Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: So sánh việc dạy học khái niệm hàm số bậc hai ở trường trung học phổ thông Việt Nam và Úc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

BÙI MINH TẤN

SO SÁNH VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM

HÀM SỐ BẬC HAI Ở TRƯỜNG TRUNG

HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM VÀ ÚC

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh năm 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

BÙI MINH TẤN

SO SÁNH VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM

HÀM SỐ BẬC HAI Ở TRƯỜNG TRUNG

HỌC PHỔ THÔNG VIỆT NAM VÀ ÚC

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh năm 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những

trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.

Bùi Minh Tấn

LỜI CẢM ƠN

 Lời cảm ơn đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy TS.

Nguyễn Ái Quốc, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận

văn này.

 Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quý thầy cô: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê

Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ

Như Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình truyền đạt những kiến

thức về Didactic Toán mà tôi chưa được tiếp cận ở bậc đại học. Nhờ đó, chúng

tôi có những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu trong luận văn của

bản thân.

 Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn cùng khóa 23, những người bạn

đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học.

 Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc những người thân yêu trong gia

đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học.

Bùi Minh Tấn

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các chữ viết tắt

4TMỞ ĐẦU4T ......................................................................................................................... 1

Danh mục các bảng

4TCHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ BẬC HAI4T ........................................................................................................................ 6

4T1.1. Khái niệm Hàm số bậc hai trong giáo trình Úc4T ........................................................ 7

4T1.1.14T. 4TMục tiêu dạy học trong SGT Úc4T ..................................................................... 7

4T1.1.24T. 4TĐồ thị và phép biến đổi đồ thị trong SGT4T ...................................................... 8

4T1.1.34T. 4TKhái niệm HSBH trong SGT Úc4T .................................................................. 12

4TKết luận4T ................................................................................................................... 26

4T1.2. Khái niệm Hàm số bậc hai ở Việt Nam4T .................................................................. 27

4T1.2.1. Phân tích chương trình Toán Việt Nam hiện hành4T ....................................... 27

4T1.2.2. SGK Toán 9 tập 24T ......................................................................................... 30

4T1.2.3. Phân tích SGK Toán 10 CB4T .......................................................................... 35

4T1.2.4. Phân tích SGK Toán 10 NC4T .......................................................................... 45

4TKết luận4T .......................................................................................................................... 52

4TCHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM4T ...................................................... 55

4T2.1. Mục đích thực nghiệm4T ............................................................................................ 55

4T2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm4T ...................................................................... 55

4T2.3. Nội dung thực nghiệm4T ............................................................................................ 56

4T2.3.1. Bài toán 14T ...................................................................................................... 56

4T2.3.2. Bài toán 24T ...................................................................................................... 60

4T2.3.3. Bài toán 34T ...................................................................................................... 62

4T2.4. Phân tích hậu nghiệm4T ............................................................................................. 72

4T2.4.1. Phân tích hậu nghiệm bài toán 14T ................................................................... 72

4T2.4.2. Phân tích hậu nghiệm bài toán 24T ................................................................... 74

4T2.4.3. Phân tích hậu nghiệm bài toán 34T ................................................................... 76

4TKẾT LUẬN4T .................................................................................................................. 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 87

PHỤ LỤC ..................................................................................................................... 88

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CB : Ban cơ bản

GTNN : Giá trị nhỏ nhất

GTLN : Giá trị lớn nhất

GV : Giáo viên

HS : Học sinh

HSBH : Hàm số bậc hai

KNV : Kiểu nhiệm vụ

MTĐT : Máy tính có phần mền hỗ trợ vẽ đồ thị

NC : Ban nâng cao

GT : Giáo trình

SGK : Sách giáo khoa

SGV : Sách giáo viên

SBT : Sách bài tập

Tr. : Trang

4TBảng 1.1. Tổng hợp kiểu nhiệm vụ phép biến đổi đồ thị - bài tập4T ................................ 11

4TBảng1.2. Thống kê kiểu nhiệm vụ về khái niệm HSBH4T ................................................. 21

4TBảng1.3. Thống kê KNV về vai trò công cụ HSBH trong GT4T ....................................... 27

4TBảng 1.4. Thống kê kiểu nhiệm vụ trong SGK Toán 9-24T ............................................... 35

4TBảng1.5. Thống kê kiểu nhiệm vụ về vẽ đồ thị trong SGK Toán 10 CB4T ........................ 43

4TBảng 1.6. Thống kê so sánh kiểu nhiệm vụ trong 2 thể chế4T .......................................... 54

4TBảng 2.1. Thống kê các chiến lược trong câu a) bài toán 1 của HS4T............................. 72

4TBảng 2.2. Thống kê các chiến lược trong câu b) bài toán 1 của HS4T............................. 72

4TBảng 2.3. Thống kê chiến lược trong bài toán 2 của HS4T .............................................. 74

4TBảng 2.4. Thống kê các chiến lược trong bài toán 3 của HS4T ........................................ 76

DANH MỤC CÁC BẢNG

1

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI  UGhi nhận thứ nhất:

Khái niệm hàm số là một trường hợp riêng của khái niệm ánh xạ, nó giữ vị

trí quan trọng trong việc học Toán ở bậc phổ thông. Trong chương trình Toán 10 cơ

bản và nâng cao dành hẳn một chương trình bày về “Hàm số bậc nhất và hàm số bậc

hai”. Từ đó, ta thấy được vai trò quan trọng của hàm số trong chương trình giảng

2

y

ax=

dạy Toán ở Việt Nam hiện nay. Đối với khái niệm hàm số bậc hai được giảng dạy ở

2

=

+

bậc trung học cơ sở với dạng đơn giản nhất và bậc trung học phổ thông với

+ . Ở lớp 9, học sinh được học khái niệm hàm số bậc hai trong

y

ax

bx

c

2

dạng

y

ax=

=

≠

chương IV Hàm số . Phương trình bậc hai một ẩn, gồm các bài sau: Nội

y

ax

2,(

a

0)

y

ax=

2.

dung Bài 1. Hàm số với mục tiêu cần đạt:

− HS thấy được trong thực tế có những hàm số dạng

− HS biết cách tính giá trị của hàm số tương ứng với giá trị cho trước của biến

y

ax=

2.

số.

− HS nắm vững các tính chất của hàm số

2

[SGV Toán 9-2, tr.32]

y

ax=

2

=y

ax và phân biệt được chúng

Nội dung Bài 2. Đồ thị của hàm số với mục tiêu:

− Biết được dạng của đồ thị của hàm số

trong trường hợp a > 0, a < 0.

− Nắm vững các tính chất của đồ thị và liên hệ được tính chất của đồ thị với

tính chất của hàm số.

− Vẽ được đồ thị.

[SGV Toán 9-2, tr.35]

Đến lớp 10, khái niệm HSBH được trình bày trong chương II. Hàm số bậc

nhất và bậc hai với mục tiêu: “Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”. Trong

2

=

+

2

+ được xây dựng trên

y

ax

bx

c

2

SGK Toán 10 nâng cao, đồ thị hàm số bậc hai

y

ax=

2

=

+

+

đồ thị hàm số bậc hai đơn giản bằng phép tịnh tiến đồ thị trong bài học. Sau

y

ax

bx

c

đó, SGK trình bày cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai dựa vào các đặc

điểm sau:

Xác định đỉnh của parabol; −

− Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol;

− Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của

parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối

xứng);

− Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các

điểm đó lại.

[SGK Toán 10 NC, tr.56]

2

2

=

+

Đối với SGK Toán 10 CB cũng trình bày nội dung phép tịnh tiến đồ thị hàm

+ trong “bài đọc thêm”.

y

ax=

y

ax

bx

c

số để thu được đồ thị hàm số bậc hai

HS được học cách vẽ đồ thị HSBH nối hữu hạn điểm đặc biệt của đồ thị (hay còn

gọi là lưới các điểm).

Trong hội thảo về phương pháp dạy học do viện khoa học Giáo dục tổ chức

tại Quảng Ninh, Nguyễn Huy Đoan đã trình bày những điều đáng suy nghĩ trong

chương trình và SGK Toán Việt Nam về: “Biến đổi đồ thị hàm số. Trong SGK

Toán Việt Nam biến đổi đồ thị hàm số chỉ giới hạn ở phép tịnh tiến đồ thị song song

với trục tọa độ và cũng được đề cập hết sức đơn giản trong Đại số 10 Nâng cao.

Biến đổi đồ thị, còn gọi là biến đổi hàm số, là vấn đề được SGK các nước đặc biệt

quan tâm. Họ dành một chương nói về biến đổi hàm số tuyến tính, trong đó có mô

1

tả phép tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ [....]. Vấn đề này được nhắc lại khi

P. Tuy nhiên, chúng tôi ghi nhận trong chương trình Toán

nói về hàm số bậc hai...”P0F

2 được học đầy đủ về hàm số y = ax và y = ax P

P; chỉ bằng phép tịnh tiến đồ thị,

1 www.hocthenao.vn/2013/11/13

Việt Nam vai trò của phép biến đổi đồ thị thể hiện ở điểm sau: “Ở lớp dưới, HS đã

2 tương ứng ta có ngay đồ thị của hàm số y = ax + b và y = axP

P + bx +c...”. Như

3

chúng ta đã biết, theo quan điểm của Didactic Toán thì mỗi tri thức của một thể chế

để sống được trong thể chế ấy, tri thức phải tuân theo một số ràng buộc nào đó.

Điều đó kéo theo tri thức phải bị biến đổi, nếu không thì nó không thể đứng vững

trong thể chế. Theo trường phái Didactic Toán và việc Nguyễn Huy Đoan đưa ra

hạn chế trong SGK khiến chúng tôi nảy sinh vấn đề: Lý do của việc SGK Toán 10

Việt Nam lựa chọn trình bày phép tịnh tiến chỉ ở mức độ đơn giản, nó có khác biệt

gì so với SGK của một số quốc gia trên thế giới (đặc biệt là Úc)? Qua việc trình bày

trong SGK Việt Nam, học sinh hiểu như thế nào về phép tịnh tiến trong nghiên cứu

đồ thị HSBH? Và học sinh có thể vẽ đồ thị HSBH bằng phép tịnh tiến hay không?

 UGhi nhận thứ hai

Trong chương trình và SGK Toán Cơ bản 10 giảng dạy nội dung HSBH đề

ra mục tiêu như sau: “Biết lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai”

[SGV Toán 10 CB, tr.58]. Từ đó, chúng tôi nhận thấy HS Việt Nam học khái niệm

HSBH chỉ để vẽ đồ thị của HSBH. Trong luận văn của tác giả Phạm Hải Dương:

“Một nghiên cứu Didactic về PTBH chứa tham số ở lớp 9, 10” năm 2011 đã đưa ra

giả thuyết và kiểm chứng mặt hạn chế về vai trò công cụ của đồ thị HSBH như sau:

“Vai trò công cụ của phương pháp đồ thị mờ nhạt trong việc giải PTBH chứa tham

số ở lớp 10”. Chúng tôi tự hỏi: Ngoài hạn chế về đối tượng công cụ của đồ thị

HSBH, thì vai trò khái niệm HSBH gắn liền với các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất có được trình bày trong SGK Việt Nam hay không?

Từ những điều trên, chúng tôi tìm hiểu nội dung dạy học trong SGK các

nước có nền giáo dục tiên tiến hay các trường quốc tế tại Việt Nam thì chúng tôi

nhận thấy mục tiêu giảng dạy của họ không chỉ trình bày ở việc vẽ đồ thị, mà họ

còn sử dụng đồ thị như là công cụ để giải quyết các bài toán liên quan đến HSBH.

Dựa trên sự tham chiếu chương trình Toán của Úc, chúng tôi có câu hỏi đặt ra: SGK

Úc quan tâm đến vai trò công cụ của đồ thị HSBH để làm gì? Vấn đề mô hình các

bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến HSBH trình bày như thế

trong SGK Úc?. Liệu rằng HS Việt Nam có gặp khó khăn khi giải quyết các bài

toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất này không?.

4

Từ những ghi nhận trên, tôi quyết định chọn đề tài luận văn của mình nghiên

cứu theo hướng: “So sánh việc dạy học khái niệm hàm số bậc hai ở trường

trung học phổ thông Việt Nam và Úc” để có cái nhìn rõ hơn những tồn tại trong

việc dạy học khái niệm HSBH trong trường Phổ thông Việt Nam. Trong khuôn khổ

của luận văn, chúng tôi chủ yếu nghiên cứu về đồ thị của hàm số bậc hai và vai trò

công cụ của đồ thị hàm số bậc hai.

2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU

Cơ sở lý thuyết dành cho nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi

Didactic Toán, cụ thể là Lý thuyết nhân chủng học. Ngoài ra, chúng tôi lựa chọn

thực hiện luận văn theo quan điểm so sánh như sau:

Khi nghiên cứu một đối tượng O nào đó, nhà nghiên cứu phải thực hiện phân

tích, xem xét đối tượng O đó dưới cái nhìn khoa học luận, tức là trở về tìm hiểu

lịch sử hình thành đối tượng O đó. Tuy nhiên, trong khuôn khổ hạn chế về tài liệu,

việc tìm kiếm các nguồn tài liệu gốc về lịch sử tri thức Toán sẽ trở nên hết sức khó

khăn.

Theo Chevallard 1996, “Từ thể chế này sang thể chế khác, mối quan hệ thể

chế với đối tượng O thường hay thay đổi: nếu I ≠ I’, ta thường có

≠ R I O R I O

( ',

( ,

)

)

, điều này cũng tương tự khi mà đối tượng O được xét trong I và

I’ thuộc về cùng một công trình – chẳng hạn một đối tượng toán học”.

Chúng tôi thực hiện nghiên cứu của mình theo quan điểm so sánh giữa hai

thể chế nhằm mục đích :

− Việc tiếp cận và hình thành cách vẽ đồ thị của HSBH trong hai thể chế.

− Vai trò công cụ của đồ thị HSBH trong mỗi thể chế và những khó khăn của

học sinh Việt Nam.

3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Luận văn nghiên cứu của tôi nhằm mục đích trả lời cho các câu hỏi sau:

CH1: Có sự khác biệt và tương đồng nào trong mối quan hệ thể chế Việt Nam và

Úc đối với khái niệm hàm số bậc hai? Đặc trưng của các tổ chức toán học gắn liền

với khái niệm HSBH? Vai trò công cụ khái niệm HSBH được trình bày như thế nào

trong hai thể chế?

5

2

=

+

CH2: Sự ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam ảnh hưởng như thế nào đến quan

y

ax

bx

+ ? c

hệ cá nhân HS với phép tịnh tiến đồ thị của hàm số bậc hai

CH3: Mối quan hệ thể chế Việt Nam đối với giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

HSBH ảnh hưởng như thế nào đến quan hệ cá nhân của HS?

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để đạt được mục đích nghiên cứu, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu

như sau:

Một là, chúng tôi chọn phân tích bộ SGK Úc giảng dạy cho các học sinh các

trường quốc tế, trong đó có Việt Nam. Bộ SGK này có tính phổ biến rộng rãi nhiều

quốc gia trên thế giới nên chúng tôi lựa chọn nó làm cơ sở tham chiếu so sánh. Bên

cạnh đó, chúng tôi lựa chọn phân tích chương trình SGK Toán 9, SGK Toán 10 hiện

hành. Qua việc phân tích hai bộ SGK của Úc và Việt Nam, chúng tôi nhận thấy

được sự khác biệt của hai thể chế cũng như những ràng buộc của thể chế đối với

khái niệm HSBH. Từ đó giúp chúng tôi tìm được câu trả lời cho CH1. Vấn đề này,

chúng tôi trình bày trong chương 1. Nghiên cứu quan hệ thể với khái niệm hàm số

bậc hai.

Từ sự khác biệt trong việc dạy – học khái niệm HSBH ở Việt Nam so với Úc

sẽ giúp chúng tôi đặt ra những giả thuyết nghiên cứu.

Hai là, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm tình

huống. Cuối cùng, tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm, đối chiếu với

phân tích tiên nghiệm và hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu. Vấn đề này được

chúng tôi trình bày trong chương 2. Nghiên cứu thực nghiệm.

6

CHƯƠNG 1. NGHIÊN CỨU QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM HÀM SỐ BẬC HAI

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu nhằm mục đích tìm câu trả lời cho

câu hỏi CH1 sau:

CH1: Có sự khác biệt và tương đồng nào trong mối quan hệ thể chế Việt Nam và

Úc đối với khái niệm hàm số bậc hai? Đặc trưng của các tổ chức toán học gắn liền

với khái niệm HSBH? Vai trò công cụ của khái niệm HSBH được trình bày như thế

nào trong hai thể chế?

Để đạt được mục tiêu đó, chúng tôi lựa chọn các bộ SGK hiện hành của Việt

Nam gồm:

− Toán lớp 9 tập 2

− Toán lớp 10 NC hiện hành

− Toán lớp 10 CB hiện hành

Ngoài ra, chúng tôi lựa chọn phân tích một bộ GT của Úc dành giảng dạy

cho HS các trường quốc tế, trong đó có Việt Nam, để làm cơ sở tham chiếu so sánh

trong luận văn. Bộ GT Úc có tên Mathemactic for the international students:

2

Mathematics Higher Level (HL), sở dĩ chúng tôi lựa chọn bộ này với lý do:

P đã được cấp cho hàng ngàn HS tại 145 quốc gia

“Chương trình tú tài quốc tế IBDPP1F

trên thế giới.[…]. Với chương trình IBDP, học sinh không thể phụ thuộc vào việc

học thuộc lòng mà phải hoàn toàn "động não". Các em được dạy không cần phải

học như một người máy và ghi nhớ tất cả những gì đã học, các em phải tự mình đưa

3 thích nghi, rèn luyện các kỹ năng học tập mới”P2F

P. Như vậy, GT được biên soạn dành

ra phương pháp học hiệu quả nhất (dưới sự tư vấn và hướng dẫn của các thầy cô) và

cho HS – SV các trường quốc tế và mang tính giáo dục: “lấy học sinh làm trung

2 IBDP là viết tắt của International Baccalaureate Diploma Programme 3Học chủ động với chương trình tú tài quốc tế [www.vnexpress.net, phát hành năm 2014]

tâm”, được nhiều nước lựa chọn giảng dạy theo chương trình giáo dục của Úc.

7

1.1. Khái niệm Hàm số bậc hai trong giáo trình Úc

1.1.1 Mục tiêu dạy học trong giáo trình Úc

GT được sử dụng cho HS các trường quốc tế theo khóa học hai năm của

Mathemtics HL. Đó là một trong các khóa học nằm trong chương trình tú tài quốc

tế của Diploma. GT được phát triển phi lợi nhuận, được tham khảo ý kiến với nhiều

giáo viên giàu kinh nghiệm của chương trình toán học International Baccalaureate

(IB).

