ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––
KHONE SONEMANY
SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
QUANH CÁC TẬP
CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF (2n-1) -CHIỀU BẰNG 0
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên, năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHONE SONEMANY
SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
QUANH CÁC TẬP
CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF (2n-1) -CHIỀU BẰNG 0
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI
Thái Nguyên, năm 2017
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải Tích
“ Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập có độ đo Hausdorff
(2n-1) -chiều bằng 0 ” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Thị Tuyết Mai và bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát
triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết
quả viết chung với tác giả khác đã được sự đồng ý của đồng tác giả khi đưa
vào luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả
Khone SONEMANY
i
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. i
MỤC LỤC ........................................................................................................ ii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 3
1.1. Không gian phức. ...................................................................................... 3
1.2. Ánh xạ chỉnh hình ..................................................................................... 4
1.3. Không gian phức hyperbolic Caratheodory. .............................................. 6
1.4. Không gian phức hyperbolic (Kobayashi). ................................................ 7
1.5. Tập cực và tập đa cực. ............................................................................... 9
1.6. Độ đo. ...................................................................................................... 10
1.7. Đa tạp Riemann ........................................................................................ 15
1.8. Giải kỳ dị của các hàm bị chặn. ............................................................... 15
Chương 2. SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
QUANH CÁC TẬP CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF -CHIỀU
BẰNG 0 .......................................................................................................... 17
2.1. Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập mỏng. ....................... 17
2.2. Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng có độ đo
Hausdorff -chiều bằng 0. ................................................................... 19
2.3. Metric được xác định bởi hàm đa điều hòa dưới và sự thác triển của
ánh xạ chỉnh hình. ........................................................................................... 24
2.4. So sánh kĩ thuật chứng minh của Kwack với kĩ thuật chứng minh
của Omar Alehyane và Hichame Amal. .......................................................... 26
KẾT LUẬN .................................................................................................... 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 31
ii
MỞ ĐẦU
Cho là một miền trong và là một tập con đóng của .
Kwack [7] đã chứng minh rằng nếu là một tập giải tích có thì
mọi ánh xạ chỉnh hình từ tới một không gian phức hyperbolic
compact có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình từ tới . Đỗ Đức
Thái trong [13] đã chứng minh kết quả tương tự với là không gian đầy
Caratheodory. Chú ý rằng, nếu là một tập giải tích thì độ đo Hausdorff
-chiều .
Omar Alehyane và Hichame Amal [3] đã tổng quát hóa kết quả trên của
Đỗ Đức Thái và đưa ra một định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi với ánh xạ
chỉnh hình. Cụ thể là Omar Alehyane và Hichame Amal đã chứng minh định
lý sau:
Cho là một miền trong và là một tập con đóng sao cho
. Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình từ tới một không gian
đầy Caratheodory có thể thác triển chỉnh hình từ đến , và nếu
hội tụ đều trên các tập con compact của tới
, thì hội tụ đều tới trên các tập con compact của , trong đó
là sự thác triển của .
Omar Alehyane và Hichame Amal [3] đã chứng minh định lý trên
không phải với kỹ thuật chứng minh của Kwack [7]. Đồng thời, hai nhà toán
học này cũng chứng tỏ kỹ thuật của Kwack không thể sử dụng vào nghiên cứu
bài toán sau:
Bài toán: Cho là đĩa đơn vị trong , là một tập con đóng sao cho
và là không gian hyperbolic compact. Mọi ánh xạ chỉnh hình
từ tới có thể thác triển chỉnh hình được trên hay không ?
1
Mục đích của luận văn là nghiên cứu kết quả của Omar Alehyane và
Hichame Amal về sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng có
độ đo Hausdorff -chiều bằng 0 vào một không gian phức.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn
được trình bày trong 2 chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số
khái niệm và kết quả liên quan đến nội dung chính của luận văn bao gồm:
Ánh xạ chỉnh hình, không gian phức, không gian phức hyperbolic, không gian
phức hyperbolic Caratheodory, tập cực, tập đa cực và một số độ đo: Độ đo
hyperbolic, độ đo Caratheodory, độ đo Hausdorff , …
Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi
trình bày lại một cách chi tiết kết quả nghiên cứu của Omar Alehyane và
Hichame Amal.
Để hoàn thành khóa học, tôi đã nhận được sự giúp đỡ tận tình của thầy
cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai, cô
đã tận tình chỉ bảo, định hướng chọn đề tài, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm
nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị
em, bạn bè, đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập
và hoàn thành luận văn.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới những người thân
trong gia đình đã luôn luôn quan tâm, khích lệ và luôn tin tưởng vào sự
trưởng thành của tôi.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017
Tác giả
Khone SONEMANY
2
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian phức
Định nghĩa 1.1.1 ([1]).
