Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Số topo bán nguyên trong mô hình Skyrmion

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------- Nguyễn Thị Hiền SỐ TOPO BÁN NGUYÊN TRONG MÔ HÌNH SKYRMION

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

1

Hà Nội – Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------- Nguyễn Thị Hiền SỐ TOPO BÁN NGUYÊN TRONG MÔ HÌNH SKYRMION

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THÚC TUYỀN

2

Hà Nội – Năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc TS. Phạm Thúc

Tuyền, thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi hoàn

thành bản luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô tại bộ môn Vật lý lý

thuyết – trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội – nơi tôi

đã hoàn thành bản luận văn này.

Cuối cùng, tôi muốn dành tình cảm biết ơn sâu nặng tới những người thân

trong gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã thông cảm, động viên và chia sẻ cho tôi

rất nhiều để tôi vượt qua những khó khăn trong suốt những năm tháng học tập.

Học viên

Nguyễn Thị Hiền

3

MỞ ĐẦU………………………....................…………………………………….1

Chương 1 –SKYRMION TRONG MÔ HÌNH -PHI TUYẾN…………....……5

1.1. Lý thuyết  phi tuyến (Skyrme)…….....................................................….5

1.2. Biểu diễn phi tuyến của nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2)…...……......10

Chương 2 – SKYRMION TRONG MÔ HÌNH BẤT BIẾN PHI TUYẾN...........21

2.1. Nghiệm con nhím và dạng của hàm chiral …………………….................21

2.2. Lượng tử hóa skyrmion trong phương pháp tọa độ tập thể. …....…….......26

2.3. Biểu thức các dòng topological, vector và Nother …………...….......…...32

Chương 3 – CÁC ĐẶC TRƯNG TĨNH CỦA NUCLEON TRONG MÔ HÌNH

SKYRMION..........................................................................................................35

3.1. Tổng quan…………............................................................................……35

3.2. Điều kiện biên và nghiệm………................................................................37

3.3. Skyrmion và năng lượng tới hạn................................................................40

3.4. Mật độ hạt nhân và skyrmion mới ..............................................................42

3.5. Đặc trưng tĩnh của skyrmion........................................................................45

3.6. Kết quả số của Skyrmion loại II...................................................................47

KẾT LUẬN……………………………………………………………………...53

Tài liệu tham khảo……………………………....………………………………54

4

Phụ lục…………………………………………………………………………...55

MỞ ĐẦU

Theo lý thuyết hiện nay (Standard Model) các hadron, hạt tham gia tương tác

mạnh, bao gồm baryon và meson, được cấu tạo từ các quark và phản quark. Quark gồm

có 6 hương: u, c, t có điện tích 2/3 và d, s, b có điện tích -1/3. Spin của chúng bằng 1/2,

như vậy, chúng cũng là fermion. Trạng thái ba quark là baryon còn trạng thái quark và

phản quark là meson. Mỗi hương quark có ba màu, có thể gọi tên là đỏ (red), vàng

(yellow) và xanh (blue) hoặc gì đó tương tự.

Quark tương tác với nhau thông qua trường gluon. Khác với quark, lượng tử của

trường gluon là các hạt vectơ, tức là có spin bằng 1. Như vậy, gluon là boson. Lý

thuyết tương tác giữa quark và gluon là sắc động lực học lượng tử (QCD). Lý thuyết

này diễn tả tương tác giữa những hạt có màu giống như tương tác điện từ diễn tả tương

tác giữa những hạt có điện tích.

QCD tỏ ra là một lý thuyết hợp lý cho tương tác mạnh ở năng lượng cao (cỡ trên

dưới 1 Gev), còn ở năng lượng thấp, cần đến một lý thuyết hiệu dụng, đơn giản hơn.

Do các meson là trạng thái liên kết của quark - phản quark, baryon là trạng thái

+

p



π + n

n



- π + p

liên kết của ba quark, cho nên, ngay trong những phản ứng đơn giản nhất:

Đã có sự tham gia của tám hạt. Việc nghiên cứu một hệ nhiều hạt như vậy trong

lý thuyết trường lượng tử là không khả thi.

Để nghiên cứu một phản ứng thực trong thế giới các hạt hadron, ta phải có những

lý thuyết hiện tượng luận, thỏa mãn hai điều kiện:

- Một là: Nó phải là một lý thuyết hiệu dụng của mô hình tiêu chuẩn.

- Hai là: Nó phải cho một thuật tính đơn giản và triệt để.

Trong những cách thức mô tả hạt hadron thỏa mãn hai điều kiện ở trên là Lý

5

thuyết - phi tuyến và Lý thuyết bất biến phi tuyến. Cả hai lý thuyết này đều có chung

mục tiêu là mô tả hadron như hạt soliton lượng tử. Ý tưởng này đã được Skyrme đề

xuất trong Lý thuyết - phi tuyến, cho nên, soliton lượng tử mô tả hadron sau này

được gọi là skyrmion [27]. Lý thuyết bất biến phi tuyến đã được N.A.Việt và P.T.

Tuyền đề xuất [20]. Soliton tương ứng được gọi là skyrmion mở rộng [19].

Ý tưởng của Skyrme là xây dựng một mô hình cho trường  - meson, trong đó có

chứa những số hạng phi tuyến, sao cho, lý thuyết trường cổ điển tương ứng với nó có

nghiệm ổn định (không bị phân tán theo thời gian) và có kích thước không gian hữu

hạn (không phải là nghiệm điểm). Nghiệm như vậy được gọi là soliton. Khi lượng tử

hóa nghiệm này bằng các biến gọi là biến tập thể, ta được các hạt lượng tử khác nhau,

và đặc biệt nhất là chúng có một đại lượng mang tính chất topology (tính hình học), có

thể coi là spin. Như vậy, trong một lý thuyết của meson (spin bằng không), ta có thể

thu được nghiệm baryon (có spin bằng 1/2). Ý tưởng đó quá kỳ lạ, cho nên rất nhiều

năm trôi qua, kể từ sau khi được đề xuất, đã không được cộng đồng vật lý quan tâm

thích đáng.

Chỉ đến khi nhóm E.Witten dùng ý tưởng của Skyrme tính toán được các đặc

trưng của nucleon, và các kết quả này khá phù hợp với thực nghiệm, ý tưởng về

skyrmion mới được mọi người để ý [7]. Tuy nhiên, những tính toán sau này của nhóm

Witten, có tính đến đóng góp của K - meson, lại cho kết quả càng ngày càng xa với

những số liệu thực nghiệm.

Cũng trong thời gian đó, nhóm Việt - Tuyền đã đề xuất một mô hình, trong đó

Lagrangian bất biến đối với một quy luật biến đổi, gọi là phép biến đổi phi tuyến. Mô

hình này cũng có chứa số hạng phi tuyến và do đó cũng có nghiệm soliton. Nếu coi đây

là nghiệm cơ bản và sau đó lượng tử hóa nó, ta cũng thu được hạt có spin, mà sau đó đã

đồng nhất với các nucleon. Mô hình Skyrmion đó cũng dẫn đến các kết quả phù hợp

với số liệu thực nghiệm giống như mô hình - phi tuyến. Hơn thế nữa, khác với mô

hình - phi tuyến, mô hình bất biến phi tuyến sẽ cho các kết quả tốt hơn khi kể đến

6

các đóng góp của K - meson.

Sau đó không lâu, xuất phát từ hai mô hình nói trên, nhóm H.Y.Cheung, F.Gursey

đã đề xuất một mô hình Skyrme tổng quát, trong đó có chứa một số tự nhiên n, sao cho

khi n = 1, ta được mô hình - phi tuyến, và khi n = 2, ta được mô hình Việt - Tuyền và

khi n = 3, mô hình này cho kết quả hoàn toàn phù hợp với số liệu thực nghiệm. Tuy

nhiên, sau khi xem xét tỷ mỉ hơn, họ đã chứng tỏ rằng, với n = 2 vẫn là thích hợp nhất

[13].

Mục tiêu của luận văn bao gồm các công việc sau đây:

- Tính toán các đặc trưng tĩnh của nucleon trong mô hình skyrmion bất biến phi

tuyến với số topo bán nguyên bằng các phương pháp số và biến tổ hợp.

- Nêu một số khả năng mở rộng mô hình khi tính đến siêu đối xứng.

Luận văn này ngoài phần mở đầu và kết luận thì phần chính được chia

làm ba chương.

- Chương 1: Giới thiệu mô hình - phi tuyến và phương pháp lượng tử

hóa theo biến tập thể.

- Chương 2: Trình bày mô hình bất biến phi tuyến, khả năng giải phương trình

số cho hàm góc chiral và các công thức tính số cho các đặc trưng của hạt.

- Chương 3: Trình bày mô hình bất biến phi tuyến khi số topo là bán nguyên.

Khi tính toán, chúng tôi dùng phương pháp bắn thử Runge-Kutta. Chương trình

tính góc chiral, đồ thị hàm dạng của skyrmion và các đặc trưng tĩnh của nucleon cho

7

trong phần cuối của luận văn.

CHƯƠNG 1

SKYRMION TRONG MÔ HÌNH  PHI TUYẾN

1.1. Lý thuyết  phi tuyến (Skyrme).

Chương này giới thiệu ngắn gọn về mô hình Skyrme, phân biệt giữa mô hình

tuyến tính và phi tuyến tính. Ví dụ đơn giản nhất là mô hình  tuyến tính và phi tuyến.

Mô hình Skyrme được xuất hiện tự nhiên thông qua việc đưa vào số hạng bậc bốn của

hàm trường vào Lagrangian của mô hình  phi tuyến. Số hạng này cho phép tồn tại

soliton ổn định (skyrmion) trong không gian 3 chiều, chính vì vậy, nó được gọi là số

hạng ổn định. Tổng quan đầy đủ có thể xem trong [9].

Về mặt toán học, các hạt cơ bản lập thành những đa tuyến của một biểu diễn

tuyến tính thuộc nhóm đối xứng nào đó. Ví dụ, các quark tạo thành một đa tuyến thực

hiện biểu diễn cơ bản của nhóm SU(3). Như ban đầu Gell - Mann và Neuman đề

xướng, sau đó được mở rộng thành nhóm SU(4), SU(5) rồi SU(6). Các đa tuyến này là

những vector của một không gian nào đó có tích vô hướng và từ các tích tensor của các

α

đa tuyến này, ta có các đa tuyến của các hadron - các hạt tham gia tương tác mạnh.

μA . Các đại lượng này

Để mô tả tương tác giữa các quark ta có trường gluon

biến đổi như một vector bốn chiều dưới tác động của nhóm Lorent, như một bát tuyến

dưới tác dụng của nhóm đối xứng chuẩn SU(3), và một đơn tuyến dưới tác dụng của

nhóm hương SU(6). Khi đó Lagrangian sẽ là một Lagrangian Yang - Mills với dạng

μνα

μ L = - F .F + Ψ.γ .



+ ig .Ψ + Ψ.M.Ψ

tổng quát như sau:

ε μν

μ

μ





1 4

1.1

Trong đó g là hằng số tương tác, M là ma trận khối lượng bất biến dưới tác dụng

α A = A .λ

của nhóm mầu:

α μ

μ

αλ là các ma trận Gell - Mann của SU(3).

8

1.2

αβγ





α α F = A - A + g.f μν μ

α μ

μ

ν

β .A .A μ

γ ν

αβγ

f

1.3

là hằng số cấu trúc của nhóm SU(3).

