Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Nguyễn Thị Kim Oanh

BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TRÊN TẬP TRÙ MẬT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Nguyễn Thị Kim Oanh

BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÉCTƠ TRÊN TẬP TRÙ MẬT

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học TS. BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2017

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn

Nguyễn Thị Kim Oanh

Xác nhận của trưởng khoa Toán Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

TS. Bùi Thế Hùng

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Kim Oanh

Mục lục

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

Một số ký hiệu và viết tắt

Mở đầu

1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Nón trong không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . 1.3 Một số tính chất của ánh xạ véctơ . . . . . . . . . . . . 1.4 Nguyên lý ánh xạ KKM và định lý điểm bất động . .

2 Bài toán cân bằng véctơ trên tập trù mật

2.1 Tập tự trù mật đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Bài toán cân bằng véctơ yếu trên tập tự trù mật đoạn 19 2.3 Bài toán cân bằng véctơ mạnh trên tập tự trù mật đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

Tài liệu tham khảo

iii

Một số ký hiệu và viết tắt

R tập các số thực

tập số thực không âm

tập số thực không dương

R+ R− Rn không gian véctơ Euclide n− chiều

tập các véctơ không âm của Rn

tập các véctơ không dương của Rn

không gian đối ngẫu tôpô của không gian X Rn + Rn − X ∗

giá trị của ξ ∈ X ∗ tại x ∈ X

(cid:104)ξ, x(cid:105)

dãy suy rộng

{xα}

tập rỗng

∅

A := B

A được định nghĩa bằng B

A ⊆ B

A là tập con của B

A (cid:54)⊆ B

A không là tập con của B

A ∪ B

hợp của hai tập hợp A và B

A ∩ B

giao của hai tập hợp A và B

A\B

hiệu của hai tập hợp A và B

A + B tổng véctơ của hai tập hợp A và B

A × B tích Descartes của hai tập hợp A và B

conv A bao lồi của tập hợp A

core A phần trong đại số của tập hợp A

ri A

phần trong tương đối của tập hợp A

cl A

bao đóng tôpô của tập hợp A

int A

phần trong tôpô của tập hợp A

KKM tên của ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz

supp(f ) giá của hàm f

x ∈ A

giá trị của x thuộc vào tập hợp A

x /∈ A

giá trị của x không thuộc vào tập hợp A

∀x

với mọi giá trị của x

∃x

tồn tại giá trị x

x ≤ y

giá trị của x nhỏ hơn hoặc bằng giá trị y

x ≥ y

giá trị của x lớn hơn hoặc bằng giá trị của y

bài toán cân bằng vô hướng

(EP )

(cid:50)

kết thúc chứng minh

Mở đầu

Bài toán cân bằng vô hướng sau đây được E. Blum và W. Oettli [3]

nghiên cứu vào năm 1994: Tìm điểm ¯x ∈ K sao cho

f (¯x, x) ≥ 0, với mọi x ∈ K,

(EP )

trong đó K là tập con nào đó và f : K × K → R là một hàm số thực thỏa mãn điều kiện f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K. Từ bài toán (EP ) ta có thể

suy ra các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu như bài toán tối ưu,

bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán cân bằng Nash,

bài toán điểm yên ngựa, bài toán điểm bất động, ...(xem [2], [3], [9], [10],

[13]). Chính vì vậy, bài toán này được nhiều người quan tâm nghiên cứu

như E. Blum, W. Oettli, Ky Fan, Browder, Minty, Bianchi, S. Schaible,

Hadjisavvas, .... Sau đó bài toán trên được mở rộng cho ánh xạ véctơ đơn

trị từ tập con không rỗng nào đó vào không gian tuyến tính với thứ tự sinh

bởi nón và người ta gọi bài toán (EP ) là bài toán cân bằng véctơ hay còn

được gọi là bài toán cân bằng đa mục tiêu. Từ quan hệ thứ tự sinh bởi nón,

người ta đưa ra các khái niệm khác nhau về điểm hữu hiệu của một tập và

phát biểu được các loại bài toán cân bằng khác nhau như bài toán cân bằng

véctơ lý tưởng, bài toán cân bằng véctơ mạnh, bài toán cân bằng véctơ yếu,

bài toán cân bằng véctơ thực sự (xem [1] và các tài liệu liên quan). Bài

toán (EP ) trong trường hợp này đóng vai trò trung tâm của lý thuyết cân

bằng véctơ hay còn gọi là lý thuyết cân bằng đa mục tiêu. Lý thuyết này

được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị

của Edgeworth [6], gắn liền với tên tuổi của một số nhà toán học lớn, ta

có thể kể đến như Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans, ....

Nhưng cũng phải cho tới năm 1954 với công trình của Deubreu [5] về giá trị

cân bằng và tối ưu Pareto, lý thuyết cân bằng véctơ mới được công nhận

là ngành toán học quan trọng có nhiều ứng dụng trong thực tế và được rất

nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.

Vì những lý do đó, chúng tôi chọn đề tài "Bài toán cân bằng véctơ trên

tập trù mật" làm luận văn tốt nghiệp. Mục đích chính của luận văn là trình

bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ

yếu và mạnh dưới giả thiết tính liên tục theo nón và tính lồi theo nón của

hàm mục tiêu trên tập con tự trù mật đoạn mà không cần trên toàn bộ

miền xác định. Ngoài ra, luận văn trình bày một số ứng dụng vào bài toán

bất đẳng thức biến phân.

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài

liệu tham khảo.

Chương 1 dành cho việc trình bày một số khái niệm về không gian lồi

địa phương, nón trong không gian tuyến tính, tính liên tục và tính lồi theo

nón của ánh xạ véctơ. Ngoài ra chúng tôi trình bày Nguyên lý ánh xạ KKM

và một số định lý điểm bất động được sử dụng trong chứng minh các kết

quả của chương 2.

Chương 2 trình bày một số điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài

toán cân bằng véctơ yếu và mạnh dưới giả thiết tính lồi và tính liên tục đối

với hàm mục tiêu trên tập con tự trù mật đoạn của miền xác định. Ngoài

ra, chúng tôi còn trình bày một số ứng dụng của kết quả trên vào bài boái

tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ Minty.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả quen

biết về không gian lồi địa phương, nón trong không gian tuyến tính, tính

liên tục và lồi theo nón của ánh xạ véctơ được dùng xuyên suốt trong luận

văn. Ngoài ra chúng tôi còn trình bày một cách chi tiết Nguyên lý ánh xạ

KKM và điểm bất động trong không gian tôpô tuyến tính.

1.1 Không gian lồi địa phương

Trong mục này, ta xét lớp không gian trừu tượng, đó là không gian lồi địa

phương.

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp không rỗng. Một họ τ những

tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu

(i) Hai tập ∅, X đều thuộc họ τ ;

(ii) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập

thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ ;

(iii) τ kín đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số hữu hạn hay

vô hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ τ .

Cặp (X, τ ) được gọi là không gian tôpô. Các phần tử thuộc X ta gọi là

điểm và các tập thuộc họ τ được gọi là tập mở.

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử τ, τ (cid:48) là các tôpô trên X. Nếu τ ⊆ τ (cid:48), ta nói tôpô τ yếu hơn (thô hơn) tôpô τ (cid:48) hay tôpô τ (cid:48) mạnh hơn (mịn hơn) tôpô τ .

Trường hợp không có quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh được.

Trong không gian metric (X, d), họ τ các tập mở trong X cũng là một

tôpô trên X, ta gọi đó là tôpô metric d, điều đó có nghĩa là, mọi không

gian metric (bao gồm cả không gian định chuẩn và Hilbert), đều là không

gian tôpô. Cho một không gian tôpô ta có thể định nghĩa được khái niệm

lân cận, giới hạn, phần trong, bao đóng, . . . một cách khái quát hơn các

khái niệm đã định nghĩa trong không gian metric.

Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian tôpô (X, τ ) và A ⊆ X.

(i) Tập con U của không gian X được gọi là lân cận của A nếu U là bao

hàm một tập mở chứa A;

(ii) Lân cận của phần tử x ∈ X là lân cận của tập con x. Họ tất cả các

lân cận của một điểm gọi là hệ lân cận của điểm đó.

Định nghĩa 1.1.4. Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian Haus-

dorff nếu đối với hai điểm khác nhau tùy ý x, y ∈ X luôn tồn tại các lân

cận U của x, V của y sao cho U ∩ V = ∅.

Định nghĩa 1.1.5. Cho X là không gian véctơ trên trường K.

(i) Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X

nếu các phép toán cộng và nhân vô hướng là các ánh xạ liên tục.

(ii) Một không gian tôpô tuyến tính hay không gian véctơ tôpô trên trường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là không gian véctơ trên trường K và τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số của X.

