Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu didactic toán về hoạt động của công cụ vectơ trong hình học lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HOÀNG HỮU VINH

NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ

HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ

TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số

:60.14.10

TP. HỒ CHÍ MINH – 2002

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HOÀNG HỮU VINH

NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ

HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ

TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số

:60.14.10

TP. HỒ CHÍ MINH – 2002

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HOÀNG HỮU VINH

NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ

HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ

TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số

:60.14.10

TP. HỒ CHÍ MINH – 2002

LỜI CẢM ƠN

Trƣớc hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô LÊ THỊ HOÀI CHÂU, giảng

viên khoa toán - tin học Trƣờng Đại học Sƣ phạm TPHCM, ngƣời đã bỏ rất nhiều thời gian

và công sức để hƣớng dẫn tôi một cách tận tình, kỹ lƣỡng trong suốt quá trình thực hiện luận

văn. Cô cũng là cầu nối giữa giáo sƣ đồng hƣớng dẫn và tôi kể từ lúc bắt đầu cho đến lúc

hoàn tất luận văn. Cô còn là ngƣời đã giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp để gởi đến

giáo sƣ phản biện mặc dù cô rất bận rộn với công tác giảng dạy và nghiên cứu khoa học.

Tôi xin trân trọng cảm ơn bà Claude Comiti. Với vai trò là giáo sƣ đồng hƣớng dẫn,

bà đã cho tôi những ý kiến quý báu để hoàn thiện bản luận văn này.

Sự hiện diện của bà Annie Bessot, thầy Trần Văn Tấn, thầy Lê Văn Tiến, thầy Đoàn

Hữu Hải trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ là một niềm vinh hạnh đối với tôi. Tôi xin

trân trọng cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy cô trong hội đồng đối với bản luận văn

của tôi.

Cho phép tôi gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong chuyên ngành Lý luận

và phƣơng pháp dạy học Toán cũng nhƣ các thầy cô ở các bộ môn khác đã tận tâm giảng dạy

chúng tôi trong suốt hai năm học qua. Tôi cũng rất cảm động và biết ơn hai giáo sƣ ngƣời

Pháp đã không quản ngại xa xôi, đến tham gia giảng dạy, giúp đỡ chúng tôi bƣớc đầu làm

quen với ngành Didactic Toán.

Tôi xin cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ - Sau Đại học và trƣờng Đại học Sƣ

phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn tất chƣơng trình và các thủ tục bảo vệ luận văn.

Tôi sẽ không thể có thời gian để tham dự đầy đủ khóa học nếu thiếu sự quan tâm tạo

mọi điều kiện thuận lợi của BGH trƣờng PTTH Lƣơng Văn Can, Q.8 và sự sẵn sàng đảm

nhiệm giúp tôi phần việc giảng dạy của các đồng nghiệp trong tổ toán. Xin BGH và các bạn

nhận ở tôi lời cảm ơn sâu sắc.

Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các bạn lớp Lý luận và Phƣơng pháp dạy học toán khóa 11

đã cùng tôi chia xẻ những niềm vui cũng nhƣ những khó khăn trong suốt hai năm học vừa

qua.

Cuối cùng tôi muốn nói lời cảm ơn đến vợ tôi, ngƣời đã luôn gần gũi, động viên và

tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể tập trung nghiên cứu đồng thời đã giúp tôi rất nhiều trong

việc đánh máy và in ấn bản luận văn này.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 8

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ............................ 1

I/ Khung lý thuyết tham chiếu ............................................................................................... 1

1. Quan hệ thể chế:............................................................................................................. 1

2. Tổ chức toán học : .......................................................................................................... 2

II/ Trình bày lại những câu hỏi nghiên cứu ........................................................................... 3

III/ Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................................. 4

1. Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa : ................................................................ 4

2. Nghiên cứu thực nghiệm : .............................................................................................. 5

CHƢƠNG 2: CÔNG CỤ VECTƠ TRONG CHƢƠNGTRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA ...... 6

Mở đầu ................................................................................................................................... 6

I/ Công cụ Vectơ trong chƣơng trình 1989 ............................................................................ 6

I.1. Mục đích chủ yếu của việc đƣa vectơ vào chƣơng trình : cung cấp một công cụ hiệu quả để nghiên cứu hình học ............................................................................................... 6

I.2. Công cụ vectơ đƣợc tính đến nhƣ thế nào trong chƣơng trình 1989 : ......................... 7

II/ Công cụ vectơ trong chƣơng trình 1999 ......................................................................... 10

II.1. Không thay đổi mục đích đƣa vectơ vào chƣơng trình : .......................................... 10

II.2. Không thay đổi cấutrúc của chƣơng trình : .............................................................. 11

III. Công cụ vectơ trong sách năm 2000 .............................................................................. 12

III.1. Cách trình bày các tri thức cần phải dạy : ............................................................... 12

III.1.1. Vectơ và các hệ thức lƣợng: ............................................................................ 13

III.1.2. Vectơ và phép biến hình : ................................................................................ 14

III.2. Công cụ vectơ trong bài tập : .................................................................................. 15

III.2.1. Loại 1: Các bài tập nhằm củng cố định nghĩa vectơ, các quy tắc và các phép toán về vectơ ................................................................................................................ 18

III.2.2. Loại 2 : Các bài tập rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ ...................................... 25

III.2.3. Loại 3 : Các bài tập sử dụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học. ..... 35

IV. Kết luận và nêu giả thuyết nghiên cứu .......................................................................... 66

CHƢƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ..................................................................... 68

Mở đầu ................................................................................................................................. 68

I/ Các bài toán thực nghiệm ................................................................................................. 69

II/ Phân tích A-PRIORI các bài toán trên ............................................................................ 70

II.1. Phân tích a-priori bài toán 1 : ................................................................................... 70

II.2. Phân tích a-priori bài toán 2 : ................................................................................... 75

II.3. Phân tích a-priori bài toán 3 : ................................................................................... 80

III/ Phân tích A-posteriori bài toán ...................................................................................... 83

III.1. Phân tích a-posteriori bài toán 1: ............................................................................ 83

III.2. Phân tích a-posteriori bài toán 2 : ........................................................................... 88

III.3. Phân tích a-posteriori bài toán 3 : ........................................................................... 95

III.4. Tổng kết phần phân tích a-posteriori ba bài toán thực nghiệm : ............................ 96

IV/ Kết luận........................................................................................................................ 100

KẾT LUẬN ............................................................................................................................ 101

TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 101

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

Trƣớc năm 1956, vectơ đƣợc đƣa vào giảng dạy từ bậc trung học. Cuộc cải cách giáo

dục thực hiện năm 1956 ở miền Bắc đã loại bỏ vectơ ra khỏi chƣơng trình môn toán ở bậc

học này. Năm 1975, đất nƣớc thống nhất về mặt hành chính, song chƣa thống nhất về chƣơng

trình giảng dạy : miền Bắc vẫn dạy theo chƣơng trình cũ, miền Nam dạy theo chƣơng trình

mới, trong đó vectơ đƣợc đề cập đến ở lớp 10 và đƣợc dùng để xây dựng một số kiến thức

hình học giải tích. Đƣa vectơ với tƣ cách là công cụ giải toán chƣa đƣợc xem là mục đích của

chƣơng trình này.

Năm 1989, một chƣơng trình mới đƣợc ban hành và kể từ 09/1990 sách giáo khoa

biên soạn theo chƣơng tình đó đã thay thế cho những bộ sách cũ soạn theo chƣơng trình riêng

cho từng miền trƣớc đây.

Với chƣơng trình 1989, vectơ đƣợc đƣợc giảng dạy ở tất cả các lớp 10 trên toàn quốc.

Mục đích của việc dạy học vectơ là cung cấp cho học sinh một đối tƣợng tri thức mới, xây

dựng một phƣơng pháp mới để nghiên cứu hình học. Có ba bộ sách giáo khoa đƣợc biên soạn

theo chƣơng trình 1989.

Mƣời năm sau, năm 1999 theo tinh thần "giảm tải", ngƣời ta hạ thấp yêu cầu đối với

việc học một số nội dung toán học.

Năm 2000, với cuộc "giảm tải, chỉnh lý và hợp nhất", ngƣời ta thay sách giáo khoa

một lần nữa ở bậc trung học. Kể từ đó, cả nƣớc dùng chung một bộ sách giáo khoa.

Trong chƣơng trình 1999, cũng nhƣ trong chƣơng trình 1989, vectơ luôn giữ một vị trí

quan trọng. Là giáo viên dạy toán ở bậc phổ thông trung học, tôi nhận thấy có nhiều vấn đề

liên quan đến việc dạy học vectơ cần đƣợc nghiên cứu.

Về phƣơng diện đối tƣợng của tri thức, luận án tiến sĩ của Lê Thị Hoài Châu đã vạch

rõ những khó khăn trong học tập của học sinh lớp 10. Từ một nghiên cứu khoa học luận và

nghiên cứu thể chế, từ một thực nghiệm đặt trong quan điểm so sánh, tác giả đã vạch rõ

nguồn gốc của những khó khăn này.

Liên quan đến phƣơng diện công cụ của vectơ, chúng tôi chỉ có bài báo của Bittar mà

trong đó tác giả kết luận là " công cụ vectơ chỉ tỏ ra sẵn sàng đƣợc sử dụng" bởi một số ít học

sinh, và "học sinh có khó khăn khi sử dụng công cụ này để giải toán"

Ở Việt Nam, chúng tôi không biết một công trình didactic nào nghiên cứu việc sử

dụng vectơ của học sinh bậc phổ thông trung học. Đã có vài quyển sách tổng kết những dạng

toán có thể giải bằng vectơ và đƣa ra một hệ thống bài tập để học sinh luyện tập việc sử dụng

công cụ này. Nhƣng đó là những tài liệu toán học đƣợc viết bởi những thầy giáo có kinh

nghiệm chứ không phải là những nghiên cứu didactic.

Đặt mình trong khuôn khổ của didactic toán, chúng tôi muốn tìm hiểu xem phƣơng

diện công cụ của vectơ đƣợc đƣa vào nhƣ thế nào trong sách giáo khoa hình học 10 và học

sinh sử dụng vectơ để giải toán ra sao.

Câu hỏi xuất phát cho nghiên cứu của chúng tôi là :

- Chƣơng trình và sách giáo khoa hiện hành đòi hỏi học sinh dùng vectơ để giải những loại

toán nào?

- Trong thực tế, học sinh có đạt đƣợc điều đó hay không?

Để tìm những yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi này, trƣớc hết chúng tôi cần

nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa. Việc phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa sẽ

đƣợc tiến hành với những công cụ lý thuyết nào ? Trong chƣơng I chúng tôi sẽ trình bày

khung lý thuyết tham chiếu và phƣơng pháp nghiên cứu mà

chúng tôi thừa nhận. Trong khuôn khổ lý thuyết tham chiếu, ở chƣơng II chúng tôi sẽ tiến

hành phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa. Sự phân tích này sẽ giúp chúng tôi hình thành

nên những giả thuyết về tính hiệu quả của công cụ vectơ đối với học sinh. Giả thuyết này cần

phải đƣợc kiểm chứng bởi một thực nghiệm. Nghiên cứu thực nghiệm là đối tƣợng của

chƣơng 3, trong đó chúng tôi sẽ trình bày phân tích a-priori những bài toán thực nghiệm và a-

posteriori kết quả thu đƣợc.

Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Hoàng Hữu Vinh

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để phân tích vai trò của một tri thức cần dạy, cách thức trình bày nó, mối liên hệ của

nó với những tri thức khác có mặt trong chƣơng trình, những điều kiện và những ràng buộc

cho việc dạy và học tri thức đó, lý thuyết didactic toán cung cấp cho chúng ta nhiều công cụ.

Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt ở đây phạm vi lý thuyết làm cơ sở cho việc xác định phƣơng

pháp luận nghiên cứu và nền tảng cho việc tìm các yếu tố trả lời những câu hỏi đƣợc định ra

ở trên.

I/ Khung lý thuyết tham chiếu

Ở đây, chúng tôi tự đặt mình trong khuôn khổ của lý thuyết nhân chủng học của

Chevallard. Lý thuyết này là kết quả của một quá trình lý thuyết hóa mà điểm xuất phát là lý

thuyết chuyển đổi didactic. Quá trình lý thuyết hóa đó gắn liền với vân đề "sinh thái học".

"Cách đặt vấn đề sinh thái học cho phép mở rộng phạm vi phân tích và đề cập đến những đòi

hỏi đƣợc tạo ra giữa các đối tƣợng tri thức khác nhau cần dạy" (Bosch et Chevallard, 1999,

82). Những đối tƣợng này duy trì các mối quan hệ qua lại theo thứ bậc, tạo nên các cấu trúc

sinh thái. Cấu trúc sinh thái này cho phép phân tích thực tiễn dạy học một tri thức. Trong thực

tiễn này không chỉ có các đối tƣợng tri thức mà còn có những kiểu đối tƣợng đặc biệt : những

thể chế, những cá thể và những vị trí đƣợc chiếm giữ bởi các cá thể trong thể chế.

1. Quan hệ thể chế:

Khái niệm quan hệ thể chế đƣợc Chevallard đƣa vào từ quan niệm thừa nhận rằng: "

Một tri thức không tồn tại trong một xã hội rỗng, mọi tri thức đều xuất hiện ở một thời điểm

xác định, trong một xã hội nhất định và đƣợc cắm sâu vào một

Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Hoàng Hữu Vinh

hoặc nhiều thể chế. Cụ thể hơn, mọi tri thức đều là tri thức của một thể chế và một tri thức có

thể sống trong nhiều thể chế khác nhau"

Một đối tƣợng tri thức O đƣợc coi là tồn tại đối với một thể chế I nếu có một mối

quan hệ R(I,0) của I đối với O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện nhƣ thế nào và ở đâu trong

I, O giữ vai trò gì trong I và mối quan hệ giữa O với các đối tƣợng khác của I ra sao.

Cũng tƣơng tự nhƣ vậy, một đối tƣợng tri thức O tồn tại đối với một cá nhân X nếu có

mối quan hệ R(X,0) của X đối với O. Quan hệ này bao gồm tất cả các tác động qua lại của X

đối với O nhƣ X có thể sử dụng O nhƣ thế nào, hiểu về O ra sao...

Chevallard cũng chỉ rõ : "Vấn đề trung tâm của việc dạy học là nghiên cứu quan hệ

thể chế, những điều kiện và những hiệu quả của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân là

vấn đề cơ bản về mặt thực tiễn, và là thứ về mặt khoa học luận của việc dạy học" (Chevallard

1989b,93)

2. Tổ chức toán học :

Để có một phƣơng pháp phân tích thực tế của một thể chế, năm 1998, Chevallard đƣa ra khái

niệm organisation praxéologique. Theo ông, một tổ chức praxéologique là một bộ bốn thành

phần [T,τ,θ,Θ] : kiểu nhiệm vụ T, kỹ thuật τ để giải quyết T, công nghệ θ để giải thích cho kỹ

thuật τ, lý thuyết Θ đóng vai trò công nghệ của θ, nghĩa là giải thích cho θ. Một tổ chức

praxéologique mà các thành phần đều mang bản chất toán học thì đƣợc gọi là một tổ chức

toán học

Chevallard xem một kỹ năng (savoir-faire) nhƣ là cặp praco-technique [T,τ] và một tri

thức là cặp công nghệ-lý thuyết [θ,Θ]. Tuy nhiên, thông thƣờng một tri thức bao hàm cả bốn

thành phần [T,τ,θ,Θ].

Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Hoàng Hữu Vinh

Nhƣ vậy, kỹ năng về một kiểu nhiệm vụ T là những kỹ thuật để thực hiện những

nhiệm vụ t ∈ T. Những kỹ thuật này đƣợc giải thích bởi tri thức [θ,Θ].

Nghiên cứu những kiểu nhiệm vụ T liên quan đến đối tƣợng tri thức O và những kỹ

thuật thực hiện tƣơng ứng τ là tiếp cận mối quan hệ thể chế với đối tƣợng này, làm rõ những

thực tế thể chế trong đó đối tƣợng O xuất hiện và hoạt động. Mặt khác, những kỹ thuật đƣợc

đƣa vào trong một thể chế để thực hiện các nhiệm vụ đã cho thƣờng đòi hỏi phải đƣợc giải

thích, nghĩa là đòi hỏi yếu tố công nghệ-lý thuyết.

Tóm lại, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế đối với một đối tƣợng tri thức toán học

O có thể đƣợc thực hiện qua việc phân tích các tổ chức toán học gắn liền với O.

II/ Trình bày lại những câu hỏi nghiên cứu

Đặt nghiên cứu trong phạm vi của lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi xác định thể

chế mà chúng tôi quan tâm là việc giảng dạy toán ở lớp 10, lớp đầu tiên của bậc phổ thông

trung học và đối tƣợng cần nghiên cứu là vectơ.

Việc chọn khung lý thuyết tham chiếu nhƣ trên giúp chúng tôi có thể trình bày lại các

câu hỏi xuất phát một cách cụ thể và rõ ràng hơn :

- Vectơ đƣợc đƣa vào thời điểm nào trong chƣơng trình lớp 10 ?

- Nó đƣợc trình bày ra sao ? Nhằm mục đích gì ?

- Vectơ có mối quan hệ nhƣ thế nào với những vấn đề khác của chƣơng trình ?

- Các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến vectơ là các kiểu nhiệm vụ nào ? Trong các kiểu

nhiệm vụ này thì đâu là kiểu nhiệm vụ trọng tâm ? Kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ đó

đƣợc trình bày ra sao ? Phần lý

Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Hoàng Hữu Vinh

thuyết nào về vectơ đƣợc dùng để giải thích các kỹ thuật đó ? Học sinh có nắm vững và giải

quyết tốt các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ đó không ?

III/ Phƣơng pháp nghiên cứu

Trong phạm vi lý thuyết đã đƣợc trình bày, để tìm cách trả lời các câu hỏi đƣợc đặt ra

ở trên, chúng tôi sẽ thực hiện nghiên cứu sau đây :

1. Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa :

Vấn đề ở đây là phải chỉ ra những nét đặc trƣng của vectơ với tƣ cách là công cụ trong

thể chế dạy học. Thể chế mà chúng tôi quan tâm đến là việc dạy học Hình học lớp 10, lớp đầu

tiên của bậc PTTH. Chính ở bậc học này, học sinh lần đầu tiên đƣợc tiếp xúc với một phƣơng

pháp mới trong nghiên cứu Hình học : phƣơng pháp sử dụng công cụ vectơ.

a/ Thông qua "sách giáo viên" và "tài liệu Hƣớng dẫn Giảng dạy Toán 10", chúng tôi

sẽ nghiên cứu nội dung chƣơng trình hình học lớp 10 bao gồm chƣơng trình cải cách giáo dục

năm 1989 và chƣơng trình chỉnh lý hợp nhất năm 1999.

Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu các quy định về nội dung giảng dạy phần vectơ, yêu

cầu về mức độ sử dụng vectơ trong giải toán ở học sinh lớp 10

b/ Chúng tôi sẽ nghiên cứu sách giáo khoa hình học 10 (sách chỉnh lý và hợp nhất

năm 2000) ở các nội dung có liên quan đến vectơ.

Mục đích của nghiên cứu này là tìm hiểu xem sách giáo khoa đã trình bày nội dung

vectơ ra sao ? Tại sao phải trình bày nhƣ vậy ? Nhằm mục đích gì ? Về phƣơng diện công cụ,

vectơ đƣợc dùng để xây dựng các vấn đề nào trong phần

Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết và phƣơng pháp nghiên cứu Hoàng Hữu Vinh

lý thuyết. Nó dùng để giải quyết các dạng toán nào trong phần bài tập? Độ khó, độ phức tạp

của các dạng toán đó ra sao ?

Nghiên cứu chƣơng trình và sách giáo khoa sẽ cho phép chúng tôi vạch rõ quan hệ thể

chế đối với tri thức vectơ xét ở phƣơng diện công cụ. Nghiên cứu này là cần thiết, vì quan hệ

của cá nhân đối với một tri thức không hoàn toàn độc lập với quan hệ thể chế.

