ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– HOÀNG THỊ HẢI YẾN
BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ
MONGE-AMPERE PHỨC TRONG LỚP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– HOÀNG THỊ HẢI YẾN
BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ
MONGE-AMPERE PHỨC TRONG LỚP
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2016
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Hoàng Thị Hải Yến
ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, bộ phận sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2016
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Tác giả
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................................ ii
MỤC LỤC .............................................................................................................................iii
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................................ 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................... 2
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................................... 2
4. Bố cục của luận văn ........................................................................................................... 2
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ................................................................... 4
1.1. Hàm điều hòa dưới .......................................................................................................... 4
1.2. Hàm đa điều hoà dưới ..................................................................................................... 5
1.3. Hàm cực trị tương đối ..................................................................................................... 7
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức ..................................................................................... 10
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor......................................................................... 12
Chương 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE -AMPÈRE
PHỨC TRONG LỚP ........................................................................................... 17
2.1. Dáng điệu trên biên của hàm trong các lớp và ................................ 17
2.2. Định nghĩa toán tử Monge – Ampère trong lớp ............................... 21
2.3. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp ........ 27
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 40
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 41
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức được đặt như
sau: Cho là miền giả lồi chặt, là độ đo Borel trên . Hãy tìm lớp
các hàm đa điều hòa dưới thích hợp trên đó toán tử Monge-Ampère
phức được xác định tốt sao cho với hàm liên tục trên , bài toán
sau có nghiệm duy nhất:
(1.1)
Bài toán Dirichlet đối với hàm đa điều hòa dưới đã được nghiên cứu đầu
tiên bởi Brememann vào năm 1959. Sau đó, năm 1976, Bedford và Taylor đã
giới thiệu toán tử Monge-Ampère phức và giải Bài toán Dirichlet (1.1) khi
và độ đo là liên tục tuyệt đối đối với độ đo
Lebesgue. Từ đó một số tác giả như U.Cegrell, L.Persson và S.Kolodziej,
Z.Blocki đã cố gắng giải bài toán bỏ qua tính liên tục của mật độ của . Năm
1996, S.Kolodziej đã cho điều kiện đủ đối với tính giải được của bài toán
Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trên lớp . Đối
với các độ đo kỳ dị, tính giải được của bài toán Dirichlet đã được giải quyết bởi
L. Lempert, J.P.Demailly và P. Lelong. Năm 2004, U. Cegrell đã đưa ra định
nghĩa tổng quát của toán tử Monge-Ampère, định nghĩa lớp năng lượng và
giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère trong lớp đó.
Theo híng nghiªn cøu trªn, chóng t«i chän ”Bài toán Dirichlet đối với
toán tử Monge-Ampere phức trong lớp ” làm đề tài nghiên cứu của mình,
trong đó đã trình bày các kết quả gần đây của P. Ahag về giải bài toán Dirichlet
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp .
2
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức
trong lớp .
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
+ Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa
điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh.
+ Trình bày kết quả nghiên cứu về giải bài toán Dirichlet đối với toán tử
Monge-Ampère phức trong lớp .
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương
pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 41 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère,
nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương, trình
bày dáng điệu trên biên của hàm trong các lớp , Định nghĩa toán tử Monge –
Ampère trong lớp và . Trong mục 2.2 đã chỉ ra rằng có thể định nghĩa
toán tử Monge-Ampère trên các lớp đó theo cách xấp xỉ. Mục 2.3 được dành để
trình bày việc giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère trong lớp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
. Đặc biệt, trong [8], Cegrell giải bài toán Dirichlet đối với . Phần
3
cuối cùng của chương này trình bày chứng minh nguyên lý so sánh, nhờ sử
dụng phương pháp chứng minh của Định lý 2.3.3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
4
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử là không gian tôpô. Hàm gọi
là nửa liên tục trên trên nếu với mỗi tập
là mở trong . Hàm gọi là nửa liên tục dưới trên nếu
là nửa liên tục trên .
Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau:
Giả sử . Ta nói hàm là nửa liên tục trên tại nếu
tồn tại lân cận của trong sao cho ta có:
nếu
nếu
Giả sử và là hàm trên . Giả sử Ta
định nghĩa
ở đó inf lấy trên các chạy qua các lân cận của . Khi đó có thế thấy rằng
hàm là nửa liên tục trên tại nếu
Ta có kết quả sau.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử là tập mở trong . Hàm gọi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
là điều hòa dưới trên nếu nó nửa liên tục trên trên và thỏa mãn bất đẳng
5
thức dưới trung bình trên , nghĩa là với mọi tồn tại sao cho với
mọi ta có
(1.2)
Kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên là .
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử là các hàm điều hòa dưới trên tập mở trong .
Khi đó:
là hàm điều hòa dưới trên .
Tập các hàm điều hòa dưới trên là một nón, nghĩa là nếu
và thì cũng thuộc .
