Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Bước chuyển từ lượng giác "trong đường tròn" đến lượng giác trong "hàm số" trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Cẩm Hằng

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. LÊ VĂN PHÚC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2007

51B50B49B48B47B46B45B44B43B42B41B40B39B38B37B36B35B3 4B33B32B31B30B29B28B27B26B25B24B23B22B21B20B19B18B17 B16B15B14B13B12B11B10B9B8B7B6B5B4B3B2B1B0B2H3H4H5 H6H7H8H9H10H11H12H13H14H15H16H17H18H19H20H21H22 H23H24H25H26H27H28H29H30H31H32H33H34H35H36H37H38 H39H40H41H42H43H44H45H46H47H48H49H50H51H0H1H MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Lượng giác là một trong các chủ đề toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong ngành vật lý, thiên văn, hàng hải... Trong chương trình môn Toán ở bậc phổ thông tại nhiều nước trên thế giới như Mỹ, Pháp, Úc…, lượng giác luôn được giảng dạy theo thứ tự: lượng giác “trong tam giác”1, lượng giác “trong đường tròn” 2 và lượng giác “trong hàm số”3.

Ở Việt Nam, không nằm ngoài xu hướng giảng dạy của các nước trên thế giới, lượng giác cũng được đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán phổ thông hiện hành theo thứ tự như thế. Cụ thể: lượng giác “trong tam giác” được đưa vào giảng dạy ở lớp 9, lượng giác “trong đường tròn” được giảng dạy ở lớp 10 và lượng giác “trong hàm số” được dạy ở lớp 11.

1 Tri thức lượng giác gắn với tam giác được gọi tắt 2 Tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác được gọi tắt 3 Tri thức lượng giác gắn với hàm số lượng giác được gọi tắt.

Như thế, chúng tôi thấy rõ có một trình tự để dạy lượng giác (theo ba giai đoạn) ở bậc trung học cơ sở (THCS) và trung học phổ thông (THPT) tại Việt Nam. Câu hỏi đặt ra là: . Tại sao những người soạn thảo chương trình và sách giáo khoa Việt Nam lại lựa chọn và đưa nội dung "lượng giác" vào giảng dạy ở trường phổ thông theo trình tự đó? Có thể thay đổi trình tự giảng dạy lượng giác trên được không?

. Tri thức lượng giác cần dạy ở giai đoạn trước chuẩn bị cho việc dạy học tri thức lượng giác ở giai đoạn sau như thế nào? Và, tri thức lượng giác ở giai đoạn sau khai thác các tri thức lượng giác ở giai đoạn trước ra sao? Có hay không sự thống trị của tri thức lượng giác ở giai đoạn trước đối với giai đoạn sau? Đâu là mâu thuẫn tạo động lực phát triển tri thức lượng giác ở giai đoạn sau?

. Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì trình tự trên xuất hiện như thế

nào? Tri thức lượng giác trong từng giai đoạn gắn liền với tình huống nào?

. Đâu là sự khác biệt về cách trình bày trong sách giáo khoa với giáo trình đại

học về tri thức lượng giác trong từng giai đoạn? Lý do của sự khác biệt đó?

. Cách trình bày của sách giáo khoa ảnh hưởng như thế nào đến ứng xử của giáo viên và học sinh khi dạy - học các tri thức lượng giác ở từng giai đoạn?

Những câu hỏi này đã lôi cuốn và dẫn chúng tôi đến việc cần phải nghiên cứu sâu sắc bước chuyển từ giai đoạn trước sang giai đoạn sau của tri thức lượng giác không những trong sách giáo khoa (SGK) mà còn trong việc giảng dạy. Đặc biệt, phân tích tính kế thừa và gián đoạn của các bước chuyển trên.

Trong phạm vi của một luận văn thạc sĩ, để đảm bảo tính khả thi, chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu chủ yếu của mình vào hai giai đoạn giảng dạy lượng giác ở bậc THPT - từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” đến tri thức lượng giác “trong hàm số”.

Việc lựa chọn này xuất phát từ lý do: - Tri thức lượng giác “trong hàm số” luôn được ưu tiên đề cập trong cả hai bộ

sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (ban nâng cao và cơ bản) ở Việt Nam,

- Chủ đề hàm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chương trình môn Toán ở trường

phổ thông tại Việt Nam,

- Giáo viên và học sinh thường gặp khó khăn khi dạy - học những tri thức liên

quan đến lượng giác “trong hàm số”.

2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu

Mục đích tổng quát của luận văn này là nghiên cứu bước chuyển từ giai đoạn giảng dạy tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang giai đoạn giảng dạy tri

thức lượng giác “trong hàm số”; đặc biệt là xoay quanh tính kế thừa và gián đoạn của bước chuyển này.

Để thực hiện mục đích nghiên cứu trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể, chúng tôi vận dụng các khái niệm công cụ như: tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, cách đặt vấn đề sinh thái học và khái niệm hợp đồng didactic.

Trong phạm vi didactic với các khái niệm công cụ đã chọn, các câu hỏi cấu

thành nên mục đích nghiên cứu của chúng tôi được trình bày lại như sau:

Q1. Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì các tri thức lượng giác «trong đường tròn» và «trong hàm số» được trình bày như thế nào? Chúng gắn liền với các tổ chức toán học (TCTH) và có những đặc trưng nào? Đặc biệt, bước chuyển từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang tri thức lượng giác “trong hàm số” có đặc trưng gì?

Q2. Trong chương trình và SGK Việt Nam, các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” được trình bày như thế nào? Đặc biệt, bước chuyển từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang tri thức lượng giác “trong hàm số” có đặc trưng gì? Đâu là TCTH được xây dựng xung quanh các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn trên? Những đặc trưng của các TCTH này là gì? Có sự chênh lệch nào giữa TCTH ở bậc đại học với TCTH ở trường phổ thông? Sự chênh lệch đó bắt nguồn từ những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế?

Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic có thể được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình tiếp cận với các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn?

Q4. Cách trình bày của SGK về tri thức lượng giác “trong đường tròn” có ảnh hưởng như thế nào đến giáo viên và học sinh khi dạy - học về tri thức lượng giác “trong hàm số”?

3. Phương pháp và tổ chức nghiên cứu

Bằng cách tham khảo một số tài liệu, chúng tôi sẽ thực hiện một nghiên cứu sơ lược lịch sử lượng giác và các TCTH hiện diện trong giai đoạn đường tròn 4 và giai đoạn hàm số 5 ở bậc đại học.

Nghiên cứu trên sẽ là yếu tố tham chiếu cho nghiên cứu mối quan hệ thể chế

mà ở đó, chúng tôi sẽ lần lượt triển khai các nhiệm vụ sau:

 Thứ nhất: Thông qua nghiên cứu chương trình THPT, chúng tôi sẽ làm rõ sự hiện diện của các tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số qua các cấp học; từ đây có thể dự đoán được tương lai của chúng trong chương trình Toán bậc THPT.

 Thứ hai: Bằng sự nghiên cứu sâu các SGK, SBT, SGV Toán (lớp 10 và lớp 11), chúng tôi sẽ chỉ ra TCTH được xây dựng xung quanh các kỹ thuật giải các bài toán trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số để phân tích tính kế thừa và gián đoạn trong bước chuyển từ TCTH hiện diện ở giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số.

Song song đó, chúng tôi sẽ làm rõ các quy tắc hợp đồng didactic ngầm ẩn liên quan đến tri thức lượng giác trong việc dạy - học lượng giác ở cả hai giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số.

Từ đó, chúng tôi xác định sự chênh lệch có thể có giữa TCTH tham chiếu và TCTH cần giảng dạy ở trường phổ thông. Điều này sẽ hỗ trợ cho chúng tôi trong việc làm rõ những điều kiện và ràng buộc của thể chế trong việc dạy - học các tri thức lượng giác ở hai giai đoạn trên

 Thứ ba: Việc quan sát thực tế giờ dạy - học các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn (lớp 10) sẽ giúp chúng tôi bước đầu tìm hiểu ứng xử của giáo viên và học sinh trước khi dạy - học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số. Qua đó, kết hợp quan sát thực tế giờ dạy - học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số (lớp 11) với phân tích chương trình và SGK để hình thành các giả thuyết nghiên cứu, đề xuất câu hỏi mới.

4 Giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác 5 Giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác gắn với hàm số lượng giác

 Sau cùng, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn trên sẽ giúp chúng tôi rút ra được một số giả thuyết nghiên cứu mà tính hợp thức của các giả thuyết này sẽ được kiểm chứng qua một thực nghiệm được tiến hành trên hai đối tượng giáo viên và học sinh.

4. Cấu trúc của luận văn Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, cấu trúc luận văn của chúng

tôi gồm 5 phần: Phần mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và phần kết luận.

 Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục đích nghiên cứu của đề tài, phương pháp, tổ chức nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.

 Trong chương 1, chúng tôi nghiên cứu các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể: chúng tôi tìm các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác hiện diện ở giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số; đồng thời, làm rõ đặc trưng của bước chuyển từ TCTH hiện diện ở giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số trong các giáo trình ở bậc đại học. Các TCTH tìm được trong giáo trình ở bậc đại học sẽ đóng vai trò là TCTH tham chiếu cho phép chúng tôi bước sang chương 2.

Mở đầu

 Trong chương 2, chúng tôi thực hiện nghiên cứu chương trình và SGK để làm rõ mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”. Chúng tôi sẽ chỉ rõ "vết" mà TCTH tham chiếu để lại trong SGK và giải thích sự chênh lệch có thể có giữa TCTH tham chiếu và TCTH cần giảng dạy. Từ đó, chúng tôi làm rõ những ràng buộc của thể chế và các quy tắc hợp đồng chuyên biệt gắn liền với các bài toán ở hai giai đoạn trên.

Chương 1

Chương 2

Chương 3

Việc tiến hành tổng hợp kết quả ở chương 1 và chương 2 sẽ cho phép chúng tôi đề xuất các hợp đồng didactic, câu hỏi mới và giả thuyết nghiên cứu liên quan đến bước chuyển từ giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số.  Trong chương 3, chúng tôi trình bày các thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thoả đáng của những giả thuyết nghiên cứu và hợp đồng didactic đã nêu, tìm câu trả lời cho những câu hỏi mới.  Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đạt được ở ba chương trên, chỉ ra lợi ích của đề tài, đồng thời nêu ra hướng mở rộng nghiên cứu cho luận văn. Cấu trúc luận văn được sơ đồ hóa như sau :

Chương 1: CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC THAM CHIẾU LIÊN QUAN ĐẾN CÁC TRI THỨC LƯỢNG GIÁC “TRONG ĐƯỜNG TRÒN” VÀ “TRONG HÀM SỐ”

Mục đích của chương 1 là nghiên cứu các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” dưới cấp độ tri thức ở bậc đại học. Qua đó, chúng tôi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 đặt ra trong phần mở đầu như sau:

Q1. Nếu nhìn từ góc độ tri thức ở bậc đại học thì các tri thức lượng giác ”trong đường tròn” và “trong hàm số” được trình bày như thế nào? Chúng gắn liền với các tổ chức toán học (TCTH) và có những đặc trưng nào? Đặc biệt, bước chuyển từ các tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang các tri thức lượng giác ” trong hàm số” có đặc trưng gì?

Các giáo trình đại học chủ yếu được chọn tham khảo để nghiên cứu trong chương này là: [35] Toán học cao cấp và Bài tập Toán cao cấp (tập 2) (dùng cho sinh viên các

trường đại học kỹ thuật) của Nguyễn Đình Trí (chủ biên). [41] "College Algebra with Trigonometry" của Raymond A. Barnett. [42] "Algebra and Trigonometry for College students" của Richard S. Paul và

Ernest F. Haeussler.

[43] "A text book of Trigonometry for Colleges and Engineering Schools" của

William H. H. Cowles và James E. Thompson.

Sau đây, chúng tôi sẽ thực hiện một nghiên cứu sơ lược về lịch sử lượng giác. Nhưng, phần phân tích của chúng tôi không chỉ đơn thuần là sự tóm tắt các

sách, báo viết về lịch sử lượng giác đã tham khảo. Nghiên cứu của chúng tôi chủ yếu là tìm trong lịch sử trình tự xuất hiện của từng giai đoạn mà chúng tôi đã nêu ở phần mở đầu cũng như các tình huống gắn liền với các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn. 1.1. Sơ lược lịch sử lượng giác

Kết quả trong mục này được rút ra từ [6], [24], [32], [33] và

http://www.math.rutgers.edu/, http://vi.wikipedia.org về lịch sử lượng giác.

Lịch sử lượng giác có thể chia thành hai thời kỳ lớn. Lượng giác đã bắt đầu với tư cách là yếu tố tính toán của hình học. Nó nảy sinh từ sự cần thiết phải đo lại ruộng đất sau những trận lụt hàng năm ở sông Nin và hình thành cùng với sự phát triển của hình học.

Ngay từ thời kỳ cổ Hi Lạp, khi xây dựng các công trình đồ sộ như đền đài, kim tự tháp, người ta đã biết sử dụng khái niệm về tỉ số các đoạn thẳng (trùng với khái niệm sin, cosin ngày nay). Về sau, những tri thức lượng giác đầu tiên đã xuất hiện ở thời cổ Hi Lạp do nhu cầu của thiên văn. Hippac và Plôtêmê (thế kỷ thứ 2 trước công nguyên) đã lập các bảng về sự liên hệ giữa độ dài của dây trương một cung tròn đã biết. Việc biến đổi lượng giác có sử dụng các tỉ số sin, cos, tan, cot ở tam giác vuông đã được những nhà học giả Ả Rập tiến hành vào thế kỷ thứ 9.

Kiến thức hình học của người Babilon, về căn bản cũng như người Ai Cập. Tuy nhiên, người Babilon đã có khái niệm sơ bộ về đo góc và đó là mầm mống của "tam giác lượng" (hay lượng giác trong tam giác).

Lượng giác đặc biệt phát triển mạnh vào thời kỳ trung cổ ở phương Đông rồi sau đó mới phát triển ở châu Âu. Để giảm bớt nặng nhọc trong lao động tính toán, người ta đã thành lập những bảng sin, tan v.v ... An Casi (đầu thế kỷ 15) cũng đã lập ra bảng các giá trị lượng giác của góc (cung) với độ chính xác đến 9 chữ số thập phân.

Lượng giác phẳng và lượng giác cầu đã có được một “hệ thống cân đối” giàu sự kiện. Chẳng hạn, trong tác phẩm của Naxirêđin (1201 - 1274) với tên là "Luận

văn về hình bốn cạnh đầy đủ" đã có phần phương pháp giải tam giác phẳng và tam giác cầu, giải các bài toán xác định cạnh của một tam giác cầu theo ba góc.

Như vậy, trong thời kỳ đầu, lượng giác chỉ bao gồm những thủ thuật tính toán các yếu tố của một tam giác và các hình có thể quy về những tam giác. Vì thế, người Hilạp gọi là "tam giác lượng" tức là đo đạc các tam giác.

Ở thời kỳ thứ hai, lượng giác đã xuất hiện như một khoa học về "tam giác lượng". Việc ra đời của giải tích toán và sự phát triển mạnh mẽ của nó ở thế kỷ 17 và 18 đã tạo điều kiện cho lượng giác phát triển, nhưng theo một phương hướng mới. Các đại lượng của lượng giác trước đây chỉ được coi như là phương tiện để giải các vấn đề hình học thì nay đã trở thành những đối tượng để nghiên cứu. Các đối tượng đó được xem như là những hàm.

Lý thuyết về các hàm lượng giác được Euler nghiên cứu lần đầu tiên (1748) trong tác phẩm "Mở đầu về giải tích của các vô cùng bé"; trong đó, các hàm lượng giác đã được nghiên cứu theo phương pháp giải tích nhờ các chuỗi. Hướng mới này bắt nguồn từ các dao động trong cơ học, âm học, quang học và sóng điện từ...

Sau đó, Wessel, một nhà đo đạc người Nauy, đã xuất phát từ hình học để giải thích sự tồn tại của số phức (1797) với ý đồ muốn tìm cách biểu diễn các phương

trong không gian theo kiểu giải tích. Ông đã đưa ra cách giải thích hình học cho 1 và chỉ ra mọi bán kính của vòng tròn đơn vị đều có thể viết ở dạng cosv + δ sinv, trong đó δ.δ = -1. Từ đó, suy ra mọi đoạn thẳng của mặt phẳng đều được biểu diễn bởi biểu thức giải tích dạng: r(cosv + δ sinv) hay a + δb ...

 Tóm lại

- Qua nghiên cứu sơ lược lịch sử, các tri thức lượng giác liên quan rất nhiều đến các hiện tượng trong đời sống và ứng dụng trong các ngành khoa học như: kỹ thuật, vật lý, thiên văn, trắc địa, hàng hải v.v...

- Lượng giác xuất hiện ban đầu chỉ với tư cách là công cụ giải quyết các vấn đề hình học, có thể xem đây là sự xuất hiện của các tri thức lượng giác “trong tam giác”. Sau đó, lượng giác tiến triển và trở thành đối tượng nghiên cứu, cụ thể là các tri thức lượng giác “trong hàm số”. Tuy nhiên, các tri thức lượng giác “trong hàm số” chỉ được nghiên cứu theo hướng phát triển của giải tích; đặc biệt, hàm số lượng giác được định nghĩa nhờ vào các chuỗi lũy thừa.

- Các tri thức lượng giác “trong đuờng tròn” dường như ít để lại dấu vết trong lịch sử, chỉ thấy tri thức lượng giác “trong đường tròn” xuất hiện khi đề cập đến số phức.

- Theo các nhà nghiên cứu lịch sử, ý tưởng tổng quát về liên hệ hàm - trong đó, có hàm lượng giác chưa xuất hiện trong thời cổ đại. Cuối thế kỷ 16, những hàm được nghiên cứu bằng các bảng giá trị như bảng lượng giác, bảng lôgarit.

- Vào thế kỷ 17, Euler cho thấy phạm vi mà ông quan tâm là lý thuyết hàm số và thay đổi cách xem xét hình học bằng cách xem xét biểu thức của hàm số - trong đó có hàm số lượng giác. Quan niệm hình học của Euler tồn tại rất lâu trong sự phát triển của giải tích nhưng đã trở thành một sự cản trở cho sự phát triển của lý thuyết hàm, nhất là từ sau công trình của Fourier.

- Gần đây, người ta đã xây dựng các hàm lượng giác theo phương pháp tiên đề; nhờ đó, lượng giác đã đi sát được với toán học hiện đại và có một giá trị lớn về cơ sở lý thuyết.

Như thế, tri thức lượng giác xuất hiện trong các bài toán về đo đạc - thuộc phạm vi hình học. Đặc biệt, từ sự nghiên cứu cung và góc, người ta đã nghiên cứu đến hàm số lượng giác thuộc phạm vi đại số.

Chúng tích cụ thể giáo tôi sẽ phân

trình “College Algebra with Trigonometry" của Raymond A. Barnett và tổng hợp một số giáo trình đại học đã tham khảo để làm rõ những TCTH được xây dựng xung quanh các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”. 1.2. Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”

trong các giáo trình ở bậc đại học

1.2.1. Lượng giác trong giáo trình “College Algebra with Trigonometry" của

Raymond A. Barnett

Mở đầu giáo trình, tác giả giới thiệu cách tiếp cận với lượng giác của mình theo sự tiến triển của lịch sử. Đó là lý do mà chúng tôi chọn giáo trình này để phân tích tình huống nảy sinh các tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số.

- Xuất phát từ các hiện tượng trong tự nhiên, nhu cầu đo góc bất kỳ được đưa ra. Người ta đã nghiên cứu đến việc xây dựng góc lượng giác để đáp ứng nhu cầu

 (độ hay radian)

1. Tìm tọa độ của điểm trên tia cuối

của góc . Tìm bán kính R

trên. Đường tròn số mà trên đó xác định các góc tương ứng với hai đơn vị đo góc: độ và radian cũng xuất hiện.

TXĐ (Góc)

cos



a R

- Tác giả đã giới thiệu định nghĩa hàm số lượng giác của góc  bất kỳ dựa vào toạ độ của điểm nằm trên tia cuối của góc với công cụ chủ yếu là mặt phẳng tọa độ và công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác. Cách xây dựng định nghĩa này thể hiện cụ thể qua việc mô tả "máy cosin" với đối số là góc có đơn vị đo như sau:

 

TGT (Số thực)

a R

b a  b a R P(a,b) 2. cos

 

a R

"Máy cosin" [41, tr.355]

* Ứng dụng để tìm dạng lượng giác của số phức: Các tác giả Franklin Demana, Bert K. Waits và Stanley R. Clemens trong

[39] đã giới thiệu6:

P(a,b) a + bi

r

b



a

x

Số phức a + bi xác định một tam giác vuông

"Dạng chung để biểu diễn các số phức liên quan đến các hàm số lượng giác của góc sin, cos . Để xây dựng dạng lượng giác của số phức, chúng ta

sẽ sử dụng cách biểu diễn hình học của số phức.

6 Các trích dẫn do chúng tôi dịch từ bản tiếng Anh.

Số phức a + bi tương ứng với điểm P(a, b) trong mặt phẳng phức.

2 , cos

,sin











Trên hình, chúng ta thấy tam giác vuông được xác định bởi z = a + bi, độ

a r

b  . r

dài ba cạnh của tam giác là a, b, r, với

Do đó: chúng ta có thể viết a + bi = r(cos + i sin )".

[39, tr.445- 446]

* Một tình huống ứng dụng trong ngành kỹ thuật:

y

"Hình minh họa một piston được nối với một bánh xe quay 3 vòng/giây. Từ đây, góc  sẽ là 3(2) =

6/giây hay  = 6t, với t là thời gian tính bằng

y

4

giây. Giả sử P ở (1, 0) khi t = 0, chứng minh rằng:

P(a, b)

sin 6

2 16 (cos 6 ) ,





t 



t 



 0



y = b + 2 4

(1, 0) x

và tìm vị trí của piston khi t = 0,2 s". [41, tr.354]  Nhận xét

- Thuật ngữ "hàm lượng giác" được sử dụng chung để chỉ các hàm sin, cos, tan, cot, csc, ... mà không có sự phân biệt rạch ròi giữa khái niệm hàm số lượng giác và giá trị lượng giác của góc bất kỳ như ngày nay.

7 Trong các giáo trình đại học mà chúng tôi tham khảo, khái niệm hàm số lượng giác của góc trùng với khái niệm giá trị lượng giác của góc bất kỳ trong các SGK môn Toán dạy ở trường phổ thông tại Việt Nam.

- Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” đã vận hành khi xây dựng hàm số lượng giác của góc 7. Đánh dấu cho sự vận hành này là sự xuất hiện của đường tròn định hướng gắn với hệ trục tọa độ. Song song đó, người ta luôn tìm một "tam giác tham chiếu" hay "góc tham chiếu" trong đường tròn định hướng; thao tác trên tọa độ (a, b) của điểm nằm trên đường tròn định hướng và tia cuối của góc khi định nghĩa hàm số lượng giác của góc.

- Vấn đề giải quyết các tình huống trong ngành kỹ thuật đã làm xuất hiện những biến không phải là các góc có đơn vị đo độ và radian. Chính vì thế, tác giả dẫn chúng ta đến một cách tiếp cận mới với hàm số lượng giác - không dựa vào các góc có đơn vị đo. Đó là việc xây dựng định nghĩa hàm số lượng giác - dựa vào các số thực với công cụ đườ ng tròn lượng giác - đường tròn định hướng bán kính đơn vị.

Chúng tôi nhận thấy tác giả giáo trình giới thiệu định nghĩa hàm số lượng

x (số thực)

1. Liên hệ số thực x với góc x

radian

TXĐ (Số thực)

2. Tìm tọa độ của điểm trên tia cuối của góc x. Tìm bán kính R



b R

sin



giác của số thực bằng hai cách: * Cách 1:

TGT (Số thực)

b R

b P(a,b) a x a 3. sinx = sin (x rad) = b R

b

(0, 1)

"Máy sin" * Cách 2:

P (cosx, sinx)

b = sin(x rad) ; 1

sinx = b =

a b x

(-1, 0)

x O

(1, 0) a

a 1

(0, -1)

[41, tr.355-372]

cosx = a = = cos(x rad)

- Chúng tôi chỉ minh họa hai hàm số lượng giác sin và cosin. Cách thứ nhất đã ngầm ẩn sử dụng đường tròn định hướng có bán kính tùy ý, cách thứ hai dùng

đường tròn lượng giác.

- Điểm giống nhau của hai cách là cùng dựa vào hàm số lượng giác của góc có đơn vị đo radian và tọa độ của điểm nằm trên tia cuối của góc, cùng thuộc phạm vi đại số. Việc giải thích cho hai cách trên lại dựa trên phạm vi hình học. Thật vậy:

Từ hệ thức trong hình học phẳng s = r, nếu r = 1 thì s = . Trong trường

hợp này s và  được biểu thị bằng cùng một số thực. Tương ứng tự nhiên giữa góc và cung cũng cho phép sử dụng số đo cung làm số đo góc chắn cung.

- Mặt khác, công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên còn là tri thức về mặt

phẳng tọa độ và khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ.

Hàm

- Đặc trưng của lượng giác trong hàm số là nó luôn đồng hành với công cụ đường tròn lượng giác, nhất là khi xây dựng định nghĩa hàm số lượng giác của số thực và các tính chất của hàm số này. Chính điều đó mà thuật ngữ "hàm số vòng" còn được dùng thay thế cho hàm số lượng giác của số thực. 1.2.2. Các giáo trình đại học khác Chúng tôi sẽ tổng hợp các giáo trình đại học đã tham khảo để tìm hiểu cụ thể cách định nghĩa “hàm lượng giác”.  Định nghĩa bằng tam giác vuông

Định nghĩa

Biểu thức

Tỉ số cạnh đối và cạnh huyền

Sin

Tỉ số cạnh kề và cạnh huyền

Cos

Tỉ số cạnh đối và cạnh kề

Tan

Tỉ số cạnh kề và cạnh đối

Cot

Tỉ số cạnh huyền và cạnh kề

Sec

 Định nghĩa bằng đường tròn đơn vị

Định nghĩa dùng đường tròn đơn vị thật ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa cho mọi góc là số thực, không chỉ giới hạn giữa 0

 2

. và

Định nghĩa

Hàm

sin(θ)

cos(θ)

tan(θ)

y/x

cot(θ)

x/y

sec(θ)

1/x

csc(θ)

1/y

Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt.

