Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng

(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C S(cid:215) PH(cid:132)M

Ho(cid:160)ng Th(cid:224) Thu H(cid:247)(cid:236)ng

(cid:30)(cid:129)NH GI(cid:129) (cid:30)(cid:192)A PH(cid:215)(cid:204)NG

C(cid:213)A H(cid:128)M (cid:30)A (cid:30)I(cid:151)U H`A D(cid:215)˛I V(cid:128) (cid:129)P D(cid:214)NG

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

Th¡i Nguy¶n, n«m 2016

(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N

TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C S(cid:215) PH(cid:132)M

Ho(cid:160)ng Th(cid:224) Thu H(cid:247)(cid:236)ng

(cid:30)(cid:129)NH GI(cid:129) (cid:30)(cid:192)A PH(cid:215)(cid:204)NG

C(cid:213)A H(cid:128)M (cid:30)A (cid:30)I(cid:151)U H`A D(cid:215)˛I V(cid:128) (cid:129)P D(cid:214)NG

Chuy¶n ng(cid:160)nh: To¡n Gi£i t‰ch

M¢ sŁ: 60.46.01.02

LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C

Ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa h(cid:229)c:

GS.TSKH. Nguy„n Quang Di»u

Th¡i Nguy¶n, n«m 2016

L(cid:237)i cam (cid:31)oan

T(cid:230)i xin cam (cid:31)oan Lu“n v«n n(cid:160)y l(cid:160) do ch‰nh t¡c gi£ th(cid:252)c hi»n d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252)

h(cid:247)(cid:238)ng d¤n cıa GS. TSKH. Nguy„n Quang Di»u. Lu“n v«n kh(cid:230)ng tr(cid:242)ng

l(cid:176)p v(cid:238)i c¡c (cid:31)• t(cid:160)i kh¡c v(cid:160) c¡c th(cid:230)ng tin tr‰ch d¤n trong lu“n v«n (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc

ch¿ rª ngu(cid:231)n gŁc.

Th¡i nguy¶n, ng(cid:160)y 10 th¡ng 04 n«m 2016

T¡c gi£

i

Ho(cid:160)ng Th(cid:224) Thu H(cid:247)(cid:236)ng

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

B£n lu“n v«n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n cıa GS.TSKH.

NGUY(cid:153)N QUANG DI(cid:155)U. Em xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n s¥u s›c t(cid:238)i thƒy,

ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ (cid:31)(cid:224)nh h(cid:247)(cid:238)ng v(cid:160) t“n t…nh gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) em trong suŁt qu¡ tr…nh em th(cid:252)c

hi»n lu“n v«n.

Em xin gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n t(cid:238)i Ban Gi¡m hi»u nh(cid:160) tr(cid:247)(cid:237)ng, Ban chı nhi»m

Khoa To¡n, PhÆng Sau (cid:30)⁄i h(cid:229)c c(cid:242)ng c¡c thƒy c(cid:230) gi¡o Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c s(cid:247)

ph⁄m- (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n, Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c S(cid:247) ph⁄m H(cid:160) Nºi v(cid:160) Vi»n

To¡n h(cid:229)c (cid:31)¢ gi£ng d⁄y, gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) em ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n.

Xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n c¡c anh ch(cid:224), b⁄n b– (cid:31)(cid:231)ng nghi»p Tr(cid:247)(cid:237)ng THPT

Nh¢ Nam T¿nh B›c Giang (cid:31)¢ t⁄o (cid:31)i•u ki»n gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) v• m(cid:229)i m(cid:176)t trong qu¡

tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) ho(cid:160)n th(cid:160)nh b£n lu“n v«n n(cid:160)y.

Lu“n v«n s‡ kh(cid:230)ng th” ho(cid:160)n th(cid:160)nh n‚u thi‚u s(cid:252) th(cid:230)ng c£m, s· chia v(cid:160)

(cid:31)ºng vi¶n k(cid:224)p th(cid:237)i cıa gia (cid:31)…nh v(cid:160) b⁄n b–. Xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n s¥u

s›c.

Do n«ng l(cid:252)c cÆn h⁄n ch‚ n¶n lu“n v«n kh(cid:230)ng tr¡nh kh(cid:228)i nhœng thi‚u

s(cid:226)t v… v“y em r§t mong nh“n (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) (cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p (cid:254) ki‚n cıa c¡c thƒy c(cid:230) v(cid:160)

c¡c b⁄n (cid:31)” lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n thi»n h(cid:236)n.

Em xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n!

Th¡i nguy¶n, ng(cid:160)y 10 th¡ng 04 n«m 2016

H(cid:229)c vi¶n

ii

Ho(cid:160)ng Th(cid:224) Thu H(cid:247)(cid:236)ng

M(cid:246)c l(cid:246)c

L(cid:237)i cam (cid:31)oan i

L(cid:237)i c£m (cid:236)n ii

M(cid:246)c l(cid:246)c iii

M— (cid:30)(cid:134)U 1

2 1 Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

2 1.1 H(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 1.2 H(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 1.3 Dung l(cid:247)æng t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 1.4 H(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 1.5 H(cid:160)m Green phøc v(cid:238)i c(cid:252)c t⁄i v(cid:230) c(cid:242)ng . . . . . . . . . . . .

15 2 (cid:30)¡nh gi¡ (cid:31)a thøc

2.1 (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ch‰nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 (cid:217)ng d(cid:246)ng cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ch‰nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

37 K(cid:152)T LU(cid:138)N

iii

38 T(cid:128)I LI(cid:155)U THAM KH(cid:131)O

M— (cid:30)(cid:134)U

(cid:30)a thøc mºt bi‚n hay nhi•u bi‚n l(cid:160) c¡c (cid:31)Łi t(cid:247)æng quan tr(cid:229)ng cıa gi£i

t‰ch. Ta c(cid:226) th” th§y (cid:31)i•u n(cid:160)y qua c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Weierstrass n(cid:226)i r‹ng m(cid:229)i

h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c tr¶n t“p compact l(cid:160) gi(cid:238)i h⁄n (cid:31)•u cıa c¡c (cid:31)a thøc. Mºt v§n

(cid:31)• c(cid:226) (cid:254) ngh(cid:190)a th(cid:252)c ti„n l(cid:160) (cid:31)¡nh gi¡ chu'n sup tr¶n mºt t“p l(cid:238)n th(cid:230)ng qua

chu'n cıa (cid:31)a thøc n(cid:160)y tr¶n c¡c t“p nh(cid:228) h(cid:236)n. Mºt b§t (cid:31)flng thøc ki”u nh(cid:247)

v“y l(cid:160) b§t (cid:31)flng thøc Bernstein Markov cho (cid:31)¡nh gi¡ chu'n cıa (cid:31)a thøc

phøc nhi•u bi‚n qua chu'n cıa (cid:31)a thøc n(cid:160)y tr¶n mºt t“p kh(cid:230)ng (cid:31)a c(cid:252)c

t(cid:242)y (cid:254). Nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n l(cid:160) tr…nh b(cid:160)y l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ cıa Brudnyˇi v• (cid:31)¡nh gi¡ ki”u nh(cid:247) v“y cho nhœng h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n Cn m(cid:160) c(cid:226) d⁄ng tŒng qu¡t h(cid:236)n log cıa m(cid:230)(cid:31)un cıa (cid:31)a thøc. Lu“n v«n c(cid:226)

bŁ c(cid:246)c nh(cid:247) sau.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 tr…nh b(cid:160)y c¡c ki‚n thøc v• h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i, (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa

d(cid:247)(cid:238)i. (cid:30)(cid:176)c bi»t quan tr(cid:229)ng l(cid:160) kh¡i ni»m dung l(cid:247)æng t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 l(cid:160) nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n bao g(cid:231)m (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2 (cid:31)¡nh

gi¡ (cid:31)º l(cid:238)n c¡c h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i to(cid:160)n c(cid:246)c tr¶n Cn (th(cid:228)a m¢n mºt sŁ

(cid:31)i•u ki»n chu'n h(cid:226)a n(cid:160)o (cid:31)(cid:226)) d(cid:252)a tr¶n (cid:31)º l(cid:238)n tr¶n nhœng t“p r§t b† ch¿

cƒn c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o Lebesgue d(cid:247)(cid:236)ng. Ti‚p theo ch(cid:243)ng t(cid:230)i ¡p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2

v(cid:160)o vi»c nghi¶n cøu (cid:31)¡nh gi¡ (cid:31)º l(cid:238)n cıa c¡c (cid:31)a thøc tr¶n c¡c t“p con gi£i

t‰ch th(cid:252)c cıa Rn. Ngo(cid:160)i ra ch(cid:243)ng t(cid:230)i cÆn t…m nhœng øng d(cid:246)ng cıa k‚t

qu£ n(cid:160)y v(cid:160)o (cid:31)¡nh gi¡ m(cid:230)(cid:31)un cıa (cid:31)a thøc tr¶n c¡c t“p n‹m trong c¡c t“p

1

(cid:31)⁄i sŁ hay gi£i t‰ch th(cid:252)c.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta tr…nh b(cid:160)y l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m c(cid:244)ng nh(cid:247)

k‚t qu£ cƒn thi‚t (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng (cid:240) ch(cid:247)(cid:236)ng sau.

1.1 H(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.1. Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian t(cid:230)p(cid:230). H(cid:160)m u : Ω −→

[−∞; +∞) g(cid:229)i l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n X n‚u v(cid:238)i mØi α ∈ R t“p

Xα = {x ∈ X : u(x) < α}

l(cid:160) m(cid:240) trong X. H(cid:160)m v : X −→ [−∞; +∞) g(cid:229)i l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n

X n‚u −v l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n X.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.2. Gi£ sß Ω l(cid:160) t“p m(cid:240) trong C. H(cid:160)m u : Ω −→

[−∞; +∞) g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n Ω n‚u n(cid:226) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n tr¶n

Ω v(cid:160) th(cid:228)a m¢n b§t (cid:31)flng thøc d(cid:247)(cid:238)i trung b…nh tr¶n Ω, ngh(cid:190)a l(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i

2π (cid:90)

w ∈ Ω t(cid:231)n t⁄i (cid:37) > 0 sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i 0 ≤ r < (cid:37) ta c(cid:226)

0

u(w) ≤ u(w + reit) dt 1 2π

2

Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng v(cid:238)i (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n th… h(cid:160)m (cid:31)(cid:231)ng nh§t −∞ tr¶n Ω (cid:31)(cid:247)æc xem

l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n Ω. Ta k‰ hi»u t“p c¡c h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n

Ω l(cid:160) SH(Ω).

K‚t qu£ sau (cid:31)¥y cho mºt (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı (cid:31)” mºt h(cid:160)m kh£ vi l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u

hÆa d(cid:247)(cid:238)i.

∂y2 l(cid:160) Laplace cıa u.

∂x2 + ∂2u

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.3. Gi£ sß u ∈ C 2(Ω). Khi (cid:31)(cid:226) u l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n Ω khi v(cid:160) ch¿ khi (cid:52)u ≥ 0 tr¶n Ω, (cid:240) (cid:31)(cid:226) (cid:52)u = ∂2u

Chøng minh. Gi£ sß (cid:52)u ≥ 0 tr¶n Ω. L§y D l(cid:160) mi•n compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi

trong Ω v(cid:160) h l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa tr¶n mi•n D, li¶n t(cid:246)c tr¶n D sao cho

(u − h)(z) ≤ 0 (cid:31)Łi v(cid:238)i m(cid:229)i ζ ∈ ∂D. V(cid:238)i ε > 0, x¡c (cid:31)(cid:224)nh lim sup z→ζ

u(z) − h(z) + ε |z|2 n‚u z ∈ D υε(z) =

  

ε |z|2 n‚u z ∈ ∂D.

Khi (cid:31)(cid:226) υε nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n D n¶n n(cid:226) (cid:31)⁄t c(cid:252)c (cid:31)⁄i tr¶n D. Tuy nhi¶n

do (cid:52)υε = (cid:52)u + 4ε > 0 tr¶n D n¶n υε (cid:31)⁄t c(cid:252)c (cid:31)⁄i tr¶n ∂D. Do (cid:31)(cid:226) |z|2 tr¶n D. Cho ε → 0 ta (cid:31)(cid:247)æc u ≤ h tr¶n D v(cid:160), do (cid:31)(cid:226), u

u − h ≤ sup ∂D (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n D.

Ng(cid:247)æc l⁄i, gi£ sß u (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n Ω. Gi£ thi‚t t⁄i ω ∈ Ω ta c(cid:226)

(cid:52)u(ω) < 0. Do (cid:31)(cid:226) c(cid:226) (cid:37) > 0 sao cho (cid:52)u ≤ 0 tr¶n (cid:52)(ω, (cid:37)). Theo (cid:31)i•u vła

chøng minh th… −u l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n (cid:52)(ω, (cid:37)). Do (cid:31)(cid:226) u l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u

hÆa tr¶n (cid:52)(ω, (cid:37)). V“y (cid:52)u(ω) = 0 v(cid:160) g(cid:176)p m¥u thu¤n. Do (cid:31)(cid:226) (cid:52)u ≥ 0 v(cid:160)

(cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) sau (cid:31)¥y cho th§y t‰nh (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i l(cid:160) b§t bi‚n qua ¡nh x⁄

ch¿nh h…nh.

