Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

------------**------------

NGUYỄN VŨ TRUNG

BÀI TOÁN MOTZ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

TÌM NGHIỆM XẤP XỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60. 46. 01.12

Người hướng dẫn

TS. VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN – NĂM 2016

1

MỤC LỤC

Mục lục ..................................................................................................... 1

Lời cam đoan ........................................................................................... 3

Lời cảm ơn ............................................................................................... 4

Các ký hiệu............................................................................................... 5

Mở đầu ..................................................................................................... 6

Chương 1 Các kiến thức cơ bản ............................................................ 7

1.1 Không gian Sobolev ........................................................................ 7

1.1.1 Không gian ................................................................. 7

1.1.2 Không gian .................................................................. 9

1.1.3 Không gian ......................................................... 9

1.1.4 Không gian và khái niệm vết của hàm .................... 11

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm và 12

1.2 Phương trình elliptic ..................................................................... 12

1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình .............................. 13

1.2.2 Phát biểu các bài toán biên .................................................... 14

1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản ................................................ 16

1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp ................................................................ 16

1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương

pháp lặp ........................................................................................... 17

1.4 Phương pháp sai phân…………………….. ................................. 17

1.5 Giới thiệu thư viện RC2009 .......................................................... 20

1.5.1 Bài toán biên Dirichlet ........................................................... 20

1.5.2 Bài toán biên Neumann .......................................................... 22

2

Chương 2 Bài toán Motz và các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ ... 27

2.1 Giới thiệu bài toán Motz ............................................................... 27

2.2 Một số phương pháp khai triển thông qua các hệ hàm riêng ........ 28

2.2.1 Phương pháp BAMs ............................................................... 28

2.2.2 Phương pháp GFIFs ............................................................... 30

2.2.3 Kết quả sử dụng các phương pháp BAMs ............................. 32

2.3 Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ ............................................. 32

Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm với bài toán Motz ............... 41

3.1 Kết quả đối với các phương pháp khai triển ................................. 41

3.1.1 Phương pháp BAMs ............................................................... 41

3.1.2 Kết quả sử dụng phương pháp GFIFs .................................... 42

3.2 Ứng dụng của phương pháp chia miền đối với bài toán Motz ..... 45

3.3 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát ..... 49

Phần kết luận ......................................................................................... 54

Tài liệu tham khảo ................................................................................ 55

Phần phụ lục .......................................................................................... 56

3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung

thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin

trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Thái nguyên, Tháng 12 năm 2015

Người viết luận văn

Nguyễn Vũ Trung

Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn

TS. Vũ Vinh Quang TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

4

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được

sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Vũ Vinh Quang - Trường Đại học

Công Nghệ Thông Tin và Truyền Thông. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy

đã dành cho tôi.

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau đại học, quý thầy cô

giảng dạy lớp cao học toán K7C (2014-2016) Trường Đại học Khoa Học –

Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng

như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những

người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá

trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn!

Thái nguyên, tháng 12 năm 2015

Người viết luận văn

Nguyễn Vũ Trung

5

CÁC KÝ HIỆU

Miền giới nội trong không gian .

Không gian Euclide chiều.

Biên trơn Lipschitz.

Không gian các hàm có đạo hàm cấp liên tục.

Không gian các hàm đo được bình phương khả tích.

Không gian Sobolev với chỉ số .

Không gian Sobolev với chỉ số 1/2

Không gian các hàm có vết bằng không trên .

. Không gian đối ngẫu với

Không gian đối ngẫu với.

Chuẩn xác định trên không gian .

Tích vô hướng xác định trên không gian .

Hằng số Poincare.

6

MỞ ĐẦU

Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục như các bài toán

nghiên cứu về lý thuyết dao động qua mô hình hóa đều đưa về các bài toán

biên cho phương trình elliptic cấp hai. Trong trường hợp khi môi trường là

thuần nhất và điều kiện biên bình thường thì việc tìm nghiệm của bài toán có

thể được thực hiện thông qua các phương pháp giải tích như các phương pháp

tách biến, phương pháp hàm Green hoặc các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ

như các phương pháp sai phân hay phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên

khi điều kiện biên của bài toán là hỗn hợp mạnh tức là trên một đoạn biên

trơn tồn tại 2 loại điều kiện biên dạng hàm (Dirichlet) và dạng đạo hàm

(Neumann) thì trong thực tế điểm giao giữa 2 loại điều kiện này thường xảy

ra các hiện tượng gãy nứt vật liệu. Các điểm giao này người ta thường gọi là

các điểm kỳ dị. Trong trường hợp khi tồn tại các điểm kỳ dị thì các phương

pháp kể trên không thể thực hiện được. Để giải quyết các bài toán này, người

ta thường nghiên cứu theo 2 hướng sau đây:

 Xây dựng các hệ hàm riêng trực giao xung quanh lân cận của điểm

kỳ dị dưới dạng tọa độ cực và từ đó tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán dưới dạng

khai triển tổng hữu hạn của các hệ hàm riêng. Từ đó bài toán đưa về việc xác

định các hệ số của khai triển thông qua việc giải các hệ đại số tuyến tính.

 Sử dụng các sơ đồ lặp chuyển bài toán có chứa điểm kỳ dị về các bài

toán con không chứa điểm kỳ dị. Từ đó áp dụng các phương pháp sai phân để

giải quyết các bài toán con qua đó xây dựng nghiệm của bài toán gốc ban đầu.

Xuất phát từ phân tích đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là

tìm hiểu về một mô hình bài toán Motz, đây là mô hình bài toán elliptic cấp

hai có chứa 1 điểm kỳ dị mẫu mực, thường sử dụng để test các phương pháp

xấp xỉ trên thế giới, nghiên cứu cơ sở của phương pháp khai triển tìm nghiệm

xấp xỉ của bài toán Motz, đồng thời nghiên cứu cơ sở của phương pháp lặp

7

chuyển bài toán Motz về hai bài toán elliptic cấp hai, sử dụng phương pháp

sai phân để xác định nghiệm của bài toán gốc. So sánh kết quả thực nghiệm

của hai phương pháp. Các kết quả thực nghiệm được thực hiện trên máy tính

điện tử.

Nội dung chính của luận văn là tiến hành tìm hiểu nghiên cứu cơ sở lý

thuyết của các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên elliptic cấp

hai trong miền phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp, đặc biệt bằng phương

pháp xác định nghiệm xấp xỉ thông qua các hệ hàm mẫu dạng tọa độ cực xung

quanh các điểm kỳ dị, so sánh với phương pháp chia miền và lập trình tính

toán thử nghiệm trên nền ngôn ngữ Matlab. Luận văn cấu trúc gồm 3 chương:

Chương 1: Đưa ra một số kiến thức cơ bản về không gian hàm và lý

thuyết về phương trình elliptic, lý thuyết về các sơ đồ lặp. Cơ sở phương pháp

chia miền và lý thuyết sai phân.

Chương 2: Trình bày mô hình của bài toán Motz và các phương pháp

tìm nghiệm xấp xỉ.

Chương 3: Một số kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz.

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Vũ

Vinh Quang, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trường Đại Học Khoa Học - Đại

Học Thái Nguyên, Viện Toán Học đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ em trong

suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời

gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.

Em kính mong các thầy cô giáo và các bạn đóng góp ý kiền để đề tài được

hoàn thiện hơn.

8

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về

các không gian hàm, lý thuyết về các sơ đồ lặp và phương trình eliiptic cấp 2,

lý thuyết về phương pháp sai phân. Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở

cho viện trình bày các nội dung trong chương 2 và chương 3 của luận văn.

Các kiến thức được tham khảo trong các tài liệu [4, 5, 7, 8].

1.1 Không gian Sobolev

1.1.1 Không gian

Giả sử là một miền bị chặn trong không gian Euclid chiều và

là bao đóng của . Ta kí hiệu là tập các hàm có

đạo hàm đến cấp kể cả trong , liên tục trong . Ta đưa vào

chuẩn

Trong đó được gọi là đa chỉ số vectơ với các tọa độ

nguyên không âm, :

Sự hội tụ theo chuẩn đã cho là sự hội tụ đều trong của các hàm và tất cả

đạo hàm của chúng đến cấp . Rõ ràng tập với chuẩn đã cho là

không gian Banach.

9

1.1.2 Không gian

Giả sử là một miền trong và là một số thực dương. Ta kí hiệu

là lớp các hàm đo được xác định trên sao cho:

trong ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên . Như vậy các

phần tử của là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (*) và

hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên . Vì :

nên rõ ràng là một không gian vectơ.

Ta đưa vào phiếm hàm được xác định bởi:

1.1.3 Không gian

1.1.3.1 Định nghĩa

Cho là một miền trong . Hàm được gọi là khả tích địa

phương trong nếu là một hàm trong và với mỗi đều tồn

tại một lân cận của để khả tích trong .

10

1.1.3.2 Định nghĩa

Cho là một miền trong . Giả sử là hai hàm khả tích

địa phương trong sao cho ta có hệ thức:

đối với mọi .

Khi đó được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của .

Kí hiệu:

1.1.3.3 Định nghĩa

Giả sử là một số thực, , là một miền trong .

Không gian Sobolev được định nghĩa như sau:

trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng.

Với , ta kí hiệu , nghĩa là:

11

1.1.4 Không gian và khái niệm vết của hàm

1.1.4.1 Định nghĩa

Với bất kì , không gian Sobolev được định nghĩa

như các bao đóng của (không gian các hàm khả vi vô hạn có giá

compact trong ) tương ứng với chuẩn của . Không gian

được xác định bởi

1.1.4.2 Định lý (Định lý vết)

i) Tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục được gọi là vết

sao cho với bất kì , ta có .

ii) Giả sử là một tập mở trong sao cho là liên tục Lipschitz

thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục:

sao cho với bất kì ta có . Hàm

được gọi là vết của trên .

1.1.4.3 Định nghĩa

Giả sử biên là liên tục Lipschitz, không gian được gọi là

miền giá trị của ánh xạ vết , tức là:

12

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm và

1.5.1.1 Định nghĩa.

Ta kí hiệu là một không gian Banach được xác định bởi:

với chuẩn:

Trong đó là tích năng lượng trên cặp không gian đối ngẫu.

1.1.5.2 Định nghĩa

Giả sử liên tục Lipschitz, ta kí hiệu là một không gian

Banach được xác định như sau:

với chuẩn tương ứng

1.2 Phương trình elliptic

Giả sử là miền giới nội với biên . Xét phương trình

đạo hàm riêng tuyến tính cấp của ẩn hàm

(1.1)

trong đó là các hàm cho trước, là một toán tử vi phân

tuyến tính, ta có:

i) Với m=1 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.

13

ii) Với m=2 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp bốn.

Bài toán tìm nghiệm của (1.1) được gọi là bài toán biên nếu trên biên

nghiệm thỏa mãn một số điều kiện biên:

trong đó là các toán tử biên.

1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình

Xét phương trình:

(1.2)

Giả sử và phương trình (1.2) thỏa mãn trong

miền . Khi đó, được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2).

Lấy hàm bất kì thuộc nhân với hai vế của (1.2) rồi lấy

tích phân ta được:

(1.3)

Áp dụng công thức Green vào (1.3) và kết hợp với điền kiện ta có:

(1.4)

hay:

Như vậy, nếu là nghiệm của phương trình (1.2) thì có (1.4). Nhưng

nếu thì phương trình (1.2) không có nghiệm cổ điển. Vậy ta cần

mở rộng khái niệm khi .

14

1.2.1.1 Định nghĩa

Giả sử được gọi là nghiệm yếu của phương

trình (1.1) nếu (1.3) được thỏa mãn.

1.2.1.2 Mệnh đề

Nếu là nghiệm yếu của phương trình (1.2) và

thì là nghiệm cổ điển, tức là .

Chứng minh. Giả sử là nghiệm yếu của phương trình (1.2), tức là

và ta có (1.4) với mọi hàm , kết hợp với điều kiện

ta suy ra:

vì trù mật trong trực giao vơi mọi nên

trong . Nhưng vì liên tục nên trong

. Vậy là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2).

1.2.2 Phát biểu các bài toán biên

1.2.2.1 Bài toán Dirichlet

Xét bài toán:

(1.5)

trong đó .

Hàm được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.5) nếu:

15

(1.6)

trong đó là hàm thuộc , có vết bằng và:

(1.7)

1.2.2.2 Nhận xét

+ Nghiệm yếu của bài toán (1.5) là nghiệm yếu của phương trình

vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm

thỏa mãn (1.7) với mọi .

+ Nếu là nghiệm yếu của bài toán (1.5) và đặt đủ trơn thì nghiệm

theo nghĩa cổ điển.

1.2.2.3 Bài toán Neumann

Xét bài toán :

(1.8)

là nghiệm cổ điển. trong đó

Nhân hai vế của phương trình với rồi lấy tích phân

ta được:

(1.9)

Áp dụng công thức Green vào (1.9) ta có:

Kết hợp với (1.8) ta suy ra:

16

(1.10)

1.2.2.4 Định nghĩa

thì nghiệm yếu của bài toán Neumann (1.7) là Nếu

hàm thỏa mãn (1.10).

1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản

1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp

Xét bài toán:

(1.11)

Trong đó là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực

hữu hạn chiều . Giả sử là toán tử đối xứng, xác định dương, là

vectơ tùy ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ bất kì thuộc

người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ của phương trình

(1.11). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp

, bản chất của những phương pháp này là giá trị có thể được

tính thông qua các giá trị lặp trước:

phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu

xấp xỉ có thể được tính thông qua một hoặc hai giá trị trước đó. Dạng

chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là:

(1.12)

lược đồ lặp (1.12) cho ta xấp xỉ các nghiệm của phương trình (1.11) với bất

kì toán tử và cách chọn tham số . Nếu thì lược đồ lặp

(1.11) được gọi là lược đồ lặp hiện.

17

(1.13)

trong trường hợp là hằng số thì lược đồ lặp (1.13) còn gọi là lược đồ

lặp đơn giản. Nếu thì lược đồ lặp (1.11) được gọi là lược đồ ẩn.

1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp

Lược đồ lặp (1.12) với toán tử , tham số không đổi

còn được gọi là lược đồ lặp dừng, có dạng:

(1.14)

1.3.2.1 Định lý

Nếu là toán tử đối xứng , xác định dương thì:

hay (1.15)

là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.13) trong không gian với

tốc độ hội tụ cấp số nhân.

(1.16)

1.4 Phương pháp sai phân

Lưới sai phân

Xét bài toán (1.17)

trong đó , chọn 2 số nguyên

N>1và M > 1, đặt h = (b - a)/N gọi là bước lưới theo x, k = (d - c)/M gọi là

bước lưới theo y. Đặt .

18

Mỗi điểm gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (i,j). Tập tất cả các nút

trong ký hiệu là . Nút ở trên biên gọi là nút biên, tập tất cả các nút biên

kí hiệu là , tập gọi là một lưới sai phân trên .

Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm

lưới, giá trị của hàm lưới u(x,y) tại nút lưới (i,j) viết tắt là . Mỗi hàm u(i,j)

xác định tại mọi tạo ra hàm lưới u xác định bởi .

Bài toán sai phân: Kí hiệu là các hàm số hai biến x, y có các

đạo hàm riêng đến cấp m liên tục trong . Giả sử bài toán có

nghiệm , khi đó:

Do đó theo công thức Taylor ta có:

hay

Một cách tương tự:

19

00.

Do đó:

Vậy ta có:

Ta đặt:

Khi đó chứng tỏ:

Số hạng là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử

xấp xỉ toán tử , điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương

trình sai phân:

tức là:

, (1.18)

đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện:

(1.19)

20

Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh, tìm hàm lưới tại các nút

thỏa mãn hệ phương trình sai phân (1.18) với các điều kiện biên (1.19). Như

vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân với độ chính xác cấp hai

được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.18) với điều kiện (1.19) bằng các

phương pháp đại số.

1.5 Giới thiệu thư viện RC2009

Thư viện chương trình RC2009 là sự phát triển của thư viện T2004 tìm

nghiệm số của bài toán biên hỗn hợp trong trường hợp toán tử của phương

trình phức tạp hơn.

Cho là hình chữ nhật

Xét bài toán

(1.20)

trong đó

1.5.1 Bài toán biên Dirichlet

Xét trường hợp khi toán tử tức là điều kiện biên dạng Dirichlet,

là các hằng số, là hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là L1, L2.

Xuất phát từ phương pháp lưới chia miền thành điểm lưới,

trong đó . Kí hiệu là các bước

lưới, là véc tơ hàm vế phải của phương trình. Từ phương pháp sai phân với

21

độ chính xác chuyển bài toán đang xét về bài toán sai phân

tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm

Trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, Fj là các véc tơ cấp (M-1), C là ma trận hệ

số cấp được xác định như sau:

Ma trận C có dạng

trong đó

22

Trên cơ sở thuật toán thứ nhất tiến hành cài đặt giải hệ phương trình

trên. Thiết kế các hàm RC0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực

hiện thuật toán thu gọn.

Hàm v0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.24) bắt đầu từ tọa độ (p1,q1) đến (p2,q2).

1.5.2 Bài toán biên Neumann

Xét bài toán biên hỗn hợp

(1.21)

Trong đó là toán tử điều kiện biên ( nếu điều kiện biên là

Dirichlet, nếu điều kiện biên là Neumann) và tồn tại ít nhất 1

cạnh là điều kiện biên Neumann.

Trường hợp 1: Điều kiện trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạng Neumann.

Từ phương pháp sai phân với độ chính xác chuyển bài toán vi

phân (1.25) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba

điểm

,C là ma trận trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, là các véc tơ cấp

hệ số cấp được xác định như sau:

23

trong đó

Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp đã biết véc

tơ F0, tiến hành cài đặt giải hệ phương trình véc tơ ba điểm.

Thiết kế hàm RC0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực hiện

thuật toán thu gọn.

Hàm v0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.59) từ tọa độ (p1,q1) đến (p2,q2). Trong

trường hợp khi điều kiện biên trên một trong các cạnh còn lại là dạng

Neumann, sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm chuẩn

RC0001(…) xây dựng các hàm v0010(…),v0100(…),v1000(…) trả lại nghiệm

bằng số của các bài toán tương ứng.

24

Trường hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình chữ nhật

là dạng Neumann. Với độ chính xác chuyển bài toán vi phân

(1.26) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm

trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, Fj là các véc tơ cấp (M), C là ma trận hệ số

cấp được xác định như sau

Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp đã biết véc tơ F0,

tiến hành cài đặt giải hệ phương trình véc tơ ba điểm.

Thiết kế hàm RC0002(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực hiện

thuật toán thu gọn.

25

Hàm v0101(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại

ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.26) từ tọa độ (p1,q1) đến (p2,q2). Trong

trường hợp khi điều kiện biên trên hai cạnh khác là dạng Neumann, sử dụng

phương pháp biến đổi tọa đọ trên cơ sở của hàm chuẩn RC0002(…) xây dựng

các hàm v1010(…),v1001(…),v0110(…) trả lại nghiệm bằng số của các bài

toán tương ứng.

Trường hợp 3: Điều kiện biên trên ba cạnh của hình chữ nhật là dạng

Neumann.

Tương tự, thiết kế hàm RC0003(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực

hiện thuật toán thu gọn khối lượng và xây dựng các hàm v0111(…),

v1110(…), v1101(…), v1011(…) trả lại nghiệm bằng số cho các bài toán

tương ứng.

Trường hợp 4: Điều kiện biên trên tất cả các cạnh của hình chữ nhật là

Neumann. Với độ chính xác chuyển bài toán vi phân (1.26) về

bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm

Trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, Fj là các véc tơ cấp (M+1), C là ma trận hệ

số cấp được xác định như sau:

26

Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp tổng quát,

thiết kế hàm RC0004(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực hiện thuật

toán thu gọn, hàm v1111(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2)

trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (121) từ tọa độ (p1,q1) đến (p2,q2).

Các hàm mẫu trên đã được xây dựng trong thư viện RC2009 cho phép

giải số bài toán biên elliptic tổng quát với điều kiện biên hỗn hợp. Các kết quả

đã được đưa ra trong tài liệu [ 2 ].

Kết luận

Nội dung chương 1 đã đưa ra một số khái niệm về các không gian hàm, lý

thuyết về các sơ đồ lặp và đặc biệt là hệ thống thư viện giải bài toán elliptic

cấp hai. Đây là các kiến thức cơ bản sử dụng để nghiên cứu các chương sau

của luận văn.

27

CHƯƠNG 2

BÀI TOÁN MOTZ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM

XẤP XỈ

Nội dung chính của chương 2 trình bày mô hình bài toán Motz và một

số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ dựa trên ý tưởng khai triển tiệm cận thông

qua các hệ hàm trực giao dạng tọa độ cực xung quanh lân cận điểm kỳ dị, một

phương pháp khác là dựa trên các thuật toán chia miền. Các kết quả được

tham khảo trong các tài liệu [1, 3, 4, 9].

2.1 Giới thiệu bài toán Motz

Bài toán Motz là một bài toán Laplace chuẩn được các tác giả đưa ra

trong tài liệu [3], nó thường được sử dụng để kiểm tra các phương pháp số với

các điều kiện biên kỳ dị.

Chúng ta xét bài toán elliptic cấp hai với hệ điều kiện biên được biểu

hiện trong hình 2.1

1

x

1 1

Hình 2.1

Nhận xét: Ở bài toán này, điểm kỳ dị sinh ra tại x = y = 0 vì tại đó là

điểm chuyển tiếp từ điều kiện biên u = 0 đến điều kiện đạo hàm .

Bài toán như vậy chúng ta gọi là bài toán biên gián đoạn mạnh.

28

Nhận xét: Khó khăn của bài toán là trên biên tồn tại điểm kỳ dị. Vì vậy

phương pháp sai phân thông thường sẽ gặp khó khăn. Sau đây chúng ta sẽ

nghiên cứu một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán này.

2.2 Một số phương pháp khai triển thông qua các hệ hàm riêng

2.2.1 Phương pháp BAMs

Phương pháp được đưa ra bởi các tác giả Z. C. Li và Y. L. Chan (2006)

áp dụng đối với các bài toán có các điểm biên kỳ dị [6].

Xét bài toán tổng quát sau đây:

(2.1)

y

Hình 2.2

Đặt

Theo lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng thì vì trên biên của bài

toán tồn tại điểm biên kỳ dị (là điểm phân cách giữa 2 loại điều kiện biên

Dirichlet và Rôbin) nên bài toán tồn tại nghiệm yếu.

Nghiệm yếu thoả mãn phương trình tích phân

(2.2)

Đặt

29

Khi đó (2.2) tương đương với

(2.3)

Trong lý thuyết nghiệm yếu đã chứng minh rằng bài toán (2.3) tương đương

với bài toán cực tiểu hoá phiếm hàm

hay

(2.4)

Nghĩa là, tìm thoả mãn bài toán cực tiểu hoá:

Một số dạng khác nhau của phương pháp BAMs

Nếu ta đưa vào tham số và thì nghiệm xấp xỉ

tìm được thoả mãn

(2.5)

trong đó

(2.6)

Trong phương pháp Penalty BAM chọn

30

Trong phương pháp Hybrid BAM chọn

Trong phương pháp Penalty/Hybrid BAM chọn với

.

Như vậy bằng việc sử dụng phương pháp cực tiểu các phiếm hàm thông

qua các phương pháp BAMs, ta có thể xây dựng được các hệ đại số tuyến tính

xác định các hệ số khai triển của nghiệm xấp xỉ.

2.2.2 Phương pháp GFIFs

Phương pháp được đưa ra bởi các tác giả M. Arad, Z. Yosibash, G.

Ben-Dor, A. Yakhot (2005) áp dụng đối với các bài toán có miền hình học

phức tạp [3].

Cho là một miền trong không gian 2 chiều với biên .

Xét bài toán biên

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Trong đó các hàm (i=1,2) là đủ trơn trên các biên, Bi là các toán tử

điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann. Bài toán này cũng tồn tại điểm kỳ dị

chính là điểm góc. F E

C

D

B1(u) =0

B2(u) =0

A B Hình 2.3

31

Để xác định nghiệm gần đúng của bài toán trên, xét tại lân cận điểm kỳ

dị, ta tìm nghiệm dưới dạng

(2.10)

trong đó hàm uH được xác định bởi công thức:

(2.11)

Hay

(2.12)

Và uP là một nghiệm đặc biệt thoả mãn phương trình (2.9). Trong công thức

trên là giá trị tọa độ cực với gốc toạ độ tại chính điểm kỳ dị.

Đưa vào toán tử

(2.13)

Khi đó các hệ số khai triển Ak sẽ được xác định bởi điều kiện cực tiểu phiếm

hàm B. Điều đó sẽ tương đương với hệ điều kiện:

(2.14)

Đây chính là hệ phương trình đại số tuyến tính cho phép xác định các

hệ số khai triển của nghiệm xấp xỉ.

Sau đây chúng ta sẽ xét các kết quả ứng dụng các phương pháp BAMs

đối với 1 bài toán đặc biệt, đó là bài toán Motz.

32

2.2.3 Kết quả sử dụng các phương pháp BAMs

Trên cơ sở các phương pháp BAMs, trong trường hợp này, các tác giả

tìm nghiệm của bài toán dưới dạng khai triển trong đó hệ hàm cơ sở độc lập

tuyến tính được chọn là hệ

(2.15)

trong đó là toạ độ cực với gốc là điểm kỳ dị (0,0). Khi đó nghiệm của

bài toán được xác định dước dạng khai triển

(2.16)

Thay công thức nghiệm vào các phiếm hàm tương ứng và từ điều kiện

cực trị các phiếm hàm. Ta thu được các hệ đại số tuyến tính để xác định các

hệ số của khai triển.

2.3 Phương pháp chia miền tìm nghiệm xấp xỉ

Cơ sở của phương pháp chia miền

Cho là miền với biên Lipschitz , xét bài toán

Giả sử

Ta xét trường hợp tổng quát khi điều kiện biên là điều

kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là trên một phần biên trơn gồm cả hai loại

điều kiện biên Dirichlet ( là toán tử hàm ) và Neumann ( là toán tử đạo hàm

hướng ).

33

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu cơ sở của phương pháp chia

miền, phương pháp của bài toán là chuyển bài toán biên hỗn hợp mạnh về hai

bài toán biên hỗn hợp yếu thông qua một phương pháp lặp.

Xét bài toán biên hỗn hợp mạnh sau đây:

Hình 2.4

Chia thành hai miền với biên trơn ,

Kí hiệu , kí hiệu là

nghiệm trên miền . Mấu chốt của thuật toán là muốn giải được

bài toán biên hỗn hợp mạnh, chúng ta cần xác định giá trị của điều kiện trên

biên phân chia giữa hai miền.

A. Cách tiếp cận thứ nhất là xác định giá trị hàm trên biên phận chia dựa

trên một sơ đồ lặp. Cách tiếp cận này đã được các tác giả Nhật Bản phát triển

vào năm 2001.

34

B. Cách tiếp cận thứ hai là xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia

dựa trên một sơ đồ lặp. Cách tiếp cận này đã được phát triển của các tác giả

Việt Nam, phương pháp này đã được đánh giá có tốc độ hội tụ nhanh hơn.

Sau đây chúng ta giới thiệu cả hai cách tiếp cận.

A. Thuật toán chia miền Saito – Fujita [9]

Với phương pháp hiệu chỉnh giá trị hàm trên biên phân chia, năm 2001

hai nhà toán học Nhật Bản là Saito – Fujita dựa trên cơ sở sơ đồ lặp Dirichlet-

Neumann đã đề xuất một phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic

với điều kiện biên Dirichlet

Cho là miền trong với biên Lipschitz.

Xét bài toán:

. Chia miền bởi biên Trong đó

chung .

Kí hiệu là các dãy hàm hội tụ đến một cách tương

ứng .

Phương pháp Saito – Fujita là tìm ra xấp xỉ nhận được bởi sơ

đồ lặp sau:

1. Cho trước xác định trên .

2. Với xác định trên , tiến hành giải lần lượt hai bài toán

35

3. Hiệu chỉnh lại giá trị của theo công thức

là tham số cần lựa chọn để dãy lặp hội tụ, . Trong đó

Sự hội tụ của phương pháp

Sơ đồ lặp hiệu chỉnh được viết lại dưới dạng

Đây chính là sơ đồ lặp 2 lớp cho phương trình toán tử. Sự hội tụ của phương

pháp lặp đã được các tác giả chứng minh chặt chẽ bằng lý thuyết các sơ đồ lặp

trên các không gian hàm. Tham số lặp tối ưu được xác định trên các mô hình

đơn giản. Có thể khẳng định sơ đồ sẽ hội tụ với tham số được chọn trong

khoảng

36

B. Thuật toán chia miền DQA-VVQ [1, 4]

Với phương pháp xác định giá trị đạo hàm trên biên phân chia, các tác giả

Việt Nam DQA – VVQUANG đã đề xuất phương pháp chia miền như sau:

Kí hiệu . Ta xác định giá trị của thông qua một phương

pháp lặp. Xây dựng thuật toán chia miền như sau:

Bước 1: khởi động

Bước 2: với trên tiến hành giải 2 bài toán

Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị

37

Trong đó là tham số lặp cần lựa chọn.

Sự hội tụ của phương pháp lặp

Sơ đồ lặp hiệu chỉnh viết lại dưới dạng

Kí hiệu

Khi đó và thỏa mãn

38

Ta định nghĩa các toán tử Steklov-Poincare như sau:

,

Trong đó là nghiệm của bài toán

Và là nghiệm của bài toán

Khi đó toán tử nghịch đảo xác định bởi trong đó

là nghiệm của bài toán

Vì thế

39

Sử dụng các toán tử đã định nghĩa, sơ đồ lặp được viết lại dưới dạng

Tác động lên cả hai vế của phương trình trên ta thu được sơ đồ lặp hai

lớp

Trong đó kí hiệu .

Từ lược đồ trên ta có

Như vậy sự hội tụ của phương pháp hoàn toàn phụ thuộc vào tính chất

của toán tử B. Bằng cách đưa vào các không gian năng lượng và sử dụng lý

thuyết về nghiệm yếu của phương trình elliptic, toán tử Steklov-Poincare, lý

thuyết về các sơ đồ lặp, trong tài liệu [2] , các tác giả đã chứng minh đầy đủ

các tính chất đối xứng và xác định dương của toán tử B và khẳng định sơ đồ

lặp trên hội tụ với tham số được lựa chọn trong khoảng .

40

Nhận xét: Bài toán Motz thực chất là một trường hợp đặc biệt của bài

toán biên gián đoạn mạnh, do đó chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng phương

pháp chia miền để tìm nghiệm của bài toán Motz.

Kết luận:

Trong chương 2, luận văn đưa ra một số kết quả tìm nghiệm gần đúng

của bài toán có biên kỳ dị dựa trên tư tưởng xác định nghiệm thông qua khai

triển nhờ các hệ hàm độc lập tuyến tính được gọi là các phương pháp BAMs,

GFIFs và phương pháp chia miền. Các kết quả áp dụng đối với bài toán Motz

sẽ được đưa ra trong chương 3 của luận văn.

41

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN MOTZ

Trên cơ sở kết quả lý thuyết đã trình bày trong chương 2, trong chương

3, luận văn sẽ đưa ra một số kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz.

3.1 Kết quả đối với các phương pháp khai triển

3.1.1 Phương pháp BAMs

Bảng 3.1: Các hệ số ứng với Classic BAM (N=35)

i I

0.40116245374497 x 103 0.11534855091605 x 10-4 19 1

0.87655920195502 x 102 - 0.52932746412879 x 10-5 20 2

0.17237915079248 x 102 0.22897323500171 x 10-5 21 3

- 0.80712152596499 x 101 0.10624079261554 x 10-5 22 4

0.14402727170434 x 101 0.53073158247781 x 10-6 23 5

0.33105488588606 x 100 - 0.24510085058588 x 10-6 24 6

0.27543734452816 x 100 0.10862672983328 x 10-6 25 7

- 0.86932994509426 x 10-1 0.51042348247979 x 10-7 26 8

0.33604878399124 x 10-1 0.25407074732821 x 10-7 27 9

0.15384374465022 x 10-1 -0.11054833875475 x 10-7 28 10

0.73023016452998 x 10-2 0.49285560339473 x 10-8 29 11

- 0.31841136217467 x 10-2 0.23304869676739 x 10-8 30 12

0.1220645871187 x 10-2 0.11523150093507 x 10-8 31 13

0.53096530065606 x 10-3 - 0.34653285095421 x 10-9 32 14

0.27151202841413 x 10-3 0.15243365277043 x 10-9 33 15

- 0.12004506715157 x 10-3 0.72493901550694 x 10-10 34 16

0.50538906322972 x 10-4 0.35291922501256 x 10-10 35 17

0.23166270362346 x 10-4 18

42

Bảng 3.2: Các hệ số ứng với Hybrid BAM (N=35)

I I

0.401162453745250 x 103 0.115343772789621 x 10-4 19 1

0.876559201951038 x 102 - 0.529380676633001 x 10-5 20 2

0.172379150794574 x 102 0.228969115585334 x 10-5 21 3

- 0.807121525969505 x 101 0.106202202610555 x 10-5 22 4

0.144027271701729 x 101 0.530229339048478 x 10-6 23 5

0.331054885909148 x 100 - 0.245459749591207 x 10-6 24 6

0.275437344500486 x 100 0.108590887362510 x 10-6 25 7

- 0.86932994500486 x 10-1 0.508138311029889 x 10-7 26 8

0.336048783999441 x 10-1 0.251496766940829 x 10-7 27 9

0.153843744418389 x 10-1 -0.111642374722729 x 10-7 28 10

0.730230161393995 x 10-2 0.491554865658322 x 10-8 29 11

- 0.318411372788438 x 10-2 0.22674443542107491 x 10-8 30 12

0.122064584771336 x 10-2 0.109000401834271 x 10-8 31 13

0.530965184801430 x 10-3 - 0.358701765271215 x 10-9 32 14

0.271511819668155 x 10-3 0.150813240028775 x 10-9 33 15

- 0.120045429073067 x 10-3 0.660571911959434 x 10-10 34 16

0.505388854473519 x 10-4 0.296216590328091 x 10-10 35 17

0.231659564580221 x 10-4 18

3.1.2 Kết quả sử dụng phương pháp GFIFs

Tương tự như các phương pháp BAMs, trong trường hợp này, các tác

giả cũng tìm nghiệm của bài toán dưới dạng khai triển trong đó hệ hàm cơ sở

độc lập tuyến tính được chọn là hệ

(3.1)

43

trong đó là toạ độ cực với gốc là điểm kỳ dị (0,0). Khi đó nghiệm của

bài toán được xác định dước dạng khai triển

(3.2)

Nghiệm xấp xỉ u được tính xấp xỉ bằng cách giữ N số hạng đầu tiên của

chuỗi hàm (3.2) và các đạo hàm được tính xấp xỉ theo công thức:

(3.3)

Xét biểu thức

B =

(3.4)

Khi đó các hệ số khai triển sẽ được xác định từ

điều kiện cực tiểu B tức là:

(3.5)

Xuất phát từ công thức xác định B và các công thức xấp xỉ đạo hàm ta

thu được hệ phương trình đại số tuyến tính

[K]{A}={r}. (3.6)

Trong đó ma trận [K] là ma trận đối xứng.

Trong bảng 2.3 là giá trị của một số các hệ số ứng với N

= 40. Trong cột cuối cùng chúng tôi giới thiệu số điều kiện liên quan đến ma

trận [K].

44

(3.7)

cond

Bảng 3.3: Một số giá trị của các hệ số trong khai triển

41 401.1624537506 1.4402727165 0.0153843744 0.0002715122 -0.0000052957 4.95107

61 401.1624537453 1.4402727170 0.0153843745 0.0002715122 -0.0000052958 8.63106

81 401.1624537452 1.4402727170 0.0153843745 0.0002715122 -0.0000052958 7.76106

101 401.1624537452 1.4402727170 0.0153843745 0.0002715122 -0.0000052958 7.27106

121 401.1624537452 1.4402727170 0.0153843745 0.0002715122 -0.0000052958 6.94106

141 401.1624537452 1.4402727170 0.0153843745 0.0002715122 -0.0000052958 6.71106

161 401.1624537452 1.4402727170 0.0153843745 0.0002715122 -0.0000052958 6.54106

Exact 401.1624537452 1.4402727170 0.0153843745 0.0002715122 -0.0000052958

A10 NP A1 A5 A15 A20

45

3.2 Ứng dụng của phương pháp chia miền đối với bài toán Motz

Chúng ta xét lại bài toán Motz

(3.8)

y

1 B

C

1 -1

x D A

0

Hình 3.1

Dễ thấy mô hình bài toán Motz là trường hợp bài toán biên gián đoạn

mạnh với điểm phân cách giữa hai loại điều kiện biên hàm và đạo hàm chính

là điểm O(0,0).

Sử dụng phương pháp chia miền, ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán

Motz theo các thuật toán như sau.

 Thuật toán thứ nhất (Theo phương pháp Saito_Fujita):

Ta chia miền bởi biên

kí hiệu

Xuất phát ta thực hiện

46

Bước 1: Giải bài toán xác định trong miền

Bước 2: Giải bài toán xác định trong miền

Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị trên biên

Trong đó giá trị tham số được chọn trong khoảng .

 Thuật toán chia miền thứ hai (Theo phương pháp DQA-VVQ)

Kí hiệu

Bước 1: Giải bài toán xác định trong miền

47

Bước 2: Giải bài toán xác định trong miền

Bước 3: Hiệu chỉnh giá trị trên biên

Để kiểm tra độ chính xác của phương pháp lặp, chúng tôi sử dụng

phương pháp lưới với số lưới M x N = 64 x 64. Chuyển các bài toán vi phân

về các bài toán sai phân tương ứng. Sau đó sử dụng thuật toán thu gọn khối

lượng tính toán xác định nghiệm xấp xỉ trên từng nút lưới. Trong quá trình

tính toán, chúng tôi đã sử dụng các hàm tương ứng trong thư viện RC2009

[2].

Kết quả về tốc độ và độ chính xác của bài toán được cho trong Bảng

3.1 và đồ thị nghiệm bài toán Motz được cho bởi Hình 3.2.

Trong Bảng 3.4 , K là số bước lặp tương ứng

48

Bảng 3.4: Kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz

Thuật toán 1 Thuật toán 2

K K

0.1 150 7.10-8 0.1 150 1.10-8

0.2 62 7.10-11 0.2 57 8.10-11

0.3 32 5.10-11 0.3 29 9.10-11

0.4 26 6.10-11 0.4 17 5.10-11

0.5 34 5.10-11 0.5 17 5.10-11

0.6 45 6.10-11 0.6 24 9.10-11

0.7 63 7.10-11 0.7 36 7.10-11

0.8 97 9.10-11 0.8 58 7.10-11

0.9 150 1.10-8 0.9 120 9.10-11

Hình 3.2: Nghiệm của bài toán Motz với phương pháp chia miền

49

Nhận xét: Qua kết quả thực nghiệm, chúng ta thấy:

+ Các thuật toán là hội tụ tốt, tham số lựa chọn tối ưu là khoảng 0.4-0.5

+ Thuật toán thứ hai có tốc độ hội tụ tốt hơn thuật toán thứ nhất

3.3 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát

Xét bài toán tổng quát:

1

y

x a 0 -a

Hình 3.3

Đây chính là sự mở rộng của bài toán Motz trong trường hợp điều kiện

biên bất kỳ, điểm (0,0) vẫn là điểm kỳ dị. Có thể thấy rằng trong trường hợp

này, việc áp dụng các phương pháp BAMS và GFIFs là không thực hiện được

vì không thể xây dựng được hệ hàm độc lập tuyến tính. Tuy nhiên chúng ta

50

vẫn có thể sử dụng phương pháp chia miền để xác định nghiệm xấp xỉ của bài

toán theo thuật toán sau đây.

 Thuật toán thứ nhất

Bước 1: Xác định nghiệm trong miền

Bước 2: Xác định nghiệm trong miền

Bước 3: Hiệu chỉnh

51

 Thuật toán thứ hai

Cho bởi biên . Kí hiệu

. Xuất phát , thực hiện thuật toán

Bước 1: Xác định nghiệm trong miền

Bước 2: Xác định nghiệm trong miền

Bước 3: Hiệu chỉnh

Sau đây là các kết quả thực nghiệm đối với các hàm:

52

được đưa trong Bảng 3.5 và Hình 3.4 (a=1, b=1, c=1).

Bảng 3.5: Số liệu thực hiện trong trường hợp tổng quát

Thuật toán 1 Thuật toán 2

K K

0.1 117 10-10 0.1 150 10-8

0.2 50 10-10 0.2 57 8.10-11

0.3 28 10-10 0.3 29 9.10-11

0.4 17 2.10-11 0.4 17 5.10-11

0.5 21 5.10-11 0.5 17 5.10-11

0.6 30 6.10-11 0.6 24 9.10-11

0.7 44 7.10-11 0.7 36 7.10-11

0.8 71 10-10 0.8 58 7.10-11

0.9 148 10-10 0.9 120 5.10-11

Nhận xét: Qua kết quả thực nghiệm, chúng ta cũng thấy trong trường

hợp tổng quát

+ Các thuật toán vẫn hội tụ, tham số lựa chọn tối ưu là khoảng 0.4-0.5

+ Thuật toán thứ hai có tốc độ hội tụ tốt hơn thuật toán thứ nhất

+ Trong thực tế, tại các điểm kỳ dị phân cách giữa các loại điều kiện

biên) thường xảy ra các vết đứt gãy với giá trị đạo hàm tiến ra , bằng tính

toán số ta thấy giả trị của đạo hàm được mô tả trong hình 3.4 đã phản ánh

đúng tính chất cơ học của bài toán.

53

Hình 3.4: Dáng điệu đạo hàm tại điểm kỳ dị

54

PHẦN KẾT LUẬN

Luận văn đã đề cập đến mô hình toán học của bài toán Motz, một mô

hình cơ bản trong toán học tính toán. Các kết quả chính của luận văn gồm có:

+ Nghiên cứu mô hình toán học của bài toán Motz, trình bày cơ sở

toán học của phương pháp BAMS, các kết quả thực nghiệm đối với bài toán

Motz.

+ Nghiên cứu cơ sở của phương pháp chia miền giải bài toán biên

elliptic cấp hai với điều kiện biên gián đoạn mạnh, sự hội tụ của các phương

pháp.

+ Dựa trên kết quả của thuật toán chia miền đối với bài toán biên

elliptic với điều kiện biên gián đoạn mạnh, luận văn đã đưa ra sơ đồ lặp xác

định nghiệm xấp xỉ của bài toán Motz

+ Trên cơ sở của thư viện RC2009, tiến hành lập trình xác định

nghiệm số của bài toán, đánh giá về tốc độ hội tụ và độ chính xác của sơ đồ

lặp.

Hướng phát triển cửa luận văn là nghiên cứu một số mô hình cơ học

khác có các hệ điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh đối với phương trình cấp

hai và cấp bốn.

55

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2006), “Phương pháp chia miền giải bài

toán biên hỗn hợp mạnh”, Tạp chí Tin học và Điều khiển học, T.22,

s.4:307 - 318.

[2] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển (2010), “Xây dựng

bộ chương trình RC2009 giải một số bài toán biên elliptic với hệ số

hằng”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07),

tr.56 - 63

Tiếng Anh

[3] Arad M., Yosibash Z., Ben-Dor G., Yakhot A., “Computinh Flux Intensity

Factors by a Boundary method for Elliptic Equations with Singularities”,

Preprint Submitted to Elsevier Science 14 October 2005.

[4] Dang Q. A., Vu V. Q. (2012), A domain decomposition method for

strongly mixed boundary value problems for the Poisson equation, In

book: Modeling, Simulation and Optimization of Complex Processes

(Proc. 4th Inter. Conf. on HPSC, 2009, Hanoi, Vietnam), Springer.

[5] Funaro D., Quarteroni A., Zanolli P. (1998), " An iterative procedure with

interface relaxation for domain decomposition method", SIAM J.

Number. Anal. 25(6), pp. 1213 - 1236.

to

[6] Li C. Z., Chan L. Y., Georgiov C. G., Xenophontos C, “Special Boundary Approximation Methods For Laplace Equation problems with Boundary Singularities Applications the Motz Problem”, Comput and Mathematics with Applications 2006, 51: 115 - 142.

[7] Marchuk G.I. (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New

York.

[8] Samarskij A. and Nikolaev E.(1989), Numerical methods for Grid

Equations, vol. 2, Birkhauser, basel.

[9] Saito N. and Fujita H. (2001), “Operator Theoretical Analysis to Domain Decomposition Methods”, 12th Int. Conf. on Domain Decomposition Methods, 63-70, www.ddm.org/DDI 2/saito.pdf.

56

PHẦN PHỤ LỤC

1. Chương trình mô tả thuật toán thứ nhất – Trường hợp tổng quát function motz_1=bai_toan_motz_1(n,teta); clc a=1;b=1;cc=0;bb=0;k1=1;k2=1; count=-1; epxilon=10^(-10);ss=10; N=2^n; M=N;M1=M;N1=N;M2=M;N2=N;l1=a;l2=b;n1=n;n2=n;h1=l1/M;h2=l2/N; p1=1;p2=M+1;p3=2*M+1;q1=1;q2=N+1;q3=2*N+1; %buoc lap - Gia tri ban dau csi=0,eta=0;phi1=0;phi2=0 for j=0:N; eta(j+1)=0;%khoi tao gia tri lap tren bien chia mien cho bai toan Delta v=f end; for i=0:2*M; for j=0:N; luu(i+1,j+1)=0; end; end; thoigian=cputime; while and(count<150,ss>epxilon); % Giai bai toan voi u2 x10=0;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M2; for j=0:N2; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=f(x1,x2); end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=eta(j+1); b2(j+1)=g4(x10+a,x2); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; x1=x10+a; b3(i+1)=g5(x1,x20); b4(i+1)=g6(x1,x20+b); end; u2=u0011(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2);

57

% Giai bai toan voi u1 x10=-1;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=f(x1,x2); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai aa1=u2(p2,q1);aa2=u2(p2,q1+1);aa3=u2(p2,q1+2);u2_h=aa3-3*aa2+3*aa1; bb1=u2(p2,q2);bb2=u2(p2,q2-1);bb3=u2(p2,q2-2);u2h=bb3-3*bb2+3*bb1; for j=0:N2; ph01(j+1)=-phi(1,j+1); end; for j=0:N; if j==0; du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2_h- 2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1); else if j==N; du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2h- 2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j-1))+h1/2*ph01(j+1); else du2(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2(p2,q1+j-1)- 2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1);%Dao ham u2 end; end; end; for j=0:N1; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=g1(x10,x2); b2(j+1)=du2(j+1); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=g2(x1,x20); b4(i+1)=g3(x1,x20+b); end; u1=u1101(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,N1,M1,n1,p1,p2,q1,q2); for j=0:N; eta(j+1)=teta*eta(j+1)+(1-teta)*u1(p2,j+1); end; count=count+1; for i=0:2*M;

58

for j=0:N; if i

59

eta(j+1)=0;%khoi tao gia tri lap tren bien chia mien cho bai toan Delta v=f end; for i=0:2*M; for j=0:N; luu(i+1,j+1)=0; end; end; thoigian=cputime; while and(count<150,ss>epxilon); % Giai bai toan voi u1 x10=-1;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=f(x1,x2); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N1; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=g1(x10,x2); b2(j+1)=eta(j+1); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=g2(x1,x20); b4(i+1)=g3(x1,x20+b); end; u1=u1101(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,N1,M1,n1,p1,p2,q1,q2); % Giai bai toan voi u2 x10=0;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M2; for j=0:N2; x1=x10+i*h1; x2=x20+j*h2; phi(i+1,j+1)=f(x1,x2); end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=u1(p2,q1+j); b2(j+1)=g4(x10+a,x2);

60

end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; x1=x10+a; b3(i+1)=g5(x1,x20); b4(i+1)=g6(x1,x20+b); end; u2=u0011(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2); % Hieu chinh gia tri csi(j) tren bien x10=0;x20=0; for j=0:N2; ph01(j+1)=-phi(1,j+1); end; %Cong thuc ngoai suy cho hai diem dau mut tren bien chia mien bai toan % Hieu chinh gia tri eta(j) tren bien %Cong thuc ngoai suy cho hai diem dau mut tren bien chia mien bai toan %delta u=v aa1=u2(p2,q1);aa2=u2(p2,q1+1);aa3=u2(p2,q1+2);u2_h=aa3-3*aa2+3*aa1; bb1=u2(p2,q2);bb2=u2(p2,q2-1);bb3=u2(p2,q2-2);u2h=bb3-3*bb2+3*bb1; for j=0:N; if j==0; du(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2_h- 2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1); else if j==N; du(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2h- 2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j-1))+h1/2*ph01(j+1); else du(j+1)=1/h1*(u2(p2+1,q1+j)-u2(p2,q1+j))+h1/(2*h2*h2)*(u2(p2,q1+j-1)- 2*u2(p2,q1+j)+u2(p2,q1+j+1))+h1/2*ph01(j+1);%Dao ham u2 end; end; end; for j=0:N; eta(j+1)=teta*eta(j+1)+(1-teta)*du(j+1); end; count=count+1; for i=0:2*M; for j=0:N; if i

61

for i=0:2*M; for j=0:N; if ss