
dung CV không thay đổi.
Kết luận: Tham số biến dạng q trong công thức nhiệt dung CV theo lý thuyết
biến dạng đã tìm được nhận giá trị trong khoảng .
48
Kết luận chƣơng 3
Ở chương 3, chúng tôi đã trình bày hình thức luận dao động tử điều hòa
biến dạng cho dao động tử Boson và áp dụng lý thuyết đại số biến dạng để
xác định nhiệt dung của mạng tinh thể. Kết quả chúng tôi thu được biểu thức
năng lượng và nhiệt dung đẳng tích của mạng tinh thể theo lý thuyết biến
dạng.
Thay vào việc biến đổi công thức năng lượng của hệ theo lý thuyết
Debye thông thường như trong giáo trình, rồi khảo sát nhiệt dung trên 2 vùng
nhiệt độ: nhiệt độ thấp, nhiệt độ cao. Thì ở chương 3, chúng tôi đã đưa ra
được công thức năng lượng của cả hệ theo lý thuyết Debye về dạng tổng quát
hơn. Từ đó, chúng tôi có thể đưa ra dự đoán, công thức nhiệt dung của mạng
tinh thể theo lý thuyết biến dạng mà chúng tôi thu được khi q→1 trùng khớp
với công thức nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết Debye.
Các kết quả thu được cho chúng ta thấy nhiệt dung bên cạnh phụ thuộc
vào nhiệt độ còn phụ thuộc vào tham số biến dạng q.
Và trên cơ sở các kết quả thu được, sử dụng phần mềm toán học
Mathematica chúng tôi đã tính số và vẽ đồ thị nhiệt dung của mạng tinh thể
kim loại Cu, Ag, Au và so sánh với kết quả thực nghiệm. Từ đó, chúng tôi
thấy rằng công thức nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng chỉ có thể áp dụng
khi
49
KẾT LUẬN CHUNG
Trên cơ sở trình bày về lý thuyết lượng tử của mạng tinh thể và các lý
thuyết về nhiệt dung mạng tinh thể, chúng tôi đã áp dụng hình thức luận dao
động tử điều hòa biến dạng cho dao động tử Boson và lý thuyết đại số biến
dạng để xác định nhiệt dung của mạng tinh thể. Kết quả chúng tôi thu được
biểu thức năng lượng và nhiệt dung đẳng tích của mạng tinh thể theo lý thuyết
biến dạng.
Công thức năng lượng của cả hệ theo lý thuyết Debye đã được chúng
tôi biến đổi về dạng tổng quát, để thuận lợi cho việc đưa ra dự đoán công thức
nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý thuyết biến dạng mà chúng tôi thu được
khi q→1 trùng khớp với công thức nhiệt dung của mạng tinh thể theo lý
thuyết Debye. Các kết quả thu được cho chúng ta thấy nhiệt dung bên cạnh
phụ thuộc vào nhiệt độ còn phụ thuộc vào tham số biến dạng q.
Trên cơ sở các kết quả thu được, sử dụng phần mềm toán học
Mathematica chúng tôi đã tính số và vẽ đồ thị nhiệt dung của mạng tinh thể
kim loại Cu, Ag, Au và so sánh với kết quả thực nghiệm. Từ đó, chúng tôi
thấy rằng công thức nhiệt dung CV theo lý thuyết biến dạng chỉ có thể áp dụng
khi
Chúng tôi đã vẽ đồ thị sự phụ thuộc của nhiệt dung CV vào tham số q.
Và chúng tôi nhận thấy rằng tham số biến dạng q trong công thức nhiệt dung
CV theo lý thuyết biến dạng đã tìm được nhận giá trị trong khoảng
.
50
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Thế Khôi và Nguyễn Hữu Mình (1992). Vật lý chất rắn. Nhà
xuất bản Giáo Dục.
[2]. Nguyễn Văn Hiệu. Tuyển tập những bài giảng chuyên đề lý thuyết chất
rắn. Nhà xuất bản đại học Quốc Gia Hà Nội (2001).
[3]. Vũ Thanh Khiết. Giáo trình nhiệt động lực học và vật lí thống kê. Nhà
xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội (1996).
[4]. Nguyễn Quang Báu, Nguyễn Văn Hùng, Bùi Bằng Đoan. Vật lí thống kê.
Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
[5]. Tsallis C, Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics:
Approaching a complex, World(Springer) (2009).
[6]. Sumiyoshi Abe Yuko Okamoto,Nonextensive Statistical Mechanics and
Its Applications, (Lec-ture notes in physics ; Vol. 560), (Physics and
astronomy online library), (Springer).
[7]. Ugur Tirnakli and Ernesto P. Borges, Nature ,The standard map: From
Boltzmann-Gibbs statistics to Tsallis statistics, Scientific Reports 6, Article
number: 23644 (2016). [8]. C. Beck, Eur ,Application to cosmic ray energy spectra and e+ e−
annihilation. Phys. J. A 40, 267273 (2009) The European Physical Journal A,
DOI 10.1140/epja/i2009-10792-7, Regular Article Theoretical Physics,
Superstatistics in high-energy physics.
[9]. Constantino Tsallis, Applications to high energy physics, EPJ Web of
Conferences, 05001(2011), DOI: 10.1051/epjconf/20111305001, Owned by
the authors, published by EDP Sci-ences, 2011, Nonextensive statistical
mechanics.
[10]. Constantino Tsallis, F. C. Sa Barreto, Edwin D. Loh, Generalization of
the Planck radiation law and application to the cosmic wave background
51
radiation, Phys. Rev. E, Vol. 52, No. 2 (1995).
[11]. Atanu Guha,J.Selvaganapathy and Prasanta Kumar Das, Q-deformed
statistics and the role of light fermionic dark matter in SN1987 A
cooling,Phys. Rev. D 95, 015001(2017).
[12]. O.W.Greenberg,Phys.Rev.Lett. 64,705(1990);Phys.Rev.D
43,4111(1991).
[13]. White and S.J.Collocott, Heat capacity of
referencematerials:Cu&W,G.K,J.Phys. Chem.Ref.Data,Vol.13,No.4(1984).
[14]. Lưu Thị Kim Thanh, The average energy for the q- deformed harmonic
oscillator, Communications in Physics, Vol. 19, No.2 (2009), pp. 124-128.
[15]. George T. Furukawa, William G. Saba, and Martin L. Reilly. Critical
Analysis of the Heat – Capacity Data of the literature and Avaluation of the Thermodynamic properties of Copper, Silver, and Gold from 0 to 300 oK,
Institute for Basic Standards, National Bureau of Standards, Washington,
D.C. 20234 (April 1968).