Giả sử là một không gian tô pô Hausdorff.
+) Cặp được gọi là một bản đồ địa phương của , trong đó là tập
mở trong và là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) là tập mở trong .
ii) là một đồng phôi.
+) Họ các bản đồ địa phương của được gọi là một tập
bản đồ giải tích (atlas) của nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i) là một phủ mở của .
ii) Với mọi mà , ánh xạ
là ánh xạ chỉnh hình.
+) Xét họ các atlas trên . Hai atlas được gọi là tương đương nếu
hợp là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas.
Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên , và cùng
với cấu trúc khả vi phức trên đó được gọi là một đa tạp phức chiều.
Ví dụ.
1. Giả sử là miền trong . Khi đó, là một đa tạp phức chiều
với bản đồ địa phương .
2. Đa tạp xạ ảnh .
3
Xét , với . Rõ ràng
là một phủ mở của .
Xét các đồng phôi
Ta có
.
Rõ ràng là ánh xạ chỉnh hình. Vậy là một đa tạp phức
chiều và gọi là đa tạp xạ ảnh chiều.
Định nghĩa 1.1.2 ([1]).
Giả sử là đa tạp phức. Một không gian phức đóng là một tập con
đóng của mà về mặt địa phương được xác định bởi hữu hạn các phương
trình giải tích. Tức là, với tồn tại lân cận mở của trong và hữu
hạn các hàm chỉnh hình trên sao cho
.
1.2. Ánh xạ chỉnh hình
Định nghĩa 1.2.1 ([1]).
+) Giả sử là một tập mở trong và là một hàm số. Hàm
được gọi là khả vi phức tại nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính
sao cho
,
4
trong đó
và .
+) Hàm được gọi là chỉnh hình tại nếu khả vi phức trong
một lân cận nào đó của và được gọi là chỉnh hình trên nếu chỉnh hình
tại mọi điểm thuộc .
+) Một ánh xạ có thể viết dưới dạng , trong
đó là các hàm tọa độ. Khi đó được gọi là
chỉnh hình trên nếu chỉnh hình trên với mọi .
+) Ánh xạ được gọi là song chỉnh hình nếu là
song ánh, chỉnh hình và cũng là ánh xạ chỉnh hình.
1.2.1. Ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức
Định nghĩa 1.2.2 ([1]).
Giả sử là một không gian con phức trong đa tạp phức . Hàm
được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm tồn tại một lân
cận và một hàm chỉnh hình trên sao cho
.
Giả sử là ánh xạ giữa hai không gian phức và . được
gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình trên một tập con mở của
, hàm hợp là hàm chỉnh hình trên .
Định lý 1.2.1 ([1]).
Giả sử là dãy các ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian
phức , . Nếu hội tụ đều tới trong thì là ánh xạ chỉnh
5
hình. (trong đó là tập các ánh xạ chỉnh hình từ vào được
trang bị tô pô compact mở).
1.2.2. Một số định lý về thác triển
Định lý 1.2.2 (Hartogs) ([2]).
Giả sử cho các miền và ; hàm tùy ý chỉnh
hình trong lân cận ( theo nghĩa ) của tập
, (1.1)
trong đó , thác triển chỉnh hình được vào toàn miền .
Giả sử
là tập mỏng trong miền
và hàm
chỉnh hình trong
. Nếu
giới nội địa phương, thì nó thác triển được một cách duy nhất thành
hàm
chỉnh hình trong
.
Định lý 1.2.3 ([2]).
1.3. Không gian phức hyperbolic Caratheodory
1.3.1. Giả khoảng cách Caratheodory
Định nghĩa 1.3.1 ([8]).
Cho là một không gian phức, là tập các ánh xạ chỉnh hình
. Đặt
, với mọi .
Trong đó supremum lấy trên tất cả các .
Khi đó được gọi là giả khoảng cách Caratheodory trên .
Chú ý: Vì là thuần nhất, ta chỉ cần lấy supremum trên họ con
.
Mệnh đề 1.3.1 ([8]).
1) Nếu và là hai không gian phức, thì
với và , tức là là giảm khoảng cách đối
với các giả khoảng cách Caratheodory.
6
2) Với , giả khoảng cách Caratheodory trùng với khoảng
cách Poincaré , tức là .
1.3.2. Định nghĩa không gian phức hyperbolic Caratheodory
- Một không gian phức được gọi là hyperbolic Caratheodory hoặc -
hyperbolic, nếu là khoảng cách và cảm sinh tô pô của .
- Một không gian -hyperbolic được gọi là đầy nếu là đầy
Cauchy đối với .
- Một không gian -hyperbolic được gọi là đầy mạnh nếu mọi hình
cầu đóng đối với trong đều compact.
1.4. Không gian phức hyperbolic (Kobayashi)
1.4.1. Giả khoảng cách Kobayashi
Định nghĩa 1.4.1 ([1]).
