ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ MỸ LỆ
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI
CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI - NĂM 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ MỸ LỆ
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI
CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. ĐẶNG HUY RUẬN
Hà Nội - Năm 2015
Mục lục
Mở đầu 3
1 Kiến thức cơ bản về phương pháp quy nạp toán học 6
1.1 Nguồn gốc của phương pháp quy nạp toán học . . . . . . 6
1.2 Quy nạp và quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . 12
1.3.1 Nguyên lí quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Cácvídụ ...................... 17
1.4 Một số hình thức của phương pháp quy nạp toán học . . 22
1.4.1 Hình thức quy nạp chuẩn tắc . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Hình thức quy nạp nhảy bước . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Hình thức quy nạp kép . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Ứng dụng phương pháp quy nạp toán học trong giải toán 35
2.1 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán số học,
đạisố,giảitích ....................... 35
2.1.1 Một số bài toán chia hết và chia có dư. . . . . . . 35
2.1.2 Một số bài toán về dãy số . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.3 Một số bài toán về tính tổng và chứng minh đẳng
thức ......................... 50
2.1.4 Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức . . . . 61
2.2 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán hình học 70
2.2.1 Tính toán bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.2 Chứng minh bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . 76
1
2.2.3 Dựng hình bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . . 82
2.2.4 Quy nạp với bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . 85
2.3 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán rời rạc
khác ............................. 89
3 Một số đề thi tham khảo 101
3.1 Đề thi Olympic toán học quốc tế . . . . . . . . . . . . . 101
3.2 Đề thi vô địch các nước và khu vực . . . . . . . . . . . . 103
2
Mở đầu
Nhà toán học vĩ đại Euclid đã viết "Trong thực tế, nhiều tính chất
của các số đã biết đều được tìm ra bằng phép quy nạp và được tìm thấy
rất lâu trước khi sự đúng đắn của chúng được chứng minh chặt chẽ. Cũng
có rất nhiều tính chất quen thuộc với chúng ta nhưng hiện thời chúng
ta còn chưa chứng minh được. Chỉ có con đường quan sát và tư duy quy
nạp mới có thể dẫn chúng ta đến chân lý." Câu nói này đã phần nào lột
tả được tầm quan trọng của phép quy nạp trong cuộc sống, khoa học và
toán học. Tuy nhiên, quá trình quy nạp là quá trình đi từ "tính chất"
của một số cá thể suy ra "tính chất" của tập thể nên không phải lúc nào
cũng đúng. Phép suy luận này chỉ đúng khi thỏa mãn những điều kiện
nhất định. Trong toán học cũng vậy, quá trình suy luận này chỉ đúng
khi nó thỏa mãn nguyên lý quy nạp.
Trong toán học có nhiều bài toán nếu chúng ta giải hay chứng minh
theo phương pháp thông thường thì rất khó khăn và phức tạp, khi đó
rất có thể phương pháp quy nạp toán học lại là công cụ đắc lực giúp
chúng ta giải bài toán đó.
Trong chương trình toán học phổ thông, phương pháp quy nạp đã
được đề cập đến ở lớp 11, nhưng phương pháp này mới được đề cập
trong một phạm vi hạn chế, chưa mô tả được một cách hệ thống, chưa
nêu rõ được ứng dụng của phương pháp này trong Số học, Đại số, Hình
học,....
Từ niềm yêu thích môn Toán nói chung và phương pháp quy nạp
nói riêng, cùng mong muốn nghiên cứu phương pháp này một cách sâu
hơn và hệ thống, mong muốn được tích lũy kiến thức toán học nhiều
hơn, có chuyên môn vững vàng hơn, tác giả đã lựa chọn đề tài
3