Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Phép chia có dư trong dạy học Toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hoàng Thị Oanh

PHÉP CHIA CÓ DƯ TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung người đã nhiệt tình hướng dẫn và

giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên

Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành, TS. Vũ Như Thu Hương đã nhiệt tình giảng

dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Tất cả các bạn học viên cao học khóa 18, những người đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và

nghiên cứu về didactic toán.

- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Cần Đước đã tạo điều kiện thuận lợi,

giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình.

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận

lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong khóa học.

- Gia đình và những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học.

Hoàng Thị Oanh

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Pccd

: Phép chia có dư

Pch : Phép chia hết

UCLN : Ước chung lớn nhất

TCTH : Tổ chức toán học

THPT : Trung học phổ thông

THCS : Trung học cơ sở

SGK : Sách giáo khoa

SGV : Sách giáo viên

SBT : Sách bài tập

SGK3 : Sách giáo khoa toán 3

SGK4 : Sách giáo khoa toán 4

SGK5 : Sách giáo khoa toán 5

SGK6 : Sách giáo khoa toán 6

SGK7 : Sách giáo khoa toán 7

MTBT : Máy tính bỏ túi

: Tr Trang

MỞ ĐẦU

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:

Sau khi tham khảo luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) về đề tài “Nghiên cứu Didactic về

bước chuyển từ phân số như là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là

“ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào tạo giáo viên tiểu học về phân số”. Chúng tôi chú ý

những nhận xét về phép chia hết và phép chia có dư xuất hiện ở tiểu học trong những tình huống và

nghĩa của phép chia trong những tình huống đó.

Phép chia có những nghĩa như sau:

- Phép chia là sự phân phối lần lượt, mỗi lần một đối tượng cho đến hết.

- Phép chia là sự phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng.

- Phép chia là phép toán ngược của phép nhân: muốn tìm kết quả của phép chia cần dựa vào

phép nhân tương ứng.

Nghĩa của phép chia hết và phép chia có dư :

- Phép chia hết là sự phân phối lần lượt các đối tượng bằng nhau cho đến hết.

- Phép chia có dư là sự phân phối lần lượt các đối tượng cho đến khi còn một số đối tượng

không thể phân phối đều được nữa.

Tuy nhiên khi làm tính trên số, phép chia hết và phép chia có dư lại có nghĩa:

- Phép chia hết là phép chia mà không có dư

- Phép chia có dư là phép chia có thương là số nguyên và số dư bé hơn số chia.

Nhìn chung phép chia cho nghĩa chia đều n đối tượng cho p phần bằng nhau.

Luận văn chỉ đề cập đến nghĩa của phép chia ở bậc tiểu học. Như vậy, các câu hỏi sau đây được đặt

ra :

Phép chia có dư được tiếp tục trình bày ở THCS và THPT như thế nào ? Đối tượng này có

còn mang những nghĩa như đã nhắc tới ở SGK tiểu học nữa hay không? Phép chia có dư xuất hiện

trong chương trình nhằm giải quyết những vấn đề gì toán học gì ?

2. Khung lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi sẽ vận dụng lý thuyết nhân học của Chevallard để phân tích các thể chế dạy học

nhằm xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chia có dư trong các thể chế dạy học đại học

và THCS. Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư, hiểu về pccd và thao

tác về pccd. Để nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, chúng tôi cần đặt trong mối quan hệ thể chế

dạy học pccd ở bậc phổ thông. Bên cạnh đó chúng tôi xây dựng các tổ chức toán học xung quanh

khái niệm phép chia có dư ở để làm rõ mối quan hệ ở hai thể chế trên.

Kế tiếp chúng tôi vận dụng khái niệm hợp đồng didactic để xem xét yếu tố chi phối ứng xử

của giáo viên và học sinh, yếu tố nào cho phép hợp thức hóa các thao tác của học sinh trên đối

tượng phép chia có dư. Ở đây, chúng tôi làm rõ những qui tắc ngầm ẩn phân chia trách nhiệm và

quyền hạn của giáo viên và học sinh đối với đối tượng pccd.

Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu:

Q1. Khái niệm phép chia có dư đối với tri thức khoa học được trình bày như thế nào? Nó có

những đặc trưng cơ bản nào? Phép chia có đóng vai trò công cụ cho những tri thức nào ?

Q2. Trong thể chế dạy học toán ở phổ thông Việt Nam phép chia có dư được giảng dạy như thế

nào? Phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào? Mối quan hệ thể

chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn đó như thế nào?

Q3. Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong

quá trình dạy – học phép chia có dư ?

3. Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi thực hiện trong luận văn này là:

Tiến hành nghiên cứu so sánh việc đưa vào phép chia có dư trong hai thể chế:

 Thể chế dạy học phép chia có dư ở bậc đại học: Cụ thể là nghiên cứu các giáo trình đại học

về việc trình bày phép chia có dư như thế nào và các ứng dụng của phép chia có dư để giải

quyết những vấn đề nào.

 Thể chế dạy học phép chia có dư ở trường phổ thông: phân tích chương trình và SGK Việt

Nam, phép chia có dư được giảng dạy như thế nào, kiến thức này được đưa vào để giải quyết

những bài toán nào trong chương trình. Dựa trên việc tổng kết các kết quả phân tích đưa ra

những giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm nghiệm bằng thực

nghiệm.

 Xây dựng tình huống thực nghiệm đối với học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã

được đặt ra ở trên.

Phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC

NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

(Thể chế dạy học Việt Nam)

THỰC NGHIỆM

4. Tổ chức luận văn:

Luận văn gồm những phần chính sau đây:

 Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn

đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên

cứu và tổ chức của luận văn.

 Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư ở cấp độ tri thức khoa học trong hai giáo

trình đại học để làm rõ đặc trưng cơ bản của khái niệm phép chia có dư và cơ chế công cụ

của khái niệm này.

 Chương 2: Chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư trong SGK

Việt Nam. Từ đó chúng tôi đưa ra những câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu.

 Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết mà

chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2.

 Phần kết luận

Tóm tắt các kết quả đạt được trong các chương 1, 2, 3 và đề xuất một số hướng nghiên cứu có

thể mở ra của luận văn.

CHƯƠNG I

ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHIA CÓ DƯ

Mục tiêu của chương

Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của phép chia có dư và cơ chế công cụ của phép chia

có dư trong một số giáo trình ở bậc đại học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích các giáo trình này chúng

tôi cố gắng tìm hiểu cách trình bày khái niệm phép chia có dư được trong các giáo trình đại học và

các ứng dụng của phép chia có dư cũng như vai trò công cụ của phép chia có dư trong việc nghiên

cứu những khái niệm có liên quan.

Phân tích một số giáo trình đại học liên quan đến phép chia có dư.

Ở đây chúng tôi chọn phân tích ba giáo trình thuộc các lĩnh vực số học, toán rời rạc và đại số đại

cương được sử dụng phổ biến trong các trường đại học phía Nam :

[a] Đậu Thế Cấp (2008) - Số học, NXB Giáo dục

[b] Kenneth H. Rosen (2001) - Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, NXB Lao động –

Người dịch: Bùi Xuân Toại

[c] Hoàng Xuân Sính (1998) – Đại số đại cương, NXB Giáo dục

Mục đích của việc lựa chọn các giáo trình này là do phép chia có dư và các vấn đề có liên quan

đến phép chia có dư được trình bày trong các giáo trình này khá phong phú. Việc phân tích so sánh

các giáo trình trên sẽ cho phép làm rõ sự khác nhau trong việc trình bày phép chia có dư ở cấp độ

giáo trình đại học. Điều này làm cơ sở tham chiếu cho chúng tôi thực hiện phân tích phép chia có dư

được giảng dạy ở phổ thông.

1. Phép chia có dư ở giáo trình [a] – Số học

1.1 Phép chia có dư xét trên phương diện đối tượng

Trong giáo trình này phép chia được đề cập lần đầu tiên ở chương 1 trong tập hợp số tự

nhiên.

Định nghĩa phép chia được trình bày ở trang 11 như sau:

“Cho hai số tự nhiên a và b, b  0. Nếu có số tự nhiên c sao cho cb = a thì c được gọi là thương

trong phép chia a cho b.”

Phép chia được trình bày ở đây theo quan điểm phép chia là phép toán ngược của phép toán

nhân. Định nghĩa này ngầm ẩn việc tìm một số chưa biết c khi ta đã có a và b tức là một dạng giải

phương trình. Qua phần trình bày của định nghĩa, phương trình này không phải lúc nào cũng có

nghiệm hay thương của phép chia hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng tồn tại. Trong phần nhận

xét, giáo trình nêu : “ Nếu thương a : b tồn tại thì a = b. (a:b). Suy ra a = 0 hoặc a  b” [trang 11]

với điều kiện này thì phép chia này được gọi là phép chia hết. Định nghĩa này được trình bày trong

bài “Phép trừ và phép chia” tuy nhiên qua cách trình bày không thể hiện mối quan hệ nào giữa phép

trừ và phép chia.

Trong bài “Phép chia có dư”, trước khi định nghĩa phép chia có dư [a] đưa vào định lý 5 ở

trang 11 như sau:

“Cho hai số tự nhiên a và b, b  0. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q,r thỏa mãn

a = bq + r ; 0  r < b”

Sau phần chứng minh của định lý, trên cơ sở của định lý mà phép chia có dư trong tập hợp số tự

nhiên đã được định nghĩa như sau:

“Chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b (b  0) là tìm hai số tự nhiên q và r thỏa mãn:

a = bq + r ; 0  r < b

a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư.

Nếu r = 0 thì ta nói a chia hết cho b.”

Định nghĩa này nêu đặc trưng của phép chia có dư với mọi số tự nhiên a, b (b  0 ) thì luôn

tìm được q và r thỏa mãn biểu thức a = bq + r. Vậy phép chia có dư luôn thực hiện được trong tập

hợp số tự nhiên. Phép chia có dư được định nghĩa theo quy ước.

Như vậy trong [a] phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư.

Cho đến chương 3, định lý về phép chia có dư còn gọi là định lý cơ bản được phát biểu trong

tập hợp Z:

“Cho hai số nguyên a và b, b  0, khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho:

a = bq + r ; 0  r< |b|”

Định lý này là mở rộng của định lý 5 được nêu ở chương 1. Chứng minh của định lý này cơ

bản kế thừa chứng minh định lý 5. Ta chú ý phần chứng minh của định lý này trong trường hợp b >

0, a < 0.

Khi a < 0 thì – a > 0 khi đó tồn tại q, r để

a = bq + r hay a = - bq – r ; 0  r < b

o khi r = 0 thì a = - bq tức cặp số cần tìm là ( - q , 0)

o khi 0 < r < b thì a = - bq – r

= b ( - q - 1) + b – r ; 0 < b – r < b.

Cặp số cần tìm là (- q -1, b - r).

Trong trường hợp a < 0 với yêu cầu số dư là số dương ta thực hiện thêm bớt cho số chia để tìm cặp

số (q, r), phần chứng minh này thể hiện sự ngầm ẩn phép chia có dư có nghĩa phép trừ liên tiếp số bị

chia cho số chia tới khi được một số nhỏ hơn số chia

Ta lấy ví dụ phép chia có dư – 14 chia cho 3.

Ta có - 14 = - 3.4 – 2

= 3( - 4 - 1) + 3 – 2 = 3. (- 5) +1.

Ví dụ minh họa đã ứng dụng kỹ thuật trong phần chứng minh trên để giải thích việc tìm cặp

(q, r) cho trường hợp a < 0.

Tương tự, định nghĩa phép chia có dư và phép chia hết trong tập hợp số nguyên được đưa

vào ngay sau chứng minh ở trang 41 như sau:

“Cho hai số nguyên a và b, b  0, thực hiện phép chia có dư số a cho số b là tìm cặp số

nguyên q, r sao cho

a = bq + r ; 0  r < |b|.

Số a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư.

Nếu số dư r = 0 thì a = bq. Trong trường hợp này ta nói phép chia là chia hết và cũng gọi là :

a chia hết cho b, a là bội số của b; kí hiệu a b; hoặc :

b chia hết a, b là ước của a; kí hiệu b/a”

Như vậy, phép chia có dư đã được định nghĩa trên tập số Z. Phép chia hết là trường hợp đặc

biệt của phép chia có dư. Trong phép chia có dư thì số dư luôn là số nguyên không âm và bé hơn số

chia. Bên cạnh đó, giáo trình [a] đã đưa ra các ngôn ngữ tương đương của đặc trưng chia hết là

“bội” và “ước”. Trong giáo trình này ngôn ngữ “bội” và “ước” được sử dụng thay thế cho cụm từ

“chia hết”. Sau phần định nghĩa [a] không đưa ra một ví dụ nào để minh họa cho phép chia có dư.

Điều này gây không ít khó khăn cho người học khi biểu diễn số nguyên âm dưới dạng phép chia có

dư.

Phần tiếp theo của [a] giới thiệu tính chất cơ bản của chia hết và các kiểu nhiệm vụ liên quan tới

tính chia hết.

1.2 Phép chia có dư xét trên phương diện công cụ.

a. Ước chung lớn nhất (UCLN)

Định nghĩa UCLN ở trang 44 như sau:

“Nếu số d là ước số của tất cả các số a1, a2,..,an thì d được gọi là ước chung của các số a1,

a2,..,an.

Một ước chung của các số a1, a2,..,an được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN) nếu nó chia

hết cho mọi ước chung của các số đó.

ƯCLN của a1, a2,..,an được kí hiệu là ƯCLN(a1, a2,..,an ).

ƯCLN dương của a1, a2,..,an được kí hiệu là (a1, a2,..,an ).”

Trong tập hợp các ước chung, theo hình thức thì ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập

ước chung, định nghĩa đã nêu rõ bản chất của UCLN là ước chung chia hết cho mọi ước chung còn

lại. Thông qua định nghĩa ta có thể nhận thấy kỹ thuật tìm UCLN đã chỉ rõ nhưng kỹ thuật này có

thể mất nhiều thời gian khi các số đó là những số rất lớn.

Từ định nghĩa UCLN thì [a] cũng đưa và định nghĩa số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh

đôi. Một số tính chất sử dụng đến phép chia có dư để tìm UCLN chẳng hạn như tính chất 5, 6 ở

trang 45 như sau:

“5. Nếu có số aj sao cho aj \ ai với mọi i = 1, 2,..., n thì ƯCLN (a1, a2, ..., an) =  aj 6. Cho a = bq + c; a, b, c, q Z. Khi đó mỗi ước chung của a, b cũng là ước chung của b, c

và ngược lại.”

Tính chất này được nêu ra mà không trình bày chứng minh, ghi cụ thể như sau:

a = bq + r thì (a, b) = (b, r)

Đây cũng là cơ sở để giải thích cho cách tìm UCLN bằng thuật toán Euclide. Thuật toán Euclide

được đưa vào ở trang 46 như sau:

“Cho hai số nguyên a  0 và b  0.

Khi đó theo định lý 1, ta tìm được các cặp số (q0, r0),(q1, r1),...,(qn, rn) sao cho a = bq0 + r0 ; 0 < r0 < |b| b = r0q1 + r1 ; 0 < r1 < r0

r0 = r1q2 + r2 ; 0 < r2 < r1.

…………

rn – 3 = rn – 2qn – 1 + rn – 1 ; 0 < rn – 1 < rn – 2 rn – 2 = rn – 1qn + rn ; rn = 0. Vì |b| > r0 > r1 > ….. là dãy số tự nhiên giảm dần nên phải có rn = 0, khi đó thuật toán kết thúc.

Dãy các số a, b, r0, r1,….rn – 1 được gọi là dãy số Euclide của hai số a, b.”

Dựa vào thuật toán Euclide và các tính chất của UCLN ta có thể tìm được UCLN của hai số a, b: (a,

b) = (b, r0) = ... = (rn-2, rn-2 ) = rn-1. Có thể nói nó là số dư cuối cùng khác không trong thuật toán Euclide. Thuật toán Euclide đã thực hiện một chuỗi phép chia có dư liên tiếp, mà trong các phép

chia có dư này chúng ta chỉ chú ý đến số dư. Thuật toán này, số dư đóng vai trò quan trọng, thuật

toán sẽ dừng lại khi r = 0.

Bên cạnh đó [a] cũng đưa ra lược đồ tìm UCLN của nhiều số nguyên a1, a2, ... , an.

(a1, a2) = D1

(D1, a3) = D2

..............

(Dn-2, an) = D

vậy ta có (a1, a2, ... , an) = D.

Ta có nhận xét: “Vì d / a  d / (-a) nên khi tìm ƯCLN ta có thể thay các số âm bởi số đối của

chúng.” trang 48. Với nhận xét này bài toán tìm UCLN của số nguyên ta chỉ quan tâm tới việc tìm

UCLN của những số nguyên dương.

Bài toán tìm UCLN thường gắn liền với bài toán tìm bội chung nhỏ nhất, nhưng trong luận văn

này chúng tôi chỉ tìm hiểu về UCLN.

b. Quan hệ đồng dư

Định nghĩa đồng dư được nêu ở trang 57:

“Cho m  N*. Các số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo môdun m nếu các phép chia a cho m

và b cho m có cùng số dư.

Kí hiệu : a  b (mod m).”

Nếu a và b đồng dư theo môdun m thì a – b là bội của m. Tính chất đặc trưng của quan hệ đồng dư

theo môdun m là quan hệ tương đương.

2,1,0

,.....,

m . 1

Với định nghĩa trên, tập hợp số nguyên được phân hoạch thành các lớp tương đương và được

gọi là lớp thặng dư. Quan hệ đồng dư theo môdun m có m lớp thặng dư:

Trong phần lý thuyết của quan hệ đồng dư có định lý quan trọng về dấu hiệu chia hết ở trang

60 như sau:

aa nn

1... 

aa 01

g  mod(d), i = 0, 1, ..., n.”

“Điều kiện cần và đủ để một số A= viết trong hệ cơ số g chia hết cho số d là tổng a0r0 +

r i

a1r1 +... + anrn chia hết cho d, trong đó ri là các số nguyên sao cho

Từ định lý này [a] đưa ra các ví dụ về dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 3, 9 và 11. Đây là những dấu

hiệu chia hết thường gặp. Định lý này phát biểu dấu hiệu chia hết với cơ số bất kì, Những ví dụ

minh họa đều trong hệ thập phân.

Ứng dụng của phép chia có dư trong thuật toán Euclide còn là công cụ để giải phương trình vô định.

Định nghĩa số nguyên tố cũng dựa vào tính chất của phép chia hết: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi

là số nguyên tố nếu chỉ có hai ước số (tự nhiên) là 1 và chính nó.” Các tính chất của số nguyên tố

hay phân tích một số ra thừa số nguyên tố cũng dựa vào các dấu hiệu chia hết và không chia hết của

các số tự nhiên.

 Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư.

Kiểu nhiệm vụ TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g.

115

1 38

2 12

0 4

1 1

115 

Ví dụ trang 17: Viết số 115 sang hệ ghi cơ số 3.

11021 3

vậy

Kỹ thuật DCS :

+ Thực hiện liên tiếp các phép chia có dư số tự nhiên x và các thương của các phép chia đó cho cơ

a 

số g.

 0

0 x = g.x0 + a0,

a 

 1

0 x0 = g.x1 + a1 ,



....

an 

1 xn = g.0 + an,

+ Phép chia dừng lại khi thương số bằng 0

+ Dãy các số dư viết theo thứ tự đảo ngược chính là kết quả cần tìm.