Định nghĩa 1.1.6. Một không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không

gian lồi địa phương (và tôpô của nó là tôpô lồi địa phương), nếu trong X có

một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi. Hơn vậy, nếu không gian lồi

địa phương X đồng thời là không gian Hausdorff thì X được gọi là không

gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff.

Ví dụ 1.1.7. Không gian định chuẩn, không gian Hilbert là các không gian

lồi địa phương Hausdorff.

Ví dụ 1.1.8. Cho X là một không gian định chuẩn, ta biết X là một không

gian tôpô tuyến tính và họ các hình cầu BX(0, r), r > 0 làm thành một cơ sở lân cận của gốc. Tôpô này là tôpô lồi địa phương vì mỗi hình cầu là một

tập lồi. Do đó X là không gian lồi địa phương.

Định nghĩa 1.1.9. Giả sử X là không gian định chuẩn với liên hợp X (cid:48). Với mỗi hệ hữu hạn u1, u2, ..., un ∈ X (cid:48) và ε > 0 ta đặt:

(cid:26) (cid:27)

W (u1, u2, ..., un; ε) =

|ui(x)| ≤ ε

x ∈ X : max 1≤i≤n

Dễ thấy W (u1, u2, ..., un; ε) là các tập cân, hút trong X và do đó chúng là cơ sở các 0-lân cận của một tôpô lồi địa phương δ(X, X (cid:48)) trên X. Ta có

định nghĩa sau:

Tôpô lồi địa phương δ(X, X (cid:48)) trên X xác định như trên được gọi là tôpô

yếu của X.

Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian có

tính chất phản xạ (hay còn gọi là không gian phản xạ) nếu phép nhúng chính tắc H : X −→ X ∗ là toàn ánh.

Từ định nghĩa ta dễ dàng nhận thấy:

1. Không gian định chuẩn X có tính chất phản xạ nếu với mọi g ∈ X ∗

đều tồn x ∈ X sao cho g(f ) = f (x) với mọi f ∈ X ∗.

2. Nếu X phản xạ thì X đẳng cự tuyến tính với X ∗. Do vậy nếu ta đồng

nhất hai không gian đẳng cự với nhau thì X phản xạ nếu X = X ∗.

3. Ta biết X ∗ là không gian Banach nên nếu X phản xạ thì X là không

gian Banach.

1.2 Nón trong không gian tuyến tính

Trong phần này, ta trình bày khái niệm nón trong không gian tuyến tính.

Từ khái niệm này người ta đưa ra khái niệm về tính liên tục theo nón và

tính lồi theo nón của ánh xạ véctơ. Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm nón

trong không gian tuyến tính.

Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C là một tập con

không rỗng trong Y . Ta nói rằng C là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu

tc ∈ C, với mọi c ∈ C và t ≥ 0.

Nếu C là nón có đỉnh tại gốc thì C + x0 là nón có đỉnh tại x0. Vì vậy trong luận văn này chúng tôi chỉ quan tâm đến nón có đỉnh tại gốc và để

tránh nhầm lẫn ta gọi nón thay cho nón có đỉnh tại gốc.

Định nghĩa 1.2.2. Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y . Ta nói

rằng

(i) C là nón lồi nếu C là tập lồi.

(ii) C là nón nhọn nếu l(C) = {0}, trong đó l(C) = C ∩ (−C).

Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong

Y , ta ký hiệu cl C, int C, conv C là bao đóng tôpô, phần trong tôpô và bao

lồi của C, tương ứng. Nón C gọi là đóng nếu C là tập đóng trong Y . Ta

nói C là nón lồi đóng nhọn nếu C là nón lồi, đóng và nhọn.

Dưới đây là một số ví dụ về nón trong không gian tuyến tính.

Ví dụ 1.2.3. 1. Cho Y là không gian tuyến tính. Khi đó (cid:8)0(cid:9), Y là các nón trong Y và ta gọi chúng là các nón tầm thường trong Y .

+ = (cid:8)x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn : xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n(cid:9) Rn

2. Cho không gian tuyến tính Rn. Khi đó tập

là nón lồi đóng nhọn trong Rn và ta gọi là nón orthant dương trong Rn.

3. Gọi C[0, 1] là không gian tuyến tính các hàm số xác định và liên tục

trên đoạn [0, 1] với các phép toán cộng và nhân vô hướng:

(x + y)(t) = x(t) + y(t),

(λx)(t) = λx(t).

Khi đó tập

C+[0, 1] = (cid:8)x ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, 1](cid:9)

là nón lồi đóng nhọn trong C[0, 1].

1.3 Một số tính chất của ánh xạ véctơ

Trong phần này chúng tôi trình bày tính chất liên tục theo nón của ánh

xạ véctơ đơn trị và tính lồi theo nón của ánh xạ véctơ đơn trị. Các khái

niệm trong phần này là sự mở rộng của các khái niệm về tính liên tục, tính

lồi của hàm đơn trị.

1.3.1 Tính liên tục theo nón của ánh xạ véctơ

Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị giữa các

không gian tôpô: Một ánh xạ đơn trị f : X → Y từ không gian tôpô X

vào không gian tôpô Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi tập mở V trong Y chứa f (x0), tồn tại lân cận mở U trong X chứa x0 sao cho f (U ) ⊆ V . Giả sử X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính và C là nón trên

Y. Ta nhắc lại khái niệm liên tục theo nón của ánh xạ véctơ đơn trị.

Định nghĩa 1.3.1. Cho ánh xạ véctơ đơn trị f : X → Y .

(i) f được gọi là C- nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận V

của f (x), tồn tại lân cận U của x trong X sao cho

f (U ) ⊆ V − C.

(ii) f được gọi là C- nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu −f là C- nửa liên

tục trên tại x.

(iii) Nếu f là C- nửa liên tục trên và C- nửa liên tục dưới tại x đồng

thời, thì ta nói f là C- liên tục tại x.

(iv) Nếu f là C- nửa liên tục trên, C- nửa liên tục dưới và C- liên tục

tại mọi điểm trong X, ta nói f là C- nửa liên tục trên, C- nửa liên tục dưới

và C- liên tục trong X.

Mệnh đề sau đưa ra điều kiện cần và đủ để ánh xạ véctơ đơn trị liên tục

theo nón.

Mệnh đề 1.3.2. Giả sử X là không gian tôpô, Y là không gian tôpô tuyến

tính với thứ tự sinh bởi nón C và ánh xạ véctơ đơn trị f : X → Y . Khi đó

các khẳng định sau đây là tương đương

(i) f là C- nửa liên tục trên trong X.

(ii) Với mỗi x0 ∈ X và k ∈ int C, tồn tại lân cận U của x0 trong X sao

cho

f (U ) ⊆ f (x0) + k − int C.

(iii) Với mọi y ∈ Y, f −1(y − int C) là mở trong X.

Chứng minh. (i) =⇒ (ii). Giả sử f là C- nửa liên tục trên trong X. Lấy

x0 ∈ X và k ∈ int C tùy ý. Vì int C là tập mở nên tồn tại lân cận mở W của k sao cho W ⊆ int C. Khi đó

f (x0) ∈ f (x0) + k − W ⊆ f (x0) + k − int C.

Đặt V := f (x0) + k − int C. Khi đó V là lân cận mở của f (x0). Vì f là C- nửa liên tục trên tại x0 nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho

f (U ) ⊆ V − C.

Từ đó suy ra

f (U ) ⊆ f (x0) + k − int C.

(ii) =⇒ (iii). Lấy x0 ∈ f −1(y−int C) bất kỳ. Từ đó suy ra y−f (x0) ∈ int C. Theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho

f (U ) ⊆ f (x0) + y − f (x0) − int C = y − int C.

Điều này kéo theo U ⊆ f −1(y − int C) và do vậy f −1(y − int C) là mở.

(iii) =⇒ (i). Lấy x0 ∈ X tùy ý và V là lân cận mở bất kỳ của f (x0) trong Y. Từ đó suy ra f (x0) ∈ V − C. Vì V mở nên V − C = V − int C. Vậy f (x0) ∈ V − int C. Suy ra tồn tại k ∈ int C sao cho f (x0) + k ∈ V . Mặt khác, ta lại có x0 ∈ f −1(f (x0) + k − int C) và f −1(f (x0) + k − int C) là tập mở nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho

U ⊆ f −1(f (x0) + k − int C).

Điều này kéo theo

f (U ) ⊆ f (x0) + k − int C ⊆ V − C.

Vậy f là C- nửa liên tục trên trong X.

Tương tự ta cũng định nghĩa khái niệm ánh xạ véctơ đơn trị liên tục

mạnh theo nón.

Định nghĩa 1.3.3. Cho ánh xạ véctơ đơn trị f : X → Y .

