BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
LÊ ANH TUẤN
DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
LÊ ANH TUẤN
DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 4601
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. LÊ HOÀN HÓA
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 0
LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1
CHƯƠNG I ........................................................................................................... 3
KIẾN THỨC CƠ SỞ ............................................................................................ 3
1.1. Bổ đề 1.1 .................................................................................................... 3 1.2. Không gian mêtric. ..................................................................................... 3
Định nghĩa 1.2 ................................................................................................. 3
Bổ đề 1.3 .......................................................................................................... 3
Định nghĩa 1.4 ................................................................................................. 4
Định lý 1.5 ....................................................................................................... 4 1.3 Không gian Banach lồi đều ......................................................................... 6
Định nghĩa 1.6 ................................................................................................. 6
Bổ đề 1.7 .......................................................................................................... 6
CHƯƠNG II .......................................................................................................... 7
ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU .......................................................................... 7
2.1 Các định nghĩa ............................................................................................. 7
Định nghĩa 2.1 ................................................................................................. 7 Định nghĩa 2.2 ................................................................................................. 7
Định nghĩa 2.3 ................................................................................................. 7
Định nghĩa 2.5 ................................................................................................. 8
Định nghĩa 2.6 ................................................................................................. 8
2.2 Định lý 2.7 .................................................................................................. 8 2.3 Định lý 2.8 ................................................................................................ 10
2.4 Định lý 2.9 ................................................................................................ 12
2.5 Hệ quả 2.10 ............................................................................................... 14
2.6 Hệ quả 2.11 ............................................................................................... 14
2.7 Định lý 2.12 .............................................................................................. 15
2.8 Định lý 2.13 .............................................................................................. 16
2.9 Định lý 2.14 .............................................................................................. 17
2.10 Hệ quả 2.15 ............................................................................................. 18
2.11 Định lý 2.16 ............................................................................................ 19 CHƯƠNG III ....................................................................................................... 23
LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU ....................... 23
3.1 Các định nghĩa ........................................................................................... 23
Định nghĩa 3.1 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.2 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.3 ............................................................................................... 23 Định nghĩa 3.4 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.5 ............................................................................................... 24
Định nghĩa 3.6 ............................................................................................... 24
3.2 Định lý 3.7 ................................................................................................ 24
3.3 Định lý 3.8 ................................................................................................ 24
3.4 Định lý 3.9 ................................................................................................ 25 3.5 Ánh xạ loại (A) ......................................................................................... 25
3.6 Ánh xạ loại (B) ......................................................................................... 26
3.7 Lập dãy hội tụ về điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn ...... 26
3.8 Bổ đề 3.10 ................................................................................................. 27
3.9 Bổ đề 3.11 ................................................................................................. 29 3.10 Định lý 3.12 ............................................................................................ 36
3.11 Định nghĩa 3.13 ...................................................................................... 38
3.12 Định lý 3.14 ............................................................................................ 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 40
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS LÊ
HOÀN HÓA – người đã tận tâm hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi để
tôi hoàn thành luận văn này.
Tiếp theo, tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô trong hội đồng chấm
luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn
thành luận văn này một cách hoàn chỉnh.
Tôi xin cám ơn bàn Giám Hiệu, phòng Sau Đại Học cùng toàn thể quý Thầy
Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã giảng dạy và tạo điều
kiện tốt cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài.
Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những điều sai
sót, rất được mong sự góp của quý Thầy Cô và Bạn đọc để hoàn thiện đề tài
hơn nữa.
1
LỜI NÓI ĐẦU
Định lý điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên
trên không gian mêtric đã được trình bày bởi nhiều tác giả trên các bài: A.
Mbarki, Fixed points for near-contractive type multivalued mapping,
Southwest J. Pure Appl. Math; A. Djoudi and L. Nisse, Gregus type fixed
points for weakly compatiple mappings, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin;
M. Imdad and J. Ali, Jungck’s common fixed point theorems and E. A.
Property, Acta Math. Sin; …
Cách lập một dãy hội tụ mạnh tới điểm bất động chung của một họ N các
ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều cũng được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả qua các bài: B. E. Rhoades, Fixed point iteration
for certain nonlinear mapping, J. Math. Anal. Appl; N. Shahzad and A.
Udomene, Approximating common fixed points of two asymptotically quasi
nonexpansive mappings in Banach spaces, Fixed point theory and
Applicatoins; H. K. Xu, Existence and convergence for fixed points of
mappings of asymptotically non-expansive type, Nonlinear Anal; ...
Luận văn này là sự trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả về định lý
điểm bất động chung duy nhất của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên
không gian mêtric và cách lập một dãy lặp hội tụ về điểm bất động chung của
họ N các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều.
2
Luận văn sẽ được trình bày trong ba chương:
Chương I. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trình bày lại một số kết quả về sự hội tụ của dãy số thực, không gian
mêtric, không gian Banach lồi đều và sử dụng cho việc chứng minh trong các
chương sau.
Chương II. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
TƯƠNG THÍCH YẾU
Xây dựng điều kiện đủ để các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên
không gian mêtric có điểm bất động chung duy nhất.
Chương III. LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HỌ
N CÁC ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN
Cách lập một dãy hội tụ về điểm bất động chung của họ N các ánh xạ tựa
tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều.
3
CHƯƠNG I
KIẾN THỨC CƠ SỞ
∞
∞
,
1.1. Bổ đề 1.1
β∞ } { ,
}
α n
n
n
n
= 1
n
= 1
{ } nr
= 1
∞
∞
< ∞
< ∞
v à
,
n
+ ∀ ≥ . Nếu 1
thỏa điều kiện: Cho các dãy số thực không âm {
β n
r n
+ ≤ + (1 1
α n
β α ) n n
nr
∑
∑
n
n
= 1
= 1
n
tồn tại. thì limα →∞ n
(Bổ đề được chứng minh bởi: K. K. Tan and H. K. Xu, Approximating fixed
points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process, J. Math.
Anal. Appl 178 (1993), pp 301-308).
1.2. Không gian mêtric.
Bên cạnh những kiến thức quan trọng đã được nghiên cứu trong quá trình
học đại học về không gian mêtric, trong phần này sẽ nhắc lại một số định
nghĩa sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn.
Định nghĩa 1.2
,
Cho hai tập compact A và B trong không gian mêtric X. Độ lệch của A đối
( e A B và được xác định như sau:
)
=
với B là đại lượng được ký hiệu
( e A B ,
)
( d x B ,
)
sup x A ∈
≠
.
( e A B ,
)
( e B A ,
)
0
,
,
. Nhận xét:
( ) e A B = còn
( ) e B A ≠ 0.
Ví dụ A B⊆ và A B≠ . Khi đó ta có
=
Bổ đề 1.3
( e A B ,
)
( e A B ,
)
( d a B ,
)
Độ lệch là hữu hạn và tồn tại điểm a A∈ sao cho
4
B∈ tìm được
0α> để
Chứng minh.
0y
x A
ε< ,
,
Vì A là compact nên giới nội. Do đó với
∀ ∈ , vì thế
( d x y
)0,
( e A B hữu hạn. Theo định nghĩa
)
( e A B ,
)
=
tồn tại
A∈ để
( e A B ,
)
( d x B ,n
)
nx
lim n →∞
có dãy con hội tụ tới . Do A là compact nên { }nx
a A∈ (không mất tính tổng quát ta có thể xem dãy con đó chính là dãy { }nx
≤
≤
+
=
,
=
).
( d a B ,
)
( e A B ,
)
( d x a n
)
( d a B ,
)
( d a B ,
)
( e A B ,
)
( d a B ,
)
lim n →∞
. Vậy . Khi đó
Định nghĩa 1.4
Khoảng cách Hausdorff (hay còn gọi là siêu mêtric) giữa A và B là đại
,H A B và được xác định như sau:
(
)
=
ax
,
,
) H A B m ,
(
)
} { ) ( ( e A B e B A . ,
)
lượng được ký hiệu
fb X là tập hợp mà các phần tử của nó là các tập compact khác
Ký hiệu ℘ (
rỗng trong không gian mêtric X.
X
∀
≥
A B ,
0 ,
).
(
,
∈℘ fb
Định lý 1.5
( H A B
)
= ⇔ =
,
A B .
0
( H A B
)
( )6
X
∀
,
,
,
A B ,
(
).
∈℘ fb
( )7
) H A B H B A =
(
(
)
X
≤
+
∀
∈℘
,
,
,
,
A B C ,
,
(
).
fb
( )8
( H A C H A B H B C
(
)
(
)
)
Siêu mêtric H có những tính chất sau đây: ( )5
Chứng minh.
5
=
,
,
,
max
( ) 5
( H A B
)
(
} )
X
=
≥
∀
∈℘
,sup
0 ,
A B ,
(
).
fb
( d x B ,
)
)
( d y A , y B ∈
{ ) ( e A B e B A , max sup x A ∈
=
,
,
max
,
(
( ) 6
( H A B
)
} )
=
=
,
0
)
( d x B
)
( d y A ,
,sup y B ∈
{ ) ( e A B e B A , max sup x A ∈
x A
=
∀ ∈
,
0,
x B
x A
⇔
⇔
y B
∀ ∈ ∀ ∈
y A
=
∀ ∈
0,
∈ , y A ∈ ,
) )
⇔
A B =
hay
( d x B ( d y A , ⊂ A B B A ⊂
X
∀
∈℘
A B ,
(
fb
( ) 7
=
max
,
,
,
=
max
,
,
,
.
), ta coù: ) )
( H A B ( H B A
( (
{ ) ( e A B e B A , { ) ( e B A e A B ,
} ) } )
,
,
Suy ra
) H A B H B A =
(
(
)
( )8 Từ bổ đề 1.2 suy ra mọi x A∈ , tồn tại c C∈ để:
≤
+
≤
+
=
,
,
)
( d c B ,
)
( d x C ,
)
( d c B ,
)
( d x B ,
)
( d x c
( d x C ,
)
( d x c
)
≤
,
,
, với . Ta suy ra
( e A B ,
)
) ( + e A C e C B
(
)
≤
+
,
,
.
.
( e B A ,
)
)
(
)
e B C e C A Theo tính chất ( )3 ta có: (
=
,
,
,
( H A B
)
+
≤
+
max
,
,
,
} ) )
(
)
≤
+
+
max
,
,
,
} ) ,
.
)
) H A C H C B H C A H B C ,
(
( e B C , ( )
{ ( ) ( e A B e B A , max { ( ) ( e A C e C B e C A , { ( (
} )
,
Tương tự ta cũng có:
) ( fb X H
( ℘
)
như một không gian Từ định lý trên chúng ta có thể khảo sát
mêtric.
6
=
sup
:
,
,
A B ,
)
)
(
( δ
{
Ngoài ra trên không gian siêu mêtric ta định nghĩa: } ∈ . ∈ d a b a A b B
1.3 Không gian Banach lồi đều
∀ > ε
0,
0
Định nghĩa 1.6
∃ > sao cho: δ
x
y
y
x
y
x y X x ∈
≤
≤
−
δ
,
,
1,
1 vaø
< − 1
Ta nói không gian Banach X là lồi đều nếu
(
)ε > ⇒
+ 2
.
Bổ đề 1.7
g
0,
Cho p > 1 và R > 1 là hai số cố định, E là không gian Banach. E là không
∞ → ∞ liên tục, tăng
)
)
[ : 0,
[
p
≤
λ
−
−
λ x
+ − (1
λ )
y
x
+ − (1
λ )
y
λ w ( ) (
g x
y
)
gian Banach lồi đều nếu và chỉ nếu tồn tại hàm
p
p
p − λ λ λ λ
+
=
−
∀
≤
(1
)
(1
λ ).
(0)
:
x E x
, nghiêm ngặt và lồi sao cho:
]0,1λ∈ [
∈ , x y B R
{ = ∈
} R
, , w ( ) p
(Bổ đề được chứng minh bởi: H. K. Xu, Existence and convergence for fixed
points of mappings of asymptotically nonexpensive type, Nonlinear Anal. 16
(1991), pp 1139-1146).
7
CHƯƠNG II
ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA
CÁC ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU
Trong phần trình bày tiếp theo ta thường sử dụng các ký hiệu sau: X là
)
) ,X d ;
( fb X℘
f g X :
không gian mêtric ( là tập hợp tất cả các tập compact khác rỗng
) ,X d ;
X→ ; các ký
=
→℘
fx
,
X
:
,
,F G để chỉ các ánh xạ đa trị
của không gian mêtric (
Fx F x .
,f g để chỉ các ánh xạ , ( = F G X
)
( ) f x
( )
fb
và hiệu
2.1 Các định nghĩa
=
∀ ∈
d fgx gfx
,
d fx gx ,
,
x X .
(
)
(
)
Định nghĩa 2.1
,f g được gọi là giao hoán nếu
Hai ánh xạ
≤
∀ ∈
d fgx gfx
,
d gx fx
,
,
Định nghĩa 2.2
,f g là giao hoán yếu nếu
x X .
(
)
(
)
Hai ánh xạ
Nhận xét
,f g giao hoán thì giao hoán yếu.
Nếu hai ánh xạ
=
d fgx gfx
,
d fx gx ,
,
x X
∀ ∈ . Từ đây suy ra
Chứng minh.
(
)
(
)
≤
d fgx gfx
,
d gx fx
,
,
x X
∀ ∈ . Do đó f và g là hai ánh xạ giao hoán yếu.
(
)
(
)
Vì f, g là giao hoán nên
Định nghĩa 2.3
,f g được gọi là tương thích yếu ngẫu nhiên nếu
,f g giao hoán
.
gx=
Hai ánh xạ
và tồn tại x X∈ sao cho fx
Định nghĩa 2.4
8
,f F được gọi là tương thích yếu ngẫu nhiên nếu tồn tại x X∈
.
Hai ánh xạ
sao cho fx Fx∈ và fFx Ffx⊆
:f X
X→ là ánh xạ trên X. Phần tử x X∈ được gọi là điểm bất động
Định nghĩa 2.5
x= .
Cho
của f nếu fx
:
2 X
F X → là ánh xạ đa trị trên X. Phần tử x X∈ được gọi là điểm bất động
Định nghĩa 2.6
của F nếu x Fx∈ .
F G X
X
→℘
f g X , :
:
,
(
)
2.2 Định lý 2.7
X→ là các ánh xạ,
fb
là các ánh xạ đa trị sao Cho
},f F và {
},g G
hàm thực thỏa những điều kiện sau:
)5 :ϕ + →
(
)1ϕ : ϕ không tăng với các biến t4 và t5 (
t
t
≥
t t , 0, 0, ,
0 ,
∀ > 0
)2ϕ : (
( ϕ
)
max
,
,
,
,
> , 0
là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên. cho các cặp {
( d fx gy d fx Fx d gy Gy ,
)
(
)
(
{
} )
<
,
,
,
,
,
,
,
,
0 (2.8.1)
Nếu với mọi x , y X∈ sao cho
( d fx gy d fx Fx d gy Gy d fx Gy d gy Fx ,
(
)
)
(
)
(
(
)
)
( ϕ
)
. Khi đó f, g, F
và G có chung duy nhất điểm bất động.
Chứng minh.
},g G
{
∈
∈
⊆
⊆
fu Fu gv Gv ,
,
fFu
Ffu
là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại Chứng minh f, g, F và G có điểm bất động chung. Thật vây, vì các cặp },f F và {
và gGv Ggv . ,u v X∈ sao cho
9
gv=
ø
vaø
Tö (2.8.1)
ta coù:
,
,
,
,
,
( ϕ 1
)
)
(
)
)
) <
,0,0,
( ,
( ,
0
( ) , ) ( d fu gv ,
, (
)
( ( ) d fu gv d fu Fu d gv Gv d fu Gv d gv Fu ϕ , , ( ) ( d fu Gv d gv Fu ϕ= ,
)
<
,0,0,
,
,
0
Trước tiên ta chứng minh fu .
)1ϕ ta cũng có
( d fu gv ,
)
) ( d fu gv d fu gv ,
(
)
( ϕ
)
≥
,0,0,
,
,
0
0
,
)
(
. Kết hợp Đồng thời theo (
d fu gv > .
)2ϕ thì
( d fu gv ,
)
) ( d fu gv d fu gv ,
(
)
( ϕ
)
.
,
gv=
d fu gv = . Suy ra fu 0
với với điều kiện (
(
)
2f u
fu=
Do vậy
)1ϕ ta có:
2
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
)
(
)
(
( ϕ
)
2
) <
, 0, 0,
0.
,
,
,
(
)
) , ) ( d f u Gv d fu Ffu ,
( ) ( 2 d f u fu
)
( ( d f u gv d f u Ffu d gv Gv d f u Gv d gv Ffu ( ϕ=
)
2
2
,
,0,0,
,
,
< 0.
Tiếp theo ta chứng minh . Từ điều kiện (2.8.1) và (
)1ϕ ta có
( 2 d f u fu
)
) ( d f u fu d f u fu ,
(
)
( ϕ
)
2
2
≥
,
,0,0,
,
,
0
Tương tự như trên theo (
)2ϕ thì
( 2 d f u fu
)
) ( d f u fu d f u fu ,
(
)
( ϕ
)
2f u
fu=
2 ,
0
2 ,
( d f u fu > . Do vậy 0
)
) ( d f u fu = . Suy ra
với Kết hợp với điều kiện (
=
gv
2 g v
gv=
hay fu là điểm bất động
⊂
=
=
=
=
ffu
gfu fu ,
2 f u
ggv
Ffu
gv
fu
hay fu là điểm bất động của g . của f . Tương tự ta có:
=
∈ gfu Gfu
. Suy ra fu Ffu∈ hay fu là điểm
bất động của F. Vì fu Tiếp tục ta đi chứng minh fu là điểm bất động của F và G. Do ∈ = fFu hay fu là điểm bất động của G .
'ω là điểm
,
,
Ta chứng minh điểm bất động chung là duy nhất. Đặt fu ω= và
f g F G . Khi đó theo (2.8.1) và ( ,
)1ϕ ta có:
,
,
,
',
( d g
) Ff ω ω
)
g
<
) ' , ,
) ' , 0.
( ) ) ( ( ( d g G d f Ff g d f ω ω ω ω ϕ ω ω ', ' , ( ( ) ( ) ( d f d f G d f = ω ω ϕ ω ω ' , , ' ,0,0,
( d f G ω ω , ) ) Ff ω ω ,
bất động của
10
g
g
,
g ω ω ,
,
0
)1ϕ ta có:
( d f
) ' ,0,0,
( d f
) ' ,
( ( d f ϕ ω ω
) ) ω ω < '
g
g
,
g ω ω ,
,
0
,
( d f
, kết hợp Đồng thời theo (
) gω ω > 0 '
)2ϕ thì
) ' ,0,0,
( d f
) ' ,
( d f
( ( d f ϕ ω ω
) ) ω ω ≥ '
=
ω ω g , '
= ⇒ 0
d
0 hay
= ω ω '
với ( với
( d f
)
( ωω ' ,
)
Suy ra .
f
F G X
X
,
g X :
:
,
X→ là các ánh xạ và
2.3 Định lý 2.8
→ ℘ fb
)
(
là các ánh xạ đa trị Cho
},f F và {
},g G
là hàm thực thỏa các điều kiện sau:
)6 :ϕ + →
(
)1ϕ : ϕ không tăng với các biến t5 và t6 (
t
t
≥
t t ', , 0, 0, ,
0 ,
0
)2ϕ : (
( ϕ
)
max
,
,
,
,
> , 0
( d fx gy d fx Fx d gy Gy ,
)
(
)
∀ > . Nếu với mọi x , y X∈ sao cho t (
{
} )
<
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
(2.10.1)
sao cho các cặp { là tương thích yếu ngẫu nhiên.
(
)
(
)
) H Fx Gy d fx gy d fx Fx d gy Gy d fx Gy d gy Fx ,
(
(
)
(
)
(
)
( ϕ
)
thì
các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động.
},f F và {
},g G
Chứng minh.
Chứng minh tồn tại điểm bất động. Thật vậy, vì các cặp { là
,u v X∈ sao cho
∈
∈
⊆
⊆
fu Fu gv Gv ,
,
fFu
Ffu
các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên tồn tại
fu=
và gGv Ggv .
)1ϕ ta có:
,
,
,
,
,
,
,
(
(
(
)
)
( ϕ
)
<
0 .
,
,
,
,
( ) H Fu Gv d fu gv d fu Fu d gv Gv d fu Gv d gv Fu , ) ,0,0,
) ) ) H Fu Gv d fu gv ,
) ( , ) ( d fu Gv d gv Fu ,
, (
, (
(
( ϕ=
( ) )
. Theo điều kiện (2.10.1) và ( Trước tiên, ta chứng minh gv
)1ϕ ta được:
Mặt khác theo điều kiện (
11
<
,
,
,0,0,
,
,
0
)2ϕ thì
) H Fu Gv d fu gv ,
(
(
)
) ( d fu gv d fu gv ,
(
)
)
( ϕ
≥
,
,
,0,0,
,
,
0
0
,
)
(
, kết hợp với điều kiện (
d fu gv > . Do đó ta có
) H Fu Gv d fu gv ,
(
(
)
) ( d fu gv d fu gv ,
(
)
)
( ϕ
=
=
d fu gv ,
0 hay
fu
khi
(
)
gv .
2f u
fu=
được
2
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(
)
(
(
)
)
)
(
. Cũng vì điều kiện (2.10.1) ta được:
)
2
2
) <
, 0, 0,
0.
,
,
,
,
( ( ) H Ffu Gv d f u gv ,
(
(
)
, (
) H Ffu Gv d f u gv d f u Ffu d gv Gv d f u Gv d gv Ffu ) ( d f u Gv d gv Ffu ,
)
( ϕ=
)
)1ϕ ta có kết quả:
2
2
2
<
,0,0,
,
,
0
,
,
Tiếp theo, ta chứng minh ( ϕ
(
) H Fu Gv d f u fu ,
) ( d f u fu d f u fu ,
(
)
(
)
)
2
2
2
≥
,
,
,0,0,
,
,
0
2 ,
0
, kết hợp với điều kiện của
) H Fu Gv d f u fu ,
(
( d f u fu > .
