Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bất biến của một lớp con các đại số lie giải được 4 chiều

(đại số các ma













 T n,K







a ij

Mat n,K / a ij









n

1

chiều.

trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được

 n n  2

0

A

0 1 j

i n

,

(đại số các ma









  

 T n,K







a ij

Mat n,K / a ij









n

trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số

1

chiều.

Lie luỹ linh

 n n  2

Định lý (Định lý Lie)

Cho f là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G

trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K. Khi đó f tương đương

với biểu diễn ma trận tam giác trên, tức là

T n,K , x



  G .

  f x





Hệ quả

1G

G, G là đại số Lie luỹ linh.

Nếu G là đại số Lie giải được thì





Định lý (Định lý Engel)

Đại số Lie G là luỹ linh khi và chỉ khi với mọi  Gx

, adx là toán tử luỹ

n

).

linh (tức là tồn tại  *

0

n N sao cho 



xad

1.2. Đa tạp vi phân và nhóm Lie

1.2.1. Đa tạp vi phân

1.2.1.1. Định nghĩa đa tạp vi phân

(a) Cho M là không gian tôpô Housdorff và có cơ sở đếm được. M được

gọi là một đa tạp tôpô n – chiều nếu: với mỗi x M , tồn tại lân cận mở U của

x và đồng phôi

:U

(U )

(U ) là tập mở trong





n  (cid:0) (

n (cid:0) ).

Khi đó:

 

U , là bản đồ địa phương trong lân cận của x.

được gọi là một atlat của M nếu

  Một họ các bản đồ 

 

i I 

là một phủ mở của M.

 U

i i I 

 Gom tất cả các bản đồ ta được một atlat cực đại.

khả vi lớp Cr (hay thuộc lớp Cr) nếu các

U , i i

 (b) Ta nói rằng atlat 

 

i I  bản đồ của atlat tương thích nhau “ một cách Cr” (ở đây r > 0). Tức là:

U , i i

sao cho

Với mỗi cặp chỉ

số

  , ánh xạ:

i

j

i, j I U U

đều thuộc lớp Cr.

1    i i

j

i

j

 : U U i

   j

 U U 



.  j

Uj

M

Ui

j

i

1 i  oj

(c) Hai atlat khả vi thuộc lớp Cr gọi là tương đương nhau nếu hợp của

chúng vẫn là một atlat khả vi lớp Cr.

Đó là một quan hệ tương đương trên tập các atlat khả vi lớp Cr. Nó định

ra một sự chia lớp trên tập hợp các atlat khả vi lớp Cr trên M.

Mỗi lớp tương đương như vậy gọi là một cấu trúc vi phân (hay cấu trúc

khả vi) lớp Cr trên M.

Định nghĩa

Một cặp gồm một đa tạp tôpô n – chiều cùng với một cấu trúc vi phân

lớp Cr đã cho trên M, gọi là đa tạp vi phân n – chiều lớp Cr (r > 0).

M gọi là đa tạp tôpô nền của đa tạp vi phân đang xét. Nếu không sợ

nhầm lẫn, đa tạp vi phân đang xét vẫn được kí hiệu là M.

n ,Id

là một đa tạp vi phân n – chiều, cấu trúc vi phân sinh bởi

(cid:0)

n ,Id

(atlat A chỉ gồm một bản đồ) gọi là cấu trúc vi phân tự nhiên.

1.2.1.2. Các ví dụ về đa tạp vi phân  Ví dụ 1:   (cid:0)A =



n

n

n

1 

Ví dụ 2: Xét mặt cầu n – chiều:

S

x

1 0 x ,x ,...,x

/ x

1









(cid:0)









Xét:

n

i

,

x

1 0 x ,x ,...,x

n S / x

0







  

 iS





n

i

0i ,n

0 1 x ,x ,...,x

n S / x

  

 iS





 

 

n



0i , ,n x 0   

  : S  i

n

1

n

và đồng phôi:

0 1 x ,x ,...,x

0 x ,x ,...,x ,...,x

   (cid:0)  

(cid:0) i  



nS trở thành đa tạp vi phân lớp C  (n – chiều)

atlat khả vi lớp C  .

Do đó

1.2.1.3. Ánh xạ khả vi trên các đa tạp vi phân

a. Hệ toạ độ địa phương

U , là bản đồ địa phương của x. Khi

:U

Cho M là đa tạp tôpô n – chiều, 



 U 



n

đó

1 2 x ,x ,...,x

  x  

n  (cid:0) 



x 

ix :U  (cid:0) i   x x x

n

1

2

Ta thu được n hàm liên tục:



U , . 

n

1

2

là hệ toạ độ địa phương xác định bởi bản đồ U ; x ,x ,...,x Gọi 

U , và 



2

n

n

1 x

  x ,x

  x ,...,x



   x  (cid:0) gọi là toạ độ địa phương của x trong hệ toạ độ

U ; x ,x ,...,x với mỗi x U , Đôi khi đồng nhất 

địa phương nêu trên.

b. Hàm trên đa tạp tôpô

 Cho M là một đa tạp tôpô n – chiều, A = 

  U ,    



là một atlat,

Uf

   (cid:0)

:U xét hàm tuỳ ý f : M  (cid:0) , với mỗi   , xét



1



U

M f

(cid:0)

n (cid:0)

f

 U



U

1   . :   



,

x U



 

f  Đặt f   (cid:0)

  f x

  x ,x

  x ,...,x

  x

1 f x  

2 

n 







2

n

1 U ; x ,x ,...,x

Khi đó ta có:



 U ,  ,



2

n

là hệ toạ độ địa phương ứng với bản đồ  Ở đó, 

Uf

Uf









. Tức là xem . Ta thường đồng nhất f với f được gọi là biểu diễn địa phương của f trong hệ toạ độ địa phương  1 U ; x ,x ,...,x

U  

. là một hàm n – biến thực trên

c. Ánh xạ trên các đa tạp vi phân

Cho M là một đa tạp vi phân m – chiều và N là một đa tạp vi phân n –

chiều.

U , trên M

1

2

n

U ; x ,x ,...,x

Xét ánh xạ liên tục 



2

1

m

V , (ứng với hệ toạ độ ) và  f : M N . Với mỗi cặp bản đồ  

 f U





V ; y , y ,..., y ) tương thích đối với f, tức là V . Ta xét (ứng với hệ toạ độ địa phương  địa phương 

Uf

1 

. f



U

n

m

1 2 x ,x ,...,x



 : U .    

 

  V   2 1 y , y ,..., y



j

n

j

y

f

1 2 x ,x ,...,x

,

j 1,m

ở đó



= 





1

1

2

m

, f

f

,..., f

là ánh xạ với m hàm thành phần

Hay là

   .

U. f





m

1

2

, f

f

,..., f



 : U  (cid:0) .

1

.  gọi là biểu diễn địa phương của ánh xạ f trong cặp bản đồ

U. f

2

1

m

gọi là

f

, f

,..., f

ánh xạ hạn chế :U V cùng với ánh xạ:

 U ,

 ,

 V,



n

2

1

.

các thành phần địa phương của f trong hệ toạ độ địa phương  U ; x ,x ,...,x



1

Ta thường đồng nhất

và

như là ánh

.  . Tức là xem

Uf

U. f

Uf

m

1

2

xạ đi từ

, f

f

,..., f



U vào



V với các thành phần



 : U  (cid:0) .

 tương thích với f . Các hàm thành phần

N

M

f

V

.

U





1   o of

m

n (V)  (cid:0)

(U)  (cid:0)

d. Ánh xạ khả vi trên các đa tạp vi phân

Ánh xạ

f : M N được gọi là khả vi nếu với mọi cặp bản đồ



1

, V ,  tương thích đối với f, biểu diễn địa phương

f

. f

 U ,

 



.   U

U

của f là một ánh xạ khả vi theo nghĩa thông thường từ

U vào



V . 

m

2

1

f

, f

,..., f

Lúc đó các thành phần địa phương





: U  (cid:0) của f là

m hàm khả vi n biến thực.

1

Đặc biệt khi M, N đều n – chiều; f song ánh và

f , f  đều khả vi thì ta

bảo f là vi phôi.

e. Xét trường hợp đặc biệt

(với cấu trúc vi phân tự nhiên)

 (cid:0)N

Với mỗi cặp 0x M và tập U mở trong M ta đặt:

0xF 

= {f: f là hàm khả vi trong lân cận của 0x }

UF = {f: f là hàm khả vi trên U}



= {f: f là hàm khả vi trên M}

MF 

Trên

ta xét các phép toán định nghĩa một cách tự nhiên như

MF 

sau:

f







  x M

 

  g x

  f x

  g x ,

x M,

f 



 

  x

  f x ,

f, g

M



  F

 

  f .g x

    (cid:0)      f x .g x ,



Khi đó

MF 

trở thành một (cid:0) – đại số. Hoàn toàn tương tự đối với

,

UF . Ta gọi:



0xF 



UF : Đại số các hàm khả vi trên U.



