Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán cân bằng Nash trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Phạm Duy Khánh BÀI TOÁN CÂN BẰNG NASH TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LŒi c¶m ‹n

LŒi ﬁ˙u ti“n, t«i xin ch'n th(cid:181)nh c¶m ‹n PGS.TS Nguy(cid:212)n B(cid:221)ch Huy, ng›Œi th˙y ﬁ•

nhi(cid:214)t t(cid:215)nh gi¶ng d„y v(cid:181) h›(cid:237)ng d(cid:201)n t«i ho(cid:181)n th(cid:181)nh b¶n lu¸n v¤n.

Xin tr'n tr(cid:228)ng bi(cid:213)t ‹n c‚c th˙y c« thuØc khoa To‚n tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m v(cid:181)

§„i h(cid:228)c Khoa h(cid:228)c Tø nhi“n Tp.HCM ﬁ• nhi(cid:214)t t(cid:215)nh gi¶ng d„y c‚c chuy“n ﬁ(cid:210) v(cid:181) gi(cid:243)p

t«i l(cid:181)m quen v(cid:237)i c«ng vi(cid:214)c nghi“n cłu khoa h(cid:228)c.

Xin ch'n th(cid:181)nh c¶m ‹n Ban gi‚m hi(cid:214)u, c‚c ﬁ(cid:229)ng nghi(cid:214)p thuØc bØ m«n To‚n khoa

KHCB tr›Œng §„i h(cid:228)c S› ph„m K(cid:252) thu¸t Tp.HCM ﬁ• t„o ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n thu¸n l(cid:238)i cho t«i

tham gia khªa h(cid:228)c n(cid:181)y.

CuŁi c(cid:239)ng, t«i xin ch'n th(cid:181)nh c¶m ‹n c‚c th˙y c« ph(cid:223)ng KHCN-S§H tr›Œng §„i

h(cid:228)c S› ph„m Tp.HCM ﬁ• gi(cid:243)p ﬁ(cid:236) t«i ho(cid:181)n t˚t c‚c thæ t(cid:244)c b¶o v(cid:214) lu¸n v¤n.

TP.H(cid:229) Ch(cid:221) Minh, ng(cid:181)y 10 th‚ng 09 n¤m 2008

Ng›Œi thøc hi(cid:214)n

Ph„m Duy Kh‚nh

M(cid:244)c l(cid:244)c

LŒi c¶m ‹n 1

M(cid:244)c l(cid:244)c 2

Mº ﬁ˙u 3

Ch›‹ng 1 B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong n(cid:246)a d(cid:181)n 6

1.1. §(cid:222)nh l(cid:253) Knaster-Kuratowski-Mazurkiewiez v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) t‚ch Ky Fan . .

1.2. B(cid:230) ﬁ(cid:210) Ky Fan v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder

. . . . . . . . .

1.3. §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m y“n ngøa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. §(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) sø t(cid:229)n t„i cæa ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash . . . . . . . . . . . . . .

Ch›‹ng 2 B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong kh«ng gian cª thł

tø 19

2.1. §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁ‹n tr(cid:222)

. . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222) . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3. §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng trong kh«ng gian t(cid:221)ch . . . . . . . . . . . . . .

2.4. B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong kh«ng gian cª thł tø . . . . . . . . . . .

K(cid:213)t lu¸n 38

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o 39

Mº ﬁ˙u

1. L(cid:253) do ch(cid:228)n ﬁ(cid:210) t(cid:181)i

L(cid:253) thuy(cid:213)t ph›‹ng tr(cid:215)nh to‚n t(cid:246) trong kh«ng gian cª thł tø ra ﬁŒi tı nh(cid:247)ng n¤m

1950 v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c ho(cid:181)n thi(cid:214)n cho ﬁ(cid:213)n ng(cid:181)y nay. Ch(cid:243)ng t(cid:215)m ﬁ›(cid:238)c nh(cid:247)ng łng d(cid:244)ng rØng

r•i trong vi(cid:214)c gi¶i quy(cid:213)t c‚c b(cid:181)i to‚n xu˚t ph‚t tı V¸t l(cid:253), Sinh h(cid:228)c, Kinh t(cid:213)...Trong

l(cid:253) thuy(cid:213)t n(cid:181)y vi(cid:214)c chłng minh sø t(cid:229)n t„i nghi(cid:214)m cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh døa chæ y(cid:213)u v(cid:181)o

ph›‹ng ph‚p ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng. Vi(cid:214)c s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng trong kh«ng

gian cª thł tø v(cid:181)o c‚c b(cid:181)i to‚n trong kinh t(cid:213) m(cid:237)i ch(cid:216) ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu g˙n ﬁ'y. §'y l(cid:181)

h›(cid:237)ng nghi“n cłu m(cid:237)i, cª (cid:253) ngh(cid:220)a. M(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch cæa lu¸n v¤n l(cid:181) tr(cid:215)nh b(cid:181)y łng d(cid:244)ng c‚c

ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222) trong kh«ng gian cª thł tø v(cid:181)o b(cid:181)i to‚n c'n

b»ng Nash xu˚t ph‚t tı l(cid:220)nh vøc kinh t(cid:213).

2. M(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch nghi“n cłu

C'n b»ng Nash (Nash Equilibrium) l(cid:181) mØt kh‚i ni(cid:214)m cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t tr(cid:223) ch‹i (Game

Theory) ﬁ›(cid:238)c John Nash ﬁ›a ra v(cid:237)i m« h(cid:215)nh tr(cid:223) ch‹i cæa n ﬁŁi thæ. C'n b»ng Nash

x‚c ﬁ(cid:222)nh mØt chi(cid:213)n l›(cid:238)c tŁi ›u cho c‚c tr(cid:223) ch‹i khi ch›a cª mØt ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n tŁi ›u n(cid:181)o

ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh tr›(cid:237)c ﬁª. §(cid:222)nh ngh(cid:220)a c‹ b¶n cæa c'n b»ng Nash l(cid:181): N(cid:213)u t(cid:229)n t„i mØt

t¸p h(cid:238)p c‚c chi(cid:213)n l›(cid:238)c cho mØt tr(cid:223) ch‹i v(cid:237)i ﬁ˘c t(cid:221)nh l(cid:181) kh«ng mØt ﬁŁi thæ n(cid:181)o cª

th(cid:211) h›ºng l(cid:238)i b»ng c‚ch thay ﬁ(cid:230)i chi(cid:213)n l›(cid:238)c hi(cid:214)n t„i cæa m(cid:215)nh khi c‚c ﬁŁi thæ kh‚c

kh«ng thay ﬁ(cid:230)i, t¸p h(cid:238)p c‚c chi(cid:213)n l›(cid:238)c ﬁª v(cid:181) ph˙n thu nh¸n t›‹ng łng t„o n“n c'n

i ) ∈ X

i , ˆx∗

b»ng Nash. M« h(cid:215)nh n(cid:181)y trong to‚n h(cid:228)c ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a nh› sau: X—t kh«ng gian t(cid:221)ch X = Qi∈I Xi v(cid:181) h(cid:228) c‚c h(cid:181)m fi : X → (−∞, +∞)(i ∈ I). §i(cid:211)m x∗ = (x∗ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash cæa h(cid:228) h(cid:181)m tr“n n(cid:213)u

i , ˆx∗

i ) = max ui∈Xi

fi(x∗ fi(ui, ˆx∗ i )

trong ﬁª x∗

i ∈ Xi v(cid:181) ˆx∗

i ∈ ˆXi = Qj∈I\i Xj. §(cid:211) ti(cid:213)p c¸n b(cid:181)i to‚n tr“n cª nhi(cid:210)u ph›‹ng ph‚p kh‚c nhau. Trong lu¸n v¤n n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i ti(cid:213)p c¸n b»ng c‚ch s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253)

ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222) trong kh«ng gian cª thł tø ﬁ(cid:211) chłng minh sø t(cid:229)n t„i

cæa ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash.

3. §Łi t›(cid:238)ng v(cid:181) nØi dung nghi“n cłu

S(cid:246) d(cid:244)ng c‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) t«p«, gi¶i t(cid:221)ch h(cid:181)m, kh«ng gian cª thł tø v(cid:181) c‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210)

ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng trong kh«ng gian cª thł tø v(cid:181)o b(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong kh«ng

gian cª thł tø.

4. ý ngh(cid:220)a khoa h(cid:228)c thøc ti(cid:212)n

C'n b»ng Nash l(cid:181) kh‚i ni(cid:214)m quan tr(cid:228)ng ﬁŁi v(cid:237)i c‚c b(cid:181)i to‚n trong kinh t(cid:213). Vi(cid:214)c

m« h(cid:215)nh hªa nª th(cid:181)nh mØt b(cid:181)i to‚n l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:181) ﬁ(cid:211) gi¶i quy(cid:213)t nª ﬁ• ﬁ(cid:223)i hÆi c‚c nh(cid:181)

to‚n h(cid:228)c t(cid:215)m ra nh(cid:247)ng ph›‹ng ph‚p nghi“n cłu m(cid:237)i v(cid:181) c‚c k(cid:213)t qu¶ m(cid:237)i t(cid:230)ng qu‚t, cª

(cid:253) ngh(cid:220)a khoa h(cid:228)c v(cid:181) cª th(cid:211) ‚p d(cid:244)ng cho nhi(cid:210)u b(cid:181)i to‚n kh‚c.

5. C˚u tr(cid:243)c lu¸n v¤n

Lu¸n v¤n ﬁ›(cid:238)c ph'n l(cid:181)m hai ch›‹ng.

Ch›‹ng n(cid:181)y tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c k(cid:213)t qu¶ mº rØng cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) KKM, ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) t‚ch Ky Fan,

b(cid:230) ﬁ(cid:210) Ky Fan, ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m y“n ngøa trong

kh«ng gian cª thł tø. S(cid:246) d(cid:244)ng c‚c k(cid:213)t qu¶ thu ﬁ›(cid:238)c v(cid:181)o vi(cid:214)c chłng minh sø t(cid:229)n t„i

cæa ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash trong n(cid:246)a d(cid:181)n.

Ch›‹ng 1. B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong n(cid:246)a d(cid:181)n

Ch›‹ng n(cid:181)y tr(cid:215)nh b(cid:181)y ph›‹ng ph‚p l˘p ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u trong kh«ng gian cª thł tø. Tı k(cid:213)t

qu¶ tr“n ta thu ﬁ›(cid:238)c c‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i ‚nh x„ ﬁ‹n tr(cid:222) v(cid:181)

‚nh x„ ﬁa tr(cid:222). C‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) l(cid:253) thuy(cid:213)t thu ﬁ›(cid:238)c ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng v(cid:181)o vi(cid:214)c kh¶o s‚t b(cid:181)i

to‚n c'n b»ng Nash trong kh«ng gian cª thł tø.

Ch›‹ng 2. B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong kh«ng gian cª thł tø

Ch›‹ng 1

B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong n(cid:246)a

d(cid:181)n

1.1 §(cid:222)nh l(cid:253) Knaster-Kuratowski-Mazurkiewiez v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253)

t‚ch Ky Fan

§(cid:222)nh l(cid:253) KKM c(cid:230) ﬁi(cid:211)n ﬁ›(cid:238)c łng d(cid:244)ng trong nhi(cid:210)u l(cid:220)nh vøc kh‚c nhau cæa to‚n

h(cid:228)c l(cid:253) thuy(cid:213)t v(cid:181) łng d(cid:244)ng. Trong ph˙n n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt mº rØng cho ﬁ(cid:222)nh

l(cid:253) KKM trong kh«ng gian cª thł tø. K(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y thu ﬁ›(cid:238)c døa v(cid:181)o ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.1 trong

[4](C.D. Horvath and J.V.Llinares Ciscar).

§Þnh nghÜa 1.1.1. Cho (X, ≤) l(cid:181) kh«ng gian cª thł tø. X g(cid:228)i l(cid:181) semilattice n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i c˘p

(x, x0) ∈ X × X ﬁ(cid:210)u cª mØt ch˘n tr“n nhÆ nh˚t, k(cid:221) hi(cid:214)u x ∨ x0.

§Þnh nghÜa 1.1.2. Cho (X, ≤) l(cid:181) kh«ng gian cª thł tø semilattice v(cid:181) A ⊆ X l(cid:181) t¸p h(cid:238)p h(cid:247)u

h„n kh‚c r(cid:231)ng. T¸p ∆(A) = Sa∈A[a, supA] g(cid:228)i l(cid:181) bao l(cid:229)i thł tø cæa A. Trong ﬁª, supA l(cid:181) ch˘n tr“n nhÆ nh˚t cæa A.

§Þnh nghÜa 1.1.3. T¸p E ⊆ X g(cid:228)i l(cid:181) ∆−l(cid:229)i n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i A ⊆ E h(cid:247)u h„n kh‚c r(cid:231)ng ta cª

∆(A) ⊆ E.

V(cid:221) d(cid:244) 1.1.1. §˘t X = {(x, 1) : 0 ≤ x ≤ 1} S{(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1, x ≥ 1, y ≥ x − 1}. Tr“n R2 ta x—t quan h(cid:214) thł tø (a, b); (c, d) ∈ R2 : (a, b) ≤ (c, d) ⇔ 0 ≤ d − b ≤ c − a. Khi ﬁª X

l(cid:181) ∆-l(cid:229)i.

Chłng minh. Ta th˚y r»ng R2 v(cid:237)i thł tø ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n l(cid:181) semilattice. §(cid:211) chłng minh

X l(cid:181) ∆-l(cid:229)i ta ch(cid:216) c˙n chłng minh

+ a1, a2 ∈ X ⇒ a1 ∨ a2 ∈ X

+ a1, a2 ∈ X, a1 ≤ a2 ⇒ [a1, a2] ⊆ X

Gi¶ s(cid:246) a1 = (x1, y1) v(cid:181) a2 = (x2, y2) l(cid:181) hai ph˙n t(cid:246) b˚t kœ thuØc X.

Tr›Œng h(cid:238)p 1. Hai ph˙n t(cid:246) a1, a2 so s‚nh ﬁ›(cid:238)c.

Kh«ng m˚t t(cid:221)nh t(cid:230)ng qu‚t ta gi¶ s(cid:246) a1 ≤ a2. Khi ﬁª a1 ∨ a2 = a2 ∈ X. Ta ki(cid:211)m tra

[a1, a2] ⊆ X. Th¸t v¸y, l˚y a = (x, y) l(cid:181) ph˙n t(cid:246) b˚t kœ thuØc [a1, a2]. Khi ﬁª

 0 ≤ y1 ≤ y ≤ y2 ≤ 1

0 ≤ x1 ≤ x ≤ x2

y2 − x2 ≤ y − x ≤ y1 − x1  

+ N(cid:213)u 0 ≤ x < 1 th(cid:215) 0 ≤ x1 < 1. Do a1 = (x1, y1) ∈ X n“n y1 = 1. Khi ﬁª y = 1 v(cid:181) a ∈ X.

+ N(cid:213)u x ≥ 1 th(cid:215) a ∈ X. (Do y − x + 1 ≥ y2 − x2 + 1 ≥ 0 v(cid:181) 0 ≤ y ≤ 1).

Tr›Œng h(cid:238)p 2. Hai ph˙n t(cid:246) a1, a2 kh«ng so s‚nh ﬁ›(cid:238)c.

§˘t a = a1 ∨ a2. Ta ki(cid:211)m tra a ∈ X.

+ N(cid:213)u y2 − x2 ≥ y1 − x1 v(cid:181) y2 ≥ y1 th(cid:215) a = (x1 − y1 + y2, y2).