2. Nghiên cứu thực nghiệm :

Từ việc phân tích chƣơng trình và sách giáo khoa, chúng tôi đƣa ra các giả thuyết về

khả năng sử dụng công cụ vectơ để giải toán của học sinh. Để kiểm chứng các giả thuyết đó,

chúng tôi cần phải xây dựng một thực nghiệm. Thực nghiệm này phải cho chúng tôi biết công

cụ vectơ có sẵn sàng đƣợc học sinh huy động không ? và học sinh sử dụng chúng có hiệu quả

không ? Các bài toán mà chúng tôi đƣa ra thuộc các kiểu nhiệm vụ quen thuộc đối với học

sinh lớp 10. Các bài toán này mặc dù có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nhƣng nếu giải

chúng bằng công cụ vectơ thì lời giải sẽ gọn nhất. Tuy nhiên để có thể giải đƣợc trọn vẹn bài

toán bằng công cụ vectơ, học sinh phải biết định hƣớng cách giải và chọn các phép biến đổi

thích hợp.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

CHƢƠNG 2: CÔNG CỤ VECTƠ TRONG CHƢƠNGTRÌNH VÀ SÁCH

GIÁO KHOA

Mở đầu

Kể từ cuộc cải cách giáo dục theo chƣơng trình năm 1989, vectơ đƣợc đƣa vào giảng

dạy ở tất cả các lớp 10 trong cả nƣớc. Ta biết rằng mỗi tri thức cần dạy đƣợc xem xét trên hai

phƣơng diện : phƣơng diện "đối tƣợng" và phƣơng diện "công cụ". Trong luận văn này,

chúng tôi không tập trung sự chú ý đến phƣơng diện "đối tƣợng" của vectơ mà chỉ quan tâm

nghiên cứu đến phƣơng diện "công cụ" của nó. Nhƣ chúng tôi đã nói, sau 10 năm thực hiện

chƣơng trình CCGD, đến năm 1999, theo tinh thần giảm tải, chƣơng trình 1989 đƣợc chỉnh

lý. Chúng tôi sẽ phân tích chƣơng trình 1989 và 1999 đồng thời nghiên cứu việc thể hiện

phƣơng diện này trong sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000 (gọi tắt là sách năm 2000). Khi phân

tích bộ sách này, chúng tôi có đối chiếu so sánh với sách cải cách giáo dục năm 1990 của

nhóm tác giả Trần Văn Hạo (gọi tắt là sách năm 1990). Thông qua việc phân tích chƣơng

trình và sách giáo khoa, chúng tôi sẽ xác định vai trò của vectơ trong việc xây dựng các kiến

thức thuộc phần lý thuyết và trong việc giải các dạng toán thuộc phần bài tập.

I/ Công cụ Vectơ trong chƣơng trình 1989

I.1. Mục đích chủ yếu của việc đƣa vectơ vào chƣơng trình : cung cấp một công cụ

hiệu quả để nghiên cứu hình học

Trong cuộc cải cách giáo dục ở bậc trung học phổ thông, bắt đầu thực hiện từ 1990,

việc đƣa vectơ vào giảng dạy đƣợc xem là "một thay đổi cơ bản của chƣơng trình hình học

lớp 10. Một công cụ mới- công cụ vectơ- đƣợc đề cập đến ở đây.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Đó là công cụ để xây dựng một phƣơng pháp toán học mới, phƣơng pháp vectơ, một trong

những phƣơng pháp cơ bản của toán học" (Văn Nhƣ Cƣơng, 1990, tr.4)

Tầm quan trọng của việc đƣa vectơ vào giảng dạy ở lớp 10 đƣợc giải thích bằng cách

nhấn mạnh vai trò của vectơ trong toán học cũng nhƣ trong vật lý, kỹ thuật. Các tác giả

chƣơng trình và sách giáo khoa đặc biệt lƣu ý đến lợi ích của việc sử dụng vectơ trong hình

học : "Phƣơng pháp vectơ cho phép tiếp cận các kiến thức hình học sơ cấp theo một cách

thức đơn giản và rõ ràng (chẳng hạn, chứng minh định lý Thalès, định lý Pythagore, định lý

hàm số cosin, các hệ thức lƣợng trong tam giác và đƣờng tròn, ...). Nó còn là một phƣơng

pháp rất hiệu quả để giải nhanh chóng các bài toán hình học, đôi khi không cần phải sử dụng

hình vẽ{...}. Từ phƣơng pháp vectơ ta có thể xây dựng một cách chính xác phƣơng pháp tọa

độ theo tinh thần của toán học hiện đại. Với phƣơng pháp này ta có thể xây dựng lại các lý

thuyết hình học cũng nhƣ những công cụ giải toán, đƣa ra một cách đại số hóa hình học và

hình học hóa đại số" (Văn Nhƣ Cƣơng, 1990, tr.8).

Từ việc phân tích lợi ích của vectơ, các tác giả chƣơng trình 1989 khẳng định rằng

một trong những nhiệm vụ chủ yếu của dạy học hình học lớp 10 là "đƣa vào một phƣơng

pháp mới {...}. Phƣơng pháp này là mới vì ở trung học cơ sở, học sinh chỉ có phƣơng pháp

tổng hợp để nghiên cứu các hình hình học" (Nguyễn Gia Cốc, 1990, tr. 1)

I.2. Công cụ vectơ đƣợc tính đến nhƣ thế nào trong chƣơng trình 1989 :

Chúng ta hãy xem mục đích trên đƣợc thể hiện nhƣ thế nào trong chƣơng trình hình

học bậc trung học phổ thông.

Trong cuộc cải cách giáo dục ở bậc trung học phổ thông bắt đầu thực hiện từ 1990,

trong phần đầu tiên của chƣơng trình, các tác giả chƣơng trình đƣa vào vectơ một số phép

toán của vectơ (nhƣ phép cộng, phép trừ, phép nhân với một số và

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

phép nhân vô hƣớng). Nhƣ thế, xuất hiện ở đây một đối tƣợng hình học mới, trên đó ngƣời ta

có thể định nghĩa các phép toán đại số. Những đối tƣợng này cung cấp một công cụ mới cho

phép đại số hóa hình học .

"Mặc dù từ "không gian vectơ" không xuất hiện, nhƣng trong thực tế thì một không

gian vectơ trên trƣờng số thực đã đƣợc xây dựng. Đó là không gian các vectơ của mặt phẳng,

đƣợc đƣa vào với các tính chất của phép cộng, phép nhân với một số thực. Hai tiên đề cho

phép định nghĩa mặt phảng aphin từ không gian vectơ (hệ thức Chasles và đặc trƣng song ánh

của ánh xạ đặt tƣơng ứng mỗi vectơ u với một điểm M sao cho u = OM , o là điểm cố định

chọn trƣớc) đã đƣợc trình bày. Những kiến thức vectơ đƣa vào đủ để nghiên cứu các tính chất

aphin và métric của hình học phang" (Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr.123)

Phần tiếp theo của chƣơng trình hình học lớp 10 dành cho việc nghiên cứu các hệ thức

lƣợng trong tam giác, trong đƣờng tròn. Trong phần này, vectơ đƣợc sử dụng để chứng minh

nhiều định lý và công thức. Chẳng hạn, tích vô hƣớng đƣợc dùng để chứng minh định lý hàm

số cosin, các công thức tính độ dài đƣờng trung tuyến...Nó cũng còn đƣợc dùng để xây dựng

khái niệm phƣơng tích của một điểm đối với một đƣờng tròn. Phần cuối cùng của chƣơng

trình hình học lớp 10 là "Các phép biến hình". Ở đây vectơ đƣợc dùng để định nghĩa phép

tịnh tiến, phép vị tự. Hơn thế nữa, các định lý về sự bảo toàn khoảng cách của những phép

dời hình đƣợc nghiên cứu trong chƣơng trình (tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay),

sự bảo toàn tỷ số khoảng cách cũng nhƣ tính thẳng hàng của phép vị tự cũng đƣợc chứng

minh nhờ vectơ.

Phƣơng pháp này còn giữ vai trò quan trọng trong việc trình các kiến thức của hình

học giải tích ở lớp 12. Từ sự phân tích chƣơng trình hình học dạy ở bậc trung

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

học, Lê Thị Hoài Châu đã chỉ rõ thứ tự trình bày các phƣơng pháp tiếp cận hình học đƣợc lựa

chọn ở Việt Nam là:

Phƣơng pháp tổng hợp —► phƣơng pháp vectơ —► phƣơng pháp tọa độ

phƣơng pháp vectơ - tọa độ

"Trong lịch sử phát triển của toán học, phƣơng pháp giải tích ra đời trƣớc khi xuất

hiện ý tƣởng xây dựng một hệ thống tính toán trong nội tại hình học, ý tƣởng đã dẫn đến lý

thuyết vectơ, {...}. Thế nhƣng, theo một quan điểm chặt chẽ toán học, bƣớc chuyển từ hình

học tổng hợp vào hình học vectơ không dựa vào hình học giải tích. Nói cách khác, xuất phát

từ hình học tổng hợp (hình học Euclide), ta có thể xây dựng phƣơng pháp giải tích hay

phƣơng pháp vectơ theo những cách thức độc lập với nhau.

Nhƣ vậy, {... }phƣơng pháp giải tích không phải là một cái cầu bắt buộc phải qua để

chuyển từ phƣơng pháp tổng hợp sang phƣơng pháp vectơ" (1997,tr.l15).

Lƣu ý rằng "Vì các vectơ có thể đƣợc biểu diễn qua tọa độ của nó, vì thế tồn tại một

phƣơng pháp thứ tƣ, lƣỡng tính, phƣơng pháp sử dụng vectơ trong phạm vi tọa độ" (Lê Thị

Hoài Châu, 1997, tr.l14). Tác giả gọi đó là phƣơng pháp vectơ - tọa độ. Nhƣ tác giả đã nói,

phƣơng này tạo nên sự liên thông giữa phƣơng pháp vectơ và phƣơng pháp giải tích. Các nhà

xây dựng chƣơng trình đã tận dụng điều đó. Theo sơ đồ đã nêu ở trên, phƣơng pháp vectơ-

tọa độ là trung gian để chuyển từ phƣơng pháp vectơ sang phƣơng pháp giải tích. Điều này

thể hiện rất rõ trong chƣơng trình hình học 12 : ngƣời ta nghiên cứu các đƣờng thẳng, mặt

phẳng qua vectơ chỉ phƣơng, vectơ pháp tuyến, dựa vào đó để lập phƣơng trình, để xét điều

kiện song song, vuông góc giữa các đƣờng thẳng và mặt phẳng. Nói cách khác, các công thức

của hình học giải tích đƣợc đƣa vào nhờ các tính chất vectơ. Chính vì thế mà các nhà lập

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

chƣơng trình đã nói 'Từ vectơ ta có thể xây dựng một cách chính xác phƣơng pháp tọa độ"

(Văn Nhƣ Cƣơng, 1990, tr.8).

Kết luận : Những phân tích trên chứng tỏ phƣơng diện công cụ vectơ thực sự có một vị trí

quan trọng trong chƣơng trình hình học ở trƣờng trung học phổ thông : Nó không chỉ mang

lại một công cụ giải toán có hiệu quả, nó còn cho phép trình bày kiến thức của hình học một

cách ngắn gọn, rõ ràng, và còn là cái cầu để chuyển qua phƣơng pháp giải tích trong nghiên

cứu hình học.

II/ Công cụ vectơ trong chƣơng trình 1999

II.1. Không thay đổi mục đích đƣa vectơ vào chƣơng trình :

Trong chƣơng trình mới ngƣời ta "giảm nhẹ mức độ yêu cầu đồng thời giản lƣợc

những nội dung quá phức tạp [...] bỏ bớt một số nội dung lý thuyết không cần thiết và giảm

mức độ khó của bài tập" (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy toán 10, 2000, tr.5). Cụ thể là : ý

nghĩa vật lý của vectơ, khái niệm vectơ buộc và điều kiện bằng nhau của các vectơ xét theo

tọa độ (1) đƣợc loại bỏ ra khỏi chƣơng trình. Tuy nhiên vai trò của vectơ không thay đổi.

Chẳng hạn để khai thác công cụ vectơ, ngƣời ta đƣa thêm vào tính chất vectơ của trọng tâm

tam giác (2).

Nhƣ vậy so với chƣơng trình cũ thì mục đích của dạy học vectơ không thay đổi: việc

đƣa tri thức này vào nhằm cung cấp một công cụ có hiệu quả để nghiên

(1) : Nếu vectơ ⃗ = (a1,a2) và ⃗⃗ = (b1,b2) thì ⃗ = ⃗⃗ ⟺ { (2) - Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chi khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ - Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

cứu hình học. "Ngay từ chƣơng đầu tiên, chúng ta đã trình bày cho học sinh các khái niệm

hoàn toàn mới : đó là vectơ và các phép toán trên vectơ. Các khái niệm này đƣợc sử dụng

trong toàn bộ nội dung của lớp 10, và chúng còn đƣợc tiếp tục lặp lại và mở rộng thêm ở lớp

12". (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy toán 10, 2000, tr.58).

II.2. Không thay đổi cấutrúc của chƣơng trình :

Cấu trúc của chƣơng trình 1999 không khác cấu trúc của chƣơng trình cũ. Chƣơng

đầu tiên của Hình học 10 đƣợc dành cho việc nghiên cứu khái niệm vectơ và một số phép

toán vectơ, vectơ đƣợc sử dụng để đƣa vào khái niệm trục, tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ.

Tích vô hƣớng của hai vectơ đƣợc giới thiệu trong chƣơng 2. Công cụ vectơ đƣợc

khai thác để chứng minh các định lý liên quan đến độ dài của đoạn thẳng.

Nhƣ vậy "Phƣơng pháp vectơ đƣợc dùng để định nghĩa toa độ của vectơ và của điểm

đối với trục tọa độ cũng nhƣ hệ tọa độ trên mặt phẳng và để chứng minh các hệ thức lƣợng

cũng nhƣ các tính chất của các phép dời hình và đồng dạng. Có thể nói rằng công cụ vectơ

đƣợc áp dụng khá triệt để trong chƣơng trình lớp 10" (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy toán 10,

2000, tr. 12-13).

Khi xem xét chƣơng trình của lớp 12 chúng tôi thấy rằng việc dạy học Hình học cũng

đi theo trình tự đã đƣợc lựa chọn trong chƣơng trình 1989. Điều đó có nghĩa là một phần

quan trọng của Hình học giải tích đƣợc trình bày nhờ vectơ đặt trong một hệ tọa độ.

• Để kết luận, chúng tôi có thể nói rằng cấu trúc của chƣơng trình 1999 không thay

đổi so với chƣơng trình cũ. Hơn thế nữa vai trò của vectơ cũng không thay đổi : Mục đích của

việc dạy học vectơ là cung cấp một công cụ có hiệu quả

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

cho việc nghiên cứu Hình học, đặc biệt là để trình bày một cách ngắn gọn phép chứng minh

các hệ thức lƣợng và tính chất của các phép biến hình.

III. Công cụ vectơ trong sách năm 2000

Bây giờ chúng tôi sẽ xem xét sách giáo khoa năm 2000 - đƣợc sử dụng từ năm 2000 -

2001 trong tất cả các trƣờng THPT - triển khai tiến trình đã đƣợc các tác giả chƣơng trình lựa

chọn nhƣ thế nào. Cụ thể là, dựa vào vectơ để đƣa vào các khái niệm mới và sau đó để rèn

luyện cho học sinh giải các bài tập Hình học bằng công cụ vectơ, nhƣ là đoạn trích dẫn sau

đây của Sách giáo viên : "Chƣơng trình Hình học lớp 10 đã thay đổi, sự thay đổi này không

phải là cộng thêm vào hay bớt đi một số kiến thức Toán học, mà là thay đổi cấu trúc của hệ

thống kiến thức và ở việc đƣa vào một công cụ mới để giải toán Hình học" (Văn Nhƣ Cƣơng,

1990, tr.106).

Từ quan điểm này việc xem xét vai trò của công cụ vectơ trong dạy học Hình học lớp

10 sẽ phải đƣợc tiến hành trên hai mặt: một mặt trên cấu trúc của việc trình bày các kiến thức

cần phải dạy và mặt khác là trên sự lựa chọn các bài tập đƣa ra cho học sinh.

III.1. Cách trình bày các tri thức cần phải dạy :

Sách giáo khoa bao gồm ba chƣơng. Chƣơng đầu tiên dành cho việc đƣa vào khái

niệm vectơ, phép cộng vectơ, phép trừ vectơ, phép nhân một vectơ với một số, trục, hệ trục.

Chƣơng 2 các tác giả đƣa vào một số hệ thức lƣợng trong tam giác, trong đƣờng tròn. Các

phép biến hình trong mặt phẳng là đối tƣợng nghiên cứu của chƣơng 3. Chúng ta hãy xét xem

công cụ vectơ đƣợc sử dụng nhƣ thế nào để trình bày nội dung của hai chƣơng sau.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Trƣớc khi phân tích chi tiết các chƣơng này, chúng tôi cần phải nói rằng bằng cách

đƣa vào khái niệm tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong một hệ trục, ngƣời ta đã xây dựng

những cơ sở đầu tiên của phƣơng pháp tọa độ. Chúng tôi nhắc lại rằng phƣơng pháp này sẽ

đƣợc sử dụng ở lớp 12 để thiết lập nhiều công thức của Hình học giải tích. Những khái niệm

này đƣợc định nghĩa nhƣ sau :

+ Nếu ⃗⃗ ⃗ ⃗ thì cặp số x và y đƣợc gọi là tọa độ của vectơ ⃗⃗ đối với hệ tọa độ

Oxy và viết ⃗⃗ = (x,y). Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ của vectơ ⃗⃗

+ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho một điểm M nào đó. Khi đó tọa độ của

vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cũng đƣợc gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ ấy.

III.1.1. Vectơ và các hệ thức lƣợng:

Trong chƣơng 2, để đƣa vào các hệ thức lƣợng trong tam giác, trong đƣờng tròn, các

tác giả trƣớc hết giới thiệu tích vô hƣớng của hai vectơ. Nhờ khái niệm này, tác giả đã chứng

minh một vài định lý, chẳng hạn định lý hàm số cosin (3), công thức tính độ dài đƣờng trung

tuyến trong một tam giác ...

Nhƣ vậy trong chƣơng này công cụ vectơ đƣợc dùng để chứng minh một số định lý

phát biểu không phải bằng ngôn ngữ vectơ.

Ở cuối chƣơng, chúng tôi tìm thây một ứng dụng khác tính toán bằng vectơ : nhờ hệ

thức Charles các tác giả chứng minh định lý sau đây : "Cho đƣờng tròn (0,R) và một điểm M

cố định. Một đƣờng thẳng thay đổi đi qua M và cắt đƣờng tròn tại 2 điểm A và B thì tích vô

hƣớng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là một số không đổi". Định lý này đƣợc sử dụng sau đó để định nghĩa phƣơng

tích của một điểm đối với một đƣờng tròn (4).

(3) Với mọi tam giác ABC, ta có a2 = b2 + c2 - 2bccosA (4) Giá trị ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không đổi nói trong định lý trên đƣợc gọi là phƣơng tích của điểm M đối với đƣờng tròn O.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Nhƣ thế một khái niệm mới đã đƣợc đƣa vào dƣới một hình thức có sử dụng tƣờng minh các

vectơ.

III.1.2. Vectơ và phép biến hình :

Khái niệm vectơ có mối liên hệ rất chặt chẽ với phép tịnh tiến. Trong dạy học ngƣời

ta có thể :

- Định nghĩa phép tịnh tiến rồi sau đó định nghĩa vectơ là cặp điểm mà phần tử thứ hai

là ảnh của phần tử thứ nhất qua phép tịnh tiến.

- Định nghĩa vectơ trƣớc sau đó định nghĩa phép tịnh tiến nhờ vào vectơ.

Ở Việt Nam ngƣời ta lựa chọn cách thứ hai.

Trong sách giáo khoa các tác giả trình bày khái niệm phép tịnh tiến nhƣ sau:

Phép đặt tƣơng ứng với mỗi điểm M một điểm M' sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗ là vectơ cố

định) gọi là phép tịnh tiến theo vectơ ⃗⃗.

Sau đó vectơ còn đƣợc sử dụng để đƣa vào phép vị tự.

Hơn thế việc chứng minh định lý bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm qua phép đối

xứng trục, đối xứng tâm cũng nhƣ các tính chất của phép vị tự chẳng hạn tính chất bảo toàn tỉ

số khoảng cách, bảo toàn sự thẳng hàng đƣợc thực hiện nhờ việc sử dụng vectơ.