 Dùng đại số

Với góc θ là góc giữa đường thẳng nối gốc tọa độ và điểm (x; y) trên vòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ Oxy, các hàm lượng giác có thể được định nghĩa là: Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π radian hay 3600: sin = sin( + 2k); cos = cos( + 2k). Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ. Tan và cot tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 1800.  Dùng hình học

Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng

lên bằng phương pháp hình học trên một

vòng tròn đơn vị có tâm ở O. Hình vẽ cho

thấy định nghĩa các hàm lượng giác cho

góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O

bằng hình học, với θ là nửa cung AB:

Hàm Định nghĩa

Chú thích

Định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người Ấn Độ

sin(θ)

cos(θ)

tan(θ)

Đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "tiếp tuyến"

cot(θ)

sec(θ)

Đường cắt vòng tròn, ý nghĩa này đã mang lại cho cái tên "secant" của hàm, xuất phát từ tiếng La tinh là "đường cắt vòng tròn"

csc(θ)

versin(θ) = 1 − cos(θ)

versin(θ)

exsec(θ) = sec(θ) − 1

exsec(θ)

Hàm sin được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7

Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện trên vòng tròn đơn vị và các tính chất của các hàm lượng giác có thể được chứng minh bằng hình học.  Định nghĩa bằng chuỗi

Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi cho mọi góc x đo bằng giá trị radian thực. Từ hai hàm này, có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng giác còn lại. Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa hàm lượng giác.

Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng như chuỗi Fourier, vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi. Trong bảng bên dưới, quy ước: En là số Euler thứ n , Un là số lên/xuống thứ n.

Hàm

Định nghĩa

Cụ thể





Sin(x)



( 1)  n ( 2

1) !

x 



Cos(x)

Tan(x)

Cot(x)

Sec(x)

Csc(x)

 Trên trường số phức

1 .

Từ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là phần , với i là đơn vị ảo, i = ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo:

Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức, gồm các điểm z = eix thì các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.

;

Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực:

 Định nghĩa bằng phương trình vi phân

Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:

Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân: y'' = - y. Các hàm này

là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng.

Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V.

Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.

Như vậy, xét về lý thuyết trong giáo trình ở bậc đại học, có nhiều cách tiếp cận với hàm lượng giác thuộc các phạm vi đại số, hình học và giải tích. Tri thức lượng giác được trình bày theo trình tự:

Lượng giác “trong tam giác” Lượng giác “trong đường tròn” Lượng giác “trong hàm số” Phạm vi hình học Phạm vi đại số

Bước chuyển từ giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số trong giáo trình

đại học có những đặc trưng gì?

Trong khi tiếp cận với lượng giác trong hàm số, tác giả giáo trình đại học này cũng như hầu hết các giáo trình khác không thể không nhờ đến sự h ỗ trợ của lượng giác trong đường tròn.

Đâu là mâu thuẫn thúc đẩy sự phát triển của lượng giác trong hàm số? Có hay không mâu thuẫn giữa "cái cũ" (hàm số lượng giác có đối số là góc có đơn vị đo) và "cái mới" (hàm số lượng giác có đối số là số thực)?

Việc làm rõ các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác hiện diện trong giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số ở các giáo trình đại học sẽ cho phép chúng tôi phân tích sâu sắc hơn tính kế thừa và gián đoạn trong bước chuyển trên. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ làm rõ chức năng của các bài toán lượng giác trong

giai đoạn đường tròn đối với giai đoạn hàm số.

Qua việc tổng hợp các giáo trình ở bậc đại học, chúng tôi thấy tồn tại các

TCTH liên quan đến "hai lượng giác" được ưu tiên sau đây:

1.2.3. Các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong đường tròn”

Các kiểu nhiệm vụ T*, kỹ thuật τ*, công nghệ θ* tương ứng như sau:

 và độ dài đường tròn s = 2r.

θ*11: Công thức tìm số đo cung tròn

s r

 T*1: Chuyển đổi giữa radian và độ, có 2 kỹ thuật giải quyết: τ*11: Áp dụng công thức π = 1800.

τ*12: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng tính Brađixơ.  T*2: Tìm góc , có 2 kiểu nhiệm vụ con và kỹ thuật tương ứng như sau: ♦ T*21: Tìm góc  khi biết nó có cùng tia cuối với góc cho trước, τ*21: Cộng thêm hoặc trừ đi k2π vào góc đã cho (k  (cid:0) ). θ*21: Tính chất của góc lượng giác: "Nếu  là số đo của một góc, có một số

nguyên k và ' sao cho  = ' + k2π".

Ví dụ: Tìm góc  tương ứng với 16  biết 0 ≤  < 2π . [38, tr. 343] 3

♦ T*22: Tìm góc  khi biết một giá trị của hàm số lượng giác của góc đó, τ*22: Dùng máy tính bỏ túi hay bảng Brađixơ.

3: Tìm độ dài cung tròn biết bán kính và góc chắn cung đó

4: Tính diện tích A của hình quạt tròn biết bán kính và góc giữa

r2.  T* τ*3: Đổi số đo góc từ độ sang radian, áp dụng công thức s = r. θ*3 = θ*11.  T* τ*4: Đổi số đo góc từ độ sang radian, rồi áp dụng công thức A= 1 2

θ*4 = θ*11.  T*

5: Tìm vận tốc góc của vòng tròn hay vận tốc dài của 1 điểm di chuyển trên

đường tròn khi biết bán kính và số vòng quay

τ*5: Áp dụng công thức ω = 2πn với n là số vòng quay và v = ωr. θ*5 = θ*11.

 T* Ví dụ: Một bánh xe bán kính 18 đang quay khoảng 850 vòng/phút. Xác định: Vận tốc góc của bánh xe và vận tốc dài của 1 điểm trên đường tròn bánh xe. [39, tr.164] 6 : Tìm các giá trị của hàm số lượng giác của góc , có 3 kiểu nhiệm vụ

con sau:

♦ T*61: Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc  khi biết tọa độ (x, y) của

2 x

2 y

điểm trên tia cuối,

, τ*61: - Áp dụng công thức trong định nghĩa tính r =

x r

, cos= , ... , tan = y x - Thay vào sin= y r , cot = x y

θ*61: Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ và định lý Pitago: "Bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông".

♦ T*62: Tìm các giá trị của hàm số lượng giác khác của góc  khi biết một hoặc

hai giá trị của hàm số lượng giác của góc đó,

 . Tìm các giá trị lượng giác khác của góc  biết

Ví dụ: Cho sin = τ*62a: - Áp dụng các công thức cơ bản, hệ thức lượng giác, - Xét dấu các giá trị lượng giác của góc . τ*62b: Sử dụng đường tròn lượng giác. θ*62 = θ*61: Định lý Pitago và định nghĩa góc lượng giác. 1 4

tan > 0. [36, tr. 352]

♦ T*63: Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc  khi biết số đo của góc , τ*63a: - Vẽ tia cuối của góc đó trên hệ trục tọa độ, - Tìm góc tham chiếu là góc nhọn rồi áp dụng vào công thức trong định

nghĩa hàm số lượng giác của góc.

7: Xác định dấu của các hàm số lượng giác của góc8

θ*63a: Định nghĩa góc lượng giác và tỉ số lượng giác trong tam giác. τ*63b : Dùng bảng Brađixơ hoặc máy tính bỏ túi.  T* τ*71: - Biểu diễn góc lượng giác, - Tính giá trị của hàm số lượng giác của góc, tìm dấu của hàm số lượng

giác.

τ*72: - Áp dụng các hệ thức liên hệ để tìm giá trị hàm số lượng giác của góc. - Suy ra dấu của hàm số lượng giác. θ*7: Định nghĩa hàm số lượng giác của góc và tính chất của góc lượng giác.  Nhận xét

- Kiểu nhiệm vụ T*6: "Tìm các giá trị của hàm số lượng giác của góc " được ưu tiên trong các giáo trình ở bậc đại học mà chúng tôi chọn tham khảo trong mục này.

360 

- Kiểu nhiệm vụ T*22: "Tìm góc  khi biết một giá trị của hàm số lượng giác của góc đó" với số lượng bài tập rất hiếm, thường được giới hạn miền xác

định của góc là từ nên  tìm được chỉ có một hoặc hai giá trị.

- Các kỹ thuật thiên về dùng công thức lượng giác cơ bản và bảng lượng giác

được ưu tiên trong việc tính toán bằng đơn vị đo radian.

- Đặc trưng trong việc giải thích cho các kỹ thuật là dựa vào quan điểm hình

học.

8: Khảo sát các hàm số lượng giác9, có 7 kiểu nhiệm vụ con như sau:

8 Như đã ghi chú ở trên, trong giáo trình đại học, hàm số lượng giác của góc trùng với giá trị lượng giác của

góc bất kỳ

9 Hàm số lượng giác có biến số thực

1.2.4. Các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số”  T* ♦ T*81: Tìm miền xác định của hàm số lượng giác, với 2 kỹ thuật: τ*81a: "Phương pháp đại số". τ*81b: Dùng đường tròn đơn vị hay đồ thị suy ra tập xác định. θ*81b = θ*7 + Định nghĩa hàm số lượng giác.

♦ T*82: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số lượng giác, τ*82a: "Phương pháp đại số": Biến đổi đại số đưa về dạng f(x + T) = f(x). τ*82b: Áp dụng "phương pháp đồ thị". θ*82: Định nghĩa hàm số tuần hoàn. ♦ T*83: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác, τ*83: - Tìm tập xác định (TXĐ), với x TXĐ, xét -x TXĐ? - Xét f(-x) = f(x): hàm số chẵn, f(-x) = -f(x): hàm số lẻ. θ*83: Tính chất chẵn - lẻ của hàm số. ♦ T*84: Tìm giá trị của hàm số lượng giác, với 5 kỹ thuật: τ*84a: Áp dụng tri thức về số đo độ. θ*84a: Định nghĩa số đo radian. Ví dụ: Tìm sin 9π Giải: Ta có sin 9π = sin(9.1800) = sin16200. Tia cuối của vòng quay 16200

hay 9π nằm trên tia x ở phần âm. Do đó: sin 9π = 0.

[40, tr.407]

τ*84b: Sử dụng máy tính. τ*84c: Sử dụng đường tròn đơn vị. θ*84c = θ*81b.

Ví dụ: Cho f(t) = sin t và g(t) = cos t. Sử dụng đường tròn đơn vị để tìm giá

trị của các hàm số f và g với t = 5  . [39, tr.343] 6

τ*84d: Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác. [39, tr.345] τ*84e: Dùng công thức số gia của hàm số khả vi: f(x0 + ∆x)  f(x0) + f'(x0)∆x. θ*84e : Định nghĩa đạo hàm của hàm số. ♦ T*85: Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác,

Về vấn đề khảo sát sự biến thiên của một hàm số, Ngô Thúc Lanh đã nêu:

"Khảo sát sự biến thiên của một hàm số là phân chia miền xác định của nó thành những khoảng trong đó hàm số là đơn điệu và nêu rõ chiều biến thiên của hàm số trong các khoảng ấy". [21, tr.94]

Chúng tôi thấy có hai kỹ thuật để giải quyết:

τ*85a: Dùng "phương pháp đại số" (Đặt ẩn phụ, tìm TXĐ, lập bảng giá trị,...)

1 cos x

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = cosx - . [21, tr. 96]

τ*85b: Dựa vào đường tròn lượng giác (Tìm TXĐ, xét tính tuần hoàn và tìm chu

kỳ, tính chẵn- lẻ, xét sự biến thiên)

9: Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác

θ*85: Định nghĩa hàm số lượng giác và các tính chất của hàm số lượng giác. ♦ T*86: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác, τ*86: - Biến đổi đưa về dạng chứa một hàm số lượng giác, - Dùng tính chất tập giá trị của hàm số lượng giác suy ra. θ*86 = θ*81b.  T* τ*91: - Dùng "phương pháp vẽ từng điểm", - Xét tính biến thiên của hàm số, dựa vào đường tròn lượng giác và vẽ đồ

thị.

10: Giải các phương trình lượng giác, có 3 kỹ thuật tương ứng:

τ*92: Dùng máy tính với chương trình vẽ đồ thị. θ*9 = θ*82.  T* τ*10a: Dùng "phương pháp đồ thị":

- Vẽ đồ thị của hàm số lựơng giác và y = a trên cùng hệ trục toạ độ, - Xét vị trí tương đối giữa hai đồ thị rồi kết luận tập nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình sinx = 0,8. [39, tr.242] τ*10b: Dùng máy tính bỏ túi. τ*10c: Dùng "phương pháp đại số" và áp dụng các hệ thức lượng giác. θ*10 = θ*7 + θ*85 + θ*82. Ví dụ: Giải phương trình 2sin2x - sinx - 1 = 0 với 00 ≤ x < 3600. [42, tr. 454]  Nhận xét

- Kiểu nhiệm vụ "Khảo sát hàm số lượng giác" và "Giải phương trình lượng giác" được ưu tiên. Công cụ đường tròn lượng giác luôn song hành cùng các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trên. Một đặc trưng của kỹ thuật là được giải thích dựa vào quan điểm đại số.

- Kiểu nhiệm vụ T*84: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác của số thực" đồng nhất với kiểu nhiệm vụ T*63: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc  khi biết số đo của góc " trong TCTH liên quan đến lượng giác trong đường tròn.

- Đối với kiểu nhiệm vụ T*

10: "Giải các phương trình lượng giác", kỹ thuật giải quyết dùng đồ thị được ưu tiên. Tuy nhiên, chúng tôi thấy xuất hiện rất nhiều trường hợp "Giải phương trình lượng giác" nhưng tập xác định là các góc có đơn vị đo.

Phải chăng đây là mâu thuẫn giữa hai khái niệm hàm số lượng giác của góc có đơn vị đi kèm và hàm số lượng giác của số thực trong việc xây dựng TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ T*

10:"Giải các phương trình lượng giác"?

- Việc xây dựng các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số” không chỉ dựa vào các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong đường tròn” (công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi hình học) mà còn dựa vào các tri thức liên quan đến hàm số trong đại số (công nghệ giải thích cho kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ thuộc phạm vi đại số).

1.2.5. Đặc trưng của bước chuyển từ TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số”

- Kiểu nhiệm vụ T* 84 : "Tìm giá trị của hàm số lượng giác biến số thực" được giải quyết thông qua kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T* 63: "Tìm giá trị của hàm số lượng giác của góc khi biết số đo của góc ".

- Khi xây dựng TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ T*81: "Tìm miền xác định của hàm số lượng giác" và T* 10: "Giải phương trình lượng giác", công nghệ giải thích cho các kỹ thuật là định nghĩa hàm số lượng giác của góc - tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn.

- Bản chất của các bài toán lượng giác ở giai đoạn đường tròn là tính toán các

giá trị cụ thể; đặc trưng tương ứng của hàm số lượng giác còn ngầm ẩn.

Sang giai đoạn hàm số, việc tính toán các giá trị cụ thể chỉ đóng vai trò là kỹ thuật khi xét kiểu nhiệm vụ phức tạp hơn, tổng quát hơn - quan tâm đến đặc trưng tương ứng, biến thiên và phụ thuộc của khái niệm hàm số lượng giác biến số thực. Từ đó, các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ ở giai đoạn hàm số cũng phức tạp, chủ yếu được giải thích dựa vào tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác.

- Công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ ở giai đoạn đường tròn chủ yếu thuộc phạm vi hình học. Sang giai đoạn hàm số, công nghệ chủ yếu thuộc phạm vi đại số.

- Tồn tại mâu thuẫn giữa hai khái niệm hàm số lượng giác của góc có đơn vị

Bằng sự tổng hợp các TCTH được ưu tiên trong các quyển sách trên cho phép chúng tôi nêu lên các TCTH tham chiếu OMC và OMf liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” qua bảng tóm tắt sau:

đo và của biến số thực. 1.3. Kết luận chương 1

Bảng 1.1: Bảng tóm tắt các TCTH tham chiếu liên quan đến các tri thức

lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”

TCTH

T

T* 2 Tìm góc 

T* 8 Khảo sát các hàm số lượng giác

T* 1 Chuyển đổi giữa radian và độ

OMC T* 3 Tìm độ dài cung tròn

T* 7 Xác định dấu của các hàm số lượng giác của góc

OMf T* 9 Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác

T* 10 Giải phương trình lượng giác

T* 6 Tìm các giá trị của hàm số lượng giác của góc 

τ

τ*3

τ*71 τ*72

τ*21 τ*22

τ*11 τ*12

τ*10a τ*10b τ*10c

τ*61 τ*62a τ*62b τ*63a τ*63b

τ*91 τ*92 τ*93

τ*81a τ*81b τ*82a τ*82b τ*83 τ*84a τ*84b τ*84c τ*84d τ*84e τ*85a τ*85b τ*86

Θ

θ*11

θ*21

θ*7

θ*7 θ*82 θ*85 θ*83

θ*3 = θ*11

θ*61 θ*63a

θ*9 = θ*82

θ*10 = θ*7 + θ*85 + θ*82

Phân tích sơ lược lịch sử lượng giác và các giáo trình ở bậc đại học đã cho thấy trình tự xuất hiện của "hai lượng giác"10: từ lượng giác “trong đường tròn” đến lượng giác “trong hàm số”. Chúng tôi nhận thấy: Khi chuyển từ TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác trong giai đoạn đường tròn sang các tri thức lượng giác trong giai đoạn hàm số, người ta đã xem các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường tròn” có vai trò kết nối rất quan trọng. Song song với điều đó, việc đưa vào các tri thức lượng giác “trong hàm số” luôn dựa vào quan điểm đại số. Các kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật giải quyết tương tự như hàm số bậc nhất, bậc hai trong đại số; xét biến số là các số thực (không có đơn vị đo) trong khi ẩn của các phương trình lượng giác là số đo góc (cung) có đơn vị đo. Liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”, khi chuyển từ tri thức ở bậc đại học sang tri thức cần giảng dạy, noosphère đã thực hiện sự chuyển đổi như thế nào? Sự kế thừa và gián đoạn của bước chuyển từ TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn sang các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số có sự chuyển đổi ra sao? GV và HS ứng xử như thế nào khi trải qua bước chuyển này? Việc phân tích các TCTH cần giảng dạy ở chương 2 trên cơ sở TCTH tham chiếu đã xây dựng sẽ cho phép trả lời các câu hỏi trên và các câu hỏi đã đặt ra trong phần mở đầu. 10 Các tri thức lượng giác gắn với đường tròn lượng giác và hàm số lượng giác

Mục đích của chương 2 là thực hiện một nghiên cứu về mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”, nghĩa là chúng tôi sẽ giải quyết các câu hỏi tiếp theo được đặt ra trong phần mở đầu như sau:

Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI CÁC TRI THỨC LƯỢNG GIÁC “TRONG ĐƯỜNG TRÒN” VÀ “TRONG HÀM SỐ”

Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic có thể được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình tiếp cận với các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn trên?

Liên quan đến câu hỏi Q2, trong một số trường hợp cụ thể, chúng tôi sẽ tìm cách giải thích ý định của "noosphère" ẩn sau những điều kiện và ràng buộc này. 2.1. Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số”

trong các chương trình THPT

Nội dung "lượng giác" trong các chương trình phổ thông đã được Nghiêm Thị Xoa nghiên cứu và trình bày trong luận văn với đề tài "Máy tính bỏ túi và lượng giác trong dạy học chủ đề Giải tam giác" (2006). Song, để trả lời phần đầu cho câu hỏi Q2, chúng tôi sẽ phân tích các chương trình 1990, 2000, hiện hành 2007 gắn với lượng giác trong đường tròn và lượng giác trong hàm số.



180 

2.1.1. Chương trình THPT 1990 . Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”

 Lớp 10: Trong chương trình Hình học, lượng giác chỉ xuất hiện với tư cách là công cụ tính toán chủ yếu trong hình học. Chương trình giới thiệu khái niệm hàm số lượng giác của một góc  11 ( 0  ). Khái niệm này được trình bày dựa vào lượng giác trong tam giác đã học ở lớp 8 - tỉ số lượng giác của góc nhọn kết hợp với mặt phẳng tọa độ và tọa độ của điểm. Sau đó, vận dụng trong việc xây dựng tích vô hướng của hai vectơ, hệ thức lượng trong tam giác và đường tròn.

 Lớp 11: Trong chương trình Đại số và Giải tích, phần đầu, chương trình đưa vào các định nghĩa cung (góc) định hướng, số đo cung (góc) định hướng, đường tròn lượng giác, radian ... Lượng giác trong đường tròn đã xuất hiện tường minh để chuẩn bị cho việc đưa vào lượng giác trong hàm số. . Các tri thức lượng giác “trong hàm số”

11 Trong chương trình 1990, hàm số lượng giác của góc được dùng như giá trị lượng giác của góc.

 Lớp 11: Tiếp trên, định nghĩa hàm số lượng giác của cung (góc) được trình bày dựa vào tọa độ của điểm trên đường tròn lượng giác. Song song với định nghĩa

hàm số lượng giác của cung (góc) là việc giới thiệu hàm số lượng giác của cung (góc) liên kết, hàm số tuần hoàn, tính chất tuần hoàn, đơn điệu của hàm số lượng giác, đồ thị, công thức lượng giác; định nghĩa phương trình lượng giác cơ bản, vận dụng chúng để giải các phương trình lượng giác khác, hệ phương trình lượng giác, bất đẳng thức và bất phương trình lượng giác. Kế đến, chương trình tiếp tục đưa vào các hàm số lượng giác ngược cùng đồ thị và ý nghĩa của chúng xen kẽ trong chương III - Ánh xạ và hàm số. Sau đó, hàm số lượng giác được vận dụng trong ví dụ và bài tập của chương IV - Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục.

 Lớp 12: Lượng giác trong hàm số tiếp tục được vận dụng trong phần tính

đạo hàm, tích phân của các hàm lượng giác thuộc phạm vi giải tích.

2.1.2. Chương trình THPT chỉnh lý hợp nhất 2000 . Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”



180 

 ) dựa vào tọa độ của điểm trên nửa đường lượng giác của góc bất kỳ ( 0 tròn đơn vị. Có sự đồ ng nhất hai khái niệm tỉ số lượng giác của góc và giá trị lượng giác của góc. Lượng giác vận dụng trong tích vô hướng của hai vectơ, các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn.

 Lớp 10: Trong Hình học, có thay đổi thuật ngữ, đưa vào định nghĩa tỉ số

 Lớp 11: Trong Đại số và Giải tích, phần đầu, chương trình giới thiệu các định nghĩa góc và cung lượng giác, số đo của chúng, đường tròn lượng giác và giá trị lượng giác của cung. . Các tri thức lượng giác “trong hàm số”

 Lớp 11: Tiếp theo là việc định nghĩa hàm số lượng giác của biến số thực dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của cung. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt cũng được giới thiệu. Định nghĩa hàm số tuần hoàn, đồ thị của hàm số tuần hoàn xen kẽ với xét tính tuần hoàn, biến thiên, đồ thị của các hàm số lượng giác của biến số thực. Công thức lượng giác, công thức biến đổi và phương trình, hệ phương trình lượng giác cũng được trình bày.

 Lớp 12: Tương tự như chương trình 1990, vận dụng trong phần tính đạo

hàm, tích phân của các hàm lượng giác thuộc phạm vi giải tích.

2.1.3. Chương trình THPT hiện hành 2007 . Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”

 Lớp 10: Lượng giác đưa vào cả chương trình hình học và đại số. Đây là thay đổi mới của chương trình lần này. Tinh thần chung của chương trình mới là giảm nhẹ các tính toán lượng giác phức tạp.



180 

 ) dựa vào tọa độ của điểm trên giá trị lượng giác của một góc bất kỳ ( 0 nửa đường tròn đơn vị. Lượng giác cũng được vận dụng trong xây dựng tích vô hướng của hai vectơ, các hệ thức lượng trong tam giác. Trong chương trình Đại số lớp 10, các định nghĩa góc và cung lượng giác, đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác lần lượt được trình bày. Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt, một số công thức lượng giác cũng được giới thiệu trong chương trình lần này.

Chương trình Hình học lớp 10 cả hai ban nâng cao và cơ bản định nghĩa về

"Phần lượng giác lớp 10 nhằm làm cho học sinh quen dần với các công thức lượng giác cơ bản, công thức cộng, công thức nhân đôi ... để đến đầu lớp 11 tiến hành khảo sát các hàm số lượng giác và giải phương trình lượng giác".

[26, tr.242] Chương trình gợi ý về dạy học cho giáo viên là:

"Giúp học sinh hiểu về cung và góc lượng giác, mặt khác nhấn mạnh ý nghĩa của việc xác định vị trí của điểm trên đường tròn lượng giác nhờ số thực". [26, tr.254]

. Các tri thức lượng giác “ trong hàm số”

 Lớp 11:

"Lượng giác lớp 11 là sự nối tiếp chương trình lượng giác lớp 10. Đặc điểm đó đòi hỏi giáo viên phải lưu ý nhắc lại hay gợi mở cho học sinh nhớ lại các kiến thức ở lớp 10 có liên quan đến bài học để dễ dàng tiếp thu kiến thức mới".

[29, tr.16] Chương trình lớp 11 tiếp tục cung cấp cho học sinh một cách hệ thống những kiến thức và kỹ năng về việc khảo sát các hàm số lượng giác và giải phương trình lượng giác cơ bản. Vận dụng trong việc tìm đạo hàm của hàm số lượng giác.

 Lớp 12: Chương trình giới thiệu nội dung mới so với các chương trình năm 1990, 2000. Đó là "Số phức"- một nội dung nằm giao nhau giữa Đại số và Hình

học. Lượng giác được trình bày khi xét dạng lượng giác của số phức trong SGK Giải tích 12 (chương trình thí điểm 2003).

Bảng 2.1: Bảng tóm tắt nội dung lượng giác qua các chương trình

 Đối với giai đoạn giảng dạy lượng giác “trong đường tròn”

Kiểu nhiệm vụ chủ yếu và đặc trưng

Lớp

Phạm vi hoạt động

Chương trình

Hình học

- Định nghĩa hàm số lượng giác của góc [00,1800] dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Đại số

CCGD 1990

- Chuyển đổi đơn vị đo radian và độ, - Biểu diễn cung định hướng trên đường tròn lượng giác, - Tìm độ dài của cung vạch bởi một điểm trên đường tròn định hướng, - Xác định một điểm trên đường tròn lượng giác ứng với một cung định hướng, - Xác định các hàm số lượng giác của cung (góc) định hướng bằng cách chiếu một điểm trên đường tròn lượng giác xuống các trục, dựa vào độ dài đại số của vectơ trên các trục.

Hình học

- Tính góc giữa hai đường thẳng, đường thằng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng.

Hình học

- Sử dụng thuật ngữ hàm số lượng giác của góc là giá trị lượng giác của góc. - Định nghĩa giá trị lượng giác của góc [00, 1800] bằng tọa độ trên nửa đường tròn lượng giác.

CLHN 2000

Đại số

- Tương tự chương trình CCGD 1990. - Tuy nhiên, xác định các hàm số lượng giác của cung bằng tọa độ của điểm trên đường tròn lượng giác.

Hình học

Tương tự chương trình lớp 11 CCGD 1990.

Hình học

- Tương tự chương trình lớp 10 CLHN 2000.

Đại số

Thí điểm 2003 và Hiện

- Tương tự chương trình lớp 11 CLHN 2000 -Thay đổi thuật ngữ hàm số lượng giác của cung(góc) là giá trị lượng giác của góc(cung).

hành 2007

- Trình bày tường minh tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác.

Hình học

Tương tự chương trình lớp 11 CLHN 2000.