(i) f được gọi là C- nửa liên tục trên mạnh tại x ∈ X nếu với mỗi lân

cận V của f (x), tồn tại lân cận U của x trong X sao cho

f (U ) ⊆ V − C\{0}.

(ii) f được gọi là C- nửa liên tục dưới mạnh tại x ∈ X nếu −f là C-

nửa liên tục trên mạnh tại x.

(iii) Nếu f là C- nửa liên tục trên mạnh và C- nửa liên tục dưới mạnh

tại ¯x đồng thời, thì ta nói f là C- liên tục mạnh tại ¯x.

(iv) Nếu f là C- nửa liên tục trên mạnh, C- nửa liên tục dưới mạnh và

C- liên tục mạnh tại mọi điểm trong X, ta nói f là C- nửa liên tục trên

mạnh, C- nửa liên tục dưới mạnh và C- liên tục mạnh trong X.

1.3.2 Tính lồi theo nón của ánh xạ véctơ

Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm lồi đơn trị: Một hàm f : K → R xác định trên tập lồi K được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ K và λ ∈ [0, 1]

ta luôn có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).

Trong phần này chúng tôi luôn giả thiết K là tập con lồi của không gian

tuyến tính X và Y là không gian tuyến tính với nón C. Ta nhắc lại khái

niệm hàm véctơ lồi theo nón.

Định nghĩa 1.3.4. Giả sử f : K → Y là hàm véctơ. Ta nói rằng:

(i) f là C- lồi trong K nếu với mọi x, y ∈ K và α ∈ [0, 1], ta luôn có

f (αx + (1 − α)y) ∈ αf (x) + (1 − α)f (y) − C.

(ii) f là C- tựa giống như lồi (quasiconvex-like) trong K nếu với x1, x2 ∈

D và α ∈ [0, 1] thì luôn tồn tại chỉ số i ∈ {1, 2} sao cho

f (αx1 + (1 − α)x2) ∈ f (xi) − C.

Khái niệm dưới đây là mở rộng các khái niệm trên cho trường hợp K

không lồi.

Định nghĩa 1.3.5. Cho f : K → Y là ánh xạ véctơ đơn trị. Ta nói rằng

f là C- hàm trên K nếu với mọi tập hữu hạn {x1, x2, ..., xn} ⊆ K và với mọi αi ≥ 0, i ∈ {1, 2, ..., n},

αixi ∈ K thì

αi = 1,

n (cid:80) i=1

n (cid:88)

αif (xi) − f (

αixi) ∈ C.

i=1

1.4 Nguyên lý ánh xạ KKM và định lý điểm bất

động

Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20,

có thể kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer năm 1912, nguyên lý ánh

xạ co Banach năm 1922. Năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kuratowski

và Mazurkiewicz đã sử dụng kết quả của Sperner năm 1928 về phép tam

giác phân một đơn hình, để chứng minh một kết quả rất quan trọng mà

ngày nay chúng ta gọi là "Bổ đề KKM". Phương pháp này tương đối sơ

cấp, khác với phương pháp của Brouwer năm 1912. Từ đó suy ra nguyên

lý điểm bất động Brouwer và người ta cũng chỉ ra từ nguyên lý điểm bất

động Brouwer suy ra được bổ đề KKM. Như vậy nguyên lý điểm bất động

Brouwer và bổ đề KKM là tương đương với nhau. Năm 1961, Ky Fan đã

mở rộng bổ đề KKM cổ điển sang không gian tôpô tuyến tính với ánh xạ

đa trị và kết quả thu được ngày nay ta gọi là "Bổ đề Fan-KKM". Trước

tiên ta nhắc lại nguyên lý điểm bất động Brouwer.

Định lý 1.4.1. (Định lý điểm bất động Brouwer, xem [4]) Giả sử D là tập

con không rỗng lồi đóng của không gian hữu hạn chiều X và F : D → D

là ánh xạ liên tục. Khi đó tồn tại x0 ∈ D sao cho x0 = F (x0).

Định nghĩa 1.4.2. Giả sử D là tập con không rỗng của X. Ánh xạ đa trị F : D → 2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập con hữu hạn

{x1, x2, ..., xn} trong D, ta luôn có

conv{x1, x2, ..., xn} ⊆ ∪n

i=1F (xi).

Định lý 1.4.3. (Bổ đề Fan-KKM, xem [8]) Giả sử D là tập con không rỗng của không gian tôpô tuyến tính X và F : D → 2X là ánh xạ KKM với giá

trị đóng. Khi đó với mọi tập hữu hạn A ⊆ D, ta luôn có

∩x∈AF (x) (cid:54)= ∅.

Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phản chứng. Giả sử tồn tại tập

hữu hạn {x1, x2, ..., xn} ⊆ D sao cho

∩n

i=1F (xi) = ∅.

i=1F (xi) = ∅ nên ∩n

Đặt L = span{x1, x2, ..., xn} và d là khoảng cách trên L tương thích với tôpô cảm sinh từ X. Ta kí hiệu ∆ = conv{x1, x2, ..., xn} và G(xi) = F (xi) ∩ L với i = 1, 2, ..., n. Với mỗi x ∈ ∆, đặt αi(x) = d(x, G(xi)). Vì ∩n i=1G(xi) = ∅. Do đó với mỗi x ∈ ∆, tồn tại i sao

cho x (cid:54)∈ G(xi). Vì G(xi) đóng nên αi(x) > 0. Ta đặt

, x ∈ ∆.

µi(x) =

(cid:80)n

αi(x) j=1 αj(x)

j=1 µj(x) = 1 với mọi

n (cid:88)

Khi đó các hàm µi liên tục và 0 ≤ µi(x) ≤ 1, (cid:80)n x ∈ ∆. Xét ánh xạ T : ∆ → ∆ xác định bởi

T x =

µi(x)xi.

j=1

Rõ ràng T liên tục trên ∆ là tập con lồi và compact của không gian con hữu

hạn chiều L. Sử dụng Định lí điểm bất động Brouwer, tồn tại ¯x ∈ ∆ sao cho T (¯x) = ¯x. Đặt I(¯x) := {i ∈ {1, 2, ..., n} : µi(¯x) > 0}. Vì (cid:80)

µi(¯x) = 1

i∈I(¯x)

n (cid:88)

nên I(¯x) (cid:54)= ∅. Mặt khác ta lại có

(cid:88)

¯x = T (¯x) =

µi(¯x)xi =

µi(¯x)xi.

i=1

i∈I(¯x)

Từ đó suy ra

¯x ∈ conv{xi : i ∈ I(¯x)} ⊆ ∪i∈I(¯x)F (xi).

Vì µi(¯x) > 0 với mọi i ∈ I(¯x), nên ta có ¯x (cid:54)∈ G(xi). Vì ¯x ∈ L nên ¯x (cid:54)∈ F (xi) với mọi i ∈ I(¯x). Chứng tỏ ¯x (cid:54)∈ ∪i∈I(¯x)F (xi). Điều này mâu thuẫn với ¯x ∈ ∪i∈I(¯x)F (xi). Vậy định lý được chứng minh.

Nhận xét. Trong Định lý 1.4.3 nếu thêm giả thiết "tồn tại x0 ∈ D sao cho F (x0) là tập compact trong X" thì

∩x∈DF (x) (cid:54)= ∅.

i=1pi (x) = 1 với mọi x ∈ K.

Định lý 1.4.4. (Phân hoạch đơn vị, xem [14]) Giả sử {Vα}α∈I là phủ mở của tập con không rỗng compact K của không gian lồi địa phương Hausdorff X. Khi đó tồn tại các hàm liên tục pi : K → R (i = 1, 2, ..., n) thỏa mãn các điều kiện

(i) 0 ≤ pi(x) ≤ 1 với mọi x ∈ K và i = 1, 2, ..., n. (ii) (cid:80) n (iii) supp(pi) := cl{x ∈ K : pi(x) (cid:54)= 0} ⊆ Vyi với i = 1, 2, ..., n.

Năm 1968, Browder đã chứng minh kết quả của Ky Fan (1961) theo

dạng khác. Đó là định lý điểm bất động ngày nay gọi là định lý điểm bất

động Fan- Browder.

Định lý 1.4.5. (Định lý điểm bất động Fan- Browder, xem [15]) Giả sử K

là tập con không rỗng, lồi, compact của không gian véctơ tôpô Hausdorff X và F : K → 2K là ánh xạ đa trị với giá trị không rỗng, lồi thỏa mãn điều kiện với mỗi x ∈ K, F −1(x) là mở trong K. Khi đó tồn tại ¯x ∈ K sao cho

¯x ∈ F (¯x)

Chứng minh. Từ mỗi x ∈ K, F −1(x) là mở trong K nên họ {F −1(x)}x∈K là phủ mở của K. Vì K compact nên tồn tại x1, x2, ..., xn ∈ K sao cho

K = ∪n

i=1F −1(xi).