QCD áp dụng cho vùng năng lượng cỡ GeV rất tốt, tuy nhiên khi năng lượng

giảm xuống thấp hơn, QCD gặp khó khăn khi phải mô tả tính chất động học của các

quark và gluon. Do đó, cản trở việc xây dựng một lý thuyết hiệu dụng cho các hadron.

1 quá lớn (so với tương tác điện từ với

αg

2

-39

2

α = e / 4π 1 /137



Khó khăn trên là do hằng số tương tác mạnh

 pGm 6.10

-5

hằng số tinh tế , tương tác yếu với hằng số Fermi ,

2 pG m 10

F

tương tác hấp dẫn với hằng số hấp dẫn ) [3]. Việc thiếu một tham số nhỏ để

qua đó ta có thể khai triển các số hạng tương tác giữa các hadron theo lũy thừa và

tương tác, dẫn đến việc không thể tìm được một mô hình hiệu dụng của QCD ở thang

năng lượng thấp.

Xuất hiện từ những khó khăn như vậy, T.H.R.Skyrme đưa ra ý tưởng khi xét

π - meson và từ lý thuyết này ta cũng thu được các baryon và tương tác giữa chúng.

QCD ở năng lượng thấp thì chỉ cần lý thuyết hiệu dụng của các meson, đặc biệt là của

Như vậy ở năng lượng thấp nền tảng của thế giới vật chất lại là boson (hạt có spin

nguyên) chứ không phải meson (hạt có spin bán nguyên). Nhưng hướng đi chính thống

ý tưởng này rất có ích khi xây dựng mô hình hạt có kích thước. Mà lý thuyết QCD xét

các hạt là những hạt điểm, rõ ràng quan điểm này chỉ là ý tưởng chứ không phải thực

tế. Bên cạnh đó ý tưởng này coi baryon như kết quả của việc lượng tử hóa quanh

soliton. Mặt khác soliton lại là nghiệm kỳ dị của lý thuyết trường meson có phân bố

không gian hữu hạn. Như vậy, soliton tương ứng với hạt có kích thước không gian và

baryon là các kết quả “mặc áo” khác nhau của soliton “trần” này cũng sẽ là hạt có kích

thước.

Để khắc phục khó khăn đó, vào năm 1974, T’Hoof đã đề ra ý tưởng lấy 1/NC -

9

nghịch đảo của số mầu trong lý thuyết làm tham số. Và phân loại QCD theo tham số

này với hy vọng lý thuyết này sẽ đơn giản đi khi NC đủ lớn. Sau đó người ta chứng tỏ

CN   là có tồn tại, và khi đó QCD sẽ trở thành lý thuyết hữu dụng

rằng giới hạn khi

của các π - meson.

CN   , các

Vào năm 1979, E.Witten và các cộng sự đã chứng minh rằng, khi

khối lượng của các baryon có thể xác định được thông qua tham số cỡ 1/NC, trong khi

đó , NC không có mặt trong phương trình xác định kích thước và hình dáng của baryon

và cả trong biên độ tán xạ baryon - baryon hoặc baryon - meson.

Năm 1961 T.H.R.Skyrme đã giả thiết một mô hình mới, theo nó các hạt baryon

có thể thu được từ lý thuyết của meson [27]. Sau hai thập kỷ, ý tưởng này hầu như bị

lãng quên. Mãi đến năm 1980 nó mới được xem như là một mô hình lý thuyết hiệu

dụng của QCD. Khi đó mô hình này có thể cung cấp cầu nối giữa QCD và bức tranh

quen thuộc của tương tác baryon dựa trên sự trao đổi meson.

Mô hình Skyrme đưa ra hai giả thuyết:

Một là: Ở năng lượng thấp ta chỉ cần lý thuyết hiệu dụng của các meson, và từ lý

thuyết này ta thu được baryon và tương tác giữa chúng. Theo lý thuyết này thì ở vùng

năng lượng thấp, nền tảng của thế giới vật chất là các boson và nó rất hữu dụng khi ta

xây dựng lý thuyết cho các hạt có kích thước trong khi QCD coi chúng là hạt điểm.

Từ kết quả của R.Rajaraman và E.Witten đã gợi ý rằng baryon có thể được xem

như là kết quả sau khi lượng tử hóa quanh nghiệm soliton của lý thuyết meson hiệu

dụng [9]. Do đó, ta không cần quan tâm đến cấu trúc quark của chúng nữa. Mặt khác,

nghiệm soliton lại là nghiệm kỳ dị của lý thuyết trường meson có phân bố không gian

hữu hạn và soliton ‘mặc áo’ kiểu khác nhau, sẽ cho ta các baryon khác nhau. Do đó,

baryon xây dựng trên mô hình này cũng là hạt có kích thước.

2

μ

Để có được kết quả trên, Skyrme đã đi từ Lagranggian của π - meson:

L =

 .π.



 .π -



  .π.π

μ

1 2

m 2

10

1.4

 Trong đó π

lập thành không gian đồng vị ba chiều. Sau đó, Skyrme đã làm một

việc là mở rộng không gian đồng vị ba chiều thành bốn chiều tương tự như mở rộng từ

không gian ba chiều sang không thời gian bốn chiều.

i

k

ijk

Nhóm đồng vị SU(2) mở rộng thành nhóm mới với đại số:

ijk

k

i

l

  V , V = 2iε V l   A , A = 2iε A   V , A = 2iε A

ijk

k

i

l

    

1.5

Các vi tử Vi là tích vector còn các vi tử Ai là các tích axial, dưới tác dụng của

phép biến đổi chẵn lẻ P:

1.6

 4φ, φ

và biến đổi theo quy PViP-1 = Vi ; PAiP-1 = Ai Không gian đồng vị bây giờ sẽ gồm bốn thành phần 

luật sau:









V , φ = 2iε φ ; V , φ = 0 l

ik

ik

4

k

i

1.7









A , φ = -2iε φ ; A , φ = 2iφ l i

ikl

k

4

i

i

1.8

iφ sẽ là các hạt giả vô hướng và tạo thành các vector

Các hạt được mô tả bởi

4φ có chẵn lẻ dương, spin và spin đồng vị (isospin) bằng

đồng vị. Các hạt mô tả bởi

không, hạt này chính là chân không.

Nếu thay cho Vi và Ai ta dùng:







 L = V - A R = V + A i

i

i

i

i

i

1 2

1 2

1.9

 L , A sẽ là:

i

i

i

k

ijk

Thì đại số của 

k

i

l



  L , L = 2iε L l   R , R = 2iε R ijk  L , R = 0 k

i

    

11

1.10

Do đó, nhóm mở rộng chính là nhóm chiral SU(2)xSU(2). Vì SU(2)xSU(2) và

 4φ, φ

bất biến, nó phải chứa O(4) có cùng đại số cho nên để Lagrangian xây dựng từ 

các tích vô hướng hoặc tích đạo hàm của các vector này.

Thứ hai: Coi các thành phần của trường π - meson bốn chiều làm thành mặt cầu

2

ba chiều:

 2 φ (x, t) + φ (x, t) = const 4

1.11

Từ đó, phần thế năng trong Lagrangian trở thành một hằng số, bởi vì chúng là đạo

hàm của tích vô hướng của trường π - meson. Vì vậy, để mô hình có nghiệm soliton,

thì Lagrangian phải chứa số hạng đạo hàm cao hơn bậc hai của hàm trường π - meson.

 4φ, φ

vào một ma trận U - Gần đây, người ta kết hợp bốn trường π - meson 

 

 U = exp i σ.π(x, t) = cosπ + i.σ.

.sinπ

unitary 2x2:





 π π

2

 π = π

1.12

 và σ

0 1

0 -i

1

0

Trong đó là các ma trận Pauli:

σ = 1

; σ = 2

;σ = 3

1 0

-i

0

0 -1

  

  

  

  

  

  

 Các trường pion trước đây được liên hệ với các trường π

1.13

theo hệ thức:

4φ  φ

sinπ



cosπ   π π

1.14

μ

μ

Khi đó, Lagrangian trong mô hình Skyrme sẽ là:

L =

.Tr(L .L ) + μ

ν .Tr L , L . L , L ν

μ

2

1.15



 

   

  

2 F  16

1 32e

+ L = u .

Với dòng ‘trái’ được xem như là dạng Maurer - Cartan và được xác định bằng:

μ

.u μ

12

1.16

 khối lượng của trường π - meson chỉ chứa phần không gian π

Lagrangian này không chứa số hạng khối lượng của trường π - meson, vì số hạng

của tích vô hướng sẽ vi

phạm bất biến chiral.

 u = exp iσ.

.F(r)

Với mô hình này, Skyrme đã chứng minh rằng tồn tại nghiệm soliton:

o

 r r

  

  

1.17

Trong đó, F(r) được gọi là góc chiral và các baryon khác nhau là kết quả của việc

lượng tử hóa quanh nghiệm kỳ dị (1.17) này. Nghiệm (1.17) được gọi là nghiệm con

nhím (ansatz).

Mô hình của hadron nói trên được gọi là mô hình - phi tuyến.

Trong những năm 1983 - 1986, G.Adkins, C.Nappi và E.Witten đã dùng mô hình

Skyrme để tính các đặc trưng tĩnh cho baryon [10]. Nhóm tác giả này đã lượng tử hóa

quanh nghiệm con nhím, mà sau này sẽ được gọi là nghiệm ansatz con nhím 1.17. Kết

quả là, họ đã thu được phổ của các baryon. Baryon có spin 1/2, isospin 1/2 đã được

đồng nhất với các nucleon, và baryon có spin 3/2, isospin 3/2 đã được đồng nhất với

πF và e với những giá trị khá gần thực

các hạt cộng hưởng Δ. Sau đó, họ tính được

nghiệm ( πF - hằng số phân rã của π - meson; e - tham số không thứ nguyên liên quan

đến biên độ tán xạ π - π ). Từ các tham số này, nhóm Adkins đã tính các đặc trưng tĩnh

của các nucleon và kết quả chỉ sai khác 30% so với thực nghiệm. Tuy nhiên, khi mở

rộng cho nhóm SU(3)xSU(3) hoặc bổ chính vào 1.15 số hạng vi phạm đối xứng (số

hạng khối lượng π - meson) thì kết quả lại càng xa thực nghiệm [10].

1.2. Biểu diễn phi tuyến của nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2)

1.2.1. Cách xây dựng biểu diễn phi tuyến.

Xét nhóm đối xứng G, trong một biểu diễn tuyến tính, tác dụng của mỗi phần tử

13

gG có thể thực hiện nhờ một ma trận Dab(g) trong không gian của các G - vector Ψα:

g : ψ



α

ψ = D (g)ψ ab

b

' α

1.18

Các ma trận D thỏa mãn điều kiện:

D (g )D (g ) = D (g g ) 2

1 2

bc

ab

ac

1

1.19

Nguyên lý bất biến tuyến tính đòi hỏi Lagrangian phải là một G - vô hướng xây

dựng từ các G - tensor.

Sự vi phạm đối xứng luôn được diễn tả một cách tường minh trong Lagrangian

bởi các số hạng không phải là các G - vô hướng.

-1

g

g : U



U = gUh (g, h)

Giả sử H là nhóm con của G. Xét tập thương G/H và U là các phần tử của tập đó. Một phần tử g G khi tác động lên lớp U sẽ biến nó thành lớp khác Ug theo công thức:

1.20



Với h là phần tử hoàn toàn xác định của H.