Định lý về tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của phép đối xứng

trục:

Nếu phép đối xứng trục biến hai điểm bất kỳ M và N thành hai điểm M' và N' thì

MN = M'N'. Nói một cách khác: Phép đối xứng trục không làm thay đổi khoảng cách

giữa hai điểm bất kỳ.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Chứng minh : Giả sử d là trục đối xứng. Ta gọi I và J là trung điểm các đoạn thẳng MM' và

NN'. Khi đó I và J đều nằm trên d. Ta có :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (vì MI ⊥ IJ và JN ⊥ IJ)

M’N’2 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (vì M'I ⊥ IJ và JN' ⊥ IJ)

Ta chú ý rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = - ⃗⃗⃗⃗⃗; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = - ⃗⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Từ đó suy ra MN2 = M'N'2 hay MN = M'N'.

- Định lý về tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của phép đối xứng tâm:

Nếu phép đối xứng tâm biến hai điểm bất kỳ M và N thành hai điểm M' và N' thì

MN = M'N'. Nói một cách khác: Phép đối xứng tâm không làm thay đổi khoảng cách

giữa hai điểm bất kỳ.

Chứng minh : Ta chú ý rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Từ đó suy ra: | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

Nhƣ thế các tác giả sách giáo khoa đã triển khai đúng ý đồ dùng vectơ để nghiên cứu

những nội dung đƣợc giảng dạy ở Hình học lớp 10.

III.2. Công cụ vectơ trong bài tập :

Bây giờ chúng ta hãy xét xem việc khai thác công cụ vectơ trong các bài tập nêu ra

cho học sinh đƣợc làm nhƣ thế nào.

Chúng tôi sẽ xét 23 bài tập chƣơng 1 và 16 bài tập chƣơng 2 thuộc sách giáo khoa.

Những bài tập này đƣợc gọi là các "bài tập chính". Hơn thế nữa chúng tôi sẽ

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

phân tích các "bài tập làm thêm" có trong sách bài tập, một quyển sách đƣợc dùng kèm với

sách giáo khoa và thƣờng xuyên đƣợc giáo viên cũng nhƣ học sinh sử dụng.

Để vạch rõ lĩnh vực hoạt động của các kiến thức vectơ, chúng tôi sắp xếp những bài

tập này tùy theo cơ chế đối tƣợng hay công cụ của vectơ trong từng bài. Theo quan điểm này

chúng tôi xác định hai loại bài tập :

- Loại 1 : những bài tập có mục đích củng cố các khái niệm liên quan đến vectơ, phép

toán vectơ và tọa độ của vectơ. Những bài tập này có tác dụng củng cố lý thuyết và rèn luyện

kỹ năng biến đổi các biểu thức vectơ.

- Loại 2 : những bài tập có mục đích áp dụng các kiến thức liên quan đến vectơ để

chứng minh các sự kiện hình học.

Trong thực tế tồn tại một loại thứ 3. Đối với loại này vấn đề là dịch sang ngôn ngữ

vectơ những tính chất hình học đã đƣợc biết của các hình hình học và ngƣợc lại. Nếu những

bài tập đó không thật sự là sử dụng công cụ vectơ thì nó là một loại bài tập cần thiết luôn luôn

có mặt ở giai đoạn đầu tiên và giai đoạn cuối cùng của quá trình giải một bài toán hình học

bằng cách sử dụng công cụ vectơ.

Nhƣ vậy chúng tôi sẽ phân biệt các bài tập theo chỗ nó liên quan đến phƣơng diện đối

tƣợng của vectơ (vectơ - đối tƣợng) hay phƣơng diện công cụ của vectơ (vectơ - công cụ)

hoặc nó liên quan đến việc dịch các tính chất hình học sang ngôn ngữ vectơ và ngƣợc lại

(dịch ngôn ngữ).

Loại bài tập Bài tập chính Bài tập làm thêm

14 0 Vectơ - đối tƣợng

12 3 Dịch ngôn ngữ

(Bảng 1)

13 5 Vectơ - công cụ

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Theo bảng 1 số lƣợng bài tập chính ở 3 loại chênh lệch không quá 2 bài. Điều đó có

nghĩa là đối với các tác giả tầm quan trọng của bài tập các loại là nhƣ nhau. Bây giờ chúng ta

sẽ phân tích chi tiết từng loại bài tập. Phân tích của chúng tôi đƣợc tiến hành trên quan điểm

của lý thuyết nhân chủng học, trong đó khái niệm tổ chức toán học là khái niệm chính đƣợc

chúng tôi sử dụng. Để bạn đọc có một cái nhìn tổng thể về ba loại bài tập này, trƣớc hết

chúng tôi sẽ giới thiệu các kiểu nhiệm vụ (ký hiệu là Ti) gắn với mỗi loại bài tập.

 Loại 1 : Các bài tập nhằm củng cố định nghĩa vectơ, các quy tắc và các phép toán

về vectơ

• T1: Nghiên cứu các đặc trƣng của vectơ

• T2: Cho n điểm bất kỳ hoặc cho một đẳng thức vectơ. Chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc một

đẳng thức có chứa tích vô hƣớng.

• T3: Tính một biểu thức chứa tích vô hƣớng

 Loại 2 : Các bài tập rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ

• T4: Cho trung điểm đoạn thẳng hoặc trọng tâm một tam giác.

Chứng minh một đẳng thức vectơ

• T5: Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa một hệ

thức vectơ.

 Loại 3 : Các bài tập sử dụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học

• T6: Chứng minh một điểm là trung điểm một đoạn thẳng hoặc trọng tâm của một tam giác hoặc

chứng minh các đoạn thẳng có cùng trung điểm

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

• T7: Chứng minh các tam giác có cùng trọng tâm

• T8: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

• T9: Tìm tỉ số một điểm chia một đoạn thẳng

• T10 : Chứng minh một đƣờng thẳng di động đi qua một điểm cố định

• T11 : Chứng minh các đƣờng thẳng đồng quy

• T12: Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc

(n = 1,2) hoặc

• T13: Chứng minh đẳng thức về độ dài các đoạn thẳng.

• T14: Tìm quỹ tích các điểm M thỏa

Sau đây, chúng ta sẽ phân tích chi tiết các kiểu nhiệm vụ. Đối với mỗi kiểu nhiệm vụ

chúng tôi sẽ chỉ ra các kỹ thuật cũng nhƣ các kiến thức liên quan, đƣa ra các ví dụ và kèm

theo lời giải (lời giải này đƣợc lấy từ sách bài tập). Bằng nghiên cứu này chúng tôi sẽ vạch rõ

quan hệ chính thức của thể chế với công cụ vectơ trong dạy học Hình học lớp 10.

III.2.1. Loại 1: Các bài tập nhằm củng cố định nghĩa vectơ, các quy tắc và các phép

toán về vectơ

T1- Nghiên cứu các đặc trƣng của vectơ

Các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 là các câu hỏi mở, ví dụ :

• Cho hai vectơ không cùng phƣơng ⃗⃗ ⃗⃗. Có hay không một vectơ cùng phƣơng với hai

vectơ đó ?

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

• Cho ba điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng.Trong trƣờng hợp nào hai vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

cùng hƣớng, trong trƣờng hợp nào các vectơ đó ngƣợc hƣớng ?

• Vectơ đối của vectơ ⃗⃗ là vectơ nào ? Vectơ đối của vectơ - ⃗⃗ là vectơ nào?

• Từ đẳng thức ⃗⃗ | ⃗⃗| có thể suy ra các đẳng thức sau đây không :

; ; | ⃗⃗| √ ⃗⃗ √| ⃗⃗| | ⃗⃗| ⃗⃗ = ± | ⃗⃗|

T2- Cho n điểm bất kỳ hoặc cho một đẳng thức vectơ. Chứng minh đẳng thức vectơ hoặc một

đẳng thức chứa tích vô hƣớng :

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t2 : Chứng minh một đẳng thức vectơ

b/ Kỹ thuật giải:

τ2 : Biến đổi vế này thành vế kia bằng cách dùng quy tắc ba điểm (Hệ thức Chasles)

c/ Các kiến thức liên quan :

- Các định nghĩa :

• Vectơ bằng nhau

• Vectơ không

• Phép cộng, phép trừ vectơ

- Các tính chất của phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với một số

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

- Tính chất của tích vô hƣớng

- Tính chất: Nếu ⃗⃗ = ⃗⃗ thì ⃗⃗ + ⃗ = ⃗⃗ + ⃗

- Quy tắc ba điểm:

• Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta luôn có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

• Cho vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thì với mọi điểm O, ta luôn có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

d/ Các ví dụ :

(Nhiệm vụ t2, kỹ thuật τ2)

Cho 4 điểm A, B, C, D.

Chứng minh rằng: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Lời giải:

1/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Đó là đpcm.

2/ Với điểm O bất kỳ ta có:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)

= ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

(Nhiệm vụ t2, kỹ thuật τ2)

Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ.

Chứng minh rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Lời giải:

Ta có:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

T3 - Tính một biểu thức chứa tích vô hƣớng

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t31 : Cho trƣớc độ dài đoạn thẳng, số đo góc. Tính tích vô hƣớng

t32 : Cho tọa độ điểm tính tích vô hƣớng

b) Kỹ thuật giải:

τ31 : Dùng định nghĩa tích vô hƣớng

τ32 : Dùng công thức chiếu

τ33: Dùng biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng

c) Các kiến thức liên quan :

- Định nghĩa tích vô hƣớng: ⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗| | ⃗⃗| ⃗⃗ ⃗⃗

- Định nghĩa bình phƣơng vô hƣớng của một vectơ ⃗⃗ | ⃗⃗|

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

- Nếu ⃗⃗ ⃗⃗ nằm trên một trục thì tích vô hƣớng của hai vectơ đó bằng tích các độ dài

đại số của chúng.

- Công thức chiếu : Tích vô hƣớng của hai vectơ ⃗⃗ ⃗⃗ bằng tích vô hƣớng của vectơ

⃗⃗ và hình chiếu ⃗⃗ của vectơ ⃗⃗ trên đƣờng thẳng chứa ⃗⃗.

- Biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng : Nếu trong hệ tọa độ Oxy cho hai vectơ ⃗⃗ =

(x1,y1) và ⃗⃗ = (x2,y2) thì tích vô hƣớng của chúng đƣợc tính theo công thức ⃗⃗ ⃗⃗ = x1x2 + y1y2.

- Các tính chất cơ bản của tích vô hƣớng:

- Với mọi vectơ ⃗⃗ ⃗⃗, ⃗ và mọi số K, ta có:

• Tính giao hoán: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

• Tính phân phối: ⃗⃗( ⃗⃗ ⃗) ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

• Tính kết hợp: (k ⃗⃗). ⃗⃗ = k( ⃗⃗ ⃗⃗

d/ Các ví dụ :

(Nhiệm vụ t31, kỹ thuật τ31)

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a; BC = 2a. Dựa vào định

nghĩa tích vô hƣớng hãy tính: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Lời giải:

Tam giác vuông ABC có A = 900, AB = a, BC = 2a nên ̂ = 60°, ̂ = 300 và AC= a√ .

Vậy :

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √

) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √ √ ( √

)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (

(Nhiệm vụ t31, kỹ thuật τ32)

Cho hai điểm M, N nằm trên đƣờng tròn đƣờng kính

AB=2R. Gọi I là giao điểm hai đƣờng thẳng AM và BN.

Tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ theo R.

Lời giải:

Chú ý rằng BM ⊥ AI. Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là hình chiếu của vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ trên đƣờng thẳng AI, vậy

ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗. Chứng minh tƣơng tự ta cũng có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

Vậy: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(Nhiệm vụ t32, kỹ thuật τ33)

Đối với hệ trục tọa độ Oxy, cho các điểm A=(l; 1),

B=(2; 4); C = (10; 2). Tính tích vô hƣớng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -8 + 18 = 10

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

 Nhận xét về loại 1 :

- Mục đích :

•Kiểu nhiệm vụ T1 giúp học sinh nắm vững các đặc trƣng của vectơ nhƣ : phƣơng,

hƣớng, môđun.

•Kiểu nhiệm vụ T2 đƣợc lặp đi, lặp lại trong các bài cộng vectơ, trừ vectơ, nhân một

số với một vectơ và phần bài tập ôn của chƣơng I, bài tích vô hƣớng của chƣơng II nhằm

hoàn thiện kỹ năng biến đổi có định hƣớng để đƣa một hệ thức vectơ đã cho về một hệ thức

vectơ khác mà ta muốn đạt đến, tạo thuận lợi để thực hiện tốt các nhiệm vụ khác đƣợc đặt ra

sau này. Bởi vì xét cho cùng, khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ khác ta đều có giai đoạn biến

đổi hệ thức vectơ này sang một hệ thức vectơ khác.

•Kiểu nhiệm vụ T3 giúp cho học sinh biết cách vận dụng một cách linh hoạt kiến thức

đã học để tính một tích vô hƣớng, tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải quyết các kiểu nhiệm

vụ sau, chẳng hạn nhƣ chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc hoặc chứng minh một đẳng

thức về độ dài các đoạn thẳng.

- Kỹ thuật:

•Các kỹ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ này đƣợc đƣa ra một cách ngầm ẩn thông

qua lời giải các ví dụ, các bài tập hoặc các chứng minh định lý trong sách giáo khoa và sách

bài tập. Nó không đƣợc thể chế hóa thành một bảng tóm tắt. Sách giáo khoa 1990, ngƣợc lại,

đã đƣa các kiểu nhiệm vụ trong loại 1 vào "vài dạng toán thƣờng gặp" và ghi rõ kỹ thuật giải.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

- Thống kê số lƣợng bài tập loại 1:

Loại BT BT chính BT làm thêm TS loại 1

T1 4 0

T2 7 0 14

(Bảng 2)

T3 3 0

Theo bảng 2 chúng ta nhận thấy số lƣợng bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T2 lớn hơn rất

nhiều số lƣợng bài tập của hai kiểu nhiệm vụ kia. Điều này chứng tỏ rằng trong loại 1 kiểu

nhiệm vụ chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc một đẳng thức chứa tích vô hƣớng của hai

vectơ là kiểu nhiệm vụ trọng tâm.

III.2.2. Loại 2 : Các bài tập rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ

T4 - Cho trung điểm của một đoạn thẳng hoặc trọng tâm của một tam giác. Chứng

minh một đẳng thức vectơ

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t4 : Cho trung điểm đoạn thẳng hoặc trọng tâm một tam giác. Chứng minh một đẳng

thức về cộng trừ vectơ

b/ Kỹ thuật giải:

τ4 : Dùng quy tắc ba điểm cộng với hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm

c/ Các kiến thức liên quan :

- Quy tắc ba điểm :

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

• Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta luôn có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

• Cho vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thì với mọi điểm O, ta luôn có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

- Hệ thức trung điểm:

• Hệ thức 1 (đƣợc trình bày trong sách giáo khoa)

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm O ta có: 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

Nói cách khác vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là trung bình cộng của 2 vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tức là

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)

• Hệ thức 2 (là một bài tập đƣợc dùng rất nhiều trong các bài tập sau đó)

Nếu O là trung điểm AB thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

- Hệ thức trọng tâm:

• Hệ thức 1: Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

• Hệ thức 2: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có: 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Nói cách khác ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là trung bình cộng của ba vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, tức là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)

d/ Các Ví dụ :

(Nhiệm vụ t4, kỹ thuật τ4 - Dùng hệ thức trung điểm 1)

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Chứng minh định lý :

Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

Lời giải:

Gọi AI là trung tuyến của tam giác ABC. Điểm G là trọng tâm tam giác đó

khi và chỉ khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2 ⃗⃗⃗⃗, nhƣng I là trung điểm BC nên

2 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Nhƣ vậy:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hay ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

(Nhiệm vụ t4, kỹ thuật τ4 - Dùng hệ thức trung điểm 2)

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm các

cạnh AB và CD.

Chứng minh 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Lời giải:

Theo quy tắc ba điểm ta có:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(Có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ do M, N là trung điểm AB và CD)

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

(Nhiệm vụ t4, kỹ thuật τ4 - Dùng hệ thức trọng tâm)

Cho hai tam giác ABC và A'B'C có trọng tâm lần lƣợt

là G và G'. Chứng minh rằng 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Lời giải: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ do G và G’ là trọng

tâm các tam giác ABC và A’B’C’)

T5 - Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa mãn một hệ thức vectơ

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t5: Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa mãn một hệ thức vectơ b/ Kỹ thuật

giải:

b/ Kỹ thuật giải:

τ5 : Dùng quy tắc ba điểm, hệ thức trung điểm hoặc hệ thức trọng tâm để rút gọn hệ

thức đã cho về một trong các dạng sau đây:

- ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Vậy có M là đỉnh thứ tƣ của hình bình hành ABCM

- ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗. Vậy M là trung điểm AB

- ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗. Vậy M A

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

- | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|. Vậy tập hợp điểm M là đƣờng trung trực đoạn AB

- ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Vậy tập hợp điểm M là đƣờng thẳng qua A vuông góc BC

- MA2 = k > 0. Vậy tập hợp điểm M là đƣờng tròn tâm A bán kính R = √

c/ Các kiến thức liên quan :

- Định nghĩa: vectơ Không ( ⃗⃗ ); vectơ bằng nhau;

- Hệ thức trung điểm 2: Nếu O là trung điểm AB thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ hay ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

- Tích vô hƣớng.

d/ Các ví dụ :

(Nhiệm vụ t5, kỹ thuật τ5)

Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thỏa mãn điều

kiện ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

Lời giải:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ tƣơng đƣơng với

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hay ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy M đƣợc xác định bởi hệ thức:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hay M là đỉnh thứ 4 trong hình bình hành ABCM.

(Nhiệm vụ t5, kỹ thuật τ5)

Cho tứ giác ABCD. Hãy xác định vị trí điểm G sao cho :

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

Lời giải: Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm AB và CD.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Bởi vậy nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ thì

2( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗. Vậy G là trung điểm đoạn thẳng MN.

(Nhiệm vụ t5, kỹ thuật τ5)

Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn

từng điều kiện sau :

a/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

b/ | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

Lời giải:

a/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ hay M G

b/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ trong đó E là trung điểm AB.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ trong đó F là trung điểm AC. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| ⟺ ME = MF tức là M cách đều E và F.

Vậy tập hợp các điểm M là đƣờng trung trực đoạn EF.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

(Nhiệm vụ t4, kỹ thuật τ4)

Cho hai điểm A, B cố định và một số dƣơng k không đổi.

Tìm quỹ tích các điểm M sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Lời giải:

Gọi I là trung điểm AB:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗) MI2 – IA2

Từ đó suy ra: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (k > 0) không đổi thì MI2 – IA2 = k hay MI2 = IA2 + k.

Vậy quỹ tích M là đƣờng tròn tâm I bán kính R = √

Cho tam giác ABC. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vậy M thay đổi sao cho CM ⊥ AB. Suy ra quỹ tích của M là đƣờng thẳng qua C và

vuông góc AB.

 Nhận xét về loại 2:

- Mục đích:

Rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ. Đây là một khâu quan trọng trong quy trình giải

toán hình học bằng công cụ vectơ. Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy toán 10 trang 60 đã nêu rõ :

" Nhiều sự kiện hình học mà học sinh đã biết ở lớp dƣới thì nay có thể diễn tả một cách khác,

theo ngôn ngữ vectơ. Chẳng hạn trƣớc kia nói : I là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì nay có

thể nói: ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗, hoặc trƣớc kia nói G là trọng tâm của ABC thì nay có thể nói ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗. Trƣớc kia nói:

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Hai đƣờng thẳng AB và CD vuông góc với nhau thì nay có thể nói ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Để có thể vận

dụng phƣơng pháp vectơ, cần làm cho học sinh nắm vững cách "phiên dịch" nhƣ thế"

Trong loại 2, việc chuyển ngôn ngữ bao gồm :

- Chuyển ngôn ngữ từ vectơ sang hình học. Cụ thể là:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thì ABCM là hình bình hành

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ thì M là trung điểm của AB

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thì AM ⊥ BC

- Chuyển ngôn ngữ từ hình học sang vectơ. Cụ thể là :

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Nếu O là trung điểm AB thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ hay ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗.