Đại số

- Viết dạng lượng giác của số phức.

 Đối với giai đoạn giảng dạy lượng giác ”trong hàm số”

Lớp

Kiểu nhiệm vụ chủ yếu và đặc trưng

Chương trình

Phạm vi hoạt động

- Gián tiếp đưa vào định nghĩa hàm số lượng giác của biến số thực bằng toạ độ của điểm trên đường tròn lượng giác. - Tìm TXĐ của các hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược. - Khảo sát tính chẵn- lẻ của các hàm số lượng giác. - Tìm chu kì và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác.

Đại số

- Giải phương trình, bất phương trình lượng giác cơ bản, ẩn x là số thực chỉ số đo của một cung (góc) định hướng; giải hệ phương trình lượng giác.

Giải tích

- Tìm giới hạn của hàm số chứa các hàm số lượng giác. - Xét tính liên tục của hàm số chứa các hàm số lượng giác.

12 Giải tích

CCGD 1990

- Tìm đạo hàm của hàm số lượng giác tại một điểm x. - Tìm giá trị lớn nhất(GTLN) - giá trị nhỏ nhất(GTNN) của các hàm số lượng giác. - Tìm nguyên hàm, tích phân của các hàm số lượng giác.

Đại số

- Tương tự chương trình CCGD 1990 nhưng lượt bỏ hàm số lượng giác ngược, bất phương trình lượng giác. - Việc đưa vào hàm số lượng giác của biến số thực dựa vào tương ứng 1-1 số thực và giá trị lượng giác của cung một cách tường minh.

CLHN 2000

Giải tích

- Tương tự chương trình CCGD 1990 nhưng lượt bỏ hàm số lượng giác ngược.

12 Giải tích

- Tương tự chương trình CCGD 1990 nhưng lượt bỏ hàm số lượng giác ngược.

Đại số

Thí điểm 2003 và Hiện hành

- Tương tự chương trình CLHN 2000. - Việc đưa vào hàm số lượng giác của biến số thực dựa vào tương ứng 1-1 số thực và giá trị lượng giác của cung bằng công cụ đường tròn lượng giác kết hợp với hệ trục toạ độ. - Khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác bằng cách theo dõi chuyển động của điểm trên đường tròn lượng giác

2007

Giải tích

- Tính đạo hàm của hàm số chứa các hàm số lượng giác. - Xét tính liên tục, tìm giới hạn của hàm số chứa các hàm số lượng giác.

12 Giải tích

- Tính nguyên hàm, tích phân của hàm số chứa các hàm số lượng giác.

2.1.4. Một số kết luận

Qua nghiên cứu chương trình THPT, ngoài việc thay đổi một số thuật ngữ và giảm tải một số nội dung, các nhà soạn thảo chương trình rất quan tâm đến lượng giác ở bậc THPT bởi nó có nhiều ứng dụng trong đời sống và môn học khác như Vật lý, Kỹ thuật.

Chương trình môn Toán THPT qua các thời kỳ đều đưa các tri thức lượng giác vào theo trình tự: từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” đến tri thức

lượng giác “trong hàm số”.

Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”và “trong hàm số” qua các chương trình được giới thiệu trong các phạm vi khác nhau gắn với hàng loạt chủ đề như vectơ, số phức, hàm số tuần hoàn, phương trình, giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân ...

Mặt khác, dù không phân tích chi tiết chương trình môn Vật lý ở THPT nhưng chúng tôi xét thấy: Trong chương trình và SGK Vật lý ở trường THPT qua các thời kỳ, các tri thức lượng giác được vận dụng rất nhiều trong lý thuyết cũng như bài tập thuộc các chủ đề như: Sóng cơ học, Quang học, Sự quay ... Điều này cũng cho thấy hệ sinh thái của các tri thức lượng giác rất phong phú.

Với trình tự trình bày trong chương trình và SGK của các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn như thế, bước chuyển từ giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang giai đoạn giảng dạy các tri thức lượng giác “trong hàm số” có đặc trưng gì?

Việc phân tích lý thuyết xen kẽ với bài tập trong SGK kết hợp với việc làm rõ các TCTH liên quan với các tri thức lượng giác trong từng giai đoạn sẽ cho phép trả lời câu hỏi trên.

2.2. Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” và “trong hàm số” ở

SGK

Chúng tôi sẽ tập trung phân tích SGK lớp 10 và SGK lớp 11, ban nâng cao

(chương trình hiện hành). Để thuận tiện, chúng tôi dùng ký hiệu: M10 để chỉ SGK Đại số 10, ban nâng cao, do Đoàn Quỳnh chủ biên, MH10 để chỉ SGK Hình học 10, ban nâng cao, do Đoàn Quỳnh chủ biên, M11 để chỉ SGK Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao, do Đoàn Quỳnh chủ biên. Trong nhiều trường hợp, chúng tôi sẽ tham khảo SGV và SBT. Ký hiệu: G10, G11 ứng với SGV Đại số 10 và SGV Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao. E10, E11 ứng với SBT Đại số 10 và SBT Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao.

2.2.1. Các tri thức lượng giác “trong đường tròn” ở SGK Hình học, Đại số 10 . Phần lý thuyết

0 180 )

Trong MH10, chương 2 - Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng bao gồm: §1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ [00 ,1800], §2. Tích vô hướng của hai vectơ, §3. Hệ thức lượng trong tam giác. Nổi bật trong phần lý thuyết của chương là định nghĩa giá trị lượng giác của







một góc dựa vào tọa độ của điểm M nằm trên nửa đường tròn đơn

vị trong hệ toạ độ Oxy sao cho (cid:0)MOx  . SGK chọn lựa cách định nghĩa này sẽ

"tạo thuận lợi hơn khi sau này định nghĩa giá trị lượng giác của góc lượng giác bất kỳ". [4, tr. 56] Trong M10, chương 6 - Góc lượng giác và công thức lượng giác bao gồm: §1. Góc và cung lượng giác, §2. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác, §3. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác có liên quan đặc biệt, §4. Một số công thức lượng giác. Mục tiêu về kỹ năng của chương là:

"Giúp học sinh biết cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn số thực , từ đó xác định sin, cos, tan, cot (dấu, ý nghĩa hình học, giá trị bằng số) và mối liên quan giữa chúng". [26, tr. 241]

Trong SGK Đại số lớp 10 , ban cơ bản, tác giả viết:

"Trong chương này, học sinh được cung cấp các khái niệm về đường tròn định hướng, cung và góc lượng giác (mở rộng khái niệm cung và góc hình học) chuẩn bị cho việc xây dựng các hàm số lượng giác lớp 11" .

[11, tr. 32] Như thế, những tri thức lượng giác cần giảng dạy cụ thể nào ở giai đoạn đường tròn chuẩn bị cho việc dạy học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số?  Các tri thức lượng giác “trong đường tròn”  Khái niệm số đo (bằng độ, radian) của góc (cung) lượng giác

M10 đưa vào số đo mới là radian - "một đơn vị được sử dụng nhiều trong

toán học, khoa học và kỹ thuật, tỏ ra thuận lợi khi tính độ dài cung tròn".

Sau hoạt động dùng để minh họa, M10 chứng minh và đưa ra công thức liên



a 1 8 0

quan giữa số đo radian và số đo độ của một cung tròn:

với  là số đo radian, a là số đo độ.  

"Sau khi đưa ra định nghĩa số đo radian nên nói ngay tác dụng thuận tiện của radian. Ví dụ công thức đo độ dài cung tròn l =  R ( đo bằng

radian). Với hệ thống đơn vị radian, việc khảo sát các hàm số lượng giác và nhiều công thức tính toán sẽ được đơn giản hơn". [24, tr. 58-59] Như vậy, lượng giác lớp 10 giới thiệu đơn vị đo radian với mục đích chủ

yếu là chuẩn bị cho việc khảo sát các hàm số lượng giác sau này.  Góc (cung) lượng giác và số đo của chúng

M10 đã dùng "chuyển động quay tròn theo một chiều" để mô tả, giới thiệu

khái niệm góc (cung) lượng giác một cách trực giác.

"Không nên quá nhấn mạnh vào định nghĩa chính xác góc (cung) lượng giác. Tinh thần của sách giáo khoa là thông qua các hoạt động và ví dụ mô tả, giới thiệu dần để ngày càng hiểu tốt hơn". [26, tr. 244]

Vì sao lại có sự lựa chọn sư phạm như vậy? Chúng tôi sẽ tìm cách trả lời qua

quan điểm của các tác giả M10 thể hiện trong G10 như sau:

[26, tr.244] "Nắm vững khái niệm cung và góc lượng giác thì mới có cơ sở để hiểu được các tính chất của hàm số lượng giác, đặc biệt là tính chất tuần hoàn". [24, tr.48- 49]  Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

"Khái niệm góc, cung lượng giác khó có thể định nghĩa chính xác ở cấp THPT ... Trong việc giới thiệu góc lượng giác (Ou; Ov) và số đo của nó, ta dùng trực giác: tia quay (luôn cùng chiều) từ Ou đến trùng với Ov. Hiện tượng cơ học này học sinh thường gặp ... Chính số đo, độ dài cung tròn là cơ sở trực giác để xây dựng khái niệm số đo cung lượng giác" ...

Trước khi đưa vào định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác,

[24, tr. 48]

M10 đưa vào định nghĩa đường tròn lượng giác. "Nắm được đường tròn lượng giác thì dễ dàng hiểu được định nghĩa các hàm số lượng giác, hệ thức liên quan, giải phương trình lượng giác cơ bản và biểu diễn các nghiệm của phương trình lượng giác trên đường tròn lượng giác" ...

Như vậy, đường tròn lượng giác có vai trò quan trọng - đơn giản hoá trong việc đưa vào khái niệm hàm số lượng giác ở lớp 11, là "công cụ đắc lực giúp cho học sinh nhớ các công thức một cách thông minh" [24, tr.28]. Ngoài khái niệm đường tròn lượng giác, bằng cách nào có thể đưa vào định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác?

Tác giả SGK đã đưa vào tính chất "tương ứng giữa số thực và điểm trên

tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo . Ta nhận xét ngay rằng:

Ứng với mỗi số thực α có một điểm trên đường tròn lượng giác (điểm xác định bởi số đó) tương tự như trên trục số. Tuy nhiên, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số số thực. Các số thực đó có dạng + k2π, k (cid:0) ".

[25, tr.193]  Nhận xét

đường tròn lượng giác" như sau: "Điểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) =  gọi là điểm xác định bởi số  (hay bởi cung , hay bởi góc ). Điểm M còn được gọi là điểm trên đường

- M10 chuẩn bị tri thức cho việc đưa vào hàm số lượng giác thông qua tính chất

"tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác".

Sau khi định nghĩa đường tròn lượng giác, tác giả giới thiệu hoạt động 1 mà

 mãn sđ AM

= . Hỏi:

a) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A trên đường tròn lượng giác? b) Các điểm nào trên trục số At đến trùng với điểm A' trên đường tròn lượng giác (A' là điểm đối xứng của A qua tâm O của đường tròn)? Hai điểm tùy ý trong số các điểm đó cách nhau bao nhiêu ?

[25, tr.193]

theo chúng tôi, nó có ý nghĩa rất quan trọng. Hoạt động 1: Hãy xét trục số At (gốc A) là tiếp tuyến của đường tròn lượng giác tại A, hình dung At là một sợi dây và quấn dây đó quanh đường tròn lượng giác như hình vẽ: Điểm M1 trên trục At có tọa độ α đến trùng với điểm M trên đường tròn lượng giác thoả

Hoạt động trên tương tự như hoạt động trong SGK Đại số 10, ban cơ bản.

Một chú ý về hoạt động trong SGV Đại số 10 này như sau:

π

 2

"Về thực chất, hoạt động này mô tả một ánh xạ từ tập số thực trên trục số lên tập các điểm trên đường tròn, đồng thời cũng chuẩn bị cho việc nêu khái niệm hàm số lượng giác biến số thực sau này". [12, tr.159] M1(α)

M

 2

A

A'

O

 2

Để định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác có thể dùng nhiều phương pháp như phương pháp vectơ, đường tròn lượng giác, phương pháp giải tích, phương pháp tiên đề ...

Nếu trong SGK vào thập niên 70 chọn phương pháp vectơ để định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác và việc chọn đường tròn lượng giác để định nghĩa chúng chỉ được nêu thành một nhận xét thì SGK sau này, trong đó có M10, lại sử dụng nhiều cách định nghĩa dùng đường tròn lượng giác.

"Phương pháp định nghĩa dùng đường tròn lượng giác trực quan dễ hiểu, biểu diễn đồng thời các cung cùng với giá trị lượng giác của nó. Từ đó, dễ dàng cho việc khảo sát hàm số lượng giác sau này (...) Ở đây, nên cho học sinh thấy được dù góc lượng giác được mở rộng như thế nào thì giá trị lượng giác sẽ tương ứng được biểu diễn trên trục của nó; thấy được mối

quan hệ biện chứng giữa các giá trị lượng giác của góc (cung) và ý nghĩa các trục lượng giác". [24, tr.67]

Điều này giúp chúng tôi thấy mục đích của tác giả SGK trong việc dùng phương pháp trực quan - công cụ đường tròn lượng giác - để định nghĩa hàm số lượng giác sau này.

Theo chúng tôi, việc lựa chọn cách định nghĩa giá trị lượng giác của góc

(cung) bằng đường tròn lượng giác của tác giả SGK xuất phát từ các lý do:

- Một mặt, mô tả trực quan, giúp hiểu thêm về cung (góc) lượng giác; mặt khác, nhấn mạnh ý nghĩa của việc xác định vị trí của điểm trên đường tròn lượng giác nhờ số thực.

- Phù hợp với yêu cầu giảm tải trong việc biên soạn chương trình và SGK,

giảm tính hàn lâm, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn.

- Định nghĩa đường tròn lượng giác là một trong các yếu tố công nghệ giải thích cho các kỹ thuật chứng minh các tính chất của hàm số lượng giác và biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác sau này.

Chúng tôi tự hỏi:

 Việc định nghĩa giá trị lượng giác của góc bằng đường tròn lượng giác ảnh hưởng như thế nào đến cách tiếp cận của GV - HS khi dạy - học lượng giác trong hàm số?

 Tại sao M10 lại đưa vào khái niệm giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác ở lớp 10 trước khi định nghĩa hàm số lượng giác ở lớp 11 trong khi

"trước đây, có nhiều sách đưa ngay khái niệm hàm số lượng giác mà không thông qua giá trị lượng giác của góc?" [10, tr.68]

Việc phân tích lý thuyết của M10 sẽ góp phần trả lời cho các câu hỏi trên. Sau định nghĩa đường tròn lượng giác cùng tính chất tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác, hệ tọa độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác được đưa vào M10. Đặc biệt, chúng tôi thấy: "ngầm ẩn" trong lời khuyên về việc dạy hệ tọa độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác được trình bày dưới đây là một sự chuẩn bị tri thức cho việc giới thiệu hàm số lượng giác ở lớp 11:

"Cần lưu ý đến ý nghĩa của việc dùng số để xác định vị trí của điểm trên

  C để A M

đường tròn lượng giác C gốc A: Với mỗi số thực , có đúng một điểm M

 = ".

= , tức là có ánh xạ p: (cid:0)  C

Các định nghĩa côsin, sin, tang và côtang cùng các tính chất và ý nghĩa hình học của chúng lần lượt được trình bày trong M10 bằng cách sử dụng tọa độ của điểm trên đường tròn lượng giác.

  M sao cho A M [12, tr.252]

"Cần phải nhấn mạnh, làm cho học sinh nắm vững ý nghĩa hình học của sin, cos, tan và cot, bởi vì nó là một phương tiện rất có hiệu quả

giải quyết nhiều vấn đề sau này". [1, tr.77]

S(cotα,1)

Cụ thể theo tiến trình sau:

B

M

T(1, tanα)

M

K

M



O

A

O

H

O

A

Bảng 2.2: Bảng tóm tắt nội dung được trình bày trong M10

Giá trị lượng giác

Định nghĩa

Tính chất

Ý nghĩa hình học

, -1≤ cosα ≤ 1

k (cid:0) , cos(α + k2π) = cosα 

côsin cos(Ou,Ov) = cosα = x

Hoành độ x của M được gọi là côsin của góc lượng giác (Ou, Ov) hay của α.

cos α = OH Trục Ox là trục côsin

cos2 + sin2 = 1

sin sin(Ou,Ov) = sinα = y

Tung độ y của M được gọi là sin của góc lượng giác (Ou, Ov) hay của α.

k (cid:0) , sin(α + k2π) = sinα  , -1≤ sinα ≤ 1

sin α =OK Trục Oy là trục sin

được gọi là tang

k (cid:0) , tan(α + kπ) = tanα Khi cosα ≠ 0, 1+ tan2α =

1 2 cos 

tan α = AT Trục At là trục tang

Nếu cosα ≠ 0 thì tỉ số sin  cos  của góc α.

tang tan(Ou,Ov)= tanα = sin cos

 

cot





1 tan 

Nếu sinα ≠ 0 thì tỉ số

được gọi là côtang

cos sin

 

k (cid:0) , cot(α + kπ) = cotα Khi sinα ≠ 0, 1 + cot2α =

côtang cot(Ou,Ov) = cotα = cos sin

 

1 2 sin 

cot α = BS Trục Bs là trục côtang

của góc α.

Bảng tóm tắt trên sẽ là yếu tố công nghệ để giải thích cho các kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trong phần bài tập mà chúng tôi sẽ phân tích chi tiết ở mục kế tiếp.  Nhận xét

- Mỗi cung lượng giác có một số đo với đơn vị là radian hoặc độ và mỗi cung này có các giá trị lượng giác sin, côsin, tang, côtang hoàn toàn xác định (dù cho số đo của chúng lấy theo đơn vị nào).

- Các giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác đưa vào tường minh trong M10. Tất cả các định nghĩa đều dùng công cụ đường tròn lượng giác gắn với hệ trục tọa độ để minh họa.

- M10 còn đưa vào bảng giá trị lượng giác của một số góc, giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt và một số công thức biến đổi mà theo chúng tôi, các tri thức này có vai trò hỗ trợ trong các kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ: "Tính giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác". . Phần bài tập

Qua phân tích M10, G10, E10, chúng tôi nhận thấy có 8 kiểu nhiệm vụ sau:

 Các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác «trong đường tròn»:  T1: Biến đổi đơn vị đo góc từ độ sang radian và ngược lại,

a  

Tương ứng với kiểu nhiệm vụ T1, có 2 kỹ thuật τ giải quyết và công nghệ θ

giải thích cho kỹ thuật như sau: τ1a: Áp dụng công thức: 180 θ1a: Định nghĩa độ dài cung tròn l =  R, định nghĩa số đo radian. τ1b: Dùng máy tính bỏ túi (MTBT).  T2: Tính độ dài cung tròn khi biết số đo của cung,

τ2: Áp dụng công thức l =R. θ2: Độ dài đường tròn.  T3: Xác định điểm cuối của cung lượng giác và tia cuối của một góc lượng giác hay một họ góc lượng giác trên đường tròn lượng giác khi biết số đo của góc (cung) đó,

τ3: Dùng tính chất giá trị lượng giác của góc để minh họa trên đường tròn lượng

giác.

 Nhận xét

- Hai kỹ thuật τ1a, τ1b đều được nêu ra một cách rõ ràng, dễ sử dụng và đều là vết của hai kỹ thuật τ*11, τ*12 ở đại học. Việc mô tả, giải thích cho kỹ thuật τ1a, τ1b cũng được trình bày một cách tường minh trong SGK.

- T2 không được nêu tường minh trong M10, E10 mà nó được trình bày gián tiếp thông qua các bài toán thực tế như tìm độ dài của dây cu-roa, tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị, tính độ dài mà mũi kim phút của đồng hồ vạch nên ...

- Kỹ thuật của T2 được nêu ra một cách rõ ràng, dễ sử dụng và là vết của τ*3 ở đại học. Việc mô tả, giải thích cho kỹ thuật τ2 cũng được trình bày một cách tường minh trong SGK.

- Khi số đo của cung là số đo bằng độ thì bước đầu tiên trong kỹ thuật τ2 là thực hiện kiểu nhiệm vụ T1. Nên sự xuất hiện của T1 còn đóng vai trò như một thành phần trong kỹ thuật τ2 .

- Kiểu nhiệm vụ T3 chỉ được nêu ra trong G10, E10 với một bài tập duy nhất mà không xuất hiện trong M10, không là vết của của TCTH nào ở đại học. T3 thể hiện sự tương ứng giữa điểm trên đường tròn lượng giác với số thực.

- Kỹ thuật giải quyết T3 không được trình bày rõ ràng mà nó chỉ được phác thảo trong lời giải nhưng được khuyến khích sử dụng trong các kiểu nhiệm vụ biểu diễn góc.

- Một lưu ý của (G10, tr.252) khi kết hợp với T3 mà chúng tôi đã trích dẫn ở phần lý thuyết cũng phần nào cho thấy một điều kiện của thể chế dạy học đối với T3: "Cần lưu ý đến việc dùng số để xác định vị trí của điểm trên đường tròn lượng giác, tức là có ánh xạ" ...  T4: Tính các giá trị lượng giác của một góc, với hai kiểu nhiệm vụ con sau: ♦ T41: Tìm các giá trị lượng giác của góc khi biết một giá trị lượng giác khác, τ41: - Tìm dấu của giá trị lượng giác của góc,

- Áp dụng công thức lượng giác, giá trị lượng giác của góc liên quan đặc

biệt.

  

θ41: Định nghĩa đường tròn lượng giác và tính chất giá trị lượng giác .

3  2

Ví dụ: Cho . Hãy tìm cos , nếu biết sin = - 4 5

 



cos

1 sin



  



3  2

3   . 5

[25, tr.199]

Giải: Do nên cos < 0, từ đó:

♦ T42: Tìm giá trị lượng giác của góc khi biết số đo góc đó, τ42a: Dùng tính chất của giá trị lượng giác: sin( + k2) = sin. Ví dụ: Tìm giá trị lượng giác của các góc 2250, 5  ... [25, tr. 201] 3

(cid:0) B C 



Ví dụ: Tính x = cos bằng "phương pháp hình học" như sau: τ42b: Dùng máy tính bỏ túi, bảng tính sin, côsin. τ42c: "Phương pháp hình học". 2  5

2  5

, kẻ đường phân giác BD của Xét tam giác cân ABC với (cid:0)

BC DC  BA DA

hãy suy ra 4x2 + 2x - 1 = 0. tam giác đó. Từ tính chất

[27, tr.204]  Nhận xét

- Những kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T4 đều được trình bày một cách tường minh, dễ sử dụng trong M10, E10, G10. Đặc biệt, kỹ thuật τ41 được ưu tiên với số lượng bài tập và ví dụ được thống kê theo bảng 2.3.

- Trong E10, tác giả giới thiệu một kỹ thuật τ42c "phương pháp hình học" đã từng xuất hiện khi giải quyết kiểu nhiệm vụ "giải tam giác" và τ42c không là vết của kỹ thuật nào ở đại học.

- Một lời khuyên của thể chế được nêu ra thông qua mục tiêu khi giảng dạy

về giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt như sau:

"Giúp học sinh biết dùng hình vẽ để tìm và nhớ được các công thức về giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt và sử dụng được chúng. Khi dùng bảng tính gần đúng các góc (cung) lượng giác tùy ý, biết cách đưa

 (thậm chí 0 ≤  ≤ 2

 )". 4

về xét góc , 0 ≤  ≤

[26, tr.260] - Việc tính giá trị lượng giác của góc luôn được thể chế ưu tiên dựa vào công thức lượng giác. Chúng tôi thấy duy nhất bài toán: "Tìm điểm của đường tròn xác định bởi số" như sau:

1 sin 

Bài 15: Tìm điểm của đường tròn lượng giác xác định bởi số trong trường

1 sin 

hợp: cos = [25, tr.200]

Giải: cos = khi và chỉ khi cos  0, tức là M có tọa độ (x; y),

x2 + y2 = 1, x  0. [26, tr.256]

Trong trường hợp trên, thể chế mong muốn học sinh giải quyết kiểu nhiệm

.

vụ: "Tìm điểm của đường tròn xác định bởi số " thông qua công thức lượng giác cơ bản. Các bài toán đều cho điểm M nằm trên đường tròn lượng giác xác định số

Bài tập sau đây cũng yêu cầu kiểm nghiệm điểm M nằm trên đường tròn

Bài 28: Xét hệ toạ độ vuông góc Oxy gắn với đường tròn lượng giác. Kiểm

( 

lượng giác.

4 3 ; ) 5 5

nằm trên đường tròn đó. nghiệm rằng điểm M với tọa độ

[25, tr.206]

( 

)

(

)

(



 1

4  5

3 5

4 3 ; ) 5 5

[26, tr.262]

Giải: Điểm M nằm trên đường tròn lượng giác vì:

4 5

3 5

M xác định bởi số  thì cos = - , sin =

Ngay cả bài tập xuất hiện duy nhất trong SGK như sau cũng cho thấy thể chế ưu tiên tìm giá trị lượng giác của góc bằng cách sử dụng định nghĩa. Đề toán có lưu ý đến việc cho toạ độ của điểm không nằm trên đường tròn lượng giác nhưng sau đó không yêu cầu tìm giá trị lượng giác của góc ngay.

 OM



Bài 37: Trong hệ Oxy gắn với một đường tròn lượng giác, điểm P(2;-3).

 OP  là giao điểm của tia OP với OP

a. Chứng tỏ rằng điểm M sao cho:

đường tròn lượng giác.

b. Tính tọa độ của điểm M và từ đó suy ra côsin, sin của góc lượng giác

(Ox, OP). [25, tr.207]

 Giải: a. OM

 cùng hướng với OP

 OM



  OP OP    OP OP

và nên M là giao của tia

( 3)

 OP 

 



OP với đường tròn lượng giác.

 nên OM

;



3 13



b. ). có toạ độ ( 2 13

2 13

3 13

, sin(Ox, OP) = Vậy cos(Ox, OP) =

[26, tr.267]

SGK chỉ ưu tiên đưa ra các ví dụ và bài tập áp dụng công thức để giải hoặc có áp dụng định nghĩa thì chỉ dùng trong phạm vi hình học với các góc đặc biệt như 300, 450, 600...

Học sinh sẽ ứng xử như thế nào trong khi bài toán có kiểm nghiệm tọa độ của

điểm trên đường tròn lượng giác xác định số  xuất hiện duy nhất?

Liệu học sinh có kết luận ngay giá trị lượng giác sin, cos là tung độ và

hoành độ của điểm P nằm trên tia cuối của góc  mà không nằm trên đường tròn lượng giác?

Từ đây, tương ứng với kiểu nhiệm vụ: "Tìm giá trị lượng giác sin, cos",

chúng tôi dự đoán tồn tại một quy tắc hợp đồng ngầm ẩn ở học sinh:

R1: Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tọa độ (x, y) của điểm nằm trên tia cuối của góc  thoả x2 + y2 = 1 mà chỉ cần áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc để tính.