Trong phần giới thiệu của GT, chúng tôi nhận thấy mục tiêu giảng dạy hướng

đến hình thành cho HS các kỹ năng sau:

Một là, nâng cao khả năng tự học, tìm hiểu khám phá các khái niệm toán học

qua việc tương tác với đĩa CD kèm theo GT: “Sự kết hợp của GT và tương tác trên

Student CD sẽ gợi động cơ học tập, thúc đẩy sự phát triển toán học của HS”.

Hai là, giúp HS nhận thấy được vai trò của toán học trong cuộc sống hàng

ngày: “Một số bài tập được thiết kế nhằm hình thành kỹ năng, cố gắng xây dựng

tình huống trong bối cảnh có vấn đề, để HS có thể nhìn thấy được sự hữu ích hàng

ngày và các ứng dụng thực tế của toán học mà họ đang nghiên cứu…”

Ba là, ứng dụng công nghệ thông tin trong việc học tập của HS, “Việc sử

dụng máy tính đồ họa và phần mền máy tính trong cuốn sách giúp học sinh nhận

thức được tầm quan trọng, ứng dụng và sử dụng công nghệ thích hợp.[…]. Nó vai

trò quan trọng như là học sinh làm việc với một cây bút và giấy với các phần mền

HS sử dụng máy tính hoặc máy tính đồ họa, hoặc sử dụng một bảng tính hoặc gói

đồ họa trên máy tính”.

Với mục tiêu nêu trên, chúng tôi sẽ tiến hành một phân tích về phép biến đổi đồ thị

trong chương 6 của GT với mục đích xem xét:

− Cách tiếp cận phép biến đổi đồ thị hàm số trong GT Úc

− Các tổ chức toán học với phép biến đổi đồ thị HSBH

− Vai trò của phép biến đổi đồ thị HSBH thể hiện như thế nào với nội dung

khái niệm HSBH?

8

1.1.2. Đồ thị và phép biến đổi đồ thị trong GT

GT Úc được chia làm 30 chương, trình bày các kiến thức về Đại số và Giải

tích. Với mục tiêu đề ra trong nghiên cứu nên chúng tôi lựa chọn phân tích các

chương 6. Đồ thị và biến đổi hàm số, chương 7. Phương trình và Hàm số bậc hai,

chúng tôi lựa chọn phân tích những mục trình bày liên quan đến khái niệm HSBH.

Ở chương 6, nội dung về đồ thị hàm số được chia làm các phần như sau:

A. Họ các hàm số

Nghiên cứu: Họ các hàm số

B. Các tính chất về hàm số

C. Phép biến đổi đồ thị

D. Phép biến đổi hàm số

E. Hàm phân thức đơn giản

F. Phép biến đổi đồ thị hàm trị tuyệt đối

Trong chương 6, GT Úc trình bày về vẽ đồ thị các hàm số sơ cấp. GT Úc

nhấn mạnh việc sử dụng công nghệ thông tin để hỗ trợ vẽ đồ thị các hàm số sơ cấp.

2

Chúng tôi nhận thấy có hoạt động 3, 4 được trình bày nội dung HSBH được cho

y

ax=

dạng sau:

2

=

=

=

= −

= −

= −

y

2 x y ,

2 x y 2 ,

2 x y ,

2 x y ,

2 x y 3 ,

x

1 2

1 5

=

y

2, ax a

Đối với hoạt động 3, Xét đồ thị trên cùng hệ trục tọa độ:

≠ ” 0

Nhận xét về hàm số có dạng

2

2

2

2

=

=

−

+

=

+

−

=

−

y

x

,

y

(

x

1)

2,

y

(

x

1)

3,

y

(

x

2)

1

− và các hàm số

2

=

+ theo sự lựa chọn của bạn. Nhận xét về hàm

Đối với hoạt động 4, “Xét đồ thị trên cùng hệ trục tọa độ:

y

(

− x h

)

k

khác có dạng

số có dạng trên.

[GT, tr.108]

2

Đối với hoạt động 3, chúng tôi cho rằng GT mong muốn HS nhận biết hình dạng

=y

ax khi hệ số a thay đổi với trường hợp a > 0 và a < 0.

của đồ thị hàm số

9

2

=

+

Đối với hoạt động 4, chúng tôi thấy rằng HS sẽ nhận biết được vị trí

(

)

y

− x h

k so với

đỉnh I(h, k) trên mặt phẳng Oxy của đồ thị hàm số có dạng

=y

2. x Từ hai hoạt động trên, ta nhận thấy GT đã bước đầu rèn luyện cho HS kỹ năng đọc thông tin đồ thị của HSBH, tức là HS có

đỉnh O(0, 0) parabol của hàm số

thể nhận xét được các đặc điểm của đồ thị HSBH về bề lồi, bề lõm của parabol khi

hệ số a thay đổi, tọa độ của đỉnh I(h, k) trên mặt phẳng Oxy .

=

Trong phần C. Phép biến đổi đồ thị, GT đã trình bày mối liên hệ giữa hàm số

y

f x ( )

với các hàm số có dạng sau:

− y = f(x) + b − y = f(kx)

− y = f(x – a) − y = -f(x)

− y = pf(x) − y = f(-x)

Chúng tôi nhận thấy GT Úc đã xuất phát tiến trình dạy học định lí từ các hoạt

động cụ thể để HS có thể rút ra những thuộc tính bản chất về mối liên hệ giữa hai đồ

4

thị và đưa ra các kết luận. Như vậy, ta thấy rằng tiếp cận khái niệm toán học Úc

P và quan điểm này không được trình bày

theo quan điểm thực nghiệm toán họcP3F

trong nội dung khái niệm HSBH ở Việt Nam.

Chúng tôi chỉ phân tích các tổ chức toán học về phép biến đổi đồ thị có dạng

sau:

− y = f(x - a)

− y = f(x) + b

− y = f(x - h) + k

KNV TRmotaUc1R: Xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và đ ồ thị

của hàm số y = f(x) + b

motaUct

1

Kỹ thuật :

Cách 1: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) và y = f(x) + b bằng phần mền máy

4 Thực nghiệm toán học được hiểu là việc sử dụng công nghệ tính toán trong nghiên cứu toán học. Máy tính cung cấp cho nhà toán học “phòng thí nghiệm”, trong đó học có thể tiến hành các thực nghiệm: phân tích các ví dụ, kiểm tra các ý tưởng mới hoặc tìm các quy luật. [Nguyễn Đăng Minh Phúc, Vai trò của thực nghiệm toán học trong các phần mền hình học động , tr.101]

tính hoặc MTĐT.

10

Dựa vào đồ thị của hai hàm số y = f(x) và y = f(x) + b , đưa kết luận về phép

tịnh tiến giữa hai đồ thị HSBH y = f(x) và hàm số y = f(x) + b.

Cách 2: Không vẽ đồ thị, dựa vào hằng số b

− Với b > 0 thì ta kết luận đồ thị hàm số y = f(x) + b thu được bằng cách dịch

đơn vị. chuyển đồ thị hàm số y = f(x) lên trên b

− Với b < 0 thì ta kết luận đồ thị hàm số y = f(x) + b thu được bằng cách dịch

đơn vị. chuyển đồ thị hàm số y = f(x) xuống dưới b

Công nghệ:

Đối với hàm số y = f (x) + b, sự thay đổi dấu của b sẽ ảnh hưởng đến sự dịch

chuyển của đồ thị của y = f (x) theo chiều dọc b đơn vị nếu:

− b > 0 nó di chuyển lên trên

− b < 0 nó di chuyển xuống dưới.

[GT, tr.113]

2

x=

f x ( )

Ví dụ minh họa cho KNV:

Bài 1. a Vẽ đồ thị của hàm số .

2

y

x=

+ 2

b Trên cùng hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị hàm số:

y

x=

2 3 −

• y = f(x) + 2, i.e.,

• y = f(x) – 3, i.e.,

c Nhận xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và y = f(x) + b nếu:

i b> 0 ii b < 0.

[GT, tr. 111]

KNV TRmotaUc2R: Xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ thị của hàm số

t

y = f(x – a)

motaUc

2

Kỹ thuật :

Cách 1: Vẽ đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = f(x – a)

Dựa vào hình vẽ của hai đồ thị để đưa ra kết luận về phép tiến giữa hai đồ thị

của hàm số y = f(x) và y = f(x – a).

Cách 2: không vẽ đồ thị, dựa vào hằng số a

11

− Khi a > 0, ta kết luận đồ thị của y = f(x – a) thu được bằng cách dịch chuyển

đồ thị của y = f(x) về phía bên phải a đơn vị.

− Khi a < 0, ta kết luận đồ thị của y = f(x – a) thu được bằng cách dịch chuyển

đồ thị của y = f(x) về phía bên trái a đơn vị.

Công nghệ:

“Đối với hàm số y = f (x – a), sự thay đổi dấu a ảnh hưởng đến sự dịch

chuyển của các đồ thị của y = f (x) theo chiều ngang với a đơn vị

− Nếu a > 0, nó di chuyển về bên phải

− Nếu a < 0, nó di chuyển bên trái”

[GT, tr .113]

2

Ví dụ minh họa cho KNV:

f x ( )

x=

Bài 3 a Trên cùng hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị: , y = f(x – 3) và

y = f(x + 2)

b Nhận xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và

y = f(x – a) nếu:

i. a > 0 ii. a < 0.

[GT, tr.111]

Tóm lại, Ở chương 6 này, thể chế Úc nhằm hình thành cho HS kỹ năng từ đồ

thị của một hàm số cơ bản cho trước thực hiện phép biến đổi đồ thị trên đến một vị

trí khác trên mặt phẳng tọa độ thì ta sẽ nhận được một hàm số mới tương ứng với đồ

thị đó. Do đó, phép biến đổi đồ thị còn gọi là phép biến đổi hàm số, tức là thiết lập

hàm số mới từ hàm số đã biết nhờ phép biến đổi đồ thị.

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ - bài tập

5 TRmotaUc1R: Xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ

thị của hàm số y = f(x) + b

4 TRmotaUc2R: Xét mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số y = f(x) và đồ

thị của hàm số y = f(x-a)

Bảng 1.1. Tổng hợp kiểu nhiệm vụ phép biến đổi đồ thị - bài tập

2

2

=

+

+

Việc trình bày đồ thị của HSBH ở chương này không nhằm mục đích xây

y

ax

bx

c từ đồ thị hàm số

=y

ax bằng các phép biến

dựng đồ thị HSBH

12

đổi đồ thị. HS chỉ hình thành kỹ năng mô tả mối liên hệ giữa các đồ thị HSBH bằng

các phép biến đổi thị qua các KNV TRmotaUc1R, TRmotaUc2R. Vấn đề đặt ra, phép biến đổi

đồ thị có được nhắc lại trong nội nung bài học khái niệm HSBH không? Nếu có,

nhằm mục đích gì?. Trong phần phân tích tiếp theo, chúng tôi sẽ tìm ra câu trả lời.

1.1.3. Khái niệm HSBH trong GT Úc

2

:f

x

→ + ax

bx

+ c

Ở chương 7, khái niệm HSBH được trình bày với các nội dung:

A. Kí hiệu hàm số

=

−

−

B. Đồ thị hàm số bậc hai

y

a x (

xa β )

)(

2

=

Nghiên cứu 1: Vẽ đồ thị

y

− a x h

(

)

+ k

Nghiên cứu 2: Vẽ đồ thị

C. Đưa về dạng bình phương

D. Phương trình bậc hai

E. Công thức bậc hai

F. Nghiệm phương trình bậc hai bởi công nghệ

G. Vấn đề nghiệm bậc hai

H. Đồ thị bậc hai

I. Biệt thức

J. Tìm biểu thức bậc hai từ đồ thị

K. Giao điểm của đồ thị hàm số

L. Mô hình hóa hàm bậc hai

Trong phần này, chúng tôi lựa chọn các mục A, B, C, F, H, J, K, L nơi mà

đối tượng HSBH được cụ thể hóa, làm rõ các tổ chức toán học khái niệm HSBH

làm cơ sở so sánh với chương trình Toán Việt Nam xoay quanh các vấn đề sau:

− Cách tiếp cận đồ thị HSBH

− Vai trò công cụ của khái niệm HSBH

2

=

+

=

−

−

Trong bộ GT này, dạng biểu thức giải tích của HSBH được chia làm 3 dạng:

y

− a x h

(

)

k , dạng tổng quát:

y

a x (

a β x )

)(

2

=

≠

=

+

+

y

2, ax a

1

dạng cắt: , dạng đỉnh:

y

ax

bx

c . Đối với HSBH dạng

không được trình bày trong

chương này, mà nó chỉ được giới thiệu ở mục hoạt động 3, chương 6:

13

=

=

=

= −

= −

= −

y

2 x y ,

2 x y 2 ,

2 x y ,

2 x y ,

2 x y 3 ,

2 x . Nhận xét các

1 2

1 5

=

≠

3. “Trên cùng hệ trục tọa độ, vẽ đồ thị các hàm số sau:

y

2, ax a

0

”. [GT, tr.108] hàm số trên dạng

Qua hoạt động trên, GT nhằm giúp cho HS thấy được ý nghĩa của hệ

số a < 0: bề lõm của parabol quay xuống , a > 0: bề lõm của parabol quay lên

=y

2. x

khi vẽ trên cùng hệ trục tọa độ so với hàm số

GT nhận xét HSBH là một hàm đa thức và trình bày một cách sơ lược về

2

lịch sử hình thành của khái niệm HSBH trong phần “chú thích lịch sử”.

y

x=

Mở đầu, HSBH dạng đơn giản

2

chỉ trình bày trong phần giới thiệu nội dung về: đồ thị là parabol, đỉnh của parabol, được vẽ từ bảng giá trị trong phần ghi

y

x=

từ bảng giá trị chú sau: “Điều quan trọng là chúng ta có thể vẽ đồ thị của

được cho trước” [GT, tr.123]. Chúng tôi nhận thấy GT không trình bày về các tính

2=y

x . GT Úc trình bày HSBH ở phần B với 2 dạng:

2

=

+

=

−

−

y

k

− a x h (

)

.

chất hàm số của hàm số

y

a x (

xa β )

)(

và

Vậy GT đã tiếp cận khái niệm hàm số và cách vẽ đồ thị HSBH hai dạng trên như

thế nào?. Chúng tôi tiến hành một phân tích về khái niệm HSBH trình bày trong GT

2

:f

x

→ + ax

bx

để tìm câu trả lời thỏa đáng. Đầu tiên, GT đưa ra định nghĩa và kí hiệu về HSBH như sau:

+ c

Trong phần A, ký hiệu hàm số

GT đưa ra định nghĩa về hàm số bậc hai như sau:

“Tương tự hàm tuyến tính, với mỗi giá trị của x tương ứng chỉ một giá trị

của y có thể tìm bằng cách thay vào phương trình hàm số”.

[GT, tr.123]

=

−

−

Sau đó, GT đưa ra ví dụ:

+ , và x = 3 thì

y

22 x

3

x

5

y =

22.3

+ = 3.3 5 14

=

−

“Nếu

y

22 x

3

x

+ ” 5

Do đó, cặp số (3, 14) thỏa mãn hàm số

[GT, tr.123]

14

2

+

+ dựa trên lý thuyết tập hợp, việc trình bày trong GT để nhằm mục

= y ax

bx

c

Như vậy, khái niệm HSBH được định nghĩa trực tiếp dạng tổng quát

đích rèn luyện HS kỹ năng tính giá trị của HSBH thay vào biểu thức giải tích. Tuy

nhiên, HSBH không đề cập đến mối liên hệ giữa các đại lượng như: tính biến thiên,

tính chẳn lẻ của hàm số không được trình bày trong GT.

Một số kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm HSBH sau:

2

+

y ax

+ bx c

2

+

= y ax

bx

c

TRTinhUcR: Tính giá trị hàm số =

+ tại xR0

KNV con TRTinhUc1R :Tính giá trị hàm số

=

+

Kỹ thuật: Thay giá trị xR0R vào biểu thức HSBH

+ c

y 0

2 ax 0

bx 0

Khi đó:

Công nghệ: Khái niệm hàm số

=

+

KNV con TRTinhUc2R: Xét điểm M(xR0R,yR0R) thuộc đồ thị của HSBH

+ c

:y 1

2 ax 0

bx 0

Kỹ thuật: Bước 1: Đặt

y 0

y≠ 1

Bước 2: Nếu yR0 R= yR1R thì M thuộc đồ thị HSBH

thì M không thuộc đồ thị HSBH.

Công nghệ: Định nghĩa đồ thị hàm số.

2

=

=

−

−

y

− a x h (

)

k

Trong phần B vẽ đồ thị HSBH đưa ra nghiên cứu về hai dạng

+ . Ở đây, HS theo học chương trình

y

a x (

xa β )

)(

và

Diploma đã biết sử dụng các phần mền máy tính để vẽ đồ thị hàm số, tức là máy

tính điện tử được xem như là công cụ hữu ích cho HS trong việc học vẽ đồ thị của

=

−

−

hàm số.

y

a x (

xa β )

)(

Trong phần nghiên cứu 1 về đồ thị của HSBH dạng ,

chúng tôi gọi là dạng cắt trục hoành. Bởi vì khi dựa vào biểu thức giải tích thì chúng

,aβ . Một

ta khẳng định được đồ thị hàm số sẽ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

lần nữa, GT đã đưa ra các hoạt động dưới sự trợ giúp của công nghệ thông tin và

được khẳng định như sau: “Để nghiên cứu này đạt hiệu quả tốt nhất là sử dụng

“graphing package” hoặc máy tính đồ thị”. [GT, tr.125]

Trong phần này GT đưa ra 4 hoạt động như sau:

1. a Sử dụng công nghệ để vẽ đồ thị hàm số sau:

=

−

−

=

−

−

−

y

(

x

1)(

x

3),

y

2(

x

1)(

x

3),

y

= − − (

x

1)(

x

3)

= −

−

= −

−

y

3(

x

1)(

x

− và 3)

y

x

x

(

1)(

− 3)

1 2

15

b. Tìm giá trị cắt trục x của các hàm số trong câu a

c. Nhận xét ý nghĩa hình học của a trong hàm số y = a(x – 1)(x – 3)

=

−

−

=

−

−

=

+

−

y

2(

x

1)(

x

4),

y

2(

x

3)(

x

5),

y

2(

x

1)(

x

2)

=

+

=

+

+

2. a Sử dụng công nghệ để vẽ đồ thị hàm số sau:

y

2 (

x x

5)

2(

2)(

4)

y

x

x

và

b. Tìm giá trị cắt trục x của các hàm số trong câu a.