Xét tập các cặp (U,) với U G / H và Ψi là một H - vector. Ta nói rằng tập này

thực hiện một biểu diễn phi tuyến của nhóm G nếu mỗi phần tử g G tương ứng với

g : ψ



ψ = D (h(g, u))ψ

mỗi phép biến đổi:

i

ij

j

' i

-1

g

g : U



U = gUh (g, h)

1.21

1.22

gU

Ta xét trường hợp đặc biệt khi H G . Khi đó G/H chỉ là phần tử trung hòa,

e và:

-1

e = geh

h = g

nếu U G / H  thì U e . Khi đó

1.23

g : ψ



Vậy biểu diễn tương ứng với phép biến đổi trong G - vector Ψi là:

i

ψ = D (g)ψ ij

j

' i

1.24

Tức là trùng với biểu diễn tuyến tính thông thường (khi H G tương ứng với

trường hợp không có vi phạm tự phát) do đó không có mode Goldstone, tức là tương

ứng với năng lượng cao, các hạt hoàn toàn tự do, không có hiện tượng tự tương tác và

14

do đó Lagrangian không có mặt các số hạng phi tuyến.

Sự tồn tại các bậc tự do U là cần thiết để khôi phục đối xứng G cho mô hình trong

đó chỉ có đối xứng H được đòi hỏi tường monh ở trạng thái năng lượng cao, các thành

phần Ψα của G - vector được biểu diễn một cách độc lập. Nếu năng lượng giảm xuống,

một số thành phần lập thành các H - vector, phần còn lại sẽ bị ‘đông đặc’ thành các

ψ

U ψ

mode Goldstone:

α

i α

i

1.25

-1 μU U

αψ

μ

Khi đó, các đạo hàm sẽ bị làm lạnh xuống thành các phần tử Cartan

iψ

μ

ψ







)ψ

   α

μ

μ

(U ψ ) = U ψ + U ψ = U (U i

μ

i

i

i  α μ

i α

i α

i o

-1b j

μ

j U + δ α

b a

μ

i

và các đạo hàm trường :

1.26

-1 μU U

Vậy phần tử Cartan , phần tử quan trọng trong việc xây dựng các bất biến

trên đa tạp thương xuất hiện từ các đạo hàm trường trong quá trình ‘lạnh xuống’ của hệ

trường.

Đặt Vk là các vi tử của H và Aα là các vi tử trong không gian thương G/H thì

-1 μU U

α

-1 

(Vk,Aα) là các vi tử sinh của G và được phân tích như sau:

k U U = i(D φ A + Γ V ) μ

μk

μ

α

1.27

αD φ và

μ

μkΓ đối với phép biến đổi g G nào

Ta tìm được quy luật biến đổi của

g





(gU) =



(U h(g, U))

g( U) = μ

μ

μ

đó. Vì G là nhóm toàn xứ (global) nên ta có:

g

g

= ( U )h(g, U) + U h(g, U)





μ

μ

1.28

g

-1

g -1 (U )



-1  U = h(g, U)(U U)h (g, U) -



-1 h(g, U)h (g, U)

Do đó:

μ

μ

μ

1.29

α

-1

α

D φ A = h(g, U)D φ A h (h, U)

Từ 1.27 và 1.29 ta có:

' α

μ

μ

α

15

1.30

i

-1

i

Γ V = h(g, U)Γ V h (g, U)

' μi

μi

α

1.31

αD φ A là hiệp biến đối với g còn

μ

μiΓ biến đổi như đại lượng liên kết

Vậy, chỉ có

của đa tạp khả vi.

i



Tương tự như phép biến đổi chuẩn ta định nghĩa toán tử đạo hàm hiệp biến:

Δ = μ

μ

+ iΓ V μ

-1

Δ h(g, U) = Δ h (g, U)

1.32

' μ

μ

1.33

μiΓ và

αD φ bởi vì chúng xuất hiện

μ

Các mode Goldstone luôn xuất hiện trong

trong pha U của hàm trường. Các mode Goldstone sẽ khử đi lẫn nhau trong các

Lagrangian bất biến.

Theo nguyên lý bất biến phi tính, Lagrangian cho trường vật chất mô tả bởi H -

vector Ψi và chứa mode Goldstone dưới dạng:

L = L(D φ , Δ ψ , ψ ) α

inν

μ

μ

i

i

1.34

inνL là một H - vô hướng.

Trong đó

Trong các phần tiếp theo, ta sẽ không xét trường Ψi mà chỉ xét các mode

L

Goldstone. Do đó, Lagrangian bất biến G phi tuyến sẽ là:

inν,G

= L(D φ ) μ

α

1.35

Với L là một H - vô hướng.

Từ nguyên lý trên cho thấy trong L bất biến phi tuyến không thể có khối lượng

π - meson sẽ được xét tới ở phần sau.

của từng mode Goldstone. Số hạng vi phạm đối xứng phi tuyến dạng khối lượng của

1.2.2. Biểu diễn phi tuyến của nhóm đối xứng chiral SU(2)xSU(2).

Từ xây dựng biểu diễn phi tuyến ở trên ta xét nhóm đối xứng chiral, G là

SU(2)xSU(2) và nhóm con là nhóm SU(2)xSU(2) đường chéo, ký hiệu là SU(2)diag. Và

16

đồng nhất trường Goldstone với trường π - meson.

Nhóm G có biểu diễn cơ sở bởi các vi tử sinh:

L = i

; R = i

σ i 0

0 σ

0 0 0 σ

i

i

  

  

  

  

1.36

Trong đó σi là các ma trận Pauli.

Nhóm H được biểu diễn bởi các vi tử sinh:

τ = L + R = i i

i

σ i 0

0 σ

i

  

  

1.37

5iτ :

Không gian thương G/H sẽ được sinh bởi vi tử sinh

τ = L - R = 5 i

i

i

σ i 0

0 -σ

i

  

  

1.38

5iτ và

iτ sẽ được mô tả bởi các hệ thức 1.5:

Đại số Lie các vi tử sinh

Eτ = τ i 5i Eτ = τ 5i

i

1.39

1 0

1

0

I =

; E =

Trong đó:

0 1

0 -1

  

  

  

  

1.40

E được gọi là ma trận ‘tích chiral’.

Bây giờ ta thực hiện tham số hóa không gian thương G/H bằng ma trận 4x4

  π.τ

unitary U:

U = exp(iπ τ ) = cosπ + i i 5i

5

sinπ π

  2π = ππ

1.41

 và π

Với là các vector đồng vị. Các thành phần của trường π - meson

đồng nhất với tham số π .





-1 

Do đó, từ phần tử Cartan:

 U U = i(D πτ + Γ τ ) μ 5 μ

μ

5

1.42

17

Ta thu được:

+

 π -

 D π = μ

μ

   (π π)π  μ 2 π

sin2π 2π

   (π π)π  μ 2 π

  

  

1.43

  π × π 

 Γ = μ

μ

 

 

2 sin π 2 π

1.44

 μiΓ

Các đại lượng đóng vai trò của đại lượng liên kết trong không gian Riemann

hoặc trong các đa tạp liên kết. Điều này thể hiện ngay ở trong cách biến đổi và trong sự

μΔ trở thành hiệp biến.









kiện là nó khử các số hạng thừa để làm cho

μ

μ

μ

ν

ν

1.45 Ta cũng xây dựng được ‘tensor cường độ’ trường:   F = Γ - Γ - 2Γ × Γ  μν ν

μν 5

μ

ν

 

 

Thỏa mãn định nghĩa:   iF τ = Δ , Δ 1.46

 μνF

có thể coi là tensor độ cong của đa tạp Goldstone.

Biểu thức 1.46 chứng tỏ lý thuyết phi tuyến về hình thức giống với lý thuyết

chuẩn.

 μνF

Lagrangian bất biến phi tuyến sẽ được xây dựng từ các vector mà vẫn thỏa

mãn định lý Coleman - Wess - Zumino.





μ

Lagrangian bất biến phi tuyến có dạng:

L = A.D πD π + μ

(số hạng bậc bốn)+… 1.47

Theo định lý Coleman - Wess - Zumino số hạng bậc bốn lại được xây dựng từ

 μΓ

 μD π

 μD π



ν

μν

. Bên cạnh đó từ và ta có:

   2 (D π × D π) = - F F  μν

μ

1 4

1.48



μν

Do đó, Lagrangian bất biến phi tuyến có dạng:

   μ L = A.D πD π + B. - F F μν

μ

1 4

  

  

18

1.49

Số hạng bậc bốn trên có vai trò rất quan trọng, nó làm cho nghiệm soliton của mô

hình bền vững.

x

μ

λx μ

Thật vậy, ta xét phép biến đổi đồng dạng:

aλ +

b λ

Khi đó mô hình cho năng lượng toàn phần có dáng điệu:

Như vậy, năng lượng này có cực tiểu là 2 ab và điều đó chứng tỏ rằng soliton là

bền vững.

Chú ý rằng Lagrangian trong mô hình phi tuyến chiral có thể chọn các bậc cao

L = L + L + L + ... 4

2

6

hơn nữa:

Nhưng trong luận văn này ta chỉ xét đến bậc bốn.

1.2.3. Dòng topological.

 μD π

Từ các đại lượng ta có thể xây dựng được đại lượng hiệp biến bậc ba duy

nhất không triệt tiêu sau đây:

B τ = D π τ D π τ D π τ i 5i l 5l

μνρi 5i

k 5k

μ

ρ

ν

1.50

Đại lượng này là một tensor hạng ba với phép biến đổi Lorentz và là một

μνρσ

μ B =

ε

isovector. Bằng cách chuyển sang đại lượng đối ngẫu ta có một vector:

TrB E νρσ

2

1 24π

μ B =

1.51

μνρσ ε D π D π D π i σ l

μ

k

ρ

2

1 6π





μ B =

 μνρσ ε D π(D π D π)



1.51

μ

ρ

σ

2

1 6π

19

1.52

iD π ở trên ta thay vào 1.51

μ

Vector này có thể coi là một dòng và từ các biểu thức

μB

 0

chứng tỏ dòng này bảo toàn:

μ

μB

0

1.53

 , cho nên, lượng tích B định nghĩa bằng:

μ





oik

o B = B dV =

ε

 D π D π × D π dV

Vì





k

i

l

2





1 6π

1.54

là một đại lượng bảo toàn.

Thêm vào nữa, sau này ta sẽ chỉ ra rằng B = n (với n là số nguyên).

Đại lượng bảo toàn này có liên quan đến tính topo của đa tạp trường mà ta xét.

Do π - meson là các tham số của U. Các tham số này lập thành một đa tạp ba chiều hình cầu S3 nhúng trong không gian bốn chiều của các biến nội tại. Chứng tỏ

chúng là các biến góc chứ không phải là các biến độ dài và để xác định một điểm trên mặt cầu đơn vị ba chiều S3.

   U x, t





Để có soliton ổn định (cấu hình năng lượng hữu hạn) phải tiến đến một

giá trị hằng số khi r   .

  U r

Vậy với một cấu hình năng lượng hữu hạn và tĩnh hàm (soliton) xác định

một ánh xạ từ không gian ba chiều (kể cả điểm vô cùng) vào mặt cầu ba chiều của đối  lấy mọi giá trị, thì hình cầu S3 được phủ xứng nội tại. Từ đó, tùy thuộc vào việc khi r

lên bao nhiêu lần. Số lần phủ đó được gọi là chỉ số topological của các ánh xạ U.

(π (S )) . Mà

3

3

π (S ) lại đẳng cấu với nhóm số nguyên. 3

3

Tuy nhiên, chỉ số topo lại chính bằng số lớp đồng luân của nhóm đồng luân

Suy ra chỉ số topological là số nguyên n.