Giả sử là một không gian phức liên thông, và là hai điểm tùy ý
của . là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ vào , được trang
bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm , của , dãy các
điểm của và dãy các ánh xạ trong thỏa mãn:
, , .
Tập hợp thỏa mãn các điều kiện trên
được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối và trong . Với mỗi dây
chuyền như vậy ta lập tổng . Tổng được gọi là
tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình .
Ta định nghĩa
,
7
trong đó là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối và trong .
Dễ thấy thỏa mãn các tính chất sau:
, với mọi
, với mọi
, với mọi
Do đó là một giả khoảng cách trên và được gọi là
giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức .
Nếu không liên thông, ta định nghĩa với , thuộc
hai thành phần liên thông khác nhau.
1.4.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi
i) Nếu là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì
là giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là
.
Hơn nữa, là giả khoảng cách lớn nhất trên thỏa mãn mọi ánh xạ
chỉnh hình là giảm khoảng cách.
ii) Đối với bất kỳ các không gian phức ta có
,
với mọi , với mọi .
iii) Giả sử là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi
là hàm liên tục.
1.4.3. Không gian phức hyperbolic (Kobayashi)
Định nghĩa 1.4.2 ([1]).
Không gian phức được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa
Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi trên là khoảng cách, tức là
8
.
Ví dụ.
+ Đĩa và đa đĩa là hyperbolic.
+ Một miền bị chặn trong là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích
các đa đĩa.
+ không là hyperbolic, vì .
1.4.4. Một số tính chất của không gian phức hyperbolic (Kobayashi)
i) Nếu , là các không gian phức, thì là không gian
hyperbolic nếu và chỉ nếu cả và đều là không gian hyperbolic.
ii) Giả sử là không gian con phức của không gian phức .
Nếu là hyperbolic thì cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác,
không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic.
1.5. Tập cực và tập đa cực
1.5.1. Tập cực ([5]).
Tập được gọi là tập cực nếu tồn tại một hàm điều hòa dưới
trong một lân cận nào đó của mà đồng nhất bằng trên .
1.5.2. Tập đa cực ([5]).
+) Tập được gọi là tập đa cực (hoặc -cực) nếu tồn tại một hàm
đa điều hòa dưới trong một lân cận của mà đồng nhất bằng trên .
Hiển nhiên, một tập đa cực trong là tập cực (khi xem nó là một tập
trong ).
+) Một tập đa cực được gọi là đầy trong miền nếu tồn tại một
hàm đa điều hòa dưới trên sao cho ; một tập
đa cực được gọi là đầy địa phương trên nếu nó là đầy trong lân cận
của mỗi điểm giới hạn của nó trong .
9
1.6. Độ đo
1.6.1. Độ đo hyperbolic
Định nghĩa 1.6.1 ([9]).
Giả sử , là không gian phức. Nếu là giải tích, và mở
trong thì đo được Borel trong , thực ra bằng hợp đếm được của
các không gian con giải tích của . Giả sử và tồn tại một dãy đếm
được các ánh xạ giải tích mà ảnh của chúng phủ .
Gọi là một tập con đo được Borel của , xét các dãy
các ánh xạ chỉnh hình và các tập mở trong sao cho
.
Ta định nghĩa độ đo Kobayashi trên (tức là trên các tập Borel của )
bởi
,
trong đó infimum được lấy trên tất cả các dãy và .
Chú ý: Nếu là tập đo được trong và là chỉnh hình, thì
là đo được Borel trên . Hơn nữa, một độ đo chính quy thỏa mãn tính chất: độ
đo của một tập là infimum của các độ đo của các tập mở chứa nó. Vì vậy trong
định nghĩa của độ đo Kobayashi, thay cho các tập mở ta có thể lấy các tập
con đo được trên .
Định nghĩa 1.6.2 ([9]).
Cho là ánh xạ chỉnh hình. Cho , là độ đo chính quy trên
và tương ứng. Ta nói rằng là giảm độ đo nếu
, với mọi tập đo được .
Trong định nghĩa trên ta có thể thay thế tập đo được , bởi các tập mở .
10
Ví dụ.
Cho , là đa tạp phức và cho , là các dạng giả thế tích trên
, tương ứng. Nếu
thì là giảm độ đo đối với các độ đo trên , tươn ứng.
Thực vậy, tập các điểm sao cho là điểm kì dị là một tập
con giải tích , và độ đo của bằng 0. Trên phần bù mở của , là giảm
độ đo, vì vậy là giảm độ đo trên .
1.6.2. Tính chất của độ đo Kobayashi
Cho , là các không gian phức chiều. Khi đó các tính chất sau
được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
i) Nếu thì , trong đó .
ii) Cho là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức chiều.