+ N(cid:213)u y2 − x2 ≤ y1 − x1 v(cid:181) y1 ≥ y2 th(cid:215) a = (x2 − y2 + y1, y1).

Trong c¶ hai tr›Œng h(cid:238)p tr“n ta ﬁ(cid:210)u ki(cid:211)m tra ﬁ›(cid:238)c a ∈ X.

§Þnh nghÜa 1.1.4. Cho X, Y l(cid:181) hai t¸p h(cid:238)p b˚t kœ. Tr“n X × Y ta x—t quan h(cid:214) hai

ng«i R. V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X v(cid:181) y ∈ Y ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a R(x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ R} v(cid:181)

R−1(y) = {x ∈ X : (x, y) ∈ R}.

§Þnh lý 1.1.1. Cho X l(cid:181) kh«ng gian t«p« semilattice li“n th«ng ﬁ›Œng, X0 ⊆ X l(cid:181) t¸p con

kh‚c r(cid:231)ng cæa X v(cid:181) R ⊆ X0 × X l(cid:181) quan h(cid:214) hai ng«i thÆa

R(z). (i) V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X0 t¸p h(cid:238)p R(x) l(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) ﬁªng trong R(X0) = Sz∈X0

(ii) T(cid:229)n t„i x0 ∈ X0 sao cho R(x0) l(cid:181) compact.

(iii) V(cid:237)i m(cid:231)i t¸p h(cid:247)u h„n kh‚c r(cid:231)ng A ⊆ X0

R(x) [ x∈A [x, supA] ⊆ [ x∈A

R(x) l(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng. Khi ﬁª t¸p h(cid:238)p Tx∈X0

Chłng minh. Tham kh¶o [4].

§Þnh nghÜa 1.1.5. Cho X, Y l(cid:181) c‚c kh«ng gian t«p«, ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222) G : X → 2Y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181)

transfer closed n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X v(cid:181) y /∈ G(x) t(cid:229)n t„i x0 ∈ X v(cid:181) mØt l'n c¸n mº N (y) cæa

y trong Y sao cho y0 /∈ G(x0) v(cid:237)i m(cid:231)i y0 ∈ N (y).

Nh¸n x—t 1.1.1. G : X → 2Y l(cid:181) transfer closed khi v(cid:181) ch(cid:216) khi Tx∈X G(x) = Tx∈X clG(x).

Chłng minh. Gi¶ s(cid:246) G l(cid:181) transfer closed, ta chłng minh Tx∈X G(x) = Tx∈X clG(x). Th¸t v¸y, n(cid:213)u t(cid:229)n t„i y ∈ X v(cid:181) x0 ∈ X sao cho y ∈ clG(x) v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X v(cid:181) y /∈ G(x0) th(cid:215) theo

t(cid:221)nh transfer closed cæa G t(cid:229)n t„i x00 ∈ X sao cho y /∈ clG(x00). §i(cid:210)u n(cid:181)y l(cid:181) m'u thu(cid:201)n.

Gi¶ s(cid:246) Tx∈X G(x) = Tx∈X clG(x). L˚y y ∈ Y v(cid:181) x ∈ X sao cho y /∈ G(x). Khi ﬁª y /∈ Tx∈X G(x) hay y /∈ Tx∈X clG(x). Ngh(cid:220)a l(cid:181) t(cid:229)n t„i x0 ∈ X sao cho y /∈ clG(x0).

§Þnh lý 1.1.2. Cho X l(cid:181) kh«ng gian t«p« semilattice li“n th«ng ﬁ›Œng, X0 ⊆ X l(cid:181) t¸p con

kh‚c r(cid:231)ng cæa X v(cid:181) R ⊆ X0 × X l(cid:181) quan h(cid:214) hai ng«i thÆa

(i) G : X0 → 2X l(cid:181) transfer closed, trong ﬁª G(x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ R} v(cid:237)i m(cid:231)i

x ∈ X0.

(ii) T(cid:229)n t„i x0 ∈ X0 sao cho clG(x0) l(cid:181) compact.

(iii) V(cid:237)i m(cid:231)i t¸p h(cid:247)u h„n kh‚c r(cid:231)ng A ⊆ X0

G(x) [ x∈A [x, supA] ⊆ [ x∈A

G(x) l(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng. Khi ﬁª t¸p h(cid:238)p Tx∈X0

clG(x) l(cid:181) kh‚c

clG(x). Tı ﬁª ta suy ra G(x) = Tx∈X0

Chłng minh. Do clG(x) thÆa c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.1.1 n“n Tx∈X0 r(cid:231)ng. M˘t kh‚c, do G l(cid:181) transfer closed n“n Tx∈X0 ﬁi(cid:210)u ph¶i chłng minh.

§Þnh lý 1.1.3. Cho X l(cid:181) t¸p con kh‚c r(cid:231)ng, ∆-l(cid:229)i cæa kh«ng gian t«p« semilattice li“n th«ng

ﬁ›Œng M v(cid:181) C ⊆ X × X.

(1) V(cid:237)i m(cid:231)i y ∈ X t¸p h(cid:238)p {x ∈ X : (x, y) /∈ C} l(cid:181) ∆-l(cid:229)i ho˘c r(cid:231)ng.

(2) H(cid:181)m x 7→ {y ∈ X : (x, y) ∈ C} l(cid:181) transfer closed.

(3) V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X, (x, x) ∈ C.

(4) T(cid:229)n t„i x0 ∈ X sao cho t¸p cl{y ∈ X : (x0, y) ∈ C} l(cid:181) compact.

Khi ﬁª t(cid:229)n t„i y∗ ∈ X sao cho X × {y∗} ⊂ C.

Chłng minh. X—t G : X → 2X cho bºi

G(x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ C} v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X.

Khi ﬁª, clG(x0) l(cid:181) compact.

Gi¶ s(cid:246) t(cid:229)n t„i t¸p h(cid:247)u h„n A0 = {x1, x2, ..., xn} sao cho

n [ i=1

n ngh(cid:220)a l(cid:181) t(cid:229)n t„i z ∈ ∆(A0) v(cid:181) z /∈ S i=1 G(xi). Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:231)i i = 1, 2, ..., n, z /∈ G(xi), (xi, z) /∈ C. Suy ra A0 ⊂ {x ∈ X : (x, z) /∈ C}, theo (1) ∆(A0) ⊂ {x ∈ X : (x, z) /∈

∆(A0) * G(xi)

C} v(cid:181) v(cid:215) v¸y z ∈ ∆(A0) ⊂ {x ∈ X : (x, z) /∈ C}, (z, z) ∈ C. §i(cid:210)u n(cid:181)y l(cid:181) m'u thu(cid:201)n. Do

ﬁª v(cid:237)i m(cid:231)i t¸p h(cid:247)u h„n A ⊂ X ta cª

G(x). ∆(A) ⊆ [ x∈A

Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.1.2 ta thu ﬁ›(cid:238)c Tx∈X G(x) kh‚c r(cid:231)ng. L˚y y∗ ∈ Tx∈X G(x) ⊂ X ta cª X × {y∗} ⊂ C

Nh¸n x—t 1.1.2. N(cid:213)u X l(cid:181) compact th(cid:215) (4) trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.1.3 lu«n ﬁ(cid:243)ng.

1.2 B(cid:230) ﬁ(cid:210) Ky Fan v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder

B»ng c‚ch s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.1.3 v(cid:181) kh‚i ni(cid:214)m ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222) cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a

ph›‹ng ch(cid:243)ng ta thu ﬁ›(cid:238)c b(cid:230) ﬁ(cid:210) Ky Fan v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder.

§Þnh nghÜa 1.2.1. Cho X, Y l(cid:181) hai kh«ng gian t«p«, F : X → 2Y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) cª t(cid:221)nh ch˚t

giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X sao cho F (x) 6= ∅ t(cid:229)n t„i l'n c¸n mº N (x) cæa x sao

cho Tz∈N (x) F (z) 6= ∅.

Nh¸n x—t 1.2.1. F : X → 2Y cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng khi v(cid:181) ch(cid:216) khi X \ F −1 l(cid:181) transfer closed, ngh(cid:220)a l(cid:181) Sy∈Y F −1y = Sy∈Y int(F −1y).

Chłng minh. X \ F −1 l(cid:181) transfer closed khi v(cid:181) ch(cid:216) khi Ty∈Y X \ F −1(y) = Ty∈Y cl(X \ F −1(y)). §i(cid:210)u n(cid:181)y ngh(cid:220)a l(cid:181) Sy∈Y F −1y = Sy∈Y int(F −1y). Gi¶ s(cid:246) Sy∈Y F −1y = Sy∈Y intF −1(y) ta chłng minh F : X → 2Y cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng. Th¸t v¸y, l˚y x ∈ X sao cho F (x) 6= ∅. Khi ﬁª t(cid:229)n t„i y ∈ F (x) hay x ∈ F −1(y).

Theo t(cid:221)nh ch˚t transfer closed t(cid:229)n t„i y0 ∈ Y sao cho x ∈ intF −1(y0). Suy ra t(cid:229)n t„i l'n c¸n mº N (x) cæa x sao cho z ∈ F −1(y0) v(cid:237)i m(cid:228)i z ∈ N (x) hay Tz∈N (x) F (z) 6= ∅. Gi¶ s(cid:246) F : X → 2Y cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng. L˚y x ∈ X v(cid:181) y ∈ Y sao cho x ∈ F −1(y)

hay y ∈ F (x). Theo t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng, t(cid:229)n t„i l'n c¸n mº N (x) cæa x sao cho Tz∈N (x) F (z) 6= ∅. Ngh(cid:220)a l(cid:181) t(cid:229)n t„i y0 ∈ Y sao cho z ∈ F −1(y0) v(cid:237)i m(cid:228)i z ∈ N (x). Suy ra x ∈ int(F −1(y0)). V¸y Sy∈Y F −1y = Sy∈Y int(F −1y).

§Þnh lý 1.2.1. Cho X l(cid:181) t¸p con compact, kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) ∆-l(cid:229)i cæa kh«ng gian t«p«

semilattice, li“n th«ng ﬁ›Œng M, v(cid:181) B ⊂ X × X.

(i) V(cid:237)i m(cid:231)i y ∈ X, t¸p h(cid:238)p {x ∈ X : (x, y) ∈ B} l(cid:181) ∆-l(cid:229)i kh‚c r(cid:231)ng.

(ii) H(cid:181)m y 7→ {x ∈ X : (x, y) ∈ B} cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng kh‚c r(cid:231)ng.

Khi ﬁª t(cid:229)n t„i x∗ ∈ X sao cho (x∗, x∗) ∈ B

Chłng minh. §˘t C = X × X \ B v(cid:181) F (x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ B} v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X. Khi ﬁª

{y ∈ X : (x, y) ∈ C} = {y ∈ X : (x, y) /∈ B} = X \ {y ∈ X : (x, y) ∈ B} = X \ F (x)

Theo (ii) F −1(y) = {x ∈ X : (x, y) ∈ B} cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng kh‚c r(cid:231)ng n“n

X \ F (x) l(cid:181) transfer closed.

V(cid:237)i m(cid:231)i y ∈ X, {x ∈ X : (x, y) /∈ C} = {x ∈ X : (x, y) ∈ B} l(cid:181) ∆-l(cid:229)i v(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng.

Gi¶ s(cid:246) (x, x) /∈ B v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X. Khi ﬁª (x, x) ∈ C, theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.1.3 t(cid:229)n t„i y∗ ∈ X sao

cho X × {y∗} ⊂ C. §i(cid:210)u n(cid:181)y ngh(cid:220)a l(cid:181) v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X, (x, y∗) ∈ C, (x, y∗) /∈ B. Do ﬁª t¸p

h(cid:238)p {x ∈ X : (x, y∗) ∈ B} l(cid:181) r(cid:231)ng v(cid:181) d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n m'u thu(cid:201)n v(cid:237)i (i). V¸y t(cid:229)n t„i x∗ ∈ X sao

S(cid:246) d(cid:244)ng k(cid:213)t qu¶ vıa thu ﬁ›(cid:238)c ta suy ra ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder suy

rØng.

cho (x∗, x∗) ∈ B. Chłng minh k(cid:213)t th(cid:243)c.

§Þnh lý 1.2.2. Cho X l(cid:181) t¸p con kh‚c r(cid:231)ng, compact v(cid:181) ∆-l(cid:229)i cæa kh«ng gian t«p«

semilattice, li“n th«ng ﬁ›Œng M, F : X → 2X cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng v(cid:181) cª gi‚ tr(cid:222)

∆-l(cid:229)i. Khi ﬁª F cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng, ngh(cid:220)a l(cid:181) t(cid:229)n t„i x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ F (x∗).

Chłng minh. §˘t B = {(x, y) ∈ X × X : x ∈ F (y)}. V(cid:237)i m(cid:231)i y ∈ X

{x ∈ X : (x, y) ∈ B} = {x ∈ X : x ∈ F (y)} = F (y)

l(cid:181) ∆-l(cid:229)i v(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng. M˘t kh‚c, ‚nh x„ y 7→ {x ∈ X : (x, y) ∈ B} = F (y) cª t(cid:221)nh ch˚t

giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.2.1 t(cid:229)n t„i x∗ ∈ X sao cho x∗ ∈ F (x∗).

HÖ qu¶ 1.2.1. Cho X l(cid:181) t¸p con kh‚c r(cid:231)ng, compact v(cid:181) ∆-l(cid:229)i cæa kh«ng gian t«p«

semilattice, li“n th«ng ﬁ›Œng M, F : X → 2X cª gi‚ tr(cid:222) ∆-l(cid:229)i, kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) v(cid:237)i m(cid:231)i

y ∈ X, F −1(y) l(cid:181) t¸p mº. Khi ﬁª F cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng.

Chłng minh. Ta ch(cid:216) c˙n chłng minh F cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng. V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X v(cid:237)i

F (x) 6= ∅, l˚y y ∈ F (x) hay x ∈ F −1(y). Do F −1(y) l(cid:181) mº n“n t(cid:229)n t„i l'n c¸n mº N (x) cæa

x trong X sao cho N (x) ⊂ F −1(y). Khi ﬁª, v(cid:237)i m(cid:231)i z ∈ N (x), z ∈ F −1(y), y ∈ F (z). V(cid:215)

v¸y y ∈ Tz∈N (x) F (z) hay Tz∈N (x) F (z) 6= ∅. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.2.2 F cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng.

1.3 §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m y“n ngøa

S(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder ta thu ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m y“n ngøa

v(cid:181) h(cid:214) qu¶ cæa nª trong kh«ng gian cª thł tø.

§Þnh nghÜa 1.3.1. Cho X, Y l(cid:181) c‚c kh«ng gian t«p«, ϕ(x, y) : X × Y → (−∞, +∞) ﬁ›(cid:238)c

g(cid:228)i l(cid:181) strongly path transfer n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i ﬁŁi v(cid:237)i x (g(cid:228)i v(cid:190)n t(cid:190)t, SPT n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i)

n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i (x, y) ∈ X × Y v(cid:181) (cid:15) > 0, t(cid:229)n t„i mØt l'n c¸n mº N (x) cæa x trong X v(cid:181) y0 ∈ Y

sao cho v(cid:237)i m(cid:228)i x0 ∈ N (x)

ϕ(x, y) < ϕ(x0, y0) + (cid:15)

N(cid:213)u −ϕ(x, y) l(cid:181) SPT n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i ﬁŁi v(cid:237)i x th(cid:215) ϕ(x, y) g(cid:228)i l(cid:181) strongly path transfer n(cid:246)a

li“n t(cid:244)c tr“n (g(cid:228)i v(cid:190)n t(cid:190)t, SPT n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n).

