Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Số âm trong dạy học toán ở trường phổ thông một nghiên cứu so sánh giữa Lào và Việt Nam

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

VONGSAVENG Chanthaveesouk

SỐ ÂM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG: MỘT NGHIÊN CỨU SO SÁNH GIỮA LÀO VÀ VIỆT NAM.

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

SỐ ÂM TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG: MỘT NGHIÊN CỨU SO SÁNH GIỮA LÀO VÀ VIỆT NAM.

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: Toán-07-025

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS.Lê Thị Hoài Châu

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

MỤC LỤC

1TMỤC LỤC1T ......................................................................................... 3

1TMỞ ĐẦU1T ........................................................................................... 6

1T1.Lý do chọn đề tài1T ............................................................................................. 6

1T2.Khung lý thuyết tham chiếu1T ............................................................................ 7

1T2.1. Sai lầm và chướng ngại. Giải thích sai lầm và chướng ngại1T .................. 7

1T2.1.1. Khái niệm về sai lầm và chướng ngại1T ............................................. 7

1T2.1.2. Đặc trưng của chướng ngại1T ............................................................. 7

1T2.1.3. Quan niệm và qui tắc hành động1T ................................................. 8

1T2.2. Thuyết nhân học:1T .................................................................................. 10

1T3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu1T .......................................................... 10

1TChương 1 : MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VỀ

KHÁI NIỆM SỐ ÂM1T .................................................................................. 13

1T1.1.Mục tiêu của chương1T .................................................................................. 13

1T1.2Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm số âm1T ..................... 13

1T1.3.Về các quy tắc cộng, trừ, nhân chia trên các số âm1T ................................... 18

1TChương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG QUAN

ĐIỂM SO SÁNH1T ......................................................................................... 20

1T2.1. TIẾN TRÌNH XÂY DỰNG CÁC TẬP HỢP SỐ ÂM TRONG CHƯƠNG

1T2.1.1. Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thông ở

TRÌNH TOÁN THCS LÀO VÀ VIỆT NAM1T .................................................. 20

1T2.1.2. Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thông Việt

Lào1T ............................................................................................................... 21

1T2.2. SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I11T ................................................................. 25

Nam1T .............................................................................................................. 23

1T2.2.1. Khái niệm số âm:1T ............................................................................... 25

1T2.2.2. Giá trị tuyệt đối của một số1T ................................................................ 29

1T2.2.3. So sánh hai số (hữu tỉ)1T ....................................................................... 29

1T2.2.4. Các phép toán1T..................................................................................... 31

1T2.2.4.1. Phép cộng, trừ1T ............................................................................. 31

1TĐịnh lý:1T ........................................................................................... 32

1T2.2.4.2. Phép nhân1T ................................................................................... 32

1T2.2.4.3.

Phép

chia

..................................................................................................................... 34

1T2.2.4.4. Các tổ chức toán học liên quan đến số âm1T ................................. 34

1T2.3. SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I21T ................................................................. 42

1T2.3.1. Khái niệm số âm1T ................................................................................ 42

1T2.3.2. So sánh hai số nguyên1T ........................................................................ 42

1T2.3.3. Cộng hai số nguyên1T............................................................................ 42

1T2.4.KẾT LUẬN1T ................................................................................................ 45

1T2.4.1. Đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm1T ........................................... 45

1T2.4.2. Về quy tắc nhân hai số âm1T ................................................................. 47

1TChương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM GIỚI THIỆU THỰC

NGHIỆM1T ..................................................................................................... 48

1T3.1. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN1T ................................................. 48

1T3.1.1. Câu hỏi thực nghiệm:1T ......................................................................... 48

1T3.1.2. Phân tích a priori các câu hỏi thực nghiệm1T ........................................ 49

1T3.1.3. Phân tích a posteriori1T ......................................................................... 53

1T3.2. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI HỌC SINH1T ................................................... 55

1T3.2.1. Các bài toán thực nghiệm1T .................................................................. 55

1T3.2.2. Phân tích a priori các bài toán thực nghiệm1T ...................................... 56

1T3.2.2.1. Bài toán 11T .................................................................................... 56

1T3.2.2.2. Bài toán 21T .................................................................................... 57

1T3.2.2.3. Bài toán 31T .................................................................................... 58

1T3.2.2.4. Bài toán 41T .................................................................................... 59

1T3.2.2.5. Bài toán 51T .................................................................................... 60

1T3.3. Phân tích a posteriori thực nghiệm của HS1T ............................................... 61

1TKẾT LUẬN1T ..................................................................................... 65

1TTÀI LIỆU THAM KHẢO1T .............................................................. 66

1TPHỤ LỤC1T ........................................................................................ 67

MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Khái niệm số âm có một vai trò quan trọng trong sự phát triển của toán học và

trong thực tế. Ý nghĩa của số âm được tìm thấy nhiều trong thực tiễn. Khi chưa được học số âm, các em HS cũng đã bắt gặp chúng đâu đó nhiều trong cuộc sống.

Số âm tuy phát biểu rất đơn giản, có thể xem một cách THUẦN TUÝ như là số

dương gắn với dấu “ – ” đằng trước nhưng khi thực hiện các phép toán (cộng, trừ,

nhân, chia, so sánh,…) HS gặp không ít khó khăn.

Trong chương trình môn toán bậc trung học cơ sở (PTCS) của Cộng hòa Dân chủ

Nhân dân Lào (CHDCNDL) khái niệm số âm được đưa vào giảng dạy ở lớp 6, 7.

Đây là một nội dung rất hay nhưng cũng khá khó đối với học sinh. Nếu như trước

khi nghiên cứu số âm, HS chỉ thực biện được phép trừ khi số bị trừ lớn hơn số trừ

thì nay, phép tính này. Nhưng giải thích như thế nào cho học sinh (HS) về kết

quả âm của một phép tính trừ, chẳng hạn 3 – 8 = – 5 là gì ? Liệu HS có hiểu bản chất của các quy tắc tính toán và so sánh trên tập hợp Z hay không ? Chúng ta biết rằng trong lịch sử các nhà toán học cũng đã từng phải đi tìm nghĩa của số âm bằng mô hình lỗ lãi trong thương mại. Nhưng dường như mô hình này không cho phép giải thích quy tắc “tích (thương) hai số âm là một số dương”. Câu hỏi về tính hợp thức này đã phải được họ giải thích bằng cách chuyển sang phạm vi hình học. Nhưng điều đó không phải dễ đối với HS bậc THCS. Nếu tiếp cận theo thuật ngữ NGỮ (signifiant – cái biểu đạt) và NGHĨA (signifié – cái được biểu đạt) thì lúc này, dấu “ – ” được tìm thấy với ba nghĩa khác nhau : dấu “ – ” của phép trừ, của số âm và số đối. Ví dụ (-5) là âm 5, (-5) là số đối của 5 và là dấu “ – ” trong phép toán, chẳng hạn 3 – 5.

− = x

= và cho rằng

x− không có nghĩa vì hễ có dấu “ – ” ở

Sơ bộ tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy sự mơ hồ trong cách hiểu về số âm đã làm cho HS thật sự lúng túng khi vận dụng vào giải bài tập. Chẳng hạn, nhiều học

sinh ghi

trước thì đó là số âm, có dấu “+” thì là số dương

Là một sinh viên Lào tôi chọn đề tài “nghiên cứu về số âm trong dạy học toán ở trường phổ thông” cho luận văn thạc sĩ của mình. Câu hỏi mở đầu là:

1. Khái niệm số âm được trình bày như thế nào trong chương trình toán bậc THCS ở Lào?

2. Những sai lầm thường gặp của HS Lào khi học về số âm? Chúng xuất

phát từ những nguyên nhân nào? Có thể khắc phục được không?

2.Khung lý thuyết tham chiếu

Để trả lời những câu hỏi trên, trước hết chúng tôi xuất phát từ quan niệm về “sai

lầm và nguồn gốc của chủng” vốn được thừa nhận rộng rãi trong cộng đồng các

nhà nghiên cứu Pháp. Những ý kiến trình bày dưới đây được chúng tôi trích ra từ

cuốn sách song ngữ Việt-Pháp Nhập môn didactic toán (2009)của nhóm tác giả

Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến.

2.1. Sai lầm và chướng ngại. Giải thích sai lầm và chướng ngại

2.1.1. Khái niệm về sai lầm và chướng ngại

“Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard

và Brousseau thì kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của

học sinh với tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó.

Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được xây dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác. Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và có thể là không hoàn toàn chính xác.”

Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh:

“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không hiểu biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, và chúng tạo nên những chướng ngại.” (Brousseau, 1983).

Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có một nguồn gốc chung. Việc phân tích sai lầm có thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập”.

2.1.2. Đặc trưng của chướng ngại

Cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều có thể được xem là chướng ngại.

Trước hết, chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm.

“Kiến thức, quan niệm này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một số

ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn đến những câu trả lời sai ở

ngoài những ngữ cảnh này. Để có một câu trả lời chính xác và đúng trong

mọi trường hợp, cần phải có sự thay đổi trong quan điểm.”

Các chướng ngại được phân biệt tùy theo nguồn gốc của chúng. Có bốn kiểu

chướng ngại chủ yếu sau :

- Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử của những kiến thức mà việc loại bỏ nó đòi hỏi phải được đưa vào một

cách tường minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh.

- Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi didactic, chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học

của từng hệ thống giáo dục.

- Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đó

trong quá trình phát triển của nó.

- Chướng ngại văn hóa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luôn luôn tồn tại.

Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic của khái niệm, và như vậy nó đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đó.”

“Chỉ có những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc vượt qua chúng đóng một vai trò quyết định trong việc xây dựng tri thức. Và người ta có thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử phát sinh của chính khái niệm đang được nói đến.

2.1.3. Quan niệm và qui tắc hành động

Nếu sai lầm của HS không phải là ngẫu nhiên mà có thể dự đoán trước được thì làm thế nào để dự đoán và giải thích chúng ? Trả lời câu hỏi này, người ta đã sử dụng khái niệm quân niệm và quy tắc hành động.

• Quan niệm

Quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán học.

G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực

hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và

vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm

này dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu

được một cách khó khăn trong điều kiện bất lợi”.

Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau):

- Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh;

- Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các

định nghĩa và tính chất khác nhau.

• Qui tắc hành động

“Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ

rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực

hiện một nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay

nhiều tính chất toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả

lời của học sinh.

Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống. Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động. Thông thường thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó. Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó.”

Một vấn đề được đặt ra : bằng cách nào, ta có thể dự đoán trước những quan niệm mà HS có thể có về một đối tượng tri thức ? những quy tắc hành động nào có thể chi phối ứng xử liên quan đến tri thức đó của HS ?

Với cách giả thích về thuật ngữ quan niệm và quy tắc hành động như trên, chúng ta thấy là điều này phải được tiếp cận từ ba nghiên cứu :

- Nghiên cứu đặc trưng của tri thức

- Nghiên cứu sản phẩm của HS khi họ được đặt trước những tình huống mà

tri thức này có thể can thiệp.

Để nghiên cứu đặc trưng của tri thức, cần phải xem xét tri thức đó về phương diện khoa học luận : đâu là lý do nảy sinh, phát triển của tri thức ? nó có vị trí, vai trò gì, có quan hệ ra sao với các tri thức khác ? trong quá trình xây dựng nó,

các nhà toán học đã phải vượt qua những trở ngại, khó khăn nào ? sự thay đổi gì

trong quan niệm cho phép hình thành nên nó ? … Rất nhiều câu hỏi có thể được

trả lời từ nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của tri thức.

Nhưng, để bàn về việc dạy học tri thức đó thì như vậy hoàn toàn chưa đủ, bởi vì,

để có thể tồn tại và phát triển trong một thể chế dạy học nào đó, tri thức phải bị

biến đổi cho phù hợp với những ràng buộc và điểu kiện do thể chế quy định.

Phân tích cuộc sống của tri thức trong thể chế là một nghiên cứu không thể bỏ

qua khi bàn về việc dạy học tri thức đó. Liên quan đến nghiên cứu này, chúng tôi sẽ đặt mình trong phạm vi của Thuyết nhân học trong didactic toán, mà người ta

thường nói một cách ngắn gọn là thuyết nhân học.

2.2. Thuyết nhân học:

Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “quan hệ

thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”.

Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua

nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard

]Θ

, θτ , ,

(1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế

đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [ , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật Τ cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ.

3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Quan hệ thể chế với một đối tượng tri thức sẽ được làm rõ thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với nó mà thể chế đã thiết lập. Ngoài ra, chúng tôi thừa nhận một giả thuyết công việc đã được tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) phát biểu trong luận án của mình như sau :

“Việc đối chiếu cuộc sống của tri thức trong một thể chế khác sẽ cho phép làm rõ những đặc trưng của thể chế mà ta muốn nghiên cứu”.

Thể chế mà chúng tôi chọn để đối chiếu là thể chế dạy học số âm ở Việt Nam, bậc THCS, theo chương trình và sách giáo khoa (SGK) hiện hành. Giống như chương trình của Lào, số âm cũng được giảng dạy ở lớp 6 và lớp 7. Để thuận tiện, chúng tôi quy ước gọi I1 là thể chế dạy học số âm ở lớp 6, 7 của Lào, còn I2 là thể chế dạy học số âm ở lớp 6, 7 củaViệt Nam, theo chương trình và SGK hiện hành.

Thừa nhận giả thuyết công việc nêu trên và trong khung lý thuyết đã được lựa chọn, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi nghiên cứu như sau :

QR1R: Liên quan đến số âm, các tổ chức toán học nào được soạn thảo trong hai bộ SGK Lào và Việt Nam ? Đâu là những đặc trưng của quan hệ của hai thể chế I1,

I2 với đối tượng O – số âm ? Chúng có những điểm gì giống nhau ? khác nhau ?

Đâu là những điều kiện và ràng buộc của việc dạy học O trong mỗi thể chế ?

QR2R: Khó khăn của HS khi tiếp xúc với khái niệm số âm ?

QR3R: Những khó khăn này có thể sinh ra từ quan niệm hay quy tắc hành động nào ? Liệu những kiến thức về tập hợp các số tự nhiên mà các em biết trước đó có là trở ngại và nguyên nhân dẫn đến những sai lầm khi thực hiện các phép toán trên

tập hợp số nguyên âm không?

Đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên là mục đích nghiên cứu của chúng tôi.

Để trả lời câu hỏi, chúng tôi sẽ tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng có tác

dụng bổ sung cho nhau, một nghiên cứu điều tra khoa học luận về khái niệm số

âm và một nghiên cứu thể chế với đối tượng này.

Đối với nghiên cứu thứ nhất, chúng tôi sử dụng kết quả của các nghiên cứu đã

tồn tại mà chúng tôi được biết về lịch sử của khái niệm số âm. Ở đây chúng tôi sẽ

cố gắng làm rõ sự tiến triển cũng như nghĩa của khái niệm số âm.

Đối với nghiên cứu thứ hai, chúng tôi sẽ phân tích hai bộ SGK hiện đang được sử dụng ở Lào và Việt Nam, làm rõ sự giống và khác nhau giữa trong cách trình bày khái niệm số âm, những điều kiện và ràng buộc thể chế gắn với khái niệm đó.

Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho chúng tôi hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm. Đó sẽ là cơ sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm.

Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng tôi hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trò gì trong thể chế. Nó cũng giúp cho chúng tôi xác định nguồn gốc didactic của những khó khăn mà học sinh thường gặp. Từ đó đưa ra dự đoán kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh phạm phải gắn liền với khái niệm số âm.

Như vậy, hai nghiên cứu trên sẽ cho phép chúng tôi đưa ra những giả thuyết nhằm mục đích trả lời cho các câu hỏi Q2, Q3. Các giả thuyết sẽ được kiểm chứng (hay bác bỏ) bằng một thực nghiệm dành cho học sinh lớp 6, 7 và một thực nghiệm trên giáo viên hai nước.

Kết quả nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong ba chương.

Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ ÂM

Do không có điều kiện thực hiện một nghiên cứu đầy đủ về lịch sử hình thành tri

thức, chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả của Nguyễn Thiện Chí.

Chương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG QUAN ĐIỂM

SO SÁNH

Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng số âm. Thông qua việc

nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập

hiện hành ở các lớp 6, 7. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm số âm, cũng như chỉ ra được các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của

chúng qua các khối lớp, bậc học.

Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tôi trả lời câu hỏi và đưa ra các giả

thuyết nghiên cứu.

Chương 3: THỰC NGHIỆM

Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này, chúng

tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: Thực nghiệm đối với giáo viên và học

sinh qua các phiếu học tập.

Chương 1 : MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN

VỀ KHÁI NIỆM SỐ ÂM

1.1.Mục tiêu của chương

Mục tiêu của chương là nghiên cứu lịch sử hay khoa học luận về khái niệm số âm

nhằm làm rõ các đặc trưng của đối tượng này trong quá trình nảy sinh và phát

triển của nó

Đặc trưng khoa học luận và đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm là gì? Phần

này chúng tôi lấy lại kết quả nghiên cứu của Nguyễn Thiện Chí.

Cụ thể chúng tôi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây:

1. Khái niệm “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học

luận?

2. Chướng ngại gì gắn liền với số âm?

1.2Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm số âm

Một lần nữa, chúng tôi nhắc lại rằng toàn bộ phần này được chúng tôi lấy từ luận văn của tác giả Nguyễn Thiện Chí.

Những người Trung Quốc đã sử dụng những số âm từ thế kỷ đầu tiên của thời đại chúng ta. Thông thường họ dùng những que tính màu đen để biểu thị các số âm, những que màu đỏ để biểu thị các số dương. Liu Hui (220-280) đã giải thích và dạy các phép tính số học bằng cách liên kết với các que tính. Tuy nhiên những số âm chỉ xuất hiện như là hỗ trợ cho tính toán, nghĩa là công cụ trung gian, không có số âm trong những phát biểu của bài toán, cũng không có trong các câu trả lời. Trong thời kỳ này số âm được hiểu như số “tiền nợ”Diophante (khoảngthế kỉ thứ 3, sau công nguyên) không chấp nhận những phương trình

P, bởi nghiệm của chúng là “vô lý”. Diophante xem số âm

dạng như 4 = 4x + 20P0F

− (trong đó δ

− 1 Ẩn số x được ki hiệu là s’, bên phải ẩn số Diophante ghi hệ số, ví dụ 4x được viết là s’δ = 4). Khi cộng ông viết số hạng này sát số hạng kia, dùng chữ l để chỉ đẳng thức. Như vậy phương trình ở

− κ

− l δ

, với κ=20.

− trên được viết là s’δ

là số “vô lý”.

Brahmagupta (598-660) là nhà toán học lớn người Ấn Độ thế kỷ VI và VII. Qua tác

phẩm của ông người ta xác nhận rằng: “Ông là người đầu tiên đưa ra số 0 và những

số âm. Và ông đã dùng những số này trong tính toán những “khoản tiền” ”.

Các nhà toán học Ấn Độ xem số âm là “số lỗ”, là “món nợ”. Quy tắc cộng các số

được viết là: “Tổng của hai số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của số lãi và số lỗ là hiệu của chúng và nếu hai số đó bằng nhau thì tổng bằng

không”. Trong giai đoạn này số âm được trình bày dưới dạng các “khoản nợ”.

Nó không được sử dụng mà chỉ được coi như một khả năng lý luận. Mặt khác

Brahmagupta đã sử dụng dấu chấm (.) để chỉ số “tiền nợ”.

− 3 m

Vào năm 1484, trong tác phẩm “khoa học về các số” của mình Chuquet (1445-

k ma

P, nói chung

P(m là từ chữ la tinh minus nghĩa là ka− . Như vậy, trong thời kỳ trừ) là kí hiệu của 5P này ông dùng ký hiệu chữ m với một vạch nhỏ trên đầu để chỉ phép trừ và cho cả

1500) đã đưa vào số mũ âm, chẳng hạn 5P -3 là ký hiệu của

số âm.

Số âm được hiểu theo nghĩa là số “thiếu”. Tuy nhiên lúc bấy giờ số âm chưa được chấp nhận.

Ở phương tây những số âm xuất hiện vào cuối thế kỷ XV, khi giải phương trình. Chẳng hạn, qua tác phẩm “Các qui tắc đại số” của nhà toán học người Ý Cardan (1501-1576) người ta xác nhận rằng: “Cardan là người đầu tiên đã nhận ra nhiều giá trị của ẩn số trong những phương trình và ông phân biệt các số dương, số 2 P + 4x = 21 và nhận thấy âm. Chính ông đã đề nghị một phương trình bậc hai: xP các giá trị của x là +3 và số hư 7”. Cardan gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”. Ông

4 P – 9xx + 26x – 24 ∝ 0 thì được xP

3 P0, lấy x + 5 nhân với xP

3 P – 4xP

dùng ký hiệu m để chỉ số “hư”. Ký hiệu này trùng với ký hiệu của phép toán trừ mà Chuquet đã sử dụng.

2 Kí hiệu ∝ được đưa vào năm 1557 bởi Robert Record (1510 – 1558) tương ứng với ngày nay là kí hiệu dấu “=”

Vào năm 1637, trong tác phẩm “hình học” của mình Descartes (1596-1650) đã giới thiệu các nghiệm của một phương trình như sau: “Đôi khi một vài nghiệm thì được gọi là “hư” hoặc nhỏ hơn 0, khi giả sử x để chỉ số lượng thiếu nó là 5 thì x + 5 ∝ P1F P – 19xx + 106x – 120 ∝ 0. Phương trình này có bốn nghiệm, trong đó ba nghiệm thật là 2, 3, 4 và một nghiệm hư là 5”.

Như vậy, Descartes gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”, số “nhỏ hơn 0”, số “thiếu”.

Dấu “-” trong đoạn trích trên dùng để chỉ phép trừ, kí hiệu này được giới thiệu

bởi nhà bác học Tiệp Vidman (1489).

Các số âm đã phải trải qua nhiều khó khăn trong một thời gian dài vẫn chưa được

công nhận, số âm được hiểu theo nghĩa như số “tiền nợ”, số “thiếu”, các nghiệm âm của phương trình gọi là số “vô lý”, nghiệm “hư”, bên cạnh nghiệm thật là số

dương. Các nghiệm này sinh ra từ giá trị của chữ chưa biết trong phương trình.