Kỹ thuật này được [a] nêu rõ: “Để đổi một số x từ hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g ta

thực hiện chia liên tiếp x cho g. Số dư lần chia đầu là a0, số dư lần tiếp theo là a1,.. số dư lần cuối

aa nn

1... 

aa 01

” cùng là an.. Ta được x

Trong cách trình bày chúng tôi nhận thấy có một vấn đề là số thương cuối cùng cũng chính là

số dư cuối cùng của phép chia tức phép chia dừng lại khi xn < g. Trong cách giải mong đợi được

nêu ra bởi [a] không giải thích cho kết quả này. Trong kỹ thuật này khi thực hiện liên tiếp các phép

chia có dư thì kết quả của bài toán là dãy những số dư. Số dư đóng vai trò quan trọng trong kiểu

nhiệm vụ này. Điều kiện dừng của thuật toán này không được nêu rõ trong [a]. Quá trình thực hiện

phép chia phải dừng lại sau hữu hạn bước do g > 1 nên x > x0 > x1 > x2....dãy xi giảm dần, do đó tồn

tại n để xn = 0.



NaZn ,



Công nghệ DCS : Định nghĩa phép chia có dư.

. Kiểu nhiệm vụ TCH: Chứng minh rằng: P(n)a,

Ví dụ trang 43: Chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.

Giải

Giả sử tích của ba số đó là A = n(n + 1)(n + 2). Viết n dưới dạng n = 6k + r; với r = 1,

2, 3, 4, 5.

Nếu r = 0 thì n 6 thì A6.

Nếu r = 1 thì n + 1  2; n+2  3 thì A 6

...

Vậy với mọi n Z ta có n(n + 1)(n + 2)6

Kỹ thuật CH :

r 

+ Phân hoạch Z thành các lớp thặng dư: n = ak + r; với 0

+ Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng trong từng lớp thặng dư.

Công nghệ CH : Các tính chất chia hết. Định nghĩa phép chia có dư.

CH : Quan hệ tương đương, quan hệ đồng dư.

Lý thuyết

Đây kiểu nhiệm vụ cơ bản của chương này có nhiều kỹ thuật giải như dùng phương pháp chứng

minh quy nạp, chứng minh phản chứng, dùng kỹ thuật phân tích nhân tử. Trong một bài toán các kỹ

thuật này kết hợp với nhau để giải quyết nhiệm vụ này.

Kỹ thuật phân hoạch Z thành những lớp thặng dư có nhiều cách ghi khác nhau nhưng chúng tôi

nhận thấy thường theo hai cách:

 Không âm, nhỏ nhất: {0,1,2,...m – 1}

1m 2

m  2

2 m , 2

} nếu m lẻ và {0,  1,  2,...,  } nếu  Có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất:{0,  1,  2,..., 

m chẵn. Trong [a] dùng cách ghi thứ nhất. Để giảm bớt độ lớn của các số trong các phép tính,

người ta có thể chọn những đại diện phân bố quanh 0 như cách ghi thứ hai.

Kiểu nhiệm vụ TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên.

UCLN.

Kỹ thuật :

+ Liệt kê tất cả các ước của các số nguyên.

+ Tìm ước chung của tập hợp số này.

+ Số lớn nhất của ước chung chính là UCLN.

Dựa vào định nghĩa ta có được kỹ thuật này. Ta nhận thấy kỹ thuật này tốn thời gian và công

sức nên thực tế ít được áp dụng để tìm UCLN.

UCLN .

Công nghệ :Phép chia hết và các tính chất cơ bản của phép chia hết.

Ví dụ trang 47: Tìm UCLN của 119 và 84

Ta có 119 = 84.1 + 35

84 = 35.3 + 14

35 = 14.2 + 7

14 = 7.2

vậy (119, 84) = 7

UCLN .

TTE

: Dùng thuật toán chia Euclide để tìm UCLN. Kỹ thuật

UCLN.

TTE

Công nghệ :

+ Các tính chất UCLN.

+ Định lý cơ bản về phép chia có dư.



UCLN .

TTE

Lý thuyết

+ Sắp thứ tự tốt của tập N.

+ Nguyên lý chuồng bồ câu.

Ví dụ trang 73: Tìm UCLN của 96, 240, 168, 360

Ta có 96 = 25.3

240 = 24.3.5

168 = 23.3.7 360 = 23.32.7

vậy (96, 240, 168, 360) = 23.3 = 24.

UCLN .

: Kỹ thuật

...

+ Phân tích các số nguyên a thành dạng phân tích tiêu chuẩn:

 p 1 1

 p 2 2

 kp k

 2

 k

...

a1 =

 p 1 1

a2 =

 k

........

...

 p 1 1

 2 2

min(

)

min(

)

min(

)

 , 1

 , 2

 , k





...1 k

...

, an =

p 1

 i i

, với UCLN(a1,a2, ... ,an) =

UCLN.

: Công nghệ

+ Số nguyên tố, dấu hiệu chia hết.



+ Quy tắc nhân lũy thừa.

UCLN .

Lý thuyết : định lý

“Mỗi hợp số đều phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố và nếu không kể đến thứ tự

của các thừa số thì sự phân tích là duy nhất.”

UCLN.

Trong ba kỹ thuật tìm UCLN, ta thấy rằng kỹ thuật là có nhiều ưu điểm hơn cả. Nhờ

vào MTBT để phân tích ra thừa số nguyên tố, và tìm UCLN của nhiều số nguyên nhanh hơn. Kỹ

thuật này khắc phục điểm yếu của những kỹ thuật khác.

Bài toán tìm bội chung nhỏ nhất là bài toán luôn đi với bài toán tìm UCLN, tuy nhiên trong

luận văn này chúng tôi chỉ xem xét về UCLN.

Kiểu nhiệm vụ TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z.

Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ TSD của giáo trình này có số bị chia rất lớn được biểu diễn dưới

dạy lũy thừa. Vì thế kỹ thuật giải phải huy động các định lý đồng dư.

Ví dụ trang 60

Tìm số dư phép chia (530 + 50)30 cho 24

Giải 52  1(mod 24)  530  1(mod 24) 50  2(mod 24), do đó 530 + 50  3(mod 24) và (530 + 50)30  330(mod 24)

[...]

Vì (530 + 50)30  9 (mod 24) nên số dư phép chia (530 + 50)30 cho 24 là 9.

Kỹ thuật SD : Dùng quan hệ đồng dư cho từng số hạng, sử dụng các tính chất của đồng dư thức tìm

số dư của phép chia.

SD : Định nghĩa quan hệ đồng dư, tính chất quan hệ đồng dư.

Cộng nghệ

Số dư có vai trò quan trọng trong một số bài toán của số học hay tin học vì vậy trong kiểu nhiệm vụ

này giáo trình thường huy động các đinh lý sau.

1. Sử dụng định lý Fermat dạng: Nếu p là nguyên tố và (a, p) = 1 thì:

ap – 1  1 (mod p)

( ma )

( mkr



)

2. Theo định lý Euler, (a, m) = 1 thì (mod m)



( mka  )



)

(mod m) (rN*) (mod m) 

(m ) thì an  ar (mod m)

nói theo cách khác, nếu n, r N và n  r (mod

Kiểu nhiệm vụ TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c.

Ví dụ trang 103: Giải phương trình: 53x + 32y = 14

Vì (53, 32)= 1 nên phương trình có nghiệm

Theo thuật toán Euclide, ta tìm được các số u = - 3 và v = 5:

53.( - 3) + 32.5 = 1

53.( - 42) + 32. 70 = 14

 Zt

x y

 

42 

32  t t 53

  

Vậy ( - 42, 70) là một nghiệm của phương trình và họ tất cả các nghiệm của phương trình là:

: Kỹ thuật NNPT

+ Sử dụng thuật toán Euclide tìm UCLN(a, b) = D.

+ Tìm số u, v thỏa đẳng thức: au + bv = D.

cu D

cv D





x 0

 Zt

+ Một nghiệm của phương trình là: x0 = ; y0 =





     

b D a D

họ nghiệm của phương trình là:

Công nghệ NNPT :

+ Định lý về phép chia có dư

+ Các tính chất về UCLN. Định lý: “ Nếu D là ƯCLN của hai số a, b thì tồn tại các số nguyên u, v

sao cho D = au + bv”

+ Phương trình đồng dư

( ma )

Ngoài ra phương trình vô định còn một số kỹ thuật giải khác như kỹ thuật áp dụng định lý

(mod m)”. Giáo Euler: “Cho số tự nhiên m > 1 và số nguyên a sao cho (a, m) = 1 khi đó

trình [a] còn đưa vào kỹ thuật dùng phép biến đổi đưa về một ẩn có hệ số bằng 1 để giải phương

trình này.

Kết luận

Phép chia có dư được định nghĩa đối với tập hợp số tự nhiên sau đó định nghĩa trong tập hợp

số nguyên. Tuy nhiên trước khi nêu định nghĩa phép chia có dư thì [a] đưa vào định lý về phép chia

có dư để làm cơ sở. Trong chương I, phép chia hết và phép chia có dư được định nghĩa tách rời nhau

nhưng định nghĩa phép chia có dư vẫn bao hàm phép chia hết. Đặc trưng của số dư là một số

nguyên không âm bé hơn số chia.

Nghĩa của phép chia trong phần trình bày của [a] là phép toán ngược của phép nhân. Nghĩa

của phép chia có dư là phép trừ liên tiếp chúng tôi nhận thấy nó không được trình bày tường minh

trong [a], qua phân tích trên ta thấy tư tưởng này ngầm ẩn trong phần chứng minh định lý cơ bản

với trường hợp a là số nguyên âm.

Phép chia có dư là phần lý thuyết cơ sở của giáo trình số học này. Nên khái niệm phép chia

có dư xuất hiện trong vai trò công cụ nghiên cứu một số khái niệm khác như UCLN, quan hệ đồng

dư, giải phương trình vô định ...Một trong những ứng dụng nổi bậc của phép chia có dư là thuật toán

Euclide, và chính thuật toán này cho ta công cụ giải quyết nhiều bài toán của số học. Phép chia có

dư được sử dụng như một yếu tố công nghệ để giải quyết các nhiệm vụ sau:

TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g.



NaZn ,



. TCH: Chứng minh rằng: P(n)a,

TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên.

TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z.

TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c.

Ta có thể xem TCH là một trường hợp riêng của TSD.

Như vậy, giáo trình [a] chỉ đề cập đến vành số nguyên, và thực hiện phép chia có dư trong

tập hợp số nguyên.

2. Phép chia có dư trong giáo trình [b] – Toán rời rạc

2.1 Phép chia có dư với vai trò là đối tượng

Trong giáo trình này, các phép toán được xét trong tập hợp số nguyên. Phép chia được định

nghĩa trên tập số nguyên và hình thức tương tự như trong [a]. Để diễn đạt cho mối quan hệ chia hết

thì [b] cũng đưa vào ngôn ngữ “bội” và “ước”. Cùng với các tính chất chia hết [b] đã đưa ra định

nghĩa về số nguyên tố, hợp số và nêu định lý về sự phân tích số nguyên dương ra thừa số nguyên tố.

Phép chia có dư trong [b] được gọi là thuật toán chia, trước hết định lý về phép chia có dư ở

trang 155 như sau: “Cho a là một số nguyên và d là một số nguyên dương. Khi đó tồn tại các số q và

r duy nhất, với 0  r < d, sao cho a = dq + r”. Qua định lý này chúng tôi nhận thấy có sự khác biệt

với định lý trong [a] là số chia thuộc tập số nguyên dương. Trong biểu thức 0  r < d không còn

giá trị tuyệt đối. Cách trình bày định lý này đã loại trường hợp d < 0, nhưng điều này không làm mất

tính tổng quát của định lý vì dựa vào qui tắc dấu ta có thể chuyển dấu âm từ số chia d lên số bị chia

a. Dựa vào định lý này bằng cách qui ước gọi tên các kí hiệu mà [b] có thuật toán chia như sau:

“Trong đẳng thức được cho trong thuật toán chia, d được gọi là số chia, a được gọi là số bị chia, q

được gọi là thương số và r được gọi là số dư”[ trang 156]

Giáo trình đã nêu hai ví dụ minh họa trang 156:

1. Xác định thương số và số dư khi chia 101 cho 11.

101 = 11.9 + 2. vậy thương số của phép chia 101 cho 11 là 9 và số dư là 2.

2. Xác định thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3.

- 11 = 3(-4) + 1

do đó, thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3 là -4 và số dư là 1. Chú ý rằng số dư không

thể âm, do đó số dư trong ví dụ trên không thể là (-2), mặc dù: 11 = 3( - 3) – 2 vì r = - 2 không

thỏa mãn 0 < r < 3.

Thông qua hai ví trên [b] đã nêu hai trường hợp phép chia có dư, với cách giải thích ví dụ thứ hai ta

có thể thấy đây cũng ngầm ẩn xem phép chia có dư là phép trừ liên tiếp. Phép chia có dư cũng thực

hiện trong tập hợp số nguyên và đặc trưng của số dư vẫn là một số nguyên không âm và bé hơn số

chia.

2.2 Phép chia có dư với vai trò là công cụ.

Có thể thấy trong [b] phép chia có dư cũng được đề cập trong bài tìm ước chung lớn nhất, số

học đồng dư, số nguyên và thuật toán. Trong [b] vai trò của số dư được quan tâm nhiều hơn vì

những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực như: dùng các đồng dư để gán các vị trí của bộ nhớ cho

các hồ sơ, hệ thông mật mã dựa trên số học đồng dư. Trong bài “Ước số chung lớn nhất” các kỹ

thuật tìm UCLN không có gì thay đổi so với [a]. Với bài số học đồng dư thì [b] có đưa vào định

nghĩa ở trang 159: “Cho a là một số nguyên và m là một số nguyên dương. Khi đó kí hiệu a mod m

là số dư khi chia a cho m”. Đây có thể coi là một cách gọi tên khác của số dư trong phép chia có dư.

Và sau đó [b] cũng định nghĩa quan hệ đồng dư và nêu các tính chất của nó. Thuật toán Euclide

được giới thiệu trong bài “Số nguyên và thuật toán” trước khi giới thiệu toán [b] đưa ra bổ đề “Cho

a = bq + r, trong đó a, b, q và r là các số nguyên khi đó : ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r)”.

Ta có chứng minh:

Giả sử d là ước số chung của a và b. Từ đó suy ra a – bq = r chia hết cho d. Do đó mọi ước

chung của a và b cũng là ước chung của b và r.

Tương tự, giả sử b là ước số chung của b và r. khi đó bq + r = a cũng chia hết cho d. Do đó

mọi ước chung của b và r cũng là ước chung của a và b.

Do đó ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r).

Từ chứng minh trên chúng tôi nhận thấy pccd được ghi dưới dạng “a – bq = r” nêu nghĩa của

pccd là phép trừ liên tiếp cho tới khi còn một số nhỏ hơn số chia. Chứng minh bổ đề trên dựa vào

tính chất chia hết của một tổng và tính chất của ước số chung. Thuật toán Euclide được nêu ra và [b]

cũng chỉ rõ điều kiện dừng của thuật toán khi r = 0. Trong [b] nêu một chương trình sử dụng máy

tính điển tử tìm UCLN bằng thuật toán Euclide ở trang 172 như sau:

Procedure ƯCLN(a,b: positive integers)

x := a

y := b

while y 0

begin

r := x mod y

x := y

y := r

end {ƯCLN(a,b) là x}

Trong phần “Biểu diễn các số nguyên” ta gặp dạng bài toán chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ

ghi cơ số g mà trong [b] có tên gọi khai triển cơ số b của của một số nguyên dương n. Một chương

trình máy tính điển tử giải bài toán này là:

Procedure khai triển cơ số b(n: positive integers)

q := n

k := 0

while q 0

begin

ak := q mod b

q b

 

 

q :=

k := k+1

[trang 175] end {khai triễn cơ số b của n là (ak-1.....a1a0)b}

Trong giáo trình [b] đã bổ sung vào các kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ bằng MTĐT.

Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư

TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g.

TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên.

TSD : Tìm số dư trong phép chia có dư trong vành Z.

Trong kiểu nhiệm vụ TSD các số nguyên được đưa ra khá đơn giản không có dạng lũy thừa

như trong [a] vì vậy kỹ thuật của TSD chỉ sử dụng công thức r = a – bq. Các kiểu nhiệm vụ TDCS,

TUCLN các kỹ thuật như trong [a], ngoài ra còn có kỹ thuật sử dụng ngôn ngữ lập trình của MTĐT

để giải quyết bài toán.

Cũng như giáo trình [a], giáo trình [b] chỉ trình bày phép chia có dư trong vành Z. Mối liên

hệ giữa phép chia có dư với phép trừ được giáo trình [b] giới thiệu rõ hơn giáo trình [a].

3. Phép chia có dư trong giáo trình [c] – Đại số đại cương

Đối với giáo trình [c], chúng tôi không phân tích phép chia có dư trong vành Z. Vì điểm khác

biệt lớn so với hai giáo Số học và Toán rời rạc đã phân tích là sự khái quát phép chia có dư trong

một vành Euclide bất kì.

Phân tích vành Euclide sẽ làm cơ sở toán học cho phép chúng tôi giới thiệu phép chia có dư

trong vành Dn, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, xuất hiện trong

chương trình và SGK phổ thông.

3.1. Phép chia có dư trong vành Euclide

Trang 141 bài “Vành Ơclit (Euclide)” mô tả cấu trúc đại số trong đó có phép chia có dư được nêu

trong một vành tổng quát hơn vành Z đã xét trong các giáo trình [a] và [b].

“Định nghĩa: Giả sử A là một miền nguyên, A* là tập hợp các phần tử khác 0 của A. Miền

A *

:

nguyên A cùng với ánh xạ (gọi là ánh xạ Ơclit)

từ A* đến tập hợp số tự nhiên N thoả mãn các tính chất:

i. Nếu b\ a và a  0 thì (b )  (a);

ii. Với hai phần tử a và b tuỳ ý của A, b  0, có q và r thuộc A sao cho a = bq + r và (r) <(b)

nếu r  0; gọi là một vành Ơclit”

 : Z*  N

Ví dụ: 1) Vành số nguyên Z cùng với ánh xạ:

n  |n|

là một vành euclide.

2) Vành đa thức K[X], với K là một trường là một vành euclide với :  : K[X]*  N

f(x)  (f) = degf.

Vành euclide là một vành chính và do đó vành này thoả mãn điều kiện có UCLN, phép chia euclide

cho phép tìm ra UCLN đó. Điều này dựa trên bổ đề:

“Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử của A thoả mãn quan hệ

a = bq + r

Thế thì ước chung lớn nhất của a và b là ước chung lớn nhất của b và r”

Vậy cách tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán euclide có cơ sở là bổ đề này.

3.2. Vành Dn

Vành Dn, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, là một vành Euclide. Như

vậy ta có tính chất sau :

Trong vành Dn (n  N), cho trước hai số thập phân a, b với b  0, tồn tại duy nhất cặp (q,r) sao cho

a = bq + r.

Vành Z chính là một trường hợp của vành Dn, vành D0.

Từ đó, chúng tôi mô hình hóa kiểu nhiệm vụ TDn như sau : Trong vành Dn (n  N), cho trước hai

số thập phân a, b với b  0, tìm thương q và số dư r trong phép chia có dư a cho b.

Như vậy chúng ta có thể xem các kiểu nhiệm vụ TSD, TCH trong vành Z là những kiểu nhiệm vụ con

của TDn.