)
)
(
) ( d f u fu d f u fu ,
(
)
)
=
.f
,
= ⇒ 0
2 f u
fu
với Mặt khác theo điều kiện ( ( ϕ )2ϕ ta cũng có kết quả: ( ( ϕ
( 2 d f u fu
)
2g v
gv=
Do vậy mà ta suy ra hay fu là điểm bất động của
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có được hay gv là điểm
bất động của g .
=
=
=
=
=
∈
⊂
ffu
fu
gv
ggv
gfu fu ,
2 f u
fFu
Ffu
Tiếp tục ta chứng minh fu là điểm bất động của F và G. Do
=
∈ gfu Gfu
. Nên ta có fu Ffu∈ . Tương tự ta
cũng có: fu . Theo định nghĩa (2.6) thì fu là điểm bất động của F và
G.
'ω là điểm bất
) F ω ω ',
( d g
( ϕ
=
<
) ' , 0
Chứng minh fu là điểm bất động duy nhất. Đặt fu ω= và
( ) d f ' , ) g ω ω , ' ,0,0,
g ω ω , ( d f
) ' , ( d g
( ( ) d f H F G ω ω , ' , ( ) ( H F G ω ω ϕ , ' ,
( d f G ω ω , ) ) F ω ω ',
động khác của f, g, F, G. Sử dụng điều kiện (2.10.1) ta có kết quả sau: ) ( ) d g G F ω ω ω ω ', , , ) ( d f G ω ω , ' ,
12
)1ϕ ta được:
g
ω ω ,
g ω ω ,
g ω ω ,
,
0
Mặt khác theo điều kiện (
( H F G
) ' ,
( d f
) ' ,0,0,
( d f
) ' ,
( d f
( ϕ
) ) ω ω < '
g
ω ω ,
g ω ω ,
g ω ω ,
,
0
. Kết hợp với điều kiện
)2ϕ thì (
( H F G
) ' ,
( d f
) ' ,0,0,
( d f
) ' ,
( d f
( ϕ
) ) ω ω ≥ '
=
,
'
ω ω g , '
= ⇒ 0
d
0 hay
= ω ω '
( d f
)
( d f
)
( ωω ' ,
)
gω ω > . Do vậy 0
với
.
f
,
g X :
:
,
2.4 Định lý 2.9
X→ là các ánh xạ và
F G X → ℘ fb
là các ánh xạ đa trị sao Cho
},f F và {
},g G là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên.
là hàm thực thỏa các điều kiện sau:
)6 :ϕ + →
(
)1ϕ : ϕ không giảm với biến 1t ,không tăng với các biến t5 và t6 (
t
≥
t t t t , ,0,0, ,
0 ,
0
∀ > . Nếu với mọi x , y X∈ sao cho
)2ϕ : (
( ϕ
)
max
,
,
,
,
> , 0
( d fx gy d fx Fx d gy Gy ,
)
(
(
)
{
} )
<
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0 (2.11.1)
cho {
( ) Fx Gy d fx gy d fx Fx d gy Gy d fx Gy d gy Fx ,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ( ϕ δ
)
thì
các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động.
Chứng minh.
},g G
},f F và {
∈
∈
⊆
⊆
fu Fu gv Gv ,
,
fFu
Ffu
là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên Vì các cặp {
,u v X∈ sao cho
tồn tại và gGv Ggv .
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(
)
(
)
)
( 0.
,0,0,
,
,
,
,
)
)
(
(
Chứng minh sự tồn tại của điểm bất động. Tương tự như các định lý trước,
)
theo điều kiện (2.11.1) ta được kết quả như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) Fu Gv d fu gv d fu Fu d gv Gv d fu Gv d gv Fu ϕ δ , ( ) ( ) ( d fu Gv d gv Fu Fu Gv d fu gv < ϕ δ= , ,
13
<
,
,
,
,
,0,0,
0
Mặt khác theo điều kiện (
)2ϕ thì
) ( d fu gv d fu gv ,
(
)
( ) fu gv d fu gv ,
)
)1ϕ ta cũng có: )
( ( ϕ δ
≥
,
,
,0,0,
,
,
0
0
,
(
)
. Kết hợp với điều kiện (
d fu gv > . Từ đó ta suy
( ) fu gv d fu gv ,
)
) ( d fu fv d fu gv ,
(
)
)
( ( ϕ δ
=
=
d fu gv ,
0 hay
fu
(
)
với
gv .
2f u
fu=
ra
2
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
)
(
)
(
)
(
)
(
. Theo điều kiện (2.11.1) ta cũng có:
)
2
2
) <
,0,0,
0.
,
,
,
,
(
)
( , ( ) Ffu Gv d f u gv ,
)
) Ffu Gv d f u gv d f u Ffu d gv Gv d f u Gv d gv Ffu , ( ) ( ( d f u Gv d gv Ffu ϕ δ= ,
)
)1ϕ ta cũng có:
2
2
2
<
,0,0,
,
,
,
,
0
Chứng minh ( ( ϕ δ
)2ϕ
( ) 2 f u fu d f u fu ,
)
) ( d f u fu d f u fu ,
(
)
)
2
2
2
≥
,
,
,0,0,
,
,
0
2 ,
0
. Kết hợp với điều kiện ( Mặt khác theo điều kiện ( ( ( ϕ δ
( d f u fu > .
)
( ) 2 f u gv d f u gv ,
)
) ( d f u fv d f u gv ,
(
)
( ( ϕ δ
)
=
2 f u
fu
,
= ⇒ 0
thì Với
)
( 2 d f u fu
=
=
2g v
gv
fu
hay fu là điểm bất động của f . Theo đó ta suy ra
động của g .
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có hay fu là điểm bất
=
=
=
=
=
∈
⊂
ffu
fu
gv
ggv
gfu fu ,
2 f u
fFu
Ffu
Tiếp theo ta chứng minh fu là điểm bất động của F và g. Ta có:
.
=
fu
∈ gfu Gfu
. Từ đây ta có: fu Ffu∈ và
) F ω ω ',
( d g
)
) ' , <
) ' , F G ,
0.
( ) ( ) d g G d f F ω ω ω ω ', , , ' , ) ( ) d f G g ω ω ω ω , , ' , ' ,0,0,
) ' , ( d g
'ω là điểm bất động khác của f, g, F, G. Sử dụng điều kiện (2.11.1) ta có kết quả sau: ( ( ( g d f F G ω ω ϕ δ ω ω , , ( ( ) ( d f = ϕ δ ω ω ' ,
( d f G ω ω , ) ) F ω ω ',
Bây giờ chúng ta chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu ω= và
14
)1ϕ ta được:
g
F G ,
g ω ω ,
g ω ω ,
,
0
Mặt khác theo điều kiện (
) ' ,
( d f
) ' ,0,0,
( d f
) ' ,
( d f
( ( ϕ δ ω ω
) ) ω ω < '
g
F G ,
g ω ω ,
g ω ω ,
,
0
. Kết hợp với điều kiện
)2ϕ thì (
) ' ,
( d f
) ' ,0,0,
( d f
) ' ,
( d f
( ( ϕ δ ω ω
) ) ω ω ≥ '
.
=
,
'
ω ω g , '
= ⇒ 0
d
0
'ω ω=
( d f
)
( d f
)
( ωω ' ,
)
gω ω > . Do vậy 0
. Với
hay
:f X
:
X→ là ánh xạ,
F X → ℘ là ánh xạ có ảnh là tập hợp sao cho
2.5 Hệ quả 2.10
fb
là hàm thực thỏa các
Cho
},f F tương thích yếu ngẫu nhiên.
)6 :ϕ + →
(
cặp {
)1ϕ : ϕ không giảm với biến t1 và không tăng với các biến t5 và t6 (
t
≥
t t t t , ,0,0, ,
0 ,
∀ > 0
)2ϕ : (
( ϕ
)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
0
< , với mọi
( ) Fx Fy d fx fy d fx Fx d fy Fy d fx Fy d fy Fx ,
)
)
(
(
)
(
(
)
)
)3ϕ : (
( ( ϕ δ
)
m
ax
,
,
,
,
0
,x y X∈ và
> . Khi đó f và F có điểm bất
( d fx fy d fx Fx d fy Fy ,
)
(
(
)
{
} )
điều kiện:
động chung duy nhất.
Chứng minh.
g= và F G=
Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn f
:f X
:
,
X→ là ánh xạ,
F G X → ℘ là ánh xạ có ảnh là các tập hợp sao
2.6 Hệ quả 2.11
fb
Cho
là hàm
},f G
},f F và {
)6 :ϕ + →
(
tương thích yếu ngẫu nhiên. cho cặp {
)1ϕ : ϕ không giảm với biến t1, không tăng với các biến t5 và t6 (
thực thỏa các điều kiện:
15
t
≥
t t t t , , 0, 0, ,
0 ,
∀ > 0
( ϕ
)
( )2ϕ :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
< , 0
( ) Fx Gy d fx fy d fx Fx d fy Gy d fx Gy d fy Fx ,
(
(
)
)
(
(
)
)
)
)3ϕ : (
( ( ϕ δ
)
m
ax
,
,
,
,
0
với
,x y X∈ và
> . Khi đó f , F và G có
( d fx fy d fx Fx d fy Gy ,
)
(
)
(
{
} )
mọi
điểm bất động chung duy nhất.
Chứng minh.
g .=f
Hệ quả được suy ra từ định lý 2.9 khi chúng ta chọn
:f X
:
,
X→ là ánh xạ,
2.7 Định lý 2.12
fb
F G X → ℘ là ánh xạ đa trị sao cho cặp {
},f F
:ψ +
+→
là hàm không tăng sao cho,
Cho
},f G tương thích yếu ngẫu nhiên.
t
t
ψ> 0 ,
và {
< và thỏa điều kiện:
( ) t
p
p 2
p 2
ad
≤
+
−
p δ
ψ
Fx Gy ,
fx gy ,
,
fx Gy ,
với mỗi
) 2.15.1
(
)
(
(
) gy Fx d
) a d
)
( 1
(
)
(
a
p
<
≤
≥
0
1 ,
1
,x y X∈ ,
với mọi
. Khi đó f, g, F và G có điểm bất động chung duy
nhất.
Chứng minh.
},f F và {
},g G
∈
∈
⊆
⊆
fu Fu gv Gv ,
,
fFu
Ffu
là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên Vì các cặp {
,u v X∈ sao cho
tồn tại và gGv Ggv .
p
p 2
p 2
ad
≤
+
−
p δ
ψ
Fx Gy ,
fx gy ,
,
fx Gy ,
.
Chứng minh tồn tại điểm bất động. Theo giả thiết của định lý ta có:
) gy Fx d
(
)
)
( 1
) a d
(
(
)
(
p
p
≤
≤
p δ
ψ
,
d
fu gv ,
Fu Gv ,
d
fu gv ,
Theo tính chất của δ
d fu gv > và theo 0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
( )t
ψ < với t
t > thì ta có kết quả sau:
và ψ ta được: . Nếu
điều kiện
16
p
p
p
≤
p δ
≤
ψ
<
d
fu gv ,
Fu Gv ,
d
fu gv ,
d
fu gv ,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
=
=
d fu gv ,
0 suy ra
fu
gv .
. Ta thấy có điều mâu thuẫn vì
(
)
=
2 f u
.