Theo Định lý về phân hoạch đơn vị, tồn tại các hàm liên tục pi : K → R (i = 1, 2, ..., n) thỏa mãn các điều kiện

i=1pi (x) = 1 với mọi x ∈ K.

(i) 0 ≤ pi(x) ≤ 1 với mọi x ∈ K và i = 1, 2, ..., n. (ii) (cid:80) n

n (cid:88)

(iii) supp(pi) := cl{x ∈ K : pi(x) (cid:54)= 0} ⊆ F −1(xi) với i = 1, 2, ..., n. Xét ánh xạ ϕ : conv{x1, x2, ..., xn} → conv{x1, x2, ..., xn} bởi công thức

ϕ(x) =

pi(x)xi.

i=1

Rõ ràng ϕ liên tục và conv{x1, x2, ..., xn} là tập lồi và compact của không gian con hữu hạn chiều span{x1, x2, ..., xn}. Do đó, sử dụng Định lí điểm bất động Brouwer, tồn tại ¯x ∈ conv{x1, x2, ..., xn} sao cho ϕ(¯x) = ¯x. Đặt I(¯x) := {i ∈ {1, 2, ..., n} : pi(¯x) > 0}. Vì (cid:80)

pi(¯x) = 1 nên I(¯x) (cid:54)= ∅.

i∈I(¯x)

n (cid:88)

Mặt khác ta lại có

(cid:88)

ϕ(¯x) =

pi(¯x)xi =

pi(¯x)xi = ¯x.

i=1

i∈I(¯x)

Từ đó suy ra ¯x ∈ conv{xi : i ∈ I(¯x)}. Vì pi(¯x) > 0 với mọi i ∈ I(¯x), nên ta có

¯x ∈ ∩i∈I(¯x)F −1(xi).

Từ đó suy ra xi ∈ F (¯x) với mọi i ∈ I(¯x). Điều này và bởi F (¯x) lồi nên

¯x ∈ conv{xi : i ∈ I(¯x)} ⊆ F (¯x).

Chương 2

Bài toán cân bằng véctơ trên tập

trù mật

Trong chương này chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại

nghiệm của bài toán cân bằng véctơ yếu và mạnh dưới giả thiết về tính liên

tục và tính lồi theo nón trên tập con tự trù mật đoạn của tập xác định của

hàm mục tiêu. Các kết quả của chương này được trình bày dựa trên hai bài

báo [11], [12].

2.1 Tập tự trù mật đoạn

Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính trên trường thực R. Ta kí hiệu đoạn thẳng và khoảng mở nối hai điểm x, y ∈ X lần lượt là

[x, y] = {z ∈ X : z = tx + (1 − t)y, t ∈ [0, 1]},

(x, y) = {z ∈ X : z = tx + (1 − t)y, t ∈ (0, 1)}.

Cho U, V là các tập con của X. Tập U được gọi là trù mật trong V nếu

V ⊆ cl U .

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử U ⊆ V ⊆ X và V là tập lồi. Ta nói rằng U trù

mật đoạn trong V nếu với mỗi x ∈ V , luôn tìm được y ∈ U sao cho

x ∈ cl([x, y] ∩ U ).

Định nghĩa 2.1.2. Giả sử U ⊆ V ⊆ X và V là tập lồi. Ta nói rằng U tự

trù mật đoạn trong V nếu U trù mật trong V và

cl([x, y] ∩ U ) = [x, y] với mọi x, y ∈ U.

Nhận xét. Trong không gian một chiều khái niệm tự trù mật đoạn, tự trù

mật và trù mật là trùng nhau. Ví dụ sau chỉ ra một tập tự trù mật đoạn

nhưng không trù mật đoạn.

√

Ví dụ 2.1.3. Xét V = R2 và U = {(x, y) ∈ R2 : x, y ∈ Q}. Khi đó U 2) ∈ V và mọi y = (p, q) ∈ U , ta luôn có trù mật trong V . Với x = (0,

[x, y] ∩ U = {y}. Điều này chứng tỏ U không là tập trù mật đoạn trong V .

Mặt khác, với mọi x = (p, q), y = (r, s) ∈ U , ta có

[x, y] ∩ U = {(p + t(r − p), q + t(s − q)) : t ∈ [0, 1] ∩ Q}

là tập trù mật trong [0, 1]. Vậy U là tập tự trù mật đoạn trong V.

Định nghĩa 2.1.4. Phần trong đại số của tập con D trong không gian

tôpô tuyến tính X, kí hiệu là core D, xác định bởi

core D := {u ∈ D : ∀x ∈ X, ∃δ > 0 sao cho u + (cid:15)x ∈ D với mọi (cid:15) ∈ [0, δ]}.

Nhận xét. Nếu D là tập lồi với int D (cid:54)= ∅ thì core D = int D.

Bổ đề 2.1.5. Giả sử V là tập con lồi trong không gian lồi địa phương

Hausdorff X và U ⊆ V là tập con tự trù mật đoạn của V . Khi đó với mọi

tập con hữu hạn {u1, u2, ..., un} ⊆ U , ta luôn có

cl(conv{u1, u2, ..., un} ∩ U ) = conv{u1, u2, ..., un}.

Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề quy nạp theo n. Hiển nhiên bổ đề đúng

với n = 1. Với n = 2, sử dụng tính tự trù mật đoạn của U trong V , ta có

cl(conv{u1, u2} ∩ U ) = cl([u1, u2] ∩ U ) = [u1, u2] = conv{u1, u2}.

Giả sử khẳng định đúng với n − 1 phần tử u1, u2, ..., un−1 ∈ U , tức là

cl(conv{u1, u2, ..., un−1} ∩ U ) = conv{u1, u2, ..., un−1}.

Lấy un ∈ U tùy ý. Nếu

conv{u1, u2, ..., un} = conv{u1, u2, ..., un−1}

thì

cl(conv{u1, u2, ..., un} ∩ U ) = cl(conv{u1, u2, ..., un−1} ∩ U )

= conv{u1, u2, ..., un−1}

= conv{u1, u2, ..., un}.

Đẳng thức này chứng tỏ bổ đề đúng với n. Bây giờ ta giả sử

conv{u1, u2, ..., un} (cid:54)= conv{u1, u2, ..., un−1}.

Khi đó

conv{u1, u2, ..., un} = ∪u∈conv{u1,u2,...,un−1}[u, un].

Ta chứng minh

cl(conv{u1, u2, ..., un} ∩ U ) = conv{u1, u2, ..., un}.

Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại s ∈ conv{u1, u2, ..., un} và lân cận S của s sao cho

(2.1)

[conv{u1, u2, ..., un} ∩ S] ∩ U = ∅.

Ta có thể giả sử S = s + G, ở đây G là lân cận mở, lồi và cân đối của

0 trong X. Ta có thể viết s = un + t(u − un), với t ∈ [0, 1] và u ∈

conv{u1, u2, ..., un−1}. Từ un ∈ U , s (cid:54)= un. Vậy t (cid:54)= 0. Nếu t = 1 thì s = u ∈ conv{u1, u2, ..., un−1}. Vì

cl(conv{u1, u2, ..., un−1} ∩ U ) = conv{u1, u2, ..., un−1}

nên

[conv{u1, u2, ..., un−1} ∩ U ] ∩ S (cid:54)= ∅.

Điều này mâu thuẫn với (2.1). Vậy s = un + t(u − un), với t ∈ (0, 1) và u ∈ conv{u1, u2, ..., un−1}. Mặt khác từ đẳng thức

cl(conv{u1, u2, ..., un−1} ∩ U ) = conv{u1, u2, ..., un−1},

tồn tại dãy {uα} ⊆ conv{u1, u2, ..., un−1} ∩ U sao cho lim uα = u. Từ đó suy ra tồn tại chỉ số α0 sao cho uα ∈ u + G với mọi α ≥ α0. Từ đó suy ra (uα − un) ∈ (u − un) + G với mọi α ≥ α0. Bởi G là cân đối nên

t(uα − un) ∈ t(u − un) + G với mọi α ≥ α0.

Điều này kéo theo

sα := un + t(uα − un) ∈ un + t(u − un) + G = s + G với mọi α ≥ α0.

Vì s + G là tập lồi, mở nên core(s + G) = s + G. Từ đó kéo theo

sα ∈ core(s + G) với mọi α ≥ α0.