: Đại số các hàm khả vi trên M.



MF 



0xF 

: Đại số các hàm khả vi trong lân cận 0x ( 0x M )

 

1.2.1.4. Vectơ tiếp xúc – Không gian vectơ – Trường vectơ

a. Vectơ tiếp xúc

Cho M là một đa tạp vi phân n – chiều, ta kí hiệu I

a,b

– là một



trong các trường hợp sau: 

 

   a,b , a,b , a,b , a,b .

 

t

Xét ánh xạ liên tục c : I M   c t

c

c(t0)

I

t0

M

Một vectơ tiếp xúc với c tại

là một ánh xạ:



Ta bảo c là đường (cong) khả vi trên M nếu bản thân c là ánh xạ khả vi.  c t



x 0

0

X :



F





x 0

(cid:0)



f

X . f

f .c



ñ.n 



  



t 0



t



t 0

 d f .c dt

.

đạo hàm của f theo hướng của c tại



Trong đó X.f được gọi là đạo hàm của f theo hướng của vectơ X hay  c t



x 0

0

Tính chất

X(f  g) = Xf  Xg

X(  f) =  X(f)

X(f.g) = (Xf).g(x0) + f(x0).Xg (Newton – Leibniz)

f , g



 F



0 x

b. Không gian tiếp xúc

Cho M là đa tạp vi phân n – chiều và 0x M là một điểm tuỳ ý.

t



Vectơ tiếp xúc của M tại 0x là một vectơ tiếp xúc X của một đường 

  I



cong c nào đó tại 0x sao cho  c t

x 0

0

0

Không gian tiếp xúc của M tại 0x là tập hợp các vectơ tiếp xúc của M

tại 0x . Kí hiệu là

  0xT M .

Khi đó





0xT M sẽ là không gian vectơ trên M với các phép toán sau:



Xf Yf 

 

 X Y f 

Xf

 

 X f

 



 



f  

F

 , X,Y T M , 







x 0

(cid:0)

x 0



Định lý

Không gian tiếp xúc





0xT M là không gian vectơ n – chiều với cơ sở

.

chính là

,

,...,

2

n

 1  x

  x

  x

x

x

x

0

0

0

    

    

Gọi

(hợp rời rạc)

 T M





 T M x

c. Trường vectơ  

x M 

Trên T(M) ta trang bị tôpô tổng, T(M) cùng với phép chiếu

p : T( M ) M







X T M x

 x

gọi là phân thớ tiếp xúc trên M .

Cho U là tập mở trong M và xét ánh xạ :

X :U

 T M



x

X





x

T M x

X

Xx

U

Tx(M)

M

M

Gọi là trường vectơ trên U. Khi U = M ta nhận được khái niệm trường vectơ

trên M.

1.2.1.5. Nhóm một tham số (toàn cục)

Cho M – đa tạp vi phân n – chiều. Nhóm 1 – tham số các phép biến đổi

(toàn cục) trên M là:

M M

:

  

(cid:0)

t,x

t,x





 



  x

k.h  t



sao cho hai tính chất sau thoả mãn:

t,. : M M

(i)





  .

 



 t

x

  x t

là một vi phôi trên M (hay phép biến đổi) với mọi t  (cid:0) . (ii) M

 

 .,x :

(cid:0)

    . x 

t

thoả:

x M







 

  x

  x

  x ,

t s 

  x t 

   t s

    s t

Tức là:

   s

t

là nhóm con của Aut(M) (nhóm các phép biến đổi trên

  t s Khi đó 

 t  t

(cid:0)

=Diff(M). Và được gọi là nhóm 1 – tham số các phép biến

M). Kí hiệu 

t  t

(cid:0)

đổi hay nhóm con một tham số các phép biến đổi.

Nhận xét

– nhóm 1 – tham số các phép biến đổi. Với mỗi x M sẽ

Cho 

t  t

(cid:0)

trên M xuất phát từ

cho ta một đường cong khả vi

  c t

  x t

x

c

. Đường cong này gọi là “quỹ đạo của x ứng với nhóm





  0

  x 0

”.

 t  t

(cid:0)

1.2.2. Nhóm Lie

1.2.2.1. Định nghĩa

Tập hợp G được gọi là một nhóm Lie (thực) nếu các điều kiện sau thoả

mãn:

(i) G là một nhóm;

(ii) G là đa tạp thực khả vi;

1



xy

(iii) Phép toán nhóm

khả vi.

G G G,  

 x,y





Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý

Gleason – Montgomery – Zippin, trên mọi nhóm Lie lớp

0C (tức là đa tạp

tôpô) có thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C tương thích với cấu trúc nhóm.

Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán.

Số chiều của nhóm Lie G chính là số chiều của đa tạp khả vi G.

Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm, vừa là đa tạp khả vi nên ta có thể

đưa nhiều công cụ của đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân, … để nghiên

cứu cấu trúc của nhóm Lie.

1.2.2.2. Các ví dụ

a. Đường tròn đơn vị S1 với phép toán (.) (có thể xem S1 là tập hợp các

số phức có môđun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán.

b. Tập hợp

các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép

 GL n,

(cid:0)

toán nhân ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi

). Đặc

2n

*

.

biệt, khi n=1 thì

 1 GL ,

 (cid:0)

(cid:0)

G ,G ,...,G là những nhóm Lie thì

G G G ... G là một

c. Nếu





m

  m

1

2

2

1

nhóm Lie nếu ta cho nó cấu trúc nhóm tích và cấu trúc đa tạp vi phân tích của

các cấu trúc G , và ta nói rằng G là nhóm Lie tích của các Gi.

*

,b

.





 a,b / a

(cid:0)

(cid:0)

d. Nhóm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực (cid:0) với tôpô tự nhiên chính là một nhóm Lie. Nhóm này được kí hiệu là aff (cid:0) . Cụ thể nhóm  aff (cid:0) = 



1.3. Liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie

1.3.1. Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho

Cho G là một nhóm Lie. Ta ký hiệu eT G là không gian tiếp xúc của G

tại điểm đơn vị e G . Không gian này thường được kí hiệu là G . Khi đó G

trở thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau:

X ,Y



XY YX , 

X, Y 

 G





,

f C G





X, Y 

  

 X Yf



 Y Xf







Tức là: 

 X ,Y f

Trong đó

C G là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực.





Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G

được gọi là đại số Lie của G (nói cách khác G được gọi là đại số Lie tương

ứng với G).

Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số

Lie con các trường vectơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng đại số G như

sau:

G,

X

X Y 

g G  







Y , g

g

g

g G,  









Gọi X(G) là đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G. Khi đó   X 



X , g

(cid:0)

,

f C G





X, Y 



 

,

 X Yf



 Y Xf



 X G







g  X ,Y f



x

gx

Với mọi g G . Đặt

gL : G G,

 là phép tịnh tiến trái theo g,

x

xg

gR : G G,

gL và

gR là các vi

 là phép tịnh tiến phải theo g, thì

phôi

đồng

sinh

thành

các

ánh

xạ

trên không gian tiếp xúc T(G) của





trên G,   T G ,





thời 

cảm   T G ,



*gR : T G

*gL : T G

G.

X

X ,

Trường vectơ X được gọi là bất biến trái nếu



  . g G





*gL

*

điều này đồng nghĩa với biểu thức

X

X





gx

L g

x

tự,

là bất biến phải nếu

*

X ,

X

.

g G

X



X

  . Tức là :

Tương 

trường vectơ X được gọi 





xg

R g

*gR

x

Gọi G = {XX(G)/ X là trường vectơ bất biến trái}, thì G là đại số Lie

con của X(G) và gọi là đại số Lie của nhóm Lie G. Đôi khi ta ký hiệu là

G =Lie(G).

Các ví dụ

Ví dụ 1: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = ( (cid:0) ,+) là G = Lie(G) = (cid:0) .

*

Ví dụ 2: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = (

(cid:0) , .) là G = Lie(G) = (cid:0) .

Ví dụ 3: Đại số Lie tương ứng với nhóm Lie G = GL(n, (cid:0) ) là

G = Lie(G) = Mat(n, (cid:0) ).

1.3.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie

Với cách xây dựng như trên thì ta thấy, mỗi nhóm Lie sẽ xác định một

đại số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta có định lý sau:

Định lý

a. Cho G là đại số Lie thực bất kì. Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm Lie

liên thông đơn liên (cid:0)G sao cho đại số Lie của (cid:0)G chính là G .

b. Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại

.

nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của (cid:0)G sao cho

(cid:0)GG 

D

Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, luỹ linh) nếu đại số Lie G

của nó là giải được (tương ứng, luỹ linh).

1.3.3. Ánh xạ mũ exponent

Cho G là nhóm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G.

Mệnh đề

/ t

G

sao cho:



Với mỗi X  G , tồn tại duy nhất nhóm con

  x t



 (cid:0)

( i )

t, s  

(cid:0)

x(0)= e ; G  ( ii ) x t + s   (iii) x (

0

 ) X 

    x t .x s ;   X .  e

và được gọi là nhóm con 1 – tham số xác định trên G.

Khi đó:

x(1) G,

 exp(X)

ñ.n 

ñ.n 

exp :



,

exp(tX) x(t) G ; 

G





G X exp X 

Định lý (về tính chất của ánh xạ exp)

(i) Ánh xạ exp là vi phôi địa phương.

(ii) Ánh xạ exp có tính chất tự nhiên. Tức là biểu đồ sau đây giao hoán

f (đồng cấu nhóm Lie)

G2 G1

exp exp

1G

2G

f*

với mọi đồng cấu nhóm Lie

f G

:  , tức là G

1

2

*

f exp = exp f 



Định nghĩa nhóm exponential

Nếu exp vi phôi (toàn cục) thì G gọi là nhóm exponential.

Ví dụ

Ví dụ 1:

G

G

  (cid:0)

*,. , = Lie(G)= (cid:0)

*

G  

exp :

G =

(cid:0)

(cid:0)

k



t

  t

k



exp t e     t k 0 !

Ví dụ 2:

 , = Lie(G)=

G





 G GL n , (cid:0)

  exp :

 G = Mat n



 G GL n

 Mat n , (cid:0) 

k



X

, (cid:0) , (cid:0)





k



0

exp X X e     X k !

Hệ quả

Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của

các đại số Lie và các nhóm Lie liên thông đơn liên.

1.3.4. Biểu diễn phụ hợp, biểu diễn đối phụ hợp và K – quỹ đạo của nhóm

Lie

* Hom

Cho G là nhóm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G và



G





={F: G

G, (cid:0)

(cid:0) / F là dạng tuyến tính} là không gian đối ngẫu

của G .

:gL G G

ta có ánh xạ: g G Vôùi moãi





gL

x x gx : 

:gR G G

là phép tịnh tiến trái. Và ánh xạ :





gR

x x xg : 



là phép tịnh tiến phải.

1 : L R G G

g

 g

gA 



-1

g.x.g

Đặt  

gA : gọi là tự đẳng cấu trong của G ứng với g G . 

Tự đẳng cấu này cảm sinh ánh xạ

:



x 

G

G

g

A 

 *

1 

g

.exp

X

X

g

tX

: 







g

A 



 

 

  *

t

0 

d dt

được gọi là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ

gA . 

Định nghĩa 1.3.4.1 Tác động

: 

 Ad G Aut G



:=

g



 AgAd



g *

là biểu diễn của nhóm Lie G trong G . Và ta gọi Ad là biểu diễn phụ hợp của

nhóm Lie G trong G .

Định nghĩa 1.3.4.2 Tác động

K : G Aut

* G

 g K   g

ở đó



* * G K : G   g

 F

 g

  







F K

:

  G với

G

K F,X : F,Ad g X , X

G



1

 Ad g

1





là biểu diễn của nhóm Lie G trong

*G . Và được gọi là biểu diễn đối phụ hợp

của G trong

*G hay K– biểu diễn của nhóm Lie G.

*

được gọi là K – quỹ đạo đi

Vì thế, với mỗi





F

,

g

G

g

  F



Định nghĩa 1.3.4.2. Mỗi quỹ đạo của K– biểu diễn gọi là K– quỹ đạo của G.   : K F/ g G  qua F. Số chiều mỗi K – quỹ đạo của một nhóm Lie tùy ý luôn là một số chẵn.

1.3.5. Các MD – nhóm và MD – đại số

Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được, G là đại số Lie của G.

Định nghĩa

Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD – nhóm nếu các K –

quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại. Trường hợp

số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính

chất MD hay còn gọi là MD – nhóm. Đại số Lie thực giải được G ứng với

MD – nhóm (tương ứng MD – nhóm) được gọi là MD – đại số (tương ứng

MD – đại số).

Thuật ngữ MD – nhóm, MD – đại số được dùng lần đầu tiên bởi Đỗ

Ngọc Diệp năm 1980. Ngay sau đó, lớp các MD – đại số và MD – đại số đã

được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xét năm 1982. Hồ Hữu Việt đã phân

loại triệt để lớp MD – đại số; Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần

để một đại số Lie thực giải được là MD – đại số.

Mệnh đề

Giả sử G là một MD – đại số. Khi đó

2G

G, G G, G là một đại số

  ,



   

 

con giao hoán trong G .

Chương 2. THUẬT TOÁN TÍNH CÁC BẤT BIẾN CỦA CÁC ĐẠI SỐ

LIE BẰNG PHƯƠNG PHÁP THAY ĐỔI HỆ TOẠ ĐỘ

Trong chương này chúng tôi giới thiệu một thuật toán được các nhà

toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã nghiên cứu để

tính toán các bất biến của các đại số Lie. Thuật toán này sử dụng phương

pháp thay đổi hệ tọa độ Cartan và kiến thức về nhóm phép tự đẳng cấu trong

của mỗi đại số Lie. Đặc biệt, thuật toán này được ứng dụng để tính toán các

bất biến của đại số Lie thực có số chiều thấp. Nhưng trước hết, chúng ta sẽ

tìm hiểu thế nào là các bất biến của một đại số Lie?

2.1. Khái niệm về các bất biến của đại số Lie

Xét đại số Lie G có số chiều dim G = n <  trên trường (cid:0) hoặc (cid:0) và

G là nhóm Lie liên thông tương ứng. Ở đây ta chỉ xét trong trường hợp đại số

Lie thực.

Bất kỳ cơ sở (cố định) e1, e2, …, en của G cũng đều thỏa mãn các hệ

, trong đó

thức

j

i

k ijc là các thành phần tensor của các hằng số

k [e ,e ] = c e ij k

j n

i

n .

  

  k

, 1

cấu trúc của G trong cơ sở đã chọn, với 1

Xét không gian đối ngẫu G * của không gian vectơ G . Nhắc lại rằng

ánh xạ

* K = Ad : G GL(

* )G

g

f, Ad

a ,

, a





f   

 G

* G

-1

* Ad f, a g



g

gọi là biểu diễn đối phụ hợp của nhóm Lie G; ở đây Ad: G  GL( G ) là biểu

diễn phụ hợp thông thường của G trong G . Ảnh của G qua Ad là nhóm tự

đẳng cấu trong Int( G ) của đại số Lie G , kí hiệu AdG. Ảnh của G qua K = Ad*

*

là một nhóm con của GL( G *) và được ký hiệu bởi

GAd hay K(G).

2.1.1. Khái niệm hàm bất biến của

* GAd

*

Một hàm

gọi là bất biến của

*Ad nếu

F Ad f = F(f),

 )G F C (

G

* g





   . g G f ,

* G

2.1.2. Cơ sở của các hàm bất biến của

*Ad

G

Đặt x = (x1, x2, …, xn) là tọa độ của x trong G * liên kết với cơ sở đối

*Ad là

ngẫu của cơ sở e1, e2, …, en. Bất biến bất kỳ F(x1, x2, …, xn) của

G

nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêng cấp 1 (xem [Ab-Ma] và [Be-Bla]),

(1), trong đó

XiF = 0, nghĩa là

k X = c x ij k

i

k c x F = 0 x ij k

x là phần tử sinh hữu

j

j

*Ad (expεe ) tương ứng với ei. Mỗi ánh xạ ei  Xi

G

i

hạn của nhóm 1– tham số 



cho ta một biểu diễn của đại số Lie G .

của các hàm bất biến độc lập Fl(x1, x2, …, xn), l

Số dương lớn nhất N G

, là số nghiệm độc lập của hệ (1) và nó chính là số phần tử cơ sở

= 1, …, NG

*Ad . Nó được cho bởi hiệu

của các hàm bất biến của

G

= dim G – rank G (2)

NG

n

.

Ở đây rank G =

 k rank c x ij k



i, j=1

1

n

sup (x , ..., x )

2.1.3. Khái niệm các bất biến của đại số Lie G

*Ad , bất biến tương ứng của

Cho bất biến bất kỳ F(x1, x2, …, xn) của

G

đại số Lie G là đối xứng hóa, SymF(e1, e2, …, en), của F. Nó thường được gọi

là toán tử Casimir tổng quát của G .

Chú ý

Nếu F là đa thức thì SymF(e1, e2, …, en) gọi là toán tử Casimir thông

thường. Chính xác hơn, toán tử đối xứng hóa Sym chỉ tác động trên các đơn

thức của các dạng

i 2

i r

số

e , e , ..., e , và được định nghĩa bởi công thức i 1

i 2

i r

e .e ...e , trong đó có các phần tử không giao hoán trong i 1

i r

1

r

r

trong đó i1, i2, …, ir lấy các giá trị từ 1 đến n, r  (cid:0) , Sr: hoán vị của nhóm gồm r phần tử.

Tập các bất biến của

*Ad và G lần lượt được ký hiệu bởi Inv(

G

* GAd ) và

Sym(e ...e )= i 1 e i σ ...e i σ 1  r!  σ S

*

GAd ), vì vậy tập các

thành một cơ sở hàm (bất biến cơ bản) của Inv( SymFl(e1, e2, …, en), l = 1, …, NG được gọi là cơ sở của Inv( G ).

Nếu đại số Lie G phân tích được thành tổng trực tiếp của các đại số Lie

, tạo Inv( G ). Một tập các hàm bất biến độc lập Fl(x1, x2, …, xn), l = 1, …, NG

G 1 và G 2 thì hợp của các cơ sở của Inv( G 1) và Inv( G 2) là một cơ sở của

Inv( G ).

2.2. Thuật toán tính các bất biến của đại số Lie

Phương pháp cơ bản của việc xây dựng các toán tử Casimir tổng quát là

phép lấy tích phân của hệ phương trình vi phân tuyến tính (1), nhưng việc tính

toán theo phương pháp này khá phức tạp, chúng ta sẽ thay thế nó bằng một

phương pháp khác đơn giản hơn và mang tính chất tổng quát, đó là phương

pháp đại số - phương pháp tính toán các bất biến của đại số Lie bằng cách

thay đổi tọa độ của Cartan.

*

Cho

= Ad ×

G

* G là

* G

GAd – phân thớ chính trái tầm thường trên G * .

Phép chính qui hóa phải (cid:0)R của tác động đối phụ hợp của G vào G * là tác

*

*

= Ad ×

G

G . Nó được cho bởi các ánh xạ

* G

GAd vào

*



với g, h G và

g

f  G , ở đó tác động trên

1 

* h

* Ad .Ad h

* ,Ad f g

động chéo của (cid:0)  R Ad , f



* g





*

phân thớ



*

là chính quy và tự do. Chúng ta gọi (cid:0) gR là tác động

G

A

GAd

*

đối phụ hợp nâng của G. Bất kì bất biến nâng nào của

GAd là một hàm trơn

từ A vào một đa tạp (định nghĩa địa phương), mà đa tạp này bất biến đối với

*

được cho bởi

:  G

A

*

là bất biến nâng cơ bản của



GAd , có nghĩa  là bất

* Ad f g

* ,g

tác động đối phụ hợp nâng của G. Hàm (cid:0)    



biến nâng và bất kì bất biến nâng nào cũng có thể được viết một cách địa

phương như một hàm của . Việc sử dụng một hàm tùy ý F(f) trên G *, chúng

*

GAd bởi việc thay thế f với

ta có thể tạo ra bất biến nâng F   của

trong biểu thức của F.



* gAd f

Theo quan điểm được xét ở trên, thuật toán xây dựng các bất biến của

đại số Lie G có thể được đưa ra ngắn gọn theo 4 bước sau:

Ad f

Bước 1. Xây dựng ma trận

 B  của

* GAd

Ma trận

 B  được tính toán từ các hằng số cấu trúc của đại số Lie

. Ma trận này là ma trận của

bằng ánh xạ mũ với

  

e n r i  



r   exp i 1 

B (cid:0) ad   i

phép tự đẳng cấu trong của đại số Lie G trong cơ sở đã cho

1,..., n e

là nhóm các

tham

số

(tọa độ) của

e ,

Int( G ), và



1,...,

    r

r

dim Ad

dim Int

n dim Z





 



G

G , Z( G ) là tâm của G .









* G

n r

Ở đây 1

e , ..., e  được xem như là một cơ sở của Z( G ); adu : biểu

u,w

, còn ma trận

diễn phụ hợp của  Gu

trong GL( G ):

ad

=

G



   w ,

uw

.



, ...,

e i

của adu trong cơ sở 1 e

e được kí hiệu là (cid:0)adu . Đặc biệt, (cid:0) ad n



nk  c ij j ,k

1 

Nếu n = dim G là một số nguyên nhỏ thì việc tính toán không có gì

phức tạp, thời gian tính toán về cơ bản phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở của

đại số Lie G .

Bước 2. Xây dựng các phép biến đổi hữu hạn

*

Các phép biến đổi từ

GAd có thể được trình bày theo dạng tọa độ như

sau:

(3)











 ,...,  r

1

. Vế phải

hoặc ngắn gọn

x.B  của đẳng thức (3) là dạng chi tiết

  x.B 

 

.B  x ,...,x n 1 x ,...,x   1 n

*

của bất biến nâng cơ bản  của

trong

, x



GAd với hệ tọa độ đã chọn 

*

*

GAd  G .

x 

Bước 3. Khử các tham số trong hệ (3)

Hệ phương trình hệ quả của (3) có đúng N G = dim G – rank G , phương

trình đại số độc lập đối với tham số của  , với

n



và (cid:0) ad

. Chúng có thể

e i

 k rank c x ij k



nk  c ij



i, j=1

j ,k

1 

sup (x , ..., x )

1

n

được viết dưới dạng:

l

l

, l

rank G =









  F x ,...,x n 1 ,...,N .G 1 F x ,...,x   n 1

Bước 4. Đối xứng hóa

l

Các hàm

mà tạo thành cơ sở của

được đối





G

 Inv Ad

*

, chính là cơ sở của

xứng hóa thành

  Inv G .



1

l  SymF e ,...,e n

F x ,...,x n 1

Theo các bước của thuật toán ta có một số chú ý sau:

Chúng ta có thể thay thế bước 3 của thuật toán bởi bước 3’ sau đây:

3’. Khử các tham số từ các bất biến nâng.

Chúng

ta

tìm một ma

trận

con

không

suy

biến

j 1

j 

trong ma trận Jacobi

và giải các phương

k 1





= c

, ...,

đối với

trình



= c , ..., 1



 . Ở đây các hằng số c1, …, c k

1j

1k

j 





được chọn sao cho nằm trong khoảng biến thiên của các giá trị

, ...,

1j

 . j 

Sau khi thay thế các nghiệm tìm được bằng các bất biến nâng khác, chúng ta

l

.





được NG = n –  các bất biến thông thường

F x ,..., x 1

n

Do đó, chúng ta thấy rằng các bất biến của đại số Lie G cho bởi

nghiệm của hệ phương trình đạo hàm riêng (1) được thay thế bởi việc xây

dựng ma trận B(  ) của các phép tự đẳng cấu trong và khử các tham số  từ hệ

phương trình đại số (3) theo nhiều cách khác nhau.

  ,..., ) (  ( = rank )  G )    ( ,...,    k 

Chương 3. CÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE

GIẢI ĐƯỢC 4 CHIỀU

Trong chương này chúng tôi sẽ áp dụng thuật toán của các nhà toán học

2 để tính các bất biến của một vài MD4 – đại số cụ thể do PGS.TS. Lê Anh

Vũ đưa ra trong các bài [Vu-Shu], [Vu].

Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych được trình bày ở chương

Tính toán các bất biến của lớp MD4 – đại số

Xét đại số Lie thực giải được 4 chiều G sinh bởi

4

1

2

X ,X ,X ,X . Kí 3

hiệu ideal dẫn xuất của G là

:1

G

G G . Tìm các bất biến của các đại số Lie





sau:

,

3.1.



G1 

3X

(cid:0)

3.1.1.



4

1

X 3

 4,1,1 : X , X G

4

2

4

3

1

1

3

2

3

X ,X = X , X = X ,X = X ,X = X ,X = 0 2                    

3.1.2.



3

3



X

 4,1,2 : X ,X G 

4 











 X ,X = X ,X = X ,X = X , X = X , X = 0 2

1

4

4

3

3

1

1

2

2

2



3.2.

1G

3

0

,ad

Mat

,ad

















X ,X 4

1

2

GL 2

X

X

(cid:0)

 (cid:0)

1

4

0

 X ,X 2  (cid:0)

: ad ,ad \

3.2.1.

  0

X

X

(cid:0)

1

4

  4,2,1 

0  0 1

0

,     G      

: ad , ad

3.2.2.

4,2,2

X

X

1

4

1 0 0 1

 G       



3.2.3.

:

0,

0,

  ,  

X

X

4,2,3

1

4

  

cos sin

sin cos

ad ad    G         

3.2.4.

 : Lie Aff 



4,2,4

X

X

(cid:0)

1

4

1 0 0 1

0 1   1 0 

3

X ,X , X

,ad

,ad ,ad   G         

3.3.







1G





GL 3

1

2

3

X

(cid:0)

(cid:0)

4

0

3.3.1.

  0

X

(cid:0)

4



 , 4,3,1   1 2

: ad \   G , ,   1 2

0 0 1

 1 0 0  2 0          

3.3.2.

  0

X

4,3,2

(cid:0)

4

  

: ad \   ,  G

1 0 0  0 1

 0 0          

3.3.3.

4,3,3

X

4

1 1 0 0 1 1 0 0 1

: ad G

          

 

3.3.4.

:

0,

  \ 1 ,

   

X

4,3,4

(cid:0)

4

  , 

cos sin 0

sin cos 0

ad      G

0   0 ,   1 

3

      

X ,X ,X h

3.4.

1G

1

2

3

0













X ,X 1

1

3

X ,X 2

3

 ad

2 

 X , X ,X 

3 

 Mat 3

X

(cid:0)

4

  (Đại số Lie Heisenberg 3 chiều)

: ad

3.4.1.

4,4,1

X

4

1 0 0   1 0 0    0 0 0 

G

    

3.4.2.

4,4,2

X

4

1 0 0   0 1 0    0 0 0 

: ad G (Đại số Lie kim cương thực)

    

Chúng tôi sẽ áp dụng thuật toán của các nhà toán học Vyacheslav Boyko,

Jiri Patera và Roman Popovych để tính các bất biến của các MD4 – đại số

đã cho ở trên như sau:

3.1.



G1 

3X

(cid:0)

3.1.1.



 4,1,1 : X , X G

4

1

X ,X = X , X = X ,X = X ,X = X ,X = 0 2

4

2

3

4

3

1

1

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Theo định nghĩa, đại số Lie

X 3

sinh bởi 4 phần tử

4,1,1G

X ,X ,X ,X 4

1

2

3

của biểu diễn phụ hợp

thỏa mãn các móc Lie trên. Do đó các ma trận (cid:0)

iXad

trong cơ sở

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

1

2

3

4

0 0 0

0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

,

, (cid:0)





(cid:0) Xad

Xad

1

2

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

     

     

     

  0   1  0 

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

,

.





(cid:0) Xad

(cid:0) Xad

3

4

0 0 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

     

     

     

     

4 2 2

N   

G

4

1 0

0 0

B

exp

(cid:0) ad





X

  

n r i  

  i







0 0 1 0 0 1

  2

i

1 

0

0 0

 1 1

     

     

Phép thế

cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ

  x.B 

B  vào



x 

số phụ thuộc vào các tham số 1

2,  :







x 2 3



x 1 x 2







x 3 

x 1 3

x 4

x  1 x  2 x  3 x  4

Rõ ràng ta có hai hệ thức độc lập đối với  là:



x 2



x 3

x  2 x  3

X , X là hai bất biến của đại số Lie

Đối xứng hóa hai biểu thức trên ta được:

2

3

.

4,1,1G

3.1.2.

X



4

3

 4,1,2 : X ,X G



3 













 X ,X = X ,X = X ,X = X , X = X , X = 0 2

4

1

4

2

3

3

2

1

1

Theo định nghĩa, đại số Lie



sinh bởi 4 phần tử

X ,X ,X ,X 4

2

1

3

4,1,2G

thỏa mãn các móc Lie trên. Do đó các ma trận (cid:0)

của biểu diễn phụ hợp

iXad

trong cơ sở

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

1

2

3

4

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

,

,





1

2

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

     

     

     

     

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

, (cid:0)

.





(cid:0) Xad

Xad

3

4

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

     

     

     

0   0   1  0 

(cid:0) Xad (cid:0) Xad

4 2 2

N   

G

4

0 0

1 0 0 1

B

exp

(cid:0) ad





X

  

n r i  

  i







2

i

1 

0 0  e  0

 1 1

0 0 0 0

      

Phép thế

cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ

         x.B 

B  vào



x 

số phụ thuộc vào các tham số 1

2,  :





x  1 x  2

x 1 x 2   2

e





x 3 



x 1 3

x 4

x  3 x  4

Rõ ràng ta có hai hệ thức độc lập đối với  là:





x 1 x 2

x  1 x  2

X ,X là hai bất biến của đại số Lie

Đối xứng hóa hai biểu thức trên ta được:

1

2

4,1,2G

2

.

3.2.



1G

X ,X 2

3

 (cid:0)

,ad

Mat

,ad

0

















X ,X 4

1

2

GL 2

X

X

 (cid:0)

1

4

: ad

,ad

\

0

(cid:0)

3.2.1.

, 







  0

X

X

1

4

  4,2,1 

0  0 1

  

  

G (cid:0)

sinh bởi 4 phần tử

Theo định nghĩa, đại số Lie

G

X ,X ,X ,X 4

1

2

3

  4,2,1 

thỏa mãn các điều kiện trên, tức là thỏa mãn các móc Lie sau:

0







X ,X 1

3

X ,X 1

2

 X 



X ,X 4

2

2

X



  

  

X ,X 4

3

3

0





 0

và 









X ,X 4

1

 ; X ,X 2

3

X , X 3

2

Do đó các ma trận (cid:0)

của biểu diễn phụ hợp trong cơ sở

iXad

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

1

2

3

4

,

,





(cid:0) Xad

1

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0

     

0      0  

     

     







, (cid:0)

.

(cid:0) Xad

Xad

3

4

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0

0 0 0 0

     

0   0   1  0 

     

     

4 2 2

N   

(cid:0) Xad

G

1

0

0

0



 3

4

0

0

e

 1

B

exp

(cid:0) ad



X

  

n r i  

  i







  3

0

0

e

i

1 

0

0

0

 2 1

       

      

Phép thế

cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ

  x.B 

B  vào



x 

,

số phụ thuộc vào các tham số 1

,   : 2

3



x  1

x 1 

 3

e



x 2

x  2

  3

e









x 3 x   1 2

x 2 3

x 4

x  3 x  4

Rõ ràng ta có hai hệ thức độc lập đối với  là:



x 1

x  1 x x  2 2  x  x  3 3

2

Đối xứng hóa hai biểu thức trên ta được:

X , 1

X X  là hai bất biến của đại số

3

Lie

.

G

  4,2,1 

3.2.2.

0

: ad

, ad



4,2,2

X

X

1

4

1 0 0 1

   

  

G

sinh bởi 4 phần tử

Theo định nghĩa, đại số Lie

X , X , X ,X thỏa mãn 4

1

2

3

4,2,2G

0





các điều kiện trên, tức là thỏa mãn các móc Lie sau: 

X ,X 1

3

 X



2

2

X

X





  

  

X ,X 1 2 X ,X 4 X ,X 4

3

2

3

0





 0

và 









X ,X 4

1

 ; X ,X 2

3

X , X 3

2

Do đó các ma trận (cid:0)

của biểu diễn phụ hợp trong cơ sở

iXad

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

1

2

3

4

,

,





(cid:0) Xad

(cid:0) Xad

1

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0

     

0   1   0  

     

     

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0





, (cid:0)

.

(cid:0) Xad

Xad

3

4

0 0 0

0 0 1 0

0 0 0

0 0 0 0

     

0   1   1  0 

     

     

4 2 2

N   

G

1

0

0

0

  3

  3

4

0

e

   2

1

B

exp

(cid:0) ad



  

iX

  i







e   3   3

0

0

e

i

1 

0

0

0

 2 1

       

      

Phép thế

cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ

  x.B 

B  vào



x 

,

số phụ thuộc vào các tham số 1

,   : 2

3



x  1

x 1   3

e



x  2

x 2   3

  3

e



x 3









e    3     2

1

x 2  x 2

x 2 3

x 4

x  3 x  4

Khử các tham số từ hệ phương trình trên ta được:



x 1

x  1

exp

exp



1 x 2

x 3 x 2

1 x  2

 x  3  x   2

  

  

  

3

X

exp

là hai bất biến của

,

Đối xứng hóa hai biểu thức trên ta được:

1

1 X

X X

2

2

  

  

.

đại số Lie 4,2,2G

cos

sin

ad

ad

:

0,

0,

3.2.3.







  ,  

X

X

4,2,3

1

4

  

sin

cos

 

  

    

Theo định nghĩa, đại số Lie

G

sinh bởi 4 phần tử

X ,X ,X ,X thỏa 3

1

4

2

  4,2,3 

mãn các điều kiện trên, tức là thỏa mãn các móc Lie sau:

G

0





, X X 1

2

, X X 1

3

.cos

.sin

 X

X





 



, X X 4

2

3

2

.sin

.cos

X

X









  

  

, X X 4

3

3

2

0





 0

và 









X ,X 4

1

 ; X ,X 2

3

X , X 3

2

Do đó các ma trận (cid:0)

của biểu diễn phụ hợp trong cơ sở

iXad

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

1

2

3

4

0 0 0 0

0 0 0

0

0 0 0 0

0 0 0

cos

,

,





(cid:0) Xad

(cid:0) Xad

1

2

0 0 0 0

0 0 0

 sin

0 0 0 0

0 0 0

0

     

       

     

     

0 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0 0 0

sin

cos

sin





, (cid:0)



.

(cid:0) Xad

Xad

3

4

0

0

0 0 0

cos

sin

cos





 

 

0 0 0

0

0

0

0

0

     

       

     

     

4 2 2

N   

G

1

0

0

0

 cos  

 cos  

3

3

0

cos

sin

sin

e

e





3

3

2

1

B

  

cos   

cos   

3

3

cos

sin

sin

e

e



  sin     sin  

 

3

3

2

0 0

sin 0

 1

cos 0

       

   cos sin                 1  

cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ

Phép thế

  x.B 

B  vào



x 

,

số phụ thuộc vào các tham số 1

,   : 2

3

cos   

3

3

  sin  

  sin  

3

cos   

cos   

3

3

 x  1 x 1 cos    e cos e sin   x 2 x 3 x  2

e e sin cos 

  sin     3   sin     

3   sin   3  cos      

2

1

2

1

cos sin  x 2    x 2 x 3 x 3 x 4 x  3 x  4

Khử các tham số từ hệ phương trình trên ta được:

 x 1 x  1

sin

sin





2

2

2

2 x 3







 x  2

1 1 exp exp    2cos .arctan  2cos .arctan  x 2 x 3 x  2 x  3              x 2 x   3

1

2

Đối xứng hóa hai biểu thức trên ta được:

X

,

exp

2cos .arctan 

1

sin



2

2

X X

3

  

  

X

X



2

3





là hai bất biến của đại số Lie

G

  4,2,3 

.

1 1 0

3.2.4.

 : Lie Aff 



4,2,4

X

X

1

4

,ad ,ad   G (cid:0) 1 0 0 1 0            

sinh bởi 4 phần tử

1

2

3

4,2,4G

Theo định nghĩa, đại số Lie X , X , X ,X thỏa mãn 4

các điều kiện trên, tức là thỏa mãn các móc Lie sau:

2

3

X   X ,X 1

3

2

X X , X 1

2

2

X  X ,X 4

   

    

3

3

X  X ,X 4









1

 ; X ,X 2

3

2

0    0 và  X ,X 4 X , X 3

iXad

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

1

2

3

4

của biểu diễn phụ hợp trong cơ sở Do đó các ma trận (cid:0)

0 0 0 0 0 0 0

(cid:0) Xad

Xad

1

2

0 0 1 0 0 0 0 , (cid:0) ,   0 1 0 0 1 0 0

0  0 0 0 0 0 0 0             0   1   0        

0 0 0 0 0 0 0

(cid:0) Xad

3

4

1 0 0 0 1 0 0 .   , (cid:0) Xad 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0             0     0     0   1  0 

4 4 0 N   

G

  4

  4

0 1 0 0

3

2

1

2

1

1

3

  

  4

  4

2

1

3

1

2

1

3

e e cos sin cos sin cos sin     1      1 B e e cos sin sin cos cos sin  1      1

0  1 0         1         1  0        

  x.B 

B  vào



Phép thế cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ x 

3

4

2

cos

sin

cos

sin







, ,     : ,



      1

x 1

2

3

1

x 2

      1

1

3

2

x 3

x  1

  4

  4

e

cos

e

sin









x 1 2

x 1 3

x  2

  4

  4

e

e

sin







cos

sin

cos

sin



    

cos 



x 1 2      1

3

1

2

x 2

x 1 3        1

1

2

3

x 3

x 4

x  3 x  4

Không có bất biến nào.

Hoặc khi tính được

0

ta có thể kết luận được ngay rằng: Không có bất

N G

biến nào.

3

X ,X , X

,ad

số phụ thuộc vào các tham số 1 

3.3.







1G





GL 3

1

2

3

X

(cid:0)

(cid:0)

4

0

0

3.3.1.

 1 0

0

: ad

\





  0

, ,   1 2

X

4



 , 4,3,1   1 2

0

 2 0

1

    

    

Theo định nghĩa, đại số Lie

G (cid:0)

sinh bởi 4 phần tử

G

X ,X ,X ,X thỏa 3

4

1

2



 ,  4,3,1 1 2

mãn các điều kiện trên, tức là thỏa mãn các móc Lie sau:





1



X ,X 4 X ,X 4

2

X 1 1 X  2

2

X



  

  

X ,X 4

3

3





 0

và 











X ,X 1

2

X , X 1

3

X ,X 2

3

Do đó các ma trận (cid:0)

của biểu diễn phụ hợp trong cơ sở

iXad

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

1

2

3

4

,





(cid:0) Xad

, (cid:0) Xad

1

2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0

0 0 0

0

     

0     2  0  

     

     

0





, (cid:0)

.

(cid:0) Xad

Xad

3

4

0 0 0 0 0 0 0 0 0

 1 0 0

 1 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0

0

0

0 0

     

0   0   1  0 

     

     

4 2 2

N   

G



 1 4

e

0

0

 1 1



 2 4

0

e

0

 2 2

B

  

  4

e

0 0

0 0

0

 3 1

       

      

Phép thế

cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ

B  vào



  x.B 

x 

số phụ thuộc vào các tham số :



 1 4

e



x 1

x  1



 2 4

e



x 2

x  2

  4

e











x 3 x    1 1 1

x 2 2 2

x 3 3

x 4

x  3 x  4

Khử các tham số từ hệ phương trình trên ta được:



  1



  1





x  3 x  1   2



x 3 x 1   2



x 3 x 2

x  3 x  2

  1





  2

Đối xứng hóa hai biểu thức trên ta được:

là hai bất biến của

,

X 3 X

X 3 X

1

2

.

đại số Lie



 ,  4,3,1 1 2

: ad

\

G

3.3.2.

, 





  0

X

4,3,2

4

  

 0 0

1 0 0  0 1

    

    

Theo định nghĩa, đại số Lie

G (cid:0)

sinh bởi 4 phần tử

X ,X ,X ,X thỏa 3

4

1

2

  4,3,2 

mãn các điều kiện trên, tức là thỏa mãn các móc Lie sau:



X 

1

X

1 



X 

X ,X 4 X ,X 4

2

1

2

X



  

  

X ,X 4

3

3





 0

và 











X ,X 1

2

X , X 1

3

X ,X 2

3

G

Do đó các ma trận (cid:0)

của biểu diễn phụ hợp trong cơ sở

iXad

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

1

2

3

4

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

,

, (cid:0)





(cid:0) Xad

Xad

1

2

0 0 0

0

0 0 0

0 0 0

0

0 0 0

0

     

1       0  

     

   0    

0 0 0

0

1 0 0

0 0 0

 0

0 0



.

, (cid:0)





(cid:0) Xad

Xad

3

4

0 0 0

0

0 1 0

0 0 0

0

0 0 0

     

     

     

  0   1  0 

4 2 2

N   

G





 4

 4

e

e

0

   1 2

  4 

 4

e

0

0

 2

B

  

  4

e

0 0

0 0

0

 3 1

       

      

cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ

Phép thế

B  vào



  x.B 

x 

số phụ thuộc vào các tham số :



 4

e



x  1





x 1  4

 4

e

e

 



x 1

x 2

x  2

 4   4

















e x 3     1

2

x 1

x 2 2

x 3 3

x 4

x  3 x  4

Khử các tham số từ hệ phương trình trên ta được:

exp exp  1 x 3 x 2 x 1 1 x  3         

2

2

exp exp  1 x 1 x  2 x 1 1 x  1 x   2 x  1  x  2  x   1            

3

1

1

1

Đối xứng hóa hai biểu thức trên ta được: exp , exp là hai 1 X X X 1 X X  X            

  4,3,2 

bất biến của đại số Lie G .

1 1 0

0 1 1

3.3.3.

4,3,3

X

4

: ad G

0 0 1           

Theo định nghĩa, đại số Lie

sinh bởi 4 phần tử

4,3,3G

X , X , X ,X thỏa mãn 4

3

2

1

các điều kiện trên, tức là thỏa mãn các móc Lie sau:

1

1 X

X 

2

1

2

X   X ,X 4 X ,X 4

  

  

3

3

2

X X   X ,X 4











2

3

3

   0 và  X ,X 1 X , X 1 X ,X 2

iXad

của biểu diễn phụ hợp trong cơ sở Do đó các ma trận (cid:0)

1

2

3

4

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

0 0 0 1 0 0 0

(cid:0) Xad

Xad

1

2

0 0 0  0 0 0 0 , , (cid:0)   0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0       1    1   0              

0 0 0 1 1 0 0

(cid:0) Xad

Xad

3

4

0 0 0 0 1 1 0 . , (cid:0)   0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0                   0   1   1  0 

4 2 2 N   

G

2

  4

  4

  4

1

  4

  4

e e e   4    2  4 2

  

2

0 e e B     3

  4   4 0 e 0

0 0 0  3 1                

B  vào



  x.B 

Phép thế cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ x 

  4

số phụ thuộc vào các tham số :

e  x  1

  4

  4

  4

  4

x 1   4 e e    x 1 x 2 x  2  4 2

e e e    x 1  4 x 2 x 3 x  3





1

    3

2

      4 2     2 x 1 x 2 x 3 3 x 4 x  4

Khử các tham số từ hệ phương trình trên ta được:

2

2

exp exp  1 x 1 x 2 x 1 1 x  1  x  2  x   1         

   1 2 1 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x  3 x  1  x  2  x   1         

2

3

2

2

exp

,



1 X

X X

X X

X X

1 2

1

1

1

1

  

  

  

  

Đối xứng hóa hai biểu thức trên ta được: là hai

. bất biến của đại số Lie 4,3,3G

cos sin 0  

3.3.4.

  \ 1 ,

   

X

4,3,4

4

  , 

: 0, sin cos ad      G (cid:0)

0 0 1          0 ,   

Theo định nghĩa, đại số Lie

sinh bởi 4 phần tử

X , X , X ,X thỏa 3

4

1

2

4,3,4

  ,

G

mãn các điều kiện trên, tức là thỏa mãn các móc Lie sau:

1

2

1 X

X cos X sin    

2

1

2

sin X cos     X X , 4 X X , 4

  

  

3

3

 X  X X , 4











2

3

3

   0 và  X ,X 1 X , X 1 X ,X 2

iXad

của biểu diễn phụ hợp trong cơ sở Do đó các ma trận (cid:0)

1

2

3

4

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

0 0 0 cos 0 0 0 sin 

(cid:0) Xad

Xad

1

2

0 0 0  sin 0 0 0 cos   , (cid:0) ,   0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0                           

0 0 0 0 cos sin 0 0  

(cid:0) Xad

Xad

3

4

0 0 0 sin cos 0 0   . , (cid:0)   0 0 0 0 0 0

0 0 0 0  0 0 0                     0     0 

4 3 1 N   

G

4

4

cos    e

0

sin

cos

cos    e 

4

4

1

2

4

4

cos    e

sin

cos    e

cos

0

sin

cos

  sin cos     sin  

  sin sin     sin  

4

4

2

1

B

  

  e 4

0 0

0 0

0

0 1

       

                

B  vào



  x.B 

cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ Phép thế x 

cos   

cos   

4

4

e

cos

e

sin





  sin  

  sin  

x  1

cos   

cos   

4

4

sin

cos

e

e

 



x 1 4   sin  

x 2 4   sin  

4

x 1

4

x 2

x  2



 4



x 3 cos

sin

cos

sin







e       

      

1

2

x 1

2

1

x 2

x 4

x  3 x  4

Khử các tham số từ hệ phương trình trên ta được:

exp

arctan

exp

arctan











x 2 x 1

x  2 x  1

  

  

  

  

1 sin 

1 sin 



x 3

 x  3

2

exp

arctan

là bất biến

Đối xứng hóa biểu thức trên ta được:





X X

1

X

  

  

1 sin 



3

số phụ thuộc vào các tham số :

.

của đại số Lie 4,3,4G

3

3.4.

X ,X ,X

h





1G

1

2

3

(Đại số Lie Heisenberg 3 chiều)













X ,X 1

1

3

X ,X 2

3

 ad

2 

 X , X ,X 

3 

 Mat 3

X

0

4

(cid:0)

1 0

3.4.1.

: ad

4,4,1

X

4

1 0 0 G

    

0 0 0      0 

Theo định nghĩa, đại số Lie

sinh bởi 4 phần tử

X ,X ,X ,X thỏa mãn 4

1

2

3

4,4,1G

các điều kiện trên, tức là thỏa mãn các móc Lie sau:

X

 

1

2

X



X ,X 4 X ,X 4

2

1



  

  

X ,X 4

3





 0

0



 X ; X ,X







X ,X 1

2

3

1

3

X ,X 2

3

và 

iXad

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

1

2

3

4

của biểu diễn phụ hợp trong cơ sở Do đó các ma trận (cid:0)

0 0 0 0 0 0 0





(cid:0) Xad

(cid:0) Xad

1

2



0 0 0 1 0 0 0 1  0 , , 0 1 0 0 1 0 0 0

     

     

     

     

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0





(cid:0) Xad

(cid:0) Xad

3

4

0 0 0 0 1 0 0 0 , . 0 0 0 0 0 0 0

     

     

     

0 0 0 0 0 0 0 0 0     0  

N   

4 2 2

G

cos sin sin  cos 0 0  3  3  3  3  2   1

  

2

3

3

1

2

3

1

2

 2    2 1



B cos cos sin sin 1    1 2

0 0 0 1               3           

  x.B 

B  vào



Phép thế cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ x 

số phụ thuộc vào các tham số :

1

cos sin cos sin    x 1  3 x 2  3 x 3

 cos



      3 2 3  x 3

3

1

2

sin cos sin     x 1  3 x 2  3       3

2

 x 3 x  1 x  2 x  3

 2    2 1



    x  1 2 x  2 1 x 3 x 4 x  4 1 2

Khử các tham số từ hệ phương trình trên ta được:

2

2

 x 3

2 x 1

2

2 2      x 2 x x 3 4 x  3 2 x  1 x  2 x x   3 4





2 1

2

4

3

Đối xứng hóa hai biểu thức trên ta được: X là    X ,X 3 X X 3 X X 4

.

hai bất biến của đại số Lie 4,4,1G

1 0 0

3.4.2.

4,4,2

X

4

1 0 : ad G (Đại số Lie kim cương thực)

0 0 0   0         

Theo định nghĩa, đại số Lie

sinh bởi 4 phần tử

3

2

1

4,4,2G

X , X , X ,X thỏa mãn 4

các điều kiện trên, tức là thỏa mãn các móc Lie sau:

1

1

X  

2

2

X  X ,X 4 X ,X 4

  

  

3

0  X ,X 4



 X ; X ,X







2

3

1

3

3

   0 và  X ,X 1 X ,X 2

iXad

Do đó các ma trận (cid:0) của biểu diễn phụ hợp trong cơ sở

1

2

3

4

X , X , X ,X tương ứng có dạng:

0 0 0 1 0 0 0

(cid:0) Xad

(cid:0) Xad

1

2

0 0 0 0 0 0 0 , ,   0 1 0 0 1 0 0 

0 0 0 0 0 0 0 0       0   1   0              

0 0 0 0 1 0 0 0

(cid:0) Xad

(cid:0) Xad

3

4

0 0 0 0 1 0 0 , .   0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0               0          

4 2 2 N   

G

 e 3

  3

0 0   1

  

  3

0 e 0  2 B

e   1 0 1 0   1 2 1       e  3  2  0        

  x.B 

B  vào



Phép thế cho ta hệ phương trình tuyến tính với các hệ x 

số phụ thuộc vào các tham số :

 e x 3 1   3

 e x 3 3   3

   2 x  1

e   x 2 e  1 x 3



   x 3 x      1 1 x 2 2 x 1 2 3 x 4 x  2 x  3 x  4

Khử các tham số từ hệ phương trình trên ta được:



  x x 1 2 x x 3 4 x  3 x x   1 2 x 3 x x    3 4

Đối xứng hóa hai biểu thức trên ta được:

4

3

2

1

X X 3 X X 4 X X 1 X X 2

.