Đến khi hình học giải tích của Descartes ra đời, số âm được chấp nhận vào thế kỉ

thứ 17 sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích. Với

sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng (chẳng hạn các

đoạn thẳng hướng theo chiều ngược, di chuyển theo chiều ngược với chiều đã

chọn). Ông biểu diễn số âm trên trục số vào bên trái điểm 0 với cách viết như -

1,-2, -3,…Từ đó kí hiệu dấu“-” được gán để chỉ số âm đã xuất hiện. Như vậy, sự

xuất hiện của dấu “-” là một dấu hiệu chỉ số âm. Điểm đáng chú ý ở đây là dấu “- ” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu vào năm 1489.

Vào năm 1748, Maclaurin (1698-1746) đã hình thành các quy tắc nhân: nhân một số âm với một số dương, nhân hai số âm như sau: “Với a và n là các số dương thì:

n × [a + (-a)] = n × 0 = 0 (1)

n × [a + (-a)] = n × a + n × (-a) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: n × a + n × (-a) = 0

Vì n × a là số dương nên n × (-a) là số âm

n là số dương và (-a) là số âm nên tích của một số dương và một số âm là một số âm

(-n) × [a + (-a)] = (-n) × 0 = 0

(-n) × [a + (-a)] = (-n) × a + (-n) × (-a)

Do đó: (-n) × a + (-n) × (-a) = 0

Mà (-n) × a là số âm (vì nhân một số dương với một số âm)

Suy ra: (-n) × (-a) là một số dương

Vì (-n) là số âm và (-a) là số âm nên tích của hai số âm là một số dương”

Trong chứng minh trên Maclaurin đã đề cập đến việc dùng ký hiệu chữ, nhưng ở

đây chữ chỉ đại diện cho số dương và do đó chẳng hạn (–a) được hiểu là số âm.

Như vậy đã có thời kỳ mà (-a) luôn được xem là số âm (vì luôn giả thiết a > 0).

Vào năm 1766, trong sách giáo khoa của mình Euler (1707-1783) đã khẳng định

sự tồn tại phép toán 25 - 40 = -15 và những số âm thì nhỏ hơn 0. Ông đã xem 2

dãy số: 0, 1, 2, 3, 4,…,-4, -3, -2, -1, 0 hợp lại thành tập số nguyên. Euler định

nghĩa bốn phép toán trên những số này.

Trong giáo trình giải tích của mình (1821), Cauchy (1789-1857) đã định nghĩa số (để chỉ số cụ thể) và đưa ra quy tắc nhân dấu dựa trên các ký hiệu “+” và “-” như

sau: “Những số bao gồm phần bằng số và trước nó có dấu “+” hoặc “-”. Dấu “+”

hoặc “-” đặt trước một số sẽ làm thay đổi nghĩa của số đó, gần như là một tính từ

đổi thành danh từ. Những số mà đằng trước có dấu “+” gọi là những số

dương, những số mà đằng trước có dấu “-” gọi là những số âm. Trong trường

hợp mà ở đó chữ a được đại diện bởi một số thì ký hiệu – a để chỉ số đối của a.

Theo sự thỏa thuận này thì nếu A đại diện cho số bất kỳ, người ta có: a = +A, b

= -A. Ta có: +a = +A, +b = -A, -a = -A, -b = +A.

Nếu trong bốn phương trình này, người ta đặt lại a, b và giá trị của chúng trong ngoặc đơn thì sẽ có: +(+A) = +A; +(-A) = -A; -(+A) = -A, -(-A) = +A. Trong mỗi công thức này dấu ở vế phải gọi là tích của hai dấu ở vế trái. Việc xem xét duy nhất những phương trình ở trên đủ để hình thành quy tắc của những dấu”.

Từ đoạn trích trên, chúng tôi nhận thấy Cauchy đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể), dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ). Theo chúng tôi đây chính là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ.

Theo quan điểm của Wilckens (1800) thì ông đưa ra việc phân biệt rõ ràng giữa dấu của phép toán với dấu của một số, để giải thích sự khác nhau ông đề nghị

một khái niệm số đối của một số a được ký hiệu bởi a và số đối ở đây được xác

định bởi phương trình: a + a = 0. Bằng cách sử dụng a như là dấu của một số

đối của a, ông đưa đến định nghĩa: “đối với một số nguyên bất kỳ b, số đối của nó

là b được cho bởi phương trình b + b = 0. Vì vậy phép trừ tổng quát trên

những số nguyên được định nghĩa bởi: a – b = a + b ”

Theo quan điểm của Hankel (1867), được thể hiện trong giáo trình: “lý thuyết của số phức”. Ông giải thích phép nhân hai số đối:

“0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb)

0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb)

Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab”

Từ cách trình bày trên đã cho thấy Hankel kí hiệu (oppa) để chỉ số đối của số a.

Với cách ký hiệu này thì ông đã phân biệt một cách rõ ràng dấu “-” của số đối

(trong cách ký hiệu số đối của Cauchy) và dấu “-” của phép toán trừ.

Bảng 1. Sự tiến triển của khái niệm số âm

Đối Đặc trưng của số Thời điểm Kí hiệu của số âm tượng âm

Các que tính màu Số âm được hiểu Liu Hiu (220-280) số cụ thể đen như số “tiền nợ”

Diophante(Thế kỉ thứ Số âm được hiểu Không có kí hiệu Số cụ thể 3) như số “vô lý”

Số âm được hiểu Brahmagupta(598-660) Dấu chấm (.) Số cụ thể như số “tiền nợ”

− m

Số cụ thể Chuquet (1445-1500) Số âm được hiểu như số “thiếu”

− m

Số cụ thể Cardan (1501-1576) Số âm được hiểu như số “hư”

Descartes (1596-1650) Dấu “-” Số cụ thể

Số âm được chấp nhận, sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng.

Maclaurin (1698-1746) Dấu “-” - a được hiểu là số âm

Chữ chỉ đại diện số cho dương

Euler (1707-1783) Dấu “-” Số cụ thể

Số âm được hiểu như một ký hiệu gồm số dương và dấu “-” đứng trước.

Số âm được hiểu như một ký hiệu Cauchy (1789-1857) Dấu “-” Số cụ thể gồm số dương và

dấu “-” đứng trước.

- a được hiểu là số đối của a

Dấu “-” Chữ

Tóm lại, trong lịch sử, số âm đã có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau

đây:

- Số âm được sinh ra từ nhu cầu tính toán các “khoản tiền”, giải phương

trình,…Trong một thời gian dài số âm không được chấp nhận, chẳng hạn các

nghiệm âm của phương trình được gọi là nghiệm “hư”, số “vô lý”, số “thiếu”.

Cuối cùng số âm cũng được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17, sau khi được Descartes

biểu diễn trực quan trong hình học giải tích, với sự giải thích hình học số âm như

là các đoạn thẳng có hướng. Cuối cùng đã xóa bỏ sự khác biệt về nguyên tắc

giữa các nghiệm âm và nghiệm dương.

- Ký hiệu của số âm đã được sử dụng qua các giai đoạn lịch sử: Các que

màu đen, dấu chấm, m (trùng với dấu của phép toán trừ m mà chuquet đã sử dụng), dấu“-” (trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu). Điều này cho thấy tính không thống nhất trong việc sử dụng ký hiệu gắn với số âm. Hơn nữa đã có thời kỳ (-a) được hiểu là số âm (vì luôn giả thiết a dương).

- Đã có các quan điểm khác nhau trong cách sử dụng kí hiệu số đối của một số, chẳng hạn, theo Hankel thì số đối của a, kí hiệu là oppa, theo Wilekens thì số đối của a, kí hiệu là ā. Với các quan điểm này tạo thuận lợi cho việc phân biệt dấu của số âm và dấu của phép toán trừ. Tuy nhiên, Cauchy lại sử dụng cùng một kí hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số âm (trong trường hợp số cụ thể) và là dấu chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”). Điều này dẫn đến trở ngại trong việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí hiệu chữ. Theo chúng tôi đây được xem như là kiểu trở ngại liên quan đến phức tạp về nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang chữ.

Như vậy, việc phân tích lịch sử cho phép chúng tôi chỉ ra chướng ngại chủ yếu liên quan đến số âm: Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể có thể tạo nên chướng ngại cho việc hiểu số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ.

1.3.Về các quy tắc cộng, trừ, nhân chia trên các số âm

Giải thích như thế nào về các quy tắc cộng, trừ nhân chia hai số a, b, trong đó có

ít nhất một số âm ?

Rõ ràng là trong dạy học toán ở trường phổ thông thì cách giải thích trên tập N

không phải lúc nào cũng mở rộng được cho trường hợp này. Chẳng hạn, nếu

trước kia a + b được giải thích qua phép đếm a đồ vật và b đồ vật, thì bây giờ a +

b, với a, b ∈ Z là gì ?

Về câu hỏi này, ta thấy là mô hình « tiền nợ » hay « lỗ, lãi » sẽ cho phép đưa ra

câu trả lời. Ví dụ : lãi a (a > 0) đồng, lỗ b (b > 0) đồng thì a + (-b) sẽ là khoản

tiền lỗ hay lãi tùy theo |a| và |b|, từ đó có quy tắc cộng hai số trái dấu ; hay nợ a

−=

(a > 0) đồng và nợ b (b > 0) đồng thì thành nợ (a + b) đồng, tức là

(

−+− )

(

)

(

)

(quy tắc tính tổng hai số âm).

Trong cách tiếp cận phép nhân a.b (a, b ∈ Z, a > 0, b < 0) như là phép cộng lặp

lại a lần b thì ta cũng có thể dùng mô hình đó để giải thích quy tắc nhân hai số

trái dấu. Nhưng với mô hình đó thì làm sao giải thích quy tắc dấu trong phép toán

nhân, chia hai số âm ?

Giải thích của Hankel (1867) và Maclaurin (1748) mà chúng tôi đã trích dẫn trong

phần trên cho ta một câu trả lời thỏa đáng. Chẳng hạn, giải thích do Hankel đưa

ra là :

“0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb)

0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb)

Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab”

Bằng ngôn ngữ của đại số hiện đại, chúng ta thấy phải đặt hai phép toán cộng,

nhân vào vành số nguyên Z và trường số thực R, thì các tiên đề của cấu trúc vành

và trường (cụ thể là tiên đề về tính phân phối của phép nhân và phép cộng) sẽ

cho phép ta giải thích được những quy tắc tính toán kiên quan đến hai phép toán

đó và hai phép toán ngược (trừ, chia) của chúng nói chung, đặc biệt là quy tắc

nhân (chia) hai số âm.

Chương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG

QUAN ĐIỂM SO SÁNH

Đặt nghiên cứu của mình trong thể chế dạy học số âm ở hai Nước Việt Nam và

Lào để đi tìm lời giải cho những câu hỏi sau là mục đích của chúng tôi ở chương

này:

Trong chương này chúng tôi sẽ cố gắng tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi:

- Sự giống nhau và khác nhau giữa hai bộ sách giáo khoa Việt Nam và Lào

trong khi trình bày khái niệm số âm?

- Đối với học sinh sự khác nhau giữa số âm và phép “-” theo quan niệm của

họ là gì ?

- Với cách hiểu đó đã đưa cho họ những sai lầm và khó khăn nào ? cụ thể

chúng biểu hiện ra sao?

Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là thể chế dạy học số âm trong chương trình hiện hành của Lào. Để tiện lợi trong trình bày, chúng tôi gọi đây là I1. Việc nghiên cứu quan hệ của thể chế I1 với đối tượng O – số âm - sẽ được thực hiện trước hết thông qua phân tích chương trình Tiểu học và Trung học cơ sở. Phân tích này sẽ làm rõ tiến trình hình thành các tập hợp số trong dạy học toán bậc phổ thông của Lào. Sau đó, chúng tôi sẽ tiến hành một phân tích chi tiết sách giáo khoa lớp 7, lớp mà khái niệm số âm và các kiến thức liên quan đến chúng được đưa vào.

Phân tích quan hệ của thể chế I1 sẽ được đặt trong quan điểm so sánh. Cụ thể, như đã nói trong phần mở đầu, việc đối chiếu thể chế I1 với một thể chế I2 khác, mà ở đây chúng tôi chọn là thể chế dạy học số nguyên theo chương trình hiện hành ở trường phổ thông Việt-Nam, sẽ giúp làm nổi bật những đặc trưng trong quan hệ của I1 đối với O.

2.1. TIẾN TRÌNH XÂY DỰNG CÁC TẬP HỢP SỐ ÂM TRONG

CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS LÀO VÀ VIỆT NAM

Trước hết, chúng tôi phải giải thích rõ là hệ phổ thông của Lào trước đây gồm 11 lớp. Nhưng kể từ năm học 2010-2011 thì hệ phổ thông đã có thêm lớp 12. Với sự xuất hiện này, quá trình đào tạo phổ thông cũng được phân thành ba bậc như

Việt-Nam : bậc tiểu học từ lớp 1 đến lớp 5, bậc trung học cơ sở từ lớp 6 đến lớp

9, bậc trung học phổ thông từ lớp 10 đến lớp 12.

2.1.1. Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thông

ở Lào

Như mọi chương trình khác, việc nghiên cứu các tập hợp số được bắt đầu ngay từ

lớp 1 với tập N. Số tự nhiên được hình thành thông qua việc đếm các đồ vật. Ở

đây, học sinh học các phép toán cộng và trừ trong phạm vi các số từ 0 đến 100.

Vấn đề so sánh hai số tự nhiên cũng được nêu ra thông qua các thuật ngữ “nhiều

hơn, ít hơn”.

Sang lớp 2, tập hợp các số được nghiên cứu mở rộng đến các số trong phạm vi

1000 và hiển nhiên là các phép toán, quan hệ thứ tự cũng được mở rộng cho các

số này. Người ta đưa vào các phép tính có nhớ ở lớp 3. Việc nghiên cứu tập số tự

nhiên N cùng với các phép toán và quan hệ thứ tự trên nó hoàn thiện ở cuối học

kỳ 1 của lớp 4.

Khái niệm phân số (dương) được trình bày ở lớp 4 và tiếp tục nghiên cứu ở lớp 5.

Cũng ở lớp này, người ta giới thiệu số thập phân (dương), các phép toán và quy tắc so sánh các số thập phân. Số thập phân được trình bày như là một loại phân số đặc biệt (phân số có mẫu số là 10, 100, 1000, …)

Như vậy, kết thúc bậc tiểu học học sinh đã làm việc với các số tự nhiên. Bốn phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) và quy tắc so sánh trên tập hợp các số đó cũng đã được nghiên cứu.

Chương trình bậc trung học cơ sở bắt đầu từ lớp 6. Ở đây, người ta dành một thời lượng quan trọng để nhắc lại các kiến thức số học đã được đưa vào ở Tiểu học. Giống như ở Tiểu học, chương trình lúc này vẫn không chia theo từng chương riêng mà cấu thành từ 37 bài với sự đan xen các nội dung về số học, hình học, thống kê mô tả. Các nội dung về hình học và thống kê mô tả chiếm 23 bài. 3 bài dành cho ôn tập cuối lớp. Còn lại 11 bài tập trung cho phần nghiên cứu các tập hợp số. Một trong những nội dung quan trọng của chương trình toán lớp 6, là bộ sung, hệ thống hóa những kiến thức đã được nghiên cứu ở bậc tiểu học về số tự nhiên, phân số, số thập phân với bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia. 11 bài đầu tiên của chương trình Toán lớp 6 dành cho mục tiêu này. Ở đây, chương trình đưa vào những nội dung sau :

- Viết và đọc số tự nhiên và số hữu tỉ

- So sánh số tự nhiên và số hữu tỉ

- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên và số hữu tỉ

Số hữu tỉ được hiểu là số thập phân hữu hạn, có thể viết được dưới dạng phân số.

Chính ở bài số 12 “Kiến thức phổ biến về số nguyên” mà người ta mới đưa vào

khái niệm số âm. Như thế, dầu thuật ngữ “số hữu tỉ” đã xuất hiện trước đó, thực

chất người ta chỉ nghiên cứu các số hữu tỉ không âm mà thôi.

Chương trình toán lớp 7 gồm 10 chương :

Chương 1 : So sánh số nguyên dương, số nguyên âm

Chương 2 : Hệ thức tỉ lệ, thống kê

Chương 3: Phép nhân, phép chia số nguyên

Chương 4: Lũy thừa, phương trình, bất phương trình

Chương 5: Hàm số và đồ thị

Chương 6: Đối xứng

Chương 7: Hình tam giác

Chương 8: Diện tích

Chương 9: Diện tích và thể tích

Chương 10: Đường thẳng trong mặt phẳng

Trong chương trình toán này ta thấy là phần đại số và hình học đan xen nhau.

Như thế, việc xây dựng tập hợp các số nguyên Z được thực hiện chủ yếu ở lớp 7. Trong chương trình này, người ta đưa vào quy tắc so sánh các số nguyên, các phép toán trên tập Z cũng được nghiên cứu ở lớp 7. Phương trình, bất phương trình bậc nhất ax + b = 0, ax + b > 0 trước kia đã từng được nói đến (nhưng chỉ trong trường hợp a, b ∈ N và phương trình có nghiệm không âm) nay được xem xét cho cả trường hợp a, b ∈ Z và nghiệm cũng có thể thuộc Z.

Ở lớp 8, vấn đề mở rộng tập hợp số không thuộc phạm vi chương trình. Trên tập hợp số hữu tỉ chương trình đưa vào các kiến thức về đa thức và phân thức đại số, giải phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Số thực được giảng dạy ở chương đầu tiên của lớp 9, chỉ có một bài học được đưa ra nhằm giới thiệu khái niệm số vô tỉ, số thực, so sánh các số thực.

Phân tích trên cho thấy tiến trình xây dựng tập số thực R trong chương trình toán phổ thông của Lào có thể được mô tả theo sơ đồ sau :

Phân số, số thập phân (dương)

Q R N

Số nguyên âm

Phân số, số thập phân (âm)

Sơ đồ 1

2.1.2. Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thông

Việt Nam

Theo chương trình của Việt Nam, số nguyên âm bắt đầu được nghiên cứu trong

SGK toán lớp 6 tập 1. Các nội dung về số nguyên âm được trình bày thành một chương (chương 2) dạy trong 29 tiết, với 13 bài sắp xếp như sau :

§1. Làm quen với số nguyên âm. §2. Tập hợp các số nguyên. §3. Thứ tự trong tập hợp các số nguyên. §4. Cộng hai số nguyên cùng dấu. §5. Cộng hai số nguyên khác dấu. §6. Tính chất của phép cộng các số nguyên. §7. Phép trừ hai số nguyên. §8. Các quy tắc dấu ngoặc. §9. Quy tắc chuyển vế. §10. Nhân hai số nguyên khác dấu. §11. Nhân hai số nguyên cùng dấu. §12. Tính chất của phép nhân. §13. Bội và ước của một số nguyên.

 Mục tiêu của chương này là nhằm giúp học sinh:

1. Biết được sự cần thiết của các số nguyên âm trong thực tiễn và trong toán học. 2. Phân biệt và so sánh được các số nguyên. 3. Tìm được số đối và giá trị tuyệt đối của một số nguyên.

4. Biết được nhu cầu cần thiết phải mở rộng tập Ν 5. Nhận biết và đọc đúng số nguyên âm trên trục số

6. Hiểu và vận dụng đúng các quy tắc thực hiện các phép tính cộng, trừ,

nhân, chia các số nguyên, các tính chất của phép tính trong các tính toán

không phức tạp, các quy tắc chuyển vế, dấu ngoặc trong các biến đổi các

biểu thức, đẳng thức.

7. Hiểu được các khái niệm bội, ước của các số nguyên; biết cách tìm các bội, ước của một số nguyên.

Chương đầu tiên của chương trình toán lớp 7 dành cho việc xây dựng tập số hữu

tỉ Q và sau đó là tập số thực R. Trước hết người ta mở rộng các kiến thức về số

nguyên âm cho tập số hữu tỉ, được định nghĩa như là tập các số thập phân hữu

hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Sau đó, người ta đưa vào khái niệm số thực với tư

cách là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ (số thập phân vô hạn không tuần hoàn). Các quy

tắc tính toán đã có trên Q được mở rộng cho R. Như vậy, có thể xem là việc xây

dựng tập R đã hoàn thiện từ lớp 7. Tuy nhiên, đến lớp 9, chương trình quay trở

lại xem xét R, nhưng tập trung vào việc phân biệt rõ căn (bậc 2) số học với căn

đại số của một số thực dương và vấn đề rút gọn các biểu thức có chứa căn (bậc 2, bậc 3).

Phân tích trên cho thấy tiến trình xây dựng các tập hợp số ở trường phổ thông Việt Nam cũng giống như ở Lào. Tiến trình đó đã được chúng tôi mô tả bởi sơ đồ 1. Tuy nhiên, nếu như ở Lào, phải đến lớp 9 tập R mới được nghiên cứu thì điều này đã có thể xem như hoàn thiện ở lớp 7.

Liên quan đến số âm thì chương trình của Lào phân việc nghiên cứu chúng qua ba lớp : lớp 6 và 7 đề cập số nguyên âm, các phép tính trên tập số nguyên, so sánh hai số nguyên; các quy tắc tính cộng, trừ, nhân, chia và so sánh sau đó được xem xét trên các phân số (dương, âm) cũng ở lớp 7. Các quy tắc này sau đó được mở rộng cho tập R, nghiên cứu ở lớp 9.

Ở Việt Nam, toàn bộ nội dung về số âm có trong chương trình lớp 6 và 7 của Lào được xem xét trọn vẹn trong hai chương của chương trình toán lớp 6 ở Việt Nam : chương 2 – Số nguyên, và chương 3 – Phân số. Tập số thực thì đã được nghiên cứu ngay từ lớp 7, ở đó người ta mở rộng các quy tắc tính toán và so sánh đã được xây dựng trên Q.

Dưới đây chúng tôi sẽ đi sâu vào phân tích quan hệ của mỗi một thể chế đối với đối tượng số âm. Với những gì đã được làm rõ qua phân tích chương trình ở trên, ta thấy các kiến thức về số âm được xây dựng chủ yếu trong Z, sau đó là trong Q, còn đối với R thì người ta chỉ việc mở rộng những gì đã kiến thiết được trong Q,

bởi R được xem như là tập các số thập phân (hữu hạn, vô hạn tuần hoàn hoặc

không tuần hoàn). Nhận xét đó dẫn chúng tôi đến việc tự giới hạn phân tích các

vấn đề về số âm ở lớp 6 và lớp 7 của Lào, lớp 6, 7 của Việt Nam, là những lớp

+ P. sánh hai số đã được xem xét đầy đủ trên các tập N và QP

mà tập Z và Q được nghiên cứu. Lưu ý rằng trước đó các phép toán và quy tắc so

Những gì vừa nói giải thích cho sự lựa chọn hai thể chế I1 (thể chế dạy học toán

ở lớp 6, lớp 7 của Lào) và I2 (thể chế dạy học toán ở lớp 6, 7 của Việt Nam) mà chúng tôi đã nói đến trong phần mở đầu của luận văn.

