Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH

Buøi Thò Haïnh BÖÔÙC CHUYEÅN TÖØ LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC SANG LÖÔÏNG GIAÙC TRONG ÑÖÔØNG TROØN TRONG DAÏY HOÏC TOAÙN ÔÛ TRÖÔØNG PHOÅ THOÂNG

Chuyeân ngaønh : Lyù luaän vaø phöông phaùp daïy hoïc moân Toùan

Maõ soá

: 60 14 10

LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ GIAÙO DUÏC HOÏC

NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC TS. LEÂ VAÊN PHUÙC

Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2007

MÔÛ ÑAÀU

1. Lyù do choïn ñeà taøi vaø caâu hoûi xuaát phaùt

Caùch ñaây raát laâu, con ngöôøi ñaõ bieát söû duïng kieán thöùc löôïng giaùc trong thöïc teá cuoäc soáng,

chaúng haïn nhö ño goùc quay cuûa kim ñoàng hoà, ño khoaûng caùch giöõa caùc ngoâi sao gaàn, hoaëc ñeå ño

khoaûng caùch giöõa caùc con taøu treân ñaïi döông… Vì vaäy chuùng toâi töï hoûi kieán thöùc löôïng giaùc ñaõ coù töø

khi naøo? Vaø kieán thöùc aáy xuaát hieän trong tình huoáng naøo? Khi aáy con ngöôøi ñaõ duøng löôïng giaùc ñeå

giaûi quyeát thöù töï caùc daïng toaùn naøo?

Ngaøy nay, trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû tröôøng phoå thoâng, kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc

ñöa vaøo giaûng daïy chuû yeáu ôû 3 khoái lôùp (lôùp 9, lôùp 10, lôùp 11). Vì vaäy chuùng toâi töï hoûi kieán thöùc

löôïng giaùc ñöôïc giaûng daïy hieän nay ôû baäc phoå thoâng coù ñi theo trình töï gioáng nhö kieán thöùc löôïng

giaùc trong quaù khöù ñaõ ñi qua hay khoâng? Ñoàng thôøi giöõa töøng caëp khoái lôùp (Lôùp 9 sang lôùp 10); lôùp

10 sang lôùp 11 thì kieán thöùc löôïng giaùc coù söï giaùn ñoaïn hoaëc keá thöøa khoâng?

Löôïng giaùc laø moät noäi dung hoïc phong phuù. Trong chöông trình moân Toaùn, löôïng giaùc ñöôïc

giaûng daïy ôû caû 3 khoái lôùp cuûa caáp THPT, vaø caû ôû lôùp 9 cuûa caáp THCS, vôùi noäi dung cuï theå nhö sau:

 ÔÛ lôùp 9: Löôïng giaùc coù maët ôû phaàn: Heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng qua baøi tæ soá

löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn.

 ÔÛ lôùp 10: Löôïng giaùc ñöôïc ñeà caäp trong 2 phaàn.

- Chöông II (Saùch Hình hoïc 10): Tích voâ höôùng cuûa 2 vectô vaø öùng duïng.

- Chöông VI (Saùch Ñaïi soá 10): Goùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc löôïng giaùc.

 ÔÛ lôùp 11: Löôïng giaùc ñöôïc ñeà caäp ñeán trong phaàn Haøm soá löôïng giaùc vaø phöông trình

löôïng giaùc.

 ÔÛ lôùp 12: Löôïng giaùc coù ôû phaàn öùng duïng cuûa ñaïo haøm, nguyeân haøm, tích phaân…

Trong khuoân khoå cuûa luaän vaên naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán böôùc chuyeån töø löôïng giaùc Lôùp

9 sang löôïng giaùc ôû Lôùp 10 ñeå tìm caùc yeáu toá giaùn ñoaïn hoaëc söï keá thöøa cuûa caùc kieán thöùc aáy.

ÔÛ Lôùp 9, löôïng giaùc luoân gaén lieàn vôùi tam giaùc vuoâng, ñi lieàn vôùi noù laø caùc tæ soá giöõa caïnh

ñoái vôùi caïnh huyeàn, caïnh keà vôùi caïnh huyeàn … cuûa 1 tam giaùc vuoâng. Do vaäy löôïng giaùc ôû lôùp 9

coøn coù teân goïi khaùc laø löôïng giaùc trong tam giaùc. ÔÛ ñaây hoïc sinh ñaõ “giaûi ñöôïc tam giaùc vuoâng”

khi bieát ít nhaát 2 yeáu toá cuûa noù trong ñoù phaûi coù ít nhaát 1 yeáu toá ñoä daøi, ñoàng thôøi soá ño cuûa 1 goùc nhoïn naèm trong phaïm vi töø 0o ñeán 90o.

ÔÛ Lôùp 10, löôïng giaùc coù maët trong 2 cuoán SGK Hình hoïc 10 vaø Ñaïi soá 10.

Trong cuoán Hình hoïc 10 thì löôïng giaùc coù maët trong chöông tích voâ höôùng 2 veùctô vaø öùng duïng, ñi lieàn sau ñoù laø giaûi tam giaùc thöôøng. Vaø töø ñaây soá ño cuûa goùc ñaõ ñöôïc môû roäng ra töø 0o ñeán 180o.

Trong cuoán Ñaïi soá 10 thì löôïng giaùc coù maët ôû phaàn goùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc löôïng giaùc,

maø goùc löôïng giaùc laïi coù soá ño laø 1 soá thöïc baát kyø.

Do coù söï töông öùng giöõa soá thöïc  vaø ñieåm M treân ñöôøng troøn löôïng giaùc neân vôùi moïi soá

thöïc  cho tröôùc seõ tìm ñöôïc duy nhaát 1 ñieåm M treân ñöôøng troøn löôïng giaùc sao cho soá ño AM = .

Töø ñoù, ñieåm M coù theå naèm ôû baát kyø 1 vò trí naøo treân ñöôøng troøn löôïng giaùc maø chæ phuï thuoäc vaøo soá

thöïc  cho tröôùc. Bôûi vaäy löôïng giaùc ôû lôùp 10 coøn coù teân goïi khaùc laø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

Töø nhöõng vaán ñeà vöøa trình baøy ôû treân, chuùng toâi maïnh daïn choïn ñeà taøi “böôùc chuyeån töø

löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong daïy hoïc Toaùn ôû tröôøng phoå

thoâng”.

Söï löïa choïn naøy xuaát phaùt töø nhöõng lyù do sau:

- Taïi sao löôïng giaùc trong tam giaùc laïi ñöôïc giaûng daïy tröôùc löôïng giaùc trong ñöôøng troøn?

- Löôïng giaùc trong tam giaùc ñaõ trang bò nhöõng kieán thöùc gì cho ngöôøi hoïc – Ñaëc tröng cuûa

löôïng giaùc trong tam giaùc.

- Löôïng giaùc trong ñöôøng troøn ñaõ trang bò nhöõng kieán thöùc gì cho ngöôøi hoïc – Ñaëc tröng cuûa

löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

Qua ñoù cho thaáy coù moái quan heä naøo giöõa löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong

ñöôøng troøn?

Vieäc nghieân cöùu veà böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng

troøn trong daïy hoïc Toaùn ôû tröôøng phoå thoâng laø thöïc söï caàn thieát; vì noù cho pheùp hieåu roõ hôn nhöõng

ñieàu kieän vaø raøng buoäc cuûa quaù trình truyeàn thuï tri thöùc gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø

löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

2. Muïc ñích nghieân cöùu

Qua nhöõng ghi nhaän ban ñaàu ñöôïc trình baøy ôû treân, daãn chuùng toâi ñeán caùc caâu hoûi döôùi ñaây, maø

vieäc tìm kieám caâu traû lôøi laø muïc ñích cuûa luaän vaên naøy.

Trong quaù khöù kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc hình thaønh trong tình huoáng naøo? Caùc kieán thöùc löôïng

giaùc aáy ñaõ tuaàn töï giaûi quyeát caùc daïng baøi toaùn naøo?

Trong 1 soá giaùo trình ñöôïc giaûng daïy ôû tröôøng Sö phaïm, caùc TCTH naøo ñöôïc xaây döïng xung

quanh löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

Löôïng giaùc ñaõ ñöôïc ñöa vaøo trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû baäc phoå thoâng trong tình

huoáng naøo? Ñaâu laø caùc TCTH ñöôïc xaây döïng xung quanh vaán ñeà löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng

giaùc trong ñöôøng troøn. Coù söï cheânh leäch naøo giöõa caùc TCTH tham chieáu vôùi caùc TCTH ñöôïc daïy ôû

phoå thoâng? Coù söï giaùn ñoaïn hoaëc keá thöøa töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng

troøn?

Caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic ñöôïc hình thaønh giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh trong quaù

trình laøm vieäc vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Chuùng ñöôïc theå hieän

cuï theå qua nhöõng kieåu nhieäm vuï, nhöõng kyõ thuaät naøo?

Hoïc sinh coù gaëp khoù khaên gì trong vieäc hoïc löôïng giaùc noùi chung vaø trong böôùc chuyeån töø

löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn khoâng? Ñoù laø nhöõng khoù khaên naøo?

Ñaøo taïo ôû tröôøng cao ñaúng sö phaïm, ñaïi hoïc sö phaïm coù cung caáp ñuû cho sinh vieân nhöõng coâng cuï

caàn thieát cho hoaït ñoäng ngheà nghieäp sau naøy cuûa hoï hay khoâng? Neáu khoâng, caàn ñieàu chænh quy trình ñaøo

taïo naøy nhö theá naøo?

3. Phaïm vi lyù thuyeát tham chieáu

Ñeå traû lôøi cho caùc caâu hoûi treân, nghieân cöùu cuûa chuùng toâi, döïa vaøo khung lyù thuyeát tham

chieáu laø didactic Toaùn cuï theå laø moät soá khaùi nieäm cuûa lyù thuyeát nhaân chuûng hoïc (moái quan heä theå

cheá, moái quan heä caù nhaân, toå chöùc toaùn hoïc – praxeùologie), toå chöùc didactic vaø khaùi nieäm hôïp

ñoàng didactic. Söï choïn löïa naøy xuaát phaùt töø nhöõng lyù do sau:

Khaùi nieäm hôïp ñoàng didactic cho pheùp ta “giaûi maõ” caùc öùng xöû cuûa giaùo vieân vaø hoïc sinh,

tìm ra yù nghóa cuûa nhöõng hoaït ñoäng maø hoï tieán haønh, töø ñoù coù theå giaûi thích moät caùch roõ raøng vaø

chính xaùc nhöõng söï kieän quan saùt ñöôïc trong lôùp hoïc. Vieäc nghieân cöùu caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng

didactic laø caàn thieát, vì ñeå chuaån bò cho töông lai, giaùo vieân phaûi xem xeùt ñeán quaù khöù maø hôïp

ñoàng hieän haønh laø daïng theå hieän thöïc teá cuûa noù. Phaù vôõ hôïp ñoàng laø nguyeân taéc chuû ñaïo ñeå coù söï

tieán trieån mong ñôïi.

Vieäc döïa vaøo lyù thuyeát nhaân chuûng hoïc cho chuùng toâi laøm roõ nhöõng moái quan heä theå cheá vôùi

tri thöùc vaø giöõa tri thöùc vôùi caù nhaân naøo ñoù. Qua ñoù cho chuùng toâi bieát tri thöùc xuaát hieän ôû ñaâu, coù

vai troø gì trong theå cheá vaø vieäc hoïc taäp cuûa caù nhaân veà tri thöùc bò aûnh höôûng bôûi nhöõng raøng buoäc

naøo trong moái quan heä vôùi theå cheá.

Vieäc moâ hình hoaù caùc hoaït ñoäng toaùn hoïc theo caùch tieáp caän cuûa toå chöùc toaùn hoïc (trong lyù

thuyeát nhaân chuûng hoïc) seõ giaûi thích ñöôïc thöïc teá cuûa hoaït ñoäng toaùn hoïc theo nhöõng quan ñieåm

khaùc nhau vaø baèng nhöõng caùch khaùc nhau thaønh 1 heä thoáng caùc nhieäm vuï xaùc ñònh. Ñaùnh giaù töøng

thaønh phaàn cuûa toå chöùc toaùn hoïc cho bieát chuùng coù ñöôïc neâu leân moät caùch roõ raøng hay khoâng? Coù

deã hieåu khoâng? Phaïm vò hôïp thöùc nhö theá naøo? Coù ñaùp öùng nhu caàu hieän taïi vaø trong töông lai?

Nghieân cöùu caùc toå chöùc toaùn hoïc laø coâng cuï tieáp caän moái quan heä theå cheá vaø laø coâng cuï

phaân tích thöïc teá daïy hoïc. Vieäc chæ roõ caùc moái quan heä vôùi tri thöùc cuõng giuùp ta xaùc ñònh moät soá

quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic.

Ñaëc bieät ta coù theå nhaän ra moät soá yeáu toá cuûa hôïp ñoàng didactic ñaëc thuø cho tri thöùc baèng caùch

nghieân cöùu nhöõng tieâu chí hôïp thöùc hoaù vieäc söû duïng tri thöùc, bôûi vì vieäc söû duïng ñoù khoâng chæ ñöôïc

quy ñònh bôûi caùc vaên baûn hay bôûi ñònh nghóa cuûa tri thöùc maø coøn phuï thuoäc vaøo tình huoáng vaän duïng

tri thöùc, vaøo nhöõng öôùc ñònh ñöôïc hình thaønh trong quaù trình giaûng daïy.

4. Trình baøy laïi caâu hoûi nghieân cöùu

Vôùi khung lyù thuyeát tham chieáu, chuùng toâi trình baøy laïi döôùi ñaây nhöõng caâu hoûi maø vieäc tìm

hieåu caâu traû lôøi chính laø muïc ñích nghieân cöùu cuûa luaän vaên.

Q1: Trong quaù khöù, kieán thöùc löôïng giaùc ñöôïc hình thaønh gaén lieàn vôùi tình huoáng naøo?

Kieán thöùc löôïng giaùc aáy ñaõ tuaàn töï giaûi quyeát caùc daïng baøi toaùn naøo?

Q2: Trong moät soá giaùo trình ôû Ñaïi hoïc; caùc TCTH naøo gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong tam

giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

Q3: Löôïng giaùc ñaõ ñöôïc ñöa vaøo trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû baäc phoå thoâng trong

tình huoáng naøo? Caùc TCTH ñöôïc xaây döïng xung quanh vaán ñeà löôïng giaùc trong tam

giaùc, löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Coù söï cheânh leäch naøo giöõa caùc TCTH tham chieáu

vôùi caùc TCTH ñöôïc giaûng daïy ôû baäc phoå thoâng.

Q4: Caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic ñöôïc hình thaønh giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh trong

böôùc chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Chuùng

ñöôïc theå hieän cuï theå qua nhöõng kieåu nhieäm vuï, nhöõng kyõ thuaät naøo?

Q5: Hoïc sinh coù gaëp khoù khaên gì trong vieäc hoïc löôïng giaùc noùi chung vaø trong böôùc chuyeån töø

löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn hay khoâng? Ñoù laø nhöõng khoù

khaên naøo?

Q6: Ñaøo taïo ôû tröôøng cao ñaúng sö phaïm, ñaïi hoïc sö phaïm coù cung caáp ñuû cho sinh vieân

nhöõng coâng cuï caàn thieát cho hoaït ñoäng ngheà nghieäp sau naøy cuûa hoï hay khoâng? Neáu

khoâng, caàn ñieàu chænh quy trình ñaøo taïo naøy nhö theá naøo?

5. Phöông phaùp nghieân cöùu

Ñeå ñaït ñöôïc muïc ñích treân, chuùng toâi seõ tieán haønh caùc nghieân cöùu sau:

 Sô löôïc quaù trình hình thaønh vaø phaùt trieån cuûa kieán thöùc löôïng giaùc qua caùc thôøi kyø.

 Phaân tích moät soá giaùo trình ñöôïc duøng trong ñaøo taïo giaùo vieân ôû tröôøng sö phaïm ñeå

laøm roõ chieán löôïc ñaøo taïo noùi chung, cuõng nhö moái quan heä cuûa theå cheá naøy vôùi ñoái

töôïng löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

 Phaân tích ñoàng thôøi chöông trình vaø SGK Toaùn caùc lôùp 9 vaø 10 ñeå laøm roõ moái quan heä

theå cheá vôùi ñoái töôïng löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn vaø

ñöa ra caùc giaû thuyeát nghieân cöùu.

 Xaây döïng caùc tình huoáng thöïc nghieäm döïa treân caùc giaû thuyeát nghieân cöùu

6. Caáu truùc cuûa luaän vaên

Luaän vaên naøy goàm:

 Môû ñaàu

 Chöông 1: Sô löôïc quaù trình hình thaønh vaø phaùt trieån cuûa kieán thöùc löôïng giaùc

qua caùc thôøi kyø. Caùc toå chöùc toaùn hoïc tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong

tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

 Chöông 2: Moái quan heä theå cheá vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong

ñöôøng troøn trong chöông trình Toaùn ôû baäc phoå thoâng.

 Chöông 3: Nghieân cöùu thöïc nghieäm.

 Keát luaän.

Chöông 1

SÔ LÖÔÏC QUAÙ TRÌNH HÌNH THAØNH VAØ PHAÙT TRIEÅN CUÛA KIEÁN THÖÙC LÖÔÏNG

GIAÙC QUA CAÙC THÔØI KYØ. CAÙC TOÅ CHÖÙC TOAÙN HOÏC THAM CHIEÁU LIEÂN

QUAN ÑEÁN LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC VAØ LÖÔÏNG GIAÙC TRONG ÑÖÔØNG

TROØN

1.1. Sô löôïc quaù trình hình thaønh vaø phaùt trieån

1.1.1. Thôøi kyø thöù nhaát

Ngay töø thôøi kyø coå Hy Laïp, khi xaây döïng caùc coâng trình ñoà soä nhö ñeàn ñaøi, Kim Töï Thaùp,

ngöôøi ta ñaõ bieát söû duïng khaùi nieäm veà tæ soá caùc ñoaïn thaúng truøng vôùi khaùi nieäm coâsin ngaøy nay. Ñoä

lôùn cuûa caùc tæ soá naøy raát quan troïng ñoái vôùi nhöõng ngöôøi xaây döïng Kim Töï Thaùp, bôûi vì hoï caàn tính

toaùn chính xaùc ñeå gheùp nhöõng khoái ñaù lieân tieáp nhau.

Veà phöông dieän naøy, nhöõng nhaø thieân vaên hoïc xöù Babylone theá kyû IV vaø V tröôùc coâng nguyeân

ñaõ tích luõy moät löôïng lôùn döõ lieäu veà thieân vaên.

Veà sau, nhöõng kieán thöùc löôïng giaùc ñaàu tieân ñaõ xuaát hieän ôû thôøi kyø coå Hy Laïp do nhu caàu

cuûa thieân vaên. Luùc baáy giôø Hippaùc vaø Ploâteâme (theá kyû thöù 2 tröôùc coâng nguyeân) ñaõ laäp caùc baûng

veà söï lieân heä giöõa goùc ôû taâm ñöôøng troøn vôùi chieàu daøi cung bò chaén.

Toùm laïi: Trong thôøi kyø thöù nhaát, kieán thöùc löôïng giaùc môùi chæ laø moät lyù thuyeát veà nhöõng thuû

thuaät tính toaùn caùc yeáu toá cuûa moät tam giaùc vaø caùc hình coù theå qui veà nhöõng tam giaùc. Vì leõ ñoù, ngöôøi

Hy Laïp hoài xöa goïi boä moân naøy laø “tam giaùc löôïng” töùc laø ño ñaïc caùc tam giaùc. “Tam giaùc löôïng”

phaùt sinh treân cô sôû cuûa hình hoïc, coù ngoân ngöõ hình hoïc vaø ñöôïc aùp duïng vaøo caùc baøi toaùn hình hoïc

do caùc vaán ñeà cuï theå cuûa kyõ thuaät thôøi baáy giôø ñaët ra.

1.1.2. Thôøi kyø thöù hai

Trong nhieàu theá kyû, löôïng giaùc ñaõ xuaát hieän nhö laø moät khoa hoïc veà “tam giaùc löôïng”. Ñeán

theá kyû 17 vaø 18, cuøng vôùi vieäc ra ñôøi vaø phaùt trieån maïnh cuûa giaûi tích toaùn ñaõ taïo ñieàu kieän cho

löôïng giaùc phaùt trieån hôn nhöng theo moät höôùng môùi. Tröôùc ñaây, caùc ñaïi löôïng cuûa löôïng giaùc chæ

ñöôïc coi nhö laø phöông tieän ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà cuûa hình hoïc thì nay ñaõ trôû thaønh ñoái töôïng

ñeå nghieân cöùu. Caùc ñaïi löôïng ñoù ñöôïc xem nhö laø nhöõng haøm vaø moät höôùng môùi cuûa löôïng giaùc ñaõ

phaùt trieån goïi laø “giaùc löôïng” – töùc laø ño ñaïc veà goùc ñöôïc xuaát hieän. Lyù thuyeát veà caùc haøm löôïng

giaùc ñöôïc Ôle nghieân cöùu laàn ñaàu tieân (1748) trong taùc phaåm “Môû ñaàu veà giaûi tích cuûa caùc voâ cuøng

beù”. Trong ñoù caùc haøm löôïng giaùc ñöôïc nghieân cöùu theo phöông phaùp giaûi tích nhôø caùc chuoãi.

Höôùng môùi treân ñaây cuûa löôïng giaùc baét nguoàn töø caùc dao ñoäng trong cô hoïc, aâm hoïc, quang hoïc vaø

soùng ñieän töø. Caùc haøm sin vaø coâsin baây giôø ñöôïc nghieân cöùu nhö laø caùc chuoãi luõy thöøa.

3

5

xsin

...

x 





cos

1x

...







x !3 2 x !2

x !5 4 x !4

Nhö vaäy, ôû thôøi kyø thöù hai, ngöôøi ta ñaõ vaän duïng kieán thöùc cuûa giaûi tích vaøo löôïng giaùc ñeå

nghieân cöùu caùc haøm löôïng giaùc moät caùch chính xaùc, giaûi thích roõ raøng caùc tính chaát cuûa chuùng, ñeå

roài sau ñoù laïi aùp duïng caùc haøm löôïng giaùc naøy vaøo caùc baøi toaùn cuûa thöïc teá nhö: dao ñoäng cuûa loø

xo, cuûa con laéc, vieäc ño ñaïc, caùc hieän töôïng thuûy trieàu, chu kì moät traêng moïc,… (Trích Leâ Ñình Phi

– Nguyeãn Ñöùc Thuaàn – Nguyeãn Ñình Thoï – Quoác Trinh (1975), Höôùng daãn giaûng daïy löôïng giaùc

caáp III, NXB Giaùo duïc).

1.2. Caùc toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong

ñöôøng troøn

Chöông naøy coù muïc ñích traû lôøi cho nhoùm caâu hoûi Q2 cuï theå laø:

Trong caùc giaùo trình Toaùn ôû baäc Cao ñaúng, Ñaïi hoïc

 TCTH naøo gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc.

 TCTH naøo gaén lieàn vôùi löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

Ñeå xaây döïng caùc TCTH tham chieáu, chuùng toâi seõ tham khaûo moät soá giaùo trình sau:

- Nguyeãn Maïnh Quyù; Nguyeãn Tieán Ñöùc (1980) Toaùn taäp 1 (Saùch ñaøo taïo vaø boài döôõng)

NXB Giaùo duïc.

- Nguyeãn Duy Thuaän (1998) Ñaïi soá vaø giaûi tích (Giaùo trình ñaøo taïo giaùo vieân tieåu hoïc heä

Trung hoïc Sö phaïm) NXB Giaùo duïc.

1.2.1. Caùc toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc

Trong giaùo trình Toaùn taäp 1 (Ñaõ noùi ôû treân) chuùng toâi tìm thaáy caùc kieåu nhieäm vuï lieân quan

ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc laø:

T1 (Chuyeån ñoåi): Ñoåi haøm soá löôïng giaùc cuûa 1 goùc cho tröôùc thaønh haøm soá löôïng giaùc cuûa

goùc nhoû hôn 45o.

(Trong giaùo trình Toaùn taäp 1 cuûa taùc giaû Nguyeãn Maïnh Quyù, Nguyeãn Tieán

Ñöùc thì sin, cos, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc

).

Tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc ñaëc bieät. T2 (Tính GT):

T3 (Döïng goùc ): Döïng goùc nhoïn  khi bieát 1 trong caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa noù.

T4 (Tìm goùc ): Tìm goùc nhoïn  khi bieát 1 haøm soá löôïng giaùc cuûa noù.

T5 (Giaûi tg vuoâng) Giaûi tam giaùc vuoâng (khi bieát 1 caïnh vaø 1 goùc nhoïn hoaëc bieát tröôùc 2

caïnh).

T6 (Giaûi tg thöôøng) Giaûi tam giaùc thöôøng (Bieát 2 goùc vaø 1 caïnh).

1.2.1.1. Caùc toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieàu nhieäm T1(Chuyeån ñoåi)

“Ñoåi haøm soá löôïng giaùc cuûa 1 goùc cho tröôùc thaønh haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoû hôn

45o”

Coù 2 kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy:

1 ñònh lyù:

 Duøng ñònh lyù noùi veà haøm soá löôïng giaùc cuûa 2 goùc phuï nhau. Neáu 2 goùc phuï nhau thì:

 sin cuûa goùc naøy baèng cosin cuûa goùc kia vaø cosin cuûa goùc naøy baèng sin cuûa goùc kia.

 tang cuûa goùc naøy baèng cotang cuûa goùc kia vaø cotang cuûa goùc naøy baèng tang cuûa goùc

kia.

1 ñònh lyù: Ñònh nghóa cuûa haøm soá löôïng giaùc

Nhö vaäy: Trong ñònh nghóa naøy, taùc giaû ñaõ döïa vaøo 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng coù cuøng 1 goùc

nhoïn, ñeå töø ñoù xaùc laäp caùc tæ soá ñoàng daïng; ñoàng thôøi taùc giaû goïi sin, cos, tg, cotg laø caùc haøm soá

löôïng giaùc cuûa 1 goùc  maø tröôùc ñoù khoâng heà ñöa vaøo khaùi nieäm haøm soá löôïng giaùc. Ñieåm ñaëc bieät

nöõa cuûa ñònh nghóa naøy laø sau phaàn ñònh nghóa thì taùc giaû ñaõ suy ra ngay 2 coâng thöùc:

tg



gcot



sin cos

 

1 tg 

vaø

1 ñònh lyù:

 Ñònh lyù noùi veà ñieàu kieän ñeå 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng.