Từ đó suy ra tồn tại δ > 0 sao cho

sα + (cid:15)(un − uα) ∈ s + G, sα + (cid:15)(uα − un) ∈ s + G,

với mọi (cid:15) ∈ [0, δ] và α ≥ α0. Ta có thể chọn δ ≤ min{t, 1 − t}. Khi đó 0 ≤ t − (cid:15) < t + (cid:15) ≤ 1 với mọi (cid:15) ∈ [0, δ]. Vậy

sα + (cid:15)(un − uα) = un + (t − (cid:15))(uα − un) ∈ [uα, un],

sα + (cid:15)(uα − un) = un + (t + (cid:15))(uα − un) ∈ [uα, un],

với mọi (cid:15) ∈ [0, δ] và α ≥ α0. Điều này kéo theo

sα ∈ [sα + (cid:15)(un − uα), sα + (cid:15)(uα − un)] ⊆ [uα, un],

với mọi (cid:15) ∈ [0, δ] và α ≥ α0. Vì uα, un ∈ U và U tự trù mật đoạn trong V nên

[sα + (cid:15)(un − uα), sα + (cid:15)(uα − un)] ∩ U (cid:54)= ∅,

với mọi (cid:15) ∈ [0, δ] và α ≥ α0. Vậy

(s + G) ∩ conv{u1, u2, ..., un} ∩ U (cid:54)= ∅.

Điều này mâu thuẫn với (2.1). Vậy bổ đề được chứng minh.

Nhận xét. Giả thiết U tự trù mật đoạn trong V trong Bổ đề 2.1.5 không

thể bỏ đi được. Ví dụ sau đây chứng minh cho khẳng định đó.

Ví dụ 2.1.6. Gọi V là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Banach

vô hạn chiều X và x, y ∈ V, x (cid:54)= y. Xét hai điểm u, v ∈ (x, y) với u =

x+t1(y −x), v = x+t2(y −x), t1, t2 ∈ (0, 1) và t1 < t2. Khi đó U = V \[u, v] là tập trù mật trong V , nhưng nó không tự trù mật đoạn trong V bởi vì

tập [x, y] ∩ U = [x, u) ∪ (v, y] không trù mật trong [x, y]. Hơn nữa ta dễ

dàng kiểm tra được

cl(conv{x, y} ∩ U ) (cid:54)= conv{x, y}.

Vậy Bổ đề 2.1.5 không đúng trong trường hợp này.

2.2 Bài toán cân bằng véctơ yếu trên tập tự trù mật

đoạn

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại

nghiệm của bài toán cân bằng véctơ yếu với công cụ chủ yếu là Nguyên lý

ánh xạ KKM.

Định lý 2.2.1. Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff;

C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác rỗng và K là tập con không

rỗng, lồi, compact của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn và ánh xạ

f : K × K → Z thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với mỗi y ∈ D, f (., y) là C- nửa liên tục trên trên K;

(ii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- nửa liên tục trên trên K\D;

(iii) Với mỗi x ∈ D, f (x, .) là C- hàm trên D;

(iv) Với mỗi x ∈ D, f (x, x) /∈ −intC.

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ K.

Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị G : D → 2K bởi

G(y) = {x ∈ K : f (x, y) /∈ −intC} .

Ta chứng minh với mỗi y ∈ D, G(y) là một tập đóng. Thật vậy, giả sử {xα} là dãy trong G(y), lim xα = x. Ta chỉ ra x ∈ G(y). Giả sử x /∈ G(y). Khi đó,

(2.2)

f (x, y) ∈ −intC.

Vì f (., y) là C- nửa liên tục trên tại x nên với mọi k ∈ intC, tồn tại α0 sao cho

f (xα, y) ∈ f (x, y) + k − intC với mọi α ≥ α0.

Bằng cách chọn k = −f (x, y) ∈ intC, ta suy ra

f (xα, y) ∈ −intC với mọi α ≥ α0.

Điều này mâu thuẫn với {xα} ⊆ G(y). Vậy x ∈ G(y) và do đó G(y) đóng. Vì K compact nên G(y) compact với mọi x ∈ D. Tiếp theo ta chứng

minh G là ánh xạ KKM. Thật vậy, giả sử tồn tại y1, y2, ..., yn ∈ D và y ∈ conv {y1, y2, ..., yn} ∩ D sao cho

y /∈ ∪n

i=1G(yi).

λi = 1 sao cho

n (cid:80) i=1

n (cid:88)

Từ đó suy ra tồn tại λ1, λ2, ..., λn ≥ 0,

λiyi ∈ D và

λiyi /∈ ∪n

i=1G(yi).

i=1

Điều này chứng tỏ

(cid:32) n (cid:33) (cid:88)

f

∈ −intC với mọi i = 1, 2, ..., n.

λiyi, yi

i=1

Bởi tính lồi của −intC,

n (cid:88)

(cid:32) n (cid:33) (cid:88)

∈ −intC.

λif

λiyi, yi

i=1

Từ giả thiết (iii), ta thu được

n (cid:88)

(cid:32) n (cid:33) (cid:32) n (cid:33) (cid:88) (cid:88)

− f

∈ C.

λif

λiyi, yi

λiyi,

λiyi

i=1

n (cid:88)

Từ đó suy ra (cid:32) n (cid:33) (cid:88)

f

∈ −intC.

λiyi,

λiyi

i=1

Điều này mâu thuẫn với (iv). Vậy

conv {y1, ..., yn} ∩ D ⊆ ∪n

i=1G(yi).

Từ đó suy ra

cl(conv {y1, ..., yn} ∩ D) ⊆ cl (∪n

i=1G(yi)) = ∪n

i=1G(yi).

Sử dụng Bổ đề 2.1.5, ta có

cl(conv {y1, ..., yn} ∩ D) = conv {y1, ..., yn} .

Vậy

conv {y1, ..., yn} ⊆ ∪n

i=1G(yi).

Từ đó suy ra G là ánh xạ KKM. Áp dụng Bổ đề Fan, ta thu được

∩y∈DG(y) (cid:54)= ∅.

Điều này chứng tỏ tồn tại x0 ∈ K sao cho

(2.3)

f (x0, y) /∈ −intC với mọi y ∈ D.

Ta chứng minh

f (x0, y) /∈ −intC với mọi y ∈ K.

Giả sử tồn tại y0 ∈ K \ D sao cho f (x0, y0) ∈ −intC. Vì f (x0, .) là C- nửa liên tục trên tại y0 nên với mọi k ∈ intC, tồn tại lân cận U của y0 sao cho

f (x0, y) ∈ f (x0, y0) + k − intC với mọi y ∈ U.

Bằng cách chọn k = −f (x0, y0), ta được

f (x0, y) ∈ −intC với mọi y ∈ U.

Vì D = K nên tồn tại u0 ∈ U ∩ D. Từ đó suy ra f (x0, u0) ∈ −intC. Điều này mâu thuẫn với (2.3). Vậy

f (x0, y) /∈ −intC với mọi y ∈ K.

Định lý được chứng minh.

Điều kiện compact đối với Định lý 2.2.1 tương đối nặng. Định lý sau

thay điều kiện compact của K bởi điều kiện bức nhẹ hơn.

Định lý 2.2.2. Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff;

C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác rỗng và K là tập con không

rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn và ánh xạ

f : K × K → Z thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với mỗi y ∈ D, f (., y) là C- nửa liên tục trên trên K;

(ii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- nửa liên tục trên trên K\D;

(iii) Với mỗi x ∈ D, f (x, .) là C- hàm trên D;

(iv) Với mỗi x ∈ D, f (x, x) /∈ −intC;

(v) Tồn tại tập con compact K0 của X và điểm y0 ∈ D sao cho

f (x, y0) ∈ − int C với mọi x ∈ K\K0.

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ K.

Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị G : D → 2K bởi

G(y) = {x ∈ K : f (x, y) /∈ −intC} .

Theo chứng minh của Định lý 2.2.1, G là ánh xạ KKM với giá trị đóng.

Ta chứng minh G(y0) ⊆ K0. Thật vậy, giả sử G(y0) (cid:54)⊆ K0. Khi đó tồn tại z ∈ G(y0)\K0 ⊆ K\K0. Sử dụng giả thiết (v), ta được f (z, y0) ∈ −intC. Điều này mâu thuẫn với z ∈ G(y0). Vậy G(y0) ⊆ K0. Vì K0 compact nên G(y0) compact. Sử dụng Bổ đề Fan,

∩y∈DG(y) (cid:54)= ∅.

Chứng minh một cách tương tự như Định lý 2.2.1, tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ K.

Định lý được chứng minh hoàn toàn.