,aβ trong hàm số y = 2(x - a)(x -β).

c. Nhận xét ý nghĩa hình học của

2

=

−

=

−

=

+

=

y

2(

x

2 1) ,

y

2(

x

2 3) ,

y

2(

x

2 2) ,

y

2

x

3. a Sử dụng công nghệ để vẽ đồ thị hàm số sau:

2

=

y

2(

− x a )

b. Tìm giá trị cắt trục x của mỗi hàm số trong câu a

c. Nhận xét về ý nghĩa hình học của a trong

=

−

−

4. Điền vào chổ trống sau:

y

a x (

xa β )

)(

Nếu hàm bậc hai có dạng phân tích các nhân tử

2

=

nó………….. trục x tại……………..

y

a x a − ( )

Nếu hàm bậc hai có dạng tích các nhân tử thì

nó…………..cắt trục x tại…………

[GT, tr.125]

Qua 4 hoạt động trên, chúng tôi nhận thấy hoạt động 1 ngầm ẩn cho HS biết

=

−

−

được hình dạng đồ thị HSBH khi mà giá trị hệ số a thay đổi. Hoạt động 2 và 3 nhận

,aβ cắt trục Ox của parabol

y

a x (

xa β )

)(

=

−

−

biết về các giá trị . Hoạt động 4 là

y

a x (

xa β )

)(

rút ra kết luận tổng quát về hình dạng parabol của hàm số . Như

vậy, ta thấy rằng cách trình bày trong GT tiếp cận dựa vào công nghệ và theo con

đường quy nạp trường hợp cụ thể, tức là “xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ như

vật thật, mô hình, hình vẽ, thầy giáo dẫn dắt học sinh phân tích, trừu tượng hóa và

khái quát hóa để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm [….] hay một sự hiểu

biết trực giác về khái niệm tùy theo yêu cầu của chương trình”.

2

=

y

− a x h (

)

k

16

+ , GT cũng trình bày

Tương tự, trường hợp hàm số có dạng

=

−

−

các hoạt động và rút ra kết luận theo con đường quy nạp.

)(

y

( a x

xa β )

=

−

−

Cuối cùng, GT đưa ra cách vẽ đồ thị HSBH có dạng như sau:

y

a x (

xa β )

)(

“Nếu chúng ta có HSBH dạng thì chúng ta dễ

dàng vẽ đồ thị này dựa vào:

=

• Cắt trục x (avà β)

x

aβ+ 2

,

f

) • Trục đối xứng (

+ aβ 2

+ aβ  2 

  

  

  

• Tọa độ của đỉnh

• Cắt trục y ( khi cho x = 0)”.

[GT, tr.126]

Qua đó, HS có thể hình thành cho bản thân khả năng tự đánh giá, rút ra kết

2

=

luận về tri thức cần tiếp thu và không bị áp đặt việc học một cách máy móc.

+ , ta có cách vẽ như sau:

y

− a x h

(

)

k

Đối với dạng

“Vẽ đồ thị dạng này dựa vào:

• Trục đối xứng (x = h)

• Tọa độ của đỉnh (h,k)

• Cắt trục y (khi cho x = 0).”

[GT, tr.127]

Như vậy, GT Úc vận dụng công nghệ thông tin vào hỗ trợ tiếp cận vẽ đồ thị

HSBH và HS nêu nhận xét về đỉnh, cắt trục hoành, trục đối xứng. Ngoài ra, chúng

tôi không tìm thấy chứng minh đồ thị HSBH là parabol bằng công cụ giải tích cũng

như phép tịnh tiến. HS nhận biết trực giác về đồ thị của HSBH là đường cong

parabol qua các hình vẽ trong MTĐT. Chúng tôi nhận thấy có xuất hiện các tổ chức

=

−

toán học sau:

y

a x (

−a x )(

β )

KNV TRVeUc1R: Vẽ đồ thị của hàm số dạng

Kỹ thuật:

• Xác định cắt trục Ox (avà β)

=

17

x

aβ+ 2

,

f

) • Trục đối xứng (

+ aβ 2

+ aβ  2 

  

  

  

• Tọa độ của đỉnh

• Cắt trục Oy ( khi cho x = 0)

• Nối các điểm đặc biệt với nhau.

=

+

−

Minh họa ví dụ sau:

y

2(

x

1)(

x

3)

=

+

−

Vẽ đồ thị của hàm số .

y

2(

x

1)(

x

3)

Giải: Hàm số cắt trục x tại -1 và 3,

=

x

= 1

− + 1 3 2

Trục đối xứng là đường thẳng qua trung điểm giữa các điểm cắt trục x,

Khi x = 1, y = 2(2)(-2) = -8, đỉnh là (1, -8)

Khi x = 0, y = 2(1)(-3) = -6, cắt trục y là -6. Đồ thị

=

−

[GT, tr.126]

y

a x (

−a )( x

)

β tương ứng với đồ thị của

KNV con TRVeUc1.1R: Chọn hàm số

hàm số đó

Kỹ thuật:

Dựa vào hệ số a, nếu a > 0 thì parabol có dạng ;a < 0 thì parabol có

=

−

−

dạng .

Ba ( A ,0),

β của đồ thị hàm số (

,0)

y

a x (

xa β )

)(

Xác định các điểm

cắt trục Ox.

18

+2

Chọn đồ thị tương ứng.

y

− a x h

(

)

k

KNV TRVeUc2R: Vẽ đồ thị hàm số =

Kỹ thuật:

• Trục đối xứng (x = h)

• Tọa độ của đỉnh (h,k)

• Cắt trục y (khi cho x = 0)

;a < 0 thì parabol có dạng • Xét a > 0 thì parabol có dạng

Ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm vụ trên:

2

= −

−

y

2(

x

2)

− 1

Vẽ đồ thị của hàm số:

Trục đối xứng: x = 2

2 Khi x = 0, y = -2(-2)P

P – 1 = -9, cắt

Tọa độ đỉnh (2, -1)

trục y tại -9

a = -2 < 0, hình dạng parabol là . Đồ thị

+2

[GT, tr.127]

y

− a x h

(

)

KNV con TRVeUc2.1R: Chọn hàm số =

k tương ứng với đồ thị của nó

Kỹ thuật:

Dựa vào hệ số a, nếu a > 0 thì parabol có dạng ;a < 0 thì parabol có

dạng .

Xác định tọa độ đỉnh I (h, k).

Chọn đồ thị tương ứng.

Việc tiếp cận và trình bày kỹ thuật vẽ đồ thị của HSBH trong GT Úc chủ yếu

dựa vào ứng dụng công nghệ thông tin. Họ đã vận dụng công nghệ để HS nhận biết

đồ thị HSBH, HS quan sát và đưa ra các kết luận về các điểm đặc biệt của đồ thị

HSBH. Từ đó, HS vẽ đồ thị HSBH dựa vào các nối các điểm: đỉnh, trục đối xứng,

điểm cắt trục hoành, trục tung. Ngoài ra, phép biển đổi đồ thị không được ưu tiên

trong GT để chứng minh đồ thị của HSBH là đường cong parabol.

2

=

+

+

19

y

ax

bx

c

Đối với HSBH dạng và được GT trình bày trong phần C. Đưa về

dạng bình phương.

GT đưa ra nhận xét:

2

2

=

+

=

+ thì ta chuyển đổi nó về dạng

+ , khi đó ta có thể tìm

y

ax

bx

c

y

− a x h

(

)

k

“Nếu chúng ta muốn tìm tọa độ đỉnh của hàm bậc hai cho dạng tổng quát

được tọa đỉnh (h, k). Để làm điều này chúng ta có thể chọn “đưa về dạng bình

phương”. [GT, tr.129].

2

=

+

+ và được cụ thể hóa trong Ví dụ sau:

y

ax

bx

c

Đến thời điểm này, GT đã đưa ra kỹ thuật tìm tọa độ đỉnh của HSBH

2

=

−

y

x

4

x

+ . 1

2

−

+

=

4

1

x

x

y

2

2

2

=

−

+

+ −

x

y

4

x

2

1 2

2

2

=

−

+

−

x

y

4

2

3

x 2

=

−

−

(

2)

3

y

x

2

=

−

+ đã đưa về

Xét trường hợp khi a = 1,

4

1

y

x

x

2

−

y

x= (

2)

3

− và do đó đồ thị

2

2

=

−

Vậy,

+ có thể xét như là đồ thị của hàm

y

x=

y

x

4

x

1

của sau khi nó đã

  2 −  3 

bị biến đổi sang trái 2 đơn vị và xuống dưới 3 đơn vị, Hình minh

họa

[GT, tr.127]

Trong phần kết luận, ta thấy rằng GT đã mô tả phép biến đổi đồ thị tức là

2=y x

  a   b  

phép tịnh tiến theo vectơ là thực hiện 2 phép biến đổi đồ thị hàm số

song song trục hoành a đơn vị và dọc trục tung b đơn vị. Tuy nhiên việc thực

hành vẽ đồ thị của HSBH dạng tổng quát có dựa vào phép tịnh tiến không?. Ta xét

2

=

+

20

+ mà thể chế

y

ax

bx

c

ví dụ 6 để thấy được cách vẽ đồ thị của đồ thị HSBH

Úc mong đợi:

2

=

−

=

y

23 x

4

x

1

+ về dạng

+ . Tìm tọa độ đỉnh

Ví dụ 6

y

− a x h

(

)

k

Đưa hàm số

của nó và vẽ đồ thị hàm số.

2

=

−

+

y

x

x

3

2

=

−

+

x

x

]

3[

takeout a factor of {

3}

4 4 3

1 1 3

2

2

2

=

−

+

−

+

x

x

3[

2.

]

completethe square { }

2 3

2 3

2 3

1 3

  

  

  

  

=

−

3[(

x

]

22 ) 3

4 − + 9

1 3

=

−

−

= .... 3(

{exp

int

x

and to put

} o desired form

1 3

22 ) 3

−

Lời giải minh họa trong GT:

(

,

)

2 3

1 3

Vậy đỉnh là

Cắt trục y tại 1.

Đồ thị

2

=

+

[GT, tr.130]

+ hoàn toàn tương

y

ax

bx

c

2

=

Như vậy, GT đưa ra kỹ thuật đồ thị HSBH

+ . Đồng thời, thể chế mong muốn

y

− a x h

(

)

k

2

=

+

tự với kỹ thuật vẽ đồ thị HSBH

+ với đồ thị của

y

ax

bx

c

2

2

HS hiểu được mối liên hệ giữa đồ thị của HSBH

y

ax=

y

ax=

2

=

+

HSBH bằng phép tịnh tiến. Tức là, ta thực phép tịnh tiến parabol

y

ax

bx

+ . c

một cách thích hợp thì ta sẽ được đồ thị của hàm số

2

2

=

+

+

=

+

21

y

ax

bx

c

y

− a x h

(

)

k

Việc trình bày đưa HSBH về dạng nhằm giải

quyết hai kiểu nhiệm vụ sau:

2

=

+

y

ax

+ bx c

KNV TRToadoUcR: Xác định tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số

Kỹ thuật: Rút ra từ ví dụ 6 như sau:

2

=

y

− a x h

(

)

+ k

• Đặt hệ số a làm nhân tử chung

• Đưa về dạng bình phương

• Tọa độ đỉnh của hàm số là (k, h)

2

=

+

y

ax

+ bx c

KNV TRVeUc3R: Vẽ đồ thị của hàm số

2

=

Kỹ thuật:

y

− a x h

(

)

+ k

• Chuyển đổi HSBH về dạng

• Tìm tọa độ của đỉnh parabol

• Tìm tọa độ cắt trục Oy

• Vẽ đồ thị qua các điểm. Sử dụng MTĐT kiểm tra lại hình vẽ.

2

=

+

y

ax

bx

Kiểu nhiệm vụ Số lượng bài tập

TRTinhUcR: Tính giá trị hàm số

2

=

+

y

ax

bx

+ c + tại xR0 c

3 TRTinhUc1R: Tính giá trị hàm số 2 TRTinhUc2R: Xét điểm M (xR0R, yR0R) thuộc đồ thị hàm số

=

−

−

y

a x (

xa β )

)(

2

6 TRVeUc1R: Vẽ đồ thị hàm số

=

−

y

a x (

k

)

+ h

6 TRVeUc2R: Vẽ đồ thị hàm số

2

=

+

y

ax

bx

+ c

2

tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số 4 TRXacdinhR: Xác định

=

+

y

ax

bx

+ c

7 TRVeUc3R: Vẽ đồ thị hàm số

Bảng1.2. Thống kê kiểu nhiệm vụ về khái niệm HSBH

Tóm lại, GT định nghĩa HSBH theo quan điểm tập hợp thể hiện qua kiểu

nhiệm vụ TRTinhUcR. Các tính chất về hàm số không được trình bày trong SGT, mà đối

tượng nghiên cứu chủ yếu là đồ thị của HSBH.

Như chúng ta đã biết, mỗi tri thức toán học đều có hai cơ chế: cơ chế đối

tượng và cơ chế công cụ. Trong phần đầu chúng tôi đã chỉ ra rằng GT nghiên cứu

22

đối tượng HSBH là đồ thị được cụ thể qua các kiểu nhiệm vụ TRVeUc1R, TRVeUc2R, TRVeUc3R.

Vấn đề đặt ra, nghiên cứu đồ thị HSBH trong GT Úc để làm gì? Tức là cơ chế công

cụ đối với khái niệm HSBH trong GT được trình bày như thế nào?. Để tìm câu trả

lời, chúng tôi phân tích các tổ chức toán học trong GT gắn liền với cơ chế công cụ

của khái niệm HSBH như sau:

TRPtUcR: Giải phương trình bậc hai bằng MTĐT

Được trình bày như sau:

“Máy tính đồ thị hoặc phần mền đồ thị được sử dụng tìm nghiệm phương

trình bậc hai.[…]. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ tìm nghiệm bằng

cách sử dụng đồ thị bậc hai giao với trục x hoặc tìm tọa độ x của giao

điểm mà hai hàm số cắt nhau.[…]. Chúng tôi chọn phương pháp này,

mặc dù nó không phải nhanh nhưng giúp cho HS hiểu được mối liên hệ

giữa đại số và đồ thị.”

[GT, tr.138]

Kỹ thuật:

− Vẽ đồ thị HSBH bởi MTĐT

− Chọn công cụ xác định giao điểm của HSBH và trục hoành

− Suy ra tọa độ cắt trục hoành là nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ minh họa:

22 x

x− 3

− = 4 0

“Xét phương trình bậc hai

=

−

y

22 x

3

x

Phương pháp của chúng ta sẽ là:

− 4

− = khi y = 0 và xảy ra trường hợp đồ thị cắt trục x.

Vẽ đồ thị của hàm số

22 x

x− 3

4 0

Với

23

Hình 1.3

Dựa vào hình 1.3, Nghiệm phương trình là: x = -0.8508 hoặc x = 2.351

[GT, tr.138]

TRGđUcR: Giao điểm của đồ thị HSBH với trục hoành

2

+

ax

bx

c

+ = (*) 0 HSBH với y = 0: Tính ∆ của phương trình bậc hai

Kỹ thuật: Theo phương pháp đại số, lập phương trình hoành độ giao điểm của

+ Nếu ∆ > 0, thì kết luận đồ thị hSBH cắt trục hoành tại hai điểm + Nếu ∆ = 0, thì ta kết luận đồ thị HSBH cắt trục hoành tại 1 điểm + Nếu ∆ < 0, thì không có giao điểm

Công nghệ: Lý thuyết phương trình bậc hai.

Ví dụ minh họa

2

= −

+

=

+

Sử dụng biệt thức delta xác định mối liên hệ giữa đồ thị và trục hoành:

y

22 x

5

x

+ 1

y

x

3

x

+ 4

b) a)

2

∆ =

−

= −

b

4

ac

9 4.1.4

= − < 7 0

A Hệ số a = 1, b = 3 c = 4

24

Đồ thị không cắt trục hoành.

2

∆ =

−

=

−

=

−

b

ac

4

> 25 4.( 2).1 33 0

b) Hệ số a = -2, b = 5, c = 1

Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

[GT, tr.147]

Nhận xét: GT đã trình bày rõ cho HS thấy được mối liên hệ giữa đại số và giải tích.

Vai trò công cụ của đồ thị HSBH được thể hiện qua kiểu nhiệm vụ TRPtUcR và TRGđUcR.

2

+

Ngoài ra, GT còn sử dụng đồ thị của HSBH để giải quyết các kiểu nhiệm vụ sau:

ax

bx c

+ > ∀ ∈ 0,

x R

TRBptUc1R: Chứng minh

2

∆ =

−

Kỹ thuật:

b

4

ac

2

+

Cách 1: Tính delta

ax

bx

+ > ∀ ∈ 0, x R

c

2

=

+

Nếu ∆ > 0 và a > 0 thì

y

ax

bx

+ c

Cách 2:Vẽ đồ thị của HSBH

Sử dụng đồ thị bậc hai để đưa ra kết luận (dạng của đồ thị ).

2

+

ax

bx c

+ < ∀ ∈ x R

0,

2

∆ =

−

TRBptUc2R: Chứng minh

b

4

ac

2

+

Kỹ thuật: Tính delta

ax

bx

+ < ∀ ∈ x R 0,

c

2

=

+

Nếu ∆ > 0 và a < 0 thì

y

ax

bx

+ c

Cách 2: Vẽ đồ thị của HSBH

+ > với mọi x. [GT, tr.148]

Sử dụng đồ thị bậc hai để đưa ra kết luận (dạng của đồ thị ).

x

2 3 x−

6 0

Bài tập 2 . Chứng minh rằng

2

2

∆ =

−

= −

−

= −

Lời giải mong đợi trong GT như sau:

b

4

ac

( 3)

4.6.1

< 15 0

Cách 1.Ta có a = 1 > 0,

x

2 3 x−

6 0

+ > với mọi x.

Vậy

[GT, tr.149]

25

2

=

+

y

ax

TRGtln, gtnnUcR: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của HSBH

+ bx c

2

=

+

trên tập số thực R

y

ax

bx

+ c

= −

x

Kỹ thuật: Vẽ đồ thị hàm số

b 2 a

= −

Dựa vào đồ thị của HSBH, GTLN của y đạt được tại

x

b a 2

Dựa vào đồ thị của HSBH, GTNN của y đạt được tại

Tuy nghiên, SGT chủ yếu tập trung trình bày kiểu nhiệm vụ TRGtln,gtnnUcR xoay quanh

các bài toán gtln, gtnn trong các tình huống sau:

“tối đa hóa lợi nhuận

giảm thiểu chi phí

chiều cao đạt tối đa”

Như vậy, GT trình bày HSBH và đồ thị với knv TRGtln,gtnnUcR giải quyết các vấn đề

trong thực tế về GTLN, GTNN của HSBH. Chúng tôi minh họa ví dụ 31 để có cái

nhìn rõ hơn:

−

H t

= ( ) 80 t

2 t 5 ,

t

“Chiều cao H mét của tên lửa sau t giây khi nó được bắn lên theo chiều

≥ 0

dọc cho bởi công thức:

a. Sao bao lâu tên lửa đạt độ cao tối đa?

b. Độ cao tối đa của tên lửa bao nhiêu?

c. Sao bao lâu tên lửa rơi xuống đất?”

2

−

H t

= ( ) 80 t

t 5

Lời giải trong GT như sau:

2

= −

+

a.

H t ( )

t 5

t 80

với a = -5

=

=

=

t

8

− b 2 a

− 80 − 2.( 5)

Độ cao lớn nhất đạt được khi

26

P = 640 – 320 = 320

2 b. H(8) = 80x8 – 5x8P

Vậy độ cao lớn nhất sau khi tên lửa bay lên 8 giây.

Vậy độ cao lớn nhất là 320 m

2

−

= ⇔ −

t 80

t 5

t t 5 (

0

16)

= ⇔ = ∨ = t

0

0

t

16

c. Tên lửa chạm đất khi H(t) = 0

Tên lửa trở về trái đất sau 16 giây. [GT, tr.150]

Kết luận

Qua việc phân tích thể chế Úc chúng tôi rút ra một số nhận xét sau:

2

y

x=

Việc tiếp cận khái niệm HSBH trong GT trình bày hết sức đơn giản với dạng

, khái niệm HSBH chỉ rèn luyện cho HS tính giá trị với KNV TRTinhUcR, các

khái niệm về tính chất hàm số không đưa vào giảng dạy trong chương trình Toán

Úc, nội dung chủ yếu là nghiên cứu đồ thị, xem xét đồ thị như là phương tiện để

nghiên cứu HSBH. Vai trò thực nghiệm Toán học bằng các phần mền toán học,

MTĐT được thể chế Úc ưu tiên trong việc tiếp cận đồ thị, nghĩa là đồ thị HSBH dạy

2

=

=

−

−

y

− a x h (

)

k

học theo con đường qui nạp dưới sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và chứng minh

+ là đường parabol bằng

y

a x (

xa β )

)(

đồ thị hàm số dạng và

2

=

+

+ thì thể chế mong muốn HS chuyển về dạng bình phương

y

ax

bx

c

2

=

+ để nghiên cứu. Ngoài ra, HS Úc có thể vẽ đồ thị hàm số trên giấy

y

− a x h

(

)

k

hình ảnh trực giác trở nên dễ hiểu đối với HS; đối với hàm số bậc hai cho ở dạng

và máy tính điện tử.

Sự vắng bóng các tính chất HSBH như: tính biến thiên, tính chẳn lẽ không

ảnh hưởng đến việc vẽ đồ thị của HS, mà chủ yếu HS dựa vào hệ số a của HSBH để

xác định dạng parabol, đồng thời HS sử dụng MTĐT để kiểm tra tính chính xác của

đồ thị. Đây cũng là sự khác biệt của HS Úc với HS Việt Nam về sử dụng công cụ

MTĐT trong việc tiếp cận và hình thành một tri thức Toán học.

Vai trò công cụ của khái niệm HSBH đã thể hiện qua việc sử dụng đồ thị của

HSBH để giải quyết các kiểu nhiệm vụ:

Kiểu nhiệm vụ Ví du-bài tập

4 TRPtUcR: Giải phương trình bậc hai bằng MTĐT

27

2

3 TRGđUcR: Giao điểm của đồ thị HSBH với trục hoành

+

ax

bx

c

+ > ∀ ∈ 0, x R

2

5 TRBptUc1R: Chứng minh

+

ax

bx

c

+ < ∀ ∈ 0, x R

3 TRBptUc2R: Chứng minh

9 TRGtln, GtnnUcR: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của HSBH

Bảng1.3. Thống kê KNV về vai trò công cụ HSBH trong GT

1.2. Khái niệm Hàm số bậc hai ở Việt Nam

1.2.1. Phân tích chương trình Toán Việt Nam hiện hành Trong chương trình Toán Việt Nam hiện nay, đối tượng HSBH được đưa

2

y

ax=

chia ra thành hai giai đoạn giảng dạy như sau:

là Ở cấp THCS (cụ thể là học kỳ 2 lớp 9), chương trình đưa vào giảng HS

2

dạng đơn giản nhất của HSBH, nội dung cụ thể xoay quanh vấn đề:

y

ax=

Về tính chất hàm số, SGK trình bày trong bài 1. Hàm số nhằm mục tiêu cụ

2

thể sau:

y

ax=

“Học sinh thấy được trong thực tế có những hàm số dạng

Học sinh biết tính giá trị của hàm số tương ứng với giá trị cho trước của biến

2

số

y

ax=

.” Học sinh nắm được các tính chất của hàm số

2

[SGV Toán 9-2, tr.13].

y

ax=

2

Về đồ thị hàm số :

y

ax=

“Biết được dạng của đồ thị hàm số và phân biệt được chúng

trong 2 trường hợp a > 0, a < 0

Nắm vững tính chất đồ thị và liên hệ được tính chất của đồ thị với tính

chất hàm số

Vẽ được đồ thị.”

28

2

[SGV Toán 9-2, tr.13]

y

ax=

Chúng tôi nhận thấy việc tiếp cận khái niệm HSBH ở Việt Nam với dạng

2

trình bày khá chi tiết về các tính chất của hàm số và đồ thị. Trong chương trình

y

ax=

Toán 9, hàm số trình bày tương đối chi tiết được giải thích như sau:

2

=

+

“Ở lớp 10, tuy là nghiên cứu hàm số bậc hai tổng quát nhưng thực chất

y

ax

bx

+ c

2

2

+

=

+

X

= + x

Y

= + y

y

a x (

)

về dạng chỉ là đưa dạng tổng quát

Y

aX=

b a 2

∆ 4 a

∆ 4 a

b a 2

, tức là dạng , với , .

Từ đó, căn cứ vào những điều đã trình bày ở lớp 9, rút ra các tính chất

2

y

ax=

hàm số tổng quát này. Vì vậy việc giảng dạy tỉ mĩ để HS rút ra những

nhận xét về tính chất và của đồ thị là điều rất quan trọng”

[SGV Toán 9-2, tr.30]

Đến chương trình Toán lớp 10, đối tượng HSBH được giảng dạy với nội

dung: “Chương II Đại số 10 theo chương trình GDTHPT môn Toán học sinh còn

được học đầy đủ về hàm số bậc hai…” [SGV Toán 10 CB, tr.51]. Chúng tôi còn

ghi nhận mục tiêu đề ra như sau: “Biết lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị HSBH”.

Như vậy, việc dạy học HSBH trong chương trình Toán 10 đã bước đầu cho HS làm

quen về sự khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị HS. Ở giai đoạn này, HS chưa được

trang bị đầy đủ các kiến thức về Giải tích để khảo sát hàm số nên hình dạng đồ thị

2

=

+

của hàm số bậc hai là một đường cong parabol được lý giải như sau:

+ được suy ra từ đường parabol

y

ax

bx

c

2

y

ax=

“Đồ thị của hàm bậc hai

bằng các phép tịnh tiến song song với trục hoành và trục tung.”

[SGV Toán 10 CB, tr.52]

2

=

+

+ là sự bổ sung kiến thức đầy đủ về HSBH đã học ở lớp 9. Tuy

y

ax

bx

c

Với giải thích đã nêu trên, chương trình giảng dạy HSBH dạng

nhiên, vấn đề đặt ra là sự bổ sung này được cụ thể hóa trong SGK Toán 10 như thế

29

2

nào?. Việc dạy học HSBH ở Việt Nam có phải theo quan điểm xây dựng họ các

y

ax=

không?. Chúng tôi sẽ tìm câu trả lời trong phần phân tích HSBH từ hàm số

SGK tiếp theo.

Kết luận

Qua việc phân tích chương trình chúng tôi có nhận xét về đối tượng HSBH như sau:

2

y

ax=

Về tiếp cận khái niệm HSBH chia ra làm hai giai đoạn nghiên cứu:

2

trình bày giải quyết các kiểu nhiệm vụ sau: Ở THCS, khái niệm hàm số

y

ax=

2

y

ax=

T: Tính giá trị của hàm số tại xR0R.

T: Tìm giá trị x của hàm số khi biết yR0R. (đặc trưng tương ứng của

2

=

+

+ trình bày

y

ax

bx

c

hàm số)

Ở THPT, ngoài hai kiểu nhiệm vụ nêu trên thì HSBH xoay quanh các kiểu nhiệm vụ:

T: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

T: Xét sự biến biên của hàm số

Tuy nhiên, 2 kiểu nhiệm vụ trên được tìm thấy trong §1. Hàm số và nội dung chính trình bày trong §3. Hàm số bậc hai nhằm giải quyết 2 kiểu nhiệm vụ sau:

T: Xét sự biến thiên của HSBH

T: Vẽ đồ thị HSBH

Chúng tôi nhận thấy rằng việc dạy học khái niệm HSBH trong chương trình Toán ở Việt Nam chủ yếu nghiên cứu về phương diện đối tượng của một hàm số, mục tiêu không đề cao vai trò công cụ của khái niệm HSBH trong nội bộ toán học và ngoài toán học. Ngoài ra, về hình thức trình bày khái niệm HSBH cũng có sự khác biệt nhất định so với Úc về nội dung sau:

2

Úc − HSBH được trình bày trong 1 chương

y

x=

Việt Nam − HSBH được chia ra thành 2 giai đoạn giảng dạy ở bậc THCS và THPT. chỉ giới thiệu rất của GT Úc. − HSBH dạng

2

30

y

ax=

− HS dạng đơn giản trong GT gồm: hình dạng đồ thị parabol.

− HSBH tổng quát trình bày chi tiết về

2

=

+

giảng dạy trong chương trình Toán THCS, nó được trình bày rất đầy đủ về tính chất (đặc trưng biến thiên hàm số) và đồ thị.

ax

bx

y

+ c được nghiên cứu nối tiếp ở THCS với nội dung chính vẽ đồ thị HSBH.

− HSBH tổng quát

2

=

=

−

)(

);

(

)

+ k

( a x

các nội dung: + Đặc trưng tương ứng của hàm số (KNV TRTinhUcR tính giá trị HS, xét điểm thuộc đồ thị), và đặc trưng biến thiên của hàm số hoàn toán vắng bóng

+ Vẽ đồ thị HSBH 2 dạng: a β − − a x h y x y + Vai trò công cụ của khái niệm HSBH.

Nhằm làm rõ nội dung khái niệm HSBH trong SGK Toán Việt Nam, cùng với việc so sánh nội dung khái niệm HSBH trong GT Úc, chúng tôi tiến hành phân tích SGK hiện hành, cụ thể SGK Toán 9 tập 2, SGK Toán 10 CB và NC.

2

≠

=

ax=

y

1.2.2. SGK Toán 9 tập 2

0)

y

- Phương trình bậc 2 một ẩn. Hàm số được xem như là dạng Trong SGK Toán 9-2, đối tượng HSBH trình bày trong chương IV. Hàm số 2 ( ax a

2

đơn giản nhất của HSBH và được SGK trình bày với hai nội dung:

y

ax=

2

Bài §1. Hàm số (1 tiết)

y

ax=

2

y

ax=

(1 tiết) Bài §2. Đồ thị hàm số

Trong bài §1, SGK đưa ra ví dụ mở đầu giới thiệu về hàm số là thí

2

y

ax=

nghiệm vật rơi tự do của Galile. Qua đó, thể chế Việt Nam mong muốn cho HS thấy

2

y

ax=

. được mối liên hệ giữa hai đại lượng trong tình huống thực tế có dạng hàm Thí nghiệm này cũng được thể chế Úc trình bày trong phần mở đầu, điều này cho thấy cả 2 thể chế đều mong muốn HS thấy được tình huống thực tế với HSBH.

Tiếp đến, SGK trình bày tính chất hàm số như sau:

“Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x< 0 và nghịch biến khi x > 0”

[SGK Toán 9-2, tr.29]

= −

y

22 x

Chúng tôi nhận thấy để có được tính chất trên, HS phải so sánh các giá trị của hàm

y

22 x=

và trong hoạt động sau: số cụ thể

31

“?1 Điền vào ô trống các giá trị tương ứng của y trong hai bảng sau:

22 x=

-2 -1 0 1 2 8 3 -3 18

x y

= −

22 x

-2 -1 0 1 2 -8 3 -3 -18 x y

y

22 x=

?2 Đối với hàm số , nhờ bảng giá trị vừa tính được, hãy cho biết:

− Khi x tăng nhưng luôn luôn âm thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm

− Khi x tăng nhưng luôn luôn dương thì giá trị tương ứng của y tăng hay

giảm.”

Trong luận văn của tác giả Nguyễn Thị Ngọc Sương: “Dạy học khái niệm

hàm số với phần mềm Cabri II Plus: Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn

đầu tiên của việc xây dựng khái niệm hàm số” năm 2013, tác giả đã nhận định ở

giai đoạn lớp 9, sự biến thiên hàm số chỉ trình bày mang nặng tính lí thuyết : “SGK

Toán 9 chỉ xem xét sự đồng biến thiên, nghịch biến của các hàm số trên tập số thực

R. Có thể nói thời điểm này, sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong khái niệm

hàm số được đề cập một cách tường minh. Tuy nhiên khi được phát biểu dưới dạng

công thức thì sự đồng biến thiên hoàn toàn bị che mờ đi. […]. Khi đưa sự đồng

2

biến, nghịch biến vào công thức thì HS sẽ rất dễ dàng hiểu một cách máy móc”.

y

ax=

Các tổ chức toán học HSBH :

2

y ax tại một điểm cho trước thuộc tập xác

TRTinh.9R: Tính giá trị của hàm số =

2

định

y

ax=

2

, tính giá trị y tương ứng. Kỹ thuật: Với giá trị của xR0R, thay vào biểu thức

y

ax=

, tính giá trị x tương ứng. Ngược lại, với mỗi giá trị yR0R, thay vào biểu thức

Công nghệ: Lý thuyết về khái niệm hàm số.

y

ax=

2,

Đối với bài 2. Đồ thị Hàm số chúng tôi thấy có các tổ chức toán học sau:

32

y

2 ax

2

TRVe.9R: Vẽ đồ thị hàm số =

y

ax=

Kỹ thuật: Bước 1: Lập bảng giá trị của hàm số

2

Bước 2: Trên mặt phẳng tọa độ, xác định các cặp điểm trong bảng giá trị

y

ax=

Bước 3: Nối các cặp điểm đó với nhau, ta được đồ thị hàm số

Công nghệ: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm M (x, f(x)).

Minh họa cho kiểu nhiệm vụ trên:

y

22 x=

. Đồ thị hàm số

Ở bài 1, ta có bảng ghi một số cặp giá trị tương ứng của x và y:

y

-3 18 -2 8 -1 2 0 0 1 2 2 8 3 18 x 22 x=

P đi qua các điểm đó và có dạng hình.6.

2 Đồ thị của hàm số y = 2xP

Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A( -3, 18), B(-2, 8), C(-1, 2), O(0, 0), C’(1,2), B’(2,8), A’(3,18).

Hình.6

2

[SGK Toán 9-2, tr.34]

=y

thị hàm số

Sau khi HS học về kiểu nhiệm vụ TRveR thì HS có thể dựa vào hình dạng của đồ ax để rút ra các đặc trưng của đồ thị cũng như tính chất biến thiên hàm số, SGK cụ thể hóa trong hoạt động ?1 và hoạt động ?2 [SGK Toán 9-2, tr.34]. Sau hai hoạt động trên, SGK rút ra nhận xét sau:

2

33

y

ax=

“Đồ thị của hàm số là một đường cong đi qua gốc tọa độ và

nhận Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O.

Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

2

y

ax=

Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị”

2

y

ax=

Như vậy, chúng tôi nhận thấy việc trình bày cách vẽ đồ thị hàm số giữa Việt Nam và Úc có những sự tương đồng về cách vẽ đồ thị nối các điểm từ bảng giá trị của hàm số. Ở giai đoạn này, SGK Việt Nam đưa ra một số kiểu nhiệm

2

mà GT Úc không đề cập trong phần giới thiệu hàm số vụ đối với hàm số

y

x=

:

=

Đối với kiểu nhiệm vụ TRbienthien.9R: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

y

2 ax

Kỹ thuật 1: Dựa vào bảng giá trị

2

x 0 -xR3 -xR2 -xR1 xR1 xR2 xR3

y

ax=

0 yR3 yR2 yR1 yR1 yR2 yR3

2

<

<

< vào hàm số

...

y

ax=

x 1

x 2

x 3

So sánh các giá trị: Trường hợp x > 0, tức là khi thay lần lượt các giá trị:

2

<

<

y

ax=

< thì hàm số

mà các giá trị tương ứng của hàm số

y

...

y 1

2

y 3

2

<

<

< vào hàm số

...

y

ax=

x 1

x 2

x 3

đồng biến khi x > 0.

2

>

>

y

ax=

> thì hàm số

mà các giá trị tương ứng của hàm số

y

...

y 1

2

y 3

nghịch biến khi x > 0.

Tương tự đối với trường hợp x < 0.

Công nghệ: Tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Kỹ thuật 2: Dựa vào đồ thị hàm số.

34

− Trường hợp x > 0, đồ thị có chiều đi lên thì chứng tỏ hàm số đồng biến; đồ

thị có chiều đi xuống thì chứng tỏ hàm số nghịch biến.

2

=y ax trên đoạn [a, b]

− Tương tự đối với trường hợp x < 0.

2

TRgtln,gtnn.9R: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

y

ax=

Kỹ thuật: Vẽ đồ thị hàm số

2

y

ax=

Hình 1.5

Dựa vào hình 1.5 của đồ thị hàm số, xác định GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [a, b].

Công nghệ: Tính chất biến thiên hàm số trên đoạn [a, b].

2

= −

Đối với TRgtln,gtnnR, chúng tôi tìm thấy trong bài tập 10.

x

y

0,75 khi x từ -2 đến 4 thì gtln, gtnn của y là bao nhiêu?”

“10. Cho hàm số . Qua đồ thị của hàm số đó, hãy cho biết

[SGK Toán 9-2, tr.39]

Lời giải được trình bày trong SGV như sau:

35

[SGV Toán 9-2, tr.38]

Kiểu nhiệm vụ

Ví dụ – Bài tập 5 2 1 TRVe.9 TRbienthien.9 TRgtln,gtnn.9

Bảng 1.4. Thống kê kiểu nhiệm vụ trong SGK Toán 9-2

Tóm lại

2

y

ax=

Qua việc phân tích SGK, chúng tôi rút ra một số nhận xét: SGK tiếp cận đối

trình bày rất cụ thể về tính giá trị hàm tượng HSBH với dạng đơn giản nhất

2

số, sự biến thiên hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và vẽ đồ thị hàm số. Ở giai

y

ax=

xuất hiện tương đối ít. Phần đoạn này, vai trò công cụ của đồ thị hàm số

lớn các bài tập chủ yếu tập trung vào việc rèn luyện cho HS kỹ năng tính giá trị hàm

y

ax=

2.

số và vẽ đồ thị hàm số Ngoài ra, SGK cũng có nhắc đến bài toán GTLN,

GTNN và sử dụng phương pháp biến thiên hàm số để giải quyết KNV tìm GTLN,

GTNN.