3

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.4. Gi£ sß f : Ω1 → Ω2 l(cid:160) ¡nh x⁄ ch¿nh h…nh giœa hai t“p m(cid:240)

trong C. N‚u u l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n Ω2 th… u ◦ f l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i

tr¶n Ω1.

Chøng minh. V… t‰nh (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i l(cid:160) t‰nh (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng n¶n ch¿ cƒn chøng

minh u ◦ f l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n mØi mi•n co compact t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi D1 (cid:98) Ω1. Gi£ sß D1 l(cid:160) mi•n nh(cid:247) v“y. Khi (cid:31)(cid:226) D2 = f (D1) (cid:98) Ω2. Ch(cid:229)n d¢y h(cid:160)m

(cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr(cid:236)n {un} ∈ C ∞(D2) sao cho un (cid:38) u tr¶n D2. Theo (cid:30)(cid:224)nh

l(cid:254) 1.1.3 c(cid:226) (cid:52)un ≥ 0 tr¶n D2 v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 1. Ta c(cid:226)

(cid:52)(u ◦ f ) = ((cid:52)(un) ◦ f ) |f (cid:48)|2 tr¶n D1.

Do (cid:31)(cid:226) theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.3 ta c(cid:226) u ◦ f l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n D1. Nh(cid:247)ng

un ◦ f (cid:38) u ◦ f tr¶n D1 n¶n u ◦ f l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n D1 v(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc

chøng minh.

1.2 H(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.1. Gi£ sß Ω ⊂ Cn l(cid:160) t“p m(cid:240), u : Ω → [−∞; +∞) l(cid:160)

h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n, kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:231)ng nh§t b‹ng −∞ tr¶n m(cid:229)i th(cid:160)nh phƒn

li¶n th(cid:230)ng cıa Ω. H(cid:160)m u g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n Ω (vi‚t u ∈ PSH(Ω))

n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i a ∈ Ω v(cid:160) b ∈ Cn, h(cid:160)m λ (cid:55)→ u(a + λb) l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ho(cid:176)c

b‹ng −∞ tr¶n m(cid:229)i th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa t“p {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.2. Gi£ sß u : Ω → [−∞, +∞) l(cid:160) h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n,

kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:231)ng nh§t b‹ng −∞ tr¶n m(cid:229)i th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa Ω ⊂ Cn.

Khi (cid:31)(cid:226) u ∈ PSH(Ω) khi v(cid:160) ch¿ khi v(cid:238)i m(cid:229)i a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho

4

{a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω

2π (cid:90)

ta c(cid:226)

0

u(a) ≤ u(a + reiθb)dθ := l(u, a, b) (1.1) 1 2π

Chøng minh. (cid:30)i•u ki»n cƒn l(cid:160) hi”n nhi¶n suy ra tł (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.1.

(cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı. Gi£ sß a ∈ Ω, b ∈ Cn v(cid:160) x†t

U = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}

Khi (cid:31)(cid:226) U l(cid:160) t“p n(cid:240) tr¶n C. (cid:30)(cid:176)t υ(λ) = u(a+λb), λ ∈ U . Cƒn chøng minh

υ(λ) l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n U . MuŁn v“y ch¿ cƒn chøng t(cid:228) n‚u λ0 ∈ U t(cid:231)n

2π (cid:90)

t⁄i ρ > 0 sao cho 0 ≤ r < ρ th…

0

υ(λ0) ≤ υ(λ0 + reiθ)dθ 1 2π

Tł a + λ0b ∈ U n‚u c(cid:226) ρ > 0 sao cho khi |λ| < ρ th… a + λ0b + λb ∈ Ω.

2π (cid:90)

V(cid:238)i 0 ≤ r < ρ ta c(cid:226) {a + λ0b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ Ω. Do (cid:31)(cid:226) tł gi£ thi‚t

0

2π (cid:82)

u(a + λ0b + rbeiθ)dθ u(a + λ0b) ≤ 1 2π

0

υ(λ0 + reiθ)dθ, (cid:31)(cid:226) l(cid:160) (cid:31)i•u ph£i chøng minh. V“y υ(λ0) ≤ 1 2π

Ta c(cid:226) (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng sau (cid:31)¥y cıa t‰nh (cid:31)a di•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i cho c¡c h(cid:160)m kh£

vi.

) cıa u t⁄i z x¡c (cid:31)(cid:224)nh

n (cid:88)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.3. Gi£ sß Ω ⊂ Cn l(cid:160) t“p m(cid:240) v(cid:160) u ∈ C 2(Ω). Khi (cid:31)(cid:226) u ∈ PSH(Ω) khi v(cid:160) ch¿ khi Hessian Hu(z) = ( ∂2u ∂zj∂ ¯zk d(cid:247)(cid:236)ng, ngh(cid:190)a l(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i w = (w1, w2, ..., wn) ∈ Cn,

j,k=1

5

Hu(z)(w, w) = (z)wj ¯wk ≥ 0. ∂2u ∂zj∂ ¯zk

n (cid:88)

Chøng minh. Suy ra tł (cid:31)flng thøc: V(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Ω, w ∈ Cn v(cid:160) ξ ∈ C ta c(cid:226)

j,k=1

(cid:52)ξu(z + ξw)|ξ=0 = (z)wj ¯wk 1 4 ∂2u ∂zj∂ ¯zk

v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.1 c(cid:242)ng v(cid:238)i (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.3.

1.3 Dung l(cid:247)æng t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3.1. Gi£ sß Ω ⊂ Cn l(cid:160) t“p m(cid:240) v(cid:160) E ⊂ Ω l(cid:160) t“p Borel.

Dung l(cid:247)æng t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi cıa E (cid:31)Łi v(cid:238)i Ω, k‰ hi»u Cn(E, Ω) hay c(cid:226) th” vi‚t

l(cid:160) Cn(E) n‚u kh(cid:230)ng g(cid:176)p ph£i s(cid:252) hi”u nhƒm n(cid:160)o kh¡c, l(cid:160) (cid:31)⁄i l(cid:247)(cid:236)ng cho

b(cid:240)i

(cid:90) Cn(E) = Cn(E, Ω) = sup{

E

(ddcu)n : u ∈ PSH(Ω), −1 ≤ u ≤ 0}.

B(cid:240)i b§t (cid:31)flng thøc Chern- Levine- Nirenberg Cn(E) l(cid:160) hœu h⁄n n‚u E (cid:98) Ω.

1.4 H(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4.1. Gi£ sß Ω ⊂ Cn l(cid:160) t“p m(cid:240) v(cid:160) E ⊂ Ω. H(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224)

t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi cıa E (cid:31)Łi v(cid:238)i Ω, (cid:31)(cid:247)æc k‰ hi»u l(cid:160) uE,Ω v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i c(cid:230)ng

thøc

uE,Ω(z) = sup{v(z) : v ∈ PSH(Ω), v ≤ −1 tr¶n E, v ≤ 0 tr¶n Ω}, z ∈ Ω

E,Ω ∈ PSH(Ω) v(cid:160) −1 ≤ u∗

E,Ω ≤ 0, z ∈ Ω, u∗

E,Ω(z) = −1 khi z ∈ E.

H(cid:160)m u∗

E,Ω l(cid:160) ch‰nh quy h(cid:226)a nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n cıa uE,Ω. H(cid:160)m n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc

— (cid:31)¥y, u∗

(cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i

ρ→z

6

uE,Ω(ρ). u∗ E,Ω(z) = lim sup

1.5 H(cid:160)m Green phøc v(cid:238)i c(cid:252)c t⁄i v(cid:230) c(cid:242)ng

Mºt l(cid:238)p h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa quan tr(cid:229)ng c(cid:226) nhi•u øng d(cid:246)ng trong gi£i t‰ch

phøc nhi•u bi‚n v(cid:160) l(cid:254) thuy‚t (cid:31)a th‚ v(cid:224) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m thuºc l(cid:238)p Lelong.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.5.1. H(cid:160)m u ∈ PSH(Ω) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:226) (cid:31)º t«ng logarit

n‚u t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ Cu sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn:

(cid:113)(cid:80)n

u(z) ≤ log(cid:107)z(cid:107) + Cu

j=1 |zj|2, z = (z1, z2, ..., zn).

v(cid:238)i (cid:107)z(cid:107) =

K‰ hi»u t“p c¡c h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n Cn c(cid:226) (cid:31)º t«ng logarit l(cid:160) L(C n)

hay L n‚u kh(cid:230)ng c(cid:226) g… nhƒm l¤n. Nh(cid:247) v“y

L = {u ∈ PSH(Cn) : sup z∈Cn

(u(z) − log(cid:107)z(cid:107)) < +∞}.

L(cid:238)p L (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) l(cid:238)p Lelong. Ta cÆn x†t l(cid:238)p con cıa l(cid:238)p Lelong, k‰ hi»u

L+ = {u ∈ PSH(Cn) : ∃ C1(u), C2(u) sao cho,

l(cid:160) L+ (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) sau:

C1(u) + log(cid:107)z(cid:107) ≤ u(z) ≤ C2(u) + log(cid:107)z(cid:107)}.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.5.2. Gi£ sß E l(cid:160) t“p b(cid:224) ch(cid:176)n. H(cid:160)m

VE(z) = sup{u(z) : u ∈ L, u|E ≤ 0}, z ∈ Cn

g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m Green phøc cıa t“p E (v(cid:238)i c(cid:252)c t⁄i ∞).

V‰ d(cid:246).

Gi£ sß E = B(a, r) = {z ∈ Cn : (cid:107)z − a(cid:107) ≤ r}. Khi (cid:31)(cid:226)

7

, z ∈ Cn VB(a,r) = log+ (cid:107)z − a(cid:107) r

r = max(0, log (cid:107)z−a(cid:107)

r

).

, z ∈ Cn. . Trong (cid:31)(cid:226), log+ (cid:107)z−a(cid:107) Th“t v“y, v‚ ph£i thuºc L v(cid:160) ≤ 0 khi z ∈ E. V“y theo (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a, VB(a,r) ≥ log+ (cid:107)z − a(cid:107) r

Gi£ sß u ∈ L, u|E ≤ 0. L§y w ∈ Cn\E v(cid:160) x¡c (cid:31)(cid:224)nh h(cid:160)m (w − a)) − log+ (cid:107)ω − a(cid:107) υ(t) = u(a + , |t| r 1 t

r

r

)\{0}

r

r

th… ˜υ(t) ≤ 0. V“y theo

r

). (cid:30)(cid:176)c bi»t υ(1) = ˜υ(1) =

r

r ≤ 0. Tł (cid:31)(cid:226) u(w) ≤ log+ (cid:107)w−a(cid:107) .

r

khi w ∈ Cn\E. N‚u

r

)\{0}. H(cid:160)m υ l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i theo t ∈ (cid:52)(0, (cid:107)w−a(cid:107) (cid:240) (cid:31)(cid:226), t ∈ (cid:52)(0, (cid:107)w−a(cid:107) v(cid:160) do u ∈ L n¶n υ(t) ≤ c khi t → 0. V“y υ th¡c tri”n t(cid:238)i h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa ). Khi |t| = (cid:107)w−a(cid:107) d(cid:247)(cid:238)i ˜υ tr¶n t ∈ (cid:52)(0, (cid:107)w−a(cid:107) nguy¶n l(cid:254) c(cid:252)c (cid:31)⁄i, ˜υ ≤ 0 tr¶n (cid:52)(0, (cid:107)w−a(cid:107) u(w) − log+ (cid:107)w−a(cid:107) w ∈ E th… u(w) ≤ 0 = log+ (cid:107)w−a(cid:107) Do (cid:31)(cid:226) u(w) ≤ log+ (cid:107)w−a(cid:107)

v(cid:238)i m(cid:229)i w ∈ Cn v(cid:160) (cid:31)flng thøc VB(a,r)(z) = log+ (cid:107)z − a(cid:107) r

(cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

deg P log |P (z)| (cid:107)P (cid:107)B(a,r)

a b¡n k‰nh r trong Cn. H(cid:160)m u(z) = 1 (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.5.3. Gi£ sß P l(cid:160) (cid:31)a thøc tr¶n Cn v(cid:160) B(a, r) l(cid:160) h…nh cƒu t¥m ∈ L v(cid:160) u|B(a,r) ≤ 0.

(cid:18)

(cid:19)

V“y, v‰ d(cid:246) tr¶n cho ta

log ≤ max 0, log , ∀z ∈ Cn. 1 deg P (cid:107)z − a(cid:107) r |P (z)| (cid:107)P (cid:107)B(a,r)

Do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) b§t (cid:31)flng thøc sau m(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b§t (cid:31)flng thøc Bernstein-

(cid:20)

(cid:18)

(cid:19)(cid:21)deg P

Walsh:

max 1, . |P (z)| ≤ (cid:107)P (cid:107)B(a,r) (cid:107)z − a(cid:107) r

8

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y ta chøng minh mºt sŁ t‰nh ch§t (cid:31)Łi v(cid:238)i h(cid:160)m VE.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.5.4. 1. N‚u E1 ⊂ E2 th… VE1 ≥ VE2.

E ≡ +∞.

2. E l(cid:160) t“p (cid:31)a c(cid:252)c khi v(cid:160) ch¿ khi V ∗

E ∈ L.

3. N‚u E kh(cid:230)ng l(cid:160) t“p (cid:31)a c(cid:252)c th… V ∗

E ∈ L l(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)⁄i tr¶n Cn \ E.

4. N‚u E kh(cid:230)ng l(cid:160) t“p (cid:31)a c(cid:252)c th… V ∗

E∪F = V ∗

E n‚u F l(cid:160) t“p (cid:31)a c(cid:252)c.

5. V ∗

(cid:38) V ∗ E. 6. N‚u Ej (cid:37) E th… V ∗ Ej

Chøng minh. 1. Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa VE ch(cid:243)ng ta c(cid:226), N‚u E1 ⊂ E2 th… VE1 ≥ VE2. 2. Gi£ sß E l(cid:160) t“p (cid:31)a c(cid:252)c. Ta c(cid:226) h(cid:160)m u ∈ L

E ≡ +∞. Ng(cid:247)æc l⁄i, n‚u V ∗

v(cid:238)i E ⊂ {u = −∞}. Do (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i M > 0, u+M ≤ VE. Do (cid:31)(cid:226) VE = +∞

tr¶n {u > −∞} v(cid:160) suy ra V ∗ E ≡ +∞ , c(cid:226) d¢y {uj}j ⊂ L, uj|E ≤ 0 v(cid:160) supj uj(z) = +∞ hƒu kh›p n(cid:236)i tr¶n Cn. (cid:30)i•u n(cid:160)y chøng t(cid:228) h(cid:229) U = {uj : j ≥ 1} kh(cid:230)ng b(cid:224) ch(cid:176)n tr¶n (cid:31)•u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng. Th“t v“y n‚u tr¡i l⁄i th… v(cid:238)i m(cid:229)i a ∈ Cn, c(cid:226) r > 0 v(cid:160) h‹ng sŁ C sao cho

∀z ∈ B(a, r), ∀j : uj(z) ≤ C.

(cid:30)i•u n(cid:160)y tr¡i v(cid:238)i supj uj(z) = +∞ hƒu kh›p n(cid:236)i tr¶n Cn. Nh(cid:247) v“y, t(cid:231)n t⁄i B(a, r) ⊂ Cn v(cid:160) d¢y con cıa d¢y {uj} m(cid:160) ta c(cid:226) th” coi l(cid:160) {uj} sao cho Mj = sup ujB ≥ j v(cid:238)i m(cid:229)i j. Tł v‰ d(cid:246) v• h(cid:160)m Green phøc c(cid:226) c(cid:252)c (cid:31)⁄i ∞

ta c(cid:226)

, z ∈ Cn. (1.2) uj(z) ≤ Mj + log+ (cid:107)z − a(cid:107) r

Ta chøng minh c(cid:226) z0 ∈ Cn sao cho

9

exp(uj(z0) − Mj) > 0. lim sup j

j

Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, lim sup exp(uj(z) − Mj) ≤ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn. Ta c(cid:226),

, ∀z ∈ B(a, r) v(cid:160) j (cid:31)ı l(cid:238)n. exp(uj(z) − Mj) ≤ 1 2 lim sup j

(cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) tr¡i v(cid:238)i (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa Mj. (cid:30)(cid:176)t

j

δ = lim sup exp(uj(z0) − Mj).

Ch(cid:229)n d¢y {ujk}k≥1 sao cho

exp(ujk(z0) − Mjk) = δ v(cid:160) Mjk ≥ 2k v(cid:238)i m(cid:229)i k. lim sup j

∞ (cid:88)

X†t h(cid:160)m

k=1

ω(z) = 2−k(ujk(z) − Mjk), z ∈ Cn.

Tł (1.2) ta c(cid:226)

≤ 0, ∀z ∈ B(a, R), R > r. (1.3) 2−k(ujk(z) − Mjk) − 2−k log+ R r

∞ (cid:88)

(cid:30)(cid:176)t

k=1

k=1 ωk = ω − log+ R

, z ∈ Cn. ωk(z) = 2−k(ujk(z) − Mjk) − 2−k log+ R r

th… ωk ∈ PSH(B(a, R)) v(cid:160) ωk ≤ 0. V“y h(cid:160)m (cid:80)∞ r ho(cid:176)c l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n B(a, R) ho(cid:176)c b‹ng −∞. Do R > 0 (cid:31)(cid:247)æc

ch(cid:229)n t(cid:242)y (cid:254) n¶n ω l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i ho(cid:176)c b‹ng −∞ tr¶n Cn. Nh(cid:247)ng

∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

ω(z0) > −∞ n¶n ω l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n Cn. H(cid:236)n nœa tł (1.2) ta suy ra ω ∈ L. N‚u z ∈ E th… ujk(z) ≤ 0. V“y

k=1

k=1

ω(z) ≤ − −1 = −∞. 2−kMjk ≤

Do (cid:31)(cid:226) E l(cid:160) (cid:31)a c(cid:252)c.

3. Tł chøng minh phƒn 2 ta c(cid:226) phƒn 3.

E l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng. Ta c(cid:226) d¢y {uj} ⊂ L, uj|E ≤

10

4. Do 3. ta c(cid:226) V ∗

0, uj (cid:37) V ∗

E tr¶n B. V“y V ∗ 5. Do E ⊂ E ∪ F n¶n V ∗

E l(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)⁄i tr¶n B. Do (cid:31)(cid:226) V ∗ E ≥ V ∗

E hƒu kh›p n(cid:236)i tr¶n Cn. Gi£ sß B ⊂ Cn \ E l(cid:160) mºt h…nh cƒu. Khi (cid:31)(cid:226) c(cid:226) th” thay uj b(cid:240)i ˆuj l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i c(cid:252)c (cid:31)⁄i tr¶n B v(cid:160) E l(cid:160) c(cid:252)c (cid:31)⁄i tr¶n Cn. E∪F . Gi£ sß u ∈ L, u|E ≤ 0. Tł gi£ thi‚t ta c(cid:226) υ ∈ L, F ⊂ {υ = −∞}. Do E b(cid:224) ch(cid:176)n n¶n ta c(cid:226) th” coi υ ≤ 0 tr¶n E.

ˆuj (cid:37) V ∗

H(cid:160)m u + (cid:15)υ ∈ L v(cid:160) u + (cid:15)υ|E∪F ≤ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:15) > 0. Do (cid:31)(cid:226)

u + (cid:15)υ ≤ VE∪F tr¶n Cn.

E∪F v(cid:238)i m(cid:229)i

V“y u(z) ≤ VE∪F t⁄i m(cid:229)i z ∈ {υ > −∞}. Tł (cid:31)(cid:226) u(z) ≤ V ∗

E∪F v(cid:160) ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

z ∈ Cn v(cid:160) d¤n (cid:31)‚n V ∗

E. V“y V ∗

E ≤ V ∗ 6. Tł Ej (cid:37) E suy ra V ∗ Ej

Ej gi£m t(cid:238)i h(cid:160)m (cid:31)a E. C(cid:226) th” gi£ thi‚t E kh(cid:230)ng (cid:31)a c(cid:252)c. Do (cid:31)(cid:226) u ∈ L } l(cid:160) (cid:31)a c(cid:252)c. Khi (cid:31)(cid:226) u = 0 tr¶n E \ P v(cid:160)

≥ V ∗ (cid:38) v(cid:160) V ∗ Ej

(cid:38) V ∗ E. (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i u ≥ V ∗ v(cid:160) t“p P = (cid:83) j E\P = V ∗ u ≤ VE\P ≤ V ∗ {VEj < V ∗ Ej E. V“y V ∗ Ej

M»nh (cid:31)• 1.5.5. N‚u K1 ⊃ K2 ⊃ ... l(cid:160) d¢y gi£m c¡c t“p con compact

∞ (cid:84) j=1

cıa Cn v(cid:160) K = VKj(z) = VK(z) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn. Kj th… lim j→∞

VKj(z) ≤ VK(z) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn. Chøng minh. Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ta c(cid:226) VK1(z) ≤ VK2(z) ≤ ... ≤ VK(z) v(cid:238)i z ∈ Cn. V“y t(cid:231)n t⁄i lim j→∞

Gi£ sß u ∈ L, u ≤ 0 tr¶n K v(cid:160) (cid:15) > 0. T“p {z ∈ Cn : u(z) < (cid:15)} l(cid:160) t“p m(cid:240), chøa K. V“y c(cid:226) j0 sao cho Kj0 ⊂ {z ∈ Cn : u(z) < (cid:15)}. Tł (cid:31)(cid:226)

VKj(z) v(cid:160) m»nh VKj tr¶n Cn. Nh(cid:247) v“y VK(z) ≤ lim j→∞

u − (cid:15) ≤ VKj0 ≤ lim j→∞ (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

11

H» qu£ 1.5.6. N‚u K ⊂ Cn l(cid:160) t“p compact th… VK l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n Cn.

Chøng minh. Gi£ sß u ∈ L, u|K ≤ 0. Khi (cid:31)(cid:226) u ∗ χ(cid:15) ∈ L v(cid:160) u ∗ χ(cid:15) (cid:38) u khi (cid:15) (cid:38) 0 tr¶n Cn. V“y v(cid:238)i δ > 0 v(cid:160) v(cid:238)i mØi x ∈ K c(cid:226) sŁ (cid:15)x > 0 sao cho

u(x) ≤ u ∗ χ(cid:15)x(x) < u(x) + δ ≤ δ.

Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i l¥n c“n Vx cıa x sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ Vx : u ∗ χ(cid:15)x(t) < δ.

H(cid:229) {Vx}x∈K l(cid:160) mºt phı m(cid:240) cıa K. V“y c(cid:226) {Vx1, ..., Vxr} phı K. (cid:30)(cid:176)t

(cid:15) = min{(cid:15)x1, ..., (cid:15)xr}. Khi (cid:31)(cid:226)

u ∗ χ(cid:15)(z) ≤ u ∗ χ(cid:15)j(z), ∀j = 1, 2, ..., r, ∀z ∈ Cn.

Nh(cid:247) v“y v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ K : u ∗ χ(cid:15)(z) < δ. Do (cid:31)(cid:226) u ∗ χ(cid:15)(z) − δ < 0 tr¶n K.

V“y

u ∗ χ(cid:15)(z) − δ ≤ VK(z), ∀z ∈ Cn.

Tł (cid:31)¥y ta (cid:31)(cid:247)æc

VK(z) = sup{u ∗ χ(cid:15)(z) − δ : (cid:15) > 0, δ > 0}

v(cid:160) h(cid:160)m VK l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i.

K|K ≡ 0 th… VK l(cid:160) h(cid:160)m

H» qu£ 1.5.7. N‚u K ⊂ Cn l(cid:160) t“p compact v(cid:160) V ∗

K ch‰nh quy h(cid:226)a nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n cıa VK.

li¶n t(cid:246)c tr¶n Cn, (cid:240) (cid:31)(cid:226) V ∗

K l(cid:160) nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n t⁄i a v(cid:160) V ∗

K(a) = 0

Chøng minh. L§y a ∈ K. Do V ∗

n¶n c(cid:226) r > 0 sao cho

K(z) < 1.

∀z ∈ B(a, r) : V ∗

r

Do (cid:31)(cid:226) V ∗

K(z) ≤ log+ (cid:107)z−a(cid:107) r + 1 v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn K(z) ≤ VK(z) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn. V“y

K(z) − 1 ≤ log+ (cid:107)z−a(cid:107) . V“y V ∗ K ∈ L. Tł gi£ thi‚t ta c(cid:226) V ∗ V ∗ K = VK v(cid:160) k‚t lu“n suy ra tł H» qu£ 1.5.6

12

v(cid:160) h(cid:160)m V ∗

H» qu£ 1.5.8. Gi£ sß K ⊂ Cn l(cid:160) t“p compact v(cid:160)

K(cid:15) = {z ∈ Cn : d(z, K) ≤ (cid:15)}, (cid:15) > 0.