Ta hãy xét khái niệm nhóm đồng luân:

s

s

‘Hai đường cong A(s) và B(s) liên tục trong không gian X với tham số thực

 a, b



 a, b



20

từng giá trị tương ứng từng điểm của A và B, tồn tại một hàm L(t,s)

làm biến dạng liên tục A(s) thành B(s) thì A(s) và B(s) được gọi là đồng luân’. Tập các

đường đồng luân làm thành lớp đồng luân.

Những lớp đồng luân đó làm thành nhóm đồng luân do chúng thỏa mãn các tính

chất của nhóm: tính kín, tính kết hợp, tồn tại phần tử trung hòa, phần tử nghịch đảo.

Nếu có hai đường cong C1 và C2 mà một trong hai đường có một lỗ trống thì

không tồn tại một hàm làm biến dạng liên tục C1 thành C2. Như vậy C1 và C2 không

đồng luân.

1

1π (S ) = Z

3

Nhóm đồng luân đẳng cấu với nhóm số nguyên:

1π (S ) = Z

Tổng quát

Nếu số nguyên Z có n=0 thì nhóm là nhóm đồng luân tầm thường. Nếu số nguyên

Z có n≥1 thì nhóm là nhóm đồng luân không tầm thường.

μB (hay dòng bảo toàn

Từ đó kết luận rằng B là chỉ số topo, và dòng bảo toàn

topo) có nguồn gốc khác dòng bảo toàn Noether xây dựng từ sự đối xứng của mô hình.

Bên cạnh đó nó cũng độc lập với phương trình chuyển động.

Ta cũng thấy rằng soliton trong mô hình phi tuyến chiral là hệ quả của topo.

Trong chương sau, ta sẽ đồng nhất dòng baryon với dòng topo và qua đó, ta sẽ thu

được những kết quả khá phù hợp với thực nghiệm khi tính các đặc trưng tĩnh của

nucleon.

1.2.4. Dòng Noether.

Sau khi tham số hóa U bằng tham số π được đồng nhất với các thành phần của

trường π - meson. Tiếp theo ta cũng áp dụng định lý Noether khi có Lagrangian bất

 Dòng vector: Dòng tương ứng với phép biến đổi g H . Vậy g = expiαV

biến phi tuyến thì sẽ thu được các dòng bảo toàn, được gọi là các dòng Noether.

ứng với

21

phép biến đổi này bất biến phi tuyến trở thành bất biến tuyến tính:







'

 g : U exp(iατ)uexp(-iατ) = U



1.55













'U = (1+ iατ)U(1- iατ) = U + iα τ, U

Xét phép biến đổi cực vi:





1.56a

'

δU = U - U = iα τ, U

Hay:



  

1.56b

'π = π dẫn đến ta có:







δU = i

δπτ = iα τ,i

 πτ

5

sinπ π

Do phép biến đổi unita nên

  

  



sinπ 5 π  δπ = 2(π × α)



i

i

1.57

k

δπ

V J = μi

δL δ π μ

k

Mà dòng vector có biểu thức:

 × π

Cho nên:

V J = 2 μi

 δL     δ π μ

   

i

1.58

Dòng axial (trục) là dòng liên quan đến các phép biến đổi của nhóm thương ứng

  g = expiα 5

với .

'

-1

g : U



U = gUh

Từ định nghĩa biến đổi phi tuyến:



'U h = gU

1.59

1.60





 







Thay các phép biến đổi cực vi, ta có:

  (1+ iατ )exp(iπτ ) = exp i(π + δ π)τ exp(iδφτ)



A

5

5

5

1.61

 Để tìm A 5 δ τ

ta dùng phương pháp sắp xếp theo tham số Feymann do Gell - Mann

22

và M.Levi đề xuất:

1

1

exp(A + B) = exp

dt(A(t) + B(t)) = exp

dtA(t)





0

0

  

  

  

1

1

1

dt"A(t")

 + dt.exp





0

t

t

  

 dt'A(t') .B(t)exp  

     

  



1.62









i

1.63 Và công thức:  τ (t) = exp -iπτ t τ exp iπτ t i 5 5

k

k

+

α + ...

Từ đó, ta suy ra:

δ π = - 2πcotan2π δ - A i

ik

k

π π i 2 π

π π i 2 π

  

  

  

  

1.64

μiJ sẽ là:

i

V J = μi

δ π A

Như vậy, dòng axial V

δL δ π μ

i

k

k



2πcotan2π δ -

+

1.65

A J = μi

ik

π π i 2 π

π π i 2 π

  

  

δL  δ π μ

k

  

  

23

1.66

CHƯƠNG 2

SKYRMION TRONG MÔ HÌNH BẤT BIẾN PHI TUYẾN

2.1. Nghiệm con nhím và dạng của hàm chiral

Trong chương 1 chúng ta đã chứng tỏ rằng, Lagrangian bất biến phi tuyến được



μ

μ

2

ν

2

ν

2

μν

xây dựng từ các số hạng:

  (D πD π)

  (D πD π)

  (D πD π)

 (D π × D π)

μ

μ

μ

μ

  μνF F

, , , ,

sao cho bậc của đạo hàm trường là thấp nhất có thể.

Với Lagrangian bậc hai, bất biến phi tuyến duy nhất của các trường -meson

μ

(các trường này được đồng nhất với các tham số của nhóm thương) có dạng :

L = D π D π

μ i

2

i

2 f π 8

2.1

mô hình này có nghiệm soliton không ổn định.

Để có soliton ổn định ta phải thêm vào các số hạng phi tuyến bậc cao hơn, số

μνk

μν

hạng Lagrangian bậc 4 duy nhất được thêm vào là:

L = - 4

Tr(F τ F τ ) = - i

μνi

k

  F F μν

2

2

1 64e

1 16e

2.2

trong đó e là tham số không thứ nguyên.

 L L



L

4

2

Mô hình phi tuyến chiral tối thiểu sẽ có Lagrangian như sau:

μ

μνk

= D π D π - μ i

i

Tr(F τ F τ ) i k

μνi

2

2 f π 8

1 64e

2.3

Với mô hình này năng lượng toàn phần sẽ có dáng điệu : aλ + b / λ dưới tác dụng

 

2 ab

  x



năng lượng này có cực tiểu nên của phép biến đổi đồng dạng x

soliton là bền vững.

24

Các biểu thức của Lagrangian và dòng trong mô hình chiral:

2

2

(

(



2

{



L



    )

[(

]}



    )  2 

2 f  8

2 sin 2 2  4

    )  2 







{

(

[

2 )]



(

[

2 )] }

          



          



2

4

1 16e

2 sin 2 

4 sin 2 6  4

2.4

2















(

    

)

{

  2       ) ) (

[(

  V J  

V 







2

4

2 f sin 2  2 4 2



1 2e

2 sin 2 











Lấy biến phân theo đạo hàm trường, ta suy ra dòng vectơ:

)(

)(

(

)]

          



















2

                     [ (

  )

)(

(

)

]}















4 sin 2 6  4

2.5

(

(







{

   2     )

[(

A 





2

2 f  4

sin 4 3 

]} 

 

{ 





sin 4 4  

     

 A  

 J  

   )     2  

2

1 2e

                      ] )(

[   )

)(

)

(

(

(

)

   )     2   )(

















và dòng axial :

2















2

2

                  

)(

)

)

(

[(













sin 4 sin 2  5 4  











2

                )

)(

)(

(

(

)

]}











.6



2

1 16e

2f  và 8

Việc lựa các hệ số trong 2.4 được trình bày chi tiết trong [1].

Hệ số của dòng tôpô 1.51 liên quan đến dị thường dòng trục và được lấy theo

tổng các giản đồ Feynmann tam giác, chúng tôi chọn nó dựa theo công trình của Isham



[15].



Để có baryon trong lý thuyết meson, chỉ số topo phải khác 0, nghĩa là u(r, t)

3S ít nhất một lần. Trong khai triển u(r, t)

25

phải phủ theo hàm trường  -meson, khi u

2S có

  

phủ một lần hình cầu ba chiều, thì isovector đơn vị sẽ phủ một lần hình cầu



    

bán kính 1 trong không gian đồng vị.

 r r

2.7 Ta có thể chọn:    r  r

 Nếu  chỉ phụ thuộc vào độ dài của r

 

F(r)

: thì năng lượng toàn phần có

cực tiểu theo góc chiral F(r) .

Như vậy, ta sẽ chọn nghiệm của 2.4 dưới dạng :

u



expi

0

 r  5

F(r) r

2.8

Giả thiết này được gọi là Ansatz Skyrme hay ansatz con nhím vì cấu trúc hình

 học của nó, đó là mỗi điểm trong không gian ba chiều r

sẽ được ứng với một vector

 đồng vị 

26

hướng dọc theo hướng bán kính (hình 1):

Hình 1. Cấu hình con nhím, hướng của mũi tên chỉ

 hướng của trường 

tại các điểm khác nhau trong không gian tọa độ.

Từ 2.7 sau khi tính toán và áp dụng các công thức phụ lục ta có Lagrangian static

2

2

như sau :

L

' 2 (F



)



(



'2 2F )

o

2

2

2

2 f  8

2 sin 2F 2 2r

1 sin 2F sin 2F 2e

4r

4r

2.9



2

2

' 2

E(F(r)) 4

 

2 r [

(F



)



(



'2 2F )]dr

suy ra năng lượng tĩnh của con nhím là:

2

2

2



2 f  8

2 sin 2F 2 2r

1 sin 2F sin 2F 2e

4r

4r

0

2.10



Từ yêu cầu năng lượng cực tiểu:

 FE 0

2.11

27

suy ra phương trình Euler-Lagrange:





0

d E  '  dr F

 

E F

2.12

f er

ta được Thay 2.10 vào 2.12 và đổi r thành biến không thứ nguyên r

2

2

sin 4F sin 2Fsin 4F

''

'

'2

(



2 sin 2F)F



rF sin 4FF









0

2

phương trình với góc chiral F( r ) :

r 2

4

4 r

 Để tìm điều kiện biên cho 2.13, ta chú ý rằng, để năng lượng hữu hạn thì u(r)



2.13

) phải tiến đến một hằng số mà ta

, nghĩa là, F( phải tiến đến một hằng số khi r  

F(

) 0 

có thể chọn bằng không:

2.14

Điều kiện thứ hai là chọn cho F(0) , ta sẽ dựa vào điều kiện tồn tại chỉ số

topological (hay tích baryon).

0

0ijk

ijk

B





  



  

Xét dòng topo :

 D (D  i

j

 D )   k

 D (D  i

j

 D )  k

2

2

2  3

2  3

2

2

'

'



[6(F



sin 2F sin 2F )



6

]



F

2

2

2

2  3

2

4r

3 sin 2F 3 8r

1 sin 2F 2  r

2.15

F(0)

2

2

B



0 3 B d x



r

' F dr

 

sin 2FdF

lấy tích phân trên toàn không gian ta thu được tích topo :

2





 4  

2 sin 2F 2 r

4 

0

0

2.16

3S được phủ một lần thì

F(0)



  n 2

, nên để Để B n (một số nguyên), chỉ khi

ta phải có giới hạn :

F(0)



 2

28

2.17

Theo Skyrme đồng nhất tích này với tích baryon ta sẽ thu được baryon.

Giải phương trình 2.13 với điều kiện biên 2.14 và 2.17 bằng phương pháp bắn

F( r )

r

Runge-Kutta, ta được nghiệm dạng số của hàm chiral F( r ) (hình 2):

Hình 2. Nghiệm góc chiral F( r )

2.2. Lượng tử hóa skyrmion trong phương pháp tọa độ tập thể.

Do tính phi tuyến cao của Lagrangian nên khi lượng tử hóa các mô hình hạt tương

tác gặp khó khăn, đặc biệt là trong các mô hình hạt có kích thước. Trong luận văn này

ta tuyến tính hóa quanh một skymion (nghiệm soliton) từ đó tìm được nghiệm phụ





1

thuộc thời gian để định nghĩa moment xung lượng chính tắc :

u(r, t) A(t)u A (t)



0

2.18

A SU(2)



diag  ia  

 A a

với suy ra:

0

29

2.19

0a , a phụ thuộc thời gian và gọi là các biến tập thể, khi lượng tử hóa ta coi

ia

trong đó

ia sẽ là các moment xung lượng chính tắc.