Nh¸n x—t 1.3.1. Ta d(cid:212) d(cid:181)ng ki(cid:211)m tra ﬁ›(cid:238)c n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i y ∈ Y, ϕ(., y) l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i th(cid:215)

ϕ(x, y) l(cid:181) SPT n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i theo bi(cid:213)n x. §i(cid:210)u ng›(cid:238)c l„i l(cid:181) kh«ng ﬁ(cid:243)ng.

V(cid:221) d(cid:244) 1.3.1. X—t X = [0, 1], Y = [0, 1] v(cid:181) h(cid:181)m ϕ(x, y) x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n X × Y cho bºi

 1, x = y,

ϕ(x, y) = . y = 0, x 6= 0, 2,

0, ortherwise.  

Khi ﬁª ϕ(., y) kh«ng n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i tr“n X, ϕ(x, y) l(cid:181) SPT n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i theo x.

Chłng minh. L˚y (x, y) b˚t kœ thuØc X × Y v(cid:181) (cid:15) > 0. Ta x—t hai tr›Œng h(cid:238)p:

Tr›Œng h(cid:238)p 1. y = 0

1, x = 0,   ϕ(x, y) = ϕ(x, 0) = .

2, x 6= 0 

Tr›Œng h(cid:238)p 2. y 6= 0

1, x = y,   ϕ(x, y) = .

0, x 6= y 

Trong c¶ hai tr›Œng h(cid:238)p tr“n ta ﬁ(cid:210)u ch(cid:216) ra ﬁ›(cid:238)c l'n c¸n mº N (x) cæa x trong X v(cid:181) y0 ∈ Y

sao cho

ϕ(x, y) < ϕ(x0, y0) + (cid:15), ∀x0 ∈ N (x)

§i(cid:210)u n(cid:181)y ngh(cid:220)a l(cid:181) ϕ(x, y) l(cid:181) SPT n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i theo x. H‹n n(cid:247)a ta d(cid:212) d(cid:181)ng ki(cid:211)m tra ﬁ›(cid:238)c

ϕ(., 1) kh«ng n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i t„i x = 1 hay ϕ(., y) kh«ng n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i tr“n X.

§Þnh nghÜa 1.3.2. Cho X l(cid:181) kh«ng gian t«p« ho˘c t¸p con ∆-l(cid:229)i cæa kh«ng gian t«p«

semilattice. H(cid:181)m f : X → (−∞, +∞) g(cid:228)i l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i t¸p con h(cid:247)u h„n kh‚c

r(cid:231)ng A = {x1, x2, ..., xn} ⊆ X v(cid:181) y ∈ ∆(A)

f (y) ≥ min{f (x1), f(x2), ..., f (xn)}.

N(cid:213)u −f l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m th(cid:215) f g(cid:228)i l(cid:181) ∆-tøa l(cid:229)i.

Nh¸n x—t 1.3.2. f : X → (−∞, +∞) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m khi v(cid:181) ch(cid:216) khi t¸p h(cid:238)p {y ∈ X : f (y) > λ}

ho˘c {y ∈ X : f (y) ≥ λ} l(cid:181) ∆-l(cid:229)i v(cid:237)i m(cid:228)i λ ∈ (−∞, +∞).

Nh¸n x—t 1.3.3. f : X → (−∞, +∞) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m khi v(cid:181) ch(cid:216) khi t¸p h(cid:238)p {y ∈ X : f (y) < λ}

ho˘c {y ∈ X : f (y) ≤ λ} l(cid:181) ∆-l(cid:229)i v(cid:237)i m(cid:228)i λ ∈ (−∞, +∞).

Chłng minh. Ta ch(cid:216) chłng minh nh¸n x—t 1.3.2, nh¸n x—t 1.3.3 ﬁ›(cid:238)c chłng minh t›‹ng tø.

+ Gi¶ s(cid:246) f : X → (−∞, +∞) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m. L˚y λ ∈ (−∞, +∞) b˚t kœ, ta chłng minh

{y ∈ X : f (y) ≥ λ} l(cid:181) ∆-l(cid:229)i. X—t A = {x1, x2, ..., xn} l(cid:181) t¸p h(cid:238)p h(cid:247)u h„n, kh‚c r(cid:231)ng trong

{y ∈ X : f (y) ≥ λ} v(cid:181) y ∈ ∆(A). Theo t(cid:221)nh ch˚t ∆-tøa l(cid:226)m ta cª

f (y) ≥ min{f (x1), f(x2), ..., f (xn)} ≥ λ.

Suy ra y ∈ {y ∈ X : f (y) ≥ λ} hay {y ∈ X : f (y) ≥ λ} l(cid:181) ∆-l(cid:229)i.

+ Gi¶ s(cid:246) {y ∈ X : f (y) ≥ λ} l(cid:181) ∆-l(cid:229)i v(cid:237)i m(cid:228)i λ ∈ (−∞, +∞). Ta chłng minh

f : X → (−∞, +∞) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m. Th¸t v¸y, l˚y A = {x1, x2, ..., xn} l(cid:181) t¸p h(cid:247)u h„n trong

X v(cid:181) y ∈ ∆(A). Do {y ∈ X : f (y) ≥ λ} l(cid:181) ∆-l(cid:229)i v(cid:237)i λ = min{f (x1), f(x2), ..., f (xn)}

v(cid:181) A l(cid:181) t¸p con cæa t¸p h(cid:238)p tr“n n“n y ∈ ∆(A) ⊂ {y ∈ X : f (y) ≥ λ}. Suy ra

f : X → (−∞, +∞) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m.

V(cid:221) d(cid:244) 1.3.2. X—t X = {(x, 1) : 0 ≤ x ≤ 1} S{(1, y) : 0 ≤ y ≤ 1} ⊂ R2 v(cid:237)i quan h(cid:214) thł tø

(a, b) ≤ (c, d) ⇔ a ≤ b v`a c ≤ d. (a, b), (c, d) ∈ R2 :

Khi ﬁª h(cid:181)m f : X → (−∞, +∞) ﬁ(cid:222)nh bºi f (x, y) = x2 + y2 l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m.

Chłng minh. Th¸t v¸y, l˚y λ ∈ (−∞, +∞), ta cª

 X λ < 1

{(x, y) ∈ X : f (x, y) > λ} = 1 ≤ λ < 2 Xλ S Yλ

∅ λ > 2  

Trong ﬁª, Xλ = {(x, 1) : λ ≤ x ≤ 1} v(cid:181) Yλ = {(1, y) : λ ≤ y ≤ 1}. Tı ﬁ'y ta suy ra

{(x, y) ∈ X : f (x, y) > λ} l(cid:181) t¸p ∆-l(cid:229)i hay f : X → (−∞, +∞) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m.

§Þnh lý 1.3.1. Cho X, Y l(cid:181) hai t¸p con kh‚c r(cid:231)ng, compact v(cid:181) ∆-l(cid:229)i cæa hai kh«ng gian

t«p« semilattice li“n th«ng ﬁ›Œng M v(cid:181) E, f : X × Y → (−∞, +∞).

(i) V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X, f (x, .) : Y → (−∞, +∞) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:229)i.

(ii) V(cid:237)i m(cid:231)i y ∈ Y , f (., y) : X → (−∞, +∞) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m.

(iii) H(cid:181)m f (x, y) l(cid:181) SPT n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i theo bi(cid:213)n y v(cid:181) SPT n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n theo bi(cid:213)n x.

Khi ﬁª,

f (x, y) inf y∈Y inf y∈Y sup x∈X f (x, y) = sup x∈X

Chłng minh. Ta d(cid:212) d(cid:181)ng ki(cid:211)m tra ﬁ›(cid:238)c

f (x, y) inf y∈Y f (x, y) ≤ inf y∈Y sup x∈X sup x∈X

Gi¶ s(cid:246)

f (x, y) inf y∈Y f (x, y) < inf y∈Y sup x∈X sup x∈X

Khi ﬁª, t(cid:229)n t„i r ∈ (−∞, +∞) sao cho

f (x, y) inf y∈Y f (x, y) < r < inf y∈Y sup x∈X sup x∈X

Theo (i) v(cid:181) (ii), v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X, G(x) = {y ∈ Y : f (x, y) < r} l(cid:181) t¸p ∆-l(cid:229)i kh‚c r(cid:231)ng, v(cid:237)i

m(cid:231)i y ∈ Y , K(y) = {x ∈ X : f (x, y) > r} = {x ∈ X : −f (x, y) < −r} l(cid:181) t¸p ∆-l(cid:229)i kh‚c

r(cid:231)ng.

V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X sao cho G(x) 6= ∅, l˚y y0 ∈ G(x), f (x, y0) < r. Theo (iii) v(cid:237)i

(cid:15) = r − f (x, y0) > 0 t(cid:229)n t„i l'n c¸n N (x) cæa x trong X v(cid:181) y1 ∈ Y sao cho

−f (x, y0) < −f (x0, y1) + (cid:15) = −f (x0, y1) − f (x, y0) + r

v(cid:237)i m(cid:231)i x0 ∈ X. Ngh(cid:220)a l(cid:181) f (x0, y1) < r hay y1 ∈ G(x0) v(cid:237)i m(cid:228)i x0 ∈ N (x). Suy ra

G(x0) 6= ∅ \ x0∈N (x)

v(cid:181) G cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng. Chłng minh t›‹ng tø ta suy ra K cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a

ph›‹ng.

§˘t C = X × Y v(cid:181) x—t F : C → 2C cho bºi

F (u) = K(y) × G(x)

v(cid:237)i m(cid:231)i u = (x, y) ∈ C. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder F cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng,

ngh(cid:220)a l(cid:181) t(cid:229)n t„i u∗ = (x∗, y∗) ∈ C sao cho

u∗ = (x∗, y∗) ∈ K(y∗) × G(x∗)

Suy ra f (x∗, y∗) > r v(cid:181) f (x∗, y∗) < r. §i(cid:210)u n(cid:181)y l(cid:181) m'u thu(cid:201)n. Do ﬁª

f (x, y) inf y∈Y inf y∈Y sup x∈X f (x, y) = sup x∈X

HÖ qu¶ 1.3.1. Cho X, Y l(cid:181) hai t¸p con kh‚c r(cid:231)ng, compact v(cid:181) ∆-l(cid:229)i cæa hai kh«ng gian

t«p« semilattice li“n th«ng ﬁ›Œng M v(cid:181) E, f : X × Y → (−∞, +∞).

(i) V(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X, f (x, .) : Y → (−∞, +∞) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:229)i v(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i.

(ii) V(cid:237)i m(cid:231)i y ∈ Y , f (., y) : X → (−∞, +∞) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m v(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n.

Khi ﬁª t(cid:229)n t„i (x∗, y∗) ∈ X × Y sao cho

f (x, y∗) ≤ f (x∗, y∗) ≤ f (x∗, y)

v(cid:237)i m(cid:231)i (x, y) ∈ X × Y .

Chłng minh. Do f (x, .) : Y → (−∞, +∞) l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i n“n f (x, y) l(cid:181) SPT n(cid:246)a li“n

t(cid:244)c d›(cid:237)i theo bi(cid:213)n y, f (., y) : X → (−∞, +∞) l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n n“n f (x, y) l(cid:181) SPT n(cid:246)a

li“n t(cid:244)c tr“n theo bi(cid:213)n x.

S(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.3.1 ta thu ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t qu¶ tr“n.

1.4 §(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) sø t(cid:229)n t„i cæa ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash

X—t (Xi, ≤i), i ∈ I l(cid:181) h(cid:228) c‚c kh«ng gian t«p« semilattice, X v(cid:181)

gian t«p« t(cid:221)ch, ngh(cid:220)a l(cid:181)

Xi l(cid:181) c‚c kh«ng b

i v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ I. Khi ﬁª,

V(cid:237)i m(cid:231)i x, x0 ∈ X ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a x ≤ x0 khi v(cid:181) ch(cid:216) khi xi ≤i x0 (X, ≤) l(cid:181) kh«ng gian t«p« semilattice v(cid:237)i (x ∨ x0)i = xi ∨i x0

i, (i ∈ I). Xi. b

V(cid:237)i b˚t kœ x ∈ X ta ﬁ˘t x = (xi, ˆxi) trong ﬁª xi ∈ Xi, ˆxi ∈ §i(cid:211)m x∗ ∈ X ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash ﬁŁi v(cid:237)i h(cid:228) h(cid:181)m fi : X → (−∞, +∞)

n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ I,

Xi, Xj X = Y i∈I Xi = Y b j∈I\i

i ).

i , ˆx∗

i ) = max ui∈Xi S(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder ta thu ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) sø t(cid:229)n t„i cæa ﬁi(cid:211)m

c'n b»ng Nash.

fi(x∗ fi(ui, ˆx∗

§Þnh lý 1.4.1. Cho N = {1, 2, ..., n}, v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ N , Xi l(cid:181) c‚c t¸p con kh‚c r(cid:231)ng, compact,

compact theo d•y v(cid:181) ∆-l(cid:229)i cæa kh«ng gian t«p« semilattice li“n th«ng ﬁ›Œng, X = Qi∈N Xi v(cid:181) fi : X → (−∞, +∞) thÆa

(i) V(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ N ,ˆxi ∈ Xi h(cid:181)m ui 7→ fi(ui, ˆxi) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m. b

(ii) V(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ N , fi l(cid:181) n(cid:246)a li“n t(cid:244)c tr“n.

(iii) V(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ N , fi(ui, ˆxi) l(cid:181) SPT n(cid:246)a li“n t(cid:244)c d›(cid:237)i theo bi(cid:213)n ˆxi.

Khi ﬁª, t(cid:229)n t„i ﬁi(cid:211)m x∗ ∈ X sao cho v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ N

i , ˆx∗

i ).

i ) = max ui∈Xi

fi(x∗ fi(ui, ˆx∗

Chłng minh. V(cid:237)i m(cid:231)i k = 1, 2, 3, ... x—t Wk : X → 2X ,Wk(x) = Qi∈N Ti(x) v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X, trong ﬁª Ti : X → 2Xi ﬁ(cid:222)nh bºi,

} fi(ui, ˆx)i − Ti(x) = {yi ∈ Xi : fi(yi, ˆxi) > max ui∈Xi 1 k

Do c‚c Ti(x) l(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) ∆-l(cid:229)i (theo (i) v(cid:181) (ii)) n“n Wk(x) 6= ∅ v(cid:181) ∆-l(cid:229)i.

Ti(cid:213)p theo ta chłng minh Wk(x) cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng, ngh(cid:220)a l(cid:181) n(cid:213)u Wk(x) 6= ∅ ta sˇ ch(cid:216)

ra mØt l'n c¸n O(x) cæa x trong X sao cho Tu∈O(x) Wk(u) 6= ∅. Do Tu∈O(x) Qi∈N Ti(u) = Qi∈N Tu∈O(x) Ti(u) n“n ta ch(cid:216) c˙n chłng minh Ti(i ∈ N ) cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng. Gi¶ s(cid:246) Ti(x0) 6= ∅, l˚y y0 ∈ Ti(x0), ngh(cid:220)a l(cid:181),

i , ˆx0

i ) −

i ) > max ui∈Xi

. (1) fi(y0 fi(ui, ˆx0 1 k

V(cid:237)i b˚t kœ (cid:15) > 0 thÆa,

i , ˆx0

i ) −

i ) − (max ui∈Xi

) 2(cid:15) < fi(y0 fi(ui, ˆx0 1 k

i ) cæa ˆx0

i trong

i ∈ Xi sao cho

theo (iii) t(cid:229)n t„i mØt l'n c¸n mº O1(ˆx0 Xi v(cid:181) t(cid:229)n t„i y∗ b

i , ˆx0

i ) < fi(y∗

i , ˆx0

i) + (cid:15) ∀ˆx0

i ∈ O1(ˆx0

i ).

