Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa lồi và lặp cho bài toán ngược Parabolic trong tài chính định lượng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vũ An

CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN

NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH

ĐỊNH LƯỢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Vũ An

CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN

NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH

ĐỊNH LƯỢNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này là kết quả của sự làm việc nghiêm túc và cần mẫn, và không

thể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ của nhiều người. Đầu tiên, tôi xin tỏ lòng

biết ơn sâu sắc đến cha mẹ của tôi vì những lời động viên, hỗ trợ quý báu, để tôi có

thể vượt qua những giai đoạn khó khăn trong quá trình học tập và hoàn thành luận

văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn thầy GS.TS. Đặng Đức Trọng, người đã giới thiệu

tôi vào lĩnh vực Toán tài chính và Lý thuyết bài toán ngược cùng với sự hướng dẫn

tận tình trong thời gian làm luận văn.

Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô ở trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ

Chí Minh đã tận tình dạy dỗ, cho tôi nền tảng kiến thức vững chắc; đặc biệt, xin gửi

lời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS. Nguyễn Bích Huy và thầy PGS.TS. Nguyễn

Anh Tuấn.

Xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn thạc sĩ

đã dành thời gian đọc luận văn của tôi và cho tôi những nhận xét quý báu.

Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại học

của trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi giúp

tôi hoàn thành khóa học.

Nguyễn Vũ An.

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1

MỤC LỤC .................................................................................................................... 2

LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 4

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 6

1.1. Một vài kiến thức cơ bản về toán tài chính ............................................................... 6

1.2. Một vài kiến thức cơ bản về giải tích ......................................................................... 9

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN .......................................................................................................... 14

2.1. Bài toán thuận: Phương trình Dupire ..................................................................... 14

2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán parabolic .......................................... 16

2.3. Các tính chất quan trọng của toán tử F( )⋅ ............................................................ 19

2.4. Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương................................................ 28

2.4.1. Bài toán ngược của định giá quyền chọn châu Âu ............................................... 28

2.4.2. Sự không chỉnh của bài toán ngược ..................................................................... 29

2.5. Một tổng kết về vấn đề xác định độ biến động địa phương .................................. 29

CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG ................................................................................... 32

3.1. Chỉnh hóa lồi cho bài toán xác định độ biến động địa phương ............................ 33

3.1.1. Sự tồn tại và ổn định của những nghiệm chỉnh hóa ............................................. 33

3.1.2. Sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa ................................................................ 36

3.1.3. Tốc độ hội tụ với độ đo Bregman ........................................................................ 38

3.1.4. Sự hội tụ với qui tắc Morozov ............................................................................. 44

3.2. Hàm chỉnh hóa Kullback-Leibler ............................................................................ 47

3.2.1. Định nghĩa và các kết quả đã biết ........................................................................ 47

3.2.2. Chỉnh hóa Tikhonov với hàm Kullback-Leibler .................................................. 49

CHƯƠNG 4: CHỈNH HÓA LẶP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG .............................................................................................. 58

4.1. Chỉnh hóa lặp Landweber trong

............................................................ 58

1,2 )ΩW ( 2

4.2. Chỉnh hóa lặp Landweber trong L2(Ω) ................................................................... 61

4.3. Thực thi số .................................................................................................................. 68

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 80

LỜI NÓI ĐẦU

Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu các phương pháp chỉnh hóa cho bài

toán xác định tham biến khếch tán trong một phương trình đạo hàm riêng parabolic

nảy sinh trong lĩnh vực tài chính định lượng. Đó chính là bài toán xác định độ biến

động địa phương trong định giá hợp đồng quyền chọn Châu Âu. Bài toán thuận ban

đầu được viết dưới dạng phương trình mang tên Black-Scholes. Năm 1973, công thức

này nhanh chóng trở thành một công cụ hiệu quả cho việc định giá quyền chọn; và

sau đó được phát triển thành phương trình Dupire bởi Bruno Dupire, năm 1994. Năm

1997, Scholes và Merton đã nhận giải thưởng Nobel kinh tế cho những đóng góp

quan trọng này. Luận văn này sẽ tập trung vào khía cạnh lý thuyết của bài toán xác

định độ biến động từ những quan sát giá của hợp đồng quyền chọn Châu Âu trên thị

trường. Đây là bài toán không chỉnh, phi tuyến mà việc xác định nghiệm của nó sẽ

cần đến những phương pháp chỉnh hóa. Chúng ta sẽ tập trung trình bày sự chỉnh hóa

lồi Tikhonov và chỉnh hóa lặp Landweber cho bài toán ngược này.

Nội dung luận văn bao gồm 4 chương:

Chương 1: Trình bày một cách cơ bản các khái niệm, kết quả trong lĩnh vực toán tài

chính và giải tích cần thiết được sử dụng trong luận văn.

Chương 2: Ở phần đầu 2.1, chúng ta trình bày một vài tính chất của bài toán thuận

theo mô hình Black-Scholes trong việc định giá hợp đồng quyền chọn kiểu châu Âu.

Ở mục 2.2, chúng ta trình bày các kết quả về sự tồn tại, sự duy nhất và các ước lượng

liên quan đến nghiệm phương trình parabolic trong bài toán thuận; và một vài kết quả

ở đây cũng đã được phát biểu ở các tài liệu khác cho nên chúng ta chỉ trích dẫn mà

không chứng minh chi tiết. Ở mục 2.3, chúng ta phát biểu các tính chất quan trọng

của toán tử F từ đó dẫn đến tính không chỉnh của bài toán ngược; và các tính chất

quan trọng liên quan đến toán tử đạo hàm F', những kết quả này là quan trọng để thu

được tốc độ hội tụ của chỉnh hóa Tikhonov được trình bày ở chương 3. Một kết quả

quan trọng khác là chúng ta đã chứng minh toán tử F thỏa mãn điều kiện h , và kết

quả này sẽ được sử dụng cho chỉnh hóa lặp ở chương 4. Cuối chương, chúng ta trình

bày ngắn gọn một vài kết quả khác liên quan đến bài toán xác định độ biến động địa

phương.

Chương 3: Luận văn sẽ trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov bằng công cụ hàm

chỉnh hóa lồi như một sự mở rộng của bài toán chỉnh hóa Tikhonov toàn phương. Do

đó, chúng ta xem xét bài toán ngược trên khía cạnh của giải tích lồi và độ đo

Bregman. Trong mục 3.1, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại, ổn định, và sự hội tụ

của những nghiệm chỉnh hóa với các qui tắc chọn tham số chỉnh hóa một cách tiên

nghiệm và hậu nghiệm. Mặt khác, trong mục này, các tốc độ hội tụ của những

nghiệm chỉnh hóa đến nghiệm chính xác cũng được phát biểu bằng việc sử dụng độ

đo Bregman. Ở mục 3.2, luận văn sẽ trình bày việc sử dụng chỉnh hóa Tikhonov với

hàm entropy Kullback-Leibler cho bài toán ngược của chúng ta.

Chương 4: Luận văn sẽ phân tích việc sử dụng lý thuyết chỉnh hóa lặp cho bài toán

ngược xác định độ biến động địa phương. Ở mục 4.1, chúng ta phát biểu và kiểm tra

1,2

lại các giả thiết liên quan đến toán tử F cho việc sử dụng chỉnh hóa lặp Landweber.

 * ·F 

2W dẫn đến sự tính toán

Việc áp dụng chỉnh hóa lặp Landweber trong với

tích vô hướng trong không gian này cho mỗi bước lặp. Tuy nhiên, sự phức tạp của

tích vô hướng này lại gây khó khăn cho việc thực thi số. Do đó, trong mục 4.2, chúng

ta tiếp tục phân tích sự hội tụ của chỉnh hóa lặp Landweber bằng cách sử dụng luật

2L , điều này làm đơn giản hơn cho việc xây dựng một

phân kỳ trong không gian

 * ·F 

. Và trong mục 4.3, chúng ta cũng trình bày sơ phương pháp số để tính toán

lược một vài kết quả của thực thi số để minh họa cho những kết quả lý thuyết ở mục

4.2.

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Một vài kiến thức cơ bản về toán tài chính

Định nghĩa 1.1.1. Quyền chọn mua kiểu châu Âu là một hợp đồng cho phép người ta

sở hữu quyền, mà không bắt buộc, để mua một cổ phần chứng khoán với một giá

thực thi K>0 tại thời điểm đáo hạn T>0 trong tương lai. Các điều kiện của hợp đồng

này là:

• Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng nếu muốn thực thi hợp đồng thì trả cho

người viết hợp đồng số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng.

• Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người giữ trả, thì người

viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo hạn.

U F P ,

 là không gian xác suất với lọc )

(

( , 



F  )t t

 trong đó  là không gian mẫu

U là s -đại số trong

, P  là độ đo xác suất.

F với mọi

F t

Để mô hình giá tài sản S với quá trình chuyển động Brown hình học, ta cho

tF  sao cho

  .

Định nghĩa 1.1.2. Một bộ lọc là một họ các s -đại số   0

 . Ánh xạ

Định nghĩa 1.1.3. Một quá trình ngẫu nhiên là một tập hợp các biến ngẫu nhiên

)U P ,

  x w t

t T

 t x  được định nghĩa trong không gian xác suất (

t T cố định là một biến ngẫu nhiên và

với

  x w t

với w   được gọi là một quỹ

đạo của quá trình ngẫu nhiên.

 0

tW  tương ứng với bộ lọc   0

tF  trên

Định nghĩa 1.1.4. Một quá trình ngẫu nhiên 

U F P ,

 được gọi là một quá trình Wiener hay chuyển động )

, 

không gian xác suất (

0W  hầu chắc chắn.

Brown nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

* 0

...

    thì các biến t n

t 1

tW là độc lập hay nói cách khác với

* Các số gia của

,...,



W W  t

W W W W , t t 1

t 3

1 

là độc lập. ngẫu nhiên

)

. s  



 với mọi 0

W W N t ~ (0, s

 0

tW  có các quỹ đạo liên tục hầu chắc chắn.

* 

Một phương án đầu tư (portfolio) là tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với

các trọng số nào đấy. Giả sử có n chứng khoán với giá trị tại thời điểm t là

( ),...,

S t . Một phương án đầu tư là một cách chọn ra

( )

S t S t ( ), 1

1( )ta

chứng khoán

n ta ( )

nS tại mỗi thời điểm t để đầu tư. Vậy giá trị của phương án ấy

,..., chứng khoán

V ta ( )

a V t ( )



...  

t S t ( ) ( ) n

a i

t S t ( ) ( ) i

a 1

t S t ( ) ( ) 1

 

1 

được xác định là: tại thời điểm t, ký hiệu bởi

S t là các quá trình ngẫu nhiên, nên giá trị

( ),...,

( )

S t S t ( ), 1

Vì các giá chứng khoán

i ta ( )

ở đây là các của một phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên. Các

hàm số tất định của t. Một phương án đầu tư cũng còn được gọi là danh mục đầu tư,

( , a

. ký hiệu là

)Sa

được gọi là phương án bán đối với Định nghĩa 1.1.6. Một phương án đầu tư ( ,

( )

iS tại thời điểm t nếu

i ta  và được gọi là phương án mua đối

chứng khoán

( )

i ta  . Giá của chứng khoán

iS tại thời điểm t được ký hiệu

chứng khoán ấy nếu

iS t . ( )

là

Tại một thời điểm t, phương án đầu tư có thể được cân đối lại, tức là điều chỉnh lại

)

n  . Điều đó có nghĩa là thay đổi các

iS (1

việc mua và bán các chứng khoán

( ). t

( ) t

1( ),..., t

sang trọng số của chúng từ

( ),

...  



...  

( ) ( ) t S t 1

a 1

( ) ( ) t S t 1

( ) ( ) t S t n

( ) t S t n

Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tức là:

thì ta gọi sự cân đối đó là sự cân đối tự tài trợ (self-financing). Điều đó có nghĩa là,

với một phương án đầu tư tự tài trợ, thì muốn tăng đầu tư vào một chứng khoán nào

đó thì phải giảm đầu tư các chứng khoán khác. Vậy một sự điều chỉnh tự tài trợ tại

một thời điểm t của một phương án đầu tư không thể làm tăng hoặc giảm vốn đầu tư:

)

b V t ( )

a V t ( )

( , a

( , b





, xét tại một thời điểm t nào đó.

* Xét một mô hình thị trường M gồm các chứng khoán S và một họ các phương án

, S

M S  . Các giá chứng khoán

,



 a

    f

 

. Ta kí hiệu đầu tư tự tài trợ

trong S được xem là các quá trình ngẫu nhiên xét trong một không gian xác suất có

U F P ,

)

F

, 

 t

, với là một bộ lọc hay nói cách khác chính là luồng thông lọc (

tin về thị trường, nó ghi nhận mọi biến cố xảy ra trên thị trường. Các quá trình giá tài

sản tài chính đều được giả thiết là thích nghi với luồng thông tin này, có nghĩa là, với

tF .

mỗi t, giá đó đo được đối với

Định nghĩa 1.1.7. Một phương án đầu tư tự tài trợ f   được gọi là một cơ hội có

 

tV f thỏa mãn các điều kiện:

độ chênh lệch thị giá nếu quá trình giá

 

 P V f   1;

 0

 

 1; TP V f  

0

 

 TP V f   0;

0

Với T là thời điểm đáo hạn của hợp đồng. Điều kiện 1 nói lên hầu chắc chắn tại thời

điểm ban đầu, vốn đầu tư là bằng không; điều kiện 2 có nghĩa là hầu chắc chắn đến

lúc kết thúc hợp đồng, phương án đầu tư đó có lợi nhuận 0 ; điều kiện 3 nói rằng có

khả năng kiếm lời thực sự tại thời điểm kết thúc hợp đồng. Cả ba điều kiện có nghĩa

là phương án f là một phương án tay không mà kiếm được lợi nhuận.

M S  là một thị trường không có độ



,

Định nghĩa 1.1.8. Ta nói rằng thị trường

chênh lệch thị giá, nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào trong  mà

có độ chênh lệch thị giá.

)F G ,

Định nghĩa 1.1.9. Cho ( là một không gian xác suất, G là một s - đại số con

)F ,

,F G F và X là một biến ngẫu nhiên, tức là một ánh xạ đo được từ (

(

))

(

B  , trong đó

)B  là s - đại số các tập Borel trên đường thẳng thực  . Khi

vào của

đó, một biến ngẫu nhiên Y sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với s - đại

số G , nếu:

*Y là biến ngẫu nhiên đo được trên G.

YdP

XdP .





*Với mọi tập A G thì ta có



  .

Biến ngẫu nhiên Y này sẽ được ký hiệu là E X G

)U P ,

được gọi là một xác suất rủi Định nghĩa 1.1.10. Một độ đo xác suất Q trên (

ro trung tính nếu:

*Q tương đương với P, có nghĩa là Q(A)=0 nếu và chỉ nếu P(A)=0 với A U .

*Hầu chắc chắn là ta có

t T

   .

E Q

F s

S t  r T t 



S s  r T s 



   

    

với mọi 0

sF và theo xác suất Q .

F ·Q 

trong đó

  là kỳ vọng có điều kiện đối với Định lý 1.1.1 (19, Định lý cơ bản định giá tài sản)

Một thị trường là không có độ chênh lệch thị giá khi và chỉ khi tồn tại một xác suất

rủi ro trung tính Q.

1.2. Một vài kiến thức cơ bản về giải tích

Định nghĩa 1.2.1. Hai đại lượng dương a và b được gọi là tương đương nếu tồn tại

c b .

a C b .

 

hai hằng số 0 < c < C <  , sao cho

a b ~ .

và ta kí hiệu

Định nghĩa 1.2.2. Cho f(x) và g(x) là hai hàm số được định nghĩa trên cùng tập con

f x ( )

của  , ta có



x  0

 O g x ( )



khi

nếu tồn tại hai số dương d và M sao cho

( )

d .

f x M g x ( ) 

với x

Định nghĩa 1.2.3 [Bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard]

:K X

Y (tuyến tính hoặc

Cho X và Y là những không gian định chuẩn, và ánh xạ

phi tuyến). Bài toán Kx=y được gọi là đặt đúng nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

y .

*Sự tồn tại: Với mỗi y Y tồn tại ít nhất một phần tử x X sao cho Kx

*Sự duy nhất: Với mỗi y Y tồn tại tối đa một phần tử x X thỏa mãn Kx

(

X sao cho

K khi n   ta đều có

x khi n  .

)nx

Kx n

*Sự ổn định: Nghiệm x phụ thuộc một cách liên tục vào y, theo nghĩa với mỗi dãy

Ngược lại, nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn thì bài toán

sẽ được gọi là không chỉnh.

:K X

Y là toán tử ( tuyến tính hoặc phi tuyến) giữa các

Định nghĩa 1.2.4. Cho

không gian Hilbert X và Y. Khi đó, ta định nghĩa sự chỉnh hóa là một họ các toán tử

0a 

a  với :R Y X

liên tục (không nhất thiết tuyến tính)

x X .

 với mọi

lim R Kx a a

sao cho

x X  khi

nx là một dãy trong không gian tô pô X. Khi đó

Mệnh đề 1.2.1. Cho

nx có dãy con của chính nó hội tụ đến x.

nx  của

và chỉ khi mỗi dãy con

:F X   , ta nói hàm F là nửa

Định nghĩa 1.2.5. Cho X là không gian Banach và

liminf

F x ( )

x .



 nF x

với mọi liên tục dưới yếu nếu

Định lý 1.2.1 Định lý biểu diễn Riesz] Với mỗi vectơ a cố định thuộc không gian

Hilbert X, hệ thức

f x ( )

a x

(1.2.1)

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian X, với

a

(1.2.2)

Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên không gian Hilbert X

cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.2.1) trong đó a là một

vectơ của X thỏa mãn (1.2.2).

Định lý 1.2.2 [Bất đẳng thức Schwartz] Cho x và y trong không gian tiền Hilbert X,

ta luôn có:

x y ,



(1.2.3)

1 /

p



L g L  ,p 



 thì 1

.f g L và ta có:

Định lý 1.2.3 [Bất đẳng thức Holder] Nếu với 1 /

f g .



1 L

g  L

(1.2.4)

pL với 1

p   ]

Định lý 1.2.4. [Không gian liên hợp của

,X m . Ta có:

Cho không gian độ đo 



p ,  g L X m

*Nếu thì

)

(

( ) ( ) f x g x d



L X m (

) :  

với (1.2.5)



pL và



. là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên





p ,  g L X m

pL X 



* 

thì tồn tại duy nhất sao *Nếu m là độ đo s -hữu hạn và

j  là song ánh, tuyến tính đẳng cự. Ta thường

L  .

cho ta có (1.2.5). Và ánh xạ

*p L

0,T

:  

đồng nhất 



  và

1,2

Định nghĩa 1.2.6. Cho I   là khoảng mở, T>0, ta kí hiệu

p   Khi đó, ta định nghĩa

, yt

 

pW  là không gian các hàm  u

: 



  (1.2.6)

)

(

)

(

)



1,2 ( p

(

)

(

)



thỏa mãn

Định nghĩa 1.2.7 [Không gian Sobolev với bậc số thực không nguyên]

N p ,

[0,1)

  với s

k  là số nguyên và

 

) [1,  

s 



và s . Khi đó ta Cho

( )

( ) D v x D v y 

, s p

, k p

p L

: a a



(  



  

/ N p





      v W        

        

định nghĩa không gian Sobolev

( )

D v x D v y ( ) 

s p ,

k p ,

dxdy





p N 

  

 



 

      

1/       

với chuẩn

)

W  (

 là không gian Hilbert với tích vô hướng (

( )





, u v

 dxdy





, 

 

 D u x D u y D v x D v y ( ) y



 

Khi p=2,

u v ,

D u x D v x dx

( )

, 

 

k  a

. với

(

)

[1,

)

s  . Ta định nghĩa

s pW  là bao đóng

p   và

   ,

Định nghĩa 1.2.8.

)

, (

)

 ( ).

C   trong )

s pW  . Khi p=2, ta có không gian Hilbert

s 0

s W  ( 0

0 (

của

N p ,

s  và p là số liên hợp của p theo

 

[1, )  



Định nghĩa 1.2.9. Cho và

, (

)

s pW   là không gian đối ngẫu của

1 p

1    p

1,2



(

)

s pW  . Đặc biệt,

( )  

 . ( )

nghĩa Khi đó, ta định nghĩa

)

l H 

 là toán tử tuyến tính bị chặn trên

H  chuẩn của l

1 0(

Ví dụ 1.2.1 Bất kỳ

được cho bởi



(

)



)

sup ( v H  

l v | ( ) | v

1 0

\end{vidu}

Định nghĩa 1.2.10. Cho V và W là các không gian Banach với V W . Ta nói V

được nhúng liên tục vào W và viết V W

  v V .

C v

Nếu V W thì ta coi các hàm trong V là trơn hơn các hàm còn lại trong W.

   là một tập mở với biên Lipschitz.

Định lý 1.2.5.[17, Định lý 9.38] Giả sử

p   .

j l   ,

  0

l p ,

j q ,

Cho và 1

i W :

q  

n và

   .

    

np 

l p ,

thì phép nhúng *Nếu lp

i W :

q L

     cũng liên tục.

 

l p ,

j q ,

i W :

liên tục. Đặc biệt, phép nhúng

q   thì phép nhúng

n và p

   liên tục. Đặc biệt,

    

l p ,

*Nếu lp

i W :

q L

     cũng liên tục.

 

l p ,

i W :

phép nhúng

    liên tục.

n thì phép nhúng

 

j B

*Nếu lp

   là tập mở với biên Lipschitz, và cho

p   , khi đó các phép

j  

Định lý 1.2.6 [17, Định lý 9.39] Cho

 0

0   là miền con bị chặn. Và

, l   và 1

l p ,

j q ,

nhúng sau là compact:

i W :

q  

n và



  . lp

    

  với lp



l p ,

j q ,

*Phép nhúng

i W :

n và 1

q   .

    

  với lp



*Phép nhúng

l p ,

i W :

n.

 

     với lp C



*Phép nhúng

  :f X   

Định nghĩa 1.2.11. Một hàm với X là không gian vec tơ được gọi

f x ( )

f y

( ),





x y X , 

  l

 0,1 .



 1  



 1  



 l



là lồi nếu

)D f (

  :f X   

Định nghĩa 1.2.12. Cho hàm lồi . Miền chính (domain) của

D f (

) :

x X f x : ( )

  

   .

f được định nghĩa như sau

(

D f   ) .

Và f được gọi là chính thường (proper) nếu

  :f X   

với X là không gian lồi địa Định nghĩa 1.2.13. Cho hàm lồi

X

f y ( )

f x ( )

* x y ,

y X





.   

phương. Khi đó, được gọi là subgradient của f tại x nếu

f x ( )

tất cả các subgradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại x. Tập hợp

Định lý1.2.7 [16, Định lý 2.22]

  f g X    ,

. Nếu tồn tại một điểm Cho không gian Banach X và các hàm lồi

D f (

)

D g ( )



f x ( )

g x

( ).

 

 

 f  

  g x

thuộc sao cho f liên tục tại đó thì với mọi x X ta có

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

Trong chương này, đầu tiên chúng ta trình bày bài toán thuận của định giá quyền

chọn, toán tử F( )⋅ và miền xác định của nó. Tiếp theo, chúng ta phát biểu các tính

chất quan trọng của toán tử F( )⋅ mà là nền tảng lý thuyết cho sự chỉnh hóa bài toán

ngược được trình bày sau đó. Cuối chương, chúng ta điểm lại một vài sự kiện nổi bật

liên quan đến việc xác định độ biến động địa phương.

2.1. Bài toán thuận: Phương trình Dupire

,U ,F,P)

Ω  là không gian xác suất với lọc

F (F ) ∈ t

 thích hợp và P là độ đo

Cho (

dS(t)

(t,S(t))S(t)dt

(t,S(t))S(t)dW (t),t

[0,T ],S(0)

∈

0. >

xác suất trung tính rủi ro. Chúng ta có giá cổ phiếu được xác định bằng mô hình sau

S 0

W(t)

(2.1.1)

}t R ∈ là chuyển động Brown hay quá trình Wiener, νlà độ dịch chuyển và σ

) [0,

[0, ∈ ∞ ×

) ∞ .

Với {

là độ biến động và là một hàm số xác định theo biến (t,S)

Mặt khác, giá đúng của một hợp đồng quyền chọn châu Âu tại thời điểm T > 0

với giá đáo hạn K 0≥ được xác định bởi nghiệm của phương trình đạo hàm riêng

(t,S)S U

−

(r q)SU rU 0, t T , S

Black-Scholes

0 ≥

1 2 σ+ 2

(2.1.2)

U(t T ,S) =

(S K ) .+ −

với điều kiện cuối

(2.1.3)

Trong đó, r và q lần lượt là lãi suất và cổ tức, nói chung chúng là các hàm chỉ phụ

S= 0

)S ( 0

thuộc vào biến thời gian t. Hơn nữa, nếu chúng ta cố định t=0 và thì giá của

0U(S ,T ,K ) thỏa mãn

hợp đồng quyền chọn U cũng phụ thuộc và T và K, và ta có

2 K U

(r q)KU

U −

−

qU 0, T 0, K 0 >

≥

2 σ

phương trình Dupire

1 2

(2.1.4)

với điều kiện đầu

U(T 0,K ) =

−

+ (S K ) , K 0. >

(2.1.5)

(K ,T )

Do điều kiện không chênh lệch thị giá có được từ môi trường trung tính rủi ro, ta

0> và với K>0, chúng ta có

KKU

0U(S ,T ,K ) thông qua

có được xác định từ

(K ,T )

công thức

U (r q)KU − 2 K U

(2.1.6)

Nói cách khác, công thức (2.1.6) được trình bày đầu tiên bởi Dupire cho chúng ta

một cách xác định trực tiếp σ như là một hàm số của (t,S) khi t=T và S=K từ giá của

hợp đồng quyền chọn châu Âu. Tuy nhiên công thức (2.1.6) như thế lại quá thô theo

nghĩa nó chứa đạo hàm của dữ liệu nên cực kỳ nhạy với sự thay đổi của giá, mặt khác

chúng ta chỉ có thể có một lượng thông tin rời rạc về giá của hợp đồng quyền chọn

mà nói chung bị nhiễu. Do đó, biểu thức dưới dấu căn có thể âm hoặc thậm chí không

bị chặn. Vì vậy, chúng ta cần phải tìm một cách thay thế để xác định σ bởi vì σ là

một công cụ rất quan trọng cho việc định giá chính xác trong thị trường tài chính.

T t

log(K / S )

Để áp dụng những kỹ thuật cổ điển của lý thuyết PDE parabolic, chúng ta thực

τ = − . Do đó, đặt

u( ,y) : U(

2 ( σ τ

t,S e ), b( ) : q( ) τ

−

r( ) τ

t,S e ), a( ,y) :

1 2

hiện việc đổi biến và

−

0, y

khi đó u( ,y)τ thỏa mãn

u − + τ

∈

( a( ,y) u

)

(2.1.7)

u(0,y)

y ,

với điều kiện đầu

y S (1 e ) − 0

. ∈

(2.1.8)

Ở đây, σvà a được xem là dương và quan hệ với nhau thông qua một song ánh trơn

như cách đặt của a. Do đó, chúng ta sẽ chỉ làm việc với tham biến a thay vì tham

biến độ biến động σ bởi vì điều này sẽ làm đơn giản hóa sự phân tích bài toán thuận

(0,T )

: Ω =

× miền xác

và bài toán ngược.

≤

< ∞ và

Cho I ⊂  là một khoảng mở có thể không bị chặn, và

a 1

a 2

a ,a ∈ là các hằng số sao cho

định của bài toán (2.7), (2.8). Với

1 ε Ω+∈ )

≤

0a H (

0ε > thỏa mãn 1 a

a 0

a 2

D(F) : {

) :

1 ε Ω +

= ∈ +

≤ ≤ a

một hàm cố định , , ta định nghĩa

a H ( 0

a 1

∈

(2.1.9)

1H (

ε Ω+ )

Điều kiện a D(F) cho ta biết a không âm và bị chặn trên Ω và lưu ý tập D(F) là

lồi và đóng yếu trong ([5]).

F : D(F) H (

1 +⊂

ε Ω )

), Ω

™

Bây giờ chúng ta định nghĩa toán tử F( )⋅ phi tuyến sau

1,2 W ( 2

a D(F)

∈

−

)Ω

1,2 u(a) u(a ) W ( 0 2



(2.1.10)

0u(a ) là các nghiệm duy nhất của (2.7), (2.8) với các tham biến khếch tán

với u(a) và

0a tương ứng, chú ý rằng

0a đã được cho cố định. Thật sự cần thiết để cho

a và

∈

−

).Ω

vào trong định nghĩa của toán tử F( )⋅ vì mỗi nghiệm u(a) của (2.7), (2.8) tương ứng

)Ω . Do đó,

1,2 2,locW (

1,2 u(a) u(a ) W ( 0 2

u(a) u(a ) −

với mỗi tham biến khếch tán a là thuộc Mặt

khác, do tính tuyến tính của (2.7), (2.8) nên thỏa mãn bài toán parabolic

với điều kiện biên thuần nhất.

Theo trên, bây giờ chúng ta sẽ phát biểu bài toán thuận cho định giá quyền

F(a) u(a) u(a )

−

∈

chọn như sau:

Cho một hàm a D(F) , hãy xác định với u(a) là nghiệm duy nhất

của bài toán (2.7), (2.8) với tham biến khuếch tán a.

2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán parabolic

) Ω

1,2 u( ,y) W ( ∈ 2,loc

Trong phần này, chúng ta trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm

)Ω∞∈

2 )Ω∈ L (

a ≤ ≤

của bài toán parabolic (2.7), (2.8) thông qua các phát biểu sau.

a 1

a 2

, b L ( , . Mệnh đề 2.2.1 Cho a là hàm liên tục Holder với

f ,

Khi đó

v τ− +

(2.2.1)

(

)

(2.2.2)

1,2 )Ω∈ v W ( 2

C f

C C a

, b

≤

vôùi

. Hơn nữa, có nghiệm duy nhất

2 L (

)

∞ L (

) Ω

(

) . Ω

1,2 2W (

(2.2.3)

∞ a D(F), b L (

2 L (

∈

Ω

) Ω

), f

Chứng minh. Tham khảo Định lý 9.2 ở [14].

Mệnh đề 2.2.2. Cho . Khi đó, bài toán (2.11), (2.12)

1,2 )Ω∈ v W ( 2

1H (

ε Ω+ )

có nghiệm duy nhất . Hơn nữa, nghiệm này thỏa mãn (2.13).

a D(F) H (

→ ∈

⊂

1 ε Ω+ )

⋅

nên tồn Chứng minh. Do không gian các hàm liên tục Holder trù mật trong

n{a } các hàm liên tục Holder sao cho

ε Ω+ ( )

theo . tại dãy

na liên tục Holder thì tồn tại một nghiệm duy nhất

Theo Mệnh đề 2.2.1 với mỗi hàm

n 1,2 )Ω∈ v W ( 2

f ,

của bài toán

n a v n yy

n y

n v τ−

nv (0,y) 0,=

(2.2.4)

, b

≤

∞

và thỏa mãn

C a n

C f n

n L (

∞ L (

) Ω

2 L (

) Ω

)

(

) Ω

1,2 W ( 2

với (2.2.5)

n y

thỏa mãn Do sự tuyến tính của (2.2.4),

n a w n y

f , y

n w τ−

(

)

(

)

nw (0,y) 0,=

(2.2.4)

≤

d τ

≤

và

c 1

f ( ) τ y

c 2

)

2 L (

) Ω

∫



1 − W ( 2

0 ,1 W 2

(2.2.6)

c , c là các hằng số mà việc xác định chỉ phụ thuộc vào cận dưới của a, 1

Ω∞ L ( )

với ,

Ω∞ L ( )

và .

a→ và (2.2.6),

2 L (

) Ω

Hơn nữa, từ cũng bị chặn, do

d d τ Ω

∫ ∫

2 L (

) Ω

d d τ

Ω

−

τ Ω

n y

} n f v d d

∫ ∫

2 Ω

c(T ) v

≤

n yy

n y

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

{ n a v n yy {

}

C(T ) f

≤

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

C(T ) f

≤

Suy ra

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

(2.2.7)

Ω∞ L ( )

với C(T) là hằng số mà việc xác định chỉ phụ thuộc vào cận dưới của a, ,

Ω∞ L ( )

a→ . Và theo (2.2.6),

n vτ

2 L (

) Ω

nv bị chặn theo chuẩn của không gian Hilbert

)Ω

Mặt khác, cũng bị chặn, do (2.2.4), (2.2.6), và na

1,2 2W (

ˆ  C f

≤

(2.2.7), ta có

2 L (

) Ω

1,2 W ( 2

 với C

(2.2.8)

Ω∞ L ( )

v⊂

chỉ phụ thuộc vào cận dưới của a, , . nên tồn tại dãy con

ˆ 1,2 )Ω∈ v W ( 2

{ v

}

{ }

sao cho .

Ω∞∈ 0C ( )

−

ˆ av yy

ˆ bv y

n k yy

n k y

ˆ v − + τ

n v k τ

) d ψ Ω

(

Do đó, với mỗi

∫

lim k →∞

Ω

) ∫ f d . ψ Ω ψ Ω Ω

ˆˆ  v

, ta có (

⋅

là nghiệm duy nhất Bằng chính quy hóa lời giải yếu (tham khảo [8], Mệnh đề A1),

) Ω

1,2 2W (

ˆ  v

ˆ C f

≤

của bài toán (2.2.1), (2.2.2). Hơn nữa do tính nửa liên tục dưới yếu của

ˆ 1,2 )Ω∈ v W ( 2

2 L (

) Ω

1,2 2W (

(2.2.8), và , ta có ■

a D(F), b L (

∈

).Ω∞

Trong hệ quả sau, chúng ta sẽ phát biểu về nghiệm của bài toán (2.1.7), (2.1.8}).

Khi đó, bài toán (2.1.7), (2.1.8) có nghiệm Hệ quả 2.2.1. Cho

1,2 )Ω∈ u W ( 2

≤

duy nhất và thỏa mãn

S 0

∞

y W (

) Ω

0 ,1 2

và (2.2.9)

, b

∞ L (

) Ω

với hằng số C xác định phụ thuộc cận dưới của a,

( y

−

) − θ 4 τ

e·

u( ,y) : τ

−

∈

) Ω

1,2 d W ( θ 2,loc

( θ ·S 1 e

)

∫

4 πτ

−∞

Chứng minh. Ta có

u ( ,y) S . τ ≤ 0

Giả sử u là nghiệm của bài toán (2.1.7), (2.1.8) và đặt w u u = − và

−

u τ

( w a w +

)

( a u

)

thì w là nghiệm của

với điều kiện biên thuần nhất.

Áp dụng Mệnh đề (2.2.2) ta có các khẳng định. ■

Dựa vào Hệ quả (2.2.1) ta thấy toán tử F( )⋅ như trong (2.1.10) đã được định

nghĩa tốt.

2> sao cho Mệnh đề 2.2.2, Hệ quả 2.2.1 vẫn đúng trong

2 L (

∈

Ω

p ) L ( ∩

) Ω

)Ω với

Thực ra, tồn tại p

1,2 pW (

, p [2, p) ∈ . Bổ đề sau sẽ có ích cho việc trình bày sau

[2, p)

∈

này.

1,2 )Ω∈ u W ( p 1

Bổ đề 2.2.1 Cho , là nghiệm của (2.1.7), (2.1.8). Khi đó tồn tại

1p sao cho

−

≤

hằng số C xác định phụ thuộc vào các cận của tham biến và

y L ( p1

) Ω

(2.2.10)

Chứng minh. có thể xem ở [6], Mệnh đề 4.4. ■

2.3. Các tính chất quan trọng của toán tử F( )⋅

Các tính chất này sẽ cho ta thấy bài toán ngược tương ứng với bài toán thuận ở mục

(2.1) sẽ không chỉnh và chúng thực sự cần thiết cho việc xây dựng sự chỉnh hóa sau

này.

Định lý 2.3.1. Toán tử F( )⋅ liên tục và compact. Hơn nữa, nó cũng liên tục yếu do đó

u(a)

đóng yếu.

na , a D(F) ∈

( u a n

)

1H (

ε Ω+ )

Chứng minh. Đặt , u với .

a→ trong

u − thì

nw thỏa mãn

Giả sử . Đặt

−

= −

−

n yy

n w y

n y

a n

n w τ−

(

)( a u

)

( a w

)

(2.3.1)

với điều kiện biên thuần nhất.

C u

≤

−

. a n

q L (

)

p L (

)

Ω

)

Ω

1,2 W ( 2

Theo Mệnh đề 2.2.2 và Bất đẳng thức Holder

qL (

với 1/p + 1/q = 1.

a→ trong

)Ω và do (2.2.10), ta có

−

0 → hay

→ khi n → ∞ .

)

Ω

1,2 W ( 2

Do Định lý nhúng Sobolev,

1H (

Vậy toán tử F( )⋅ liên tục.

+ε Ω . Cho )

CΩ ⊂ Ω compact, theo Định lý nhúng compact

a trong

Giả sử

q a L (

. ≤ < ∞

Sobolev, ta có

a n

), → ∈ Ω với 1 q C

nw thỏa mãn

(2.3.2)

−

= −

−

n yy

n y

a n

n w τ−

)( a u

)

(

u − thì ( a w

)

M ,M

0,T

Tương tự trên, đặt

Ω = Ω Ω Phương trình (2.3.1) có thể viết lại thành

Ω = C

c C

)

(

−

= −

−

n y

n yy

n y

a a − n

n w τ

Ω C

(

)(

)

(

)(

)

( × − )

( a w n

c Ω C

Lấy và với điều kiện biên thuần nhất. )

≤

−

C( a n

q L

p 1 L (

)

Ω

Ω C

(

)

1,2 W 2

(

)

Theo Mệnh đề 2.2.2 và Bất đẳng thức Holder ta có

)

−

a n

p 1

q L

c Ω C

(

)

(

)

. u

/ q

(2.3.3)

/ p 1

−

với 1 như trong Bổ đề 2.2.1.

→ khi M → ∞ . Vì vậy, ta có

p 1

y L

c Ω C

(

)

−

→ khi n → ∞ .

)

Ω

1,2 W ( 2

Do Bổ đề 2.2.1, (2.3.2) và

1H (

)

1H (

Vậy, toán tử F( )⋅ liên tục yếu và compact (với chú ý nếu { }na bị chặn trong không

+ε Ω ). ■ )

a trong

kna

+ε Ω , khi đó tồn tại dãy con {

}kna

sao cho gian Hilbert

∈

Bây giờ, chúng ta phát biểu tính khả vi của toán F( )⋅ trong Bổ đề sau.

′ hF (a)

a h D(F)

+ ∈

Bổ đề 2.3.1. Toán tử F có là đạo hàm theo hướng h tại a D(F) với

′

+ε F (a) : H (

Ω →

) Ω

1,2 ) W ( 2

′

F (a)(h) F (a)

và tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục

′= h

với a h D(F) + ∈ . Hơn nữa, toán tử F ( )′ ⋅ thỏa mãn điều kiện sao cho

′

C h

′− F (a) F (a h)

≤

+ε

Lipschitz

)

1 +ε H (

)

Ω

1,2 ),W ( 2

( 1 L H (

)

+ ∈

+ε h H (

)

∈

(2.3.4)

Ω sao cho a h D(F)

h D(F)

∈

+ ∈

+ ε ∈

+ε h H (

)

∈

với a D(F) ∈ và .

Ω sao cho a h D(F)

1H (

và thì a Chứng minh. Cho a D(F)

≤ ε ≤ do D(F) là lồi trong

+ε Ω . Đặt )

F(a

h) F(a)

u(a

h) u(a)

ε = w :

+ ε −

)

(

)

(

1 ε

với 0

ε → khi w

0ε→ . Với w là nghiệm của bài toán

−

= −

và chứng minh w

τ−

( w a w +

)

) ( h u (a) u (a) , −

w(0,y) 0=

trên Ω, (2.3.5)

−

ε w τ

u (a τ

h) u (a) τ

)

(

bu(a

h) a u (a) u (a)

bu(a)

h) u (a −

−

(

)

−

h) u (a −

ε w y

ε bw y

( h u (a yy

) h) .

1 ε 1 ( ε ( ε a w yy

( h) u (a yy )

h) ,

= −

−

h) u (a −

, Ω

ε bw y

ε w y

ε w τ

( h u (a yy

) treâ

Thật vậy, đầu tiên ta có

( ε a w yy

w (0,y)

wε=

−

Do đó wε là nghiệm của bài toán )

−

= −

h) u (a −

Đặt w w  thì w thỏa mãn

ε w y

ε bw y

ε w τ

( h u (a yy

) h) ,

( ε a w yy

)

0w ( ,y) 0. =

trên Ω, (2.3.5)

)

∈

Ω

1,2 w W (  2

C h

h) u (a

≤

+ ε −

+ ε

u (a) u (a) −

−

Theo Mệnh đề 2.2.2 bài toán trên có nghiệm duy nhất và thỏa mãn

w 

( . u (a yy

)

(

)

∞ L (

)

Ω

2 L (

)

Ω

1,2 W ( 2

h) u(a)

+ ε −

(2.3.6)

−

= −ε

−

ren â

Ω

v τ− +

thì v là nghiệm của bài toán

)

( h u (a) u (a)

) t

v(0,y)

Đặt v : u(a ( a v

c h

C h

−

≤

≤ ε

. u (a) u (a) −

≤ ε

2 L (

)

p 2 L (

)

p 1 L (

)

p 2 L (

)

Ω

1,2 W ( 2

= . 1

Theo Mệnh đề 2.2.2 và Bổ đề 2.2.1 ta có

1p như trong Bổ đề 2.2.1 và 1

/ p 1

/ p 2

→

với

ε → hay w

ε → trong w

)Ω khi

1,2 2W (

w 

)

Ω

1,2 2W (

0ε→ .

Do đó theo (2.3.6), suy ra khi

′ hF (a)

′

F (a) : H (

→

+ ε Ω

) Ω

Vậy tồn tại và là nghiệm của bài toán (2.3.5).

1,2 ) W ( 2

+ε h H (

)

∈

Ω . Do bài toán (2.3.5)

Bây giờ, ta xét toán tử với F'(a)(h) chính là nghiệm duy

nhất của bài toán (2.3.5) tương ứng với tham biến

′

F (a)(h) F (a)

tuyến tính nên toán tử F'(a) là toán tử tuyến tính. Hơn nữa, trong phần chứng minh

′= h

′

F (a)(h)

C h

≤

−

≤

−

với a h D(F) + ∈ . trên ta đã có

)

p 2 L (

)

p 1 L (

)

Ω

2 L (

)

Ω

1,2 W ( 2

(2.3.7) Mặt khác, theo Mệnh đề 2.2.2 ta có ( C h u )

= . 1

1p như trong Bổ đề 2.2.1 và 1

/ p 1

/ p 2

d. h

≤

0> sao cho

với

p 2L (

)

1 +ε H (

)

Ω

. Kết Theo Định lý nhúng Sobolev tồn tại hằng số d

′

F (a)(h)

C. h

≤

hợp với Bổ đề 2.2.1 ta có

)

1 +ε H (

)

Ω

1,2 2W (

′

F (a)(h) F (a)

(2.3.8)

′= h

Vậy F'(a) là toán tử tuyến tính liên tục và thỏa mãn với a h D(F) + ∈

′

−

a h

= +

+ε q H (

)

∈

Tiếp theo, ta chứng minh toán tử F( )⋅ thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.3.4).

Ω ; ở đây ta

u 

u =

( ) ′ F a 

( ) u a  ,

(

) ( ) F a (q)

(

) ′ u q

, với Đặt a 

′ hF (a)

chính là đạo hàm theo hướng . hiểu u h′

′ u q

−

Do bài toán (2.3.5) tuyến tính nên v là nghiệm của

v − + τ

u u − 

( a v

( q u u 

)

(

)

( ′ h u q

)

(

)

(

)

( v(0,y) 0.=

(2.3.9)

′ u q

≤

c h 2

c q 1

u u − 

)

1 +ε H (

)

1 +ε H (

)

Ω

1,2 W ( 2

1,2 W ( p 1

  

   C q

≤

1 +ε H (

)

1 +ε H (

)

Ω

Dùng các đánh giá tương tự như trong quá trình suy ra (2.3.8) đối với (2.3.9) ta có

■ Do đó, toán tử F ( )′ ⋅ thỏa mãn điều kiện Lipschitz (2.3.4).

h D(F)

+ ∈

+ ε ∈

+ε h H (

)

∈

Nhận xét 2.3.1. Do tập D(F) lồi nên nó có tính chất của một tập hình sao, nghĩa là

Ω sao cho a h D(F)

≤ ε ≤ ;

∈

và thì a với mọi 0 với a D(F) ∈

′ hF (a)

′

a h D(F)

+ ∈

là đạo hàm theo hướng h tại a D(F) với điều này cho phép chúng ta xét

∈

. Toán tử F (a) như trong Bổ đề 2.3.1 có tính chất tương tự đạo hàm

Gateaux, tuy nhiên điểm a D(F) mà chúng ta đang xét không nhất thiết là một điểm

∈

trong của D(F) . Và điều đó cho thấy việc a có phải là điểm trong của D(F) hay

là một điểm trong của D(F) thì không không quan trọng. Tuy nhiên, nếu a D(F)

F'( )⋅ thỏa mãn điều kiện Lipschitz như trong Bổ đề 2.3.1, nếu Int D(F) ≠ ∅ thì F( )⋅

toán tử F'(a) như trên sẽ là đạo hàm Gateaux của toán tử F( )⋅ tại a. Và do toán tử

2 L (

)

) Ω ⊂

Ω tuyến tính bị chặn, nên chúng ta

sẽ khả vi Frechet trên Int D(F) .

1,2 2W (

2L (

)Ω bởi

)Ω

Nhận xét 2.3.2 Bởi vì phép nhúng

1,2 2W (

vẫn có các Định lý 2.3.1 và Bổ đề 2.3.1 vẫn đúng nếu ta thay

2L (

)Ω đơn giản hơn

)Ω .

trong định nghĩa của toán tử F( )⋅ . Đây là một sự thay đổi quan trọng bởi vì làm việc

1,2 2W (

†a D(F)

∈

với

′

† * 2 F (a ) : L (

)

Ω

+ε ) H ( ™

†

′

† F (a ) v,a

′ v,F (a )a

+ε a H (

)

∈

Vậy với , tồn tại toán tử liên hợp

) Ω và

2 v L ( ∈ Ω .

1 H (

)

2 L (

)

+ε Ω

Ω

với xác định bởi

1H (

)

* ′ F (a)

2L (

Hai kết quả tiếp theo được trình bày với việc xem ảnh của F'(a) như là tập con

)Ω và ảnh của

+ε Ω . Chúng đóng vai trò quan

của như là tập con của

∈

trọng trong chứng minh các kết quả về tốc độ hội tụ của chỉnh hóa Tikhonov.

, khi đó toán tử F'(a) là đơn ánh và nếu F'(a) là đạo hàm Bổ đề 2.3.2. Cho a D(F)

′

1 +ε H (

)

∈

⊂

Ω . Do (2.3.5), ta có

Frechet thì F'(a) compact.

( h N F (a)

)

−

0 =

Chứng minh. Cho

( h u

)

(2.3.10)

G( ,y) u

−

với u là nghiệm của (2.1.7), (2.1.8).

a( ,y)G( ,y) bG( ,y)

G( ,y) τ

là nghiệm phân bố của bài toán Mặt khác,

2 ∂ − ∂ yy

τ∂

)

(

)(

1 2

G(0,y)

(y),

= δ

(y)δ

trên Ω (2.3.11)

( ,y)

> ,

∀ τ ∈ Ω ( tham khảo [5], Bổ đề 1.4.1). Vì

với là hàm Dirac delta. Nói cách khác, G( ,y)τ là hàm Green của bài toán

Cauchy (2.3.11). Do đó, G( ,y) 0

vậy, với (2.3.10) ta có h=0 hay F'(a) là đơn ánh.

†

■

( F a′

= −∂ +

có hạt nhân tầm thường. Bổ đề 2.3.3. Toán tử Tính compact của F'(a) được suy ra từ tính compact của F. )*

L : u

2 ∂ − ∂ là toán tử phương yy

(

)

Chứng mình. Để đơn giản, ta cho b=0. Đặt

uG − u

( ) ⋅ =

−

u−

là toán trình parabolic ở vế trái của (2.3.5) với điều kiện biên thuần nhất, và đặt

⋅ . Do đó nghiệm của (2.3.5) có

G u

−

u y

(

) u .( )

′=

tử nhân bởi hàm nghĩa là

u (a) : F (a) L G− ′ u

−

uL − hiểu theo nghĩa là toán tử ngược của toán tử

uL với những điều kiện đầu và điều kiện biên thuần nhất.

′

† * 2 F (a ) : L (

)

Ω

, với dạng

1 +ε ) H ( ™

′

, ta có

) † F a h,z

1 H (

)

+ε Ω

2 L (

)

Ω

†

′

∈

+ε h H (

)

∈

Từ định nghĩa (

) Ω ,

2 z L ( ∈ Ω và

= ϕ . Cho

( † * z N F (a )

)

( ′ F a

với . Khi đó

1 −

′

(h),z

L u

G u

−

u y

)

(

) † F a h,z

(

2 L (

)

Ω

2 L (

)

Ω

1 −

G u

−

u y

( (h), L u

)

(

2 L (

)

Ω

(h),g

G u

−

u y

2 L (

)

Ω

)

= −

−

1 +ε u hgd , h H ( Ω ∀ ∈

Ω

(

)

∫

Ω

† a g

z =

g τ +

)

(

với g là nghiệm của phương trình )

)

+ε g H (

)

∈

Ω và

−

Ω =

với điều kiện biên và điều kiện cuối thuần nhất.

2 z L ( ∈ Ω , ) 2 u g d y

∫

Ω

−

(thay h = g). Vì (

> ( xem phần cuối của chứng minh Bổ đề 2.3.2). Do đó, g=0 suy ra

{0}

z 0= hay

Mà

( † * ′ N F (a )

)

′

*†F (a )

1H (

. ■

+ε Ω do )

1H (

)

+ε Ω

†

′

1 +ε H (

′ N F (a )

Ω =

⊕

( *† ) R F (a )

)

(

)

là trù mật trong Nhận xét 2.3.3. Ảnh của

( † ′ N F (a )

) {0} =

theo Bổ đề 2.3.2. với

Trong Định lý tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh một tính chất đặt trưng của toán

tử F( )⋅ mà chúng ta gọi là điều kiện η . Với điều kiện η , chúng ta mới có thể chứng

1 +ε F : D(F) H (

)

⊂

Ω

minh sự ổn định và hội tụ của sự chỉnh hóa ở các chương sau.

1,2 ) W ( ™ 2

thỏa mãn điều Định lý 2.3.2 (Điều kiện η). Toán tử

′

−

≤ η

η <

1/2

kiện η

a 

( ) F(a) F a − 

)

( ) F(a) F a − 

( )( F a a 

)

Ω

1,2 W ( 2

D(F)

⊂

*a D(F)

∈

(2.3.12)

0ρ > nào đó đủ nhỏ.



)* ( a,a B a ρ∈

trong đó và với mọi

u(a), u

=

( ) u a  là các nghiệm của (2.1.7), (2.1.8) tương ứng với

′

−

a a

Chứng minh. Đặt

a, a D(F) ∈

= −  của F tại a thỏa

)  là đạo hàm theo hướng h a

( )( ′= u h F a a  

−

u − + τ

′ u h 

bu 

u  τ

( a u  

( a u

)

′

−

′ u h 

( h u 

) u .  y

mãn phương trình (2.3.5).

( ( ′ b u h 

( a u h 

u  (

)

(

−

u τ

u  τ

′ u h 

bu 

(

)

(

)

( ′ b u h 

Do đó chúng ta có phương trình đạo hàm riêng sau ) )

)

(

a a +  2

a 

−

u 

)

(

)

(

)

) a a −  2

a 

−

′ u h 

( h u 

) u .  y

(

)

(

)

(

a a +  2 )

)

(

)

(

( (

− 2 a a +  2

− 2

−

u τ

u  τ

′ u h 

bu 

(

)

( ′ b u h 

)

Viết lại thành (

)

(

−

u 

′ u h 

(

)

(

)

(

)

(

)

  

a 

= −

−

′ u h 

(

)

(

)

( )

(

)

(

− 2

−

u 

(

)

( h u 

) u .  y

a a +     2 a a −  2 a a −  2

′

w u

a a

= −

−

u = −

hay (



u u h −  

= −  và đặt

( ′ u u a a  

)

−

= −

−

bw y

w τ

′ u .h 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

a a +  2

a a −  2

a 

−

thì w thỏa mãn PDE sau Do h

u 

(

)

− 2

(2.3.13)

với điều kiện đầu thuần nhất.

′

−

= −

−

′ u .h 

u h u h − 



u h u h − 

(

)

( a u h u h

)

(

)

(

)

(

)

(

  

a a −  2

′

−

u h u h − 

u u − 

(

)

(

)

   (

(

)

h 2

1 2 b 2

Từ (2.3.9) ta có

−

w y

bw y

w τ

(

)

a a +  2

′

= −

−

u h u h − 



u h u h − 



(

)

( a u h u h

)

(

)

( b u h u h

)

  

  

1 2

−

Thay vào (2.3.13) ta có

a a − 

u u − 

(

)

(

)

( ) (

)

2L (

(2.3.14)

)Ω . Dùng đánh giá (2.3.8) và Định lý

Chú ý rằng vế phải của (2.3.14) thuộc

′

≤

−

a a − 

u u − 

(

) u u h 

)

2 L (

)

2 L (

)

Ω

1,2 W ( 2

)

Ω

1 2

1,2 W ( 2

  

  

′

≤

−

C u u h − 

a 

u u − 

)

(

1 +ε H (

)

Ω

1,2 W ( 2

)

Ω

1,2 W ( 2

  

  

≤

−

nhúng Sobolev, ta có

C a a 

u u − 

1 H (

)

+ε Ω

Ω

1,2 W ( 2

D(F)

⊂

η =

−

0ρ> đủ bé sao cho

(2.3.15)

: C a a  1



)* ( a,a B a ρ∈

1 H (

)

+ε Ω

1 2

với mọi . Chọn

)

2 L (

)

Ω

■ Vậy từ (2.3.15) ta có toán tử F thỏa mãn điều kiện η (2.3.12).

1,2 2W (

′

−

≤ η

η <

1/2

( ) F(a) F a − 

( )( F a a a  

)

( ) F(a) F a − 

2 L (

)

Ω

1,2 W ( 2

D(F)

⊂

*a D(F)

∈

và (2.3.12) ta vẫn có Nhận xét 2.3.4. Sử dụng phép nhúng liên tục

0ρ > nào đó đủ nhỏ.



)* ( a,a B a ρ∈

trong đó và với mọi

Mệnh đề 2.3.1. Toán tử F là đơn ánh.

a, a thuộc D(F) sao cho

( ) F(a) F a =  , theo bất đẳng thức (2.3.15)

)

2 L (

)

Ω

Chứng minh. Cho

1,2 2W (

′

−

≤

−

C a a 

( ) F(a) F a − 

( )( F a a a  

)

( ) F a 

( ) F a

1 H (

)

+ε Ω

2 L (

)

Ω

1,2 W ( 2

′

−

và phép nhúng liên tục ta có

F a′  suy ra

( )( F a a a  

)

( )

a=  hay F đơn ánh.

kết hợp với tính đơn ánh của toán tử đạo hàm Do đó,

2.4. Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương

2.4.1. Bài toán ngược của định giá quyền chọn châu Âu

(T ,K )

Độ biến động thực ra là một tham biến của quá trình ngẫu nhiên (2.1.1). Trên

(T ,K )

thực tế, chúng ta không biết trực tiếp từ các quan sát thị trường mà. Thay vào

đó, ta chỉ biết các giá U của các hợp đồng quyền chọn châu Âu. Hơn nữa,

cũng là đại lượng duy nhất trong (2.1.1) và phương trình Dupire (2.1.4), (2.1.5) mà

chúng ta không thể biết trực tiếp từ thị trường.

(T ,K )

Bài toán ngược phi tuyến của định giá quyền chọn mà chúng ta quan tâm là xác

T ,K

U (T ,S)

,r,q, ⋅

định độ biến động

T ,K *

(

(2.4.1) bằng cách quan sát các giá trị ) σ =

của phương trình Dupire (2.1.4), (2.1.5) trên thị trường. Mỗi quan sát được liên kết

với nghiệm của phương trình Dupire với các giá đáo hạn K và thời điểm đáo hạn T

(T ,K )

khác nhau.

là rất quan trọng đối với các nhà đầu tư và Việc xác định độ biến động

các nhà quản lý rủi ro. Nó được dùng để xác định, tính toán các đại lượng khác như

(T ,K ).

delta, vega... để đo độ rủi ro của một hợp đồng quyền chọn và xây dựng các công cụ

T ,K

bảo hộ mà điều này sẽ khó thực hiện nếu không thể xác định chính xác

*U (T ,S) chỉ được biết trên một tập rời rạc của các giá đáo

Trên thực tế, giá trị

T ,K

hạn K và thời điểm đáo hạn T. Bởi vì, chúng ta quan tâm đến sự quan sát liên tục đối

*U (T ,S) điều này dẫn đến một sự xấp xỉ mà chúng ta gọi là dữ liệu nhiễu uδ với

với

* u

uδ

−

mức độ nhiễu δ mà thỏa mãn bất đẳng thức

2 L (

)

Ω

*a D(F)

∈

*u là dữ liệu tiên nghiệm tương ứng với giá trị thực sự

(2.4.2)

. với

Do đó, bài toán ngược cho định giá quyền chọn mà chúng ta quan tâm trong luận

* a

văn này là: xác định tham biến

(

) ,y D(F) τ ∈

(2.4.3)

là nghiệm của toán tử F( )⋅ ở (2.1.10) với tập hợp dữ liệu được cho mà có thể bị nhiễu

như trong (2.4.2).

2.4.2. Sự không chỉnh của bài toán ngược

(T ,K )

Bổ đề 2.4.1. Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương từ phương

trình toán tử (2.1.10) là không chỉnh.

−

)

⊂

Ω

⊂

Ω

Chứng minh. Bài toán sẽ không chỉnh theo nghĩa Hadamard do toán tử

1 +ε ) D(F) H ( ™

1,2 F : R(F) W ( 2

D(F)

⊂

không liên tục. Điều này được chứng minh

1H (

)

a . Do D(F)

a n k

+ε Ω . Khi đó, ta có thể lấy ra một dãy con hội tụ yếu {

} , a n k

∈

1H (

)

mà không có dãy con hội tụ mạnh theo chuẩn của dựa theo tính compact và đóng yếu của toán tử F trong Định lý 2.3.1. Thật vậy, lấy một dãy bị chặn { }na

1 −

F(a)→

đóng yếu trong

( F a n k

)

}

)knF a (

(

+ε Ω nên a D(F) {

1H (

)

+ε Ω . Do đó

1F − không liên tục.

. Tuy nhiên, ( chú ý toán tử F là một đơn ánh) . Mặt khác, do F compact và đóng yếu nên } { ) a = n k

■ không hội tụ mạnh trong

Sự không chỉnh của bài toán ngược, đòi hỏi chúng ta phải dùng đến các phương

pháp chỉnh hóa. Một trong các đóng góp của luận văn này là phân tích các phương

pháp chỉnh hóa Tikhonov và chỉnh hóa lặp cho bài toán ngược này. Điều này được

thực hiện lần lượt ở Chương 2 và Chương 3.

2.5. Một tổng kết về vấn đề xác định độ biến động địa phương

Trong mục này, chúng ta sẽ điểm lại các sự kiện chính về bài toán xác định độ biến

động địa phương đối với mô hình Black-Scholes chuẩn cho việc định giá một hợp

đồng quyền chọn. Mô hình này khẳng định giá của tài sản S thỏa mãn phương trình

vi phân ngẫu nhiên (2.1.1). Dưới điều kiện không chênh lệch thị giá, giá U của hợp

đồng quyền chọn châu Âu thỏa mãn phương trình Black-Scholes (2.1.2), (2.1.3).

Đặc biệt, sau sự sụp đổ của thị trường chứng khoán 1987, những nhà đầu tư và

các nhà nghiên cứu mới nhận thức việc không thể dùng một hằng số độc lập σ tương

thích với tất cả giá của hợp đồng quyền chon châu Âu trên thị trường. Để khắc phục

khó khăn này, một vài mô hình đã được đưa ra, chẳng hạn mô hình hàm độ biến động

địa phương, mô hình độ biến động ngẫu nhiên, mô hình khếch tán- bước nhảy...

Đại lượng được gọi là độ biến động địa phương được xem là một đại lượng nền

tảng quan trọng cho việc mua bán hợp đồng trên một cổ phiếu S, dùng để đo lường độ

lệch chuẩn của tốc độ thay đổi giá của S. Sự xác định độ biến động là một thách thức

lớn trong tài chính định lượng. Không giống với quá trình quan sát độ biến động dựa

trên chuỗi thời gian của giá cổ phiếu S, sự xác định độ biến động ở đây là một sự ước

lượng trước của một nhà đầu tư được phản ánh trong giá của hợp đồng quyền chọn đã

được mua bán trên tài sản nền tảng S. Bài toán xác định độ biến động nhận được sự

quan tâm lớn trong những thập kỷ gần đây. Đã xuất hiện một lượng lớn các công

trình nghiên cứu về vấn đề này.

S(t)

Một kiểu xác định độ biến động σ là sự ước lượng nó thông qua giải tích thống

kê của chuỗi thời gian cho S . Tuy nhiên, nó không được dùng bởi những người

tham gia thị trường để định giá hợp đồng quyền chọn. Một kiểu khác là dùng độ biến

động nội suy. Nó là kết quả của sự tính toán ngược lại trong công thức Black-

Scholes. Tuy nhiên, độ biến động cũng phụ thuộc vào giá đáo hạn K và thời điểm đáo

hạn T. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng nụ cười được mô tả trong phương trình

Dupire (2.1.4), (2.1.5). Nó cho rằng không có độ biến động mà là hằng số tại một thời

điểm nhất định có thể đưa ra giá phù hợp với các dữ liệu thực tế trên thị trường. Và

luận văn này sẽ làm việc trên phương trình Dupire và xác định độ biến động địa

phương bằng các phương pháp chỉnh hóa trong lý thuyết bài toán ngược.

Lagnardo và Osher đã đưa ra một phương pháp chỉnh hóa cực tiểu phù hợp với

hiệu ứng nụ cười bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn. Quá trình cực

tiểu hóa kéo theo sự tự ổn định với sự hạn chế của σ đến những hàm trơn nhất mà kết

quả cực tiểu hóa sự sai khác giữa giá dựa theo công thức Blach-Scholes và giá thực tế

trên thị trường. Avellaneda đưa ra phương pháp bằng cách dùng khái niệm cực tiểu

entropy tương đối. Phương pháp này có thể tạo ra các độ biến động thay đổi đột ngột

và các kết quả bằng phương pháp số. Tuy nhiên, nó tái tạo một tập hợp đã cho các giá

thị trường khác xa với nghiệm của mô hình Black-Scholes. Jackson đã đưa ra phương

pháp thông qua việc cực tiểu hóa có trọng số của sự sai khác giữa giá Black-Scholes

và giá thực tế trên thị trường trên một tập hợp các thời điểm đáo hạn và giá đáo hạn.

Những phương pháp này bao gồm những kỹ thuật chỉnh hóa cho bài toán ngược đã

được nghiên cứu. Trong đó, hai phương pháp quan trọng để giải các bài toán ngược

phi tuyến là chỉnh hóa Tikhonov và chỉnh hóa lặp. Chỉnh hóa Tikhonov để xác định

⋅

độ biến động được Crepey sau đó là Egger và Eng sử dụng để xác định biến động

một cách ổn định với . Sự hội tụ và tốc độ hội tụ cũng đã được bàn luận đến.

Ở Chương 3, chúng ta sẽ trình bày phương pháp chỉnh hóa Tikhonov bằng công

cụ hàm chỉnh hóa lồi như một sự mở rộng của chỉnh hóa bậc hai và sử dụng độ đo

Bregman như độ đo sai số mà bình thường chúng ta sử dụng độ đo chuẩn. Trên khía

cạnh lý thuyết, phương pháp của chúng ta sẽ thu được tốc độ hội tụ tốt hơn và cho

phép sự hội tụ trong những không gian khác với các không gian mà chỉnh hóa bậc hai

sử dụng.

Mặt khác, trong những năm gần đây, người ta cũng chú trọng đến phương pháp

chỉnh hóa lặp như một sự thay thế hấp dẫn cho chỉnh hóa Tikhonov. Khó khăn lớn

nhất trong việc áp dụng phương pháp chỉnh hóa lặp cho các bài toán phi tuyến không

chỉnh là cần đến các giả thiết thêm cho tính phi tuyến của bài toán. Tuy nhiên, điều

này đã được giải quyết trong luận văn thông qua điều kiện η ở Định lý 2.3.2. Ở

Chương 4, chúng ta sẽ trình bày sự chỉnh hóa cho độ biến động địa phương bằng

phương pháp lặp Landweber.

CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC

ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG

Trong Chương 1, chúng ta đã phát biểu các tính chất đáng chú ý của toán tử F.

Tiếp theo dưới đây, chúng ta sẽ trình bày các kết quả cho chỉnh hóa Tikhonov áp

dụng trên bài toán ngược xác định độ biến động địa phương của những hợp đồng

quyền chọn mua châu Âu. Chúng ta được cho một tập hợp các giá của một hợp đồng

U(t) U(t,T ,K ) : m ,...,M;n n

{

} ,...,N 1

quyền chọn mua châu Âu được giao dịch tai thời điểm t

hãy xác định độ biến động σ(T ,K) . Nói cách khác, chúng ta muốn tìm ∈†a D(F)

thỏa mãn

)0 ( U(t) u a . −

)

( †F a

(3.0.1)

†

U(t)

≤

. δ

( u a

) −

2L (

) Ω

−

U(t) u a mà thực chất bị nhiễu bởi U(t)

Hơn nữa, chúng ta có dữ liệu bị nhiễu bởi tiếng ồn với mức độ nhiễu δ,i.e,

(

)

Chúng ta ký hiệu vδ là dữ liệu nhiễu

với mức độ nhiễu δ. Nói chung, chúng ta xem xét dữ liệu nhiễu bởi vì mô hình cung

cấp có nhiều nguồn không chắc chắn, mặt khác mô hình hiện đang giải quyết đòi hỏi

sự liên tục.

Bởi vì không có cách nào dễ dàng để giải quyết bài toán như thế một cách trực

tiếp nên chúng ta sử dụng đến chỉnh hóa Tikhonov để xác định các xấp xĩ đáng tin

†a và việc gì xảy ra khi → 0δ

1 + : H (

[0;

]

∞

cậy của .

ε Ω ™ )

là hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới yếu với Cho

) chứa D(F) và có tính chất coercive hiểu theo nghĩa khi

0aD( f

miền chính

a n

(

) → ∞

+ → ∞ ε Ω ( )

thì .

Định nghĩa hàm Tikhonov

(a)

F(a)

δ v

(a).

−

a 0

δ ,v

T α

2 L (

) Ω

(3.0.2)

Thay vì tìm ∈†a D(F) thỏa mãn (3.0.1), chúng ta tìm các nghiệm chỉnh hóa của bài

α của (3.0.2) trong D(F) .

toán là các phần tử cực tiểu aδ

3.1. Chỉnh hóa lồi cho bài toán xác định độ biến động địa phương

3.1.1. Sự tồn tại và ổn định của những nghiệm chỉnh hóa

M (M) : =

≤

a D(F) : T (a) M α

( level T M α

) { = ∈

>M 0 các tập mức }

Bổ đề 3.1.1. Với mỗi > 0α và

≤

là compact tương đối yếu và đóng yếu.

( )⋅ coercive nên M (M)

(a) T (a) α

0af

+1H (

)

ε Ω . Vì vậy, tập M (M)

Chứng minh. Do và bị chặn trong

+∈ 1 a H (

ε Ω )

là compact tương đối yếu.

M (M) α



{

}nF a ( )

2L (

sao cho . Khi đó, bị chặn trong không không gian Hilbert Cho { } ⊂na

)Ω nên nó có dãy con hội tụ yếu

{

}knF a ) (

⋅

gian Hilbert . Do tính đóng yếu và liên

( )⋅ nửa liên tục

F(a) , ∈a D(F). Bởi vì

0af

)knF a (

2L (

)Ω

tục yếu của F ta có và

≤

−

≤

T (a) ,v α

a 0

a n k

(

)

2 L (

) Ω

( lim F a n k k →∞

lim f α k →∞

dưới yếu nên

= ∅

. Vậy M (M) đóng yếu. Do đó, ∈a M (M )

M (M) α

M (M ) α

M (M) M (M) ⊂

Chúng ta không loại trừ trường hợp . Hơn nữa, họ { ■ } >0 α là

0 β α. ≤

δ v

)

Ω thì tồn tại

, với < giảm, theo nghĩa,

Định lý 3.1.1 (Sự tồn tại nghiệm chỉnh hóa). Nếu > 0α và ∈ 2 L (

α của hàm

α là một nghiệm chỉnh

,vT δα trong D(F) . Và ta còn gọi aδ

phần tử cực tiểu aδ

hóa.

≤

−

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức:

(a) 2 v + 1

T (a) 2T α α

,v 1

,v 2

2 v 2 L (

) Ω

∈ 2 L (

(3.1.1)

)Ω .

v ,v 1 2

với ∈a D(F)và

F(a)

(a)

−

v 1

T (a) ,v α 1

a 0

2 F(a)

(a)

≤

−

v 2

v 1

v 2

a 0

)

2 F(a)

(a)

≤

−

v 2

2 v 1

v 2

a 0

)

( (

−

(a) 2 v + 1

v 2

2T α

,v 2

) D(F)

⊃

≠ ∅

ε Ω )

Thật vậy:

+∈ 1 a H ( 

0aD( f

( ) < ∞

aδα  ,vT

D(F) sao cho

c : =

a n

(

)

Do , tồn tại ít nhất phần tử sao cho .

} ( ) a : a D(F) . ∈

limT α n →∞

n n Theo (3.1.1), tồn tại ∈0n  sao cho ∀ ≥ 0

M : 2c 1 2

2 v

δ v

2 δ

+ +

≥

−

≥

a n

T α

) a . n

(

)

(

2T α

2 L (

) Ω

Do đó tồn tại dãy { } ⊂na { inf T α

n n và từ Bổ đề 3.1.1, { }na có dãy con hội tụ yếu, mà ta

) Ω

Do đó ∈na M (M) với ≥ 0

(.) là hàm nửa liên tục dưới yếu,

+∈ 1 ε δ a H ( α



oaf

. Bởi vì cũng ký hiệu là{ }na ,

≤

ta có

δ a α

a o

(

) a . n

(

)

lim f n →∞

(3.1.2)

δ α

F(a ).δ

⋅

đóng yếu nên ∈a M (M) . Hơn nữa, theo Định lý 2.3.1 F liên tục yếu

α

2L (

) Ω

δ v

δ v .

−

≤

Bởi vì nửa liên tục dưới yếu, nên nên Do M (M) α )nF a (

δ F(a ) α

) −n

( lim F a n →∞

(3.1.3)

α là phần tử cực tiểu của

.δα ,vT

Từ (3.1.2), (3.1.3), ta có aδ ■

)Ω là

2L (

)Ω , thì dãy những nghiệm chỉnh hóa

D(F) mà là các phần tử cực tiểu của

n,vTα có dãy con hội tụ yếu. Giới hạn

→

Định lý 3.1.2 (Sự ổn định của nghiệm chỉnh hóa). Nếu > 0α và { } ⊂ 2 L (

α, và

a 0

a n k

a 0

}kna

(

)

(

) a .δ α

là nghiệm chỉnh hóa aδ một dãy hội tụ mạnh đến vδ trong { } ⊂na yếu của mỗi dãy con {

n,vTα , ta có

(a), a D(F). ∈

Chứng minh. Do

a n

T α

,v n

) ≤

na là phần tử cực tiểu của ( Lấy ∈a D(F) và áp dụng bất đẳng thức (3.1.1) hai lần, ta có

δ v

≤

−

a n

2 v n

2T α

,v n

(

)

T α

δ v

≤

−

2 v n

2T α

,v n

δ v

≤

−

6 v n

( ( (

) ) )

4T α

+ ≥

≥

a , n n n 0

(3.1.4)

vδ nên tồn tại ∈0n  sao cho

)

(

)

(

δ ,v

M : 4T = α

1 T α

M (M)

. Do →nv

α⊂

n n≥ 0

∈

với , do đó theo Bổ đề (3.1.1), tồn tại dãy con hội tụ Suy ra, { }na

δ a D(F) α

kna

{ } a sao cho n

. Do F liên tục yếu nên

vδ

→nv

vδ . Do

( knF a

( ) F aδ α

δ v

−

. Mặt khác, do nên đó, yếu. Bây giờ, cho { } a ⊂kn )

v n k

( F a n k

)

( δ F a α

)

⋅

0af

2L (

)Ω

δ v

, f

−

≤

−

≤

δ a α

v n k

a 0

a n k

)

(

)

( δ F a α

)

(

)

( lim F a n k k →∞

lim f k →∞

Bởi vì và là nửa liên tục dưới yếu nên

v ,δ ta có

(3.1.5)

Dùng (3.1.4), (3.1.5) và →knv

δ v

−

≤

−

δ a α

a 0

v n k

a 0

a n k

)

(

)

( δ F a α

)

(

)

( lim F a n k k →∞

lim f α k →∞

≤

−

v n k

a 0

a n k

)

(

)

( lim F a n k k →∞

)

(a)

≤

−

v n k

a 0

( ) lim F a k →∞

)

δ v

−

(a),a D(F). ∈

a 0

( ( ( ) F a

α là phần tử cực tiểu của

.δα ,vT

a a D(F)

Suy ra, aδ

δ α

δ v

−

Hơn nữa, cho = ∈ ở vế phải của (3.1.6) ta được

v n k

a 0

a n k

(

)

( δ a αα a 0

)

( δ F a α

)

( lim F a n k k →∞

(3.1.7)

(

)

≤

−

a 0

a n k

v n k

a 0

a n k

v n k

)

(

)

(

)

lim f α k →∞

( lim F a n k k →∞

Từ (3.1.7), (3.1.5), suy ra

(

)

( lim F a n k k →∞

δ v

−

≤

δ a α

a 0

(

)

( δ F a α

)

a 0

→

≥

a 0

a n k

a 0

a n k

(

)

(

)

(

) a .δ α

( δ F a α ( f (

) − ) δ a . α ) a .δ α Do đó

lim f k →∞

a a −

Mà ■

aδ α và

kna

a 0

( ) a

2 0 H

ε Ω + ( )

→

aδ α.

a 0

a n k

a 0

(

)

(

) aδ α nên trong trường hợp này ta có sự hội tụ mạnh →kna

Nhận thấy với chúng ta có từ Định lý 3.1.2,

3.1.2. Sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa

†a trong D(F) và

: (0,

(0,

)

∞

Định lý 3.1.3. Giả sử (2.1.10) có nghiệm chính xác

α αδ thỏa mãn

) ™

αδ

= 0.

với = ( )

lim ( ) 0, lim = 0 δ → →

2 δ ( ) αδ

−

≤

(3.1.8)

nv : vδ=

v n

δ n

2 L (

) Ω

thỏa mãn . Hơn nữa, giả sử dãy { }nδ hội tụ đến 0 và

( :α α δ= n

)

†

†a và

Đặt . Khi đó dãy các nghiệm chỉnh hóa { }na là các phần tử cực tiểu của

a n

n,vTα hội tụ yếu đến

a 0

(

)

( a→ f a 0

)

na , ta có

†

−

≤

−

≤

δ α +

v n

a n

v n

2 n

f n a 0

( F a n

)

(

)

( F a

)

(

)

(

) † a .

Chứng minh. Từ định nghĩa của

− → . Từ bất đẳng

(3.1.9)

v n

( F a

Do (3.1.8), vế phải của (3.1.9) hội tụ đến 0 và do đó

−

≤

−

thức

v δ + n n

( F a n

)

( F a n

)

(3.1.10)

−

v || 0, =

và ta có

lim || F(a ) n n →∞

† (a ).

≤

(3.1.11)

(a ) n

a 0

lim sup f →∞

† : max =

: n N ∈

(3.1.12)

> ) nên

α n

0, α→ n

{ α n

}

†

−

† α

≤

† α

. < ∞

Do (3.1.11}), (3.1.12) và đặt (tồn tại do

a n

a 0

( lim sup F a n

)

(

)

(

) a : M =

(

)

→∞

†

≥

(3.1.13)

a M (M 1), n n n 0

0n ∈ sao cho

α∈

a D(F)

Suy ra, tồn tại

∈

}kna

) aF  (do F liên tục

( )

†

. Suy ra, , dãy con hội tụ yếu { . Theo Bổ đề 3.1.1 thì { }na có ( knF a

v=

a a=

kna ( )F a

†

. Do tính đơn ánh của F ta có . Vì mỗi dãy yếu). Do (3.1.11) ta có

†a . Do đó,

a .

{ }na có dãy con {

}kna

hội tụ yếu đến

0af

†

≤

a 0

a n k

a 0

a n k

a 0

(

)

(

)

, (3.1.12), ta có

)

(

) † a .

liminf f →∞

lim sup f →∞

†

Từ tính nửa liên tục dưới yếu của (

a n

a n k

a 0

(

)

(

)

( a→ f a 0

)

( a→ f a 0

)

Suy ra, . Do đó . ■

0δ > . Cho

ρ α>

( ) α αδ α

≤

0α > sao cho

Chúng ta vẫn giữ lại các giả thiết của Định lý 3.1.3 và cố định

max af

aα

max

0δ δ≤

(

)

∈

với , và cho . Do (3.1.13) ta

,vTα nên

δ a M ( α

) α ρ

0δ δ≤

max

∈

có với . Tương tự vì aα là phần tử cực tiểu của

a M ( α

) α ρ

max

†

a ,a ,a M (

∈

≤

), α ρ δ δ 0

δ α α

max

. Do đó, dưới các giả thiết của Định lý 3.1.3, ta có

3.1.3. Tốc độ hội tụ với độ đo Bregman

0af

0δ→ với một sự lựa chọn các tham số chỉnh hóa

Định lý 3.1.3 đã cho ta thấy những nghiệm chỉnh hóa sẽ hội tụ đến nghiệm cực

α một cách thích hợp. Tuy nhiên, chúng đã không nói lên tốc độ hội tụ của những sự

tiểu của (2.1.10) khi mức độ nhiễu

hội tụ này. Và đây là mục đích của phần trình bày tiếp theo này.

Trước khi bắt đầu phân tích tốc độ hội tụ, chúng ta sẽ giới thiệu một vài khái

0af

, q- niệm nền tảng trong chỉnh hóa lồi như độ đo Bregman đối với hàm lồi

coercive và các điều kiện nguồn. Độ đo Bregman không hẳn là một metric, nhưng

nhìn chung nó là một công cụ hữu dụng để đo tốc độ hội tụ của sự hội tụ yếu, q-

coercive cho chúng ta một mối liên hệ mạnh giữa độ đo Bregman và không gian định

chuẩn với những giả thiết cụ thể nào đó. Điều kiện nguồn là tính chất quan trọng của

)* ( ′ R F (a)

được dùng để chứng minh tốc độ hội tụ.

⊂

U [ , ] ∞™ 0

Bây giờ, chúng ta có các định nghĩa sau.

( f : D f

)

∈

f (.) ∂

Định nghĩa 3.1.1. Cho U là không gian Banach và là hàm lồi,

( a D f

)

f (a) U

ξ∈∂

⊂ được định nghĩa bởi

D (b,a)

f (b)

f (a)

−

,b a −

, b D( f ). ∀ ∈

*U ,U

. Độ đo Bregman của f tại và chính thường với hàm dưới vi phân

Và tập hợp

≠

BD ( f ) :

{ } a D( f ) : f (a) φ ∂ = ∈

được gọi là miền Bregman của f.

BD ( f ) trù mật trong D( f ) và phần trong của D( f )

Chúng ta lưu ý miền Bregman

= . Hơn nữa, ánh xạ

BD ( f ) , đặc biệt nếu D( f ) U= thì

BD ( f ) D( f ) U

∈

là tập con của

= . Ngoài ra, nếu f lồi

b D( f ) D (b,a) 

= khi và chỉ khi b a.=

là lồi, không âm và thỏa mãn D (a,a) 0

f ( ) U ∂ ⋅ ⊂ .

ngặt thì D (b,a) 0 ξ

1H (

ε Ω+ )

Trong định nghĩa dưới vi phân và độ đo Bregman , chúng ta chú ý

1H (

ε Ω+ )

theo Định lý biểu diễn Riesz ta có thể Tuy nhiên, trong không gian Hilbert

U H (

f (.) H ( ⊂ ∂

1 ε Ω+ )

với không gian đối ngẫu của nó. Vì vậy trong Định nghĩa 3.1.1 đồng nhất

1H (

ε Ω+ )

, ⋅ ⋅

với không gian , ta xem và độ đo Bregman được định

ε Ω+ ( )

của . nghĩa trên tích vô hướng

ξ ⋅

0ζ > nếu

Định nghĩa 3.1.2 Cho 1 q≤ < ∞ , độ đo Bregman D ( ,a) được gọi là q-coercive với

D (b,a)

b a ,b D( f ).

ζ≥

∈

−

f (a)

a a −

−

hằng số

2 0 U

f (a) ∂

Ví dụ 3.1.1. Hàm là 2 coercive với hằng số 1. Vì

}0 { 2(a a ) , −

với a D( f )

(b,a)

−

2(a a ) −

b a . U

và ∈

< ≤ và

0ε> . Xét hàm sau

∞

f (a)

a,φ n

= ∑

n 1 =

1H (

ε Ω+ )

Ví dụ 3.1.2 Cho 1 q 2

. Hàm f đã cho là lồi, chính thường và nửa với { }nφ là cơ sở trực chuẩn của

liên tục dưới yếu. Và, ta có

∞

q 1 −

†

† q a ,

∂

φ n

( f a

)

= ∑

( † sgn a ,

) φ φ n

n 1 =

†

f (a)

† f (a )

−

− ∂

−

) ( f a ,a a

∞

q 1 −

†

† a ,

† q a ,

−

,a a −

φ n

∑

( † sgn a ,

) φ φ n

  

n 1 =

   ∞

†

C a a

≥

† a a , −

−

φ n

∑

n 1 =

Do đó, độ đo Bregman của f thỏa mãn

q 1 −

q x

sgn(x)(y

x) .

−

≤

−

qC x

)

(

Ở đây, chúng ta đã sử dụng bất đẳng thức sau

Vậy f là 2-coercive.

( )⋅ sau:

0af

( )F ⋅

∈

†a là nghiệm chính xác duy nhất của (2.1.10) sao cho

Chúng ta có các giả thiết cho toán tử và hàm

( † a D f

†

† f ξ ∈ ∂

[0,1),

∈

≥

(i) Tồn tại

và

β 1

β 2

(

)

†

−

≤

† ξ

sao cho (ii) Tồn tại các hằng số

β 2

β 1

† ξ

( F(a) F a −

)

( D a,a

)

†

a M (

∈

ρ α>

0 α ρ> thỏa mãn

(3.1.14)

) α ρ

max

f max a 0

)

(

. với , trong đó max ,

Các Bổ đề sau liên quan đến cái gọi là điều kiện nguồn và tính q-coercive.

†

†w

2 )Ω∈ L (

1 ε Ω+∈ r H ( )

† f ξ ∈ ∂

Như đã đề cập ở trên, các khái niệm này là cốt lõi của sự phân tích tốc độ hội tụ.

(

)

Bổ đề 3.1.2 Với mỗi tồn tại và thỏa mãn điều

†

′=

† ξ

r +

kiện nguồn

)* ( † F a w

(3.1.15)

ε Ω+ ( )

nhỏ tùy ý. với

Chứng minh.

+ ε Ω ( )

†

′

† ξ

∈ ∂

⊂

1 Ω+ ε H ( )

1 + ε Ω ) H (

(

)

( R F a

)

  

  

†

∩

≠

. φ

0γ > nhỏ tùy ý thì

Do Nhận xét 2.3.3, ta có và .

( † B γ ξ

)

( ′ R F a

  

  

†

′

†w

2 )Ω∈ L (

∈

−

† ξ

Vì vậy, ta lấy Do đó, tồn tại

) ( † F a w

( † Bγ ξ

)

)† ( F a w

. γ ≤

sao cho và đặt thì ta có (3.1.15)

ε Ω + ( )

†

† f ξ ∈ ∂

■ với

†w , r được xác định như trong Bổ đề 3.1.1, hằng

(

)

0> sao cho

và Bổ đề 3.1.3. Cho

†

: c C w =

β 1

1. <

+ ε Ω ( )

2 L (

) Ω

)

(

−

số C > 0 như trong (2.3.8), và hằng số c

0af

là 1 coercive với hằng số 1 / c . Khi đó, (3.1.14) trong Giả Hơn nữa, giả sử

2 L (

Ω

1 ) H ( ⊂

) Ω

⊂

) Ω

thiết 3.1.3 được thỏa mãn.

1,2 2W (

Chứng minh. Dùng Định lý nhúng Sobolev cho , (2.3.8).

†

† ξ

,a a −

−

†

′

≤

a a −

r,a a − )

( ) Ω

†

a a −

≤

a a −

r,a a − )( ( w ,F a ( ′ F a

a a − )(

r )

( ) Ω

2 L (

) Ω

( ) Ω

2 L (

) Ω

†

C w

≤

a a −

( ) Ω

2 L (

) Ω

( ) Ω

(

(3.1.15), ta có

0af

†

C w

,a a −

≤

a a −

† ξ

( ) Ω

2 L (

) Ω

( ) Ω

) Từ tính 1-coercive với hằng số 1 / c của )

(

†

≤

β 1

β 2

† ξ

)

( F(a) F a −

( D a,a

)

( D a,a

2 L (

) Ω

và định nghĩa 1β , ta có

†

†w

2 )Ω∈ L (

0γ ≥ và

Vậy (3.1.14) được thỏa mãn. ■

< sao cho

2L (

) Ω

†

f ∈ ∂

† ξ

với Bổ đề 3.1.4. Giả sử tồn tại

a 0

( ′= : F a w

)

(

)

(3.1.16)

†

ρ α>

0 α ρ> thỏa mãn

f max a 0

(

)

†

−

a a −

≤

∈

). ρ

sao cho và tồn tại max ,

max

† ξ

)

) D a,a ,a M (

(

( F(a) F a −

)

( ′ F a

)(

2 L (

) Ω

(3.1.17)

†

′

−

† ξ

(

( w ,F a

)(

)

†

′

−

≤

†

′

* ) F a w ,a ( w F a w F(a)

)( v −

≤

−

( v F a

)(

)

†

w F(a)

−

≤

† ξ

) w F(a) − − ) ( D a,a .

†

β γ=

wβ =

, ta có Chứng minh. Với Khi đó, (3.1.14) trong Giả thiết 3.1.3 được thỏa mãn. )† ( v F a

ˆ a D(F) H (

1 ε Ω+ )

⊂

∈

Đặt và thì (3.1.14) được thỏa mãn. ■

,vT ( )α ⋅

−

là phần tử cực tiểu của . Khi đó, ta có

w 2 / 

ξ ′=

a 0

thỏa mãn

ˆ ( ) F a w

†

∈ ∂ f ˆ  a

Bổ đề 3.1.5. Giả sử )ˆ  ( ) ( v F a α=  ˆ ( ) a .

a= ˆ  a

thì (3.1.16) đúng. Đặc biệt, nếu

,vT ( )α ⋅

∈∂

−

⊂ ∂

−

f + ∂ α

v 

a 0

ˆ  ( ) F a

ˆ  ) a

(

ˆ  ( ) F a

ˆ  ) a .

(

2 L (

) Ω

)

(

Chứng minh. Do là phần tử cực tiểu của nên

ˆ  a)

f ∈ ∂

ξ ′=

ˆ  ) ( F a w 

■

: (0,

(0,

)

Suy ra

α ∞ → ∞ thỏa

†

δ v

−

O( ) δ

δ α

† ξ

( ) ~αδ δ. Khi đó mãn ( ( δ O( ), F a D a ,a α

)

2L (

) Ω

†

/ c

≤

( )αδ α≤

Định lý 3.1.4. Giả sử Giả Thiết 3.1.3 được thỏa mãn. Cho

δ a α

max

a 0

(

)

(

)

và tồn tại c > 0 sao cho với δ thỏa mãn .

α là phần tử cực tiểu của

,vT δα nên

δ v

−

≤

+ δ α

Chứng minh. Do aδ

a 0

( δ a αα a 0

)

(

) † a .

( δ F a α

)

(3.1.18)

†

δ v

−

≤

−

δ α

δ a α

δ α

a 0

† ξ

( D a ,a

)

(

)

(

)

( D a ,a

)

( δ F a α

)

( + δ α

) (3.1.19)

†

≤

Suy ra

( ) ~αδ δ tồn tại các hằng số C,c 0> sao

δ a α

a 0

)

(

)

2 δ α

†

( ) C ≤

≤ δ αδ

/ c

≤

( )αδ α≤

Từ (3.1.18) có và do

δ a α

max

a 0

(

)

(

)

cho c . Suy ra với δ thỏa mãn .

†

−

= −

† ξ

−

δ a α

δ a ,a α

a 0

D \ ξ

)

(

)

(

)

(

†

≤

β 1

β 2

δ a ,a α

D \ ξ

( F a

)

†

δ v

≤

−

β 1

β 2

δ a ,a α

D \ ξ

δ ,a α ( (

) )

( δ F a α ( δ F a α

− )

)

(

Sử dụng định nghĩa của độ đo Bregman và (3.1.14) ta có

†

δ v

−

≤

−

+ δ α β 1

β 2

δ α

† ξ

( D a ,a

)

( D a ,a

)

( δ F a α

)

( δ F a α

)

(

)

(

Do đó, từ (3.1.19) có

(3.1.20)

†

δ v

−

≤

Từ (3.1.20), suy ra

αβ 2

+ δ αδβ 2

δ α

( 1 − α β 1

)

† ξ

( D a ,a

)

( δ F a α

)

( δ F a α

)

δ v

−

ab a / 2 b / 2

≤

(3.1.21)

b αβ= 2

( δ F a α

)

với và , Sử dụng bất đẳng thức Cauchy

δ v

−

≤ −

−

ta có

αβ 2

( δ F a α

)

( δ F a α

)

1 2

( αβ 2 2

/ 2

(3.1.22)

αβ 2

†

δ v

/ 2.

−

≤

δ αδβ αβ 2 2

δ α

và sau đó cộng thêm (3.1.22), suy ra Cộng vào hai vế của (3.1.21) bởi (

( 1 − α β 1

)

(

)

† ξ

( δ F a α

)

( D a ,a

)

1 2

(3.1.23)

1β < , vế trái của (3.1.23) là tổng hai số không âm nên

δ v

/ 2

−

≥

δ αδβ αβ 2 2

(

)

( δ F a α

)

)1/ 2

(

  

 . ,  

†

δ v

Ο δ

−

(3.1.24)

δ D (a ,a ) α

) ( Ο δ

† ε

)

( δ ( ), F a α

2 L (

) Ω

( ) ~ ,

(3.1.25)

†

δ v

O( ). δ

−

δ α

† ξ

αδ δ (3.1.24), (3.1.25) ta có kết luận ( ( δ O( ), F a D a ,a α

)

2L (

) Ω

Từ

†

(a)

a a −

Vậy Định lý 3.1.14 đã được chứng minh xong. ■

a 0

† ξ

( D a,a

)

2 0 H

ε Ω+ ( )

Ω+ ε ( )

Nếu chúng ta xét thì . Do đó, ta

(a) là q coercive −

có tốc độ hội tụ theo chuẩn.

0af

†

−

≤

O( ). δ

δ C a α

δ α

† ξ

với hằng số C thì Trong Bổ đề 3.1.3, nếu ta giả sử thêm

( D a ,a

( ) Ω

tốc độ hội tụ theo chuẩn theo hai Định lý 3.1.4 và 3.1.6 là )

3.1.4. Sự hội tụ với qui tắc Morozov

Trong phần trên, chúng ta phân tích sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa với sự lựa

chọn tham số chỉnh hóa một cách tiên nghiệm theo nghĩa việc lựa chọn này chỉ phụ

thuộc vào mức độ nhiễu δmà không phụ thuộc vào dữ liệu nhiễu vδ . Tuy nhiên,

chúng ta cũng có một sự lựa chọn tham số chỉnh hóa một cách hậu nghiệm, ở đó việc

chọn α sẽ phụ thuộc vào dữ liệu nhiễu vδ , và nó được gọi là qui tắc Morozov. Qui

tắc này đã được nghiên cứu một các sâu rộng trong lý thuyết chỉnh hóa Tikhonov cổ

điển, tuy nhiên mãi đến gần đây người ta mới quan tâm việc áp dụng nó cho các bài

toán ngược với chỉnh hóa lồi Tikhonov tổng quát. Đặc biệt, trong bài báo [2] của

Anzengruber và Ramlau, hai ông đã chứng minh việc lựa chọn tham số chỉnh hóa

theo qui tắc Morozov cho bài toán ngược với toán tử phi tuyến là hoán toàn khả thi

với việc bổ sung thêm một số giả thiết. Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng qui tắc

Morozov này vào bài toán ngược xác định độ biến động địa phương. Chúng ta có

( )⋅ như sau:

0a và hàm lồi

0af

thêm một số điều kiện cho toán tử

(a) 0= khi và chỉ khi

a a= 0

0af

≤ là các hằng số cho trước và

0δ > , vδ bất kỳ ta đều có

(i)

1 τ τ 1 2

δ v

δ τδ

−

≤ <

−

F(a ) 0

2 L (

) Ω

0α> sao cho có 2 phần tử cực tiểu

⋅ thỏa

(ii) Với

,va δα ,

,va δα của

( )δα ,vT

δ v

−

τδ τδ ≤

−

và không tồn tại

( 1 F a α

( 2 F a α

)

2 L (

) Ω

0δ > bất kì, ta

mãn )

,vδ

Mệnh đề 3.1.1. Giả sử Giả Thiết (3.1.4) được thỏa mãn, khi đó với

δ α ∈

( α α δ=

)

⋅ thỏa mãn qui tắc Morozov

( )δα ,vT

δ v

≤

−

≤

τδ 1

τδ 2

( δ F a α

)

2 L (

) Ω

sao cho tồn tại a D(F) là phần tử cực tiểu của đều có thể chọn

≤ là các hằng số cho trước.

1 τ τ 1 2

với

Chứng minh. Tham khảo [2] Định lý 3.10. ■

Chúng ta có Định lý sau nói về sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa với sự lựa

chọn tham số chỉnh hóa theo qui tắc Morozov sau:

†a , Giả thiết 3.1.4 được thỏa mãn

: (0,

) L (

(0,

)

∞ ×

,vδ

Định lý 3.1.5. Giả sử (2.1.10) có nghiệm chính xác

∞ với

( α α δ=

)

≤

δ v

≤

−

và thỏa mãn

< ∞ cho trước. (3.1.26)

1 τ τ 1 2

τδ 1

, τδ 2

δ F a ( α δ

)

™2 ) Ω (

)

2 L (

) Ω

−

≤

với

nv : vδ=

v n

δ n

2 L (

) Ω

thỏa mãn . Hơn nữa, giả sử dãy { }nδ hội tụ đến 0 và

( :α α δ= n

)

†a và

a n

a 0

n,vTα hội tụ yếu đến

(

)

( ) a→  . a 0

Đặt . Khi đó dãy các nghiệm chỉnh hóa { }na là các phần tử cực tiểu của

†

≤

−

≤

. < ∞

a n

2 δ n

v n

a 0

(

)

( F a n

)

(

)

(

)

(

1 α n

Chứng minh. Sử dụng (3.1.9), (3.1.26), ta có

1H (

ε Ω+ )

0af

Với tính coercive của nên có dãy thì { }na bị chặn trong không gian

a D(F) ∈

kna

( ) ) F a .

( knF a

}kna

0 − → . Mà

hội tụ yếu, . Suy ra con {

v n k

( F a n

−

≤

−

Mặt khác do bất đẳng thức bên phải của (3.1.26) ta có

− → . Vì vậy,

v=

v n k

δ n k

( F a n k

)

( F a n k

)

)nF a (

( )F a

†

. Do đó, , hay

†a . Do đó,

a a=

.a

}kna

hội tụ yếu đến . Ta có mỗi dãy { }na có dãy con {

0af

†

≤

a 0

a n k

a 0

a n k

a 0

(

)

(

)

(

) † a .

(

)

liminf f →∞

lim sup f →∞

†

Từ tính nửa liên tục dưới yếu của , ta có

a n

a 0

a n k

(

)

(

)

( a→ f a 0

)

( a→ f a 0

)

Suy ra, , do đó . ■

Định lý sau sẽ cho ta tốc độ hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa với độ đo

,vδ

Bregman và sự lựa chọn tham số chỉnh hóa theo qui tắc Morozov.

( α α δ=

)

Định lý 3.1.6. Giả sử các Giả Thiết 3.1.3, 3.1.4 được thỏa mãn. Cho

≤

δ v

≤

−

< ∞ được cho trước.

τδ 1

≤ với τ 2

1 τ τ 1 2

( δ F a α

)

2 L (

) Ω

†

−

O( ) δ

δ α

† ξ

thỏa mãn

)

( δ O( ), F a α

)

( F a

)

2 L

( ) Ω

† f ξ ∈ ∂

Khi đó ( D a ,a

(

) † a .

†

δ v

−

≤

−

≤

+ τδ δ

với

( δ F a α

)

( δ F a α

)

( F a

)

−

O( ) δ

Chứng minh. Ta có ( F a

( δ F a α

)

( F a

)†

†

δ v

≤

−

≤

−

δ a α

a 0

2 ) ( τδ α

(

)

( F a

)

(

)

( δ F a α

)

≤

( f + δ α

a 0

) ) ( † a .

Do đó, . Mặt khác, do cách chọn α và định nghĩa của aδ α

†

1τ > . Do đó, theo định nghĩa của độ đo Bregman và

a 0

(

) δ a α ≤

(

)

†

−

† ξ

−

≤

† ξ

−

δ a α

δ α

δ ,a α

a 0

† ξ

(

)

Suy ra, vì

( D a ,a

(

†

≤

β 1

β 2

† ξ

( D a,a

)

( F(a) F a −

)

Giả Thiết 3.1.3 ta có ) )

†

−

β 2

( F a

)

( δ F a α

†

≤

δ α

† ξ

( D a ,a

)

( 1

) −

) β τδ δ 2 −

β 1

†

O( ).

δ=

Ta có

δ α

† ξ

( D a ,a

)

Vậy

3.2. Hàm chỉnh hóa Kullback-Leibler

Entropy tương đối là đại lượng được nảy sinh từ Lý thuyết thông tin và tổng quát hóa

entropy Shanon. Nói chung, nó được xem như một độ đo khoảng cách giữa hai phân

phối xác suất, do đó, trong nhiều tình huống khác nhau nó được áp dụng ở những chỗ

có chứa độ đo Euclide. Đặc biệt, trong những thập niên gần đây nó đã được áp dụng

vào việc chỉnh hóa bài toán ngược. Và trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng entropy

tương đối Kullback-Leibler như một hàm chỉnh hóa Tikhonov để giải bài toán ngược

xác định độ biến động địa phương. Và ở đây, chúng ta sẽ sử dụng hàm Kullback-

Leibler theo một cách hợp nhất với những kiến thức đã được phát biểu ở Chương 1.

3.2.1. Định nghĩa và các kết quả đã biết

2 và chúng ta có

1 L (

D(F) H ( ⊂

∩

⊂

1 + ε Ω )

) Ω

Trước hết, trong phần này chúng ta luôn cho Ω bị chặn trong

∞ L ( 0 >

. Và chúng ta định nghĩa hàm entropy tương đối

1 KL : L (

1 ) L (

Ω

) Ω

Kullback-Leibler (KL) như sau

™

{ } ∪ ∞

(a,b)

KL(a,b)



(3.2.1)

được xác định bởi

a( ,y)log

τ Ω

−

a( ,y) b( ,y)d +

neáu toàn

taïi

∫

KL(a,b) :

a( ,y) τ b( ,y) τ

  

   ∞

ngöô

ïc laïi

  =  Ω  

(3.2.2)

1 S : L (

)

RΩ

+→ ∪ ∞ với

{ }

neáu toàn taïi

) ( a( ,y)log a( ,y) d τ Ω

∫ S(a) : Ω

Hàm này được xem là một độ đo Bregman của hàm entropy Shanon

∞

ngöôïc laïi

  =   

(3.2.3)

)Ω∞ D(S) L ( 0

≥=

, Chúng ta chú ý miền chính và miền Bregman của S lần lượt là

)Ω∞ D (S) L ( 0

Tiếp theo , chúng ta sẽ phát biểu các tính chất kinh điển của hàm Kullback-

KL(a,b)

Leibler trong Bổ đề sau.



KL(a ,b)

1L (

KL(a,b )

lồi. Bổ đề 3.2.1. Ta có các khẳng định sau: 1. Hàm (a,b)



) | KL(a,b) C

Ω

≤

và b là nửa liên tục dưới yếu trong 2. Các hàm a

CE :

)Ω∞ b L ( >∈ 0

{ 1 a L ( = ∈

)Ω . }

1L (

3. Với bất kỳ C 0> và , tập hợp đóng

).Ω

∈

yếu, compact yếu trong

2Ω⊂  bị chặn với biên Lipschitz và a,b D(S)

KL(a,b)

a b −

≤

4. Nếu thì

1 L (

) Ω

2 3

4 3

  

  

) 0

)Ω , mà một

(3.2.4)

+∞ = . Hơn nữa, cho các dãy { }na và { }nb trong 1L (

với qui ước 0.(

= ⇒

−

0 =

trong chúng bị chặn, ta có

b n L (

) Ω

lim KL(a ,b ) 0 n n →∞

lim a n n →∞

(3.2.4)

1L (

■ Chứng minh. Tham khảo ở [15].

)Ω . Mặt khác

M (M ) ,v

δα⊂

Ω

≤

τ Ω

a n

a ( ,y) d n

a 2

a ( ,y) d n

a a 2 n

2 L (

1 L (

) Ω

∫

Ω

, do (3.2.4) nó bị chặn theo chuẩn của Cho { }n

2a như trong định nghĩa của D(F) .

với hằng số

3.2.2. Chỉnh hóa Tikhonov với hàm Kullback-Leibler

2Ω⊂  bị chặn với biên Lipschitz và giả sử F liên tục yếu theo các

1L (

2L (

Bổ đề 3.2.2. Cho

)Ω và

).Ω Cố định 0

ˆ a D (S) ≠ ∈ B

M (M) :

(a)

F(a)

δ v

ˆ KL(a,a) M

= ∈

−

≤

a D (S) : T B α

2 L (

) Ω

{

}

1L (

topo yếu trên , khi đó các tập

).Ω

M (M ),

là compact yếu trong

)Ω .

δα⊂

do (3.2.4) nó bị chặn theo chuẩn của 1L ( Chứng minh. Cho { }n

≤

Ω

τ Ω

a n

a ( ,y) d n

a 2

a ( ,y) d n

a a 2 n

2 L (

1 L (

) Ω

∫

Ω

Mặt khác

2a như trong định nghĩa của D(F) .

2L (

)Ω , mà

với hằng số

)Ω là không gian phản xạ, do đó, { }na có

2L (

Suy ra { }na bị chặn trong

a . Do D(F) đóng

)Ω mà ta cũng ký hiệu là{ }na ,

1H (

2L (

ε Ω+ )

dãy con hội tụ yếu trong

)Ω ( vì topo yếu của

)Ω chứa

1H (

ε Ω+ )

yếu trong nên nó cũng đóng yếu trong

∈

γ Ω∞∈ ) L (

topo yếu của .

( 1L ( ) Ω∈

−

a n

a 

( γ

) a d . Ω 

( ϕ

)

∫

Ω

2L ( ) γ Ω∈

γ Ω∞∈ ) L (

−

, khi đó tồn tại duy nhất sao cho Cho bất kỳ ), suy ra a D(F) )*

a n

,a n

a 

) a 

( ϕ

2 L (

) Ω

, Ω bị chặn nên . Do đó, . Mà

1 L (

∀ ∈ ϕ

) Ω

)

( ) a , 

(

( lim a ϕ n n →∞

1L (

Vì vậy

)Ω .

a trong

Suy ra,

≤



ˆ ( KL a,a

)

) liminf KL a ,a .

(

→∞

Mặt khác do tính chất nửa liên tục dưới yếu của hàm KL, ta có

1L (

2L (

)Ω vào

)Ω và do tính chất nửa liên tục dưới yếu

⋅

Hơn nữa, F liên tục yếu từ

2L (

)Ω

δ v

−

≤



( ) a 

( ) F a 

ˆ ) KL a,a M.

(

T α

2 L (

) Ω

, ta có của

)Ω .

,vM (M) δα

a M (M ) δα∈ ,v

. Do đó là tập compact yếu trong 1L ( Vậy

ˆ 

(a)

F(a)

δ v

KL(a,a),

−

(S)

≠ ∈ a

Định lý 3.2.1. Hàm Tikhonov

T α

2 L (

) Ω

với cố định

có phần tử cực tiểu trong D(F) . Hơn nữa, các phần tử cực tiểu (nghiệm chỉnh hóa)

1L (

này là ổn định và hội tụ theo nghĩa như các Định lý 3.1.2, 3.1.3, 3.1.5 với topo yếu

)Ω .

D(F) H (

2 L (

1 L (

1 +⊂

ε Ω )

⊂

) Ω

⊂

) Ω

trên

D(F) D (S) ⊂

Chứng minh. Do tính bị chặn của Ω, ta có ,

)Ω là nhúng liên tục vào 2L (

)Ω . Do đó từ tính liên tục

1,2 2W (

F : D(F) H (

F : D(F)

1 L (

2 L (

1 +⊂

ε Ω

) Ω

⊂

) Ω

. Hơn nữa,

) Ω ™

1,2 ) W ( ™ 2

yếu của , suy ra cũng

1L (

D(F) E⊂ suy ra D(F) đóng yếu trong

)Ω .

liên tục yếu. Điều này thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 3.2.2. Mặt khác với C > 0 đủ lớn,

tập lồi

Việc chứng minh các khẳng định hoàn toàn tương tự như ở mục 2.1.1 và 2.1.2 với

các tính chất của hàm KL đã được phát biểu trong các Bổ đề 3.2.1, 3.2.2, với lưu ý

CE là tập compact yếu trong

0af

1L (

)Ω .

tính coercive của được thay thế bằng tính chất

1L (

Ở Định lý 3.2.1, chúng ta có nói về sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa theo

)Ω . Tuy nhiên với các tính chất đặc biệt của hàm KL và việc xét

1L (

2L (

)Ω và

)Ω lại cho phép chúng ta làm mạnh hơn

topo yếu trên

⊂

∈

⋅

∈

toán tử F trên các không gian

a D (S) B

(

)

) ) ( D KL ,a , ⋅

(

( 0a D KL ,a

)

1L (

KL(a ,a

→

)

)Ω và

)Ω .

a n

⇒ → trong a 0

a n

a trong

( KL a ,a

)

và , ta có kết quả đó thông qua các phát biểu sau. Bổ đề 3.2.3. Cho { } na

)Ω .

,BΩ một độ đo

Nói cách khác, sự hội tụ yếu và sự hội tụ mạnh theo entropy suy ra sự hội tụ mạnh

)

(A) :

ea( ,y)d , τ Ω

trong 1L ( Chứng minh. Cho B là họ các tập Borel trong Ω. Định nghĩa trên (

= ∫

Ω

< ∞

ño ñöôïc treân

với A B∈

) ( ,B, Ω θ

∫

Ω

  

  

và ta đặt

b : 0

b : n

a n ea

a 0 ea

Đặt và

b n

b trong

) ( .Ω θ ,B,

1L (

∞∈ L

Ta chứng minh

)Ω nên

a n

a trong

) ( ,B,Ω θ

( ) .Ω∞∈

Ω

→

Ω .

a fd n

a fd 0

∫

Ω

→

Cho bất kỳ , tương đương Do

∫

a n ea

a 0 ea

d θ d Ω

Ω

→

b fd n

b fd . θ 0

∫

Ω

,B,

. Suy ra hay Với cách xây dựng độ đo θ thì

b n

b trong

( .Ω θ Mặt khác

)

→

( KL a ,a

)

( KL a ,a

⇒

a + −

→

a + −

Ω

a log n

a log 0

∫

a n a

a 0 a

  

)  a d  n 

  

 a d  0 

Ω

⇒

→

d Ω

a log n

a log o

∫

a n ea

a 0 ea

Ω

⇒

→

b log b d n

b log b d . θ 0

∫

Ω

1L (

Vậy

b→ trong

,B, )Ω θ thì

b n

→

⇒

→

b d n

b d 0

b ead n

b ead . θ 0

∫

Ω

1 L (

).Ω

→

trong

Giả sử ta chứng minh được

a n

a 0

Vậy

1L (

b→ trong

,B, ).Ω θ Thật vậy:

b n

→

Bây giờ ta chứng minh

b d n

b d . θ 0

b n

b trong

) ( ,B,Ω θ suy ra

∫

Ω

1 −

1 L (

∈

,B, )Ω θ

c : n

b d n

b , c : n

b d 0

b . 0

Ta có

c , c n 0

∫

Ω

  

 θ  

  

 θ  

1L (

,B, )Ω θ và

c d n

c d 0

c n,∀ và n

c trong

∫

Ω

→

c logc d n

c logc d . θ 0

∫

Ω

∧

Đặt Khi đó với

(

)( τ

( τ

{ ) x m ,y min x

} ) ,y ,m

1 −

logc

∞∈ L (

,B, )Ω θ

m c :

∧

−

( ) θ Ω

và Đặt

c 0

(

)

∫

1 m

  

Ω

 θ  

   

         

mc d

θ=

∫

Ω

Do đó, và

−

d θ

Ta có

c n

c log n

≤ ∫

1 2

c n m c

Ω

−

→

−

c logc d n

c logc d 0

∫

Ω

−

log

(

≤ −

−

∧

c 0

(

)

) ( 1 − ) θ Ω θ

∫

1 m

  

Ω

  

 θ  

   

   

       

  d   

c logc d 0

+∫

Ω

log

−

∧

−

∧

c 0

c d 0

( c log c 0 0

) m d

∫

1 m

  

Ω

  

 θ  

    θ      

           

 θ   

log

c d 0

c logc d . θ 0

( ( ) θ Ω

)

∫

1 m

Ω

ulogu

(do (3.2.4) với hàm KL được xét theo độ đo θ )

, u 0 ≥ − ∀ ≥ nên

1 e

Bởi vì

1 L (

∧

↑

∈

,B, ). Ω θ

m c logc 0 0

( c log c 0 0

)

1 − ≤ e

−

0. =

Áp dụng Định lý hội tụ đơn điệu vào vế phải ta thu được

lim lim sup c n m →∞ n →∞

(3.2.6)

1 −

( ) θ Ω

−

∧

−

c 0

(

)

∫

1 m

Ω

  

 θ  

         

   

1 −

≤

−

∧

c 0

(

) m c − 0

 

 

∫

1 m

Ω

  

    

 θ  

1 −

−

∧

−

c 0

∫

1 m

Ω

  

    

 θ  

  1 c 0  

   

1 −

−

∧

−

∧

c 0

(

 

)  m d 

∫

1 m

Ω

  

  1 ∫   m Ω 

 θ  

1 −

−

∧

→

→ ∞

khi

Mặt khác

c 0

c d 0

∫

Ω

  

  1 ∫   m Ω 

 θ  

   

  1  

(3.2.7)

bởi Định lý hội tụ đơn điệu.

−

≤

−

c 0

0 →

)

lim sup c n →∞

( lim lim sup c n m →∞ n →∞

1L (

c→ trong

,B, ).Ω θ Suy ra

b→ trong

,B, ).Ω θ

b n

c hay n

Từ (3.2.6) và (3.2.7), ta có

Vậy Bổ đề 3.2.3 đã được chứng minh xong. ■

†a tương ứng với dữ liệu không nhiễu v và

Định lý 3.2.2 (Sự hội tụ mạnh của những nghiệm chỉnh hóa).

)

: (0, α ∞

( ) α αδ=

Cho (2.1.10) có nghiệm chính xác

(0, ) ∞™

0 =

lim ( ) 0, αδ →∞ δ

lim →∞ δ

2 δ ( ) αδ

−

≤

với thỏa mãn

v n

.δ n

nv : vδ=

thỏa mãn Hơn nữa, giả sử dãy { }nδ hội tụ đến 0 và

α α δ= n

(

)

(a) : F(a) =

−

∈

Đặt . Khi đó, dãy { }na các phần tử cực tiểu (nghiệm chỉnh hóa) của

v n

α n

a D (S) B

T α n

,v n

( KL a,a

)

2 L (

) Ω

†

1 L (

) Ω

−

hay

( với cố định) sẽ hội tụ mạnh đến

†a trong

1 L (

) Ω

lim a n n →∞

†

≤

−

α n

v n

( F a n

)

( KL a ,a

)

nghiệm chính xác .

( F a

)

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

≤

δ α + n

2 n

( † KL a ,a .

Chứng minh. Do định nghĩa của an ta có )

( )αδ tồn tại hằng số

0C sao cho

C≤ 0

( KL a ,a α + n ) (3.28) )

( KL a ,a

1L (

Do cách chọn với n đủ lớn hay

a ε∈ khi n đủ lớn. Mà n

a⊂ n

C 0

0CE compact yếu trong

)Ω nên có { a kn

}

{ }

†

1L (

(D(F)

a D(F)

ñoùng yeáu trong 1 L (

sao

)Ω

)).Ω

∈

cho trong

−

= 0.

v n k

)

2 L (

) Ω

( lim F a n k k →∞

2L (

1L (

2L (

v→ trong

).Ω Theo tính liên tục yếu của F từ

)Ω vào

)Ω

Hơn nữa (3.2.8) suy ra

v.= Mặt khác do tính nửa liên tục dưới yếu của hàm KL và (3.2.8) ta có

Do đó,

†

liminf KL a ,a

lim sup KL a ,a

≤

n k

(

)

(

)

)knF a ( )†F a ( )

( KL a ,a

) ( † KL a ,a .

→∞

†

1L (

→

ta có

a→ trong

)Ω .

( KL a ,a

)

) ( † KL a ,a .

1L (

† a→ trong

).Ω

Theo Bổ đề 3.2.3 ta được Suy ra

†a là nghiệm chính xác duy nhất của

■ Vậy

Định lý 3.2.3 (Tốc độ hội tụ mạnh). Cho

1 G : L (

2 G : L (

) Ω

Ω∞→ L ( )

(2.1.10) tương ứng với dữ liệu chính xác v sao cho tồn tại ánh xạ tuyến tính bị chặn

2 ) L ( ) Ω™ Ω

với ánh xạ liên hợp và hằng số L 0> thỏa

†

L / 2 a a

−

≤

−

, a D(F). ∀ ∈

mãn các điều kiện sau:

( F(a) F a −

)

( G a a

)

1 L (

) Ω

2 L (

) Ω

†

2 )Ω∈ w L (

(i)

) log a / a G w=

(

thỏa mãn (ii) Tồn tại

†

L w

1. <

và

2 L (

) Ω

1 L (

) Ω

: (0,

(0,

)

(iii)

α ∞ → ∞ với

( ) ~αδ δ. Khi đó

†

) δ

−

δ a α

Hơn nữa, cho

α là phần tử cực tiểu (nghiệm chỉnh hóa) của hàm Tikhonov

δ v

: F(a) =

−

( KL a,a

)

T α

2 L (

) Ω

∈

với aδ

a D (S) B

■ cố định. với

α ta có

†

δ v

F(a )

δ v

−

≤

−

δ α

)

( KL a ,a

)

( δ F a α

)

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

Chứng minh. Do định nghĩa của a ,δ

†

δ v

−

(3.2.9)

δ α

( KL a ,a

)

( δ F a α

)

2 L (

) Ω

†

† F(a )

δ v

≤

−

(

) δ a log α

2 L (

) Ω

a a

∫ α Ω

  

  

d Ω

†a D(F) D (S).

⊂

∈

và suy ra

lưu ý ta vẫn có

†

δ v

† F(a )

δ v

−

≤

−

δ α

Ω

( δ F a α

)

( KL a ,a

)

(

) * δ a G wd α

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

∫ α Ω

1 L (

∞∈ G w L (

) Ω

Với điều kiện (ii) ta được

*G là ánh xạ liên hợp nên ta hiểu

(

†

* G w,a

−

Ω

−

δ a α

) * δ a G wd α

(

( w,G a

)

∫

1 L (

1 ,L (

) Ω

2 L (

) Ω

(

)

Ω

†

−

( G a

) δ a wd . Ω α

∫

Ω

và với

†

δ v

† F(a )

δ v

−

≤

−

δ α

( G a

) δ a wd . Ω α

( KL a ,a

)

( δ F a α

)

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

∫ α Ω

Vậy ta có

(3.2.10)

†

−

δ α

( δ F(a ) G a − α

) † a ,

( ) † δ r a ,a : F a α

)

†

≤

−

δ a α

( δ r a ,a α

)

1 L (

) Ω

2 L (

) Ω

L 2

†

−

theo (i) ta có Đặt (

δ a α

( G a

)

( δ F(a ) F a − α

)

( δ r a ,a α

)

†

δ v

† F(a )

δ v

−

≤

−

δ α

( δ F a α

)

( KL a ,a

)

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

†

+ α

−

( † δ w,F(a ) F a α

)

( δ r a ,a α

)

2 L (

) Ω

Thay vào (3.2.10) ta có

−

†

−

≤

δ a α

) δ KL a ,a . α

(

1 L (

1 L

) Ω

( ) Ω

2 3

4 3

  

  

Theo (3.2.4), ta có

−

†

δ v

−

δ a α

( δ F a α

)

1 L (

) Ω

2 L (

) Ω

2 3

 α  

  

Kết hợp việc sử dụng bất đẳng thức Schwartz và điều kiện (i)

δ v

≤

−

+ δ αδ

( δ F a α

4 3 )

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

†

L w

−

)

2 L

δ a αΩ (

1 L (

) Ω

1 2

†

−

( ) ~αδ δ và theo Định lý 3.2.2, ta có

= . Kết hợp với điều kiện

(3.2.11)

1 L (

) Ω

δ lim a α 0 δ→

0δ > đủ nhỏ suy ra

Với

†

L w

(iii), cho

δ a α

2 L (

) Ω

1 L (

) Ω

1 2

2 3

4 3

  

  

(3.2.12)

δ v

−

≤

+ δ αδ

−

)

( δ F a α

)

( δ F a α

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

δ v

−

a,b,c 0

a b c

≥ ∧

≤

+ ⇒ ≤ + với

Từ (3.2.11) và (3.2.12), ta có

( δ F a α

)

α=

+ δ αδ

, Áp dụng bất đẳng thức

2L (

) Ω

2 L (

) Ω

δ v

−

≤

+ δ αδ

( δ F a α

)

2 L (

) Ω

2 L (

) Ω

, ta được

và thay vào (3.2.11)

1 −

†

L w

−

δ a α

2 L (

) Ω

1 L (

) Ω

2 3

4 3

1 2

  

  

  α  

   

≤

+ δ αδ

2 L (

2 L

) Ω

( ) Ω

)

(

†

−

( ) ~αδ δ ta được

δ a α

1L (

) Ω

Từ bất đẳng thức này, (3.2.12), và

Vậy Định lý 3.2.3 đã được chứng minh xong. ■

CHƯƠNG 4: CHỈNH HÓA LẶP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ

BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG

Nội dung chính của chương này là phân tích việc sử dụng chỉnh hóa lặp cho bài toán

ngược xác định độ biến động địa phương với phương pháp lặp Landweber. Đầu tiên,

trong mục 3.1, chúng ta sẽ phân tích sự hội tụ của phép lặp Landweber cho bài toán

( )·F

W Ω ) (

phi tuyến (2.10). Ở đó, toán tử đã thỏa mãn các giả thiết của chỉnh hóa lặp

1,2 2

F′ ⋅ với tích vô hướng này cho mỗi bước lặp. Tuy nhiên, sự

Landweber. Việc thực thi chỉnh hóa lặp Landweber trong tích vô hướng của

( )*

dẫn đến việc tính toán

phức tạp của tích vô hướng này tạo ra các khó khăn trong việc thực thi số để tính

( )* F′ ⋅

)

. Do đó, trong mục 3.2, chúng ta sẽ tiếp tục phân tích sự hội tụ của phép lặp

2 ( L Ω và điều này làm đơn giản

Landweber với qui tắc phân kỳ được tính toán trong

việc tính toán đi rất nhiều. Trong mục 3.3, chúng ta sẽ không đi sâu vào việc thực thi

số tuy nhiên chúng ta sẽ đưa ra các ví dụ thực sự có giá trị để minh họa cho phương

pháp lặp Landweber để xác định độ biến động địa phương.

4.1. Chỉnh hóa lặp Landweber trong

1,2 )ΩW ( 2

−

∈

a D F

Φ = a min ( )

(

)

( F a

)

Phương pháp lặp Landweber dựa trên ý tưởng là giải bài toán tối ưu

Ω

(

)

1,2 W 2

c 2

(4.1.1)

−

′ ( )( ) a h

( c F a

)

( )( ) ′ v F a h ,

( ′ c F a

)

( F a

)

Với v là dữ liệu chính xác. Bởi vì

(

) v h ,

(4.1.2)

′

= +

−

( a cF a

)

( v F a

)

(

)

Điều này dẫn đến việc giải phương trình điểm bất động

(4.1.3)

Và chúng ta định nghĩa phép lặp Landweber phi tuyến

−

δ v

* ) (

)),

δ a k

δ ′ cF a ( k

δ F a ( k

δ a + k 1

∈ k N 0

δ =a

a 0.

δ −v

(4.1.4)

Ω

) ,

1,2 2W (

≤ ∀ ∈

⊂

′ c F a ( )

)

D F (

)

Với vδ là dữ liệu nhiễu thỏa mãn là hằng số sao cho

a B ( ρ

a 0

. Nếu phép lặp Landweber trên dữ liệu chính xác v, ta

vδ và

ka thay cho

.kaδ

dùng v thay cho

Trong trường hợp dữ liệu bị nhiễu, quá trình lặp phải kết hợp với một qui tắc dừng

thích hợp để tạo ra một phương pháp chỉnh hóa. Chúng ta sẽ sử dụng một qui tắc

k *

( vδδ=

)

−

≤

τδ

−

δ v

)

, 0

≤ < k

δ F a ( k

k *

bước lặp với phân kỳ mà ở đó quá trình lặp sẽ dừng sau

( δ F a k

)

Ω

)

Ω

1,2 W ( 2

(

)

1,2 W 2

(4.1.5)

η . η

+ 1 − 1 2

Và

(4.1.6)

Với Bổ đề 2.3.2 và Định lý 2.3.8, trong sự phân tích hội tụ của chỉnh hóa lặp

≤ ∀ ∈

⊂

′ c F a ( )

(

)

D F (

)

a B a 2 0

Landweber ở phần này chúng ta luôn có

−

≤

−

(4.1.8)

F a ( )

′ ( ) (

)

F a ( )

η ,

1 / 2

F a ( ) 

F a a a 

F a ( ) 

Ω

)

Ω

)

1,2 W ( 2

⊂

(

)

( D F



(4.1.7)

ρ∈ a a B a 0

Hai điều kiện này là đủ mạnh để đảm bảo sự hội tụ địa phương đến nghiệm của

( B aρ

)0 .

0 k

(

(2.1.10) nếu phương trình (2.1.10) có nghiệm trong Chúng cũng đảm bảo tất

≤ < vẫn thuộc

)D F , điều này làm cho phép lặp

k *

kaδ ,

cả các nghiệm lặp

Landweber được định nghĩa tốt.

Các kết quả về sự hội tụ của chỉnh hóa lặp Landweber áp dụng trên bài toán ngược

xác định độ biến động địa phương được tổng kết trong các phát biểu tiếp theo mà việc

chứng minh chúng hoàn toàn tương tự như trong mục 2.2 của [12]. Cho nên việc

chứng minh lại chúng là thực sự không cần thiết ở đây.

Đầu tiên, với tính chất đơn điệu được phát biểu trong mệnh đề sau sẽ cho chúng ta

†a

một giải thích cho việc chọn τ như đã thấy trong (4.1.6).

( B aρ∈

ρ∈

δ ka

( B a

)†

. Nếu , thì điều kiện Mệnh đề 4.1.1. Giả sử (2.1.10) có nghiệm

+ là một xấp xĩ của

0a tốt hơn

1kaδ

kaδ là

−

δ .

δ v

( δ F a k

)

đủ để

Ω

(

)

1,2 W 2

η η

+ 1 − 1 2

†

⊂

(4.1.9)

(

)

+ ∈

δ δ a a , k k

B 2

a 0

( B a ρ

)

Hơn nữa, ta cũng có

Theo mệnh đề này, số τ trong qui tắc dừng (4.5) nên được chọn để ràng buộc sau

chỉ phụ thuộc vào η với η như trong (4.8)

η η

+ 1 − 1 2

(4.1.10)

Từ Mệnh đề 4.1.1, chúng ta cũng rút ra được một bất đẳng thức để đảm bảo chỉ số

†a

dừng k∗ trong (4.1.5) là hữu hạn và do đó ta có một định nghĩa tốt.

( B aρ∈

được chọn theo qui tắc

∗

Hệ quả 4.1.1. Giả sử (2.1.10) có nghiệm và cho k

− 1

k *

†

−

≤

−

δ v

( ) τδ

+ ε 1

k *

a 0

( δ F a k

)

∑

Ω

(

)

Ω

(

)

1,2 W 2

τ ) η τ −

( − 1 2

( 2 1

) η

dừng (4.1.5), (4.1.6). Khi đó

δ = (hay v

0δ = ) thì

(4.1.11)

∞

−

< ∞ .

( v F a

∑

Ω

Đặc biệt, nếu v

(

)

2 ) k W 1,2 2

(4.1.12)

−

v thì

= . Do đó, nếu phép lặp là hội tụ thì cần thiết để giới hạn là

( v F a

Ω

(

)

lim →∞ k

) k W 1,2 2

Chú ý rằng (4.1.12) dẫn đến nếu ta thực hiện lặp Landweber trên dữ liệu chính xác

nghiệm của (2.1.10). Chúng ta sẽ có điều này trong định lý sau.

†a

( B aρ∈

Định lý 4.1.1. Giả sử (2.1.10) có nghiệm thì phép lặp Landweber phi tuyến

†a .

áp dụng trên dữ liệu chính xác sẽ hội tụ đến nghiệm

Định lý sau sẽ cho ta thấy qui tắc dừng (4.1.5), (4.1.6) làm cho phép lặp

†a là nghiệm của (2.1.10) và

Landweber trở thành một phương pháp chỉnh hóa.

k *

( vδδ=

)

được chọn theo qui Định lý 4.1.2. Giả sử

*kaδ sẽ hội tụ đến

tắc dừng (4.1.5), (4.1.6). Khi đó những nghiệm lặp Landweber

†a khi

0δ → .

nghiệm chính xác

Nhận xét 4.1.1. Trái với chỉnh hóa Tikhonov, sự tồn tại của điều kiện nguồn là không

đủ để có được các tốc độ hội tụ cho chỉnh hóa lặp Landweber. Thực ra, trong chỉnh

( )F′ ⋅ thay đổi với mỗi bước lặp. Điều này làm cho các giả

hóa lặp, đạo hàm Frechet

thiết trên các điều kiện nguồn sẽ khắt khe hơn so với chỉnh hóa Tikhonov. Hơn nữa,

thậm chí khi chúng ta đã có thể chứng minh được tốc độ hội tụ cho chỉnh hóa lặp

Landweber, thì tổng quát sự hội tụ vẫn chậm bất kỳ. Các kết quả trên tốc độ hội tụ

của chỉnh hóa lặp Landweber có thể tham khảo ở [12].

4.2. Chỉnh hóa lặp Landweber trong L2(Ω)

(

)

Sự phân tích tính hội tụ của chỉnh hóa Landweber trong mục 3.1 dựa trên qui tắc

W Ω . Tuy nhiên, điều này lại khó khăn về

)

(

( )F′ ⋅ trong tích vô hướng của

W Ω mà thay đổi ở mỗi

phân kỳ (4.2.3), (4.2.4) với chuẩn của 1,2

1,2 2

mặt thực thi số do phải tính

)

(

W Ω . Bước cải tiến này rõ ràng làm đơn giản hóa việc tính toán của thuật

bước lặp. Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày lại chỉnh hóa lặp Landweber với

chuẩn của 1,2

toán như sẽ thấy trong mục 3.3. Chúng ta vẫn tiếp tục sử dụng phép lặp Landweber

như trong (4.1.4) và với qui tắc phân kỳ mà ở đó quá trình lặp sẽ dừng sau

k *

( vδδ=

)

−

≤

τδ

−

δ v

, 0

≤ < k

bước lặp với

k *

( δ F a k

) 2

)

( δ F a k *

Ω

(

)

2 L

(

)

(4.2.1)

và

η . η

+ 1 − 1 2

. (4.2.2)

( )F′ ⋅ ở (2.3.4) chúng ta có

≤ ∀ ∈

⊂

( ′ c F a

)

(

)

( D F

)

a B 2

a 0

Trong Bổ đề 2.3.1, với tính chất Lipschitz của toán tử

Ω

2 L

ε + Ω 1 (

(

)

( L H

)

(4.2.3)

′

−

≤

−

F a ( )

a ( )

1/2

a 

− a a 

a 

(

)

(

)(

)

(

)

Và với Nhận xét 2.3.4 ta có

Ω

(

)

(

)

2 L

1,2 W 2

⊂

η<

D F (

)

1/ 2.

(4.2.4)

(

)

ρ∈

a a B  2

a 0

và Với mọi

)

Với (4.2.3), (4.2.4), chúng ta đã có đủ điều kiện để đảm bảo sự hội tụ địa phương

L Ω . Điều này sẽ được

cho bài toán ngược xác định độ biến động địa phương trong 2 (

làm rõ thông qua các phát biểu ở phía sau. Tuy nhiên, chúng ta nhận xét để tạo nên

v Wδ ∈

(

)

những tính chất chỉnh hóa của lặp Landweber phi tuyến với qui tắc phân kỳ trong

Ω và thỏa mãn

1,2 2

v vδ −

≤ δ

(4.2.1) đòi hỏi dữ liệu nhiễu

Ω

(

)

1,2 W 2

(4.2.5)

(

)

với v là dữ liệu chính xác. Rõ ràng đây là giả thiết khá khắt khe vì trên thực tế dữ liệu

L Ω . Tuy nhiên, dữ liệu này vẫn có thể được đo trong

W Ω do )

1,2 2

được đo trong 2 (

).ΩL

chúng ta có thể có thông tin về nghiệm chính xác và các đạo hàm của nó trong không

†a

gian 2 ( Chúng ta bắt đầu sự phân tích hội tụ địa phương với bổ đề quan trọng sau.

( B aρ∈

ρ∈

δ ka

( B a

)†

−

δ v

Bổ đề 4.2.1. Giả sử (2.1.10) có nghiệm và , khi đó với

( δ F a k

Ω

) 2 (

)

η η

+ 1 − 1 2

(4.2.6)

†

−

≤

−

δ c v

δ v

δ a k

δ a + k 1

( δ F a k

)

( δ F a k

)

Ω

2 L

(

)

(

)

Ω

2 L

(

)

2 L

(

)

η η

+ 1 − 1 2

  

  

Ta có

(4.2.7)

†a

(

( B aρ∈

ρ∈ B 2

)0 a

δ † , a a k

Chứng minh. Với và bất đẳng thức tam giác ta có . Do đó

†

−

δ a k

δ δ a a , k k

δ a k

δ a + k 1

Ω

2 L

(

)

(

)

(

)

†

−

δ v

δ a k

)

( δ F a k

( δ ′ cF a k

( δ F a k

)

( δ ′ cF a k

)

(

)

Ω

2 L

(

)

†

≤

−

δ c v

δ c v 2

δ a k

)

( δ F a k

)

( δ ′ F a k

)(

( δ F a k

)

Ω

2 L

)

(

†

−

δ v

δ c v

δ c v 2

δ a k

( δ F a k

)

( δ ′ F a k

)(

)

( δ F a k

)

( δ F a k

Ω

2 L

)

(

−

δ c v

( δ F a k

)

Ω

(

)

2 L

†

≤

−

δ v

δ c v

δ c v 2

δ a k

( δ F a k

)

( δ F a k

)

( δ F a k

)

Ω

2 L

(

)

(

)

(

)

†

≤

−

δ c v

δ v

]

δ a k

( δ F a k

)

)( )

) )(

( δ ′ F a k

)

( δ ′ F a k ( δ F a k

( F a

( δ F a k

)

Ω

2 L

(

)

(

)

(

)

†

≤

−

δ c v

δ v

+ δ η 2 2

( δ F a k

)

( F a

)

( δ F a k

)

( δ F a k

Ω

2 L

(

)

(

)

(

)

1,2 W 2

  

−

≤

−

+ η δ η

δ v

δ c v

δ v

( 2 1

)

( δ F a k

)

( δ F a k

)

( δ F a k

Ω

2 L

(

)

(

)

2 L

(

)

1,2 W 2

  

     

Ω → Ω

)

(

)

2 L

từ (4.2.3), (4.2.4), (4.1.4), (4.2.5), ta có

W 2

†

−

δ a + 1 k

δ a k

Ω

(

)

(

)

2 L

≤

−

+ η δ η

−

δ c v

δ v

( 2 1

)

( δ F a k

)

( δ F a k

)

Ω

(

)

(

)

2 L

η η

+ 1 − 1 2

  

  

−

δ c v

δ v

( δ F a k

)

( δ F a k

)

Ω

(

)

(

)

2 L

η η

+ 1 − 1 2

  

  

và (4.2.6), ta có : Do phép nhúng liên tục 1,2

+ là

1kaδ

†

⊂

Mệnh đề 4.2.1. Giả sử các giả thiết của Bổ đề 4.2.1 được thỏa mãn, khi đó

(

)

+ ∈

,kaδ hơn nữa

δ δ a a ,k k

B 2

a 0

( B a ρ

)

. một xấp xĩ của a† tốt hơn

Chứng minh. Các khẳng định được suy ra từ vế phải của bất đẳng thức (4.2.7) âm

với giả thiết (4.2.6).

*k trong

Với bất đẳng thức (4.2.7), chúng ta có thể đảm bảo rằng chỉ số dừng

(4.2.1) là hữu hạn, do đó *k được định nghĩa tốt.

†a

( B aρ∈

Hệ quả 4.2.3. Giả sử (2.1.10) có nghiệm và *k được chọn theo qui tắc dừng

0δ > thì

δ = (hay v

*k hữu hạn. Đặc biệt, nếu v

0δ = ) thì

∞

(4.2.1), với τ như trong (4.2.2). Nếu

−

< ∞ .

) 2

( v F a k

∑

Ω

(

)

(4.2.9)

0δ > và giả sử *k vô hạn hay

−

δ v

τδ ,

∀ k .

Chứng minh. Với

( δ F a k

Ω

) 2 (

)

†

(4.2.10)

∀ . Cho

l > bất 0

ρ∈

δ a 0

= ∈ a 0

δ ka

( B a ρ

)

( B a

)†

, từ qui nạp và (4.19) ta có Mặt khác với

δ v

−

( δ F a k

)

( δ F a k

)

∑

2 L (

) Ω

1 + 1 2 −

η η

k 0 =

  

 δ  

†

≤

−

≤

−

kỳ, theo (4.19) ta có

a 0

δ a l 1 +

2 L (

) Ω

(4.2.11)

−

≤

−

δ v

Sử dụng (4.2.10) ta được:

( δ F a k

)

( δ F a k

)

∑

Ω

2 L

(

)

2 L

(

)

η η

+ 1 − 1 2

 2 τδ τ  

  

  

 δ  

0δ = , áp

(4.2.12)

*k hữu hạn. Với

Từ (4.2.11), (4.2.12) và cho l → ∞ ta có mâu thuẫn. Do đó

†

−

≤

−

< ∞ .

dụng (4.2.11) thì

) 2

a 0

( v F a k

∑

Ω

(

)

(

)

2 L

. (4.2.13)

Cho l → ∞ ta có (4.2.9).

Từ (4.2.9), nếu quá trình lặp Landweber áp dụng trên dữ liệu chính xác v (hay δ =

0) và nếu phép lặp hội tụ, thì giới hạn chính là nghiệm chính xác của (2.1.10). Sự hội

tụ của phép lặp Landweber với dữ liệu chính xác sẽ được trình bày ở định lý tiếp

theo.

†

)

( B aρ∈

( F a

)

Định lý 4.2.4. Giả sử (2.1.10) có nghiệm . Khi đó, phép lặp Landweber áp

v= trong

) ( 2L Ω .

dụng trên dữ liệu chính xác v hội tụ đến nghiệm chính xác a† của

−

†.

e k

a k

0ε≥

Chứng minh. Cho

Ω

k Le 2 (

)

}

là dãy giảm. Do đó, nó hội tụ đến . Ta sẽ Theo Mệnh đề 4.2.2, ta có {

k≥ , chọn số nguyên l với k

≤ ≤ sao cho

−

≤

−

là dãy Cauchy. Cho j chứng minh { }ke

≤ ≤ i

)

( v F a l

( v F a i

Ω

(

)

(

)

2 L

(4.2.14)

−

≤

−

Ta có

e k

e l

Ω

e 2 k L

(

)

Ω

2 L

(

)

(

)

(4.2.15)

−

và

e l

, e e j l

Ω

2 e 2 l L

(

)

Ω

2 L

(

)

(

)

(

)

−

e l

e k

e l

e e , k l

e k

e l

Ω

2 L

(

)

(

)

(

)

) .

(

k → ∞ , ta có

(4.2.16)

−

→ 0.

Ω

2 e 2 l L

(

)

Ω

2 L

(

)

−

→ 0.

e k

e l

Ω

2 L

2 2 L

(

)

(

)

−

Cho

→ khi

k → ∞ bằng cách áp dụng (4.2.4),

e l

, e e j

Ω

2 (

)

l L

(

)

(

Bây giờ, ta chứng minh rằng

2 Ω → Ω : L

W 2

(4.2.14) và phép nhúng 1,2

− 1

−

)

(

)

e l

, e e j l

a l

, a e j l

( ′ F a i

( v F a i

e l

∑

Ω

(

)

(

)

2 L

− 1

†

′

−

≤

(

( ) v F a F a i i

a l

)(

)

∑

− 1

†

≤

−

)

( F a i

( ′ F a i

a l

− + a i

a i

( F a

)

)(

)

∑

Ω

(

)

(

)

2 L

− 1

†

≤

−

)

( F a i

( ′ F a i

a i

( F a

)

)(

)

( F a

)

∑

Ω

(

)

(

)

2 L

− 1

†

≤

−

(

)

( F a i

( ′ F a i

a i

( F a

)

( F a

)

)(

)

∑

Ω

)

(

)

(

2 L

†

−

)

)(

)

( F a l

( F a i

( F a l

( ′ F a i

a l

a i

( F a

)

Ω

(

)

2 L

Ω

(

)

2 L

− 1

†

≤

−

η (

)

( F a i

( F a

)

( F a

)

∑

Ω

(

)

(

)

1,2 W 2

†

−

)

( F a

( F a l

( F a

)

Ω

(

)

Ω

) i W 1,2 2

(

)

1,2 W 2

− 1

†

≤

−

( + 1 3

) η

)

( F a i

( F a

)

∑

Ω

(

)

1,2 W 2

†

−

→ khi j → ∞ .

)

( F a i

( F a

)

Ω

(

)

1,2 W 2

Kết hợp với (???) trong Hệ quả 4.1.1, dãy

− 1

†

−

≤

−

) η

)

( + 1 3

e l

e e , k l

( F a i

)

( F a

Ω

∑

2 L

(

)

Ω

(

)

1,2 W 2

Tương tự, ta có thể chứng minh

−

→

→ ∞ .

0, k

e l

, e e k

Ω

l L

2 (

)

L Ω . Kết hợp với (4.2.9) trong Hệ

Do đó,

Vậy { }ke và do đó { }ka là các dãy Cauchy trong 2 (

quả 4.2.1 suy ra giới hạn của { }ka khi k → ∞ phải là nghiệm chính xác của F (a) = v.

2 ( L Ω thì )

■

Định lý tiếp theo sẽ cho ta thấy với qui tắc dừng (4.2.1), (4.2.2) trong

phương pháp lặp Landweber thực sự là một phương pháp chỉnh hóa.

†a

( B aρ∈

k *

( vδδ=

)

Định lý 4.2.2. Giả sử (2.1.10) có nghiệm và cho được chọn

*kaδ hội tụ đến

†a khi

0δ → .

theo qui tắc dừng (4.2.1), (4.2.2). Khi đó những nghiệm lặp Landweber

vδ= :

nghiệm chính xác

dãy tương Chứng minh. Cho { }nδ là một dãy hội tụ đến 0 khi n → ∞. Đặt

)

( vδ= k * n

ứng các dữ liệu nhiễu, và .

= ∀ ∈  . Do đó, từ định nghĩa của

nk suy ra

−

≤

Đầu tiên, giả sử rằng{ }nk có điểm tụ hữu hạn k. Không mất tính tổng quát, ta cho

v n

τδ n

( F aδ

Ω

) 2 (

)

. (4.2.17)

k phụ thuộc liên tục vào dữ liệu nhiễu vδ, và do đó, nếu ta cho n → ∞

Vì k cố định, aδ

→

trong (4.2.17), ta được

n → ∞ .

)

δ a n k

( F a k

( δ a F a , n k

)

, khi

†

)F a

Hay nói cách khác, nghiệm lặp Landweber thứ k trên dữ liệu chính xác v là nghiệm

v= , và do đó

nδ → .

a= k

k> với Mệnh đề

chính xác của ( khi

nk → ∞ khi n → ∞. Khi đó, cho

Trường hợp còn lại, giả sử

†

−

≤

−

≤

−

δ a n k

a k

δ a n nk

Ω

2 L

(

)

2 L

(

)

(

)

2 L

)

(

4.2.1 ta có

) ( k ε=

0ε> , với Định lý 4.2.1, ta có thể cố định

†

−

/ 2

Cho đủ lớn sao cho

a k

Ω

2 ( L

)

†

−

/ 2

( kε> n

)

. Do tính ổn định của phép lặp Landweber phi tuyến, ta cũng có

< khi n đủ lớn (sao cho

δ a n k

δ a n nk

Ω

a k L

2 (

)

2 L

(

)

†

)

k> ). Do đó,

L Ω khi n → ∞ .

δ → trong 2 ( nka

, với mọi , suy ra

4.3. Thực thi số

−

δ v

Việc thực thi số cho chỉnh hóa lặp Landweber phi tuyến đòi hỏi phải tính toán

( δ ′ F a k

)

( δ F a k

)

(

)

. Trong bài toán của chúng ta, điều này nghĩa là với mỗi bước

( F aδ ′

⋅ ⋅ ,

thuật toán, ta sẽ giải PDE (2.1.7), (2.1.8) và tính . Và mức độ khó dễ để tính

( )* F′ ⋅

2 ( L Ω

)

hoàn toàn phụ thuộc vào tích vô hướng ,⋅ ⋅ . Tuy nhiên, với , việc tính

−

δ= R u

nghiệm lặp được thực hiện một cách hiệu quả thông qua phương pháp biến phân.

( u a

)

Đặt , cho W là nghiệm của phương trình liên hợp

( W aW

)

(

)

τ +

bW R y

(4.3.1)

Với điều kiện biên và điều kiện cuối thuần nhất.

u−

Khi đó, với L là toán tử phương trình parabolic ở vế trái của (2.25) với điều kiên

uG − u

−

⋅ , ta có

( ) ⋅ =

−

G u

(

) ( ) .

−

δ v

F a

δ u

( ′ F a

) (

) ( ) ,

) (

) , u h

Ω

(

)

2 L

(

)

) , R h

( ′ u a

) (

Ω

(

)

2 L

)[ ] ( ′ R u a h

Ω

(

)

2 L

− 1

(

( ) h

−

) R L G u

Ω

(

)

2 L

= −

( ) , h W

−

G u

Ω

(

)

2 L

−

= −

u Wdyd .τ

là toán tử nhân bởi hàm nghĩa là biên thuần nhất và đặt

( h u

)

∫

Ω

(4.3.2)

Tóm lại, mỗi bước lặp của chỉnh hóa lặp Landweber đòi hỏi việc giải phương trình

⋅ dựa vào (4.3.2). Để giải các

( F a′

) ( )

PDE parabolic (2.1.7), (2.1.8) và (4.3.1) và tính

phương trình PDE parabolic (2.1.7), (2.1.8) và (4.3.1) trong thực thi số, chúng ta sẽ

áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn Crank-Nicholson.

Ω =

0,T

M M ,

× với

)

(

( = −

)

( − u M

) τ ,

( ) τ

( u M

) τ ,

( ) τ

Để tiến hành thực thi số, chúng ta giới hạn lại miền và

g 1

cho thêm các điều kiện biên nhân tạo một cách thích

hợp.

Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một vài ví dụ cho việc xác định độ biến động dịa

Ω

5,5

q= =

phương bằng cách sử dụng chỉnh hóa lặp Landweber. Trong các ví dụ này, ta luôn giả

= 1

( ) 0, 0.2

( × −

)

(

)5, τ−

và cho với các điều kiện biên nhân tạo sử

)5, u τ =

và ( . Với sự lựa chọn điều kiện biên này, nó có thể được chứng minh rằng

sai số là xấp xĩ 10−3. Hơn nữa, ta luôn cho dự đoán ban đầu a0 là 1.

Ví dụ 4.3.1. [Dữ liệu chính xác] Trong ví dụ đầu tiên này, Hình 3.1 là biểu diễn nghiệm chính xác a† của bài toán ngược. Hình 3.2 và 3.3 biểu diễn các nghiệm tham

biến được xác định lại với chỉnh hóa lặp Landweber. Hình 3.4, 3.5 cho ta thấy sai số

giữa tham biến chính xác và tham biến được tính toán lại, với dữ liệu không bị nhiễu.

Những kết quả thực thi số trong Ví dụ (4.3) chứng tỏ rằng với dữ liệu chính xác, phép

lặp Landweber hội tụ đến nghiệm của (2.1.10), khi k → ∞.

Ví dụ 4.3.2. [0.5% nhiễu trong dữ liệu] Trong ví dụ này, chúng ta có 0.5% nhiễu

( 2 ΩL

( ∞ ΩL

)

∈

và τ

trong dữ liệu với chuẩn (hay 0.1% trong chuẩn như trong Hình 3.6),

[ ∈ −

] 5 / 3,5 / 3

[ 1/ 30,1/ 5

]

như trong Hình 3.6. Như tập trung trên vùng với

trước, Hình 3.1 biểu diễn nghiệm chính xác của bài toán ngược. Hình 3.7 biểu diễn

nghiệm được xác định lại với chỉnh hóa lặp Landweber. Hình 3.8 biểu diễn sai số

giữa nghiệm chính xác và nghiệm được tính lại bằng cách dùng chỉnh hóa lặp. Lặp

τ =

4.8

Landweber dừng sau 1800 bước lặp, như trong Hình 3.9, với qui tắc phân kỳ mà

. Ví dụ 4.3 chứng tỏ rằng với dữ liệu nhiễu, nghiệm lặp không tốt như trong

trường hợp với dữ liệu chính xác. Mặt khác, Hình 3.7, 3.8 minh họa các kết quả trong

Định lý 4.2.2.

Ví dụ 4.3.3. [5% nhiễu trong dữ liệu] Trong ví dụ này, chúng ta có 5% nhiễu trong

2L Ω (hay 1% nhiễu với chuẩn

L∞ Ω tập trung trên

(

)

(

)

τ∈

dữ liệu, được đo với chuẩn

[ y ∈ −

] 5 / 3,5 / 3

[ 1/ 30,1/ 5

]

vùng với và như trong Hình 3.10). Như trước, Hình 3.1

biểu diễn nghiệm chính xác. Hình 3.11 biểu diễn nghiệm được xác định lại bằng

chỉnh hóa lặp Landweber. Hình 3.12, biểu diễn sai số giữa nghiệm chính xác và

τ =

4.8

nghiệm được tính toán lại. Trong Hình 3.13, lặp Landweber dừng sau 500 bước với

qui tắc phân kỳ mà . Ở góc cuối bên phải của Hình 3.12 ta biểu diễn nghiệm

tính toán lại sau 2000 bước lặp. Trong Hình 3.13, ta có các đánh giá cho nghiệm lặp

ở những bước lặp nhỏ với chỉ số nhỏ hơn 2000. Những kết quả này chứng tỏ tính đơn

điệu như trong Bổ đề 4.2.1, nhưng quá trình lặp thì không đơn điệu. Do đó, chúng ta

nên dừng quá trình lặp theo qui tắc phân kỳ.

Ví dụ 4.3.4. [Dữ liệu chính xác] Trong ví dụ này, chúng ta có nghiệm chính xác được

cho bởi Hình 3.14. Chú ý rằng, cấu trúc nghiệm này là phức tạp hơn ở Ví dụ 4.3.

Hình 3.15 biểu diễn nghiệm xấp xĩ Landweber sau 4000 bước lặp. Chúng ta thấy sau

4000 bước lặp, sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm được tính toán là lớn hơn so

với sai số trong Ví dụ 4.3. Điều này là hoàn toàn như mong đợi, do dự đoán ban đầu

a0 của cả hai ví dụ như nhau, nhưng trong Ví dụ 4.3 này a0 là khác xa nghiệm chính

xác hơn so với Ví dụ 4.3.

Tuy nhiên, chúng ta có kết quả tốt cho thực thi số trong Ví dụ 4.3.

Hình 4.1: Biểu diễn nghiệm chính xác a†.

Hình 4.2: Biểu diễn nghiệm lặp sau 500 bước lặp với dữ liệu không nhiễu.

Hình 4.3: Biểu diễn các nghiệm lặp sau 1000, 2000, 3000, 4000 bước lặp với dữ liệu

không nhiễu.

Hình 4.4: Log của residual và error với chuẩn L2(Ω).

Hình 4.5: Error của nghiệm lặp sau 500, 1000, 2000 và 4000 bước

lặp.

Hình 4.6: 0.5% nhiễu trong dữ liệu tập trung trên vùng với y [−5/3,5/3] và τ

[1/30,1/5]. ∈

∈

Hình 4.7: Biểu diễn các nghiệm lặp sau 800 bước, 1200 bước, và tại chỉ số dừng.

Mức dộ nhiễu 0.5% tập trung trên vùng với y [−5/3,5/3] và τ [1/30,1/5] tập trung

gần y = 0. ∈ ∈

Hình 4.8: Error của nghiệm lặp sau 400, 800, 1200 bước lặp và tại chỉ

số dừng.

Hình 4.9: Residual và error với chuẩn L2(Ω).

Hình 4.10: 5% nhiễu trong dữ liệu tập trung trên vùng với y [−5/3,5/3] và τ

[1/30,1/5] ∈

∈

Hình 4.11: Biểu diễn các nghiệm lặp sau 100 bước, 300 bước, và tại chỉ

số dừng.

Hình 4.12: Error của nghiệm lặp ở Hình 4.11.

Hình 4.13: Residual và error với chuẩn L2(Ω). Bên trái biểu diễn tới chỉ số dừng. Bên

phải biểu diễn tính đơn điệu của phép lặp.

Hình 4.14: Biểu diễn các nghiệm chính xác.

Hình 4.15: Phía trên biểu diễn nghiệm lặp sau 4000 bước lặp. Phía dưới bên trái biểu diễn sai số. Phía dưới bên phải biểu diễn residual và error với chuẩn L2(Ω).

KẾT LUẬN

Trong phần kết luận này, chúng ta sẽ tổng kết lại những kết quả đã đạt được. Đầu

tiên, chúng ta đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của PDE (2.1.7),

với điều kiện đầu (2.1.8). Điều này tạo ra sự hợp lý cho việc đặt bài toán thuận của

chúng ta hay nói cách khác việc xây dựng toán tử F ở (2.1.10) là tốt. Chúng ta cũng

2L  ,  

 F a 



 N F a 



Hơn nữa, chúng ta xem các tập như là các tập con của và đã chỉ ra cùng với các tính chất của toán tử F thì bài toán ngược sẽ là không chỉnh.  

từ đó kéo theo sự tồn tại của những điều kiện nguồn mà được sử dụng khi xem xét

đến tốc độ hội tụ của sự chỉnh hóa. Và một kết quả quan trọng mà chúng ta đã chứng

minh được là điều kiện h ở định lý (2.3.8). Từ điều kiện h này và tính bị chặn theo

 ·F 

là đủ để chứng minh tính chất chỉnh hóa phương pháp lặp chuẩn của

Landweber ở chương 3.

Chúng ta đã chứng minh những kết quả tồn tại và hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa

của bài toán ngược bằng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov. Trong luận văn, chỉnh

 0 af ·

hóa Tikhonov được sử dụng một cách mở rộng trên một lớp hàm lồi và độ đo

Bregman. Và trên khía cạnh lý thuyết, điều này tạo ra sự hội tụ trong những không

gian khác với trong chỉnh hóa toàn phương. Chẳng hạn với hàm KL chúng ta có được

sự hội tụ với chuẩn 1L . Hơn nữa, chúng ta cũng đã đề cập đến qui tắc Morozov, tạo ra

một sự lựa chọn tối ưu cho tham số chỉnh hóa. Đây là một công cụ hữu dụng nói lên

bao nhiêu sự chỉnh hóa là cần đến đối với dữ liệu nhiễu đã cho.

Trong phần cuối, chúng ta đã trình bày chỉnh hóa lặp cho bài toán ngược xác định độ

1,2

biến động. Ban đầu, chỉnh hóa lặp Landweber được áp dụng cùng với luật phân kỳ

 * ·F 

  2W  . Tuy

  2W  và

được tính với tích vô hướng trong trong không gian

nhiên, trên thực tế việc tính toán này rất khó khăn, cho nên chúng ta tiếp tục phân tích

2   L  .

sự hội tụ của chỉnh hóa lặp với tích vô hướng trong

Tuy nhiên, chúng ta cần đòi hỏi một sự trình bày chi tiết hơn cho việc áp dụng tính

toán độ biến động địa phương trên những dữ liệu thực tế của thị trường. Về mặt lý

thuyết, luận văn đã cho thấy việc xây dựng các phương pháp số cho chỉnh hóa

Tikhonov và chỉnh hóa lặp Landweber là hoàn toàn khả thi. Và em hy vọng sẽ tiếp

tục vấn đề này trong một thời điểm thích hợp trong tương lai.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Luiz Albani (2012), Volatility Calibration in Equity and Commodity Markets

by Convex Regularization, Ph.D. thesis, IMPA, Rio de Janeiro.

2. Stephan W Anzengruber and Ronny Ramlau (2010), Morozov’s discrepancy

principle for Tikhonov type functionals with non-linear operators, Inverse

Problems 26, no. 2.

3. Borwein, J.M.; Lewis, A.S (1991), Convergence of best entropy estimates,

SIAM J. Optimization 2, 191-205.

4. Haim Brezis (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial

Differential Equations, Springer.

5. Adriano De Cezaro (2010), On a Parabolic Inverse Problem Arising in

Quatitative Finance: Convex and Iterative Regularization, Ph.D. thesis, IMPA,

Rio de Janeiro.

6. S. Crepey (2003), Calibration of the local volatility in a generalized Black-

Scholes model using Tikhonov regularization, SIAM J. Math. Anal. 34, no. 5,

1183–1206.

7. Sean Dineen (2005), Probability Theory in Finance: A Mathemmatical Guide

to the Black-Scholes Formula, Graduate Studies in Mathematics, vol. 70,

American Mathematical Society.

8. H. Egger and H. W. Engl (2005), Tikhonov regularization applied to the

inverse problem of option pricing: convergence analysis and rates, Inverse

Problems 21, no. 3, 1027–1045.

9. H. W. Engl, M. Hanke, and A. Neubauer (1996), Regularization of inverse

problems, Mathematics and its Applications, vol. 375, Kluwer Academic

Publishers Group, Dordrecht.

10. B. Hofmann and R. Kramer (2005), On maximum entropy regularization for a

specific inverse problem of option pricing, J. Inverse Ill-Posed Probl. 13, no. 1,

41–63.

11. Torsten Hein (2005, Some Analysis of Tikhonov Regularization for the

Inverse Problem of Option Pricing in the Price-Dependent Case, Zeitschrift

für Analysis und ihre Anwendungen Journal for Analysis and its Applications

Volume 24, no. 3, 593-609.

(2008), Iterative 12. B. Kaltenbacher, A. Neubauer, and O. Scherzer

regularization methods for nonlinear ill-posed problems, Radon Series on

Computational and Applied Mathematics, vol. 6, Walter de Gruyter GmbH Co.

KG, Berlin.

13. A. Kirsch (1996), An introduction to the mathematical theory of inverse

problems, Applied Mathematical Sciences, vol. 120, Springer-Verlag, New

York.

14. O. A. Landyzenskaya, V. A. Solonikov, and N. N. Urealceva (1968), Linear

and quasilinear equations of parabolic type, Translations of Mathematical

Monographs vol 23, AMS, Providence, RI.

15. Elena Resmerita and Robert Anderssen (2007), Joint additive Kullback-

Leibler residual minimization and regularization for linear inverse problems,

Mathematical Methods in The Applied Sciences 30, 1527-1544.

16. Thomas Schuster, Barbara Kaltenbacher, Bernd Hofmann, Kamil

S.Kazimierski (2012), Regularization methods in Banach spaces, Radon Series

on Computational and Applied Mathematics, vol. 10, Walter de Gruyter GmbH

Co. KG, Berlin.

17. O. Scherzer, M. Grasmair, H. Grossauer, M. Haltmeier, and F. Lenzen

(2008), Variational methods in imaging, Applied Mathematical Sciences, vol.

167, Springer, New York.

18. Steven E. Shreve (2004), Stochastic Calculus for Finance II, Continuous -

Time Models, Springer.

19. Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nxb Khoa học và kỹ

thuật, Hà Nội.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa lồi và lặp cho bài toán ngược Parabolic trong tài chính định lượng

Nguyễn Vũ An

CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN

NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH

ĐỊNH LƯỢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nguyễn Vũ An

CHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁN

NGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH

ĐỊNH LƯỢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

1.1. Một vài kiến thức cơ bản về toán tài chính ............................................................... 6

1.2. Một vài kiến thức cơ bản về giải tích ......................................................................... 9

2.1. Bài toán thuận: Phương trình Dupire ..................................................................... 14

2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán parabolic .......................................... 16

2.3. Các tính chất quan trọng của toán tử F( )⋅ ............................................................ 19

2.4. Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương................................................ 28

2.5. Một tổng kết về vấn đề xác định độ biến động địa phương .................................. 29

3.1. Chỉnh hóa lồi cho bài toán xác định độ biến động địa phương ............................ 33

3.2. Hàm chỉnh hóa Kullback-Leibler ............................................................................ 47

4.1. Chỉnh hóa lặp Landweber trong

............................................................ 58

4.2. Chỉnh hóa lặp Landweber trong L2(Ω) ................................................................... 61

4.3. Thực thi số .................................................................................................................. 68

LỜI NÓI ĐẦU

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Một vài kiến thức cơ bản về toán tài chính

  là kỳ vọng có điều kiện đối với Định lý 1.1.1 (19, Định lý cơ bản định giá tài sản)

1.2. Một vài kiến thức cơ bản về giải tích

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

2.1. Bài toán thuận: Phương trình Dupire

2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán parabolic

2.3. Các tính chất quan trọng của toán tử F( )⋅

2.4.1. Bài toán ngược của định giá quyền chọn châu Âu

2.4.2. Sự không chỉnh của bài toán ngược

2.5. Một tổng kết về vấn đề xác định độ biến động địa phương

CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC

ĐỊNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG

3.1. Chỉnh hóa lồi cho bài toán xác định độ biến động địa phương

3.1.1. Sự tồn tại và ổn định của những nghiệm chỉnh hóa

)

)

( ( ( ) F a

(

)

(

)

3.1.2. Sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa

3.1.3. Tốc độ hội tụ với độ đo Bregman

3.1.4. Sự hội tụ với qui tắc Morozov

3.2. Hàm chỉnh hóa Kullback-Leibler

3.2.1. Định nghĩa và các kết quả đã biết

3.2.2. Chỉnh hóa Tikhonov với hàm Kullback-Leibler

CHƯƠNG 4: CHỈNH HÓA LẶP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ

BIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG

4.1. Chỉnh hóa lặp Landweber trong

4.2. Chỉnh hóa lặp Landweber trong L2(Ω)

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Có thể bạn quan tâm

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