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với mọi điểm O ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Trong loại 2, việc chuyển ngôn ngữ đƣợc lồng trong hai kiểu nhiệm vụ "Cho trung

điểm một đoạn thẳng hoặc trọng tâm một tam giác. Chứng minh một đẳng thức vectơ" và

"Xác định một điểm hoặc một tập hợp điểm thỏa mãn một hệ thức vectơ". Theo chúng tôi, để

rèn luyện cho học sinh kỹ năng chuyển các sự kiện hình học sang ngôn ngữ vectơ và ngƣợc

lại thì nên có các dạng bài tập thành lập "từ điển vectơ". Chẳng hạn các bài tập sau đây :

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

• Cho đoạn thẳng AB. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi một

trong các điều kiện sau đây đƣợc thỏa mãn:

a/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

b/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

c/ Với O tùy ý: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

d/ Với O tùy ý: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

• Cho tứ giác ABCD. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD là hình bình

hành là một trong các điều kiện sau đƣợc thỏa mãn:

a/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

b/ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

c/ Với O tùy ý: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

d/ Với M là giao điểm hai đƣờng chéo AC và BD:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

Việc giải các bài tập thành lập "từ điển vectơ" sẽ giúp học sinh nắm vững và hệ thống

hóa các kiến thức về vectơ. Việc chuyển từ hệ thức vectơ sang sự kiện hình học giúp học sinh

thấy đƣợc biểu tƣợng trực quan, ý nghĩa hình học của hệ thức vectơ. Ngƣợc lại việc chuyển

từ sự kiện hình học sang ngôn ngữ vectơ có vai trò quan trọng trong việc xác định xem một

bài toán hình học có thể giải đƣợc bằng công cụ véc tơ hay không. Thông thƣờng nếu không

gặp khó khăn trong việc chuyển các yếu tố cho trong bài toán sang ngôn ngữ vectơ cũng nhƣ

tìm đƣợc cách diễn đạt

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

mối quan hệ giữa các yếu tố đó thì có nhiều khả năng bài toán đƣợc cho có thể giải bằng công

cụ này.

Ngoài việc rèn luyện việc chuyển đổi ngôn ngữ thì các bài tập của loại 2 còn có hai

mục đích sau đây :

♦ Tiếp tục rèn luyện kỹ năng biến đổi trên một hệ thức vectơ

♦ Biết cách dựng một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ.

- Kỹ thuật

Các kỹ thuật để giải quyết cả hai kiểu nhiệm vụ trong loại 2 không đƣợc trình bày một

cách tƣờng minh trong sách năm 2000. Sách năm 1990 có nêu kỹ thuật để giải quyết kiểu

nhiệm vụ xác định một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trƣớc thuộc loại 2 nhƣ sau :

Phƣơng pháp xác định điểm M thỏa mãn mốt đẳng thức vectơ cho trƣớc :

Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trƣớc về dạng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ trong đó O và

vectơ ⃗⃗ đã biết. Khi điểm M hoàn toàn đƣợc xác định.

Để giải các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T5 trong sách năm 2000, chúng ta chỉ cần sử

dụng hệ thức trung điểm và hệ thức trọng tâm. Không có bài tập nào phải dùng đến công thức

điểm chia đoạn thẳng theo một tỷ số cho trƣớc. Tuy nhiên trong sách năm 1990 lại có loại bài

tập này.

Ví du : Cho tam giác ABC. Tìm điểm K sao cho:

Lời giải:

= 3 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Ta có :

Thống kê số lƣợng bài tập loại 2

Loại BT BT chính BT làm thêm TS loại 2

(Bảng 3)

T4 8 0 15 T5 4 3

Theo bảng thống kê ở trên, chúng ta thấy kiểu nhiệm vụ chứng minh một đẳng thức

vectơ có số lƣợng bài tập gấp đôi số lƣợng bài tập của kiểu nhiệm vụ còn lại. Do đó có thể

nói rằng cũng nhƣ trong loại 1 ở loại 2 việc rèn luyện chứng minh một đẳng thức vectơ đƣợc

đặc biệt quan tâm.

III.2.3. Loại 3 : Các bài tập sử dụng công cụ vectơ để giải các bài toán hình học.

Trong ba loại bài tập đã liệt kê ở trên thì loại 3 đƣợc chúng tôi quan tâm phân tích kỹ

lƣỡng nhất. Mục đích là nhằm làm sáng tỏ vai trò của vectơ trong việc giải toán hình học 10.

Các bài tập thuộc loại ba đƣợc sắp xếp vào 9 kiểu nhiệm vụ sau đây :

T6- Chứng minh một điểm là trung điểm đoạn thẳng hoặc là trọng tâm một đa giác

hoặc chứng minh các đoạn thẳng có cùng trung điểm

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t61: Chứng minh một điểm là trung điểm một đoạn thẳng

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

t62: Chứng minh một điểm là trọng tâm một đa giác

t63: Chứng minh các đoạn thẳng có cùng trung điểm

b/ Kỹ thuật:

τ61 : để chứng minh M là trung điểm đoạn AB ta chứng minh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ τ62 : để chứng minh G là trọng tâm đa giác A1A2...An ta chứng minh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

c/ Các kiến thức liên quan :

- ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⇒ M là trung điểm AB (đây là mợ bài tập)

- Định nghĩa và hệ thức trọng tâm một đa giác

- M là trung điểm AB ⟺

- M ≡ M’ ⟺

d/ Ví dụ:

Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi E và F lần lƣợt là trung

điểm của AB và CD. I là trung điểm EF. Gọi M, N lần

lƣợt là trung điểm của BC và DA. P, Q lần lƣợt là

trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng I là trung

điểm của MN và PQ.

Lời giải:

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Vậy I là trung điểm của MN.

Chứng minh tƣơng tự ta cũng có I là trung điểm của PQ.

e/ Nhận xét về T6:

- Mục đích của T6 là dùng công cụ vectơ hoặc dùng phƣơng pháp tọa độ để giải quyết

một bài toán hình học.

- Việc dùng vectơ để chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác hay hơn việc

dùng nó để chứng minh một điểm là trung điểm một đoạn thẳng bởi vì để chứng minh một

điểm là trung điểm một đoạn thẳng nếu ta dùng tính chất đƣờng chéo hình bình hành thì sẽ có

đƣợc lời giải gọn gàng.

- Bài toán chứng minh hai đoạn thẳng có cùng trung điểm đƣợc nêu ra cho kiểu nhiệm

vụ T6 có thể giải bằng định lý:

AB, CD có cùng trung điểm ⟺ AB, CD là hai đƣờng chéo của một hình bình hành.

T7 - Chứng minh các tam giác có cùng trọng tâm

a/ Nhiệm vụ :

t7: Chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm

b/ Kỹ thuật:

τ7 : Để chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C có cùng trọng tâm ta chứng minh

rằng: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

c/ Các kiến thức liên quan :

Kỹ thuật trên dựa vào một kết quả của một bài tập trƣớc đó là: "Cho hai tam giác

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Từ ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lƣợt là G và G'. Chứng minh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

đó suy ra một điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm”

d/ Ví dụ:

(Nhiệm vụ t7, kỹ thuật τ7)

Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua

B; B' là điểm đối xứng với B qua C và C là điểm đối

xứng với C qua A. Chứng minh rằng các tam giác ABC

và A’B’C’ có chung trọng tâm.

Lời giải:

Ta có:

Vậy hai tam giác ABC

và A'B'C có cùng trọng tâm.

e/ Nhận xét về T7:

- Mục đích của T7 là tập học sinh làm quen với việc sử dụng vectơ nhƣ một công cụ

để giải quyết một bài toán hình học. Trong kiểu nhiệm vụ T7 này rõ

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

ràng việc dùng vectơ để giải quyết có hiệu quả hơn rất nhiều việc dùng phƣơng pháp tổng

hợp. Thông qua các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ này học sinh thấy có sự khác biệt khá rõ nét

khi dùng vectơ và dùng phƣơng pháp tổng hợp để giải toán. Nếu sử dụng công cụ vectơ

chúng ta có thể không cần vẽ hình, chỉ cần thực hiện các phép biến đổi vectơ. Chẳng hạn, với

bài toán trên nếu vẽ đầy đủ các trung tuyến, các trọng tâm thì hình vẽ rất rối rắm mà cũng

không có hiệu quả gì trong việc định hƣớng cách giải.

- Kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T7 đƣợc nêu không tƣờng minh trong SGK. Đối

với T7 sách năm 1990 dùng kỹ thuật chứng minh hai điểm trùng nhau để giải quyết. Ngƣời ta

gọi G, G' lần lƣợt là trọng tâm hai tam giác ABC và A’B’C’ và chứng minh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ từ đó

suy ra G ≡ G’. So với kỹ thuật này thì kỹ thuật dùng trong sách năm 2000 dễ vận dụng hơn.

Tuy nhiên kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ T7 trong sách năm 2000 phải dựa vào kết quả

của một bài tập trƣớc mà chúng ta đã nêu trong phần công nghệ của kỹ thuật giải quyết kiểu

nhiệm vụ T7 ở trên.

T8 - Chứng minh ba điểm thẳng hàng

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t8: Cho tọa độ ba điểm. Chứng minh ba điểm đó thẳng hàng.

b/ Kỹ thuật :

τ8: Để chứng minh ba điểm A, B, M thẳng hàng ta tính tọa độ hai vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ so

sánh tọa độ hai vectơ này để suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và kết luận A, B, M thẳng hàng.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

c/ Các kiến thức liên quan :

- Định nghĩa tích của một vectơ với một số thực : Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thì

♦ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng hƣớng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ nếu k ≥ 0, ngƣợc hƣớng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ nếu k < 0

♦ AB = |k| AC

- Tính chất của phép nhân một vectơ với một số thực

- Ghi chú : nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thì A, B, M thẳng hàng.

d/ Ví dụ :

(Nhiệm vụ t8, kỹ thuật τ7)

Cho ba điểm A(-l; 1); B (1; 3); C(-2; 0).

Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,2); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (-1;-1) nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phƣơng do đó A, B, C

thẳng hàng.

e/ Nhận xét về T8:

- Trong sách năm 2000, bài toán cụ thể của kiểu nhiệm vụ T8 đƣợc phát biểu bằng

ngôn ngữ tọa độ và đƣợc giải quyết bằng phƣơng pháp vectơ - tọa độ.. Những bài toán liên

quan đến sự thẳng hàng đƣợc phát biểu bằng ngôn ngữ hình học thuần túy và đƣợc giải quyết

bằng công cụ vectơ chỉ thấy trong khi giải các bài toán lớn thuộc các kiểu nhiệm vụ sau (T9,

T10, T11).

- Bài toán chứng minh sự thẳng hàng của ba điểm là một trƣờng hợp của bài toán

chứng minh hai đƣờng thẳng cùng phƣơng. Ta chỉ gặp các bài tập liên

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

quan đến sự thẳng hàng mà không gặp các bài tập liên quan đến sự song song, ngay cả khi

phát biểu bài toán dƣới dạng ngôn ngữ tọa độ.

- Mức độ đặt ra của bài toán thuộc T8 là quá đơn giản.

- Kỹ thuật giải quyết nhiệm vụ T8 đƣợc trình bày một cách ngầm ẩn trong lời giải của

sách bài tập năm 2000. Sách năm 1990 không có kiểu nhiệm vụ T8

T9 - Tìm tỉ số một điểm chia một đoạn thẳng

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t91 : Cho tọa độ 3 điểm A, B, C. Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn thẳng BC.

t92 : Cho tọa độ 2 điểm A, B. Tìm tỉ số mà giao điểm của đƣờng thẳng AB với một

trong hai trục toa độ chia đoạn thẳng AB.

b/ Kỹ thuật:

τ91 : Tính tọa độ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thì A chia đoan BC theo tỉ số k.

τ92 : Đặt M(x,0) ∈ Ox; N(0, y) ∈ Oy

A, B, M thẳng hàng ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A, B, N thẳng hàng ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Giải tìm x, y, k, m

c/ Các kiến thức liên quan :

Định nghĩa điểm chia một đoạn thẳng theo tỉ số k :

Cho hai điểm phân biệt A và B. Ta nói rằng điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k

nếu: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

d/ Các ví dụ :

(Nhiệm vụ t91, kỹ thuật τ91)

Cho ba điểm A(-l; 1), B(l; 3), C(-2; 0). Tìm các tỉ số mà điểm A chia

đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, và điểm C chia đoạn AB

Giải:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (2,2); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (-1;-1) nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phƣơng do đó A, B, C

thẳng hàng.

Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ nên A chia đoạn thẳng BC theo tỉ số -2. Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (-2;-2), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (-3,-3)

nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Vậy B chia đoạn thẳng AC theo tỉ số

(Nhiệm vụ t92, kỹ thuật τ92)

Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm : A = (1; 3), B = (4; 2).

Đƣờng thẳng AB cắt trục Ox và Oy lần lƣợt tại M và N. Các điểm M và

N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số nào ?

Giải:

Vì M ∈ Ox nên M = (x; 0). Khi đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1-x; 3) và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (4-x; 2). Ta phải tìm số k

sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, tức là 1 – x = k(4-x) và 3 = 2.k. Suy ra k =

Vậy điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

Làm tƣơng tự ta có kết quả : Điểm N chia đoạn thẳng AB theo tỉ số

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

T10 - Chứng minh một đƣờng thẳng di động đi qua 1 điểm cố định

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t10 : Chứng minh một đƣờng thẳng di động luôn đi qua một điểm cố định nào đó đƣợc

chỉ rõ ra trong bài toán.

b/ Kỹ thuật:

τ10 : Để chứng minh chẳng hạn AB di động luôn qua C cố định ngƣời ta làm nhƣ sau:

- Chọn một hệ vectơ thích hợp nào đó

- Diễn tả ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ qua hệ vectơ đã chọn ở trên.

- So sánh và rút ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

- Kết luận A, B, C thẳng hàng. Nói cách khác đƣờng thẳng AB di động luôn đi qua

điểm C cố định.

c/ Các kiến thức liên quan :

Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phƣơng do đó A, B, C thẳng hàng. Nói cách khác

ta có đƣờng thẳng AB đi qua C

d/ Ví dụ:

(Nhiệm vụ t10, kỹ thuật τ10)

Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Gọi A', B', C' lần lƣợt là điểm

đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Chứng minh rằng khi M di động, đƣờng thẳng MN luôn đi qua trọng tâm

G của tam giác ABC.

Lời giải. A

A’

Gọi K, I, J lần lƣợt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó KI là đƣờng trung bình của

các tam giác CAB và MA'B' nên :

Vậy tứ giác ABA'B' là hình bình hành.

Tƣơng tự, ACA’C’ cũng là hình bình hành. Từ đó ta thấy các đƣờng chéo của hai

hình bình hành ấy là

AA', BB', CC' đồng quy tại trung điểm N của mỗi đoạn

Vậy (1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Điều đó chứng tỏ M, N, G thẳng hàng.

e/ Nhận xét về T10 :

- Đƣa ra kiểu nhiệm vụ T10 các tác giả của bộ sách năm 2000 muốn chỉ ra tính hiệu

quả khi giải bằng công cụ vectơ so với cách giải bằng phƣơng pháp tổng hợp.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

- Về thực chất T10 là một kiểu thay đổi hình thức đặt câu hỏi của T8 vì thực ra nó

cũng là bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Thông qua các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ

T10 học sinh đƣợc rèn luyện cách sử dụng vectơ để chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng kỹ

thuật:

A, B, C thẳng hàng ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Nhƣng ở đây không phải so sánh tọa độ của hai vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ mà tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

qua một vectơ hoặc một hệ vectơ nào đó rồi suy ra quan hệ giữa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Nói cách khác, ở

đây ta sử dụng phƣơng pháp vectơ chứ không phải phƣơng pháp vectơ - tọa độ

- Cũng nhƣ tất cả các kiểu nhiệm vụ khác, kỹ thuật để giải quyết T10 cũng đƣợc đƣa

vào một cách ngầm ẩn trong bộ sách năm 2000.

- Kiểu nhiệm vụ này chỉ có duy nhất một bài tập minh họa. Đó là bài tập nêu ở ví dụ

điển hình nói trên, nó là phần làm thêm trong sách bài tập. Do đó có thể không đƣợc giáo

viên đặt ra cho tất cả học sinh, vì vậy sẽ có rất nhiều học sinh không đƣợc gặp kiểu nhiệm vụ

này. Có lẽ đây cũng là ý giảm tải chƣơng trình của bộ sách mới.

- Đây là một bài toán thuộc loại khó. Để giảm bới mức độ khó khăn, sách năm 2000

đã chỉ ra điểm cố định mà MN luôn đi qua trong đề bài đó là trọng tâm G của tam giác ABC.

Sách năm 1990 có bài tập liên quan đến kiểu nhiệm vụ T10 nhƣng điểm cố định không đƣợc

chỉ ra trƣớc.

Ví dụ : Cho hai điểm A và B cố định. M là một điểm tùy ý trong mặt phẳng. P là điểm

xác định bởi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Chứng minh rằng đƣờng thẳng MP đi qua một điểm cố định.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

T11 - Chứng minh các đƣờng thẳng đồng quy

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t11: Chứng minh một điểm là điểm chung của các đƣờng thẳng.

b/ Kỹ thuật giải:

τ11: Để chứng minh I là điểm chung của ba đoạn thẳng AA', BB', CC' ta chứng minh:

c/ Các kiến thức liên quan :

⇒ { ⇒

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ { ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

d/ Ví dụ:

(Nhiệm vụ t11, kỹ thuật τ11)

Điểm G là trọng tâm tứ giác ABCD và A', B', C', D' lần lƣợt là trọng

tâm các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC.

Chứng minh rằng G là điểm chung của các đoạn thẳng AA', BB',

CC', DD'.

Lời giải:

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

(1) Vì G là trọng tâm tứ giác ABCD nên: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

Mặt khác A’ là trọng tâm tam giác BCD nên:

tức là

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Điều đó có nghĩa là G, A và A' thẳng hàng Nhƣ vậy (1) trở nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Chứng minh tƣơng tự ta cũng có G, B, B' thẳng hàng, G, C, C’ thẳng hàng và G, D, D'

thẳng hàng. Vậy G là điểm chung của bốn đoạn AA', BB', CC', DD'.

e/ Nhận xét về T11 :

- Mục đích của T11 là đƣa thêm một kiểu nhiệm vụ mà để giải quyết nó ta có thể dùng

công cụ vectơ để giải quyết.

- T11 chẳng qua cũng chỉ là một hình thức khác của T8 (chứng minh các điểm thẳng

hàng)

- Trong T8 để chứng minh ba điểm thẳng hàng ngƣời ta dùng phƣơng pháp vectơ - tọa

độ. Trong T11 bài toán đƣợc giải hoàn toàn bằng công cụ vectơ. Nhƣ vậy qua kiểu nhiệm vụ

Tu học sinh một lần nữa đƣợc rèn luyện việc sử dụng công cụ vectơ để chứng minh ba điểm

thẳng hàng.

- Có hai bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T11. Một bài (bài trên) thuộc phần bài tập ôn

chƣơng 1 và một bài toán thuộc phần bài tập ôn chƣơng 2.

- Cả hai bài toán đều liên quan đến trọng tâm và trung điểm. Nhƣ vậy cũng nhƣ kiểu

nhiệm vụ chứng minh một đƣờng thẳng đi qua một điểm cố định thì kiểu nhiệm vụ này cũng

chỉ liên quan đến trọng tâm và trung điểm. Rõ ràng ngƣời ta chỉ muốn dùng hệ thức trọng tâm

và hệ thức trung điểm để biến đổi

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

về đẳng thức ⃗⃗ ⃗⃗ (*).Chúng ta không tìm thấy bài toán nào mà tất cả các điểm đầu và

điểm cuối của các vectơ trong (*) đều không là trung điểm một đoạn thẳng hoặc không là

trọng tâm của một tam giác. Hơn nữa trong các bài toán thuộc T11 ngƣời ta không bắt chứng

minh các đƣờng thẳng đồng quy mà yêu cầu cụ thể hơn đó là chứng minh một điểm là điểm

chung của các đoạn thẳng. Nói cách khác giao điểm của các đoạn thẳng này đã đƣợc chỉ ra.

Vì vậy có thể nói rằng yêu cầu đƣợc đặt ra trong bài toán không quá cao.