 là hai bất biến của đại số Lie 4,4,2G  2  2  X ,  3          

Dưới đây là bảng liệt kê lại các bất biến của các MD4 – đại số tương ứng:

Các hoán tử khác 0

Các bất biến

MD4– đại số

3X

1G

 (cid:0)

2

1

3

X

1

X ,X 3 X ,X 2

4, 1, 1G 4, 1, 2G

 

 

3

2

X ,X 4 X ,X 4

3 0

  (cid:0)

 X ,X 4



X

1

, X 3 1G  ad X ,X 2  1 Mat  , 

2 

X

4

ad  (cid:0)  GL 2 (cid:0)

2

2

2

4, 2, 1G 

3

3

 X  X ,X 4 X , 1 X 

X X X  X 

4, 2, 2G

2

2

2

2

X ,X 4

 

 

3

3

3

2

X

    X ,X 4 3  X ,X  4  .cos

3 X

X X X X     X ,X 4

2 

,1

2

2

3

  X X , 4

1

X

X .sin 

2

4, 2, 3G 

 

2

3

3

exp



2 cos . arctan 

sin



2

2

X

3

  

  

X

X



2

3





.sin X X .cos      X ,X 4    X X , 4

X  

4, 2, 4G

2

3

X ,X 1

3

2

X X , X 1 Không có

2

2

   

    

X  X ,X 4

3

3

3

,





X ,X 4

3

(cid:0)

ad



X ,X , X 2  

1 GL 3

(cid:0)

4



X  G1

4, 3,1G

1



  1



  1





2, 1 

X X  1 1 X  2

2

X ,X 4 X ,X 4

2

X



  

  

X ,X 4

3

3



x  3 x  1   2



x 3 x 1   2



x 3 x

2

2

x  3 x 

X 



1

2

4, 3, 2G 

exp

,

X X

1 X

1

3

  

  

X

X 

1 



X ,X 4 X ,X 4

2

1

2

2

X



exp

  

  

X ,X 4

3

3

1 X

X  X

1

1

  

2

X



4, 3, 3G

1

e x p

,

1 X

X X

1

1

  

     

1 X

X





1

X ,X 4 X ,X 4

2

2

2

3

2



X

X





X X

1 2

X X

3

1

1

  

G

   cos

3 X

X

2 



sin 

4, 3, 4

1

2

  ,

2

1 X

X





exp

arctan



   X X , 4 X X , 4

2

1

2



X X

1

X

  

     

1 sin 



3

X 



  

3

X ,X 4     3 3 X ,X ,X

h





X X , 4 1G

sin cos  

(Đại số Lie Heisenberg 3 chiều)

1

2

3



X ,X 1

2

0







3

X ,X 1

  ad

3 

X , X 2  

 X , 3   Mat 3

(cid:0)

4

X X

 

4, 4, 1G

1

2

X



 

 

X , X 4 X , X 4

2

1

2

X

X











X , 3 2 1

2

X X 3

4

X X 4

3

X

 

X , 3

4, 4, 2G

1

1

X X

X X



X X

X X



X



3 4

4 3

1 2

2 1

 

 

X ,X 4 X ,X 4

2

2

2

2

  

      

  

KẾT LUẬN

Qua những phần đã trình bày, chúng ta đã nắm được phương pháp tính

toán các bất biến của các đại số Lie giải được số chiều thấp, đồng thời qua đó

,

,

cũng tính toán các bất biến của các MD4 – đại số:

4, 1, 1G ,

4, 1, 2G ,

4, 2, 2G

4, 2, 1G 

,

,

,

,

,

,

. Một điều cần

G

4, 2, 4G

4, 3, 3G

4, 4, 1G ,

4, 4, 2G

4, 3,1G

4, 3, 4

4, 2, 3G 

4, 3, 2G 

  ,

2, 1 

nói thêm là, phương pháp tính các bất biến đó còn có thể áp dụng cho các

MD5 – đại số mà tác giả Trần Minh Hải cũng đã nghiên cứu. Từ các kết quả

trên, một cách tự nhiên gợi ý cho chúng ta hướng mở cần nghiên cứu sau:

Áp dụng thuật toán tính các bất biến đó để tính toán các bất biến của

các MD5 – đại số còn lại, cho lớp MD6 – đại số và một vài MDn (5

biệt.

Do những hạn chế về nhiều mặt như: trình độ, thời gian,… Luận văn đã

dừng lại trong những khuôn khổ nhất định mà bản thân tác giả rất tha thiết

muốn được tiếp tục nghiên cứu. Tác giả hy vọng còn có dịp tiếp tục nghiên

cứu những vấn đề trên trong tương lai.

Sau cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc soạn thảo, nhưng

những sai sót là không thể tránh khỏi, tác giả xin chân thành lắng nghe và

cảm ơn các độc giả đã, đang và sẽ đóng góp ý kiến cho quyển luận văn này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. [An-Tu] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2005), Lí thuyết liên

thông và hình học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

2. [Đo] Nguyễn Văn Đoành (2006), Đa tạp khả vi, Nxb Đại học Sư phạm,

Hà Nội.

3. [Tra] Đào Văn Trà (1984), Về một lớp các đại số Lie số chiều thấp,

Tuyển tập các báo cáo tại Hội thảo Khoa học Viện Toán học Việt Nam

lần thứ 12 tại Hà Nội.

4. [Vu1] Lê Anh Vũ (1990), “Không gian phân lá tạo bởi các K – quỹ đạo

chiều cực đại của lớp nhóm Lie MD4”, Luận án phó tiến sỹ Toán học,

Viện Toán học – Viện khoa học Việt nam.

Tiếng Anh

5. [Ki] A. A. Kirillov (1976), Elements of the Theory of Representations,

Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York.

6. [Ab-Ma] Abellanas L. and Martinez Alonso L. (1975), A general

setting for Casimir invariants, J. Math. Phys, V.16, 1580-1584.

7. [Be-Bla] Beltrametti E. G. and Blasi A. (1966), On the number of

Casimir operators associated with any Lie group, Phys. Lett., V.20,

62-64.

8. [Fe-Olv1] Fels M. and Olver P. (1998), Moving coframes: I. A

practical algorithm, Acta Appl. Math., V.51, 161-213.

9. [Vu2] Le Anh Vu (1990), On the Foliations Formed by the Generic K

– orbits of the MD4 – Groups, Acta Math. Vietnam, (2), pp. 39 – 55.

10. [Vu3] Le Anh Vu (1993), Foliations Formed by Orbits of Maximal

Dimension in the Co – adjoint Representation of a Class of Solvable

Lie Groups, Vest. Moscow Uni, Math. Bullentin, Vol. 48 (3), pp.24 –

27.

11. [Fe-Olv2] Fels M. and Olver P. (1999), Moving coframes:

Regularization and theoretical foundations, Acta Appl. Math., V.55,

127-208.

12. [Vu] Le Anh Vu (2006), “On a Subclass of 5-dimentional Solvable

Lie Algebras Which Have 3-dimentional Commutative Derived

Ideal”, East – West Journal of Mathematics, Vol. 7(1), pp. 13 – 22,

Bangkok, Thailand.

13. [Vu-Shu] Le Anh Vu, K.P. Shum (2008), “On a Subclass of 5-

dimentional Solvable Lie Algebras Which Have Commutative

Derived Ideal”, Advances in Algebra and Combinatorics, World

Scientific Publishing Co., pp. 353 – 371.

14. [Ha-Sch] M. Hausner and J. T. Schwartz (1968), Lie Group – Lie

Algebra, Gordon and Breach, Sci. Publisher, New York – London –

Paris.

15. [Mo] Morozov V. V. (1958), Classification of nilpotent Lie algebras

of sixth order, Izv. Vys. Ucheb. Zaved. Matematika, N4 (5), 161-

171.

16. [Mu] Mubarakzyanov G. M. (1963), On solvable Lie algebras, Izv.

Vys. Ucheb. Zaved. Matematika, N1 (32), 114-124.

17. [Pa-Pro] Pauri M. and Prosperi G. M. (1966), On the construction of

the invariants operators for any finite-parameter Lie group, Nuovo

Cimento A, V.43, 533-537.

18. [Pe] Pecina-Cruz J. N. (1944), An algorithm to calculate the

invariants of any Lie algebra, J. Math. Phys, V.35, 3146-3162.

19. [Tu] Turkowski P. (1990), Solvable Lie algebras of dimention six, J.

Math. Phys, V.31, 1344-1350.

20. [Vy-Ji-Ro] Vyacheslav Boyko, Jiri Patera and Roman Popovych

(2006), “Computation of Lie Algebras by Means of Moving

frames”, arXiv: math-ph/0602046 v2.