Định lý 1.1.4. Giả sử là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở
trên và Khi đó là hàm điều hòa dưới trên .
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh nửa liên tục trên trên . Với mỗi
tập
Do đó nó là tập mở. Vậy nửa liên tục trên trên . Do mỗi thỏa mãn bất
đẳng thức dưới trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy ra cũng thỏa
mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên . Do đó là hàm điều hòa dưới trên .
1.2. Hàm đa điều hoà dưới
Định nghĩa 1.2.1. Cho là một tập con mở của và là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của . Hàm được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi và
, hàm là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
phần của tập hợp .
6
Kí hiệu là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong .
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:
Mệnh đề 1.2.2. Nếu và hầu khắp nơi trong , thì
.
Mệnh đề 1.2.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
và
bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của
, thì hoặc là hằng hoặc với mỗi ,
.
Định lý 1.2.4. Cho là một tập con mở trong . Khi đó
Họ là nón lồi, tức là nếu là các số không âm và
, thì .
Nếu là liên thông và là dãy giảm, thì
hoặc .
Nếu , và nếu hội tụ đều tới trên các tập
con compact của , thì .
Giả sử sao cho bao trên của nó là bị
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên là đa điều
hoà dưới trong .
Hệ quả 1.2.5. Cho là một tập mở trong và là một tập con mở thực
sự khác rỗng của . Nếu , , và với
mỗi , thì công thức
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
xác định một hàm đa điều hoà dưới trong .
7
Định lý 1.2.6. Cho là một tập con mở của .
Cho là các hàm đa điều hoà trong và . Nếu là lồi,
thì là đa điều hoà dưới trong .
Cho , , và trong . Nếu là
lồi và tăng dần, thì là đa điều hoà dưới trong .
Cho , trong , và trong . Nếu
là lồi và , thì .
Định lý 1.2.7. Cho là một tập con mở của và
là một tập con đóng của ở đây . Nếu là bị
chặn trên, thì hàm xác định bởi
là đa điều hoà dưới trong .
1.3. Hàm cực trị tương đối
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử là một tập con mở của và là tập con của .
Hàm cực trị tương đối đối với trong được định nghĩa là :
( ).
Hàm là đa điều hoà dưới trong .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối.
Mệnh đề 1.3.2. Nếu thì .
Định nghĩa 1.3.3. Miền bị chặn gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một
hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục sao cho với
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
.
8
Mệnh đề 1.3.4. Nếu là miền siêu lồi và là một tập con compact tương đối
của , thì tại điểm bất kỳ ta có
.
Chứng minh. Nếu là một hàm vét cạn đối với , thì với số nào
đó, trên . Như vậy trong . Rõ ràng,
và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm.
Mệnh đề 1.3.5. Nếu là miền siêu lồi và là một tập compact
là hàm liên tục. sao cho thì
Chứng minh. Lấy là họ các hàm . Giả sử và ký hiệu
là hàm xác định của sao cho trên K. Khi đó . Chỉ trong
cần chứng minh rằng với mỗi tồn tại . Sao cho
trong . Thật vậy, lấy tồn tại sao cho
trong và , trong đó
.
Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini
có thể tìm được sao cho trên và
trên . Đặt
Khi đó C( ) ∩ F và như vậy
tại mỗi điểm trong .
Mệnh đề 1.3.6. Cho
là tập mở liên thông, và
. Khi đó các điều
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
kiện sau tương đương :
9
;
Tồn tại hàm âm sao cho
Chứng minh. là hiển nhiên. Thật vậy, nếu như ở trên , thì
với mọi , từ đó hầu khắp nơi trong . Như vậy
. Bây giờ giả sử . Khi đó tồn tại sao cho
. Bởi vậy, với mỗi , có thể chọn một sao cho
và .
Đặt
Chú ý rằng , âm trong , và .
Đồng thời là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều
hoà dưới. Vì nên ta kết luận .
Mệnh đề 1.3.7. Cho là tập con mở liên thông của . Giả sử ,
trong đó với . Nếu với mỗi , thì .
Chứng minh. Chọn sao cho và . Lấy điểm
. Bằng cách mở rộng mỗi hàm bởi một hằng số
dương thích hợp, ta có thể giả thiết . Khi đó
, và . . Suy ra
Mệnh đề 1.3.8. Cho là tập con siêu lồi của và là một tập con
compact của . Giả thiết rằng là một dãy tăng những tập con mở của
và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
sao cho . Khi đó .
10
Chứng minh. Lấy điểm . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng
. Giả sử là một hàm vét cạn đối với sao cho
trên . Lấy sao cho . Khi đó tồn tại sao cho tập
mở là tập compact tương đối trong . Lấy
và
sao cho trên trên . Khi đó
xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa và . Như vậy
. Vì là một phần tử tuỳ ý của họ , nên ta có
Do đó ta có với mọi và
nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức
Giả sử và . Nếu thì toán tử:
,
với là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này
có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact trên
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên thì tồn tại dãy sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
và hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:
11
.
Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy như trên, ta ký hiệu:
và gọi là toán tử Monge-Ampère của .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère.
Mệnh đề 1.4.1. Giả sử là dạng lớp trên tập mở
và là dòng với . Khi đó
.
Mệnh đề 1.4.2. Giả sử là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội
tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó
Nếu là tập mở thì .
Nếu là tập compact thì .
Nếu compact tương đối trong sao cho thì
.
Chứng minh. Ta có . Giả sử là tập
compact. Lấy , và trên . Khi đó
.
Từ đó
.
Ta có . Giả sử là một lân
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
cận mở của và , và trên . Khi đó
12
.
Từ đó
.
. Khi đó Viết
.
Mặt khác
.
Từ đó
.
Mệnh đề 1.4.3. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho trên và . Giả sử là dòng
dương, đóng trên . Khi đó
.
Đặc biệt, nếu thì .
1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor
Định lý 1.5.1. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho . Khi đó
. (1.3)
Chứng minh. Theo giả thiết ta có , nghĩa là với mọi
tồn tại sao cho thì . Hơn nữa khi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
thay bởi , thì khi . Nếu bất đẳng
13
thức (1.2) đúng trên thì cho suy ra (1.2) đúng trên
. Vì vậy có thể giả sử . Vậy
.
Giả sử là các hàm liên tục. Khi đó là tập mở, liên
tục trên và trên . Với , đặt .
Từ giả thiết suy ra hay
với gần biên . Vậy gần biên
và trên . Theo công thức Stokes ta có
, hay
.
Vì nên . Vậy ta có
.
Giả sử tùy ý và là miền sao cho . Tồn tại
hai dãy và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới
và sao cho trên với mọi . Có thể coi . Lấy
và giả sử là tập mở sao cho , là các hàm liên
tục trên . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho
trên . Ta có
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Nhưng và vì là tập mở nên
14
,
và hội tụ yếu tới . vì
và suy ra Từ
.
Áp dụng vào các hàm liên tục và ta thu được
.
Do đó
.
Hơn nữa
và do là tập compact và nên ta có
.
Do tùy ý nên ta được
.
Từ đó với mọi ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
.
15
Nhưng
và
khi . Do đó
.
Hệ quả 1.5.2. (Nguyên lý so sánh). Giả sử là miền bị chặn trong và
sao cho ,
trên . Khi đó trên .
Chứng minh. Đặt , với được chọn đủ lớn sao cho
trên . Giả sử . Khi đó có sao cho
và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Theo Định lí 1.5.1 ta có
và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy trên .
Hệ quả 1.5.3. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho và . Khi đó trên .
Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.5.2. Giả sử . Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
có sao cho và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú
16
. Khi đó như chứng minh của ý rằng do nên
Hệ quả 1.5.2 ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
và ta gặp mâu thuẫn.
17
Chương 2
BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI
TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG LỚP
Trong chương này luôn giả sử là miền bị chặn. Bedford và
Taylor [4] chứng minh rằng hoàn toàn xác định trên .
Cegrell [8] chứng minh rằng toán tử Monge-Ampère hoàn toàn xác định trên
tập con các hàm đa điều hòa dưới không dương chứa cả và . Phần đầu
của chương này trình bày nghiên cứu dáng điệu của hàm trong các lớp và
. Tiếp theo trong phần thứ 2 chúng ta chỉ ra rằng có thể định nghĩa toán tử
Monge – Ampère theo cách xấp xỉ trên lớp . Phần cuối cùng của chương
này chúng ta sẽ giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère trong lớp
. Chương này kết thúc với nguyên lý so sánh, được chứng minh bằng cách
sử dụng phương pháp chứng minh của Định lý 2.3.3.
2.1. Dáng điệu trên biên của hàm trong các lớp và
Giả sử . Kí hiệu là lớp các hàm đa điều hòa dưới âm trên .
)
Định nghĩa 2.1.1. (Các lớp Cegrell trong
.
, tồn tại lân cận
, trên sao cho .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
.
18
,
.
.
triệt tiêu trên các tập đa cực của .
Định lý 2.1.2. Giả sử , và với
. Khi đó
.
Chứng minh. Xem trong [7] và [8].
với mỗi
Bổ đề 3.12 trong [7] đã chỉ ra nếu là miền giả lồi chặt, bị chặn và thì
. (2.1)
Trong phần này ta sẽ chứng minh điều đó xảy ra đối với mọi hàm
ở đó là một miền siêu lồi, bị chặn.