Khi đó là giảm độ đo Kobayashi.
iii) Nếu là một độ đo trên sao cho với mỗi ánh xạ chỉnh hình
là giảm độ đo từ tới , thì .
1.6.3. Không gian hyperbolic đo được
Định nghĩa 1.6.3 ([9]).
Một không gian phức được gọi là hyperbolic đo được nếu
với mọi tập con mở không rỗng trên .
Định lý 1.6.1 ([9]).
Cho là đa tạp phức và cho là một dạng giả thế tích trên . Giả sử
rằng là dương, và tồn tại bằng hằng số sao cho
11
(Nếu X là compact thì số như thế luôn tồn tại). Khi đó là hyperbolic
đo được.
Định lý 1.6.2 ([9]).
Cho là không gian phức n chiều. Nếu là hyperbolic, thì là
hyperbolic đo được.
1.6.4. Độ đo Caratheodory
Định nghĩa 1.6.4 ([4]).
Một hàm hàm tập hợp (set function) xác định trên lớp tất cả các tập
con của tập hợp và lấy giá trị trong được gọi là độ đo ngoài trên
(hoặc độ đo ngoài Caratheodory) nếu:
. i)
ii) khi , tức là là đơn điệu.
iii) , với mọi .
Định nghĩa 1.6.5 ([4]).
Cho là một hàm tập hợp lấy giá trị trong và xác định trên lớp
tất cả các tập con của một không gian sao cho . Tập được
gọi là đo được Caratheodory đối với (hoặc - đo được Caratheodory ) nếu,
với mỗi tập , ta có một đẳng thức
(1.2)
Lớp tất cả các tập - đo được Caratheodory được ký hiẹu là .
Như vậy, tập đo được tách mỗi tập theo yêu cầu cộng tính của . Chú ý
rằng trong trường hợp tổng quát, tính đo được không thỏa mãn đẳng thức
(1.3)
Thậm chí cả trong trường hợp độ đo ngoài với .
12
Định lý 1.6.3 ([4]).
Cho là một hàm tập hợp với giá trị trong xác định trên lớp
của tất cả các tập trong không gian sao cho . Khi đó:
i) là đại số và hàm là cộng tính trên.
ii) Với mỗi dãy các tập rời nhau từng đôi một ta có
,
.iii) Nếu là hàm độ đo ngoài trên tập , thì lớp là một -đại số
và hàm với giá trị trong là cộng tính đếm được trên .
Hơn nữa, độ đo là đầy trên .
1.6.5. Độ đo Hausdorff
Định nghĩa 1.6.6 ([5]).
Cho là tập con tùy ý của không gian metric. Xét một phủ của bởi
đếm được các hình cầu bán kính tương ứng và tổng là một số cố
định, trong đó . Gọi là infimum của các tổng như thế. Khi đó
được gọi là một tập “chiều ”.
Từ định nghĩa trên, ta có hình cầu đơn vị trong có chiều 1 với mọi
. Vì vậy trước hết ta cố định và định nghĩa
.
+) Với số nguyên lấy một hằng số bằng thể tích của hình
cầu đơn vị trong (đặc biệt ).
13
+) Với không là số nguyên ta lấy hằng số là biểu thức tương ứng
với hàm gamma (các hằng số này không đóng vài trò tổng quát, nhưng chuẩn
tắc hóa này được thông qua); chỉ số luôn luôn không âm. Khi giảm thì
đơn điệu tăng, do đó ta có giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn)
.
Số được gọi là độ đo Hausdorff bậc (chiều) của (hoặc -
độ đo, hoặc đơn giản là - độ đo) của .
Chú ý: +) Rõ ràng . Vì sự xác định các đơn giản hơn, nên ta
khi và chỉ khi . có
+) Với và tổng là số phần tử của phủ . Do
. đó
1.6.6. Một số tính chất đơn giản của độ đo Hausdorff
Từ định nghĩa độ đo Hausdorff ta có các tính chất sau:
i) Dưới cộng tính: , và nếu là một
hợp hữu hạn địa phương của các tập compact đôi một rời nhau, thì
.
ii) Tính thuần nhất: Nếu và , với mọi ,
. thì
iii) Nếu , thì với mọi . Nếu ,
với mọi . thì
được gọi là chiều metric hoặc Hausdorff của . Số
iv) Nếu là một ánh xạ liên tục giữa các không gian metric X,
Y đều thỏa mãn điều kiện Lipschitz (tức là với
14
một số hằng số và với mọi , thì với mọi
. Đặc biệt các độ đo Hausdorff không tăng qua phép chiếu
.
v) Tính chất hoặc với các tập con của đa tạp
trơn không phụ thuộc vào cách chọn metric trên tương thích với cấu
trúc trơn trên .
Mệnh đề 1.6.4 ([5]).