Với mục đích nghiên cứu quan hệ thể chế I1, I2 đối với O – số âm, chúng tôi sẽ

phân tích SGK, tham khảo sách giáo viên (SGV). Để thuận tiện cho việc trình bày kết quả nghiên cứu, chúng tôi dùng các ký hiệu SGKRL6R, SGKRL7R, SGKRV7R, SGKRV7R, để chỉ lần lượt SGK toán lớp 6, 7 của Lào, rồi lớp 6, 7 của Việt nam, còn SGVRL6R, SGVRL6R, SGKRV7R, SGKRV6R, SGVRV7R để chỉ các cuốn SGV ứng với những SGK đó.

2.2. SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I1

2.2.1. Khái niệm số âm:

Theo quy định của chương trình, trong ba bài cuối cùng của lớp 6 (bài 12: Số nguyên; bài 13: Cộng số nguyên; bài 14: Trừ số nguyên) học sinh được làm quen với số âm.

Ở bài 12, SGKRL6R đưa số âm vào như sau :

Giá mua

Giá bán Lời và lỗ Kí hiệu

Kết quả

Lời 50

+50

250

200

300

450

500

400

800

2500

2000

300

400

1. Hoạt động1 Có một người thống kê việc buôn bán của mình theo bảng sau. Hãy điền thêm các giá trị vào bảng

Hoạt động 2 : Có một người đi bộ sao cho khoảng cách giữa các bước đi

không đổi, người đó bắt đầu xuất từ 0. Quan sát bước đi của người đó và

ghi nhận lại các giá trị

Phía trước 0 phía sau

Viết vào ví dụ:

a. Tiến về phía trước 4 bước và lùi về phía sau 3 bước nghĩa là tiến về phía

trước 1 bước so với 0

b. Tiến về phía trước 5 bước và lùi phía sau 6 bước nghĩa là lùi về phía sau

1 bước so với 0

c. Tiến về phía trước 10 bước và lùi về phía sau 3 bước nghĩa là…… so với

Khoảng cách 1

Khoảng cách 2

Kí hiệu độ dài khoảng cách

Tiến phía trước 4 bước

Lùi về phía sau 3 bước

+4 và -3

Tiến phía trước 5 bước

Lùi về phía sau 6 bước

……………………

Lùi về phía sau 8 bước

Tiến phía trước 10 bước

……………………

Lùi về phía sau 13 bước

Tiến phía trước 12 bước

……………………

Sau đó viết thêm vào bảng sau đây:

2. Bài học 2.1. Dấu hiệu nhận biết trên tia:

-1,5 -0,5 0,5 1,5

-2 -1 0 +1 +2

Có thể chỉ dấu hiệu về vị trí ở hai đầu của 0 ở tia bằng cách sử dụng số nguyên

2.2. Viết số nguyên

Ta viết số nguyên theo quy ước : Ký hiệu + hoặc - theo số tự nhiên và số âm

Ví dụ: + 5,3 đọc là dương năm phẩy ba

- 4 đọc là âm bốn

- 0,5 đọc là âm không phẩy năm

2.3. Số dương và số âm

- Các số tự nhiên khác 0 được gọi là số nguyên dương kí hiệu của nó là

âm dương

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Số 0 không là số nguyên dương và nguyên âm - Các số -1 ,-2 ,-3… là số nguyên âm -

2.4. Số đối

Ví dụ: +2 và -2 ; +1,3 và -1,3

-2 B 0 A +2

-1,3 +1,3

Ngược nhau

Số đối nhau là số có kí hiệu ngược nhau

Độ lớn của A là + 1,3 ta viết A(+1,3). Độ lớn của B là - 1,3 ta viết B(-1,3) ; A và B nằm ở hai phía so với 0.

Như vậy, mô hình « lỗ, lãi » và « tiến, lùi » đã được sử dụng để giới thiệu số âm. Để chuyển vào toán học thì SGK sử dụng mô hình tương ứng với các mô hình đó là trục số. Sau đó, SGK đưa vào cách viết hình thức : quy ước viết dấu + hay – tùy theo đó là số tự nhiên hay số âm. Ở đây, chúng tôi lưu ý là trước khi đưa vào quy ước này thì SGK chưa hề định nghĩa số âm là gì. Điều đó lại được làm sau khi đã quy ước về cách viết. Lưu ý thứ hai là tuy đề bài là Số nguyên, nhưng trong ví dụ SGK vẫn cho số thập phân (âm, dương). Loại số này cũng có trong phân bài tập ngay sau bài học số 12 (xem phần Phụ lục).

Khái niệm số âm được nhắc lại trong bài đầu tiên của SGKL7.

a. Hãy thêm vào câu dưới đây:

Pở trên so với 0 gọi là +5P

Hình 1 nhiệt kế chỉ 5P

P ở …… so với 0 gọi là….P

Hình 2 nhiệt kế chỉ 5P

(1) (2)

b) Hãy đọc số chỉ nhiệt kế trong các hình dưới đây rồi viết vào bảng sau:

SGKRL7R mở đầu bài dạy bằng những ví dụ trong đó số âm xuất hiện, chẳng hạn đó 0 Pc và nước đang sôi ở là việc dùng nhiệt kế để đo nhiệt độ của nước đá tan ở 0P 0 Pc . Cụ thể, HS phải tiến hành các hoạt động sau: 100P

Hình

Nhiệt kế

Điểm 0 là mực thủy ngân quan sát các điểm sau đây và viết vào bảng sau đó so sánh với mực thủy ngân

+200m

ở trên mực thủy ngân 200m

Ngay sau ba hoạt động này, SGKRL6R đưa vào khái niệm số âm thông qua việc nói về số nguyên dương và nguyên âm :

1. Số nguyên

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

Số nguyên: là số gồm có dấu (+) hoặc (-) ở phía trước. Người ta có thể biểu diễn giá trị của chúng lên trục số

2. Viết các số: bao gồm hai phần dấu và số

Ví dụ : +7 đọc cộng bảy

-5,13 đọc trừ năm phẩy mười ba

-0,1 đọc trừ không phẩy một

3. Số âm, số dương

+ Số nguyên là số có dấu (+) hoặc (-) ở phía trước.

+ Số nguyên dương là số có dấu (+) ở phía trước.

+ Số nguyên âm là số có dấu (-) ở phía trước

+ Số 0 có thể là số dương và có thể là số âm: 0 = + 0 = - 0

Ta thấy, số âm đã được định nghĩa một cách hình thức : số có dấu “-” ở phía trước. Lưu ý rằng cho đến lúc đó HS chỉ làm việc với số dương, có nghĩa là –a với họ không

phải là một số. Điều đó có nghĩa là xét về mặt logic thì ở đây người ta đã vi phạm quy

tắc “không dùng cái chưa được định nghĩa để định nghĩa một khái niệm mới”.

Một lưu ý khác là, cũng như ở lớp 6, dù định nghĩa số nguyên âm, nguyên dương,

trong ví dụ và bài tập chúng tôi vẫn thấy các số thập phân dương, âm xuất hiện.

2.2.2. Giá trị tuyệt đối của một số

Cũng trong bài đầu tiên, sau khi đưa vào khái niệm số âm, SGKRL7R nói về số đối bằng trục số.

−=

0≥x

Khái niệm giá trị tuyệt đối của một số được giới thiệu trong bài số 2 của SGKRL7R. Khái niệm được hình thành từ việc biểu diễn các số âm, dương lên trục số.

x ≥ với mọi x∈Q.

; ; Sau đó, SGK đưa vào ký hiệu |x| và các tính chất như ta luôn có:

“Khái niệm giá trị tuyệt đối được trình bày như trong SGK nhằm làm cho học

sinh dễ hiểu và dễ hình dung (vì thông qua hình ảnh trực quan). Nhưng ít khi ta

sử dụng trực tiếp định nghĩa này để giải bài tập. Khi giải bài tập thường vận

dụng các nhận xét:

Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0.

Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó.

Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó (và là một số dương).” (SGVRL7R)

Ba nhận xét trên, đã chứng tỏ sự tồn tại phép tương ứng mỗi số a với giá trị tuyệt đối

a xác định trên tập hợp R và nhận giá trị trong

+ tập hợp RP P.

của nó thực chất là một hàm số a

2.2.3. So sánh hai số (hữu tỉ)

Vấn đề so sánh hai số (hữu tỉ) được đề cập trong bài số 3 của SGKRL7R.

Để so sánh 2 số (hữu tỉ) thì SGK dùng trục số. Cụ thể là SGK yêu cầu HS thực hiện hoạt động biểu diễn một số số cho trước trên trục số rồi viết dấu <, > vào giữa hai số lấy ra trong các số đó. Hoạt động này cho phép đưa ra một kỹ thuật để so sánh hai số, đó là biểu diễn chúng trên trục số rồi căn cứ vào vị trí của hai điểm biểu diễn để kết luận. Kỹ thuật này không rõ ràng là không thuận tiện trong thực hành, nhất là khi hai số đó là hai số thập phân khá gần nhau, lại càng khó hơn khi có một số là số thập phân vô hạn (tuần hoàn). Lúc đó, để áp dụng được kỹ thuật, ta phải viết các số thập phân

dưới dạng phân số rồi quy đồng mẫu số hai phân số cần so sánh để có thể biểu diễn

chính xác vị trí tương đối giữa chúng trên trục số.

Có lẽ vì bất lợi này nên SGK không xem đây là kỹ thuật cần được tiếp tục sử dụng.

Hoạt động nói trên chỉ được xem như hoạt động dẫn nhập để ngay sau SGK đưa ngay

vào các quy tắc sau :

a) So sánh số dương khác nhau có thể so sánh được như so sánh hai số ở bậc tiểu

〉

học và lớp 6

3 5

1 5

Ví dụ : 1,5 <7; 10>2;

b) Khi hai số có dấu khác nhau thì số nào có dấu trừ (-) là số bé hơn, số nào có

dấu cộng (+) là số lớn hơn

Ví dụ : 1,7< 2,5 hay 2,5 < -1,7

2,5 -1, 7

c) Nếu hai số có dấu trừ, số bé hơn là số có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Ví dụ : -3 < -1 -1 -3

=− 4

−<−<−<− 3 1

=− 3

-4 -3 -2 -1 0

−>−>−>−

=− 2

=−

      

vì

mọi số nguyên dương đều lớn hơn 0 →

mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn 0 →

mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số nguyên dương bất kỳ →

Quy tắc trên sau này được mở rộng cho tập hợp các số hữu tỉ, cũng được đề cập trong

chương trình và sách giáo khoa lớp 7. Cụ thể, SGK viết :

“So sánh hai số hữu tỉ

Với hai số hữu tỉ bất kì x, y ta luôn có hoặc x = y, hoặc x < y hoặc x > y. Ta có

thể so sánh hai số hưũ tỉ bằng cách viết dưới dạng phân số rồi so sánh hai phân

số đó.

1 2

−=

;

Ví dụ 1: so sánh hai số hữu tỉ :-0,6 và

− 5 10

− 6 10

1 2

Giải: Ta có -0,6

− 6 10

− 5 10

1 2

hay -0,6< Vì -6<-5 và 10>0 nên

- Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương

- Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm

- Số hữu tỉ 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm”

2.2.4. Các phép toán

2.2.4.1. Phép cộng, trừ

Mở đầu vào bài “Phép cộng, trừ các số hữu tỉ” thì người ta yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động sau :

-3 -2 -1 0 1 2 3

“Hoạt động 1 : Một người đi bộ, mỗi bước đi được một khoảng bằng nhau và xem như là một đơn vị người đó di chuyển, được minh họa bằng trục số dưới đây:

Dấu (+) là có nghĩa người đó tiến về phía trước, dấu (-) là lùi lại về phía sau bắt đầu từ 0. Như vậy, nếu bắt đầu từ điểm 0 người đó đi bộ 4 bước và lùi lại sau 3 bước thì người đó sẽ ở vị trí nào trên trục số?

… Điều đó có nghĩa là tại điểm bắt đầu người ta biết được (+4) + (-3) = +1. Vậy người đó sẽ ở vị trí tại điểm số 1 của trục số”.

Đây là một cách dẫn dắt học sinh vào bài học cũng khá hay, đưa vào cách tính mới

thay vì cách tính mà HS có thể thực hiện khi chưa được học về số âm : người đi bộ đó

tiến lên 4 bước và lùi lại 3 bước thì ta lấy 4 – 3 = 1 và ta cũng có được là người ấy sẽ

ở vị trí số 1 khi biểu diễn trên trục số. Nhưng vấn đề khác biệt ở đây đặt ra là: nếu

người ấy chỉ tiến lên 3 bước rồi lùi lại về sau 4 bước kể từ vị trí số 0 ban đầu thì mình

sử dụng phép toán trừ số nhỏ cho số lớn hơn có được không ? 3 – 4 = ?. Còn nếu

thực hiện (+3) + ( - 4 ) = -1 theo cách mới hì ta tìm được đáp án dễ dàng.

Như vậy, thay cho mô hình “lỗ, lãi”, SGKL7 đã dùng mô hình “tiến, lùi” để đưa vào

phép toán cộng hai số (hữu tỉ). Lưu ý là phép cộng hai số nguyên đã được trình bày trong SGKRL6R, với cùng một kiểu, nên chúng tôi không trích dẫn ở đây.

Từ hoạt động 1 nêu trên, SGK trình bày các quy tắc tính như sau :

Định lý:

Để cộng hai số hữu tỉ có cùng kí hiệu ta làm như sau

- Cộng trị tuyệt đối của nó lại với nhau

- Viết kí hiệu chung của chúng vào giá trị của tổng

Ví dụ

(+4,5)+(+2,3)=+6,8

(-4,5)+(-2,3)=-6,8

Để cộng hai số hữu tỉ có kí hiệu khác nhau ta thực hiện như sau:

- Trừ hai trị tuyệt đối

- Viết kí hiệu của số có trị tuyệt đối lớn hơn vào tổng

Ví dụ

(+4,5)+(-2,3)=+2,2

(-4,5)+(+2,3)=-2,2

Ngay sau đoạn trên, SGKRL7R phát biểu quy tắc trừ hai số hữu tỉ:

“Muốn trừ 2 số hữu tỉ phải cộng số thứ nhất với số đối của thứ hai x - y = x+

với số đối của y = x+(-y).

Ví dụ: (+5,3) - (-3,2) = (+5,3) + (+3,2) = +8,5

(-1,2) - (+9,5) = (-1,2) + (-9,5) = -10,7”

Như vậy, phép trừ được xây dựng trên cơ sở phép cộng với số đối.

2.2.4.2. Phép nhân

Phép toán nhân được SGK trình bày như sau :

«Hoạt động 1 : Ta đã biết tích hai số dương nhân với nhau là số dương

+× (

)11

2,79

Ví dụ (+7,2

a) Nhân số âm với số dương

−=

−+

−× )5,3(4

)5,3(

−×

)5,25

=×

− 2)4,6(

−×

85,3

)2,4(

Viết vào chỗ trống

Sau đó hãy tính

×− ( a )

(....)

ba × :

Các bài toán trên cho ta kết luận gì về dấu của tích một số dương với một số âm ?

số đối của (a “Số đối của a nhân với b bằng với số đối của

b ) = …..

ba × . Hãy viết dưới dạng công thức câu

b) Nhân hai số âm

×− ( a )

(....)

Số đối của a nhân với số đối của b bằng trên :

…

x y z

−×−= )3( −= )5,2( −= )11,0(

a ... ( ) −× = )10 ( −× ( 1000

.... = )

...

Sau đó hãy tính

Từ các phép tính trên ta rút ra được kết luận gì đối với tích số của hai số âm ?”

Sau hoạt động trên, SGK đưa vào các quy tắc thực hiện phép toán nhân :

UĐịnh lýU:

=×=× 0

+ Tích của một số a với 0 bằng 0.

+ Tích hai số có cùng dấu là số dương

+ Tích của hai số khác dấu là số âm

Đúng như lưu ý mà chúng tôi đưa ra trong chương 1, SGK đã khai thác triệt để mô

hình “tiến, lùi” (tương tự như mô hình “lỗ, lãi”) để đưa ra các quy tắc cộng, trừ hai số

hữu tỉ và sau đó giải thích quy tắc nhân hai số trái dấu, ở đó phép nhân được hiểu như

phép cộng lặp lại. Nhưng mô hình này không cho phép giải thích quy tắc nhân hai số

âm, và SGK không đưa ra giải pháp nào, chỉ áp đặt quy tắc mà không có lời giải thích.

2.2.4.3. Phép chia

Phép chia hai số dương được mở rộng cho hai số hữu tỷ, không kèm theo lời giải thích

nào. Cụ thể, ngay vào đầu bài Phép chia hai số hữu tỷ, SGKL7 đưa ra một hoạt động

mà kỹ thuật thực hiện đã được nói trước.

−=×−=

Hoạt động 1 Chia số thứ nhất cho số thứ hai là nhân số thứ nhất với nghịch đảo của số thứ hai

=÷− 5)2(

)2(

4,0

− 2 5

1 5

÷− )4(

)2(

−÷− )4(

)2(

Ví dụ

b = a) Hãy tính −÷ a = )2(4 ; c = ;

Kết luận như thế nào về dấu của thương và tích của số nguyên?

Với hoạt động này, SGK đưa HS đến với nhận xét thương của hai số nguyên có cùng

UVí dụ:

=×

6,21

35,1)4(

35,1

6,21 =−× )4( −=−× −=×

=−÷ −=−÷ ÷

−=

44,5 − )4,5( )4(4,5 − 4)4,5(

6,21 6,21

=÷ 35,144,5 − )4,5( )4(4,5 − )4,5(

)4(

35,1

dấu với tích của hai số nguyên

2.2.4.4. Các tổ chức toán học liên quan đến số âm

Trong phầnn ày chúng tôi sẽ làm rõ những tổ chức toán học liên quan đến số âm được thiết lập trong SGKRL6R và SGKRL7R.

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR1R: “Biểu diễn các số (độ lớn các

số) trên trục số”.

Ví dụ: (SGKRL6 Rtrang 81)

“Hãy biểu diễn các số nằm giữa -10 và -5 vào trục số”

Lời giải mong đợi: kế từ -5, ta ghi tiếp các số từ phải qua trái -6, -7 -8, -9.

-10 -5 0

+ Kỹ thuật τR1R: xem mỗi số gồm 2 phần : phần dấu và phần số .

- Nếu số mang dấu “ + “ thì biểu diễn bên phải số 0 của trục số và cách 0 phần số

lần đơn vị.

- Nếu số mang dấu “-” thì biểu diễn bên trái 0 và cách 0 phần số lần đơn vị.

+ Công nghệ θR1R: Quy tắc về ký hiệu số và biểu diễn số trên trục số

Nhận xét:

Kiểu nhiệm vụ được nêu rõ ràng và cụ thể . Dãy các số bao gồm số nguyên, số hữu tỉ

âm và dương với các độ lớn khác nhau. Do đó, học sinh phải chọn các tỉ lệ phù hợp

với 1 đơn vị để có thể biểu diễn các số trên trục số được rõ ràng .

Việc biểu diễn các số trên trục số sẽ tạo điều kiện cho việc so sánh các số sau này.

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR2R: “ Đếm các số nguyên nằm giữa

hai số a, b và tăng theo x đơn vị đã cho trước trong mỗi lần đếm”

Ví dụ (SGKRL6R trang 81)

Đếm các số: a) đếm từ -12 đếm +8 với mỗi lần đếm tăng thêm 2

b) đếm từ -17 đếm +3 với mỗi lần đếm tăng thêm 2

c) đếm từ -11 đếm +9 với mỗi lần đếm tăng thêm 2

Lời giải mong đợi:

a) -12; -10; -8; -6; -4; -2; 0; +2; +3; +4…. b) -17; -15; -13; -11; -9; -7; -5; -3; -1; +1; +3 c) -11; -9; -7; -5; -3; -1; +1; +3; +6; +9

Kỹ thuật τR2R: Biểu diễn a, b trên trục số.

- Sau đó biểu diễn tất cả các số cách đầu mút a khoảng x đơn vị nằm trong

khoảng a, b .

- Đọc các số

+công nghệ θR2R: thứ tự biểu diễn các số trên trục số

Nhận xét: Kiểu nhiệm vụ được nêu 1 cách tường minh , a là số nguyên âm ; b và x là 2 số tự nhiên. Đề bài cho giá trị của a , b nhỏ có thể biểu diễn trên trục số.

Kiểu nhiệm vụ này tương tự như cách đếm các số trong tập số tự nhiên mà học sinh đã học ở tiểu học.

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR3R: “Tìm 2 số nằm giữa 2 số a và b

cho trước”

Ví dụ: bài tập 4 (MR7R trang 11)

Tìm 2 số nằm giữa (-30, 002) và (-30, 001).

Lời giải mong đợi: -30, 0011 ; -30,0012 ; -30, 0013

+ Kỹ thuật τR3R:

- Nếu a, b là 2 số nguyên, tìm điểm chính giữa xR1R của a và b trên trục số sau đó tìm điểm chính giữa xR1R và b trên số - Nếu a , b là 2 số thập phân có phần nguyên giống nhau và phần thập phân hơn kém nhau 1 điểm, ta làm như sau:

+ Thêm 1 số 0 vào 2 phần thập phân của mỗi số

+ Khi đó 2 số cần tìm sẽ có phần nguyên và phần nguyên của ban đầu, phần thập

phân là số nằm trong khoảng phần thập phân của 2 số ban đầu.

Ví dụ : Tìm 2 số nằm giữa -1, 2 và -1, 1 . - Thêm 0 vào phần phập phân 2 số : -1, 20 và -1, 10 .  2 số cần tìm có thể là -1 , 18 và -1 , 12 ;….

+ Công nghệ θR3R: Thứ tự các số trên trục số

Nhận xét : kiểu nhiệm vụ tương đối khó đối với học sinh trong các trường hợp bài cho 2 số a và b cho học sinh có cảm giác như không tồn tại các số thỏa yêu cầu bài toán (ví dụ -5 và -4 ; -1,2 và -1,1 hoặc -5,48 và 5,49)

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR4R: “ Tìm số đối của một số ”

Ví dụ: bài tập5 (SGKRL7R trang4) “tìm số đối của các số sau”

+11; 700; -14.

Lời giải mong đợi: +11 và 11 ; 700 và -700; -14 và 14

+ Kỹ thuật τR4R: - số đối của 0 là chính nó

- Xem mối số a gồm phần dấu và phần số

Số đối của a có phần số là phần số của a và phần dấu ngược với phần dấu của a

+ Công nghệ θR1R: Nhận xét số đối là số nằm ở 2 phía so với 0 và có độ lớn ngược nhau.

Nhận xét: kiểu nhiệm vụ được nêu 1 cách tường minh không cho số ở dưới dạng chữ mà là các số nguyên hoặc số hữu tỉ

Việc tìm số đối là công cụ để tìm giá trị tuyệt đối của 1 số hay tính hiệu của hai số.

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR5R: “ Tìm giá trị tuyệt đối của

một số”

Ví dụ: Bài tập 1 (SGKRL7R, tr.6)

5− ”

13+

“Tìm giá trị tuyệt đối của mỗi số sau: 13+ ,

5− =10

=13 ;

+ Kỹ thuật τR5R:

- Nếu trong dấu giá trị tuyệt đối là số là số dương thì giá trị tuyệt đối của số đó

bằng chính nó

- Nếu trông dấu giá trị tuyệt đối là số là số âm thì giá trị tuyệt đối của số đó bằng

số đối của nó

+ Công nghệ θR5R: Các nhận xét.

- Giá trị tuyệt đối của một số là số dương - 2 số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối

Nhận xét:

Đặt trưng của TR5R : trong dấu giá trị tuyệt đối là số cụ thể và có thể là số nguyên dương hoặc số hữu tỉ

Kiểu nhiệm vụ được nêu 1 cách tường minh, kiểu nhiệm vụ này làm cơ sở cho kiểm nhiệm vụ tính giá trị tuyệt đối của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối ; so sánh hai số có chứa giá trị tuyệt đối ; và tính khoảng cách của 2 điểm trên trục số.

Từ phát biểu công nghệ trên của Sgk có thể đưa cho học sinh một qui tắc ngầm ẩn là : Để tìm giá trị tuyệt đối của một số ta chỉ cần bỏ dấu “-” trước số đó (nếu có)

Kĩ thuật này không vận hành được trong trường hợp cho dưới dạng chữ . Như vậy việc tìm giá trị tuyệt đối trên tập hợp số có thể là chướng ngại trong việc tìm giá trị tuyệt đối dưới dạng chữ. Tuy nhiên , chương trình toán 6;7 không đề cập đến dạng bài tập này.

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR6R: “ Tính giá trị của biểu thức

chứa dấu giá trị tuyệt đối”

Ví dụ: Ví dụ: Bài tập 5 [SGKRL7R, tr.7]

− − −

“Tính giá trị các biểu thức sau:

−

+ −

b) 7 . 3 − a) 8

d) 153 ” c) 18 : 6−

+ Kỹ thuật τR6R: - Bỏ dấu | | nhờ vàoτR5

- Thực hiện các phép toán của biểu thức

+ Công nghệ θR6R: Công nghệ của τR5R

Các qui tắc +; - hai số

Nhận xét : Đặt trưng của TR6R là trong dấu | | là số cụ thể và là số nguyên kiểu nhiệm vụ được nêu một các tường minh. Để thực hiện kiểu nhiệm vụ này, học sinh phải làm tốt TR5

5,1 <

10 < 2

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR7R: “So sánh hai số a và b”

Ví dụ:

+ Kỹ thuật τR7R:

- Nếu a, b là 2 số dương thì so sánh 2 số ở bậc tiểu học - Nếu a, b là 2 số trái dấu thì số có dấu “-” sẽ bé hơn số có dấu “+” - Nếu a,b là số âm thì số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn là số bé hơn

+ Công nghệ θR7R: Quan hệ thứ tự các số trên trục số (Số nằm bên phải sẽ lớn hơn số nằm bên trái )

Nhận xét:

Kiểu nhiệm vụ được nêu 1 cách tường minh, không xuất hiện trường hợp so sánh các số có chứa giá trị tuyệt đối

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR8R: “Sắp xếp các số theo thứ tự từ

bé đến lớn (hoặc ngược lại)”

Ví dụ: bài tập 2 (SGKRL7R tr.10)

“Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn” 15; 3; -5; 31; -3; 42 ; 0; 8,11; -3,14

Lời giải mong đợi: -5 ; -3,14; -3 ; 0 ; 3 ; 8,11 ; 15 ; 42

+ Kỹ thuật τR8R: - Chia dãy số thành 2 phần : Phần các số dương (bao gồm cả 0) , phần các số âm.

- Thực hiện việc so sánh các số âm đôi một với nhau rồi sắp xếp chúng từ bé đến

lớn

- Tiếp tục làm như vậy đối với các số dương

+ Công nghệ θR8R: của T R7R.

Nhận xét : Kiểu nhiệm vụ được nêu tường minh. Dãy các số gồm số nguyên, số hữu

tỉ âm, dương và có số 0

Trong trường hợp dãy các số nhỏ, ta có thể biểu diễn chúng trên trục số rồi đọc kết

quả. Kiểu nhiệm vụ này liên quan đến việc so sánh các số hữu tỉ mà các em đã học ở

cấp dưới.

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR9R: “Tính tổng của 2 số a và b”

Ví dụ: (+4,5) + (+2,3)= +6,8

(-4,5) + (-2,3)= -6,8

+ Kỹ thuật τR9R: - Nếu a , b là 2 số đối nhau thì a+b =0

- Nếu a , b là 2 số dương thì tính tổng như đã học ở tiểu học - Nếu a , b là 2 số âm thì ta lấy tổng 2 giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “-”

trước kết quả tìm được

- Nếu a , b là 2 số trái dấu thì ta trừ 2 giá trị tuyệt đối cùa chúng (số lớn – số bé)

sau đó đặt dấu theo dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn

+công nghệ θR9R: Các định lý.

- Phép cộng 2 số nguyên có cùng kí hiệu ta làm như sau:

+ Cộng giá trị tuyệt đối của nó lại với nhau + Viết kí hiệu của chúng vào giá trị của tổng

- Phép cộng 2 số nguyên có kí hiệu khác nhau ta làm như sau:

+ Trừ giá trị tuyệt đối của nó + Viết kí hiệu của số có giá trị của lớn hơn vào hiệu

Nhận xét: kiểu nhiệm vụ được trình bày tường minh và còn được gặp trong bài toán tìm x và chiếm số lượng lớn trong các kiểu nhiệm vụ. Việc tính tổng 2 số là cơ sở để thực hiện phép tính hiệu hai số sau này. ở lớp 6, HS chỉ tính tổng của 2 số nguyên

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR10R: “ Tính hiệu của 2 số a và b”

Ví dụ: (-3)-(-8)=(-3)+(+8)=+5

+ Kỹ thuật τR10R: Tính tổng của a và số đối của b .

a - b= a + ( - b )

+ Công nghệ θR10R: Qui tắc

- Để trừ số nguyên a cho b ta cộng số đối của b vào a. - Muốn trừ hai số ta phải cộng số thứ nhất với số ngược của số số thứ hai.

Nhận xét : Kiểu nhiệm vụ được nêu 1 cách tường minh và còn gặp trong các bài toán tìm x . Việc tính hiệu hai số liên quan đến kiểu nhiệm vụ tính tổng hai số TR9R , tìm số

đối của 1 số TR4 Rở trên và kiểu nhiệm vụ tính khoảng cách giữa hai điểm trên trục số TR11

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR11R: “Tính khoảng cách giữa hai

điểm A và B khi biết độ lớn của chúng”

Ví dụ: “khoảng cách gữa hai diểm trên trục số”

=−=AB

A B

1 4

+ Kỹ thuật τR11R: lấy giá trị tuyệt đối của hiệu độ lớn 2 điểm A, B

+ Công nghệ θR11R:

=×

31,2

3,6

- Qui tắc của Sgk AB=| b-a| - Qui tắc tính giá trị tuyệt đối của một số .  Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR12R: “Nhân hai số a , b”

−=−×

)3(1,2

3,6

=−× )3(

3,6

− )1,2(

−=×

− 3)1,2(

3,6

Ví dụ:

+ Kỹ thuật τR12R:

- Một trong hai số là 0 thì tích chúng là 0. - Nếu hai số a, b là dương thì tính tích hai số như đã học ở tiểu học - Nếu hai số a , b là âm thì tính tích hai giá trị tuyệt đối của chúng. - Nếu hai số trái dấu thì tính tích giá trị tuyệt đối của chúng rồi thêm dấu “-” vào

kết quả tìm được.

+ Công nghệ θR12R: Qui tắc

- Tích của 2 số cùng dấu là số dương - Tích của 2 số khác dấu là số âm.

Nhận xét : Kiểu nhiệm vụ được tình bày tường minh, từ công nghệ θR12R, ta suy ra qui tắc nhân dấu như sau:

+ . - = -

- . - = +

+ . + = +

=÷ 35,144,5

 Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ TR13R: “Chia hai số a và b”

=÷

− )4,5(

= 35,1)4(

−=−÷

)4(4,5

35,1

−=

)4(

35,1

− )4,5(

Ví dụ:

+ Kỹ thuật giải τR13R: Ta chia phần giá trị tuyệt đối của hai số rồi đặt dấu trước kết quả tìm được theo qui tắc nhân dấu ở trên.

+ Công nghệ θR13R: Qui tắc

- Chia số thứ nhất cho số thứ hai ta nhân số thứ nhất với nghịch đảo của số thứ

hai

- Qui tắc nhân dấu

Bảng thống kê số lượng kiểu nhiệm vụ trong Sgk lớp 6, 7 của Lào.

Lớp 6 Lớp 7

Kiểu nhiệm vụ

15 4 TR1

3 0 TR2

0 1 TR3

4 1 TR4

0 5 TR5

0 3 TR6

0 3 TR7

0 1 TR8

4 5 TR9

5 3 TR10

0 3 TR11

0 6 TR12

0 2 TR13

Tổng 31 37

2.3. SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I2

2.3.1. Khái niệm số âm

Số nguyên âm được đưa vào bài đầu tiên (§1. Làm quen với số nguyên âm) trong

chương 2 (Số nguyên) của chương trình toán lớp 6.

Trong thực tế, bên cạnh các số tự nhiên người ta còn dung các số với dấu “-“ ở

đằng trước, như -1, -2, -3 (đọc là âm 1, âm 2, âm 3, …” Những số như thế gọi là số nguyên âm.

Những ví dụ minh họa cho số âm được lấy từ nhiệt kế đo nhiệt độ, việc đo độ cao thấp

của các điểm khác nhau trên trái đất.

Số âm được định nghĩa một cách hình thức qua cách viết. Cách trình bày này cũng giống như cách trình bày của SGKRL6R, SGKRL7R, không đảm bảo nguyên tắc “chỉ được dùng cái đã biết để định nghĩa cái chưa biết”.

Cũng giống như SGK của Lào, ngay sau đó SGKRV6R giới thiệu khái niệm trục số và vấn đề biểu diễn các số nguyên dương, nguyên âm trên trục số.

2.3.2. So sánh hai số nguyên

Để so sánh hai số nguyên, SGKRV6R cũng bắt đầu bằng việc xét vị trí tương đối giữa hai điểm biểu diễn hai số đó trên trục số (điểm náo nằm bên phải điểm nào). Sau đó SGK định nghĩa khái niệm giá trị tuyệt đối của một số qua khoảng cách từ điểm biểu diễn nó đến điểm 0. Từ khái niệm giá trị tuyệt đối, SGK nêu nhận xét : “trong hai số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn”. Nhận xét này cho học sinh một quy tắc so sánh hai số (nguyên).

2.3.3. Cộng hai số nguyên

Trước hết, SGKRV6R xét phép cộng hai số (nguyên) cùng dấu. SGK bắt đầu từ phép cộng hai số nguyên dương, phép toán đã biết từ lớp 1:

(+4) + (+2) = 4 + 2 = 6.

Để minh họa, SGK dung trục số. Tiếp đó, SGK xét bài toán :

“Nhiệt độ của Mát-cơ-va vào một buổi trưa là -3°C. Hỏi nhiệt độ buổi chiều cùng ngày là bao nhiêu, biết nhiệt độ giảm 2°C so với buổi trưa?”

Nhận xét : ta có thể coi giảm 2°C nghĩa là tăng -2°C, nên ta cần tính (-3) + (-2).

Sử dụng trục số như sau: bắt đầu đi từ điểm 0, di chuyển về bên trái 3 đơn vị,

đến điểm (-3). Sau đó, di chuyển tiếp về bên trái thêm 2 đơn vị nữa (cộng với số

âm, ta di chuyển theo chiều âm).”

Sau một vài ví dụ, SGK đưa vào quy tắc cộng hai số nguyên âm :

“Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu

“ -” trước kết quả

Ví dụ: (-17) + (-54) = -(17 + 54) = -71”

Phép cộng hai số nguyên khác dấu cũng được giới thiệu qua tình huống tăng, giảm nhiệt độ và quy tắc cộng cũng được thực hiện tương tự, trên trục số. Sau đó SGKRL6R phát biểu quy tắc :

“Quy tắc 2 (cộng hai số nguyên khác dấu):

Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0.

Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có

giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Ví dụ: (-273)+55 = -(273-55) = -218 (vì 273>55)”

Có thể nhận thấy là quan điểm xây dựng các khái niệm số nguyên âm, giá trị tuyệt đối và các phép toán cộng, trừ số nguyên của SGK Việt Nam và Lào cũng giống nhau. Tuy nhiên, về phương diện sư phạm thì có lẽ tình huống “tiến, lùi” của SGKRL6R và SGKRL7R có lẽ là cái giá tốt hơn tình huống “đi về bên trái”, mặc dầu về bản chất thì hai tình huống này như nhau.

Về phép nhân hai số nguyên, trước hết SGKRV6R xét trường hợp hai số khác dấu. Trong trường hợp này, SGKRV6R cũng xây dựng quy tắc tính tương tự như SGKRL6R : xem phép nhân như phép cộng lặp lại:

Nhận xét mở đầu :

Hoàn thành phép tính : (-3).4 = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = …

Theo cách trên hãy tính : (-5).3 = …

2.(-6) = …

Em có nhận xét gì về giá trị tuyệt đối và về dấu của tích hai số nguyên khác dấu ?

Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu : muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “-“ trước kết quả nhận được.

Phép nhân hai số nguyên cùng dấu được xây dựng qua việc quan sát trên một ví dụ mà

kết quả lại phải do học sinh tìm ra.

Hãy quan sát kết quả bốn tích đầu và dự đoán kết quả của hai tích cuối:

3.(-4) = - 12

2.(-4) = - 8 → tăng 4

1.(-4) = - 4 → tăng 4

0.(-4) = 0 → tăng 4

(-1) .(-4) = ?

(-2) .(-4) = ?

Ngay sau đó SGK đưa vào quy tắc nhân hai số nguyên âm.

Chúng ta thấy ở đây SGKRV6R vẫn theo tiến trình đã sử dụng khi xây dựng quy tắc nhân hai số trái dấu, nhưng rõ ràng là khó mà đưa ra được lời giải thích cho nhận xét mà

SGK hướng tới (tích sau tăng hơn 4 so với tích trước).

Lưu ý rằng đối với quy tắc này, SGKRL6R cũng áp đặt cho học sinh, không đưa ra lời giải thích nào. Quả thật đây là một khó khăn.

Những kiến thức trên số nguyên được mở rộng cho tập hợp các phân số, đề cập trong chương 3 của chương trình toán lớp 6. Sau đó chúng được mở rộng cho tập số hữu tỷ Q, nghiên cứu ở lớp 7. Vì tập Q được định nghĩa như là tập các phân số nên việc mở rộng này đối với SGK lớp 7 chỉ là nhắc và củng cố lại những khái niệm, quy tắc tính toán đã có từ lớp 6. Chẳng hạn, trong SGKRV7R tập 1, người ta nói :

“Ta đã biết mọi số hữu tỷ đều viết được dưới dạng phân số a/b với a, b ∈ Z; b ≠ 0. Nhờ đó, có thể cộng, trừ hai số hữu tỷ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu số dương rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số. Phép cộng số hữu tỷ có các tính chất của phép cộng, trừ phân số;”(SGK RV7R, tr.8)

“Vì mọi số hữu tỷ đều viết được dưới dạng phân số nên ta có thể nhân, chia hai số hữu tỷ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.” (SGKRV7R, tr.11)

Sau đó SGK đề cập đến các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số thập phân. Ở đây SGK cũng chỉ nói:

Để cộng, trừ, nhân, chia các số thập phân, ta viết chúng dưới dạng phân số thập phân rồi làm theo các quy tắc đã biết về phân số.

Trong thực hành, ta thường cộng, trừ, nhân hai số thập phân theo các quy tắc về giá trị tuyệt đối và về dấu tương tự như đối với số nguyên.” (SGKRV7R, tr.14)

Phân tích trên cho thấy quan điểm và mô hình mà SGK Việt nam sử dụng để đưa vào

các khái niệm liên quan đến số âm cũng rất gần gũi với quan điểm và mô hình của

SGK Lào. Ngay cả các tổ chức toán học được xem xét trong SGK Việt Nam cũng

gồm những kêir nhiệm vụ có trong SGK Lào mà chúng tôi đã thống kê ở trên. Vì lý

do đó, chúng tôi không trình bày lại trong phần phân tích SGK Việt Nam.

2.4.KẾT LUẬN

Để tìm hiểu những chướng ngại gắn liền với số âm, phân tích khoa học luận thực hiện

ở chương 1 và phân tích quan hệ thể chế trình bày ở trên cho thấy có hai vấn đề phải

lưu tâm đến khi xem xét thực tế dạy học, đó là khái niệm số âm được định nghĩa một

cách hình thức qua cách viết và nghĩa của quy tắc nhân hai số âm.

2.4.1. Đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm

Chúng tôi đặt trọng tâm đến việc xem xét nghĩa của dấu “-” đã được SGK hiện hành

tính đến như thế nào trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ.

Phân tích SGKL6, SSGKV6 cho thấy số âm chỉ đơn thuần là sự “dán nhãn” dấu “-’’ đặt trước một số dương. Như vậy, đã có sự xuất hiện trong quan niệm của học sinh về đối tượng số âm, tập hợp những cái biểu đạt mà học sinh có thể gắn vào đối tượng số âm là dấu “-”. Với tình huống trên đã đem lại nghĩa của khái niệm số âm đối với học sinh: “Số nguyên âm được hiểu như một kí hiệu gồm số nguyên dương và dấu “-” đứng trước”. Mặt khác chúng tôi nhận thấy xuất hiện dấu “-” trong ký hiệu của số âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà học sinh đã quen biết. Vấn đề đặt ra là tại sao như vậy? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi tìm thấy ở SGVRV6R, giải thích như sau: “dấu “-” trong ký hiệu số âm tuy không phải là dấu “-” trong phép trừ, nhưng vì lý do sư phạm, giáo viên không cần đề cập đến sự khác nhau đó. Nếu vì lý do nào đó cần giải thích thì giáo viên cũng chỉ nên giải thích như sau: Tuy bản chất hai dấu có khác nhau, nhưng sau khi học xong phép trừ số nguyên, chúng ta sẽ thấy chúng phù hợp với nhau. Vì thế chúng ta không sợ nhầm lẫn khi viết hai dấu như nhau” . Việc dùng dấu “-” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-” trong phép trừ đã từng tồn tại trong lịch sử của khái niệm số âm.

Mặt khác, nếu xét về cách đọc, chẳng hạn -1 thì đọc là âm 1, hoặc trừ 1. Tại sao SGKR Rlại nêu ra hai cách đọc? Để giải thích cho điều này thì SGVR6R có đoạn viết: “Dấu “-” trong số âm đúng ra chỉ đọc là âm, nhưng trên thực tế người ta vẫn đọc cả hai cách “âm” hoặc “trừ”, nên sách giáo khoa yêu cầu học sinh biết đọc cả hai cách”. Đến đây chúng tôi đặt ra câu hỏi: như vậy khi chuyển sang ký hiệu chữ, chẳng hạn (–a) thì

cách đọc như thế nào? Để trả lời câu hỏi này chúng tôi tìm thấy ở bài 6: “Tính chất của phép cộng các số nguyên”, SGKRV6 Rđã đề cập đến ký hiệu dấu “-” gắn với ký hiệu chữ như sau:“số đối của số nguyên a được ký hiệu là –a. Khi đó số đối của (-a) cũng

là a, nghĩa là - (-a) = a. Rõ ràng: Nếu a là số nguyên dương thì –a là số nguyên âm,

chẳng hạn a = 3 thì -a = -3. Nếu a là số nguyên âm thì –a là số nguyên dương, chẳng

hạn a = -5 thì -a = -(-5)=5 (vì 5 là số đối của -5)”.

Đoạn trích trên cho thấy, SGK đã sử dụng kí hiệu dấu “-” để chỉ số đối trùng với dấu

“-” trong kí hiệu số âm. Như vậy, các tác giả đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-” với

hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể ) và dấu “-

” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ ). Theo chúng tôi đây chính là trở

ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện

dưới dạng chữ. Cụ thể nếu a là số nguyên dương, chẳng hạn a = 3 thì số đối (-a) trong

trường hợp này chính là số nguyên âm -3.

Như vậy, dấu “-” trong ký hiệu số đối và dấu “-” trong ký hiệu số âm là phù hợp. Tuy

nhiên nếu a là số nguyên âm, chẳng hạn a = -5 thì -a = 5 lại là số nguyên dương. Đến đây

vấn đề đặt ra: Liệu học sinh có “thoát khỏi” cách hiểu (-a) luôn luôn là số nguyên âm hay

không, khi dùng dấu “-” để ký hiệu cho cả số âm và số đối? Hơn nữa, đối với học sinh

nghĩa của dấu “-” không được làm rõ. Trích dẫn sau đây sẽ minh chứng cho điều khẳng

định này. “Dấu “-” trong kí hiệu số đối không phải là dấu “-” trong kí hiệu số âm, cũng

không phải là dấu “-” trong kí hiệu phép trừ. Nhưng vì lý do sư phạm, giáo viên không

cần đề cập đến. Nếu vì lý do nào đó cần giải thích thì giáo viên cũng chỉ nên giải thích

như sau: tuy bản chất các dấu có khác nhau, nhưng sau khi học xong phép trừ số nguyên,

chúng ta sẽ thấy chúng phù hợp với nhau”.