Khi (cid:31)(cid:226) VK(cid:15) li¶n t(cid:246)c tr¶n Cn v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn

B(a, (cid:15)).

a∈K

VK(cid:15)(z) = VK(z). lim (cid:15)→0

Chøng minh. T“p K(cid:15) l(cid:160) t“p compact, V ∗ K(cid:15) |K(cid:15) ≤ 0 v(cid:160) do (cid:31)(cid:226) V ∗ K(cid:15)

(cid:15)

(cid:15)

(z) ≤ log+ (cid:107)z−a(cid:107) v(cid:238)i m(cid:229)i

(cid:15) = 0. Do (cid:31)(cid:226) V ∗ K(cid:15)

v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn. Do (cid:31)(cid:226) V ∗ K(cid:15) (t) ≤ log+ (cid:107)t−a(cid:107) |K(cid:15) ≤ 0 v(cid:160) h» qu£ |K(cid:15) ≥ 0 v(cid:160) K(cid:15) = (cid:83) Ta chøng minh V ∗ |K(cid:15) = 0. H» qu£ 1.5.6 cho ta K(cid:15) k‚t qu£ VK(cid:15) l(cid:160) h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c v(cid:160) d„ th§y VK(cid:15) (cid:37) VK tr¶n Cn khi (cid:15) (cid:38) 0. L§y t ∈ K(cid:15). Khi (cid:31)(cid:226) c(cid:226) a ∈ K sao cho t ∈ B(a, (cid:15)). Tł K(cid:15) ⊃ B(a, (cid:15)) n¶n VK(cid:15)(z) ≤ log+ (cid:107)z−a(cid:107) z ∈ Cn. (cid:30)(cid:176)c bi»t V ∗ K(cid:15)

(cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.5.9. T“p con E ⊂ Cn g(cid:229)i l(cid:160) L- ch‰nh quy t⁄i a ∈ E n‚u

h(cid:160)m VE li¶n t(cid:246)c t⁄i a. N‚u E l(cid:160) L- ch‰nh quy t⁄i m(cid:229)i a ∈ E th… E (cid:31)(cid:247)æc

g(cid:229)i l(cid:160) t“p L- ch‰nh quy.

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp E l(cid:160) t“p compact trong Cn th… tł H» qu£ 1.5.7 c(cid:226) th” cho

E|E ≡ 0.

k‚t qu£ sau: T“p E l(cid:160) L- ch‰nh quy khi v(cid:160) ch¿ khi V ∗

Sau (cid:31)¥y l(cid:160) kh¡i ni»m h(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) Siciak v(cid:160) mºt sŁ k‚t qu£ v• mŁi li¶n h»

giœa h(cid:160)m Green v(cid:238)i c(cid:252)c tr(cid:224) t⁄i ∞ v(cid:160) h(cid:160)m Siciak.

Gi£ sß K ⊂ Cn l(cid:160) t“p compact v(cid:160)

PK = {p : Cn → C : p l(cid:160) (cid:31)a thøc, (cid:107)p(cid:107)K ≤ 1, deg p ≥ 1}.

1

(cid:30)(cid:176)t

deg p : p ∈ PK}, z ∈ Cn.

ΦK(z) = sup{|p(z)|

13

H(cid:160)m ΦK(z) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) Siciak. Ta c(cid:226) k‚t qu£ sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.5.10. N‚u K ⊂ Cn l(cid:160) t“p compact th… VK(z) = log ΦK(z), z ∈ Cn. H(cid:236)n nœa VK(z) = V ˆK(z) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn, (cid:240) (cid:31)(cid:226) ˆK l(cid:160) bao l(cid:231)i (cid:31)a thøc cıa K.

deg p log |p(z)| ∈ L v(cid:160) u|K ≤ 0.

Chøng minh. V(cid:238)i mØi p ∈ PK. H(cid:160)m u(z) = 1

V“y

log |p(z)| = u(z) ≤ VK(z), z ∈ Cn.

1 deg p Tł (cid:31)(cid:226) log ΦK(z) ≤ VK(z) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn. Gi£ sß δ v(cid:160) (cid:15) > 0. (cid:30)(cid:176)t Kδ = {z ∈ Cn : d(z, K) ≤ δ. Khi (cid:31)(cid:226) H» qu£ 1.5.8

cho th§y VKδ (cid:37) VK khi δ (cid:38) 0 v(cid:160) VKδ li¶n t(cid:246)c. V“y ch¿ cƒn chøng minh VKδ ≤ log ΦK. (cid:30)(cid:176)t u = VKδ. V(cid:238)i j ≥ 1 v(cid:160) z ∈ Cn, (cid:31)(cid:176)t

|t| (j−1 + exp u(t−1z))1−j−1 + j−1(cid:107)(t, z)(cid:107), t ∈ C \ {0} hj(t, z) =

  

j−1(cid:107)z(cid:107), t = 0.

Khi (cid:31)(cid:226), hj l(cid:160) h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c, thuƒn nh§t (ngh(cid:190)a l(cid:160) h(λt, λz) = |λ| h(t, z),

j (0) = {0} v(cid:160) lim j→∞

v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ C), h−1

hj(t, z) = exp u(z). H(cid:236)n nœa log hj ∈ L(Cn+1). (cid:30)(cid:176)t Vj(z) = hj(1, z), z ∈ Cn. Tł t“p m(cid:240) U = {z ∈ Cn :

exp u(z) < 1 + (cid:15)} ch(cid:247)a K ta c(cid:226) Vj ≤ 1 + 2(cid:15) tr¶n K v(cid:238)i j (cid:31)ı l(cid:238)n. V“y Vj ≤ (1 + 2(cid:15))ΦK tr¶n Cn v(cid:238)i j (cid:31)ı l(cid:238)n. V“y cho j → ∞ ta c(cid:226) exp u(z) ≤ (1+2(cid:15))ΦK(z) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ Cn. Cho (cid:15) (cid:38) 0 ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u cƒn chøng minh.

Tł bi”u di„n tr¶n ta c(cid:226)

14

VK(z) = V ˆK(z), ∀z ∈ Cn.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

(cid:30)¡nh gi¡ (cid:31)a thøc

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta tr…nh b(cid:160)y (cid:31)¡nh gi¡ (cid:31)º l(cid:238)n c¡c h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u

hÆa d(cid:247)(cid:238)i to(cid:160)n c(cid:246)c tr¶n Cn (th(cid:228)a m¢n mºt sŁ (cid:31)i•u ki»n chu'n h(cid:226)a n(cid:160)o (cid:31)(cid:226))

d(cid:252)a tr¶n (cid:31)º l(cid:238)n tr¶n nhœng t“p r§t b† ch¿ cƒn c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o Lebesgue d(cid:247)(cid:236)ng.

(cid:129)p d(cid:246)ng vi»c (cid:31)¡nh gi¡ (cid:31)º l(cid:238)n c¡c h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa v(cid:160)o vi»c nghi¶n cøu

(cid:31)¡nh gi¡ (cid:31)º l(cid:238)n cıa c¡c (cid:31)a thøc tr¶n c¡c t“p con gi£i t‰ch th(cid:252)c cıa Rn v(cid:160)

nhœng øng d(cid:246)ng cıa k‚t qu£ n(cid:160)y v(cid:160)o (cid:31)¡nh gi¡ m(cid:230)(cid:31)un cıa (cid:31)a thøc tr¶n

c¡c t“p n‹m trong c¡c t“p (cid:31)⁄i sŁ hay th“m ch‰ l(cid:160) gi£i t‰ch th(cid:252)c.

2.1 (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ch‰nh

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.1. H(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i f : Cn −→ R thuºc l(cid:238)p

Fr (r > 1) n‚u n(cid:226) th(cid:228)a m¢n

f = 0;

f ≥ −1. (i) sup Bc(0,r) (ii) sup Bc(0,1)

D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y, B(x, ρ) v(cid:160) Bc(x, ρ) l(cid:160) c¡c h…nh cƒu (cid:204)clit v(cid:238)i t¥m x v(cid:160) b¡n

15

k‰nh ρ trong Rn v(cid:160) Cn t(cid:247)(cid:236)ng øng.

Cho h…nh cƒu B(x, t) th(cid:228)a m¢n

(2.1) B(x, t) ⊂ Bc(x, at) ⊂ Bc(0, 1)

(cid:240) (cid:31)(cid:226) a > 1, l(cid:160) mºt h‹ng sŁ cŁ (cid:31)(cid:224)nh.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2. T(cid:231)n t⁄i c¡c h‹ng sŁ c = c(a, r) > 0 v(cid:160) d = d(n) > 0 sao

(cid:32)

(cid:33)

cho b§t (cid:31)flng thøc

f ≤ c log f (2.2) d|B(x, t)| |ω| + sup ω sup B(x,t)

(cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i mØi f ∈ Fr v(cid:160) m(cid:229)i t“p con (cid:31)o (cid:31)(cid:247)æc ω ⊂ B(x, t), (cid:240) (cid:31)¥y |ω| l(cid:160) (cid:31)º

(cid:31)o Lebesgue cıa ω.

Chøng minh. (cid:30)” chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) n(cid:160)y ch(cid:243)ng ta cƒn mºt sŁ k‚t qu£

ph(cid:246) træ cho h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i.

X†t h(cid:229) Ar c¡c h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i li¶n t(cid:246)c kh(cid:230)ng d(cid:247)(cid:236)ng f : D → R sao

cho

f. (2.3) −1 ≤ sup Dr

— (cid:31)¥y Dr := {z ∈ C; |z| < r}, D := D1 v(cid:160) r l(cid:160) mºt sŁ cŁ (cid:31)(cid:224)nh, 0 < r < 1.

K‚t qu£ bŒ træ (cid:31)ƒu ti¶n cıa ch(cid:243)ng t(cid:230)i.

M»nh (cid:31)• 2.1.3. V(cid:238)i mØi f ∈ Ar t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i hf : C −→ R v(cid:160) mºt h‹ng sŁ cf > 0 sao cho (i) hf /cf ∈ L(C); (ii) f = hf tr¶n Dr;

cf < ∞. (iii) sup f ∈Ar

4 ≤ |z| ≤ 1+r 2 } l(cid:160) h…nh v(cid:160)nh khuy¶n trong D \ Dr, v(cid:160) k‰ hi»u X l(cid:160) h(cid:229) c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn (cid:31)(cid:231)ng t¥m 0 v(cid:160) b¡n k‰nh n‹m

16

Chøng minh. Cho R := { 1+3r

trong R.

(cid:30)” chøng minh M»nh (cid:31)• tr¶n ta cƒn k‚t qu£ sau.

BŒ (cid:31)• 2.1.4. Cho f ∈ Ar v(cid:160)

f (z). inf z∈S t(f ) := sup S∈X

Th…

t(f ) > −∞. (2.4) C(r) := inf f ∈Ar

Chøng minh. L§y {fi}i≥1 ⊂ Ar sao cho

t(fi) = C(r). lim i→∞

Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” gi£ sß r‹ng d¢y n(cid:160)y kh(cid:230)ng

chøa h(cid:160)m kh(cid:230)ng. V(cid:238)i mØi S ⊂ X ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:176)t

S

Si := {z ∈ S; fi(z) = min fi}

(cid:91)

v(cid:160)

s∈X

Si. Ki :=

4 , 1+r Do (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh si¶u h⁄n δ(Ki) cıa Ki th(cid:228)a m¢n

c¡c (cid:31)i”m thuºc Ki l§p (cid:31)ƒy (cid:31)o⁄n thflng Ir := [ 1+3r Do t‰nh li¶n t(cid:246)c cıa fi n¶n Ki l(cid:160) t“p compact. T“p c¡c gi¡ tr(cid:224) b¡n k‰nh cıa 2 ] (cid:31)º d(cid:160)i w(r) := 1−r 4 .

. (2.5) δ(Ki) ≥ δ(Ir) = w(r) 4

B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:176)t

. (2.6) fi v(cid:160) gi := mi := max Ki fi |mi|

— (cid:31)¥y mi < 0, n‚u kh(cid:230)ng th… fi (cid:31)(cid:231)ng nh§t b‹ng 0. Ti‚p theo, ch(cid:243)ng ta

17

ph£i (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng |mi| b‹ng mºt h‹ng sŁ kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc i ≥ 1. (cid:30)” k‚t th(cid:243)c

ch(cid:243)ng ta s‡ so s¡nh gi v(cid:238)i h(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi uKi,D cıa c(cid:176)p (Ki, D).

Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng, uKi,D (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(2.7) uKi,D(z) := sup{v(z) : v ∈ SH(D), v|Ki ≤ −1, v ≤ 0}

v(cid:238)i z ∈ D. — (cid:31)¥y SH(D) = PSH(D) v(cid:238)i n = 1. Tł gi ≤ −1 tr¶n Ki, theo

(cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a, ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

(2.8) gi ≤ uKi,D.

K‰ hi»u (uKi,D)∗ l(cid:160) ch‰nh quy h(cid:226)a nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n cıa uKi,D. Do (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m n(cid:160)y l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i trong D. Do gi ≤ 0 v(cid:160) uKi,D ≤ 0 n¶n theo b§t

(cid:31)flng thøc (2.8) ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

. |(uKi,D)∗| ≤ |gi| = |fi| |mi|

Tł (cid:31)(cid:226), ch(cid:243)ng ta th§y r‹ng (cid:240) mºt (cid:31)i”m nh§t (cid:31)(cid:224)nh z0 ∈ D, ta c(cid:226)

. (2.9) |mi| ≤ |fi(z0)| |(uKi,D)∗(z0)|

(cid:90)

(cid:30)” ch(cid:229)n z0 v(cid:160) (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng m¤u trong (2.9) ch(cid:243)ng ta sß d(cid:246)ng mŁi quan h» giœa h(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi v(cid:160) dung l(cid:247)æng cap(Ki, D), v(cid:238)i

D Do (uKi,D)∗ l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa ngo(cid:160)i tr¶n phƒn b(cid:242) cıa Ki ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th”

cap(Ki, D) := (cid:52)(uKi,D)∗dxdy.

1+r

vi‚t l⁄i v‚ ph£i nh(cid:247) sau.

(cid:90)

D

R(cid:48)

L§y R(cid:48) ⊂ D l(cid:160) h…nh v(cid:160)nh khuy¶n t(cid:242)y (cid:254) chøa h…nh trÆn conv(R) = {z; |z| ≤ 2 } v(cid:160) ρ l(cid:160) h(cid:160)m tr(cid:236)n v(cid:238)i gi¡ trong conv (R’) v(cid:160) b‹ng 1 trong conv(R(cid:48))\R(cid:48). Theo c(cid:230)ng thøc Green’s ta c(cid:226) (cid:90) cap(Ki, D) = ρ(cid:52)(uKi,D)∗dxdy = | |(uKi,D)∗|. (uKi,D)∗(cid:52)ρdxdy| ≤ C max R(cid:48)

Tł h(cid:160)m (uKi,D)∗ kh(cid:230)ng d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) (cid:31)i•u hÆa trong D \ Ki, ta c(cid:226)

18

|(uKi,D)∗| ≤ C (cid:48)|(uKi,D)∗(z0)| max R(cid:48)

v(cid:238)i h‹ng sŁ C (cid:48) (ch¿ ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o r) v(cid:160) mØi z0 ∈ R(cid:48).

K‚t hæp v(cid:238)i (2.9) v(cid:160) hai b§t (cid:31)flng thøc ngay sau ch(cid:243)ng ta th§y r‹ng b§t

(cid:31)flng thøc

|mi| ≤ C (cid:48)(cid:48)|fi(z0)| cap(Ki, D)

(cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i mØi z0 ∈ R(cid:48). Nh(cid:247)ng theo (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa Ar v(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa

R(cid:48)

fi ta c(cid:226) 0 > max fi ≥ −1. Ch(cid:229)n z0 l(cid:160) mºt (cid:31)i”m m(cid:160) (cid:240) (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m sŁ (cid:31)⁄t c(cid:252)c

(cid:31)⁄i th… ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

. mi ≤ C (cid:48)(cid:48) cap(Ki, D)

(cid:129)p d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) so s¡nh mºt chi•u Alexander v(cid:160) Taylor, trong [5], cho

b§t (cid:31)flng thøc sau v(cid:238)i (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng k‰nh si¶u h⁄n cıa Ki (n(cid:226) tr(cid:242)ng v(cid:238)i dung

l(cid:247)æng log cıa Ki)

(cid:19)

). δ(Ki) ≤ exp(− 2π cap(Ki, D)

K‚t hæp v(cid:238)i hai b§t (cid:31)flng thøc tr¶n v(cid:160) b§t (cid:31)flng thøc (2.5) ch(cid:243)ng ta c(cid:226) (cid:18) 4 =: C (cid:48)(cid:48)(cid:48)(r) |mi| ≤ C (cid:48)(cid:48)(cid:48) log w(r)

v(cid:238)i m(cid:229)i i ≥ 1. Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa fi suy ra

|mi| ≥ −C (cid:48)(cid:48)(cid:48)(r) > −∞. t(f ) = lim i→∞ t(fi) ≥ − inf i inf f ∈Ar

BŒ (cid:31)• (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta t“p chung v(cid:160)o chøng minh M»nh (cid:31)• 2.1.3. L§y f ∈ Ar.

Theo bŒ (cid:31)• n(cid:160)y t(cid:231)n t⁄i mºt (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn Sf ∈ X sao cho

f ≥ C(r) > −∞. inf Sf

Sf l(cid:160) bi¶n cıa h…nh trÆn Dr(f ), (cid:240) (cid:31)(cid:226)

19

≤ r(f ) ≤ . 1 + 3r 4 1 + r 2

B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i cƒn t…m hf (z) : C −→ R



b(cid:240)i

(cid:40)

(cid:41)

f (z) (z ∈ Dr(f ))

max f (z), (z ∈ D(cid:31)Dr(f )) hf (z) := 2C(r) log 4|z| 3+r log 4r(f ) 3+r

 

(z ∈ C(cid:31)D).

2C(r) log 4|z| 3+r log 4r(f ) 3+r

(cid:129)p d(cid:246)ng bŒ (cid:31)• d¡n c¡c h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) do trong c(cid:230)ng thøc thø

ba l(cid:160) nh(cid:228) h(cid:236)n C(r) < 0 tr¶n Sf v(cid:160) l(cid:238)n h(cid:236)n 0 tr¶n ∂D v(cid:160) v… f l(cid:160) li¶n t(cid:246)c, ta c(cid:226) hf l(cid:160) (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n C. H(cid:236)n th‚ nœa, theo (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.5.1,

log 4r(f ) 3 + r hf ∈ L(C). 2C(r)

Ta (cid:31)(cid:176)t

log 4r(f ) 3 + r . cf := 2C(r)

Khi (cid:31)(cid:226)

log 1 + 3r 3 + r < ∞. cf ≤ 2C(r)

K‚t hæp l⁄i ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

L§y k l(cid:160) mºt h(cid:160)m kh£ vi v(cid:230) h⁄n ch¿ ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o b¡n k‰nh tr¶n Cn

(cid:90)

v(cid:160) th(cid:228)a m¢n

Cn

k(x)dxdy = 1, (2.10) sup p(k) ⊂ Bc(0, 1),

(cid:240) (cid:31)(cid:226), z = x+iy v(cid:238)i x, y ∈ Rn. Cho Ω ⊂ Cn l(cid:160) mºt mi•n. V(cid:238)i f ∈ PSH(Ω),

(cid:90)

ch(cid:243)ng ta k‰ hi»u fε l(cid:160) h(cid:160)m x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

Cn

20

k(z)f (w − εz)dxdy, (2.11) fε(w) :=

(cid:240) (cid:31)(cid:226) w ∈ Ωε := {z ∈ Ω : dist(z, ∂Ω) > ε}. M(cid:160) fε ∈ C ∞ ∩ PSH(Ωε) v(cid:160)

fε(w) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u gi£m v(cid:160) ti‚n t(cid:238)i f (w) v(cid:238)i mØi w ∈ Ω khi ε → 0.

BŒ (cid:31)• 2.1.5. Cho f ∈ Fr. Gi£ sß r‹ng c¡c h(cid:160)m {f1/k}k≥k0 th(cid:228)a m¢n b§t

(cid:31)flng thøc (2.2) v(cid:238)i B(x, t) v(cid:160) t“p compact ω kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o k. Khi

(cid:31)(cid:226) f c(cid:244)ng th(cid:228)a m¢n b§t (cid:31)flng thøc n(cid:160)y.

Chøng minh. Do f (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n Bc(O, r) v(cid:238)i r > 1 n¶n h(cid:160)m f1/k

thuºc v• C ∞ ∩ PSH(Bc(O, r − 1/k)). L§y {wk}k≥1 ⊂ ω sao cho

ω

f1/k(wk) = max f1/k.

H(cid:236)n nœa, l§y (cid:31)i”m zε,t ∈ B(x, t) sao cho

(2.12) f − f (zε,t) < ε. sup B(x,t)

Theo c¡c gi£ thi‚t cıa bŒ (cid:31)• ta c(cid:226)

(2.13) sup f1/k(wk). f1/k(zε, t) ≤ c log + lim k→∞ f (zε,t) = lim k→∞ d|B(x, t)| |ω|

(cid:90)

(cid:30)” (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng sŁ h⁄ng thø hai ch(cid:243)ng ta sß d(cid:246)ng(2.10) v(cid:160) (2.11) :

Cn

Bc(wk,1/k)

f. (2.14) k(z)f (wk − z/k)dxdy ≤ sup f1/k(wk) =

B¥y gi(cid:237) l§y xk ∈ Bc(wk, 1/k) sao cho v‚ ph£i nh(cid:228) h(cid:236)n f (xk) + 1/k. V…

wk t(cid:231)n t⁄i. Do (cid:31)(cid:226) t‰nh compact cıa ω ch(cid:243)ng ta gi£ sß r‹ng w := lim k→∞

wk = w ∈ ω. Sß d(cid:246)ng t‰nh nßa li¶n t(cid:246)c tr¶n ch(cid:243)ng ta c(cid:226) lim k→∞ xk = lim k→∞

cıa f ta suy ra

k→∞

f ≤ lim sup f, f (xk) ≤ f (w) ≤ sup ω lim sup k→∞ sup Bc(wk,1/k)

(cid:31)i•u (cid:31)(cid:226) d¤n (cid:31)‚n b§t (cid:31)flng thøc

21

f. f1/k(wk) ≤ sup ω lim sup k→∞

K‚t hæp b§t (cid:31)flng thøc n(cid:160)y v(cid:238)i (2.12) v(cid:160) (2.13) v(cid:160) cho ε → 0, ch(cid:243)ng ta

c(cid:226)

f ≤ c log f. d|B(x, t)| |ω| + sup ω sup B(x,t)

Chøng minh (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh.

Phƒn thø hai cıa chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2 l(cid:160) b§t (cid:31)flng thøc Bernstein

cho h(cid:160)m trong Fr.

M»nh (cid:31)• 2.1.6. Cho f ∈ Fr v(cid:160) s ∈ [1, a], a > 1. Gi£ sß r‹ng

(2.15) Bc(x, t) ⊂ Bc(x, at) ⊂ Bc(0, 1).

Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ c = c(r) sao cho

f. (2.16) f ≤ c log s + sup Bc(x,t)

r

) ⊂ Bc(x, r −|x|) (cid:240) (cid:31)(cid:226) sup Bc(x,st) Chøng minh. X†t c¡c h…nh cƒu l(cid:231)ng nhau Bc(x, r−|x|

(cid:18)

(cid:19)

x ∈ Bc(0, 1) v(cid:160) k‰ hi»u | · | l(cid:160) chu'n (cid:204)clit. Ta ch(cid:243) (cid:254) h…nh cƒu Bc(x, 1 − |x|)

v(cid:160) n(cid:226) cÆn l(cid:160) h…nh cƒu c(cid:226) b¡n k‰nh l(cid:238)n nh§t chøa h…nh cƒu Bc x, r−|x| r

(cid:32)

t¥m t⁄i x trong Bc(x, 1). Tł (2.15) suy ra r‹ng

(cid:33) .

x, (2.17) Bc(x, at) ⊂ Bc r − |x| r

L§y

)

Bc(x, r−|x|

r

f γr(f ; x) := sup

v(cid:160)

(2.18) γr(f ; x). γr := inf f ∈Fr inf x∈Bc(0,1)

Rª r(cid:160)ng, n‚u r1 ≤ r2 th…

22

(2.19) γr1(f ; x) ≤ γr2(f ; x) v(cid:160) γr1 ≤ γr2.

BŒ (cid:31)• 2.1.7. T(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ kh(cid:230)ng d(cid:247)(cid:236)ng C = C(r) sao cho b§t (cid:31)flng

thøc

γrk ≥ C > −∞ γr ≥ lim k→∞

(cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i mØi d¢y {rk}k≥1 t«ng t(cid:238)i r.

Chøng minh. Theo (2.19), {γrk}k≥1 l(cid:160) mºt d¢y (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u kh(cid:230)ng gi£m v(cid:160)

γrk(∈ [−∞; 0]) l(cid:160) t(cid:231)n t⁄i. L§y {fk ∈ Frk}k≥1 v(cid:160) {xk}k≥1 ⊂ v… th‚ lim k→∞

Bc(0, 1) ch(cid:229)n sao cho

γrk. lim k→∞ γrk(fk; xk) = lim k→∞

rk cıa B v(cid:238)i t¥m 0 v(cid:160) gi¢n v(cid:238)i h» sŁ λ > 0. X†t d¢y c¡c h…nh cƒu

) v(cid:160) k‰ hi»u λB l(cid:160) h…nh cƒu (cid:31)(cid:231)ng d⁄ng — (cid:31)¥y ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” gi£ sß r‹ng mØi fk kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:231)ng nh§t b‹ng 0. K‰ hi»u Bk l(cid:160) h…nh cƒu Bc(xk, rk−|xk|

{tkBk}k≥1, (cid:240) (cid:31)(cid:226) tk := (r/rk) > 1

v(cid:160) d¢y c¡c h(cid:160)m

(z ∈ Bc(0, r)). f (cid:48) k(z) := fk(z/tk)

Th… ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

f (cid:48) k. γrk(fk; xk) = sup tkBk

r

r . Nh(cid:247) v“y giao cıa n(cid:226) v(cid:238)i Bc(0, 1) chøa h…nh cƒu

) cıa d¢y {tkBk} c(cid:226) b¡n

2r|x| ). Ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” gi£ sß r‹ng

Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t ch(cid:243)ng ta gi£ sß r‹ng {tkxk}k≥1 hºi t(cid:246) t(cid:238)i x ∈ Bc(0, 1). Do (cid:31)(cid:226) bi¶n h…nh cƒu Bc(x, r−|x| k‰nh b† nh§t l := r−1 Bl := Bc(y, l/4), (cid:240) (cid:31)(cid:226) y = x(1 − r−|x|

Bl ⊂ tkBk

v(cid:238)i m(cid:229)i k ≥ 1. Suy ra r‹ng

23

(2.20) f (cid:48) k ≤ γrk(fk; xk) < 0. mk := sup Bl

k := f (cid:48)

k/|mk|}k≥1. MØi h(cid:160)m sŁ cıa d¢y l(cid:160) nh(cid:228) h(cid:236)n ho(cid:176)c b‹ng -1 tr¶n Bl v(cid:160) kh(cid:230)ng d(cid:247)(cid:236)ng tr¶n Bc(0, r). V… v“y n(cid:226) l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n tr¶n

B¥y gi(cid:237) x†t d¢y {f (cid:48)(cid:48)

b(cid:240)i h(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi

(2.21) uBl,Bc(0,r) := sup{v(z) : v ∈ PSH(Bc(0, r)), v |Bl≤ −1, v ≤ 0}.

Do h…nh cƒu compact Bl l(cid:160) (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa, h(cid:160)m n(cid:160)y l(cid:160) li¶n t(cid:246)c v(cid:160) ¥m b¶n

ngo(cid:160)i Bl. V… v“y

(2.22) uBl,Bc(0,r) < 0 M (rk) := max ∂Bc(0,tk)

v(cid:160)

k (z)| ≥ |M (rk)|

|f (cid:48)(cid:48)

k v(cid:160) b§t (cid:31)flng thøc

v(cid:238)i mØi z ∈ ∂Bc(0, tk). Tł (cid:31)i•u n(cid:160)y, (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa f (cid:48)(cid:48)

(2.20), suy ra r‹ng

k(z)| ≥ |M (rk)γrk(fk; xk)|

|f (cid:48) (z ∈ ∂Bc(0, tk)).

k tr¶n Bc(0, tk) l(cid:160) nh(cid:228) h(cid:236)n -1 n¶n ta c(cid:226)

Nh(cid:247)ng c“n tr¶n (cid:31)(cid:243)ng cıa f (cid:48)

. |γrk(fk; xk)| ≤ 1 |M (rk)|

Cho k → ∞ ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

, (2.23) γrk(fk; xk)| ≤ | lim k→∞ 1 |M (r)|

(cid:240) (cid:31)(cid:226)

(2.24) uBl,Bc(0,r) < 0. M (r) := max ∂Bc(0,1)

Chøng minh bŒ (cid:31)• ho(cid:160)n th(cid:160)nh.

B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta chuy”n sang chøng minh M»nh (cid:31)• 2.1.6. L§y d¢y

24

x§p x¿ {f1/k}k≥1 cıa BŒ (cid:31)• 2.1.5 (cid:31)(cid:247)æc sinh ra b(cid:240)i f ∈ Fr. V… f ≤ 0

trong Bc(0, r) v(cid:160) h⁄t nh¥n tr(cid:236)n k l(cid:160) mºt h(cid:160)m kh(cid:230)ng ¥m, f1/k ≤ 0 trong

Bc(0, r − 1/k). H(cid:236)n nœa, d¢y {f1/k(z)}k≥1 (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u hºi t(cid:246) t(cid:238)i f (z) t⁄i

z ∈ Bc(0, r) b§t k…. Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i k (cid:31)ı l(cid:238)n, gi£ sß k ≥ k0,

f ≥ −1. sup Bc(0,1) f1/k ≥ sup Bc(0,1)

Nh(cid:247) v“y f1/k ∈ C ∞ ∩ Fr−1/k, k ≥ k0. B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:176)t rk := r − 1/k

 

 

v(cid:160) x†t d¢y





)

rk

k≥k0

. f1/k sup Bc(x, rk−|x|

Tł BŒ (cid:31)• 2.1.7 suy ra r‹ng

)

rk

f1/k > 2C(r) sup Bc(x, rk−|x|

rk

) m(cid:160) t⁄i (cid:31)(cid:226) (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc c“n tr¶n (cid:31)(cid:243)ng. Th¶m nœa, t(cid:231)n t⁄i v(cid:238)i k ≥ k1(≥ k0). V… f1/k ∈ C ∞ ∩ PSH(Bc(0, rk)), t(cid:231)n t⁄i mºt (cid:31)i”m z ∈ ∂Bc(x, rk−|x|

rk

). H(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i mºt l¥n c“n m(cid:240) U cıa z (cid:240) (cid:31)(cid:226) f1/k l(cid:160) l(cid:238)n h(cid:236)n 2C(r). Nh(cid:247) v“y, t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:229) hœu h⁄n G cıa ph†p quay cıa Cn t¥m x sao cho {g(U )}g∈G g(cid:231)m l¥n c“n m(cid:240) W cıa ∂Bc(x, rk−|x|

(k ≥ k1) f1/k(gx) gk(x) := max g∈G

th(cid:228)a m¢n

f1/k (i) max Bc(x,s) gk = max Bc(x,s)

v(cid:238)i m(cid:229)i s ∈ (0, rk − |x|) v(cid:160)

rk

). (ii) gk(w) > 2C(r) v(cid:238)i m(cid:229)i w ∈ Bc(x, rk−|x|

B¥y gi(cid:237) (cid:31)(cid:176)t

2C(r) . ck :=

25

log r + 1 2rk

V… r > 1, h‹ng sŁ n(cid:160)y l(cid:160) l(cid:238)n h(cid:236)n 0 v(cid:238)i k (cid:31)ı l(cid:238)n v(cid:160) ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” gi£ sß



r‹ng n(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i k ≥ k1. B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v(cid:238)i k ≥ k1 h(cid:160)m sŁ

rk

)) gk(z) (z ∈ Bc(x, rk−|x|

2(rk−|x|) , gk(z)}

rk

 

hk(z) := )) max{ck log (r+1)|z−x| (z ∈ Bc(x, rk − |x|) \ Bc(x, rk−|x|

(z /∈ Bc(x, rk − |x|)). ck log (r+1)|z−x| 2(rk−|x|)

rk

Cn. H(cid:236)n th‚ nœa, h(cid:160)m sŁ h(cid:48)

), b(cid:240)i (ii) (cid:240) tr¶n, v(cid:160) l(cid:238)n V… sŁ h⁄ng loga l(cid:160) nh(cid:228) h(cid:236)n gk tr¶n ∂Bc(x, rk−|x|

h(cid:236)n 0 tr¶n ∂Bc(x, rk − |x|) do r > 1, n¶n hk l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i tr¶n hk rª r(cid:160)ng thuºc v• L(Cn). B¥y gi(cid:237) so

k = 1 ck k v(cid:238)i L- h(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) to(cid:160)n c(cid:246)c EBc(x,t) x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

s¡nh h(cid:48)

(2.25) EBc(x,t)(z) := sup{u(z) : u ∈ L(Cn), u ≤ 0 tr¶n Bc(x, t)}.

Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a n(cid:160)y suy ra r‹ng

(2.26) h(cid:48) k ≤ EBc(x,t). h(cid:48) k − sup Bc(x,t)

(cid:27)

B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta sß d(cid:246)ng bi”u di„n quan tr(cid:229)ng cıa L- h(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224).

(cid:26)log |p(z)| deg P

|P | ≤ 1 , (2.27) EBc(x,t)(z) := sup ; max Bc(x,t)

(cid:240) (cid:31)(cid:226) c“n tr¶n (cid:31)(cid:243)ng l(cid:160) l§y tr¶n t§t c£ c¡c (cid:31)a thøc ch¿nh h…nh tr¶n Cn. Bi”u

di„n n(cid:160)y v(cid:160) b§t (cid:31)flng thøc cŒ (cid:31)i”n Bernstein tr¶n (cid:31)a thøc phøc t«ng (cid:31)(cid:236)n

bi‚n d¤n (cid:31)‚n (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng

(1 ≤ s). EBc(x,t) ≤ log s sup Bc(x,st)

Tł (2.26), suy ra r‹ng

hk ≤ ck log s. sup Bc(x,st) hk − sup Bc(x,t)

26

Tł t‰nh ch§t (i) cıa gk v(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa hk, b§t (cid:31)flng thøc (2.16) thu

. (cid:31)(cid:247)æc tł f1/k v(cid:238)i h‹ng sŁ ck, k ≥ k1. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.1.5 ch(cid:243)ng ta thu (cid:31)(cid:247)æc b§t (cid:31)flng thøc Bernstein v(cid:238)i f ∈ Fr v(cid:238)i c = 2C(r) log r+1 2r

Ch(cid:243)ng ta ph£i chøng minh r‹ng n‚u f ∈ Fr v(cid:160) ω l(cid:160) mºt t“p con (cid:31)o

(cid:31)(cid:247)æc d(cid:247)(cid:236)ng cıa B(x, t)(⊂ Bc(x, at) ⊂ Bc(0, 1)) th…

f ≤ c log f. (2.28) d|B(x, t)| |ω| + sup ω sup B(x,t)

j=1 ωi), (cid:240) (cid:31)(cid:226) |ω0| = 0 v(cid:160) ωj l(cid:160) mºt d¢y gi£m c¡c

Rª r(cid:160)ng l(cid:160) ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” gi£ sß r‹ng ω l(cid:160) t“p compact. Trong th(cid:252)c t‚, tr¡i l⁄i l(cid:160) ω = ω0 ∪ ((cid:83)∞

t“p compact. N‚u (2.28) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i ωj th… ch(cid:243)ng ta thu (cid:31)(cid:247)æc k‚t qu£

v(cid:238)i ω khi cho j → ∞ v… c = c(a, r) v(cid:160) d = d(n) kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o ω.

Ch(cid:243) (cid:254) v(cid:160)o M»nh (cid:31)• 2.1.6 v(cid:160) BŒ (cid:31)• 2.1.5 n(cid:226) l(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” chøng minh m»nh

(cid:31)• t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng sau. L§y Bc(0, 1) ⊂ Bc(0, a) v(cid:160) Ra l(cid:160) h(cid:229) c¡c h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i li¶n t(cid:246)c f : Bc(0, a) −→ R th(cid:228)a m¢n

f = 0

f ≥ −c log a, (i) sup Bc(0,a) (ii) sup Bc(0,1)

v(cid:238)i h‹ng sŁ c tł M»nh (cid:31)• 2.1.6. Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i mØi t“p con (cid:31)o (cid:31)(cid:247)æc ω ⊂ B(0, 1)

(cid:31)o (cid:31)(cid:247)æc d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) mØi f ∈ Ra,

f ≤ c(cid:48) log f. (2.29) d|B(0, 1)| |ω| + sup ω sup B(0,1)

— (cid:31)¥y d = d(n) v(cid:160) c(cid:48) = c(cid:48)(a, c). Trong th(cid:252)c t‚, b‹ng ph†p t(cid:224)nh ti‚n v(cid:160)

t bi‚n c¡c h…nh cƒu Bc(x, t) v(cid:160) Bc(x, at) v(cid:160)o trong c¡c h…nh cƒu Bc(0, 1) v(cid:160) Bc(0, a), t(cid:247)(cid:236)ng øng. Th… sŁ h⁄ng (cid:31)ƒu ti¶n trong v‚ ph£i

g›n v(cid:238)i h» sŁ 1

(2.28) kh(cid:230)ng (cid:31)Œi. H(cid:236)n th‚ nœa, b§t (cid:31)flng thøc cıa M»nh (cid:31)• 2.1.6 ph¡t

bi”u r‹ng k†o l(cid:242)i cıa h(cid:160)m f ∈ Fr x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i ph†p bi‚n (cid:31)Œi s‡ th(cid:228)a m¢n

27

(i) v(cid:160) (ii). Th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng theo BŒ (cid:31)• 2.1.5 ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” gi£ sß r‹ng f

li¶n t(cid:246)c tr¶n Bc(0, 1).

(cid:30)” chøng minh (2.29), ch(cid:243)ng ta b›t (cid:31)ƒu v(cid:238)i

BŒ (cid:31)• 2.1.8. T(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ C = C(c, a) > 0 sao cho

f ≥ −C (2.30) max B(0,1)

v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ Ra.