(2) fi(y0

i n“n t(cid:229)n t„i mØt l'n c¸n mº O2(ˆx0

i ) cæa ˆx0

i trong X

i ∈ O2(ˆx0 i )

Do maxui∈Xi fi(ui, ˆxi) l(cid:181) li“n t(cid:244)c t„i ˆx0 sao cho v(cid:237)i m(cid:231)i ˆx0

i ) + (cid:15).

i ) − (cid:15) < max ui∈Xi

i) < max ui∈Xi

(3) fi(ui, ˆx0 fi(ui, ˆx0 fi(ui, ˆx0 max ui∈xi

i )) trong ﬁª O(x0

i ) l(cid:181) mØt l'n c¸n mº cæa x0

i trong

i ) T O1(ˆx0

i ) × (O2(ˆx0 Xi. Theo (1), (2) v(cid:181) (3), v(cid:237)i m(cid:231)i x0 ∈ O(x0) ta cª,

Ch(cid:228)n O(x0) = O(x0

i , ˆx0

i) > fi(y0

i , ˆx0

i ) −

i) −

i ) − (cid:15) > max ui∈Xi

. fi(y∗ fi(ui, ˆx0 fi(ui, ˆx0 + (cid:15) > max ui∈Xi 1 k 1 k

i ∈ Tu∈O(x0) Ti(u) v(cid:181) v(cid:215) v¸y Tu∈O(x0) Ti(u) 6= ∅. Do ﬁª Ti cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a

Khi ﬁª y∗

ph›‹ng v(cid:181) Wk cª t(cid:221)nh ch˚t giao ﬁ(cid:222)a ph›‹ng.

X l(cid:181) compact theo d•y n“n {xk}∞ Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder t(cid:229)n t„i xk ∈ X sao cho xk ∈ Wk(xk). M˘t kh‚c, k=1 cª ﬁi(cid:211)m t(cid:244) x∗ ∈ X. Kh«ng m˚t t(cid:221)nh t(cid:230)ng qu‚t ta gi¶ s(cid:246)

limk→∞ xk = x∗, ngh(cid:220)a l(cid:181) v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ N ,

i , ˆxk

i ) −

i ) > max ui∈Xi

, fi(xk fi(ui, ˆxk 1 k

v(cid:181) v(cid:215) v¸y

i , ˆx∗

i , ˆxk

i ) −

i ).

i ) ≥ lim k→∞

i ) ≥ lim sup k→∞

fi(x∗ fi(xk fi(ui, ˆxk fi(ui, ˆx∗ (max ui∈Xi ) = max ui∈Xi 1 k

Do ﬁª t(cid:229)n t„i ﬁi(cid:211)m x∗ ∈ X sao cho v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ N ,

i , ˆx∗

i ).

i ) = max ui∈Xi

fi(x∗ fi(ui, ˆx∗

1+y v(cid:181) f2(x, y) = y2 − 1

1+x .

V(cid:221) d(cid:244) 1.4.1. X—t X = [0, 1] × [0, 1] v(cid:181) f1(x, y) = x2 − 1

Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:231)i y ∈ [0, 1], f1(., y) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m, v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ [0, 1], f2(x, .) l(cid:181) ∆-tøa l(cid:226)m. Khi ﬁª bØ h(cid:181)m f1, f2 thÆa c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 1.4.1. §i(cid:211)m x∗ = (1, 1) ∈ X ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁi(cid:211)m

y“n ngøa cæa bØ h(cid:181)m f1, f2.

Ch›‹ng 2

B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong kh«ng gian

cª thł tø

2.1 §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁ‹n tr(cid:222)

Trong ph˙n n(cid:181)y ch(cid:243)ng t«i tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i ‚nh x„

ﬁ‹n tr(cid:222) trong t¸p h(cid:238)p cª thł tø.

§Þnh nghÜa 2.1.1. T¸p h(cid:238)p cª thł tø (P, ≤) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) lattice n(cid:213)u sup{x, y} v(cid:181) inf{x, y}

t(cid:229)n t„i v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ P .

§Þnh nghÜa 2.1.2. T¸p C ⊆ P ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt x(cid:221)ch (thł tø to(cid:181)n ph˙n) n(cid:213)u x ≤ y hay y ≤ x

v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ C.

§Þnh nghÜa 2.1.3. T¸p C ⊆ P ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) s(cid:190)p tŁt (thu¸n) n(cid:213)u m(cid:228)i t¸p con kh‚c r(cid:231)ng cæa C

ﬁ(cid:210)u cª ph˙n t(cid:246) nhÆ nh˚t. T¸p C ⊆ P ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) s(cid:190)p tŁt ﬁ¶o n(cid:213)u m(cid:228)i t¸p con kh‚c r(cid:231)ng cæa

C ﬁ(cid:210)u cª ph˙n t(cid:246) l(cid:237)n nh˚t.

§Þnh nghÜa 2.1.4. T¸p h(cid:238)p P v(cid:237)i quan h(cid:214) ≤ cª c‚c t(cid:221)nh ch˚t ph¶n x„ v(cid:181) b(cid:190)t c˙u ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i

l(cid:181) ﬁ(cid:222)nh h›(cid:237)ng n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i c˘p (x, y) ∈ P × P t(cid:229)n t„i z ∈ P sao cho x ≤ z v(cid:181) y ≤ z.

§(cid:222)nh l(cid:253) sau tr(cid:215)nh b(cid:181)y nguy“n l(cid:253) ﬁ(cid:214) qui. Trong ph˙n chłng minh ch(cid:243)ng t«i ch(cid:216) s(cid:246)

d(cid:244)ng c‚c c«ng c(cid:244) s‹ c˚p cæa l(cid:253) thuy(cid:213)t t¸p h(cid:238)p.

§Þnh lý 2.1.1. Cho (P, ≤) l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø v(cid:181) D ⊂ 2P l(cid:181) h(cid:228) chła t¸p ∅ v(cid:181) f : D → P .

Khi ﬁª t(cid:229)n t„i duy nh˚t mØt t¸p s(cid:190)p tŁt C sao cho x ∈ C khi v(cid:181) ch(cid:216) khi x = f {y ∈ C : y < x}.

H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u f (C) t(cid:229)n t„i th(cid:215) f (C) kh«ng l(cid:181) ch˘n tr“n ng˘t cæa C.

Chłng minh. Ta k(cid:221) hi(cid:214)u C

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng d„ng n(cid:213)u C l(cid:181) s(cid:190)p tŁt v(cid:181) x = f (C

l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng d„ng. Ta ﬁ›a ra mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa x(cid:221)ch ﬁ(cid:229)ng d„ng.

(a) N(cid:213)u A v(cid:181) B l(cid:181) ﬁ(cid:229)ng d„ng v(cid:181) A * B th(cid:215) B = A

(b) H(cid:238)p C cæa t˚t c¶ c‚c x(cid:221)ch ﬁ(cid:229)ng d„ng l(cid:181) s(cid:190)p tŁt v(cid:181) thÆa x ∈ C khi v(cid:181) ch(cid:216) khi

x = f {y ∈ C : y < x}.

§(cid:211) ch(cid:216) ra sø t(cid:229)n t„i duy nh˚t t¸p s(cid:190)p tŁt C trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ta ch(cid:216) c˙n chłng minh c‚c t(cid:221)nh ch˚t

(a) v(cid:181) (b) cæa x(cid:221)ch ﬁ(cid:229)ng d„ng v(cid:181) t(cid:221)nh duy nh˚t cæa t¸p C.

+ Chłng minh t(cid:221)nh ch˚t (a).

Do x = min(A \ B) n“n A

v(cid:181) y < x. §i(cid:210)u n(cid:181)y l(cid:181) m'u thu(cid:201)n v(cid:237)i c‚ch ch(cid:228)n x. §(cid:211) chłng minh B = A

chłng minh B \ A

t„i y = min(B \ A

n(cid:213)u kh«ng y = f (B

§˘t z = min(A

n“n y ≤ z < x. M˘t kh‚c B

y = f (B

+ Chłng minh t(cid:221)nh ch˚t (b).

L˚y Y l(cid:181) t¸p con kh‚c r(cid:231)ng cæa C. G(cid:228)i B l(cid:181) mØt x(cid:221)ch ﬁ(cid:229)ng d„ng sao cho Y T B l(cid:181) t¸p kh‚c

r(cid:231)ng v(cid:181) ﬁ˘t y = min(Y T B). Ta chłng minh y l(cid:181) ph˙n t(cid:246) nhÆ nh˚t cæa Y . L˚y x b˚t kœ thuØc Y . N(cid:213)u x ∈ B th(cid:215) x ∈ Y T B v(cid:181) y ≤ x. Ng›(cid:238)c l„i, ch(cid:228)n mØt x(cid:221)ch ﬁ(cid:229)ng d„ng A chła x. Theo chłng minh º t(cid:221)nh ch˚t (a) ta cª B ⊆ A

hay y = min Y . Suy ra C l(cid:181) s(cid:190)p tŁt.

L˚y x b˚t kœ thuØc C. Ch(cid:228)n B l(cid:181) x(cid:221)ch ﬁ(cid:229)ng d„ng sao cho x ∈ B. Theo chłng minh t(cid:221)nh

ch˚t (a) ta suy ra B

x ∈ P v(cid:181) x = f (C

+ Chłng minh t(cid:221)nh duy nh˚t cæa t¸p C.

Gi¶ s(cid:246) B l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt trong P thÆa x ∈ B khi v(cid:181) ch(cid:216) khi x = f (B

d„ng n“n B ⊆ C. N(cid:213)u B 6= C th(cid:215) theo chłng minh (a) B = C

ﬁª f (B

B = C v(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt C l(cid:181) duy nh˚t.

N(cid:213)u f (C) t(cid:229)n t„i th(cid:215) f (C) kh«ng th(cid:211) l(cid:181) ch˘n tr“n ng˘t cæa C. Th¸t v¸y, trong tr›Œng h(cid:238)p

S(cid:246) d(cid:244)ng nguy“n l(cid:253) ﬁ(cid:214) qui vıa tr(cid:215)nh b(cid:181)y ta thu ﬁ›(cid:238)c ph›‹ng ph‚p l˘p ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u suy

rØng.

ng›(cid:238)c l„i ta cª C S{f (C)} l(cid:181) mØt x(cid:221)ch ﬁ(cid:229)ng d„ng kh«ng n»m trong C. §i(cid:210)u n(cid:181)y l(cid:181) m'u thu(cid:201)n v(cid:237)i c‚ch x'y døng C.

§Þnh lý 2.1.2. Cho (P, ≤) l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø, G : P → P v(cid:181) a ∈ P . Khi ﬁª t(cid:229)n t„i duy

nh˚t x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt C, g(cid:228)i l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt cæa ph—p l˘p G ﬁŁi v(cid:237)i a, trong P thÆa

a = min C v(cid:181) n(cid:213)u x ∈ X, x > a th(cid:215) x ∈ C khi v(cid:181) ch(cid:216) khi x = sup G[C

H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u x∗ = sup G[C] t(cid:229)n t„i v(cid:181) a ≤ x∗ ≤ Gx∗ th(cid:215) x∗ = max C v(cid:181) G(x∗) = x∗.

Chłng minh. G(cid:228)i D l(cid:181) l(cid:237)p t˚t c¶ c‚c t¸p con kh‚c r(cid:231)ng U ⊆ P sao cho sup G[U ] t(cid:229)n t„i. X—t

‚nh x„ f : D S{∅} → P cho bºi f (∅) = a v(cid:181) f (U ) = sup G[U ] v(cid:237)i U ⊆ D. Theo nguy“n l(cid:253) ﬁ(cid:214) qui t(cid:229)n t„i duy nh˚t x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt C trong P sao cho

a = min C v(cid:181) a < x ∈ C khi v(cid:181) ch(cid:216) khi x = sup G[C

Gi¶ s(cid:246) x∗ = sup G[C] t(cid:229)n t„i v(cid:181) a ≤ x∗ ≤ G(x∗). N(cid:213)u x ∈ C v(cid:181) x 6= a th(cid:215) x =

sup G[C

S(cid:246) d(cid:244)ng ph›‹ng ph‚p l˘p ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u suy rØng ch(cid:243)ng ta thu ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t

ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i ‚nh x„ t¤ng.

§Þnh nghÜa 2.1.5. Cho (P, ≤) l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø. Ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a:

+ [a) = {x ∈ P : a ≤ x} v(cid:237)i m(cid:231)i a ∈ P .

+ (b] = {x ∈ P : x ≤ b} v(cid:237)i m(cid:231)i b ∈ P .

+ H(cid:181)m G : P → P g(cid:228)i l(cid:181) kh«ng gi¶m (t¤ng) trong W ⊆ P n(cid:213)u Gx ≤ Gy (Gy ≤ Gx) v(cid:237)i

m(cid:228)i x, y ∈ W v(cid:181) x ≤ y.

§Þnh lý 2.1.3. Cho (P, ≤) l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø, G : P → P v(cid:181) a ∈ P . Gi¶ s(cid:246) x∗ = sup G[C]

t(cid:229)n t„i v(cid:237)i C l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt cæa ph—p l˘p G ﬁŁi v(cid:237)i a. N(cid:213)u a ≤ Ga v(cid:181) G l(cid:181) kh«ng gi¶m trong [a)

th(cid:215) x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t cæa G trong [a) v(cid:181) x∗ = max C = min{y ∈ [a) : Gy ≤ y}.

Chłng minh. V(cid:215) a = min C v(cid:181) sup G(C

Do G l(cid:181) kh«ng gi¶m trong [a) n“n Gx ≤ Gx∗ v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ C. Do ﬁª x∗ = sup G[C] ≤ Gx∗.

Theo ph›‹ng ph‚p l˘p ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u suy rØng ta suy ra x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ G trong

[a) v(cid:181) x∗ = max C.

Ta chłng minh x∗ = min{y ∈ [a) : Gy ≤ y}. L˚y y ∈ [a) v(cid:181) Gy ≤ y. Do G l(cid:181) kh«ng

gi¶m trong [a) n“n G[a, y] ⊆ [a, y]. L˚y x b˚t kœ trong C. Ta ki(cid:211)m tra x ∈ [a, y]. Th¸t

v¸y, n(cid:213)u x /∈ [a, y] th(cid:215) C \ [a, y] 6= ∅. §˘t ¯x = min(C \ [a, y]), khi ﬁª C <¯x ⊆ [a, y] hay

G[C <¯x] ⊆ G[a, y] ⊆ [a, y]. Suy ra ¯x = sup G[C <¯x] ∈ [a, y]. §i(cid:210)u n(cid:181)y l(cid:181) m'u thu(cid:201)n. V¸y

x ∈ [a, y] v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ C hay C ⊆ [a, y]. Do ﬁª x∗ = max C ≤ y v(cid:237)i m(cid:228)i y ∈ [a) v(cid:181) Gy ≤ y.

Ta ph‚t bi(cid:211)u k(cid:213)t qu¶ ﬁŁi ng(cid:201)u cho ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.1.3

§˘c bi(cid:214)t, x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t cæa G trong [a).