1.2.3. Phân tích SGK Toán 10 CB

Ở lớp 10, SGK trình bày đối tượng HSBH với hai nội dung sau:

• Tính chất của hàm số

• Đồ thị hàm số

Đối với tính chất hàm số, HSBH là một hàm đa thức trên trường số thực, nó

là trường hợp riêng của hàm số đa thức nên các tính chất của HSBH cũng được

SGK trình bày trong bài 1. Hàm số với các kiểu nhiệm vụ:

36

• Xét tính chẳn, lẽ của hàm số

• Tính giá trị hàm số

Đối với bài 3. Hàm số bậc hai, SGK Toán 10 giảng dạy nội dung chủ yếu

trình bày cho HS biết cách vẽ đồ thị và sự biến thiên của HSBH. Vấn đề đặt ra,

SGK đã sử dụng công cụ gì để giải thích đồ thị HSBH là đường parabol?. Để tìm

câu trả lời chúng tôi tiến hành phân tích SGK xoay quanh các nội dung:

− Sự hiện diện của phép tịnh tiến trong SGK

− Tiếp cận và hình thành cách vẽ đồ thị

− Vai trò công cụ của khái niệm HSBH

2

Việc dạy học HSBH ở lớp 10 là sự nối tiếp từ chương trình Toán lớp 9. Do

=y

ax đã học ở lớp

2

đó trong phần mở đầu, SGK nhắc lại các kiến thức của hàm số

y

ax=

9 thông qua hoạt động 1, đồng thời hàm số được SGK trình bày trong mục

2

nhận xét với nội dung như sau:

y

ax=

Điểm O(0, 0) là đỉnh của đồ thị hàm số dạng (parabol) với

điều kiện:

y

≥ ∀ 0, x

thì O là điểm thấp nhất của parabol ≤ ∀ thì O là điểm cao nhất của parabol

− Trường hợp a > 0,

y

0,

x

− Trường hợp a < 0,

[SGK Toán 10 CB, tr.43]

P. Dựa vào đặc điểm của đỉnh parabol, SGK đã lý giải và

2 là đỉnh của parabol y = axP

2

=

+

Qua nhận xét trên, SGK đã cũng cố lại cho HS thấy được vị trí điểm O(0, 0)

+ như sau:

y

ax

bx

c

đưa ra công thức tọa độ đỉnh của HSBH dạng

2

2

2

∆ =

−

=

+

+

+

“Thực hiện phép biến đổi đã được học ở lớp 9, ta có thể viết

b

4

ac

y

ax

bx

+ = c

b a 2

−∆ 4 a

 a x  

  

, với ”

[SGK Toán 10 CB, tr.43]

37

2

2

+

+

=

=

+

Chúng tôi giả định rằng việc biến đổi biểu thức giải tích dạng tổng quát 2

Y

aX=

y

ax

bx

c về dạng

y

b a 2

 + a x 

  

= + y

= + x

X

Y

,

tức là dạng đơn giản nhất ,

b a 2

5

P. Tuy nhiên, SGK

∆ 4 a ∆ 4 a trình bày HSBH tổng quát theo quan điểm “đổi hệ trục tọa độ”P4F chỉ đưa ra nhận xét về công thức tọa độ đỉnh:

=

=

trong đó (1). Từ các kiến thức đã học ở lớp 9, SGK có thể

2 P thuộc đồ thị hàm số y = axP

x

y

I . Vậy điểm (

)

−∆ 4 a

− −∆ , a 2

b a

4

− b a 2 + bx + c.”

≥

“Nếu thì

y

−∆ a 4

≤

với mọi x, do đó I là điểm thấp nhất của đồ thị. “Nếu a > 0 thì

y

−∆ 4 a

Nếu a < 0 thì với mọi x, do đó I là điểm cao nhất của đồ thị”

[SGK Toán 10 CB, tr.43]

≥ ∀ ∈ ” [SGK Toán 10 CB, tr.7].

Để có nhận xét trên, chúng tôi lý giải như sau:

x R

0,

2

=

+

+

Ta biết rằng, HS đã biết mệnh đề đúng: “ 2 x

y

b 2 a

−∆ 4 a

 a x  

  

2

2

≥ ∀ ⇒

+

+

+

Từ biểu thức giải tích: , ta có 2 trường hợp sau:

0,

x

,

∀ x

b a 2

b a 2

−∆ −∆ ≥ 4 a

4

a

 a x  

  

 a x  

  

≥

, tức là Trường hợp a > 0 thì

y

−∆ 4 a

2

2

≤ ∀ ⇒

+

+

+

với mọi x.

0,

x

,

∀ x

b a 2

b a 2

−∆ −∆ ≤ 4 a

a

4

 a x  

  

 a x  

  

≤

y

Trường hợp a < 0 thì , tức là

−∆ 4 a

−

−∆

∆

2

−

= −

5 Đổi trục tọa độ đến gốc

,công thức là

[…]

là phương

Y

aX=

I

(

,

)

= x X

,

y Y

b a

2

4

a

4

b 2 a

a

trình của đồ thị (C) trong hệ trục tọa độ IXY. Như vậy, (C) là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ I và nhận trục tung IY làm trục đối xứng…”[SGK Đại số 10-2000, tr.34]

với mọi x.

38

2

=

+

Qua đó, ta thấy SGK Việt Nam tiếp cận và giải thích công thức tọa độ đỉnh

+ dựa vào biến đổi biểu thức giải tích của HSBH, xem

y

ax

bx

c

2

=

+

+

của HSBH

y

ax

bx

c

2

xét đỉnh I của parabol

nhất mà HS đã học ở lớp 9 với hàm số nhằm giúp cho HS hình thành hai kỹ dưới cái nhìn là điểm cao nhất hoặc là thấp ax= y

I

(

,

)

năng sau:

− b a 2

−∆ a 4

của Một là, tiếp thu một cách máy móc về công thức tọa độ đỉnh

2

2

=

+

,

)

parabol mà không quan tâm đến mối liên hệ giữa đỉnh O(0, 0) parabol hàm số

+ trong mặt phẳng tọa

y

ax

bx

c

y

ax=

I và (

− b 2 a

−∆ 4 a

đỉnh của đồ thị HSBH

độ, tức là phép biến đổi đồ thị không được thể chế mong đợi trong phần lý thuyết

2

=

+

+

này;

y

ax

bx

c đưa về dạng bình

2

=

+

+

Hai là, việc biến đổi biểu thức giải tích

y

b 2 a

−∆ 4 a

 a x  

  

sẽ giúp hình thành cho HS kỹ năng tìm GTLN, phương

GTNN của HSBH trên tập số thực R.

Như vậy, quan điểm trình bày về tọa độ đỉnh của HSBH giữa Việt Nam và

Úc dẫn đến khác biệt trong kỹ thuật tìm tọa độ đỉnh I của parabol như sau:

Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật

,

I

)

(

Việt Nam Dựa vào công thức tọa độ đỉnh

− b 2 a

=

+

y

ax

c

+ đưa về dạng: bx 2

=

+ . Tọa độ đỉnh

k

)

− a x h

(

y I (h, k).

2

=

−∆ 4 a Ví dụ minh họa: Bài 1. Tr 49 Xác định tọa độ đỉnh a)

2 3 −

y

x

x

=

Úc Đưa về dạng bình phương, tức là HSBH dạng 2

ax

bx

T: Xác định tọa độ đỉnh HSBH + + c y

I

(

)

+ 2 − 3 1 ; 2 4

Giải: Tọa độ đỉnh

Hạn chế: Biến đổi biểu thức phức tạp về dạng bình phương mất thời gian nếu hệ số là phân số, số thập phân,..

Hạn chế: có thể HS hiểu máy móc công thức, quan hệ giữa 2 đồ thị bởi phép tịnh tiến không Ưu điểm: HS hiểu được mối

2

39

ax= 2

+

=

+ bằngohai

ax

bx

thị hàm số và đồ liên hệ giữa đồ thị hàm số y

c y phép tịnh tiến liên tiếp dọc theo trục hoành, trục tung.

2

=

+

được quan tâm. Ưu điểm: Xác định tọa độ đỉnh nhanh, chính xác đối với các hệ số là phân số, số thập phân,…

+ là một

y

ax

bx

c

Tiếp đến, SGK trình bày đồ thị của HSBH tổng quát

đường parabol. Tuy nhiên, ở giai đoạn này, các công cụ giải tích như giới hạn, điểm

cực trị, điểm uốn,… chưa được giảng dạy trong chương trình lớp 10, nên SGK

2

2

=

+

không chứng minh về đồ thị HSBH là đường cong mà chỉ giải thích như sau: “Đồ

+ được suy ra từ đường parabol

y

ax

bx

c

y

ax=

thị của hàm bậc hai bằng

các phép tịnh tiến song song trục hoành và trục tung….” [SGV Toán 10 CB, tr.52].

2

=

+

y

ax

y

Và được cụ thể hóa trong SGK với nội dung trong bài đọc thêm như sau:

0

2

và Đầu tiên, SGK trình bày mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số

=y

ax minh họa hình 1.6 sau:

đồ thị của hàm số

2

=

+

y

ax

y

Hình 1.6

0

2

như sau: Khi đó, SGK lý giải về đồ thị của hàm

y

ax=

2

=

+

y

ax

y

Nếu điểm M (X, Y) thuộc đồ thị hàm số thì điểm N(X, Y + yR0R)

0.

thuộc đồ thị hàm số

40

Nếu dịch chuyển (tịnh tiến) M (X, Y) song song với trục tung một đoạn

0y đơn vị (lên trên nếu yR0R > 0, xuống dưới nếu yR0 R< 0) thì được

bằng

điểm N(X, Y + yR0R).

[SGK Toán 10 CB, tr.46]

2

Chúng tôi thấy rằng SGK Toán 10 đã khẳng định ảnh của điểm M thuộc

y

ax=

2

=

+

y

ax

y

qua phép tịnh tiến song song với các hệ trục tọa độ sẽ parabol hàm số

0

thuộc đồ thị hàm số . Tuy nhiên HS lớp 10 chưa học về phép tịnh tiến

nên SGK đã đưa ra một số quy ước như: yR0R > 0 dịch chuyển lên trên, yR0R < 0 dịch

chuyển xuống dưới.

2

2

=

+

y

ax

y

Và cuối cùng SGK đưa ra kết luận:

y

ax=

0

Đồ thị của hàm số nhận được từ đồ thị của hàm số

0y đơn vị, lên trên nếu

nhờ phép tịnh tiến song song với trục tung

yR0R> 0, xuống dưới nếu yR0R < 0.

2

=

+

y

a x (

)

[SGK Toán 10 CB, tr.47]

x 0

2

y

ax=

và Tương tự lập luận như trên, mối liên hệ giữa hai đồ thị hàm số

trên mặt phẳng tọa độ Oxy thể hiện ở hình 1.7:

Hình 1.7

2

=

+

y

a x (

)

41

x 0

2

y

ax=

SGK đưa ra kết luận: Đồ thị của hàm số nhận được từ đồ thị của

0x đơn vị, về bên trái

nhờ phép tịnh tiến song song với trục hoành hàm số

2

=

+

+

nếu xR0R > 0, về bên phải nếu xR0R < 0. [SGK Toán 10 CB, tr.47].

y

ax

bx

c và đồ thị hàm số

2

SGK trình bày mối liên hệ giữa đồ thị hàm số

y

ax=

như sau:

2 P nhờ vào hai phép P + bx + c được suy ra từ đồ thị y = axP

2 Đồ thị của hàm số y = axP

Hình 1.8

tịnh tiến liên tiếp được giải thích như sau:

[SGK Toán 10 CB, tr.48]

Trong chương trình Toán 10 CB chỉ trình bày phép tịnh tiến đồ thị và chứng

minh đồ thị HSBH là đường cong parabol trong bài đọc thêm. Điều này chứng tỏ

SGK chưa quan tâm đến kỹ thuật vẽ đồ thị HSBH bằng phép tịnh tiến.

Các tổ chức toán học trong SGK Toán 10 CB liên quan đến HSBH:

2

+

y ax

+ bx c

Kiểu nhiệm vụ TRve.10R: Vẽ đồ thị hàm số =

,

)

− b 2 a

−∆ 4 a

Kỹ thuật: Xác định tọa độ đỉnh ( I

=

42

x

− b 2 a

− Vẽ trục đối xứng

− Xác định giao điểm trục hoành, trục tung

− Vẽ: nối các điểm với nhau.

=

−

Ví dụ minh họa

y

23 x

2

x

− 1

Vẽ parabol

I

− 1 4 ; 3 3

  

  

Ta có Đỉnh

1 x = 3

Trục đối xứng là đường thẳng

Giao điểm với Oy là

A(0, -1). Điểm đối xứng với

A(0, -1) qua đường thẳng

'

− ; 1

A

2 3

  

  

1 x = là 3

.

Giao điểm với Ox là B(1, 0) và

C

;0

1 3

 − 

  

.

Đồ thị như hình 22.

[SGK Toán 10 CB, tr.45]

2

+

y ax

+ bx c

Kiểu nhiệm vụ: TRbienthien.10R: Xét sự biến thiên hàm số =

Kỹ thuật 1: Trong SGV Toán 10 CB, tr.59 như sau:

43

Kỹ thuật 2: Dựa vào đồ thị.

− Vẽ đồ thị HSBH

− Nếu đồ thị đi lên (đi xuống) trong khoảng K thì hàm số tăng (giảm) trên K.

Kiểu nhiệm vụ Ví dụ - bài tập SBT

2

2 1 TRToado.10

=

+

y

ax

bx

+ c

2

4 2 TRVe.10R: Vẽ đồ thị hàm số

=

+

y

ax

bx

+ c

2 2 TRbienthien.10R: Xét sự biến thiên hàm số

Bảng1.5 Thống kê kiểu nhiệm vụ về vẽ đồ thị trong SGK Toán 10 CB

Chúng tôi nhận thấy các kiểu nhiệm vụ ở TRVe.9R và TRbienthien.9R đã học ở lớp 9 thì

2

=

+

y

ax

bx

c

+ . Tuy nhiên knv TRgtnn.9R lại không được tìm thấy trong nội dung của

đến lớp 10 đã được cũng cố lại tương ứng với KNV TRVe.10R, TRbienthien.10R với HSBH

2

=

+

+ trên R, cũng như trên đoạn [a, b]. Ngoài ra,

SGK Toán 10 CB này. Điều này có thể dẫn đến khó khăn cho HS khi tìm GTLN,

y

ax

bx

c

GTNN của HSBH

chúng tôi ghi nhận trong luận văn của Nguyễn Hồng Tú “Giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất trong dạy học Toán ở Phổ thông” năm 2012 đề cập về việc tìm GTLN,

GTNN của HSBH: “Vai trò của bảng biến thiên mờ nhạt trong việc tìm gtln và gtnn

của hàm số ở giai đoạn này”. Tuy nhiên, trong luận văn của Nguyễn Hồng Tú chưa

kiểm chứng nhận định trên để đưa ra tính thỏa đáng đối với HS lớp 10.

Kết luận

44

Qua việc phân tích SGK Toán 10 CB, chúng tôi có một số nhận xét về đối tượng

HSBH như sau:

Như mục tiêu đã đề ra, trọng tâm chủ yếu của bài học rèn luyện cho HS kỹ

năng cách lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với tỉ lệ TRve.1 R6/10 và TRbienthien.10R

4/10. Tuy nhiên, đặc trưng biến thiên của hàm số trình bày chỉ mang tính hợp thức

2

hóa cho các bước khảo sát hàm số mà HS sẽ được học về sau. Sự kế thừa các kết

y

ax=

quả đã nghiên cứu hàm số học ở lớp 9 chỉ thể hiện trong việc giải thích

công thức tọa độ của đỉnh. Ở giai đoạn lớp 10, khi mà đối tượng giải tích chưa được

giảng dạy trong chương trình, chúng tôi cho rằng phép biến đổi đồ thị sẽ mang lại

2

hiệu quả trong việc chứng minh đồ thị của HSBH là đường cong parabol, tạo tính

y

ax=

liên kết chặc chẽ giữa các kiến thức đồ thị hàm số đã học ở lớp 9 với đồ thị

2

=

+

+ là một đường parabol trong “bài đọc thêm”. Do đó,

HSBH tổng quát học ở lớp 10. Tuy nhiên, SGK Toán CB trình bày chứng minh đồ

y

ax

bx

c

thị của HSBH

2

2

=

+

y

ax

bx

c

+ với hàm bậc hai

y

ax=

HS gặp một số trở ngại khi tự nghiên cứu mối liên hệ giữa đồ thị HSBH

bởi phép biến đổi đồ thị nói chung và

phép tịnh tiến đồ thị nói riêng.

Về vai trò công cụ của khái niệm HSBH trong nội bộ Toán học, chúng tôi

nhận thấy SGK Toán 10 CB chỉ sử dụng đồ thị HSBH để rút ra các kết quả về sự

biến thiên HSBH và thể hiện trong knv TRbienthien.10R. Ngoài ra, các bài toán GTLN,

GTNN của HSBH hầu như vắng bóng trong SGK Toán 10 CB này.

45

1.2.4. Phân tích SGK Toán 10 NC Trong phần phân tích này, chúng tôi nghiên cứu hai đối tượng mà SGK Toán

10 CB không trình bày trong bày học chính là:

− Phép tịnh tiến đồ thị

− Các bài toán gtln, gtnn của HSBH trong SGK

Ngoài mục tiêu đã nêu trên trong SGK CB, SGK NC còn yêu cầu HS đạt

2

=

+

+ và đồ

được những mục tiêu sau:

y

ax

bx

c

2

Về kiến thức: “Hiểu quan hệ giữa đồ thị của hàm số

y

ax=

thị của hàm số ”; Về kỹ năng: Biết cách giải một số bài toán đơn giản về

đồ thị của hàm số bậc hai”. Như vậy, ta thấy rằng chương trình Toán 10 NC đã đề

cập đến vai trò của phép biến đổi đồ thị và vai trò công cụ của đồ thị HSBH. Trong

phần phân tích SGK, trước hết chúng tôi sẽ phân tích: Vai trò phép tịnh tiến đồ thị

trong việc tiếp cận và đưa ra cách vẽ đồ thị HSBH.

Trong bài 1. Đại cương về hàm số, SGK Toán 10 NC đưa vào trình bày

thêm mục 4. Sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ mà SGK Toán 10 CB

không đề cập đến với nội dung:

− Tịnh tiến các điểm trên hệ tọa độ Oxy

− Tịnh tiến đồ thị của hàm số

Sở dĩ, SGK Toán 10 NC chỉ trình bày tịnh tiến song song trục tọa độ được

giải thích như sau: “thông thường nói đến phép tịnh tiến là phải nói đến vectơ.

Nhưng tại thời điểm này, học sinh chưa được học đến tọa độ vectơ. Do đó, SGK

( 2,0)

, ta nói: tịnh tiến song song với trục hoành sang trái 2 đơn vị.[…], học phải dung giải pháp mô tả phép tịnh tiến,[…], thay vì nói phép tịnh tiến theo vectơ  v = −

sinh cũng dễ tiếp nhận bằng trực giác.” [SGV Toán 10 NC, tr.72]. Phép tịnh tiến

trong chương trình Toán 10 NC nhằm mục đích sau: “Việc sử dụng phép tịnh tiến là

2

làm cho học sinh thấy được một cách thuyết phục mối liên quan giữa các hàm số

y

ax=

bậc hai với hàm số đã được học ở lớp dưới…”. [SGV Toán 10 NC, tr.83]

46

Đối với phép tịnh tiến một điểm trên hệ trục Oxy, SGK NC được ra nhận xét sau:

Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm MR0R(xR0R, yR0R). Với số k > 0 đã cho, ta có

thể dịch chuyển điểm MR0R:

Lên trên hoặc xuống dưới (theo phương của trục tung) k đơn vị;

Sang trái hoặc sang phải (theo phương của trục hoành) k đơn vị.