Chøng minh. Ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” l(cid:176)p c¡c g(cid:226)c li¶n quan cıa BŒ (cid:31)• 2.1.7 d(cid:242)ng

h(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi (2.21). Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y h…nh cƒu B(0, 1) l(cid:160)

kh(cid:230)ng (cid:31)a c(cid:252)c. Sß d(cid:246)ng b§t (cid:31)flng thøc (ii) ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:247)æc (2.30), v‰ d(cid:246) v(cid:238)i

|M (a)|, (cid:240) (cid:31)(cid:226)

C = c log a

M (a) := uB(0,1),Bc(0,a). sup ∂Bc(0,(1+a)/2)

B¥y gi(cid:237) l§y f ∈ Ra v(cid:160) xf ∈ B(0, 1) sao cho

f. (2.31) Mf := f (xf ) = max B(0,1)

Theo mºt k‚t qu£ cıa Yu.Brudnyi- Ganzburg t⁄i tia lf v(cid:238)i gŁc xf sao cho

≤ . (2.32) n|B(0, 1)| |ω| mes1(B(0, 1) ∩ lf ) mes1(ω ∩ lf )

f l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng phøc mºt chi•u chøa lf v(cid:160) l§y zf l(cid:160) mºt (cid:31)i”m cıa

L§y l(cid:48)

f sao cho

Bc(0, 1) ∩ l(cid:48)

f ) = |zf |.

tf := dist(0, l(cid:48)

X†t h…nh trÆn

(cid:101)Df :=

(cid:101)D(cid:48)

f :=

f − zf ),

(D(cid:48) (Df − zf ) v(cid:160) 1 rf 1 rf

(cid:240) (cid:31)(cid:226), ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:176)t:

f ∩ Bc(0, a), D(cid:48)

f := l(cid:48)

f ∩ Bc(0, (a + 1)/2).

28

Df := l(cid:48)

(cid:32)

(cid:33)2

(cid:113)

(cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)

CuŁi c(cid:242)ng x†t c¡c b¡n k‰nh h…nh trÆn:

rf := r(cid:48) f := a2 − t2 f , − t2 f , a + 1 2

t(cid:247)(cid:236)ng øng t¥m t⁄i zf . C(cid:244)ng ch(cid:243) (cid:254) r‹ng xf ∈ D(cid:48)

f . Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng f ⊂ (cid:101)Df v(cid:238)i c(cid:176)p Dsf ⊂ D1, (cid:240) (cid:31)(cid:226) Dr := f /rf . K†o l(cid:242)i cıa h⁄n ch‚ f /Df t(cid:238)i D1 (cid:31)(cid:247)æc k‰

qu¡t ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” x¡c (cid:31)(cid:224)nh (cid:101)D(cid:48) {z ∈ C; |z| ≤ r} v(cid:160) sf := r(cid:48)

hi»u l(cid:160) f (cid:48).

Dsf ⊂ Dr ⊂ D1

BŒ (cid:31)• 2.1.9. T(cid:231)n t⁄i mºt sŁ r = r(a) < 1 sao cho

v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ Ra.

(cid:115)

Chøng minh. Suy ra tł b§t (cid:31)flng thøc

= ≤ < 1 a + 1 2a r(cid:48) f rf

m(cid:160) ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” ch(cid:229)n r(a) = . (a + 1)2 − 4t2 f 4(a2 − t2 f ) a + 1 2a

Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng

f (cid:48) ≥ Mf ≥ −C max Dr f (cid:48) ≥ max Dsf

do (2.31) v(cid:160) (2.30). B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta ¡p d(cid:246)ng M»nh (cid:31)• 2.1.3 cho h(cid:160)m f (cid:48) C

rª r(cid:160)ng th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n (2.3),...thuºc v• Ar. Tr(cid:240) l⁄i v(cid:238)i h(cid:160)m f ch(cid:243)ng

ta c(cid:226) th” x¥y d(cid:252)ng k‚t qu£ m»nh (cid:31)• n(cid:160)y nh(cid:247) sau.

f v(cid:160) mºt h‹ng sŁ

M»nh (cid:31)•. T(cid:231)n t⁄i h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i hf x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n l(cid:48)

f v(cid:160) f = hf tr¶n D(cid:48)

f . H(cid:236)n th‚

cf > 0 sao cho hf /cf l(cid:160) c(cid:252)c ti”u t«ng tr¶n l(cid:48)

nœa,

29

cf < ∞. c(cid:48) = c(cid:48)(c, a) := sup f ∈Ra

cf b‹ng h(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi Eω∩lf (xem (2.25) tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a, thay th‚ L(Cn) b(cid:240)i L(lf ) v(cid:160) Bc(x, t) b(cid:240)i ω ∩ lf ). D(cid:242)ng bi”u di„n (2.27) cıa h(cid:160)m c(cid:252)c tr(cid:224) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi v(cid:160) b§t (cid:31)flng thøc Yu. Brudnyˇi- Ganzburg mºt chi•u

f v(cid:160) x†t h(cid:160)m hf −mf (ω) . H(cid:160)m n(cid:160)y rª r(cid:160)ng nh(cid:228) h(cid:236)n ho(cid:176)c X†t mf (ω) := max ω⊂lf

(xem ch(cid:243) (cid:254) (2.34) (cid:240) sau v(cid:160) (2.32) ch(cid:243)ng ta thu (cid:31)(cid:247)æc

≤ log . Eω∩lf ≤ log 4n|B(0, 1)| |ω| max B(0,1)∩lf 4mes1(B(0, 1) ∩ lf ) mes1(ω ∩ lf )

Tł vi»c ch(cid:229)n lf v(cid:160) m»nh (cid:31)• tr¶n, ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

ω

B(0,1)∩lf

. f −max f ≤ max Eω∩lf ≤ c(cid:48)log max B(0,1) 4n|B(0, 1)| ω hf −mf (ω) ≤ cf max B(0,1)∩lf

Chøng minh n(cid:160)y b§t (cid:31)flng thøc cƒn t…m (2.29) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i f ∈ Ra v(cid:160) do (cid:31)(cid:226)

c(cid:226) (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.1.2 (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

(cid:30)” minh h(cid:229)a c¡c øng d(cid:246)ng c(cid:226) th‚ cıa k‚t qu£ ch‰nh, ch(cid:243)ng ta x†t (cid:31)a

thøc th(cid:252)c p ∈ R[x1, ..., xn] b“c l(cid:238)n nh§t l(cid:160) k (ch(cid:243)ng ta s‡ k‰ hi»u kh(cid:230)ng gian c¡c (cid:31)a thøc th(cid:252)c b(cid:240)i Pk,n(R)). Theo nh(cid:247) b§t (cid:31)flng thøc cŒ (cid:31)i”n Bern-

stein

|p| (r > 1). (2.33) max Bc(0,r) |p| ≥ rk max Bc(0,1)

X†t h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i

log |p|) (z ∈ Cn). Fr(z) := (log r)−1k−1(log |p(z)| − sup Bc(0,r)

Tł (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a cıa Fr v(cid:160) (2.33) suy ra Fr ∈ Fr, ∀r > 1. (cid:129)p d(cid:246)ng (2.2)

(cid:33)ck

(cid:32)

v(cid:238)i r = 2 cho h(cid:160)m n(cid:160)y ch(cid:243)ng ta c(cid:226):

30

|p| |p| ≤ (2.34) d |B| |ω| sup ω sup B

v(cid:238)i B l(cid:160) h…nh cƒu t(cid:242)y (cid:254) v(cid:160) ω l(cid:160) t“p (cid:31)o (cid:31)(cid:247)æc.

Th(cid:252)c t‚, trong mØi tr(cid:247)(cid:237)ng hæp, ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” l§y c = 1, d = 4n ta c(cid:226) b§t (cid:31)flng thøc Remez v(cid:238)i n = 1 v(cid:160) Yu.Brudnyˇi- Ganzburg trong tr(cid:247)(cid:237)ng

hæp tŒng qu¡t.

2.2 (cid:217)ng d(cid:246)ng cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ch‰nh

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1. Cho V ⊂ Rn l(cid:160) t“p (cid:31)⁄i sŁ th(cid:252)c sŁ chi•u m, 1 ≤ m ≤

n − 1. Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i (cid:31)i”m ch‰nh quy x ∈ V (cid:31)•u t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n m(cid:240)

(cid:19)αk deg(V )

N = N (V ) cıa x sao cho

(cid:18)dλV (B) λV (ω)

|p| ≤ |p| (2.35) sup ω sup B

v(cid:238)i m(cid:229)i h…nh cƒu B ⊂ N , t“p con (cid:31)o (cid:31)(cid:247)æc ω ⊂ B v(cid:160) (cid:31)a thøc p ∈ Pk,n(R).

— (cid:31)¥y k‰ hi»u λV l(cid:160) (cid:31)º (cid:31)o trong V v(cid:160) d = d(m) v(cid:160) α l(cid:160) mºt h‹ng sŁ tuy»t

(cid:31)Łi.

(cid:19)αk deg(V )

Chøng minh. Ch(cid:243)ng ta ph£i chøng minh r‹ng t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n m(cid:240)

|p| |p| ≤ (2.36) sup ω sup B N ⊂ V cıa x ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o V sao cho (cid:18)dλV (B) λV (ω)

v(cid:238)i m(cid:229)i h…nh cƒu B ⊂ N , t“p con (cid:31)o (cid:31)(cid:247)æc ω ⊂ B v(cid:160) (cid:31)a thøc th(cid:252)c p b“c k.

— (cid:31)¥y deg(V ) l(cid:160) b“c cıa (cid:31)a t⁄p V , d = d(m) ch¿ ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o dim(V )

v(cid:160) α l(cid:160) mºt h‹ng sŁ tuy»t (cid:31)Łi.

DR := {z ∈ C; |z| < R}. (cid:215)(cid:238)c l(cid:247)æng n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc chøng minh b(cid:240)i Roytwarf

(cid:30)” chøng minh ch(cid:243)ng ta cƒn (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng cho h(cid:160)m p − tr(cid:224) ch‰nh quy trong

v(cid:160) Yomdin (xem [4]).

31

Ta sß d(cid:246)ng k‚t qu£ bŒ træ sau.

BŒ (cid:31)• 2.2.2. Gi£ sß r‹ng f : DR −→ C ch‰nh quy v(cid:160) gi£ sß f nh“n m(cid:229)i

gi¡ tr(cid:224) kh(cid:230)ng qu¡ p lƒn. Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i R(cid:48) < R v(cid:160) m(cid:229)i α ∈ (0, 1) b§t (cid:31)flng

thøc

D

|f | (2.37) |f | ≤ C p max αR(cid:48) max D R(cid:48)

(cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i C = C(α, β), (cid:240) (cid:31)(cid:226) β := R(cid:48) R .

Chøng minh. Ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:176)t

D

D

|f |. |f | v(cid:160) Mα := max αR(cid:48) M := max R(cid:48)

(cid:88)

(cid:88)

k=0 αkzk th… p (cid:88)

∞ (cid:88)

N‚u f (z) = (cid:80)∞

1

2

k=0

k=p+1

M ≤ + . |αk|(R(cid:48))k |αk|(R(cid:48))k =:

(cid:19)k

p (cid:88)

(cid:88)

Tł b§t (cid:31)flng thøc Cauchy v(cid:238)i DαR(cid:48) ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

(cid:18) R(cid:48) αR(cid:48)

1

k=0

≤ (2.38) ≤ Mα Mα. α−p 1 − α

(cid:30)” (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng tŒng thø hai ch(cid:243)ng ta ¡p d(cid:246)ng h» sŁ b§t (cid:31)flng thøc cho c¡c

(cid:19)2p

h(cid:160)m sŁ p- tr(cid:224). Theo (cid:31)(cid:226),

(cid:18)A p

(2.39) |aj|Rj |aj|Rj ≤ j2p max 1≤j≤p

v(cid:238)i m(cid:229)i j > p, (cid:240) (cid:31)(cid:226) A l(cid:160) mºt h‹ng sŁ tuy»t (cid:31)Łi.

Sß d(cid:246)ng b§t (cid:31)flng thøc Cauchy v‚ ph£i cıa (2.39) c(cid:226) th” (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng

Mα max 1≤j≤p Rj (αR(cid:48))j ≤ Mα(αβ)−p.

(cid:19)2p

(cid:19)j

(cid:19)2p

(cid:88)

∞ (cid:88)

K‚t hæp (cid:31)i•u n(cid:160)y v(cid:238)i (2.39) ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:18)A p

(cid:18)R(cid:48) R

(cid:18)A p

1

j=p+1

≤ j2p ≤ (αβ)−pMα (αβ)−pφ2p(β)Mα,

32

(2.40)

∞ (cid:88)

(cid:240) (cid:31)¥y

k=1

klβk. φl(β) =

Ch(cid:243)ng ta s‡ chøng minh r‹ng

(2.41) φ2p(β) < (4p)2p (1 − β)2p+1 ,

(cid:88)

(cid:31)i•u n(cid:160)y c(cid:242)ng v(cid:238)i b§t (cid:31)flng thøc tr(cid:247)(cid:238)c d¤n (cid:31)‚n (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng

2

≤ (4A)2p(αβ)−p(1 − β)−2p−1Mα.