Cho là một đa tạp trơn ( ) liên thông -chiều, và cho là một
tập con đóng của sao cho . Khi đó là tập liên thông.
Mệnh đề 1.6.5 ([5]).
Cho là một tập trong sao cho . Khi đó
.
Bổ đề 1.6.6 ([5]).
Với mọi tập đo được Lebesgue ta có đẳng thức
1.7. Đa tạp Riemann
Định nghĩa 1.7.1 ([5]).
Một đa tạp trơn nhúng trong , hoặc trong với metric cảm sinh
được gọi là một đa tạp Riemann -chiều.
Mệnh đề 1.7.1 ([5]).
Trên một đa tạp Riemann -chiều, độ đo Hausdorff trùng với độ
đo Lebesgue ngoài.
1.8. Giải kỳ dị của các hàm bị chặn
Định lý 1.8.1 ([5, A1.4]).
Cho là một miền trong , và là một tập đóng của có độ đo
Hausdorff . Khi đó mỗi hàm chỉnh hình và bị chặn đều trên
15
có một liên tục chỉnh hình trên .
Bổ đề 1.8.2 ([5, A1.4]).
Cho là một miền trên và là một tập cực đóng trên . Khi đó mọi
hàm điều hòa và bị chặn trên liên tục tới một hàm điều hòa trên .
Hệ quả 1.8.3 ([5, A1.4]).
Cho là một miền , và là một tập cực (như là một tập trong )
là đóng trong . Khi đó mỗi hàm chỉnh hình và bị chặn trên có một
liên tục chỉnh hình trên .
16
Chương 2
SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
QUANH CÁC TẬP CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF -CHIỀU BẰNG 0
2.1. Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập mỏng
Cho là một đường đơn đóng trong và . Nếu
, thì ta ký hiệu .
Cho là một tập đóng sao cho , thì là tập không đâu
trù mật và do đó với mọi ta có thể tìm được một dãy các đường đơn
đóng trong hội tụ đến .
Bổ đề 2.1.1 ([3]).
Cho là một không gian phức và là một ánh xạ chỉnh hình từ
vào , với là đĩa đơn vị trong và là một tập con đóng sao cho
. Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn: với mọi thuộc và với
mọi dãy các đường đơn đóng trong đều hội tụ đến , một dãy con
hội tụ đến một điểm của . Khi đó thác triển được thành ánh xạ
chỉnh hình từ đến .
Chứng minh.
Trong trường hợp thì bổ đề được chứng minh tương tự như
cách chứng minh của Kwack trong [7].
Cho và là một dãy các đường đơn đóng trong hội tụ
đến . Sau khi lấy một dãy con nếu cần, ta có thể giả sử rằng dãy hội tụ
đến một điểm trong . Cho là một lân cận mở của trong , thì tồn tại
tập mở trong (có thể lấy là bị chặn) và một phép đồng phôi từ
đến . Vì vậy để chứng minh bổ đề, ta chỉ cần chứng minh rằng tồn
17
tại sao cho , thì có thể được thác triển chỉnh hình đến
một lân cận của (xem [5, A1.4]). Ta có thể giả sử rằng .
Lấy sao cho trong đó , thì tồn tại một
số nguyên sao cho , ta có . Giả sử rằng với mọi ,
không chứa trong .
Lấy , thì tồn tại một đường đơn đóng trong sao cho
và . Đặt . Khi đó là
tập mở và vì hội tụ đến , nên tồn tại một số nguyên sao cho
, và ta có .
Gọi là một thành phần liên thông của chứa . Đặt
và . Ta có và
trong đó là biên của . Gọi là một lân cận liên
thông đôi của chứa trong . Khi đó tồn tại , ,
, và hai đường đơn đóng và sao cho , ,
và . Khi đó, ta có thể tìm được hai đường đơn đóng
và trong với và thỏa
mãn hai điều kiện sau:
1) .
2) và .
Do đó:
18
và . i)
và . ii)
iii) và .
Khi đó là một tập con compact của , thì tồn tại một tập
mở compact tương đối của mà là một lân cận của và
thỏa mãn .
Với và , thì
( )
Mặt khác, hội tụ đến , và đều hội tụ đến . Sau khi
lấy một dãy con nếu cần, chúng ta có thể giả sử rằng và hội
tụ tương ứng tới và trên . Ta cũng có thể giả sử rằng và .
Vì vậy tồn tại một số nguyên sao cho không chứa trong
với mọi . Từ đó ta có và đều chứa
trong một miền liên thông đơn trong mà không chứa . Do đó
( )
( ) mâu thuẫn với ( ). Vậy bổ đề được chứng minh ∎
2.2. Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng có độ đo
Hausdorff -chiều bằng 0
Omar Alehyane và Hichame Amal đã chứng minh được một định lý về
sự thác trển ánh xạ chỉnh hình quanh các tập các tập đóng có độ đo Hausdorff
-chiều bằng 0 trong trường hợp tập đích là không gian hyperbolic
19
compact nhưng không phải với kỹ thuật chứng minh của Kwack.