 Ñònh lyù “Moät ñöôøng thaúng song song vôùi 1 caïnh cuûa 1 tam giaùc taïo thaønh vôùi 2 caïnh kia

moät tam giaùc môùi coù 3 caïnh tæ leä vôùi 3 caïnh cuûa tam giaùc thöù nhaát.

Kyõ thuaät thöù 2 giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø:

1 baûng soá: Duøng baûng soá vôùi 4 chöõ soá thaäp phaân

1 (baûng soá): Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc.

Nhaän xeùt:

 Hai kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï T1, coù ñaëc ñieåm gioáng nhau laø cuoái cuøng ñeàu

phaûi duøng ñeán Baûng soá vôùi 4 chöõ soá thaäp phaân; maëc duø luùc ñaàu nhìn thì thaáy khaùc.

 Neáu soá ño caùc goùc coù soá phuùt laø 6’, 12’, 18’, 24’, 30’, 36’, 42’, 48’, 54’, 60’ thì ta chæ vieäc

tra baûng laø coù keát quaû, nhöng neáu soá ño caùc goùc coù soá phuùt khaùc soá phuùt ôû treân thì hoïc

sinh phaûi söû duïng theâm phaàn hieäu chính.

1.2.1.2. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï T2 (Tính GT) “Tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc ñaëc bieät” (30o, 45o, 60o).

Coù 2 kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø:

2 tam giaùc vuoâng:

(Neáu goùc laø 30o hoaëc 60o) thì noäi dung kyõ thuaät naøy nhö sau:

- Veõ 1 tam giaùc vuoâng coù 1 goùc nhoïn baèng 30o hoaëc 60o. (Ñaây laø nöûa tam giaùc ñeàu caïnh BC).

* Neáu goùc nhoïn laø 45o thì veõ moät tam giaùc vuoâng caân laøm töông töï nhö treân.

Sau ñoù aùp duïng ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc ñeå tính.

2 (tam giaùc vuoâng): Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc.

Nhaän xeùt:

Ñaëc ñieåm cuûa kyõ thuaät 2 tam giaùc vuoâng laø phaûi döïng tam giaùc vuoâng, coù soá ño cuûa 1 goùc nhoïn

baèng soá ño ñaõ cho. Töø ñoù vaän duïng ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc  ñeå thieát laäp caùc tæ

soá caàn thieát.

- Keát quaû cuûa pheùp tính laø caùc soá ñuùng.

;

;3;

...

1 2

2 2

1 3

(Ví duï: )

- Öu ñieåm cuûa kyõ thuaät naøy laø vaän duïng ñöôïc ngay lyù thuyeát vöøa hoïc vaøo phaàn baøi taäp, qua ñoù

seõ khaéc saâu kieán thöùc.

- Nhöôïc ñieåm cuûa kyõ thuaät naøy laø: Neáu yeâu caàu tính giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc

khoâng ñaëc bieät thì kyõ thuaät naøy khoâng phaùt huy ñöôïc.

Kyõ thuaät thöù 2 giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø

2 baûng löôïng giaùc:

Noäi dung kyõ thuaät naøy nhö sau:

- Tra trong baûng sin hoaëc cos hoaëc tg hoaëc cotg ñeå tìm giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc ñaõ cho.

2 baûng löôïng giaùc: Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc .

2 baûng löôïng giaùc:

Caùc tæ soá cuûa 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng.

1.2.1.3. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï T3 (Döïng goùc )

“Döïng goùc nhoïn  khi bieát moät haøm soá löôïng giaùc cuûa noù”.

Trong kieåu nhieäm vuï naøy, chuùng toâi thaáy coù 4 nhieäm vuï con

nhö sau: y M

sin 

a b



31: Veõ goùc vuoâng xOy. Laáy 1 ñoaïn thaúng laøm ñôn vò.

Vôùi a, b  N*; a < T31: Döïng 1 goùc nhoïn  khi bieát b a b  9

x N O - Treân Oy laáy 1 ñieåm M sao cho OM = a.

- Laáy M laøm taâm, veõ moät cung troøn coù baùn kính R = b caét Ox taïi N;

31: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn

- Goùc (cid:0)MNO =  y

Q

c d

32: Veõ goùc vuoâng xOy



; c,d  N*; c < d ≤ 9 T32: Döïng goùc nhoïn khi bieát cos = d

x O P c

- Treân Ox laáy ñieåm P sao cho OP = c.

- Laáy P laøm taâm veõ 1 cung troøn coù baùn kính R = d caét Oy taïi Q.

32: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn

- Goùc (cid:0)OPQ = 

m n

; m,n  N*, m; n ≤ 9 T33: Döïng goùc nhoïn khi bieát tg =

33:

y

S - Veõ goùc vuoâng Oxy sao cho OS = m.

- Treân Ox laáy ñieåm R sao cho OR = n.

33: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn



m - Goùc (cid:0)ORS= 

p q

x R O n ; p, T34: Döïng goùc nhoïn khi bieát cotg = y

34:

q  N*, p; q ≤ 9 S

- Döïng goùc vuoâng Oxy. q



- Treân Ox laáy ñieåm R sao cho OR = p

34: Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn

- Treân Oy laáy ñieåm S sao cho OS = q x R O p - Goùc (cid:0)ORS = 

Coâng ngheä giaûi thích cho caùc coâng ngheä treân laø tæ soá ñoàng daïng cuûa 2 tam giaùc vuoâng ñoàng

daïng coù chung 1 goùc nhoïn.

Nhaän xeùt:

- Chuùng toâi taïm goïi caùc kyõ thuaät 31; 32; 33; 34 thuoäc nhoùm kyõ thuaät 3 (döïng goùc).

- Ngoaøi kyõ thuaät döïng goùc nhoïn ñaõ trình baøy ôû treân, vaãn coøn caùch khaùc ñeå döïng goùc nhoïn khi

bieát 1 giaù trò haøm soá löôïng giaùc cuûa noù ñoù laø:

- Neáu sin = A thì tra baûng vôùi 4 chöõ soá thaäp phaân xem A = sin cuûa goùc bao nhieâu ñoä.

- Duøng thöôùc ño goùc, ta seõ döïng ñöôïc goùc nhoïn ôû treân.

- Töông töï cho cos, tg, cotg.

1.2.1.4. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï

T4 (Tìm goùc ) “Tìm goùc nhoïn  khi bieát 1 haøm soá löôïng giaùc cuûa noù”

4:

Kyõ thuaät 4 ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø:

- Tra baûng 4 chöõ soá thaäp phaân vaø tính ñöôïc soá ño goùc .

- Duøng thöôùc ño goùc ñeå döïng goùc nhoïn coù soá ño laø .

4: Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn.

1.2.1.5. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï “T5(Giaûi tg vuoâng): “Giaûi tam giaùc

vuoâng”

Trong kieåu nhieäm vuï naøy, chuùng toâi thaáy coù 2 daïng ñoù laø: Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh goùc

vuoâng vaø 1 goùc nhoïn vaø giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 2 caïnh.

51:

T51:“Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh goùc vuoâng vaø 1 goùc nhoïn”

- Tính goùc nhoïn coøn laïi (döïa vaøo ñònh lyù toång 3 goùc trong 1 tam giaùc laø 180o).

- Tính 2 caïnh coøn laïi (döïa vaøo ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn. Thöïc chaát laø

döïa vaøo ñònh lyù.

 Moät caïnh goùc vuoâng baèng caïnh huyeàn nhaân vôùi sin goùc ñoái hay nhaân vôùi cosin goùc keà.

 Moät caïnh goùc vuoâng baèng caïnh goùc vuoâng kia nhaân vôùi tang goùc ñoái, hay nhaân vôùi

“Trong 1 tam giaùc vuoâng:

51:

cotang goùc keà”.

- Ñònh lyù toång 3 goùc trong tam giaùc.

51:

- Ñònh lyù veà moái quan heä giöõa caïnh vaø goùc trong tam giaùc vuoâng.

- Caùc yeáu toá ñeå chöùng minh ñònh lyù veà toång 3 goùc trong tam giaùc, caùc tæ soá cuûa 2 tam giaùc

vuoâng ñoàng daïng coù chung 1 goùc nhoïn.

52:

T52: “Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh goùc vuoâng vaø caïnh huyeàn”.

- Tính cos cuûa 1 goùc nhoïn  (khi bieát 1 caïnh keà vaø caïnh huyeàn)

- Tra baûng 4 chöõ soá thaäp phaân ñeå tìm giaù trò cuûa .

- Tính goùc nhoïn coøn laïi (döïa vaøo ñònh lyù toång 3 goùc trong 1 tam giaùc).

- Tính caïnh goùc vuoâng coøn laïi (Döïa vaøo ñònh lyù Pitago hoaëc ñònh lyù noùi veà moái quan heä

52:

giöõa caïnh vaø goùc trong 1 tam giaùc vuoâng).

- Ñònh lyù Pitago.

52:

- Ñònh lyù veà moái quan heä giöõa caïnh vaø goùc trong tam giaùc vuoâng.

- Chöùng minh ñònh lyù Pitago vaø caùc yeáu toá ñeå chöùng minh noù.

- Tæ soá ñoàng daïng cuûa 2 tam giaùc vuoâng.

Nhö vaäy ñeán ñaây hoïc sinh ñaõ hoaøn toaøn giaûi ñöôïc tam giaùc vuoâng khi bieát 2 yeáu toá trong ñoù

phaûi coù 1 yeáu toá ñoä daøi.

1.2.1.6. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T6(Giaûi tg thöôøng) “Giaûi tam giaùc

thöôøng”

Kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø hình thaønh neân caùc tam giaùc vuoâng coù theå giaûi

ñöôïc döïa vaøo caùc yeáu toá ñaõ cho.

Ñoaïn trích sau ñaây theå hieän kieåu nhieäm vuï naøy.

Baûng 1.1: Thoáng keâ soá löôïng baøi taäp vaø ví duï öùng vôùi moãi kieåu nhieäm vuï cuûa löôïng giaùc trong

tam giaùc

T5

T6

T3

T4

Kieåu

T1

T2

(Döïng

(Tìm goùc

(Giaûi tam

(Giaûi tam

nhieäm vuï

(Chuyeån ñoåi)

(Tính GT)

giaùc vuoâng)

giaùc thöôøng)

goùc )

)

Soá löôïng

0

0

2

0

0

0

ví duï

Soá löôïng

1

1

2

1

2

1

baøi taäp

Nhaän xeùt chung:

Khi phaân tích caùc TCTH tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc, chuùng toâi coù 1

 Caùch duøng töø “haøm soá löôïng giaùc” ñeå chæ cho sin, cos, tg, cotg laø chöa chính xaùc.

 Tính ñôn ñieäu cuûa sin; cos; tg; cotg trong lyù thuyeát noùi raát kyõ nhöng trong phaàn baøi taäp

vaøi ghi nhaän sau:

 Ñeå tìm sin, cos, tg, cotg hoaëc tìm  khi bieát 1 trong caùc “haøm soá löôïng giaùc” cuûa

khoâng coù 1 baøi naøo.

noù, taùc giaû chæ höôùng daãn caùch tra baûng vaø nhö vaäy vai troø cuûa maùy tính boû tuùi laø môø

 Qua baûng thoáng keâ soá löôïng baøi taäp vaø ví duï thì thaáy kieåu nhieäm vuï T5: Giaûi tam giaùc

nhaït.

vuoâng ñöôïc öu tieân hôn.

1.2.2. Caùc toå chöùc toaùn hoïc tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn

Trong giaùo trình “Nguyeãn Duy Thuaän (1998) ñaïi soá vaø giaûi tích (Giaùo trình ñaøo taïo giaùo vieân

tieåu hoïc heä Trung hoïc sö phaïm) NXB Giaùo duïc, chuùng toâi tìm thaáy caùc kieåu nhieäm vuï sau lieân quan

ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn ñoù laø:

T1 (Chuyeån ñoåi ñoä, radian) “Chuyeån ñoåi giöõa ñoä vaø radian”

T2 (Xaùc ñònh ñieåm cuoái B) “Xaùc ñònh ñieåm cuoái B cuûa cung AB khi bieát soá ño cuûa noù”.

T3 (Tính GTHSLG) “Tính caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg khi bieát soá ño goùc ”

T4 (Tính GT coøn laïi) “Tính caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg. Khi bieát 1 trong caùc giaù trò aáy”.

T5 (Chöùng minh ñaúng thöùc) “Chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc”.

1.2.2.1. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï

1:

T1 (chuyeån ñoåi ñoä, radian) Chuyeån ñoåi giöõa ñoä vaø radian

Duøng coâng thöùc:

.   radian 180

- Cung o coù soá ño baèng

o180 .x 

1:

 Moät nöûa ñöôøng troøn coù soá ño baèng  radian.

 Do ñoù goùc beït cuõng coù soá ño baèng  radian.

- Cung x radian coù soá ño baèng

Vôùi lyù do, ñôn vò “ñoä” toû ra baát tieän trong khoa hoïc kyõ thuaät. Vì vaäy ngöôøi ta ñaõ duøng 1 ñôn

vò khaùc laø radian, ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

ñoä daøi ñöôøng “Cung 1 radian laø cung coù ñoä daøi baèng baùn kính cuûa ñöôøng troøn hay baèng 1 2

troøn”.

Vaø do ñoù töø ñaây coù moät töông öùng giöõa “ñoä” vaø “radian” (laø moät soá thöïc) hay noùi caùch khaùc

laø giöõa ñoä vaø soá thöïc.

1.2.2.2. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T2“Xaùc ñònh ñieåm cuoái cuûa cung

2:

löôïng giaùc , khi bieát soá ño cuûa noù”. AB

Treân ñöôøng troøn ñònh höôùng, laáy ñieåm A laøm ñieåm goác. Ñieåm cuoái B cuûa cung naøy ñöôïc xaùc

2:

AB ñònh bôûi heä thöùc sñ =  .

 Ñònh nghóa ñöôøng troøn ñònh höôùng

+

 Ñònh nghóa cung löôïng giaùc laø:

 A  O Ñöôøng vaïch ra bôûi 1 ñieåm M chaïy treân ñöôøng troøn ñònh höôùng

töø ñieåm goác A ñeán ñieåm B cuûa ñöôøng troøn ñöôïc goïi laø cung löôïng giaùc

AB.

Kyù hieäu AB

 Coâng thöùc chuyeån ñoåi giöõa ñoä vaø radian.

 Neáu baùn kính R = 1 thì ñoä daøi cung troøn baèng soá ño cuûa cung troøn aáy.

Coâng ngheä cuûa coâng ngheä 2:

Nhaän xeùt: Trong giaùo trình naøy, khaùi nieäm cung löôïng giaùc ñöôïc ñöa vaøo tröôùc, sau ñoù môùi

ñònh nghóa goùc löôïng giaùc nhö sau:

“Cho cung löôïng giaùc AB, hình taïo ra bôûi tia OM khi ñieåm B  + M chaïy treân ñöôøng troøn ñònh höôùng töø A ñeán B (vaïch ra cung löôïng

giaùc AB) ñöôïc goïi laø goùc löôïng giaùc.  M  A  O Kí hieäu (OA, OB)

Do ñoù sñ(OA, OB) = sñ AB

Trong ñònh nghóa naøy, khoâng ñeà caäp ñeán ñieåm M coù theå truøng B moät laàn hay nhieàu laàn. Khi

aáy sñ(OA, OB) =  + k2 (k  Z).

Cuõng töông töï nhö vaäy sñ =  + k2 (k  Z). AB

1.2.2.3. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T3(Tính GTHSLG) “Tính caùc giaù trò

sin, cos, tg, cotg”

y naøy, chuùng toâi Tröôùc khi vaøo phaân tích kieåu nhieäm vuï

giaùo trình naøy löôùt qua ñònh nghóa “haøm soá löôïng giaùc” cuûa +



nhö sau:

y  =  coù caïnh “Trong maët phaúng toaï ñoä, goùc (OA, OM) x  M  A x O

 cos = x

cuoái OM caét ñöôøng troøn ñôn vò taïi ñieåm M(x, y).

 sin = y

; tg = sin cos

  cotg = cos sin

 

;

Roõ raøng vôùi moãi goùc , caùc giaù trò cos, sin, tg, cotg ñeàu xaùc ñònh ñöôïc. Ngöôøi ta goïi

cos, sin, tg, cotg laø nhöõng haøm soá löôïng giaùc”.

 Taùc giaû ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc nhöng laïi khoâng noùi roõ mieàn xaùc ñònh; mieàn

Nhaän xeùt:

 cos, sin, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc giaù trò maø khoâng noùi roõ caùc giaù trò cuûa haøm soá

giaù trò cuûa töøng haøm soá.

 Goùc  ôû ñaây hieåu laø goùc löôïng giaùc neân coù soá ño baát kyø.

löôïng giaùc hay caùc giaù trò löôïng giaùc cuûa goùc  (!).

Nhö vaäy: Trong phaàn TCTH tham chieáu cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc thì noùi cho goùc nhoïn.

3:

 Xaùc ñònh

Coøn trong TCTH tham chieáu cuûa löôïng giaùc trong ñöôøng troøn thì môû roäng ra laø goùc löôïng giaùc  coù soá ño baát kyø vaø khoâng thoâng qua giai ñoaïn trung gian laø goùc   [0o, 180o].

toaï ñoä cuûa ñieåm M treân ñöôøng troøn ñôn vò sao cho

sñ =  . Ta coù M (x, y) AM

3:

Söû duïng ñònh nghóa caùc “giaù trò sin, cos, tg, cotg”

3: Ñònh nghóa goùc, cung löôïng giaùc.

Ñònh nghóa caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg.

“Theo ñònh nghóa cuûa haøm soá löôïng giaùc, neáu bieát giaù trò cuûa goùc  coù theå xaùc ñònh ñöôïc daáu

cuûa sin, cos, tg, cotg döïa vaøo vò trí cuûa ñieåm M treân ñöôøng troøn ñôn vò trong maët phaúng toaï

ñoä”.

1.2.2.4. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T4 (Tính GT coøn laïi) “Tính caùc giaù trò sin,

4:

cos, tg, cotg khi bieát 1 trong caùc giaù trò aáy”.

Ñoái vôùi kieåu nhieäm vuï naøy vaø trong giaùo trình tham khaûo chuùng toâi thaáy coù caùc kyõ thuaät sau

 Duøng caùc heä thöùc cô baûn.

 Duøng boä coâng thöùc lieân heä cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät (ñoái, buø, phuï, hôn

ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy laø:

 Duøng phöông phaùp hình hoïc (Xaùc ñònh toaï ñoä cuûa ñieåm M (x, y) treân ñöôøng troøn ñôn

keùm ; hôn keùm /2).

4:

 Ñònh nghóa caùc giaù trò sin, cos, tg, cotg.

 Ñònh nghóa goùc löôïng giaùc.

vò trong maët phaúng toaï ñoä).

Nhaän xeùt: Trong caùc kyõ thuaät giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy chuùng toâi thaáy kyõ thuaät “duøng caùc

heä thöùc cô baûn” ñöôïc öu tieân söû duïng nhieàu hôn.

1.2.2.5. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T5(Chöùng minh ñaúng thöùc) “Chöùng

5:

minh caùc ñaúng thöùc löôïng giaùc”.

Ñoái vôùi kieåu nhieäm vuï naøy, trong giaùo trình tham khaûo, chuùng toâi thaáy coù caùc kyõ thuaät sau

 Duøng caùc heä thöùc cô baûn hoaëc cung lieân keát.

 Duøng coâng thöùc coäng, nhaân ñoâi, haèng ñaúng thöùc.

 Cuoái cuøng bieán ñoåi sao cho 2 veá baèng nhau.

5:

ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy.

Caùc heä thöùc cô baûn; caùc coâng thöùc coäng, nhaân ñoâi, cung lieân keát. Lyù thuyeát giaûi thích cho

5: Caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông.

coâng ngheä 5 laø:

Baûng 1.2: Thoáng keâ soá löôïng baøi taäp vaø ví duï öùng vôùi moãi kieåu nhieäm vuï cuûa löôïng giaùc trong

ñöôøng troøn

T5

T1

T2

T3

T4

(Chöùng

(Chuyeån ñoåi ñoä,

(Xaùc ñònh ñieåm

(Tính

(Tính GT

Kieåu nhieäm vuï

minh ñaúng

radian)

cuoái B)

GTHSLG)

coøn laïi)

thöùc)

Soá löôïng ví duï

3

1

1

1

1

Soá löôïng baøi taäp

2

2

2

1

5

Nhaän xeùt chung:

Khi phaân tích caùc TCTH tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn, chuùng toâi coù

1 vaøi ghi nhaän sau:

- Trong giaùo trình tham khaûo khoâng noùi ñeán tính bieán thieân cuûa sin, cos, tg, cotg.

- Khoâng neâu baät ñöôïc ñaëc ñieåm cuûa goùc löôïng giaùc laø cuøng moät kyù hieäu goùc löôïng giaùc (OA,

OB) nhöng coù voâ soá goùc löôïng giaùc, soá ño caùc goùc naøy hôn keùm nhau moät boäi nguyeân cuûa 2 (hay 360o).

- Töông töï cuõng khoâng neâu baät ñöôïc ñaëc ñieåm cuûa cung löôïng giaùc ñoù laø nhöõng cung löôïng

giaùc coù soá ño hôn keùm nhau 1 boäi nguyeân 2 (hay 360o) seõ coù ñieåm cuoái truøng nhau.

- Töø baûng thoáng keâ treân, chuùng toâi thaáy kieåu nhieäm vuï T5 (chöùng minh ñaúng thöùc) ñöôïc öu tieân hôn.

Treân ñaây laø caùc TCTH tham chieáu cho pheùp chuùng toâi phaân tích trôû laïi vaán ñeà coù theå xaây

döïng ñöôïc nhöõng TCTH caàn giaûng daïy lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong

ñöôøng troøn trong chöông trình vaø SGK ôû baäc phoå thoâng trong chöông 2.

Chöông 2

MOÁI QUAN HEÄ THEÅ CHEÁ VÔÙI LÖÔÏNG GIAÙC TRONG TAM GIAÙC VAØ

LÖÔÏNG GIAÙC TRONG ÑÖÔØNG TROØN TRONG CHÖÔNG TRÌNH TOAÙN ÔÛ

BAÄC PHOÅ THOÂNG

2.1. Môû ñaàu

Muïc ñích chuû yeáu cuûa chöông naøy laø laøm roõ moái quan heä cuûa theå cheá daïy hoïc Toaùn ôû baäc

phoå thoâng vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn. Cuï theå, chuùng toâi seõ laøm

roõ vaø giaûi quyeát caùc vaán ñeà ñaët ra trong 4 nhoùm caâu hoûi Q3, Q4, Q5, Q6.

Q3: Löôïng giaùc ñaõ ñöôïc ñöa vaøo trong chöông trình vaø SGK Toaùn ôû baäc phoå thoâng trong tình

huoáng naøo?

Caùc TCTH ñöôïc xaây döïng xung quanh vaán ñeà löôïng giaùc trong tam giaùc, löôïng giaùc trong

ñöôøng troøn. Coù söï cheânh leäch naøo giöõa TCTH tham chieáu vôùi caùc TCTH ñöôïc daïy ôû phoå thoâng.

Q4: Caùc quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic ñöôïc hình thaønh giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh trong böôùc

chuyeån töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn? Chuùng ñöôïc theå hieän cuï theå qua

nhöõng kieåu nhieäm vuï, nhöõng kyõ thuaät naøo?

Q5: Hoïc sinh coù gaëp khoù khaên gì trong vieäc hoïc löôïng giaùc noùi chung vaø trong böôùc chuyeån töø

löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn hay khoâng? Ñoù laø nhöõng khoù khaên naøo?

Q6: Ñaøo taïo ôû tröôøng cao ñaúng sö phaïm, ñaïi hoïc sö phaïm coù cung caáp ñuû cho sinh vieân nhöõng

coâng cuï caàn thieát cho hoaït ñoäng ngheà nghieäp sau naøy cuûa hoï hay khoâng? Neáu khoâng, caàn ñieàu chænh quy

trình ñaøo taïo naøy nhö theá naøo?

Trong caùc chöông trình CCGD naêm 1990 vaø chöông trình SGK chænh lyù naêm 2000 thì löôïng

giaùc trong ñöôøng troøn khoâng ñöôïc giaûng daïy ôû lôùp 10. Nhöng sang chöông trình thí ñieåm phaân ban

2003 vaø phaân ban ñaïi traø naêm 2006, vôùi lyù do traùnh daïy doàn daäp kieán thöùc löôïng giaùc ôû lôùp 11, moät

noäi dung maø hoïc sinh cho laø khoù nhôù, khoù hoïc, khoù vaän duïng… thì nhöõng ngöôøi laøm chöông trình ñaõ

ñöa phaàn goùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc löôïng giaùc töø lôùp 11 xuoáng Chöông VI cuûa SGK Ñaïi soá 10.

Bôûi vaäy trong chöông trình thí ñieåm 2003 vaø phaân ban ñaïi traø 2006; löôïng giaùc trong ñöôøng

troøn ñöôïc daïy vaø hoïc ôû lôùp 10.

Giöõa 2 boä saùch thí ñieåm 2003 vaø phaân ban ñaïi traø hieän nay, veà noäi dung vaø phaân phoái

chöông trình laø hoaøn toaøn gioáng nhau. Do vaäy ñeå thuaän lôïi trong vieäc nghieân cöùu tìm kieám söï keá

thöøa hoaëc yeáu toá giaùn ñoaïn giöõa löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn, chuùng

toâi ñaõ choïn phaân tích caùc taøi lieäu sau.

1. Phan Ñöùc Chính (Toång chuû bieân) (2005). Saùch giaùo khoa Toaùn 9 taäp 1. NXB Giaùo duïc.

2. Toân Thaân (Chuû bieân) (2006). Saùch Baøi taäp Toaùn 9 taäp 1. NXB Giaùo duïc.

3. Phan Ñöùc Chính (Toång chuû bieân) (2005). Saùch giaùo vieân Toaùn 9 taäp 1. NXB Giaùo duïc

4. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch giaùo khoa Hình hoïc 10. NXB Giaùo duïc.

5. Vaên Nhö Cöông (Chuû bieân) (2006). Saùch Baøi taäp Hình hoïc 10. NXB Giaùo duïc.

6. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch Giaùo vieân hình hoïc 10. NXB Giaùo duïc.

7. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch Giaùo khoa Ñaïi soá 10. NXB Giaùo duïc.

8. Nguyeãn Huy Ñoan (Chuû bieân) (2006). Saùch Baøi taäp Ñaïi soá 10. NXB Giaùo duïc.

9. Ñoaøn Quyønh (Toång chuû bieân) (2006). Saùch giaùo vieân Ñaïi soá 10. NXB Giaùo duïc.