0
2 ,
vậy mà
p
p
p
2
2
2
≤
p δ
≤
ψ
<
d
d
d
f u fu ,
Ffu Gv ,
f u fu ,
f u fu ,
)
(
Ta đi chứng minh
)
(
)
(
)
( ) d f u fu > thì )
fu Giả sử ( (
=
,
= ⇒ 0
2 f u
fu
. Đây cũng là điều mâu
( 2 d f u fu
)
=
=
2g u
gu
fu
thuẫn nên hay fu là điểm bất động của f .
fu là điểm bất động của
.g
Chứng minh hoàn toàn tương tự cho ánh xạ g ta cũng có hay
=
=
=
=
=
∈
⊂
ffu
fu
gv
ggv
gfu fu ,
2 f u
fFu
Ffu
Chứng minh fu là điểm bất động của F, G. Ta có:
=
fu
∈ gfu Gfu
. Từ đây ta có: fu Ffu∈ và
'ω là điểm bất
hay fu là điểm bất động của F, G.
=
≤
d
F G ,
g
,
'
Chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu ω= và
( ωω ' ,
)
( d f
( ω ω δ ω ω '
)
)
. động khác của f, g, F, G. Khi đó ta có:
p
p
p 2
p 2
ad
f
d
δ ω ω ψ
≤
+
−
F G ,
'
g ω ω ' ,
f G ω ω , '
.
(
)
(
) g F ω ω ',
(
)
(
)
( 1
) a d
p
p
p
p
p
=
≤
≤
<
d
d
f
g
d
d
ω ω δ ω ω ψ ωω F G ' ,
,
,
'
'
Theo điều kiện (2.15.1) ta có:
( ωω ' ,
)
(
)
)
)
(
( ωω ' ,
)
(
(
)
=
d
0 hay
= ω ω '
. Vì
( ωω ' ,
)
Từ đây ta cũng có được kết quả .
:f X
:
,
2.8 Định lý 2.13
X→ là ánh xạ,
F G X → ℘ là ánh xạ có ảnh là các tập hợp sao
fb
:ψ +
Cho
+→
là hàm
},f G
},f F và {
t
t
ψ> 0 ,
tương thích yếu ngẫu nhiên. cho cặp {
< và thỏa điều kiện:
( ) t
không tăng sao cho, với mỗi
17
p
p
p
ad
p δ
≤
ψ
+
−
d α
d β
Fx Gy ,
fx gy ,
ax
fx Fx ,
,
gy Gy ,
,
(
)
(
( 1
) a m
)
(
(
)
)
{
(
p 2
p 2
p 2
p 2
d
,
,
,
,
fx Gy ,
,
(
)
(
) gy Fx d
(
) gy Fx d
(
) fx Fx d
+
,
,
( dp fx Fx
)
( dp gy Gy
)
(
) } )
1 2
p
a < ≤
<
≤
≥
0
1 , 0
α β ,
1,
1
,x y X∈ ,
với mọi . Khi đó f, g, F và G có điểm bất
động chung duy nhất.
},f F và {
},g G
∈
∈
⊆
⊆
fu Fu gv Gv ,
,
fFu
Ffu
là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên Chứng minh. Vì các cặp {
,u v X∈ sao cho
tồn tại và gGv Ggv .
,c d ta
≤
m
ax
{ c d ,
}
Vì ψ là hàm là hàm không giảm và theo tính chất của các số thực
,x y X∈ ta có:
+ c d 2
p
p δ
fx Fx dp gy Gy
Fx Gy ,
,
ax
,
,
,
)
(
)
( adp fx gy
)
( + − 1
) a m
)
(
(
{ d
ψ≤
p 2
p 2
p 2
p 2
d
gy Fx d
,
,
,
,
,
fx Gy ,
(
) gy Fx d
(
(
) fx Fx d
(
)
) ] }
,u v ta cũng có:
. Khi đó với mọi luôn có
p
p 2
p 2
p δ
≤
ψ
Fu Gv ,
ad
fu gv ,
,
fu Gy ,
Và với hai điểm
(
)
(
)
( + − 1
) gv Fu d
(
)
) a d
(
. Áp dụng định lý 2.7 ta
suy ra điều phải chứng minh.
:f X
:
,
2.9 Định lý 2.14
fb
F G X → ℘ là ánh xạ đa trị sao cho cặp {
},f F và
X→ là ánh xạ,
,u v X∈ sao cho
{
},f G tương thích yếu ngẫu nhiên. Từ
fu Fu gv Gv fFu
Ffu gGv Ggv
∈
∈
⊆
⊆
,
,
,
:ψ + .
+→
là hàm không tăng sao cho,
t
t
ψ> 0 ,
Cho
< và thỏa điều kiện:
( ) t
với mỗi
18
p
p
p 2
p 2
ad
ψ
≤
+
−
,
fx gy ,
,
fx Gy ,
(2.17.1)
( H Fx Gy
)
(
)
( 1
) a d
(
) gy Fx d
(
)
a
p
≤
≤
gv=
1 ,
1
,x y X∈ , 0
≥ . Nếu fu
với mọi
là điểm bất động của f và g thì fu là
điểm bất động chung của f, g, F và g. Đồng thời Fu = Gv.
∈
⊆
∈
∈
2f u
fFu
Ffu
gv Gv fu Fu ,
Chứng minh.
,
,
,
≤ d fu Gv H Fu Gv
,
,
,
,
,
) ≤ d gv Fu H Fu Gv
(
(
)
(
)
(
)
) ≤ d gv Ffu H Ffu gv
(
(
)
và nên ta có các kết quả sau: Vì
2 ,
,
và
(
)
) ( ≤ d f u Gv H Ffu Gv
p
p
2
2
p 2
≤
ψ
H Ffu Gv
ad
,
f u gv ,
,
f u Gv ,
(
)
( + − 1
) a d
(
) gv Ffu d
)
(
(
)
p 2
2
2
≤
ψ
ad
f u gv ,
,
( ) a Hp Ffu Gv
( + − 1
)
p
p
p
≤
ψ
ad
,
fu gv ,
,
.
) ( + − 1
( H Fu Gv
)
)
) ( a H Fu Gv
)
( (
p
p
p
≤
H Fu Ggv
,
ad
2 fu g v ,
,
(
)
( + − 1
( ) a H Fu Ggv
)
. Do ψ là hàm không giảm nên ta được:
(
)
ψ
. Nếu Fu Gv≠
p
p
p
≤
t
ψ> 0,
H Fu Gv
,
ad
fu gv ,
,
≤ , t
( ) t
(
)
(
)
( + − 1
( ) a H Fu Gv
)
ψ
. Khi đó ta có
≤
H Fu Gv
,
d fu gv ,
gv=
gv≠
Và và với mỗi
(
)
(
)
=
=
2f u
gv=
fu
2 g v
và fu . Nếu fu thì Fu Gv= .
= Fu Ggv
Chứng minh một cách tương tự nếu thì Gv Ffu và nếu thì
.
:
,
f g X :
,
2.10 Hệ quả 2.15
X→ ,
F G X → ℘ là các ánh xạ đa trị.
fb
:ψ +
t
t
ψ> 0 ,
.
+→
là hàm không tăng sao cho với mỗi
( ) t
< Các cặp {
},f F
Cho các ánh xạ
},f G tương thích yếu ngẫu nhiên thỏa điều kiện:
và {
19
p
p 2
p 2
p δ
≤
ψ
Fx Gy ,
ad
fx fy ,
,
fx Gy ,
,x y X∈ ,
(
)
(
)
( + − 1
) a d
(
) fy Fx d
(
)
với mọi
1a< ≤ và
1p ≥ . Khi đó f, g và G có điểm bất động chung duy nhất.
0
Chứng minh.
g= và F G=
Chọn f , áp dụng định lý 2.14 ta được điều cần chứng minh.
:f X
:
,
2.11 Định lý 2.16
X→ là ánh xạ,
F G X → ℘ là ánh xạ đa trị và.
fb
Φ
∞
0 ;
Cho
: 0 ;
∞ →
t
Φ = ⇔ = 0
(
)1Φ :
( ) 0 t
Φ
Φ
≤
:
Fx Gy ,
2
)
)
)
)
(
( ( δ
)
+
Φ
+
γ
(2.18.1)
( ( d gy Gy + Φ , ( ( d gy Fx ,
) ) ) ) + Φ
) ( ) ( ( ( d fx gy d fx gy Φ α , , ( ) ( ( ) ( d fx Gy d fx gy Φ β , , ( ) ( ( ) ( d fx Fx d fx gy , ,
) ) ) )
,
là hàm không giảm thỏa các điều kiện sau:
,x y X∈ và
α β γ : 0, ,
∞ →
là các hàm thỏa điều kiện: 0, 1
α
β
γ
+
+
<
1 (2.18.2).
( ) t
( ) t
Với mọi
},g G là tương thích yếu
( ) t
},f F
Nếu các cặp { và {
ngẫu nhiên thì các ánh xạ f, g, F và G có chung duy nhất điểm bất động trong
X.
Chứng minh.
},f F
},g G
∈
∈
⊆
⊆
fu Fu gv Gv ,
,
fFu
Ffu
là các cặp ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên nên Vì các cặp { và {
,u v X∈ sao cho
gv . Do điều kiện (2.18.1) ta có kết quả:
≤
Φ
Φ
Fu Gv ,
)
)
tồn tại và gGv Ggv .
)
+
( Φ
+ Φ
( d fu gv , ( d fu gv ,
) )
( d gv Gv ,
)
=fu ( α ( β
) )
) ( d fu gv , ( ) ( d fu Gv ,
)
(
)
Chứng minh ( ( δ
20
+
γ
)
) +
) Φ
Φ
=
( d fu gv , ( d fu gv ,
) )
( d fu Gv ,
)
( ( α
) )
( ) ( d fu Fu , ) ) ( d fu gv ,
+ Φ ( β
( ( d gv Fu , ) ) ( d fu gv ,
(
Φ (
)
γ+
Φ
.
( d fu gv ,
)
( d gv Fu ,
)
(
)
(
)
Φ = ⇔ =
d fu gv ,
0>
t
0
(
)
( ) 0 t
Φ
, d fu gv
(
)
(
)
≤
Φ
, d fu gv
, d fu Gv
)
(
(
)
(
)
( β
)
(
)
( Φ
+
)
γ
+
≤
+
Φ
, d fu gv
, d fu gv
, d fu gv
, d fu gv
+ ) )
(
)
(
(
)
) , d fu gv ( ( , d gv Fu ( β
)
(
)
(
)
< Φ
.