Để chứng minh định lý này Omar Alehyane và Hichame Amal đã sử
dụng ba bổ đề sau về độ đo Hausdorff .
Bổ đề 2.2.1 ([5]).
Cho , là các đa tạp Riemann lớp , là một ánh xạ
trơn và là một tập con trong thỏa mãn , với mọi
.
Khi đó , với hầu hết .
Chứng minh.
Kết luận của bổ đề mang tính địa phương nên chỉ cần xét trường hợp
, là một tập mở, và thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên
.
Vì nên với mọi , tồn tại các hình cầu với bán kính
sao cho là một phủ của . Với mỗi điểm luôn có
bất đẳng thức , trong đó tổng được
lấy theo tất cả các mà là không rỗng. Ta muốn lấy tích phân
bất đẳng thức này trên . Vì bên trái có thể là một hàm không đo được, thay
cho các tích phân thường với độ đo Lebesgue , ta lấy tích phân trên
(theo định nghĩa, : g là khả tích và ).
Vì vậy,
.
Vì đơn điệu tăng khi nên từ bất đẳng thức trên và
20
định lý . Levi ta có , do đó tích phân triệt tiêu
hầu hết khắp nơi trên .
Vậy bổ đề được chứng minh. ∎
Chú ý: Bằng cách chứng minh tương tự, có thể chứng minh rằng nếu
, thì với hầu hết .
Bổ đề 2.2.2 ([3]).
Cho là một tập đóng địa phương trong sao cho với
mỗi số nguyên . Nếu , thi tồn tại và một là phép biến đổi
đơn vị sao cho , ,
là đóng trong và .
Bổ đề 2.2.3 ([3]).
Cho là một không gian phức hyperbolic Kobayashi, là một
miền và là một tập con đóng với độ đo Lebesgue . Cho
và sao cho là hội tụ đều trên các
tập con compact của tới . Khi đó là hội tụ đều tới trên các
tập con compact của .
Chứng minh.
Cho , là một lân cận liên thông của và . Tập
là trù mật trong .
Do đó, lấy là sao cho . Tồn tại sao cho
với mọi , ta có . Từ đó suy ra:
21
.
Do vậy, với mọi , tập là compact tương đối trong .
Vì là hyperbolic, nên là đồng liên tục. Theo định lý Ascoli-
Arzelà họ là compact tương đối trong . Do đó, tồn tại một
dãy con hội tụ đều trên tập con compact tới một ánh xạ chỉnh hình
. Theo giả thiết , vì vậy . Chú ý rằng không
tồn tại dãy con phân kỳ và mọi dãy con đều hội tụ tới .
Vậy Bổ đề được chứng minh. ∎
Định lý 2.2.4 (Omar Alehyane - Hichame Amal).
Cho là một miền trong và là một tập con đóng sao cho
. Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình từ tới một không gian
đầy Caratheodory có thể thác triển chỉnh hình từ đến , và nếu
hội tụ đều trên các tập con compact của tới
, thì hội tụ đều tới trên các tập con compact của , trong đó
là sự thác triển của .
Chứng minh.
1) Trường hợp : Cho và sao cho .
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng và . Cho
, là một dãy các đường đơn đóng trong hội tụ tới
và dãy với . Vì hội tụ đến , thì là một dãy -
Cauchy, cũng là một dãy -Cauchy. Thực vậy, cho
khi đó thác triển chỉnh hình được tới từ đến
22
(xem [5, A1.4]). Áp dụng nguyên lý cực đại đối với ta được có
và vì vậy với mọi , ta có
.
Từ đó ta có là một dãy -Cauchy và vì vậy là đầy,
hội tụ tới một điểm .
Gọi là một lân cận mở của trong và sao cho hình cầu
. Tồn tại sao cho với mọi . Ta có
, trong đó (tương ứng ) là đường kính
của được đo bởi khoảng cách Caratheodory (tương ứng ), do đó
.
Nếu ta ký hiệu là đường kính của đo bởi khoảng cách
Caratheodory , thì ta có
.
Vì thế hội tụ tới 0.
Do đó tồn tại sao cho với mọi và vì vậy với
ta có
với mọi . Vì vậy với , và theo bổ đề 2.1.1, có thể
thác triển chỉnh hình trên .
2) Trong trường hợp , vì và theo bổ đề 2.2.2. Tồn
tại và một phép biến đổi đơn vị sao cho
23
và . Hơn nữa khi
là compact và là đóng ta có thể tìm được : sao cho
. Ta ký hiệu ,
và . Không mất tính tổng quát ta có thể
giả sử rằng . Lấy .
Đặt .