Định lý 2.2.3. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và Z là không

gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác

rỗng và K là tập con không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập

tự trù mật đoạn đối với tôpô yếu của X và ánh xạ f : K × K → Z thỏa

mãn các điều kiện sau:

(i) Với mỗi y ∈ D, f (., y) là C- nửa liên tục trên trên K đối với tôpô

yếu của X;

(ii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- nửa liên tục trên trên K\D đối với

tôpô yếu của X;

(iii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- hàm trên K;

(iv) Với mỗi x ∈ K, f (x, x) = 0;

(v) Tồn tại r > 0 sao cho với mọi x ∈ K, (cid:107)x(cid:107) > r, tồn tại y0 ∈ K với

(cid:107)y0(cid:107) < (cid:107)x(cid:107) thỏa mãn điều kiện

f (x, y0) ∈ − int C ∪ {0}.

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ K.

Chứng minh. Gọi r > 0 thỏa mãn (v). Đặt K0 := K ∩ ¯Br1, ở đây r1 > r. Hiển nhiên K0 compact yếu. Sử dụng Định lý 2.2.1, tồn tại x0 ∈ K0 sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ K0.

Ta chứng minh tồn tại z0 ∈ K0, (cid:107)z0(cid:107) < r1 sao cho f (x0, z0) = 0. Thật vậy, nếu (cid:107)x0(cid:107) < r1 thì ta chỉ cần chọn z0 = x0 và khẳng định trên được chứng minh. Nếu (cid:107)x0(cid:107) = r1 > r thì bởi giả thiết (v), tồn tại z0 ∈ K, (cid:107)z0(cid:107) < (cid:107)x0(cid:107) = r1 sao cho f (x0, z0) ∈ − int C ∪ {0}. Mặt khác, do z0 ∈ K0 nên f (x0, z0) (cid:54)∈ − int C. Vậy f (x0, z0) = 0. Để kết thúc chứng minh ta cần chỉ ra

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ K.

Thật vậy, giả sử tồn tại y ∈ K sao cho f (x0, y) ∈ −intC. Khi đó tồn tại λ ∈ [0, 1] sao cho λz0 + (1 − λ)y ∈ K0. Điều này chứng tỏ

(2.4)

f (x0, λz0 + (1 − λ)y) (cid:54)∈ −intC.

Từ giả thiết (iii), ta có

λf (x0, z0) + (1 − λ)f (x0, y) − f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ C.

Điều này tương đương với

(1 − λ)f (x0, y) − f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ C.

Từ đó suy ra

f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ (1 − λ)f (x0, y) − C ⊆ −intC.

Điều này mâu thuẫn với (2.4). Vậy

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ K.

Định lý được chứng minh.

Định lý 2.2.4. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và Z là không

gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác

rỗng và K là tập con không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập

tự trù mật đoạn đối với tôpô yếu của X và ánh xạ f : K × K → Z thỏa

mãn các điều kiện sau:

(i) Với mỗi y ∈ D, f (., y) là C- nửa liên tục trên trên K đối với tôpô

yếu của X;

(ii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- nửa liên tục trên trên K\D đối với

tôpô yếu của X;

(iii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- hàm trên D;

(iv) Với mỗi x ∈ K, f (x, x) /∈ −intC;

(v) Tồn tại r > 0 sao cho với mọi x ∈ K, (cid:107)x(cid:107) ≤ r, tồn tại z0 ∈ D với

(cid:107)z0(cid:107) < r thỏa mãn điều kiện

f (x, z0) ∈ − int C ∪ {0}.

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ K.

Chứng minh. Gọi r > 0 thỏa mãn (v). Đặt K0 := K ∩ ¯Br. Hiển nhiên K0 compact yếu. Sử dụng Định lý 2.2.1, tồn tại x0 ∈ K0 sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ K0.

Sử dụng giả thiết (v), tồn tại z0 ∈ K0, (cid:107)z0(cid:107) < r sao cho

f (x0, z0) ∈ − int C ∪ {0}.

Vì z0 ∈ K0 nên f (x0, z0) (cid:54)∈ − int C. Vậy f (x0, z0) = 0. Trước tiên ta chứng minh

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ D.

Thật vậy, giả sử tồn tại y ∈ D\K0 sao cho f (x0, y) ∈ −intC. Bởi tính trù mật từng đoạn của D trong K, tồn tại λ ∈ [0, 1] sao cho

λz0 + (1 − λ)y ∈ D ∩ K0.

Điều này chứng tỏ

(2.5)

f (x0, λz0 + (1 − λ)y) (cid:54)∈ −intC.

Từ giả thiết (iii), ta có

λf (x0, z0) + (1 − λ)f (x0, y) − f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ C.

Điều này kéo theo

(1 − λ)f (x0, y) − f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ C.

Từ đó suy ra

f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ (1 − λ)f (x0, y) − C ⊆ −intC.

Điều này mâu thuẫn với (2.5). Vậy

(2.6)

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ D.

Cuối cùng ta chỉ ra

f (x0, y) (cid:54)∈ −intC với mọi y ∈ K.

Giả sử tồn tại y0 ∈ K \ D sao cho f (x0, y0) ∈ −intC. Vì f (x0, .) là C- nửa liên tục trên tại y0 nên với mọi k ∈ intC, tồn tại lân cận U của y0 sao cho

f (x0, y) ∈ f (x0, y0) + k − intC với mọi y ∈ U.

Bằng cách chọn k = −f (x0, y0), ta được

f (x0, y) ∈ −intC với mọi y ∈ U.

Vì D = K nên tồn tại u0 ∈ U ∩ D. Từ đó suy ra f (x0, u0) ∈ −intC. Điều này mâu thuẫn với (2.6). Vậy

f (x0, y) /∈ −intC với mọi y ∈ K.

Định lý được chứng minh.

2.3 Bài toán cân bằng véctơ mạnh trên tập tự trù

mật đoạn

Trong phần này, bằng việc sử dụng định lý về phân hoạch đơn vị và Định

lý điểm bất động Brouwer, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự

tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng véctơ mạnh.

Định lý 2.3.1. Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff;

C ⊆ Z là nón lồi, nhọn và K là tập con không rỗng, lồi, compact của X.

Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn trong K và ánh xạ f : K × K → Z

thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

(i) Với mỗi y ∈ D, f (., y) là C- nửa liên tục trên mạnh trên K;

(ii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- nửa liên tục trên mạnh trên K\D;

(iii) Với mỗi x ∈ D, f (x, .) là C- hàm trên D;

(iv) Với mỗi x ∈ D, f (x, x) /∈ −C\{0}.

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Chứng minh. Ta chứng minh định lý bằng phản chứng. Giả sử ngược lại,

với mỗi x ∈ K, tồn tại y ∈ K sao cho

f (x, y) ∈ −C\{0}.

Với mỗi y ∈ K, ta đặt

Vy = {x ∈ K : f (x, y) ∈ −C\{0}}.

Dễ thấy rằng K ⊆ ∪y∈KVy. Ta chứng minh (Vy)y∈D là phủ mở của K. Thật vậy, trước tiên ta chỉ ra Vy mở trong K với mọi y ∈ D. Lấy dãy {xα} trong K\Vy sao cho lim xα = x0. Giả sử x0 /∈ K\Vy. Khi đó f (x0, y) ∈ −C\{0}. Vì f (., y) là C- nửa liên tục trên mạnh tại x0 nên với mọi k ∈ C\{0}, tồn tại α0 sao cho

f (xα, y) ∈ f (x0, y) + k − C\{0} với mọi α ≥ α0.

Bằng cách chọn k = −f (x0, y) ∈ C\{0}, ta suy ra

f (xα, y) ∈ −C\{0} với mọi α ≥ α0.

Điều này mâu thuẫn với {xα} ⊆ K\Vy. Do đó, Vy mở với mọi y ∈ D.

Tiếp theo, ta chứng minh K ⊂ ∪y∈DVy. Thật vậy, giả sử tồn tại x0 ∈ K

để x0 /∈ ∪y∈DVy. Khi đó ta có

(2.7)

f (x0, y) /∈ −C\{0} với mọi y ∈ D.

Ta chỉ ra

f (x0, y) /∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Thật vậy, giả sử tồn tại y0 ∈ K\D sao cho

f (x0, y0) ∈ −C\{0}.

Vì f (x0, .) là C- nửa liên tục trên mạnh tại y0 nên với mọi k ∈ C\{0}, tồn tại lân cận U của y0 sao cho

f (x0, y) ∈ f (x0, y0) + k − C\{0} với mọi y ∈ U.

Ta chọn k = −f (x0, y0),

f (x0, y) ∈ −C\{0} với mọi y ∈ U.

Vì tính trù mật của D trong K, nên U ∩ D (cid:54)= ∅. Khi đó tồn tại u0 ∈ U ∩ D. Từ đó suy ra

f (x0, u0) ∈ −C\{0}.

Điều này mâu thuẫn với (2.7). Vậy (Vy)y∈D là phủ mở của K. Vì K compact, tồn tại y1, y2, ..., yn ∈ D sao cho

K ⊆ ∪n

i=1Vyi.

i=1pi (x) = 1 với mọi x ∈ K.