- Kỹ thuật giải quyết T11, sách năm 2000 cũng chỉ đề cập một cách ngầm ẩn

T12 - Chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t12.1 : Chứng minh trung tuyến một tam giác vuông góc một đoạn thẳng nào đó.

t12.2 : Cho tọa độ của ba điểm, chứng minh chúng lập thành một tam giác vuông.

b/ Kỹ thuật giải:

τ12 : Để chứng minh AB ⊥ CD ta chứng minh rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

c/ Các kiến thức liên quan :

♦ Hệ thức trung tuyến

♦ Quy tắc ba điểm

♦ Định nghĩa tích vô hƣớng

♦ Các tính chất của tích vô hƣớng

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

♦ Công thức chiếu :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ với A’, B’ là hình chiếu của A, B lên giá của ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

♦ Chú ý : ⃗⃗ ⊥ ⃗⃗ ⟺ ⃗⃗ ⃗⃗

♦ Biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng

d/ Các ví dụ :

(Nhiệm vụ t12.1, kỹ thuật τ12)

Cho tam giác cân ABC đỉnh A và đƣờng cao AH. Gọi D

là hình chiếu vuông góc của H trên AC, M là trung điểm

HD. Chứng minh rằng AM ⊥ BD.

Lời giải:

Theo giả thiết ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ngoài ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Bởi vậy:

(công thức hình chiếu)

Vậy AM ⊥ BD.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

(Nhiệm vụ t12.1, kỹ thuật τ12)

Cho tam giác ABC có góc A nhọn, ở miền ngoài của tam giác đó vẽ các

tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm BC.

Chứng minh rằng AI ⊥ DE.

Lời giải:

Vì I là trung điểm BC nên ta có

Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cho nên:

Vì AB = AD; AE = AC; B ̂E = C ̂D = 900 + ̂

Nên ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Vậy AI ⊥ DE.

(Nhiệm vụ t12.2, kỹ thuật τ12)

Đối với hệ tọa độ Oxy của các điểm A = (1; 1); B (2; 4); C (10, -2).

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

Ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1; 3); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (9; -3)

Từ đó suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 9 – 9 = 0. Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

e/ Nhận xét về T12:

- Đƣa ra T12 là muốn học sinh biết cách sử dụng công cụ vectơ, mà cụ thể là tích vô

hƣớng để chứng minh sự vuông góc.

- Có ba bài toán cụ thể đƣợc đƣa vào trong kiểu nhiệm vụ này. Trong đó một bài phát

biểu dƣới dạng ngôn ngữ tọa độ còn hai bài kia là toán hình học thuần túy.

♦ Về hình thức đặt câu hỏi thì hai bài đặt yêu cầu trực tiếp chứng minh hai đƣờng

thẳng vuông góc còn bài kia là gián tiếp thông qua việc bắt chứng minh tam giác vuông (khi

hỏi tam giác vuông học sinh có thể nghĩ đến phƣơng án dùng định lý đảo của định lý Pitago).

♦ Về kỹ thuật giải thì một bài có sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hƣớng, hai bài

còn lại thì không dùng biểu thức này, trong hai bài này một bài có dùng định nghĩa tích vô

hƣớng, bài kia dùng công thức chiếu.

- Kỹ thuật chung để giải quyết kiểu nhiệm vụ T12 không đƣợc nêu một cách tƣờng

minh trong sách năm 2000.

Ngƣợc lại trong sách năm 1989 ngƣời ta nêu một cách tƣờng minh kỹ thuật này bằng

bảng sau đây:

Phƣơng pháp chứng minh tính vuông góc :

Ta dùng định lí: ⃗⃗ ⊥ ⃗⃗ ⟺ ⃗⃗ ⃗⃗

Ngoài ra ta còn sử dụng các tính chất của tích vô hƣớng.

Ghi chú : tính chất của tích vô hƣớng nêu trong mục một nói trong bảng trên là:

Các hằng đẳng thức về tích vô hƣớng ♦

Công thức chiếu ♦

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

- Trong quá trình chứng minh ⃗⃗ ⃗⃗ ngƣời ta phải thực hiện một số phép biến đổi

vectơ. Tuy nhiên trong lời giải không có sự giải thích tại sao phải biến đổi nhƣ vậy. Nếu xét

hai bài tập đầu tiên đã nêu ở trên thì:

♦ Ở bài số 2 khi chứng minh rằng : ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ngƣời ta đã đƣa hai vectơ này về các

vectơ gốc là A.

(hệ thức trung điểm)

♦ Ở bài số 1 khi chứng minh rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ngƣời ta biến đổi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(hệ thức trung điểm); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

Nhƣ vậy có sự giống nhau trong cách biến đổi ở hai bài là nếu gặp vectơ trung tuyến

thì dùng hệ thức trung điểm, nhƣng cũng có sự khác nhau trong cách biến đổi vectơ thứ hai là

có lúc đƣa về cùng điểm gốc với vectơ thứ nhất, có lúc lại không làm nhƣ vậy. Học sinh sẽ

đặt câu hỏi tại sao trong bài hai ngƣời ta không biến đổi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Vậy căn cứ vào đâu

để định hƣớng cho việc biến đổi dẫn đến sự thành công trong lời giải. Đây là khó khăn rất lớn

đối với học sinh. Các em thƣờng biến đổi tùy tiện, có tính chất may rủi. Cũng chính ở điểm

này mà một vấn đề đặt ra là có thể định hƣớng cho phép biến đổi không? Đâu là cách biến

đổi đƣợc ƣu tiên.

T13 - Chứng minh đẳng thức về độ dài đoạn thẳng

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t13: Chứng minh một đẳng thức chứa bình phƣơng độ dài các đoạn thẳng.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

b/ Kỹ thuật giải:

τ13: Chuyển bình phƣơng các độ dài ở một vế của đẳng thức về bình phƣơng vô hƣớng

của các vectơ. Dùng quy tắc ba điểm, hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm, định nghĩa tích

vô hƣớng, các tính chất và hằng đẳng thức về tích vô hƣớng để biến đổi về bình phƣơng vô

hƣớng của các vectơ mà ta muốn đạt tới. Sau đó chuyển ngƣợc bình phƣơng vô hƣớng về lại

bình phƣơng các độ dài ở vế kia.

c/ Các kiến thức liên quan :

- Tích vô hƣớng và các tính chất của nó

d/ Ví dụ:

(Nhiệm vụ t13, kỹ thuật τ13)

Cho tam giác ABC với trọng tâm G.

CMR với mọi điểm M ta có : MA2+MB2+MC2=3MG2+GA2+ GB2+GC2.

Lời giải:

MA2 + MB2 + MC2 =

= 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

d/ Nhận xét về T13 :

- Dạng toán này không đƣợc đƣa vào ngay sau khi học bài tích vô hƣớng. Nó xuất

hiện khi chứng minh các hệ thức lƣợng trong tam giác (cụ thể là chứng minh định lý cosin và

định lý về độ dài đƣờng trung tuyến) và ở một bài toán thuộc phần bài tập ôn chƣơng II.

Điều này có nghĩa là kỹ thuật dùng vectơ để chứng minh các đẳng thức liên quan đến

độ dài chỉ gặp sau khi học bài hệ thức lƣợng trong tam giác. Thế nhƣng một cách hoàn toàn

tự nhiên là sau khi đã học các định lý trong bài hệ thức lƣợng trong tam giác thì học sinh

thƣờng vận dụng các định lý này để giải những bài toán chứng minh đẳng thức liên quan đến

độ dài, mặc dù có lúc dùng công cụ vectơ lại tỏ ra hiệu quả hơn (chẳng hạn bài toán đƣợc nêu

ở trên). Phải chăng việc lựa chọn thời điểm này để đƣa những bài toán thuộc dạng T13 là

nhằm giảm đi lƣợng bài tập trong phần tích vô hƣớng đồng thời chứng tỏ tính ƣu việt của

công cụ vectơ đối với một số bài toán so với dùng hệ thức lƣợng trong tam giác.

- Các bài toán của T13 đƣa vào thời điểm sau khi đã học bài hệ thức lƣợng trong tam

giác mặc dù có thể có ƣu điểm nhƣ đã phân tích ở trên, tuy vậy vì đƣa nó vào giai đoạn sau

nên học sinh sẽ gặp khó khăn hơn khi phải tự chứng minh các hệ thức lƣợng trong tam giác

đƣợc trình bày trƣớc đó, bởi do các em chƣa có kinh nghiệm giải quyết dạng toán này. Sách

1990 có sự trình bày khác. Ngƣời ta đƣa ngay sau bài tích vô hƣớng các bài toán chứng minh

đẳng thức mà một vế chứa bình phƣơng các độ dài, vế kia là tích vô hƣớng. Chẳng hạn các

bài tập sau đây :

1/ Cho hai điểm A, B. O là trung điểm của AB, M là một điểm tùy ý. Chứng minh

rằng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

2/ Cho tam giác ABC, H là trực tâm, M là trung điểm BC. Chứng minh rằng:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

3/ Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: AB2 - BC2 + CD2 - DA2= 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Các bài toán vừa đƣợc dẫn ra có thể xem là các bài tập của bƣớc chuyển tiếp từ tích

vô hƣớng qua các bài toán thuộc kiểu T13 vì trong phát biểu có tích vô hƣớng lẫn bình

phƣơng độ dài. Thông qua các bài tập dạng này học sinh sẽ quen với kỹ thuật chuyển bình

phƣơng độ dài về bình phƣơng vô hƣớng của vectơ rồi dùng các phép biến đổi vectơ để

chứng minh đẳng thức. Nhờ vậy học sinh có thể tự mình chứng minh các hệ thức lƣợng trong

tam giác hoặc tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của phép đối xứng trục,

đối xứng tâm, phép tịnh tiến khi học lý thuyết của các bài học đó.

- Kỹ thuật để giải quyết T13 cũng không đƣợc nêu ra một cách tƣờng minh nhƣ trong

các kiểu nhiệm vụ trƣớc.

- Việc dùng công cụ vectơ để giải quyết các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T13 rất hay.

Nó giúp chúng ta tránh việc phải chia trƣờng hợp để chứng minh. Chẳng hạn nếu muốn

chứng minh tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm M, N bất kỳ của phép đối xứng

tâm nếu dùng phƣơng pháp tổng hợp chúng ta phải xét vị trí tƣơng đối của M, N và O. (M, N,

O thẳng hàng; M, N, O không thẳng hàng)

T14 - Tìm quỹ tích các điểm khi biết tống hoặc hiệu bình phƣơng độ dài các đoạn

thẳng

a/ Nhiệm vụ cụ thể:

t14.1: Tìm quỹ tích các điểm M thỏa mãn

(n = 1,2)

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

t14.2: Tìm quỹ tích các điểm M thỏa mãn MA2 - MB2 = k.

b/ Kỹ thuật:

τ14.1 : - Gọi G là trọng tâm của đa giác tạo bởi các điểm đã cho

- Chuyển bình phƣơng độ dài đoạn thẳng thành bình phƣơng vô hƣớng của vectơ.

- Dùng quy tắc ba điểm, hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm, định nghĩa, tính chất

và các hằng đẳng thức về bình phƣơng tổng, hiệu vectơ để đƣa đẳng thức đã cho về dạng

GM2 = m.

- Khi đó : + nếu m > 0 thì quỹ tích của M là đƣờng tròn tâm G, bán kính r = √ .

+ nếu m ≡ 0 thì M = G

+ nếu m < 0 thì quỹ tích là tập rỗng.

τ14.2: - Gọi O là trung điểm của AB.

- Chuyển bình phƣơng độ dài đoạn thẳng thành bình phƣơng vô hƣớng của

vectơ.

- Dùng quy tắc ba điểm, hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm, định nghĩa,

tính chất và các hằng đẳng thức về bình phƣơng tổng, hiệu vectơ để đƣa đẳng thức đã cho về

̅̅̅̅ (H là hình chiếu của M trên đƣờng thẳng AB)

dạng ̅̅̅̅

- Khi đó quỹ tích của M là đƣờng thẳng vuông góc với AB tại H xác định bởi

̅̅̅̅.

̅̅̅̅

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

c/ Các kiến thức liên quan :

- Tích vô hƣớng và các tính chất của nó

d/ Các ví dụ :

(Nhiệm vụ t14.1, kỹ thuật τ14.1)

Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Tìm quỹ tích điểm M sao cho :

MA2 + MB2 + MC2 = k2, trong đó k là một số cho trƣớc.

Lời giải:

MA2 + MB2 + MC2 =

= 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2

Vậy MA2 + MB2 + MC2 = k2 thì 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 = k2

[k2 – (Ga2 + GB2 + GC2)]

Hay MG2 =

Bởi vậy:

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

+ Nếu k2 > GA2 + GB2 + GC2 thì quỹ tích M là đƣờng tròn tâm G bán kính

+ Nếu k2 = GA2 + GB2 + GC2 thì quỹ tích M chỉ gồm 1 điểm G

+ Nếu k2 < GA2 + GB2 + GC2 thì quỹ tích đó rỗng.

(Nhiệm vụ t14.2, kỹ thuật τ14.2)

Cho hai điểm A, B phân biệt và một số thực k. Tìm quỹ tích những điểm M sao

cho MA2 - MB2 = k.

Lời giải:

Gọi O là trung điểm đoạn AB, M là một điểm tùy ý trong mặt phẳng và H là hình

chiếu của M trên đƣờng thẳng AB, ta có :

Áp dụng định lý hình chiếu ta có:

Vậy M là 1 điểm thuộc quỹ tích khi và chỉ khi:

hay

Từ đó điểm H đƣợc xác định.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Vậy quỹ tích những điểm M là đƣờng thẳng vuông góc với AB tại điểm H trên AB

đƣợc xác định bởi hệ thức

e/ Nhận xét về T14 :

- Tài liệu Hƣớng dẫn giảng dạy toán 10 đánh giá kiểu nhiệm vụ T14 là quan trọng. Thật vậy, quỹ tích những điểm M sao cho MA2 - MB2 = k đƣợc dùng để giải quyết định lý về

trục đẳng phƣơng của hai đƣờng tròn đƣợc trình bày sau đó.

- Có ba bài toán thuộc kiểu T14 (Ngoài hai bài toán mà chúng tôi lấy làm ví dụ ở trên,

còn có bài toán thứ 3 sau đây : "Cho hai điểm A, B cố định. Tìm quỹ tích những điểm M thỏa

mãn điều kiện MA2 + MB2 = k2 trong đó k là một số cho trƣớc". Các bài toán này đƣợc nêu

ra sau khi đã đã học bài các hệ thức lƣợng trong tam giác. Ngƣời ta dùng công thức độ dài

trung tuyến để giải quyết một bài toán, còn hai bài toán kia thì đƣợc giải bằng công cụ vectơ.

Nghĩa là chúng ta có thể không cần đợi đến khi học xong bài hệ thức lƣợng trong tam giác rồi

mới đƣa hai bài toán này vào. Nó có thể đƣợc nêu ra cho học sinh sau bài tích vô hƣớng. Bài

toán thứ 3 mà chúng ta vừa đề cập ở trên đƣợc đặt trong phần bài tập ôn chƣơng 2, do đó học

sinh có thể nghĩ đến việc sử dụng công thức độ dài trung tuyến để giải. Tuy nhiên, nếu sử

dụng công thức này thì sẽ không đi đến kết quả. Có lẽ tác giả muốn làm nổi bật tính hiệu quả

của công cụ vectơ trong việc giải quyết một số bài toán hình học thuần túy.

Cũng giống nhƣ tất cả kiểu nhiệm vụ trƣớc kỹ thuật giải quyết T14 không đƣợc nêu ra

một cách tƣờng minh.

Sách năm 1990 cũng có một bài tập thuộc kiểu T14. Đó là bài tập sau đây :

Cho hai điểm A, B cố định; AB = a. Tìm tập hợp những điểm M biết rằng :

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Bài toán này không tổng quát bằng bài toán đƣợc nêu trong sách năm 2000.

 Nhận xét về loại 3 :

- Mục đích:

- Giới thiệu một công cụ mới để giải toán hình học - công cụ vectơ

- Thông qua các bài tập đƣợc cho trong loại này, học sinh sẽ thấy đƣớc những ƣu

điểm của việc dùng công cụ vectơ để giải toán nhƣ:

• Lời giải ngắn gọn và tổng quát, không cần phân chia các trƣờng hợp để giải nhƣ khi

dùng phƣơng pháp tổng hợp

• Không cần vẽ hình nên lời giải bằng vectơ không phụ thuộc vào hình vẽ

- Giúp học sinh không những nắm vững các kiến thức về mặt lý thuyết của vectơ mà

còn biết cách sử dụng nó để giải quyết các kiểu nhiệm vụ khác nhau trong chƣơng trình hình

học 10.

- Kỹ thuật giải

Kỹ thuật giải quyết các kiểu nhiệm vụ trong loại 3 đƣợc đƣa vào một cách ngầm ẩn

thông qua các lời giải trong sách Giáo khoa cũng nhƣ sách Bài tập. Ngƣời ta không nêu một

cách tƣờng minh quy trình giải một bài toán hình học bằng công

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

cụ vectơ. Sách không đƣa ra cách thức nhận biết bài toán nào thì có thể giải đƣợc bằng công

cụ này.

- Thống kê số lƣơng bài tập loại 3 :

Loại BT BT chính BT làm thêm TS loại 3

T6 2 0

T7 2 0

T8 1 0

T9 2 0

T10 0 1 18

T11 1 1

T12 2 1

T13 0 2

(Bảng 4)

T14 3 0

Theo bảng thống kê ở trên, chúng ta nhận thấy :

- Trong các kiểu nhiệm vụ thuộc loại 3 thì kiểu nhiệm vụ TI2 (Chứng minh hai đƣờng

thẳng vuông góc) có tổng số bài tập (bao gồm bài tập chính và bài tập làm thêm) nhiều hơn

các kiểu nhiệm vụ khác. Kiểu nhiệm vụ T8 (chứng minh ba điểm thẳng hàng) tuy chỉ có một

bài nhƣng do nó còn xuất hiện trong các kiểu nhiệm vụ T9 (Tìm tỉ số một điểm chia một đoạn

thẳng), T10 (Chứng minh một đƣờng thẳng di động đi qua một điểm cố

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

định) và T11 (Chứng minh các đƣờng thẳng đồng quy) nhƣ là một bƣớc trung gian khi giải

các bài toán thuộc ba kiểu nhiệm vụ này. Do đó có thể nói các bài toán liên quan đến sự thẳng

hàng cũng chiếm một số lƣợng khá lớn so với các loại khác.

- Nhận xét trên đây giúp chúng tôi trong việc chọn các bài toán thuộc T8, T12 để làm

thực nghiệm, nhằm tìm hiểu khả năng của học sinh trong việc vận dụng công cụ vectơ trong

Bảng thống kê ngôn ngữ phát biểu và kỹ thuật giải của các bài toán thuộc loại 3

việc giải các dạng toán có số lần gặp nhiều nhất trong sách.

Ngôn ngữ phát biểu bài toán

Vectơ Tọa độ Hình học Kỹ thuật

Dùng vectơ 0 0 14

(Bảng 5)

Dùng phƣơng pháp vectơ- tọa độ 0 4 0

Theo bảng trên, chúng ta thấy

- Hầu hết các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ đƣợc liệt kê trong loại 3 đƣợc phát

biểu bằng ngôn ngữ hình học, chỉ có bốn bài đƣợc phát biểu dƣới dạng tọa độ.

- Các bài toán đƣợc phát biểu bằng tọa độ thuộc loại 3 đều giải bằng phƣơng pháp

vectơ - tọa độ.

Nhận xét chung về bài tập của ba loại : chúng tôi chỉ xét bài tập chính (39 bài)

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

 Về các dạng toán:

Nghiên cứu đặc Tìm tập hợp Tính toán Chứng minh trƣng của vectơ điểm

(Bảng 6)

Đẳng thức vectơ Sự kiện hình học 4 5 7 15 8

- Số lƣợng bài tập tính toán bằng công cụ vectơ quá ít (5/39) và chỉ tập trung vào hai

kiểu nhiệm vụ "tính tích vô hƣớng của hai vectơ" và "tìm tỉ số một điểm chia một đoạn

thẳng". Do đó có thể nói khi cần phải tính toán học sinh ít khi nghĩ đến việc dùng công cụ

vectơ.

- Dạng toán chứng minh (bao gồm chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc một sự kiện

hình học)

• Số lƣợng bài tập thuộc dạng này chiếm một tỉ lệ rất lớn (23/39) trong tổng số bài tập

chính của cả ba loại. Điều này chứng tỏ rằng đây là dạng toán trọng tâm của chƣơng trình.

• Dạng toán chứng minh một đẳng thức vectơ có số lƣợng bài tập nhiều hơn dạng toán

chứng minh một sự kiện hình học. Các bài tập chứng minh một đẳng thức vectơ thƣờng có

giả thiết là một đẳng thức vectơ (T2) hoặc một sự kiện hình học liên quan đến trung điểm một

đoạn thẳng hoặc trọng tâm của tam giác (T4). Không có bài tập nào trong đó giả thiết cho một

đẳng thức về độ dài có dạng MA = kMB với k ≠ 1 nhƣ trong sách năm 1990. Chẳng hạn bài

tập sau đây (Bài 4 trang 22 sách giáo khoa hình học 10 năm 1990)

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên đoạn BC sao cho MB = 2MC. Chứng

minh rằng

Trong bài tập trên M không phải là trung điểm của BC nên không thể dùng hệ thức

trung điểm để giải quyết. Để giải bài toán này trƣớc hết các em cần phải chuyển đẳng thức độ

dài MB = 2MC sang đẳng thức vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Sau đó dùng định lý về điểm chia đoạn

thẳng theo tỉ số k hoặc dùng quy tắc 3 điểm để giải. Bài tập loại này không những giúp học

sinh rèn luyện việc chuyển ngôn ngữ mà còn giúp các em nắm vững khái niệm phƣơng,

hƣớng của vectơ cũng nhƣ hiểu đƣợc có sự khác biệt khi làm toán trên độ dài và trên vectơ

(quy tắc 3 điểm chỉ áp dụng đƣợc đối với vectơ chứ không thể áp dụng trên độ dài)

• Dạng toán chứng minh một sự kiện hình học gồm tất cả 7 kiểu nhiệm vụ nhƣng chỉ

có 8 bài tập. Nhƣ vậy bình quân mỗi kiểu nhiệm vụ thuộc dạng toán này chỉ có 1 bài tập. Phải

chăng sách hình học năm 2000 chỉ muốn giới thiệu với học sinh các dạng toán có thể giải

bằng công cụ vectơ chứ không đặt nặng yêu cầu rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng

công cụ vectơ để giải các bài toán hình học thuần túy.

 Về mức độ khó của các bài tập

Các bài tập chính trong sách năm 2000 nói chung không khó. Đa số các bài tập đƣợc

nêu trong các kiểu nhiệm vụ thuộc loại 2 (bài tập chuyển ngôn ngữ) và loại 3 (bài tập sử dụng

công cụ vectơ để giải) chí liên quan đến hệ thức trung điểm và hệ thức trọng tâm. Không có

bài tập nào liên quan đến định lý về điểm chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trƣớc.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

 Về kỹ thuật giải:

Kỹ thuật giải của tất cả các dạng toán đều không đƣợc nêu một cách tƣờng minh.

Trong các lời giải, ngƣời ta cũng không giải thích ở các phép biến đổi.

 Về công nghệ giải thích cho các kỹ thuật giải:

- Một số nội dung lý thuyết thƣờng dùng khi giải toán bằng công cụ vectơ không đƣợc

trình bày thành các kiến thức giáo khoa mà đƣợc giới thiệu qua các ví dụ hoặc các bài tập

nhỏ. Các bài toán nhỏ này có chức năng nhƣ một bài toán phụ để giải một số bài toán lớn

khác. Sau khi giải các bài toán nhỏ này nó đƣợc xem nhƣ một định lý đƣợc công nhận không

phải chứng minh lại khi áp dụng nó để giải các bài toán khác. Đó là các bài toán sau:

♦ Nếu O là trung điểm AB thì: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

♦ Hai tam giác ABC và A'B'C có cùng trọng tâm khi và chỉ khi: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

♦ Các hằng đẳng thức :

Nếu làm nhƣ vậy thì sẽ nảy sinh một vấn đề là kết quả của bài toán nào thì đƣợc sử

dụng nhƣ một định lý để giải quyết các bài tập khác mà không cần chứng minh lại. Bởi vì

trong thực tế khi giải toán, học sinh thƣờng không đƣợc dùng kết quả của bài toán này để làm

bài toán khác mà chỉ đƣợc dùng kết

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

quả của các câu trƣớc để giải các câu sau trong cùng một bài toán. Vì vậy nhiệm vụ của giáo

viên là phải thể chế hóa tri thức nghĩa là đƣa cho kiến thức đƣợc xây dựng một cơ chế của tri

thức nhằm giúp học sinh phi cá nhân hóa lại, phi hoàn cảnh hóa lại những kiến thức mà họ đã

tạo ra, nhằm nhận ra trong đó những điều có tính phổ dụng, những kiến thức mới có thể sẽ

đƣợc dùng trong những trƣờng hợp khác.

- Định lý về việc biểu diễn một vectơ bất kỳ qua một cơ sở không đƣợc trình bày một

cách tổng quát. Sách hình học 10 năm 2000 chỉ đề cập đến việc biểu diễn một vectơ tùy ý

trong mặt phẳng tọa độ qua các vectơ đơn vị trên hai trục. Có lẽ do cách trình bày nhƣ vậy

nên trong sách hình học năm 2000 không có dạng toán biểu diễn một vectơ qua một hệ vectơ

cho trƣớc. Điều này gây khó khăn lớn cho học sinh nếu muốn dùng công cụ vectơ để giải

toán hình học bởi vì trong phần lớn các lời giải dùng công cụ vectơ có bƣớc chọn một hệ

vectơ gốc và biểu diễn một số vectơ nào đó qua hệ này.

IV. Kết luận và nêu giả thuyết nghiên cứu

Từ kết quả phân tích ở trên, chúng tôi đƣa ra kết luận sau đây :

Vai trò của vectơ trong Hình học lớp 10 ở cả hai chƣơng trình 1989 và 1999 không có

gì khác biệt. Vectơ đƣợc dùng để xây dựng khái niệm tọa độ điểm; tọa độ vectơ đối với một

trục hoặc một hệ trục tọa độ Descartes vuông góc. Nó còn đƣợc dùng để chứng minh một

định lý trong bài hệ thức lƣợng trong tam giác và một số tính chất của phép dời hình. Mặt

khác, vectơ còn đƣợc sử dụng nhƣ là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán hình học.

Chúng tôi nhận thấy rằng về cơ bản, các dạng toán có sử dụng công cụ vectơ để giải ở hai bộ

sách năm 1990 và sách năm 2000 hầu nhƣ giống nhau, chỉ có một khác biệt nhỏ là trong bộ

sách năm 2000 có dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng mà trong bộ sách năm 1990

không có.

Chƣơng II: Công cụ vectơ trong chƣơng trình và sách giáo khoa Hoàng Hữu Vinh

Tuy nhiên cách trình bày phƣơng diện công cụ của vectơ trong việc giải bài tập ở hai bộ sách

có sự khác nhau khá rõ nét. Có lẽ do yêu cầu tinh giản lý thuyết nên trong bộ sách năm 2000

một số định lý dùng để giải bài tập chỉ đƣợc giới thiệu nhƣ những ví dụ hoặc bài tập nhỏ

không đƣợc thể chế thành một kiến thức giáo khoa. Trong sách năm 2000 ngƣời ta cũng

không nêu "các dạng toán thƣờng gặp" và phƣơng pháp giải các dạng toán đó nhƣ trong sách

năm 1990. Số lƣợng các bài toán hình học thuần túy đƣợc giải bằng công cụ vectơ quá ít

(trung bình số lƣợng bài tập chính ở mỗi kiểu nhiệm vụ chƣa đến 2 bài) nên học sinh chƣa có

nhiều cơ hội để rèn luyện kỹ năng giải toán bằng công cụ vectơ.

Từ các kết luận rút ra từ việc phân tích phƣơng diện công cụ của véc tơ trong chƣơng

trình và sách giáo khoa cho phép chúng tôi đƣa ra hai giả thuyết nghiên cứu sau đây :

1. Học sinh chƣa thƣờng xuyên nghĩ đến việc sử dụng vectơ để giải quyết các bài toán

đƣợc phát biểu dƣới dạng ngôn ngữ hình học thuần túy.

2. Một trong những khó khăn của học sinh khi sử dụng vectơ để giải toán là không

biết chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt đến kết quả mong muốn.

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

CHƢƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Mở đầu

Để xem xét tính thỏa đáng của hai giả thuyết trên, chúng tôi đã soạn ba bài toán để

làm thực nghiệm. Cả ba bài đều đƣợc phát biểu bằng ngôn ngữ hình học thuần túy. Bài toán 1

và 2 thuộc những dạng toán đƣợc gặp nhiều hơn trong số những dạng toán có sử dụng công

cụ vectơ để giải. Đó là dạng toán liên quan đến sự vuông góc và sự thẳng hàng. Chúng tôi đã

lựa chọn những bài toán thuộc các dạng toán này vì muốn nghiên cứu xem liệu ngay với cả

các dạng toán đã từng đƣợc đƣa ra nhằm mục đích luyện cho học sinh sử dụng vectơ để giải

thì học sinh có nghĩ đến công cụ vectơ không. Bài toán thứ 3 liên quan đến nhiệm vụ chứng

minh 2 đƣờng thẳng song song là một kiểu nhiệm vụ không đƣợc trình bày trong sách giáo

khoa nhƣng đây là kiểu nhiệm vụ tƣơng tự với các kiểu nhiệm vụ liên quan đến sự thẳng

hàng nên vẫn đƣợc chúng tôi chọn làm thực nghiệm nhằm tìm hiểu xem học sinh có biết sử

dụng công cụ vectơ để giải các dạng toán tƣơng tự với các dạng toán đã từng gặp trong

chƣơng trình hay không ?

- Hình thức thực nghiệm là cho học sinh làm bài cá nhân trên tờ giấy làm bài và giấy

nháp mà chúng tôi phát sẵn. Bài làm của các em sẽ đƣợc thu lại để phân tích.

- Thời gian làm mỗi bài là 60 phút.

- Thực nghiệm đƣợc tiến hành với 211 học sinh lớp 10 của ba trƣờng Phổ thông

Trung học thuộc địa bàn thành phố Hồ Chí Minh.

• Bài 1 (yêu cầu chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc) đƣợc làm thực nghiệm trên

80 học sinh (Lớp 10A3 Trƣờng Trần Đại Nghĩa và 10A2 Trƣờng Lƣơng Văn Can)

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

• Bài 2 (yêu cầu chứng minh ba điểm thẳng hàng) đƣợc làm thực nghiệm trên 67 học

sinh (Lớp 10A3 Trƣờng Trần Đại Nghĩa và 10A5 Trƣờng Lƣơng Văn Can)

• Bài 3 (yêu cầu chứng minh hai đƣờng thẳng song song) đƣợc làm thực nghiệm trên

64 học sinh (Lớp 10CA Trƣờng Lê Hồng Phong và 10A1 Trƣờng Lƣơng Văn Can)

I/ Các bài toán thực nghiệm

Bài 1 :

Cho hình chữ nhật ABCD có AD = √ AB. Gọi M là trung điểm AD.

Chứng minh AC⊥BM.

Hãy tìm ít nhất ba lời giải cho bài toán trên.

Bài 2:

Cho tam giác ABC. M là trung điểm BC. Điểm N nằm trên cạnh AC

AC. Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI =

BN.

sao cho AN =

Chứng minh A, I, M thẳng hàng.

Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên.

Bài 3:

Cho hình thang ABCD. Hai đáy AB và CD sao cho hệ thức AB = kCD

(k là số thực tùy ý > 1). Gọi M là trung điểm BD và N là điểm trên

cạnh AD thỏa DN = DA. Chứng minh AM // NC.

Hãy tìm ít nhất ba lời giải cho bài toán trên.

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

II/ Phân tích A-PRIORI các bài toán trên

II.1. Phân tích a-priori bài toán 1 :

1/ Kiến thức liên quan :

- Tam giác đồng dạng

- Hệ thức lƣợng trong tam giác vuông

- Hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn

- Tỉ số lƣợng giác

- Tích vô hƣớng của hai vectơ

2/ Biến didactic :

Biến 1 - Cho độ dài AB, AD hay chỉ cho mối liên hệ giữa độ dài AB và AD. Nếu cho

AB, AD thì việc tính toán độ dài các đoạn khác dễ dàng hơn, đồng thời cũng dễ thấy các tỉ số

lƣợng giác của các góc hoặc dễ nhận ra các tam giác đồng dạng. Cách chọn này s4 làm giảm

khó khăn cho các chiến lƣợc : tỉ số lƣợng giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lƣợng trong tam

giác, hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn...

Biến 2 - Hình thức đặt câu hỏi:

- Giữ nguyên giả thiết bài toán. Yêu cầu chứng minh AC ⊥ BM hay yêu cầu tính ̂ .

Cách hỏi trƣớc có thể làm cho chiến lƣợc vectơ dễ xuất hiện hơn. Nếu yêu cầu tính ̂ thì

học sinh ít nghĩ đến việc dùng công cụ vectơ để giải vì trong sách hiện hành không có kiểu

nhiệm vụ tính số đo một góc bằng công cụ vectơ.

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

- Thay AD = √ AB bởi AD =xAB (x > 0) và yêu cầu tìm x để AC ⊥ BM. Cách đặt

câu hỏi này khiến học sinh nghĩ đến phƣơng pháp tổng hợp nhiều hơn là vectơ. Bởi vì thƣờng

khi muốn tính toán học sinh ít dùng vectơ.

Biến 3 - Số lời giải :

Nếu yêu cầu học sinh giải nhiều cách thì chúng tôi hy vọng trong số đó có cách giải

bằng công cụ vectơ.

3/ Những chiến lƣợc có thể :

a. Chiến lƣợc vectơ :

= -AB2 + = -AB2 + AB2 = 0

⇒ AC ⊥ BM

b. Chiến lƣợc tỉ số lƣợng giác :

CMR một trong bốn tỉ số lƣợng giác của 2 góc ̂

và ̂ bằng nhau. Chẳng hạn

đpcm.

c. Chiến lƣợc tam giác đồng dạng :

⇒ ∆MAB ~ ∆CDA

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Mà nên Vậy AC ⊥ BM.

d. Chiến lƣợc hệ thức lƣợng trong tam giác :

C1 : Vẽ hình bình hành ACBE

Mà AB là đƣờng cao AEBM

nên BM⊥ BE ⇒ BM⊥BE

⇒ BM ⊥ AC

C2 : Chứng minh BI.BM = AB2

⇒ AI là đƣờng cao của A vuông BAM => AC ⊥ BM.

C3 : Chứng minh BI.IM = AI2 :

⇒ BI.IM = AI2 ⇒ AI là đƣờng cao ∆ vuông BAM ∆AC ⊥ BM.

C4: Chứng minh

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

(xem C3)

⇒ p

C5 : Chứng minh AB.AM = AI.BM

⇒ AB.AM = AI.BM ⇒ AI ⊥BM ⇒ AC ⊥ BM.

C6 : Chứng minh IA2 + IB2 = AB2:

⇒ AIB vuông t i J ⇒ ⊥

e. Chiến lƣợc hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn :

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

⇒ tứ giác MDCI là tứ giác nội tiếp

f. Chiến lƣợc tính chất đƣờng trung tuyến của A vuông :

I là trọng tâm AABD ⇒ DI kéo dài cắt AB tại trung điểm

E của AB

⇒ ∆AIB vuông tại I ⇒ BM ⊥ AC.

g. Chiến lƣợc vectơ - tọa độ :

Chọn hệ trục tọa độ nhƣ hình vẽ :

A(0; 0);B(0; 1);C(√ ,1)

h. Chiến lƣợc tọa độ : Chọn hệ trục tọa độ nhƣ ở chiến lƣợc g, ta có :

Phƣơng trình đƣờng thẳng AC : có hệ số góc

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Phƣơng trình đƣờng thẳng BM : có hệ số góc

⇒ k1.k2 = -1 ⇒ AC⊥BM.

II.2. Phân tích a-priori bài toán 2 :

1/ Kiến thức liên quan :

- Học sinh đã học xong toàn bộ chƣơng trình lớp 10. Do đó có thể vận dụng kiến thức

của cả chƣơng trình cấp II lẫn chƣơng trình hình học lớp 10 để giải quyết bài toán, trong đó

có các kiến thức liên quan đến bài này là :

+ Định lý Thales.

+ Tam giác đồng dạng.

+ Các phép toán : cộng, trừ vectơ; nhân một vectơ với một số.

2/ Biến Didactic :

Biến 1- Giá trị của k : Bài toán có thể phát biểu tổng quát hơn bằng cách cho

và (k > 1). Nếu cho k là số lẻ thì học sinh nghĩ đến dùng

đƣờng trung bình nhiều hơn các công cụ khác bởi vì khi đó nếu lấy E là trung điểm NC và

gọi I' là giao điểm của AM và BN thì IN là đƣờng trung bình của ∆AME và ME là đƣờng

trung bình của tam giác CBN. Lúc này ta dễ dàng chứng minh đƣợc ⇒ ’ I.

Nếu cho k là số chẩn thì việc tính toán phức tạp hơn. Bài toán thực nghiệm này nêu một

trƣờng hợp cụ thể ứng với k chẵn là k = 4. Chúng tôi không cho k tổng quát vì sợ bài toán

quá khó.

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Biến 2 - Hình thức đặt câu hỏi:

BN và yêu cầu chứng minh 3

Đối với bài 2 ngƣời ta có thể cho trƣớc hệ thức BI =

điểm A, I, M thẳng hàng, cũng có thể gọi I là giao điểm của AM và BN, và yêu cầu tính tỉ số

Chúng tôi đã chọn cách hỏi thứ nhất vì đây là kiểu nhiệm vụ mà các em từng gặp trong

năm học và đã giải quyết bằng cách sử dụng vectơ. Việc yêu cầu tính tỉ số dễ hƣớng học sinh

đến với tính toán bằng phƣơng pháp tổng hợp hơn là vectơ

Biến 3 - Số lời giải:

Yêu cầu học sinh giải nhiều cách, chúng tôi hy vọng trong số đó có cách giải bằng

công cụ vectơ.

3/ Những chiến lƣợc có thể :

a. Chiến lƣợc vectơ:

Ta có thể so sánh hai vectơ trong mỗi cặp sau: ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗; ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗,…

Nếu xét ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có thể có hai cách trình bày:

Cl : (cách gián tiếp - Biểu diễn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ qua một hệ vectơ nào đó. Từ đó suy ra mối

liên hệ giữa hai vectơ này)

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

(1)

(2)

Từ (l) và (2) ⇒ ⇒ A, I, M thẳng hàng

C2 : (cách trực tiếp – Tính ⃗⃗⃗⃗ theo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hay ngƣợc lại)

⇒ A, I, M thẳng hàng.

b. Chiến lƣợc Thales - đồng dạng :

C1: Kẻ đƣờng thẳng qua N và // BC cắt AM tại H. Gọi I' là giao điểm của BN và AM.

Ta có :

⇒ I' ≡ I ⇒ A, I, M thẳng hàng

C2 : Kẻ đƣờng thẳng qua N song song AM cắt MC tại K

♦ Gọi I' là giao điểm của BN và AM. Ta có:

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Có thể CM: ⇒ IM // NK và A, I, M thẳng hàng.

C3 : Kẻ đƣờng thẳng qua M và song song BN cắt AC tại E

♦ Gọi I' là giao điểm của BN và AM. Ta

có:

⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm.

C4 : đƣờng thẳng qua M song song AC cắt BN tại F, gọi I' là giao điểm của BN và

AM.

Ta có: ⇒ ’

⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm.

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

C5 : đƣờng thẳng qua B và song song AM cắt AC kéo dài tại T

♦ Gọi I' là giao điểm BN và AM. Ta có:

⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm.

Có thể CM ⇒ BI // BJ

Vậy A, I, M thẳng hàng.

C6 : Vẽ hình bình hành ABDC. Gọi I' là giao điểm của BN và AM

⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm.

C7 : đƣờng thẳng qua C và song song AM cắt BN kéo dài tại E

♦ Gọi F là giao điểm của BN và AM. Ta có:

⇒ I' ≡ I ⇒ đpcm.

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

C8 : Kẻ đƣờng thẳng qua A // BC cắt BN tại F

II.3. Phân tích a-priori bài toán 3 :

1/ Kiến thức liên quan :

- Định lý Thales và Tam giác đồng dạng

- Vectơ : ♦ định nghĩa vectơ

♦ cộng, trừ vectơ

♦ nhân một số với một vectơ

2/ Biến didactic :

Biến 1 - Hình dạng của hình thang ABCD :

Nếu cho ABCD là hình thang vuông tại A và D có thể làm cho học sinh nghĩ đến

dùng phƣơng pháp tọa độ để giải

Biến 2 - Giá trị của k:

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Nếu cho k một giá trị cụ thể thì học sinh sẽ nghĩ đến việc tính toán độ dài các đoạn thẳng và

sử dụng phƣơng pháp tổng hợp để giải. Đặc biệt, với giá trị k = 2 thì lời giải bằng phƣơng

pháp tổng hợp sẽ rất thuận lợi vì không cần vẽ thêm và lúc này dễ dàng chứng minh AMCN

là hình bình hành ⇒ AM // NC.

