ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------
NGUYỄN THỊ HƯỜNG
SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI
ĐỂ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAI ẨN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – năm 2016.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------
NGUYỄN THỊ HƯỜNG
SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI
ĐỂ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAI ẨN
Chuyên ngành : Phƣơng pháp toán sơ cấp
Mã số :60460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - năm 201
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................ 3
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 5
1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN ................................ 5
i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I ....................................................................... 5
i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II ..................................................................... 5
i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát .................................................................. 5
1.2 GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT ........................................... 6
1.3 GIẢI MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN ................................................ 7
i.1 Giải phương trình trùng phương . .......................................... 7
i.2 Giải phương trình có dạng ........................... 7
i.3 Giải phương trình có dạng ............................. 7
i.4 Giải phương trình dạng .................................................. 7
1.4 CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP ......................................................................... 8
1.5 HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN ........................................................ 8
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH ........................................................................................................ 10
2. 1 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC ........................................................................................................... 10
Bài tập tự luyện ..................................................................................................... 18
2. 2 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH CỘNG ĐẠI SỐ ......................... 19
Bài tập tự luyện. .................................................................................................... 30
2. 3 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ DENTA LÀ BÌNH PHƢƠNG CỦA MỘT BIỂU THỨC .. 30
Bài tập tự luyện ..................................................................................................... 40
2. 4 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI TẠO NHÂN TỬ CHUNG ........................................................................................................................ 40
Bài tập tự luyện ..................................................................................................... 52
2.5 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG LIÊN HỢP ............... 53
Bài tập tự luyện. .................................................................................................... 63
CHƢƠNG III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ....... 65
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 79
LỜI NÓI ĐẦU
Hệ phƣơng trình là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học. Ngay từ
đầu, sự ra đời và phát triển của hệ phƣơng trình đã có sức hút mạnh mẽ đối với những
ngƣời yêu toán, không chỉ ở vẻ đẹp hình thức mà cả những bí ẩn nó mang đến luôn
thôi thúc ngƣời làm toán phải tìm tòi, sáng tạo. Ngày nay, hệ phƣơng trình vẫn luôn
chiếm một vai trò quan trọng và vẫn thƣờng xuất hiện dày đặc trong các kì thi quốc
gia, quốc tế. Giải quyết hệ phƣơng trình hầu hết các học sinh thƣờng chỉ biết sử dụng
kinh nghiệm giả toán nhờ vào việc đã gặp hƣớng giải quyết trƣớc đó mà quên mất
rằng mọi thứ đều có nguyên do của nó. Chúng ta có thể bắt gặp rất nhiều tài liệu nói
về phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình nhƣng có rất ít tài liệu chỉ ra nguồn gốc vào bài
hệ phƣơng trình đó ? Ai là ngƣời nghĩ ra và nghĩ nhƣ thế nào để có một bài giải hệ
phƣơng trình. Chính vì lí do đó tác giả đã lựa chọn đề tài“Sử dụng phƣơng pháp biến
đổi để giải hệ phƣơng trình hai ẩn”. Trong luận văn này tác giả sẽ trình bày chi tiết
cách biến đổi để sáng tạo và giải một hệ phƣơng trình với từng loại phƣơng pháp giải.
Từ đó, ta sẽ xây dựng đƣợc rất nhiều các bài toán giải hệ phƣơng trình với các mục
đích khác nhau.
Luận văn gồm 3 chƣơng
Chương 1. Các kiến thức cơ bản. Trong chƣơng này, tác giả sẽ nhắc lại cách giải một
số hệ phƣơng trình cơ bản nhƣ hệ phƣơng trình đối xứng loại I. loại II,.... và cách giải
phƣơng trình bậc ba, bậc bốn mà ngƣời đọc cần nắm vững.
Chương 2. Một số phương pháp biến đổi để sáng tác và giải hệ phương trình. Nội
dung chƣơng này gồm hai phần là sáng tác và giải hệ phƣơng trình bằng cách biến đổi
Với mỗi phần tác giả đều lấy các bài toán minh họa phƣơng pháp sau đó ta sẽ vận
dụng để sáng tác các bài toán theo mong muốn. Sau khi hiểu ý tƣởng sáng tác các bài
toán ta sẽ đứng trên góc nhìn của một ngƣời đã từng ra đề để dự đoán ý tƣởng ra đề
của tác tác giả khác để có lời giải các bài toán một cách tự nhiên nhất.
Chương 3. Một số bài toán trong các đề thi học sinh giỏi. Trong chƣơng này tác giả sẽ
3
hệ thống lại một số bài toán xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh và đề
thi học sinh giỏi quốc gia. Cuối chƣơng còn có một số bài tập để bạn đọc tự luyện.
Để hoàn thành đƣợc luận văn này, đầu tiên tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn sâu
sắc tới T.S Phạm Văn Quốc , thầy đã dành thời gian hƣớng dẫn, chỉ bảo, tận tình giúp
đỡ trong quá trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải quyết các vấn đề nảy sinh trong
quá trình làm luận văn và hoàn thành luận văn đúng định hƣớng ban đầu.
Qua đây tác giả cũng xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô đã đọc, kiểm
tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn đƣợc hoàn thiện và phong phú
hơn.
Tác giả cũng xin đƣợc gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa
Toán – Cơ – Tin trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi trong
suốt quá trình học tập tại trƣờng.
Cuối cùng là sự biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè đã thông cảm, động
viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực để hoàn thành luận văn.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhƣng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đề
trong luận văn vẫn chƣa đƣợc trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu sót, kính
mong nhận đƣợc sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, năm 2016
Nguyễn Thị Hƣờng
4
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I
Hệ phƣơng trình đối xứng hai ẩn loại I là hệ phƣơng trình chứa hai ẩn mà khi ta
thay đổi vai trò cho nhau thì hệ phƣơng trình không thay đổi.
Tức là , trong đó Ta có phƣơng pháp giải tổng quát
nhƣ sau.
Bƣớc 1: Đặt điều kiện các biến ( nếu có).
Bƣớc 2: Đặt ; ( với ).
Khi đó , ta đƣa hệ phƣơng trình về hệ mới chứa .
Bƣớc 3 : Giải hệmới tìm . Chọn thỏa mãn điều kiện .
Bƣớc 4 : Với tìm đƣợc thì là nghiệm của phƣơng trình .
i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II
Hệ phƣơng trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn mà khi đổi vị trí của
chonhau thì phƣơng trình này trở thành phƣơng trình kia. Tức là hệ có dạng
Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phƣơng trình và biến đổi về dạng phƣơng trình
tích số.
i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát
Xét hệ phƣơng trình đối xứng bậc hai dạng Một
phƣơng trình muốn có phân tích đƣợc nhân tử hay không phải xem biệt thức denta
theo biến hoặc có phải là số chính phƣơng hay không. Nếu một trong hai biệt
thức denta của một trong hai phƣơng trình là số chính phƣơng trình cách giải khá đơn
giản, khi đó ta chỉ cần tìm nghiệm rồi phân tích nhân tử ra là đƣợc mối liên hệ giữa
5
hai biến và thế vào phƣơng trình còn lại. Thế nhƣng nếu cả hai phƣơng trình đều cho
denta không chính phƣơng ta cần phải sử dụng tới phƣơng pháp tìm hệ số bất định –
UCT. Ta sẽ lựa chọn hằng số thích hợp nhân vào một phƣơng trình rồi cộng đại số với
phƣơng trình còn lại thì sẽ ép đƣợc cho biệt thức denta chính phƣơng. Tức là tìm một
số sao cho .
Ta sẽ làm theo các bƣớc sau
Đặt .
Khi đó là nghiệm của phƣơng trình sau với .
1.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT
Xét phƣơng trình bậc ba có dạng tổng quát . Tác giả xin trình
bày vắn tắt cách tìm nghiệm của phƣơng trình này bằng phƣơng pháp Cardano.
Đặt . Khi đó phƣơng trình đƣợc biến đổi thành ,
trong đó và .
Ta sẽ tìm các số sao cho qua hệ và .
Một nghiệm của nó đƣợc tìm từ việc đặt , có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá
trị vào nhờ hằng đẳng thức .
Hệ có thể giải từ phƣơng trình thứ hai bằng cách rút . Thay vào
phƣơng trình thứ nhất trong ta có . Phƣơng trình này tƣơng đƣơng
với phƣơng trình bậc hai với . Khi đó ta .
Vì và ta tìm đƣợc .
Chú ý rằng có sau giá trị tìm đƣợc từ , vì có hai căn bậc ba ứng với và mỗi
căn bậc ba có ba giá trị. Tuy nhiên dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính ,
6
không gặp trƣờng hợp chia cho không. Nếu , thì chọn dấu của căn bậc hai sao
cho khác . Nếu thì .
1.3 GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
i.1 Giải phương trình trùng phương .
Giải. Đặt . Khi đó phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với .
Đây là một phƣơng trình bậc hai với biến , ta dễ dàng tìm ra và suy ra đƣợc .
i.2 Giải phương trình có dạng có .
Giải. Trƣờng hợp 1. có phải là nghiệm không ?
Trƣờng hợp 2. Với , đặt Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với
.
Đặt . Phƣơng trình trở thành .
Đây là một phƣơng trình bậc hai với biến , ta dễ dàng tìm ra và suy ra .
i.3 Giải phương trình có dạng có .
Giải. Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với .
Đặt . Phƣơng trình trở thành .
Đây là một phƣơng trình bậc hai với biến , ta dễ dàng tìm ra và suy ra .
i.4 Giải phương trình dạng với .
Giải. Đặt . Phƣơng trình đã cho trở thành
7
.
Giải phƣơng trình trùng phƣơng này ta sẽ tìm đƣợc biến và suy ra biến .
i.5 Giải phương trình .
Giải. Ta sẽ đƣa phƣơng trình trên về dạng để giải.
Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình .
Ta sẽ đi tìm để vế phải của phƣơng trình là bình phƣơng của một biểu thức. Khi đó
biệt thức denta của vế phải bằng không, tức là
. Đây là phƣơng trình bậc ba với biến , ta đã có cách giải.
1.4 CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP
Trong luận văn này tác giả chủ yếu sẽ đề cập tới các biểu thức liên hợp sau
. . + +
. + +
Ngoài ra còn một số biểu thức liên hợp khác nữa nhƣng trong luận văn này mà tác giả
không đề cập tới là
+
. +
. +
1.5 HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
Giả sử là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và là hàm số xác định
trên . Giả sử hàm số có đạo hàm trên .
8
Định lí 1:
a, Nếu đạo hàm với mọi và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn
điểm thì hàm số đồng biến trên .
b, Nếu đạo hàm với mọi và dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn
điểm thì thì hàm số nghịch biến trên .
Định lí 2. Nếu hàm số xác định trên một tập và hàm số luôn đồng biến
(hoặc nghịch biến) thì phƣơng trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy
nhất trên tập .
Định lí 3.Nếu hàm số xác định trên một tập và hàm số luôn đồng biến
(hoặc nghịch biến). Khi đó với mọi thuộc tập thỏa mãn khi và chỉ
khi .
9
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Biến đổi phƣơng trình là một phƣơng pháp rất quan trọng trong các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình. Ta có thể sử dụng biến đổi này giúp ta đơn giản các hệ phƣơng trình phức tạp qua đó lời giải bài toán trở nên dễ dàng hơn. Trong các cách biến đổi đó, tác giả sẽ trình bày về phép biến đổi tạo thành hằng đẳng thức. Qua đó ta dễ dàng sử dụng đƣợc tính chất các hằng đẳng thức để tháo nút thắt của các bài toán.