Theo định lý về phân hoạch đơn vị, tồn tại các hàm liên tục (pi)1≤i≤n tương thích với phủ mở (Vyi)1≤i≤n, tức là

(a) 0 ≤ pi(x) ≤ 1 với mọi x ∈ K và i = 1, 2, ..., n. (b) (cid:80) n (c) supp(pi) := cl{x ∈ K : pi(x) (cid:54)= 0} ⊆ Vyi với i = 1, 2, ..., n.

n (cid:88)

Xét ánh xạ ϕ : conv{y1, y2, ..., yn} → conv{y1, y2, ..., yn} bởi công thức

ϕ(x) =

pi(x)yi.

i=1

Rõ ràng ϕ liên tục và conv{y1, y2, ..., yn} là tập lồi và compact của không gian con hữu hạn chiều span{y1, y2, ..., yn}. Do đó, sử dụng Định lí điểm bất động Brouwer, tồn tại x0 ∈ conv{y1, y2, ..., yn} sao cho ϕ (x0) = x0.

pi(x0) = 1 nên

Đặt I(x0) := {i ∈ {1, 2, ..., n} : pi(x0) > 0}. Vì (cid:80) i∈I(x0)

I(x0) (cid:54)= ∅. Mặt khác ta lại có

n (cid:88)

(cid:88)

pi(x0)yi = x0.

ϕ(x0) =

pi(x0)yi =

i=1

i∈I(x0)

Từ đó suy ra x0 ∈ conv{yi : i ∈ I(x0)}. Vì pi(x0) > 0 với mọi i ∈ I(x0), nên ta có

x0 ∈ ∩i∈I(x0)Vyi.

Bởi ∩i∈I(x0)Vyi là tập mở, nên tồn tại lân cận U của x0 sao cho

U ⊆ ∩i∈I(x0)Vyi.

Từ conv{yi : i ∈ I(x0)} ∩ U (cid:54)= ∅ và Bổ đề 2.1.5, ta suy ra

conv{yi : i ∈ I(x0)} ∩ U ∩ D (cid:54)= ∅.

i∈I(x0) λiyi ∈ U ∩ D, ở đây λi ≥ 0 với mọi

i∈I(x0) λi = 1. Mặt khác, bằng cách sử dụng (iii), ta có

Từ đó suy ra tồn tại y0 = (cid:80) i ∈ I(x0) và (cid:80)

(cid:88) (2.8)

λif (y0, yi) − f (y0, y0) ∈ C.

i∈I(x0)

Vì y0 ∈ U nên y0 ∈ Vyi với mọi i ∈ I(x0). Từ đó suy ra

(2.9)

f (y0, yi) ∈ −C\{0} với mọi i ∈ I(x0).

Từ (2.8) và (2.9), ta thu được

f (y0, y0) ∈ −C\{0}.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết (iv). Định lý được chứng minh.

Định lý 2.3.2. Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff;

C ⊆ Z là nón lồi, nhọn và K là tập con không rỗng, lồi, đóng của X. Giả

sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn trong K và ánh xạ f : K × K → Z thỏa

mãn các điều kiện dưới đây:

(i) Với mỗi y ∈ D, f (., y) là C- nửa liên tục trên mạnh trên K;

(ii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- nửa liên tục trên mạnh trên K\D;

(iii) Với mỗi x ∈ D, f (x, .) là C- hàm trên D;

(iv) Với mỗi x ∈ D, f (x, x) /∈ −C\{0};

(v) Tồn tại tập con compact K0 của X và y0 ∈ D sao cho

f (x, y0) ∈ −C\{0} với mọi x ∈ K\K0.

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Chứng minh. Sử dụng Định lý 2.3.1 và chứng minh tương tự như Định lý

2.2.2.

Định lý 2.3.3. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và Z là không

gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z là nón lồi, nhọn và K là tập con

không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn đối với

tôpô yếu của X và ánh xạ f : K × K → Z thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với mỗi y ∈ D, f (., y) là C- nửa liên tục trên mạnh trên K đối với

tôpô yếu của X;

(ii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- nửa liên tục trên mạnh trên K\D đối

với tôpô yếu của X;

(iii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- hàm trên K;

(iv) Với mỗi x ∈ K, f (x, x) = 0;

(v) Tồn tại r > 0 sao cho với mọi x ∈ K, (cid:107)x(cid:107) > r, tồn tại y0 ∈ K với

(cid:107)y0(cid:107) < (cid:107)x(cid:107) thỏa mãn điều kiện

f (x, y0) ∈ −C.

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Chứng minh. Gọi r > 0 thỏa mãn (v). Đặt K0 := K ∩ ¯Br1, ở đây r1 > r. Hiển nhiên K0 compact yếu. Sử dụng Định lý 2.3.1, tồn tại x0 ∈ K0 sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ K0.

Chứng minh tương tự như Định lý 2.2.3, tồn tại z0 ∈ K0, (cid:107)z0(cid:107) < r1 sao cho f (x0, z0) = 0. Để kết thúc chứng minh ta cần chỉ ra

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Thật vậy, giả sử tồn tại y ∈ K sao cho f (x0, y) ∈ −C\{0}. Khi đó tồn tại λ ∈ [0, 1] sao cho λz0 + (1 − λ)y ∈ K0. Điều này chứng tỏ

(2.10)

f (x0, λz0 + (1 − λ)y) (cid:54)∈ −C\{0}.

Từ giả thiết (iii), ta có

λf (x0, z0) + (1 − λ)f (x0, y) − f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ C.

Điều này tương đương với

(1 − λ)f (x0, y) − f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ C.

Từ đó suy ra

f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ (1 − λ)f (x0, y) − C ⊆ −C\{0}.

Điều này mâu thuẫn với (2.10). Vậy

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Định lý được chứng minh.

Định lý 2.3.4. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và Z là không

gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z là nón lồi, nhọn và K là tập con

không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn đối với

tôpô yếu của X và ánh xạ f : K × K → Z thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Với mỗi y ∈ D, f (., y) là C- nửa liên tục trên mạnh trên K đối với

tôpô yếu của X;

(ii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- nửa liên tục trên mạnh trên K\D đối

với tôpô yếu của X;

(iii) Với mỗi x ∈ K, f (x, .) là C- hàm trên D;

(iv) Với mỗi x ∈ D, f (x, x) /∈ −C\{0};

(v) Tồn tại r > 0 sao cho với mọi x ∈ K, (cid:107)x(cid:107) ≤ r, tồn tại y0 ∈ D với

(cid:107)y0(cid:107) < r thỏa mãn điều kiện

f (x, y0) ∈ −C.

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Chứng minh. Gọi r > 0 thỏa mãn (v). Đặt K0 := K ∩ ¯Br. Hiển nhiên K0 compact yếu. Sử dụng Định lý 2.3.1, tồn tại x0 ∈ K0 sao cho

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ K0.

Sử dụng giả thiết (v), tồn tại z0 ∈ K0, (cid:107)z0(cid:107) < r sao cho

f (x0, z0) ∈ −C\{0} ∪ {0}.

Vì z0 ∈ K0 nên f (x0, z0) (cid:54)∈ −C\{0}. Vậy f (x0, z0) = 0. Trước tiên ta chứng minh

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ D.

Thật vậy, giả sử tồn tại y ∈ D\K0 sao cho f (x0, y) ∈ −C\{0}. Bởi tính trù mật từng đoạn của D trong K, tồn tại λ ∈ [0, 1] sao cho

λz0 + (1 − λ)y ∈ D ∩ K0.

Điều này chứng tỏ

(2.11)

f (x0, λz0 + (1 − λ)y) (cid:54)∈ −C\{0}.

Từ giả thiết (iii), ta có

λf (x0, z0) + (1 − λ)f (x0, y) − f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ C.

Điều này kéo theo

(1 − λ)f (x0, y) − f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ C.

Từ đó suy ra

f (x0, λz0 + (1 − λ)y) ∈ (1 − λ)f (x0, y) − C ⊆ −C\{0}.

Điều này mâu thuẫn với (2.11). Vậy

(2.12)

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ D.

Cuối cùng ta chỉ ra

f (x0, y) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Giả sử tồn tại y0 ∈ K \ D sao cho f (x0, y0) ∈ −C\{0}. Vì f (x0, .) là C- nửa liên tục trên mạnh tại y0 nên với mọi k ∈ C\{0}, tồn tại lân cận U của y0 sao cho

f (x0, y) ∈ f (x0, y0) + k − C\{0} với mọi y ∈ U.

Bằng cách chọn k = −f (x0, y0), ta được

f (x0, y) ∈ −C\{0} với mọi y ∈ U.