Gọi là ánh xạ chiếu, theo bổ đề 2.2.1 tồn tại một tập
con mà độ đo Lebesgue của bằng sao cho với mọi tập
có độ đo Hausdorff bắng , tức là
với mọi .
Cho là ánh xạ chỉnh hình từ tới và với mọi ,
là ánh xạ chỉnh hình từ tới với . Theo
trường hợp , có thể thác triển chỉnh hình tới . Mặt khác là một
không gian phức hyperbolic đầy và vì vậy có tính chất Hartogs. Theo [12,15]
thì có thể thác triển chỉnh hình tới trong đó là tập
các điểm khi mà là đa chính quy địa phương. Khi có độ đo Lebesgue
vì thế có thể thác triển chỉnh hình tới một lân cận bằng 0, thì
của .
Cuối cùng áp dụng bổ đề 2.2.3, định lý được chứng minh. ∎
2.3. Metric được xác định bởi hàm đa điều hòa dưới và sự thác triển của
ánh xạ chỉnh hình (xem [6] và [8])
Cho là một đa tạp phức. Với mỗi , ta ký hiệu là tập
của các hàm nửa liên tục trên trên thỏa mãn các điều kiện sau:
24
i) .
ii) .
iii) là đa điều hòa dưới.
iv) Trong tọa độ địa phương tâm , hàm là bị
chặn trong một lân cận của .
Ta xét hàm cực trị
.
Ta định nghĩa , với mỗi
, trong đó là metric Poincaré trên .
Lấy là một dây chuyền và
.
Trong đó, infimum được lấy trên tất cả các dây chuyền nối với . Giả
khoảng cách có các tính chất sau:
1) Nếu là một ánh xạ chỉnh hình thì với mọi ta có
.
2) .
3) .
Theo định nghĩa ta chú ý rằng nếu là một tập con cực đóng thì
với mọi ta có và do đó .
Từ đó ta có . Vì thế, từ (1) ta có , với
mọi .
Bằng cách chứng minh tương tự như chứng minh định lý 2.2.4 ta thu được
mệnh đề sau:
25
Mệnh đề 2.3.1 ([3]).
Cho là một miền trong và là một tập con đa cực đóng.
Cho là một đa tạp phức, nếu là khoảng cách đầy thì mọi ánh xạ chỉnh
hình từ tới đều thác triển chỉnh hình được từ tới .
2.4. So sánh kĩ thuật chứng minh của Kwack với kĩ thuật chứng minh của
Omar Alehyane và Hichame Amal
Cho là đĩa đơn vị trong , là một tập con đóng sao cho
và là không gian hyperbolic compact.
Bài toán: Mọi ánh xạ chỉnh hình từ tới có thể thác triển chỉnh
hình được trên hay không ? T. Nishino, M. Suzuki, đã chứng minh khẳng
định cho trường hợp là một tập cực, (xem [16,17,18]). Nếu ta muốn dùng kỹ
thuật của Kwack để chứng minh bài toán trên, chúng ta phải có tính chất sau:
(***) Cho và là một khoảng cách Kobayashi. Nếu là một dãy
các đường đơn đóng trong hội tụ tới , thì .
Ta chứng tỏ bằng một ví dụ đơn giản của và , tính chất (***)
không phải là trường hợp tổng quát.
Để chứng tỏ điều này, ta cần bổ đề sau. Trước hết cho là mặt
Riemann và là một dạng thể tích hyperbolic trên . Ta
định nghĩa ánh xạ như sau: Với mỗi , đặt
, khi đó ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.4.1 ([3]).
Ta có , với là metric vi phân Kobayashi trên .
Chứng minh.
Cho là một ánh xạ chỉnh hình, khi đó
26
và khi với mọi , từ đó ta có . Mặt
khác (trong đó là phần từ không của ) và ,
, . Vì vậy, theo [11, định lý 1.2.3] ta có .
Bây giờ ta chứng minh tính chất (***) không phải là trường hợp tổng quát.
Cho là một miền bị chặn của . Một metric đầy Kähler
được gọi là metric Einstein nếu tồn tại sao cho
, trong đó và
.
Đặt
.
Ta ký hiệu là khoảng cách Euclid.
Giả sử rằng . Mok và Yau [10] đã chứng minh rằng
,
trong đó là một hằng số chỉ phụ thuộc vào . Theo một kết quả của Yau
[14] ta có với mọi ánh xạ chỉnh hình , trong đó là
một dạng thể tích Poincaré trên được cho bởi
.
Mặt khác, ánh xạ chỉnh hình là không suy biến tại
27
nếu là một phép đẳng cấu tuyến tính. Dạng giả thể tích
hyperbolic trên được xác định như sau:
,
trong đó infimum được lấy trên tất cả các ánh xạ chỉnh hình sao
cho và là không suy biến tại 0. Theo ([11 mệnh đề 2.3.5]), ta có bất
đằng thức sau:
.
Ta xét trường hợp và . Từ trên ta có
.
Ta có
,
với là giả metric liên kết với .
Cho với mỗi ta có , do đó
trong đó . Cho là một tập hữu
hạn các điểm đường tròn sao cho
.
Tập là một tập rời , trong đó
rạc đóng sao cho . Ta ký hiệu với mọi
là độ dài của đo bởi các số hạng của . Vì vậy, ta có
,
28
với .
Khi , dễ thấy rằng trong
và khi thì trong . Từ đó ta có
.
Vì thế
.
Theo bổ đề 2.4.1 ta có độ dài trên đo bởi metric Kobayashi trên
dần tới .
Cuối cùng, cho là một ánh xạ chỉnh hình từ tới một không gian
hyperbolic compact . Khi là điểm cô lập với mỗi thì
có thể thác triển chỉnh hình trên và vì vậy trên . Ta kết luận rằng kỹ
thuật của Kwack không thể sử dụng vào nghiên cứu bài toán trên.
29
KẾT LUẬN
Mục đích của luận văn là nghiên cứu định lý thác triển hội tụ kiểu
Noguchi với ánh xạ chỉnh hình. Cụ thể là 4 kết quả của Omar Alehyane và
Hichame Amal về sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng có độ
đo Hausdorff -chiều bằng 0 vào một không gian phức. Luận văn đã đạt
được những kết quả sau:
- Nghiên cứu các khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến nội dung
chính của luận văn.
- Nghiên cứu về sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập mỏng.
- Nghiên cứu về sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng
có độ đo Hausdorff -chiều bằng 0.
- Nghiên cứu mối quan hệ giữa mêtric được xác định bởi hàm đa điều
hòa dưới và sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình.
30
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Phạm Việt Đức (2005), “Mở đầu về lý thuyết các không gian phức
hyperbolic”, NXB Đại học sư phạm.
[2] Sabat, B.V. (1979), “Nhập môn giải tích phức (phần II), Hàm nhiều biến”,
Nguyễn Thủy Thanh và Hà Huy Khoái (dịch). NXB Đại học và Trung học
chuyên nghiệp.
Tiếng Anh
[3] Alehyane, O. and Amal, H. (2007), “On the Extension of Holomorphic
Mapping Around Sets With Zero Hausdorff (2n-1)-Measure”, Viet nam
Juornal of Mahtematics, 35-3,24-254.
[4] Bogachev, V. I. (2007), “Measure theory”, Mathematics,
(https://books.google.com.vn/books?isbn=3540345140).
[5] Chirka, E. M. (1989), “Complex Analytic Set”, Kluwer Academic
Publishers.
[6] Klimek, M. (1985), “Extremal plurisubharmonic functions and invariant
pseudodistances”, Bull. Soc. Math. France, 113, 231-240.
[7] Kwack, M. (1969), “Generalization of the big picard theorem”, Ann. Math.
90, 9-22.
[8] Kobayashi, S. (1998), “Hyperbolic Complex Spaces”, Grundlehren der
Mathermathischen Wissenschaften.
[9] Lange, S. (1987), “Introduction to complex hyperbolic spaces”, Spinger
Verlag.
[10] Mok, N. and Yau, S-T. (1983), “Completeness of the Kähler-Einstein
metric on bounded domains and characterization of holomorphy by
curvature conditions”, In: The Mathematical Heritage of Henri Poincar,
Proc. Symp. Pure Math. 39 (part I), 41-60.
31
[11] Noguchi, J. and Ochiai, T. (1988), “Geometric function theory in several
complex variable”, Translation of Mathematical Monographs, 80.
[12] Shiffman, B. (1990), “Hartogs theorem for separately holomorphic
mapping into Complex spaces”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I math.
310,89-94.
[13] Thái, D. D. (1995), “ -Extension property and generalization of the big
Picard theorem”, Vietnam J. Math 23, 163-170.
[14] Yau, S –T . (1978), “A general Schwartz lemma for Kählers manifolds”,
Amer. J. Math.100, 197-203.
Tiếng Pháp
[15] Alehyane, O. (1997), “Une extension du theorem de Hartogs pour les
applications séparélement holomorphes”, C. R. Acad. Sci. paris Ser. I
Math, 324, 149-152.
[16] Nishino, T. (1979), “Prolongements analytiques au sens de Riemann”,
Bull. Soc. Math. France, 107, 97-112.
[17] Suzuki, M. (1987), “Comportement des applications holomorphes autour
d’un ensemble polaire”, C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I math. 304,191-194.
[18] Suzuki, M. (1988), “Comportement des applications holomorphes autuor
d’un ensemble polaire”, II, C. R. Acad. Sci. Ser. I math, 306, 535-538.
32