0

là các tọa độ suy rộng và đạo hàm theo

u



cos

i

 ta biểu diễn 

  0

0

    0 5

sin 

0





†

0

0

u



cos

i

cos

i

A

A

Với qua tọa độ tập thể như sau:

  0

    5

  0

    0 5

sin 

sin 

0

0

†

Tr

Tr A

A

2.20

    0 5

 5k

lấy vết ta được:      5 5k

†

i

Từ đó suy ra:

 Tr( A



A)

  k

5i

5k

Fx 4r

2.21

†

†

i

Lấy đạo hàm của 2.21 theo thời gian :



A

A



 A)

   k

0

 Tr( A  5i

  5i

5k

5k

Fx 4r

†

†

2.22

 A

 

A



A A AA 1

 , cho nên:



0

 A  t

†

†

†

†





trong đó, và

  A A A A AA AA 0









2.23

†

i



Thay 2.23 vào 2.22 ta thu được :

Tr([



† ,A A]A



A)

   k

0

5i

5k

Fx 4r

2.24

2

Chú ý đến 1.29 và :

 a

a







  aa



0

2 0

 1, a a 0 0

2.25

†

 † A A

 





)

0

 k k

ta định nghĩa được vector đồng vị theo cách sau đây:









)(a  ia     a a)   

 a a 0 0

  A A (a 0      i(a a aa 0

  ia i i   a a 0

30

2.26

  ic   

†

†

i

Sử dụng 1.29 suy ra :

 2

 c Tr( A



A)



 (r



 c)Tr( A

A)

   k

0

5p

ilp l

5k

  5

 5k

Fx 4r

F 2r

2.27

    ta có :

, )

,

Nếu dùng metric ( ,

L

  





 (D D  0

0

  D D )    i

i

[2F F 0i 0i

F F ] ik ik

 L L 2 4

2

2 f  8

1 16e

2.28

sử dụng các công thức trong phụ lục ta thu được Lagrangian phụ thuộc vào tọa độ tập

2

2

L

 

2 (F'



)



(



2 2F' )

2

2

2

2 f  8

2 sin 2F 2 2r

1 sin 2F sin 2F 2e

4r

4r

thể:

2

2

2

 [



(



2 2F' )]

 (r

 c)



2

2

F 8

1 sin 2F 4e

2r

2 sin 2F 2 r

2.29

Phần đầu chính là Lagrangian static 2.9, phần thứ 2 là động năng thu được do

soliton quay.



2

2

2

2

L(t)

   E

c

2 r [f





2F' )]sin 2Fdr

(

Dùng phụ lục và tính tích phân của L theo toàn bộ các biến không gian:

2 

2



 3

2 sin 2F 2 2r e

0

2.30



2

2

2

2

 

c

2 r [f



(



2F' )]sin 2Fdr

Đặt:

2 

2



 2 3

2 sin 2F 2 2r e

0

2.31

2

Suy ra L(t) có dạng :

L(t)

    E

c

1 2

2.32

2

2



c





   2 2 a a

   (aa)







 2 2  a a 0

  2 2 a a 0

   2a a aa 0 0

31

Do bình phương vector đồng vị bằng:

2

2





   2 2 a a



   2(aa)



 2 2  a a 0

2

2

2







   (aa)     2 a (a





 a



  a

  2 2 a a 0  2  a (a 0

2 a ) 0

2 a ) 0

2 0

2.33



 

 a

,

 

0,i ,

i 1, 2,3



P 



ta thu được moment xung lượng suy rộng là:

 L  a 



2.34

2

   

L E

a

  E

Như vậy, Hamiltonian của mô hình xây dựng từ P và a  là:

 H P a   

2 P 

1 2

1  2

2.35a

Lượng tử hóa chính tắc ta thu được :

[P ,a ]  

   i 

2.35b

2

H E

 

)

ta thu được toán tử Hamiltonian :

1  2

   (  a



2 

2.36

trong đó a  thỏa mãn :

a



a



1 ,

i 1, 2,3



2 0

2 i

2.37

Hàm riêng của Hamiltonian này là các hàm Wigner theo các góc Euler,,.

Tuy nhiên, ở đây ta chỉ quan tâm đến trị riêng của nó. Từ các trị riêng này, ứng với các

isospin khác nhau là khối lượng các baryon trong các đa tuyến tương ứng, từ hệ các

phương trình này ta giải được f và e .

 

ijk e c

Từ 2.26 và 2.35b ta thu được hệ thức giao hoán cho toán tử c

[c ,c ] i j

k

2i 

2.38

Mặt khác, trong cấu hình con nhím do vector đồng vị và bán kính vector có cùng

phương nên khi quay trong không gian tọa độ r ta cũng tạo được isospin cho hạt, như

32

vậy với giả thiết cấu hình con nhím ta có spin và isospin bằng nhau :

2

2

 J

 T

2.39

a  , mà moment chính tắc tương ứng với tọa độ góc chính là moment isospin. Vì vậy,

2c với bình phương moment spin và isospin như sau :

2

2

2

Phần động năng của Hamiltonian thêm số hạng tỉ lệ với bình phương vận tốc góc

 T

 c





4 2 

4 2 

2

2

từ 2.38 ta có thể đồng nhất  J 2.40

H E

 

  E

 T

1  2

1  2

Từ đó ta có :  J 2.41

E

  E

J(J 1) E

  

 T(T 1)

Phổ năng lượng - khối lượng của baryon :

j

1  2

1  2

2.42

Hàm riêng là các hàm Wigner D xem [1].

Việc lượng tử hóa đến đây là hoàn thành cho nhóm SU(2) , tuy nhiên khi mở

rộng cho nhóm SU(3) thì bài toán phức tạp hơn do sự có mặt của số hạng dị thường

Wess-Zumino [24].

Để xác định f và e ta làm như sau : coi hạt có spin và isospin 1/2 là nucleon ta

E



 M 939

1/2

N

 

có khối lượng của nucleon MeV ta được:

M E N

3  2

2.43



 M 1232

3/2E



M E

hạt có spin và isospin 3/2 là cộng hưởng MeV ta được :

  

15  2

2.44

Do hàm góc chiral là hàm của r nên ta phải đổi biến tích phân khi tính E và 

f er

33

ta có các giá trị tích phân : như sau : r



2

2

' 2

4



2 r [

(F



)





' 2 2F )]d r

E

2

2

2



1 8

2 sin 2F 2 r

1 sin 2F sin 2F ( 2 4 r

4 r

f  e

0

A

f  e

2.45



2

2

2

 

c

2  r [1 2(



2F' )]sin 2Fd r

2



2 sin 2F 2 r

 1 2 3 e f 3 

0

và :



B

1 3 e f

2.46

M



A



3 e f

N



Từ 2.43, 2.44, 2.45 và 2.46 ta có hệ phương trình :

M



A



3 e f





f  e f  e

3 2B 15 2B

    

2.47





N

N



4

Giải hệ ta được :

f





3

3 (5M M ) (M M )B  384A



e



2.48

4Af  (5M M )  N

2.49

Từ giá trị tính bằng số của góc chiral F ta tính được tích phân A và B sau đó thế

vào 2.48, 2.49 kết quả cho f ,e:

255,6 ; e 1,35



 

f

186

 

MeV sai số cỡ 37% giá trị thực nghiệm của f

Trong khi đó e chưa có giá trị thực nghiệm.

34

2.3. Biểu thức các dòng topological, vector và Nother

Từ các kết quả trong các mục trước, trong mục này ta sẽ tính các dòng, và từ các

dòng đó, trong mục tiếp theo ta sẽ tính được các đặc trưng tĩnh của nucleon.

0B :

0

0ikl

B





Xét biểu thức dòng baryon 1.40 ta có thành phần tích baryon

 D (D  i

k

  D )    l

2

1  6

2.50

0

B



Tr(D

D

D

)

suy ra :

  5

i

k

  5

l

  5

2

2  3

2.51

 iD

5

†

†

  

iD

(u

   u

uu )

5







1 2

Các đại lượng được biểu diễn qua hàm u như sau :

†

†

mặt khác :

u

 

u Au A

u

†  

u Au A

0

0

† 0

† 0

,

†

†

nên ta có :

iD

A(u



u

 

u u )A iAD



   

A

  

5

† 0

i

0

i

0

† 0

0 5

i

1 2

2.52

0B không phụ thuộc vào biến

Do vết bất biến với phép biến đổi vòng quanh, nên

tập thể.

iB tính theo 1.40 :

i

ikl

B





Các thành phần

 D (D  0

k

  D )    l

2

1  6

2.53

2

i

ikl

'

†



từ các công thức trong phụ lục ta thu được :

B

 



F x Tr(A A )



k

l

2

2

2i 

sin 2F 4r

2.54

35

trong đó :

†



Tr(A A )

 

ic Tr(

  

) 4ic



iJ

n

n

l

l

l

l

8 

2.55

từ đây ta có thể dễ dàng tính được yếu tố ma trận của các đại lượng liên quan đến toán

tử đó.

    :

, )

,

2

2



i

'2

Tương tự, thành phần thời gian của dòng vector với metric ( ,

V



 (r



  c)(r d )[f 



(F



)]

i 0

2 

2

2

2

1 sin 2F r 4

4 e

sin 2F 4r

2.56

 id

i

†

trong đó các isovector được định nghĩa :

 d



 

Tr( A A)



i

1 4

2.57

Vì tốc độ quay của soliton rất nhỏ, nên ta có thể bỏ qua các số hạng tỉ lệ với bậc

 hai của c

k  của dòng vector :

2

2

i

'2

, theo đó, ta thu được thành phần không gian

V



  (r d ) [f





(F



)]

i k

k

2 

2

2

2

1 sin 2F r 4

4 e

sin 2F 4r

2.58

Để tính các biểu thức dòng trên, ta chú ý đến lập luận đối xứng theo Mathews-

2

2

0

'

'

Walker [13] và dùng phụ lục, các tích phân của dòng baryon là :

B d

 

 

F

2

2

2



F d 

1 sin 2F  r

4 sin 2F  r

2

ikl

'

†

  (r B) d 

  

 

 F Tr(A A ) x x d 



i

lpq

k

p

q

2

2





2i 

sin 2F 4r

2.59

2

†



 



' sin 2FF Tr(A A ) i

4i  3

2.60

'

† i

'

i



V d

 

 i G Tr(AA )

 



G T

tích phân theo góc của dòng vector isoscalar :

i 0



1 6

2  3

2.61

'G :

36

trong đó

2

'

2

'2

G sin 2F[f





(F



)]

2 

2

2

4 e

sin 2F 4r

2.62

†

i

'

tích phân theo góc của dòng vector isovector :

 qrV d

 

 i G Tr(q A A)  



i k

k



1 4

2.63

i

Với dòng axial, thì chỉ thành phần không gian của nó có mặt trong các biểu thức

kA :

'

l k

l k



[F



(

ik  

)]

i  A { k

2 f  4

i x x 2 r

sin 4F 4r

i x x 2 r

đặc trưng tĩnh của nucleon, nên ta chỉ tính các

i

2

2

i

'