Về mặt toán học, nếu a, b  N, a/b là số thập phân thì sẽ tồn tại một q  Dn sao cho a = bq

(phép chia hết hay là dư 0). Vành Z chính là D0. Vì vậy ta có thể có một phép chia có dư trong Z

nhưng là phép chia hết trong Dn nào đó, chẳng hạn: a =12 và b = 5 ta có phép chia có dư trong Z

với số dư là 2; tuy nhiên trong vành D1 thì đây là phép chia hết 12 = 5 x 2,4.

4. Kết luận của chương I

Trong chương I, chúng tôi đã làm rõ một số cách trình bày về pccd và các khái niệm có liên

quan trong các giáo trình toán ở bậc đại học. Sau đây là các kết quả chính của phân tích trong

chương I.

 Pccd với vai trò là một đối tượng:

Pccd được định nghĩa trong tập hợp số nguyên, trước khi định nghĩa về pccd thì cả hai giáo

trình đều nêu định lý về pccd. Tuy nhiên định lý trong giáo trình [b] phát biểu với số bị chia là số

nguyên, số chia là số nguyên dương, khác với [a] cả số chia và số bị chia đều thuộc tập hợp số

nguyên và b  0. Điều này dẫn đến biểu thức số dư có sự khác biệt [a] chứa dấu giá trị tuyệt đối (0 

r < |b|) và [b] không có giá trị tuyệt đối (0  r < b). Theo chúng tôi định nghĩa trong [b] thuận tiện

hơn và không mất tính tổng quát cho việc phát biểu pccd trong tập hợp số nguyên. Cả hai giáo trình

đều không nêu tường minh ý nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp. Nhưng nghĩa của pccd là phép trừ

liên tiếp ngầm ẩn trong cách trình bày chứng minh định lý trong [a] và trong ví dụ trong [b]. Yếu tố

đặc trưng của pccd là số dư không được nhấn mạnh.

Giáo trình [c] khái quát về pccd trong một vành euclide bất kì bao gồm phép chia có dư trong

vành Z. Giáo trình [a] và [b] đã trình bày pccd trong Z. Hình thức biểu diễn của pccd trong các giáo

r 

, trong đó a, b, q, r thuộc vành A (Z hoặc vành euclide bất kì trình đại học là: a = bq + r với 0

) và b  0. Số dư xuất hiện tường minh trong biểu thức.

Đặt trưng của số dư trong pccd đã được nêu rõ: r = 0 thì đây là phép chia hết, khi 0< r < b

thì là phép chia có dư. Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư.

Trong vành số nguyên phép chia hết không khép kín, khi phép chia có dư được đưa vào thì

phép chia được thực hiện với mọi số nguyên.

 Pccd với vai trò công cụ:

Pccd xuất hiện trong vai trò công cụ liên quan đến những khái niệm sau đây.

- Ước chung lớn nhất

- Quan hệ đồng dư

Đây là hai khái niệm nổi bật nhất ứng dụng pccd. Và thuật toán Euclide là ứng dụng tiện ích nhất

và lâu đời nhất của pccd. Thuật toán này có mặt trong kỹ thuật để giải quyết một số kiểu nhiệm vụ

của những bài toán liên quan đến pccd.

Vành Dn là vành euclide, vành Z là D0 dựa vào sự khái quát này mà chúng tôi mô hình hóa

kiểu nhiệm vụ TDn.

Các kiểu nhiệm vụ xoay quanh đối tượng pccd trong các giáo trình đại học đã nghiên cứu có

thể chia thành hai nhóm như sau.

- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò đối tượng nghiên cứu:

TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z



NaZn ,



. TCH: Chứng minh rằng: P(n)a,

Như chúng tôi đã mô hình ở trên, các kiểu nhiệm vụ này là những trường hợp đặc biệt của TDn (Tìm

thương và số dư của phép chia có dư trong vành Dn).

- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò công cụ nghiên cứu :

TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g.

TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên.

TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c.

Những kết quả đã đạt được ở chương I sẽ là cơ sở cho việc phân tích SGK mà chúng tôi sẽ thực

hiện trong chương 2 tiếp theo của luận văn.

Chương II

PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN

GIẢNG DẠY

Mục đích của chương này là làm rõ mối quan hệ thể chế với phép chia có dư. Cụ thể hơn

chúng tôi nhắm tới việc trả lời các câu hỏi sau:

 Những tổ chức toán học nào được xây dựng xung quanh khái niệm này?

Đặc biệt, phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào?

Đâu là những ràng buộc thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn ấy?

 Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh

trong quá trình dạy – học phép chia có dư ?

Để trả lời những câu hỏi trên chúng tôi phân tích chương trình và SGK, cụ thể là SGK lớp 3, 4, 5 và

SGK lớp 6, 7 hiện hành vì phép chia có dư được giảng dạy ở những lớp này. Những kết quả trong

chương I là cơ sở tham chiếu đầu tiên để chúng tôi phân tích trong chương này

1. Thể chế tiểu học :

1.1.Phần bài học

Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình toán bậc tiểu học. Như vậy chúng tôi sẽ bắt đầu

Phép chia có dư ( lớp 5)

Phép chia hết và phép chia có dư (lớp 3, lớp 4)

Phép chia (lớp 2)

với chương trình và SGK tiểu học với sơ đồ sau:

Trong chương trình này phép chia được học ở lớp 2 với bảng nhân và bảng chia 2, 3, 4, 5.

Và ở lớp 3 giới thiệu các bảng nhân, bảng chia còn lại. Phép chia có dư học sinh được giới thiệu bắt

đầu từ lớp 3 và tiếp tục nghiên cứu trong ở lớp 4. Khái niệm phép chia học sinh gặp lần đầu tiên ở

lớp 2. Để rõ ràng hơn chúng tôi giới thiệu định nghĩa và những yêu cầu của chương trình đối với

phép chia ở lớp 2.

Phép chia đưa vào ở lớp 2, trong SGV lớp 2 trang 173 đã nêu mục tiêu của bài học là:

“ Giúp học sinh:

Bước đầu nhận biết phép chia trong mối quan hệ với phép nhân.

Biết viết, đọc và tính kết quả của phép chia.”

Và yêu cầu về trình độ chuẩn của toán lớp 2: học sinh phải thuộc bảng chia 2, 3, 4, 5 và biết

chia nhẩm trong phạm vi các số đã học, chia số tròn chục cho số có một chữ số và nhận biết phép

chia là phép toán ngược của phép toán nhân. Phép chia đưa vào sau khi học sinh đã học các bảng

nhân.

Bài “Phép chia” trong SGK lớp 2 trang 107 được trình bày như sau:

“6 ô chia làm hai phần bằng nhau mỗi

phần có 3 ô.

 Ta có phép chia để tìm số ô trong mỗi

phần: 3  2 = 6 6 : 2 = 3.

Đọc là sáu chia hai bằng ba.

Dấu : gọi là dấu chia.

Viết là 6 : 2 = 3

 Ta có phép chia để tìm số phần, mỗi phần có 3 ô:

6 : 3 = 2.

Đọc là sáu chia ba bằng hai.

Viết là 6 : 3 = 2

 Nhận xét:

6 : 2 = 3

3  2 = 6

6 : 3 = 2”

Như phần trình bày trên, nghĩa của phép chia được nêu trong bài học này là “phép chia là sự

phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng” luận văn của thạc sĩ Phạm Ngọc

Bảo - 2002. Phép chia là tìm số đối tượng trong mỗi nhóm hay tìm số nhóm chứa các đối tượng.

Phần nhận xét của SGK, phép chia còn mang nghĩa là phép toán ngược của phép nhân: muốn tìm

kết quả của phép chia cần dựa vào phép nhân tương ứng. Mối liên hệ giữa phép nhân và phép chia

đã thể hiện tường minh qua ví dụ giới thiệu trong bài. Như vậy ở lớp 2 phép chia giới thiệu với

nghĩa phân chia thành các phần bằng nhau và nghĩa nổi bật vẫn là phép chia là phép toán ngược của

phép toán nhân. Tương tự như trong [a] phép chia được đưa vào chương trình đầu tiên sau đó mới

phân chia phép chia có dư với phép chia hết.

 Phân tích chương trình và SGK lớp 3

Tiếp theo ở lớp 3, phép chia hết và phép chia có dư đưa vào giảng dạy với mục tiêu được

SGV3 trang 7 nêu:

“Thực hiện phép chia trong phạm vi 100.000, biết thực hiện phép chia số có đến năm chữ số

cho số có một chữ số (phép chia hết và phép chia có dư).”

Trong phần phân tích thể chế, ngoài việc phân tích nghĩa của phép chia hết và phép chia có

dư, chúng tôi quan tâm đến các hình thức xuất hiện của phép chia có dư.

Thuật toán bằng sơ đồ của phép chia được SGK3 trang 27 giới thiệu qua bài: “Chia số có 2

chữ số cho số có một chữ số” như sau:

“96 : 3 = ?

Đặt tính rồi tính như sau

 9 chia 3 được 3, viết 3.

9 06

3 nhân 3 bằng 9; 9 trừ 9 bằng 0

6 0

 Hạ 6; 6 chia 3 được 2, viết 2

2 nhân 3 bằng 6; 6 trừ 6 bằng 0.

96 : 3 = .....”

Bài này đưa thuật toán chia bằng cách gọi tên “đặt tính” là dùng sơ đồ chia và thực hiện liên

tiếp các phép chia để tìm kết quả. Thuật toán chia thực hiện phép chia liên tiếp cho đến khi r = 0 thì

phép chia dừng lại. SGK đưa thuật toán chia này vào để chuẩn bị giới thiệu về phép chia hết và

phép chia có dư. Ta có thể gọi thuật toán chia được miêu tả bằng sơ đồ:

Trong đó thành phần của phép chia và các bước thực hiện phép chia đã thể hiện rõ ràng. Khi thuật

toán chia xuất hiện phép chia đã vượt khỏi phạm vi bảng chia.

Phép chia có dư chính thức được đưa vào trong bài “Chia hết và phép chia có dư”. Khái niệm

này được trình bày trong SGK3 trang 29 như sau:

 8 chia 2 được 4.

8 8

2 4

 4 nhân 2 bằng 8; 8 trừ 8 bằng 0.

Ta nói: 8 : 2 là phép chia hết.

Ta viết: 8 : 2 = 4.

Đọc là tám chia hai bằng bốn.

 9 chia 2 được 4, viết 4.

9 8

2 4

 4 nhân 2 bằng 8; 9 trừ 8 bằng 1.

Ta nói: 9 : 2 là phép chia có dư, 1 là số dư

Ta viết: 9 : 2 = 4 (dư 1)

Đọc là: chín chia hai bằng bốn dư 1.

Chú ý: Số dư bé hơn số chia”

Phép chia có dư giới thiệu ở tiểu học chia làm hai trường hợp riêng biệt (tức là phân biệt

trường hợp r = 0 và r 0 và bé hơn số chia). Phép chia hết khi r = 0 và phép chia có dư khi r 0 và

số dư bé hơn số chia. Phép chia hết và phép chia có dư thực hiện bằng sơ đồ chia và ghi kết quả

dưới dạng a : b = q hoặc a : b = q (dư r). Thuật toán chia là công cụ giới thiệu phép chia hết và phép

chia có dư. Cách viết chính thức của phép chia có dư là a : b = q (dư r). Phép chia hết được thể hiện

bởi một đẳng thức, trong biểu thức phép chia có dư “ = ” ở đây không mang nghĩa là một đẳng thức.

Phép chia hết và phép chia có dư được đưa vào lớp 3 với hình thức mô tả các bước thực hành

tìm thương và số dư. Các thành phần của phép chia đều thuộc số tự nhiên. Số dư là đặc trưng cho

phép phân biệt phép chia hết r = 0 và phép chia có dư r  0 và r bé hơn số chia.

 Phân tích chương trình và SGK lớp 4

Phép chia hết và phép chia có dư tiếp tục được hoàn thiện trong chương trình lớp 4. Học sinh

sử dụng sơ đồ chia thực hiện phép chia số có 6 chữ số cho số có 3 chữ số (chia hết và phép chia có

dư). Phép chia được thực hiện liên tiếp cho đến khi số dư bằng 0 hoặc số dư bé hơn số chia. Phép

chia hết và phép chia có dư được giới thiệu trong tập hợp số tự nhiên vì vậy các thành phần a, b, c, r

đều thuộc tập hợp số tự nhiên. Đặc trưng của phép chia hết và phép chia có dư được nhấn mạnh ở

bậc tiểu học là phép chia hết khi r = 0 và phép chia có dư khi r  0 và r bé hơn số chia. Phép chia hết

và phép chia có dư tách làm hai trường hợp khác nhau, điều này không giống như trong [a], [b] xem

phép chia hết là trường hợp riêng của phép chia có dư. Khi đưa phép chia có dư vào chương trình

thì phép chia mở rộng trên tập hợp số tự nhiên.

Một trong những ứng dụng của phép chia có dư giới thiệu ở lớp 4 là dấu hiệu chia hết cho 2,

5 và 9, 3.

a b

. Trong bài: “Phân số và Tiếp theo, phép chia có dư trong mối liên hệ với khái niệm phân số

phép chia số tự nhiên”SGK4 trang 108 có nhận xét:

“Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử

8 4

5 ”. 5

3 4

số là số bị chia và mẫu số là số chia. chẳng hạn 8:4 = ; 3: 4 = ; 5:5 =

a b

Phân số xuất hiện với nghĩa là thương của một phép chia. Trong đó phép chia hết thì phân số

a b

rút gọn thành một số tự nhiên, phép chia có dư là một phân số . Đây là hình thức diễn đạt khác

a b

của thương số a chia cho b. Tuy nhiên phân số được sử dụng trong trường hợp a không chia hết

a b

cho b. Khai triển phân số không được nhắc đến ở lớp 4.

 Phân tích chương trình và SGK lớp 5

Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình thông qua việc hình thành khái niệm hỗn số. Bên

cạnh đó chúng tôi xem xét một số ứng dụng mà phép chia có dư trong việc giảng dạy phép chia

trong tập hợp số thập phân.

Hỗn số được định nghĩa trong trong bài “Hỗn số” SGK5 trang 12. Hỗn số được viết dưới

r b

dạng trong đó q được gọi là phần nguyên và là phần phân số và phân số bao giờ cũng bé hơn

a b

r b

đơn vị. Khi chia a cho b tìm thương q và số dư r để ta có kết quả = . Hỗn số các thành

phần q, r , b, đều thuộc tập hợp số tự nhiên. Dạng viết hỗn số là phép chia có dư chỉ thực hiện

trong tập số nguyên.

Sau khi kiến thức về hỗn số và phân số thập phân được giới thiệu. Cùng với bài toán về đơn vị

đo và phân số thập phân, số thập phân được đưa vào giảng dạy. Chúng tôi chú ý đến phép chia các

số thập phân với các đề mục sau:

Chia số thập phân cho một số tự nhiên.

Chia một số thập phân cho 10, 100, 10000.

Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được là một số thập phân.

Chia một số thập phân cho một số thập phân.

Trong bài “Chia một số thập phân cho một số tự nhiên” SGK5 trang 63 có đoạn:

“.....Ta phải thực hiện phép chia: 8,4 : 4 = ? (m)

04 21(dm) 0

Ta có 8,4 m = 84 dm

21(dm) = 2,1 m

Vậy : 8,4 : 4 = 2,1 (m).

Thông thường ta đặt tính rồi làm như sau:

8,4 0 4

2,1 (m)

 8 chia 4 được 2, viết 2;

2 nhân 4 bằng 8; 8 trừ 8 bằng 0, viết 0.

 Viết dấu phẩy vào bên phải 2.

 Hạ 4 ; 4 chia cho 4 được 1, viết 1;

1 nhân 4 bằng 4 ; 4 trừ 4 bằng 0, viết 0.

.............

Muốn chia một số thập phân cho một số tự nhiên ta làm như sau:

- Chia phần nguyên của số bị chia cho số chia.

- Viết dấu phẩy vào bên phải thương đã tìm được trước khi lấy chữ số đầu tiên ở

phần thập phân của số bị chia để tiếp tục thực hiện phép chia.

- Tiếp tục chia với từng chữ số ở phần thập phân của số bị chia.”

Dựa trên kỹ thuật chia của phép chia có dư trong tập hợp số tự nhiên, khi chuyển đổi đơn vị,

các đại lượng trở thành số thập phân và thực hiện phép chia có dư trong Dn. Kỹ thuật chia số thập

phân cho số tự nhiên thực hiện như đối với số tự nhiên. Phép chia các số thập phân được thực hiện

bằng sơ đồ chia.

Trong bài “Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được làm một số thập phân”

trang 67:

“...Ví dụ 2: 43: 52 = ?

Phép chia này có số bị chia 43 bé hơn số chia 52, ta có thể làm như sau:

43,0 52  Chuyển 43 thành 43,0. 1 40 0,82  Đặt tính rồi tính như phép chia 43,0 : 36 52 (chia số thập phân cho số tự nhiên)

Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà còn dư, ta tiếp tục chia như sau:

- Viết dấu phẩy vào bên phải số thương.

- Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số 0 rồi chia tiếp.

- Nếu còn dư nữa, ta lại viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục chia, và

cứ làm như thế mãi.”

Với câu “Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà còn dư ,ta tiếp tục chia như

sau:...” phép chia có kết quả là số thập phân là phép chia có dư (theo nghĩa mà học sinh đã học).

Liệu học sinh có chú ý đến điều này hay không?

Một điều đáng chú ý là số dư thể hiện trong sơ đồ dư vẫn là số tự nhiên. Điều này có là một chướng

ngại cho học sinh khi tìm số dư trong phép chia các số thập phân này?

Sơ đồ chia cùng với kỹ thuật thực hiện phép chia có dư được ứng dụng để thực hiện phép chia

trong tập hợp số thập phân. Thể chế không làm rõ sự khác biệt giữa phép chia có dư thực hiện

trong tập hợp số tự nhiên và phép chia có dư thực hiện trong tập hợp số thập phân.

Tuy nhiên trong bài tổng kết cuối chương trình pccd được ôn lại và pccd trên Dn không được đề cập

đến.

Phép chia có dư được nhắc đến trong phần ôn tập của SGK lớp 5 trang 163:

“Phép chia hết a : b = c

Phép chia có dư a : b = c (dư r)

số dư phải bé hơn số chia

Trong phần chú ý:

Phép chia hết: a : b = c, ta có a = c b (b khác 0)

Trong phép chia có dư: a : b = c (dư r), ta có a = c b + r (0 < r < b)”

Trong đó ta thấy xuất hiện biểu thức a = c b + r (0 < r < b) như là phép toán ngược kiểm tra kết

quả của phép chia có dư.

Ở lớp 5, phép chia có dư không được nhắc đến nhưng kỹ thuật thực hiện phép chia có dư

được sử dụng để thực hiện phép chia giữa các số thập phân, các số tự nhiên hay số thập phân và số

tự nhiên có kết quả là số thập phân. Và các tên gọi của thành phần trong phép chia không có gì thay

đổi.

Từ đó chúng tôi đặt ra câu hỏi: Quan niệm của học sinh về phép chia hết và phép chia có dư có

gì thay đổi khi các em học chương trình lớp 5?

Dựa trên cơ sở phân tích chương trình và SGK chúng tôi xem xét tổ chức toán học liên quan

đến phép

1.2. Phần bài tập

Tiếp theo chúng tôi có nghiên cứu sơ lược các tổ chức toán học liên quan đến phép chia có

dư và dấu hiệu chia hết được trình bày ở bậc tiểu học.