10. Taøi lieäu boài döôõng giaùo vieân thöïc hieän chöông trình, saùch giaùo khoa lôùp 10 THPT

(2006). NXB Giaùo duïc.

2.2. Löôïng giaùc trong tam giaùc (löôïng giaùc ôû lôùp 9)

 Phaàn lyù thuyeát

Nhö chuùng ta ñaõ bieát, chöông “Heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng” ñöôïc coi nhö moät öùng

duïng cuûa chöông “Tam giaùc ñoàng daïng”. Tröôùc ñaây, trong chöông trình cuõ, chöông naøy ñöôïc saép

xeáp ôû lôùp 8, ngay sau chöông “Tam giaùc ñoàng daïng”. Trong chöông trình môùi, vì phaûi chuyeån 1

phaàn hình hoïc khoâng gian xuoáng lôùp 8 neân chöông naøy ñöôïc chuyeån leân lôùp 9. Muïc ñích cuûa

chöông naøy laø giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát hai caïnh hoaëc 1 caïnh vaø 1 goùc nhoïn. Vôùi muïc ñích aáy,

SGK Toaùn 9, taäp 1 ñaõ ñöa baøi “Moät soá heä thöùc veà caïnh vaø ñöôøng cao trong tam giaùc vuoâng” vaøo

tröôùc, sau ñoù môùi ñeán baøi “Tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn”.

Trong baøi “Moät soá heä thöùc veà caïnh vaø ñöôøng cao trong tam giaùc vuoâng” SGK ñaõ xaây döïng

ñöôïc caùc coâng thöùc tính ñoä daøi ñöôøng cao, hình chieáu cuûa caïnh goùc vuoâng treân caïnh huyeàn, khi bieát

2 caïnh.

Trong baøi “Tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn” vôùi tình huoáng ñöa ra laø:

Trong moät tam giaùc vuoâng, neáu bieát tæ soá ñoä daøi cuûa 2 caïnh thì coù bieát ñöôïc ñoä lôùn cuûa caùc goùc

nhoïn hay khoâng?

Saùch giaùo khoa ñöa ra ñònh nghóa sau:

sin

;

 

c  os =

c

c¹nh kÒ c¹nh huyÒn

c ¹nh ®èi ¹nh huyÒn

tg

;

cot g

 

 

c ¹nh ®èi c ¹nh kÒ

c ¹nh kÒ c¹nh ®èi

“Cho goùc nhoïn . Veõ moät tam giaùc coù 1 goùc nhoïn . Khi ñoù:

 Khi noùi ñeán caùc tæ soá löôïng giaùc (TSLG) cuûa goùc nhoïn thì luoân ñi keøm vôùi noù laø 1 tam

Nhö vaäy:

giaùc vuoâng. Tæ soá cuûa caùc caïnh trong 1 tam giaùc vuoâng. Do vaäy caùc TSLG cuûa 1 goùc

nhoïn luoân luoân döông vaø ta coù

0< sin < 1; 0 < cos < 1.

 sin, cos, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc TSLG cuûa goùc nhoïn, ñaây laø ñieåm khaùc bieät so

vôùi caùch goïi trong 2 giaùo trình tìm TCTH tham chieáu tröôùc ñaây.

Chuùng toâi cho raèng, coù theå coù caùc kieåu nhieäm vuï sau trong löôïng giaùc trong tam giaùc.

: Vieát (Tính) caùc TSLG cuûa 1 goùc nhoïn. T1 (vieát, tính)

: Döïng 1 goùc nhoïn khi bieát 1 TSLG cuûa goùc aáy. T2 (Döïng goùc)

: So saùnh caùc TSLG cuûa cuøng goùc nhoïn (2 hay nhieàu goùc nhoïn) . T3 (So saùnh)

: Chöùng minh caùc heä thöùc cô baûn. T4 (Chöùng minh)

T5 (Tam giaùc vuoâng) : Giaûi tam giaùc vuoâng.

: Tæ soá löôïng giaùc cuûa caùc goùc phuï nhau. T6 (Phuï nhau)

T7 (Tam giaùc thöôøng) : Giaûi tam giaùc thöôøng.

2.2.1. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï

1:

 Ñaët goùc nhoïn aáy vaøo trong 1 tam giaùc vuoâng ñaõ bieát 2 yeáu toá (2 caïnh hoaëc 1

T1 (vieát, tính): Vieát (Tính) caùc TSLG cuûa 1 goùc nhoïn.

 Duøng ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn ñeå tính (vieát) caùc TSLG.

1:

caïnh vôùi 1 goùc nhoïn).

1:

Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn.

Ñeå giaûi thích cho ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn, chuùng toâi döïa vaøo ñònh lyù sau:

 Khi coù 1 goùc nhoïn baèng nhau.

 Khi coù 2 caïnh goùc vuoâng tæ leä vôùi nhau töøng ñoâi moät.

 Coù caïnh huyeàn vaø moät caïnh goùc vuoâng tæ leä vôùi nhau töøng ñoâi moät.

Hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng vôùi nhau, neáu xaûy ra moät trong caùc tröôøng hôïp sau:

1 laø kyõ thuaät thuaàn tuùy hình hoïc, aùp duïng ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn  thì ta vieát ñöôïc

Nhaän xeùt:

 Ñaëc bieät ôû ñaây theå cheá khoâng noùi ñeán caùch duøng MTBT hoaëc baûng soá ñeå tìm TSLG cuûa

sin, cos, tg, cotg baèng bao nhieâu.

 Kyõ thuaät 1 naøy laø veát cuûa kyõ thuaät 2 (Tính GT) trong TCTH tham chieáu.

goùc  cho tröôùc maø chæ ñeà caäp moät caùch töôøng minh trong 2 ví duï treân.

2.2.2. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï

sin

  ; a, b  N*, a< b  9

T2 (döïng goùc): Döïng goùc nhoïn khi bieát 1 TSLG cuûa goùc aáy.

a b

T21: Döïng goùc nhoïn  khi bieát

Ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy, kyõ thuaät ñöa ra nhö sau:

21: Veõ goùc vuoâng Oxy.

 Laáy 1 ñoaïn thaúng laøm ñôn vò.

y

 Treân Oy

M laáy ñieåm M sao cho

 Laáy M laøm taâm veõ 1 cung troøn coù baùn kính R =

OM = a. b a



b; caét Ox taïi N. Khi aáy goùc (cid:0)ONM   .

21: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn

x N O

cos

c   ; d

y T22: Döïng goùc nhoïn  khi bieát

22: Veõ goùc vuoâng Oxy

Q c, d  N*, c< d  9

 Treân Ox laáy P sao cho OP = c.

 Laáy P laøm taâm veõ 1 cung troøn coù



d

 Goùc (cid:0)OPQ  

22: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn

x O baùn kính R = d, caét Oy taïi Q. P c

m n

23: Veõ goùc vuoâng Oxy

 Treân Oy laáy S sao cho OS = m

; m, n  N*, m; n  9 T23: Döïng goùc nhoïn khi bieát tg =

 Treân Ox laáy R sao cho OR = n

y



 Goùc (cid:0)OSR  

23: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn

S

m

cot g

 ; p, q  N*, p; q  9

x n R O

p q

T24: Döïng goùc nhoïn  khi bieát

24: Döïng goùc vuoâng Oxy

y

 Treân Oy laáy V sao cho OV = q

 Treân Ox laáy U sao cho OU = p

V

 Goùc OVU(cid:0)

 

24: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn



q

x p O U Lyù thuyeát ñeå giaûi thích cho caùc coâng ngheä 21, 22, 23, 24 töông töï trong 1.

Nhaän xeùt:

- Chuùng toâi taïm goïi caùc kyõ thuaät 21; 22; 23; 24 thuoäc nhoùm kyõ thuaät 2 (döïng goùc) thì nhaän

thaáy 2 (döïng goùc) laø veát cuûa kyõ thuaät 3 (döïng goùc) trong TCTH tham chieáu.

- Kyõ thuaät 2 (döïng goùc) thuaàn tuùy chæ laø kyõ thuaät mang ñaëc tröng hình hoïc bình thöôøng.

tg

- Kyõ thuaät naøy ñöôïc trình baøy töôøng minh trong caùc ví duï sau:

2   3

Ví duï 3 trang 73: Döïng goùc nhoïn , bieát

sin

Ví duï 4 trang 74: Döïng goùc nhoïn , bieát sin = 0,5

1   2

Trong ví duï treân thì giaù trò cuûa sin laø soá thaäp phaân neáu vieát döôùi daïng phaân soá thì

ñeàu laø soá höõu tæ ñoàng thôøi 0 < sin < 1. Kyõ thuaät naøy moät laàn nöõa xuaát hieän trong baøi 13 trang 77

vôùi noäi dung

“Döïng goùc nhoïn , bieát:

2 3

a) sin = b) cos  = 0,6

3 4

3 2

d) cotg  = c) tg  =

Nhaän thaáy: Trong 2 ví duï vaø baøi taäp ôû treân ñeàu cho sin vaø cos coù giaù trò laø soá höõu tæ

a b

a b

0



1  ).

a b



döông daïng hoaëc soá thaäp phaân döông maø khi vieát döôùi hình thöùc soá höõu tæ phaûi coù daïng (vôùi

a b

tg vaø cotg luoân cho laø soá höõu tæ döông coù daïng .

SGK vaø SBT khoâng ñöa ra baát kyø moät ví duï hoaëc baøi taäp naøo maø giaù trò cuûa sin, cos, tg,

cotg laø soá thaäp phaân coù nhieàu chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân, hoaëc phaân soá maø töû vaø maãu laø caùc soá töï

...

nhieân  10 (coù 2 chöõ soá trôû leân).

15 17 ; 26 142

Ví duï:

Nhö vaäy ôû ñaây chuùng toâi thaáy toàn taïi ngaàm aån moät quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic laø:

R1: Duøng thöôùc khaéc vaïch döïng goùc nhoïn  khi bieát 1TSLG cuûa noù luoân cho:

 sin vaø cos coù giaù trò laø phaân soá döông daïng

a b

0

hoaëc soá thaäp phaân döông maø khi vieát



1  ).

a b

a b

(vôùi döôùi daïng phaân soá phaûi coù daïng



a b

. tg vaø cotg luoân cho laø phaân soá döông coù daïng

Quy taéc hôïp ñoàng naøy ñöôïc theå hieän qua kieåu nhieäm vuï T2 (döïng goùc) cuûa löôïng giaùc trong

tam giaùc.

Caàn noùi theâm raèng baøi “Baûng löôïng giaùc” vaø baøi ñoïc theâm “Tìm TSLG vaø goùc baèng MTBT

casio FX220” ñöôïc trình baøy sau phaàn ví duï vaø baøi taäp neâu treân, ñoàng thôøi sau ñoù SGK yeâu caàu: “Duøng

baûng löôïng giaùc hoaëc MTBT tìm goùc nhoïn x.

Roõ raøng theå cheá mong muoán hoïc sinh thaønh thaïo caùch tìm goùc nhoïn  khi bieát 1 TSLG cuûa

noù baèng MTBT hoaëc baûng löôïng giaùc. Ñieàu naøy ñöôïc theå hieän roõ trong saùch giaùo vieân nhö sau:

“Ñaây laø loaïi baøi daïng thöïc haønh laø chính. Do ñoù, caàn chuù yù ñeán muïc tieâu cuoái cuøng laø hoïc sinh

phaûi bieát tìm caùc TSLG cuûa 1 goùc cho tröôùc vaø ngöôïc laïi, tìm soá ño goùc nhoïn khi bieát 1 TSLG cuûa

goùc ñoù”. Nhö vaäy ñeán ñaây neáu yeâu caàu döïng goùc nhoïn  khi bieát 1TSLG cuûa noù maø khoâng giôùi haïn

duïng cuï thì hoïc sinh coù theå duøng thöôùc khaéc vaïch ñeå döïng goùc nhoïn  hoaëc duøng baûng soá; MTBT ñeå

tính soá ñoù goùc , töø ñoù duøng thöôùc ño goùc (ño ñoä) ñeå döïng goùc nhoïn .

2.2.3. Toå chöùc toaùn hoïc gaén lieàn vôùi kieåu nhieäm vuï

T3 (so saùnh): So saùnh caùc TSLG cuûa goùc nhoïn

31: Söû duïng nhaän xeùt sau

T31: So saùnh 1 TSLG cuûa 2 hay nhieàu goùc

31: Caáu taïo cuûa baûng löôïng giaùc hoaëc thoâng qua maùy tính boû tuùi

31: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn

Khi goùc  taêng töø 0o ñeán 90o thì sin vaø tg taêng coøn cos vaø cotg giaûm.

32:

 Ñöa veà cuøng sin hoaëc cuøng cos.

T32: So saùnh sin vôùi cos hoaëc tg vôùi cotg

Hoaëc  Ñöa veà cuøng tang hoaëc cuøng cotang.

Baèng caùch: Duøng ñònh lyù “Neáu 2 goùc phuï nhau thì sin goùc naøy baèng cosin goùc kia, tang goùc

naøy baèng cotang goùc kia”.

 Ngoaøi kyõ thuaät ñöôïc trình baøy ôû treân thì hoïc sinh coù theå duøng baûng löôïng giaùc hoaëc

Nhaän xeùt:

32:

 Ñònh lyù TSLG cuûa 2 goùc phuï nhau.

 Baûng löôïng giaùc.

 MTBT.

32: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn

MTBT. Tính tröïc tieáp giaù trò cuûa töøng TSLG, sau ñoù coù keát quaû.

T33: So saùnh 2 TSLG cuûa cuøng 1 goùc nhoïn hoaëc 2 goùc phuï nhau.

33: Ñöa veà so saùnh giöõa tg vôùi sin hoaëc so saùnh giöõa cotg vôùi cos, döïa vaøo coâng

tg

;

 

cot g

 

cos sin

sin cos

 

 

33: Vaøo coâng thöùc:

cot g

 

tg

;

 

cos sin

sin cos

 

 

thöùc:

33: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn.

Trong ñoù 0 < sin; cos < 1

Nhaän xeùt:

Caùc kyõ thuaät 31; 32; 33 chuùng toâi taïm goïi vaøo nhoùm 3 (so saùnh). Nhaän thaáy 3 (so saùnh) khoâng laø

veát cuûa kyõ thuaät naøo trong TCTH tham chieáu.

Giaûi thích cho söï vaéng maët cuûa kyõ thuaät naøy trong TCTH tham chieáu.

Chuùng toâi ñaõ trình baøy trong phaàn: Nhaän xeùt chung cuûa TCTH tham chieáu.

Trong SGK khoâng giôùi thieäu töôøng minh tính ñôn ñieäu cuûa töøng TSLG cuûa goùc nhoïn  maø chæ ñeà caäp ñeán vaán ñeà naøy thoâng qua baûng soá vaø MTBT döïa vaøo nhaän xeùt “Khi  taêng töø 0o ñeán 90o thì sin vaø

tan taêng, coøn cos vaø cot giaûm daàn”.

Nhö vaäy: Neáu so saùnh TSLG cuûa 2 hay nhieàu goùc nhoïn (Ví duï: sin, sin, sin…) hoaëc so

 Vaán ñeà ñaët ra laø: SGK khoâng neâu raøng buoäc cuûa caùc goùc ,  ñoàng thôøi cuõng khoâng cho

,  coù soá ño baát kyø vaø cuõng khoâng coù moät söï giaûi thích naøo ôû ñaây. Chuùng toâi cho raèng ôû

saùnh giöõa sin vôùi cos hoaëc tg vôùi cot cuûa 2 goùc phuï nhau thì ta döïa vaøo nhaän xeùt treân.

ñaây coù söï ngaàm aån trong vieäc cho soá ño cuûa caùc goùc ,  trong daïng toaùn treân thoâng qua

quy taéc



R2: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT luoân so saùnh ñöôïc caùc TSLG sau:



tan vôùi sin; 0o <  < 90o; tan vôùi cos; ( +  = 90o) cot vôùi cos; 0o <  < 90o; cot vôùi sin; ( +  = 90o)

Môû roäng quy taéc R2:

o

o

Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT luoân so saùnh ñöôïc:



; 0

90





;  

 

sin   cos 

sin



o

o

tan vôùi



; 0

90



;  



cos



  

cot vôùi

2.2.4. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï

4:

 Moâ phoûng moät tam giaùc vuoâng coù ghi roõ caùc caïnh ñoái, caïnh keà, caïnh huyeàn.

 Duøng ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn ñeå vieát ñöôïc

T4 (Chöùng minh): Chöùng minh caùc heä thöùc cô baûn

sin

;

 

c  os =

c

c

c ¹nh ®èi ¹nh huyÒn

c¹nh kÒ ¹nh huyÒn

tg

;

cot g

 

 

c ¹nh ®èi c¹nh kÒ

c ¹nh kÒ c¹nh ®èi

 Bieán ñoåi veà heä thöùc caàn chöùng minh.

tg

cot g

 

 

 Nhö vaäy

Nhaän xeùt:

sin cos

cos sin

 

 

vaø ñöôïc coi laø heä thöùc cô baûn vaø ñöôïc ñöa vaøo phaàn

 Trong baøi taäp 15 trang 77 (SGK) cho pheùp hoïc sinh vaän duïng keát quaû baøi taäp 14 ñeå giaûi

baøi taäp.

nhö sau:

“Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Bieát cosB = 0.8, haõy tính caùc TSLG cuûa goùc C.

 Roõ raøng töø ñaây SGK cho pheùp hoïc sinh ñöôïc quyeàn vaän duïng caùc heä thöùc cô baûn ñeå chöùng

Gôïi yù: Söû duïng baøi taäp 14”.

minh, nhö vaäy hoïc sinh ñaõ coù 2 caùch ñeå tính tg, cotg ñoù laø tính baèng ñònh nghóa caùc TSLG

tg

;

cot g

 

 

c ¹nh ®èi c¹nh kÒ

c ¹nh kÒ c¹nh ®èi

cuûa goùc nhoïn ñoù laø:

tg

cot g

 

 

Hoaëc thoâng qua heä thöùc cô baûn:

sin cos

cos sin

 

 

4: Coâng ngheä giaûi thích cho kyõ thuaät treân laø:

;

- Döïa vaøo ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn.

4: Lyù thuyeát giaûi thích cho coâng ngheä 4 laø

- Ñònh lyù Pitago.

 Kyõ thuaät 4 (Chöùng minh) khoâng laø veát cuûa kyõ thuaät naøo trong TCTH tham chieáu.

Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn.

Sôû dó kyõ thuaät naøy khoâng laø veát cuûa kyõ thuaät naøo trong TCTH tham chieáu, bôûi leõ:

Sau phaàn ñònh nghóa caùc “haøm soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn ”, taùc giaû ñaõ ñöa ra ngay keát

quaû laø:

tg

cot g

 

 

Töø ñònh nghóa treân ta coù:

sin cos

1 tg 

 

vaø

cot g

 

Nhö vaäy: Töø ñaây ngöôøi hoïc coù quyeàn suy ra:

cos sin

 

vaø tg . cotg = 1

2.2.5. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï

T5 (giaûi tam giaùc): Giaûi tam giaùc vuoâng

Kieåu nhieäm vuï T5 (Giaûi tam giaùc), theo chuùng toâi coù 2 kieåu nhieäm vuï con ñoù laø:

51: - Tính caïnh coøn laïi döïa vaøo Ñònh lyù Pitago.

T51: Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 2 caïnh

51: - Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn

- Duøng ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn ñeå tính caùc goùc.

- Ñònh lyù Pitago.

52: - Tính goùc nhoïn coøn laïi döïa vaøo ñònh lyù Toång 3 goùc trong 1 tam giaùc baèng 180o.

T52: Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh vaø 1 goùc nhoïn

- Tính caïnh coøn laïi döïa vaøo ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn.

52: - Ñònh lyù Toång 3 goùc trong tam giaùc baèng 180o.

- Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn.

SGK Toaùn 9 öu tieân kieåu nhieäm vuï T52: Giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 1 caïnh vaø 1 goùc hôn.

Ñieàu ñaëc bieät laø trong caû 2 ví duï 4 vaø ví duï 5 thì SGK luoân tính goùc nhoïn tröôùc döïa vaøo ñònh lyù

toång 3 goùc trong 1 tam giaùc. Sau ñoù môùi tính ñoä daøi caùc caïnh.

Beân caïnh aáy saùch giaùo vieân coøn höôùng daãn: “Khi ñaõ bieát hai caïnh cuûa tam giaùc vuoâng, neân tìm

goùc tröôùc, sau ñoù môùi tính caïnh thöù 3 nhôø caùc heä thöùc trong ñònh lyù vöøa hoïc (Ñònh lyù noùi veà moái quan

heä giöõa caïnh vaø goùc trong tam giaùc vuoâng).

Theo caùch aáy, vieäc tính toaùn baèng maùy coù theå lieân hoaøn hôn, ñôn giaûn hôn” (Trích saùch giaùo

vieân Toaùn 9 – Trang 108 – NXB Giaùo duïc).

Kyõ thuaät 51; 52 laø veát cuûa kyõ thuaät 5 (Giaûi tam giaùc vuoâng) trong TCTH tham chieáu.

2.2.6. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T6 (phuï nhau): Vieát TSLG cuûa goùc phuï

6: Duøng ñònh lyù noùi veà quan heä giöõa 2 goùc phuï nhau: “Neáu 2 goùc phuï nhau thì sin goùc naøy

vôùi goùc ñaõ cho

6: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn

baèng cos goùc kia, tang goùc naøy baèng cotang goùc kia”.

Kieåu nhieäm vuï naøy coù maët trong 2 ví duï nhö sau:

Ví duï 5 trang 74:

Theo ví duï 1, ta coù:

2 2

sin45o = cos45o = tg45o = cotg45o = 1

Ví duï 6 trang 75:

1 2

3 2

cos30o = sin60o = Ta coù: sin30o = cos60o =

cotg30o = tg60o = 3 tg30o = cotg60o = 3 3

Sau kieåu nhieäm vuï naøy, SGK ñaõ ñöa ra TSLG cuûa caùc goùc ñaëc bieät nhö sau:



Baûng 2.1: Tæ soá löôïng giaùc cuûa caùc goùc ñaëc bieät

30o 45o 60o TSLG

1 2

2 2

3 2

sin

2 2

1 2

3 2

cos

3

3 3

1 tg

3

3 3

1 cotg

Trong baûng naøy, khoâng coù TSLG cuûa goùc 0o vaø 90o.

2.2.7. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï

T7 (Tam giaùc thöôøng): Giaûi tam giaùc thöôøng

Kieåu nhieäm vuï naøy chæ coù maët trong phaàn baøi taäp cuûa SGK Toaùn 9 (khoâng coù maët trong ví

duï cuûa baøi hoïc). Theå hieän qua caùc baøi taäp sau:

o

o (cid:0) ABC 38

(cid:0) ACB 30

Baøi 30 trang 89 (SGK)

, . Goïi ñieåm N laø chaân ñöôøng vuoâng Cho ABC, trong ñoù BC = 11cm,

goùc keû töø A ñeán caïnh BC. Haõy tính:

a) Ñoaïn thaúng AN

b) Caïnh AC.

Gôïi yù: Keû BK  AC

o

o

o

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0) ABC 90 ;ACB 54 ;ACD 74 





Baøi 31 trang 89 (SGK) Trong hình veõ sau:

AC = 8cm; AD = 9,6cm; . Haõy tính:

a) AB

b) (cid:0)ADC

Töø lôøi giaûi cuûa 2 baøi taäp naøy, chuùng toâi hình thaønh kyõ thuaät ñeå giaûi quyeát kieåu nhieäm vuï naøy

7: - Ñaët caïnh caàn tính ñoä daøi hoaëc goùc caàn tính vaøo 1 tam giaùc vuoâng giaûi ñöôïc.

laø:

7: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn.

- Duøng caùc heä thöùc cuûa tam giaùc vuoâng ñeå tính caïnh hoaëc goùc caàn tính.

Nhaän xeùt:

Kieåu nhieäm vuï naøy xuaát hieän khoâng nhieàu nhöng töø ñaây hoïc sinh coù theå tính ñöôïc caïnh, goùc

trong tam giaùc thöôøng thoâng qua 1 tam giaùc vuoâng trung gian. Hay noùi caùch khaùc laø: Vôùi löôïng giaùc

trong tam giaùc ñaõ laøm giaùn ñoaïn vieäc giaûi tam giaùc thöôøng, hoaëc soá ño caùc goùc chæ giôùi haïn trong phaïm vi 0o <  < 90o maø khoâng coù goùc lôùn hôn.

- Kyõ thuaät 7 (tam giaùc thöôøng) laø veát cuûa kyõ thuaät 6 (tam giaùc thöôøng) trong TCTH tham chieáu.

Baûng 2.2: Thoáng keâ soá löôïng ví duï vaø baøi taäp trong SGK öùng vôùi

moãi kieåu nhieäm vuï cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc

Kieåu nhieäm vuï Soá löôïng ví duï Soá löôïng BT trong SGK

2 7 T1 (vieát, tính)

2 1 T2 (döïng goùc)

0 3 T3 (so saùnh)

0 1 T4 (chöùng minh)

3 4 T5 (tam giaùc vuoâng)

2 2 T6 (phuï nhau)

0 2 T7 (tam giaùc thöôøng)

Qua baûng thoáng keâ naøy, thì kieåu nhieäm vuï T1 vaø T5 ñöôïc öu tieân hôn. Ñaây chính laø yeâu caàu

cô baûn cuûa chöông: “Muïc ñích cuûa chöông naøy laø giaûi tam giaùc vuoâng khi bieát 2 caïnh hoaëc 1 caïnh

 Hình thaønh caùc coâng thöùc veà TSLG cuûa goùc nhoïn. Quan heä giöõa TSLG cuûa2 goùc phuï

vaø 1 goùc nhoïn. Chính vì vaäy, chöông naøy goàm caùc noäi dung sau:

 Töø ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn, xaây döïng caùc heä thöùc giöõa caïnh vaø goùc trong tam

nhau.

giaùc vuoâng… ñeå giaûi ñöôïc tam giaùc vuoâng”. Trích saùch giaùo vieân Toaùn 9 – Trang 9 –

NXB Giaùo duïc – 2005).

Phaàn nghieân cöùu baøi taäp sau ñaây seõ cho thaáy caùc TCTH ñaõ phaân tích trong phaàn lyù thuyeát

ñöôïc theå hieän nhö theá naøo trong phaàn naøy.

