BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trần Minh Hải
CÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CON
CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 5 CHIỀU
Chuyên ngành : Hình học và Tôpô
Mã số
: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ ANH VŨ
Thành phố Hồ Chí Minh - 2008
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo sư
Tiến sĩ Lê Anh Vũ. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính
yêu đã từng bước hướng dẫn tác giả làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm Lie
để tiến tới nắm vững lý thuyết đó và tự giải quyết bài toán của mình.
Chân thành cảm ơn các thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường
Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên
môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học.
Chân thành cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học trường Đại
học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh; Ban Giám hiệu cùng đồng nghiệp trong tổ Toán
trường THPT Phan Bội Châu Phan Thiết; thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng
trường THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận đã động viên, giúp đỡ, tạo
mọi điều kiện luận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2008
Tác giả
Trần Minh Hải
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Aut(V)
: Nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V
Aut(G)
: Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G
: Trường số phức
: Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V
(cid:0) C (V)
End(V)
: Không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V
Exp
: Ánh xạ mũ exp
G*
: Không gian đối ngẫu của đại số Lie G
GL(n, ) (cid:0) : Nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực
Lie(G) : Đại số Lie của nhóm Lie G
: Trường số thực
: Không gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e Mat(n, (cid:0) ) : Tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực (cid:0) TeG
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đại số Lie thực với số chiều thấp có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
Toán học và Vật lí học. Sự phân loại các lớp đẳng cấu đại số với số chiều thấp là
nền tảng và cơ sở ban đầu để hình thành một phương pháp tính các bất biến của
đại số Lie bằng phương pháp thay đổi hệ tọa độ, mặc dù phương pháp này không
nhất thiết chỉ áp dụng cho đại số Lie. Các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri
Patera và Roman Popovych đã giới thiệu một thuật toán hoàn toàn mới để tính
toán các bất biến (toán tử Casimir tổng quát) của các đại số Lie. Thuật toán này
sử dụng phương pháp thay đổi hệ tọa độ Cartan và kiến thức về nhóm phép tự
đẳng cấu trong của mỗi đại số Lie. Đặc biệt, thuật toán được ứng dụng để tính
toán các bất biến của đại số Lie thực có số chiều thấp. Thuận lợi chủ yếu của
phương pháp này là các tính toán chỉ thuần túy đại số. Khác với các phương
pháp thông thường, nó không dẫn đến việc giải hệ phương trình vi phân mà thay
vào đó là việc giải hệ phương trình đại số. Sự khai thác hiệu quả của phương
pháp mới này bắt buộc phải có sự chọn lựa cơ sở của đại số Lie. Việc lựa chọn
cơ sở như thế tự động mang lại những biểu thức đơn giản hơn.
Điều thú vị là tất cả những bất biến độc lập của đại số Lie thực số chiều
thấp đã được tìm ra cách đây vài thập niên. Đó là các toán tử đa thức trong đại số
Lie, ở đây được gọi là toán tử Casimir, và khi những toán tử này không phải là
các đa thức thì được gọi là toán tử Casimir tổng quát.
Hiện nay việc xây dựng lý thuyết của toán tử Casimir tổng quát trong các
trường hợp chung là không thể thực hiện được. Tuy nhiên, có một vài bài báo
viết về các tính chất của các toán tử như vậy. Việc áp dụng các nhóm bất biến
của các lớp đại số Lie khác nhau đã xuất hiện trong các vấn đề của Vật lý học.
Đặc biệt, cơ sở hàm của các nhóm bất biến đã được tính toán trên tất cả các đại
số Lie thực 3, 4, 5 chiều và đại số Lie thực lũy linh 6 chiều. Các vấn đề tương tự
cũng đã được xét trong đại số Lie thực 6 chiều với 4 chiều nilradical. Các nhóm
con của nhóm Poincare cùng với các bất biến của chúng cũng đã được tìm thấy.
Toán tử Casimir duy nhất của nhóm afin đơn modular SA(4, )(cid:0) đã được tìm ra
cùng với nhóm phủ đôi SA(4,
)(cid:0) như là một nhóm đối xứng của hàm phổ của các hạt trong lý thuyết gravity-related khác nhau, và chúng đã được áp dụng để
xây dựng lý thuyết biểu diễn bất khả quy unita của nhóm SA(4, )(cid:0) .
Sự tồn tại các cơ sở bao gồm toàn bộ các toán tử Casimir (các bất biến đa
thức) là quan trọng cho lý thuyết các toán tử Casimir tổng quát cùng với các ứng
dụng của chúng. Nó đã được chỉ ra trong trường hợp đại số Lie lũy linh đầy đủ
bởi Abellanas L. và Martinez Alonso L. Đại số Lie A là đầy đủ nếu [A, A] A .
Các tính chất về toán tử Casimir của một vài đại số Lie đầy đủ cũng đã được
nghiên cứu gần đây.
Các toán tử Casimir của một số chuỗi của các nhóm cổ điển không thuần
nhất đã được xây dựng một cách rõ ràng. Phương pháp áp dụng dựa trên cấu trúc
của một không gian phân thớ vectơ đặc biệt của các quỹ đạo sinh bởi biểu diễn
đối phụ hợp của tích nửa trực tiếp.
Năm 1962, Kirillov phát minh ra phương pháp quỹ đạo và nó nhanh chóng
trở thành phương pháp hiệu quả nhất để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm
Lie. Phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn bất khả quy
unitar của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ K–quỹ đạo nguyên
của nó. Trong khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo
Kirillov được nghiên cứu cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn
nhóm Lie bởi nhiều nhà toán học trên thế giới như L. Auslander, B. Kostant, Đỗ
Ngọc Diệp,….
Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo là các K–quỹ đạo của
biểu diễn đối phụ hợp. Do đó, việc nghiên cứu K–biểu diễn của mỗi nhóm Lie,
nhất là các nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa đặc biệt trong lý thuyết
biểu diễn nhóm Lie.
Các nhóm Lie và đại số Lie giải được có cấu trúc không quá phức tạp, tuy
nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để. Năm
1980, Đỗ Ngọc Diệp đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực
giải được mà rất đơn giản về phương diện phân tầng các K–quỹ đạo. Đó là lớp
các MD–nhóm và MD–đại số. Một nhóm Lie thực giải được mà các K–quỹ đạo
của nó hoặc không chiều hoặc chiều cực đại được gọi là MD–nhóm. Khi số
chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm còn được gọi là MD –
nhóm. Đại số Lie của một MD–nhóm (tương ứng, MD –nhóm) được gọi là MD–
đại số (tương ứng, MD –đại số).
Năm 1982, Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp các MD –đại số. Lớp này
chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n–chiều
n (n 1)
, đại số Lie 2–chiều aff(cid:0)
(cid:0)
và đại số Lie 4–chiều aff(cid:0) .
Việc phân loại lớp các MD–đại số đến nay vẫn còn là một bài toán mở. Để
đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp các MD–nhóm và MD–đại số theo số chiều. Tức
là xét các lớp con MDn–nhóm (và MDn–đại số) gồm các MD–nhóm (và MD–
đại số) n–chiều. Vì tất cả các đại số Lie dưới 4 –chiều đã được liệt kê hết từ lâu
nên ta chỉ xét các lớp MDn–nhóm và MDn–đại số với n
4 .
Năm 1984, Đào Văn Trà đã liệt kê toàn bộ lớp các MD4–đại số. Đến năm
1990, lớp các MD4–đại số được Lê Anh Vũ phân loại triệt để (chính xác đến
đẳng cấu đại số Lie). Hiện tại, lớp các MD5–đại số vẫn chưa được liệt kê và
phân loại đầy đủ. Tuy nhiên, lớp con các MD5–đại số với ideal dẫn xuất giao
hoán đã được Lê Anh Vũ liệt kê và phân loại năm 2006.
Hiện tại vẫn chưa có ai giải quyết vấn đề tính các bất biến của các MD–đại
số. Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về các bất biến của MD–
đại số. Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại các khái niệm về đại số Lie, lớp MD–
đại số Lie. Đồng thời trên cơ sở thuật toán của các tác giả Vyacheslav Boyko,
Jiri Patera và Roman Popovych đã đưa ra trong bài báo “Computation of
Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, chúng tôi sẽ cố gắng tính
các bất biến của vài MD5–đại số. Bởi vậy, đề tài của chúng tôi mang tên: “Các
bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 5 chiều”
2. Mục đích
Dùng thuật toán do các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và
Roman Popovych đưa ra để nghiên cứu các bất biến của các đại số Lie.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Lớp con các MD5–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán và các bất biến của
chúng.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Tính được tường minh cơ sở của các bất biến của một lớp con các MD5–
đại số với ideal dẫn xuất giao hoán. Và chúng ta cũng có thể áp dụng thuật toán
ở trên để tính toán các bất biến của các MD5–đại số còn lại, cho lớp MD6–đại số
và một vài MDn (5 < n) đặc biệt.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và
phần kết luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.
Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về đại số Lie, nhóm Lie và lớp
các MD–nhóm, MD–đại số. Phần này chỉ trình bày những kiến
thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét.
Chương 2: Giới thiệu một thuật toán được các nhà toán học Vyacheslav
Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych nghiên cứu để tính toán
các bất biến của các đại số Lie.
Chương 3: Áp dụng thuật toán trên để tính các bất biến của một lớp con
các đại số Lie giải được 5 chiều.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp
tục nghiên cứu.
Các nghiên cứu đạt được dựa trên các tính toán thuần túy đại số với sự trợ
giúp của máy tính. Nhiều kết quả nêu ra nhưng không chứng minh vì phương
pháp chứng minh đã được trình bày trong các tài liệu trích dẫn.
Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông
dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Để
trích dẫn một kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem
[So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tài liệu [So-Vi].
Chương 1. ĐẠI SỐ LIE VÀ NHÓM LIE
Chương này chủ yếu đưa những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên
cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD–
nhóm và lớp các MD–đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các
khái niệm và những tính chất cơ bản về đại số Lie (thực) và nhóm Lie.
Nhiều mệnh đề được phát biểu nhưng không chứng minh. Độc giả nào
quan tâm đến các chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem
các tài liệu [Ha-Sch], [Ki].
1.1. Đại số Lie
1.1.1. Định nghĩa đại số Cho |K là trường và A là một không gian vectơ trên trường |K. Ta bảo A
là một đại số trên |K hay là |K–đại số nếu trên A đã cho một phép nhân
sao cho các tiên đề sau thỏa mãn
(M1) Phép nhân là một toán tử song tuyến tính.
Tức là x, y, z
,
,
IK ta có:
A
)
)
;
x
y z )
xz
yz
(
(
(
)
)
)
.
x
y
xy
xz
z ( (
(
(M2) Phép nhân kết hợp. Tức là (xy)z = x(yz), x, y, z
A.
A A A (x, y) xy (Tích của x và y)
Nhận xét
(i) Đôi khi (M2) không được đòi hỏi thì A gọi là đại số không kết hợp.
Nếu (M2) thỏa mãn thì A gọi là đại số kết hợp (gọi tắt là đại số).
(ii) Mỗi |K–đại số đều là một vành.
Ví dụ: Đại số các ma trận vuông cấp n trên |K. Ký hiệu Mat(n, |K).
*
kgcon B
A (|K–đại số)
Ta bảo B là đại số con nếu B đóng kín đối với phép nhân.
Ta bảo B là Ideal nếu baB, abB, aA, bB. Ký hiệu B A.
A
Ta được đại số thương
a
a
a B A
B .
, 1 2 .a a
a a 1 2
B
1.1.2. Định nghĩa đại số Lie
Cho |K là trường và G là không gian vectơ trên |K. Ta bảo G là một đại số
Lie trên |K hay |K–đại số Lie nếu trên G đã cho một phép nhân mà gọi là móc
Lie
[., .]:
G G G
(x, y) [x, y] (Tích Lie hay móc Lie của x và y) sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn
(L1) Móc Lie là toán tử song tuyến tính. Tức là
x
y z , ]
x z [ , ]
y z [ , ]
[
]
]
x [ ,
y
x y [ ,
x z [ , ]
z
,x y, z
,
,
IK.
G
(L2) Móc Lie phản xứng. Tức là [x, x] = 0, x G .
x, y, z
0,
G .
(L3) Móc Lie thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi. Tức là z x y [ , ],
y z x [ , ],
x y z [ , ],
Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G.
Tâm Z(G) của đại số Lie G là một không gian con của G chứa các phần tử xG
sao cho [x, y] = 0, với mọi yG. Tức là Z(G) = {xG / [x, y] = 0, y G}.
Nhận xét
/
(i) Nếu |K là trường có đặc số khác 2 thì (L2) tương đương với
2(L ) :
x y [ ,
]
y x [ ,
]
, x, y G .
(ii) Mỗi đại số Lie đều là một đại số (không kết hợp) nhưng ngược lại,
mỗi đại số nói chung không chắc là đại số Lie.
(iii) Nếu [., .] = 0 tức là [x, y] = 0, x, y G thì ta bảo móc Lie tầm
thường và G là đại số Lie giao hoán. Như vậy, mỗi không gian
vectơ luôn có thể xem là đại số Lie giao hoán.
Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường |K. Giả sử số chiều
của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp
vectơ thuộc cơ sở {e1, e2, …, en} đã chọn trước trên G như sau:
.
j n
[e , e ] j
i
k c , 1 i ij
n k 1
Các hệ số k
j n
, được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie G.
ijc , 1 i
Khi trường |K là trường số thực (cid:0) thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu không
sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực.
đại số Lie thực giao hoán n–chiều.
n , [., .] 0
(cid:0)
1.1.3. Ví dụ Ví dụ 1:
3
Ví dụ 2: Không gian
thực 3–chiều.
(cid:0) với tích có hướng thông thường là một đại số Lie
Ví dụ 3: Xét A là một |K–đại số (không nhất thiết kết hợp). Ta định nghĩa
móc Lie trên A như sau:
[., .]:
]
A A A [ , ( , ) x y x y
x y
xy
yx
(hoán tử x và y).
với [ ,
]
Khi đó (A, [., .]) trở thành một |K–đại số Lie.
Nhận xét
(i) Mọi đại số đều trở thành đại số Lie với móc Lie định nghĩa nhờ hoán
tử.
(ii) Hoán tử đồng nhất bằng không khi và chỉ khi A giao hoán.
Ví dụ 4: Đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên |K–không gian vectơ là
đại số Lie với móc Lie [f, g] = fog – gof.
Ví dụ 5: Cho A là một |K–đại số (không nhất thiết kết hợp). Toán tử tuyến
tính f: A A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu:
f(xy) = f(x).y + x.f(y) (Leibniz) (f còn gọi là phép lấy đạo hàm trên A).
Kí hiệu Der(A) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A. Khi đó
Der(A) trở thành một đại số kết hợp trên |K. Der(A) sẽ trở thành một đại số Lie
trên |K với móc Lie được định nghĩa là: [f1, f2] = f1of2 – f2of1.
1.1.4. Đại số Lie con và Ideal
Cho G là một |K–đại số Lie, h là tập con của G.
* h gọi là đại số Lie con của G nếu h ổn định đối với móc Lie. Tức là
y
x
x y [ ,
]
;
,
[
]
, y
,
]
, h G
h
* h gọi là ideal của G nếu [
h h h .
[x, y] x
G .
Tức là [x,
] y h; x h, y G.
Kí hiệu: h G.
ñsoá
(h
G).
con
h G h , trong đó
Nhận xét: (h G)
1.1.5. Đại số Lie thương
Cho G là một |K–đại số Lie, h là một ideal của G.
Đặt G
là |K–không gian vectơ thương.
h
ta định nghĩa móc Lie như sau:
Trên G
h
G
G
G
h
h
h
(g1 + h, g2 + h) [g1 + h, g2 + h] := [g1, g2] + h. Kiểm tra được định nghĩa trên là hợp lý và thỏa mãn (L1), (L2) và (L3). Ta nhận
được đại số Lie G
mà gọi là đại số Lie thương của G theo ideal h.
h
1.1.6. Đồng cấu đại số Lie
Cho G1 và G2 là hai |K–đại số Lie và : G1 G2 là một ánh xạ.
Ta bảo f là một đồng cấu đại số Lie nếu:
(i) là ánh xạ |K–tuyến tính.
(ii) bảo toàn móc Lie. Tức là ([x, y]) = [(x), (y)], x, y G1.
Nếu còn là một song ánh thì gọi là đẳng cấu đại số Lie.
*Tính chất
Nếu là một đồng cấu đại số Lie thì:
(i) ker G1;
ñsoá
(ii) Im
G2;
con
G 1
(iii)
Im
.
ker
Nhận xét
(i) Ta nhận được phạm trù các |K–đại số Lie, trong đó:
Ob: các |K–đại số Lie.
Mor(G1, G2) = {: G1 G2 / là đồng cấu đại số Lie}.
(ii) Phạm trù các |K–không gian vectơ là phạm trù con của phạm trù các
|K–đại số Lie.
Mỗi đồng cấu đại số Lie : G1 G2 còn được gọi là biểu diễn của G1
trong G2. Nói riêng, nếu G2 = End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên
không gian vectơ V thì đồng cấu đại số Lie : G1 End(V) được gọi là biểu
diễn tuyến tính của G1 trong không gian vectơ V. Để đơn giản thì đôi khi người
ta dùng thuật ngữ “biểu diễn” thay cho thuật ngữ “biểu diễn tuyến tính”.
Khi là một đơn cấu thì được gọi là biểu diễn khớp.
Định lý 1.1 (định lý Ado)
Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp
hữu hạn chiều.
Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thể quy tất cả các phép chứng
minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận.
1.1.7. Biểu diễn chính quy của đại số Lie Cho G là đại số Lie. Với mỗi x G, kí hiệu adx là toán tử trong G được
xác định bởi:
adx(y) = [x, y]; y G.
Khi đó adx là một ánh xạ tuyến tính từ G vào G và ta thu được biểu diễn
tuyến tính của G trong chính G như sau:
ad: G End(G)
x adx
Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G. Hạt nhân của biểu
diễn này là Ker(ad) = {xG / adx 0} chính là tâm của G.
3
Ví dụ: Xét đại số Lie G =
Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận sau:
c
b
c
0
a
ad
a
0
0 b
Dễ thấy rằng, tâm G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp. Nói
3
cách khác, đại số Lie G =
(cid:0) với móc Lie là tích có hướng thông thường.
cấu với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3.
(cid:0) với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng
1.1.8. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh Cho G là một |K–đại số Lie. Với n (cid:0) và n 2, đặt:
G1 = [G, G], G2 = [G1, G1], …, Gn = [Gn–1, Gn–1];
G1 = [G, G] = G1, G2 = [G1, G], …, Gn = [ Gn–1, G].
Mệnh đề 1.2
(i) Gk, Gk là các ideal của G, k
* (cid:0) .
2
3
n
1
...
...
.
(ii)
...
...
G G n
G G G || G G G 2 3 1
(iii) Nếu dim G < thì
* n (cid:0) sao cho:
k.h
Gn = Gn+1 = …
G ;
k.h
Gn = Gn+1 = …
G .
Đại số Lie G được gọi là giải được nếu
G = {0}, G được gọi là lũy linh
nếu
G = {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của
đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G.
Ví dụ:
i n
} (đại số các
a. T(n, |K) = {A = (aij)Mat(n, |K) / aij = 0, 1 j
ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được.
i n
} (đại số các
b. T0(n, |K) = {A = (aij)Mat(n, |K) / aij = 0, 1 j
ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0)
là một đại số Lie lũy linh.
G giải được.
Nhận xét: G lũy linh
Định lý 1.3 (Định lý Lie)
Cho là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G
trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số |K. Khi đó tương đương với
biểu diễn tam giác trên, tức là (x) = T(n, |K), x G.
Hệ quả 1.4
Nếu G là đại số Lie giải được thì G1 = [G, G] là đại số Lie lũy linh.
Định lý 1.5 (Định lý Engel)
Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi xG, adx là toán tử lũy
linh, tức là tồn tại
sao cho (adx)n = 0.
* (cid:0)n
Đại số Lie giải được mặc dù có cấu trúc không quá phức tạp nhưng cho
đến nay thì việc phân loại chúng vẫn là một bài toán mở.
1.2. Nhóm Lie
1.2.1. Nhắc lại một vài khái niệm về đa tạp vi phân
● Khái niệm đa tạp khả vi
Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được. M được gọi
là đa tạp tôpô m–chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian m–chiều
m
: U V
, nghĩa là với mỗi điểm xM, có lân cận mở U của x và
là đồng
(cid:0)
m
phôi từ U lên một tập mở
V (cid:0) . Giả sử M là đa tạp tôpô m–chiều, khi đó cặp (U,
) xác định ở trên được
gọi là một bản đồ địa phương trên M, hay gọi tắt là bản đồ. Họ
nào đó các bản đồ được gọi là một tập bản đồ hay atlas khả
C
U , i
i i
I
vi lớp Ck (k 1) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Họ
iU là một phủ mở của M.
, thì ánh xạ
U U
(ii) Với hai bản đồ
j
i
j
i
i
U , và
U , mà j
1
là ánh xạ khả vi lớp Ck từ
U U
i xác định trên
oj
j
i
i
U U
U U
lên
. (xem hình 1.1)
i
i
j
j
i
j
Uj
M
Ui
j
i
1 i oj
Hình 1.1
i
Hai tập bản đồ
,
khả vi lớp Ck
j
C 1
U , i
i
C 2
V , j
j
I
J
được gọi là tương thích với nhau, nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp Ck. Khi đó quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp Ck. Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp Ck trên M.
Đa tạp tôpô m–chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp Ck cho trên nó được gọi là một đa tạp khả vi m–chiều lớp Ck. Nếu M là đa tạp khả vi, thì bản đồ của
cấu trúc khả vi trên M đượ c gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên M. Khi
1
k , nghĩa là khi đòi hỏi các ánh xạ chuyển
i trong điều kiện (ii) ở trên
oj
thuộc lớp C , thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là cấu trúc nhẵn trên M.
Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn.
● Ánh xạ khả vi
Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng. Ánh xạ liên
tục f : M N
được gọi là khả vi tại điểm pM nếu với mọi bản đồ địa phương
)
(U,
)
1 o of
quanh p và (V,
quanh f(p) = q sao cho f(U) V, thì ánh xạ
m
là khả vi tại điểm
(p) (cid:0) . (xem hình 1.2)
N
M
f
p
V
.q
U
1 o of
. (p)
m
n (V) (cid:0)
(U) (cid:0)
Hình 1.2
Ánh xạ f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm pM.
Đặt: F(M) = {f: M (cid:0) / f khả vi}.
F(x0) = {f: “lân cận của x0” (cid:0) / f khả vi, x0M}.
Trong các phần tiếp theo ta luôn giả sử M là đa tạp khả vi m chiều.
● Vectơ tiếp xúc
Một vectơ tiếp xúc X của M tại x0 là một toán tử vi phân
X: F(x0) (cid:0)
f Xf (đạo hàm của f theo X tại x0)
sao cho
X(f g) = Xf Xg
X(f) = (Xf)
X(fg) = (Xf)g(x0) + f(x0)(Xg)
Xét đường cong khả vi trên M xuất phát từ x0
c: (
) ,
M
t c(t)
sao cho c(0) = x0.
Lúc đó ta có thể định nghĩa
o
(f c(t))
,
Xf :=
f F(x0).
t 0
d dt
X như thế gọi là vectơ tiếp xúc của c tại x0 = c(0).
Vectơ tiếp xúc của M tại x0 là vectơ tiếp xúc của một đường cong khả vi c
nào đó tại x0 = c(0).
● Không gian tiếp xúc
Đặt
0xT (M) := {X / X là vectơ tiếp xúc của M tại x0} gọi là không gian
tiếp xúc của M tại x0.
Khi đó
0xT (M) sẽ là không gian vectơ trên M với các phép toán sau:
▪ (X + Y)f = Xf + Yf;
;
(Xf )
▪ ( X)f
, X, Y T (M),
f
F
(x ). 0
(cid:0)
0x
Không gian tiếp xúc
0xT (M) là không gian vectơ m–chiều với cơ sở là
,
.
, ...,
1
2
m
x
x
x
x
x
x
0
0
0
● Trường vectơ
Gọi
T(M)
.
x
T (M) 0
x M
0
Trường vectơ trên M là một ánh xạ
X: M T(M)
X
x
x0 0 x
T (M) 0
Đặt
(M)
= {X / X là trường vectơ trên M} cùng với các phép toán
(X + Y)x = Xx + Yx;
;
( X)
(X ) x
x
[X, Y]x = XxoYx – YxoXx .
/ X khả vi} là đại số Lie (vô hạn chiều) với
Khi đó X(M) = {X (M)
móc Lie là hoán tử.
● Nhóm một tham số toàn cục trên M
nhoùm
(t) t
Diff (M)
, trong đó Diff(M) là nhóm các vi phôi trên M.
(cid:0)
con
Tức là
(t) Diff (M),
t
(cid:0) .
s)
(s)
;
(t
Với mọi t, s (cid:0) ta có: (t) o
Id
.
(0)
● Nhóm địa phương một tham số
`
nhoùm
Diff (M)
.
t
(t)
con
.
Tức là
(t) Diff (M),
(
t
, )
sao cho t
s
(
ta có:
(
, )
, )
t, s
s)
(s)
;
(t
(t) o
Id
.
(0)
M
Cho nhóm 1–tham số
(t) (toàn cục hay địa phương; hay viết
t , bỏ qua
tập xác định) đều xác định duy nhất trường vectơ XX(M).
Ngược lại, XX(M), tồn tại duy nhất nhóm địa phương một tham số
t sao cho X trở thành trường vectơ sinh bởi
t .
● Ánh xạ tiếp xúc
: M N
Cho
là ánh xạ khả vi.
T : T M T N
Xét ánh xạ x
(x)
x
(X)
xT
X
;
f
.
F
(X) f : X f o
(x)
xT
xác định bởi
Khi đó xT là ánh xạ tuyến tính và ta xác định được ánh xạ:
: TM TN
*
X
X
*
;
f
N
.
F
với
X f : X f o
*
gọi là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi .
*
1.2.2. Định nghĩa nhóm Lie
Tập hợp G được gọi là một nhóm Lie nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) G là một nhóm;
(ii) G là đa tạp khả vi;
1
khả vi.
(iii) Phép toán nhóm
G G G, (x, y)
xy
Tùy vào cấu trúc đa tạp khả vi là thực hay phức mà nhóm Lie cũng được
gọi là nhóm Lie thực hay phức.
Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý Gleason–Montgomery–Zippin, trên mọi nhóm Lie lớp C0 (tức là đa tạp tôpô) có
thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C tương thích với cấu trúc nhóm.
Nhóm Lie được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán.
Chiều của nhóm Lie G chính là chiều của đa tạp khả vi G.
Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm, vừa là đa tạp khả vi nên ta có thể đưa
nhiều công cụ của đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân,… để nghiên cứu cấu
trúc nhóm Lie.
1.2.3. Các ví dụ
a. Đường thẳng thực (cid:0) với phép toán (+) thông thường là một đại số Lie
giao hoán
b. Đường tròn đơn vị S1 với phép toán (.) (có thể xem S1 là tập hợp các số
phức có mođun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán.
)
c. Tập hợp GL(n,
(cid:0) các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép
toán nhân ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi n
2 ).
Đặc biệt, khi n = 1 thì
GL(1,
) (cid:0)
* (cid:0) .
d. Nếu G1, G2 là các nhóm Lie thì tích G1 G2 cũng là một nhóm Lie.
Tương tự cho tích của nhiều nhóm Lie. Những trường hợp đặc biệt
n
thường gặp là các nhóm Lie với phép cộng
...
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0) , xuyến
n
n–chiều
T
1 1 1 S S ... S
.
*
nhóm
, b
aff (cid:0)
(cid:0)
e. Nhóm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực (cid:0) với tôpô tự nhiên chính là một nhóm Lie. Nhóm này được kí hiệu là aff(cid:0) . Cụ thể (cid:0) .
(a, b) a
1.2.4. Trường vectơ bất biến trái
Xét nhóm Lie G. Với mỗi gG, đặt
gL : G G , x
gx là phép tịnh
tiến trái theo g;
, x
gR : G G
xg là phép tịnh tiến phải theo g. Khi đó Lg và
là các vi phôi
trên G, đồng
thời cảm sinh
thành các ánh xạ
Rg
T(G)
,
T(G)
trên không gian tiếp xúc T(G) của G.
T(
g*L : T(G)
g*R : G)
Trường vectơ khả vi X trên G được gọi là bất biến trái nếu
g*L (X) X ,
, x G
g G . Điều này đồng nghĩa với biểu thức
X
.
L (X) g*
x
gx
Tương tự, trường vectơ khả vi X trên G được gọi là bất biến phải nếu
, x G
, g G , tức là
X
.
g*R (X) X
R (X) g*
x
xg
1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie
1.3.1. Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho
Cho G là nhóm Lie.
Gọi G = {XX(G) / X là trường vectơ bất biến trái trên G}.
Khi đó G là một đại số Lie con của X(G).
(X + Y)g = Xg + Yg, g G ;
X
,
,
g G
;
( X)
g
g
(cid:0)
[X, Y](f) = X(Yf) – Y(Xf),
(G), X, Y G.
f
F
G được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G. Đôi khi kí hiệu Lie(G).
●Tính chất đặc trưng: G TeG, trong đó TeG là không gian tiếp xúc của
G tại điểm đơn vị e.
Nói riêng nếu dimG = n thì dimG = n.
Ví dụ:
a. Đại số Lie của nhóm Lie G = ( (cid:0) , +) là G = Lie(G) = (cid:0) .
b. Đại số Lie của nhóm Lie G = GL(n, (cid:0) ) là G = Lie(G) = Mat(n, (cid:0) ).
1.3.2. Nhóm Lie liên thông đơn liên tương ứng với đại số Lie
Với cách xây dựng như trên thì ta thấy mỗi nhóm Lie sẽ xác định một đại
số Lie duy nhất. Ngược lại thì ta có định lý sau:
Định lý 1.6
(i) Cho G là đại số Lie thực bất kỳ. Khi đó luôn tồn tại duy nhất nhóm
Lie liên thông đơn liên G sao cho đại số Lie của G chính là G.
(ii) Nếu G là một nhóm Lie liên thông nhận G làm đại số Lie thì tồn tại
GG =
.
nhóm con chuẩn tắc rời rạc D của G sao cho
D
Nhóm Lie G được gọi là giải được (tương ứng, lũy linh) nếu đại số Lie G
của nó là giải được (tương ứng, lũy linh).
1.3.3. Ánh xạ mũ (exponent)
Cho G là nhóm Lie, G = Lie(G) là đại số Lie của G.
Khi đó với mỗi XG sẽ sinh ra nhóm con 1–tham số (toàn cục) các phép
. Tức là tồn tại duy nhất x(t)G,
biến đổi của G ký hiệu là
t (cid:0) sao
t x(t) (cid:0)
cho:
(i)
x(0) = eG;
(ii)
x(t + s) = x(t).x(s),
t, s (cid:0) ;
;
(iii)
x '(0) X
e
(iv)
,
x '(t) X
x(t)
t (cid:0) .
Ánh xạ exp: G G
X exp(X) = x(1) gọi là ánh xạ mũ.
Nhận xét: exp(tX) = x(t),
t (cid:0) .
Định lý 1.7 (về tính chất của ánh xạ exp)
(i)
Ánh xạ exp là vi phôi địa phương.
(ii) Ánh xạ exp có tính tự nhiên. Tức là với mọi đồng cấu nhóm Lie
G ta có hình vuông sau giao hoán:
G : 1
2
G2
G1
exp exp o
o
exp
exp
*
Lie(G2)=G2
Lie(G1)=G1
*
Nếu exp vi phôi (toàn cục) thì G gọi là nhóm exponential.
Hệ quả 1.8
Có một song ánh giữa tập các biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của các
đại số Lie và các nhóm liên thông đơn liên.
1.4. Biểu diễn phụ hợp và K–biểu diễn lớp MD–nhóm và MD–đại số
1.4.1. K–biểu diễn của một nhóm Lie
G là một nhóm Lie tùy ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động lên
G bởi Ad: G GL(G) được định nghĩa như sau:
: G G, g G .
L R . g g
1
Ad(g) =
*
R
) là phép tịnh tiến trái (tương ứng, phải) của
Trong đó
gL (tương ứng
1g
G ). Tác động Ad còn gọi là biểu diễn
G theo phần tử g G (tương ứng,
1 g
phụ hợp của G trong G.
Ký hiệu G* là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó biểu diễn Ad
cảm sinh ra tác động K=Ad*: G GL(G*) của G lên G* theo cách sau đây:
1
)X , X
,*
K(g)f,X = f,Ad(g
, f
g G.
G
G
f,X , f
X
Ở đây ta ký hiệu
,
G là chỉ giá trị của dạng tuyến tính
*G
f *G tại trường vectơ (bất biến trái) X G . Tác động K được gọi là K–biểu
diễn hay biểu diễn đối phụ hợp của G trong G*. Mỗi quỹ đạo ứng với K–biểu
diễn được gọi là K–quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của G (trong G*).
Mỗi K–quỹ đạo của G luôn là một G–đa tạp vi phân thuần nhất với số
chiều chẵn và trên đó có thể đưa vào một cấu trúc symplectric tự nhiên tương
thích với tác động của G.
Ký hiệu O(G) là tập hợp các K–quỹ đạo của G và trang bị trên đó tôpô
thương của tôpô tự nhiên trong G*. Nói chung thì tôpô thu được khá “xấu”, nó
có thể không tách, thậm chí không nửa tách.
1.4.2. Các MD–nhóm và MD–đại số
Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được. G là đại số Lie của G và G* là
không gian đối ngẫu của G.
Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD–nhóm nếu các K–quỹ
đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có số chiều cực đại. Trường hợp số chiều
cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD
hay còn gọi là MD –nhóm. Đại số Lie thực giải được G ứng với MD–nhóm
(tương ứng, MD –nhóm) được gọi là MD–đại số (tương ứng, MD –đại số).
Thuật ngữ MD–nhóm, MD–đại số, MD –nhóm, MD –đại số được dùng
đầu tiên bởi Đỗ Ngọc Diệp năm 1980. Ngay sau đó lớp các MD–đại số và MD –
đại số đã được Vương Mạnh Sơn và Hồ Hữu Việt xem xét năm 1982. Hồ Hữu
Việt đã phân loại triệt để lớp MD –đại số: các MD –đại số không giao hoán là và
chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi affine của đường thẳng thực hoặc
phức. Vương Mạnh Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để một đại số Lie thực giải
được là MD–đại số.
Mệnh đề 1.9
Giả sử G là một MD–đại số. Khi đó G2 = [[G, G], [G, G]] là một đại số
con giao hoán trong G.
Như đã nói ở phần mở đầu, toàn bộ lớp các MD4–đại số đã được liệt kê
đầy đủ vào năm 1984 bởi Đào Văn Trà, tuy nhiên tác giả mới chỉ dừng lại ở liệt
kê thô mà không xét đến tính đẳng cấu giữa các đại số Lie. Phải đến năm 1990,
Lê Anh Vũ mới phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4–
đại số đó. Nói một cách vắn tắt là bài toán liệt kê và phân loại các MD4–đại số
coi như đã giải quyết trọn vẹn. Hiện tại, lớp các MD5–đại số vẫn chưa được liệt
kê và phân loại đầy đủ. Tuy nhiên, lớp con các MD5–đại số với ideal dẫn xuất
giao hoán đã được Lê Anh Vũ liệt kê và phân loại năm 2006. Trong chương sau,
chúng ta sẽ giới thiệu các kết quả này đồng thời tính toán các bất biến của chúng.
Chương 2. THUẬT TOÁN TÍNH CÁC BẤT BIẾN CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE
BẰNG PHƯƠNG PHÁP THAY ĐỔI HỆ TỌA ĐỘ
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một thuật toán được các nhà toán
học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych nghiên cứu để tính toán
các bất biến của các đại số Lie. Thuật toán này sử dụng phương pháp thay đổi hệ
tọa độ Cartan và kiến thức về nhóm phép tự đẳng cấu trong của mỗi đại số Lie.
Đặc biệt, thuật toán này được ứng dụng để tính toán các bất biến của đại số Lie
thực có số chiều thấp. Nhưng trước hết, chúng ta sẽ tìm hiểu thế nào là các bất
biến của một đại số Lie?
2.1. Khái niệm các bất biến của một đại số Lie
Xét đại số Lie G có số chiều dimG = n < trên trường (cid:0) hoặc (cid:0) , nhóm Lie liên thông tương ứng G và không gian đối ngẫu G* của không gian vectơ G.
Bất kỳ cơ sở (cố định) e1, e2, …, en của G cũng đều thỏa mãn các hệ thức
là các thành phần tensor của các hằng số
[
] k
1, ) n
, e e i
j
c e , trong đó ij k
k ( , , ijc i j k
cấu trúc của G trong cơ sở đã chọn.
Nhắc lại rằng ánh xạ
*
* : K Ad G GL
( ) G
*
g
a
a
,
, f Ad
,
, f
1
G
G là biểu
* Ad f a g
g
diễn đối phụ hợp của nhóm Lie G; ở đây Ad: G GL(G) là biểu diễn phụ hợp
thông thường của G trong G. Ảnh AdG của G qua Ad là nhóm tự đẳng cấu trong
Int(G) của đại số Lie G. Ảnh của G qua K = Ad* là một nhóm con của GL(G*)
*
và được ký hiệu bởi
GAd hay K(G).
*
(
)
( F f
),
Một hàm
F C
G gọi là bất biến của
* GAd nếu
* g
F Ad f
*
, g G f
G .
Đặt x = (x1, x2, …, xn) là tọa độ của x trong G* liên kết với cơ sở đối ngẫu
*
của cơ sở e1, e2, …, en. Bất biến bất kỳ F(x1, x2, …, xn) của
GAd là nghiệm của
hệ phương trình đạo hàm riêng cấp 1 (xem [Ab-Ma] và [Be-Bla])
, (1)
0
XiF = 0, nghĩa là
k c x F x ij k
j
X
là phần tử sinh hữu hạn của nhóm 1- tham số
trong đó
i
k c x ij k
x
j
Ad
e tương ứng với ei. Mỗi ánh xạ ei Xi cho ta một biểu diễn của
* (exp G
i
)
đại số Lie G.
Số dương lớn nhất NG của các hàm bất biến độc lập Fl(x1, x2, …, xn), l = 1,
…, NG, là số nghiệm độc lập của hệ (1) (xem [Be-Bla] và [Pa-Pro]) và nó chính
*
là số phần tử cơ sở của các hàm bất biến của
GAd . Nó được cho bởi hiệu
NG = dimG – rankG. (2)
Ở đây
n
rank
.
rankG =
k c x ij k
i j , =1
(
)
sup x ... x , , n 1
*
Cho bất biến bất kỳ F(x1, x2, …, xn) của
GAd , chúng ta tìm bất biến tương
ứng của đại số Lie G bằng cách đối xứng hóa, SymF(e1, e2, …, en), của F. Nó
thường được gọi là toán tử Casimir tổng quát của G. Nếu F là đa thức, SymF(e1,
e2, …, en) gọi là toán tử Casimir thông thường. Chính xác hơn, toán tử đối xứng
.
hóa Sym chỉ tác động trên các đơn thức dạng
e e ...e , trong đó có các phần tử i 1
i 2
i r
,
..., e , và được định nghĩa bởi công thức
không giao hoán trong số
, e e i i 2 1
i r
,
Sym(
)
e i 1
... e i r
... e i
e i 1
r
1 ! r S
r
trong đó i1, i2, …, ir lấy các giá trị từ 1 đến n, r (cid:0) , Sr là số các hoán vị của nhóm gồm r phần tử.
*
Tập các bất biến của
GAd và G lần lượt được ký hiệu bởi Inv(
* GAd ) và
Int(G). Một tập các hàm bất biến độc lập Fl(x1, x2, …, xn), l = 1, …, NG tạo thành
*
một cơ sở hàm (bất biến cơ bản) của Inv(
GAd ). Vì vậy tập các SymFl(e1, e2, …,
en), l = 1, …, NG được gọi là cơ sở của Inv(G).
Nếu đại số Lie G được phân tích thành tổng trực tiếp của các đại số Lie
G1 và G2 thì hợp của các cơ sở của Inv(G1) và Inv(G2) là một cơ sở của Inv(G).
Do đó, việc phân loại các bất biến của đại số Lie từ một lớp đã cho thật sự là đủ
để cho chúng ta mô tả các bất biến của các đại số không phân tích được từ lớp
này.
2.2. Thuật toán
Phương pháp cơ bản của việc xây dựng các toán tử Casimir tổng quát là
phép lấy tích phân của hệ phương trình vi phân tuyến tính (1), nhưng việc tính
toán theo phương pháp này khá phức tạp. Phương pháp đại số hóa sử dụng trong
quá trình tính toán các bất biến của các đại số Lie được trình bày trong phần này
thì đơn giản hơn và nó mang tính chất tổng quát.
*
Cho
* G là
A
* GAd
GAd - phân thớ chính trái tầm thường trên G*.
Phép chính qui hóa phải (cid:0)R của tác động đối phụ hợp của G vào G* là tác động
*
*
chéo của
G . Nó được cho bởi các ánh xạ
A
*
,
f
,
với
, g h G và
g
1
f G , ở đó tác động trên
* h
* Ad Ad . h
* Ad f g
(cid:0) R Ad
* g
* GAd
GAd vào
*
phân thớ
G là chính quy và tự do. Chúng ta gọi (cid:0) gR là tác động đối
A
* GAd
*
phụ hợp nâng của G. Bất kì bất biến nâng nào của
GAd là một hàm trơn (định
nghĩa địa phương) từ A vào một đa tạp, mà đa tạp này bất biến đối với tác động
*
G được cho bởi
: A
*
Ad
f
là bất biến nâng cơ bản của
* Ad f g
* ,g
GAd , có nghĩa là bất
đối phụ hợp nâng của G. Hàm (cid:0)
biến nâng và bất kì bất biến nâng nào cũng có thể được viết một cách địa phương
như một hàm của . Việc sử dụng một hàm tùy ý F(f) trên G*, chúng ta có thể
*
*Ad
g f
GAd bằng cách thay thế f với
tạo ra bất biến nâng tích F của
trong biểu thức của F.
Theo quan điểm được xét ở trên, thuật toán xây dựng các bất biến của đại
số Lie G có thể được đưa ra ngắn gọn theo 4 bước sau:
Bước 1: Xây dựng ma trận
B của
* GAd
Ma trận
được tính toán từ các hằng số cấu trúc của đại số Lie bằng
B
B
exp
ánh xạ mũ với
. Ma trận là ma trận của phép tự đẳng
(cid:0) ad n r i e
i
r i 1
e
là nhóm
cấu trong của đại số Lie G trong cơ sở đã cho 1, ...,
1,...,
e , n
r
các tham số (tọa độ) của Int(G), và
r
Int
Z
dim Ad
dim
dim
n
G
G ,
* G
Z(G) là tâm của G.
e
e
được xem như là một cơ sở của Z(G); adu là biểu diễn
Ở đây 1, ...,
n r
ad
phụ hợp của u G trong GL(G):
G
,
uw
, còn ma trận của adu
.
e
e được kí hiệu là (cid:0)ad u . Đặc biệt, (cid:0) ad
e i
đối với cơ sở 1, ...,
n
nk , c ij
j k
1
Trường hợp nếu n = dimG là một số nguyên nhỏ thì việc tính toán hoàn
toàn không phức tạp. Thời gian tính toán về cơ bản phụ thuộc vào việc lựa chọn
cơ sở của đại số Lie G.
u,w w =
*
Các phép biến đổi từ
,...,
,...,
, (3)
x 1
. x B n
GAd có thể được trình bày theo dạng tọa độ như sau: ,..., r
1
x 1
x n
. Vế phải
của đẳng thức (3) là dạng chi tiết của
hoặc ngắn gọn
. x B
. x B
x
*
*
*
bất biến nâng cơ bản của
, x trong
GAd với hệ tọa độ đã chọn
GAd G .
Bước 2: Xây dựng các phép biến đổi hữu hạn
Hệ phương trình hệ quả của (3) có đúng NG phương trình đại số độc lập
đối với tham số của (xem [Fe-Olv1] và [Fe-Olv2]). Chúng có thể được viết
dưới dạng
l
N
,...,
,...,
,
1,...,
x n
l F x 1
l F x 1
x n
G .
Bước 3: Khử các tham số trong hệ (3)
Bước 4: Đối xứng hóa
Inv
Các hàm
mà tạo thành cơ sở của
được đối xứng
l F x
x n
1,...,
*AdG
l
hóa thành
, chính là cơ sở của
Inv G .(cid:0)
SymF e
1,...,
e n
Thật ra, bước 3 trong thuật toán chỉ là mở đầu của phương pháp thay đổi
hệ tọa độ, tức là phương pháp nâng các bất biến (xem [Fe-Olv1] và [Fe-Olv2]).
Ta có thể thay thế bước 3 của thuật toán bởi bước 3’ sau đây:
Theo các bước của thuật toán ta có một số chú ý sau:
Chúng ta tìm một ma trận con không suy biến
(
,...,
)
j 1
rank
(
=
G )
j )
k 1
( ,..., k
và giải các phương trình
với ẩn
trong ma trận Jacobi
= c
= c , ..., 1
j 1
j
Bước 3’: Khử các tham số từ các bất biến nâng
là
, ...,
. Ở đây các hằng số c1, …, c được chọn sao cho nằm trong khoảng
k 1
k
, ...,
. Sau khi thay thế các nghiệm tìm được bằng
biến thiên của các giá trị
1j
j
các bất biến nâng khác, chúng ta được NG = n – các bất biến thông thường
.
l F x
1,...,
x n
Do đó, chúng ta thấy rằng các bất biến của đại số Lie G cho bởi nghiệm
của các phép tự đẳng cấu trong và khử các tham số từ hệ phương trình
của hệ phương trình đạo hàm riêng (1) được thay thế bởi việc xây dựng ma trận B
đại số (3) theo nhiều cách khác nhau.
Chương 3. CÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE
GIẢI ĐƯỢC 5 CHIỀU
Trong chương này chúng tôi sẽ áp dụng thuật toán của các nhà toán học
Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych được trình bày ở chương 2
để tính các bất biến của một vài MD5–đại số cụ thể do PGS. TS. Lê Anh Vũ đưa
ra trong các bài [Vu-Shu], [Vu].
3.1. Định lý (xem [Vu])
X X X X X
,
,
,
,
Cho G
là một MD5–đại số với G1
1
2
3
4
5
3 (cid:0) (đại số Lie giao
hoán 3 chiều).
5 n
Nếu G khả phân thì nó có dạng
G h
, trong đó h là một MDn–
(cid:0)
đại số, 0
5n .
Nếu G bất khả phân thì G đẳng cấu với một và chỉ một trong các đại số
Lie dưới đây:
X 5
(cid:0) .
5,1 :G [X1, X2] = X5; [X3, X4] = X5, các hoán tử khác là tầm thường.
1. G1 =
, X X 4
5
2 . (cid:0)
2. G1 =
(1)
[X1, X2] = X4; [X2, X3] = X5, các hoán tử khác là tầm thường.
5,2,1 :G
(2)
[X1, X2] = [X3, X4] = X5; [X2, X3] = X4, các hoán tử khác là
G
5,2,2(
) :
tầm thường, (
\ {0}).
(cid:0)
1
End
(
)
(
),
i
1, 2;
X X X
,
,
G
Mat 3
3
4
5
(cid:0)
(cid:0) ;
iXad
3. G1 =
[
]
.
X
, X X 1
2
3
G
5,3,1(
) :
, 1 2
0
ad
ad
0;
\ {1},
X
X
, 1 2
0 2
1
(cid:0)
1
2
2 0
1 0 0
0 0 ; 1
ad
ad
(1)
0;
\ {0,1}.
X
X
) :G 5,3,2(
(cid:0)
2
1
1 0 0 0 1 0 ; 0 0
ad
ad
(2)
0;
\ {1}.
X
X
) :G 5,3,3(
(cid:0)
2
1
0 0 0 1 0 ; 0 0 1
ad
ad
(3)
0;
5,3,4 :G
X
X
2
1
1 0 0 0 1 0 . 0 0 1
ad
ad
(4)
0;
\ {1}.
X
X
) :G 5,3,5(
(cid:0)
2
1
0 0 0 1 1 ; 0 0 1
ad
ad
(5)
0;
\ {0,1}.
X
X
) :G 5,3,6(
(cid:0)
2
1
1 1 0 0 1 0 ; 0 0
ad
ad
(6)
0;
5,3,7 :G
X
X
2
1
1 1 0 0 1 1 . 0 0 1
(7)
G
5,3,8(
) : ,
(8)
ad
ad
0;
\ {0},
(0, ).
X
X
(cid:0)
1
2
cos sin 0
sin cos 0
0 0 ;
4
1
End
(
)
Mat
(
).
,
,
G
4
Xad
, X X X X 3
4
2
5
(cid:0)
(cid:0) ;
1
4. G1 =
G
5,4,1(
,
,
) :
3 2
1
(1)
0 0 0
X
1
1
2
3
1
0 0 ad ; , , \ {0,1}, 3 2 . 1 (cid:0) 0 2 0 0
0
0 0 3 0 1 1 0
ad
;
\ {0,1},
.
G
, 1 2
2
X
1
5,4,2(
) :
(cid:0)
1
, 1 2
2 0
0 0 0 0 1 0
0
0
0 1
1 0 0
;
\ {0,1}.
(2)
Xad
) :G 5,4,3(
(cid:0)
1
0 0 0 0 0 0 1 0
0
0 0 1
0 0
(3)
;
\ {0,1}.
G
5,4,4(
Xad
) :
(cid:0)
1
0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0
(4)
.
5,4,5 :G
Xad
1
0 0 1 0 0 0 0 1
(5)
0
0 0 0 0
ad
;
\ {0,1},
G
.
, 1 2
2
5,4,6(
) :
X
1
(cid:0)
, 1 2
1
2 0 0
0 0
1 1 0 1
1 0
0 0 0 0 0
(6)
;
\ {0,1}.
G
5,4,7(
Xad
) :
(cid:0)
1
0 0
0 1 1 0 0 1
0
1 0 0 0 0
(7)
;
\ {0,1}.
Xad
) :G 5,4,8(
(cid:0)
1
0 0
0 1 1 0 0 1
0
(8)
;
\ {0,1}.
G
5,4,9(
Xad
) :
(cid:0)
1
0 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
(9)
.
G
5,4,10 :
Xad
1
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 0 1
(10)
G
5,4,11(
,
,
) :
2
1
0 0
;
\ {0},
(0, ).
Xad
2
1
(cid:0)
1
cos sin 0
sin cos 0
0 0 0
0
0
1 0
2
(11)
G
5,4,12(
) : ,
cos sin
sin cos
0 0
0 0
;
\ {0},
). (0,
Xad
(cid:0)
1
0
0 0
0 0
0
(12)
G
5,4,13(
) : ,
sin cos
cos sin
0 0
0 0
;
\ {0},
). (0,
Xad
(cid:0)
1
1
0 0
0 0
0
(13)
G
5,4,14(
,
) :
,
0 0
;
\ {0},
(0,
0,
,
).
Xad
(cid:0)
1
cos sin 0
sin cos 0
0
0
0 0
(14)
3.2. Áp dụng thuật toán để tính các bất biến của các đại số Lie được nêu ra
trong định lý trên
X 5
. (cid:0)
5,1 :G [X1, X2] = X5; [X3, X4] = X5, các hoán tử khác là tầm thường.
của các phần tử cơ sở
Các ma trận của biểu diễn phụ hợp (cid:0)
i(
1,5)
iXad
tương ứng có dạng
1,5)
iX i(
1. G1 =
,
(cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
1
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
,
(cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
3
4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
.
5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
NG = 5 – 4 = 1.
5
.
exp
B( )
X
i
(cid:0) Xad
(cid:0) ad i
i
1
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0 1
2
4
1
3
Ta có
x
x 1
5 2,
x 1
x
x
2
2
5 1,
x
x
x 3
5 4,
x 3
x
x
4
4
5 3,
x
x
5.
x 5
Vậy
5,1G có một bất biến X5 .
X X , 4
5
2 . (cid:0)
2. G1 =
(1)
[X1, X2] = X4; [X2, X3] = X5, các hoán tử khác là tầm thường.
5,2,1 :G
của các phần tử cơ sở
Các ma trận của biểu diễn phụ hợp (cid:0)
i(
1,5)
iXad
tương ứng có dạng
1,5)
iX i(
,
(cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
1
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
,
(cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
3
4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
.
5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
NG = 5 – 2 = 3.
(cid:0) Xad
0 1 0
1 0 0
.
B( )
0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
2
2 1 0 3
Ta có
(1)
x
x 1
4 2,
x 1
(2)
x
x
x
2
2
4 1
5 3,
x
(3)
x
x 3
5 2,
x 3
(4)
x
4,
x 4
(5)
x
5.
x 5
x
3
x 1
x 3
x 1
Từ (1), (3) suy ra
x
x
4
5
(6)
5
x x 1 5
x x 3 4
4
x x . 1
x x . 3
Thay (4), (5) vào (6) ta được
5
x x 1 5
x x 3 4
x x . 1
x x . . 3 4
Hay
.
4
x x 1 5
x x 3 4
x x x x . . 5 3 1
X X 1 5
X X 5 1
X X 3 4
X X 4 3
Vậy
.
X X , ,
5,2,1G có ba bất biến:
5
4
2
(2)
[X1, X2] = [X3, X4] = X5; [X2, X3] = X4, các hoán tử khác là
G
5,2,2(
) :
tầm thường, (
\ {0}).
(cid:0)
của các phần tử cơ sở
Các ma trận của biểu diễn phụ hợp (cid:0)
i(
1,5)
iXad
tương ứng có dạng
1,5)
iX i(
,
(cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
1
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
,
0 0 0
(cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
3
4
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
.
5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
NG = 5 – 4 = 1.
(cid:0) Xad
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 . B( ) 0 1 0 3 2
2 3
1 4 1 3 2 2
x
x 1
5 2,
x 1
x
x
x
(
),
2
2
. 3
4
5
2 1 3
x
2
Ta có hệ
x
x
x
3
x 3
x
x
2 4 5 4,
4
4
x
x
5.
5 3,
x 5
G
5,2,2(
)
có một bất biến là X5 .
1
End
(
)
(
),
i
1, 2;
X X X
,
,
Vậy
G
Mat 3
4
3
5
(cid:0)
(cid:0) ;
iXad
[
]
.
X
X X , 1
2
3
3. G1 =
G
5,3,1(
) :
, 1 2
0
ad
ad
0;
\ {1},
0
, 1 2
2
1
X
X
(cid:0)
1
2
(1)
0 0 ; 1
Ta có
[
]
[
]
[
]
[
] 0 ,
, X X 1
2
X , 3
X X , 1
3
X X , 1
4
X X , 1
5
X
X
X X [
,
]
[
,
[
,
]
.
2
X 1 3
, X X 2
4
] 2
4
, X X 2
5
3
5
0 0
1 0 0 2 0
,
0 0 0
(cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
1
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0
1 0 0 2 0
,
0 0 0
(cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
3
4
0 0 0 0 0
1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0
.
5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
NG = 3.
(cid:0) Xad
0 1 0 0 0
2 1
2 1
2 1
1 0 0 0 0
3 1
1
1
2 2
2 2
e e e 0 0 1 B( ) .
2
e e 0 0 0 4 2
2 5
e e 0 0 0 1
Ta có
.
,
x 1
x 3
x 1
1
e 2 1
2 1
2 2
(1)
x
e
2
2
x 3
1
3 1
x e 4
4 2
x e 5
5, 2
x
1 1
(2)
,
x e 2 1 3
(3) x 3
,
x e 2 2 4
(4) x 4
.
x e 2 5
4
(5) x 5
2
4
x x
1
x 3 x 3
2
x 1 4 x 3
x 1 4 x 2 3
. Hay . *Từ (3) và (4) ta có
x 1 5 x 3
x 1 5 x 3
*Tương tự từ (3) và (5) ta cũng có .
x
x 1
3
x 1 1
x 3
x x 3 1 1
x 1
1 1
x 1 3 x 3
X
. *Từ (1) và (3) suy ra . Hay
X
,
.
,
G
5,3,1(
X 1 1
3
) , 2
1
X 1 5 X
X
3
1 4 2 3
Vậy có ba bất biến
1 0 0
X
X
) :G 5,3,2(
(cid:0)
2
1
0 1 0 ; 0 0
X
,
0; \ {0,1}. ad ad (2)
,
]
[
]
[
]
[
] 0
3
X X , 1
4
X X , 1
5
3
2
1
Ta có X X [ , X X , 1
X
X
,
]
[
,
]
[
,
X ]
4
3
3
5
4
5
2
. X X [ , X X 2 , X X 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 (cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
1
2
0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
3
4
0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
5
0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0 0 0
0 0 0 0
NG = 3.
0 0 0 0 1
2
2
0 1 0 0 0
2 1
2
e e e 0 0 1 . B( )
3 2 4
2
e e 0 0 0
2 5
e e 0 0 0
Ta có hệ phương trình
,
x 1
x 1
e 2
x
e
x
e
(1)
2
2
2 1
3
x e 4
2 4
5, 2 5
x 3
x
x 3 1
(2)
,
x e 2 3
(3) x 3
,
x e 2 4
x 4
2
(4)
.
x e 5
4
(5) x 5
x x
3
x 4 x 3
. *Từ (3) và (4) ta có ngay
x 5 x 3
x 5 *Từ (3) và (5) ta cũng có x 3
.
x 1
x 3
x 3
x 1
x x 1 3
x 1
4
*Từ (1) và (3) suy ra . Hay . x 1 3 x 3
X
,
có ba bất biến
)G 5,3,2(
X 1
3
X X
3
X 5 , X 3
Vậy .
0 0
X
X
) :G 5,3,3(
(cid:0)
2
1
0; \ {1}. ad ad (3)
X
0 0 1 0 1 0 ;
,
]
[
]
[
]
[
, ] 0
1
3
X X , 1
4
X X , 1
5
3
2
Ta có X X [ , X X , 1
X
X
,
X ]
[
,
]
[
,
]
2
3
4
3
5
4
5
. X X [ , X X 2 , X X 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
1
2
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
3
4
0
0 0 0 0 0 1 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
5
0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0 0 0
0 1 0 0 0
NG = 3.
TRƯỜNG HỢP
0 .
1 0 0 0 0
2
0 1 0 0 0
2 1
3
2
2
e e e 0 0 . B( ) 1 1
2 4
2
0 e 0 e 0
2 5
Ta có hệ
0 e 0 0 e
2
x
e
.
,
x 1
3
x 1
2
(1)
x
e
2
2
x 3
3
x
1 1
1 ,
2
(2)
,
x e 3.
x 3
(3)
,
x e 2 4.
x 4
(4)
.
x e 2 5.
x 5
5
5
(5)
x x
4
4
x x
. *Từ (4) và (5) ta có ngay
x 4 x 3
x 4 x 3
. *Từ (3) và (4) ta cũng có
.
x 3
x 1
x 1
x 3
x 3
x 1
x 1
x 1 1 3 x 3
5
* Từ (1) và (3) suy ra . Hay .
X
0 ,
,
,
)G 5,3,3(
3
X 1
X X
X 4 X
4
3
có ba bất biến . Vậy với
TRƯỜNG HỢP
0 . Khi đó ta có
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1
0
0
1
.
B( )
2
0
e
0
e
0
2 4
2
0
e
0
0
e
2 5
2
Do đó ta có hệ phương trình
(1)
x 1
x 3 2,
x 1
(2)
x
2
2
x 3 1
x e 4
2 4
x e 5
5, 2
x
(3)
x 3,
x 3
(4)
,
x e 2 4.
x 4
(5)
.
x e 2 5.
x 5
5
5
.
*Từ (4) và (5) ta có ngay
x x
4
4
x x
x 1
*Từ (1) suy ra
x 1 x 3
e
exp
x 1 x 3
x : exp 1 x 3
4
(do (3) và (4))
exp
: exp
x x
4
x 1 x 3
x 1 x 3
.
x
.exp
.exp
4
4
x
x 1 x 3
x 1 x 3
5
Vậy với
có ba bất biến
.
X
0 ,
,
exp
)G 5,3,3(
X , 3
4
X X
X 1 X
4
3
1 0 0
0;
ad
ad
5,3,4 :G
X
X
1
2
0 0 1
0 1 0 .
5
4
Tương tự như
,
X
,
.
,
5,3,4G có ba bất biến
)G 5,3,3(
3
X 1
X X
X X
4
3
0 0
0;
\ {1}.
ad
ad
(4)
X
X
) :G 5,3,5(
(cid:0)
2
1
0 0 1
0 1 1 ;
X
Ta có X X [
,
]
[
]
[
]
[
, ] 0
1
, X X , 1
3
X X , 1
4
X X , 1
5
3
2
(5)
.
X
X
X
X X [
,
X ]
[
,
]
[
,
]
2
3
, X X 2
4
3
, X X 2
5
4
4
5
0 0 0 0 0
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
, (cid:0)
,
0 1 0 0 0
1 0
0 0
Xad
1
2
0 0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0 0
0
0 0 0 1
0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
(cid:0) Xad
, (cid:0)
,
0
0
0 0 0
0
0 0 0
Xad
3
4
0
1 0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
(cid:0) Xad
.
0
0
0 0 0
5
0
1 0 0 0
0
1 0 0 0
NG = 3.
(cid:0) Xad
TRƯỜNG HỢP
0 .
Ta có
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
0
0
e
e
e
2 1
3
.
B( )
2
1 1
2
2
)
0
0
e
e
e
( 2 5 5
4
2 2
2
0
0
0
e
e
2 5
Do đó ta được hệ phương trình
2
(1)
x
e
.
,
x 1
3
x 1
2
(2)
x
e
2
2
x 3
3
x e 4
2 5 5
4
x e 5
5, 2
x
1 1 2 1
2
(3)
,
x e 3
x 3
(4)
,
x e 2 4
x 4
2
(5)
.
5
x e 4
2 2
x e 5
x
.
*Từ (3) và (4) suy ra
x 4 x 3
x 4 x 3
*Thay (3) vào (1) ta được
.
x 1
x 3
x 3
x 1
x 1
x 1
1 x . Hay x 3 3
1
5
5
*Lấy (5) chia (4) vế theo vế ta được
.
2
x x
4
4
x x
5
5
Suy ra
.
exp
exp(
).exp
2
x x
4
4
x x
5
5
Do đó
(do (4)).
exp
exp
1 x
x x
4
4
4
4
1 x
x x
5
Vậy với
có ba bất biến
X
,
exp
.
0 ,
)G 5,3,5(
3
X , 1
X 4 X
1 X
X X
3
4
4
TRƯỜNG HỢP
0
Khi đó các tự đẳng cấu trong của
được mô tả bởi ma trận
)G 5,3,5(
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
1
0
0
1
B( )
.
2
2
0
e
) 0
e
e
( 2 5 5
4
2 2
2
0
e
0
0
e
2 5
2
Do đó ta có hệ phương trình
(1)
x 1
x 3 2,
x 1
2
(2)
x
2
2
x 3 1
x e 4
2 5 5
4
x e 5
5, 2
x
(3)
x 3,
x 3
(4)
,
x e 2 4
x 4
2
(5)
.
5
x e 4
2 2
x e 5
x
*Từ (1) và (3) suy ra 2
x 1 x 3
x 1 x 3
x 1 x 3
x 1 x 3
2
e
exp
x 1 x 3
x : exp 1 x 3
4
(do (4))
exp
exp
x x
4
x 1 x 3
x 1 x 3
.
x
exp
exp
4
4
x
x 1 x 3
x 1 x 3
5
5
5
.
*Lấy (5) chia (4) vế theo vế ta được
2
x x
x x
4
4
x 1 x 3
4
x x
x 1 x 3
5
5
.
Hay
x x
4
4
x 1 x 3
x x
x 1 x 3
5
Vậy với
có ba bất biến
.
0 ,
exp
,
)G 5,3,5(
X X , 3
4
X 1 X
X X
X 1 X
3
4
3
1 1 0
0;
\ {0,1}.
ad
ad
X
X
) :G 5,3,6(
(cid:0)
2
1
0 0
0 1 0 ;
X
Ta có X X [
,
]
[
]
[
]
[
] 0,
1
, X X , 1
3
X X , 1
4
X X , 1
5
3
2
X
X
X
]
[
,
]
[
,
]
X X , [ 2
3
, X X 2
4
3
, X X 2
5
X . 5
4
3
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
(6)
, (cid:0)
,
0 1 0 0 0
1 0 1 1 0
Xad
1
2
0 0 1 0
0 0 0 0 0
0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
(cid:0) Xad
, (cid:0)
,
1 0 0 0
1 0 0 0
0
0
Xad
3
4
0
1 0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
(cid:0) Xad
.
0
0
0 0 0
5
0
0
0 0 0
0
0 0 0
NG = 3.
(cid:0) Xad
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
2
2
2
e
e
e
e
1
)
0
.
B( )
( 1
2 4
3
2 2
2
e
e
0
0
0
4 2 4
2
e
e
0
0
0
2 5
Suy ra ta có hệ
(1)
,
x 1
x 1
x 3 1
e 2
2
x
e
x
e
(2)
2
2
x 3
1
2 4
3
4
x e 4
2 4
5, 2 5
x
(3)
,
x e 2 3
x 3
2
(4)
,
4
x e 3
2 2
x e 4
x
2
(5)
.
x e 5
x 5
.
x 5 x 3
x 5 *Từ (3) và (5) suy ra x 3
*Thay (3) vào (1) ta được
x 1
x 3
x 3
x 1.
x 1
. Hay x 3
x x 1 3
2
e
*Từ (3) suy ra
x . (6) 3 x 3
Lấy (4) chia (3) vế theo vế ta được
.
2
x 4 x 3
x 4 x 3
2
Suy ra
. (7)
e
exp
exp
x 4 x 3
x 4 x 3
Thay (6) vào (7) ta được
exp
exp
.
1 x 3
x 4 x 3
1 x 3
x 4 x 3
4
Vậy
.
,
exp
có ba bất biến
)G 5,3,6(
X 1
X , 3
1 X
X X
X X
3
3
5 3
1 1 0
0;
ad
ad
5,3,7 :G
X
X
1
2
0 0 1
0 1 1 .
X
Ta có X X [
,
]
[
]
[
]
[
] 0,
1
, X X , 1
3
X X , 1
4
X X , 1
5
3
2
X
X
X
X
X
[
]
[
,
]
[
,
]
.
X X , 2
3
, X X 2
4
3
, X X 2
5
4
4
5
3
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
(7)
, (cid:0)
,
0 1 0 0 0
1 0 1 1 0
Xad
1
2
0 0 1 1
0 0 0 0 0
0
0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
(cid:0) Xad
, (cid:0)
,
0
0
1 0 0 0
1 0 0 0
Xad
3
4
0
1 0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
(cid:0) Xad
.
0
0
0 0 0
5
0
1 0 0 0
0
1 0 0 0
NG = 3.
(cid:0) Xad
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
2
2
e
e
e
e
1
2 2
2 2 2
a 32
B( )
1 2
2
2
0
e
0
e
e
5 2 5
4
2 2
2
0
e
0
0
e
2 5
2
Trong đó
.
(
)
e
a 32
3 4
2 2 5
1
2 4
2 5
1 2
Do đó ta có hệ
(1)
,
x 1
x 1
x 3 1
e 2
2
(2)
x
2
2
x a 3 32
x e 4
5 2 5
4
x e 5
5, 2
x
(3)
,
x e 2 3
x 3
2
(4)
,
4
x e 3
2 2
x e 4
x
2
(5)
.
5
x e 3
2 2 2
x e 4
2 2
x e 5
x
1 2
*Thay (3) vào (1) ta được
x 1
x 3
x 3
x 1.
x 1
x . Hay 3
x x 1 3
. (6)
*Lấy (4) chia (3) vế theo vế ta có
2
x 4 x 3
x 4 x 3
Từ (3) và (6) suy ra
exp
exp
.
1 x 3
x 4 x 3
1 x 3
x 4 x 3
5
. (7)
*Lấy (5) chia (3) vế theo vế ta được
2 2
2
1 2
x 4 x 3
x 5 x 3
x x 3
Thay (6) vào (7) ta có
2
5
5
1 2
x 4 x 3
x 4 x 3
x 4 x 3
x x 3
x x 3
x 4 x 3
x 4 x 3
2
2
2
5
4
4
x x
1 2
1 2
3
x 4 x 3
x 4 x 3
x x 3
x x 3
x 5 x 3
x 4 . x 3
x 4 x 3
x 4 . x 3
2
2
5
.
1 2
1 2
x x 3
x 4 x 3
x 5 x 3
x 4 x 3
2
5
4
4
Vậy
.
X
exp
,
5,3,7G có ba bất biến
3
X , 1
1 X
X X
X X
X X
1 2
3
3
3
3
G
5,3,8(
) : ,
cos
sin
0
0;
\ {0},
sin
cos
ad
ad
(0, ).
X
X
(cid:0)
1
2
0
0
0 ;
X
Ta có X X [
,
]
[
]
[
]
[
] 0,
1
, X X , 1
3
X X , 1
4
X X , 1
5
3
2
,
,
X
X
X
X
[
]
cos .
sin .
[
]
sin .
cos .
X X , 2
3
3
4
X X , 2
4
3
4
[
]
X X , 2
5
. X 5
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
(8)
, (cid:0)
,
0 1 0 0 0
1 0 cos
sin
0
Xad
1
2
0 0 0 0 0
0 sin
cos
0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0 0
(cid:0) Xad
0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0
0
, (cid:0)
,
cos
0 0 0
sin
0 0 0
0
0
Xad
3
4
sin
0 0 0
cos
0 0 0
0
0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
0
0
0 0 0
(cid:0) Xad
.
0
0
0 0 0
5
0
0
0 0 0
0
0 0 0
NG = 3.
(cid:0) Xad
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
B( )
2
0 0 a 31 a 41 a 33 a 43 a 34 a 44
0 0 0 e e a 32 a 42 2 5
2 cos
Trong đó
2
2 cos
cos e cos sin , a 31
2
cos
2
e
cos
cos
sin
sin
a 32
2
1 4
3
cos
2
e
,
sin
cos
sin
sin
2
4
3
cos
2
e
cos
cos
sin
sin
a 42
2
4
3
cos
2
e
sin
cos
sin
,
sin
2
4
3
2 cos
2 cos
sin e sin sin , a 41
e sin
e sin
2
2
cos , sin . a 33 a 44 a 34 a 43
x
cos
sin
x 1
x 3
x 1
4 cos
2
x
e
sin
sin
, (1)
sin
4
2
x 3
2
Khi đó ta có hệ phương trình
x
2
2
x a 3 32
x a 4 42
x e 5
cos 2 5,
x
2 cos
(2)
x
x
e
cos
sin
,
sin
sin
3
2
4
2
x 3
2 cos
(3)
x
e
sin
cos
,
sin
sin
4
x 3
2
4
2
x
2
(4)
.
x e 5
x 5
(5)
2
*Lấy (4) chia (3) ta được
tan arctan
2
x 4 x
cos sin
sin sin 2 sin cos
sin sin
x 3 x 3
2
4
2
x 4 x 3
sin
x 4 x 3
.
a
arctan
,
a
a a sin
x 4 x 3
x arctan 4 x 3
(
) cot
a a
. (6) Đặt . Khi đó ta có 2
e
a tan .sin
x 3
a a
a a
x 3 cos
(
) cot
e
a a
.
.
x 3
x 3
a a
cos cos
a .exp .cot
a exp .cot
a
x 3 cos
x 3 a cos
x
Thay (6) vào (3) ta có
exp
.
5
5
x
a a
sin
*Thay (6) vào (5) ta có
x
.exp
.exp
5
5
x
a
a
sin
sin
.
*Khai triển (1) ta được
x
e
sin
cos
2 cos [
cos .cos
sin
2
x 1
x
x 1
x 3 sin .sin(
x cos .sin(
sin )]
x 3
4 sin ) 2
x 3 sin ) sin .cos( 2
4
4
2
cos
2
x
e
x
cos
sin
.cos [
cos
x 1
x 3
4
3
2
x 1
cos
2
x
e
x
sin(
sin )]
.sin [
sin
cos(
sin )] (7)
sin sin
4
2
x 3
4
2
2
x
Thay (3) và (4) vào (7) ta có kết quả
cos
sin
cos
sin
x 1
x 3
4
4
x 1
x 3
x
.
x
cos
sin
cos
sin
4
x 1
x 3
4
x x 3 1
x
X
3
4
Hay .
.arctan
,
G
5,3,8(
) ,
X X
3
exp cot
4
cos arctan
X X
3
4
X
X
X
exp
.arctan
,
cos
sin .
5
có ba bất biến Vậy
3
4
X X
sin
3
1
(
)
).
End
X 1
G
Xad
2
4
5
Mat (cid:0) ( 4
4 (cid:0) ;
1
, , 4. G1 = X X X X , 3
G
5,4,1(
,
,
) :
2 3
1
(1)
0 0 0
X
1
1
2
3
(cid:0)
1
1 0 0
2 0
0 ad ; , , \ {0,1}, 3 2 . 1 0 0
3 0
0 0 1
X
,
]
[
]
[
]
[
]
1
X 1 2
3
X 2 3
4
X 3 4
5
2
5
. Ta có X X [ , X X , 1 , X X , 1 , X X , 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
, (cid:0)
,
1 0
Xad
1
2
0 0 0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
2 0
0 0 0 0 0 0 0 0
3 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
, (cid:0)
,
Xad
3
4
(cid:0) Xad
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0
.
5
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0 0
0
1 0 0 0 0
NG = 3.
1 1
1 1
1 0 0 0 0
1 2
1 2
e e 0 0 0 2 1
1 3
1 3
e 0 e 0 0 . B( ) 3 2
1
e 0 0 e 0 4 3
1 5
e 0 0 0 e
1 3
1 1
1 2
Khi đó ta có hệ phương trình
x 1
x e 2
x e 3
x e 4
x e 5
5, 1
x 1
(1) 2 1 3 2 4 3
,
x e 1 1 2
(2) x 2
,
x e 1 2 3
(3) x 3
,
x e 1 3 4
(4) x 4
.
x e 1 5
(5) x 5
2
x 1 3 x 2
x 1 3 x 2 2
*Từ (2) và (3) suy ra .
3
x 1 4 x 2
x 1 4 x 3 2
*Từ (2) và (4) suy ra .
x 1 5 x
2
2
x 1 5 x
X
X
. *Từ (2) và (5) suy ra
,
,
G
5,4,1(
,
,
)
2 3
1
X 1 5 X
X
X
2
1 3 2 2
1 4 3 2
có ba bất biến . Vậy
0 0 0
G
X
1
5,4,2(
) :
(cid:0)
1
, 1 2
; \ {0,1}, . ad (2) , 1 2 2 1 0 0 2 0 0 0 1 0
X
0 0 0 1
,
,
G
G
5,4,1(
,
,
)
5,4,2(
2 3
1
) , 2
1
X 1 4 X
X 1 5 X
X
2
2
1 3 2 2
, có ba bất biến . Tương tự như
Xad
) :G 5,4,3(
(cid:0)
1
; \ {0,1}. (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
3
0 0 0 1
,
,
G
5,4,1(
,
,
)
)G 5,4,3(
2 3
1
X X
X 4 X
X 5 X
2
2
2
Tương tự như , có ba bất biến .
G
5,4,4(
Xad
) :
(cid:0)
1
; \ {0,1}. (4) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1
,
,
G
G
5,4,1(
,
,
)
5,4,4(
)
2 3
1
X 3 X
X 4 X
X 5 X
2
2
2
Tương tự như , có ba bất biến .
1 0 0 0
5,4,5 :G
Xad
1
0 1 0 0 . (5) 0 0 1 0
3
5
4
0 0 0 1
,
,
G
5,4,1(
,
,
)
5,4,5G có ba bất biến
2 3
1
X X
X X
X X
2
2
2
, . Tương tự như
0 0 0
G
5,4,6(
) :
X
1
(cid:0)
, 1 2
1
1 0 0 0 ; \ {0,1}, . ad (6) , 1 2 2
0 0 2 0 0 1 1 0 1
X
X
X
,
]
[
]
[
]
[
,
]
1
X 1 2
3
X 2 3
4
2
5
4
4
5
. Ta có X X [ , X X , 1 , X X , 1 , X X 1
0
0 0
,
, (cid:0)
Xad
1
2
(cid:0) Xad
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0
,
, (cid:0)
Xad
3
4
(cid:0) Xad
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0
.
5
(cid:0) Xad
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
NG = 3.
1 1
1 1
0 1 0 0 0
1 2
1 2
e e 0 0 0 2 1
1
e e 0 0 0 . B( ) 3 2
1 1
1
e e 0 0
1
e e 0 0 0 a 41 1 5
e
5 1 5
4
Trong đó a 41
1 1
1 2
Khi đó ta có hệ phương trình
x 1
x e 2
x e 3
x a 4 41
x e 5
5, 1
x 1
(1) 2 1 3 2
,
x e 1 1 2
x 2
(2)
,
x e 1 2 3
x 3
(3)
,
x e 1 4
x 4
1
(4)
.
5
x e 4
1 1
x e 5
x
(5)
2
x 1 3 x 2
x 1 3 x 2 2
*Từ (2) và (3) suy ra .
x 1 4 x
2
2
x 1 4 x
5
5
. *Từ (2) và (4) suy ra
x x
4
4
x x
5
5
exp
exp
.exp
1
x x
4
4
x x
. *Lấy (5) chia (4) vế theo vế ta được 1
5
5
4
exp
exp
x x
x x
4
4
4
x x
5
5
exp
exp
1 x
x x
4
4
4
4
x x
1 x
X
5
.
,
,
exp
G
5,4,6(
) , 2
1
X 1 4 X
1 X
X X
X
2
4
4
1 3 2 2
có ba bất biến . Vậy
0 0 0
G
Xad
5,4,7(
) :
(cid:0)
1
; \ {0,1}. (7) 0 0 0 0 0 1 1
3
5
0 0 0 1
,
,
exp
G
G
5,4,7(
5,4,6(
)
) , 2
1
X X
X 4 X
1 X
X X
2
2
4
4
, có ba bất biến . Tương tự như
Xad
) :G 5,4,8(
(cid:0)
1
0 1 0 0 0 0 ; \ {0,1}. (8)
0 0 0 1 1 0 0 1
Ta có
X
X
X
X
X
[
] X
[
]
[
]
[
]
X X , 1
2
3
2
2
4
3
5
4
4
5
. , X X , 1 , X X , 1 , X X , 1
, (cid:0)
,
Xad
1
2
(cid:0) Xad
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
, (cid:0)
,
Xad
3
4
0 0 0 0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
5
0 0 0 0 (cid:0) Xad
0
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
NG = 3.
1
1 0 0 0 0
1 1
1
e e 0 0
1
e e 0 0 0 . B( ) a 21 1 3
1 1
1
e e 0 0
1
1
e e 0 0 0 a 41 1 5
e
e
1 3
3
2
5 1 5
4
, . Trong đó a 21 a 41
e
1
x 1
x a 2 21
x 1 3 3
x a 4 41
x e 5
5, (1)
x 1
1
Khi đó ta có hệ phương trình
,
x e 2
x 2
1
(2)
,
x e 2
1 1
x e 3
x 3
(3)
,
x e 1 4
x 4
1
(4)
.
5
x e 4
1 1
x e 5
x
(5)
x 4 x
2
2
x 4 x
. *Từ (2) và (4) suy ra
x 3 x
2
2
x 3 x
exp
exp
.exp
1
x 3 x
2
2
x 3 x
4
exp
exp
x x
x 3 x
2
4
2
x 3 x
. (6) *Lấy (3) chia (2) vế theo vế ta được 1
exp
exp
1 x
x 3 x
2
4
2
4
x 3 x
1 x
5
5
.
x x
4
4
x x
5
5
. (7) *Lấy (5) chia (4) vế theo vế ta được 1
x 3 x
x x
2
4
2
4
x x
x 3 x
3
5
3
. Từ (6) và (7) suy ra
,
exp
,
.
)G 5,4,8(
X 4 X
1 X
X X
X X
X X
2
4
2
4
2
Vậy có ba bất biến
G
5,4,9(
Xad
) :
(cid:0)
1
0 0 0 0 1 1 0 ; \ {0,1}. (9)
0 0 1 1 0 0 0 1
X
X
X
X
X
,
] X
[
]
[
]
[
]
1
2
3
2
4
3
5
4
4
5
3
. Ta có X X [ , X X , 1 , X X , 1 , X X , 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
, (cid:0)
,
Xad
1
2
0 0 1 1 0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
, (cid:0)
,
Xad
3
4
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
.
5
(cid:0) Xad
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
NG = 3.
1
1 0 0 0 0
1 2
1
e e 0 0 0
1 1
2 1 1
1
1
e e e 0 . B( ) a 31 1 2
1 1
1 5 5
4
1
e e e 0 0
1 5
e e 0 0 0
e 1 3 4
31
2 1 5
1 2
. Trong đó a 1 5 1 4
1
x
e
1
x 1
1 2 2
x a 3 31
x e 4
1 5 5
4
x e 5
5, (1)
x 1
Khi đó ta có hệ phương trình
1
,
x e 2
x 2
(2)
,
x e 1 3
x 3
1
(3)
,
4
x e 3
1 1
x e 4
x
1
(4)
.
5
x e 3
2 1 1
x e 4
1 1
x e 5
x
1 2
(5)
x 3 x
2
2
x 3 x
. *Từ (2) và (3) suy ra
x 4 x 3
x 4 x 3
exp
exp
.exp
1
x 4 x 3
x 4 x 3
exp
exp
x 3 x
3
x 4 x 3
x 4 x 3
. (6) *Lấy (4) chia (3) vế theo vế ta được 1
exp
exp
1 x 3
x 4 x 3
x 4 x 3
1 x 3
5
5
.
2 1
1 2
x 4 x 3
x x 3
x x 3
2
5
5
. (7) *Lấy (5) chia (3) vế theo vế ta được 1
1 2
x 4 x 3
x 4 x 3
x 4 x 3
x x 3
x x 3
x 4 x 3
x 4 x 3
2
2
5
5
4
Thay (6) vào (7) ta có .
x x
1 2
1 2
3
x x 3
3
x x
x 4 x 3
2
5
4
4
. Do đó
,
exp
,
G
5,4,9(
)
X 3 X
1 X
X X
X X
X X
1 2
2
3
3
3
3
có ba bất biến . Vậy
1 1 0 0
G
5,4,10 :
Xad
1
0 1 1 0 . (10) 0 0 1 1
0 0 0 1
Ta có
X
X
X
X
X
X
X
[
]
[
]
[
]
[
]
X X , 1
2
3
2
2
4
3
5
4
4
5
3
. , X X , 1 , X X , 1 , X X , 1
, (cid:0)
,
Xad
1
2
(cid:0) Xad
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
, (cid:0)
Xad
3
4
(cid:0) Xad
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
.
5
(cid:0) Xad
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
NG = 3.
1
0 1 0 0 0
1 1
2 1 1
3 1 1
e e e e a 21 1 2
1
1 1
2 1 1
1
1
B( ) 0 e e e a 31 1 6 1 2
1 5 5
4
1 1
1
0 0 e e e
1 5
0 0 0 e e
Trong đó
a 21
2 e 1 3 1 4
2
3 1 4 1 5
2 1 5
1 3
1 2
1 6
1 2
,
a 31
e 1 3 4
2 1 5
1 2
. 1 5 1 4
1
Ta có hệ phương trình
1
x 1
x a 2 21
x a 3 31
x e 4
1 5 5
4
x e 5
5, (1)
x 1
,
x e 1 2
1
(2) x 2
,
x e 2
x e 3
x 3
1
(3) 1 1
,
4
x e 2
2 1 1
x e 3
1 1
x e 4
x
1 2
1
(4)
.
5
x e 2
3 1 1
x e 3
2 1 1
x e 4
1 1
x e 5
x
1 6
1 2
(5)
x 3 x
2
2
x 3 x
*Lấy (3) chia (2) vế theo vế ta được . 1
exp
exp
.exp
1
x 3 x
2
2
x 3 x
2
exp
exp
x x
x 3 x
2
2
2
x 3 x
exp
exp
1 x
x 3 x
2
2
2
2
1 x
4
4
. x 3 x
2 1
1
x 3 x
x x
1 2
2
2
2
x x
2
3
4
*Lấy (4) chia (2) vế theo vế ta được
x x
x 3 x
x 3 x
x x
1 2
2
2
2
2
2
2
x 4 x 2
x 3 x
x 3 x
2
2
4
4
.
x x
x 3 x
1 2
1 2
2
2
2
2
x x
5
5
4
. (6) Do đó x 3 x
.
3 1
2 1
1
x 3 x
x x
x x
1 6
1 2
2
2
2
2
x x
3
2
5
4
*Lấy (5) chia (2) vế theo vế ta được .
.
x 3 x
x 3 x
x 3 x
x x
x 3 x
x x
1 6
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x 5 x 2
x 3 x
x 3 x
x 3 x
3
2
3
5
4
4
.
.
x 3 x
x 3 x
x x
x 3 x
x x
x x
1 3
1 6
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x 5 x 2
x 3 x
x 3 . x
(7) x 3 x
2
x 3 x
3
2
3
4
ta được Nhân hai vế của (6) cho
x x
x 3 x
1 2
1 2
2
2
2
2
2
2
x x 3 4 . x x 2
x . x
x 3 . x
(8) x 3 x
3
3
3
5
5
4
Cộng (7) và (8) vế theo vế ta có kết quả
.
x 3 x
x x
x 3 x
x x
1 2
1 3
1 6
2
2
2
2
2
2
2
2
x x
x x 3 4 . x x 2
x 3 x x 3 x
3
3
5
5
4
.
.
x x
x x
x 3 x
x 3 x
1 3
1 3
2
2
2
2
2
2
2
x x
x x 3 4 . x x 2
x 3 x
Hay
5,4,10G
2
3
3
3
5
X X . 4
4
3
4
Vậy có ba bất biến
exp
,
,
1 X
X X
X X
X X
X X
X X
1 2
1 3
3 2
2
2
2
2
2
2
X X . 3 2 2
. X
G
5,4,11(
,
,
) :
2
1
(11)
cos sin 0 0
1
Xad
(cid:0)
1
0
sin cos 0 0 ; \ {0}, ). (0, 2 0 0
1 0
2
0 0
X
X
X
X
[
]
cos .
sin .
[
]
sin .
cos .
X X , 1
2
2
3
X X , 1
3
2
3
, , Ta có
[
]
[
]
X X , 1
4
X 1 4
5
X 2 5
. , X X , 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 cos sin 0 0 cos 0 0 0 0
,
0 sin cos 0 0 sin 0 0 0 0 (cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
1
2
0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0
2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, (cid:0)
,
Xad
3
4
cos 0 0 0 0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
5
0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0 0
2
0 0 0 0 0
NG = 3.
0 0
0 0
1 1
1 1
0 0 1 a 21 a 31 0 a 22 a 32 0 a 23 a 33 B( ) .
1 2
1 2
e e 0 0 0 4 1
e e 0 0 0 5 2
sin
sin
cos
sin
a 21
e 1 cos 2
1
3
1
,
e 1 cos
sin
sin
cos
sin
a 31
3
1
2
1
,
Trong đó
e 1 cos
cos
sin
e 1 cos sin
sin
a 22
a 33
1
a 23
a 32
1
, .
1 1
1 2
Khi đó ta có hệ phương trình
x 1
x a 2 21
x a 3 31
x e 4
x e 5
5 2, (1)
x 1
1 cos
4 1
x
e
cos
sin
,
sin
sin
1
x 3
1
2
2
x
1 cos
(2)
x
e
sin
cos
,
sin
sin
1
x 3
1
2
x 3
(3)
,
x e 1 1 4
(4) x 4
.
x e 1 2 5
(5) x 5
2
x 1 5 x 4
x 1 5 x 2 4
*Từ (4) và (5) suy ra .
1
*Lấy (3) chia (2) ta được
tan arctan
1
x 2 x
x 3 x
cos sin
sin sin 1 sin cos
sin sin
2
2
1
x 3 x 3
1
2
x 3 x
. sin
a
arctan
,
a
x 3 x
a a sin
2
2
x arctan 3 x
. (6) Đặt . Khi đó ta có 1
x
4
4 exp
x
1 sin
a a
x
exp
exp
4
4
x
1 a sin
1 a sin
*Thay (6) vào (4) ta có
cot
)
a a .(
e
x
x
cos
sin
2
2
3
x
a a
a a
cot
)
a a .(
e
x
a tan .sin
x 2
a a
a a
2 cos
cot
)
a a .(
e
x
.
2
x 2
a a
cos cos
*Thay (6) vào (2) ta có
a exp .cot
a exp .cot
a
x 2 cos
x 2 a cos
.
G
5,4,11(
,
,
) 2
1
Vậy có ba bất biến
3
3
2
4
2
2
3
1 5 2 4
2
X X X , exp arctan , .arctan . X X X X 1 sin X exp cot cos arctan X X
sin cos 0 0
G
5,4,12(
Xad
) : ,
(cid:0)
1
cos sin 0 0 ; \ {0}, (12) (0, ). 0 0 0
0 0 0
G
G
5,4,11(
,
,
5,4,12(
) ,
) 2
1
Với cách tính hoàn toàn tương tự như , cũng có ba bất
biến
5
3
3
2
4
4
2
2
3
2
X X , exp arctan , .arctan . X X X X X X sin exp cot cos arctan X X
sin cos 0 0
G
5,4,13(
Xad
) : ,
(cid:0)
1
cos sin 0 0 ; \ {0}, (13) (0, ). 0 1 0
0 0 0
3
2
2
3
2
3
, , Ta có X X X X [ ] cos . sin . [ ] sin . cos . X X , 1 X X , 1
X
X
[
] X
[
]
X X , 1
4
5
4
4
5
. , X X , 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 cos sin 0 0 cos 0 0 0 0
, (cid:0)
,
Xad
1
2
0 sin cos 0 0 sin 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, (cid:0)
,
Xad
3
4
cos 0 0 0 0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
5
0 0 0 0 (cid:0) Xad
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
NG = 3.
0 0
0 0
1
1
0 0 1 a 21 a 31 0 a 22 a 32 0 a 23 a 33 . B( )
1 5 4
5
1 1
1
e e e 0 0
1 5
e e 0 0 0
sin
sin
cos
sin
a 21
e 1 cos 2
3
1
1
,
e 1 cos
sin
sin
cos
sin
a 31
3
1
2
1
,
Trong đó
e 1 cos
sin
e 1 cos sin
1
1
, . cos sin a 22 a 33 a 23 a 32
1
Khi đó ta có hệ phương trình
1 5 4
5
1 5
1 cos
x e x 1 x a 2 21 x a 3 31 x e 4 5, (1) x 1
x
e
cos
sin
,
sin
sin
1
x 3
1
2
2
x
1 cos
(2)
x
e
sin
cos
,
sin
sin
1
x 3
1
2
x 3
1
(3)
1
(4) , x e 4 x 4
.
5
x e 4
1 1
x e 5
x
(5)
5
5
4
4
5
5
. (6) *Lấy (5) chia (4) ta được 1 x x x x
4
4
5
5
4
exp exp .exp 1 x x x x
4
4
4
5
5
exp .exp x x x x x x
4
4
4
4
. exp exp 1 x x x x x 1 x
1
*Lấy (3) chia (2) ta được
1
sin sin 1 sin cos
sin sin
2
2
1
1
2
. tan arctan x 2 x x 3 x cos sin x 3 x 3 sin x 3 x
2
2
cot
)
a a .(
. (7) a Đặt arctan , . Khi đó 1 a x 3 x a a sin x arctan 3 x
2
2
a a
a a
cot
)
a a .(
Thay (7) vào (2) ta được e x cos sin x 3 x
a a
a a
2 cos
cot
)
a a .(
e x a tan .sin x 2
2
e x . x 2 a a cos cos
a exp .cot
a exp .cot
5
5
. a x 2 cos x 2 a cos
4
4
5
*Từ (6) và (7) suy ra x x a sin a sin x x
4
. x x a sin a sin x 5 x 4
G
5,4,13(
) ,
có ba bất biến Vậy
3
5
3
5
2
2
4
2
4
4
3
2
X .arctan , arctan . exp , X X X X X X 1 X X X 1 sin exp cot cos arctan X X
G
5,4,14(
,
) :
,
(14)
cos sin 0 0
Xad
(cid:0)
1
sin cos 0 ; \ {0}, (0, 0, , ). 0 0
0 0 0
2
2
3
3
2
3
, , Ta có X X X X [ ] cos . sin . [ ] sin . cos . X X , 1 X X , 1
[
[
X X ]
X X , 1
4
X X ] 4
5
5
4
5
. , X X , 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 cos sin 0 0 cos 0 0 0 0
,
0 sin cos 0 0 sin 0 0 0 0 (cid:0) Xad
, (cid:0) Xad
1
2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, (cid:0)
,
Xad
3
4
cos 0 0 0 0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
5
0 0 0 0 0 (cid:0) Xad
0 0 0 0
0 0 0 0
NG = 3.
0 1 0 0 0
1
1
0 0 0 0 a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 a 33 B( ) .
1
1
0 0 cos sin a 41
1 sin
1
. e
. e 1
0 0 cos . e . e a 51 1
e 1 cos
cos
sin
sin
sin
a 21
2
3
1
1
,
e 1 cos
cos
sin
sin
sin
a 31
3
2
1
1
,
1
1
Trong đó
4
5
5
4
1
1
, e e sin cos a 41 1 1
4
5
5
4
, e e cos sin a 51 1 1
e 1 cos
sin
e 1 cos sin
1
1
, . cos sin a 22 a 33 a 23 a 32
Khi đó ta có hệ phương trình
1 cos
x 1 x a 2 21 x a 3 31 x a 4 41 x a 5 51, (1) x 1
x
e
cos
sin
,
sin
sin
2
1
x 3
1
2
x
1 cos
(2)
x
e
sin
cos
,
sin
sin
1
x 3
1
2
x 3
1
(3)
x
x
e
cos
sin
,
4
4
1
5
1
x
1
(4)
x
x
e
sin
cos
.
5
4
1
5
1
x
(5)
4
5
5
*Lấy (5) chia (4) ta được
4
4
sin 1 cos 1
5
4
5
5
. tan arctan 1 x x x 5 x x x cos sin 1 1 x x
a a
4
4
. (6) a Đặt arctan , . Khi đó 1 a x x x arctan x
a a
e
x
x
cos
.sin
4
4
5
x
a a
a a
a a
Thay (6) vào (4) ta có
a a
a a
4 cos
a a
e
x
.
4
x 4
a a
cos cos
e x a tan .sin x 4
. exp exp a a a x 2 cos x 4 a cos
1
*Lấy (3) chia (2) ta được
1
sin sin 1 sin cos
sin sin
2
2
1
1
2
. tan arctan x 2 x x 3 x cos sin x 3 x 3 sin x 3 x
2
2
cot
.(
)
b b
. (7) b Đặt arctan , b . Khi đó 1 x 3 x b b sin x arctan 3 x
e
x
cos
sin
2
2
x 3
b b
b b
x
cot
.(
)
b b
e
x
Thay (7) vào (2) ta được
b tan .sin
b b
b b
x 2
cot
.(
)
b b
e
x
.
2
x 2
b b
cos cos
2 cos
b exp .cot
b exp .cot
b
x 2 cos
x 2 b cos
.
a a
a
b b sin
b a sin
b . sin
. Hay *Từ (6) và (7) suy ra
G
5,4,14(
,
) ,
có ba bất biến Vậy
X
X
5
3
4
2
exp
arctan
,
.arctan
,
X X
X X
4
2
5
3
cos arctan
cos arctan
X X
X X
4
2
exp cot
5
3
arctan
arctan
.
X X
X X
1
1 sin
4
2
KẾT LUẬN
Qua những phần đã trình bày, chúng ta đã nắm được phương pháp tính
toán các bất biến của các đại số Lie giải được số chiều thấp, đồng thời qua đó
G
5,1G ,
5,2,1G ,
5,2,2(
)
cũng tính được các bất biến của các MD5–đại số: ,
G
G
5,3,4G ,
5,3,7G ,
5,3,8(
)G 5,3,2(
)G 5,3,3(
)G 5,3,5(
)G 5,3,6(
) ,
5,3,1(
) , 2
1
, , , , , ,
G
G
G
G
G
5,4,1(
,
,
)
5,4,2(
5,4,4(
5,4,5G ,
5,4,6(
5,4,7(
)G 5,4,3(
)
)
3 2
1
) , 2
1
) , 2
1
, , , , , ,
G
G
G
5,4,10G
5,4,11(
,
,
5,4,12(
5,4,13(
)G 5,4,8(
)G 5,4,9(
) ,
) ,
) 2
1
, , , , , ,
G
5,4,14(
,
) ,
. Từ các kết quả trên, một cách tự nhiên gợi ý cho chúng ta hướng
mở cần nghiên cứu sau:
Áp dụng thuật toán tính các bất biến đó để tính toán các bất biến của các
MD5–đại số còn lại, cho lớp MD6–đại số và một vài MDn (n > 5) đặc biệt.
Do những hạn chế về nhiều mặt như: trình độ, thời gian, …. Luận văn đã
dừng lại trong những khuôn khổ nhất định mà bản thân tác giả rất tha thiết muốn
được tiếp tục nghiên cứu. Tác giả hy vọng còn có dịp tiếp tục nghiên cứu những
vấn đề trên trong tương lai.
Sau cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc soạn thảo, nhưng những
sai sót là không thể tránh khỏi, tác giả xin chân thành lắng nghe và cảm ơn các
độc giả đã, đang và sẽ đóng góp ý kiến cho quyển luận văn này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. [An-Tu] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2005), Lí thuyết liên thông
và hình học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.
2. [Do] Nguyễn Văn Đoành (2006), Đa tạp khả vi, Nxb Đại học Sư phạm,
Hà Nội.
Tiếng Anh
3. [Ki] A. A. Kirillov (1976), Elements of the Theory of Representations,
Springer – Verlag, Berlin – Heidenberg – New York.
4. [Ab-Ma] Abellanas L. and Martinez Alonso L. (1975), A general setting
for Casimir invariants, J. Math. Phys, V.16, 1580-1584.
5. [Be-Bla] Beltrametti E. G. and Blasi A. (1966), On the number of Casimir
operators associated with any Lie group, Phys. Lett., V.20, 62-64.
6. [Fe-Olv1] Fels M. and Olver P. (1998), Moving coframes: I. A practical
algorithm, Acta Appl. Math., V.51, 161-213.
7. [Fe-Olv2] Fels M. and Olver P. (1999), Moving coframes: Regularization
and theoretical foundations, Acta Appl. Math., V.55, 127-208.
8. [Vu] Le Anh Vu (2006), “On a Subclass of 5-dimentional Solvable Lie
Algebras Which Have 3-dimentional Commutative Derived Ideal”,
East – West Journal of Mathematics, Vol. 7(1), pp. 13 – 22, Bangkok,
Thailand.
9. [Vu-Shu] Le Anh Vu, K.P. Shum (2008), “On a Subclass of 5-dimentional
Solvable Lie Algebras Which Have Commutative Derived Ideal”,
Advances in Algebra and Combinatorics, World Scientific Publishing
Co., pp. 353 – 371.
10. [Ha-Sch] M. Hausner and J. T. Schwartz (1968), Lie Group – Lie Algebra,
Gordon and Breach, Sci. Publisher, New York – London – Paris.
11. [Mo] Morozov V. V. (1958), Classification of nilpotent Lie algebras of
sixth order, Izv. Vys. Ucheb. Zaved. Matematika, N4 (5), 161-171.
12. [Mu] Mubarakzyanov G. M. (1963), On solvable Lie algebras, Izv. Vys.
Ucheb. Zaved. Matematika, N1 (32), 114-124.
13. [Pa-Pro] Pauri M. and Prosperi G. M. (1966), On the construction of the
invariants operators for any finite-parameter Lie group, Nuovo
Cimento A, V.43, 533-537.
14. [Pe] Pecina-Cruz J. N. (1944), An algorithm to calculate the invariants of
any Lie algebra, J. Math. Phys, V.35, 3146-3162.
15. [Tu] Turkowski P. (1990), Solvable Lie algebras of dimention six, J. Math.
Phys, V.31, 1344-1350.
16. [Vy-Ji-Ro] Vyacheslav Boyko, Jiri Patera and Roman Popovych (2006),
“Computation of Lie Algebras by Means of Moving frames”, arXiv:
math-ph/0602046 v2.