(cid:26)

(cid:27)

Tł (cid:31)i•u n(cid:160)y v(cid:160) (2.38), (cid:31)Æi h(cid:228)i b§t (cid:31)flng thøc (2.37) v(cid:238)i

C(α, β) = 2 max , . 1 α(1 − α) (4A)2 αβ(1 − β)3

(cid:18)

(cid:19)

(cid:19)l(cid:18) 1

(cid:30)” chøng minh (2.41), ch(cid:243) (cid:254) r‹ng

β . φl(β) = d dβ 1 − β

Do (cid:31)(cid:226) b‹ng quy n⁄p theo l ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

(2.42) φl(β) = pl(β) (1 − β)l+1 ,

(cid:240) (cid:31)(cid:226) pl l(cid:160) (cid:31)a thøc b“c l. H(cid:236)n th‚ nœa, ch(cid:243)ng ta c(cid:226) (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc

l(β) + (l + 1)pl(β).

pl+1(β) = β(1 − β)p(cid:48)

|pl(β)|. N¶n tł (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc tr(cid:247)(cid:238)c v(cid:160) b§t (cid:31)flng thøc (cid:30)(cid:176)t µ(l) := max 0≤β≤1

Bernstein ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

l(β)|+(l+1)µ(l) ≤ lµ(l)+(l+1)µ(l) = (2l+1)µ(l).

|β(1−β)p(cid:48) µ(l+1) ≤ max 0≤β≤1

2p−1 (cid:89)

2p−1 (cid:89)

B§t (cid:31)flng thøc n(cid:160)y ngh(cid:190)a l(cid:160)

l=0

l=0

µ(2p) ≤ µ(0) (2l + 1) = (2l + 1) < (4p)2p,

33

k‚t hæp v(cid:238)i (2.42) cho ta (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng cƒn t…m (2.41).

B¥y gi(cid:237) ch(cid:243)ng ta chuy”n sang chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.1. K‰ hi»u Vc l(cid:160)

phøc h(cid:226)a cıa V , (cid:31)a t⁄p d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)⁄i sŁ phøc c(cid:252)c ti”u cıa Cn sao cho V l(cid:160)

th(cid:160)nh phƒn li¶n th(cid:230)ng cıa Vc ∩ Rn. Do (cid:31)(cid:226) (cid:31)i”m ch‰nh quy x cıa V (cid:31)(cid:226) l(cid:160)

mºt (cid:31)i”m ch‰nh quy cıa Vc. Kh(cid:230)ng m§t t‰nh tŒng qu¡t ch(cid:243)ng ta gi£ sß r‹ng x tr(cid:242)ng v(cid:238)i gŁc 0 ∈ Rn. Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n m(cid:240) Ux ⊂ U (cid:48) x ⊂ Vc cıa (cid:31)i”m x v(cid:160) ph†p ch¿nh h…nh tuy‚n t‰nh cıa Cn v(cid:160)o Cm c(cid:226) h⁄n ch‚

x sao cho

x) = Bc(0, 2r) v(cid:238)i mØi r > 0;

φ : Vc −→ Cm ⊂ Cn l(cid:160) song ch¿nh h…nh trong l¥n c“n m(cid:240) cıa U (cid:48)

(i) φ(x) = 0, φ(Ux) = Bc(0, r), v(cid:160) φ(U (cid:48) (ii) φ|V : V −→ Rm.

Theo (ii), φ c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a (cid:31)£o tr(cid:236)n tr¶n B(0, r) v(cid:160) N (cid:48) := φ−1(B(0, r)) l(cid:160)

mºt l¥n c“n m(cid:240) cıa x trong V .

B¥y gi(cid:237) x†t (cid:31)a thøc th(cid:252)c p ∈ Pk,n v(cid:160) m(cid:240) rºng cıa n(cid:226) pc t(cid:238)i Cn nh(cid:247)

(cid:31)a thøc ch¿nh h…nh b“c k. L§y z ∈ Bc(0, r) l(cid:160) mºt c“n tr¶n (cid:31)(cid:243)ng cıa

|pc ◦ φ−1| trong B(0, r). L§y L l(cid:160) mºt (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng phøc qua z v(cid:160) gŁc. H⁄n ch‚

pc ◦ φ−1 t(cid:238)i L l(cid:160) mºt h(cid:160)m (cid:31)⁄i sŁ mºt bi‚n, c(cid:226) th” (cid:247)(cid:238)c l(cid:247)æng b(cid:240)i (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254)

Bezout nhi•u chi•u. B‹ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) n(cid:160)y h(cid:160)m pc ◦ φ−1 gi£ sß kh(cid:230)ng c(cid:226) gi¡

tr(cid:224) n(cid:160)o l(cid:238)n h(cid:236)n p := k deg(Vc) lƒn trong Bc(0, 2r) ∩ L. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)•

2.2.2 cho h(cid:160)m n(cid:160)y ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

Bc(0,3r/2)

(2.43) Mr := max |pc ◦ φ−1|, |pc ◦ φ−1| ≤ C kdeg(V ) max Bc(0,r)

(cid:240) (cid:31)(cid:226) C l(cid:160) mºt h‹ng sŁ tuy»t (cid:31)Łi.

B¥y gi(cid:237) x†t h(cid:160)m f : Bc(0, 3/2) −→ R x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

f (z) := (log |(pc ◦ φ−1)(rz)| − log Mr). 1 k log c deg(V )

Do (cid:31)(cid:226) f ≥ −1. V… f ∈ F3/2 v(cid:160) c¡c (cid:31)i•u sup Bc(0,3/2)

34

f = 0 v(cid:160), do (2.43), sup Bc(0,1) ki»n cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2 (cid:31)(cid:247)æc h…nh th(cid:160)nh. (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2 cho f

(cid:19)αk deg(V )

ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

(cid:18)d(m)|φ(B)| |φ(ω)|

|p ◦ φ−1| ≤ |p ◦ φ−1| (2.44) sup φ(B) sup φ(ω)

v(cid:238)i m(cid:229)i h…nh cƒu φ(B) ⊂ B(0, r) v(cid:160) t“p con (cid:31)o (cid:31)(cid:247)æc ω ⊂ B. — (cid:31)¥y

α := c log C, (cid:240) (cid:31)(cid:226) c v(cid:160) d(m) l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ trong b§t (cid:31)flng thøc cıa (cid:30)(cid:224)nh

l(cid:254) 2.1.2 v(cid:160) C l(cid:160) tł (2.43).

(cid:30)” k‚t th(cid:243)c vi»c chøng minh ch(cid:243)ng ta ch(cid:243) (cid:254) r‹ng metric trong Ux ∩ V tł Rn l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i metric tł Bc(0, 3r/2) b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p cıa φ.

Nh(cid:247) v“y ta c(cid:226) th” t…m th§y mºt l¥n c“n m(cid:240) nh(cid:228) h(cid:236)n N ⊂ N (cid:48) cıa (cid:31)i”m x

(ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o φ) trong (cid:31)(cid:226) hai metric n(cid:160)y l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng Lipschitz v(cid:238)i

h» sŁ 2. Do (cid:31)(cid:226) (2.44) s‡ c(cid:226) gi¡ tr(cid:224) v(cid:238)i h…nh cƒu metric B ⊂ N v(cid:160) mºt t“p

con (cid:31)o (cid:31)(cid:247)æc ω ⊂ B, thay th‚ φ(B) v(cid:160) φ(ω), t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i C(m) > d(m)

thay th‚ d(m), v(cid:160) v(cid:238)i (cid:31)º (cid:31)o c£m sinh tł Rn. Chøng minh ho(cid:160)n th(cid:160)nh.

K‚t qu£ ti‚p theo cıa ch(cid:243)ng ta l(cid:160) s(cid:252) tŒng qu¡t h(cid:226)a k‚t qu£ ch‰nh cıa

C. Fefferman v(cid:160) R. Narasimhan, trong (cid:31)(cid:226) ω trong (2.45) d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) mºt

h…nh cƒu.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3. Cho F1,λ, ..., FN,λ l(cid:160) c¡c h(cid:160)m ch¿nh h…nh theo z tr¶n h…nh cƒu Bc(0, 1 + r0) ⊂ Cn, r0 > 0 (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i l(cid:160) c¡c h(cid:160)m gi£i t‰ch th(cid:252)c theo λ ∈ U ⊂ Rm (cid:240) (cid:31)(cid:226) U l(cid:160) t“p m(cid:240). L§y Vλ l(cid:160) kho£ng c¡ch tuy‚n t‰nh cıa

(cid:32)

(cid:33)γ

Fk,λ, 1 ≤ k ≤ N . Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i m(cid:229)i t“p compact K ⊂ U , t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ γ = γ(K, r0) > 0 sao cho b§t (cid:31)flng thøc ki”u Yu. Brudnyˇi- Ganzburg

|F | ≤ |F | (2.45) d(n)|B(x, ρ)| |ω| sup ω sup B(x,ρ)

(cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i mØi F ∈ Vλ, λ ∈ K v(cid:160) ω ⊂ B(x, ρ) ⊂ B(0, 1).

Chøng minh. Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Bernstein v(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ba (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn Hadamard

35

ch(cid:243)ng ta c(cid:226) c¡c gi£ thi‚t cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3 theo b§t (cid:31)flng thøc sau.

V(cid:238)i b§t k… t“p compact K ⊂ U v(cid:160) F ∈ Vλ, λ ∈ K,

|F |, (2.46) sup Bc(0,r) |F | ≤ C1 sup Bc(0,1)

2 v(cid:160) C1 = C1(K, r0). Do (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m sŁ

(cid:32)

(cid:33)

(cid:240) (cid:31)(cid:226), r = 2+r0

F (cid:48) := log |F | ∈ Fr 1 logC1 log |F | − sup Bc(0,r)

(cid:32)

(cid:33)γ

(cid:129)p d(cid:246)ng b§t (cid:31)flng thøc cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2 ta c(cid:226) b§t (cid:31)flng thøc cƒn t…m

|F | ≤ |F | (ρ ≤ 1) d(n)|B(x, ρ)| |ω| sup ω sup B(x,ρ)

36

v(cid:238)i γ := c log C1, (cid:240) (cid:31)(cid:226) c v(cid:160) d(n) l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1.2

K(cid:152)T LU(cid:138)N

Lu“n v«n n(cid:160)y (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y c¡c nºi dung ch‰nh sau:

1. TŒng quan c¡c ki‚n thøc c(cid:236) b£n cıa h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i, (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa

d(cid:247)(cid:238)i, h(cid:160)m (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i c(cid:252)c tr(cid:224). (cid:30)(cid:176)c bi»t quan tr(cid:229)ng l(cid:160) kh¡i ni»m dung

l(cid:247)æng t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)Łi.

2. (cid:30)¡nh gi¡ (cid:31)º l(cid:238)n c¡c h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i to(cid:160)n c(cid:246)c tr¶n Cn (th(cid:228)a

m¢n mºt sŁ (cid:31)i•u ki»n chu'n h(cid:226)a n(cid:160)o (cid:31)(cid:226)) d(cid:252)a tr¶n (cid:31)º l(cid:238)n tr¶n nhœng t“p

r§t b† ch¿ cƒn c(cid:226) (cid:31)º (cid:31)o Lebesgue d(cid:247)(cid:236)ng.

3. (cid:129)p d(cid:246)ng vi»c (cid:31)¡nh gi¡ (cid:31)º l(cid:238)n c¡c h(cid:160)m (cid:31)a (cid:31)i•u hÆa d(cid:247)(cid:238)i to(cid:160)n c(cid:246)c

tr¶n Cn v(cid:160)o vi»c nghi¶n cøu (cid:31)¡nh gi¡ (cid:31)º l(cid:238)n cıa c¡c (cid:31)a thøc tr¶n c¡c t“p

con gi£i t‰ch th(cid:252)c cıa Rn v(cid:160) nhœng øng d(cid:246)ng cıa k‚t qu£ n(cid:160)y v(cid:160)o (cid:31)¡nh

gi¡ m(cid:230)(cid:31)un cıa (cid:31)a thøc tr¶n c¡c t“p n‹m trong c¡c t“p (cid:31)⁄i sŁ hay gi£i

37

t‰ch th(cid:252)c.

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Ti‚ng Vi»t

[1] Nguy„n Quang Di»u v(cid:160) L¶ M“u H£i (2013), C(cid:236) s(cid:240) l(cid:254) thuy‚t (cid:31)a th‚

v(cid:224), Nh(cid:160) xu§t b£n (cid:30)⁄i h(cid:229)c s(cid:247) ph⁄m H(cid:160) Nºi.

Ti‚ng Anh

[2] Brudnyi A. (1999), "Local inequalities for plurisubharmonic func-

tions, Annals of Mathematics", 149, 511- 533.

[3] Fefferman C. and Narasimhan R. (1996), "A local Bernstein inequal-

ity on real algebraic varieties", Math. Z, 223, 673- 692.

[4] Roytvarf N. and Yomdin Y. (1997), "Bernstein classes", Ann. Inst.

Fourier, 47, 825- 858.

[5] Taylor B. and Alexander H. (1984), "Comparison of two capacities

38

in CN ", Math. Z, 186, 407- 417.