Nhắc lại rằng một miền siêu lồi, bị chặn , xem như là một miền trong
, luôn chính quy với bài toán Dirichlet đối với toán tử Laplace; vì thế, (2.1)
xảy ra đối với một hàm điều hòa dưới tùy ý xác định trên mà hàm trội điều
hòa nhỏ nhất của nó là hàm 0.
Bổ đề 2.1.3. Cho là miền siêu lồi bị chặn và hàm điều
trên }. Nếu , thì hòa. Đặt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
.
19
Chứng minh. Cho là hình cầu mở sao cho và cho sao cho
, ở đó . Giả sử là nhân chính
qui tiêu chuẩn và . Khi đó và là
dãy giảm sao cho với mỗi . Giải bài toán Dirichlet
với giá tri biên ta được hàm sao cho trên
và
(2.2)
trên . Định nghĩa hàm trên bởi
(2.3)
Khi đó và giảm khi . Cho . Hàm giới hạn
H của tồn tại và là hàm đa điều hòa dưới trên hoặc đồng nhất .
Điều đó cũng kéo theo trên , suy ra
(2.4)
với mỗi . Định nghĩa của suy ra trên và do đó
trên . Do đó, trên bởi vì là hàm điều hòa dưới. Như vậy,
(2.5)
với mọi . Các bất đẳng thức (2.4) và (2.5) kéo theo trên . Điều
này, cùng với (2.2), (2.3), và giả sử , cho ta
trên .
Vì là tùy ý, nên Bổ đề được chứng minh.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng có thể xảy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
trên .
20
Ví dụ 2.1.4. Cho là hình cầu đơn vị, và . Với , đặt
Khi đó là nhân Poisson đối với . Vì thế, là hàm điều hòa và .
Điều này chứng tỏ rằng không tồn tại một hàm sao cho ,
suy ra .
Định lý 2.1.5. Nếu , thì hàm trội điều hòa nhỏ nhất của là
đồng nhất 0 trên .
Chứng minh. Giả sử . Hàm 0 là hàm điều hòa và như vậy là hàm
trội điều hòa của ; do đó tồn tại một hàm trội điều hòa nhỏ nhất của (xem
Định lý 3.6.3 [3]). Giả sử tồn tại một hàm trội điều hòa nhỏ hơn của ; tức là
tồn tại hàm điều hòa xác định trên sao cho
(2.6)
và tại ít nhất một điểm . Giả sử hàm được xác định như
trong Bổ đề 2.1.3. Khi đó định nghĩa của và (2.6) kéo theo , do
đó theo Định lý 2.1.2. Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.3.
Nếu thì theo phần duy nhất trong Định lý 6.2 [7]. Theo cách
xây dựng ta có , suy ra . Điều này mâu thuẫn với giả sử tồn
tại sao cho . Như vậy hàm trội điều hòa nhỏ nhất của bằng 0
trên .
với mỗi
Hệ quả 2.1.6. Giả sử . Khi đó
.
Chú ý 2.1.7. Định lý 2.1.5 và Hệ quả 2.1.6 nói chung không có hiệu lực cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
các hàm thuộc lớp . Chẳng hạn, xét hàm đồng nhất .
21
Chú ý 2.1.7 kéo theo với mỗi , và Ví du 2.1.8 chỉ
ra rằng tồn tại một hàm sao cho với mỗi
.
Ví dụ 2.1.8. Giả sử , là dãy sao cho mỗi điểm trên là một
điểm giới hạn đối với dãy . là tập đa cực bởi vì nó là đếm được.
Định lý 5.8 trong [8] suy ra rằng tồn tại một hàm sao cho
Với mỗi , lấy hàm được xác định bởi
. Khi đó Định lý 2.1.2 suy ra rằng , vì
và
Do đó điều này kéo theo
vì . Định lý 5.6 trong [7] cho ta Việc xây dựng của và
kéo theo và với mọi
. Như vậy với mọi .
2.2. Định nghĩa toán tử Monge – Ampère trong lớp
Các lớp và được định nghĩa đầu tiên trong [7]. Ở đây các
định nghĩa sẽ được nhắc lại, và , , và sẽ được định nghĩa một
cách tương tự. Nếu là một trong những lớp đó, ở đó , thì điều đó
trực tiếp suy ra , ở đó là lớp tương ứng được xác định trong mục
2.1. Do đó các lớp được xác định trong phần này là sự tổng quát trong mục 2.1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Mệnh đề 2.2.4 là hệ quả trực tiếp của định nghĩa của các lớp đó và Hệ quả
22
2.1.7. Vì thế, các hàm thuộc và về bản chất có giá trị biên đã cho
bởi hàm . Mục đích chính của phần này là chứng minh rằng có thể định nghĩa
toán tử Monge – Ampère theo cách xấp xỉ trên . Lớp chứa ,
, và ; toán tử Monge – Ampère phức cũng được xác định trên
các lớp này.