Vì D = K nên tồn tại u0 ∈ U ∩ D. Từ đó suy ra f (x0, u0) ∈ −C\{0}. Điều này mâu thuẫn với (2.12). Vậy

f (x0, y) /∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Định lý được chứng minh.

2.4 Một số ứng dụng

2.4.1 Bài toán tối ưu véctơ

Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff, C ⊆ Z là nón nhọn,

lồi; K là tập con khác rỗng của X và F : K → Z là hàm vécctơ.

Định nghĩa 2.4.1. Ta nói rằng điểm x0 ∈ K là

(i) điểm hữu hiệu yếu của F nếu F (y) − F (x0) /∈ − int C với mọi y ∈ K. (ii) điểm hữu hiệu của F nếu F (y) − F (x0) /∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Định lý 2.4.2. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và Z là không

gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác

rỗng và K là tập con không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập

tự trù mật đoạn đối với tôpô yếu của X và ánh xạ F : K → Z thỏa mãn

điều kiện sau:

(i) F là C- nửa liên tục dưới trên K;

(ii) F là C- nửa liên tục trên trên K\D;

(iii)F là C- hàm trên D;

(iv) Tồn tại r > 0, sao cho với mọi x ∈ K, (cid:107)x(cid:107) ≤ r, tồn tại y0 ∈ D với

(cid:107)y0(cid:107) < r thỏa mãn

F (y0) − F (x) ∈ − int C ∪ {0}.

Khi đó tồn tại một điểm hữu hiệu yếu của F .

Chứng minh. Xét ánh xạ f : K × K → Z bởi công thức

f (x, y) = F (y) − F (x).

Khi đó tất cả các điều kiện của Định lí 2.2.4 được thỏa mãn. Áp dụng Định

lý 2.2.4 tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x, x0) /∈ − int C với mọi x ∈ K.

Điều này kéo theo

F (x) − F (x0) /∈ − int C với mọi x ∈ K.

Định lý 2.4.3. Giả sử X là không gian Banach phản xạ và Z là không

gian lồi địa phương Hausdorff; C ⊆ Z là nón lồi, nhọn và K là tập con

không rỗng, lồi, đóng của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn đối với

tôpô yếu của X và ánh xạ F : K → Z thỏa mãn điều kiện sau:

(i) F là C- nửa liên tục dưới mạnh trên K;

(ii) F là C- nửa liên tục trên mạnh trên K\D;

(iii)F là C- hàm trên D;

(iv) Tồn tại r > 0, sao cho với mọi x ∈ K, (cid:107)x(cid:107) ≤ r, tồn tại y0 ∈ D với

(cid:107)y0(cid:107) < r thỏa mãn

F (y0) − F (x) ∈ −C.

Khi đó tồn tại một điểm hữu hiệu của F .

Chứng minh. Xét ánh xạ f : K × K → Z bởi công thức

f (x, y) = F (y) − F (x).

Khi đó tất cả các điều kiện của Định lí 2.2.4 được thỏa mãn. Áp dụng Định

lý 2.2.4 tồn tại x0 ∈ K sao cho

f (x, x0) /∈ −C\{0} với mọi x ∈ K.

Điều này kéo theo

F (x) − F (x0) /∈ −C\{0} với mọi x ∈ K.

2.4.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân véctơ Minty

Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff, C ⊆ Z là nón nhọn,

lồi; K là tập con khác rỗng của X và F : K → L(X, Z) là ánh xạ từ X

vào L(X, Z), ở đây L(X, Z) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Z. Với x∗ ∈ L(X, Z) và x ∈ X, (cid:104)x∗, x(cid:105) được hiểu là giá trị của x∗ tại x.

Xét các bài toán sau

(1). Bất đẳng thức biến phân véctơ yếu Minty: Tìm x0 ∈ K sao cho

(cid:104)F (y), y − x0(cid:105) /∈ − int C với mọi y ∈ K.

(2). Bất đẳng thức biến phân véctơ mạnh Minty: Tìm x0 ∈ K sao cho

(cid:104)F (y), y − x0(cid:105) /∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Định lý 2.4.4. Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff;

C ⊆ Z là nón lồi, nhọn với phần trong khác rỗng và K là tập con không

rỗng, lồi, compact của X. Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn trong K

và ánh xạ F : K → L(X, Z) thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

(i) Với mỗi x ∈ K, ánh xạ y → (cid:104)F (y), y − x(cid:105) là C- nửa liên tục trên

trên K\D;

(ii) Với mỗi x ∈ D, ánh xạ y → (cid:104)F (y), y − x(cid:105) là C- hàm trên D.

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho

(cid:104)F (y), y − x0(cid:105) (cid:54)∈ − int C với mọi y ∈ K.

Chứng minh. Xét ánh xạ f : K × K → Z bởi công thức

f (x, y) = (cid:104)F (y), y − x(cid:105).

Sử dụng Định lý 2.2.1, ta suy ra điều phải chứng minh.

Định lý 2.4.5. Giả sử X và Z là không gian lồi địa phương Hausdorff;

C ⊆ Z là nón lồi, nhọn và K là tập con không rỗng, lồi, compact của X.

Giả sử D ⊆ K là tập tự trù mật đoạn trong K và ánh xạ F : K → L(X, Z)

thỏa mãn các điều kiện dưới đây:

(i) Với mỗi y ∈ K, ánh xạ x → (cid:104)F (y), y − x(cid:105) là C- nửa liên tục trên

mạnh trên K;

(ii) Với mỗi x ∈ K, ánh xạ y → (cid:104)F (y), y − x(cid:105) là C- nửa liên tục trên

mạnh trên K\D;

(iii) Với mỗi x ∈ D, ánh xạ y → (cid:104)F (y), y − x(cid:105) là C- hàm trên D.

Khi đó tồn tại x0 ∈ K sao cho

(cid:104)F (y), y − x0(cid:105) (cid:54)∈ −C\{0} với mọi y ∈ K.

Chứng minh. Xét ánh xạ f : K × K → Z bởi công thức

f (x, y) = (cid:104)F (y), y − x(cid:105).

Sử dụng Định lý 2.2.4, ta suy ra điều phải chứng minh.

Kết luận của luận văn

Trong luận văn này chúng tôi trình bày những kết quả chính sau.

1. Trình bày khái niệm tập tự trù mật đoạn và tính chất của nó.

2. Trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán cân

bằng véctơ yếu trên tập tự trù mật đoạn.

3. Trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán cân

bằng véctơ mạnh trên tập tự trù mật đoạn.

4. Trình bày một số ứng dụng vào bài toán tối ưu véctơ và bài toán bất

đẳng thức biến phân véctơ Minty.

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề trong lý

thuyết tối ưu véctơ đa trị", Nhà xuất bản giáo dục.

Tiếng Anh

[2] Bianchi M. and Schaible S. (1996), "Generalized monotone befunctions

and equilibrium problems", J. Optim. Theory Appl, 90, 31-42.

[3] Blum E. and Oettli W. (1994), "From Optimization and Variational

Inequalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, 64,

1-23.

[4] Brouwer L. E. J. (1912), "Uber abbildungenvon mannigfaltigheiten",

Math. Ann, 79 , 97-115.

[5] Debreu G.(1954), "Valuation equilibrium and Pareto optimum", Proc.

Nat. Acad. Sci. U.S.A, 40, 588-592.

[6] Edgeworth F. Y. (1981), "Mathematical Psychics", C. Kegan Paul Co.,

London, England.

[7] Fan K.(1952), "Fixed- point and minimax theorems in locally convex

topological linear spaces". Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.38, 121-126 .

[8] Fan K.(1961),"A Generalization of Tychonoff’s Fixed Point Theorem",

Mathematische Annalen, 142, 305-310.

[9] Fan K.(1972), "A minimax inequality and application, In Inequalities

III (O. Shisha (Ed)), Aca Press, New York.

[10] Hadjisavvas N. and Schaible S. (1998),"From scalar to vector equilib-

rium problems in the quasimonotone case", J. Optim. Theory Appl, 96,

297-309.

[11] László S. and Viorel A. (2015). "Densely defined equilibrium problems".

J. Optim. Theory Appl. 166, 52-75.

[12] László S. (2016). "Vector Equilibrium Problems on Dense Sets". J.

Optim. Theory Appl. DOI 10.1007/s10957-016-0915-0.

[13] Minty G. J. (1978), " On variational inequalities for monotone opera-

tors", I. Advances in Math, 30, 1-7.

[14] Rudin W. (1991), "Principles of Mathematical Analysis", Third Edi-

tion, McGraw-hill.

[15] Browder F. E. (1968), "The fixed point theory of multivalued mappings

in topological vector spaces", Math. Ann., 177, 283-301.