Trong phần phân tích khoa học luận của khái niệm số âm, chúng tôi đã chỉ ra các nhà toán học đương thời đã sử dụng các kí hiệu khác để chỉ số đối, chẳng hạn opp(a) (theo

Hankel), a (theo Wileken). Tại sao SGK sử dụng cùng một dấu “-” với ba nghĩa khác nhau như đã đề cập? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi tìm thấy ở G R6R, trang 96 đã giải thích như sau: “Trong chương này có sử dụng kí hiệu dấu “-” với ba nghĩa khác nhau, dấu “-” trong phép trừ, dấu “-” của số nguyên âm trong bài 1 thực ra chỉ thuần túy là một kí hiệu gắn với loại số mới đưa ra, vì vậy ta hoàn toàn có thể thay bằng kí hiệu khác. Cũng tương tự như vây đối với dấu “-” của số đối (ở bài 6) ta hoàn toàn có thể thay bằng kí hiệu khác. Tuy nhiên, sau khi có phép trừ (trừ đi a là cộng với số đối của nó, nên có thể kí hiệu số đối của a là –a). Vì thế để thuận tiện, người ta thường dùng dấu “-” (trùng với dấu của phép trừ) để kí hiệu cho cả số âm và số đối.

Sách giáo khoa một số nước có dùng kí hiệu khác để ghi số âm”.

Tóm lại: Qua phân tích thể chế chúng tôi nhận thấy các SGKR Rsử dụng cùng một kí hiệu dấu “-’’ với hai nghĩa khác nhau : dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp

số cụ thể) và dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ). Vấn đề này

đã xuất hiện trong lịch sử (theo Cauchy). Mặt khác theo qui định của thể chế lại không

yêu cầu học sinh phân biệt rõ nghĩa của dấu “-”. Điều này được thể hiện rõ trong SGVRV6R, trang 93 như sau: “Không đòi hỏi học sinh phải phân biệt rõ sự khác nhau giữa các dấu “-” trong số âm, số đối và trong phép trừ”.

Cách trình bày khái niệm số âm như vậy ảnh hưởng thế nào lên việc dạy của giáo viên

và việc nắm khái niệm số âm của học sinh? Về câu hỏi này, chúng tôi đưa ra giả

thuyết H1G liên quan đến giáo viên và H1H liên quan đếnhọc sinh, phát biểu như

H1G : Trong hoạt động giảng dạy, giáo viên ưu tiên cho cách tiếp cận số âm từ quan điểm số.

H1H: Đối với học sinh, -a luôn là một số âm.

2.4.2. Về quy tắc nhân hai số âm

Nếu như quy tắc nhân hai số trái dấu (trước kia là nhân hai số dương) được giải thích nhờ phép cộng, và phép cộng được giải thích nhờ mô hình mô “lỗ, lãi” hay “tiến, lùi” thì dường như cả SGK Lào lẫn Việt Nam đều tránh việc giải thích quy tắc nhân hai số âm. Nhận xét đó dẫn chúng tôi đến với giả thuyêt H2 sau đây :

H2 : Học sinh không hiểu nghĩa của quy tắc nhân hai số âm.

Để kiểm chứng các giả thuyết này, chúng tôi đã tiến hành một thực nghiệm với giáo viên và một thực nghiệm với học sinh. Nghiên cứu thực nnghieejm của chúng tôi được trình bày ở chương tiếp theo của luận văn.

Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM GIỚI THIỆU

THỰC NGHIỆM

 Mục đích thực nghiệm

Nghiên cứu tính hợp thức hay không của các giả thuyết đưa ra ở trang trước, hình

thành từ phân tích khoa học luận về đối tượng số âm và phân tích quan hệ thể chế đối

với đối tượng này.

 Đối tượng và hình thức thực nghiệm

Để kiểm chứng tính chân thật của giả thuyết được hình thành từ sự phân tích chương

trình và sách giáo khoa theo quan điểm của lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi phải

quay về quan điểm dạy học. Vấn đề là phải xây dựng một thực nghiệm cho phép kiểm

chứng hay bác bỏ giả thuyết đã được đưa ra. Với thực nghiệm này, chúng tôi muốn tìm hiCểu học sinh lớp 7 giải bài toán và mức độ thành công của họ. Chúng tôi sẽ cố gắng vạch ra ảnh hưởng của thể chế đối với việc học của học sinh ở lớp 7.

Để có thể kiểm nghiệm tính thỏa đáng của hai giả thuyết trên, chúng tôi tiến hành thực nghiệm với cả hai đối tượng: giáo viên và học sinh.

3.1. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN

Thực nghiệm này được xây dựng để tìm hiểu quan niệm về số âm được ưu tiên dạy trong thực tế, và những kỹ thuật giải toán được giáo viên mong đợi ở học sinh.

Đối tượng thực nghiệm là những giáo viên đang giảng dạy toán ở một số trường trung học phổ thông Lào và Việt Nam.

Hình thức thực nghiệm: chúng tôi tiến hành thực nghiệm đối với giáo viên thông qua các “ phiếu tham khảo ý kiến của giáo viên”. Giáo viên nhận phiếu, trả lời 5 câu hỏi.

Số phiếu phát ra tương đối nhiều, nhưng trong khả năng cho phép chúng tôi chỉ thu được 20 phiếu giáo viên của 2 nước.

UCâu 1U: Xét tình huống sau:

3.1.1. Câu hỏi thực nghiệm:

Một chú ốc sên sáng sớm ở vị trí A trên cây cột cách mặt đất

2m.(hình bên)

Ban ngày chú ốc sên bò lên 3m.Đêm đó do “mệt quá” nên “ A

ngủ quên” và bị tuột xuống dưới:

a) 2m

1m b) 4m

Hỏi sáng hôm sau chú ốc sên cách A bao nhiêu mét trong mỗi

trường hợp

Theo Thầy (Cô), có nên sử dụng tình huống trên khi dạy học khái niệm “số âm”

UCâu 2U: Thầy (Cô), giải thích cho học sinh lớp 7 thế nào về ý nghĩa các số

không? vì sao?

UCâu 3U: Nếu một học sinh lớp 7 mong muốn được giải thích quy tắc

-2,31 ; 0,28?

- cộng 2 số âm :

- cộng 2 số khác dấu :

UCâu 4U: Nếu một học sinh lớp 7 mong muốn được giải thích quy tắc nhân 2

Thì Thầy (Cô) giải thích thế nào

UCâu 5U: Xét bài toán:

−

mx 3>

số âm và nhân 2 số khác dấu thì Thầy (Cô) giải thích thế nào?

Giải bất phương trình:

Theo Thầy (Cô) học sinh lớp 7 có thể đưa ra những câu trả lời nào?

3.1.2. Phân tích a priori các câu hỏi thực nghiệm

Câu hỏi 1 và 2 được đưa ra nhằm tìm hiểu quan niệm của giáo viên trong việc dạy khái niệm và ý nghĩa số âm.

Câu 3 và câu 4: Tìm hiểu quan niệm giáo viên, xem họ có quan tâm đến việc giải thích ý nghĩa của các quy tắc thực hiện phép toán trên các số âm hay chỉ đơn giản là làm thế nào để học sinh có thể vận dụng các quy tắc này.

Câu 5 : Tìm hiểu giáo viên dự trù những sai lầm nào ở học sinh. Có thể có những quan niệm như sau:

(- m) là số âm -

- Chia 2 vẽ bất phương trình cho số âm thì bất phương trình không đổi chiều.

Dưới đây chúng tôi sẽ phân tích chi tiết hơn những câu trả lời hay những chiến lược

có thể quan sát được ở giáo viên trong thực nghiệm này.

Câu 1: Chúng tôi muốn tìm tìm hiểu quan niệm của giáo viên khi tiếp cận với số

âm. Bằng cách xác định vị chí của chú ốc sên so với điểm A, để đưa học sinh đến khái

niệm số âm, như vậy, các tiếp cận này không theo quan điểm số.

Có hai câu trả lời có thể

SR1R: “đồng ý”

Sử dụng vì bài toán đã ra 1 tình huống mới lạ buộc HS phải giải quyết. Kết quả mong

cho họ kiến thức về nghĩa số âm như vậy số âm ra đời để giải quyết bài toán thực tế.

SR2R: “Không đồng ý”

Không nên sử dụng vì đưa ra tình huống phức tạp vì HS phải tính quãng đường cần

thiết liên quan đến nhiều số.

Câu 2: Chúng tôi muốn tìm hiểu xem nghĩa của các số thập phân hữu hạn (số hữu tỉ) có dấu “-” hoặc không có dấu “-” theo các giải thích của giáo viên

Các chiến lược có thể:

trs

P: Chiến lược “trục số” giải thích theo các biểu diễn của 1 số trên trục số “-2,31” là

SP một số nhỏ hơn 0, nằm bên trái 0 trên trục số và cách 0 một khoảng 2,31.

“0,28” là số lớn hơn 0 nằm bên phải 0 trên trục số và cách 0 một khoảng 0,28

dấu

P: Chiến lược “dấu”

Giải thích theo kí hiệu dấu “-” cho số âm

“-2,31” là số thập phân (số hữu tỉ) âm

“0,28” là số thập phân (số hữu tỉ) dương

Câu 3, 4: Tìm hiểu quan niệm của giáo viên có quan tâm đến việc giải thích ý nghĩa của các qui tắc thực hiện phép toán trên các số âm hay chỉ đơn giản là làm thế nào cho các để học sinh vận dụng các qui tắc này vào việc tính toán.

Các chiến lược có thể cho câu 3.

SRttR: Chiến lược tình huống thực tế

Ví dụ : Xem số tiền nợ là số âm, số tiền có là số dương. Khi đó ta có giải thích quy tắc cộng hai số như sau.

- Cộng hai số âm: Giả sử bạn nợ ai đó một số tiền, sau đó lại nợ tiếp nữa.như

vậy số tiền bạn nợ sẽ bằng tổng hai số tiền của bạn nợ

- Cộng hai số trái dấu: Bạn nợ ai một số tiền, sau đó bạn cố tiền để trả nợ. Nếu số tiền này lớn hơn số tiền bạn nợ thì bạn sẽ dư lại một số tiền bằng số

tiền có thì số tiền nợ.Ngược lại,nếu số tiền này ít hơn thì bạn vấn tiếp tục nợ

lại một số tiền bằng hiệu số tiền nợ thì số tiền có.

SR2R: Chiến lược trục số:

Trong chiến lược này, giáo viên sẽ cho ví dụ cụ thể và biểu diễn các số cũng như tổng

của chúng trên trực số.

Quy tắc: Chiều dương thì chiều đi từ trái sang phải, chiều âm là chiều ngược lại.

- Tính tổng của hai số âm.

Ví dụ: -2+(-5) -7

-7 -2 0

-5 -2

Lấy hai đơn vị nằm bên trái của 0, sau đó lấy tiếp 5 dơn vị nữa. ta được 7 đơn vị nằm bên trái của 0. Đó là kết quả của tổng - 2 + ( - 5 )

- Tổng hai số trái dấu

Ví dụ: – 2 + 5

-2 0 3

-2 3

Tương tự như trên: lấy hai đơn vị bên trái của 0, sau đó lấy tiếp 5 đơn vị theo chiều

dương. Ta được 3 đơn vị nằm bên phái của 0.đó là kết quả của – 2 + 5

Ví dụ: - 2 + ( - 5 )

-3 2

-3 0 2

-5

Câu 4: Các chiến lược

pp

P: Chiến lược nhân phân phối.

SR1RP

Trong chiến lược này số âm được xem là hiệu của 0 và giá trị tuyết đối của nó. Khi

đó, ký hiệu – a là số âm, b là số dương

-a.b= (0 – a )b = 0.b – a.b = 0 – a.b = - a.b

Ví dụ: - 2.3 = (0 – 2 )3 = 0.3 – 2.3 = 0 – 6.

đv

P: Chiến lược nhân với 1 (đơn vị)

SR2RP

Trong chiến lược này, ta phân tích 1 số nguyên dương b là tổng của b lần 1 và áp dụng

quy ước 1 số nhân với 1 là chính nó

-a.b = -a.(1+1+…+1) = - a.1+(-a).1+…(-a).1

b lần b lần

= - a+(-a)+ … +(-a)

= - b.a

Câu 5: Chúng tôi muốn tìm hiểu xem giáo viên dự trù những sai lầm nào có ở học sinh khi cho họ tiếp xúc với số âm không theo quan điểm số.các chiến lược có thể

dấu

P: Chiến lược dấu “-” gắn với số âm

−

m 3

mx >− x −< 3

SR1RP

chia

P: Chiến lược chia 2 vế cho – m là số âm

−

m 3

mx −<

SR2RP

P: Chiến lược biện luận theo m

Bất phương trình thức đổi chiều vì – m là số âm

bl SR3RP

ThR1R: m = 0

Bất phương trình thành 0x > 0: Vô nghiệm

ThR2R: m>0 : Chia 2 vế bất phương trình cho m , không đổi chiều bất phương trình

-mx > 3m

- x > 3

x< -3

ThR3R: m < 0: chia 2 vế cho – m là số dương, không đổi chiều

-mx > 3m

x > -3

Kết luận

m=0, bất phương trình vô nghiệm

m>0, bất phương trình có nghiệm x<-3

m<0, bất phương trình có nghiêm x>-3

Như vậy khi cho bất phương trình có chứa tham số m buộc HS phải biện luộn các

trương hợp có thể có của chưng. Khi đó – m cũng có thể là số âm hoặc dương. Đây là

một khó khăn của HS khi tiếp cận số âm không theo quan điểm số.

3.1.3. Phân tích a posteriori

Câu hỏi đầu tiên tôi đưa ra nhằm tìm hiểu ý kiến của mỗi người về định nghĩa số âm được hiểu như thế nào? Ở Lào có 10 giáo viên được khảo sát, 7 người khuyên nên dùng ý kiến 2 để đặt vấn đề trước khi giảng dạy về số âm còn 3 người lại cho rằng nên dùng ý kiến 1.

Việt Nam cũng có 10 người được khảo sát: có 6 người cho rằng nên dùng ý kiến 2 tức là sử dụng các tình huống nhằm tạo sự mới lạ, sự tìm tòi, thắc mắc trước vấn đề mới để từ đó học sinh tự mình có thể nhận ra vấn đề mới được đề cập.

Nhưng có 4 người lại cho rằng không nên tạo tình huống vì nó có thể phức tạp gây khó hiểu cho học sinh. Chính điều này sẽ làm học sinh lười suy nghĩ, không chịu động não,sẽ không phát huy được khả năng tự duy và sáng tạo của học sinh trong việc tìm hiểu, tìm tòi những vấn đề mới, nhiều khi chính nhửng cái mới là mấu chốt của vấn đề. Nếu nhận ra được vấn đề mới tức là học sinh đã bước đầu nắm được nội dung cần học.

Kết quả trên cho ta thấy quan niệm tạo tình huống nổi trội hơn việc không tạo tình huống, qua đó nó cũng thế hiện sự sáng tạo của GV và HS chính cách đặt tình huống làm cho học sinh nâng cao ý thức tự giác học tập, có ý thức suy nghỉ và hoạt động nhóm sẽ tốt hơn.

Câu 2: Thống kê 20 giáo viên của 2 nước cho thấy có nhiều ý kiến khác nhau về ý nghĩa của: 0,28 ; - 2,31

Có 10 GV Việt Nam và 10 GV Lào cho rằng 0,28 ; - 2,31 là số thập

- phân, trong đó có 6 người cho rằng là số thập phân hữu hạn, 4 người cho rằng

là số thập phân nhưng khác về dấu, 0,28 nằm bên phải số 0 , - 2,31 bên trái số 0

và 3 người cho rằng nó là số thập phân nên chúng là số hữu tỉ.

Có 4 người lại cho rằng – 2,31 là số hữu tỉ âm; 0,28 là số hữu tỉ dương -

3 người cho rằng là số đối 2,31 vì khái niệm số đối không chỉ có trong

- tâp hợp Z mà còn mở rộng trong tập R

Cũng không có nhiều người định nghĩa -2,31 là số nhỏ hơn 0 nằm bên phải 0 trên trục

số và cách 0 một khoảng 2,31. Cách định nghĩa này dựa vào giá trị tuyệt đối của một

số và cách biểu diễn trên trục số độ dài của nó. Nhìn chung một số với dấu trừ đằng

trước được định nghĩa tùy theo cách hiểu của mổi người bởi “số âm” chưa có định

nghĩa rõ ràng. SGK chỉ nói rằng số tự nhiên có dấu trừ đằng trước là số nguyên âm,

nhưng thực tế số có dấu trừ đằng trước còn có thể hiểu là phép trừ 2 số tự nhiên.

Câu 3,4: Để giải thích cho câu này phần lớn các giáo viên điều đưa ra ví dụ thực tế: Nếu ta đang nợ ai rồi lại nợ thêm nữa thì số nợ đó phải tăng thêm và người ta quy ước

nợ là “-” như vậy phương án lựa chọn đưa ra ví dụ thực tế được chuộng nhiều hơn,

bởi nó đơn giản, để hiểu và thực tế hơn.

−

mx 3>

Cũng có người lại dùng trục số để giải thích nó, lấy số 0 trên trục số làm diểm mốc để so sánh nó với các số nguyên dương rồi từ đó lập ra quy tắc. Đây là các giải thích được SGK trình bày nó có giá trị về mặt toán học hơn là thực tế nhưng nó có gây khó hiểu cho học sinh nhiều hơn là ví dụ thực tế. Cách đưa ra quy tắc cộng là biên pháp hữu hiệu, bởi tuy nó khó hiểu nhưng cũng giúp học sinh có cơ sở để tính toán , cũng là cách giúp học sinh nhớ về hình thức và trình tự làm bài toán như thế nào?

Câu 5:

>⇒>⇒=

0.3

Để giải bài toán này có đến 17 người cùng chung hướng giải quyết vấn đề là đều chia ra theo từng trường hợp

−⇒>

−<⇒<⇒> m 3 3

m 3

−⇒

−<⇒<−⇒> 3

m 3

(vô lý)

Đây là cách giải đúng, đầy đủ giá trị nghiệm của phương trình, đúng với cách lập luận vấn đề. Nhưng cách giải trên chỉ ứng với trường hợp các học sinh có trình độ kiến

3−>x

thức tốt và nắm vững nội dung vấn đề. Nhưng phần lớn chỉ giải đơn giản bỏ m ở 2 vế,

, hay khi chia hai vế của

rồi chuyển vế ứng với cách lý giải này thì x đạt giá trị bất phương trình cho số âm thì bất phương trình không đổi chiều nhưng thực tế khi chia hai vế của bất phương trình cho số âm thì bất phương trình đổi chiều. Do đó cách

giải chia từng trừơng hợp là đúng nhất, giúp người làm không bỏ xót nghiệm của

phương trình.

3.2. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI HỌC SINH

Mục tiêu thực nghiệm: kiểm tra giả thuyết đã rút ra được phân tích sách giáo khoa.

Đối tượng thực nghiệm: một số học sinh lớp 7 của Lào và Việt Nam.

3.2.1. Các bài toán thực nghiệm

Bài 1: Một học sinh lớp 5 tò mò muốn biết “số âm” là gì. Em sẽ giải thích cho bạn

học sinh lớp 5 đó như thế nào?

Bài 2: Một học sinh lớp 6 đã được học quy tắc :

- Nhân hai số âm: Muốn nhân hai số âm, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng

- Nhân hai số trái dấu: Muốn nhân hai số khác dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối

của chúng rồi đặt dấu “ - ” trước kết quả nhận được

Nhưng bạn học sinh đó thắc mắc không biết tại sao lại có quy tắc này. Em hãy viết một thông báo giải thích cho bạn học sinh lớp 6 đó

Bài 3: Trò chơi bắn bi: Trên bảng có 5 vòng tròn. Nếu bắn bi trúng vào vòng trong cùng sẽ được 10 điểm. Bắn vào mỗi vòng tiếp theo sẽ bị giảm đi 5 điểm so với vòng trong liền nó.

Bạn Sơn bắn được 3 viên vào vòng 4, một viên vào vòng 3 và hai viên vào vòng 2. Bạn Dũng bắn được hai viên vào vòng 1, một viên vào vòng 4, 3 viên vào vòng 5. Bạn nào được điểm cao hơn ?

Bài 4: a. Tìm số nguyên lớn nhất bé hơn – 2,3

b. Tìm số nguyên bé nhất lớn hơn – 2,3

−

mx 3>

c. Hãy sắp xếp theo thứ tự tăng dấn các số sau: -2,5 ; -3,7 ; -3,6 ; -3,8

Bài 5: Giải bất phương trình :

3.2.2. Phân tích a priori các bài toán thực nghiệm

3.2.2.1. Bài toán 1

Bài toán này được đưa ra để tìm hiểu Những kiến thức có thể dùng để giải thích là tia

số, tổng hai số đối hay các mô hình thực tế. Chúng tôi mô tả thành những chiến lược

SRtsR: Giải thích dựa vào trục số. Chúng tôi gọi đây là chiến lược trục số.

Các bạn vẽ một trục như sau

0 x

Những số nằm bên phải điểm 0 trên trục gọi là gọi là các số dương

Những số nằm bên trái điểm 0 trên trục gọi là gọi là số âm.

Một câu trả lời có thể của chiến lược này là học sinh không vẽ trục số mà chỉ nói số âm là số nhỏ hơn 0.

SRsđR: Giải thích dựa vào tổng 2 số bằng 0. Chúng tôi gọi đây là chiến lược “số đối”

Bạn biết rằng hai số bằng nhau thì trừ nhau bằng 0.

Tương tự, cũng tồn tại 2 số mà tổng bằng 0.

Khi đó 1 trong 2 số gọi là số âm ví dụ

3 +(-3)= 0 thì -3 là số âm

(-5,1)+ 5,1 = 0 thì -5,1 là số âm.

Như vậy sẽ có vô số số âm vì có vô số các số dương.

Theo chiến lược này, có thể học sinh giải thích đơn giản rằng số âm là số đổi của số tự nhiên.

SRttR: Giải dựa vào những hiện tượng quan sát từ thực tế. Chúng tôi gọi đây là chiến lược « thực tế ». Ở đây học sinh có thể đưa ra những mô hình quen thuộc đã được xét

trong SGK, chẳng hạn

- Bạn quan sát một nhiệt kế bạn thấy có ghi những số 0, 1, 2,... và -1, -2,… thì

những số có dấu trừ “-” ở trước là số âm.

- Bạn xem dự báo thì tiết thấy nhiệt độ 1 số là -30c , -50c thì các số này gọi là

các số âm.

- Bạn mắc nợ ai đó một số tiền như 10.000 ngàn thì bạn có -10.000 ngàn

SRptrR: Giải thích theo phép trừ, gọi là chiến lược “phép trừ”

Bạn luôn thực hiện phép trừ một số lớn cho số bé. Bây giờ làm ngược lại, bạn vẫn tính

được kết quả của phép trừ này. Kết quả sẽ cho ra một số gọi là số âm

Ví dụ : 7 – 3 = 4

3 – 7 = - 4

Cụ thể hơn : 7-3=(4+3) -3= 4+(3-3)=4

3-7 = 3 - (3+4)= 3 - 3 – 4

= 0-4

= -4 ( vì số 0 có thể bỏ đi trong phép +, - )

Như vậy là bạn có thể thực hiện bất kì phép trừ 2 số nào.

SRdấuR : Ngoài ra, học sinh cũng có thể giải thích theo cách định nghĩa hình thức bằng cách gán dấu cho số dương. Câu trả lời lúc đó là

Số âm là số có dấu – ở trước.

3.2.2.2. Bài toán 2

Tìm hiểu nghĩa của qui tắc nhân 2 số âm hay 2 số khác dấu. SGK đưa ra qui tắc nhưng không giải thích tại sao được làm như vậy.

- Giải thích nhân 2 số trái dấu :

Bạn gọi –a là số âm, m là số tự nhiên khác 0 (m>0)

−

− am .(

)

Thực hiện phép nhân 2 số trái dấu m và –a.

+−+−= ( ) ( ) ...( ) a a a      mlan

Ta có :

( 

... ) a  

−++−+−= a   m

ma .−−=

Xem phải là tổng m lần các số âm. Bạn đã học qui tắc tính tổng này nen

ma .−=

(vì m>0 nên m= m )

- Giải thích nhân 2 số âm:

−

−=

(

).(

)

.1(

− am )(

)

.[1

am − .(

)]

.1−=

am.

Tôi gọi –a, -m là 2 số âm, ta thực hiện phép nhân –a và –m như sau:

−−=

am − .

m −=

(theo giải thích trên)

(vì )

am.

= mma

Hay : (-m).(-a) = (-1.m).(-1.a) = (-1).(-1). m. a= 1.m.a = m.a

(vì a>0, m>0 nên a= ). =

3.2.2.3. Bài toán 3

Giải quyết tình huống thực tế liên quan đến số âm và phép nhân 2 số trái dấu, tính tổng của các số nguyên âm và dương. Để giải quyết được bài toán đầu tiên học sinh phải biết tìm ra số điểm tương ứng của mỗi vòng.

Số điểm của mỗi vòng tương ứng như sau:

V1 : 10 điểm V4 : -5 điểm

V2 : 5 điểm V5 : -10 điểm

V3 : 0 điểm

+−

5.20.1)5(3

−= 5

Chiến lược : Tính tổng số điểm tương ứng của mỗi bạn

−

−=

10.2

+− .(3)5.(1

)10

điểm Bạn Sơn :

Bạn Dũng : điểm

(vì -5<-15) Vậy bạn Sơn được điểm cao hơn.

VR1 (10 điểm)

VR2 (5 điểm)

VR3 (0 điểm)

VR4 (-5 điểm)

VR5 (-10 điểm)

Có thể tính tổng số điểm của 2 bạn theo bảng sau

Tổng số điểm

Sơn 2 1 3 -5

Dũng 2 1 3 -15

3.2.2.4. Bài toán 4

Để giải quyết được bài toán này, học sinh phải biết các biểu diễn các số trên trục số

hiểu nghĩa của phép ghi a < b (a nằm bên trái của b trên trục số hay b nằm bên phải

của a trên trục số)

Các biến

SR1R: chiến lược sử dụng trục số

Biểu diễn các số lên trục số và so sánh để rút ra kết quả

-4 -3 -2 -1 0

a) - 2,3

Số nguyên lớn nhất bé hơn -2,3 là -3 là số nguyên nằm bên trái gần nhất

b) -2,3

-4 -3 -2 -1 0

Số nguyên bé nhất lớn hơn -2,3 là -2 vì -2 là số nguyên nằm bên phải gần nhất

-4 -3,7 -3 -2 -1 0

c) -3,8 -3,6

Nhìn vào trục số ta thấy -3,8 < -3,7 < -3,6 < -2,5

SR2R: Chiến lược so sánh các số dương là giá trị tuyệt đối của các số

Ta có : 2,5 < 3,6 < 3,7 < 3,8 (áp dụng cho câu c)

=> -3,8<-3,7<-3,6<-2,5

SR3R: Chiến lược chặn các số (áp dụng cho câu a,b)

Ta có : -3<-2,3<-2

a) Số nguyên lớn nhất bé hơn -2,3 là -3

b) Số nguyên nhỏ nhất lớn hơn -2,3 là -2

SR4R: Chiến lược so sánh các số nguyên (áp dụng cho a,b)

3,2−

a) Gọi x là số nguyên lớn nhất bé hơn -2,3

−

3,2

−< 2

Tức là

2−<⇒ x

mà

x là số nguyên lớn nhất nên x= -3

3,2−>y

b) Gọi x là số nguyên bé nhất lớn hơn -2,3

2−≥⇒ y

Tức là

Vì y là số nguyên bé nhất nên y= -2 3.2.2.5. Bài toán 5

Các biến mà chúng tôi đã tính đế khi chọn bất phương trình đưa ra trong bài toán là :

VR1R: Cách cho bất phương trình bậc nhất

Biến này có các giá trị

VR1.1R : Bất phương trình bậc nhất có chứa tham số

VR1.2R : Bất phương trình bậc nhất không có chứa tham số

VR2R : Giá trị của tham số

VR3.1R: Cho trước tham số là số dương

VR3.2R: Cho trước tham số là số âm

VR3.3R: Không cho trước giá trị âm, dương của tham số

Chiến lược có thể

SR1R: Chiến lược rút gọn 2 vế bất phương trình. Chiến lược này cho kết

−

mx 3>

quả dùng khi biết m > 0

>−⇔

x 3 −<⇔ x 3

Ta có:

SR2R: Chiến lược chia 2 vế bất phương trình cho số dương m

−

mx 3>

Xem m là số dương, ta chia 2 vế bất phương trình cho m và không đổi chiều bất phương trình.

3>−⇔ x

Ta có:

3>⇔ x

(chia 2 vế cho m >0)

SR3R: Chiến lược chia 2 vế bất phương trình cho số âm –m.

−

mx 3>

Xem –m là số âm. Chia 2 vế cho số âm và đổi chiếu BấT PHƯƠNG TRÌNH

Ta có:

3>−⇔ x

( chia 2 vế cho -m >0)

SR4R: Chiến lược so sánh 2 vế với 0. Chiến lược này dựa vào

−⇔ xm

Xem VT là số âm, vế trái dấu của 2 vế là số dương

3 >⇔ m

Ta có: VT= Ta có: -mx là số âm

VP= 3m là số dương ( VT > VP là vô lý) VPT vô nghiệm

SR5 R: Chiến lược biện luận bất phương trình theo m.

Th 1: m=0 : bất phương trình <=> 0x > 0 , vô lý

=> bất phương trình vô nghiệm

−

mx m 3 >−⇔

x −<⇔ x 3

Th 2: m>0 : Chia 2 vế bất phương trình cho m ta được

−

mx m 3 <−⇔

x 3 −>⇔ x 3

Th 3: m<0 : Chia 2 vế bất phương trình cho m ta được.

Kết luận : m = 0: bất phương trình vô nghiệm

m > 0: bất phương trình có nghiệm x < -3

m < 0: bất phương trình có nghiệm x > -3

3.3. Phân tích a posteriori thực nghiệm của HS

Chúng tôi đã chuyển khai thực nghiệm bằng cách phát phiếu bài tập và cho học sinh làm việc cá nhân chúng tôi thu về được 206 phiếu của 2 nước Việt Nam - Lào trả lời các câu hỏi cho thực nghiệm đối với học sinh.

Bài toán 1

Việt Nam Lào

Câu trả lời Số lượng % Số lượng %

Số âm là số nhỏ hơn 0 95 92,23% 94 91,26%

Số âm là số đối nghịch số tự 4 3,88% 3 2,91%

nhiên

Số âm có – đằng trước <0 4 3,88% 6 5,82%

103 100% 103 100% Tổng số

Phân tích kỹ câu trả lời của học sinh, chúng tôi nhận thấy học sinh Việt Nam trả lời

như sau:

- Có 4/103 (3,88%) học sinh Việt Nam đưa câu trả lời số âm có “ - ” đằng trước, có 4 /103(3,88) học sinh trả lời “Số âm là số đối của số tự nhiên”, có 95/103

(92,23%) số âm là số nhỏ hơn 0.

- Có 6/103 (5,82%) Học sinh Lào đưa câu trả lời số âm có “ - ” đằng trước, có 3 /103 (2,91%) học sinh trả lời “Số âm là số đối của số tự nhiên”, có 95/103 (92,23%) số âm là số nhỏ hơn 0.

Bài toán 2

Việt Nam Lào

Câu trả lời Số lượng % Số lượng %

Không làm được 22 21,35% 26 25,24%

Làm được 81 78,64% 77 74,75%

103 100% 103 100% Tổng số

VN: Có 22/103(21,35%) không làm được, có 81/103(78,64%) làm được.

Lào: Có 26/103(25,24%) không làm được, có 77/103(74,75%) làm được.

Bài toán 3

Việt Nam Lào

Câu trả lời Số lượng % Số lượng %

Dũng cao hơn 20 19,41% 23 22,33%

Sơn cao hơn 79 76,69% 67 65,04%

Không làm được 14 13,59% 13 12,62%

103 100% 103 100% Tổng số

VN: Có 14/103(13,59%) không làm được, có 79/103(76,69%) trả lời Sơn cao

hơn, có 20/103(19,41%) trả lời Dũng cao hơn.

Lào: Có 13/103(12,62%) không làm được, có 67/103(65,04%) trả lời Sơn cao

hơn, có 23/103(22,33%) trả lời Dũng cao hơn.

Bài toán 4

Việt Nam Lào

Câu trả lời Số lượng % Số lượng %

không trả lời được a,b 14 13,59% 17 16,50%

làm được câu a,b 89 86,40% 86 83,49%

Xếp đúng câu c 97 94,17% 95 92,23%

Xếp sai câu c 6 5,82% 8 7,76%

103 100% 103 100% Tổng số

VN: Có 6/103(5,82%) xếp sai câu c, 97/103(94.17%) xếp dúng câu c, 8 9/103(86,40%) làm được câu a,b,14/103(13,59%) không trả lời được a,b.

Lào: Có 8/103(7,76%) xếp sai câu c, 95/103(92.23%) xếp dúng câu c, 86/103(83,49%) làm được câu a,b,17/103(16,50%) không trả lời được a,b.

Bài toán 5

Việt Nam Lào

Câu trả lời Số lượng % Số lượng %

không làm được 75 72,81% 72 69,90%

X>3 9 8,73% 9 8,73%

X<-3 19 18,44% 22 21,35%

103 100% 103 100% Tổng số

VN: Có 19/103(18,44%) trả lời x <-3,có 9/103(8,73%) trả lời x > 3, có

75/103(72,81%) không làm được.

Lào: Có 22/103(21,35%) trả lời X<-3,có 9/103(8,73%) trả lời X>3, có

72/103(69,90%) không làm được.

KẾT LUẬN

Các nghiên cứu ở chương 1, 2, 3 cho phép chúng tôi tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi

nghiên cứu đặt ra trước đó. Sau đây là những kết quả nghiên cứu chính đã đạt được:

1. Phân tích khoa học luận lịch sử của khái niệm số âm, chúng tôi đã chỉ ra tính phức

tạp về nghĩa của dấu “-”. Cụ thể là nó có ba nghĩa khác nhau như: dấu “-” để chỉ phép

trừ được giới thiệu bởi Vidman (1489) và cũng là dấu để chỉ số âm và số đối (theo

Cauchy (1821)). Đặc biệt với số đối có các ký hiệu sau: Dấu “-” (theo Cauchy), “ a ” (theo Wilekens), “oppa” (theo Hanken). Tuy nhiên Cauchy lại sử dụng cùng một ký

hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số âm và là dấu chỉ số

đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”). Mặt khác qua phân tích thể chế, chúng tôi đã

chỉ ra tính đa nghĩa của ký hiệu dấu “-”. Cụ thể dấu “-” mang ba nghĩa khác nhau như

đã tồn tại trong lịch sử. Từ đó dẫn đến những khó khăn cho học sinh trong việc hiểu

khái niệm số âm: Dấu “-” trong ký hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ. Khó khăn này đã biểu hiện dưới dạng sai lầm là tồn tại ở học sinh quan niệm (-a) là số âm với mọi a khác 0. Điều này đã được chúng tôi kiểm chứng bằng thực nghiệm ở các lớp 7.

Qua phân tích thể chế này vẫn xuất hiện ở các lớp trung học cơ sở. Thực nghiệm của chúng tôi đã chứng tỏ rằng nghĩa “số cụ thể” tạo nên chướng ngại cho việc hiểu “số âm” trong học tập của học sinh.

Đặc biệt, quy tắc nhân, chia hai số âm do không được giải thích nên học sinh không hiểu được nghĩa của chúng.

Thực nghiệm đã chỉ ra các sai lầm tồn tại dai dẳng ở các học sinh trung học cơ sở. Điều này đúng như Perrin-Glorian đã nói: “Những sai lầm gây nên bởi chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và có thể tái xuất hiện ngay cả khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình”

*Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn:

Việc học sinh phạm phải sai lầm tồn tại dai dẳng khi học tập khái niệm “Số âm”. Điều này tạo ra cho chúng tôi câu hỏi gợi ý. Có thể xây dựng các tình huống xung đột nhận thức, cho phép làm mất ổn định và dẫn tới phá hủy kiến thức cũ, địa phương, nguồn gốc của sai lầm như đã đề cập hay không? Đây là câu hỏi mà chúng tôi cần nghiên

cứu trong thời gian tới.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt

1. A. Bessot, C. Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ

bản của didactic toán, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.

2. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2002), Toán 6 Tập 1, NXBGD

3. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2002), SGV Toán 6 Tập 1, NXBGD

4. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2003), Toán 7 Tập 1, NXBGD

5. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2003), SGV Toán 7 Tập 1, NXBGD

6. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), Giáo trình lịch sử toán, NXBĐHSP

7. Phan Thị Hằng (2002), Vai trò và ý nghĩa của các chữ trong việc dạy học số

học ở lớp 6 chương trình cải cách Giáo dục trường hợp Phép chia Euclide,

Luận văn thạc sĩ giáo dục học.

8. Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số và số học Tập 2, NXBGD.

9. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1, NXBGD.

10. Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thôngToán học 2, NXBGD.

11. Tôn Thân (2003), Bài tập Toán 6 Tập 1, NXBGD.

12. Tôn Thân (2003), Bài tập Toán 7 Tập 1, NXBGD.

13. Lê văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông,

NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.

14. Lê Văn Tiến (2006), “Sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ lý thuyết về học

tập”, nghiên cứu Giáo dục số 137.

Tiếng Lào

15. NXBGD Viện nghiên cứu khoa học giáo dục Quốc gia (1996) toán 6.

16. NXBGD Viện nghiên cứu khoa học giáo dục Quốc gia (2007) SGV toán 6.

17. NXBDG Viện nghiên cứu khoa học giáo dục Quốc gia (1997) toán 7.

18. NXBGD Viện nghiên cứu khoa học giáo dục Quốc gia (2007) SGV toán 7.

PHỤ LỤC

BẢN DỊCH CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA LÀO

Lớp 6: Gồm 37 bài Mục lục: Bài 1: Viết số tự nhiên và số hữu tỉ

Bài 2: So sánh số tự nhiên và số hữu tỉ

Bài 3: Phép cộng

Bài 4: Phép trừ

Bài 5: Phép nhân

Bài 6: phép chia

Bài 7: Phân số Bài 8: Điểm. Đường thẳng Bài 9: Độ dài đường thẳng Bài 10: Hình bình thành và ba điểm trong một đường thẳng Bài 11: Quy tắc dấu ngoặc Bài 12: Kiế thức phổ biến về số nguyên Bài 13: Phép cộng số nguyên Bài 14: Phép trừ số nguyên Bài 15: Đường thẳng đi qua hai điểm Bài 16: Đoạn thẳng Bài 17: Độ dài đoạn thẳng Bài 18: Trung điểm của đoạn thẳng Bài 19: Góc Bài 20: Số đo góc Bài 21: Tia phân giác của góc Bài 22: Nửa mặt phẳng Bài 23: Mặt phẳng Bài 24: Hình thoi Bài 25: Hình chữ nhật, hình vuông Bài 26: Diện tích

Bài 27: Tính chất cơ bản của phân số

Bài 28: Tỉ lệ thức

Bài 29: Hình lập phương và hình hộp chữ nhật

Bài 30: Số thập phân và phần trăm.

Bài 31: Thể tích

Bài 32: Bảng “tần số” các giá trị của dấu hiệu

Bài 33: Hình tròn

Bài 34: Biểu đồ

Bài 35: Ôn tập

Bài 36: Ôn tập

Bài 37: Ôn tập

Lớp 7 gồm 10 chương

Chương 1 : So sánh; số nguyên dương; số nguyên âm Bài 1: Số nguyên

Bài 2: Giá trị tuyệt đối của một số và tính chất của nó.

Bài 3: So sánh số hữu tỉ

Bài 4: Phép cộng phép trừ số hữu tỉ

Bài 5: Phép cộng phép trừ ( tiếp theo)

Chương 2 : Hệ thức tỉ lệ, thống kê Bài 6: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Bài 7 :Thu thập số liệu thống kê Bài 8: Tần số và số trung bình cộng Bài 9: Hỗn số. Số thập phân.Phân trăm Bài 10: Biểu đồ phần trăm

Chương 3: Phép nhân, phép chia và các phép tính đối với phân số Bài 11: Phép nhân số hữu tỉ Bài 12: Phép chia số hữu tỉ Bài 13: So sánh và rút gọn phân số Bài 14: Phép cộng và phép trừ phân số Bài 15: Phép nhân phân số Bài 16: Phép chia phân số

Chương 4: Lũy thừa, phương trình, bất phương trình Bài 17: Lũy thừa của một số hữu tỉ Bài 18: Biểu thức Bài 19: Biểu thức (tiếp theo) Bài 20: Phương trình tương đương

Bài 21: Giải phương trình bậc nhất

Bài 22: Giải bài toán về phương trình bậc nhất Bài 23: Bất phương trình tương đương

Bài 24: Bất phương trình tương đương (tiếp theo)

Bài 25: Bất phương trình bậc nhất

Chương 5: Hàm số và đồ thị Bài 26: Đồ thị của hàm số

Chương 6: Đối xứng Bài 27: Đối xứng so với một điểm

Bài 28: Đối xứng so với một điểm (tiếp theo)

Bài 29: Tia phần giác của góc

Bài 30: Đường chéo của hình bình thành

Bài 31: Đường chéo của hình bình thành (tiếp theo)

Chương 7: Hình tam giác Bài 32: Đường cao, trung tuyến, trung trực và đường phân giác. Bài 33: Tổng ba góc trong một tam giác

Chương 8: Diện tích

Bài 34: Hình tròn và tâm tròn

Bài 35: Diện tích của hình bình hành và tam giác

Chương 9: Diện tích và thể tích Bài 36: Diện tích và thể tích của các hình Bài 37: Hình cầu và hình lập phương

Chương 10: Đường thẳng trong mặt phẳng Bài 38: từ vuông góc đến song song Bài 39: Đường trung trực của một đoạn thẳng và tính chất 3 đường trung trực của tam giác Bài 40: Ôn tập hình bình thành Bài 41: Tính chất đường trung bình của tam giác

Lớp 8 gồm 9 chương Chuong 1: Lũy thừa hằng đẳng thức và căn bậc hai Bài 1: Lũy thừa Bài 2: Hằng đẳng thức và phương trình Bài 3: Căn bậc hai

Chương 2: Góc, đối xứng và tam giác Bài 4: Khoảng cách

Bài 5: Góc

Bài 6: Tam giác vuông

Bài 7: Tính chất tia phân giác của một góc

Bài 8: Tính chất đường (trung tuyến , phân giác, trung trực , đường cao) trong một

tam giác

Chương 3: Vec tơ Bài 9: Đường thẳng song song và vec tơ

Bài 10: Cách biểu diễn vec tơ

Bài 11 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chương 4: Phương trình , hệ phương trình Bài 12: Phương trình và phương trình tương đương

Bài 13: Bất phương trình và bất phương trình tương đương

Bài 14: Hệ phương trình bậc nhất có hai nghiệm Bài 15: Hệ phương trình bậc nhất có hai nghiệm (tiếp theo)

Bài 16: Hệ phương trình bậc nhất có một nghiệm

Bài 17: Hệ phương trình bậc nhất có một nghiệm (tiếp theo)

Chương 5: Định luật TaLet Bài 18: Đường trung bình trong tam giác Bài 19: Định luật TaLet

Chương 6: Vẽ đồ thị biểu diễn các phương trình tìm nghiệm của hệ phuong trình Bài 20: Hàm số y = ax Bài 21: Vẽ đồ thị biểu diễn nghiệm các phương trình và hệ phương trình Bài 22: Giải hệ phương trình bằng đồ thị Bài 23: Giải hệ phương trình bậc nhất có hai nghiệm

Chương 7: Thống kê Bài 24: Biểu thức đại số .Giá trị trung bình và tần số Chương 8: Lương giác Bài 25: giới thiệu về cos, sin , tan Bài 26: Hệ thức lượng trong tam giác

Chương 9: Bài 27: Tgóc có đỉnh ở bên trong đường tròn Bài 28: Cách tính độ dài và số đo góc trong tam giác và đường tròn Bài 29: Cách tính độ dài và số đo góc trong tam giác và đường tròn (tiếp)

Lớp 9 gồm 6 chương Chương 1: Tập hơp, lũy thừa căn bậc hai Bài 1: Tập hơp Bài 2: Giá trị tuyệt đối

Bài 3: Lũy thừa và căn bậc hai Chương 2: Biểu thức phương trình và bất phương trình Bài 4: số học

Bài 5: phương trình

Bài 6: bất phương trình

Bài 7: Hệ phương trình

Chương 3: Hàm số Bài 8: Đồ thị hàm số y ‘ f(x)

Bài 9: Đồ thị của hàm số chẵn và lẽ

Chương 4: Một số loại hàm số thường dùng Bài 10: Hàm số

Bài 11: Hàm số Y =x, y= x2, y = x3, y= 1:x

Chương 5: Thống kê Bài 12: Số liệu tần số Chương 6: Lượng giác Bài 13: Hàm số lương giác

Lớp 6

Bài 12 Kiến thức phổ biến về số nguyên

1. Hoạt động

Hoạt động1 1.1 Có một người thống kê việc buôn bán của mình theo bảng sau:

Hãy điền thêm các giá trị vào bảng

Giá mua

Giá bán

Lời và lỗ

Kí hiệu

Kết quả

Lời 50

200 300

250 300

+50

500 800

450 400

2000 400

2500 300

Hoạt động 2 : Có một người đi bộ sao cho khoảng cách giữa các bước đi không đổi, người đó bắt đầu xuất từ 0. Quán sát bước đi của người đó và ghi nhận lại các giá trị

Phía trước 0 phía sau

Viết vào ví dụ:

a. Tiến về phía trước 4 bước và lùi về phía sau 3 bước nghĩa là tiến về phía trước 1

bước so với 0

b. Tiến về phía trước 5 bước và lùi phía sau 6 bước nghĩa là lùi về phía sau 1 bước so với 0 c. Tiến về phía trước 10 bước và lùi về phía sau 3 bước nghĩa là…… so với 0 sau đó viết

thêm vào bảng sau đây.

Khoảng cách 1

Khoảng cách 2

kí hiệu độ dài khoảng cách

Tiến phía trước 4 bước Tiến phía trước 5 bước

Lùi về phía sau 3 bước Lùi về phía sau 6 bước

+4 và -3 ……………………

Lùi về phía sau 8 bước Lùi về phía sau 13 bước

Tiến phía trước 10 bước Tiến phía trước 12 bước

…………………… ……………………

2. Bài học:

2.1: Dấu hiệu nhận biết trên tia: Có thể đặt dấu hiệu vào hai đầu của không ở tia bằng cách sự dụng số nguyên

-1,5 -0,5 0,5 1,5

-2 -1 0 +1 +2 2.2.viết số nguyên :

Ta viết số nguyên theo quy ước Ký hiệu + hoặc - theo số tự nhiên và số hữu tỉ

Ví dụ: +5,3 đọc là dương năm phẩy ba đọc là âm bốn

-4

-0,5 đọc là âm không phẩy năm

2.3. số dương và số âm

Số 0 không là số nguyên dương và nguyên âm

- Các số tự nhiên khác 0 được gọi là số nguyên dương kí hiệu của nó là + - Các số -1 ,-2 ,-3… là số nguyên âm -

dương

âm -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2.4. Số đối Ví dụ: +2 và -2 ; +1,3 và -1,3 Số ngược nhau là số có kí hiệu ngược nhau

-2 B 0 A +2

-1,3 +1,3 Ngược nhau

Độ lớn của A là + 1,3 ta viết A(+1,3) Độ lớn của B là - 1,3 ta viết B(-1,3) ; A và B

nằm ở hai phía so với 0 Bài tập: 1. Biểu diễn các số sau đây trên trục số

+7,5 ; -2 ; -1,5 ; +4 ; +1/2 ; -4

2. Biểu diễn các số sau đây trên trục số giống câu 1

-0,5 ; -0,15 ; 0,5 ; -0,55 ; -0,05 ; +0,7 + 0,5

3. Biểu diễn độ lớn các số sau đây trên trục số -7 ; 1 ; - 4,5 ; 0,50 ; -0,6 ; 0,75 ; 0,95

4. Biểu diễn độ lớn các số sau đây trên trục số -40 và 10 5. Tìm 2 số nằm trong khoảng -5 và -4 ; rồi tìm 2 số nằm trong khoảng -1 và +1 rồi biểu

diễn chúng trên trục số 6. Tìm 2 số nằm trong khoảng -1,2 và -1,1 ; rồi tìm 2 số nằm trong khoảng -5,48 và -5,49 rồi

biểu diễn chúng trên trục số 7. Đếm từ -12 đến +8 với mỗi lần đếm tăng thêm 2

đếm từ -17 đến +3 với mỗi lần đếm tăng thêm 2 đếm từ -11 đến +9 với mỗi lần đếm tăng thêm 2

Bài 13 Phép cộng số nguyên

1. Hoạt động : Hoạt động 1: Nếu ta đi từ trên xuống dưới và không đi từ dưới lên - Ta phải đi theo đường nào để đạt được điểm cao nhất - Trong đường đi hãy biểu diễn tổng điểm của người đó đi được.

Hoạt động 2: số ở dưới là sự thay đổi của giá ví dụ: (+5) là sự tăng lên của giá (-10) là giảm đi 10 kịp

• Hãy viết thêm vào ô trống:

a) (+5) tăng lên (+3) = hoặc (+5)+(+3) = b) (-40)tăng lên (-10) = hoặc (-40)+(-10) = c) (-1) tăng lên (+10) = hoặc (-1)+(+10 ) = d) (+7)tăng lên (-2) = hoặc (+7)+(-2) =

Tổng của hai số dương là số….. Tổng của hai số âm là số…..

2. Bài học:

Tổng của hai số dương là số dương Vd: (+3)+(+5) =8 Tổng của hai số âm là số âm.

Vd: (-5)+(-3)=-8 Tổng của hai số có ký hiệu ngược nhau sẽ là: số dương nếu có ký hiệu cộng lớn hơn

Vd: (+5)+(-3)=+2

là số âm nếu ký hiệu trừ lớn hơn

Vd: (-5)+(+3) =-2

Bài tập 1. Thêm vào bảng

2.Tính (-5)+ (-9) ; (+40)+(-30) ; (-11) + (+15) ; (+28)+20 (+2)+( -2)+(-4) ; (-8)+(-15)+(-13) ; (-5)+(-30)+(+7) ; (+15)+(-21)+0 2. Tìm x

(+30)+x = (-40) (+2)+x = (+25) x+(-30) = (-53) x+(+23) = (-15) (+5)+(-33) = x

3. Hãy đếm từ -18 đến +7 mỗi lần đếm tăng thêm 5 4. Tìm số nguyên mà có dấu ngược nhau và có tổng bằng (-7)

Bài 14 Phép trừ số nguyên.

1. Hoạt động. Hoạt động1: Phép trừ số ngược.

Khi a+b=a, ta được x=a-b=a+ con ngược của b

a. Hãy thêm vào bảng

a-b

a+ con ngược của b

-15

-3

-9

-5

-2

-4

b. Viết thêm vào câu sau dựa theo bảng: “ để trừ số nguyên ta thêm ……………….. vào”

Hoạt động 2: Đi từ một số đến một số theo chỉ dẫn

khi hiệ4 của hai số bằng (+13) hoặc (-13) tìm đường

con thỏ đi để ăn rau muống.

2. Bài học Để trừ số nguyên, phải cộng số ngược của nó vào: a - b= a + con ngược của b

ví dụ: (+3)- (-6) = (+3) + (+6) = +9 (-2)- (+5) = (-2) + (-5) = - 7

(+3)-(-6) = (+3)+(-5) = - 2

Bài tập

1. Hãy tính (-5) - (-9) ; (-11) - (+15) ; (+28) - (+20) ; (+59) - (-18) 2. Hãy tính

(+29)-(-25)+(+40) (-30)-(-15)-(+3) (+33)-(-46)+(-32)-(+15)

3. Hãy tính

x-(25)=+34 (-34)+x=-15

(+35)+x=-13

4. Hãy tính

(-27)+[(-34)-(-22)]

[(+32)+(-22)]-(-3) (-3)-[(-4)+(-3)

SGK LỚP 7

CHƯƠNG I SO SÁNH; SỐ DƯƠNG; SỐ ÂM; SỐ NGUYÊN

BÀI 1: SỐ NGUYÊN

I. Hoạt động

Hoạt động1 a. Hãy thêm vào câu dưới đây:

P oc

Pở trên so với 0 gọi là +5P P ở …… so với 0 gọi là….P

Hình 1 nhiệt kế chỉ 5P Hình 2 nhiệt kế chỉ 5P

(1) (2) b) Hãy đọc số chỉ nhiệt kế trong các hình dưới đây rồi viết vào bảng sau:

Hình

A B C D E

Nhiệt kế

2. Hoạt động 2 Điểm 0 là mực thủy ngân quan sát các điểm sau đây và viết vào bảng sau đó so sánh với mực thủy ngân

Điểm Vị trí của điểm so với mực thủy

Dấu

ngân

ở trên mực thủy ngân 200m

+200m

II. Bài học :

1. Số nguyên

Số nguyên: là số gồm có dấu (+) hoặc (-) ở phía trước. Người ta có thể biểu diễn giá trị của chúng lên trục số

2,5

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

2. Viết các số :

bao gồm hai phần : dấu và số + 7 đọc cộng 7 Ví dụ :

- 5,13 đọc trừ năm phẩy mười ba - 0,1 đọc trừ không phẩy một

3. Số dương _ số âm - Số nguyên là số dương nếu có dấu (+) ở phía trước

- Số nguyên là số âm nếu có dấu (-) ở phía trước - Số 0 có thể là số dương và số âm 0 = +0 = - 0

…… -2 -1 0 +1 +2 ……

Số âm số dương

5. Số đối : đối

-2 -1 0 +1 +2

đối

Ví dụ: (-2) và (+2) là hai số đối

Ghi chú : ta có thể viết số dương mà không cần dấu cộng Ví dụ: +7 = 7; +0,5 = 0,5

BÀI TẬP 1. Vẽ ttrục số biểu diễn các điểm dưới đây khi biết độ lớn của nó

− );5,0(

− );8(

);0(

− );5(

+ );3(

− )3(

2. Biểu diễn độ lớn các điểm dưới đây:

A C E D F

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

3. Hãy tìm số nguyên ở giữa -10 và 0

- Đọc độ cao của các địa điểm dưới đây

- Độ cao của đỉnh núi 3135 mét

- Đọc độ cao của sông là – 523 mét

4. Hãy tìm 2 số nguyên ở giữa -5 và -4; -1 và +1 biểu diễn lên tia

5. Hãy tìm số đối các số dưới đây

+11; -32; 700; 0,02; -14.

Bài 2 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ VÀ TÍNH CHẤT

CỦA NÓ

I. Hoạt động 1. Hoạt động 1: ( định giá trị tuyệt đối) Cho hai điểm A , B và có độ lớn A (-3); B (+5)

a) Hãy biểu diễn điểm A và B trên trục số b) Khoảng cách từ A tới điểm O có mấy đơn vị?

Khoảng cách từ B tới điểm O có mấy đơn vị? c) Khoảng cách giữa điểm A, B và điểm O cho ta khoảng cách là giá trị tuyệt đối của độ lớn

điểm đó. Ta có đặc điểm “x” đọc là trị tuyệt đối của x; Sau đó hãy tìm “-3”=…, “+5”=…. d) Giá trị tuyệt đối của số nguyên là số dương hay số âm?

Hoạt đông 2: ( đặc điểm giá trị tuyệt đối) a) Hãy tìm trị tuyệt đối của các số dưới đây:

−

3;25,1;25,1;4;8

b) Hãy tìm hai số nguyên biết trị tuyệt đối của nó bé hơn hoặc bằng một. Hãy chỉ ra câu nào

đúng nhất trong ví dụ sau: -1 1 -1 1 -1 0 1 -1 1 a b c d II. Bài học

1. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

Giá trị tuyệt đối của một số chính là số đó mà lấy kí hiệu ra viết vào giá trị tuyệt đối.

Ví dụ:

Viết

Đọc

Giá trị tuyệt đối của +1,3 là 1,3

3,13,1 =

Giá trị tuyệt đối của -2,4 là 2,4

−

4,2

Giá trị tuyệt đối của 0 là 0

0 = 0

2. Đặc điểm - Giá trị tuyệt đối của một số âm là số dương

- 2 số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối

=−=+

Ví dụ:

Bài tập:

1. Tìm trị tuyệt đối của: +

−

;01,0;5,0;2,9;5;13

1000

8;8;

2. Hãy viết vào bảng dưới đây số thích hợp: X

1,3

-5

1,2

Số ngược của x

5,3

-4,3

1,3

-4,5

3,27

-4,3

2,5

3. Hãy điền “cộng” hay “trừ” vào câu dưới đây:

a) Số ngược lại của số âm là….

b) Số ngược lại của số dương là số…. c) Giá trị tuyệt đối của số nguyên là số…

4. Hãy tính:

=−

−

=++ 3

=−+ 3

=−− 3

=−+−

−− 5

Bài 3 SO SÁNH SỐ HỮU TỈ

I. Hoạt động 1

Cho trục số với độ lớn của những điểm như sau: D C A B -3 -2,3 -2 -1 0 1 1,5 2 3

a) Hãy viết độ lớn của điểm A, B, C, D b) Hãy thêm kí hiệu < , >, = vào chỗ trống:

1,5….1,5 3……1,5

1,5…3 3…..3

1,5…(-1) 3……(-1)

1,5…(-2,3) 3…..(-2,3)

(-1)…1,5 (-2,3)…1,5

(-1)…3 (-2,3)…3

(-1)…(-1) (-2,3)…(-1)

(-1)…(-2,3) (-2,3)…(-2,3)

c) Hãy sắp xếp số dưới đây từ bé đến lớn

0 ; -1 ; 1,5; 2 ; -2 ; 3 ; 2,3 ; -3

II. Bài học 1. So sánh hai số hữu tỉ a) Muốn so sánh 2 số dương khác nhau có thể so sánh giống như so sánh hai số ở bậc tiểu học và lớp 6

〉

ví dụ: 1,5 <7; 10>2;

3 5

1 5

b) Khi hai số có dấu khác nhau thì số nào có dấu trừ (-) là số bé hơn, số nào có dấu cộng(+)

là số lớn hơn Ví dụ: 1,7< 2,5 hay 2,5 < -1,7 -1,7 2,5

c) Nếu hai số có dấu trừ, số bé hơn là số có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Ví dụ : -3 < -1 -3 -1

2. Tập hợp số

{

} ,.....

}...3,2,1,0=N −− .... 2,1,0,1,2 }5,4;3,1,2,1 −−−

D={ -1 ; 2 ; -1,3 ; 4,5 ; ….}

a) N là số tự nhiên b) Z là số nguyên Z ={ c) D là số hữu tỷ D ={ ví dụ

Bài tập 1. Hãy so sánh số nguyên bằng kí hiệu <, >, =

5…………3

(-3)……..3

0…….(-4)

(-3,2)….(-2,4)

(-3)……(-3)

3……..0

(-7)……(-8)

(-8)……0

0……..0

2. Hãy sắp xếp số nguyên sau từ bé đến lớn

15; 3; -5; 31; -3; 42; 0; 8; 11; -3; 24

3. Hãy tìm 3 số giữa (-30, 002); (-30,001)

4. Hãy tìm số nguyên x biết

8=x

5. viết số dưới đây vào hình

0 ; -0,5; -1 ; 1,5 ; -1,5

1995 ;

;

6. Tìm các giá trị của x; y ; và z

- 78,25

-15,41

-1 z

0,1

7. Hãy tìm số hữu tỉ:

a) -0,2 ≤ x ≤ 3,5

b) -2,23 ≤ y ≤ -0,35

c) -3< z 2≤

8. Đọc những điều ghi sau đây và cho biết điều đó có đúng hay không?

Ν∈Ν∈−Ν∈Ζ∈Ν∈Ν∈− 5, .

9. Quy định

{

N là số tự nhiên

}...3,2,1,0=N

+ ZP

P là số nguyên dương từ 0 -

P là số nguyên âm từ 0 +

Plà số hữu tỉ dương từ 0

DP - P là số hữu tỉ âm từ 0 DP

a) Hãy viết 5 số thành phầ về tập hợp trên

b) Viết hai số

P giống nhau

+ + 1. Có thành phần của ZP P và DP - - P giống nhau P và DP 2. Có thành phần của ZP + + 3. Có thành phần của DP P nhưng không phải ZP - - P P nhưng không phải ZP 4. Có thành phần của DP

Bài 4 PHÉP CỘNG , PHÉP TRỪ HỮU TỈ

I. Hoạt động: Hoạt động 1

Trước -3 -2 -1 0 1 2 3 sau

Một người đi bộ, mỗi bước đi được một đơn vị người đó di chuyển bằng như hình vẽ dưới

đây. Dấu (+) là người đó ở phía trước, dấu (-)lùi lại bắt đầu từ 0

a) Hãy thêm vào chỗ chấm dưới đây

Đi bộ 4 bước lùi lại 3 bước có nghĩa là tại điểm bắt đầu người a biết (+4)+(-3)=+1

Ví dụ: (+4)+(+2)=……

(-2)+(+7)=…..

(+4)+(+7)=…… (-5)+(+9)=……

(-3)+(-4)=…… (-3)+(-3)=……

b) Hãy tính số dưới đây: 9,2+7,5=

2,01+4,01=

8+(-9,7)= (-2,5)+6=

-2+5,5= -4,5+(-1,5)=

Hoạt động 2: Ta đã biết số đối của (-x) là x

])3,2(−−

Số đối của (-5) là 5 ta viết được –(-5) = 5 Viết tắt cách viết số dưới đây: a = -(-7,5); b=-(-0,01); c= -[ Hoạt động 3: Định nghĩa

Hiệu của a-b là một số phải thêm vào b để bằng a Ví dụ: (+4)-(+3)=1 nghĩa là 1+3=4

Hãy điền và bảng dưới đây:

a -b

a cộng với số ngược của b

8,5

4,2

-4

-6

-1

Sau đó hãy nhận xét phép trừ số nguyên

II. Bài học

1. Phép cộng số hữu tỉ: UĐịnh lý: ` Phép cộng hai số hữu tỉ có cùng kí hiệu ta làm như sau - Cộng trị tuyệt đối của nó lại với nhau

- Viết kí hiệu của chúng vào giá trị của tổng Ví dụ

(+4,5)+(+2,3)=+6,8 (-4,5)+(-2,3)=-6,8

Phép cộng hai số hữu tỉ có kí hiệu khác nhau ta thực hiện như sau: - Ta trừ trị tuyệt đối của nó ra - Viết kí hiệu có trị tuyệt đối lớn hơn vào tổng

Ví dụ (+4,5)+(-2,3)=+2,2

(-4,5)+(+2,3)=-2,2

2. Phép trừ số hữu tỉ UĐịnh lý:U Muốn trừ 2 số hữu tỉ phải cộng số ngược của số thứ nhất rồi trừ cho số thứ hai x-y = x+ với số ngược của y = x+(-y)

Ví dụ:

(+5,3)-(-3,2)=(+5,3)+(+3,2)=+8,5

(-1,2)_(+9,5)=(-1,2)+(-9,5)=-10,7

Bài tập

1. Hãy tính

a =(-5,7)+(-9,1) b =(-12,53)+14,7

c =37+(-24,5)

2 .Hãy tính

a =(-1)+(-1)+(-1) b =5+(-3)+(-2)

c=(-1)+(-3)+(-4)

3. Hãy xét các tổng sau

a =36,4+(-7,91)+(-3)

b =(-24,1)+0,1+(-2) c =25+(-10,1)+(-34)

d =(-6,2)+3,1+(-16) e =(-1)=3,5+4,7

4. Tính

a =7,8-3,5

b =(-7,6)-(+3,5) c =3,5-7,5

d =3,5-(-7,6)

5. Hãy viết số thích hợp vào bảng dưới đây

-6

4,5

-7

-1

-2

X+Y 8

2,5

-1,1

-2,7

7,8

-16

PHÉP CỘNG; PHÉP TRỪ (TIẾP )

Bài 5 I. Hoạt động

1.Hoạt động 1: a) Hãy dùng dấu ngoặc tùy ý tính:

a =1-2-3

b =1+2-3-4

Khi di chuyển dấu ngoặc kết quả có thay đổi không?

b) Hãy dùng mọi số, kí hiệu của phép tính và mở ngoặc nếu có trong mỗi câu sau để tính tổng của phép tính sau:

a.-7; 2; 3; +…; -…. , để được -6 b. -7; 6; 8; +…; -….; ( ) để đựoc 5

c. -8; -3; 2; -….;-….; ( ) để được -7

2. Hoạt động 2 A B

a b Ta cho điểm A có độ lớn là a, điểm B có độ lớn b hãy viết thêm vào bảng sau đây:

b – a

AB=

ab −

5-2=3

-2

-3

-5

-1

-4

3. Hoạt động 3 Hãy thêm vào bảng dưới đây:

x+y

y+x

x-y

y-x

-2,3

-4

-3

(x+y)+z

x+(y+z)

-2

-4

-3

2,2

-4

-5

Hãy nhận xét: x+y và y+x (x+y+z) và x+(y+z);

x-y và y-x; (x+y)+z và x+(y+z) II. Bài học:

1. Phép tính có dấu ngoặc UĐịnh lý: Muốn tính biểu thức có dấu ngoặc ta làm trong ngoặc trước rồi đến nhân chia cộng trừ Ví dụ

(7-5)+(2-3)-(-8+5+1) =2+(-1)-(-2)

=2+(-1)+2 =3

2 . Khoảng cách giữa hai điểm trên trục số Ví dụ: A B

-2 5 AB=

−− )2(5

A B

1 4 AB=

14 − =3

A B

-4 -1 AB=

−−− )1(

)4(

Cho A có độ lớn a; B có độ lớn b khoảng cách giữa điểm A và điểm B là AB viết dưới đây:

AB =

ab −

3. Đặc điểm của phép cộng

a) Phép cộng chuyển đổi được đối với x và y là số nguyên gọi là tính chất giao hoán ta được:

x+y =y+x

ví dụ (-5)+(+3)=(+3)+(-5)=-2

Ghi chú: Phép trừ chuyển đổi không được b) Tính chất kết hợp :

Đối với x; y ; z là số nguyên ta được:

x+(y+z)=(x+y)+z

Ví dụ:

(-5)+(+3)+(-2,1)

( (-5)+(+3)) + (-2,1)

=(-5)+(0,9) = -4,1

=(-2)+(-2,1) = - 4,1

Ghi chú Phép trừ không có tính chất kết hợp

Vd: (2-5)-1=-3-1= -4 Nếu dấu cộng ở trước dấu ngoặc ta có thể bỏ dấu ngoặc

-2+((-8)+9) =-2+1

-2+(-8)+9) =-2+(-8)+9

=-1

Vd :

c) Số 0 là số hạng của phép cộng, ta được

x+ 0 = 0 + x = x

Mọi số nguyên x có một số ngược là –x

x+ (- x) = ( - x ) + x = 0

Bài tập

1. Hãy tính

a = 3+(-5)+(4-(-2))

c = (-1,36)-4+(-5,36)

b = (-7)-(-8)+3-(-3)

d = ((-8)+(-5)-(-2,5))

2. Hãy tìm x biết:

c. 3+(x-9) =3+4

a. (19-3)+x = 18-25

d. 45-21+(x+4+5) = 6

b. -24-5-x+7 = -2-6

3. Tính biểu thức sau đay:

a + b ; a - b ; -a + b ; -a - b

;

ba − ;

ba + ;

ba +−

ba −−

Khi biết:

a) a= 5 ; b= 41

b) a= 3 ; b= 4,25

c) a= 3 ; b= -1,5

d) a= 3 ; b= 3

4. Nhiệt độ trong tủ lạnh vào buổi sáng là

, buổi chiều cùng ngày đã giảm

. Hỏi

c04

c02

nhiệt độ trong tủ lạnh ngày hôm đó là bao nhiêu độ c ?

5. Cho 3 điểm A, B, C có:A(-6), B(4), C(-2) hãy tìm các giá trị sau:

AB, BC, BA, CA, CB

CHƯƠNG III: PHÉP NHÂN PHÉP CHIA VÀ CÁC PHÉP TÍNH ĐỐI VỚI PHÂN SỐ

BÀI 11 PHÉP NHÂN SỐ HỮU TỈ

I. HOẠT ĐỘNG

Hoạt động 1 Có một người đi từ điểm A tới điểm G và có thể đi theo nhiều đường khác nhau theo

hướng mũi tên. Hãy dẫn đường đi bằng cách chọn hướng xuất phát từ dấu cộng nhỏ nhất đến dấu cộng lớn hơn

Sơ đồ đường đi:

Hoạt động 2: Ta đã biết tích hai số dương nhân với nhau là số dương

Ví dụ : (+7,2

+× (

)11

2,79

a) Nhân số âm với số dương

−+

viết vào chỗ trống −× −= )5,3(4

)5,3(

−×

)5,25

=×

− 2)4,6(

−×

4. Sau đó hãy tính

85,3

)2,4(

5. Các bài toán trên cho ta kết luận gì đối dấu của tích

b) Nhân hai số âm

1. (Số ngược của a ) x (số ngược của b) bằng số ngược của số ngược

ba ×

đối của

hãy viết dưới dạng công thức câu trên: ×− ( a )

− × (

a b

(....)

......

)

Sau đó hãy tính

−×−= )3(

−=

... =

−=

y z

a ( ) −× ( −× (

)5,2( )11,0(

)10 1000

.... = )

...

c. Từ các phép tính trên ta rút ra được kết luận gì đối với tích số của hai số âm

II. Bài học:

1. Nhân số hữu tỉ

Nhân hai số nguyên thông thường ta có các tính như sau:

Tích số

5,1

3 =×

3,15

Số nhân

Ví dụ:

=× 3,631,2

−=−×

3,6

=−× )3( −=×

)3(1,2 − )1,2( − 3)1,2(

3,6

Chú ý:

ba × hoặc

ab ×

a×2 2a nghĩa là a b× có nghĩa là 2.3 không có nghĩa là

32 ×

2. UĐịnh luật: - Tích hai số có cùng dấu là số dương

- Tích của hai số khác dấu là số âm 3. Phép nhân một số với 0

Đối với mọi số a ta luôn có

=×=× 0

Ví dụ: (-3)

=× 0

05,20;0

2 7

BÀI TẬP

1. Hãy thêm số phù hợp vào bảng sau:

2. Hãy nhân các số nguyên sau đây:

a =

−× )3(5,3

35,3 ×

−×

− 3)5,3(

− )5,3(

)3(

−×

)75,1(1

− 0)5,3(

3. Hãy thêm số phù hợp vào bảng sau:

4. Tính nhẩm khi nhân một số với 0,25. Sau đó hãy tính

15;25,0

× 36,0;25,05,6;25,0

25,0

5. Hãy tính

)36,9(

)7,4(

−= = −=

−×

−××

x y z

−× )5,4( )3,7( −××−× )9(0)4(5,7 −× )8,4(

)8,4(

)01,1(7)75,2(

6. Câu sau đây đúng hay sai (ví dụ thêm):

a) Có một số nào nhân với -1, tích của nó là số ngược.

b) Một số nào khác 0 nhân với số ngược nhau, thành lại số âm

c) Lũy thừa 2 của số nguyên là số dương

d) Lũy thừa 3 của số nguyên là số âm

BÀI 12 PHÉP CHIA SỐ HỮU TỈ

HOẠT ĐỘNG

I. Hoạt động 1 Chia số thứ nhất cho số thứ hai là nhân số thứ nhất với nghịch đảo của số thứ hai

−=×−=

Ví dụ

=÷− )2(

)2(

4,0

− 2 5

1 5

b =

; c =

÷− )4(

)2(

−÷− )4(

)2(

b) Hãy tính −÷ )2(4 ; a =

c) Kết luận như thế nào về dấu của thương và tích của số nguyên? Thêm vào bảng dưới đây

rồi rút ra kết luận

- Hai số cùng dấu chia cho nhau thương mang dấu gì?

- Hai số khác dấu chia cho nhau thương mang dấu gì? - Dấu của thương và tích số có giống nhau không?

Hoạt động 2 Hãy thêm giá trị phù hợp vào bảng và điền vào chỗ trống a)

b )

=−÷− )6(

)3(

….

−=−÷ )4( 3

(-1,2)

..... −=

II. Bài học

1. Phép chia hai số dương và phân số a) định lý:

ta được

số thương Số chia Số bị chia = 35,12

=÷ 5,123

=×

ta được

5 =÷

Tích số

ba ÷ có thể được viết theo kiểu phân số

a b

×=

Với

= ta được

a b

b ) Chia một số cho 0

Ta không thể chia một số khác không cho số 0

được

ví dụ: 3 không thể chia cho 0 được vì số nào nhân với o cũng bằng 0 c) Giá trị lân cận của tích số:

Với phép chia hai số nguyên dương; nếu tích số là số thập phân vô hạn quy ước lấy

tích số là lấy giá trị lân cận

VD:

445000

≈÷ 7

63571 ,

42857

....

- Nếu lấy giá trị lân cận chính xác đến 1 chữ số kết quả là 63571 - Nếu lấy giá trị lân cận chính xác đến 0,01 chữ số kết quả là 63571,43

2. Phép chia số nguyên UQuy luậtU: Thương của hai số nguyên có cùng dấu với tích của hai số nguyên

=×

=−÷

Vd: =÷ 35,144,5 − )4,5(

35,1)4(

44,5 − )4,5(

6,21

−=−÷

6,21 =−× )4( −=−×

35,1

6,21

−=

−=×

)4(4,5 − )4,5(

)4(

35,1

)4(4,5 − 4)4,5(

6,21

BÀI TẬP

1. Hãy tính: = ÷

−÷

35,13

)3(5,13

−÷

−= (

)3(

3)5,13 −÷

)5,13 −÷ )1(2,4

75,1 −=

)75,1( −÷

−÷=

)5,3(

)1(

)3,5(0

÷=

÷−=

2. Hãy tìm sai số chính xác đến 0,01 các thương sau: c

8)7(

−÷

)5,3(

−= (

)14

)5(

3. Tìm x Ví dụ:

=×

−=×

(

5)5

(

−x

100

3)7 =

24 ÷

−=−× )5(

x )7 =+

( x

x − −

× ( 4)) 0, 2 3

( b. c. (

−=

+x 7

BÀI 13 SO SÁNH VÀ RÚT GỌN PHÂN SỐ

I. HOẠT ĐỘNG Hoạt động 1: Hãy so sánh xem phân số nào lớn hơn

)

....

.....

....

;

8 5

13 5

;

)

...

....

;

......

1 3 6 5

5 3 6 10

5 1 8 5

1 2 1 5

6 5 3 4

6 4

Hoạt động 2: ( Rút gọn phân số ) × ×

× ×

210 165

14 11

42 33

3 3

5 5

14 11

;

35 60

42 60

30 20

90 75

32 36

Hoạt động 3:

a) Viết vào chỗ chấm để được phân số bằng nhau

;

3 5

.... 75

7 3

91 ....

b) Quy đống mẫu số rồi sắp xếp từ nhỏ đến lớn:

;

3 4

7 8

3 24

5 2

c) Phân số nào bằng nhau trong các phân số sau đây:

;

4 5

8 10

4 8

6 4

1 2 II . Bài học:

1. So sánh hai phân số -Nếu hai phân số có mẫu giống nhau, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

-Nếu hai phân số có tử giống nhau phân số nào mẫu bé hơn thì phân số đó lớn hơn.

Ví dụ:

7 2 9 8

5 >> 3 9 << 5

1 2 9 2

3 2 9 4 1. Rút gọn phân số

Nếu

là một phân số , k là một hằng số khác 0 ta có

a b

ka kb

a = b

2. Phân số tối giản

ví dụ: đưa các phân số

về phân số tối giản

;

7 18

5 12

7 18 5 12

× 27 × 18 2 × 35 × 12 3

14 36 15 36

Ví dụ: Hãy so sánh

và

7 18

5 12

Ta thấy

;

15 36

14 36

7 18

5 12

Suy ra

do đó

15 36

7 18

5 12

14 35 BÀI TẬP

1. So sánh các phân số sau đây và sắp xếp từ nhỏ đến lớn

)

;

)

;

5 8 3 8

7 8 3 12

1 8 3 9

3 8 3 6

12 8 3 2

2. Rút gọn phân số

;

32 96

;

18 33 − −

− −

8 12 − 2 4

120 360

81 9

3. Tìm phân số tối giản của các phân số sau đây:

và

; b.

và

; c .

và

7 8

11 6

5 18

3− 4

2 27

5 6

4. Viết các phân số sau dưới dạng thập phân:

;

34 200

12 100

35 40

BÀI 14: PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN SỐ

I. HOẠT ĐỘNG

Hoạt động 1 a ) Điền vào chỗ chấm

.....;

.....

17 11

≠

.....;

b (

);0

......

15 7 23 b

18 7 18 b

36 11 b =+ 3

a 3

b) Tính và rút gọn phân số tối giản

Ví du:

;

3 2

5 2

7 = + 5

13 8 + 3 7

2 = + 3 Hoạt động 2 Quy tắc: Trừ hai phân số là ta cộng số bị trừ với số ngược của nó Vd :

(

)

−+ (

)

2 −+=− 3

3 5

10 15

9 15

− 15

1 15

2 3

;

• Hãy tính phân số sau: 2 3

3 1 = − 4 3

5 = − 2

4 7 = − 5 10

−

;

7 5 − 12 15

8 12

14 21

....

.....

;

2 9

1 18

• Hãy thêm vào chỗ chẩm: 1 6

1 = + 2

.....;

.....

2 11

1 = + 6

2 7

1 = + 4 II. Bài học

1. Cộng hai phân số có cùng mẫu số

Nếu

và

có cùng mẫu số ta được

a b

c d

a b

c =+ b

+ ca b

2. Cộng hai phân số có mẫu khác nhau Muốn cộng hai phân số khác mẫu ta quy đồng mẫu số bằng cách tìm nhân tử chung rồi cộng

chúng lại với nhau

5 6

3 4

10 12

9 12

+ 12

19 12

3. Phép trừ phân số Muốn trừ hai phân số cùng mẫu ta cộng với số ngược của dấu trừ, còn đối với hai phân số

khác mẫu ta phải quy đồng trước rồi mới tính

−

Số ngược của phân số

là số

(

)

a b

−

Ví dụ:

−+ (

)

11 6

7 =− 8

44 24

21 24

44 24

21 24

23 24

BÀI TẬP

1 Hãy tính

−−=

4 −− 5 2 3

13 6 8 5 20 3

2 −− 7

1 2 3 4 12 21

2. Hãy đổi thành phân số

−= 1

;

−= 6

23 4

−= 1

−= 2

;

7 9

3 20 5 4

BÀI 15 PHÉP NHÂN PHÂN SỐ

I. HOẠT ĐỘNG

Hoạt động 1 a) Hãy tính :

;

×= 2

8 9

;

×= 0

15 23

4 ×= 5 17 19

6 5 19 17

b) Rút gọn các phân số sau:

−

15 4

35 18

27 14

− × 35 27 × 14 18

áp dụng tính

;

63 40

25 40

××−× 93)5(7 ××× 7292 − 2 45

15 28

Hoạt động 2 Định lý 1: Nếu tích của hai số bằng 1 thì hai số đó là hai số nghịch đảo của nhau

Vd :

có nghĩa là 4 là nghịch đảo của 0,25

25,04

II. Bài học: 1 Phép nhân hai phân số

Nếu

và

là hai phân số thì ta có

a b

c d

≠

;

, co

a b

c d

× ca × db

Muốn nhân hai phân số ta lấy tử nhân tử mẫu nhân mẫu rồi rút gọn phân số nếu được

Vd:

(

)

4 5

− 7 3

− 28 15

2. Nghịch đảo của số khác 0

a. Định lý: hai số là nghịch đảo của nhauthì tích số của chúng bằng 1

là nghịch đảo của a

Nếu a là một số khác 0 thì

1 a

Vd: nghịch đảo của 2 là

1 2

b. Nghịch đảo của phân số

Cho

là phân số mà

nghịch đảo của

là

vì

≠ b

;0 ≠

a b

b 1=× a

a b

b a

a b

BÀI TẬP

1.Tính và rút gọn các phân số sau đây:

;

− 5 6

4 7

2 − 3

4 − 5

15 28 49 45 2. Hãy tính:

××=

;

2 3

9 4

8 10

4 7

5 3

14 25

BÀI 16 PHÉP CHIA PHÂN SỐ

HOẠT ĐỘNG

I. Hoạt động 1 Hình sau biểu diễn phép chia

÷ 2

3 4

Ta làm như sau:

Vẽ hình chữ nhật

=÷

nghĩa là thương của 7 chia cho 5 sẽ là tích của 7 nhân với nghịch

×= 7

a. Ta biết

7 5

1 5

đảo của 5

5,75,3 ÷

Áp dụng đổi phép chia thành phép nhân 34 ÷ ;

b. Hãy chỉ ra cách chia một số a cho 0,5; 0,25; 0,1; 0,2

=×=÷=

vd:

5,0

1 2

2 1

II. Bài học: Định lý:

Cho a, b là hai số với b 0≠ Chia a cho b là nhân a với nghịch đảo của b

Trong trường hợp

là hai phân số mà a, b, c, d là các số khác 0 ta luôn có:

;

a b

c d

a b

c d

a ×= b

d c

Ví dụ:

÷ = × =

35 6

5 2 3 7 2 9

= × 5

2 99 65 4

÷ = × = 0

4 13 6 7

5 7 3 2 2 1 = × 9 11 13 4 7 6

Vd:

Có khi ta rút gọn thương số dưới dạng sau: − 6 17

××− 532 × 3 17

3 =÷ 5

5 =× 3

− 10 17

− 6 17

BÀI TẬP

1. Hãy tính:

3 5

1 ÷=b

4 3

4 ÷= 7 2 ÷= 3

2. Tính và rút gọn

− 7 5

−=b

36 ÷

2 ÷= 3 −

30 7

12 9

− 28 27

3. Hãy rút gọn các phân số sau đây

;

19 95

16 65

36 64

11 110

72 27

− 13 325

Mục lục Chương trình toán lớp 7 gồm 10 chương :

Chương 1 : So sánh; số nguyên dương; số nguyên âm Bài 1: Số nguyên Bài 2: Giá trị tuyệt đối của một số và tính chất của nó. Bài 3: So sánh số hữu tỉ Bài 4: Phép cộng phép trừ số hữu tỉ Bài 5: Phép cộng phép trừ (tiếp theo)

Chương 2 : Hệ thức tỉ lệ, thống kê Bài 6: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Bài 7: Thu thập số liệu thống kê

Bài 8: Tần số và số trung bình cộng

Bài 9: Hỗn số. Số thập phân.Phân trăm

Bài 10: Biểu đồ phần trăm

Chương 3: Phép nhân, phép chia và các phép tính đối với phân số Bài 11: Phép nhân số hữu tỉ

Bài 12: Phép chia số hữu tỉ

Bài 13: So sánh và rút gọn phân số

Bài 14: Phép cộng và phép trừ phân số

Bài 15: Phép nhân phân số

Bài 16: Phép chia phân số

Chương 4: Lũy thừa, phương trình, bất phương trình Bài 17: Lũy thừa của một số hữu tỉ Bài 18: Biểu thức

Bài 19: Biểu thức (tiếp theo)

Bài 20: Phương trình tương đương

Bài 21: Giải phương trình bậc nhất Bài 22: Giải bài toán về phương trình bậc nhất Bài 23: Bất phương trình tương đương Bài 24: Bất phương trình tương đương (tiếp theo) Bài 25: Bất phương trình bậc nhất

Chương 5: Hàm số và đồ thị Bài 26: Đồ thị của hàm số

Chương 6: Đối xứng Bài 27: Đối xứng so với một điểm Bài 28: Đối xứng so với một điểm (tiếp theo) Bài 29: Tia phần giác của góc Bài 30: Đường chéo của hình bình thành Bài 31: Đường chéo của hình bình thành (tiếp theo)

Chương 7: Hình tam giác Bài 32: Đường cao, trung tuyến, trung trực và đường phân giác. Bài 33: Tổng ba góc trong một tam giác Chương 8: Diện tích Bài 34: Hình tròn và tâm tròn Bài 35: Diện tích của hình bình hành và tam giác

Chương 9: Diện tích và thể tích Bài 36: Diện tích và thể tích của các hình

Bài 37: Hình cầu và hình lập phương

Chương 10: Đường thẳng trong mặt phẳng Bài 38: từ vuông góc đến song song

Bài 39: Đường trung trực của một đoạn thẳng và tính chất 3 đường trung trực của tam

giác

Bài 40: Ôn tập hình bình thành

Bài 41: Tính chất đường trung bình của tam giác

Lớp 8 gồm 9 chương

Mục lục: Chuong 1: Lũy thừa hằng đẳng thức và căn bậc hai Bài 1: Lũy thừa

Bài 2: Hằng đẳng thức và phương trình

Bài 3: Căn bậc hai

Chương 2: Góc, đối xứng và tam giác Bài 4: Khoảng cách

Bài 5: Góc

Bài 6: Tam giác vuông Bài 7: Tính chất tia phân giác của một góc Bài 8: Tính chất đường (trung tuyến , phân giác, trung trực , đường cao) trong một tam giác

Chương 3: Vec tơ Bài 9: Đường thẳng song song và vec tơ Bài 10: Cách biểu diễn vec tơ Bài 11 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Chương 4: Phương trình , hệ phương trình Bài 12: Phương trình và phương trình tương đương Bài 13: Bất phương trình và bất phương trình tương đương Bài 14: Hệ phương trình bậc nhất có hai nghiệm Bài 15: Hệ phương trình bậc nhất có hai nghiệm (tiếp theo) Bài 16: Hệ phương trình bậc nhất có một nghiệm Bài 17: Hệ phương trình bậc nhất có một nghiệm (tiếp theo)

Chương 5: Định luật TaLet Bài 18: Đường trung bình trong tam giác Bài 19: Định luật TaLet

Chương 6: Vẽ đồ thị biểu diễn các phương trình tìm nghiệm của hệ phuong trình Bài 20: Hàm số y = ax

Bài 21: Vẽ đồ thị biểu diễn nghiệm các phương trình và hệ phương trình

Bài 22: Giải hệ phương trình bằng đồ thị

Bài 23: Giải hệ phương trình bậc nhất có hai nghiệm

Chương 7: Thống kê Bài 24: Biểu thức đại số .Giá trị trung bình và tần số

Chương 8: Lương giác

Bài 25: giới thiệu về cos, sin , tan

Bài 26: Hệ thức lượng trong tam giác

Chương 9: Bài 27: Tgóc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Bài 28: Cách tính độ dài và số đo góc trong tam giác và đường tròn

Bài 29: Cách tính độ dài và số đo góc trong tam giác và đường tròn (tiếp)

Chương 10: phương trình Bài 30: Tọa độ của 1 điểm và khoảng cách giữa 2 điểm.

Bài 31: Phương trình đường thẳng

Bài 32 Phương trình đường thẳng( tiếp theo)

Chương 11: Hệ tọa độ Bài 33: Hệ tọa độ decac Bài 34: Tính chất hình bình hành Bài 35: Đối xứng trục

Chương 12: Thể tích Bài 36: Thể tích của hình Lớp 9 gồm 6 chương Mục lục Chương 1: Tập hơp, lũy thừa căn bậc hai Bài 1: Tập hơp Bài 2: Giá trị tuyệt đối Bài 3: Lũy thừa và căn bậc hai Chương 2: Biểu thức phương trình và bất phương trình Bài 4: số học Bài 5: phương trình Bài 6: bất phương trình

Bài 7: Hệ phương trình

Chương 3: Hàm số Bài 8: Đồ thị hàm số y ‘ f(x)

Bài 9: Đồ thị của hàm số chẵn và lẽ

Chương 4: Một số loại hàm số thường dùng Bài 10: Hàm số

Bài 11: Hàm số Y =x, y= x2, y = x3, y= 1:x

Chương 5: Thống kê

Bài 12: Số liệu tần số Chương 6: Lượng giác Bài 13: Hàm số lương giác