'2

†

l k

l k



F

[



(F



)(

 

2.6



il k

l

k

2

2

2

2

2

1 sin 2F x x r e

2r

sin 4F 4r

sin 2F 2r

x x r

1 4

i

4 )]} Tr( A A) 

kA :

'

†



  

i  D Tr( A A)



tích phân theo góc của dòng axial

i A d k

k



1 3

1 4

2.65

'D có giá trị :

2

2

sin 2F sin 2Fsin 4F

'

2

'

'2

'



)



(

F



2F



)

 D f (F

2

2

3

sin 4F 2r

4 sin 4F e

2r

4r

8r

trong đó

37

2.66

CHƯƠNG 3

CÁC ĐẶC TRƯNG TĨNH CỦA NUCLEON TRONG MÔ HÌNH

SKYRMION

3.1. Tổng quan

Chúng tôi nghiên cứu mô hình Skyrme với hạt π-meson có khối lượng, trong đó

a

 U(x, t)



exp(i



 (x, t)



)

a

lý thuyết phi tuyến hiệu dụng đơn giản nhất cho trường pion có nghiệm:



3.1

 a (x, t)

trong đó U là ma trận thuộc nhóm SU(2), lập thành không gian đồng vị ba chiều

a là các ma trận Pauli.

và





a

U U i(D





)



a a     



Phần tử cơ bản cấu tạo nên mô hình là U U , được tách thành hai phần sau:

3.2

a

D

a  

a  

a   







     2 

sin(2 )   2

     2 

   

   

Trong đó:

3.3

abc

    

b

c

a   

2 sin ( )  2 

a

 (x, t)

  

   2

a

3.4

2







2 

L





Tr

  U U



Tr



 UU , UU



Tr(U 1)



SK







2



 

 

2 F  16

1 32e

2



2 

(D



      

)

).(D

(D

)

(D

)



 (cos( (x, t)) 1)







      



      



2 F m  8      

2

 

 

2 F  8

1 16e

2 F m  8

Lagrangian trong mô hình Skyrme có dạng:

3.5

trong đó hằng số phân rã của π-meson Fπ =186 MeV và khối lượng π-meson mπ=138

MeV. e là tham số không thứ nguyên liên quan đến biên độ tán xạ π-π, và mô hình trên

38

tồn tại nếu e thỏa mãn điều kiện:

  1,57 e 4,17







 B



 Tr(U UU UU U)













2

Mô hình Lagrangian trong 3.5 sẽ cho dòng topological:

 24



3.7

a

a  

F(r)x

Skyrmion đối xứng cầu được xây dựng từ nghiệm con nhím tiếp theo:

  

0

3.8

  là đại lượng không thứ nguyên khác, ρ là tọa độ xuyên tâm

r F e 

, )

Khi

   . F(r) là góc chiral.

trong hệ tọa độ cực ( ,

2

2

2

"

2



2sin (F(r)) F (r)



sin(F(r))





sin(2F(r))





(F'(r))

r 4

2 2 m r 4

rF'(r) 2

1 4

sin (F(r)) 2 r

Phương trình tìm góc chiral là phương trình vi phân bậc hai:

  

  

  

  

3.9

Khi khối lượng của π-meson khác không thì đại lượng không thứ nguyên được sử

m



m  F e 

dụng tiếp theo là:

3.10

Nếu như giá trị của Fπ và mπ là xác định , thì trong mô hình chỉ có đại lượng tự

do m được tính toán gần đúng với giá trị thực nghiệm. Đại lượng m phải thỏa mãn điều

0,18 m 0, 48





kiện liên kết của Balachanda:

3.11

Phương trình 3.9 được giải với điều kiện đầu hoặc điều kiện biên. Do điều kiện

biên được xác định từ sự bảo toàn điện tích topological. Điện tích topological bảo toàn

F(0)

o

2

B

 

sin (F(r))dF





N



2 

F(0) F(R)  

F(R )

được suy ra từ phương trình 3.7:

3.12

F(0) F(R) N



 

Những nghiệm với chỉ số topo Bo=N phải thỏa mãn điều kiện sau:

39

3.13

Thực tế, miền xác định của hàm dạng F(r) khai triển từ r = 0 đến r = ∞. Trong

phần này chúng ta chỉ nghiên cứu những nghiệm bị giới hạn trong hình cầu bán kính R

xác định.

3.2. Điều kiện biên và nghiệm.

Phương trình 3.13 không cho biết điều kiện đầu hay điều kiện biên cho phương

trình 3.9. Trong phần kết quả số, chúng tôi quan sát thấy quỹ đạo của F(r) tiệm cận gần

điểm F(0) = kπ/2 với sai số ít hơn 10%. Cố gắng tăng độ chính xác lân cận của r=0

thường có kết quả không ổn định. Thật vậy, chúng tôi có thể chứng minh bằng mệnh đề

sau:

Mệnh đề:

Giá trị khả dĩ F(0) của hàm dạng F(r) thỏa mãn phương trình 3.9 phải bằng nπ/2

4

6

2

2

F(r)



 (4k 1)

   r

2 2 m r



3  r m

5  r m



với công thức gần đúng sau đây:

 2

3 4

 24

r 24

 640

r 1080

4

6

2

2



F(r)



 (4k 3)

   r

2 2 m r



3  r m

5  r m

3.14

 2

3 4

 24

r 24

 640

r 1080

F(r)

    

n

r

 12(4

2 3 m r 2  

1)

3.15

3.16

Chứng minh:

a



sin(F(0))

Chúng tôi đưa vào đại lượng a và hàm Y(r) có dạng:

Y(r) F(r) F(0)





3.17

3.18

 lim Y(r) 0

r



0

Ta có giới hạn:

3.19

40

Trong trường hợp a≠0, phương trình 3.19 có dạng gần đúng trong lân cận của r=0

2

Y"(r)





Y '(r)



2

2 2 m r 8a

r 4a

 a 1 a 2 r

3.20

 Y(r) C[2]



2 2 am r



a 2 C[1].Erf



1 4

r 2 2a

  

  

2

2

2

2

Phương trình 3.20 có nghiệm giải tích:



 1 a



2 2a m r F 1,1;

, 2;



2 2

2

3.21





1 2a

3 2

r 8a

  

  



2 a 1 a ln(r)



Trong đó C[1] và C[2] là hai đại lượng tích phân tùy ý.

n

 2n 1

3

5

7

9



Erf (x)





x











...

Hàm sai số Guass [11] được xác định:



( 1) x   n!(2n 1)

x 3

x 10

x 42

x 216

2 

 n 0

 2   

  

Erf (0) 0

3.22

3.23



n



F (1,1; b, 2; x) 2 2



n! x (b) (n 1)!



 n 0

n

Hàm siêu bội suy rộng 2 2F (1,1; b, 2; x) được xác định [12] như sau:

2 2F (1,1; b, 2; 0) 1

3.24

3.25

(b) được xác định bằng:

n

(b)



1; (b)





  b(b 1)...(b n 1)

Trong đó ký hiệu Pochhammer

0

n

3.26

  , điều kiện 3.19 yêu cầu C[2] = 0 và a = ±1; điều đó có nghĩa

lim ln(r)  0

r

Khi

rằng F(0)=(2k+1)π/2, nếu F(0)≠nπ.

F(r)



 (2k 1)



2 2  sin (2k 1) m r



 2 Erf

 2

1 4

 2

r 2 2

  

  

  

  

Phương trình 3.21 cho kết quả gần đúng của hàm dạng F(r):

2

2 2





, 2;



2 2

3 2

r 8

  sin (2k 1) m r F 1,1;  2 

  

  

  

3.27

41

Trong lân cận vô cùng bé của r=0, hàm siêu bội suy rộng có giá trị gần đúng:

2

4

f Er



1





r 24

r 640

r 2 2

r  2

  

  

  

  

2

4

2

r

, 2;



  1

3.28

3 2

r 8

r  24 1080

 F 1,1;  2 2 

  

3.29

Từ phương trình 3.28 và 3.29 chúng tôi thu được phép tính gần đúng 3.14 và

3.15.

2

2

Trong trường hợp a=0, phép tính gần đúng tiếp theo được sử dụng khi r→0 :



F'(0)

 

;

  2 ;





(F '(r))

sin(F(r)) r

sin(2F(r)) r

1 4

sin (F(r)) 2 r

1  4

2

2

2

2

2



2 2sin (F(r))



 1 8



3.30

   1 8



r 4

r 4

sin (F(r)) 2 r

r 4

  

  

3.31

2

2

Y"(r)

 

2

Trong đó β là một số xác định. Phương trình 3.9 được rút gọn về dạng gần đúng:

    1 8





  m 2 r

Y '(r) r

  1  

  

3.32

Y(r)

   r

Phương trình 3.32 có nghiệm giải tích:

2 3 m r 2 12(1 4 )

  

3.33

Thỏa mãn điều kiện Y(0)=0 và Y’(0)=F’(0)=β. Phương trình 3.33 viết ở dạng gần

đúng 3.16.

Với kết quả thu được từ mệnh đề, điều kiện biên cho phương trình 3.9 phải được

F(0) N n / 2 ; F(R)

   

 

n / 2

viết lại:

3.34

Bởi vậy, nghiệm của phương trình 3.9 được chia thành ba loại sau:

F(0) N n / 2 ; F(

   

  

n / 2

)

i) Nghiệm loại I thỏa mãn điều kiện biên:

3.35

42

ii) Nghiệm loại II thỏa mãn điều kiện biên:

F(0) N n / 2 ; F(R)

   

 

n / 2

3.36

F(0) N n / 2 ; F(R)

   

 

 n / 2 ; F '(R) 0

iii) Nghiệm loại III thỏa mãn điều kiện biên:

3.37

Do thời gian nghiên cứu có hạn nên chúng tôi xin trình bày những kết quả tính

toán số về nghiệm loại II.

Trong phần tính toán số, các nghiệm không phải skyrmion bị trộn lẫn vào các

nghiệm skyrmion, bởi vậy chúng trở nên dày đặc hơn. Trong nhiều trường hợp, chúng

là nguyên nhân gây ra những cư xử khác lạ. Để hiểu rõ hơn về những cư xử khác lạ này

và khử sự ảnh hưởng của chúng trong kết quả cuối cùng, thì kết quả cuối phải khảo sát

tất cả các nghiệm skyrmion và trong mối liên hệ giữa các skyrmion với nhau.

3.3. Skyrmion và năng lượng tới hạn.

Skyrmion là nghiệm của phương trình 3.9 có năng lượng tới hạn. Năng lượng tới

hạn sẽ có những hạn chế hơn nữa trong phương trình 3.35, 3.6 và 3.37. Năng lượng cổ

M 4

M

o

F  e

   

  

x

F  e

   4 

  

điển được suy ra từ Lagrangian như sau:

R

2

2

2









sin(F(r))



2 F'[r]

 1 cos(F(r)





sin (F(r)) 4

2 2 2 (rF '(r)) m r 4

8

sin (F(r)) 2 2r

0

  

  

   

 dr   

3.38

Hữu hạn của phương trình 3.38 có hai hệ quả:

Thứ nhất, số hạng cuối hữu hạn trong giới hạn r→0 kéo theo sin(F(r))→0 hoặc n

là một số nguyên chẵn trong phương trình 3.35, 3.36 và 3.37. Do đó, để có nghiệm

F(0) N 

skyrmion chúng ta phải có giá trị biên:

43

3.39

Mặt khác, phương trình 3.39 lựa chọn những skyrmion bên ngoài từ nghiệm có

năng lượng vô hạn với điều kiện F(0)=(N+1/2)π

Thứ hai, cho skyrmion loại I, trong giới hạn r→∞, số hạng đầu tiên trong hàm

tích phân tiến dần đến 0 để có năng lượng tới hạn, điều đó có nghĩa rằng F(∞) = kπ cho

skyrmion loại I. Skyrmion loại II và loại III không có giới hạn. Bởi vậy, skyrmion cổ

điển chia thành ba loại sau:

  F(0) N ; F(

   ) 0,

i) Skyrmion loại I phải thỏa mãn điều kiện biên:

3.40

Tổng quát, chúng có thể viết gọn lại. Tuy nhiên, phương trình 3.9 có tính đối

xứng theo chu kỳ điều đó có nghĩa rằng nếu f(r) là một nghiệm khi F(r)+2kπ cũng là

một nghiệm. Bởi vậy, khi xem xét phương trình 3.40 mất đi tính chu kỳ. Chỉ những

skyrmion loại I có điều kiện F(∞) = 0 mới được tìm thấy.