 T5: Xác định dấu các giá trị lượng giác của góc , có 2 kiểu nhiệm vụ con sau:

 ♦ T 51: Xác định dấu các giá trị lượng giác của cung A M

khi điểm M nằm ở các

góc phần tư khác nhau,

τ51: Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc. ♦ T52: Xác định dấu của các giá trị lượng giác khi biết số đo góc, τ52: Dùng công thức lượng giác liên quan đặc biệt.  T6: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác, τ61: Vận dụng hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc

biệt, hệ thức cơ bản, công thức biến đổi tổng thành tích ...

τ62: Áp dụng "phương pháp hình học". (E10, tr.207)

 T7 : Tìm số đo góc (cung) lượng giác khi biết số đo của góc lượng giác có

cùng tia đầu và tia cuối với góc đó,

τ7: Cộng hoặc trừ vào số đo góc đã biết k2π tuỳ theo đề bài. θ7: Tính chất: "Nếu một góc lượng giác có số đo a0 (hayrad) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với nó có số đo dạng a0 + k3600 (hay + k2π rad), k là số nguyên". [25, tr. 188]

 T8 : Chứng minh giá trị của biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào x,

τ8: Áp dụng các công thức lượng giác đưa về dạng đơn giản hơn. θ8: Định nghĩa giá trị lượng giác của góc.  Nhận xét

- T5 là kiểu nhiệm vụ được giới thiệu tường minh cùng các kỹ thuật giải rõ ràng, dễ sử dụng. Cả hai kỹ thuật τ51, τ52 đều là vết của hai kỹ thuật τ*71 , τ*72 ở đại học.

- T6 là kiểu nhiệm vụ được ưu tiên trong hệ thống ví dụ và bài tập. Điều này

cũng phù hợp với mục tiêu nêu ra như sau:

"Mục tiêu là giúp học sinh nhớ và sử dụng được công thức, nên cần cho học sinh làm nhiều bài tập về phần này (...). Khi biến đổi lượng giác, cần nhắc nhở học sinh điều kiện để các biểu thức có nghĩa. Tuy nhiên, vì học sinh chưa học về phương trình lượng giác nên không buộc học sinh trong mọi trường hợp phải xác định cụ thể tập các số  để các biểu thức đó có

[26, tr. 267] - Kiểu nhiệm vụ T7 chính là vết của kiểu nhiệm vụ T*21 mà chúng tôi đã phân

nghĩa".

tích trong giáo trình đại học. Kỹ thuật τ7 là vết của kỹ thuật τ*21 ở đại học.

- Kiểu nhiệm vụ T8 chưa từng xuất hiện ở đại học, số lượng 2/101 bài tập. Cả hai bài tập này đều sử dụng ký hiệu x sau sin, cos thay vì  để chỉ số đo của góc (cung) với đơn vị độ và radian. Với cách ký hiệu xuất hiện duy nhất trong lượng giác lớp 10, phải chăng tác giả SGK đã ngầm ẩn chuẩn bị hình thức cho cách tiếp cận mới - lượng giác trong hàm số?

Bảng 2.3: Bảng thống kê số lượng bài tập ứng với các kiểu nhiệm vụ ở M10, MH10

Kiểu nhiệm

Kỹ

Ví dụ-

Nhiệm vụ

Tổng số

Bài tập

vụ

thuật

Hoạt động

G10 M10 M10 E10 3 2

1

2

8 T1 Chuyển đổi đơn vị đo độ - radian

1

2

3 τ1a τ1b

1

3

1

5 τ2

T2 Tính độ dài cung tròn khi biết số đo của cung

1

2 τ3

T3 Xác định điểm (tia) cuối của cung (góc) lượng giác khi biết số đo của góc (cung)

T41

1

2

1

6

Tìm giá trị lượng giác của góc khi biết giá trị lượng

τ41

giác còn lại và dấu của giá trị lượng giác của góc đó

6

2

5

19 T42

1

2

1

4

Tìm giá trị lượng giác của góc khi biết số đo góc

T4 Tìm giá trị lượng giác của góc

3 τ42a τ42b τ42c

2

1

4 τ51

của cung A M

T51 Xác định dấu các giá trị lượng giác  khi điểm M nằm ở

các góc phần tư khác nhau

2 τ52

T5 Xác định dấu các giá trị lượng giác

T52 Xác định dấu các giá trị lượng giác khi biết số đo góc

1

18

13

36 T6 Chứng minh đẳng thức

3 τ61 τ62

1

3

4

8 τ7

T7 Tìm số đo góc (cung) lượng giác

1

2 τ8

T8 Chứng minh giá trị của biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào x

Tổng cộng

13

14

37

41

101

. Một số kết luận

Qua phân tích lý thuyết và bài tập trong G10, M10, E10, chúng tôi thấy rằng có hai TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ T4: "Tìm các giá trị lượng giác của góc" và T6: "Chứng minh đẳng thức lượng giác" được ưu tiên với số lượng bài tập 32/101  31,7% và 39/101  38,6%. (Xem bảng 2.3)

Mặt khác, cùng với những lời khuyên, lưu ý trong giảng dạy của G10 và mục tiêu giảng dạy từng tri thức liên quan đến lượng giác trong đường tròn mà chúng tôi đã trích dẫn cho thấy:

- SGK đặt trọng tâm vào việc dùng công thức lượng giác trong kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ được ưu tiên ở trên kết hợp với công cụ trung gian là đường tròn lượng giác để giải thích cho các kỹ thuật.

- Các bài toán gắn với kiểu nhiệm vụ T4 đều cho thấy sự tồn tại của góc . Học sinh sẽ ứng xử ra sao khi đứng trước các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T4 mà góc  không tồn tại? Chúng tôi thấy ở đây tồn tại một cách ngầm ẩn quy tắc hợp đồng didactic R2:

R2: Luôn tìm được các giá trị lượng giác của góc .

Theo chúng tôi, R2 là tập hợp các quy tắc ngầm ẩn RP2 và RE2 quy định nhiệm vụ và quyền hạn của GV và HS trên kiểu nhiệm vụ "Tìm giá trị lượng giác

của góc (cung) lượng giác ". Có thể mô tả RP2, RE2 như sau:

RP2: Giáo viên có trách nhiệm cho các bài toán tìm giá trị lượng giác

của góc  sao cho góc  luôn tồn tại.

RE2: Học sinh không có nhiệm vụ kiểm tra sự tồn tại của góc  khi tìm

các giá trị lượng góc  mà chỉ cần nhớ các công thức lượng giác

để tính.

Như vậy, trong giai đoạn hàm số, tác giả SGK đã khai thác các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn ra sao? Chúng tôi sẽ tiếp tục phân tích M11, G11, E11. 2.2.2. Các tri thức lượng giác “trong hàm số” ở SGK Đại số và Giải tích 11

(M11)

. Phần lý thuyết

Một trong những mục tiêu về kiến thức quan trọng mà học sinh phải đạt được sau khi học chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác là:

"Biết cách dựa vào chuyển động của điểm trên đường tròn lượng giác và trên các trục sin, trục cosin, trục tang, trục cotang để khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác".

[10, tr.107]

M11 đã nêu một chú ý sau:

"Học sinh cần chú ý tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác và phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác để tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản".

[28, tr.3]  Các tri thức lượng giác “trong hàm số”  Các hàm số lượng giác của biến số thực (không có đơn vị đo đi kèm)

Mở đầu SGK Đại số và Giải tích 11, ban cơ bản, tác giả giới thiệu hoạt

động có tính chất ôn tập kiến thức đã biết ở lớp 10:

Hoạt động 1:

 ; 1,5 ... 6

a. Sử dụng MTBT , hãy tính sinx, cosx với x là các số sau:

[14, tr.4]

b. Trên đường tròn lượng giác, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung  A M bằng x (rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx.

Tương tự, M11 mở đầu bằng hoạt động:

"Trên hình, hãy chỉ ra các đoạn thẳng có độ dài đại số bằng sinx, bằng

B

trục sin

, cos(

), cos 2





cosx. Tính sin ".

M

K

 2

 4

x

trục côsin

O

H

A

Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo radian bằng x được gọi là hàm số sin, ký hiệu y = sinx Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin của góc lượng giác có số đo radian bằng x được gọi là hàm số côsin, ký hiệu y = cosx sin: (cid:0)  (cid:0) cos: (cid:0)  (cid:0) x  y = sinx x  y = cosx [28, tr.4]  Nhận xét

- M11 đã xây dựng định nghĩa các hàm số y = sinx, y = cosx và y = tanx,

y = cotx dựa vào ý nghĩa hình học của giá trị lượng giác sin, cos, tan, cot đã giới thiệu trong M10.

- Trong [10], tác giả nêu:

"Về thực chất, ta đã xây dựng hàm y = sinx như tích của hai ánh xạ f: x  M và ánh xạ g: M  y thông qua công cụ trung gian là đường tròn lượng giác. Chúng ta phải xây dựng các hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx sao cho vẫn sử dụng được hiểu biết cũ, đồng thời nêu lên bản chất của khái niệm mới khác với khái niệm cũ". [10, tr.52]

B

x1

x

x1

O

A

A'

B'

- Một chú ý:

"Khi viết y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, ta hiểu x là một số thực. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp để hiểu rõ bản chất của vấn đề, ta vẫn coi x là số đo radian của một góc hay cung lượng giác nào đó. Điều đó còn nói lên ý nghĩa của việc đưa ra khái niệm radian ở lớp 10". [10, tr.106] Mặt khác, một trong những mục tiêu mà thể chế mong muốn học sinh đạt

được trong khi học các hàm số lượng giác như sau:

"Giúp học sinh biết dựa vào trục sin, trục côsin, trục tang, trục côtang gắn với đường tròn lượng giác để khảo sát sự biến thiên của các hàm số tương ứng rồi thể hiện sự biến thiên đó trên đồ thị". [29, tr.17]

Liên quan đến lượng giác trong hàm số, chúng tôi sẽ phân tích tính chất của

hàm số lượng giác có biến số thực.

♦ Tính chất chẵn - lẻ của hàm số lượng giác

M11 chỉ giới thiệu tính chất chẵn - lẻ của hàm số lượng giác dựa vào tính chất

chẵn - lẻ của hàm số đã được trình bày trong Đại số lớp 10.

♦ Tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác

Tác giả SGK mở đầu tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác bằng việc sử dụng tính chất của giá trị lượng giác của góc (cung) đã được giới thiệu ở lớp 10 để chứng minh sự tồn tại chu kỳ của các hàm số lượng giác. Cụ thể:

Ta đã biết, với mỗi số nguyên k, số k2π thoả mãn sin(x + k2π) = sinx với mọi x. Ngược lại, có thể chứng minh số T sao cho sin(x + T) = sinx với mọi x phải có dạng T = k2π, k là một số nguyên. Rõ ràng, trong các số dạng k2π (k (cid:0) ), số dương nhỏ nhất là 2π. Vậy đối với hàm số y = sinx, số T = 2là số dương nhỏ nhất thoả mãn:

sin(x + T) = sinx với mọi x. Hàm số y = cosx cũng có tính chất tương tự. Ta nói hai hàm số đó là những hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π.

[28, tr.4]  Nhận xét

Để giảm tính hàn lâm, M11 chỉ nhấn mạnh tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác. Điều này được tổng kết bằng việc nêu định nghĩa đầy đủ của hàm số tuần hoàn ở cuối phần lý thuyết. Cụ thể như sau:

Định nghĩa Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp  dược gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho với mọi x   ta có: x + T   , x - T   và f(x + T) = f(x). Nếu có số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ T.

[28, tr.14]

Đây là yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật vẽ đồ thị của hàm số lượng

giác mà chúng tôi sẽ phân tích trong phần bài tập.

♦ Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác

Một lưu ý để giáo viên có thể có hướng giảng dạy phần này như sau:

"Sách giáo khoa trình bày việc khảo sát sự biến thiên của hàm số y = sinx nhờ theo dõi chuyển động của điểm K (hình chiếu trên trục sin của điểm M, (OA,OM) = x); điều đó giúp học sinh dễ hình dung sự biến thiên một cách trực quan hơn" ... [29, tr.18]

 Phương trình, bất phương trình lượng giác

Mục tiêu đề ra là:

"Giúp học sinh hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản (cách sử dụng đường tròn lượng giác, đồ thị và vận dụng tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác). Học sinh cần biết cách

biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn lượng giác". [29, tr.31] Tác giả SGK xét bài toán thực tế để từ đó giới thiệu phương trình lượng giác. Bài toán dưới đây đưa vào kiểu nhiệm vụ: "Giải phương trình lượng giác cơ bản" mà chúng tôi sẽ phân tích trong phần bài tập.

Người ta cần thực hiện một thí nghiệm khoa học khi vệ tinh cách mặt đất 250 km. Hãy tìm các thời điểm để có thể thực hiện thí nghiệm đó. Độ cao h của vệ tinh so với mặt Trái Đất được xác định bởi công thức: h = 550 + 450

 . t 50

cos

Bài toán này dẫn đến việc giải phương trình cos .

 = - 2 50 3  thì phương trình có dạng cosx = - 2 50 3

[28, tr. 19]

(...) Nếu đặt x =

Kế đến, M11 đã lựa chọn phương pháp dựa trên định nghĩa các giá trị lượng giác và ý nghĩa hình học của chúng để xây dựng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

M11 đã đưa ra quy trình hai bước (trang 43) để giải bất phương trình lượng giác. Điều đáng lưu ý trong quy trình này là tác giả SGK luôn hướng vào việc dùng đồ thị hay đường tròn lượng giác để thực hiện. Tuy nhiên, tác giả SGK giới thiệu phần này trong bài đọc thêm.  Nhận xét

- Đặc trưng tương ứng, biến thiên của hàm số lượng giác được đề cập nhiều nhất và từ đó có thể vẽ đồ thị của hàm số lượng giác dựa vào một số điểm trong bảng giá trị và các tính chất biến thiên, chẵn - lẻ, tuần hoàn của hàm số lượng giác. Ở đây, học sinh thật sự được tiếp xúc một cách tường minh với sự chuyển dạng các đối tượng: từ dạng tĩnh sang dạng biến thiên. Giáo viên cũng có cơ hội để thực hiện sự chuyển dạng này một cách trực quan.

- Việc nghiên cứu đặc trưng biến thiên của hàm số lượng giác tạo cơ sở để

sau này đưa vào các khái niệm giới hạn, đạo hàm của hàm số lượng giác.

- Phương pháp trực quan được SGK ưu tiên nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh tiếp cận đặc trưng biến thiên, tương ứng khi khảo sát các hàm số lượng giác.

- Các tri thức lượng giác “trong hàm số” được trình bày trong phần lý thuyết dựa vào các tri thức lượng giác “trong đường tròn”, cụ thể là ý nghĩa hình học của các giá trị lượng giác của góc (cung) gắn với công cụ đường tròn lượng giác.

- Tuy nhiên, để làm rõ hơn ý định của tác giả SGK, chúng tôi sẽ xem xét các tri thức lượng giác “trong hàm số” ở lĩnh vực Vật lý. Hàm số lượng giác còn được trình bày thông qua tình huống sau:

 Tại một thời điểm t bất kỳ, góc  giữa OC

"Ta xét một chất điểm chuyển động tròn đều với vận tốc góc ω0. Quỹ đạo của nó là một đường tròn tâm O, bán kính A và điểm C là gốc để tính cung trên đường tròn ấy.

 sẽ có giá trị : = ω0 t +

và OM

 Lấy trục y sao cho góc ( OC

 , Oy

φ, trong đó φ là giá trị vào lúc t = 0 của góc  .

 . Hình chiếu của M trên trục này là 2

sin



OP OM 

) là

P. Toạ độ y của điểm P có giá trị là: y = hay là y = Asin(ω0

t + φ). Vậy hình chiếu của một điểm chuyển động tròn đều lên một đường thẳng (nằm trong mặt phẳng của quỹ đạo tròn) sẽ chuyển động theo định luật hình sin, tức là dao động điều hoà. Dựa vào tính chất này, ta có thể vẽ được trực tiếp đường biểu diễn của phương trình (Xem hình)" . [17, tr.12] A

M

P

M

0 ω0 t φ

C

O

t

 Nhận xét

- M11 đã giới thiệu tình huống về dao động điều hoà (M11, bài đọc thêm,

tr.15) - một dao động cũng được mô tả bởi hàm số y = Asin(ωt + φ).

- Mặt khác, một lời khuyên của thể chế: "Khi học về dao động điều hòa y = Asin(ωt + φ) với t là thời gian, nhiều học sinh không quan niệm được tại sao đối số của hàm số lượng giác ở đây lại là thời gian t? Để hiểu được bản chất việc mở rộng này (từ giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác đến hàm số lượng giác có đối số thực) cần nhấn

cos





mạnh khi xét các hàm số lượng giác với đối số thực ta đã dùng các góc hay cung làm trung gian xác định như sau:

sin tan

x x

 

 

”

cot





      

[24, tr. 72]

x α = x radian góc hay cung số thực

cũng phần nào cho thấy tính kế thừa của bước chuyển từ các tri thức lượng giác “trong đường tròn” đến các tri thức lượng giác “trong hàm số”.

Chúng tôi tự hỏi: Có thể dạy các tri thức lượng giác “trong hàm số” trước

khi dạy các tri thức lượng giác “trong đường tròn” được không? Tại sao? Tri thức lượng giác trong đường tròn còn có chức năng gì?

Việc lý giải các câu hỏi còn bỏ ngỏ trên sẽ được tiến hành thông qua việc phân tích hệ thống bài tập liên quan đến các tri thức lượng giác “trong hàm số” dưới đây: . Phần bài tập

Theo cách tiếp cận của lý thuyết nhân chủng học và hợp đồng didactic, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích hệ thống bài tập, ví dụ và hoạt động với các kiểu nhiệm vụ T'i, các kỹ thuật τ'i giải quyết các kiểu nhiệm vụ trong SGK (M11), SBT (E11), SGV (G11) Đại số và Giải tích 11, ban nâng cao (chương trình hiện hành). Tuy nhiên, trong một số trường hợp nhận xét, đánh giá, chúng tôi sẽ so sánh với cách trình bày của SGK, SGV, SBT Đại số và Giải tích lớp 11, ban cơ bản .

Mục tiêu của chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác như

"Học sinh cần đạt được các yêu cầu: biết xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx (...); giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản" ... [29, tr.15]

Bảng 2.4: Bảng thống kê số lượng bài tập ứng với các kiểu nhiệm vụ ở M11:

Ví dụ-

Bài tập

Kiểu nhiệm

Kỹ

Nhiệm vụ

Tổng số

vụ

thuật

Hoạt động M11 M11 E11

3

1

4 τ'1

T'1 Tìm tập xác định của hàm số

2

3

2

7 τ'2

T'2 Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

1

2

4

7 τ'3

T'3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

3

5

8 τ'4

T'4 Chứng minh tính chất tuần hoàn của hàm số

3

6

4

13 T'5 Xét sự biến thiên của hàm số

2

8

3

11

4 T'6 Vẽ đồ thị của hàm số

5

1

13

11

10

34 T'71 Giải phuơng trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

3 τ'51 τ'52 τ'61 τ'62 τ'71a τ'71b τ'71c τ'71d

4

1

5

10 τ'72

3

2

6

11 τ'73

T'7 Giải phương trình lượng giác

T'72 Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác T'73 Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

2

5

3

10 τ'74

3 τ'8

T'74 Giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx T'8 Giải bất phương trình lượng giác

Tổng cộng

42

44

47

133

Từ mục tiêu của chương, chúng tôi sẽ phân tích các TCTH gắn liền với các tri

thức lượng giác “trong hàm số”.

 Các TCTH liên quan đến tri thức lượng giác “trong hàm số”  T'1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác τ'1: Dùng "phương pháp đại số".

θ'1: Định nghĩa hàm số lượng giác.  T'2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác τ'2: - Tìm tập xác định của hàm số, - Áp dụng tính chất chẵn, lẻ của hàm số trong đại số. θ'2 = θ'1.  T'3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số lượng giác τ'3: - Biến đổi đưa về dạng chỉ chứa một hàm số luợng giác, - Áp dụng tập giá trị của hàm số lượng giác. θ'3 = θ'1.  T'4: Chứng minh tính tuần hoàn của hàm số lượng giác τ'4: Dùng tính chất sin(x + T) = sinx với mọi x và số T dương nhỏ nhất. θ'4: Định nghĩa hàm số tuần hoàn.

Bài tập 8: Cho hàm số sau: y = 3tan2x + 1. Chứng minh rằng mỗi hàm số y = f(x) đều có tính chất: f(x + kπ) = f(x) với k  (cid:0) , x thuộc tập xác định của hàm số.

[28, tr.16]  Nhận xét

Giải: 3tan2 (x + kπ) + 1 = 3tan2x + 1, do tan (x +kπ) = tanx

- Kiểu nhiệm vụ T'1 là một thành phần của kỹ thuật giải quyết T'2. Kỹ thuật

giải quyết các kiểu nhiệm vụ xem như tự nó đã rõ ràng.

- Các kiểu nhiệm vụ T'2, T'3, T'4 đều được phát biểu tường minh trong M11,

G11.

- Nếu kết hợp các kiểu nhiệm vụ T'1, T'2, T'3 thì chúng đóng vai trò là kỹ

thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ T'5, T'6 mà chúng tôi sẽ tiếp tục phân tích.  T'5: Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác, có 2 kỹ thuật τ: ♦ τ'51: "Phương pháp trực quan": Quan sát sự chuyển động của điểm H là hình

chiếu của điểm M trên trục sin, trục côsin ...

θ'51 = θ'1 + tính chất biến thiên, tuần hoàn, chẵn - lẻ. ♦ τ'52: Áp dụng tính chất tuần hoàn và quan sát đồ thị. θ'52 = θ'4: Hàm số tuần hoàn.

Hoạt động 3: Khẳng định sau đây có đúng không? Vì sao?

(

)

;

  và nghịch biến trên mỗi 2

3 2

Hàm số y = sinx nghịch biến trên

(



2 ; 



2 ) 

 2

3  2

khoảng , k  (cid:0)

Giải: Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng

3   ) ; ( 2 2



2 ; 



2 ) 

; từ đó: do tính chất tuần hoàn với chu kỳ 2π, nó nghịch biến trên

 ( 2

3  2

mọi khoảng , k  (cid:0) .

[28, tr.7]  T'6: Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác τ'6: - Lập bảng biến thiên, - Xét tính chẵn - lẻ; tính tuần hoàn của hàm số, - Tịnh tiến đồ thị. θ'6 = θ'51 + lý thuyết đồ thị. [29, tr.25]

Theo tinh thần giảm tính lý thuyết kinh viện, tăng tính thực hành, góp phần đổi mới phương pháp, nếu SGV Đại số và Giải tích 11, ban cơ bản (tr.21) cho rằng: vì tác giả SGK đã định nghĩa hàm số lượng giác dựa trên đường tròn lượng giác, ngoài ra không còn kiến thức nào khác, nên một cách tự nhiên là sử dụng đường tròn lượng giác để khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác thì G11 nêu:

"Tận dụng tối đa phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác một cách trực quan để khảo sát sự biến thiên của các hàm số lượng giác, giải các phương trình lượng giác cơ bản". [29, tr.10]

 Nhận xét

- Việc phân tích chương trình và SGK Đại số và Giải tích lớp 11 cùng những lời giải thích tường minh trong lý thuyết và bài tập cho phép chúng tôi khẳng định một lần nữa: Thể chế ở trường phổ thông ưu tiên dùng phương pháp trực quan để khảo sát hàm số lượng giác.

- Các bài toán liên quan đến các tri thức lượng giác “trong đường tròn” đóng vai trò là một trong các yếu tố kỹ thuật để xây dựng kiểu nhiệm vụ: "Khảo sát hàm

số lượng giác".

 T'7: Giải phương trình lượng giác, có 4 kiểu nhiệm vụ con:

♦ T'71: Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác (sinx = m,

cosx = m, tanx = m, cotx = m), Gồm 4 kỹ thuật giải quyết tương ứng như sau: τ'71a: Dựa vào đường tròn lượng giác, suy ra nghiệm của phương trình θ'71a: Định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) và ý nghĩa hình học. τ'71b: Dùng đồ thị của hàm số lượng giác, suy ra nghiệm của phương trình. τ'71c: - Kiểm tra m  [-1; 1], (đối với sinx = m, cosx = m)

- Vận dụng công thức sinx = sin  x =  + k2π hoặc x = π -  +

sin

x 

Ví dụ: Giải phương trình

k2π với điều kiện  là một số mà không phải là biểu thức chứa ẩn x.

2 3

s in

 

 nên có số  để

2 3

sin

(











sin

x 

. Giải: Vì 2 3

) (cid:0)

2 .   

2 3

2 , x k          k x 

Do đó:

[28, tr. 21] τ'71d: Dùng máy tính bỏ túi. ♦ T'72: Giải phương trình lượng giác bậc hai đối với một hàm số lượng giác τ'72: - Đặt ẩn phụ t bằng hàm số lượng giác, - Giải phương trình đại số theo t, - Nếu nghiệm tìm được thoả điều kiện thì xét bài toán với nhiệm vụ T'71 θ'72: TXĐ của hàm số lượng giác. Ví dụ: Giải phương trình cot23x - cot3x - 2 = 0 Giải: Đặt cot 3x = t, ta có phương trình t2 - t - 2 = 0. Phương trình này có hai nghiệm là t = -1 và t = 2. Do đ ó:

cot 3





k 

2 cot 3

cot 3



  



cot 3

1   2



  

3  4 arc

cot 2

k 





   



[28, tr.34]

   

arc

cot 2



  k  4 3 1 3

 3

  x 

♦ T'73: Giải phương trình lượng giác bậc nhất đối với sinx và cosx

tan 

(asinx + bcosx = c) τ'73a: - Biến đổi biểu thức asinx + bcosx thành dạng Csin(x +), - Giải tương tự như nhiệm vụ T'71.

a b

, đưa về dạng quen thuộc τ'73b: Chia hai vế phương trình cho , đặt

'73: Miền giá trị của hàm số lượng giác, các công thức cộng lượng giác.

♦ T'74: Giải phương trình lượng giác thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx (asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0) τ'74: - Chia hai vế cho cos2x (với điều kiện cosx  0) hoặc chia hai vế cho sin2x

(với điều kiện sinx  0),

- Đưa về phương trình đối với tanx hoặc cotx và giải.

'74: Các đẳng thức lượng giác cơ bản, công thức cộng, TGT của hàm số lượng

giác.

 T'8: Giải bất phương trình lượng giác τ'8: Dùng đường tròn lượng giác hoặc đồ thị để tìm nghiệm. θ'8: Hàm số tuần hoàn.  Nhận xét

- Khi giải phương trình lượng giác, ta coi nghiệm x là các số đo góc (cung) lượng giác có thể là số đo độ hoặc radian. Điều này được các nhà soạn thảo chương trình khuyên nên "chấp nhận".