§Þnh lý 2.1.4. Cho (P, ≤) l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø, G : P → P v(cid:181) b ∈ P . Gi¶ s(cid:246) x∗ = inf G[D]

t(cid:229)n t„i v(cid:237)i D l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt ﬁ¶o cæa ph—p l˘p G ﬁŁi v(cid:237)i b, ngh(cid:220)a l(cid:181)

b = max D v(cid:181) n(cid:213)u x ∈ X, x > b th(cid:215) x ∈ D khi v(cid:181) ch(cid:216) khi x = inf G[{y ∈ D : y > x}]

Khi ﬁª, n(cid:213)u Gb ≤ b v(cid:181) G l(cid:181) kh«ng gi¶m trong (b] th(cid:215) x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng l(cid:237)n nh˚t cæa G

trong (b] v(cid:181) x∗ = min D = max{y ∈ (b] : y ≤ Gy} v(cid:181) x∗ l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t cæa G

trong (b].

2.2 §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222)

C‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i ‚nh x„ ﬁ‹n tr(cid:222) sˇ s(cid:246) d(cid:244)ng v(cid:181)o tr›Œng h(cid:238)p ﬁa tr(cid:222).

§Þnh nghÜa 2.2.1. H(cid:181)m S : Y → X ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) selection cæa ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222) F : Y → 2X \ ∅

n(cid:213)u S(x) ∈ F (x) v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ Y . N(cid:213)u X l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø v(cid:181) S(x) l(cid:181) ph˙n t(cid:246) nhÆ nh˚t

(l(cid:237)n nh˚t) cæa F (x) v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ Y th(cid:215) ta nªi S l(cid:181) selection nhÆ nh˚t (l(cid:237)n nh˚t) cæa ‚nh x„

ﬁa tr(cid:222) F .

§Þnh nghÜa 2.2.2. Ph˙n t(cid:246) x ∈ X g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ F : X → 2X \ ∅ n(cid:213)u

x ∈ F (x). N(cid:213)u t¸p Z g(cid:229)m t˚t c¶ c‚c ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ F cª ph˙n t(cid:246) nhÆ nh˚t (l(cid:237)n

Ta tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt k(cid:213)t qu¶ li“n quan ﬁ(cid:213)n t(cid:221)nh ch˚t cæa x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt cæa ph—p l˘p G

ﬁŁi v(cid:237)i ph˙n t(cid:246) a trong kh«ng gian cª thł tø X. S(cid:246) d(cid:244)ng k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m

b˚t ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i ‚nh x„ ﬁ‹n tr(cid:222) ta thu ﬁ›(cid:238)c c‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) ﬁa tr(cid:222).

nh˚t) th(cid:215) ph˙n t(cid:246) ﬁª g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t (l(cid:237)n nh˚t) cæa F trong Z.

§Þnh lý 2.2.1. Cho a ∈ X v(cid:181) G : X → X l(cid:181) ‚nh x„ ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u kh«ng gi¶m trong [a) thÆa

a ≤ Ga. G(cid:228)i C l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt cæa ph—p l˘p G ﬁŁi v(cid:237)i a. Khi ﬁª G[C] ⊆ C.

Chłng minh. L˚y x b˚t kœ trong C ta chłng minh G(x) ∈ C. N(cid:213)u x = a th(cid:215) Gx = Ga ∈ C.

Th¸t v¸y, n(cid:213)u a < Ga th(cid:215) C

N(cid:213)u x > a th(cid:215) Gx l(cid:181) mØt ch˘n tr“n cæa G[C

Gx ∈ C. Trong tr›Œng h(cid:238)p ng›(cid:238)c l„i, C

Gx = sup{sup G[C

Suy ra Gx = sup G[C

§Þnh lý 2.2.2. Cho T l(cid:181) t¸p h(cid:238)p kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) c‚c ‚nh x„ F t : X → 2X \ ∅, t ∈ T thÆa

(H0) V(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T t(cid:229)n t„i at ∈ X sao cho F t(at) ⊆ [at).

(H1) V(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T c‚c x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng cæa F t[[at)] ﬁ(cid:210)u cª ch˘n tr“n nhÆ nh˚t trong X.

Khi ﬁª,

(a) N(cid:213)u m(cid:231)i F t ﬁ(cid:210)u cª mØt selection t¤ng St : X → X th(cid:215) c‚c ‚nh x„ St cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng

nhÆ nh˚t xt trong [at) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T v(cid:181) xt ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa F t trong [at).

(b) N(cid:213)u m(cid:231)i F t ﬁ(cid:210)u cª mØt selection t¤ng nhÆ nh˚t th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T , F t cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng

nhÆ nh˚t xt trong [at) v(cid:181)

xt = min{y ∈ [at) : min F t(y) ≤ y}

(c) N(cid:213)u T l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø v(cid:181) c‚c ‚nh x„ t 7→ St(x), x ∈ X v(cid:181) t 7→ at l(cid:181) t¤ng th(cid:215) ‚nh

x„ t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

Chłng minh. (a) L˚y t ∈ T cŁ ﬁ(cid:222)nh v(cid:181) St : X → X l(cid:181) mØt selection t¤ng cæa F t. Theo gi¶

thi(cid:213)t (H0) ta cª St(at) ∈ F t(at) ⊆ [at) hay at ≤ St(at). G(cid:228)i C l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt cæa ph—p

l˘p St ﬁŁi v(cid:237)i ph˙n t(cid:246) at. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.1 ta cª St[C] ⊆ C. Do ﬁª St[C] l(cid:181) s(cid:190)p tŁt v(cid:181)

St[C] ⊆ F t[C] ⊆ F t[[at)]. K(cid:213)t h(cid:238)p gi¶ thi(cid:213)t (H1) ta suy ra sup St[C] t(cid:229)n t„i. Ch(cid:228)n G = St

trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.1.3 ta suy ra xt = max C l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t cæa St trong [at). M˘t

kh‚c, St l(cid:181) mØt selection cæa F t n“n xt = St(xt) ∈ F t(xt), h‹n n(cid:247)a

xt = min{y ∈ [at) : St(y) ≤ y}

(b) Gi¶ s(cid:246) F t cª slection nhÆ nh˚t v(cid:181) t¤ng St. Theo chłng minh tr“n, v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T trong

[at) t(cid:229)n t„i ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t xtcæa St hay F t. M˘t kh‚c, St(y) = min F t(y) v(cid:237)i m(cid:231)i

y ∈ X n“n

xt = min{y ∈ [at) : min F t(y) ≤ y}

N(cid:213)u y l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa F t trong [at) th(cid:215) y ∈ F t(y) v(cid:181) min F t(y) ≤ y. Theo tr“n ta suy

ra xt ≤ y hay xt l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t cæa F t.

Ta ph‚t bi(cid:211)u k(cid:213)t qu¶ ﬁŁi ng(cid:201)u cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) tr“n.

(c) Gi¶ s(cid:246) t 7→ St(x), x ∈ X v(cid:181) t 7→ at l(cid:181) t¤ng. L˚y t, ¯t ∈ T sao cho t ≤ ¯t. Khi ﬁª St(x¯t) ≤ S¯t(x¯t) = x¯t ∈ [a¯t) ⊆ [at). §i(cid:210)u n(cid:181)y ngh(cid:220)a l(cid:181) x¯t ∈ {y ∈ [at) : min F t(y) ≤ y} hay xt ≤ x¯t. V¸y t 7→ xt l(cid:181) ‚nh x„ t¤ng.

§Þnh lý 2.2.3. Cho T l(cid:181) t¸p h(cid:238)p kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) c‚c ‚nh x„ F t : X → 2X \ ∅, t ∈ T thÆa

(H2) V(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T t(cid:229)n t„i bt ∈ X sao cho F t(bt) ⊆ (bt].

(H3) V(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T c‚c x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng cæa F t[(bt]] ﬁ(cid:210)u cª ch˘n d›(cid:237)i l(cid:237)n nh˚t trong X.

Khi ﬁª,

(a) N(cid:213)u m(cid:231)i F t ﬁ(cid:210)u cª mØt selection t¤ng St : X → X th(cid:215) c‚c ‚nh x„ St cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng

l(cid:237)n nh˚t xt trong (bt] v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T v(cid:181) xt ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa F t trong (bt].

(b) N(cid:213)u m(cid:231)i F t ﬁ(cid:210)u cª mØt selection t¤ng l(cid:237)n nh˚t th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T , F t cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng

l(cid:237)n nh˚t xt trong (bt] v(cid:181)

xt = max{y ∈ (bt] : y ≤ max F t(y)}

(c) N(cid:213)u T l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø v(cid:181) c‚c ‚nh x„ t 7→ St(x), x ∈ X v(cid:181) t 7→ bt l(cid:181) t¤ng th(cid:215) ‚nh

x„ t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

2.3 §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng trong kh«ng gian t(cid:221)ch

Trong to(cid:181)n bØ ph˙n n(cid:181)y ta x—t T l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thø tø v(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng, X l(cid:181) kh«ng

gian t(cid:221)ch cª thł tø, ngh(cid:220)a l(cid:181) X = Qi∈I Xi v(cid:237)i I l(cid:181) t¸p ch(cid:216) sŁ v(cid:181) Xi = (Xi, ≤i) l(cid:181) c‚c t¸p h(cid:238)p cª thł tø. Tr“n X ta x—t quan h(cid:214) thł tø nh› sau:

{xi}i∈I ≤ {yi}i∈I khi v(cid:181) ch(cid:216) khi xi ≤i yi v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ I

X—t W l(cid:181) t¸p con kh‚c r(cid:231)ng trong Xi. Ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a mØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m sau:

§Þnh nghÜa 2.3.1. T¸p W ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) x(cid:221)ch subcomplete downwards n(cid:213)u m(cid:231)i x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng

cæa W ﬁ(cid:210)u cª mØt ch˘n d›(cid:237)i l(cid:237)n nh˚t trong Xi v(cid:181) thuØc W . N(cid:213)u m(cid:231)i x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng cæa

W ﬁ(cid:210)u cª mØt ch˘n tr“n nhÆ nh˚t trong Xi v(cid:181) thuØc W th(cid:215) W ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) x(cid:221)ch subcomplete

upwards. N(cid:213)u W l(cid:181) x(cid:221)ch subcomplete downwards v(cid:181) upwards th(cid:215) W ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) x(cid:221)ch

subcomplete.

§Þnh nghÜa 2.3.2. T¸p W ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) meet sublattice n(cid:213)u inf{x, y} t(cid:229)n t„i trong Xi v(cid:181) thuØc

W v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ W . N(cid:213)u sup{x, y} t(cid:229)n t„i trong Xi v(cid:181) thuØc W v(cid:237)i m(cid:228)i x, y ∈ W th(cid:215) W

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) join sublattice. N(cid:213)u W l(cid:181) meet v(cid:181) join sublattice th(cid:215) W ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) sublattice.

§Þnh nghÜa 2.3.3. T¸p W ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) upwards directed n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:231)i x, y ∈ W t(cid:229)n t„i z ∈ W

sao cho x ≤i z v(cid:181) y ≤i z. N(cid:213)u t(cid:229)n t„i z ∈ W sao cho x ≥i z v(cid:181) y ≥i z th(cid:215) W ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181)

downwards directed. N(cid:213)u W l(cid:181) upwards v(cid:181) downwards directed th(cid:215) W ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) directed.

§Þnh nghÜa 2.3.4. H(cid:181)m Fi : X → 2Xi \ ∅ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) increasing upwards n(cid:213)u v(cid:237)i m(cid:228)i

x, ¯x ∈ X sao cho x ≤ ¯x v(cid:181) z ∈ Fi(x) t(cid:229)n t„i ¯z ∈ Fi(¯x) sao cho z ≤i ¯z. Fi ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181)

increasing downwards v(cid:237)i m(cid:228)i x, ¯x ∈ X sao cho x ≤ ¯x v(cid:181) ¯z ∈ Fi(¯x) t(cid:229)n t„i z ∈ Fi(x) sao

cho z ≤i ¯z. N(cid:213)u Fi l(cid:181) increasing upwards v(cid:181) downwards th(cid:215) Fi ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) increasing.

§Þnh nghÜa 2.3.5. H(cid:181)m Fi : X → 2Xi \∅ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) weakly ascending n(cid:213)u sup{z, ¯z} ∈ Fi(¯x)

S(cid:246) d(cid:244)ng c‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222) v(cid:181) c‚c kh‚i ni(cid:214)m ﬁ›(cid:238)c

ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n ta thu ﬁ›(cid:238)c c‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng trong kh«ng gian t(cid:221)ch.

hay inf{z, ¯z} ∈ Fi(x) v(cid:237)i m(cid:228)i x, ¯x ∈ X, x ≤ ¯x, z ∈ Fi(x) v(cid:181) ¯z ∈ Fi(¯x).

i : X → 2Xi \ ∅, i ∈ I, t ∈ T thÆa c‚c gi¶ thi(cid:213)t:

§Þnh lý 2.3.1. Gi¶ s(cid:246) c‚c ‚nh x„ F t

i (x) l(cid:181) weakly ascending v(cid:181) cª gi‚ tr(cid:222) l(cid:181) x(cid:221)ch subcomplete v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ I.

(h0) (x, t) 7→ F t

i}i∈I ∈ X sao cho F t

i (at) ⊆ [at

i) v(cid:181) t 7→ at

i l(cid:181) t¤ng v(cid:237)i

(h1) V(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T t(cid:229)n t„i at = {at

m(cid:231)i i ∈ I.

i [[at)] ﬁ(cid:210)u cª ch˘n tr“n nhÆ nh˚t trong Xi v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I v(cid:181)

(h2) M(cid:231)i x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng cæa F t

t ∈ T .

i }i∈I cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng xt v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

Khi ﬁª, v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T , F t = {F t

Chłng minh. Ta chłng minh c‚c gi¶ thi(cid:213)t (H0) v(cid:181) (H1) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.2 ﬁ›(cid:238)c thÆa. Gi¶ thi(cid:213)t

(h1) v(cid:181) quan h(cid:214) thł tø tr“n X k—o theo gi¶ thi(cid:213)t (H0) thÆa. Ngh(cid:220)a l(cid:181) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T t(cid:229)n t„i

at ∈ X sao cho F t(at) ⊆ [at). §(cid:211) chłng minh gi¶ thi(cid:213)t (H1) ﬁ›(cid:238)c thÆa ta chłng minh m(cid:231)i

x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt, kh‚c r(cid:231)ng cæa F t[[at)] ﬁ(cid:210)u cª ch˘n tr“n nhÆ nh˚t trong X v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T . L˚y

t ∈ T cŁ ﬁ(cid:222)nh v(cid:181) W = {Wi}i∈I l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt, kh‚c r(cid:231)ng trong F t[[at)], ta chłng minh W

cª ch˘n tr“n nhÆ nh˚t trong X. Do W l(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng n“n Wi, i ∈ I l(cid:181) c‚c t¸p con kh‚c r(cid:231)ng

i [[at)]. L˚y Ai l(cid:181) t¸p con kh‚c r(cid:231)ng cæa Wi v(cid:181) ﬁ˘t Bi = {x = (xi)i∈I ∈ W : xi ∈ Ai}. Khi ﬁª, Bi l(cid:181) t¸p con kh‚c r(cid:231)ng cæa W v(cid:181) do ﬁª y = (yi)i∈I = min B t(cid:229)n t„i. S(cid:246) d(cid:244)ng quan

cæa F t

h(cid:214) thł tø tr“n X ta suy ra yi = min Ai. V¸y Wi l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt. S(cid:246) d(cid:244)ng gi¶ thi(cid:213)t (h2) ta suy

ra xi = sup Wi t(cid:229)n t„i trong Xi. K(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ I, do ﬁª x = (xi)i∈I ch(cid:221)nh l(cid:181)

i : X → Xi l(cid:181) c‚c selection cæa c‚c ‚nh x„ F t

ch˘n tr“n nhÆ nh˚t cæa W .

i v(cid:181) thÆa i (¯x) v(cid:237)i i ∈ I, x ≤ ¯x trong X v(cid:181) t ≤ ¯t trong T . V(cid:237)i c‚c t(cid:221)nh ch˚t tr“n v(cid:237)i m(cid:231)i i (x)}i∈I, x ∈ X. St ch(cid:221)nh l(cid:181) mØt selection t¤ng cæa F t v(cid:181) t 7→ St(x) l(cid:181) t¤ng v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.2 (a) ta

Gi¶ thi(cid:213)t (h0) k—o theo sø t(cid:229)n t„i St i (x) ≤i S¯t St t ∈ T ta x'y døng ‚nh x„ St : X → X ﬁ(cid:222)nh bºi St(x) = {St

suy ra St cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t xt ∈ [at) c(cid:242)ng ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa F t v(cid:237)i m(cid:231)i

S(cid:246) d(cid:244)ng k(cid:213)t qu¶ ﬁŁi ng(cid:201)u trong ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222) ta thu ﬁ›(cid:238)c k(cid:213)t

qu¶ ﬁŁi ng(cid:201)u cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) tr“n.

t ∈ T . H‹n n(cid:247)a, do t 7→ at l(cid:181) t¤ng theo (h1) n“n t 7→ xt l(cid:181) t¤ng theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.2 (c).

i : X → 2Xi \ ∅, i ∈ I, t ∈ T thÆa c‚c gi¶ thi(cid:213)t:

§Þnh lý 2.3.2. Gi¶ s(cid:246) c‚c ‚nh x„ F t

i (x) l(cid:181) weakly ascending v(cid:181) cª gi‚ tr(cid:222) l(cid:181) x(cid:221)ch subcomplete v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ I.