Khi dịch chuyển điểm MR0R như thế, ta còn rằng tịnh tiến MR0R song song với trục

tọa độ.

[SGK Toán 10 NC, tr.42]

SGK Toán 10 NC cũng cố nhận xét qua hoạt động H7 với hình 2.6:

H7 Giả sử MR1R, MR2R, MR3R, MR4R là các điểm có được khi tịnh tiến điểm MR0R(xR0R, yR0R) theo

thứ tự lên trên, xuống dưới, sang phải, sang trái 2 đơn vị (H.2.6)

Hãy cho biết tọa độ của các điểm MR1R, MR2R, MR3R, MR4R.

Từ đó, chúng tôi rút ra một kiểu nhiệm vụ:

TRtinhtienTĐ1R: Tìm tọa độ điểm M’, biết M’ là ảnh của điểm M khi tịnh tiến dọc

theo trục tung k đơn vị

Kỹ thuật:

47

− Tịnh tiến điểm M(xR0R, yR0R) dọc theo trục tung lên trên k đơn vị thì M’ (x; y +

k)

 Công nghệ: Công thức đổi tọa độ bởi phép tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ u

− Tịnh tiến M(xR0R, yR0R) dọc theo trục tung xuống dưới k đơn vị thì M’ (x ; y - k)

TRtinhtienTĐ2R: Tìm tọa độ điểm M’, biết M’ là ảnh của điểm M khi tịnh tiến dọc

trục hoành k đơn vị

Kỹ thuật:

− Tịnh tiến M(xR0R, yR0R) dọc trục hoành về bên trái k đơn vị thì M’ (x - k , y)

 Công nghệ: Công thức đổi tọa độ bởi phép tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ u

− Tịnh tiến M(xR0R, yR0R) dọc trục hoành về bên phải k đơn vị thì M’ (x + k, y)

Thông qua hoạt động nhằm cho HS bước đầu hình thành kỹ năng xác định

2

2

=

+

ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến. Vậy phép tịnh tiến điểm có được vận dụng

+ từ hàm số

=y

ax hay không?. Chúng

y

ax

bx

c

trong việc vẽ đồ thị HSBH

tôi nhận thấy SGK Toán 10 NC đã vận dụng phép tịnh tiến tọa độ điểm để tìm đỉnh

I của parabol như sau:

H1 Biết rằng trong phép tịnh tiến thứ nhất, đỉnh O của (PR0R) biến thành

điểm IR1R của (PR1R). Từ đó, hãy cho biết tọa độ của IR1R và phương trình trục

đối xứng của (PR1R)

H2 Trong phép tịnh tiến thứ hai, đỉnh IR1R của (PR1R) biến thành điểm I của

(P). Tìm tọa độ của I và phương trình trục đối xứng của (P)

2

+

=

[SGK Toán 10NC, tr.56]

ax

bx

c

y

2

cơ sở để vẽ được đồ thị HSBH Với việc xác định tọa độ điểm, đỉnh như trên, chúng tôi cho rằng HS có đủ + bởi phép tịnh tiến từng cặp điểm

y

ax=

. Như vậy, thể chế Việt Nam trình bày rất chi tiết về thuộc đồ thị hàm số

phép tịnh tiến điểm trên hệ tọa độ Oxy. Đây cũng là sự khác biệt so với thể chế Úc.

Đối với tịnh tiến một đồ thị, SGK Toán 10 NC đã đặt vấn đề là:

48

“Nếu (G) là đồ thị của hàm số y = f(x) thì (GR1R) có là đồ thị của một hàm số không?

Nếu có thì (GR1R) là đồ thị của hàm số nào?”.

Định lí sau đây sẽ trả lời câu hỏi đó

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (G) của hàm số y = f(x); p và q là hai số

dương tùy ý. Khi đó:

1) Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x) + q

2) Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x) - q

3) Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x + p)

4) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x - p)

Chúng tôi rút ra KNV TRtinhtienVNR: Tìm hàm số có đồ thị (G’), biết G’ có được khi

tịnh tiến đồ thị (G)

Kỹ thuật: Từ đồ thị (G). Thực hiện phép tịnh tiến:

=

±

− Tịnh tiến đồ thị (G) song song trục tung lên hoặc xuống dưới q đơn vị thì ta

y

f x ( )

q

có (G’) là đồ thị của hàm số

=

±

− Tịnh tiến đồ thị (G) song song trục hoành sang trái hoặc sang phải p đơn vị

y

f x (

p )

thì ta có (G’) là đồ thị của hàm số

Công nghệ: Định lý phép tịnh tiến đồ thị.

Bài tập minh họa như sau:

H8 Hãy chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho sau

2 Khi tịnh tiến parabol y = 2xP

P sang trái 3 đơn vị, ta được đồ thị của hàm

đây:

2

2

=

+

=

+

=

−

=

(

A y )

2(

x

2 3) ; (

B y )

2

x

3;(

C y )

2(

x

2 3) ;(

D y )

2

x

− 3

số:

[SGK Toán 10 NC, tr.44]

Trước khi đề cập về phép biến đổi đồ thị thì SGK Toán 10 NC trình bày

phép tịnh tiến một điểm M bất kỳ trên mặt phẳng. Điều này cho thấy SGK Toán 10

NC được trình bày chặc chẽ từ phép tịnh tiến điểm sang tịnh tiến hình dạng của đồ

thị. Tuy nhiên, SGK chỉ trình bày phép tịnh tiến đồ thị ở mức độ đơn giản, theo

chúng tôi lý do của sự đơn giản này: Ở giai đoạn lớp 10, các công cụ khảo sát một

49

2

hàm số chưa được đưa vào giảng dạy mà việc khảo sát đối tượng HSBH được giảng

y

ax=

2

=

+

trên dạy trong chương trình lớp 10. SGK lựa chọn phép tịnh tiến parabol

+ là đường parabol. Do

y

ax

bx

c

mặt phẳng tọa độ để được đồ thị của hàm số

2

=

+

y

ax

bx

c

đó, SGK cũng chưa quan tâm đến việc hình thành kỹ năng vẽ đồ thị HSBH bằng

+ có đồ

phép tịnh tiến đồ thị HSBH cho trước. Để khẳng định HSBH

thị là đường cong parabol mà không cần phải chứng minh phức tạp đã được SGK cụ

thể hóa trong bài 3. Hàm số bậc hai như sau:

2

2

2

=

+

+

=

+

−

Trong SGK Toán 10 NC, một lần nữa chúng tôi nhận thấy biểu thức giải tích

y

ax

bx

c

ax

bx

+ = c

...

.

+ được đưa về dạng

b a 2

∆ a 4

 a x  

  

2

2

= −

= −

=

+

+

=

−

+

q

p

Khi đó, ta

y

ax

bx

c có dạng

y

a x (

p

)

q .

b a 2

∆ 4 a

và thì hàm số đặt

2

=y

ax . Ta thực hiện hai phép tịnh tiến liên tiếp như sau: minh họa

Sau đó, SGK Toán 10 NC áp dụng định lý phép tịnh tiến đồ thị cho HSBH: “Gọi

(PR0R) là parabol

(P)

(P0)

(P1) (P0)

hình vẽ (hình 1.7)

Hình 1.7

Đồ thị (PR1R) có được khi tịnh tiến đồ thị (PR0R) sang phải p đơn vị. Đồ thị (P)

thu được khi tịnh tiến đồ thị (PR1R) lên trên q đơn vị. Như vậy, từ đồ thị (PR0R) ta thực

2

=

+

hiện liên tục hai phép tịnh tiến (PR0R) trên mặt phẳng tọa độ sang vị trí khác, thì ta sẽ

y

ax

bx

c

+ tương ứng với đồ thị (PR0R) tại vị trí mới sau khi

nhận được hàm số

đã tịnh tiến (tức là (P)). Như vậy, chúng tôi thấy rằng SGK trình bày mối liên hệ

2

2

=

+

y

ax

bx

c

y

ax=

50

+ với đồ thị hàm số

giữa đồ thị của HSBH bằng hai phép

tịnh tiến liên tiếp.

Các tổ chức toán học trong SGK Toán 10 NC:

2

=

y

TRmotaVNR: Mô tả phép tịnh tiến giữa hai đồ thị hàm số

ax (PR0R) với

2

=

+

+

y

ax

bx c (P)

2

2

=

+

=

−

y

ax

bx

c

+ về dạng

y

a x (

p

)

+ q

Kỹ thuật:

− Bước 1: Đưa hàm số

− Bước 2: Khi đó ta kết luận, đồ thị (P) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (PR0R)

như sau: Tịnh tiến (PR0R) sang trái p đơn vị (p < 0) hoặc sang phải p đơn vị

(p > 0), sau đó tịnh tiến lên trên q đơn vị (q > 0) hoặc xuống dưới (q < 0).

Công nghệ: Nhận xét đồ thị HSBH. [SGK Toán 10 NC, tr.56]

2

=

−

Bài tập minh họa cho kiểu nhiệm vụ trên trong SGK Toán NC, tr.59:

+ . Từ đó

y

a x (

p

)

q

30. Viết mỗi hàm số cho sau đây thành dạng

hãy cho biết đồ thị của nó thể hiện được suy ra từ đồ thị của hàm số nào

nhờ vào phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ. Hãy mô tả

=

+

y

x

2 8 −

x

12

cụ thể phép tịnh tiến đó

= −

−

+ 12 9

y

23 x

a)

b)

2

+

y

ax

+ bx c

TRgtnn,gtlnVNR: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số =

= −

trên tập số thực R

x 0

b a 2

=

+

y

c

+ . Không tồn tại giá trị

Kỹ thuật: Tính

0

2 ax 0

bx 0

− Nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của y là

=

+

y

c

+ . Không tồn tại giá trị

lớn nhất của hàm số y

0

2 ax 0

bx 0

− Nếu a < 0 thì giá trị lớn nhất của y là

nhỏ nhất của hàm số y

Ví dụ minh họa cho KNV trên

33. Lập bảng theo mẫu sau đây rồi điền vào ô trống các giá trị thích hợp (nếu có)

51

=

−

y

23 x

6

x

+ 7

= −

−

y

25 x

5

x

+ 3

=

y

x

2 6 −

x

+ 9

= −

+

y

24 x

4

x

− 1

Hàm số có giá trị lớn Giá trị Giá trị Hàm số nhất/ nhỏ nhất khi x = ? lớn nhất nhỏ nhất

[SGK Toán 10 NC, tr.60]

Kết luận

SGK Toán 10 NC đã vận dụng vai trò công cụ của phép tịnh tiến trong việc

giải thích đồ thị HSBH tổng quát là đường parabol khi mà đối tượng giải tích chưa

2

2

=

+

được giảng dạy ở lớp 10, HS có thể nhận biết phép tịnh tiến mô tả mối liên hệ giữa

y

ax

bx

c

y

ax=

+ qua KNV TRmotaVNR. Do đó, chúng

đồ thị hàm số và hàm số

tôi nhận thấy SGK Toán Việt Nam có trình bày kỹ thuật vẽ đồ thị HSBH bằng phép

tịnh tiến nhưng không được cũng cố lại trong phần bài tập. Điều đó cho thấy SGK

chú trọng vào việc dạy vẽ đồ thị HSBH bằng cách nối điểm. HS được học phép tịnh

2

=

+

tiến đồ thị HSBH để chứng minh đồ thị HSBH là đường cong parabol. Ngoài ra,

+ có đồ thị là kết quả của

y

ax

bx

c

2

y

ax=

SGK đưa ra dạng bài tìm biểu thức HSBH

phép tịnh tiến đồ thị hàm số với kiểu nhiệm vụ TRtinhtienVNR tỉ lệ 1/12 và được

cụ thể hóa trong bài tập 30 [SGK Toán 10 NC, tr.59]. Và với KNV TRtinhtienVN Rsố

lượng bài tập chiếm tỉ lệ rất ít cho thấy thể chế chưa quan tâm đến vấn đề phép tịnh

tiến trong tìm biểu thức HSBH.

Đối với KNV TRgtnn,gtlnVNR, SGK Toán 10 NC chỉ yêu cầu HS tìm gtln, gtnn

trên R nên dẫn đến việc HS có thể cho rằng chỉ tồn tại hoặc là gtln hoặc là gtnn tại

điểm xR0R, và đều này có ảnh hưởng đến HS khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

của hàm số trên đoạn [a, b] hay không?.

52

Kết luận

Qua việc phân tích chương trình và SGK Việt Nam và GT Úc, chúng tôi đã

làm rõ được một số đặc trưng về đối tượng HSBH trong hai thể chế có sự tương

đồng và khác biệt như sau:

2

=

+

Về mặt tương đồng, cả thể chế Việt Nam và Úc xét hàm số bậc hai cho bởi

+ ; về kỹ thuật vẽ đồ thị nối điểm đặc biệt của đồ thị hoàn

y

ax

bx

c

công thức

toàn tương tự và việc chứng minh đồ thị HSBH là đường cong bởi công cụ giải tích

không được tìm thấy trong 2 thể chế.

Về sự khác biệt, Ở Úc đặc trưng tương ứng của HSBH vẫn là đặc trưng nổi

bậc được xem xét với kiểu nhiệm vụ TRTinhUcR, đặc trưng biến thiên của HSBH hoàn

toàn vắng bóng trong GT. Do đó nội dung HSBH chủ yếu nhằm giúp học sinh nắm

được cách vẽ đồ thị HSBH và sử dụng đồ thị để giải quyết các KNV TRPtUcR: Giải

phương trình bậc hai, bất phương trình TRBptUc1R,TRBptUc2R và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất trong bối cảnh sự tối ưu trong sản xuất TRGtln,gtnnUcR với biểu thức là một HSBH.

Ở Việt Nam, ngoài đặc trưng tương ứng giữa hai đại lượng thì khái niệm

HSBH vẫn được mang đặc trưng biến thiên tức là HS bắt đầu tiếp xúc dần với sự

chuyển đổi các giá trị tương ứng sang dạng biến thiên. Việc nghiên cứu đặc trưng

biến thiên ở Việt Nam tạo cơ sở cho việc đưa vào giảng dạy nội dung khảo sát hàm

số sau này. Cơ chế công cụ HSBH không được thể hiện nhiều trong nội dung chính

của bài học.

Về tiếp cận đồ thị HSBH trong hai thể chế theo hai hướng như sau:

Ở Úc đề cao vai trò thực nghiệm toán học dưới sự hỗ trợ của công nghệ

thông tin thể hiện ở các điểm sau:

− Biểu diễn trực quan: khái niệm toán học sẽ được HS hiểu tốt hơn khi HS thấy

được khái niệm đó thông qua nhiều bối cảnh.

− Thể hiện cấu trúc đồ thị: đồ thị được dựng trên phần mền hình học động sẽ

giúp cho HS thấy được sự thay đổi của dữ liệu sẽ làm cho hình dáng đồ thị

thay đổi theo, khi đó giúp HS dễ dàng phát hiện được cấu trúc của một đồ thị

HSBH.

53

2

2

=

+

y

ax

bx

c

y

ax=

+ được suy ra từ đồ thị hàm số

Ở Việt Nam, tiếp cận đồ thị HSBH bằng phép tịnh tiến, tức là đồ thị HSBH

bằng cách thực hiện liên tiếp

các phép tịnh tiến thích hợp. Tùy theo từng chương trình mà phép tịnh tiến của đồ

thị HSBH được trình bày trong nội dung bài học hoặc trong bài đọc thêm. Tuy

nhiên, phép biến đổi đồ thị trong chương trình trình bày còn khá nghèo nàn chỉ

dừng lại ở việc mô tả phép tịnh tiến đồ thị, các kỹ thuật vẽ và thiết lập hàm số mới

từ đồ thị hàm số ban đầu bởi phép tịnh tiến trình bày khá khiêm tốn trong chương

trình Toán Việt Nam hiện nay.

Ngoài ra, chúng tôi còn phân loại một số điểm khác biệt giữa Việt Nam và

Úc qua các kiểu nhiệm vụ với bảng thông kê so sánh sau:

Đối với phép tịnh tiến đồ thị của HSBH trong thể chế 2 nước:

Việt Nam Úc Cơ bản Nâng Cao

Phép tịnh tiến không Phép tịnh tiến chỉ Phép tịnh tiến được

được hợp thức trong thể được trình bày trong trình bày trong bài

chế, mà nó chỉ mang bài đọc thêm rất chi học chính ở mức độ

tính ngầm ẩn và trực đơn giản, song mục tiết, thể chế mong

đích của nó mà thể muốn HS tự tham giác; thể chế gọi chung

khảo về vai trò công là phép biến đổi đồ thị, chế mong muốn là

cụ của phép tịnh tiến GT đã sử dụng MTĐT cho học sinh thấy

Nội dung trong việc chứng hỗ trợ cho việc dạy học được mối liên hệ giữa

minh HSBH tồng phép biến đổi này bằng các đồ thị của HSBH

2

con đường quy nạp qua quát là parabol. Tuy với đồ thị của hàm số

y

ax=

các bài tập cụ thể. Phép nhiên, chỉ trình bày , nó hoạt

biến đổi đồ thị trình bày giới hạn trong bài động dưới cơ chế

đọc thêm nên HS có độc lập, nó được trình công cụ ngầm ẩn hỗ

thể không hiểu đầy bày trong một chương trợ cho sự liên kết

đủ về nghĩa của của GT. HSBH đã học ở

phép tịnh tiến trong THCS và THPT. nghiên cứu đồ thị.

54

Đối với vai trò công cụ của khái niệm HSBH trong hai thể chế:

Ví dụ - bài tập trong SGK

Kiểu nhiệm vụ Việt Nam Úc Cơ bản Nâng cao

Giải phương trình bậc hai 2 0 0

bằng MTĐT

Giao điểm của đồ thị HSBH 2 1 3

với trục hoành

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị 9 0 4

nhỏ nhất của HSBH

Sự biến thiên HSBH 0 2 1

Bảng 1.6. Thống kê so sánh kiểu nhiệm vụ trong 2 thể chế

Với tỉ lệ trong bảng thống kê, ta thấy rằng thể chế Úc vận dụng khái niệm

HSBH trong nghiên cứu phương trình bậc hai, bài toán GTLN, GTNN rất đa dạng.

Trong khi đó, thể chế Việt Nam bài toán GTLN, GTNN của hàm số bậc hai chiếm tỉ

lệ rất ít, và hầu như vắng bóng trong chương trình cơ bản.

Qua việc phân tích của hai thể chế Úc và Việt Nam, cũng như những mặt còn hạn

chế trong SGK Toán Việt Nam hiên nay, chúng tôi xin phát biểu lại các giả thuyết

như sau:

H1: Đối với HS lớp 10 NC Việt Nam:

2

+

+

− Trong KNV vẽ đồ thị HSBH =

,

y

ax

bx c kỹ thuật sử dụng phép

tịnh tiến không được học sinh ưu tiên ngay cả khi bài toán yêu cầu. − Kỹ thuật sử dụng phép tịnh tiến không được HS huy động trong việc

tìm biểu thức của HSBH.

H2: Đối với HS lớp 10, kỹ thuật bảng biến thiên và đồ thị không được huy động để giải quyết các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức HSBH. Để kiểm chứng hai giả thuyết nêu trên, việc nghiên cứu thực nghiệm ở thể

chế Việt nam sẽ cho chúng tôi câu trả lời thỏa đáng và được trình bày

trong chương II.

55

CHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

2.1. Mục đích thực nghiệm Trong chương này, chúng tôi tiến hành xây dựng thực nghiệm nhằm mục

đích kiểm chứng tính thỏa đáng của hai giả thuyết nêu trong chương I:

2

=

+

+ kỹ thuật sử dụng phép tịnh tiến

H1: Đối với HS lớp 10 NC Việt Nam:

y

ax

bx

c

,

− Trong KNV vẽ đồ thị HSBH

không được HS ưu tiên ngay cả khi bài toán yêu cầu.

− Kỹ thuật sử dụng phép tịnh tiến không được HS huy động trong việc tìm biểu

thức của HSBH.

H2: Đối với HS lớp 10, kỹ thuật bảng biến thiên và đồ thị không được huy động để

giải quyết các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức HSBH.

2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm

Do điều kiện không cho phép tiếp cận với HS theo học chương trình Úc nên

chúng tôi chỉ tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh Việt Nam.

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm sau khi HS học xong bài HSBH. Thực

nghiệm này được tiến hành đối với cả HS hai ban cơ bản và nâng cao. Riêng đối với

HS ban cơ bản, chúng tôi muốn kiểm tra giả thuyết H2.

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 73 HS của 2 lớp 10 ở trường THPT

Dưỡng Điềm, tỉnh Tiền Giang.

Về hình thức thực nghiệm: HS sẽ làm 3 bài tập trên giấy có in sẵn câu hỏi.

Thời gian làm bài là 45 phút. HS được sử dụng máy tính bỏ túi, giấy nháp khi làm

bài. HS không được sử dụng bút xóa mà chỉ được phép gạch chéo các phần bỏ đi

trong bài làm. HS nộp lại cho GV phiếu trả lời câu hỏi và giấy nháp.

Riêng đối với bài toán 3, sau khi HS hoàn thành phần A, GV sẽ thu bài phần

A và phát phiếu câu hỏi phần B để HS tiếp tục làm bài.

56

2.3. Nội dung thực nghiệm

2

y

x=

2.3.1. Bài toán 1

Cho đồ thị hàm số như hình vẽ 2.1:

2

=

−

+ được suy ra từ đồ thị của

Hình 2.1

2

1

y

x

x

a) Hãy cho biết đồ thị của hàm số

hàm số trên nhờ vào các phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa

2

=

−

y

x

2

x

+ 1.

độ nào?

b) Từ đồ thị trên hình 2.1, vẽ đồ thị hàm số

Phân tích bài toán

2

+

=

−

Đối với câu a) trong bài toán 1, chúng tôi đưa ra nhằm mục đích xem xét HS

1

2

x

x

y

có thể mô tả mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số

2=y

số với đồ thị của hàm x bằng phép tịnh tiến đồ thị hay không. Nếu HS biết mô tả mối liên hệ giữa

2

=

−

+

hai đồ thị của HSBH bằng phép tịnh tiến đồ thị thì HS có sử dụng kỹ năng này để

y

x

2

x

1

2=y

x bằng phép tịnh

từ đồ thị của hàm số vẽ đồ thị của hàm số

tiến hay không?. Để trả lời cho câu hỏi đó chúng tôi đưa ra câu hỏi b) trong bài toán

2

=

+

1.Hay nói cách khác, câu hỏi b) trong bài toán 1 nhằm kiểm chứng giả thuyết H1:

y

ax

bx

c

,

+ kỹ thuật sử dụng phép tịnh tiến

“Trong KNV vẽ đồ thị HSBH

không được HS huy động ngay cả khi bài toán yêu cầu”.

57

Các chiến lược có thể trong bài toán 1

2

2

=

+

=

−

+

Chiến lược 1 (CL1.1): “Phép tịnh tiến”

+ về dạng

y

ax

bx

c

)

y

( a x

k

h .

Bước 1: Biến đổi biểu thức

2

Bước 2. Dựa vào định lí phép tịnh tiến đồ thị

y

ax=

2

=

+

+

y

ax

bx

)

Cách vẽ: Từ đồ thị hàm số

c P 2(

=

)

y

bằng cách tịnh tiến đỉnh − Xác định đỉnh I của parabol

2 1( ax P

O(0, 0) của parabol dọc theo trục Ox sang trái k đơn vị nếu

k < 0, sang phải k đơn vị nếu k > 0 và tịnh tiến dọc theo trục Oy lên trên h

đơn vị nếu h > 0, xuống dưới h đơn vị nếu h < 0.

−

(

(

;

;

)

− Xác định trục đối xứng đi qua đỉnh I của nó.

0

2 M x ax M x ax ), 0

2 0

2

0

0

1

x ≠ ) của (PR1R) 0

(với − Xác định ảnh của 2 điểm

lần lượt qua 2 phép tịnh tiến ở trên.

− Dựng (PR2R) qua 3 điểm I, MR1R, MR2R.

2

2

=

−

+ =

−

Cái có thể quan sát được trong CL1.1

y

x

2

x

1 (

x

1)

2

=

−

2

+ 1

y

x

x

P, ta có k = 1 > 0.

2 Trong biểu thức của HSBH y = (x – 1)P

là đồ thị của hàm số a) Ta có . Gọi (CR1R)

Vậy tịnh tiến đồ thị (C) dọc theo trục Ox sang phải 1 đơn vị trên mặt phẳng

Oxy ta được đồ thị (CR1R).

b) Vẽ đồ thị:

Trên mặt phẳng tọa độ. Xác định đỉnh I của (CR1R), phương trình trục đối

xứng?.

− Tịnh tiến đỉnh O(0, 0) của parabol (C) dọc theo trục Ox sang phải 1 đơn vị

trên mặt phẳng Oxy ta được đỉnh I (1, 0) của parabol (CR1R).

− Tịnh tiến trục Oy sang phải 1 đơn vị ta được phương trình trục đối xứng qua

2 Chọn A(-1, 1), B(1, 1) thuộc parabol (C): y = xP

đỉnh I (1, 0) là x = 1.

− Tịnh tiến điểm A(-1, 1) dọc theo trục Ox sang phải 1 đơn vị ta được điểm

AR1R(0, 1).

58

− Tịnh tiến điểm B(1, 1) dọc theo trục Ox sang phải 1 đơn vị thì ta được

BR1R(2, 1).

Vậy đồ thị (CR1R) của HSBH là hình 2.2:

Hình 2.2

Chiến lược 2 (CL1.2): “Nối điểm”

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh I của parabol (C).

Bước 2: Xác định phương trình trục đối xứng.

Bước 3: Xác định các điểm cắt trục hoành, trục tung.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Lập bảng giá trị.

Bước 6: Dựng parabol (C) đi qua các điểm trên.

Cái có thể quan sát được trong CL1.2

=

= ⇒ =

Xác định tọa độ đỉnh I

x

1

y

0

I

I

− b a 2

. Vậy đỉnh I(1, 0) − Ta có

− Phương trình trục đối xứng: x = 1

− Giao điểm trục hoành: I(1, 0); Giao điểm trục tung: AR1R(0, 1)

− Bảng thiến thiên

59

Bảng giá trị:

x -1 0 1 2 3

y 4 1 0 1 4

Đồ thị hình 2.3

Hình 2.3

Biến didactic và giá trị của biến didactic trong bài toán 1

2=y x

V1: Đồ thị hàm số

Giá trị của biến: V1.1 có V1.2 không

V2: Dạng của biểu thức HSBH

2

=

−

Giá trị của biến:

y

(

k

)

+ h

x 2

+

=

bx

x

y

+ c

V2.1 Biểu thức HSBH cho ở dạng

V2.2 Biểu thức HSBH cho ở dạng Giá trị của biến didactic ảnh hưởng lên các chiến lược

60

=

+

Với sự xuất hiện giá trị V1.1 của biến V1 nhằm mục đích giúp HS dựa vào

2=y

x để vẽ đồ thị của hàm số

y

x

2 2 −

x

1

bằng phép tịnh parabol của hàm số

tiến. Giá trị của biến V1.1 sẽ ảnh hưởng đến CL1.1 của HS. Giá trị của biến V1.2

ảnh hưởng đến CL1.2. Chúng tôi chọn giá trị của biến trong bài toán 1 là V1.1, tức

2=y

x được cho trước.

là hình vẽ của đồ thị hàm số

Với giá trị V2.1 của biến V2 thì HS nhận biết phép tịnh tiến đồ thị của hàm

2=y

x dọc theo trục hoành k đơn vị và tịnh tiến dọc theo trục tung h đơn vị.

số

2

=

−

+

=

+

Với giá trị V2.2 xuất hiện trong bài toán thì HS phải thực hiện phép biến đổi biểu

y

(

x

k

)

h . Trong bài toán 1, chúng tôi chọn giá

y

x

2 2 −

x

1

về dạng thức

2

=

−

+

y

(

x

k

)

h .

trị V2.2 của biến V2, tức là yêu cầu HS phải biến đổi biểu thức HSBH về dạng

2.3.2. Bài toán 2

y

23 x=

Cho đồ thị (C) hàm số bậc hai như hình 2.4a. Khi ta tịnh tiến đồ thị

(C) song song trục Ox sang phải 0.5 đơn vị thì ta thu được đồ thị (CR1R). Sau đó tịnh

tiến đồ thị (CR1R) song song trục Oy lên trên 1 đơn vị ta thu được đồ thị (CR2R) như hình

2.4b:

Đồ thị (C ) Đồ thị (CR1R) và (CR2R)

Hình 2.4a Hình 2.4b

Hãy tìm biểu thức hàm số bậc hai có đồ thị là (CR2R).

61

Phân tích bài toán

Chúng tôi thiết kế bài toán 2 nhằm mục đích xem xét HS có thể xác định

được biểu thức của HSBH có đồ thị là kết quả của việc thực hiện liên tiếp một số

=y

2.

ax Hay nói cách khác, chúng tôi thiết kế

phép tịnh tiến đồ thị HSBH ban đầu

bài toán 2 để kiểm chứng giả thuyết H1: “kỹ thuật sử dụng phép tịnh tiến không

được HS huy động trong việc tìm biểu thức của HSBH”.

Các chiến lược có thể trong bài toán 2

2

=

+

Chiến lược 1(CL2.1): “Hệ phương trình”

y

ax

bx

+ c

Phương trình của HSBH có dạng

Bước 1. Dựa vào công thức tọa độ đỉnh và đồ thị HSBH đi qua các điểm thiết

lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn số a, b, c.

Bước 2. Giải hệ phương trình tìm hệ số a, b, c.

Cái có thể quan sát được ứng với CL2.1

Tìm biểu thức của HSBH có đồ thị là (CR2R).

Dựa vào hình 2.4b ta thấy đồ thị (CR2R) lần lượt đi qua các đỉnh IR2R(0,5; 1) và điểm

= ⇔ = ⇔ + =

AR2R(0; 1,75),

x

a b

0,5

0,5

0 (1)

I

− b a 2

2

∈

⇔

+

+ =

I

(0,5;1)

C (

)

0,5

a

0,5

b c

1 (2)

2

2

=

(0;1,75)

1,75

c

(3)

A 2

∈ ⇒ C 2

Ta có

+ =

=

3 = − ⇔ = −

0.75

3

0 + 0,5 b

=

a b 0, 25 a = 1,75

c

a b c

1,75

    

    

=

−

+

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

y

23 x

3

x

1,75.

Vậy biểu thức HSBH cần tìm là

Chiến lược 2(CL2.2): “Tịnh tiến”

− Dựa vào định lí tịnh tiến của đồ thị để xác định biểu thức HSBH lần lượt có

đồ thị là (CR1R) và (CR2R).

Cái có thể quan sát được ứng với CL2.2

62

2

=

−

+

Ta có đồ thị (CR2R) có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến của đồ thị

y

x

k

3(

)

h .

(C) ban đầu. Gọi biểu thức của HSBH cần tìm có dạng

=

−

y

3(

x

2 0,5) .

− Thực hiện phép tịnh tiến đồ thị (C) song song trục Ox sang phải 0,5 đơn vị

nên k = 0,5. Vậy (CR1R) là đồ thị của hàm số

2

=

−

+

− Thực hiện phép tịnh tiến đồ thị (CR1R) song song trục Oy lên trên 1 đơn vị nên

y

3(

x

0,5)

1

. h = 1. Vậy (CR2R) là đồ thị của hàm số

Biến didactic và giá trị của biến didactic trong bài toán 2

V1: Hệ trục tọa độ có ô kẻ

V1.1 Có

V1.2 Không

Các giá trị của biến ảnh hưởng lên chiến lược trong bài toán 2

Với giá trị V1.1 của biến V1 thì HS sẽ bị ảnh hưởng bởi các điểm IR2R, AR2R

thuộc đồ thị (CR2R), HS sẽ ưu tiên sử dụng CL2.1. Mặc dù CL2.1 sẽ mất nhiều thời

gian, HS loại bỏ các giả thiết của phép tịnh tiến giữa các đồ thị HSBH trong bài

toán. Nếu V12 tồn tại thì CL2.2 có thể giúp cho HS giải quyết bài toán dựa vào các

giả thiết của phép tịnh tiến đồ thị trong bài toán.

=

+

2.3.3. Bài toán 3

y

x

22 x

4

+ 1

Phần A. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

=

+

+ trên

Phần B. Lời giải của một HS với yêu cầu bài toán như sau:

y

22 x

4

x

1

− 1  2 

 ,0 .  

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

2

=

+

+ =

+

Lời giải

y

2

x

4

x

1 2(

x

1)

− 1

2

2

+

≥ ⇒ +

Ta có

2(

1)

2(

0

1)

− ≥ − 1

1

x

x

Với mọi x thuộc R ta có,

− 1  2 

 ,0 .  

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x thuộc

Em hãy nhận xét về lời giải của học sinh trên.

Phân tích bài toán 3

Trong một số bài toán cực trị, để tìm GTLN và GTNN của một hàm số trên

tập số thực R, có 3 phương pháp có thể huy động để giải quyết bài toán:

2

=

−

63

y

ax (

a )

+ h .

− Biến đổi biểu thức của hàm số về dạng:

− Đồ thị của hàm số.

− Bảng biến thiên hàm số.

;aβ , liệu rằng HS có huy động linh hoạt ba phương pháp này hay HS

Tuy nhiên, đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

]

trên đoạn [

chỉ huy động phương pháp biến đổi đại số?.

Vì thế, chúng tôi thiết kế bài toán 3 nhằm kiểm chứng giải thuyết H2: “ Đối

với HS lớp 10, kỹ thuật bảng biến thiên và đồ thị không được huy động để giải

quyết các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức HSBH”.

Các chiến lược có thể trong bài toán 3

2

=

−

=

+

+

Chiến lược 1(CL3.1): Biến đổi biểu thức của HSBH

y

a x (

2 + ha )

y

ax

bx

c về dạng:

Thực hiện phép biến đổi biểu thức

− Nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của y bằng h khi và chỉ khi x a= .

− Nếu a < 0 thì giá trị lớn nhất của y bằng h khi và chỉ khi x a= .

2

2

2

=

+

+ =

+

+

2

x

4

x

1 2(

x

+ = 2 ) 1 2(

x

x

1)

− 1

y

2

2

+

≥ ∀ ∈ ⇔ +

Cái có thể quan sát được tương ứng với CL3.1

x

1)

x R

2(

0,

x

1)

x R

1,

1,

1

y

− ≥ − ∀ ∈ ⇔ ≥ − ∀ ∈ x R

2

2

+

Ta có: 2( Ta có

2(

x

1)

− = − ⇔ + 1

2(

1

x

1)

= ⇔ = − x 1

0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng -1 khi x = -1.

] .aβ ;

Trong chiến lược trên, HS có thể gặp khó khăn khi xác định được giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y trên đoạn [

Chiến lược 2(CL3.2): “Đồ thị”

2

=

+

+ . Dựa vào đồ thị HSBH đưa ra kết luận

y

ax

bx

c

Trường hợp tìm GTLN, GTNN của HSBH trên tập xác định D = R:

Vẽ đồ thị HSBH

2

=

+

+

như sau:

y

ax

bx

c có dạng hình 2.5 như sau:

TH1: a > 0, đồ thị HSBH

64

2

=

+

y

ax

bx

c

Hình 2.5

+ có dạng hình 2.6 như sau:

TH2: a < 0, đồ thị HSBH

Hình 2.6

[ D aβ= ;

]

Trường hợp: tìm GTLN, GTNN của HSBH trên tập xác định . Vẽ đồ thị

] ;aβ .

HSBH. GTLN là tung độ của điểm “cao nhất” và GTNN là tung độ của điểm “thấp nhất” trên đoạn [

≤ aβ

65

≤ thì GTLN của y: Max

y

yaβ ( ),

(

TH3: a > 0, , GTNN của y

} )

{

− b 2 a

y

− b  2 a 

  

<

aβ

minh họa hình vẽ 2.7: là

)β , GTNN của y là

( ) y a minh

− b a 2

TH4: a > 0, Hình 2.7 < thì GTLN của y: (

họa hình vẽ 2.8:

Hình 2.8

<

< aβ

66

y a , GTNN của y là y( (

)

)β minh

− b 2 a

TH5: a > 0, thì GTLN của y:

họa hình vẽ 2.9:

aβ ≤

≤ thì GTLN của y:

Hình 2.9

y

− b 2 a

− b  2 a 

  

, GTNN của y là Max TH3: a < 0,

y

yaβ ( ),

(

minh họa hình vẽ 2.10:

{

} )

Hình 2.10

<

aβ

67

< thì GTLN của y: y(

)a , GTNN của y là

( ) y β minh

− b 2 a

TH7: a < 0,

aβ <

<

họa hình vẽ 2.11:

)β , GTNN của y là

( ) y a minh

− b 2 a

TH8: a < 0, Hình 2.11 thì GTLN của y: y(

họa hình vẽ 2.12:

+

+

=

Hình 2.12

22 x

1

4

x

như hình 2.13: Cái có thể quan sát được tương ứng với CL3.2 Phần A. Đồ thị hàm số y

68

Hình 2.13

=

+

+

Dựa vào hình 2.13, ta có giá trị nhỏ nhất của y bằng -1 tại x = -1.

y

22 x

4

x

1

=

=

=

+

+

Phần B. Dựa vào đồ thị hàm số hình 2.12, ta xác định các điểm

4

1

y

22 x

x

,

0

x

x

− 1 2

lần lượt có hoành độ như hình thuộc đồ thị hàm số

2.14:

Hình 2.14

=

=

69

y

x

− 1 2

− 1 2

  

  

− 1 2

Dựa vào hình 2.14, ta có GTNN của y là tại ; GTLN

của y là y(0) = 1 tại x = 0.

2

=

+

+

Chiến lược 3 (CL3.3): “Biến thiên”

y

ax

bx

c trên tập xác định D, dựa vào

Ta lập bảng biến thiên của HSBH

bảng biến thiên, ta xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y.

Trường hợp D = R:

= −

TH1: a > 0

x

−∆ 4a

b a 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là tại .

= −

TH2: a < 0

x

b a 2

tại . Vậy giá trị lớn nhất của y là

[ D aβ= ,

−∆ 4a ]

<

< aβ

Trong trường hợp

− b 2 a

)

y β tại ( )

x β= .

<

< aβ

, ta có bảng biến thiên: TH3: a > 0 và

y a tại x a= ; GTNN của y là GTLN của y là ( − b a 2

, ta có bảng biến thiên: TH4: a > 0 và

70

x a= .

y a tại ( )

y β tại x β= (

aβ ≤

; GTNN của y là GTLN của y là

≤ , ta có bảng biến thiên:

) − b 2 a

=

y

yβa ( ),

(

TH5: a > 0 và

x

.

} ) ;

−∆ 4a

− b a 2

< aβ

<

GTNN của y là tại GTLN của y là max{

− b 2 a

TH6: a < 0 và , ta có bảng biến thiên như sau:

x a= .

)

y a tại ( )

<

aβ

; GTNN của y là

< , ta có bảng biến thiên sau:

y β tại x β= GTLN của y là ( − b a 2

TH7: a < 0 và

y a tại x a= ; GTNN của y là (

y β tại ( )

x β= .

≤ aβ

GTLN của y là

≤ , ta có bảng biến thiên:

) − b a 2

TH8: a < 0 và

=

(

y

yβa ( ),

71

x

} ) .

−∆ 4a

− b a 2

GTLN của y là tại GTNN của y là min{

= −

= −

Cái có thể quan sát được tương ứng với CL3.3 Phần A. Ta có:

x

= − ⇒ = − y 1

1

I

I

b a 2

+

4 2.2 =

+ như sau:

Hệ số a = 2 > 0,

y

22 x

4

x

1

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, GTNN của y bằng -1 khi x = -1.

=

=

Phần B. Dựa vào bảng biến thiên ở phần A, ta xác định các giá trị

x

;

x

0

− 1 2

=

như sau:

y

=x

;

− 1 2

− 1 2

  

  

− 1 2

tại Dựa vào bảng biến thiên trên, GTLN của y bằng

GTNN của y bằng y(0) = 1.

Biến didactic và giá trị của biến didactic

V1. Xét giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên tập D

D

⊂ R

]

V1.2 Tập V1.1 Tập D = R [ aβ= ,

2

=

+

V2. Công thức của HSBH

y

a x (

k

)

+ h

2

=

+

V2.1 Công thức có dạng

y

ax

bx

+ c

V2.2 Công thức dạng

Giá trị của biến ảnh hưởng lên chiến lược trong bài toán 3

Trong trường hợp giá trị V1.1 xuất hiện ở phần A thì HS có thể sử dụng các

CL3.1, CL3.2, CL3.3 để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên R. Nếu V1.2

72

∈

∉

tồn tại thì CL3.1 sẽ gây ra khó khăn cho việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị trên

.

[ ,aβ ; HS còn phải lưu ý đến giá trị

]

[ aβ ,

]

[ aβ ,

]

− b a 2

− b 2 a

hay Do đó, ở phần B

chúng tôi lựa chọn giá trị V1.2 của biến V1 xuất hiện với mục đích xem xét HS có

linh hoạt trong việc lựa chọn 3 chiến lược trên hay HS chỉ sử dụng CL3.1 và dẫn

đến sai lầm.

Đối với giá trị V2.1 tồn tại, thì CL3.1 sẽ được HS ưu tiên để tìm giá trị nhỏ

nhất, giá trị lớn nhất. Nếu V2.1 tồn tại thì HS có thể sử dụng cả 3 chiến lược để tìm

2

=

+

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R. Chúng tôi lựa chọn giá trị V2.1 trong bài

y

ax

bx

+ . c

toán 3, tức là biểu thức HSBH cho ở dạng

2.4. Phân tích hậu nghiệm

2.4.1. Phân tích hậu nghiệm bài toán 1

Sau khi thu kết quả thực nghiệm, chúng tôi tiến hành phân loại các kết quả

cho các chiến lược mà HS đã sử dụng trong bài toán 1 như sau:

Ở câu a)

Chiến lược CL1.1 CL khác

HS 54 19

Tỉ lệ 73,9% 26,1%

=

Bảng 2.1. Thống kê các chiến lược trong câu a) bài toán 1 của HS Trong bảng 2.1, chúng tôi nhận thấy rằng HS sử dụng CL1.1 với tỉ lệ 73,9%. Điều

y

x

2 2 −

x

+ 1

này khẳng định HS biết mô tả mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số

2=y

x bằng phép tịnh tiến đồ thị.

với đồ thị hàm số

Chúng tôi tổng hợp kết quả của b) như sau:

Chiến lược CL1.1 CL1.2 CL khác

Học sinh 8 43 22

Tỉ lệ 10,9% 58,9% 30,1%

Bảng 2.2. Thống kê các chiến lược trong câu b) bài toán 1 của HS

Từ bảng thống kê trên, chúng tôi thấy rằng HS sử dụng CL1.1 chiếm 10,9%

khiêm tốn hơn nhiều so với CL1.2 chiếm tỉ lệ 58,9%. Điều này cho thấy HS không

quan tâm đến yêu cầu của bài toán mà chỉ sử dụng CL1.2 để vẽ đồ thị HSBH.

73

=

+

y

x

2 2 −

x

1.

HS1: Không quan tâm đến yêu cầu bài toán, HS chỉ quan tâm đến vẽ đồ thị hàm số

=

+

y

x

2 2 −

x

1

HS2: Biết mô tả đồ thị của 2 HSBH bởi phép tịnh tiến theo trục hoành. Tuy nhiên,

=

+

HS này vẫn không quan tâm đến yêu cầu bài toán vẽ đồ thị hàm số từphình 2.1

y

x

2 2 −

x

1

, nhưng HS3: Có sử dụng phép tịnh tiến để vẽ đồ thị hàm số

HS chỉ vẽ mô phỏng như sau:

74

Từ những kết quả thực nghiệm trên, chúng tôi đã hợp thức tính thỏa đáng

được giải thuyết H1 ý 1: “về kỹ năng vẽ đồ thị từ phép tịnh tiến chưa được hình

thành ở HS Việt Nam”. HS Việt Nam chỉ hiểu biết phép tịnh tiến ở mức độ mô tả

phép tịnh tiến đơn giản giữa các đồ thị HSBH.

2.4.2. Phân tích hậu nghiệm bài toán 2

Chúng tôi tổng hợp kết quả thực nghiệm thu được đối với bài toán 2 trong

bảng sau:

Chiến lược CL2.1 CL2.2 CL khác

HS 51 15 7

Tỉ lệ 69,9% 20,6% 9,5%

Bảng 2.3. Thống kê chiến lược trong bài toán 2 của HS

Trong bảng trên, HS sử dụng CL2.1 với tỉ lệ 69,9%. Điều này cho thấy HS

đã không quan tâm các giả thiết tịnh tiến giữa các đồ thị (C), (CR1R) và (CR2R) đã nêu

trong bài toán 2, HS đã bị sự chi phối tọa độ các điểm AR2R, IR2R trong bài toán 2 và ưu

tiên cho CL2.1. Với CL2.2, chúng tôi nhận thấy 20,6% HS vẫn sử dụng để tìm lời

giải nhưng HS vẫn còn nhiều sai sót. Chúng tôi trích dẫn các lời giải của HS đã có

cơ sở dẫn chứng cho tính thỏa đáng của giả thuyết H1 ý 2 đã nêu như sau:

HS3:

75

HS4:

76

HS5:

2.4.3. Phân tích hậu nghiệm bài toán 3

Đối với bài toán 3, chúng tôi chia ra thành 2 phần thực nghiệm cho HS thu

được kết quả như sau:

Phần A.

Chiến lược CL3.1 CL3.2 CL3.3 CL khác

HS 63 0 3 7

Tỉ lệ 86,3% 0% 4,1% 9,6%

Bảng 2.4. Thống kê các chiến lược của phần A trong bài toán 3 của HS

Trong bảng thống kê trên, chúng tôi nhận thấy rằng HS đã ưu tiên cho CL3.1

với tỉ lệ 86,3%. Điều này đã khẳng định HS lớp 10 hình thành phương pháp biến

đổi biểu thức HSBH để tìm GTLN, GTNN. Với CL 3.3 chiếm tỉ lệ 4,1% khá ít, cho

thấy HS lớp 10 chưa thực sự quan tâm phương pháp biến thiên trong tìm GTLN,

GTNN của HSBH. Từ những số liệu trên đã giúp chúng tôi kiểm chứng được tính

thỏa đáng của giả thuyết H2.

HS5: HS chỉ làm phần A, không có đáp án cho phần B:

77

HS6:

HS7:

78

KẾT LUẬN

Việc phân tích khái niệm hàm số bậc hai trong GT Úc và SGK Việt Nam cho phép

chúng tôi rút ra một số kết quả nghiên cứu sau:

Chương I. Nghiên cứu quan hệ thể chế với khái niệm hàm số bậc hai, chúng

tôi nhận thấy một số khác biệt trong dạy học của thể chế Úc và thể chế Việt Nam

như sau:

2

=

+

+

Ở Úc, khái niệm HSBH được định nghĩa theo quan điểm lý thuyết tập hợp với

y

ax

bx

c . Các tính chất về sự biến thiên, tính chẵn lẻ của

biểu thức hàm số

hàm số không được trình bày trong GT mà thể chế đặt trọng tâm nghiên cứu hàm số

là đồ thị của HSBH.

Về việc dạy học cách vẽ đồ thị hàm số của HSBH, thể chế Úc dựa vào vai trò

2

=

−

−

=

y

a x (

a β x );

)(

y

− a x h (

)

của công nghệ thông tin tiếp cận theo quan điểm thực nghiệm toán học để nghiên

+ . k

2

=

+

cứu đồ thị của HSBH được viết ở hai dạng:

+ HS biến đổi biểu

y

ax

bx

c

,

2

2

=

=

+

+ và áp dụng cách vẽ đã được học trước

y

− a x h

(

)

k

y

ax

bx

c

+ về dạng

Riêng đồ thị HSBH có dạng thức

đó để vẽ đồ thị.

Phép biến đổi đồ thị của hàm số, GT Úc dành hẳn một chương nghiên cứu cho

2

2

=

+

hàm số sơ cấp. Đến nội dung bài HSBH, HS được cũng cố lại mối liên hệ giữa đồ

y

ax

bx

c

=y

ax bằng phép tịnh tiến. Như

+ với đồ thị hàm số

thị của hàm số

2

=

+

+ là đường cong parabol.

vậy, thể chế Úc không ưu tiên cho phép tịnh tiến trong tiếp cận và chứng minh đồ

y

ax

bx

c

thị HSBH

Ở Việt Nam, khái niệm HSBH được tiếp cận như sau:

y

ax=

2.

Ở lớp 9, HSBH giảng dạy ở dạng đơn giản nhất là

2

HS học đầy đủ các nội dung về hàm số: về định nghĩa hàm số trong SGK Toán 9 và được cụ thể hóa

=y

ax qua các KNV TRTinh.9R, TRve.9R, HS cũng được rèn luyện kỹ năng nhận xét mối quan hệ giữa các đại lượng biến thiên hàm số với KNV

mục tiêu dạy học hàm số

TRbienthien.9R.

=y

2 ax .

Đến lớp 10, nội dung HSBH được xem là sự cũng cố kiến thức của hàm số

79

Về định nghĩa hàm số, cả SGK cơ bản và nâng cao đều theo quan điểm thuyết

tập hợp và chúng tôi không tìm thấy KNV cũng cố định nghĩa HSBH.

Về đồ thị của hàm số bậc hai: Đối với ban cơ bản, SGK trình bày cách vẽ đồ

thị HSBH bằng phương pháp nối điểm. Phép tịnh tiến đồ thị chỉ trình bày trong bài

đọc thêm. Do đó, vai trò của phép tịnh tiến trong nghiên cứu đồ thị không được

quan tâm trong chương trình ban cơ bản.

2

=

+

+

Riêng với ban nâng cao, SGK dựa vào phép tịnh tiến đồ thị để đưa ra chứng

y

ax

bx

c là đường parabol. Qua đó, HS sẽ thấy

2

2

=

+

+

minh đồ thị của hàm số

bx

ax

y

=y

c với hàm số

ax bởi phép tịnh tiến. Tuy nhiên, HS chưa hình thành được kỹ năng vẽ đồ thị HSBH

2

2

=

+

+

được mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số

y

ax=

y

ax

bx

c bằng phép tịnh tiến đồ thị hàm số

cho trước.

Về cơ chế công cụ của khái niệm HSBH thì chúng tôi nhận thấy thể chế Việt

Nam trình bày phần nào còn hạn chế và không làm nổi bậc được vai trò của bảng

biến thiên và đồ thị HSBH trong bài toán tìm GTLN, GTNN.

Việc nghiên cứu chương I đã giúp chúng tôi hình thành các giả thuyết sau:

H1: Đối với HS lớp 10 NC Việt Nam:

2

+

+

− Trong KNV vẽ đồ thị HSBH =

bx c kỹ thuật sử dụng phép

ax

,

y tịnh tiến không được HS ưu tiên ngay cả khi bài toán yêu cầu.

− Kỹ thuật sử dụng phép tịnh tiến không được HS huy động trong việc

tìm biểu thức của HSBH.

H2: Đối với HS lớp 10, kỹ thuật bảng biến thiên và đồ thị không được huy động để giải quyết các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức HSBH. Chương II. Nghiên cứu thực nghiệm đã giúp chúng tôi hợp thức được các giả

thuyết đã nêu và làm rõ mối quan hệ cá nhân HS Việt Nam với vai trò của phép tịnh

tiến trong nghiên đồ thị HSBH và vai trò công cụ của khái niệm HSBH.

Về hạn chế, đối tượng thực nghiệm trong luận văn này chưa thực nghiệm HS

theo học chương trình của Úc nên chúng tôi chưa khẳng định được mối quan hệ cá

nhân của HS Úc với phép tịnh tiến trong việc vẽ đồ thị HSBH. Do hạn chế về thời

gian và trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi chưa quan sát được thực hành giảng

của các GV trong trường phổ thông khi dạy khái niệm HSBH. Chúng tôi mong

muốn xây dựng một tiểu đồ án để làm nổi bật vai trò của phép tịnh tiến trong nghiên

80

cứu đồ thị HSBH. Từ những hạn chế trên, chúng tôi mong muốn đây là hướng mở

ra nghiên cứu của luận văn.

81

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Phan Đức Chính (2011), Bài tập Toán 9 – Tập hai, Nxb Giáo dục.

2. Phan Đức Chính (2011), Toán 9 – Tập hai, Nxb Giáo dục.

3. Phan Đức Chính (2011), Toán 9 – Tập hai – Sách giáo viên, Nxb Giáo dục.

4. Phạm Hải Dương (2011), Một nghiên cứu Didactic về PTBH chứa tham số ở

lớp 9, 10, Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

5. Trần Văn Hạo (2000), Đại số 10, Nxb Giáo dục.

6. Nguyễn Bá Kim (1996), Phương pháp dạy học môn toán, Nxb Giáo dục.

7. Đinh Quốc Khánh (2010), Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ

thông, Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

8. Nguyễn Phú Lộc (2010), Dạy học hiệu quả môn Giải tích trong trường phổ

thông, Nxb Giáo dục.

9. Nguyễn Đăng Minh Phúc (2011), Vai trò của thực nghiệm Toán học trong các

phần mền hình học động, Trường Đại học sư phạm – Đại học Huế.

10. Đoàn Quỳnh (2010), Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục.

11. Đoàn Quỳnh (2010), Đại số 10 nâng cao – Sách giáo viên, Nxb Giáo dục.

12. Nguyễn Hồng Tú (2012), Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dạy học

Toán ở phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

13. Vũ Tuấn (2011), Bài tập Đại số 10, Nxb Giáo dục.

14. Vũ Tuấn (2011), Đại số 10, Nxb Giáo dục.

15. Vũ Tuấn (2011), Đại số 10 – Sách giáo viên, Nxb Giáo dục.

Tiếng Anh

16. Paul Urban, John Owen (2004), Mathematics for the international student,

Haese and Harris Publications.

82

Họ tên: .................................... Lớp :.............................STT.......

Các bài tập này không đánh giá điểm đối với Học sinh.

Lưu ý: Học sinh nộp bài và giấy nháp cho GV. Không được sử dụng bút xóa, tẩy.

2=y

PHỤC LỤC

x như hình vẽ 2.1:

Bài toán 1. Cho đồ thị hàm số

=

+

Hình 2.1

y

x

2 2 −

x

1

được suy ra từ đồ thị của c) Hãy cho biết đồ thị của hàm số

hàm số trên nhờ vào các phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa

2

=

−

y

x

2

x

+ 1.

độ nào?

d) Từ đồ thị trên hình 2.1, vẽ đồ thị hàm số

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

83

y

23 x=

Bài toán 2. Cho đồ thị (C) hàm số bậc hai như hình 2.4a. Khi ta tịnh tiến đồ

thị (C) song song trục Ox sang phải 0.5 đơn vị thì ta thu được đồ thị (CR1R). Sau đó

tịnh tiến đồ thị (CR1R) song song trục Oy lên trên 1 đơn vị ta thu được đồ thị (CR2R) như

hình 2.4b:

Đồ thị (C ) Đồ thị (CR1R) và (CR2R)

Hình 2.4a Hình 2.4b

Hãy tìm biểu thức hàm số bậc hai có đồ thị là (CR2R).

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

84

=

+

y

22 x

4

x

+ 1

Bài toán 3. Phần A. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

=

+

Phần B. Lời giải của một HS với yêu cầu bài toán như sau:

+ trên

y

22 x

4

x

1

− 1  2 

 ;0 .  

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

2

=

+

+ =

+

Lời giải

y

2

x

4

x

1 2(

x

1)

− 1

2

2

+

≥ ⇒ +

Ta có

2(

x

1)

2(

0

x

1)

− ≥ − 1

1

Với mọi x thuộc R ta có,

;0

− 1  2 

  

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x thuộc .

Em hãy nhận xét về lời giải của học sinh trên.

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................

.......................................................................................................................................