F(0) N ; F(R) 0,

 

 

ii) Skyrmion loại II có số topo nguyên nếu:

3.41

  F(0) N ; F(R)

 

 / 2 ,3 / 2

Và có số topo bán nguyên nếu:

3.42

Tính đối xứng chu kỳ cho kết quả được xem xét trong các phương trình 3.41 và

3.42 mất đi tính tổng quát chung. Trong phần III, tất cả skyrmion nguyên và bán

nguyên đều được tìm thấy.

  F(0) N ; F(R)

 

 / 2 , F '(R) 0

iii) Skyrmion loại III tồn tại nếu m≠0 thỏa mãn điều kiện biên:

3.43

F(R)

 

k / 2 , k



0,1, 2, 3

Tính đối xứng chu kỳ cho kết quả được xem xét với giá trị

mất đi tính chu kỳ. Tuy nhiên, nếu F(R) = kπ, phương trình

(3.9) và F’(R) = 0 suy ra F”(R) = 0. Lấy đạo hàm hai vế của phương trình 3.9, chúng ta

44

có thể chứng minh tất cả các đạo cấp cao hơn của F(r) tại biên r = R sẽ bị triệt tiêu. Do

đó nghiệm loại III với F(R)=kπ sẽ cho kết quả là một hằng số. Không có skyrmion

trong trường hợp này.

2

2 F"(R) m / 1 8 / R





 0

Nếu F(R) = π/2, phương trình 3.9 cho:





3.44

Nếu m = 0, F”(R) = 0 và các đạo hàm bậc cao hơn của hàm dạng triệt tiêu tại r =

R. Trong trường hợp m≠0, hàm dạng F(r) có giá trị nhỏ nhất tại r = R. Tính toán số chỉ

ra rằng quỹ đạo nghiệm bắt đầu từ điểm F(R) = π/2 tiến dần tới điểm F(0) = Nπ với

N≥1.

2

2

F"(R)

 

 0

Nếu F(R) = 3π/2, phương trình 3.9 cho:

  m / 1 8 / R



3.45

Trong trường hợp m = 0, nghiệm là một hằng số. Trong trường hợp m ≠ 0, hàm

dạng F(r) có giá trị lớn nhất tại r = R. Phương trình 3.9 có đối xứng gương, có nghĩa là

nếu F(r) có một nghiệm thì 2π-F(r) cũng là một nghiệm. Bởi vậy, các nghiệm bắt đầu

từ F(R)=3π/2 sẽ có ảnh qua gương của các nghiệm bắt đầu từ F(R)=π/2. Chúng sẽ có số

topo âm. Do đó, chúng mất đi tính chu kỳ, nghiệm của phương trình 3.43 cho chỉ số

topo bán nguyên là các skyrmion loại III.

3.4. Mật độ hạt nhân và skyrmion mới.

Bán kính R trong skyrmion mới loại II và loại III có ý nghĩa vật lý cho kết quả dị

thường. Thực tế, chúng ta thiết lập mối quan hệ giữa giá trị của bán kính R và mật độ

vật chất hạt nhân. Ta sẽ chỉ ra mật độ vật chất hạt nhân là một phần mô hình của nhóm

P.Hansen [10] và tìm thấy giá trị của R tương ứng trong mô hình này.

Đầu tiên, chúng ta thảo luận về đơn vị của các đại sử dụng. Đại lượn Fπ và mπ của

mô hình Skyrme được tính bằng MeV. Mặt khác, bán kính và khoảng cách trong hạt

 được sử dụng, trong đó tọa độ

nhân có đơn vị fm (fermi). Đổi đơn vị giữa MeV và fm được sử dụng hằng số sau

45

197,33 MeV x fm = 1. Biến không thứ nguyên r F e

0, 72





fm, trong đó 1 fm = 10-15cm





0, 68e

cầu  có đơn vị là fm. Bán kính của hạt baryon N0 = 1/197,33 MeV-1. Do đó, bán kính của hạt nhân không thứ nguyên N0r có biểu thức:

r N0

 F e

N0

3.46

Áp dụng cho liên kết của Balachandra 3.6, ta thu được giới hạn cho bán kính hạt

1, 07





3,87

nhân:

r N0

3.47

e



1, 47

Từ phương trình 3.45 ta thu được tỉ lệ:

r N0

3.48

3

3

V

: Thể tích của hạt nhân với bán kính cầu N0r

N0

N0

4   3

r N0 F e

 4   3 

  

3.49

N0Q không đổi. Khác với mật độ thể

Mật độ dòng baryon bảo hòa của hạt nhân

 3 2

3

3

e

Q







0,148



 3 0, 47 (fm )

, bởi vì mật độ của các quả cầu hạt nhân bị bó chặt. tích N0V bằng hệ số của

N0

1 V

 3 2

1 4 2

N0

r N0

 F e  r  N0

  

  

  

3.50

3

3

Q





0,148

Mật độ dòng baryon của skyrmion loại II và III:

N0

e R

1 4 2

  

  

F e   R 

  

3.51

So sánh công thức 3.50 và 3.51 ta thu được tỉ lệ của mật độ baryon của hạt nhân

3

NR

Q Q

r N0 R

   

  

N0

với mật độ hạt nhân bão hòa:

46

Giá trị R có liên hệ sau:

NR

NR

NR

 R r



0, 72



N0

Q Q

F e  197,33

Q Q

0,5045 m

Q Q

N0

N0

N0

  

1/3   

  

1/3   

  

1/3   

3.52

Nhóm P.Haensel [10] phân loại trạng thái của hạt nhân dựa vào sự tương đương

của chúng với sao notron. Sử dụng phương trình 3.52 giá trị của R được phân loại theo

0,94 Q





7, 052

mật độ hạt nhân như sau:

N0

i) Trạng thái hạt nhân trong nhân của sao notron: (fm-3).

Khoảng tương ứng của R với giá trị khác của m được cho trong bảng 1a.

0.48 0.273 0.18 m

0.4265 < R < 0.8342 0.7493 < R < 1.4668 1.2364 < R < 2.2256 R

0, 235 Q





0,94

Bảng 1a. Khoảng tương ứng R của trong nhân sao notron.

N0

ii) Trạng thái hạt nhân ngoài nhân của sao notron: (fm-3).

Khoảng tương ứng của R với giá trị khác của m được cho trong bảng 1b.

0.48 0.273 0.18 m

0.8342 < R < 1.3243 1.4668 < R < 2.3284 2.2246 < R < 3.5314 R

0,141 Q





0, 235

Bảng 1b. Khoảng tương ứng R của ngoài nhân sao notron.

N0

iii) Trạng thái hạt nhân trong vỏ của sao notron: (fm-3).

Khoảng tương ứng của R với giá trị khác của m được cho trong bảng 1c.

0.48 0.273 0.18 m

1.3343 < R < 1.5701 2.3284 < R < 2.7606 3.5314 < R < 4.186927 R



0,141

Bảng 1c. Khoảng tương ứng R của trong vỏ sao notron.

N0Q

iv) Trạng thái hạt nhân ngoài vỏ của sao notron: (fm-3). Khoảng

47

tương ứng của R với giá trị khác của m được cho trong bảng 1c.

0.48 0.273 0.18 m

R > 1.5701 R > 2.7606 R > 4.186927 R

Bảng 1c. Khoảng tương ứng R của ngoài vỏ sao notron.

Trong phần kết quả số của skyrmion loại II chúng ta sẽ thay đổi giá trị của R

trong khoảng dựa trên trạng thái của hạt nhân, bởi vậy skyrmion này có tồn tại.

3.5. Đặc trưng tĩnh của skyrmion.

Các đặc trưng tĩnh của các skyrmion khác nhau sẽ được tính toán từ các

nghiệm số của hàm dạng bằng cách sử dụng đại lượng bên ngoài Fπ=186 MeV và

mπ=138 MeV. Thực tế, khối lượng Δ và nucleon được cho dưới dạng số liệu thực

nghiệm. Tuy nhiên, trong trường hợp khối lượng pion nhỏ thì các tích phân bị phân kỳ,

kết quả tốt thu được bằng phương pháp rút gọn. Trong trường hợp khối lượng pion là

đáng kể, thì rất khó khăn để lựa chọn khối lượng là đại lượng đầu ra. Phương án tốt

nhất là sử dụng mô hình tiêu chuẩn. [16].

Chúng tôi sử dụng các công thức sau để tính các đặc trưng tĩnh của skyrmion.

Dòng topo là dòng baryon, do đó skyrmion là mô hình của baryon.

3.5.1. Khối lượng

Cho khối lượng pion m≠0, biểu thức tính khối lượng cho nucleon và hạt Δ

3

 M F / e(4 M ) 3e F / (4







) *3 / 4



3 250, 7m(4 M ) 0, 006675 / (4 m )







có thể xuất hiện đại lượng m:

N



o



o

3

M (4 F / e)M 3e F / (4

 







3 250, 7m(4 M ) 0, 033375 / (4 m )











o



o

3.53

) *15 / 4

3.54

M



o

R

2

2

Trong đó giá trị Mo và  thu được từ tích phân:

2

2





(1 cos(F(r))





sin (F(r))



(F '(r))



sin (F(r)) 4

2 2 2 (rF'(r)) m r 4

8

sin (F(r)) 2 2r

0

  

  

 dr   

   

48

3.55

R

( ))

2

2

 

r

2 sin (

F r





(

F r

'( ))



2 sin ( F r 2 r

0

  

  

 ( )) 1 4   

 dr   

3.56

Cho khối lượng pion m = 0 với R→∞, nghiệm giải tích 3.52 có hàm tích phân

2

2

2

2

2

2 lim r sin (F(r)) 1 4





(F'(r))



lim

r sin



C

trong phương trình 3.56:

r



r



sin (F(r)) 2 r

C r

  

  

  

  

  

  

   

   

3.57

3.5.2. Bán kính iso vô hướng và bán kính từ iso vô hướng

Mật độ dòng baryon xác định từ phương trình 3.7:

  B

2 F '(r) sin (F(r)) 2 2  r (2 )

3.58

R

R

2

2

2



r



3 d x

 

2 r sin (F(r))F'(r)dr

Do đó, bán kính iso vô hướng và bán kính từ iso vô hướng được xác định:

2 r B

B

(m / m ) 





2 

0

0

R

R

4

3

4

2

2



r



 

r

3.59

2 d x / r B

B

(m / m ) 

4 2 r sin (F(r))F'(r)dr / r B

 m,l 0





2 

0

0

3.60

Tích phân trong công thức 3.60 hội tụ khi m=0 và R→∞ cho kết quả giống

trường hợp 3.56.

3.5.3. Hằng số liên kết trục, giữa pion-nucleon-delta và giữa pion-nucleon

2

2

2

D

 

0, 605545m D

g

 

 

Công thức tính hằng số liên kết yếu khi có tính đến khối lượng pion:

A

 D 2 3e



 F m   3 m 

  

3.61

D



R

Trong đó D là tích phân:

2

2

2

 8F'(r) sin (F(r)) 4rF'(r) sin(2F(r))



sin(2F(r))sin (F(r))



2 r F'(r)



r sin(2F(r)) dr



4 r

  

  

0

3.62

49

Hai số hạng cuối trong tích phân 3.62 hội tụ khi m=0 và R=∞.

3.6. Kết quả số của Skyrmion loại II.

Chúng ta chọn k = 0 trong phương trình 3.41. Phương pháp bắn thử Runge-Kutta

áp dụng cho giá trị R tương ứng với trạng thái khác của sao notron. Bởi vậy, chọn giá

trị R=1,2 ; 2,1 ;2,7 và 3,5. Do đạo hàm bậc nhất F’(R) tại r = R thu được nghiệm B =

50

1tại mỗi giá trị của R trong hình 2.

F(r)

m =0,48 ; R = 1,2 F'(1.2) = -4,2485 3

2

1

r

1,5 2,0 0,5 1,0 -1

F(r)

3,0 m=0,48 ; R = 3,5 F'(3,5) = -0, 926097988

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

r

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

51

Hình 3. Hàm dạng của skyrmion loại II với m=0,48

3,0

F(r)

m = 0,48 ; R = 2,1 F'(2,1) = -1,2698638647 2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

r

0,5 1,0 1,5 2,0

F(r )

m = 0,48 ; R = 2,7 F'(2,7) = -0,72064935585 3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

r

52

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

F(r)

Hàm dạng của skyrmion với m = 0,18 4

3

2

1

r

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3.0

F(r)

Hàm dạng phóng đại gần giá trị r = 0

4

3

2

1

r

2.x10-9 4.x10-9 6.x10-9 8.x10-9 1.x10-8

53

Hình 4. Hàm dạng của skyrmion loại II với m = 0,18

F(r)

5

4

Hàm dạng của nghiệm gần với skyrmion loại II với m = 0,18 3

2

1

r

0,5 1,0 1,5 2,0

54

Hình 5. Đồ thị hàm dạng trong phương trình (3.9) gần với skyrmion loại II.

Do đó, điều ta nhìn thấy, skyrmion loại II với m = 0 và m ≠ 0 tồn tại trong vật

chất hạt nhân với tất cả mật độ khả dĩ. Số hạng khối lượng pion bị co lại với lượng nhỏ.

Hàm dạng F(r) với m=0,18 dường như cho nghiệm B=1. Thực tế, đó là nghiệm B=3/2

được chỉ ra trong hình 3.

Giống như trong trường hợp skyrmion loại I, quỹ đạo kín chứng minh sự tồn tại

của skyrmion thật có số baryon B = 1 trong hình 4.

Kết quả số ở trên giải thích tại sao thuật toán bắn Runge-Kutta không cho nghiệm

hội tụ khi yêu cầu đến sự chính xác cao.

Bởi vậy, kết quả số cho dạng nghiệm loại II bắt đầu từ F(R) = 0 đến giá trị π/2, π,

3π/2 trước khi cho điều kiện F(R)=Nπ. Chúng ta kết luận rằng skyrmion loại II tồn tại

trong tất cả các giá trị của F(R)= 0, π/2, π, 3π/2 trong phương trình 3.41 và 3.42.

Skyrmion loại II là các nucleon với việc coi mật độ vật chất hạt nhân giống như

sao notron. Chúng tôi chọn giá trị m=0,273, dòng topo N=1 và các giá trị khác nhau

55

của R để tính các đặc trưng tĩnh của skyrmion loại II.

I

0

0I

B mr 

,

Br

R Ghi chú MN MΔ- MN gA

N / A 939 MeV 293 MeV 0.72 fm 0.81 fm 1.23 Giá trị thực nghiệm

∞ 2648MeV 0.0035MeV 0.70 fm 0.98 fm 0.98 Skyrmion tự do

Tất cả các skyrmion 10 2661MeV 0.0036MeV 0.70 fm 0.97 fm 0.97 tự do

5 2726MeV 0.0043MeV 0.65 fm 0.86 fm 0.88 Hiếm thấy

Ngoài vỏ của sao 3.5 2875MeV 0.0051MeV 0.57 fm 0.72 fm 0.75 notron

Trong vỏ của sao 2.7 3088MeV 0.0061MeV 0.49 fm 0.61 fm 0.64 notron

Ngoài nhân của sao 1.7 3800MeV 0.0084MeV 0.35 fm 0.43 fm 0.45 notron

Trong nhân của sao 1.2 4740MeV 0.011 MeV 0.27 fm 0.32 fm 0.33 notron

56

Bảng 6. Đặc trưng tĩnh của skyrmion với m=0,273.

KẾT LUẬN

Luận văn này cho ta thấy rằng hệ nghiệm ổn định khi dòng topo thu được trong

mô hình Skyrme bằng phương pháp số và biến tổ hợp.

Sau khi có các giá trị cụ thể ta có kết luận sau:

1- Các skyrmion truyền thống triệt tiêu ở vô cùng, skyrmion mới bị giới hạn

trong mặt cầu bán kính R xác định.

2- Sử dụng mô hình Skyrmion thu được biểu thức các đặc trưng tĩnh của

nucleon như khối lượng, bán kính iso vô hướng và bán kính từ iso vô hướng, hằng số

liên kết trục giữa pion-nucleon-delta và giữa pion-nucleon

3- Tính số, vẽ đồ thị hàm dạng thì cho kết quả sai khác 10% so với thực

nghiệm.

4- Khẳng định vai trò quan trọng của topo trong quá trình tìm hiểu thế giới vật

chất.

5- Một số lý thuyết vật lý cũng đưa ra kết quả tương tự. Sử dụng skyrmion như

một mô hình của baryon cho kết quả tốt hơn số liệu thực nghiệm, và phải sử dụng mô

hình Skyrme chuẩn với khối lượng cổ điển nhỏ hơn. Bên cạnh đó, số hạng thêm vào

trong mô hình phải là số hạng nền móng cho Lagrangian. Thực tế, tất cả số hạng của lý

thuyết meson hiệu dụng QCD đều không được biết, chỉ số hạng đầu được giữ lại. Mô

57

hình Skyrme chuẩn là một mô hình tốt.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. A. Acus (1998), “Baryon as solitons in quantum SU(2) Skyrme model,

Doctoral dissertation”, Arxiv Hep-ph/9901240.

2. A. d’Adda, M. Luscher and P. di Vecchia (1978) , Nucl. Phys, B146, pp. 63.

3. A. d’Adda, M. Luscher and P. di Vecchia (1979) , Nucl. Phys, B152.

4. B. Zumino (1979), Phys. Lett, 87B, pp. 203.

5. C. Neves and C.Wotzasek (1998), “Wess-Zumino terms for the deformed

Skyrme model”, Arxiv Hep-th/ 0005071.

6. E. Cremmer and J. Scherk (1978), Phys. Lett, 74B, pp. 341;

7. E. Witten (1979), Nucl. Phys, B149, pp. 285.

8. E. Witten (1983), “Global aspects of current algebra”, Nucl. Phys, B223, pp

422.

9. E. Witten (1989), “Current algebra, baryon, and quark confinement”, Nucl.

Phys, B223, pp. 433.

10. G. Adkins, C.R. Nappi, and E.Witten (1983), Nucl. Phys, B228, pp. 522.

11. G. H. Derrick (1964), J. Math. Phys, 5, pp. 1252.

12. G. 't Hooft (1974), Nucl. Phys, B72, pp. 461.

13. H. Cheung and F. Gursey (1990), “Composite skyrme model”, Phys. Lett,

A21, pp. 1685-1691.

14. J. Ellis and M. Karline (1996), “The srange spin of the nucleon”, Arxiv Hep-

ph/9601280.

15. J.Isham (1977), J.Phys.A10, pp.1397

16. L. Alvarez-Gaume and D.Z. Freedman (1983), Comm. Math. Phys, 91, pp.

87.

17. Lewis, H.Ryder (1998), Quantum field theory, Cambridge.

58

18. M.Volkov, V. Pervuskin (1978), Moscow.

19. N.A. Viet and P.T. Tuyen, J. Phys. G (July 1989), Nucl. Phys, 15, pp. 937-

942.

20. N.A. Viet and P.T. Tuyen (1989), KFKI-preprint, 05A, 06A, 07A.

21. Nguyen Duy Khanh and Nguyen Ai Viet (2013), “Skyrmions in the Skyrme

model revisited”, Iti preprint in computational sciences.

22. P. T. Tuyen and H. V. Vinh (2008), “The superkineticand interacting terms

of Chiralsuperfields”, Physics. Gen-th/0803.0789.

23. R. Rajaraman (1982), “Soliton and Instantons”, North-Holland Personal

Livarary, Amsterdam.

24. S. Coleman, J. Wess, B. Zumino (1969), Phys. Rev, 177, pp. 2239 -2247.

25. Ta-Pei Cheng and Ling-Fong Li, “Gauge thery of elementary particle

physics”, Clarendon Press Oxford.

26. T. Gisiger and M.B. Paranjape, “Recent mathematical developments en the

Skyrme model”, Arxiv, hep-th/981248.

59

27. T.H.R. Skyrme (1962), Nucl. Phys, 31, pp. 556.

PHỤ LỤC

  

F

 r r

'

F



F



F

    i

 x r i 2 r

 x r i 3 r

 e i r

2

' 2

 2    )

(

F



2

i

F 2 r





'2

2

2

k

k

(

) F



F



F

     k

i

 ij 2

x x i 2 r

r

x x i 4 r

4



2

' 4

)

(

F



2

      k

i

F 4 r

'

) FF

(

     k

x k r

2

'2

(

2 F F

     ) k





'

2

'

(

) FF

 (r



 (e

 r) F 



 r)



      k

i

 e ) FF  k

i

 (e i

x i 3 r

x k 3 r

x k 4 r

2

2

 (e i

 e ) k



F

 (r



 e ) F  k

x i 4 r

 2 r





       

)

(

  r(e



k

i

i

 e ) k

3 F 3 r

6

         [ (

2 )]



2

k

i

F 4 r

'2

(

[

2 )]



4

          i

k

4 F F 2 r

A. Các công thức để tính 2.10 :

60

B. Các công thức để tính 2.54 :







2

       

0

 2 Do bất biến với phép quay góc chiral A nên :      

0

0 0

0

2 0

  

D

0

   0

sin 2F 2F

†

†

A

† A A

 A

      5

0

0

    0 5

   A A    0 5

     0 5

ikl

ikl



  

Tr[D

  

(D

 D (D  0

k

 D )   l

   5

0

  D )    ] 5 l

k

1 4

ikl

†





[

(D

 

   0

   0

k

  D )] Tr(A A ) r

0

r

l

1 sin 2F 4 2F

2

  rarbd

 

  abr



2



 r



 a

 

  abr



 4 3    r b d





 8 3

C. Các công thức để tính 2.58 và 2.59 :

†

 Tr A A 



  i

i

D. Các công thức tính bổ chính soliton quay :





F 4r

†

D

 r



 c



 Tr A A 





  i

0

 i





sin 2F r

1 4

2

 r

 c







  0    D D 0

2 sin 2F 2 r

 r



 c





     D D 0 k

k

2 sin 2F 2 2r

'2

F



     D D i i

2 sin 2F 2 2r

61

62