Phép chia hết và phép chia có dư được giảng dạy chính thức ở lớp 3 và lớp 4 và kỹ thuật thực

hiện phép chia ứng dụng ở lớp 5. Chúng tôi xem xét các tổ chức toán học là vết của kiểu nhiệm vụ

“TDn: Trong vành Dn (n  N), cho trước hai số thập phân a, b với b  0, tìm thương q và số dư

r trong phép chia a cho b”.

Các TCTH trong SGK3 và SGK4

Kiểu Ví dụ Kỹ thuật Đánh giá

nhiệm vụ

TPPC.

Ví dụ: bài 3 SGK2 trang 129: Kỹ thuật của kiểu : Chia nhẩm TTPPC:

Tìm các Viết số thích hợp vào ô trống: nhiệm vụ này được dựa vào bảng chia từ 2

TPPC.

thành phần nêu rõ ràng. Phép đến 9, hoặc chia cho 21 Số bị 10 .. của phép chia hết và phép chia các số tròn chục, tròn chia chia có dư các số tự nhiên trăm.. Số chia 2 .. 3 3 (Vết của được thực hiện trong : kỹ a b Thương .. 3 phạm vi số có 6 chữ TDn) thuật sắp xếp r c Bài 3 SGK3 trang 164, số cho số có 3 chữ các số theo

Số

bị

Số

thương

Số

. Số ? số. Hình thức cho mẫu.

chia

dư

15 725

kiểu nhiệm vụ này Thực hiện phép chia “cho bảng” hoặc yêu liên tiếp khi r =0 hay r

33 272

cầu “tính nhẩm” < b thì dừng lại.

42 737

hoặc “đặt tính rồi - Một số bài toán lời

tính”. Những bài văn với chủ đề như Bài 1 SGK4 trang 89. toán dạng lời văn sau: Đặt tính rồi tính: học sinh chủ yếu sắp Giảm đi một số lần a) 54322 : 346; 25275 : 108 bài toán tìm thương So sánh số lớn gấp b)106141:413; 123220:404 của phép chia. mấy lần số bé Ví dụ: bài 2 SGK4 trang 181 So sánh số bé bằng 1 Người ta xếp đều 240 bộ bàn ghế phần mấy số lớn vào 15 phòng học. Hỏi mỗi phòng Bài toán liên quan rút xếp được bao nhiêu bộ bàn ghế? về đơn vị

TX : Tìm thừa số chưa

Phép chia trong kiểu Ví dụ bài 2 SGK3 trang 39. TTX: Tìm x

nhiệm vụ này đều là Tìm x: (Vết của biết ta lấy tích chia

phép chia hết. a) 12 : x = 2; b) 42 : x = 6; ..... TDn) cho thừa số đã biết.

g) x  7 = 70. Tìm số chia chưa

biết trong phép chia

hết ta lấy số bị chia

chia cho thương.

TGTBT

Các bài tập trong Ví dụ bài 2 SGK4 trang 83. :Thực hiện các TTGTBT:

Tính giá kiểu nhiệm vụ này Tính giá trị biểu thức: tính toán theo qui tắc

trị biểu đều là phép chia hết. 46857 + 3444 : 28 nhân chia trước cộng

thức 8064 : 64  37 trừ sau khi không có

(Vết của dấu ngoặc.

TDn)

GTNN.

Ví dụ bài 2 SGK4 trang 28. Một ý nghĩa của (q, :Thực hiện TGTNN.LN:

Tìm Người ta đóng gói 3500 bút chì theo r) trong N. phép chia có dư

GTNN,GT từng tá ( mỗi tá gồm 12 cái). Hỏi Các bài tập trong Thương là câu trả lời

LN đóng gói được nhiều nhất bao nhiêu kiểu nhiệm vụ này của bài toán và số dư

tá bút chì và còn thừa mấy cái? đều là phép chia có là phần còn thừa lại.

dư.

Bảng 2.1 Thống kê về số lượng kiểu nhiệm vụ trong SGK3 và SGK4

Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tỉ lệ

94,4% 80 75,5% Vết của TTPPC

trong 12 11,3% TDn TTX

tập N 8 7.6% TTGTBT

Ứng dụng 6 5,6% TGTNN.LN

của pccd

106 100% Tổng cộng

Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có nhận xét như sau:

- Gần như tất cả các nhiệm vụ dựa trên việc thực hiện phép chia trong N, và nắm đến kỹ năng

tính toán. Chỉ có 6/106 nhiệm vụ (5,6%) đề cập đến ý nghĩa của số dư.

- Chúng tôi nhận thấy vai trò của số dư đối với các kiểu nhiệm vụ trong SGK3 và SGK4 rất

mờ nhạt.

Chúng tôi rút ra hợp đồng:

R1: Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r và r 0 và r < b.

R2: Trong phép chia a cho b thì số bị chia a lớn hơn số chia b

Tiếp theo chúng tôi sẽ nghiên cứu các kiểu nhiệm vụ trong SGK5, phép chia có dư ở lớp 5

được vận dụng tường minh trong phần bài học chuyển phân số thành hỗn số. Mặt khác, kỹ thuật

chia lại được sử dụng trong phép chia các số thập phân với số thập phân, số tự nhiên với số thập

phân và số tự nhiên với số tự nhiên có kết quả là số thập phân.

Các TCTH trong SGK5

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Kỹ thuật Đánh giá

TT .

Ví dụ: bài 1 SGK5 trang 64: Các phép chia : Chia nhẩm chia - TTT:

Tìm thương Đặt tính rồi tính: đều là phép chia cho các số tròn chục, tròn

a) 5,28:4 b) 95,2:68 (Vết của TDn) hết trong D2. trăm..

TT .

c) 0,36:9 d) 75,52:32 : kỹ thuật sắp xếp -

Bài 3 SGK5 trang 64. các số theo sơ đồ chia rồi

Một người đi xem máy trong 3 thực hiện phép chia tìm

giờ đi được 126,54km. Hỏi thương.

trung bình mỗi giờ người đó đi

được bao nhiêu km?

Ví dụ bài 2 SGK5 trang 70. Các phép chia TTX: TX :Tìm thừa số chưa

Tìm x (Vết Tìm x: đều là phép chia biết ta lấy tích chia cho

a) x  8,6 = 387 của TDn) hết trong D2. thừa số đã biết.

b) 9,5 x = 399 Tìm số chia chưa biết

trong phép chia hết ta lấy

số bị chia chia cho

thương.

TGTBT

Các phép chia Ví dụ bài 1 SGK5 trang 68. :Thực hiện các tính TTGTBT:

đều là phép chia Tính giá trị Tính toán theo qui tắc nhân

biểu thức a) 5,9 : 2 + 13.06 hết trong D2. chia trước cộng trừ sau

b) 35,04 : 4 – 6,87 .. (Vết của TDn) khi không có dấu ngoặc.

GTLN :Thực hiện phép chia

Ví dụ bài 3 SGK5 trang 71. Thương trong TGTNN.LN:Tìm

GTLN. GTNN May mỗi bộ quần áo hết 2,8m dạng bài tập này có dư

vải. Hỏi có 429,5m vải thì may là số nguyên Thương là câu trả lời của

được nhiều nhất bao nhiêu bộ dương. bài toán và số dư là phần

như thế và còn thừa mấy mét còn thừa lại.

vải?

PSTP.

Ví dụ. bài 1 SGK5 trang 38. Đối với dạng bài : :Lấy tử số chia cho TPSTP.HS

Chuyển các phân số thập phân Chuyển các tập này phép chia mẫu số

sau thành hỗn số: phân số thập luôn là phép chia Thương tìm được là phần

phân thành có dư (0 < r< b), a nguyên của hỗn số. Hỗn

hỗn số. (Vết và b thuộc tập số gồm phần nguyên kèm

;

theo một phân số có tử số hợp các số của TDn)

;

là số dư, mẫu số là số nguyên dương.

162 10 5608 100

734 10 605 100

chia.

TSD :Thực hiện phép chia

Bài 2 SGK5 trang 64 Ta thấy biểu thức TTSD.PCSTP:

18 1,24

22,44 44

Tìm số dư của “1,24 18 + 0,12 số thập phân cho số tự

= 22,44” đã xuất phép chia các nhiên

hiện dạng viết a = số thập phân. + Chia phần nguyên của

b.q + r, tuy nhiên (Vết của TDn) số bị chia cho số tự nhiên

đó là biểu thức + Viết dấu phẩy vào bên

kiểm tra phép phải thương rồi chia tiếp.

chia . Nhưng qua + Thương tìm được là số

đó chúng ta thấy thập phân.

Trong phép chia này, thương là 1,24, số dư là 0,12 Thử lại: 1,24  18 + 0,12 = 22,44 ngầm ẩn dạng Trong thương có bao

Tìm số dư của phép chia viết đại số của nhiêu số thập phân thì số

43,19 119

21 2,05

phép chia có dư. dư chứa bấy nhiêu chữ số

Số dư trong kiểu thập phân.

nhiệm vụ này đều

không phải là số

tự nhiên.

KTTP

Phép chia trong Ví dụ Bài 3 SGK5 trang 68. :Tìm thương là số TKTTP: Khai

;

2 5

3 4

18 5

triển thập phân kiểu nhiệm vụ thập phân bằng cách chia

này là phép chia (vết của TDn) a cho b.

hết trong Dn (với

n = 1,2)

Bảng 2.2: Bảng thống kê về số lượng kiểu nhiệm vụ trong SGK5

Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tỉ lệ

Vết 1% 1% 1 của TDn TPSTP.HS

trên Z (D0)

Vết 57 98% 62% của TDn TTT

16 17,5% trên Dn (n= 1, TTX

2 ) 8 8,7% TTGTBT

6 6,5% TTSD.PCSTP.

3 3,3% TKTTP

1 1% 1% Ứng dụng pccd TGTNN.LN

Tổng cộng 92 100%

Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có những nhận xét sau:

- Cũng như trong ở lớp 3 và lớp 4 kiểu bài tập rèn luyện tính toán tìm các thành phần của

phép chia trên Dn (n=1,2) chiếm số lượng lớn: TTT, TTX, TTGTBT chiếm 88,2%. Các phép tính này

thực hiện trong D2 là chủ yếu. Và các phép tính đều là chia hết trong Dn. Kiểu nhiệm vụ ứng dụng

phép chia có dư xuất hiện rất ít (chỉ 1%). So với ở lớp 3 và lớp 4 xuất hiện kiểu nhiệm vụ mới

TTSD.PCSTP, TKTTP.

- Trong kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ TTSD.PCSTP, ta phải thực hiện liên tiếp các phép chia có dư.

Nếu xét trong mọi vành Dn thì đây vẫn là phép chia có dư. Kiểu nhiệm vụ này sẽ được mở rộng

trong kiểu nhiệm vụ viết một phân số dưới dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn ở đầu cấp II. Trong

ví dụ nêu ra thuộc kiểu nhiệm vụ này trong bảng trên, SGK đã đề cập đến mối liên hệ giữa các

thành phần của phép chia có dư a, b, q, r trong vành D2. Ta thấy công nghệ giải thích cho kiểu nhiệm vụ chưa được làm rõ. Số dư của phép chia là r 10-n với n là số chữ số thập phân trong

thương số.

- Chỉ có 6 bài thuộc kiểu nhiệm vụ TTSD.PCSTP, và chiếm 6,5% số bài tập đề cập đến số dư là

số thập phân. Tuy nhiên nhiệm vụ “thử lại: 1,24 18 + 0,12 = 22,44” trong bài toán tìm số dư của

phép chia số thập phân không bắt buộc đối với học sinh. Qua bài toán này, mối quan hệ thể chế

đối với phép chia có dư có thể sẽ thay đổi. Vậy câu hỏi đặt ra là quy tắc hợp đồng: “Số dư của

phép chia có dư là một số tự nhiên r và r 0 và r < b”, còn tồn tại trong học sinh hay không?

Chúng tôi sẽ tìm câu trả lời trong phần thực nghiệm chương III.

- Kiểu nhiệm vụ TKTTP đưa phân số về số thập phân hữu hạn trong D1 hoặc D2. Số lượng kiểu

nhiệm vụ này chỉ chiếm 3,3% nên vai trò của phép chia có dư trong khai triển thập phân một số hữu

tỉ rất mờ nhạt.

Khi phân tích chương trình chúng tôi nhận thấy, tuy trong phần bài học phép chia có dư chỉ giới hạn trong nửa nhóm Z+ nhưng trong thực hành có những kiểu nhiệm vụ mở rộng phép chia trong D+.

Câu hỏi đặt ra : Khái niệm phép chia hết và phép chia có dư không được nói đến trong

vành Dn. Học sinh có tính tới tập hợp mà pccd đang thực hiện không? Đặc trưng về số dư theo

quan điểm của học sinh như thế nào?

1. 3 Kết luận

Phép chia hết cũng như phép chia có dư được giới thiệu với kỹ thuật tìm thương và số dư.

Xuyên suốt chương trình kỹ năng thực hiện phép chia được hoàn chỉnh qua các lớp. Cách thức thực

hiện phép chia đầu tiên thông qua các bảng chia, sau đó thuật toán chia với các cách thực hiện phép

chia không có ghi nhớ tới có ghi nhớ, từ phép chia trong phạm vi bảng chia cho đến việc thực hiện

phép chia một số có 6 chữ số cho số 3 chữ số.

Phép tính tìm các thành phần trong phép chia hết và phép chia có dư trên các số tự nhiên là

mục tiêu của chương trình tiểu học. Phép chia hết và phép chia có dư không được định nghĩa chính

thức trong chương trình tiểu học mà chỉ giới thiệu bằng mô tả qua tình huống cụ thể. Đặc trưng của

phép chia có dư là số dư: r = 0 và 0 < r < b.

Phép chia có dư xuất hiện dưới các hình thức sau:

- Cách viết 1:

a : b = q (dư r)

Cách viết chính thức về phép chia có dư là a : b = q (dư r). Trong cách viết

a : b = q (dư r) SGK đã nhấn mạnh là phép chia hết khi r = 0 hay viết a : b = q

Đối với phép chia có dư chỉ ghi số dư bé hơn số chia chưa xuất hiện cách gh 0 < r < b. Vì vậy

ta có đặc trưng của phép chia có dư là dựa vào r.

- Cách viết 2:

Cách viết 1 và 2 xuất hiện đồng thời với nhau trong bài “Phép chia hết và phép chia có dư”

học sinh được làm quen với thuật toán bằng sơ đồ để thực hiện phép chia có dư, và cách viết chính

thức là a : b = q (dư r) như là cách ghi kết quả của phép chia. Trong thực hành thì cách viết dưới

dạng sơ đồ được học sinh sử dụng phổ biến để tìm kết quả.

- Cách viết 3:

a = bq +r với (0 < r< b)

Cách viết này xuất hiện ngầm ẩn dưới dạng là biểu thức kiểm tra kết quả của phép chia có

dư. Mối quan hệ giữa các số a, b, q, r chưa được nêu rõ ràng và cách viết này không được xem là

cách biểu diễn của phép chia có dư.

a b

r b

- Cách viết 4: =

r b

Hỗn số xuất hiện ở lớp 5, nhưng có vai trò rất mờ nhạt chỉ có duy nhất một bài thuộc

kiểu nhiệm vụ TPSTP.HS . Đặc trưng của cách viết này là phép chia có dư được thực hiện trong Z+.

Trong cách viết này số dư đã được sử dụng chính thức trong biểu thức.

Trong các hình thức biểu diễn phép chia có dư, số dư r xuất hiện với vai trò phân biệt phép

chia có dư và phép chia hết. Trong các dạng viết của phép chia có dư số dư được thể hiện là số tự

nhiên khác 0 và nhỏ hơn b. Kỹ thuật thực hiện phép chia có dư còn xuất hiện trong tập Dn nhưng

phép chia có dư không được định nghĩa đối với tập hợp Dn. Đặc biệt khi phép chia được thực hiện

với các số thập phân (xuất hiện dưới dạng sơ đồ) số dư thể hiện trên sơ đồ chia cũng là số tự nhiên.

Điều này gây khó khăn cho học sinh khi gặp những kiểu nhiệm vụ liên quan đến số dư khi thực hiện

phép chia có dư trong Dn.

Qua phân tích các kiểu nhiệm vụ ta nhận thấy thể chế cũng quan tâm đến khó khăn này qua

TTSD.PCSTP. Một câu hỏi đặt ra những khó khăn này còn tồn tại trong học sinh hay không?

Phép chia có dư được sử dụng trong khai triển thập phân một số hữu tỉ có vai trò rất mờ nhạt

vì kiểu nhiệm vụ liên quan đến khai triển thập phân chiếm số lượng ít và các phép chia đều là phép

chia hết trong Dn (với n = 1,2). Vai trò của số dư không được nêu ra trong mối liên hệ giữa số hữu tỉ

và số thập phân.

Các tổ chức toán học trong thể chế tiểu học xoay quanh các nhiệm vụ tính toán và tìm các

thành phần của phép chia trong tập hợp số tự nhiên và trong tập Dn. Tuy nhiên học sinh không chú ý

phân biệt sự khác nhau giữa phép chia thực hiện trong N và Dn. Chúng tôi rút ra các qui tắc hợp

đồng:

R1: “Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r và r 0 và r < b”

R2: “Trong phép chia a cho b thì số bị chia a lớn hơn số chia b”

2. Thể chế THCS

2.1. Phần bài học

Phép chia có dư xuất hiện trong phần số học trong chương trình lớp 6 và lớp 7. Chúng tôi

chọn cách trình bày như sau: sơ lược qua lý thuyết được nêu trong SGK và sau đó nghiên cứu các tổ

chức toán học có liên quan.

 Phân tích chương trình và SGK lớp 6

Trong chương đầu tiên của chương trình lớp 6: Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên. Có những

phần được ôn lại như tập hợp các số tự nhiên N, các phép tính trong N, trong đó có phép chia hết và

pccd, dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Những kiến thức này được nhắc lại làm tiền đề cho học sinh

tiếp thu những kiến thức mới như: tính chất chia hết của một tổng, bội, ước, số nguyên tố, phân tích

một số ra thừa số nguyên tố, ước chung, bội chung, UCLN, BCNN.

Phép chia được SGK giới thiệu bài 6: “Phép trừ và phép chia” trang 20. Câu hỏi ban đầu

được đặt ra: Phép cộng và phép nhân luôn thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên, còn phép trừ

và phép chia thì sao?

Trong mục phép chia hết và phép chia có dư SGK giới thiệu tình huống: “Với hai số tự nhiên

12 và 3 có số tự nhiên x mà 3.x = 12 (vì 3.4= 12). Tuy nhiên với hai số tự nhiên 12 và 5 không có số

tự nhiên x nào để 5.x=12”.

Tìm thương của phép chia là tìm nghiệm của phương trình ax = b với a, b, x đều thuộc tập

hợp số tự nhiên. Có trường hợp phương trình vô nghiệm. Định nghĩa phép chia hết ở trang 21 như

“Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b  0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a

chia hết cho b và có phép chia hết a : b = x”

Giới thiệu lại các kí hiệu và tên gọi của các kí hiệu:

dùng dấu “:” chỉ phép chia

a : b = c

(Số bị chia) : (Số chia) = (Thương) [SGK6, tập 1, tr21]

Định nghĩa này được nêu tương tự trong [a] là định nghĩa tổng quát của phép chia hết. Hoạt

động 2, trang 21 đưa phép chia không thực hiện trên các số mà thực hiện trên biểu thức chứa chữ

như sau:

“Điền vào chỗ trống

b) a : a = …(a  0) c) a :1= ….” [SGK6, tập 1, tr21] a) 0 : a = …(a 0 )

Đây là những qui tắc tổng quát thường được học sinh sử dụng khi thực hiện các phép chia.