, d fu gv
(
)
Nếu , từ điều kiện của Φ là hàm không giảm và kết
( ( δ ≤ Φ ( ( α , d fu gv ( ( γ ( ( α (
d fu gv ,
0=
=fu
gv .
hợp với các điều kiện (2.18.1), (2.18.2) cho ta kết quả: ) ) , Fu Gv ) ) Φ ) ) , d fu gv ) ) )
(
)
2f u
fu=
2f u
fu≠
hay Vì vậy ta có
0
t
Φ = ⇔ = . Khi đó sử dụng hai điều kiện của Φ ta có:
Tiếp theo ta chứng minh . Giả sử , Φ là hàm không giảm
( ) 0 t
và
21
Φ
,
( 2 d f u fu
)
(
)
≤
,
,
)
Ffu Gv , )
+
+ Φ
,
,
)
+
,
,
) )
=
Φ
,
,
,
,
( 2 d f u Gv
)
( d gv Gv , ( d gv Ffu , ) )
) (
)
) ( ) ) ( ) + Φ ( ( 2 d f u gv β
γ ( α γ
Φ ( Φ
+
,
+
,
,
+
,
,
) ) ) )
< Φ
,
( ) ( ) ≤ Φ δ ) ( ) ( ( ( 2 2 d f u gv d f u gv Φ α ( ) ( ( ) ( 2 2 d f u Gv d f u gv Φ β ( ) ( ( ) ( 2 2 d f u Ffu d f u gv ) ) ) ( ) ( 2 2 d f u gv d f u gv + Φ ) ( ) ( ) ( ) ( 2 d gv Ffu d f u gv , ( ) ( ( ) ( ≤ 2 2 d f u gv d f u gv α β ( ) ( ) ( ( 2 2 d f u fu d f u gv Φ γ ) ( ) ( 2 d f u fu .
Φ
0
2 ,
= hay
( 2 , d f u fu
)
( d f u fu = . Suy ra 0
)
(
)
2f u
fu=
Vì Φ là hàm không giảm nên
=
=
2g v
gv
fu
.g
hay fu là điểm bất động của f . Chứng minh tương tự ta có:
hay fu là điểm bất động của
=
=
=
=
=
∈
⊂
ffu
fu
gv
ggv
gfu fu ,
2 f u
fFu
Ffu
Tiếp theo ta chứng minh fu là điểm bất động của F, G. Ta có:
=
fu Ffu∈
∈ gfu Gfu
. Từ đây ta có:
và fu hay fu là điểm bất động của F, G.
'ω là điểm
'ω ω≠
,
,
Chứng minh điểm bất động fu là duy nhất. Đặt fu ω= và giả sử
f g F G sao cho ,
=
≤
d
ω ω δ ω ω '
F G ,
f
,
'
0
,
'
bất động thứ hai của các ánh xạ . Khi đó chúng ta có:
d ωω > sử dụng điều kiện (2.18.1)
( ωω ' ,
)
( d f
)
(
(
)
)
. Vì
và giả thiết về Φ ta được kết quả:
22
d
Φ
≤ Φ
( ωω ' ,
)
(
)
g
≤
)
,
)
g
Φ
+
,
F ω ω , '
) g ω ω , ' ( ( d f G ω ω Φ , ' ( ( d f
) ) ) ) + Φ
( ( d gv Gv + Φ , ( ( d g
) ) ) F ω ω ',
) ( ) ( F G δ ω ω , ' ) ( ( ) ( ( d f d f α ω ω Φ ' , ) ( ) ( g d f β ω ω + ' ) ( ) ( d f γ ω ω '
d
d
d
d
=
+
Φ
'
,
( G ω ω , '
)
(
)
)
(
)
d
d
) ,
Φ )
) ( ( α ωω ' , ( ( + γ ωω '
( )
) ( ) ( ωω β ωω ' , ) ( ) ( F Φ ω ω ',
d
d
'
,
,
)
d
d
) ( ωω , '
)
)
( (
)
)
( Φ
d
< Φ
.
) ( ) ≤ + α ωω β ωω ' ( ( γ ωω ' , ) ) ( ωω , '
( + (
Φ
'ω ω=
0
d ωω ' ,
= . Từ đây ta cũng có
(
)
(
)
. Vì Φ là hàm không giảm nên
23
CHƯƠNG III
LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM
CẬN KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU
3.1 Các định nghĩa
Tx
x
x
=
=
:
:T K
Định nghĩa 3.1
K→ .
{
)
}
là tập các điểm bất động của ánh xạ Cho E là không gian Banach thực, K là tập con khác ∅ của E. Tập hợp ( F T
k
:T K
= thì 1
Định nghĩa 3.2
n
n
K→ là tiệm cận không giãn nếu lim →∞
n T x
n T y
k
x
y
−
≤
−
Một ánh xạ
n
với mọi x, y ∈K và n ∈ .
Định nghĩa 3.3
( F T
) ≠ ∅
∞
0
n T x
p
x
p
−
≤
+
−
1
⊂
= sao cho
r n
r n
(
)
r n
{
}
)
∞ 0 ,
n
= 1
Một ánh xạ được gọi là tựa tiệm cận không giãn nếu và tồn tại dãy
x
n
∈
≥
,
,
1.
và lim n →∞ với
( K p F T ∈
)
mọi
Định nghĩa 3.4
n T x
n T y
L x
y
−
≤
−
x y K n ∈ ,
,
≥ . 1
Ánh xạ T được gọi là L-lipsit đều nếu tồn tại số dương L sao cho
với mọi
24
Định nghĩa 3.5
α
n T x
n T y
L x
y
−
≤
−
x y K n∈ ,
,
Ánh xạ T được gọi là liên tục Holder đều nếu tồn tại các số dương L và α
≥ . 1
sao cho với mọi
0,
Định nghĩa 3.6
)
)
ϕ : 0,
∞ → ∞
n
n
x
y
T x T y −
≤
−
0
x y K n∈ ,
,
≥ . 1
Ánh xạ T được gọi là ϕ-liên tục đều nếu tồn tại hàm thực
= sao cho
( ) tϕ
( ϕ
)
lim +→ t 0
với với mọi
3.2 Định lý 3.7
Nếu T là ánh xạ tiệm cận không giãn thì T là ánh xạ L-lipsit đều.
∞
1 ,
nk
Chứng minh.
}
)
⊂
k
n T x
n T y
k
x
y
−
≤
−
= thì 1
Vì T là ánh xạ tiệm cận không giãn nên tồn tại { và
n
n
lim n →∞
k
1
= nên tồn tại số dương L sao cho
L≤ với
với mọi x, y ∈K và n ∈ . Theo tính
n
nk
n
→∞
chất của dãy số hội tụ, do lim
n T x
n T y
L x
−
≤
−
y với mọi x, y ∈K. Dựa vào định nghĩa 3.4, T là ánh
mọi n ∈ . Theo điều kiện của T ta có được:
xạ L-lipsit đều.
3.3 Định lý 3.8
Nếu T là L-lipsit đều thì T là ánh xạ liên tục Holder đều.
Chứng minh.
α
n T x
n T y
L x
y
−
≤
−
x y K n∈ ,
,
Để chứng minh T là ánh xạ liên tục Holder đều ta cần chỉ ra sự tồn tại các
≥ . 1
với mọi số dương L và α sao cho
Thật vậy, vì T là L-lipsit đều nếu tồn tại số dương L sao cho
25
n T x
n T y
L x
y
−
≤
−
x y K n ∈ ,
,
1
≥ . Khi đó ta chọn số dương
1α= thì ta thấy được sự tồn tại của hai số dương như yêu câu đã đặt ra.
với mọi
3.4 Định lý 3.9
Nếu T là liên tục Holder đều thì T là ϕ-liên tục đều.
Chứng minh.
α
n T x
n T y
L x
y
−
≤
−
Để chứng minh mệnh đề ta chỉ ra nếu T thoả các điều kiện liên tục Holder
x y K n∈ ,
,
1
đều, nghĩa là tồn tại các số dương L và αsao cho:
≥ thì T thoả điều kiện ϕ-liên tục đều: tồn tại hàm thực
n
n
x
y
T x T y −
≤
−
=
0
0,
( ) tϕ
)
)
( ϕ
)
ϕ : 0,
∞ → ∞
lim +→ t 0
với mọi
x y K n∈ ,
,
≥ . 1
với với mọi sao cho
α
0,
Lt
,
∀ ∈ t
0 ;
Thật vậy, chọn hàm thực ϕ được xác định như sau:
∞ . Với L và α là các số dương trong
)
( ) ϕ = t
[
)
)
ϕ : 0,
∞ → ∞
,
α
=
−
ϕ
=
=
0
y
L x
y
điều kiện liên tục Holder của T. Khi đó ϕ thoả các điều kiện trên. Thật vậy,
( ϕ − x
)
( ) t
+
+
(
)α Lt
lim t → 0
lim t → 0
α
n T x
n T y
L x
y
x
−
≤
−
=
−
và . Dựa vào điều kiện liên tục
( ϕ
) y , với mọi
x y K n∈ ,
,
1
≥ .
Holder đều của T ta được:
:T K
K→ , với K là tập con của E được gọi là thỏa điều kiện (A) nếu
3.5 Ánh xạ loại (A)
∞ → ∞
f
0,
)
)
Ánh xạ
[ : 0,
[
≥
− x Tx
f d x F T
( ( ,
( )),
∀ ∈ x
0,
K , với
thỏa điều kiện: f(0) = 0, tồn tại hàm không giảm
) r∈ ∞ và
[
=
−
∈
d x F T
( ,
( ))
inf
x
p
:
p
F T ( )
f(r) > 0 với mọi
{
}
.
26
T từ K vào K, K là tập con của E được gọi là thỏa
3.6 Ánh xạ loại (B)
}
T T , 1 2
,..., N
f
0,
)
)
∞ → ∞ thỏa điều kiện:
Họ các ánh xạ {
[ : 0,
[
)
điều kiện B nếu tồn tại hàm không giảm
r∀ ∈ ∞ và 0,
[
+
≥
∀ ∈
+ + ...
a
− x T x
f d x F ( ( ,
)),
.
x K Trong đó
− a x T x 1 1
− a x T x 2
2
N
N
N
=
−
∈ =
d x F ( ,
)
inf
x
p p F
:
= 1
i
T i
f(0) = 0, f(r) > 0,
và a1, a2, …, aN là các số thực không âm sao
cho a1 + a2 + ... + aN = 1.
Nhận xét
+
+
+
≥
a
− x Tx
...
f d x F ( ( ,
)),
∀ ∈ x K
N
− a x Tx 1
− a x Tx 2
+
+
≥
∀ ∈
...
)),
a
− x Tx
( ( , f d x F
x K
N
( ⇔ + a 1 ⇔ −
a 2 ≥
∀ ∈
x Tx
) ( ( , )), f d x F
x K
Nếu ta chọn T1 = T2 = ... TN = T thì ta có được kết quả:
Tức là T là ánh xạ thoả điều kiện loại (A).
N
)
,...,
:T K
3.7 Lập dãy hội tụ về điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn
K→ là ánh xạ tựa tiệm cận không giãn ;
( ) 1 n
( n
{ u
}
{ u
}
,
,
0 ;1
Với là các dãy
[
]
} { ( ) i γ ⊂ n
{ ( ) i β n
}
{ ( ) i α n
}
+
+
=
∈
i
N
1,
thoả điều kiện bị chặn trong K ;
}
{ 1, 2,...,
( ) i α β γ n
( ) i n
( ) i n
, và K là tập con khác rỗng, đóng và lồi của
x
x
=
+
+
( ) 1 n
( ) 1 α n
n
( ) 1 β n
n
( ) 1 γ n
( ) 1 u n
n T x 1
x
x
=
+
+
( ) 2 n
( ) 2 α n
( ) 1 n
( ) 2 β n
n
( ) 2 γ n
( ) 2 u n
n T x 2
x
x
=
+
+
( ) 3 n
( ) 3 α n
( ) 2 n
( ) 3 β n
n
( ) 3 γ n
( ) 3 u n
n T x 3
không gian định chuẩn X.
27
...
...=
N
N
N
N
N
N
−
2
) − 1
) − 1
) − 1
)
) − 1
) − 1
x
x
=
+
+
( n
( α n
( n
( β n
n
( γ n
( u n
n T x N − 1
N
N
N
N
N
N
)
) − 1
) − 1
)
)
)
x
x
x
=
+
+
(1.6)
n
( n
( α n
( n T x N n
( β n
n
( γ n
( u n
+ =
1
( )i
n
=
i
1, 2,...,
N
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh dãy lập như (1.6) là tồn tại. Thật vậy, trước
1 ∈x K nên
nT x tồn tại với mọi
( )1 nx được
tiên ta cần kiểm tra . Vì
K∈ vì
( )1 nx
( )1 nx là tổ hợp lồi của các phần tử thuộc K . Do đó
( )2 nx
)N
xác định và
1nx + được xác định.
( nx
tồn tại và từ đó ta cũng có tồn tại và
, ...,
3.8 Bổ đề 3.10
T K :N
T T , 1 2
∞
i
N
=
ax
:
1,2,...,
sao cho Cho X là không gian định chuẩn và K là tập con đóng và lồi của X; K→ là N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn với dãy { }( )i nr
r m = n
{ i ( ) r n
}
< ∞∑ r n
n
= 1
N
∞
i
p
−
F
( )γ
=
≠
(
< ∞ ≤ ≤ ,1
i N Nếu .
trong đó được định nghĩa trong . Dãy { }nx
x thì lim n
F T φ ) i
n
∑
n
→∞
n
= 1
i
= 1
tồn tại với (1.6) với giới hạn
,...,
mọi p F∈ .
}
{ N u n
}
N
M m =
−
=
p i :
1,2,...,
là những dãy bị chặn trong K nên tồn tại: Chứng minh } { Từ { (2) (1) u u , n n
i ( ) u n
n
ax sup ≥ 1
x
p
x
p
−
=
+
+
−
(1) n
(1) α n
n
(1) β n
n
(1) γ n
n T x 1
p
x
p
≤
−
+
−
+
−
p
(1) α n
n
(1) β n
n
(1) γ n
(1) u n
n T x 1
x
p
x
p
p
≤
+
−
+
−
+
−
(1
)
(1) α n
r n
n
(1) β n
n
(1) γ n
(1) u n
. Từ dãy lặp (1.6) ta có:
28
x
p
p
≤
+
−
+
−
)(1
)
(1) (1) + α β ( n n
r n
n
(1) γ n
(1) u n
x
p
p
+
−
+
−
= − (1
)(1
)
(1) γ n
r n
n
(1) γ n
(1) u n
x
p
−
+
≤ + (1
r )n
n
(1) Mγ n
x
p
−
+
≤ + (1
t n
(1) Mγ= n
r )n
n
(1) t n
∞
∞
< ∞
(2.1), với (1) .
(1) γ n
< ∞∑ (1) t . n
∑
n
n
= 1
= 1
ta suy ra Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng (2.1) và (1.6), Từ
x
p
x
p
−
=
+
+
−
(2) n
(2) α n
n
(2) β n
n
(2) γ n
n T x 2
p
x
p
p
≤
−
+
−
+
−
(2) α n
(1) n
(2) β n
n
(2) γ n
(2) u n
n ( ) T x 2
x
p
x
p
≤
+
+
−
+
+
−
(1
)
(2) α n
r n
r n
n
(1) t n
(2) β n
n
) (1
p
+
−
(2) γ n
(2) u n
x
p
≤
+
−
+
+
)(1
2 )
(1
(2) (2) + α β ( n n
r n
n
(2) α n
(1) r t ) n n
p
+
−
(2) γ n
(2) u n
x
p
M
+
−
+
+
+
= − (1
)(1
2 )
(1
(2) γ n
r n
n
(2) γ n
(1) r t ) n n
(2) γ n
x
p
−
+
≤ + (1
2 )
+ + (1
r n
n
(1) r t ) n n
(2) Mγ n
2
+
= + (1
x
p
−
+
≤ + (1
ta có:
t n
(1) r t ) n n
(2) Mγ n
r )n
n
(2) t n
∞
∞
∞
< ∞
(2.2), với (2) .
(2) γ n
∑
< ∞∑ (2) t n
< ∞∑ (1) t n
n
n
n
= 1
= 1
= 1
và ta có: . Lặp lại quá trình trên và sử dụng Từ
dãy (1.6) và kết quả (2.2) ta có:
29
x
p
p
x
p
−
≤
−
+
−
(3) n
(3) α n
(3) T x n
(2) n
(3) β n
n
p
+
−
(3) γ n
(3) u n
x
p
x
p
≤
+
−
+
−
(1
)
(3) α n
r n
(2) n
(3) β n
n
p
+
−
(3) γ n
(3) u n
k
x
p
x
p
≤
+
−
+
+
−
(1
2 )
(3) α n
n
r n
n
(2) t n
(3) β n
n
(3) u n
(3) γ n
x
p
+
−
+
+
≤
(1
3 )
(1
r n
n
(3) α n
(2) r t ) n n
p
+ ( (3) (3) + α β n n +
p − ) −
(3) γ n
(3) u n
x
p
M
+
−
+
+
+
= − (1
)(1
3 )
(1
(3) γ n
r n
n
(3) α n
(2) r t ) n n
(3) γ n
p
M
x
−
+
≤ + (1
+ + (1
3 )
(2) r t ) n n
(3) γ n
r n
n
x
p
−
+
3 )
≤ + (1
(2.3)
r n
n
(3) t n
∞
∞
∞
+
= + (1
.
< ∞
< ∞
< ∞
t n
(2) r t ) n n
(3) Mγ n
(3) t n
(2) t n
(3) γ n
∑
∑
∑
n
n
n
= 1
= 1
= 1
và Với (3) Vì ta có:
N
)
x
p
x
p
=
−
n
( n
+ −
1
N
N
)
x
p
−
+
≤ + (1
)
(2.4)
r n
n
( t n
∞
∞
∞
N
N
)
)
< ∞
< ∞ .
Tiếp tục quá trình trên ta được:
( t n
( t n
∑
∑
< ∞∑ r n
n
n
n
= 1
= 1
= 1
p
−
là dãy số thực không âm và Từ và , kết Vì { }Nt
x hợp với bổ đề (1.1) ta có: lim n
n
→∞
tồn tại.
3.9 Bổ đề 3.11
,...,
K→ là N ánh xạ tựa tiệm cận không giãn với dãy
Cho X là không gian Banach và K là tập con khác rỗng, đóng và lồi của X;
T K :N
T T 2, 1
∞
i
N
=
ax
:
1,2,...,
các ánh xạ
r m = n
{ }( )i nr
{ i ( ) r n
}
< ∞∑ r n
n
= 1
sao cho trong đó . Nếu T1, T2 , ... , TN là
30
∞
i
i N
( )γ
< ∞ ≤ ≤ ,1
n
φ− liên tục; { }nx
∑
n
= 1
N
i
x
p
−
=
⊆
0
− ε ε [ ,1 ]
ε∈
F
=
≠
(0;1)
(
được định nghĩa trong (1.6) với giới hạn và
n
F T φ ) i
{ }( ) nα
i
= 1
1 i N≤ ≤ .
. Nếu thì lim n →∞ với mọi với
N
p
−
)
Chứng minh
x , do bổ đề 3.10 ta có lim n
F T ( i
x
→∞
p F ∈ =
i
= 1
x
p
a
−
= ≥ , nếu 0
0a = ta có điều phải chứng minh.
n
Lấy tùy ý tồn tại. Do đó ta giả
x
−
0
0
= . Thật
sử lim n →∞
n T x N n
n
x
a ≠ . Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh lim →∞
i
N
=
1,2,...,
Giả sử
}( )i vậy, vì hai dãy { }nx và { nu
0R >
N
(
)
x
x
x
p − +
−
p − +
−
∈
(
)
(0)
bị chặn với mọi ta suy ra tồn tại
n
i ( ) γ n
i ( ) u ( n
x T ), n i
i − ( 1) n
i ( ) γ n
i ( ) u n
B R
n
1n ≥ và
i
N
=
1,2,...,
.
sao cho với mọi
2
2
p
N
N
N
N
N
−
−
1)
)
)
)
x
x
p
=
+
+
−
i ( ) n
( α n
n ) ( T x N n
( β n
n
( γ n
( u n
N
N
N
N
−
1)
)
)
x
=
p − +
−
)
( α n
n ) ( T x N n
( γ n
( u ( n
n
2
N
N
N
)
)
)
x
x
p − +
−
+ − (1
)(
(
))
( α n
n
( γ n
( u n
n
2
N
N
N
n
−
)
1)
)
)
x
≤
p − +
−
)
( α n
n ( T x N n
( γ n
N ( u ( n
2
N
N
N
)
)
)
x
+
−
p − +
−
(1
)
)
( α n
n
( γ n
( u ( n
n
N
N
−
)
1)
x
−
−
)
( α n
n
w ( 2
x ( n ( g T x N n
)
2
N
N
N
−
)
1)
)
)
p
x
≤
−
+
−
( α n
n ( T x N n
( γ n
N ( u n
n
2
N
N
)
)
)
p
x
x
−
+
−
+
−
(1
)
( α n
n
( γ n
n
N
N
−
)
1)
x
−
−
)
( α ( n
n
w 2
( n ( g T x N n
N ( u n )
Do bổ đề 3.10 ta có:
31
2
N
N
−
)
1)
)
)
x
p
x
≤
+
−
+
−
(1
)
( α n
r n
N ( n
( γ n
N ( u n
n
2
N
N
)
)
)
p
x
x
+
−
−
+
−
(1
)
( α n
n
( γ n
n
N
N
−
)
1)
x
−
−
)
( α ( n
n
w 2
( n ( g T x N n
N ( u n )
N
N
)
− 1
− 1
x
p
≤
+
+
−
+
(1
)((1
)
)
( α n
r n
r n
n
N t n
2
2
N
N
N
N
N
)
)
)
)
)
x
x
p
x
+
+
−
−
+
−
(1
)
( γ n
( u n
n
( α n
n
( γ n
( u n
n
N
N
−
)
1)
x
−
−
)
( α ( n
n
w 2
− ( n ( g T x N n
)
2
N
N
N
N
N
−
)
1)
)
)
x
p
x
≤
+
−
+
+
+
−
( α n
r n
n
r n
( t n
( γ n
( u n
n
( 1
)
( 1
)
N
N
−
1)
x
p
+
−
+
−
r n
r n
n
r n
( t n
( 1
)
( + + 1
) ( 1
2
N
N
N
N
−
)
)
)
1)
x
x
+
−
−
−
w
( γ n
( u n
n
n
2
( ( α n
)
) ( n ( g T x N n
)
N
N
N
−
1)
)
)
x
x
p
+
+
−
≤
+
+
r n
( γ n
N ( u n
n
r n
n
)
( 1
)
( 1
N
N
−
)
1)
x
−
−
w
n
2
( ( α n
)
2
N
N
N
−
−
1)
)
1)
x
p
x
≤
−
+
−
−
w
(2.5)
n
− ( n ( g T x N n ( θ n
n
2
)
( t n ) ( ( α n
( n ( g T x N n
)
N
N
N
− 1)
− 1)
)
)
x
=
+
+
−
3 ε
).N )
( θ n
r n
( t n
( γ n
N ( u n
n
( 1
)
( α≤ 2w ( n
2
2
N
N
−
−
1)
1)
x
x
p
x
p
−
≤
−
−
−
+
3 ε
Trong đó chú ý rằng Từ (2.5) ta
n
n
n
( δ n
( n ( g T x N n
)
∞
∞
N
N
N
−
−
−
1)
1)
1)
N
N
−
−
1)
1)
x
p
=
−
+
.