- Các TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ "Giải phương trình lượng giác" được

ưu tiên trong các SGK, SBT.

- Việc xây dựng TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ "Giải phương trình lượng giác" dựa vào TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ "Tính giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác".

- Thể chế luôn mong muốn GV và HS biểu diễn nghiệm của phương trình

lượng giác trên đường tròn lượng giác. Điều này thể hiện qua lưu ý sau:

"Nhằm giúp học sinh có hình ảnh trực quan khi xây dựng công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản, sách giáo khoa đã lựa chọn phương pháp dựa trên định nghĩa các giá trị lượng giác và ý nghĩa hình học của chúng mà học sinh đã được học ở lớp 10". [29, tr.32]

- Kỹ thuật τ'71a (dùng đường tròn lượng giác để tìm nghiệm) không là vết của

kỹ thuật nào ở đại học.

- Kỹ thuật τ'71b (dùng đồ thị) là vết của τ*10a ở đại học, chỉ được giới thiệu với mục đích tìm hiểu ý nghĩa hình học của tập nghiệm của một phương trình lượng giác nên chỉ xuất hiện duy nhất trong hoạt động trên.

- Các số m được cho thường là những giá trị đặc biệt, có thể tìm nghiệm x nhờ vào bảng giá trị lượng giác. Ở giai đoạn lượng giác trong đường tròn, cũng có một số phương trình dạng trên nhưng không yêu cầu tìm nghiệm mà tính giá trị lượng giác của .

 



3  2

Ví dụ: Cho  , . . Hãy tìm cos , nếu biết sin = - 4 5

cos



 

1 sin 



 



3  2

3   . 5

[11, tr.199] - Thể chế ở trường phổ thông không mong muốn tìm giá trị cụ thể nghiệm của phương trình khi nghiệm không đặc biệt mà mong muốn sử dụng công thức lượng giác để biến đổi.

Giải: Do nên cos < 0, từ đó:

[ 1;1]

 

- Trong trường hợp phương trình sinx = m có m là số không đặc biệt thì m

vẫn giải cũng được cho là số thuộc đoạn [-1; 1], không cần kiểm tra m

đúng.

- Mặc dù SGK có sử dụng miền giá trị của hàm số lượng giác trong các ví dụ

Ví dụ: Giải phương trình: tan

để kiểm tra nhưng không thấy kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình.

x 3

= 3

tan

)





k  

  

3 k 3 (  



 (cid:0) [28, tr.26]

Giải: Gọi  là một số mà tan = 3.

x 3

x   3

Khi đó: tan

- Với yêu cầu giảm tải, các bài tập giải và biện luận phương trình lượng giác theo tham số không thấy xuất hiện trong SGK, SBT. Hay nói cách khác: không thấy dạng bài tập nào nhấn mạnh: không phải lúc nào cũng tìm được nghiệm của

phương trình lượng giác cơ bản.

[ 1;1]

 

Như vậy, ứng xử của học sinh như thế nào nếu m (đối với phương

trình dạng sinx = m, cosx = m)? Việc học sinh đặt m = sin rồi áp dụng công thức nghiệm có xảy ra không?

Cùng với phần phân tích lý thuyết và bài tập, chúng tôi thấy tồn tại ngầm ẩn

quy tắc hợp đồng R3 sau:

R3: Luôn tìm được nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Qua đó, R3 phân chia quyền hạn và nghĩa vụ giữa GV và HS như sau: RP3: Giáo viên có trách nhiệm đưa ra các phương trình lượng giác luôn

tồn tại nghiệm.

RE3: Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm

của phương trình cơ bản khi giải.

. Một số kết luận

- Kiểu nhiệm vụ T'7: "Giải phương trình lượng giác" được ưu tiên trong tổng số bài tập liên quan đến lượng giác trong hàm số: 77/133, chiếm tỷ lệ 57,9%. Kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trên đòi hỏi sự có mặt của công cụ đường tròn lượng giác để biểu diễn các nghiệm của phương trình.

- Về việc giải phương trình, một lưu ý:

"Khi giải phương trình, nói chung, ta được nghiệm là các số thực, trong khi đó, khi giải phương trình lượng giác, ta coi nghiệm là số đo của các góc (cung) lượng giác tính bằng radian hoặc bằng độ (...) Bằng cách coi trọng phương trình lượng giác chỉ chứa các hàm số lượng giác (của đối số thực), không chấp nhận có đơn vị độ và không chấp nhận nghiệm là số đo tính bằng độ". [10, tr.54] Tuy nhiên, trong các bài toán hình học và vật lý, chúng ta thường thấy dùng đơn vị độ, thời gian. Do đó, thể chế "chấp nhận quan niệm mở rộng định nghĩa

nghiệm của phương trình lượng giác".

- Tác giả SGK xây dựng TCTH gắn với kiểu nhiệm vụ: "Khảo sát hàm số lượng giác" và sử dụng kiểu nhiệm vụ: "Tìm giá trị lượng giác của góc (cung)" như một yếu tố kỹ thuật. Điều đó cũng thể hiện tính kế thừa của việc chuyển từ lượng giác ở giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số. Nghĩa là: tác giả SGK xây dựng lượng giác trong hàm số sao cho vẫn sử dụng được hiểu biết cũ.

- Lượng giác trong hàm số là sự phát triển của lượng giác trong đường tròn. Mặt khác, khái niệm hàm số lượng giác và hàm số dùng trong đại số liên đới nhau.

2.2.3. Mối liên hệ giữa hai khái niệm hàm số lượng giác và hàm số Mở đầu [21], Ngô Thúc Lanh nêu:

"Phân tích chương trình Đại số của trường phổ thông, ta nhận thấy nó bao gồm những kiến thức cơ bản của Đại số học, thí dụ các phép biến đổi hằng đẳng, các phương pháp giải các phương trình v.v... và cả những kiến thức ngoài Đại số học, hiểu theo nghĩa hiện đại của nó (tức là khoa học về các phép toán và các hệ thống đại số), thí dụ sự phát triển của khái niệm số, sự khảo sát các hàm số (...) xét đến cùng, một số vấn đề khó khăn trong Lượng giác học, về bản chất, lại rất gần gũi các vấn đề tương tự của Đại số học, thí dụ các phép biến đổi lượng giác, các hàm số lượng giác và phương trình lượng giác"...

Như vậy, xét về bản chất thì khái niệm hàm số lượng giác và hàm số dùng trong đại số rất "gần gũi" nhau. Trong một lưu ý về nội dung giảng dạy các hàm số lượng giác, tác giả SGK nêu:

"Học sinh chỉ mới biết khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị các hàm số đơn giản y = ax + b, y = ax2 + bx + c. Nay, học sinh học cách khảo sát cẩn thận chiều biến thiên, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị các hàm số lượng giác là những hàm số phức tạp hơn". [10, tr. 107]

Hàm số lượng giác được định nghĩa như thế nào? So với hàm số được định nghĩa trong đại số, hàm số lượng giác có đặc trưng gì?

Hàm số

Hàm số lượng giác

Định nghĩa

Các hàm số lượng giác là những hàm số mô tả những hiện tượng tuần hoàn đơn giản nhất. Với mỗi số thực x (số đo radian của một góc lượng giác) thì ta xác định các số sin x và cos x sin: (cid:0)  (cid:0) cos: (cid:0)  (cid:0) x  y = sin x x  y = cos x

Hàm số f xác định trên tập xác định D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x  D với một và chỉ một số f(x)- gọi là giá trị của hàm số f tại x f: D  (cid:0) x  y = f(x)

 Nhận xét:

- Định nghĩa hàm số lượng giác dựa trên nền tảng là định nghĩa hàm số trong

đại số bằng cách đặt tương ứng x với số sinx, cosx, ...

Hay nói cách khác: Theo quan điểm đại số, các hàm số lượng giác được định nghĩa như những hàm số thực của biến số thực, "chẳng khác nào các hàm số bậc

nhất và bậc hai" ...

- Ngoài đặc trưng biến thiên, tương ứng, phụ thuộc của khái niệm hàm số,

hàm số lượng giác còn được xét đầy đủ các tính chất tuần hoàn, chẵn - lẻ.

- Khái niệm hàm số lượng giác xuất hiện với tư cách là đối tượng và công cụ,

áp dụng vào việc giải quyết các tình huống trong thực tế, vật lý, kỹ thuật ...

- Những lưu ý khi khảo sát các hàm số lượng giác có liên hệ với việc khảo

sát các hàm số ở lớp 10:

"So với các hàm số đã được khảo sát ở lớp 10, việc khảo sát các hàm số lượng giác có các đặc điểm khác biệt sau: - Xác định tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số, - Kết hợp tính tuần hoàn và tính chẵn, lẻ của hàm số để định ra tập khảo sát cho thích hợp, - Sử dụng tính tuần hoàn để thác triển kết quả thu được trên tập khảo sát đã chọn ra toàn trục số". [1, tr.84] Có thể thấy: tính chất tuần hoàn và khái niệm chu kỳ là các tính chất và khái niệm lý thú, thường gặp nhiều trong thiên nhiên: các hiện tượng thủy triều, chu kỳ trăng mọc ... Các hiện tượng tuần hoàn có rất nhiều trong vật lý thực nghiệm và vật lý lý thuyết: dao động của quả lắc hay của lò xo đồng hồ, sự truyền âm, sự truyền bá của các trường điện từ ... Vì vậy, tác giả nhận xét:

"Việc giảng dạy các hàm số lượng giác ở phổ thông có một ý nghĩa giáo dục chính là củng cố khái niệm hàm cho học sinh. Mặt khác, các hàm số lượng giác còn có một ý nghĩa thực tiễn lớn và được áp dụng rộng rãi trong nhiều môn học khác ở phổ thông: nghiên cứu số phức ở dạng lượng giác, sử dụng

trong cơ học, quang học, đặc biệt là trong các dao động điều hoà". [24, tr.16] Như vậy, một mặt, mối liên hệ giữa hai khái niệm hàm số lượng giác và hàm số xem như "gần gũi". Mặt khác, phân tích chương trình và SGK Đại số lớp

10 (cả hai ban) cho thấy: Học sinh đã được làm quen với việc khảo sát các hàm số

trong đại số.

Tuy nhiên, kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ: "Khảo sát tính biến thiên" của hàm số trong đại số và hàm số lượng giác khác nhau. Thể chế ưu tiên dùng phương pháp trực quan để khảo sát tính biến thiên của hàm số trong lượng giác.

2.2.4. Một số ghi nhận từ việc quan sát các tiết dạy - học các tri thức lượng

giác «trong hàm số» của giáo viên và học sinh

Những thông tin cần thu thập trong quá trình quan sát tiết dạy - học này đồng

nghĩa với việc chúng tôi phải trả lời các câu hỏi sau:

 Giáo viên đã làm như thế nào để xây dựng các TCTH liên quan đến hàm

số lượng giác?

 Khi xây dựng lượng giác « trong hàm số» ở lớp 11, giáo viên có nhắc lại kiến thức lượng giác «trong đường tròn» ở lớp 10 không hay giáo viên cứ đưa vào khái niệm mới?

 Khi giáo viên đưa vào các khái niệm mới ở giai đoạn lượng giác «trong hàm số», giáo viên có thiết lập mối liên hệ với các kiến thức mà học sinh đã biết trước đó không?

 Mối quan hệ giữa giáo viên và nội dung giáo án giảng dạy liên quan đến

hàm số lượng giác như thế nào?

Thực tế cho thấy:

 Phía giáo viên:

Giáo viên được chúng tôi thu thập giáo án, phỏng vấn sau khi quan sát thực tế

tiết dạy về hàm số lượng giác.

Trong ba lớp 11 được chúng tôi quan sát, tất cả các giáo viên đều nhắc lại tri thức lượng giác đã biết ở học sinh khi tiếp cận với khái niệm hàm số lượng giác.

Cụ thể:

GV

Trường

Tri thức đã nhắc lại

THPT Thực hành - ĐHSP TP. HCM

A

- Khái niệm hàm số, - Khái niệm giá trị lượng giác của góc.

THPT Nguyễn Hiền - TP. HCM

B

- Ý nghĩa hình học của các giá trị lượng giác của góc.

THPT Nguyễn Đình Chiểu - Tiền Giang

C

- Khái niệm giá trị lượng giác của góc, - Khái niệm ánh xạ, hàm số.

Chẳng hạn:

1. GV: Các em mở tập ra và ghi GV ghi lên bảng: Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác 2. GV: Ở các lớp dưới các em đã học một số các hàm số đại số. Một em đứng dậy

nhắc lại cho thầy khái niệm hàm số.

GV ghi lên bảng cho tập D  (cid:0) 3. HS1: Hàm số f : D  (cid:0) khi có một quy tắc tương ứng , mỗi giá trị x tương

ứng với một con số duy nhất là f(x).

4. GV: Các bạn chỉ cần cầm sách giáo khoa đọc ... Thôi được rồi, ngồi xuống.

Cái này đầu năm lớp 10, chúng ta đã học rồi phải không?

5. GV vừa ghi tiếp lên bảng vừa nhắc lại khái niệm: "Hàm số là quy tắc tương

ứng với mỗi giá trị x tương ứng với một giá trị y. Ta dùng ký hiệu y = f(x)"

f: D  (cid:0)

y  (cid:0)

6. GV: Chẳng hạn ở lớp dưới các em đã học hàm parabol

22 x





f: D  (cid:0) y 



Ứng với mỗi giá trị x xác định được duy nhất một giá trị y tương ứng. Đó là một quy tắc. Vậy thì hàm số lượng giác ở đây được xác định như thế nào? Nó vẫn xác định theo quy tắc trên thôi. Cụ thể đó là những quy tắc nào? Trước hết, chúng ta nhớ lại các giá trị lượng giác.

GV vừa ghi lên bảng vừa giới thiệu: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn

lượng giác tâm O. Các em quan sát trên bảng. GV vẽ hình:

y

t

B

u

M

x

x'

A

O

7. GV: Bây giờ, mỗi giá trị x (cho x là số thực, xem nó có đơn vị đo là radian), thầy chuyển góc lượng giác (OA, OM) = x . Trên mặt phẳng tọa độ này, các em để ý các trục tang, trục côtang, trục sin, trục côsin. Còn nhớ không?

Thầy nhắc lại: trục sin là trục Oy, trục côsin là trục Ox, trục tang là trục

At, trục côtang là trục Bu. Bây giờ, một bạn lên xác định cho thầy các giá trị sinx = ?, cosx = ?, tanx = ? cotx = ? ...

(Phụ lục 1, tr.1) - Các giáo viên cho rằng: "Khó dạy hàm số lượng giác vì nói đến hàm số, học

sinh khó tiếp thu và quên kiến thức các công thức lượng giác, các trục sin, trục cos, trục tan, trục cot"...

- Giáo viên luôn huy động tri thức lượng giác "trong đường tròn" để dạy tri

thức lượng giác "trong hàm số".

- Giáo viên thường xuyên dùng đường tròn lượng giác để điều chỉnh các ứng xử sai của học sinh liên quan đến việc khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác.

 Phía học sinh:

- Học sinh có một số sai lầm trong cách ứng xử đối với các kiểu nhiệm vụ

"Khảo sát sự biến thiên", "Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác" và "Giải phương trình lượng giác". Chẳng hạn: 127. GV : Vậy, sin2 và sin 3, số nào lớn hơn? Không dùng máy tính bỏ túi nhé !

128. Một HS : sin2 là sao thầy ? 129. GV : sinx, x = 2. « Hai » ở đây là radian chứ không phải 20 đâu. Cái nào

lớn?

130. Nguyên: sin3 131. GV : sin3 lớn hơn sin2. Cả lớp chấp nhận không? 132. Một HS khác: Tại sao? 133. GV: Các bạn chưa hiểu, hỏi tại sao. Bạn Nguyên, đứng dậy giải thích, cái

nào lớn hơn?

134. Nguyên: 2 và 3 nằm trong khoảng từ (0,π/2) (!) 135. GV: π là 3,14 136. Nguyên: π bằng 3,14 hả thầy? Thầy đổi…? 137. GV: sin2 hả thầy? 2 radian hay 20 ? 138. GV: Đã định nghĩa từ ban đầu x là số thực, x là radian hay x là độ? Qua đây, các em nhớ dùm thầy: x là số thực (radian). Chúng ta đang học hàm số sin chứ không phải giá trị lượng giác sin. Sao? Nguyên có đổi ý không?

Nguyên im lặng.

139. GV: Các em có công nhận π/2 < 2 <3 < π không? π là 3,14. Trong khoảng

(π/2, π), hàm số sin tăng hay giảm?

140. Cả lớp: Giảm. (Phụ lục 1, tr.8)

- HS nối từng điểm rời rạc khi vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác Chẳng hạn:

89. GV : Ai có thể vẽ đồ thị của hàm số này GV gọi một HS lên bảng vẽ đồ thị 90. HS lên bảng vẽ như sau : -π -π/2 0 π/2 π

-1

- Hai quy tắc hành động: khi số đo góc là số nguyên thì HS gắn với đơn vị độ,

khi số đo góc gắn với  thì HS gắn với đơn vị đo radian.

- Trong giấy nháp của HS, thường xuyên viết 1800 = , 3600 = 2 ... - Trong tập, một bộ phận HS sửa ký hiệu x thành  . Những phân tích trong lịch sử, thể chế dạy học ở trường phổ thông cùng với một số ghi nhận từ quan sát thực tế tiết dạy các hàm số lượng giác cho thấy tính kế thừa của việc chuyển các TCTH từ giai đoạn đường tròn sang giai đoạn hàm số. Điều này dẫn chúng tôi đến việc đặt ra một giả thuyết: Phương pháp trực quan ưu tiên khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên trong việc chuyển dạng các đối tượng từ dạng tĩnh sang dạng biến thiên. 2.2.5. Đặc trưng của bước chuyển từ lượng giác «trong đường tròn» đến lượng giác «trong hàm số» - Trường hợp chuyển từ giá trị lượng giác của một cung (góc) lượng giác sang hàm số lượng giác của đối số thực. Chúng tôi sẽ mở đầu phần phân tích bằng quan điểm của các tác giả SGK

trong việc thực hiện bước chuyển:

"Về mặt lý thuyết, việc chuyển từ giá trị lượng giác của một cung (góc) lượng giác ở lớp 10 sang hàm số lượng giác của đối số thực là một việc làm khá tế nhị. Mỗi cung lượng giác có một số đo với đơn vị là radian hoặc độ và mỗi cung này có các giá trị lượng giác sin, cosin, tang, cotang hoàn toàn

xác định (dù cho số đo của chúng lấy theo đơn vị nào) ... để trình bày hàm số sin và hàm số côsin, ta phải quay lại định nghĩa các hàm số này thông qua đường tròn lượng giác". [15, tr.19] Khi chọn nghiên cứu bước chuyển từ giá trị lượng giác của một cung (góc) lượng giác sang hàm số lượng giác của đối số thực, chúng tôi thật sự không tránh khỏi những băn khoăn: Trong bước chuyển này, định nghĩa hàm số lượng giác đã khai thác những gì từ định nghĩa giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác? Trước tiên, về mặt lý thuyết toán học, chúng tôi sẽ dùng sơ đồ để mô tả bước chuyển từ giá trị lượng giác của một cung (góc) lượng giác ở lớp 10 sang hàm số lượng giác của đối số thực ở lớp 11.

Sơ đồ 2.1: Mô tả bước chuyển từ giá trị lượng giác của một cung (góc) lượng

giác sang hàm số lượng giác của đối số thực

s

x  y = sinx x  y = cosx

θ =

radian

s R

Trục sin

R sin: (cid:0)  (cid:0) cos: (cid:0)  (cid:0) θ

M

x

1 x

1 Trục côsin

x rad 1

A

radian

θ =

x

x 1

 Nhận xét

- Tác giả SGK Đại số và Giải tích lớp 11 đều đưa vào một hoạt động để làm cầu nối giữa "hai lượng giác" trước khi xây dựng các tri thức lượng giác «trong hàm số».

- Khi chọn đơn vị radian cho số đo của góc (cung) để định nghĩa hàm số lượng giác của đối số thực, tác giả SGK chỉ có thể giải thích bằng cụm từ "để tiện

tính toán".

Theo chúng tôi, điều "khá tế nhị" mà tác giả đã nêu sẽ tạo nên sự gián đoạn ở bước chuyển vì xuất hiện mâu thuẫn giữa khái niệm mới (hàm số lượng giác của

số thực) và khái niệm cũ (giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác có đơn vị đo).

- Các tác giả SGK chủ yếu dựa vào các đặc trưng của hàm số để xét mối quan hệ giữa đối số x và hàm y như tính biến thiên, tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn ... trên miền xác định của hàm số lượng giác.

- Sơ đồ 2.2 dưới đây sẽ mô tả mối quan hệ giữa các TCTH gắn liền với các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn đã cho thấy phần nào tính kế thừa của bước chuyển từ TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ T4: "Tìm giá trị lượng giác của góc" sang TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ T'5: "Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác".

- Kiểu nhiệm vụ T4 đóng vai trò là một trong các thành phần của kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ: "Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lượng giác". Hay nói cách khác, chức năng của các bài toán ở giai đoạn lượng giác trong đường tròn là một trong các yếu tố kỹ thuật khi xét các bài toán mang tính tổng quát liên quan đến hàm số lượng giác.

Sơ đồ 2.2: Mối quan hệ của các TCTH liên quan đến các tri thức lượng giác

trong hai giai đoạn

{T'1,τ'1}

Định nghĩa số đo radian

{T1,τ 1a ,τ 1b}

Định nghĩa hàm số lượng giác

{T'2, τ'2}

{T2,τ2}

«Trong đường tròn» «Trong hàm số»

Định nghĩa góc (cung) lượng giác và số đo

Tính chất chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

{T'3,τ'3}

{T3,τ3}

Định nghĩa đường tròn lượng giác

{T'4,τ'4}

Tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác

Ghi chú: Các TCTH được ưu tiên trong thể chế ở THPT.

. Chúng tôi tự hỏi : Mối quan hệ thể chế đối với giá trị lượng giác của góc sẽ

ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ của học sinh đối với hàm số lượng giác?

Những phân tích ở phần đầu của chương 2 cho thấy: Chương trình THPT chọn phạm vi tiếp cận lượng giác từ hình học sang đại số và lượng giác được trình bày với tư cách công cụ của hình học, đối tượng của đại số và công cụ của Vật lý ...

Trong các SGK, SBT môn Toán ở THPT, TCTH gắn liền với kiểu nhiệm vụ: "Tìm giá trị lượng giác của góc" có công nghệ là các tri thức trong hình học (Định lý Pitago, độ dài đường tròn, đơn vị đo góc ...). Mặt khác, thể chế ở trường phổ thông luôn ưu tiên cho học sinh vận dụng TCTH này.

Chẳng hạn:

 Trong phạm vi hình học, thể chế yêu cầu học sinh tính tỉ số các cạnh trong tam giác vuông (lớp 9). Kế đến, tiếp tục yêu cầu tính giá trị lượng giác của góc bất kỳ từ [00, 1800] (lớp 10). Sau cùng, vận dụng tính góc giữa các đường thẳng, mặt phẳng trong hình học không gian (lớp 11).

 Trong phạm vi đại số, tính giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác là kiểu nhiệm vụ được ưu tiên (lớp 10). Tiếp đó, tính giá trị của hàm số lượng giác đồng nhất với việc tính giá trị lượng giác của góc (lớp 11). Sau cùng, vận dụng viết dạng lượng giác của số phức (lớp 12).

 Trong môn Vật lý, Kỹ thuật, lượng giác cũng được thể chế ở THPT ưu tiên rèn luyện tính toán các giá trị cụ thể gắn với đơn vị đo. Các hàm hình sin chỉ được thông qua trong lý thuyết và kênh hình ảnh như: sóng cơ học, sự truyền âm, các dao động ...

Đặc biệt, khi phân tích các TCTH được xây dựng ở giai đoạn lượng giác trong hàm số, chúng tôi thấy tồn tại duy nhất bài tập sau:

Bài 22: Tính các góc của tam giác ABC, biết AB = 2 cm, AC = 3 cm và

đường cao AH = 1 cm. (Gợi ý: Xét trường hợp B, C nằm khác phía đối với H và trường hợp B, C nằm cùng phía đối với H). [28, tr.30] Vị trí của bài tập trên thuộc nhóm bài tập và câu hỏi sau phần lý thuyết - Phương trình lượng giác cơ bản. Ở đây, bài toán được giải quyết bằng kỹ thuật gắn với lượng giác trong tam giác. Dường như chương trình và SGK THPT luôn ưu tiên cho học sinh vận dụng tính toán các giá trị lượng giác gắn với đơn vị đo. Thậm chí, khi chuyển sang tiếp cận hàm số lượng giác biến số thực, đối số của hàm số lượng giác gắn với đơn vị đo vẫn được thể chế "chấp nhận". Đây cũng là khó khăn trong lịch sử của các nhà toán học trong việc định nghĩa hàm số lượng giác.

Những phân tích trên cùng với kết quả phân tích chương trình , SGK Toán THPT và một số ghi nhận từ việc quan sát thực tế lớp học về hàm số lượng giác (chương 2) dẫn chúng tôi tới việc đặt ra một câu hỏi:

Sự thống trị của giá trị lượng giác của góc (có đơn vị đo) trong thể chế ở trường phổ thông có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ của học sinh với tương quan hàm trong lượng giác?

2.3. Vết của TCTH tham chiếu Bằng cách dùng sơ đồ, chúng tôi sẽ minh họa "vết" của TCTH tham chiếu để lại trong TCTH cần giảng dạy. Việc giải thích sự chênh lệch giữa TCTH tham chiếu và TCTH cần giảng dạy sẽ cho phép chúng tôi thấy rõ những điều kiện và ràng buộc của thể chế liên quan đến "hai lượng giác".

* Đối với lượng giác trong đường tròn: TCTH [T3, τ3]: "Xác định điểm (tia) cuối của cung (góc) lượng giác khi biết số đo của góc (cung)" xuất hiện tường minh trong SGK nhưng chưa từng xuất hiện ở đại học. Sự chênh lệch này được giải thích bởi điều kiện của thể chế: «dùng số để xác định vị trí của điểm trên đường tròn lượng giác, tức là có ánh xạ…». Hay nói cách khác, thể chế trường phổ thông chuẩn bị tri thức cho việc giới thiệu cách tiếp cận hàm số trong lượng giác phù hợp với tư tưởng chủ đạo xuyên suốt trong chương trình môn Toán là rèn luyện tư duy hàm cho học sinh.

* Đối với lượng giác trong hàm số: TCTH [T'71/ τ'71a / θ'71a ]: "Giải phương trình lượng giác bậc nhất đối với một hàm số lượng giác" với kỹ thuật sử dụng đường tròn đơn vị xuất hiện tường minh trong SGK mà chưa từng xuất hiện trong TCTH tham chiếu. Đây là sự chênh lệch mà theo chúng tôi nó xuất phát từ quy định của chương trình và SGK:

phải xây dựng hàm số lượng giác sao cho vẫn sử dụng hiểu biết cũ, phải tận dụng tối đa hình ảnh trực quan.