Định nghĩa 2.2.1. Cho là một miền trong , là hàm giá trị thực liên tục
xác định trên , và là một độ đo không âm xác định trên . Khi đó bao
được xác định bởi
,
ở đó
với mỗi .
Các lớp , , và được định nghĩa sử dụng bao một cách
tương tự như và trong [7].
Định nghĩa 2.2.2. Cho , là miền siêu lồi bị chặn,
và là hàm liên tục sao cho
với mỗi .
Một hàm đa điều hòa dưới xác định trên thuộc vào nếu
tồn tại một hàm sao cho
.
Chú ý 2.2.3. (1) Theo các giả thiết trong Định nghĩa 2.2.2, bao Peron-
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Bremermann thuộc về Hơn nữa và
23
(2) Nếu thì . Lớp là một tập hợp lồi,
nhưng nói chung nó không là một nón lồi.
(3) Cho và cố định; khi đó
và
(4) Tồn tại một hàm sao cho .
Trong phần còn lại của mục này, giả sử là miền siêu lồi bị chặn và
là hàm liên tục sao cho với mọi .
Mệnh đề 2.2.4. Giả sử . Khi đó
(2.7)
với mỗi . Nếu , thì
(2.8)
với mỗi .
Chứng minh. Giả sử , nghĩa là, , và tồn tại
hàm (hoặc trong ) sao cho . Khi đó
(2.9)
Theo Hệ quả 2.1.7, điều đó suy ra rằng
(2.10)
với mỗi . Từ đó (2.9) và (2.10) suy ra (2.7) xảy ra. Lấy . Sử
dụng định nghĩa của thay cho Hệ quả 2.1.7 trong phương pháp trước đó ta
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
được kết quả mong muốn, đó là, (2.8) xảy ra.
24
Mệnh đề 2.2.5. (1) Nếu và , thì .
(2) Nếu , thì tồn tại một hằng số sao cho .
(3) Nếu , thì tồn tại một hằng số sao cho .
Chứng minh. (1) Điều này suy ra từ định nghĩa của và Định lý 2.1.3.
(2) Đây là hệ quả của (1).
(3) Giả sử và xét hàm . Hàm này thuộc vào ,
điều này hoàn thiện chứng minh của mệnh đề.
Định lý 7.2 trong [7] chứng minh rằng hoàn toàn xác định trên
. Phương pháp tương tự được sử dụng ở đây để chứng minh rằng toán tử
này hoàn toàn xác định trên . Nói riêng, điều này suy ra toán tử Monge-
Ampère phức là hoàn toàn xác định trên và .
Định lý 2.2.6. Giả sử . Khi đó tồn tại một dãy giảm , ,
hội tụ điểm đến khi .
Chứng minh. Lấy , nghĩa là và tồn tại một hàm
sao cho
. (2.11)
Từ Định lý 2.1 [8] suy ra rằng tồn tại một dãy giảm , sao cho
hội tụ điểm đến khi . Lấy dãy , được xác định bởi
.
Đó là một dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới, vì là dãy giảm, và nó hội
tụ điểm đến khi . Định nghĩa của kéo theo
, (2.12)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
và theo (2.11) suy ra
25
vì
Vì thế, bất đẳng thức (2.12) cho ta
với mỗi .
Do đó là dãy giảm hội tụ điểm đến khi .
Định lý 2.2.7. Giả sử , là một dãy giảm hội tụ điểm đến
khi . Khi đó là hội tụ yếu* và độ đo giới hạn
không phụ thuộc vào dãy .
Chứng minh. Giả sử , là một dãy giảm hội tụ điểm đến
khi . Lấy là tập compact. Theo Định
nghĩa 2.2.2, và tồn tại một hàm sao cho
. (2.13)
Không mất tính tổng quát, giả sử rằng , bởi vì nếu thì (2.13) kéo
theo , và với mỗi theo
Định nghĩa 2.2.2. Hàm là liên tục trên và ; do đó tồn tại một
hằng số sao cho trên , ở đó là hằng số được xác
định bởi
Điều đó và (2.13) kéo theo
(2.14)
trong một lân cận của . Theo Định lý 2.1 trong [8] tồn tại một dãy giảm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
, hội tụ điểm đến khi . Đặt
26
Giả sử nghĩa là . Khi đó là hàm đa
điều hòa dưới và . Vì là một nón lồi, nên và do
đó theo Định lý 2.1.3. Hơn nữa, là một dãy giảm hội tụ điểm tới
Chú ý rằng theo (2.14), ta có
trong một lân cận của
và theo Định lý 2.1.3 ta được
.
Theo Định lý 4.2 trong [8] suy ra là hội tụ yếu* và độ đo giới hạn
không phụ thuộc vào dãy . Do đó là hội tụ yếu*, vì
được chọn tùy ý. Nhưng , nên là hội tụ
yếu* và độ đo giới hạn không phụ thuộc vào dãy .
Định nghĩa 2.2.8. Giả sử . Định nghĩa là độ đo giới hạn
trong Định lý 2.2.7.
Lấy . Khi đó, theo Định lý 2.2.6, tồn tại một dãy giảm hội tụ
điểm đến khi . Nếu , là dãy giảm tuỳ ý hội tụ điểm
đến khi , thì theo Định lý 2.2.7 là hội tụ yếu* và độ đo
giới hạn không phụ thuộc vào dãy . Điều này chứng tỏ rằng Định nghĩa
2.2.8. đặt ra đúng đắn.
Giả sử là một hàm liên tục sao cho và .
Theo Mệnh đề 2.2.5, ta có . Xét hàm và .
Khi đó là một độ đo không âm theo Định nghĩa 2.2.8, và
cũng là độ đo không âm theo Định nghĩa 4.3 [8]. Chứng minh của Định lý 2.2.7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
kéo theo cả hai độ đo này là như nhau.
27
Giả sử . Khi đó có thể sử dụng ý tưởng của chứng minh
trong Định lý 2.2.7, để định nghĩa
theo cách tương tự như được xác định trong Định nghĩa 2.6.
Mệnh đề 2.2.9 dưới đây thu được bởi sử dụng Mệnh đề 2.2.5. cùng với Hệ quả
5.2 [8]; nó được sử dụng về sau trong chứng minh của Định lý 2.3.3.
Mệnh đề 2.2.9. Giả sử và , là một dãy giảm hội tụ
điểm đến khi . Khi đó nếu , và
thì trong tô pô yếu*.
2.3. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp
Giả sử là một miền siêu lồi bị chặn, và là một hàm
liên tục sao cho với mỗi .
Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh bài toán Dirichlet đối với toán
tử Monge-Ampère phức. Chính xác hơn: giả sử là một độ đo không âm triệt
tiêu trên các tập đa cực và có khối lượng toàn phần hữu hạn. Khi đó tồn tại một
hàm xác định duy nhất sao cho (Định lý 2.3.3).
Chương này này kết thúc với nguyên lý so sánh, được chứng minh nhờ sử dụng
các phương pháp trong chứng minh của Định lý 2.3.3. Bằng cách sử dụng phần
tồn tại của Định lý 2.3.3 và nguyên lý so sánh Bedford-Taylor cho các hàm đa
điều hòa dưới bị chặn, Cegrell đã chứng minh nguyên lý so sánh trong lớp
; như là Hệ quả, suy ra phần duy nhất của Định lý 2.3.3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Bổ đề 2.3.1. Cho và Nếu
28
thì , trong đó là hàm đặc trưng của A.
Chứng minh. Nếu , thì bổ đề suy ra trực tiếp. Từ đó giả sử rằng
. Điều đó là đủ để chứng minh đẳng thức của hai độ đo trên hai tập
compact tuỳ ý Lấy là hằng số được xác định bởi
Theo Định lý 2.2.7, tồn tại sao cho trong một lân cận
của tập . Nếu thì theo Bổ đề 5.4 [7] ta có
trên
và như vậy trên . Do đó ta có
trên , vì .
Định lý 2.3.2. Giả sử là một độ đo không âm được xác định trên miền siêu
lồi bị chặn . Khi đó tồn tại các hàm và
sao cho trong đó là độ đo không âm sao cho tồn tại một
tập đa cực với
Chứng minh. Xem Định lý 5.11 [8].
Định lý 2.3.3. Cho là miền siêu lồi bị chặn. Giả sử rằng là
một độ đo không âm được xác định trên với và với
mọi tập đa cực . Khi đó, với mỗi hàm liên tục sao cho
với mỗi , tồn tại duy nhất một hàm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
sao cho .
29
Chứng minh . Trước tiên ta chứng minh sự tồn tại của thoả mãn định
lý. Vì triệt tiêu trên các tập đa cực và có khối lượng toàn phần hữu hạn, nên
theo Định lý 2.3.2 tồn tại hàm
và sao cho
Với mỗi , lấy là độ đo được xác định bởi
Khi đó
và theo Định lý Kolodziej [10], tồn tại duy nhất một hàm sao cho
. (2.15)
Dãy là giảm. Điều này kéo theo
,
với mọi ,
và
.
Đẳng thức (2.15) kéo theo
.
Theo Định lý 8.1 trong [7] ta có
và
(2.16)
Vì thế, . Điều đó cũng kéo theo là dãy giảm. Vì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
theo giả thiết, nên ta suy ra
30
và như vậy . Đặt . Khi đó theo (2.16)
và .
Suy ra . Từ Định lý 2.2.7 suy ra rằng .
Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của thoả mãn định lý. Giả sử tồn
tại cũng thoả mãn . Khi đó giả thiết kéo
theo và . Ta sẽ chứng minh rằng .
Vì nguyên lý so sánh chưa được chứng minh là có hiệu lực trong ,
nên ta sẽ sử dụng các dãy xấp xỉ của các nghiệm và , sau đó sử dụng
nguyên lý so sánh trên các xấp xỉ đó. Đối với hàm dãy ,
trong phần chứng minh tồn tại đã được sử dụng.
Lấy với và là dãy các tập compact sao cho
và với mọi .
Ký hiệu là hàm cực trị tương đối và lấy là một số nguyên dương.
Dãy được xây dựng sao cho
và giảm đến trên khi . Bằng cách sử dụng hàm phụ , có thể
thu được
,
ở đó và được xây dựng một cách thích hợp. Khi xây
dựng hàm , một ý tưởng từ chứng minh của Bổ đề 5.14 [8] được sử dụng.
Khi đó để hoàn thành chứng minh này ta chỉ cần chứng minh hội tụ đến 0 và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
hội tụ đến trên khi và dần đến .
31
Theo Định lý 2.3.2, tồn tại hàm và sao cho
(2.17)
điều này suy ra bởi vì triệt tiêu trên các tập đa cực và , theo giả
thiết. Với mỗi , lấy là độ đo được xác định bởi
. (2.18)
Từ phần đầu tiên của chứng minh này suy ra tồn tại một dãy giảm
, sao cho
(2.19)
và . Dãy các compact cũng có tính chất là các hàm cực
trị tương đối . Nhắc lại rằng
và trên
Lấy là một dãy tăng nghiêm ngặt các số nguyên dương, và định nghĩa
hàm bởi
Chú ý rằng hàm nói chung, không phải là hàm đa điều hòa dưới. Định nghĩa
của kéo theo trên . Như vậy có thể
chọn một dãy tăng các số nguyên dương sao cho, với mỗi , bất
đẳng thức
(2.20)
xảy ra theo Định lý hội tụ đơn điệu và giả thiết triệt tiêu trên các tập đa cực.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Để đơn giản ta cũng ký hiệu và sử dụng thay cho và .
32
Nếu thì
(2.21)
trong đó là hàm đặc trưng đối với tập hợp . Vì , nên suy ra
. Dãy giảm đến khi
. Lấy cố định và sao cho . Khi đó Bổ đề 2.3.1
suy ra rằng
, (2.22)
vì .
Từ (2.21) và (2.22) suy ra
. (2.23)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Các giới hạn yếu* sau đây xảy ra:
33
Giới hạn thứ nhất suy ra bởi Định lý 2.2.7 và ba giới hạn sau suy ra bởi Mệnh
đề 2.2.9. Có thể biểu diễn hàm như sau
Khi đó, dựa vào (2.23) cùng với các giới hạn trước đó, suy ra
(2.24)
khi . Bất đẳng thức (2.21) và (2.24) suy ra
(2.25)
Giả sử cùng với (2.17)-(2.19) cho ta
(2.26)
Đặt
khi đó . Theo (2.25) và (2.26) ta có
. (2.27)
Lại theo Định lý Kolodziej, với mỗi , tồn tại hàm sao cho
, vì .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Từ phần đầu tiên của chứng minh này suy ra tồn tại hàm sao cho
34
.
Lấy cố định. Khi đó và là các dãy tăng và
như vậy và là các dãy giảm theo nguyên lý so sánh. Với mỗi
, đặt
và .
Bây giờ ta sẽ chứng minh khi , dãy hội tụ đến 0 trên và dãy
hội tụ đến trên . Từ việc xây dựng (2.20) suy ra
,
điều này kéo theo . Tồn tại một hàm sao cho
, với mỗi (xem [6]).
Theo Hệ quả 2.2 [5] và định nghĩa của suy ra rằng
trong đó là hằng số chỉ phụ thuộc vào và . Do đó
(2.28)
yếu trên . Khi đó bất đẳng thức (2.27) cho ta
với mọi . Khi đó, theo Định lý 2.3.2, ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
(2.29)
35
Vì
,
nên theo Định lý 2.3.2 suy ra
.
Như vậy,
.
Từ đó và theo Mệnh đề 2.2.4, suy ra
với mỗi .
Theo Mệnh đề 6.1 [7] với mỗi , tồn tại sao cho
(2.30)
và vì thế
Theo nguyên lý so sánh, ta có
(2.31)
vì và trên .
Theo Định lý 2.2.7 ta có
;
sau khi nhân bất đẳng thức bên trái trong (2.24) với ta được
.
Do đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
.
36
Bây giờ theo (2.20) và (2.30) điều đó suy ra
.
Từ đó theo Hệ quả 2.2 [5], ta có
,
trong đó là hằng số chỉ phụ thuộc vào và . Điều đó suy ra rằng
(2.32)
yếu trên Cho và dần đến , từ (2.28), (2.29), (2.31), và (2.32) suy ra
trên .
Định nghĩa 2.3.4. là lớp của hàm đa điều hòa dưới sao cho
triệt tiêu trên tất cả tập hợp đa cực.
Hệ quả 2.3.5. Cho là một miền siêu lồi bị chặn, và
là các hàm liên tục sao cho và
với mỗi . Giả sử và ở
đó , , và . Khi đó .
Chứng minh. Tồn tại các hàm , với và
sao cho
(2.33)
trong đó là một độ đo không âm, theo Định lý 2.3.2 được mang bởi một tập
đa cực, ngoài ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
và .
37
Các độ đo và liên tục tuyệt đối đối với
Từ đó tồn tại các hàm
và sao cho
(2.34)
Theo đẳng thức của độ đo trong (2.33) và (2.34) điều đó kéo theo
(2.35)
Do đó trên , vì theo giả thiết.
Xét độ đo ; nó có khối lượng tổng cộng hữu hạn và triệt
tiêu trên mỗi tập đa cực. Từ đó theo Định lý 2.3.3 tồn tại duy nhất một hàm
sao cho
.
Từ (2.35) suy ra
vì trên . Với mỗi , lấy các độ đo và xác định bởi
Theo chứng minh của phần tồn tại trong Định lý 2.3.3, tồn tại các hàm
sao cho và . Suy ra
.
Khi đó theo nguyên lý so sánh ta được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
(2.36)
38
và và là các dãy giảm. Đặt và .
Sử dụng ý tưởng tương tự dùng trong phần tồn tại của chứng minh Định lý
2.3.3, có thể chứng minh rằng
và
Nhưng và được xác định duy nhất và như vậy và . Từ
(2.36) điều đó kéo theo
(2.37)
Lấy và như trong chứng minh phần duy nhất của Định lý 2.3.3.
Theo cách tương tự, ta định nghĩa các hàm trên bởi
Chú ý rằng và vì thế có thể có khối lượng trên các tập đa
cực. Bất đẳng thức (2.24) cho ta
. (2.38)
Nói riêng, Điều này kéo theo độ đo không âm triệt tiêu trên các tập
đa cực và như vậy
Tồn tại một hàm xác định duy nhất sao cho
trong đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Nguyên lý so sánh và (2.38) suy ra
39
(2.39)
trên . Nhắc lại rằng theo giả thiết. Lấy . Khi đó
và .
Vì thế, và trên , vì được xác định duy nhất. Như vậy,
điều đó kéo theo trên , theo (2.39). Vì trên theo (2.37), nên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
suy ra trên .
40
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
+ Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều
hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và
các hệ quả của nó.
+ Giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère trong lớp .
Nội dung được trình bày trong Định lý 2.3.3, cụ thể là: Giả sử
là miền siêu lồi bị chặn, và là hàm liên tục sao cho
với mỗi . là độ đo không âm trên với
khối lượng toàn phần hữu hạn và triệt tiêu trên các tập đa cực. Khi đó tồn tại
một hàm xác định duy nhất sao cho . Trường hợp đặc
biệt, trong [9], Cegrell giải bài toán Dirichlet đối với .
+ Chứng minh rằng có thể định nghĩa toán tử Monge-Ampère trên các lớp
đó theo cách xấp xỉ.
+ Chứng minh Hệ quả 2.3.5 về nguyên lý so sánh trong lớp nhờ sử
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
dụng phương pháp chứng minh của Định lý 2.3.3.
41
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
1. Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa thế vị, Nxb
Đại học sư phạm Hà Nội.
TIẾNG ANH
2. P. Ahag (2007), “A Dirichlet problem for the complex Monge-Ampere
operator in ”, Michigan. Math. J. 55, 123-138.
3. D.H Armitage and S.J Gardiner (2001), Classial potential theory,
Springer Monogr. Math., Springer-Verlag, london.
4. E. Bedford and B.A Taylor (1976), “The Dirichlet problem for a complex
Monge – Ampère equation”, Invent. Math. 37, 1-44.
5. Z. Blocki (1993), “Estimates for the comlex Monge – Ampère operator”,
Bull. Polish Acad. Sci. Math. 41, 151 -157.
6. Z. Blocki (1995), “On the stability for th complex Monge – Ampère
operator”, Michigan Math. J. 42, 269 – 275.
7. U. Cegrell (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math. 180, 187 -217.
8. U. Cegrell (2004), “The general definition of the complex Monge –
Ampère”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54, 159 – 179.
9. U. Cegrell and S. Kolodziej (2006), “The equation of complex Monge –
Ampère type and stability of solutions”, Math. Ann . 334, 713 -729.
10. S. Kolodziej (1995), “The range of the complex Monge – Ampère
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
operator”, II, Indiana Univ. Math. J. 44, 765 -782.