< ∞
< ∞
có: ,
( δ n
( θ 2 n
n
( t n
( θ n
( ( θ n
)2
∑
∑
n
n
= 1
= 1
∞
N
−
1)
g
x
−
0
< ∞ .
với và ta suy ra Từ
= , vì g là hàm tăng nghiêm ngặt và
n T x N n
n
( δ n
∑
(
)
lim n →∞
n
= 1
x
−
=
0.
n T x N n
n
n
Do đó
liên tục tại 0 nên ta có: lim →∞
32
N
N
− 1)
− 1)
x
p
p
−
≤
+
−
n
n ( x T x − N n
n ( T x N n
N
− 1)
− 1)
x
x
p
≤
−
+
+
−
(1
)
(2.6)
n
n ( T x N n
r n
N ( n
−
−
1)
1)
a
x
p
x
u x
a
=
−
≤
≤
≤
Vì
1n ≥ . Đặt
n
N ( n
N ( n
lim n →∞
lim inf n →∞
lim s p n →∞
−
1)
p
a
−
= . Theo những chứng minh trên, ta có:
Với mọi . Và
lim N ( x n n →∞
2
2
N
N
N
N
N
−
2
) − 1
) − 1
)
) − 1
) − 1
x
p
p
x
−
≤
−
+
−
( n
( α n
( n
( γ n
( u n
n
n T x N − 1
2
N
N
N
) − 1
) − 1
) − 1
x
p
x
+
−
−
+
−
1
( α n
n
( γ n
( u n
n
) )
( (
(
N
N
−
2
)
) − 1
x
−
−
( α n
n g T x N
( n
n
W 2
− 1
) )
(
trước đó
)
(
2
N
N
N
N
−
2
) − 1
) − 1
) − 1
)
p
x
≤
−
+
−
( α n
( n
( γ n
( u n
n
n T x N − 1
2
N
N
N
) − 1
) − 1
) − 1
x
p
x
−
+
−
+
−
1
n
( γ n
( u n
n
( α n
(
N
N
−
2
)
) − 1
x
−
−
( α n
n g T x N
( n
n
W 2
− 1
) )
(
)
(
2
−
N
N
N
) − 1
) − 1
) − 1
2
≤
−
+
−
p
u
( α n
( γ n
( n
x n
n N T x − N n 1
2
N
N
N
) − 1
) − 1
) − 1
−
+
−
p
u
x n
( γ n
( n
x n
( + − 1
)
−
N
N
2
)
) − 1
−
−
x n
W 2
( α n ( ( α n
)
( ( n g T x − N n 1
)
2
−
N
2
−
−
N
− 1
N
2
N
N
)
) − 1
) − 1
n
2
≤
+
+
−
+
+
−
r
p
t
u
)
( α n
r n
( x n
N n
( γ n
( n
x n
)
( ) ( 1
) ( 1
2
N
N
N
) − 1
) − 1
) − 1
−
+
−
p
u
x n
( γ n
( n
x n
( + − 1
)
−
N
N
2
) − 1
)
−
−
x n
W 2
( α n ( ( α n
)
( ( n g T x − N n 1
)
33
2
N
− 1
−
−
N
N
2
N
N
) − 1
)
) − 1
) − 1
2
≤
+
−
+
−
p
t
u
( 1
)
( + + 1
)
( α n
r n
( x n
N n
r n
( γ n
( n
x n
)
(
2
N
− 1
−
N
N
2
N
N
) − 1
)
) − 1
) − 1
−
+
−
p
u
)
) ( t
r n
x n
n
r n
( γ n
( n
x n
( + − 1
−
N
N
2
) − 1
)
−
−
W 2
x n
( α n ( ( α n
) ( 1 )
+ ( ( n g T x − N 1 n
( + + 1 )
2
− 1
N
−
N
N
) − 1
) − 1
2
≤
+
+
−
p
t
u
( 1
)
( + = 1
)
N n
r n
( γ n
( n
x n
−
2
N
N
) − 1
)
−
−
w
2
x n
r n ( ( α n
x n )
− ( ( n g T x − 1 N n
)
2
N
− 1
−
−
N
N
N
2
2
)
) − 1
)
≤
+
−
+
−
−
p
w
2.7
( 1
)
)
r n
x n
( θ n
x n
2
( ( α n
)
( ( n g T x − N n 1
) (
−
−
N
N
N
2
) − 1
) − 1
)
2
=
=
+
−
t
u
( 1
)
( θ n
N n
r n
( γ n
( n
x n
2
2
−
−
N
N
2
2
)
)
3 ε
−
≤
−
−
+
p
p
+ − 1
.
Trong đó . Từ đó suy ra rằng:
x n
x n
x n
( δ n
( ( n g T x − N n 1
)
∞
∞
−
−
−
−
−
N
N
2
2
2
N
N
N
)2
)2
)
)
)
< ∞
< ∞
=
−
+
t
p
Với
( n
( θ n
( δ n
( θ 2 n
x n
∑
∑
( ( θ n
)2
= 1
= 1
n
n
∞
−
−
N
2
N
)
)2
−
< ∞
0
. Vì và nên chúng ta
= . Do g là hàm tăng
x n
( δ n
∑
( ( n g T x − 1 N n
)
lim →∞ n
= 1
n
−
N
)2
−
=
0.
được . Khi đó suy ra:
x n
( n T x − N n 1
lim →∞ n
−
N
N
N
2
N
N
N
) − 1
)
) − 1
) − 1
) − 1
−
=
+
+
−
u
nghiêm ngặt, liên tục tại 0, nên ta có:
( x n
x n
( α n
) ( − 1 T x − N 1 n
( β n
( γ n
x n
( n
x n
−
→∞
N
N
2
N
N
) − 1
)
) − 1
) − 1
≤
−
+
n − →
u
0 (2.8)
( α n
( T x − 1 N n
x n
( γ n
( n
x n
→∞
N
) − 1
n
0.
Để ý ta thấy,
( x n
x n
( φ
) − →
N
N
) − 1
) − 1
−
≤
−
+
−
x n
n T x N n
( n T x N n
x n
( n T x N n
n T x N n
→∞
N
N
) − 1
n
≤
−
0
(2.9)
( n T x N n
x n
( x n
x n
( ) φ− 1 +
) − →
Vì vậy, ta cũng có Do đó, ta có:
N
N
N
N
N
) − 1
)
)
)
=
+
+
−
u
x n
+ − 1
x n
( α n
) ( T x N n
( β n
x n
( γ n
( n
x n
Và ta cũng suy ra:
34
→∞
N
N
N
N
)
)
)
) − 1
≤
−
+
n − →
u
0 (2.10).
( α n
( T x N n
x n
( γ n
( n
x n
Từ kết quả trên ta lại suy ra
−
≤
−
+
−
+
−
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
n T x N n
x n
n T x N n
x n
x n
x n
n
≤
−
+
−
+
−
→∞ →
0 (2.11)
+ 1
+ 1
x n
x n
n T x N n
x n
x n
x n
n T x N n ( φ
n T x N n )
→∞
n
0
→ . Từ các kết quả (2.9) và (2.11) ta có được:
rằng:
+ 1
n T x N n
+− x 1 n
( φ
)
+ 1
+ 1
−
≤
−
+
−
x n
T x N n
x n
n T N
x n
x n
T x N n
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
n
+ 1
≤
−
+
−
→∞ →
0 (2.12)
x n
n T N
x n
n T x N n
x n
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
)
n T N ( φ
−
= . 0
x n
T x N n
Do vậy
n
Suy ra lim →∞
−
−
3
N
4
)
)
−
=
−
−
= = ...
0
= .Và
−
−
x n
n T N
2
( n x n
x n
n T N
3
( x n
( ) 1 n T x 2 n
x n
lim →∞ n
lim →∞ n
lim →∞ n
−
=
−
−
=
= = ...
0.
−
x n
n T x − 1 N n
x n
n T N
x n
2
x n
n T x 3 n
lim →∞ n
lim →∞ n
lim →∞ n
Chứng minh tương tự như trên, chúng ta cũng được các kết quả như sau:
−
=
−
−
=
= = ...
0.
Điều này suy ra là:
−
x n
x n
T N
x n
x n
T x − N n 1
2
T x n 3
lim →∞ n
lim →∞ n
lim →∞ n
−
=
−
0.
= và 0
Phần còn lại ta cần chứng
x n
T x n 2
x n
T x 1 n
lim →∞ n
lim →∞ n
minh
2
2
N
) − 1
−
≤
−
+
−
p
p
u
p
( ) 1 x n
( ) 1 α n
n T x − 1 N n
( γ n
( ) 1 n
2
N
N
) − 1
) − 1
+
−
+
−
p
u
p
( γ n
( n
( 1
−
−
W 2
x n
x n ( n g T x 1 n
)
( ) 1 α − n ( ( ) 1 α n
) )
2
N
1
) − 1
x
p
p
≤
+
−
+
−
α n
r n
n
( γ n
( ) 1 u n
2
p
p
−
+
−
+
−
1
( ) 1 α n
n
( ) u n
( ) ( 1 (
x
−
−
( ) 1 α n
n
n
W 2
x ( n g T x 1
( ) 1 γ n )
) ) )
(
Để ý ta thấy:
35
2
≤
+
−
+
−
p
u
p
)
1 α n
r n
x n
( ) 1 γ n
( ) 1 n
( ) ( 1
2
−
+
−
p
u
p
)
r n
x n
( ) 1 γ n
( ) 1 n
( + − 1
−
−
x n
W 2
+ ( n g T x n 1
)
( ) 1 α n ( ( ) 1 α n
) ( 1 )
2
≤
+
+
−
p
u
p
( 1
)
( ) 1 γ n
( ) 1 n
−
−
w
2
x n
− ( n g T x 1 n
)
r n ( ( ) 1 α n
x n )
2
≤
−
p
u
p
x n
( ) 1 n
−
−
w
(2.13)
2
x n
( n g T x 1 n
)
− ( ( ) 1 α n
( ) 1 + γ n )
2
2
3 ε
−
≤
−
+
−
−
−
p
u
p
p
x n
x n
( ) 1 γ n
( ) 1 n
( ) 1 x n
)
( n g T x n 1
−
=
0.
. Như vậy chúng ta có:
n T x 1 n
x n
lim →∞ n
−
−
+
−
≤
Vì
x n
x n
n T x n 2
( ) 1 n T x n 2
( ) 1 n T x n 2
n T x n 2
≤
−
−
( + + 1
)
x n
r n
( ) 1 x n
x n
( ) 1 n T x n 2
≤
−
−
+
−
u
( + + 1
)
x n
r n
x n
( ) 1 γ n
( ) 1 n
x n
( ) 1 n T x n 2
n T x n 1
( ) 1 α n
n
→∞ →
0
(2.14)
−
0
Do đó ta có:
= . Vì vậy chúng ta có:
x n
n T x n 2
lim →∞ n
+ 1
−
≤
−
+
−
+ 1
+ 1
n T 2
+ 1
x n
T x 2 n
x n
x n
x n
x n
+ 1
+ 1
+ 1
+
−
+
−
n T 2
+ 1
n T 2
n T 2
x n
x n
x n
T x 2 n
+ 1
≤
−
+
−
+ 1
+ 1
+ 1
x n
x n
x n
→∞
n
+
−
+
0
(2.15)
+ 1
x n
x n
n T x 2 n
x n
( φ
x n )
n T 2 ( φ
) − →
−
Suy ra rằng:
= . 0
T x 2 n
x n
lim →∞ n
−
0
Kéo theo
= . Vì vậy,
T x 1 n
x n
lim →∞ n
Chứng minh tương tự ta cũng có:
36
−
= ∀ =
i
N
0,
1, 2,...,
T x i n
x n
lim →∞ n
.
3.10 Định lý 3.12
K
,...,
K→ là N các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn với dãy
T :N
T T , 1 2
m
i
N
=
=
ax
:
1,2,...,
< ∞
Cho X là không gian Banach thực lồi đều; K là tập con khác rỗng, lồi đóng
T có
r n
, ... , N
nr∞
T T , 1 2
1n =
{ i ( ) r n
}
∑
sao cho , trong đó . của X; { }( )i nr
∞
i N
⊆
−
≤ ≤
, 1
, 1
i N
ε∈
< ∞ ≤ ≤ , 1
thể là ϕ− liên tục đều. Khi đó với dãy { }nx được định nghĩa trong (1.6) và với
i ( ) γ n
(
) 0 , 1
}( ) , { i α n
∑
ε
ε
n
= 1
N
F
=
≠ ∅
)
và . Nếu
F T ( i
, ... , N
T T , 1 2
T thỏa điều kiện (B). Khi đó { }nx
}
i
, ... , N
T T , 1 2
hội tụ mạnh , {
} T .
đến điểm bất động của họ {
−
p
Chứng minh.
x Theo bổ đề 3.10 ta có lim n
→∞
n
−
p
a
0
= và hiển nhiên là 0 a≤ . Nếu
a = thì ta có ngay điều phải chứng
x lim n →∞ n
0
a > . Vì kết quả của bổ đề 3.10 ta có:
tồn tại với mọi p F∈ . Do đó, ta đặt
N
N
N
)
)
=
−
−
+
p
p
p
t
n
,
1
( ≤ + 1
)
∀ ≥ . Trong đó,
+ − 1
x n
( x n
r n
x n
( n
∞
)
N
N
N
)
)
+
< ∞ .
t
minh. Giả sử
( = + 1
) ( t
( n
n
) ( Mγ− 1 n
r n
( ∑ N t n
= 1
n
∞
∞
N
N
)
N
)
< ∞
−
+
t
F
p
t
,
n
∀ ≥ . Vì 1
sao cho Khi đó ta có :
)
( ≤ + 1
)
( n
1, +
( d x n
r n
x n
( n
∑
< ∞∑ r n
n
n
= 1
= 1
)
và , và bổ đề 1.1
( d x F ,n
lim →∞ n
ta có: tồn tại. Và theo bổ đề 3.11 ta cũng có:
37
−
= ∀ =
i
N
0,
1, 2,...,
T là ánh xạ loại (B) nên
}
x n
T x i n
T T 2, 1
,..., N
lim →∞ n
=
,
0.
)
. Vì các ánh xạ {
( d x F n
lim →∞ n
,
)
ta suy ra
= , 0
( d x F n
lim →∞ n
<
∀ > n
,
,
)
0ε > , tồn tại số không âm
là dãy cauchy. Vì Tiếp theo, chúng ta chứng minh dãy { }nx
( d x F n
n 0
0n sao cho
ε 3
−
<
n
p
*
.
. Vì vậy với mọi
F∈ sao cho
nx
n≥ 0
0
ε 2
Với mọi và chúng ta có tìm được phần tử *p
−
≤
−
+
−
*
*
p
p
x + n m
x n
x + n m
x n
≤
−
+
−
*
*
p
p
x n 0
x n 0
ε
=
ε ε < + 2 2
=
q
*
m 1≥ chúng ta có:
x n
→∞
n
Vì X là không gian Banach lồi đều nên { }nx hội tụ mạnh. Giả sử lim
K∈ . Để hoàn thành việc chứng minh ta cần chứng minh *q
F∈ . Với số
−
<
*
q
và *q
nx
1ε cho trước, tồn tại số nguyên dương
1n sao cho
ε 1 4
,
0
)
= nên tồn tại số nguyên dương.
n≥ sao cho
( d x F n
n n≥ . Vì 1
n 2
1
lim →∞ n
≤
≤
,
,
)
dương với mọi
. Khi đó chúng ta có:
( d x F n
n n≥ 2
)
( d x F n 2
ε 1 5
ε 1 5
−
<
=
w *
.
i
1, 2,...,
N
w* F∈ sao cho
với mọi . Vì vậy tồn tại
nx
n n≥ 2
2
ε 1 4
−
≤
+
−
−
*
q
*
* w * w *
q
*
T q i
T q i
≤
2
q
− * w *
≤
−
+
−
2
q
*
w
*
x n 2
x n 2
<
<
2
ε 1
ε ε + 1 4
1 4
và ta có: Với mọi
38
N
=
q=
*
q *
* q
i
1, 2,...,
N
)
)
( F T∈ i
( F T i
iT q *
∈ = F
= 1
i
Suy ra với mọi . Vì vậy và .
} T .
{ 2, T T 1
,..., N
hội tụ mạnh tới một điểm bất động của họ các ánh xạ Như vậy dãy { }nx
3.11 Định nghĩa 3.13
∞
:T K
= trong K
K→ được gọi là nửa compact nếu với mỗi dãy bị chặn { } 1 n nx
∞
−
=
⊂
0
Cho K là tập con đóng, khác rỗng của không gian Banach X. Một ánh xạ
x n
Tx n
=
x jn
∞ { } 1 x n n
}
n
= 1
j
= ∈
x K .
x jn
lim →∞ j
sao cho thì tồn tại dãy con { sao cho lim →∞
3.12 Định lý 3.14
,...,
: → K
Cho X là không gian Banach thực lồi đều, K là tập con đóng khác rỗng của
K là họ các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn. Với dãy
T N
T T 2, 1
∞
i
=
=
max
:
i
1, 2,...,
X, họ
r n
< ∞∑ n r
}i ( ){ nr
( ){ r n
} N . Cho { }nx
= 1
n
∞
⊆
−
=
, 1
,
i
1, 2,...,
< ∞ ≤ ≤ , 1
i N
sao cho trong đó được định
N ứng
[ ε
] ε
( ) ∑ i γ n
{ ( ) i α n
}
n
= 1
N
ε∈
=
≠ ∅
F
nghĩa trong (1.6) với và
)
(
) 0 ;1
}
( F T i
T T 2, 1
,..., N
T là nửa compact. Khi đó, { }nx
1=
i
. Nếu với , {
} T .
T T 2, 1
,..., N
hội tụ mạnh tới một điểm bất động của họ ánh xạ {
N . Theo
Chứng minh.
{ 1, 2,...,
}
∈i 0
−
=
⊂
0
Theo giả thiết ta giả sử
x n
{ } x n
T x i n 0
x jn
0iT là ánh xạ nửa compact với } . Vì tồn tại dãy con {
lim →∞ n
bổ đề 3.11 ta có: và
39
−
=
.
= ∈ * x
K
0
=i
1, 2,...,
N
x n
T x i n
x jn
j
j
lim →∞ j
n
với mọi Áp dụng bổ đề 3.11 suy ra lim →∞
}
2, T T 1
,..., N
N
−
=
x
*
*
0
x *
và vì { T là họ các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn và cách xây dựng
F T . Vì vậy ta có:
(
)
i
T x i
∈ = F
= 1
i
∞
=
,
0
)
( d x F n
= hội tụ mạnh đến điểm bất
. Từ đây suy ra dãy { }nx nên
lim →∞ n
. Áp dụng định lý 3.12 ta có { } 1 n nx
} T .
T T 2, 1
,..., N
động của họ các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn {
TỔNG KẾT
Luận văn là sự giới thiệu về các kết quả của các định lý điểm bất động
chung của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên không gian mêtric và
cách lập một dãy hội tụ về điểm bất động chung của các ánh xạ tựa tiệm cận
không giãn trên không gian Banach lồi đều một cách hệ thống qua các
chương như sau: Chương II trình bày các định định nghĩa về các ánh xạ tương
thích yếu ngẫu nhiên, định lý 2.7, định lý 2.8, định lý 2.9, hệ quả 2.10, hệ quả
2.11, định lý 2.12, định lý 2.13, định lý 2.14, hệ quả 2.15 và định lý 2.16 về
các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên không gian mêtric; chương III
trình bày các định nghĩa, định lý 3.7, định lý 3.8, định lý 3.9, bổ đề 3.10, bổ đề
3.11, định lý 3.12 định lý 3.14 về cách lập dãy hội tụ về điểm bất động chung
x
y
=
−
,
của các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều.
( d x y
)
Vì không gian định chuẩn khi trang bị một khoảng cách
cũng là không gian mêtric nên các kết quả này vẫn đúng trên không gian định
chuẩn. Riêng việc lập một dãy hội tụ về điểm bất động của các ánh xạ tựa
tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều chỉ đúng với không gian
này, không thể áp dụng trên không gian Banach thông thường vì trên không
gian Banach thường không có khái niệm lồi cho các tập.
40
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. PGS.TS LÊ HOÀN HÓA, Định Lý Điểm Bất Động và Ứng Dụng Sự
Tồn Tại Nghiệm Của Phương Trình, đề tài nghiên cứu cấp cơ sở, mã số
CS.2008.19.02.
2. GS.TS HOÀNG TỤY, Hàm Thực và Giải Tích Hàm, Đại Học Quốc Gia
Hà Nội (2005).
3. G. S. Saluja, Convergence to common fixed point of multi-step iteration
with errors for asymptotically quasi-nonexpansive mappings, A. M.
Vietnammica (2001), PP 89-103.
4. H. Bouhadjera and C. Godet-Thobie, Common fixed point theorems for
occasionally weakly compatible maps, A. M. Vietnammica (2011), PP 1-17.
5. H. K. Xu, Existence and convergence for fixed points of mappings of
asymptotically nonexpansive type, Nonlinear Anal. 16 (1991), pp 1139-1146.
6. K. K. Tan and H. K. Xu, Approximating fixed points of nonexpansive
mappings by the Ishikawa iteration process, J. Math. Anal. Appl 178 (1993),
pp 301-308.
7. M. O. Osilike and S. C. Aniagbosor, Weak and strong convergence
theorems for fixed points of asymptotically nonexpansive mappings, Math.
and Computer Modelling 32 (2000), PP 1181-1191.
8. S. H. Khan and W. Takahhashi, Approximating common fixed points of
two asymptotically nonexpansive mappings, Sci. Math. Jpn. 53 (2001), PP
143-148.
