BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN MỘNG GIANG CHI
SỰ TRỘN LẪN
TRONG
LÝ THUYẾT THỐNG NHẤT
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC VẬT CHẤT
HÀ NỘI. 2017
Lời cảm ơn
Đầu tiên em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Đỗ Thị
Hương, Viện Vật lí, Viện Hàn Lâm và Khoa Học Việt Nam- người đã hết
lòng, tận tâm dẫn dắt em, cung cấp cho em những kiến thức nền tảng, giúp em
hoàn thành luận văn này.
Em xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Vật lí, các
thầy cô giáo ở phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các
giáo sư, tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý
báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học. Em xin được
cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ thuộc Trung tâm Vật lí lí thuyết Viện Vật lí, Viện
hàn Lâm Khoa Học Việt Nam đã giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành luận
văn.
Xin được cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Kỳ Sơn, tỉnh Hòa Bình
đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và bạn bè đã
luôn động viên, sát cánh trong suốt thời gian qua.
Em xin chân thành cảm ơn tất cả!
Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2017
Học viên
Nguyễn Mộng Giang Chi
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng các số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày
trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi
cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ và tạo điều kiện cho việc hoàn thành
luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.
Học viên
Nguyễn Mộng Giang Chi
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài: ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu đề tài: .......................................................................... 2
3. Phương pháp nghiên cứu. .............................................................................. 3
4. Ý nghĩa khoa học của đề tài. ......................................................................... 3
5. Bố cục của luận văn: ..................................................................................... 3
NỘI DUNG ....................................................................................................... 4
Chương 1: Tổng quan về lí thuyết trường chuẩn .............................................. 6
I. Các khái niệm cơ bản về nhóm đối xứng chuẩn. ........................................... 6
1. Nhóm đối xứng chuẩn và nhóm đối xứng chuẩn định xứ ............................. 6
2. Nhóm đối xứng chuẩn không giao hoán SU(2): ........................................... 6
II. Lí thuyết trường với nhóm đối xứng chuẩn giao hoán. ................................ 7
1.Lí thuyết trường với nhóm U(1).................................................................. 7
2. Lí thuyết trường với nhóm đối xứng chuẩn không giao hoán SU(2): ........ 10
Chương 2: Mô hình chuẩn .............................................................................. 12
I. Đặc điểm của lí thuyết điện từ, lí thuyết mô tả tương tác yếu trước khi có
mô hình chuẩn. ................................................................................................ 12
II. Cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs [7]. ................................ 13
1. Ví dụ về cơ chế Higgs với nhóm Abel. ....................................................... 14
2. Ví dụ cơ chế Higgs với trường hợp không Abel. ........................................ 16
III. Mô hình chuẩn. .......................................................................................... 19
1. Tại sao chọn nhóm ............................................................... 19
2. Nhóm SU(3) mô tả tương tác mầu. ............................................................. 19
3. Sự sắp xếp các hạt. ...................................................................................... 21
4. Sự phá vỡ đối xứng . ..................................................... 23
Chương 3 : Sự trộn lẫn trong mô hình chuẩn ........................................ 30
I. Cơ chế GIM và ma trận CKM. .................................................................... 30
1. Cơ chế GIM . ............................................................................................... 30
2. Ma trận CKM. ............................................................................................. 32
II. Dòng mang điện và dòng trung hòa. .......................................................... 35
1. Dòng mang điện .......................................................................................... 35
2. Dòng trung hòa. ........................................................................................... 39
III. Sự trộn lẫn trong mô hình chuẩn. .................................................... 41
.......................................................................... 41 1. Thế nào là trạng thái
2. Trộn khối lượng của hai hạt trong Mô hình chuẩn. .................................... 42
3. Trộn khối lượng trong Mô hình mở rộng :.................................................. 47
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................... Error! Bookmark not defined.
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 58
Bảng kí hiệu các chữ viết tắt
Chữ viết tắt Kí hiệu
Nuclear Resarch Center of Europe CERN
Charge Parity CP
Cabibbo – Kobayyaski - Maskawa CKM
Glashow – Iliopoulos - Maini GIM
Glashow – Weiberg - Salam GWS
Quan-tum electrodynamics QED
Large Hadron Collider LHC
PMNS
Pontecorvo – Maki – Nakagawa - Sakata
Danh mục bảng biểu
Bảng 1. Sự sắp xếp các hạt lepton và quark…………………………………22
Bảng 2. Hằng số tương tác của boson Z……………………………………..40
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Mô hình chuẩn của vật lý hạt là một mô hình lý thuyết mô tả các hạt
gần 200 hạt dựa trên 31 hạt cơ bản thông qua các tương tác mạnh, yếu,
và điện từ . Được phát triển vào những năm đầu của thập niên 1970, mô hình
chuẩn dựa trên cơ sở của lý thuyết trường chuẩn với cấu trúc nhóm SU(3)C x
SU(2)Lx U(1)Y. Các hệ quả rút ra từ mô hình chuẩn đã được kiểm chứng từ
thực nghiệm. Mô hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson.
Fermion là những hạt có spin bán nguyên và tuân thủ theo nguyên lý loại
trừ của Wolfgang Pauli, nguyên lý cho rằng không có hai fermion nào có
cùng trạng thái lượng tử với nhau. Các hạt boson có spin nguyên và không
tuân theo nguyên lý Pauli. Khái quát hóa, fermion là những hạt vật chất còn
boson chuẩn là những hạt truyền tương tác.
Toàn bộ Mô hình chuẩn cũng dựa vào sự tồn tại của một loại hạt đặc
biệt: hạt Higgs. Hạt này bắt nguồn từ một trường vô hình lấp đầy tất cả không
gian. Ngay cả khi vũ trụ dường như trống không, trường này vẫn tràn ngập ở
đó. Không có nó, chúng ta sẽ không thể tồn tại vì nó "chịu trách nhiệm" cung
cấp khối lượng cho các hạt. Lý thuyết do hai nhà khoa học Englert và Higgs
đã mô tả quá trình này. Hạt boson Higgs có tầm quan trọng đặc biệt trong Mô
hình chuẩn cũng như trong vật lý học nói chung, vật lý hạt nói riêng. Nó là
chìa khoá để giải quyết “bí mật” của trọng lượng. Nửa thế kỷ sau dự đoán ban
đầu của các nhà khoa học, hạt Higgs cuối cùng đã được phát hiện bằng một
chiếc máy gia tốc hạt lớn (LHC) tại trung tâm tổ chức nghiên cứu hạt nhân
châu Âu (CERN) gần Geneva vào tháng 7 năm 2012 và mang đến cho hai nhà
2
khoa học Francois Englert (Bỉ) và Peter Higgs (Anh) giải thưởng Nobel danh
giá.
Trong Mô hình chuẩn, dòng trung hòa tạo bởi phô tôn và boson chuẩn
trung hòa là bảo toàn tuyệt đối tại gần đúng cây. Tuy nhiên, dòng mang điện
gắn liền với các boson chuẩn mang điện sẽ tạo nên sự thay đổi vị tại gần
đúng một vòng thông qua ma trận trộn CKM. Do đó, chúng tạo thành các hiệu
ứng trộn của các hạt meson như K meson, B meson và một số quá trình thay
đổi vị khác. Trong mô hình chuẩn, dòng trung hòa của và Z bảo toàn vị ở
cấp độ cây, trong khi dòng điện tích của thay đổi vị thông qua ma trận CKM (
nơi mà vị của lepton được bảo toàn). Điều này trực tiếp dẫn đến các quá trình
trộn vị của các meson trung hòa như: và sự phân rã
của các meson hiếm khác như: ; ; . Tất
cả các dự đoán mô hình chuẩn như vậy đã được thử nghiệm thực nghiệm cho
đến nay, và chúng tương thích hoàn toàn với các dữ liệu hiện có [8]. Tuy
nhiên, với sai số thực nghiệm đã giảm trừ, cũng như tăng cường tính toán
chính xác QCD và EW, một số đặc tính đã được tìm thấy tại mức độ
tương ứng với các quá trình riêng lẻ [2-6]. Trong đó không loại trừ khả năng
có sự đóng góp của vật lí mới. Hơn nữa mô hình chuẩn không thể giải thích
khối lượng neutrino nhỏ và trộn vị của lepton. Nó cũng thất bại về địa chỉ của
vật chất tối bao phủ 25 % mật độ năng lượng của toàn vũ trụ.
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ tìm hiểu ảnh hưởng của dòng mang
điện vào quá trình trộn của B meson trong lý thyết thống nhất các tương tác.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài:
Mục đích nghiên cứ của đề tài là hiểu rõ hơn về dòng trung hòa thay đổi số vị
thông qua việc nghiên cứu quá trình trộn của .
3
3. Phương pháp nghiên cứu.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài này tôi sẽ sử dụng :
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử.
- Giản đồ Feynman và ứng dụng Mathematica .
4. Ý nghĩa khoa học của đề tài.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn giúp chúng ta nâng cao hiểu biết về
cấu trúc các hạt cơ bản và các lực tương tác giữa chúng , lý thuyết thống nhất
của các tương tác đó. Trên cơ sở đó, chúng tôi khảo sát một quả trình vật lý
cụ thể về quá trình trộn vị của các quarks.
Luận văn có thể tạo ra bước nghiên cứu chuyên sâu về chuyên ngành vật
lý hạt cơ bản và tạo cơ cở cho hướng nghiên cứu chuyên sâu.
5. Bố cục của luận văn:
Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương,
kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục.
4
NỘI DUNG
Chương 1: Tổng quan về lí thuyết trường chuẩn:
I. Các khái niệm cơ bản về nhóm đối xứng chuẩn.
1.Nhóm đối xứng chuẩn và nhóm đối xửng chuẩn định xứ.
2. Nhóm đố xứng chuẩn không giao hoán SU(2).
II. Lí thuyết trường với nhóm đối xứng chuẩn giao hoán.
1. Lí thuyết trường với nhóm U(1).
2. Lí thuyết trường với nhóm đối xứng chuẩn không giao hoán SU(2).
Chương 2: Mô hình chuẩn:
I. Đặc điểm của lí thuyết điện từ, lí thuyết mô tả tương tác yếu trước khi có
mô hình chuẩn.
II. Cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs.
1. Ví dụ về cơ chế Higgs với nhóm Abel.
2. Ví dụ về cơ chế Higgs với nhóm không Abel.
III. Mô hình chuẩn
1. Tại sao chọn nhóm SU( ) U( ) . 2. Nhóm SU(3) mô tả tương tác mầu.
3. Sự sắp xếp các hạt.
4. Sự phá vỡ đối xứng SU( ) SU( ) U( ) .
Chương III: Sự trộn lẫn trong mô hình chuẩn.
I. Cơ chế GIM và ma trận CKM.
1. Cơ chế GIM.
2. Ma trận CKM.
II. Dòng mang điện và dòng trung hòa.
1. Dòng mang điện
2. Dòng trung hòa.
III. Sự trộn lẫn trong mô hình chuẩn.
5
1. Thế nào là trạng thái
2. Trộn khối lượng của hai hạt.
3. Trộn khối lượng trong mô hình mở rộng.
6
Chương 1: Tổng quan về lí thuyết trường chuẩn
I. Các khái niệm cơ bản về nhóm đối xứng chuẩn.
Nhóm đối xứng chuẩn giao hoán là nhóm gồm các phép biến đổi hoàn
toàn có tính chất giao hoán. Tức là đại số của nhóm bao gồm các vi tử và các
vi tử đó thỏa mãn hệ thức giao hoán như . Ví dụ, lí thuyết điện động
lực, mô tả các hạt tương tác với nhau nhờ các photon trung hòa về điện và các
photon không tự tương tác với nhau, hoàn toàn được mô tả bởi nhóm đối
xứng chuẩn giao hóa U(1).
1. Nhóm đối xứng chuẩn và nhóm đối xứng chuẩn định xứ:
a. Nhóm giao hoán U(1): Là một nhóm đối xứng mà mỗi phần tử của
nhóm được biểu diễn dạng:
(1.1) trong đó: g là phần tử của nhóm; q: tích của q1 và α(x) là tham số biến đổi;
U(1) là nhóm vô hạn.
Nhóm giao hoán (1.2)
Nếu thì g1 và g2 là các phần tử của nhóm giao hoán.
b. Nhóm đối xứng chuẩn định xứ: Khi tham số biến đổi αa(x) phụ thuộc vào x được gọi là nhóm đối xứng
định xứ.
c. Nhóm đối xứng chuẩn toàn cục: Khi tham số biến đổi αa(x) không phụ thuộc vào x được gọi là nhóm
đối xứng toàn cục.
2. Nhóm đối xứng chuẩn không giao hoán SU(2):
Nhóm SU(2) có mỗi phần tử của nhóm được viết dưới dạng :
(1.3)
với Ta gọi là vi tử của nhóm thỏa mãn quy luật :
7
(1.4)
Và αa(x) được gọi là tham số biến đổi.
Vì
Do đó : (1.5)
Vậy SU(2) là nhóm đối xứng chuẩn không giao hoán.
II. Lí thuyết trường với nhóm đối xứng chuẩn giao hoán.
1.Lí thuyết trường với nhóm U(1)
a. Xét nhóm đối xứng U(1)- Toàn cục :
Ta xét Lagrangian mô tả điện động lực học vô hướng.
(1.6)
Dưới phép biến đổi U(1)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
ta có:
Mặt khác, dưới phép biến đổi U(1) toàn cục, đạo hàm của trường vô hướng
(1.10)
(1.11)
(1.12)
biến đổi như sau:
Từ các phương trình (2.5); (2.6); (2.7); (2.8) ta nhận thấy Lagrangian
mô tả bởi phương trình (2.2) là bất biến với phép biến đổi U(1) toàn cục. Tuy
nhiên ta không thấy sự xuất hiện của photon, hạt truyền tương tác điện từ.
Hơn nữa, lí thuyết QED mô tả tương tác hạt mang điện với hạt mang điện với
photon. Điều này chứng tỏ QED phải được mô tả bởi U(1) định xứ.
8
b. Xét nhóm đối xứng U(1)- định xứ :
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
Dưới phép biến đổi U(1) thì các trường biến đổi như sau:
khi đó:
(1.18)
không bất biến dưới phép
Như vậy từ chứng minh ở trên cho thấy
biến đổi U(1)- định xứ. Để xây dựng số hạng chứa đạo hàm của các trường vô
, cụ thể:
và đòi hỏi
phải biến đổi như toán tử trường
hướng ta phải thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến
. Tức là
Lagrangian mô tả điện động lực học vô hướng có dạng:
(1.19)
. Tiếp Ta thấy trong phương trình (2.15) xuất hiện tương tác và
. Từ điều kiện
biến đổi như toán tử trường
theo chúng ta sẽ tìm hiểu quy luật biến đổi của trường chuẩn
(1.20)
(1.21)
,ta có:
9
ta tìm quy luật biến
Như vậy từ quy luật biến đổi của
đổi của , cụ thể như sau:
(1.22)
(1.23)
và:
(1.24)
Mặt khác:
Như vậy từ phương trình (2.19) và (2.20) ta thấy trường chuẩn biến đổi
(1.25)
theo quy luật:
Nếu như định nghĩa là ten sơ cường độ trường thì
dưới phép biến đổi chuẩn, ta có quy luật biến đổi của ten sơ cường độ trường
như sau:
(1.26)
, biến đổi như trên do đó ta có:
vì
(1.27)
(Ten sơ cường độ trường bất biến dưới phép biến đổi U(1) định xứ.
Lagrangian bất biến là:
(1.28) Từ điều kiện tái chuẩn hóa , yêu cầu n < 2 và n phải là số nguyên, nên ta chọn
n =1. Khi đó lagrangian mô tả trường chuẩn là: (1.29)
Như vậy với lí thuyết QED của trường vô hướng thì Lagrangian bất
biến là:
(1.30)
.
10
Với là động năng của
2. Lí thuyết trường với nhóm đối xứng chuẩn không giao hoán SU(2):
Xét lưỡng tuyến vô hướng: (1.31)
khi đó Lagrangian bất biến có dạng:
(1.32)
Nếu biến đổi SU(2) không phụ thuộc vào tọa độ thì Lagrangian là bất biến
dưới phép biến đổi toàn cục. Nếu SU(2) là định xứ thì ta thay sao cho
biến đổi giống như .
Với (1.33)
và α=1,2,3. (ta thấy SU(2) khác với U(1) là có 3 vi tử nên nó có 3 trường véc
. Và quy luật biến đổi của
.
tơ là:
Lagrangian bất biến là:
(1.34)
Đối với nhóm không giao hoán thì ten sơ cường độ trường có dạng:
(1.35)
biến đổi như dưới phép biến đổi SU(2) thì ta có:
Dưới đòi hỏi
(1.36)
dẫn đến: (1.37)
Với Lagrangian bất biến của là:
(1.38)
11
Như vậy sự khác biệt giữa lí thuyết bất biến dưới phép biến đổi của
nhóm giao hoán và không giao hoán là số hạng tự tương tác.
Nhóm U(1) : (1.39)
chỉ chứa số hạng là số hạng động năng, không chứa số hạng tương
.
tác
Nhóm SU(2) :
chứa
(1.40)
(tương tác bậc 3);
(tương tác bậc 4).
Từ phân tích ở trên ta có kết luận : Trong các lí thuyết chuẩn không giao
hoán (non-abelian) với hằng số cấu trúc khác không, nên có các số hạng tự
tương tác (self- coupling) bậc 3 và bậc 4 còn trong các lí thuyết như QED
không còn tồn tại các số này. Điểm chung của hai lí thuyết giao hoán và
không giao hoán thì Lagrangian đều không xuất hiện só hạng khối lượng của
trường véc tơ. Trong khi đó tương tác yếu cần hạt truyền tương tác phải có
khối lượng khác không. Như vậy ta có cách xây dựng Lagrangian bất biến
chuẩn bằng cách thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến. Với cách như
vậy sẽ thu được Lagrangian tự do ban đầu và Lagrangian tương tác của
trường vật chất với trường chuẩn . Do các trường chuẩn không khối
lượng nên chưa thể mô tả các tương tác yếu. Để khắc phục nhược điểm này
người ta dùng cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs là cơ chế sinh
khối lượng của trường chuẩn đồng thời với việc hủy các Golstone boson vô
hướng không khối lượng.
12
Chương 2: Mô hình chuẩn
I. Đặc điểm của lí thuyết điện từ, lí thuyết mô tả tương tác yếu trước khi
có mô hình chuẩn.
Pauli- người đầu tiên đưa ra ý tưởng về hạt neutrino vào năm 1930, sau
đó là Fermi giới thiệu sự xuất hiện của hạt neutrino vào năm 1934 trong phân
rã beta để bù vào năng lượng bị thiếu hụt : và khái niệm tương
tác yếu lần đầu tiên ra đời trong cùng năm đó.
(2.1)
Theo đó Fermi cho rằng 4 fermion tương tác với nhau bởi hằng số
Fermi . Lí thuyết Fermi đã giải thích thành công cho
mô hình phân rã phóng xạ cũng như các quá trinh tương tự và
(ở mức cây, thang năng lượng thấp). Sau đó lí thuyết này được
chỉnh sửa và phát triển thêm thành lí thuyết V- A tổng quát, là lí thuyết chỉ sử
dụng chung một Lagrangian hiệu dụng cho mọi tương tác và được phát triển
bởi ba nhóm hoàn toàn độc lập là Feynman- Gell- Mann; Sudarshan-
Marshak; Sakurai. Hamilton cho tương tác yếu có dạng:
là các ma trận kết hợp các thành phần
(2.2)
trong đó GF là hằng số Fecmi,
spinor Dirac: và là các dòng tương tác. Để chỉ ra
sự vi phạm parity trong tương tác yếu, tức là chỉ có các thành phần phân cực
trái tham gia vào quá trình rã. Tuy vậy người ta sớm phát hiện ra lí thuyết
Fermi không tái chuẩn hóa được và vi phạm tính unitary ở mức năng lượng
cao. Việc sử dụng chung một hằng số tương tác GF cho mọi quá trình là
không đúng. Hơn một năm sau, Yukawa (1935) và Schwinger ( 1957) đưa ra
13
ý tưởng về hạt boson trung gian với giả thiết: quá trình rã không có
sự tương tác trực tiếp của các dòng, mà được thực hiện gián tiếp bởi một hạt
này
spin 1 tương tự như photon trong lí thuyết QED, nhưng hạt trung gian
(2.3)
phải có khối lượng và mang điện.
Hệ số tương tác g thu được khi đồng nhất lí thuyết IVB với lí thuyết
Fermi như là lí thuyết hiệu dụng ở năng lượng thấp:
(2.4)
Và do QED là lí thuyết chuẩn, ta có thể lí giải Lagrangian tương tác
này là kết quả từ lí thuyết Yang- Mills nhưng hạt gauge boson phải mang khối
lượng. Số hạng khối lượng của trường chuẩn có thể đưa vào bằng
tay, nhưng số hạng này không bất biến dưới phép biến đổi chuẩn, và hàm
truyền của trường véc tơ có khối lượng thì biến thiên không tốt làm cho lí
thuyết không tái chuẩn hóa.
II. Cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs [7].
Bài toán đặt ra là đưa số hạng khối lượng của gauge boson vào lí thuyết
trên nhưng không được phép làm mất đi tính tái chuẩn hóa. Mặt khác đối
xứng chuẩn không bị phá vỡ thì tương ứng các gauge boson không khối
lượng, nên lí thuyết QED mô tả rất thành công cho tương tác điện từ vì
photon không có khối lượng. Điều này có nghĩa là muốn lí thuyết chuẩn áp
dụng cho tương tác yếu buộc phải bị phá vỡ đối xứng thì các hạt gauge boson
truyền tương tác mới có khối lượng. Và phá vỡ này phải là tự phát, tức là
Lagrangian vẫn bất biến dưới phép biến đổi chuẩn định xứ nhưng trạng thái
chân không ứng với năng lượng thấp nhất thì không bất biến. Một cách thực
hiện phá vỡ đối xứng tự phát đơn giản chính là cơ chế Higgs ( Higgs- Englert-
Brout 1964). Trong đó chỉ ra, lí thuyết chuẩn có bao nhiêu vi tử bị phá vỡ thì
14
có bấy nhiêu hạt Goldstone boson và số hạt Goldstone boson chính bằng số
hạt gauge boson thu được khối lượng. Ngoài ra Peter Higgs còn chỉ ra sự tồn
tại của một số hạt vô hướng trung hòa cung cấp khối lượng cho hầu hết các
hạt vật chất khi chúng tương tác với hạt vô hướng này. Về sau cộng đồng
khoa học trên thế giới gọi tên hạt vô hướng này theo tên ông, hạt Higgs.
1. Ví dụ về cơ chế Higgs với nhóm Abel.
Xét nhóm U(1) với Lagrangian :
(2.5)
ở đây
(2.6) và trường ϕ có khối lượng bằng không. Ta dễ thấy Lagrangian bất biến dưới
phép biến đổi chuẩn địa phương (nhóm U(1)):
(2.8)
(2.7)
- Xét thế :
ta đặt : Khi đó: µ2>0 (2.9) (2.10) (2.11)
Như vậy cực tiểu thế tại hay V(ϕ) đạt cực tiểu tại
(2.12)
(2.13) Do đó toán tử trường ϕ có trung bình chân không là :
Nếu biểu diễn ϕ qua hai trường thực ϕ1 và ϕ2
. Thay (4.13) vào (4.14) ta có :
15
.
Ta có thể chọn (2.15)
đây không phải là trường vật lí.
Ta dịch chuyển toán tử trường :
(2.16) tương ứng với Boson Goldstone không có khối lượng. Thành trong đó
phần đạo hàm trong Lagrangian được mô tả ở dạng:
(2.17)
Thay (4.15) vào (4.17) ta được :
(2.18)
Với , ta có :
(2.19)
hay :
(2.20) Số hạng cuối cùng trong (4.20) minh họa khối lượng đối với trường Aµ.
Boson chuẩn có khối lượng : M = gv. Như vậy ta kết luận : Nếu ta dịch
16
chuyển toán tử trường bằng cách thay , thì Boson chuẩn sẽ có
khối lượng. Tuy nhiên xuất hiện thành phần là thành phần giao
thoa đặc biệt, không có ý nghĩa vật lí rõ ràng.
2. Ví dụ cơ chế Higgs với trường hợp không Abel.
Xét trường hợp lí thuyết chuẩn SU(2) với (2.21)
Khi đó Lagrangian có dạng:
(2.22)
ở đây:
(4.23)
Và thế (2.24)
Ta lấy liên hợp phức của (4.21) và thay vào (4.24):
Từ bất biến chuẩn, ta có :
Và từ điều kiện cực tiểu thế :
(2.25)
Vậy :
và của hạt Z. của hạt W
17
từ (4.21) ta có : (2.26)
Như vậy trước khi phá vỡ có 4 trường thì sau phá vỡ có ba trường „bị
ăn‟ khối lượng là G bị W ăn, trường ảo bị trường thực ăn và chỉ còn lại trường
H (Higgs) và trường này có khối lượng :
(LHC 2012) * Phổ khối lượng của các gauge boson :
Tương tự như trường hợp Albe, ta thấy khi µ2>0, thì thế năng đạt cực tiểu tại
điểm: (2.27)
Trung bình chân không có dạng:
(2.28)
Để có trung bình chân không vật lí (tức là trung bình chân không bằng
không), ta đưa vào trường mới: , thì trung bình chân không
. Số hạng hiệp biến của ϕ‟ sẽ bằng không, vì
sẽ sinh ra khối lượng của môi trường boson véc tơ.
(2.29)
Chúng ta sử dụng tính thực của và tính heritic của ma trận .
Như vậy trong (4.28) chứa số hạng:
18
Sử dụng
Ta được:
(2.30)
Như vậy biểu thức (4.29) chứa số hạng (4.30) tương ứng với khối lượng
. (2.31) trường Aµ là:
Trong miền vô hướng ta có:
Tóm lại:
(2.32)
19
Sau khi biểu diễn chúng ta viết số hạng bậc 2 theo ϕ‟:
(2.33)
Điều này có nghĩa là chỉ tổ hợp có khối lượng ( hạt Higgs vật lí).
Ba trường còn lại là các boson Goldston không hợp thành
mà nó hợp nhất với ba boson chuẩn không khối lượng ban đầu để trở thành ba
gauge boson có khối lượng.
III. Mô hình chuẩn.
1. Tại sao chọn nhóm
Tương tác điện từ được mô tả thông qua tương tác của dòng điện từ và
photon . Với dòng điện từ:
(2.34)
(2.35)
(2.36)
.
Tương tác yếu được mô tả thông qua ba dòng:
Với các hạt gauge boson mang điện và
(2.37)
dòng này cần 2 vi tử,
cần 1 vi tử tương ứng.
Các dòng mang điện tách thành hai phần :
như vậy, ta có bốn dòng độc lập và
Mặt khác : không
tạo thành đại số khép kín với ba dòng còn lại là Nhóm nhỏ nhất
chứa bốn dòng trên là nhóm .
2. Nhóm SU(3) mô tả tương tác mầu.
20
Mẫu quark đơn giản được đề xuất vào những năm 60 của thế kỉ trước
gắn liền với việc tìm ra đối xứng SU(3) của các biểu diễn hadron. Các biểu
diễn hadron được xây dựng từ các biểu diễn quark cơ sở (u, d, s) với spin
(1/2). Các quark có 3 màu ( có 3 trạng thái lượng tử khác nhau), ví dụ: quark
u có 3 trạng thái: u1, u2, u3 hay quark (s) cũng vậy : s1, s2, s3 do vậy nó là biểu
diễn cơ sở của nhóm SU(3)C, Các quark là những tam tuyến của nhóm
chuẩn màu SU(3), r là chỉ số hương (r = (u, d, c, s, t, b)). Mỗi hương quark sẽ
) (red, blue, green)
có 3 màu:
(
Do tương tác mạnh không làm thay đổi hương quark mà chỉ làm thay đổi
màu của chúng nên ta đã thêm chỉ số “c” vào nhóm chuẩn SU(3).
Lực tương tác mạnh giữa các quark mầu phải phụ thuộc mầu, nghĩa là
SU(3)C là nhóm đối xứng chuẩn định xứ. Lí thuyết chuẩn thu được được gọi
là sắc động lực học lượng tử. Khi xác định Lagrangian cho lí thuyết chuẩn
SU(3)C và xác định hằng số tương tác mạnh ở gần đúng một vòng thông qua
phương trình nhóm tái chuẩn hóa thu được đặc tính của tương tác mạnh: Khi
các quark ở gần nhau thì tương tác của chúng trở nên yếu đi. Điều này hoàn
toàn trái ngược với tương tác yếu và tương tác hấp dẫn. Khi các quark ở xa
nhau thì tương tác của chúng trở nên rất mạnh- không thể tách được các quark
ra khỏi túi ( các mầu bị cầm tù- Nguyên lí cầm tù quark- Giải Nobel Vật lí). Nhóm chuẩn SU(3)C có 8 vi tử tương ứng với 8 gluon Gµa với (a=1,2,3,…8)
được biểu diễn dưới dạng ma trận Gell- Mann, và chúng chỉ tác
dụng lên các chỉ số mầu α,β. Đạo hàm hiệp biến biến đổi như sau:
(2. 38)
21
(2.39)
Lagrangian của lí thuyết QCD:
trongđó j là chỉ số vị
(j = 1,2,3), trong Lagrangian ta lấy tổng theo các vị quark. Còn Gµv là
tensor cường độ trường chuẩn cho các trường gluon.
(2.40)
là các ma trận Gell – Mann.
Với fabc là hằng số cấu trúc nhóm (a,b,c =1,….8), được định nghĩa bởi:
với
Lưu ý rằng Gluon được xem như hạt trao đổi mầu giữa các quark, nó có
thể chuyển một quark mầu xanh dương thành quark màu xanh lá và ngược lại.
Gluon giống photon mở chỗ nó cũng không mang khối lượng, tuy nhiên nó
khác biệt với photon ở chỗ photon truyền tương tác điện từ và không mang
điện còn gluon truyền tương tác mầu và lại có mang tích mầu.
uα
uβ ( Gluon trao đổi màu các quark).
3. Sự sắp xếp các hạt.
Vật chất được tạo nên từ các hạt lepton và quark. Các quark và lepton
được chia làm ba thế hệ có cấu trúc giống nhau.
22
Bảng 1. Sự sắp xếp các hạt lepton và quark
Thế hệ lepton Quark
I u, d
II c , s
III t , b
Cả lepton và quark đều có spin bán nguyên nên được gọi chung là fermion và
chúng đều có từng cặp. Các nhà khoa học đã chứng tỏ các quark kết hợp
thành tam tuyến để tạo ra baryon hoặc kết hợp thành các cặp quark- phản
quark để tạo ra meson. Lepton cũng kết hợp với nhau thành từng cặp, các hạt
electron, muon và tauon đều có một neutrino tương ứng không mang điện, có
khối lượng nhỏ. Electron giống như proton và neutron, là một hạt bền và
dường như có mặt trong tất cả các dạng vật chất. Các hạt mouon và tauon
không bền và được tìm thấy trong các quá trình rã.
Để có dòng V-A của tương tác yếu, cách đơn giản nhất là tách các
fermion thành phần phân cực trái và phân cực phải như sau:
(2.41)
Chúng ta đặt các toán tử chiếu: (2.42)
Các toán tử chiếu thỏa mãn:
(2.43)
Như vậy, các thành phần trái phải có thể viết qua các toán tử chiếu như sau:
(2.44)
23
Trong vật lí, ở mỗi thế hệ là chung nên có thể áp dụng cho các thế hệ
còn lại. Vì vậy ta chỉ cần xét một thế hệ.
Để có dòng mang điện lepton V- A, người ta sắp xếp các hạt trái vào
lưỡng tuyến của nhóm SU(2)L còn các hạt phải vào đơn tuyến SU(2)L như
sau:
* Với các lepton : (2.45)
.
trong đó a lần lượt là
* Đối với các quark : (2.46)
(2.47)
(2.48)
thì:
(2.49)
Do đó lí thuyết biến đổi dưới
Lepton phải: Biến đổi như đơn tuyến vì với đơn tuyến T3
không cho đóng góp. Khi đó
(2.50)
Đơn tuyến dưới phép biến đổi thì:
Đối với các quark :
4. Sự phá vỡ đối xứng SU( ) SU( ) U( ) .
24
a. Khối lượng Fermion (Lepton+ quark).
Số hạng khối lượng của fermion có dạng : , khi đó m được gọi là
khối lượng của fermion.
Một fermion bất kì thì hàm sóng được tách thành 2 thành phần :
trong đó :
Do đó số hạng khối lượng tách theo fermion phân cực trái, phải :
(2.51)
Từ sự xắp sếp các hạt trong mô hình chuẩn, ta thấy :
biến đổi như lưỡng tuyến.
biến đổi như đơn tuyến.
Dưới phép biến đổi chuẩn, ta có quy luật biến đổi của các trường như
sau : (2.52)
(2.53)
(2.54)
(2.55) Số hạng khối lượng của lepton và quark là không bất biến dưới phép
biến đổi chuẩn. Do đó, trong Lagrangian sẽ không chứa số hạng khối lượng,
điều này gây mâu thuẫn với thực tế vì lepton và quark có khối lượng khác
không. Chính vì vậy ta phải tìm cách sinh khối lượng cho các hạt mà lí thuyết
vẫn bất biến.
Mặt khác, các hạt gauge boson là không khối lượng, nên ta cần tìm cách sinh
khối lượng thông qua việc đưa vào lưỡng tuyến Higgs.
25
với trị trung bình chân không
(2.56)
Các hạt fermion sẽ có khối lượng thông qua tương tác Yukawa :
Do đó để xác định khối lượng của các lepton ta khai triển tại trung
(2.57)
(2.58)
bình chân không.
Như vậy số hạng khối lượng của các lepton là .
, cách làm tương tự trên ta cũng thu được số hạng khối lượng các
;
;
Để tìm khối lượng các quark ta cũng khai triển tại trung bình chân không.
hoàn toàn có
quark loại d, u , hệ số
thể đo được từ thực nghiệm.
b. Khối lượng Higgs.
Để các hạt có khối lượng cần thiết ta phải phá vỡ đối xứng tự phát
thông qua trường Higgs. Xét sự sinh khối lượng cho các boson chuẩn. Từ
biểu thức Largangian :
26
(2.59)
ta viết lại hạt vô hướng phức trước khi có phá vỡ đối xứng tự phát.
(2.60)
(2.61)
(2.62)
Quy luật biến đổi của :
Ta khai triển trường Higgs xung quanh trạng thái chân không để tìm phổ khối
(2.63)
(2.64)
lượng của hạt Higgs.
(2.65)
Thay (4.61) và (4.62) vào thế năng V(ϕ):
khi đó:
(2.66)
Thay (4.66) vào thế V(ϕ):
(2.67)
27
Để cho Lagrangian không chứa số hạng tuyến tính theo các trường, ta buộc
các số hạng tỉ lệ với toán tử trường phải bằng không. Trong (4.65) thành phần
, do đó
(2.68)
tỉ lệ với :
và
Xét hệ số của các số hạng khối lượng ( các số hạng tỉ lệ với bình phương toán
. Các trường
không có khối lượng nên chúng
tử trường):
1. Tỉ lệ với
được gọi là Goldstone boson.
. Trường không có khối lượng nên được gọi
2. Tỉ lệ với
là Goldstone boson.
. (2.69)
,
3.Với trường :
Như vậy chỉ có một hạt Higgs trung hòa có khối lượng
còn 3 hạt lần lượt bị ăn mất, chúng biến thành các hạt Goldstone
boson không khối lượng.
c. Khối lượng gauge boson.
Trước khi bị phá vỡ đối xứng tự phát, tất cả các hạt gauge boson đều
không có khối lượng. Tuy nhiên sau khi phá vỡ đối xứng tự phát một số hạt
gauge boson có khối lượng, và số hạng khối lượng của các hạt boson chuẩn
xuất hiện trong phần đạo hàm hiệp biến của hạt vô hướng Higgs khi khai triển
tại trị trung bình chân không của lưỡng tuyến Higgs.
(2.70)
28
đối với trường Higgs thì đạo hàm hiệp biến có dạng :
(2.71)
(2.72)
với
(2.73)
Như vậy khối lượng của W boson là:
, nhưng do
Và khối lượng của Z boson là :
chưa trực chuẩn nên chưa phải là trường vật lí, nên ta cần tìm phổ khối lượng
(2.74)
của boson Z thông qua :
Để tìm trạng thái vật lí, ta phải chéo hóa ma trận khối lượng M để tìm trị
riêng.
(2.75)
Ta xét định thức :
Đặt (4.76) là góc Weinberg. Cũng như hằng số tương tác g và
g‟, tham số thực nghiệm đo được sẽ tỉ lệ với bình phương của hằng số tương
29
tác. Đấy chính là và giá trị thực nghiệm của , khi đó
(4.75) có 2 nghiệm : (2.77)
. (2.78)
và
(2.79)
Ma trận chung cơ sở
Như vậy ta đã chéo hóa ma trận khối lượng bằng ma trận trực giao:
(2.80) (2.81)
(2.82)
Vậy
Do đó thu được khối lượng của Z boson :
(2.83)
Từ (4.81) cho thấy trường Aµ vẫn không có khối lượng và đồng nhất với
photon.
Vậy ta kết luận : Sau khi phá vỡ đối xứng tự phát, thành phần sẽ mang
khối lượng cho hai boson tích điện và một boson trung hòa
. Còn photon (Aµ) vẫn không có khối lượng.
30
Chương 3 : Sự trộn lẫn trong mô hình chuẩn.
I. Cơ chế GIM và ma trận CKM.
1. Cơ chế GIM .
Theo tương tác yếu, các quark d của thế hệ thứ nhất có thể trộn với
quark s của thế hệ thứ hai thông qua góc Cabibo :
(3.1)
Nếu tồn tại 3 quark (u, d, s) thì trong mẫu GWS chỉ có thế hệ thứ nhất
được sắp xếp như sau :
(3.2)
Với lưu ý, góc Cabibo phải rất bé để các quá trình có S=0 phải áp đảo
hơn so với quá trình S=1, vì :
(3.3)
Nếu ta chỉ có ba quark, nghĩa là chỉ có thì khi đó dòng trung hòa sẽ có
(3.4)
dạng :
(3.5)
Thay (5.1) vào (5.4) ta có :
31
Các số hạng ở dòng thứ hai và cuối cùng trong (5.1) tương ứng với
dòng trung hòa thay đổi vị khá lớn. Điều này gây mâu thuẫn với thực nghiệm
(từ quá trình rã ( (3.6)
Vì vậy người ta giả thiết rằng cần có thêm một quark nữa gọi là quark
duyên (charm quark). Do đó ta sẽ có lưỡng tuyến thứ hai của quark :
(3.7)
Khi đó dòng trung hòa có dạng [1]:
(3.8)
(3.9)
Trong (5.8) ta thấy dòng trung hòa không còn thay đổi số vị, như vậy dòng
trung hòa muốn thay đổi số vị đòi hỏi phải có thêm quark (c). Quark này được
tìm ra vào năm 1974 và là một thành công rất lớn của lí thuyết.
Tuy nhiên trong mô hình chuẩn chúng ta có ba thế hệ quark, và khi có
thêm thế hệ thứ ba tức là quark t (top) và b( buttun) với Q = - 1/3 ,các quark Q
32
=1/3 trộn lẫn theo ma trận Unita U, khi đó dòng trung hoà thay đổi vị trong
mô hình chuẩn có dạng:
(3.10)
Trong đó ta đã viết tắt d‟= de, …. Tính unita của U đúng cho mọi toán tử Ô,
do vậy:
(3.11)
Mặt khác (3.12)
do vậy:
(3.13)
Tương tự, số hạng không chéo hóa sẽ triệt tiêu:
nếu
Cơ chế GIM được đặt theo tên của ba nhà vật lí tìm ra nó là: Glashow,
Iliopoulos và Maiani.
Như vậy trong mô hình chuẩn, tại gần đúng cây thì không có sự trộn vị.
Sự trộn vị xẩy ra tại gần đúng một vòng dựa trên đóng góp từ dòng mang điện.
2. Ma trận CKM.
Ta có lưỡng tuyến Higgs:
(3.14)
Khi đó tương tác Yukawa của các quark cho 1 thế hệ là:
(3.15)
33
(3.16) Khi xét đầy đủ cả 3 thế hệ quark ta cần đưa vào chỉ số thế hệ i = 1,2,3; khi đó:
(3.17)
Ta có:
(3.18)
Do đó số hạng khối lượng của các quark:
(3.19)
(3.20) với
Nói chung các số hạng khối lượng là không chéo hóa, do vậy ta sẽ chéo hóa
các ma trận khối lượng thông qua các ma trận Unita Vu và Vd.
Đặt:
(3.21) (3.22)
Trong đó được gọi là các trạng thái riêng khối lượng và số
hạng khối lượng trong Lagrangian được viết dưới dạng chéo hóa:
Trên cơ sở các trạng thái riêng khối
lượng, biểu thức Lagrangian chứa đường mang điện sẽ được viết lại như sau:
(3.23)
34
, được gọi là ma trận CKM
(Ma trận lấy theo tên của 3 nhà Vật lí: Cabibbo- Kobayaski- Maskawa)
Từ dạng của dòng mang điện:
(3.24)
Khi đó giản đồ Feymann có dạng:
up down
Như vậy ta có thể viết tổng quát:
(3.25)
Các số liệu thực nghiệm cho thấy
Các quark trộn nhỏ.
Cụ thể là [9,13]
(3.26)
Ma trận CKM cho phép ta xác định cường độ tương tác giữa các quark up-
down ( bảo toàn vị), nếu là cường độ tương tác up- strange ( không bảo toàn số vị). Cái hay của CKM là được đưa vào quá trình trộn của các quark.
Đối với các lepton:
đặt: , do vậy (5.24) trở thành:
(3.27)
35
Trong đó ma trận
(3.28) là ma trận quay quanh hai trục i,j, trong đó : trong đó
(3.29)
Là các góc trộn vị.
và là các pha CP.
Mô hình chuẩn dự đoán với V là bất kì, vì neutrino không khối
lượng, tức là không có sự chuyển vị ( bảo toàn vị lepton) và không có sự dao
động của neutrino. Tuy nhiên thực nghiệm cho thấy gần trộn max
(gần như không trộn- trộn nhỏ) (trộn lớn).
Cái hay của ma trận (PMNS) là xác định cường độ tương tác ( bảo toàn hay vi
phạm số vị ) giữa neutrino và lepton mang điện.
II. Dòng mang điện và dòng trung hòa.
1. Dòng mang điện
Để cho các hạt có khối lượng cần thiết , ta đã tiến hành phá vỡ đối xứng
tự phát thông qua trường Higgs.
(3.30)
36
Trong (4. ) ta đã viết đa tuyến móc đơn có hai số, trong đó số đầu tiên
là số thành phần trong đa tuyến SU(2) còn số thứ hai là siêu tích yếu của các
đa tuyến đó. Từ công thức tính đạo hàm hiệp biến, ta có :
(3.31)
Trong đó ta kí hiệu :
(3.33)
ở đây ta đã thay các kí hiệu :
(3.34)
(6.5)
Trong đó , được định nghĩa : (3.34)
Từ biểu thức Lagrangian của trường Higgs :
(3 .35)
Để tiện cho việc trình bày tiếp theo ta viết lại đạo hàm hiệp biến
(3.36)
37
Số hạng thứ hai trong (4.85) gắn với dòng mang điện, còn số hạng cuối
gắn với dòng trung hòa. Chú ý rằng nên :
(3.37)
vào công thức (6.9) ta có : Ta thay
(3.38)
tương tác điện từ như sau :
Để có tương tác điện từ cho Aµ, trong công thức trên ta đã đồng nhất hằng số (3.39) Công thức (4.86) áp dụng được cho tất cả các đa tuyến. Các dòng mang
điện gắn với phần (3.40)
Như vậy
(3.41)
Trong đó là như nhau cho tất cả các lưỡng tuyến.
Từ (6.3) đến (6.13), ta viết Lagrangian tổng quát với dòng mang điện ở thế hệ
thứ nhất ( tạo bởi quark u và d) là:
Ta kí hiệu : với chú ý
rằng điện tích của fermion trên fu lớn hơn điện tích xủa fermion dưới fd là
một. Ta xét Lagrangian Dirac của các fermion trong một thế hệ :
38
(3.42)
Ở đây ta sử dụng tính chất : điện tích của fermion trái bằng điện tích của
fermion phải. Nếu ta viết nó dưới dạng :
(3.43)
trong đó dòng mang điện được cho bởi :
(3.44)
Trong thế hệ thứ nhất dòng mang điện có dạng :
(3.45)
(3.46)
Thế hệ thứ hai :
(3.47) (3.48)
Thế hệ thứ ba :
39
(3.49) (3.50) Từ (6.21 ; 6.22) ta thấy, dòng mang điện có dạng V-A như trong tương tác
yếu và chỉ có các fermion trái trong lưỡng tuyến tham gia. Ta cũng thấy rằng
tương tác yếu trước đây là giới hạn năng lượng thấp của tương tác các dòng
mang điện. Để thấy rõ điều này ta xét tán xạ . Giản đồ Feynman
tương ứng trong lí thuyết GWS và lí thuyết V-A tương tác yếu:
(a) (b)
Bỏ qua các Spinor Dirac, biên độ giản đồ (a) trong lí thuyết GWS là:
(3.51)
khi thì (3.52)
Như vậy ta đã xây dựng lí thuyết kiểu véc tơ với hạt truyền có khối
lượng. Tại năng lượng thấp nó tương đương với lí thuyết V-A. Lí thuyết này
tái chuẩn hóa được do hạt truyền là trường chuẩn.
2. Dòng trung hòa.
Dòng trung hòa được phát hiện vào năm 1973 tại CERN. Các thí
nghiệm trên máy gia tốc hạt giúp ta đo được khối lượng của hạt trung hòa Z
được tiến hành vào năm 1983. Sự khác nhau giữa khối lượng của các hạt W
và Z do có sự có mặt của hằng số tương tác siêu tích yếu . Nên trong khối
lượng của hạt Z có sự đóng góp của tương tác điện từ.
40
Số hạng thứ ba trong (6.14) là dòng điện từ:
(3.53) tương tác với photon:
Số hạng cuối trong (14) chính là dòng trung hòa tương tác với Z boson.
, trong đó:
Đặt
(3.54) (3.55) Thông thường người ta hay viết dòng trung hòa dưới dạng trái(L) và phải (R).
(3.56)
trong đó
dạng V – A của dòng trung hòa:
với (3.57) (3.58)
So sánh với ( 6.27) ta có các hằng số tương tác của boson Z :
Bảng 2. Hằng số tương tác của boson Z.
41
với chú ý:
1. Các dòng trung hòa và điện từ nối các fermion cùng loại, nghĩa là
cùng ở phía trên hoặc cùng ở phía dưới của lưỡng tuyến. Từ (2.51), ta có các
đỉnh tương tác của hai fermion với một boson chuẩn. Tương tự như dòng
mang điện, dòng trung hòa cũng không có sự pha trộn giữa các hương của
quark và của lepton. Dòng trung hòa gồm hai phần: Phần có dạng V – , có
sự vi phạm chẵn lẻ và phần chứa dòng điện từ, không vi phạm chẵn lẻ.
2. Còn trong trường hợp dòng mang điện W boson nối fermion trên với
fermion dưới.
3. Đối với các lepton ta có :
(3.59)
Từ công thức (2.52) ta thấy hai số hạng đầu là phần động năng của
electron và neutrino, số hạng thứ ba là dòng mang điện còn số hạng cuối cùng
là dòng điện từ và dòng trung hòa.
III. Sự trộn lẫn trong mô hình chuẩn.
1. Thế nào là trạng thái
Trong mô hình chuẩn chúng ta có ba thế hệ quark tương ứng là ba thế
hệ lepton. Quark được chia thành hai loại ứng với điện tích -1/3 và +2/3 điện
tích nguyên tố, lepton cũng vậy là lepton tích điện (-1) và không tích điện.
Nếu chỉ có hai thế hệ quark, các nhà khoa học không phát hiện ra vi phạm đối
xứng CP, do vậy để giải thích vi phạm đối xứng CP các nhà khoa học đã đưa
ra giả thiết về sự tồn tại của thế hệ quark thứ ba. Năm 1977, quark (b) chính
thức được khám phá, chứng minh giả thiết của các nhà khoa học là đúng đắn.
42
Meson là những hạt có cấu tạo đơn giản nhất (gồm một quark và một phản
quark) nên thường được dùng để nghiên cứu. Đặc biệt meson B trung hòa xảy
ra hiện tượng pha trộn vị cho phép chúng ta nghiên cứu vi phạm đối xứng CP.
là tổ hợp của
Có hai loại B- meson là Bd và Bs tương ứng với hai phản hạt của chúng.
là tổ hợp của
và là tổ hợp của
và là tổ hợp của
Về mặt nguyên tắc thì hạt và phản hạt giống nhau về khối lượng, điện
tích bằng nhau và trái dấu. Tuy nhiên từ thực nghiệm đo được thì khối lượng
khác với
của khác với ; khối lượng của . Điều này chứng tỏ giữa
chúng có sự trộn lẫn về khối lượng (trộn vị). Bài toán đặt ra là tìm ra độ chênh
lệch khối lượng giữa chúng.
2. Trộn khối lượng của hai hạt trong Mô hình chuẩn.
Trong hệ cơ sở thì ma trận khối lượng có dạng :
(3.60)
Ta đi tìm trị riêng và véc tơ riêng của ma trận này.
ta có : (3.61)
(3.62)
Giải phương trình (7.3) ta tìm được các giá trị của :
(3.63)
(3.64)
(7.4) tương ứng với véc tơ riêng :
43
(3.65)
Mặt khác, ta có :
Vậy ta có phương trình véc tơ riêng là : (3.66)
Tương tự cách làm như trên với giá trị của cho ta giá trị x, y :
(3.67)
Như vậy trạng thái riêng sẽ ứng với hạt và phản hạt và khối lượng tương ứng
với hạt và phản hạt là: và , do đó sự khác nhau về khối
lượng sẽ là : .
Như vậy luôn có sự trộn lẫn giữa và , giữa và , tức là có sự
chuyển hóa : (3.68)
s có số lượng tử còn có số lượng tử là . Như vậy quá trình
chuyển đổi đã vi phạm số lạ .
Trong mô hình chuẩn không có sự thay đổi vị trong dòng trung hòa ở
gần đúng cây, do :
Không có sự chuyển vị ở gần đúng cây, như vậy quá trình chuyển hóa
chỉ có thể sảy ra ở gần đúng một vòng.
Từ phương trình và tương tác của dòng mang điện:
44
Ta vẽ được giản đồ Feymann cho quá trình chuyển vị như sau:
b t d
d t b
(a)
Áp dụng quy tắc Feymann, ta tính được Lagrangian hiệu dụng:
(3.69)
Trong đó (mi ,mj): khối lượng của các quark ; E(xi,yj) được định
nghĩa như sau:
(3.70)
Trong giới hạn của >>>1 vì: thì E(xi,yj) có giá trị gần đúng là:
(3.71)
Bằng tính toán trên tế tại gần đúng cây ( Inami và Lim, năm 1981) và
những kết quả có thể đại diện có hiệu lực từ giản đồ Fermi, ta có:
(3.72)
45
Với , hệ số chức năng
Đặt . Sự bổ sung tính chính xác biến mất trong tính trực giao của
ma trận CKM . Đây chính là lí do tại sao chỉ có quark c
và t. Khi cả hai quark trung gian trùng với đồ thị hình ( a).
(3.73)
Tương tự như vậy đối với giản đồ (b) ;
Áp dụng quy tắc Feymann, ta tính được Lagrangian hiệu dụng:
(3.74)
b u s
s u b
(b)
Mặc dù kết quả trên có giá trị đối với khối lượng quark trung gian tùy ý,
quark bên ngoài có khối lượng md, ms. Để có được M12 ta cần đánh giá các
thành phần của ma trận và khai thác có hiệu quả giản đồ Fermion đối với các
trạng thái kaon.
Ta có: (3.75)
(3.76)
46
Trong đó fB, mB là hằng số phân rã và khối lượng của B – meson. Khi đó bình
phương khối lượng trộn, ma trận trộn B- meson có dạng :
(3.77)
với
(3.78)
Hamiltonian được định nghĩa là bình phương khối lượng trong giới hạn
, ta có (3.79)
(3.80)
(3.81)
Ta chọn : ; ; ; ;
; ; ;
(3.82) ; ;
Mô hình chuẩn dự đoán :
; (3.84)
Trong khi đó thực nghiệm xác định được :
; (3.85)
Như vậy, sự khác biệt khối lượng được xác định :
(3.86)
47
Sự chênh lệch giữa lí thuyết và thực nghiệm chứng tỏ có sự đóng góp của các
hiệu ứng vật lí mới mà trong mô hình chuẩn chưa có. Để làm rõ hơn về điều
này ta xét trong mô hình mở rộng .
3. Trộn khối lượng trong Mô hình mở rộng :
(3-2-3-1) là sự mở rộng của mô hình đối xứng
trái- phải dựa trên nhóm nghiên cứu SU(2), SU(3) [14,15]. Mô hình này giúp
cải thiện các hạn chế của mô hình đối xứng trái phải. Mở rộng mới này cho
thấy sự trộn vị của các quark tại gần đúng cây [16]. Ngoài ra nó còn có thể
cung cấp khối lượng neutrino quan sát cũng như vật chất tối tự động. Mô hình
có thể kiểm tra sự trộn vị của dòng trung hòa meson mixings :
; .
Như đã đề cập ở trên sự cân xứng của mô hình được xác định bởi
, trong đó yếu tố nhóm đầu tiên là đối xứng
QCD bình thường, trong khi ba là sự mở rộng của đối xứng điện tử.
Trong mô hình các fermion được xác định như sau :
; (3.87)
; (3.88)
; (3.89)
; ; (3.90)
48
Với a = 1, 2, 3 và α = 1,2 là các chỉ số thế hệ.
Trong mô hình trường Higgs được xác định :
(3.91)
(3.92)
(3.93)
Với giá trị trung bình chân không (VEV) :
; ; (3.94)
Giá trị trung bình chân không của ( ) cung cấp khối lượng cho các lepton
mới và các quark mới, trong khi giá trị trung bình chân không của ( ) cung
cấp khối lượng Majorana cho các neutrino phải. Và cả hai VEV đều đưa ra
khối lượng cho những boson mới. Sau bước đầu tiên của sự phá vỡ đối xứng
W- chẵn lẻ được xác định cùng mô hình đối xứng tiêu chuẩn cho VEV ( ).
Như vậy sự khối lượng neutrino quan sát được và sự ổn định của vật chất tối
có liên quan mật thiết đến nhau. Để phù hợp với mô hình chuẩn, ta áp dụng :
(3.95)
Khi đó tổng Lagrangian có dạng :
Trong đó :
49
(3.96)
(3.97)
ở đây “Tr” là toán tử vết và lưu ý rằng: dưới nhóm SU(2)L.
; và dưới phép biến đổi
.
Sau khi phá vỡ đối xứng tự phát, Lagrangian Yukawa tạo ra khối lượng cho
fermion. Vì vậy từ (8.10) ta tính được khối lượng của các quark và các quark
(3.98)
kì lạ nhận được khối lượng ở quy mô ( ) :
với vật lí và tách rời (tức là không kết hợp với các quark bình thường và có
thể tích hợp), trong khi các quark bình thường trộn với khối lượng
(3.99)
Lagrangian:
trong đó:
(3.100)
(3.101)
50
Các ma trận có giá trị phức tạp do tương quan . Khi đó được
chéo hóa như sau:
(3.102)
Trong đó , là các ma trận chéo còn , là các ma trận đơn thuần.
Chúng liên quan đến nhau bởi :
(3.103)
với quark (u): , quark (d): , các trạng thái riêng:
; . Khi đó ma trận CKM được định nghĩa :
. Lưu ý rằng các ma trận khối lượng của quark (u) và quark (d)
khác nhau chỉ một quan hệ và khối lượng của các quark có thể xác định
được bằng cách chọn tham số thích hợp, chúng ta chỉ cần và .
Dòng trung hòa thay đổi vị ở gần đúng cây có thể được sinh ra do:
1. Đóng góp từ các hạt gauge boson mới ( ).
2. Đóng góp từ các hạt Higgs mới.
Từ các điều kiện của tương tác Yukawa tạo khối lượng cho các quark (u) và
(d) :
51
(3.104)
Chúng ta nhận thấy các boson Higgs, H1, kết hợp với các quark, thậm chí cả
các lepton tích điện tương tự như trong Mô hình chuẩn, điều này được xác
định trong mô hình.
Một boson Higgs nặng làm thay đổi vị của quark, được xác định qua các yếu
tố chéo ( không phải bằng không, ( ), từ hai phành phàn cuối của (8.18).
Vì vậy tại giản đồ cây, các quá trình của dòng trung hòa thay đổi vị có thể
xuất hiện do đóng góp của H2.
Như vậy ta có thể viết Lagrangian hiệu dụng cho quá trình trộn vị gây nên bởi
H2 như sau :
(3.105)
trong đó :
(3.106)
Chúng ta xét dòng trung hòa thay đổi vị do fermion tương tác với các gauge
boson. Khi gắn kết dòng trung hòa thay đổi vị liên quan đến đều do thế hệ
thế ba của quark biến đổi với hai thế hệ đầu tiên. Ở đây dòng trung hòa thay
đổi vị sảy ra trong khu vực quark „tay phải‟‟ với các gauge boson, và B,
cặp đôi và X. Kể từ khi : thì nguồn cho dòng trung
hòa thay đổi vị chỉ còn lại là . Thật vậy, khi xem xét Lagrangian tương tác
của gauge boson trung hòa với các fermion và sử dụng biểu hiện của X, dẫn ta
đến sự tương tác thích hợp :
52
(3.107)
Trong đó : bao gồm các giá trị của hương quark (u)
và (d). Tại giản đồ cây dòng trung hòa thay đổi vị thu được :
(3.108)
Với , và biểu hiện như hoặc và được định nghĩa như sau :
(3.109)
Với chú ý rằng, chúng ta có thể tính toán sự đóng góp của trường vật lí mới
vào hệ thống meson mixing qua trung gian vô hướng trung hòa H2 và gauge
trung hòa . Với mixing, Lagrangian hiệu dụng tương ứng sau khi
: tích hợp H2 và
(3.110)
Khi đó, sự sai khác về khối lượng của mixing ( ) được xác định :
(3.111)
Sử dụng các yếu tố ma trận, ta có :
53
(3.112)
Như vậy ta dễ dàng xác định được tham số như sau :
(3.113)
(3.114)
Từ (8.26) và (8.27) cho ta thấy : Sự trộn của Bd và Bs phụ thuộc vào ma trận
trộn CKM của quark phải, mà ma trận này chưa bị cố định bởi thực nghiệm,
do đó ta hoàn toàn có thể chọn các yếu tố ma trận của quark phải và chọn
tham số vật lí mới để cho đóng góp tổng cộng (7.26) cho kết quả phù hợp với
thực nghiệm.
54
Mô hình chuẩn (SM) là mô hình thành công nhất cho sự thống nhất tương tác
KẾT LUẬN
điện từ và tương tác yếu. Trong vòng 40 năm qua nhiều tiên đoán của lí
thuyết đã được thực nghiệm xác nhận với độ chính xác cao, đặc biệt vào
tháng 10 năm 2013 hai nhà Vật lí Francois Englert và Peter Higgs đã chính
thức được giải Nobel về hạt Higgs và cơ chế sinh khối lượng cho các trường
chuẩn, đó là sự tôn vinh và đồng thời là sự khẳng định tính đúng đắn của mô
hình chuẩn. Trong nội dung của luận văn, chúng tôi đã tập trung nghiên cứu
các kiến thức cơ sở liên quan đến việc xây dựng mô hình chuẩn như tìm hiểu
lí thuyết trường đối với đối xứng chuẩn là nhóm giao hoán và không giao
hoán. Dựa trên lí thuyết trường với nhóm đối xứng chuẩn, chúng tôi đã
nghiên cứu mô hình thống nhất tương tác mạnh, yếu, điện từ và tương tác yếu
trên nhóm đối xứng chuẩn . Dựa trên cấu trúc sắp xếp các
hạt trong mô hình chuẩn, chúng tôi nghiên cứu phổ khối lượng của các hạt
trong mô hình, tương tác của các hạt Higgs với các lepton và các quark. Đặc
biệt luận văn cũng đề cập đến vấn đề: sau khi phá vỡ đối xứng tự phát, thành
phần sẽ mang khối lượng cho hai boson tích điện và một boson trung
hòa . Dựa trên tương tác của lepton và các boson chuẩn tạo nên dòng mang
điện và dòng trung hòa. Các dòng trung hòa và điện từ nối các fermion cùng
loại, nghĩa là cùng ở phía trên hoặc cùng ở phía dưới của lưỡng tuyến. Từ
(2.51), ta có các đỉnh tương tác của hai fermion với một boson chuẩn. Tương
tự như dòng mang điện, dòng trung hòa cũng không có sự pha trộn vị ở gần
đúng cây mà sự trộn vị này sảy ra ở gần đúng một vòng. Bằng những lí luận
và dẫn chứng, chúng tôi tìm ra sự sai khác về khối lượng giữa hai trạng thái
giữa lí thuyết tiên đoán trong mô hình chuẩn và thực nghiệm qua đó
thấy được một phần hạn chế của mô hình chuẩn và sự đòi hỏi tìm ra sự đóng
55
góp của các trường vật lí mới thông qua nghiên cứu mô hình chuẩn mở rộng
mà đơn giản nhất là mô hình .
Trong mô hình này, thế hệ thứ ba của quark đã biến đổi khác so với hai thế hệ
đầu, dẫn đến quá trình trộn vị của quark sảy ra tại gần đúng cây. Các boson
trung hòa được hình thành, tương ứng với dòng trung hòa có sự khác so với
; trong mô hình chuẩn. Ma trận trộn CKM cũng biến đổi dạng :
.
Luận văn đã tạo ra bước đầu nghiên cứu chuyên sâu về chuyên ngành
vật lý hạt cơ bản nói chung và khảo sát một quá trình vật lí cụ thể là sự trộn
lẫn , tạo nên sự khác biệt giữa khối lượng điều này giải thích tại
sao trong vũ trụ lại có sự bất đối xứng giữa hạt và phản hạt. Trong mô hình
chuẩn các quark trộn lẫn với nhau tạo nên dòng trung hòa thay đổi vị ở gần
đúng một vòng, căn cứ vào các giá trị tính toán, ta ước lượng được vi phạm
đối xứng CP từ ma trận trộn CKM và kết quả này đã được kiểm chứng từ thực
nghiệm tại máy gia tốc KEK tại Nhật Bản. Kết quả thực nghiệm đó là một
trong các bằng chứng chứng tỏ ma trận CKM là chính xác và hai nhà khoa
học Kobayasi và Maskaxoa đã được giải Nobel năm 2017 về lĩnh vực này
năm 2007.
56
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
[1] H . N. Long (2006), Cơ sở vật lí hạt cơ bản, nhà xuất bản thống kê.
TIẾNG ANH
[2] V. Khachatryan (2015), CMS and LHCb Collaborations, Nature 522, 68
[3] R. Aaij et al (2016), LHCb Collaborations, JHEP 02, 104.
[4] R. Aaij et al (2015), LHCb Collaborations, JHEP 09, 179.
[5] R. Aaij et al (2014), LHCb Collaborations, Phys. Rev. Lett. 113.
[6] S. Descotes- Genon et al (2016), JHEP 06.
[7] W. Grener Renhardt, Field Quantization, Spinger.
[8] K. A Olive (2014), Particle Data Group, partial updates at
http://pdg.lbl.gov.
[9] Ho Kim Quang and X. Y. pham (1998), Fundamental partical and their
interactions, concepts and phenomena, springer- verlag. [10] G. t‟Hooft and M. Veltman, Nucl. Phys. B 44 (1972), 189, B 153 (1979)
365.
[11] S. Weinberg (1999), The quanntum theory of fields, Vol. 1, Cambridge
University Press.
[12] F. Pisano and V. Pleitez (1992), D 46, 410, phys. Rev.
[13] M. Kobayashi and M Maskawa (1973), 49, 625, 69, (1992), Prog
Theory Phys.
[14] J. C. Pati and A. Salam (1974) ; R. N. Mohapatra and J. C. Pati,
(1975); R. N. Mohapatra and J. C. Pati (1975), D 11, 2558; G. Senjanovic and
R. N. Mohapatra and J. C. Pati (1975) D 12, 1502 , G. Senjanovic (1979),
Nucl. Phys.
57
[15] P. Minkowski, Phys (1977), Lett. B 67, 421; R. N. Mohapatra and G.
Senjanovic (1980) 44, 912, R. N Mohapatra and G. Senjanovic, (1981), D 23,
165 , Phys Rev Lett.
[16] P. V. Dong and D. T. Huong (2013) Phenomenology of the
gauge model.
58
PHỤ LỤC
PHỤ LỤC A.
Nhóm SU(2), SU(3), U(1)
1. Nhóm SU(2):
Vào năm 1931 Heisenberg cho rằng proton p và neutron n là hai trạng
thái khác nhau của một lưỡng tuyến N của nhóm SU(2) có siêu tích Y=1 (có
thể thay siêu tích Y bằng 2Y, 3Y...).
) (A.1)
N = (
Toán tử điện tích được định nghĩa như sau
(A.2) Q =
đối với n
đối với p Với irospin
Nhóm SU(2) là tổ hợp các ma trận 2 2, unita có định thức bằng 1
g , det g = 1 (A.3)
Bất kỳ một phần tử nào của nhóm SU(2) đều có thể viết dưới dạng
, = 1, 2, 3 (A.4) g( ) ∑
Trong đó là ma trận Pauli 2 thỏa mãn hệ thức giao hoán
* + , với = 1
Dạng tường minh của ma trận Pauli như sau
) (A.5) ( ), ( ) , (
2. Nhóm SU(3):
Nhóm SU(3) là tổ hợp các ma trận 3 3 unita có định thức bằng 1
g , det g = 1.
Bất kỳ một phần tử nào của nhóm SU(3) cũng được biểu diễn dưới dạng
59
, = 1, 2, 3, ...8 (A.6) g( ) ∑
(hermitic) và các ma trận không vết: tr . Các ma trận gọi là ma trận Gell – Mann thỏa mãn các hệ
Từ điều kiện (A.3) ta có
thức giao hoán sau
]
{ } [
( )
là hằng số cấu trúc nhóm SU(3)
là các hệ số được xác định
[ ( ) ( )]
3. Nhóm U(1):
NhómU(1) là nhóm unita thỏa mãn điều kiện:
g. = 1
NhómU(1) có thể biểu diễn dưới dạng với là tham số thực. Đây là
nhóm unita có tính chất giao hoán nên gọi là nhóm Abelian.
(A.8)
Ví dụ: Trong cơ lượng tử của phép biến đổi pha với là pha của hàm
sóng.
60
PHỤ LỤC B.
Quy tắc Feynman cho QED
( )
̅( ̂ ) ̅ (B.1)
p
Electron đi vào:
= ( ) (B.2)
p
Electron đi ra:
= ̅ ( ) (B.3)
p
Positron đi vào:
= ( ) (B.4)
p Positron đi ra : = ( ) (B.5)
𝜇
p Photon đi vào : = ( ) (B.6)
p
𝜇
( ) (B.7)
Photon đi ra: =
p
B.8)
Hàm truyền electron:
( ̂ )
p
𝜇
𝛎
(B.9)
Hàm truyền photon:
Đỉnh tương tác electron– photon: (B.10)