 Phaàn baøi taäp

Trong soá caùc baøi taäp cuûa phaàn löôïng giaùc trong tam giaùc cuûa saùch baøi taäp Toaùn 9 coù:

4 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T1 (vieát, tính)

1 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T2 (döïng goùc)

4 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T3 (so saùnh)

5 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T5 (tam giaùc vuoâng)

3 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T6 (phuï nhau)

 Ñoái vôùi T1(vieát, tính): Saùch baøi taäp coù ñöa ra moät caùch khaùc ñeå giaûi maø chuùng toâi taïm goïi ñoù

7 baøi thuoäc kieåu nhieäm vuï T7 (tam giaùc thöôøng)

laø kyõ thuaät

1’: Duøng caùc heä thöùc cô baûn

2

2

sin

cos

 

cot g

tg

 

 

1  

sin cos

 

1 tg 

; ; tg . cotg = 1;

Kyõ thuaät naøy theå hieän qua baøi 33 trang 94 (SBT)

Cho cos = 0,8. Tìm sin, tg, cotg.

 Ñoái vôùi T3 (so saùnh) thì saùch baøi taäp yeâu caàu khoâng duøng Baûng löôïng giaùc vaø MTBT ñeå

Ñaùp soá: sin = 0,6; tg = 0,75; cotg  1,3333

so saùnh, theå hieän qua caùc baøi taäp sau:

b) cos40o vaø cos75o d) sin50o vaø cos50o Baøi 45 trang 96 (SBT) Khoâng duøng baûng löôïng giaùc vaø MTBT, haõy so saùnh: a) sin25o vaø sin70o c) sin38o vaø cos38o

b) cotg14o vaø cotg35o12’ d) tg65o vaø cotg65o Baøi 46 trang 96 (SBT) Khoâng duøng baûng löôïng giaùc veà MTBT, haõy so saùnh. a) tg50o28’ vaø tg63o c) tg27o vaø cotg27o

 Giaùo vieân coù nhieäm vuï giaûi thích ñeå hoïc sinh thaáy ñöôïc tính ñoàng bieán cuûa sin  vaø

b) cotg42o vaø cos42o d) tg32o vaø cos58o Baøi 48 trang 96 (SBT) Khoâng duøng baûng löôïng giaùc veà MTBT, haõy so saùnh. a) tg28o vaø sin28o c) cotg73o sin17o

nghòch bieán cuûa cos khi  taêng töø 0o ñeán 90o.

 Hoïc sinh coù nhieäm vuï hoaëc laø so saùnh cuøng 1 TSLG cuûa 2 goùc ;  hoaëc duøng ñònh lyù

Nhö vaäy moät laàn nöõa laïi theå hieän quy taéc R2 cuûa hôïp ñoàng didactic.

tg

1)

cot g

 

(0 cos 

 

 

(0 sin 

moái quan heä cuûa 2 goùc phuï nhau ñeå ñöa veà cuøng 1 TSLG hoaëc ñaùnh giaù thoâng qua heä

1)  

sin cos

cos sin

 

 

; thöùc cô baûn

- Ñoái vôùi T7 (tam giaùc thöôøng). Trong saùch baøi taäp coù 7 baøi yeâu caàu tính toaùn caïnh, goùc trong

tam giaùc thöôøng vôùi kyõ thuaät vaãn trình baøy gioáng SGK, nhöng soá löôïng baøi taäp taêng raát nhieàu. Phaûi

chaêng ñaây laø böôùc ñeäm, chuaån bò cho hoïc sinh laøm quen vôùi giaûi tam giaùc thöôøng ôû lôùp 10.

Sô ñoà 2.1: Ñoái chieáu giöõa TCTH tham chieáu vaø TCTH caàn giaûng daïy cuûa löôïng giaùc trong tam

giaùc

TCTH caàn giaûng daïy TCTH tham chieáu

T2 (tính giaù trò) T1 (vieát, tính)

T2 (döïng goùc) T3 (döïng goùc)

T3 (so saùnh)

T4 chöùng minh

T5 (tam giaùc vuoâng) T5 (tam giaùc vuoâng)

T1 (chuyeån, ñoåi) T6 (Phuï nhau)

T6 (tam giaùc thöôøng) T7 (tam giaùc thöôøng)

2.3. Löôïng giaùc trong ñöôøng troøn (vôùi 0o ≤  ≤ 180o)

ÔÛ lôùp 9 hoïc sinh ñaõ ñöôïc laøm quen vôùi TSLG cuûa goùc nhoïn, gaén vôùi noù laø giaûi tam giaùc

vuoâng. Leân lôùp 10, trong phaàn hình hoïc, moät kieán thöùc môùi ñöôïc ñöa vaøo ñoù laø “Tích voâ höôùng cuûa 2 veùctô” maø ñònh nghóa naøy laïi phuï thuoäc cosin cuûa goùc giöõa 2 vectô (goùc giöõa 2 vectô coù soá ño  [0o, 180o]).

Nhö vaäy, töø goùc nhoïn, giôø ñaây hoïc sinh ñaõ laøm quen vôùi caùc goùc coù soá ño  [0o; 180o] ñöôïc

ñöa vaøo ngay baøi ñaàu tieân cuûa chöông 2: Tích voâ höôùng cuûa 2 vectô vaø öùng duïng, vôùi muïc ñích seõ

 Tröôùc khi vaøo phaân tích TCTH lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn, chuùng toâi löôùt qua

söû duïng caùc GTLG cuûa goùc  trong 1 soá tính toaùn caàn thieát.

 Ñieåm khaùc bieät ñaàu tieân laø teân goïi

caùch xaây döïng ñònh nghóa giaù trò löôïng giaùc (GTLG) cuûa goùc [0o, 180o].

Vôùi goùc  nhoïn thì sin, cos, tg, cotg ñöôïc goïi laø caùc TSLG cuûa goùc , bôûi ñònh nghóa naøy ñi

 Trong SGK hình hoïc lôùp 10, soá ño cuûa goùc  ñöôïc môû roäng ra [0o, 180o] ñoàng thôøi ñeå chuaån

lieàn vôùi noù laø caùc “tæ soá” giöõa caùc caïnh trong moät tam giaùc vuoâng.

bò cho hoïc sinh hoïc caùc haøm soá löôïng giaùc ôû lôùp 11 thì giôø ñaây sin , cos , tan, cot  ñöôïc goïi

laø giaù trò löôïng giaùc cuûa goùc .

Vieäc hình thaønh khaùi nieäm toaï ñoä cuûa ñieåm treân ñöôøng thaúng vaø trong maët phaúng laø moät dòp

ngaàm hình thaønh cho hoïc sinh coù söï töông öùng 1-1 giöõa taäp hôïp caùc ñieåm M (x, y) vôùi taäp hôïp soá

thöïc R.

Treân cô sôû khaùi nieäm toaï ñoä cuûa ñieåm trong maët phaúng, SGK

(GTLG) cuûa

y 1 hình hoïc lôùp 10 ñaõ xaây döïng ñònh nghóa giaù trò löôïng giaùc goùc  [0o, 180o] nhö sau: M (x,y) y “Trong heä toaï ñoä Oxy vaø nöûa ñöôøng troøn ñôn vò, cho tröôùc 1

(cid:0)MOX  

goùc nhoïn  thì ta xaùc ñònh ñöôïc duy nhaát 1 ñieåm M (x,y) treân O -1 x 1 x nöûa ñöôøng troøn ñôn vò sao cho ”

(cid:0)M OX  

ta xaùc ñònh Ñònh nghóa: Vôùi moãi goùc  (0o    180o),

ñieåm M treân nöûa ñöôøng troøn ñôn vò sao cho

Giaû söû ñieåm M (x,y). Khi ñoù:

y x

sin = y tan = vôùi (x 0) ; ;

x y

cos = x cot = vôùi (y 0) ; ;

caùc giaù trò sin, cos, tan goïi laø caùc giaù trò löôïng giaùc cuûa goùc .

Nhö vaäy:



sin x co s x

cos x sin x

sin = y; cos = x; tan ; cot = x y

 Trong ñònh nghóa TSLG cuûa goùc  nhoïn, ta ñaõ bieát caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa 1 goùc nhoïn

Nhaän xeùt:

khoâng phuï thuoäc vaøo töøng tam giaùc vuoâng coù 1 goùc baèng goùc nhoïn ñaõ cho, maø chæ phuï

 Trong ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  (0o    180o ) ñaõ ñaët goùc  vaøo trong heä toaï ñoä vôùi

thuoäc vaøo ñoä lôùn cuûa goùc nhoïn naøy.

nöûa ñöôøng troøn ñôn vò, vieäc ñöa khaùi nieäm ñöôøng troøn ñôn vò vaøo ñaây laø 1 söï keá thöøa

ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn  (treân cô sôû TSLG cuûa goùc  nhoïn khoâng phuï thuoäc vò

trí ñieåm M, neân ta coù quyeàn choïn OM = 1).

 Vaán ñeà TSLG cuûa goùc nhoïn  khoâng phuï thuoäc vò trí ñieåm M laø cô sôû giaûi thích taïi sao

Nhö vaäy:

 Hôn theá nöõa trong ñònh nghóa naøy neáu  laø goùc nhoïn thì GTLG naøy chính laø TSLG cuûa

trong ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  laïi choïn OM = 1 vaø ñöa nöûa ñöôøng troøn ñôn vò vaøo.

 Moät ñieåm caàn

goùc nhoïn  maø hoïc sinh ñaõ ñöôïc hoïc töø lôùp 9.

sin cos

 

löu yù laø giôø ñaây SGK laïi ñònh nghóa tan = ;

cos sin

 

cotg = ; sin  = y, cos = x. Töùc laø sin, cos ñöôïc tính thoâng qua toïa ñoä cuûa

ñieåm M, coøn tan vaø cotg ñònh nghóa thoâng qua sin vaø cos. Khi ñieåm M chaïy khaép

 Vôùi ñònh nghóa naøy thì 0 ≤ sin ≤1; -1 ≤ cos ≤1 coù nghóa laø giôø ñaây cos coù theå mang

ñöôøng troøn löôïng giaùc, luùc aáy vieäc môû roäng ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  ñöôïc thuaän tieän.

daáu aâm.

Trong SGK hình hoïc lôùp 10. Chuùng toâi thaáy coù theå coù nhöõng kieåu nhieäm vuï sau: T1 (tìm): Tìm caùc GTLG cuûa goùc  ñaëc bieät (0o ≤  ≤ 180o)

T2 (daáu): Xaùc ñònh daáu cuûa caùc GTLG.

T3 (tam giaùc thöôøng): Giaûi tam giaùc thöôøng

Sau ñaây laø phaàn phaân tích caùc TCTH coù maët trong lyù thuyeát cuûa SGK hình hoïc 10.

 Phaàn lyù thuyeát

(cid:0)MOx

2.3.1. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán caùc kieåu nhieäm vuï T1 (tìm): Tìm caùc GTLG cuûa goùc  ñaëc bieät (0o ≤  ≤ 180o).

1:

- Xaùc ñònh toïa ñoä ñieåm M (x,y) treân nöûa ñöôøng troøn ñôn vò sao cho goùc = 

y x

- Duøng ñònh nghóa GTLG cuûa goùc , ta coù sin  = y; cos = x, tan = (x≠0),

x y

1:

cotg = (y≠0)

 Söï töông öùng 1–1 giöõa ñieåm M(x,y) treân nöûa ñöôøng troøn ñôn vò vôùi 1 soá thöïc  sao cho sñ

(cid:0)MOx = .

 Duøng ñònh nghóa GTLG cuûa goùc , ta coù

y x

x y

1:

(x≠0), cotg = (y≠0) sin = y; cos = x, tan =

– Caùc nhaän xeùt veà söï töông öùng 1–1 giöõa 1 ñieåm M(x,y) treân nöûa ñöôøng troøn ñôn vò vôùi 1 soá

thöïc  sao cho sñ (cid:0)MOx =.

– Caùc chöùng minh, caùc heä thöùc veà 2 tam giaùc vuoâng ñoàng daïng.

Nhaän xeùt: Kieåu nhieäm vuï naøy ñöôïc ñöa vaøo ngay sau ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  nhö laø ñeå vaän duïng ñònh nghóa vaø thöïc haønh tính toaùn. Ñaây laø goùc tuø (=135o). Coøn ñoái vôùi goùc  nhoïn thì

SGK khoâng ñeà caäp qua baát kyø ví duï naøo vaø coi ñaây laø kieán thöùc ñaõ bieát neân khoâng nhaéc laïi.

ÔÛ lôùp 9 vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc, hoïc sinh ñaõ laøm quen vôùi coâng thöùc lieân heä giöõa caùc

TSLG cuûa 2 goùc phuï nhau vôùi coâng thöùc aáy hoïc sinh seõ tính ñöôïc TSLG cuûa 1 goùc neáu bieát TSLG cuûa goùc phuï vôùi noù, nhö vaäy hoïc sinh seõ tính toaùn ñöôïc TSLG cuûa goùc  trong giôùi haïn 0o <  < 90o.

Sang phaàn hình hoïc cuûa lôùp 10, thoâng qua baøi GTLG cuûa goùc  (0o ≤  ≤ 180o), hoïc sinh seõ tính toaùn ñöôïc GTLG cuûa goùc  (vôùi 0o ≤  ≤ 180o). Giaûi thích cho ñieàu naøy saùch “Taøi lieäu boài döôõng giaùo

vieân thöïc hieän chöông trình, SGK Lôùp 10 THPT moân Toaùn” NXBGD 2006 noùi roõ: “Sôû dó vaán ñeà ñöôïc trình baøy moät caùch toái thieåu nhö vaäy vì ta chæ caàn khaùi nieäm cos, vôùi 0o ≤  ≤ 180o ñeå coù theå

 Baûng GTLG cuûa 1 soá goùc ñaëc bieät hoïc sinh ñöôïc tieáp caän thoâng qua GTLG cuûa 2 goùc buø

ñònh nghóa ñöôïc tích voâ höôùng cuûa 2 vectô. Nhö vaäy ôû ñaây chuùng toâi thaáy coù moät söï giaùn ñoaïn khoâng lieân tuïc trong vieäc tính TSLG cuûa goùc  (luùc ñaàu laø goùc  nhoïn, tieáp theo laø 0o ≤  ≤ 180o).

 Kyõ thuaät 1 (Tìm) laø veát cuûa kyõ thuaät 3 (Tính GTHSLG) trong TCTH tham chieáu.

nhau, coøn GTLG cuûa caùc goùc 0o, 90o, 180o phaûi tính tröïc tieáp.

2.3.2. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï

T2 (daáu): Xaùc ñònh daáu cuûa caùc GTLG

Ñaây laø moät kieåu nhieäm vuï hoaøn toaøn môùi ñoái vôùi hoïc sinh, bôûi leõ TSLG cuûa goùc  nhoïn

ñöôïc ñònh nghóa döïa treân tæ soá ñoä daøi caùc caïnh trong 1 tam giaùc vuoâng, do ñoù caùc TSLG naøy luoân

mang daáu döông.

Trong ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  (0o ≤  ≤ 180o) thì sin; cos ñöôïc ñònh nghóa thoâng qua

toïa ñoä cuûa ñieåm M (x, y) treân nöûa ñöôøng troøn ñôn vò, trong maët phaúng toïa ñoä neân cos seõ ñoåi daáu,

keùo theo tan vaø cot cuøng ñoåi daáu. Nhöng kieåu nhieäm vuï naøy xuaát hieän raát môø nhaït trong phaàn lyù

thuyeát thoâng qua.

Hoaït ñoäng 2 trang 41 (SGK)

2 (daáu):

 Xaùc ñònh ñieåm M treân nöûa ñöôøng troøn ñôn vò trong maët phaúng toïa ñoä sao cho (cid:0)MOx   .

Vôùi goùc naøo thì sin < 0? Vôùi caùc goùc  naøo thì cos < 0?

 Döïa vaøo ñònh nghóa GTLG cuûa goùc , ta coù keát luaän veà daáu cuûa GTLG .

Giaû söû M (x, y).

Kyõ thuaät naøy khoâng laø veát cuûa kyõ thuaät naøo trong TCTH tham chieáu.

Sôû dó coù ñieàu naøy laø do trong giaùo trình tham khaûo ñeå tìm kieám caùc TCTH tham chieáu ôû

phaàn ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc, giaùo trình ñaõ neâu roõ: “Neáu bieát giaù trò cuûa goùc  thì coù theå xaùc

ñònh ñöôïc daáu cuûa cos, sin, tan, cot döïa vaøo vò trí cuûa ñieåm M treân ñöôøng troøn ñôn vò trong

maët phaúng toïa ñoä”.

3 (daáu): Ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  (0o ≤  ≤ 180o)

Coâng ngheä giaûi thích cho kyõ thuaät 3 (daáu) laø:

Ngoaøi hoaït ñoäng 2 trang 41 (SGK) noùi veà daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc  ra, chuùng toâi khoâng

thaáy kieåu nhieäm vuï naøy xuaát hieän ôû ñaâu nöõa trong phaàn lyù thuyeát vaø baøi taäp cuûa SGK hình hoïc 10.

Lieäu SGK ít ñeà caäp ñeán phaàn daáu cuûa GTLG thì hoïc sinh coù gaëp khoù khaên gì trong quaù trình giaûi

toaùn hay khoâng? Chuùng toâi seõ traû lôøi caâu hoûi naøy ôû phaàn sau.

Trong baøi chöùng minh caùc coâng thöùc: a) sin2 + cos2 = 1

1 2 cos 

2

1 cot 

 

b) 1 + tan2 = ( ≠ 90o)

1 2 sin



(0o ≤  ≤ 180o) c)

Coâng thöùc thöù nhaát ñöôïc chöùng minh trong tröôøng hôïp goùc tuø (vì neáu  laø goùc nhoïn thì ñaõ

chöùng minh ôû lôùp 9). Vaø söû duïng tính chaát 2 goùc buø nhau ñeå ñöa veà goùc nhoïn.

Chöùng minh 2 coâng thöùc coøn laïi döïa vaøo coâng thöùc thöù nhaát vöøa chöùng minh. Nhö vaäy, coâng thöùc sin2 + cos2 = 1 baây giôø ñaõ ñuùng cho 0o ≤  ≤ 180o.

Trong saùch baøi taäp Hình 10. ÔÛ phaàn GTLG cuûa goùc  (0o ≤  ≤ 180o) coù moät baøi lieân quan ñeán tính giaù trò cuûa bieåu thöùc;

trong ñoù soá ño caùc goùc laø khoâng ñaëc bieät, caâu traû lôøi laø döïa vaøo tính chaát 2 goùc buø nhau, 2 goùc phuï

nhau.

Coù 3 baøi lieân quan ñeán vaän duïng heä thöùc cô baûn ñeå tính toaùn:

Nhö vaäy, trong phaàn GTLG cuûa 1 goùc, SGK vaø SBT hình 10 ñaõ ñeà caäp ñeán caùc daïng goùc, ñaëc

bieät vaø khoâng ñaëc bieät, ñoàng thôøi cuõng tieáp caän luoân vaán ñeà daáu cuûa caùc GTLG; trong ñoù coù 1 baøi taäp

ñaõ noùi ñöôïc cuøng 1 giaù trò sin > 0 thì coù 2 soá ño goùc   [0o, 180o] thoaû maõn giaù trò ñoù (Baøi soá 3 trang

38) (SBT hình 10).

2.3.3. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T3 (tam giaùc thöôøng): Giaûi tam giaùc

thöôøng

Phaàn naøy ñaõ ñöôïc Nghieâm Thò Xoa nghieân cöùu vaø trình baøy trong luaän vaên “Maùy tính boû tuùi

vaø löôïng giaùc trong daïy hoïc chuû ñeà “Giaûi tam giaùc”. Vì theá, trong phaàn naøy, chuùng toâi seõ toùm taét

nhöõng keát quaû maø taùc giaû Nghieâm Thò Xoa ñaõ nghieân cöùu ñeå boå sung vaø laøm roõ hôn troïng taâm

nghieân cöùu luaän vaên cuûa mình.

“Sau khi ñöôïc trang bò theâm GTLG cuûa goùc  (0o ≤  ≤ 180o) thì hoïc sinh ñaõ tính ñöôïc goùc,

 Ñònh lyù coâsin.

 Ñònh lyù sin.

 Keát hôïp caû ñònh lyù sin vaø ñònh lyù cosin.

caïnh cuûa tam giaùc thöôøng baèng:

 Soá ño cuûa 1 goùc ñöôïc suy ra töø giaù trò sin cuûa goùc ñoù luoân nhoû hôn 90o.

 Khoâng coù söï kieåm chöùng veà söï toàn taïi cuûa tam giaùc tìm ñöôïc”.

Taùc giaû ñaõ tìm ñöôïc 2 quy taéc hôïp ñoàng didactic trong phaàn naøy laø:

 TSLG cuûa goùc nhoïn ñaõ laøm giaùn ñoaïn vieäc giaûi tam giaùc (hoïc sinh khoâng giaûi tam giaùc

Sau ñaây laø nhöõng ghi nhaän cuûa chuùng toâi.

thöôøng tröïc tieáp ñöôïc) vaø chæ tìm ñöôïc caùc TSLG cuûa goùc nhoïn maø thoâi (Hoïc sinh

 Ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  (0o ≤  ≤ 180o) laø “caàu noái” ñeå chuyeån töø TSLG cuûa goùc

khoâng coù coâng cuï ñeå laøm vieäc vôùi caùc goùc coù soá ño lôùn hôn).

 Quaù trình chöùng minh ñònh lyù sin, SGK ñaõ keá thöøa heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng

nhoïn sang GTLG cuûa goùc  baát kyø.

(maø thöïc teá laø TSLG cuûa goùc nhoïn). Hay noùi chính xaùc laø SGK ñaõ vaän duïng caùc TSLG

cuûa goùc nhoïn vaøo chöùng minh ñònh lyù sin.

Baây giôø chuùng toâi seõ phaân tích tieáp löôïng giaùc trong ñöôøng troøn ñöôïc theå hieän ôû chöông VI

cuûa SGK Ñaïi soá 10. Chuùng toâi chæ tieán haønh phaân tích, caùc TCTH lieân quan ñeán nhöõng kieåu nhieäm

vuï theå hieän yeáu toá keá thöøa hoaëc giaùn ñoaïn töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong

ñöôøng troøn.

2.4. Löôïng giaùc trong ñöôøng troøn (vôùi  baát kyø) Töø TSLG cuûa goùc nhoïn (0o <  < 90o), môû roäng ra laø GTLG cuûa goùc hình hoïc  (0o ≤  ≤ 180o) nhôø nöûa ñöôøng troøn ñôn vò trong saùch Hình hoïc 10 naâng cao. Sau ñoù trong SGK Ñaïi soá 10

naâng cao laïi môû roäng GTLG cuûa goùc hình hoïc thaønh GTLG cuûa goùc löôïng giaùc  (cung löôïng giaùc

), ngöôøi ta caàn ñeán ñöôøng troøn löôïng giaùc vaø heä toaï ñoä vuoâng goùc gaén vôùi noù.

SGK ñaïi soá 10 naâng cao ñaõ ñònh nghóa caùc GTLG cuûa goùc löôïng giaùc (cung löôïng giaùc) nhö

sau:

Vôùi moãi goùc löôïng giaùc (Ou; Ov) coù soá ño , ta laáy ñieåm M treân ñöôøng troøn löôïng giaùc sao

AM cho = .

 sin (Ou, Ov) = sin = y (Tung ñoä cuûa M)

 cos (Ou, Ov) = cos = x (Hoaønh ñoä cuûa M)

(

 

 



Goïi M (x; y)

k ; k Z) 

 2

sin cos

 

(

k ;   

 cot (Ou, Ov) = cot =

) k Z 

cos sin

 

tan (Ou, Ov) = tan =

Nhö vaäy:

Ñònh nghóa GTLG cuûa goùc löôïng giaùc ñaõ keá thöøa ñònh nghóa GTLG cuûa goùc hình hoïc. Ñònh

nghóa naøy mang tính chaát tröïc quan moâ taû.

Chuùng ta nhìn laïi ñònh nghóa naøy trong töøng giai ñoaïn. Giai ñoaïn 1: Ñònh nghóa TSLG cuûa goùc nhoïn  (0o <  < 90o) Giai ñoaïn 2: Ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  (0o    180o)

Giai ñoaïn 3: Ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  ( baát kyø)

Ñeå thaáy raèng vieäc môû roäng soá ño cuûa goùc  trong moãi ñònh nghóa treân laø hôïp lyù vaø ñi ñoâi vôùi noù

laø möùc ñoä phöùc taïp cuûa caùc ñònh nghóa naøy cuõng taêng daàn leân.

Caû 3 giai ñoaïn cuûa ñònh nghóa naøy ñeàu xoay quanh vaán ñeà ñònh nghóa sin, cos, tan, cot

qua ñoù theå hieän roõ löôïng giaùc ñöôïc giaûng daïy trong moät soá giai ñoaïn ôû baäc phoå thoâng coù tính chaát

ñoàng taâm, lôùp tröôùc hoïc, lôùp sau cuõng hoïc nhöng chieàu saâu vaø chieàu roäng taêng leân, kieán thöùc ôû lôùp

tröôùc hoã trôï cho kieán thöùc ôû lôùp sau, ngöôïc laïi kieán thöùc ôû lôùp sau giaûi thích roõ caùc vaán ñeà ôû lôùp

döôùi ñaõ hoïc.

 Ñònh nghóa ôû giai ñoaïn 2 ñuùng cho tröôøng hôïp ôû giai ñoaïn 1.

 Ñònh nghóa ôû giai ñoaïn 3 laïi ñuùng luoân cho caû 2 giai ñoaïn tröôùc ñoù.

Trong 3 ñònh nghóa cuûa 3 giai ñoaïn treân thì

Hay noùi caùch khaùc vôùi ñònh nghóa sin, cos, tan, cot ôû giai ñoaïn 3 coù theå giaûi quyeát

ñöôïc haàu heát caùc vaán ñeà cuûa löôïng giaùc xoay quanh sin, cos, tan, cot. Vaäy taïi sao SGK

vaãn phaûi ñi voøng qua ñònh nghóa cho giai ñoaïn 1, giai ñoaïn 2 roài môùi ñeán giai ñoaïn 3.

Chuùng toâi giaûi thích ñieàu naøy nhö sau:

Thöù nhaát:

 Heä toaï ñoä vuoâng goùc.

 Söï töông öùng giöõa 1 soá thöïc  vôùi 1 ñieåm M (x, y) treân ñöôøng troøn löôïng giaùc.

Ñeå ñi ñeán ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  baát kyø hoïc sinh phaûi ñöôïc trang bò caùc kieán thöùc sau:

 Môû roäng goùc hình hoïc ra thaønh goùc löôïng giaùc maø hoïc sinh ôû lôùp 9 thì khoâng theå moät luùc

ñoàng thôøi ñoùn nhaän khoái kieán thöùc lôùn nhö vaäy.

Thöù hai:

Sôû dó phaûi qua 2 giai ñoaïn 1 vaø 2 bôûi leõ kieán thöùc löôïng giaùc ñöa vaøo ôû moãi giai ñoaïn ñaõ giaûi

quyeát thoaû ñaùng cho caùc yeâu caàu theo sau noù. Hay noùi caùch khaùc laø löôïng giaùc ñaõ ñoùng vai troø laø

coâng cuï ñeå giaûi quyeát cho “lôùp” baøi toaùn theo sau:

 TSLG cuûa goùc nhoïn: Giaûi quyeát loaïi toaùn giaûi tam giaùc vuoâng.  GTLG cuûa goùc   [0o; 180o]: Giaûi quyeát ñöôïc daïng toaùn lieân quan ñeán tích voâ höôùng

Ví duï:

 GTLG cuûa goùc  baát kyø: Giaûi quyeát caùc daïng toaùn lieân quan ñeán coâng thöùc löôïng giaùc,

cuûa 2 veùctô vaø giaûi tam giaùc thöôøng.

haøm soá löôïng giaùc, phöông trình löôïng giaùc…

Nhö vaäy, vieäc ñöa kieán thöùc vaøo thôøi ñieåm naøo laø voâ cuøng quan troïng bôûi leõ: “Moät khaùi

nieäm môùi chæ ñöôïc tieáp nhaän 1 caùch coù hieäu quaû khi noù ñöôïc ñöa vaøo ñuùng choã, ñuùng luùc, vì ñöa ra

sôùm quaù thì khoâng gaén ñöôïc vôùi caùc khaùi nieäm khaùc, hoïc sinh seõ choùng queân, do chöa thaáy ngay

nhöõng öùng duïng cuûa khaùi nieäm môùi”. (Trích taøi lieäu boài döôõng daïy SGK lôùp 11 CCGD - Boä GD vaø

ÑT – Vuï giaùo vieân – 1991).

Neáu ñònh nghóa TSLG cuûa goùc  nhoïn laø neàn taûng cô sôû cho GTLG cuûa goùc  vôùi   [0o; 180o] thì GTLG cuûa  vôùi   [0o; 180o] laïi ñoùng vai troø trung gian, laø caàu noái ñeå chuyeån töø TSLG

cuûa goùc nhoïn sang GTLG cuûa goùc  baát kyø; ñoàng thôøi noù coøn laø “böôùc ñeäm” ñeå chuaån bò cho hoïc

sinh lôùp 11 hoïc Phöông trình löôïng giaùc, haøm soá löôïng giaùc…

Theo chuùng toâi coù theå coù nhöõng kieåu nhieäm vuï sau:

T1 (Tính) : GTLG cuûa goùc  coù soá ño ñaëc bieät.

T2 (Daáu): Xaùc ñònh daáu cuûa GTLG

T4 (Tính GTLG coøn laïi) : Tính caùc GTLG coøn laïi cuûa goùc  khi bieát moät GTLG cuûa noù.

T5 (Chöùng minh): Chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc

1 (Tính):

 Xaùc ñònh ñieåm M (x, y) treân ñöôøng troøn löôïng giaùc trong maët phaúng toaï ñoä sao cho

2.4.1. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï T1 (Tính): Tính GTLG cuûa goùc  coù soá ño ñaëc bieät1.

 Döïa vaøo ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  ñeå suy ra sin, cos, tan, cot.

sñ AM = .

1 Phaàn löôïng giaùc trong ñöôøng troøn (0o    180o) ñaõ coù 3 kieåu nhieäm vuï T1, T2, T3.Ñeå vieäc ñaùnh soá thöù töï caùc kieåu nhieäm vuï ñöôïc lieân tuïc thì nhöõng kieåu nhieäm vuï môùi cuûa löôïng giaùc trong ñöôøng troøn (vôùi  baát kyø) seõ ñöôïc ñaùnh soá tieáp theo laø T4, T5. Coøn nhöõng kieåu nhieäm vuï ñaõ coù trong phaàn 0o    180o, chuùng toâi xin ñöôïc laáy laïi caùc kyù hieäu ñaõ coù.

1 (Tính):

 Ñònh nghóa GTLG cuûa goùc .

 Töông öùng 1-1 giöõa soá thöïc  vôùi 1 ñieåm M (x, y) treân ñöôøng troøn löôïng giaùc sao

1 (Tính):

 Ñònh nghóa goùc löôïng giaùc, cung löôïng giaùc.

 Kyõ thuaät naøy ñöôïc theå hieän qua ví duï 1 trang 194 (SGK Ñaïi soá 10)

AM cho sñ = .

cos



y

1 2

   3 

  

1 2

a)

sin

 



 3

3 2

   3 

  



3 2

A O x

o

sin 225

 

y  M

2 2



2 2

o

cos 225

 

225o  O

b)

2 2



2 2

x

 M

Ñaây laø veát cuûa kyõ thuaät 3 (Tính GTHSLG)

  3 

  

; 225o laø goùc coù soá ño ñaëc bieät. Hôn nöõa, ñeå tìm toaï ñoä cuûa ñieåm M, Nhaän xeùt: Caùc goùc

SGK ñaõ söû duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng (töùc laø löôïng giaùc trong tam giaùc) ñeå tính ñoä daøi

caùc caïnh cuûa tam giaùc vuoâng. Bôûi vaäy ôû ñaây ñaõ coù 1 söï keá thöøa cuûa löôïng giaùc trong tam giaùc vaøo

löôïng giaùc cuûa ñöôøng troøn.

Trong daïng baøi taäp “Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT ñeå tính caùc GTLG cuûa goùc ” ñeàu coù

chung moät ñaëc ñieåm laø caùc goùc naøy coù soá ño laø goùc ñaëc bieät hoaëc coù theå bieán ñoåi ñöa veà caùc goùc

ñaëc bieät döïa vaøo boä coâng thöùc lieân heä giöõa caùc cung lieân keát (ñoái, buø, phuï…). Bôûi vaäy chuùng toâi ñaët

caâu hoûi: Neáu yeâu caàu tính GTLG cuûa  maø  khoâng laø goùc ñaëc bieät vaø cuõng khoâng lieân quan vôùi

goùc ñaëc bieät thì hoïc sinh öùng xöû nhö theá naøo. Do ñoù ôû ñaây chuùng toâi thaáy toàn taïi ngaàm aån moät quy

taéc cuûa hôïp ñoàng didactic ñoù laø:

R3: Tính caùc GTLG cuûa goùc  maø khoâng duøng baûng soá vaø MTBT thì  luoân coù soá ño ñaëc bieät

hoaëc coù lieân quan vôùi caùc goùc ñaëc bieät.

Töø ñoù phaân chia traùch nhieäm vaø nhieäm vuï cuûa giaùo vieân vaø hoïc sinh. Quy taéc naøy xuyeân

suoát caùc baøi taäp thuoäc daïng naøy trong SGK vaø SBT.

2.4.2. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï:

T4 (Tính GTLG coøn laïi):

4 (Tính GTLG coøn laïi)

Tính caùc GTLG coøn laïi cuûa goùc  khi bieát 1 GTLG cuûa noù.

2

2

2

2

sin

cos

;

;

 

 

1; 1 tan 

 

1 cot 

 

- Söû duïng caùc coâng thöùc lieân heä giöõa ñaïi löôïng ñaõ bieát vôùi ñaïi löôïng caàn tính

1 2 cos

1 2 sin





( tan.cot = 1)

4:

 Ñònh nghóa GTLG cuûa goùc (cung) löôïng giaùc.

 Kieåu nhieäm vuï naøy theå hieän qua:

- Söû duïng daáu cuûa caùc GTLG ñeå tìm keát quaû cuoái cuøng.



0.

    Haõy tìm cos, sin, bieát tan =

Ví duï 4 trang 199 (SGK Ñaïi soá 10)

5 2

 2

Cho ;

Tröôùc khi ñöa vaøo 2 ví duï naøy, SGK ñaõ ñöa ra caâu hoûi 4 vaø 5 lieân quan ñeán daáu cuûa GTLG

cuûa goùc .

H4: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc goác A, xeùt cung löôïng giaùc AM coù soá ño . Hoûi ñieåm M naèm

trong nöûa maët phaúng naøo thì cos > 0, cos < 0. Cuõng caâu hoûi ñoù cho sin.

H5: Hoûi ñieåm M naèm trong goùc phaàn tö naøo thì:

a) tan(OA, OM) > 0?

b) cot(OA, OM) < 0?

Nhö vaäy SGK ñaõ quan taâm ñeán phaàn daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc , nhöng SGK khoâng ñöa ra

baûng toùm taét daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc . Vaø vôùi chuù yù trong SGV laø: “neân nhaéc nhôû hoïc sinh laø neáu

caàn thì veõ heä toaï ñoä roài töø ñònh nghóa sin; cosin (nhôø toaï ñoä), suy ra daáu cuûa sin, cos, tan, cot ….

Nhaän xeùt:

Kyõ thuaät tìm GTLG cuûa goùc  khi bieát 1 GTLG cuûa noù ñaõ coù söï giaùn ñoaïn vaø keá thöøa nhö

 Vôùi TSLG cuûa goùc nhoïn, hoïc sinh chæ laøm vieäc vôùi goùc coù soá ño thuoäc (0o; 90o).  Vôùi GTLG cuûa goùc ,   [0o; 180o], hoïc sinh ñöôïc laøm vieäc vôùi goùc coù soá ño thuoäc [0o;

sau:

 Vôùi GTLG cuûa goùc  baát kyø, hoïc sinh ñaõ ñöôïc laøm vieäc vôùi goùc coù soá ño baát kyø.

180o].

Ngöôïc laïi: Moãi ñònh nghóa cuûa giai ñoaïn sau laïi laø söï keá thöøa vaø môû roäng cuûa ñònh nghóa

trong giai ñoaïn tröôùc noù.

Kyõ thuaät 4 (Tính GTLG coøn laïi) laø veát cuûa kyõ thuaät 4 (Tính GTLG coøn laïi) trong TCTH tham

chieáu.

Bôûi vaäy: Löôïng giaùc trong tam giaùc giöõ vai troø hoã trôï hoïc sinh khi hoïc löôïng giaùc trong

ñöôøng troøn.

Sau ñaây laø phaàn phaân tích caùc TCTH coù trong phaàn baøi taäp.

(Chuùng toâi chæ phaân tích caùc TCTH lieân quan ñeán yeáu toá giaùn ñoaïn hoaëc keá thöøa giöõa löôïng giaùc

trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn).

 Phaàn baøi taäp

Trong phaàn baøi taäp chuùng toâi thaáy xuaát hieän theâm kieåu nhieäm vuï T2(daáu): Xaùc ñònh daáu cuûa

GTLG.

2.4.3. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï:

T2 (daáu): Xaùc ñònh daáu cuûa GTLG

Trích lôøi giaûi trong SGV:

“Theo quy öôùc, khi giaûi nhöõng baøi taäp xeùt daáu cuûa GTLG nhö theá naøy, hoïc sinh khoâng ñöôïc

2 (daáu):

 Xaùc ñònh ñieåm cuoái M cuûa cung  treân ñöôøng troøn löôïng giaùc.

 Döïa vaøo ñònh nghóa GTLG cuûa  suy ra daáu cuûa caùc GTLG.

2 (daáu):

 Ñònh nghóa goùc löôïng giaùc, cung löôïng giaùc.

 Ñònh nghóa GTLG cuûa goùc  baát kyø.

duøng MTBT”.

.

Trong SGK ôû phaàn baøi taäp coù 3 baøi xaùc ñònh daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc (cung) löôïng giaùc

Ngoaøi nhöõng baøi yeâu caàu cuï theå xeùt daáu cuûa GTLG cuûa goùc  thì trong phaàn tìm GTLG cuûa

goùc  hoaëc tìm GTLG coøn laïi cuûa goùc  khi bieát 1 GTLG cuûa noù hoaëc trong phaàn chöùng minh ñaúng

thöùc löôïng giaùc vaãn duøng ñeán kyõ thuaät xeùt daáu GTLG cuûa  nhöng trong thöïc teá giaûng daïy, chuùng

toâi thaáy hoïc sinh hay maéc sai laàm veà daáu cuûa GTLG cuûa goùc . Do ñoù ôû ñaây chuùng toâi ñöa ra moät

giaû thuyeát nghieân cöùu laø :

“H2: Hoïc sinh ít quan taâm ñeán daáu cuûa GTLG cuûa goùc ”

Kyõ thuaät naøy khoâng laø veát cuûa kyõ thuaät naøo trong TCTH tham chieáu.

Trong SGK ôû phaàn baøi taäp, chuùng toâi thaáy coøn xuaát hieän 1 kieåu nhieäm vuï nöõa laø “Chöùng

minh ñaúng thöùc löôïng giaùc”.

2.4.4. Toå chöùc toaùn hoïc lieân quan ñeán kieåu nhieäm vuï.

T5: (Chöùng minh): Chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc.

5: Duøng caùc coâng thöùc ñaõ bieát vaø caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñaõ bieát, bieán ñoåi sao

5: - Caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông.

cho 2 veá baèng nhau.

- Caùc coâng thöùc löôïng giaùc, caùc ñònh lyù, tính chaát toaùn hoïc ñaõ bieát.

Phaàn baøi taäp cuûa SGK coù 15 baøi yeâu caàu chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc, caùc baøi naøy ñeàu

coù ñaëc ñieåm chung nhö sau:

Neáu ñaúng thöùc caàn chöùng minh ôû daïng phaân thöùc thì SGK ghi: “Khi caùc bieåu thöùc coù nghóa”

hoaëc “Maãu khaùc khoâng”.

Nhö vaäy hoïc sinh khoâng coù traùch nhieäm xem xeùt khi naøo bieåu thöùc coù nghóa, vaäy hoï coù “thoùi

quen” naøy khi gaëp baøi toaùn chöùng minh ñaúng thöùc coù hay khoâng?

Ñieàu ñoù coù aûnh höôûng gì trong quaù trình chöùng minh hay khoâng?

Tö töôûng naøy xuyeân suoát 15 baøi taäp trong SGK.

Trong taát caû caùc ví duï vaø baøi taäp chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng

giaùc trong ñöôøng troøn, thì SGK vaø SBT ñeàu ghi “Caùc bieåu thöùc coù nghóa” hoaëc “Maãu khaùc khoâng”.

Nhö vaäy hoïc sinh khoâng phaûi tìm ñieàu kieän coù nghóa cuûa ñaúng thöùc caàn chöùng minh. Töø thöïc teá aáy

ñaõ laøm cho hoïc sinh khoâng quan taâm ñeán ñieàu kieän coù nghóa cuûa ñaúng thöùc löôïng giaùc caàn chöùng

minh. Chuùng toâi seõ ñöa vaán ñeà naøy vaøo nghieân cöùu trong thöïc nghieäm döôùi giaû thuyeát nghieân cöùu.

H3: “Hoïc sinh khoâng quan taâm ñeán ñieàu kieän coù nghóa cuûa ñaúng thöùc

löôïng giaùc caàn chöùng minh”

Kyõ thuaät naøy laø veát cuûa kyõ thuaät 5 (chöùng minh ñaúng thöùc) trong TCTH tham chieáu.

Trong saùch baøi taäp, chuùng toâi khoâng thaáy xuaát hieän kieåu nhieäm vuï naøo khaùc nöõa.

Baûng 2.3: Thoáng keâ soá löôïng ví duï vaø baøi taäp ñoái vôùi töøng kieåu nhieäm vuï cuûa löôïng giaùc trong

ñöôøng troøn

Kieåu nhieäm

T1

T3 (Tam giaùc

T4 (Tính GTLG

T5 (chöùng minh

T2 (daáu)

vuï

(Tìm)

thöôøng)

coøn laïi)

ñaúng thöùc)

Soá löôïng

8

1

8

2

1

ví duï

Soá löôïng

3

3

5

8

25

baøi taäp

Qua baûng thoáng keâ treân chuùng toâi thaáy.

Kieåu nhieäm vuï T2 (daáu) ít ñöôïc öu tieân.

Kieåu nhieäm vuï T5 (chöùng minh ñaúng thöùc) ñöôïc öu tieân hôn.

Sô ñoà 2.2: Ñoái chieáu TCTH tham chieáu vôùi TCTH caàn giaûng daïy cuûa löôïng giaùc trong ñöôøng

TCTH tham chieáu

TCTH caàn giaûng daïy

T1 (chuyeån ñoåi)

T2 (X/ñ ñieåm cuoái B

T3 (Tính GT haøm soá LG)

T1 (Tìm). Tìm caùc GTLG cuûa goùc  ñaëc bieät

T4 ( Tính GTLG coøn laïi)

T4 (Tính GTLG coøn laïi)

T5 (Cm ñaúng thöùc)

T5 (Cm ñaúng thöùc)

T2 (daáu) X/ñ daáu

T3 (Tam giaùc thöôøng)

troøn.

 Kieåu nhieäm vuï T1(chuyeån ñoåi) vaø T2 (X/ñ ñieåm cuoái B) haàu nhö khoâng xuaát hieän ôû phaàn giaûng

Nhö vaäy qua baûng ñoái chieáu ôû treân chuùng toâi thaáy:

 Kieåu nhieäm vuï T2 (daáu) vaø T3 (tam giaùc thöôøng) coù maët ôû phaàn giaûng daïy laïi khoâng coù trong

daïy (neáu coù) thì raát môø nhaït.

TCTH tham chieáu.

Töø ñaây chuùng toâi thaáy coù söï “khaäp khieãng” giöõa chöông trình ñaøo taïo giaùo vieân vôùi chöông

trình giaûng daïy ôû baäc phoå thoâng trong kieán thöùc löôïng giaùc. Thöïc teá hieän nay haàu heát caùc tröôøng sö

phaïm khoâng giaûng daïy löôïng giaùc cho sinh vieân khoa Toaùn neáu coù thì raát ít, trong khi caùc tröôøng

ñaøo taïo kyõ sö thì söû duïng löôïng giaùc nhö moät coâng cuï hoã trôï trong chuyeân moân, chaúng haïn: Löôïng

giaùc ñöôïc vaän duïng trong vaät lyù, trong ño ñaïc traéc ñòa, trong thieân vaên…

Ñieàu naøy laøm cho sinh vieân khoa Toaùn noùi chung khoâng coù caùi nhìn toång theå löôïng giaùc töø

treân cao hoaëc khoâng so saùnh, ñoái chieáu ñöôïc giöõa kieán thöùc ñöôïc giaûng daïy ôû Ñaïi Hoïc vôùi kieán

thöùc ñöôïc giaûng daïy ôû phoå thoâng coù truøng khôùp hoaëc môû roäng hoaëc bò thu heïp khoâng?

Baûng 2.4: Ñoái chieáu söï coù maët cuûa caùc kieåu nhieäm vuï ôû löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng

giaùc trong ñöôøng troøn.

Nhoïn

Goùc 

0o   180o

 coù soá ño baát kyø

(Löôïng giaùc trong

(Löôïng giaùc

(Löôïng giaùc trong

ñöôøng troøn)

Kieåu nhieäm vuï

trong tam giaùc)

ñöôøng troøn)

Tính GTLG

X

X

X

Xeùt daáu

X

X

X

Giaûi tam giaùc vuoâng

X

Giaûi tam giaùc thöôøng

X

X

Tính GTLG coøn laïi khi bieát 1 GTLG

X

X

X

Döïng goùc  khi bieát 1 TSLG

X

So saùnh caùc GTLG

X

Chöùng minh heä thöùc cô baûn

X

Chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc

X

Chöông 3

NGHIEÂN CÖÙU THÖÏC NGHIEÄM

Qua phaân tích chöông trình vaø SGK Toaùn 9, SGK hình hoïc 10, SGK Ñaïi soá 10; chuû yeáu tìm

kieám söï giaùn ñoaïn hoaëc keá thöøa cuûa Löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn,

chuùng toâi ñöa ra 3 giaû thuyeát nghieân cöùu sau:

H1: Toàn taïi 3 quy taéc hôïp ñoàng didactic sau:

* Lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc.

R1 : Döïng goùc nhoïn  khi bieát 1 TSLG cuûa noù luoân cho:

 sin vaø cos laø soá thaäp phaân maø khi vieát döôùi daïng phaân soá phaûi coù daïng

a b

 N*; a < b  9).

(a, b

 tg

a b

vaø luoân cho laø phaân soá döông coù daïng ; cotg

(a, b  N*; a; b  9).

R2: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT luoân so saùnh ñöôïc caùc TSLG sau:  tan  vôùi sin ; 0o <  < 90o; tan  vôùi cos; ( +  = 90o).  cotg vôùi cos; 0o <  < 90o; cotg vôùi sin; ( +  = 90o).

Môû roäng quy taéc R2:

o

o



tan

; 0

90



;  





v íi

 cos



sin   

o

o



cot

; 0

90



;  

 

v íi

sin    cos  

Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT luoân so saùnh ñöôïc:

* Lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

R3: Tính GTLG cuûa goùc  maø khoâng duøng baûng soá vaø MTBT thì luoân cho  coù soá ño ñaëc

bieät hoaëc lieân quan vôùi goùc ñaëc bieät.

Ngoaøi ra, chuùng toâi ñöa theâm 2 giaû thuyeát nghieân cöùu nhö sau:

H2: Hoïc sinh ít quan taâm ñeán daáu cuûa GTLG cuûa .

H3: Hoïc sinh khoâng quan taâm ñeán ñieàu kieän coù nghóa cuûa ñaúng thöùc löôïng giaùc caàn chöùng

minh.

Ñeå kieåm chöùng giaû thuyeát naøy, chuùng toâi laøm thöïc nghieäm treân hai ñoái töôïng daïy hoïc laø

giaùo vieân vaø hoïc sinh. Ñoái vôùi GV chuùng toâi seõ tham khaûo yù kieán cuûa hoï qua boä caâu hoûi ñieàu tra

baèng phieáu, ñoái vôùi hoïc sinh chuùng toâi cho hoïc sinh laøm vieäc caù nhaân, traû lôøi caùc caâu hoûi maø chuùng

toâi neâu ra.

Döôùi ñaây laø phaàn trình baøy veà caùc thöïc nghieäm ñoù.

3.1. Thöïc nghieäm ñoái vôùi giaùo vieân

3.1.1. Phaân tích boä caâu hoûi giaùo vieân

 Nhoùm thöù nhaát: Caâu 1 vaø 2

Boä caâu hoûi ñöôïc chia thaønh 3 nhoùm.

1. Trong phaàn döïng goùc nhoïn  khi beát 1 TSLG cuûa noù, ngoaøi caùch duøng thöôùc coù khaéc vaïch

ñeå döïng goùc  thì thaày (coâ) coù höôùng daãn cho hoïc sinh döïng goùc  baèng caùch khaùc hay khoâng?

a. Coù

b. Khoâng

Neáu thaày (coâ) choïn “khoâng” thaày (coâ) xin vui loøng cho bieát lyù do….

Neáu thaày (coâ) choïn “coù” xin thaày (coâ) traû lôøi tieáp caâu hoûi döôùi ñaây

Thaày (coâ) ñaõ höôùng daãn theâm cho hoïc sinh nhöõng caùch naøo khi döïng goùc ? Xin thaày (coâ)

vui loøng keå ra….

2. Khi cho tröôùc 1 TSLG cuûa goùc nhoïn  vaø yeâu caàu döïng goùc aáy, thì Thaày (Coâ) cho sin,

cos, tg, cotg döôùi daïng soá nhö theá naøo?

a) Soá thaäp phaân

b) Soá höõu tæ

c) Soá nguyeân

d) Soá tuøy yù

Thaày (Coâ) choïn phöông aùn naøo trong caùc phöông aùn treân, xin Thaày (Coâ) vui loøng cho moät soá

ví duï cuï theå keøm theo vaø Thaày (Coâ) cho bieát lyù do maø Thaày (Coâ) choïn.

Ví duï:

 Nhoùm thöù 2: Caâu 3 vaø 4

; cos = ; tg = ; cotg = sin =

3. Neáu khoâng duøng MTBT vaø baûng soá ñeå so saùnh 2 TSLG.

* tan vôùi sin

* tan vôùi cos

* cot vôùi cos

* cot vôùi sin

Thì thaày (coâ) ñaõ höôùng daãn hoïc sinh laøm nhö theá naøo? Xin thaày (coâ) vui loøng keå ra.

4. Thaày (coâ) coù löu yù gì ñoái vôùi hoïc sinh veà soá ño caùc goùc ,  ôû treân hay khoâng?

a. Coù

b. Khoâng

Neáu thaày (coâ) choïn “khoâng”, xin thaày (coâ) vui loøng cho bieát lyù do

Neáu thaày (coâ) choïn “coù”, xin thaày (coâ) vui loøng cho bieát ñoù laø löu yù gì.

Phaàn so saùnh caùc TSLG vôùi nhau, trong SGK khoâng trình baøy cuï theå maø chæ nhaän xeùt. “Quan saùt caùc baûng noùi treân (baûng löôïng giaùc) ta thaáy” Khi goùc  taêng töø 0o ñeán 90o thì sin

vaø tan taêng coøn cos vaø cot giaûm”.

Bôûi vaäy thoâng qua hai caâu hoûi 3 vaø 4 chuùng toâi muoán tìm hieåu xem giaùo vieân ñaõ höôùng daãn

hoïc sinh tìm lôøi giaûi cho daïng toaùn so saùnh tan vôùi sin, tan vôùi cos; cot vôùi cos, cot vôùi

 Nhoùm thöù 3: Caâu 5, 6 vaø 7

sin maø ñieàu naøy khoâng ñöôïc trình baøy trong SGK vaø trong baûng soá.

5. Khi yeâu caàu hoïc sinh tính caùc GTLG cuûa goùc  maø khoâng cho duøng baûng soá vaø MTBT thì

Thaày (Coâ) thöôøng cho goùc  coù soá ño

a) Tuøy yù

b) Ñaëc bieät

c) Lieân quan ñaëc bieät

Thaày (Coâ) choïn phöông aùn naøo, xin Thaày (Coâ) vui loøng cho bieát lyù do.

6. Trong phaàn chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc, thaày (coâ) coù yeâu caàu hoïc sinh tìm ñieàu kieän ñeå

caùc bieåu thöùc coù nghóa tröôùc khi chöùng minh hay khoâng?

Xin thaày (coâ) vui loøng cho bieát lyù do.

7. Cho baøi toaùn:

x

 1





 4

 4

  

 x tan  

  

  

Chöùng minh raèng: tan

Sau ñaây laø moät soá lôøi giaûi cuûa moät soá hoïc sinh

Hoïc sinh A:

x





 4

 4

  

 x tan  

  

  

VT = tan

x

tan

x







 2

 4

 4

  

  

  

  

  

  

= tan

x

1 VP





 

 4

 4

 x tan  

  

  

  

= cot

Hoïc sinh B:

x





 4

 4

  

 x tan  

  

VT = tan   

tan

x



 2

   4 

  

  

  

x

cot

1   4 

  

=

cot

x

1 VP



 

  4 

  

x

cot

1   4 

  

=

Hoïc sinh C:

x





 4

 4

  

 x tan  

  

tan

tan

x

tan

tan

x





 4

 4

VT = tan   

tan

tan

x

x

1 tan 

1 tan 

 4

         

    

    

VP

1  

 4 x x = (1 tan ) (1 tan ) x (1 tan ) (1 tan ) x

 

 

=

Hoïc sinh D:

x





 4

 4

  

 x tan  

  

sin

x





VT = tan   

cos

x





 4  4

 4  4

     

 x sin    x cos  

     

     

cos 2x cos



 2

=

1 VP

 

cos

cos 2x



 2

=

Hoïc sinh E:

x





 4

 4

  

  

 x tan  

  

x





VT = tan

cos

x





 4  4

 4  4

     

 x sin    x cos  

     

     

sin cos x cos

sin x

sin cos x cos

sin x





= sin

cos

cos x sin sin x

cos

cos x sin sin x





 4  4

 4  4

 4  4

 4  4

     

     

     

2

2

2

sin

cos x cos

2 sin x



=

1 VP

 

2

2

2

cos

cos x sin

2 sin x



 4  4

 4  4

=

Thaày coâ haõy cho ñieåm caùc em hoïc sinh treân vôùi thang ñieåm 10 vaø vui loøng cho bieát lyù do

thaày coâ tröø ñieåm.

Baûng 3.1: Baûng chaám ñieåm hoïc sinh

Hoïc sinh Ñieåm Lyù do tröø ñieåm (hoaëc lyù do cho ñieåm cao)

A

B

C

D

E

Thoâng qua hai caâu hoûi 5 vaø 6, chuùng toâi tìm hieåu veà giaû thuyeát H3.

3.1.2. Phaân tích caâu traû lôøi thu ñöôïc:

a) Lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc.

Chuùng toâi ñaõ phaùt phieáu tham khaûo cho 20 giaùo vieân hieän ñang daïy Toaùn lôùp 9 cuûa TP. Hoà

Chí Minh. Trong ñoù:

6 GV Tröôøng Löông Theá Vinh – Quaän 1

5 GV Tröôøng Voõ Tröôøng Toaûn – Quaän 1

5 GV Tröôøng Traàn Vaên Ôn – Quaän 1

4 GV Tröôøng Ñieän Bieân – Quaän Bình Thaïnh

Caùc kyù hieäu G laø söï maõ hoaù theo thöù töï GV maø chuùng toâi tham khaûo yù kieán.

Caâu 1: Trong phaàn döïng goùc nhoïn  khi bieát 1 TSLG cuûa noù. Ngoaøi caùch duøng thöôùc coù

khaéc vaïch ñeå döïng goùc  thì thaày (coâ) coù höôùng daãn cho hoïc sinh döïng goùc  baèng caùch khaùc hay

khoâng?

Baûng 3.2: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 1

Ghi chuù Caâu 1 a b

Löông Theá Vinh 5 1

Voõ Tröôøng Toaûn 5

Traàn Vaên Ôn 5

Ñieän Bieân 4

Toång coäng 19 1

Baûng thoáng keâ cho thaáy coù 19/20 yù kieán coù daïy hoïc sinh caùch döïng goùc  baèng caùch khaùc. Coù

1/20 yù kieán cho raèng daïy theo ñuùng noäi dung maø SGK trình baøy.

- Trong soá 19 yù kieán coù höôùng daãn hoïc sinh döïng hình baèng caùch khaùc, hoï ñöa ra duøng duïng

cuï Compa. Hoaëc döïng tam giaùc vuoâng coù goùc nhoïn  thoaû TSLG nhö ñeà baøi.

Hoaëc döïng tam giaùc vuoâng khi bieát ñoä daøi 2 caïnh cuûa noù.

Caâu 2: Khi cho tröôùc 1 TSLG cuûa goùc nhoïn  vaø yeâu caàu döïng goùc aáy, thì thaày (coâ) cho

sin, cos, tan, cot döôùi daïng soá nhö theá naøo?

a) Soá thaäp phaân

b) Soá höõu tæ

c) Soá nguyeân

d) Soá tuøy yù

Baûng 3.3: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 2

Caâu 1 a b c d

Löông Theá Vinh 1 2 1 1

Voõ Tröôøng Toaûn 1 4 1

Traàn Vaên Ôn 1 3

Ñieän Bieân 1 4

Toång coäng 4 13 2 1

Baûng thoáng keâ cho thaáy 13/20 yù kieán choïn laø soá höõu tæ.

Lyù do:

G2: Ñeå thuaän lôïi cho hoïc sinh khi döïng caùc caïnh cuûa tam giaùc vuoâng.

;

;

 Coù 1/20: yù kieán cho caùc TSLG cuûa  laø caùc giaù trò

; 3;...

2 3

3 3

1 2 ; 2 2

G3: Ñaùp öùng yeâu caàu giaûm taûi vaø ñaûm baûo tính vöøa söùc cuûa hoïc sinh.

Vôùi lyù do töø caùc giaù trò ñaëc bieät, döïa vaøo baûng löôïng giaùc ñeå suy ra caùc goùc ñaëc bieät 30o, 45o,

 Coù 1/20 yù kieán choïn soá tuøy yù, nhöng trong ví duï keøm theo thì caùc giaù trò aáy laø:

60o…

1 2

1

; 0,6; 1;

1 2

…. Nhö vaäy theo GV naøy, “tuøy yù” coù nghóa laø soá höõu tæ hoaëc soá thaäp phaân, hoaëc soá

nguyeân hoaëc hoãn soá.

Ñieåm gioáng nhau trong haàu heát caùc caâu traû lôøi ôû phaàn cho ví duï keøm theo, GV thöôøng choïn

a b

hoaëc neáu ôû daïng soá thaäp phaân thì chæ coù 1chöõ soá ôû caùc giaù trò sin; cos; tan; cot coù daïng

phaàn thaäp phaân. Nhö vaäy chuùng toâi kieåm chöùng ñöôïc quy taéc.

 sin vaø cos laø soá thaäp phaân maø khi vieát döôùi daïng phaân soá phaûi coù daïng

R1: Döïng goùc nhoïn  khi bieát 1 TSLG cuûa noù luoân cho:

a b

; a, b  N*, a

 tan vaø cot luoân cho laø phaân soá döông daïng

< b  9.

a b

; a, b  N*, a; b  9



Caâu 3: Neáu khoâng duøng baûng soá vaø MTBT ñeå so saùnh hai TSLG.



tan vôùi sin



tan vôùi cos



cot vôùi cos

cot vôùi sin

Thì thaày coâ ñaõ höôùng daãn hoïc sinh laøm nhö theá naøo?

- Coù 16/20 yù kieán duøng coâng thöùc

tan

cot g

 

 

sin cos

cos sin

 

 

vaø

sin

 

- Coù 3/20 yù kieán duøng coâng thöùc

tan

 

®èi huyÒn ®èi kÒ

so saùnh 2 phaân soá cuøng töû ta quay veà so saùnh 2 maãu vôùi nhau. Vì huyeàn > keà neân sin < tan

cos

 

Töông töï:

cot

 

k Ò huyÒn k Ò ®èi

Laäp luaän töông töï, ta coù keát quaû cos < cot

- Coù 1/20 yù kieán (khoâng baùm vaøo noäi dung caâu hoûi) ñoù laø: “Phaàn naøy cho hoïc sinh tröôùc 1 tính chaát (thöøa nhaän) treân mieàn xaùc ñònh cuûa mình (0o <  < 90o) thì sin vaø tan laø nhöõng haøm soá

taêng, cos vaø cot laø nhöõng haøm soá giaûm.

Vaø duøng tính chaát 2 goùc phuï nhau

cos(90o - ) = sin … ñeå so saùnh

Caâu 4: Thaày (coâ) coù löu yù gì ñoái vôùi hoïc sinh veà soá ño caùc goùc ôû treân hay khoâng.

a) Coù

b) Khoâng

Neáu thaày coâ choïn “Khoâng”, xin thaày (coâ) cho bieát lyù do

Neáu thaày coâ choïn “Coù”, xin thaày (coâ) cho bieát ñoù laø: löu yù gì.

 Coù 16/20 yù kieán caàn löu yù laø so saùnh phaûi laø cuøng soá ño goùc, hoaëc phaûi laø 2 goùc phuï nhau.  Coù 2/20 yù kieán caàn löu yù laø soá ño caùc goùc   (0o, 90o).

 Coù 1/20 yù kieán cho raèng: “ÔÛ lôùp 9, hoïc sinh chæ hoïc  laø goùc nhoïn, ôû caáp 3,  khaùc goùc nhoïn

- Caû 20/20 yù kieán ñeàu choïn “coù” löu yù veà soá ño caùc goùc, trong ñoù:

 Coù 1/20 yù kieán ñöa ra löu yù hoïc sinh ñoù laø: “Neáu    maø ,  khoâng laø 2 goùc phuï nhau thì

thì TSLG coù theå coù giaù trò aâm”.

 Ví duï: So saùnh tan44o vaø sin43o

o

o

o

tan 44

sin 44







o sin 4 3

coù theå duøng phöông phaùp baéc caàu ñeå so saùnh.

o

sin 44 cos 44

Coù

Tuy nhieân phöông phaùp baéc caàu naøy khoâng phaûi luùc naøo cuõng thöïc hieän ñöôïc.

o

Ví duï: So saùnh cot25o vôùi sin75o

co

t 25

o cos 25





o cos 25 o sin 25

Khoâng so saùnh ñöôïc Vaø

Nhöng cos25o < cos15o

Suy ra cot25o > sin75o Tuy nhieân coøn caùch khaùc ñeå baéc caàu so saùnh nhö sau: cot25o > cot45o = 1 Maø 0 < sin75o < 1

 Ñoái vôùi caâu 3 vaø 4, lieân quan ñeán so saùnh 2 TSLG vôùi nhau maø khoâng duøng baûng soá vaø

Nhö vaäy:

 hoaëc laø 2 goùc phuï nhau. Tröôøng hôïp 2 goùc khaùc nhau vaø khoâng phuï nhau chæ coù moät GV

MTBT (caùc TSLG nhö ñaõ ñöa trong caâu hoûi) thì haàu heát GV ñeàu höôùng daãn ñöa veà cuøng goùc

ñöa theâm phöông phaùp baéc caàu ñeå so saùnh. Sôû dó giaùo vieân khoâng quan taâm ñeán phöông

 Do ñoù neáu khoâng duøng baûng soá vaø MTBT thì luoân so saùnh ñöôïc caùc TSLG.

phaùp baéc caàu vì trong SGK vaø SBT khoâng ñeà caäp ñeán 2 goùc naøy.

tan vôùi sin; tan vôùi cos; cot vôùi cos; cot vôùi sin

Trong ñoù coù theå cuøng goùc , hoaëc laø 2 goùc ,  phuï nhau hoaëc ,  laø goùc nhoïn tuøy yù.

Toùm laïi:

Keát quaû phaàn thöïc nghieäm ñoái vôùi GV daïy Toaùn lôùp 9 maø chuùng toâi phaân tích ôû treân cho

 Ngoaøi caùch duøng thöôùc coù khaéc vaïch ñeå döïng goùc nhoïn  khi bieát 1 TSLG cuûa noù thì haàu

thaáy:

heát GV ñeàu höôùng daãn HS theâm caùch khaùc (duøng compa vaø thöôùc thaúng) hoaëc döïng tam

 Khi yeâu caàu döïng goùc nhoïn  bieát tröôùc 1 TSLG cuûa noù thì caùc TSLG naøy phaàn lôùn ñöôïc

giaùc vuoâng khi bieát 2 caïnh cuûa noù ñeå döïng goùc nhoïn .

a b

a b

 Khi so saùnh 2 TSLG vôùi nhau maø khoâng duøng baûng soá vaø MTBT thì haàu nhö caùc GV ñeàu coù

cho döôùi daïng phaân soá hoaëc neáu soá thaäp phaân thì khi vieát döôùi daïng phaân soá coù daïng .

chung quan ñieåm laø ñöa veà so saùnh 2 TSLG cuûa cuøng goùc nhoïn  hoaëc ñöa 2 goùc phuï nhau

vaø so saùnh.

Nghóa laø quy taéc R1 vaø R2 ñaõ ñöôïc kieåm chöùng ôû GV.

Sau ñaây laø phaân tích caâu traû lôøi cuûa GV ñoái vôùi löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

b) Lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

Chuùng toâi ñaõ phaùt phieáu tham khaûo cho 22 giaùo vieân hieän ñang daïy Toùan lôùp 10 cuûa Tp. Hoà

Chí Minh. Trong ñoù:

8 GV Tröôøng THPT Tröng Vöông – Quaän 1.

7 GV Tröôøng THPT Marie-Curie – Quaän 3.

7 GV Tröôøng THPT Löông Theá Vinh – Quaän 1

Caùc kyù hieäu G laø söï maõ hoùa theo thöù töï GV maø chuùng toâi tham khaûo yù kieán.

Caâu 5: Khi yeâu caàu hoïc sinh tính caùc GTLG cuûa goùc  maø khoâng cho duøng baûng soá vaø

MTBT thì thaày (coâ) thöôøng cho goùc  coù soá ño.

a) Tuøy yù

b) Ñaëc bieät

c) Lieân quan ñaëc bieät

Thaày (coâ) choïn phöông aùn naøo, xin thaày (coâ) vui loøng cho bieát lyù do.

Baûng 3.4: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 5

Caâu 5 Ghi chuù b c a Tröôøng

2 6 Tröng Vöông

2 5 Marie-Curie

1 6 Löông Theá Vinh

5 17 Toång coäng

 17/22 yù kieán choïn phöông aùn c) (Cho  laø goùc coù lieân quan ñaëc bieät).

Baûng thoáng keâ cho thaáy coù:

Vôùi 1 soá lyù do chính nhö sau:

- Ñeå oân laïi caùc coâng thöùc cuûa cung lieân keát maø hoïc sinh hay bò laãn loän hoaëc bò queân.

- Ñeå khoâng coù sai soá khi thöïc hieän pheùp tính tieáp theo.

 5/22 yù kieán choïn phöông aùn b); (Cho  laø goùc coù soá ño ñaëc bieät) vôùi 1 soá lyù do nhö sau:

- Caùc goùc coù soá ño lieân quan ñaëc bieät laø kieán thöùc caên baûn neân hoïc sinh phaûi nhôù.

- Caùc soá ño ñaëc bieät laøm cho giaù trò cuûa haøm soá löôïng giaùc goïn, hoïc sinh deã nhôù döïa treân

ñöôøng troøn löôïng giaùc vaø tính toaùn goïn, coù ñaùp soá ñeïp.

G8: Thöïc hieän pheùp toaùn ñôn giaûn.

G2: OÂn taäp ñöôïc coâng thöùc caùc cung lieân keát.

Nhö vaäy, qua phieáu tham khaûo yù kieán Giaùo vieân chuùng toâi ñaõ kieåm chöùng ñöôïc quy taéc.

R3: “Tính GTLG cuûa goùc  maø khoâng duøng baûng soá vaø MTBT thì luoân cho  coù soá ño ñaëc

bieät hoaëc lieân quan vôùi goùc ñaëc bieät” laø toàn taïi.

Caâu 6: Trong löôïng giaùc, lieân quan ñeán daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc , theo thaày (coâ), hoïc

sinh ôû lôùp 10 coù hay maéc sai laàm khoâng?

a) Coù

b) Khoâng

 Neáu thaày (coâ) choïn “Khoâng”, xin thaày (coâ) vui loøng cho bieát lyù do…

 Neáu thaày (coâ) choïn “Coù”, xin thaày (coâ) vui loøng keå ra ñoù laø caùc sai laàm naøo? Hay gaëp caùc

c) Thænh thoaûng

sai laàm aáy trong tröôøng hôïp naøo?

Baûng 3.5: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 6

Caâu 6 Ghi chuù a b c

Tröôøng

Tröng Vöông 7 1

Marie-Curie 5 1 1

Löông Theá Vinh 5 1 2

2 4 Toång coäng 17

 17/22 yù kieán choïn phöông aùn a). Moät soá GV giaûi thích nhö sau:

Baûng thoáng keâ cho thaáy coù:

G4: Nhieàu hoïc sinh thuoäc coâng thöùc moät caùch maùy moùc maø khoâng hieåu, töø ñoù khoâng bieát

caùch vaän duïng coâng thöùc.

G2: Hoïc sinh hay sai veà daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc  khi vaän duïng caùc coâng thöùc cuûa cung

lieân keát trong tính toaùn, vaø chöùng minh.

G7: Do ôû lôùp 9 caùc TSLG cuûa goùc nhoïn  ñeàu döông, leân lôùp 10, phaàn naøo hoïc sinh coøn bò

aán töôïng quen thuoäc cuûa kieán thöùc cuõ ñaõ hoïc ôû lôùp 9.

G19: Daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc (cung)  phuï thuoäc vaøo ñieåm ngoïn M cuûa cung löôïng giaùc 

khi bieåu dieãn treân ñöôøng troøn löôïng giaùc thuoäc goùc phaàn tö naøo: nhöng hoïc sinh khoâng

 Coù 2/22 yù kieán choïn phöông aùn b)

ñeå yù ñeán ñieàu ñoù.

G2: Vì deã nhôù daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc  döïa vaøo heä truïc toaï ñoä Ñeàcaùc vaø ñònh nghóa GTLG

 Coù 3/22 yù kieán choïn phöông aùn c)

cuûa  hoaëc hoïc sinh duøng MTBT ñeå tính toaùn.

Theo caùc GV naøy thì hoïc sinh lôùp 10 “thænh thoaûng” môùi maéc sai laàm veà daáu cuûa caùc GTLG

cuûa goùc .

G15: Neáu cho  coù soá ño döông thì hoïc sinh ít bò sai laàm veà daáu cuûa caùc GTLG.

Neáu cho  coù soá ño aâm thì hoïc sinh deã maéc sai laàm veà daáu.

Theo GV naøy thì moät soá hoïc sinh cho raèng:

*)   (-2; -): Coù ñieåm ngoïn thuoäc cung phaàn tö thöù III vaø IV.

 Trong soá 3/22 yù kieán choïn phöông aùn c) thì coù 2 giaùo vieân khoâng ñöa ra lyù do giaûi thích…

*)   (-; 0): Coù ñieåm ngoïn thuoäc cung phaàn tö thöù I vaø II.

Nhö vaäy, chuùng toâi ñaõ kieåm chöùng ñöôïc giaû thuyeát nghieân cöùu.

H2: “Hoïc sinh ít quan taâm ñeán daáu cuûa GTLG cuûa ”.

Caâu 7: Trong phaàn chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc:

Thaày (coâ) coù yeâu caàu hoïc sinh tìm ñieàu kieän ñeå caùc bieåu thöùc coù nghóa tröôùc khi chöùng minh

khoâng?

a) Coù

b) Khoâng

c) Khoâng caàn thieát

Xin thaày (coâ) vui loøng cho bieát lyù do maø mình ñaõ choïn.

Baûng 3.6: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 7

Caâu 7 Ghi chuù a b c

Tröôøng

Tröng Vöông 2 3 3

Marie-Curie 1 3 3

Löông Theá Vinh 1 4 2

Toång coäng 4 10 8

 4/22 yù kieán choïn phöông aùn a). (Trong ñoù 2GV cuûa Tröng Vöông; 1GV cuûa Marie-Curie;

Baûng thoáng keâ cho thaáy coù:

1GV cuûa Löông Theá Vinh). Moät soá lyù do ñöa ra nhö sau:

G4: “Ñeå hoïc sinh naém ñöôïc taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá löôïng giaùc ñoàng thôøi naém theâm caùc

pheùp bieán ñoåi töông ñöông”.

 10/22 yù kieán choïn phöông aùn b). (khoâng caàn ñaët ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa khi chöùng

G15: “Phaûi ñaët ñieàu kieän coù nghóa ñeå ñi ñeán moät bieåu thöùc ñôn giaûn”.

minh ñaúng thöùc löôïng giaùc). Quan nieäm cuûa caùc giaùo vieân naøy laø:

G22: “Ñieàu kieän coù nghóa laø nhieäm vuï cuûa giaû thuyeát”.

G12: “Vì khi baøi toaùn yeâu caàu chöùng minh thì ñaúng thöùc ñoù phaûi ñöôïc xeùt ôû ñieàu kieän maø caùc

 8/22 yù kieán choïn phöông aùn c) (Khoâng caàn thieát phaûi ñaët ñieàu kieän coù nghóa). Moät soá lyù do

bieåu thöùc ñaõ coù nghóa”.

maø caùc GV naøy ñöa ra nhö sau:

G7: “Khi chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc, dó nhieân thaày coâ phaûi cho ñuùng, hoïc sinh chæ caàn

vaän duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông, caùc heä thöùc cô baûn, caùc heä quaû… ñeå chöùng

minh veá naøy thaønh caùc veá kia”.

G1: “Chæ caàn tìm ñieàu kieän khi giaûi phöông trình ñeå sau ñoù laáy nghieäm cho hôïp lyù”. Khi

chöùng minh ñaúng thöùc, ta ngaàm hieåu phaûi laøm vieäc vôùi ñieàu kieän bieåu thöùc coù nghóa”.

Töø keát quaû treân cho thaáy ña soá giaùo vieân khoâng quan taâm ñeán vieäc ñaët ñieàu kieän ñeå bieåu

thöùc coù nghóa tröôùc khi chöùng minh hoaëc hoï ít ñeå yù ñeán ñieàu kieän raøng buoäc keøm theo ñeå pheùp

bieán ñoåi laø töông ñöông.

Nguyeân nhaân daãn ñeán tình traïng treân laø do:

- Caùc baøi toaùn “chöùng minh ñaúng thöùc” hoaëc “ruùt goïn bieåu thöùc”, trong SGK vaø SBT ñaïi

soá 10, taùc giaû ñeàu ghi “Bieåu thöùc coù nghóa”, hoaëc “Maãu khaùc khoâng”. Töø ñaáy giaùo vieân

ít quan taâm ñeán vaán ñeà naøy.

- Trong SGV; SGK; SBT ñeàu khoâng ñöa ra ví duï naøo veà pheùp bieán ñoåi khoâng töông ñöông

trong löôïng giaùc.

Keát quaû thöïc nghieäm cho thaáy, giaû thuyeát.

H3: “Hoïc sinh khoâng quan taâm ñeán ñieàu kieän coù nghóa cuûa ñaúng thöùc löôïng giaùc

caàn chöùng minh”

laø toàn taïi.

Caâu 7: (Chaám ñieåm cho lôøi giaûi cuûa caùc hoïc sinh)

Vôùi 22 GV chuùng toâi thaêm doø yù kieán thì taát caû caùc GV ñeàu cho ñieåm, trong ñoù coù 3 GV

khoâng cho bieát lyù do naøo.

Baûng 3.7: Baûng thoáng keâ ñieåm cuûa 5 hoïc sinh

Ñieåm Hoïc sinh 5 6 4 7 8 9 10 0 1 2 3

2 3 3 5 9 A

1 5 4 6 6 B

4 3 5 2 5 1 2 C

3 2 4 5 5 3 D

4 4 5 4 4 1 E

 Coù 17/22 giaùo vieân chaám ñieåm gioûi (8; 9; 10) vôùi lyù do ñöa ra laø: Baøi laøm ñôn giaûn, deã hieåu.

Vôùi hoïc sinh A

cot

 x

tan

 x

 4

 4

  

  

  

  

 3/22 giaùo vieân chaám ñieåm khaù (7ñ).

 2/22 giaùo vieân chaám ñieåm trung bình (6ñ).

vaø ñoàng thôøi baèng 0. Khoâng coù giaù trò cuûa x ñeå

x



Caùc GV naøy cho laø thieáu ñieàu kieän luùc ñaàu ñeå bieåu thöùc coù nghóa.

 k  4 2

 4

 x   

   4 

 x tan  

  

vaø ñaúng Haàu nhö GV khoâng ñeå yù raèng vôùi thì ñaúng thöùc ñaàu tan

cot

x

x





 4

 4

  

 tan.  

  

  

ñeàu khoâng coù nghóa. thöùc

 Coù 16/22 giaùo vieân cho ñieåm gioûi, (8; 9; 10) vôùi lyù do baøi laøm ñôn giaûn, hoïc sinh yeáu deã tieáp

Vôùi hoïc sinh B

thu.

x





k 

Moät soá GV tröø ñieåm vì hoï cho raèng vaän duïng coâng thöùc chöa toát laém. Hoaëc vì thieáu ñieàu

 4

 Coù 1/22 GV cho ñieåm yeáu, bôûi GV naøy cho laø hoïc sinh giaûi sai töø ñaàu vì khoâng coù ñieàu

kieän ; k  Z.

kieän.

Nhö vaäy xung quanh vaán ñeà ñaët ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa hoaëc phaûi keøm theâm ñieàu

kieän ñeå pheùp bieán ñoåi laø töông ñöông thì quan nieäm cuûa caùc giaùo vieân raát khaùc nhau.

 Coù 12/22 GV cho ñieåm gioûi (8; 9; 10). Theo hoï, baøi laøm cuûa hoïc sinh naøy ngaén goïn (neáu laø

Vôùi hoïc sinh C

 Coù 3/22 GV cho ñieåm keùm (0 vaø 2). Theo hoï, khoâng theå bieán ñoåi nhö vaäy vì tanx khoâng xaùc

x





k 

hoïc sinh gioûi thì tröø 1 ñieåm). Vaän duïng coâng thöùc toát.

 2

ñònh khi .

Theo chuùng toâi lôøi giaûi naøy ñaõ phaïm 2 sai laàm.

- Sai laàm thöù nhaát: Khoâng ñaët ñieàu kieän cuûa x ñeå bieåu thöùc coù nghóa.

- Sai laàm thöù hai: Vì vaän duïng coâng thöùc tan (a + b) ñaõ thu heïp taäp xaùc ñònh.

x

 2

thì: Ví duï: Vôùi

tan

  4 2

  4 2

  

 tan.  

  

  

tan

1







 4

3  4

  

 tan.  

x

VT =

 2

x x

1 1

tan tan

x x

1 1

tan tan

 

 

  

  .    

  

Trong khi ôû böôùc cuoái. Vôùi thì bieåu thöùc laïi voâ nghóa.