(Trang vẽ Sơ đồ khổ giấy ngang - file riêng) 2.4. Kết luận chương 2

Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác «trong đường tròn» và «trong hàm số» cho phép xác định các quy tắc hợp đồng didactic R1, R2, R3 cũng như trả lời các câu hỏi đặt ra Q2, Q3, Q4. Điều này hướng chúng tôi phát biểu giả thuyết nghiên cứu sau:

 H1: "Tồn tại các quy tắc hợp đồng R1, R2 (giai đoạn đường tròn) và R3 (giai

đoạn hàm số)".

 R1: Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tọa độ (x, y) của điểm nằm trên tia cuối của góc  thoả x2 + y2 = 1 mà chỉ cần áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc để tính.

 R2: Luôn tìm được các giá trị lượng giác của góc . RP2: Giáo viên có trách nhiệm cho các bài toán tìm giá trị lượng giác

của góc  sao cho góc  luôn tồn tại.

RE2: Học sinh không có nhiệm vụ kiểm tra sự tồn tại của góc  đã

cho, trước khi tìm các giá trị lượng giác của góc  mà chỉ cần nhớ các công thức lượng giác để tính.

 R3: Luôn tìm được nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. RP3: Giáo viên có trách nhiệm đưa ra các phương trình lượng giác

luôn tồn tại nghiệm.

RE3: Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm

của phương trình lượng giác khi giải.

Ngoài ra, việc quan sát các tiết dạy - học các tri thức lượng giác «trong hàm số » và cách trình bày của SGK cũng dẫn chúng tôi đến việc đặt ra giả thuyết và một câu hỏi nghiên cứu sau:  H2: "Phương pháp trực quan ưu tiên khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên trong việc chuyển dạng các đối tượng từ dạng tĩnh sang dạng biến thiên".

 Sự thống trị của giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo trong thể chế ở trường phổ thông ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ của học sinh với tương quan hàm trong lượng giác?

Liệu trong thực tế dạy học, những giả thuyết và câu hỏi nghiên cứu mà chúng tôi đặt ra ở trên có thoả đáng không? Việc nghiên cứu thực nghiệm để kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu là công việc cần thiết mà chúng tôi phải thực hiện ở chương 3.

Chương 3: THỰC NGHIỆM 3.1. Mục đích và giả thuyết thực nghiệm

Chương này có mục đích là triển khai một thực nghiệm cho phép trả lời câu

hỏi mà chúng tôi đã nêu ra ở cuối chương 2:

 Sự thống trị của giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo trong thể chế ở trường phổ thông ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ của học sinh với tương quan hàm trong lượng giác? Đặc biệt, thực nghiệm sẽ đưa vào kiểm chứng tính thoả đáng của hai giả

thuyết nghiên cứu H1 và H2 sau:

 H1: "Tồn tại các quy tắc hợp đồng R1, R2 (giai đoạn đường tròn) và R3 (giai

đoạn hàm số)".

 R2: Luôn tìm được các giá trị lượng giác của góc . RP2: Giáo viên có trách nhiệm cho các bài toán tìm giá trị lượng giác của

góc  sao cho góc  luôn tồn tại.

RE2: Học sinh không có nhiệm vụ kiểm tra sự tồn tại của góc  đã cho,

trước khi tìm các giá trị lượng giác của góc  mà chỉ cần nhớ các công thức lượng giác để tính.

 R3: Luôn tìm được nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. RP3: Giáo viên có trách nhiệm đưa ra các phương trình lượng giác luôn

tồn tại nghiệm.

RE3: Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm

của phương trình lượng giác khi giải.

 H2: "Phương pháp trực quan ưu tiên khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên trong việc chuyển dạng các đối tượng từ dạng tĩnh sang dạng biến thiên".

3.2. Hình thức và tổ chức thực nghiệm

Để kiểm chứng các giả thuyết trên, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên hai

đối tượng: giáo viên và học sinh.  Về phía giáo viên: Chúng tôi sẽ phát phiếu điều tra giáo viên hoặc phỏng vấn trực tiếp để tìm hiểu ứng xử của các giáo viên dạy Toán.  Về phía học sinh: Học sinh sẽ làm việc cá nhân. Việc phân tích những bài làm của học sinh cùng với những cách sử dụng tri thức của học sinh sẽ giúp chúng

tôi thấy được hiệu ứng của hợp đồng và tính thoả đáng của các giả thuyết nghiên cứu. 3. 3. Thực nghiệm đối với giáo viên

Thực nghiệm chủ yếu tiến hành trên giáo viên của các trường: THPT Nguyễn

Đình Chiểu, THPT Thủ Khoa Huân, THPT Nguyễn Văn Tiếp (Tiền Giang).

3.3.1. Mục đích thực nghiệm

Tìm hiểu quan điểm của giáo viên Toán về chức năng của lượng giác trong đường tròn đối với việc dạy lượng giác trong hàm số. Qua đó, kiểm chứng một phần giả thuyết H1 (liên quan đến GV) và giả thuyết H2.

3.3.2. Giới thiệu và phân tích bộ câu hỏi điều tra

Bộ câu hỏi điều tra gồm 7 câu được chia thành 2 nhóm, với mục đích sau:

1

2 Nhóm Câu

1

Quan điểm GV về chức năng

2

3

4

của lượng giác trong đường tròn đối với lượng giác trong hàm số.

5

Kiểm chứng một phần giả thuyết H1 (liên quan GV)

6

7

Kiểm chứng giả thuyết H2

 Nhóm 1: Nhằm tìm hiểu quan điểm của giáo viên Toán về chức năng của lượng giác trong đường tròn đối với việc dạy học ở giai đoạn lượng giác trong hàm số. (Câu 1, câu 2 và câu 3)

 Câu 1: Nếu thay đổi trình tự giảng dạy lượng giác ở bậc THPT tức là dạy tri thức lượng giác ở lớp 11 (lượng giác trong hàm số) trước khi dạy tri thức lượng giác ở lớp 10 (lượng giác trong đường tròn) thì Thầy (cô) nghĩ như thế nào? Xin vui lòng cho biết lý do Thầy (cô) suy nghĩ như thế?

 Câu 2: Khi dạy những tri thức lượng giác liên quan đến hàm số lượng giác ở

lớp 11, thầy (cô) đã:

Nhắc lại tri thức lượng giác ở lớp 10. Giới thiệu các tri thức đó như một tri thức mới.

Xin Thầy (cô) vui lòng cho biết lý do.

 Câu 3: Thầy (cô) có thường xuyên nhắc lại kiến thức cũ để khảo sát các hàm số lượng giác trong thực tế dạy học của mình không? Những kiến thức nào đã được thầy (cô) ưu tiên nhắc lại?

Thường xuyên. Ít khi. Chưa bao giờ.

Với câu hỏi 1, chúng tôi dự đoán hầu hết GV cho rằng: các tri thức lượng giác “trong đường tròn” có vai trò kết nối khi xây dựng các tri thức lượng giác “trong hàm số”. Do đó, sẽ không có GV nào trả lời có thể thay đổi trình tự giảng dạy các tri thức lượng giác ở lớp 10 và lớp 11. Điều này cũng cho phép chúng tôi thấy được tính chất kế thừa của việc chuyển từ tri thức lượng giác “trong đường tròn” sang tri thức lượng giác “trong hàm số”.

Trong câu hỏi 2 và câu hỏi 3, chúng tôi muốn làm rõ hơn quan điểm của GV thể hiện qua câu trả lời trong câu hỏi 1. Dự đoán của chúng tôi là tất cả GV đều khẳng định việc nhắc lại tri thức lượng giác “trong đường tròn” (lớp 10) là cần thiết để tiếp tục xây dựng tri thức lượng giác “trong hàm số”. Lý do họ có thể đưa ra là để học sinh nhớ lại vì quên hay để xây dựng định nghĩa hàm số lượng giác đi từ cụ thể sang tổng quát ...

Chúng tôi dự đoán: trong câu hỏi 3, các GV chọn thường xuyên nhắc lại kiến thức cũ như: TXĐ, TGT, tính đồng biến - nghịch biến, tính chẵn - lẻ của hàm số trong đại số đã học ở lớp 10 và việc sử dụng công cụ đường tròn lượng giác trong khảo sát tính biến thiên.

 Nhóm 2: Nhằm kiểm chứng tính thoả đáng của một phần giả thuyết H1

(liên quan đến GV) và giả thuyết H2. (Từ câu 4 đến câu 7)

 Câu 4: Cho bài toán: Tìm các giá trị lượng giác sin và cos biết:

sin(cos) = 1 và cos > 0.

cos

1

 nên không tồn tại giá trị α nào để tìm sin, cos.

Sau đây là lời giải của hai học sinh lớp 10: Lời giải của học sinh A: sin(cos) = 1

Vì 0

Lời giải của học sinh B:

sin(cos) = 1

Theo bảng giá trị lượng giác của góc, ta có:

  + k2 >1 (Vô lý)

 2

cos

Vậy không tồn tại giá trị  nào để tìm sin , cos.

a. Thầy(cô) mong đợi lời giải nào nhất ở học sinh?Xin vui lòng cho biết lý do. b. Theo thầy (cô), dạng đề toán trên có cần thiết đưa vào cho học sinh luyện tập không? Nếu không, thầy (cô) vui lòng đề nghị một đề toán khác giúp học sinh biết tìm giá trị lượng giác của góc .

Yêu cầu của bài toán trên là kiểu nhiệm vụ quen thuộc trong SGK Toán lớp 10. Tuy nhiên, giả thiết của bài toán không quen thuộc. Chúng tôi đặt GV vào tình huống mà cả hai lời giải giả định đều mang lại kết quả đúng.

Với lời giải của học sinh A, việc kiểm tra sự tồn tại của góc  được ưu tiên hơn. Sự lựa chọn và đánh giá của GV về hai lời giải trên sẽ giúp chúng tôi nhận ra được hiệu ứng của hợp đồng RP2.

Theo phân tích chương 2 và quan sát giờ dạy - học thực tế của GV - HS về tri thức lượng giác ở lớp 10, chúng tôi dự đoán: lời giải của học sinh A sẽ ít được GV mong đợi hơn lời giải của học sinh B. Tất cả GV đều có quan điểm "không cần thiết" cho học sinh luyện tập bài toán dạng trên. Lý do được GV đưa ra có thể quá phức tạp vì học sinh chưa học giải phương trình lượng giác hoặc khó khăn khi học sinh muốn giải đúng phải kiểm tra tính chất của các giá trị lượng giác của góc. Do đó, các đề toán khác được GV đề nghị sẽ có dạng đơn giản như: Tìm giá trị lượng

giác của góc khi biết một trong các giá trị lượng giác của góc đó hoặc dấu của các giá trị lượng giác của góc đó ...

 Câu 5: Thầy (cô) có thường xuyên yêu cầu học sinh tìm điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình khi giải phương trình lượng giác? Giải thích sự lựa chọn của Thầy (cô).

Thường xuyên. Ít khi. Chưa bao giờ.

Với câu hỏi 5, chúng tôi nghĩ là đa số GV sẽ ít khi yêu cầu học sinh tìm điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình khi giải phương trình lượng giác. Lý do của

việc lựa chọn là SGK không có bài tập giải phương trình chứa tham số. Điều đó ảnh hưởng đến ứng xử của GV. GV ưu tiên chọn những phương trình lượng giác có nghiệm dù cho không tìm điều kiện của phương trình vẫn cho kết quả đúng. Ở đây, chúng tôi có thể kiểm chứng tính hợp thức của quy tắc hợp đồng RP3: "Giáo

viên có trách nhiệm đưa ra các phương trình lượng giác luôn tồn tại nghiệm".  Câu 6: Có hai đề toán sau:

Đề 1: Giải phương trình: sin3x + 3 = 0 Đề 2: Giải phương trình: tan3x + 3 = 0 Nếu phải chọn một trong hai đề trên cho học sinh thực hành, Thầy (cô) sẽ chọn đề nào? Lý do Thầy (Cô) lựa chọn?

Đây là câu hỏi được xây dựng nhằm thấy được hiệu ứng hợp đồng RP3 với kiểu nhiệm vụ: "Giải phương trình lượng giác cơ bản". Chúng tôi chọn hai đề toán cùng kiểu nhiệm vụ nhưng hàm số lượng giác trong phương trình khác nhau. GV có thể nhận ra phương trình ở đề 1 không có nghiệm; ngược lại, phương trình ở đề 2 có nghiệm. Dự đoán của chúng tôi là rất ít GV chọn đề 1. Việc ít quan tâm chọn đề 1 của GV có thể sẽ ảnh hưởng đến ứng xử của HS: "không có trách nhiệm kiểm

tra điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác khi giải".  Câu 7: Liên quan đến việc dạy khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác,

thầy (cô) có những lưu ý nào cho học sinh?

Ở câu 7, thông qua những lưu ý của GV, chúng tôi sẽ kiểm chứng giả thuyết H2. Theo quan sát thực tế lớp học và phỏng vấn trực tiếp GV trước khi thực nghiệm cùng với phần phân tích SGK, những lưu ý có thể phân thành hai nhóm (liên quan đến các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn và đặc trưng biến thiên của hàm số nói chung).

Chúng tôi có thể thấy được: GV sẽ lưu ý về ý nghĩa hình học của giá trị lượng giác của góc, cụ thể là các trục sin, cos, tan, cot, tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác. Hay nói cách khác, những lưu ý của GV xoay quanh việc học sinh phải có kiến thức lượng giác ở giai đoạn trước và kiến thức về khảo sát hàm số trong đại số đã học. Đặc biệt, GV sẽ chú ý đến việc phát huy phương pháp trực quan trong việc khảo sát các hàm số lượng giác.

3.3.3. Phân tích những câu trả lời thu được

Sau khi gửi phiếu tham khảo cho giáo viên, chúng tôi nhận được câu trả lời

của 23 người. Đa số giáo viên đều có thâm niên công tác.  Nhóm 1: (Câu 1, câu 2 và câu 3)

 Câu 1: Tất cả 23/23 GV được phỏng vấn cho rằng không thể dạy các tri lượng giác “trong hàm số” trước khi dạy tri thức lượng giác “trong đường tròn”. Các lý do được GV đưa ra thể hiện rõ vai trò kết nối của các tri thức lượng giác “trong đường tròn” đối với các tri thức lượng giác “trong hàm số”. Chúng tôi minh họa dưới đây một số câu trả lời điển hình.

G15: "Tiếp cận theo quan điểm hàm rất khó cho dạy và học. Lượng giác trong đường tròn vận dụng được kiến thức cũ (lượng giác trong tam giác) giúp mở rộng khái niệm thuận lợi hơn".

G11: "Không nên vì kiến thức lượng giác lớp 10 cần dùng để làm nền, mở

rộng ra lớp 11".

G5: "Khó dạy vì sẽ dựa vào lượng giác trong đường tròn để suy ra lượng giác

trong hàm số".

G7: "Việc thay đổi trình tự này là không hợp lý: 1. Kiến thức phải dựa trên cơ sở lý luận nào đó, hợp lý và logic, 2. Kiến thức đó phải đảm bảo tính vừa sức đối với học sinh". G17: "Trình tự giảng dạy lượng giác không nên thay đổi. Ở lớp 9, học sinh đã được học lượng giác và liên tục đến lớp 10, sau đó sẽ giới thiệu lượng giác trong hàm số ở lớp 11 là hợp lý".

G19: "Không nên thay đổi để đảm bảo tính liên tục có tính chất kế thừa từ

lượng giác trong tam giác ở lớp 9".

Tuy chúng tôi không quan tâm đến tri thức lượng giác phải dạy ở lớp nào nhưng các GV đều bổ sung ý kiến: Chương trình và SGK Toán phổ thông hiện hành tách lượng giác trong đường tròn dạy riêng ở Đại số lớp 10 thay vì được giới thiệu trước khi xây dựng hàm số lượng giác ở lớp 11 như các SGK Toán phổ thông những năm trước làm cho GV và học sinh khó khăn.

Chúng tôi nghĩ rằng: Mặc dù GV chỉ nói hai từ "khó khăn" mà không giải thích thêm bất cứ điều gì nhưng chính điều này cũng gián tiếp nói lên vai trò kết nối của lượng giác trong đường tròn ở lớp 10 đối với lượng giác trong hàm số ở lớp 11 mà chúng tôi đã phân tích tiên nghiệm.

 Câu 2:

Có 22/23 GV chọn việc nhắc lại tri thức lượng giác ở lớp 10. Và, duy nhất GV cho rằng khi dạy tri thức liên quan đến hàm số lượng giác, GV đã giới thiệu các tri thức này như một tri thức mới. Tuy nhiên, GV này cũng lưu ý: Tuy giới

thiệu tri thức này như tri thức mới nhưng vẫn thiết lập mối quan hệ với tri thức cũ như: giá trị lượng giác của góc, miền xác định của hàm số, phép tịnh tiến ... mà học sinh đã học ở lớp 10. Chúng tôi được biết GV này đang dạy đối tượng học sinh có học lực giỏi.

Như thế, tất cả GV đều quan tâm đến vai trò quan trọng của tri thức lượng giác “trong đường tròn” mà học sinh đã học ở lớp 10. Việc nhắc lại tri thức lượng giác “trong đường tròn" ở lớp 10 là công việc cần thiết, không những giúp học sinh nhớ lại kiến thức cũ mà còn là nền tảng để GV xây dựng và phát triển tiếp tục tri thức lượng giác theo cách tiếp cận hàm số.  Câu 3: Bảng số liệu thu được:

Câu 3

Kiến thức cũ ưu tiên nhắc lại

Lựa chọn

Số lượng GV

8

- Giá trị lượng giác của cung đặc biệt, biểu diễn cung lượng giác. - Các công thức lượng giác và cung liên kết.

21 Thường xuyên

13

- TXĐ, TGT, tính đồng biến - nghịch biến, tính chẵn - lẻ của hàm số. - Tính tuần hoàn và chu kỳ của hàm số lượng giác. - Phép tịnh tiến.

Ít khi

1

- TXĐ, tính đồng biến - nghịch biến, tính chẵn - lẻ của hàm số. - Phép tịnh tiến.

1 Chưa bao giờ

Bảng số liệu chỉ rõ: 21/23  91,3% GV thường xuyên nhắc lại kiến thức cũ khi dạy khảo sát các hàm số lượng giác - một kiểu nhiệm vụ mới trong lượng giác đối với học sinh. Trong đó, có 8/21  38% GV ưu tiên nhắc lại kiến thức lượng giác chủ yếu trong giai đoạn đường tròn ở lớp 10 và 13/21  62% GV nhắc lại kiến thức liên quan đến TXĐ, các tính chất của hàm số trong đại số mà học sinh đã học ở lớp 10. Tất cả góp phần cụ thể hoá những điều mà chúng tôi dự đoán trong phân tích tiên nghiệm.

Việc GV nhắc lại kiến thức lượng giác đã gián tiếp chứng tỏ sự cần thiết và vai trò kết nối của các tri thức lượng giác “trong đường tròn” đối với việc xây

dựng các tri thức lượng giác “trong hàm số” với kiểu nhiệm vụ cụ thể là khảo sát các hàm số lượng giác.  Nhóm 2: (Từ câu 4 đến câu 7)

 Câu 4: Bảng số liệu thu được:

HSA

9/23 GV chọn

G9: "Học sinh có chú ý đến điều kiện chọn góc cos cho giá

Lý do

trị lượng giác sin". G21: "Lời giải của HS A cho thấy điều kiện cos > 0 được ưu

tiên sử dụng và hiểu rõ vấn đề hơn".

a

HSB

14/23 GV chọn

Câu 4

Lý do

G20: "Vận dụng bảng giá trị vào bài". G5: "Vì HS thường giải theo cách này". G13: "Từ điều kiện đã thoả nên HS chỉ cần dùng bảng lượng giác để giải".

10/23 GV chọn

Cần thiết

b

Không cần thiết

13/23 GV chọn

Với câu a, như chúng tôi dự đoán: ít giáo viên chọn học sinh A trong phân tích tiên nghiệm. Bảng kết quả thu được đã cho thấy 14/23  60,8% GV chọn học sinh B. Lý do lựa chọn học sinh B đã được chúng tôi trích dẫn tiêu biểu trên bảng

chứng tỏ: GV không mong đợi học sinh kiểm tra sự tồn tại của góc  khi tìm các

giá trị lượng giác của góc  mà chỉ cần nhớ bảng giá trị và các công thức lượng

giác để tính.

Sự không mong đợi của GV cũng phần nào ảnh hưởng đến ứng xử của học

sinh. "Học sinh không có nhiệm vụ kiểm tra sự tồn tại của góc  khi tìm các giá

trị lượng giác của góc  mà chỉ cần nhớ các công thức lượng giác để tính".

Như vậy, chúng tôi đã làm rõ phần nào nguyên nhân dẫn đến quy tắc hợp

đồng RE2 (liên quan đến HS).

Ở câu b, có 56,52% GV cho rằng "Không cần thiết" đưa vào bài toán trên vì

lý do:

 

G12: "Đề bài trên dành cho học sinh nâng cao. Đối với học sinh bình thường, ta

 . Tính

 2

3 5

đưa các đề đơn giản hơn. Chẳng hạn: Cho sin = với





các giá trị lượng giác còn lại".

 2

1 9

với 0 . Tìm giá trị lượng giác của góc  ". G6: "Đề nghị cho sin =

Trong quá trình kiểm tra kết quả thu được từ GV trong câu hỏi này, chúng tôi nhận thấy tất cả các GV chọn lời giải của học sinh B đều thấy "không cần thiết" đưa vào bài toán mà chúng tôi yêu cầu. Chỉ có 1/14 GV lựa chọn lời giải học sinh B không yêu cầu bài toán khác. Tất cả những kết quả thu được ở câu b cho phép kiểm chứng quy tắc hợp đồng RP2: "Giáo viên có trách nhiệm cho bài toán tìm

giá trị lượng giác của góc  sao cho góc  luôn tồn tại".

 Câu 5: Bảng thống kê:

Giải thích

Lựa chọn

Số lượng GV

Thường xuyên

- Chỉ nói qua, khi nào phương trình có đặt ẩn phụ thì chú ý TXĐ. - Bài toán giải phương trình theo tan, cot thì yêu cầu nhưng sin, cos thì ít. - Chủ yếu cho HS biết các công thức nghiệm.

Câu 5

Ít khi

- Chỉ với HS khá - giỏi để HS nhận ra phương trình có nghiệm hay không ngay từ đầu, còn với HS khác thì cứ việc cho HS giải rồi thế lại vào phương trình kiểm tra sự tồn tại của nghiệm. - Giúp HS biết ngay điều kiện xác định để không mất thời gian. - Các đề toán ít quan tâm đến tìm TXĐ mà chủ yếu áp dụng công thức nghiệm. - Nếu không yêu cầu thì HS cũng không kiểm tra TXĐ, sẽ dễ sai.

Chưa bao giờ

Không có GV nào chọn "chưa bao giờ" trong câu hỏi này. Điều đó cũng nói lên rằng: Tìm điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình là không thể không quan tâm. Tuy nhiên, quan tâm ở mức độ nào thì tuỳ thuộc vào GV và học sinh.

Đúng với dự đoán trong phân tích tiên nghiệm, chúng tôi thu được kết quả chỉ có 5/23  21,7% GV "thường xuyên" yêu cầu học sinh tìm điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác. Song song đó, với lời giải thích của 18/23  78,3% GV chọn "ít khi" yêu cầu học sinh tìm điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình khi giải phương trình lượng giác, càng chứng tỏ họ có trách nhiệm cho bài toán chủ yếu áp dụng công thức nghiệm, không cần kiểm tra sự tồn tại nghiệm vẫn giải đúng.

 Câu 6: Có 8/23  34,8% GV chọn đề 1 và 15/23  65,2% GV chọn đề 2

trong câu hỏi này. Cụ thể:

Câu 6

Lựa chọn

Đề 1

Đề 2

Số lượng GV

- HS sẽ dễ nhầm lẫn phương trình có nghiệm trong khi đề 2, HS đã quen thuộc. - Giúp HS biết tập giá trị, nhấn mạnh

Lý do lựa chọn

sin

x  1

- HS thường không nhận ra phương trình vô nghiệm.

- Tìm điều kiện cho hàm tan có nghĩa. - Đề 1 đã có phần ghi chú về tập giá trị, không cần thiết trong khi đề 2 nảy sinh nhiều vấn đề hơn. - Rèn luyện cho HS các bước giải phương trình lượng giác cơ bản.

Chúng tôi nhận thấy: không như dự đoán ở phân tích tiên nghiệm là GV "rất ít" chọn đề 1. Kết quả thu được có 34,8% GV chọn đề 1 nhưng lý do họ đưa ra lựa chọn giúp chúng tôi nhận ra ứng xử của mỗi GV đối với kiểu nhiệm vụ "Giải phương trình lượng giác".

Dường như GV vẫn chưa quan tâm một cách thích đáng đến hàm số (TXĐ, TGT) trong lượng giác? Điều này sẽ ảnh hưởng đến ứng xử của học sinh như thế nào? Việc tiến hành một thực nghiệm trên học sinh ở phần sau là cần thiết.

Như vậy, kết hợp với kết quả thu được trong câu 6, chúng tôi đã kiểm chứng

quy tắc hợp đồng RP3.

 Câu 7: Bảng số liệu thu được:

Lưu ý của GV

Số lượng GV

Câu 7

G1: Sự tăng - giảm của hàm số lượng giác cần phải dựa vào sự chuyển động của điểm trên đường tròn mới có thể dễ dàng khảo sát. G12: Cần biết rõ các trục sin, cos, tan, cot và hình chiếu của điểm trên đường tròn thì mới có thể vận dụng phương pháp trực quan để khảo sát. G9: Tương quan hàm số cũng thể hiện tại đây: khi x tăng (giảm) thì y tăng (giảm)? G 22: Nên tìm các giá trị lượng giác của cung đặc biệt. G16: Khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác trên một vòng tuần hoàn nhỏ nhất. Tuy nhiên, cần chú ý tính tuần hoàn của hàm số này để có thể dễ dàng khảo sát tính biến thiên khi đề bài yêu cầu khảo sát tính biên thiên trên vòng tuần hoàn lớn hơn. G7: Các hàm tan, cot cần chú ý thể hiện tính biến thiên một cách trực quan

Không trả lời

Trước khi lấy ý kiến GV, chúng tôi đã phỏng vấn trực tiếp 23/23 GV tham gia thực nghiệm về việc dạy khảo sát sự biến thiên của hàm số lượng giác ở lớp 11. Tất cả 100% GV đều gặp khó khăn khi dạy. Song, lý do mà họ đưa ra lại theo các hướng ngược nhau, đôi khi lại mâu thuẫn nhau. Chẳng hạn:

G15: "Tri thức lượng giác rất khó có mối liên hệ với các tri thức cũ. Tính biến thiên của hàm số bất kỳ - học sinh nắm còn yếu, nhất là đối với lượng giác".

G2: "Mất nhiều thời gian ôn lại kiến thức lượng giác ở lớp 10". G5: "Học sinh không biết lập bảng biến thiên trong khoảng nào và lấy giá trị

nào làm giá trị đặc biệt" .

G19: "Hàm tan, cot học sinh khó hiểu hơn các hàm sin, cos".

G12: "Học sinh thường chú tâm đến công thức có sẵn chứ ít chú ý đến việc chiếu điểm ngọn của cung lượng giác lên các trục để tìm giá trị lượng giác".

Rõ ràng, các ý kiến của GV đều xuất phát từ việc học sinh không "nắm" được kiến thức lượng giác “trong đường tròn” (lớp 10). Điều này cũng cho thấy khi dạy cáctri thức lượng giác “trong hàm số”, các GV phải thiết lập mối quan hệ với các tri thức lượng giác “trong đường tròn” tức là phải dựa vào nền tảng là cái cũ để phát triển cái mới. Đặc biệt, GV ưu tiên dùng phương pháp trực quan để chuyển các đối tượng từ dạng tĩnh sang dạng biến thiên. Ở đây, giả thuyết H2 có tính thoả đáng.

3.3.4. Một số kết luận  Về chức năng của lượng giác trong đường tròn đối với lượng giác trong

hàm số:

Giáo viên đều sử dụng các tri thức lượng giác “trong đường tròn” để dạy các tri thức lượng giác “trong hàm số” đồng thời họ cũng gặp không ít khó khăn mà nguyên nhân chủ yếu là việc học sinh không vận dụng phương pháp trực quan trong khảo sát các hàm số lượng giác.

Chức năng của các bài toán lượng giác trong giai đoạn đường tròn là cầu nối dẫn đến việc xây dựng và phát triển các bài toán lượng giác trong giai đoạn hàm

số.

 Về các hợp đồng didactic tồn tại trong hai giai đoạn giảng dạy lượng giác

trong đường tròn và lượng giác trong hàm số:

Giáo viên luôn mong đợi ở học sinh biết sử dụng công thức lượng giác và phép biến đổi đại số. GV thường quan tâm cho học sinh thực hành các đề toán đều

chứng tỏ góc  luôn tồn tại. Điều này xuất phát từ điều kiện của thể chế đối với

giá trị lượng giác của góc : do học sinh chưa học phương trình lượng giác nên

các giá trị lượng giác và biểu thức lượng giác chứa góc  luôn có nghĩa, không

quan tâm đến sự tồn tại của góc . Tại đây, thực nghiệm khẳng định phần nào tính hợp thức của quy tắc RP2 ở giai đoạn đường tròn.

Điều đó ảnh hưởng đến ứng xử của GV ở giai đoạn hàm số: GV lại tiếp tục ưu tiên dùng công thức nghiệm để giải phương trình tức tính toán các giá trị cụ thể mà dường như ít quan tâm đến hàm số (TXĐ, TGT). Nghĩa là: R3 thật sự tồn tại nơi giáo viên. Mặt khác, phương pháp trực quan luôn được GV ưu tiên sử dụng khi khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác.

3.3. Thực nghiệm đối với học sinh

Thực nghiệm đối với học sinh chia thành hai đợt: Đợt 1: Chủ yếu tiến hành trên học sinh lớp 10 ở thực nghiệm A. Đợt 2: Học sinh lớp 11 tham gia thực nghiệm B. Các học sinh tham gia thực nghiệm ở 2 đợt là học sinh của 2 trường THPT Nguyễn Đình Chiểu (2 lớp học ban nâng cao), THPT Thủ Khoa Huân (2 lớp học ban cơ bản) ở tỉnh Tiền Giang.

Thời điểm thực nghiệm được triển khai sau khi học sinh vừa học xong lượng

giác lớp 10 (thực nghiệm A) và lớp 11 (thực nghiệm B).

3.4.1. Mục đích thực nghiệm

Kiểm chứng giả thuyết H1 với sự tồn tại của ba quy tắc hợp đồng R1, RE2,

RE3 và tìm câu trả lời cho câu hỏi: "Sự thống trị của giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo trong thể chế ở trường phổ thông ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ của học sinh với tương quan hàm trong lượng giác?"

3.4.2. Cách xây dựng và nội dung bộ câu hỏi thực nghiệm

Kiểm chứng

Câu hỏi

Đối tượng HS

H1(R)

Câu hỏi nghiên cứu mới



Câu 1



Câu 2

Lớp 10 (30 phút)

Câu 3



Câu 4



Câu 5



Lớp 11 (30 phút)

Câu 6



 Thực nghiệm A (Lớp 10):

 Đầu tiên, để kiểm chứng quy tắc R1, cần xây dựng một bài tập mà ở đó chúng tôi phải tìm hiểu được: học sinh có kiểm tra toạ độ của điểm nằm trên tia cuối của góc  thoả x 2 + y2 = 1 trước khi sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc trong SGK hay không?

Với tiêu chí trên, câu 1 được xây dựng như sau: Câu 1 (làm việc cá nhân) (10 phút)

Cho bài toán sau: Tìm các giá trị lượng giác của góc  biết:

,1)

M( 1 2

B



O

A

Đánh giá

Lời giải

Em hãy đánh giá các lời giải của các bạn học sinh lớp 10 bằng cách đánh dấu X vào các ô trong bảng bên dưới như sau: -1 điểm nếu hoàn toàn sai 0 điểm nếu em phân vân (có thể đúng, có thể sai) 1 điểm nếu hoàn toàn đúng. Học sinh

Giải thích vì sao em lại đánh giá như vậy

sinα = tung độ của điểm M = 1

-1

0

1

cosα = hoành độ của điểm M =

A

1 2

 2

tanα = sin cos

 

Xét tam giác vuông OAM:

sinα =



2 5 5

AM OM

(

)

2 1



1 2

B

cosα =



5 5

OA OM



1 2 2 ( ) 1 2

tanα =

 2

AM OA

sinα = OB = 1;

cosα = OA =

C

1 2

 2

tanα = sin cos

 

sinα =



2 5 5

OB  OM

2 1



1 ( ) 2

D

cosα =



5 5

OA  OM

1 2 2 ( ) 1  2

 2

tanα = sin cos

 

Lời giải khác (nếu có) của em:.................................................................................

 Lựa chọn lời giải giả định của bốn học sinh trong tình huống là công việc

có ý nghĩa. Thật vậy:

Lời giải của học sinh A và học sinh C đều không mang lại kết quả đúng. Tuy nhiên, nếu học sinh tham gia thực nghiệm đánh giá đúng thì một mặt học sinh sai lầm do đã sử dụng sai định nghĩa; mặt khác, "học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tọa độ (x, y) của điểm nằm trên tia cuối của góc  thoả x2 + y2 = 1 mà chỉ cần áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc để tính" - chính là quy tắc R1.

Sự được thua trong câu hỏi này là học sinh phải loại ngay các lời giải giả

định của học sinh A và C.

Chúng tôi chọn lời giải của học sinh B trong phạm vi hình học - cụ thể là lượng giác “trong tam giác” và lời giải của học sinh D trong phạm vi đại số. Cả hai lời giải này đều cho kết quả đúng. Tuy nhiên, việc học sinh tham gia thực nghiệm giải thích lý do họ đánh giá đúng còn giúp chúng tôi thấy rõ hơn sự thống trị của kỹ thuật hình học đối với kỹ thuật đại số khi giải quyết kiểu nhiệm vụ: "Tìm giá trị

lượng giác của góc".

Phân tích ở chương 1 (trong giáo trình đại học) cho thấy các giá trị sin, cos, tan, cot của góc dựa vào tỉ số các cạnh trong tam giác ngay cả khi sin, cos, tan, cot có biến số thực thì chúng vẫn ngầm ẩn sử dụng các tỉ số này.

Cách đánh giá và giải thích của học sinh tham gia thực nghiệm theo các mức độ sẽ cho phép chúng tôi tìm hiểu thêm ảnh hưởng của thể chế lên mối quan hệ của học sinh đối với định nghĩa giá trị lượng giác của góc như thế nào?

 khi tìm các giá trị lượng góc mà chỉ cần nhớ các công thức lượng giác để

 Thứ hai, từ điều kiện và ràng buộc của thể chế, chúng tôi thấy ngầm ẩn quy tắc hợp đồng RE2: "Học sinh không có nhiệm vụ kiểm tra sự tồn tại của góc

tính".

Để kiểm chứng RE2, vấn đề là cần đặt học sinh vào tình huống ngắt quãng

hợp đồng. Ngắt quãng hợp đồng thể hiện ở chỗ: góc  không phải bao giờ cũng tồn tại khi tìm giá trị lượng giác của góc.

Do đó, chúng tôi xây dựng câu 2 dưới đây cũng với kiểu nhiệm vụ quen

thuộc "Tìm giá trị lượng giác của góc".

Câu 2 (làm việc cá nhân) (10 phút)

Tìm các giá trị lượng giác sin, cos biết sin(cos) = 1 và cos > 0.

Chúng tôi đặt học sinh vào tình huống không quen thuộc với các bài toán

trong SGK và giáo trình đại học. Kết quả bài toán là góc  không tồn tại.

Để kiểm chứng quy tắc RE2, chúng tôi chọn thêm điều kiện cos > 0 xem

học sinh có kiểm tra sự tồn tại của góc  hay không. Nếu học sinh căn cứ vào

bảng giá trị lượng giác để tìm cos, sau đó tìm sin thì chúng tôi có thể kiểm chứng sự tồn tại quy tắc RE2.

Sự được thua trong câu 2 là học sinh phải biết kiểm tra sự tồn tại của góc 

khi tìm giá trị lượng giác của góc này.

Trục sin

 Thứ ba, thực nghiệm trên đối tượng học sinh không những kiểm chứng các quy tắc hợp đồng didactic mà còn cho phép trả lời câu hỏi nghiên cứu mới nảy sinh. Vì lẽ đó, chúng tôi xây dựng thêm câu 3 để từng bước tìm lời giải đáp cho câu hỏi này như sau: Câu 3 (làm việc cá nhân) (10 phút)

a. Tìm sin , cos bằng nhiều cách (ít nhất 2 cách)

Trục cos

O 

A

, OA = 2 3 biết MA = 5 3

B

M

b. Trong các cách giải ở câu a, em chọn cách nào nộp cho giáo viên? Vì sao?

Trong câu 3a, tình huống yêu cầu học sinh giải theo nhiều cách, chúng tôi dự đoán là: học sinh sẽ giải theo thứ tự các chiến lược "hình học" đến chiến lược "đại

số".

Việc chọn bài toán với giả thiết là số đo cạnh tam giác và các trục sin, cos gắn với hệ trục toạ độ sẽ tạo nên môi trường cho phép chúng tôi thấy được tác động phản hồi từ học sinh. Học sinh sẽ ưu tiên giải theo chiến lược nào?

Câu 3b được xây dựng cho phép chúng tôi tìm lời giải đáp thích hợp. Nếu học sinh vẫn giải theo chiến lược "hình học" (tính các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông OAM) thì không đem lại kết quả đúng. Ở đây, có thể khẳng định sự tồn tại tính thống trị của kỹ thuật hình học đối với kỹ thuật đại số khi giải quyết kiểu nhiệm vụ "Tìm giá trị lượng giác của góc".

 Thực nghiệm B (Lớp 11):

Tiếp tục thực nghiệm A, chúng tôi xây dựng thực nghiệm B dành cho học

sinh lớp 11 ở trường THPT. Dưới đây là câu hỏi đầu tiên của thực nghiệm B. Câu 4 (làm việc cá nhân) (15 phút)

Khảo sát tính biến thiên của hàm số y = cos2x trên [0, 1].

 Để tiếp tục tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra cuối chương 2, chúng tôi nghĩ là cần phải xây dựng câu 4. Hàm số lượng giác được chúng tôi

chọn để khảo sát tính biến thiên có chu kỳ không là số có chứa , cụ thể chu kỳ T = 1.

Thông qua câu 4, chúng tôi muốn tìm hiểu xem sự thống trị của giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo trong thể chế ảnh hưởng đến học sinh như thế nào khi học sinh tiếp cận với đặc trưng biến thiên của hàm số lượng giác?

Dự đoán của chúng tôi là học sinh gặp khó khăn khi tìm khoảng biến thiên

của hàm số lượng giác.

 Tiếp theo, để kiểm chứng quy tắc hợp đồng RP3: Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác khi giải, chúng tôi cần xây dựng một tình huống ngắt quãng hợp đồng.

Câu 5 dưới đây là kiểu nhiệm vụ: "Giải phương trình lượng giác cơ bản" với mong muốn làm cho học sinh bộc lộ hợp đồng ngầm ẩn. Ngắt quãng hợp đồng ở đây là phương trình lượng giác cơ bản không phải bao giờ cũng tồn tại nghiệm. Câu 5 (làm việc cá nhân) (10 phút)

1 2

Giải phương trình: sin(cosx) =

 Cuối cùng, để tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu ở cuối chương 2,

chúng tôi sẽ chọn tình huống tương tự như câu hỏi trắc nghiệm - câu 6.

Câu 6 (làm việc cá nhân) (5 phút)

Ba bạn học sinh cùng học lớp 11 tranh luận nhau về sin30 như sau:

An: sin30 là giá trị lượng giác của góc 300. Bình: Không đúng, sin30 là giá trị của hàm số lượng giác y = sinx khi x = 30. Chi: sin30 là giá trị lượng giác của góc có số đo 30 radian.

Ý kiến của em trùng với bạn nào? Giải thích sự lựa chọn của em.

Trong câu 6, chúng tôi chỉ xây dựng các lựa chọn đơn giản. Dự đoán của

chúng tôi là rất nhiều học sinh sẽ lựa chọn một trong ba bạn An, Bình, Chi.

Việc lựa chọn và giải thích của học sinh có thể: sin30 sẽ là giá trị lượng giác của góc có số đo radian hoặc độ. Khi đó, chúng tôi có thể thấy được ảnh hưởng của thể chế đối với giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo đến việc tiếp cận tương quan hàm trong lượng giác ở học sinh.

Nghiên cứu thực nghiệm, ở đây kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu, là một công việc phức tạp. Sự được thua của thực nghiệm là lựa chọn và phân tích tiên nghiệm (a priori) các bài toán thực nghiệm một cách chi tiết. Sau đây, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích tiên nghiệm các bài toán trong hai đợt thực nghiệm.

3.4.3. Phân tích a priori chi tiết bộ câu hỏi trong thực nghiệm A và B

Chúng tôi sẽ chỉ rõ môi trường, các biến didactic, biến tình huống, giá trị có thể có của chúng, làm rõ bản chất của các chiến lược có thể và những cái có thể quan sát gắn liền với các chiến lược đó.

 Môi trường Những ràng buộc khách quan hay những kiến thức được đưa vào từ phát biểu của bài toán:

 Khái niệm giá trị lượng giác của góc, dấu của giá trị lượng giác, tính chất của giá trị lượng giác (-1  cos  1), góc lượng giác, đường tròn định hướng, các trục lượng giác,

 Tọa độ của điểm trong hệ trục Oxy, khoảng cách của hai điểm trong mặt phẳng tọa độ, khái niệm hàm số lượng giác, TXĐ, TGT, chu kỳ của hàm số lượng giác,

 Những câu trả lời của bốn học sinh giả định, hình vẽ các trục lượng giác

gắn với hệ toạ độ Decac được nêu trong đề bài.

 Biến didactic - biến tình huống Câu 1

 Biến V1: Cho hình vẽ hay không Việc cho hình vẽ có thể gợi lên ở học sinh chiến lược "tọa độ".  Biến V2: Toạ độ (x, y) của điểm M (x2 + y2 = 1 hay khác 1)

Việc cho M(x, y) không thuộc đường tròn lượng giác sẽ tạo thuận lợi cho

chiến lược "hình học".

 Biến V3: Cách đặt câu hỏi (mở hay đóng) - Giá trị V3a: Tìm giá trị lượng giác của góc, - Giá trị V3b: Lựa chọn lời giải cho trước ...

Yêu cầu học sinh đánh giá các lời giải có sẵn được xếp "ngang hàng" nhau (việc cho nhiều đáp án tạo nên sự lưỡng lự và đòi hỏi phải suy luận để đánh giá).

 Biến V4: Những câu trả lời được lựa chọn cho bốn học sinh giả định

- Câu trả lời của học sinh A và C có thể làm học sinh chú ý đến chiến lược

"tọa độ". - Câu trả lời của học sinh B dẫn học sinh đến chiến lược "hình học". - Câu trả lời của học sinh D tạo thuận lợi cho học sinh nghĩ đến chiến lược "đại số" - chiến lược tối ưu.

 Biến V5: Làm việc cá nhân hay theo nhóm nhỏ

Với biến tình huống này, chúng tôi chọn làm việc cá nhân để có thể phục vụ tốt cho việc tìm hiểu ứng xử của từng học sinh. Biến này chúng tôi ưu tiên sử dụng xuyên suốt các câu hỏi thực nghiệm.

Câu 2

Chúng tôi chọn giá trị biến V3a: Tìm giá trị lượng giác của góc để tìm hiểu cách ứng xử của học sinh thể hiện trong quy tắc RE2. Ngoài ra, còn có các biến:

 Biến V6: Góc  Biến tình huống V6 nhận hai giá trị: tồn tại hay không tồn tại . Chúng tôi chọn giá trị không tồn tại với mục đích tạo ra sự ngắt quãng hợp đồng didactic RE2.

 Biến V7: Giá trị lượng giác có dạng đặc biệt hay không

Như đã phân tích trong chương 2, SGK ưu tiên sử dụng bảng lượng giác cho các giá trị đặc biệt của góc. Với cách chọn giá trị của biến tình huống

V7: Giá trị lượng giác có dạng đặc biệt, chúng tôi sẽ dễ dàng kiểm chứng quy tắc hợp đồng RE2.

 Biến V8: Có hay không có điều kiện cos > 0 trong đề toán

Chúng tôi chọn cos > 0 trong đề toán sẽ cổ vũ chiến lược "hàm số". Ngược lại, sẽ tạo cơ hội cho chiến lược "số" phát huy khả năng xuất hiện.

Câu 3 Nhằm trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt ra cuối chương 2, ngoài hai biến V1: Có hình vẽ, biến V2: Tọa độ của điểm M, giá trị biến V3a: Tính..., chúng tôi chọn thêm các biến sau:

 Biến V9: Phạm vi thiết lập bài toán

- Giá trị V9a: Hình học, - Giá trị V9b: Đại số, - Giá trị V9c: Giải tích. Việc chọn kết hợp hai giá trị V9a và V9b sẽ tạo điều kiện tốt cho chiến lược "hình học" xuất hiện.

 Biến V10: Bản chất của góc lượng giác (chiều dương hay âm)

Chúng tôi chọn chiều âm cho góc lượng giác sẽ làm học sinh lưỡng lự, dẫn đến phải suy luận để tìm ra lời giải đúng

 Biến V11: Số kỹ thuật giải n được yêu cầu (n = 1, 2, 3 ...)

Nếu chỉ yêu cầu học sinh giải ít nhất hai kỹ thuật sẽ cho phép khai thác tất cả các kỹ thuật có thể hiện diện trong suy nghĩ độc lập của học sinh. Điều đó có thể dẫn học sinh đến kỹ thuật (chiến lược "hình học") sai mà học sinh không tự nhận ra.

Câu 4

Tiếp tục tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt ra cuối chương 2, chúng tôi chọn giá trị biến V3a: Khảo sát tính biến thiên và biến:

 Biến V12: "Hình thức của tập xác định" của hàm số lượng giác

- Giá trị V12a: Gắn với số ,

- Giá trị V12b: Không gắn với số .

 Biến V13: "Hình thức" chu kỳ của hàm số lượng giác

- Giá trị V13a: Gắn với số ,

- Giá trị V13b: Không gắn với số .

Ở đây, chúng tôi chọn giá trị V12b, V13b: Không gắn với số  (khác với SGK) để tìm hiểu xem sự thống trị của giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo ảnh hưởng đến việc học khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác như thế nào?

Câu 5 Để kiểm chứng quy tắc RE3, chúng tôi sử dụng biến tình huống sau:

 Biến V14: Bản chất của hàm số lượng giác trong phương trình

- Giá trị V14a: Hàm số lượng giác có đối số là biến x, - Giá trị V14b: Hàm số lượng giác có đối số là một hàm số (biến trung gian).

Việc chọn giá trị V14b sẽ góp phần gia tăng tính thoả đáng của giả thuyết

H1. Câu 6 Chúng tôi chọn giá trị biến V3b: Lựa chọn lời giải cho trước. Yêu cầu phải lựa chọn dứt khoát một trong các câu trả lời cho trước và giải thích lựa chọn của mình sẽ tạo thuận lợi cho chúng tôi tìm hiểu câu hỏi nghiên cứu cuối chương 2. Mặt khác, chúng tôi còn chọn biến tình huống sau:

 Biến V15: Giá trị của đối số trong hàm số lượng giác

- Giá trị V15a: "xa lạ" với các giá trị đặc biệt như 300, 600, 900, ...

- Giá trị V15b: "gần gũi" với các giá trị đặc biệt trên. Đây cũng là giá trị được chúng tôi quan tâm. Nó có thể giúp cho việc tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu ở cuối chương 2 có tính thoả đáng.

Ở trên, chúng tôi đã chỉ ra môi trường, các biến didactic, biến tình huống. Sau đây, chúng tôi sẽ tiếp tục làm rõ bản chất của các chiến lược có thể và những câu trả lời có thể quan sát được.

 Các chiến lược có thể và những cái có thể quan sát được  Câu 1: Có thể phân tích chiến lược thành hai nhóm:

Chiến lược (S)

Những câu trả lời có thể quan sát được

Nhóm

Nhóm 1: Tự giải

;1)

Stđ: Chiến lược "toạ độ": Dựa vào toạ độ của điểm nằm trên đường tròn lượng * Theo định nghĩa: Điểm M( 1

= cos; tung độ = 1 =

với hoành độ = 1 2

sin.

* Chiếu điểm M xuống các trục sin, cos được:

giác. * Phạm vi hợp thức: Toạ độ M thoả x2

+ y2 = 1

s i n

O B

1, c o s

O A









1 2

Suy ra: bạn A và C hoàn toàn đúng, bạn B và D hoàn toàn sai.

* Xét tam giác vuông OAM:

;

sin =



A M O M

2 5 5

(

)



1 2

cos =



OA OM

5 5

2 (

)

2 1



1 2

Shh: Chiến lược "hình học": Dựa vào tỉ số độ dài các cạnh trong tam giác vuông. * Phạm vi hợp thức: 00    900

Suy ra: bạn A và C hoàn toàn sai, bạn B và D hoàn toàn đúng.

;

* sin =



2 5 5

OB  OM

2 1



rồi đánh giá với những câu trả lời đã cho (có thể dùng các chiến lược bên cạnh)

1 ( ) 2

cos =



5 5

OA  OM

1 2 2 ( ) 1  2

Sđs: Chiến lược "đại số": Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của góc bất kỳ. - chiến lược tối ưu

Suy ra: bạn A và C hoàn toàn sai, bạn B và D hoàn toàn đúng.

S1: Phân tích chỉ một câu trả lời

, sin=

Ví dụ: * Bạn A giải cos= hoành độ = 1 2

Nhóm 2: Phân tích các câu trả lời đã cho để đánh giá (Khi phân tích có thể dùng chiến lược "tọa độ"

tung độ = 1 nhưng sin2 + cos2 > 1 (sai). Vậy bạn A hoàn toàn sai. Suy ra: bạn C cũng sai hoàn toàn. Cuối cùng, có thể bạn B và D đúng. * Bạn B hoàn toàn đúng vì trong tam giác vuông, "tìm sin lấy đối chia huyền, cos lấy hai cạnh kề huyền chia nhau ...". Suy ra, bạn D cũng đúng. Còn hai bạn A và C hoàn toàn sai

* Bạn D đúng hoàn toàn vì giải một cách

tổng quát khi cho góc lượng giác . Nên

bạn B trong trường hợp này cũng hoàn toàn đúng. Suy ra: bạn A và C sai.

hoặc chiến lược "hình học")

< 1

Ví dụ: * Bạn A giải sin= 1 nhưng cos= 1 2

S2: Phân tích từng câu trả lời

nên phân vân lời giải bạn A. Còn bạn B áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông nên đúng nhưng chỉ trong trường hợp góc nhọn. Với lời giải bạn C, phân vân vì gần tương tự bạn A. Bạn D hoàn toàn đúng vì lời giải thoả điều kiện của định nghĩa, tính chất giá trị lượng giác của góc vừa áp dụng đúng trong trường hợp tam giác.

 Câu 2: Có các chiến lược và lời giải tương ứng có thể quan sát như sau:

Ss: Chiến lược "số": - Dùng MTBT tìm ra số cos

Chiến lược

Shs: Chiến lược "hàm số" - chiến lược tối ưu - Dùng TGT của hàm số sin, cos.

* sin(cos) = 1

* Do 0 < cos  1 nên từ

 cos =

 > 1 2

giá

đường tròn lượng giác, không trị nào của cos để

sin(cos) = 1.

Nên không tồn tại giá trị lượng giác của góc α nào.

Những lời giải sai có thể quan sát ở học sinh:

* sin(cos) = 1  sin(sin(

 - 2

Các lời giải có thể

* sin(cos) = 1  sin cos

1 1

 

 

  

)) = 1

 sin2(

 -) = 1  cos2 = 1 2

* cos = arcsin 1 = 900



Nên sin = 0

  1





 cos   cos 

 Câu 3: Xét câu 3a, các chiến lược có thể và lời giải đặc trưng cho chiến lược sau:

 Chiến lược "hình học" (Shh): Chủ yếu dựa vào tỉ số lượng giác của tam

giác vuông rồi nhìn hình vẽ để biết dấu của tỉ số lượng giác đó.

sin





AM OM

5 3

cos





OA OM

2 3

AM 2 AM OM  OA 2 AM OM 

Ví dụ 1: Xét tam giác vuông OAM với  là góc hình học:

Theo hình vẽ: sin < 0, cos > 0

5 3

2 3

sin





5 3

AM OM

, cos = . Vậy: sin = -

cos





2 3

OA OM

AM 2 AM OM  OA 2 AM OM 

Ví dụ 2: Xét tam giác vuông OAM: (Sai)

 Chiến lược "đại số" (Sđs): Chủ yếu tìm tọa độ của M(cos, sin)

Ví dụ 3: Ta có: M (cos , sin) thuộc đường tròn lượng giác:

cos





2 3

sin

OB AM 

 





5 3  Câu 4: Các chiến lược có thể và lời giải có thể quan sát được:

 Chiến lược "trực quan" (Stq): chủ yếu dùng đường tròn lượng giác theo

dõi chuyển động của điểm trên đường tròn này và giá trị lượng giác tương ứng.

Ví dụ 4: Chu kỳ T = 1. Bảng biến thiên:

x 1 1 2 0 1 4 3 4

-1

1 y

), với hai số x1 > x2 ta có f(x1) < f(x2).  Chiến lược "đại số" (Sđs): Giả sử khảo sát f(x) trên tập xác định [0; 1]. Ví dụ 5: Trên khoảng (0, 1 2

, 1), với hai số x1 > x2 ta có f(x1) > f(x2). Trên khoảng ( 1 2

Ví dụ 6: Lập bảng giá trị và dùng MTBT để so sánh các giá trị của hàm số

lượng giác một cách máy móc.

 Chiến lược "giải tích" (Sgt): Dùng công cụ đạo hàm.

 Câu 5:

Chiến lược

Câu trả lời có thể quan sát

* Ta có: -1  cosx  1 nên

sin

x  sin(cos )



 6

sin(cosx) = 1 2

Suy ra: cosx =

= cosα  x =

2k   

 6

Sđs: Chiến lược "đại số"

cos

2 







sin

 sin(cos ) x



*sin(cosx)= 1 2

 6

Dựa vào công thức nghiệm

cos







2 



   6 5  6

 cos    cos 





(Sai)





2  2 



x       x 

* Vẽ đồ thị sin u trên tập xác định [-1;1] với u = cosx. Vẽ y =

trên cùng đồ thị. Suy ra nghiệm phương trình trên đồ thị.

Sđt: Chiến lược "đồ thị"

1 2

Dựa vào đồ thị suy ra nghiệm

Dự đoán của chúng tôi là rất nhiều học sinh tham gia thực nghiệm đều không

giải đúng kết quả. Không có học sinh nào giải theo chiến lược "đồ thị".  Câu 6:

Những cái cần quan sát trong câu 6 là xem xét học sinh có phân biệt các câu trả lời khác nhau của các học sinh giả định không? Học sinh thật sự quán triệt quan điểm hàm khi học lượng giác chưa?

 Với chiến lược "hàm số" (Shs): dựa vào quan điểm hàm.  Với chiến lược "số đo" (Ssđ): dựa vào số đo (có đơn vị).

Có hai chiến lược "hàm số" và "số đo".

Đáp án chính xác trong câu này là: Cả bạn Bình và Chi đều đúng. Dự đoán của chúng tôi là sẽ có rất ít học sinh tham gia thực nghiệm trả lời

đúng.

3.4.4. Phân tích a posteriori bộ câu hỏi trong thực nghiệm A và B

 Thực nghiệm A (lớp 10) Các câu hỏi ở thực nghiệm A được đưa cho 140 học sinh lớp 10 của hai trường THPT Nguyễn Đình Chiểu (64 học sinh học ban nâng cao) và THPT Thủ Khoa Huân (76 học sinh học ban cơ bản).

 Ghi nhận tổng quát thực nghiệm A:

Số học sinh

Tổng số HS

Chiến lược

Trả lời Không trả lời

Câu hỏi

Câu 1

140

Câu 2

Câu 3

Stđ Shh Sđs Ss Shs Shh Sđs

 Phân tích chi tiết thực nghiệm A:

 Ảnh hưởng mạnh mẽ của quy tắc hợp đồng R1, R2

Như những dự đoán trong phân tích a priori, tình huống của các bài toán 1,

bài toán 2 đã làm bộc lộ quy tắc hợp đồng R1, RE2.

Trong lúc tiến hành thực nghiệm ở câu 1, chúng tôi quan sát được có 34/140  24,3% học sinh "phân vân" với lời giải của học sinh A và học sinh C - chiến lược "tọa độ". Sự "phân vân" này cũng chứng tỏ các học sinh tham gia thực nghiệm dường như chưa nắm vững định nghĩa giá trị lượng giác của góc bất kỳ.

Sự "phân vân" còn tồn tại ở 25/140  17,9% học sinh khi chọn lời giải của học sinh D - chiến lược "đại số". Điều này cũng cho thấy học sinh vẫn chưa hiểu được định nghĩa giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Chẳng hạn:

A33: "Em phân vân vì sao sin = OB mà không phải là sin = OB?"

A34: "Em phân vân vì không biết có cần giá trị đại số không?" A14: "Độ dài của cạnh luôn luôn > 0. Tại sao phải dùng độ dài đại số? Hay vì điểm M có thể chạy theo chiều dương hoặc âm trên đường tròn lượng giác".

Mặt khác, bảng thống kê cho thấy: có 48,6% học sinh nghiêng về chiến lược "tọa độ", 58,6% học sinh theo chiến lược "hình học" và 44,3% học sinh giải theo chiến lược "đại số".

Có 4/140  2,9% học sinh chọn cả bốn lời giải giả định hoàn toàn đúng, 3/140  2,1% học sinh chọn cả bốn lời giải giả định hoàn toàn sai và 1/140  0,7% học sinh phân vân cả bốn lời giải giả định. Chỉ có 2/140  1,4% học sinh đề nghị lời giải khác. Tuy nhiên, các lời giải đề nghị cũng cho thấy học sinh nghiêng về chiến lược "hình học".

Như vậy, 48,6% học sinh nghiêng về chiến lược "tọa độ" là tỉ lệ không thấp. Học sinh dường như không có thói quen kiểm nghiệm tọa độ của điểm nằm trên tia

cuối của góc  có nằm trên đường tròn lượng giác trước khi áp dụng định nghĩa

giá trị lượng giác của góc . Điều này xuất phát từ sự chọn lựa của thể chế trường phổ thông: ưu tiên cho học sinh sử dụng công thức lượng giác cơ bản và ràng buộc

điểm M xác định số  nằm trên đường tròn lượng giác để thuận tiện cho việc định nghĩa hàm số lượng giác ở lớp 11.

Ngoài ra, chúng tôi bất ngờ với kết quả 58,6% học sinh chọn chiến lược "hình học". Dù bài toán có kết quả đúng với chiến lược này nhưng chúng tôi thấy rằng dường như ở học sinh: tồn tại sự thống trị của kỹ thuật hình học đối với kỹ

thuật đại số. Bằng chứng là có 44,3% học sinh giải theo chiến lược "đại số" nhưng lời giải thích của học sinh vẫn không chứng tỏ học sinh hiểu giá trị lượng giác của

góc lượng giác.

Đối với câu 2, từ bảng thống kê cho thấy có 46/140  32,9% học sinh không làm bài. Nguyên nhân mà chúng tôi tìm hiểu từ học sinh không tham gia trả lời là do đề toán quá khó. Theo chúng tôi, đề toán tuy chưa được giới thiệu trong SGK và giáo trình đại học nhưng nếu học sinh chú ý hơn sẽ có thể tìm ra lời giải được một cách dễ dàng.

Việc giải bài toán theo chiến lược "hàm số" - chiến lược tối ưu chỉ có 7/94  7,4% học sinh giải đúng hoàn toàn. Còn lại 87/94  92,5% học sinh tham gia trả lời câu 2 đều giải theo chiến lược "số" và chiến lược "hàm số" nhưng không đem lại kết quả chính xác. Chẳng hạn:

cos









2 ( 

A8: Ta có: sin (cos) = 1 cos = 900 , cos(900 - ) = sin = 0.

 (cid:0) )

 2

A4: sin (cos) = 1

mà -1  cos  1 nên k = 0

 2

cos









2 ( 

Vậy cos = .

 (cid:0) )

 2

A28: sin (cos) = 1

Tóm lại, kết quả ở câu 1 và câu 2 cho phép kiểm chứng quy tắc R1 và RE2. Với câu 3, ghi nhận ban đầu từ các bài giải cho thấy: học sinh vẫn ấn tượng rất sâu sắc với lượng giác trong tam giác ở lớp 9. Điều này còn cho chúng tôi cảm nhận: Khi bài toán không phát biểu bằng ngôn ngữ tọa độ thì học sinh không có trách nhiệm phải giải theo chiến lược "tọa độ".

Có 83/138  60,1% học sinh trả lời câu 3 đều chọn chiến lược "hình học" để nộp cho giáo viên theo yêu cầu của câu 3b. (Tham khảo trích dẫn bài làm học sinh ở phụ lục 4)

Bài làm của học sinh chứng tỏ họ luôn luôn quan niệm và đồng nhất: góc lượng giác là góc hình học. Chúng tôi nghĩ: Quan niệm sai lầm này sẽ tạo khó khăn và cản trở học sinh tiếp cận với tương quan hàm trong lượng giác ở lớp 11. Điều đó cũng có thể giải thích từ nghiên cứu sơ lược lịch sử lượng giác (chương 1), định nghĩa góc lượng giác được gắn với tình huống kỹ thuật, vật lý, ... Thể chế

ở trường phổ thông chưa thật sự nhấn mạnh cho học sinh ý nghĩa của việc mở rộng góc lượng giác từ góc hình học.

 Sự hợp thức của một phần giả thuyết H1

Như vậy, bảng thống kê và kết quả thu được cho thấy "học sinh không có

nhiệm vụ kiểm tra sự tồn tại của góc  đã cho, trước khi tìm các giá trị lượng giác

của góc  mà chỉ cần nhớ các công thức lượng giác để tính" - RE2. Còn quy tắc R1: "Học sinh không có trách nhiệm kiểm tra tọa độ (x, y) của điểm nằm trên tia cuối của góc  thoả x2 + y2 = 1 mà chỉ cần áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc để tính" thì không phải lúc nào cũng tồn tại ở học sinh.

 Sơ kết thực nghiệm A Những kết quả thu được của thực nghiệm A qua thực tế dạy - học trên là một bằng chứng có tính thuyết phục. Nó cho phép chúng tôi khẳng định sự hợp thức của một phần giả thuyết H1.

Nghiên cứu sơ lược lịch sử lượng giác và mối quan hệ thể chế với lượng giác trong đường tròn đã giúp chúng tôi thấy rằng: Dường như vẫn tồn tại ở phần đông học sinh cách tiếp cận hình học ngay khi bài toán hạn chế các yếu tố hình học (câu 1).

Mặt khác, thể chế THPT đã không tạo điều kiện cho học sinh vận dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc lượng giác và hiểu rõ ý nghĩa của việc mở rộng góc hình học sang góc lượng giác nên học sinh hầu như không nghĩ đến chiến lược "toạ độ" trong câu 3.

Chúng tôi tự hỏi: Điều này có ảnh hưởng đến việc học sinh tiếp cận với tương quan hàm số trong lượng giác ở lớp 11 không? Ứng xử của học sinh thể hiện trong quy tắc RE2 sẽ ảnh hưởng như thế nào khi học sinh học lượng giác trong hàm số? Việc tiếp tục nghiên cứu thực nghiệm B sau khi học lượng giác trong hàm số

ở phần sau sẽ cho phép trả lời câu hỏi trên.

 Thực nghiệm B (lớp 11)

Lưu ý: Các học sinh tham gia thực nghiệm B vẫn là học sinh tham gia thực nghiệm A sau khi lên lớp. Số học sinh tham gia vẫn là 140 học sinh, trình độ tương đương khá - giỏi chiếm 60% trong mỗi lớp.

 Ghi nhận tổng quát thực nghiệm B

Số học sinh

Câu hỏi

Chiến lược

Tổng số HS

Trả lời Không trả lời

Câu 4

105

140

Câu 5

Stq Sđs Sgt Sđs Sđt

Shs

Câu 6

Ssđ

 Phân tích chi tiết thực nghiệm B

 Sự tiến triển của quy tắc RE2 và tồn tại của quy tắc hợp đồng RE3

Câu 5 nhằm mục đích kiểm chứng quy tắc hợp đồng RE3: "Học sinh không

có trách nhiệm kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác khi giải".

Sau khi thu các bài làm của học sinh tham gia thực nghiệm, chúng tôi thấy kết

quả đúng như dự đoán trong phân tích a priori ban đầu. Thật vậy:

Chỉ có 5/105  4,8% học sinh tham gia trả lời câu 5 theo chiến lược "đại số" cho kết quả chính xác. Không có học sinh giải theo chiến lược "đồ thị" - chiến lược không được thể chế ưu tiên.

Còn lại 100/105  95,2% học sinh sử dụng chiến lược "đại số" nhưng không có lời giải nào kiểm tra điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình đã cho. Thậm chí, các học sinh này còn mắc các sai lầm.

Cụ thể:

Nghĩa của sai lầm

Lời giải đã trình bày

Mã HS

Chiến lược đã sử dụng

2 

x sin(cos )





2 

   6 5  6

 cos  1    2  cos 

Vậy phương trình có 2 nghiệm:

cosx =

k 2 

tra điều kiện

tồn





( k  (cid:0) )

B11

 6 và cosx = 5  6

Lỗi suy luận: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác là tìm các giá trị nằm sau một hàm. Ở đây là hàm sin. Ngoài ra, lời giải cũng cho thấy học sinh không có thói quen tại kiểm nghiệm của phương trình.

x sin(cos )





1 2

1   2 x sin(cos )



(Vô lý)



1 2

   

B137

(Vô nghiệm)

Vậy sin(cosx) = 0

sin cos

0 0

x x

 

   

Lỗi suy luận: Giải phương trình lượng giác thì phải đưa về dang f(x) = 0 hoặc đưa về phương trình tích. Lời giải cũng chứng tỏ học sinh không hiểu khái niệm hàm số lượng giác.

x  

k

sin(cosx) = sin 300

cos

360

cos





Sđs

 0

 0

cos

150

360

cos









Trong lời giải có hai sai lầm: Sai lầm 1: Học sinh hiểu sai: giá trị của hàm số lượng giác gắn với đơn vị đo. Sai lầm 2: Luôn tồn tại góc ,

B28

β để đặt cos, cosβ bằng các

360



(

)





(cid:0)

giá trị không đặc biệt - Sai lầm

360

   

        x  

này do học sinh đã áp dụng quy tắc RE2 vào bài toán.

 Khó khăn khi làm việc với các tình huống gắn với quan điểm hàm trong

lượng giác.

Bảng thống kê cho thấy ở câu 4, chiến lược "đại số" chiếm ưu thế. Để tìm hiểu rõ hơn đặc trưng của các lời giải này, chúng tôi trích dẫn dưới đây một số lời giải điển hình thuộc chiến lược "đại số" và chiến lược "trực quan".

Nhận xét

Lời giải đã trình bày

Mã HS

Chiến lược đã sử dụng

Bảng biến thiên: T = 2

x 0

 5

 1 4

 6 3,2

2,4

1,9

y = cos2 x

Sđs

sin

B140

cos

O

-1

1

- Lời giải sai do tính toán. - HS lạm dụng MTBT nên không chú ý đến TGT của hàm số lượng giác côsin. - Trong lời giảicho thấy: quy tắc RE2 tồn tại và tiếp tục ảnh hưởng mạnh mẽ ở giai đoạn lượng giác trong hàm số.

Bảng biến thiên:

x 0 1 4

1 2

3 4

- Có 5,4% HS giải đúng. - Trong lúc tiến trình thực nghiệm, quan sát 100% HS tham gia trả lời câu hỏi đều lập bảng giá trị trên [0, 1] gắn với số  ngoài giấy

y = cos2 x

-1

B72

Stq

sin

nháp trước. - Do hàm số lượng giác có tuần hoàn, chu kỳ tính

thường gắn với số  nên

cos

O

-1

1

HS ưu tiên chọn các giá trị đặc biệt để khảo sát tính biến thiên.

Như thế, kết quả thực nghiệm ở câu 4 chỉ ra rằng: Phương pháp trực quan sử dụng khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác là phương pháp tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động tác nghiệp của giáo viên. Nhưng tồn tại một bộ phận học sinh không phát huy phương pháp này trong học tập. Bằng chứng là học sinh chỉ vẽ tượng trưng đường tròn lượng giác trên giấy nháp rồi sau đó bấm máy tính để khảo sát tính tăng - giảm của hàm số trong bài toán. Có 11/140  7,8% học sinh không giải được.

Các bài tập khảo sát tính biến thiên của hàm số lượng giác trong SGK, SBT Toán lớp 11 có 15/133  11,3% số lượng bài tập lượng giác (Xem bảng 2.4). Các

bài tập này đều có bảng biến thiên và bảng giá trị x gắn với số . Học sinh quen

với dạng này nên khi chúng tôi chọn đề toán mà x không gắn với số  thì học sinh tỏ ra "lúng túng". Điều đó chứng tỏ phần nào sự thống trị của giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo - ở đây, đơn vị đo radian.

Học sinh tham gia trả lời câu 4 dường như vẫn chưa biết cách tìm chu kỳ của

hàm số mà chúng tôi chọn trong thực nghiệm này.

* Với câu 6:

Khi nhận được các bài toán trong thực nghiệm B, quan sát ban đầu cho thấy: học sinh bắt tay vào làm ngay câu 6. Dường như, đây là câu hỏi đơn giản nên học sinh có thể không cần suy luận vẫn có thể chọn lựa câu trả lời.

Chiến lược "số đo" chiếm ưu thế với tỷ lệ 76/131  58% . Con số này nói

lên rằng tương quan hàm dường như vẫn chưa được thiết lập ở học sinh.

Khi đặt học sinh trước sự lựa chọn các lời giải giả định mà trong đó có lời giải sai (lời giải của bạn An), học sinh vẫn không lưỡng lự trước sự lựa chọn lời giải của bạn An. Chẳng hạn:

B7: "Bạn An đúng vì sin30 chính là giá trị lượng giác của góc 300. Khi nhập

vào máy tính thì sin30 chính là sin của 300".

".

B17: "Bạn An đúng vì theo định nghĩa ta có: sinα là giá trị lượng giác của góc

B33: "Bạn An đúng vì khi nói sin30 thì 30 chính là 300 (Chi sai). Vì vậy, sin30 là giá trị lượng giác của góc 300, không phải của hàm số lượng giác (Bình sai)".

Hoặc khi chọn lời giải của bạn Bình (Chiến lược "hàm số"), lời giải của bạn Chi (Chiến lược "số đo"), trong lời giải thích lý do lựa chọn lại không thể hiện sự hiểu biết của mình về hàm số, luôn bị ảnh hưởng bởi giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo. Cụ thể:

1 2

B57: "Ý kiến của em trùng với bạn Bình, sin300 có giá trị . Do đó, y = sinx

1 2

khi x = 30, ta tìm được y = ".

k 2 

B45: "Theo em thì bạn Chi có trùng ý kiến với em. Bởi vì để chỉ sin của góc 300 thì phải viết sin300; còn nếu sin30 là một hàm số lượng giác thì không được vì khi viết "sin30" không làm ai liên tưởng đến một hàm số lượng giác".

 6

B36: "Em trùng ý kiến với bạn Chi vì sin30 = ".

B136: "Bạn Chi vì sin30 là giá trị lượng giác của góc có số đo 30 radian".

 6

B126: "Theo em, sin30 là giá trị của góc và góc 300".

Nguyên nhân của những sai lầm trên đều do học sinh quan niệm: "giá trị

lượng giác của góc  có đơn vị đo bằng giá trị lượng giác của số thực " (Suy ra từ việc không phân biệt hai khái niệm giá trị lượng giác của góc với giá trị của hàm số lượng giác biến số thực của thể chế ở trường phổ thông).

Trong lúc tiến hành thực nghiệm, chúng tôi quan sát được: Đầu tiên, học sinh chọn lời giải của bạn An, sau đó thì chỉ có một số học sinh bấm máy tính và chuyển sang lời giải của bạn Chi.

Tuy nhiên, con số 42% học sinh chọn lựa lời giải của bạn Bình - nghiêng về chiến lược "hàm số" trong câu hỏi này cũng nói lên rằng: tương quan hàm chỉ được thiết lập ở một bộ phận học sinh. Có 2/131  1,5% học sinh trả lời như mong đợi của chúng tôi (bạn Bình và bạn Chi đều đúng).

Theo phân tích mối quan hệ thể chế với giá trị lượng giác của góc, thể chế ưu tiên dùng đường tròn lượng giác để định nghĩa, chuẩn bị cho việc định nghĩa hàm số lượng giác được đơn giản - tính kế thừa. Học sinh dường như luôn ấn tượng sâu sắc với góc gắn với đơn vị đo nên không hiểu hàm số lượng giác tại một giá trị x bất kỳ.

Nghĩa là sự thống trị của giá trị lượng giác của góc có đơn vị đo cản trở học

sinh hiểu tương quan hàm trong lượng giác.

 Sơ kết thực nghiệm B Những kết quả thu được của thực nghiệm B qua thực tế dạy - học trên là một bằng chứng cho phép chúng tôi kiểm chứng quy tắc RE3 và thấy rõ sự tồn tại dai dẳng của RE2. Thực nghiệm này giúp chúng tôi từng bước trả lời câu hỏi nghiên cứu đã đặt ra ở cuối chương 2.

3.4.5. Một số kết luận

Qua phân tích lời giải của học sinh đối với 6 câu hỏi được đặt ra trong hai thực nghiệm A và thực nghiệm B, chúng tôi có thể khẳng định tính hợp thức của giả thuyết H1 đã nêu. Ngoài ra, thực nghiệm còn cho thấy đơn vị đo góc ảnh hưởng mạnh mẽ đến một bộ phận học sinh, làm cản trở việc hiểu tương quan hàm trong lượng giác.

3.5. Kết luận chương 3

Với kết quả thực nghiệm tiến hành trên giáo viên và học sinh, chúng tôi đã kiểm chứng được hai giả thuyết đặt ra sau khi nghiên cứu chương 1 và chương 2. Đồng thời, trả lời được câu hỏi đặt ra cuối chương 2.

Thực nghiệm cũng đã chứng minh ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế trên mối quan hệ cá nhân với các tri thức lượng giác «trong đường tròn» và «trong hàm số» mà chúng tôi tóm tắt dưới đây:

 Sự tồn tại ngầm ẩn trong giáo viên các quy tắc RP2, RP3 làm ảnh hưởng đến ứng xử của học sinh thể hiện bằng sự tồn tại trong đại đa số học sinh các quy tắc hợp đồng didactic R1, RE2, RE3.

 Khi dạy lượng giác ở giai đoạn hàm số, giáo viên ý thức rõ tính kế thừa của bước chuyển "đường tròn - hàm số". Do đó, phương pháp trực quan được họ ưu tiên trong việc chuyển các đối tượng lượng giác từ dạng tĩnh sang dạng biến thiên và giúp học sinh hiểu rõ hơn đặc trưng tương ứng của hàm số trong lượng giác.

KẾT LUẬN

Đề tài nghiên cứu của chúng tôi khép lại với các kết quả chính thu được như

Việc nghiên cứu sơ lược lịch sử lượng giác dưới góc độ người nghiên cứu didactic toán và phân tích tổ chức toán học liên quan đến các tri thức lượng giác trong đường tròn, các tri thức lượng giác trong hàm số ở chương 1 đã cho phép chúng tôi nhìn rõ hơn trình tự xuất hiện của các tri thức lượng giác ở hai giai đoạn: giai đoạn đường tròn và giai đoạn hàm số cũng như tình huống gắn liền với sự xuất hiện các tri thức lượng giác ở từng giai đoạn.

Những kết quả đạt được ở chương 1 đã dẫn chúng tôi đến việc nghiên cứu tri thức lượng giác ở hai giai đoạn trong mối quan hệ với thể chế dạy - học toán THPT, chương 2. Đặc biệt, chúng tôi đã trả lời được các câu hỏi Q1, Q2, Q3, Q4 đặt ra ở phần mở đầu và nghiên cứu được phần nào bước chuyển từ giai đoạn trước sang giai đoạn sau.

Trong bước chuyển trên, chúng tôi nhận thấy việc xây dựng tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số phải vừa đặt nền tảng trên tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn, vừa phát triển nó dưới lăng kính mới - tương quan hàm.

Tuy nhiên, chính điều đó đã khiến giáo viên và học sinh gặp không ít khó khăn trong hoạt động tác nghiệp và ứng xử. Cách tiếp cận các tri thức lượng giác ở giai đoạn đường tròn vẫn còn ảnh hưởng mạnh mẽ đến ứng xử của học sinh khi học các tri thức lượng giác ở giai đoạn hàm số. Đôi khi, dẫn đến sai lầm ở một bộ phận học sinh.

Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các tri thức lượng giác ở hai giai đoạn còn dẫn chúng tôi đến với hai giả thuyết H1, H2 và câu hỏi nghiên cứu mới. Kết quả nghiên cứu trong phần thực nghiệm, chương 3, đã chứng tỏ và tìm lời giải đáp cho câu hỏi mới này.

Hơn nữa, quy tắc hợp đồng R2 đã tồn tại trong giai đoạn trước và tiến triển đến giai đoạn sau làm ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự tồn tại ngầm ẩn quy tắc R3 trong giai đoạn sau.

Sự hợp thức của giả thuyết H2 chứng tỏ sự kế thừa của bước chuyển từ tri

thức lượng giác «trong đường tròn» đến tri thức lượng giác «trong hàm số».

Sự hợp thức của giả thuyết H1 và tính thoả đáng của câu trả lời cho câu hỏi mới đã cho thấy sự gián đoạn giữa hai cách tiếp cận lượng giác trong việc khảo sát các hàm số lượng giác. Thật vậy, thực nghiệm về phía học sinh cho thấy cách tiếp cận "số đo" (gắn với đơn vị đo) luôn thống trị cách tiếp cận "hàm".

Từ những kết quả sơ khởi đạt được của luận văn, chúng tôi thấy rằng cần phải xây dựng một đồ án didactic khai thác tối đa những gì trước đây môi trường không tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận tương quan hàm khi học lượng giác, tạo điều kiện cho học sinh sử dụng phương pháp trực quan trong các bài toán liên quan đến hàm số lượng giác và ứng dụng khảo sát các hàm số lượng giác ở các môn vật lý, kỹ thuật ... Đây cũng là những hướng phát triển của luận văn này.

Sơ đồ 2.3: Minh họa "vết" của TCTH ở bậc đại học gắn với các tri thức lượng giác trong hai giai đoạn

TCTH tham chiếu

Giai đoạn đường tròn

Giai đoạn hàm số

[T*1/τ*11, τ*12/ θ*11 ] [T*81/ τ*81a ]

[T*3/ τ*3/ θ*3] "kế thừa" [T*84/ τ*84 ]

[T*6/ τ*62a / θ*62] [T*86/ τ*86 / θ*86]

[T*7/ τ*71 , τ*72/ θ*7] [T*82/ τ*82a / θ*82 ]

[T*21/ τ*21 / θ*21 ] [T*85/τ*85a , τ*85b/ θ*85a , θ*85b]

[T*9/ τ*91/ θ*91]

[T84/ τ84c/ θ*84c ]

[T8/ τ8] [T'71/ τ'71a / θ'71a ]

6 9

[T3/ τ3] [T'6/ τ'6 / θ'6]

[T7/ τ7] [T'5/ τ'51 , τ'52/ θ'51 , θ'52]

[T5/ τ51, τ52] "kế thừa" [T'4/ τ'4 / θ'4]

[T4/ τ41/ θ4] [T'3/ τ'3/ θ'3]

[T2/ τ2/ θ2] [T'2/ τ'2/ θ'2]

[T1/τ1a , τ1b/ θ1a , θ1b] [T'1/ τ'1/ θ'1]