Sau đó, SGK đưa ra 2 ví dụ , phép chia được đặt phép tính:

Dựa vào hai phép tính trên SGK có kết luận: “ Phép chia 12 chia cho 3 là phép chia hết: 12 chia

cho 3 được 4. Phép chia 14 cho 3 là phép chia có dư: 14 chia cho 3 được 4 dư 2. Ta có

14 = 3 . 4 + 2

[SGK6, tập 1, tr22] (số bị chia) = (số chia) . (Thương) + (số dư)”

Trong chương trình tiểu học có cách ghi: 14 : 3 = 4 (dư 2). Trong chương trình lớp 6, pccd

được viết dưới dạng 14 = 3.4 + 2 . Số dư đã xuất hiện chính thức trong biểu thức

SGK6 đã đồng nhất định nghĩa phép chia có dư với định lý pccd trong tập hợp số tự nhiên.

Định nghĩa phép chia có dư ở trang 22:

“ Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b  0, ta luôn tìm được hai số tự nhiên q và r duy nhất

sao cho:

a = b.q + r trong đó 0  r < b.

Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết

[SGK6, tập 1, tr22] Nếu r 0 thì ta có phép chia có dư”.

Phép chia hết và phép chia có dư cũng được giới thiệu riêng biệt là hai trường hợp khác nhau

giống như chương trình tiểu học. Pccd được định nghĩa tường minh, biểu thức viết dưới dạng a =

b.q + r, 0  r < b với a, b, q, r N . Qua phần phân tích của SGK làm rõ một vấn đề là phép chia hết

không phải lúc nào cũng thực hiện được trên tập hợp số tự nhiên. Phép chia có dư đã khắc phục

được điều này. Trong tập hợp số tự nhiên, pccd luôn thực hiện được. Chúng tôi nhận thấy sự xuất

hiện của dạng viết này chuẩn bị cho những bài toán mang bản chất đại số.

Hình thức viết a = b.q + r, 0  r < b giới thiệu chính thức là định nghĩa của phép chia có dư,

nó không còn mang nghĩa là biểu thức dùng để kiểm tra kết quả của phép chia có dư. Hình thức viết

phổ biến ở bậc tiểu là a : b = c (dư r) biến mất. Trong thực hành thuật toán chia bằng sơ đồ vẫn tồn

tại.

Để nhấn mạnh quan hệ giữa các số trong phép chia có dư SGK đưa vào hoạt động 3/ trang 22.

“ Điền vào ô trống các trường hợp có thể xảy ra:”

Số bị chia 600 1312 15

Số chia 17 32 0 13

Thương 4

Số dư 15

Thông qua hoạt động 3, SGK6 đã nhắc lại cho học sinh các trường hợp không thể xảy ra khi

thực hiện phép chia: số chia bằng 0, và số dư lớn hơn số chia (đây là trường hợp duy nhất có bài tập

đưa ra số dư lớn hơn số chia và số bị chia bằng 0).

Phần cuối của bài học SGK đã tổng kết lại phần chính của bài học.

Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 nếu có số tự nhiên q sao cho

a = b.q

Trong phép chia có dư:

Số bị chia = Số chia  Thương + Số dư

a = b.q + r ( 0 < r < b )

Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia

Số chia bao giờ cũng khác 0. [SGK6, tr22]

Mối quan hệ giữa các số trong phép chia đã được thể chế hoá.

Bài học không đưa ra chỉ dẫn rõ ràng tìm số dư của phép chia r = a – bq. Trong bài “Phép

trừ và phép chia” không thể hiện mối liên hệ nào giữa phép trừ và phép chia. Nhìn chung so với

chương trình tiểu học bài này chỉ có vai trò ôn lại và nêu định nghĩa về phép chia hết và phép chia

có dư, hình thức biểu diễn của phép chia có dư đã chuyển sang dạng đẳng thức: a = b.q + r, 0  r

< b. Đặc trưng về số dư được làm rõ hơn trong biểu thức a = b.q + r, điều kiện 0 < r < b được

nhấn mạnh khi nhắc đến phép chia có dư.

Trong bài“Tính chất chia hết của một tổng”quan hệ chia hết được nhắc lại và thể chế chỉ

quan tâm tới hai khái niệm a chia hết cho b hay a không chia hết cho b. Như vậy phép chia có dư

ở đây được chú ý trong trường hợp r = 0 và 0 < r < b.

Qua lý thuyết của SGK6 đã nêu, vai trò của pccd xuất hiện mờ nhạt. Và số dư trong phép

chia có dư thể chế chỉ quan tâm đến r = 0 và 0 < r < b.

Phép chia có dư đã định nghĩa chính thức trong chương trình lớp 6, phép chia có dư là công

cụ giải quyết các khái niệm liên quan như phân tích một số thành nhân tử, tìm UCLN và BCNN.

Tuy nhiên vì hạn chế về thời gian nên luận văn của chúng tôi không phân tích các khái niệm này.

Trong chương trình số học chương III – Phân số SGK6, tập 2 bài “Hỗn số. Số thập phân.

Phần trăm” trang 44. Chương trình giới thiệu lại về hỗn số và cách chuyển từ phân số thành hỗn số.

Tuy học sinh đã học hỗn số trong chương trình toán 5 trong bài học này giới thiệu về kí hiệu hỗn số

và tên gọi các kí hiệu. Và SGK 5 giới thiệu cách chuyển từ hỗn số sang phân số và từ đó thực hiện

các phép toán trên phân số. Phần “Hỗn số” ta có:

7 4

 1



có thể viết dưới dạng hỗn số như sau: “Ta đã biết phân số

7 4

3 4

7 3

(đọc là một ba phần tư)

7 4

dư

thương

1 là phần nguyên của

3 4

7 4

là phần phân số của ”[toán 6- tập 2- tr44]

a b

Phép chia có dư đã được sử dụng khi chuyển từ phân số sang hỗn số. Phân số chuyển sang

hỗn số khi có a > b. Trong pccd này ta chú ý tới thương và số dư của phép chia, thương chính là

phần nguyên của phân số, số dư chính là tử số của phần phân số. Đây là một trong những ứng dụng

tường minh của pccd được giới thiệu trong chương trình.

Hỗn số ở toán 6 có sự khác biệt so với chương trình toán 5 là học sinh viết phân số dưới dạng

a b

bất kì có a > b. hỗn số và thực hiện phép toán trên hỗn số. Chuyển sang dạng hỗn số với phân số

 Phân tích chương trình và SGK lớp 7

Phép chia có dư trong chương trình tiểu học chỉ dừng lại mặt hình thức tìm thương và số dư

của phép chia. Chương trình toán 5 đưa vào số thập phân và cách thành lập số thập phân bằng cách

thực hiện các phép chia có dư, tuy nhiên giới hạn phần thập phân có nhiều nhất là 3 chữ số. Trong

chương trình lớp 7 có bài “Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn” trang 32 đã có

những giới thiệu mở rộng về số thập phân.

a b

chính là thương của phép chia số nguyên a cho số nguyên b. Ta có thể biểu diễn Ta biết phân số

phân số này bằng cách thực hiện phép chia có dư a cho b hay ta còn gọi là khai triển thập phân của

một số hữu tỉ. Một vấn đề đặt ra khi chia a cho b thì phân số nào có khai triển là số thập phân hữu

hạn, hay số thập phân vô hạn tuần hoàn? Dấu hiệu nào cho ta biết phép chia có thể dừng lại? Ta

xem xét qua bài học SGK đã đưa hai ví dụ:

3 20

37 25

dưới dạng số thập phân. , Ví dụ 1: Viết các phân số

Ta có

3,0 20 37 25

100 120 0,15 1,48

0 200

3 20

37 25

= 0,15; = 1,48 Vậy

5 12

Ví dụ 2: Viết phân số dưới dạng số thập phân.

Ta có:

12 5,0

20 0,4166...



Phép chia này không bao giờ chấm dứt. Nếu cứ tiếp tục chia thì trong thương, chữ số 6 sẽ được lặp

đi lặp lại. Ta nói rằng khi chia 5 cho 12, ta được một số ( số 0.4166...) đó là một số thập phân vô

hạn tuần hoàn. Số 0,4166.. được viết gọn là 0,41(6). Kí hiệu (6) chỉ rằng chữ số 6 được lặp lại vô

hạn lần. Số 6 gọi là chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,41(6).[ SGK7,Tập 1, tr32]

Ở ví dụ đầu phép chia kết thúc khi số dư bằng 0 và thương là số thập phân hữu hạn. Ví dụ 2,

SGK đã nhấn mạnh phép chia này không bao giờ chấm dứt, điều này dựa vào hiện tượng chữ số ở

thương lặp đi lặp lại. Số dư 8 trong ví dụ 2 đã lặp lại sau mỗi lần thực hiện phép chia. Qua 2 ví dụ,

phép chia dừng khi số dư bằng 0 hoặc khi số dư lặp lại.

a b

bằng việc thực hiện phép chia có dư liên tiếp. Ta có Khai triển thập phân của một số hữu tỉ

nhận xét: “Tuy kỹ thuật thực hiện phép chia sinh ra các giá trị thập phân gần đúng của phân số với sai số 10-n , nhưng lại thiếu một công nghệ giải thích cho kỹ thuật...Kỹ thuật thực hiện phép chia

giữa 2 số nguyên để tìm dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn của số hữu tỉ, chu kỳ của dạng viết

thập phân vô hạn này lại được phần lớn học sinh suy ra từ điều kiện một chuỗi các số lặp đi lặp lại

2, 3 hay 4 lần trong thương thập phân. Nghĩa là tính chu kỳ không được suy ra từ tính chất toán học

đúng: tính chất lặp lại của các số dư trong các phép chia Euclide của kỹ thuật.” trong phần tóm tắt

luận án của tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung.

Số dư có vai trò quan trọng trong việc khai triển thập phân của một số hữu tỉ. Dựa vào số dư

cho ta nhận biết điều kiện dừng của phép chia.

Dựa vào nhận xét:

“Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số

đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết

được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.” [SGK7, Tập1, tr33]

Phân tích thừa số nguyên tố của mẫu số thì chúng ta biết khi khai triển thập một phân số là số

thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn. Đối với phân số tối giản có mẫu số chỉ có

a 10

để biểu diển một số thập phân dễ dàng hơn. ước là 2 hoặc 5, chuyển phân số về dạng

Vậy khi khai triển dạng thập phân của một số hữu tỉ là quá trình thực hiện liên tiếp các phép

chia có dư a, 10r0, 10r1,.., cho số b. Trong phép chia, số dư chỉ có thể là: 0, 1, 2,......,b – 1, vì vậy

phép chia này nhiều nhất sau b bước thì số dư sẽ lặp lại. Hay ta có thể khẳng định phép chia có dư

sẽ dừng (nhiều nhất ) sau b lần thực hiện phép chia có dư.

Số dư đóng vai trò quan trọng thể hiện mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân. Kỹ thuật

khai triển thập phân của một phân số học sinh đã gặp ở chương trình tiểu học. Tuy nhiên ở lớp 5 khi

khai triển thập phân của một phân số thì luôn là số thập phân hữu hạn hay đó là những phép chia hết

trong D1, D2. Ở lớp 7 khái niệm số thập phân vô hạn tuần hoàn lần đầu tiên được gọi tên và cách

a b

thành lập nó là phép chia có dư số a cho b trong phân số .

Phân tích chương trình và SGK ở lớp 6 và 7, chúng tôi nhận thấy phép chia có dư chỉ được định

nghĩa trong tập hợp số tự nhiên. Thể chế không nêu phép chia có dư trong tập Dn, vì vậy đặc trưng

của số dư trong phép chia có dư các số thập phân không được làm rõ.

2.2 Phần bài tập

Trong phần này chúng tôi xây dựng các tổ chức toán học xoay quanh khái niệm phép chia có

có dư và dấu hiệu chia hết. Khi phép chia có dư đã được định nghĩa chính xác như giáo trình [a ] và

[b] có kiểu nhiệm vụ nào tiến triển so với chương trình tiểu học hay không? Trước hết, chúng tôi liệt

kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến pccd trong SGK6 và SGK7

Tổ chức toán học

Kỹ thuật và công nghệ Nhận xét Kiểu Các ví dụ

nhiệm

vụ

Ví dụ: Bài 45 SGK6 tập 1, trang 24: TTPPC là dạng toán TTPPC: Kỹ thuật TPPC

Tìm các Điền vào ô trống sao cho a = bq + r tổng hợp để tìm các - Thực hiện phép chia a

thành với 0 r

420

ra  q

phần của chia. Kiểu nhiệm vụ - Tìm số bị chia theo a 392 phép này chủ yếu ôn lại kỹ công thức a = bq + r. b 28 14 .. chia có năng thực hiện phép - Tìm số chia biến đổi b .. 25 12 q dư.(Vết chia cho học sinh = .. 10 0 r (phép chia hết trong của TDn,)

N).

Ví dụ: Tìm x: bài 44 SGK6 , tập 1, Các kỹ thuật này là TTX:Tìm Kỹ thuật : TX

x .(Vết trang 24 những qui tắc trong - Muốn tìm số bị chia

a) x : 13 = 41 kiểu nhiệm vụ tìm x của TDn,) ta lấy thương nhân với

b) 1428 : x =14 ở tiểu học mà học số chia

c) 4x : 17=0 sinh đã được học. - Muốn tìm số chia ta

d) 7x – 8=713 Đây là kiểu nhiệm lấy số bị chia chia cho

vụ cơ bản mà học thương

sinh cần nắm vững Muốn tìm thừa số chưa

nó là cơ sở cho việc biết ta lấy tích chia cho

học về phương trình thừa số đã biết

trong chương phổ - Kết hợp với thao tác

thông. (phép chia thực hiện phép biến đổi

hết trong N) nhân chia hai vế với

cùng một số tự nhiên,

cộng trừ hai vế với một

số tự nhiên.

Ví dụ: Bài 52 SGK6 tập 1,trang 25 Kỹ thuật được nêu TTGTBT : Kỹ thuật TGTBT

Tìm giá a)Tính nhẩm bằng cách nhân thừa số rõ ràng thông qua - Nhân thừa số này chia

trị của này, chia thừa số kia cho cùng một số hướng dẫn của bài thừa số kia với cùng

biểu thích hợp: 14.50; 16.25 toán. Kỹ thuật này một số

thức.(Vết b)Tính nhẩm bằng cách nhân cả số bị giúp học sinh vận - Nhân cả số bị chia và

chia và số chia với cùng một số thích dụng tốt hơn những của TDn,) số chia với cùng một số

hợp: 2100:50; 1400:25 tính chất đã học vào Áp dụng tính chất

c)Tính nhẩm bằng cách áp dụng tính việc tính nhanh các (a+b):c = a:c+b:c

TGTBT

chất (a+b):c = a:c+b:c (trường hợp biểu thức hay rút :Tính Công nghệ

chia hết): 132:12; 96:8; gọn biểu thức trong chất phân phối giữa

những kiểu nhiệm phép cộng và phép chia

vụ khác. Các phép biến đổi

(Phép chia hết trong tương đương và tính

N) chất chia hết

Ví dụ: Bài 53/ SGK6, tập 1, Bài toán liên hệ với : TGTNN.LN Kỹ thuật GTLN

: Tìm trang 25 thực tế, là một trong - Xác định các giá trị a,

GTLN và Bạn Tâm dùng 21000 đồng mua vở. số ít kiểu nhiệm vụ b sau đó thực hiện a

GTNN Có hai loại vở: loại I giá 2000 đồng thể hiện vai trò của chia cho b có số dư r

một quyển, loại II giá 1500 đồng một số dư. Bài tập là với 0  r < b

quyển. Bạn Tâm mua được nhiều nhất phép chia có dư - Kết quả của bài toán

bao nhiêu quyển vở nếu: trong N. là a)Tâm chỉ mua vở loại I?

b)Tâm chỉ mua vở loại II?

Giải

a)Nếu Tâm chỉ mua vở loại I: 21000

chia cho 2000 được 10, còn dư. Tâm

mua được nhiều nhất 10 quyển vở

loại I.

b)Nếu Tâm chỉ mua vở loại II: 21000:

1500= 14. Tâm mua được nhiều nhất

14 quyển vở loại II.

Ví dụ: Bài 54/ SGK6, tập 1, trang 25

Một tàu hoả cần chở một ngàn khách : Kỹ thuật GTNN

du lịch. Biết rằng mỗi toa có 12 - Xác định a và b thực

khoang, mỗi khoang có 8 chỗ ngồi. hiện phép chia a chia

Cần ít nhất mấy toa để chở hết số cho b nếu r = 0 thì kết

khách du lịch. quả là thương vừa tìm

Giải được.

Số người ở mỗi toa: - Nếu a chia cho b có

8. 12 = 96 số dư r > 0 thì kết quả

1000 chia cho 96 được 10, còn dư. là Cần ít nhất 11 toa để chở hết số

khách.

SD.

SC

Kỹ thuật được Ví dụ: Bài 46a SGK6 tập 1, trang 24 : Kỹ thuật TSD.SC:

Tìm số hướng dẫn thông Trong phép chia cho 2, số dư có thể Dựa vào biểu thức

dư r khi qua đề bài với ví dụ bằng 0 hoặc 1. Trong mỗi phép chia .Liệt kê các 0

biết số cụ thể cho trường cho 3, cho 4, cho 5, số dư có thể bằng giá trị r

chia. hợp chia cho 2. Số bao nhiêu? Số dư r có 0, 1, 2, …b -

(Vết của dư trong một phép 1 giá trị.

chia có dư với số TDn,)

chia là b có hữu hạn

số.

SD.

ĐD

Ví dụ :Bài 108 SGK6 tập 1, trang 42: Kỹ thuật này được Kỹ thuật : Tính TSD.ĐD:

Một số có tổng các chữ số chia cho 9 hướng dẫn rõ ràng Tìm số tổng các chữ số, sau đó

(cho 3) dư m thì số đó chia cho 9 (cho qua đề bài . dư r dựa chia cho 9 (cho 3) tìm

3) cũng dư m. Đây là vết của kiểu vào quan số dư m

Tìm số dư khi chia mỗi số sau cho 9 hệ đồng nhiệm vụ TDn, không Kết quả của

có sự giải thích cho dư.(Vết bài toán là số dư m

kỹ thuật. Kiểu và cho 3 1546, 1527, 2468, 1011. của TDn) Công nghệ:

SD.

ĐD

nhiệm vụ này được Tính chất quan

nêu trong bài dấu hệ đồng dư, tính chất

hiệu chia hết với yêu chia hết.

cầu học sinh không

thực hiện phép chia

(yêu cầu này có thể

nêu rõ ràng hay

ngầm ẩn qua việc

đưa ra một phương

pháp ngắn gọn hơn

so với thực hiện

phép chia như ví dụ

nêu trên) tìm số dư.

SBCTQ

Ví dụ 1: Bài 46b SGK6, tập 1, trang : Cho Kỹ thuật có ba TSBCTQ: Z3 =

Tìm số bị 24 lớp tương đương trước b, r với q không

chia Dạng tổng quát của số chia hết cho 2 Lần đầu tiên học duy nhất ta có: a = b.q

dạng là 2k, dạng tổng quát của số chia hết sinh giải bài toán mà + r với q .

SBCTQ

SBCTQ

tổng . Hãy cho 2 dư 1 là 2k + 1 với k kết quả không phải Công nghệ :phép quát.(Vết viết dạng tổng quát của số chia hết là một giá trị cụ thể. chia có dư của TDn) cho 3, số chia cho 3 dư 1, số chia cho Nhiệm vụ có ý nghĩa :Số Lý thuyết 3 dư 2. nhấn mạnh tất cả các phần tử trong vành Giải số tự nhiên khi chia thương Z/nZ Số chia hết cho 3 là: 3k cho 3 thì chi có

Số chia cho 3 dư 1 là: dạng: 3k, 3k+ 1, 3k

3k + 1 + 2.