(h0) (x, t) 7→ F t

i}i∈I ∈ X sao cho F t

i (bt) ⊆ (bt

i] v(cid:181) t 7→ bt

i l(cid:181) t¤ng v(cid:237)i

(h3) V(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T t(cid:229)n t„i bt = {bt

m(cid:231)i i ∈ I.

i [(bt]] ﬁ(cid:210)u cª ch˘n tr“n nhÆ nh˚t trong Xi v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I v(cid:181)

(h4) M(cid:231)i x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng cæa F t

t ∈ T .

i }i∈I cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng xt v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

Gi¶ thi(cid:213)t (h0) gi(cid:243)p ch(cid:243)ng ta ch(cid:216) ra sø t(cid:229)n t„i selection t¤ng St cæa F t. Ta cª th(cid:211)

thay gi¶ thi(cid:213)t (h0) b»ng c‚c gi¶ thi(cid:213)t kh‚c sao cho ﬁ¶m b¶o sø t(cid:229)n t„i cæa c‚c ‚nh x„

selection St v(cid:181) tı ﬁª ta c(cid:242)ng thu ﬁ›(cid:238)c c‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng trong

kh«ng gian t(cid:221)ch. K(cid:213)t qu¶ ti(cid:213)p theo l(cid:181) h(cid:214) qu¶ cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.2 (b) v(cid:181) (c).

Khi ﬁª, v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T , F t = {F t

i : X → 2Xi \ ∅, i ∈ I, t ∈ T thÆa c‚c gi¶ thi(cid:213)t (h1) v(cid:181)

§Þnh lý 2.3.3. Gi¶ s(cid:246) c‚c ‚nh x„ F t

(h2) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.1 v(cid:181) thÆa:

i l(cid:181) increasing downwards, F t

i (x) l(cid:181) downwards directed v(cid:181) chła mØt

(h5) C‚c ‚nh x„ F t

ch˘n d›(cid:237)i cæa c‚c x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng trong nª.

Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T , F t = {F t

i }i∈I cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t xt ∈ [at) v(cid:181) xt = min{y ∈ i (x), i ∈ I, x ∈ X l(cid:181) increasing downwards th(cid:215) ‚nh x„

[at) : min F t(y) ≤ y}. N(cid:213)u t 7→ F t

t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

K(cid:213)t qu¶ tr“n v(cid:201)n ﬁ(cid:243)ng n(cid:213)u ta thay gi¶ thi(cid:213)t (h5) bºi gi¶ thi(cid:213)t sau:

l(cid:181) weakly ascending v(cid:181) cª gi‚ tr(cid:222) l(cid:181) c‚c x(cid:221)ch subcomplete v(cid:181) meet (h6) C‚c ‚nh x„ F t i

sublattices v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ I v(cid:181) t ∈ T .

Chłng minh. L˚y x ∈ X, t ∈ T v(cid:181) i ∈ I cŁ ﬁ(cid:222)nh. Gi¶ thi(cid:213)t (h5) ch(cid:216) ra r»ng c‚c x(cid:221)ch

i (x) ﬁ(cid:210)u cª ch˘n d›(cid:237)i trong Xi v(cid:181) thuØc F t

i (x). Theo b(cid:230) ﬁ(cid:210) Zorn trong

s(cid:190)p tŁt ﬁ¶o cæa F t

i (x) cª ph˙n t(cid:246) tŁi ti(cid:211)u l(cid:181) zi. Do F t

i (x) l(cid:181) downwards directed n“n zi = min F t

F t

i (x). §i(cid:210)u i }i∈I , trong ﬁª i (x), i ∈ I, x ∈ X.St ch(cid:221)nh l(cid:181) mØt selection nhÆ nh˚t cæa F t. H‹n n(cid:247)a, do i l(cid:181) t¤ng. S(cid:246) d(cid:244)ng quan h(cid:214) thł tø tr“n X ta

i (x) = min F t St i l(cid:181) incresing downwards theo (h5) n“n m(cid:231)i St F t

n(cid:181)y ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ X. Do ﬁª ta cª x'y døng ﬁ›(cid:238)c ‚nh x„ St = {St

suy ra St l(cid:181) selection t¤ng v(cid:181) nhÆ nh˚t cæa F t.

Gi¶ thi(cid:213)t (h1) v(cid:181) (h2) k—o theo gi¶ thi(cid:213)t (H0) v(cid:181) (H1) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.2 thÆa. Do ﬁª døa v(cid:181)o

k(cid:213)t qu¶ cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.2.2 (b) v(cid:181) (c) ta suy ra c‚c k(cid:213)t qu¶ cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253).

i cª c‚c selection t¤ng St

i v(cid:237)i

Gi¶ s(cid:246) gi¶ thi(cid:213)t (h6) ﬁ›(cid:238)c thÆa. Gi¶ thi(cid:213)t n(cid:181)y ch(cid:216) ra r»ng c‚c F t

i }i∈I l(cid:181) selection t¤ng v(cid:181) nhÆ nh˚t cæa F t.

Ta ph‚t bi(cid:211)u k(cid:213)t qu¶ ﬁŁi ng(cid:201)u cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) tr“n.

m(cid:231)i i ∈ I. T›‹ng tø tr“n, St = {St

i : X → 2Xi \ ∅, i ∈ I, t ∈ T thÆa c‚c gi¶ thi(cid:213)t (h3) v(cid:181)

§Þnh lý 2.3.4. Gi¶ s(cid:246) c‚c ‚nh x„ F t

(h4) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.2 v(cid:181) thÆa:

i l(cid:181) increasing upwards, F t

i (x) l(cid:181) upwards directed v(cid:181) chła mØt ch˘n

(h7) C‚c ‚nh x„ F t

tr“n cæa c‚c x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng trong nª.

Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T , F t = {F t

i }i∈I cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng l(cid:237)n nh˚t xt ∈ (bt] v(cid:181) xt = max{y ∈ i (x), i ∈ I, x ∈ X l(cid:181) increasing upwards th(cid:215) ‚nh x„

(bt] : y ≤ max F t(y)}. N(cid:213)u t 7→ F t

t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

K(cid:213)t qu¶ tr“n v(cid:201)n ﬁ(cid:243)ng n(cid:213)u ta thay gi¶ thi(cid:213)t (h7) bºi gi¶ thi(cid:213)t sau:

l(cid:181) weakly ascending v(cid:181) cª gi‚ tr(cid:222) l(cid:181) c‚c x(cid:221)ch subcomplete v(cid:181) join (h8) C‚c ‚nh x„ F t i

Ta cª th(cid:211) thay gi¶ thi(cid:213)t (h1) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.1 v(cid:181) (h3) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.2 b»ng mØt

sŁ t(cid:221)nh ch˚t cæa t¸p cª thł tø ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a nh› sau.

sublattices v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ I v(cid:181) t ∈ T .

§Þnh nghÜa 2.3.6. Cho Y l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø. Ph˙n t(cid:246) c ∈ Y g(cid:228)i l(cid:181) sup-center cæa Y n(cid:213)u

sup{c, x} t(cid:229)n t„i trong Y v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ Y . N(cid:213)u inf{c, x} t(cid:229)n t„i trong Y th(cid:215) c ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181)

inf-center cæa Y . N(cid:213)u c l(cid:181) sup-center v(cid:181) inf-center th(cid:215) c ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) order center cæa Y .

§Þnh nghÜa 2.3.7. Cho Y l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø. T¸p Z ⊆ Y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) closed upwards n(cid:213)u

Z chła t˚t c¶ c‚c ch˘n tr“n nhÆ nh˚t cæa c‚c x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt trong Z. N(cid:213)u Z chła t˚t c¶ c‚c

ch˘n d›(cid:237)i l(cid:237)n nh˚t cæa c‚c x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt ﬁ¶o trong Z th(cid:215) Z ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) closed downwards.Z

Ti(cid:213)p theo ta tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng trong kh«ng gian t(cid:221)ch b»ng c‚ch

s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c t(cid:221)nh ch˚t cæa t¸p h(cid:238)p cª thł tø ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n.

Trong ph˙n ti(cid:213)p theo, ta gi¶ s(cid:246) T = (T, ≤) l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø, X = Qi∈I Xi l(cid:181) t(cid:221)ch cæa c‚c t¸p h(cid:238)p cª thł tø Xi = (Xi, ≤i). Tr“n X trang b(cid:222) quan h(cid:214) thł tø giŁng nh› tr“n.

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) order-closed n(cid:213)u Z l(cid:181) closed upwards v(cid:181) downwards.

i : X → 2Xi \ ∅, i ∈ I, t ∈ T thÆa c‚c gi¶ thi(cid:213)t.

§Þnh lý 2.3.5. Gi¶ s(cid:246) c‚c ‚nh x„ F t

i [X] cª ch˘n tr“n nhÆ nh˚t v(cid:181) ch˘n d›(cid:237)i l(cid:237)n nh˚t trong Xi.

(ha) C‚c x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng cæa F t

i (x) l(cid:181) weakly ascending v(cid:181) cª gi‚ tr(cid:222) l(cid:181) t¸p order-closed.

(hb) C‚c ‚nh x„ (x, t) 7→ F t

i }i∈I cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng xt v(cid:181)

(a) N(cid:213)u m(cid:231)i Xi cª mØt inf-center th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T , F t = {F t

‚nh x„ t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

i }i∈I cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng xt

(b) N(cid:213)u m(cid:231)i Xi cª mØt sup-center th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T , F t = {F t

v(cid:181) ‚nh x„ t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

Chłng minh. (a) C‚c gi¶ thi(cid:213)t (ha) v(cid:181) (hb) k—o theo gi¶ thi(cid:213)t (h0) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.1 thÆa. Do

ﬁª m(cid:231)i F t cª mØt selection t¤ng St : X → X. Gi¶ s(cid:246) r»ng m(cid:231)i Xi ﬁ(cid:210)u cª mØt inf-center l(cid:181) ci,

khi ﬁª c = {ci}i∈I l(cid:181) inf-center cæa X. L˚y t ∈ T cŁ ﬁ(cid:222)nh. X—t ‚nh x„ G : X → X cho bºi

G(x) = inf{c, St(x)}, x ∈ X, d(cid:212) th˚y G(c) ≤ c. G(cid:228)i D l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt ﬁ¶o cæa ph—p l˘p G

ﬁŁi v(cid:237)i ph˙n t(cid:246) c. Do St l(cid:181) t¤ng n“n St[D] l(cid:181) t¸p s(cid:190)p tŁt ﬁ¶o. H‹n n(cid:247)a St[D] ⊆ F t[X], do v¸y

y = inf St[D] l(cid:181) t(cid:229)n t„i trong X theo gi¶ thi(cid:213)t (ha). Tı ﬁ'y ta suy ra inf{c, y} = inf G[D].

S(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cho ‚nh x„ G ta suy ra at := min D l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng l(cid:237)n nh˚t

cæa G trong (c]. H‹n n(cid:247)a

at = max{y ∈ (c] : y ≤ inf{c, St(y)}}.

§˘c bi(cid:214)t, at ≤ St(at). G(cid:228)i C l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt cæa ph—p l˘p St ﬁŁi v(cid:237)i ph˙n t(cid:246) at. Do St[C] l(cid:181)

s(cid:190)p tŁt v(cid:181) St[C] ⊆ F t[X] n“n theo gi¶ thi(cid:213)t (ha) sup St[C] t(cid:229)n t„i. T›‹ng tø nh› tr“n ta suy

ra St nh¸n xt = max C l(cid:181)m ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t trong [at). Do St l(cid:181) mØt selection cæa

F t n“n xt = St(xt) ∈ F t(xt). V¸y xt l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa F t v(cid:181)

xt = min{y ∈ [at) : St(y) ≤ y} v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T .

M˘t kh‚c, t 7→ St(x) l(cid:181) t¤ng theo chłng minh cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.1 v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X n“n ta suy ra

t 7→ at v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

(b) Gi¶ s(cid:246) r»ng c l(cid:181) sup-center cæa X. L˚y t ∈ T , ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a

G(x) = sup{c, St(x)}, x ∈ X

v(cid:181) l˚y C l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt cæa ph—p l˘p G ﬁŁi v(cid:237)i ph˙n t(cid:246) c. Ta d(cid:212) d(cid:181)ng ki(cid:211)m tra ﬁ›(cid:238)c

bt = sup G[C] t(cid:229)n t„i. S(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cho ‚nh x„ G ta suy ra bt = max C v(cid:181)

bt c(cid:242)ng ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ G trong [c) v(cid:181) thÆa

bt = min{y ∈ [c) : sup{,St(y)} ≤ y}.

§˘c bi(cid:214)t, St(bt) ≤ bt. G(cid:228)i D l(cid:181) x(cid:221)ch s(cid:190)p tŁt ﬁ¶o cæa ph—p l˘p St cæa ph˙n t(cid:246) bt. Khi ﬁª, St

cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng l(cid:237)n nh˚t xt trong (bt] v(cid:237)i xt = min D v(cid:181) thÆa

xt = max{y ∈ (bt] : y ≤ St(y)} v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T.