Vôùi hoïc sinh D vaø hoïc sinh E:

 Coù 22/44 GV cho ñieåm gioûi (8; 9; 10) theo hoï 2 lôøi giaûi naøy quaù daøi doøng; hoïc sinh yeáu

Vôùi 2 lôøi giaûi naøy

2

2

sin

;

cos

khoâng chaáp nhaän ngay ñöôïc, caùch giaûi phöùc taïp vì phaûi vaän duïng nhieàu coâng thöùc; chöa tính

 4

 4

x

x







k ; 

k 

. Neáu laø traéc nghieäm thì lôøi giaûi cuûa hoïc sinh D vaø E seõ maát nhieàu thôøi gian,

 4

. thieáu ñieàu kieän

ÔÛ hai lôøi giaûi naøy; phaàn ñoâng GV ñöôïc tham khaûo yù kieán cho ñieåm töông ñoái ñeàu tay, khoâng

coù khoaûng caùch.

Theo chuùng toâi hoïc sinh D vaø E ñeàu phaïm chung moät sai laàm laø khoâng ñaët ñieàu kieän cho

bieåu thöùc coù nghóa töø luùc ñaàu.

3.1.3. Keát luaän

Qua keát quaû phaàn thöïc nghieäm ñoái vôùi GV maø chuùng toâi phaân tích ôû treân, cho thaáy:

a) Ñoái vôùi löôïng giaùc trong tam giaùc.

Trong phaàn döïng goùc nhoïn , bieát tröôùc 1 TSLG cuûa noù thì haàu heát caùc GV ñeàu cho caùc giaù

a b

trò naøy laø caùc phaân soá daïng . (a, b nhö ñaõ noùi ôû phaàn tröôùc).

Ñoàng thôøi ngoaøi caùch duøng baûng soá vaø MTBT ñeå so saùnh caùc TSLG vôùi nhau thì caùc GV naøy

coøn höôùng daãn theâm cho hoïc sinh moät soá saùch khaùc ñeå so saùnh.

Nhö vaäy quy taéc R1 vaø R2 ñaõ ñöôïc kieåm chöùng trong GV daïy Toaùn 9.

b) Ñoái vôùi löôïng giaùc trong ñöôøng troøn

Khi yeâu caàu hoïc sinh tính caùc GTLG cuûa goùc  maø khoâng duøng baûng soá vaø MTBT thì haàu heát

GV ñeàu cho  laø goùc coù lieân quan ñaëc bieät hoaëc laø goùc coù soá ño ñaëc bieät. Ñoàng thôøi theo hoï thì hoïc sinh

hay gaëp sai laàm veà daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc . Trong phaàn chöùng minh ñaúng thöùc löôïng giaùc hoaëc

trong moät soá pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc vaán ñeà ñaët ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc coù nghóa hoaëc keøm theâm ñieàu

kieän ñeå pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc laø töông ñöông, quan ñieåm cuûa caùc GV khoâng thoáng nhaát. Töø lyù do aáy

neân haàu heát hoïc sinh khoâng quan taâm ñeán vaán ñeà naøy.

Nhö vaäy quy taéc R3 vaø giaû thuyeát H2; H3 ñöôïc kieåm chöùng trong GV.

3.2. Thöïc nghieäm ñoái vôùi hoïc sinh

3.2.1. Muïc ñích, caùch tieán haønh thöïc nghieäm

Nhö ñaõ trình baøy ôû tröôùc, ñeå kieåm chöùng söï toàn taïi cuûa quy taéc hôïp ñoàng didactic ñaõ tìm ñöôïc,

chuùng toâi tieán haønh laøm thöïc nghieäm treân ñoái töôïng hoïc sinh.

Thöïc nghieäm ñöôïc tieán haønh treân 4 lôùp 9 vaø 4 lôùp 10 ôû TP.HCM hoïc chöông trình phaân ban

 Ñoái vôùi lôùp 9: Chuùng toâi tieán haønh thöïc nghieäm sau khi caùc em hoïc xong lyù thuyeát vaø baøi taäp

(ban KHTN).

cuûa baøi TSLG cuûa goùc  (Giöõa hoïc kyø I). chuùng toâi cho hoïc sinh laøm baøi caù nhaân trong thôøi

 Ñoái vôùi lôùp 10: Chuùng toâi tieán haønh thöïc nghieäm sau khi caùc em hoïc xong lyù thuyeát vaø baøi taäp

gian 45 phuùt, sau ñoù thu baøi.

cuûa phaàn “Goùc löôïng giaùc vaø coâng thöùc löôïng giaùc”. Chuùng toâi cho hoïc sinh laøm baøi caù nhaân

trong thôøi gian 60 phuùt, sau ñoù thu baøi.

3.2.2. Phaân tích A PRIORI

Boä caâu hoûi goàm 5 caâu vaø ñöôïc toå chöùc thöïc nghieäm nhö giôùi thieäu ôû treân.

a. Caùch xaây döïng boä caâu hoûi.

 Ñoái vôùi caâu hoûi 1:

Lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc.

Döïng goùc nhoïn  khi bieát 1 TSLG

a) sin = 0,02 ; b) tan = 0,005.

Vôùi yeâu caàu baøi toaùn laø döïng goùc nhoïn  khi bieát 1 TSLG cuûa noù, chuùng toâi muoán hoïc sinh

quen thuoäc vôùi nhieäm vuï ñaõ coù trong SGK vaø baøi taäp. Ñoàng thôøi giaû thuyeát cho tröôùc cuõng töông töï

vôùi löïa choïn trong SGK vaø SBT. Nghóa laø nhieäm vuï thì quen thuoäc nhöng ñaõ coù söï phaù vôõ hôïp

ñoàng.

sin

 

Caâu a)

1 50

. Neáu duøng thöôùc khaéc Vôùi löïa choïn sin = 0,02. Khi vieát döôùi daïng soá höõu tæ thì ta coù

vaïch vôùi tæ leä bình thöôøng thì taïi ñaây hoïc sinh gaëp phaûi 2 trôû ngaïi.

Thöù nhaát: Thöôùc khaéc vaïch maø hoïc sinh duøng thì khoâng coù tôùi vaïch 50.

Thöù hai: Neáu coù thöôùc khaéc vaïch daøi hôn thì laïi khoâng coù côõ giaáy ñuû lôùn (50) ñeå döïng.

tan

 

Töông töï cho caâu b;

1 200

Vôùi tan = 0,005 neáu vieát döôùi daïng soá höõu tæ thì .

Nhö vaäy caû caâu a vaø b ñeàu coù chung nhöõng trôû ngaïi gioáng nhau. Ñieàu gì seõ xaûy ra khi hoïc

sinh gaëp tình huoáng aáy? Hoï coù duøng baûng soá hoaëc MTBT ñeå tìm goùc  tröôùc, roài sau ñoù duøng thöôùc

ño goùc (thöôùc ño ñoä) ñeå döïng goùc hay khoâng?

 Ñoái vôùi caâu hoûi 2

Thoâng qua caâu hoûi 1; phaàn naøo chuùng toâi kieåm chöùng ñöôïc quy taéc R1.

 ÔÛ caâu a): Chuùng toâi choïn soá ño 2 goùc laø phuï nhau; tình huoáng naøy laø quen thuoäc ñoái vôùi hoïc

; b) cot25o vôùi sin75o Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT, em haõy so saùnh a) tan 29o vôùi cos 61o

 ÔÛ caâu b): Hình thöùc vaø giaû thuyeát trong caâu hoûi ñeàu quen thuoäc ñoái vôùi hoïc sinh. Nhöng soá

sinh.

ño 2 goùc naøy khoâng phaûi laø phuï nhau; Bôûi vaäy theo chuùng toâi, ñaây laø moät tình huoáng phaù vôõ

hôïp ñoàng.

Vôùi löïa choïn cuûa caâu hoûi soá 2 chuùng toâi kieåm chöùng ñöôïc quy taéc hôïp ñoàng R2.

 Ñoái vôùi caâu hoûi 3

Lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

Khoâng söû duïng baûng soá vaø MTBT em haõy tính:

(2k 1)

  ]

   3

 6

; b) tan 169 a) cos[

Vôùi söï löïa choïn ôû treân hoïc sinh thöôøng bieán ñoåi goùc ñaõ cho veà goùc coù lieân quan ñaëc bieät

(ñoái, buø, phuï ..) sau ñoù môùi tính ñöôïc caùc GTLG cuûa .

Caâu hoûi naøy ñöa ra nhaèm kieåm chöùng quy taéc R3: trong thöïc teá daïy hoïc chuùng toâi thaáy hoïc

sinh gaëp nhieàu khoù khaên khi vaän duïng caùc coâng thöùc cuûa cung lieân keát (ñoái, buø, phuï …) hoï thöôøng ít

hieåu kyù hieäu caùc cung aáy laø gì.

 ); ( + k2) … hoaëc vaän duïng töông ñoái vaát vaû. Caâu hoûi 3 ñöa ra ngoaøi

 2

Ví duï : ( - ); (

muïc ñích kieåm chöùng quy taéc R3, chuùng toâi coøn xem thöû hoïc sinh ñaõ vaän duïng caùc coâng thöùc cuûa

 Ñoái vôùi caâu hoûi 4

sin

cung lieân keát nhö theá naøo, hay ôû ñaây giöõa giaùo vieân vaø hoïc sinh ngaàm aån quy taéc naøo hay khoâng?

;

 



1   vaø 5

  2 

  

. Haõy tính caùc GTLG cuûa goùc 2. a) Bieát

2

b) Ruùt goïn

    

F

;



2

1 2

sin

cot

cos

 

 



vôùi

Caâu a) yeâu caàu chính laø tính caùc GTLG coøn laïi cuûa goùc 2. Ñeå thöïc hieän ñöôïc yeâu caàu cuûa

baøi toaùn; hoïc sinh phaûi löïa choïn coâng thöùc vaän duïng thích hôïp trong quaù nhieàu coâng thöùc löôïng

giaùc ñaõ bieát; lieäu khi aáy hoï coøn nhôù ñeán ñieàu kieän cuûa goùc  ñaõ cho khoâng?

Vôùi caâu b) töông töï nhö vaäy.

 Ñoái vôùi caâu hoûi 5

Qua caâu hoûi soá 4; chuùng toâi muoán kieåm chöùng giaû thuyeát H2.

x

) tan(

x





 ) 1

 4

 4

Chöùng minh raèng : tan (

Döôùi ñaây laø 1 soá lôøi giaûi cuûa 1 soá hoïc sinh em haõy cho ñieåm (theo thang ñieåm 10) caùc lôøi

giaûi ñoù vaø haõy cho bieát lyù do em tröø ñieåm caùc lôøi giaûi (hoaëc cho ñieåm cao caùc lôøi giaûi).

Hoïc sinh A:

x





 4

 4

  

 x tan  

  

  

VT = tan

x

tan

x







 2

 4

 4

  

  

  

  

  

  

= tan

x

1 VP





 

 4

 4

  

 x tan  

  

  

= cot

Hoïc sinh B:

x





 4

 4

  

 x tan  

  

VT = tan   

tan

x



cot

x

1 VP



 

 2

   4 

  

  4 

  

  

  

x

cot

x

cot

1   4 

  

1   4 

  

= =

Hoïc sinh C:

x





 4

 4

  

 x tan  

  

tan

tan

x

tan

tan

x





 4

 4

VT = tan   

x

x

tan

tan

1 tan 

1 tan 

 4

         

    

    

VP

1  

 4 x x = (1 tan ) (1 tan ) x (1 tan ) (1 tan ) x

 

 

=

Hoïc sinh D:

x





 4

 4

  

 x tan  

  

sin

x





VT = tan   

cos

x





 4  4

 4  4

     

 x sin    x cos  

     

     

cos 2x cos



 2

=

1 VP

 

cos

cos 2x



 2

=

Hoïc sinh E:

x





 4

 4

 x tan  

  

  

x

sin





VT = tan   

x

cos





 4  4

 4  4

     

 x sin    x cos  

     

     

sin cos x cos

sin x

sin cos x cos

sin x





=

cos

cos x sin sin x

cos

cos x sin sin x





 4  4

 4  4

 4  4

 4  4

     

     

     

2

2

2

sin

cos x cos

2 sin x



=

1 VP

 

2

2

2

cos

cos x sin

2 sin x



 4  4

 4  4

=

Baûng 3.8: Baûng cho ñieåm hoïc sinh

Hoïc sinh Ñieåm Lyù do tröø ñieåm (hoaëc lyù do cho ñieåm cao)

A

B

C

D

E

Trong ñeà baøi chæ yeâu caàu chöùng minh ñaúng thöùc vaø 5 lôøi giaûi giaû ñònh ñeàu khoâng ñeà caäp ñeán

ñieàu kieän coù nghóa cuûa bieåu thöùc; chuùng toâi muoán tìm hieåu xem hoïc sinh coù quan taâm ñeán vaán ñeà

naøy hay khoâng, qua ñoù kieåm chöùng ñöôïc giaû thuyeát H3.

Treân ñaây laø nhöõng lyù do giaûi thích cho vieäc löïa choïn vaø xaây döïng thöïc nghieäm:

Sau ñaây, chuùng toâi seõ phaân tích caùc bieán didactic, chieán löôïc coù theå cho töøng caâu hoûi.

b) Bieán didactic

- V1: Bieán coù lieân quan ñeán giaù trò cuûa caùc TSLG. Chuùng toâi laáy 3 giaù trò sau:

V11: Giaù trò cuûa caùc TSLG laø phaân soá maø töû vaø maãu chæ coù 1 chöõ soá.

V12: Giaù trò cuûa caùc TSLG laø soá thaäp phaân, coù nhieàu chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.

V13: Giaù trò cuûa caùc TSLG laø toàn taïi.

- V2: Bieán coù lieân quan ñeán soá ño goùc (cung) chuùng toâi laáy giaù trò sau:

V21: Soá ño goùc ñaëc bieät (coù trong baûng löôïng giaùc cuûa goùc ñaëc bieät, ñöôïc trình baøy trong

SGK).

V22: Soá ño goùc khoâng ñaëc bieät (khoâng coù trong baûng löôïng giaùc cuûa 1 soá goùc ñaëc bieät trình

baøy trong SGK).

V23: Soá ño goùc coù lieân quan ñaëc bieät (phuï nhau, buø nhau, hôn keùm , ñoái nhau)…

V24: Soá ño goùc naèm trong khoaûng cuûa caùc goùc ñaëc bieät.

- V3: Yeâu caàu cuûa baøi toaùn (Bieán tình huoáng)

V31: Chöùng minh

V32: Cho ñieåm caùc lôøi giaûi

V33: Döïng goùc 

V34: So saùnh

V35: Tính

V36: Ruùt goïn

c) Caùc chieán löôïc

Caâu 1:

Döïng goùc nhoïn  khi bieát 1TSLG cuûa noù.

 Giaù trò bieán didactic

a) sin = 0,02 ; b) tan = 0,005

 Ñoái vôùi caâu a) chuùng toâi löïa choïn caùc bieán:

V12: Giaù trò cuûa caùc TSLG laø soá thaäp phaân, coù nhieàu chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân.

V13: Giaù trò cuûa caùc TSLG laø thích hôïp.

V33: Döïng goùc 

Chuùng toâi choïn caùc bieán naøy vì muoán hoïc sinh quen thuoäc vôùi kieåu nhieäm vuï döïng goùc nhoïn 

khi bieát 1 TSLG cuûa noù. Tuy nhieân, trong caâu hoûi naøy, giaù trò cuûa

nhöõng baøi ñaõ sin = 0,02. Caùc giaù trò naøy khoâng gioáng vôùi y B

trình baøy trong SGK vaø SBT. Vì vaäy, chuùng toâi xem baøi taäp

AB = 50 naøy laø moät tình huoáng phaù vôõ hôïp ñoàng.

 Caùc chieán löôïc coù theå:

T : Duøng thöôùc khaéc vaïch ñeå döïng goùc nhoïn .

duøng thöôùc ño MTBT :Duøng MTBT. Tính . Sau ñoù

goùc hoaëc thöôùc khaéc vaïch ñeå döïng goùc .

Khoâng ñuû khoå roäng cuûa giaáy A4 CT : Duøng compa vaø thöôùc thaúng.

 Caùc lôøi giaûi coù theå:

LG1: - Döïng goùc vuoâng xOy

- Treân Ox laáy OA = 1

x A  1 - Laáy A laøm taâm quay O

(cid:0)OBA  

B. 1 voøng troøn baùn kính 50, caét Oy taïi

- Goùc caàn döïng.

LG2: - Duøng baûng soá hoaëc MTBT ñeå tính goùc  töø sin = 0,02.

- Duøng thöôùc ño goùc (ño ñoä) ñeå döïng goùc nhoïn .

LG3: - Döïng 1 ñöôøng troøn coù ñöôøng kính BC = 50.

- Laáy B laøm taâm quay 1 voøng troøn coù baùn kính BA = 1 caét ñöôøng troøn vöøa döïng taïi

ñieåm A.

- Tam giaùc vuoâng ABC coù (cid:0)ACB  

A BC = 50 cuõng khoâng ñuû khoå roäng cuûa giaáy A4 B C

 Ñoái vôùi caâu b) chuùng toâi löïa choïn caùc bieán.

chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân. V12: Giaù trò cuûa TSLG laø soá thaäp phaân coù nhieàu

V13: Giaù trò cuûa TSLG cuûa  laø hôïp lyù.

V33: Döïng goùc .

Caâu hoûi naøy cho g iaû thieát töông töï caâu a, nhöng coù 3 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân. Nhö trong

p haàn p haân tích boä caâu hoûi thöïc nhieäm, chuùng toâi ñaõ trình baøy.

. Theo chuùng toâi, coù theå Neáu tan = 0,005 vieát döôùi daïng soá höõu tæ thì ta coù tan = 0,005 = 1 200

coù caùc chieán löôïc coù theå xaûy ra nhö sau:

 C aùc chieán löôïc coù theå:

T : Duøng thöôùc khaéc vaïch ñeå döïng goùc .

tan = 0,005. MTBT: Duøng MTBT hoaëc baûng soá ñeå tính  töø

Sau ñoù duøng thöôùc ño goùc ñeå döïng .

 Caùc lôøi giaûi coù theå:

LG1:

1 200

- Co . ù tan = 0,005 =

- Laáy 1 ñoaïn thaúng laøm 1 ñôn vò ñoä daøi.

- Döïng goùc vuoâng Oxy.

o OB = 1 Treân Oy laáy B sao ch

0 Treân Ox laáy A sao cho OA = 20

Ghi chuù: OA = 200 khoâng ñuû khoå roäng cuûa giaáy A4

- Go ùc (cid:0)OAB   y

x  A B  1 O

200

hoaëc tra baûng löôïng giaùc ta coù tan = 0,005

LG2: Baám MTBT, =>   0o17’

Duøng th öôùc ño goùc, ta döïng ñöôïc goùc   0o17’

cot

200

 



L a coù: G3: T

1 0,005

tan = 0,005 =>

- Döïng goùc vuoâng xOy.

- Treân Oy. Laáy B sao cho OB = 200.

- Treân Ox. Laáy A sao cho OA = 1

- Goùc (cid:0)OBA   .

Caâu 2:

 Giaù trò bieán didactic

Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT, em haõy so saùnh a) tan29o vôùi cos61o b) cot25o vôùi sin75o

 Chuùng toâi löïa ch oïn bieán

bieät V22: Soá ño goùc khoâng ñaëc

bieät (hai goùc phuï nhau). V23: Soá ño goùc coù lieân quan ñaëc

V34: So saùnh

Chuùng toâi choïn so saùnh tan29o vôùi cos61o vì töø cos61o seõ ñöa veà sin29o, sau ñoù so saùnh

eät, ñoàng thôøi 2 goùc tan29o vôùi sin29o. Hoaëc ñöa tan29o veà cot61o sau ñoù so saùnh cot61o vôùi cos61o. Chuùng toâi choïn so saùnh cot25o vôùi sin75o; vôùi soá ño 2 goùc khoâng ñaëc bi

khoâng phuï nhau; maëc duø giaû thieát thì quen thuoäc, nhöng khoâng deã daøng so saùnh ñöôïc 2 TSLG treân

(chuù yù laø khoâng duøng baûng soá vaø MTBT).

o vôùi sin29o

Ñoái vôùi caâu a:

tan:

o vôùi cos61o.

 Caùc chieán lö ôïc coù theå: Ñcos: Ñoåi cos61o = sin29o. Sau ñoù so saùnh tan29 Ñoåi tan29o = cot61o Ñ

Sau ñoù so saùnh cot61

o

o

o

tan 29

sin 29





29o (vì goùc 61o vaø 29o laø phuï nhau)

o

Maø  Ca ùc lôøi giaûi coù theå: LG1: Ta coù cos61o = sin sin 29 cos 29

o

o cos 61



cot 61 

Vaäy tan29o > cos61o. LG2: Ta coù tan29o = cot61o

o

o cos 61 o sin 61 (Vì 0 < sin61o < 1) Vaäy tan29o > cos61

Maø

Ñ oái vôùi caâu b

 Caùc chieán l öôïc coù theå

o (cid:0) OAB 25

Hình hoïc: Theo chuùng toâi coù theå hoïc sinh seõ döïng 1 tam giaùc vuoâng OAB, coù goùc nhoïn

. B c - Ño ñoä daøi aïnh OA.

- Ño ñoä daøi caïnh OB.

cot 25



o OA OB

25o A - Khi aáy tìm ñöôïc (1) O

Töông töï: Döïng 1 t am giaùc vu oâng O’A’B’ co ù 1 goùc nhoïn = 75o.

- Ño ñoä daøi caïnh O’B’. B’

- Ño ñoä daøi caïnh A’B’.

o sin 75



O'B' A 'B'

(2) - Khi aáy tìm ñöôïc

vôùi (2) Sau ñoù so saùnh (1) 75o Chieán löôïc naøy raát khoù xaûy ra: A’ O’

cot45o = 1 Suy ra cot25o > sin75o Baéc caàu: cot25o > Maø 0 < sin75o < 1

âu 3: Ca

Khoâng sö û duïng baûng soá vaø MTBT, em haõy tính

(2k 1)

 

 6

    3

  

 Giaù trò bieán didactic

; b) a) cos tan169

toâi ñeàu löïa choïn caùc bieán  Caû 2 caâu, chuùng

V23: Soá ño goùc coù lieân quan ñaëc bieät

V35: Tính

(2k 1)

 

    3 

  

Ch ïn tính uùng toâi cho , bôûi leõ ñeå ñi ñeán keát quaû cuoái cuøng hoïc sinh phaûi vaän cos

duïng n hieàu coâng thöùc, trong ñoù coù söû duïng co âng thöùc cos ( + k2) = cos.

ÔÛ coâng thöùc naøy cho thaáy nhieàu goùc löôïng giaùc coù soá ño hôn keùm nh au 1 boäi nguyeân cuûa 2

 (soá ño khaù lôùn); nhöng goùc naøy coù theå ñöa veà goùc ñaëc

thì coù cos baèng nhau.

169 6

toâi goùc coù soá ño ÔÛ caâu b) chuùng

bieät.

Ñoái vôùi caâu a

 Caùc chieán l öôïc coù theå

k2: Duøng boä coâng thöùc ôû cung lieân keát vaø coâng thöùc cos ( + k2) = cos

Lieân keát: Duøng boä coâng thöùc lieân heä cuûa 2 cung lieân keát.

 Caùc lôøi giaûi coù theå

cos

(2k 1)

cos

cos

 



 

 

 

 3

1 2

 3

    3 

  

  

  

LG1:

(2k 1)

cos

k2

  

  

   3

   3

  

  

  

cos

k2

cos

cos

 



 

 

   3

 3

1 2

 3

  

     

  

  

LG2: cos   

(Hôn keùm )

(2k 1)

cos

k2

  

   



Khaùc:

   3

 3

  

  

  

  

cos



cos



2  3

1   2

 3

   

  

LG3: cos

Ñoái vôùi caâu b)

 Caùc chieán löôïc coù theå:

 6

Ñeám: Treân ñöôøng troøn löôïn coù ñieåm ngoïn ôû g giaùc, ñeám xem cung löôïng giaùc coù soá ño 169

 6

. choã naøo töø ñoù tính ñöôïc tan169

 6

tan

tan

 

k





Taùch: Ñöa 169 veà daïng  + k. Sau ñoù duøng coâng thöùc:





 Caùc lôøi giaûi coù theå:

 6

 6

tan169

tan





 6

3 3

 6

168

28











èng 169 coù ñieåm ngoïn truøng vôùi ñieåm ngoïn cuûa cung . Do ñoù LG1: Cung coù soá ño ba

 6

 6

 6

 6

tan169

tan





LG2: Ta coù 169

3 3

 6

 6

Do ñoù:

sin

;

 



Caâu 4:

1   vaø 5

  

  2 

. Haõy tính caùc GTLG cuûa goùc 2 a) Bieát

2

;

    

F 

1 2

2

sin

cot

cos

 

 



b) Ruùt g oïn:

 Giaù trò bieán didactic

V11: Giaù trò cuûa TSLG laø phaân soá maø töû vaø maãu ñeàu coù 1 chöõ soá.

V24: Soá ño goùc naèm trong khoaûng cuûa caùc goùc ñaëc bieät.

V35: Tính

ïn V36: Ruùt go

 Caùc chieán löô ïc coù theå:

Ñoái vôùi caâu a:

 =

cos:

1 5

. Tính cos. o Töø sin

2 2

o Tính sin2 döïa vaøo coâng thöùc si n2 = 2sincos. o Tính cos2 döïa vaøo coâng thöùc sin2  + cos2  = 1. o Tính tan2; cot2.

cos2:

2 2

ính cos2 döïa vaøo coâng thöùc cos22 = 1 – 2sin2. o T o Tính sin2 döïa vaøo coâng thöùc sin2  + cos2  = 1. o Tính tan2; cot2.

2

1 cot 

 

cot2:

1 2 sin



Duøng coâng thöùc o

 

o Tính cot2. Suy ra cot.

cos  sin 

 , cot2 .

. o Tính cos töø coâng thöùc cot

o Tính sin2, cos2, tan2

 Caùc lôøi giaûi coù theå:

2

2

Tính caùc GTLG cuûa g oùc 2.

cos

1 sin

  

 

LG

1:

24 25

cos

   

24 5

;

 



  2 

  

neân cos < 0 Vì

cos

  

24 5

Vaäy



4 6 25

o Coù sin2 = 2sincos =

23 25

o Coù cos2 = 2cos2 - 1 =

; cot 2



  

23 4 6

o tan2 = 4 6 23

cos 2

 

LG2:

23 25

2

2 sin 2

1 cos 2

  

 

o

96 625

o

sin 2

  

96 25

=>

;

 



  2 

  neân 2  (; 2) 

Vì

sin 2

  

4 6 25

Do ñoù: sin2 < 0. Vaäy

tan 2

; cot 2

  

  

4 6 23

23 4 6

. o

tan

x





 1

 4

 4

  

 x tan  

  

  

tan(a b)





Caâu 5: Chuùng toâi löïa choïn chöùng minh ñaúng thöùc

tan a tan b  1 tan a tan b 

ñeå Bôûi leõ, phaûi coù ñieàu kieän cho x, hôn nöõa khi söû duïng coâng thöùc

khai trieån veá traùi seõ laøm thu heïp taäp xaùc ñònh.