Số chia cho 3 dư 2 là:

3k + 2. k N

ĐPS .

HS

Ví dụ: Hoạt động 1 trang 44 SGK6, Kỹ thuật này được Kỹ thuật : Thực TĐPS.HS:

Viết tập 2 nêu rõ ràng trong bài hiện phép chia có dư,

phân số Viết các phân số sau dưới dạng hỗn học. So với chương chia tử số cho mẫu số.

17 4

21 5

dưới trình tiểu học Thương số là số: , dạng chuyển một phân số phần nguyên của phân

hỗn số. thập phân thành hỗn số, số dư là tử số của

(Vết của số thì ở SGK6 kiểu phần phân số, mẫu số

nhiệm vụ này mở TDn) của phần phân số là

rộng cho một phân mẫu số của phân số.

số bất kì.

GT .

DVTP

Ví dụ: Bài 65, 66 SGK 7, tập 1, trang Kỹ thuật này được Kỹ thuật : TGT.DVTP:

Giải 34 nêu ra thông qua

- Đưa phân số về dạng nhận xét trong SGK Giải thích vì sao các phân số sau viết thích

tối giản, phân tích các được dưới dạng số thập phân hữu hạn dạng

mẫu số thành thừa số rồi viết chúng dưới dạng đó: khai

;

;

;

.

3 8

 7 5

13 20

 13 125

nguyên tố và nhận xét: triển

- Không có ước nguyên thập

Giải thích vì sao các phân số sau viết tố khác 2 và 5 thì phân phân của

được dưới dạng số thập phân vô hạn số này viết dưới dạng phân số

tuần hoàn rồi viết chúng dưới dạng số thập phân hữu hạn. (Vết của

đó: - Có ước nguyên tố TD)

;

;

;

.

1 6

 5 11

4 9

 7 18

khác 2 và 5 thì phân số

này viết dưới dạng số

thập phân vô hạn tuần

hoàn.

GT .

DVTP

: Công nghệ

Phân tích một số ra

thừa số nguyên tố,

Định nghĩa phép chia

hết.

Sử dụng ví dụ bài 65, 66 SGK7, tập Ở toán 7, phép chia TKTTP: Kỹ thuật KTTP :

1, trang 34( như trên) có dư có vai trò Khai Thực hiện liên tiếp

công cụ, nó giải triển phép chia có dư tử số

thích cho việc khai thập cho mẫu. Phép chia

triển thập phân của phân dừng lại khi số dư bằng

phân số. (Vết của 0 hay số dư lặp lại.

TDn) Công nghệ KTTP :

Phép chia có dư

Bảng 2. 3: Thống kê số lượng các kiểu nhiệm vụ pccd SGK6 và SGK7

Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tỉ lệ

75,9% 6,9% 2 Vết của TDn trên Z TTPPC

13,8% 4 TTX

10,4% 3 TTGTBT

3,4% 1 TSD.SC

13,8% 4 TSD.ĐD

3,4% 1 TSBCTQ

10,4% 3 TĐPS.HS

13,8% 4 TGT.DVTP

17,2% 5 17,2% Vết của TDn trên TKTTP

Dn

2 Ứng dụng của 6,9% 6,9% TGTNN.LN

pccd

Tổng 29 100%

Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có nhận xét sau:

- Các kiểu nhiệm vụ là vết của TDn trên Z chiếm 75.9%, tuy nhiên các kiểu nhiệm vụ vết của

TDn trên Dn chỉ 17,2%. Phép chia có dư trong chương trình THCS chủ yếu thực hiện trên Z.

- Các kiểu nhiệm vụ TTPPC, TTX , TTGTBT đã xuất hiện trong chương trình tiểu học, các bài tập

có tính chất kết hợp nhiều phép tính hơn. Kiểu nhiệm vụ TTGTBT không chỉ đơn thuần là thực hiện

các phép toán mà còn sử dụng các tính chất giao hóa, kết hợp, phân phối để tìm kết quả. Kết hợp với

các dấu ngoặc để thể hiện thứ tự các phép toán. Cũng như chương trình các lớp 3, 4, 5 các bài tập

đều nhắm đến kỹ năng tính toán là chủ yếu. Phép chia có dư được xét ở trên đều thực hiện trong N.

- Kiểu nhiệm vụ ứng dụng pccd xuất hiện rất ít, không làm nổi bật được vai trò của pccd

trong các bài toán thực tế.

- Các kiểu nhiệm vụ TSD.SC, TSD.ĐD, TSBCTQ là những kiểu nhiệm vụ tiến triển so với tiểu

học. Các kiểu nhiệm vụ này xuất hiện với tần số ít, nên chưa tạo sự tiến triển nhiều so với chương

trình tiểu học. Kỹ thuật tìm số dư hay phân hoạch tập hợp số tự nhiên thành các lớp được nhắc đến

nhưng không nhiều. Những kiểu nhiệm vụ này tạo điều kiện cho dạng toán có bản chất đại số xuất

hiện. Vai trò của số dư trong chương trình THCS đã được chú ý. Tuy nhiên chưa phải là làm nổi bật

vai trò của số dư trong phép chia có dư.

- Kiểu nhiệm vụ TĐPS.HS đã xuất hiện trong chương trình tiểu học. Ở lớp 6 và 7, TĐPS.HS các

phân số không còn là phân số thập phân mà là phân số bất kì.

- TGT.DVTP xuất hiện đã hỗ trợ cho học sinh nhận biết dạng khai triển thập phân của số hữu tỉ,

số nào là số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn.

- TKTTP trong chương trình THCS dùng để khai triển thập phân một phân số bất kì trong Dn.

Trong chương trình tiểu học thì khai triển thập phân giới hạn trong D3. Đối với dạng viết số thập

phân vô hạn tuần hoàn thì kỹ thuật tìm chu kì của nó không được làm rõ. Phân tích bài học thì chu

kì này dựa vào sự lặp đi lặp lại của một hoặc một số chữ số ở thương số.

2.3 Kết luận

Phép chia hết và phép chia có dư đã được định nghĩa giống như trong [a] và [b]. Phép chia có

dư chỉ được định nghĩa trong tập hợp số tự nhiên. Qua phần phân tích các kiểu nhiệm vụ chúng tôi

nhận thấy các kiểu nhiệm vụ sử dụng biểu thức a = bq +r còn ít nên định nghĩa phép chia có dư theo

dạng này không sống được trong đa số học sinh. Kỹ thuật thực hiện phép chia có dư lại được áp

dụng trong các bài thực hành khai triển thập phân một số hữu tỉ nhưng số lượng kiểu nhiệm vụ này

rất ít. Phép chia có dư trong chương trình THCS có vai trò chủ yếu dùng làm công cụ tính toán.

Các hình thức xuất hiện phép chia có dư là

- Dạng bất đẳng thức a : b = q (dư r) của phép chia có dư ở bậc tiểu học không còn xuất hiện

trong chương trình THCS

a

b

q

r

- Dạng sơ đồ chia

vẫn xuất hiện trong thực hành nhưng không được thể chế giới thiệu chính thức. Đặc trưng của r

trong phép chia cũng không được phân biệt rõ trong N hay Dn.

- Dạng đẳng thức : a = b.q + r, 0  r < b

được giới thiệu chính thức trong bài học, đặc trưng r được làm rõ. Theo đó trong phép chia có dư r

q

phải khác 0. Phép chia hết là r = 0

a b

r b

- Dạng hỗn số: = xuất hiện rất ít trong chương trình, chủ yếu trong các kiểu nhiệm vụ

tính toán phân số và hỗn số.

Đặc trưng của số dư trong phép chia có dư là phân biệt phép chia hết và phép chia có dư. Các

số dư xuất hiện trong các hình thức biểu diển của phép chia có dư vẫn là số tự nhiên. Theo phân tích

trên, hai hợp đồng R1, R2 vẫn tồn tại trong chương trình THCS.

Các tổ chức toán học về phép chia có dư trong thể chế THCS chưa có nhiều tiến triển so với

thể chế TH. Xuất hiện kiểu nhiệm vụ vận dụng phép chia có dư tìm số lớp số bị chia hay số dư trong

các phân lớp. Trong khai triển thập phân số hữu tỉ có nhiều tiến triển khi với sự khai triển này xuất

hiện số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn. Phân tích thể chế không làm nổi bật

vai trò của số dư khi khai triển thập phân số hữu tỉ.

3. Kết luận và các giả thuyết nghiên cứu

Qua phân tích chương 2 chúng tôi đã trả lời các câu hỏi nêu ra đầu chương:

+ Phép chia có dư được học sinh tiếp cận ở lớp 3, 4 học sinh làm quen với tình huống giới

thiệu cụ thể về phép chia hết và phép chia có dư. Phép chia có dư thực hiện trong tập hợp số tự

nhiên. Đến lớp 6 phép chia có dư được định nghĩa chính thức trong chương trình. Nhìn chung học

sinh tiếp cận phép chia từ tình huống cụ thể đến phát biểu tổng quát trong tập hợp số tự nhiên. Tuy

nhiên kỹ thuật thực hiện phép chia có dư đã đưa vào nghiên cứu các số thập phân và khai triển thập

phân của một số hữu tỉ. Lúc này phép chia có dư đã thực hiện trên tập Dn, thương và số dư là

thường là những số thập phân. Tuy nhiên thể chế đã không làm rõ điều này thông qua phân tích thể

chế trên.

+ Phép chia có dư xuất hiện với 4 hình thức:

- Dạng bất đẳng thức a : b = q (dư r)

a

b

q

r

- Dạng sơ đồ chia

- Dạng đẳng thức a = b.q + r, 0
q

r b

- Dạng hỗn số

Phép chia có dư dạng đẳng thức a = b.q + r, 0  r < b là định nghĩa chính thức của phép

chia có dư ở lớp 6 giống như định nghĩa phép chia có dư trình bày trong [a] và [b]. Thông qua phân

tích thể chế dạng viết này ít được sử dụng trong các kiểu nhiệm vụ. Nên định nghĩa của phép chia

có dư có vai trò mờ nhạt trong chương trình. Thể chế tiểu học giới thiệu dạng đẳng thức này dưới

hình thức kiểm tra phép chia có dư nên điều này sẽ ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân của học sinh đối

với định nghĩa này.

+ Các tổ chức toán học trong chương 2 là vết của các kiểu nhiệm vụ sau:

TDn: Trong vành Dn (n  N), cho trước hai số thập phân a, b với b  0, tìm thương q và số dư

r trong phép chia a cho b.

Vết của kiểu nhiệm vụ TDn được thể hiện rõ nhất thông qua kỹ năng tìm thương của phép

chia trong tập hợp số nguyên và tập hợp số thập phân Dn.

Từ phân tích chương trình và SGK chúng tôi rút ra hai hợp đồng R1, R2 và đưa ra giả thuyết

H1 bao hàm luôn qui tắc hợp đồng R1 “Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r và r 0

và r < b”

Giả thuyết H1: Đối với học sinh số dư của một phép chia là một số tự nhiên. Phép chia

hết là phép chia có r = 0 và phép chia có dư là phép chia có r  0. Và học sinh không quan tâm

đến phép chia có dư đang thực hiện trong tập hợp số nào.

Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn có vai trò trong việc định nghĩa số

thực. Vai trò của số dư trong mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân hay dạng khai triển thập

phân một số hữu tỉ được thể hiện qua kiểu nhiệm vụ TKTTP trong các bài tập. Tuy nhiên các kiểu bài

tập này còn ít, vai trò của số dư rất mờ nhạt. Dựa vào những phân tích trên chúng tôi đưa ra giả

thuyết H2 như sau:

Giả thuyết H2: Khai triển thập phân một số hữu tỉ bằng phép chia có dư trong Dn, học

sinh gặp khó khăn khi sử dụng số dư để thể hiện mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân

khai triển.

Tiếp theo trong chương 3 chúng tôi xây dựng câu hỏi thực nghiệm đối với học sinh đã học

xong về phép chia có dư để kiểm chứng cho những giả thuyết mà chúng tôi đã đưa ra.

CHƯƠNG 3

THỰC NGHIỆM

3.1 Mục đích thực nghiệm

Trong chương này chúng tôi triển khai một thực nghiệm cho phép nghiên cứu ảnh hưởng của

quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của học sinh. Đặc biệt, thực nghiệm sẽ đưa vào kiểm chứng hai

giả thuyết mà chúng tôi đã đưa cuối chương 2:

 Giả thuyết H1: Đối với học sinh, số dư của một phép chia có dư là một số tự nhiên.

Phép chia hết là phép chia có r = 0 và phép chia có dư là phép chia có r  0. Và

học sinh không quan tâm đến phép chia có dư đang thực hiện trong tập hợp số

nào.

 Giả thuyết H2: Khai triển thập phân một số hữu tỉ bằng phép chia có dư trong Dn,

học sinh gặp khó khăn khi sử dụng số dư để thể hiện mối liên hệ giữa số hữu tỉ và

số thập phân khai triển.

3.2 Hình thức và tổ chức thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên học sinh khối 10, các lớp đầu cấp trung học phổ thông,

sau khi các em đã học xong chương trình phổ thông cơ sở. Cụ thể chúng thực nghiệm trên học sinh

của 3 lớp 10 của trường THPT Cần Đước.

3.3 Phân tích thực nghiệm

Chúng tôi đưa ra 4 câu hỏi cho học sinh thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết của luận văn.

Câu 1: Em hãy cho một em học sinh lớp 5 một ví dụ về một phép chia có dư và giải thích

cho em học sinh này tại sao đó là phép chia có dư ?

Câu 2 : Hãy khoanh tròn các phép chia thể hiện phép chia có dư trong các phép chia đã cho

dưới đây (có thể khoanh tròn nhiều phép chia).

(b) (c) (d) (a)

72 86 53 93,6 10578 123 78 936

21 6 197 170 156 12 1,3 12 2,3

0 258 11 0

Em hãy giải thích câu trả lời của mình: ..............................................................

Câu 3 :

Cho phép chia sau đây :

415 192

310 2,16

1180

28

Hãy khoanh tròn những đẳng thức đúng dưới đây (có thể có nhiều đẳng thức đúng) :

415 = 2,16 192

(a)

(b) 415 = 2,16 x192 + 28

28 100

(c) 415 = 2,16 x192 +

28 1000

(d) 415 = 2,16 x192 +

(e) 415 = 2,16 x192 + 0,28

Câu 4 : Dựa vào phép chia ở câu 3 hãy điền vào chỗ trống đẳng thức sau đây :

415 = ....................192

Bài thực nghiệm được tiến hành trên 131 học sinh. Để thuận tiện cho việc theo dõi các bài

làm, chúng tôi đánh thứ tự các bài từ A1 đến A131. Bài thực nghiệm học sinh không được sử dụng

máy tính bỏ túi.

 Biến tình huống.

1)Phương diện đối tượng hay công cụ của phép chia có dư.

Ở đây là quan tâm đến đối tượng phép chia có dư, đặc biệt là định nghĩa của phép chia có dư.

Trong chương trình, phép chia có dư được định nghĩa trên tập hợp số nguyên dương nhưng có bài

tập thực hành ứng dụng trên tập hợp Dn. Qua đó chúng tôi muốn làm rõ mối quan hệ của học sinh

với đối tượng phép chia có dư.

2) Hình thức đặt câu hỏi

Khi phân tích câu trả lời của học sinh, có những phần học sinh có thể đưa ra câu trả lời đúng

nhưng lời giải thích có thể chưa rõ ràng còn mập mờ thậm chí sai. Cách đặt câu hỏi cho chúng tôi

hiểu rõ ràng hơn quan điểm của học sinh về phép chia có dư.

Trong bộ câu hỏi thực nghiệm, với cách đặt câu hỏi mở, không định hướng cho học sinh

buộc họ phải lập luận, từ đó chúng ta rút ra những thông tin cho phép xác định được những chiến

lược học sinh đã sử dụng tìm câu trả lời.

3) Máy tính bỏ túi

Phép chia có dư là phép tính cơ bản mà học sinh phải nắm vững trong chương trình toán. Vì

vậy việc sử dụng MTBT có thể làm học sinh bỏ qua đặc trưng số dư của phép toán vì MTBT thể

hiện thương trong tập Dn.

Hơn nữa trong thực nghiệm này chúng tôi kiểm tra các đặc trưng về số dư cũng như những khó

khăn về số dư trong khai triển thập phân của một phân số. Vì vậy sử dụng MTBT không thể hiện

đúng ý đồ của các câu hỏi thực nghiệm. Thực nghiệm này không sử dụng MTBT.

 Phân tích các câu hỏi

Câu 1 : Em hãy cho một em học sinh lớp 5 một ví dụ về một phép chia có dư và giải

thích cho em học sinh này tại sao đó là phép chia có dư ?

 Phân tích tiên nghiệm

Mục đích của câu hỏi: học sinh sẽ đưa ra ví dụ nào về phép chia có dư, qua đó ta có thể hiểu

quan điểm của phép chia có dư đối với học sinh là gì? Cách viết nào của phép chia có dư thường

được học sinh sử dụng nhất. Đặc trưng nào của phép chia có dư được học sinh nhấn mạnh: điều kiện

của r hay thương số hay một đặc trưng nào khác. Đây là câu hỏi mở nhằm tìm hiểu xem ấn tượng

hay suy nghĩ của học sinh về phép chia có dư như thế nào?

 Các dạng viết về phép chia có dư:

- Dự đoán dạng viết – Sơ đồ chia - được ưu tiên sử dụng nhiều hơn. Vì học sinh làm quen với

phép chia có dư qua thuật toán dạng sơ đồ được trình bày nhiều trong SGK của tiểu học và

THCS.

- Cách viết dùng dạng a : b = c (dư r)

- Cách viết a = b.q + r

- Đưa ra dạng a:b rồi giải thích phép chia có dư.

- Dạng hỗn số.

 Các giải thích có thể :

- Phép chia có dư được giải thích dựa vào số dư r khác 0.

- Học sinh đưa ra phép chia mà thương số là số thập phân và giải thích vì thương là số thập

phân nên là phép chia có dư.

- Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Học sinh này chỉ đưa các phép chia với số chia là 2,

5, 3 hoặc 9 và giải thích phép chia có dư dựa vào dấu hiệu chia hết.

- Phép chia có dư là khi kiểm tra kết quả biểu thức a = qb + r đúng như đẳng thức đã nêu.

- Không có số tự nhiên x nào để b.x = a. Thể hiện sự không khép kín của phép chia trong tập

hợp số nguyên.

Trong tất cả các giải thích đưa ra, chúng tôi dự kiến học sinh tập trung nhiều vào số dư khác

0 của phép chia để giải thích cho phép chia có dư. Vì trong thể chế phân biệt phép chia hết và phép

chia có dư dựa vào số dư r. Kế tiếp học sinh dựa vào thương số tức là các phép chia học sinh thực

hiện trong Dn để kết quả đưa ra là một số thập phân. Dấu hiệu chia hết cũng được học sinh sử dụng

vì dấu hiệu chia hết được học trong chương trình lớp 4 và lớp 6, ngoài ra dấu hiệu chia hết được sử

dụng nhiều trong tính toán và trong cuộc sống. Bên cạnh đó chúng tôi khảo sát kiểm tra qui tắc R2.