Ở đây, chúng tôi đã cho một cách tổng quát số k > 1 vì muốn phong tỏa các chiến

lƣợc giải bằng phƣơng pháp tổng hợp.

Biến 3 - Số lời giải

Nếu yêu cầu học sinh tìm nhiều lời giải thì có khả năng học sinh sẽ nghĩ đến việc sử

dụng công cụ vectơ để giải bài toán

3/ Những chiến lƣợc có thể:

a. Chiến lƣợc vectơ: C1 (Cách trực tiếp : Tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

C2 (Cách gián tiếp : Tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ theo một hệ vectơ nào đó rồi so sánh 2 vectơ

này với nhau)

(1)

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

(2)

(1) & (2) ⇒

b. Chiến lƣợc Thales - đồng dạng :

Gọi E là trung điểm AD

⇒ ∆AEM ~ ∆NDC ⇒ ̂ ̂

⇒ AM // NC

C2: Kẻ NF // AB (F ∈ DB)

⇒ NF = DC

⇒ DNFC là hình bình hành ⇒

⇒ AM//NI

C3: Dựng hình bình hành ABPD (⇒ C ∈ DP)

⇒ NC // AM

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

C4: CN kéo dài cắt AB tại K và gọi I là giao điểm

của DB và CK

C5 : Lấy E sao cho A là trung điểm DE.

∆NDC ~ ∆EAB ⇒ ̂ ̂ ⇒ EB//NC (1)

Mặt khác EB // AM (2) (vì AM là đƣờng trung

bình của tam giác DEB)

(1) và (2) ⇒ NC//AM.

III/ Phân tích A-posteriori bài toán

III.1. Phân tích a-posteriori bài toán 1:

Bảng tổng kết:

1/ Tổng số bài: 80 bài trong đó có 12 bài không có lời giải, 68 bài có lời giải

2/ Tổng số lời giải : 117 lời giải trong đó có 6 lời giải bằng vectơ, 111 lời giải hình

học bằng phƣơng pháp tổng hợp

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

3/ Bảng thống kê kết quả các phƣơng pháp giải:

Chƣa đến kết Đúng TS Sai quả

PP Vectơ 2 3 6 1

(Bảng 7)

PP tổng hợp 78 4 111 29

Về các lời giải bằng công cụ vectơ:

- Lời giải bằng vectơ chiếm số lƣợng ít (6/117). Nguyên nhân có thể vì số lƣợng ví dụ

và bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T10 (chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc) đƣợc nêu trong

sách Hình học lớp 10 (bộ sách năm 2000) không nhiều, chỉ có 3/18 bài thuộc loại 3 trong đó

gồm 1 ví dụ 1 bài tập chính và 1 bài tập làm thêm. Hơn nữa, nhƣ chúng tôi đã phân tích kiểu

nhiệm vụ T10, ví dụ đƣợc nêu là một bài toán khá khó, bài tập chính thì đƣợc phát biểu bằng

ngôn ngữ tọa độ, chỉ có bài tập làm thêm là chuẩn mực của việc dùng công cụ vectơ để giải

quyết kiểu nhiệm vụ này.

- Khi giải bài toán bằng công cụ vectơ, học sinh nắm vững cách chuyển ngôn ngữ. Cụ

thể là sáu học sinh sử dụng vectơ để giải đều viết đƣợc các hệ thức sau :

+ M là trung điểm AD ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

- Tuy nhiên khi giải cụ thể học sinh lại gặp khó khăn trong việc định hƣớng các phép

biến đổi các hệ thức vectơ. Chẳng hạn học sinh số 10 đã viết nhƣ sau :

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

(1)

(2)

(3)

Học sinh dừng lại ở đây, không đi đến kết quả. Chúng tôi cho rằng có thể do các

nguyên nhân sau đây :

- Công thức chiếu để tính tích vô hƣớng của hai vectơ không đƣợc học sinh sử dụng.

Nhìn lại sách giáo khoa ta thấy chỉ có duy nhất một bài toán mà trong lời giải có sử dụng

công thức chiếu. Nếu dùng công thức này thì sau bƣớc (3) có thể biến đổi tiếp nhƣ sau:

(3)

= -AB2 +AD2 -AB2 = 0

- Học sinh gặp khó khăn trong việc tìm các phép biến đổi cần thiết. Chẳng hạn, nếu

không dùng công thức chiếu thì có thể chọn hƣớng biến đổi là đƣa tất cả các vectơ trong hệ

về các vectơ có cùng điểm đầu thì có thể giải quyết trọn vẹn bài toán nhƣ cách giải đƣợc nêu

trong phần chiến lƣợc vectơ ở trên.

• Khi biến đổi các em ít dùng quy tắc ba điểm (hệ thức Chasles) viết dƣới dạng hiệu

so với dạng tổng hai vectơ. Một số em biết dùng quy tắc hình bình hành để xác định vectơ

tổng . Hệ thức trung điểm đƣợc sử dụng trong tất cả lời giải bằng công cụ vectơ.

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

• Sai lầm trong lời giải sử dụng công cụ vectơ : có học sinh tính toán trên vectơ giống

nhƣ trên số thực, chẳng hạn trong lời giải của học sinh số 38 chúng ta thấy có đoạn :

(1)

(2)

Chúng tôi cho rằng có thể học sinh này muốn giải bài toán bằng phép biến đổi tƣơng

đƣơng, nghĩa là chứng minh : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tƣơng đƣơng với một đẳng thức đúng. Tuy

nhiên, đẳng thức số (2) đã thể hiện sự tính toán của em trên vectơ giống nhƣ trên số thực.

Về các lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp :

• Với bài toán trên, hầu nhƣ tất cả các em đều có lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp.

Một số em có đến ba lời giải đúng bằng phƣơng pháp này. Chúng ta có thể giải thích điều này

nhƣ sau :

- Khi giải bài toán đã cho bằng phƣơng pháp tổng hợp ta không cần vẽ thêm.

- Có rất nhiều cách giải bài toán bằng phƣơng pháp tổng hợp

- Việc dùng phƣơng pháp tổng hợp để chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc gặp rất

nhiều ở cấp II.

• Tất cả những lời giải sử dụng tỷ số lƣợng giác đều đúng.

• Phần lớn lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp đều dựa vào hệ thức lƣợng trong tam

giác vuông. Mỗi hệ thức lƣợng trong tam giác vuông đều có ít nhất một lời giải sử dụng nó.

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

• Có duy nhất một học sinh sử dụng hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn để giải bài toán.

Có thể nguyên nhân là do sách giáo khoa chỉ trình bày cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng

hệ thức lƣợng trong đƣờng tròn qua một ví dụ, mà không thể chế hóa nó thành định lý.

• Các sai lầm trong lời giải sử dụng phƣơng pháp tổng hợp là :

♦ Sai về kiến thức ví dụ cho rằng :

- ∆AMB là nửa tam giác đều

- A là trực tâm ∆ABM

♦ Sai về suy luận : Lấy kết luận làm giả thiết.

♦ Sai do ảnh hƣởng hình vẽ

Về các lời giải bằng phƣơng pháp vectơ - tọa độ và phƣơng pháp tọa độ :

• Không có học sinh nào sử dụng phƣơng pháp vectơ - tọa độ cũng nhƣ phƣơng pháp

tọa độ để giải bài toán trên. Nguyên nhân có thể vì trong sách giáo khoa hiện hành không có

bài tập nào dùng phƣơng pháp vectơ - tọa độ để giải một bài toán mà trong phát biểu không

chứa những thông tin về tọa độ, chỉ có ngôn ngữ hình học thuần túy. Còn sử dụng phƣơng

pháp tọa độ thì không phải là mục đích của dạy học hình học lớp 10 nên trong sách giáo khoa

ta thấy chỉ có đúng một bài tập dùng phƣơng pháp tọa độ để giải. Đó là bài toán sau đây :

Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Gọi P, Q là trung điểm AC

và BD. Gọi M, N là trung điểm AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ,

MN có chung trung điểm.

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Lời giải: Đặt tọa độ của A, B, C, D lần lƣợt là (a1, a2); (b1, b2); (c1, c2); (d1, d2). Dễ thấy tọa

độ trung điểm của cả ba đoạn thẳng IJ, MN, PQ đều là

Tuy nhiên bài toán trên không thuộc kiểu nhiệm vụ chứng minh hai đƣờng thẳng

vuông góc và phƣơng pháp tọa độ cũng không tỏ ra có hiệu quả trong việc giải bài toán này.

Vì vậy học sinh không có cơ hội rèn luyện kỹ năng sử dụng phƣơng pháp vectơ - tọa độ hoặc

phƣơng pháp tọa độ để giải dạng toán chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc

- Không có học sinh nào giải bằng cách viết phƣơng trình hai đƣờng thẳng AC, BM

và chứng minh tích hai hệ số góc của hai đƣờng thẳng này bằng -1 mặc dù phƣơng pháp này

đã đƣợc học trong chƣơng trình lớp 9 và đƣợc nhắc lại trong phần đại số của lớp 10

III.2. Phân tích a-posteriori bài toán 2 :

Bảng tống kết:

1/ Tổng số bài: 67 bài trong đó có 19 bài không có lời giải, 48 bài có lời giải

2/ Tổng số lời giải : 53 lời giải trong đó có 9 lời giải dùng công cụ vectơ, 44 lời giải

dùng phƣơng pháp tổng hợp

3/ Bảng thống kê kết quả các phƣơng pháp giải:

Chƣa đến kết Đúng Tổng số Sai quả

PP Vectơ 4 3 9 2

(Bảng 8)

PP tổng hợp 5 11 44 28

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Về các lời giải bằng công cụ vectơ :

• Số lời giải bằng vectơ rất ít (9/53) mặc dù việc chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng

công cụ vectơ đƣợc lặp đi lặp lại ở các kiểu nhiệm vụ T7, T8, T9 và nếu sử dụng công cụ

vectơ để giải bài toán này thì lời giải sẽ ngắn gọn.

• Khi giải bài toán bằng công cụ vectơ, học sinh nắm vững cách chuyển ngôn ngữ qua

lại giữa một sự kiện hình học và một hệ thức vectơ. Cụ thể là :

- A, I, M thẳng hàng ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

- M là trung điểm BC ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

- {

• Tuy nhiên trong quá trình giải, khi muốn tính một vectơ theo một vectơ khác thì các

em tỏ ra lúng túng, không tìm đƣợc phép biến đổi phù hợp. Chúng ta lấy bài làm của học sinh

số 2 làm ví dụ :

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Chúng tôi nghĩ rằng có thể học sinh này muốn tính ⃗⃗⃗⃗⃗ theo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hoặc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ nhƣng càng

biến đổi thì biểu thức càng phức tạp nên không thể làm tiếp đƣợc.

Cũng vậy khi muốn chứng minh hai vectơ nào đó cùng phƣơng, các em không biết

chọn trƣớc một cơ sở và biểu diễn hai vectơ đó qua cơ sở đã chọn để so sánh. Chẳng hạn,

chúng ta xét bài giải sau đây của học sinh số 4 :

Rõ ràng học sinh này biết rằng muốn chứng minh A, I, M thẳng hàng thì cần phải

chứng minh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phƣơng. Tuy nhiên sau khi đã biểu diễn đƣợc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ theo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em lại không thể tính đƣợc ⃗⃗⃗⃗⃗ theo ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Lẽ ra sau khi có ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ học

sinh này phải giữa nguyên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ chỉ biến đổi ⃗⃗⃗⃗⃗ nhƣng ở đây em lại biến đổi tiếp cả ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗.

Việc biến đổi các biểu thức vectơ một cách ngẫu nhiên tùy tiện không chỉ thấy ở trong

các lời giải chƣa đƣợc trọn vẹn nhƣ lời giải trên mà còn trong cả những lời giải hoàn chỉnh.

Chúng ta xét tiếp lời giải sau đây của học sinh số 7 :

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Ta lại có: (2)

Nhân 5 vào hai vế của (2):

Vậy ⇒ A, I, M thẳng hàng

Dƣờng nhƣ học sinh này không biết nghĩ rằng có thể tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗ qua ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ nên

sau khi đã có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em tiếp tục biến đổi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ để suy ra :

Việc biểu diễn ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗ qua một cơ sở ngẫu nhiên đƣợc thấy trong một số lời giải

của học sinh. Chỉ riêng cặp vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗ ta gặp sự biểu diễn chúng thông qua:

Điều này chứng tỏ các em chƣa nắm vững định lý về việc phân tích một vectơ theo

một cơ sở. Đối với định lý này, hai bộ sách năm 1990 và năm 2000 có cách trình bày khác

nhau mặc dù đều đƣa định lí này vào bài "Hệ trục tọa độ Đề-cac vuông góc".

• Sách năm 1990 :

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Định lý mở đầu : Cho trƣớc hai vectơ ⃗ ⃗⃗ khác ⃗⃗ và không cùng phƣơng. Với mọi

vectơ ⃗ bao giờ cũng tìm đƣợc cặp số thực m, n duy nhất, sao cho ⃗ = m ⃗ + n ⃗⃗.

• Sách năm 2000 :

Định lí: Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 1 vectơ tùy ý ⃗⃗. Khi đó có duy nhất

một cặp số thực x và y sao cho ⃗⃗ = x ⃗ + y ⃗.

Ta thấy cách phát biểu định lí trong sách năm 1990 thuần túy vectơ. Cách phát biểu

định lí trong sách 2000 liên quan đến tọa độ. Định lý này chỉ khẳng định mọi vectơ (của mặt

phẳng) đều biểu diễn đƣợc qua hai vectơ vuông góc i,j thuộc hai trục toa độ. Nó chỉ là một

trƣờng hợp riêng của định lý đƣợc giới thiệu trong sách giáo khoa 1990. Phải chăng đây cũng

là một lí do khiến học sinh khi dùng công cụ vectơ đã không thể hiểu sâu sắc cách phân tích

một vectơ theo hai vectơ không cùng phƣơng, nghĩa là bao giờ cũng có thể tính một vectơ

nào đó theo hai vectơ không cùng phƣơng mà ta chọn trƣớc.

• Một học sinh phạm sai lầm khi chuyển từ đẳng thức về độ dài sang đẳng thức vectơ

BN em này đã chuyển thành

vì không để ý đến hƣớng của chúng. Chẳng hạn từ BI =

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thay vì phải viết là ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

Sai lầm này chứng tỏ học sinh chỉ xem xét các vectơ trên phƣơng diện độ dài của

chúng đồng thời vẫn chƣa nắm vững khái niệm phƣơng, hƣớng của vectơ. Các sai lầm này là

một trong những nguyên nhân làm cho việc sử dụng công cụ vectơ để giải toán ở học sinh lớp

10 kém hiệu quả

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

• Một học sinh tính toán trên vectơ nhƣ tính toán trên số thực. Chẳng hạn lời giải của

học sinh số 11

việc viết chứng tỏ rằng học sinh này chƣa nắm chắc kiến

thức vectơ. Em đã không thấy đƣợc có sự khác biệt khi thực hiện phép tính trên vectơ và trên

⃗⃗

số thực. Ký hiệu với k ∈ R hoàn toàn vô nghĩa, bởi không có phép toán chia một số cho một

vectơ. Theo chúng tôi một trong những nguyên nhân khiến học sinh dễ phạm sai lầm này là

"lần đầu tiên học sinh đƣợc làm quen với một đối tƣợng mới là vectơ, mà trên đó vẫn có các

phép cộng, trừ, nhân nhƣ là đối với các số. Mặt khác các phép toán trên các đối tƣợng mới lại

có nhiều tính chất tƣơng tự nhƣ đối với các số. Chẳng hạn phép cộng các vectơ cũng có tính

chất giao hoán, kết hợp,... các quy tắc rút gọn, chuyển vế,..." (tài liệu "Hƣớng dẫn giảng dạy

Toán 10", trang 58). Tuy vậy không phải phép

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

toán nào trên vectơ cũng có tính chất tƣơng tự nhƣ phép toán trên tập hợp số. Chẳng hạn

không có tính chất chuyển vế trong phép nhân một vectơ với một số hoặc trong tích vô

hƣớng, nghĩa là không có các mệnh đề sau đây :

Do sách giáo khoa không trình bày cho học sinh biết tính chất của phép toán nào trên

vectơ tƣơng tự trên số thực, tính chất của phép toán nào thì không nên học sinh rất dễ mắc sai

lầm

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ trong bài làm của mình mặc dù trong sách giáo

• Có học sinh sử dụng ký hiệu

khoa không trình bày ký hiệu này.

Về các lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp:

• Muốn giải bài toán này bằng phƣơng pháp tổng hợp phải biết vẽ thêm và có kỹ năng

tính toán tốt. Vì vậy mặc dù có rất nhiều (44/53) lời giải bằng phƣơng pháp tổng hợp nhƣng

có rất ít (5/44) lời giải đúng. Nếu sử dụng vectơ thì đƣờng lối giải bài toán rất rõ ràng. Hơn

thế, công cụ vectơ sẽ cho phép thiết lập một lời giải gọn gàng. Nhƣng trong thực tế chỉ có

9/53 lời giải có sử dụng vectơ.

• Các sai lầm có thể thấy ở phƣơng pháp tổng hợp là :

♦ Sai về kiến thức

♦ Sai về suy luận : Lấy kết luận làm giả thiết.

♦ Sai do ảnh hƣởng hình vẽ

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

III.3. Phân tích a-posteriori bài toán 3 :

Bảng thống kê :

1. Tổng số bài: 64 bài, trong đó có 9 bài không có lời giải, 55 bài có lời giải.

2. Tổng số lời giải: 60 lời giải trong đó có 3 lời giải bằng vectơ và 57 lời giải bằng

phƣơng pháp tổng hợp

3. Bảng thống kê kết quả các phƣơng pháp giải:

Chƣa đến kết Đúng TS Sai quả

PP Vectơ 3 0 3 0

(Bảng 9)

PP tổng hợp 40 5 57 12

Về các lời giải bằng công cụ vectơ :

• Chỉ có ba lời giải bằng công cụ vectơ. Điều này chứng tỏ khi gặp bài toán chứng

minh thẳng hàng học sinh nghĩ nhiều đến công cụ vectơ nhƣng gặp bài toán chứng minh song

song thì học sinh lại ít nghĩ đến việc dùng công cụ này để giải. Nguyên nhân có lẽ do trong

sách giáo khoa cũng nhƣ sách bài tập không có bài toán nào mà lời giải có sử dụng công cụ

vectơ để chứng minh hai đƣờng thẳng song song.

• Cả ba lời giải bằng công cụ vectơ đều đúng. Có thể vì khi sử dụng công cụ này để

giải thì chỉ cần rất ít phép biến đổi. Hơn nữa các phép biến đổi cần thực hiện rất đơn giản.

Mặt khác các em đã biết chuyển đổi ngôn ngữ tốt cụ thể là :

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

M là trung điểm BD ⟺

AM // NC ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Về các lời giải bằng phƣơng pháp tống hợp :

• Có nhiều lời giải đúng bằng phƣơng pháp tổng hợp.

• Có một số lời giải thiếu chặt chẽ.

• Các sai lầm có thể thấy ở phƣơng pháp tổng hợp là :

+ Sai về kiến thức

+ Sai về suy luận : Lấy kết luận làm giả thiết.

+ Sai do ảnh hƣởng hình vẽ

III.4. Tổng kết phần phân tích a-posteriori ba bài toán thực nghiệm :

1/ Tỉ lệ học sinh sử dụng công cụ vectơ để giải:

Bài Tỉ lệ

Bài 1 (chứng minh vuông góc) 6/80 ≈7,5%

Bài 2 (chứng minh thẳng hàng) 9/67 ≈ 13,4%

Bài 3 (chứng minh song song) 3/64 ≈ 4,7%

(Bảng 10)

Tính chung cả ba bài 18/211≈ 8,5%

Tỉ lệ sử dụng công cụ vectơ còn rất thấp mặc dù chúng tôi đã cố gắng tạo điều kiện để

học sinh nghĩ đến công cụ này bằng cách :

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

♦ Cho thời gian làm bài khá dài (60 phút / 1 bài)

♦ Yêu cầu tìm ít nhất ba lời giải

♦ Soạn các bài toán thực nghiệm sao cho việc dùng công cụ vectơ để giải là hiệu quả

hơn hết.

Tỉ lệ sử dụng công cụ vectơ phụ thuộc rất lớn vào kiểu nhiệm vụ đƣợc đặt ra. Kiểu

nhiệm vụ nào đƣợc gặp và thực hành nhiều thì tỉ lệ dùng công cụ vectơ càng cao chẳng hạn

theo bảng thống kê ở trên ta thấy tỷ lệ học sinh lớp 10 sử dụng công cụ vectơ để giải bài toán

chứng minh ba điểm thẳng hàng lớn hơn việc sử dụng công cụ này để giải bài toán chứng

minh hai đƣờng thẳng vuông góc hoặc hai đƣờng thẳng song song

2/ Về kỹ năng sử dụng công cụ vectơ để giải toán của học sinh :

Bài Đúng Sai Chƣa đến kết quả

Bài 1 2/6 ≈ 33,3% 1/6 ≈ 16,7% 3/6 ≈ 50,0%

Bài 2 4/9 ≈ 44,4% 2/9 ≈ 22,2% 3/9 ≈ 33,3%

Bài 3 3/3 ≈ 100,0% 0/3 ≈ 0,0% 0/3 ≈ 0,0%

(Bảng 11)

Tính chung cả 3 bài 9/18≈50,0% 3/18≈ 16,7% 6/18≈33,3%

Theo bảng 4 và bảng 5 chúng ta nhận thấy chỉ có 8,5% học sinh nghĩ đến việc sử

dụng công cụ vectơ để giải các bài toán thực nghiệm. Trong số này chỉ có 50% học sinh giải

quyết thành công các bài toán. Điều này

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

chứng tỏ vectơ chỉ thật sự là một công cụ giải toán có hiệu quả đối với một số rất ít học sinh

Phân tích các lời giải bằng công cụ vectơ, chúng tôi nhận thấy rằng :

1. Bƣớc chuyển đổi ngôn ngữ đƣợc các em tiến hành khá tốt. Chỉ có 1/18 học sinh

mắc sai lầm trong bƣớc này do khi chuyển từ đẳng thức về độ dài sang đẳng thức vectơ đã

BN em này đã chuyển thành ⃗⃗⃗⃗⃗

không để ý đến hƣớng của chúng. Chẳng hạn từ BI =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thay vì phải viết là ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

Các em còn lại đều thành công trong bƣớc chuyển giả thiết và kết luận của các bài

toán sang ngôn ngữ vectơ. Cụ thể là :

Bài 1:

M là trung điểm AD ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⊥ ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Bài 2:

M là trung điểm BC ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

{

A, I, M thẳng hàng ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

Bài 3:

M là trung điểm BD ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

{

AM // NC ⟺ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Có thể giải thích hiện tƣơng này bởi sự kiện số lƣợng bài tập trong sách hiện hành liên

quan đến việc chuyển đổi ngôn ngữ khá nhiều. Nếu xét riêng các bài tập mà chúng ta đã liệt

kê trong các kiểu nhiệm vụ từ T1 đến T12 thì có thể nói tất cả các bài tập thuộc loại 2 và loại 3

đều có liên quan đến việc chuyển đổi ngôn ngữ. Chúng chiếm tỉ lệ 25/35 số lƣợng bài tập

chính của cả ba loại.

2. Tuy nhiên trong quá trình sử dụng vectơ để giải các bài toán, học sinh thƣờng lúng

túng trong việc chọn các phép biến đổi thích hợp để có thể đi đến kết quả, các em thƣờng

biến đổi lòng vòng, tùy tiện do đó không giải đƣợc trọn vẹn bài toán. Theo chúng tôi nguyên

nhân có thể là do trong sách năm 2000, định lý về việc biểu diễn một vectơ bất kỳ qua một cơ

sở không đƣợc trình bày một cách tổng quát mà chì đề cập đến một trƣờng hợp đặc biệt là

biểu diễn một vectơ qua hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ, đồng thời trong bộ sách này

không có dạng toán tính một vectơ qua một hệ vectơ cho trƣớc. Có lẽ điều này khiến học sinh

không định hƣớng đƣợc các phép biến đổi. Các em không biết chọn trƣớc một hệ hai vectơ

Chƣơng III: Nghiên cứu thực nghiệm Hoàng Hữu Vinh

không cộng tuyến và biểu diễn các vectơ qua hệ này để so sánh hoặc tính toán.

Có thể nói rằng khi sử dụng vectơ để giải các bài toán đã cho, học sinh biết mình phải

làm gì, nhƣng trong quá trình giải, một số em không biết phải thực hiện các phép biến đổi

nhƣ thế nào để đạt đƣợc kết quả mong muốn

IV/ Kết luận

Kết quả phân tích các bài toán thực nghiệm đã khẳng định giả thuyết của chúng tôi là:

- Học sinh lớp 10 vẫn chƣa thƣờng xuyên nghĩ đến việc sử dụng công cụ vectơ để giải

một bài toán hình học thuần túy.

- Một trong những khó khăn của học sinh khi sử dụng vectơ để giải toán là không biết

chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt đƣợc kết quả mong muốn.

100

Kết luận Hoàng Hữu Vinh

KẾT LUẬN

Kết quả nghiên cứu của chƣơng 2 cho phép kết luận rằng : Vectơ đóng một vai trò

quan trọng trong cả hai chƣơng trình 1989 và 1999. Về lý thuyết, vectơ gần nhƣ có mặt trong

toàn bộ nội dung của chƣơng trình hình học lớp 10. Phần đầu của chƣơng trình, vectơ đƣợc

nghiên cứu ở khía cạnh đối tƣợng của tri thức. Phần tiếp theo dành cho việc nghiên cứu các

hệ thức lƣợng trong tam giác, đƣờng tròn. Trong phần này, vectơ đƣợc sử dụng để chứng

minh nhiều định lý và công thức. Chẳng hạn, tích vô hƣớng của hai vectơ đƣợc dùng để

chứng minh định lý hàm số cosin, công thức tính độ dài đƣờng trung tuyến.... Nó cũng đƣợc

dùng để xây dựng khái niệm phƣơng tích của một điểm đối với một đƣờng tròn. Phần cuối

cùng của chƣơng trình là "Các phép dời hình và phép đồng dạng". Ở dây vectơ đƣợc dùng để

định nghĩa phép tịnh tiến, chứng minh các định lý về sự bảo toàn khoảng cách của những

phép dời hình (đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến). Sự bảo toàn tỉ số khoảng cách cũng

nhƣ tính thẳng hàng của phép vị tự. Về bài tập, vectơ đƣợc giới thiệu nhƣ là một công cụ hữu

hiệu để giải các bài toán hình học thuần túy thuộc nhiều kiểu nhiệm vụ khác nhau. Về mặt

này, do quan điểm của Bộ Giáo dục và Đào tạo, có sự khác nhau ở hai chƣơng trình 1989 và

1999 nên việc trình bày vấn đề này trong hai bộ sách tƣơng ứng là sách năm 1990 và sách

năm 2000 cũng có sự khác nhau. Nếu trong sách năm 1990 ngƣời ta liệt kê các dạng toán

thƣờng gặp và nêu phƣơng pháp giải các dạng toán đó trong SGK một cách rõ ràng thành

từng bảng tóm tắt thì sách năm 2000 không trình bày nhƣ vậy. Với quan điểm "giảm tải",

ngƣời ta cố gắng tinh giản lý thuyết do đó một số nội dung lý thuyết thƣờng dùng khi giải

toán bằng công cụ vectơ không đƣợc trình bày thành các kiến thức giáo khoa mà đƣợc giới

thiệu qua các ví dụ hoặc các bài tập nhỏ. Chúng có chức năng nhƣ những bài toán phụ để giải

một số bài toán khác. Mặc dù phần lớn các

101

Kết luận Hoàng Hữu Vinh

dạng toán ở hai bộ sách về cơ bản là giống nhau nhƣng các bài tập sử dụng công cụ vectơ để

giải trong sách năm 2000 có số lƣợng ít hơn và cũng không có những bài toán thật khó nhƣ

trong sách năm 1990. Đặc biệt do sách hiện hành không phát biểu định lý biểu diễn một vectơ

bất kỳ qua một cơ sở nên trong sách này cũng không nêu dạng toán biểu diễn một vectơ qua

một hệ vectơ cho trƣớc

Kết quả nghiên cứu của chƣơng 3 đã chứng tỏ rằng phƣơng pháp sử dụng công cụ

vectơ để giải toán không đƣợc khắc sâu trong học sinh nhƣ phƣơng pháp tổng hợp. Công cụ

vectơ chỉ luôn sẵn sàng để sử dụng ở một số rất ít học sinh. Khi sử dụng vectơ để giải các bài

toán hình học thuần túy học sinh thƣờng có sự chuyển đổi khá tốt giữa ngôn ngữ hình học và

ngôn ngữ vectơ. Các em biết nếu muốn giải đƣợc bài toán thì mình phải làm các bƣớc nào.

Tuy nhiên khi thực hiện các bƣớc, các em còn gặp sai lầm khi biến đổi các biểu thức vectơ

nhƣ là biến đổi các biểu thức vô hƣớng cũng nhƣ còn gặp rất nhiều khó khăn trong việc chọn

các phép biến đổi thích hợp để đạt đƣợc kết quả. Do đó tỷ lệ giải thành công bài toán bằng

công cụ vectơ ở học sinh lớp 10 chƣa cao.

Theo chúng tôi nguyên nhân của thực trạng này là :

- Học sinh gặp khó khăn trong việc hiểu bản chất kép (hình học và đại số) của vectơ

nhƣ tác giả Lê Thị Hoài Châu đã nêu ra trong luận văn tiến sỹ của mình. Lần đầu tiên học

sinh đƣợc làm quen với một đối tƣợng mới là vectơ mà trên đó vẫn có các phép cộng, trừ,

nhân nhƣ là đối với các số. Mặt khác các phép toán trên các đối tƣơng mới lại có nhiều tính

chất tƣơng tự nhƣ đối với các số. Chẳng hạn phép cộng các vectơ cũng có các tính chất giao

hoán, kết hợp... Tuy vậy, không phải phép toán nào trên vectơ cũng có các tính chất tƣơng tự

nhƣ các phép toán trên tập hợp số. Sách giáo khoa không trình bày cho học sinh biết tính chất

của phép toán nào trên vectơ tƣơng tự trên số thực, tính chất của phép toán nào thì

102

Kết luận Hoàng Hữu Vinh

không, nếu trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng không làm rõ điều này thì học sinh rất

dễ mắc sai lầm.

- Cách phát biểu định lý về việc phân tích một vectơ theo một cơ sở trong sách năm

2000 không đƣợc tổng quát nhƣ sách năm 1990. Có lẽ đây cũng là một lý do khiến học sinh

không biết định hƣớng các phép biến đổi của mình. Các em không biết rằng có thể chọn trƣớc

hai vectơ không cộng tuyến và biểu diễn các vectơ khác qua hai vectơ này để so sánh hoặc

tính toán.

- Sách không hệ thống hóa các dạng toán có thể giải bằng công cụ vectơ cũng nhƣ

không đƣa ra cách thức nhận biết bài toán nào thì có thể giải đƣợc bằng công cụ này.

Phải chăng do thể chế của việc dạy học vectơ trong chƣơng trình hình học lớp 10 ở

nƣớc ta, việc không đặt yêu cầu cao đối với phƣơng pháp sử dụng công cụ vectơ để giải toán

và việc trình bày phƣơng diện công cụ của vectơ trong sách hình học khiến học sinh không có

một cái nhìn có hệ thống cũng nhƣ không đƣợc rèn luyện việc sử dụng công cụ vectơ để giải

các bài toán hình học. Vì vậy học sinh lớp 10 thƣờng ít nghĩ đến việc sử dụng vectơ để giải

toán và nếu nghĩ đến thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn.

Từ những kết quả nghiên cứu đã đạt đƣợc, chúng tôi có thể tiếp tục nghiên cứu của

mình theo hƣớng tìm cách trình bày các kiến thức về vectơ sao cho vừa đạt đƣợc yêu cầu về

nội dung vừa thỏa mãn quan điểm tinh giản lý thuyết của Bộ Giáo dục và Đào tạo mà vẫn có

thể giúp học sinh nắm vững và sử dụng có hiệu quả công cụ vectơ trong việc giải các dạng

toán hình học đƣợc đề ra trong chƣơng trình.

103

TÀI LIỆU THAM KHẢO

---oOo---

1. BESSOT.A, COMITI. C, (2000 - 2001)., Lý thuyết nhân chủng học ... Bài giảng

trong chƣơng trình Thạc Sĩ về Didactique Toán.

2. ĐOÀN HỮU HẢI (2001)., L'enseignement de la géométrie dans l'espace au début

du lýcée dans ses liens avec la géométrie plane. Une étude comparative entre deux

institutions : la classe de Seconde en France et la classe 11 au Việt Nam. Thèse de doctorat,

Université Joseph Fourier Grenoble, France.

3. LÊ THỊ HOÀI CHÂU (1997)., E'tude didactique et épistémologique sur

l'enseignement du vecteur dans deux institutions : la classe de Dixième au Việt Nam et la

classe de Seconde en France., Thèse de doctorat, Université Joseph Fourier Grenoble, France.

4. LÊ VĂN TIÊN (2001) : E'tude didactique des liens entre fonctions et équations

dans l'enseigement des mathématiques au lycée en France et au Việt Nam., Thèse de doctorat,

Univerité Joseph Fourier Grenoble, France.

5. NGUYỄN GIA CỐC (1990) : Một số vấn đề chung trong việc dạy Hình học lớp 10.

Tài liệu giáo viên phục vụ cho CCGD, Bộ Giáo Dục và Đào Tạo

6. NGUYỄN MỘNG HY-CAM DUY LỄ (1998)-Sách giáo viên (tái bản lần 1) -

NXB Giáo Dục

7. NGUYỄN GIA CỐC (1997) - Sách giáo khoa hình học 12 (in lần thứ 6) NXB Giáo

Dục.

8. NGUYỄN VĂN LỘC (1997) Quy trình giải các bài toán Hình học bằng phƣơng

pháp vectơ - NXB Giáo Dục.

9. TRẦN VĂN HẠO - CAM DUY LỄ (1997) Sách giáo viên Toán 10 - NXB Giáo

Dục.

10. TRẦN VĂN HẠO - VŨ THIỆN CĂN - CAM DUY LỄ (1997) Sách giáo khoa

hình học 10 (in lần thứ 7) - NXB Giáo Dục.

11. TRẦN VĂN HẠO - PHAN TƢƠNG DẦN (1998) - Sách giáo viên (tái bản lần

1)-NXB Giáo Dục

12. VĂN NHƢ CƢƠNG (1994) Hình học 10 (sách giáo viên) NXB Giáo Dục.

13. VĂN NHƢ CƢƠNG - NGÔ THÚC LANH (2000) Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy

Toán 12- NXB Giáo Dục.

14. VĂN NHƢ CƢƠNG - PHAN VĂN VIỆN (2000) Sách giáo khoa Hình học 10 -

NXB Giáo Dục.

15. VĂN NHƢ CƢƠNG - PHAN VĂN VIỆN (2000) Sách bài tập Hình học 10 -NXB

Giáo Dục.

16. VĂN NHƢ CƢƠNG - TẠ MÂN (2000) Sách giáo khoa Hình học 12 - NXB Giáo

Dục.

17. VĂN NHƢ CƢƠNG - TẠ MÂN (2000) Sách bài tập Hình học 12 - NXB Giáo

Dục.

18. VĂN NHƢ CƢƠNG - TRẦN VĂN HẠO (2001) Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy

Toán 10- NXB Giáo Dục.

19. VĂN NHƢ CƢƠNG - VŨ DƢƠNG THỤY - TRƢƠNG CÔNG THÀNH (1990)

Sách giáo viên Hình học 10- NXB Giáo Dục.

Trƣờng : Trần Đại Nghĩa

Lớp: 10A3

Họ và tên :

Bài 1a:: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = √ AB. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh

rằng AC ⊥BM. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên.

Trƣờng : Trần Đại Nghĩa

Lớp : 10A3

Họ và tên :

Bài 1a : Cho hình chữ nhật ABCD có AD = √2AB. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh

rằng AC ⊥BM. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên.

Trƣờng: Lƣơng Văn Can

Lớp : 10A2

Họ và tên :

Bài la : Cho hình chữ nhật ABCD có AD = √ AB. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh

rằng AC ⊥BM. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên.

Trƣờng : PTTH Trần Đại Nghĩa

Lớp: 10A3

Họ và tên :

Bài 1a : Cho hình chữ nhật ABCD có AD = √ AB. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh

rằng AC ⊥ BM. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên.

Trƣờng : Trần Đại Nghĩa

Lớp: 10A3

Họ và tên :

Bài 2 : Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho

AC. Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI =

BN. Chứng minh rằng A, I, M thẳng

AN =

hàng. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên.

Trƣờng: Trần Đại Nghĩa

Lớp: 10A3

Họ và tên :

Bài 2 : Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho AN

AC. Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI =

BN. Chứng minh rằng A, I, M thẳng hàng.

Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên.

Trƣờng: Lƣơng Văn Can

Lớp: 10A5

Họ và tên :

Bài 2 : Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho AN

= 1/4 AC. Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI = 4/5 BN. Chứng minh rằng A, I, M thẳng

hàng. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên.

Trƣờng TĐN

Lớp: 10A3

Họ và tên :

Bài 2 : Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho

BN. Chứng minh rằng A, I, M thẳng

Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI =

hàng. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên.

Trƣờng : PTTH Trần Đại Nghĩa

Lớp : 10A3

Họ và tên :

Bài 2 : Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Điểm N nằm trên cạnh AC sao cho AN

AC. Điểm I nằm trên đoạn BN sao cho BI =

BN. Chứng minh rằng A, I, M thẳng hàng.

Hãy tìm ít nhất 3 lời giải khác nhau cho bài toán trên.

Trƣờng: Lê Hồng Phong

Lớp: 10CA

Họ và tên :

Bài 3a : Cho hình thang ABCD. Hai đáy AB và CD thỏa hệ thức AB = kCD (k là số thực tùy

ý > 1). Gọi M là trung điểm BD và. N là điểm trên cạnh AD thỏa DN = DA. Chứng minh

rằng AM // NC. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên.

Trƣờng : Lê Hồng Phong

Lớp: 10CA

Họ và tên :

Bài 3a : Cho hình thang ABCD. Hai đáy AB và CD thỏa hệ thức AB = kCD (k là số thực tùy

ý > 1). Gọi M là trung điểm BD và. N là điểm trên cạnh AD thỏa DN = DA. Chứng minh

rằng AM // NC. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên.

Trƣờng: Lƣơng Văn Can

Lớp: 10A1

Họ và tên :

Bài 3a : Cho hình thang ABCD. Hai đáy AB và CD thỏa hệ thức AB = kCD (k là số thực tùy

ý > 1). Gọi M là trung điểm BD và. N là điểm trên cạnh AD thỏa DN = DA. Chứng minh

rằng AM // NC. Hãy tìm ít nhất 3 lời giải cho bài toán trên.

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Nghiên cứu didactic toán về hoạt động của công cụ vectơ trong hình học lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HOÀNG HỮU VINH

NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ

HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ

TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số

:60.14.10

TP. HỒ CHÍ MINH – 2002

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HOÀNG HỮU VINH

NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ

HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ

TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số

:60.14.10

TP. HỒ CHÍ MINH – 2002

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

HOÀNG HỮU VINH

NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ

HOẠT ĐỘNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ

TRONG HÌNH HỌC LỚP 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số

:60.14.10

TP. HỒ CHÍ MINH – 2002

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

I/ Khung lý thuyết tham chiếu

II/ Trình bày lại những câu hỏi nghiên cứu

III/ Phƣơng pháp nghiên cứu

CHƢƠNG 2: CÔNG CỤ VECTƠ TRONG CHƢƠNGTRÌNH VÀ SÁCH

GIÁO KHOA

Mở đầu

I/ Công cụ Vectơ trong chƣơng trình 1989

II/ Công cụ vectơ trong chƣơng trình 1999

III. Công cụ vectơ trong sách năm 2000

IV. Kết luận và nêu giả thuyết nghiên cứu

CHƢƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Mở đầu

I/ Các bài toán thực nghiệm

II/ Phân tích A-PRIORI các bài toán trên

III/ Phân tích A-posteriori bài toán

IV/ Kết luận

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi