CHOUAKHA HOUA TOU XAY
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐA THỨC HILBERT CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
CHOUAKHA HOUA TOU XAY
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐA THỨC HILBERT CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04
Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN NGUYÊN AN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm
ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016
Người viết luận văn
i
CHOUAKHA HOUATOUXAY
Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Vành đa thức và iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨obner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Thuật toán Buchberger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. Đa thức Hilbert của iđêan đơn thức . . . . . . . . . 18
2.1. Đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Phức đơn hình và vành Stanley-Reisner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Đồ thị và vành mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ii
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
MỞ ĐẦU
Cho đại số giao hoán phân bậc hữu hạn sinh trên một trường, hàm
Hilbert, đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert là ba khái niệm có quan hệ mật
thiết với nhau, xác định sự biến thiên về chiều của các thành phần thuần
nhất của đại số. Các khái niệm này thường được nghiên cứu trên các đối
tượng sau:
1. Vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan đơn thức;
2. Vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan thuần nhất;
3. Vành địa phương với lọc là lũy thừa của iđêan tối đại.
Đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert là các công cụ quan trọng trong
Hình học Đại số. Chúng là công cụ dễ nhất để xác định chiều và bậc của
một đa tạp Đại số xác định bởi các phương trình đa thức.
Luận văn tìm hiểu về hàm Hilbert, đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert
của lớp vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan đơn
thức. Trường hợp này cho ta nhiều kết quả trực quan, liên hệ với hai
lớp vành quan trọng trong Đại số giao hoán, Hình học đại số và Đại số
tổ hợp là vành Stanley-Reisner và vành mặt. Hơn nữa một kết quả của
Macaulay cho thấy ta có thể chuyển việc nghiên cứu hàm Hilbert, đa
thức Hilbert, chuỗi Hilbert của lớp vành thương của vành đa thức nhiều
biến trên một iđêan thuần nhất về trường hợp vành thương của vành đa
thức nhiều biến trên một iđêan đơn thức. Luận văn là sự tổng hợp của
nhiều tai liệu ( [2], [4], [6], [7], ...).
Luận văn bao gồm hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức
chuẩn bị về vành đa thức nhiều biến, iđêan đơn thức, cơ sở Gr¨obner và
thuật toán Buchsberger để tìm cơ sở Gr¨obner. Đây là công cụ để chuyển
1
bài toán tìm hiểu hàm Hilbert của lớp vành thương của vành đa thức
nhiều biến trên một iđêan thuần nhất về trường hợp vành thương của
vành đa thức nhiều biến trên một iđêan đơn thức. Chương 2 là chương
chính của luận văn. Trong chương này luận văn trình bày về hàm Hilbert
(afin), đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert của vành thương của vành đa thức
nhiều biến trên một iđêan đơn thức. Đặc biệt để mô tả kỹ hơn các kết
quả trên, luận văn tìm hiểu hai lớp vành Stanley-Reisner và vành mặt.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS.
Trần Nguyên An. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
thầy. Tôi xin cảm ơn các thầy cô ở Viện Toán học, Khoa Toán và Khoa
Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận
tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn người thân, bạn bè đã cổ vũ và động
2
viên tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn cũng như khóa học của mình.
Chương 1
Vành đa thức và iđêan đơn thức
Trong chương này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản và các tính
chất của vành đa thức và iđêan đơn thức.
1.1. Vành đa thức
1 . . . . .xan
Cho R là một vành giao hoán và x1, . . . , xn(n ≥ 1) là các biến. Ta
gọi đơn thức là một biểu thức có dạng xa1 n , trong đó (a1, . . . , an) ∈ Nn được gọi là bộ số mũ của đơn thức. Nếu a1 = . . . = an = 0, thì đơn
thức được kí hiệu là 1.
Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa như sau:
n ) = xa1+b1
n )(xb1
1
1 . . . xbn
1 . . . xan
n, . . . , xn với đơn thức
1x0
. (xa1 . . . xan+bn n
2 . . . x0 n, thì đơn thức là tích của các biến.
Do đó nếu đồng nhất x1 với đơn thức x1 x0 1 . . . x0
n , với α ∈ R được gọi là hệ số của n được gọi là đồng dạng
1 ...xan n và βxb1
1 . . . xbn
n−1x1 Từ là biểu thức có dạng αxa1 1 . . . xan
từ. Hai từ khác không αxa1
với nhau nếu ai = bi, ∀i = 1, n.
Ta kí hiệu x = (x1, . . . , xn), a = (a1, . . . , an) ∈ Nn và xa =
xa1 1 . . . xan n .
3
Đa thức n biến x1, . . . , xn trên R là một tổng hình thức của các
từ:
a∈Nn X trong đó αa ∈ R và chỉ có một số hữu hạn hệ số αa 6= 0. Từ αaxa với αa 6= 0 được gọi là từ của đa thức f (x) và xa là đơn thức của f (x).
αaxa, f (x) =
Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau:
a∈Nn X
a∈Nn X
a∈Nn X
αaxa + βaxa = (αa + βa)xa.
Vì αa + βa 6= 0 nếu một trong hai hệ số αa hoặc βa khác 0. Vì vậy trong
biểu thức ở vế phải cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 và do đó nó đúng
là đa thức.
b∈Nn P
βbxb, trong đó βa = α và βb = 0 Ta đồng nhất αxa với đa thức
với mọi b 6= a. Theo cách này tất cả các từ với hệ số 0 đều đồng nhất
với một đa thức có tất cả hệ số bằng 0, ta gọi đa thức này là đa thức
không, kí hiệu là 0. Đa thức hằng α là đa thức tương ứng với từ α · 1. Nếu α1xa1, . . . , αpxap là tất cả các từ của f (x) thì có thể xem f (x) là tổng của các từ này qua phép đồng nhất trên
f (x) = α1xa1 + . . . + αpxap,
a∈Nn P
a∈Nn P
βaxa lần lượt là biểu diễn trong đó a1, . . . , ap ∈ Nn là bộ số mũ khác nhau. Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính tắc của đa thức f (x). αaxa và g(x) = Giả sử f (x) =
chính tắc của hai đa thức f (x) và g(x), chúng được xem là bằng nhau nếu αa = βa, với mọi a ∈ Nn. Vậy biểu diễn chính tắc của f (x) là duy
nhất.
Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau
a∈Nn X
a∈Nn X
a∈Nn X
4
γaxa, ( αaxa)( βaxa) =
b,c∈Nn,b+c=a P
αbβc. Ta thấy rằng γa 6= 0 chỉ khi tồn tại b và c trong đó γa =
thỏa mãn αb 6= 0, βc 6= 0 và b + c = a. Do vậy chỉ có một số hữu hạn hệ
số γa khác không và phép nhân đa thức ở trên hoàn toàn xác định.
Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên, tập tất
cả các đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là 1. Tập
này được kí hiệu là R[x1, . . . , xn] hay R[x] .
Định nghĩa 1.1.1. Vành R[x1, . . . , xn] xây dựng như trên được gọi là
vành đa thức của n biến x1, . . . , xn trên vành R.
Chú ý 1.1.2. (i) Khi n = 1, ta có vành đa thức một biến thông thường.
Đa thức một biến x thường viết dưới dạng
f (x) = anxn + . . . + a1x + a0 (n ∈ N, a0, . . . , an ∈ R).
1 . . . xan
(ii) Cho 0 ≤ m ≤ n. Bằng cách xem mỗi từ αxa1
m )xam+1
m+1 . . . xan
1 . . . xam
n trên R n trên vành R[x1, . . . , xm], có thể xem R[x1, . . . , xn] như là vành đa thức n − m biến xm+1, . . . , xn trên vành
như là từ (αxa1
R[x1, . . . , xm], tức là
R[x1, . . . , xn] = R[x1, . . . , xm][xm+1, . . . , xn]
Với quan điểm này có thể xây dựng vành nhiều biến (vô hạn biến R[xi, i ∈
I]) từ vành một biến theo quy nạp. Tuy nhiên mỗi đa thức của các vành
đó vẫn là một đa thức hữu hạn biến.
(iii) Khi tập các biến đã được xác định, ta chỉ kí hiệu đa thức đơn
giản là f, g, . . . thay cho f (x), g(x), . . ..
(iv) Quy ước phép nhân của các biến giao hoán ta có
R[x1, . . . , xn] = R[xδ(1), . . . , xδ(n)], với mọi phép thế δ ∈ Sn.
a∈Nn P
Định nghĩa 1.1.3. Bậc tổng thể của đa thức f (x) = αaxa là số
5
deg f (x) = max{a1 + . . . + an| αa 6= 0}.
Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường. Đôi
khi bậc tổng thể của đa thức nhiều biến cũng gọi tắt là bậc, nếu như
không có sự hiểu lầm nào xảy ra.
Chú ý 1.1.4. (i) Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0 và bậc tổng thể
của đa thức 0 được quy ước là −∞.
(ii) Nhiều khi ta còn dùng bậc của đa thức đối với tập con các
biến, chẳng hạn x1, . . . , xm, được định nghĩa như sau:
degx1...xm f (x) = max{a1 + . . . + am| αa 6= 0},
trong đó m < n cố định. Khi đó
R[x1, . . . , xn] = R[x1, . . . , xm][xm+1, . . . , xn].
Mệnh đề 1.1.5. Nếu R là miền nguyên, thì với mọi đa thức f (x), g(x) ∈
R[x] đều có:
deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x)
và deg(f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x), deg g(x)}.
Mệnh đề 1.1.6. Nếu R là miền nguyên, thì vành R[x] cũng là miền
nguyên.
Nhận xét 1.1.7. Khi R là một trường thì vành đa thức R[x] là miền
nguyên và bậc tổng thể của đa thức thỏa mãn mệnh đề trên.
Định nghĩa 1.1.8. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị là 1. Các
điều kiện sau là tương đương:
(i) Mọi tập khác rỗng các các iđêan của R đều có phần tử cực đại
(đối với quan hệ bao hàm).
(ii) Mọi dãy tăng các iđêan trong R: I1 ⊆ I2 . . . ⊆ In ⊆ In+1 . . . ,
đều dừng, tức là tồn tại k để Ik = Ik+1 = . . . .
(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh: tức là với mọi iđêan I ⊆ R
6
tồn tại f1, f2, . . . , fs ∈ I sao cho I = (f1, f2, . . . , fs).
Một vành thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là vành
Noether.
Định lý 1.1.9 (Định lý Hilbert về cơ sở). Cho R là vành Noether và x
là tập n biến. Khi đó vành R[x] cũng là vành Noether.
Hệ quả 1.1.10. Mọi iđêan của vành đa thức R[x] trên trường R là hữu
hạn sinh.
Định lý 1.1.11 (Định lý chia đa thức một biến). Cho K là một trường
và g(x) là đa thức khác 0 của K[x]. Khi đó mọi đa thức f (x) ∈ K[x] có
thể viết dưới dạng: f (x) = q(x)g(x) + r(x), trong đó q(x), r(x) ∈ K[x]
và deg r(x) < deg g(x). Hơn nữa q(x) và r(x) được xác định duy nhất.
Giả sử f = anxn+an−1xn−1+. . .+a0, an 6= 0, ta kí hiệu anxn là in(f )
và lc(f ) là kí hiệu của an.
Hệ quả 1.1.12. Vành đa thức K[x] trên một trường tùy ý là vành các
iđêan chính, nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức.
1.2. Iđêan đơn thức
Từ đây trở đi ta luôn giả thiết K là một trường. Trong mục này
ta xét lớp iđêan đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến là lớp iđêan đơn thức. Ta đặt x = {x1, . . . , xn}, a = (a1, . . . , an) ∈ Nn và xa = xa1 1 . . . xan n .
Định nghĩa 1.2.1. Iđêan I ⊆ K[x] được gọi là iđêan đơn thức nếu có tập con A ⊆ N n (có thể vô hạn) sao cho iđêan I bao gồm tất cả các đa a∈A haxa, trong đó ha ∈ K[x]. Trong trường hợp này ta
P
thức có dạng viết I = (xa; a ∈ A).
Ví dụ: I = (xy3, x3y2, x4y) là iđêan đơn thức.
7
Bổ đề 1.2.2. Cho I = (xa; a ∈ A) là iđêan đơn thức. Đơn thức xb ∈ I khi và chỉ khi xb chia hết cho một đơn thức xa với a ∈ A nào đó.
b = a + c. Do đó tập
a + Nn = {a + c : c ∈ Nn}
Chú ý rằng xb chia hết cho xa khi xb = xa.xc với c ∈ Nn kéo theo
bao gồm số mũ của tất cả các đơn thức chia hết cho xa.
Từ chú ý này và Bổ đề 1.2.2 cho ta hình ảnh mô tả các đơn thức
trong một iđêan đơn thức cho trước.
Chẳng hạn, nếu I = (xy3, x3y2, x4y), khi đó số mũ của các đơn
thức trong I là tập: ((1, 3) + Nn) ∪ ((3, 2) + Nn) ∪ ((4, 1) + Nn).
Ta có thể hình dung tập này như hợp các điểm nguyên trong các khối
vuông có đỉnh là (1, 3), (3, 2), và (4, 1) trong mặt phẳng.
Bổ đề 1.2.3. Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ K[x]. Các điều kiện sau
là tương đương:
(i) f ∈ I;
(ii) Mọi từ của f thuộc I;
(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I.
Hệ quả 1.2.4. Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau
nếu chúng chứa cùng một tập đơn thức.
Bổ đề 1.2.5. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I,
các từ của f đều thuộc I.
Bổ đề 1.2.6 (Bổ đề Dickson). Mọi iđêan đơn thức I = (xa; a ∈ A) luôn viết được dưới dạng I = (xa(1), . . . , xa(s)), trong đó a(1), . . . , a(s) ∈ A.
Nói riêng I là hữu hạn sinh.
Từ Bổ đề 1.2.2 và Bổ đề 1.2.6 suy ra mỗi iđêan đơn thức I chỉ có
một tập sinh tối tiểu gồm các đơn thức. J được gọi là tập sinh đơn thức
tối tiểu của I. Mỗi đơn thức trong tập sinh này được gọi là đơn thức
8
sinh của I.
1.3. Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨obner.
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M tất
cả các đơn thức của K[x]. Thứ tự ≤ được gọi là thứ tự từ nếu nó thỏa
mãn các tính chất sau:
(i) Với mọi m ∈ M, 1 ≤ m. (ii) Nếu m1, m2, m ∈ M mà m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2.
Bổ đề 1.3.2. Một thứ tự toàn phần ≤ trên M là thứ tự tốt khi và chỉ
khi mọi dãy đơn thức thực sự giảm:
m1 > m2 > m3 > . . .
sẽ dừng (sau hữu hạn phần tử).
Bổ đề 1.3.3. Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt. Ngược lại mọi thứ tự tốt trên M thỏa mãn điều kiên (ii) của Định nghĩa 1.3.1 thứ tự từ.
Cho ≤ là một thứ tự từ . Sau khi đổi chỉ số các biến luôn có thể
giả thiết:
x1 > x2 > . . . > xn.
n ≤lex xβ1
1 . . . xβn
Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng.
Định nghĩa 1.3.4. Thứ tự từ điển là thứ tự ≤lex xác định như sau: xα1 1 . . . xαn n nếu thành phần đầu tiên khác 0 kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1, . . . , αn − βn) là một số âm. Nói cách khác nếu tồn
n ) < deg(xβ1
n ≤glex xβ1
1 . . . xαn
1 . . . xαn
1 . . . xβn n ) = deg(xβ1
1 . . . xαn
n 1 . . . xβn 1 . . . xαn tại 0 ≤ i ≤ n sao cho α1 = β1, . . . , αi = βi nhưng αi+1 < βi+1. n n nếu α1 + . . . + αn < β1 + . . . + βn hoặc
1 . . . xβn
n . 1 . . . xαn
9 Định nghĩa 1.3.5. Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định như
n nếu deg(xα1
sau: xα1
1 . . . xβn
n )
hoặc deg(xα1
1 . . . xβn
n ) và thành phần đầu tiên khác 0
kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1, . . . , αn − βn) là một số âm. Nói cách
khác xα1
α1 + . . . αn = β1 + . . . + βn và xα1 n ) < deg(xβ1 n ≤rlex xβ1 1 . . . xαn 1 . . . xαn 1 . . . xβn
n ) = deg(xβ1 1 . . . xαn n 1 . . . xβn 1 . . . xαn n nếu α1 + . . . + αn < β1 + . . . + βn hoặc
α1 + . . . + αn = β1 + . . . + βn và tồn tại 1 ≤ i ≤ n để αn = βn, . . . , αi+1 = Định nghĩa 1.3.6. Thứ tự từ điển ngược là thứ tự ≤rlex xác định như
n nếu deg(xα1
sau: xα1
1 . . . xβn
n )
hoặc deg(xα1
1 . . . xβn
n ) và thành phần đầu tiên khác 0
kể từ bên phải của véctơ (α1 − β1, . . . , αn − βn) là một số dương. Nói cách
khác xα1 βi+1, nhưng αi > βi. Mệnh đề 1.3.7. Ba thứ tự kể trên là thứ tự từ. 2x2 3 nhưng x2 1x2x2 3 2x2
3. 3 Ví dụ 1.3.8. (i) x1x3 4 >rlex x1x2x4. 1x2x2
4 nhưng x1x2 (ii) x1x2x4 >glex x1x2 Như vậy ba thứ tự từ trên là thực sự khác nhau.
Ta vẫn kí hiệu R = K[x] = K[x1, . . . , xn] và M là tập đơn thức của nó. Định nghĩa 1.3.9. Cho ≤ là một thứ tự từ và f ∈ R. Từ khởi đầu của f với thứ tự từ ≤ là từ lớn nhất của đa thức f đối với thứ tự từ ≤, kí hiệu là in≤(f ). Nếu in≤(f ) = αxa, 0 6= α ∈ K, thì lc≤(f ) = α được gọi là hệ số đầu và lm≤(f ) = xa là đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ ≤. Nếu thứ tự từ ≤ đã được chỉ rõ và không có sự nhầm lẫn, ta sẽ viết in(f ), lc(f ), lm(f ) thay cho tương ứng in≤(f ), lc≤(f ), lm≤(f ). Từ khởi đầu của đa thức 0 được xem là không xác định (có thể nhận giá trị tùy ý). Ví dụ 1.3.10. Cho f = x3y2z + 5xyz − 3x4 + 7x3y − 2y6 + z4. Viết theo thứ tự các từ giảm dần ta có: (i) Đối với thứ tự từ điển mà x > y > z : 10 f = −3x4 + x3y2z + 5xyz − 2y6 + 7x3y + z4 và in≤lex(f ) = −3x4. (ii) Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y > z : f = x3y2z − 2y6 − 3x4 + 7yx3 + z4 + 5xyz và in≤glex(f ) = x3y2z. (iii) Đối với thứ tự từ điển ngược mà x > y > z : f = −2y6 + x3y2z − 3x4 + 7yx3 + z4 + 5xyz và in≤rlex(f ) = −2y6. Bổ đề 1.3.11. Cho f, g ∈ R và m ∈ M. Khi đó: (i) in(f g) = in(f ) in(g), với R là miền nguyên, (ii) in(mf ) = m in(f ), (iii) lm(f + g) ≤ max{lm(f ), lm(g)}. Dấu "<" xảy ra khi và chỉ khi in(f ) = − in(g). Định nghĩa 1.3.12. Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ. Iđêan khởi đầu của I, kí hiệu là in≤(I), là iđêan của R sinh bởi các từ khởi đầu của các phần tử của I, nghĩa là in≤(I) = (in≤(f ) | f ∈ I). Cũng như trên ta sẽ viết in(I) thay vì in≤(I) nếu thứ tự từ ≤ đã rõ. Chú ý 1.3.13. Vì in(f ) và lm(f ) chỉ khác nhau bởi một hằng số khác 0 nên in(I) = (lm(f ) | f ∈ I), và do đó in(I) là iđêan đơn thức. Bổ đề 1.3.14. Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R. Khi đó: (i) Tập tất cả các đơn thức trong in(I) là tập {lm(f ) | f ∈ I}. (ii) Nếu I là iđêan đơn thức thì in(I) = I. (iii) Nếu I ⊆ J thì in(I) ⊆ in(J). Hơn nữa nếu I ⊆ J và in(I) = in(J) thì I = J. (iv) in(I) in(J) ⊆ in(IJ). 11 (v) in(I) + in(J) ⊆ in(I + J). Mọi iđêan I ∈ R đều hữu hạn sinh. Tức I = (f1, . . . , ft) với f1, . . . , ft ∈ I. Ta luôn có (in(f1), . . . , in(ft)) ( in(I), điều ngược lại chưa chắc đúng. Có nghĩa là không phải cơ sở nào cũng có tính chất (in(f1), . . . , in(ft)) = in(I). Ví dụ như: Cho I = (f1, f2), với f1 = x3 − 2xy; f2 = x2y − 2y2 + x. Xét thứ
tự từ điển phân bậc x > y > z. Ta có x2 ∈ I vì x2 = xf2 − yf1 nên
x2 = in(x2) ∈ in(I). Nhưng x2 = in(x2) không chia hết cho in(f1) và
in(f2). Do đó in(x2) /∈ (in(f1), in(f2)). Vậy in(I) 6= (in(f1), in(f2)). Định nghĩa 1.3.15. Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một iđêan của R. Tập hữu hạn các đa thức khác không g1, . . . , gs ∈ I được gọi là cơ sở Gr¨obner của iđêan I đối với thứ tự từ ≤, nếu in≤(I) = (in≤(g1), . . . , in≤(gs)). Tập g1, . . . , gs ∈ I được gọi là một cơ sở Gr¨obner, nếu nó là cơ sở Gr¨obner của iđêan sinh bởi chính các phần tử này. Từ Bổ đề Dickson 1.2.6 suy ra mọi iđêan đều có cơ sở Gr¨obner (hữu hạn). Bổ đề 1.3.16. Cho G là cơ sở Gr¨obner của iđêan I đối với một thứ tự
từ nào đó. Nếu đa thức g ∈ G thỏa mãn, tồn tại đa thức g′ ∈ G sao cho
in(g′) | in(g), thì G\{g} cũng là một cơ sở Gr¨obner của I. Bổ đề 1.3.17. Cho I là một iđêan tùy ý của R. Nếu g1, . . . , gs là cơ sở Gr¨obner của I đối với một thứ tự từ nào đó, thì g1, . . . , gs là hệ sinh của I. Ví dụ 1.3.18. (i) Cho I là iđêan trên vành K[x]. Ta biết rằng trên vành này chỉ có một thứ tự từ (theo bậc), và theo Hệ quả 1.1.12 có I = (f ), với f ∈ K[x]. Từ Bổ đề 1.3.11(i) suy ra in(I) = (in(f )). (ii) Cho I = (xy, y3) ⊆ K[x, y], f1 = xy, f2 = xy − y3 và x > y. Ta 12 có in≤lex(I) = I mà in≤lex(f1) = in≤lex(f2) = xy. Do đó {f1, f2} không là cơ sở Gr¨obner của I đối với ≤lex.
Tuy nhiên in≤glex(f1) = in≤rlex(f1) = xy, in≤glex(f2) = in≤rlex(f2) = y3 và
in≤glex(I) = in≤rlex(I) = I. Vì vậy {f1, f2} là cơ sở Gr¨obner của I đối với thứ tự phân bậc, cũng như đối với thứ tự từ điển ngược. (iii) Cho I = (f1, f2) ⊆ K[x, y] với f1 = x3−2xy, f2 = x2y−2y2+x. Xét thứ tự từ điển phân bậc hoặc thứ tự từ điển ngược x > y. Khi đó in(f1) = x3, in(f2) = x2y. Tuy nhiên x2 = x.f2 − y.f1 ∈ I và in(x2) = x2 /∈ (x3, x2y) nên{f1, f2} không là cơ sở Gr¨obner của I đối với các thứ tự này. (iv) Cho I = (x + y, y + z) ⊆ K[x, y, z] và xét thứ tự từ điển x > y > z. Ta sẽ chứng tỏ G = {x+y, y +z} là cơ sở Gr¨obner của I. Thực vậy mọi phần tử 0 6= f ∈ I có dạng f = g.(x+y)+h.(y +z). Nếu in(f ) không chứa x, y thì f chỉ chứa z, tức f = f (z). Thay x = z, y = −z vào biểu diễn vừa nêu của f , ta có f = f (z) = g(z, −z, z).0 + h(z, −z, z).0 = 0, vô lý. Vì vậy in(f ) ∈ (x, y) = (in(x + y), in(y + z)), hay G là cơ sở Gr¨obner của I. 1.4. Thuật toán Buchberger Ta đã biết vai trò quan trọng của định lý chia đa thức một biến trong nghiên cứu cấu trúc của vành đa thức một biến. Bằng cách dùng thứ tự từ thay cho bậc của đa thức để giảm dần từ khởi đầu của đa thức bị chia, cho đến khi không thể chia được thì dừng, ta đã mở rộng định lý này ra trường hợp nhiều biến. Hơn nữa, ta còn có thể chia cho nhiều đa thức cùng một lúc. Tuy nhiên, việc mở rộng này đã làm cho đa thức dư và các đa thức thương không còn duy nhất như trong trường hợp chia cho đa thức một biến. Cụ thể ta có: 13 Định lý 1.4.1 (Định lý chia đa thức). Cố định một thức tự từ ≤ trên
M và cho F = {f1, . . . , fs} ⊆ R = K[x1, . . . , xn]. Khi đó mọi đa thức f ∈ R có thể viết được dưới dạng: f = q1f1 + . . . + qsfs + r, trong đó qi, r ∈ R thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i) Nếu r 6= 0 thì không có từ nào của r chia hết cho một trong các từ khởi đầu in(f1), . . . , in(fs). (ii) Nếu qi 6= 0 thì in(qifi) ≤ in(f ). Ta gọi đa thức r ở trên là đa thức dư hoặc phần dư của f khi chia cho F và kí hiệu là r = RemF (f ). Mặc dù gọi vậy, nhưng ta sẽ thấy đa thức dư r = RemF (f ) không xác định duy nhất. Bản thân biểu diễn trên của f được gọi là biểu diễn chính tắc của f theo f1, . . . , fs. Hệ quả 1.4.2. Giả sử F = {f1, . . . , fs} là một cơ sở Gr¨obner đối với một thứ tự từ cho trước. Khi đó với mỗi đa thức f ∈ R, đa thức dư r của phép chia f cho hệ F (trong Định lý chia đa thức) được xác định duy nhất. Nói riêng, kết quả thực hiên Thuật toán chia đa thức trong trường hợp này không phụ thuộc vào thứ tự chia các đa thức chia trong F. Nếu không nói gì, ta luôn hiểu trên M của K[x] đã có một thứ tự từ nào đó. Trong mục này ta sẽ đưa ra thuật toán tìm cơ sở Gr¨obner. Đầu tiên ta sẽ tìm điều kiện để một hệ sinh của iđêan I là cơ sở Gr¨obner của nó Định nghĩa 1.4.3. Cho f, g ∈ K[x] là hai đa thức khác 0. Kí hiệu . và mgf = mf g = in(f )
UCLN(lm(f ), lm(g)) in(g)
UCLN(lm(f ), lm(g)) S-đa thức của f và g là đa thức 14 S(f, g) = mgf .f − mf g.g. Ví dụ 1.4.4. Cho f = x − z4 và g = y − z5 trong vành K[x, y, z]. (i) Với thứ tự từ điển x > y > z có in(f ) = x; in(g) = y và S(f, g) = mgf .f − mf g.g = y(x − z4) − x(y − z5) = xz5 − yz4 (ii) Với thứ tự từ điển phân bậc x > y > z có in(f ) = −z4; in(g) = −z5 và S(f, g) = mgf .f − mf g.g = −z(x − z4) + 1.(y − z5) = −zx + y. Qua ví dụ trên ta thấy rằng S-đa thức phụ thuộc vào việc chọn thứ tự từ. Bổ đề 1.4.5. (i) S(f, g) = −S(g, f ). (ii) in S(f, g) < BCNN(in(f ), in(g)). Bổ đề 1.4.6. Cho g1, . . . , gt ∈ K[x], α1, . . . , αt ∈ K và a1, . . . , at ∈ Nn thỏa mãn các tính chất sau: (i) Tồn tại d ∈ Nn để với mọi i ≤ t mà αi 6= 0 thì xai lm(gi) = xd. t
i=1 αixaigi = i,k αjkxd−cjkS(gj, gk), P P P t
i=1 αixaigi) < xd.
Khi đó tồn tại αjk ∈ K sao cho
trong đó xcjk = BCNN(lm(gj), lm(gk)).
Hơn nữa với mọi j, k đều có in(xd−cjk)S(gj, gk) < xd. (ii) in( Một cách phát biểu khác của bổ đề trên là: Nếu hai điều kiện (i) t
i=1 αixaigi thuộc iđêan sinh bởi S(gj, gk). P và (ii) thỏa mãn thì tổng Định lý 1.4.7 (Tiêu chuẩn Buchberger.). Cho G = {g1, . . . , gs} là hệ sinh của iđêan I. G là cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với mọi cặp 1 ≤ i 6= j ≤ s một (hoặc mọi) đa thức dư của S-đa thức S(gi, gj) trong phép chia cho G bằng 0. 15 Định nghĩa 1.4.8. Cố định một thứ tự từ và cho G = {g1, . . . , gs} ⊂
K[x]. Ta nói đa thức f dần về đa thức g modulo G và kí hiệu là f G−→ g, hoặc đơn giản là f −→ g khi đã rõ G, nếu f có thể viết dưới dạng f = q1g1 + . . . + qsgs + g, sao cho nếu qigi 6= 0 thì in(qigi) ≤ in(f ). Như vậyf G−→ 0 khi và chi khi có một giá trị của RemG(f) bằng 0. Do đó Tiêu chuẩn Buchberger có thể phát biểu lại như sau: Định lý 1.4.9. Cho G = {g1, . . . , gs} là một hệ sinh của iđêan I. G là cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với mọi cặp 1 ≤ i 6= j ≤ s ta có
S(gi, gj) G−→ 0. Sau đây là một số chú ý để giảm bớt số phép thử khi áp dụng tiêu chuẩn Buchberger. Chú ý 1.4.10. (i) Vì S(f, g) = −S(g, f ) nên để thử xem G = {g1, . . . , gs} có phải là cơ sở Gr¨obner hay không, chỉ cần thử cho các cặp (gi, gj) với i < j. (ii) Nếu f, g là hai từ thì S(f, g) = 0. Do đó không cần thử Tiêu chuẩn Buchberger cho các cặp từ. (iii) Nếu in(f ) và in(g) nguyên tố cùng nhau thì S(f, g) = in(g)f − in(f )g = −(g − in(g))f + (f − in(f ))g. Đặt smg = lm(g − in(g)) và smf = lm(f − in(f )). Nếu smg. lm(f ) = smf . lm(g), thì do tính nguyên tố cùng nhau sẽ suy ra smg chia hết cho lm(g). Điều này vô lý, vì smg < lm(g). Do đó ở đẳng thức trên phải có max{lm([g − in(g)]f ), lm([f − in(f )]g)} = lm(S(f, g)), tức là có một phép chia S(f, g) cho G mà phần dư của nó bằng không. Vậy không cần thử Tiêu chuẩn Buchberger cho các cặp có từ khởi đầu 16 nguyên tố cùng nhau. Ví dụ 1.4.11. Cho I = (f1, f2) với f1 = xy − z3; f2 = z2 − 3z. Đối với
thứ tự từ điển x > y > z ta có in(f1) = xy và in(f2) = z2 nguyên tố cùng nhau. Theo Chú ý trên, tập {f1, f2} đã là cơ sở Gr¨obner của I. Tuy nhiên đối với thứ tự từ điển phân bậc x > y > z thì in(f1) = z3,
in(f2) = z2 và S(f1, f2) = (z3 + xy) − z.(−z2 − 3z) = xy + 3z2 không thể chia hết cho G = {f1, f2} được, tức là có đa thức dư khác không. Vậy G không là cơ sở Gr¨obner của I. Từ khái niệm S-đa thức và tiêu chuẩn Buchberger, có thể xây dựng cơ sở Gr¨obner của một iđêan xuất phát từ một hệ sinh tùy ý của nó. Cho f ∈ K[x] và F = {f1, . . . , ft} ⊂ K[x] là một tập được sắp. Thuật toán được xác định như sau: Thuật toán Buchberger Tìm cơ sở Gr¨obner CSGR(f1, . . . , ft) := {g1, . . . , gt} từ (f1, . . . , ft) Input: F = {f1, . . . , ft} Output: Cơ sở Gr¨obner G = {g1, . . . , gs} và F ⊆ G. G := F REPEAT G′ := G FOR mỗi cặp {p, q} ⊆ G′, p 6= q DO
S := P HAN DU (S(p, q); G′) IF S 6= 0 THEN G := G ∪ {S} UNTIL G = G′ Định lý 1.4.12. Thuật toán Buchberger dừng sau một số hữu hạn bước, 17 và G là cơ sở Gr¨obner chứa {f1, . . . , ft} của I = (f1, . . . , ft). Trong chương này ta luôn giải thiết K là một trường R = K[x1, ..., xn] là vành đa thức n biến. 2.1. Đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert Đối với chiều xét như không gian véc tơ ta có kết quả sau: Định lý 2.1.1 (Định lí Macaulay). Với mọi thứ tự từ ≤, tập B tất cả
các đơn thức của M nằm ngoài in≤(I) lập thành một cơ sở của không
gian véc tơ R/I trên trường K. Chứng minh. Trước hết ta chứng tỏ tập B độc lập tuyến tính. Giả sử tồn tại m1, ..., ms ∈ B và α1, ..., αs ∈ K\ {0} sao cho f := α1m1 + ... + αsms và f = 0 (trongR/I). Khi đó in(f ) = αimi với 1 ≤ i ≤ s nào đó. Do đó mi ∈ in(I), trái với giả thiết mi ∈ B. Bây giờ ta chứng tỏ B là hệ sinh của R/I, hay tương đương B ∪ I sinh ra R. Kí hiệu E là tập các tổ hợp tuyến tính của B ∪ I trên K. Giả sử E 6= R. Chọn f ∈ R\E sao cho lm(f ) = min{lm(g)| g ∈ R\E}. Nếu lm(f ) ∈ B, thì in(f ) ∈ E và do đó f − in(f ) ∈ R\E có từ khởi 18 đầu thực sự bé hơn in(f ). Vô lý. Vậy phải có lm(f ) ∈ in(I). Do đó tìm được g ∈ I sao cho in(f ) = in(g). Vì g ∈ I ⊆ E và f /∈ E nên h := f − g ∈ R\E. Mặt khác ta lại có lm(h) < lm(f ), trái với cách chọn f. Suy ra phải có E = R, tức B là hệ sinh của R/I. Cho J là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ trên R. Với mỗi s ∈ N, kí hiệu R≤s là tập các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng s và J≤s là tập các đa thức trong J bậc nhỏ hơn hoặc bằng s. Định lí Macaulay được sử dụng dưới dạng sau. Định lý 2.1.2. Cho iđêan I ⊆ R và ≤ là một thứ tự từ trên R. Khi đó (i) Nếu ≤ là một thứ tự từ phân bậc và s ∈ N, thì dimK(R≤s/I≤s) = dimK(R≤s/[in≤(I)]≤s). (ii) Nếu một trong hai không gian véc tơ R/I và R/ in(I) hữu hạn chiều, thì không gian kia cũng hữu hạn chiều và dimK R/I = dimK R/ in(I). Chứng minh. Kí hiệu B≤s là tập tất cả đơn thức bậc không quá s và nằm ngoài in(I). Khi đó với một thay đổi nhỏ B, R, S thay bằng B≤s, R≤s, I≤s, dựa vào chứng minh của định lí trên cũng cho phép ta khẳng định B≤s là cơ sở của không gian véc tơ R≤s/I≤s. Mặt khác, rõ ràng B≤s là cơ sở của không gian véc tơ R≤s/[in≤(I)]≤s. Từ đó có đẳng thức ở (a). Kết luận (b) suy ra ngay từ định lí trên và nhận xét tập B ở đó là cơ sở của không gian véc tơ R/ in(I). Với M là tập tất cả các đơn thức của vành R. Với mỗi tập A ⊆ K[x] và s ∈ N kí hiệu A≤s là tập tất cả các đa thức trong A có bậc(tổng thể)
không quá s. Nói riêng M≤s là tập tất cả các đơn thức bậc không quá
s. Chú ý rằng bậc tổng thể xác định trên vành R một cấu trúc phân 19 bậc chuẩn, R≤s là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên K, và nếu A là không gian con của R thì A≤s = A ∩ R≤s cũng là không gian con véc tơ hữu hạn chiều. Định nghĩa 2.1.3. Cho I là iđêan của vành R = K[x]. Hàm Hilbert- Samuel (afin) của R/I là hàm xác định như sau: hR/I(s) = dimK(K[x]≤s/I≤s) ∀s ∈ N, trong đó K[x]≤s là tập các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng s và I≤s = I ∩ K[x]≤s. Đây là một hàm rất quan trọng trong Đại số giao hoán. Nó được định nghĩa cho cả vành địa phương, nhưng ở đây chỉ phát biểu cho vành đa thức. Từ định nghĩa suy ra ngay hR/I(s) = dimK(K[x]≤s) − dimK(I≤s). Chú ý rằng định lí 2.1.2 cho phép chuyển việc nghiên cứu hàm số này về hàm số của vành thương của iđêan đơn thức. Do đó ta bắt đầu nghiên cứu trường hợp iđêan đơn thức. Bổ đề 2.1.4. Với mọi s ∈ N ta có s + n . hK[x](s) = ♯(M≤s) = n ! Chứng minh. Đẳng thức đầu được suy ra vì M là cơ sở của không gian véc tơ K[x]. Đẳng thức thứ hai là một bài toán tổ hợp, có thể chứng minh bằng quy nạp đồng thời theo s và n. Khi s = 0 chỉ có một đơn 20 thức bậc 0 là 1, còn khi n = 1. thì có đúng s + 1 đơn thức bậc không
quá s là 1, x1, ..., xs
1. Trong cả hai trường hợp công thức thỏa mãn. Giả
sử s > 0 và n > 1. Khi đó mỗi đơn thức m ∈ M≤s thuộc một trong hai
lớp không giao nhau sau đây: (i) m không chứa biến xn. Sử dụng quy nạp theo số biến, ta thấy số đơn thức này chính bằng: s + n − 1 . n − 1 !
(ii) m có dạng m′xn. Khi đó m′ ∈ M≤s−1. Sử dụng quy nạp theo số biến, ta thấy số đơn thức này chính bằng: ! . s − 1 + n
n Vậy ! s + n − 1 s + n . + = ♯(M≤s) = s − 1 + n
n n − 1 ! n ! Để đánh giá hàm Hilbert ta giới thiệu khái niệm sau. Như thường lệ, kí hiệu K[x] = K[x1, ..., xn]. Đối với mỗi iđêan I của K[x] và tập con y = {y1, ..., yr} của tập biến {x1, ..., xn} , kí hiệu Iy = I ∩ K[y] là iđêan khử của I đối với các biến không thuộc y. Định nghĩa 2.1.5. Cho I là iđêan thực sự của vành K[x] = K[x1, ..., xn] và {y1, ..., yr} là tập con của tập {x1, ..., xn} . Tập {y1, ..., yr} được gọi là tập độc lập modulo I nếu Iy = 0. Tập {y1, ..., yr} được gọi là tập độc lập cực đại modulo I nếu nó là độc lập modulo I và không thực sự chứa trong một tập khác độc lập modulo I. Chiều của K[x]/I là số dim K[x]/I = max{♯y| y ⊆ {x1, ..., xn} độc lập modulo I}. Ta cũng gọi dim K[x]/I là chiều của iđêan I và còn kí hiệu là dim I. 21 Iđêan I được gọi là iđêan chiều d nếu dim I = d. Chú ý rằng khi cố định vành K[x] thì vành thương K[x]/I được xác định hoàn toàn bởi I. Do đó lạm dùng ngôn ngữ ta nói chiều của I thay cho chiều của vành thương, chứ đây không phải là chiều của I xét như môđun trên vành K[x]. Do đó mới xảy ra tình thế có vẻ trái ngược với trực giác là iđêan lớn hơn lại có chiều nhỏ hơn. Nhận xét 2.1.6. Chiều của iđêan I chính là lực lượng của tập độc lập modulo I có số phần tử lớn nhất. Lưu ý rằng một tập là độc lập cực đại modulo I thì chưa chắc đã là tập độc lập modulo I có số phần tử lớn nhất. Chẳng hạn, cho
I = (xy, xt2, xzt, xz2y). Dễ thấy, I ∩ K[x, z] = 0, hơn nữa {x, z} là tập độc lập cực đại modulo I vì I ∩ k[x, z, y] 6= 0 và I ∩ k[x, z, t] 6= 0. Tuy nhiên, ta lại có {y, z, t} là tập độc lập modulo I có số phần tử lớn hơn vì I ∩ k[y, z, t] = 0. Từ định nghĩa trên và định lý Macaulay ta thấy tập y = {y1, . . . , yr} ⊆ {x1, . . . , xn} là độc lập modulo I khi và chỉ khi nó là tập độc lập modulo in(I) tức là in(I) ∩ K[y] = 0. Do đó ta có thuật toán kiểm tra một tập có là độc lập modulo I hay không như sau: Thuật toán kiểm tra độc lập modulo. Cho I ⊆ R là một iđêan và y = {y1, . . . , yr} ⊆ {x1, . . . , xn} 1. Tìm cơ sở Groebner G = {g1, . . . , gs} của I đối với thứ tự từ điển sao cho các biến bị khử là lớn hơn các biến còn lại. 2. Tìm in(I) = (in(g1), . . . , in(gs)). 3. Nếu mỗi j = 1, . . . , s, tìm bậc tổng thể của in(gj) đối với các biến bị khử, nếu bằng 0 thì in(gj) ∈ k[y1, . . . , yr], nếu khác 0 thì ngược lại. 4. Nếu mọi in(gj) /∈ k[y1, . . . , yr] với j = 1, . . . , s thì kết luận y là tập 22 độc lập modulo I. Ví dụ 2.1.7. Tính chiều của iđêan I = (xy − zt, x2y − z3) trong vành K[x, y, z, t]. Cơ sở Gr¨obner của I đối với thứ tự từ điển t > y > x > z là : {−zt + xy, x2y − z3}. in(I) = (x2y, zt). Ta có degt,y(x2y) = 1, degt,y(zt) = 1. Vậy {x, z} là tập độc lập modulo I. Hơn nữa nó còn là tập độc lập modulo I có số biến lớn nhất vì theo thuật toán trên ta dễ dàng tính được: in(I) ∩ k[x, y, z] = (x2y) 6= 0, in(I) ∩ k[x, z, t] = (zt) 6= 0, in(I) ∩ k[y, z, t] = (zt) 6= 0. Vậy dim(R/I) = 2. Định lý 2.1.8. Hàm Hilbert-Samuel hR/I thỏa mãn bất đẳng thức sau với mọi s ∈ N : s + d s + n , ≤ hR/I(s) ≤ d ! n ! trong đó d = dim I như trong Định nghĩa 2.1.5 Chứng minh. Bất đẳng thức thứ hai được suy ra từ Bổ đề 2.1.4 và bất đẳng thức hR/I(s) ≤ hR(s). Đối với bất đẳng thức thứ nhất, không mất tính chất tổng quát ta giả sử x1, ..., xd độc lập modulo I. Khi đó tập (ảnh) các đơn thức chỉ chứa biến x1, ..., xd trong R/I là độc lập tuyến tính trên K. Do đó hR/I(s) không nhỏ hơn số các đơn thức d biến và bậc không quá s. Vì vậy áp dụng Bổ đề 2.1.4 trên ta có ngay bất đẳng thức thứ hai. Với mỗi số nguyên r ∈ N và đơn thức m, đặt 23 topr(m) = {i ∈ {1, ..., n}| degxi(m) ≥ r}, (m) trong đó như thường lệ, degxi(m) là lũy thừa của biến xi trong m. Hơn
nữa, đặt degxi
i Yi∈topr(m) Yi /∈topr(m) , x shr(m) = xr
i . tức là shr(m) nhận được từ m bằng cách thay lũy thừa của các biến đã đủ lớn (vượt quá r) bằng một lũy thừa cố định r. Rõ ràng shr(shr(m)) = shr(m). Bổ đề 2.1.9. Cho I là iđêan đơn thức chiều d với tập sinh đơn thức hữu hạn G. Đặt B = max{degxi(g)| g ∈ G, 1 ≤ i ≤ n}. Khi đó với mọi đơn thức m, ta có (i) Nếu i ∈ topB(m) và α ∈ N, thì m ∈ M\I khi và chỉ khi i ∈ M\I. mxα (ii) Nếu b ∈ N với b ≥ Bn, thì max{♯topB(m)| m ∈ M≤b\I} = d. i ∈ I, thì m ∈ I. Ta lại
i chia hết cho một đơn thức g ∈ G nào đó. Khi đó degxj (m) ≥
degxj (g) với mọi j 6= i. Mặt khác, vì i ∈ topB(m) nên degxi(m) ≥ B ≥
degxi(g). Do đó m chia hết cho g, và m ∈ I. Chứng minh. (i) Chỉ cần chứng minh nếu mxα
có mxα (ii) Để chứng minh chiều ≤, ta giả sử phản chứng là tồn tại m ∈
M≤b\I sao cho có nhiều hơn d chỉ số i thỏa mãn degxi(m) ≥ B. khi đó
tồn tại tập con {y1, ..., yr} của {x1, ..., yn}, r > d, sao cho có thể viết m = m1m2 với m1 chỉ chứa các biến y1, ..., yr; m2 chỉ chứa các biến còn lại, và thỏa mãn tính chất: degyj(m1) ≥ B, ∀j = 1, ..., r. Vì m /∈ I nên m1 /∈ I. Nhưng y1, ..., yr không độc lập modulo I, nên phải 24 có g ∈ G sao cho g ∈ K[y1, ..., yr]. Nhưng khi đó với mọi j = 1, ..., r ta đều có degyj(g) ≤ B ≤ degyj(m1). Suy ra m1 chia hết cho g, hay m1 ∈ I.
Vô lý. Để chứng minh chiều ngược lại, không mất tính chất tổng quát ta 1 ...xB
xB d ∈ M≤b\I có thể giả sử x1, ..., xd là tập độ lập modulo I. Vì b ≥ Bn, ta có và 1 ...xB d ) = d. ♯topB(xB Mệnh đề 2.1.10. Cho I là iđêan đơn thức chiều d của vành R = K[x]. Q[x] bậc d sao cho Giữ nguyên các kí hiệu của Bổ đề 2.1.9. Khi đó tồn tại đa thức pR/I ∈ pR/I(s) = hR/I(s), d với mọi s ≥ Bn. Hơn nữa có thể viết pR/I dưới dạng Xi=0 s + d − i , ei pR/I(s) = d − i ! trong đó e0, ..., ed ∈ Z và e0 > 0. Chứng minh. Trước hết ta nhận xét hR/I(s) = ♯(M≤s\I). Cho s ≥ Bn. Trên M≤s\I xét quan hệ sau m ∼ m′ nếu và chỉ nếu
shB(m) = shB(m′). Rõ ràng đây là một quan hệ tương đương. Kí hiệu A = {m ∈ M≤s\I| degxi m ≤ B ∀i = 1, ..., n}. 25 Khi đó, từ bổ đề 2.1.9(i), suy ra mỗi phần tử trong M≤s\I tương đương
với một phần tử trong A. Hơn nữa, các phần tử trong A không tương đương với nhau. Như vậy A là tập tất cả đại diện của các lớp tương đương theo quan hệ ∼ . Với mỗi m ∈ A, kí hiệu [m] là lớp các phần tử tương đương với m. Khi đó [m] = {m.m′| m′ ∈ M≤s−deg(m) và m’ không chứa các biến xi, i /∈ topB(m)}. Thật vậy, nếu T ∈ [m] thì shB(T ) = shB(m) = m nên T = mm′.
Tuy nhiên nếu m′ chứa một biến xi, i /∈ topB(m), thì đối với chỉ số i đó ta có degxi(m) < B, nên degxi(shB(T )) = degxi(shB(mm′)) ≥ degxi(shB(m)) + 1, trái với điều kiện shB(T ) = m. Ngược lại, nếu m′ chỉ chứa các biến
xi, i ∈ topB(m), thì từ bổ đề 2.1.9(i) suy ra mm′ ∈ M≤s\I. Rõ ràng
shB(m) = shB(mm′). Do đó mm′ ∼ m. Chú ý rằng s ≥ Bn ≥ deg(m). Vì vậy,áp dụng Bổ đề 2.1.4, với mỗi m ∈ A ta có ! . ♯[m] = s − deg(m) + ♯topB(m)
♯topB(m) Do đó ! Xm∈A
Theo bổ đề 2.1.9, ♯topB(m) ≤ d với mọi m ∈ A, và đẳng thức xảy ra với . hR/I(s) = ♯(M≤s\I) = s − deg(m) + ♯topB(m)
♯topB(m) ít nhất một m. Do đó vế phải ở trên là một đa thức bậc đúng bằng d. Kí hiệu đa thức này là pR/I. Sử dụng công thức ! a + b − 1 a + b + = a − 1 + b
b b − 1 ! b ! a−c+b
b nhiều lần, có thể biểu diễn , c ≥ 0 thành tổ hợp tuyến tính với hệ (cid:1) số nguyên của các chỉnh hợp
(cid:0) 26 a + b a + b − 1 , , ..., . b ! b − 1 ! a
0! Thay vào công thức trên của pR/I(s), suy ra có thể biểu diễn nó dưới d dạng i=0
X s + d − i , ei pR/I(s) = d − i ! trong đó e0, ..., ed ∈ Z và e0 > 0. 1, x1x2). Dễ thấy x2 là tập độc lập Ví dụ 2.1.11. Cho n = 2 và I = (x3 cực đại modulo I. Do đó dim I = 1. Ta có B = 3. Với s ≥ 6 thì 1, x2 2, x3
2 (cid:9) (cid:8) 1, x2 2, và bằng 1 nếu . A = 1, x1, x2, x2 2. Áp dụng công thức tính ở trên, ta có Chú ý rằng ♯top3(m) bằng 0 nếu m = 1, x1, x2, x2
m = x3 s + 1 . + 2 pR/I(s) = 5 + (s − 3 + 1) = s + 3 = 1 ! s
0! Đa thức này bằng hR/I(s) khi s ≥ 6. Bây giờ có thể phát biểu và chứng minh kết quả chính của mục này. Định lý 2.1.12. Cho I là iđêan chiều d của vành đa thức R = K[x]. Khi đó tồn tại đa thức pR/I ∈ Q[x] bậc d sao cho pR/I(s) = hR/I(s) d với mọi s ≫ 0. Hơn nữa, có thể viết pR/I dưới dạng (cid:19) (cid:18) Xi=0 , ei pR/I(s) = s + d − i
d − i trong đó e0, ..., ed ∈ Z và e0 > 0. Đa thức này được gọi là đa thức Hilbert- Samuel (afin) của R/I. Chứng minh. Cố định một thứ tự từ phân bậc trên R. Đặt d′ = dim in(I). Khi đó theo định lí Macaulay, ta có 27 hR/I(s) = hR/ in(I)(s) với mọi s ∈ N (chú ý rằng nếu thứ tự đã chọn không phân bậc thì chưa chắc điều này đã đúng). Do đó theo Mệnh đề 2.1.10, tồn tại đa thức
pR/I ∈ Q[x] bậc d′ sao cho pR/I(s) = hR/I(s) với mọi s ≫ 0. Chỉ còn phải chứng minh d = d′. Lấy {y1, ..., yd′} ⊆ {x1, ...,n } là tập độc lập modulo in(I). Giả sử tập này không độc lập modulo I. Thế thì có thể tìm được đa thức 0 6= f ∈ I chỉ chứa các biến y1, ..., yd′. Nhưng khi đó lm(f ) ∈ K[y1, ..., yd′] ∩ in(I), trái với giả thiết y1, ..., yd′. độc lập cực đại modulo in(I). Vậy y1, ..., yd′ độc lập modulo I. Mặt khác, ta có (cid:18) (cid:19) pR/I(s) ≥ s + d
d với mọi s ≫ 0. Do đó d′ = deg(pR/I) ≥ d. Cho nên d = d′. Định lí trên và cách chứng minh của nó cho hệ quả sau. Hệ quả 2.1.13. Cho I là iđêan của vành đa thức R/K[x]. Cố định một thứ tự từ phân bậc trên R. Khi đó (i) Với mọi s ∈ Z, hR/I(s) = hR/ in(I)(s). (ii) pR/I(s) = pR/ in(I)(s). (iii) dim R/I = dim R/ in(I). (iv) Nếu {y1, ..., yd} ⊆ {x1, ..., xn} độc lập modulo in(I), thì nó cũng độc lập modulo I. Dựa vào các kết quả trên ta xây dựng được thuật toán tìm hàm Hilbert-Samuel, đa thức Hilbert-Samuel và chiều của iđêan. Thuật toán. Thuật toán tìm hàm Hilbert-Samuel của iđêan đơn 28 thức. Tìm hR/I(s) = h Input: s > 0 và m1, . . . , mr : các đơn thức trong K[x] Output: h, d u := 0, A := {1} , h := 0, d := 0 B := max{degxi(mj)| 1 ≤ j ≤ r}
WHILE u < s DO A := {x1, ..., xn} .A B := A FOR m ∈ A DO i := 1 WHILE i ≤ r DO IF mi| m THEN B := B\ {m} i := r + 1 ELSE i := i + 1 IF d < topB(m) THEN d := topB(m) h := h + ♯B A := B, u := u + 1 Tính đúng đắn của thuật toán được suy ra từ chứng minh của Mệnh Đề 2.1.10. Hơn nữa nếu cho s ≥ Bn thì giá trị d tính ở trên chính là dim I. Tất nhiên chỉ nên áp dụng thuật toán này khi s bé. Chú ý 2.1.14. Cho I là iđêan đơn thức của vành R. Khi đó R/I là vành phân bậc chuẩn. Kí hiệu Rs và [R/I]s là s-thành phần phân bậc 29 của chúng (tập các đa thức thuần nhất bậc s và tập các phần tử f + I, f là thuần nhất bậc s). Hàm HR/I(s) = dimK [R/I]s được gọi là hàm Hilbert của R/I. Ta mở rộng hàm này bằng cách gán cho nó giá trị 0 khi s < 0. Vì HR/I(s) = hR/I(s) − hR/I(s − 1), nên cũng tồn tại đa thức PR/I(s) bậc d − 1 sao cho HR/I(s) = PR/I(s) ∀s ≫ 0. Đa thức PR/I(s) được gọi là đa thức Hilbert của R/I. Số ri(I) = min{t ∈ Z| HR/I(t) = HR/I(s) ∀s ≥ t} được gọi là chỉ số chính quy của I. Như vậy theo Mệnh đề 2.1.10, ri(I) ≤ Bn + 1. Định nghĩa 2.1.15. Cho I là iđêan đơn thức của vành R = K[x]. Hàm Hilbert(afin) của R/I là hàm xác định như sau: HR/I(s) = dimK(K[x]/I)s ∀s ∈ N, ∞ Chuỗi Hilbert của R/I xác định bởi s=0
X (dimK(K[x]/I)s). HSR/I(t) = n Ví dụ 2.1.16. Cho R = K[x, y] và cho I = 0. Đặt n |αj ∈ N với 1 ≤ i ≤ n và 2 . . . xαn 1 xα2 Xj=1 αj = i}. Ri = span{xα1 Cụ thể R0 = span{x0y0} = span{1} = K, R1 = span{x, y}, R2 =
span{x2, xy, y2}, R3 = span{x3, x2y, xy2, y3}, . . . 30 Ta có Ii = 0. Vậy ta có đa thức Hilbert là 2+n−1 = C n n+1 = n + 1. HR/I(n) = dimK(n) = C n Chuỗi Hilbert của R/I là HSR/I(t) = 1 + 2t + 3t2 + 4t3 + 5t4 + 6t5 + . . . (cid:0) (cid:1) = 1 + t + t2 + t3 + t4 + . . . (cid:18) (cid:19) = = d
dt
d
dt 1
1 − t 1
(1 − t)2 . Tổng quát ví dụ trên trong trường hợp I = 0 là bài toán đếm số đơn thức bậc s trong vành đa thức n biến K[x]. Trước hết ta có bổ để. n+s−1
s (cid:0) (cid:1) . Bổ đề 2.1.17. Số cách để s quả bóng vào n hộp là Chứng minh. Sử dụng n + 1 ký hiệu | để chỉ n hộp, ký hiệu bóng bởi •. Chẳng hạn với n = 3, s = 4 ký hiệu | • | | • • • | chỉ rằng hộp thứ nhất chứa 1 quả bóng, hộp thứ hai không chứa quả nào còn hộp thứ 3 chứa 3 quả. Như vậy có n + s + 1 ký hiệu. Hai ký hiệu đầu tiên và cuối cùng luôn là | nên mỗi cách để s quả bóng vào n hộp là cách xếp n + s − 1 ký n+s−1
s (cid:0) . hiệu | và •, trong đó có s ký hiệu •. Vậy số các để là (cid:1)
n+s−1
s (cid:0) (cid:1) . Mệnh đề 2.1.18. Số đơn thức bậc s trong vành K[x] là Chứng minh. Cho tương ứng mỗi biến xi với hộp, số bóng trong hộp là bậc của biến. Chẳng hạn cách xếp 4 bóng vào 3 hộp như sau | • | | • • • | 1x0 2x3 cho ứng với đơn thức x1 3 trong vành K[x1, x2, x3]. Như vậy số đơn
thức bậc s trong vành K[x] là số cách để s quả bóng vào n hộp và là
n+s−1
s 31 (cid:0) (cid:1) . Nhận xét 2.1.19. Vì số đơn thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng s là số đơn s thức bậc 0, 1, ..., s nên số đơn thức đó (xem Bổ đề 2.1.4) là ! Xk=0 n + s . = n + k − 1
k s ! Từ kết quả trên ta có hàm Hilbert và chuỗi Hilbert được cho trong Mệnh đề 2.3.9. Sau đây ta đưa ra thuật toán xác định Hàm Hilbert của iđêan đơn thức. Thuật toán. Cho I = (m1, . . . , mr) là iđêan sinh bởi các đơn thức m1, . . . , mr ∈ M ⊆ R và s ∈ N cho trước. Tìm hàm Hilbert của iđêan I. 1. Liệt kê tất cả các đơn thức bậc s. 2. Xóa đi các đơn thức là bội của mi nào đó. Số đơn thức còn lại là HR/I(s). Từ định lý Macaulay và Hệ quả 2.1.13 (ii) ta suy ra để tìm hàm Hilbert(đa thức Hilbert) của R/I ta đi tìm hàm Hilbert(đa thức Hilbert) của R/in(I). Để đơn giản hơn đa mô tả qua thuật toán sau: Thuật toán Tìm hàm Hilbert- Samuel của R/I với I là iđêan thuần nhất. 1. Chọn một thứ tự từ ≤ . 2. Tìm cơ sở Groebner của I, từ đó tìm ra in(I). 3. Tìm hàm Hilbert của R/in(I), suy ra đó là hàm Hilbert của R/I. N. Hàm Hilbert- Samuel của R/I có dạng: 32 Như vậy, cho I là iđêan của vành R = k[x1, . . . , xn] và m0 nào đó thuộc , s = 0 1 , s = 1 HR/I(s) =
, s ≥ m0 n
...
PR/I(s) Ví dụ 2.1.20. Tìm hàm Hilbert- Samuel và đa thức Hilbert- Samuel
của iđêan I = (xy − zt, x2y − z3). Như đã xét ở Ví dụ 2.1.7, I có cơ sở Groebner đối với thứ tự ≤lex: (t > x > y > z) là : {x2y − z3, −zt + xy} in(I) = (x2y, zt). -Tính HR/I(2). Liệt kê tất cả các đơn thức bậc 2 theo thứ tự ≤lex: (t > x > y > z): x2, xy, xz, xt
y2, yz, yt
z2, zt, t2 Xóa đi các đơn thức là bội của x2y hoặc zt thì các đơn thức còn lại là: A(2) =
x2, xy, xz, xt, y2, yz, yt, z2, t2. Vậy HR/I(2) = 9. - Tính HR/I(3). Liệt kê tất cả các đơn thức bậc 3 theo thứ tự ≤lex: (t > x > y > z): A(3) = x3, x2y, x2z, x2t
xy2, xyz, xyt, xz2, xzt, xt2
z2, zt, t2
y3, y2z, y2t, yz2, yzt, yt2
z3, z2t, zt2, t3
Xóa đi các đơn thức là bội của x2y hoặc zt thì các đơn thức còn lại là: 33 x3, x2z, x2t, xy2, xyz, xyt, xz2, xt2, y3, y2z, y2t, yz2, yt2, z3, t3. Vậy HR/I(3) = 15.
-Tính HR/I(s): Đa thức bậc s tổng quát có dạng: xaybzctd, a+b+c+d = s. 1. Nếu c = 0 suy ra xaybtd không chia hết cho zt.
Nếu b = 0 suy ra xatd không chia hết cho x2y. Vậy a + d = s. Do đó có s+1 lựa chọn, s ≥ 2. Nếu b ≥ 1 suy ra a = 0; 1.
a = 0 có ybtd suy ra b + d = s. Vậy có s lựa chọn, s ≥ 1.
a = 1 có xybtd suy ra b + d = s − 1. Vậy có s-1 lựa chọn, s ≥ 1. 2. c ≥ 1 suy ra d = 0, do đó ta có xaybzc. Nếu b = 0 → xazc. Vậy a + c = s. Do đó có s lựa chọn, s ≥ 2. Nếu b ≥ 1 → a = 0; 1
a = 0 → ybzc. Vậy b + c = s → có s-1 lựa chọn, s ≥ 2.
a = 1 → xybzc. Vậy b + c = s − 1 →có s-1 lựa chọn, s ≥ 3. Vậy HR/I(s) = s + 1 + s + s − 1 + s + s − 1 + s − 2 = 6s − 3, (s ≥ 3.) Suy ra hàm Hilbert-Samuel của R/I có dạng: 1 , s = 0 , s = 0
, s = 1 HR/I(s) = 6s − 3 , s ≥ 2 4
9
6s − 3 , s = 1
, s = 2
, s ≥ 3
1
=
4
và đa thức Hilbert-Samuel của R/I là: PR/I = 6s − 3. 2.2. Phức đơn hình và vành Stanley-Reisner Định nghĩa 2.2.1. Cho V = {v1, · · · , vd} là tập hữu hạn. Phức đơn hình trên V là tập khác rỗng ∆ các tập con của V thỏa mãn, với mọi F, G ⊆ V , nếu F ⊆ G và G ∈ ∆ , thì F ∈ ∆. Một phần tử của ∆ gọi là mặt của ∆. Một mặt có dạng {vi} gọi là đỉnh của ∆. Một mặt có dạng {vj, vk} gọi là cạnh của ∆. Một phần tử cực đại của ∆ theo quan hệ bao 34 hàm gọi là mặt cực đại (hay siêu mặt) của ∆. Chú ý 2.2.2. (i) Cho ∆ là phức đơn hình trên V = {v1, · · · , vd}. Theo Định nghĩa ∆ ta không yêu cầu {vi} ⊆ ∆. Vì V là hữu hạn nến mỗi mặt của ∆ chứa trong một mặt cực đại ∆. Đặc biệt, vì ∆ khác rỗng nến nó có ít nhất một mặt cực đại. Từ đó ta có ∅ ∈ ∆, là một mặt của ∆ gọi là mặt tầm thường của ∆. (ii) Ta mô tả "hình học" của phức đơn hình: Mọi đỉnh tương ứng với một điểm; mọi cạnh tương ứng với hai đỉnh; mọi mặt {v1, v2, v3} tương ứng với một tam giác có các đỉnh là v1, v2 và v3; mọi mặt {v1, v2, v3, v4} 4 2 5 1 3 tương ứng với một tứ diện của các đỉnh v1, v2, v3 và v4 ... Mặt τ = {pi1, · · · , pim} thường đồng nhất với (i1, · · · , im) ∈ N{0}n. i∈τ xi. Q Ký hiệu xτ là đơn thức trong K[x1, · · · , xn] cho bởi xτ = Định nghĩa 2.2.3. Một đơn thức được gọi là có giá trên tập S nếu nó 1 xα4 4 xα5 5 , với được cho tương ứng với các điểm của tập S. Ví dụ 2.2.4. Mặt τ = {v1, v4, v5} là giá của các đơn thức xα1
α1, α4, α5 là các số nguyên dương. Định nghĩa 2.2.5. Một siêu mặt của một phức đơn hình là mặt cực đại của phức. Định nghĩa 2.2.6. Chiều, dim(τ ), của một mặt p đỉnh là p − 1. Chiều của phức đơn hình là số lớn nhất của chiều các siêu mặt. Định nghĩa 2.2.7. Cho ∆ là phức đơn hình trên V = {v1, · · · , vd}, và 35 đặt R = A[x1, · · · , xd]. Các iđêan mặt (hay iđêan Stanley-Reisner) của R liên kết với ∆ là iđêan I∆ = (xi1 · · · xis | 1 6 i1 < · · · < is 6 d và {vi1 · · · vin} /∈ ∆)R. Vành Stanley - Reisner K[△] là vành K[x1, · · · , xn](cid:30)I△ Ví dụ 2.2.8. Cho V = {p1, p2, p3, p4, p5}, định nghĩa △ bao gồm các tập con của V như sau: △ = {{p1, p2, p3}, {p1, p2}, {p2, p3}, {p1, p3}, {p2, p4}, {p1}, {p2}, {p3}, {p4}, {p5}}. Khi đó I△ = (x1x5, x1x4, x2x5, x3x4, x3x5, x4x5). Định nghĩa 2.2.9. Cho một phức đơn hình chiều p, f - véctơ, f = (f0, f1, · · · , fp), được định nghĩa bởi fi là số mặt chiều i của phức đơn hình, i = 0, · · · , p. Lưu ý f0 là số đỉnh của phức đơn hình. Quy ước, f−1 = 1. Trước khi mô tả hàm Hilbert cho một vành Stanley-Reisner ta cần tính số các đơn thức bậc nào đó có giá trên một mặt của phức đơn hình. Bổ đề 2.2.10. Cho một mặt của phức đơn hình chiều r−1, τ = {vi1, · · · , vir}, n−1
r−1 (cid:0) (cid:1) số các đơn thức của bậc n có giá τ là . i1 · · · xαr
ir là một đơn thức bậc n có giá τ . Khi đó Chứng minh. Giả sử xα1 α1 + · · · + αr = n. Ta cần tìm các bộ phân biệt (α1, · · · , αr) với αi ≥ 1, i = 1, · · · , r như trên. Điều này tương đương với tìm các bộ phân biệt (cid:0) (cid:1)
Định lý 2.2.11. Cho R = K[△] là vành Stanley-Reisner của một phức Theo Bổ đề 2.1.18 bằng . (β1, · · · , βr) sao cho β1 + · · · + βr = n − r} với βi ≥ 0, i = 1, · · · , n.
n−1
r−1 p đơn hình △ chiều p. Khi đó hàm Hilbert HR(n) của R được xác định bởi Xi=0 n − 1 HR(n) = fi, ∀n ≥ 1, i ! 36 trong đó fi là các thành phần của f - véctơ. Chứng minh. Ta cần tìm chiều của Rn như một không gian véctơ trên K, hay số phần tử của cơ sở của Rn. Số này chính là số các đơn thức đơn thức phân biệt bậc n của i Với mỗi i, có fi mặt chiều i và có bậc n có giá trên một mặt của phức. Phức có các mặt chiều 0, 1, ..., p.
n−1
i (cid:1) n−1
i biến phân biệt. Do đó có (cid:0)
fi phần tử hay ta có điểu phải chứng p
(cid:0)
i=0 i. Vậy cơ sở của Rn có fi đơn thức tương ứng với các mặt chiều
n−1
(cid:1)
i (cid:0) (cid:1) P minh. Từ kết quả trên ta có chuỗi Hilbert của vành Stanley-Reisner như sau. Định lý 2.2.12. Cho R = K[△] là vành Stanley-Reisner của một phức đơn hình △ chiều p. Khi đó chuỗi Hilbert HR(n) của R được xác định p bởi HS(R, t) = fiti+1
(1 − t)i+1 . i=−1
X
∞
n=0 s+n−1
s−1 ∞ (cid:1) P tn. Do đó Chứng minh. Ta có (1 − t)−s = (cid:0)
HR(n)tn i=−1
X p ∞ HS(R, t) = n=1
X
p n − 1 = 1 + fitn i=0
X
∞
fi Xi=0 ∞
n=1 i !
n − 1 tn. = 1 + i !
n−1
i (cid:1) n−1
i n=1
X
Bây giờ ta xem xét tổng bên trong, S =
n−1
i = 0, và như vậy S = (cid:1) ∞
(cid:1)
m=1 P P
m−1
i ∞
n=i+1
thay n bởi m + (i + 1) ta có S = ti+1
(cid:0)
(cid:0)
ta có S = ti+1(1 − t)−(i+1). Và như vậy từ quy ước f−1 = 1 ta có (cid:1) P
p tn. Nếu n ≤ i thì
tn. Rút nhân tử ti+1 ra tổng và
(cid:0)
tm. Từ đẳng thức trước, (cid:0)
fiti+1
(1 − t)i+1 Xi=−1 37 HS(R, t) = 2.3. Đồ thị và vành mặt Định nghĩa 2.3.1. Cho V = {v1, · · · , vd} là một tập hữu hạn. Một đồ thị với tập đỉnh V là một cặp G = (V, E) trong đó E là tập hợp các cặp không thứ tự vivj với vi 6= vj ( không thứ tự là vivj = vjvi. ) Phần tử vi ∈ V gọi là một đỉnh của G. Tập E gọi là tập các cạnh của G. Với mỗi cạnh e = vivj các điểm cuối của e là các đỉnh vi và vj. Chú ý. Đồ thị hữu hạn là đồ thị có số đỉnh là hữu hạn, đồ thị là đơn nếu không có cạnh bội. Ví dụ 2.3.2. Đồ thị rời rạc Dn là đồ thị với tập đỉnh {v1, v2, · · · , vn} và không có cạnh. Hình học của D5 như sau: Ví dụ 2.3.3. Với mỗi n > 3, các n-chu trình là đồ thị Cn với tập đỉnh {v1, v2, · · · , vn} và cạnh {v1v2, v2v3, · · · , vd−1vd, vdv1}. Hình học của C3, C4 và C5 là như sau: Ví dụ 2.3.4. Với d > 2, đồ thị đầy đủ trên tập d đỉnh là đồ thị Kd với
tập đỉnh {v1, · · · , vd} và tập cạnh {vivj | 1 6 i < j 6 d}. Hình học của 38 K2, K3, K4 và K5 là như sau: Ví dụ 2.3.5. Với mỗi m, n > 1, các đồ thị hai phần Bm,n là các đồ thị
với tập đỉnh {u1, · · · , um, v1, · · · , vd} và các cạnh {uivj | 1 6 i 6 m, 1 6
j 6 n}. Hình học của B1,1, B1,2, B1,3, B2,2, B2,3 và B3,3 là như sau : Định nghĩa sau cho ta thấy cách sử dụng đồ thị để xây dựng iđêan đơn thức. Định nghĩa 2.3.6. Cho G là đồ thị với tập đỉnh V = {v1, · · · , vd}. Các iđêan cạnh kết hợp với G là iđêan IG ⊆ R = K[x1, · · · , xd], cho bởi IG = ({xixj | vivj | là một cạnh của G})R. Vành mặt được định nghĩa bởi K[G] := K[x1, · · · , xd]/IG. Ví dụ 2.3.7. Iđêan cạnh liên kết với D5 là ID5 = 0. Các iđêan cạnh liên kết với C3, C4 và C5 là IC3 = (x1x2, x2x3, x1x3) ⊆ A[x1, x2, x3] IC4 = (x1x2, x2x3, x3x4, x1x4) ⊆ A[x1, x2, x3, x4] IC5 = (x1x2, x2x3, x3x4, x4x5, x1x5) ⊆ A[x1, x2, x3, x4, x5] Các iđêan cạnh liên kết với K2, K3 và K4 là IK2 = (x1x2) ⊆ A[x1, x2] IK3 = (x1x2, x1x3, x2x3) ⊆ A[x1, x2, x3] 39 IK4 = (x1x2, x1x3, x1x4, x2x3, x2x4, x3x4) ⊆ A[x1, x2, x3, x4] Các iđêan cạnh liên kết với một đồ thị hai phần bất kỳ ở trên là IB1,1 = (x1y1) ⊆ A[x1, y1] IB1,2 = (x1y1, x1y2) ⊆ A[x1, y1, y2] IB1,3 = (x1y1, x1y2, x1y3) ⊆ A[x1, y1, y2, y3] IB2,2 = (x1y1, x1y2, x2y1, x2y2) ⊆ A[x1, x2, y1, y2] IB2,3 = (x1y1, x1y2, x1y3, x2y1, x2y2, x2y3) ⊆ A[x1, x2, y1, y2, y3] v2 v1 v4 v3 Các iđêan cạnh của đồ thị là (x1x2, x1x3, x1x4, x2x3, x3x4) ⊆ A[x1, x2, x3, x4]. Định lý 2.3.8. Cho G là một đồ thị và I(G) là iđêan cạnh kết hợp với G. Khi đó tồn tại một phức đơn hình △, sao cho I△ = I(G). Chứng minh. Ta chứng minh định lý này bằng cách xây dựng một phức đơn hình tương ứng với đồ thị G cho trước. Với mỗi vi ∈ V (G) ta gọi pi là đỉnh của △ tương ứng với vi. Chú ý nếu {vi, vj} là một cạnh trong G thì xixj là một đơn thức của I(G). Ta cần xây dựng △ sao cho {pi, pj}, hay bất kỳ mặt chứa nó không thuộc △. Cụ thể ta xây dựng △ bằng cách trước hết giả sử tất cả các mặt thuộc △. Sau đó xóa đi tất cả các cạnh của G và các mặt chứa cạnh đó. Vậy vi, vj là một cạnh của G khi và chỉ khi xixj ∈ I△. Tuy nhiên điều ngược lại của mệnh đề trên không đúng. Chẳng hạn xét phức đơn hình 3 đỉnh với các mặt chiều 0 hoặc 1. Khi đó iđêan mặt là (x1x2x3) không sinh bởi các đơn thức bậc 2. Do đó không tồn tại 40 đồ thị tương ứng với nó. ∞ Mệnh đề 2.3.9. Cho Dn là đồ thị rời rạc. Đặt R = K[Dn]. Khi đó Xd=0 d + n − 1 td = (1 − t)−n HSR(t) = n − 1 ! Chứng minh. Ta có I(Dn) = (0), kéo theo R = K[x1, · · · , xn]/(0) = d+n−1
n−1 ∞ (cid:0) (cid:1) và K[x1, · · · , xn]. Do đó, cho n ≥ 0, HR(d) = lR0(Rd) = Xd=0 d + n − 1 td = (1 − t)−n. HSR(t) = n − 1 ! Mệnh đề 2.3.10. Cho Kn là độ thị đầy đủ n đỉnh. Đặt R = K[Kn]. Khi đó . HSR(t) = 1 + (n − 1)t
1 − t Chứng minh. Ta có I(Kn) = (x1x2, x1x3, · · · , x1xn, x2x3, · · · , xn−1xn), là iđêan sinh bởi tất cả các đơn thức hai biến phân biệt. Do đó các phần tử khác không của R[Kn] phải chứa ít hơn hai biến. Xét bậc 0 ta có n}. Suy ra HR(d) = lR0(Rd) = n. Như vậy, 1, · · · , xd HR(0) = lR0(R0) = 1. Xét bậc d > 0, cơ sở của Rd như không gian véctơ
trên K là {xd HSR(t) = 1 + nt + nt2 + nt3 + · · · = 1 + nt(1 + t + t2 + t3 + · · · ) . = 1 + = nt
1 − t 1 + (n − 1)t
1 − t Mệnh đề 2.3.11. Cho Bm,n là đồ thị hai phần. Đặt R = K[Bm,n]. Khi đó 41 HSR(t) = (1 − t)−m + (1 − t)−n. Chứng minh. Chia tập đỉnh thành 2 tập tập đỉnh A, B lực lượng m, n tương ứng. Ký hiệu các biến với giá trên A là x1, · · · , xm và trên B là y1, · · · , yn. Iđêan cạnh I(Bm,n) bao gồm các đơn thức dạng x1y2, x3y2, ... (giá cả trên A và B). Vành mặt là không gian véc tơ với cơ sở là các đơn d+m−1
m−1 d+n−1
n−1 ∞ (cid:0) (cid:1) + và thức có giá chỉ trên A hoặc trên B. Do đó độ dài Rd là các đơn thức
bậc d trên Rd là tổng số đơn thức bậc d trên R′ = K[x1, · · · , xm] và trên
R′′ = K[y1, · · · , yn]. Vậy HR(d) = (cid:1)
d + n − 1 (cid:0)
]td = (1 − t)−m + (1 − t)−n. d + m − 1 + HSR(t) = m − 1 ! n − 1 ! [
Xd=0 min{[ n−1 2 ],d} ∞ Mệnh đề 2.3.12. Cho Cn là chu trình n đỉnh. Đặt R = K[Cn]. Khi đó ! s=1
X Xd=1 ]td. [ 1 + n − s + 1
s d − 1
s − 1! Chứng minh. Iđêan của Cn là I(Cn) = (x1x2, x2x3, · · · , xn−1xn). Ta có R = K[x1, · · · xn]/I(Cn). Đặt Rd là tập các đa thức bậc d cùng với 0 là K-không gian véc tơ. Cơ sở của Rd là tập các đơn thức giá trên các đỉnh không liên tiếp. Như vậy độ dài Rd là số cách chọn d đỉnh không liên tiếp từ tập đỉnh {v1, · · · , vn}. Ký hiệu số cách chọn d đỉnh không liên tiếp từ tập đỉnh {v1, · · · , vn} là t(n, d). Ta có t(m, 1) = m với mọi m ≥ 1, và t(m, k) = 0 với m < 2k−1. Ta chứng minh quy nạp theo m, k rằng t(m, k) = . Nếu m < 2k − 1 m−k+1
k
m−1+1
(cid:1)
1 m
1 m−k+1
= m. Giả
(cid:0)
k
với m′ < m và k′ = k. Nếu v1 đã chọn, thì có
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) = 0. Ta cũng có = thì m − k + 1 < k và
m′−k′+1
sử t(m′, k′) =
(cid:0)
k′ (cid:0) (cid:1) (cid:1)
m−2−(k−1)+1
k−1 t(m − 3, k − 1) = = cách để chọn các đỉnh còn lại. (cid:0) (cid:1) (cid:1) m−1
k−1
m−j−1−(k−1)+1
(cid:0)
k−1 m−k−j−1
k−1 (cid:0) Tổng quát có t(m − j − 1, k − 1) = = các đỉnh (cid:0) (cid:1) 42 không liên tiếp với vj là đỉnh nhỏ nhất trong tập.
(cid:1) m−k
k−1 m−k−1
k−1 = + Do đó t(m, k) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:1) P + + + k−1
k−1
. Tiếp tục (cid:0) (cid:0) m−2k+2
j=1
. Ta có 1 =
k+1
k−1 (cid:1)
k−1
k−1 m−k−j−1
k−1
, và cộng từ phía trước ta có
(cid:1)
k+1
k−1 k+1
k = + + = + . (cid:0) (cid:1)
m−k−1
(cid:0)
k−1 k
k
k
(cid:0)
(cid:1)
k−1
m−k−1
(cid:1)
k m−k
(cid:1)
k−1 m−k
(cid:1)
k + +
(cid:1) =
(cid:0) +
(cid:0) =
(cid:0) + · · · +
k
k
k+2
(cid:0)
(cid:1)
k
. Do
(cid:1) =
m−k+1
(cid:1)
(cid:0)
k−1 (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1) k+1
k
k−1
k−1
k
k+1
(cid:0)
(cid:1)
(cid:1)
k−1
k
m−k
Cuối cùng
(cid:0)
(cid:0)
(cid:1)
(cid:1)
k−1
m−k+1
(cid:0)
k (cid:0)
Như vậy độ dài của Rd, với d ≥ 1 là
(cid:0) (cid:1) min{[ n−1 2 ],d} đó có cách đề chọn k đỉnh không liên tiếp từ m đỉnh.
(cid:1) ! s=1
X . l(Rd) = n − s + 1
s d − 1
s − 1! min{[ n−1 2 ],d} ∞ Do đó chỗi Hilbert là ! s=1
X Xd=1 [ 1 + ]td. n − s + 1
s d − 1
s − 1! Mệnh đề 2.3.13. Chuỗi Hilbert của đồ thị hình sao (tức là một đồ thị liên thông mà các cạnh có một điểm chung) là HS(t) = + t
1 − t 1
(1 − t)n−1 . Chứng minh. Giả sử đỉnh chung là vn. Ta có các cạnh của đồ thị là E(G) = {v1vn, v2vn, · · · , vn−1vn}. Do đó I(G) = (x1xn, x2xn, · · · , xn−1xn) = (x1, · · · , xn−1) ∩ (xn). Phức đơn hình tương ứng bao gồm một đỉnh cô lập chiều 0, {vn} và một mặt chiều n − 1, {v1, ...., vn−1}. Để tìm hàm Hilbert ta xác định f -vectơ. n−1
k n−1 (cid:1) n−1
i , k = 2, · · · , n − 1. Do đó chuỗi Hilbert là Ta có f0 = n, fk = (cid:0)
HS(t) = 1 + Xi=2 (cid:0) 43 + nt
1 − t ti
(1 − t)i .
(cid:1) n−1 n−1 n−1
i n−1
i Hay Xi=0 (cid:0) Xi=0 (cid:0) − 1 − + + HS(t) = 1 + nt
1 − t (n − 1)t
1 − t t
1 − t ti
(1 − t)i =
(cid:1) ti
(1 − t)i .
(cid:1) Tổng tương đương với một chuỗi Hilbert có f - véctơ bằng n − 1 n − 1 n − 1 , , · · · , ( ). 1 ! 2 ! n ! Đây cũng là f - véctơ của một phức đơn hình đầy đủ n − 1 đỉnh, tương ứng với đồ thị rời rạc n − 1 đỉnh. Sử dụng kết quả cho đồ thị rời rạc, ta n−1 n−1
i có 1
(1 − t)n−1 . ti
(1 − t)i =
(cid:1) i=0 (cid:0)
X
1−t + 1
(1−t)n−1 . v2 v2 v1 v1 v3 v3 v5 vn vn v5 v4 v4 44 Do đó HS(t) = t Luận văn tìm hiểu về hàm và Đa thức Hilbert Samuel, hàm và đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert của vành K[x1, ..., xn]/I với I là iđêan đơn thức. Cụ thể luận văn đã đạt được một số kết quả sau. Tìm hiều về vành đa thức nhiều biến và một số kết quả cơ bản về iđêan đơn thức, tập sinh, thứ tự từ, iđêan khởi đầu, ... Tìm hiểu về cơ sở Groebner và thuật toán Buchsberger. Công cụ này giúp ta chuyển nghiên cứu các hàm và đa thức trên của K[x1, ..., xn]/I từ trường hợp iđêan bất kỳ về trường hợp iđêan đơn thức. Tìm hiểuvề hàm, đa thức Hilbert Samuel của vành K[x1, ..., xn]/I với I là iđêan đơn thức. Chứng minh nó là một đa thức, liên hệ với các bất biến khác (số biến, chiều của iđêan). Tìm hiểu về hàm và đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert của vành K[x1, ..., xn]/I với I là iđêan đơn thức. Tìm hiểu thuật toán xác định các hàm và đa thức trên. Tìm hiểu về phức đơn hình và vành Stanley-Reisner, đồ thị và 45 vành mặt. Tìm hiểu hàm Hilbert và chuỗi Hilbert của các vành này. Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính- Cơ sở Gr¨obner, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. Tiếng Anh [3] W. Bruns, J. Herzog (1996), Cohen Macaulay Rings, Revised sdition. Cambridge: Cambridge University Press. [4] D. Cox (1991), T. Little and D’Oshea, Ideals, Varieties, and Algo- rithms, Springer Verlag. [5] M. Rogers Sather-Wagstaff and (2011),
decomposition, ideals their S.
Monomial
and
http://www.ndsu.edu/pubweb/ ssatherw/DOCS/monomial.pdf. [6] R. H. Villarreal (2001), Monomial Algebras, New York: Marcel Dekker Inc. [7] C.M. Zagrodny, Algebraic concept in study of graphs and simplical 46 complex, Mathematics thesis, Geogia State University.Chương 2
Đa thức Hilbert của iđêan đơn thức
KẾT LUẬN
Tài liệu tham khảo