Những cái có thể quan sát được

Giải thích Cách viết Lời giải thích

Số dư khác 0 + Cho bằng sơ đồ thuật Dựa vào r  0 (học sinh ít

toán chú ý đến điều kiện r < b)

+ Dạng a : b = c (dư r) Dựa vào thương số Thương số là số thập phân

+ Dạng a: b Dấu hiệu chia hết Số chia là 2,3,5,9

+ Bài toán Dấu hiệu chia hết

+ Phân số Kiểm tra kết quả Thế các số a, b, q, r vào biểu

+ Hỗn số a = qb + r thức

Không có số tự nhiên x Dựa vào bảng cửa chương

nào để b.x = a không tìm được số thỏa mãn

yêu cầu.

 Phân tích hậu nghiệm

Bảng 3.1. Bảng thống kê các hình thức đưa pccd cho câu hỏi 1

Hình thức cho phép Số lần xuất hiện %

chia

Dạng sơ đồ chia 74 56,4%

Dạng a : b = c (dư r) 28 21,3%

Dạng a = bq + r 0 0%

a: b 24 18,5%

Khác 5 3,8%

Tổng 131 100%

+ Hình thức cho phép chia:

- Dạng sơ đồ chia: dựa vào bảng thống kê ta thấy ví dụ về phép chia có dư được học sinh đưa

ra dạng sơ đồ chia là nhiều nhất chiếm 56,4%. Hầu hết phép chia đều thực hiện trong hợp số tự

nhiên, số bị chia và số chia có một hoặc hai chữ số nằm trong phạm vi bảng cửa chương. Dễ dàng

giải thích cho việc học sinh chọn dạng này vì tất cả các phép chia trong SGK học sinh đều được tiếp

cận đầu tiên là thuật toán chia bằng sơ đồ.

- Dạng a : b = c (dư r) chiếm 21,3%. Dấu ấn của hình thức phép chia có dư ở tiểu học còn

ảnh hưởng sâu sắc đến học sinh.

- Khi cho ví dụ về phép chia có dư có 18,3% dạng biểu thức “a : b” không nêu gì thêm và

giải thích đó là phép chia có dư bằng cách nêu cách thực hiện phép chia.

- Không có một bài nào đưa phép chia có dư dưới dạng đẳng thức a = bq + r. Điều này khẳng

định mạnh mẽ định nghĩa phép chia dạng đẳng thức không sống trong học sinh.

- Học sinh đưa phép toán chia dưới dạng phát biểu bài toán sau đó thực hiện phép chia và

giải thích pccd dựa vào số dư r. Qua bài thực nghiệm, dạng viết hỗn số không xuất hiện.

- Có nhiều trường hợp học sinh đưa số chia là 2, 3, 5, 9 để thực hiện giải thích phép chia

bằng dấu hiệu chia hết.

Đặc biệt tất cả các ví dụ của học sinh nêu ra hầu như có số bị chia lớn hơn số chia. Như vậy

qui tắc R2: “Trong phép chia a cho b thì số bị chia a lớn hơn số chia b” tồn tại trong học sinh.

+ Giải thích của học sinh về phép chia có dư

Bảng 3.2. Bảng thống kê lời giải thích cho câu 1

Các giải thích Số lần xuất hiện Tỉ lệ

Số dư khác 0 hay số dư không phải là số 0 69 52,7%

Kiểm tra kết quả: thế a, b, q, r vào biểu thức 12 9,2%

a = qb + r

Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,9 15 11,5%

Thương số là số thập phân 6 4,6%

Không tìm được số x sao cho a.x = b hay 10 7,6%

bất đẳng thức

Các giải thích khác hoặc không giải thích 19 14,5%

Tổng cộng 131 100%

Giải thích của học sinh:

- Số dư khác 0 chiếm 52,7% trong đó có giải thích: “Phép chia có dư là: khi ta chia một số

cho một số khác thì đến một lúc ta được một số không chia hết cho số chia và số đó là số dư” A75.

Đặc biệt có những giải thích: “Phép chia có dư là phép chia không hết” hay “Pccd vì số dư không

là 0” A19 và A66.

- Có 11,5% học sinh đưa ra số chia là số 2, 5, 3, 9 để dùng dấu hiệu chia hết giải thích cho

phép chia có dư.

- Có những bài học sinh không gọi số dư như A38: “Phép chia có dư là khi thực hiện xong ta

luôn nhận được số bị chia nhỏ hơn số chia”. Điều này khẳng định đối với học sinh phép chia có dư

chỉ giới hạn trong N.

- Học sinh thực hiện phép chia và kiểm tra kết quả: thế a, b, q, r vào biểu thức a = qb + r.

Không sử dụng biểu thức này như định nghĩa phép chia có dư. Như vậy định nghĩa tổng quát của

phép chia có dư không sống được trong học sinh. Biểu thức này đối với học sinh như biểu thức

kiểm tra kết quả.

- Có 4,6% pccd thực hiện trên tập Dn, khi đó lời giải thích pccd dựa vào thương số là số thập

phân.

Trong các ví dụ đưa ra, hầu như cặp số a và b đều thuộc tập hợp số tự nhiên. Phép chia được

thực hiện trong tập hợp số tự nhiên. Không có trường hợp nào đưa phép chia có dư với a hoặc b là

số âm.

Câu 2

Hãy khoanh tròn các phép chia thể hiện phép chia có dư trong các phép

(a)

(b)

(c)

(d)

72

53

78

936

93,6

10578

86

123

21 6

170

156

197

12

1,3

12

2,3

0

11

0

258

chia đã cho dưới đây (có thể khoanh tròn nhiều phép chia).

Em hãy giải thích câu trả lời của mình: ....................................................

 Phân tích tiên nghiệm

Như đã phân tích ở chương 2, chúng tôi nhận thấy phép chia có dư được giảng dạy chính

thức trong chương trình lớp 3, 4 và 6. Tuy nhiên các phép tính chia thực hiện trên tập số tự nhiên và

tập hợp số thập phân ở lớp 5 và lớp 7 (xuất hiện kỹ thuật thực hiện phép chia hết và phép chia có dư

trên D) lại không được so sánh hay phân biệt trong thể chế tiểu học. Điều này ảnh hưởng như thế

nào đến mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư hay là phép chia hết.

+ Đưa ra câu (a) chúng tôi tìm hiểu xem phép chia với r = 0 đối với học sinh có là phép chia có dư

hay không.

+ Trong câu (c) phép chia thực hiện chưa hết số dư r > b đây là tình huống kiểm tra xem học sinh xử

lí như thế nào khi r  0, các em có chú ý đến điều kiện r < b hay không? Những phép chia đưa ra

dưới dạng sơ đồ trong SGK thì phép chia hoàn chỉnh không có trường hợp nào số dư trong phép

chia lớn hơn b.

+ Trường hợp câu (b) và (d) chúng tôi đưa ra phép chia trong D1 một trường hợp chia hết và trường

hợp không chia hết trong D1. Nếu học sinh chỉ dựa vào số dư r không quan tâm tập hợp phép chia

đang thực hiện dẫn đến kết luận là hai trường hợp:phép chia hết và phép chia có dư. Nếu học sinh

chú ý tới thương số thì có cùng kết luận. Theo chúng tôi dự đoán đa số học sinh chọn theo quan

điểm số dư.

 Các chiến lược

1. Chiến lược về số dư khác 0

Dựa vào số dư học sinh đưa ra câu trả lời. Sơ đồ chia thực hiện trên tập hợp Z+, Dn thì số dư

vẫn thể hiện là số tự nhiên. Trong chiến lược này học sinh dựa vào số dư đưa ra kết luận là PCH hay PCCD. Đối với phép chia trong tập hợp số Z+ thì chiến lược này đúng. Khi phép chia có dư mở rộng

trong tập hợp Dn thì chiến lược này không còn đúng nữa.

2. Chiến lược về thương số.

Dựa vào thương số học sinh có câu trả lời là PCH hay PCCD. Thương số là số thập phân hay là số tự nhiên. Phép chia có dư trong tập hợp Z+ và phép chia hết trong tập Dn vẫn là phép chia có

dư. Đây là chiến lược đúng, thể hiện học sinh hiểu rõ về phép chia có dư.

3. Chiến lược dấu hiệu chia hết

Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Học sinh này chỉ đưa các phép chia với số chia là 2, 5,

3 hoặc 9 và giải thích phép chia có dư dựa vào dấu hiệu chia hết.

4. Chiến lược kiểm tra kết quả theo biểu thức a = qb + r: phép chia có dư là khi kiểm tra

kết quả đúng như đẳng thức đã nêu.

5. Chiến lược bất đẳng thức: không có số tự nhiên x nào để b.x = a. Thể hiện sự không

khép kín của phép chia trong tập hợp số nguyên.

 Các biến dạy học.

o V1 Dạng viết phép chia có dư

Phép chia có dư được giới thiệu bằng hình thức:

- Dạng 1 – Dấu “=” phi đẳng thức

a : b = q với phép chia hết

a : b = q (dư r)

Dạng viết chính thức của phép chia có dư trong thể chế tiểu học. Không còn được sử dụng trong

chương trình THCS. Trong cách viết trên số dư không xuất hiện chính thức trong biểu thức. Số dư

có vai trò giải thích cho tính chất của phép chia.

- Dạng 2 – Dấu “=” đẳng thức

a = q.b + r với (0  r < b)

Dạng viết này xuất hiện trong thể chế THCS. Đối với chương trình tiểu học dạng viết này

xuất hiện với vai trò kiểm tra kết quả của phép chia có dư. Đặc trưng về số dư được làm rõ hơn

trong biểu thức a = b.q + r, điều kiện 0 < r < b với a, b, q, r N .

- Dạng 3 – Sơ đồ chia

a b

r c

Dạng sơ đồ chia quen thuộc đối với học sinh, nó xuất trong thể chế tiểu học và THCS. Trong dạng

này phép chia hết và phép chia có dư thể hiện bằng các phép chia liên tiếp, phép chia dừng lại khi số

dư bằng 0 hoặc nhỏ hơn số chia. Dù phép chia thực hiện trong tập số thập phân nhưng trong dạng sơ

đồ số dư vẫn là số tự nhiên. Điều này sẽ ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép

chia có dư.

Khi đưa dạng viết sơ đồ chia thì phép chia thể hiện rõ ràng, cụ thể là phép chia thực hiện bao nhiêu

lần và thương, số dư xuất hiện tường minh.

q

r b

- Dạng 4 – Dạng hỗn số

q xuất hiện ở lớp 5, nhưng có vai trò rất mờ . Dạng hỗn số cũng xuất hiện trong

r b

Cách viết hỗn số

chương trình toán THCS và THPT. Đặc trưng của cách viết này là phép chia có dư được thực hiện trong Z . Trong cách viết này số dư đã được sử dụng chính thức trong biểu thức.

Trong câu 2 này chúng tôi chọn dạng 3 – sơ đồ chia với dạng này xuất hiện nhiều trong SGK và

đặc trưng của phép chia có dư không được làm rõ trong vành Dn. Với các chọn này tạo thuận lợi cho

chiến lược về số dư xuất hiện.

o V2 Vành thực hiện phép chia có dư: Z+ hay Dn

- Trong vành Z+: các giá trị cho trong tập hợp số nguyên dương, phù hợp với tập hợp định nghĩa

phép chia có dư. Các quan niệm của học sinh về phép chia hết và phép chia có dư đều đúng.

- Tập hợp Dn: phép chia có dư không định nghĩa trong tập hợp số thập phân, tuy nhiên kỹ thuật

thực hiện phép chia có dư lại được sử dụng trong thực hành chia các số thập phân. Vì vậy quan hệ

cá nhân của học sinh đối với khái niệm phép chia có dư sẽ bị ảnh hưởng bởi thể chế. Vì vậy trong

khai triển thập phân của một số hữu tỉ sẽ gặp khó khăn.

Chúng tôi chọn thực hiện trong vành Z và D1, để kiểm tra học sinh có chú ý tới sự khác

nhau trong các phép chia này hay không, cách chọn câu hỏi tạo thuận lợi cho chiến lược về số dư

khác 0 và chiến lược về thương số.

o V3 Giá trị của các cặp số bị chia và số chia:

- Độ lớn nhỏ của các số trong các cặp số: số có một chữ số, số có hai chữ số, số có 3 chữ số, hay sự

chênh lệch giữa các số trong cặp số với mục đích để phép chia thực hiện hơn một lần hay chia liên

tiếp từ hai lần trở lên.

- Số bị chia và số chia thuộc tập hợp số: Z, Dn.

Với các chọn các giá trị của số chia khác 2, 5, 3, 9 là hạn chế chiến lược dấu hiệu chia hết và các giá

trị là số có 2 chữ số hay 3 chữ cũng hạn chế chiến lược kiểm tra bằng biểu thức a = bq + r. Cho các

giá trị trong Z và D1 tạo điều kiện cho chiến lược về số dư và chiến lược về thương số.

o V4 Tính chất của số dư

- r = 0

- 0< r < b

- r  0 và r > b.

Các giá trị của r xuất hiện đầy đủ trong bài thực nghiệm.

 Những cái có thể quan sát được

Câu trả Chiến lược Cái có thể quan sát

lời

a Chiến lược dựa vào Quan điểm của học sinh này xem tất các phép chia

số dư khác 0 đều là phép chia có dư.

b Chiến lược thương Số thập phân xuất hiện cả trong số bị chia và

thương số. Dựa vào thương số để kết luận. số

c Chiến lược dựa vào Tôn trọng thể chế phép chia có dư chỉ được định

số dư khác 0 nghĩa trong tập hợp số tự nhiên: a,b,q,r đều thuộc

N và số dư khác 0. Tuy nhiên lại không chú ý điều

kiện của r < b

d Chiến lược dựa vào Học sinh chỉ quan tâm đến số dư trong phép chia.

số dư khác 0 Và số dư 0 < r < b.

 Phân tích hậu nghiệm

Các câu trả lời

Số lần xuất hiện

Tỉ lệ

2

1,2%

a

26

14,1%

b

40

21,7%

c

116

63%

d

Bảng 3.3: Bảng thống kê các câu trả lời câu 2.

Dựa vào bảng thống kê ta có:

1. Câu trả lời d chiếm (63%) tỉ lệ lớn nhất. Đa số học sinh giải thích cho trả lời theo chiến

lược số dư khác 0. Sau khi học sinh học xong phép chia có dư, quan điểm về số dư là số khác 0. Lời

giải thích của học sinh đều nói về số dư. Đặc biệt quan điểm đều xem số dư của phép chia là một số

tự nhiên. Các lời giải thích tập trung vào phép chia có số dư là 11. Rất ít bài làm phát hiện số dư là

17 hay 1,1.

Một vài lời giải thích của học sinh:

“Số dư của nó không là 0, và nhỏ hơn số chia” 2A; “số dư 11 không chia hết cho 53” 56A đa số học

sinh có lời giải thích như vậy.“Vì thương là số thập phân dư 11, còn b cũng ra số thập phân mà

không dư.” 13A

Một số học sinh có lời giải thích dựa vào chiến lược thương số là số thập phân thì đó là phép chia có

dư. Khi có được nhận định này thì học sinh có câu trả lời là câu b và d.

2. Câu c chiếm 21,7% là một số lượng đáng kể để chúng tôi biết rằng học sinh chỉ dùng chiến

lược số dư khác 0 mà không kiểm tra đặc trưng số dư bé hơn số chia. Qua phân tích thể chế ở

chương 2 tất cả hình thức của định nghĩa phép chia có dư đều nhấn mạnh số dư khác 0 và bé hơn số

chia. Sai lầm này có thể giải thích đó là chướng ngại sư phạm, các bài tập dạng sơ đồ ra đều có số

dư nhỏ hơn số chia. Tuy nhiên có nhiều học sinh chú ý tới điều kiện r bé hơn số chia.

3. Câu trả lời b chỉ chiếm 14,1%, học sinh sử dụng chiến lược về thương số để trả lời cho câu hỏi

này. Như vậy có 85,9% học sinh đồng ý đây là phép chia hết. Điều này do học sinh dựa vào số dư

của phép chia là 0. Đáng chú ý trong các câu hỏi thực nghiệm số bị chia của câu b là số thập phân

trong D1. Nhưng học sinh đã không nhận ra sự khác biệt này. Các lời giải thích đều vì thương là một

số thập phân.

Lựa chọn này khẳng định rằng học sinh không quan tâm đến phép chia thực hiện trong tập hợp

số nào. Các em vẫn áp dụng đặc trưng số dư của phép chia có dư trên tập hợp số tự nhiên.

Có những giải thích cho câu trả lời này là:

“Ở câu b tuy số dư của nó = 0 nhưng thương là 1,3 là phép chia có dư. ở câu d số dư của

nó là 11 và thương là 2,3 không phải là số nguyên là pccd”. A1

“Vì các phép chia này nhận được thương không là số nguyên”.A20

“Vì phép chia có dư thì số chia sau khi chia bằng một số nào đó không phải là 0 hoặc kết quả

là số thập phân”.

4. Câu trả lời a chỉ có 2 học sinh lựa chọn, hầu hết học sinh tôn trọng định nghĩa phép chia hết

mà thể chế đưa ra, là r =0.

Các chiến lược kiểm tra a = bq + r, và chiến lược bất đẳng thức được học sinh ít sử dụng.

Trong bài thực nghiệm này nhiều học sinh có lựa chọn đồng thời c, d(84,7%) là phép chia có

dư. Tức là bằng trực giác học sinh nhìn vào phép chia và chú ý tới số dư khác 0 là phép chia có dư,

và khi r = 0 là phép chia hết.

Học sinh không quan tâm tập hợp thực hiện phép chia mà chỉ chú ý đến đặc trưng về số

dư của phép chia để đưa ra câu trả lời.

Thông qua hai câu thực nghiệm trên chúng tôi tìm hiểu quan điểm của học sinh về phép chia

hết và phép chia có dư ở học sinh cuối trung học cơ sở. Đặc trưng của số dư đối với phép chia hết

và phép chia có dư trong quan điểm của học sinh.

+ Với câu hỏi 1 chúng tôi nhận thấy ví dụ về phép chia có dư học sinh đưa ra với dạng sơ đồ

và dạng bất đẳng thức là chủ yếu. Hai cách viết này học sinh gặp trong chương trình tiểu học.

Dạng viết sơ đồ chia chiếm ưu thế hơn. Các lời giải thích cho phép chia có dư chủ yếu dựa vào số

dư khác 0 và nhỏ hơn số chia.

+ Khi phép toán chia hết được thực hiện trong vành Dn tức là với số dư bằng 0 thì có bộ phận

học sinh xem đó là phép chia hết. Điều kiện r < b được nhiều học sinh chú ý để thực hiện phép chia

tiếp tuy nhiên còn một số học sinh không quan tâm kiểm tra điều kiện này. Qua câu hỏi này, một số

học sinh không quan tâm đến vành đang thực hiện phép chia là D hay Z mà chỉ quan tâm đến r khác

hay bằng 0.

Chúng tôi đã kiểm nghiệm giả thuyết: Đối với học sinh số dư của một phép chia là một số tự

nhiên. Phép chia hết là phép chia có r = 0 và phép chia có dư là phép chia có r  0. Và học sinh

không quan tâm đến phép chia có dư đang thực hiện trong tập hợp số nào.

Giả thuyết này đúng với một bộ phận học sinh.

Câu 3

192

415

310

2,16

1180

28

Cho phép chia sau đây :

Hãy khoanh tròn những đẳng thức đúng dưới đây (có thể có nhiều đẳng

thức đúng) :

415 = 2,16 192

(b) 415 = 2,16 x192 + 28 (a)

28 100

28 1000

(c) 415 = 2,16 x192 + (d) 415 = 2,16 x192 +

(e) 415 = 2,16 x192 + 0,28

 Phân tích tiên nghiệm

Đứng trước một phép chia có dư trong D2 cho bởi hình thức sơ đồ chia, câu hỏi là chỉ ra các

cách viết tương đương của phép toán chia trên (chuyển sang dạng phân số hay dạng a = bq + r). Học

sinh sẽ chuyển hình thức viết phép chia có dư thành dạng đẳng thức a = bq + r như thế nào? Họ có

cho rằng số dư là số nguyên hay không? Khó khăn khi tính đến phần dư của phép chia trong dạng

viết khai triển thập phân của phân số.

Cho phép chia dạng sơ đồ thể hiện các bước thực hiện phép chia, số dư và thương được nêu

ra rõ ràng, phép chia thực hiện trong tập hợp số thập phân. Đây là phép chia có kết quả là một số

thập phân vô hạn tuần hoàn. Phép chia kết thúc sau 7 lần thực hiện phép chia.

415 192

thành dạng viết thập phân. So với phép chia có dư Phép chia là một khai triển số hữu tỉ

thực hiện trong tập hợp số nguyên thì số dư là r.10-n. Học sinh sẽ có phân biệt được sự sai khác này

hay không?

 Các chiến lược:

1. Chiến lược số dư là số tự nhiên: tôn trọng đặc trưng của phép chia có dư trong tập hợp số tự

nhiên.

2. Chiến lược số dư là số thập phân: hiểu đúng về số dư của phép chia có dư thực hiện trong

vành D

3. Chiến lược về phân số: xem phân số là thương của phép chia (hay phép chia có dư), biểu

diễn phân số bằng thương tìm được ( trong cách ghi này số dư không thể hiện).

4. Chiến lược số chữ ở thương: chữ số thập phân ở số dư dựa vào số chữ số ở thương.

 Các biến dạy học

o V1: Dạng viết phép chia có dư.

Trong câu hỏi này chúng tôi chọn cách đưa phép chia dạng sơ đồ, ưu tiên cho chiến lược số dư là số

tự nhiên xuất hiện.

o V2: Vành thực hiện phép chia

Chúng tôi chọn vành D2 thực hiện phép chia. Tạo điều kiện cho chiến lược số dư là số thập phân.

o V3: Số lần phép chia có dư thực hiện liên tiếp

Ở đây chúng tôi chọn phép chia có dư thực hiện 3 lần.

o V4: Tính chất của cặp số bị chia và số chia

Thuộc tập hợp số tự nhiên có 3 chữ số, độ chênh lệch nhỏ.

o V5: Mệnh đề được nối với nhau bởi dấu đẳng thức hay dấu bất đẳng thức, hay hình thức

học sinh tự điền dấu để có mệnh đề đúng.

 Những cái có thể quan sát được

Câu trả Chiến lược Cái có thể quan sát

lời

a b . Trong

Sai Chiến lược phân a

Thương số a chia cho b còn được viết phân số số

cách ghi này không thể hiện số dư. Vì vậy học sinh cho

rằng phân số bằng thương của phép chia.

b Chiến lược số dư Theo dự đoán của chúng tôi đa số học sinh chọn câu hỏi

là số tự nhiên này. Vì ảnh hưởng của phép chia có dư trong tập hợp

Z+. Số dư luôn là một số tự nhiên với 0
d Chiến lược số Học sinh nhìn vào số chữ số của thương mà có sự lựa

chữ ở thương chọn này.

Đúng c Chiến lược số dư Số dư được viết dưới dạng phân số thập phân.

là số thập phân

e Chiến lược số dư Học sinh hiểu được số dư trong Dn là một số thập phân.

là số thập phân

 Phân tích hậu nghiệm

Các câu trả lời

Số lần xuất hiện

Tỉ lệ

30

22,9%

a

74

56,5%

b

45

34,4%

c

2

2%

d

49

37,4%

e

Bảng 3.4 : Bảng thống kê các câu trả lời câu 3.

Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có nhận xét sau:

1. Câu trả lời a chiếm 22,9%. Nếu bằng phép tính kiểm tra bình thường ta có thể nhận ra dễ

dàng cách viết này không đúng. Tuy nhiên số lượng học sinh chọn câu này không phải là ít. Đây là

dạng câu hỏi không quen thuộc khi học sinh phải sử dụng một hình thức biểu diễn tương đương với

phép tính đã cho. Điều này có thể giải thích ảnh hưởng bởi quan điểm: “Thương của phép chia số tự

nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số: tử số là số bị chia, mẫu số là số chia”

Như vậy chiến lược phân số được học sinh sử dụng trong câu trả lời này.Quan niệm thương của một

phép chia được viết thành phân số vẫn tồn tại trong học sinh. Phạm vi hợp thức của dạng viết này

chỉ đúng phép chia hết trong tập hợp Dn.

2. Câu trả lời b chiếm 56,5% số lượng nhiều nhất. Đây là câu trả lời chúng tôi đang quan

tâm. Điều này thể hiện ảnh hưởng sâu sắc quan điểm số dư trong phép chia là một số tự nhiên. Học

sinh đã sử dụng chiến lược số dư là số tự nhiên để đưa ra lựa chọn của mình. Phạm vi hợp thức của

chiến lược này chỉ đúng đối với tập Z. Qua quan sát bài làm của học sinh rất nhiều câu b được chọn

sau đó được loại bỏ. Có thể đã có những bước kiểm tra biểu thức để có câu trả lời chính xác hơn.

3. Câu trả lời đúng là c và e có mối tương quan với nhau. Theo giải thích của chúng tôi, học

sinh lớp 10 đã có sự trang bị đầy đủ về phân số thập phân và số thập phân hữu hạn. Tuy nhiên câu

trả lời về số thập phân vẫn có ưu thế hơn. Học sinh dùng chiến lược số trong Dn để có câu trả lời.

Các câu trả lời c và e học sinh ý thức được số dư trong phép chia được cho không phải là số tự nhiên mà là số có dạng r.10-n với n tương ứng Dn. Tuy nhiên số lượng học sinh này không nhiều.

4. Câu trả lời d chỉ chiếm 2%, Tức là chiến lược chữ số ở thương số được ít học sinh lựa

chọn. Trong mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân có những trường hợp học sinh không tính

đến số dư trong phép chia hay có tính đến nhưng không chính xác.

Không ít học sinh có lựa chọn a, c và e có thể giải thích như sau học sinh xem phân số là

thương của phép chia a cho b và các em cũng không tính đến số dư trong cách viết này bên cạnh đó

những học sinh này cũng có quan niệm đúng về số dư trong tập hợp số tự nhiên.

415 192

, chúng tôi nhận thấy phần dư của phép chia và Trong khai triển thập phân của số hữu tỉ

việc tính đến vai trò của nó trong đẳng thức a = bq + r là một điều khó khăn đối với học sinh. Đa số

học sinh có quan điểm đặc trưng số dư là một số tự nhiên.

Câu 4 : Dựa vào phép chia ở câu 3 hãy điền vào chỗ trống đẳng thức sau đây :

415 = ..................... 192

 Phân tích tiên nghiệm

Đây là dạng câu hỏi mở, khi điền vào chỗ trống học sinh ưu tiên dạng nào? số thập phân, số

thập vô hạn tuần hoàn, phân số hay số tự nhiên.

Câu hỏi này cho phép kiểm tra câu trả lời trong câu 3 của học sinh. Học sinh có dựa vào đó

điều chỉnh câu trả lời của câu 3.

Mối liên hệ giữa a/b với số thập phân, khai triển thập phân của một phân số.

Học sinh còn xem số dư của phép chia là số nguyên hay không?

Câu 4 cho phép chúng ta nhận xét học sinh ưu tiên sử dụng số thập phân hay phân số hơn. Vì

với biểu thức như vậy học sinh sẽ có cơ hội tính toán kiểm tra lại lựa chọn của mình.

 Các chiến lược:

1. Chiến lược phân số: dựa vào số dư của phép chia mà học sinh chọn phân số thích hợp.

2. Chiến lược số thập phân: biểu diễn bởi một số thập phân để tìm kết quả đúng.

3. Chiến lược hỗn hợp: điền một tổng gồm số thập phân và phân số.

 Các biến dạy học

Câu 4 liên quan với câu 3, các biến dạy học của câu 3 ảnh hưởng lên câu 4, ngoài ra theo chúng tôi

có biến sau:

V:Chọn mệnh đề học sinh cần viết lại dạng tích. Đây là dạng bài tập không quen thuộc làm cho

học sinh gặp khó khăn khi đưa ra câu trả lời.

 Những cái có thể quan sát được

Câu trả lời Chiến lược Cái có thể quan sát

Đúng 0,28 +2,16 Chiến lược số Theo dựa đoán của chúng tôi đây là lựa chọn của

thập phân. nhiều học sinh. Số thập phân thường được sử dụng

trong tính toán. Số thập phân đưa ra cách đánh giá

chính xác hơn vì ước lượng gần với số nguyên.

28 100

Chiến lược hỗn Đây cũng là một lựa chọn đúng, tuy nhiên ít được + 2,16 hợp chọn. Vì phân số thập phân luôn được biến đổi thành

số thập phân.

415 192

Chiến lược phân Khi chọn câu trả lời này ta có ngay kết quả đúng.

số

Chiến lược hỗn Với hình thức của câu hỏi thì câu trả lời này ít gặp. (2,16 +

0, 28 192

hợp. )

Phép chia có dư thực hiện trong bài toán đưa ra thực 2,161458(3) Chiến lược số

hiện liên tiếp 7 lần, phép chia mới dừng lại. Số lần thập phân (Khai

thực hiện phép chia quá nhiều. Điều này cản trở cho triển thập phân).

cách ghi này xuất hiện.

Sai 28 + 2,16 Chiến lược hỗn

hợp.

Sự lựa chọn ảnh hưởng của quan điểm phép chia có dư trong tập Z+. Quan điểm này còn tồn tại trong một bộ phận học sinh. Chúng tôi dự đoán đa số học sinh

chọn cách viết này.

28 1000

Chiến lược hỗn Học sinh dựa vào số chữ số ở thương để tìm số dư. +2,16 hợp.

Chiến lược số Đây là lựa chọn của học sinh khi chọn câu a trong bài 2,16

thập phân. 3.

 Phân tích hậu nghiệm

Bảng 3.5 Bảng thống kê các câu trả lời câu 4

Các câu trả lời Số lần xuất hiện %

2,16 19 14,5%

Sai 28+ 2,16 67 51,1%

28 1000

2 1,5% +2,16

Tổng 67,1%

0,28 + 2,16 36 27,5%

28 100

Đúng 3 2,3% +2,16

2 1,5% ) (2,16 + 28 19200

7 480

hay (2,16 + )

) hay (2,16 + 0, 28 192

415 192

2 1,5%

2,16145(3) 0 0%

32,9% Tổng

Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có nhận xét sau:

1. Các câu trả lời sai chiếm 67,1% với số lượng khá lớn. Gồm những câu trả lời sau:

+ Câu trả lời 28 + 2,16 chiếm ưu thế với 51,1%. Trong phép chia có dư, số dư là một số tự

nhiên tồn tại rất nhiều trong đại bộ phận học sinh. Qua phân tích thể chế có chú ý đến khó khăn của

học sinh đối với số dư của phép chia thực hiện trong trong tập hợp số thập phân thông qua kiểu

nhiệm vụ TTSD.PCSTP, tuy nhiên với số lượng bài tập rất ít đã không khắc phục được khó khăn này.

+ Câu trả lời là 2,16 được 14,5% học sinh lựa chọn, với phép chia đã được cho trước học

sinh lựa chọn câu hỏi này không chú ý tới yêu cầu là đẳng thức xảy ra. Theo chúng tôi đối với học

415 = 2,16 trong câu 3 đưa ra câu trả lời này. 192

sinh có sự lựa chọn theo quan điểm phân số

28 1000

+ 2,16 chỉ có 2 học sinh lựa chọn. + Câu trả lời

2. Các câu trả lời đúng chiếm 32,9% . Gồm những câu trả lời sau:

+ Câu trả lời 0,28 + 2,16 lại chiếm (27,5%) đa số. Những cách viết khác lại chiếm số lượng

28 100

rất ít. Tuy trong câu 3 lựa chọn hai cách viết phân số thập phân và số thập phân và 0,28 là như

nhau. Nhưng với dạng câu hỏi mở này học sinh sử dụng số thập phân chiếm đa số.

+ Kết quả với dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn 2,16145(3) không xuất hiện trong câu trả

lời của học sinh. Mặc dù có bài học sinh thực hiện phép chia tiếp nhưng kết quả sai.

Trong khai triển thập phân một số hữu tỉ khi dùng phép chia có dư, số dư trong khai triển gây

khó khăn cho học sinh. Tính chất của số dư thuộc tập hợp nào? Đa phần học sinh cho rằng số dư là

số tự nhiên. Vì vậy học sinh gặp khó khăn khi sử dụng số dư để thể hiện mối quan hệ giữa số hữu tỉ

và số thập phân khai triển.

Học sinh thường có xu hướng chuyển một phân số về dạng thập phân Dn, với n = 1,2,3. Các

câu trả lời dưới dạng số thập phân được lựa chọn nhiều trong thực nghiệm trên.

Qua phân tích câu 3 và 4 của bài thực nghiệm chúng tôi hợp thức hóa giả thuyết H2.

3.4 Kết luận chung.

Kết quả thực nghiệm đã chứng minh tính thỏa đáng của 2 giả thuyết mà chúng tôi đã nêu ra.

Bên cạnh đó thực nghiệm cũng cho chúng ta ghi nhận định nghĩa phép chia có dư dưới dạng đẳng

thức không sống được trong đa số học sinh. Học sinh xem dạng viết này như là một biểu thức kiểm

tra kết quả phép chia có dư như đã học ở tiểu học.

Qua thực nghiệm chúng tôi nhận thấy một bộ phận học không quan tâm đến tập hợp phép

chia đang thực hiện trên tập hợp số nào, điều này dẫn đến học sinh không phân biệt sự khác nhau

khi biểu diễn số dư của phép chia có dư thực hiện trên Z và trên D.

KẾT LUẬN

Đề tài của nghiên cứu của chúng tôi đã khép lại với nội dung chính như sau:

 Trong chương I chúng tôi phân tích giáo trình đại học về cách trình bày của phép chia có dư

với hai phương diện và đối tượng và công cụ.

 Pccd với vai trò là một đối tượng:

Pccd ở [a], [b] được định nghĩa trong tập hợp số nguyên, trước khi định nghĩa về pccd thì cả hai

giáo trình đều nêu định lý về pccd. Trong giáo trình [c], cấu trúc đại số có phép chia có dư được đưa

vào là vành Euclide. Vành số nguyên Z và vành Dn là vành Euclide. Vành Z là trường hợp đặc biệt

trên vành Dn.

Cả [a], [b] đều không nêu tường minh ý nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp. Nhưng điều này

ngầm ẩn trong cách trình bày chứng minh định lý trong [a] và ví dụ trong [b]. Pccd trong vai trò là

đối tượng thì yếu tố đặc trưng của pccd là số dư không được nhấn mạnh. Phép chia hết có hạn chế

không thực hiện được với mọi cặp số trên tập hợp số nguyên. Phép chia có dư đã giải quyết được

vấn đề này phép chia thực hiện với mọi số trong tập hợp số nguyên.

 Pccd với vai trò công cụ:

Pccd xuất hiện trong vai trò công cụ liên quan đến những khái niệm sau đây.

Ước chung lớn nhất

Quan hệ đồng dư.

 Trong chương II phân tích thể chế và chương trình và SGK về khái niệm phép chia có dư.

Phép chia có dư được giới thiệu ở lớp 3 và lớp 4 bằng cách mô tả, định nghĩa chính thức

trong tập hợp số tự nhiên ở lớp 6. Và phép chia có dư có 4 thức biểu diễn ở tiểu học. Có hình thức

được ưu tiên trong chương trình tiểu học và sau đó lại biến mất trong chương trình phổ thông cơ sở.

Cùng với thay đổi hình thức biểu diễn của phép chia có dư mà xuất hiện những kiểu nhiệm vụ mới.

Phép chia có dư chỉ được định nghĩa trên tập hợp số tự nhiên. Kỹ thuật thực hiện phép chia có dư đã

đưa vào nghiên cứu các số thập phân Dn và khai triển thập phân của một số hữu tỉ. Lúc này phép

chia có dư đã thực hiện trên tập Dn, thương và số dư là thường là những số thập phân. Tuy nhiên thể

chế đã không làm rõ điều này thông qua phân tích thể chế trên.

Từ đó chúng tôi rút ra qui tắc hợp đồng R1, R2 và giả thuyết H1, H2

 Nghiên cứu trong chương 3 đã làm sáng tỏ mối quan hệ giữa học sinh với khái niệm phép

chia có dư cũng như đặc trưng về số dư và ảnh hưởng thể chế đối với quan hệ cá nhân. Điều

này thể hiện rõ ràng qua sự tồn tại của giả thuyết H1 và H2.

Hướng nghiên cứu của luận văn:

Luận văn của chúng tôi chưa đi sâu vào việc nghiên cứu phép chia có dư có vai trò mờ nhạt đối với

khai triển thập phân của một số hữu tỉ, phải chăng sự xuất hiện của MTBT góp phần vào nguyên

nhân này? Vậy với sự xuât hiện của MTBT có ảnh hưởng gì đến việc giảng dạy khái niệm phép chia

có dư cũng như những ứng dụng của phép chia có dư hay không?

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Annie Bessot- Claude Comiti - Lê Thị Hoài Châu – Lê Văn Tiến (2009) “Những yếu tố cơ

bản của Didactic Toán” NXB Đại học quốc gia TP HCM

2. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 2 – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục

3. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 2 – Sách giáo viên”, NXB giáo dục

4. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 3 – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục

5. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 3 – Sách giáo viên”, NXB giáo dục

6. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán4 – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục

7. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 4 – Sách giáo viên”, NXB giáo dục

8. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán5 – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục

9. Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán 5 – Sách giáo viên”, NXB giáo dục

10. Lê Văn Tiến (2005) “Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông (Các tình huống dạy

học điển hình)” NXB Đại học quốc gia TP HCM

11. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007), “Một nghiên cứu didactic giữa khái niệm giới hạn liên hệ

với sự thập phân hóa số thực trong môi trường “máy tính bỏ túi”” Tóm tắt luận án Tiến sĩ

12. Hoàng Chúng (1997), “ Số học bà chúa của toán học” NXB giáo dục

13. Nguyễn Tiến Tài (1998), “Số học”, NXB giáo dục

14. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục

15. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục

16. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – tập 1”, NXB giáo dục

17. Phan Đức Chính (2008), “Toán 6 – tập 2”, NXB giáo dục

18. Phan Đức Chính (2008), “Toán 7 – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục

19. Phan Đức Chính (2008), “Toán 7 – tập 1”, NXB giáo dục

20. Phạm Ngọc Bảo (2002) “Nghiên cứu Didactic về bước chuyển từ phân số như là “những

phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là “ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào

tạo giáo viên tiểu học về phân số” Luận văn thạc sĩ.

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Phép chia có dư trong dạy học Toán ở trường phổ thông

Hoàng Thị Oanh

PHÉP CHIA CÓ DƯ TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

MỞ ĐẦU

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Phép chia có dư trong dạy học Toán ở trường phổ thông

Hoàng Thị Oanh

PHÉP CHIA CÓ DƯ TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

MỞ ĐẦU

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok