1
CÔNG TRÌNH ĐƢỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ TP. HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TSKH. HỒ ĐẮC LỘC TS. NGUYỄN THANH PHƢƠNG
Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Kỹ thuật Công nghệ TP. HCM ngày 02 tháng 02 năm 2013 Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn Thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ Luận văn Thạc sĩ)
1. PGS.TS. BÙI XUÂN LÂM Chủ tịch hội đồng.
2. TS. ĐỒNG VĂN HƢỚNG CB Phản biện 1. 3. TS. NGUYỄN HÙNG CB Phản biện 2. 4. PGS.TS. NGÔ VĂN DƢỠNG Ủy viên. 5. TS. TRƢƠNG VIỆT ANH Ủy viên, thƣ ký.
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá Luận sau khi Luận văn đã được sửa chữa
(nếu có).
Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV
2
TRƢỜNG ĐH KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ TP. HCM PHÒNG QLKH - ĐTSĐH
CỘNG HÕA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
TP. HCM, ngày 21 tháng 6 năm 2012
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: TRẦN THỊ THANH LỄ Giới tính: NỮ
Ngày, tháng, năm sinh: 10.08.1968 Nơi sinh: SÀI GÒN
Chuyên ngành: KỸ THUẬT ĐIỆN MSHV: 1181031029
I- TÊN ĐỀ TÀI:
ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA
II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
II.1. NHIỆM VỤ CỦA LUẬN VĂN.
Xây dựng mô hình toán cho hệ thống bóng - đĩa.
Xây dựng luật điều khiển giúp hệ thống ổn định tại điểm cân bằng và
chuyển động theo quỹ đạo xác định trước.
Đánh giá kết quả mô phỏng, từ đó rút ra nhận xét về thuật toán và xác định
thuật toán tối ưu cho mô hình.
II.2 NỘI DUNG LUẬN VĂN.
- Chƣơng 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
Chương này nhằm giới thiệu về mục tiêu nghiên cứu đề tài, xác định giải thuật
điều khiển, xác định bộ điều khiển và xây dựng mô hình thực.
- Chƣơng 2: XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CHO HỆ THỐNG
BÓNG TRÊN ĐĨA
Chương này nhằm xây dựng phương trình trạng thái cho hệ thống trên cơ sở động
lực học và phương trình Euler_Lagrange.
3
- Chƣơng 3: THIẾT KẾ VÀ XÂY DỰNG THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN CHO
HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA
Chương này giới thiệu cơ sơ lý thuyết và các bước xây dựng giải thuật điều
khiển LQR, Backstepping cho hệ thống bóng trên đĩa. Từ thông số của mô hình thành
lập phương trình điều khiển cho hệ thống.
- Chƣơng 4: KẾT QUẢ MÔ PHỎNG HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA
Chương này giúp học viên xây dựng được sơ đồ mô phỏng cho hệ thống, trình
bày kết quả mô phỏng của hệ thống với bộ điều khiển LQR và Backstepping từ đó so
sánh kết quả và chọn bộ điều khiển tối ưu cho hệ thống.
- Chƣơng 5: KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI
Phân tích, đánh giá các kết quả đã thực hiện, khẳng định tính ưu việt của
phương pháp được lựa chọn cho mô hình này. Rút ra những vấn đề chưa thực hiện
được trong luận văn và đề xuất hướng phát triển của đề tài
III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 21/06/2012
IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 29/12/2012
V- CÁN BỘ HƢỚNG DẪN:
1. PGS.TSKH HỒ ĐẮC LỘC
2. TS. NGUYỄN THANH PHƢƠNG
CÁN BỘ HƢỚNG DẪN KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
(Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)
4
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ
công trình nào khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã
được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Học viên thực hiện luận văn
Trần Thị Thanh Lễ
5
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành quyển luận văn này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất đối PGS.TS. Hồ Đắc Lộc, TS. Nguyễn Thanh Phương đã hết lòng, tận tâm
hướng dẫn và cung cấp cho tôi những tài liệu vô cùng quý giá trong quá trình thực
hiện luận văn.
Xin chân thành cảm ơn tập thể các Thầy, Cô giáo đã giảng dạy, truyền đạt tri
thức giúp tôi học tập và nghiên cứu trong quá trình học cao học tại trường Đại Học
Kỹ Thuật Công Nghệ TP.HCM.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng quản lý khoa học - Đào tạo
sau đại học và khoa Cơ – Điện – Điện tử Trường Đại Học Kỹ Thuật Công Nghệ
TP.HCM đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và làm
luận văn cao học tại trường.
Xin chân thành cảm ơn các anh, chị, em đồng nghiệp; các anh, chị học viên
cao học ngành “ Kỹ Thuật Điện” khóa 11 đã đóng góp ý kiến cho tôi trong quá trình
thực hiện luận văn này.
Sau cùng tôi xin dành lời biết ơn sâu sắc cho gia đình mình, đã hết lòng ủng hộ
về vật chất lẫn tinh thần trong suốt thời gian học cũng như khi thực hiện luận văn
này.
Tp.Hồ Chí Minh, tháng 02.2013
Người thực hiện
Trần Thị Thanh Lễ
6
TÓM TẮT
Ngày nay việc điều khiển một đối tượng phi tuyến trong lĩnh vực điều khiển tự
động sẽ được giải quyết dễ dàng hơn nhiều nhờ các thuật toán điều khiển như điều
khiển PID, điều khiển mờ, điều khiển trượt, điều khiển Backstepping…
Đề tài “ điều khiển hệ thống bóng trên đĩa” mà học viên thực hiện ở luận văn này là
thiết kế bộ điều khiển LQR (Linear Quadratic Regulator) & bộ điều khiển
backstepping (Backstepping Control) cho hệ thống dựa theo tiêu chuẩn ổn định
Lyapunov và mô phỏng trên simulink để kiểm tra kết quả. Với ý tưởng như vậy học
viên đã làm được những việc sau đây:
Xây dựng mô hình toán của hệ thống bóng trên đĩa.
Xây dựng luật điều khiển LQR, Backstepping ứng dụng vào mô hình giúp
hệ thống ổn định tại điểm cân bằng và chuyển động theo quỹ đạo xác định
trước.
Đánh giá kết quả thông qua mô phỏng, từ đó rút ra nhận xét về thuật toán
và xác định thuật toán tối ưu cho mô hình.
Kết quả mô phỏng cho hệ thống bóng trên đĩa sử dụng bộ điều khiển
Backstepping cho thấy hệ thống ổn định tại tín hiệu đặt và tín hiệu ra bám sát tín hiệu
đặt. Như vậy bộ điều khiển Backtepping đáp ứng rất tốt đối với hệ thống phi tuyến
này. Bộ điều khiển Backtepping này cho thấy tối ưu hơn bộ điều khiển tuyến tính hóa
LQR.
7
ABSTRACT
Nowadays, an nonlinear object control in the automatic control field will be
solved easier because it uses simple control algorithms such as PID, fuzzy, sliding,
Backstepping.
In this thesis “the ball on disk control system” is present. The Linear Quadratic
control and Backstepping control are used to control the system. The stability of the
system is guarauled by the Lyapunov.The effectiveness of the system is shown by the
simulation. With that ideas, the author made contents follow:
To build mathematical model of ball on dish system.
To build laws LQR control and backstepping control. After that, it will be
applied on the model to system stabilize at balance point and move in a
predetermined trajectory.
To evaluate results by simulating. from that, to comment on the algorithms
and to determine optimal algorithms for the model.
The results simulation of Controlling ball on dish system by Backstepping
controller shows that: this system is stable at predetermined signal and out signal
follows closely that predetermined signal. So the Backtepping Controller is very
stable for this nonlinear system. This Backtepping Controller is more optimal than
LQR linear controller.
8
MỤC LỤC
trang
Lời cam đoan………………………………………………………………..........i
Lời cảm ơn……………………………………………………………….............ii
Tóm tắt luận văn…………………………………………………………….........iii
Abstract…………………………………………………………………..............vi
trang
CHƢƠNG 1 : GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1.1. Giới thiệu đề tài………………………………………………………………1
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………1
1.3. Tổng quan giải thuật………………………………………………………….2
1.4. Xác định mục tiêu…………………………………………………………....2
1.5. Quy hoạch quỹ đạo…………………………………………………………...2
1.6. Các vấn đề liên quan đến đề tài…………………………………………….....3
1.7. Các bài báo liên quan đến đề tài……………………………………………....3
1.8. Nhiệm vụ của luận văn…………………………………………………….….4
1.9. Nội dung luận văn………………………………………………………….....4
CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CHO HỆ
THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA.
2.1. Giới thiệu…………………………………………………………………..…..6
2.2. Mô hình toán học cho hệ thống bóng trên đĩa…………………………….....6
9
CHƢƠNG 3: THIẾT KẾ VÀ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN ĐIỀU KHIỂN
BÓNG TRÊN ĐĨA.
3.1 Giới thiệu……………………………………………………………………..20
3.2 Thiết kế bộ điều khiển LQR cho hệ thống bóng trên đĩa…………………...20
3.2.1. Cơ sở lý thuyết……………………………………………………….. 20
3.2.2. Thiết kế bộ điều khiển LQR cho hệ thống bóng trên đĩa………….....22
3.3 Thiết kế bộ điều khiển BACKSTEPPING cho hệ thống bóng trên đĩa…….26
3.3.1. Cơ sở lý thuyết………………………………………………………..26
3.3.2. Thiết kế bộ điều khiển BACKSEPPING cho hệ thống bóng trên đĩa.35
CHƢƠNG 4: KẾT QUẢ MÔ PHỎNG HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA.
4.1. Giới thiệu……………………………………………………………………...45
4.2. Kết quả mô phỏng LQR cho hệ thống bóng trên đĩa………………………..45
4.3. Kết quả mô phỏng BACKSTEPPING cho hệ thống bóng trên đĩa………...69
CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TIỂN ĐỀ TÀI.
5.1 Kết quả đạt được……………………………………………………………...90
5.2 Những hạn chế………………………………………………………………..90
5.3 Hướng phát triển…………………………………………………………......90
10
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
trang
Bảng 2-1: Các ký tự trong phương trình trạng thái của hệ thống bóng trên đĩa…..8
Bảng 3-1: Tham số LQR của hệ thống bóng trên đĩa………………………….....24
Bảng 3-2: Tham số Backstepping của hệ thống bóng trên đĩa…………………...43
11
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1-1: Tổng quan về giải thuật của hệ thống bóng trên đĩa……………….........2
Hình 2-1: Sơ đồ động học của hệ thống bóng trên đĩa ……………………….........8
Hình 2-2: Quay hệ thống bóng trên đĩa theo trục ………………………………..9
Hình 2-3: Quay hệ thống bóng trên đĩa theo trục ………………………….........10
Hình 2-4: Hệ thống bóng và thanh…………………………………………………15
Hình 2-5: Sơ đồ hợp giảm tốc động cơ……………………………………………..16
Hình 3-1: Sơ đồ tối ưu hóa hệ thống điều khiển………………………………........21
Hình 4-1: Sơ đồ khối mô phỏng tuyến tính hóa dùng bộ điều khiển LQR………………..47
Hình 3-2: Sơ đồ thuật toán điều khiển Backstepping………………………………28
Hình 4-2: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với
của phương trình tuyến tính hóa…………………...48
Hình 4-3: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR…………….........49
Hình 4-4: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng LQR……………..50
Hình 4-5: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y dùng LQR……………..51
Hình 4-6: Đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ trên trục Y dùng LQR……………..52
Hình 4-7: Sơ đồ khối mô phỏng phương trình trạng thái dùng bộ điều khiển LQR .53
Hình 4-8: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR……………..........54
Hình 4-9: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR…………………..55
Hình 4-10: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng LQR……………56
Hình 4-11: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y dùng LQR…………....57
Hình 4-12: Đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ dùng LQR………………………...58
12
Hình 4-15: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng LQR……………61
Hình 4-16: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR…………………62
Hình 4-17: Đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ dùng LQR………………..……….63
Hình 4-18: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với
của phương trình trạng thái……………........64
Hình 4-19: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR…………………65
Hình 4-20: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng LQR……….......66
Hình 4-21: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y dùng LQR……….......67
Hình 4-22: Đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ dùng LQR………………………..68
Hình 4-23: Sơ đồ khối mô phỏng hệ thống bóng trên đĩa dùng bộ điều khiển
Backstepping……………………………………………………………………….70
Hình 4-24: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng Backstepping với
của phương trình trạng thái……………………......71
Hình 4-25: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng Backstepping ………72
Hình 4-26: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng Backstepping....73
Hình 4-27: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y dùng Backstepping ...74
Hình 4-28: Đáp ứng đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ dùng Backstepping….....75
Hình 4-29: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng Backstepping với
của phương trình trạng thái………………..76
Hình 4-30: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng Backstepping ……...77
Hình 4-31: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng Backstepping...78
Hình 4-32: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y dùng Backstepping.. 79
Hình 4-33: Đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ dùng Backstepping…………..... 80
13
CHƢƠNG 1 :
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1.5. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI:
Ngày nay, do công nghệ tiên tiến và các ngành công nghiệp rất phát triển trên thế
giới nên các thiết bị cơ khí hiện diện tương đối trong các ngành công nghiệp và yêu
cầu độ chính xác cao hơn, hoạt động tốt hơn, bền hơn. Các máy có độ chính xác cao
truyền thống thì được kết hợp với các thành phần cơ khí để đạt được chất lượng hoạt
động tương đối chính xác. Tuy nhiên, độ chính xác không thể được cải thiện chỉ bằng
sự kết hợp giữa các thiết bị cơ khí và máy móc bởi vì kích thước cơ khí thì được giới
hạn và không thể đạt được trên thực tế. Vì lý do này, nhiều vấn đề thực tế phải đối
mặt trong máy móc như ma sát, độ rung, tiếng ồn, nhiệt độ,... Để khắc phục những
vấn đề được đề cập ở trên, hệ thống có thể cải thiện bằng cách tăng độ chính xác cơ
khí, thêm chất bôi trơn để giảm ma sát và đưa vào lực điều khiển phù hợp để giảm độ
rung. Nhưng làm thế nào để giải quyết hoàn toàn là quan trọng nhất hơn chỉ để cải
thiện nó, mặc dù hệ thống đang hoạt động tiếp xúc trực tiếp với các thành phần cơ
khí. Vì vậy cách hiệu quả nhất để cải thiện vấn đề hệ thống cơ khí này có thể áp dụng
bộ điều khiển số với các thuật toán tối ưu. Các thuật toán này có thể là PID, LQR,
Backstepping, Sliding Mode,…
Để kiểm tra những thuật toán này ta có thể xây dựng mô hình để mô phỏng và
kiểm tra thực tế trên mô hình thực. Xuất phát từ ý tưởng hệ thống cân bằng bóng trên
thanh (cân bằng bóng trên 1 trục ngang), hệ thống cân bằng bóng trên đĩa được phát
triển nhằm cân bằng bóng trên một mặt phẳng cố định. Hệ cân bằng bóng trên đĩa
được xem như một công cụ nghiên cứu trong các ứng dụng khoa học và trong học tập.
Vì vậy mô hình cần phải được hình thành và từ đó nghiên cứu ứng dụng luật điều
khiển cho phù hợp mô hình.
1.6. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
14
Hệ thống cân bằng bóng trên đĩa có khả năng điều khiển vị trí của bóng trên đĩa
cho cả vị trí cố định và những đường thẳng khép kín được xác định trên đĩa (chẳng
hạn quỹ đạo như một vòng tròn hoặc một hình con số tám sẽ là quỹ đạo chuyển động
của bóng trên đĩa).
Dự kiến vị trí ban đầu của đĩa là nằm ngang được gắn cố định với 2 trục để điều
khiển vị trí của quả bóng. Mỗi trục cố định hoạt động thông qua motor điện. Mỗi
motor được điều khiển bởi bộ điều khiển thông qua Driver DC, với phản hồi vị trí của
động cơ thông qua bộ mã hóa Encoder. Cuối cùng vị trí của bóng trên đĩa được nhận
biết thông qua màn hình cảm ứng điện trở.
Đây là hệ thống phi tuyến, mô hình điều khiển có sai số, ma sát và nhiễu từ bên
ngoài tác động vào, đồng thời có nhiễu từ cảm biến nên cần phải có luật điều khiển
phù hợp và từ đó chất lượng điều khiển của hệ thống chấp nhận được.
1.7. TỔNG QUAN GIẢI THUẬT:
Đề tài hệ thống cân bằng bóng trên đĩa với tác động từ bên ngoài và độ chính xác
cơ khí thì sai số của mô hình vẫn có thể chấp nhận được.
Touchsreen
Động cơ DC
Encoder
servo
Bộ xử lý số Nhúng giải thuật điều khiển thông minh
Hình 1-1: Tổng quan về giải thuật của hệ thống bóng trên đĩa.
1.8. XÁC ĐỊNH MỤC TIÊU:
Mục tiêu của đề tài là thiết kế hệ thống cân bằng bóng trên đĩa, để làm được điều
này cần phải giải quyết các vấn đề sau :
Mô hình hóa được hệ thống với sai số càng nhỏ.
Chọn luật điều khiển phù hợp với mô hình để có kết quả tốt nhất.
Đưa các luật điều khiển vào mô hình mô phỏng trước khi ứng dụng vào mô
hình thực.
15
1.5. QUY HOẠCH QUỸ ĐẠO :
Trên cơ sở xác định mục tiêu, học viên thiết kế mô hình áp dụng luật điều khiển giúp
hệ thống bóng trên đĩa ổn định tại điểm cân bằng. Khi hệ thống đã ổn định tốt,
hệ thống sẽ được phát triển ổn định theo quỹ đạo được xác định trước.
1.6. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI:
- Cảm biến nhận biết vị trí bóng ví dụ: touchsreen, webcam, camera tốc độ cao.
- Cấu trúc mô hình với hai góc Pan và Tilt.
- Nghiên cứu các luật điều khiển : LQG, Backstepping, điều khiển trượt, điều khiển
mờ,…
1.7. CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI:
- Mechatronic Design Of A Ball On Plate Balancing System của tác giả Shorya
Awtar, Kevin C. Craig [6]: Bài viết đã trình bày khái niệm về hệ thống cân bằng
bóng trên đĩa, thiết kế phần cứng, bộ cảm biến và lựa chọn thiết bị truyền động, hệ
thống mô hình hóa, xác định tham số, thiết kế điều khiển và kiểm tra thực nghiệm.
- Trajectory planning and tracking of ball and plate system using hierarchical
fuzzy control scheme của tác giả Xingzhe Fan, Naiyao Zhang, Shujie Teng [7]: Bài
viết đã trình bày phương trình trạng thái của hệ thống, phương pháp điều khiển Fuzzy
qua 3 cấp độ khác nhau.
- Modelling And Pid Control Design Of Nonlinear Educational Model Ball &
Plate của tác giả A. Jadlovská, Š. Jajčišin, R. Lonščák [8]: Bài viết này tập trung
vào mô hình hóa và điều khiển của hệ thống động lực phi tuyến bóng và đĩa bằng
ngôn ngữ Matlab. Bộ điều khiển PID/PSD được sử dụng trong bộ điều khiển vòng kín
này.
- Tracking And Balance Control Of Ball And Plate System của tác giả Cheng
Chang Ker*, Chin E. Lin, and Rong Tyai Wang [9]:bài viết này trình bày hệ thống
16
cân bằng bóng trên đĩa sử dụng xylanh truyền động cho 2 bậc tự do của motor điều
khiển. Tác giả đã sử dụng phương pháp BackStepping cho bộ điều khiển.
- Mechatronic Design And Position Control Of A Novel Ball And Plate System của
tác giả Miad Moarref, Mohsen Saadat, and Gholamreza Vossoughi [10]: Bài viết
này giới thiệu hệ thống cân bằng bóng trên đĩa sử dụng webcam để biết vị trí của
bóng, mô tả động lực học, bộ điều khiển mờ và điều khiển trượt được sử dụng trong
mô hình.
- Ball on Plate Balancing System của tác giả Greg Andrews, Chris Colasuonno
and Aaron Herrmann [11]: Bài viết đã trình bày mô hình hóa động lực học, phương
trình trạng thái, mô hình hóa, mô phỏng hệ thống cân bằng bóng trên đĩa. Tác giả đã
mô phỏng hệ thống với bộ điều khiển LQG.
- Tracking and Balance Control of Ball and Plate Systems via Backstepping
Design của tác giả Liao Xianqing [12]: Bài viết đã trình bày mô hình hóa động lực
học của hệ thống bóng trên đĩa và phương pháp điều khiển BackStepping cho hệ
thống.
1.8. NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:
- Xây dựng mô hình toán của hệ thống bóng trên đĩa.
- Xây dựng luật điều khiển LQR, Backstepping ứng dụng vào mô hình giúp hệ thống
ổn định tại điểm cân bằng và chuyển động theo quỹ đạo xác định trước.
- Đánh giá kết quả thông qua mô phỏng, từ đó rút ra nhận xét về thuật toán và xác
định thuật toán tối ưu cho mô hình.
1.9. NỘI DUNG LUẬN VĂN:
với nhiệm vụ luận văn ở trên, bố cục của luận văn gồm 5 chương.
Chƣơng 1: Giới thiệu tổng quan
Chương này nhằm giới thiệu về mục tiêu nghiên cứu đề tài, xác định giải thuật
điều khiển, xác định bộ điều khiển và xây dựng mô hình thực.
17
Chƣơng 2: Xây dựng phương trình trạng thái cho hệ thống bóng trên đĩa.
Chương này nhằm xây dựng phương trình trạng thái cho hệ thống trên cơ sở động
lực học và phương trình Euler_Lagrange.
Chƣơng 3: Thiết kế và xây dựng thuật toán điều khiển cho hệ thống bóng trên
đĩa.
Chương này giới thiệu cơ sơ lý thuyết và các bước xây dựng giải thuật điều khiển
LQR, Backstepping cho hệ thống bóng trên đĩa. Từ thông số của mô hình thành lập
phương trình điều khiển cho hệ thống.
Chƣơng 4: Kết quả mô phỏng hệ thống bóng trên đĩa.
Chương này giúp học viên xây dựng được sơ đồ mô phỏng cho hệ thống, trình bày
kết quả mô phỏng của hệ thống với bộ điều khiển LQR và Backstepping từ đó so sánh
kết quả và chọn bộ điều khiển tối ưu cho hệ thống.
Chƣơng 5: Kết luận và hướng phát triển đề tài.
Phân tích, đánh giá các kết quả đã thực hiện, khẳng định tính ưu việt của phương
pháp được lựa chọn cho mô hình này. Rút ra những vấn đề chưa thực hiện được trong
luận văn và đề xuất hướng phát triển của đề tài.
18
CHƢƠNG 2:
XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
CHO HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA.
2.3.
GIỚI THIỆU:
Giải thuật điều khiển cho hệ thống đòi hỏi học viên phải xây dựng phương trình
trạng thái cho hệ thống. Xuất phát từ yêu cầu đó và trên ý tưởng xây dựng phương
trình trạng thái cho hệ thống Ball and Beam, học viên xây dựng phương trình động
lực học cho hệ thống bóng trên đĩa dựa trên phương pháp động lực học và phương
trình Euler_Lagrange.
2.4. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CHO HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA:
Bảng 2-1: Các ký tự trong phương trình trạng thái của hệ thống bóng trên đĩa.
Ký tự Đơn vị Mô tả
g Gia tốc trọng trường
Bán kính của bóng R m
Khoảng cách tương đối của bóng đến gốc tọa độ a r m
x m Tọa độ của bóng trên trục X
y m Tọa độ của bóng trên trục Y
rad Góc nghiêng của đĩa theo trục X
rad Góc nghiêng của đĩa theo trục Y
kg m Khối lượng của bóng
kg Khối lượng của đĩa
Moment quán tính của bóng
19
Moment quán tính của đĩa theo trục X
Moment quán tính của đĩa theo trục Y
N.m Moment xoắn của đĩa theo trục X
N.m Moment xoắn của đĩa theo trục Y
N.m Moment xoắn của động cơ theo trục X
N.m Moment xoắn của động cơ theo trục Y
Chiều dài của tấm cảm ứng theo trục X m
Chiều dài của tấm cảm ứng theo trục Y m
rad Góc nghiêng của đĩa
Tỷ số truyền của động cơ Kg
V Điện áp đầu vào cấp cho động cơ trên trục X Vx
V Điện áp đầu vào cấp cho động cơ trên trục Y Vy
V/(rad/sec) Hằng số sức điện động trên trục X
V/(rad/sec) Hằng số sức điện động trên trục Y
Điện trở động cơ trên trục X
Điện trở động cơ trên trục Y
Vận tốc của bóng theo trục X
Vận tốc của bóng theo trục Y
rad Góc của đĩa theo trục X
rad Góc của đĩa theo trục Y
rad/sec vận tốc góc của đĩa theo trục X
20
rad/sec vận tốc góc của đĩa theo trục Y
Khi mô hình hóa hệ thống, ta chắc chắn là chuyển động của bóng trên đĩa là
chuyển động lăn bỏ qua chuyển động trượt. Khi đó, ta có thể đơn giản việc mô hình
hóa hệ thống.
Điểm gốc
Sơ đồ động học của hệ thống bóng trên đĩa:
Hình 2-1: Sơ đồ động học của hệ thống bóng trên đĩa
Ta sử dụng phương pháp Euler – Lagrange để mô hình hóa hệ thống.
Phương trình Euler – Lagrange như sau
(2-1)
Trong đó: L = K – V (2-2)
L: hàm Lagrange.
K: Động năng.
V: Thế năng.
Q: Lực tổng quát.
q: Tọa độ tổng quát.
21
Trong hình bên dưới, Ta giữ trục cố định, xoay trục quanh trục 1 góc
, ta thu được tọa độ trục theo tọa độ trục là ma trận chuyển đổi theo
công thức (2-3)
Hình 2-2: Quay hệ thống bóng trên đĩa theo trục
(2-3)
Tiếp theo, Ta giữ trục cố định, xoay trục quanh trục 1 góc , ta thu
được tọa độ trục theo tọa độ trục là ma trận chuyển đổi theo công thức
(2-4)
22
Hình 2-3: Quay hệ thống bóng trên đĩa theo trục
(2-4)
Khi quay một lượt 2 trục , theo 2 góc , , ta có ma trận chuyển đổi như
sau:
(2-5)
Theo phương trình (5), tọa độ của bóng trên đĩa là , ma trận chuyển đổi là
ta có:
(2-6)
23
Trong đó:
Khi bóng lăn trên đĩa, ta có phương trình sau:
(2-7)
Trong hệ tọa độ quay:
(2-8)
Ta có là ma trận trực giao và cho ma trận đối xứng lệch, sự liên
hệ giữa ma trận và vận tốc gốc: (kèm theo phục lục A)
(2-9)
Do đó vận tốc góc quay của bóng:
(2-10)
Xét tốc độ quay và tịnh tiến của bóng:
(2-11)
(2-12)
24
Trong đó , , và là vận tốc góc của bóng trên đĩa, động năng của hệ
thống là:
Động năng chuyển động tịnh tiến của bóng trên đĩa
Động năng chuyển động quay của bóng
Động năng quay của hệ thống
Tổng động năng:
(2-13)
Khi xét chuyển động là tịnh tiến không có lăn trượt, ta có:
(2-14)
Thay phương trình (2-11), (2-12), (2-14) vào (2-13), ta được:
(2-15)
Từ phương trình (2-5), chiều cao của bóng so với điểm gốc:
(2-16)
Ta có thế năng V:
(2-17)
25
Thế phương trình (15), (17) vào phương trình Euler-Lagrange (2), ta được:
(2-18)
Thay phương trình (2-18) vào phương trình Euler- Lagrange sau:
26
(2-19)
Phương trình động học có thể thu được:
27
Ở đây, toàn bộ hệ thống bóng trên đĩa là 1 mô hình phi tuyến phức tạp nên việc
thiết kế hệ thống hết sức khó khăn. Bình thường, đối với hoạt động của hệ thống
bóng trên đĩa ta chỉ quan tâm đến sự di chuyển xung quanh 2 trục x, y nên khi tách
sự di chuyển ở từng trục x, y thì mô hình gồm 2 hệ thống bóng và thanh.
Xét hệ thống bóng và thanh cho trục Y ta có mô hình toán như sau:
Hình 2-4: Hệ thống bóng và thanh.
Ta có phương trình trạng thái của hệ thống bóng và thanh
(2-21)
Trong hệ thống bóng và thanh do góc quay nhỏ nên thông số nhỏ hơn nhiều
so với các thông số khác. Vì vậy bỏ qua thông số này và phương trình (2-21) được
rút gọn lại:
(2-22)
Như đã trình bày ở trên hệ thống bóng trên đĩa gồm 2 hệ thống bóng và thanh
cho 2 trục x,y nên phương trình trạng thái cho hệ thống bóng trên đĩa khi kết hợp
phương trình (2-22) và (2-20) như sau:
28
(2-23)
(2-24)
Từ phương trình (2-23), (2-24) moment xoắn của hệ thống chỉ có moment xoắn
của đĩa , nhưng thực tế moment xoắn chỉ là moment xoắn của động cơ trên
thanh. Như vậy quan hệ moment xoắn của động cơ và moment xoắn của đĩa theo
phương trình sau:
(2-25)
Quan hệ giữa moment xoắn động cơ với góc của bảng và điện áp cấp cho
động cơ (chứng minh sau)
Hình 2-5: Sơ đồ hợp giảm tốc động cơ.
(2-26)
Thay phương trình (2-25), (2-26) vào phương trình (2-23), (2-24) ta được:
29
(2-27)
Thể hiện dạng ma trận:
(2-28)
Trong đó:
30
Đặt biến trạng thái:
(2-29)
Phương trình không gian trạng thái của hệ thống cho trục X:
(2-30)
Phương trình không gian trạng thái của hệ thống cho trục Y:
(2-31)
Đặt:
Phương trình (2-30), (2-31) rút gọn lại như sau:
31
(2-32)
Với
(2-33)
Với
Để thuận lợi cho việc tính điện áp cấp cho động cơ ta đặt
Ta có:
(2-34)
(2-35)
Trong đó:
32
CHƢƠNG 3:
THIẾT KẾ VÀ THỰC HIỆN THUẬT TOÁN
ĐIỀU KHIỂN BÓNG TRÊN ĐĨA.
3.4 GIỚI THIỆU:
Hệ thống bóng trên đĩa là một hệ thống phi tuyến khó kiểm soát. Khi quả bóng
lăn tự do theo hai chiều, do các yếu tố phi tuyến và các yếu tố không chắc chắn của
mô hình, chuyển động của quả bóng dễ dàng bị vọt lố hoặc nhảy lên cao làm cho mô
hình không ổn định và không kiểm soát được mục tiêu mong muốn. Do đó, việc sử
dụng 1 bộ điều khiển truyền thống, chẳng hạn như bộ điều khiển PID, làm cho hệ
thống khó kiểm soát. Khi đó, ta sử dụng bộ điều khiển LQR (Linear Quadratic
Regulator) để kiểm soát được cân bằng của hệ thống, ngoài ra việc sử dụng bộ điều
khiển cuốn chiếu (Backstepping Control) giúp cho hệ thống cân bằng, ổn định và
đạt được quỹ đạo mong muốn.
3.5 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR CHO HỆ THỐNG BÓNG
TRÊN ĐĨA:
3.2.3. CƠ SỞ LÝ THUYẾT LQR:
Bộ điều khiển phản hồi không gian trạng thái (state space feedback control) được
thực hiện theo 2 cách: Thứ nhất là sử dụng phương pháp đặt cực. Thứ hai là sử dụng
phương pháp điều khiển tuyến tính hóa LQR. Phương pháp đặt cực chủ yếu thông
qua việc sử dụng các biến trạng thái phản hồi sau khi hệ thống ổn định để điểu khiển
cực vòng kín cho các vị trí mong muốn. Phương pháp tuyến tính hóa LQR kiểm soát
được giá trị phản hồi tối ưu K để hệ thống cân bằng ổn định và kiểm soát năng
lượng tối thiểu. Chẳng hạn phương trình trạng thái của hệ thống (State Equation)
như (3-1):
(3-1)
Hệ thống điều khiển tối ưu được thể hiện ở hình (3-1), khi thời gian , hệ
thống điều khiển mong muốn (System Control Input) u(t), khi thời gian , tín
33
hiệu x(t) tiến về 0, ta cần tối ưu hóa thiết kế điều khiển để đạt được mục tiêu điều
khiển.
Hình 3-1: Sơ đồ tối ưu hóa hệ thống điều khiển.
Định nghĩa hàm chỉ tiêu chất lượng:
(3-2)
Từ phương trình (3-2) ta có Q và R là ma trận trọng số của x(t) và u(t).
, ma trận bán xác định dương. , ma trận xác định dương.
Tìm ma trận Q và R sao cho hàm chỉ tiêu chất lượng J nhỏ nhất, từ đó đạt được
mục tiêu điều khiển ổn định, và được gọi là điều khiển LQR. Ta có tín hiệu điều
khiển như sau:
(3-3)
Trong đó , với p là nghiệm của phương trình Riccati từ phương trình
(3_4)
(3-4)
Chọn Q, R để tìm ra ma trận K kiểm soát tín hiệu điều khiển u(t) cho hệ thống
hoạt động hiệu quả. Từ đó ta thiết kế bộ điều khiển cân bằng LQR cho hệ thống
bóng trên đĩa từ phương trình không gian trạng thái.
34
3.2.4. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR CHO HỆ THỐNG
BÓNG TRÊN ĐĨA:
Định nghĩa biến cho hệ thống bóng trên đĩa như phương trình (3-5):
(3-5)
Từ phương trình (2-27) ta có:
(3-6)
Phương pháp thiết kế bộ điều khiển LQR chỉ áp dụng cho các hệ thống tuyến
tính, để thiết kế bộ điều khiển LQR cho hệ thống cân bằng bóng trên đĩa ta cần
tuyến tính hóa hệ thống phi tuyến này. Hệ thống bóng trên đĩa chỉ cân bằng ở vị trí
trung tâm nên các góc , gần như bằng 0. Như vậy, ta có thể xem các giá trị sau
là gần đúng: , , , , , ,
, , , và . Ta có phương trình sau.
35
(3-7)
Với:
, , , , , ,
,
Ta có moment quán tính của quả bóng: , moment quán tính của đĩa
theo trục x: , moment quán tính của đĩa theo trục y:
, bảng (3-1) thể hiện các tham số của hệ thống tuyến tính bóng
trên đĩa.
36
Bảng 3-1: Bảng Tham số LQR của hệ thống bóng trên đĩa
Tham số Giá trị Đơn vị Tham số Giá trị
m 0.13 Kg 7
1.52 Kg 70.006
0.335 m 0.0321
0.265 m 0.009
R 0.0368 m 1.274
0.0469
0.0142 111.5376
0.0089 0.0327
G 9.81 0.0092
4.5
0.062 V/(rad/sec)
8.6939
0.0628 V/(rad/sec)
8.6379
37
(3-8)
(3-9)
Chọn giá trị Q và R thích hợp:
(3-11)
38
(3-12)
Sau đó thực hiện thiết kế bộ điều khiển LQR trên Matlab, và nhận được phản hồi
tốt nhất với ma trận K:
(3-13)
3.6 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BACKSTEPPING CHO HỆ
THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA:
Bộ điều khiển thích nghi BackStepping về cơ bản là thiết kế thêm một tích hợp
trên mỗi biến trạng thái. Ý tưởng thiết kế liên quan đến các trạng thái tiếp theo như
điều khiển ảo, và điều khiển ảo có thể giúp ổn định trạng thái hiện tại, vì thế trạng
thái sau sẽ kiểm soát trạng thái trước đó, và cứ tiếp tục như vậy. Bộ điều khiển trạng
thái cuối cùng sẽ kiểm soát toàn bộ hệ thống. Dựa trên khái niệm này, hệ thống sẽ
trở thành một cơ cấu phản hồi mới, và được gọi là một hệ thống phản hồi nghiêm
ngặt thông số (parametric-strict-feedback). Trong tình trạng như vậy, hệ thống sẽ áp
dụng một thủ tục đệ quy để áp dụng hàm Lyapunov liên tục khác nhau để chứng
minh sự ổn định hệ thống và giải quyết điều khiển. Vì vậy, khi một hệ thống phi
tuyến được chuyển thành dạng phản hồi thông số nghiêm ngặt (parametric-strict-
feedback), luật điều khiển thích nghi Backstepping có thể được áp dụng cho việc
thiết kế bộ điều khiển.
3.3.3. CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
Xét hệ thống phi tuyến theo thời gian:
(3-14a)
(3-14b)
(3-14c)
(3-14d)
39
là vector trạng thái với , là Với xi là biến trạng thái,
một hệ số của hàm điều khiển, . Phần này sẽ thảo
luận về quy trình thiết kế bộ điều khiển Backstepping theo thời gian với hệ thống
phi tuyến. Việc thiết kế bộ điều khiển Backstepping dựa trên lý thuyết ổn định
Lyapunov, một khi bộ điều khiển thu được, sự ổn định của hệ thống có thể chấp
nhận là tốt. Quá trình thiết kế được chia thành nhiều bước, và mỗi bước có 1 qui
chuẩn riêng và bộ điều khiển của hệ thống sẽ thu được ở bước cuối cùng.
40
Hình 3-2: Sơ đồ thuật toán điều khiển Backstepping.
41
Hệ thống được mô tả bởi phương trình (3-14), với là ngõ ra hệ thống và là
tín hiệu đặt, các bước tiến hành thiết kế như sau:
Bƣớc 1:
Giả sử, là hàm ổn định, và hàm này có thể ổn định hệ thống con của phương
trình (3-14a) dưới điều kiện . Nhưng là ngõ vào điều khiển ảo và .
Một hàm báo sai số cần được xác định để phù hợp với yêu cầu này:
(3-15a)
(3-15b)
Trong phương trình (3-15a), nếu tiến về 0 thì có thể được bám bởi . Bằng
cách đạo hàm theo thời gian:
Để chứng minh sự ồn định của phương trình trên, chọn hàm Lyapunov :
, và lấy đạo hàm theo thời gian:
(3-16)
Giả sử hàm ổn định :
, với .
Và thay thế vào phương trình (3-16), ta có:
(3-17a)
(3-17b)
Vì là ngõ vào điều khiển ảo, và một hệ số bổ sung xuất hiện trong phương
trình (3_17a), vì thế cho không xác định và hệ thống con không ổn định. Hệ số
là xác định âm.
phải được loại bỏ để chắc rằng Bƣớc 2:
, với hàm
Gỉa sử rằng, hệ thống con của có thể ổn định dưới điều kiện
ổn định là ngõ vào điều khiển ảo, và được tìm thấy. Nhưng thật ra,
42
Vì thế, một hàm báo sai số được định nghĩa như sau:
(3-18)
Trong phương trình này, nếu tiến về không thì hệ thống con của ổn định.
Bằng cách đạo hàm theo thời gian:
(3-19)
Để ổn định hệ thống con của bằng cách chọn hàm Lyapunov :
, sau đó đạo hàm theo thời gian ta có:
(3-20)
Ta định nghĩa hàm ổn định :
, với .
Cuối cùng phương trình (3-19) và (3-20) được viết lại như sau:
(3-21)
(3-22)
Từ phương trình (3-22), không xác định, bước tiếp theo là loại bỏ hệ số .
Bƣớc 3:
Giả sử rằng, hàm ổn định được tìm thấy với hệ thống con của là ổn định
dưới điều kiện . Thật ra, là ngõ vào điều khiển ảo, và . Vì thế, một
hàm báo sai số được định nghĩa như sau:
43
(3-23)
Trong phương trình này, nếu tiến về không thì hệ thống con của ổn định.
Bằng cách đạo hàm theo thời gian:
(3-24)
Để chứng minh sự ổn định của hệ thống con và , chọn hàm Lyapunov :
(3-25)
Sau đó lấy đạo hàm phương trình (3-25) và lấy phương trình (3-22) và (3-24)
thay thế vào phương trình (3-27) ta được:
(3-26)
Chọn hàm ổn định :
(3-27)
Với , từ phương trình (3-24) và (3-26) ta có thể sắp xếp lại như sau:
(3-28)
(3-29)
44
Bởi vì là ngõ vào điều khiển ảo nên phương trình (4-28) chứa hệ số bổ sung
. Vì thế, không xác định, hệ thống đòi hỏi bước tiếp theo để loại bỏ hệ số
của phương trình (4-28).
Bƣớc 4:
Hệ thống con của được ổn định nếu hàm ổn định được tìm thấy.
Do là ngõ vào điều khiển ảo và hàm . Vì thế, một hàm báo sai số được
định nghĩa:
(3-30)
Trong phương trình (3-30), nếu tiến về 0 thì hệ thống con của
được ổn định. Phương trình (3-23) được viết như sau:
(3-31)
Để chứng minh hệ thống con của ổn định ta chọn hàm Lyapunov
như sau:
(3-32)
Sau đó lấy đạo hàm theo thời gian của phương trình trên, và lấy phương trình
(3-28) và (3-29) thế vào phương trình (3-32) ta có:
(3-33)
Đặt hàm ổn định :
45
(3-34)
Với , phương trình (3-31) và (3-33) được viết lại như sau:
(3-35)
(3-36)
Bởi vì hệ số bổ sung xuất hiện trong phương trình (3-35), vì thế không
xác định. Để chắc rằng xác định âm, hệ thống cần bước tiếp theo để loại bỏ hệ số
. Quá trình thiết kế được thực hiện tiếp theo bước i.
Bƣớc i:(i Giả sử rằng hàm ổn định có thể tìm thấy trong hệ thống, hệ thống con ổn định dưới điều kiện , nhưng . Vì vậy hàm báo sai số được định nghĩa như sau: (3-37) Giả sử tiến về 0 và hệ thống con ổn định. Dựa vào điều kiện ta có phương trình động được viết như sau: Bằng cách thay thế phương trình (3-37) vào phương trình trên, ta được: (3-38) Để chắc rằng hệ thống ổn định ta chọn hàm Lyapunov và đạo hàm theo thời gian ta có: Chọn hàm ổn định : , với . Hàm có thể viết lại như sau: (3-39) Từ phương trình (3-39), không xác định, bước tiếp theo để cần loại bỏ hệ số trong phương trình (3-39). Quá trình cứ tiếp tục cho đến khi xuất hiện bộ điều khiển với hệ thông con có thể ổn định. Khi điều kiện của ổn định thì hệ thống con cũng ổn định. Giống như vậy, quá trình lặp đi lặp lại cho đến khi toàn bộ hệ thống ổn định. Bƣớc n: Đây là bước cuối cùng, xem xét lại biến sai số: và lấy đạo hàm theo thời gian: (3-40) Để chứng minh tính ổn định của phương trình (3-40), ta chọn hàm Lyapunov , sau đó lấy đạo hàm theo thời gian ta có: Vì vậy ta chọn bộ điều khiển: , với có thể viết lại như sau: , xác định âm. Hàm Bây giờ ta có thể kết luận rằng, khi xác định âm, hệ thống phi tuyến biến đổi theo thời gian thì ổn định. Để giảm sự phức tạp của hệ thống đề xuất, vận tốc và gia tốc của đĩa được giới hạn trong các thuật toán điều khiển. Từ các bài kiểm tra sơ bộ, ảnh hưởng của lực nối xem như không đáng kể và có thể được bỏ qua, hệ thống đề xuất dường như là hai hệ thống ball and Beam độc lập, và có thể được phân tách thành hai hệ thống độc lập cho các trục X và trục Y như sau: Hệ thống bóng trên đĩa cho trục X: (3-41a) với (3-41b) Hệ thống bóng trên đĩa cho trục Y: (3-41c) với (3-41d) Hai hệ thống độc lập có đặc điểm giống nhau. Quá trình thiết kế bộ điều khiển cho trục X tương tự như cho trục Y. Hệ thống bóng trên đĩa là một hệ thông phi tuyến. Việc thiết kế bộ điều khiển không chỉ ở ổn định vòng kín mà còn theo dõi hiệu suất. Theo thuyết ổn định Lyapunov là một bộ điều khiển thấp, bộ điều khiển này được thực hiện qua 4 bước với quy trình điều khiển cụ thể. Bước cuối cùng sẽ xác định được sự ổn định của hệ thống với thiết kế bộ điều khiển. Hệ thống bóng trên đĩa không đáp ứng các ràng buộc của một hệ thống phản hồi thông số nghiêm ngặt. Sau đây là các bước tiến hành thiết kế bộ điều khiển bóng trên đĩa trên trục X. Bƣớc 1: Định nghĩa biến sai số và , với làm hàm ổn định đầu tiên được xác định, là quỹ đạo đặt của hệ thống, đạo hàm theo thời gian ta có: . Chọn hàm Lyapunov , đạo hàm theo thời gian ta có: (3-42) Đặt , và , ta có: (3-43) , không xác định. Bƣớc 2: Theo kết quả tính toán của bước 1, cho thì sẽ xác định âm. vì vậy hàm Lyapunov được chọn : bao gồm biến sai số , sau đó đạo hàm theo thời gian ta có: (3-44) Bằng cách chọn hàm ổn định thứ 2, cho , hệ thống con có thể ổn định. Giả sử là 1 ngõ vào điều khiển ảo, biến sai số được định nghĩa: . Bằng cách thay thế vào phương trình (3-44), trở thành: Để chứng minh rằng hệ thống ổn định, đạo hàm theo thời gian : Đặt , và , sau đó hàm ổn định có thể thu được: . Như vậy và có thể viết lại như sau: , không xác định. Bƣớc 3: Quá trình lặp lại như bước trước đó, hàm Lyapunov được sửa đổi để bao gồm biến sai số . Đạo hàm theo thời gian : (3-45) Chọn hàm ổn định thứ 3 lần nữa , hệ thống con có thể ổn định. Giả sử là ngõ vào điều khiển ảo, biến sai số có thể định nghĩa: . Thay thế vào phương trình (3-45) và sắp xếp lại: Để chứng minh rằng hệ thống ổn định, ta định nghĩa hàm Lyapunov lần nữa: , và lấy đạo hàm theo thời gian: Giả sử: , và , ta có hàm ổn định : Sau đó sắp xếp và , ta có: Kết quả là không xác định rõ ràng. Bƣớc 4: Bước cuối cùng định nghĩa hàm Lyapunov bao gồm biến sai số , sau đó lấy đạo hàm theo thời gian và : Để loại bỏ thành phần vi phân, phương trình trên sắp xếp lại thành: (3-46) Để chứng minh hệ thống ổn định, chọn hàm Lyapunov như sau: Theo phương (3-43)-(3-46), đạo hàm theo thời gian ta được. Để thuận tiện tính toán, một vài thông số phải được xác định trước như: (3-47) , và . Do đó được viết lại như sau: Vì vậy, có thể viết lại như sau: Bây giờ, để chắc chắn , nếu thỏa 2 điều kiện sau: i. (3-48) ii. , với (3-49) Vì nên xác định. Giải phương trình (3-48) và (3-49) ta có: Từ phương trình (2-34) ta có phương trình điều khiển điện áp động cơ. (3-50) Trong đó . Như vậy thiết kế bộ điều khiển Backstepping cho hệ thống bóng trên đĩa trên trục X thu được như sau: , (3-51a) , (3-51b) , (3-51c) , (3-51d) (3-51e) . (3-51f) Tương tự như vậy thiết kế bộ điều khiển Backstepping cho hệ thống bóng trên đĩa trên trục Y thu được như sau: , (3-52a) , (3-52b) , (3-52c) (3-52d) (3-52e) (3-52f) Trong các phương trình trên, là các biến sai số, là các thông số điều khiển và là quỹ đạo đặt trên trục X; Các biến khác, là các biến sai số, là các thông số điều khiển và là quỹ đạo đặt trên trục Y. Các thông số và phải thõa mãn hàm Lyapunov cho hệ thống ổn định. Kết luận: Ta có tín hiệu điều khiển động cơ thay đổi góc nghiên theo các trục X,Y được tính bằng công thức (3-51), (3-52) trong đó c1÷ c8 được chọn sao cho thỏa các công thức: , với , với Với c1, c2, c3, c4, c5, c6, c7,c8 > 0 Bảng 3-2: Tham số Backstepping của hệ thống bóng trên đĩa Tham số Giá trị Đơn vị Tham số Giá trị m 0.13 Kg 0.0321 1.52 Kg 0.009 0.335 m 0.0327 0.265 m 0.0092 R 0.0368 m H 0.26 I 1.274 0.0142 J 0.0469 0.0089 E 0.7143 G 9.81 4.5 0.062 V/(rad/sec) Eg 7 0.1429 8.6939 0.0628 V/(rad/sec) 8.6379 Các phương trình của hệ thống bóng trên đĩa trên trục X: , , Các phương trình của hệ thống bóng trên đĩa trên trục Y: , , , , Đây là chương cuối của quá trình thiết kế luật LQR và luật điều khiển cuốn chiếu (Backstepping). Việc dùng phần mềm mô phỏng hệ thống để so sánh 2 luật điều khiển. Phần này bao gồm: Mục 4.2 cho kết quả mô phỏng của hệ thống bóng trên đĩa dùng thuật toán LQR. Mục 4.3 cho kết quả mô phỏng của hệ thống bóng trên đĩa dùng thuật toán Backstepping. Từ phương trình không gian trạng thái ở chương 3 (công thức 3-6), ta có sơ đồ khối mô phỏng bộ điều khiển LQR cho hệ thống bóng trên đĩa ở hình 4-1và hình 4-2. Sơ đồ mô phỏng tuyến tính hóa của hệ thống dùng bộ điều khiển LQR: Hình 4-1: Sơ đồ khối mô phỏng tuyến tính hóa dùng bộ điều khiển LQR. ta có kết quả Chọn giá trị ban đầu cho mô phỏng mô phỏng: Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X : Hình 4-2: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với của phương trình tuyến tính hóa. Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y: Hình 4-3: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR với của phương trình tuyến tính hóa. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X: Hình 4-4: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng LQR với của phương trình tuyến tính hóa. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y: Hình 4-5: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y dùng LQR với của phương trình tuyến tính hóa. Ngõ ra điều khiển động cơ: Hình 4-6: Đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ trên trục Y dùng LQR với của phương trình tuyến tính hóa. Sơ đồ mô phỏng phương trình không gian trạng thái của hệ thống dùng bộ điều khiển LQR: Hình 4-7: Sơ đồ khối mô phỏng phương trình trạng thái dùng bộ điều khiển LQR ta có kết quả Chọn giá trị ban đầu cho mô phỏng mô phỏng: Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X : Hình 4-8: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với của phương trình trạng thái. Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y: Hình 4-9: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR với của phương trình trạng thái. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X: Hình 4-10: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng LQR với của phương trình trạng thái. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y: Hình 4-11: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y dùng LQR với của phương trình trạng thái. Ngõ ra điều khiển động cơ: Hình 4-12: Đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ dùng LQR với của phương trình trạng thái. Chọn ngõ vào tín hiệu đặt là sóng sin : cho vị trí bóng trên trục X ta được kết quả mô phỏng: Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X : Hình 4-13: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với của phương trình trạng thái. Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y: Hình 4-14: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR với của phương trình trạng thái. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X: Hình 4-15: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng LQR với của phương trình trạng thái. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y: Hình 4-16: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR với của phương trình trạng thái. Ngõ ra điều khiển động cơ: Hình 4-17: Đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ dùng LQR với của phương trình trạng thái. Chọn ngõ vào tín hiệu đặt là sóng sin : cho vị trí bóng trên trục Y ta được kết quả mô phỏng: Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X : Hình 4-18: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng LQR với của phương trình trạng thái. Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y: Hình 4-19: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng LQR với của phương trình trạng thái. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X: Hình 4-20: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng LQR với của phương trình trạng thái. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y: Hình 4-21: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y dùng LQR với của phương trình trạng thái. Ngõ ra điều khiển động cơ: Hình 4-22: Đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ dùng LQR với của phương trình trạng thái. Qua kết quả mô phỏng hệ thống bóng trên đĩa sử dụng bộ điều khiển LQR cho thấy hệ thống vẫn ổn định tại tín hiệu đặt nhưng tín hiệu ra không bám sát tín hiệu đặt. Hệ thống ổn định là có thể chấp nhận được. Như vậy bộ điều khiển LQR chỉ đáp ứng tương đối cho hệ thống phi tuyến bóng trên đĩa, cần áp dụng thuật toán tốt hơn bộ điều khiển tuyến tính hóa LQR này. Từ phương trình không gian trạng thái ở chương 3 (công thức 5-51a:5-52f). Ta có sơ đồ khối mô phỏng bộ điều khiển Backstepping cho hệ thống bóng trên đĩa ở hình 4_3. Hình 4-23: Sơ đồ khối mô phỏng hệ thống bóng trên đĩa dùng bộ điều khiển Backstepping. Chọn giá trị ban đầu cho mô phỏng với = (10, 20.5, 35, 7, 10, 20.5, 35, 7) ta có kết quả mô phỏng: Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X : Hình 4-24: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng Backstepping với của phương trình trạng thái. Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y: Hình 4-25: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng Backstepping với của phương trình trạng thái. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X: Hình 4-26: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng Backstepping với của phương trình trạng thái. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y: Hình 4-27: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y dùng Backstepping với của phương trình trạng thái. Ngõ ra điều khiển động cơ: Hình 4-28: Đáp ứng đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ dùng Backstepping với của phương trình trạng thái. , Chọn giá trị ban đầu cho mô phỏng với = (19, 22.5, 50, 13, 19, 22.5, 50, 13) ta có kết quả mô phỏng: Vị trí và vận tốc của bóng trên trục X : Hình 4-29: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục X dùng Backstepping với của phương trình trạng thái. Vị trí và vận tốc của bóng trên trục Y: Hình 4-30: Đáp ứng vị trí và vận tốc bóng trên trục Y dùng Backstepping với của phương trình trạng thái. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X: Hình 4-31: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục X dùng Backstepping với của phương trình trạng thái. Góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y: Hình 4-32: Đáp ứng góc và vận tốc góc của đĩa trên trục Y dùng Backstepping với của phương trình trạng thái. Ngõ ra điều khiển động cơ: Hình 4-33: Đáp ứng ngõ ra điều khiển động cơ dùng Backstepping với của phương trình trạng thái. Qua kết quả mô phỏng hệ thống bóng trên đĩa sử dụng bộ điều khiển Backstepping cho thấy hệ thống ổn định tại tín hiệu đặt và tín hiệu ra bám sát tín hiệu đặt. Như vậy bộ điều khiển Backtepping đáp ứng rất tốt đối với hệ thống phi tuyến này. Bộ điều khiển Backtepping cho thấy tối ưu hơn bộ điều khiển tuyến tính hóa LQR. Chọn vị trí ban đầu cho mô phỏng của phƣơng trình trạng thái cho LQR. Và với , cho backstepping Vị trí của bóng trên trục X : Vận tốc của bóng trên trục X Kết quả trên trục X: cả 2 kết quả của 2 phƣơng pháp có đáp ứng bám
tín hiệu đặt nhƣ nhau, và bám sau 0.5 giây, ổn định sau 0.7 giây nhƣng tín
hiệu vị trí của LQR bám không sát, sai số là hằng số. Vị trí của bóng trên trục Y: Vận tốc của bóng trên trục Y Kết quả trên trục Y: cả 2 kết quả của 2 phƣơng pháp có đáp ứng bám
tín hiệu đặt nhƣ nhau, và bám sau 0.8 giây, ổn định sau 0.85 giây nhƣng
tín hiệu vị trí của LQR không bám sát, sai số là hằng số. Góc của đĩa trên trục X: Góc của đĩa trên trục Y: vận tốc góc của đĩa trên trục X Ngõ ra điều khiển động cơ trên trục X Vận tốc góc của đĩa trên trục Y Ngõ ra điều khiển động cơ trên trục Y Chọn ngõ vào tín đặt sóng sin là hiệu
:
cho vị trí bóng trên trục X của LQR:Và với cho backstepping Vị trí của bóng trên trục X : Kết quả: - LQR: đáp ứng không bám sát tín hiệu đặt, sai số là hằng số - Backstepping: đáp ứng bám rất sát tín hiệu đặt. Vận tốc của bóng trên trục X Vị trí của bóng trên trục Y : Kết quả: - LQR: đáp ứng không bám sát tín hiệu đặt, sai số là hằng số. - Backstepping: đáp ứng bám rất sát tín hiệu đặt. Vận tốc của bóng trên trục Y Góc của đĩa trên trục X: vận tốc góc của đĩa trên trục X vận tốc góc của đĩa trên trục Y Góc của đĩa trên trục Y: Ngõ ra điều khiển động cơ trên trục X Ngõ ra điều khiển động cơ trên trục Y Cơ sở lý luận: - Bộ điều khiển LQR: về nguyên tắc dùng rất tốt cho đối tƣợng
tuyến tính nên khi áp dụng cho đối tƣợng phi tuyến bóng đĩa chắc chắn
sẽ có nhiều sai số. - Bộ điều khiển Backstepping: đây là bộ điều khiển phi tuyến nên
khi dùng cho hệ thống phi tuyến bóng đĩa – dùng đúng đối tƣợng sẽ khả
thi hơn. Qua so sánh kết quả mô phỏng ta thấy: BỘ ĐIỀU KHIỂN LQR:
Tín hiệu đáp ứng bám tín hiệu đặt nhƣng không sát, sai số luôn là hằng
số.
BỘ ĐIỀU KHIỂN BACKSTEPPING:
Tín hiệu đáp ứng bám sát tín hiệu đặt cho cả 2 bộ thông số là hằng số và
hàm sin.
Kết quả này cho thấy bộ điều khiển backstepping ổn định tại tín hiệu đặt
và tín hiệu đáp ứng bám sát tín hiệu đặt. Như vậy: bộ điều khiển backstepping đã được chọn sẽ điều khiển cho hệ thống bóng đĩa tốt hơn bộ điều khiển LQR. Mô hình hóa được hệ thống bóng trên đĩa. Xây dựng phương trình động học hệ thống bóng trên đĩa. Thiết kế bộ điều khiển phù hợp cho hệ thống bóng trên đĩa. Kiểm chứng kết quả thông qua mô phỏng trên matlab. Chưa thực hiện được mô hình thực nghiệm để kiểm chứng kết quả. Tìm thuật toán điều khiển tối ưu hơn cho hệ thống nhằm tăng độ chính xác Xây dựng mô hình thực nghiệm để kiểm chứng kết quả. của bộ điều khiển của hệ thống. [1] Dương Hoài Nghĩa, “Điều khiển hệ thống đa biến”, nhà xuất bản Đại học Quốc Gia TP. Hồ Chí Minh, 2007. [2] “Lý thuyết điều khiển tự động”, Nguyễn Thị Phương Hà, Huỳnh Thái Hoàng, Nhà xuất bản đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2005. [3] “Lý thuyết điều khiển hiện đại”, Nguyễn Thị Phương Hà, Nhà xuất bản đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, 2009. [4] “Lý thuyết điều khiển nâng cao”, Nguyễn Doãn Phước, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 2007. [5] 3M Touch Systems. SC3 Touch Screen Controller: User’s Guide, 2nd edition, 2003. [6] “Mechatronic Design of a Ball on Plate Balancing System” by Shorya Awtar, Kevin C. Craig. Department of Mechanical Engineering, Aeronautical Engineering and Mechanics Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY12180, USA [7] “Trajectory Planning and Tracking of Ball and Plate System Using Hierarchical Fuzzy Control Scheme” by X. Fan, N. Zhang and S. Teng, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 144, No. 2, pp. 297-312, 2004. [8] “Modelling and PID Control Design of Nonlinear Educational Model Ball & Plate” by A. Jadlovská, Š. Jajčišin, R. Lonščák. PROCEEDINGS 17th International Conference on Process Control 2009 Hotel Baník, Štrbské Pleso, Slovakia, June 9 – 12, 2009.ISBN 978-80-227-3081-5 http://www.kirp.chtf.stuba.sk/pc09 [9] “Tracking and Balance Control Of Ball and Plate System” by Cheng Chang Ker*, Chin E. Lin, and Rong Tyai Wang. Journal of the Chinese Institute of Engineers, Vol. 30, No. 3, pp. 459-470 (2007) [10] “Mechatronic Design and Position Control of a Novel Ball and Plate System” by Miad Moarref, Mohsen Saadat, and Gholamreza Vossoughi, Member, IEEE. 16th Mediterranean Conference on Control and Automation Congress Centre, Ajaccio, France.June 25-27, 2008 [11] “Ball On Plate Balancing System” by Greg Andrews, RPI ; Chris Colasuonno, RPI; Aaron Herrmann, RPI ,ECSE-4962 Control Systems Design Final Project Report, April 28, 2004 [12] “Tracking and Balance Control of Ball and Plate Systems via Backstepping Design” by Liao Xianqing ,July-1995. [13] P. T. Yip, “Symbol-Based Control of a Ball-on-Plate Mechanical System,” Master's Thesis of University of Maryland, 2004. [14] S. R. Hebertt, “On the Control of the Ball and Beam System: ATrajectory lanning Approach,” Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control, Vol. 4, pp. 4042-4047, 2000. [15] “Symbol-Based Control Of A Ball-On-Plate Mechanical System” by Phillip Yip, 2004. [16] “Backstepping control application to a ball and beam system” by Liao Xianqing. Xét điểm gốc 2 hệ thống và , trong đó là gốc của hệ tọa độ A, là gốc của hệ tọa độ B, i, j, k là các trục của hệ tọa độ. Định nghĩa là hình chiếu của P trong hệ tọa độ A, là hình chiếu của P trong hệ tọa độ B. Ta có quan hệ giữa hệ tọa độ chuyển động tịnh tiến, Hình A-1 ta có: (1) Do đó mối quan hệ giữa và (2) Trong đó là hình chiếu của trong hệ tọa độ B Hình A1: Quan hệ 2 hệ tọa độ. Khi quay 1 góc không đổi, như hình A2, sử dụng phép chiếu vector ta có mối quan hệ giữa và (3) Trong đó ma trận quay (4) Hình A-2: Chuyển hệ tọa độ quay. Từ hình A-3, hệ vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay, từ công thức (2) và (3) ta có sự liên hệ giữa và (5) Hình A-3: Hệ tọa độ chuyển động tịnh tiến và quay. Từ trên ta thấy, trong hệ tọa độ quay. (6) Trong đó là các biến đổi ma trận tuyến tính, lấy vi phân công thức (6) trong hệ tọa độ quay (7) Đặt và thay vào công thức (7), ta có quan hệ vận tốc tịnh tiến và vận tốc quay. (8) Trong trường hợp đặt biệt, C có ma trận trực giao và ma trận nghịch đảo bằng ma trận hoán vị 3x3, và , trong đó 1 là ma trân đơn vị: (9) (10) Như vậy là ma trận đối xứng đảo dấu: (11) Phương trình trên có đường chéo bằng 0, Ta có vector: (12) Trong đó là vận tốc gốc trong hệ tọa độ quay.46
47
3.3.4. THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BACKSEPPING CHO HỆ
THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA:
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
CHƢƠNG 4:
KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
HỆ THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA.
4.4. GIỚI THIỆU.
4.5. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG LQR CHO HỆ THỐNG BÓNG
TRÊN ĐĨA.
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
4.6. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG BACKSTEPPING CHO HỆ
THỐNG BÓNG TRÊN ĐĨA.
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
SO SÁNH KẾT QUẢ MÔ PHỎNG
LQR
BACKSTEPPING
95
96
97
,
,
98
99
100
101
KẾT LUẬN CHUNG:
102
CHƢƠNG 5:
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI.
5.2 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC.
5.2 NHỮNG HẠN CHẾ.
5.3 HƢỚNG PHÁT TRIỂN.
103
TÀI LIỆU THAM KHẢO
104
105
PHỤ LỤC.
ĐỊNH LÝ HỆ TỌA ĐỘ XOAY
106
107