Vôùi 5 lôøi giaûi giaû ñònh cho tröôùc vaø yeâu caàu caâu hoûi laø haõy cho ñieåm caùc lôøi giaûi naøy vaø cho bieát

lyù do, chuùng toâi seõ kieåm chöùng ñöôïc giaû thuyeát H3.

Chuùng toâi phaân tích 5 lôøi giaûi giaû ñònh nhö sau:

k





 Hoïc sinh A

 4

 2

k





Hoïc sinh naøy thieáu ñieàu kieän x

 4

 2

thì Vì deã thaáy, khi x

VP



x

VT tan 





cos 2x cos 2x

 4

 4

  

  

 x .tan  

  

vaø ñeàu khoâng coù nghóa.

Lôøi giaûi naøy cho pheùp kieåm chöùng phaàn naøo giaû thuyeát H3.

 Hoïc sinh B

Sai laàm cuûa hoïc sinh naøy cuõng töông töï sai laàm cuûa hoïc sinh A.

 Hoïc sinh C

Lôøi giaûi naøy phaïm 2 sai laàm:

Sai laàm thöù nhaát: Khoâng ñaët ñieàu kieän cho x ñeå bieåu thöùc coù nghóa.

Sai laàm thöù hai: Khi vaän duïng coâng thöùc tan(a+b) thu heïp taäp xaùc ñònh.

 thì VT tan

.tan



 2

   4 2

   4 2

  

  

  

Ta thaáy vôùi x   

tan

.tan

1





 4

3  4

  

  

=

1 tan x 1 tan x

1 tan x 1 tan x

 

 

  

  .    

  

Trong khi ôû böôùc cuoái:

 thì bieåu thöùc voâ nghóa.

 2

Vôùi x

Hoïc sinh D vaø E ñeàu phaïm chung moät sai laàm laø khoâng ñaët ñieàu kieän cho bieåu thöùc coù nghóa.

Thoâng qua caùc ñieåm soá ñöôïc cho vaø lyù do maø hoïc sinh neâu ra trong thöïc nghieäm cho caùc lôøi giaûi giaû

ñònh, chuùng toâi kieåm chöùng ñöôïc giaû thuyeát H3.

3.2.3. Phaân tích A POSTERIORI

a) Lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc

 THCS Voõ Tröôøng Toaûn – Quaän 1 (2 lôùp)

 Caáp 2; 3 Löông Theá Vinh – Quaän 1 (2 lôùp)

Chuùng toâi tieán haønh laøm thöïc nghieäm treân 180 hoïc sinh cuûa 4 lôùp 9 cuûa 2 tröôøng:

Caâu 1a: Haõy döïng goùc nhoïn  khi bieát:

a) sin = 0,02

Baûng 3.9: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 1a

Chieán löôïc

T

MTBT

CT

Khaùc

Toång

Caâu

coäng SL

SL

%

%

SL

%

SL %

SL

1a

38

21,12%

7,78%

111 61,66% 17 9,44%

180

14

111

38

17

14

120 100 80 60 40 20 0

Chieán löôïc T

Chieán löôïc MTBT

Chieán löôïc CT

Chieán löôïc khaùc

Bieåu ñoà 3.1: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 1a

 Taát caû caùc baøi giaûi (180) ñeàu ñöa caùc giaù trò cuûa caùc TSLG veà daïng phaân soá.

sin

0,02

sin

0,02

 



 



Qua phaân tích lôøi giaûi cuûa caâu 1a, chuùng toâi thaáy:

1 50

0,1 5

hoaëc

Trong ñoù

sin

 

0,1 5

sin

 

- Coù 12/180 caâu traû lôøi ñöa veà sau ñoù döïng goùc  vôùi caùc soá ño laø chính xaùc.

1 50

- Coù 68/180 caâu traû lôøi ñöa veà vaø tieán haønh döïng goùc ; thì soá hoïc sinh naøy coù keát

quaû goùc  döïng ñöôïc laø khoâng chính xaùc (Vì beà roäng cuûa giaáy A4 laø 21cm). Goùc döïng ñöôïc

chæ mang tính chaát minh hoïa.





- Coù 60/180 caâu traû lôøi khoâng veõ hình hoaëc khoâng quan taâm ñeán hình veõ.

®èi huyÒn

®èi kÒ

ñaõ nhaàm laãn laø sin ). - Coù 6/180 caâu traû lôøi sai (do nhaàm laãn coâng thöùc sin

- Coù 15/180 caâu traû lôøi laät hình veõ leân theo phöông thaúng ñöùng. Caùch laøm naøy cho keát quaû goùc

döïng ñöôïc laø ñuùng.

- Coù 9/180 caâu traû lôøi khoâng laøm ñöôïc caâu naøy.

- Coù 10/180 caâu traû lôøi duøng caùch khaùc ñeå döïng goùc  khi bieát sin = 0,02 ñoù laø:

y

Ghi chuù: OB = 50 khoâng ñuû khoå roäng cuûa giaáy A4

x A  1 O

sin





 

1 50

50 0,02 o Coù  B ®èi huyÒn

2

2

OB

2500 1

49,99



AB OA 



 

o Ñoái = 1

o Tính

o Döïng ñieåm B

o Goùc (cid:0)ABO laø goùc caàn döïng.

Thoáng keâ cho thaáy trong soá 180 caâu traû lôøi cuûa caâu 1a chæ coù

12/180 + 15/180 = 27/180 caâu traû lôøi ñuùng chieám tæ leä 15%.

15%

Hoïc sinh laøm ñuùng

HoïÏc sinh laøm sai

85%

Bieåu ñoà 3.2: Tæ leä % soá hoïc sinh laøm ñuùng vaø khoâng laøm ñuùng caâu 1a)

Töø keát quaû thöïc nghieäm, chuùng toâi thaáy raèng khi yeâu caàu hoïc sinh döïng goùc nhoïn  bieát

tröôùc 1TSLG cuûa noù vaø ñaët hoï vaøo 1 tình huoáng khaùc laï thì hoïc sinh ñaõ boäc loä roõ caùc luùng tuùng cuûa

mình trong quaù trình giaûi baøi taäp. Ñaây laø moät tình huoáng phaù vôõ hôïp ñoàng.

Caâu 1b. Haõy döïng goùc nhoïn  khi bieát

b) tan = 0,005

Baûng 3.10: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 1b

Toång

Chieán löôïc

T

MTBT

CT

Khaùc

coäng SL

Caâu

SL

%

SL

%

SL

%

SL %

1b

100

55,56%

30

16,66% 38 21,11%

12 6,67%

180

100

38

30

12

120 100 80 60 40 20 0

Chieán löôïc T

Chieán löôïc MTBT

Chieán löôïc CT

Chieán löôïc khaùc

Bieåu ñoà 3.3: Bieåu ñoà khoái keát quaû thöïc nghieäm caâu 1b



tan

0,005

 



1 200

Qua phaân tích caùc caâu traû lôøi cuûa caâu hoûi 1b, chuùng toâi thaáy haàu heát caùc baøi giaûi ñeàu ñöa:

0, 1 20

. Hoaëc tan = 0,005 = 1 200

Trong ñoù coù:

- Coù 95/180 caâu traû lôøi khoâng quan taâm ñeán hình veõ (caùc tæ leä khoâng ñeàu nhau) do ñoù goùc 

döïng ñöôïc laø khoâng chính xaùc.

- Coù 67/180 caâu traû lôøi khoâng coù hình veõ keøm theo.

- Coù 8/180 caâu traû lôøi bò sai.

tan

0,005

 





1 200

0,1 20

sau ñoù döïng hình theo chieàu daøi cuûa - Coù 10/180 caâu traû lôøi bieán ñoåi

khoå giaáy A4 thì keát quaû naøy laø chính xaùc.

- Thoáng keâ cho thaáy chæ coù 10/180 caâu traû lôøi ñuùng cuûa caâu 1b chieám tæ leä 5,55%.

5.55%

Hoïc sinh laøm ñöôïc

HoïÏc sinh laøm khoâng ñöôïc

94.45%

Bieåu ñoà 3.4: Tæ leä % soá hoïc sinh laøm ñöôïc vaø khoâng laøm ñöôïc caâu 1b

Töø keát quaû treân chuùng toâi thaáy: Caû 2 caâu 1a vaø 1b, phaàn lôùn hoïc sinh ñeàu ñöa baøi toaùn veà

sin

0,02

 





1 50

0,1 5

tan

0,005

 





1 200

1 0, 20

daïng quen thuoäc ñaõ bieát caùch giaûi, tuy nhieân, trong caâu hoûi naøy, giaù trò cuûa

Cô baûn thì gioáng caùc tröôøng hôïp ñaõ ñöôïc trình baøy trong SGK vaø SBT, tuy nhieân ôû ñaây, caùc phaân

a b

gioáng nhö caùc em ñaõ gaëp. soá khoâng coù daïng

Keát quaû cho thaáy ôû caâu 1a. Coù 15% caâu traû lôøi ñuùng.

ôû caâu 1b. Coù 5,55% caâu traû lôøi ñuùng.

Nhö vaäy qua caâu 1, chuùng toâi ñaõ kieåm chöùng ñöôïc quy taéc:

vôùi a, b  N*; a < b  9 hoaëc soá thaäp phaân maø khi vieát döôùi daïng o sin vaø cos laø phaân soá R1: “Döïng goùc nhoïn  khi bieát 1TSLG cuûa noù luoân cho: a b

a b

phaân soá phaûi coù daïng (a, b  N*; a < b  9).

a b

; a, b  N*; a; b  9 laø toàn taïi. o tan vaø cot luoân cho laø phaân soá coù daïng

Caâu 2a: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT, em haõy so saùnh

a) tan29o vôùi cos61o.

Baûng 3.11: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 2a

Chieán löôïc

HT Löôïng

Ñcos Ñ

tan

Toång coäng SL

Caâu

SL

%

SL

%

SL

%

2a

140

77,78%

28

15,56%

12

6,66%

180

140

150

100

28

50

12

0

Chie

Bieåu ñoà 3.5: Bieåu ñoà khoái keát quaû thöïc nghieäm caâu 2a

án löôïc Ñ1 Chieán löôïc Ñ2 Chieán löôïc HTLöôïng

Ñtan Ñcos

Phaân tích lôøi giaûi cuûa hoïc sinh ôû caâu 2a) chuùng toâi thaáy haàu heát caùc em ñeàu giaûi ñöôïc bôûi vì

2 goùc ñöa ra laø phuï nhau;

- Coù 140/180 caâu traû lôøi choïn chieán löôïc Ñcos:

tan

 

sin cos

 

Ñoåi cos61o veà sin29o, töø ñoù so saùnh tan29o vôùi sin29o. Döïa vaøo coâng thöùc .

- Coù 28/180 caâu traû lôøi choïn chieán löôïc Ñtan.

- Coù 12/180 caâu traû lôøi choïn chieán löôïc HT löôïng.

o Coù theå ñöa cos61o veà sin29o, sau ñoù döïng 1 tam giaùc vuoâng (hình veõ)

o

o

tan 29

sin 29

;





®èi kÒ

®èi huyÒn

Coù 1 goùc nhoïn  = 29o, vaø laäp luaän:

B Vì trong tröôøng hôïp naøy caïnh keà nhoû hôn caïnh huyeàn

neân Ñoái Huyeàn



®èi kÒ

®èi huyÒn



hay tan29o > sin29o

A O Keà Vaäy tan29o > cos61o

o Coù theå ñöa tan29o veà cot61o vaø cuõng laäp luaän töông töï nhö treân. Nhö vaäy ôû caâu 2a) vaán ñeà ñöa ra laø so saùnh tan vôùi cos vôùi  +  = 90o thì keát quaû thöïc

nghieäm cho thaáy, hoïc sinh luoân laøm ñöôïc maëc duø phaàn so saùnh naøy trong SGK khoâng vieát döôùi

daïng töôøng minh.

 Vôùi soá ño 2 goùc laø khoâng ñaëc bieät vaø cuõng khoâng laø 2 goùc phuï nhau neân vieäc so saùnh

Caâu 2b. Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT, em haõy so saùnh b) cot25o vôùi sin75o.

2 TSLG naøy laø töông ñoái khoù ñoái vôùi hoïc sinh. Trong phaàn phaân tích A PRIORI,

chuùng toâi ñöa ra 2 chieán löôïc, tuy nhieân qua thöïc nghieäm thì chæ xuaát hieän chieán löôïc

baéc caàu maø thoâi.

 Coù 28/180 (chieám 15,56%) lôøi giaûi choïn chieán löôïc baéc caàu vaø cho keát quaû ñuùng.

 Coù 152/180 (chieám 84,44%) lôøi giaûi sai (caùc em khoâng laøm ñöôïc).  Trong soá 152 lôøi giaûi sai, coù 96 lôøi giaûi ñaõ söûa ñeà cotg 25o thaønh cotg15o, khi aáy baøi toaùn

Keát quaû thöïc nghieäm cho thaáy:

ñöa veà so saùnh 2 TSLG cuûa 2 goùc phuï nhau, ñaây laø moät nhieäm vuï quen thuoäc ñoái vôùi hoïc

sinh.

Bieåu ñoà 3.6: Tæ leä hoïc sinh laøm ñuùng, khoâng ñuùng cuûa caâu 2b

15.56%

84.44%

Hoïc sinh laøm ñuùng

ñuùng Hoïc sinh laøm sai sai

Nhö vaäy qua caâu 2, chuùng toâi ñaõ kieåm chöùng ñöôïc quy taéc R2

  cot vôùi cos (0o <  < 90o); cot vôùi sin; ( +  = 90o) vaø môû roäng cuûa quy taéc R2 laø:

R2: “Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT luoân so saùnh ñöôïc caùc TSLG sau: tan vôùi sin; (0o <  < 90o); tan vôùi cos; ( +  = 90o)



Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT luoân so saùnh ñöôïc:

sin    cos  

 cot vôùi

tan vôùi 0o < ,  < 90o ;

 cos



sin   

0o < ,  < 90o” laø toàn taïi. ;

Lieân quan ñeán löôïng giaùc trong ñöôøng troøn

Chuùng toâi tieán haønh laøm thöïc nghieäm treân 170 hoïc sinh cuûa 4 lôùp 10 cuûa 2 tröôøng:

THPT Tröng Vöông – Quaän 1 (2 lôùp)

THPT Marie – Curie – Quaän 3 (2 lôùp)

(2k 1)

a) cos

;

b) tan169

 

 6

    3

 

Caâu 3: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT. Em haõy tính:

Baûng 3.12: Keát quaû thöïc nghieäm caâu 3a

Chieán löôïc Lieân keát Khaùc Toång coäng K2

Caâu SL SL % SL % SL %

 Coù 145/170 caâu traû lôøi laäp luaän chaët cheõ, keát quaû chính xaùc.

 Coù 25/170 caâu traû lôøi bò sai do caùc nguyeân nhaân sau:

112 65,88% 43 25,29% 15 8,83% 170 3a

- Khoâng nhôù coâng thöùc hoaëc khoâng nhôù baûng caùc GTLG ñaëc bieät.

- Sai laàm do vaän duïng coâng thöùc.

?? Ví duï: cos(a + b) cosa + cosb…

Ñoái vôùi caâu hoûi naøy, nhìn chung hoïc sinh laøm ñuùng vôùi caùc chieán löôïc döï ñoaùn. Tuy nhieân

(2k 1)

 

coù 7 lôøi giaûi ñaõ vaän duïng coâng thöùc.

    3 

  

cos (a + b) = cosacosb – sinasinb ñeå tính cos vaø cho keát quaû ñuùng. Beân caïnh

aáy coù 3 tröôøng hôïp do söùc hoïc yeáu; neân aùp duïng coâng thöùc cos(a + b) = cosa + cosb.

Trong quaù trình caùc em laøm baøi chuùng toâi ghi nhaän thaáy ñoái vôùi caâu 3a) hoïc sinh vaän duïng

caùc coâng thöùc töông ñoái toát.

Caâu 3b: Khoâng duøng baûng soá vaø MTBT, haõy tính:

 6

b) tan169

tan

k )    

 Coù 141/170 lôøi giaûi vaän duïng coâng thöùc: tan(

 vaø cho keát quaû ñuùng.

 Coù 16/170 lôøi giaûi aùp duïng coâng thöùc sai.

 Coù 13/170 lôøi giaûi cho keát quaû sai, do khoâng nhôù baûng caùc GTLG ñaëc bieät.

Ñoái vôùi caâu naøy, keát quaû thoáng keâ nhö sau:

Chuùng toâi quan saùt trong khi thöïc nghieäm thì thaáy.

Ñoái vôùi daïng baøi taäp naøy caùc em thao taùc raát nhanh, vaø cho keát quaû khaù toát. Nhö vaäy quy taéc

R3 laø toàn taïi.

Caâu 4:

sin

;

;

 

 



1 5

  2 

  

Haõy tính caùc GTLG cuûa goùc 2 bieát:

Baûng 3.13: Keát quaû thoáng keâ nhö sau

Chieán löôïc Toång coäng cos Cos2 cot2

Caâu SL SL % SL % SL %

4a 94 55,30% 73 42,94% 3 1,76% 170

sin

 Coù 94/170 lôøi giaûi choïn chieán löôïc cos töùc laø töø

  . Tính cos. Sau ñoù tính sin2;

1 5

Thoáng keâ cho thaáy:

cos2; tan2, cot2.

2

Trong 94 lôøi giaûi choïn chieán löôïc naøy, caùc sai laàm maø hoïc sinh ñaõ vi phaïm ñoù laø:

sin

cos

1

sin







1 5

2

; coù 21/94 lôøi giaûi Daïng 1: Töø

sin

cos

cos

    

1    5

24 25

24 25

Daïng 2: Töø ; coù 1/94 lôøi giaûi

 Coù 73/170 lôøi giaûi choïn chieán löôïc cos2.

sin

Do ñoù trong chieán löôïc naøy coù 25/94 lôøi giaûi bò sai daáu GTLG (chieám tæ leä 24,60%).

  . Tính cos2 = 1 - 2sin2.

1 5

Töùc laø töø

2

sin

cos

 

Trong 73 lôøi giaûi choïn chieán löôïc naøy, caùc sai laàm maø hoïc sinh ñaõ vi phaïm ñoù laø:

1    5

4 2 2 5



Daïng 1: Töø

;

 



23 25

  2 

 ); coù 3/73 lôøi giaûi 

Tính cos2 = 2cos2 - 1 = (vì

2

sin 2

1 cos 2

 



 ; coù 9/73 lôøi giaûi

sin 2

 

2sin cos 



Daïng 2: Sau khi coù cos2, tính tieáp

Daïng 3: Tính tröïc tieáp

2sin

1  



6 5

4 2

21   5 

  

= ; coù 5/73 lôøi giaûi

Do ñoù trong chieán löôïc naøy coù 17/73 lôøi giaûi bò sai daáu GTLG (chieám tæ leä 23,29%). Nhö vaäy

ôû caâu 4 coù taát caû 25 + 17 = 42 lôøi giaûi bò sai daáu chieám tæ leä 27,21%.

27%

Sai daáu

Ñuùng

73%

Bieåu ñoà 3.7: Tæ leä hoïc sinh bò sai daáu, khoâng sai daáu cuûa caâu 4

Do ñoù giaû thuyeát H3 ñaõ ñöôïc kieåm chöùng.

Caâu 5:

Trong soá 170 hoïc sinh laøm thöïc nghieäm coù 5 lôøi giaûi cho ñieåm nhöng khoâng neâu lyù do. Coù 4

lôøi giaûi khoâng cho ñieåm vaø khoâng coù lyù do.

Nhö vaäy, chuùng toâi chæ thoáng keâ treân 161 hoïc sinh coù tham gia traû lôøi. Döôùi ñaây laø baûng

thoáng keâ caâu traû lôøi cuûa hoïc sinh.

Baûng 3.14: Thoáng keâ ñieåm cao, thaáp cuûa 5 hoïc sinh

Soá Toång Hoïc Caâu 5 Tyû leä löôïng coäng sinh

Ñieåm cao: Baøi laøm ngaén goïn, deã hieåu 135 79,88%

161 A Ñieåm thaáp: Trình baøy quaù ngaén; hoaëc 34 20,12%

thieáu ñieàu kieän

Ñieåm cao: AÙp duïng coâng thöùc toát. 141 87,58% 161 B Ñieåm thaáp: Thieáu ñieàu kieän 20 12,42%

Ñieåm cao: Baøi giaûi ñuùng, nhöng hôi bò 101 59,76%

daøi doøng. 161 C Ñieåm thaáp: Moät soá cho laø baøi giaûi bò 68 40,24%

sai. Moät soá tröø ñieåm vì thieáu ñieàu kieän.

Ñieåm cao: Baøi laøm ngaén goïn, deã hieåu. 85 50,30%

161 84 D Ñieåm thaáp: Moät soá ghi thieáu ñieàu kieän; 49,70%

Moät soá ghi baøi giaûi sai.

Ñieåm cao: Thuoäc nhieàu coâng thöùc vaø 50 29,59%

E 161 bieát caùch vaän duïng coâng thöùc

Ñieåm thaáp: Baøi giaûi quaù daøi doøng 119 70,41%

Baûng thoáng keâ caâu hoûi 5 neâu treân cho chuùng ta thaáy hoïc sinh A vaø hoïc sinh B ñöôïc chaám

ñieåm cao nhieàu hôn so vôùi caùc hoïc sinh C, D, E. Phaàn ñoâng giaûi thích do baøi laøm ngaén goïn, deã

hieåu, coù raát ít lyù do tröø ñieåm do thieáu ñieàu kieän (Hoï chæ noùi thieáu ñieàu kieän maø khoâng noùi roõ ñoù laø

ñieàu kieän naøo?).

Hoïc sinh C, D, E ñöôïc chaám ñieåm thaáp hôn so vôùi hoïc sinh A vaø hoïc sinh B, caùc hoïc sinh

ñöôïc tham khaûo yù kieán traû lôøi phaàn nhieàu cho laø lôøi giaûi caùc hoïc sinh C, D, E quaù daøi doøng, vôùi ñoái

töôïng laø hoïc sinh yeáu thì khoù hieåu, khoù nhôù. Coù raát ít lyù do tröø ñieåm vì bò thieáu ñieàu kieän.

Keát quaû thöïc nghieäm ôû caâu hoûi 5 cho thaáy nhieàu hoïc sinh khoâng quan taâm ñeán ñieàu kieän luùc ñaàu

cuûa bieåu thöùc, hoaëc chæ maùy moùc vaän duïng coâng thöùc maø khoâng thaáy ñöôïc trong moät soá tröôøng hôïp ñaëc

bieät thì coâng thöùc aáy khoâng coøn ñuùng nöõa. Ña soá caùc em ñöôïc laøm thöïc nghieäm chæ quan taâm ñeán ñoä

ngaén, daøi cuûa baøi giaûi, vaø ñoái chieáu xem caùc coâng thöùc vaän duïng ñaõ ñuùng chöa.

Do ñoù giaû thuyeát H3 ñöôïc kieåm chöùng.

KEÁT LUAÄN

Qua luaän vaên naøy, chuùng toâi ñaït ñöôïc nhöõng keát quaû chuû yeáu sau:

Trong chöông 1, vieäc phaân tích moät soá giaùo trình ñöôïc giaûng daïy ôû baäc cao ñaúng, ñaïi hoïc,

chuùng toâi ñaõ tìm ñöôïc moät soá TCTH tham chieáu lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng

giaùc trong ñöôøng troøn.

Trong chöông 2, nghieân cöùu moái quan heä theå cheá vôùi ñoái töôïng tri thöùc laø löôïng giaùc trong

tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn, chuùng toâi xaây döïng ñöôïc caùc TCTH ñöôïc giaûng daïy ôû baäc

phoå thoâng. Töø ñoù chuùng toâi chæ ra ñöôïc moät soá cheânh leäch giöõa TCTH ôû tröôøng phoå thoâng vôùi

TCTH ôû ñaïi hoïc lieân quan ñeán löôïng giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn.

Ngoaøi nhöõng keát quaû treân, nghieân cöùu moái quan heä theå cheá vôùi ñoái töôïng tri thöùc laø löôïng

giaùc trong tam giaùc vaø löôïng giaùc trong ñöôøng troøn coøn daãn chuùng toâi ñeán vôùi ba giaû thuyeát nghieân

cöùu H1, H2 vaø H3 maø tính thoaû ñaùng cuûa chuùng ñaõ ñöôïc kieåm chöùng baèng moät thöïc nghieäm treân hai

ñoái töôïng giaùo vieân vaø hoïc sinh ôû chöông 3.

Beân caïnh aáy, keát quaû nghieân cöùu cuûa chöông 2, cho pheùp chuùng toâi thaáy ñöôïc söï giaùn ñoaïn

hoaëc keá thöøa töø löôïng giaùc trong tam giaùc sang löôïng giaùc trong ñöôøng troøn trong daïy hoïc toaùn ôû

baäc phoå thoâng.

Trong chöông 3: Chuùng toâi ñaõ xaây döïng moät soá tình huoáng thöïc nghieäm nhaém ñeán caùc öùng xöû

cuûa giaùo vieân vaø hoïc sinh thoâng qua 3 giaû thuyeát nghieân cöùu.

Vôùi giaû thuyeát H1: Theå hieän 3 quy taéc cuûa hôïp ñoàng didactic.

Vôùi giaû thuyeát H2: Noùi leân raèng hoïc sinh ít quan taâm ñeán daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc .

Vôùi giaû thuyeát H3: Ñaõ theå hieän roõ hoïc sinh khoâng quan taâm ñeán ñieàu kieän coù nghóa cuûa ñaúng

thöùc löôïng giaùc tröôùc khi chöùng minh.

Töø keát quaû nghieân cöùu cuûa chöông 2 vaø chöông 3, keát hôïp vôùi quaù trình giaûng daïy cuõng nhö

thöïc tieãn cuûa cuoäc soáng, chuùng toâi töï hoûi.

- Ngoaøi lónh vöïc toaùn hoïc thì löôïng giaùc ñaõ ñöôïc vaän duïng trong caùc ngaønh traéc ñòa, vaät lyù,

hoaù hoïc nhö theá naøo?

- Hoaëc: MTBT ñaõ coù nhöõng hoã trôï gì khi daïy vaø hoïc löôïng giaùc trong ñöôøng troøn (Tìm

GTLG cuûa goùc , daáu cuûa caùc GTLG cuûa goùc , so saùnh caùc GTLG cuûa goùc …).

Do haïn cheá veà thôøi gian nghieân cöùu neân chuùng toâi xin daønh laïi caùc vaán ñeà ñoù cho caùc coâng

trình tieáp theo.