2. 1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC Trong phần này tác giả sẽ trình bày cách sử dụng một số tính chất của các hằng đẳng
thức, từ đó ta sẽ sáng tác và giải các hệ phƣơng trình, tìm ra mối liên hệ của các
nghiệm để giải hệ.
Tính chất 1. Nếu ta có .
Từ ý tƣởng này ta muốn đi xây dựng một phƣơng trình khi giải ra sẽ đƣợc mối liên hệ
giữa các biến, giả sử nhƣ . Suy ra . Biến đổi
tƣơng đƣơng ta thu đƣợc phƣơng trình thứ nhất là . Giờ
ta đi sáng tác phƣơng trình thứ hai, giả sử chọn nghiệm trƣớc của hệ phƣơng trình là
, ta có thể lấy phƣơng trình chứa căn nhƣ sau . Vì khi giải
đƣợc phƣơng trình thứ nhất ta sẽ thế nên thay ngƣợc lại ta có phƣơng trình
. Vậy ta có bài toán sau.
Bài toán 1. Giải hệ phƣơng trình .
10
Giải. Điều kiện: .
Phƣơng trình thứ hai của hệ tƣơng đƣơng .
Thay vào phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
( điều kiện )
.
Với . Đối chiếu lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét: Thực sự bài toán này không khó, nhƣng đây chính là ý tƣởng tự nhiên của
các tác giả sáng tác cho các bài dạng này, nếu muốn bài toán khó hơn ta chỉ việc đi
chọn mối liên hệ của biến phức tạp rồi sau đó biến đổi tƣơng đƣơng các phƣơng trình
chứa hằng đẳng thức này là xong. Ta sẽ thử đi làm một bài toán khác khi đã biết đƣợc
ý tƣởng sáng tác của bài dạng này nhƣ nào.
Bài toán 2. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích: Với hệ này ta thấy phƣơng trình thứ hai có vế trái là căn thức, vế phải là đa
thức bậc hai nếu muốn bỏ căn thì phải bình phƣơng hai vế sẽ rất phức tạp. Xét phƣơng
trình thứ nhất là một phƣơng trình đa thức bậc ba với cả hai biến hơn nữa khi cô lập
hai biến lại có khả năng xuất hiện hằng đẳng thức là rất cao với bộ số tỉ lệ nên
ta sẽ dồn suy nghĩ vào giải phƣơng trình thứ nhất của hệ. Ta có lời giải cho bài toán
trên nhƣ sau
Giải. Điều kiện .
Phƣơng trình thứ nhất của hệ tƣơng đƣơng với .
Thế vào phƣơng trình thứ hai ta đƣợc
11
Xét hàm số trên .
mà có nên là nghiệm duy nhất của phƣơng trình . Do
Với .
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình đã cho có nghiệm .
Tính chất 2.Nếu ta có .
Với ý tƣởng này ta sẽ đi xây dựng một hệ gồm hai phƣơng trình trong đó phƣơng trình
đầu sẽ mang mối liên hệ giữa các biến và phƣơng trình thứ hai sẽ cho nghiệm chính
xác. Giả sử ta chọn hai nghiệm trƣớc là và khi đó giá trị biểu thức
. Nên ta sẽ ép phƣơng trình thứ nhất khi biến đổi đƣa về đƣợc phƣơng
trình . Biến đổi tƣơng đƣơng để che giấu hằng đẳng thức này ta có
phƣơng trình . Giờ phƣơng trình thứ hai ta cho một
phƣơng trình nhƣ . Bây giờ ta đã có một hệ phƣơng trình nhƣ
sau
Bài toán 3. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Điều kiện Phƣơng trình thứ nhất của hệ tƣơng đƣơng
Phƣơng trình thứ hai của hệ tƣơng đƣơng .
12
Hệ này vô nghiệm. Với
Với
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Muốn nâng dần độ khó của bài toán dạng này, ta sẽ đi chọn một biểu thức
sao cho mối liên hệ giữa các biến phức tạp sau đó rồi biến đổi tƣơng đƣơng để làm
loạn lên là đƣợc.
Ví dụ ta thử sáng tác khó hơn nhƣ sau, trƣớc tiên chọn nghiệm của hệ là và
, khi đó ta có mối liên hệ giữa các nghiệm là
Vậyta đã có một phƣơng trình là
Khi phân tích biểu thức này ta sẽ có hoặc , một điểm cần lƣu ý là
khi sáng tác phƣơng trình thứ hai, ta cần lƣu ý tới mối quan hệ ban đầu để tránh
trƣờng hợp phƣơng trình giải nghiệm quá phức tạp nên các biểu thức trong phƣơng
trình sẽ chỉ nên xuất hiện các nhân tử . Ví dụ ta chọn phƣơng trình
. Giờ biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình ta có đƣợc
phƣơng trình thứ hai là . Vậy ta có bài toán sau
Bài toán 4. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Điều kiện .
Bình phƣơng hai vế phƣơng trình thứ hai ta đƣợc
13
.
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ hai và kết hợp điều kiện ta đƣợc
.
Với . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trinh có nghiệm .
Trên đây là cách tự nhiên mà chúng ta đã cùng nhau sáng tác một bài toán giải hệ
phƣơng trình, với ý tƣởng mà đã sử dụng ở trên ta sẽ đi dự đoán ý tƣởng của tác giả để
đi tìm lời giải trong bài toán sau
Bài toán 5. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Xét trong hai phƣơng trình thì phƣơng trình thứ hai khá phức tạp và cồng
kềnh, phƣơng trình thứ nhất lại có xuất hiện các bộ số tỉ lệ và mang dáng dấp của một
hằng đẳng thức bậc hai khi khai triển vế phải. Sau khi thấy đƣợc mối quan hệ giữa hai
biến thì công việc còn lại chỉ là thế vào phƣơng trình thứ hai và tìm ra nghiệm của bài
toán là xong. .
Giải.
Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
14
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
.
Đặt . Phƣơng trình trở thành
(vì ( với )
. Với
. Thử lại thấy cả hai cặp nghiệm đều thỏa mãn. Với
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Một bài toán dạng này muốn tăng dần độ khó ta sẽ cho mối liên hệ của bài
toán trong một biểu thức phức tạp hoặc sau khi tìm đƣợc mối liên hệ đó yêu cầu ngƣời
15
giải phải biến đổi để có thể sử dụng vào phƣơng trình còn lại của hệ. Tuy nhiên trong
dạng này tác giả không chú tâm vào việc này lắm mà chỉ muốn gửi tới ngƣời đọc cách
để bất cứ ai cũng có thể sáng tác đƣợc một bài hệ phƣơng trình theo cách này mà thôi.
Tính chất 3. Nếu ta có
Ta sẽ thử đi sáng tác bài toán để hƣớng lời giải theo cách sử dụng tính chất trên nhƣ
sau. Trƣớc tiên ta sẽ đi chọn biểu thức thể hiện mối liên hệ của hai nghiệm, ví dụ là
. Vì lí do khi ta giải phƣơng trình sẽ thu đƣợc hai biểu thức nên khi chọn hai
biểu thức và không đƣợc mâu thuẫn với nhau và cùng thể hiện mối liên hệ là
, ví dụ ta chọn biểu thức và . Vậy ta đã có
đƣợc phƣơng trình sau khi biến đổi là .
Biến đổi tƣơng đƣơng ta sẽ có phƣơng trình thứ nhất của hệ là
.
Lƣu ý trong quá trình chọn biều thức cần phải tìm điều kiện của các biến nếu có, đặc
biệt trong trƣờng hợp ta chọn biểu thức có chứa căn thức. Giờ ta sẽ đi sáng tác phƣơng
trình thứ hai của hệ, ta cũng muốn xuất hiện một biểu thức liên hệ giữa hai biến nữa ví
dụ nhƣ . Do đó ta cần ép để xuất hiện phƣơng trình .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình này ta đƣợc .
Vậy ta có bài toán sau
Bài toán 6. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhấtta đƣợc
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
16
.
Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với hệ sau
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm là .
Tính chất 4. Nếu ta có hoặc .
Để sáng tác bài tập để giải theo cách này ta chỉ cần chọn hai biểu thức và ép cho
chúng bằng nhau là đƣợc. Độ khó của bài toán dạng này phụ thuộc vào hai biểu thức
ta chọn có phức tạp hay không. Thêm một điểm đặc biệt là khi ta chọn một biểu thức
là căn thức thì biểu thức đó luôn không âm, nếu ta giới hạn ẩn để chứng minh biểu
thức còn lại luôn âm hoặc luôn dƣơng thì ta chỉ cần xét một trƣờng hợp chứ không
phải là hai trƣờng hợp nhƣ lí thuyết bên trên.
Thí dụ ta chọn và khi ta giải ra thì ta sẽ có hai trƣờng hợp
là và . Giờ ta cho thêm điều kiện của chẳng hạn nhƣ
bằng cách cho xuất hiện trong phƣơng trình thứ hai thì ta sẽ loại đi
đƣợc trƣờng hợp .
Giờ ta lập phƣơng trình thứ hai, để bài toán đơn giản thì dữ kiện ở phƣơng trình thứ
nhất cần xuất hiện thuận lợi ở phƣơng trình thứ hai, phƣơng trình thứ nhất có chứa
nên ta có thể cho đại lƣợng . Giờ ta chỉ cần chọn nghiệm thích
hợp để các căn thức đó là số đẹp và cân bằng là đƣợc, ở đây tác giả chọn nghiệm là
và phƣơng trình là Vậy ta có bài
toán sau
17
Bài toán 7. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Điều kiện Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất ta có
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai ta đƣợc
.
Với . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Bài tập tự luyện
Giải các bài toán hệ phƣơng trình sau
Bài tập 1.
Đáp án :
18
Bài tập 2.
Đáp án :
Bài tập 3. Hệ này vô nghiệm.
Bài tập 4.
2. 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH CỘNG ĐẠI SỐ Khi nghe tới tên phƣơng pháp này chắc chúng ta đã hiểu ý tƣởng của phƣơng pháp
này là sẽ kết hợp hai phƣơng trình lại chứ không phải là đi giải riêng lẻ từng phƣơng
trình một. Nhƣng khi nào thì chúng ta áp dụng phƣơng pháp này để giải bài toán ? Ở
phần này tác giả không nhắc tới những bài giải hệ phƣơng trình đối xứng loại hai vì ta
dễ dàng nhận ra đƣợc là phải trừ vế với vế của hai phƣơng trình cho nhau , nên ta sẽ
bỏ qua dạng đối xứng này và xét những bài toán dạng khác. Trƣớc tiên để hiểu về
cách sử dụng phƣơng pháp này nhƣ thế nào ta sẽ thử đi giải một số bài toán để phát
hiện ra điều này. Trƣớc tiên là một bài toán đƣợc trích ra từ đề tuyển sinh của trƣờng
ĐH An ninh năm 1999.
Bài toán 1. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Khi nhìn cấu trúc của hệ này ta có một số nhận xét sau
Đầu tiên ta thấy là hệ mà đều có chứa hai đại lƣợng chứa căn thức khá phức tạp là
và nên ta sẽ nghĩ ngay tới việc trừ hai vế để giản ƣớc hai
đại lƣợng này.
Tiếp theo lại thấy hai đại lƣơng có dấu trái nhau, khi đó ta cộng hai phƣơng trình
này lại thì sẽ chỉ còn hai đại lƣợng và .
19
Vậy nếu ta cộng và trừ hai vế của hai phƣơng trình thì sẽ có một hệ đơn giản hơn rất
nhiều. Với ý tƣởng này ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau
Giải. Điều kiện .
Cộng và trừ hai vế của hai phƣơng trình cho nhau ta đƣợc một hệ phƣơng trình
Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét. Đây là bài toán tuy không khó nhƣng nó đã khơi gợi sự ra đời của rất nhiều
bài toán giải bằng cách cộng trừ hai phƣơng trình để tạo thành một hệ đơn giản hơn.
Mục đích của dạng này là làm biến mất đi các biểu thức phức tạp hoặc không cùng
dạng với nhau, đó có thể là cùng mất đi căn thức, mất đi một biểu thức cùng xuất hiện
trong hệ hoặc đơn giản là mất đi các số hạng tự do (thƣờng xuất hiện trong giải hệ
phƣơng trình đối xứng loại hai). Khi biết đƣợc bản chất của việc cộng đại số ta sẽ đi
sáng tác một bài toán thử xem sao.
Giờ ta muốn loại bỏ một biểu thức cồng kềnh xuất hiện trong hệ là bằng cách
cộng hai vế, khi đó dấu của biểu thức này trong hai phƣơng trình phải trái dấu. Tiếp
theo, muốn biểu thức có dạng một phƣơng trình bậc ba với biến là , ta sẽ làm xuất
hiện các biểu thức , , . Để cân bằng các đại lƣợng này ta chọn nghiệm
trƣớc, ví dụ nhƣ . Khi đã chọn đƣợc nghiệm rồi, ta cân bằng giá trị các đại lƣợng
20
để tạo thành phƣơng trình, ví dụ muốn có hệ phƣơng trình biểu thị hệ giá trị
ta có thể lập một bài toán có các phƣơng trình và phƣơng
trình Vậy ta có bài toán sau
Bài toán 2. Giải hệ phƣơng trình
Giải.
Cộng hai vế của hai phƣơng trình của hệ ta đƣợc phƣơng trình
.
Thay vào phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc phƣơng trình
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Phân tích : Bài toán trên là một bài toán rất cơ bản, hƣớng giải quyết bài toán xuất
phát từ việc muốn triệt tiêu đại lƣợng lạc lõng. Nếu dạng của hệ phƣơng trình này
giữ nguyên và thay đổi toàn bộ hệ số thì việc giải bài toán cũng không khó khăn, vì
lúc đó ta chỉ cần triệt tiêu đại lƣợng lạc lõng đó và đƣa về phƣơng trình bậc ba với
biến . Với phƣơng trình này ta hoàn toàn giải quyết đƣợc.
Xét với hệ phƣơng trình dạng đã có phƣơng pháp
giải từ trƣớc nhƣng trong phần này tác giả sẽ đi theo một hƣớng khác để giải quyết
khác là đƣa bài toán về hệ đẳng cấp bằng cách đặt thích hợp. Vì hệ trên đƣợc cấu tạo
bởi hai phƣơng trình bậc hai tổng quát nên mỗi phƣơng trình sẽ có các cặp để
thực hiện phép tịnh tiến riêng lẻ, thực tình ta không mong muốn điều này xảy ra. Và
nếu điều đó không xảy ra thật thì ta sẽ có một lời giải vô cùng ƣng ý. Ta sẽ thử đi xét
một ví dụ cụ thể nhƣ sau.
21
Bài toán 3.Giải hệ phƣơng trình
Giải. Ta đặt Thế vào phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
Để hệ đẳng cấp ta cần có
Vậy khi đó ta sẽ có phép đặt Thay vào hệ đã cho ta có hệ phƣơng trình
đẳng cấp sau Đối với hệ đẳng cấp bậc hai này ta đã có cách giải.
Với một chút may mắn, bài toán đã đƣợc giải quyết hoàn toàn. Tuy nhiên đôi khi ta
không may mắn đƣợc nhƣ vậy, giờ tác giả sẽ trình bày lời giải theo cách sử dụng hệ số
bất định mà phƣơng pháp đã đƣợc đƣa ra ở chƣơng 1. Giờ đứng dƣới góc nhìn của
một ngƣời giải bài toán, ta sẽ suy nghĩ nhƣ nào để có lời giải. Trƣớc tiên ta thấy cả hai
phƣơng trình của hệ này đều là phƣơng trình bậc hai đối với biến, ta suy nghĩ ngay tới
việc phân tích nhân tử ở mỗi phƣơng trình. Nhƣng điều này không thực hiện đƣợc vì
denta của các phƣơng trình đối với ẩn hay không phải là số chính phƣơng. Tới đây
ta sẽ nghĩ ra các khử các đại lƣợng bình phƣơng nhằm mục đích thế ẩn vào phƣơng
trình còn lại.
Trong bài này ta có thể đặt ẩn phụ nhằm đƣa phƣơng trình này về một hệ phƣơng trình
đẳng cấp, nhƣng để tổng quát hóa bài này ta bằng phƣơng pháp hệ số bất định để ghép
hai phƣơng trình tạo thành một phƣơng trình bậc hai có đenta chính phƣơng.Nhân cả
hai vế của phƣơng trình thứ hai với rồi cộng vế với vế phƣơng trình thứ nhất ta
đƣợc
.
Ta có
22
là một số chính phƣơng.
Nhƣ vậy ta cần có
. Ta có thể chọn bất cứ một giá trị này nhƣng để đƣợc đơn giản nhất ta chọn
Nhƣ vậy việc cộng đại số hai phƣơng trình của hệ phƣơng trình này sẽ tự nhiên hơn là
việc lấy vế trừ vế của hai phƣơng trình cho nhau dù các bƣớc làm giống hệ nhau. Nhƣ
vậy việc tìm mối liên hệ giữa hai biến đã xong. Ta có lời giải nhƣ sau
Giải. Lấy phƣơng trình thứ hai nhân với và cộng với phƣơng trình thứ hai ta
đƣợc
Thay vào phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc phƣơng trình
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm .
Trong chƣơng thứ nhất của luận văn này có trình bày phƣơng pháp để tìm ra hằng số
trong hệ dạng , và ở phần trên tác giả đã sử
23
dụng phƣơng pháp này để giải quyết hoàn toàn bài toán. Tới đây lại nảy sinh vấn đề
nếu có đƣợc hệ dạng này ta sẽgiải ra đƣợc, vậy nếu muốn có hệ này tác giả sẽ phải xây
dựng từ đâu. Tới đây tác giả sẽ trình bày một cách để tạo ra hệ kiểu này. Ở đây tác giả
sử dụng ý tƣởng xuất phát từ tính chất . Muốn có biểu thức liên hệ
giữa các biến là hay bằng cách ép xuất hiện phƣơng trình cuối
là
.
Suy ra nếu tìm đƣợc cặp thỏa mãn phƣơng trình thì cũng
là nghiệm của phƣơng trình . Từ đó ta có hệ phƣơng trình sau
Bài toán 4. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Trong khi lập phƣơng trình ta đã biết phải nhân cả hai vế của phƣơng trình
thứ hai với nhƣng dƣới góc nhìn của một ngƣời phải giải bài toán thì làm thế nào ?
Ta có những phân tích trƣớc bài toán nhƣ sau, đây là một hệ ngắn gọn nhƣng qua cấu
trúc này thì không thể sử dụng đƣợc phép thế và phƣơng trình thứ hai của hệ không
phải là một phƣơng trình có đenta chính phƣơng. Do đó ta phải đi tới ý tƣởng kết hợp
cả hai phƣơng trình lại để nhóm đƣợc nhân tử. Tức là ta sẽ nhân một phƣơng trình với
một số và cộng đại số với phƣơng trình còn lại.
Vì phƣơng trình thứ nhất có bậc cao hơn nên ta ƣu tiên giữ phƣơng trình này lại và
nhân vào phƣơng trình thứ hai. Ta có . Vì
các biến phân li với nhau nên ta có thể hi vọng biến đổi về phƣơng trình có tính đối
xứng có dạng . Khi đó ta chọn sao cho
Đồng nhất hệ số hai vế của phƣơng trình trên ta đƣợc
Vậy ta đã có đƣợc ý tƣởng để giải cho bài toán trên.
24
Giải. Hệ phƣơng trình đã cho đƣợc viết lại thành
Lấy vế trừ vế hai phƣơng trình của hệ trên ta đƣợc
.
Thay vào phƣơng trình thứ nhất của hệ ban đầu ta đƣợc
Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Tiếp theo ta sẽ tìm hiểu thêm một ví dụ nữa bằng cách cộng đại số để giải, với ý tƣởng
đƣợc sử dụng trong bài toán này, tác giả hi vọng sẽ cho ngƣời đọc một cách nhìn mới
để sáng tác một bài toán với dạng này. Ta đi giải bài toán sau.
Bài toán 5. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích. Nhìn hệ này có vẻ rất đơn giản, phƣơng trình thứ nhất của hệ đã cô lập hai
biến về hai vế, phƣơng trình thứ hai là một phƣơng trình bậc hai đối với cả hai biến
nhƣng thực sự đây là một bài hệ phƣơng trình rất hay. Với suy nghĩ ban đầu là sử
dụng hàm số đặc trƣng để giải phƣơng trình thứ nhất của hệ rồi thế vào phƣơng trình
thứ hai hoặc là phân tích phƣơng trình thứ hai thành nhân tử, nhƣng tất cả đều đổ vỡ.
Thứ nhất, không đƣa phƣơng trình thứ nhất về giải theo cách dùng hàm số đặc trƣng
vì không tìm ra đƣợc cách đặt, thứ hai là phƣơng trình thứ hai không có đenta chính
phƣơng với cả hai biến. Giờ ý tƣởng đã đi vào bế tắc. Nhƣng vì đối với phƣơng trình
đối xứng có chứa căn này chính là khử căn, vậy sao ta không thử mối liên hệ của hai
căn và xem sao. Nếu .
Khi đó đặt
25
.
. Và
Tới đây dự đoán hƣớng giải của bài toán đã có, ta sẽ đi trừ vế với vế của hai phƣơng
trình trong hệ với nhau.Với ý tƣởng trên ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau.
Giải.Điều kiện . ``
Dễ thấy không phải là nghiệm của phƣơng trình.
Do đó ta chỉ cần xét với .
Lấy vế trừ vế của hai phƣơng trình trong hệ cho nhau ta có
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc phƣơng trình
Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Nếu ta muốn ép xuất hiện mối liên hệ giữa các biến thì cách sử dụng ý
tƣởng này để sáng tác các bài toán theo lớp thực sự rất hay và độc đáo. Giờ ta thử
sáng tác một bài tập theo hƣớng này nhé.
Trƣớc tiên ta xác định mối liên hệ của hai biến là . Trƣớc tiên ta sẽ cho một
phƣơng trình . Với ràng buộc thì giá trị của hàm
. Giờ công việc của ta sẽ phải đi sáng số
tác phƣơng trình thứ hai sao có dạng . Ta có thể tùy chọn giá trị ,
26
ở đây tác giả chọn .
Ta có thể phân tích hàm số
( do ).
Vậy ra có đƣợc phƣơng trình thứ hai là
.
Vậy ta có bài toán sau.
Bài toán 6. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Trong quá trình xây dựng ta đã biết đƣợc mối liên hệ của bài
toán nên ta dễ dàng có đƣợc câu trả lời. Điều tác giả muốn phân tích ở đây là đứng
dƣới góc độ của ngƣời giải toán là làm thế nào để có đƣợc lời giải mang tính tự nhiên
nhất.
Trƣớc tiên cấu trúc hệ này không dễ để xác định là ta sẽ phải đi giải phƣơng trình nào.
Trƣớc tiên ta hãy biến đổi để hệ dễ nhìn hơn bằng cách phá tung ngoặc, chuyển vế với
phƣơng trình thứ nhất và trục căn thức ở phƣơng trình thứ hai. Bây giờ trong hệ của ta
chỉ còn xuất hiện một căn thức ở phƣơng trình thứ hai, còn lại là các biểu
thức đa thức mà vế phải của phƣơng trình là một số nguyên, nên ta dự đoán nếu mà
là các số vô tỉ thì là các số vô tỉ thì khả năng xảy ra dấu bằng của
phƣơng trình thứ hai là rất thấp. Chính vì thế ra dự đoán căn thức là một
số chính phƣơng suy ra phải là các số đẹp. Trƣớc tiên ta thử với
.
Xét
27
.
Và .
Thật may mắn đây chính là điều chúng ta cần tìm. Vậy ta có lời giải sau
Giải. Điều kiện .
Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với hệ
Nhân vào cả hai vế của phƣơng trình thứ nhất rồi trừ vế với vế phƣơng trình thứ hai
của hệ phƣơng trình trên ta đƣợc
.
Thay vào phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
. Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Đây là một bài toán rất khó muốn giải đƣợc bài toán trên phải kết hợp
nhiều kĩ năng, với những bài toán có căn thức này thƣờng các tác giả sẽ phải có các
biểu thức đánh giá thuận lợi và thêm một điều mà tác giả muốn gửi tới là trong khi
giải đôi khi cần có một chút may mắn để giải bài toán. Thêm một điều nữa, với những
bài toán mang tính sáng tạo này cũng không nên làm quá khó vì nhƣ thế lời giải mang
tính ép buộc, không tự nhiên và tính cá nhân của ngƣời ra đề.
28
Để kết thúc phần trình bày trong phần này tác giả sẽ gửi đến ngƣời đọc một bài tập
khác cũng phải kết hợp hai phƣơng trình trong hệ để giải, nhƣng theo một cách khác
là nhân hai vế của phƣơng trình lại với nhau. Ta đi tìm hiểu bài toán sau
Bài toán 7. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích.
Đây là một hệ có hai phƣơng trình là các đa thức bậc ba và dễ dàng tìm đƣợc mối liên
hệ giữa hai biến nhƣng không thể thế vào đƣợc vì khi đó biểu thức sẽ rất lớn.Một
hƣớng ý tƣởng khác là trừ hai vế để tìm đƣợc nhân tử chung, nhƣng cách này cũng
khó vì hệ số tự do không triệt tiêu đƣợc với nhau. Tới đây ta sẽ cố tách vế phải của hai
phƣơng trình nhờ nghiệm của phƣơng trình bậc ba, nhƣng cũng không cho đƣợc
nghiệm nguyên, ta làm theo mẹo sau, nếu chuyển các số hạng tự do sang vế phải của
phƣơng trình thì phƣơng trình thứ nhất ta có nghiệm xấp xỉ là ,còn
phƣơng trình thứ hai ta sẽ dƣợc nghiệm xấp xỉ là . Ta sẽ lấy số tự nhiên ở giữa hai
số và là . Tới đây ta thử lại có
Chính vì thế ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau .
Giải. Biến đổi tƣơng đƣơng hai phƣơng trình của hệ ta đƣợc
Nhân chéo hai vế của hai phƣơng trình ta đƣợc
. Thử lại chỉ thấy cặp thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
29
Nhận xét : Giải hệ phƣơng trình bằng cách cộng đại số thực chất mang bàn chất của
phƣơng pháp biến đổi để giải phƣơng trình. Với hệ ban đầu khi may mắn ta có thể
trực tiếp biến đổi để phân tích thành hệ đơn giản hơn, còn với phƣơng pháp cộng đại
số này thì ta chƣa sử dụng phép biến đổi trực tiếp đƣợc mà phải thông qua việc cộng
đại số hai phƣơng trình thì mới giải quyết đƣợc.
Bài tập tự luyện.
Giải các hệ phương trình sau
Bài tập 1. Đáp án:
Bài tập 2. Đáp án:
Bài tập 3. Đáp án: Bài
tập 4. (Đề thi thử lần 1 chuyên quốc học Huế)
Đáp án .
2. 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ DENTA LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT BIỂU THỨC Trong phần này tác giả sẽ trình bày cách sáng tác các bài tập đƣa về phƣơng trình bậc
hai có đen ta là số chính phƣơng, lƣu ý không nhất thiết là phƣơng trình đó phải có
bậc hai mới sử dụng đƣợc. Bản chất cơ bản của việc giải bằng cách sử dụng biệt thức
đenta cũng chính là việc xác định nhân tử chung nếu có. Trong trƣờng hợp biệt thức
đenta không phải là số chính phƣơng thì ta có cố gắng mấy thì cũng không thể phân
tích đƣợc nhân tử. Chính vì thế đây chính là phép thử rất tốt giúp ta dự đoán đƣợc
nhân tử chung ( nếu có). Giờ chúng ta hãy thử đi xét hai bài tập này trƣớc để hiểu sơ
30
qua phƣơng pháp và sau đó ta sẽ chuyển qua việc sáng tác các bài tập giải hệ phƣơng
trình dạng này.
Bài toán 1. Giải hệ phƣơng trình
Giải.
Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
Ta có . Suy ra phƣơng trình có nghiệm là .
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
Với . Thử lại thấy thỏa mãn.
Với . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy phƣơng trình có nghiệm .
Bài toán 2. Giải hệ phƣơng trình
Giải.Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
31
Coi phƣơng trình trên là một phƣơng trình bậc hai đối với biến ta có
.
Suy ra phƣơng trình có nghiệm là
.
Thế vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
Với .
Xét phƣơng trình
.
Xét hàm số . Ta có với . Suy ra hàm số luôn đồng
. biến. Từ đó
Nghiệm này trùng với nghiệm trên.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm là .
Nhận xét : Qua hai bài toán trên cho thấy rằng không phải lúc nào bài toán đƣa về
phƣơng trình bậc hai phải là một phƣơng trình có bậc bằng hai, mà phƣơng trình đó
chỉ cần có bậc hai với biến mà ta lựa chọn. Ý tƣởng sáng tác bài toán dạng nhƣ này
32
không khó, ta sẽ thử đi sáng tác một bài dạng này.
Trƣớc tiên phƣơng trình cần lập là một phƣơng trình bậc hai đối với biến , tiếp theo
ta cần chọn một biểu thức denta chính phƣơng trƣớc. Giả sử ta chọn biệt thức
. Do biệt thức đenta với phƣơng trình bậc hai đƣợc tính bằng công
thức nên ta sẽ phân tích biệt thức denta đã chọn dƣới dạng đó
nên ta có thể chọn , ,
. Giờ ta đã có một phƣơng trình bậc hai với biến có biệt thức denta đã
chọn ban đầu là . Khi đó giải ra ta sẽ đƣợc mối liên hệ giữa
hai biến là hoặc . Với hai mối liên hệ này ta sẽ chọn mối liên hệ
để sáng tác phƣơng trình thứ hai, khi đó ta phải chấp nhận mối liên hệ sẽ cho
nghiệm (nếu có) không đƣợc đẹp nhƣ ý muốn đƣợc.
Phƣơng trình thứ hai tác giả muốn lấy ý tƣởng cách giải dựa trên tính chất hàm số đặc
trƣng, ở đây tác giả chọn hàm đồng biến là và cho xuất hiện
phƣơng trình có dạng .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình này ta đc phƣơng trình thứ hai của hệ là
Từ đó ta có bài toán sau.
Bài toán 3. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
Coi phƣơng trình trên là một phƣơng trình bậc hai với biến ta có .
33
Do đó phƣơng trình có hai nghiệm là
+ Với . Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
Xét . Ta có với . Suy ra hàm số luôn đồng biến.
Vì . Nên .
+ Với . Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
. Phƣơng trình này vô nghiệm.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Việc chọn biến có phức tạp hay không để sáng tác phƣơng trình là yếu tố
then chốt quyết định xem bài toán có phức tạp hay không, nếu muốn bài toán nâng cao
độ khó ta chỉ cần xét với những biến phức tạp là đƣợc. Bên cạnh đó việc lựa chọn biệt
thức đenta cũng góp phần không nhỏ nâng cao độ khó bài toán, với những trƣờng hợp
mà biến số không thuận lợi với biệt thức denta trong việc rút thế tìm mối quan hệ với
biến sẽ là một bài toán không hề đơn giản. Chính vì vậy khi sáng tác thì ta cần phải
tránh trƣờng hợp này để làm cho bài toán không phải là bài đánh đố ngƣời giải.
Sau đây tác giả sẽ sáng tác một bài toán liên quan đến việc chọn biến là căn thức. Ta
chọn biến trong bài toán này là và biệt thức .
Khi đó ta biến đổi đƣợc thành . Vậy ta sẽ chọn các số
. Ta có phƣơng trình đầu tiên nhƣ sau
.
Khi chọn biến và biệt thức ta lựa chọn ngẫu nhiên nên khi giải ra
34
nghiệm ta sẽ thu đƣợc nên khi sáng tác phƣơng trình thứ hai để không
đánh đố ngƣời giải ta sẽ sáng tác phƣơng trình sao cho sử dụng thuận lợi mối liên hệ
đó. Đó sẽ là một phƣơng trình chỉ chƣa bậc chẵn đối với biến , chả hạn nhƣ
Vậy ta có bài toán sau
Bài toán 4. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Đặt . Phƣơng trình thứ nhất của hệ đƣợc viết lại thành
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
.
Với . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Để nâng dần bài khó lên nữa, ta sẽ làm theo hai bƣớc : một là, lựa chọn một biến
không đơn giản nhƣ do ngƣời giải sẽ dễ nhận biết đƣợc biến ; hai là
chọn một biệt thức đenta cồng kềnh hơn. Ví dụ nhƣ ta chọn biến của phƣơng trình bậc
hai ở đây là và biệt thức .Với cách chọn biến thực sự sẽ
làm bài toán khó lên rất nhiều do khi phân tích ngƣời đọc sẽ ít để ý tới thêm hằng số
vào biến.Giờ ta có thể phân tích biệt thức . Ta
sẽ chọn , , . Khi đó ta có một phƣơng trình bậc hai thỏa
mãn các dữ kiện đã chọn là hay tƣơng đƣơng
với phƣơng trình . Nếu ta muốn làm cho ý
tƣởng tiếp tục bị che bớt khiến ngƣời giải phải suy nghĩ ta tiếp tục biến đổi tƣơng
đƣơng phƣơng trình thu đƣợc
35
.
Lƣu ý khi giải phƣơng trình trên ta sẽ thu đƣợc hoặc . Vì
mối liên hệ này khá phức tạp nên ta có thể chọn nghiệm trƣớc rồi cân bằng giá trị cho
phù hợp là đƣợc.
.Khi đó cặp là nghiệm của phƣơng trình Chọn
Từ đó ta có bài toán sau
Bài toán 5. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
Xét phƣơng trình là phƣơng trình bậc hai của biến ta có
.
Suy ra phƣơng trình có nghiệm
Với .
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
.
Xét hàm số với .
Ta có với . Suy ra hàm số luôn đồng biến.
36
Mà . Nên phƣơng trình sẽ nhận nghiệm duy nhất là .
Với .
+ Với . Vì .
Mà theo điều kiện ta có .Suy ra không tồn tại giá trị thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Qua những bài sáng tác ở trên, tác giả hi vọng ngƣời đọc đã nắm đƣợc
phƣơng pháp sáng tác một bài tập dạng nhƣ này, do việc chọn biến và biệt thức đenta
nên ta hoàn toàn sáng tác đƣợc các lớp bài toán với độ khó tăng dần tùy để thỏa ý tác
giả. Giờ ta sẽ mang những ý tƣởng bên trên để tìm ý tƣởng của tác giả của các bài
toán sau
Bài toán 6. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Trong hai phƣơng trình của hệ ta thấy phƣơng trình thứ hai có thể thế biến
dễ dàng là nhƣng khi thế vào phƣơng trình đầu của hệ thì lại quá
phức tạp nên ta không thể giải theo cách này đƣợc. Để ý kĩ thấy đây là một phƣơng
trình đa thức bậc ba với biến và bậc hai với . Vì lợi thế bậc nhỏ hơn nên việc
phân tích theo biến gần nhƣ sẽ đơn giản hơn. Chính vì thế ta sẽ biến đổi tƣơng
đƣơng để đƣa về thành phƣơng trình bậc hai đối với biến .
Ta có lời giải cho bài toán nhƣ sau.
Giải. Điều kiện .Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
Ta có .
Suy ra phƣơng trình có nghiệm .
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
.
37
Đặt với . Phƣơng trình trên tƣơng đƣơng với hệ
Với .
Với .
Thử lại nghiệm thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Nhờ việc đã dự đoán đƣợc ý tƣởng của tác giả bài toán từ trƣớc nên việc
giải bài toán trên đã làm bài toán dễ dàng đi rất nhiều. Còn việc giải phƣơng trình khi
thế mối quan hệ của hai biến vào là đòi hỏi phải có sự tinh tế trong quan sát và nắm
đƣợc một số phƣơng pháp cơ bản trong việc đặt ẩn phụ trong giải phƣơng trình. Ta sẽ
đi xét tiếp một bài toán nữa để kết thúc phần giải hệ phƣơng trình bằng cách đƣa về
phƣơng trình bậc hai tại đây.
Bài toán 7. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Với cấu trúc trong bài toán này ta sẽ phải đi giải phƣơng trình thứ nhất của
hệ, vì phƣơng trình thứ hai có bậc của các biểu thức quá lộn xộn, không có điểm
chung. Xét phƣơng trình đầu tiên của hệ, ta thấy biểu thức trong căn có đại lƣợng
mà ở bên ngoài cũng có nên ta có thể dự đoán đƣợc sẽ đƣa về phƣơng trình bậc
hai với biến là một căn thức trong đó biến sẽ có thành phần là . Điều ta để ý
thấy ở đây trong căn có nên ta nghĩ tới hai hƣớng xử lí phƣơng trình này,
một là phải khử mẫu đi bằng cách nhân , hoặc hai là phải làm biểu thức
38
xuất hiện dạng hay . Rõ ràng theo hƣớng thứ hai sẽ có lợi thế vì khi đó
chính là một biểu thức bậc hai với . Vậy ta đã có ý tƣởng giải cho
bài toán này nhƣ sau.
Giải. Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc .
Đặt .
Phƣơng trình trở thành
Đối chiếu với điều kiện chỉ thấy thỏa mãn.
Với .
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Thông qua các việc phân tích tìm lời giải bài toán bên trên và đặc biệt là ý
tƣởng sáng tác một bài giải hệ phƣơng trình bằng cách đƣa về phƣơng trình bậc hai sẽ
làm cho ngƣời đọc có nhiều cách tiếp cận giải bài toán giải hệ phƣơng trình. Đây là
một phƣơng pháp khá cơ bản nhƣng lại mang tính áp dụng thực tế rất cao và là ý
tƣởng để xây dựng các bài toán khó hơn. Điểm lợi của phƣơng pháp này so với
phƣơng pháp thêm bớt tạo nhân tử chính là việc đòi hỏi không quá nhiều vào kĩ năng
quan sát, thêm bớt để nhóm tạo nhân tử chung. Thêm vào đó điểm lợi của bài toán này
còn thể hiện rõ qua hai bài toán7, 8 mà tác giả trình bày ở trên. Hi vọng ngƣời đọc
39
qua phần này có cái nhìn tổng quát hơn về các bài toán dạng này và có thể sáng tác
các kiểu bài toán dạng đƣa phƣơng trình về phƣơng trình có dạng bậc hai với độ khó
nâng dần.
Bài tập tự luyện
Bài tập 1. Đáp án:
Bài toán 2.
Đáp án:
Bài toán 3. Đáp án:
Bài toán 4. Đáp án:
Bài toán 5. Đáp án : .
2. 4 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI TẠO NHÂN TỬCHUNG
Xét hệ phƣơng trình có dạng với .
Khi đó ta đƣa về việc giải các hệ đơn giản hơn và
Giải hệ phƣơng trình bằng cách tạo nhân tử chung thực chất là kỹ thuật có tính phát
40
triển nâng cao dựa trên nền tảng của kĩ thuật giải hệ bằng phƣơng pháp thế. Đối với hệ
có chứa những phƣơng trình đƣa đƣợc về phƣơng trình có dạng bậc hai thì ta có thể
dùng biệt thức đenta để giải. Nhƣng cách này không áp dụng đƣợc với những hệ có
bậc cao hơn hoặc không đƣa đƣợc về dạng phƣơng trình bậc hai với biến nào đó. Với
những bài toán này yêu cầu ngƣời giải cần có kỹ năng tách nhóm nhân tử một cách
thuần thục và kĩ năng giải các phƣơng trình từ cơ bản tới nâng cao một cách thành
thục. Sau đây chúng ta hãy giải sơ qua một số bài toán để có cái nhìn sơ qua về
phƣơng pháp này.
Bài toán 1. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Nhìn cấu trúc của hệ này ta dự đoán đƣợc là sẽ đi giải phƣơng trình đầu
tiên của hệ vì phƣơng trình thứ hai khá cồng kềnh. Phƣơng trình đầu tiên là một
phƣơng trình đa thức bậc ba, để ý kĩ thì chúng sẽ chia thành các cặp cùng bậc với
nhau và có cùng tỉ lệ do vậy ta có thể nhóm và phân tích, hi vọng sẽ nhóm đƣợc
nhân tử chung.
Giải. Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
+ Với .
41
+ Với
.
Xét hàm số với . Ta có . Nên hàm số luôn
. đồng biến. Suy ra
Với .
Đổi chiếu với điều kiện thấy các nghiệm đều thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Rõ ràng việc xác định giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp tạo nhân tử
chung là bƣớc then chốt trong quá trình giải bài toán này, vậy từ đâu tác giả có thể dự
đoán đƣợc là giải bằng phƣơng pháp này ?
Qua kinh nghiệm giải toán thực tế, tác giả đã tổng hợp đƣợc các dấu hiệu nhận biết
một phƣơng trình giải đƣợc bằng cách tách nhân tử thƣơng sẽ là một hệ phƣơng trình
có dạng phƣơng trình bậc hai với biệt thức đenta là số chính phƣơng; một hệ phƣơng
trình dáng dấp đẳng cấp hoặc nhóm đƣợc thành các nhóm đẳng cấp ; hoặc phƣơng
trình có tính đối xứng giữa hai biến,..
Giờ ta sẽ xét thêm một bài tập để ngƣời đọc có cái nhìn rõ hơn về dấu hiệu của một
bài toán giải bằng phƣơng pháp tạo nhân tử sau đó nắm bắt ý tƣởng để tự ta sáng tác
đƣợc một bài toán giải bằng phƣơng pháp này.
Xét bài toán sau
Bài toán 2. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Xét phƣơng trình thứ nhất của hệ, ta thấy nếu giải sẽ làm theo cách nhóm
hai căn lại để liên hợp sau đó hi vọng phƣơng trình bậc hai có nghiệm giống biểu thức
sau khi liên hợp. Nhƣng điều này không xảy ra. Tới đây ta có thể nghĩ thêm cách là
nhóm căn với số hạng phù hợp để có nhân tử chung, nhƣng quả thật điều này không
42
cho ta tới đƣợc kết quả gì.Xét phƣơng trình thứ hai của hệ, đây là một phƣơng trình
bậc ba với cả hai biến, và khi nhóm các biểu thức cùng bậc lại với nhau thì thấy rõ các
nhóm đó đều có tỉ lệ , vậy khả năng cao sẽ là tìm đƣợc nhân tử trong bài toán này.
Nên ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau
Giải.Điều kiện
Biến đổi phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
.Thay vào phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
( điều kiện )
vì với .
Với . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Qua hai bài toán trên ta thấy kĩ thuật thêm bớt, nhóm nhân tử là một kĩ
thuật rất quan trọng trong phƣơng pháp này đòi hỏi ngƣời giải phải có khả năng phân
tích, dự đoán và kĩ năng giải phƣơng trình một cách nhuần nhuyễn. Ngoài ra, ngƣời
đọc có thể tham khảo thêm các thủ thuật sử dụng máy tính bỏ túi để dự đoán nghiệm
của hệ, khi đó công việc của ta chỉ là đi nhóm để tạo thành các nhân tử đó. Nhƣng
điều này tác giả không yêu thích vì đó là giải mẹo, lời giải không mang tính tổng quát,
và làm lƣời suy nghĩ tìm tòi lời giải bài toán, tác giả hi vọng đó chỉ là ngƣời hƣớng
dẫn với những ai còn chƣa quen lắm với dạng này. Bây giờ ta sẽ thử đi sáng tác các
bài tập dạng này.Trƣớc tiên ta sẽ đi chọn mối quan hệ giữa các biến ( đây chính là
biểu thức nhân tử chung). Ví dụ tác giả chọn mối liên hệ ở đây là và không
43
muốn có thêm một mối liên hệ nào nữa. Vậy ta cần chọn biểu thức bên trong vô
nghiệm, ta chọn tùy ý ví dụ , với điều kiện . Để thỏa mãn điều
kiện thì ta sẽ thƣờng cho nằm trong căn và thêm một biểu thức ở
dƣới mấu là đƣợc.
Khi đó ta có một phƣơng trình là . Biến đổi tƣơng đƣơng
phƣơng trình này ta đƣợc .
Phƣơng trình thứ hai sẽ nhận phép thế nên khi ta lập phƣơng trình muốn hệ
này khó hay dễ chính là việc phƣơng trình thứ hai có thuận lợi khi thế vào hay không.
Tác giả sẽ chọn phép thế dễ trƣớc bằng cách trong phƣơng trình chỉ cho xuất hiện
chứ không phải là bậc cao của y, ví dụ nhƣ Vậy ta có bài toán sau
Bài toán 3. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Điều kiện
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
. Với
. Với
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm là .
Nhận xét : Điểm khó dễ của bài toán ta muốn thay đổi trong bài dạng nhƣ này ta có
hai cách : một là chọn biểu thức chứa nhân tử phức tạp, hai là lập phƣơng trình thứ hai
sao cho sử dụng đƣợc mối liên hệ của hai nghiệm không thuận lợi. Vì lí do đây là một
44
bài sáng tác hệ bằng cách tạo nhân tử chung nên tác giả sẽ ƣu tiên sử dụng cách thứ
nhất. Muốn sáng tác bài toán, trƣớc tiên xét một phƣơng trình đơn giản là
. Giờ đặt , thay vào phƣơng
trình trên ta sẽ đƣợc một phƣơng trình . Biến đổi
tƣơng đƣơng để che đi ý tƣởng mà ta sử dụng, ta đƣợc .
Khi giải phƣơng trình trên ta sẽ có hai nghiệm và .
Nếu ta cho thêm điều kiện của biến thì ta sẽ loại đi đƣợc một nghiệm. Nhƣ vậy
việc khi lập ta sẽ chỉ quan tâm tới một mối liên hệ là , điều này ta dễ dàng
khống chế cho nghiệm đẹp hơn. Giả sử chọn nghiệm . Ta sẽ lập một
phƣơng trình có chứa hai nghiệm này và phải có điều kiện . Ta có thể lấy
làm phƣơng trình thứ hai. Vậy ta có bài toán sau
Bài toán 4. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
. Đặt Khi đó
Phƣơng trình trở thành .
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
45
vì với .
Với . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Để nâng dần độ khó bài toán ta sẽ xuất phát từ một phƣơng trình bậc cao , ví dụ nhƣ
phƣơng trình . Nếu thêm điều kiện của
biến thì phƣơng trình này cho nghiệm . Để có điều kiện này ta có thể cho
biến . Khi đó ta có đƣợc một phƣơng trình là
.
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình này ta đƣợc
.
Ta hoàn toàn yên tâm với các bƣớc biến đổi trên mà không lo sợ điều kiện của biến vì
khi ta làm lỏng biến đổi này thì khi giải thì ngƣời giải phải thắt chặt điều kiện của
biến. Điều này sẽ yêu cầu ngƣời giải phải đánh giá từng trƣờng hợp đặc biệt của biến.
Tiếp theo ta sẽ lập một phƣơng trình nữa của hệ, lƣu ý mối quan hệ của hai biến bên
trên ta đã có là . Nên trong phƣơng trình thứ hai độ khó của bài toán thể hiện
rõ qua việc có sử dụng tốt biểu thức này không.
Để đơn giản ta có thể chọn đƣợc phƣơng trình căn thức là
và thế ngƣợc lại ta có phƣơng trình thứ hai là
.
Từ đó ta có bài toán sau
Bài toán 5. Giải hệ phƣơng trình
Giải.Điều kiện
46
Nhận thấy không phải là nghiệm của phƣơng trình.
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
. Đặt , . Khi đó phƣơng trình trở thành
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
(vì với )
. Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Trên đây là một số ý tƣởng sáng tác bài toán dạng này, ta hãy mang những ý tƣởng đó
để đi dự đoán ý tƣởng của tác giả những bài toán sau. Tác giả hi vọng ngƣời đọc nắm
đƣợc tƣ tƣởng của các bài toán này để áp dụng giải và sáng tác các bài tập theo ý mình
mong muốn. Ta sẽ đi giải một số bài toán sau
Bài toán 6.Giải hệ phƣơng trình
47
Phân tích: Xét phƣơng trình thứ nhất của hệ, đây là một phƣơng trình chứa căn thức
của các biểu thức , bên ngoài là biểu thức đa thức bậc nhất. Vì
có căn nên ta ƣu tiên xét trong căn trƣớc, nhận thấy nên
khả năng đặt ẩn phụ hoặc nhóm để xuất hiện nhân tử là khá cao. Bên ngoài căn ta có
thể phân tích . Với việc giải đƣợc phƣơng trình này là rất
cao. Để ý qua phƣơng trình thứ hai khá cồng kềnh và không có nhiều khả năng giải
đƣợc nên việc giải phƣơng trình thứ nhất trƣớc sẽ có phần chắc chắn hơn. Với suy
nghĩ đó,ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau.
Giải. Điều kiện
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
Đặt Khi đó .
Khi đó phƣơng trình trở thành
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
Với
.
48
Xét hàm số , . Ta có . Suy ra hàm số luôn đồng biến.
Vì . Với . Đối chiếu với điều
kiện thấy thỏa mãn. Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Đây là một hệ không khó và cũng trùng với ý tƣởng sáng tác bài toán dạng
này của ta ở trên nên lời giải không có gì khó khăn. Điều chú ý có lẽ sẽ dồn về việc
giải phƣơng trình thứ hai của hệ, đây là một phƣơng trình có căn thức, nên việc dự
đoán nghiệm đẹp của bài toán là điều tự nhiên. Sau đó để giải đƣợc bài toán cần phải
có đánh giá tinh tế thì lời giải bài toán mới hoàn thành đƣợc. Tiếp tục với dạng bài
toán này ta xét thêm bài toán sau
Bài toán 7. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Chắc hẳn khi nhìn cấu trúc hệ này thì đa số mọi ngƣời sẽ dồn sự chú ý về
phƣơng trình thứ nhất, lí do vì đó là phƣơng trình đa thức bậc ba với cả hai biến cộng
thêm phƣơng trình thứ hai của hệ có bậc rất lộn xộn, việc giải phƣơng trình thứ hai
khá khó. Xét phƣơng trình thứ nhất, vì đây là phƣơng trình có đối xứng về bậc của
biến nên ta sẽ nhóm lấy những biểu thức cùng bậc và có sự tƣơng ứng về tỉ lệ thì khả
năng tìm đƣợc nhân tử là rất cao. Với ý tƣởng đó ta có lời giải nhƣ sau.
Giải. Điều kiện . Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
49
Với . Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
( điều kiện )
( vì với )
. Thử lại thấy thỏa mãn. Khi
Với
Thay vào phƣơng trình thứ hai ta đƣợc ( vô lí).
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Trong bài toán này có hai điểm chú ý, thứ nhất là cách đánh giá ban đầu để
xác định đƣợc là phƣơng trình nào là phƣơng trình giải trƣớc, phƣơng trình nào giải
sau và khi nào kết hợp cả hai hệ lại với nhau, tác giả hi vọng ngƣời đọc tự mình trả lời
đƣợc các câu hỏi đó. Vấn đề thứ hai là việc giải phƣơng trình thứ hai khi ta có mối
quan hệ khi thay vào của hai biến, vấn đề này sẽ đƣợc làm rõ trong phần sau về giải
phƣơng trình bằng cách sử dụng liên hợp. Ta tiếp tục đến với bài toán sau.
Bài toán 8. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Để ý kĩ thấy phƣơng trình thứ nhất của hệ là một phƣơng trình phân tích
đƣợc nhân tử . Vậy phƣơng trình này coi nhƣ đã đƣợc đơn giản hóa. Giờ ta sẽ xét
50
phƣơng trình thứ hai xem có thể đƣa đƣợc về phƣơng trình đơn giản giống nhƣ
phƣơng trình đầu của hệ hay không ? Xét đại lƣợng trong căn là bên ngoài
cũng xuất hiện đƣợc đại lƣợng này, vì thế ta thử kiểm tra đây có là một phƣơng trình
bậc hai có đenta là số chính phƣơng với biến hay không ? Rất tiếc điều đó lại
không phải. Tiếp theo việc đƣa về một phƣơng trình bậc ba với biến cũng không
phân tích đƣợc điều gì. Vậy ta sẽ xác định hƣớng giải của bài toán là giải phƣơng trình
của bài toán rồi thế vào phƣơng trình thứ hai.
Từ đó ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau.
Giải.Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
+ Thay vào phƣơng trình thứ hai ta đƣợc
+ Xét phƣơng trình .
Xét hàm số với . Ta có min .
Xét hàm số trên . Ta có min .
Do đó . Suy ra
Nên phƣơng trình có nghiệm .
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Cách giải phƣơng trình thứ hai của hệ này là một cách giải khá hay và tinh
tế, với việc quan sát và dự đoán đƣợc nghiệm sẽ cho ta cách tiếp cận lời giải đơn giản
và đẹp mắt hơn rất nhiều.
Qua phần giải hệ và sáng tác phƣơng trình bằng cách tạo nhân tử mà tác giả trình bày
51
ở trên hi vọng ngƣời đọc hiểu ý tƣởng và sẽ thành hành trang của mình trong việc
sáng tác những bài toán khó và hay hơn.
Bài tập tự luyện
Giải các bài toán hệ phƣơng trình sau.
Bài toán 1.
Đáp án :
( Trích đề thi trƣờng THPT Quảng Xƣơng, Thanh Hóa – 2015 lần 1)
Bài toán 2. Đáp án:
( Trích đề thi trƣờng THPT Bạch Đằng, Hải Phòng – 2015)
Bài toán 3.
Đáp án :
Bài toán 4. Đáp án:
( Trích trƣờng THPT Chuyên Hƣng Yên – 2015)
Bài toán 5. Đáp án:
(Trích trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – 2015 lần 4)
52
Bài toán 6. Đáp án:
( Trích đề thi Sở Giáo Dục và Đào tạo Lào Cai – 2015)
2.5 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG LIÊN HỢP
Sau đây tác giả sẽ trình bày nội dung cuối của luận văn, phần này tác giả sẽ giải và
nêu lên cách sáng tác một bài toán giải hệ phƣơng trình bằng cách sử dụng liên hợp.
Bên cạnh đó là phần phân tích để có đƣợc lời giải một các tự nhiên nhất, hi vọng
ngƣời đọc sẽ hiểu, vận dụng đƣợc trong quá trình giải và sáng tác bài toán giải hệ
phƣơng trình bằng cách sử dụng liên hợp. Đây là một kĩ thuật cơ bản nhƣng rất hay
đƣợc sử dụng trong giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình. Cái hay của phƣơng pháp
này trong các phƣơng trình chứa căn thức chính là việc ta giữ nguyên bậc của các biểu
thức trong phƣơng trình mà chỉ cần tác động lên đúng biểu thức chứa căn. Phƣơng
pháp này tuyệt vời hơn khi mà ta dự đoán đƣợc nghiệm của hệ phƣơng trình để xác
định đƣợc biểu thức cần liên hợp. Bên cạnh đó phƣơng pháp này còn kết hợp đƣợc với
nhiều phƣơng pháp khác trong quá trình giải hệ. Ta đi xét một bài toán sau
Bài toán 1. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Khi nhìn cấu trúc hệ phƣơng trình này ta có một số đánh giá nhƣ sau,
phƣơng trình thứ hai là một phƣơng trình nhìn khá đẹp mắt với vế trái là các căn thức
còn vế phải là một hằng số, nếu ta chuyển vế rồi bình phƣơng nhằm mục đích thế biến
thì không khả thi vì các biểu thức đi kèm khá cồng kềnh và không chứa dữ kiện liên
quan tới phƣơng trình thứ hai. Còn phƣơng trình đầu ta thấy sự cân đối về bậc của hai
vế này, và để ý kĩ thì phƣơng trình này có nghiệm . Với nhận xét này thì chắc
chắn phƣơng trình phân tích đƣợc về dạng . Mà trong phƣơng trình
này chứa căn thức, ta lại dự đoán đƣợc nghiệm nên sử dụng liên hợp để rút ra nhân tử
chung là tối ƣu.
Với suy nghĩ đó ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau
53
Giải. Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
. Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Việc xác định đƣợc nghiệm trƣớc chính là mấu chốt để ta dự đoán phƣơng
pháp, nếu đã đoán đƣợc nghiệm mà phƣơng trình có chứa căn thức thì ta sẽ sử dụng
liên hợp để rút nhân tử chung thay vì phải bình phƣơng để loại bỏ căn thức. Bản chất
của việc sử dụng liên hợp chính là đi tìm nhân tử chung bị che dấu mất dƣới mác của
một biểu thức đã nhân liên hợp. Chính vì thế khi một phƣơng trình có chứa căn thức
xác định đƣợc nghiệm trƣớc ( hoặc một mối liên hệ giữa các biến) thì gần nhƣ sẽ giải
đƣợc bằng phƣơng pháp này. Ta sẽ xét thêm một ví dụ mà trong không có sự đối xứng
của biến nữa.
Bài toán 2. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Xét với hệ này,cả hai phƣơng trình đều chứa căn thức, trƣớc tiên xét
phƣơng trình thứ hai, muốn bỏ căn ta có thể nghĩ tới hai cách sau : một là bình phƣơng
bỏ căn, hai là dùng liên hợp. Cách thứ nhất không dùng đƣợc vì khi bỏ căn thì các đại
lƣợng bình phƣơng không triệt tiêu mà còn sinh ra tích các căn nữa, nên cách này
không đƣợc. Cách thứ hai chính là liên hợp, cả khi chuyển vế nhân liên hợp và giữ
nguyên vế nhân liên hợp đều không thấy có nhân tử chung. Vậy ta không giải đƣợc
phƣơng trình thứ hai này thuận lợi. Xét với phƣơng trình thứ nhất có hai căn thức, ta
sẽ ƣu tiên sử dụng liên hợp với hai căn này vì đó là hai căn bậc nhất, thêm vào đó biểu
54
thức ở ngoài là một hàm đa thức bậc hai, ta có thể tìm đƣợc nghiệm của biểu thức bên
ngoài, Nếu cách nhân liên hợp này không đƣợc thì ta phải dùng liên hợp tráo đổi
với đại lƣợng chứa , với đại lƣợng chứa vì hai căn thức không có mối
liên quan. Và may mắn là với cách nhân liên hợp đầu tiên ta đã có đƣợc nhân tử chung
là . Vậy ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau.
Giải. Điều kiện
Nhận thấy . Nên .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
.
Xét hàm số với .
Ta có . Nên hàm số đồng biến. Mà . Suy ra phƣơng trình nhận
nghiệm .Với . Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét. Qua hai bài toán trên ta đã thấy việc quan trọng của dự đoán, suy luận
nghiệm với phƣơng pháp liên hợp quan trọng nhƣ nào. Chỉ cần biết đƣợc nghiệm ta sẽ
có lời giải bài toán sử dụng phƣơng pháp dùng liên hợp thật đơn giản. Để nắm chắc
hơn phần giải bài toán bằng phƣơng pháp liên hợp yêu cầu ngƣời đọc cần tham khảo
về phƣơng pháp truy ngƣợc dấu trong giải phƣơng trình bằng sử dụng liên hợp. Sau
đây ta sẽ đi sáng tác các bài toán giải hệ bằng cách sử dụng liên hợp.
Trƣớc tiên ta hãy chọn một nhân tử chung trƣớc, ví dụ ta muốn có xuất hiện nhân tử
chung là và ta muốn sử dụng biểu thức ta cần chọn hai
55
biểu thức sao cho , ta có thể chọn . Khi đó
đã có một biểu thức là . Giờ ta cần thêm một biểu thức nữa cũng
có chứa nhân tử , ví dụ . Khi đó ta đã có một phƣơng
trình . Biến đổi tƣơng đƣơng để che đi
ý tƣởng sử dụng liên hợp ta đƣợc . Giờ ta
sẽ đi lập phƣơng trình thứ hai, ta có điều kiện nên muốn bài toán có khó hay
không chính là việc mà ta lựa chọn có khai thác thuận lợi mối liên hệ này không. Vấn
đề này do yêu cầu ngƣời sáng tác có cần một bài toán khó hay không. Ở đây tác giả sẽ
chọn nghiệm trƣớc rồi tự cân bằng. Ví dụ chọn và cặp này là nghiệm
của phƣơng trình .
Lƣu ý nếu muốn chọn nghiệm nhƣ này cần phải dựa vào điều kiện của các biều thức
trong phƣơng trình thứ nhất để tránh căn thức vô nghĩa.
Từ đó ta có bài toán giải hệ phƣơng trình sau
Bài toán 3. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Điều kiện
Xét Dễ thấy không phải là nghiệm.
Xét với , biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
(vì ) .
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
56
(vì với ).
Với .
Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Để nâng dần độ khó bài toán ta sẽ vừa kết hợp việc cho sẵn nhân tử chung và thêm
vào đó một nhân tử chung bị biểu thức liên hợp che đi làm việc biến đổi đại số trở nên
phức tạp hơn, đồng thời với thói quen không kiểm tra số nghiệm của phƣơng trình của
ngƣời giải sẽ dẫn tới thiếu nghiệm vì đã mặc định là biểu thức còn lại không còn
nghiệm thỏa mãn nữa. Ta muốn chọn làm nhân tử chung và chúng
xuất hiện dƣới một biểu thức liên hợp, theo nhƣ phần trên ta lập đƣợc hai biểu thức
chứa nhân tử này là và .
Ta có biến đổi liên hợp và .
Khi đó ta sẽ có một phƣơng trình .
Biến đổi tƣơng đƣơng ta đƣợc . Sau
khi giải phƣơng trình trên ta sẽ thu đƣợc hai nghiệm và .
Để lập phƣơng trình thứ hai của hệ, với nghiệm là thì biến ta sẽ tìm đƣợc
không khó. Giờ với mối liên hệ ta chọn nghiệm trƣớc là . Ta có
thể lập đƣợc một phƣơng trình liên quan nhận hai nghiệm này nhƣ .
Từ đó ta có bài toán giải hệ phƣơng trình sau
57
Bài toán 4.Giải phƣơng trình
Giải. Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
( vì với )
+ Với thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
.
+ Với thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
.
Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Để sáng tác các bài toán dạng này ta có thể chia làm ba bƣớc sau, bƣớc đầu
tiên là chọn nhân tử chung viết dƣới dạng một biểu thức đã đƣợc nhân liên hợp ; bƣớc
58
thứ hai là biến đổi phƣơng trình đó để che giấu ý tƣởng sử dụng liên hợp. Bƣớc cuối
cùng là lập phƣơng trình thứ hai, ta có thể chọn nghiệm trƣớc rồi cân bằng sao cho
thỏa mãn nghiệm đã chọn ban đầu, nhƣ thế thì nghiệm của hệ sẽ dễ dàng nằm trong ý
muốn của tác giả. Ngoài biểu thức liên hợp với với căn bậc hai ta còn liên hợp đƣợc
với biểu thức của liên hợp bậc ba. Tiếp tục giờ ta sẽ đi sáng tác thêm một bài toán với
ý tƣởng đã có ở bên trên. Ta chọn nhân tử chung, ví dụ nhƣ . Vì nhân tử này
đƣợc biểu diễn dƣới dạng biểu thức đã đƣợc nhân liên hợp là liên hợp là
, tiếp theo ta có thể chèn thêm một vài biểu thức đa thức chứa
nhân tử đã chọn, để đơn giản tác giả chọn chính là .
Vậy ta có một phƣơng trình là .
Biến đổi phƣơng trình này ta đƣợc
Khi giải phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc mối liên hệ giữa hai nghiệm là
. Giờ ta đi lập phƣơng trình thứ hai của hệ, trƣớc tiên chọn nghiệm trƣớc là
. Ta sẽ có một phƣơng trình nhận hai nghiệm đã chọn là
.
Từ đó ta có bài toán sau.
Bài toán 5. Giải hệ phƣơng trình
Giải. Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
59
(vì thì ).
Với .
Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Với ý tƣởng sáng tác các bài toán giải hệ phƣơng trình bằng cách sử dụng liên hợp ở
trên, ta sẽ đi vận dụng ý tƣởng này để đoán ý của ngƣời sáng tác các bài tập sau. Đây
là cơ hội tốt để ta thấy đƣợc cái nhìn tổng quan về phƣơng pháp này. Xét bài toán sau
Bài toán 6. Giải hệ phƣơng trình
Phân tích : Xét phƣơng trình đầu tiên là một phƣơng trình thấy rõ sự đẳng cấp với hai
biến và không có chứa số hạng tự do, với cấu trúc nhƣ này ta sẽ có dự đoán mối quan
hệ bằng nhau của hai biến. Thật vậy khi thử thì đó chính là nghiệm của phƣơng
trình đầu tiên. Khi đã dự đoán đƣợc nghiệm trƣớc, mà phƣơng trình này chứa căn thức
điều ta nghĩ tới ngay đó chính là sử dụng liên hợp.
Xét với phƣơng trình thứ hai của hệ, đây là một biểu thức khá cồng kềnh và không
thấy có mối liên hệ gì với nhau. Nên ta sẽ dồn vào giải phƣơng trình đầu tiên của hệ.
Với suy nghĩ đó ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau
Giải. Điều kiện .
60
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
(vì với ).
Thay vào phƣơng trình thứ hai ta đƣợc
.
với . Vì
. Suy ra
Phƣơng trình tƣơng đƣơng với .
Với . Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Bài toán 7. Giải hệ phƣơng trình
61
Phân tích : Xét phƣơng trình thứ nhất của hệ có xuất hiện tổng của hai căn thức, gần
nhƣ ta sẽ không đi phân tích một tổng của căn thức dƣới dạng một biểu thức có nhân
liên hợp. Chính vì lý do này nếu giải phƣơng trình thứ nhất này cần phải thêm bớt các
biểu thức sao cho khi sử dụng liên hợp xuất hiện đƣợc nhân tử giống nhau. Nếu tinh ý
ta sẽ nhận thấy đƣợc có nhân tử chung là nếu ta thêm bớt các đại lƣợng phù
hợp. Tuy nhiên biểu thức còn lại khi phân tích ta lại không chỉ ra giá trị dƣơng hay
âm. Điều này khiến ta phải lấy thêm thông tin từ phƣơng trình thứ hai của hệ. Điều ta
cần tìm ở đây chính là điều kiện của từng biến, mà đây là một phƣơng trình bậc hai
với cả hai biến nên chính vì thế ta sẽ ƣu tiên tách thành các biểu thức bình phƣơng qua
đó dễ dàng xác định đƣợc điều kiện của chúng.
Từ đó ta có lời giải cho bài toán trên nhƣ sau.
Giải. Điều kiện .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
. Từ đó .
Lại có
. Từ đó .
Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình thứ nhất của hệ ta đƣợc
.
( Vì , với )
62
Thay vào phƣơng trình thứ hai của hệ ta đƣợc
.
Đối chiếu với điều kiện thấy thỏa mãn. Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Nhận xét : Trong quá trình giải ta luôn đƣa phƣơng trình khi sử dụng liên hợp về dạng
trong đó là biểu thức chứa nhân tử chung, còn
thƣờng là một hàm luôn dƣơng hoặc luôn âm. Đó chính là lợi thế của việc sử dụng
liên hợp. Tuy nhiên trong không ít trƣờng hợp ta không chứng minh đƣợc hàm
luông âm hoặc dƣơng, yêu cầu nắm vững kĩ thuật truy ngƣợc dấu khi nhân liên hợp.
Ngoài ra khi ta nhân liên hợp sẽ thƣờng có điều kiện có nghĩa của căn thức, trong
trƣờng hợp không chứng minh đƣợc ta hãy sử dụng triệt để điều kiện này, cộng thêm
một chút may mắn thì ta sẽ giải quyết đƣợc trọn vẹn bài toán.
Bài tập tự luyện.
Giải các hệ phƣơng trình sau :
Bài tập 1. Đáp án:
(Trích đề thi thử THPT Trần Phú, Hải Phòng – 2015)
Bài tập 2. Đáp án:
Bài tập 3. Đáp án :
( Trích trƣờng THPT Chuyên Hà Tĩnh – 2015)
Bài tập 4. Đáp án :
(Trích đề thi trƣờng THPT Quỳnh Lƣu, Nghệ An – 2015)
63
Bài tập 5. Đáp án:
64
CHƯƠNG III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Bài toán 1. Giải hệ phƣơng trình:
(Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Bến Tre)
Giải. Điều kiện xác định: .Phƣơng trình đầu đƣợc viết lại thành:
Vì >0 với .
Nên với thay vào phƣơng trình sau rồi rút gọn, ta đƣợc:
.
Trừ cả hai vế phƣơng trình cho 2:
.
Nếu suy ra .
Nếu thì: .
Vì trên vế trái là hàm nghịch biến nên nó không nhỏ hơn đạt đƣợc khi
và trên cùng đoạn thì vế phải làm hàm đồng biến nên không lớn hơn
.Vậy phƣơng trình có duy nhất nghiệm .
Bài toán 2. Giải hệ phƣơng trình:
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hòa Bình năm học 2016-2017)
65
Giải. Điều kiện xác định:
Theo điều kiện xác định, nên . Thực hiện nhân liên hợp
với phƣơng trình đầu, ta có:
.
Thay vào phƣơng trình sau ta đƣợc:
.
Để ý với điều kiện thì mỗi số hạng trong thừa số thứ hai đều dƣơng nên đẳng
thức trên tƣơng đƣơng:
Vậy hệ có nghiệm .
Nhận thấy khi nhân liên hợp tìm nghiệm ở phƣơng trình sau. Khi nhẩm nghiệm ,nhận
thấy phƣơng trình sau nhiều khả năng không có nghiệm nguyên hay hữu tỉ.nên ta nghĩ
đến khả năng có nghiệm vô tỉ, tức nhân liên hợp với một biểu thức để xuất hiện biểu
thức bậc hai làm thừa số chung. Gọi là các biểu thức đƣợc nhân liên hợp
với hai số hạng ở vế trái. Khi đó, ta thu đƣợc các biểu thức bậc hai:
66
Cho các biểu thức này bằng nhau hoặc đối nhau ta tìm đƣợc .
Bài toán 3. Giải hệ phƣơng trình:
( Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Lào Cai năm học 2016-2017)
Giải. Điều kiện xác định: .Khai thác phƣơng trình đầu không hề dễ, khi đó ta
cho cho một biến nhận mội giá trị đặc biệt, rồi giải ra giá trị biến còn lại. Mục đích để
tìm quan hệ hai biến, và rồi ý tƣởng phân tích nhân từ trở lên rõ ràng. Viết lại phƣơng
trình thứ hai dƣới dạng:
.
Để ý nên . Suy ra .
Thay vào phƣơng trình đầu tiên , ta có
.
Với suy ra .
67
Với
.
thì . Đặt
Phƣơng trình trên trở thành .
Vì nên suy ra suy ra .
suy ra . Vì
. Lại có
.Nên từ phƣơng trình (*) suy ra Suy ra
Với suy ra .
Với suy ra .
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Bài toán 4. Giải hệ phƣơng trình
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm học 2016-2017)
68
Giải. Điều kiện xác định: .
Ta nhận thấy hệ số tƣơng ứng từng hạng tử ở hai vế đối xứng nhau nên ta nhận đƣợc
mối quan hệ giữa hai vế đƣợc “che giấu” trong phƣơng trình đầu.
Nếu thay vào phƣơng trình đầu ta tìm đƣợc . Nhƣng cặp số này không thỏa
mãn phƣơng trình sau.
Nếu , phƣơng trình đầu tiên tƣơng đƣơng
.
Xét là tam thức bậc hai theo biến y, ta có
.
Suy ra . Tức phƣơng trình đầu cho ta có .
Thay vào phƣơng trình ta có phƣơng trình sau .
Vế trái là hàm số đồng biến theo biến y nên phƣơng trình trên có tối đa một nghiệm.lại
có thỏa đẳng thức trên nên nó chính là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.
Đối chiếu điều kiện, hệ phƣơng trình có nghiệm .
Bài toán 5. Giải hệ phƣơng trình:
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2016-2017)
Giải. Điều kiện xác định .
Từ phƣơng trình đầu ta cho hai căn bằng nhau để tìm mối quan hệ và kiểm tra lại mối
quan hệ đó trong cả hai phƣơng trình. Từ đó ta có cách nhân liên hợp của phƣơng
trình đầu, viết lại phƣơng trình đầu dƣới dạng
.
69
Từ điều kiện xác định, nên Kết hợp với , suy
ra đẳng thức trên cho ta y = 2x+1.
Thay vào phƣơng trình sau, ta đƣợc
(điều kiện: )
.
Với thì nên suy ra phƣơng trình trên có nghiệm hoặc
.
Với suy ra .
Với suy ra .
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm .
Bài toán 6. Giải hệ phƣơng trình:
( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996-Bảng A)
Giải. Điều kiện xác định: và .
Dễ thấy nếu x,y là nghiệm của hệ đã cho thì phải có Do đó,hệ đã cho
tƣơng đƣơng
70
Nhân hai phƣơng trình theo vế ta đƣợc
(vì
.
Thay vào phƣơng trình thứ hai và giải ra ta đƣợc .
Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm
Bài toán 7. Giải hệ phƣơng trình (VMO 2016)
Giải . Từ giả thiết ,suy ra
.
Trƣờng hợp 1: . Khi đó, hệ phƣơng trình đã cho có thể viết dƣới dạng
Từ phƣơng trình thứ hai ,ta suy ra
Thay trở lại phƣơng trình đầu,ta tìm đƣợc các nghiệm (x,y,z) của hệ là
Trƣờng hợp 2:
71
Thay vào,ta viết đƣợc hệ phƣơng trình dƣới dạng
Trừ hai vế của hai phƣơng trình, ta đƣợc Phƣơng trình này vô
nghiệm.Do đó, trƣờng hợp này vô nghiệm.
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm (x,y,z) là
Bài toán 8. Giải hệ phƣơng trình
( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Phƣớc năm học 2013-2014)
Giải. Điều kiện xác định:
Từ phƣơng trình thứ hai tƣơng đƣơng
Vì theo điều kiện suy ra nên (vô nghiệm).
Từ phƣơng trình thứ nhất tƣơng đƣơng
nên phƣơng trình này vô Vì
72
nghiệm.
Hệ đã cho tƣơng đƣơng hoặc
Đối chiếu với điều kiện ta có hệ phƣơng trình có nghiệm là
.
Bài 9. Giải hệ phƣơng trình
(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm học 2013-2014)
Giải. Điều kiện xác định : .Hệ tƣơng đƣơng Đặt
.
Hệ trên trở thành
Suy ra
Thay vào (1) ta đƣợc và tìm đƣợc hai nghiệm
Thay vào (1) đƣợc và tìm đƣợc hai nghiệm
73
Thay vào (1) đƣợc (vô nghiệm).
Thử lại ta thấy hệ có bốn nghiệm
Bài 10. Giải hệ phƣơng trình ( VMO 2010)
Giải. Nhân phƣơng trình thứ hai với -8 rồi cộng với phƣơng trình thứ nhất ta đƣợc
Thay vào phƣơng trình đầu ta đƣợc:
.
suy ra . Với
Với thay vào phƣơng trình đầu ta đƣợc
.
Suy ra .
Thử lại ta thấy thỏa mãn.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm .
Bài 11. Giải hệ phƣơng trình
( Học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2015-2016)
74
Giải. Điều kiện xác định
Từ phƣơng trình thứ hai ta đƣợc
Với thay vào phƣơng trình thứ nhất ta đƣợc
.
Với thay vào phƣơng trình đầu ta đƣợc
.
Đặt Ta có
Suy ra
Với ta có: (vô nghiệm vì ).
Với ta có
.
Thử lại ta thấy hệ phƣơng trình có ba nghiệm
.
Bài 12. Giải hệ phƣơng trình
(Olimpic Austria năm 1997-1998)
Giải. Cộng hai phƣơng trình trên cho nhau, sau khi rút gọn và đƣa về bình phƣơng
75
một hiệu ta đƣợc phƣơng trình . (*)
Trừ phƣơng trình thứ hai cho phƣơng trình thứ nhất và nhóm lại ta đƣợc phƣơng trình
Với thay vào phƣơng trình (*) ta đƣợc hoặc .
. Với Ta có
. Do đó,ta đƣợc hệ Đặt
Cộng (3) và (4) ta đƣợc
Lấy (4) trừ (3) ta đƣợc .
Nếu (loại).
Nếu
Kết hợp ta đƣợc cặp ( là .
Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm là .
Bài tập tự luyện
76
Bài 1. Giải hệ phƣơng trình (VMO, 2004 - B)
Bài 2. Giải hệ phƣơng trình
(Chọn đội tuyển THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2010-2011 )
Bài 3. Giải hệ phƣơng trình (VMO, 2007)
Bài 4. Giải hệ phƣơng trình
( Đề Nghị Olympic 30/4/2011)
Bài 5. Giải hệ phƣơng trình
( Lithuanian Mathematical Olympiad 2006)
Bài 6. Giải hệ phƣơng trình
(Đề ĐH - 2009A - Nâng cao)
77
KẾT LUẬN
Luận văn đã đạt đƣợc một số kết quả sau:
1. Luận văn đã nêu lên đƣợc cách giải một số phƣơng trình cơ bản nhƣ phƣơng
trình đối xứng loại I, loại II, phƣơng trình đẳng cấp và các kiến thức liên quan tới các
vấn đề trình bày trong luận văn.
2. Luận văn đã nêu lên những phân tích, nhận xét, đánh giá của tác giả trƣớc
những bài toán giải hệ phƣơng trình giúp độc giả có cách nhìn tự nhiên nhất về các
hƣớng giải bài toán để từ đó chọn ra lời giải phù hợp.
3. Giới thiệu hệ phƣơng trình trong đề thi thử tốt nghiệp Trung học phổ thông
của các trƣờng trên toàn quốc, đồng thời có lớp các câu hỏi chia theo từng phƣơng
pháp để độc giả tự luyện.
4. Trình bày chi tiết cách sáng tác một bài toán giải hệ phƣơng trình.
Từ kết quả của luận văn này, ta thấy rằng việc sáng tác các bài toán giải hệ phƣơng
trình là việc không quá khó. Tác giả hy vọng rằng với ý tƣởng sáng tác ở trên sẽ giúp
cho độc giả xây dựng đƣợc nhiều hệ phƣơng trình khác làm phong phú thêm các bài
toán về giải hệ phƣơng trình.
Tác giả rất mong nhận đƣợc sự góp ý của các thầy cô và các đồng nghiệp để đề
tài này tiếp tục đƣợc hoàn thiện.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 11 năm 2016
78
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Nguyễn Tài Chung (2013), “ Sáng tạo và giải phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình”, NXB Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh.
2. Hà Văn Chƣơng (2013), “ Tuyển chọn và giải hệ phương trình, phương trình không
mẫu mực”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
3. Nguyễn Phú Khánh, Nguyễn Tất Thu (2013), “Phương pháp giải toán chuyên đề
phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và bất đẳng thức”,NXB Đại
học sƣ phạm, Hà Nội.
4. Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các bài giảng về bất
đẳng thức Bunhiacopxki”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
5. Lê Hoành Phò (2015), “ Tổng ôn tập chuyên đề hệ phương trình”, NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
Danh sách Website.
1. www.diendantoanhoc.net
2. www.math.vn
3. www.mathscope.org
79