Do xt = St(xt) ∈ F t(xt) n“n xt l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa F t. M˘t kh‚c, t 7→ St(x), x ∈ X l(cid:181)

B»ng c‚ch thay th(cid:213) gi¶ thi(cid:213)t (h1) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.3 b»ng gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) sø t(cid:229)n t„i

inf-center cæa Xi ta thu ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.6.

t¤ng n“n t 7→ bt v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

i : X → 2Xi \ ∅, i ∈ I, t ∈ T thÆa gi¶ thi(cid:213)t (ha) cæa ﬁ(cid:222)nh

§Þnh lý 2.3.6. Gi¶ s(cid:246) c‚c ‚nh x„ F t

l(cid:253) 2.3.5 v(cid:181) gi¶ thi(cid:213)t sau.

i l(cid:181) increasing downwards v(cid:181) m(cid:231)i F t

i (x) l(cid:181) t¸p downwards direted v(cid:181) chła mØt

(hc) M(cid:231)i F t

ch˘n d›(cid:237)i cæa c‚c x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng trong nª.

i }i∈I cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ

N(cid:213)u m(cid:231)i Xi cª mØt inf-center l(cid:181) ci th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T , F t = {F t

nh˚t xt ∈ [at), trong ﬁª

at = max{y ∈ (c] : y ≤ inf{c, min F t(y)}}, c = {ci}i∈I

i (x) l(cid:181) increasing downwards v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I v(cid:181) x ∈ X th(cid:215) c‚c ‚nh x„

N(cid:213)u ‚nh x„ t 7→ F t

t 7→ at v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

i (x) t(cid:229)n t„i

Chłng minh. Tı gi¶ thi(cid:213)t (hc) v(cid:181) chłng minh trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.3 ta suy ra min F t

v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I, t ∈ T v(cid:181) x ∈ X v(cid:181) ‚nh x„ t 7→ min F t

i (x) l(cid:181) t¤ng. Døa v(cid:181)o k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y ta suy i (x)}i∈I l(cid:181) t(cid:229)n t„i v(cid:237)i m(cid:228)i t ∈ T v(cid:181) x ∈ X v(cid:181) ‚nh x„ t 7→ min F t(x) l(cid:181) t¤ng v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T . Ch(cid:228)n St := min F t trong chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.5 (a) ta th˚y n(cid:213)u

ra min F t(x) = {min F t

m(cid:231)i Xi cª mØt inf-center ci th(cid:215) min F t cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t xt trong [at), v(cid:237)i [at) x‚c

ﬁ(cid:222)nh trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.5. Theo chłng minh ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.3 ta suy ra xt l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ

nh˚t cæa F t trong [at).

i (x) l(cid:181) increaing downwards v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I v(cid:181) x ∈ X. Tı gi¶ thi(cid:213)t n(cid:181)y ta

Gi¶ s(cid:246) r»ng t 7→ F t

suy ra t 7→ min F t(x), x ∈ X l(cid:181) c‚c ‚nh x„ t¤ng. H‹n n(cid:247)a,

xt = min{y ∈ [at) : min F t(y) ≤ y} v(cid:237)i m(cid:228)i t ∈ T.

S(cid:246) d(cid:244)ng k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y, ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a at v(cid:181) t(cid:221)nh ﬁ‹n ﬁi(cid:214)u cæa c‚c ‚nh x„ t 7→ min F t(x), x ∈ X

K(cid:213)t qu¶ ti(cid:213)p theo l(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁŁi ng(cid:201)u cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.6 v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c chłng minh t›‹ng

tø.

ta suy ra ﬁ›(cid:238)c t 7→ at v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

i : X → 2Xi \ ∅, i ∈ I, t ∈ T thÆa gi¶ thi(cid:213)t (ha) cæa ﬁ(cid:222)nh

§Þnh lý 2.3.7. Gi¶ s(cid:246) c‚c ‚nh x„ F t

l(cid:253) 2.3.5 v(cid:181) gi¶ thi(cid:213)t sau.

i l(cid:181) increasing downwards v(cid:181) m(cid:231)i F t

i (x) l(cid:181) t¸p upwards direted v(cid:181) chła mØt

(hd) M(cid:231)i F t

ch˘n tr“n cæa c‚c x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng trong nª.

i }i∈I cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng l(cid:237)n

N(cid:213)u m(cid:231)i Xi cª mØt sup-center l(cid:181) ci th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T , F t = {F t

nh˚t xt ∈ (bt], trong ﬁª

bt = min{y ∈ [c) : sup{c, max F t(y)} ≤ y}, c = {ci}i∈I

N(cid:213)u ‚nh x„ t 7→ F t(x) l(cid:181) increasing upwards v(cid:237)i m(cid:228)i x ∈ X th(cid:215) c‚c ‚nh x„ t 7→ bt v(cid:181)

Ta tr(cid:215)nh b(cid:181)y mØt h(cid:214) qu¶ cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.6 v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.7.

t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

(hc) v(cid:181) (hd). Khi ﬁª v(cid:237)i m(cid:231)i c‚ch ch(cid:228)n ci ∈ Xi v(cid:181) m(cid:231)i t ∈ T ‚nh x„ F t = {F t

§Þnh lý 2.3.8. Cho T l(cid:181) t¸p h(cid:238)p cª thł tø v(cid:181) X = Qi∈I Xi l(cid:181) t(cid:221)ch cæa c‚c kh«ng gian i : X → 2Xi \ ∅, i ∈ I, t ∈ T thÆa c‚c gi¶ thi(cid:213)t (ha), lattices Xi. Gi¶ s(cid:246) r»ng c‚c ‚nh x„ F t i }i∈I cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng nhÆ nh˚t v(cid:181) l(cid:237)n nh˚t xt v(cid:181) xt trong [at, bt], trong ﬁª at, bt ﬁ›(cid:238)c cho trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253)

2.3.6 v(cid:181) 2.3.7. H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u ‚nh x„ t 7→ F t(x) l(cid:181) t¤ng v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X th(cid:215) c‚c ‚nh x„ t 7→ at,

t 7→ bt, t 7→ xt v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

Chłng minh. Do m(cid:231)i ph˙n t(cid:246) cæa kh«ng gian lattices ﬁ(cid:210)u l(cid:181) order center cæa nª n“n c‚c k(cid:213)t

qu¶ cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ch(cid:221)nh l(cid:181) h(cid:214) qu¶ cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.6 v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.7.

2.4 B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong kh«ng gian cª thł tø

C‚c k(cid:213)t qu¶ v(cid:210) l(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y tr“n ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng nh› mØt c«ng c(cid:244) ﬁ(cid:211)

nghi“n cłu b(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong l(cid:253) thuy(cid:213)t tr(cid:223) ch‹i.

G(cid:228)i I l(cid:181) t¸p h(cid:238)p c‚c ng›Œi ch‹i v(cid:181) T l(cid:181) t¸p h(cid:238)p c‚c tham sŁ, ﬁ˘c tr›ng cho c‚c thay

ﬁ(cid:230)i cæa m«i tr›Œng m(cid:181) ng›Œi ch‹i tham gia.Ta k(cid:221) hi(cid:214)u X = Qi∈I Xi l(cid:181) t¸p h(cid:238)p c‚c bØ ph›‹ng ‚n (chi(cid:213)n l›(cid:238)c) cæa c‚c ng›Œi ch‹i. V(cid:237)i m(cid:231)i x = {xi}i∈I v(cid:181) i ∈ I ta k(cid:221) hi(cid:214)u

i ⊆ Xi l(cid:181) t¸p h(cid:238)p c‚c ph›‹ng ‚n ph¶n h(cid:229)i cæa ng›Œi ch‹i thł i løa ch(cid:228)n ﬁ›a ra ﬁŁi v(cid:237)i t‚c

ﬁØng (x, t) (bØ ph›‹ng ‚n x v(cid:181) tham sŁ t‚c ﬁØng t). Ta g(cid:228)i ut

i(x) ∈ Wi = (Wi, 4i)l(cid:181) l(cid:238)i nhu¸n ng›Œi ch‹i thł i thu ﬁ›(cid:238)c. Ta nªi ph›‹ng ‚n ph¶n h(cid:229)i ¯yi cæa ng›Œi ch‹i thł i

ﬁŁi v(cid:237)i t‚c ﬁØng (x, t) l(cid:181) tŁi ›u n(cid:213)u

i(x−i, ¯yi) = max{ut ut

i(x−i, yi) : yi ∈ X x,t i }

MØt bØ ph›‹ng ‚n x = {xi}i∈I ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash v(cid:237)i t ∈ T n(cid:213)u c‚c

ph›‹ng ‚n ph¶n h(cid:229)i xi cæa ng›Œi ch‹i thł i ﬁŁi v(cid:237)i t‚c ﬁØng (x, t) ﬁ(cid:210)u l(cid:181) ph›‹ng ‚n

tŁi ›u.

Ta k(cid:221) hi(cid:214)u F t

i (x) l(cid:181) t¸p h(cid:238)p c‚c ph›‹ng ‚n ph¶n h(cid:229)i tŁi ›u cæa ng›Œi ch‹i thł i ﬁŁi v(cid:237)i t‚c ﬁØng (x, t). V¸y ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tr“n ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng

cæa ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222) F t = {F t

i }i∈I.

v(cid:181) h(cid:181)m l(cid:238)i nhu¸n ut

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y ch(cid:243)ng ta sˇ tr(cid:215)nh b(cid:181)y c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n cho t¸p c‚c ph›‹ng ‚n ph¶n h(cid:229)i X x,t i

i sao cho ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash t(cid:229)n t„i. H‹n n(cid:247)a, ch(cid:243)ng ta c(cid:223)n ch(cid:216) ra r»ng ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash l(cid:237)n nh˚t ¯xt l(cid:181) t(cid:229)n t„i v(cid:181) l(cid:181)m

cho h(cid:181)m ut

i(x) ﬁ„t gi‚ tr(cid:222) l(cid:237)n nh˚t tr“n t¸p h(cid:238)p c‚c ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T

n(cid:213)u c‚c gi¶ thi(cid:213)t sau ﬁ›(cid:238)c thÆa:

x = (x−i, xi), º ﬁ'y xi l(cid:181) ph›‹ng ‚n (chi(cid:213)n l›(cid:238)c) cæa ng›Œi ch‹i thł i v(cid:181) x−i l(cid:181) bØ c‚c ph›‹ng ‚n cæa c‚c ng›Œi ch‹i c(cid:223)n l„i. V(cid:237)i x ∈ X v(cid:181) t ∈ T cŁ ﬁ(cid:222)nh, g(cid:228)i X x,t

(1) C‚c Xi l(cid:181) order-bounded v(cid:181) l(cid:181) t¸p con order-closed cæa kh«ng gian ﬁ(cid:222)nh chu¨n cª

l(cid:181) closed v(cid:181) directed upwards.

thł tø Ei v(cid:237)i thł tø sinh bºi nªn ch(cid:221)nh qui. (2) C‚c X x,t (3) C‚c ‚nh x„ x 7→ X t,x

l(cid:181) increasing upwards.

(4) C‚c h(cid:181)m ut

i i l(cid:181) increasing.

i )−1(wi) v(cid:181) l(cid:181) t¸p

g(cid:228)i l(cid:181) t¸p młc cæa ux,t

i n(cid:213)u A = (ux,t

i )−1[[wi)] v(cid:237)i wi n(cid:181)o ﬁª trong ux,t

i n(cid:213)u A = (ux,t [X x,t i

] §Þnh nghÜa 2.4.1. T¸p h(cid:238)p A ⊆ X x,t młc tr“n cæa ux,t

i (x) v(cid:181) b»ng F t

i (x) khi

l(cid:181) t¸p con cæa F t

]. Nh¸n x—t 2.4.1. C‚c t¸p młc v(cid:181) t¸p młc tr“n cæa ux,t wi = max ux,t i [X x,t i

] chła mØt ch˘n tr“n cæa c‚c x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) directed upwards trong nª. [X x,t i

: x ∈ X} cª ch˘n tr“n nhÆ nh˚t v(cid:181) ch˘n d›(cid:237)i l(cid:237)n nh˚t

l(cid:181) closed upwards v(cid:181) directed upwards.

v(cid:181) B cæa u¯x,t i

i (¯zi) ⊀ u¯x,t

i (zi).

§Þnh lý 2.4.1. Gi¶ s(cid:246) r»ng c‚c gi¶ thi(cid:213)t sau ﬁ›(cid:238)c thÆa: (Ha) ux,t (Hb) C‚c x(cid:221)ch kh‚c r(cid:231)ng cæa S{X x,t trong Xi v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I v(cid:181) t ∈ T . (Hc) M(cid:231)i t¸p młc cæa m(cid:231)i ux,t (Hd) N(cid:213)u x < ¯x trong X, i ∈ I v(cid:181) t ∈ T , th(cid:215) t(cid:229)n t„i t¸p młc tr“n A cæa ux,t sao cho v(cid:237)i yi ∈ Av(cid:181) zi ∈ B t(cid:229)n t„i mØt ¯zi ∈ X ¯x,t thÆa yi ≤i ¯zi v(cid:181) u¯x,t

N(cid:213)u m(cid:231)i Xi cª mØt sup-center l(cid:181) ci th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T t(cid:229)n t„i ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash l(cid:237)n nh˚t

xt trong kho¶ng thł tø (bt] cæa X, trong ﬁª bt ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi:

bt = min{y ∈ [c) : sup{c, max F t(y)} ≤ y}, c = {ci}i∈I .

v(cid:181) B cæa ux,¯t

i (¯zi) ⊀ ux,¯t

i (zi).

H‹n n(cid:247)a, c‚c ‚nh x„ t 7→ bt v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng n(cid:213)u gi¶ thi(cid:213)t sau ﬁ›(cid:238)c thÆa: (He) N(cid:213)u t < ¯t trong T , i ∈ I v(cid:181) x ∈ X, th(cid:215) t(cid:229)n t„i t¸p młc tr“n A cæa ux,t sao cho v(cid:237)i yi ∈ Av(cid:181) zi ∈ B t(cid:229)n t„i mØt ¯zi ∈ X ¯x,t thÆa yi ≤i ¯zi v(cid:181) ux,¯t

] cª ph˙n t(cid:246) tŁi ﬁ„i v(cid:181) ph˙n t(cid:246) n(cid:181)y ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁi(cid:211)m cøc ﬁ„i

i (x) l(cid:181) kh‚c r(cid:231)ng v(cid:181) chła ch˘n tr“n nhÆ nh˚t cæa c‚c x(cid:221)ch

Chłng minh. L˚y i ∈ I, t ∈ T v(cid:181) x ∈ X cŁ ﬁ(cid:222)nh. Døa v(cid:181)o b(cid:230) ﬁ(cid:229) Zorn v(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (Ha) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ta suy ra t¸p h(cid:238)p ux,t cæa ux,t [X x,t i ]. V(cid:215) v¸y t¸p h(cid:238)p F t [X x,t i

i (x) l(cid:181) directed upwards n“n

kh‚c r(cid:231)ng trong nª theo gi¶ thi(cid:213)t (Hb) v(cid:181) (Hc). H‹n n(cid:247)a, do F t

i (x) l(cid:181) t(cid:229)n t„i.

max F t

Ti(cid:213)p theo ta chłng minh x 7→ F t

i (x), i ∈ I, t ∈ T l(cid:181) increasing upwards. Th¸t v¸y, gi¶ s(cid:246) i (¯x), theo gi¶ thi(cid:213)t (Hd) t(cid:229)n t„i ¯zi ∈ X ¯x,t

i (x). Ch(cid:228)n zi ∈ F t

i i (¯x). Do yi ≤i ¯zi n“n

i (zi). Døa v(cid:181)o k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y ta suy ra ¯zi ∈ F t

sao cho

i (¯zi) ⊀i u¯x,t i l(cid:181) increasing upwards.

x < ¯x v(cid:181) l˚y yi ∈ F t yi ≤i ¯zi v(cid:181) u¯x,t F t

C‚c chłng minh tr“n chłng tÆ gi¶ thi(cid:213)t (hd) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.7 ﬁ›(cid:238)c thÆa. Gi¶ thi(cid:213)t (ha) cæa

ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.7 ﬁ›(cid:238)c suy ra tı gi¶ thi(cid:213)t (Hb) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253). Do ﬁª, n(cid:213)u c‚c Xi cª mØt sup-center

i }i∈I cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng l(cid:237)n nh˚t xt trong kho¶ng thł tø (bt] cæa X, trong ﬁª (bt] ﬁ›(cid:238)c ch(cid:216) ra trong ﬁ(cid:222)nh l(cid:253). Theo ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a ban ﬁ˙u, xt ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash

ci th(cid:215) F t = {F t

trong (bt].

B»ng k(cid:252) thu¸t chłng minh t›‹ng tø trong chłng minh F t

i l(cid:181) increasing upwards ta chłng i (x) l(cid:181) increasing upwards v(cid:237)i m(cid:231)i i ∈ I v(cid:181) x ∈ X. Theo ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.3 ta

minh ﬁ›(cid:238)c t 7→ F t

suy ra c‚c ‚nh x„ t 7→ bt v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng.

l(cid:181) closed upwards v(cid:181) directed upwards.

l(cid:181) t¤ng.

l(cid:181) increasing upwards. §Þnh lý 2.4.2. Gi¶ s(cid:246) r»ng gi¶ thi(cid:213)t (Hb) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.4.1 v(cid:181) c‚c gi¶ thi(cid:213)t sau ﬁ›(cid:238)c thÆa: (Hf) M(cid:231)i X x,t i (Hg) M(cid:231)i ‚nh x„ ux,t (Hh) M(cid:231)i ‚nh x„ x 7→ X x,t

N(cid:213)u m(cid:231)i Xi cª mØt sup-center l(cid:181) ci th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T t(cid:229)n t„i ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash l(cid:237)n nh˚t

xt trong kho¶ng cª thł tø (bt] cæa X, trong ﬁª bt ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi:

bt = min{y ∈ [c) : sup{c, max F t(y)} ≤ y}, c = {ci}i∈I .

l(cid:181) increasing upwards. H‹n n(cid:247)a, c‚c ‚nh x„ t 7→ bt v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng n(cid:213)u gi¶ thi(cid:213)t sau ﬁ›(cid:238)c thÆa: (Hi) M(cid:231)i ‚nh x„ t 7→ X x,t

i n“n zi ∈ F t

i (zi) theo (Hg). §i(cid:210)u n(cid:181)y ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i m(cid:231)i yi ∈ X x,t

i (x). H‹n n(cid:247)a

l(cid:181) t(cid:229)n t„i. N(cid:213)u yi ∈ X x,t th(cid:215) yi ≤i zi v(cid:181) khi ﬁª

i (x) ⊆ X x,t

. Chłng minh. L˚y i ∈ I, t ∈ T v(cid:181) x ∈ X cŁ ﬁ(cid:222)nh. S(cid:246) d(cid:244)ng b(cid:230) ﬁ(cid:210) Zorn v(cid:181) c‚c gi¶ thi(cid:213)t (Hb) v(cid:181) (Hf) ta suy ra zi = max X x,t i (yi) 4 ux,t ux,t zi = max Fit(x) do F t v(cid:181) zi = max X x,t

i , t ∈ T, i ∈ I l(cid:181) increasing upwards. Gi¶ s(cid:246) x ≤ ¯x v(cid:181) l˚y yi ∈ F t

i (x). Theo i ∈ Fit(¯x). §i(cid:210)u n(cid:181)y chłng tÆ

Ta chłng minh F t (Hh) t(cid:229)n t„i zi ∈ X ¯x,t sao cho yi ≤ zi. V(cid:215) v¸y, yi ≤ max X ¯x,t

i l(cid:181) incresing upwards.

F t

i (x) = max X x,t

S(cid:246) d(cid:244)ng gi¶ thi(cid:213)t (Hi) v(cid:181) max F t v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I, t ∈ T v(cid:181) x ∈ X ta suy ra

i (x) l(cid:181) increasing upwards v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I v(cid:181) x ∈ X.

t 7→ F t

C‚c k(cid:213)t qu¶ tr“n chłng tÆ c‚c gi¶ thi(cid:213)t (Ha), (Hc), (Hd) v(cid:181) (He) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.4.1 ﬁ›(cid:238)c thÆa.

Tı ﬁ'y ta suy ra ﬁi(cid:210)u ph¶i chłng minh.

l(cid:181) closed downwards v(cid:181) directed downwards.

l(cid:181) gi¶m.

l(cid:181) increasing downwards. §Þnh lý 2.4.3. Gi¶ s(cid:246) gi¶ thi(cid:213)t (Hb) cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.4.1 v(cid:181) c‚c gi¶ thi(cid:213)t sau ﬁ›(cid:238)c thÆa: (Hf’) M(cid:231)i X x,t (Hg’) M(cid:231)i ‚nh x„ ux,t (Hh’) M(cid:231)i ‚nh x„ x 7→ X x,t

N(cid:213)u m(cid:231)i Xi cª mØt inf-center l(cid:181) ci th(cid:215) v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T t(cid:229)n t„i ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash nhÆ nh˚t

xt trong kho¶ng cª thł tø [at) cæa X, trong ﬁª at ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi:

at = max{y ∈ (c] : y ≤ inf{c, min F t(y)}}, c = {ci}i∈I

l(cid:181) increasing downwards. H‹n n(cid:247)a, c‚c ‚nh x„ t 7→ at v(cid:181) t 7→ xt l(cid:181) t¤ng n(cid:213)u gi¶ thi(cid:213)t sau ﬁ›(cid:238)c thÆa: (Hi’) M(cid:231)i ‚nh x„ t 7→ X x,t

Chłng minh. K(cid:213)t qu¶ cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁŁi ng(cid:201)u cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.4.3.

: x ∈ X} l(cid:181) b(cid:222) ch˘n tr“n v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I v(cid:181) t ∈ T .

§Þnh lý 2.4.4. Gi¶ s(cid:246) c‚c gi¶ thi(cid:213)t cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.4.1 v(cid:181) 2.4.2 v(cid:181) gi¶ thi(cid:213)t sau ﬁ›(cid:238)c thÆa. (Hj) S{X x,t Khi ﬁª, ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash l(cid:237)n nh˚t ¯xt t(cid:229)n t„i v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T . H‹n n(cid:247)a, m(cid:231)i ¯xt ch(cid:221)nh l(cid:181)

i(x) tr“n t¸p h(cid:238)p c‚c ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash v(cid:237)i m(cid:231)i t n(cid:213)u:

ﬁi(cid:211)m cøc ﬁ„i cæa ut

i(x−i, xi) l(cid:181) t¤ng trong X−i = Qj∈I\i Xj v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I, xi ∈ Xi v(cid:181) t ∈ T .

(Hk) x−i 7→ ut

i}i∈I sao cho F t(x) ≤ bt v(cid:237)i m(cid:231)i x ∈ X v(cid:181) t ∈ T . Tı ﬁ'y ta suy ra ﬁ›(cid:238)c c‚c gi¶ thi(cid:213)t cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.3.4 ﬁ›(cid:238)c thÆa. Do ﬁª ‚nh x„ F t

Chłng minh. Gi¶ thi(cid:213)t (Hj) suy ra sø t(cid:229)n t„i bt = {bt

cª ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng l(cid:237)n nh˚t ¯xt trong (bt]. Do F t[X] ⊆ (bt] v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T n“n m(cid:231)i ¯xt l(cid:181) ﬁi(cid:211)m

l(cid:237)n nh˚t trong c‚c ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa F t v(cid:181) c(cid:242)ng l(cid:181) ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash l(cid:237)n nh˚t. Do ﬁª k(cid:213)t

lu¸n thł nh˚t cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁ›(cid:238)c chłng minh. Døa v(cid:181)o k(cid:213)t qu¶ n(cid:181)y v(cid:181) gi¶ thi(cid:213)t (Hk) ta suy ra

k(cid:213)t lu¸n thł hai.

: x ∈ X} l(cid:181) b(cid:222) ch˘n d›(cid:237)i v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I v(cid:181) t ∈ T .

§Þnh lý 2.4.5. Gi¶ s(cid:246) c‚c gi¶ thi(cid:213)t cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.4.3 v(cid:181) gi¶ thi(cid:213)t sau ﬁ›(cid:238)c thÆa. (Hj’) S{X x,t Khi ﬁª, ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash nhÆ nh˚t ¯xt t(cid:229)n t„i v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T . H‹n n(cid:247)a, m(cid:231)i ¯xt ch(cid:221)nh l(cid:181)

i(x) tr“n t¸p h(cid:238)p c‚c ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash v(cid:237)i m(cid:231)i t n(cid:213)u:

ﬁi(cid:211)m cøc ti(cid:211)u cæa ut

i(x−i, xi) l(cid:181) gi¶m trong X−i = Qj∈I\i Xj v(cid:237)i m(cid:228)i i ∈ I, xi ∈ Xi v(cid:181) t ∈ T .

(Hk) x−i 7→ ut

Chłng minh. K(cid:213)t qu¶ cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) n(cid:181)y ch(cid:221)nh l(cid:181) ﬁŁi ng(cid:201)u cæa cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.4.4.

i(x) ﬁ„t gi‚ tr(cid:222) l(cid:237)n nh˚t tr“n t¸p h(cid:238)p c‚c ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash v(cid:237)i m(cid:231)i t ∈ T n(cid:213)u gi¶ thi(cid:213)t (Hf), (Hg), (Hh),

§Þnh lý 2.4.6. §i(cid:211)m c'n b»ng Nash ¯xt l(cid:181) t(cid:229)n t„i v(cid:181) l(cid:181)m c‚c h(cid:181)m l(cid:238)i nhu¸n ut

(Hk) v(cid:181) gi¶ thi(cid:213)t sau ﬁ›(cid:238)c thÆa.

(Hi) T¸p h(cid:238)p c‚c ph›‹ng ‚n Xi cæa ng›Œi ch‹i thł i l(cid:181) t¸p con b(cid:222) ch˘n thł tø, order-closed

cæa kh«ng gian ﬁ(cid:222)nh chu¨n cª thł tø sinh bºi nªn ch(cid:221)nh qui.

Chłng minh. Gi¶ thi(cid:213)t (Hi) k—o theo c‚c gi¶ thi(cid:213)t (Hb) v(cid:181) (Hj) ﬁ›(cid:238)c thÆa. Do ﬁª døa v(cid:181)o

ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.4.4 ta suy ra k(cid:213)t lu¸n cæa ﬁ(cid:222)nh l(cid:253).

K(cid:213)t lu¸n

C‚c k(cid:213)t qu¶ ch(cid:221)nh trong lu¸n v¤n ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh b(cid:181)y trong c‚c t(cid:181)i li(cid:214)u [2] v(cid:181) [5].

Trong qu‚ tr(cid:215)nh ti(cid:213)p c¸n hai b(cid:181)i b‚o n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i cª thu ﬁ›(cid:238)c mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ nhÆ,

cung c˚p v(cid:181) thay ﬁ(cid:230)i mØt sŁ chłng minh cho c‚c v(cid:221) d(cid:244), ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) . C(cid:244) th(cid:211) nh› sau:

Trong ch›‹ng 1, c‚c v(cid:221) d(cid:244) 1.1.1, 1.3.1, 1.3.2 kh«ng ﬁ›(cid:238)c chłng minh trong [5].

§(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder ﬁ›(cid:238)c chłng minh theo c‚ch ti(cid:213)p c¸n kh‚c th«ng

qua b(cid:230) ﬁ(cid:210) v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) t‚ch KyFan. §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m y“n ngøa v(cid:181) h(cid:214) qu¶ kh«ng ﬁ›(cid:238)c tr(cid:215)nh

b(cid:181)y trong [5]. Trong ch›‹ng 2, ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) 2.1.2, 2.2.1 ch(cid:216) ﬁ›(cid:238)c ph‚t bi(cid:211)u trong [2] v(cid:181)

kh«ng chłng minh.

H›(cid:237)ng nghi“n cłu b(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash tr“n kh«ng gian cª thł tø l(cid:181) kh‚ m(cid:237)i.

Trong thŒi gian t(cid:237)i, ch(cid:243)ng t«i sˇ cŁ g(cid:190)ng d(cid:181)nh nhi(cid:210)u thŒi gian cho h›(cid:237)ng nghi“n cłu

n(cid:181)y v(cid:181) hi v(cid:228)ng sˇ thu ﬁ›(cid:238)c nhi(cid:210)u k(cid:213)t qu¶ kh¶ quan h‹n.

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

1. S. Heikkila, V. Lakshmikantham, Monotone Iterative Techniques for Disconti-

2. S. Heikkila, K. Reffett, "Fixed point theorems and their applications to theory of

Nash equilibria", Nonlinear Analysis 64(2006) 1415-1436.

3. S. Heikkila, "On chain methods used in fixed point theory", Nonlinear Stud. 6(2)

(1999) 171-180.

4. Charles D. Horvath, Juan Vicente Llinares Ciscar, "Maximal elements and fixed

points for binary relations on topological ordered spaces", Journal

nuous Nonlinear Differential Equations, Marcel Dekker, New York, 1994.

5. Qun Luo, "KKM and Nash Equilibria Type Theorems in Topological Ordered

Spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 264, 262-269

(2003).

6. Q. Luo, "Ky Fan’s section Theorem and its Application in Topological Ordered

spaces", Applied Mathematics Letters 17 (2004), 1113-1119.

7. Eberhard Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, vol I,

Springer, Berlin 1988.

8. Jean-Pierre Aubin, H—l(cid:204)ne Frankowska, Set-Valued Analysis, Birkhauser,

Boston 1990.

9. George Xian-Zhi Yuan, KKM Theory and Applications in Nonlinear Analysis,

Marcel Dekker, New York 1999.

of Mathematical Economics, 25 (1996), 291-306.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán cân bằng Nash trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- Phạm Duy Khánh BÀI TOÁN CÂN BẰNG NASH TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

LŒi c¶m ‹n

M(cid:244)c l(cid:244)c

Mº ﬁ˙u

1. L(cid:253) do ch(cid:228)n ﬁ(cid:210) t(cid:181)i

2. M(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch nghi“n cłu

3. §Łi t›(cid:238)ng v(cid:181) nØi dung nghi“n cłu

4. ý ngh(cid:220)a khoa h(cid:228)c thøc ti(cid:212)n

5. C˚u tr(cid:243)c lu¸n v¤n

Ch›‹ng 1

B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong n(cid:246)a

d(cid:181)n

1.1 §(cid:222)nh l(cid:253) Knaster-Kuratowski-Mazurkiewiez v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253)

t‚ch Ky Fan

1.2 B(cid:230) ﬁ(cid:210) Ky Fan v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng Fan-Browder

1.3 §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m y“n ngøa

1.4 §(cid:222)nh l(cid:253) v(cid:210) sø t(cid:229)n t„i cæa ﬁi(cid:211)m c'n b»ng Nash

Ch›‹ng 2

B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong kh«ng gian

cª thł tø

2.1 §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁ‹n tr(cid:222)

2.2 §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng cæa ‚nh x„ ﬁa tr(cid:222)

2.3 §(cid:222)nh l(cid:253) ﬁi(cid:211)m b˚t ﬁØng trong kh«ng gian t(cid:221)ch

2.4 B(cid:181)i to‚n c'n b»ng Nash trong kh«ng gian cª thł tø

K(cid:213)t lu¸n

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok